Difference between revisions of "תחבולות המספר"

Latest revision as of 06:06, 17 December 2022

1 Introduction
2 The Six Canonical Equations
- 2.1 The Simple Canonical Equations
- 2.2 The Compound Canonical Equations
3 Chapter: Multiplication of Algebraic Expressions
4 Roots
5 Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations
6 Additional excerpt
7 Notes
8 Appendix I: Glossary of Terms
9 Appendix II: Bibliography

	‫^[1]ספר אבו כאמל בתחבולות המספר
Introduction
The three algebraic species
The beginning of what the reader of this book needs to know are three matters that have already been stated by Muḥammad al-Khwārizmī in his book, which are: roots, squares and numbers.	אמר תחלת מה שצריך לדעת הקורא בזה הספר הוא שלשה ענינים אשר אמרם כבר מהומר אלכוארזמי בספרו והם שרשים מרובעים מספרים
Definitions:
The root is the number that is multiplied by itself - as if you say: one by one, two by two, and so on endlessly - and also the fractions of the one, when they are multiplied by themselves, as a half by a half, a third by a third and the fractions of its fractions and so on endlessly.	השרש הוא המנין שהוא מוכה על עצמו כאלו תאמר אחד על אחד ושנים על שנים וכן לאין תכלית וכמו כן שברי האחד כאשר הוכו על עצמם כמו חצי על חצי ושלישית על שלישית וכן שברי שבריו עד אין סוף
The square is what is produced from the multiplication of the root by itself - be it an integer or a fraction.	המרובע הוא המתקבץ מהכאת השרש על עצמו שלם יהיה או נשבר
The number is the number which cannot be understood as a root nor a square, but is related to itself only by the units comprised in it.	המספר הוא המנין שלא יובנו בו שיהיה לא שרש ולא מרובע אבל הוא נערך לעצמו במה שבו מן האחדים לבד
The six categories of canonical equations
He said: the six categories [of canonical equations] were originated from the combination of these three [species], which are:	אמר וכבר יצאו מהרכבת אלו השלשה ששה חלקי' והם אלו
Roots equal to squares. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx=ax^2}}$	שרשים שיהיו שוי' למרובעים
Roots equal to numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx=c}}$	ושרשים שישוו למספרים
Squares equal to numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2=c}}$	ומרובעי' שישוו למספרים
Roots and squares equal to numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx+ax^2=c}}$	ושרשים ומרובעי' שישוו למספרים
Roots and numbers equal to squares. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx+c=ax^2}}$	ושרשי' ומספרים שישוו למרובעים
Squares and numbers equal to roots. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2+c=bx}}$	ומרובעי' ומספרי' שישוו לשרשים
Said Finzi: the author [= Abū Kāmil] did not mention [the instances] in which the three [species] together are equal to one of them, yet it seems that this will be necessary in the categorization.	אמ"פ הנה לא הביא בעל הספר כאשר ישוו שלשתם יחד לאחד מהם והיה נראה שזה יהיה הכרחי בחלוקה
As if you say: roots, squares, and numbers are equal to roots, or to squares, or to numbers.	וזה כמו שתאמ' שרשים ומרובעי' ומספרים ישוו לשרשים או ישוו למרובעי' או ישוו למספרים
The Six Canonical Equations
The Simple Canonical Equations
Squares Equal Roots: bx=ax²
He said: when the roots are equal to squares: multiply [the number of] the roots by itself and the result is the square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=b^2}}$	אמ' כאשר השרשים ישוו למרובעי' תכה השרשי' על עצמם ומה שיתקבץ הוא המרובע
Said Finzi: It is the same as saying "the squares are equal to the roots", since the roots should be understood as being equal to the squares that are mentioned with them.	אמ"פ והדבר הוא שוה לאמר המרובעים ישוו לשרשי' מפני כי צריך שיובנו השרשי' שיהיו שוים למרובעים הנזכרים עמהם
Moreover, the squares are squares by virtue of the multiplication of the roots by themselves.	וכמו כן המרובעים יהיו מרובעי' מכח הכאת השרשים ההם על עצמם
For example: if you are told; five roots are equal to one square. How much is the square? $\scriptstyle5x=x^2$	דמיון זה אם אמרו לך חמשה שרשי' ישוו למרובע אחד כמה הוא המרובע
Say: it is twenty-five resulting from multiplying five by five. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=5\sdot5=25}}$	אמור לו הוא עשרים וחמשה המתקבץ מהכאת חמשה על חמשה
It is so, because the root counts the square by the number of times that the one count the root.	והיה זה כן מפני כי המרובע ימנהו השרש במספר הפעמים שימנה האחד לשרש
The one counts the root by the number of times by which the root is named.	והאחד ימנה לשרש במספר הפעמים אשר יקרא בו השרש
In the example, the root is named by five and it consists of its five units, as it consists of twenty-five, which is the square that is [formed] from five times five, that is the root.	והנה בזה המשל השרש יקרא בשם חמשה והוא מורכב מחמשה אחדיו כמו שהוא מורכב עשרים וחמשה שהוא המרובע מחמשה דמיוני חמשה שהוא השרש
Hence, the square grows and is composed of repetitions of the root by the number that composes the root of repetitions of the unit.	הנה שהמרובע יצמח וישלם מדמיוני השרש במספר מה שישלם השרש מדמיוני האחד
Geometric illustration
To illustrate this to your eye, we construct square ABGD according to the example of the square of twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2=25}}$	ולמען הראותך זה לעין נרשום מרובע עליו אבג"ד על משל מרובע עשרים וחמש‫'

When whichever of its sides is multiplied by one of its units the product is a root of the square.	הנה אי זה מצלעיו שיוכה באחד מאחדיו יהיה המתקבץ הוא שרש המרובע
We suppose BZ is equal to BH, which is one of the units of side AB. $\scriptstyle{\color{blue}{BZ=BH}}$	~~ולכן~~ ונשים ב"ז שוה לב"ה שהוא אחד מאחדי צלע א"ב
We draw line ZC from point Z, parallel to line AB. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC\parallel AB}}$	ונוציא מ^נקודת ז' קו ז"ח נכחי לקו א"ב
Surface AZ is formed, which is a root of this square. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=x}}$	ויצא שטח א"ז והוא שרש זה המרובע
We divide square ABGD into the units of surface AZ that are the surfaces: AZ; CT; KL; MN; SD - and they are five roots of the square of twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=AZ+CT+KL+MN+SD=5x=25}}$	ונחלק מרובע אבג"ד לדמיוני שטח א"ז והם שטחי א"ז ח"ט כ"ל ‫^[2]מ"נ ס"ד והם חמשה שרשים למרובע עשרים וחמשה
Each of them consists of five units as the units of AZ, which is one of the five roots. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=CT=KL=MN=SD=x}}$	וכמו כן כל אחד מהם מורכב מחמשה אחדים כמו שרשום ~~בשסע~~ בשטח א"ז שהוא אחד מהחמשה שרשי‫'
This explanation is enough.	ודי בזה באור
Normalization:
You must know that if the one who asks increases the squares in his question or reduces them, you should always restore it to a single square.	אמ' וראוי שתדע שאם בא השואל להרבות המרובעי' בשאלתו או לשברם כי אז אתה צריך להשיב השאלה לעולם אל מרובע אחד שלם
Example: if one asks: five squares are equal to twenty roots. $\scriptstyle5x^2=20x$	דמיון זה אם ישאל חמשה מרובעי' ישוו לעשרים שרשים
You divide twenty by five. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}}}$	ואתה תחלק עשרים על חמשה
So, one square is equal to four roots. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4x}}$	ויהיה המרובע האחד ישוה לארבעה שרשים
The value of the square is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע יהיה מספרו ששה עשר
Also, if he says: half a square is equal to ten roots. $\scriptstyle\frac{1}{2}x^2=10x$	וכן אם יאמ' חצי מרובע ישוה לעשרה שרשים
The whole square is equal to twenty roots. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=20x}}$	הנה כל המרובע ישוה לעשרים שרשים
Its value is four hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}$	ומספרו ארבע מאות
Squares Equal Numbers: ax²=c
He said: when the squares are equal to numbers: the numbers are the squares.	אמ' כאשר המרובעי' ישוו למספרי' הנה המספרים הם המרובעים
As if you are told: the square is equal to sixteen. $\scriptstyle x^2=16$	כמו אם יאמרו לך המרובע ישוה לששה עשר
Sixteen is the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	הנה ששה עשר הוא המרובע
Its root is four. $\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ושרשו ארבעה
Normalization:
Restore the question also to one square.	וכמו כן תשיב השאלה אל מרובע אחד
If one says: five squares are equal to forty-five. $\scriptstyle5x^2=45$	כי אם אמ' חמשה מרובעי' ישוו לחמשה וארבעי‫'
One square is their fifth, which is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot45=9}}$	הנה המרובע האחד הוא חמישיתם שהוא תשעה
If one says: a third of the square is equal to twenty-seven. $\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=27$	ואם אמ' שלישית המרובע ישוה לשבעה ועשרים
The whole square is eighty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=81}}$	הנה כל המרובע הוא שמנים ואחד
Roots Equal Numbers: bx=c
He said: when the roots are equal to numbers: the units of the roots are as the amount of the numbers.	אמ' כאשר השרשים ישוו למספרי' הנה כמנין המספרי' יהיו אחדי השרשי‫'
If you are told: the roots of the square are equal to four numbers. $\scriptstyle x=4$	כי אם יאמרו לך שרשי המרובע ישוו לארבע' מספרי‫'
The root is four. $\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	הנה השרש הוא ארבעה
The square is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע ששה עשר
Normalization:
Here you should also restore the question to one square.	וכן גם בזה תשיב השאלה למרובע אחד
As if one says: five roots are equal to thirty. $\scriptstyle5x=30$	כמו אם אמ' חמשה שרשים ישוו לשלשים
Divide thirty by five. $\scriptstyle{\color{blue}{30\div5}}$	תחלק שלשים על חמשה
The one root is equal to six. $\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}$	ויהיה השרש האחד ישוה לששה
The square is thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}$	והמרובע ששה ושלשים
If one says: half a root is equal to ten. $\scriptstyle\frac{1}{2}x=10$	ואם אמ' ~~חמשה ושלשים~~ חצי שרש ישוה לעשרה
The one root is equal to twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}$	יהיה השרש האחד ישוה לעשרים
The square is four hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}$	והמרובע ארבע מאות
So far he has been discussing the three first categories [of canonical equations] called the simple.	עד הנה דבר בשלשה החלקים הראשונים אשר יקראו הפשוטים
The Compound Canonical Equations
Chapter: Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c	פרק
He said: when squares and roots are equal to numbers, it is as if you say: the sum of one square and ten of its roots together is equal to thirty-nine dirham. $\scriptstyle x^2+10x=39$	אמ' כאשר יהיו המרובעים והשרשים שוים למספרי' כאלו תאמ' המקובץ ממרובע מהאחד ועשרה משרשיו יחד ישוה לשלשים ותשעה דרהמי
The answer to this question is [obtained] by two methods: one method reveals the root of the square to you, the other reveals the square to you.	הנה תשובת זאת השאלה יהיה בשני פנים האופן האחד יראך שרש המרובע והשני יראך המרובע
First I will explain to you the procedures of these methods and their engagement.	וראשונה אבאר לך דרכי אלו האופני' וההתעסקות בהם
Then, I will explain their rules by geometrical demonstrations and figures, which the geometricians who are well versed in Euclid's book [= the Elements] understand .	עוד אחר זה אבאר משפטיהן במופתים ובתמונות גימטריאות יבינום חכמי הגימטריאה אשר ישכילו בספר אקלידס
The method that yields the root of the square
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}-\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)}}$
He said: the method that reveals the root of the square to you is already stated by Muḥammad al-Khwārizmī in his book.	אמ' האופן אשר יראך שרש המרובע כבר אמרו מהומר אלכוארזמי בספרו
It is that you always take half [the number of] the roots, and multiply it by itself, then add the result to the numbers.	והוא שתקח לעולם מחצית השרשים ותכם על עצמם והעולה מההכאה תקבץ עם המספרים
You extract the root of the sum and subtract half [the number of] the roots from it; the result is the root of the square.	ותוציא שרש המקובץ ותגרע ממנו מחצית השרשים ומה שישאר הוא שרש המרובע
In the mentioned question, we take half [the number of] the roots, which is five.	והנה לקחנו בשאלה הנזכרת מחצית השרשים והוא חמשה
We multiply it ib itself; the result is twenty-five.	הכינום על עצמם ועלה עשרי' וחמשה
We add it to the 39 dirham; the result is sixty-four.	קבצנום עם הל"ט אדרהמי ויצא ששים וארבעה
We extract its root; it is eight.	הוצאנו שרשו והוא שמנה
We subtract five from it; three remains and it is the root.	גרענו ‫^[3]ממנו חמשה ונשאר שלשה והוא השרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\sqrt{5^2+39}-5=\sqrt{25+39}-5=\sqrt{64}-5=8-5=3}}$
The square is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והמרובע יהיה תשעה
The method that yields the root of the square
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+c-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2+\left(b^2\sdot c\right)}}}$
He said: the method that reveals the square to you is that you multiply [the number of] the roots by itself, then multiply the product by the numbers and keep the result.	אמ' והאופן אשר יראך המרובע הוא שתכה השרשים על עצמם והעולה תכה על המספרים ומה שיתקבץ שמור
Take half the product of [the number of] the roots by itself and multiply this half by itself.	עוד תקח מחצית מה שעלה מהכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו
Add the result to the reserved and extract the root of the sum.	ומה שיעלה תקבצהו עם השמור ותוציא שרש המקובץ
You subtract it from the sum of half the product of the roots plus the numbers that are equal to the square and its roots; the remainder is the square.	ותגרעהו ממקובץ מחצית הכאת השרשים על עצמם עם המספרי' השוי' למרובע עם שרשיו ונשאר הוא המרובע
In the mentioned question, we multiply the ten roots by themselves; the result is one hundred.	והנה בשאלה הנזכרת הכינו עשרה השרשים על עצמם ועלה מאה
We multiply one hundred by 39; the result is 3900. We keep it.	והכינו מאה על הל"ט ויצא שלשת אלפים תת"ק ושמרנום
We take a half of one hundred; it is fifty.	ולקחנו מחצית מאה שהוא חמשים
We multiply it by itself; the result is 2500.	והכינום על עצמם ויצא אלפים ות"ק
We add it to the reserved; the sum is 6400.	וקבצנום עם השמור והיה המקובץ ששת אלפים ות‫'
We extract the root of this sum; the result is eighty.	הוצאנו שרש זה המקובץ ויצא שמנים
We subtract it from the sum of fifty and 39, which is 89; nine remains and it is the square.	גרענום ממקובץ חמשים עם ל"ט שהוא פ"ט וישארו תשעה והם המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2+\left(10^2\sdot39\right)}=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2+\left(100\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=50+39-\sqrt{50^2+3900}=89-\sqrt{2500+3900}=89-\sqrt{6400}=89-80=9\\\end{align}}}$
Normalization:
He said: if the squares in the question exceed one, or are less than one, you should restore the whole equation to a single square, and restore with it the roots and numbers, exactly by the same way that you restore the square.	אמ' ואם יעדיפו המרובעי' בשאלה על אחד או יחסרו מאחד שלם הנה אז תצטרך להשיב כל השאלה אל מרובע אחד וכן תשיב עמו השרשים והמספרי' בדרך ההוא בעינו שהשיבות המרובע
Example: if one asks: three squares and 15 roots are equal to 72 dirham. $\scriptstyle3x^2+15x=72$	דמיון זה ששאל שלשה מרובעי' וט"ו שרשי' ישוו לע"ב דרהמי
He means that three times one square summed together with 15 of its roots are 72.	רצה בזה ששלשה דמיוני מרובע אחד עם ט"ו משרשיו מקובצי' יחד יהיו ע"ב
You should take one of the squares, which is their third, and so you take from the roots their third, which is five, and also from the numbers their third, which is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\sdot x^2+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)\sdot x=\frac{1}{3}\sdot72}}$	ובזה אתה צריך לקחת מהמרובעי' אחד מהם והוא שלישיתם וכן תקח מהשרשי' שלישיתם והוא חמשה ומהמספרי' כמו כן שלישיתם והוא כ"ד
Hence, the question becomes as if one asks: one square plus its five roots are equal to 24 dirham. $\scriptstyle x^2+5x=24$	ותשוב להיות השאלה כאלו שאל מרובע אחד עם חמשה משרשיו ישוו כ"ד דרהמי
I have already shown you the method that reveals the root to you and the method that reveals the square to you.	וכבר הראיתיך האופן שיראך השרש והאופן שיראך המרובע
Likewise, if one asks: half a square plus its five roots are equal to 28 dirham. $\scriptstyle\frac{1}{2}x^2+5x=28$	וכמו כן אם שאל השואל חצי מרובע וחמשה משרשיו ישוו לכ"ח דרהמי
Restore your square to a whole square by doubling it and double the roots and the numbers as well. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot x^2+\left(2\sdot5\right)\sdot x=2\sdot28}}$	אז תשיב המרובע שלך שלם והוא שתכפלהו ותכפול כמו השרשי' והמספרי‫'
The question becomes: a square plus its ten roots are equal to 56 dirham. $\scriptstyle x^2+10x=56$	ותשוב השאלה מרובע ועשרה משרשיו ישוו נ"ו דרהמי
I have already shown you what to do with them.	וכבר הראית לדעת מה לעשות לך עמהם
Geometric illustration of method that yields the root of the square
He said: now I will show you the reason we use the method that reveals the root of the square.	אמ' ועתה אראך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
Illustrating the equation: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2+10x=39}}$
It is that we construct a square surface ABGD as the square in the question. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2}}$	והוא שנניח ~~שרש~~ [שטח]^[4] מרובע עליו אבג"ד הוא על דמיון המרובע אשר עליו השאלה
We add surface ABHW to it as the ten roots you add to the square. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=10x}}$	ונחבר אליו שטח אבה"ו יהיה על דמיון עשרת השרשים אשר קבצת עם המרובע
We suppose that the whole surface WHDG is thirty-nine dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{WHDG=ABGD+ABHW=x^2+10x=39}}$	והנחנו שכל שטח והד"ג יהיה שלשים ותשעה דרהמי
We wish to state the measure of the length and breadth of this surface, which are lines HG and DG.	ורצינו שנודיע שיעור קוי האורך והרחב מזה השטח שהם קוי ה"ג ד"ג
We know the measure of line BG that is equal to DG, each of which is equal to the root of this square. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=DG=x}}$	ועם זה יהיה ידוע לנו שיעור קו ב"ג השוה לד"ג שכל אחד מהם הוא שוה לשרש זה המרובע
It is known that line BH is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=10}}$	והוא ידוע כי קו ב"ה עשרה
Because, when side BA of square ABGD is multiplied by one of its units, the resulting surface is a root of square ABGD as explained in the first geometrical illustration of this book. $\scriptstyle{\color{blue}{BA\times 1=\sqrt{ABGD}=x}}$	מפני כי היה צלע ב"א ממרובע אבג"ד כשהוכה באחד מאחדיו יהיה השטח העולה הוא שרש מרובע אבג"ד כמבואר בתמונה הראשונה מזה הספר
When this surface is multiplied by ten, the result is ten roots of square ABGD, which is surface ABHW. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=\left(BA\times 1\right)\times10=10\sqrt{ABGD}=10x}}$	וזה השטח כשהוכה בעשרה יהיה העולה עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד והוא שטח אבה"ו
Since line BH is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=10}}$	הנה כי קו ב"ה עשרה
We cut it in half at point C [= C midpoint of BH].	ונחלק אותו לחצאין על נקודת ‫^[5]ח‫'
Line BG is added to it.	ונוסף בארכו קו ב"ג
Therefore, the surface resulting from the product of line HG by line BG plus the square resulting from the product of CB by itself is the same as the square resulting from the product of CG by itself; as Euclid said in the second section of his book [Elements, Book II, (proposition 5)]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(HG\times BG\right)+CB^2=CG^2}}$	ולכן יהיה השטח העולה מהכאת קו ה"ג בקו ב"ג עם המרובע ההוה מהכאת ח"ב על עצמו כמו המרובע ההוה מהכאת ח"ג על עצמו כמו שאמר אקלידס במאמ' שני מספרו
But the product of line HG by line BG has already been assumed to be thirty-nine, because line DG is the same as line BG. $\scriptstyle{\color{blue}{HG\times BG=HG\times DG=39}}$	אבל הכאת קו ה"ג בקו ב"ג כבר הונחה שלשים ותשעה מפני כי קו ד"ג הוא כמו קו ב"ג
The product of line CB by itself is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{CB^2=25}}$	והכאת קו ח"ב על עצמו היא עשרים וחמשה
Their sum is sixty-four; therefore, the product of line CG by itself is sixty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{CG^2=\left(HG\times BG\right)+CB^2=39+25=64}}$	ומקובצם ששים וארבע' ולכן יהיה הכאת קו ח"ג על עצמו ששים וארבעה
Its root is eight, so line CG is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{CG=\sqrt{CG^2}=\sqrt{\left(HG\times BG\right)+CB^2}=\sqrt{64}=8}}$	והנה שרשו הוא שמנה ולכן קו ח"ג הוא שמנה
We subtract line CB from it that is known to be five; line BG remains, which is three and it is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x=BG=CG-CB=8-5=3}}$	ונבדיל ממנו קו ח"ב הידוע שהוא חמשה וישאר קו ב"ג שלשה והוא שרש המרובע
The square is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והמרובע תשעה
If you want me to illustrate to your eye what I have said, construct square CKNG on line CG. $\scriptstyle{\color{blue}{CG^2=CKNG}}$	ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי עשה על קו ח"ג מרובע חכנ"ג
Extend line BA straight to point E.	ותוציא קו ב"א ביושר עד נקדת ע‫'
Line CG is the same as line GN. $\scriptstyle{\color{blue}{CG=GN}}$	הנה קו ח"ג כמו קו ג"נ
Line BG is the same as line DG. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=DG}}$	וקו ב"ג כמו קו ד"ג
Line BC that remains is the same as line MK. $\scriptstyle{\color{blue}{BC=MK}}$	ישאר קו ב"ח כמו קו מ"כ
Surface CA is the same as surface AN. $\scriptstyle{\color{blue}{CA=AN}}$	ושטח ח"א כמו שטח א"נ
But, surface CA is the same as surface MH. $\scriptstyle{\color{blue}{CA=MH}}$	אבל שטח ח"א כמו שטח מ"ה
Therefore, surface MH is the same as surface AN. $\scriptstyle{\color{blue}{MH=AN}}$	לכן שטח מ"ה כמו שטח א"נ
The three surfaces AC, AN, and DB are thirty-nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AC+AN+DB=39}}$	ושטחי א"ח א"נ ד"ב השלשה הם שלשים ותשעה
But, surface AK is twenty-five, since it is equal to the product of CB by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{AK=CB^2=25}}$	אבל שטח א"כ עשרים וחמשה בעבור כי הוא שוה להכאת ח"ב על עצמו
So, the whole surface KG is sixty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{KG=64}}$	הנה שטח כ"ג כלו ששים וארבעה
Line CG is its root, which is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{CG=\sqrt{KG}=\sqrt{64}=8}}$	וקו ח"ג שרשיו והוא שמנה
Line BC is five. $\scriptstyle{\color{blue}{BC=5}}$	וקו ב"ח היה חמשה
GB that remains is three. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=CG-BC=8-5=3}}$	וישאר קו ג"ב שלשה
Q.E.D.	וזה מש"ל
Geometric illustration of method that yields the square
He said: the reason of the method by which we reveal the square:	אמ' והסבה באופן אשר הראנו בו המרובע
Illustrating the equation: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2+10x=39}}$
It is that we suppose line ABG whose measure is as the sum of the square plus its ten roots, which is thirty-nine. $\scriptstyle{\color{blue}{ABG=x^2+10x=39}}$	היא שנניח קו אב"ג יהיה שיעורו כמו מקובץ המרובע ועשרה משרשיו שהוא שלשים ותשעה
Line AB is the size of the square and we wish to state the measure of AB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2}}$	ויהיה קו א"ב ממנו הוא שיעור המרובע ואנו נרצה שנודיע שיעור א"ב
We construct square DHBG on line BG; it is the same as a hundred times the surface resulting from the product of line AB by one of its units. $\scriptstyle{\color{blue}{DHBG=100\sdot\left(AB\times1\right)}}$	הנה נעשה על קו ב"ג מרובע ד והוא מרובע דהב"ג והנה הוא כמו מאה פעמים השטח היוצא בהכאת קו א"ב באחד מא[חד]יו
Because line BG is ten roots of line AB. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=10\sqrt{AB}}}$	בעבור כי קו ב"ג הוא עשרה שרשים מקו א"ב
When ten roots of a thing are multiplied by themselves, the result is as one hundred of that thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10\sqrt{a}\right)^2=100a}}$	ועשרה שרשים מהדבר כשהוכו על עצמם יהיה המתקבץ כמו מאה דמיוני אותו הדבר
We construct line AM circumscribing a right angle with line AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AM\perp AG}}$	ונשים קו א"מ מקיף עם קו א"ג בזוית נצבה
We suppose its measure is a hundred [units] of [the units] by which line AG is thirty-nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=100}}$	ונשימהו בשיעור מאה מאשר בם קו א"ג שלשים ותשעה
We complete surface AN; it is known that its measure is 3900. $\scriptstyle{\color{blue}{AN=3900}}$	ונשלים שטח א"נ והנה שעורו ידוע כי הוא שלשת אלפים תת"ק
Since it is generated from the product of line AG, which is thirty-nine, by line AM, which is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{AN=AG\times AM=39\times100}}$	בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שלשים ותשעה בקו א"מ שהוא מאה
We extend line BC parallel to AM. $\scriptstyle{\color{blue}{BC\parallel AM}}$	ונמשיך קו ב"ח נכחי לקו א"מ
Surface AC is equal to square BH, because it is also a hundred times the product of line AB by one of its units. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=BH=100\sdot\left(AB\times1\right)}}$	והנה יהיה שטח א"ח שוה למרובע ב"ה כי הוא גם כן מאה דמיוני הכאת קו א"ב באחד מאחדיו
Since the length of line AM is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=100}}$	בעבור כי אורך קו א"מ מאה
Therefore, surface DHCN is also 3900 and it is generated from the product of line GH by line HN. $\scriptstyle{\color{blue}{DHCN=GH\times HN=3900}}$	ויהיה מפני זה שטח דהח"נ גם כן שלשת אלפים ~~משל~~ תת"ק והוא מהכאת קו ג"ה בקו ה"נ
Because GH is the same as HD. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=HD}}$	כי ג"ה כמו ה"ד
Line GN is one hundred, because it is equal to AM. $\scriptstyle{\color{blue}{GN=AM=100}}$	והנה קו ג"נ מאה מפני שהוא שוה לא"מ
We divide it in half at point L [= L midpoint of GN].	ונחלקהו לחציין על נקודת ל‫'
Line NH is added to it.	וכבר נוסף עליו קו נ"ה
Therefore, the surface of the product of HN by GH plus the square of line GL are equal to the square of line LH, as Euclid explained in the second section of his book [Elements II]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(HN\times GH\right)+GL^2=LH^2}}$	ויהיה מפני זה שטח הכאת ה"נ בג"ה ומרובע קו ג"ל יחד שוה למרובע קו ל"ה כמו שביאר אקלידס במאמ' שני מספרו
But, it is known that the sum of surface HN by GH plus the square of GL is 6400. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(HN\times GH\right)+GL^2=6400}}$	אבל שטח ה"נ בג"ה ומרובע ג"ל מקובצים הוא ידוע שהם ששת אלפים ות‫'
Because surface HN by GH is 3900. $\scriptstyle{\color{blue}{HN\times GH=3900}}$	כי שטח ה"נ בג"ה הוא שלשת אלפים תת"ק
The square of GL is 2500. $\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=2500}}$	ומרובע ג"ל הוא אלפים ת"ק
So, the square of line LH is 6400. $\scriptstyle{\color{blue}{LH^2=6400}}$	ומפני זה יהיה מרובע קו ל"ה ששת אלפים ות‫'
Line LH is eighty. $\scriptstyle{\color{blue}{LH=80}}$	וקו ל"ה יהיה שמנים
But, line GH is the same as the square of line BG. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=BG^2}}$	אבל קו ג"ה כמו מרובע קו ב"ג
Therefore the sum of lines BG and LG is eighty. $\scriptstyle{\color{blue}{BG+LG=80}}$	הנה כי קוי ב"ג ל"ג מקובצים הם שמנים
When we subtract them from lines AG and GL that are eighty-nine, line AB remains nine, which is the measure of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=\left(AG+GL\right)-\left(BG+LG\right)=89-80-9}}$	וכאשר נגרעם מקוי א"ג ג"ל שהם שמנים ותשעה ישאר קו א"ב שהוא שיעור מרובע תשעה
Q.E.D.	והוא מש"ל
Said Finzi the translator: where do we see and from where did the author [= Abū Kāmil] deduces that ten roots of the thing, multiplied by themselves, generate a surface whose measure is a hundred times the thing?	אמ"פ המעתיק מאי לנו שנתבונן מאין ‫^[6]הוציא בעל הספר שעשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו שטח שיעורו מאה דמיוני הדבר‫^[7]
We say that it is clear from the first geometrical illustration in this book that one root of the thing is of the same length as the side of the thing, and when it is multiplied by itself it is equal to the thing.	ונאמ' כי הוא מבואר מהתמונה הראשונה מזה הספר ששרש אחד מהדבר הוא באורך כמו צלע הדבר וכשהוכה על עצמו הוא שוה לדבר
And from the fourth proposition in the second section of Euclid [Euclid, Elements, Book II, proposition 4], when he says:	ומהתמונ' הרביעית ממאמר שני לאקלידס באמרו
For every line that is cut into two segments randomly, the square of the whole line equals the two squares of the segments plus double the quadrilateral encompassed by the two segments. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(A+B\right)^2=A^2+B^2+2AB}}$	כל קו אשר יחלק לשני חלקים איך שהזדמן הנה מרובע הקו כלו שוה לשני מרובעי החלקים ולכפל שטח נצב הזויות שיקיפו בו שני החלקים
It is clear from this that when the two segments of the line are equal, the square of the whole line equals four squares of one of the segments. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(A+A\right)^2=4A^2}}$	הנה התבא' משם כי כאשר השני חלקים מהקו שוים יהיה מרובע הקו כלו שוה לארבעה מרובעים מחלק אחד מהם
The one who understands can easily learn from this that two roots of the thing, multiplied by themselves, generate a square that equals four times the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(2\sqrt{x}\right)^2=4x}}$	ומזה ישכיל המבין בנקלה כי שני שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו מרובע ישוה לארבעה דמיוני הדבר
For, when the two roots of the thing are arranged attached on a straight line, they generate a line that is double the two roots of the thing.	כי הנה שני שרשי' מהדבר כאשר סודרו מדובקים על קו ישר יחדשו קו הוא כפל שני שרשים מהדבר כאשר סודרו מדובקים קו צלע מהדבר
By this analogy, and from that same illustration, it is possible to explain that as much as the roots of the things are multiplied and gathered together, their square consists of the multiples of the thing by the ratio of the square numbers of multiples of the roots.	והנה על זה ההקש ומהתמונה ההיא בעינה יתכן לבאר כי כל אשר יתרבו השרשים מהדבר להאסף יחד יהיה מרובעם יוסיף להחזיק מדמיוני הדבר על יחס מרובעי מספרי פעמי השרשים
For example: we gathered three roots of a certain square, as if you say, of one hundred; they are thirty and their square is 900. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sqrt{100}\right)^2=30^2=900}}$	דמיון זה אספנו יחד שלשה שרשים ממרובע מה כאלו תאמ' מאה יהיו שלשים ומרובעם תת"ק
900 is nine times a hundred, as nine, which is a square of three, is the multiple of the roots. $\scriptstyle{\color{blue}{900=9\sdot100=3^2\sdot100}}$	הנה תת"ק הוא תשעה דמיוני מאה כמו שתשעה הוא מרובע שלשה שהוא פעמי השרשים
Deduce from this.	והקש על זה
This is clear from proposition [1]1 of the eighth of Euclid [Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11]	וכבר יתבא' זה אם כן מתמונת א' משמיני לאקלידס
Because it is explained there that the ratio of a square to a square is the same as the ratio of the side to the side multiplied by itself. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{A^2:B^2=\left(A:B\right)^2}}$	כי הנה התבא' שם כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו שנוי בכפל
It is clear from what we said at the beginning, that the ratio of the side of the thing to ten of its roots, summed together, is as the ratio of one to ten. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{x}:10\sqrt{x}=1:10}}$	והוא מבואר ממה שאמרנו תחלה כי יחס צלע הדבר אל עשרה משרשיו מדובקים יחד הוא כיחס אחד אל עשרה
The ratio of one to ten duplicated is a tenth of a tenth, which is one [part] of a hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1:10\right)^2=\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}=\frac{1}{100}}}$	ויחס אחד אל עשרה שנוי הוא עשירית העשירית שהוא אחד ממאה
Therefore, the ratio of the thing, which is the square of the side of the thing, to the square of ten of its roots, is the ratio of one to one hundred. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x:\left(10\sqrt{x}\right)^2=\left(\sqrt{x}\right)^2:\left(10\sqrt{x}\right)^2=1:100}}$	ולכן יהיה יחס הדבר שהוא מרובע צלע הדבר אל מרובע עשרת שרשיו הוא יחס אחד אל מאה
So, the square of ten roots of the thing is one hundred times the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10\sqrt{x}\right)^2=100x}}$	אם כן יהיה מרובע עשרת שרשי הדבר מאה דמיוני הדבר
Q.E.D.	והוא מש"ל
This chapter is completed.	ונשלם זה החלק
Chapter: Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx	פרק
He said: squares and numbers that are equal to roots is as if you say: when you sum twenty-one dirham with a certain square, they are equal to ten roots of the square. $\scriptstyle x^2+21=10x$	אמ' המרובעי' והמספרי' שישוו לשרשים הוא כאלו תאמ' כאשר תקבץ עם מרובע מה עשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה משרשים מהמרובע
We find [the solution] of this category also by the two previous methods, I mean, the method that reveals the root of the square to you and the method that reveals the square to you.	הנה גם כן לזה החלק נמצאם שני האופני' הראשוני' רצו' האופן שיראך שרש המרובע והאופן שיראך המרובע
Each [is done] in two ways: one by adding and the other by subtracting.	ולכל אחד משניהם שני צדדים צד אחד לתוספת וצד אחד למגרעת
The solution method that yields the root of the square
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c}}}$
He said: the method that reveals the root of the square to you is that you take half [the number of] the roots, and multiply it by itself, then subtract the numbers from the result.	אמ' והאופן אשר יראך שרש המרובע הוא שתקח מחצית השרשים ותכם בעצמם וממה שיתקבץ תגרע המספרים
You extract the root of the remainder and subtract it from half [the number of] the roots; the remainder is the root of the square.	ותקח שרש הנשאר ותגרעהו ממחצית השרשים והנשאר הוא שרש המרובע
In the mentioned example, we take half [the number of] the roots; it is five.	והנה בדמיון הנזכר לקחנו מחצית השרשים והוא חמשה
We multiply it by itself; it is twenty-five.	והכינו חמשה בעצמו והיה עשרים וחמשה
We subtract the number of dirham from it; four remains.	גרענו מהם מספר האדרהמי ונשארו ארבעה
Its root is two.	ושרשם שנים
We subtract it from five; three remains, which is the root of the square.	‫^[8]גרענום מחמשה ונשארו שלשה הוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5-\sqrt{5^2-21}=5-\sqrt{25-21}=5-\sqrt{4}=5-2=3}}$
The square is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{x_1^2=9}}$	והמרובע תשעה
This is the subtraction way.	וזה צד המגרעת
If you want, a the two to half [the number of] the roots; it is seven and this is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5+2=7}}$	ואם תרצה הוסיף השנים על מחצית השרשים ויהיו שבעה והם שרש המרובע
The square is forty-nine. $\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=49}}$	והמרובע יהיה תשעה וארבעים
He said: you should know that if the product of half [the number of] the roots by itself is less than the dirham that are with the square, then the problem is false. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<c\longrightarrow\varnothing}}$	אמ' וראוי שתדע כי אם יהיה המתקבץ מהכאת מחצית השרשים על עצמו פחות מהאדרהמי אשר עם המרובע כי אז תהיה השאלה כוזבת
Yet, sometimes the product is equal to the number of the dirham - then, the root of the square is the same as half [the number of] the roots, no more and no less. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c\longrightarrow x=\frac{1}{2}\sdot b}}$	אבל פעמים יהיה המתקבץ שוה למספר האדרהמי ואז יהיה שרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
I will explain to you everything we have said with geometric illustrations.	והנני אבאר לך כל אשר אמרנו בגה"ו עם תמונות גימטריות
The solution method that yields the square
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2-\left(b^2\sdot c\right)}-c}}$
He said: the method that reveals the square to you is that we multiply [the number of] the roots by itself, then multiply the product by the numbers. Keep the result.	אמ' והאופן אשר יראה לך המרובע הוא שנכה השרשים על עצמם והעולה נכהו על המספרי' ושמור מה שיתקבץ
We take half the product of the roots and multiply it by itself.	עוד נקח מחצית הכאת השרשים ונכהו בעצמו
We subtract the reserved from the product.	ומה שיתקבץ נגרע ממנו השמור
Extract the root of the remainder.	ותקח שרש הנשאר
Subtract it from half the product of the roots.	ותגרעהו ממחצית הכאת השרשים
Subtract also the number of the dirham from the remainder; what remains is the square.	עוד תגרע מהנשאר מספר האדרהמי ומה שישאר הוא המרובע
In the mentioned example, we multiply [the number of] the roots by itself; the result is one hundred.	והנה בדמיון הנזכר הכינו השרשים בעצמם ועלה מאה
We multiply one hundred by twenty-one; it is 2100. We keep it.	הכינו מאה בעשרי' ואחד והיו אלפיים ומאה ושמרנום
We take half a hundred and multiply it by itself; the product is 2500.	עוד לקחנו מחצית מאה והכינום בעצמם והתקבץ אלפיים ות"ק
We subtract the reserved from it; four hundred remains.	גרענו מהם השמור ונשאר ארבע מאות
Its root is twenty.	ושרשם עשרים
We subtract it from fifty; thirty remains.	גרענום מחמשי' ונשאר שלשים
We subtract the number of the dirham from thirty; nine remains and it is the square.	וגרענו משלשים מספר האדרהמי ונשאר תשעה והוא המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21=50-\sqrt{2500-2100}-21=50-\sqrt{400}-21=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}$
This is the subtraction way.	וזה הוא צד המגרעת
If you want the addition way, add twenty to fifty; it is seventy.	ואם תרצה צד התוספת תוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים
Subtract the number of the dirham from it; forty-nine remains and it is the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=\left(50+20\right)-21=70-21=49}}$	ותגרע מהם מספר האדרהמי וישאר תשעה וארבעי' הוא המרובע
Normalization:
He said: if the squares in the question exceed one, or are less than one, always restore them to one square according to the way I have demonstrated to you in the previous chapter.	אמ' וכמו כן אם יעדיפו המרובעים בשאלה על אחד או יגרעו מאחד שלם השיבם לעולם אל מרובע אחד על הדרך שהראיתיך בחלק שעבר
The reason for the method that yields the root of the square
He said: now I will show you the reason we use the method that reveals the root of the square.	אמ' ועתה אבוא להראות לך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
First, you should know that the reason for the addition and subtraction methods is in accordance with the excess or the deficiency of the square over the number.	וראשונה ראוי שתדע כי סבת צדדי התוספת והמגרעת היא כפי מה שיעדיף המרובע על המספרי' או שיגרע מהם
For, if [the square] exceeds [the numbers] $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2>c}}$ : the addition method is needed.	כי אם יעדיף אז הוא צריך צד התוספת
If [the square] is less than [the numbers] $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2<c}}$ : the subtraction method is needed.	ואם יגרע אז יצטרך צד המגרעת
As I will demonstrate to you in the two illustrations I draw for you now:	כמו שאראה אותך בשתי תמונו' אשר ארשום לך עתה
Geometric illustration of [the subtraction method]: when the square is less than the numbers $\scriptstyle x^2<c$
First I draw [an illustration for the case] when the square is less than the numbers:	וארשום ראשונה כאשר יגרע המרובע מהמספרי‫'

It is that we suppose the square is square ABGD. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2}}$	והוא שנניח המרובע הוא מרובע אבג"ד
Surface ABHL attached to it is as twenty-one dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHL=21}}$	ושטח אבה"ל הדבק אצלו הוא על דמיון העשרים ואחד דרהמי
We assumed that surface ABHL is greater than ABGD, line BL is longer than line BD. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHL>ABGD\longrightarrow BL>BD}}$	ומפני כי שטח אבה"ל הנחנוהו גדול מאבג"ד יהיה קו ב"ל גדול מקו ב"ד
We assumed that the whole surface HLGD is ten roots of square ABGD. $\scriptstyle{\color{blue}{HLGD=10\sqrt{ABGD}=10x}}$	ומפני כי כל שטח הלג"ד הנחנוהו עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד
Hence, line LD is ten, as explained above. $\scriptstyle{\color{blue}{LD=10}}$	יהיה קו ל"ד עשרה כמו שהתבא' למעלה
We wish to know the measure of line BD.	ואנו מבקשים לדעת שיעור קו ב"ד
We cut line LD, which is ten, in half at point C [= C midpoint of LD]	הנה נחלק קו ל"ד שהוא עשרה לחצאין על נקודת ח‫'
It has already been cut into two unequal segments at point B.	וכבר נחלק גם כן לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב‫'
Therefore, the product of LB by BD plus the square of CB are equal to the square of CD, as explained in Euclid's second [book] [Euclid, Elements, Book II, (proposition 5)]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(LB\times BD\right)+CB^2= CD^2}}$	ויהיה מפני זה הכאת ל"ב בב"ד עם מרובע ח"ב ישוו למרובע ח"ד כמבואר בשני מאקלידס
But, it is known that the square of CD is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{CD^2=25}}$	אבל מרובע ח"ד הוא ידוע ‫^[9]שהוא עשרים וחמשה
Since line CD is five. $\scriptstyle{\color{blue}{CD=5}}$	בעבור כי קו ח"ד חמשה
The product of LB by BD is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{LB\times BD=21}}$	והכאת ל"ב בב"ד הוא עשרים ואחד
Since BD is equal to BA. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=BA}}$	בעבור כי ב"ד הוא שוה לב"א
Therefore, the square of CB remains four. $\scriptstyle{\color{blue}{CB^2=4}}$	ולכן ישאר מרובע ח"ב ארבעה
Its side, which is CB, is two. $\scriptstyle{\color{blue}{CB=2}}$	וצלעו שהוא קו ח"ב שנים
We subtract it from line CD, which is five, line BD remains three and it is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=CD-CB=5-2=3}}$	גרענום מקו ח"ד שהוא חמשה וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע
The square is nine and it is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והמרובע תשעה והוא המבוקש
If you want me to illustrate to your eye what I have said, we construct square KC[N]D on line CD. $\scriptstyle{\color{blue}{KCND= CD^2}}$	ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי הנה נשים על קו ח"ד מרובע והוא מרובע כחג"ד
It is known that its measure is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{KCND=25}}$	והוא ידוע בשיעוריו עשרים וחמשה
Since line CD is five. $\scriptstyle{\color{blue}{CD=5}}$	בעבור כי קו ח"ד חמשה
Surface CG is the same as surface CH. $\scriptstyle{\color{blue}{CG=CH}}$	ושטח ח"ג הוא כמו שטח ח"ה
Because line LC is the same as line CD. $\scriptstyle{\color{blue}{LC=CD}}$	בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
Surface AC is the same as surface AN. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=AN}}$	ושטח א"ח כמו שטח א"נ
Therefore, when surface AC is summed with surface CH, [their sum] is equal to the sum of surface AN with surface CG. $\scriptstyle{\color{blue}{AC+CH=AN+CG}}$	ולכן כאשר יקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה יהיה שוה למקובץ משטח א"נ עם שטח א ח"ג
But, it is known that [the sum of] surface AC with surface CH is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{AC+CH=21}}$	אבל מקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה הוא ידוע שהוא עשרים ואחד
So, the sum of surface AN with surface CG is also twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{AN+CG=21}}$	ולכן יהיה מקובץ שטח א"נ עם שטח ח"ג גם כן עשרים ואחד
The measure of surface KA that is left from square KHGD is four. $\scriptstyle{\color{blue}{KA=4}}$	וישאר שטח כ"א ממרובע כהג"ד שיעורו ארבעה
Surface KA is a square.	ושטח כ"א מרובע
Because line KN is the same as line KC. $\scriptstyle{\color{blue}{KN=KC}}$	בעבור כי קו כ"נ כמו קו כ"ח
Line CS is the same as line NM. $\scriptstyle{\color{blue}{CS=NM}}$	וקו ח"ס כמו קו נ"מ
Line KS that remains is the same as line KM. $\scriptstyle{\color{blue}{KS=KM}}$	וישאר קו כ"ס כמו קו כ"מ
Line KM is two and it is equal to line CB; so line CB is two. $\scriptstyle{\color{blue}{CB=KM=2}}$	וקו כ"מ שנים והוא שוה לקו ח"ב אם כן קו ח"ב שנים
Line BD remains three and it is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=3}}$	וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע
The square is nine and it is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	והמרובע תשעה ו והוא שרש המבוקש
In this illustration, the reason for the method that leads you to know the square of the root is clarified to you by proof and by sight.	הנה כי בזאת התמונה התבאר לך במופת ובעין סבת האופן אשר יובילך אל ידיעת שרש המרובע
Moreover, the reason for the subtraction method, when the square is less than the numbers, is also clarified to you from this.	וכן התבא' לך מפניה סבת צד המגרע' כי הוא כאשר המרובע הוא פחות מהמספרים
We must therefore subtract line CB, which we find by a technique, from line CD known by supposition, and we get the measure of line BD that is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=CD-CB}}$	ולכן הוצרכנו לגרוע קו ח"ב אשר ידענו עם תחבולה מקו ח"ד הנודע בהנחה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
Geometric illustration of the addition method: [when the square exceeds the numbers] $\scriptstyle x^2>c$
Now, the reason of the addition method will be revealed to you from this second illustration as for the previous rule.	ועתה מזאת התמונה השנית יגלה אליך בכמו ההנהגה הקודמת סבת צד התוספת

We suppose here that square ABGD is greater than surface ABHL. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD>ABHL}}$	כי הנחנו בה מרובע אבג"ד גדול משטח אבה"ל
It follows that in order to know the measure of BD, we should add line CB to line CD. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=CD+CB}}$	ולכן ימשך בסוף כי כדי לדעת שיעור ב"ד נצטרך להוסיף קו ח"ב על קו ח"ד
We do not need to elaborate on that, as it is clear from what we wrote first, for the proof is one [and the same].	ולא נצטרך להאריך בזה כי הוא מובן מאשר כתבנו ראשונה כי המופת אחד
But, in order to illustrate it to your eye, the proof is slightly changed, therefore we will explain it to you:	אבל כדי להראותך זה לעין ישתנה מעט המופת ולכן נבארהו לך
We construct square KC[N]D on line CD. $\scriptstyle{\color{blue}{KC[N]D=CD^2}}$	והוא שנשים על קו ח"ד מרובע כחג"ד
We extend line CK to S and line DN to G.	ונמשיך קו ח"כ עד ס' וקו ד"נ עד ג‫'
We wish to show that when surface ABHL is added to square AMSK, [the sum] is equal to square KC[N]D that is known to be twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHL+AMSK=KCND=25}}$	ונרצה שאראה לך איך שטח אבה"ל כשיתקבץ עם מרובע אמס"כ יהיה שוה למרובע כחג"ד הידוע שהוא עשרים וחמשה
We say that it is known that surface CG is the same as surface HC. $\scriptstyle{\color{blue}{CG=HC}}$	ונאמ' כי הוא ידוע כי שטח ח"ג כמו שטח ה"ח
Since line LC is the same as line CD. $\scriptstyle{\color{blue}{LC=CD}}$	בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
Surface MC is the same as surface SN. $\scriptstyle{\color{blue}{MC=SN}}$	ושטח מ"ח כמו שטח ס"נ
The [sum of the] remaining surfaces ABHL and ANSK is equal to KC[N]D. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHL+AMSK=KCND}}$	וישארו שטח אבה"ל ואמס"כ שוים לכחג"ד
But, ABHL is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHL=21}}$	אבל אבה"ל הוא עשרים ואחד
So, AMSK that remains is four and AMSK is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{AMSK=4}}$	ולכן ישאר אמס"כ ארבעה ואמס"כ הוא מרובע
Therefore, line AS is two and it is equal to CB. $\scriptstyle{\color{blue}{CB=AS=2}}$	ולכן יהיה קו א"ס שנים והוא שוה לח"ב
We add it to CD that is known to be five; we receive the measure of line BD, which is seven and it is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=CB+CD=2+5=7}}$	הוספנוהו על ח"ד הידוע שהוא חמשה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שבעה והוא המבוקש
It is clarified from what we have said that [the difference between] the product of half [the number of] the roots by itself [and] the numbers [is] always the measure of the square $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c=x^2}}$ , whether the square is less than the numbers $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2<c}}$ , or exceeds them $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2>c}}$ .	אמ' וכבר התבאר ממה שאמרנו כי לעולם תעדיף הכאת מחצית השרשים על עצמם מהמספרים בשיעור מרובע א"כ בין יגרע המרובע מהמספרים או שיעדיף עליהם
[The case that] is left for us to explain is when the product of half [the number of] the roots by itself is the same as the numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c}}$	ונשאר עלינו שנבאר כאשר יהיה ^[10]העולה מהכאת מחצית השרשים על עצמו כמו המספרים
In that case, the square is the same as the numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=c}}$	שאז יהיה המרובע כמו המספרים
And the root of the square is the same as half the roots, no more and no less. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\frac{1}{2}\sdot b}}$	ושרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
Example: one says: a square plus twenty-five [dirham] are equal to ten roots of the square. $\scriptstyle x^2+25=10x$	דמיון זה שיאמ' מרובע מה ועשרים וחמשה שרשים ישוו לעשרה שרשים מהמרובע

We suppose the square is square ABGD. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2}}$	ונניח המרובע שטח מרובע עליו אבג"ד
We attach surface ABHW to it, as an analogous of the twenty-five dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=25}}$	ונחבר עמו שטח אבה"ו על דמיון העשרים וחמשה דרהמי
The whole surface GW is ten roots of square ABGD. $\scriptstyle{\color{blue}{GW=ABGD+ABHW=10\sqrt{ABGD}=10x}}$	ויהיה כל שטח ג"ו עשרה שרשים ממרובע אבג"ד
Therefore, line DW is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{DW=10}}$	ולכן יהיה קו ד"ו עשרה
We wish to know the measure of line BD, which is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=x}}$	ורצינו שנודיע כמה שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
We cut line DW in half at point C [= C midpoint of DW].	הנה נחלק קו ד"ו לחצאין על נקוד' ח‫'
One of three possible cases necessarily occurs: either point C falls above point B, or beneath it, or exactly on it [C=B].	ולא ימלט הדבר מאחד משלשה ענינים אם שתפול נקודת ח' למעלה מנקוד' ב' או למטה ממנה או שתפול עליה ממש
First, we suppose that point C falls above point B.	ונניח ראשונה שתפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב‫'
If this is possible, line DW is cut in half at point C [= C midpoint of DW] and into two unequal segments at point B.	אם יתכן זה ויהיה מפני זה קו ד"ו נחלק לחצאין על נקודת ח' ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב‫'
Therefore, [the sum of] the product of DB by BW and the square of CB by itself is equal to the product of CW by itself, as explained in Euclid's second [book] [Euclid, Elements, Book II, (proposition 5)] $\scriptstyle{\color{blue}{\left(DB\times BW\right)+CB^2=CW^2}}$	ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב על עצמו ישוו להכאת ח"ו על עצמו כמבואר בשני מאקלידס
But, the product of WC by itself is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{WC^2=25}}$	אבל הכאת ו"ח על עצמו הוא עשרים וחמשה
Because we assumed it is half WD, which is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{WC=\frac{1}{2} WD}}$	בעבור כי הנחנוהו חצי ו"ד שהוא עשרה
So, the product of DB by BW with the square of CB are equal to twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(DB\times BW\right)+CB^2=25}}$	ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב ישוו עשרים וחמשה
Yet, we assumed previously that surface ABHW that is generated from the product of BW by BA that is equal to BD is twenty-five, without the square of CB. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=BW\times BA=BW\times BD=25}}$	וכבר הנחנו קודם שטח אבה"ו שהוא מהכאת ב"ו בב"א השוה לב"ד עשרים וחמשה מבלעדי מרובע ח"ב
The more equals the less - it is impossible.	אם כן הרב ישוה למעט זה חלוף לא יתכן
So, point C cannot fall above point B.	אם כן לא תפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב‫'
Similarly, it is clear that it cannot fall beneath it.	וכמו זה יתבאר שלא יתכן שכ שתפול למטה ממנה
Hence, point B itself is necessarily the midpoint of line WD [B = C].	אם כן יצטרך שתהיה נקודת ב' עצמה הוא הנקוד' הנחלק עליה קו ו"ד לחצאי‫'
Thus, line BD, which is half [the number of] the roots, is the root of the square and it is five. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=x=5}}$	ולכן יהיה קו ב"ד שהוא מחצית השרשים הוא שרש המרובע והוא חמשה
Its square is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{BD^2=x^2=25}}$	ומרובעו חמשה ועשרים
The explanation is completed.	ונשלם ביאורו
The reason for the method that yields the square
Said Finzi, the translator: the proof of the method that reveals the square to us has been omitted from the book I translated. So, I thought I should explain it, and drew three illustrations for its explanation:	אמ"פ המעתיק הנה נשמט מהספר שהעתקתי ממנו מופת האופן שהראה לנו בו המרובע ולכן ראיתי שאב^ארהו וארשום בבאורו שלשה תמונות
In the first, the addition method is clarified.	הראשונה יתבא' בה צד התוספת
In the second, the subtraction method.	ובשנית צד המגרעת
In the third, [the case] is shown, where the numbers are equal to the product of half [the number of] the roots by itself - when there is no need for addition or subtraction.	ובשלישית צד יראה עמה כאשר השתוו המספרים להכאת מחצית השרשים על עצמם שאז לא יצטרך תוספת ולא מגרעת
Geometric illustration of the addition method: [when the square exceeds the numbers] $\scriptstyle x^2>c$
We explain it first:	ונקח לבאר זאת הראשונה

It is that we suppose line AG is the sum of the square plus twenty-one dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=x^2+21}}$	והוא שהנחנו קו א"ג המקובץ מהמרובע ועשרי' ואחד דרהמי
AB is the measure of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2}}$	וא"ב ממנו הוא שיעור מרובע
BG is the measure of the dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=21}}$	וב"ג ממנו הוא שיעור הדרהמי
AB is longer than BG, since the addition method follows from it. $\scriptstyle{\color{blue}{AB>BG}}$	וא"ב גדול מב"ג כי עם זה יגיע צד התוספת
We suppose that the whole line AG is ten roots of the square, because so is the question. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10x}}$	והנחנו קו א"ג הוא כלו עשרה שרשים מן המרובע כי כן היתה השאלה
We wish to know the measure of line AB.	ורצינו שנודיע שיעור קו א"ב
We construct square AGDH on line AG, so it is a hundred times the surface that is generated from the product of AB by one of its units, as we explained above. $\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=AG^2=100\times\left(AB\times1\right)}}$	נשים על קו א"ג מרובע עליו אגד"ה והנה הוא מאה דמיוני השטח העולה מא"ב מוכה באחד מאחדיו כמו שבארנו למעלה
Since AG is ten roots of AB. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10\sqrt{AB}}}$	בעבור כי א"ג עשרה משרשים מא"ב
Ten roots of the thing multiplied by themselves are the same as a hundred times the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10\sqrt{X}\right)^2=100X}}$	ועשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם כמו מאה דמיוני מהדבר
We extend line AD straight to W.	ונמשיך קו א"ד בי^ושר עד ו‫'
We suppose it is a hundred [units], of which line BG is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{AW=100}}$	ונשימהו מאה ממה שבו קו ב"ג עשרים ואחד
We draw lines BTZ and GHC both parallel to line AW and equal to it.	‫^[11]ונוציא קוי בט"ז גה"ח נכחיים לקו א"ו ושוים אליו
We attach points W and C through line WZC.	ונגיע נקדות ו"ח עם קו וז"ח
Surface ABWZ is equal to square AGDH, because it is also a hundred times the surface that is generated from the product of line AB by one of its units. $\scriptstyle{\color{blue}{ABWZ=AGDH=AG^2=100\times\left(AB\times1\right)}}$	הנה שטח אבו"ז שוה למרובע אגד"ה בעבור כי הוא גם כן מאה דמיוני השטח העולה מהכאת קו א"ב באחד מאחדיו
Since its side AW is a hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{AW=100}}$	כי צלע א"ו ממנו הוא מאה
We subtract surface AT shared by both.	ונבדיל שטח א"ט המשותף
Surface GT remains equal to surface TW. $\scriptstyle{\color{blue}{GT=AGDH-AT=ABWZ-AT=TW}}$	וישאר שטח ג"ט שוה לשטח ט"ו
We subtract surface GT from surface BGZC and add the remainder to surface TW that is equal to GT that we subtracted, so surface DHWC is equal to surface BGZC. $\scriptstyle{\color{blue}{DHWC=\left(BGZC-GT\right)+TW=BGZC}}$	ונבדיל שטח ג"ט משטח בגז"ח וקבצנו עם הנשאר שטח ט"ו השוה לג"ט שהבדלנו ויהיה מפני זה שטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח
Surface BG[Z]C is known to be 2100. $\scriptstyle{\color{blue}{BGZC=2100}}$	ושטח בגו"ח היה ידוע שהוא אלפיי' ומאה
Since BG is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=21}}$	בעבור כי ב"ג הוא עשרים ואחד
GC is a hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{GC=100}}$	וג"ח הוא מאה
Therefore, surface DHWC is 2100 and it is the same as the product of GD by HC. $\scriptstyle{\color{blue}{DHWC=GD\times HC=2100}}$	ולכן יהיה שטח דהו"ח אלפיים ומאה והוא כמו הכאת ג"ד בה"ח
Because, line DH is equal to line GH. $\scriptstyle{\color{blue}{DH=GH}}$	כי קו ד"ה שוה לקו ג"ה
GC is cut in half at point L [= L midpoint of GC].	ונחלק ג"ח לחצאין על נקודת ל‫'
It has already been cut into two unequal segments at point H.	וכבר נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה‫'
Therefore, the product of line GL by itself is equal to [the sum of] the product of GH by HC and the square of HL, as explained in Euclid's second [book] [Euclid, Elements, Book II, (proposition 5)] $\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=\left(GH\times HC\right)+HL^2}}$	ולכן יהיה הכאת קו ג"ל על עצמו שוה להכאת ג"ה בה"ח ולמרובע ה"ל יחד כמו שהוא מבואר בשני לאקלידס
But, the product of line GL by itself is 2500. $\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=2500}}$	אבל הכאת קו ג"ל על עצמו היא אלפיים ות"ק
We subtract 2100 from it, which is the product of GH by HC; square HL remains four hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{HL^2=GL^2-\left(GH\times HC\right)=2500-2100=400}}$	ונגרע מהם אלפיים וק' שהם מהכאת ג"ה בה"ח ~~ולמרובע ה"ל יחד~~ וישאר מרובע ה"ל ארבע מאות
Its root is twenty and this is the measure of line HL. $\scriptstyle{\color{blue}{HL=\sqrt{400}=20}}$	ושרשם עשרים והם שיעור קו ה"ל
If the square exceeds the dirham [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2>c}}$ ], as is the case in the first illustration:	ואם המרובע יעדיף על הדרהמי כמו שהוא הענין בתמונה הראשונה
We add the twenty to line GL that is fifty; line GH is seventy. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=GL+HL=50+20=70}}$	נוסיף העשרים על קו ג"ל שהוא חמשי' ויהיה קו ג"ה שבעים
GA that is equal to GH is also seventy. $\scriptstyle{\color{blue}{GA=GH=70}}$	וג"א השוה לג"ה יהיה גם כן שבעים
We subtract from it line BG that is known to be twenty-one; line AB remains forty-nine and it is the required square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=GA-BG=70-21=49}}$	גרענו ממנו קו ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד וישאר קו א"ב תשעה וארבעים והוא המרובע שהוא המבוקש
Geometric illustration of the subtraction method: when the square is less than the numbers $\scriptstyle x^2<c$
If the square is less than the dirham [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2<c}}$ ], as is the case in the second illustration:	ואם המרובע פחות מהדרהמי כמו שהוא הענין בזאת התמונה השנית

We subtract the twenty, which is the measure of line HL, from line GL, which is fifty; line GH remains thirty. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=GL-HL=50-20=30}}$	אז נגרע העשרים שהוא שעור קו ה"ל מקו ג"ל שהוא חמשים וישאר קו ג"ה שלשים
AG is equal to GH. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=GH=30}}$	וא"ג שוה לג"ה
We subtract the measure of BG that is known to be twenty-one; the measure of line AB remains nine, which is the required square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=AG-BG=30-21=9}}$	גרענו ממנו שעור ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד וישאר שעור קו א"ב תשעה והוא המרובע המבוקש
Geometric illustration of the case in which the product of half the roots by itself equals the dirham $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c$ → the square is the same as the dirham $\scriptstyle x^2=c$
After explaining the addition and subtraction methods in the two previous figures, when the product of half [the number of] the roots by itself is greater than the dirham [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}b\right)^2>c}}$ ], we explain the method that does not consists of addition or subtraction in the third figure, which is when the product of half [the number of] the roots by itself equals the dirham [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c}}$ ], that is when the square is the same as the dirham [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=c}}$ ].	ואחר שבארנו בשתי התמונות הקודמות צד התוספת וצד המגרעת הנופלים בזאת השאלה ~~התמונה~~ כאשר יהיה הכאת מחצית השרשים על עצמם יותר מהדרהמי הנה נבאר בזאת התמונה השלישית הצד שאין לו לא תוספת ולא מגרעת והוא כאשר תהיה הכאת המחצית שוה לדרהמי שאז יהיה המרובע כמו הדרהמי

We suppose line AG is the sum of the square plus twenty-five dirham and it is also equal to ten roots of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=x^2+25=10x}}$	ונניח קו א"ג מקובץ המרובע עם עשרים וחמשה דרהמי והוא גם כן שוה לעשרה שרשים מהמרובע
We continue the procedure as in the two previous illustrations until it is clear that surface DHWC is equal to surface BGZC and it is also equal to the product of GH by HC. $\scriptstyle{\color{blue}{DHWC=BGZC=GH\times HC}}$	ונמשיך המעשה כמעשה הקודם בשתי התמונות הקודמות עד המקום שיתבאר בו ששטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח והוא שוה גם כן להכאת ג"ה בה"ח
Since GH is the same as HD. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=HD}}$	בעבור כי ג"ה כמו ה"ד
But, surface BGZC is 2500. $\scriptstyle{\color{blue}{BGZC=2500}}$	אבל שטח ב"ג ז"ח הוא אלפיים ת"ק
Because BG is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=25}}$	כי ב"ג עשרים וחמשה
GC is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{GC=100}}$	וג"ח מאה
Therefore, the product of GH by HC is 2500. $\scriptstyle{\color{blue}{GH\times HC=2500}}$	אם כן הכאת ג"ה בה"ח אלפיים ת"ק
We cut line GC in half on L [= L midpoint of GC].	ונחלק קו ג"ח לחצאי' על נקודת ל‫'
Point L necessarily falls either above point H, below it, or on it.	ובהכרח תפול נקודת ל' אז למעלה מנקודת ה' או למט' ממנה או עליה
We will explain that it can only fall on it:	ונבאר שאי אפש' שתפול כי אם עליה
If it were possible, we assume it falls above it:	שאם אפש' נניח שנפלה ממנה
So, line GC is cut in half on point L [= L midpoint of GC].	ויהיה אם כן קו ג"ח נחלק לחצאין על נקודת ל‫'
And into two unequal segments on point H.	ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה‫'
The product of GH by HC plus the square of HL together are necessarily equal to the square of GL. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(GH\times HC\right)+HL^2=GL^2}}$	ויחויב שיהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל יחד שוים למרובע ג"ל
But, the square of GL is 2500. $\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=2500}}$	אבל מרובע ג"ל אלפיים ‫^[12]ת"ק
Because GL is fifty. $\scriptstyle{\color{blue}{GL=50}}$	כי ג"ל חמשים
So, the product of GH by HC plus the square of HL are 2500. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(GH\times HC\right)+HL^2=2500}}$	ולכן יהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל אלפיים ות"ק
Yet, earlier it was clarified that the product of GH by HC alone is 2500, without the square of HL. $\scriptstyle{\color{blue}{GH\times HC=2500}}$	וקודם זה התבאר שהכאת ג"ה בה"ח לבדו הוא אלפיים ות"ק מבלעדי מרובע ה"ל
The more equals the less - impossible.	אם כן יהיה הרב שוה למעט זה חלוף לא יתכן
Similarly to this explanation, it is clear that point L cannot fall beneath point H.	ובכמו זה הביאור יתבא' שאינה נופלת נקדת ל' למטה מנקודת ה‫'
Hence, H itself is necessarily the midpoint of line GC [H = L].	אם כן תהיה נקוד' ה' בעצמה היא אשר עליה יחצה קו ג"ח
Therefore, line GH is fifty and AG that is equal to GH is also fifty. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=GH=50}}$	ולכן יהיה קו ג"ה חמשים וא"ג השוה לג"ה יהיה גם כן חמשים
We subtract BG, which is twenty-five, from it; line AB remains twenty-five also and so is the required square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=AG-BG=50-25=25}}$	נגרע ממנו ב"ג שהוא עשרים וחמשה וישאר קו א"ב גם כן חמשה ועשרים וככה המרובע המבוקש
This chapter is completed.	ונשלם זה החלק
Chapter: Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax²	פרק
He said: roots and numbers that are equal to a square is as saying three roots and four dirham are equal to a square. $\scriptstyle3x+4=x^2$	אמ' שרשים ומספרים שישוו למרובע הוא כמו שיאמ' שלשה שרשים וארבעה דרהמי יהיו שוים למרובע
This category also has two solution methods: one reveals the root of the square to you the other reveals the square to you.	גם לזה החלק שני האופנים האחד יראך שרש המרובע והשני יראך המרובע
I will further illustrate them through geometric figures	ועוד אבארם בתמונות גימטריות
The solution method that yields the root of the square
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}}}$
He said: the method that reveals the root to you is that you halve [the number of] the roots, and multiply it by itself, then add the result to the numbers.	אמ' והאופן אשר יראך השרש הוא כי תחצה השרשים ותכם על עצמם ותקבץ העולה עם המספרים
You extract the root of the sum and add it to half [the number of] the roots; the result is the root.	עוד תקח שרש המקובץ ותקבצהו עם מחצית השרשים ומה שיגיע הוא השרש
We take a half of three; it is one and a half.	והנה לקחנו מחצית שלשה והוא אחד וחצי
We multiply it by itself; the result is 2 and a quarter.	הכינוהו על עצמו ועלה ב' ורביע
We add it to the four; it is six and a quarter.	וקבצנום עם הארבעה והיה ששה ורביע
Its root is two and a half.	ושרשם הוא שנים וחצי
We add it to one and a half; the result is four and it is the root of the square.	וקבצנוהו עם אחד וחצי והגיע ארבעה והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+4}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{6+\frac{1}{4}}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}$
The square is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע ששה עשר
The solution method that yields the square
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+\sqrt{\left(b^2\sdot c\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2}+c}}$
He said: the method that reveals the square to you is that you multiply [the number of] the roots by itself, then multiply the product by the numbers and keep the result.	אמ' והאופן אשר יראך המרובע הוא שתכה השרשים על עצמם ומה שיעלה תכהו במספרים והעולה שמור
Take half the product of [the number of] the roots by itself and multiply this half by itself.	עוד תקח מחצית הכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו
Add the result to the reserved and extract the root of the sum.	והעולה תקבץ עם השמור וקח שרש המקובץ
You sum it with half the product of the roots and with the numbers; the total sum is the square.	ותקבצהו יחד עם מחצית הכאת השרשי' ועם המספרים ומה שיתקבץ מהכל הוא המרובע
We multiply three by itself; the result is nine.	והנה הכינו השלשה בעצמם ועלה תשעה
We multiply nine by four; the result is thirty-six. We keep it.	הכינו תשעה בארבעה ועלה שלשים ושש ושמרנום
We take a half of nine; it is four and a half.	עוד לקחנו מחצית תשעה והוא ארבעה וחצי
We multiply it by itself; it is twenty and a quarter.	והכינום על עצמם והיה עשרים ורביע
We add it to the reserved; the total is fifty-six and a quarter.	קבצנום עם השמור והיה הכל ששה וחמשים ורביע
We extract its root; it is seven and a half.	לקחנו שרשם והוא שבעה וחצי
We sum it with the four and a half and with the four dirham that are with the roots; the total sum is sixteen and it is the square.	קבצנום יחד עם הארבעה וחצי ועם הארבעה דרהמי שהיו עם השרשים והתקבץ מהכל ששה עשר והוא המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)+\sqrt{\left(3^2\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)^2}+4=\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)+\sqrt{\left(9\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}+4=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(20+\frac{1}{4}\right)}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{56+\frac{1}{4}}+4=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)+4=16\\\end{align}}}$
Normalization:
Always remember to convert the squares into one square, whether they exceed one, or less than one in the question, as I demonstrated at first.	אמ' וזכור גם כן לעולם להשיב המרובעים אל מרובע אחד אם היה שהונחו מהם בשאלה יותר מאחד או פחות כאשר הראיתי בראשונה
Geometric illustration of the solution method that yields the root of the square

He said: for the proof of the method in which we reveal the root, we suppose the square is ABGD and it is generated from its three roots plus four numbers. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2=3x+4}}$	אמ' ולמופת האופן אשר הראנו בו השרש נניח המרובע אבג"ד והוא המחובר משלשה שרשיו וארבעה מספרים
We suppose that surface AHGN is the three roots. $\scriptstyle{\color{blue}{AHGN=3\sqrt{ABGD}=3x}}$	ונניח שיהיה שטח אהג"נ ממנו הוא שלשת השרשים
Surface HD that is left is the four numbers. $\scriptstyle{\color{blue}{HD=4}}$	ושטח ה"ד הנשאר ארבעת המספרים
It is known from what we said at the beginning of the book that the three roots are three numbers of the side. $\scriptstyle{\color{blue}{3x}}$	והוא ידוע ממה שאמרנו בראש הספר כי שלשת השרשים יחזיקו שלשה מספרים מהצלע
So, it is known that line AH is three. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=3}}$	ולכן יהיה ידוע שקו א"ה שלשה
We wish to know the measure of HB that remains.	ורצוננו להודיע שיעור ה"ב הנשאר
We cut line AH in half at point C [= C midpoint of AH]	נחלק קו א"ה לחצאי' על נקודת ח‫'
Line HB is added to its length.	וכבר נוסף בארכו קו ה"ב
Therefore, the product of AB by BH plus the square of HC are equal to the product of CB by itself, as explained in Euclid's [Elements], book two. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AB\times BH\right)+HC^2=CB^2}}$	ולכן יהיה הכאת א"ב בב"ה עם מרובע ה"ח ישוו להכאת ח"ב על עצמו כמבואר בשני לאקלידס
But, it is known that the product of AB by BH is four, because it is equal to surface HD $\scriptstyle{\color{blue}{AB\times BH=HD=4}}$	אבל שטח הכאת א"ב בב"ה הוא ידוע שהוא ארבעה כי ‫^[13]הוא שוה לשטח ה"ד
Since AB is equal to BD. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=BD}}$	בעבור כי א"ב שוה לב"ד
The square of HC is two and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{HC^2=2+\frac{1}{4}}}$	ומרובע ה"ח הוא שנים ורביע
Their sum is six and a quarter. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(AB\times BH\right)+HC^2=}}{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}$	ומקובצם ששה ורביע
Therefore, the product of CB by itself is six and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{CB^2=6+\frac{1}{4}}}$	אם כן הכאת ח"ב על עצמו הוא ששה ורביע
Hence, line CB, which is its root, is two and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{CB=\sqrt{6+\frac{1}{4}}=2+\frac{1}{2}}}$	ולכן קו ח"ב שהוא שרשו הוא שנים וחצי
We add it to line AC, which is one and a half; the whole line AB is four and so is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{CB+AC=AB=x=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}$	נקבץ עמו קו א"ח שהוא אחד וחצי ויהיה כל קו א"ב ארבעה וככה שרש המרובע
The square is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע ששה עשר
He said: In order to explain this matter further, we construct square CBEK on line CB. $\scriptstyle{\color{blue}{CBEK=CB^2}}$	אמ' וכדי לבאר הדבר יותר הנחנו על קו ח"ב שטח מרובע עליו חבע"כ
It is known that line ME is the same as line KD $\scriptstyle{\color{blue}{ME=KD}}$	והוא ידוע שקו מ"ע כמו קו כ"ד
Since AB is the same as BD. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=BD}}$	בעבור כי א"ב כמו ב"ד
And BC is the same as KB. $\scriptstyle{\color{blue}{BC=KB}}$	וב"ח כמו כ"ב
And KD that remains is the same as AC. $\scriptstyle{\color{blue}{KD=AC}}$	ונשאר כ"ד כמו א"ח
AC is equal to CH and CH is the same as ME. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=CH=ME}}$	וא"ח שוה לח"ה וח"ה כמו מ"ע
Therefore, ME is the same as KD. $\scriptstyle{\color{blue}{ME=KD}}$	אם כן מ"ע כמו כ"ד
We assume that MT is the same as ND. $\scriptstyle{\color{blue}{MT=ND}}$	ונשים מ"ט כמו נ"ד
So, surface ET is the same as surface MD. $\scriptstyle{\color{blue}{ET=MD}}$	ולכן יהיה שטח ע"ט כמו שטח מ"ד
We assume that surface HK is added to both.	ונשים שטח ה"כ משותף
The [sum of the] two surfaces ET and HK is equal to the whole surface HD, which is four. $\scriptstyle{\color{blue}{ET+HK=HD=4}}$	ויהיה שני שטחי ע"ט ה"כ שוים לשטח ה"ד כלו שהוא ארבעה
It is known that surface CT is a square.	והוא ידוע כי שטח ח"ט מרובע
Since line CB is the same as line MH. $\scriptstyle{\color{blue}{CB=MH}}$	בעבור כי קו ח"ב כמו קו ~~מ"ע~~ מ"ה
And MT is the same as HB that is equal to ND. $\scriptstyle{\color{blue}{MT=HB=ND}}$	ומ"ט כמו ה"ב השוה לנ"ד
And HC that remains is the same as HT. $\scriptstyle{\color{blue}{HC=HT}}$	וישאר ה"ח כמו ה"ט
We assumed that HC is one and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{HC=1+\frac{1}{2}}}$	וקו ה"ח הנחנוהו אחד וחצי
So, surface CT is two and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{CT=2+\frac{1}{4}}}$	ולכן שטח ח"ט שנים ורביע
The whole square surface CK is six and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{CK=6+\frac{1}{4}}}$	וכל שטח מרובע ח"כ ששה ורביע
Line BC is two and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{BC=2+\frac{1}{2}}}$	וקו ב"ח שנים וחצי
With line AC, which is one and a half, the whole line AB is four and it is the root. $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{AB=BC+AC=x=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}$	ועם קו א"ח שהוא אחד וחצי יהיה כל קו א"ב ארבעה והוא השרש
The square is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע שש עשרה

He said: There is another way for the proof of this method, which is that we assume that square ABGD is the sum of three roots and four dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2=3x+4}}$	אמ' ולמופת זה האופן דרך אחרת והוא שנניח מרובע אבג"ד הוא המקובץ משלשה שרשי' וארבעה דרהמי
We assume that line AC is half [the number of] the roots, which is one and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=\frac{1}{2}\sdot3=1+\frac{1}{2}}}$	ונניח קו א"ח מקו א"ג מחצית השרשים שהוא אחד וחצי
We draw line CM parallel to line AB. $\scriptstyle{\color{blue}{CM\parallel AB}}$	ונוציא קו ח"מ על נכוחות קו א"ב
Therefore, surface AM is a root and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sqrt{ABGD}=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$	ויהיה מפני זה שטח א"מ הוא שרש וחצי
We assume also that line ED is one and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{ED=1+\frac{1}{2}}}$	וכן נניח קו ע"ד אחד וחצי
We draw line ET parallel to BD. $\scriptstyle{\color{blue}{ET\parallel BD}}$	ונוציא ע"ט על נכוחות ב"ד
Surface EB is also a root and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{EB=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sqrt{ABGD}=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$	ושטח ע"ב גם כן הוא שרש וחצי
So, surface AM, surface ND, and surface NB together are as three roots. $\scriptstyle{\color{blue}{AM+ND+NB=3\sqrt{ABGD}=3x}}$	ולכן יהיה שטח א"מ ושטח נ"ד וכמו שטח נ"ב יהיו יחד כמו שלשה שרשים
Surface EC that remains is as four numbers plus surface NB. $\scriptstyle{\color{blue}{EC=4+NB}}$	וישאר שטח ע"ח ארבעה מספרים וכמו שטח נ"ב
But, surface NB is two and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{NB=2+\frac{1}{4}}}$	אבל שטח נ"ב שנים ורביע
Therefore, surface EC is six and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{EC=6+\frac{1}{4}}}$	ולכן יהיה שטח עע"ח ששה ורביע
EC is a square.	וע"ח מרובע
Hence, GC is two and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{GC=2+\frac{1}{2}}}$	לכן יהיה ג"ח שנים וחצי
We assumed that AC is one and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=1+\frac{1}{2}}}$	וקו א"ח הנחנוהו אחד וחצי
Therefore, the whole line AG is four and this is the root of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=x=4}}$	ולכן קו א"ג כלו ארבעה והוא שרש המרובע
The square is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	והמרובע ששה עשר
Geometric illustration of the solution method that yields the square

