Difference between revisions of "ספר עיון העקרים לחשבון ההנדיים"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎Chapter Ten: Cubing)
 
(6 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 488: Line 488:
 
|-
 
|-
 
|For each rank that is not enough to be subtracted from, we subtract one from the rank before it and we dissolve it to 10, then we subtract the required from the ten. Add the remainder to the insufficient number.   
 
|For each rank that is not enough to be subtracted from, we subtract one from the rank before it and we dissolve it to 10, then we subtract the required from the ten. Add the remainder to the insufficient number.   
−
|style="text-align:right;"|וכל מדרגה אשר לא תספיק לחסר ממנו נחסר ממדרגה שלפניה אחד ו{{#annot:term|1553,2377|2ml9}}נפזרנו ל{{#annotend:2ml9}}י' ונחסר הנרצה מהעשרה והנשאר הוסיפהו על הנפקד
+
|style="text-align:right;"|וכל מדרגה אשר לא תספיק לחסר ממנו נחסר ממדרגה שלפניה אחד ו{{#annot:term|1562,2377|2ml9}}נפזרנו ל{{#annotend:2ml9}}י' ונחסר הנרצה מהעשרה והנשאר הוסיפהו על הנפקד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 632: Line 632:
 
|
 
|
 
:This is that we put the required number, which we divide it into halves, arranged in a line, rank after rank, until we reach to whichiever rank we wish.
 
:This is that we put the required number, which we divide it into halves, arranged in a line, rank after rank, until we reach to whichiever rank we wish.
−
|style="text-align:right;"|וזה שנניח {{#annot:term|541|TrhQ}}המספר הנרצה{{#annotend:TrhQ}} והוא אשר נחלקהו לחצאין ערוך על טור מדרגה אחר מדרגה עד הגיענו אל אי זו מדרגה רצינו
+
|style="text-align:right;"|וזה שנניח {{#annot:term|2007|IKu7}}המספר הנרצה {{#annotend:IKu7}}והוא אשר נחלקהו לחצאין ערוך על טור מדרגה אחר מדרגה עד הגיענו אל אי זו מדרגה רצינו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 1,188: Line 1,188:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה תכה המעלות עם ס' והוסף על העולה הראשונים והנה {{#annot:term|1947,1886|XGfg}}שבו{{#annotend:XGfg}} המעלות ראשונים
+
|style="text-align:right;"|הנה תכה המעלות עם ס' והוסף על העולה הראשונים והנה {{#annot:term|1562,1886|XGfg}}שבו{{#annotend:XGfg}} המעלות ראשונים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 2,364: Line 2,364:
  
 
|style="text-align:right;"|<big>השער הי' בקעב</big>
 
|style="text-align:right;"|<big>השער הי' בקעב</big>
 +
|-
 +
|This chapter is carried out in four lines:
 +
|style="text-align:right;"|יפול זה השער על ד' טורים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הראשון טור היוצא בקעב ויקרא הטור העליון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יפול זה השער על ד' טורים הראשון טור היוצא בקעב ויקרא הטור העליון ותחתיו טור המשפט הנרצה ותחת המספר הנרצה טור הספריין ויקרא הטור האמצעי ותחת האמצעי טור יקרא השפל
+
|style="text-align:right;"|ותחתיו טור המשפט הנרצה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ותחת המספר הנרצה טור הספריין ויקרא הטור האמצעי
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ותחת האמצעי טור יקרא השפל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 2,533: Line 2,545:
 
|style="text-align:right;"|<big>השער הי"א בעולה מהקעב</big>
 
|style="text-align:right;"|<big>השער הי"א בעולה מהקעב</big>
 
|-
 
|-
−
|
+
|The result of the cube root of degrees is degrees.
 
|style="text-align:right;"|העולה מקעב מעלות הוא מעלות
 
|style="text-align:right;"|העולה מקעב מעלות הוא מעלות
 
|-
 
|-
−
|
+
|The cube roots of the thirds are minutes.
 
|style="text-align:right;"|ומקעב השלישים דקים
 
|style="text-align:right;"|ומקעב השלישים דקים
 
|-
 
|-
−
|
+
|The cube roots of the sixths are seconds.
 
|style="text-align:right;"|ומקעב הששים שניים
 
|style="text-align:right;"|ומקעב הששים שניים
 
|-
 
|-
−
|
+
|The cube roots of the ninths are thirds.
−
|style="text-align:right;"|ומקעב תשעים שלישי'
+
|style="text-align:right;"|ומקעב תשעים שלישי&#x202B;'
 
|-
 
|-
−
|
+
|And so on, always do this way.
 
|style="text-align:right;"|ועל זה הנוסח עשה לעולם
 
|style="text-align:right;"|ועל זה הנוסח עשה לעולם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
 
== Chapter Twelve: Check ==
 
== Chapter Twelve: Check ==
  

Latest revision as of 09:42, 15 November 2024

‫[1]אמר המעתיק החכם ר' שלום בכ"ר יוסף ענבי יצ"ו
השבח והתהלה לאל
כפי ההגעה לא כפי ההקפה
כי כל הקפה עמידה על החוק מבעל החוק
ואין לראשון עמידה בחק
הנה אין לראשון הקפה בחק
והכל ישוב אל התמונה השנית כי השלילה האמתית הוא אשר תצדק ומקומו יכירנו והתהלה לאישי המעל' לפי ההגעה למציאות הדתניי
והקרובים מבעלי המעלה בערך בעלי המעלה ואישיהם כאישיהם וכן התהלה לאישי הפשוטים לפי ערך אישי נפשותם והכל ישוב לאחד כאחד מאחד ולו דומיה תהלה
ומעתה ההתחלה למחבר

Introduction
The Book of the Study of the Principles of Hindu Arithmetic ספר עיון העקרים לחשבון ההנדיים
of Ibn Hasan Gushiyyar ibn Labban ibn bar Shahr al Gibli לאבן חצן גאושייר אבן לבן אבן בר שהרי אל גיבלי
They are two matters that he stated in relation to arithmetic according to the Hindus the first is simple and the second is compound. והם ב' עניני' שם אותם כבר בערך החשבון לפי ההנדיים האחד פשוט והשני מורכב
He said: I write what is need to arrange by the general necessity and the Hindu arithmetic, in relation to astronomy and in relation to all mathematical disciplines, in the way that the whole world uses it, whether according to mathematics as used in relation to the whole numbers, or according to the use of the whole world in relation to the counted Isar, or whatever number it is, and the use of small fractions of the whole world in studies or the counted decomposed and the units of the decomposed, until reaching the division of the numerical remainder, and the division of the remainder of the remainder, so that all that is written in our discussion consists of twelve chapters. אמר הנה אני מחבר מה שצרי' לערוך הצורך הכללי וחשבון ההנדיים לפי ערך מלאכת הכוכבים ולפי ערך כלל הלמודיות על דרך ישתמש בה כלל העולם אם לפי הלמודיות כפי השתמש בערך המעלות ואם לפי השתמש כלל העולם בערך הנספר האסר' או אי זה מספר היה והשתמש כלל העולם אל חלקים הדקים בלימודים או נספר הנפרט ואל פריטי הנפרט עד הגיע אל חלוק היתרון המספרי ואל חלוק יתרון היתרון עד יהיה כלל מה שיחובר ממאמרינו זה י"ב שערים
He said: "jeder" of the number, in Araic, for us it is the root that indicates the quantity of the values of the unknown dividend for receiving the divisor, for the use of the counted we have mentioned. אמר גֵדְרְ המספר בערבי אלינו הוא השרש המודיע כמות ערכי הנחלק המוסכל להגעת מה שיחלק אל מה שהזכרנוהו לשמוש הנספר
It is base on three principles: the first is the relation, the second is the division, and the third is the square root. והוא על ג' עקרים הא' הערך הב' החלוק והג' השרש
וכבר יהיה עוד ערך ד' קצר נצטרך אליו והוא מכלל מה שנאמ' ויקרא קעבן וממה שצריך להקדימו לידיע' אלו העקרי' הוא מה שיגיע לט' אותיות ומדרגתן נגדיות המערכה ותוספת מערכתם זה על זה לפי חלופם או מגרעתם זה מזה
ביאור לחכם המעתיק הנזכר
אומרו הא' פשוט
ירצה בו הא' האחדים הנפרדי' והב' קבוץ האחדים והוא גדר המספר ואמתתו
ואומרו מה שצריך לערוך וכו'
ירצה בו שירצה לחבר מכלל ה[ספר]ים המחוברי' להנדיים במלאכת המספר הכלל היותר נצרך ל[..]ל חכמת המספר
ואומרו לפי ערך מלאכת הכוכבי' וכו'
ירצה כי זה אשר יחב[ר..] הנה מזה הכלל נצרך ישומש לב' אופנים הא' על צד מה שישתמשו בו ה[עיוניי'] כמו בעלי הכוכבים ובכלל בעלי הלימודיות והוא מה שישתמשו בו במספר המעלות והוא [או]מרו א[ם] לפי הלמודיות וכו' והאפן השני על צד מה ש[.]שתמשו בו אנשי [ה]עולם בקניניהם במשא ומתן והוא המטבע הנפרט להם כי אלו ישתמ[שו] באיסר הנפרט שהוא כמו מעה עד"מ או איזה מטבע היה על דרך מה שישתמשו בעלי הלימודיות במעלה הנפרטת להם וזה שאלו יספרו מעות ואלו יספרו מעלות והוא אומרו ואם לפי השתמש הכלל העולמי וכו'
וירצה בכלל העולם על אנשי הקנין
וירצה במלת הנספר המטבע הנפרט
ואומרו אי זה מספר היה
ירצה בו אי זה מטבע שיהיה
ואומרו והשתמש כלל העולם וכו'
ירצ' שאנשי הקנין ישתמשו במקום אשר ישתמשו בעלי הלימודיות בחלוק הדקים ‫[2]ר"ל כאשר יחלקו המעלה בהם אל המטבע הנפרט אשר תופרט בו המעה עד"מ והם האיסרים אשר תותך בהם המעה ואל פריטי זה הנפרט שהם הפריטי' אשר יותך בהם כל א' מהאיסרי'
ואומרו עד הגיע אל חלוק היתרון וכו'
ירצה בו עד הגיעו בחלוקת מה שיחלק מאי זה מטבע אל חלוק נפרד מה שנשאר מחלוקתו ואל חלוק נפרד מה שישאר מזה הנשאר ג"כ
ואומ' כמות ערכי וכו'
ירצה לדעת הנחלק אשר הוא בלתי ידוע אליו על כמה אחדים יחלק כמה הם חלקיו אשר הוא נערך בהם והם האחדים אשר מהם יקובץ עד שידע מזה עד כמה תגיע חלוקת חלקיו וחלקי חלקיו אל מה שהזכרנו כבר בשמוש מה שישתמשו בו אנשי הקנין מפריטת הנספר
אומרו הערך ירצה ההכאה
ואומרו השרש ירצה על המספר הנערך או הנחלק אי זה שיהיה
והמשל כמו הה' שהוא שרש כאשר נכהו אם על עצמו ונאמר ה' פעמי' ה'
ואם על זולתו ועל זה הצד הוא בחלוקה
ואומרו ויקרא קעבן ירצה המעוקב
ואומרו ומדרגתן נגדיות וכו'
יד"כ שהמדרגות אשר הונחו על אלו האותות שהן האחדי' והעשרות וזולתן הן נמשכות זו אחר זו כמרחק עריכתן כי מדרגת העשרות תקדם לה מדרגת האחדים והיא תקדם למדרגת המאות וכן כלם על זה הסדר
ואומרו ותוספת מערכתם וכו'
ירצה כשנוסיף אי זה מספר שיהיה על אי זה נספר שיהיה לפי התחלף מערכותיהם
המשל כמו שנוסיף ז' על ט' או על ג' או על ל' או על כ' או על אי זה מספר שיהיה או כשנרגע זה מזה ע"כ