He said: the reason of the method in which we reveal the square, is that we assume line AB is the measure of the square that is the sum of its three roots plus four dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2=3x+4}}$	אמר ועלת האופן אשר הראנו בו המרובע הוא שנשים קו א"ב הוא שעור המרובע המקובץ משלשה שרשיו וארבעה דרהמי
AG is the measure of the three roots. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=2\sqrt{AB}=3x}}$	וא"ג ממנו הוא שעור השלשה השרשים
GB that remains is the measure of the four numbers. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=4}}$	וג"ב הנשאר הוא שיעור הארבעה מספרים
We wish to know the measure of the whole AB according to [the units] in which GB [is measured] four.	ורצוננו להודיע שיעור א"ב כלו במה שבו ג"ב ארבעה
We construct square AGDH on line AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=AG^2}}$	נעשה על קו א"ג מרובע אגד"ה
It is known from what preceded that it is as nine times the surface resulting from the product of AB by one. $\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=9\times\left(AB\times1\right)}}$	והוא ידוע ממה שעבר כי הוא כמו תשעה דמיוני השטח העולה מהכאת א"ב באחד
We assume that line AN consists of nine [units], of which line GB consists of four. $\scriptstyle{\color{blue}{AN=9\times1}}$	ונשים קו א"נ תשעה במה שבו קו ג"ב ארבעה
We complete surface AC; it is known from what preceded that it is equal to square AH. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=AH}}$	ונשלים שטח א"ח והוא ידוע גם כן ממה שעבר שהוא ישוה למרובע א"ה
We subtract surface AT shared by both.	ונבדיל שטח א"ט המשותף
Surface DT remains equal to surface TB. $\scriptstyle{\color{blue}{DT=AH-AT=AC-AT=TB}}$	וישאר שטח ד"ט שוה לשטח ט"ב
But, it is known that surface TB is thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{TB=36}}$	אבל שטח ט"ב ידוע שהוא שלשים ושש
Because, side GB is four. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=4}}$	כי צלע ג"ב ארבעה
And side BC is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{BC=9}}$	וצלע ב"ח תשעה
Therefore, surface DT is also thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{DT=36}}$	ולכן שטח ד"ט גם כן שלשים וששה
We cut line AN in half at point L [= L midpoint of AN]	וחלקנו קו א"נ לחצאין על נקודת ל‫'
Line ND is added to it.	וכבר נוסף עליו קו נ"ד
So, the square of line LD is equal to the surface that is generated from the product of AD by DG plus the square of LN. $\scriptstyle{\color{blue}{LD^2=\left(AD\times DG\right)+LN^2}}$	ולכן יהיה מרובע קו ל"ד שוה לשטח העולה מהכאת א"ד בד"ג ולמרובע ל"נ
But, the product of AD by DN is the same as surface DT. $\scriptstyle{\color{blue}{AD\times DN=DT}}$	אבל הכאת א"ד בד"נ כמו שטח ד"ט
Since AD is the same as DH.	בעבור כי א"ד כמו ד"ה
So, the size of the product of AD by DN is thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{AD\times DN=36}}$	אם כן שטח הכאת א"ד בד"נ שלשים וששה
The square of LN is twenty and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{LN^2=20+\frac{1}{4}}}$	ומרובע ל"נ הוא ‫^[14]עשרים ורביע
Their sum is fifty-six and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AD\times DG\right)+LN^2=36+\left(20+\frac{1}{4}\right)=56+\frac{1}{4}}}$	ומקובצם הוא חמשים ושש ורביע
Its root is seven and a half and so is line LD. $\scriptstyle{\color{blue}{LD=\sqrt{\left(AD\times DG\right)+LN^2}=\sqrt{56+\frac{1}{4}}=7+\frac{1}{2}}}$	אבל שרשם שבעה וחצי וככה יהיה קו ל"ד
We add to it line AL, which is four and a half; the whole line AD is twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=AL+LD=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)=12}}$	ונקבץ עמו קו א"ל שהוא ארבעה וחצי ויהיה קו א"ד כלו שנים עשר
Therefore, AG, which is equal to AD, is also twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=AD=12}}$	וא"ג השוה לא"ד יהיה אם כן שנים עשר
We add to it line GB, which is four; the whole line AB is sixteen and so is the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=AG+GB=4+12=16}}$	ונקבץ עמו קו ג"ב שהוא ארבעה ויהיה קו א"ב כלו ששה עשר וככה המרובע
Q.E.D.	והוא מש"ל
He said: This section is completed, and with its completion, the explanation we have assigned to the six categories [of canonical equations], their manner of use and their proofs, is completed	אמ' ונשלם זה החלק ובהשלמו נשלם באור הששה חלקים אשר יעדנו באורם באופני השתמשותם והמופתים עליהם
Many of the algebraists [lit. the writers of "al-jabber and al-muqabala"] necessarily demonstrated to you some of them.	והרבה מסופרים אלגבר ואלמקאבלא לא יתכן שלא ייראוך קצת מהם
For each category of these six categories [of canonical equations] there are questions of restoration [lit. cobramiento] and confrontation [lit. confrontamiento] that the arithmeticians teach you.	ולכל חלק מאלו הששה חלקים שאלות מההפקדה והכוון קובראמיינטו איקונפרונטאמיינטו בלעז אשר יורוך אותם בעלי המספר
Linguistic explanation of the Hebrew words chosen as the technical terms:
Said Finzi: I chose hafqadah [restoration], from piqadon [lit. deposit] and kivvun [reduction lit. adjusting, direction], from the words of our Sages of Blessed Memory.	אמ"פ לקחתי הפקדה מלשון פקדון וכוון מלשון כוון חשבון אשר בדברי רז"ל
You will understand their meaning from the questions that he presents after he introduces the following explanations now.	ותבין ענינם מתוך השאלות אשר יביא אחר הציעו המצעות האלו אשר יניח עתה
Chapter: Multiplication of Algebraic Expressions	פרק
He said: I will begin first with the multipliction of things by each other; and things by numbers; and things and numbers by things and numbers; and others than those we have mentioned; and other matters that the one who wishes to read this book cannot avoid knowing.	אמ' וראשונה אתחיל מהכאת הדברים אחד באחר והדברים במספרים והדברי' והמספרים בדברי' ובמספרים ומלבד אלו אשר אמרנו ובענינים אחרי' אשר אינו נמלט מידיעתם הרוצה לקרות בזה הספר
I will explain to you how the things that are the roots are multiplied by each other, when they are alone, or with numbers, whether they are subtracted from the numbers or the numbers are subtracted from them; how they are added to each other; and how one is subtracted from the other.	ואבאר לך באי זה צד יוכו הדברי' והם השרשים אחד באחד כאשר יהיו נפרדים או כאשר יהיו עם מספרים בין שיהיו נגרעים מהמספרי' בין שיהיו המספרים נגרעים מהם ובאי זה צד יתקבצו אלו עם אלו וכיצד יגרע האחד מהאחר
He said: When the things are added to the numbers, the fourth [interim product] is additive; and the fourth [interim product] is the product of the things by each other [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x}}$ ]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+x\right)\times\left(b+x\right)}}$	אמ' וכאשר יהיו הדברים נוספים על המספרים יהיה החלק הרביעי נוסף והחלק הרביעי אז הוא הכאת הדברים זה עם זה
For, when every two numbers are multiplied by two numbers, four multiplications are necessarily applied: each of the first two numbers is multiplied by each of the two other numbers, so there are four multiplications.	כי כל שני מספרים שיוכו בשני מספרים אי אפש' שתהיה מבלעדי בם ההכאה ארבעה פעמים והוא שיוכו כל אחד משני המספרים הראשונים בכל אחד מהשני מספרי' האחרים ולכן תהיה ההכאה ארבעה פעמים
He said: When the things are subtracted from the numbers, the fourth [interim product] is additive; it is the product of the things by each other [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x}}$ ]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a-x\right)\times\left(b-x\right)}}$	אמ' וכאשר היו הדברים נגרעים מהמספרי' יהיה החלק הרביעי נוסף והוא והוא הכאת הדברים האחד באחר
When one is added and the other is subtracted, the fourth [interim product] is subtractive; it is the product of the things one by the other [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x}}$ ]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+x\right)\times\left(b-x\right)}}$	וכאשר היו האחד נוסף והאחר נגרע היה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת הדברים האחד באחר
When the numbers are subtracted from the things, the fourth [interim product] is additive; and the fourth [interim product] is the product of one of the numbers by the other [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times b}}$ ]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(x-a\right)\times\left(x-b\right)}}$	וכאשר היו המספרי' נגרעים מהדברים יהיה החלק הרביעי נוסף והחלק הרביעי אז הוא הכאת אחד המספרי' באחר
When one of the two numbers is added to the things and the other is subtracted from the things, the fourth [interim product] is subtractive; it is the product of one of the numbers by the other [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times b}}$ ]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(x+a\right)\times\left(x-b\right)}}$	וכאשר יהיו אחד משני המספרים נוסף על הדברי' והאחר נגרע מהדברי' אז יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת אחד משני המספרי' באחר
When the things are added to the numbers and one number is subtracted from the things, the fourth [interim product] is subtractive; it is the product of the added things by the subtracted number [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times\left(-b\right)}}$ ]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+x\right)\times\left(x-b\right)}}$	וכאשר היו הדברים נוספים על המספרים והיה מספר אחד נגרע מהדברים יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת הדברים הנוספי' במספר הנגרע
He said: we have already described what should be done with the fourth [interim product], since I saw that the arithmeticians start the multiplication with it.	אמ' וכבר ספרנו מה הוא הראוי עם החלק הרביעי כפי מה שראיתי שבעלי המספר מתחילי' עמו בהכאה
The fourth [interim product] can be other than what we have described, yet the general rule is that the product of subtractives one by the other is additive [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(-\right)\times\left(-\right)=+}}$ ], subtractive by additive is subtractive [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(-\right)\times\left(+\right)=-}}$ ], and additive by additive is additive [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(+\right)\times\left(+\right)=+}}$ ].	ואפשר שיהיה החלק הרביעי זולת אשר ספרנו אלא כי כלל הדבר שהכאת הנשנים האחד באחר הוא ‫^[15]תוספת והנשנה בנוסף גורע והנוסף בנוסף יוסיף
He said: know that the result of multiplication of things by things is a square [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x=x^2}}$ ]; and the result of things by numbers is things, which are roots, i.e. the thing is the root and the root is the thing; they are two names that denote the same meaning.	אמ' ודע כי מהכאת הדברים בדברים יגיע מרובע ומהדברי' במספרי' יבאו דברים והם שרשים ר"ל כי הדבר הוא השרש והשרש הוא הדבר והם שני שמות נופלים על ענין אחד
He said: if you are told: how much is the result of multiplying one thing by ten dirham? Say: ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת דבר אחד בעשרה דרהמי תאמ' עשרה דברי‫'
The explanation is that you consider the thing as one and multiply one by ten; it is ten and they are ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot10=10}}$	ובאור זה שתשים הדבר בדמיון האחד ותכה אחד בעשרה ויהיה עשרה והם עשרה דברים
He said: if it is said: how much is the result of multiplying two things by ten dirham? Say: [twenty] things. $\scriptstyle{\color{red}{2x\times10=20x}}$	אמ' ואם יאמרו כמה יבא מהכאת שני דברים בעשרה דרהמי תאמר עשרה דברים
The explanation is that you consider two things as two numerically and multiply two by ten; they are twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10=20}}$	ובאור זה שתשים שני הדברים בדמיון שנים מהמספר ותכה שנים בעשרה ויהיו עשרים דברים
For any given amount things, each thing is conceived as one, then the sum of units of the things is multiplied by the number of dirham and the result are things.	וכן כמה שתניח מהדברים תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה כל אחדי הדברי' במספר האדרהמי והעולה יהיה דברים
Since, for any number that is multiplied by a certain [algebraic] species, each unit of the species is conceived as one.	בעבור כי כל מספר מהמספרי' שיוכה במין מה מהמינים יהיה כל אחד מאחדי המין בדמיון האחד
If there is one thing, consider it as one.	אם היה דבר אחד תשים אחד
If there are two [things], consider them as two.	ואם היו שנים תשים שנים
Also if there are squares, or whichever species you wish to multiply by numbers - the product is of that same species.	וכן אם היו מרובעים או ענין אחר אי זה שתרצה ותכהו במספרים יהיה העולה הוא מאותו המין
I will give you an illustration of this to clarify what I said to your eye.	ואניח לך תמונה על זה לבאר לך לעין מה שאמרתי
He said: if you are told: how much is the result of multiplying a thing by a thing? Say: a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה העולה מהכאת דבר בדבר תאמ' מרובע
The method is that you consider the thing as one and multiply it by one; it is one and it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{1\times1=1\longrightarrow x\times x=x^2}}$	ואופנו שתשי' הדבר בדמיון האחד ותכהו באחד והוא אחד והוא מרובע
If it is said: how much is the result of multiplying two things by two things? Say: four squares as I explained to you. $\scriptstyle{\color{blue}{2x\times2x=4x^2}}$	ואם יאמרו כמה יעלה מהכאת שני דברים בשני דברי' תאמ' ארבעה מרובעי' כמו שבארתי לך
Likewise for three things by two things. $\scriptstyle3x\times2x$	וכן שלשה דברי' בשני דברים
Multiply three by two; they are six squares. $\scriptstyle{\color{blue}{3\times2=6\longrightarrow3x\times2x=6x^2}}$	תכה שלשה בשנים ויהיו ששה מרובעים
Also half a thing by half a thing. $\scriptstyle\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x$	וכמו כן חצי דבר בחצי דבר
The result is a quaretr of a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x^2}}$	יהיה העולה רביע מרובע
As many things you add or subtract, each thing is conceived as a one. Multiply these units by the other units, and their product are squares.	וכן כמה שתוסיף מהדברים או תגרע תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה אלו האחדים באחדי' האחרי' והעולה מהם יהיה מרובעים
Geometrical illustration
He said: I will give you a geometric illustration, from which you will understand the rule of the square and the thing:	אמ' ואשים לך על זה תמונה אשר בה תבין משפט המרובע והדבר
$\scriptstyle2x\times2x$	ונעמיד זה הענין בהכאת שני דברי' בשני דברים

It is that we suppose line AG is two things. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=2x}}$	והוא שנניח קו א"ג שני דברי‫'
Line GH is two things. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=2x}}$	וקו ג"ה שני דברים
We multiply line AG by line GH; it is surface AH. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GH=AH}}$	והכינו קו א"ג בקו ג"ה והיה שטח א"ה
We say that surface AH is four squares. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=4x^2}}$	ונאמ' ששטח א"ה ארבעה מרובעי‫'
The proof of this is that we divide line AG by the number of things in it - its segments are AB, BG.	מופת זה שנחלק קו א"ג על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו א"ב ב"ג
We divide also line GH by the number of things in it: its segments are GD, DH.	עוד נחלק קו ג"ה על מספר מה שבו מהדברי' ויהיו חלקיו ג"ד ד"ה
We draw a straight line from point B to E, parallel to GH.	ונוציא מנקודת ב' קו ישר על ע' על נכוחות קו ג"ה
We draw line DC from point D, parallel to AG. $\scriptstyle{\color{blue}{DC\parallel AG}}$	ונוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ד"ח
Four things are generated by this in surface AH, which are surfaces: CB; BD; DE; CE; each of which is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{CB=BD=DE=CE=x^2}}$	והנה נתחדשו עם זה בשטח א"ה ארבעה דברים שוים שטחים והם שטחי ח"ב ב"ד ד"ע ח"ע וכל אחד מהם מרובע
Each of the lines AB; BG; GD; DH multiplied by the other is a square [ $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$ ].	וכל אחד מקוי א"ב ב"ג ג"ד ד"ה מוכה באחר הוא מרובע
This is the "rule of the square and the thing"	וזה הוא משפט המרובע והדבר
Surface AH is four squares. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=4x^2}}$	ושטח א"ה ארבעה מרובעי‫'
Q.E.D.	והוא מש"ל
If you are told: how much is the result of multiplying three things by six dirham? $\scriptstyle3x\times6$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת שלשה דברי' בששה דרהמי
Consider the three things as three and multiply three by six; it is eighteen and they are eighteen things. $\scriptstyle{\color{blue}{3x\times6=\left(3\times6\right)x=18x}}$	תשים שלשת הדברי' בדמיון שלשה ותכה שלשה בששה ויהיה ‫^[16]שמנה עשר והם שמנה עשר דברים

Example: we suppose line AB is six numbers. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=6}}$	המשל שנניח קו א"ב ששה מהמספרים
Line BD is three things. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=3x}}$	וקו ב"ד שלש' דברי‫'
We multiply line AB by BD; it is surface AD and we say that surface AD is eighteen things. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=AB\times BD=6\times3x=18x}}$	ונכה קו א"ב בב"ד והוי והיה שטח א"ד ונאמ' ששטח א"ד הוא שמנה עשר דברים
The proof of this is that we divide line AB by the units in it - the result are six segments, which are AG, GH, HW, WZ, ZC, CB.	ומופת זה שנחלק קו א"ב על מה שבו מהאחדים ויצאו ששה חלקים והם א"ג ג"ה ה"ו ו"ז ז"ח ח"ב
We divide line DB by the number of things in it - its segments are BT, TK, KD.	ונחלק קו ד"ב על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו ב"ט ט"כ כ"ד
We draw lines CL, ZC, WN, HP, GE from points G, H, W, Z, C, parallel to BD. $\scriptstyle{\color{blue}{BD\parallel CL;ZC;WN;HP;GE}}$	ונוציא מנקוד' גהוז"ח קוים נכחיים לקו ב"ד והם קוי ח"ל ז"ח ו"נ ה"פ ג"ע
We draw lines TQ, KS from points T, K, parallel to AB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB\parallel TQ;KS}}$	נוציא מנקודות ט"כ שני קוים נכחיי' לקו א"ב והם קוי ט"ק כ"ס
As a result, surface AD consists of eighteen equal quadrangles, as we see in figure, each of them is equal to surface CT.	ועם זה יצאו בשטח א"ד שמנה עשר שטחים שוים כמו שנגלה בתמונה כל שטח מהם שוה לשטח ח"ט
But, Surface CT is generated from the product of line BT, which is a thing, by line BC. So, surface CT is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{CT=BT\times BC=x\times1=x}}$	אבל שטח ח"ט הוא מהכאת קו ב"ט שהוא דבר בקו ב"ח ולכן יהיה שטח ח"ט דבר
The whole surface AD is eighteen things. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=18x}}$	ושטח א"ד כלו יהיה שמנה עשר דברים
This is the "rule of the multiplication of the things by numbers".	וזהו משפט הכאת הדברים במספרים
If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by one thing? $\scriptstyle\left(10+x\right)\times x$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר אחד
Say: it is ten things plus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}$	תאמ' שהם עשרה דברים ומרובע
The procedure is that you multiply a thing by ten dirham; they are ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	והמעשה בזה שתכה דבר בעשרה אדרהמי ויהיו עשרה דברים
Multiply a thing by a thing; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	עוד תכה דבר בדבר ויהיה מרובע
Sum them up; they are ten thing and one square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}$	ותקבצם ויהיו עשרה דברים ואלגו ומרובע אחד
Geometrical illustration
I will explain this to you by this geometric illustration:	ואבאר לך בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי
Line BG is one thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=x}}$	וקו ב"ג דבר אחד
We define GD equal to BG. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=BG}}$	ונשים ג"ד שוה לב"ג
We multiply AG by BG; the result is surface AD. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times BG=AD}}$	ונכה א"ג בב"ג ויצא שטח א"ד
We say that surface AD is ten things plus one square. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=10x+x^2}}$	ונאמר ששטח א"ד עשרה דברים ומרובע אחד
The proof of this is that we draw line BH from point B, parallel to GD. $\scriptstyle{\color{blue}{BH\parallel GD}}$	מופת זה שנוציא מנקודת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד
So it is equal to it and also to BG that is equal to GD. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=GD=BG}}$	ומפני זה יהיה שוה לו וגם לב"ג השוה לג"ד
But, line BG is one thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=x}}$	אבל קו ב"ג דבר אחד
So, line BH is one thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=x}}$	אם כן קו ב"ה דבר אחד
Surface AH is ten things, since it is generated from the product of line AB, which is ten dirham, by line BH, which is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=10\times x=10x}}$	ושטח א"ה יהיה עשרה דברים מפני כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי בקו ב"ה שהוא דבר
Surface BD is a square, since it is generated from the product of BG, which is a thing, by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=BG^2=x^2}}$	ושטח ב"ד הוא מרובע כי הוא מהכאת ב ב"ג שהוא דבר בעצמו
Therefore, the whole surface AD is ten things plus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=10x+x^2}}$	אם כן שטח א"ד כלו הוא עשרה [..] דברים ומרובע אחד
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
If you are told: how much is the product of ten dirham minus a thing by a thing? $\scriptstyle\left(10-x\right)\times x$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי פחות דבר אחד בדבר אחד
Say: ten things minus one square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}$	תאמ' עשרה דברים פחות מרובע אחד
The procedure: is that you multiply ten dirham by a thing; they are ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	‫^[17]והמעשה בזה שתכה עשרה דרהמי בדבר ויהיו עשרה דברי‫'
Multiply a thing by a thing; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
Subtract it from ten things; [ten] things minus a square remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}$	תגרעהו מעשרה הדברי' וישאר ארבעה דברים פחות מרובע
Geometrical illustration
I will explain this by this geometric illustration:	ואבאר זה בזאת התמונה

It is that we suppose line AG is ten dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	והוא שנניח קו א"ג הוא עשרה דרהמי
We suppose line BG is one thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=x}}$	ונניח קו ב"ג ממנו הוא דבר א‫'
The remaining line AB is ten dirham minus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10-x}}$	וישאר קו א"ב עשרה דרהמי פחות דבר
We define line GD equal to line BG. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=BG}}$	ונשים קו ג"ד שוה לקו ב"ג
We multiply line AG by line GD; the result is surface AD. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GD=AD}}$	ונכה קו א"ג בקו ג"ד ויצא שטח א"ד
We draw line BH from point B, parallel to GD. $\scriptstyle{\color{blue}{BH\parallel GD}}$	ונוציא מנקדת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד
We say that surface AH is ten things minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=10x-x^2}}$	ונאמ' כי שטח א"ה הוא עשרה דברי' פחות מרובע
The proof of this is that surface AD is ten things, since it is generated from the product of line AG, which is ten, by line GD that is equal to BG, which is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=AG\times GD=AG\times BG=10\sdot x=10x}}$	מופת זה כי הנה שטח א"ד הוא עשרה דברי' בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא עשרה בקו ג"ד השוה לב"ג שהוא דבר
Surface BD is a square, since it is generated from the product of BG, which is a thing, by line GD that is equal to it. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=BG\times GD=x\sdot x=x^2}}$	ושטח ב"ד הוא מרובע כי הנה הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בקו ג"ד השוה אליו
Therefore, surface AH remains ten things minus a square, and it is generated from the product of AB, which is ten dirham minus a thing, by BH, which is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}$	ולכן ישאר שטח א"ה עשרה דברי' פחות מרובע והוא מהכאת א"ב שהוא עשרה דרהמי פחות דבר בב"ה שהוא דבר
Q.E.D.	ומש"ל
If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by ten dirham plus a thing? $\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)$	אמר ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי ודבר
Say: one hundred dirham, a square, and twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}$	תאמ' מאה דרהמי ומרובע ועשרי' דברי‫'
The procedure is that we multiply ten by ten; they are a hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	והמעשה^[18] בזה שנכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
Multiply also ten by a thing; they are ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	עוד תכה עשרה בדבר ויהיו עשרה דברים
Multiply again a thing by ten dirham; they are ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	ותשוב ותכה דבר בעשרה דרהמי ויהיו עשרה דברים
Multiply also a thing by a thing; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה עוד דבר בדבר ויהיו מרובע
Sum up all; it is one hundred dirham, a square, and twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}$	ותקבץ הכל יחד ויהיה מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
Geometrical illustration
I will explain this by this geometric illustration:	ואבאר זה בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten dirham plus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10+x}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
AG is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	וא"ג ממנו עשרה
GB is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}$	וג"ב דבר
We suppose also that line BD is ten dirham plus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=10+x}}$	וכן נניח קו ב"ד עשרה דרהמי ודבר
BH is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=x}}$	ב"ה ממנו דבר
HD is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{HD=10}}$	וה"ד עשרה
Multiply line AB by line BD; the result is surface AD. $\scriptstyle{\color{blue}{AB\times BD=AD}}$	ותכה קו א"ב בקו ב"ד ויצא שטח א"ד
We say that surface AD is one hundred dirham, a square, and twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=100+x^2+20x}}$	ונאמ' כי שטח א"ד מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
The proof of this is that we draw line GC from point G, parallel to BD $\scriptstyle{\color{blue}{GC\parallel BD}}$	ומופת זה שנוציא מנקודת ג' קו נכחי לקו ב"ד והוא קו ג"ח
We draw line HZ from point H, parallel to AB. $\scriptstyle{\color{blue}{HZ\parallel AB}}$	ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ב
Surface GH is a square.	הנה שטח ג"ה מרובע
ZC is a square.	וז"ח מרובע
Surface GZ is the same as surface HC, as Euclid has explained all this.. $\scriptstyle{\color{blue}{GZ=HC}}$	ושטח ג"ז כמו שטח ה"ח כמו שאבאר כל זה באקלידס
But, surface ZC is one hundred, since it is generated from the product of ZT that is equal to AG, which is ten, by line TC that is equal to HD, which is also ten. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC=ZT\times TC=AG\times HD=10\sdot10=100}}$	אבל שטח ז"ח מאה כי הוא הוה מהכאת ^[19]ז"ט השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ט"ח השוה לה"ד שהוא גם כן עש^רה
Surface ZG is ten things, since it is generated from the product of GT that is equal to BH, which is a thing, by line AG, which is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{ZG=GT\times AG=BH\times AG=x\sdot10=10x}}$	ושטח ז"ג עשרה דברים כי הנה הוא מהכאת ג"ט השוה לב"ה שהוא דבר בקו א"ג שהוא עשרה
Surface CH is also ten things, since it is generated from the product of TH that is equal to GB, which is a thing, by line HD, which is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{CH=TH\times HD=GB\times HD=x\sdot10=10x}}$	ושטח ח"ה גם כן עשרה דברי' כי הוא מהכאת ט"ה השוה לג"ב שהוא דבר בקו ה"ד שהוא עשרה
Surface GH is a square, since it is generated from the product of line GB, which is a thing, by line BH, which is aldo a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=GB\times BH=x\sdot x=x^2}}$	ושטח ג"ה הוא מרובע כי הוא מהכאת קו ג"ב שהוא דבר בקו ב"ה שהוא גם כן דבר
The sum of the four surfaces is surface AD. Hence, surface AD is a hundred dirham, a square, and twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=ZC+ZG+CH+GH=100+x^2+20x}}$	ומקובץ הארבעה שטחים הוא שטח א"ד אם כן שטח א"ד הוא מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
Q.E.D.	והוא מש"ל
If you are told: how much is the product of ten dirham minus a thing by ten dirham minus a thing? $\scriptstyle\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה אדרהמי פחות דבר בעשרה אדרהמי פחות דבר
Say: one hundred dirham and a square minus twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}$	תאמ' מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
Its procedure is that you multiply ten dirham by ten dirham; it is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	ואופן מעשהו שתכה עשרה דרהמי בעשרה דרהמי ויהיה מאה
Multiply a subtractive thing by ten dirham; they are ten subtractive things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times10=-10x}}$	תכה דבר נגרע בעשרה דרהמי ויהיה עשרה דברים נגרעים
Multiply again ten dirham by a subtractive thing; they are also ten subtractive things. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-x\right)=-10x}}$	עוד תשוב להכות עשרה דרהמי בדבר הנגרע ויהיו גם כן עשרה דברים נגרעים
Multiply a subtractive thing by a subtractive thing; it is an additive square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times\left(-x\right)=x^2}}$	ותכה דבר נגרע בדבר נגרע ויהיה מרובע נוסף
Sum up all; it is one hundred dirham and a square minus twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}$	ותקבץ כל זה ויהיה מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
Geometrical illustration
I will explain this by this geometric illustration:	ואבאר זה בזאת התמונה

It is that we suppose line AG is ten dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	והוא שנשים קו א"ג עשרה דרהמי
We subtract a thing, which is line BG, from it; AB remains ten minus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=AG-BG=10-x}}$	ונפחות ממנו דבר והוא קו ב"ג וישאר א"ב עשרה פחות דבר
We also define line GD as ten. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=10}}$	וכן נשים קו ג"ד עשרה
GH is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=x}}$	וג"ה ממנו הוא דבר
We multiply line AB by line HD; the result is the square ZC. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC=AB\times HD=\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)}}$	ונכה קו א"ב בקו ה"ד ויעלה מרובע ז"ח
We say that surface ZC is one hundred dirham and a square minus twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC=100+x^2-20x}}$	ונאמ' שמרובע ז"ח מאה אדרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
The proof of this is that we complete surface AD.	מופת זה שנשלים שטח א"ד
We draw line BC from point B, parallel to line BD. $\scriptstyle{\color{blue}{BC\parallel BD}}$	ונוציא מנקוד' ב' קו ב"ח נכחי לקו ב"ד
We draw line HZ from point H, parallel to line AG. $\scriptstyle{\color{blue}{HZ\parallel AG}}$	ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ג
Surface AD is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=100}}$	הנה כי שטח א"ד מאה
Since AG is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	בעבור כי א"ג עשרה
And GD is ten $\scriptstyle{\color{blue}{GD=10}}$	וג"ד עשרה
Surface ZG is ten things $\scriptstyle{\color{blue}{ZG=10x}}$	ושטח ז"ג עשרה דברים
Since AG is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	בעבור כי א"ג עשרה
And GH is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=x}}$	וג"ה הוא דבר
Surface BD is also ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=10x}}$	וכן שטח ב"ד עשרה דברים
Since GD is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=10}}$	בעבור כי ג"ד עשרה
And GB is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}$	וג"ב הוא דבר
Surface BH is a square, since it is generated from the product of BG, which is a thing, by GH, which is also a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=BG\times GH=x\sdot x=x^2}}$	ושטח ב"ה הוא מרובע כי הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בג"ה שהוא גם כן דבר
Surface HC remains ten things minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{HC=10x-x^2}}$	וישאר שטח ה"ח עשרה דברים פחות מרובע
Surface AH is ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=10x}}$	ושטח א"ה עשרה דברים
Their sum is twenty things minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{HC+AH=20x-x^2}}$	ומקובצם עשרים דברים פחות מרובע
When we subtract surface AH and surface HC from surface AD, which is a hundred, surface ZC remains a hundred dirham and a square minus twenty things. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC=AD-\left(AH+HC\right)=100+x^2-20x}}$	וכשנגרעם שטח א"ה ושטח ה"ח משטח א"ד שהוא מאה ישאר שטח ז"ח מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by ten dirham minus a thing? $\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי פחות דבר
Say: one hundred dirham minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}$	תאמ' מאה דרהמי פחות מרובע
Its procedure is that you multiply ten by ten; they are a hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	ואופן מעשהו שתכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
Multiply the additive thing by ten; they are ten additive things. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}$	ותכה הדבר הנוסף בעשרה ויהיו עשרה דברים נוספי‫'
Multiply the subtractive thing by ten; they are ten subtractive things. $\scriptstyle{\color{blue}{-x\times10=-10x}}$	ותכה הדבר הגורע בעשרה ויהיו עשרה דברים נגרעים
Throw the additives for the subtractives; one hundred dirham remain. $\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(10x-10x\right)=100}}$	ותוציא הנוספים כנגד הנגרעים וישארו מאה דרהמי
Multiply the additive thing by the subtractive thing; it is a subtractive square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-x\right)=-x^2}}$	עוד תכה הדבר הנוסף בדבר הגורע ויהיה מרובע נגרע
Subtract it from the one hundred dirham; one hundred dirham minus a square remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}$	ותגרעהו מהמאה דרהמי וישארו מאה פחות מרובע
Geometrical illustration
I will explain this to you by this geometric illustration:	ואבאר לך זה בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten plus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10+x}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה ודבר
AG is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	‫^[20]א"ג עשרה
GB is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}$	וג"ב דבר
We suppose line BH is ten minus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=10-x}}$	ונניח קו ב"ה עשרה פחות דבר
We attach line HD, which is a thing, to it; the whole line BD is ten dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=BH+HD=\left(10-x\right)+x=10}}$	ונדביק עמו קו ה"ד הוא דבר ויהיה קו ב"ד כלו עשרה דרהמי
We multiply line AB, which is ten dirham plus a thing, by line BH, which is ten minus a thing; it is surface AH. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=\left(10+x\right)\sdot\left(10-x\right)}}$	ונכה קו א"ב שהוא עשרה ד^רהממי ודבר בקו ב"ה שהוא עשרה פחות דבר ויהיה שטח א"ה
We say that surface AH is one hundred dirham minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=100-x^2}}$	ונאמר ששטח א"ה הוא מאה דרהמי פחות מרובע
The proof of this is that we complete surface AD; it is a hundred dirham plus ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=100+10x}}$	ומופת זה שנשלם שטח א"ד והנה הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
Since surface AC is a hundred, because it is generated from the multiplication of AG, which is ten, by line GC, which is also ten, as it is equal to BD we have assumed to be ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=AG\times GC=AG\times BD=10\times10=100}}$	בעבור כי שטח א"ח ממנו הוא מאה כי הנה הוא מהכאת א"ג שהוא עשרה בג"ח שהוא גם כן עשרה כי הוא שוה לב"ד שהנחנוהו עשרה
The remaining surface GD is ten things, because it is generated from the multiplication of GD, which is a thing, by BD, which is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=GD\times BD=x\sdot10=10x}}$	ושטח ג"ד הנשאר הוא עשרה דברי' כי הנה הוא מהכאת ג"ד כי ^שהוא דבר בב"ד שהוא עשרה
So, the whole surface AD is one hundred dirham plus ten things. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=100+10x}}$	הנה כי כל שטח א"ד הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
It is easily explained to one who understands that surface ZC is the same as surface CB. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC=CB}}$	והוא מבואר בנקלה למבין כי שטח ז"ח כמו שטח ח"ב
We subtract the square surface MD from surface ZC; it is surface MB. $\scriptstyle{\color{blue}{MB=ZC-MD}}$	ונבדיל משטח ז"ח כמו שטח מ"ד המרובע והוא שטח מ"[ב‫]
Hence, surface KD is two squares. $\scriptstyle{\color{blue}{KD=2x^2}}$	ויהיה מפני זה שטח כ"ד שנים מרובעי‫'
The remaining surface ZT is the same as surface MB. $\scriptstyle{\color{blue}{ZT=MB}}$	וישאר שטח ז"ט כמו שטח מ"ב
We construct surface AM shared by both.	ונשים שטח א"מ משותף
Surface AM plus surface MB, which are the whole surface AH, are equal to surfaces AM and ZT. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=AM+MB=AM+ZT}}$	ויהיה שטח א"מ ושטח מ"ב יחד והוא כל שטח א"ה יהיה שוה לשטחי א"מ ז"ט
But, you see that the two surfaces AM and ZT are one hundred dirham minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{AM+ZT=100-x^2}}$	אבל שני שטחי א"מ ז"ט אתה רואה כי הם מאה דרהמי פחות מרובע
Since the subtractive surface MT is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{MT=x^2}}$	בעבור כי שטח מ"ט הנחסר הוא מרובע
Therefore, surface AH is one hundred dirham minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=100-x^2}}$	אם כן שטח א"ה יהיה מאה דרהמי פחות מרובע
Q.E.D.	והוא מש"ל
If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by a thing minus ten dirham? $\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)$	אמ' ואם יאמרו לך כמה העולה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר פחות עשרה דרהמי
Say: a square minus a hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}$	תאמ' מרובע פחות מאה דרהמי
Its procedure is that we multiply ten by the thing that is minus ten; they are ten additive things. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}$	ואופן מעשהו הוא שנכה עשרה בדבר הפוחת עשרה ויהיו עשרה דברים נוספים
Multiply again the ten by the subtractive ten; they are a hundred subtractive dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-10\right)=-100}}$	עוד תשוב ותכה עשרה בעשרה הפוחתים ויהיו מאה דרהמי גורעי‫'
Multiply a thing by a thing; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}$	ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
Multiply also a thing by subtractive ten; they are ten subtractive things. $\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-10\right)=-10x}}$	עוד תכה דבר בעשרה הפוחתים ויהיו עשרה דברי' נגרעים
Throw the ten additive things for the ten subtractive things. $\scriptstyle{\color{blue}{10x-10x}}$	ותשליך העשרה דברי' נוספי' כנגד העשרה הדברים הנגרעים
The remaining product is a square minus a hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}$	וישאר המקובץ מההכאה מרובע פחות מאה דרהמי
Geometrical illustration
I will explain this by this geometric illustration:	ואבאר זה בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten dirham plus a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10+x}}$	והוא שנשים קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
AG is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}$	א"ג הוא עשרה
GB is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}$	וג"ב דבר
We suppose line BH is a thing minus ten. $\scriptstyle{\color{blue}{BH=x-10}}$	ונניח קו ב"ה דבר פחות עשרה
We add HD, which is ten, to it. $\scriptstyle{\color{blue}{HD=10}}$	ונוסיף בו ה"ד שהוא עשרה
We multiply line AB by line BH; it is surface AH. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=\left(10+x\right)\sdot\left(x-10\right)}}$	ונכה קו א"ב בקו ב"ה ויהיה שטח א"ה
We say that surface AH is a square minus one hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=x^2-100}}$	ונאמ' ששטח א"ה הוא מרובע פחות מאה דרהמי
The proof of this is that we complete surface AD: surface AD is ten things plus a square, since it is generated from the multiplication of line AB, which is ten dirham plus a thing by line BD, which is a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=AB\times BD=\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}$	מופת זה שנשלים שטח א"ד ויהיה שטח א"ד עשרה דברים ומרובע בעבור כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי ודבר בקו ב"ד שהוא דבר
We draw line GC parallel to BD. $\scriptstyle{\color{blue}{GC\parallel BD}}$	ונוציא קו ג"ח נכחי לקו ב"ד
Surafce GD is a square, since it is generated from the multiplication of GB, which is a thing by BD, which is also a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=GB\times BD=x\sdot x=x^2}}$	והנה יהיה שטח ג"ד מרובע כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא גם כן דבר
Surface AC is the same as surface CH. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=CH}}$	ושטח א"ח כמו שטח ח"ה
Since line CG is the same as line CD. $\scriptstyle{\color{blue}{CG=CD}}$	בעבור כי קו ח"ג כמו קו ח"ד
And line AG is the same as line HD. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=HD}}$	וקו א"ג כמו קו ה"ד
We subtract surface CH from square GD and join surface AC that is equal to it; surface GH that remains from square GD, plus surface AC are together the same as square GD. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=\left(GD-CH\right)+AC=GH+AC=x^2}}$	ונבדיל שטח ח"ה ממרובע ג"ד ונשתף עמו שטח א"ח השוה לו ויהיה שטח ג"ה הנשאר ממרובע ג"ד ושטח א"ח יחד כמו מרובע ג"ד
We subtract from it surface KC, which is one hundred dirham, since it is generated from the multiplication of line KL that is equal to AG, which is ten, by line LC that is equal to [H]D, which is also ten. $\scriptstyle{\color{blue}{KC=KL\times LC=AG\times HD=10\times10=100}}$	ונבדיל מזה שטח כ"ח שהוא מאה דרהמי בעבור כי הוא מהכאת קו כ"ל השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ל"ח השוה לא"ד שהוא ‫^[21]גם כן עשרה
The remaining surface AH is a square minus one hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=\left(GH+AC\right)-KC=x^2-100}}$	וישאר שטח א"ה מרובע פחות מאה דרהמי
Q.E.D.	והוא מש"ל
He said: if you are told: how much is the product of ten dirham and two-thirds of a thing by three dirham minus six things? $\scriptstyle\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)$	אמר ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ושני שלישי דבר על שלשה דרהמי פחות ששה דברים
Say: thirty dirham minus four squares minus fifty-eight things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}$	תאמר שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעים ופחות חמשים ושמנה דברים
Its procedure is that you multiply ten dirham by three; they are thirty. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times3=30}}$	ואופן מעשהו הוא שתכה עשרה דרהמי בשלשה ויהיו שלשים דרהמי
Multiply two-thirds of a thing by three dirham; they are two additive things. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times3=2x}}$	ותכה שני שלישי דבר בשלשה דרהמי ויהיו שני דברים נוספים
Multiply also ten dirham by six subtractive things; they are sixty subtractive things. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-6x\right)=-60x}}$	עוד תכה עשרה אדרהמי בששה דברי' הפוחתים ויהיו ששים דברים נגרעים
Multiply two-thirds of a thing by six subtractive things; they are four subtractive squares. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times\left(-6x\right)=-4x^2}}$	ותכה שני שלישי דבר בששה דברים הפוחתים ויהיו ארבעה דברים נגרעים מרובעים
The multiplication is completed and we turn to sum [the interim products].	ונשלמה ההכאה ונבא לקבצם
We subtract the two additive things from the sixty subtractive things; fifty-eight remain. $\scriptstyle{\color{blue}{60x-2x=58x}}$	והנה נפיל שני הדברים הנוספים מהששים דברי' הנגרעי' וישארו שמנה וחמשי‫'
The total sum then is thirty dirham minus four squares minus fifty-eight things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}$	ויהיה מקובץ הכל אחר זה שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעי' ופחות שמנה וחמשי' דברים
What I have explained to you of the multiplication of things and numbers is enough for you, and from it you can learn the answer for all the questions presented to you in this section.	אמ' ודי לך במה שבארתי מכפל הדברים והמספרים וממנו תוכל להתחכם בתשובת כל השאלות אשר יגיעו לפניך מזה השער
Roots
Chapter: Multiplication of Roots by Numbers	פרק
The doubling of the root of a known number or of an unknown square will be explained in it.	יתבאר בו הכפלת שרש ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע זה
By doubling I mean taking its two roots	ורצוני בהכפלה הנה לקיחת שני שרשיו
He said: when you wish to know two roots of a known number or of an unknown square - the root of which number or square are they?	אמ' וכאשר תרצה לדעת שני שרשים ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע לאי זה מספר אחר או מרובע אחר הם שרש
Consider the two roots as two and multiply two by two, then multiply the product by the known number, or by the unknown square; they are a root of the number resulting. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot a}}}$	תניח השני שרשים בדמיון שנים ותכה שנים על שנים והעולה תכהו במספר הידוע או במרובע הבלתי ידוע והעולה הוא המספר שהם שרש אליו
If you want three roots, multiply three by three, then multiply the product by the known number, or by the unknown square; the three roots are a root of the resulting number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{3\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(3\sdot3\right)\sdot a}}}$	ואם תרצה שלשה שרשים תכה שלשה בשלשה והעולה תכה על המספר הידוע או על המרובע בלתי ידוע ויהיו שלשת השרשים שרש למספר העולה
Likewise if you wish to halve the root:	וכן אם תרצה לחצות השרש
Multiply half by half; it is a quarter. Multiply the quarter by the known or unknown number; half the root is a root of the resulting product. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot a}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot a}}}$	תכה חצי בחצי ויהיה רביע ותכה רביע במרובע הידוע או הבלתי ידוע ויהיה העולה מההכאה הנה חצי השרש הוא שרש לו
And so on, as you increase or decrease the roots, do according to the procedure we specified.	וכן כל מה שתוסיף או תגרע מהשרשים תעשה על הדרך שאמרנו
He said: we give an example for this: when we wish to know the double root of sixteen. $\scriptstyle2\sdot\sqrt{16}$	אמ' ונניח דמיון לזה כאשר ~~עשינו~~ רצינו לדעת כפל שרש ששה עשר
Multiply two by two; it is four.	תכה שנים בשנים והיו ארבעה
Multiply four by sixteen; it is sixty-four.	ותכה ארבעה בששה עשר ויהיו ששים וארבע‫'
Its root is eight and it is two roots of sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{16}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot16}=\sqrt{4\sdot16}=\sqrt{64}=8}}$	ושרשו הוא שמנה והם שני שרשי ששה עשר
Geometrical illustration
We will explain this by this geometric illustration:	ונבאר זה בתמונ' זאת

We suppose square surface ABGD as an analogous of the sixteen dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=16}}$	והוא שנניח שטח מרובע אבג"ד בדמיון ששה עשר דרהמי
Line GD is a root of the square ABGD. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=\sqrt{ABGD}=\sqrt{16}}}$	וקו ג"ד הוא שרש מרובע אבג"ד
When we wish to double this root, we extend line GD straight to H.	וכאשר נרצה לכפול זה השרש נוציא קו ג"ד על יושר עד ה‫'
We define GH equal to GD. $\scriptstyle{\color{blue}{GH=GD}}$	ונשים ג"ה שוה לג"ד
Line HD is two roots of square AD. $\scriptstyle{\color{blue}{HD=2\sqrt{AD}=2\sqrt{16}}}$	ויהיה קו ה"ד שני שרשים ממרובע א"ד
If we wish to know: the root of which number is it?	ואם נרצה לדעת לאי זה מספר הוא שרש
We construct square HZ on it. $\scriptstyle{\color{blue}{HZ=HD^2}}$	נשים עליו שטח מרובע עליו ה"ז
We say: surface HZ is four times surface GB. $\scriptstyle{\color{blue}{HZ=4GB}}$	ונאמר ששטח ה"ז ארבעה דמיוני שטח ג"ב
The proof:	מופת זה
We extend line GA straight to C.	שנוציא קו ג"א על יושר עד ח‫'
We extend line AB to point T.	ונוציא קו א"ב עד נקודת ט‫'
Surface HZ consists of four equal quadrangulars: GB, BC, CT, TG.	ויהיו בשטח ה"ז ‫^[22]ארבעה מרובעים שוים והם מרובעי ג"ב ב"ח ח"ט ט"ג
But we assumed that GB is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=16}}$	אבל ג"ב הנחנוהו שש עשרה
Therefore, square HZ is sixty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{HZ=64}}$	ולכן יהיה מרובע ה"ז ששים וארבע
So, line HD is a root of sixty-four, which is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{HD=\sqrt{64}=8}}$	ויהיה קו ה"ד שרש לששים וארבע והוא שמנה
Q.E.D.	והוא מש"ל
He said: when we wish to take half a root of nine. $\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}$	אמ' וכאשר נרצה לקחת חצי שרש תשעה
We multiply half by half; it is a quarter.	נכה חצי בחצי ויהיה רביע
We multiply a quarter by nine; it is two and a quarter.	ונכה רביע בתשעה ויהיה שנים ורביע
We extract its root; it is one and a half and it is half a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot9}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	נקח שרשו והוא אחד וחצי והוא יהיה חצי שרש תשעה
If we wish to take two-thirds of a root of nine. $\scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}$	ואם נרצה לקחת שני שלישי שרש תשעה
We multiply two-thirds by two-thirds; it is four-ninths.	נכה שני שלישים בשני שלישים ויהיו ארבע תשיעיות
Multiply four-ninths by nine; it is four.	ותכה ארבעה תשיעיות בתשעה ויהיו ארבעה
Its root, which is two, is two-thirds of a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{2}{3}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{4}{9}\sdot9}=\sqrt{4}=2}}$	ושרשם שהוא שנים הוא יהיה שני שלישי שרש תשעה
Geometrical illustration
I will explain it to you in by this geometric illustration:	ואבאר לך בזאת התמונה

We suppose the nine is a square surface ABGD. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=9}}$	והוא שנניח התשעה שטח מרובע עליו אבג"ד
Line GD is a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=\sqrt{ABGD}=\sqrt{9}}}$	ויהיה קו ג"ד שרש תשעה
When you wish to take its two-thirds:	וכאשר תרצה לקחת שני שלישיו
Divide line DG into three equal parts: NZ, ZH, HD.	תחלק קו ג"ד לשלשה חלקים שוים והם נ"ז ז"ה ה"ד
Line DZ is two-thirds of line GD and it is also two-thirds of the root of the square GB. $\scriptstyle{\color{blue}{DZ=\frac{2}{3}GD=\frac{2}{3}\sqrt{GB}}}$	ויהיה קו ד"ז שני שלישי קו ג"ד והוא גם כן שני שלישי שרש מרובע ג"ב
When you wish to know: the root of which number is it?	וכאשר תרצה לדעת לאי זה שמספר הוא שרש
We construct square KZLD on line ZD. $\scriptstyle{\color{blue}{KZLD=ZD^2}}$	נעשה על קו ז"ד שטח מרובע עליו כזל"ד
We say that surface KZLD is four-ninths of surface GD, so it is four dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{KZLD=\frac{4}{9}GD=4}}$	ונאמ' ששטח כזל"ד ארבעה תשיעיות שטח ג"ד והם ארבעה דרהמי
The proof:	מופת זה
We extend line ZK straight to point T.	שנוציא קו ז"כ על יושר עד נקודת ט‫'
We draw line HC from point H, parallel to line BD. $\scriptstyle{\color{blue}{HC\parallel BD}}$	ונוציא מנקודת ה' קו ה"ח נכחי לקו ב"ד
Draw line EP from E, parallel to line AB. $\scriptstyle{\color{blue}{EP\parallel AB}}$	ותוציא מע' קו ע"פ נכחי לקו א"ב
We extend line LMK to S.	ונוציא קו למ"כ עד ס‫'
By this, nine equal surfaces are formed in surface GB: HE, EM, MB, MT, TS, KN, KP, PZ, ZN.	ויהיה עם זה כבר נעשו בשטח ג"ב תשעה שטחים שוים והם נ ה"ע ע"מ מ"ב מ"ט ט"ס כ"נ כ"פ פ"ז ז"נ
Surface ZL is four of these nine surfaces, so surface ZL is four-ninths of square GB. $\scriptstyle{\color{blue}{ZL=\frac{4}{9}GB}}$	ויהיה שטח ז"ל ארבעה מאלו התשעה שטחים אם כן שטח ז"ל ארבע תשיעיות מרובע ג"ב
Line ZD is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{ZD=\sqrt{4}}}$	וקו ז"ד שרש לארבעה
Q.E.D.	והוא מש"ל
Do the same with all that falls into your hand of this kind.	וכל מה שיפול בידך מזה המין תעשה עמו ככה
Multiplication of Roots
He said: if you wish to know how much is the product of a root of nine by a root of four. $\scriptstyle\sqrt{9}\times\sqrt{4}$	אמ' ואם תרצה לדעת כמה העולה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה
Multiply four by nine; it is thirty-six.	תכה ארבע' בתשעה ויהיה שלשים ושש
Extract its root; it is six and it is the same as the product of a root of nine by a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}=6}}$	תקח שרשם והוא ששה והוא כמו הכאת שרש תשעה בשרש ארבעה
Geometrical illustration
I will explain this by this geometric illustration:	ואבאר זה בזאת התמונה

We define line AB as a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}$	והוא שנשים קו א"ב שרש תשעה
Line BG is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=\sqrt{4}}}$	וקו ב"ג שרש ארבעה
When we wish to multiply line AB by line BG: $\scriptstyle{\color{blue}{AB\times BG}}$	וכאשר נרצה להכות קו א"ב בקו ב"ג
Construct square AC on line AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=AG^2}}$	תשים על קו א"ג שטח מרובע עליו א"ח
Draw line BZ from point B, parallel to lines AH and GC. $\scriptstyle{\color{blue}{BZ\parallel AH,GC}}$	ותוציא מנקודת ב' קו נכחי לקוי א"ה ג"ח והוא קו ב"ז
Each of the lines AH and GC is a root of nine plus a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=GC=\sqrt{9}+\sqrt{4}}}$	וכל אחד מקוי א"ה ג"ח שרש תשעה ושרש ארבעה
We define line MG as a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{MG=\sqrt{9}}}$	ונשים קו מ"ג שרש תשעה
The remaining line MC is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{MC=\sqrt{4}}}$	וישאר קו מ"ח שרש ארבעה
We draw line MK from point M, parallel to lines AG and HC. $\scriptstyle{\color{blue}{MK\parallel AG,HC}}$	ונוציא מנקודת מ' קו מ"כ נכחי לקוי ~~א"ה ג"ח~~ א"ג ה"ח
Surface E[A] is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{EA=9}}$	ויהיה שטח ע"מ תשעה
Line BE is a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{BE=\sqrt{9}}}$	וקו ב"ע שרש תשעה
Surface EC is four. $\scriptstyle{\color{blue}{EC=4}}$	ושטח ע"ח ארבעה
Line ZE is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{ZE=\sqrt{4}}}$	וקו ז"ע שרש ארבעה
Because, ZE is equal to EM and EM is the same as BG. $\scriptstyle{\color{blue}{ZE=EM=BG}}$	כי ז"ע שוה לע"מ וע"מ כמו ב"ג
EB is the same as EK. $\scriptstyle{\color{blue}{EB=EK}}$	וע"ב כמו ע"כ
The ratio of ME to EK is the same as the ratio of ZE to EB. $\scriptstyle{\color{blue}{ME:EK=ZE:EB}}$	ויחס מ"ע אל ע"כ כיחס ז"ע אל ע"ב
The ratio of ZE to EB is the same as the ratio of surface ZK to surface EA. $\scriptstyle{\color{blue}{ZE:EB=ZK:EA}}$	ויחס ז"ע אל ע"ב הוא כיחס שטח ז"כ אל שטח ע"א
Therefore, the product of the numbers of surface ZM by the numbers of surface EA is the same as the product of the numbers of surface ZK by themselves.	ולכן יהיה הכאת המספרים אשר בשטח ז"מ במספרים אשר בשטח ע"א כמו הכאת המספרים אשר בשטח ז"כ בעצמם
As Euclid has explained when he said that when there are three proportional numbers, the product of the first number by the third is the same as the product of the second by itself. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2}}$	כמו שבאר זה אקלידס כאשר אמ' כי כאשר היו שלשה מספרים מתיחסים יהיה הכאת המספר הראשון ~~בתשיעי~~ בשלישי כמו הכאת הב' המספר בעצמו
But, the product of the units of surface EC that are four by the units of surface EA that are nine is thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{4\times9=36}}$	אבל הכאת מה שבשטח ע"ח ‫^[23]מהאחדים שהם ארבעה באחדי שטח ע"א שהם ~~שלשה~~ תשעה יהיה שלשים ושש
So, surface ZK is the same as a root of thirty-six, which is six; and this is the product of a root of nine by a root of four, since line KE is a root of nine and line EC is as a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=KE\times EC=ZK=\sqrt{36}=6}}$	ולכן שטח ז"כ הוא כמו שרש שלשים ושש והוא ששה והנה שהוא הוה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה בעבור כי קו א' כ"ע שרש תשעה וקו ע"ח כמו שרש ארבעה
Q.E.D.	והוא ומש"ל‫^[24]
He said: if you are told: how much is the product of two roots of ten by half a root of five? $\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)$	אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה
Observe the root of which number are two roots of ten, according to the way I have shown you.	ראה שני שרשי עשרה לאי זה מספר הם שרש על הדרך שהראיתי לך
You find that they are a root of forty. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{10}=\sqrt{40}}}$	ותמצא שהם שרש לארבעי‫'
Observe also the root of which number is half a root of five:	וכמו כן ראה חצי שרש חמשה לאי זה מספר הוא שרש
You find that it is a root of one and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}$	ותמצא שהוא שרש לאחד ורביע
The question becomes as if it is said: how much is the product of a root of forty by a root of one and a quarter? $\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{40}\times\sqrt{1+\frac{1}{4}}$	ותשוב השאלה כאלו אמרו כמה יהיה מהכאת שרש ארבעים בשרש אחד ורביע
Multiply forty by one and a quarter; it is fifty. $\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)=50}}$	ולכן תכה ארבעים באחד ורביע ויהיה חמשים
Say that the root of fifty is the product of two roots of ten by half a root of five. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{50}}}$	ותאמ' כי שרש חמשים הוא הוא הכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה
Geometrical illustration
He said: we give for this procedure a general geometric illustration:	אמ' ונניח לזה המעשה תמונה כוללת

We say that for every number multiplied by another number, the root of the product is the same as the product of the root of one of the numbers multiplied by the root of the other number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{A\times B}=\sqrt{A}\times\sqrt{B}}}$	ונאמ' שכל מספר שיוכה במספר אחר יהיה שרש העולה כמו הכאת שרש מספר אחד מהם לשרש המספר האחר
Example: we suppose that A and B are two numbers.	משל לזה שנניח ב' א' שני מספרים
The root of B is G. $\scriptstyle{\color{blue}{G=\sqrt{B}}}$	ושרש ב' הוא ג‫'
The root of A is D. $\scriptstyle{\color{blue}{D=\sqrt{A}}}$	ושרש א' הוא ד‫'
We multiply B by A; it is Z. $\scriptstyle{\color{blue}{Z=B\times A}}$	ונכה ב' בא' ויהיה ז‫'
We multiply G by D; it is C. $\scriptstyle{\color{blue}{C=G\times D}}$	ונכה ג' בד' ויהיה ח‫'
We say that C is the same as H, which is the root of Z. $\scriptstyle{\color{blue}{C=H=\sqrt{Z}}}$	ונאמ' שח' כמו ה' שהוא שרש ז‫'
The proof:	מופת זה
G multiplied by itself is B. $\scriptstyle{\color{blue}{G^2=B}}$	כי ג' הוכה בעצמו והיה ב‫'
It is multiplied by D; the result is C. $\scriptstyle{\color{blue}{G\times D=C}}$	והוכה בב'^ד' והיה ח‫'
So, the ratio of G to D is the same as the ratio of B to C. $\scriptstyle{\color{blue}{G:D=B:C}}$	ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח‫'^[25]
Also, D multiplied by itself is A. $\scriptstyle{\color{blue}{D^2=A}}$	וכמו כן ד' הוכה בעצמו והויה א‫'
It is multiplied by G; the result is C. $\scriptstyle{\color{blue}{D\times G=C}}$	והוכה בג' והיה ח‫'
So, the ratio of G to D is the same as the ratio of C to A. $\scriptstyle{\color{blue}{G:D=C:A}}$	ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ח' אל א‫'
But, the ratio of G to D is already the same as the ratio of B to C. $\scriptstyle{\color{blue}{G:D=B:C}}$	וכבר היה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח‫'
Therefore, the ratio of B to C is the same as the ratio of C to A. $\scriptstyle{\color{blue}{B:C=C:A}}$	אם כן יהיה יחס ב' אל ח' כיחס ח' אל א‫'
Hence, the product of B by A is the same as the product of C by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times A=C^2}}$	ויהיה מפני זה הכאת ב' בא' כמו הכאת ח' בעצמו
But, the product of B by A is Z. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times A=Z}}$	אבל הכאת ב' בא' הוא ז‫'
So, the product of C by itself is the same as Z. $\scriptstyle{\color{blue}{C^2=Z}}$	אם כן הכאת ח' בעצמו יהיה כמו ז‫'
But, the product of H by itself is already Z. $\scriptstyle{\color{blue}{H^2=Z}}$	וכבר היה הכאת ה' בעצמו הוא ז‫'
Thus, C is the same as H. $\scriptstyle{\color{blue}{C=H}}$	ולכן יהיה ח' כמו ה‫'
Q.E.D.	והוא מש"ל
What I have explained of this type is enough.	ובמה שבארתי מזה המין הוא מספיק
Chapter on Division of Roots	פרק בחלוק
He said: you must also know that when you multiply the divisor by the result of division, the dividend returns. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{A}{B}\times B=A}}$	אמ' וגם כן ראוי שתדע כי כאשר תכה המחלק במה שעלה לחלק ישוב המספר שחלקת
Example: we divide ten by two; the quotient is five. $\scriptstyle{\color{blue}{10\div2=5}}$	משל זה חלקנו עשרה על שנים ויצא לכל חלק חמשה
When we multiply two by five, the result is ten and it is the dividend. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}$	הנה כאשר הכינו שנים בחמשה יהיה עשרה והוא המספר שנחלק
Geometrical illustration
He said: we give for this procedure a general geometric illustration also:	אמ' ונשים לזה המעשה גם כן תמונה כוללת

We say that for every number divided by another number, the product of the quotient by the divisor is the same as the dividend. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{A}{B}\sdot B=A}}$	ונאמ' כי כל מספר שיהיה נחלק על מספר אחר יהיה הכאת העולה לכל חלק במספר המחלק כמו המספר הנחלק
Example: we divide number A by number B; the quotient is G. $\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}$	משל זה שחלקנו מספר א' על מספר ב' ועלה לכל חלק ג‫'
We say that the product of B by G is the same as A. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=A}}$	ונאמ' שהכאת ב' בג' הוא כמו א‫'
The proof:	מופת זה
A is already divided by G and the result is G, so the multiples of G in A are as the number of units in B. $\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}$	כי א' כבר נחלק על ב' והיה ג' ולכן יהיו מדמיוני ג' בא' כמספר מה שבב' מן האחדים
Therefore, the ratio of G to A is the same as the ratio of one to B. $\scriptstyle{\color{blue}{G:A=1:B}}$	ומפני זה יהיה יחס ג' אל א' כיחס האחד אל ב‫'
So, the product of B by G is the same as the product of one by A. But, the product of one by A, which is the product of B by G, is also A. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=1\times A=A}}$	ולכן יהיה מהכאת ב' בג' כמו הכאת האחד בא' אבל הכאת האחד בא' הוא אם כן הכאת ב' בג' הוא גם כן א‫'
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר
He said: if you are told: divide the root of nine by the root of four. $\scriptstyle\sqrt{9}\div\sqrt{4}$	‫^[26]אמ' ואם יאמרו לך תחלק שרש תשעה על שרש ארבעה
Divide nine by four; the quotient is two and a quarter.	הנה תחלק תשעה על ארבעה ויגיע לכל חלק שנים ורביע
Extract its root; it is one and a half and this is the root of nine divided by the root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\div\sqrt{4}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	תקח שרשו והוא אחד וחצי וככה הוא שרש תשעה מחולק על שרש ארבעה
If it is said: divide ten by a root of two. $\scriptstyle\sqrt{10}\div\sqrt{2}$	ואם אמרו תחלק שרש עשרה על שרש שנים
The quotient is five. Extract its root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\div\sqrt{2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}$	ויגיע לחלק חמשה וקח שרשו
If you are told: divide two roots of twenty by three roots of six. $\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}$	ואם אמר לך תחלק שנים שרשים מעשרים על שרשים שלשה מששה
Search the root of which number are two roots of twenty.	תחפש שני שרשים מעשרים לאי זה מספר הם שרש
We know from what we explained that they are a root of eighty. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{20}=\sqrt{80}}}$	וידענו ממה שבארנו שהם שרש לשמונים
Search also the root of which number are three roots of six.	ותחפש כמו כן שלשה שרשים מששה לאי זה מספר הם שרש
They are a root of fifty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt{6}=\sqrt{54}}}$	והנה הם שרש לחמשים וארבעה
It is as if one asks to divide a root of eighty by a root of fifty-four. $\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}$	ויהיה כאלו שאל לחלק שרש שמנים על שרש ארבעה וחמשים
We divide eighty by fifty-four; the quotient is one integer, four-ninths, and a third of a ninth.	והנה נחלק שמנים על ארבעה וחמשים ויעלה אל החלק אחד שלם וארבעה תשיעיות ושלישית התשיעית
The root of this is the quotient resulting from the division of two roots of twenty by three roots of six.	ושרש זה הוא העולה אל החלק מחלוקת שני שרשים מעשרים על שלשה שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}=\sqrt{\frac{80}{54}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\right)}}}$
Proceed with all that is of this kind as in this procedure.	וכמו כן כל אשר יגיע בידך מזה המין תעשה עמו כמעשה הזה
Geometrical illustration
He said: we give for this type also a general geometric illustration:	אמ' ונניח גם כן לזה המין תמונה כוללת
We say that for every two numbers, one of which is divided by the other, the root of the quotient is the same as the quotient of the root of the dividend divided by the root of the divisor. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}}}$	ונאמ' כי כל שני מספרים שיחלק אחד מהם על האחר יהיה שרש העולה לחלק כמו העולה מחלוקת שרש המספר הנחלק בשרש המספר המחלק


Example: number A is divided by number B and the result is number G. $\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}$	משל שמספר א' נחלק על ב' מספר ב' ועלה מספר ג‫'
The root of A, which is number C, is divided by the root of B, which is number D; the quotient is number E. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{A}\div\sqrt{B}=C\div D=E}}$	ושרש א' שהוא מספר ח' נחלק על שרש ב' שהוא מספר ד' ועלה לחלק מספר ע‫'
We say that E is the same as the root of G. $\scriptstyle{\color{blue}{E=\sqrt{G}}}$	ונאמ' שע' הוא כמו שרש ג‫'
The Proof:	המופת בזה
We multiply E by itself and the result is M. $\scriptstyle{\color{blue}{E^2=M}}$	שנכה ע' בעצמו והיה מ‫'
A is divided by B; it is G. $\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}$	הנה א' נחלק על ב' והיה ג‫'
So, [A] returns by the multiplication of B by G. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=A}}$	ולכן מהכאת ב' בג' ישוב ד‫'
D is multiplied by E and the result is C. $\scriptstyle{\color{blue}{D\times E=C}}$	וכמו כן ד' הוכה בע' והיה ח‫'
But, D is already multiplied by itself and the result is B. $\scriptstyle{\color{blue}{D^2=B}}$	וכבר הוכה ד' בעצמו והיה ב‫'
Therefore, the ratio of D to E is the same as B to C. $\scriptstyle{\color{blue}{D:E=B:C}}$	ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כב' אל ח‫'
E is multiplied by itself and the result is M. $\scriptstyle{\color{blue}{E^2=M}}$	וע' הוכה בעצמו והיה מ‫'
It is multiplied by D and the result is C. $\scriptstyle{\color{blue}{E\times D=C}}$	והוכה בד' והיה ח‫'
Therefore, the ratio of D to E is the same as the ratio of C to M. $\scriptstyle{\color{blue}{D:E=C:M}}$	ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כיחס ח' אל מ‫'
But, the ratio of B to C is also the same as D to E. $\scriptstyle{\color{blue}{B:C=D:E}}$	וכבר היה יחס ב' אל ח' גם כן כד' אל ע‫'
Therefore, the ratio of B to C is the same as C to M. $\scriptstyle{\color{blue}{B:C=C:M}}$	ולכן יהיה יחס ב' אל ח' כח' אל מ‫'
So, the product of B by M is the same as the product of C by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times M=C^2}}$	והכאת ב' במ' תהיה כמו הכאת ח' בעצמו
But, the product of C by itself is A. $\scriptstyle{\color{blue}{C^2=A}}$	אבל הכאת ח' בעצמו היא א‫'
Hence, the product of B by M is also A. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times M=A}}$	ולכן הכאת ב' במ' היא גם כן א‫'
B is already multiplied by G and the result is also A. $\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=A}}$	וכבר הוכה ב' גם כן בג' והיה כמו כן א‫'
Then M is equal to G. $\scriptstyle{\color{blue}{M=G}}$	אם כן מ' הוא שוה לג‫'
But, E is the root of M. $\scriptstyle{\color{blue}{E=\sqrt{M}}}$	אבל ע' היה שרש למ‫'
Therefore, E is also the root of G. $\scriptstyle{\color{blue}{E=\sqrt{G}}}$	ולכן יהיה גם כן ע' שרש לג‫'
Q.E.D.	והוא מש"ל
Chapter on the Addition of the Roots one the the other and Their Subtraction	פרק בחבור השרשים האחד עם האחר ובגרעונם
Addition of Roots
He said: when you wish to add a root of a number to a root of another number so that a root of a certain square is summed from them:	אמ' כאשר תרצה לחבר שרש מספר מהמספרי' עם שרש מספר אחר עד שיקובץ מהם שרש מרובע מה
This cannot be done with every number, but it is possible for two [perfect] square numbers, i.e. numbers that have a root; or for two numbers, such that when one [of them] is divided by the other, the quotient has a root, and when one [of them] is multiplied by the other, the product has a root.	הנה לא יהיה נכון לעשות זה בכל מספר אבל יתכן זה בשני מספרי' מרובעי' רצו' שיחזיקו שרש או בשני מספרים שכאשר נחלק האחד על האחר יהיה לאשר עלה אל החלק שרש וכאשר תכה האחד באחר היה אל המקובץ שרש
For numbers other than these it is not possible that you sum their two roots to a single root.	ובמספרי' אחרים זולת אלו אי אפש' שתחבר שני שרשיהם עד שתשיבם שרש אחד
The same property is found in the subtraction of roots one from the other.	וכמו כן הענין בגרעון השרשים האחד מהאחר
This is especially clear when both numbers are [perfect] squares.	ואלו יהיו מאד ‫^[27]מבוארים כאשר יהיו שני המספרים מרובעי‫'
As if you say: nine and four - we wish to sum their roots so that they become a root of a single number. $\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}$	כאלו תאמ' תשעה וארבעה ורצינו לחבר שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד
Sum up nine and four; it is [thirteen]. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{9+4=13}}$	תחבר תשעה וארבעה ויהיו שלשה ותשמרם
Multiply nine by four; it is thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}$	ותכה תשעה בארבעה ויהיו שלשים ושש
Take its two roots; they are twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{36}=12}}$	ותקח שני שרשיו והם שתיים עשרה
Add it to the reserved; it is twenty-five and it is the same as the sum of the root of nine and the root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}$	תחברם עם השמור ויהיו עשרים וחמשה והם כמו שרש תשעה ושרש ארבעה מקובצים
Geometrical illustration
He said: I will explain this by this geometric illustration:	אמ' ואבאר זה בזאת התמונה

We suppose line AB is a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}$	והוא שנניח קו א"ב שרש לתשעה
Line AG is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=\sqrt{4}}}$	וקו א"ג שרש לארבעה
We wish to know the root of which number is line GB?	ונרצה שנדע קו ג"ב שרש לאי זה מספר הוא
We construct square GZ on line GB. $\scriptstyle{\color{blue}{GZ=GB^2}}$	נעשה על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ז
We construct square ABKL on line AB. $\scriptstyle{\color{blue}{ABKL=AB^2}}$	ונעשה על קו א"ב שטח מרובע עליו אבכ"ל
We extend line AK straight to point C.	ונוציא קו א"כ על יושר עד נקודת ח‫'
We also extend line LK to point E.	וכמו כן נוציא קו ל"כ עד נקודת ע‫'
Surface KB is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{KB=9}}$	הנה שטח כ"ב הוא תשעה
Since line AB is a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}$	בעבור כי היה קו א"ב שרש לתשעה
Surface EC is four. $\scriptstyle{\color{blue}{EC=4}}$	ושטח ע"ח הוא ארבעה
Since line EB, which is its side, is equal to AG, which we have assumed that is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{EB=AG=\sqrt{4}}}$	בעבור כי קו ע"ב שהוא צלעו הוא שוה לא"ג שהנחנוהו שרש לארבעה
Surface AE is [six]. $\scriptstyle{\color{red}{AE=6}}$	ושטח א"ע הוא תשע‫'
Because it is generated from the product of line AB, which is the same as a root of nine, by line AG, which is a root of four, so it is six, according to what we explained above in the chapter on the multiplication of a root by a root. $\scriptstyle{\color{blue}{AE=AB\times AG=\sqrt{9}\times\sqrt{4}=6}}$	כי הנה הוא מהכאת קו א"ב שהוא כמו שרש תשעה בקו א"ג שהוא שרש לארבעה ולכן הנה הוא ששה ממה שבארנו למעלה בפרק הכאת שרש בשרש
Surface LC is also six. $\scriptstyle{\color{blue}{LC=6}}$	וכמו כן יהיה שטח ל"ח גם כן ששה
The sum of these four surfaces is twenty-five and they are the whole surface GZ. $\scriptstyle{\color{blue}{GZ=KB+EC+AE+LC=25}}$	ומקובץ כל אלו הארבעה שטחי' הנה הוא עשרים וחמשה והם כל שטח ג"ז
Line BG, which is its root, is five. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=\sqrt{GZ}=\sqrt{25}=5}}$	וקו ב"ג שהוא שרשו יהיה חמשה
Q.E.D.	והוא מש"ל
Subtraction of Roots
He said: when you wish to subtract a root of four from a root of nine, so that what remains is a root of a single number. $\scriptstyle\sqrt{9}-\sqrt{4}$	אמ' וכאשר תרצה לגרוע שרש ארבעה משרש ~~ששה~~ תשעה עד שיהיה מה שישאר שרש למספר אחד
Add nine to four; it is thirteen. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{9+4=13}}$	תחבר התשעה עם הארבעה ויהיו שלשה עשר ותשמרם
Multiply nine by four; it is thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}$	ותכה תשעה וארבעה ויהיו שלשים ושש
Take its two roots; they are twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{36}=12}}$	ותקח שני שרשיו והם שנים עשר
Subtract it from the reserved; one remains.	ותגרעם מהשמור וישאר אחד
The root of one, which is one, is the remainder of the root of nine, when you subtract a root of four from it. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}-\sqrt{4}=\sqrt{13-12}=\sqrt{1}=1}}$	ושרש האחד הוא יהיה הנשאר מהשרש תשעה בגרעך ממנו שרש ארבעה והוא אחד
Geometrical illustration
I will explain it to you by this geometric illustration:	ואבאר לך זה בזאת התמונ‫'

We suppose line AB is a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}$	נניח קו א"ב שרש לתשעה
Line AG is a root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=\sqrt{4}}}$	וקו א"ג שרש לארבעה
When we subtract line AG from line AB, line GB remains. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=AB-AG}}$	וכאשר נגרע קו א"ג מקו א"ב ישאר קו ג"ב
We wish to know the root of which number is the number of line GB?	ורצינו לדעת מספר קו ג"ב לאי זה מספר הוא שרש
We construct square AZ on line AB. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=AB^2}}$	נשים על קו א"ב שטח מרובע עליו א"ז
The area of AZ is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=9}}$	ויהיה שטח א"ז תשעה
We construct square AM on line AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=AG^2}}$	ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו א"מ
The area of AM is four. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=4}}$	ויהיה שטח א"מ ארבעה
Extend lines GM and CM straight to points N and K.	ותוציא קוי ג"מ וח"מ על יושר עד שתי נקודות נ' וכ‫'
It is known that square MZ is the same as the product of line GB by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{MZ=GB^2}}$	הנה הוא ידוע כי מרובע מ"ז הוא כמו הכאת קו ג"ב בעצמו
Since line MG, which is its side, is equal to line GB. $\scriptstyle{\color{blue}{MG=GB}}$	בעבור כי ~~הכאת~~ קו מ"ג שהוא צלעו הוא שוה לקו ג"ב
Surface CK is two. $\scriptstyle{\color{blue}{CK=2}}$	ושטח ח"כ הוא שנים
Since the whole surface AK is six, because it is generated from the product of line AG, which is a root of four, by line AH, which is a root of nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AK=AG\times AH=\sqrt{4}\times\sqrt{9}=6}}$	בעבור כי היה כל שטח א"כ ששה מפני כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שרש לארבעה בקו א"ה שהוא שרש לתשעה
Surface AM is four. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=4}}$	ושטח א"מ היה ארבעה
Therefore, the remaining surface CK is two. $\scriptstyle{\color{blue}{CK=AC-AM=2}}$	ולזה ישאר שטח ח"כ שנים
Surface MB is also two. $\scriptstyle{\color{blue}{MB=2}}$	וכמו כן יהיה שטח מ"ב שנים
So, the sum of the three surfaces CK, MB, and AM is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{CK+MB+AM=8}}$	הנה כי מקובץ שלשה שטחי ח"כ מ"ב א"מ הוא שמנה
But, the whole surface AZ is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=9}}$	אבל כל שטח א"ז היה תשעה
Hence, the remaining surface MZ is one. $\scriptstyle{\color{blue}{MZ=1}}$	הנה כי ישאר שטח מ"ז אחד
Line MN that is equal to line GB is its root, which is one. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=MN=\sqrt{MZ}=\sqrt{1}=1}}$	וקו מ"נ השוה לקו ג"ב הוא שרשו והוא אחד
Q.E.D.	והוא מש"ל
He said: if we wish to sum up the root of eighteen with the root of eight, so they become a root of a single number. $\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}$	‫^[28]אמר ואם רצינו לחבר שרש שמנה עשר עם שרש שמנה עד שיהיו שרש למספר אחד
We know that their sum is appropriate.	הנה ידענו כי חבורם נכון
Because, when we divide eighteen by eight, the quotient is two and a quarter and it has a root, for its root is one and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	בעבור כי כאשר חלקנו שמנה עשר על שמנה יגיע לחלק שנים ורביע והם מחזיקים שרש כי שרשם הוא אחד וחצי
If we divide eight by eighteen, the quotient is four-ninths and it has a root - its root is two-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{8}{18}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}}}$	ואם חלקנו שמנה ~~עשר~~ על שמנה עשר יגיע לחלק ארבע תשיעיות והם מחזיקים שרש ושרשם הוא שני שלישים
If you multiply eighteen by eight, it is 144 and it has a root - its root is twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18\sdot8}=\sqrt{144}=12}}$	ואם תכה שמנה עשר בשמנה יהיו קמ"ד ומחזיקים שרש ושרשם שתים עשרה
We already noted that for any two numbers that obey this rule, i.e. that have these three properties, we can sum up their two roots so they become a root of a single number.	וכבר אמרנו כי כל שני מספרים יהיה משפטם זה המשפט ר"ל שיסוגלו באלו השלש סגולות הנה אז יהיה נכון לנו לקבץ שני שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד
If one of the three properties is absent, all three properties are absent.	וכאשר יבצר מהם אחת מאלו השלש סגולות יהיו שלשתם נמנעות מהן
When we wish to know the root of which number is the sum of the two roots we mentioned, follow the procedure we said earlier. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{18}+\sqrt{8}}}$	וכאשר רצינו לדעת קבוץ השני שרשים אשר אמרנו לאיזה מספר הם שרש תעשה כפי המעשה שאמרנו קודם
It is that you sum up eight with eighteen; it is twenty-six. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{8+18=26}}$	והוא שתחבר שמנה עם שמנה עשר ויהיו ששה ועשרים ותשמרם
Multiply eight by eighteen; the result is 144. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot18=144}}$	ותכה שמנה בשמנה עשר ויעלה קמ"ד
Take its two roots; they are twenty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{144}=24}}$	ותקח שני שרשיו והוא ארבעה ועשרים
Add it to the reserved; it is fifty.	ותחברם עם השמור ויהיו חמשים
Its root is the same as the sum of the root of eight and the root of eighteen. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}+\sqrt{8}=\sqrt{26+24}=\sqrt{50}}}$	ושרשו הוא כמו שרש שמנה ושרש שמנה עשר מקובצים
If we want to subtract the root of eight from the root of eighteen. $\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}$	ואם באנו לגרוע שרש שמנה משרש שמנה עשר
Subtract twenty-four from the reserved; two remains and the root of two is what remains from the root of eighteen, when the root of eight is subtracted from it. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}}}$	תגרע הארבעה ועשרים מהשמור וישארו שנים ושרש שנים הוא מה שישאר משרש שמנה עשר כאשר יגרע ממנו שרש שמנה
He said: if we wish to sum up the root of ten with the root of two. $\scriptstyle\sqrt{10}+\sqrt{2}$	אמ' ואם רצינו לחבר שרש עשרה עם שרש שנים
This cannot be summed to a root of a single number.	זה לא יתכן לחברו גם לא יתכן להיות מקובצם שרש למספר אחד
Because, when you divide ten by two, the quotient is five and five has no root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}$	כי הנה כאשר תחלק עשרה על שנים יגיע לחלק חמשה וחמשה אינם מחזיקים שרש
When you divide two by ten, the quotient is fifth and the fifth has no root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{10}}=\sqrt{\frac{1}{5}}}}$	וכאשר תחלק שנים על עשרה יגיע לחלק חומש ואין שרש לחומש
When you multiply two by ten, it is twenty and twenty has no root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10}=\sqrt{20}}}$	וכאשר תכה שנים בעשרה יהיו עשרים ואין לעשרים שרש
If we sum them by the mentioned method, the root of two roots of twenty plus twelve is the sum of the root of ten and the root of two. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}+\sqrt{2}=\sqrt{12+2\sqrt{20}}}}$	ואם קבצנום על הדרך האמור יהיה השרש משנים שרשים מעשרים מקובצים עם שנים עשר הוא שרש עשרה ושרש שנים מקובצים
If we subtract one from the other by the mentioned method, we get that the root of the remainder of twelve after two roots of twenty are subtracted from it is the same as what remains from the root of ten when the root of two is subtracted from it. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}-\sqrt{2}=\sqrt{12-2\sqrt{20}}}}$	ואם גרענו האחד מהאחר על הדרך האמור יצא לנו כי שרש הנשאר משנים עשר כאשר יגרע מהם שנים שרשים מעשרים הוא כמו ~~שרש~~ מה שישאר משרש עשרה כאשר יגרע ממנו שרש שנים
The question is more proper than the answer.	והשאלה בזה יותר נכונה מהתשובה
When you are asked a question of this kind, your answer should be exactly similar to what was introduced to you.	וראוי לך כאשר ישאלו ממך אי זו השאלה מזה הסוג שתהיה תשובתך עליה על דמיון אשר יוציאו לפניך בשוה
Because, when it is said "the root of ten and the root of two summed together", it is more proper than saying "the root of twelve plus two roots of twenty".	כי כאשר יאמר שרש עשרה ושרש שנים מקובצי' הוא יותר נכון ממאמ' שרש שנים עשר ושני שרשים מעשרים
Also, for subtracting one from the other: it is more proper to say "the root of ten minus the root of two", than to say "the root of twelve minus two roots of twenty, which is the root of eighty".	וכמו כן בגרעון האחד מהאחר יותר נכון הוא לאמר שרש ~~שנים~~ עשרה פחות שרש שנים מלאמר שרש שנים עשר פחות שני שרשים מעשרים שהוא שרש שמנים
What I have explained about it is sufficient and complete.	ודי במה שבארתי מזה ובו השלמה
Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations	‫^[29]פרק
He said: I give you a question for each of the six types [of canonical equations] that we noted first, which the algebraists may have already taught you:	אמ' הנני עושה לך שאלה לכל חלק מהששה חלקים אשר הודענו ראשונה ואפש' שכבר יורוך אותם חכמי האלגבר
[1] He said: the first problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger by itself is the same as one time and a half of the product of the one part by the other. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=\left(a\sdot b\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(a\sdot b\right)\end{cases}$	אמ' והשאלה הראשונה היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שתהיה הכאת החלק הגדול בעצמו כמו פעם וחצי מהעולה מהכאת החלק האחד באחר
The procedure is that we suppose the larger part is one thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ] and the other part is ten minus a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	והמעשה בזה הוא שנניח החלק הגדול דבר אחד והחלק האחר ישאר עשרה פחות דבר
We multiply a thing by ten minus a thing; it is ten things minus a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}$	ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע
We multiply the larger part, which is a thing, by itself; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ונכה החלק הגדול והוא דבר בעצמו והוא מרובע
This square is as the ten things minus a square plus its half. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(10x-x^2\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(10x-x^2\right)}}$	והיה זה המרובע כמו העשרה דברי' פחות מרובע וכמו חצי זה
We multiply ten things minus a square by one and a half; the result is fifteen things minus a square and a half and they are as the square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10x-x^2\right)=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)=x^2}}$	ונכה עשרה דברים פחות מרובע באחד וחצי ויעלה חמשה עשר דברים פחות מרובע וחצי והם יהיו כמו המרובע
Restoration:
Restore the square and a half with the 15 things until they are fifteen whole things; add the square and a half to the square. $\scriptstyle{\color{blue}{15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)+\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)=x^2+\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}$	ותאסוף המרובע וחצי עם הט"ו דברים עד שיהיו חמשה עשר דברים שלמים וכמו כן תקבץ המרובע וחצי עם המרובע
So, they are two squares and a half equal fifteen things. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot x^2=15x}}$	ואז יהיה שנים מרובעים וחצי יהיו שוים לחמשה עשר דברים
Normalization
Convert them into one square: the square equals six things. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6x}}$	והשיבם אל מרובע אחד ויהיה המרובע ישוה לששה דברים
The thing equals six and it is the larger part. $\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}$	והדבר ישוה ששה והוא החלק הגדול
Four, which is what is left of the ten, is the smaller part. $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}$	וארבעה הנשאר מהעשרה הוא החלק הקטן
I have shown you this problem [to demonstrate] the first of the six categories [of canonical equations], which is his saying: when the squares equal roots [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2=bx}}$ ].	וזאת השאלה הראיתיך לחלק הראשון מהששה חלקים והוא אמרו כאשר המרובעים יהיו שוים אל השרשים
Geometrical illustration of the problem
He said: I will explain this problem to you using a geometric illustration:	אמ' ואבאר לך זאת השאלה בתמונ' גימטרית