Chapter One: The Numerals and their Ranks

 השער הא' נדבר בו בצורת האותיות ומדרגתן
The forms of the numerals are 9. וצורות האותיו' ט'
١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
א ב ג ד ה ו ז ח ט
Ranks are attributed to these numerals. ויקרא לאלו האותיו' מדרגות
The first of these is written for 1, the 2nd for 2, until the last that is written for 9. והראשון מאלו יורשם לא' והב' לב' עד יורשם האחרון לט'
The first written of these is called the rank of units, the 2nd the rank of tens, the 3rd the rank of hundreds, the 4th the rank of thousands, the 5th the rank of tens of thousands, the 6th the rank of hundreds of thousands, the 7th the rank of thousands of thousands, the 8th the rank of tens thousands thousands, the 9th the rank of hundreds thousands thousands. ויקרא הנרשם הראשון מאלו מדרגת האחדים והב' מדרגת העשרות והג' מדרגת המאות והד' מדרגת האלפים והה' מדרגת הי' אלפים והו' מדרגת הק' אלפי' והז' מדרגת האלף אלפי' והח' מדרגת הי' אלף אלפי' והט' מדרגת ק' אלף אלפי'
According to these ranks the whole of what is counted is summed up and result of the whole number of these separate digits is nine hundred eighty seven thousands of thousands, six hundred fifty four thousand and three hundred twenty one. ולפי אלו המדרגות יכלל כלל מה שיסופר והעולה מכלל מספר אלו הנפרדות תשעה מאות אלפי אלפים ושבעה ושמנים אלפי אלפי' ושש מאות וארבעה וחמשים אלף ושלש מאות ואחד ועשרי'
When there is no description of these ranks, it is concealed in the rank as O where there is no positional value. ולאשר אין חק מאלו המדרגות נעלם על המדרגה 0 במקום אשר אין שם ערך מדרג'
As the tens and the units, we write O instead of the units; and in the hundreds we write two zeros instead of the tens and the units; and in the thousands we write 3 zeros instead of hundreds, tens, and units.
 כמו העשרות עם האחדים שנרשום במקום האחדי' 0 ועל המאות נרשום 0ּ שני סיפרין תחת העשריות והאחדים ועל האלפי' נרשום ג' סיפרין תחת מאות ועשרו' ואחדים
For example:
המשל 0'0'ק' ק' 0'0'ק' אלף 0 0 0 ק'
Each rank is units for what is between the ranks. וכל מדרגה נפרטת ממה שבין המדרגות
So, everything that follows the tens is the rank of hundreds, and that which follows the hundreds is the rank of thousands.
 הנה כל מה שיבא אחר העשרות הוא מדרגת המאות ואשר יבא אחר מדרגת המאות הוא מדרגת האלפים
The rank of units, whichever it is of the nine, the rank of the tens precedes it, and the rank of the hundreds precedes the one that follows it, and the rank of the thousands [precedes] whatever follows it. והמדרגה הנפרטת אי זו תהיה מהט' תקדם לה מדרגת העשרות ומדרגת המאות תקדם למה שלפניה ומדרגת האלפים למה שלפניה
Example: the 5 of all the nine units, for it precedes the rank of tens, which follows it, when it is placed in the position of the units; and the 6 that follows it in the position of the tens, and the 7, when it is placed in the position of the hundreds, precedes the thousands; as the 5 [precedes] the 6, and the 8 precedes the 9 in this side. This is the 5 that is tens for the 4 and hundreds for the 3 and thousands for the 2 and ten thousands for the 1.
המשל בה' מכל הט' הנפרדים כי יקדם למדרגת העשרות שלפניה כאשר הונחה מקום האחדים והו' שלפניה למקום העשרות והז' כשיונח מקום המאות יקדם לאלפים כאשר הונח הה' בו' והח' לט' על זה הצד וזה הה' אשר היה עשיריות לד' ומאות לג' ואלפים לב' וי' אלפים לא'
Commentary ‫[3]הפי'
His saying: "the result of the whole etc." אומרו והעולה מכלל וכו'
He means by the word "the separate digits" [nifradot] the digits that are written in the separate ranks, which are from 1 to 9. ירצה במלת הנפרדות האותיות הנכתבות במדרגות הנפרדות שהם מא' עד ט'
This is because the 9, in the relation to the number of the given separate digits first as the separate units, it indicates the number 9, and in relation to the ranks that are set by these digits, it indicates hundred thousand of thousands. וזה כי הט' הנה הוא בערך מספר האותיות הנפרדות המונחות ראשונה לאחדים הנפרדי' מורי' על מספר ט' ובערך המדרגות המונחות על אלה האותיות הנה הוא מור' על מאת אלף אלפים
The digit of 7 is the rank of the thousand thousands, because the 6 that precedes it, its rank is the rank of hundred of thousand. והאות הז' היא מדרג' האלף אלפי' כי הו' אשר קודם ממנה מדרגתה מדרגת מאת האלף
Therefore, the 9 indicates 9 hundred thousand of thousands and the 7, from which on it is the rank of thousand of thousands, indicates 7 thousand [of thousands]. הנה א"כ הט' תורה על ט' מאות אלף אלפי' והז' אשר ממנה ואילך מדרגת האלף אלפי' תורה על ז' אלפי'
The 8, whose rank is the rank of ten thousand of thousand, indicates eighty thousand [of thousands], since it has value of tens. והח' אשר מדרג' מדרגת העשרת אלף אלפים תורה על שמנים אלפי' ביען כי לה ערך העשרות
הנה א"כ המספר הנכלל מט' עד ז' הוא ט' מאות אלפי אלפי' ושבע ושמנים אלף
ולפי שהו' ג"כ ערכו הראשון בנפרדים יורה על מספר שש ולפי המדרגות יורה על מאת אלף הנה הוא מורה במספרו על שש מאות אלף
ואות הד' מדרגתה מדרגת האלפי' כי מה שקודם לה שהוא הג' מדרגתו מדרגת המאות
הנה א"כ הו' יורה על שש מאות אלף והד' על ד' אלפים ביען כי מדרגתו מדרגת האלפים
והה' אשר מדרגתו מדרגת העשרת אלפים יורה על חמשים אלף ביען כי לו' ערך העשרות
הנה א"כ הנספר נכלל מו' עד ד' הוא שש מאות אלף וארבע וחמשים אלף
ולפי שהג' ערכו הראשו' בנפרדי' יורה על מספר ג' ולפי המדרגות יורה על המאות הנה הוא מורה במספר על ש'
והא' אשר יורה על האחדים יורה על א'
והב' אשר יורה על העשרות יורה על עשרי'
הנה א"כ המספר הנכלל מג' עד א' שלש מאות וא' ועשרים
ואם עבר וטענת ומהו זה אשר יאיץ לבעלי זאת המלאכה ויניחו הא' במדרגת האחדי' והב' במדרגת העשרות ולא יניחום בחוקם א' ושנים
נפרק זה כשנאמר שהסברא בזה אמנם היא כי הנפרדים הט' כשנשי' עליהם הא' ישובו עשרה כי לו נשאל ונאמר לכמה מספרי' נצטרך אל הט' להשיבם י' נאמר א'
הנה הט' נפרדים נכללים לא' ולכן הניחו בעלי המלאכה הא' במדרג' האחדים
וכמו כן לו נשאל על העשרות לכמה עשרות נצטרך אל הי' להשיבם ק' נאמר לט' עשרות
הנה הט' עשרות נכללות בי'
הנה לפי שהאחדים נכללים בא' לשוב י' והעשרות נכללות בי' לשוב ק' והיה העשר אחר האחדים וכבר היה הב' ג"כ אחר הא' לכן יניחו בעלי המלאכה מדרגת העשרות במדרגת הב'
ואומרו ולאשר אין חק מאלו וכו'
He means "written" by the word "neʻelam", for the meaning is the Arabic "ʻalam". ירצה במלת נעלם נרשום כי הטעם בערבי עלם
As if he says: for every number there is no rank higher than it, but it stands alone, and has no positional value, i.e. a rank that precedes it, as the ten alone, the 100 alone, and the thousand alone, we write beneath the missing ramk a zero, if it were units, meaning if the number were tens alone and there were no units higher than it. וכאילו יאמ' וכל מספר אין למעלה ממנו מדרגה אבל אמנם הוא לבדו ואין לו ערך מדרגיי ר"ל שנקדם לו מדרגה כמו העשרה לבדם והק' לבדם והאלף לבדם נרשום תחת המדרגה הנפקדת 0 אם היתה אחדים כלומר שהיה המספר עשרות לבד ואין שם אחדים למעלה ממנו
If it were tens, meaning that the number were hundreds, we write 2 zeros, the 1st for the units and the 2nd for the tens. ואם היתה עשרות כלומר שהיה המספר מאות נרשום ב' ספרין הא' כנגד האחדי' והב' כנגד העשרות
If it were hundreds, we write 3 zeros, for the units, the tens, and the hundreds, in this form: 10, 100, 1000. ואם היתה מאות נרשום ג' סיפרין כנגד האחדים והעשרות והמאות על זו הצורה 0'ק' 0'0'ק' 0'0'0'ק'
ואומרו והמשל בה' וכו'
ירצה כאשר הונח בהנחת המחשבה מדרגת אחדי' והו' שלפניה מדרגת העשרו' הנה היא מדרגת האחדי' לו' שלפניה אשר הונחה מדרגת העשרות ויקדם לה בהכרח
והו' אשר הונח מדרגת העשרות יקדם לז' אשר הונח מדרגת המאות
והז' אשר הונח מדרגת המאות ‫[4]יקדם לח' כאשר הונח הח' מדרגת האלפי'
והח' יקדם למדרגת הט' כאשר הונח הט' מדרגת העשרת אלפי'
והח' למדרגת האלפים הנה הה' כאשר הונח מדרגת האחדים במחשבה הנה הוא מדרגת האחדי' לז' ומדרגת העשרות לז' ומדרגת המאות לח'
ומדרגת האלפי' לט' והוא מהצד האחר כאשר הונח מדרגת העשרות היה מדרגת העשרות לד' ומדרגת המאות לג' ומדרגת האלפי' ומדרגת הי' אלפי' לא' ע"כ