It is that we suppose line AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
We cut it into two unequal parts at point G:	ונחלק בנקודת ג' לשני חלקים בלתי שוים
Line AG is the larger part [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ].	קו א"ג הוא החלק הגדול
Line GB is the smaller part [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	וקו ג"ב החלק הקטן
We multiply line AG by line BG; it is surface GD. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times BG=GD}}$	והכינו קו א"ג בקו ב"ג והיה שטח ג"ד
For, we suppose BD is the same as AG. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=AG}}$	כי שמנו ב"ד כמו א"ג
We multiply AG by itself; it is square AH. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=AH}}$	והכינו א"ג בעצמו והיה מרובע א"ה
We suppose that the area of square AH is as the area of GD plus its half. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=GD+\frac{1}{2}GD}}$	ונניח כי יהיה שטח מרובע א"ה כמו שטח ג"ד וכמו חציו
Hence, line GA is as line GB plus its half. $\scriptstyle{\color{blue}{GA=GB+\frac{1}{2}GB}}$	ולכן יהיה קו ג"א כמו קו ג"ב וכמו חציו
So, the whole line AB is as two and a half times line GB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=2\frac{1}{2}GB}}$	ויהיה קו א"ב כלו כמו קו ג"ב שני פעמים וחצי
But, line AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	אבל קו א"ב הוא עשרה
We divide ten by two and a half; the quotient is four, so line BG is four. $\scriptstyle{\color{blue}{BG=a=x=\frac{10}{2+\frac{1}{2}}=4}}$	ונחלק עשרה לשנים וחצי ויעלה לחלק ארבעה ולכן יהיה קו ב"ג הוא ארבע‫'
Line AG is six. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=b=10-x=6}}$	וקו א"ג הוא ששה
Q.E.D.	והוא מש"ל
[2] He said: and the second problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that the product of ten by itself is the same as the product of one of the parts by itself 6¼ times. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle10^2=a^2\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\end{cases}$	אמ' והשאלה השנית כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת עשרה בעצמו כמו הכאת העולה מהכא' אחד החלקי' בעצמו ששה פעמים ורביע
The procedure is that we suppose one part is a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ].	והמעשה בזה שנניח החלק האחד דבר
We multiply it by itself; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	ונכהו בעצמו והוא מרובע
We multiply the ten by itself; it is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}$	ונכה העשרה בעצמם והיו מאה
The one hundred is as six and a quarter times the square. Multiply the square by six an a quarter; it is six squares and a quarter equal one hundred dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100}}$	ואלו המאה היו כמו המרובע ששה פעם ורביע הנה תכה המרובע בששה ורביע ויהיה ששה מרובעים ורביע ישוו מאה דרהמי
Normalization
Convert them into one square by dividing one hundred by six and a quarter that are 25-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100 /\sdot\frac{4}{25}=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	והשיבם אל מרובע אחד והוא שתחלק מאה על ששה ורביע שהם כ"ה רביעיות
Each quarter gets four and each square gets sixteen; so the square equals sixteen dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}$	ויעלה לכל רביע ארבעה ולכל מרובע יעלה שש עשרה ויהיה המרובע שוה ששה עשר דרהמי
Its root is four and this is the required part. $\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}$	ושרשם ארבעה והוא החלק המבוקש
I have shown you this problem [to demonstrate] the second of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when the squares equal numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2=c}}$ ].	וזאת השאלה הראיתי לך לחלק השני מהששה ‫^[30]והוא האומר כאשר המרובעים ישוו אל מספרים
Geometrical illustration of the problem
He said: I will explain this problem to you using this illustration:	אמ' ואבאר לך זאת השאלה בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
Line GB is the sought number.	וקו ג"ב ממנו הוא המספר המבוקש
We multiply line AB by itself; the result is surface AM, which is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{AB^2=AM=10^2=100}}$	ונכה קו א"ב בעצמו ויצא שטח א"מ והוא מאה
We multiply line GB by itself; it is square GD. $\scriptstyle{\color{blue}{GB^2=GD}}$	ונכה קו ג"ב בעצמו ויהיה מרובע ג"ד
We suppose that the surface AM, which is one hundred, is as six times and a quarter of surface GD. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=100=6\frac{1}{4}GD}}$	והנחנו ששטח א"מ שהוא מאה יהיה כמו ששה פעמים ורביע שטח ג"ד
We cut square GD into four identical segments, each of which is equal to surface BC.	ונחלק מרובע ג"ד לארבעה חלקים שוים כל חלק מהם יהיה כמו שטח ב"ח
Since surface AM is six times and a quarter of surface GD, it is twenty-five times surface BC, which is a quarter of surface GD. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=100=6\frac{1}{4}GD=25\sdot\left(\frac{1}{4}GD\right)=25BC}}$	הנה מפני שהיה שטח א"מ ששה פעמי' ורביע שטח ג"ד יהיה עשרים וחמשה פעמים כמו שטח ב"ח שהוא רביעיתו שהוא שטח ג"ד
But, surface AN is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=100}}$	אבל שטח א"מ הוא מאה
Therefore, surface BC is four. $\scriptstyle{\color{blue}{BC=4}}$	ולכן יהיה שטח ב"ח ארבעה
Surface GD is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=16}}$	ושטח ג"ד ששה עשר
Line GB, which is its root, is four and this is the required part. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=\sqrt{GD}=4}}$	וקו ג"ב שהוא שרשו יהיה ארבעה והוא החלק המבוקש
Q.E.D.	והוא מש"ל
[3] He said: the third problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that when you divide the larger part by the smaller part the quotient is four. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=4\end{cases}$	אמ' והשאלה השלישית היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר תחלק החלק הגדול על החלק הקטן יגיע לחלק ארבעה
The procedure is that we suppose the smaller part is a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ] and the larger [part] is ten minus a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	המעשה בזה הוא שנניח החלק הקטן דבר והגדול עשרה פחות דבר
We divide ten minus a thing by a thing; the quotient is four. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=4}}$	וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר והגיע לחלק ארבעה
I have already shown you that when you multiply the quotient by the divisor you get the dividend $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{A}{B}\sdot B=A}}$	כבר הראיתיך כי כאשר תכה המגיע לחלק על המחלק שיעלה לידך המספר המחולק
Therefore, multiply four by a thing; the result is four things and they are equal to ten minus a thing $\scriptstyle{\color{blue}{4x=10-x}}$	ולכן תכה ארבעה בדבר ויעלה ארבעה דברים וישוו לעשרה פחות דבר
Restoration:
Restore the thing with the ten until they become ten whole dirham by adding the thing to the four things. $\scriptstyle{\color{blue}{10-x+x=4x+x}}$	ותאסוף הדבר עם העשרה עד שיהיו עשרה דרהמי שלמים ותוסיף דבר על הארבעה דברים
It is ten dirham equal five things. $\scriptstyle{\color{blue}{10=5x}}$	ויהיה עשרה דרהמי ישוו חמשה דברים
The thing equals two dirham and it is the smaller part; the larger part is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{x=2\quad10-x=8}}$	והדבר יהיה שוה שני דרהמי והוא החלק הקטן והחלק הגדול ישאר שמנה
I have shown you this problem [to demonstrate] the third of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when the things equal numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx=c}}$ ].	וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק השלישי מהששה חלקים והוא האומר כאשר הדברים ישוו למספרים
Geometrical illustration of the problem
He said: we will explain this problem using this illustration:	אמ' ונבאר זאת השאלה בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	והוא שנניח קו א"ב הוא עשרה
Line GB is the smaller part [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ].	וקו ג"ב ממנו הוא החלק הקטן
Line AG is the larger part [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	וקו א"ג החלק הגדול
When we divide line AG by line GB, the quotient is four. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{AG}{GB}=4}}$	וכאשר חלקנו קו א"ג על קו ג"ב יעלה לחלק ארבעה
Line AG is four times GB. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=4GB}}$	הנה כי קו א"ג ארבעה דמיוני ג"ב
So, the whole line AB is five times GB. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=5GB}}$	ולכן קו א"ב כלו יהיה חמשה דמיוני ג"ב
GB is a fifth of AB. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=\frac{1}{5}AB}}$	וג"ב הוא חמישית א"ב
But AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	אבל א"ב הוא עשרה
Therefore, GB is two. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=2}}$	אם כן ג"ב הוא שנים
Q.E.D.	והוא מש"ל
[4] He said: the fourth problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger part by itself is the same as the product of the smaller part multiplied by nine. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=9b\end{cases}$	אמ' והשאלה הרביעית היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת החלק הגדול בעצמו כמו הכאת החלק הקטן בתשעה
The procedure is that we suppose the larger part is a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ] and the smaller [part] is ten minus a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	המעשה בזה שנשים החלק הגדול דבר והקטן עשרה פחות דבר
We multiply a thing by itself; it is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}$	והכינו דבר בעצמו והיה מרובע
We multiply ten minus a thing by nine; the result is ninety dirham minus nine things and they are equal to the square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot9=90-9x=x^2}}$	והכינו עשרה פחות דבר בתשעה ועלה תשעי' דרהמי פחות תשעה דברים והיו אלו שוים אל המרובע
Restoration:
Restore the nine things with the ninety dirham and add them to the square. $\scriptstyle{\color{blue}{90-9x+9x=x^2+9x}}$	תאסוף התשעה דברים עם התשעים דרהמי ותוסיפם על המרובע
It is ninety dirham equal a square plus nine things. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x=90}}$	ויהיה תשעים דרהמי ישוו למרובע ותשעה דברים
As I have already shown you, this case has two solution methods: one reveals the thing to you and the other reveals the square to you.	וכבר הראיתיך לזה המבוקש שני אופנים האחד ~~ב דבר~~ יראה לך הדבר והאחר יראך המרובע
The method that reveals to you the thing, which is the greater part, is that you take half [the number of] the things, which is four and a half.	והאופן אשר יראה לך הדבר שהוא החלק הגדול הוא שתקח מחצית ‫^[31]הדברים והוא ארבעה וחצי
Multiply it by itself; it is twenty and a quarter.	ותכם בעצמם ויהיו עשרים ורביע
Add it to the ninety; it is one hundred and ten and a quarter.	ותקבצם עם התשעים ויהיו מאה ועשר ורביע
Extract its root; it is ten and a half.	תקח שרש זה והוא עשרה ~~ורביע~~ וחצי
Subtract half [the number of] the things from it; six remains and it is the thing, which is the greater part.	תגרע מהם מחצית השרשים וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2+90}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)=\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)^2+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}-\left(4+\frac{1}{2}\right)=\left(10+\frac{1}{2}\right)-\left(4+\frac{1}{2}\right)=6\\\end{align}}}$
The method that reveals the square to you is that you multiply the nine things by themselves; it is eighty-one.	והאופן אשר יראה לך המרובע הוא שתכה התשעה דברים בעצמם ויהיו שמנים ואחד
Multiply it by ninety; it is seven thousand, two hundred and ninety. Keep it.	תכם בתשעים ויהיה שבעת אלפים ומאתים ותשעים ותשמרם
Take a half of eighty-one, which is forty and a half.	ותקח מחצית שמנים ואחד והוא ארבעים וחצי
Multiply it by itself; the result is 1640 and a quarter.	ותכם בעצמם ויעלה אלף תר"מ ורביע
Add it to the reserved; it is 8930 and a quarter.	ותקבצם עם השמור ויהיו שמנת אלפים תתק"ל ורביע
Extract its root; it is 94 and a half.	ותקח שרשם והוא צ"ד וחצי
Subtract it from the sum of forty and a half, which is half the product of the roots by themselves, with ninety, which is the number of the dirham that is equal to the square and the roots; their sum is 130 and a half.	תגרעם ממקובץ הארבעים וחצי שהוא מחצית הכאת השרשים בעצמם עם תשעים שהוא מספר הדרהמי אשר ישוו אל המרובע והשרשים ומקובצם הוא ק"ל וחצי
36 remains and it is the square; its root is six and it is the greater part.	וישאר ל"ו והם המרובע ושרשם ששה והוא החלק הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)+90-\sqrt{\left(9^2\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)^2}=\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)+90-\sqrt{\left(81\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(40+\frac{1}{2}\right)^2}=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(1640+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{8930+\frac{1}{4}}=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\left(94+\frac{1}{2}\right)=\left(130+\frac{1}{2}\right)-\left(94+\frac{1}{2}\right)=36\\\end{align}}}$
I have shown you this problem [to demonstrate] the fourth of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when squares and roots equal numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2+bx=c}}$ ].	וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק הרביעי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעים ושרשים ישוו למספרים
Geometrical illustration of the problem
He said: I will explain it using this illustration:	אמ' ואבארה לך בתמונה הזאת

It is that we suppose line AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
Line AG is the greater part [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ].	וקו א"ג החלק הגדול
Line GB is the smaller part [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	וקו ג"ב החלק הקטן
The product of line AG by itself is the same as the product of GB by nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=GB\times9}}$	והיה הכאת קו א"ג בעצמו כמו הכאת ג"ב בתשעה
We wish to know how much is the measure of AG?	ורצינו להודיע כמה שיעור קו א"ג
If we multiply AG by nine and GB by nine, the sum of their products is ninety. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG\times9\right)+\left(GB\times9\right)=90}}$	הנה אם הכינו א"ג בתשעה וג"ב בתשעה יהיה מקובץ העולה מהכאותיהם תשעים
Since AG by itself is the same as GB by nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=GB\times9}}$	ובעבור כי היה א"ג בעצמו כמו ג"ב בתשעה
Therefore, AG by nine and by itself is ninety. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG\times9\right)+AG^2=\left(AG\times9\right)+\left(GB\times9\right)=90}}$	יהיה מפני זה א"ג בתשעה ובעצמו יהיה תשעים
We suppose line AD is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=9}}$	ונניח קו א"ד תשעה
The product of AG by itself and by AD is ninety and it is the same as DG by GA. $\scriptstyle{\color{blue}{AG^2+\left(AG\times AD\right)=90=DG\times GA}}$	ויהיה העולה מהכאת א"ג בעצמו ובא"ד תשעים והוא כמו הכאת ד"ג בג"א
Line DA is nine. $\scriptstyle{\color{blue}{DA=9}}$	וקו ד"א תשעה
We cut it in half at point H [= H midpoint of DA].	ונחלק אותו לחצאין על נקודת ה‫'
Line AG is added to it.	ונוסף לארכו קו א"ג
The product of DG by GA is ninety. $\scriptstyle{\color{blue}{DG\times GA=90}}$	והיה מהכאת ד"ג בג"א תשעים
We add to it the product of AH by itself, which is twenty and a quarter; the result is a hundred and ten and a quarter and so should be the product of HG by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{HG^2=\left(AG\times DG\right)+AH^2=90+\left(20+\frac{1}{4}\right)=110+\frac{1}{4}}}$	ונקבץ עמהם הכאת א"ה בעצמו שהוא עשרים ורביע ועלו מאה ועשר ורביע וככה ראוי שתהיה הכאת ה"ג בעצמו
We extract its root; it is ten and a half and so is line HG. $\scriptstyle{\color{blue}{HG=\sqrt{110+\frac{1}{4}}=10+\frac{1}{2}}}$	ונוציא שרשם והוא עשרה וחצי וככה קו ה"ג
But, HA is four and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{HA=4+\frac{1}{2}}}$	אבל ה"א הוא ארבעה וחצי
So, AG remains six and it is the greater part. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=a=x=6}}$	ולכן ישאר א"ג ששה והוא החלק הגדול
GB [is four] and it is the smaller part. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=b=10-x=4}}$	וג"ב והוא החלק הקטן
Q.E.D.	ומש"ל
[5] He said: the fifth problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that when we multiply one part by the other the result is 21. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=21\end{cases}$	אמ' והשאלה החמישית כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר נכה החלק האחד באחר יעלה עשרים ~~ורביע~~ ואחד
The procedure is that we suppose one part is a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}$ ] and the other part is ten minus a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}$ ].	המעשה בזה שנניח החלק האחד דבר והחלק האחר יהיה עשרה פחות דבר
We multiply a thing by ten minus a thing; it is ten things minus a square equal twenty-one dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2=21}}$	ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע ויהיו שוים לעשרים ואחד דרהמי
Restoration:
Restore the square with the ten things minus a square and add it to the twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2+x^2=21+x^2}}$	תאסוף המרובע עם עשרת הדברים פחות מרובע ותוסיפהו על עשרים ואחד
It is a square and twenty-one dirham equal ten roots. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21=10x}}$	ויהיו מרובע ועשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה שרשים
I have already shown you above that this case has two solution methods, each method has two aspects.	וכבר הראיתיך למעלה כי לזה הענין שני אופנים ולכל אופן שני צדדים
The method that gives you the thing is that you take half [the number of] the things, which is five, and multiply it by itself; it is twenty-five.	והאופן אשר יוציא לך השרש הוא שתקח מחצית הדברים והוא חמשה ותכם בעצמם והיה עשרים וחמשה
Subtract twenty-one from it; four remains.	תגרע מהם העשרים ואחד וישאר ארבעה
Extract its root; it is two.	תקח שרשם והוא ‫^[32]שנים
Subtract it from five; three remains and it is the smaller number.	תגרעם מן החמשה וישארו שלשה והם החלק הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x_1=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5-\sqrt{5^2-21}=5-\sqrt{25-21}=5-\sqrt{4}=5-2=3}}$
The greater part is the remainder of ten, which is seven. $\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x_1=7}}$	והחלק הגדול הוא הנשאר מהעשרה והם שבעה
This is the subtraction aspect.	וזה צד המגרעת
If you want the addition aspect: add two to five; it is seven and it is the greater part. $\scriptstyle{\color{blue}{b=x_2=5+2=7}}$	ואם תרצה צד התוספת תוסיף השנים על החמשה והיו שבעה והם החלק הגדול
The smaller part is what remains from ten, which is three. $\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x_2=3}}$	והחלק הקטן הוא מה שנשאר מהעשרה והוא שלשה
The method that gives you the square is that you multiply the roots by themselves; it is a hundred.	והאופן אשר יוציא לך המרובע הוא שתכה השרשים בעצמם והיו מאה
Multiply it by 21 that is with the square; it is two thousand and one hundred. keep it.	ותכם בכ"א אשר עם המרובע ויהיו אלפים ומאה ותשמרם
Take half a hundred, which is fifty, and multiply it by itself; it is two thousand and five hundred.	ותקח מחצית המאה שהוא חמשים ותכם בעצמם ויהיו אלפים וחמש מאות
Subtract it from the two thousand and one hundred that you have kept; four hundred remains.	תגרע מהם האלפים ומאה אשר שמרת וישארו ארבע מאות
Extract its root; it is twenty.	תקח שרשם והוא עשרים
Subtract it from the fifty, which is half a hundred; thirty remains.	תגרעם מהחמישים שהם מחצית המאה וישארו שלשים
Subtract twenty-one from it; nine remains and it is the square.	ותגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה והם המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21=50-\sqrt{2500-2100}-21=50-\sqrt{400}-21=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}$
This is the subtraction aspect.	וזה צד המגרעת
The addition aspect is that you add the twenty to the fifty; it is seventy.	ומעשה התוספת הוא שתוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים
Subtract the twenty-one from it; forty-nine remains and it is the square. $\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=50+20-21=70-21=49}}$	תגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה וארבעים והם המרובע
I have shown you this problem [to demonstrate] the fifth of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when squares and numbers equal roots [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2+c=bx}}$ ].	וזאת השאלה הוציאתך אל החלק החמשי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעי' והמספרים ישוו אל השרשים
Geometrical illustration of the problem
He said: I will explain this using the following illustration:	אמ' ואבאר זה בזאת התמונה

It is that we suppose line AB is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}$	והוא שנניח קו א"ב עשרה
It is cut on G.	ונחלק על ג‫'
The product of AG by GB is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GB=21}}$	והיה מהכאת א"ג בג"ב עשרים ואחד
Cut line AB in half on H [= H midpoint of AB].	ותחלק קו א"ב לחצאי' על ה‫'
AB is cut into two equal segments on H, and into two unequal segment on G	הנה א"ב נחלק לשני חלקים שוים על ה' ולשני חלקים בלתי שוים על ג‫'
So, [the sum of] the products of AG by GB and HG by itself is the same as the product of HB by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG\times GB\right)+HG^2=HB^2}}$	ולכן יהיה העולה מהכאת א"ג בג"ב וה"ג בעצמו כמו העולה מהכאת ה"ב בעצמו
But, the product of HB by itself is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{HB^2=25}}$	אבל הכאת ה"ב בעצמו עשרים וחמשה
AG by GB is twenty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GB=21}}$	וא"ג בג"ב הוא עשרים ואחד
HG by itself remains is four. $\scriptstyle{\color{blue}{HG^2=4}}$	וישאר ה"ג בעצמו ארבעה
Its root is two; therefore, HG is two. $\scriptstyle{\color{blue}{HG=\sqrt{4}=2}}$	ושרשם הוא שנים ולכן יהיה ה"ג שנים
But, HB is five. $\scriptstyle{\color{blue}{HB=5}}$	אבל ה"ב היה חמשה
GB remains three. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=3}}$	וישאר ג"ב שלשה
AG is seven. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=7}}$	וא"ג יהיה שבעה
Q.E.D.	והוא מש"ל
[6] He said: the six problem is as if you are told: we add to a certain square [eight] dirham, then multiply the sum by four dirham and the result is the same as the product of the square [by itself]. $\scriptstyle4\sdot\left(X^2+8\right)=\left(X^2\right)^2$	אמ' והשאלה הששית כמו אם יאמרו לך הוספנו על ~~התמונ'~~ מרובע מה שלשה דרהמי והכינו המקובץ בארבעה דרהמי והיה העולה כמו הכאת ~~א"ב בעצמו~~ המרובע
The procedure is that we suppose the square is a thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{X^2=x}}$ ]	המעשה בזה הוא שנניח המרובע דבר
We add eight dirham to it; they are a thing and eight dirham.	וקבצנו עמו שמנה דרהמי והיו דבר ושמנה דרהמי
We multiply them by four; they are four things and thirty-two dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+8\right)\sdot4=4x+32}}$	הכינום בארבעה והיה ארבעה דברים ושנים ושלשים דרהמי
We multiply the thing by itself; it is a square and it equals four things and 32 dirham. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=32+4x}}$	והכינו הדבר בעצמו והוא מרובע וישוה אל ארבעה דברים ול"ב דרהמי
The method that gives you the thing is that you take half [the number of] the thing[s], which is two, and multiply it by itself; it is four.	והאופן אשר יוציא לך ~~הוא~~ הדבר הוא שתקח מחצית הדבר והוא שנים ותכם בעצמם והיו ארבעה
Add it to the 32; it is 36.	ותקבצם עם הל"ב והיו ל"ו
Extract its root; it is six.	תקח שרשם והוא ששה
Add it to half [the number of] the roots; it is eight and this is the square, because we assumed it is a thing.	תוסיפם על מחצית השרשים ויהיו שמנה וככה הוא המרובע כי הנה הנחנוהו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{X^2=x=\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+32}=2+\sqrt{2^2+32}=2+\sqrt{4+32}=2+\sqrt{36}=2+6=8}}$
The method that gives you the square is that you multiply the four roots by themselves; it is sixteen.	והאופן אשר כ יוציא לך המרובע הוא שתכה הארבעה שרשים בעצמם והיו ששה עשר
Multiply it by the [number of the] dirham, which is 32; the result is 512. Keep it.	ותכם באדרהמי שהם ל"ב ויעלה תקי"ב ותשמרם
Take a half of sixteen, which is eight, and multiply is by itself; it is sixty-four.	ותקח מחצית הששה עשר והוא שמנה ותכם בעצמם והיו ששים וארבע
Add it to the 512 you kept; the result is 576.	ותקבצם עם התקי"ב ששמרת ‫^[33]ויעלו תקע"ו
Extract its root; it is 24.	תקח שרשם והוא כ"ד
Add it to the eight, which is a half of sixteen, and with the 32; the result is sixty-four and it is the square that is equal to the roots and the numbers.	ותקבצם עם השמנה שהם מחצית השש עשרה ועם הל"ב ויעלו ~~שבעים~~ ששים וארבע והוא המרובע שישוה לשרשים ולמספרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)+\sqrt{\left(4^2\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)^2}+32=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\sqrt{\left(16\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2}+32=8+\sqrt{512+8^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+64}+32=8+\sqrt{576}+32=8+24+32=64\\\end{align}}}$
Extract it root; it is eight and this is the required number. $\scriptstyle{\color{blue}{X^2=\sqrt{64}=8}}$	ותקח שרשו והוא שמנה והוא המספר המבוקש
I have shown you this problem [to demonstrate] the sixth of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when numbers and roots equal square[s] [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{c+bx=ax^2}}$ ].	וזאת השאלה הוציאתך אל החלק הששי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המספרים והשרשים ישוו אל המרובע
Geometrical illustration of the problem
He said: I will explain this using the following illustration:	אמר ואבאר זה בזאת התמונה

It is that we suppose the square is line. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2}}$	והוא שנניח המרובע קו א"ב
The eight dirham are line AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=8}}$	והשמנה דרהמי קו א"ג
We suppose line BD is four. $\scriptstyle{\color{blue}{BD=4}}$	ונניח קו ב"ד ארבעה
We multiply line GB by line BD; it is surface GD. $\scriptstyle{\color{blue}{GB\times BD=GD}}$	ונכה קו ג"ב בקו ב"ד ויהיה שטח ג"ד
We multiply the square, which is line AB, by itself; it is surface AH. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2=AB^2=AH}}$	ונכה המרובע שהוא קו א"ב בעצמו והיה שטח א"ה
The area of GD is as the area of AH. $\scriptstyle{\color{blue}{GD=AH}}$	ויהיה שטח ג"ד בשעור שטח א"ה
We wish to know: how much is the size of line AB?	ורצינו לידע כמה שיעור קו א"ב
The area of AH is as the area of GD. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=GD}}$	הנה שטח א"ה כמו שטח ג"ד
We subtract surface AD, which is shared by both.	ונפיל שטח א"ד המשותף
Surface GM remains as surface MH. $\scriptstyle{\color{blue}{GM=MH}}$	וישאר שטח ג"מ כמו שטח מ"ה
But, surface GM is thirty-two, because it is generated from the product of AG, which is eight, by AM that is equal to BD, which is four. $\scriptstyle{\color{blue}{GM=AG\times AM=AG\times BD=8\times4=32}}$	אבל שטח ג"מ שלשים ושנים כי הוא מהכאת א"ג שהוא שמנה בא"מ השוה לב"ד שהוא ארבעה
Therefore, surface MH is thirty-two. $\scriptstyle{\color{blue}{MH=32}}$	ולכן שטח מ"ה הוא שלשים ושנים
Surface MH is as the product of AZ that is equal to ZH by ZH. $\scriptstyle{\color{blue}{MH=AZ\times ZH=ZH\times ZH}}$	ושטח מ"ה כמו הכאת א"ז השוה לז"ה בז"ה
Line AM is four. $\scriptstyle{\color{blue}{AM=4}}$	וקו א"מ הוא ארבעה
We cut it in half at point C [= C midpoint of AM].	ונחלק אותו לחצאין על נקודת ח‫'
Line ZM is added to it.	וכבר נוסף עליו קו ז"מ
So, the sum of the product of AZ by ZM, which is thirty-two, with the product of MC by itself, which is four, is thirty-six, which is as the product of HZ by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(AZ\times ZM\right)+MC^2=32+4=36=CZ^2}}$	ולכן יהיה הכאת א"ז בז"מ שהוא שלשים ושנים עם הכא' מ"ח בעצמו שהוא ארבעה ומקובצם שלשים ושש כמו הכאת ח"ז בעצמו
Hence, line CZ is six. $\scriptstyle{\color{blue}{CZ=6}}$	ומפני זה יהיה קו ח"ז ~~חמשה~~ ששה
But, line AC is two. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=2}}$	אבל קו א"ח הוא שנים
So, line AZ is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=8}}$	ולכן יהיה קו א"ז שמנה
AB is equal to AZ. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=AZ}}$	וא"ב הוא שוה לא"ז
Therefore, line AB is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2=8}}$	אם כן קו א"ב שמנה
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר

Additional excerpt

	שאלה אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקי' ותכה כל חלק על עצמו ותגרע הכאת החלק הקטן מהכאת הגדול וישאר שמונים
	המעשה בזה הוא שתשי' החלק הקטן דבר
	והגדול עשרה פחות דבר
	ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה דרהמי ופחות עשרים דברים
	ותכה הדבר על עצמו ויהיה מרובע
	ותגרעהו ממאה ומרובע פחו' עשרי' דברי' וישאר מאה דרהמי' פחות עשרי' דברי' ישוו שמנים דרהמי‫'
	ותשלים המאה דברי' עם עשרי' הדברי' ותוסיפם על השמנים ויהיה עשרי' דברי' ושמונים דרהמי ישוו למאה דרהמים
	תגרע השמנים מהמאה וישארו עשרי' דרהמי ישוו לעשרי' דברים והדבר ישווה אחד והוא החלק הקטן והגדול תשעה והוא הנשאר מן העשרה
	ואם עשינו החלק הגדול דבר והקטן עשרה פחות דבר
	תגרע מאה ומרובע פחות עשרי' דברי' ממרובע וישאר עשרים דברים פחות מאה דרהמי ישוו שמנים דברים
	ואולם תשלים עשרים הדברי' עם המאה דרהמי ותוסיפם על שמנים הדרהמי ויהיה מאה ושמנים דרהמי ישוו עשרי' דברי‫'
	והדבר ישווה תשעה והוא החלק הגדול והנשאר מהעשרה יהיה החלק הקטן והוא א‫'

Notes

↑ 296r
↑ 296v
↑ 297r
↑ marg.
↑ 297v
↑ 298r
↑ marg.: זכור כי מצאתי אחר זה בספר הזה פרק בהכפלת השרשי' יתבאר בו זה ולקיים דברי אלה בכתוב אין בו הפסד ואם לא יועיל
↑ 298v
↑ 299r
↑ 299v
↑ 300r
↑ 300v
↑ 301r
↑ 301v
↑ 302r
↑ 302v
↑ from here marg.
↑ end marg.
↑ 303r
↑ 303v
↑ 304r
↑ 304v
↑ 305r
↑ marg.: תוספת ואם רצית לכפול שרש מספר ידוע במספר אחר ידוע כפול המספר האחר בעצמו והעולה תכהו במספר השרש והעולה קח שרשו והוא המבוקש
דמיון זה בקשנו לכפול שרש מספר ט' במספר ד' הכינו ד' בעצמו והיה י"ו והכינו י"ו בט' והיה קמ"ד ושרשו שהוא י"ב הוא המבוקש
↑ מא' מ"ז לאקלידס
↑ 305v
↑ 306r
↑ 306v
↑ 307r
↑ 307v
↑ 308r
↑ 308v
↑ 309r

Appendix I: Glossary of Terms

Arithmetic Operations
addition	חבור (ה), תוספת
to add to	לחבר, לחברו, נחבר (אליו / עמו), תחבר (ה), תחברם עם ה
to add to	להוסיף, הוסיף (ה), הוספנו על (ה), הוספנוהו על, נוסיף (בו / ה), תוסיף (ה) תוסיפהו על, תוסיפם על
to sum with	לקבץ, לקבצם, קבצנו (עם ה / עמו), קבצנוהו עם, קבצנום (עם ה / יחד עם ה), קבצת עם, נקבץ (עמהם / עמו), תקבץ (ה / הכל יחד / כל זה / עם / עם ה), תקבצם (עם ה), תקבצהו (עם ה / יחד עם‫)
added	נוסף (ב / ל / על), נוספים (על‫)
to be added to	יתקבץ (עם), יתקבצו אלו עם אלו
to be summed with	יקובץ (מהם‫)
sum	חבורם, המחובר (מ), קבוץ (ה‫)
sum	המקובץ (מ), מקובץ (ה / הכל / מ), מקובצם
total sum	מה שיתקבץ מהכל, הכל
to sum	אספנו יחד
to be summed	להאסף יחד, התקבץ מהכל, מקובצים (עם‫)
additive	נוסף, נוספים
to be additive	יוסיף
division	חלוק
to divide	לחלק, חלקנו, נחלק, תחלק
to be divided (by/into)	יחלק, מחולק (על), נחלק (ב / ל / על‫)
dividend	המספר המחולק, המספר הנחלק, המספר שנחלק, המספר שחלקת
divisor	מספר המחלק, המחלק
quotient, result of division	הגיע לחלק, יגיע (לחלק / לכל חלק), המגיע לחלק
quotient, result of division	העולה (אל החלק מחלוקת / לחלק / לכל חלק / מחלוקת), יעלה (אל החלק / לחלק), (אשר / מה ש) עלה (אל החלק, לחלק, לכל חלק‫)
	יצא לכל חלק
doubling	הכפלה, הכפלת (ה‫)
to double	לכפול, תכפלהו, תכפול
double	כפל
to extract a root	לקחנו שרשם, נקח שרשו, קח (שרש / שרש ה / שרשו) , תקח (שרש / שרש ה/ שרשו / שרשם‫)
	הוצאנו (שרש / שרש זה ה / שרשו), נוציא שרשם, תוציא (שרש ה‫)
to have a root	יחזיקו, יחזיקו שרש, מחזיקים שרש
not having a root	אינם מחזיקים שרש, אין שרש ל, אין ל.. שרש
to be a root of	יהיו שרש ל
halving
to halve	לחצות ה, תחצה (ה‫)
to halve	לקחת חצי, לקחנו מחצית (ה) , נקח מחצית, תקח מחצית (ה‫)
half of	מחצית (ה‫)
multiplication	ההכאה, הכאת (ה‫)
multiplication	כפל
to multiply	להכות, הכינו (ה), הכינום (ב), נכה (ה) , נכהו (על ה), תכה (ה / על), תכהו (ב), תכם (ב‫)
to multiply	לכפול, כפול (ה‫)
to be multiplied by	הוכה (ב), יוכה (ב), מוכה (ב), יוכו (ב / ה‫)
duplicate	שנוי, שנוי בכפל
to multiply it by itself	הכינוהו על עצמו, הכינום (בעצמם / על עצמם), נכהו בעצמו, תכם (בעצמם / על עצמם‫)
to be multiplied by itself	הוכה על עצמו, הוכו על עצמם, מוכה על עצמו, מוכים על עצמם
product, result of multiplication	(הוא / היה / יהיה) מהכאת, העולה (מההכאה / מהכאת / מהכאותיהם), מה שעלה מהכאת ה
	המקובץ מההכאה, המתקבץ, התקבץ, היוצא בהכאת
times	דמיוני (ה), מדמיוני
times	פעם, פעמים (ה), פעמי (ה‫)
subtraction	גרעון (ה), בגרעונם, בגרעך ממנו
to subtract	לגרוע, גרענו (ה / מ / מהם ה), גרענום (מ), נגרע (ה / מ / ממנו ה), נגרעם (מ), תגרע (ה/ מ / מה) , תגרעהו (מ / מה), תגרעם (מה / מן ה‫)
to subtract	תשליך (ה‫)
to subtract	נפחות (מ‫)
to subtract	נפיל
to be subtracted	יגרע (ה / מהם / ממנו‫)
subtractive	גורע, גורעי', פוחת, פוחתים, נגרע, נגרעים, נחסר, נשנה, נשנים
subtrahend, to be subtracted	נגרע (מה), נגרעים (מ / מה‫)
no more and no less, exactly	לא תוספת ולא מגרעת, בלי תוספת ובלי מגרעת
plus	עם
minus	פחות
less, less than, smaller than	פחות (מ / מה‫)
more, more than, greater than	יותר (מ‫)
to be less than	יחסרו מ, יגרעו מ
Arithmetic Terms
arithmeticians	בעלי המספר
integer	שלם
fraction	נשבר
fraction	שברי האחד
fraction of fraction	שברי שבריו
number	מספר (ה), מספרים
number	המנין, מנין ה
by the number of … in it	במספר מה ש, כמספר מה שב... מן ה, מה שב... מה
units	אחדיו, אחדים, אחדי (ה), האחדים
the units in it	מה שבו מן האחדים
square number	מספרי' מרובעי‫'
ratio of.. to…	יחס (ה) ... אל
proportional numbers	מספרים מתיחסים
first proportional item	המספר הראשון
related to	נערך לעצמו
Calculation Terms
quantity, measure, amount, value	שעור / שיעור (ה), שיעוריו
by the measure of	בשיעור
value	מספרו
to count	ימנהו ה, ימנה ה
the sought	המבוקש
to exceed, to be greater than… by…	יעדיף (ה / על ה, עליהם), תעדיף, יעדיפו (ה‫)
excess	מה שיעדיף
false	כוזבת
correct, proper	נכון
better	הוא יותר נכון מ, יותר נכון הוא, יותר נכונה מ
to be right, to be proper	יהיה נכון לנו ל
to be wrong	לא יהיה נכון
to result	יהיה (ה), היו, יהיו
to result, to be received	יגיע, הגיע
to result, to be derived, to be produced	יצא, יצא לנו כי, יצאו (ב / מ‫)
to result	יעלה (ל / לידך), יעלו, עלה, עלו
result	העולה (מ), מה שיעלה, מה שעלה, מה שיתקבץ
to proceed (with), to do, to operate, to solve a problem	לעשות, תעשה (עמו‫)
to construct	עשה (על), נעשה (על‫)
to be created, to be constructed	נעשו ב
technique, procedure, solving procedure	מעשה (ה), המעשה (בזה הוא ש / בזה ש), ואופן מעשהו (ש / הוא ש‫)
technique	תחבולה, תחבולות המספר
to remain, to be left	ישאר (מ), ישארו, נשאר, נשארו
the rest, remainder	הנשאר (מ / מה), נשאר (מה‫)
equal to	השוה (אל / ל), שוה ל, שוים (אל / ל‫)
to equal to, to be equal to, to be equalized to	ישוה (אל / ל), ישוו (אל / ל‫)
to be equal	השתוו (ה‫)
to keep, to retain	שמור, שמרת, תשמרם, שמרנום
reserved	השמור
Algebraic Operations
to normalize	להשיב (המרובעים אל מרובע אחד / השאלה לעולם אל מרובע אחד שלם / כל השאלה אל מרובע אחד), השיבות (ה), השיבם (אל מרובע אחד / לעולם אל מרובע אחד), תשיב (המרובע שלך שלם / השאלה אל מרובע אחד / השאלה למרובע אחד), תשיבם (שרש אחד‫)
reduction	כוון, הכוון, איקונפרונטאמיינטו
	כוון חשבון
restoration	הפקדה, ההפקדה, קובראמיינטו
to restore	תאסוף (ה...עם‫)
way, method	(שני) צדדים, צד
addition/subtraction method	צדדי התוספת והמגרעת, צד אחד לתוספת וצד אחד למגרעת, צד התוספת, צד המגרעת
Algebraic Terms
algebraists	חכמי האלגבר, סופרים אלגבר ואלמקאבלא
algebraic species	ענינים; מין
dirham (coin) = number	דרהמי, אדרהמי
root	שרשים (ל / מ / מן ה), שרש (אל / ה / ל / מ), שרשי ה
root	דבר, דברים
root of a square	שרש המרובע, שרש מרובע
square	מרובע, מרובעים
simple types of canonical equations	שלשה החלקים הראשונים, הפשוטים
one of the six types of canonical equations	חלק, החלק ה
the six types of canonical equations	הששה, ששה חלקי', הששה חלקים
Geometric Terms
geometric shape	תמונה, תמונ' גימטרית, תמונות גימטריאות, תמונות גימטריות, תמונה כוללת
geometricians	חכמי הגימטריאה
part	חלק, חלקים
segment, section	חלקים
equal/identical segments	חלקים שוים
point	נקדת, נקודת, נקודות
line	קו, קוים
straight line	קו ישר
side	צלע (ה), צלעו, צלעיו
length	אורך, ארכו, באורך
added to its length	נוסף בארכו
length and width	קוי האורך והרחב
area	שטח
surface	שטח
square surface	מרובע, שטח מרובע, שטח מרובע עליו, מרובע עליו
quadrilateral surface	שטח הכאת
quadrilateral surface	שטח נצב הזויות
right angle	בזוית נצבה
straight, straightly	על יושר, ביושר, בישר
parallel to	על נכוחות, נכחי ל, נכחיים ל
parallel to line	על נכוחות קו, נכחי לקוי, נכחי לקו
to cut off	נבדיל (מ / ממנו), הבדלנו
	ונוציא מנקודת
to attach points	נגיע נקדות
midpoint	הנקוד' הנחלק עליה קו... לחצאי‫'
to cut a line	תחלק קו, נחלק קו, נחלק קו ... על מה שבו מה... , נחלק קו ... על מספר מה שבו מה‫...
to halve (line), cut to half at the point	חלקנו קו ... לחצאין על נקודת, נחלק אותו לחצאין על נקודת, נחלקהו לחציין על נקודת, תחלק קו ...לחצאי' על
to be halved (line), cut to half at the point	נחלק לחצאין על נקודת, נחלק ... לחצאין על נקודת, קו ... נחלק לחצאין על נקודת, נחלק קו ... לחצאין על נקודת, נחלק לשני חלקים שוים על
cut into two parts	תחלק ... לשני חלקים
cut into two segments	יחלק לשני חלקים
cut into two unequal parts at the point	נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת
to be halved	יחצה קו
to extend a line	נמשיך קו (עד‫)
to draw a line	נוציא, נוציא מנקודת ... קו, נוציא מנקודות... שני קוים, נוציא קו, נוציא קוי, תוציא מ... קו, תוציא מנקודת ... קו, תוציא קו, תוציא קוי
to point	עד נקודת, עד נקדת, עד
to draw	ארשום (ב / לך), נרשום
to be drawn	רשום ב
circumscribing	מקיף עם
encompassed	שיקיפו בו
measure (line, surface)	שעור / שיעור (שטח / קו‫)
to be located, to be situated	תפול (נקודת), נופלת (נקדת), נפלה ממנה
joint, common (surface)	משותף, המשותף
to join (surface)	נשתף עמו
attached	מדובקים (יחד‫)
to attach	ונדביק עמו
attached to it	הדבק אצלו
to construct	נניח (קו), הנחנו (על‫)
Literary Terms
book	ספר, ספרו
the author	בעל הספר
chapter	פרק (ב‫)
section	שער
to read	לקרות ב
reader	הקורא ב
to write	כתבנו
in writing	בכתוב
to translate	העתקתי מ
translator	המעתיק
Authors
	מהומר אלכוארזמי
	אבו כאמל
	אמ"פ, אמ"פ המעתיק
Euclid	אקלידס
the Elements	ספר אקלידס
Elements II	כמו שאמר אקלידס במאמ' שני מספרו, כמו שביאר אקלידס במאמ' שני מספרו, כמו שהוא מבואר בשני לאקלידס, כמבואר בשני מאקלידס
Elements II, 4	מהתמונ' הרביעית ממאמר שני לאקלידס
Elements VIII, 1	מתמונת א' משמיני לאקלידס
	אבאר כל זה באקלידס
Logical Terms
to introduce, to state	אמרם, אמר
to say, to state, to be told	לאמר, אמר (לך), אמ' (כי), תאמר, נאמ' (כי / ש), יאמר, אמרו לך, יאמרו (לך), אמור לו, אמרנו (כי), אמרו, נאמר (ש‫)
saying	והוא האומר, והוא אמרו
for instance, as if saying, as one says	כאלו תאמ', כאלו תאמר, כאלו אמרו
	כאמ', באמרו
	מאמ‫'
	מה שאמרתי, אשר אמרנו, שאמרנו, על הדרך שאמרנו
demonstration, explanation	הביאור, באור ה, באורו / ביאורו, באורם
the explanation is	באור זה ש
to explain, to demonstrate	לבאר (כי), ביאר, אבארם ב, נבאר (ב / זה / ש), אבאר (זה ב), אבאר לך (ב / זה ב), ואבארה לך ב, נבארהו לך, בארנו (ב), בארתי (לך), אבארהו
	וכבר יתבא' זה, וכבר התבאר
to be explained, to be demonstrated, to be clarified	יתבאר (בה / בו ש / ש), התבאר (לך / מ / משם כי / שה‫)
demonstrated, proved, explained, clear	והוא מבואר, מבוארים
as explained	כמבואר
Q.E.D., this is what we wanted to explain	והוא מה שרצינו לבאר, והוא מש"ל, וזה מש"ל, ומש"ל
	ודי בזה באור, ודי לך במה שבארתי מ, ודי במה שבארתי מזה, במה שבארתי מזה המין הוא מספיק
	כמבואר בתמונה הראשונה מזה הספר, הוא מבואר מהתמונה הראשונה מזה הספר
	כמו שבאר זה
	בארנו למעלה (ב‫)
to describe	ספרנו
to know (that)	לדעת, לידע, תדע (כי / ש), דע (כי), ידענו (כי / מ), נדע
to let know, to inform	להודיע, נודיע, הודענו
to be known	היה ידוע ש, יהיה ידוע לנו, יהיה ידוע ש
known	הנודע
unknown	הבלתי ידוע, בלתי ידוע
it is known that	הוא ידוע (ב / ש), ידוע (כי), הידוע (ש)
knowledge	ידיעת, ידיעתם
to understand	יבינום, תבין
to see, to understand	נבונן
to be understood	יובנו ה
one who understands	המבין, מבין
clear, understandable	הוא מובן מ
example	משל (ש), המשל (ש), על משל, משל זה (ש), משל לזה ש
to define, to specify, to set up, lay out, to determine	הנחנו (ב), נניח (ה / כי), הנחנוהו, הנחנו (ש), תניח (ה / מה‫)
to be defined, to be specified	הונחה, הונחו מהם
by supposition, by definition	בהנחה
to demonstrate, to show	להראות לך, אראך (ה), אראה לך איך, אראה אותך ב, הראיתיך (ה / ל), הראיתי לך (ל), הראנו בו ה, הראיתי, הראית
to demonstrate	הראותך זה לעין, להראותך זה לעין, אראך לעין, לבאר לך לעין
to reveal, to show	אשר יראה לך, אשר יראך, שיראך, ייראוך
to indicate	יראך (ה), יראה לך (ה), מראה, הראה לנו בו ה
	כבר הראיתיך (ה / כי), וכבר הראיתיך למעלה
to teach	יורוך (אותם‫)
to be revealed	יגלה אליך ב
to deduce, to conclude	הקש על זה
by this analogy	על זה ההקש
to search	תחפש
to adapt	יסוגלו ב
properties	סגולות
method	אופנים, אופן, אופנו ש, אופני
to speak about	דבר ב
words, saying	דברי
for example	דמיון לזה, דמיון זה (אם / ש‫)
way, method	דרך, בדרך, דרכי
	דרכנו
according to the way, by the way that	על הדרך (ה / ש‫)
general rule	כלל הדבר הוא
proof, demonstration	מופתים, המופת בזה ש, מופת זה (כי / ש), המופתים עליהם, מופת (ה‫)
by proof and by the eye	במופת ובעין
category	חלוקה
species	מין, מינים
type	מין
type, kind	סוג
rule, guiding	ההנהגה
rule	משפט (ה), משפטם, משפטיהן
reason	סבת ה, הסבה (ב‫)
reason, cause	עלת (ה‫)
example, instance	ענין, ענינים, ענינם, הענין ב
manner, way, method	פנים
	תשוב השאלה
question, problem, equation	שאלה, שאלות (מה), השאלה, השאלה בזה, שאלתי
to be completed, to be executed	תצא השאלה
to ask	ישאל, ישאלו ממך, שאל
as if one asks	כאלו שאל
one asks	השואל, שאל השואל
answer	תשובה, תשובתך עליה, תשובת
General Terminology
	.א.ר.כ •
to lengthen, to elaborate	להאריך בזה
	.ב.ו.א •
to intend	אבוא ל, נבא ל, באנו ל, בא ה
to result	יבאו, יבא מ
to present, to introduce	יביא, הביא
	.ב.ק.ש •
to seek, to wish	בקשנו ל, מבקשים
	.ה.י.ה •
to be formed from, generated from	הוה מ, ההוה מ
to be	להיות
	.ז.כ.ר •
to remember	זכור (כי‫)
	.ח.ד.ש •
to form, to generate	יחדשו
to be formed, to be generated	נתחדשו
	.ח.ז.ק •
to consist of	להחזיק מ
	.ח.י.ב •
necessarily, it is necessary that	יחויב ש
	.י.כ.ל •
to be able	תוכל ל
	.י.ע.ד •
to promise, to pledge	יעדנו
	.י.צ.א •
to be presented, to be introduced	הוציאתך אל (ה‫)
to yield, to produce	יוציא לך (ה‫)
to introduce to	יוציאו לפניך, הוצאתי לך ל
to deduce, to conclude	הוציא
to extract, to obtain, to draw	נוציא, תוציא
to remove, to subtract	תוציא ה
	.י.צ.ע •
to suggest, to propose	הציעו
explanations	המצעות
	.ל.ק.ח •
to take	לקיחת, לקחת, לקחנו, נקח, תקח (מ‫)
to use a word in a certain sense	לקחתי
	נקח ל
	.מ.צ.א •
to find, to discover that	נמצאם, מצאתי, תמצא ש
	.מ.ש.כ •
to continue	נמשיך ה
to follow	ימשך
	.נ.ו.ח •
to lay, to put	אניח לך, יניח
	.נ.פ.ל •
fell in the hands of	יפול בידך
	הנופלים ב
denoting the same meaning	נופלים על ענין אחד
	.צ.ר.כ •
necessary, to need	הוצרכנו ל, צריך (ל / ש), תצטרך ל , נצטרך ל
to be needed	יצטרך (ש‫)
it is necessary that	צריך (ש‫)
	.ק.ר.א •
to be named, to be called	יקרא בו ה, יקרא בשם, יקראו
	.ר.א.ה •
it seems	והיה נראה ש
to observe, to see	רואה כי, ראיתי ש
to see the need to	ראיתי ש
	הראית
to consider, to observe, to check	ראה
	.ר.ב.ה •
to increase	יתרבו ה
to augment	להרבות ה
	.ר.צ.ה •
to wish to	תרצה (ל / ש), רצינו (ל / ש), נרצה (ל / ש), רצית ל, רצוננו ל
	הרוצה ל
	רצה בזה ש
	.ש.ו.ב •
to repeat (the verb) again, do … again	עוד תשוב (ו / ל‫)
to result	ישוב (ה‫)
	.ש.י.ם •
to define, to set up, to dispose	שמנו, נשים (ה / על), נשימהו, תשים (ה / על‫)
to set up, to dispose, to give	אשים לך
to construct on	אשים (על), נשים (על‫)
to conceive	תשים, תשים... בדמיון
	.ש.כ.ל •
to be well versed	ישכילו ב
to understand	ישכיל
	.ש.ל.מ •
completion	השלמה, בהשלמו
to complete a surface	נשלים
to be completed	ישלם (ה / מ), נשלם, נשלמה ה
	.ש.מ.ט •
to be omitted, to be left out	נשמט מ
	.ת.ח.ל •
to start	מתחילי' עמו ב, אתחיל מ
	תחלה, תחלת

Demonstratives
	חלקים מה
	חלק, חלקים
to be arranged	סודרו (על‫)
consists of	מורכב (מ‫)
combination	הרכבת
to increase, to grow	יצמח
should, to be necessary	וראוי (לך / ש‫)
to reduce	לשברם
engagement	התעסקות בהם
loss	הפסד
to be useful	יועיל
to continue to	יוסיף (ל‫)
to lead to	יובילך אל
to be changed	ישתנה
	נשאר עלינו ש
	זה חלוף
	צד יראה עמה
	בראש הספר
	השתמשותם
in the sense of, from the word	מלשון
deposit	פקדון
	בדברי רז"ל
alone	נפרדים
	באי זה צד
	החלק הרביעי
name	שמות
to set	נעמיד
	אינו נמלט מ, ולא ימלט הדבר מ
to learn, to acquire knowledge	להתחכם ב
to be in front of you, presented to you	אשר יגיעו לפניך, אשר יגיע בידך מ
supplement	תוספת
	היה אל המקובץ
	מאד מבוארים
	מספר קו
	יבצר מהם
	נמנעות מהן
	עושה לך
	אם אפש‫'
	שלא יוב[א] בו ש
does not consists of	אין לו
of what in	מאשר בם
the same	אותו ה
of the same	מאותו ה
these	אלו (ה / אשר), אלו
that	ההוא
	זה הוא
this	הזה, זה (ה), זאת (ה‫)
	וזהו, וזה, והוא
because of this	ולזה
	לזה (ה‫)
by this, from this	מזה (ה), בזה
in this, for this	בזה
thereby, in this regard, relating to this	בזה
	ובו, ובזה
all this	וזה כולו
all that	כל זה
	בזאת ה, מאלו (ה), האלו, אלה
Pronouns
whichever, any	אי זה מ, אי זו ה, אי זה ש
for which	לאיזה, לאי זה
I am	הנני
we	אנו
you	אתה
	הוא הוא, הוא (ה / כי / ש), שהוא (ה), והוא (ה / ש‫)
	היא, היא (אשר / ש‫)
that same	ההיא בעינה
	הוא כי
formed from, generated from	הוא מ
it is, which is (result)	והוא, הוא מ
they are, which are (result)	והם (ה), הם
these are	והם אלו
	שהם, ההם
a certain	מה
what	מה
	מה הוא ה
	מה ש
	כל מה ש
	ממה ש, ממה שבו
	במה ש
by itself	על עצמו, בעצמו, עצמה, בעצמה
them selves	בעצמם, על עצמם
Adjectives
one of	אחד (ה / מ), אחת (מ‫)
	האחד
another	אחר, אחרת, אחרים
other	אחר, אחרים
aforementioned	האמור
greater than	גדול מ
larger	הגדול
possible	אפשר (ש), יתכן (ב / ל‫)
impossible	לא יתכן להיות, לא יתכן (ל /ש), אי אפש' ש
necessary	יהיה הכרחי
whole, entire	כלו, וכל, כל (ה‫)
all, every	כל, כל אשר
each	כל, לכל
each of	כל אחד מ
sufficient, enough	מספיק
the smaller	מעט
visible, apparent, obvious	נגלה ב
mentioned	הנזכרים, הנזכר, הנזכרת
previous	שעבר
previous	הקודם, הקודמות, הקודמת
smaller	הקטן
some of	קצת מ
appropriate, suitable	הראוי
firstly, at first, in the beginning	ראשונה
first	ראשון, ראשונה, ראשונים
former	הראשונים
the larger	הרב
many (of)	הרבה (מ‫)
equal	שוים
unequal	בלתי שוים
Adverbs
so that	באופן (ש‫)
then	אז, כי אז, הנה אז
then, afterwards	אחר זה, אחר (ש‫)
randomly	איך שהזדמן
from where	מאי לנו ש, אין
endlessly	לאין תכלית
other than	זולת אלו, זולת אשר
further, more	יותר
together	יחד
by itself, alone	לבד, לבדו
above	למעלה, למעלה מ
already	כבר, וכבר
so	ככה
how much	כמה (ה / הוא ה, יהיה מ), כמה ש, כמה שבו
same as	כ, כמו (ה, ש), (הוא / היא / הם) כמו, כמו שהוא ה
in a similar	בכמו (ה / זה‫)
similarly	וכמו זה
also, moreover	כמו כן, וכן
also	גם כן, ג"כ, גם
so	כן
it was so	והיה זה כן
always	לעולם
as, like	על דמיון, בדמיון (ה‫)
below	למטה ממנה, למטה מ
eventually	בסוף
endlessly	עד אין סוף
with them	עמהם
now	עתה
exactly	ממש
exactly, precisely	בשוה
furthermore, moreover, further	ועוד, עוד
hither	והנה, הנה, הנה (כי / ש), כי הנה
how	כיצד
in a foreign language	בלעז
necessarily	בהכרח
easily	בנקלה
at first	בראשונה
previously, before	קודם, קודם זה
previously	ממה שעבר
therefore, hence	ולכן, לכן
therefore, because of this	מפני זה
namely, i.e.	רצו' (ה / ש), רצוני ב, ר"ל (כי / ש‫)
there	שם, משם
Conjunction
then, if so	אם כן
what, that, which	אשר, ש
because, since	מפני (כי / ש‫)
because, since	בעבור כי, כי
because of which, for which	בעבורה
but	אבל
but	אלא כי
or	או
if	אם
if… then	אם ... אז/ כי אז / הנה אז
or, whether… or	אם... ואם
either… or	אם ש... או
whether… or	אם היה ש... או
whether… or	... יהיה או ...
whether… or	בין (ש)... בין (ש), בין ... או ש
when	כאשר, כש
in order to	כדי ל
except	כי אם
according to, as, like	כפי (ה), כפי מה ש
in order that	למען
until	עד ש
Preposition
in exchange to, for	כנגד (ה‫)
apart from, other than	מבלעדי
without	מבלעדי
by virtue of	מכח
apart from, besides, aside from	מלבד
from it	ממנו, מהם
due to, from it	מפניה
from	מתוך ה
	עד הנה
	עד המקום ש
concerning to which	עליו ה
with	עם (ה‫)
by this	עם זה

Appendix II: Bibliography

Kitāb fī al-Jābr wa'l-Muqābala (the first section) / by Abū Kāmil Shujāʽ Ibn Aslam Ibn Muḥammad ibn Shujāʽ (Egypt, ca. 850-930)
– Hebrew translation –
by Mordecai (Angelo) Finzi (Mantua, d. 1475)
Taḥbulot ha-Mispar (Second Hebrew version)

Manuscripts:

Oxford, Bodleian Library MS Heb. e. 13 (IMHM: f 22714), ff. 64r-72v (cat. Neub. 2747, 2)
Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/7 (IMHM: f 15721), ff. 296r-309r (15th-16th century)

heb. 1029

The transcript of the text is based on manuscript Paris 1029.

Bibliography:

Lévy, Tony. 2007. L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (II). Dans l’Italie des XVe et XVIe siècles, sources arabes et sources vernaculaires, Arabic Sciences and Philosophy 17, pp. 81-107.
Yadegari, Mohammad. 1978. The Use of Mathematical Induction by Abū Kāmil Shujā‘ Ibn Aslam (850-930), Isis, vol. 69, no. 2 (Jun., 1978), pp. 259-262.

[1] 296r

[2] 296v

[3] 297r

[4] rg.

[5] 297v

[6] 298r

[7] rg.: זכור כי מצאתי אחר זה בספר הזה פרק בהכפלת השרשי' יתבאר בו זה ולקיים דברי אלה בכתוב אין בו הפסד ואם לא יועיל

[8] 298v

[9] 299r

[10] 299v

[11] 300r

[12] 300v

[13] 301r

[14] 301v

[15] 302r

[16] 302v

[17] rom here marg.

[18] rg.

[19] 303r

[20] 303v

[21] 304r

[22] 304v

[23] 305r

[24] rg.: תוספת ואם רצית לכפול שרש מספר ידוע במספר אחר ידוע כפול המספר האחר בעצמו והעולה תכהו במספר השרש והעולה קח שרשו והוא המבוקש
דמיון זה בקשנו לכפול שרש מספר ט' במספר ד' הכינו ד' בעצמו והיה י"ו והכינו י"ו בט' והיה קמ"ד ושרשו שהוא י"ב הוא המבוקש

[25] מא' מ"ז לאקלידס

[26] 305v

[27] 306r

[28] 306v

[29] 307r

[30] 307v

[31] 308r

[32] 308v

[33] 309r

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

Difference between revisions of "תחבולות המספר"

Latest revision as of 06:06, 17 December 2022

Contents

Introduction

The Six Canonical Equations

The Simple Canonical Equations

Squares Equal Roots: bx=ax²

Squares Equal Numbers: ax²=c

Roots Equal Numbers: bx=c

The Compound Canonical Equations

Chapter: Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c

Chapter: Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx

Chapter: Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax²

Chapter: Multiplication of Algebraic Expressions

Roots

Chapter: Multiplication of Roots by Numbers

Multiplication of Roots

Chapter on Division of Roots

Chapter on the Addition of the Roots one the the other and Their Subtraction

Addition of Roots

Subtraction of Roots

Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations

Additional excerpt

Notes

Appendix I: Glossary of Terms

Appendix II: Bibliography

Navigation menu

Personal tools

Namespaces

Variants

Views

More

Search

Navigation

Tools

@@ Line 1: / Line 1: @@
+{{#annotpage: author="Abū Kāmil", translator="Mordecai Finzi", city="Mantua", time="unknown-1475", peshat_author="00000707", peshat_title="00002025"}}
+__TOC__
 {|
 |-
 |
-!style="text-align:right;"|<big>ספר אבו כאמל</big> ב{{#annot:term|469|bFjo}}תחבולות המספר{{#annotend:bFjo}}
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>296r</ref><big>ספר אבו כאמל</big> ב{{#annot:term|469,2067|bFjo}}תחבולות{{#annotend:bFjo}} המספר
 |-
 |
-== Introduction ==
+== <span style=color:Green>Introduction</span> ==
 |
 |-
-|The reader should know three algebraic species introduced by Muḥammad al-Khwārizmī in his book:
+!<span style=color:Green>The three algebraic species</span>
-|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> תחלת מה ש{{#annot:term|934|4TAI}}צריך {{#annot:term|226|kwtI}}ל{{#annotend:4TAI}}דעת{{#annotend:kwtI}} הקורא בזה {{#annot:term|531|M8VY}}הספר{{#annotend:M8VY}} הוא שלשה {{#annot:term|697|Makm}}ענינים{{#annotend:Makm}} אשר {{#annot:term|275|goN1}}אמרם{{#annotend:goN1}} כבר {{#annot:name|779|kCEy}}מהומר אלכוארזמי{{#annotend:kCEy}} בספרו והם
-|-
 |
-*Roots
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|133|Dwqh}}שרשים{{#annotend:Dwqh}}
 |-
-|
+|The beginning of what the reader of this book needs to know are three matters that have already been stated by Muḥammad al-Khwārizmī in his book, which are: roots, squares and numbers.
-*Squares
+|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> תחלת מה שצריך לדעת הקורא בזה הספר הוא שלשה ענינים אשר אמרם כבר {{#annot:al-Khwārizmī|509|kCEy}}מהומר אלכוארזמי{{#annotend:kCEy}} בספרו והם {{#annot:term|133,1262|Dwqh}}שרשים{{#annotend:Dwqh}} {{#annot:term|687,1263|nx6j}}מרובעים{{#annotend:nx6j}} {{#annot:term|242,1174|Y59M}}מספרים{{#annotend:Y59M}}
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|687|nx6j}}מרובעים{{#annotend:nx6j}}
 |-
+!<span style=color:Green>Definitions:</span>
 |
-*Numbers
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|242|5vMx}}מספרים{{#annotend:5vMx}}
 |-
-!Definitions:
 |
+*{{#annot:definition|133|YNih}}The root is the number that is multiplied by itself - as if you say: one by one, two by two, and so on endlessly - and also the fractions of the one, when they are multiplied by themselves, as a half by a half, a third by a third and the fractions of its fractions and so on endlessly.
+|style="text-align:right;"|השרש הוא המנין שהוא מוכה על עצמו כאלו תאמר אחד על אחד ושנים על שנים וכן לאין תכלית וכמו כן שברי האחד כאשר הוכו על עצמם כמו חצי על חצי ושלישית על שלישית וכן שברי שבריו עד אין סוף{{#annotend:YNih}}
 |-
 |
-*{{#annot:definition|133|YNih}}Root = the number that is multiplied by itself - for instance, one by one, two by two, and so on endlessly; and also the fractions of the one, when they are multiplied by themselves, as a half by a half, a third by a third and the fractions of its fractions and so on endlessly.
+*{{#annot:definition|687|CftH}}The square is what is produced from the multiplication of the root by itself - be it an integer or a fraction.
-|style="text-align:right;"|השרש הוא המנין שהוא מוכה על עצמו כאלו תאמר אחד על אחד ושנים על שנים וכן לאין תכלית<br>
+|style="text-align:right;"|המרובע הוא המתקבץ מהכאת השרש על עצמו {{#annot:term|20,1268|Kd1b}}שלם{{#annotend:Kd1b}} יהיה או {{#annot:term|15,1438|jSnE}}נשבר{{#annotend:jSnE}}{{#annotend:CftH}}
-וכמו כן {{#annot:term|15|7Yxn}}שברי האחד{{#annotend:7Yxn}} כאשר הוכו על עצמם כמו חצי על חצי ושלישית על שלישית וכן {{#annot:term|668|I5Xd}}שברי שבריו{{#annotend:I5Xd}} עד אין סוף{{#annotend:YNih}}
 |-
 |
-*{{#annot:definition|687|CftH}}Square = what is produced from the multiplication of the root by itself - be it an integer or a fraction.
+*{{#annot:definition|242|ylJs}}The number is the number which cannot be understood as a root nor a square, but is related to itself only by the units comprised in it.
-|style="text-align:right;"|המרובע הוא המתקבץ מהכאת השרש על עצמו {{#annot:term|20|Kd1b}}שלם{{#annotend:Kd1b}} יהיה או {{#annot:term|15|jSnE}}נשבר{{#annotend:jSnE}}{{#annotend:CftH}}
+|style="text-align:right;"|המספר הוא {{#annot:term|35,1434|n8lE}}המנין{{#annotend:n8lE}} שלא יובנו בו שיהיה לא שרש ולא מרובע אבל הוא {{#annot:term|1567,1282|qQmi}}נערך לעצמו{{#annotend:qQmi}} במה שבו מן האחדים לבד{{#annotend:ylJs}}
 |-
+!<span style=color:Green>The six categories of canonical equations</span>
 |
-*{{#annot:definition|242|ylJs}}Number = the number which cannot be understood as a root nor a square, but is related to itself only by the units comprised in it.
-|style="text-align:right;"|המספר הוא {{#annot:term|35|n8lE}}המנין{{#annotend:n8lE}} שלא יובנו בו שיהיה לא שרש ולא מרובע אבל הוא {{#annot:term|995|qQmi}}נערך לעצמו{{#annotend:qQmi}} במה שבו מן האחדים לבד{{#annotend:ylJs}}
 |-
-|Six types of canonical equations were originated from the combination of these three [species] which are:
+|He said: the six categories [of canonical equations] were originated from the combination of these three [species], which are:
-|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> וכבר {{#annot:term|875|lBaf}}יצאו מ{{#annotend:lBaf}}הרכבת אלו השלשה {{#annot:term|702|aWi4}}ששה חלקי'{{#annotend:aWi4}} והם אלו
+|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> וכבר יצאו מהרכבת אלו השלשה ששה חלקי' והם אלו
 |-
 |
-*roots equal to squares
+*Roots equal to squares.
-:<math>\scriptstyle bx=ax^2</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx=ax^2}}</math>
 |style="text-align:right;"|{{#annot:ax²=bx|715|Udbo}}שרשים שיהיו שוי' למרובעים{{#annotend:Udbo}}
 |-
 |
-*roots equal to numbers
+*Roots equal to numbers.
-:<math>\scriptstyle bx=c</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx=c}}</math>
 |style="text-align:right;"|{{#annot:bx=c|714|qsBh}}ושרשים שישוו למספרים{{#annotend:qsBh}}
 |-
 |
-*squares equal to numbers
+*Squares equal to numbers.
-:<math>\scriptstyle ax^2=c</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2=c}}</math>
 |style="text-align:right;"|{{#annot:ax²=c|713|4O9C}}ומרובעי' שישוו למספרים{{#annotend:4O9C}}
 |-
 |
-*roots and squares equal to numbers
+*Roots and squares equal to numbers.
-:<math>\scriptstyle bx+ax^2=c</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx+ax^2=c}}</math>
 |style="text-align:right;"|{{#annot:ax²+bx=c|710|3sJZ}}ושרשים ומרובעי' שישוו למספרים{{#annotend:3sJZ}}
 |-
 |
-*roots and numbers equal to squares
+*Roots and numbers equal to squares.
-:<math>\scriptstyle bx+c=ax^2</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx+c=ax^2}}</math>
 |style="text-align:right;"|{{#annot:bx+c=ax²|712|So10}}ושרשי' ומספרים שישוו למרובעים{{#annotend:So10}}
 |-
 |
-*squares and numbers equal to roots
+*Squares and numbers equal to roots.
-:<math>\scriptstyle ax^2+c=bx</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2+c=bx}}</math>
 |style="text-align:right;"|{{#annot:ax²+c=bx|711|om8w}}ומרובעי' ומספרי' שישוו לשרשים{{#annotend:om8w}}
 |-
-|Finzi: the author [= Abū Kāmil] did not mention [the instances] in which the three [species] together are equal to one of them, yet it seems that this will be necessary in the categorization.
+|Said Finzi: the author [= Abū Kāmil] did not mention [the instances] in which the three [species] together are equal to one of them, yet it seems that this will be necessary in the categorization.
-|style="text-align:right;"|אמ"פ הנה לא {{#annot:term|917|I3rD}}הביא{{#annotend:I3rD}} {{#annot:term|475|qv68}}בעל הספר{{#annotend:qv68}} כאשר ישוו שלשתם יחד לאחד מהם ו{{#annot:term|1052|mMcV}}היה נראה ש{{#annotend:mMcV}}זה יהיה הכרחי ב{{#annot:term|432|IGba}}חלוקה{{#annotend:IGba}}
+|style="text-align:right;"|אמ"פ הנה לא הביא בעל הספר כאשר ישוו שלשתם יחד לאחד מהם והיה נראה שזה יהיה הכרחי בחלוקה
 |-
-|For instance: roots, squares, and numbers are equal to roots, or to squares, or to numbers
+|As if you say: roots, squares, and numbers are equal to roots, or to squares, or to numbers.
 |style="text-align:right;"|וזה כמו שתאמ' שרשים ומרובעי' ומספרים ישוו לשרשים או ישוו למרובעי' או ישוו למספרים
 |-
 |
-== The Six Canonical Equations ==
+== <span style=color:Green>The Six Canonical Equations</span> ==
 |
 |-
 |
-=== The Simple Canonical Equations ===
+=== <span style=color:Green>The Simple Canonical Equations</span> ===
 |
 |-
 |
-==== Squares Equal Roots: bx=ax<sup>2</sup> ====
+==== <span style=color:Green>Squares Equal Roots: bx=ax<sup>2</sup></span> ====
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר השרשים ישוו למרובעי&#x202B;'
 |-
-|[for <math>\scriptstyle bx=x^2</math>]: <math>\scriptstyle x^2=b^2</math>
+|He said: when the roots are equal to squares: multiply [the number of] the roots by itself and the result is the square.
-|style="text-align:right;"|תכה השרשי' על עצמם ו{{#annot:term|876|OMSJ}}מה שיתקבץ{{#annotend:OMSJ}} הוא המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=b^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר השרשים ישוו למרובעי' תכה השרשי' על עצמם ומה ש{{#annot:term|875,1216|hbgc}}יתקבץ{{#annotend:hbgc}} הוא המרובע
 |-
-|It is the same as saying "the squares are equal to the roots", since the roots should be understood as being equal to the squares that are mentioned with them
+|Said Finzi: It is the same as saying "the squares are equal to the roots", since the roots should be understood as being equal to the squares that are mentioned with them.
-|style="text-align:right;"|אמ"פ והדבר הוא שוה לאמר המרובעים {{#annot:term|429|pKg9}}ישוו ל{{#annotend:pKg9}}שרשי' מפני כי {{#annot:term|1048|Qwhs}}צריך ש{{#annotend:Qwhs}}{{#annot:term|899|uBJr}}יובנו ה{{#annotend:uBJr}}שרשי' שיהיו שוים למרובעים הנזכרים עמהם
+|style="text-align:right;"|אמ"פ והדבר הוא שוה לאמר המרובעים {{#annot:term|429,1247|pKg9}}ישוו ל{{#annotend:pKg9}}שרשי' מפני כי צריך שיובנו השרשי' שיהיו שוים למרובעים הנזכרים עמהם
 |-
-|Moreover, the squares are squares by virtue of the multiplication of the roots by themselves
+|Moreover, the squares are squares by virtue of the multiplication of the roots by themselves.
 |style="text-align:right;"|וכמו כן המרובעים יהיו מרובעי' מכח הכאת השרשים ההם על עצמם
 |-
 |
-:*{{#annot:x²=5x|715|EqMy}}<math>\scriptstyle5x=x^2</math>
+*{{#annot:x²=5x|715|EqMy}}For example: if you are told; five roots are equal to one square. How much is the square?
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|197|lPkF}}דמיון זה{{#annotend:lPkF}} אם {{#annot:term|275|A6k6}}אמרו לך{{#annotend:A6k6}} חמשה שרשי' ישוו למרובע אחד כמה הוא המרובע{{#annotend:EqMy}}
+:<math>\scriptstyle5x=x^2</math>
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|197,1712|lPkF}}דמיון זה{{#annotend:lPkF}} אם אמרו לך חמשה שרשי' ישוו למרובע אחד כמה הוא המרובע{{#annotend:EqMy}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=5\sdot5=25}}</math>
+:Say: it is twenty-five resulting from multiplying five by five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=5\sdot5=25}}</math>
 |style="text-align:right;"|אמור לו הוא עשרים וחמשה המתקבץ מהכאת חמשה על חמשה
 |-
-|The root counts the square by the number of times that the one count the root.
+|It is so, because the root counts the square by the number of times that the one count the root.
-|style="text-align:right;"|והיה זה כן מפני כי המרובע {{#annot:term|368|eFA0}}ימנהו ה{{#annotend:eFA0}}שרש ב{{#annot:term|35|nex3}}מספר ה{{#annotend:nex3}}פעמים שימנה האחד לשרש
+|style="text-align:right;"|והיה זה כן מפני כי המרובע {{#annot:term|368,1435|eFA0}}ימנהו ה{{#annotend:eFA0}}שרש ב{{#annot:term|35,1174|nex3}}מספר ה{{#annotend:nex3}}פעמים שימנה האחד לשרש
 |-
 |The one counts the root by the number of times by which the root is named.
-|style="text-align:right;"|והאחד {{#annot:term|368|zsPl}}ימנה ל{{#annotend:zsPl}}שרש במספר הפעמים אשר {{#annot:term|281|0B8q}}יקרא בו ה{{#annotend:0B8q}}שרש
+|style="text-align:right;"|והאחד {{#annot:term|368,1435|zsPl}}ימנה ל{{#annotend:zsPl}}שרש במספר הפעמים אשר יקרא בו השרש
 |-
 |
-::In the example, the root is named by five.
+:In the example, the root is named by five and it consists of its five units, as it consists of twenty-five, which is the square that is [formed] from five times five, that is the root.
-|style="text-align:right;"|והנה בזה המשל השרש {{#annot:term|281|qQ7n}}יקרא בשם{{#annotend:qQ7n}} חמשה
+|style="text-align:right;"|והנה בזה המשל השרש יקרא בשם חמשה והוא מורכב מחמשה אחדיו כמו שהוא מורכב עשרים וחמשה שהוא המרובע מחמשה {{#annot:term|243,2026|boLf}}דמיוני{{#annotend:boLf}} חמשה שהוא השרש
+|-
+|Hence, the square grows and is composed of repetitions of the root by the number that composes the root of repetitions of the unit.
+|style="text-align:right;"|הנה שהמרובע {{#annot:term|1053,2027|Zu8A}}יצמח{{#annotend:Zu8A}} וישלם מדמיוני השרש במספר מה שישלם השרש מדמיוני האחד
 |-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration</span>
 |
-::It consists of its five units, as it consists of twenty five, which is the square that is [formed] from five times five, that is the root.
-|style="text-align:right;"|והוא מורכב מחמשה אחדיו כמו שהוא מורכב עשרים וחמשה שהוא המרובע מחמשה {{#annot:term|243|boLf}}דמיוני{{#annotend:boLf}} חמשה שהוא השרש
-|-
-|Hence, the square grows and is composed of repetitions of the root by the number that composes the root of repetitions of the unit.
-|style="text-align:right;"|הנה שהמרובע {{#annot:term|1053|Zu8A}}יצמח{{#annotend:Zu8A}} ו{{#annot:term|1032|Qc4O}}ישלם מ{{#annotend:Qc4O}}דמיוני השרש במספר מה ש{{#annot:term|1032|RjIq}}ישלם ה{{#annotend:RjIq}}שרש מדמיוני האחד
 |-
 |
-:*Geometric illustration
+:To illustrate this to your eye, we construct square ABGD according to the example of the square of twenty-five.
-|style="text-align:right;"|ולמען {{#annot:term|199|4xwA}}הראותך זה לעין{{#annotend:4xwA}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולמען הראותך זה לעין נרשום {{#annot:term|305,1263|QPs4}}מרובע עליו{{#annotend:QPs4}} אבג"ד {{#annot:term|197,1896|ZBuG}}על משל{{#annotend:ZBuG}} מרובע עשרים וחמש&#x202B;'
 |-
 |
@@ Line 137: / Line 134: @@
 |-
 |
-::constructing:
+:When whichever of its sides is multiplied by one of its units the product is a root of the square.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה אי זה מ{{#annot:term|325,1464|lBcX}}צלעיו{{#annotend:lBcX}} ש{{#annot:term|358,2025|slFD}}יוכה ב{{#annotend:slFD}}אחד מאחדיו יהיה {{#annot:term|241,1218|OF0L}}המתקבץ{{#annotend:OF0L}} הוא שרש המרובע
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|819|DzeF}}נרשום{{#annotend:DzeF}} {{#annot:term|305|QPs4}}מרובע עליו{{#annotend:QPs4}} אבג"ד {{#annot:term|197|ZBuG}}על משל{{#annotend:ZBuG}} מרובע עשרים וחמש&#x202B;'
-|-
-|
-:*side &times; (one of its unit) =  &radic;(the square)
-|style="text-align:right;"|הנה אי זה מ{{#annot:term|325|lBcX}}צלעיו{{#annotend:lBcX}} ש{{#annot:term|358|2dWu}}יוכה ב{{#annotend:2dWu}}אחד מאחדיו יהיה {{#annot:term|241|OF0L}}המתקבץ{{#annotend:OF0L}} הוא שרש המרובע
 |-
 |
-::defining:
+:We suppose BZ is equal to BH, which is one of the units of side AB.
-:*BZ = BH = one of the units of AB
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BZ=BH}}</math>
-|style="text-align:right;"|<s>ולכן</s> ו{{#annot:term|1009|M45E}}נשים{{#annotend:M45E}} ב"ז {{#annot:term|461|QJYS}}שוה ל{{#annotend:QJYS}}ב"ה שהוא אחד מאחדי צלע א"ב
+|style="text-align:right;"|<s>ולכן</s> ונשים ב"ז {{#annot:term|461,1247|QJYS}}שוה ל{{#annotend:QJYS}}ב"ה שהוא אחד מאחדי צלע א"ב
 |-
 |
-::drawing line ZC from point Z, parallel to AB
+:We draw line ZC from point Z, parallel to line AB.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מ<sup>נ</sup>קודת ז' {{#annot:term|592|XNSA}}קו{{#annotend:XNSA}} ז"ח נכחי לקו א"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZC\parallel AB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מ<sup>נ</sup>קודת ז' {{#annot:term|592,1450|XNSA}}קו{{#annotend:XNSA}} ז"ח נכחי לקו א"ב
 |-
 |
-:*AZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:Surface AZ is formed, which is a root of this square.
-|style="text-align:right;"|ויצא {{#annot:term|814|JkjG}}שטח{{#annotend:JkjG}} א"ז והוא שרש זה המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AZ=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא {{#annot:term|814,1310|JkjG}}שטח{{#annotend:JkjG}} א"ז והוא שרש זה המרובע
 |-
 |
-::dividing ABGD□ into AZ□; CT□; KL□; MN□; SD□ - each is equal to AZ□
+:We divide square ABGD into the units of surface AZ that are the surfaces: AZ; CT; KL; MN; SD - and they are five roots of the square of twenty-five.
-::ABGD□ = AZ□ + CT□ + KL□ + MN□ + SD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{5x=25}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=AZ+CT+KL+MN+SD=5x=25}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונחלק {{#annot:term|305|PFLT}}מרובע{{#annotend:PFLT}} אבג"ד לדמיוני שטח א"ז והם שטחי א"ז ח"ט כ"ל מ"נ ס"ד והם חמשה שרשים למרובע עשרים וחמשה
+|style="text-align:right;"|ונחלק {{#annot:term|305,1263|PFLT}}מרובע{{#annotend:PFLT}} אבג"ד לדמיוני שטח א"ז והם שטחי א"ז ח"ט כ"ל &#x202B;<ref>296v</ref>מ"נ ס"ד והם חמשה שרשים למרובע עשרים וחמשה
 |-
 |
-::each consists of five units, as AZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:Each of them consists of five units as the units of AZ, which is one of the five roots.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AZ=CT=KL=MN=SD=x}}</math>
 |style="text-align:right;"|וכמו כן כל אחד מהם מורכב מחמשה אחדים כמו שרשום <s>בשסע</s> בשטח א"ז שהוא אחד מהחמשה שרשי&#x202B;'
 |-
-|This explanation is enough
+|This explanation is enough.
 |style="text-align:right;"|ודי בזה באור
 |-
-|'''Normalization''': if the square is augmented or reduced it should always be restored to a single square.
+|<span style=color:Green>'''Normalization''':</span>
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ו{{#annot:term|386|Ek2e}}ראוי ש{{#annotend:Ek2e}}{{#annot:term|226|VBwn}}תדע ש{{#annotend:VBwn}}אם {{#annot:term|1000|fGlO}}בא ה{{#annotend:fGlO}}שואל להרבות המרובעי' ב{{#annot:term|539|92HF}}שאלתי{{#annotend:92HF}} או לשברם כי אז אתה צריך {{#annot:term|970|8Ik9}}להשיב השאלה לעולם אל מרובע אחד שלם{{#annotend:8Ik9}}
+|
+|-
+|You must know that if the one who asks increases the squares in his question or reduces them, you should always restore it to a single square.
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וראוי שתדע שאם בא השואל להרבות המרובעי' בשאלתו או לשברם כי אז אתה צריך להשיב השאלה לעולם אל מרובע אחד שלם
 |-
 |
-:*{{#annot:5x²=20x|715|WDhU}}<math>\scriptstyle5x^2=20x</math>
+:{{#annot:5x²=20x|715|WDhU}}Example: if one asks: five squares are equal to twenty roots.
-|style="text-align:right;"|דמיון זה אם {{#annot:term|908|fpDi}}ישאל{{#annotend:fpDi}} חמשה מרובעי' ישוו לעשרים שרשים{{#annotend:WDhU}}
+:<math>\scriptstyle5x^2=20x</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה אם ישאל חמשה מרובעי' ישוו לעשרים שרשים{{#annotend:WDhU}}
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}}}</math>
+:You divide twenty by five.
-|style="text-align:right;"|ואתה {{#annot:term|784|XtqU}}תחלק{{#annotend:XtqU}} עשרים על חמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואתה {{#annot:term|784,1259|XtqU}}תחלק{{#annotend:XtqU}} עשרים על חמשה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4x}}</math>
+:So, one square is equal to four roots.
-|style="text-align:right;"|ויהיה המרובע האחד {{#annot:term|429|baOU}}ישוה ל{{#annotend:baOU}}ארבעה שרשים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה המרובע האחד {{#annot:term|429,1247|baOU}}ישוה ל{{#annotend:baOU}}ארבעה שרשים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:The value of the square is sixteen.
-|style="text-align:right;"|והמרובע יהיה {{#annot:term|633|GtJN}}מספרו{{#annotend:GtJN}} ששה עשר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע יהיה מספרו ששה עשר
 |-
 |
-:*{{#annot:½x²=10x|715|fayj}}<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x^2=10x</math>
+*{{#annot:½x²=10x|715|fayj}}Also, if he says: half a square is equal to ten roots.
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x^2=10x</math>
 |style="text-align:right;"|וכן אם יאמ' חצי מרובע ישוה לעשרה שרשים{{#annotend:fayj}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=20x}}</math>
+:The whole square is equal to twenty roots.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=20x}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה כל המרובע ישוה לעשרים שרשים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}</math>
+:Its value is four hundred.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}</math>
 |style="text-align:right;"|ומספרו ארבע מאות
 |-
 |
-==== Squares Equal Numbers: ax<sup>2</sup>=c ====
+==== <span style=color:Green>Squares Equal Numbers: ax<sup>2</sup>=c</span> ====
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר המרובעי' ישוו למספרי&#x202B;'
+|
 |-
-|[for <math>\scriptstyle x^2=c</math>]: the numbers are the squares
+|He said: when the squares are equal to numbers: the numbers are the squares.
-|style="text-align:right;"|הנה המספרים הם המרובעים
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר המרובעי' ישוו למספרי' הנה המספרים הם המרובעים
 |-
 |
-:*{{#annot:x²=16|713|fCC4}}<math>\scriptstyle x^2=16</math>
+*{{#annot:x²=16|713|fCC4}}As if you are told: the square is equal to sixteen.
+:<math>\scriptstyle x^2=16</math>
 |style="text-align:right;"|כמו אם יאמרו לך המרובע ישוה לששה עשר{{#annotend:fCC4}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:Sixteen is the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה ששה עשר הוא המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}</math>
+:Its root is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|ושרשו ארבעה
 |-
-|'''Normalization''': the equation should be restored to one square
+|<span style=color:Green>'''Normalization''':</span>
-|style="text-align:right;"|וכמו כן {{#annot:term|970|HO53}}תשיב השאלה אל מרובע אחד{{#annotend:HO53}}
+|
+|-
+|Restore the question also to one square.
+|style="text-align:right;"|וכמו כן {{#annot:term|970,1431|OhZb}}תשיב{{#annotend:OhZb}} השאלה אל מרובע אחד
 |-
 |
-:*{{#annot:5x²=45|713|C4DX}}<math>\scriptstyle5x^2=45</math>
+*{{#annot:5x²=45|713|C4DX}}If one says: five squares are equal to forty-five.
+:<math>\scriptstyle5x^2=45</math>
 |style="text-align:right;"|כי אם אמ' חמשה מרובעי' ישוו לחמשה וארבעי&#x202B;'{{#annotend:C4DX}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot45=9}}</math>
+:One square is their fifth, which is nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot45=9}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה המרובע האחד הוא חמישיתם שהוא תשעה
 |-
 |
-:*{{#annot:⅓x²=27|713|Usmi}}<math>\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=27</math>
+*{{#annot:⅓x²=27|713|Usmi}}If one says: a third of the square is equal to twenty-seven.
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=27</math>
 |style="text-align:right;"|ואם אמ' שלישית המרובע ישוה לשבעה ועשרים{{#annotend:Usmi}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=81}}</math>
+:The whole square is eighty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=81}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה כל המרובע הוא שמנים ואחד
 |-
 |
-==== Roots Equal Numbers: bx=c ====
+==== <span style=color:Green>Roots Equal Numbers: bx=c</span> ====
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר השרשים ישוו למספרי&#x202B;'
+|
 |-
-|The units of the roots are as the amount of the numbers.
+|He said: when the roots are equal to numbers: the units of the roots are as the amount of the numbers.
-|style="text-align:right;"|הנה כ{{#annot:term|35|JuGc}}מנין ה{{#annotend:JuGc}}מספרי' יהיו אחדי השרשי&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר השרשים ישוו למספרי' הנה כ{{#annot:term|35,1434|JuGc}}מנין ה{{#annotend:JuGc}}מספרי' יהיו אחדי השרשי&#x202B;'
 |-
 |
-:*{{#annot:x=4|714|PaMj}}<math>\scriptstyle x=4</math>
+*{{#annot:x=4|714|PaMj}}If you are told: the roots of the square are equal to four numbers.
+:<math>\scriptstyle x=4</math>
 |style="text-align:right;"|כי אם יאמרו לך שרשי המרובע ישוו לארבע' מספרי&#x202B;'{{#annotend:PaMj}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}</math>
+:The root is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה השרש הוא ארבעה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:The square is sixteen.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע ששה עשר
 |-
-|Here also the equation should be restored to one square.
+|<span style=color:Green>'''Normalization''':</span>
-|style="text-align:right;"|וכן גם בזה {{#annot:term|970|tW7i}}תשיב השאלה למרובע אחד{{#annotend:tW7i}}
+|
+|-
+|Here you should also restore the question to one square.
+|style="text-align:right;"|וכן גם בזה תשיב השאלה למרובע אחד
 |-
 |
-:*{{#annot:5x=30|714|jHg9}}<math>\scriptstyle5x=30</math>
+*{{#annot:5x=30|714|jHg9}}As if one says: five roots are equal to thirty.
+:<math>\scriptstyle5x=30</math>
 |style="text-align:right;"|כמו אם אמ' חמשה שרשים ישוו לשלשים{{#annotend:jHg9}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{30\div5}}</math>
+:Divide thirty by five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{30\div5}}</math>
 |style="text-align:right;"|תחלק שלשים על חמשה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}</math>
+:The one root is equal to six.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}</math>
 |style="text-align:right;"|ויהיה השרש האחד ישוה לששה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}</math>
+:The square is thirty-six.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע ששה ושלשים
 |-
 |
-:*{{#annot:½x=10|714|e4m4}}<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x=10</math>
+*{{#annot:½x=10|714|e4m4}}If one says: half a root is equal to ten.
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x=10</math>
 |style="text-align:right;"|ואם אמ' <s>חמשה ושלשים</s> חצי שרש ישוה לעשרה{{#annotend:e4m4}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}</math>
+:The one root is equal to twenty.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}</math>
 |style="text-align:right;"|יהיה השרש האחד ישוה לעשרים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}</math>
+:The square is four hundred.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=400}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע ארבע מאות
 |-
-|This was the discussion concerning the three first types of canonical equations that are called simple
+|So far he has been discussing the three first categories [of canonical equations] called the simple.
-|style="text-align:right;"|עד הנה דבר ב{{#annot:term|703|tqKe}}שלשה החלקים הראשונים{{#annotend:tqKe}} אשר {{#annot:term|281|mScG}}יקראו{{#annotend:mScG}} {{#annot:term|703|Zvsu}}הפשוטים{{#annotend:Zvsu}}
+|style="text-align:right;"|עד הנה דבר בשלשה החלקים הראשונים אשר יקראו {{#annot:term|703,2029|Zvsu}}הפשוטים{{#annotend:Zvsu}}
 |-
 |
-=== The Compound Canonical Equations ===
+=== <span style=color:Green>The Compound Canonical Equations</span> ===
 |
 |-
 |
-==== Squares and Roots Equal Numbers: ax<sup>2</sup>+bx=c ====
+==== Chapter: <span style=color:Green>Squares and Roots Equal Numbers: ax<sup>2</sup>+bx=c</span> ====
-!style="text-align:right;"|<big>פרק</big> אמ' כאשר יהיו המרובעים והשרשים שוים למספרי&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|<big>פרק</big>
 |-
 |
-*{{#annot:x²+10x=39|710|oMPa}}<math>\scriptstyle x^2+10x=39</math>
+*{{#annot:x²+10x=39|710|oMPa}}He said: when squares and roots are equal to numbers, it is as if you say: the sum of one square and ten of its roots together is equal to thirty-nine dirham.
-|style="text-align:right;"|כאלו תאמ' המקובץ ממרובע מהאחד ועשרה משרשיו יחד ישוה לשלשים ותשעה דרהמי{{#annotend:oMPa}}
+:<math>\scriptstyle x^2+10x=39</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|אמ' כאשר יהיו המרובעים והשרשים שוים למספרי' כאלו תאמ' המקובץ ממרובע מהאחד ועשרה משרשיו יחד ישוה לשלשים ותשעה דרהמי{{#annotend:oMPa}}
-|The answer of this question is in two methods:
-|style="text-align:right;"|הנה {{#annot:term|540|q5yU}}תשובת זאת השאלה{{#annotend:q5yU}} יהיה בשני {{#annot:term|223|XrO6}}פנים{{#annotend:XrO6}}
 |-
 |
-:1) One methods presents the root of the square
+:The answer to this question is [obtained] by two methods: one method reveals the root of the square to you, the other reveals the square to you.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|223|Eamf}}האופן{{#annotend:Eamf}} האחד יראך {{#annot:term|133|15ha}}שרש המרובע{{#annotend:15ha}}
+|style="text-align:right;"|הנה תשובת זאת השאלה יהיה בשני פנים האופן האחד יראך {{#annot:term|133,1262|Eu3f}}שרש המרובע{{#annotend:Eu3f}} והשני יראך המרובע
 |-
-|
+|First I will explain to you the procedures of these methods and their engagement.
-:2) The second method presents the square
+|style="text-align:right;"|וראשונה אבאר לך דרכי אלו האופני' וההתעסקות בהם
-|style="text-align:right;"|והשני {{#annot:term|392|v1kU}}יראך ה{{#annotend:v1kU}}מרובע
 |-
-|First the progress of these methods and their engagement will be explained.
+|Then, I will explain their rules by geometrical demonstrations and figures, which the geometricians who are well versed in Euclid's book [= the Elements] understand .
-|style="text-align:right;"|וראשונה {{#annot:term|225|gsAX}}אבאר לך{{#annotend:gsAX}} {{#annot:term|223|MA6r}}דרכי{{#annotend:MA6r}} אלו האופני' וההתעסקות בהם
+|style="text-align:right;"|עוד אחר זה אבאר {{#annot:term|222|UVcu}}משפטיהן{{#annotend:UVcu}} במופתים וב{{#annot:term|303,1308|cUJQ}}תמונות גימטריאות{{#annotend:cUJQ}} יבינום {{#annot:term|846,1312|zYpS}}חכמי הגימטריאה{{#annotend:zYpS}} אשר ישכילו בספר אקלידס
 |-
-|Then, their rules will be explained by geometrical demonstrations and figures, which are understood by the geometricians who are well versed in Euclid's book [= the Elements].
+!<span style=color:Green>The method that yields the root of the square</span>
-|style="text-align:right;"|עוד אחר זה אבאר {{#annot:term|222|UVcu}}משפטיהן{{#annotend:UVcu}} במופתים וב{{#annot:term|303|cUJQ}}תמונות גימטריאות{{#annotend:cUJQ}} {{#annot:term|896|qC4B}}יבינום{{#annotend:qC4B}} {{#annot:term|846|zYpS}}חכמי הגימטריאה{{#annotend:zYpS}} אשר {{#annot:term|1031|bIEF}}ישכילו ב{{#annotend:bIEF}}ספר אקלידס
+|
-|-
-!The method that yields the root of the square
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> האופן אשר יראך שרש המרובע
-|-
-|Already stated by Muḥammad al-Khwārizmī in his book.
-|style="text-align:right;"|כבר אמרו מהומר אלכוארזמי בספרו
-|-
-|<math>\scriptstyle x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}-\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שתקח לעולם {{#annot:term|845|ljdv}}מחצית ה{{#annotend:ljdv}}שרשים<br>
-ותכם על עצמם<br>
-והעולה מההכאה {{#annot:term|797|E3eY}}תקבץ עם ה{{#annotend:E3eY}}מספרים<br>
-ו{{#annot:term|795|zwGy}}תוציא שרש{{#annotend:zwGy}} המקובץ<br>
-ו{{#annot:term|181|lyZc}}תגרע ממנו{{#annotend:lyZc}} מחצית השרשים ומה שישאר הוא שרש המרובע
 |-
+|<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}-\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)}}</math>
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{5^2+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{25+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{64}-5=8-5=3\\\end{align}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה {{#annot:term|925|J6uN}}לקחנו{{#annotend:J6uN}} בשאלה הנזכרת מחצית השרשים והוא חמשה<br>
-{{#annot:term|185|KfKq}}הכינום על{{#annotend:KfKq}} עצמם ו{{#annot:term|875|Cb29}}עלה{{#annotend:Cb29}} עשרי' וחמשה<br>
-{{#annot:term|797|ADZM}}קבצנום עם ה{{#annotend:ADZM}}ל"ט {{#annot:term|242|s8uc}}אדרהמי{{#annotend:s8uc}} ו{{#annot:term|875|cUNj}}יצא{{#annotend:cUNj}} ששים וארבעה<br>
-{{#annot:term|795|64Xw}}הוצאנו שרשו{{#annotend:64Xw}} והוא שמנה<br>
-{{#annot:term|181|RYq4}}גרענו ממנו{{#annotend:RYq4}} חמשה ו{{#annot:term|936|My33}}נשאר{{#annotend:My33}} שלשה והוא השרש
 |-
-|
+|He said: the method that reveals the root of the square to you is already stated by Muḥammad al-Khwārizmī in his book.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> האופן אשר יראך שרש המרובע כבר אמרו מהומר אלכוארזמי בספרו
-|style="text-align:right;"|והמרובע יהיה תשעה
 |-
-!The method that yields the root of the square
+|It is that you always take half [the number of] the roots, and multiply it by itself, then add the result to the numbers.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך המרובע
+|style="text-align:right;"|והוא שתקח לעולם מחצית השרשים ותכם על עצמם והעולה מההכאה {{#annot:term|178,1210|E3eY}}תקבץ עם ה{{#annotend:E3eY}}מספרים
 |-
-|<math>\scriptstyle x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+c-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2+\left(b^2\sdot c\right)}</math>
+|You extract the root of the sum and subtract half [the number of] the roots from it; the result is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|הוא שתכה השרשים על עצמם<br>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|795,1374|zwGy}}תוציא שרש{{#annotend:zwGy}} המקובץ ו{{#annot:term|181,1192|lyZc}}תגרע ממנו{{#annotend:lyZc}} מחצית השרשים ומה שישאר הוא שרש המרובע
-והעולה {{#annot:term|185|2ap5}}תכה על{{#annotend:2ap5}} המספרים ו{{#annot:term|241|A8hb}}מה שיתקבץ{{#annotend:A8hb}} {{#annot:term|459|OqHn}}שמור{{#annotend:OqHn}}<br>
-עוד תקח מחצית {{#annot:term|241|PdBE}}מה שעלה מהכאת ה{{#annotend:PdBE}}שרשים על עצמם<br>
-ותכה זה המחצית על עצמו ו{{#annot:term|876|FaSU}}מה שיעלה{{#annotend:FaSU}} {{#annot:term|797|6DWU}}תקבצהו עם{{#annotend:6DWU}} {{#annot:term|960|VFtS}}השמור{{#annotend:VFtS}}<br>
-ותוציא שרש המקובץ<br>
-ו{{#annot:term|181|uKYB}}תגרעהו מ{{#annotend:uKYB}}מקובץ מחצית הכאת השרשים על עצמם עם המספרי' השוי' למרובע עם שרשיו ונשאר הוא המרובע
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2+\left(10^2\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2+\left(100\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=50+39-\sqrt{50^2+3900}\\&\scriptstyle=89-\sqrt{2500+3900}\\&\scriptstyle=89-\sqrt{6400}=89-80=9\\\end{align}}}</math>
+:In the mentioned question, we take half [the number of] the roots, which is five.
-|style="text-align:right;"|והנה ב{{#annot:term|539|goUp}}שאלה{{#annotend:goUp}} הנזכרת הכינו עשרה השרשים על עצמם ועלה מאה<br>
+|style="text-align:right;"|והנה לקחנו בשאלה הנזכרת מחצית השרשים והוא חמשה
-והכינו מאה על הל"ט ויצא שלשת אלפים תת"ק ו{{#annot:term|459|hP4L}}שמרנום{{#annotend:hP4L}}<br>
-ו{{#annot:term|786|9dvQ}}לקחנו מחצית{{#annotend:9dvQ}} מאה שהוא חמשים<br>
-והכינום על עצמם ויצא אלפים ות"ק<br>
-וקבצנום עם השמור והיה המקובץ ששת אלפים ות&#x202B;'<br>
-{{#annot:term|795|PEiY}}הוצאנו שרש{{#annotend:PEiY}} זה המקובץ ויצא שמנים<br>
-{{#annot:term|181|52qr}}גרענום מ{{#annotend:52qr}}מקובץ חמשים עם ל"ט שהוא פ"ט ו{{#annot:term|936|57rJ}}ישארו{{#annotend:57rJ}} תשעה והם המרובע
-|-
-|'''Normalization''': if the squares exceed one, or less than one, the whole equation should be restored to a single square, and with it the roots and numbers should be restored, by exactly the same way that the square is restored.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם {{#annot:term|420|7jXA}}יעדיפו ה{{#annotend:7jXA}}מרובעי' בשאלה על אחד או {{#annot:term|246|QLgs}}יחסרו מ{{#annotend:QLgs}}אחד שלם הנה אז {{#annot:term|934|9DFA}}תצטרך{{#annotend:9DFA}} {{#annot:term|970|XTRo}}להשיב כל השאלה אל מרובע אחד{{#annotend:XTRo}} וכן תשיב עמו השרשים והמספרי' בדרך ההוא בעינו ש{{#annot:term|970|zZj7}}השיבות{{#annotend:zZj7}} המרובע
 |-
 |
-*{{#annot:3x²+15x=72|710|HV5b}}<math>\scriptstyle3x^2+15x=72</math>
+:We multiply it ib itself; the result is twenty-five.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|197|ng40}}דמיון זה ש{{#annotend:ng40}}שאל שלשה מרובעי' וט"ו שרשי' ישוו לע"ב דרהמי{{#annotend:HV5b}}
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|185,1255|KfKq}}הכינום על{{#annotend:KfKq}} עצמם ו{{#annot:term|875,1240|Cb29}}עלה{{#annotend:Cb29}} עשרי' וחמשה
 |-
 |
-::three times one square summed together with 15 of its roots are 72.
+:We add it to the 39 dirham; the result is sixty-four.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|367|okdU}}רצה בזה ש{{#annotend:okdU}}שלשה דמיוני מרובע אחד עם ט"ו משרשיו מקובצי' יחד יהיו ע"ב
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|178,1210|ADZM}}קבצנום עם ה{{#annotend:ADZM}}ל"ט {{#annot:term|242,1305|s8uc}}אדרהמי{{#annotend:s8uc}} ו{{#annot:term|875,1231|cUNj}}יצא{{#annotend:cUNj}} ששים וארבעה
 |-
 |
-:Normalization:
+:We extract its root; it is eight.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\sdot x^2+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)\sdot x=\frac{1}{3}\sdot72}}</math>
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|795,1374|EXDI}}הוצאנו שרשו{{#annotend:EXDI}} והוא שמנה
-|style="text-align:right;"|ובזה אתה צריך {{#annot:term|925|qfoT}}לקחת מ{{#annotend:qfoT}}המרובעי' אחד מהם והוא שלישיתם וכן {{#annot:term|925|E0O4}}תקח מ{{#annotend:E0O4}}השרשי' שלישיתם והוא חמשה ומהמספרי' כמו כן שלישיתם והוא כ"ד
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle x^2+5x=24</math>
+:We subtract five from it; three remains and it is the root.
-|style="text-align:right;"|ותשוב {{#annot:term|1055|DoGN}}להיות{{#annotend:DoGN}} השאלה כאלו שאל מרובע אחד עם חמשה משרשיו ישוו כ"ד {{#annot:term|242|ViGL}}דרהמי{{#annotend:ViGL}}
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|181,1192|RYq4}}גרענו{{#annotend:RYq4}} &#x202B;<ref>297r</ref>ממנו חמשה ו{{#annot:term|936,1236|My33}}נשאר{{#annotend:My33}} שלשה והוא השרש
 |-
-|The method that yields the root and the method that yields the square were already shown.
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|וכבר {{#annot:term|199|5iiT}}הראיתיך ה{{#annotend:5iiT}}אופן שיראך השרש והאופן שיראך המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\sqrt{5^2+39}-5=\sqrt{25+39}-5=\sqrt{64}-5=8-5=3}}</math>
 |-
 |
-*{{#annot:½x²+5x=28|710|FJRf}}<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x^2+5x=28</math>
+:The square is nine.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן אם {{#annot:term|908|Y8jY}}שאל{{#annotend:Y8jY}} השואל חצי מרובע וחמשה משרשיו ישוו לכ"ח דרהמי{{#annotend:FJRf}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע יהיה תשעה
 |-
+!<span style=color:Green>The method that yields the root of the square</span>
 |
-:Normalization:
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot x^2+\left(2\sdot5\right)\sdot x=2\sdot28}}</math>
-|style="text-align:right;"|אז {{#annot:term|970|eh1p}}תשיב המרובע שלך שלם{{#annotend:eh1p}} והוא ש{{#annot:term|785|qQ43}}תכפלהו{{#annotend:qQ43}} ו{{#annot:term|785|4uiD}}תכפול{{#annotend:4uiD}} כמו השרשי' והמספרי&#x202B;'
 |-
+|<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+c-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2+\left(b^2\sdot c\right)}}}</math>
 |
-:<math>\scriptstyle x^2+10x=56</math>
-|style="text-align:right;"|ותשוב השאלה מרובע ועשרה משרשיו ישוו נ"ו דרהמי וכבר {{#annot:term|199|updY}}הראית{{#annotend:updY}} לדעת מה לעשות לך עמהם
 |-
-!Geometric illustration of method that yields the root of the square
+|He said: the method that reveals the square to you is that you multiply [the number of] the roots by itself, then multiply the product by the numbers and keep the result.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ועתה {{#annot:term|199|6NpX}}אראך ה{{#annotend:6NpX}}סבה אשר בעבורה דרכנו באופן ש{{#annot:term|392|DdTC}}מראה{{#annotend:DdTC}} שרש המרובע
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך המרובע הוא שתכה השרשים על עצמם והעולה {{#annot:term|185,1255|Ties}}תכה על{{#annotend:Ties}} המספרים ו{{#annot:term|875,1216|A8hb}}מה שיתקבץ{{#annotend:A8hb}} {{#annot:term|459,1237|OqHn}}שמור{{#annotend:OqHn}}
+|-
+|Take half the product of [the number of] the roots by itself and multiply this half by itself.
+|style="text-align:right;"|עוד תקח מחצית מה שעלה מהכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו
+|-
+|Add the result to the reserved and extract the root of the sum.
+|style="text-align:right;"|ומה שיעלה תקבצהו עם {{#annot:term|960,1238|VFtS}}השמור{{#annotend:VFtS}} ותוציא שרש המקובץ
 |-
-|illustrating the equation <math>\scriptstyle x^2+10x=39</math>
+|You subtract it from the sum of half the product of the roots plus the numbers that are equal to the square and its roots; the remainder is the square.
-:[[File:Finzi 1 .png|thumb|100px|left]]
+|style="text-align:right;"|ותגרעהו ממקובץ מחצית הכאת השרשים על עצמם עם המספרי' השוי' למרובע עם שרשיו ונשאר הוא המרובע
-|[[File:פינצי 1.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::constructing:
+:In the mentioned question, we multiply the ten roots by themselves; the result is one hundred.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה בשאלה הנזכרת הכינו עשרה השרשים על עצמם ועלה מאה
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח <s>שרש</s> [שטח]<ref>marg.</ref> מרובע עליו אבג"ד הוא על דמיון המרובע אשר עליו השאלה
 |-
 |
-::adding to it ABHW□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:We multiply one hundred by 39; the result is 3900. We keep it.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|178|1ylG}}נחבר אליו{{#annotend:1ylG}} שטח אבה"ו יהיה על דמיון עשרת השרשים אשר {{#annot:term|797|xzBN}}קבצת עם ה{{#annotend:xzBN}}מרובע
+|style="text-align:right;"|והכינו מאה על הל"ט ויצא שלשת אלפים תת"ק ו{{#annot:term|459,1237|hP4L}}שמרנום{{#annotend:hP4L}}
 |-
 |
-:*WHDG□ = [ABGD□ + ABHW□] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x=39}}</math>
+:We take a half of one hundred; it is fifty.
-|style="text-align:right;"|והנחנו שכל שטח והד"ג יהיה שלשים ותשעה דרהמי
+|style="text-align:right;"|ולקחנו מחצית מאה שהוא חמשים
-|-
-|We wish to state the measure of the length and breadth of this surface, which are HG and DG
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|391|bk0C}}רצינו ש{{#annotend:bk0C}}נודיע {{#annot:term|633|0INa}}שיעור{{#annotend:0INa}} קוי האורך והרחב מזה השטח שהם קוי ה"ג ד"ג
 |-
 |
-::BG = DG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:We multiply it by itself; the result is 2500.
-|style="text-align:right;"|ועם זה {{#annot:term|945|76L8}}יהיה ידוע לנו{{#annotend:76L8}} שיעור קו ב"ג {{#annot:term|461|GpFM}}השוה ל{{#annotend:GpFM}}ד"ג שכל אחד מהם הוא שוה לשרש זה המרובע
+|style="text-align:right;"|והכינום על עצמם ויצא אלפים ות"ק
 |-
 |
-::BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:We add it to the reserved; the sum is 6400.
-|style="text-align:right;"|והוא ידוע כי קו ב"ה עשרה
+|style="text-align:right;"|וקבצנום עם השמור והיה המקובץ ששת אלפים ות&#x202B;'
 |-
 |
-:::BA &times; its unit = &radic;ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:We extract the root of this sum; the result is eighty.
-|style="text-align:right;"|מפני כי היה {{#annot:term|325|DtxV}}צלע{{#annotend:DtxV}} ב"א ממרובע אבג"ד כשהוכה באחד מאחדיו יהיה השטח העולה הוא שרש מרובע אבג"ד כמבואר ב{{#annot:term|357|6oAB}}תמונה{{#annotend:6oAB}} הראשונה מזה הספר
+|style="text-align:right;"|הוצאנו שרש זה המקובץ ויצא שמנים
 |-
 |
-:::(BA &times; 1) &times; 10 = 10&radic;ABGD□ = ABHW□
+:We subtract it from the sum of fifty and 39, which is 89; nine remains and it is the square.
-|style="text-align:right;"|וזה השטח כש{{#annot:term|358|IkGn}}הוכה ב{{#annotend:IkGn}}עשרה יהיה העולה עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד והוא שטח אבה"ו
+|style="text-align:right;"|גרענום ממקובץ חמשים עם ל"ט שהוא פ"ט ו{{#annot:term|936,1236|xbF2}}ישארו{{#annotend:xbF2}} תשעה והם המרובע
 |-
-|
+|colspan=2|
-::&rarr; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2+\left(10^2\sdot39\right)}=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2+\left(100\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=50+39-\sqrt{50^2+3900}=89-\sqrt{2500+3900}=89-\sqrt{6400}=89-80=9\\\end{align}}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה כי קו ב"ה עשרה
 |-
+|<span style=color:Green>'''Normalization''':</span>
 |
-::halving line BH on point C [= C midpoint of BH]
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|828|vadk}}נחלק אותו לחצאין על נקודת{{#annotend:vadk}} ח&#x202B;'
 |-
-|
+|He said: if the squares in the question exceed one, or are less than one, you should restore the whole equation to a single square, and restore with it the roots and numbers, exactly by the same way that you restore the square.
-::BG is added to BH
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם {{#annot:term|420,2035|z69a}}יעדיפו ה{{#annotend:z69a}}מרובעי' בשאלה על אחד או יחסרו מאחד שלם הנה אז תצטרך להשיב כל השאלה אל מרובע אחד וכן תשיב עמו השרשים והמספרי' בדרך ההוא בעינו שהשיבות המרובע
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|179|TGnE}}נוסף ב{{#annotend:TGnE}}ארכו קו ב"ג
 |-
 |
-::(HG &times; BG) + CB<sup>2</sup> = CG<sup>2</sup>
+*{{#annot:3x²+15x=72|710|HV5b}}Example: if one asks: three squares and 15 roots are equal to 72 dirham.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה השטח {{#annot:term|241|n4B9}}העולה מהכאת{{#annotend:n4B9}} קו ה"ג בקו ב"ג עם המרובע {{#annot:term|919|kGgE}}ההוה מ{{#annotend:kGgE}}הכאת ח"ב על עצמו כמו המרובע ההוה מהכאת ח"ג על עצמו
+:<math>\scriptstyle3x^2+15x=72</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה ששאל שלשה מרובעי' וט"ו שרשי' ישוו לע"ב דרהמי{{#annotend:HV5b}}
 |-
 |
-::as noted by Euclid in Elements II
+:He means that three times one square summed together with 15 of its roots are 72.
-|style="text-align:right;"|כמו שאמר '''אקלידס במאמ' שני''' מספרו
+|style="text-align:right;"|רצה בזה ששלשה דמיוני מרובע אחד עם ט"ו משרשיו מקובצי' יחד יהיו ע"ב
 |-
 |
-::HG &times; BG = [HG &times; DG = WHDG□ =] <math>\scriptstyle{\color{blue}{39}}</math>
+:You should take one of the squares, which is their third, and so you take from the roots their third, which is five, and also from the numbers their third, which is 24.
-|style="text-align:right;"|אבל הכאת קו ה"ג בקו ב"ג כבר {{#annot:term|385|XhUA}}הונחה{{#annotend:XhUA}} שלשים ותשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\sdot x^2+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)\sdot x=\frac{1}{3}\sdot72}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובזה אתה צריך לקחת מהמרובעי' אחד מהם והוא שלישיתם וכן תקח מהשרשי' שלישיתם והוא חמשה ומהמספרי' כמו כן שלישיתם והוא כ"ד
 |-
 |
-:::DG = BG
+:Hence, the question becomes as if one asks: one square plus its five roots are equal to 24 dirham.
-|style="text-align:right;"|מפני כי קו ד"ג הוא כמו קו ב"ג
+:<math>\scriptstyle x^2+5x=24</math>
+|style="text-align:right;"|ותשוב להיות השאלה כאלו שאל מרובע אחד עם חמשה משרשיו ישוו כ"ד {{#annot:term|242,1305|ViGL}}דרהמי{{#annotend:ViGL}}
 |-
-|
+|I have already shown you the method that reveals the root to you and the method that reveals the square to you.
-::CB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר הראיתיך האופן שיראך השרש והאופן שיראך המרובע
-|style="text-align:right;"|והכאת קו ח"ב על עצמו היא עשרים וחמשה
 |-
 |
-::CG<sup>2</sup> = (HG &times; BG) + CB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{39+25=64}}</math>
+*{{#annot:½x²+5x=28|710|FJRf}}Likewise, if one asks: half a square plus its five roots are equal to 28 dirham.
-|style="text-align:right;"|ומקובצם ששים וארבע' ולכן יהיה הכאת קו ח"ג על עצמו ששים וארבעה
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x^2+5x=28</math>
+|style="text-align:right;"|וכמו כן אם שאל השואל חצי מרובע וחמשה משרשיו ישוו לכ"ח דרהמי{{#annotend:FJRf}}
 |-
 |
-::&radic;[CG<sup>2</sup>] = &radic;[(HG × BG) + KB<sup>2</sup>] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}=8}}</math>
+:Restore your square to a whole square by doubling it and double the roots and the numbers as well.
-|style="text-align:right;"|והנה שרשו הוא שמנה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot x^2+\left(2\sdot5\right)\sdot x=2\sdot28}}</math>
+|style="text-align:right;"|אז תשיב המרובע שלך שלם והוא ש{{#annot:term|785,1230|qQ43}}תכפלהו{{#annotend:qQ43}} ו{{#annot:term|785,1230|BSiQ}}תכפול{{#annotend:BSiQ}} כמו השרשי' והמספרי&#x202B;'
 |-
 |
-::&rarr; CG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8}}</math>
+:The question becomes: a square plus its ten roots are equal to 56 dirham.
-|style="text-align:right;"|ולכן קו ח"ג הוא שמנה
+:<math>\scriptstyle x^2+10x=56</math>
+|style="text-align:right;"|ותשוב השאלה מרובע ועשרה משרשיו ישוו נ"ו דרהמי
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = BG = CG - CB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8-5=3}}</math>
+:I have already shown you what to do with them.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|837|5xih}}נבדיל ממנו{{#annotend:5xih}} קו ח"ב {{#annot:term|940|9Tug}}הידוע{{#annotend:9Tug}} שהוא חמשה וישאר קו ב"ג שלשה והוא שרש המרובע
+|style="text-align:right;"|וכבר הראית לדעת מה לעשות לך עמהם
 |-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of method that yields the root of the square</span>
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
-|style="text-align:right;"|והמרובע תשעה
 |-
-|
+|He said: now I will show you the reason we use the method that reveals the root of the square.
-::constructing:
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ועתה אראך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
-:*CKNG□ = CG<sup>2</sup>
-|style="text-align:right;"|ואם {{#annot:term|391|rXzP}}תרצה ש{{#annotend:rXzP}}{{#annot:term|199|F4hY}}אראך לעין{{#annotend:F4hY}} מה שאמרתי {{#annot:term|1015|48WG}}עשה על{{#annotend:48WG}} קו ח"ג מרובע חכנ"ג
 |-
-|
+|<span style=color:Green>Illustrating the equation:</span> <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2+10x=39}}</math>
-::extending line BA straight to point E
+:[[File:Finzi 1 .png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|818|E2dh}}תוציא קו{{#annotend:E2dh}} ב"א {{#annot:term|942|cDgm}}ביושר{{#annotend:cDgm}} עד נקדת ע&#x202B;'
+|[[File:פינצי 1.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::CG = GN
+:It is that we construct a square surface ABGD as the square in the question.
-|style="text-align:right;"|הנה קו ח"ג כמו קו ג"נ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח <s>שרש</s> [שטח]<ref>marg.</ref> מרובע עליו אבג"ד הוא על דמיון המרובע אשר עליו השאלה
 |-
 |
-::BG = DG
+:We add surface ABHW to it as the ten roots you add to the square.
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ג כמו קו ד"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|178,1165|5oer}}נחבר אליו{{#annotend:5oer}} שטח אבה"ו יהיה על דמיון עשרת השרשים אשר קבצת עם המרובע
 |-
 |
-::BC = MK
+:We suppose that the whole surface WHDG is thirty-nine dirham.
-|style="text-align:right;"|ישאר קו ב"ח כמו קו מ"כ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{WHDG=ABGD+ABHW=x^2+10x=39}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנחנו שכל שטח והד"ג יהיה שלשים ותשעה דרהמי
 |-
 |
-::CA□ = AN□
+:We wish to state the measure of the length and breadth of this surface, which are lines HG and DG.
-|style="text-align:right;"|ושטח ח"א כמו שטח א"נ
+|style="text-align:right;"|ורצינו שנודיע {{#annot:term|633,1501|aHEz}}שיעור{{#annotend:aHEz}} קוי האורך והרחב מזה השטח שהם קוי ה"ג ד"ג
 |-
 |
-::CA□ = MH□
+:We know the measure of line BG that is equal to DG, each of which is equal to the root of this square.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח ח"א כמו שטח מ"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=DG=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועם זה יהיה ידוע לנו שיעור קו ב"ג השוה לד"ג שכל אחד מהם הוא שוה לשרש זה המרובע
 |-
 |
-::&rarr;MH□ = AN□
+:It is known that line BH is ten.
-|style="text-align:right;"|לכן שטח מ"ה כמו שטח א"נ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא ידוע כי קו ב"ה עשרה
 |-
 |
-::AC□ + AN□ + DB□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{39}}</math>
+:Because, when side BA of square ABGD is multiplied by one of its units, the resulting surface is a root of square ABGD as explained in the first geometrical illustration of this book.
-|style="text-align:right;"|ושטחי א"ח א"נ ד"ב השלשה הם שלשים ותשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BA\times 1=\sqrt{ABGD}=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|מפני כי היה {{#annot:term|325,1464|DtxV}}צלע{{#annotend:DtxV}} ב"א ממרובע אבג"ד כשהוכה באחד מאחדיו יהיה השטח העולה הוא שרש מרובע אבג"ד כמבואר ב{{#annot:term|303,1308|QKAs}}תמונה{{#annotend:QKAs}} הראשונה מזה הספר
 |-
 |
-::AK□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:When this surface is multiplied by ten, the result is ten roots of square ABGD, which is surface ABHW.
-|style="text-align:right;"|אבל {{#annot:term|816|F1Td}}שטח{{#annotend:F1Td}} א"כ עשרים וחמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=\left(BA\times 1\right)\times10=10\sqrt{ABGD}=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וזה השטח כש{{#annot:term|358,2025|IkGn}}הוכה ב{{#annotend:IkGn}}עשרה יהיה העולה עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד והוא שטח אבה"ו
 |-
 |
-:::AK□ = CB<sup>2</sup>
+:Since line BH is ten.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי הוא שוה להכאת ח"ב על עצמו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כי קו ב"ה עשרה
 |-
 |
-::KG□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{64}}</math>
+:We cut it in half at point C [= C midpoint of BH].
-|style="text-align:right;"|הנה שטח כ"ג כלו ששים וארבעה
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:to halve a line at point|820,2058|vadk}}נחלק אותו לחצאין על נקודת{{#annotend:vadk}} &#x202B;<ref>297v</ref>ח&#x202B;'
 |-
 |
-::CG = &radic;KG□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}=8}}</math>
+:Line BG is added to it.
-|style="text-align:right;"|וקו ח"ג שרשיו והוא שמנה
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|178,1213|TGnE}}נוסף ב{{#annotend:TGnE}}ארכו קו ב"ג
 |-
 |
-::BC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{5}}</math>
+:Therefore, the surface resulting from the product of line HG by line BG plus the square resulting from the product of CB by itself is the same as the square resulting from the product of CG by itself; as Euclid said in the second section of his book [[ספר_היסודות_לאקלידס#Elements_II_5|<span style=color:blue>'''[Elements, Book II, (proposition 5)]'''</span>]].
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ח היה חמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(HG\times BG\right)+CB^2=CG^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה השטח העולה מהכאת קו ה"ג בקו ב"ג עם המרובע ההוה מהכאת ח"ב על עצמו כמו המרובע ההוה מהכאת ח"ג על עצמו כמו שאמר אקלידס במאמ' שני מספרו
 |-
 |
-::GB = [CG - BC] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8-5=3}}</math>
+:But the product of line HG by line BG has already been assumed to be thirty-nine, because line DG is the same as line BG.
-|style="text-align:right;"|וישאר קו ג"ב שלשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HG\times BG=HG\times DG=39}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|אבל הכאת קו ה"ג בקו ב"ג כבר הונחה שלשים ותשעה מפני כי קו ד"ג הוא כמו קו ב"ג
-|Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|780|R5Eg}}וזה מש"ל{{#annotend:R5Eg}}
-|-
-!Geometric illustration of method that yields the square
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ו{{#annot:term|311|MTbu}}הסבה ב{{#annotend:MTbu}}אופן אשר {{#annot:term|199|99yG}}הראנו בו ה{{#annotend:99yG}}מרובע
-|-
-|illustrating the equation <math>\scriptstyle x^2+10x=39</math>
-:[[File:Finzi 2 - II.png|thumb|75px|left]]
-|[[File:פינצי 2 - II.png|thumb|75px|right]]
 |-
 |
-::constructing:
+:The product of line CB by itself is twenty-five.
-:*line ABG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x=39}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB^2=25}}</math>
-|style="text-align:right;"|היא שנניח קו אב"ג יהיה {{#annot:term|633|Shc1}}שיעורו{{#annotend:Shc1}} כמו {{#annot:term|388|M6zW}}מקובץ ה{{#annotend:M6zW}}מרובע ועשרה משרשיו שהוא שלשים ותשעה
+|style="text-align:right;"|והכאת קו ח"ב על עצמו היא עשרים וחמשה
 |-
 |
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:Their sum is sixty-four; therefore, the product of line CG by itself is sixty-four.
-|style="text-align:right;"|ויהיה קו א"ב ממנו הוא שיעור המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG^2=\left(HG\times BG\right)+CB^2=39+25=64}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ומקובצם ששים וארבע' ולכן יהיה הכאת קו ח"ג על עצמו ששים וארבעה
-|We wish to state the measure of AB
-|style="text-align:right;"|ואנו {{#annot:term|391|KgyW}}נרצה ש{{#annotend:KgyW}}נודיע שיעור א"ב
 |-
 |
-::constructing:
+:Its root is eight, so line CG is eight.
-:*DHBG□ = 100 &times; (AB &times; 1)
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG=\sqrt{CG^2}=\sqrt{\left(HG\times BG\right)+CB^2}=\sqrt{64}=8}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה {{#annot:term|1015|GRES}}נעשה על{{#annotend:GRES}} קו ב"ג מרובע ד והוא מרובע דהב"ג והנה הוא כמו מאה {{#annot:term|243|122q}}פעמים ה{{#annotend:122q}}שטח {{#annot:term|241|fGOj}}היוצא בהכאת{{#annotend:fGOj}} קו א"ב באחד מא[חד]יו
+|style="text-align:right;"|והנה שרשו הוא שמנה ולכן קו ח"ג הוא שמנה
 |-
 |
-:::BG = 10&radic;AB
+:We subtract line CB from it that is known to be five; line BG remains, which is three and it is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ב"ג הוא עשרה שרשים מקו א"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=BG=CG-CB=8-5=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונבדיל ממנו קו ח"ב הידוע שהוא חמשה וישאר קו ב"ג שלשה והוא שרש המרובע
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10\sqrt{X}\right)^2=100X}}</math>
+:The square is nine.
-|style="text-align:right;"|ועשרה שרשים מהדבר כשהוכו על עצמם יהיה המתקבץ כמו מאה דמיוני אותו הדבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע תשעה
 |-
 |
-::constructing:
+:If you want me to illustrate to your eye what I have said, construct square CKNG on line CG.
-:*AM circumscribing a right angle with line AG
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG^2=CKNG}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונשים קו א"מ מקיף עם קו א"ג בזוית נצבה
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי {{#annot:term|1015|48WG}}עשה על{{#annotend:48WG}} קו ח"ג מרובע חכנ"ג
 |-
 |
-:*AM = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:Extend line BA straight to point E.
-::of [the units] by which AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{39}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:to draw a line|819,1232|E2dh}}תוציא קו{{#annotend:E2dh}} ב"א {{#annot:term|942,1849|cDgm}}ביושר{{#annotend:cDgm}} עד נקדת ע&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|1009|18dx}}נשימהו{{#annotend:18dx}} בשיעור מאה מאשר בם קו א"ג שלשים ותשעה
 |-
 |
-::completing AN□
+:Line CG is the same as line GN.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|838|RRCV}}נשלים שטח{{#annotend:RRCV}} א"נ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG=GN}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה קו ח"ג כמו קו ג"נ
 |-
 |
-::AN□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3900}}</math>
+:Line BG is the same as line DG.
-|style="text-align:right;"|והנה {{#annot:term|633|zIfA}}שעורו{{#annotend:zIfA}} {{#annot:term|940|w7d7}}ידוע כי{{#annotend:w7d7}} הוא שלשת אלפים תת"ק
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=DG}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ג כמו קו ד"ג
 |-
 |
-:::AN□ = AG &times; AM = <math>\scriptstyle{\color{blue}{39\times100}}</math>
+:Line BC that remains is the same as line MK.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי {{#annot:term|241|oamX}}הוא מהכאת{{#annotend:oamX}} קו א"ג שהוא שלשים ותשעה בקו א"מ שהוא מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC=MK}}</math>
+|style="text-align:right;"|ישאר קו ב"ח כמו קו מ"כ
 |-
 |
-::extending line BC parallel to AM
+:Surface CA is the same as surface AN.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|822|KMfZ}}נמשיך קו{{#annotend:KMfZ}} ב"ח {{#annot:term|825|LCaE}}נכחי ל{{#annotend:LCaE}}קו א"מ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CA=AN}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ח"א כמו שטח א"נ
 |-
 |
-::AC□ = BH□
+:But, surface CA is the same as surface MH.
-|style="text-align:right;"|והנה יהיה שטח א"ח שוה למרובע ב"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CA=MH}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח ח"א כמו שטח מ"ה
 |-
 |
-:::AC□ = 100 &times; (AB &times; its unit)
+:Therefore, surface MH is the same as surface AN.
-|style="text-align:right;"|כי הוא גם כן מאה דמיוני הכאת קו א"ב באחד מאחדיו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MH=AN}}</math>
+|style="text-align:right;"|לכן שטח מ"ה כמו שטח א"נ
 |-
 |
-::::AM = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:The three surfaces AC, AN, and DB are thirty-nine.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי {{#annot:term|316|vaVj}}אורך{{#annotend:vaVj}} קו א"מ מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC+AN+DB=39}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטחי א"ח א"נ ד"ב השלשה הם שלשים ותשעה
 |-
 |
-::&rarr;DHCN□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3900}}</math>
+:But, surface AK is twenty-five, since it is equal to the product of CB by itself.
-|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה שטח דהח"נ גם כן שלשת אלפים משל תת"ק
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AK=CB^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל {{#annot:term|816,1310|F1Td}}שטח{{#annotend:F1Td}} א"כ עשרים וחמשה בעבור כי הוא שוה להכאת ח"ב על עצמו
 |-
 |
-::DHCN□ = GH &times; HN
+:So, the whole surface KG is sixty-four.
-|style="text-align:right;"|והוא מהכאת קו ג"ה בקו ה"נ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KG=64}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה שטח כ"ג כלו ששים וארבעה
 |-
 |
-:::GH = HD
+:Line CG is its root, which is eight.
-|style="text-align:right;"|כי ג"ה כמו ה"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG=\sqrt{KG}=\sqrt{64}=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ח"ג שרשיו והוא שמנה
 |-
 |
-::GN = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:Line BC is five.
-|style="text-align:right;"|והנה קו ג"נ מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ח היה חמשה
 |-
 |
-:::GN = AM
+:GB that remains is three.
-|style="text-align:right;"|מפני שהוא שוה לא"מ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=CG-BC=8-5=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר קו ג"ב שלשה
 |-
 |
-::halving line GN on point L [= L midpoint of GN]
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|828|uwUl}}נחלקהו לחציין על נקודת {{#annotend:uwUl}}ל&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|780,2080|R5Eg}}וזה מש"ל{{#annotend:R5Eg}}
 |-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of method that yields the square</span>
 |
-::NH is added to GN
+|-
-|style="text-align:right;"|וכבר נוסף עליו קו נ"ה
+|He said: the reason of the method by which we reveal the square:
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ו{{#annot:term|311|MTbu}}הסבה ב{{#annotend:MTbu}}אופן אשר הראנו בו המרובע
+|-
+|<span style=color:Green>Illustrating the equation:</span> <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2+10x=39}}</math>
+:[[File:Finzi 2 - II.png|thumb|75px|left]]
+|[[File:פינצי 2 - II.png|thumb|75px|right]]
 |-
 |
-::(HN &times; GH) + GL<sup>2</sup> = LH<sup>2</sup>
+:It is that we suppose line ABG whose measure is as the sum of the square plus its ten roots, which is thirty-nine.
-|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה {{#annot:term|590|W9nk}}שטח הכאת{{#annotend:W9nk}} ה"נ בג"ה ומרובע קו ג"ל יחד שוה למרובע קו ל"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABG=x^2+10x=39}}</math>
+|style="text-align:right;"|היא שנניח קו אב"ג יהיה שיעורו כמו {{#annot:term|388,1217|M6zW}}מקובץ ה{{#annotend:M6zW}}מרובע ועשרה משרשיו שהוא שלשים ותשעה
 |-
 |
-::as noted by Euclid in Elements II
+:Line AB is the size of the square and we wish to state the measure of AB.
-|style="text-align:right;"|כמו ש{{#annot:term|225|XcYs}}ביאר{{#annotend:XcYs}} אקלידס במאמ' שני מספרו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה קו א"ב ממנו הוא שיעור המרובע ואנו נרצה שנודיע שיעור א"ב
 |-
 |
-::(HN &times; GH) + GL<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6400}}</math>
+:We construct square DHBG on line BG; it is the same as a hundred times the surface resulting from the product of line AB by one of its units.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח ה"נ בג"ה ומרובע ג"ל {{#annot:term|447|ahXT}}מקובצים{{#annotend:ahXT}} הוא ידוע שהם ששת אלפים ות&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DHBG=100\sdot\left(AB\times1\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה {{#annot:term|1015|GRES}}נעשה על{{#annotend:GRES}} קו ב"ג מרובע ד והוא מרובע דהב"ג והנה הוא כמו מאה {{#annot:term|243|122q}}פעמים ה{{#annotend:122q}}שטח {{#annot:term|876,1233|fGOj}}היוצא בהכאת{{#annotend:fGOj}} קו א"ב באחד מא[חד]יו
 |-
 |
-:::HN &times; GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3900}}</math>
+:Because line BG is ten roots of line AB.
-|style="text-align:right;"|כי שטח ה"נ בג"ה הוא שלשת אלפים תת"ק
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=10\sqrt{AB}}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ב"ג הוא עשרה שרשים מקו א"ב
+|-
+|When ten roots of a thing are multiplied by themselves, the result is as one hundred of that thing.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10\sqrt{a}\right)^2=100a}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועשרה שרשים מהדבר כשהוכו על עצמם יהיה המתקבץ כמו מאה דמיוני אותו הדבר
 |-
 |
-:::GL<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500}}</math>
+:We construct line AM circumscribing a right angle with line AG.
-|style="text-align:right;"|ומרובע ג"ל הוא אלפים ת"ק
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM\perp AG}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשים קו א"מ {{#annot:term|1917,1855|fbeH}}מקיף{{#annotend:fbeH}} עם קו א"ג ב{{#annot:term|1091,1341|kliQ}}זוית נצבה{{#annotend:kliQ}}
 |-
 |
-::&rarr;LH<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6400}}</math>
+:We suppose its measure is a hundred [units] of [the units] by which line AG is thirty-nine.
-|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה מרובע קו ל"ה ששת אלפים ות&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשימהו בשיעור מאה מאשר בם קו א"ג שלשים ותשעה
 |-
 |
-::LH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{80}}</math>
+:We complete surface AN; it is known that its measure is 3900.
-|style="text-align:right;"|וקו ל"ה יהיה שמנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AN=3900}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|838|RRCV}}נשלים שטח{{#annotend:RRCV}} א"נ והנה {{#annot:term|633,1501|zIfA}}שעורו{{#annotend:zIfA}} ידוע כי הוא שלשת אלפים תת"ק
 |-
 |
-::GH = BG
+:Since it is generated from the product of line AG, which is thirty-nine, by line AM, which is one hundred.
-|style="text-align:right;"|אבל קו ג"ה כמו מרובע קו ב"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AN=AG\times AM=39\times100}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שלשים ותשעה בקו א"מ שהוא מאה
 |-
 |
-::&rarr;BG + LG = [LH] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{80}}</math>
+:We extend line BC parallel to AM.
-|style="text-align:right;"|הנה כי קוי ב"ג ל"ג מקובצים הם שמנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC\parallel AM}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|822,2061|KMfZ}}נמשיך קו{{#annotend:KMfZ}} ב"ח {{#annot:term|825,1821|LCaE}}נכחי ל{{#annotend:LCaE}}קו א"מ
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math> = AB = (BG + LG) - (AG + GL) = <math>\scriptstyle{\color{blue}{89-80=9}}</math>
+:Surface AC is equal to square BH, because it is also a hundred times the product of line AB by one of its units.
-|style="text-align:right;"|וכאשר {{#annot:term|181|i4yM}}נגרעם מ{{#annotend:i4yM}}קוי א"ג ג"ל שהם שמנים ותשעה ישאר קו א"ב שהוא שיעור מרובע תשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=BH=100\sdot\left(AB\times1\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה יהיה שטח א"ח שוה למרובע ב"ה כי הוא גם כן מאה דמיוני הכאת קו א"ב באחד מאחדיו
 |-
-|Q.E.D.
+|
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+:Since the length of line AM is one hundred.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי {{#annot:term|316,1489|vaVj}}אורך{{#annotend:vaVj}} קו א"מ מאה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|<ref>marg.: {{#annot:term|1002|PnVx}}זכור כי{{#annotend:PnVx}} {{#annot:term|921|kG7b}}מצאתי{{#annotend:kG7b}} אחר זה בספר הזה {{#annot:term|227|KjTM}}פרק ב{{#annotend:KjTM}}הכפלת השרשי' יתבאר בו זה ולקיים {{#annot:term|478|qd6f}}דברי{{#annotend:qd6f}} אלה בכתוב אין בו הפסד ואם לא יועיל</ref>
+:Therefore, surface DHCN is also 3900 and it is generated from the product of line GH by line HN.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DHCN=GH\times HN=3900}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה שטח דהח"נ גם כן שלשת אלפים <s>משל</s> תת"ק והוא מהכאת קו ג"ה בקו ה"נ
 |-
-|Finzi: where do we see and from where did the author [= Abū Kāmil] deduces that ten roots of the thing, multiplied by themselves, generate an area whose measure is a hundred times the thing?
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ"פ</big> {{#annot:term|915|yxK0}}המעתיק{{#annotend:yxK0}} מאי לנו ש{{#annot:term|896|d3SZ}}נבונן{{#annotend:d3SZ}} ואין {{#annot:term|901|Ew4d}}הוציא{{#annotend:Ew4d}} בעל הספר שעשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו שטח שיעורו מאה {{#annot:term|243|e2Si}}דמיוני ה{{#annotend:e2Si}}דבר
+:Because GH is the same as HD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=HD}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי ג"ה כמו ה"ד
 |-
-|The answer: it is clear from the first figure above that one root of the thing is of the same length as the side of the thing, and when it is multiplied by itself it is equal to the thing.
+|
-|style="text-align:right;"|ונאמ' כי הוא מבואר מהתמונה הראשונה מזה הספר ששרש אחד מהדבר הוא באורך כמו צלע הדבר וכש{{#annot:term|358|c21n}}הוכה על עצמו{{#annotend:c21n}} הוא שוה לדבר
+:Line GN is one hundred, because it is equal to AM.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GN=AM=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה קו ג"נ מאה מפני שהוא שוה לא"מ
 |-
-|'''Euclid's Elements, II.4''':
+|
-|style="text-align:right;"|ומהתמונ' הרביעית ממאמר שני לאקלידס באמרו
+:We divide it in half at point L [= L midpoint of GN].
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:to halve a line at point|820,2058|uwUl}}נחלקהו לחציין על נקודת {{#annotend:uwUl}}ל&#x202B;'
 |-
-|For every line that is cut into two segments randomly, the square of the whole line equals the two squares of the segments plus double the quadrilateral encompassed by the two segments. [<math>\scriptstyle\left(A+B\right)^2=A^2+B^2+2AB</math>]
+|
-|style="text-align:right;"|כל קו אשר {{#annot:term|834|ms8e}}יחלק לשני חלקים{{#annotend:ms8e}} איך שהזדמן הנה מרובע הקו כלו שוה לשני מרובעי החלקים ול{{#annot:term|387|J8oI}}כפל{{#annotend:J8oI}} {{#annot:term|590|tLXb}}שטח נצב הזויות{{#annotend:tLXb}} {{#annot:term|832|rlnL}}שיקיפו בו שני החלקים{{#annotend:rlnL}}
+:Line NH is added to it.
+|style="text-align:right;"|וכבר נוסף עליו קו נ"ה
 |-
-|It is clear from this that when the two segments of the line are equal, the square of the whole line equals four squares of one of the segments. [<math>\scriptstyle\left(A+A\right)^2=4A^2</math>]
+|
-|style="text-align:right;"|הנה התבא' משם כי כאשר השני חלקים מהקו שוים יהיה מרובע הקו כלו שוה לארבעה מרובעים מחלק אחד מהם
+:Therefore, the surface of the product of HN by GH plus the square of line GL are equal to the square of line LH, as Euclid explained in the second section of his book [Elements II].
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(HN\times GH\right)+GL^2=LH^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה {{#annot:term|590|W9nk}}שטח הכאת{{#annotend:W9nk}} ה"נ בג"ה ומרובע קו ג"ל יחד שוה למרובע קו ל"ה כמו שביאר אקלידס במאמ' שני מספרו
 |-
-|The one who understands can easily learn from this that two roots of the thing, multiplied by themselves, generate a square that equals four times the thing. [<math>\scriptstyle\left(2\sqrt{x}\right)^2=4x</math>]
+|
-|style="text-align:right;"|ומזה {{#annot:term|896|I2vO}}ישכיל{{#annotend:I2vO}} המבין בנקלה כי שני שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו מרובע ישוה לארבעה דמיוני הדבר
+:But, it is known that the sum of surface HN by GH plus the square of GL is 6400.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(HN\times GH\right)+GL^2=6400}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח ה"נ בג"ה ומרובע ג"ל מקובצים הוא ידוע שהם ששת אלפים ות&#x202B;'
 |-
-|For, when the two roots of the thing are arranged attached on a straight line, they generate a line that is double the two roots of the thing
+|
-|style="text-align:right;"|כי הנה שני שרשי' מהדבר כאשר סודרו מדובקים על קו ישר יחדשו קו הוא כפל שני שרשים מהדבר כאשר סודרו מדובקים קו צלע מהדבר
+:Because surface HN by GH is 3900.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HN\times GH=3900}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי שטח ה"נ בג"ה הוא שלשת אלפים תת"ק
 |-
-|By this analogy, and from that same figure, it is possible to explain that as much as the roots of the things are multiplied and gathered together, their square consists of the multiples of the thing by the ratio of the square numbers of multiples of the roots.
+|
-|style="text-align:right;"|והנה {{#annot:term|902|uvpx}}על זה ההקש{{#annotend:uvpx}} ומהתמונה ההיא בעינה יתכן {{#annot:term|225|aU6E}}לבאר כי{{#annotend:aU6E}} כל אשר {{#annot:term|1053|QBGR}}יתרבו ה{{#annotend:QBGR}}שרשים מהדבר {{#annot:term|447|bAsG}}להאסף יחד{{#annotend:bAsG}} יהיה מרובעם יוסיף {{#annot:term|378|EByx}}להחזיק מ{{#annotend:EByx}}דמיוני הדבר על יחס מרובעי מספרי פעמי השרשים
+:The square of GL is 2500.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=2500}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומרובע ג"ל הוא אלפים ת"ק
 |-
-|For example: we gathered three roots of a certain square
+|
-|style="text-align:right;"|דמיון זה {{#annot:term|797|fDEF}}אספנו יחד{{#annotend:fDEF}} שלשה שרשים ממרובע מה
+:So, the square of line LH is 6400.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LH^2=6400}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה מרובע קו ל"ה ששת אלפים ות&#x202B;'
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sqrt{100}\right)^2=30^2=900}}</math>
+:Line LH is eighty.
-|style="text-align:right;"|כאלו תאמ' מאה יהיו שלשים ומרובעם תת"ק
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LH=80}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ל"ה יהיה שמנים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{900=9\sdot100=3^2\sdot100}}</math> - three is the number of multiples of the roots
+:But, line GH is the same as the square of line BG.
-|style="text-align:right;"|הנה תת"ק הוא תשעה דמיוני מאה כמו שתשעה הוא מרובע שלשה שהוא {{#annot:term|243|kMd8}}פעמי ה{{#annotend:kMd8}}שרשים ו{{#annot:term|901|9OqU}}הקש על זה{{#annotend:9OqU}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=BG^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל קו ג"ה כמו מרובע קו ב"ג
+|-
+|
+:Therefore the sum of lines BG and LG is eighty.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG+LG=80}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כי קוי ב"ג ל"ג מקובצים הם שמנים
+|-
+|
+:When we subtract them from lines AG and GL that are eighty-nine, line AB remains nine, which is the measure of the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=\left(AG+GL\right)-\left(BG+LG\right)=89-80-9}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר נגרעם מקוי א"ג ג"ל שהם שמנים ותשעה ישאר קו א"ב שהוא שיעור מרובע תשעה
+|-
+|
+:Q.E.D.
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+|-
+|Said Finzi the translator: where do we see and from where did the author [= Abū Kāmil] deduces that ten roots of the thing, multiplied by themselves, generate a surface whose measure is a hundred times the thing?
+|style="text-align:right;"|<big>אמ"פ</big> המעתיק מאי לנו שנתבונן מאין &#x202B;<ref>298r</ref>{{#annot:term|901|Ew4d}}הוציא{{#annotend:Ew4d}} בעל הספר שעשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו שטח שיעורו מאה {{#annot:term|243|e2Si}}דמיוני ה{{#annotend:e2Si}}דבר&#x202B;<ref>marg.: זכור כי מצאתי אחר זה בספר הזה פרק בהכפלת השרשי' יתבאר בו זה ולקיים דברי אלה בכתוב אין בו הפסד ואם לא יועיל</ref>
 |-
-|'''Euclid's Elements, VIII.1''':
+|We say that it is clear from the first geometrical illustration in this book that one root of the thing is of the same length as the side of the thing, and when it is multiplied by itself it is equal to the thing.
+|style="text-align:right;"|ונאמ' כי הוא מבואר מהתמונה הראשונה מזה הספר ששרש אחד מהדבר הוא באורך כמו צלע הדבר וכשהוכה על עצמו הוא שוה לדבר
+|-
+|And from the fourth proposition in the second section of Euclid [[ספר_היסודות_לאקלידס#Elements_II_4|<span style=color:blue>['''Euclid, Elements, Book II, proposition 4''']</span>]], when he says:
+|style="text-align:right;"|ומהתמונ' הרביעית ממאמר שני לאקלידס באמרו
+|-
+|For every line that is cut into two segments randomly, the square of the whole line equals the two squares of the segments plus double the quadrilateral encompassed by the two segments.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(A+B\right)^2=A^2+B^2+2AB}}</math>
+|style="text-align:right;"|כל קו אשר {{#annot:to be cut into two segments|820,1226|ms8e}}יחלק לשני חלקים{{#annotend:ms8e}} איך שהזדמן הנה מרובע הקו כלו שוה לשני מרובעי החלקים ול{{#annot:term|387,1230|J8oI}}כפל{{#annotend:J8oI}} {{#annot:term|591,1824|tLXb}}שטח נצב הזויות{{#annotend:tLXb}} ש{{#annot:term|1917,1855|jij2}}יקיפו בו{{#annotend:jij2}} שני החלקים
+|-
+|It is clear from this that when the two segments of the line are equal, the square of the whole line equals four squares of one of the segments.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(A+A\right)^2=4A^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה התבא' משם כי כאשר השני חלקים מהקו שוים יהיה מרובע הקו כלו שוה לארבעה מרובעים מחלק אחד מהם
+|-
+|The one who understands can easily learn from this that two roots of the thing, multiplied by themselves, generate a square that equals four times the thing.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(2\sqrt{x}\right)^2=4x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומזה ישכיל המבין בנקלה כי שני שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו מרובע ישוה לארבעה דמיוני הדבר
+|-
+|For, when the two roots of the thing are arranged attached on a straight line, they generate a line that is double the two roots of the thing.
+|style="text-align:right;"|כי הנה שני שרשי' מהדבר כאשר סודרו {{#annot:term|2053,2048|pXGN}}מדובקים{{#annotend:pXGN}} על קו ישר יחדשו קו הוא כפל שני שרשים מהדבר כאשר סודרו מדובקים קו צלע מהדבר
+|-
+|By this analogy, and from that same illustration, it is possible to explain that as much as the roots of the things are multiplied and gathered together, their square consists of the multiples of the thing by the ratio of the square numbers of multiples of the roots.
+|style="text-align:right;"|והנה {{#annot:term|902,2065|uvpx}}על זה ההקש{{#annotend:uvpx}} ומהתמונה ההיא בעינה יתכן לבאר כי כל אשר {{#annot:term|1053,1587|QBGR}}יתרבו ה{{#annotend:QBGR}}שרשים מהדבר {{#annot:term|178,1347|bAsG}}להאסף יחד{{#annotend:bAsG}} יהיה מרובעם יוסיף להחזיק מדמיוני הדבר על יחס מרובעי מספרי פעמי השרשים
+|-
+|
+*For example: we gathered three roots of a certain square, as if you say, of one hundred; they are thirty and their square is 900.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sqrt{100}\right)^2=30^2=900}}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה {{#annot:term|178,1190|fDEF}}אספנו יחד{{#annotend:fDEF}} שלשה שרשים ממרובע מה כאלו תאמ' מאה יהיו שלשים ומרובעם תת"ק
+|-
+|
+:900 is nine times a hundred, as nine, which is a square of three, is the multiple of the roots.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{900=9\sdot100=3^2\sdot100}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה תת"ק הוא תשעה דמיוני מאה כמו שתשעה הוא מרובע שלשה שהוא {{#annot:term|243|kMd8}}פעמי ה{{#annotend:kMd8}}שרשים
+|-
+|Deduce from this.
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|901,2071|5eBf}}הקש על זה{{#annotend:5eBf}}
+|-
+|This is clear from proposition [1]1 of the eighth of Euclid [[ספר_היסודות_לאקלידס#Elements_VIII_11|<span style=color:blue>['''Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11''']</span>]]
 |style="text-align:right;"|וכבר יתבא' זה אם כן מתמונת א' משמיני לאקלידס
 |-
-|The ratio of a square to a square is the same as the ratio of the side to the side multiplied by itself. [<math>\scriptstyle A^2:B^2=\left(A:B\right)^2</math>]
+|Because it is explained there that the ratio of a square to a square is the same as the ratio of the side to the side multiplied by itself.
-|style="text-align:right;"|כי הנה התבא' שם כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו {{#annot:term|968|fnbu}}שנוי בכפל{{#annotend:fnbu}}
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{A^2:B^2=\left(A:B\right)^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי הנה התבא' שם כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו {{#annot:term|968,2050|fnbu}}שנוי בכפל{{#annotend:fnbu}}
 |-
-|It is clear from what was said at the beginning, that the ratio of the side of the thing to ten of its roots, summed together, is the ratio of one to ten. <math>\scriptstyle\sqrt{x}:10\sqrt{x}=1:10</math>
+|It is clear from what we said at the beginning, that the ratio of the side of the thing to ten of its roots, summed together, is as the ratio of one to ten.
-|style="text-align:right;"|והוא {{#annot:term|943|1oXs}}מבואר{{#annotend:1oXs}} ממה שאמרנו תחלה כי יחס {{#annot:term|325|u6hD}}צלע ה{{#annotend:u6hD}}דבר אל עשרה משרשיו מדובקים יחד הוא כיחס אחד אל עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{x}:10\sqrt{x}=1:10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא מבואר ממה שאמרנו תחלה כי יחס צלע הדבר אל עשרה משרשיו {{#annot:term|178,2048|i0Dg}}מדובקים{{#annotend:i0Dg}} יחד הוא כיחס אחד אל עשרה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1:10\right)^2=\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}=\frac{1}{100}}}</math>
+:The ratio of one to ten duplicated is a tenth of a tenth, which is one [part] of a hundred.
-|style="text-align:right;"|ויחס אחד אל עשרה {{#annot:term|968|xHbv}}שנוי{{#annotend:xHbv}} הוא עשירית העשירית שהוא אחד ממאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1:10\right)^2=\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}=\frac{1}{100}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויחס אחד אל עשרה {{#annot:term|968,2050|xHbv}}שנוי{{#annotend:xHbv}} הוא עשירית העשירית שהוא אחד ממאה
 |-
-|Therefore, the ratio of the thing, which is the square of the side of the thing, to the square of ten of its roots, is the ratio of one to one hundred. <math>\scriptstyle x:\left(10\sqrt{x}\right)^2=\left(\sqrt{x}\right)^2:\left(10\sqrt{x}\right)^2=1:100</math>
+|Therefore, the ratio of the thing, which is the square of the side of the thing, to the square of ten of its roots, is the ratio of one to one hundred.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x:\left(10\sqrt{x}\right)^2=\left(\sqrt{x}\right)^2:\left(10\sqrt{x}\right)^2=1:100}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס הדבר שהוא מרובע צלע הדבר אל מרובע עשרת שרשיו הוא יחס אחד אל מאה
 |-
-|So, the square of ten roots of the thing is one hundred times the thing. <math>\scriptstyle\left(10\sqrt{x}\right)^2=100x</math>
+|So, the square of ten roots of the thing is one hundred times the thing.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10\sqrt{x}\right)^2=100x}}</math>
 |style="text-align:right;"|אם כן יהיה מרובע עשרת שרשי הדבר מאה דמיוני הדבר
 |-
@@ Line 764: / Line 865: @@
 |-
 |This chapter is completed.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|1032|Xh5E}}נשלם{{#annotend:Xh5E}} זה החלק
+|style="text-align:right;"|ונשלם זה החלק
 |-
 |
-==== Squares and Numbers Equal Roots: ax<sup>2</sup>+c=bx ====
+==== Chapter: <span style=color:Green>Squares and Numbers Equal Roots: ax<sup>2</sup>+c=bx</span> ====
-!style="text-align:right;"|<big>פרק</big> אמ' המרובעי' והמספרי' שישוו לשרשים
+|style="text-align:right;"|<big>פרק</big>
 |-
 |
-:*{{#annot:x²+21=10x|711|u4EA}}<math>\scriptstyle x^2+21=10x</math>
+*{{#annot:x²+21=10x|711|u4EA}}He said: squares and numbers that are equal to roots is as if you say: when you sum twenty-one dirham with a certain square, they are equal to ten roots of the square.
-|style="text-align:right;"|הוא כאלו תאמ' כאשר תקבץ עם מרובע מה עשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה משרשים מהמרובע{{#annotend:u4EA}}
+:<math>\scriptstyle x^2+21=10x</math>
+|style="text-align:right;"|אמ' המרובעי' והמספרי' שישוו לשרשים הוא כאלו תאמ' כאשר תקבץ עם מרובע מה עשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה משרשים מהמרובע{{#annotend:u4EA}}
+|-
+|We find [the solution] of this category also by the two previous methods, I mean, the method that reveals the root of the square to you and the method that reveals the square to you.
+|style="text-align:right;"|הנה גם כן לזה החלק נמצאם שני האופני' הראשוני' רצו' האופן שיראך שרש המרובע והאופן שיראך המרובע
 |-
-|There are two solution methods in this category too:
+|Each [is done] in two ways: one by adding and the other by subtracting.
-|style="text-align:right;"|הנה גם כן לזה החלק {{#annot:term|921|rR7b}}נמצאם{{#annotend:rR7b}} שני האופני' הראשוני&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ולכל אחד משניהם שני צדדים צד אחד ל{{#annot:term|154,1207|BWZo}}תוספת{{#annotend:BWZo}} וצד אחד ל{{#annot:term|155,1193|qHq1}}מגרעת{{#annotend:qHq1}}
 |-
+!<span style=color:Green>The solution method that yields the root of the square</span>
 |
-:1) yields the root of the square
-|style="text-align:right;"|רצו' האופן שיראך שרש המרובע
 |-
+|<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c}}}</math>
 |
-:2) yields the square
-|style="text-align:right;"|והאופן שיראך המרובע
 |-
-|Each is done in two ways: one by adding and the other by subtracting.
+|He said: the method that reveals the root of the square to you is that you take half [the number of] the roots, and multiply it by itself, then subtract the numbers from the result.
-|style="text-align:right;"|ולכל אחד משניהם שני {{#annot:term|223|WdQj}}צדדים{{#annotend:WdQj}} צד אחד ל{{#annot:term|154|BWZo}}תוספת{{#annotend:BWZo}} וצד אחד ל{{#annot:term|155|qHq1}}מגרעת{{#annotend:qHq1}}
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך שרש המרובע הוא שתקח מחצית השרשים ותכם בעצמם וממה שיתקבץ תגרע המספרים
 |-
-!The solution method that yields the root of the square
+|You extract the root of the remainder and subtract it from half [the number of] the roots; the remainder is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך שרש המרובע
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|795,1375|JNXl}}תקח שרש{{#annotend:JNXl}} הנשאר ותגרעהו ממחצית השרשים והנשאר הוא שרש המרובע
 |-
-|[for <math>\scriptstyle x^2+c=bx</math>]:<br>
+|
-<math>\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c}</math>
+:In the mentioned example, we take half [the number of] the roots; it is five.
-|style="text-align:right;"|הוא שתקח מחצית השרשים ותכם בעצמם<br>
+|style="text-align:right;"|והנה בדמיון הנזכר לקחנו מחצית השרשים והוא חמשה
-וממה שיתקבץ {{#annot:term|181|2ZP4}}תגרע ה{{#annotend:2ZP4}}מספרים<br>
-ו{{#annot:term|795|JNXl}}תקח שרש{{#annotend:JNXl}} הנשאר<br>
-ותגרעהו ממחצית השרשים ו{{#annot:term|458|1s6t}}הנשאר{{#annotend:1s6t}} הוא שרש המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{4}\\&\scriptstyle=5-2=3\\\end{align}}}</math>
+:We multiply it by itself; it is twenty-five.
-|style="text-align:right;"|והנה בדמיון הנזכר לקחנו מחצית השרשים והוא חמשה<br>
+|style="text-align:right;"|והכינו חמשה בעצמו והיה עשרים וחמשה
-והכינו חמשה בעצמו והיה עשרים וחמשה<br>
+|-
-גרענו מהם מספר האדרהמי ו{{#annot:term|936|R2p3}}נשארו{{#annotend:R2p3}} ארבעה<br>
+|
-ושרשם שנים גרענום מחמשה ונשארו שלשה הוא שרש המרובע
+:We subtract the number of dirham from it; four remains.
+|style="text-align:right;"|גרענו מהם מספר האדרהמי ונשארו ארבעה
+|-
+|
+:Its root is two.
+|style="text-align:right;"|ושרשם שנים
+|-
+|
+:We subtract it from five; three remains, which is the root of the square.
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>298v</ref>גרענום מחמשה ונשארו שלשה הוא שרש המרובע
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5-\sqrt{5^2-21}=5-\sqrt{25-21}=5-\sqrt{4}=5-2=3}}</math>
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1^2=9}}</math>
+:The square is nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1^2=9}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע תשעה
 |-
 |
 :This is the subtraction way.
-|style="text-align:right;"|וזה {{#annot:term|223|Mm7i}}צד המגרעת{{#annotend:Mm7i}}
+|style="text-align:right;"|וזה צד המגרעת
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5+2=7\\\end{align}}}</math>
+:If you want, a the two to half [the number of] the roots; it is seven and this is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה {{#annot:term|178|nC0o}}הוסיף ה{{#annotend:nC0o}}שנים על מחצית השרשים ויהיו שבעה והם שרש המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5+2=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה {{#annot:term|178,1206|nC0o}}הוסיף ה{{#annotend:nC0o}}שנים על מחצית השרשים ויהיו שבעה והם שרש המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=49}}</math>
+:The square is forty-nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=49}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע יהיה תשעה וארבעים
 |-
-|
+|He said: you should know that if the product of half [the number of] the roots by itself is less than the dirham that are with the square, then the problem is false.
-*If the product of half the roots by themselves is less than the dirham that are with the square <math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<c</math> &rarr; the problem is false
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<c\longrightarrow\varnothing}}</math>