Chapter Two: Addition

 השער הב' בתוספת מספר על מספר
When you wish this, put the added number and beneath it the number, to which it is added, each rank in its proper place: the units in the rank of the units, the tens in the rank of the ten, until whichever number you wish. כאשר רצית זה הנח המספר הנוסף ותחתיו המספר אשר עליו נוסף כל מדרגה במקום הראוי לה האחדים במדרגת האחדי' והעשרות במדרגת העשרות עד אי זה מספר שרצית
Then, we add the last rank of the bottom line to the corresponding rank of the upper line. אח"כ נוסיף המדרגה האחרונה מהטור השפל על מדרגת מה שיקביל לה מהטור העליון
Do likewise to that which precedes it, until you reach the first rank of the bottom [line] corresponding to the first rank of the upper [line]. ואשר לפניה עשה לה ככה ג"כ עד הגיעך אל המדרגה הראשונה מהשפל הנקבלת למדרגה הראשונה מהעליון
If 1 is added in the rank of the upper [line] that is above the 9, put a zero in its place and put 1 in the rank of the tens. ואם נוספה במדרגה מהעליון אשר על הט' א' שים במקומו סיפרא ושים במדרגת העשרות א'
If something is added in the rank of tens, put the added beneath that very rank and add 1 to the rank of tens. ואם נוספה במדרגת העשרות מה שים הנוסף תחת המדרגה ההיא עצמה והוסף על מדרגת העשרו' א'
  • Example: I say: we wish to add some value to another value, we put this added value 5627 and the value, to which it is added, 482, and we put one next to the other in the arrangement like this:
 המשל אומר הנה נרצה להוסיף ערך מה על ערך מה והנה שמנוה ערך נוסף זה ٥٦٢٧ והערך אשר עליו נוסף זה ٤٨٢ ונשים זה בצד זה בהנחה הנערכת כזה
5 6 2 7
  4 8 2
٥ ٦ ٢ ٧
  ٤ ٨ ٢
  • We add the 4 to the 6 and put a zero in the 3rd rank.
 נוסיף הד' על הו' ונשים במדרגת הג' סיפרא
  • We add the added 1 to the 5 and the 5 becomes 6.
 ונוסיף הא' המחובר על הה' ויהיה הה' ו'
  • We add the 8 to the 2 and we put a zero in the 2nd rank, 1 in the 3rd, and 4 in the 4th.
 ונוסיף הח' על הב' ונשים במדרגת הב' סיפרא והג' א' והד' ו'
  • We add the 2 and the result is 9 in the first rank, a zero in the 2nd, 1 in the 3rd, and 6 in the 4th, according to this diagram:
 ונוסיף הב' ויעלה במדרגה הא' הראשונה ט' ובב' סיפרא ובג' א' ובד' ו' על זו הצורה
6 1 0 9
  4 8 2
٦ ١ ٠ ٩
  ٤ ٨ ٢
Doubling
Another matter of addition is called "domeh", in Arabic taḍʻīf, which is that you start from the last rank and add it to its similar, and likewise with what precedes it until the end. ועוד ענין אחר מהתוספת יקרא דומה בערבי תצעיף והוא שתתחיל ממדרגה האחרונ' ותוסיפה על דמיונה וכן בשלפניה עד סוף
Commentary הפירוש
אומרו ואם נוס' במדרגה מהעליון אשר על הט' א' וכו'
ירצה שכאשר רצית להוסיף מספר על מספר וכבר ערכת טור זה תחת טור זה מדרגה נגד מדרגה כאשר הזכיר כבר והתחלת להוסיף מהמדרגה האחרונה לטור השפל אל האחרונה לטור העליון על הדרך כמו שיראה הצורה למטה עד שהגעת להוסיף אל המדרגה האחרונה הראשונ' על הט' שהיא מדרגת האחדים אם הזדמנה במספרך ובהוסיפך מספר מדרגת הטור השפל על מספר מדרגת הטור העליון עלה יותר מה והנה נוציא ה0 מכללם והוא אשר יקרא א' שים במקומו שהוא מדרגת האחדים שהיא הראשונ' 0 ושים במדרג השני' לה שהיא מדרגת העשרות הא' הנוסף
ואם הוספת מדרגת העשרות שבשפל על מדרגת העשרות שבעליון ועלה המחובר יותר מי' הוצא מכללם א' כמו שאמרנו והנח הנשאר למטה במדרגה ההיא עצמה אשר מדרגת העשרות מהשפל והיא הב' והא' המחובר שימהו על מדרגת העשרות שבטור העליון והיא הב'
ואומ' נוסיף הד' על הו' וכו'
ירצה שנערוך הטורי' זה תחת זה כאשר צייר כבר ונוסיף הד' מהשפל על הו' שבעליון ויהיו י' נשים 0 על הו' שבטור העליון לפי שלא נוסף כלום על הי' שהוא המדרגה הג' לפי שהטור העליון ד' מדרגות ‫[5]מדרגות אחדים עשרות מאות אלפים
ונחבר הא' המחובר על הה' שהוא המדרג' הד' ויהיה הה' ו'
עוד נוסיף הח' על הב' ויהיה המחובר י' נניח ב' על הב' שהוא המדרגה הב' והא' המחובר נחברהו על המדרגה הג' שהיה בו ה0 ויהיה ה0 א'
עוד נוסיף הב' על הז' ויהיה ט' ונשימהו במדרגה הראשונה
הנה א"כ הונח במדרגה הראשונה ט' ובב' 0 ובג' א' ובד' ו' על זו הצורה
6 1 0 9
  4 8 2
٦ ١ ٠ ٩
  ٤ ٨ ٢
ואומרו ויקרא דומה והוא שתתחיל וכו'
ירצה שתניח המספר אשר תרצה להוסיפו על ערך טור אחד מדרגה אחר מדרגה
אח"כ תתחיל מהמדרגה האחרונ' והוסיפה על דמיונה
המשל כמו שתהיה במדרגה האחרונה מהטור ג' הוספנו בדמיונו שהוא ג' והיה ו' שמנוהו למעלה על המדרגה ההיא
עוד היתה על זו המדרגה אשר הונח בה ג' מדרגה אחרת הונח בה ט'
עד"מ הוספנו הט' על דמיונו והיה י"ח הוצאנו מכלל המחובר א' שהוא היו"ד וזכרנוהו על המדרגה שלפניו שהיא על המדרגה האחרונה אשר הנחנו בה ו' ושב הו' ז' וכתבנוהו ז' ושמנו הח' למעלה על מדרגה אשר על המדרגה האחרונה
עוד היתה על זו המדרגה אשר הונח בה ט' מדרג' אחרת הונח בה ד' הוספנוהו על דמיונו והיה ח' שמנוהו למעלה מזו המדרג'
עוד היתה על זו המדרגה אשר הונח בה ד' מדרגה אחרת הונח בה ה' הוספנוהו על דמיונו וחובר י' חברנו א' על המדרגה שלפניה אשר הונח בה ח' ושב ט' וכתבנוהו ט' ושמנו על זו הצורה המדרגה עצמה 0' על כי לא נוסף כלום על הי'
עוד היתה זו המדרגה מדרגה אחרת הונח בה ו' הוספנוהו על דמיונו והיה י"ב הוצאנו מכלל המחובר א' וחברנוהו במדרג' שלפני זו אשר הונח בה 0 ושב א' וכתבנוהו א' ושמנו על זו המדרגה עצמה ב'
עוד היתה על זו המדרגה מדרגה אחרת הונח בה ז' הוספנו על דמיונו והיה י"ד הוצאנו מכלל המחובר א' חברנוהו במדרגה שלפני זו אשר הונח בה ב' ושב ג' וכתבנוהו ג' ושמנוהו על זה המדרגה עצמה ד' על זו הצורה