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וראוי ש{{#annot:term|226|RzLg}}תדע כי{{#annotend:RzLg}} אם יהיה {{#annot:term|241|icEh}}המתקבץ מהכאת{{#annotend:icEh}} מחצית השרשים על עצמו {{#annot:term|246|jywQ}}פחות מה{{#annotend:jywQ}}אדרהמי אשר עם המרובע כי אז תהיה השאלה {{#annot:term|463|hMpf}}כוזבת{{#annotend:hMpf}}
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וראוי שתדע כי אם יהיה {{#annot:term|241,1218|icEh}}המתקבץ מהכאת{{#annotend:icEh}} מחצית השרשים על עצמו פחות מהאדרהמי אשר עם המרובע כי אז תהיה השאלה {{#annot:term|463,2064|PMZL}}כוזבת{{#annotend:PMZL}}
 |-
-|
+|Yet, sometimes the product is equal to the number of the dirham - then, the root of the square is the same as half [the number of] the roots, no more and no less.
-*Sometimes the product [of half the square by itself] is equal to the number of the dirham - then, the root of the square is the same as half the roots, no more and no less.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c\longrightarrow x=\frac{1}{2}\sdot b}}</math>
-:<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c</math> &rarr; <math>\scriptstyle x=\frac{1}{2}\sdot b</math>
 |style="text-align:right;"|אבל פעמים יהיה המתקבץ שוה למספר האדרהמי ואז יהיה שרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
 |-
-|This category will be illustrated below with geometric figure
+|I will explain to you everything we have said with geometric illustrations.
-|style="text-align:right;"|והנני אבאר לך כל אשר אמרנו בגה"ו עם {{#annot:term|303|zsC7}}תמונות גימטריות{{#annotend:zsC7}}
+|style="text-align:right;"|והנני אבאר לך כל אשר אמרנו בגה"ו עם {{#annot:term|303,1308|zsC7}}תמונות גימטריות{{#annotend:zsC7}}
 |-
-!The solution method that yields the square
+!<span style=color:Green>The solution method that yields the square</span>
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר {{#annot:term|392|JBEG}}יראה לך ה{{#annotend:JBEG}}מרובע
+|
 |-
-|[for <math>\scriptstyle x^2+c=bx</math>]:<br>
+|<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2-\left(b^2\sdot c\right)}-c}}</math>
-<math>\scriptstyle x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2-\left(b^2\sdot c\right)}-c</math>
+|
-|style="text-align:right;"|הוא שנכה השרשים על עצמם<br>
-והעולה {{#annot:term|185|8QNa}}נכהו על ה{{#annotend:8QNa}}מספרי' ושמור מה שיתקבץ<br>
-עוד {{#annot:term|786|zRui}}נקח מחצית{{#annotend:zRui}} {{#annot:term|156|dR59}}הכאת ה{{#annotend:dR59}}שרשים ונכהו בעצמו<br>
-ומה שיתקבץ {{#annot:term|181|4wGR}}נגרע ממנו{{#annotend:4wGR}} השמור<br>
-ותקח שרש הנשאר ותגרעהו ממחצית הכאת השרשים<br>
-עוד תגרע מהנשאר מספר האדרהמי ומה שישאר הוא המרובע
 |-
-|
+|He said: the method that reveals the square to you is that we multiply [the number of] the roots by itself, then multiply the product by the numbers. Keep the result.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{2500-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{400}-21\\&\scriptstyle=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראה לך המרובע הוא שנכה השרשים על עצמם והעולה נכהו על המספרי' ושמור מה שיתקבץ
-|style="text-align:right;"|והנה בדמיון הנזכר {{#annot:term|185|lFDp}}הכינו ה{{#annotend:lFDp}}שרשים בעצמם ועלה מאה<br>
-הכינו מאה בעשרי' ואחד והיו אלפיים ומאה ושמרנום<br>
-עוד לקחנו מחצית מאה ו{{#annot:term|185|SBha}}הכינום ב{{#annotend:SBha}}עצמם ו{{#annot:term|241|uAfn}}התקבץ{{#annotend:uAfn}} אלפיים ות"ק<br>
-{{#annot:term|181|sKeA}}גרענו מהם ה{{#annotend:sKeA}}שמור ונשאר ארבע מאות<br>
-ושרשם עשרים<br>
-גרענום מחמשי' ונשאר שלשים<br>
-ו{{#annot:term|181|A1Tf}}גרענו מ{{#annotend:A1Tf}}שלשים מספר האדרהמי ונשאר תשעה והוא המרובע
 |-
-|
+|We take half the product of the roots and multiply it by itself.
-:This is the subtraction way.
+|style="text-align:right;"|עוד נקח מחצית הכאת השרשים ונכהו בעצמו
-|style="text-align:right;"|וזה הוא צד המגרעת
 |-
-|
+|We subtract the reserved from the product.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=\left(50+20\right)-21=70-21=49}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומה שיתקבץ נגרע ממנו השמור
-|style="text-align:right;"|ואם {{#annot:term|391|4UNS}}תרצה{{#annotend:4UNS}} {{#annot:term|223|GwFd}}צד התוספת{{#annotend:GwFd}} {{#annot:term|178|OfGE}}תוסיף ה{{#annotend:OfGE}}עשרים על החמשים ויהיו שבעים<br>
-ותגרע מהם מספר האדרהמי וישאר תשעה וארבעי' הוא המרובע
 |-
-|'''Normalization''': if the squares exceed one, or less than one, they should always be restored to one square - according to the way demonstrated in the previous case.
+|Extract the root of the remainder.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכמו כן אם יעדיפו המרובעים בשאלה על אחד או {{#annot:term|246|30P6}}יגרעו מ{{#annotend:30P6}}אחד שלם {{#annot:term|970|ZKDI}}השיבם לעולם אל מרובע אחד{{#annotend:ZKDI}} {{#annot:term|223|B6nO}}על הדרך ש{{#annotend:B6nO}}הראיתיך בחלק שעבר
+|style="text-align:right;"|ותקח שרש הנשאר
 |-
-!The reason for the method that yields the root of the square
+|Subtract it from half the product of the roots.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ועתה {{#annot:term|1000|W4Mp}}אבוא{{#annotend:W4Mp}} {{#annot:term|199|bBYC}}להראות לך{{#annotend:bBYC}} הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
+|style="text-align:right;"|ותגרעהו ממחצית הכאת השרשים
 |-
-|The reason for the addition and subtraction methods is in accordance with the excess or the deficiency of the square over the number
+|Subtract also the number of the dirham from the remainder; what remains is the square.
-|style="text-align:right;"|וראשונה ראוי שתדע כי סבת {{#annot:term|223|rrW3}}צדדי התוספת והמגרעת{{#annotend:rrW3}} היא כפי {{#annot:term|877|qrNQ}}מה שיעדיף{{#annotend:qrNQ}} המרובע על המספרי' או שיגרע מהם
+|style="text-align:right;"|עוד תגרע מהנשאר מספר האדרהמי ומה שישאר הוא המרובע
 |-
 |
-*If [the square] exceeds [the numbers] <math>\scriptstyle x^2>c</math>: the addition method is needed
+:In the mentioned example, we multiply [the number of] the roots by itself; the result is one hundred.
-|style="text-align:right;"|כי אם יעדיף אז הוא {{#annot:term|934|YuFO}}צריך{{#annotend:YuFO}} צד התוספת
+|style="text-align:right;"|והנה בדמיון הנזכר הכינו השרשים בעצמם ועלה מאה
 |-
 |
-*If [the square] is less than [the numbers] <math>\scriptstyle x^2<c</math>: the subtraction method is needed
+:We multiply one hundred by twenty-one; it is 2100. We keep it.
-|style="text-align:right;"|ואם יגרע אז {{#annot:term|1048|v7Qy}}יצטרך{{#annotend:v7Qy}} צד המגרעת
+|style="text-align:right;"|הכינו מאה בעשרי' ואחד והיו אלפיים ומאה ושמרנום
 |-
-|As will be demonstrated in the two figures drawn below:
+|
-|style="text-align:right;"|כמו ש{{#annot:term|199|KXzJ}}אראה אותך ב{{#annotend:KXzJ}}שתי תמונו' אשר {{#annot:term|819|fGm0}}ארשום לך{{#annotend:fGm0}} עתה
+:We take half a hundred and multiply it by itself; the product is 2500.
+|style="text-align:right;"|עוד לקחנו מחצית מאה והכינום בעצמם ו{{#annot:term|875,1216|uAfn}}התקבץ{{#annotend:uAfn}} אלפיים ות"ק
 |-
-!Geometric illustration of [the subtraction method]: when the square is less than the numbers <math>\scriptstyle x^2<c</math>
+|
+:We subtract the reserved from it; four hundred remains.
+|style="text-align:right;"|גרענו מהם השמור ונשאר ארבע מאות
+|-
+|
+:Its root is twenty.
+|style="text-align:right;"|ושרשם עשרים
+|-
+|
+:We subtract it from fifty; thirty remains.
+|style="text-align:right;"|גרענום מחמשי' ונשאר שלשים
+|-
+|
+:We subtract the number of the dirham from thirty; nine remains and it is the square.
+|style="text-align:right;"|וגרענו משלשים מספר האדרהמי ונשאר תשעה והוא המרובע
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21=50-\sqrt{2500-2100}-21=50-\sqrt{400}-21=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}</math>
+|-
+|
+:This is the subtraction way.
+|style="text-align:right;"|וזה הוא צד המגרעת
+|-
+|
+:If you want the addition way, add twenty to fifty; it is seventy.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה צד התוספת {{#annot:term|178,1206|OfGE}}תוסיף ה{{#annotend:OfGE}}עשרים על החמשים ויהיו שבעים
+|-
+|
+:Subtract the number of the dirham from it; forty-nine remains and it is the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=\left(50+20\right)-21=70-21=49}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותגרע מהם מספר האדרהמי וישאר תשעה וארבעי' הוא המרובע
+|-
+|<span style=color:Green>'''Normalization''':</span>
+|
+|-
+|He said: if the squares in the question exceed one, or are less than one, always restore them to one square according to the way I have demonstrated to you in the previous chapter.
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכמו כן אם יעדיפו המרובעים בשאלה על אחד או יגרעו מאחד שלם {{#annot:term|970,1431|egHC}}השיבם{{#annotend:egHC}} לעולם אל מרובע אחד על הדרך שהראיתיך בחלק שעבר
+|-
+!<span style=color:Green>The reason for the method that yields the root of the square</span>
+|
+|-
+|He said: now I will show you the reason we use the method that reveals the root of the square.
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ועתה אבוא להראות לך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
+|-
+|First, you should know that the reason for the addition and subtraction methods is in accordance with the excess or the deficiency of the square over the number.
+|style="text-align:right;"|וראשונה ראוי שתדע כי סבת צדדי התוספת והמגרעת היא כפי מה שיעדיף המרובע על המספרי' או שיגרע מהם
+|-
+|For, if [the square] exceeds [the numbers] <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2>c}}</math>: the addition method is needed.
+|style="text-align:right;"|כי אם יעדיף אז הוא צריך צד התוספת
+|-
+|If [the square] is less than [the numbers] <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2<c}}</math>: the subtraction method is needed.
+|style="text-align:right;"|ואם יגרע אז יצטרך צד המגרעת
+|-
+|As I will demonstrate to you in the two illustrations I draw for you now:
+|style="text-align:right;"|כמו שאראה אותך בשתי תמונו' אשר ארשום לך עתה
+|-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of [the subtraction method]: when the square is less than the numbers</span> <math>\scriptstyle x^2<c</math>
+|
+|-
+|First I draw [an illustration for the case] when the square is less than the numbers:
 |style="text-align:right;"|וארשום ראשונה כאשר יגרע המרובע מהמספרי&#x202B;'
 |-
@@ Line 894: / Line 1,052: @@
 |-
 |
-::defining:
+:It is that we suppose the square is square ABGD.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2}}</math>
 |style="text-align:right;"|והוא שנניח המרובע הוא מרובע אבג"ד
 |-
 |
-:*ABHL□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+:Surface ABHL attached to it is as twenty-one dirham.
-|style="text-align:right;"|ושטח אבה"ל הדבק אצלו הוא על דמיון העשרים ואחד דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHL=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח אבה"ל ה{{#annot:term|2053,2055|FCgj}}דבק{{#annotend:FCgj}} אצלו הוא על דמיון העשרים ואחד דרהמי
 |-
 |
-:*ABHL□ > ABGD□
+:We assumed that surface ABHL is greater than ABGD, line BL is longer than line BD.
-|style="text-align:right;"|ומפני כי שטח אבה"ל הנחנוהו גדול מאבג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHL>ABGD\longrightarrow BL>BD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומפני כי שטח אבה"ל הנחנוהו גדול מאבג"ד יהיה קו ב"ל גדול מקו ב"ד
 |-
 |
-::BL > BD
+:We assumed that the whole surface HLGD is ten roots of square ABGD.
-|style="text-align:right;"|יהיה קו ב"ל גדול מקו ב"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HLGD=10\sqrt{ABGD}=10x}}</math>
-|-
-|
-:*HLGD□ = 10&radic;ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
 |style="text-align:right;"|ומפני כי כל שטח הלג"ד הנחנוהו עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד
 |-
 |
-::LD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:Hence, line LD is ten, as explained above.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LD=10}}</math>
 |style="text-align:right;"|יהיה קו ל"ד עשרה כמו שהתבא' למעלה
 |-
 |
-:We wish to know the measure of BD
+:We wish to know the measure of line BD.
-|style="text-align:right;"|ואנו {{#annot:term|918|3cbw}}מבקשים ל{{#annotend:3cbw}}דעת שיעור קו ב"ד
+|style="text-align:right;"|ואנו מבקשים לדעת שיעור קו ב"ד
 |-
 |
-:*LD is cut into two equal segments on C [= C midpoint of LD]
+:We cut line LD, which is ten, in half at point C [= C midpoint of LD]
 |style="text-align:right;"|הנה נחלק קו ל"ד שהוא עשרה לחצאין על נקודת ח&#x202B;'
 |-
 |
-::LD is cut into two unequal segments on B
+:It has already been cut into two unequal segments at point B.
 |style="text-align:right;"|וכבר נחלק גם כן לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב&#x202B;'
 |-
 |
-::(LB &times; BD) + CB<sup>2</sup> = CD<sup>2</sup>
+:Therefore, the product of LB by BD plus the square of CB are equal to the square of CD, as explained in Euclid's second [book] [[ספר_היסודות_לאקלידס#Elements_II_5|<span style=color:blue>['''Euclid, Elements, Book II, (proposition 5)''']</span>]].
-|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה הכאת ל"ב בב"ד עם מרובע ח"ב ישוו למרובע ח"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(LB\times BD\right)+CB^2= CD^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה הכאת ל"ב בב"ד עם מרובע ח"ב ישוו למרובע ח"ד כמבואר בשני מאקלידס
 |-
 |
-::according to Euclid, ''Elements'' II
+:But, it is known that the square of CD is twenty-five.
-|style="text-align:right;"|כמבואר בשני מאקלידס
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CD^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל מרובע ח"ד הוא ידוע &#x202B;<ref>299r</ref>שהוא עשרים וחמשה
 |-
 |
-:::CD<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:Since line CD is five.
-|style="text-align:right;"|אבל מרובע ח"ד הוא ידוע שהוא עשרים וחמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CD=5}}</math>
-|-
-|
-::::CD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{5}}</math>
 |style="text-align:right;"|בעבור כי קו ח"ד חמשה
 |-
 |
-:::LB &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+:The product of LB by BD is twenty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LB\times BD=21}}</math>
 |style="text-align:right;"|והכאת ל"ב בב"ד הוא עשרים ואחד
 |-
 |
-::::BD = BA
+:Since BD is equal to BA.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=BA}}</math>
 |style="text-align:right;"|בעבור כי ב"ד הוא שוה לב"א
 |-
 |
-::CB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Therefore, the square of CB remains four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB^2=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן ישאר מרובע ח"ב ארבעה
 |-
 |
-::CB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:Its side, which is CB, is two.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB=2}}</math>
 |style="text-align:right;"|וצלעו שהוא קו ח"ב שנים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = BD = CD - CB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{5-2=3}}</math>
+:We subtract it from line CD, which is five, line BD remains three and it is the root of the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=CD-CB=5-2=3}}</math>
 |style="text-align:right;"|גרענום מקו ח"ד שהוא חמשה וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
+:The square is nine and it is the required.
-|style="text-align:right;"|והמרובע תשעה והוא {{#annot:term|541|UPUi}}המבוקש{{#annotend:UPUi}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע תשעה והוא {{#annot:term|941,1633|UPUi}}המבוקש{{#annotend:UPUi}}
 |-
 |
-:*KC[N]D□ = CD<sup>2</sup>
+:If you want me to illustrate to your eye what I have said, we construct square KC[N]D on line CD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KCND= CD^2}}</math>
 |style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה שאראך לעין מה שאמרתי הנה {{#annot:term|1015|nGtX}}נשים על{{#annotend:nGtX}} קו ח"ד מרובע והוא מרובע כחג"ד
 |-
 |
-::KCND□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:It is known that its measure is twenty-five.
-|style="text-align:right;"|והוא ידוע ב{{#annot:term|633|gkii}}שיעוריו{{#annotend:gkii}} עשרים וחמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KCND=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא ידוע בשיעוריו עשרים וחמשה
 |-
 |
-:::CD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{5}}</math>
+:Since line CD is five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CD=5}}</math>
 |style="text-align:right;"|בעבור כי קו ח"ד חמשה
 |-
 |
-::CG□ = CH□
+:Surface CG is the same as surface CH.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG=CH}}</math>
 |style="text-align:right;"|ושטח ח"ג הוא כמו שטח ח"ה
 |-
 |
-:::LC = CD
+:Because line LC is the same as line CD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LC=CD}}</math>
 |style="text-align:right;"|בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
 |-
 |
-::AC□ = AN□
+:Surface AC is the same as surface AN.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=AN}}</math>
 |style="text-align:right;"|ושטח א"ח כמו שטח א"נ
 |-
 |
-::AC□ + CH□ = AN□ + CG□
+:Therefore, when surface AC is summed with surface CH, [their sum] is equal to the sum of surface AN with surface CG.
-|style="text-align:right;"|ולכן כאשר יקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה יהיה שוה למקובץ משטח א"נ עם שטח א ח"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC+CH=AN+CG}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן כאשר יקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה יהיה שוה למקובץ משטח א"נ עם שטח <s>א</s> ח"ג
 |-
 |
-::AC□ + CH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+:But, it is known that [the sum of] surface AC with surface CH is twenty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC+CH=21}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל מקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה הוא ידוע שהוא עשרים ואחד
 |-
 |
-::AN□ + CG□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+:So, the sum of surface AN with surface CG is also twenty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AN+CG=21}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה מקובץ שטח א"נ עם שטח ח"ג גם כן עשרים ואחד
 |-
 |
-::KA□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:The measure of surface KA that is left from square KHGD is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KA=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|וישאר שטח כ"א ממרובע כהג"ד שיעורו ארבעה
 |-
 |
-::KA□ is a square
+:Surface KA is a square.
 |style="text-align:right;"|ושטח כ"א מרובע
 |-
 |
-::::KN = KC
+:Because line KN is the same as line KC.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KN=KC}}</math>
 |style="text-align:right;"|בעבור כי קו כ"נ כמו קו כ"ח
 |-
 |
-::::CS = NM
+:Line CS is the same as line NM.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CS=NM}}</math>
 |style="text-align:right;"|וקו ח"ס כמו קו נ"מ
 |-
 |
-:::KS = KM
+:Line KS that remains is the same as line KM.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KS=KM}}</math>
 |style="text-align:right;"|וישאר קו כ"ס כמו קו כ"מ
 |-
 |
-::CB = KM = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:Line KM is two and it is equal to line CB; so line CB is two.
-|style="text-align:right;"|וקו כ"מ שנים והוא שוה לקו ח"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB=KM=2}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|וקו כ"מ שנים והוא שוה לקו ח"ב אם כן קו ח"ב שנים
-|
-::CB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
-|style="text-align:right;"|אם כן קו ח"ב שנים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3}}</math>
+:Line BD remains three and it is the root of the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=3}}</math>
 |style="text-align:right;"|וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע
 |-
 |
+:The square is nine and it is the required.
 :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע תשעה <s>ו</s> והוא שרש המבוקש
 |-
-|In this figure, the reason for the method that yields the square of the root was clarified by proof and by illustration
+|In this illustration, the reason for the method that leads you to know the square of the root is clarified to you by proof and by sight.
-|style="text-align:right;"|הנה כי בזאת התמונה {{#annot:term|484|HlYB}}התבאר לך{{#annotend:HlYB}} במופת ובעין {{#annot:term|311|p3q6}}סבת ה{{#annotend:p3q6}}אופן אשר יובילך אל {{#annot:term|550|ypk1}}ידיעת{{#annotend:ypk1}} שרש המרובע
+|style="text-align:right;"|הנה כי בזאת התמונה התבאר לך במופת ובעין {{#annot:term|311|p3q6}}סבת ה{{#annotend:p3q6}}אופן אשר יובילך אל ידיעת שרש המרובע
+|-
+|Moreover, the reason for the subtraction method, when the square is less than the numbers, is also clarified to you from this.
+|style="text-align:right;"|וכן התבא' לך מפניה סבת צד המגרע' כי הוא כאשר המרובע הוא {{#annot:term|341|qbXp}}פחות מה{{#annotend:qbXp}}מספרים
 |-
-|Moreover, the reason for the subtraction method was clarified, that is when the square is less than the numbers
+|
-|style="text-align:right;"|וכן התבא' לך מפניה סבת צד המגרע' כי הוא כאשר המרובע הוא {{#annot:term|344|qbXp}}פחות מה{{#annotend:qbXp}}מספרים
+:We must therefore subtract line CB, which we find by a technique, from line CD known by supposition, and we get the measure of line BD that is the root of the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=CD-CB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן הוצרכנו לגרוע קו ח"ב אשר ידענו עם {{#annot:term|469,2067|Tgbh}}תחבולה{{#annotend:Tgbh}} מקו ח"ד הנודע בהנחה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
 |-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of the addition method: [when the square exceeds the numbers]</span> <math>\scriptstyle x^2>c</math>
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = BD = CD - CB
-|style="text-align:right;"|ולכן {{#annot:term|934|NCmz}}הוצרכנו ל{{#annotend:NCmz}}גרוע קו ח"ב אשר ידענו עם {{#annot:term|469|Tgbh}}תחבולה{{#annotend:Tgbh}} מקו ח"ד {{#annot:term|940|24mb}}הנודע{{#annotend:24mb}} {{#annot:term|544|KdrK}}בהנחה{{#annotend:KdrK}} ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
 |-
-!Geometric illustration of the addition method: [when the square exceeds the numbers] <math>\scriptstyle x^2>c</math>
+|Now, the reason of the addition method will be revealed to you from this second illustration as for the previous rule.
-|style="text-align:right;"|<big>ועתה</big> מזאת התמונה השנית יגלה אליך בכמו ה{{#annot:term|548|H8oh}}הנהגה{{#annotend:H8oh}} הקודמת סבת צד התוספת
+|style="text-align:right;"|<big>ועתה</big> מזאת התמונה השנית יגלה אליך בכמו ההנהגה הקודמת סבת צד התוספת
 |-
 |
@@ Line 1,060: / Line 1,239: @@
 |-
 |
-::defining:
+:We suppose here that square ABGD is greater than surface ABHL.
-:*ABGD□ > ABHL□
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD>ABHL}}</math>
 |style="text-align:right;"|כי הנחנו בה מרובע אבג"ד גדול משטח אבה"ל
 |-
-|In order to know the measure of BD, one should add CB to CD
+|
-:BD = CD + CB
+:It follows that in order to know the measure of BD, we should add line CB to line CD.
-|style="text-align:right;"|ולכן {{#annot:term|1049|j6wz}}ימשך{{#annotend:j6wz}} בסוף כי כדי לדעת שיעור ב"ד {{#annot:term|934|sN1v}}נצטרך{{#annotend:sN1v}} {{#annot:term|178|am5C}}להוסיף{{#annotend:am5C}} קו ח"ב על קו ח"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=CD+CB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן ימשך בסוף כי כדי לדעת שיעור ב"ד נצטרך להוסיף קו ח"ב על קו ח"ד
 |-
-|There is no need to elaborate on that, as it is clear from what was written above, for the proof is one [and the same].
+|We do not need to elaborate on that, as it is clear from what we wrote first, for the proof is one [and the same].
-|style="text-align:right;"|ולא נצטרך {{#annot:term|916|nYFT}}להאריך בזה{{#annotend:nYFT}} כי {{#annot:term|899|cqd7}}הוא מובן מ{{#annotend:cqd7}}אשר {{#annot:term|308|Oxuo}}כתבנו{{#annotend:Oxuo}} ראשונה כי המופת אחד
+|style="text-align:right;"|ולא נצטרך להאריך בזה כי הוא מובן מאשר כתבנו ראשונה כי המופת אחד
 |-
-|But in order to illustrate it, the proof is slightly changed, therefore it will be explained:
+|But, in order to illustrate it to your eye, the proof is slightly changed, therefore we will explain it to you:
-|style="text-align:right;"|אבל כדי {{#annot:term|199|qgXR}}להראותך זה לעין{{#annotend:qgXR}} ישתנה מעט המופת ולכן {{#annot:term|225|k1o3}}נבארהו לך{{#annotend:k1o3}}
+|style="text-align:right;"|אבל כדי להראותך זה לעין ישתנה מעט המופת ולכן נבארהו לך
 |-
 |
-::constructing:
+:We construct square KC[N]D on line CD.
-:*KC[N]D□ = CD<sup>2</sup>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KC[N]D=CD^2}}</math>
 |style="text-align:right;"|והוא שנשים על קו ח"ד מרובע כחג"ד
 |-
 |
-::extending line CK to S
+:We extend line CK to S and line DN to G.
-|style="text-align:right;"|ונמשיך קו ח"כ עד ס&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ונמשיך קו ח"כ עד ס' וקו ד"נ עד ג&#x202B;'
 |-
 |
-::extending line DN to G
+:We wish to show that when surface ABHL is added to square AMSK, [the sum] is equal to square KC[N]D that is known to be twenty-five.
-|style="text-align:right;"|וקו ד"נ עד ג&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHL+AMSK=KCND=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונרצה שאראה לך איך שטח אבה"ל כשיתקבץ עם מרובע אמס"כ יהיה שוה למרובע כחג"ד הידוע שהוא עשרים וחמשה
 |-
 |
-:We wish to show that: ABHL□ + AMSK□ = KC[N]D□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:We say that it is known that surface CG is the same as surface HC.
-|style="text-align:right;"|ונרצה ש{{#annot:term|199|0kZ7}}אראה לך{{#annotend:0kZ7}} איך שטח אבה"ל כש{{#annot:term|215|mEDQ}}יתקבץ עם{{#annotend:mEDQ}} מרובע אמס"כ יהיה שוה למרובע כחג"ד הידוע שהוא עשרים וחמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG=HC}}</math>
-|-
-|
-::CG□ = HC□
 |style="text-align:right;"|ונאמ' כי הוא ידוע כי שטח ח"ג כמו שטח ה"ח
 |-
 |
-:::LC = CD
+:Since line LC is the same as line CD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LC=CD}}</math>
 |style="text-align:right;"|בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד
 |-
 |
-::MC□ = SN□
+:Surface MC is the same as surface SN.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MC=SN}}</math>
 |style="text-align:right;"|ושטח מ"ח כמו שטח ס"נ
 |-
 |
-::ABHL□ + AMSK□ = KC[N]D□
+:The [sum of the] remaining surfaces ABHL and ANSK is equal to KC[N]D.
-|style="text-align:right;"|וישארו שטח אבה"ל ואמס"כ {{#annot:term|461|Shsn}}שוים ל{{#annotend:Shsn}}כחג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHL+AMSK=KCND}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישארו שטח אבה"ל ואמס"כ {{#annot:term|461,1247|Shsn}}שוים ל{{#annotend:Shsn}}כחג"ד
 |-
 |
-::ABHL□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+:But, ABHL is twenty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHL=21}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל אבה"ל הוא עשרים ואחד
 |-
 |
-::AMSK□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:So, AMSK that remains is four and AMSK is a square.
-|style="text-align:right;"|ולכן ישאר אמס"כ ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AMSK=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן ישאר אמס"כ ארבעה ואמס"כ הוא מרובע
 |-
 |
-::AMSK□ is a square
+:Therefore, line AS is two and it is equal to CB.
-|style="text-align:right;"|ואמס"כ הוא מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB=AS=2}}</math>
-|-
-|
-::CB = AS = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו א"ס שנים והוא שוה לח"ב
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = BD = CB + CD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+5=7}}</math>
+:We add it to CD that is known to be five; we receive the measure of line BD, which is seven and it is the required.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|178|WMLX}}הוספנוהו על{{#annotend:WMLX}} ח"ד הידוע שהוא חמשה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שבעה והוא המבוקש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=BD=CB+CD=2+5=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוספנוהו על ח"ד הידוע שהוא חמשה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שבעה והוא המבוקש
 |-
-|It is clarified from what is said that the product of half the roots by itself exceeds the numbers by the measure of the square <math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c=x^2</math>, whether the square is less than the numbers <math>\scriptstyle x^2<c</math>, or exceeds them <math>\scriptstyle x^2>c</math>.
+|It is clarified from what we have said that [the difference between] the product of half [the number of] the roots by itself [and] the numbers [is] always the measure of the square <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2-c=x^2}}</math>, whether the square is less than the numbers <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2<c}}</math>, or exceeds them <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2>c}}</math>.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכבר התבאר ממה שאמרנו כי לעולם {{#annot:term|420|U4oN}}תעדיף{{#annotend:U4oN}} הכאת מחצית השרשים על עצמם מהמספרים בשיעור מרובע א"כ בין יגרע המרובע מהמספרים או ש{{#annot:term|420|YtbM}}יעדיף עליהם{{#annotend:YtbM}}
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכבר התבאר ממה שאמרנו כי לעולם תעדיף הכאת מחצית השרשים על עצמם מהמספרים בשיעור מרובע א"כ בין יגרע המרובע מהמספרים או שיעדיף עליהם
 |-
-|The case that is left to be explained is when the product of half the roots by itself is the same as the numbers. <math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c</math>
+|[The case that] is left for us to explain is when the product of half [the number of] the roots by itself is the same as the numbers.
-|style="text-align:right;"|ונשאר עלינו שנבאר כאשר יהיה העולה מהכאת מחצית השרשים על עצמו כמו המספרים
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשאר עלינו שנבאר כאשר יהיה <ref>299v</ref>העולה מהכאת מחצית השרשים על עצמו כמו המספרים
 |-
-|In that case, the square is the same as the numbers. <math>\scriptstyle x^2=c</math>
+|In that case, the square is the same as the numbers.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=c}}</math>
 |style="text-align:right;"|שאז יהיה המרובע כמו המספרים
 |-
-|And the root of the square is the same as half the roots, no more and no less. <math>\scriptstyle x=\frac{1}{2}\sdot b</math>
+|And the root of the square is the same as half the roots, no more and no less.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\frac{1}{2}\sdot b}}</math>
 |style="text-align:right;"|ושרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
 |-
 |
-:*{{#annot:x²+25=10x|711|QWm3}}<math>\scriptstyle25+x^2=10x</math>
+*{{#annot:x²+25=10x|711|QWm3}}Example: one says: a square plus twenty-five [dirham] are equal to ten roots of the square.
+:<math>\scriptstyle x^2+25=10x</math>
 |style="text-align:right;"|דמיון זה שיאמ' מרובע מה ועשרים וחמשה שרשים ישוו לעשרה שרשים מהמרובע{{#annotend:QWm3}}
 |-
@@ Line 1,148: / Line 1,333: @@
 |-
 |
-::constructing:
+:We suppose the square is square ABGD.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונניח המרובע {{#annot:term|305|1LmP}}שטח מרובע עליו{{#annotend:1LmP}} אבג"ד
+|style="text-align:right;"|ונניח המרובע {{#annot:term|305,2078|Q5y3}}שטח מרובע עליו{{#annotend:Q5y3}} אבג"ד
 |-
 |
-:*ABHW□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:We attach surface ABHW to it, as an analogous of the twenty-five dirham.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|178|f02m}}נחבר עמו{{#annotend:f02m}} שטח אבה"ו על דמיון העשרים וחמשה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונחבר עמו שטח אבה"ו על דמיון העשרים וחמשה דרהמי
 |-
 |
-:*GW□ = ABGD□ + ABHW□ = 10&radic;ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:The whole surface GW is ten roots of square ABGD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GW=ABGD+ABHW=10\sqrt{ABGD}=10x}}</math>
 |style="text-align:right;"|ויהיה כל שטח ג"ו עשרה שרשים ממרובע אבג"ד
 |-
 |
-::DW = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:Therefore, line DW is ten.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DW=10}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ד"ו עשרה
 |-
 |
-:We wish to know the measure of BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:We wish to know the measure of line BD, which is the root of the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=x}}</math>
 |style="text-align:right;"|ורצינו שנודיע כמה שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
 |-
 |
-:*DW is cut into two equal segments on C [= C midpoint of DW]
+:We cut line DW in half at point C [= C midpoint of DW].
 |style="text-align:right;"|הנה נחלק קו ד"ו לחצאין על נקוד' ח&#x202B;'
 |-
-|There are three possible cases:
+|
-|style="text-align:right;"|ולא ימלט הדבר מאחד משלשה ענינים
+:One of three possible cases necessarily occurs: either point C falls above point B, or beneath it, or exactly on it [C=B].
+|style="text-align:right;"|ולא ימלט הדבר מאחד משלשה ענינים אם ש{{#annot:to be situated|302,2018|RPnh}}תפול{{#annotend:RPnh}} נקודת ח' למעלה מנקוד' ב' או למטה ממנה או שתפול עליה ממש
 |-
 |
-::*C is above B
+:First, we suppose that point C falls above point B.
-|style="text-align:right;"|אם ש{{#annot:term|836|6kfm}}תפול{{#annotend:6kfm}} {{#annot:term|833|ZAh5}}נקודת{{#annotend:ZAh5}} ח' למעלה מנקוד' ב&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ונניח ראשונה שתפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב&#x202B;'
 |-
 |
-::*C is below B
+:If this is possible, line DW is cut in half at point C [= C midpoint of DW] and into two unequal segments at point B.
-|style="text-align:right;"|או למטה ממנה
+|style="text-align:right;"|אם יתכן זה ויהיה מפני זה קו ד"ו {{#annot:to be halved at point|820,2059|JUPf}}נחלק לחצאין על נקודת{{#annotend:JUPf}} ח' ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב&#x202B;'
 |-
 |
-::*C = B
+:Therefore, [the sum of] the product of DB by BW and the square of CB by itself is equal to the product of CW by itself, as explained in Euclid's second [book] [[ספר_היסודות_לאקלידס#Elements_II_5|<span style=color:blue>['''Euclid, Elements, Book II, (proposition 5)''']</span>]]
-|style="text-align:right;"|או שתפול עליה ממש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(DB\times BW\right)+CB^2=CW^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב על עצמו ישוו להכאת ח"ו על עצמו כמבואר בשני מאקלידס
 |-
 |
-:defining:
+:But, the product of WC by itself is twenty-five.
-*C is above B
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{WC^2=25}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונניח ראשונה שתפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב&#x202B;'
-|-
-|
-:If this is possible:
-:*DW is cut into two equal segments on C [= C midpoint of DW]
-|style="text-align:right;"|אם יתכן זה ויהיה מפני זה קו ד"ו {{#annot:term|829|JUPf}}נחלק לחצאין על נקודת{{#annotend:JUPf}} ח&#x202B;'
-|-
-|
-:*DW is cut into two unequal segments on B
-|style="text-align:right;"|ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב&#x202B;'
-|-
-|
-::(DB &times; BW) + CB<sup>2</sup> = CW<sup>2</sup>
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב על עצמו ישוו להכאת ח"ו על עצמו
-|-
-|
-::according to Euclid, ''Elements'' II
-|style="text-align:right;"|כמבואר בשני מאקלידס
-|-
-|
-::WC<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל הכאת ו"ח על עצמו הוא עשרים וחמשה
 |-
 |
-:::WC = ½WD
+:Because we assumed it is half WD, which is ten.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{WC=\frac{1}{2} WD}}</math>
 |style="text-align:right;"|בעבור כי הנחנוהו חצי ו"ד שהוא עשרה
 |-
 |
-::(DB &times; BW) + CB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:So, the product of DB by BW with the square of CB are equal to twenty-five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(DB\times BW\right)+CB^2=25}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב ישוו עשרים וחמשה
 |-
 |
-::ABHW□ = BW &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math> without CB<sup>2</sup>
+:Yet, we assumed previously that surface ABHW that is generated from the product of BW by BA that is equal to BD is twenty-five, without the square of CB.
-|style="text-align:right;"|וכבר הנחנו קודם שטח אבה"ו {{#annot:term|241|Zj1M}}שהוא מהכאת{{#annotend:Zj1M}} ב"ו בב"א השוה לב"ד עשרים וחמשה מבלעדי מרובע ח"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=BW\times BA=BW\times BD=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר הנחנו קודם שטח אבה"ו שהוא מהכאת ב"ו בב"א השוה לב"ד עשרים וחמשה מבלעדי מרובע ח"ב
 |-
 |
-::The more equals the less - impossible.
+:The more equals the less - it is impossible.
 |style="text-align:right;"|אם כן הרב ישוה למעט זה חלוף לא יתכן
 |-
 |
-:So, point C cannot be above point B
+:So, point C cannot fall above point B.
 |style="text-align:right;"|אם כן לא תפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב&#x202B;'
 |-
 |
-:Similarly, it is clear that point C cannot be beneath point B
+:Similarly, it is clear that it cannot fall beneath it.
-|style="text-align:right;"|וכמו זה {{#annot:term|484|MHsW}}יתבאר ש{{#annotend:MHsW}}לא יתכן שני שתפול למטה ממנה
+|style="text-align:right;"|וכמו זה יתבאר שלא יתכן <s>שכ</s> שתפול למטה ממנה
 |-
 |
-:Hence, B is necessarily the midpoint of WD [B = C]
+:Hence, point B itself is necessarily the midpoint of line WD [B = C].
-|style="text-align:right;"|אם כן {{#annot:term|1048|1iht}}יצטרך ש{{#annotend:1iht}}תהיה נקודת ב' עצמה הוא הנקוד' הנחלק עליה קו ו"ד לחצאי&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|אם כן יצטרך שתהיה נקודת ב' עצמה הוא הנקוד' הנחלק עליה קו ו"ד לחצאי&#x202B;'
 |-
 |
-:Thus, BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=5}}</math>
+:Thus, line BD, which is half [the number of] the roots, is the root of the square and it is five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=x=5}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ב"ד שהוא מחצית השרשים הוא שרש המרובע והוא חמשה
 |-
 |
-:BD<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=25}}</math>
+:Its square is twenty-five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD^2=x^2=25}}</math>
 |style="text-align:right;"|ומרובעו חמשה ועשרים
 |-
 |The explanation is completed.
-|style="text-align:right;"|ונשלם {{#annot:term|224|MPHr}}ביאורו{{#annotend:MPHr}}
+|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 |-
-!The reason for the method that yields the square
+!<span style=color:Green>The reason for the method that yields the square</span>
 |
 |-
-|Finzi: the proof of the method that yields the square was omitted from the translated book. Therefore, Finzi thought it should be explained, and drew three figures for its explanation
+|Said Finzi, the translator: the proof of the method that reveals the square to us has been omitted from the book I translated. So, I thought I should explain it, and drew three illustrations for its explanation:
-|style="text-align:right;"|<big>אמ"פ</big> המעתיק הנה {{#annot:term|1034|oKuD}}נשמט מ{{#annotend:oKuD}}הספר שהעתקתי ממנו {{#annot:term|198|8ZEf}}מופת ה{{#annotend:8ZEf}}אופן ש{{#annot:term|392|xZzA}}הראה לנו בו ה{{#annotend:xZzA}}מרובע ולכן ראיתי ש{{#annot:term|225|IBCn}}אבארהו{{#annotend:IBCn}} ו{{#annot:term|819|tynl}}ארשום{{#annotend:tynl}} בבאורו שלשה תמונות
+|style="text-align:right;"|<big>אמ"פ</big> המעתיק הנה נשמט מהספר שהעתקתי ממנו {{#annot:term|198,1898|CCe5}}מופת ה{{#annotend:CCe5}}אופן שהראה לנו בו המרובע ולכן ראיתי שאב<sup>א</sup>רהו וארשום בבאורו שלשה תמונות
 |-
-|
+|In the first, the addition method is clarified.
-:1) to clarify the addition method
 |style="text-align:right;"|הראשונה יתבא' בה צד התוספת
 |-
-|
+|In the second, the subtraction method.
-:2) to clarify the subtraction method
 |style="text-align:right;"|ובשנית צד המגרעת
 |-
+|In the third, [the case] is shown, where the numbers are equal to the product of half [the number of] the roots by itself - when there is no need for addition or subtraction.
+|style="text-align:right;"|ובשלישית <s>צד</s> יראה עמה כאשר {{#annot:term|429,1573|qEnf}}השתוו{{#annotend:qEnf}} המספרים להכאת מחצית השרשים על עצמם שאז לא יצטרך תוספת ולא מגרעת
+|-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of the addition method: [when the square exceeds the numbers]</span> <math>\scriptstyle x^2>c</math>
 |
-:3) the solution method for the case when the numbers equal the product of half the roots by itself - when there is no need for addition or subtraction.
-|style="text-align:right;"|ובשלישית צד יראה עמה כאשר {{#annot:term|429|qEnf}}השתוו{{#annotend:qEnf}} המספרים להכאת מחצית השרשים על עצמם שאז לא יצטרך תוספת ולא מגרעת
 |-
-!Geometric illustration of the addition method: [when the square exceeds the numbers] <math>\scriptstyle x^2>c</math>
+|We explain it first:
 |style="text-align:right;"|ונקח לבאר זאת הראשונה
 |-
@@ Line 1,278: / Line 1,453: @@
 |-
 |
-::defining:
+:It is that we suppose line AG is the sum of the square plus twenty-one dirham.
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=x^2+21}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שהנחנו קו א"ג {{#annot:term|388|ao2V}}המקובץ מ{{#annotend:ao2V}}המרובע ועשרי' ואחד דרהמי
+|style="text-align:right;"|והוא שהנחנו קו א"ג המקובץ מהמרובע ועשרי' ואחד דרהמי
 |-
 |
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:AB is the measure of the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2}}</math>
 |style="text-align:right;"|וא"ב ממנו הוא שיעור מרובע
 |-
 |
-:*BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+:BG is the measure of the dirham.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=21}}</math>
 |style="text-align:right;"|וב"ג ממנו הוא שיעור הדרהמי
 |-
 |
-:*AB > BG
+:AB is longer than BG, since the addition method follows from it.
-|style="text-align:right;"|וא"ב גדול מב"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB>BG}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|וא"ב גדול מב"ג כי עם זה יגיע צד התוספת
-|
-::this is due to the addition method
-|style="text-align:right;"|כי עם זה יגיע צד התוספת
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:We suppose that the whole line AG is ten roots of the square, because so is the question.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10x}}</math>
 |style="text-align:right;"|והנחנו קו א"ג הוא כלו עשרה שרשים מן המרובע כי כן היתה השאלה
 |-
 |
-:We wish to know the measure of line AB
+:We wish to know the measure of line AB.
 |style="text-align:right;"|ורצינו שנודיע שיעור קו א"ב
 |-
 |
-::constructing:
+:We construct square AGDH on line AG, so it is a hundred times the surface that is generated from the product of AB by one of its units, as we explained above.
-:*AGDH□ = AG<sup>2</sup> = 100 &times; (AB &times; its unit)
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=AG^2=100\times\left(AB\times1\right)}}</math>
-|style="text-align:right;"|נשים על קו א"ג מרובע עליו אגד"ה והנה הוא מאה דמיוני השטח {{#annot:term|876|i6yt}}העולה מ{{#annotend:i6yt}}א"ב {{#annot:term|358|hy5K}}מוכה ב{{#annotend:hy5K}}אחד מאחדיו כמו שבארנו למעלה
+|style="text-align:right;"|נשים על קו א"ג מרובע עליו אגד"ה והנה הוא מאה דמיוני השטח {{#annot:term|876,1241|i6yt}}העולה מ{{#annotend:i6yt}}א"ב מוכה באחד מאחדיו כמו שבארנו למעלה
 |-
 |
-::AG = 10&radic;AB
+:Since AG is ten roots of AB.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ג עשרה משרשים מא"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10\sqrt{AB}}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ג עשרה <s>מ</s>שרשים מא"ב
 |-
-|Ten roots of the thing multiplied by themselves are the same as a hundred times the thing <math>\scriptstyle\left(10\sqrt{X}\right)^2=100X</math>
+|Ten roots of the thing multiplied by themselves are the same as a hundred times the thing.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10\sqrt{X}\right)^2=100X}}</math>
 |style="text-align:right;"|ועשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם כמו מאה {{#annot:term|243|8T1l}}דמיוני מה{{#annotend:8T1l}}דבר
 |-
 |
-::extending line AD straight to W
+:We extend line AD straight to W.
-|style="text-align:right;"|ונמשיך קו א"ד {{#annot:term|942|hJu6}}בישר{{#annotend:hJu6}} עד ו&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ונמשיך קו א"ד {{#annot:term|942,1849|hJu6}}בי<sup>ו</sup>שר{{#annotend:hJu6}} עד ו&#x202B;'
 |-
 |
-::defining: AW = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:We suppose it is a hundred [units], of which line BG is twenty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AW=100}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונשימהו מאה ממה שבו קו ב"ג עשרים ואחד
 |-
 |
-::drawing lines BTZ, GHC both are parallel to AW and equal to AW
+:We draw lines BTZ and GHC both parallel to line AW and equal to it.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|818|vgQz}}נוציא קוי{{#annotend:vgQz}} בט"ז גה"ח {{#annot:term|825|Ycx6}}נכחיים ל{{#annotend:Ycx6}}קו א"ו ו{{#annot:term|461|nRl6}}שוים אליו{{#annotend:nRl6}}
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>300r</ref>ו{{#annot:to draw a line|819,1232|vgQz}}נוציא קוי{{#annotend:vgQz}} בט"ז גה"ח {{#annot:term|825,1821|Ycx6}}נכחיים ל{{#annotend:Ycx6}}קו א"ו ושוים אליו
 |-
 |
-::attaching points W, C through line WZC
+:We attach points W and C through line WZC.
 |style="text-align:right;"|ונגיע נקדות ו"ח עם קו וז"ח
 |-
 |
-::ABWZ□ = AGDH□
+:Surface ABWZ is equal to square AGDH, because it is also a hundred times the surface that is generated from the product of line AB by one of its units.
-|style="text-align:right;"|הנה שטח אבו"ז שוה למרובע אגד"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABWZ=AGDH=AG^2=100\times\left(AB\times1\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה שטח אבו"ז שוה למרובע אגד"ה בעבור כי הוא גם כן מאה דמיוני השטח העולה מהכאת קו א"ב באחד מאחדיו
 |-
 |
-:::ABWZ□ = 100 &times; (AB &times; its unit)
+:Since its side AW is a hundred.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי הוא גם כן מאה דמיוני השטח העולה מהכאת קו א"ב באחד מאחדיו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AW=100}}</math>
-|-
-|
-::::AW = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
 |style="text-align:right;"|כי צלע א"ו ממנו הוא מאה
 |-
 |
-::subtracting AT□ shared by both
+:We subtract surface AT shared by both.
-|style="text-align:right;"|ונבדיל שטח א"ט {{#annot:term|543|NIm6}}המשותף{{#annotend:NIm6}}
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|837,2040|Ptjj}}נבדיל{{#annotend:Ptjj}} שטח א"ט המשותף
 |-
 |
-::GT□ = AGDH□ - AT□ = ABWZ□ - AT□ = TW□
+:Surface GT remains equal to surface TW.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GT=AGDH-AT=ABWZ-AT=TW}}</math>
 |style="text-align:right;"|וישאר שטח ג"ט שוה לשטח ט"ו
 |-
 |
-::DHWC□ = (BGZC□ - GT□) + TW□ = BGZC□
+:We subtract surface GT from surface BGZC and add the remainder to surface TW that is equal to GT that we subtracted, so surface DHWC is equal to surface BGZC.
-|style="text-align:right;"|ונבדיל שטח ג"ט משטח בגז"ח ו{{#annot:term|797|LDvk}}קבצנו עם ה{{#annotend:LDvk}}נשאר שטח ט"ו השוה לג"ט ש{{#annot:term|837|2vuL}}הבדלנו{{#annotend:2vuL}} ויהיה מפני זה שטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DHWC=\left(BGZC-GT\right)+TW=BGZC}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונבדיל שטח ג"ט משטח בגז"ח וקבצנו עם הנשאר שטח ט"ו השוה לג"ט ש{{#annot:term|837,2040|ogvR}}הבדלנו{{#annotend:ogvR}} ויהיה מפני זה שטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח
 |-
 |
-::BG[Z]C□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2100}}</math>
+:Surface BG[Z]C is known to be 2100.
-|style="text-align:right;"|ושטח בגו"ח {{#annot:term|945|kJW6}}היה ידוע ש{{#annotend:kJW6}}הוא אלפיי' ומאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BGZC=2100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח בגו"ח היה ידוע שהוא אלפיי' ומאה
 |-
 |
-:::BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+:Since BG is twenty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=21}}</math>
 |style="text-align:right;"|בעבור כי ב"ג הוא עשרים ואחד
 |-
 |
-:::GC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:GC is a hundred.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GC=100}}</math>
 |style="text-align:right;"|וג"ח הוא מאה
 |-
 |
-::DHWC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2100}}</math>
+:Therefore, surface DHWC is 2100 and it is the same as the product of GD by HC.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח דהו"ח אלפיים ומאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DHWC=GD\times HC=2100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח דהו"ח אלפיים ומאה והוא כמו הכאת ג"ד בה"ח
 |-
 |
-::DHWC□ = GD &times; HC
+:Because, line DH is equal to line GH.
-|style="text-align:right;"|והוא כמו הכאת ג"ד בה"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DH=GH}}</math>
-|-
-|
-:::DH = GH
 |style="text-align:right;"|כי קו ד"ה שוה לקו ג"ה
 |-
 |
-:*GC is cut into two equal segments on L [= L midpoint of GC]
+:GC is cut in half at point L [= L midpoint of GC].
 |style="text-align:right;"|ונחלק ג"ח לחצאין על נקודת ל&#x202B;'
 |-
 |
-:*GC is cut into two unequal segments on H
+:It has already been cut into two unequal segments at point H.
-|style="text-align:right;"|וכבר {{#annot:term|847|sLnn}}נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת{{#annotend:sLnn}} ה&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וכבר {{#annot:to be cut into two unequal segments|820|sLnn}}נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת{{#annotend:sLnn}} ה&#x202B;'
 |-
 |
-::GL<sup>2</sup> = (GH &times; HC) + HL<sup>2</sup>
+:Therefore, the product of line GL by itself is equal to [the sum of] the product of GH by HC and the square of HL, as explained in Euclid's second [book] [[ספר_היסודות_לאקלידס#Elements_II_5|<span style=color:blue>['''Euclid, Elements, Book II, (proposition 5)''']</span>]]
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת קו ג"ל על עצמו שוה להכאת ג"ה בה"ח ולמרובע ה"ל יחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=\left(GH\times HC\right)+HL^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת קו ג"ל על עצמו שוה להכאת ג"ה בה"ח ולמרובע ה"ל יחד כמו שהוא מבואר בשני לאקלידס
 |-
 |
-::according to Euclid, ''Elements'' II
+:But, the product of line GL by itself is 2500.
-|style="text-align:right;"|כמו שהוא מבואר בשני לאקלידס
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=2500}}</math>
-|-
-|
-::GL<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל הכאת קו ג"ל על עצמו היא אלפיים ות"ק
 |-
 |
-::HL<sup>2</sup> = GL<sup>2</sup> - (GH &times; HC) = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500-2100=400}}</math>
+:We subtract 2100 from it, which is the product of GH by HC; square HL remains four hundred.
-|style="text-align:right;"|ונגרע מהם אלפיים וק' שהם מהכאת ג"ה בה"ח ולמרובע ה"ל יחד וישאר מרובע ה"ל ארבע מאות
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HL^2=GL^2-\left(GH\times HC\right)=2500-2100=400}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונגרע מהם אלפיים וק' שהם מהכאת ג"ה בה"ח <s>ולמרובע ה"ל יחד</s> וישאר מרובע ה"ל ארבע מאות
 |-
 |
-::HL = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{400}=20}}</math>
+:Its root is twenty and this is the measure of line HL.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HL=\sqrt{400}=20}}</math>
 |style="text-align:right;"|ושרשם עשרים והם שיעור קו ה"ל
 |-
-|If the square exceeds the dirham <math>\scriptstyle x^2>c</math>, as is the case in the first figure
+|If the square exceeds the dirham [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2>c}}</math>], as is the case in the first illustration:
-|style="text-align:right;"|ואם המרובע {{#annot:term|420|DjtG}}יעדיף על ה{{#annotend:DjtG}}דרהמי כמו שהוא הענין בתמונה הראשונה
+|style="text-align:right;"|ואם המרובע {{#annot:term|420,2035|DjtG}}יעדיף על ה{{#annotend:DjtG}}דרהמי כמו שהוא הענין בתמונה הראשונה
 |-
 |
-::GH = GL + HL = <math>\scriptstyle{\color{blue}{50+20=70}}</math>
+:We add the twenty to line GL that is fifty; line GH is seventy.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|178|UCRB}}נוסיף ה{{#annotend:UCRB}}עשרים על קו ג"ל שהוא חמשי' ויהיה קו ג"ה שבעים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=GL+HL=50+20=70}}</math>
+|style="text-align:right;"|נוסיף העשרים על קו ג"ל שהוא חמשי' ויהיה קו ג"ה שבעים
 |-
 |
-::GA = GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{70}}</math>
+:GA that is equal to GH is also seventy.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GA=GH=70}}</math>
 |style="text-align:right;"|וג"א השוה לג"ה יהיה גם כן שבעים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math> = AB = GA - BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{70-21=49}}</math>
+:We subtract from it line BG that is known to be twenty-one; line AB remains forty-nine and it is the required square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=GA-BG=70-21=49}}</math>
 |style="text-align:right;"|גרענו ממנו קו ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד וישאר קו א"ב תשעה וארבעים והוא המרובע שהוא המבוקש
 |-
-!Geometric illustration of the subtraction method: when the square is less than the numbers <math>\scriptstyle x^2<c</math>
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of the subtraction method: when the square is less than the numbers</span> <math>\scriptstyle x^2<c</math>
+|
+|-
+|If the square is less than the dirham [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2<c}}</math>], as is the case in the second illustration:
 |style="text-align:right;"|ואם המרובע פחות מהדרהמי כמו שהוא הענין בזאת התמונה השנית
 |-
@@ Line 1,433: / Line 1,618: @@
 |-
 |
-::GH = GL - HL = <math>\scriptstyle{\color{blue}{50-20=30}}</math>
+:We subtract the twenty, which is the measure of line HL, from line GL, which is fifty; line GH remains thirty.
-|style="text-align:right;"|אז {{#annot:term|181|0iv2}}נגרע ה{{#annotend:0iv2}}עשרים שהוא {{#annot:term|633|Ei7y}}שעור{{#annotend:Ei7y}} קו ה"ל מקו ג"ל שהוא חמשים וישאר קו ג"ה שלשים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=GL-HL=50-20=30}}</math>
+|style="text-align:right;"|אז נגרע העשרים שהוא שעור קו ה"ל מקו ג"ל שהוא חמשים וישאר קו ג"ה שלשים
 |-
 |
-::AG = GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{30}}</math>
+:AG is equal to GH.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=GH=30}}</math>
 |style="text-align:right;"|וא"ג שוה לג"ה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math> = AB = AG - BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{30-21=9}}</math>
+:We subtract the measure of BG that is known to be twenty-one; the measure of line AB remains nine, which is the required square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=AG-BG=30-21=9}}</math>
 |style="text-align:right;"|גרענו ממנו שעור ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד וישאר שעור קו א"ב תשעה והוא המרובע המבוקש
 |-
-!Geometric illustration of the case in which the product of half the roots by itself equals the dirham <math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c</math> &rarr; the square is the same as the dirham <math>\scriptstyle x^2=c</math>
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of the case in which the product of half the roots by itself equals the dirham <math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c</math> &rarr; the square is the same as the dirham</span> <math>\scriptstyle x^2=c</math>
 |
 |-
-|After explaining the addition and subtraction methods in the two previous figures, when the product of half the roots by itself is greater than the dirham <math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}b\right)^2>c</math>, the method that does not consists of addition or subtraction will be explained in the third figure, which is when the product of half the roots by itself equals the dirham <math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c</math>, that is when the square is the same as the dirham <math>\scriptstyle x^2=c</math>
+|After explaining the addition and subtraction methods in the two previous figures, when the product of half [the number of] the roots by itself is greater than the dirham [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}b\right)^2>c}}</math>], we explain the method that does not consists of addition or subtraction in the third figure, which is when the product of half [the number of] the roots by itself equals the dirham [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c}}</math>], that is when the square is the same as the dirham [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=c}}</math>].
-|style="text-align:right;"|ואחר ש{{#annot:term|225|gAYv}}בארנו ב{{#annotend:gAYv}}שתי התמונות הקודמות צד התוספת וצד המגרעת הנופלים בזאת השאלה התמונה כאשר יהיה הכאת מחצית השרשים על עצמם {{#annot:term|245|WMfI}}יותר מה{{#annotend:WMfI}}דרהמי הנה {{#annot:term|225|H5DT}}נבאר{{#annotend:H5DT}} בזאת התמונה השלישית הצד שאין לו לא תוספת ולא מגרעת והוא כאשר תהיה הכאת המחצית שוה לדרהמי שאז יהיה המרובע כמו הדרהמי
+|style="text-align:right;"|<big>ואחר</big> שבארנו בשתי התמונות הקודמות צד התוספת וצד המגרעת הנופלים בזאת השאלה <s>התמונה</s> כאשר יהיה הכאת מחצית השרשים על עצמם יותר מהדרהמי הנה נבאר בזאת התמונה השלישית הצד שאין לו לא תוספת ולא מגרעת והוא כאשר תהיה הכאת המחצית שוה לדרהמי שאז יהיה המרובע כמו הדרהמי
 |-
 |
@@ Line 1,455: / Line 1,643: @@
 |-
 |
-::defining:
+:We suppose line AG is the sum of the square plus twenty-five dirham and it is also equal to ten roots of the square.
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+25=10x}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=x^2+25=10x}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונניח קו א"ג מקובץ המרובע עם עשרים וחמשה דרהמי והוא גם כן שוה לעשרה שרשים מהמרובע
 |-
 |
-::as in the two previous figures
+:We continue the procedure as in the two previous illustrations until it is clear that surface DHWC is equal to surface BGZC and it is also equal to the product of GH by HC.
-::DHWC□ = BGZC□
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DHWC=BGZC=GH\times HC}}</math>
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|1019|X5xw}}נמשיך ה{{#annotend:X5xw}}מעשה כמעשה הקודם בשתי התמונות הקודמות עד המקום שיתבאר בו ששטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח
+|style="text-align:right;"|ונמשיך המעשה כמעשה הקודם בשתי התמונות הקודמות עד המקום שיתבאר בו ששטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח והוא שוה גם כן להכאת ג"ה בה"ח
-|-
-|
-::DHWC□ = GH &times; HC
-|style="text-align:right;"|והוא שוה גם כן להכאת ג"ה בה"ח
 |-
 |
-:::GH = HD
+:Since GH is the same as HD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=HD}}</math>
 |style="text-align:right;"|בעבור כי ג"ה כמו ה"ד
 |-
 |
-::BGZC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500}}</math>
+:But, surface BGZC is 2500.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BGZC=2500}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל שטח ב"ג ז"ח הוא אלפיים ת"ק
 |-
 |
-:::BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:Because BG is twenty-five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=25}}</math>
 |style="text-align:right;"|כי ב"ג עשרים וחמשה
 |-
 |
-:::GC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:GC is one hundred.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GC=100}}</math>
 |style="text-align:right;"|וג"ח מאה
 |-
 |
-::GH &times; HC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500}}</math>
+:Therefore, the product of GH by HC is 2500.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH\times HC=2500}}</math>
 |style="text-align:right;"|אם כן הכאת ג"ה בה"ח אלפיים ת"ק
 |-
 |
-:*GC is cut into two equal segments on L [= L midpoint of GC]
+:We cut line GC in half on L [= L midpoint of GC].
 |style="text-align:right;"|ונחלק קו ג"ח לחצאי' על נקודת ל&#x202B;'
 |-
 |
-::L is either above H, below H, or on H
+:Point L necessarily falls either above point H, below it, or on it.
 |style="text-align:right;"|ובהכרח תפול נקודת ל' אז למעלה מנקודת ה' או למט' ממנה או עליה
 |-
-|It will be explained that it can only be on H
+|
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|225|fmks}}נבאר ש{{#annotend:fmks}}אי אפש' שתפול כי אם עליה
+:We will explain that it can only fall on it:
+|style="text-align:right;"|ונבאר שאי אפש' שתפול כי אם עליה
 |-
 |
-::If it was possible for it to be above H:
+:If it were possible, we assume it falls above it:
-|style="text-align:right;"|שאם אפש' נניח ש{{#annot:term|836|OahI}}נפלה ממנה{{#annotend:OahI}}
+|style="text-align:right;"|שאם אפש' נניח שנפלה ממנה
 |-
 |
-:*GC is cut into two equal segments on L [= L midpoint of GC]
+:So, line GC is cut in half on point L [= L midpoint of GC].
-|style="text-align:right;"|ויהיה אם כן קו ג"ח {{#annot:term|440|FLHq}}נחלק ל{{#annotend:FLHq}}חצאין על נקודת ל&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ויהיה אם כן קו ג"ח {{#annot:term|786,2059|Ug7u}}נחלק לחצאין{{#annotend:Ug7u}} על נקודת ל&#x202B;'
 |-
 |
-:*GC is cut into two unequal segments on H
+:And into two unequal segments on point H.
 |style="text-align:right;"|ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה&#x202B;'
 |-
 |
-::(GH &times; HC) + HL<sup>2</sup> = GL<sup>2</sup>
+:The product of GH by HC plus the square of HL together are necessarily equal to the square of GL.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|481|y4tu}}יחויב ש{{#annotend:y4tu}}יהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל יחד שוים למרובע ג"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(GH\times HC\right)+HL^2=GL^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויחויב שיהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל יחד שוים למרובע ג"ל
 |-
 |
-::GL<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500}}</math>
+:But, the square of GL is 2500.
-|style="text-align:right;"|אבל מרובע ג"ל אלפיים ת"ק
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GL^2=2500}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל מרובע ג"ל אלפיים &#x202B;<ref>300v</ref>ת"ק
 |-
 |
-:::GL = <math>\scriptstyle{\color{blue}{50}}</math>
+:Because GL is fifty.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GL=50}}</math>
 |style="text-align:right;"|כי ג"ל חמשים
 |-
 |
-::(GH &times; HC) + HL<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500}}</math>
+:So, the product of GH by HC plus the square of HL are 2500.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(GH\times HC\right)+HL^2=2500}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל אלפיים ות"ק
 |-
 |
-::GH &times; HC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2500}}</math> without HL<sup>2</sup>
+:Yet, earlier it was clarified that the product of GH by HC alone is 2500, without the square of HL.
-|style="text-align:right;"|וקודם זה {{#annot:term|484|2qSR}}התבאר ש{{#annotend:2qSR}}הכאת ג"ה בה"ח לבדו הוא אלפיים ות"ק מבלעדי מרובע ה"ל
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH\times HC=2500}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקודם זה התבאר שהכאת ג"ה בה"ח לבדו הוא אלפיים ות"ק מבלעדי מרובע ה"ל
 |-
 |
-::The more equals the less - impossible.
+:The more equals the less - impossible.
 |style="text-align:right;"|אם כן יהיה הרב שוה למעט זה חלוף לא יתכן
 |-
 |
-:Similarly to this explanation, it is clear that point L cannot be beneath point H
+:Similarly to this explanation, it is clear that point L cannot fall beneath point H.
-|style="text-align:right;"|ובכמו זה {{#annot:term|224|aoP2}}הביאור{{#annotend:aoP2}} יתבא' שאינה {{#annot:term|836|azrN}}נופלת{{#annotend:azrN}} {{#annot:term|833|eSZc}}נקדת{{#annotend:eSZc}} ל' למטה מנקודת ה&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ובכמו זה הביאור יתבא' שאינה {{#annot:to be situated|302,2018|azrN}}נופלת{{#annotend:azrN}} {{#annot:term|833,1606|eSZc}}נקדת{{#annotend:eSZc}} ל' למטה מנקודת ה&#x202B;'
 |-
 |
-:Hence, H is necessarily the midpoint of GC [H = L]
+:Hence, H itself is necessarily the midpoint of line GC [H = L].
-|style="text-align:right;"|אם כן תהיה נקוד' ה' בעצמה היא אשר {{#annot:term|829|s5N6}}עליה יחצה{{#annotend:s5N6}} קו ג"ח
+|style="text-align:right;"|אם כן תהיה נקוד' ה' בעצמה היא אשר עליה {{#annot:term|786,2057|syRB}}יחצה{{#annotend:syRB}} קו ג"ח
 |-
 |
-::GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{50}}</math>
+:Therefore, line GH is fifty and AG that is equal to GH is also fifty.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ג"ה חמשים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=GH=50}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ג"ה חמשים וא"ג השוה לג"ה יהיה גם כן חמשים
 |-
 |
-::AG = GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{50}}</math>
+:We subtract BG, which is twenty-five, from it; line AB remains twenty-five also and so is the required square.
-|style="text-align:right;"|וא"ג השוה לג"ה יהיה גם כן חמשים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=AG-BG=50-25=25}}</math>
-|-
-|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math> = AB = AG - BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{50-25=25}}</math>
 |style="text-align:right;"|נגרע ממנו ב"ג שהוא עשרים וחמשה וישאר קו א"ב גם כן חמשה ועשרים וככה המרובע המבוקש
 |-
@@ Line 1,560: / Line 1,753: @@
 |
-==== Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax<sup>2</sup> ====
+==== Chapter: <span style=color:Green>Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax<sup>2</sup></span> ====
+|style="text-align:right;"|<big>פרק</big>
-!style="text-align:right;"|<big>פרק</big> אמ' שרשים ומספרים שישוו למרובע
 |-
 |
-:*{{#annot:3x+4=x²|712|VKnl}}<math>\scriptstyle3x+4=x^2</math>
+*{{#annot:3x+4=x²|712|VKnl}}He said: roots and numbers that are equal to a square is as saying three roots and four dirham are equal to a square.
-|style="text-align:right;"|הוא כמו שיאמ' שלשה שרשים וארבעה דרהמי יהיו שוים למרובע{{#annotend:VKnl}}
+:<math>\scriptstyle3x+4=x^2</math>
+|style="text-align:right;"|אמ' שרשים ומספרים שישוו למרובע הוא כמו שיאמ' שלשה שרשים וארבעה דרהמי יהיו שוים למרובע{{#annotend:VKnl}}
 |-
-|This type also has two solution methods:
+|This category also has two solution methods: one reveals the root of the square to you the other reveals the square to you.
-|style="text-align:right;"|גם לזה החלק שני {{#annot:term|223|ALrE}}האופנים{{#annotend:ALrE}}
+|style="text-align:right;"|גם לזה החלק שני האופנים האחד יראך שרש המרובע והשני יראך המרובע
 |-
+|I will further illustrate them through geometric figures
+|style="text-align:right;"|ועוד אבארם בתמונות גימטריות
+|-
+!<span style=color:Green>The solution method that yields the root of the square</span>
 |
-:1) yields the root of the square
-|style="text-align:right;"|האחד יראך שרש המרובע
 |-
+|<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}}}</math>
 |
-:2) yields the square
-|style="text-align:right;"|והשני יראך המרובע
 |-
-|Which will be further illustrated through geometric figures
+|He said: the method that reveals the root to you is that you halve [the number of] the roots, and multiply it by itself, then add the result to the numbers.
-|style="text-align:right;"|ועוד {{#annot:term|225|PQLA}}אבארם ב{{#annotend:PQLA}}תמונות גימטריות
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך השרש הוא כי {{#annot:term|786,1369|pjRW}}תחצה ה{{#annotend:pjRW}}שרשים ותכם על עצמם ותקבץ העולה עם המספרים
 |-
-!The solution method that yields the root of the square
+|You extract the root of the sum and add it to half [the number of] the roots; the result is the root.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך השרש
+|style="text-align:right;"|עוד תקח שרש המקובץ ותקבצהו עם מחצית השרשים ומה שיגיע הוא השרש
 |-
-|[for: <math>\scriptstyle bx+c=x^2</math>]<br>
+|
-<math>\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}</math>
+:We take a half of three; it is one and a half.
-|style="text-align:right;"|הוא כי {{#annot:term|786|9Ngb}}תחצה ה{{#annotend:9Ngb}}שרשים ותכם על עצמם ותקבץ העולה עם המספרים<br>
+|style="text-align:right;"|והנה לקחנו מחצית שלשה והוא אחד וחצי
-עוד תקח שרש המקובץ ותקבצהו עם מחצית השרשים ומה שיגיע הוא השרש
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{6+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}</math>
+:We multiply it by itself; the result is 2 and a quarter.
-|style="text-align:right;"|והנה לקחנו מחצית שלשה והוא אחד וחצי<br>
+|style="text-align:right;"|הכינוהו על עצמו ועלה ב' ורביע
-הכינוהו על עצמו ועלה ב' ורביע<br>
-וקבצנום עם הארבעה והיה ששה ורביע<br>
-ושרשם הוא שנים וחצי<br>
-ו{{#annot:term|797|IjsF}}קבצנוהו עם{{#annotend:IjsF}} אחד וחצי ו{{#annot:term|875|ELrL}}הגיע{{#annotend:ELrL}} ארבעה והוא שרש המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:We add it to the four; it is six and a quarter.
-|style="text-align:right;"|והמרובע ששה עשר
+|style="text-align:right;"|וקבצנום עם הארבעה והיה ששה ורביע
 |-
-!The solution method that yields the square
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך המרובע
+:Its root is two and a half.
-|-
+|style="text-align:right;"|ושרשם הוא שנים וחצי
-|[for: <math>\scriptstyle bx+c=x^2</math>]<br>
-<math>\scriptstyle x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+\sqrt{\left(b^2\sdot c\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2}+c</math>
-|style="text-align:right;"|הוא שתכה השרשים על עצמם ומה שיעלה {{#annot:term|185|Yybn}}תכהו ב{{#annotend:Yybn}}מספרים והעולה שמור<br>
-עוד תקח מחצית הכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו<br>
-והעולה תקבץ עם השמור ו{{#annot:term|795|LS8c}}קח שרש ה{{#annotend:LS8c}}מקובץ<br>
-ו{{#annot:term|797|tIO6}}תקבצהו יחד עם{{#annotend:tIO6}} מחצית הכאת השרשי' ועם המספרים ו{{#annot:term|388|P175}}מה שיתקבץ מהכל{{#annotend:P175}} הוא המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)+\sqrt{\left(3^2\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)+\sqrt{\left(9\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(20+\frac{1}{4}\right)}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{56+\frac{1}{4}}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)+4=16\\\end{align}}}</math>
+:We add it to one and a half; the result is four and it is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|והנה הכינו השלשה בעצמם ועלה תשעה<br>
+|style="text-align:right;"|וקבצנוהו עם אחד וחצי ו{{#annot:term|875,1575|ELrL}}הגיע{{#annotend:ELrL}} ארבעה והוא שרש המרובע
-הכינו תשעה בארבעה ועלה שלשים ושש ושמרנום<br>
-עוד לקחנו מחצית תשעה והוא ארבעה וחצי<br>
-והכינום על עצמם והיה עשרים ורביע<br>
-קבצנום עם השמור והיה {{#annot:term|388|PDu7}}הכל{{#annotend:PDu7}} ששה וחמשים ורביע<br>
-{{#annot:term|795|b4yz}}לקחנו שרשם{{#annotend:b4yz}} והוא שבעה וחצי<br>
-{{#annot:term|797|5qrR}}קבצנום יחד עם ה{{#annotend:5qrR}}ארבעה וחצי ועם הארבעה דרהמי שהיו עם השרשים ו{{#annot:term|447|jloK}}התקבץ מהכל{{#annotend:jloK}} ששה עשר והוא המרובע
 |-
-|'''Normalization''': the squares should always be restored to one square, whether they exceed one, or less than one - as demonstrated at first.
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ו{{#annot:term|1002|KBiL}}זכור{{#annotend:KBiL}} גם כן לעולם {{#annot:term|970|UMX2}}להשיב המרובעים אל מרובע אחד{{#annotend:UMX2}} אם היה ש{{#annot:term|385|zpZd}}הונחו מהם{{#annotend:zpZd}} בשאלה {{#annot:term|343|OVQO}}יותר מ{{#annotend:OVQO}}אחד או פחות כאשר {{#annot:term|199|1ZKw}}הראיתי{{#annotend:1ZKw}} בראשונה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+4}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{6+\frac{1}{4}}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}</math>
 |-
-!Geometric illustration of the solution method that yields the root of the square
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ולמופת האופן אשר הראנו בו השרש
+:The square is sixteen.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמרובע ששה עשר
 |-
+!<span style=color:Green>The solution method that yields the square</span>
 |
-:[[File:Finzi 5.png|thumb|125px|left]]
-|[[File:פינצי 5.png|thumb|125px|right]]
 |-
+|<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+\sqrt{\left(b^2\sdot c\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2}+c}}</math>
 |
-::defining:
+|-
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}</math>
+|He said: the method that reveals the square to you is that you multiply [the number of] the roots by itself, then multiply the product by the numbers and keep the result.
-|style="text-align:right;"|נניח המרובע אבג"ד והוא {{#annot:term|388|NOya}}המחובר מ{{#annotend:NOya}}שלשה שרשיו וארבעה מספרים
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והאופן אשר יראך המרובע הוא שתכה השרשים על עצמם ומה שיעלה תכהו במספרים והעולה שמור
+|-
+|Take half the product of [the number of] the roots by itself and multiply this half by itself.
+|style="text-align:right;"|עוד תקח מחצית הכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו
+|-
+|Add the result to the reserved and extract the root of the sum.
+|style="text-align:right;"|והעולה תקבץ עם השמור ו{{#annot:term|795,1375|LS8c}}קח שרש ה{{#annotend:LS8c}}מקובץ
+|-
+|You sum it with half the product of the roots and with the numbers; the total sum is the square.
+|style="text-align:right;"|ותקבצהו יחד עם מחצית הכאת השרשי' ועם המספרים ומה ש{{#annot:term|178,1216|JEm6}}יתקבץ{{#annotend:JEm6}} מהכל הוא המרובע
 |-
 |
-:*AHGN□ = 3&radic;ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3x}}</math>
+:We multiply three by itself; the result is nine.
-|style="text-align:right;"|ונניח שיהיה שטח אהג"נ ממנו הוא שלשת השרשים
+|style="text-align:right;"|והנה הכינו השלשה בעצמם ועלה תשעה
 |-
 |
-:*HD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:We multiply nine by four; the result is thirty-six. We keep it.
+|style="text-align:right;"|הכינו תשעה בארבעה ועלה שלשים ושש ושמרנום
+|-
+|
+:We take a half of nine; it is four and a half.
+|style="text-align:right;"|עוד לקחנו מחצית תשעה והוא ארבעה וחצי
+|-
+|
+:We multiply it by itself; it is twenty and a quarter.
+|style="text-align:right;"|והכינום על עצמם והיה עשרים ורביע
+|-
+|
+:We add it to the reserved; the total is fifty-six and a quarter.
+|style="text-align:right;"|קבצנום עם השמור והיה הכל ששה וחמשים ורביע
+|-
+|
+:We extract its root; it is seven and a half.
+|style="text-align:right;"|לקחנו שרשם והוא שבעה וחצי
+|-
+|
+:We sum it with the four and a half and with the four dirham that are with the roots; the total sum is sixteen and it is the square.
+|style="text-align:right;"|קבצנום יחד עם הארבעה וחצי ועם הארבעה דרהמי שהיו עם השרשים ו{{#annot:term|178,1216|jloK}}התקבץ מהכל{{#annotend:jloK}} ששה עשר והוא המרובע
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)+\sqrt{\left(3^2\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)^2}+4=\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)+\sqrt{\left(9\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}+4=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(20+\frac{1}{4}\right)}+4\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{56+\frac{1}{4}}+4=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)+4=16\\\end{align}}}</math>
+|-
+|<span style=color:Green>'''Normalization''':</span>
+|
+|-
+|Always remember to convert the squares into one square, whether they exceed one, or less than one in the question, as I demonstrated at first.
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וזכור גם כן לעולם להשיב המרובעים אל מרובע אחד אם היה שהונחו מהם בשאלה {{#annot:term|342|OVQO}}יותר מ{{#annotend:OVQO}}אחד או פחות כאשר הראיתי בראשונה
+|-
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of the solution method that yields the root of the square</span>
+|
+|-
+|
+:[[File:Finzi 5.png|thumb|125px|left]]
+|[[File:פינצי 5.png|thumb|125px|right]]
+|-
+|
+:He said: for the proof of the method in which we reveal the root, we suppose the square is ABGD and it is generated from its three roots plus four numbers.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2=3x+4}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ולמופת האופן אשר הראנו בו השרש נניח המרובע אבג"ד והוא {{#annot:term|388,1220|NOya}}המחובר מ{{#annotend:NOya}}שלשה שרשיו וארבעה מספרים
+|-
+|
+:We suppose that surface AHGN is the three roots.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AHGN=3\sqrt{ABGD}=3x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח שיהיה שטח אהג"נ ממנו הוא שלשת השרשים
+|-
+|
+:Surface HD that is left is the four numbers.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HD=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|ושטח ה"ד הנשאר ארבעת המספרים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3x}}</math> = 3 of <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:It is known from what we said at the beginning of the book that the three roots are three numbers of the side.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{3x}}</math>
 |style="text-align:right;"|והוא ידוע ממה שאמרנו בראש הספר כי שלשת השרשים יחזיקו שלשה מספרים מהצלע
 |-
 |
-::AH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3}}</math>
+:So, it is known that line AH is three.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=3}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה ידוע שקו א"ה שלשה
 |-
 |
-:We wish to know the measure of HB
+:We wish to know the measure of HB that remains.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|391|qiF6}}רצוננו ל{{#annotend:qiF6}}הודיע שיעור ה"ב הנשאר
+|style="text-align:right;"|ורצוננו להודיע שיעור ה"ב הנשאר
 |-
 |
-:*AH is cut into halfs on C [= C midpoint of AH]
+:We cut line AH in half at point C [= C midpoint of AH]
 |style="text-align:right;"|נחלק קו א"ה לחצאי' על נקודת ח&#x202B;'
 |-
 |
-::HB is added to AH
+:Line HB is added to its length.
-|style="text-align:right;"|וכבר נוסף ב{{#annot:term|316|51Zn}}ארכו{{#annotend:51Zn}} קו ה"ב
+|style="text-align:right;"|וכבר נוסף ב{{#annot:term|316,1489|dIuF}}ארכו{{#annotend:dIuF}} קו ה"ב
 |-
 |
-::(AB &times; BH) + HC<sup>2</sup> = CB<sup>2</sup>
+:Therefore, the product of AB by BH plus the square of HC are equal to the product of CB by itself, as explained in Euclid's [Elements], book two.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת א"ב בב"ה עם מרובע ה"ח ישוו להכאת ח"ב על עצמו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(AB\times BH\right)+HC^2=CB^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת א"ב בב"ה עם מרובע ה"ח ישוו להכאת ח"ב על עצמו כמבואר בשני לאקלידס
 |-
 |
-::according to Euclid, ''Elements'' II
+:But, it is known that the product of AB by BH is four, because it is equal to surface HD
-|style="text-align:right;"|כמבואר בשני לאקלידס
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB\times BH=HD=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח הכאת א"ב בב"ה הוא ידוע שהוא ארבעה כי &#x202B;<ref>301r</ref>הוא שוה לשטח ה"ד
 |-
 |
-::AB &times; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Since AB is equal to BD.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח הכאת א"ב בב"ה {{#annot:term|940|ul9T}}הוא ידוע ש{{#annotend:ul9T}}הוא ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=BD}}</math>
-|-
-|
-::CB &times; BH = HD□
-|style="text-align:right;"|כי הוא שוה לשטח ה"ד
-|-
-|
-:::AB = BD
 |style="text-align:right;"|בעבור כי א"ב שוה לב"ד
 |-
 |
-::HC<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{4}}}</math>
+:The square of HC is two and a quarter.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HC^2=2+\frac{1}{4}}}</math>
 |style="text-align:right;"|ומרובע ה"ח הוא שנים ורביע
 |-
 |
-::(AB &times; BH) + HC<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}</math>
+:Their sum is six and a quarter.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|388|ju7P}}מקובצם{{#annotend:ju7P}} ששה ורביע
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(AB\times BH\right)+HC^2=}}{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|388,1217|ju7P}}מקובצם{{#annotend:ju7P}} ששה ורביע
 |-
 |
-::CB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}</math>
+:Therefore, the product of CB by itself is six and a quarter.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB^2=6+\frac{1}{4}}}</math>
 |style="text-align:right;"|אם כן הכאת ח"ב על עצמו הוא ששה ורביע
 |-
 |
-::CB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6+\frac{1}{4}}=2+\frac{1}{2}}}</math>
+:Hence, line CB, which is its root, is two and a half.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB=\sqrt{6+\frac{1}{4}}=2+\frac{1}{2}}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן קו ח"ב שהוא שרשו הוא שנים וחצי
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = AB = CB + AC= <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}</math>
+:We add it to line AC, which is one and a half; the whole line AB is four and so is the root of the square.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|797|oOJx}}נקבץ עמו{{#annotend:oOJx}} קו א"ח שהוא אחד וחצי ויהיה כל קו א"ב ארבעה וככה שרש המרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB+AC=AB=x=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|נקבץ עמו קו א"ח שהוא אחד וחצי ויהיה כל קו א"ב ארבעה וככה שרש המרובע
 |-
 |
+:The square is sixteen.
 :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע ששה עשר
 |-
 |
-::constructing:
+:He said: In order to explain this matter further, we construct square CBEK on line CB.
-:*CKEB□ = CB<sup>2</sup>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CBEK=CB^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכדי {{#annot:term|225|pDC2}}לבאר ה{{#annotend:pDC2}}דבר יותר הנחנו על קו ח"ב שטח מרובע עליו חכע"ב
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכדי לבאר הדבר יותר הנחנו על קו ח"ב שטח מרובע עליו חבע"כ
 |-
 |
-::ME = KD
+:It is known that line ME is the same as line KD
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ME=KD}}</math>
 |style="text-align:right;"|והוא ידוע שקו מ"ע כמו קו כ"ד
 |-
 |
-:::AB = BD
+:Since AB is the same as BD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=BD}}</math>
 |style="text-align:right;"|בעבור כי א"ב כמו ב"ד
 |-
 |
-:::BC = KB
+:And BC is the same as KB.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC=KB}}</math>
 |style="text-align:right;"|וב"ח כמו כ"ב
 |-
 |
-:::KD = AC
+:And KD that remains is the same as AC.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KD=AC}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונשאר כ"ד כמו א"ח
 |-
 |
-:::AC = CH
+:AC is equal to CH and CH is the same as ME.
-|style="text-align:right;"|וא"ח שוה לח"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=CH=ME}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"ח שוה לח"ה וח"ה כמו מ"ע
 |-
 |
-:::CH = ME
+:Therefore, ME is the same as KD.
-|style="text-align:right;"|וח"ה כמו מ"ע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ME=KD}}</math>
-|-
-|
-::ME = KD
 |style="text-align:right;"|אם כן מ"ע כמו כ"ד
 |-
 |
-::defining:
+:We assume that MT is the same as ND.
-:*MT = ND
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MT=ND}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונשים מ"ט כמו נ"ד
 |-
 |
-::ET□ = MD□
+:So, surface ET is the same as surface MD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ET=MD}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ע"ט כמו שטח מ"ד
 |-
 |
-::constructing HK□ added to both
+:We assume that surface HK is added to both.
-|style="text-align:right;"|ונשים שטח ה"כ {{#annot:term|543|wyel}}משותף{{#annotend:wyel}}
+|style="text-align:right;"|ונשים שטח ה"כ משותף
 |-
 |
-::ET□ + HK□ = HD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:The [sum of the] two surfaces ET and HK is equal to the whole surface HD, which is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ET+HK=HD=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|ויהיה שני שטחי ע"ט ה"כ שוים לשטח ה"ד כלו שהוא ארבעה
 |-
 |
-::CT□ is a square
+:It is known that surface CT is a square.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|940|oMFC}}והוא ידוע כי{{#annotend:oMFC}} שטח ח"ט מרובע
+|style="text-align:right;"|והוא ידוע כי שטח ח"ט מרובע
 |-
 |
-:::CB = MH
+:Since line CB is the same as line MH.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB=MH}}</math>
 |style="text-align:right;"|בעבור כי קו ח"ב כמו קו <s>מ"ע</s> מ"ה
 |-
 |
-:::MT = HB = ND
+:And MT is the same as HB that is equal to ND.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MT=HB=ND}}</math>
 |style="text-align:right;"|ומ"ט כמו ה"ב השוה לנ"ד
 |-
 |
-:::HC = HT
+:And HC that remains is the same as HT.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HC=HT}}</math>
 |style="text-align:right;"|וישאר ה"ח כמו ה"ט
 |-
 |
-::CH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}</math>
+:We assumed that HC is one and a half.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HC=1+\frac{1}{2}}}</math>
 |style="text-align:right;"|וקו ה"ח הנחנוהו אחד וחצי
 |-
 |
-::CT□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{4}}}</math>
+:So, surface CT is two and a quarter.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CT=2+\frac{1}{4}}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן שטח ח"ט שנים ורביע
 |-
 |
-::CK□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}</math>
+:The whole square surface CK is six and a quarter.
-|style="text-align:right;"|וכל {{#annot:term|305|4Q6R}}שטח מרובע{{#annotend:4Q6R}} ח"כ ששה ורביע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CK=6+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכל שטח מרובע ח"כ ששה ורביע
 |-
 |
-::BC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{2}}}</math>
+:Line BC is two and a half.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC=2+\frac{1}{2}}}</math>
 |style="text-align:right;"|וקו ב"ח שנים וחצי
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = AB = BC + AC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}</math>
+:With line AC, which is one and a half, the whole line AB is four and it is the root.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> =  <math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=BC+AC=x=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|ועם קו א"ח שהוא אחד וחצי יהיה כל קו א"ב ארבעה והוא השרש
 |-
 |
+:The square is sixteen.
 :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע שש עשרה
-|-
-|There is another way for the proof of this method
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ולמופת זה האופן {{#annot:term|223|9lth}}דרך{{#annotend:9lth}} אחרת
 |-
 |
@@ Line 1,807: / Line 2,059: @@
 |-
 |
-::defining:
+:He said: There is another way for the proof of this method, which is that we assume that square ABGD is the sum of three roots and four dirham.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=x^2=3x+4}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח מרובע אבג"ד הוא המקובץ משלשה שרשי' וארבעה דרהמי
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ולמופת זה האופן דרך אחרת והוא שנניח מרובע אבג"ד הוא המקובץ משלשה שרשי' וארבעה דרהמי
 |-
 |
-:*AC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot3=1+\frac{1}{2}}}</math>
+:We assume that line AC is half [the number of] the roots, which is one and a half.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=\frac{1}{2}\sdot3=1+\frac{1}{2}}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונניח קו א"ח מקו א"ג מחצית השרשים שהוא אחד וחצי
 |-
 |
-:*drawing line CM parallel to AB
+:We draw line CM parallel to line AB.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|818|sOuN}}נוציא קו{{#annotend:sOuN}} ח"מ {{#annot:term|825|zRs4}}על נכוחות{{#annotend:zRs4}} קו א"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CM\parallel AB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא קו ח"מ {{#annot:term|825,2039|zRs4}}על נכוחות{{#annotend:zRs4}} קו א"ב
 |-
 |
-:*AM = [1½&radic;ABGD□] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}</math>
+:Therefore, surface AM is a root and a half.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sqrt{ABGD}=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}</math>
 |style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה שטח א"מ הוא שרש וחצי
 |-
 |
-:*ED = <math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}</math>
+:We assume also that line ED is one and a half.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ED=1+\frac{1}{2}}}</math>
 |style="text-align:right;"|וכן נניח קו ע"ד אחד וחצי
 |-
 |
-:*drawing line ET parallel to BD
+:We draw line ET parallel to BD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ET\parallel BD}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונוציא ע"ט על נכוחות ב"ד
 |-
 |
-:*EB□ = [1½&radic;ABGD□] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}</math>
+:Surface EB is also a root and a half.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EB=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sqrt{ABGD}=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}</math>
 |style="text-align:right;"|ושטח ע"ב גם כן הוא שרש וחצי
 |-
 |
-::AM□ + ND□ + NB□ = 3&radic;ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3x}}</math>
+:So, surface AM, surface ND, and surface NB together are as three roots.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM+ND+NB=3\sqrt{ABGD}=3x}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח א"מ ושטח נ"ד וכמו שטח נ"ב יהיו יחד כמו שלשה שרשים
 |-
 |
-::EC□ = 4 + NB□
+:Surface EC that remains is as four numbers plus surface NB.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EC=4+NB}}</math>
 |style="text-align:right;"|וישאר שטח ע"ח ארבעה מספרים וכמו שטח נ"ב
 |-
 |
-::NB□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{4}}}</math>
+:But, surface NB is two and a quarter.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{NB=2+\frac{1}{4}}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל שטח נ"ב שנים ורביע
 |-
 |
-::EC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{1}{4}}}</math>
+:Therefore, surface EC is six and a quarter.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EC=6+\frac{1}{4}}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח <s>ע</s>ע"ח ששה ורביע
 |-
 |
-::EC□ is a square
+:EC is a square.
 |style="text-align:right;"|וע"ח מרובע
 |-
 |
-::GC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{1}{2}}}</math>
+:Hence, GC is two and a half.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GC=2+\frac{1}{2}}}</math>
 |style="text-align:right;"|לכן יהיה ג"ח שנים וחצי
 |-
 |
-::AC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}}}</math>
+:We assumed that AC is one and a half.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=1+\frac{1}{2}}}</math>
 |style="text-align:right;"|וקו א"ח הנחנוהו אחד וחצי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Therefore, the whole line AG is four and this is the root of the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=x=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן קו א"ג כלו ארבעה והוא שרש המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:The square is sixteen.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
 |style="text-align:right;"|והמרובע ששה עשר
 |-
-!Geometric illustration of the solution method that yields the square
+!<span style=color:Green>Geometric illustration of the solution method that yields the square</span>
-|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ו{{#annot:term|311|cqlb}}עלת ה{{#annotend:cqlb}}אופן אשר הראנו בו המרובע
+|
 |-
 |
@@ Line 1,879: / Line 2,145: @@
 |-
 |
-::defining:
+:He said: the reason of the method in which we reveal the square, is that we assume line AB is the measure of the square that is the sum of its three roots plus four dirham.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x+4}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2=3x+4}}</math>
-|style="text-align:right;"|הוא שנשים קו א"ב הוא שעור המרובע המקובץ משלשה שרשיו וארבעה דרהמי
+|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ו{{#annot:term|311|cqlb}}עלת ה{{#annotend:cqlb}}אופן אשר הראנו בו המרובע הוא שנשים קו א"ב הוא שעור המרובע המקובץ משלשה שרשיו וארבעה דרהמי
 |-
 |
-:*AG = 3&radic;AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3x}}</math>
+:AG is the measure of the three roots.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=2\sqrt{AB}=3x}}</math>
 |style="text-align:right;"|וא"ג ממנו הוא שעור השלשה השרשים
 |-
 |
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:GB that remains is the measure of the four numbers.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|וג"ב הנשאר הוא שיעור הארבעה מספרים
 |-
 |
-:We wish to know the measure of AB
+:We wish to know the measure of the whole AB according to [the units] in which GB [is measured] four.
-|style="text-align:right;"|ורצוננו להודיע שיעור א"ב כלו
+|style="text-align:right;"|ורצוננו להודיע שיעור א"ב כלו במה שבו ג"ב ארבעה
-|-
-|
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
-|style="text-align:right;"|במה שבו ג"ב ארבעה
 |-
 |
-:*constructing: AGDH□ = AG<sup>2</sup>
+:We construct square AGDH on line AG.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=AG^2}}</math>
 |style="text-align:right;"|נעשה על קו א"ג מרובע אגד"ה
 |-
 |
-::AGDH□ = 9&times;(AB &times; 1)
+:It is known from what preceded that it is as nine times the surface resulting from the product of AB by one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=9\times\left(AB\times1\right)}}</math>
 |style="text-align:right;"|והוא ידוע ממה שעבר כי הוא כמו תשעה דמיוני השטח העולה מהכאת א"ב באחד
 |-
 |
-::defining:
+:We assume that line AN consists of nine [units], of which line GB consists of four.
-:*AN = 9&times;1
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AN=9\times1}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונשים קו א"נ תשעה במה שבו קו ג"ב ארבעה
 |-
 |
-::AC□ = AH□
+:We complete surface AC; it is known from what preceded that it is equal to square AH.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=AH}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונשלים שטח א"ח והוא ידוע גם כן ממה שעבר שהוא ישוה למרובע א"ה
 |-
 |
-::subtracting AT□ shared by both
+:We subtract surface AT shared by both.
 |style="text-align:right;"|ונבדיל שטח א"ט המשותף
 |-
 |
-::DT□ = AH□ - AT□ = AC□ - AT□ = TB□
+:Surface DT remains equal to surface TB.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DT=AH-AT=AC-AT=TB}}</math>
 |style="text-align:right;"|וישאר שטח ד"ט שוה לשטח ט"ב
 |-
 |
-::KB□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{36}}</math>
+:But, it is known that surface TB is thirty-six.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{TB=36}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל שטח ט"ב ידוע שהוא שלשים ושש
 |-
 |
-:::GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Because, side GB is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|כי צלע ג"ב ארבעה
 |-
 |
-:::BC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:And side BC is nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC=9}}</math>
 |style="text-align:right;"|וצלע ב"ח תשעה
 |-
 |
-::DT□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{36}}</math>
+:Therefore, surface DT is also thirty-six.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DT=36}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן שטח ד"ט גם כן שלשים וששה
 |-
 |
-:*AN is cut into halfs on L [= L midpoint of AN]
+:We cut line AN in half at point L [= L midpoint of AN]
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|828|0PaS}}חלקנו קו א"נ לחצאין על נקודת{{#annotend:0PaS}} ל&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וחלקנו קו א"נ לחצאין על נקודת ל&#x202B;'
 |-
 |
-::ND is added to AN
+:Line ND is added to it.
 |style="text-align:right;"|וכבר נוסף עליו קו נ"ד
 |-
 |
-::LD<sup>2</sup> = (AD &times; DG) + LN<sup>2</sup>
+:So, the square of line LD is equal to the surface that is generated from the product of AD by DG plus the square of LN.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LD^2=\left(AD\times DG\right)+LN^2}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה מרובע קו ל"ד שוה לשטח העולה מהכאת א"ד בד"ג ולמרובע ל"נ
 |-
 |
-::AD &times; DN = DT□
+:But, the product of AD by DN is the same as surface DT.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD\times DN=DT}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל הכאת א"ד בד"נ כמו שטח ד"ט
 |-
 |
-:::AD = DH
+:Since AD is the same as DH.
 |style="text-align:right;"|בעבור כי א"ד כמו ד"ה
 |-
 |
-::AD &times; DN = <math>\scriptstyle{\color{blue}{36}}</math>
+:So, the size of the product of AD by DN is thirty-six.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD\times DN=36}}</math>
 |style="text-align:right;"|אם כן שטח הכאת א"ד בד"נ שלשים וששה
 |-
 |
-::LN<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{20+\frac{1}{4}}}</math>
+:The square of LN is twenty and a quarter.
-|style="text-align:right;"|ומרובע ל"נ הוא עשרים ורביע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LN^2=20+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומרובע ל"נ הוא &#x202B;<ref>301v</ref>עשרים ורביע
 |-
 |
-::(AD &times; DG) + LN<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{56+\frac{1}{4}}}</math>
+:Their sum is fifty-six and a quarter.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(AD\times DG\right)+LN^2=36+\left(20+\frac{1}{4}\right)=56+\frac{1}{4}}}</math>
 |style="text-align:right;"|ומקובצם הוא חמשים ושש ורביע
 |-
 |
-::LD = &radic;[(AD &times; DG) + LN<sup>2</sup>] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{56+\frac{1}{4}}=7+\frac{1}{2}}}</math>
+:Its root is seven and a half and so is line LD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LD=\sqrt{\left(AD\times DG\right)+LN^2}=\sqrt{56+\frac{1}{4}}=7+\frac{1}{2}}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל שרשם שבעה וחצי וככה יהיה קו ל"ד
 |-
 |
-::AD = AL + LD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)=12}}</math>
+:We add to it line AL, which is four and a half; the whole line AD is twelve.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=AL+LD=\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)=12}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונקבץ עמו קו א"ל שהוא ארבעה וחצי ויהיה קו א"ד כלו שנים עשר
 |-
 |
-::AG = AD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{12}}</math>
+:Therefore, AG, which is equal to AD, is also twelve.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=AD=12}}</math>
 |style="text-align:right;"|וא"ג השוה לא"ד יהיה אם כן שנים עשר
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math> = AB = AG + GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4+12=16}}</math>
+:We add to it line GB, which is four; the whole line AB is sixteen and so is the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=AB=AG+GB=4+12=16}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונקבץ עמו קו ג"ב שהוא ארבעה ויהיה קו א"ב כלו ששה עשר וככה המרובע
 |-
-|Q.E.D.
+|
+:Q.E.D.
 |style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
-|This chapter is completed, and with its completion, the explanation of the six types of canonical equations, their manner of use and their proofs, is completed
+|He said: This section is completed, and with its completion, the explanation we have assigned to the six categories [of canonical equations], their manner of use and their proofs, is completed
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונשלם זה החלק וב{{#annot:term|598|6cO5}}השלמו{{#annotend:6cO5}} נשלם באור {{#annot:term|702|zCnF}}הששה חלקים{{#annotend:zCnF}} אשר {{#annot:term|1004|ZupM}}יעדנו{{#annotend:ZupM}} {{#annot:term|224|tLiJ}}באורם{{#annotend:tLiJ}} באופני השתמשותם ו{{#annot:term|198|Uv5X}}המופתים עליהם{{#annotend:Uv5X}}
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונשלם זה החלק ובהשלמו נשלם באור הששה חלקים אשר יעדנו באורם באופני השתמשותם ו{{#annot:term|198,1898|Uv5X}}המופתים עליהם{{#annotend:Uv5X}}
 |-
-|Many of the algebraists [lit. the writers of "al-jabber and al-muqabala"]necessarily demonstrated to you some of them.
+|Many of the algebraists [lit. the writers of "al-jabber and al-muqabala"] necessarily demonstrated to you some of them.
-|style="text-align:right;"|והרבה מ{{#annot:term|781|fi12}}סופרים אלגבר ואלמקאבלא{{#annotend:fi12}} לא יתכן שלא ייראוך קצת מהם
+|style="text-align:right;"|והרבה מ{{#annot:term|781|fi12}}סופרי<s>ם</s> אלגבר ואלמקאבלא{{#annotend:fi12}} לא יתכן שלא ייראוך קצת מהם
 |-
-|For each canonical equation of these six canonical equations there are questions of restoration [lit. cobramiento] and reduction [lit. confrontamiento = confrontation] that are taught by the arithmeticians
+|For each category of these six categories [of canonical equations] there are questions of restoration [lit. cobramiento] and confrontation [lit. confrontamiento] that the arithmeticians teach you.
-|style="text-align:right;"|ולכל חלק מאלו הששה חלקים {{#annot:term|539|nP8q}}שאלות מה{{#annotend:nP8q}}הפקדה והכוון {{#annot:term|695|bYhV}}קובראמיינטו{{#annotend:bYhV}} {{#annot:term|696|ZrCF}}איקונפרונטאמיינטו{{#annotend:ZrCF}} בלעז אשר {{#annot:term|897|zlrG}}יורוך אותם{{#annotend:zlrG}} {{#annot:term|782|L4Hk}}בעלי המספר{{#annotend:L4Hk}}
+|style="text-align:right;"|ולכל חלק מאלו הששה חלקים שאלות מההפקדה והכוון {{#annot:term|695|bYhV}}קובראמיינטו{{#annotend:bYhV}} {{#annot:term|696|ZrCF}}איקונפרונטאמיינטו{{#annotend:ZrCF}} בלעז אשר יורוך אותם {{#annot:term|782,2033|L4Hk}}בעלי המספר{{#annotend:L4Hk}}
 |-
-|Finzi: linguistic explanation of the Hebrew words he chose for the technical terms: restoration - hafqadah, from piqadon [lit. deposit] and reduction - kivvun [lit. adjusting, direction], from the language of our Sages of Blessed Memory.
+|<span style=color:Green>Linguistic explanation of the Hebrew words chosen as the technical terms:</span>
-|style="text-align:right;"|<big>אמ"פ</big> לקחתי {{#annot:term|695|6zLL}}הפקדה{{#annotend:6zLL}} מלשון פקדון ו{{#annot:term|696|7XLJ}}כוון{{#annotend:7XLJ}} מלשון כוון חשבון אשר בדברי רז"ל
+|
 |-
-|Their meaning is understood from the questions that are presented after the explanations introduced now.
+|Said Finzi: I chose hafqadah [restoration], from piqadon [lit. deposit] and kivvun [reduction lit. adjusting, direction], from the words of our Sages of Blessed Memory.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|896|ehNe}}תבין{{#annotend:ehNe}} ענינם מתוך השאלות אשר {{#annot:term|917|DRqu}}יביא{{#annotend:DRqu}} אחר {{#annot:term|924|Nt9y}}הציעו{{#annotend:Nt9y}} {{#annot:term|224|Pv7d}}המצעות{{#annotend:Pv7d}} האלו אשר {{#annot:term|1024|NhgZ}}יניח{{#annotend:NhgZ}} עתה
+|style="text-align:right;"|<big>אמ"פ</big> לקחתי {{#annot:term|695,2037|vlNP}}הפקדה{{#annotend:vlNP}} מלשון פקדון ו{{#annot:term|696,2045|O1Uz}}כוון{{#annotend:O1Uz}} מלשון כוון חשבון אשר בדברי רז"ל
+|-
+|You will understand their meaning from the questions that he presents after he introduces the following explanations now.
+|style="text-align:right;"|ותבין ענינם מתוך השאלות אשר יביא אחר הציעו המצעות האלו אשר יניח עתה
 |-
 |
-== Multiplication of Algebraic Expressions ==
+== Chapter: <span style=color:Green>Multiplication of Algebraic Expressions</span> ==
 !style="text-align:right;"|<big>פרק</big>
+|-
+|He said: I will begin first with the multipliction of things by each other; and things by numbers; and things and numbers by things and numbers; and others than those we have mentioned; and other matters that the one who wishes to read this book cannot avoid knowing.
+|style="text-align:right;"|אמ' וראשונה אתחיל מהכאת ה{{#annot:term|133,1309|EDBb}}דברים{{#annotend:EDBb}} אחד באחר והדברים במספרים והדברי' והמספרים בדברי' ובמספרים ומלבד אלו אשר אמרנו ובענינים אחרי' אשר אינו נמלט מידיעתם הרוצה לקרות בזה הספר
+|-
+|I will explain to you how the things that are the roots are multiplied by each other, when they are alone, or with numbers, whether they are subtracted from the numbers or the numbers are subtracted from them; how they are added to each other; and how one is subtracted from the other.
+|style="text-align:right;"|ואבאר לך באי זה צד יוכו הדברי' והם השרשים אחד באחד כאשר יהיו נפרדים או כאשר יהיו עם מספרים בין שיהיו נגרעים מהמספרי' בין שיהיו המספרים נגרעים מהם ובאי זה צד {{#annot:term|178,1216|b8IK}}יתקבצו אלו עם אלו{{#annotend:b8IK}} וכיצד {{#annot:term|181,1365|hqB8}}יגרע{{#annotend:hqB8}} האחד מהאחר
 |-
 |
-*things&times;things
+*He said: When the things are added to the numbers, the fourth [interim product] is additive; and the fourth [interim product] is the product of the things by each other [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|אמ' וראשונה {{#annot:term|537|1j6T}}אתחיל מ{{#annotend:1j6T}}הכאת ה{{#annot:term|133|EDBb}}דברים{{#annotend:EDBb}} אחד באחר
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+x\right)\times\left(b+x\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר יהיו הדברים {{#annot:term|178,1213|qo0g}}נוספים על{{#annotend:qo0g}} המספרים יהיה החלק הרביעי נוסף והחלק הרביעי אז הוא הכאת הדברים זה עם זה
+|-
+|For, when every two numbers are multiplied by two numbers, four multiplications are necessarily applied: each of the first two numbers is multiplied by each of the two other numbers, so there are four multiplications.
+|style="text-align:right;"|כי כל שני מספרים שיוכו בשני מספרים אי אפש' שתהיה מבלעדי בם ההכאה ארבעה {{#annot:term|243|KqmN}}פעמים{{#annotend:KqmN}} והוא שיוכו כל אחד משני המספרים הראשונים בכל אחד מהשני מספרי' האחרים ולכן תהיה {{#annot:term|156,1256|KmBA}}ההכאה{{#annotend:KmBA}} ארבעה פעמים
 |-
 |
-*things&times;numbers
+*He said: When the things are subtracted from the numbers, the fourth [interim product] is additive; it is the product of the things by each other [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|והדברים במספרים
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a-x\right)\times\left(b-x\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר היו הדברים נגרעים מהמספרי' יהיה החלק הרביעי נוסף והוא והוא הכאת הדברים האחד באחר
 |-
 |
-*(things+numbers)&times;(things+numbers)
+*When one is added and the other is subtracted, the fourth [interim product] is subtractive; it is the product of the things one by the other [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|והדברי' והמספרים בדברי' ובמספרים
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+x\right)\times\left(b-x\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר היו האחד נוסף והאחר {{#annot:term|789,1365|zWaV}}נגרע{{#annotend:zWaV}} היה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת הדברים האחד באחר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ומלבד אלו אשר אמרנו ובענינים אחרי' אשר אינו נמלט מ{{#annot:term|550|Fw4N}}ידיעתם{{#annotend:Fw4N}} {{#annot:term|391|Ou0j}}הרוצה{{#annotend:Ou0j}} {{#annot:term|985|N7IL}}לקרות ב{{#annotend:N7IL}}זה הספר
+*When the numbers are subtracted from the things, the fourth [interim product] is additive; and the fourth [interim product] is the product of one of the numbers by the other [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times b}}</math>].
-|-
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(x-a\right)\times\left(x-b\right)}}</math>
-|It will be explained how the things are multiplied by each other when they are alone, or with numbers, whether they are subtracted from the numbers or the numbers are subtracted from them;
+|style="text-align:right;"|וכאשר היו המספרי' נגרעים מהדברים יהיה החלק הרביעי {{#annot:term|788,1213|jc0t}}נוסף{{#annotend:jc0t}} והחלק הרביעי אז הוא הכאת אחד המספרי' באחר
-|style="text-align:right;"|ואבאר לך באי זה צד {{#annot:term|358|BH7f}}יוכו ה{{#annotend:BH7f}}דברי' והם השרשים אחד באחד כאשר יהיו נפרדים או כאשר יהיו עם מספרים בין שיהיו {{#annot:term|465|apbM}}נגרעים מ{{#annotend:apbM}}המספרי' בין שיהיו המספרים נגרעים מהם
-|-
-|How they are added to each other;
-|style="text-align:right;"|ובאי זה צד {{#annot:term|215|b8IK}}יתקבצו אלו עם אלו{{#annotend:b8IK}}
-|-
-|How one is subtracted from the other.
-|style="text-align:right;"|וכיצד {{#annot:term|465|hqB8}}יגרע{{#annotend:hqB8}} האחד מהאחר
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(a+x\right)\times\left(b+x\right)</math>
+*When one of the two numbers is added to the things and the other is subtracted from the things, the fourth [interim product] is subtractive; it is the product of one of the numbers by the other [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times b}}</math>].
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר יהיו הדברים {{#annot:term|179|qo0g}}נוספים על{{#annotend:qo0g}} המספרים
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(x+a\right)\times\left(x-b\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר יהיו אחד משני המספרים נוסף על הדברי' והאחר {{#annot:term|181,1365|ufK4}}נגרע מ{{#annotend:ufK4}}הדברי' אז יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת אחד משני המספרי' באחר
 |-
 |
-::the fourth [interim product] is additive:
+*When the things are added to the numbers and one number is subtracted from the things, the fourth [interim product] is subtractive; it is the product of the added things by the subtracted number [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times\left(-b\right)}}</math>].
-|style="text-align:right;"|יהיה {{#annot:term|990|GXpd}}החלק{{#annotend:GXpd}} הרביעי נוסף
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+x\right)\times\left(x-b\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר היו הדברים נוספים על המספרים והיה מספר אחד נגרע מהדברים יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת הדברים הנוספי' ב{{#annot:term|789,1365|sdZM}}מספר הנגרע{{#annotend:sdZM}}
 |-
-|
+|He said: we have already described what should be done with the fourth [interim product], since I saw that the arithmeticians start the multiplication with it.
-:*it is the product of the things by each other <math>\scriptstyle x\times x</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכבר ספרנו מה הוא הראוי עם החלק הרביעי כפי מה שראיתי שבעלי המספר מתחילי' עמו בהכאה
-|style="text-align:right;"|והחלק הרביעי אז הוא הכאת הדברים זה עם זה
 |-
-|Every two numbers that are multiplied by two numbers - necessarily involve four multiplications
+|The fourth [interim product] can be other than what we have described, yet the general rule is that the product of subtractives one by the other is additive [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(-\right)\times\left(-\right)=+}}</math>], subtractive by additive is subtractive [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(-\right)\times\left(+\right)=-}}</math>], and additive by additive is additive [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(+\right)\times\left(+\right)=+}}</math>].
-|style="text-align:right;"|כי כל שני מספרים ש{{#annot:term|358|XJ33}}יוכו ב{{#annotend:XJ33}}שני מספרים אי אפש' שתהיה מבלעדי בם ההכאה ארבעה {{#annot:term|243|KqmN}}פעמים{{#annotend:KqmN}}
+|style="text-align:right;"|ואפשר שיהיה החלק הרביעי זולת אשר ספרנו אלא כי כלל הדבר שהכאת {{#annot:term|789,2034|qchh}}הנשנים{{#annotend:qchh}} האחד באחר הוא &#x202B;<ref>302r</ref>תוספת ו{{#annot:term|789,2034|DTnp}}הנשנה{{#annotend:DTnp}} בנוסף גורע והנוסף בנוסף {{#annot:term|178,1206|rbV4}}יוסיף{{#annotend:rbV4}}
 |-
-|Each of the first two numbers is multiplied by each of the two other numbers, so there are four multiplications
+|He said: know that the result of multiplication of things by things is a square [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x\times x=x^2}}</math>]; and the result of things by numbers is things, which are roots, i.e. the thing is the root and the root is the thing; they are two names that denote the same meaning.
-|style="text-align:right;"|והוא שיוכו כל אחד משני המספרים הראשונים בכל אחד מהשני מספרי' האחרים ולכן תהיה {{#annot:term|156|KmBA}}ההכאה{{#annotend:KmBA}} ארבעה פעמים
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ודע כי מהכאת הדברים בדברים {{#annot:term|875,1575|iEjB}}יגיע{{#annotend:iEjB}} מרובע ומהדברי' במספרי' {{#annot:term|875,1566|ksmA}}יבאו{{#annotend:ksmA}} דברים והם שרשים ר"ל כי הדבר הוא השרש והשרש הוא הדבר והם שני שמות נופלים על ענין אחד
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(a-x\right)\times\left(b-x\right)</math>
+*He said: if you are told: how much is the result of multiplying one thing by ten dirham? Say: ten things.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר היו הדברים נגרעים מהמספרי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת {{#annot:term|133,1309|7shv}}דבר{{#annotend:7shv}} אחד בעשרה דרהמי תאמ' עשרה דברי&#x202B;'
 |-
 |
-::the fourth [interim product] is additive
+:The explanation is that you consider the thing as one and multiply one by ten; it is ten and they are ten things.
-|style="text-align:right;"|יהיה החלק הרביעי נוסף
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot10=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובאור זה שתשים הדבר בדמיון האחד ותכה אחד בעשרה ויהיה עשרה והם עשרה דברים
 |-
 |
-:*it is the product of the things by each other <math>\scriptstyle x\times x</math>
+*He said: if it is said: how much is the result of multiplying two things by ten dirham? Say: [twenty] things.
-|style="text-align:right;"|והוא והוא הכאת הדברים האחד באחר
+:<math>\scriptstyle{\color{red}{2x\times10=20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו כמה יבא מהכאת שני דברים בעשרה דרהמי תאמר עשרה דברים
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(a+x\right)\times\left(b-x\right)</math>
+:The explanation is that you consider two things as two numerically and multiply two by ten; they are twenty things.
-|style="text-align:right;"|וכאשר היו האחד נוסף והאחר {{#annot:term|789|zWaV}}נגרע{{#annotend:zWaV}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובאור זה שתשים שני הדברים בדמיון שנים מהמספר ותכה שנים בעשרה ויהיו עשרים דברים
+|-
+|For any given amount things, each thing is conceived as one, then the sum of units of the things is multiplied by the number of dirham and the result are things.
+|style="text-align:right;"|וכן כמה שתניח מהדברים תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה כל אחדי הדברי' במספר האדרהמי והעולה יהיה דברים
+|-
+|Since, for any number that is multiplied by a certain [algebraic] species, each unit of the species is conceived as one.
+|style="text-align:right;"|בעבור כי כל מספר מהמספרי' שיוכה במין מה מהמינים יהיה כל אחד מ{{#annot:term|287|CRDI}}אחדי ה{{#annotend:CRDI}}מין בדמיון האחד
 |-
 |
-::the fourth [interim product] is subtractive
+:If there is one thing, consider it as one.
-|style="text-align:right;"|היה החלק הרביעי נגרע
+|style="text-align:right;"|אם היה דבר אחד תשים אחד
 |-
 |
-:*it is the product of the things one by the other <math>\scriptstyle x\times x</math>
+:If there are two [things], consider them as two.
-|style="text-align:right;"|והוא הכאת הדברים האחד באחר
+|style="text-align:right;"|ואם היו שנים תשים שנים
 |-
-|
+|Also if there are squares, or whichever species you wish to multiply by numbers - the product is of that same species.
-*<math>\scriptstyle\left(x-a\right)\times\left(x-b\right)</math>
+|style="text-align:right;"|וכן אם היו מרובעים או ענין אחר אי זה שתרצה ותכהו במספרים יהיה העולה הוא מאותו המין
-|style="text-align:right;"|וכאשר היו המספרי' נגרעים מהדברים
 |-
-|
+|I will give you an illustration of this to clarify what I said to your eye.
-::the fourth [interim product] is additive
+|style="text-align:right;"|ואניח לך תמונה על זה לבאר לך לעין מה שאמרתי
-|style="text-align:right;"|יהיה החלק הרביעי {{#annot:term|788|jc0t}}נוסף{{#annotend:jc0t}}
 |-
 |
-:*it is the product of one of the numbers by the other <math>\scriptstyle a\times b</math>
+*He said: if you are told: how much is the result of multiplying a thing by a thing? Say: a square.
-|style="text-align:right;"|והחלק הרביעי אז הוא הכאת אחד המספרי' באחר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה העולה מהכאת דבר בדבר תאמ' מרובע
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(x+a\right)\times\left(x-b\right)</math>
+:The method is that you consider the thing as one and multiply it by one; it is one and it is a square.
-|style="text-align:right;"|וכאשר יהיו אחד משני המספרים {{#annot:term|179|3uzA}}נוסף על{{#annotend:3uzA}} הדברי' והאחר {{#annot:term|465|ufK4}}נגרע מ{{#annotend:ufK4}}הדברי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\times1=1\longrightarrow x\times x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואופנו שתשי' הדבר בדמיון האחד ותכהו באחד והוא אחד והוא מרובע
 |-
 |
-::the fourth [interim product] is subtractive
+*If it is said: how much is the result of multiplying two things by two things? Say: four squares as I explained to you.
-|style="text-align:right;"|אז יהיה החלק הרביעי נגרע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2x\times2x=4x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם יאמרו כמה יעלה מהכאת שני דברים בשני דברי' תאמ' ארבעה מרובעי' כמו שבארתי לך
 |-
 |
-:*it is the product of one of the numbers by the other <math>\scriptstyle a\times b</math>
+*Likewise for three things by two things.
-|style="text-align:right;"|והוא הכאת אחד משני המספרי' באחר
+:<math>\scriptstyle3x\times2x</math>
+|style="text-align:right;"|וכן שלשה דברי' בשני דברים
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\left(a+x\right)\times\left(x-b\right)</math>
+:Multiply three by two; they are six squares.
-|style="text-align:right;"|וכאשר היו הדברים נוספים על המספרים והיה מספר אחד נגרע מהדברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times2=6\longrightarrow3x\times2x=6x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|תכה שלשה בשנים ויהיו ששה מרובעים
 |-
 |
-::the fourth [interim product] is subtractive
+*Also half a thing by half a thing.
-|style="text-align:right;"|יהיה החלק הרביעי נגרע
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x</math>
+|style="text-align:right;"|וכמו כן חצי דבר בחצי דבר
 |-
 |
-:*it is the product of the added things by the subtracted number <math>\scriptstyle x\times\left(-b\right)</math>
+:The result is a quaretr of a quarter.
-|style="text-align:right;"|והוא הכאת הדברים הנוספי' ב{{#annot:term|789|sdZM}}מספר הנגרע{{#annotend:sdZM}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|יהיה העולה רביע מרובע
 |-
-|What should be done with the fourth interim product was described here, since the author saw that the arithmeticians start the multiplication with it.
+|As many things you add or subtract, each thing is conceived as a one. Multiply these units by the other units, and their product are squares.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכבר {{#annot:term|949|BM6C}}ספרנו{{#annotend:BM6C}} מה הוא הראוי עם החלק הרביעי כפי מה ש{{#annot:term|931|uH8G}}ראיתי ש{{#annotend:uH8G}}בעלי המספר {{#annot:term|537|Eleb}}מתחילי' עמו ב{{#annotend:Eleb}}הכאה
+|style="text-align:right;"|וכן כמה שתוסיף מהדברים או תגרע תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה אלו {{#annot:term|287|tOUJ}}האחדים{{#annotend:tOUJ}} באחדי' האחרי' ו{{#annot:term|876,1241|C1zj}}העולה מהם{{#annotend:C1zj}} יהיה מרובעים
 |-
-|The fourth interim product can be other than the described above, yet the general rule is that the product of subtractives one by the other is additive [(-)&times;(-) = +], subtractive by additive is subtractive [(-)&times;(+) = -], and additive by additive is additive [(+)&times;(+) = +].
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
-|style="text-align:right;"|ואפשר שיהיה החלק הרביעי זולת אשר ספרנו אלא כי כלל הדבר שהכאת {{#annot:term|789|qchh}}הנשנים{{#annotend:qchh}} האחד באחר הוא תוספת ו{{#annot:term|789|DTnp}}הנשנה{{#annotend:DTnp}} בנוסף גורע והנוסף בנוסף {{#annot:term|788|rbV4}}יוסיף{{#annotend:rbV4}}
+|
 |-
 |
-*the result of multiplication of things by things is a square <math>\scriptstyle x\times x=x^2</math>
+:He said: I will give you a geometric illustration, from which you will understand the rule of the square and the thing:
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ודע כי מהכאת הדברים בדברים {{#annot:term|875|iEjB}}יגיע{{#annotend:iEjB}} מרובע
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואשים לך על זה תמונה אשר בה תבין {{#annot:term|222|s0fi}}משפט ה{{#annotend:s0fi}}מרובע והדבר
 |-
 |
-*things by numbers are things, which are roots, i.e. the thing is a root and the root is a thing, they are two names that denote the same meaning.
+*{{#annot:2x×2x|802|AfDN}}<math>\scriptstyle2x\times2x</math>
-|style="text-align:right;"|ומהדברי' במספרי' {{#annot:term|875|ksmA}}יבאו{{#annotend:ksmA}} דברים והם שרשים ר"ל כי הדבר הוא השרש והשרש הוא הדבר והם שני שמות נופלים על ענין אחד
+|style="text-align:right;"|ונעמיד זה הענין בהכאת שני דברי' בשני דברים{{#annotend:AfDN}}
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle x\times10</math>
+:[[File:Finzi 8.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת {{#annot:term|133|7shv}}דבר{{#annotend:7shv}} אחד בעשרה דרהמי
+|[[File:פינצי 8.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}</math>
+:It is that we suppose line AG is two things.
-|style="text-align:right;"|תאמ' עשרה דברי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=2x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ג שני דברי&#x202B;'
 |-
 |
-::conceiving the thing as one: <math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot10=10}}</math>
+:Line GH is two things.
-|style="text-align:right;"|ובאור זה שתשים הדבר בדמיון האחד ותכה אחד בעשרה ו{{#annot:term|875|p8J4}}יהיה{{#annotend:p8J4}} עשרה והם עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=2x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ג"ה שני דברים
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle2x\times10</math>
+:We multiply line AG by line GH; it is surface AH.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו כמה {{#annot:term|875|b1Z7}}יבא מ{{#annotend:b1Z7}}הכאת שני דברים בעשרה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GH=AH}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכינו קו א"ג בקו ג"ה והיה שטח א"ה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{red}{2x\times10=20x}}</math>
+:We say that surface AH is four squares.
-|style="text-align:right;"|תאמר עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=4x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח א"ה ארבעה מרובעי&#x202B;'
 |-
 |
-::conceiving the two things as two: <math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10=20}}</math>
+:The proof of this is that we divide line AG by the number of things in it - its segments are AB, BG.
-|style="text-align:right;"|ובאור זה שתשים שני הדברים בדמיון שנים מהמספר ותכה שנים בעשרה ויהיו עשרים דברים
+|style="text-align:right;"|מופת זה ש{{#annot:term|820,2060|q7GH}}נחלק קו{{#annotend:q7GH}} א"ג על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו א"ב ב"ג
 |-
-|For any given amount things, each thing is conceived as one, then the sum of units of the things is multiplied by the number of dirham and the result are things.
+|
-|style="text-align:right;"|וכן כמה שתניח מהדברים תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה כל אחדי הדברי' במספר האדרהמי והעולה יהיה דברים
+:We divide also line GH by the number of things in it: its segments are GD, DH.
+|style="text-align:right;"|עוד נחלק קו ג"ה על מספר מה שבו מהדברי' ויהיו חלקיו ג"ד ד"ה
 |-
-|Since, for any number that is multiplied by a certain algebraic species, each unit of the species is conceived as one.
+|
-|style="text-align:right;"|בעבור כי כל מספר מהמספרי' שיוכה ב{{#annot:term|697|khKg}}מין מה מהמינים{{#annotend:khKg}} יהיה כל אחד מ{{#annot:term|287|CRDI}}אחדי ה{{#annotend:CRDI}}מין בדמיון האחד
+:We draw a straight line from point B to E, parallel to GH.
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ב' {{#annot:term|817,1847|yJtO}}קו ישר{{#annotend:yJtO}} על ע' {{#annot:term|825,2039|a4Jr}}על נכוחות{{#annotend:a4Jr}} קו ג"ה
 |-
 |
-:*if there is one thing it is conceived as one
+:We draw line DC from point D, parallel to AG.
-|style="text-align:right;"|אם היה דבר אחד תשים אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DC\parallel AG}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ד"ח
 |-
 |
-:*if there are two things they are conceived as two
+:Four things are generated by this in surface AH, which are surfaces: CB; BD; DE; CE; each of which is a square.
-|style="text-align:right;"|ואם היו שנים תשים שנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CB=BD=DE=CE=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה נתחדשו עם זה בשטח א"ה ארבעה דברים שוים שטחים והם שטחי ח"ב ב"ד ד"ע ח"ע וכל אחד מהם מרובע
 |-
-|Also if there are squares, or whichever species one wishes to multiply by numbers - the product is of that same species.
+|
-|style="text-align:right;"|וכן אם היו מרובעים או ענין אחר אי זה שתרצה ותכהו במספרים יהיה העולה הוא מאותו המין
+:Each of the lines AB; BG; GD; DH multiplied by the other is a square [<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>].
+|style="text-align:right;"|וכל אחד מקוי א"ב ב"ג ג"ד ד"ה מוכה באחר הוא מרובע
 |-
-|Examples:
+|This is the "rule of the square and the thing"
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|1024|t5HD}}אניח לך{{#annotend:t5HD}} תמונה על זה {{#annot:term|199|4Zbh}}לבאר לך לעין{{#annotend:4Zbh}} מה שאמרתי
+|style="text-align:right;"|וזה הוא משפט המרובע והדבר
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle x\times x</math>
+:Surface AH is four squares.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה העולה מהכאת דבר בדבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=4x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"ה ארבעה מרובעי&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|תאמ' מרובע
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
-|Conceiving the thing as one, then multiplying it by one, which is one
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\times1=1}}</math> and this is a square
+*{{#annot:3x×6|802|NmR4}}If you are told: how much is the result of multiplying three things by six dirham?
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|223|mN58}}אופנו ש{{#annotend:mN58}}תשי' הדבר בדמיון האחד ותכהו באחד והוא אחד והוא מרובע
+:<math>\scriptstyle3x\times6</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת שלשה דברי' בששה דרהמי{{#annotend:NmR4}}
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle2x\times2x</math>
+:Consider the three things as three and multiply three by six; it is eighteen and they are eighteen things.
-|style="text-align:right;"|ואם יאמרו כמה יעלה מהכאת שני דברים בשני דברי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{3x\times6=\left(3\times6\right)x=18x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תשים שלשת הדברי' בדמיון שלשה ותכה שלשה בששה ויהיה &#x202B;<ref>302v</ref>שמנה עשר והם שמנה עשר דברים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2x\times2x=4x^2}}</math>
+:[[File:Finzi 9.png|thumb|125px|left]]
-|style="text-align:right;"|תאמ' ארבעה מרובעי' כמו ש{{#annot:term|225|rX0S}}בארתי לך{{#annotend:rX0S}}
+|[[File:פינצי 9.png|thumb|125px|right]]
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle3x\times2x</math>
+:Example: we suppose line AB is six numbers.
-|style="text-align:right;"|וכן שלשה דברי' בשני דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|197,1896|ro9C}}המשל ש{{#annotend:ro9C}}נניח קו א"ב ששה מהמספרים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times2}}</math>
+:Line BD is three things.
-|style="text-align:right;"|תכה שלשה בשנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=3x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ד שלש' דברי&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{3x\times2x=6x^2}}</math>
+:We multiply line AB by BD; it is surface AD and we say that surface AD is eighteen things.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|875|3k80}}יהיו{{#annotend:3k80}} ששה מרובעים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=AB\times BD=6\times3x=18x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בב"ד והוי והיה שטח א"ד ונאמ' ששטח א"ד הוא שמנה עשר דברים
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x</math>
+:The proof of this is that we divide line AB by the units in it - the result are six segments, which are AG, GH, HW, WZ, ZC, CB.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן חצי דבר בחצי דבר
+|style="text-align:right;"|ומופת זה שנחלק קו א"ב על מה שבו מהאחדים ויצאו ששה {{#annot:term|821,1259|8rKf}}חלקים{{#annotend:8rKf}} והם א"ג ג"ה ה"ו ו"ז ז"ח ח"ב
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x^2}}</math>
+:We divide line DB by the number of things in it - its segments are BT, TK, KD.
-|style="text-align:right;"|יהיה העולה רביע מרובע
+|style="text-align:right;"|ונחלק קו ד"ב על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו ב"ט ט"כ כ"ד
-|-
-|For any amount of things added or subtracted, each thing is conceived as a one, then these units are multiplied by the other units, and their product are squares.
-|style="text-align:right;"|וכן כמה שתוסיף מהדברים או תגרע תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה אלו {{#annot:term|287|tOUJ}}האחדים{{#annotend:tOUJ}} באחדי' האחרי' ו{{#annot:term|876|C1zj}}העולה מהם{{#annotend:C1zj}} יהיה מרובעים
-|-
-!Geometric illustration of the "rule of the square and the thing"
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואשים לך על זה תמונה אשר בה תבין {{#annot:term|222|s0fi}}משפט ה{{#annotend:s0fi}}מרובע והדבר
 |-
 |
-*{{#annot:2x×2x|802|AfDN}}<math>\scriptstyle2x\times2x</math>
+:We draw lines CL, ZC, WN, HP, GE from points G, H, W, Z, C, parallel to BD.
-|style="text-align:right;"|ונעמיד זה הענין בהכאת שני דברי' בשני דברים{{#annotend:AfDN}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD\parallel CL;ZC;WN;HP;GE}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקוד' גהוז"ח קוים נכחיים לקו ב"ד והם קוי ח"ל ז"ח ו"נ ה"פ ג"ע
 |-
 |
-:[[File:Finzi 8.png|thumb|100px|left]]
+:We draw lines TQ, KS from points T, K, parallel to AB.
-|[[File:פינצי 8.png|thumb|100px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB\parallel TQ;KS}}</math>
+|style="text-align:right;"|נוציא מ{{#annot:term|833,1606|HGlB}}נקודות{{#annotend:HGlB}} ט"כ שני {{#annot:term|592,1450|1nUp}}קוים{{#annotend:1nUp}} נכחיי' לקו א"ב והם קוי ט"ק כ"ס
 |-
 |
-::defining:
+:As a result, surface AD consists of eighteen equal quadrangles, as we see in figure, each of them is equal to surface CT.
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועם זה יצאו בשטח א"ד שמנה עשר שטחים שוים כמו שנגלה בתמונה כל שטח מהם שוה לשטח ח"ט
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ג שני דברי&#x202B;'
 |-
 |
-:*GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2x}}</math>
+:But, Surface CT is generated from the product of line BT, which is a thing, by line BC. So, surface CT is a thing.
-|style="text-align:right;"|וקו ג"ה שני דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CT=BT\times BC=x\times1=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח ח"ט הוא מהכאת קו ב"ט שהוא דבר בקו ב"ח ולכן יהיה שטח ח"ט דבר
 |-
 |
-::AG &times; GH = AH□
+:The whole surface AD is eighteen things.
-|style="text-align:right;"|והכינו קו א"ג בקו ג"ה והיה שטח א"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=18x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"ד כלו יהיה שמנה עשר דברים
 |-
-|Supposition: AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4x^2}}</math>
+|This is the "rule of the multiplication of the things by numbers".
-|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח א"ה ארבעה מרובעי&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וזהו משפט הכאת הדברים במספרים
 |-
-|Proof:
+|
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|198|OVtg}}מופת זה{{#annotend:OVtg}}
+*{{#annot:(10+x)×x|802|Dvm5}}If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by one thing?
+:<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times x</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר אחד{{#annotend:Dvm5}}
 |-
 |
-::dividing line AG by the number of things in it: its segments are AB, BG
+:Say: it is ten things plus a square.
-|style="text-align:right;"|ש{{#annot:term|820|7ET0}}נחלק קו{{#annotend:7ET0}} א"ג על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו א"ב ב"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמ' שהם עשרה דברים ומרובע
 |-
 |
-::dividing line GH by the number of things in it: its segments are GD, DH
+:The procedure is that you multiply a thing by ten dirham; they are ten things.
-|style="text-align:right;"|עוד נחלק קו ג"ה על מספר מה שבו מהדברי' ויהיו חלקיו ג"ד ד"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמעשה בזה שתכה דבר בעשרה אדרהמי ויהיו עשרה דברים
 |-
 |
-::drawing a straight line from point B to E, parallel to GH
+:Multiply a thing by a thing; it is a square.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ב' {{#annot:term|817|yJtO}}קו ישר{{#annotend:yJtO}} על ע' {{#annot:term|825|a4Jr}}עד נכוחות{{#annotend:a4Jr}} קו ג"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכה דבר בדבר ויהיה מרובע
 |-
 |
-::drawing line DC from point D, parallel to AG
+:Sum them up; they are ten thing and one square.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ד"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקבצם ויהיו עשרה דברים ואלגו ומרובע אחד
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-::four things were generated by this in AH□, which are: CB□ = BD□ = DE□ = CE□
-|style="text-align:right;"|והנה {{#annot:term|919|6h7V}}נתחדשו{{#annotend:6h7V}} עם זה בשטח א"ה ארבעה דברים שוים שטחים והם שטחי ח"ב ב"ד ד"ע ח"ע
 |-
 |
-::each of which is a square: CB□ = BD□ = DE□ = CE□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:I will explain this to you by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|וכל אחד מהם מרובע
+|style="text-align:right;"|ואבאר לך בזאת התמונה
 |-
 |
-::each of the lines AB; BG; GD; DH multiplied by the other is a square <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:[[File:Finzi 10.png|thumb|125px|left]]
-|style="text-align:right;"|וכל אחד מקוי א"ב ב"ג ג"ד ד"ה מוכה באחר הוא מרובע
+|[[File:פינצי 10.png|thumb|125px|right]]
 |-
-|This is the "rule of the square and the thing"
+|
-|style="text-align:right;"|וזה הוא משפט המרובע והדבר
+:It is that we suppose line AB is ten dirham.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי
 |-
 |
-:AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4x^2}}</math>
+:Line BG is one thing.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"ה ארבעה מרובעי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ג דבר אחד
 |-
-|Q.E.D.
+|
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+:We define GD equal to BG.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=BG}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשים ג"ד שוה לב"ג
 |-
 |
-*{{#annot:3x×6|802|NmR4}}<math>\scriptstyle3x\times6</math>
+:We multiply AG by BG; the result is surface AD.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת שלשה דברי' בששה דרהמי{{#annotend:NmR4}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG\times BG=AD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה א"ג בב"ג ויצא שטח א"ד
 |-
 |
-::conceiving the three things as three <math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times6=18}}</math>
+:We say that surface AD is ten things plus one square.
-|style="text-align:right;"|תשים שלשת הדברי' בדמיון שלשה ותכה שלשה בששה ויהיה שמנה עשר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=10x+x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמר ששטח א"ד עשרה דברים ומרובע אחד
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{3x\times6=18x}}</math>
+:The proof of this is that we draw line BH from point B, parallel to GD.
-|style="text-align:right;"|והם שמנה עשר דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH\parallel GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|מופת זה שנוציא מנקודת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד
 |-
 |
-:[[File:Finzi 9.png|thumb|125px|left]]
+:So it is equal to it and also to BG that is equal to GD.
-|[[File:פינצי 9.png|thumb|125px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=GD=BG}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה שוה לו וגם לב"ג השוה לג"ד
 |-
 |
-::defining:
+:But, line BG is one thing.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=x}}</math>
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|197|ro9C}}המשל ש{{#annotend:ro9C}}נניח קו א"ב ששה מהמספרים
+|style="text-align:right;"|אבל קו ב"ג דבר אחד
 |-
 |
-:*BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3x}}</math>
+:So, line BH is one thing.
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ד שלש' דברי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ה דבר אחד
 |-
 |
-::AB &times; BD = AD□
+:Surface AH is ten things, since it is generated from the product of line AB, which is ten dirham, by line BH, which is a thing.
-|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בב"ד והוי והיה שטח א"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=10\times x=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"ה יהיה עשרה דברים מפני כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי בקו ב"ה שהוא דבר
 |-
-|Supposition: AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{18x}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח א"ד הוא שמנה עשר דברים
+:Surface BD is a square, since it is generated from the product of BG, which is a thing, by itself.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=BG^2=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ב"ד הוא מרובע כי הוא מהכאת <s>ב</s> ב"ג שהוא דבר בעצמו
 |-
-|Proof
+|
-|style="text-align:right;"|ומופת זה
+:Therefore, the whole surface AD is ten things plus a square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=10x+x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ד כלו הוא עשרה [<s>..</s>] דברים ומרובע אחד
 |-
 |
-::dividing line AB by the units in it: the result are six segments, which are AG, GH, HW, WZ, ZC, CB
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|שנחלק קו א"ב על מה שבו מהאחדים ויצאו ששה {{#annot:term|821|lI8S}}חלקים{{#annotend:lI8S}} והם א"ג ג"ה ה"ו ו"ז ז"ח ח"ב
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|780,2080|NOHI}}והוא מה שרצינו לבאר{{#annotend:NOHI}}
 |-
 |
-::dividing line DB by the number of things in it: its segments are BT, TK, KD
+*{{#annot:(10-x)×x|802|EDhK}}If you are told: how much is the product of ten dirham minus a thing by a thing?
-|style="text-align:right;"|ונחלק קו ד"ב על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו ב"ט ט"כ כ"ד
+:<math>\scriptstyle\left(10-x\right)\times x</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי {{#annot:term|879,1366|9fZc}}פחות{{#annotend:9fZc}} דבר אחד בדבר אחד{{#annotend:EDhK}}
 |-
 |
-::drawing from points G, H, W, Z, C lines CL, ZC, WN, HP, GE parallel to BD
+:Say: ten things minus one square.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקוד' גהוז"ח קוים נכחיים לקו ב"ד והם קוי ח"ל ז"ח ו"נ ה"פ ג"ע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמ' עשרה דברים פחות מרובע אחד
 |-
 |
-::drawing from points T, K lines TQ, KS parallel to AB
+:The procedure: is that you multiply ten dirham by a thing; they are ten things.
-|style="text-align:right;"|נוציא מ{{#annot:term|833|OxUL}}נקודות{{#annotend:OxUL}} ט"כ שני {{#annot:term|592|Ibzc}}קוים{{#annotend:Ibzc}} נכחיי' לקו א"ב והם קוי ט"ק כ"ס
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>from here marg.</ref>והמעשה בזה שתכה עשרה דרהמי בדבר ויהיו עשרה דברי&#x202B;'
 |-
 |
-::AD□ consists of 18 equal quadrangles each is equal to CT□
+:Multiply a thing by a thing; it is a square.
-|style="text-align:right;"|ועם זה {{#annot:term|875|Cz67}}יצאו ב{{#annotend:Cz67}}שטח א"ד שמנה עשר שטחים שוים כמו שנגלה בתמונה כל שטח מהם שוה לשטח ח"ט
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
 |-
 |
-::CT□ = BT &times; BC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times1}}</math>
+:Subtract it from ten things; [ten] things minus a square remain.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח ח"ט הוא מהכאת קו ב"ט שהוא דבר בקו ב"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|תגרעהו מעשרה הדברי' וישאר ארבעה דברים פחות מרובע
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-::CT□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ח"ט דבר
 |-
 |
-:AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{18x}}</math>
+:I will explain this by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|ושטח א"ד כלו יהיה שמנה עשר דברים
+|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
-|This is the "rule of the multiplication of the things by numbers"
+|
-|style="text-align:right;"|וזהו משפט הכאת הדברים במספרים
+:[[File:Finzi 11.png|thumb|125px|left]]
+|[[File:פינצי 11.png|thumb|125px|right]]
 |-
 |
-*{{#annot:(10+x)×x|802|jsdl}}<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times x</math>
+:It is that we suppose line AG is ten dirham.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה {{#annot:term|241|QPYN}}יהיה מהכאת{{#annotend:QPYN}} עשרה דרהמי ודבר בדבר אחד{{#annotend:jsdl}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ג הוא עשרה דרהמי
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}</math>
+:We suppose line BG is one thing.
-|style="text-align:right;"|תאמ' שהם עשרה דברים ומרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ג ממנו הוא דבר א&#x202B;'
 |-
-|The procedure
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}</math>
+:The remaining line AB is ten dirham minus a thing.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|469|ThWu}}המעשה בזה ש{{#annotend:ThWu}}תכה דבר בעשרה אדרהמי ויהיו עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10-x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר קו א"ב עשרה דרהמי פחות דבר
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+:We define line GD equal to line BG.
-|style="text-align:right;"|עוד תכה דבר בדבר ויהיה מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=BG}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשים קו ג"ד שוה לקו ב"ג
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}</math>
+:We multiply line AG by line GD; the result is surface AD.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|797|crBK}}תקבצם{{#annotend:crBK}} ויהיו עשרה דברים ואלגו ומרובע אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GD=AD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ג בקו ג"ד ויצא שטח א"ד
 |-
-!Geometric illustration
+|
-|style="text-align:right;"|ואבאר לך בזאת התמונה
+:We draw line BH from point B, parallel to GD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH\parallel GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקדת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד
 |-
 |
-:[[File:Finzi 10.png|thumb|125px|left]]
+:We say that surface AH is ten things minus a square.
-|[[File:פינצי 10.png|thumb|125px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=10x-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' כי שטח א"ה הוא עשרה דברי' פחות מרובע
 |-
 |
-::defining:
+:The proof of this is that surface AD is ten things, since it is generated from the product of line AG, which is ten, by line GD that is equal to BG, which is a thing.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=AG\times GD=AG\times BG=10\sdot x=10x}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי
+|style="text-align:right;"|מופת זה כי הנה שטח א"ד הוא עשרה דברי' בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא עשרה בקו ג"ד השוה לב"ג שהוא דבר
 |-
 |
-:*BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:Surface BD is a square, since it is generated from the product of BG, which is a thing, by line GD that is equal to it.
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ג דבר אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=BG\times GD=x\sdot x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ב"ד הוא מרובע כי הנה הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בקו ג"ד השוה אליו
 |-
 |
-:*GD = BG
+:Therefore, surface AH remains ten things minus a square, and it is generated from the product of AB, which is ten dirham minus a thing, by BH, which is a thing.
-|style="text-align:right;"|ונשים ג"ד שוה לב"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן ישאר שטח א"ה עשרה דברי' פחות מרובע והוא מהכאת א"ב שהוא עשרה דרהמי פחות דבר בב"ה שהוא דבר
 |-
 |
-:*AG &times; BG = AD□
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|ונכה א"ג בב"ג ויצא שטח א"ד
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|780,2080|hCkV}}ומש"ל{{#annotend:hCkV}}
 |-
-|Supposition: AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|275|M9ms}}נאמר ש{{#annotend:M9ms}}שטח א"ד עשרה דברים ומרובע אחד
+*{{#annot:(10+x)×(10+x)|802|e5Fz}}If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by ten dirham plus a thing?
+:<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי ודבר{{#annotend:e5Fz}}
 |-
-|Proof:
+|
-|style="text-align:right;"|מופת זה
+:Say: one hundred dirham, a square, and twenty things.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמ' מאה דרהמי ומרובע ועשרי' דברי&#x202B;'
 |-
 |
-::drawing line BH from point B, parallel to GD
+:The procedure is that we multiply ten by ten; they are a hundred dirham.
-|style="text-align:right;"|שנוציא מנקודת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמעשה<ref>end marg.</ref> בזה שנכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
 |-
 |
-::BH = GD = BG
+:Multiply also ten by a thing; they are ten things.
-|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה שוה לו וגם לב"ג השוה לג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכה עשרה בדבר ויהיו עשרה דברים
 |-
 |
-:::BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:Multiply again a thing by ten dirham; they are ten things.
-|style="text-align:right;"|אבל קו ב"ג דבר אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותשוב ותכה דבר בעשרה דרהמי ויהיו עשרה דברים
 |-
 |
-::BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:Multiply also a thing by a thing; it is a square.
-|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ה דבר אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה עוד דבר בדבר ויהיו מרובע
 |-
 |
-::AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:Sum up all; it is one hundred dirham, a square, and twenty things.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"ה יהיה עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקבץ הכל יחד ויהיה מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-:::AH□ = AB &times; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
-|style="text-align:right;"|מפני כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי בקו ב"ה שהוא דבר
 |-
 |
-::BD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:I will explain this by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|ושטח ב"ד הוא מרובע
+|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:::BD□ = BG<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+:[[File:Finzi 12 - II.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|כי הוא מהכאת ב ב"ג שהוא דבר בעצמו
+|[[File:פינצי - II 12.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-:AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}</math>
+:It is that we suppose line AB is ten dirham plus a thing.
-|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ד כלו הוא עשרה [<s>..</s>] דברים ומרובע אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10+x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
 |-
-|Q.E.D.
+|
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|780|CAkw}}והוא מה שרצינו לבאר{{#annotend:CAkw}}
+:AG is ten.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"ג ממנו עשרה
 |-
 |
-*{{#annot:(10-x)×x|802|rta6}}<math>\scriptstyle\left(10-x\right)\times x</math>
+:GB is a thing.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי {{#annot:term|879|e6ka}}פחות{{#annotend:e6ka}} דבר אחד בדבר אחד{{#annotend:rta6}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ב דבר
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}</math>
+:We suppose also that line BD is ten dirham plus a thing.
-|style="text-align:right;"|תאמ' עשרה דברים פחות מרובע אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=10+x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן נניח קו ב"ד עשרה דרהמי ודבר
 |-
-|The procedure:
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+:BH is a thing.
-|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>from here marg.</ref>והמעשה בזה שתכה עשרה דרהמי בדבר ויהיו עשרה דברי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ב"ה ממנו דבר
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+:HD is ten.
-|style="text-align:right;"|ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HD=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|וה"ד עשרה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}</math>
+:Multiply line AB by line BD; the result is surface AD.
-|style="text-align:right;"|תגרעהו מעשרה הדברי' וישאר ארבעה דברים פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB\times BD=AD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה קו א"ב בקו ב"ד ויצא שטח א"ד
 |-
-!Geometric illustration
+|
-|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
+:We say that surface AD is one hundred dirham, a square, and twenty things.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=100+x^2+20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' כי שטח א"ד מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
 |-
 |
-:[[File:Finzi 11.png|thumb|125px|left]]
+:The proof of this is that we draw line GC from point G, parallel to BD
-|[[File:פינצי 11.png|thumb|125px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GC\parallel BD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומופת זה שנוציא מנקודת ג' קו נכחי לקו ב"ד והוא קו ג"ח
 |-
 |
-::defining:
+:We draw line HZ from point H, parallel to AB.
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HZ\parallel AB}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ג הוא עשרה דרהמי
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ב
 |-
 |
-:*BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:Surface GH is a square.
-|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ג ממנו הוא דבר א&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|הנה שטח ג"ה מרובע
 |-
 |
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}</math>
+:ZC is a square.
-|style="text-align:right;"|וישאר קו א"ב עשרה דרהמי פחות דבר
+|style="text-align:right;"|וז"ח מרובע
 |-
 |
-:*GD = BG
+:Surface GZ is the same as surface HC, as Euclid has explained all this..
-|style="text-align:right;"|ונשים קו ג"ד שוה לקו ב"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GZ=HC}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ג"ז כמו שטח ה"ח כמו ש<s>א</s>באר כל זה באקלידס
 |-
 |
-:*AG &times; GD = AD□
+:But, surface ZC is one hundred, since it is generated from the product of ZT that is equal to AG, which is ten, by line TC that is equal to HD, which is also ten.
-|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ג בקו ג"ד ויצא שטח א"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZC=ZT\times TC=AG\times HD=10\sdot10=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח ז"ח מאה כי הוא הוה מהכאת <ref>303r</ref>ז"ט השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ט"ח השוה לה"ד שהוא גם כן עש<sup>ר</sup>ה
 |-
 |
-::drawing line BH from point B, parallel to GD
+:Surface ZG is ten things, since it is generated from the product of GT that is equal to BH, which is a thing, by line AG, which is ten.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקדת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZG=GT\times AG=BH\times AG=x\sdot10=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ז"ג עשרה דברים כי הנה הוא מהכאת ג"ט השוה לב"ה שהוא דבר בקו א"ג שהוא עשרה
 |-
-|Supposition: AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|ונאמ' כי שטח א"ה הוא עשרה דברי' פחות מרובע
+:Surface CH is also ten things, since it is generated from the product of TH that is equal to GB, which is a thing, by line HD, which is ten.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CH=TH\times HD=GB\times HD=x\sdot10=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ח"ה גם כן עשרה דברי' כי הוא מהכאת ט"ה השוה לג"ב שהוא דבר בקו ה"ד שהוא עשרה
 |-
-|Proof:
+|
-|style="text-align:right;"|מופת זה
+:Surface GH is a square, since it is generated from the product of line GB, which is a thing, by line BH, which is aldo a thing.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=GB\times BH=x\sdot x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ג"ה הוא מרובע כי הוא מהכאת קו ג"ב שהוא דבר בקו ב"ה שהוא גם כן דבר
 |-
 |
-::AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:The sum of the four surfaces is surface AD. Hence, surface AD is a hundred dirham, a square, and twenty things.
-|style="text-align:right;"|כי הנה שטח א"ד הוא עשרה דברי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=ZC+ZG+CH+GH=100+x^2+20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומקובץ הארבעה שטחים הוא שטח א"ד אם כן שטח א"ד הוא מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
 |-
 |
-:::AD□ = AG &times; GD = AG &times; BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot x=10x}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא עשרה בקו ג"ד השוה לב"ג שהוא דבר
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-::BD□ = BG &times; GD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+*{{#annot:(10-x)×(10-x)|802|wU5C}}If you are told: how much is the product of ten dirham minus a thing by ten dirham minus a thing?
-|style="text-align:right;"|ושטח ב"ד הוא מרובע כי הנה הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בקו ג"ד {{#annot:term|461|iSgi}}השוה אליו{{#annotend:iSgi}}
+:<math>\scriptstyle\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה אדרהמי פחות דבר בעשרה אדרהמי פחות דבר{{#annotend:wU5C}}
 |-
 |
-:AH□ = AB &times; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times x=10x-x^2}}</math>
+:Say: one hundred dirham and a square minus twenty things.
-|style="text-align:right;"|ולכן ישאר שטח א"ה עשרה דברי' פחות מרובע והוא מהכאת א"ב שהוא עשרה דרהמי פחות דבר בב"ה שהוא דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמ' מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
 |-
-|Q.E.D.
+|
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|780|BQv9}}ומש"ל{{#annotend:BQv9}}
+:Its procedure is that you multiply ten dirham by ten dirham; it is one hundred.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו שתכה עשרה דרהמי בעשרה דרהמי ויהיה מאה
 |-
 |
-*{{#annot:(10+x)×(10+x)|802|Box5}}<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)</math>
+:Multiply a subtractive thing by ten dirham; they are ten subtractive things.
-|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי ודבר{{#annotend:Box5}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times10=-10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תכה דבר נגרע בעשרה דרהמי ויהיה עשרה דברים נגרעים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}</math>
+:Multiply again ten dirham by a subtractive thing; they are also ten subtractive things.
-|style="text-align:right;"|תאמ' מאה דרהמי ומרובע ועשרי' דברי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-x\right)=-10x}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב להכות עשרה דרהמי בדבר הנגרע ויהיו גם כן עשרה דברים נגרעים
-|The procedure:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}</math>
-|style="text-align:right;"|והמעשה<ref>end marg.</ref> בזה שנכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+:Multiply a subtractive thing by a subtractive thing; it is an additive square.
-|style="text-align:right;"|עוד תכה עשרה בדבר ויהיו עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times\left(-x\right)=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה דבר נגרע בדבר נגרע ויהיה מרובע נוסף
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+:Sum up all; it is one hundred dirham and a square minus twenty things.
-|style="text-align:right;"|ותשוב ותכה דבר בעשרה דרהמי ויהיו עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקבץ כל זה ויהיה מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותכה עוד דבר בדבר ויהיו מרובע
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10+x\right)=100+x^2+20x}}</math>
+:I will explain this by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|ותקבץ הכל יחד ויהיה מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
-|-
-!Geometric illustration
 |style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 12 - II.png|thumb|100px|left]]
+:[[File:Finzi 13 - II.png|thumb|100px|left]]
-|[[File:פינצי - II 12.png|thumb|100px|right]]
+|[[File:פינצי  - II13.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::defining:
+:It is that we suppose line AG is ten dirham.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
+|style="text-align:right;"|והוא שנשים קו א"ג עשרה דרהמי
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:We subtract a thing, which is line BG, from it; AB remains ten minus a thing.
-|style="text-align:right;"|וא"ג ממנו עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=AG-BG=10-x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|181,1364|47pj}}נפחות ממנו{{#annotend:47pj}} דבר והוא קו ב"ג וישאר א"ב עשרה פחות דבר
 |-
 |
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:We also define line GD as ten.
-|style="text-align:right;"|וג"ב דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן נשים קו ג"ד עשרה
 |-
 |
-:*BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}</math>
+:GH is a thing.
-|style="text-align:right;"|וכן נניח קו ב"ד עשרה דרהמי ודבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ה ממנו הוא דבר
 |-
 |
-:*BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:We multiply line AB by line HD; the result is the square ZC.
-|style="text-align:right;"|ב"ה ממנו דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZC=AB\times HD=\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בקו ה"ד ויעלה מרובע ז"ח
 |-
 |
-:*HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:We say that surface ZC is one hundred dirham and a square minus twenty things.
-|style="text-align:right;"|וה"ד עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZC=100+x^2-20x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' שמרובע ז"ח מאה אדרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
 |-
 |
-:*AB &times; BD = AD□
+:The proof of this is that we complete surface AD.
-|style="text-align:right;"|ותכה קו א"ב בקו ב"ד ויצא שטח א"ד
+|style="text-align:right;"|מופת זה שנשלים שטח א"ד
 |-
-|Supposition: AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2+20x}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|ונאמ' כי שטח א"ד מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
+:We draw line BC from point B, parallel to line BD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC\parallel BD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקוד' ב' קו ב"ח נכחי לקו ב"ד
 |-
-|Proof:
+|
-|style="text-align:right;"|ומופת זה
+:We draw line HZ from point H, parallel to line AG.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HZ\parallel AG}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ג
 |-
 |
-::drawing line GC from point G, parallel to BD
+:Surface AD is one hundred.
-|style="text-align:right;"|שנוציא מנקודת ג' קו נכחי לקו ב"ד והוא קו ג"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כי שטח א"ד מאה
 |-
 |
-::drawing line HZ from point H, parallel to AB
+:Since AG is ten.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ג עשרה
 |-
 |
-::GH□ is a square
+:And GD is ten
-|style="text-align:right;"|הנה שטח ג"ה מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ד עשרה
 |-
 |
-::ZC□ is a square
+:Surface ZG is ten things
-|style="text-align:right;"|וז"ח מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZG=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ז"ג עשרה דברים
 |-
 |
-::GZ□ = HC□
+:Since AG is ten.
-|style="text-align:right;"|ושטח ג"ז כמו שטח ה"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ג עשרה
 |-
 |
-:::according to Euclid
+:And GH is a thing.
-|style="text-align:right;"|כמו שאבאר כל זה באקלידס
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ה הוא דבר
 |-
 |
-::ZC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:Surface BD is also ten things.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח ז"ח מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן שטח ב"ד עשרה דברים
 |-
 |
-:::ZC□ = ZT &times; TC = AG &times; HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}</math>
+:Since GD is ten.
-|style="text-align:right;"|כי הוא {{#annot:term|919|1BtD}}הוה מ{{#annotend:1BtD}}הכאת ז"ט השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ט"ח השוה לה"ד שהוא גם כן עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי ג"ד עשרה
 |-
 |
-::ZG□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:And GB is a thing.
-|style="text-align:right;"|ושטח ז"ג עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ב הוא דבר
 |-
 |
-:::ZG□ = GT &times; AG = BH &times; AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}</math>
+:Surface BH is a square, since it is generated from the product of BG, which is a thing, by GH, which is also a thing.
-|style="text-align:right;"|כי הנה הוא מהכאת ג"ט השוה לב"ה שהוא דבר בקו א"ג שהוא עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=BG\times GH=x\sdot x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ב"ה הוא מרובע כי הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בג"ה שהוא גם כן דבר
 |-
 |
-::CH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:Surface HC remains ten things minus a square.
-|style="text-align:right;"|ושטח ח"ה גם כן עשרה דברי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HC=10x-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר שטח ה"ח עשרה דברים פחות מרובע
 |-
 |
-:::CH□ = TH &times; HD = GB &times; HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}</math>
+:Surface AH is ten things.
-|style="text-align:right;"|כי הוא מהכאת ט"ה השוה לג"ב שהוא דבר בקו ה"ד שהוא עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"ה עשרה דברים
 |-
 |
-::GH□ = GB &times; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:Their sum is twenty things minus a square.
-|style="text-align:right;"|ושטח ג"ה הוא מרובע כי הוא מהכאת קו ג"ב שהוא דבר בקו ב"ה שהוא גם כן דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HC+AH=20x-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומקובצם עשרים דברים פחות מרובע
 |-
 |
-:AD□ = the sum of the four surfaces = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2+20x}}</math>
+:When we subtract surface AH and surface HC from surface AD, which is a hundred, surface ZC remains a hundred dirham and a square minus twenty things.
-|style="text-align:right;"|ומקובץ הארבעה שטחים הוא שטח א"ד אם כן שטח א"ד הוא מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZC=AD-\left(AH+HC\right)=100+x^2-20x}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|וכשנגרעם שטח א"ה ושטח ה"ח משטח א"ד שהוא מאה ישאר שטח ז"ח מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
-|Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-*{{#annot:(10-x)×(10-x)|802|KBZg}}<math>\scriptstyle\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)</math>
+*{{#annot:(10+x)×(10-x)|802|FNrC}}If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by ten dirham minus a thing?
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה אדרהמי פחות דבר בעשרה אדרהמי פחות דבר{{#annotend:KBZg}}
+:<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי פחות דבר{{#annotend:FNrC}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}</math>
+:Say: one hundred dirham minus a square.
-|style="text-align:right;"|תאמ' מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|תאמ' מאה דרהמי פחות מרובע
-|The procedure:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}</math>
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|469|fD7P}}אופן מעשהו ש{{#annotend:fD7P}}תכה עשרה דרהמי בעשרה דרהמי ויהיה מאה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times10=-10x}}</math>
+:Its procedure is that you multiply ten by ten; they are a hundred dirham.
-|style="text-align:right;"|תכה דבר נגרע בעשרה דרהמי ויהיה עשרה דברים נגרעים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו שתכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-x\right)=-10x}}</math>
+:Multiply the additive thing by ten; they are ten additive things.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|1006|RePy}}עוד תשוב{{#annotend:RePy}} {{#annot:term|185|6Hgt}}להכות{{#annotend:6Hgt}} עשרה דרהמי בדבר הנגרע ויהיו גם כן עשרה דברים נגרעים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה הדבר הנוסף בעשרה ויהיו עשרה דברים נוספי&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(-x\right)\times\left(-x\right)=x^2}}</math>
+:Multiply the subtractive thing by ten; they are ten subtractive things.
-|style="text-align:right;"|ותכה דבר נגרע בדבר נגרע ויהיה מרובע נוסף
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{-x\times10=-10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה הדבר {{#annot:term|789,2031|sJWW}}הגורע{{#annotend:sJWW}} בעשרה ויהיו עשרה דברים נגרעים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)=100+x^2-20x}}</math>
+:Throw the additives for the subtractives; one hundred dirham remain.
-|style="text-align:right;"|ותקבץ כל זה ויהיה מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(10x-10x\right)=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותוציא {{#annot:term|788,1213|nzAv}}הנוספים{{#annotend:nzAv}} כנגד הנגרעים וישארו מאה דרהמי
 |-
-!Geometric illustration
+|
-|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
+:Multiply the additive thing by the subtractive thing; it is a subtractive square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-x\right)=-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכה הדבר הנוסף בדבר הגורע ויהיה מרובע נגרע
 |-
 |
-:[[File:Finzi 13 - II.png|thumb|100px|left]]
+:Subtract it from the one hundred dirham; one hundred dirham minus a square remain.
-|[[File:פינצי  - II13.png|thumb|100px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותגרעהו מהמאה דרהמי וישארו מאה פחות מרובע
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-::defining:
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנשים קו א"ג עשרה דרהמי
 |-
 |
-:*AB = AG - BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}</math>
+:I will explain this to you by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|181|fyL3}}נפחות ממנו{{#annotend:fyL3}} דבר והוא קו ב"ג וישאר א"ב עשרה פחות דבר
+|style="text-align:right;"|ואבאר לך זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:*GD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:[[File:Finzi 14 - II.png|thumb|125px|left]]
-|style="text-align:right;"|וכן נשים קו ג"ד עשרה
+|[[File:פינצי - II 14.png|thumb|125px|right]]
 |-
 |
-:*GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:It is that we suppose line AB is ten plus a thing.
-|style="text-align:right;"|וג"ה ממנו הוא דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10+x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה ודבר
 |-
 |
-:*ZC□ = AB &times; HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\times\left(10-x\right)}}</math>
+:AG is ten.
-|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בקו ה"ד ויעלה מרובע ז"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>303v</ref>א"ג עשרה
-|Supposition: ZC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2-20x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונאמ' שמרובע ז"ח מאה אדרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
-|-
-|Proof:
-|style="text-align:right;"|מופת זה
 |-
 |
-::completing AD□
+:GB is a thing.
-|style="text-align:right;"|שנשלים שטח א"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ב דבר
 |-
 |
-::drawing line BC from point B, parallel to BD
+:We suppose line BH is ten minus a thing.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקוד' ב' קו ב"ח נכחי לקו ב"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=10-x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ה עשרה פחות דבר
 |-
 |
-::drawing line HZ from point H, parallel to AG
+:We attach line HD, which is a thing, to it; the whole line BD is ten dirham.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=BH+HD=\left(10-x\right)+x=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|2052,2049|iJG4}}נדביק{{#annotend:iJG4}} עמו קו ה"ד הוא דבר ויהיה קו ב"ד כלו עשרה דרהמי
 |-
 |
-::AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:We multiply line AB, which is ten dirham plus a thing, by line BH, which is ten minus a thing; it is surface AH.
-|style="text-align:right;"|הנה כי שטח א"ד מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=\left(10+x\right)\sdot\left(10-x\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב שהוא עשרה ד<sup>ר</sup>ה<s>מ</s>מי ודבר בקו ב"ה שהוא עשרה פחות דבר ויהיה שטח א"ה
 |-
 |
-:::AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:We say that surface AH is one hundred dirham minus a square.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ג עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=100-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמר ששטח א"ה הוא מאה דרהמי פחות מרובע
 |-
 |
-:::GD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:The proof of this is that we complete surface AD; it is a hundred dirham plus ten things.
-|style="text-align:right;"|וג"ד עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=100+10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומופת זה שנשלם שטח א"ד והנה הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
 |-
 |
-::ZG□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:Since surface AC is a hundred, because it is generated from the multiplication of AG, which is ten, by line GC, which is also ten, as it is equal to BD we have assumed to be ten.
-|style="text-align:right;"|ושטח ז"ג עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=AG\times GC=AG\times BD=10\times10=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי שטח א"ח ממנו הוא מאה כי הנה הוא מהכאת א"ג שהוא עשרה בג"ח שהוא גם כן עשרה כי הוא שוה לב"ד שהנחנוהו עשרה
 |-
 |
-:::AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:The remaining surface GD is ten things, because it is generated from the multiplication of GD, which is a thing, by BD, which is ten.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי א"ג עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=GD\times BD=x\sdot10=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ג"ד הנשאר הוא עשרה דברי' כי הנה הוא מהכאת ג"ד <s>כי</s> <sup>ש</sup>הוא דבר בב"ד שהוא עשרה
 |-
 |
-:::GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:So, the whole surface AD is one hundred dirham plus ten things.
-|style="text-align:right;"|וג"ה הוא דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=100+10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כי כל שטח א"ד הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
 |-
 |
-:::BD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:It is easily explained to one who understands that surface ZC is the same as surface CB.
-|style="text-align:right;"|וכן שטח ב"ד עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZC=CB}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא מבואר בנקלה למבין כי שטח ז"ח כמו שטח ח"ב
 |-
 |
-:::GD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:We subtract the square surface MD from surface ZC; it is surface MB.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי ג"ד עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MB=ZC-MD}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ונבדיל משטח ז"ח כמו שטח מ"ד המרובע והוא שטח מ"[ב&#x202B;]
+|-
 |
-::GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:Hence, surface KD is two squares.
-|style="text-align:right;"|וג"ב הוא דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KD=2x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה שטח כ"ד שנים מרובעי&#x202B;'
 |-
 |
-::BH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:The remaining surface ZT is the same as surface MB.
-|style="text-align:right;"|ושטח ב"ה הוא מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZT=MB}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר שטח ז"ט כמו שטח מ"ב
 |-
 |
-:::BH□ = BG &times; GH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:We construct surface AM shared by both.
-|style="text-align:right;"|כי הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בג"ה שהוא גם כן דבר
+|style="text-align:right;"|ונשים שטח א"מ משותף
 |-
 |
-::HC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2}}</math>
+:Surface AM plus surface MB, which are the whole surface AH, are equal to surfaces AM and ZT.
-|style="text-align:right;"|וישאר שטח ה"ח עשרה דברים פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=AM+MB=AM+ZT}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"מ ושטח מ"ב יחד והוא כל שטח א"ה יהיה שוה לשטחי א"מ ז"ט
 |-
 |
-::AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:But, you see that the two surfaces AM and ZT are one hundred dirham minus a square.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"ה עשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM+ZT=100-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שני שטחי א"מ ז"ט אתה רואה כי הם מאה דרהמי פחות מרובע
 |-
 |
-::HC□ + AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{20x-x^2}}</math>
+:Since the subtractive surface MT is a square.
-|style="text-align:right;"|ומקובצם עשרים דברים פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MT=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי שטח מ"ט {{#annot:term|789,2030|8MgA}}הנחסר{{#annotend:8MgA}} הוא מרובע
 |-
 |
-:ZC□ = AD□ - (AH□ + HD□) = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100+x^2-20x}}</math>
+:Therefore, surface AH is one hundred dirham minus a square.
-|style="text-align:right;"|וכשנגרעם שטח א"ה ושטח ה"ח משטח א"ד שהוא מאה ישאר שטח ז"ח מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=100-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ה יהיה מאה דרהמי פחות מרובע
 |-
 |
-*{{#annot:(10+x)×(10-x)|802|ngrl}}<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי פחות דבר{{#annotend:ngrl}}
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}</math>
+*{{#annot:(10+x)×(x-10)|802|Ga64}}If you are told: how much is the product of ten dirham plus a thing by a thing minus ten dirham?
-|style="text-align:right;"|תאמ' מאה דרהמי פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה העולה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר פחות עשרה דרהמי{{#annotend:Ga64}}
 |-
-|The procedure:
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}</math>
+:Say: a square minus a hundred dirham.
-|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו שתכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמ' מרובע פחות מאה דרהמי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times10=10x}}</math>
+:Its procedure is that we multiply ten by the thing that is minus ten; they are ten additive things.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|185|BAVJ}}תכה ה{{#annotend:BAVJ}}דבר הנוסף בעשרה ויהיו עשרה דברים נוספי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו הוא שנכה עשרה בדבר {{#annot:term|789,2032|tzGj}}הפוחת{{#annotend:tzGj}} עשרה ויהיו עשרה דברים נוספים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{-x\times10=-10x}}</math>
+:Multiply again the ten by the subtractive ten; they are a hundred subtractive dirham.
-|style="text-align:right;"|ותכה הדבר {{#annot:term|789|eTLq}}הגורע{{#annotend:eTLq}} בעשרה ויהיו עשרה דברים נגרעים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-10\right)=-100}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכה עשרה בעשרה {{#annot:term|789,2032|Slaq}}הפוחתים{{#annotend:Slaq}} ויהיו מאה דרהמי {{#annot:term|789,2031|XaSa}}גורעי&#x202B;'{{#annotend:XaSa}}
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(10x-10x\right)=100}}</math>
+:Multiply a thing by a thing; it is a square.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|1012|WdDo}}תוציא{{#annotend:WdDo}} {{#annot:term|788|iWOE}}הנוספים{{#annotend:iWOE}} כנגד הנגרעים וישארו מאה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-x\right)=-x^2}}</math>
+:Multiply also a thing by subtractive ten; they are ten subtractive things.
-|style="text-align:right;"|עוד תכה הדבר הנוסף בדבר הגורע ויהיה מרובע נגרע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-10\right)=-10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכה דבר בעשרה הפוחתים ויהיו עשרה דברי' נגרעים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(10-x\right)=100-x^2}}</math>
+:Throw the ten additive things for the ten subtractive things.
-|style="text-align:right;"|ותגרעהו מהמאה דרהמי וישארו מאה פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10x-10x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|181,1265|Ygi3}}תשליך{{#annotend:Ygi3}} העשרה דברי' נוספי' כנגד העשרה הדברים {{#annot:term|789,1365|n1Lf}}הנגרעים{{#annotend:n1Lf}}
 |-
-!Geometric illustration
+|
-|style="text-align:right;"|ואבאר לך זה בזאת התמונה
+:The remaining product is a square minus a hundred dirham.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר {{#annot:term|241,1217|sb1O}}המקובץ מההכאה{{#annotend:sb1O}} מרובע פחות מאה דרהמי
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-:[[File:Finzi 14 - II.png|thumb|125px|left]]
-|[[File:פינצי - II 14.png|thumb|125px|right]]
 |-
 |
-::defining:
+:I will explain this by this geometric illustration:
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה ודבר
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:[[File:Finzi 15.png|thumb|125px|left]]
-|style="text-align:right;"|א"ג עשרה
+|[[File:פינצי 15.png|thumb|125px|right]]
 |-
 |
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+:It is that we suppose line AB is ten dirham plus a thing.
-|style="text-align:right;"|וג"ב דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10+x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנשים קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
 |-
 |
-:*BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10-x}}</math>
+:AG is ten.
-|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ה עשרה פחות דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"ג הוא עשרה
 |-
 |
-:*BD = BH + HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)+x=10}}</math>
+:GB is a thing.
-|style="text-align:right;"|ונדביק עמו קו ה"ד הוא דבר ויהיה קו ב"ד כלו עשרה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וג"ב דבר
 |-
 |
-::AH□ = AB &times; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\sdot\left(10-x\right)}}</math>
+:We suppose line BH is a thing minus ten.
-|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב שהוא עשרה דרהממי ודבר בקו ב"ה שהוא עשרה פחות דבר ויהיה שטח א"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BH=x-10}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ה דבר פחות עשרה
-|Supposition: AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונאמר ששטח א"ה הוא מאה דרהמי פחות מרובע
-|-
-|Proof:
-|style="text-align:right;"|ומופת זה
 |-
 |
-::AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100+10x}}</math>
+:We add HD, which is ten, to it.
-|style="text-align:right;"|שנשלם שטח א"ד והנה הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HD=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוסיף בו ה"ד שהוא עשרה
 |-
 |
-:::AC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:We multiply line AB by line BH; it is surface AH.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי שטח א"ח ממנו הוא מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=AB\times BH=\left(10+x\right)\sdot\left(x-10\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בקו ב"ה ויהיה שטח א"ה
 |-
 |
-::::AC□ = AG &times; GC = AG &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}</math>
+:We say that surface AH is a square minus one hundred dirham.
-|style="text-align:right;"|כי הנה הוא מהכאת א"ג שהוא עשרה בג"ח שהוא גם כן עשרה כי הוא שוה לב"ד שהנחנוהו עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=x^2-100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח א"ה הוא מרובע פחות מאה דרהמי
 |-
 |
-:::GD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x}}</math>
+:The proof of this is that we complete surface AD: surface AD is ten things plus a square, since it is generated from the multiplication of line AB, which is ten dirham plus a thing by line BD, which is a thing.
-|style="text-align:right;"|ושטח ג"ד הנשאר הוא עשרה דברי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=AB\times BD=\left(10+x\right)\times x=10x+x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|מופת זה שנשלים שטח א"ד ויהיה שטח א"ד עשרה דברים ומרובע בעבור כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי ודבר בקו ב"ד שהוא דבר
 |-
 |
-::::GD□ = GD &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}</math>
+:We draw line GC parallel to BD.
-|style="text-align:right;"|כי הנה הוא מהכאת ג"ד כי שהוא דבר בב"ד שהוא עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GC\parallel BD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא קו ג"ח נכחי לקו ב"ד
 |-
 |
-::AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100+10x}}</math>
+:Surafce GD is a square, since it is generated from the multiplication of GB, which is a thing by BD, which is also a thing.
-|style="text-align:right;"|הנה כי כל שטח א"ד הוא מאה דרהמי ועשרה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=GB\times BD=x\sdot x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה יהיה שטח ג"ד מרובע כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא גם כן דבר
 |-
 |
-::ZC□ = CB□
+:Surface AC is the same as surface CH.
-|style="text-align:right;"|והוא מבואר בנקלה למבין כי שטח ז"ח כמו שטח ח"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=CH}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"ח כמו שטח ח"ה
 |-
 |
-::MB□ = ZC□ - MD□
+:Since line CG is the same as line CD.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|837|CvDl}}נבדיל מ{{#annotend:CvDl}}שטח ז"ח כמו שטח מ"ד המרובע והוא שטח מ"[ב&#x202B;]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CG=CD}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ח"ג כמו קו ח"ד
 |-
 |
-::KD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+2x^2}}</math>
+:And line AG is the same as line HD.
-|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה שטח כ"ד שנים מרובעי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=HD}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו א"ג כמו קו ה"ד
 |-
 |
-::ZT□ = MB□
+:We subtract surface CH from square GD and join surface AC that is equal to it; surface GH that remains from square GD, plus surface AC are together the same as square GD.