Chapter Three: Subtraction

 ‫[6]השער הג' בחסרון מספר ממספר
First, we put the numberfrom which we wish to subtract and beneath it that which is subtracted from it, each rank corresponding to a rank, one beneath the other, the tens beneath the tens, the hundreds beneath the hundreds. הנה נניח ראשונה הערך אשר נרצה ממנו לחסר ותחתיו מה שממנו נחסר כל מדרגה נגד מדרגה זו תחת זו העשרו' תחת העשרות והמאות תחת המאות
Then subtract the last rank of the bottom line from the corresponding rank of the upper [line], end the one next to it from the corresponding to it of the upper [line], until you reach the first [rank] of the bottom [line] to subtract it from the corresponding to it of the upper [line]. אח"כ חסר המדרגה האחרונה מהטור השפל ממדרגה הנקבלת לה מהעליון ואשר בצדה מהנקבלת לה מהעליון עד שתגיע אל הראשונה מהשפל לחסרה מהנקבלת לה מהעליון
For each rank that is not enough to be subtracted from, we subtract one from the rank before it and we dissolve it to 10, then we subtract the required from the ten. Add the remainder to the insufficient number. וכל מדרגה אשר לא תספיק לחסר ממנו נחסר ממדרגה שלפניה אחד ונפזרנו לי' ונחסר הנרצה מהעשרה והנשאר הוסיפהו על הנפקד
  • Example: I say: we wish to subtract from this value, 5627, the value 482.
 המשל אומר נרצה לחסר מערך זה ٥٦٢٧ ערך זה ٤٨٢
Put them in this diagram:
 הנח שניהם על זו הצורה
5 6 2 7
  4 8 2
٥ ٦ ٢ ٧
  ٤ ٨ ٢
  • Then, we subtract 4 from 6; 2 remain in the 3rd rank.
אח"כ נחסר ד' מו' נשארו במדרגה הראשונה הג' ב'
  • We subtract the 8 from the 2; 4 remain in the 2nd rank and 1 in the 3rd.
 ונחסר הח' מהב' נשארו במדרגה הב' ד' ובג' א'
  • We subtract the 2 from the 7 that is above it; 5 remain in the first rank, 4 in the 2nd, 1 in the 3rd, and 5 in the 4th; in this diagram.
 ונחסר הב' מהז' אשר למעלה ממנו נשארו במדרגה הראשונה ה' ובב' ד' ובג' א' ובד' ה' על זו הצורה
5 1 4 5
  4 8 2
٥ ١ ٤ ٥
  ٤ ٨ ٢
Halving
Another method of subtraction is called halving, tanṣīf in Arabic. עוד מן החסרון צורה אחרת תקרא החסייא בערבי תנציף
This is that you start with the half of the first rank of the line: if a half is received in its halving, put 30 beneath it, which is a half of 60 of 1. והוא שתתחיל ממדרגה הראשונה מהטור מחציה ואם נזדמן חצי בחציה שים תחתיו ל' והוא חצי הששים הא'
Divide likewise every rank that precedes this rank, whichever it is: if a half is received for any of them in its halving also, as in the first, put 5 in the rank that precedes it. גם חלק כל מדרגה אשר לפני זו המדרגה אי זו תהיה ואם הזדמן אל אי זו מהן בחצייתה חצי ג"כ כבראשונה הנח במדרגה הנקדמת ה'
Commentary הפירוש
  • His saying: "then we subtract 4 from 6 etc."
 אומרו אח"כ נחסר ד' מו' וכו'
He means when we have put the two lines one beneath the other, a rank corresponding to a rank, so that there is 4 in a rank of the bottom line and in the similar rank corresponding to it of the upper [line] there is 6, we subract the 4 from the 6; 2 remain; we put them above the 2nd rank of the upper line, in which there are four ranks: units, tens, hundreds, and thousands, which is 6 for example.
ירצה שכאשר הנחנו שני הטורי' זה תחת זה מדרגה נגד מדרגה והיה במדרגה שבטור השפל ד' ובמדרגה הדומה לה הנקבלת לה מהעליון ו' נחסר הד' מהו' ונשארו ב' נניחם על מדרג' הב' מהטור העליון אשר בו ד' מדרגות אחדים עשרות מאות אלפים שהוא ו' עד"מ
We put the fourth rank that is in the upper line, which is added to the 2nd line, for there are only 3 ranks in the 2nd [line]: units, tens, hundreds, and this 5, for example, is after this 3rd rank, which we put above the 3rd rank of the upper line, which is 6.
 ונניח המדרגה הרביעי אשר בטור העליון הנוסף על הטור הב' כי הב' בו ג' מדרגות לבד אחדים עשרות מאות והוא הה' עד"מ אחר זו המדרגה הג' אשר הנחנוה על המדרגה הג' שבטור העליון שהוא הו'
We also subtract the 8 that is in the bottom line, which is placed in the 2nd rank, from the 2 that is above it of the upper [line] in the similar rank; but it is not enough.
 עוד נחסר הח' שבטור השפל אשר הונח במדרגה הב' מן הב' אשר למעלה ממנו מהעליון במדרג' הדומה לה והנה אינו מספיק
We subtract 1 from the rank that precedes the one in which we have put 2; 1 remains; we write 1, and we dissolve it to 10; we add them to the 2 and they are 12; we subtract 8 from them; 4 remain; we put them above on the 2nd rank itself.
 נוציא א' מהמדרגה אשר לפני זו אשר הנחנו בה ב' ונשאר א' ונכתבהו א' ונפזרהו לי' ונצרפם לב' ויהיו י"ב נחסר מהם ח' נשארו ד' ונניחם מעלה על המדרגה הב' עצמה
We subtract also the 2 that is placed in the first rank of the bottom [line] from the 7 that is placed in the first rank of the upper [line] corresponding to it; 5 remain, we write them above the first rank of the upper line.
 עוד נחסר הב' אשר הונח במדרגה הראשונה מהשפל מהז' אשר הונח במדרגה הראשונה מהעליון הנקבלת לה וישארו ה' ונכתבם על המדרגה הראשונה שבטור העליון
We find that 5 is placed in the first rank, 4 in the 2nd, 1 in the 3rd, and 5 in the 4th, according to this diagram:
 נמצא שהונח במדרגה הראשונ' ה' ובב' ד' ובג' א' ובד' ה' על זו הצורה
5 1 4 5
  4 8 2
٥ ١ ٤ ٥
  ٤ ٨ ٢
  • His saying: "halving, tanṣīf in Arabic, this is that you start with etc."
 ואומרו החסייה בערבי תנציף והוא שתתחיל וכו'
He means by the word tanṣīf, which is explained as halving, the division in halves of whichever rank of the number.
 ירצה במלת תנציף הנפתרת לחצייה החלוקה לאי זו מדרגה מהמספר לחצאין
This is that we put the required number, which we divide it into halves, arranged in a line, rank after rank, until we reach to whichiever rank we wish.
 וזה שנניח המספר הנרצה והוא אשר נחלקהו לחצאין ערוך על טור מדרגה אחר מדרגה עד הגיענו אל אי זו מדרגה רצינו
Then we start with the first rank of the value of the line, which is the one that is in the beginning of the line, we divide it in halves and we put the half in this rank itself.
 אח"כ נתחיל מהמדרגה הראשונה לערך הטור והוא אשר הוא בתחלת הטור ונחלקה לחצאין ‫[7]לחצאין ונשים החצי אל המדרגה ההיא עצמה
If we happen to have a half in the division, for example, if the rank that we wish to divide is 5, whose half is two and a half, we put 30 beneath this rank itself, instead of the half, which is a half of one degree of the number, because we always dissolve the one into 60 in relation to astrology.
 ואם הזדמן לנו חצי בחלוק' המשל כמו שהיתה המדרגה שנרצה לחלוק ה' אשר חציה הוא שנים וחצי ננח נניח במקום החצי ל' שהוא חצי דק א' מהמספר ביען כי האחד נפזרנו לס' תמיד בערך מלאכת הכוכבים תחת המדרגה ההיא עצמה
This condition is indeed in the first rank, since no other rank precedes it to add the half to it.
וזה התנאי אמנם הוא במדרגה הראשונה לפי שאין לפניה מדרגה אחרת להוסיף החצי עליה
But, in the other [ranks], the 1 that is divided is as the 1 of the 5 that are divided in halves, so we take the 5 from it, we add it in the rank that is above that rank and we write the sum on the added rank. Then, we divide the next rank of the number in halves and we write the half above the rank itself.
 אבל בזולתה הא' הנחלק שהוא כמו הא' מהה' נחלקו לחצאין ונקח הה' ממנו ונוסיפנו במדרגה אשר על המדרגה ההיא ונכתוב המחובר על המדרגה המוספת אח"כ נחלק מדרגת המספר אשר אחר זו לחצאין ונכתוב החצי על המדרגה ההיא עצמה
And so we proceed until the end in this manner, according to this diagram:
 וכן נעשה עד סוף על זה הסדר כזו הצורה
2 8 1 2
5 6 2 7
٢ ٨ ١ ٢
٥ ٦ ٢ ٧