-|style="text-align:right;"|וישאר שטח ז"ט כמו שטח מ"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=\left(GD-CH\right)+AC=GH+AC=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונבדיל שטח ח"ה ממרובע ג"ד ו{{#annot:term|2052,2046|LFhk}}נשתף עמו{{#annotend:LFhk}} שטח א"ח השוה לו ויהיה שטח ג"ה {{#annot:term|184,1236|yZVt}}הנשאר מ{{#annotend:yZVt}}מרובע ג"ד ושטח א"ח יחד כמו מרובע ג"ד
 |-
 |
-::constructing AM□ added to both
+:We subtract from it surface KC, which is one hundred dirham, since it is generated from the multiplication of line KL that is equal to AG, which is ten, by line LC that is equal to [H]D, which is also ten.
-|style="text-align:right;"|ונשים שטח א"מ משותף
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KC=KL\times LC=AG\times HD=10\times10=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונבדיל מזה שטח כ"ח שהוא מאה דרהמי בעבור כי הוא מהכאת קו כ"ל השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ל"ח השוה לא"ד שהוא &#x202B;<ref>304r</ref>גם כן עשרה
 |-
 |
-::AH□ = AM□ + MB□ = AM□ + ZT□
+:The remaining surface AH is a square minus one hundred dirham.
-|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"מ ושטח מ"ב יחד והוא כל שטח א"ה יהיה שוה לשטחי א"מ ז"ט
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=\left(GH+AC\right)-KC=x^2-100}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר שטח א"ה מרובע פחות מאה דרהמי
 |-
 |
-::AM□ + ZT□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|אבל שני שטחי א"מ ז"ט אתה {{#annot:term|931|sI0U}}רואה כי{{#annotend:sI0U}} הם מאה דרהמי פחות מרובע
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-:::the subtractive MT□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+*{{#annot:(10+⅔x)×(3-6x)|802|VDLn}}He said: if you are told: how much is the product of ten dirham and two-thirds of a thing by three dirham minus six things?
-|style="text-align:right;"|בעבור כי שטח מ"ט {{#annot:term|789|RgyH}}הנחסר{{#annotend:RgyH}} הוא מרובע
+:<math>\scriptstyle\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ושני שלישי דבר על שלשה דרהמי פחות ששה דברים{{#annotend:VDLn}}
 |-
 |
-:AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100-x^2}}</math>
+:Say: thirty dirham minus four squares minus fifty-eight things.
-|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ה יהיה מאה דרהמי פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|תאמר שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעים ופחות חמשים ושמנה דברים
-|Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-*{{#annot:(10+x)×(x-10)|802|4R77}}<math>\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)</math>
+:Its procedure is that you multiply ten dirham by three; they are thirty.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה העולה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר פחות עשרה דרהמי{{#annotend:4R77}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times3=30}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו הוא שתכה עשרה דרהמי בשלשה ויהיו שלשים דרהמי
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}</math>
+:Multiply two-thirds of a thing by three dirham; they are two additive things.
-|style="text-align:right;"|תאמ' מרובע פחות מאה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times3=2x}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ותכה שני שלישי דבר בשלשה דרהמי ויהיו שני דברים נוספים
-|The procedure:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times x=10x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו הוא שנכה עשרה בדבר {{#annot:term|789|56n0}}הפוחת{{#annotend:56n0}} עשרה ויהיו עשרה דברים נוספים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-10\right)=-100}}</math>
+:Multiply also ten dirham by six subtractive things; they are sixty subtractive things.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|1006|Fm42}}עוד תשוב ו{{#annotend:Fm42}}תכה עשרה בעשרה {{#annot:term|789|NWRu}}הפוחתים{{#annotend:NWRu}} ויהיו מאה דרהמי {{#annot:term|789|wib0}}גורעי&#x202B;'{{#annotend:wib0}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-6x\right)=-60x}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכה עשרה אדרהמי בששה דברי' הפוחתים ויהיו ששים דברים נגרעים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times x=x^2}}</math>
+:Multiply two-thirds of a thing by six subtractive things; they are four subtractive squares.
-|style="text-align:right;"|ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times\left(-6x\right)=-4x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה שני שלישי דבר בששה דברים הפוחתים ויהיו ארבעה דברים נגרעים מרובעים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\times\left(-10\right)=-10x}}</math>
+:The multiplication is completed and we turn to sum [the interim products].
-|style="text-align:right;"|עוד תכה דבר בעשרה הפוחתים ויהיו עשרה דברי' נגרעים
+|style="text-align:right;"|ונשלמה ההכאה ונבא לקבצם
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10x-10x}}</math>
+:We subtract the two additive things from the sixty subtractive things; fifty-eight remain.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|181|znBP}}תשליך{{#annotend:znBP}} העשרה דברי' נוספי' כנגד העשרה הדברים {{#annot:term|789|HZqw}}הנגרעים{{#annotend:HZqw}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{60x-2x=58x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה {{#annot:term|181,1251|h4dm}}נפיל{{#annotend:h4dm}} שני הדברים הנוספים מהששים דברי' הנגרעי' וישארו שמנה וחמשי&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)=x^2-100}}</math>
+:The total sum then is thirty dirham minus four squares minus fifty-eight things.
-|style="text-align:right;"|וישאר {{#annot:term|241|6xTW}}המקובץ מההכאה{{#annotend:6xTW}} מרובע פחות מאה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה מקובץ הכל אחר זה שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעי' ופחות שמנה וחמשי' דברים
 |-
-!Geometric illustration
+|What I have explained to you of the multiplication of things and numbers is enough for you, and from it you can learn the answer for all the questions presented to you in this section.
-|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ודי לך במה שבארתי מ{{#annot:term|156,1230|Q6eQ}}כפל ה{{#annotend:Q6eQ}}דברים והמספרים וממנו תוכל להתחכם בתשובת כל השאלות אשר יגיעו לפניך מזה השער
 |-
 |
-:[[File:Finzi 15.png|thumb|125px|left]]
-|[[File:פינצי 15.png|thumb|125px|right]]
+== <span style=color:Green>Roots</span> ==
-|-
 |
-::defining:
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10+x}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנשים קו א"ב עשרה דרהמי ודבר
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
-|style="text-align:right;"|א"ג הוא עשרה
+=== Chapter: <span style=color:Green>Multiplication of Roots by Numbers</span> ===
+|style="text-align:right;"|<big>פרק</big>
 |-
-|
+|The doubling of the root of a known number or of an unknown square will be explained in it.
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
+|style="text-align:right;"|יתבאר בו {{#annot:term|159,1229|h7Ad}}הכפלת{{#annotend:h7Ad}} שרש ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע זה
-|style="text-align:right;"|וג"ב דבר
 |-
-|
+|By doubling I mean taking its two roots
-:*BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x-10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ורצוני ב{{#annot:term|159,1229|FDYc}}הכפלה{{#annotend:FDYc}} הנה לקיחת שני שרשיו
-|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ה דבר פחות עשרה
 |-
-|
+|He said: when you wish to know two roots of a known number or of an unknown square - the root of which number or square are they?
-:*HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר תרצה לדעת שני שרשים ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע לאי זה מספר אחר או מרובע אחר הם שרש
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|178|YpDx}}נוסיף בו{{#annotend:YpDx}} ה"ד שהוא עשרה
 |-
-|
+|Consider the two roots as two and multiply two by two, then multiply the product by the known number, or by the unknown square; they are a root of the number resulting.
-::AH□ = AB &times; BH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+x\right)\sdot\left(x-10\right)}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot a}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בקו ב"ה ויהיה שטח א"ה
+|style="text-align:right;"|תניח השני שרשים בדמיון שנים ותכה שנים על שנים והעולה תכהו במספר הידוע או במרובע הבלתי ידוע והעולה הוא המספר שהם שרש אליו
 |-
-|Supposition: AH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2-100}}</math>
+|If you want three roots, multiply three by three, then multiply the product by the known number, or by the unknown square; the three roots are a root of the resulting number.
-|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח א"ה הוא מרובע פחות מאה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{3\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(3\sdot3\right)\sdot a}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה שלשה שרשים תכה שלשה בשלשה והעולה תכה על המספר הידוע או על המרובע בלתי ידוע ויהיו שלשת השרשים שרש למספר העולה
 |-
-|Proof
+|Likewise if you wish to halve the root:
-|style="text-align:right;"|מופת זה
+|style="text-align:right;"|וכן אם תרצה {{#annot:term|786,1369|FAc4}}לחצות ה{{#annotend:FAc4}}שרש
 |-
-|
+|Multiply half by half; it is a quarter. Multiply the quarter by the known or unknown number; half the root is a root of the resulting product.
-::AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10x+x^2}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot a}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot a}}}</math>
-|style="text-align:right;"|שנשלים שטח א"ד ויהיה שטח א"ד עשרה דברים ומרובע
+|style="text-align:right;"|תכה חצי בחצי ויהיה רביע ותכה רביע במרובע הידוע או הבלתי ידוע ויהיה העולה מההכאה הנה חצי השרש הוא שרש לו
+|-
+|And so on, as you increase or decrease the roots, do according to the procedure we specified.
+|style="text-align:right;"|וכן כל מה שתוסיף או תגרע מהשרשים תעשה על הדרך שאמרנו
 |-
 |
-:::AD□ = AB &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10x+x\right)\times x}}</math>
+*{{#annot:2×√16|737|tRoE}}He said: we give an example for this: when we wish to know the double root of sixteen.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי ודבר בקו ב"ד שהוא דבר
+:<math>\scriptstyle2\sdot\sqrt{16}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונניח {{#annot:term|197,1712|Ahnf}}דמיון לזה{{#annotend:Ahnf}} כאשר <s>עשינו</s> רצינו לדעת {{#annot:term|159,1230|j4A9}}כפל{{#annotend:j4A9}} שרש ששה עשר{{#annotend:tRoE}}
 |-
 |
-::drawing line GC parallel to BD
+:Multiply two by two; it is four.
-|style="text-align:right;"|ונוציא קו ג"ח נכחי לקו ב"ד
+|style="text-align:right;"|תכה שנים בשנים והיו ארבעה
 |-
 |
-:::GD□ = GB &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:Multiply four by sixteen; it is sixty-four.
-|style="text-align:right;"|והנה יהיה שטח ג"ד מרובע כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא גם כן דבר
+|style="text-align:right;"|ותכה ארבעה בששה עשר ויהיו ששים וארבע&#x202B;'
 |-
 |
-::AC□ = CH□
+:Its root is eight and it is two roots of sixteen.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"ח כמו שטח ח"ה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{16}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot16}=\sqrt{4\sdot16}=\sqrt{64}=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרשו הוא שמנה והם שני שרשי ששה עשר
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-:::CG = CD
-|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ח"ג כמו קו ח"ד
 |-
 |
-:::AG = HD
+:We will explain this by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|וקו א"ג כמו קו ה"ד
+|style="text-align:right;"|ונבאר זה בתמונ' זאת
 |-
 |
-::GD□ = (GD□ - CH□) + AC□ = GH□ + AC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+:[[File:Finzi 16.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|ונבדיל שטח ח"ה ממרובע ג"ד ו{{#annot:term|1056|I71a}}נשתף עמו{{#annotend:I71a}} שטח א"ח השוה לו ויהיה שטח ג"ה {{#annot:term|458|jcOY}}הנשאר מ{{#annotend:jcOY}}מרובע ג"ד ושטח א"ח יחד כמו מרובע ג"ד
+|[[File:פינצי 16.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::subtracting KC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:We suppose square surface ABGD as an analogous of the sixteen dirham.
-|style="text-align:right;"|ונבדיל מזה שטח כ"ח שהוא מאה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח שטח מרובע אבג"ד בדמיון ששה עשר דרהמי
 |-
 |
-:::KC□ = KL &times; LC = AG &times; HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times10}}</math>
+:Line GD is a root of the square ABGD.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי הוא מהכאת קו כ"ל השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ל"ח השוה לה"ד שהוא גם כן עשרה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=\sqrt{ABGD}=\sqrt{16}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ג"ד הוא שרש מרובע אבג"ד
 |-
 |
-:AH□ = (GH□ + AC□) - KC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2-100}}</math>
+:When we wish to double this root, we extend line GD straight to H.
-|style="text-align:right;"|וישאר שטח א"ה מרובע פחות מאה דרהמי
+|style="text-align:right;"|וכאשר נרצה לכפול זה השרש נוציא קו ג"ד {{#annot:term|942,2038|PN28}}על יושר{{#annotend:PN28}} עד ה&#x202B;'
 |-
-|Q.E.D.
+|
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+:We define GH equal to GD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GH=GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשים ג"ה שוה לג"ד
 |-
 |
-*{{#annot:(10+⅔x)×(3-6x)|802|CUY0}}<math>\scriptstyle\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)</math>
+:Line HD is two roots of square AD.
-|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ושני שלישי דבר על שלשה דרהמי פחות ששה דברים{{#annotend:CUY0}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HD=2\sqrt{AD}=2\sqrt{16}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה קו ה"ד שני שרשים ממרובע א"ד
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}</math>
+:If we wish to know: the root of which number is it?
-|style="text-align:right;"|תאמר שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעים ופחות חמשים ושמנה דברים
+|style="text-align:right;"|ואם נרצה לדעת לאי זה מספר הוא שרש
 |-
-|The procedure:
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times3=30}}</math>
+:We construct square HZ on it.
-|style="text-align:right;"|ואופן מעשהו הוא שתכה עשרה דרהמי בשלשה ויהיו שלשים דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HZ=HD^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|1015|yUj4}}נשים עליו{{#annotend:yUj4}} שטח מרובע עליו ה"ז
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times3=2x}}</math>
+:We say: surface HZ is four times surface GB.
-|style="text-align:right;"|ותכה שני שלישי דבר בשלשה דרהמי ויהיו שני דברים נוספים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HZ=4GB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמר ששטח ה"ז ארבעה דמיוני שטח ג"ב
+|-
+|The proof:
+|style="text-align:right;"|מופת זה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(-6x\right)=-60x}}</math>
+:We extend line GA straight to C.
-|style="text-align:right;"|עוד תכה עשרה אדרהמי בששה דברי' הפוחתים ויהיו ששים דברים נגרעים
+|style="text-align:right;"|שנוציא קו ג"א על יושר עד ח&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\times\left(-6x\right)=-4x^2}}</math>
+:We extend line AB to point T.
-|style="text-align:right;"|ותכה שני שלישי דבר בששה דברים הפוחתים ויהיו ארבעה דברים נגרעים מרובעים
+|style="text-align:right;"|ונוציא קו א"ב עד נקודת ט&#x202B;'
 |-
 |
-::the multiplication is completed and we turn to sum [the interim products]
+:Surface HZ consists of four equal quadrangulars: GB, BC, CT, TG.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|1032|GXut}}נשלמה ה{{#annotend:GXut}}הכאה ו{{#annot:term|1000|HJRk}}נבא {{#annot:term|797|d0mb}}ל{{#annotend:HJRk}}קבצם{{#annotend:d0mb}}
+|style="text-align:right;"|ויהיו בשטח ה"ז &#x202B;<ref>304v</ref>ארבעה מרובעים שוים והם מרובעי ג"ב ב"ח ח"ט ט"ג
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60x-2x=58x}}</math>
+:But we assumed that GB is sixteen.
-|style="text-align:right;"|והנה {{#annot:term|181|EkBh}}נפיל{{#annotend:EkBh}} שני הדברים הנוספים מהששים דברי' הנגרעי' וישארו שמנה וחמשי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל ג"ב הנחנוהו שש עשרה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)=30-4x^2-58x}}</math>
+:Therefore, square HZ is sixty-four.
-|style="text-align:right;"|ויהיה {{#annot:term|388|wy7r}}מקובץ הכל{{#annotend:wy7r}} אחר זה שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעי' ופחות שמנה וחמשי' דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HZ=64}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה מרובע ה"ז ששים וארבע
 |-
-|The explanation of the multiplication of things and numbers is enough, and from it one can learn the answer for all the questions presented in this section.
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ודי לך במה שבארתי מ{{#annot:term|156|BQVo}}כפל ה{{#annotend:BQVo}}דברים והמספרים וממנו {{#annot:term|443|56E1}}תוכל ל{{#annotend:56E1}}התחכם בתשובת כל השאלות אשר יגיעו לפניך מזה {{#annot:term|259|KTBj}}השער{{#annotend:KTBj}}
+:So, line HD is a root of sixty-four, which is eight.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HD=\sqrt{64}=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה קו ה"ד שרש לששים וארבע והוא שמנה
 |-
 |
+:Q.E.D.
-== Roots ==
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
-|
 |-
 |
+*{{#annot:½×√9|737|UOpW}}He said: when we wish to take half a root of nine.
-=== [Multiplication of Roots by Numbers] ===
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר נרצה לקחת חצי שרש תשעה{{#annotend:UOpW}}
-!style="text-align:right;"|<big>פרק</big>
-|-
-|The doubling of the root of a known number or of an unknown square will be explained in [this chapter].
-|style="text-align:right;"|יתבאר בו {{#annot:term|159|h7Ad}}הכפלת{{#annotend:h7Ad}} שרש ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע זה
 |-
 |
-::doubling = taking its two roots
+:We multiply half by half; it is a quarter.
-|style="text-align:right;"|ורצוני ב{{#annot:term|159|FDYc}}הכפלה{{#annotend:FDYc}} הנה {{#annot:term|436|Jz4W}}לקיחת{{#annotend:Jz4W}} שני שרשיו
+|style="text-align:right;"|נכה חצי בחצי ויהיה רביע
 |-
 |
-*two roots of a known number or of an unknown square - the root of which number or square are they?
+:We multiply a quarter by nine; it is two and a quarter.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר {{#annot:term|391|7fsh}}תרצה ל{{#annotend:7fsh}}דעת שני שרשים ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע לאי זה מספר אחר או מרובע אחר הם שרש
+|style="text-align:right;"|ונכה רביע בתשעה ויהיה שנים ורביע
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle2\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot a}</math>
+:We extract its root; it is one and a half and it is half a root of nine.
-|style="text-align:right;"|תניח השני שרשים בדמיון שנים ותכה שנים על שנים והעולה תכהו במספר הידוע או במרובע הבלתי ידוע והעולה הוא המספר שהם שרש אליו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot9}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|נקח שרשו והוא אחד וחצי והוא יהיה חצי שרש תשעה
 |-
 |
-*three roots
+*{{#annot:⅔×√9|737|MSsU}}If we wish to take two-thirds of a root of nine.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה שלשה שרשים
+:<math>\scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם נרצה לקחת שני שלישי שרש תשעה{{#annotend:MSsU}}
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle3\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(3\sdot3\right)\sdot a}</math>
+:We multiply two-thirds by two-thirds; it is four-ninths.
-|style="text-align:right;"|תכה שלשה בשלשה והעולה תכה על המספר הידוע או על המרובע בלתי ידוע ויהיו שלשת השרשים שרש למספר העולה
+|style="text-align:right;"|נכה שני שלישים בשני שלישים ויהיו ארבע תשיעיות
 |-
 |
-*halving the root
+:Multiply four-ninths by nine; it is four.
-|style="text-align:right;"|וכן אם תרצה {{#annot:term|786|FAc4}}לחצות ה{{#annotend:FAc4}}שרש
+|style="text-align:right;"|ותכה ארבעה תשיעיות בתשעה ויהיו ארבעה
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{a}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot a}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot a}</math>
+:Its root, which is two, is two-thirds of a root of nine.
-|style="text-align:right;"|תכה חצי בחצי ויהיה רביע ותכה רביע במרובע הידוע או הבלתי ידוע ויהיה {{#annot:term|241|rSXO}}העולה מההכאה{{#annotend:rSXO}} הנה {{#annot:term|845|qEnn}}חצי ה{{#annotend:qEnn}}שרש הוא שרש לו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{2}{3}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{4}{9}\sdot9}=\sqrt{4}=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרשם שהוא שנים הוא יהיה שני שלישי שרש תשעה
 |-
-|So on for augmenting or reducing the roots
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
-|style="text-align:right;"|וכן כל מה שתוסיף או תגרע מהשרשים תעשה על הדרך שאמרנו
+|
 |-
 |
-*{{#annot:2×√16|742|tRoE}}<math>\scriptstyle2\sdot\sqrt{16}</math>
+:I will explain it to you in by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונניח {{#annot:term|197|Ahnf}}דמיון לזה{{#annotend:Ahnf}} כאשר <s>עשינו</s> רצינו לדעת {{#annot:term|159|j4A9}}כפל{{#annotend:j4A9}} שרש ששה עשר{{#annotend:tRoE}}
+|style="text-align:right;"|ואבאר לך בזאת התמונה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{16}=\sqrt{\left(2\sdot2\right)\sdot16}=\sqrt{4\sdot16}=\sqrt{64}=8}}</math>
+:[[File:Finzi 17.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|תכה שנים בשנים והיו ארבעה<br>
+|[[File:פינצי 17.png|thumb|100px|right]]
-ותכה ארבעה בששה עשר ויהיו ששים וארבע&#x202B;'<br>
-ושרשו הוא שמנה והם שני שרשי ששה עשר
-|-
-!Geometric illustration
-|style="text-align:right;"|ונבאר זה בתמונ' זאת
 |-
 |
-:[[File:Finzi 16.png|thumb|100px|left]]
+:We suppose the nine is a square surface ABGD.
-|[[File:פינצי 16.png|thumb|100px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח התשעה שטח מרובע עליו אבג"ד
 |-
 |
-::defining:
+:Line GD is a root of nine.
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{16}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=\sqrt{ABGD}=\sqrt{9}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח שטח מרובע אבג"ד בדמיון ששה עשר דרהמי
+|style="text-align:right;"|ויהיה קו ג"ד שרש תשעה
 |-
 |
-:*GD = &radic;AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}}}</math>
+:When you wish to take its two-thirds:
-|style="text-align:right;"|וקו ג"ד הוא שרש מרובע אבג"ד
+|style="text-align:right;"|וכאשר תרצה לקחת שני שלישיו
 |-
 |
-::extending line GD straight to H
+:Divide line DG into three equal parts: NZ, ZH, HD.
-|style="text-align:right;"|וכאשר נרצה {{#annot:term|785|MyGa}}לכפול{{#annotend:MyGa}} זה השרש נוציא קו ג"ד {{#annot:term|942|PN28}}על יושר{{#annotend:PN28}} עד ה&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|820,2060|QaGp}}תחלק קו{{#annotend:QaGp}} ג"ד לשלשה חלקים שוים והם נ"ז ז"ה ה"ד
 |-
 |
-:*GH = GD
+:Line DZ is two-thirds of line GD and it is also two-thirds of the root of the square GB.
-|style="text-align:right;"|ונשים ג"ה שוה לג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DZ=\frac{2}{3}GD=\frac{2}{3}\sqrt{GB}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה קו ד"ז שני שלישי קו ג"ד והוא גם כן שני שלישי שרש מרובע ג"ב
 |-
 |
-:*HD = 2&radic;AD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{16}}}</math>
+:When you wish to know: the root of which number is it?
-|style="text-align:right;"|ויהיה קו ה"ד שני שרשים ממרובע א"ד
+|style="text-align:right;"|וכאשר תרצה לדעת לאי זה שמספר הוא שרש
 |-
 |
-::the root of which number is it?
+:We construct square KZLD on line ZD.
-|style="text-align:right;"|ואם {{#annot:term|391|p68H}}נרצה ל{{#annotend:p68H}}דעת לאי זה מספר הוא שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KZLD=ZD^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|נעשה על קו ז"ד שטח מרובע עליו כזל"ד
 |-
 |
-:*constructing: HZ□ = HD<sup>2</sup>
+:We say that surface KZLD is four-ninths of surface GD, so it is four dirham.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|1015|yUj4}}נשים עליו{{#annotend:yUj4}} שטח מרובע עליו ה"ז
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KZLD=\frac{4}{9}GD=4}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח כזל"ד ארבעה תשיעיות שטח ג"ד והם ארבעה דרהמי
-|Supposition: HZ□ = 4&times;GB□
-|style="text-align:right;"|ונאמר ששטח ה"ז ארבעה דמיוני שטח ג"ב
 |-
-|Proof:
+|The proof:
 |style="text-align:right;"|מופת זה
 |-
 |
-::extending line GA straight to C
+:We extend line ZK straight to point T.
-|style="text-align:right;"|שנוציא קו ג"א על יושר עד ח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|שנוציא קו ז"כ על יושר עד נקודת ט&#x202B;'
 |-
 |
-::extending line AB to T
+:We draw line HC from point H, parallel to line BD.
-|style="text-align:right;"|ונוציא קו א"ב עד נקודת ט&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HC\parallel BD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|819,1232|eY6o}}נוציא{{#annotend:eY6o}} מנקודת ה' קו ה"ח נכחי לקו ב"ד
 |-
 |
-::HZ□ consists of four equal quadrangulars: GB□, BC□, CT□, TG□
+:Draw line EP from E, parallel to line AB.
-|style="text-align:right;"|ויהיו בשטח ה"ז ארבעה מרובעים שוים והם מרובעי ג"ב ב"ח ח"ט ט"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EP\parallel AB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותוציא מע' קו ע"פ נכחי לקו א"ב
 |-
 |
-::GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{16}}</math>
+:We extend line LMK to S.
-|style="text-align:right;"|אבל ג"ב הנחנוהו שש עשרה
+|style="text-align:right;"|ונוציא קו למ"כ עד ס&#x202B;'
 |-
 |
-:HZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{64}}</math>
+:By this, nine equal surfaces are formed in surface GB: HE, EM, MB, MT, TS, KN, KP, PZ, ZN.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה מרובע ה"ז ששים וארבע
+|style="text-align:right;"|ויהיה עם זה כבר נעשו בשטח ג"ב תשעה שטחים שוים והם <s>נ</s> ה"ע ע"מ מ"ב מ"ט ט"ס כ"נ כ"פ פ"ז ז"נ
 |-
 |
-:HD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}=8}}</math>
+:Surface ZL is four of these nine surfaces, so surface ZL is four-ninths of square GB.
-|style="text-align:right;"|ויהיה קו ה"ד שרש לששים וארבע והוא שמנה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZL=\frac{4}{9}GB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה שטח ז"ל ארבעה מאלו התשעה שטחים אם כן שטח ז"ל ארבע תשיעיות מרובע ג"ב
 |-
-|Q.E.D.
+|
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|780|ap4S}}והוא מש"ל{{#annotend:ap4S}}
+:Line ZD is a root of four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZD=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ז"ד שרש לארבעה
 |-
 |
-*{{#annot:½×√9|742|UOpW}}<math>\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר נרצה {{#annot:term|786|bAYl}}לקחת חצי{{#annotend:bAYl}} שרש תשעה{{#annotend:UOpW}}
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+|-
+|Do the same with all that falls into your hand of this kind.
+|style="text-align:right;"|וכל מה שיפול בידך מזה המין תעשה עמו ככה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot9}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|נכה חצי בחצי ויהיה רביע<br>
+=== <span style=color:Green>Multiplication of Roots</span> ===
-ונכה רביע בתשעה ויהיה שנים ורביע<br>
+|
-{{#annot:term|795|fPyY}}נקח שרשו{{#annotend:fPyY}} והוא אחד וחצי והוא יהיה חצי שרש תשעה
 |-
 |
-*{{#annot:⅔×√9|742|MSsU}}<math>\scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}</math>
+*{{#annot:√9×√4|737|nTrH}}He said: if you wish to know how much is the product of a root of nine by a root of four.
-|style="text-align:right;"|ואם נרצה {{#annot:term|925|zJLd}}לקחת{{#annotend:zJLd}} שני שלישי שרש תשעה{{#annotend:MSsU}}
+:<math>\scriptstyle\sqrt{9}\times\sqrt{4}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם תרצה לדעת כמה העולה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה{{#annotend:nTrH}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{2}{3}\right)\sdot9}=\sqrt{\frac{4}{9}\sdot9}=\sqrt{4}=2}}</math>
+:Multiply four by nine; it is thirty-six.
-|style="text-align:right;"|נכה שני שלישים בשני שלישים ויהיו ארבע תשיעיות<br>
+|style="text-align:right;"|תכה ארבע' בתשעה ויהיה שלשים ושש
-ותכה ארבעה תשיעיות בתשעה ויהיו ארבעה<br>
-ושרשם שהוא שנים הוא יהיה שני שלישי שרש תשעה
 |-
-!Geometric illustration
+|
-|style="text-align:right;"|ואבאר לך בזאת התמונה
+:Extract its root; it is six and it is the same as the product of a root of nine by a root of four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|תקח שרשם והוא ששה והוא כמו הכאת שרש תשעה בשרש ארבעה
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-:[[File:Finzi 17.png|thumb|100px|left]]
-|[[File:פינצי 17.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::defining
+:I will explain this by this geometric illustration:
-:*ABGD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח התשעה שטח מרובע עליו אבג"ד
 |-
 |
-:*GD = [&radic;AD□] = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
+:[[File:Finzi 18.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|ויהיה קו ג"ד שרש תשעה
+|[[File:פינצי 18.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::finding its two thirds, ⅔GD:
+:We define line AB as a root of nine.
-|style="text-align:right;"|וכאשר תרצה לקחת שני שלישיו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנשים קו א"ב שרש תשעה
 |-
 |
-::dividing DG into three equal parts: NZ = ZH = HD
+:Line BG is a root of four.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|820|QaGp}}תחלק קו{{#annotend:QaGp}} ג"ד לשלשה חלקים שוים והם נ"ז ז"ה ה"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ג שרש ארבעה
 |-
 |
-:*DZ = ⅔GD = ⅔&radic;GB□
+:When we wish to multiply line AB by line BG:
-|style="text-align:right;"|ויהיה קו ד"ז שני שלישי קו ג"ד והוא גם כן שני שלישי שרש מרובע ג"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB\times BG}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר נרצה להכות קו א"ב בקו ב"ג
 |-
 |
-::the root of which number is it?
+:Construct square AC on line AG.
-|style="text-align:right;"|וכאשר תרצה לדעת לאי זה שמספר הוא שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=AG^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|1015|8stU}}תשים על{{#annotend:8stU}} קו א"ג שטח מרובע עליו א"ח
 |-
 |
-::defining:
+:Draw line BZ from point B, parallel to lines AH and GC.
-:*KZLD□ = ZD<sup>2</sup>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BZ\parallel AH,GC}}</math>
-|style="text-align:right;"|נעשה על קו ז"ד שטח מרובע עליו כזל"ד
+|style="text-align:right;"|ותוציא מנקודת ב' קו נכחי לקוי א"ה ג"ח והוא קו ב"ז
 |-
-|Supposition: KZLD□ = ⁴/₉GB□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|ונאמ' ששטח כזל"ד ארבעה תשיעיות שטח ג"ד והם ארבעה דרהמי
+:Each of the lines AH and GC is a root of nine plus a root of four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=GC=\sqrt{9}+\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכל אחד מקוי א"ה ג"ח שרש תשעה ושרש ארבעה
 |-
-|Proof:
+|
-|style="text-align:right;"|מופת זה
+:We define line MG as a root of nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MG=\sqrt{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשים קו מ"ג שרש תשעה
 |-
 |
-::extending line ZK straight to T
+:The remaining line MC is a root of four.
-|style="text-align:right;"|שנוציא קו ז"כ על יושר עד נקודת ט&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MC=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר קו מ"ח שרש ארבעה
 |-
 |
-::drawing line HC from point H, parallel to BD
+:We draw line MK from point M, parallel to lines AG and HC.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|819|u1mC}}נוציא מנקודת{{#annotend:u1mC}} ה' קו ה"ח נכחי לקו ב"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MK\parallel AG,HC}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת מ' קו מ"כ נכחי לקוי <s>א"ה ג"ח</s> א"ג ה"ח
 |-
 |
-::drawing line EP from point E, parallel to AB
+:Surface E[A] is nine.
-|style="text-align:right;"|ותוציא מע' קו ע"פ נכחי לקו א"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EA=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה שטח ע"מ תשעה
 |-
 |
-::extending line LMK to point S
+:Line BE is a root of nine.
-|style="text-align:right;"|ונוציא קו למ"כ עד ס&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BE=\sqrt{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ע שרש תשעה
 |-
 |
-::By this, nine equal surfaces are generated in GB□: HE□, EM□, MB□, MT□, TS□, KN□, KP□, PZ□, ZN□
+:Surface EC is four.
-|style="text-align:right;"|ויהיה עם זה כבר נעשו בשטח ג"ב תשעה שטחים שוים והם <s>נ</s> ה"ע ע"מ מ"ב מ"ט ט"ס כ"נ כ"פ פ"ז ז"נ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EC=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ע"ח ארבעה
 |-
 |
-:ZL□ = ⁴/₉GB□
+:Line ZE is a root of four.
-|style="text-align:right;"|ויהיה שטח ז"ל ארבעה מאלו התשעה שטחים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZE=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ז"ע שרש ארבעה
 |-
 |
-:ZL□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Because, ZE is equal to EM and EM is the same as BG.
-|style="text-align:right;"|אם כן שטח ז"ל ארבע תשיעיות מרובע ג"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZE=EM=BG}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי ז"ע שוה לע"מ וע"מ כמו ב"ג
 |-
 |
-:ZD= <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+:EB is the same as EK.
-|style="text-align:right;"|וקו ז"ד שרש לארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EB=EK}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|וע"ב כמו ע"כ
-|Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
-|-
-|The same should be done with all that is of this kind.
-|style="text-align:right;"|וכל מה ש{{#annot:term|1005|hpFb}}יפול בידך{{#annotend:hpFb}} מזה ה{{#annot:term|431|TZ4a}}מין{{#annotend:TZ4a}} {{#annot:term|301|PXs9}}תעשה עמו{{#annotend:PXs9}} ככה
 |-
 |
+:The ratio of ME to EK is the same as the ratio of ZE to EB.
-=== [Multiplication of Roots] ===
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ME:EK=ZE:EB}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|482,1276|Fyp1}}יחס{{#annotend:Fyp1}} מ"ע אל ע"כ כיחס ז"ע אל ע"ב
 |-
 |
-*{{#annot:√9×√4|741|nTrH}}<math>\scriptstyle\sqrt{9}\times\sqrt{4}</math>
+:The ratio of ZE to EB is the same as the ratio of surface ZK to surface EA.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם תרצה לדעת כמה העולה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה{{#annotend:nTrH}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ZE:EB=ZK:EA}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויחס ז"ע אל ע"ב הוא כיחס שטח ז"כ אל שטח ע"א
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}=6}}</math>
+:Therefore, the product of the numbers of surface ZM by the numbers of surface EA is the same as the product of the numbers of surface ZK by themselves.
-|style="text-align:right;"|תכה ארבע' בתשעה ויהיה שלשים ושש {{#annot:term|795|txrA}}תקח שרשם{{#annotend:txrA}} והוא ששה והוא כמו הכאת שרש תשעה בשרש ארבעה
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת המספרים אשר בשטח ז"מ במספרים אשר בשטח ע"א כמו הכאת המספרים אשר בשטח ז"כ בעצמם
 |-
-!Geometric illustration
+|As Euclid has explained when he said that when there are three proportional numbers, the product of the first number by the third is the same as the product of the second by itself.
-|style="text-align:right;"|ואבאר זה בזאת התמונה
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|כמו שבאר זה אקלידס כאשר אמ' כי כאשר היו {{#annot:term|568|Q1PW}}שלשה מספרים מתיחסים{{#annotend:Q1PW}} יהיה הכאת המספר הראשון <s>בתשיעי</s> בשלישי כמו הכאת הב' המספר בעצמו
 |-
 |
-:[[File:Finzi 18.png|thumb|100px|left]]
+:But, the product of the units of surface EC that are four by the units of surface EA that are nine is thirty-six.
-|[[File:פינצי 18.png|thumb|100px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times9=36}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל הכאת מה שבשטח ע"ח &#x202B;<ref>305r</ref>מהאחדים שהם ארבעה באחדי שטח ע"א שהם <s>שלשה</s> תשעה יהיה שלשים ושש
 |-
 |
-::defining:
+:So, surface ZK is the same as a root of thirty-six, which is six; and this is the product of a root of nine by a root of four, since line KE is a root of nine and line EC is as a root of four.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=KE\times EC=ZK=\sqrt{36}=6}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנשים קו א"ב שרש תשעה
+|style="text-align:right;"|ולכן שטח ז"כ הוא כמו שרש שלשים ושש והוא ששה והנה שהוא הוה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה בעבור כי קו <s>א'</s> כ"ע שרש תשעה וקו ע"ח כמו שרש ארבעה
 |-
 |
-:*BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ג שרש ארבעה
+|style="text-align:right;"|והוא ומש"ל&#x202B;<ref>marg.: תוספת ואם רצית לכפול {{#annot:term|439,1262|N0WY}}שרש מספר{{#annotend:N0WY}} ידוע במספר אחר ידוע {{#annot:term|185,1230|O1PQ}}כפול ה{{#annotend:O1PQ}}מספר האחר בעצמו והעולה תכהו במספר השרש והעולה קח שרשו והוא המבוקש<br>
+דמיון זה בקשנו לכפול שרש מספר ט' במספר ד' הכינו ד' בעצמו והיה י"ו והכינו י"ו בט' והיה קמ"ד ושרשו שהוא י"ב הוא המבוקש</ref>
 |-
 |
-::AB &times; BG
+*{{#annot:(2×√10)×(½×√5)|737|FwAB}}He said: if you are told: how much is the product of two roots of ten by half a root of five?
-|style="text-align:right;"|וכאשר נרצה להכות קו א"ב בקו ב"ג
+:<math>\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה{{#annotend:FwAB}}
 |-
 |
-::constructing: AC□ = AG<sup>2</sup>
+:Observe the root of which number are two roots of ten, according to the way I have shown you.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|1015|8stU}}תשים על{{#annotend:8stU}} קו א"ג שטח מרובע עליו א"ח
+|style="text-align:right;"|ראה שני שרשי עשרה לאי זה מספר הם שרש על הדרך שהראיתי לך
 |-
 |
-::drawing line BZ from point B, parallel to AH and GC
+:You find that they are a root of forty.
-|style="text-align:right;"|ותוציא מנקודת ב' קו נכחי לקוי א"ה ג"ח והוא קו ב"ז
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{10}=\sqrt{40}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותמצא שהם שרש לארבעי&#x202B;'
 |-
 |
-:*AH = GC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}}}</math>
+:Observe also the root of which number is half a root of five:
-|style="text-align:right;"|וכל אחד מקוי א"ה ג"ח שרש תשעה ושרש ארבעה
+|style="text-align:right;"|וכמו כן ראה חצי שרש חמשה לאי זה מספר הוא שרש
 |-
 |
-:*MG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
+:You find that it is a root of one and a quarter.
-|style="text-align:right;"|ונשים קו מ"ג שרש תשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותמצא שהוא שרש לאחד ורביע
 |-
 |
-::MC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+:The question becomes as if it is said: how much is the product of a root of forty by a root of one and a quarter?
-|style="text-align:right;"|וישאר קו מ"ח שרש ארבעה
+:<math>\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{40}\times\sqrt{1+\frac{1}{4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותשוב השאלה כאלו אמרו כמה יהיה מהכאת שרש ארבעים בשרש אחד ורביע
 |-
 |
-::drawing line MK from point M, parallel to AG and HC
+:Multiply forty by one and a quarter; it is fifty.
-|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת מ' קו מ"כ נכחי לקוי <s>א"ה ג"ח</s> א"ג ה"ח
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)=50}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן תכה ארבעים באחד ורביע ויהיה חמשים
 |-
 |
-::EA□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:Say that the root of fifty is the product of two roots of ten by half a root of five.
-|style="text-align:right;"|ויהיה שטח ע"מ תשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{50}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמ' כי שרש חמשים הוא הוא הכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-::BE = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
+|-
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ע שרש תשעה
+|He said: we give for this procedure a general geometric illustration:
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונניח לזה המעשה תמונה כוללת
 |-
 |
-::EC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:[[File:Finzi 19.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|ושטח ע"ח ארבעה
+|[[File:פינצי 19.png|thumb|100px|right]]
 |-
-|
+|We say that for every number multiplied by another number, the root of the product is the same as the product of the root of one of the numbers multiplied by the root of the other number.
-::ZE = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{A\times B}=\sqrt{A}\times\sqrt{B}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וקו ז"ע שרש ארבעה
+|style="text-align:right;"|ונאמ' שכל מספר שיוכה במספר אחר יהיה {{#annot:term|439,1262|lhFz}}שרש ה{{#annotend:lhFz}}עולה כמו הכאת שרש מספר אחד מהם לשרש המספר האחר
 |-
 |
-:::ZE = EM
+:Example: we suppose that A and B are two numbers.
-|style="text-align:right;"|כי ז"ע שוה לע"מ
+|style="text-align:right;"|משל לזה שנניח ב' א' שני מספרים
 |-
 |
-::EM = BG
+:The root of B is G.
-|style="text-align:right;"|וע"מ כמו ב"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G=\sqrt{B}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרש ב' הוא ג&#x202B;'
 |-
 |
-::EB = EK
+:The root of A is D.
-|style="text-align:right;"|וע"ב כמו ע"כ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D=\sqrt{A}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרש א' הוא ד&#x202B;'
 |-
 |
-::ME : EK = ZE : EB
+:We multiply B by A; it is Z.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|482|Fyp1}}יחס{{#annotend:Fyp1}} מ"ע אל ע"כ כיחס ז"ע אל ע"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{Z=B\times A}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה ב' בא' ויהיה ז&#x202B;'
 |-
 |
-::ZE : EB = ZK□ : EA□
+:We multiply G by D; it is C.
-|style="text-align:right;"|ויחס ז"ע אל ע"ב הוא כיחס שטח ז"ב אל שטח ע"א
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{C=G\times D}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה ג' בד' ויהיה ח&#x202B;'
 |-
 |
-::(the numbers of ZM□) &times; (the numbers of EA□) = (the numbers of ZK□)²
+:We say that C is the same as H, which is the root of Z.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת המספרים אשר בשטח ז"מ במספרים אשר בשטח ע"א כמו הכאת המספרים אשר בשטח ז"כ בעצמם
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{C=H=\sqrt{Z}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' שח' כמו ה' שהוא שרש ז&#x202B;'
 |-
-|Euclid: when there are three proportional numbers, the product of the first number by the third is the same as the product of the second by itself. <math>\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2</math>
+|The proof:
-|style="text-align:right;"|כמו שבאר זה אקלידס כאשר אמ' כי כאשר היו שלשה {{#annot:term|939|9lqX}}מספרים מתיחסים{{#annotend:9lqX}} יהיה הכאת המספר הראשון <s>בתשיעי</s> בשלישי כמו הכאת הב' המספר בעצמו
+|style="text-align:right;"|מופת זה
 |-
 |
-::(the units of EC□) &times; (the units of EA□) = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times9=36}}</math>
+:G multiplied by itself is B.
-|style="text-align:right;"|אבל הכאת מה שבשטח ע"ח מהאחדים שהם ארבעה באחדי שטח ע"א שהם <s>שלשה</s> תשעה יהיה שלשים ושש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G^2=B}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי ג' הוכה בעצמו והיה ב&#x202B;'
 |-
 |
-::ZK□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{36}=6}}</math>
+:It is multiplied by D; the result is C.
-|style="text-align:right;"|ולכן שטח ז"כ הוא כמו שרש שלשים ושש והוא ששה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G\times D=C}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוכה ב<s>ב'</s><sup>ד'</sup> והיה ח&#x202B;'
 |-
 |
-:ZK□ = KE &times; EC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}}}</math>
+:So, the ratio of G to D is the same as the ratio of B to C.
-|style="text-align:right;"|והנה שהוא הוה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה בעבור כי קו <s>א'</s> כ"ע שרש תשעה וקו ע"ח כמו שרש ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G:D=B:C}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח&#x202B;'<ref>מא' מ"ז לאקלידס</ref>
 |-
-|Q.E.D.
+|
-|style="text-align:right;"|והוא ומש"ל
+:Also, D multiplied by itself is A.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D^2=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכמו כן ד' הוכה בעצמו וה<s>ו</s>יה א&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|<ref>תוספת ואם {{#annot:term|391|L9Qc}}רצית {{#annot:term|185|J88u}}ל{{#annotend:L9Qc}}כפול{{#annotend:J88u}} {{#annot:term|439|N0WY}}שרש מספר{{#annotend:N0WY}} ידוע במספר אחר ידוע {{#annot:term|185|O1PQ}}כפול ה{{#annotend:O1PQ}}מספר האחר בעצמו והעולה תכהו במספר השרש והעולה קח שרשו והוא המבוקש<br>
+:It is multiplied by G; the result is C.
-דמיון זה {{#annot:term|918|jYTU}}בקשנו ל{{#annotend:jYTU}}כפול שרש מספר ט' במספר ד' הכינו ד' בעצמו והיה י"ו והכינו י"ו בט' והיה קמ"ד ושרשו שהוא י"ב הוא המבוקש</ref>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D\times G=C}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוכה בג' והיה ח&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:(2×√10)×(½×√5)|800|FwAB}}<math>\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)</math>
+:So, the ratio of G to D is the same as the ratio of C to A.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה{{#annotend:FwAB}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G:D=C:A}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ח' אל א&#x202B;'
+|-
+|
+:But, the ratio of G to D is already the same as the ratio of B to C.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G:D=B:C}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח&#x202B;'
 |-
 |
-::the root of which number is <math>\scriptstyle2\sdot\sqrt{10}</math>?
+:Therefore, the ratio of B to C is the same as the ratio of C to A.
-|style="text-align:right;"|ראה שני שרשי עשרה לאי זה מספר הם שרש על הדרך ש{{#annot:term|199|txr2}}הראיתי לך{{#annotend:txr2}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B:C=C:A}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן יהיה יחס ב' אל ח' כיחס ח' אל א&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{10}=\sqrt{40}}}</math>
+:Hence, the product of B by A is the same as the product of C by itself.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|1017|LXt7}}תמצא ש{{#annotend:LXt7}}הם שרש לארבעי&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times A=C^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה הכאת ב' בא' כמו הכאת ח' בעצמו
 |-
 |
-::the root of which number is <math>\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}</math>?
+:But, the product of B by A is Z.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן ראה חצי שרש חמשה לאי זה מספר הוא שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times A=Z}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל הכאת ב' בא' הוא ז&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}</math>
+:So, the product of C by itself is the same as Z.
-|style="text-align:right;"|ותמצא שהוא שרש לאחד ורביע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{C^2=Z}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן הכאת ח' בעצמו יהיה כמו ז&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{40}\times\sqrt{1+\frac{1}{4}}</math>
+:But, the product of H by itself is already Z.
-|style="text-align:right;"|ותשוב השאלה כאלו אמרו כמה יהיה מהכאת שרש ארבעים בשרש אחד ורביע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{H^2=Z}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר היה הכאת ה' בעצמו הוא ז&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)=50}}</math>
+:Thus, C is the same as H.
-|style="text-align:right;"|ולכן תכה ארבעים באחד ורביע ויהיה חמשים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{C=H}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה ח' כמו ה&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\sqrt{10}\right)\times\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{5}\right)=\sqrt{50}}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|ותאמ' כי שרש חמשים הוא הוא הכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
-!Geometric illustration
+|What I have explained of this type is enough.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונניח לזה המעשה תמונה כוללת
+|style="text-align:right;"|ובמה שבארתי מזה המין הוא מספיק
 |-
 |
-:[[File:Finzi 19.png|thumb|100px|left]]
-|[[File:פינצי 19.png|thumb|100px|right]]
+=== Chapter on Division <span style=color:Green>of Roots</span> ===
+|style="text-align:right;"|<big>פרק</big> ב{{#annot:term|157,1223|Mj3r}}חלוק{{#annotend:Mj3r}}
 |-
-|For every number multiplied by another number, the root of the product is the same as the product of the root of one of the numbers multiplied by the root of the other number <math>\scriptstyle\sqrt{A\times B}=\sqrt{A}\times\sqrt{B}</math>
+|He said: you must also know that when you multiply the divisor by the result of division, the dividend returns.
-|style="text-align:right;"|ונאמ' שכל מספר שיוכה במספר אחר יהיה {{#annot:term|439|lhFz}}שרש ה{{#annotend:lhFz}}עולה כמו הכאת שרש מספר אחד מהם לשרש המספר האחר
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{A}{B}\times B=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|אמ' וגם כן ראוי שתדע כי כאשר תכה {{#annot:term|604,1228|qzrP}}המחלק{{#annotend:qzrP}} ב{{#annot:term|783,2041|G4yP}}מה שעלה לחלק{{#annotend:G4yP}} ישוב המספר שחלקת
 |-
 |
-:*A; B are numbers
+:Example: we divide ten by two; the quotient is five.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|197|lG2R}}משל לזה ש{{#annotend:lG2R}}נניח ב' א' שני מספרים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\div2=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|משל זה חלקנו עשרה על שנים ויצא לכל חלק חמשה
 |-
 |
-:*&radic;B = G
+:When we multiply two by five, the result is ten and it is the dividend.
-|style="text-align:right;"|ושרש ב' הוא ג&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כאשר הכינו שנים בחמשה יהיה עשרה והוא {{#annot:term|605,1226|nQFD}}המספר שנחלק{{#annotend:nQFD}}
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-:*&radic;A = D
+|-
-|style="text-align:right;"|ושרש א' הוא ד&#x202B;'
+|He said: we give for this procedure a general geometric illustration also:
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונשים לזה המעשה גם כן תמונה כוללת
 |-
 |
-:*B &times; A = Z
+:[[File:Finzi 20.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|ונכה ב' בא' ויהיה ז&#x202B;'
+|[[File:פינצי 20.png|thumb|100px|right]]
+|-
+|We say that for every number divided by another number, the product of the quotient by the divisor is the same as the dividend.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{A}{B}\sdot B=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' כי כל מספר שיהיה {{#annot:term|784,1226|iB1v}}נחלק על{{#annotend:iB1v}} מספר אחר יהיה הכאת העולה לכל חלק במספר ה{{#annot:term|604,1228|yKxa}}מחלק{{#annotend:yKxa}} כמו {{#annot:term|605,1226|XrCl}}המספר הנחלק{{#annotend:XrCl}}
 |-
 |
-:*G &times; D = C
+:Example: we divide number A by number B; the quotient is G.
-|style="text-align:right;"|ונכה ג' בד' ויהיה ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}</math>
+|style="text-align:right;"|משל זה ש{{#annot:term|784,1259|Ssec}}חלקנו{{#annotend:Ssec}} מספר א' על מספר ב' ועלה לכל חלק ג&#x202B;'
 |-
-|Supposition: C = H = &radic;Z
+|
-|style="text-align:right;"|ונאמ' שח' כמו ה' שהוא שרש ז&#x202B;'
+:We say that the product of B by G is the same as A.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' שהכאת ב' בג' הוא כמו א&#x202B;'
 |-
-|Proof:
+|The proof:
-::G<sup>2</sup> = B
+|style="text-align:right;"|מופת זה
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|198|H1wR}}מופת זה כי{{#annotend:H1wR}} ג' הוכה בעצמו והיה ב&#x202B;'
 |-
 |
-::G &times; D = C
+:A is already divided by G and the result is G, so the multiples of G in A are as the number of units in B.
-|style="text-align:right;"|והוכה ב<s>ב'</s><sup>ד'</sup> והיה ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי א' כבר נחלק על ב' והיה ג' ולכן יהיו מדמיוני ג' בא' כמספר מה שבב' מן האחדים
 |-
 |
-::G : D = B : C
+:Therefore, the ratio of G to A is the same as the ratio of one to B.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח&#x202B;'<ref>מא' מ"ז לאקלידס</ref>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{G:A=1:B}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה יחס ג' אל א' כיחס האחד אל ב&#x202B;'
 |-
 |
-::D<sup>2</sup> = A
+:So, the product of B by G is the same as the product of one by A. But, the product of one by A, which is the product of B by G, is also A.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן ד' הוכה בעצמו וה<s>ו</s>יה א&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=1\times A=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה מהכאת ב' בג' כמו הכאת האחד בא' אבל הכאת האחד בא' הוא אם כן הכאת ב' בג' הוא גם כן א&#x202B;'
 |-
 |
-::D &times; G = C
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|והוכה בג' והיה ח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|והוא מה שרצינו לבאר
 |-
 |
-::G : D = C : A
+*{{#annot:√9÷√4|740|1Gu9}}He said: if you are told: divide the root of nine by the root of four.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ח' אל א&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle\sqrt{9}\div\sqrt{4}</math>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>305v</ref><big>אמ'</big> ואם יאמרו לך תחלק שרש תשעה על שרש ארבעה{{#annotend:1Gu9}}
 |-
 |
-::G : D = B : C
+:Divide nine by four; the quotient is two and a quarter.
-|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|הנה תחלק תשעה על ארבעה ויגיע לכל חלק שנים ורביע
 |-
 |
-::B : C = C : A
+:Extract its root; it is one and a half and this is the root of nine divided by the root of four.
-|style="text-align:right;"|אם כן יהיה יחס ב' אל ח' כיחס ח' אל א&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\div\sqrt{4}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תקח שרשו והוא אחד וחצי וככה הוא שרש תשעה {{#annot:term|784,1966|PxDD}}מחולק על{{#annotend:PxDD}} שרש ארבעה
 |-
 |
-::B &times; A = C<sup>2</sup>
+*{{#annot:√10÷√2|740|pYYI}}If it is said: divide ten by a root of two.
-|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה הכאת ב' בא' כמו הכאת ח' בעצמו
+:<math>\scriptstyle\sqrt{10}\div\sqrt{2}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם אמרו תחלק שרש עשרה על שרש שנים{{#annotend:pYYI}}
 |-
 |
-::B &times; A = Z
+:The quotient is five. Extract its root.
-|style="text-align:right;"|אבל הכאת ב' בא' הוא ז&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\div\sqrt{2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויגיע ל{{#annot:term|783,1259|yDPN}}חלק{{#annotend:yDPN}} חמשה וקח שרשו
 |-
 |
-::C<sup>2</sup> = Z
+*{{#annot:(2×√20)÷(3×√6)|740|sCCw}}If you are told: divide two roots of twenty by three roots of six.
-|style="text-align:right;"|אם כן הכאת ח' בעצמו יהיה כמו ז&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם אמר לך תחלק שנים שרשים מעשרים על שרשים שלשה מששה{{#annotend:sCCw}}
 |-
 |
-::H<sup>2</sup> = Z
+:Search the root of which number are two roots of twenty.
-|style="text-align:right;"|וכבר היה הכאת ה' בעצמו הוא ז&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|תחפש שני שרשים מעשרים לאי זה מספר הם שרש
 |-
 |
-:C = H
+:We know from what we explained that they are a root of eighty.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה ח' כמו ה&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{20}=\sqrt{80}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וידענו ממה שבארנו שהם שרש לשמונים
 |-
-|Q.E.D.
+|
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+:Search also the root of which number are three roots of six.
+|style="text-align:right;"|ותחפש כמו כן שלשה שרשים מששה לאי זה מספר הם שרש
 |-
-|What was explained of this type is enough.
+|
-|style="text-align:right;"|ובמה שבארתי מזה המין הוא מספיק
+:They are a root of fifty-four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt{6}=\sqrt{54}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה הם שרש לחמשים וארבעה
 |-
 |
+:It is as if one asks to divide a root of eighty by a root of fifty-four.
-=== Division of Roots ===
+:<math>\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה כאלו שאל לחלק שרש שמנים על שרש ארבעה וחמשים
-!style="text-align:right;"|<big>פרק</big> ב{{#annot:term|157|9kVn}}חלוק{{#annotend:9kVn}}
 |-
-|When the divisor is multiplied by the result of division, the dividend returns. <math>\scriptstyle\frac{A}{B}\times B=A</math>
+|
-|style="text-align:right;"|אמ' וגם כן ראוי שתדע כי כאשר תכה {{#annot:term|604|qzrP}}המחלק{{#annotend:qzrP}} ב{{#annot:term|783|G4yP}}מה שעלה לחלק{{#annotend:G4yP}} {{#annot:term|930|ekPV}}ישוב {{#annot:term|605|uKxA}}ה{{#annotend:ekPV}}מספר שחלקת{{#annotend:uKxA}}
+:We divide eighty by fifty-four; the quotient is one integer, four-ninths, and a third of a ninth.
+|style="text-align:right;"|והנה נחלק שמנים על ארבעה וחמשים ויעלה אל החלק אחד שלם וארבעה תשיעיות ושלישית התשיעית
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\div2=5}}</math>
+:The root of this is the quotient resulting from the division of two roots of twenty by three roots of six.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|197|8KT0}}משל זה{{#annotend:8KT0}} חלקנו עשרה על שנים ו{{#annot:term|783|kxYI}}יצא לכל חלק{{#annotend:kxYI}} חמשה
+|style="text-align:right;"|ושרש זה הוא העולה אל ה{{#annot:term|783,1259|U8c0}}חלק{{#annotend:U8c0}} מחלוקת שני שרשים מעשרים על שלשה שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה
 |-
-|
+|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}=\sqrt{\frac{80}{54}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\right)}}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה כאשר הכינו שנים בחמשה יהיה עשרה והוא {{#annot:term|605|nQFD}}המספר שנחלק{{#annotend:nQFD}}
 |-
-!Geometric illustration
+|Proceed with all that is of this kind as in this procedure.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונשים לזה המעשה גם כן תמונה כוללת
+|style="text-align:right;"|וכמו כן כל אשר יגיע בידך מזה המין תעשה עמו כמעשה הזה
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-:[[File:Finzi 20.png|thumb|100px|left]]
-|[[File:פינצי 20.png|thumb|100px|right]]
 |-
-|For every number divided by another number, the product of the quotient by the divisor is the same as the dividend <math>\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A</math>
+|He said: we give for this type also a general geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|ונאמ' כי כל מספר שיהיה {{#annot:term|440|iB1v}} נחלק על{{#annotend:iB1v}}מספר אחר יהיה הכאת העולה לכל חלק {{#annot:term|604|yKxa}} במספר המחלק{{#annotend:yKxa}} כמו {{#annot:term|605|XrCl}}המספר הנחלק{{#annotend:XrCl}}
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונניח גם כן לזה המין תמונה כוללת
 |-
-|
+|We say that for every two numbers, one of which is divided by the other, the root of the quotient is the same as the quotient of the root of the dividend divided by the root of the divisor.
-:*A &divide; B = G
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}}}</math>
-|style="text-align:right;"|משל זה ש{{#annot:term|784|Ssec}}חלקנו{{#annotend:Ssec}} מספר א' על מספר ב' ו{{#annot:term|783|cRV7}}עלה לכל חלק{{#annotend:cRV7}} ג&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ונאמ' כי כל שני מספרים ש{{#annot:term|784,1226|YCAx}}יחלק אחד מהם על האחר{{#annotend:YCAx}} יהיה שרש {{#annot:term|783,2041|uIRR}}העולה לחלק{{#annotend:uIRR}} כמו העולה מ{{#annot:term|157,1221|Hf8m}}חלוקת{{#annotend:Hf8m}} שרש המספר הנחלק בשרש {{#annot:term|604,1228|S2en}}המספר המחלק{{#annotend:S2en}}
 |-
-|Supposition: B &times; G = A
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|ונאמ' שהכאת ב' בג' הוא כמו א&#x202B;'
+[[File:Finzi 21 - II.png|thumb|250px|center]]
 |-
-|Proof
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|מופת זה
+[[File:פינצי - II 21.png|thumb|250px|center]]
 |-
 |
-::A &divide; B = G
+:Example: number A is divided by number B and the result is number G.
-|style="text-align:right;"|כי א' כבר נחלק על ב' והיה ג' ולכן יהיו מדמיוני ג' בא' כמספר מה שבב' מן האחדים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}</math>
+|style="text-align:right;"|משל שמספר א' נחלק על <s>ב'</s> מספר ב' ועלה מספר ג&#x202B;'
 |-
 |
-::G : A = 1 : B
+:The root of A, which is number C, is divided by the root of B, which is number D; the quotient is number E.
-|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה יחס ג' אל א' כיחס האחד אל ב&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{A}\div\sqrt{B}=C\div D=E}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרש א' שהוא מספר ח' נחלק על שרש ב' שהוא מספר ד' ועלה לחלק מספר ע&#x202B;'
 |-
 |
-::B &times; G = 1 &times; A
+:We say that E is the same as the root of G.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה מהכאת ב' בג' כמו הכאת האחד בא&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{E=\sqrt{G}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמ' שע' הוא כמו שרש ג&#x202B;'
+|-
+|The Proof:
+|style="text-align:right;"|המופת בזה
 |-
 |
-:::B &times; G = 1 &times; A = A
+:We multiply E by itself and the result is M.
-|style="text-align:right;"|אבל הכאת האחד בא' הוא אם כן הכאת ב' בג' הוא גם כן א&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{E^2=M}}</math>
+|style="text-align:right;"|שנכה ע' בעצמו והיה מ&#x202B;'
 |-
-|Q.E.D.
+|
-|style="text-align:right;"|והוא מה שרצינו לבאר
+:A is divided by B; it is G.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{A\div B=G}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה א' נחלק על ב' והיה ג&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:√9÷√4|766|1Gu9}}<math>\scriptstyle\sqrt{9}\div\sqrt{4}</math>
+:So, [A] returns by the multiplication of B by G.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם יאמרו לך תחלק שרש תשעה על שרש ארבעה{{#annotend:1Gu9}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן מהכאת ב' בג' {{#annot:term|875,1886|OIkJ}}ישוב{{#annotend:OIkJ}} ד&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\div\sqrt{4}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}</math>
+:D is multiplied by E and the result is C.
-|style="text-align:right;"|הנה תחלק תשעה על ארבעה ויגיע לכל חלק שנים ורביע {{#annot:term|795|U1EA}}תקח שרשו{{#annotend:U1EA}} והוא אחד וחצי וככה הוא שרש תשעה {{#annot:term|440|PxDD}}מחולק על{{#annotend:PxDD}} שרש ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D\times E=C}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכמו כן ד' הוכה בע' והיה ח&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:√10÷√2|766|pYYI}}<math>\scriptstyle\sqrt{10}\div\sqrt{2}</math>
+:But, D is already multiplied by itself and the result is B.
-|style="text-align:right;"|ואם אמרו תחלק שרש עשרה על שרש שנים{{#annotend:pYYI}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D^2=B}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר הוכה ד' בעצמו והיה ב&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\div\sqrt{2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}</math>
+:Therefore, the ratio of D to E is the same as B to C.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|783|komJ}}יגיע לחלק{{#annotend:komJ}} חמשה ו{{#annot:term|795|DF46}}קח שרשו{{#annotend:DF46}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D:E=B:C}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כב' אל ח&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:(2×√20)÷(3×√6)|801|sCCw}}<math>\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}</math>
+:E is multiplied by itself and the result is M.
-|style="text-align:right;"|ואם אמר לך תחלק שנים שרשים מעשרים על שרשים שלשה מששה{{#annotend:sCCw}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{E^2=M}}</math>
+|style="text-align:right;"|וע' הוכה בעצמו והיה מ&#x202B;'
 |-
 |
-::the root of which number is <math>\scriptstyle2\sdot\sqrt{20}</math>?
+:It is multiplied by D and the result is C.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|1045|Whmt}}תחפש{{#annotend:Whmt}} שני שרשים מעשרים לאי זה מספר הם שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{E\times D=C}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוכה בד' והיה ח&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{20}=\sqrt{80}}}</math>
+:Therefore, the ratio of D to E is the same as the ratio of C to M.
-|style="text-align:right;"|וידענו ממה שבארנו שהם שרש לשמונים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{D:E=C:M}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כיחס ח' אל מ&#x202B;'
 |-
 |
-::the root of which number is <math>\scriptstyle3\sdot\sqrt{6}</math>?
+:But, the ratio of B to C is also the same as D to E.
-|style="text-align:right;"|ותחפש כמו כן שלשה שרשים מששה לאי זה מספר הם שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B:C=D:E}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס ב' אל ח' גם כן כד' אל ע&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt{6}=\sqrt{54}}}</math>
+:Therefore, the ratio of B to C is the same as C to M.
-|style="text-align:right;"|והנה הם שרש לחמשים וארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B:C=C:M}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ב' אל ח' כח' אל מ&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}</math>
+:So, the product of B by M is the same as the product of C by itself.
-|style="text-align:right;"|ויהיה כאלו שאל {{#annot:term|784|hdCo}}לחלק{{#annotend:hdCo}} שרש שמנים על שרש ארבעה וחמשים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times M=C^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכאת ב' במ' תהיה כמו הכאת ח' בעצמו
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{20}\div3\sqrt{6}=\sqrt{80}\div\sqrt{54}=\sqrt{\frac{80}{54}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\right)}}}</math>
+:But, the product of C by itself is A.
-|style="text-align:right;"|והנה {{#annot:term|784|QMhB}}נחלק{{#annotend:QMhB}} שמנים על ארבעה וחמשים ו{{#annot:term|783|iTxI}}יעלה אל החלק{{#annotend:iTxI}} אחד שלם וארבעה תשיעיות ושלישית התשיעית<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{C^2=A}}</math>
-ושרש זה הוא {{#annot:term|783|CEf5}}העולה אל החלק{{#annotend:CEf5}} מחלוקת שני שרשים מעשרים על שלשה שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה
+|style="text-align:right;"|אבל הכאת ח' בעצמו היא א&#x202B;'
 |-
-|Proceed with all that is of this kind as in this procedure.
+|
-|style="text-align:right;"|וכמו כן כל אשר יגיע בידך מזה המין תעשה עמו כמעשה הזה
+:Hence, the product of B by M is also A.
-|-
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times M=A}}</math>
-!Geometric illustration
+|style="text-align:right;"|ולכן הכאת ב' במ' היא גם כן א&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונניח גם כן לזה המין תמונה כוללת
-|-
-|For every two numbers, one of which is divided by the other, the root of the quotient is the same as the quotient of the root of the dividend divided by the root of the divisor <math>\scriptstyle\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונאמ' כי כל שני מספרים ש{{#annot:term|440|YCAx}}יחלק אחד מהם על האחר{{#annotend:YCAx}} יהיה שרש {{#annot:term|783|uIRR}}העולה לחלק{{#annotend:uIRR}} כמו {{#annot:term|783|MRl3}}העולה מחלוקת{{#annotend:MRl3}} שרש המספר הנחלק בשרש {{#annot:term|604|S2en}}המספר המחלק{{#annotend:S2en}}
 |-
 |
-:[[File:Finzi 21 - II.png|thumb|250px|left]]
+:B is already multiplied by G and the result is also A.
-|[[File:פינצי - II 21.png|thumb|250px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{B\times G=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר הוכה ב' גם כן בג' והיה כמו כן א&#x202B;'
 |-
 |
-:*A &divide; B = G
+:Then M is equal to G.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|197|GyDW}}משל ש{{#annotend:GyDW}}מספר א' נחלק על <s>ב'</s> מספר ב' ועלה מספר ג&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{M=G}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן מ' הוא שוה לג&#x202B;'
 |-
 |
-:*C = &radic;A
+:But, E is the root of M.
-:*D = &radic;B
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{E=\sqrt{M}}}</math>
-:*&radic;A &divide; &radic;B = C &divide; D = E
+|style="text-align:right;"|אבל ע' היה שרש למ&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ושרש א' שהוא מספר ח' נחלק על שרש ב' שהוא מספר ד' ועלה לחלק מספר ע&#x202B;'
-|-
-|Supposition: E = &radic;G
-|style="text-align:right;"|ונאמ' שע' הוא כמו שרש ג&#x202B;'
-|-
-|Proof:
-:*E<sup>2</sup>=M
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|198|0YKK}}המופת בזה ש{{#annotend:0YKK}}נכה ע' בעצמו והיה מ&#x202B;'
 |-
 |
-::A &divide; B = G
+:Therefore, E is also the root of G.
-|style="text-align:right;"|הנה א' נחלק על ב' והיה ג&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{E=\sqrt{G}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה גם כן ע' שרש לג&#x202B;'
 |-
 |
-::B &times; G = D
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|ולכן מהכאת ב' בג' {{#annot:term|875|OIkJ}}ישוב{{#annotend:OIkJ}} ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-::D &times; E = C
-|style="text-align:right;"|וכמו כן ד' הוכה בע' והיה ח&#x202B;'
+=== Chapter on the Addition of the Roots one the the other and Their Subtraction ===
+|style="text-align:right;"|<big>פרק</big> ב{{#annot:term|154,1208|LMS9}}חבור{{#annotend:LMS9}} השרשים האחד עם האחר וב{{#annot:term|155,1248|bJ2u}}גרעונם{{#annotend:bJ2u}}
 |-
 |
-::D<sup>2</sup>=B
+==== <span style=color:Green>Addition of Roots</span> ====
-|style="text-align:right;"|וכבר הוכה ד' בעצמו והיה ב&#x202B;'
-|-
 |
-::D : E = B : C
+|-
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כב' אל ח&#x202B;'
+|He said: when you wish to add a root of a number to a root of another number so that a root of a certain square is summed from them:
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר תרצה לחבר שרש מספר מהמספרי' עם שרש מספר אחר עד ש{{#annot:term|178,1841|IXND}}יקובץ{{#annotend:IXND}} מהם {{#annot:term|133,1262|EURV}}שרש מרובע{{#annotend:EURV}} מה
+|-
+|This cannot be done with every number, but it is possible for two [perfect] square numbers, i.e. numbers that have a root; or for two numbers, such that when one [of them] is divided by the other, the quotient has a root, and when one [of them] is multiplied by the other, the product has a root.
+|style="text-align:right;"|הנה לא יהיה נכון לעשות זה בכל מספר אבל יתכן זה בשני {{#annot:term|857,1263|iEXI}}מספרי' מרובעי'{{#annotend:iEXI}} רצו' ש{{#annot:term|792,2043|jeLt}}יחזיקו שרש{{#annotend:jeLt}} או בשני מספרים שכאשר נחלק האחד על האחר יהיה לאשר עלה אל החלק שרש וכאשר תכה האחד באחר היה אל {{#annot:term|241,1217|QOm4}}המקובץ{{#annotend:QOm4}} שרש
+|-
+|For numbers other than these it is not possible that you sum their two roots to a single root.
+|style="text-align:right;"|ובמספרי' אחרים זולת אלו אי אפש' שתחבר שני שרשיהם עד שתשיבם שרש אחד
+|-
+|The same property is found in the subtraction of roots one from the other.
+|style="text-align:right;"|וכמו כן הענין ב{{#annot:term|155,1248|lyQn}}גרעון{{#annotend:lyQn}} השרשים האחד מהאחר
+|-
+|This is especially clear when both numbers are [perfect] squares.
+|style="text-align:right;"|ואלו יהיו מאד &#x202B;<ref>306r</ref>מבוארים כאשר יהיו שני המספרים מרובעי&#x202B;'
 |-
 |
-::E<sup>2</sup>=M
+*{{#annot:√9+√4|738|1OzL}}As if you say: nine and four - we wish to sum their roots so that they become a root of a single number.
-|style="text-align:right;"|וע' הוכה בעצמו והיה מ&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}</math>
+|style="text-align:right;"|כאלו תאמ' תשעה וארבעה ורצינו לחבר שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד{{#annotend:1OzL}}
 |-
 |
-::E &times; D = C
+:Sum up nine and four; it is [thirteen]. Keep it.
-|style="text-align:right;"|והוכה בד' והיה ח&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{9+4=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחבר תשעה וארבעה ויהיו שלשה ותשמרם
 |-
 |
-::D : E = C : M
+:Multiply nine by four; it is thirty-six.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כיחס ח' אל מ&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה תשעה בארבעה ויהיו שלשים ושש
 |-
 |
-::B : C = D : E
+:Take its two roots; they are twelve.
-|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס ב' אל ח' גם כן כד' אל ע&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{36}=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקח שני שרשיו והם שתיים עשרה
 |-
 |
-::B : C = C : M
+:Add it to the reserved; it is twenty-five and it is the same as the sum of the root of nine and the root of four.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה יחס ב' אל ח' כח' אל מ&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|178,1165|iC9I}}תחברם עם{{#annotend:iC9I}} השמור ויהיו עשרים וחמשה והם כמו שרש תשעה ושרש ארבעה מקובצים
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-::B &times; M = C<sup>2</sup>
-|style="text-align:right;"|והכאת ב' במ' תהיה כמו הכאת ח' בעצמו
 |-
 |
-::C<sup>2</sup> = A
+:He said: I will explain this by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|אבל הכאת ח' בעצמו היא א&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-::B &times; M = A
+:[[File:Finzi 22.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|ולכן הכאת ב' במ' היא גם כן א&#x202B;'
+|[[File:פינצי 22.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-::B &times; G = A
+:We suppose line AB is a root of nine.
-|style="text-align:right;"|וכבר הוכה ב' גם כן בג' והיה כמו כן א&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב שרש לתשעה
 |-
 |
-::M = G
+:Line AG is a root of four.
-|style="text-align:right;"|אם כן מ' הוא שוה לג&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו א"ג שרש לארבעה
 |-
 |
-::E = &radic;M
+:We wish to know the root of which number is line GB?
-|style="text-align:right;"|אבל ע' היה שרש למ&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ונרצה שנדע קו ג"ב שרש לאי זה מספר הוא
 |-
 |
-::E = &radic;G
+:We construct square GZ on line GB.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה גם כן ע' שרש לג&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GZ=GB^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|נעשה על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ז
 |-
-|Q.E.D.
+|
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+:We construct square ABKL on line AB.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{ABKL=AB^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונעשה על קו א"ב שטח מרובע עליו אבכ"ל
 |-
 |
+:We extend line AK straight to point C.
-=== Addition and Subtraction of Roots ===
+|style="text-align:right;"|ונוציא קו א"כ על יושר עד נקודת ח&#x202B;'
-!style="text-align:right;"|<big>פרק</big> ב{{#annot:term|154|LMS9}}חבור{{#annotend:LMS9}} השרשים האחד עם האחר וב{{#annot:term|155|bJ2u}}גרעונם{{#annotend:bJ2u}}
 |-
 |
-==== [Addition of Roots] ====
+:We also extend line LK to point E.
+|style="text-align:right;"|וכמו כן נוציא קו ל"כ עד נקודת ע&#x202B;'
+|-
 |
+:Surface KB is nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{KB=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה שטח כ"ב הוא תשעה
 |-
-|Adding a root of a number to a root of another number so that they are summed to a root of a certain square:
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> כאשר תרצה {{#annot:term|178|KGpW}}לחבר{{#annotend:KGpW}} שרש מספר מהמספרי' עם שרש מספר אחר עד ש{{#annot:term|447|0Qui}}יקובץ{{#annotend:0Qui}} מהם {{#annot:term|133|EURV}}שרש מרובע{{#annotend:EURV}} מה
+:Since line AB is a root of nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי היה קו א"ב שרש לתשעה
 |-
-|This cannot be done with every number,
+|
-|style="text-align:right;"|הנה {{#annot:term|463|r7lK}}לא יהיה נכון{{#annotend:r7lK}} {{#annot:term|301|ZGMy}}לעשות{{#annotend:ZGMy}} זה בכל מספר
+:Surface EC is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EC=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ע"ח הוא ארבעה
 |-
 |
-*but it is possible for two [perfect] square numbers, i.e. numbers that have a root;
+:Since line EB, which is its side, is equal to AG, which we have assumed that is a root of four.
-|style="text-align:right;"|אבל יתכן זה בשני {{#annot:term|857|iEXI}}מספרי' מרובעי'{{#annotend:iEXI}} רצו' ש{{#annot:term|792|jeLt}}יחזיקו שרש{{#annotend:jeLt}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{EB=AG=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ע"ב שהוא צלעו הוא שוה לא"ג שהנחנוהו שרש לארבעה
 |-
 |
-*or for two numbers, such that when one of them is divided by the other, the quotient has a root, and when one of them is multiplied by the other, the product has a root.
+:Surface AE is [six].
-|style="text-align:right;"|או בשני מספרים שכאשר {{#annot:term|440|cBNU}}נחלק האחד על האחר{{#annotend:cBNU}} יהיה ל{{#annot:term|783|nMlj}}אשר עלה אל החלק{{#annotend:nMlj}} שרש וכאשר תכה האחד באחר היה אל {{#annot:term|241|QOm4}}המקובץ{{#annotend:QOm4}} שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{red}{AE=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"ע הוא תשע&#x202B;'
 |-
-|For numbers other than these it is not possible to sum their two roots to a single root
+|
-|style="text-align:right;"|ובמספרי' אחרים זולת אלו אי אפש' שתחבר שני שרשיהם עד ש{{#annot:term|970|xJzM}}תשיבם שרש אחד{{#annotend:xJzM}}
+:Because it is generated from the product of line AB, which is the same as a root of nine, by line AG, which is a root of four, so it is six, according to what we explained above in the chapter on the multiplication of a root by a root.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AE=AB\times AG=\sqrt{9}\times\sqrt{4}=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי הנה הוא מהכאת קו א"ב שהוא כמו שרש תשעה בקו א"ג שהוא שרש לארבעה ולכן הנה הוא ששה ממה שבארנו למעלה בפרק הכאת שרש בשרש
 |-
-|The same property is found in the subtraction of roots one from the other
+|
-|style="text-align:right;"|וכמו כן הענין ב{{#annot:term|155|lyQn}}גרעון{{#annotend:lyQn}} השרשים האחד מהאחר
+:Surface LC is also six.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{LC=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכמו כן יהיה שטח ל"ח גם כן ששה
 |-
-|This is especially clear when both numbers are [perfect] squares.
+|
-|style="text-align:right;"|ואלו יהיו מאד {{#annot:term|943|39ac}}מבוארים{{#annotend:39ac}} כאשר יהיו שני המספרים מרובעי&#x202B;'
+:The sum of these four surfaces is twenty-five and they are the whole surface GZ.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GZ=KB+EC+AE+LC=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומקובץ כל אלו הארבעה שטחי' הנה הוא עשרים וחמשה והם כל שטח ג"ז
 |-
 |
-*{{#annot:√9+√4|757|1OzL}}<math>\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}</math>
+:Line BG, which is its root, is five.
-|style="text-align:right;"|כאלו תאמ' תשעה וארבעה ורצינו לחבר שרשיהם עד ש{{#annot:term|799|NWtf}}יהיו שרש ל{{#annotend:NWtf}}מספר אחד{{#annotend:1OzL}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=\sqrt{GZ}=\sqrt{25}=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ב"ג שהוא שרשו יהיה חמשה
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{9+4=13}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|תחבר תשעה וארבעה ויהיו שלשה ו{{#annot:term|459|bcwt}}תשמרם{{#annotend:bcwt}}
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותכה תשעה בארבעה ויהיו שלשים ושש
+==== <span style=color:Green>Subtraction of Roots</span> ====
+|
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{36}=12}}</math>
+*{{#annot:√9-√4|739|YpmS}}He said: when you wish to subtract a root of four from a root of nine, so that what remains is a root of a single number.
-|style="text-align:right;"|ותקח שני שרשיו והם שתיים עשרה
+:<math>\scriptstyle\sqrt{9}-\sqrt{4}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר תרצה לגרוע שרש ארבעה משרש <s>ששה</s> תשעה עד שיהיה מה שישאר שרש למספר אחד{{#annotend:YpmS}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}</math>
+:Add nine to four; it is thirteen. Keep it.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|178|68fK}}תחברם עם{{#annotend:68fK}} השמור ויהיו עשרים וחמשה והם כמו שרש תשעה ושרש ארבעה מקובצים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{9+4=13}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|תחבר התשעה עם הארבעה ויהיו שלשה עשר ותשמרם
-!Geometric illustration
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
 |
-:[[File:Finzi 22.png|thumb|100px|left]]
+:Multiply nine by four; it is thirty-six.
-|[[File:פינצי 22.png|thumb|100px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה תשעה וארבעה ויהיו שלשים ושש
 |-
 |
-::defining:
+:Take its two roots; they are twelve.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{36}=12}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב שרש לתשעה
+|style="text-align:right;"|ותקח שני שרשיו והם שנים עשר
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+:Subtract it from the reserved; one remains.
-|style="text-align:right;"|וקו א"ג שרש לארבעה
+|style="text-align:right;"|ותגרעם מהשמור וישאר אחד
 |-
 |
-::the root of which number is GB?
+:The root of one, which is one, is the remainder of the root of nine, when you subtract a root of four from it.
-|style="text-align:right;"|ונרצה שנדע קו ג"ב שרש לאי זה מספר הוא
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}-\sqrt{4}=\sqrt{13-12}=\sqrt{1}=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרש האחד הוא יהיה הנשאר מהשרש תשעה בגרעך ממנו שרש ארבעה והוא אחד
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration</span>
 |
-::constructing:
-:*GZ□ = GB<sup>2</sup>
-|style="text-align:right;"|נעשה על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ז
 |-
 |
-:*ABKL□ = AB<sup>2</sup>
+:I will explain it to you by this geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|ונעשה על קו א"ב שטח מרובע עליו אבכ"ל
+|style="text-align:right;"|ואבאר לך זה בזאת התמונ&#x202B;'
 |-
 |
-:*extending line AK straight to C
+:[[File:Finzi 23.png|thumb|100px|left]]
-|style="text-align:right;"|ונוציא קו א"כ על יושר עד נקודת ח&#x202B;'
+|[[File:פינצי 23.png|thumb|100px|right]]
 |-
 |
-:*extending line LK to E
+:We suppose line AB is a root of nine.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן נוציא קו ל"כ עד נקודת ע&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=\sqrt{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|נניח קו א"ב שרש לתשעה
 |-
 |
-::KB□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:Line AG is a root of four.
-|style="text-align:right;"|הנה שטח כ"ב הוא תשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=\sqrt{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו א"ג שרש לארבעה
 |-
 |
-:::AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
+:When we subtract line AG from line AB, line GB remains.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי היה קו א"ב שרש לתשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=AB-AG}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר נגרע קו א"ג מקו א"ב ישאר קו ג"ב
 |-
 |
-::EC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:We wish to know the root of which number is the number of line GB?
-|style="text-align:right;"|ושטח ע"ח הוא ארבעה
+|style="text-align:right;"|ורצינו לדעת מספר קו ג"ב לאי זה מספר הוא שרש
 |-
 |
-:::EB = AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+:We construct square AZ on line AB.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי קו ע"ב שהוא צלעו הוא שוה לא"ג שהנחנוהו שרש לארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AZ=AB^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|נשים על קו א"ב שטח מרובע עליו א"ז
 |-
 |
-::AE□ = <math>\scriptstyle{\color{red}{6}}</math>
+:The area of AZ is nine.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"ע הוא תשע&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AZ=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"ז תשעה
 |-
 |
-:::AE□ = AB &times; AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\times\sqrt{4}=6}}</math>
+:We construct square AM on line AG.
-|style="text-align:right;"|כי הנה הוא מהכאת קו א"ב שהוא כמו שרש תשעה בקו א"ג שהוא שרש לארבעה<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=AG^2}}</math>
-ולכן הנה הוא ששה
+|style="text-align:right;"|ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו א"מ
 |-
 |
-:::according to what was explained above in the chapter on multiplication of a root by a root
+:The area of AM is four.
-|style="text-align:right;"|ממה שבארנו למעלה בפרק הכאת שרש בשרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"מ ארבעה
 |-
 |
-::LC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6}}</math>
+:Extend lines GM and CM straight to points N and K.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן יהיה שטח ל"ח גם כן ששה
+|style="text-align:right;"|ותוציא קוי ג"מ וח"מ על יושר עד שתי נקודות נ' וכ&#x202B;'
 |-
 |
-::the sum of these four surfaces [KB□ + EC□ + AE□ + LC□] = GZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:It is known that square MZ is the same as the product of line GB by itself.
-|style="text-align:right;"|ומקובץ כל אלו הארבעה שטחי' הנה הוא עשרים וחמשה והם כל שטח ג"ז
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MZ=GB^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה הוא ידוע כי מרובע מ"ז הוא כמו הכאת קו ג"ב בעצמו
 |-
 |
-:BG = &radic;GZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{25}=5}}</math>
+:Since line MG, which is its side, is equal to line GB.
-|style="text-align:right;"|וקו ב"ג שהוא שרשו יהיה חמשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MG=GB}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי <s>הכאת</s> קו מ"ג שהוא צלעו הוא שוה לקו ג"ב
 |-
-|Q.E.D.
+|
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+:Surface CK is two.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CK=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ח"כ הוא שנים
 |-
 |
+:Since the whole surface AK is six, because it is generated from the product of line AG, which is a root of four, by line AH, which is a root of nine.
-==== [Subtraction of Roots] ====
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AK=AG\times AH=\sqrt{4}\times\sqrt{9}=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי היה כל שטח א"כ ששה מפני כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שרש לארבעה בקו א"ה שהוא שרש לתשעה
+|-
 |
+:Surface AM is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח א"מ היה ארבעה
 |-
 |
-*{{#annot:√9-√4|762|YpmS}}<math>\scriptstyle\sqrt{9}-\sqrt{4}</math>
+:Therefore, the remaining surface CK is two.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> וכאשר תרצה {{#annot:term|181|XJsz}}לגרוע{{#annotend:XJsz}} שרש ארבעה משרש ששה תשעה עד שיהיה מה שישאר שרש למספר אחד{{#annotend:YpmS}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CK=AC-AM=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולזה ישאר שטח ח"כ שנים
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{9+4=13}}</math>
+:Surface MB is also two.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|178|BB06}}תחבר ה{{#annotend:BB06}}תשעה עם הארבעה ויהיו שלשה עשר ותשמרם
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MB=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכמו כן יהיה שטח מ"ב שנים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}</math>
+:So, the sum of the three surfaces CK, MB, and AM is eight.
-|style="text-align:right;"|ותכה תשעה וארבעה ויהיו שלשים ושש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CK+MB+AM=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כי מקובץ שלשה שטחי ח"כ מ"ב א"מ הוא שמנה
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{36}=12}}</math>
+:But, the whole surface AZ is nine.
-|style="text-align:right;"|ותקח שני שרשיו והם שנים עשר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AZ=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל כל שטח א"ז היה תשעה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}-\sqrt{4}=\sqrt{13-12}=\sqrt{1}=1}}</math>
+:Hence, the remaining surface MZ is one.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|181|jDwk}}תגרעם מ{{#annotend:jDwk}}השמור ו{{#annot:term|936|d7CT}}ישאר{{#annotend:d7CT}} אחד<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MZ=1}}</math>
-ושרש האחד הוא יהיה הנשאר מהשרש תשעה {{#annot:term|155|BIZq}}בגרעך{{#annotend:BIZq}} ממנו שרש ארבעה והוא אחד
+|style="text-align:right;"|הנה כי ישאר שטח מ"ז אחד
 |-
-!Geometric illustration
+|
-|style="text-align:right;"|ואבאר לך זה בזאת התמונ&#x202B;'
+:Line MN that is equal to line GB is its root, which is one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=MN=\sqrt{MZ}=\sqrt{1}=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו מ"נ השוה לקו ג"ב הוא שרשו והוא אחד
 |-
 |
-:[[File:Finzi 23.png|thumb|100px|left]]
+:Q.E.D.
-|[[File:פינצי 23.png|thumb|100px|right]]
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-::defining:
+*{{#annot:√18+√8|738|H0sg}}He said: if we wish to sum up the root of eighteen with the root of eight, so they become a root of a single number.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}</math>
-|style="text-align:right;"|נניח קו א"ב שרש לתשעה
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>306v</ref><big>אמר</big> ואם רצינו לחבר שרש שמנה עשר עם שרש שמנה עד שיהיו שרש למספר אחד{{#annotend:H0sg}}
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}}}</math>
+:We know that their sum is appropriate.
-|style="text-align:right;"|וקו א"ג שרש לארבעה
+|style="text-align:right;"|הנה ידענו כי {{#annot:term|154,1208|b105}}חבורם{{#annotend:b105}} {{#annot:term|2079,2062|2DB8}}נכון{{#annotend:2DB8}}
 |-
 |
-::GB = AB - AG
+:Because, when we divide eighteen by eight, the quotient is two and a quarter and it has a root, for its root is one and a half.
-|style="text-align:right;"|וכאשר נגרע קו א"ג מקו א"ב ישאר קו ג"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|בעבור כי כאשר חלקנו שמנה עשר על שמנה יגיע לחלק שנים ורביע והם {{#annot:term|792,2043|6J6W}}מחזיקים שרש{{#annotend:6J6W}} כי שרשם הוא אחד וחצי
 |-
 |
-::the root of which number is GB?
+:If we divide eight by eighteen, the quotient is four-ninths and it has a root - its root is two-thirds.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|391|aIZk}}רצינו ל{{#annotend:aIZk}}דעת מספר קו ג"ב לאי זה מספר הוא שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{8}{18}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם חלקנו שמנה <s>עשר</s> על שמנה עשר יגיע לחלק ארבע תשיעיות והם מחזיקים שרש ושרשם הוא שני שלישים
 |-
 |
-::constructing: AZ□ = AB<sup>2</sup>
+:If you multiply eighteen by eight, it is 144 and it has a root - its root is twelve.
-|style="text-align:right;"|נשים על קו א"ב שטח מרובע עליו א"ז
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18\sdot8}=\sqrt{144}=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תכה שמנה עשר בשמנה יהיו קמ"ד ומחזיקים שרש ושרשם שתים עשרה
+|-
+|We already noted that for any two numbers that obey this rule, i.e. that have these three properties, we can sum up their two roots so they become a root of a single number.
+|style="text-align:right;"|וכבר אמרנו כי כל שני מספרים יהיה {{#annot:term|222|8sTT}}משפטם{{#annotend:8sTT}} זה המשפט ר"ל שיסוגלו באלו השלש סגולות הנה אז יהיה נכון לנו לקבץ שני שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד
+|-
+|If one of the three properties is absent, all three properties are absent.
+|style="text-align:right;"|וכאשר יבצר מהם אחת מאלו השלש סגולות יהיו שלשתם נמנעות מהן
 |-
 |
-::AZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:When we wish to know the root of which number is the sum of the two roots we mentioned, follow the procedure we said earlier.
-|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"ז תשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{18}+\sqrt{8}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר רצינו לדעת {{#annot:term|388,1211|gdu7}}קבוץ ה{{#annotend:gdu7}}שני שרשים אשר אמרנו לאיזה מספר הם שרש תעשה כפי המעשה שאמרנו קודם
 |-
 |
-::constructing: AM□ = AG<sup>2</sup>
+:It is that you sum up eight with eighteen; it is twenty-six. Keep it.
-|style="text-align:right;"|ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו א"מ
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{8+18=26}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שתחבר שמנה עם שמנה עשר ויהיו ששה ועשרים ותשמרם
 |-
 |
-::AM□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Multiply eight by eighteen; the result is 144.
-|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"מ ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot18=144}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה שמנה בשמנה עשר ויעלה קמ"ד
 |-
 |
-:*extending lines GM and CM straight to points N and K
+:Take its two roots; they are twenty-four.
-|style="text-align:right;"|ותוציא קוי ג"מ וח"מ על יושר עד שתי נקודות נ' וכ&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{144}=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקח שני שרשיו והוא ארבעה ועשרים
 |-
 |
-::MZ□ = GB<sup>2</sup>
+:Add it to the reserved; it is fifty.
-|style="text-align:right;"|הנה הוא ידוע כי מרובע מ"ז הוא כמו הכאת קו ג"ב בעצמו
+|style="text-align:right;"|ותחברם עם השמור ויהיו חמשים
 |-
 |
-:::MG = GB
+:Its root is the same as the sum of the root of eight and the root of eighteen.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי <s>הכאת</s> קו מ"ג שהוא צלעו הוא שוה לקו ג"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}+\sqrt{8}=\sqrt{26+24}=\sqrt{50}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרשו הוא כמו שרש שמנה ושרש שמנה עשר מקובצים
 |-
 |
-::CK□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+*{{#annot:√18-√8|739|uKgY}}If we want to subtract the root of eight from the root of eighteen.
-|style="text-align:right;"|ושטח ח"כ הוא שנים
+:<math>\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם באנו לגרוע שרש שמנה משרש שמנה עשר{{#annotend:uKgY}}
 |-
 |
-:::AC□ = AG &times; AH = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}\times\sqrt{9}=6}}</math>
+:Subtract twenty-four from the reserved; two remains and the root of two is what remains from the root of eighteen, when the root of eight is subtracted from it.
-|style="text-align:right;"|בעבור כי היה כל שטח א"כ ששה מפני כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שרש לארבעה בקו א"ה שהוא שרש לתשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תגרע הארבעה ועשרים מהשמור וישארו שנים ושרש שנים הוא מה שישאר משרש שמנה עשר כאשר יגרע ממנו שרש שמנה
 |-
 |
-:::AM□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+*{{#annot:√10+√2|738|MvKX}}He said: if we wish to sum up the root of ten with the root of two.
-|style="text-align:right;"|ושטח א"מ היה ארבעה
+:<math>\scriptstyle\sqrt{10}+\sqrt{2}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם רצינו לחבר שרש עשרה עם שרש שנים{{#annotend:MvKX}}
 |-
 |
-:::CK□ = AC□ - AM□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:This cannot be summed to a root of a single number.
-|style="text-align:right;"|ולזה ישאר שטח ח"כ שנים
+|style="text-align:right;"|זה לא יתכן לחברו גם לא יתכן להיות מקובצם שרש למספר אחד
 |-
 |
-::MB□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:Because, when you divide ten by two, the quotient is five and five has no root.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן יהיה שטח מ"ב שנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי הנה כאשר תחלק עשרה על שנים יגיע לחלק חמשה וחמשה אינם מחזיקים שרש
 |-
 |
-::CK□ + MB□ + AM□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8}}</math>
+:When you divide two by ten, the quotient is fifth and the fifth has no root.
-|style="text-align:right;"|הנה כי מקובץ שלשה שטחי ח"כ מ"ב א"מ הוא שמנה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{10}}=\sqrt{\frac{1}{5}}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר תחלק שנים על עשרה יגיע לחלק חומש ואין שרש לחומש
 |-
 |
-::AZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:When you multiply two by ten, it is twenty and twenty has no root.
-|style="text-align:right;"|אבל כל שטח א"ז היה תשעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10}=\sqrt{20}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר תכה שנים בעשרה יהיו עשרים ואין לעשרים שרש
 |-
 |
-::MZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{1}}</math>
+:If we sum them by the mentioned method, the root of two roots of twenty plus twelve is the sum of the root of ten and the root of two.
-|style="text-align:right;"|הנה כי ישאר שטח מ"ז אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}+\sqrt{2}=\sqrt{12+2\sqrt{20}}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם קבצנום על הדרך האמור יהיה השרש משנים שרשים מעשרים {{#annot:term|178,1841|WYz5}}מקובצים עם{{#annotend:WYz5}} שנים עשר הוא שרש עשרה ושרש שנים מקובצים
 |-
 |
-::GB = MN = &radic;MZ□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1}=1}}</math>
+:If we subtract one from the other by the mentioned method, we get that the root of the remainder of twelve after two roots of twenty are subtracted from it is the same as what remains from the root of ten when the root of two is subtracted from it.
-|style="text-align:right;"|וקו מ"נ השוה לקו ג"ב הוא שרשו והוא אחד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}-\sqrt{2}=\sqrt{12-2\sqrt{20}}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם גרענו האחד מהאחר על הדרך האמור יצא לנו כי שרש הנשאר משנים עשר כאשר יגרע מהם שנים שרשים מעשרים הוא כמו <s>שרש</s> מה שישאר משרש עשרה כאשר יגרע ממנו שרש שנים
 |-
-|Q.E.D.
+|The question is more proper than the answer.
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+|style="text-align:right;"|והשאלה בזה יותר נכונה מהתשובה
 |-
-|
+|When you are asked a question of this kind, your answer should be exactly similar to what was introduced to you.
-*{{#annot:√18+√8|757|H0sg}}<math>\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}=\sqrt{a}-\sqrt{b}</math>
+|style="text-align:right;"|וראוי לך כאשר ישאלו ממך אי זו השאלה מזה הסוג שתהיה תשובתך עליה על דמיון אשר יוציאו לפניך בשוה
-|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ואם רצינו לחבר שרש שמנה עשר עם שרש שמנה עד שיהיו שרש למספר אחד{{#annotend:H0sg}}
 |-
-|
+|Because, when it is said "the root of ten and the root of two summed together", it is more proper than saying "the root of twelve plus two roots of twenty".
-::their sum is appropriate
+|style="text-align:right;"|כי כאשר יאמר שרש עשרה ושרש שנים מקובצי' הוא יותר נכון ממאמ' שרש שנים עשר ושני שרשים מעשרים
-|style="text-align:right;"|הנה ידענו כי {{#annot:term|441|b105}}חבורם{{#annotend:b105}} {{#annot:term|462|ayoK}}נכון{{#annotend:ayoK}}
 |-
-|
+|Also, for subtracting one from the other: it is more proper to say "the root of ten minus the root of two", than to say "the root of twelve minus two roots of twenty, which is the root of eighty".
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכמו כן בגרעון האחד מהאחר יותר נכון הוא לאמר שרש <s>שנים</s> עשרה פחות שרש שנים מלאמר שרש שנים עשר פחות שני שרשים מעשרים שהוא שרש שמנים
-|style="text-align:right;"|בעבור כי כאשר חלקנו שמנה עשר על שמנה יגיע לחלק שנים ורביע והם {{#annot:term|792|3Sot}}מחזיקים שרש{{#annotend:3Sot}} כי שרשם הוא אחד וחצי
 |-
-|
+|What I have explained about it is sufficient and complete.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{8}{18}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ודי במה שבארתי מזה ובו השלמה
-|style="text-align:right;"|ואם חלקנו שמנה <s>עשר</s> על שמנה עשר יגיע לחלק ארבע תשיעיות והם מחזיקים שרש ושרשם הוא שני שלישים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18\sdot8}=\sqrt{144}=12}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם תכה שמנה עשר בשמנה יהיו קמ"ד ומחזיקים שרש ושרשם שתים עשרה
+== Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations ==
+!style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>307r</ref><big>פרק</big>
 |-
-|For any two numbers that obey this rule, i.e. that have these three properties, their two roots can be summed to a root of a single number
+|He said: I give you a question for each of the six types [of canonical equations] that we noted first, which the algebraists may have already taught you:
-|style="text-align:right;"|וכבר {{#annot:term|275|ZmsO}}אמרנו כי{{#annotend:ZmsO}} כל שני מספרים יהיה {{#annot:term|222|8sTT}}משפטם{{#annotend:8sTT}} זה המשפט ר"ל שיסוגלו באלו השלש {{#annot:term|373|B1U1}}סגולות{{#annotend:B1U1}} הנה אז {{#annot:term|462|CSHR}}יהיה נכון לנו {{#annot:term|797|CtX7}}ל{{#annotend:CSHR}}קבץ{{#annotend:CtX7}} שני שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד
+|style="text-align:right;"|אמ' הנני עושה לך שאלה לכל חלק מהששה חלקים אשר הודענו ראשונה ואפש' שכבר יורוך אותם {{#annot:term|781,1311|YBWR}}חכמי האלגבר{{#annotend:YBWR}}
 |-
-|If one of the three properties is absent, all three properties are absent.
+|
-|style="text-align:right;"|וכאשר יבצר מהם אחת מאלו השלש סגולות יהיו שלשתם נמנעות מהן
+*{{#annot:a+b=10, a²=1½ab|619|nJqx}}[1] He said: the first problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger by itself is the same as one time and a half of the product of the one part by the other.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=\left(a\sdot b\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(a\sdot b\right)\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה הראשונה היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני {{#annot:term|606,1259|Vr9G}}חלקים{{#annotend:Vr9G}} באופן שתהיה הכאת החלק הגדול בעצמו כמו פעם וחצי מהעולה מהכאת החלק האחד באחר{{#annotend:nJqx}}
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle\sqrt{18}+\sqrt{8}</math>
+:The procedure is that we suppose the larger part is one thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>] and the other part is ten minus a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|וכאשר רצינו לדעת {{#annot:term|388|gdu7}}קבוץ ה{{#annotend:gdu7}}שני שרשים אשר אמרנו לאיזה מספר הם שרש תעשה כפי המעשה שאמרנו קודם
+|style="text-align:right;"|והמעשה בזה הוא שנניח {{#annot:term|606,1259|85Ut}}החלק{{#annotend:85Ut}} הגדול דבר אחד והחלק האחר ישאר עשרה פחות דבר
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{8+18=26}}</math>
+:We multiply a thing by ten minus a thing; it is ten things minus a square.
-|style="text-align:right;"|והוא שתחבר שמנה עם שמנה עשר ויהיו ששה ועשרים ותשמרם
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot18=144}}</math>
+:We multiply the larger part, which is a thing, by itself; it is a square.
-|style="text-align:right;"|ותכה שמנה בשמנה עשר ויעלה קמ"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה החלק הגדול והוא דבר בעצמו והוא מרובע
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{144}=24}}</math>
+:This square is as the ten things minus a square plus its half.
-|style="text-align:right;"|ותקח שני שרשיו והוא ארבעה ועשרים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(10x-x^2\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(10x-x^2\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|והיה זה המרובע כמו העשרה דברי' פחות מרובע וכמו חצי זה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}+\sqrt{8}=\sqrt{26+24}=\sqrt{50}}}</math>
+:We multiply ten things minus a square by one and a half; the result is fifteen things minus a square and a half and they are as the square.
-|style="text-align:right;"|ותחברם עם השמור ויהיו חמשים<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10x-x^2\right)=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)=x^2}}</math>
-ושרשו הוא כמו שרש שמנה ושרש שמנה עשר מקובצים
+|style="text-align:right;"|ונכה עשרה דברים פחות מרובע באחד וחצי ויעלה חמשה עשר דברים פחות מרובע וחצי והם יהיו כמו המרובע
 |-
 |
-*{{#annot:√18-√8|762|uKgY}}<math>\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}</math>
+:*<span style="color:Green>Restoration:</span>
-|style="text-align:right;"|ואם {{#annot:term|1000|UAwu}}באנו ל{{#annotend:UAwu}}גרוע שרש שמנה משרש שמנה עשר{{#annotend:uKgY}}
+|
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}}}</math>
+:Restore the square and a half with the 15 things until they are fifteen whole things; add the square and a half to the square.
-|style="text-align:right;"|תגרע הארבעה ועשרים מהשמור וישארו שנים ושרש שנים הוא {{#annot:term|458|I5aJ}}מה שישאר מ{{#annotend:I5aJ}}שרש שמנה עשר כאשר יגרע ממנו שרש שמנה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)+\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)=x^2+\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|866,1190|wV1c}}תאסוף ה{{#annotend:wV1c}}מרובע וחצי עם הט"ו דברים עד שיהיו חמשה עשר דברים שלמים וכמו כן תקבץ המרובע וחצי עם המרובע
 |-
 |
-*{{#annot:√10+√2|757|MvKX}}<math>\scriptstyle\sqrt{10}+\sqrt{2}</math>
+:So, they are two squares and a half equal fifteen things.
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואם רצינו לחבר שרש עשרה עם שרש שנים{{#annotend:MvKX}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot x^2=15x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואז יהיה שנים מרובעים וחצי יהיו שוים לחמשה עשר דברים
 |-
 |
-:It cannot be summed to a root of a single number
+:*<span style="color:Green>Normalization</span>
-|style="text-align:right;"|זה לא יתכן {{#annot:term|178|ByJ6}}לחברו{{#annotend:ByJ6}} גם לא יתכן להיות מקובצם שרש למספר אחד
+|
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}}}</math> no root
+:Convert them into one square: the square equals six things.
-|style="text-align:right;"|כי הנה כאשר תחלק עשרה על שנים יגיע לחלק חמשה וחמשה {{#annot:term|794|zf7S}}אינם מחזיקים שרש{{#annotend:zf7S}}
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והשיבם אל מרובע אחד ויהיה המרובע ישוה לששה דברים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{10}}=\sqrt{\frac{1}{5}}}}</math> no root
+:The thing equals six and it is the larger part.
-|style="text-align:right;"|וכאשר תחלק שנים על עשרה יגיע לחלק חומש ו{{#annot:term|794|tmMx}}אין שרש ל{{#annotend:tmMx}}חומש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|והדבר ישוה ששה והוא החלק הגדול
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10}=\sqrt{20}}}</math> no root
+:Four, which is what is left of the ten, is the smaller part.
-|style="text-align:right;"|וכאשר תכה שנים בעשרה יהיו עשרים ואין לעשרים שרש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וארבעה הנשאר מהעשרה הוא החלק הקטן
+|-
+|I have shown you this problem [to demonstrate] the first of the six categories [of canonical equations], which is his saying: when the squares equal roots [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2=bx}}</math>].
+|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הראיתיך לחלק הראשון מהששה חלקים והוא אמרו כאשר המרובעים יהיו שוים אל השרשים
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration of the problem</span>
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}+\sqrt{2}=\sqrt{12+2\sqrt{20}}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם קבצנום {{#annot:term|223|SKud}}על הדרך ה{{#annotend:SKud}}אמור יהיה השרש משנים שרשים מעשרים {{#annot:term|447|WYz5}}מקובצים עם{{#annotend:WYz5}} שנים עשר הוא שרש עשרה ושרש שנים מקובצים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}-\sqrt{2}=\sqrt{12-2\sqrt{20}}}}</math>
+:He said: I will explain this problem to you using a geometric illustration:
-|style="text-align:right;"|ואם {{#annot:term|181|WBZa}}גרענו האחד מהאחר{{#annotend:WBZa}} על הדרך האמור {{#annot:term|875|6EVq}}יצא לנו כי{{#annotend:6EVq}} שרש הנשאר משנים עשר כאשר יגרע מהם שנים שרשים מעשרים הוא כמו שרש מה שישאר משרש עשרה כאשר יגרע ממנו שרש שנים
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר לך זאת השאלה ב{{#annot:term|303,1308|nDez}}תמונ' גימטרית{{#annotend:nDez}}
 |-
-|The question is more proper than the answer
+|
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|539|wucg}}השאלה בזה{{#annotend:wucg}} יותר נכונה מה{{#annot:term|540|tLkI}}תשובה{{#annotend:tLkI}}
+:[[File:Finzi 24.png|thumb|100px|left]]
-|-
+|[[File:פינצי 24.png|thumb|100px|right]]
-|When you are asked a question of this kind, your answer should be exactly similar to what was introduced to you.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|386|mZtf}}ראוי לך{{#annotend:mZtf}} כאשר {{#annot:term|908|ggev}}ישאלו ממך{{#annotend:ggev}} אי זו השאלה מזה ה{{#annot:term|431|RArM}}סוג{{#annotend:RArM}} שתהיה {{#annot:term|540|N0Ih}}תשובתך עליה{{#annotend:N0Ih}} על דמיון אשר {{#annot:term|917|HKHx}}יוציאו לפניך{{#annotend:HKHx}} בשוה
 |-
-|It is more proper to say "the root of ten and the root of two summed together", than to say "the root of twelve and two roots of twenty".
+|
-|style="text-align:right;"|כי כאשר יאמר שרש עשרה ושרש שנים מקובצי' הוא יותר נכון ממאמ' שרש שנים עשר ושני שרשים מעשרים
+:It is that we suppose line AB is ten.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
 |-
-|Also, for subtracting one from the other: it is more proper to say "the root of ten minus the root of two", than to say "the root of twelve minus two roots of twenty, which is the root of eighty".
+|
-|style="text-align:right;"|וכמו כן בגרעון האחד מהאחר יותר נכון הוא {{#annot:term|275|sOu4}}לאמר{{#annotend:sOu4}} שרש <s>שנים</s> עשרה פחות שרש שנים מלאמר שרש שנים עשר פחות שני שרשים מעשרים שהוא שרש שמנים
+:We cut it into two unequal parts at point G:
+|style="text-align:right;"|ונחלק בנקודת ג' לשני חלקים בלתי שוים
 |-
-|What was explained is sufficient and complete.
+|
-|style="text-align:right;"|ודי במה שבארתי מזה ובו {{#annot:term|598|169N}}השלמה{{#annotend:169N}}
+:Line AG is the larger part [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>].
+|style="text-align:right;"|קו א"ג הוא החלק הגדול
 |-
 |
+:Line GB is the smaller part [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
-== Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations ==
+|style="text-align:right;"|וקו ג"ב החלק הקטן
-!style="text-align:right;"|<big>פרק</big>
 |-
-|Now, a question is given for each of the six types of canonical equations described above, which could be taught by the algebraists.
+|
-|style="text-align:right;"|אמ' הנני עושה לך שאלה לכל חלק מהששה חלקים אשר הודענו ראשונה ואפש' שכבר יורוך אותם {{#annot:term|781|626w}}חכמי האלגבר{{#annotend:626w}}
+:We multiply line AG by line BG; it is surface GD.
-|-
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG\times BG=GD}}</math>
-!1) The first problem
+|style="text-align:right;"|והכינו קו א"ג בקו ב"ג והיה שטח ג"ד
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה הראשונה
 |-
 |
-*{{#annot:a²=1½ab|716|nJqx}}If you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger by itself is the same as one time and a half of the product of the one part by the other.
+:For, we suppose BD is the same as AG.
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=\left(a\sdot b\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(a\sdot b\right)\end{cases}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=AG}}</math>
-|style="text-align:right;"|היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני {{#annot:term|606|Vr9G}}חלקים{{#annotend:Vr9G}} באופן שתהיה הכאת החלק הגדול בעצמו כמו פעם וחצי מהעולה מהכאת החלק האחד באחר{{#annotend:nJqx}}
+|style="text-align:right;"|כי שמנו ב"ד כמו א"ג
-|-
-|The procedure:
-:defining:
-:*the larger part as one thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|469|xzgV}}המעשה בזה הוא ש{{#annotend:xzgV}}נניח {{#annot:term|606|2BEd}}החלק{{#annotend:2BEd}} הגדול דבר אחד
 |-
 |
-:*the other part as ten minus a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
+:We multiply AG by itself; it is square AH.
-|style="text-align:right;"|והחלק האחר ישאר עשרה פחות דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=AH}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכינו א"ג בעצמו והיה מרובע א"ה
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}</math>
+:We suppose that the area of square AH is as the area of GD plus its half.
-|style="text-align:right;"|ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=GD+\frac{1}{2}GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח כי יהיה שטח מרובע א"ה כמו שטח ג"ד וכמו חציו
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:Hence, line GA is as line GB plus its half.
-|style="text-align:right;"|ונכה החלק הגדול והוא דבר בעצמו והוא מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GA=GB+\frac{1}{2}GB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ג"א כמו קו ג"ב וכמו חציו
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(10x-x^2\right)+\frac{1}{2}\sdot\left(10x-x^2\right)}}</math>
+:So, the whole line AB is as two and a half times line GB.
-|style="text-align:right;"|והיה זה המרובע כמו העשרה דברי' פחות מרובע וכמו חצי זה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=2\frac{1}{2}GB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה קו א"ב כלו כמו קו ג"ב שני פעמים וחצי
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10x-x^2\right)=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}</math>
+:But, line AB is ten.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונכה עשרה דברים פחות מרובע באחד וחצי ויעלה חמשה עשר דברים פחות מרובע וחצי והם יהיו כמו המרובע
+|style="text-align:right;"|אבל קו א"ב הוא עשרה
 |-
 |
-:*Restoration of <math>\scriptstyle15x-\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)</math>:
+:We divide ten by two and a half; the quotient is four, so line BG is four.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|866|wV1c}}תאסוף ה{{#annotend:wV1c}}מרובע וחצי עם הט"ו דברים עד שיהיו חמשה עשר דברים שלמים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BG=a=x=\frac{10}{2+\frac{1}{2}}=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונחלק עשרה לשנים וחצי ויעלה לחלק ארבעה ולכן יהיה קו ב"ג הוא ארבע&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot x^2=15x</math>
+:Line AG is six.
-|style="text-align:right;"|וכמו כן {{#annot:term|797|EJNW}}תקבץ ה{{#annotend:EJNW}}מרובע וחצי עם המרובע ואז יהיה שנים מרובעים וחצי יהיו שוים לחמשה עשר דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=b=10-x=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו א"ג הוא ששה
 |-
 |
-:*Normalization of <math>\scriptstyle\left(x^2+\frac{1}{2}x^2\right)</math>:
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|970|kWYk}}השיבם אל מרובע אחד{{#annotend:kWYk}}
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6x}}</math>
+*{{#annot:a+b=10, 10²=6¼a²|619|LNn6}}[2] He said: and the second problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that the product of ten by itself is the same as the product of one of the parts by itself 6¼ times.
-|style="text-align:right;"|ויהיה המרובע ישוה לששה דברים
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle10^2=a^2\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה השנית כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת עשרה בעצמו כמו הכאת העולה מהכא' אחד החלקי' בעצמו ששה פעמים ורביע{{#annotend:LNn6}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}</math>
+:The procedure is that we suppose one part is a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|והדבר ישוה ששה והוא החלק הגדול
+|style="text-align:right;"|והמעשה בזה שנניח החלק האחד דבר
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}</math>
+:We multiply it by itself; it is a square.
-|style="text-align:right;"|וארבעה הנשאר מהעשרה הוא החלק הקטן
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ונכהו בעצמו והוא מרובע
-|this problem demonstrates the first of the six canonical equations: <math>\scriptstyle ax^2=bx</math>
-|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הראיתיך לחלק הראשון מהששה חלקים {{#annot:term|478|ebu6}}והוא אמרו{{#annotend:ebu6}} כאשר המרובעים יהיו שוים אל השרשים
-|-
-!Geometrical illustration of the problem
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר לך זאת השאלה ב{{#annot:term|303|nDez}}תמונ' גימטרית{{#annotend:nDez}}
 |-
 |
-:[[File:Finzi 24.png|thumb|100px|left]]
+:We multiply the ten by itself; it is one hundred.
-|[[File:פינצי 24.png|thumb|100px|right]]
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה העשרה בעצמם והיו מאה
 |-
 |
-::defining:
+:The one hundred is as six and a quarter times the square. Multiply the square by six an a quarter; it is six squares and a quarter equal one hundred dirham.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
+|style="text-align:right;"|ואלו המאה היו כמו המרובע ששה {{#annot:term|243|7Pir}}פעם{{#annotend:7Pir}} ורביע הנה תכה המרובע בששה ורביע ויהיה ששה מרובעים ורביע ישוו מאה דרהמי
 |-
 |
-::AB is cut into two unequal parts on G:
+:*<span style="color:Green>Normalization</span>
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|440|MldT}}נחלק ב{{#annotend:MldT}}נקודת ג' לשני חלקים בלתי שוים
-|-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
-|style="text-align:right;"|קו א"ג הוא החלק הגדול
 |-
 |
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
+:Convert them into one square by dividing one hundred by six and a quarter that are 25-quarters.
-|style="text-align:right;"|וקו ג"ב החלק הקטן
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100 /\sdot\frac{4}{25}=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והשיבם אל מרובע אחד והוא שתחלק מאה על ששה ורביע שהם כ"ה רביעיות
 |-
 |
-::GD□ = AG &times; GB
+:Each quarter gets four and each square gets sixteen; so the square equals sixteen dirham.
-|style="text-align:right;"|והכינו קו א"ג בקו ב"ג והיה שטח ג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|875,1240|pBmN}}יעלה ל{{#annotend:pBmN}}כל רביע ארבעה ולכל מרובע יעלה שש עשרה ויהיה המרובע שוה ששה עשר דרהמי
 |-
 |
-:::BD = AG
+:Its root is four and this is the required part.
-|style="text-align:right;"|כי {{#annot:term|1009|ip5l}}שמנו{{#annotend:ip5l}} ב"ד כמו א"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרשם ארבעה והוא החלק המבוקש
+|-
+|I have shown you this problem [to demonstrate] the second of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when the squares equal numbers [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2=c}}</math>].
+|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הראיתי לך לחלק השני מהששה &#x202B;<ref>307v</ref>והוא האומר כאשר המרובעים ישוו אל מספרים
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration of the problem</span>
 |
-::AH□ = AG<sup>2</sup>
-|style="text-align:right;"|והכינו א"ג בעצמו והיה מרובע א"ה
 |-
 |
-::defining: AH□ = GD□ + ½GD□
+:He said: I will explain this problem to you using this illustration:
-|style="text-align:right;"|ונניח כי יהיה שטח מרובע א"ה כמו שטח ג"ד וכמו חציו
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר לך זאת השאלה בזאת התמונה
 |-
 |
-::GA = GB + ½GB
+:[[File:Finzi 25.png|thumb|150px|left]]
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ג"א כמו קו ג"ב וכמו חציו
+|[[File:פינצי 25.png|thumb|150px|right]]
 |-
 |
-::AB = 2½GB
+:It is that we suppose line AB is ten.
-|style="text-align:right;"|ויהיה קו א"ב כלו כמו קו ג"ב שני פעמים וחצי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
 |-
 |
-::AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:Line GB is the sought number.
-|style="text-align:right;"|אבל קו א"ב הוא עשרה
+|style="text-align:right;"|וקו ג"ב ממנו הוא המספר המבוקש
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{2+\frac{1}{2}}=4}}</math>
+:We multiply line AB by itself; the result is surface AM, which is one hundred.
-|style="text-align:right;"|ונחלק עשרה לשנים וחצי ו{{#annot:term|783|sbUN}}יעלה לחלק{{#annotend:sbUN}} ארבעה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB^2=AM=10^2=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בעצמו ויצא שטח א"מ והוא מאה
 |-
 |
-::BG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:We multiply line GB by itself; it is square GD.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו ב"ג הוא ארבע&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB^2=GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה קו ג"ב בעצמו ויהיה מרובע ג"ד
 |-
 |
-::AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6}}</math>
+:We suppose that the surface AM, which is one hundred, is as six times and a quarter of surface GD.
-|style="text-align:right;"|וקו א"ג הוא ששה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=100=6\frac{1}{4}GD}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנחנו ששטח א"מ שהוא מאה יהיה כמו ששה פעמים ורביע שטח ג"ד
 |-
-|Q.E.D.
+|
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+:We cut square GD into four identical segments, each of which is equal to surface BC.
-|-
+|style="text-align:right;"|ונחלק מרובע ג"ד לארבעה חלקים שוים כל חלק מהם יהיה כמו שטח ב"ח
-!2) The second problem
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה השנית
 |-
 |
-*{{#annot:10²=6¼a²|716|LNn6}}If you are told: divide ten into two parts, such that the product of ten by itself is the same as the product of one of the parts by itself 6¼ times.
+:Since surface AM is six times and a quarter of surface GD, it is twenty-five times surface BC, which is a quarter of surface GD.
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle10^2=a^2\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\end{cases}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=100=6\frac{1}{4}GD=25\sdot\left(\frac{1}{4}GD\right)=25BC}}</math>
-|style="text-align:right;"|כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת עשרה בעצמו כמו הכאת העולה מהכא' אחד החלקי' בעצמו ששה פעמים ורביע{{#annotend:LNn6}}
+|style="text-align:right;"|הנה מפני שהיה שטח א"מ ששה פעמי' ורביע שטח ג"ד יהיה עשרים וחמשה פעמים כמו שטח ב"ח שהוא רביעיתו שהוא שטח ג"ד
-|-
-|The procedure:
-:*defining one part as a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
-|style="text-align:right;"|והמעשה בזה שנניח החלק האחד דבר
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:But, surface AN is one hundred.
-|style="text-align:right;"|ונכהו בעצמו והוא מרובע
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|אבל שטח א"מ הוא מאה
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}</math>
+:Therefore, surface BC is four.
-|style="text-align:right;"|ונכה העשרה בעצמם והיו מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BC=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ב"ח ארבעה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100}}</math>
+:Surface GD is sixteen.
-|style="text-align:right;"|ואלו המאה היו כמו המרובע ששה {{#annot:term|243|7Pir}}פעם{{#annotend:7Pir}} ורביע הנה תכה המרובע בששה ורביע ויהיה ששה מרובעים ורביע ישוו מאה דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושטח ג"ד ששה עשר
 |-
 |
-:*Normalization of <math>\scriptstyle\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2</math>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot x^2=100 /\sdot\frac{4}{25}=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}}}</math>
+:Line GB, which is its root, is four and this is the required part.
-|style="text-align:right;"|והשיבם אל מרובע אחד והוא שתחלק מאה על ששה ורביע שהם כ"ה רביעיות
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=\sqrt{GD}=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקו ג"ב שהוא שרשו יהיה ארבעה והוא החלק המבוקש
 |-
 |
-:::4 for each quarter
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|875|pBmN}}יעלה ל{{#annotend:pBmN}}כל רביע ארבעה
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
 |
-:::16 for each square
+*{{#annot:a+b=10, b/a=4|619|ogdI}}[3] He said: the third problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that when you divide the larger part by the smaller part the quotient is four.
-|style="text-align:right;"|ולכל מרובע יעלה שש עשרה
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=4\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה השלישית היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר תחלק החלק הגדול על החלק הקטן יגיע לחלק ארבעה{{#annotend:ogdI}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=16}}</math>
+:The procedure is that we suppose the smaller part is a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>] and the larger [part] is ten minus a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|ויהיה המרובע שוה ששה עשר דרהמי
+|style="text-align:right;"|המעשה בזה הוא שנניח החלק הקטן דבר והגדול עשרה פחות דבר
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}</math>
+:We divide ten minus a thing by a thing; the quotient is four.
-|style="text-align:right;"|ושרשם ארבעה והוא החלק המבוקש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר ו{{#annot:term|783,2042|WDb6}}הגיע לחלק{{#annotend:WDb6}} ארבעה
 |-
-|this problem demonstrates the second of the six canonical equations: <math>\scriptstyle ax^2=c</math>
+|I have already shown you that when you multiply the quotient by the divisor you get the dividend
-|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הראיתי לך לחלק השני מ{{#annot:term|702|m2eS}}הששה{{#annotend:m2eS}} {{#annot:term|478|Ss34}}והוא האומר{{#annotend:Ss34}} כאשר המרובעים {{#annot:term|429|Alb8}}ישוו אל{{#annotend:Alb8}} מספרים
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{A}{B}\sdot B=A}}</math>
+|style="text-align:right;"|כבר הראיתיך כי כאשר תכה {{#annot:term|783,2042|tdF2}}המגיע לחלק{{#annotend:tdF2}} על המחלק שיעלה לידך {{#annot:term|605,1227|E3Gq}}המספר המחולק{{#annotend:E3Gq}}
 |-
-!Geometrical illustration of the problem
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר לך זאת {{#annot:term|539|faF5}}השאלה בזאת ה{{#annotend:faF5}}תמונה
+:Therefore, multiply four by a thing; the result is four things and they are equal to ten minus a thing
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{4x=10-x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן תכה ארבעה בדבר ויעלה ארבעה דברים וישוו לעשרה פחות דבר
 |-
 |
-:[[File:Finzi 25.png|thumb|150px|left]]
+:*<span style="color:Green>Restoration:</span>
-|[[File:פינצי 25.png|thumb|150px|right]]
-|-
 |
-::defining:
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
 |-
 |
-:*GB is the sought number
+:Restore the thing with the ten until they become ten whole dirham by adding the thing to the four things.
-|style="text-align:right;"|וקו ג"ב ממנו הוא המספר המבוקש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-x+x=4x+x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאסוף הדבר עם העשרה עד שיהיו עשרה דרהמי שלמים ותוסיף דבר על הארבעה דברים
 |-
 |
-:*AM□ = AB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100}}</math>
+:It is ten dirham equal five things.
-|style="text-align:right;"|ונכה קו א"ב בעצמו ויצא שטח א"מ והוא מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10=5x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה עשרה דרהמי ישוו חמשה דברים
 |-
 |
-:*GD□ = GB<sup>2</sup>
+:The thing equals two dirham and it is the smaller part; the larger part is eight.
-|style="text-align:right;"|ונכה קו ג"ב בעצמו ויהיה מרובע ג"ד
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2\quad10-x=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|והדבר יהיה שוה שני דרהמי והוא החלק הקטן והחלק הגדול ישאר שמנה
+|-
+|I have shown you this problem [to demonstrate] the third of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when the things equal numbers [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{bx=c}}</math>].
+|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק השלישי מהששה חלקים והוא האומר כאשר הדברים ישוו למספרים
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration of the problem</span>
 |
-:*AM□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math> = 6¼GD□
-|style="text-align:right;"|והנחנו ששטח א"מ שהוא מאה יהיה כמו ששה פעמים ורביע שטח ג"ד
 |-
 |
-::GD□ is cut into four identical segments each is equal to BC□
+:He said: we will explain this problem using this illustration:
-|style="text-align:right;"|ונחלק מרובע ג"ד לארבעה חלקים שוים כל חלק מהם יהיה כמו שטח ב"ח
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונבאר זאת השאלה בזאת התמונה
 |-
 |
-::AM□ = 6¼GD□ =  25CB□
+:[[File:Finzi 26.png|thumb|200px|left]]
-|style="text-align:right;"|הנה מפני שהיה שטח א"מ ששה פעמי' ורביע שטח ג"ד יהיה עשרים וחמשה פעמים כמו שטח ב"ח שהוא רביעיתו שהוא שטח ג"ד
+|[[File:פינצי 26.png|thumb|200px|right]]
 |-
 |
-::AM□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{100}}</math>
+:It is that we suppose line AB is ten.
-|style="text-align:right;"|אבל שטח א"מ הוא מאה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב הוא עשרה
 |-
 |
-::BC□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Line GB is the smaller part [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ב"ח ארבעה
+|style="text-align:right;"|וקו ג"ב ממנו הוא החלק הקטן
 |-
 |
-::GD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{16}}</math>
+:Line AG is the larger part [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|ושטח ג"ד ששה עשר
+|style="text-align:right;"|וקו א"ג החלק הגדול
 |-
 |
-::GB = &radic;GD□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:When we divide line AG by line GB, the quotient is four.
-|style="text-align:right;"|וקו ג"ב שהוא שרשו יהיה ארבעה והוא החלק המבוקש
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{AG}{GB}=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר חלקנו קו א"ג על קו ג"ב יעלה לחלק ארבעה
 |-
-|Q.E.D.
+|
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
+:Line AG is four times GB.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=4GB}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כי קו א"ג ארבעה דמיוני ג"ב
 |-
-!3) The third problem
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה השלישית
+:So, the whole line AB is five times GB.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=5GB}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן קו א"ב כלו יהיה חמשה דמיוני ג"ב
 |-
 |
-*{{#annot:b/a=4|716|ogdI}}If you are told: divide ten into two parts, such that when you divide the larger part by the smaller part the quotient is four.
+:GB is a fifth of AB.
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=4\end{cases}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=\frac{1}{5}AB}}</math>
-|style="text-align:right;"|היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר תחלק החלק הגדול על החלק הקטן יגיע לחלק ארבעה{{#annotend:ogdI}}
+|style="text-align:right;"|וג"ב הוא חמישית א"ב
 |-
-|The procedure:
+|
-:defining:
+:But AB is ten.
-:*the smaller part as a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
-|style="text-align:right;"|המעשה בזה הוא שנניח החלק הקטן דבר
+|style="text-align:right;"|אבל א"ב הוא עשרה
 |-
 |
-:*the larger [part] as ten minus a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
+:Therefore, GB is two.
-|style="text-align:right;"|והגדול עשרה פחות דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן ג"ב הוא שנים
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-x}{x}=4}}</math>
+:Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר ו{{#annot:term|783|WDb6}}הגיע לחלק{{#annotend:WDb6}} ארבעה
+|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
-|It was already shown that when multiplying the quotient by the divisor the result is the dividend <math>\scriptstyle\frac{A}{B}\sdot B=A</math>
+|
-|style="text-align:right;"|כבר {{#annot:term|199|TQl0}}הראיתיך כי{{#annotend:TQl0}} כאשר תכה {{#annot:term|783|7IcV}}המגיע לחלק{{#annotend:7IcV}} על המחלק ש{{#annot:term|875|DX4h}}יעלה לידך{{#annotend:DX4h}} {{#annot:term|605|E3Gq}}המספר המחולק{{#annotend:E3Gq}}
+*{{#annot:a+b=10, a²=9b|619|7Ia4}}[4] He said: the fourth problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger part by itself is the same as the product of the smaller part multiplied by nine.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=9b\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה הרביעית היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת החלק הגדול בעצמו כמו הכאת החלק הקטן בתשעה{{#annotend:7Ia4}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-x=4x}}</math>
+:The procedure is that we suppose the larger part is a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>] and the smaller [part] is ten minus a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
-|style="text-align:right;"|ולכן תכה ארבעה בדבר ויעלה ארבעה דברים וישוו לעשרה פחות דבר
+|style="text-align:right;"|המעשה בזה שנשים החלק הגדול דבר והקטן עשרה פחות דבר
 |-
 |
-:*Restoration of <math>\scriptstyle10-x</math>:
+:We multiply a thing by itself; it is a square.
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4x+x}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותאסוף הדבר עם העשרה עד שיהיו עשרה דרהמי שלמים ותוסיף דבר על הארבעה דברים
+|style="text-align:right;"|והכינו דבר בעצמו והיה מרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10=5x}}</math>
+:We multiply ten minus a thing by nine; the result is ninety dirham minus nine things and they are equal to the square.
-|style="text-align:right;"|ויהיה עשרה דרהמי ישוו חמשה דברים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot9=90-9x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכינו עשרה פחות דבר בתשעה ועלה תשעי' דרהמי פחות תשעה דברים והיו אלו שוים אל המרובע
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}</math>
+:*<span style="color:Green>Restoration:</span>
-|style="text-align:right;"|והדבר יהיה שוה שני דרהמי והוא החלק הקטן והחלק הגדול ישאר שמנה
+|
 |-
-|this problem demonstrates the third of the six canonical equations: <math>\scriptstyle bx=c</math>
+|
-|style="text-align:right;"|וזאת השאלה {{#annot:term|917|qhWe}}הוצאתי לך ל{{#annotend:qhWe}}חלק השלישי מהששה חלקים והוא האומר כאשר הדברים ישוו למספרים
+:Restore the nine things with the ninety dirham and add them to the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{90-9x+9x=x^2+9x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאסוף התשעה דברים עם התשעים דרהמי ותוסיפם על המרובע
 |-
-!Geometrical illustration of the problem
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ונבאר זאת השאלה בזאת התמונה
+:It is ninety dirham equal a square plus nine things.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x=90}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה תשעים דרהמי ישוו למרובע ותשעה דברים
 |-
-|
+|As I have already shown you, this case has two solution methods: one reveals the thing to you and the other reveals the square to you.
-:[[File:Finzi 26.png|thumb|200px|left]]
+|style="text-align:right;"|וכבר הראיתיך לזה המבוקש שני אופנים האחד <s>ב דבר</s> יראה לך הדבר והאחר יראך המרובע
-|[[File:פינצי 26.png|thumb|200px|right]]
 |-
 |
-::defining:
+:The method that reveals to you the thing, which is the greater part, is that you take half [the number of] the things, which is four and a half.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והאופן אשר יראה לך הדבר שהוא החלק הגדול הוא ש{{#annot:term|786|dCUR}}תקח מחצית{{#annotend:dCUR}} &#x202B;<ref>308r</ref>הדברים והוא ארבעה וחצי
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב הוא עשרה
 |-
 |
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
+:Multiply it by itself; it is twenty and a quarter.
-|style="text-align:right;"|וקו ג"ב ממנו הוא החלק הקטן
+|style="text-align:right;"|ותכם בעצמם ויהיו עשרים ורביע
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
+:Add it to the ninety; it is one hundred and ten and a quarter.
-|style="text-align:right;"|וקו א"ג החלק הגדול
+|style="text-align:right;"|ותקבצם עם התשעים ויהיו מאה ועשר ורביע
 |-
 |
-::AG &divide; GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Extract its root; it is ten and a half.
-|style="text-align:right;"|וכאשר חלקנו קו א"ג על קו ג"ב יעלה לחלק ארבעה
+|style="text-align:right;"|תקח שרש זה והוא עשרה <s>ורביע</s> וחצי
 |-
 |
-::AG = 4&times;GB
+:Subtract half [the number of] the things from it; six remains and it is the thing, which is the greater part.
-|style="text-align:right;"|הנה כי קו א"ג ארבעה דמיוני ג"ב
+|style="text-align:right;"|תגרע מהם מחצית השרשים וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול
 |-
-|
+|colspan=2|
-::AB = 5&times;GB
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2+90}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)=\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)^2+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}-\left(4+\frac{1}{2}\right)=\left(10+\frac{1}{2}\right)-\left(4+\frac{1}{2}\right)=6\\\end{align}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולכן קו א"ב כלו יהיה חמשה דמיוני ג"ב
 |-
 |
-::GB = ⅕AB
+:The method that reveals the square to you is that you multiply the nine things by themselves; it is eighty-one.
-|style="text-align:right;"|וג"ב הוא חמישית א"ב
+|style="text-align:right;"|והאופן אשר יראה לך המרובע הוא שתכה התשעה דברים בעצמם ויהיו שמנים ואחד
 |-
 |
-::AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:Multiply it by ninety; it is seven thousand, two hundred and ninety. Keep it.
-|style="text-align:right;"|אבל א"ב הוא עשרה
+|style="text-align:right;"|תכם בתשעים ויהיה שבעת אלפים ומאתים ותשעים ותשמרם
 |-
 |
-::GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:Take a half of eighty-one, which is forty and a half.
-|style="text-align:right;"|אם כן ג"ב הוא שנים
+|style="text-align:right;"|ותקח מחצית שמנים ואחד והוא ארבעים וחצי
-|-
-|Q.E.D.
-|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
-|-
-!4) The fourth problem
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה הרביעית
 |-
 |
-*{{#annot:a²=9b|716|7Ia4}}If you are told: divide ten into two parts, such that the product of the larger part by itself is the same as the product of the smaller part multiplied by nine.
+:Multiply it by itself; the result is 1640 and a quarter.
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=9b\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכם בעצמם ויעלה אלף תר"מ ורביע
-|style="text-align:right;"|היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת החלק הגדול בעצמו כמו הכאת החלק הקטן בתשעה{{#annotend:7Ia4}}
-|-
-|The procedure:
-:defining:
-:*the larger part as a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
-|style="text-align:right;"|המעשה בזה ש{{#annot:term|1009|gWR0}}נשים ה{{#annotend:gWR0}}חלק הגדול דבר
 |-
 |
-:*the smaller [part] as ten minus a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
+:Add it to the reserved; it is 8930 and a quarter.
-|style="text-align:right;"|והקטן עשרה פחות דבר
+|style="text-align:right;"|ותקבצם עם השמור ויהיו שמנת אלפים תתק"ל ורביע
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:Extract its root; it is 94 and a half.
-|style="text-align:right;"|והכינו דבר בעצמו והיה מרובע
+|style="text-align:right;"|ותקח שרשם והוא צ"ד וחצי
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-x\right)\sdot9=90-9x}}</math>
+:Subtract it from the sum of forty and a half, which is half the product of the roots by themselves, with ninety, which is the number of the dirham that is equal to the square and  the roots; their sum is 130 and a half.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{90-9x=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|תגרעם ממקובץ הארבעים וחצי שהוא מחצית הכאת השרשים בעצמם עם תשעים שהוא מספר הדרהמי אשר ישוו אל המרובע והשרשים ומקובצם הוא ק"ל וחצי
-|style="text-align:right;"|והכינו עשרה פחות דבר בתשעה ועלה תשעי' דרהמי פחות תשעה דברים והיו אלו שוים אל המרובע
 |-
 |
-:*Restoration of <math>\scriptstyle90-9x</math>:
+:36 remains and it is the square; its root is six and it is the greater part.
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר ל"ו והם המרובע ושרשם ששה והוא החלק הגדול
-|style="text-align:right;"|תאסוף התשעה דברים עם התשעים דרהמי ו{{#annot:term|178|uEBQ}}תוסיפם על{{#annotend:uEBQ}} המרובע
 |-
-|
+|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x=90}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)+90-\sqrt{\left(9^2\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)^2}=\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)+90-\sqrt{\left(81\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(40+\frac{1}{2}\right)^2}=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(1640+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{8930+\frac{1}{4}}=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\left(94+\frac{1}{2}\right)=\left(130+\frac{1}{2}\right)-\left(94+\frac{1}{2}\right)=36\\\end{align}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויהיה תשעים דרהמי ישוו למרובע ותשעה דברים
 |-
-|As shown above, there are two solution methods for this case: one yields the thing and the other yields the square.
+|I have shown you this problem [to demonstrate] the fourth of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when squares and roots equal numbers [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2+bx=c}}</math>].
-|style="text-align:right;"|וכבר הראיתיך לזה המבוקש שני אופנים האחד <s>ב דבר</s> יראה לך הדבר והאחר יראך המרובע
+|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק הרביעי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעים ושרשים ישוו למספרים
 |-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration of the problem</span>
 |
-:*The method that yields the thing:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2+90}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)^2+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(20+\frac{1}{4}\right)+90}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}-\left(4+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{1}{2}\right)-\left(4+\frac{1}{2}\right)=6\\\end{align}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והאופן אשר יראה לך הדבר שהוא החלק הגדול הוא ש{{#annot:term|786|dCUR}}תקח מחצית{{#annotend:dCUR}} הדברים והוא ארבעה וחצי<br>
-ותכם בעצמם ויהיו עשרים ורביע<br>
-ותקבצם עם התשעים ויהיו מאה ועשר ורביע<br>
-תקח שרש זה והוא עשרה ורביע וחצי<br>
-תגרע מהם מחצית השרשים וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול
 |-
 |
-:*The method that yields the square:
+:He said: I will explain it using this illustration:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)+90-\sqrt{\left(9^2\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9^2\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)+90-\sqrt{\left(81\sdot90\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot81\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(40+\frac{1}{2}\right)^2}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{7290+\left(1640+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\sqrt{8930+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(40+\frac{1}{2}\right)+90-\left(94+\frac{1}{2}\right)=\left(130+\frac{1}{2}\right)-\left(94+\frac{1}{2}\right)=36\\\end{align}}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבארה לך בתמונה הזאת
-|style="text-align:right;"|והאופן אשר יראה לך המרובע הוא שתכה התשעה דברים בעצמם ויהיו שמנים ואחד<br>
-{{#annot:term|185|Ft70}}תכם ב{{#annotend:Ft70}}תשעים ויהיה שבעת אלפים ומאתים ותשעים ותשמרם<br>
-ותקח מחצית שמנים ואחד והוא ארבעים וחצי<br>
-ותכם בעצמם ויעלה אלף תר"מ ורביע<br>
-ותקבצם עם השמור ויהיו שמנת אלפים תתק"ל ורביע<br>
-ותקח שרשם והוא צ"ד וחצי<br>
-תגרעם ממקובץ הארבעים וחצי שהוא מחצית הכאת השרשים בעצמם עם תשעים שהוא מספר הדרהמי אשר ישוו אל המרובע והשרשים ומקובצם הוא ק"ל וחצי<br>
-וישאר ל"ו והם המרובע ושרשם ששה והוא החלק הגדול
-|-
-|this problem demonstrates the fourth of the six canonical equations: <math>\scriptstyle ax^2+bx=c</math>
-|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק הרביעי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעים ושרשים ישוו למספרים
-|-
-!Geometrical illustration of the problem
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ו{{#annot:term|225|xz0R}}אבארה לך{{#annotend:xz0R}} בתמונה הזאת
 |-
 |
@@ Line 4,491: / Line 5,089: @@
 |-
 |
-::defining:
+:It is that we suppose line AB is ten.
-:*BA = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
 |style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
+:Line AG is the greater part [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>].
 |style="text-align:right;"|וקו א"ג החלק הגדול
 |-
 |
-:*GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
+:Line GB is the smaller part [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
 |style="text-align:right;"|וקו ג"ב החלק הקטן
 |-
 |
-:*AG<sup>2</sup> = GB &times; 9
+:The product of line AG by itself is the same as the product of GB by nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=GB\times9}}</math>
 |style="text-align:right;"|והיה הכאת קו א"ג בעצמו כמו הכאת ג"ב בתשעה
 |-
 |
-:How much is the measure of AG?
+:We wish to know how much is the measure of AG?
 |style="text-align:right;"|ורצינו להודיע כמה שיעור קו א"ג
 |-
 |
-::(AG &times; 9) + (GB &times; 9) = <math>\scriptstyle{\color{blue}{90}}</math>
+:If we multiply AG by nine and GB by nine, the sum of their products is ninety.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG\times9\right)+\left(GB\times9\right)=90}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה אם הכינו א"ג בתשעה וג"ב בתשעה יהיה מקובץ העולה מהכאותיהם תשעים
 |-
 |
-::AG<sup>2</sup> = GB &times; 9
+:Since AG by itself is the same as GB by nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG^2=GB\times9}}</math>
 |style="text-align:right;"|ובעבור כי היה א"ג בעצמו כמו ג"ב בתשעה
 |-
 |
-::(AG &times; 9) + (GB &times; 9) = <math>\scriptstyle{\color{blue}{90}}</math>
+:Therefore, AG by nine and by itself is ninety.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG\times9\right)+AG^2=\left(AG\times9\right)+\left(GB\times9\right)=90}}</math>
 |style="text-align:right;"|יהיה מפני זה א"ג בתשעה ובעצמו יהיה תשעים
 |-
 |
-:*defining: AD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:We suppose line AD is nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AD=9}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונניח קו א"ד תשעה
 |-
 |
-::AG<sup>2</sup> + (AG &times; AD) = 90 = DG &times; GA
+:The product of AG by itself and by AD is ninety and it is the same as DG by GA.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG^2+\left(AG\times AD\right)=90=DG\times GA}}</math>
 |style="text-align:right;"|ויהיה העולה מהכאת א"ג בעצמו ובא"ד תשעים והוא כמו הכאת ד"ג בג"א
 |-
 |
-::DA = <math>\scriptstyle{\color{blue}{9}}</math>
+:Line DA is nine.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DA=9}}</math>
 |style="text-align:right;"|וקו ד"א תשעה
 |-
 |
-:*DA is halved on H [= H midpoint of DA]
+:We cut it in half at point H [= H midpoint of DA].
 |style="text-align:right;"|ונחלק אותו לחצאין על נקודת ה&#x202B;'
 |-
 |
-:*AG is added to DA
+:Line AG is added to it.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|179|9xqv}}נוסף ל{{#annotend:9xqv}}ארכו קו א"ג
+|style="text-align:right;"|ונוסף לארכו קו א"ג
-|-
-|
-::DG &times; AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{90}}</math>
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|241|KS4O}}היה מהכאת{{#annotend:KS4O}} ד"ג בג"א תשעים
 |-
 |
-::HG<sup>2</sup> = (DG &times; AG) +  AH<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{90+\left(20+\frac{1}{4}\right)=110+\frac{1}{4}}}</math>
+:The product of DG by GA is ninety.
-|style="text-align:right;"|{{#annot:term|797|RLf5}}ונקבץ עמהם{{#annotend:RLf5}} הכאת א"ה בעצמו שהוא עשרים ורביע ו{{#annot:term|875|uf1R}}עלו{{#annotend:uf1R}} מאה ועשר ורביע וככה ראוי שתהיה הכאת ה"ג בעצמו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{DG\times GA=90}}</math>
+|style="text-align:right;"|והיה מהכאת ד"ג בג"א תשעים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{110+\frac{1}{4}}=10+\frac{1}{2}}}</math>
+:We add to it the product of AH by itself, which is twenty and a quarter; the result is a hundred and ten and a quarter and so should be the product of HG by itself.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|795|Mh8u}}נוציא שרשם{{#annotend:Mh8u}} והוא עשרה וחצי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HG^2=\left(AG\times DG\right)+AH^2=90+\left(20+\frac{1}{4}\right)=110+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונקבץ עמהם הכאת א"ה בעצמו שהוא עשרים ורביע ועלו מאה ועשר ורביע וככה ראוי שתהיה הכאת ה"ג בעצמו
 |-
 |
-::HG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10+\frac{1}{2}}}</math>
+:We extract its root; it is ten and a half and so is line HG.
-|style="text-align:right;"|וככה קו ה"ג
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HG=\sqrt{110+\frac{1}{4}}=10+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא שרשם והוא עשרה וחצי וככה קו ה"ג
 |-
 |
-::HA = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{1}{2}}}</math>
+:But, HA is four and a half.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HA=4+\frac{1}{2}}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל ה"א הוא ארבעה וחצי
 |-
 |
-::AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x=6}}</math>
+:So, AG remains six and it is the greater part.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=a=x=6}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן ישאר א"ג ששה והוא החלק הגדול
 |-
 |
-::GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x=4}}</math>
+:GB [is four] and it is the smaller part.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=b=10-x=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|וג"ב והוא החלק הקטן
 |-
-|Q.E.D.
+|
+:Q.E.D.
 |style="text-align:right;"|ומש"ל
-|-
-!5) The fifth problem
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה החמישית
 |-
 |
-*{{#annot:ab=21|716|Wntm}}If you are told: divide ten into two parts, such that when we multiply one part by the other the result is 21.
+*{{#annot:a+b=10, ab=21|619|Wntm}}[5] He said: the fifth problem is as if you are told: divide ten into two parts, such that when we multiply one part by the other the result is 21.
 :<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=21\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר {{#annot:term|185|fWwK}}נכה ה{{#annotend:fWwK}}חלק האחד באחר יעלה עשרים <s>ורביע</s> ואחד{{#annotend:Wntm}}
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה החמישית כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר נכה החלק האחד באחר יעלה עשרים <s>ורביע</s> ואחד{{#annotend:Wntm}}
 |-
-|The procedure:
+|
-:defining:
+:The procedure is that we suppose one part is a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>] and the other part is ten minus a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>].
-:*one part as a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x}}</math>
+|style="text-align:right;"|המעשה בזה שנניח החלק האחד דבר והחלק האחר יהיה עשרה פחות דבר
-|style="text-align:right;"|המעשה בזה שנניח החלק האחד דבר
 |-
 |
-:*the other part as ten minus a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x}}</math>
+:We multiply a thing by ten minus a thing; it is ten things minus a square equal twenty-one dirham.
-|style="text-align:right;"|והחלק האחר יהיה עשרה פחות דבר
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע ויהיו שוים לעשרים ואחד דרהמי
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(10-x\right)=10x-x^2}}</math>
+:*<span style="color:Green>Restoration:</span>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2=21}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע ויהיו שוים לעשרים ואחד דרהמי
 |-
 |
-:*Restoration of <math>\scriptstyle10-x^2</math>:
+:Restore the square with the ten things minus a square and add it to the twenty-one.
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{21+x^2}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10x-x^2+x^2=21+x^2}}</math>
-|style="text-align:right;"|תאסוף המרובע עם עשרת הדברים פחות מרובע ו{{#annot:term|178|irFk}}תוסיפהו על{{#annotend:irFk}} עשרים ואחד
+|style="text-align:right;"|תאסוף המרובע עם עשרת הדברים פחות מרובע ותוסיפהו על עשרים ואחד
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21=10x}}</math>
+:It is a square and twenty-one dirham equal ten roots.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+21=10x}}</math>
 |style="text-align:right;"|ויהיו מרובע ועשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה שרשים
 |-
-|It was shown above that there are two solution methods for this case, each method has two aspects.
+|I have already shown you above that this case has two solution methods, each method has two aspects.
 |style="text-align:right;"|וכבר הראיתיך למעלה כי לזה הענין שני אופנים ולכל אופן שני צדדים
 |-
 |
-:*The method that yields the root:
+:The method that gives you the thing is that you take half [the number of] the things, which is five, and multiply it by itself; it is twenty-five.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a=x_1&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{5^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{4}\\&\scriptstyle=5-2=3\\\end{align}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והאופן אשר יוציא לך השרש הוא שתקח מחצית הדברים והוא חמשה ותכם בעצמם והיה עשרים וחמשה
-|style="text-align:right;"|והאופן אשר {{#annot:term|1011|M1i3}}יוציא לך ה{{#annotend:M1i3}}שרש הוא שתקח מחצית הדברים והוא חמשה<br>
-ותכם בעצמם והיה עשרים וחמשה<br>
-תגרע מהם העשרים ואחד וישאר ארבעה<br>
-תקח שרשם והוא שנים<br>
-{{#annot:term|181|EL20}}תגרעם מן ה{{#annotend:EL20}}חמשה וישארו שלשה והם החלק הקטן
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x_1=7}}</math>
+:Subtract twenty-one from it; four remains.
-|style="text-align:right;"|והחלק הגדול הוא הנשאר מהעשרה והם שבעה
+|style="text-align:right;"|תגרע מהם העשרים ואחד וישאר ארבעה
 |-
 |
-:*this is the subtraction aspect
+:Extract its root; it is two.
-|style="text-align:right;"|וזה צד המגרעת
+|style="text-align:right;"|תקח שרשם והוא &#x202B;<ref>308v</ref>שנים
 |-
 |
-:*the addition aspect:
+:Subtract it from five; three remains and it is the smaller number.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=x_2=5+2=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|תגרעם מן החמשה וישארו שלשה והם החלק הקטן
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה צד התוספת תוסיף השנים על החמשה והיו שבעה והם החלק הגדול
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=x_1=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5-\sqrt{5^2-21}=5-\sqrt{25-21}=5-\sqrt{4}=5-2=3}}</math>
+|-
+|
+:The greater part is the remainder of ten, which is seven.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-x_1=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|והחלק הגדול הוא הנשאר מהעשרה והם שבעה
+|-
+|
+:This is the subtraction aspect.
+|style="text-align:right;"|וזה צד המגרעת
+|-
+|
+:If you want the addition aspect: add two to five; it is seven and it is the greater part.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=x_2=5+2=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה צד התוספת תוסיף השנים על החמשה והיו שבעה והם החלק הגדול
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x_2=3}}</math>
+:The smaller part is what remains from ten, which is three.
-|style="text-align:right;"|והחלק הקטן הוא {{#annot:term|458|0OTT}}מה שנשאר מה{{#annotend:0OTT}}עשרה והוא שלשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=10-x_2=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|והחלק הקטן הוא {{#annot:term|184,1236|SFsp}}מה שנשאר מה{{#annotend:SFsp}}עשרה והוא שלשה
 |-
 |
-:*The method that yields the square:
+:The method that gives you the square is that you multiply the roots by themselves; it is a hundred.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{2500-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{400}-21\\&\scriptstyle=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והאופן אשר יוציא לך המרובע הוא שתכה השרשים בעצמם והיו מאה
-|style="text-align:right;"|והאופן אשר יוציא לך המרובע הוא שתכה השרשים בעצמם והיו מאה<br>
-ותכם בכ"א אשר עם המרובע ויהיו אלפים ומאה ותשמרם<br>
-ותקח מחצית המאה שהוא חמשים<br>
-ותכם בעצמם ויהיו אלפים וחמש מאות<br>
-תגרע מהם האלפים ומאה אשר שמרת וישארו ארבע מאות<br>
-תקח שרשם והוא עשרים<br>
-תגרעם מהחמישים שהם מחצית המאה וישארו שלשים<br>
-ותגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה והם המרובע
 |-
 |
-:*this is the subtraction aspect
+:Multiply it by 21 that is with the square; it is two thousand and one hundred. keep it.
+|style="text-align:right;"|ותכם בכ"א אשר עם המרובע ויהיו אלפים ומאה ותשמרם
+|-
+|
+:Take half a hundred, which is fifty, and multiply it by itself; it is two thousand and five hundred.
+|style="text-align:right;"|ותקח מחצית המאה שהוא חמשים ותכם בעצמם ויהיו אלפים וחמש מאות
+|-
+|
+:Subtract it from the two thousand and one hundred that you have kept; four hundred remains.
+|style="text-align:right;"|תגרע מהם האלפים ומאה אשר שמרת וישארו ארבע מאות
+|-
+|
+:Extract its root; it is twenty.
+|style="text-align:right;"|תקח שרשם והוא עשרים
+|-
+|
+:Subtract it from the fifty, which is half a hundred; thirty remains.
+|style="text-align:right;"|תגרעם מהחמישים שהם מחצית המאה וישארו שלשים
+|-
+|
+:Subtract twenty-one from it; nine remains and it is the square.
+|style="text-align:right;"|ותגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה והם המרובע
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x_1^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21=50-\sqrt{2500-2100}-21=50-\sqrt{400}-21=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}</math>
+|-
+|
+:This is the subtraction aspect.
 |style="text-align:right;"|וזה צד המגרעת
 |-
 |
-:*the addition aspect:
+:The addition aspect is that you add the twenty to the fifty; it is seventy.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=50+20-21=70-21=49}}</math>
+|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|469,1427|ZaEb}}מעשה ה{{#annotend:ZaEb}}תוספת הוא שתוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|469|9Jc4}}מעשה ה{{#annotend:9Jc4}}תוספת הוא שתוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים תגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה וארבעים והם המרובע
 |-
-|this problem demonstrates the fifth of the six canonical equations: <math>\scriptstyle ax^2+c=bx</math>
+|
-|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוציאתך אל {{#annot:term|702|0xAM}}החלק ה{{#annotend:0xAM}}חמשי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעי' והמספרים ישוו אל השרשים
+:Subtract the twenty-one from it; forty-nine remains and it is the square.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2^2=50+20-21=70-21=49}}</math>
+|style="text-align:right;"|תגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה וארבעים והם המרובע
+|-
+|I have shown you this problem [to demonstrate] the fifth of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when squares and numbers equal roots [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2+c=bx}}</math>].
+|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוציאתך אל החלק החמשי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעי' והמספרים ישוו אל השרשים
+|-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration of the problem</span>
+|
 |-
-!Geometrical illustration of the problem
+|
+:He said: I will explain this using the following illustration:
 |style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> ואבאר זה בזאת התמונה
 |-
@@ Line 4,666: / Line 5,310: @@
 |-
 |
-::defining:
+:It is that we suppose line AB is ten.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=10}}</math>
 |style="text-align:right;"|והוא שנניח קו א"ב עשרה
 |-
 |
-::AB is cut on G
+:It is cut on G.
 |style="text-align:right;"|ונחלק על ג&#x202B;'
 |-
 |
-:*AG &times; GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+:The product of AG by GB is twenty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GB=21}}</math>
 |style="text-align:right;"|והיה מהכאת א"ג בג"ב עשרים ואחד
 |-
 |
-:*AB is halved on H [= H midpoint of AB]
+:Cut line AB in half on H [= H midpoint of AB].
 |style="text-align:right;"|ותחלק קו א"ב לחצאי' על ה&#x202B;'
 |-
 |
-::AB is cut into two equal segments on H, and into two unequal segment on G
+:AB is cut into two equal segments on H, and into two unequal segment on G
-|style="text-align:right;"|הנה א"ב {{#annot:term|829|VXav}}נחלק לשני חלקים שוים על{{#annotend:VXav}} ה' ולשני חלקים בלתי שוים על ג&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|הנה א"ב נחלק לשני חלקים שוים על ה' ולשני חלקים בלתי שוים על ג&#x202B;'
 |-
 |
-::(AG &times; GB) +  HG<sup>2</sup> = HB<sup>2</sup>
+:So, [the sum of] the products of AG by GB and HG by itself is the same as the product of HB by itself.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(AG\times GB\right)+HG^2=HB^2}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה העולה מהכאת א"ג בג"ב וה"ג בעצמו כמו העולה מהכאת ה"ב בעצמו
 |-
 |
-::HB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{25}}</math>
+:But, the product of HB by itself is twenty-five.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HB^2=25}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל הכאת ה"ב בעצמו עשרים וחמשה
 |-
 |
-::AG &times; GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{21}}</math>
+:AG by GB is twenty-one.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG\times GB=21}}</math>
 |style="text-align:right;"|וא"ג בג"ב הוא עשרים ואחד
 |-
 |
-::HG<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:HG by itself remains is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HG^2=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|וישאר ה"ג בעצמו ארבעה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2}}</math>
+:Its root is two; therefore, HG is two.
-|style="text-align:right;"|ושרשם הוא שנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HG=\sqrt{4}=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרשם הוא שנים ולכן יהיה ה"ג שנים
 |-
 |
-::HG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:But, HB is five.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה ה"ג שנים
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{HB=5}}</math>
-|-
-|
-::HB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{5}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל ה"ב היה חמשה
 |-
 |
-::GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3}}</math>
+:GB remains three.
-|style="text-align:right;"|וישאר ג"כ שלשה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישאר ג"ב שלשה
 |-
 |
-::AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{7}}</math>
+:AG is seven.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=7}}</math>
 |style="text-align:right;"|וא"ג יהיה שבעה
 |-
-|Q.E.D.
+|
+:Q.E.D.
 |style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 |-
-!6) The sixth problem
+|
-|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה הששית
+*{{#annot:4(x²+8)=x⁴|719|G1Mq}}[6] He said: the six problem is as if you are told: we add to a certain square [eight] dirham, then multiply the sum by four dirham and the result is the same as the product of the square [by itself].
+:<math>\scriptstyle4\sdot\left(X^2+8\right)=\left(X^2\right)^2</math>
+|style="text-align:right;"|<big>אמ'</big> והשאלה הששית כמו אם יאמרו לך הוספנו על <s>התמונ'</s> מרובע מה שלשה דרהמי והכינו המקובץ בארבעה דרהמי והיה העולה כמו הכאת <s>א"ב בעצמו</s> המרובע{{#annotend:G1Mq}}
 |-
 |
-*{{#annot:4(x²+8)=x⁴|719|G1Mq}}If you are told: we added to a certain square [eight] dirham, then multiplied the sum by four dirham and the result is the same as the product of the square [by itself].
+:The procedure is that we suppose the square is a thing [<math>\scriptstyle{\color{blue}{X^2=x}}</math>]
-:<math>\scriptstyle4\sdot\left(x^2+8\right)=\left(x^2\right)^2</math>
+|style="text-align:right;"|המעשה בזה הוא שנניח המרובע דבר
-|style="text-align:right;"|כמו אם יאמרו לך {{#annot:term|178|kaT3}}הוספנו על{{#annotend:kaT3}} <s>התמונ'</s> מרובע מה שלשה דרהמי והכינו {{#annot:term|388|qRvf}}המקובץ{{#annotend:qRvf}} בארבעה דרהמי והיה העולה כמו הכאת <s>א"ב בעצמו</s> המרובע{{#annotend:G1Mq}}
 |-
-|The procedure:
+|
-:*defining the square as a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{X^2=x}}</math>
+:We add eight dirham to it; they are a thing and eight dirham.
-|style="text-align:right;"|המעשה בזה הוא שנניח המרובע דבר
+|style="text-align:right;"|וקבצנו עמו שמנה דרהמי והיו דבר ושמנה דרהמי
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+8\right)\sdot4=4x+32}}</math>
+:We multiply them by four; they are four things and thirty-two dirham.
-|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|797|ajUh}}קבצנו עמו{{#annotend:ajUh}} שמנה דרהמי והיו דבר ושמנה דרהמי הכינום בארבעה והיה ארבעה דברים ושנים ושלשים דרהמי
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+8\right)\sdot4=4x+32}}</math>
+|style="text-align:right;"|הכינום בארבעה והיה ארבעה דברים ושנים ושלשים דרהמי
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot x=x^2}}</math>
+:We multiply the thing by itself; it is a square and it equals four things and 32 dirham.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=32+4x}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=32+4x}}</math>
-|style="text-align:right;"|והכינו הדבר בעצמו והוא מרובע ו{{#annot:term|429|pL0T}}ישוה אל{{#annotend:pL0T}} ארבעה דברים ול"ב דרהמי
+|style="text-align:right;"|והכינו הדבר בעצמו והוא מרובע וישוה אל ארבעה דברים ול"ב דרהמי
 |-
 |
-:*The method that yields the thing:
+:The method that gives you the thing is that you take half [the number of] the thing[s], which is two, and multiply it by itself; it is four.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X^2=x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{2^2+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{4+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{36}\\&\scriptstyle=2+6=8\\\end{align}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והאופן אשר יוציא לך <s>הוא</s> הדבר הוא שתקח מחצית הדבר והוא שנים ותכם בעצמם והיו ארבעה
-|style="text-align:right;"|והאופן אשר יוציא לך הוא הדבר הוא שתקח מחצית הדבר והוא שנים<br>
-ותכם בעצמם והיו ארבעה<br>
-ותקבצם עם הל"ב והיו ל"ו<br>
-תקח שרשם והוא ששה<br>
-תוסיפם על מחצית השרשים ויהיו שמנה וככה הוא המרובע כי הנה הנחנוהו דבר
 |-
 |
-:*The method that yields the square:
+:Add it to the 32; it is 36.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)+\sqrt{\left(4^2\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)^2}+32\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\sqrt{\left(16\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+8^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+64}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{576}+32\\&\scriptstyle=8+24+32=64\\\end{align}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקבצם עם הל"ב והיו ל"ו
-|style="text-align:right;"|והאופן אשר <s>כ</s> יוציא לך המרובע הוא שתכה הארבעה שרשים בעצמם והיו ששה עשר<br>
-ותכם באדרהמי שהם ל"ב ויעלה תקי"ב ותשמרם<br>
-ותקח מחצית הששה עשר והוא שמנה<br>
-ותכם בעצמם ו{{#annot:term|875|4hXN}}היו{{#annotend:4hXN}} ששים וארבע<br>
-ותקבצם עם התקי"ב ש{{#annot:term|459|z3hk}}שמרת{{#annotend:z3hk}} ו{{#annot:term|875|dksx}}יעלו{{#annotend:dksx}} תקע"ו<br>
-תקח שרשם והוא כ"ד<br>
-ותקבצם עם השמנה שהם מחצית השש עשרה ועם הל"ב ויעלו שבעים ששים וארבע והוא המרובע שישוה לשרשים ולמספרים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X^2=\sqrt{64}=8}}</math>
+:Extract its root; it is six.
-|style="text-align:right;"|ותקח שרשו והוא שמנה והוא המספר המבוקש
+|style="text-align:right;"|תקח שרשם והוא ששה
 |-
-|this problem demonstrates the sixth of the six canonical equations: <math>\scriptstyle c+bx=ax^2</math>
+|
-|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוציאתך אל החלק הששי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המספרים והשרשים ישוו אל המרובע
+:Add it to half [the number of] the roots; it is eight and this is the square, because we assumed it is a thing.
+|style="text-align:right;"|תוסיפם על מחצית השרשים ויהיו שמנה וככה הוא המרובע כי הנה הנחנוהו דבר
 |-
-!Geometrical illustration of the problem
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ואבאר זה בזאת התמונה
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X^2=x=\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+32}=2+\sqrt{2^2+32}=2+\sqrt{4+32}=2+\sqrt{36}=2+6=8}}</math>
 |-
 |
-:[[File:Finzi 29 - II.png|thumb|100px|left]]
+:The method that gives you the square is that you multiply the four roots by themselves; it is sixteen.
-|[[File:פינצי  - II29.png|thumb|100px|right]]
+|style="text-align:right;"|והאופן אשר <s>כ</s> יוציא לך המרובע הוא שתכה הארבעה שרשים בעצמם והיו ששה עשר
 |-
 |
-::defining:
+:Multiply it by the [number of the] dirham, which is 32; the result is 512. Keep it.
-:*AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכם באדרהמי שהם ל"ב ויעלה תקי"ב ותשמרם
-|style="text-align:right;"|והוא שנניח המרובע קו א"ב
 |-
 |
-:*AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8}}</math>
+:Take a half of sixteen, which is eight, and multiply is by itself; it is sixty-four.
-|style="text-align:right;"|והשמנה דרהמי קו א"ג
+|style="text-align:right;"|ותקח מחצית הששה עשר והוא שמנה ותכם בעצמם והיו ששים וארבע
 |-
 |
-:*BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Add it to the 512 you kept; the result is 576.
-|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ד ארבעה
+|style="text-align:right;"|ותקבצם עם התקי"ב ששמרת &#x202B;<ref>309r</ref>ויעלו תקע"ו
 |-
 |
-::GD□ = GB &times; BD
+:Extract its root; it is 24.
+|style="text-align:right;"|תקח שרשם והוא כ"ד
+|-
+|
+:Add it to the eight, which is a half of sixteen, and with the 32; the result is sixty-four and it is the square that is equal to the roots and the numbers.
+|style="text-align:right;"|ותקבצם עם השמנה שהם מחצית השש עשרה ועם הל"ב ויעלו <s>שבעים</s> ששים וארבע והוא המרובע שישוה לשרשים ולמספרים
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)+\sqrt{\left(4^2\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot4^2\right)^2}+32=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\sqrt{\left(16\sdot32\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2}+32=8+\sqrt{512+8^2}+32\\&\scriptstyle=8+\sqrt{512+64}+32=8+\sqrt{576}+32=8+24+32=64\\\end{align}}}</math>
+|-
+|
+:Extract it root; it is eight and this is the required number.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X^2=\sqrt{64}=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקח שרשו והוא שמנה והוא המספר המבוקש
+|-
+|I have shown you this problem [to demonstrate] the sixth of the six categories [of canonical equations], which is the saying: when numbers and roots equal square[s] [<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{c+bx=ax^2}}</math>].
+|style="text-align:right;"|וזאת השאלה הוציאתך אל החלק הששי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המספרים והשרשים ישוו אל המרובע
+|-
+!<span style="color:Green>Geometrical illustration of the problem</span>
+|
+|-
+|
+:He said: I will explain this using the following illustration:
+|style="text-align:right;"|<big>אמר</big> ואבאר זה בזאת התמונה
+|-
+|
+:[[File:Finzi 29 - II.png|thumb|100px|left]]
+|[[File:פינצי  - II29.png|thumb|100px|right]]
+|-
+|
+:It is that we suppose the square is line.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא שנניח המרובע קו א"ב
+|-
+|
+:The eight dirham are line AG.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AG=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|והשמנה דרהמי קו א"ג
+|-
+|
+:We suppose line BD is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{BD=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונניח קו ב"ד ארבעה
+|-
+|
+:We multiply line GB by line BD; it is surface GD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GB\times BD=GD}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונכה קו ג"ב בקו ב"ד ויהיה שטח ג"ד
 |-
 |
-::AH□ = AB<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2}}</math>
+:We multiply the square, which is line AB, by itself; it is surface AH.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2=AB^2=AH}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונכה המרובע שהוא קו א"ב בעצמו והיה שטח א"ה
 |-
 |
-::GD□ has the same measure of AH□
+:The area of GD is as the area of AH.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GD=AH}}</math>
 |style="text-align:right;"|ויהיה שטח ג"ד בשעור שטח א"ה
 |-
 |
-:How much is the measure of AB?
+:We wish to know: how much is the size of line AB?
-|style="text-align:right;"|ורצינו {{#annot:term|226|zBPN}}לידע{{#annotend:zBPN}} כמה שיעור קו א"ב
+|style="text-align:right;"|ורצינו לידע כמה שיעור קו א"ב
 |-
 |
-::AH□ = GD□
+:The area of AH is as the area of GD.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AH=GD}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה שטח א"ה כמו שטח ג"ד
 |-
 |
-::subtracting AH□ which is shared by both
+:We subtract surface AD, which is shared by both.
 |style="text-align:right;"|ונפיל שטח א"ד המשותף
 |-
 |
-::GM□ = MH□
+:Surface GM remains as surface MH.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GM=MH}}</math>
 |style="text-align:right;"|וישאר שטח ג"מ כמו שטח מ"ה
 |-
 |
-::GM□ = AG &times; AM = AG &times; BD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8\times4=32}}</math>
+:But, surface GM is thirty-two, because it is generated from the product of AG, which is eight, by AM that is equal to BD, which is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{GM=AG\times AM=AG\times BD=8\times4=32}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל שטח ג"מ שלשים ושנים כי הוא מהכאת א"ג שהוא שמנה בא"מ השוה לב"ד שהוא ארבעה
 |-
 |
-::MH□ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{32}}</math>
+:Therefore, surface MH is thirty-two.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MH=32}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן שטח מ"ה הוא שלשים ושנים
 |-
 |
-::MH□ = ZH &times; ZH = AZ &times; ZH
+:Surface MH is as the product of AZ that is equal to ZH by ZH.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{MH=AZ\times ZH=ZH\times ZH}}</math>
 |style="text-align:right;"|ושטח מ"ה כמו הכאת א"ז השוה לז"ה בז"ה
 |-
 |
-::AM = <math>\scriptstyle{\color{blue}{4}}</math>
+:Line AM is four.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AM=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|וקו א"מ הוא ארבעה
 |-
 |
-:*AM is halved on C [= C midpoint of AM]
+:We cut it in half at point C [= C midpoint of AM].
 |style="text-align:right;"|ונחלק אותו לחצאין על נקודת ח&#x202B;'
 |-
 |
-::ZM is added to AM
+:Line ZM is added to it.
 |style="text-align:right;"|וכבר נוסף עליו קו ז"מ
 |-
 |
-::(AZ &times; ZM) +  MC<sup>2</sup> = <math>\scriptstyle{\color{blue}{32+4=36}}</math> = CZ<sup>2</sup>
+:So, the sum of the product of AZ by ZM, which is thirty-two, with the product of MC by itself, which is four, is thirty-six, which is as the product of HZ by itself.
-|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת א"ז בז"מ שהוא שלשים ושנים {{#annot:term|878|fL8e}}עם{{#annotend:fL8e}} הכא' מ"ח בעצמו שהוא ארבעה ומקובצם שלשים ושש כמו הכאת ה"ז בעצמו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(AZ\times ZM\right)+MC^2=32+4=36=CZ^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן יהיה הכאת א"ז בז"מ שהוא שלשים ושנים {{#annot:term|878|fL8e}}עם{{#annotend:fL8e}} הכא' מ"ח בעצמו שהוא ארבעה ומקובצם שלשים ושש כמו הכאת ח"ז בעצמו
 |-
 |
-::CZ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{6}}</math>
+:Hence, line CZ is six.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{CZ=6}}</math>
 |style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה קו ח"ז <s>חמשה</s> ששה
 |-
 |
-::AC = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
+:But, line AC is two.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=2}}</math>
 |style="text-align:right;"|אבל קו א"ח הוא שנים
 |-
 |
-::AZ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8}}</math>
+:So, line AZ is eight.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AZ=8}}</math>
 |style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו א"ז שמנה
 |-
 |
-::AZ = AB
+:AB is equal to AZ.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=AZ}}</math>
 |style="text-align:right;"|וא"ב הוא שוה לא"ז
 |-
 |
-::AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=8}}</math>
+:Therefore, line AB is eight.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{AB=x^2=8}}</math>
 |style="text-align:right;"|אם כן קו א"ב שמנה
 |-
-|Q.E.D.
+|
+:Q.E.D.
 |style="text-align:right;"|והוא מה שרצינו לבאר
 |-
 |}
-==Notes==
+== Additional excerpt ==
 {|
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|<references />
+|style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקי' ותכה כל חלק על עצמו ותגרע הכאת החלק הקטן מהכאת הגדול וישאר שמונים
 |-
 |
-|}
+|style="text-align:right;"|המעשה בזה הוא שתשי' החלק הקטן דבר
-== Appendix I: Glossary of Terms ==
-=== Arithmetic Operations ===
-{|
 |-
-|addition
+|
-|style="text-align:right;"|חבור (ה), תוספת
+|style="text-align:right;"|והגדול עשרה פחות דבר
 |-
 |
-:to add to
+|style="text-align:right;"|ותכה עשרה פחות דבר על עצמו ויהיה מאה דרהמי ופחות עשרים דברים
-|style="text-align:right;"|לחבר, לחברו, נחבר (אליו / עמו), תחבר (ה), תחברם עם ה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ותכה הדבר על עצמו ויהיה מרובע
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ותגרעהו ממאה ומרובע פחו' עשרי' דברי' וישאר מאה דרהמי' פחות עשרי' דברי' ישוו שמנים דרהמי&#x202B;'
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ותשלים המאה דברי' עם עשרי' הדברי' ותוסיפם על השמנים ויהיה עשרי' דברי' ושמונים דרהמי ישוו למאה דרהמים
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|תגרע השמנים מהמאה וישארו עשרי' דרהמי ישוו לעשרי' דברים והדבר ישווה אחד והוא החלק הקטן והגדול תשעה והוא הנשאר מן העשרה
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ואם עשינו החלק הגדול דבר והקטן עשרה פחות דבר
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|תגרע מאה ומרובע פחות עשרי' דברי' ממרובע וישאר עשרים דברים פחות מאה דרהמי ישוו שמנים דברים
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ואולם תשלים עשרים הדברי' עם המאה דרהמי ותוסיפם על שמנים הדרהמי ויהיה מאה ושמנים דרהמי ישוו עשרי' דברי&#x202B;'
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|והדבר ישווה תשעה והוא החלק הגדול והנשאר מהעשרה יהיה החלק הקטן והוא א&#x202B;'
+|}
+==Notes==
+<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><div class="mw-collapsible-content">
+<br>
+{|
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|<references />
+|-
+|
+|}
+</div></div>
+== Appendix I: Glossary of Terms ==
+<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><div class="mw-collapsible-content">
+{|
+|-
+! colspan="2" |Arithmetic Operations
+|-
+|addition
+|style="text-align:right;"|חבור (ה), תוספת
+|-
+|
+:to add to
+|style="text-align:right;"|לחבר, לחברו, נחבר (אליו / עמו), תחבר (ה), תחברם עם ה
 |-
 |
 :to add to
 |style="text-align:right;"|להוסיף, הוסיף (ה), הוספנו על (ה), הוספנוהו על, נוסיף (בו / ה), תוסיף (ה) תוסיפהו על, תוסיפם על
 |-
 |
@@ Line 5,111: / Line 5,857: @@
 |to be less than
 |style="text-align:right;"|יחסרו מ, יגרעו מ
-|}
+|-
+! colspan="2" |Arithmetic Terms
-=== Arithmetic Terms ===
-{|
 |-
 |arithmeticians
@@ Line 5,161: / Line 5,904: @@
 |related to
 |style="text-align:right;"|נערך לעצמו
-|}
+|-
+! colspan="2" |Calculation Terms
-=== Calculation Terms ===
-{|
 |-
 |quantity, measure, amount, value
@@ Line 5,253: / Line 5,993: @@
 |reserved
 |style="text-align:right;"|השמור
-|}
+|-
+!colspan="2" |Algebraic Operations
-=== Algebraic Operations ===
-{|
 |-
 |to normalize
@@ Line 5,280: / Line 6,016: @@
 |addition/subtraction method
 |style="text-align:right;"|צדדי התוספת והמגרעת, צד אחד לתוספת וצד אחד למגרעת, צד התוספת, צד המגרעת
-|}
+|-
+! colspan="2" |Algebraic Terms
-=== Algebraic Terms ===
-{|
 |-
 |algebraists
@@ Line 5,315: / Line 6,048: @@
 |the six types of canonical equations
 |style="text-align:right;"|הששה, ששה חלקי', הששה חלקים
-|}
+|-
+! colspan="2" |Geometric Terms
-=== Geometric Terms ===
-{|
 |-
 |geometric shape
@@ Line 5,379: / Line 6,109: @@
 |-
 |parallel to
-|style="text-align:right;"|עד נכוחות, על נכוחות, נכחי ל, נכחיים ל
+|style="text-align:right;"|על נכוחות, נכחי ל, נכחיים ל
 |-
 |parallel to line
@@ Line 5,461: / Line 6,191: @@
 |to construct
 |style="text-align:right;"|נניח (קו), הנחנו (על&#x202B;)
-|}
+|-
+! colspan="2" |Literary Terms
-=== Literary Terms ===
-{|
 |-
 |book
@@ Line 5,497: / Line 6,223: @@
 |translator
 |style="text-align:right;"|המעתיק
-|}
+|-
+! colspan="2" |Authors
-=== Authors ===
-{|
 |-
 |
@@ Line 5,533: / Line 6,256: @@
 |
 |style="text-align:right;"|אבאר כל זה באקלידס
-|}
+|-
+! colspan="2" |Logical Terms
-=== Logical Terms ===
-{|
 |-
 |to introduce, to state
@@ Line 5,764: / Line 6,483: @@
 |answer
 |style="text-align:right;"|תשובה, תשובתך עליה, תשובת
-|}
+|-
+! colspan="2" |General Terminology
-=== General Terminology ===
-{|
 |-
 |
@@ Line 6,158: / Line 6,875: @@
 |of what in
 |style="text-align:right;"|מאשר בם
-|}
+|-
+! colspan="2" |Demonstratives
-=== Demonstratives ===
-{|
 |-
 |the same
@@ Line 6,211: / Line 6,925: @@
 |
 |style="text-align:right;"|בזאת ה, מאלו (ה), האלו, אלה
-|}
+|-
+! colspan="2" |Pronouns
-=== Pronouns ===
-{|
 |-
 |whichever, any
@@ Line 6,285: / Line 6,996: @@
 |them selves
 |style="text-align:right;"|בעצמם, על עצמם
-|}
+|-
+! colspan="2" |Adjectives
-=== Adjectives ===
-{|
 |-
 |one of
@@ Line 6,380: / Line 7,088: @@
 |unequal
 |style="text-align:right;"|בלתי שוים
-|}
+|-
+! colspan="2" |Adverbs
-=== Adverbs ===
-{|
 |-
 |so that
@@ Line 6,514: / Line 7,219: @@
 |there
 |style="text-align:right;"|שם, משם
-|}
+|-
+! colspan="2" | Conjunction
-=== Conjunction ===
-{|
 |-
 |then, if so
@@ Line 6,581: / Line 7,284: @@
 |until
 |style="text-align:right;"|עד ש
-|}
+|-
+! colspan="2" |Preposition
-=== Preposition ===
-{|
 |-
 |in exchange to, for
@@ Line 6,626: / Line 7,326: @@
 |style="text-align:right;"|עם זה
 |}
+</div></div>
 == Appendix II: Bibliography ==
@@ Line 6,637: / Line 7,338: @@
 #Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/7 (IMHM: f 15721), ff. 296r-309r (15th-16th century)<br>
 ::[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9064672r/f299.image.r=Hébreu.langEN heb. 1029]
+:<span style=color:blue>The transcript of the text is based on manuscript Paris 1029.</span>

Difference between revisions of "תחבולות המספר"

Latest revision as of 06:06, 17 December 2022

Contents

Introduction

The Six Canonical Equations

The Simple Canonical Equations

Squares Equal Roots: bx=ax2

Squares Equal Numbers: ax2=c

Roots Equal Numbers: bx=c

The Compound Canonical Equations

Chapter: Squares and Roots Equal Numbers: ax2+bx=c

Chapter: Squares and Numbers Equal Roots: ax2+c=bx

Chapter: Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax2

Chapter: Multiplication of Algebraic Expressions

Roots

Chapter: Multiplication of Roots by Numbers

Multiplication of Roots

Chapter on Division of Roots

Chapter on the Addition of the Roots one the the other and Their Subtraction

Addition of Roots

Subtraction of Roots

Six Problems Demonstrating the Six Canonical Equations

Additional excerpt

Notes

Appendix I: Glossary of Terms

Appendix II: Bibliography

Navigation menu

Search

Squares Equal Roots: bx=ax²

Squares Equal Numbers: ax²=c

Chapter: Squares and Roots Equal Numbers: ax²+bx=c

Chapter: Squares and Numbers Equal Roots: ax²+c=bx

Chapter: Roots and Numbers Equal Squares: bx+c=ax²