Chapter Four: Multiplication

 ‫[8]השער הד' בהכאה
Put the multiplied number and beneath it that by which you multiply it, the first rank of the bottom beneath the last rank of the upper. שים המספר המוכה ותחתיו אשר בו תכה המדרגה הראשונה מהשפל תחת המדרגה האחרונה מהעליון
Start with the last rank of the upper line. We multiply with the last rank of the bottom line and do likewise with the ranks that precede it, until we have multiplied the last rank of the upper [line] by every rank of the bottom [line]. ותתחיל מהמדרגה האחרונה לטור העליון ונכה עם המדרגה האחרונה של הטור השפל ועשה כן גם במדרג' שלפניה עד שנכה המדרגה האחרונה מהעליון עם כל מדרגה מהשפל
Put the result corresponding to every rank equally. ושים העולה מנגד על כל מדרגה בשוה
Shift this rank of the bottom ranks to the right side of the number and we multiply that which is above the first rank of the bottom [line], by each of the bottom ranks. עוד תעתיק המדרגה ההיא מהמדרגות השפלות על צד ימין המספר ונכה שעל המדרגה הראשונה מהשפל עם כל א' מהמדרגות השפל
The beginning of the multiplication is as you have done at first. ותחילת ההכאה כמו שעשית ראשונה
There should not remain any multiplied rank that you do not shift, one after the other, until the end of the multiplication of the first rank of the upper [line] by the rank of the bottom [line]. ואל ישאר שלא תעתיק כל המדרגה המוכה זו אחר זו עד סוף הכות המדרגה הראשונה מהעליון עם מדרגה מהשפל
Whatever is summed from all the bottom ranks is the result of the multiplication. ויהיה מה שיקובץ מכל המדרגות השפל הוא המחובר מההכאה
  • Example: we wish to multiply a number in this form:
 המשל נרצה להכות מספר על זו הצורה
3 2 5
٣ ٢ ٥
By a number in this form:
 על מספר זו הצורה
2 4 3
٢ ٤ ٣
We put them in this diagram:
 נשימם על זו הצורה
    3 2 5
2 4 3    
    ٣ ٢ ٥
٢ ٤ ٣    
Then, multiply the 3 of the upper [line], which is the last rank of the upper [line], by the two of the bottom [line], which is the last rank of the bottom [line].
 אחר הכה הג' מהעליון שהוא המדרגה האחרונה מהעליון עם השנים מהשפל שהוא המדרגה האחרונ' מהשפל
Also the 4, then the 3.
 עוד הד' עוד הג'
We put the result above each rank of the upper [line] respectively.
 ונשים העולה על כל מדרגה מהעליון בהקבלה
The first result of the multiplication is according to this diagram:
 ויהיה המחובר הראשון מההכאה על זו הצורה
7 2 9 2 5
2 4 3    
٧ ٢ ٩ ٢ ٥
٢ ٤ ٣    
Shift also the bottom rank from the ranks [of the upper line] and multiply each of the bottom ranks by the 2 of the upper line, according to the first rule.
עוד תעתיק המדרגה השפלה מהמדרגות והכה עם הב' מהטור העליון כל אחד ממדרגות השפל כמשפט הראשון
We add the result to each rank of the upper [line], a rank corresponding to a rank.
 ונוסיף העולה על כל מדרגה מהעליון מדרגה נגד מדרגה
The result of the multiplication is according to this diagram:
 ויהיה המחובר מההכאה על זו הצורה
7 8 9 7 5
  2 4 3  
٧ ٨ ٩ ٧ ٥
  ٢ ٤ ٣  
We multiply the 5 of the upper line by each of the bottom ranks and we add the result to each rank of the upper [line], rank by rank.
 ונכה הה' מן הטור העליון עם כל א' מהמדרגות השפלות ונוסיף העולה על כל מדרגה מהעליון מדרגה נגד מדרגה
The result of the multiplication is according to this diagram:
 ויהיה המחובר מההכאה על זו הצורה
If you wish to multiply degrees and minutes by degrees and minutes, we multiply the degrees by 60 and add the minutes to the result. ואם תרצה להכות מעלות עם ראשונים עם מעלות וראשוני' נכה המעלות בס' ונוסיף על העולה הדקים
If there are seconds with the minutes, we multiply the result by 6o and add the seconds to the result. ואם יזדמנו שניי' עם הדקים נכה הנולד בס' ונוסיף על העולה השנים
Do likewise with thirds and fourths until the end. וכן תעשה בשלישים וברביעי' עד הסוף
We multiply also the minutes of each resul by the minutes of the other result. גם נכה דקי מחובר כל אחד מהם עם דקי המחובר האחר
Commentary הפירוש
  • His saying: "the first rank of the bottom etc."
 אומרו המדרגה הראשונה מהשפל וכו'
ירצה על זו הצורה
    3 2 5
2 4 3    
    ٣ ٢ ٥
٢ ٤ ٣    
The first rank of the bottom [line], which is 3, corresponds to the last rank of the upper [line], which is 3.
 הנה המדרגה הראשונה מהשפל שהוא ג' הוא נגד המדרג' האחרונה מהעליון שהוא ג'
  • His saying: "start with the last rank etc."
 ואומרו ותתחיל מהמדרגה האחרונה וכו'
He means, when you start to multiply, you start with the digit 2, which is the last rank of the bottom [line]; multiply it by the digit 3, which is also in the last rank of the upper [line], and put the result above corresponding to the last rank of the bottom [line], from which you have started to multiply the last [rank] of the upper [line] and it is the digit 3.
ירצה כשתתחיל להכות תתחיל מאות ٢ שהוא במדרגה האחרונה מהשפל והכה בו לאות ٣ שהוא במדרג' האחרונה ג"כ מהעליון והיוצא שים אותו למעלה נגד המדרגה האחרונ' מהשפל שהתחלת בה להכות האחרונה מהעליון והוא אות ٣
  • Example: we multiply 2 by 3; it is 6. We write it above, corresponding to the digit 2.
 המשל הכינו ב' עם ג' והיה ו' וכתבנוהו למעלה נגד אות ב'
You move to the preceding rank, that is you multiply the digit 4, which precedes the rank of the digit 2, also by the digit 3, and put the result above corresponding to the digit 4.
 וכן תעלה במדרגה שלפני זו וזה שתכה אות ד' שהוא לפני מדרגת אות ב' עם אות ג' ג"כ והיוצא שימהו למעלה נגד אות ד'
  • Example: we multiply 4 by 3, the result is 12. We subtract 1 and put it above the result from the rank that follows this one, it is the result of the multiplication of 2 by 3, which is 6. We write the 2 above the digit, corresponding to it.
 המשל הכינו ٤ עם ג' ויצא י"ב הוצאנו א' ושמנוהו על היוצא ממדרג' הנמשכת לזו ‫[9]והוא היוצא מהכאת ב' עם ג' שהוא ו' וכתבנו הב' על אות ד' מנגד
You do likewise with the rank that precedes this, that is you multply the digit 3, which precedes the digit 4, also by the digit 3. Put the result above, corresponding to the digit 3, which is in the first rank of the bottom [line] that corresponds to the digit 3, which is in the last rank of the upper [line], until we find that you have nultiplied the last rank, which is the digit 3, by every rank of the bottom [line].
 וכן תעשה במדרגה שלפני זו וזה שתכה אות ג' שהוא לפני אות ד' עם אות ג' ג"כ והיוצא שימהו למעלה נגד אות ג' שהוא במדרגה הראשונה מהשפל אשר הוא נגד אות ٣ שהוא במדרגה האחרונה מהעליון עד שנמצא שהכית המדרגה האחרונה שהוא אות ג' עם כל מדרגה מהשפל
ואומרו ושים העולה וכו'
ירצה שראוי שתשים היוצא מהכאת כל מדרגה מהשפל למדרגה האחרונה מהעליון נגד כל מדרגה מהשפל למעל' ממנה נגדיות שוה כמו שכתבתי כבר על זו הצורה
1   3 2 5
6 2 9    
2 4 3    
١   ٣ ٢ ٥
٦ ٢ ٩    
٢ ٤ ٣    
וזכור כי כאשר כלית להכות כל מדרגה מהשפל עם המדרגה האחרונה מהעליון ושמת העולה נגד כל מדרגה כמו שהזכרנו שתשים ג"כ על הטור אשר ערכת בו העולה שהוא מה שעל שני הטורי' המוכים זה עם זה שתי המדרגות אשר לא הכיתם עדיים שהן ٢٥ ויהיה א"כ העולה כזו הצורה
1        
6 2 9 2 5
١        
٦ ٢ ٩ ٢ ٥
ואומרו עוד תעתיק וכו'
ירצה שאחר שכלית להכות כל המדרגות מהשפל עד שהגעת כבר והכית הראשונ' מהשפל ג"כ עם האחרונה מהעליון כמו שסדרנו ראוי לך שתעתיק זאת המדרגה הראשונה מהשפל לצד ימין המספר ר"ל שתעתיקה ממדרגתה שהיתה תחת המדרגה הראשונה מהעליון ותניחה אל צד ימין המספר שהכית כבר שהוא אות ג' שהוא המדרגה האחרונה מהעליון וזה שתניחה תחת המדרגה הב' מהעליון שהוא אות ٢ ותשים גם שאר המדרגות אחריה זו אחר זו שהן ٢٤ על זו הצורה
  3 2 5
2 4 3  
  ٣ ٢ ٥
٢ ٤ ٣  
אח"כ הכה המדרגה שעל המדרגה הראשונה מהשפל שהוא אות ב' המונח על אות ב' שהוא במדרגה הראשונה מהשפל לפי זאת ההעתקה שעשית עם כל מדרגה מהשפל וכשתתחיל להכות עשה כסדר שהזכרנו בערך הראשון והעולה מההכאה לכל מדרגה שימהו נגד המדרגה אשר אתה מכה בה למדרגה שתכה על יושר כמו שכתבתי הסדר למעלה
ואומרו ותחילת ההכאה כמו וכו'
ירצה שכאשר העתקת המדרגה ממדרגתה כמו שהזכרנו והתחלת להכות פעם ב' עוד תתחיל להכות מהמדרגה האחרונה לשפל לאותה המדרגה שתרצה להכות עד שתכה אותה עם כל מדרגה ממדרגות השפל כאשר עשית בהכאה הראשונ'
ואומרו ויהיה מה שיקובץ וכו'
ירצה שמה שיקובץ על הטור שעל שני הטורי' אשר הוכו זה עם זה שהוא עד"מ זה
7 2 9 2 5
    3 2 5
2 4 3    
٧ ٢ ٩ ٢ ٥
    ٣ ٢ ٥
٢ ٤ ٣    
מהכאת כל מדרגה מהשפל לכל א' מהעליון כאשר אמרנו הוא המחובר העולה מההכאה הראשונה
אומרו אחר תכה הג' וכו'
ירצה המדרגה שעליה גדב אות ٣ מהעליון
ואומרו עם הב' מהשפל ירצה עם המדרגה שעליה אות ٢ מהשפל
ואומרו עוד הג' עוד הד'
ירצה שכאשר הבית המדרגה האחרונה מהשפל שעליה אות ٤ מהשפל וכן המדרגה שעליה אות ٣ עד שנמצא שהכית כל מדרגה מהשפל עם האחרונה שבעליון וכן עם כל א' מהעליון
ואומרו ועוד תעתיק המדרגה השפלה וכו'
ירצה עוד אחר ההכאה הראשונה שעשית והוא הג' מהעליון תעתיק המדרגה הראשונ' השפלה מהמדרגו' ‫[10]אשר בטור השפל ממדרגתה שהיתה תחת הג' מהעליון כמו שכתבנו למעל' ותניחה תחת הב' ממנה אחר שרצוננו עתה להכות זאת המדרגה שהיא הב' מהעליון והוא אות ב' עם כל מדרגה מהשפל
ואומרו והכה עם הב' מהטורי' וכו'
ירצה עם אות ב' שהוא במדרגה הב' מהעליון אשר העתקנו תחתיו המדרגה הראשונה מהשפל כמו שכתבנו
ואומרו והתחלת ההכאה וכו'
ירצה ונוסיף העולה וכו'
ירצה כמו שפירשנו למעלה
ואומרו ויהיה המחובר וכו'
ירצה על זה המשל והצורה כבר כתבנוה למעלה וזה שהכינו המדרגה האחרונה מהשפל שהוא אות ٢ עם המדרג' הב' מהעליון שהוא אות ב' והיה העולה ٤ שמנוהו נגד מדרגה ٢ שהכינו בה לאות ٢ מהעליון למעלה על יושר על אות ٢ מטור שכתבנו בו ערך ההכאה הראשונה שהוא טור זה
1 4 8  
6 2 9 6
١ ٤ ٨  
٦ ٢ ٩ ٦
עוד הכינו המדרג' שעל זו המדרגה והוא אשר בה אות ٤ עם אות ב ויצא ٨ כתבנוהו נגד זו המדרגה שהכינו בה והוא אות ٤ על יושר על אות ٩ מטור שכתבנו בו ערך ההכאה הראשונ'
עוד הכינו המדרגה שעל זאת המדרגה והוא המדרגה הראשונה מהשפל אשר בה אות ٣ עם המדרגה שהכינו והיא אות ב' ויצא ٦ וכתבנוהו למעלה בטור ערך בהכאה הראשונה נגד זו המדרגה שהכינו בה שהיא הראשונ' מהשפל שהיא אות ג' ועל המדרגה הב' מהעליון שהכינו אותה שהוא אות ב' בצד אות ٩ מלמעלה וזכור להניח על זה הערך המדרגה הנשארת אשר לא הוכה עדיין כמו שכתבנו למעלה והיא הראשונה מהעליון שעליה אות ה'
הנה יהיה א"כ היוצא מהכאת ٢٤٣ ٧٧٧٦ כי שמנו ה٦ שיצא ואחריו חברנו ה٨ שעל ה٩ והיה י"ז הוצאנו א' וחברנוהו למדרגה שלפני ٩ והוא אות ٢ והיה ז' וכתבנום בצד ٦ עוד חברנו הב' עם ה٤ ועם הא' שחברנו עמו והיה ז' ושמנוהו בצדו עוד חברנו הו' עם הא' שעליו אשר הם בסוף הטור והיה ٧ וכתבנוהו בצדו ולפי ששמנו גם הה' אשר לא הוכה עדיין על ראש הטור כי כן ראוי לעשות כפי מה שכתבנו היה היוצא להכאת ٢٤٣ זה המספר ٧٧٧٦٥
ואומרו עוד ויהיה המחובר מההכאה וכו'
ירצה שכאשר הכינו ה٢ עם הה' עלה י' ושמנו 0 למעלה על ה٨ אשר על ٩ מטור ערך ההכאה הראשונה לפי שהוא נגד אות ב' שהכינו בו ٥ למשפט שהזכרנו והוספנו א' במדרגה שאחריו שהוא על אות ٤ אשר על אות ב' מטור ערך ההכאה הראשונה עוד הכינו ٤ עם ٥ והיה כ' ושמנו 0 על ٦ מטור ערך ההכאה הראשונה והוספנו במדרגה שאחריו ٢ על ה0 שעל ה٨ מהטור
עד הכינו הג' עם ה' והיה ט"ו הוצאנו א' ושמנוהו על ה0 שעל הו' שבטור ושמנו הה' למעלה נגד הה' שהוכה אח"כ התחלנו לחבר היוצא ושמנו הה' ראשונה ה٦ עם עם ה١ שעליו והיה ٧ ושמנוהו בצדו אח"כ חברנו ה٩ עם הח' ועם הב' שעליו והיה י"ט הוצאנו א' וחברנוהו במדרגה שאחריו והיה ٩ וכתבנוהו בצדו אח"כ חברנו ה١ שיצא עם ה٢ ועם ה٦ עם ה٢ ‫[11]ועם ה٤ ה١ שעליו והיה ٨ ושמנוהו בצדו אח"כ חברנו ה٦ עם ה١ שעליו והיה ٧ וחברנוהו בצדו הנה א"כ כלל ערך הטור היוצא מההכא' הג' ٢٤٣ הוא זה ٧٨٩٧٥ וצורת כלל ההכאה הוא על זה הצד
  1 2 1  
1 4 8 0  
6 2 9 6 5
  ١ ٢ ١  
١ ٤ ٨ 0  
٦ ٢ ٩ ٦ ٥
ואומרו ואם תרצה להכות מעל' וכו'
ירצה כאשר הכית מספר במספר א' ויצא לך מחובר א' וכן הכית מספר במספר אחר ויצא לך מחובר אחר כמו אותו שעשינו אנחנו עתה וערכנו שני המחוברי' לשני טורים הא' בו מעלות וראשונים ושניים ושלישים והב' מעלות וראשונים ושניים ושלישיי' ורביעיי' וחמשים וששים ושבעים ורצית להכות המעלות והראשונים והשניי' וכן הכל מהטור העליון להשיבם לאי זה מין שרצית משל המין הטור השפל
המשל כמו שרצית להשיבם ולהגיעם למדרגת שביעיי' שבטור השפל וכן רצית להכות מה שבטור השפל להשיב המעלות עם אל הראשונים והראשוניי' אל השניים וכן על זה הסדר
הנה תכה המעלות עם ס' והוסף על העולה הראשונים והנה שבו המעלות ראשונים
ואם היו שניים עם הראשוני' ורצית להשיב הראשוני' לשניים הכה הראשונים עם ס' והוסף על העולה השניים והנה שבו הראשוני' שניים
וכן תעשה אם רצית להשיב השניים שלישיים עד שתגיע אל מה שרצית א"כ הוסף ועשה זה בטור השפל במעלותיו וראשוניו ושניו עד שתגיע השלישיי' אל רביעיי' והרביעיים אל שלישיים חמישיי' וחמישיי' אל ששיים והששיי' אל שביעיי' עד שנמצאו השביעיי' מהעליון נגד השביעיי' מהשפל
ואומרו גם נכה דקי מחובר וכו'
ירצה כאשר הכית מעלות כל מחובר והשיבות ראשונים כן תכה ראשוני כל א' מהם להשיבם שניים ולהגיעם עד שמין שתרצה
ע"כ הביאור של השער הד' בלתי מגרעת

Chapter Five: On the Result of Multiplication

 ‫[12]השער הה' במחובר מההכאה
First put the degrees in the zero rank, the minuts in the 1st rank, the seconds in the 2nd rank and so on in this way until the end. שים ראשונה לפני המעלו' במדרגת 0 ולפני הדקי' במדרגת הא' ולפני השניים במדרגת הב' והכל על זה הדרך עד הסוף
Then, multiply the result of multiplication of any number by any number in a similar multiplication; degrees by degrees, the result is degrees and minutes; degrees by minutes, the result is minutes and seconds; minutes by minutes, the result is seconds; seconds by seconds is thirds; in this way. אחר הכה המחובר מההכאה אי זה מספר עם אי זה מספר הכאה דומה מעלות עם מעלות והעולה מעלות ודקים ומעלות עם דקים העול' דקי' ושניים דקים עם דקים העולה שניים והשניים עם שניים שלישים על זה הדרך
Connnentary הפירוש
  • His saying: "On the result of multiplication, etc."
 אומרו במחובר מההכאה וכו'
He means when you receive in the result of multiplication which we mentioned in our saying: "And if you wish to multiply etc. any number that is, for example, degrees, minutes and seconds, put first etc."
 ירצה כאשר יצא לך במחובר מההכאה שהזכרנו באומרנו ואם תרצה להכות וכו' מספר מה והוא עד"מ מעלות וראשוני' ושניי' שים ראשונה לפני וכו'
  • Naming the degrees in the zero rank: the reason is that nothing precedes the degrees, and the minutes in the 1st rank, and the seconds in the 2nd rank, and so on in this order.
 קריאת שם המעלות במדרגת 0 והטעם לפי שאין לפני המעלות כלום ולפני הדקים במדרגת הא' והשניים במדרגת הב' וכן הכל על סדר זה
That is, if you have thirds, put them in the 3rd [rank], and the fourths in the 4th rank, until the end.
 כלומ' שאם היו לך שלישיים שימם הג' והרביעיי' במדרגת הד' עד סוף
Then, multiply each one of the aforementioned result of multiplication, whichever number you wish of the first by whichever number of the other, each type by its type.
 אח"כ הכה לכל א' ממחובר ההכאה הנזכר אי זה מספר שרצית מהא' אם אי זה מספר מהאחר מין עם מינו
For example, degrees by degrees, minutes by minutes, and so on in this order.
 המשל מעלות עם מעלות וראשונים עם ראשוני' וכן כלם על זה הסדר
The result of multiplication of degrees by degrees is degrees and minutes; the result of the multiplication of degrees by minutes is minutes and seconds; minutes by minutes, the result is seconds; seconds by seconds, the result is thirds; and so on in this way.
 והעולה מהכאת מעלות במעלות הוא מעלות וראשוני' והעולה מהכאת מעלות עם דקים הוא דקים ושניים ודקים עם דקים העולה הוא שניים ושניים עם שניים ע"כ העולה הוא שלישיים והכל כל זה הדרך

Chapter Six: Division

 השער הו' בחלוקה
נשים המספר הנרצה לחלוק ותחתיו המספר אשר בו נחלקהו סוף המדרגה האחרונה מהשפל ותחת המדרגה האחרונה מהמספר הנרצה לחלוק
עוד שים המבוקש על המדרגה הראשונה מהשפל
אחר נבקש מספר נכה בו כל מדרגה מהשפל ויתחיל בזה מהמדרגה האחרונה לשפל ונחסר העולה מכל א' מהמוכים ממדרגות המספר הנרצה לחלוק
עוד תעתיק מדרגה מהשפל אל ימין המספר ונשים על המדרגה אשר תחתיה הראשונה מהשפל המספר המבוקש ונעשה בו כמשפט הראשון עד שיגיע המבוקש אל המדרגה הראשונה מהעליון אשר הוא המספר הנרצה לחלוק והמחובר הוא חלוק המספר הנרצה והנשאר מהמספר הנרצה הוא חלקי' מהמספר השפל מאי זה א' מהם
המשל נרצה לחלק זה המספר ٥٦٢٧ על זה המספר ٢٤٣ נשימם על זו הצורה
5 6 2 7
2 4 3  
٥ ٦ ٢ ٧
٢ ٤ ٣  
ונמצא המספר המבוקש מקודם והוא הב' ונכה כל א' מהב' והד' והג' אשר בטור השפל ונחסר העולה מכל א' מהמוכי' כמו שכתבנו ויעלה על זו הצורה
    2  
  7 6 7
2 4 3  
    ٢  
  ٧ ٦ ٧
٢ ٤ ٣  
עוד תעתיק המדרג' השפלה ממדרגתה ונמצא המבוקש והוא הג' ושימהו על הז' העליון ונכה בו כל א' ממדרגות השפל כמשפט הראשונה ונחסר מכל א' כמשפט הראשון ויעלה על זו הצורה
  2 3
  3 8
2 4 3  
  ٢ ٣
  ٣ ٨
٢ ٤ ٣  
והב' והג' אשר למעלה הוא המחובר ‫[13]מהחלוק והח' והג' הם חלקי המדרגה השפלה לכל א' מהנחלקים
ואם תרצה להכות היתרון מהמספר הנרצה בס' ויהיה המשל על זו הצורה ח' וג' ונחלקהו על המדרגות מהשפל והעולה הם דקים מן המעלות ופריטי מן המעלה ואם הכינו היתרון על חלקי השניים בס' ונחלקהו כמו שאמרנו יעלה שניים מן המעלה
ואם רצינו לחלק הסיחח ויתרונם זה עם זה נעתיק הסיחח ויתרונם לכל א' מהם עד הסוף כמו שזכרנו במחובר מההכאה אחר נחלק היתרון עם היתרון
הפירוש
אומרו המדרגה האחרונה מהשפל וכו'
ירצה כמו שנרצה לחלק מספר ٩٨٧٦٥ עם מספר ٣١٤ נשימהו על זאת ההנחה
9 8 7 6 5
3 1 4    
٩ ٨ ٧ ٦ ٥
٣ ١ ٤    
הנה המדרגה האחרונה מהשפל שהוא ג' הוא תחת המדרגה האחרונה מהמספר אשר נרצה לחלקו בו שהוא אות ٩ מהטור העליון
ואומרו עוד שים המבוקש אל המדרגה וכו'
ירצה עוד תכוין להניח לעולם המספר המבוקש והוא המספר אשר נבקש בו להיותו כדי להכות בו כל מדרגה מהשפל ולחסר העולה מהכאתו מהמדרגה אשר היא על המדרגה אשר נכה אותה עם זה המבוקש כאשר נזכיר למטה הענין עם הצורה על המדרגה מהעליון אשר היא על המדרגה הראשונה מהטור השפל על יושר על זו הצורה
9 8 7 6 5
3 1 4    
٩ ٨ ٧ ٦ ٥
٣ ١ ٤    
אומרו אחר נבקש וכו'
ירצה שעשינו זאת ההנח' לב' אלו הטורי' ונרצה להתחיל לחלוק ראוי לנו לעיין ולבקש אי זה מספר מהמספרים הט' הוא כדי לחלוק להכות בו כל א' שנוכל להוציא העולה מהכאתו מכל א' ממדרגת הטור השפל עם תנאי מהמספרי' אשר בטור העליון אשר המדרגה שנכה בזה המבוקש היא תחתיו וכל אשר תרצה זה לעולם החל מהמדרגה האחרונה לשפל וזכור כי כאשר מצאת המבוקש ראוי לך שתניחהו לעולם על המדרגה מהעליון שתחתיה היא המדרגה הראשונה מהשפל
המשל בזה על זו הצורה כאשר נרצה לחלק המספר שאמרנו במספר שתחתיו כמו שכתבנוהו הנה נבקש אי זה מספר הוא אשר כדי להכות בו אות ה٣ שהוא המדרג' האחרונה מהשפל על תנאי שנוציא מה שיעלה מההכאה מהמדרגה האחרונה שבעליון אשר היא עליה והיא אות ٩ וראינו שאין אות הד' כדי בזה שלו נכה הג' בד' יעלה י"ב ולא נוכל להוציאו מה٩
והתנאי במספ' המבוקש הוא שנוכל לעולם להוציא מה שיצא מהכאתו בכל א' ממדרגות השפל ממה שלמעלה ממנו ממדרגת הטור העליון שכנגדו שהוא עד"מ עתה אות ٩
ואם הוא מוסיף עליו אין ראוי להכות בו
ועוד לו תנאי אחר ג"כ שכאשר נוציא מה שיצא מהכאתו ממה שלמעלה ממנו נבקש שיהיה הנשאר קרוב למגרעת יותר
המשל בקשנו מספר מה להכות בו ומצאנו ב' מספרים שאם נכה בם נוכל להוציא מה שיצא מהם מהמדרגה העליונה אלא אם נחבר מה שיצא מהא' יהיה עד"מ הנשאר ג' ומה שיצא מהאחר ‫[14]יהיה ז' נקח ג' ונשיב על ז' או שהיה מה שיצא מהא' שוה עם מה שנחסרהו ממנו והאחר יעדיף בו נקח השוה
המשל הכינו ג' עם ב' ועם ג' כדי לחסרו ממספר ט' והנה אם נכהו עם ג' ונחסרהו מט' ישאר שוה ואם עם ב' ישארו ג' נקח המבוקש הג' ולא הב' לכן ראינו שאינו כדאי להכות בו אלא הג' והוא אשר יקרא המבוקש ושמנוהו למעלה על המדרגה מהעליון אשר תחתיה המדרגה הראשונה מהשפל שהיא אות ٧ מהטור העליון כאשר נניח הצורה באחרונה והנה הכינו ה٣ שהוא במדרגה האחרונה מהשפל עם המבוקש שהוא ה٣ ויצא ט' חסרנוהו מה٩ שהיא המדרגה שעליו מהעליון ומחינו הט'
עוד הכינו ה١ שהוא במדרג' הב' מהשפל עם המבוקש והיה עוד ג' חסרנוהו מהמדרגה שעליו מהעליון שהיא ٨ ונשאר ٥ וכתבנוהו למעלה על ٨
עוד הכינו ה٤ שבמדרגה הראשונה מהשפל עם המבוקש ויצא י"ב חסרנוהו מה٥ שהנחנו על ٨ ומ٧ שעליו כי היה ה٥ במדרגת העשרות והיה נ' וה٧ במדרגת האחדים והיה ז' חסרנו י"ב מנ"ז נשארו ٤٥ כתבנו ה٤ על ה٥ שהיה על ה٨ וה٥ על ה٧ ומחינו ה٥ שעל ה٨ וה٦ שעליו
עוד הכינו נעתיק המדרגה האחרונה מהשפל לצד ימין המספר שתקננו כבר שהוא אות ٩ ונניחה מנגד תחת המדרגה שהיא על מדרגת ٩ והיא אות ٨ ולמעלה ממנה מדרגת אות ה٢ תחת מדרג' אות ٧ ולמעלה ממנה מדרג' אות ٤ תחת מדרגת אות ٦
עוד נעיין אי זה מספר הוא כדי להכות בו כמו שהזכרנו ראשונה והנה ראינו שאם נכה ה٣ עם ב' הנה יעלה ٦
ואם נרצה לחסר אותו מה٤ שעל ה٥ לא יספיק וכ"ש כשנכהו עם אי זה מספר נוסף על הב' לכן אמרנו שהמספר שהוא כדי להכות בו הא' והוא המבוקש ושמנוהו על המדרגה מהעליון שתחתיה הראשונה מהשפל והוא אות ٦ על זו וכאשר יראה זה בצורה שנרשום באחרונה והנה הכינו המדרגה האחרונה מהשפל שהיא ה٣ עם ה١ שהוא המבוקש והיה עוד ג' חסרנוהו מהד' שעל הה' שהוא מנגד למעל' מאות ג' שהוכה ונשאר ١ כתבנוהו למעלה על ה٤ ומחינו הד'
וראוי שתזכור לעולם שאי זה מספר מהעליון שתרצ' לחסר ממנו ראוי שיהיה הוא המספר המכוון למעל' על האות המדרגה שנכהה וכאשר חסרנו מה שחסרנו ראוי שנשים הנשאר למעלה על אשר ממנו חסרנו
עוד הכינו ה١ שבמדרגה הב' מהשפל עם המבוקש והיה עוד ١ חסרנוהו מהה' אשר על ה٧ אשר הוא למעלה ממנו מנגד מאות ١ ונשאר ٤ וכתבנוהו על ה٥ שחסרנו ממנו
עוד הכינו הד' שבמדרגה הראשונה מהשפל עם המבוקש ויצא עוד ٤ חסרנוהו מה٦ אשר למעלה מאות ٤ ונשארו ٢ וכתבנוהו למעל' על אות ٦
עוד עשינו ההעתקה כמשפט הראשון עד שהונחה המדרגה הראשונה מהשפל נגד הראשונ' מהעליון ועשינו כסדר שהזכרנו כי לעולם נעתיק המדרגה האחרונה מהשפל לצד ימין המספר ‫[15]שתקננוהו כבר נזכור זה תמיד
והנה בקשנו מבוקש וראינו שהוא ה٤ והנה שמנוהו על המדרגה מהעליון אשר היא על המדרגה הראשונ' מהשפל והנה הכינו המבוקש עם המדרגה האחרונ' מהשפל כמשפט שהוא ٣٢ והיה י"ב הוצאנו הי' מן ה١ שלפניו שעל ד' שהוא במדרג' העשרות והב' מה٤ שעל ה٥ שהוא נגד המדרגה שהכינוה עם המבוקש כמשפט ונשארנו ב' וכתבנו ٢ על ה٤ אשר חסרנו ממנו ומחינו ה١ גם הד'
עוד הכינו ה١ שבצדו עם המבוקש והיה ٤ חסרנוהו מה٢ שעל ה٤ שמחינו מה٢ שעל ה٦ לפי שה٢ שעל ה٤ הוא במדרגת העשרות והוא כ' והב' שעל ה٦ הוא במדרגת האחדים והוא שנים והנה הם כ"ב חסרנו מהם ד' נשארו י"ח והיו על צורת ٨١ וכתבנו ה١ במדרג' שלפניו על אות ٢ והח' על המדרגה שהכינוה על יושר כמשפט על אות ٢ והח' על המדרגה שהכינוהו שעל ה٦
עוד הכינו הד' עם המבוקש והיה י"ו חסרנום מן ה٨ שעל המדרגה שהכינוה שלפניו שהוא על אות ב' ומן הה' שעל המדרגה שהכינוה והנה ה٨ הוא במדרגת העשרות והיה פ' והה' במדרג' האחדי' והוא ה' והנה הם פ"ה חסרנו מהם י"ו נשארו ס"ט והיו על צורת ٦٩ וכתבנו ה٦ במדרג' שלפניו שהיא מדרגת העשרו' על אות ٨ וה٩ על ה٥ שהוא במדרגת האחדי' הוא על המדרג' שהכינוה
ואומרו עד שיגיע המבוקש ירצה שראוי לנו להתמיד ולהעתיק המדרג' הראשונה מהשפל ממדרגה למדרגה מהעליון עד שנגיע המדרגה הראשונ' מהשפל לראשונה מהעליון עד שמתוך זה יתחייב לנו להגיע המספר המבוקש למעלה על המדרגה הראשונה מהעליון שהוא המספר אשר נרצה לחלקו עם מה שתחתיו
ואומרו והמחובר הוא חלוק
ירצה וכלל מה שיחובר מהמספר המבוקש אשר נניחהו זה אחר זה אי זה שיהיה כל א' מהם בכל פעם שהוא עד"מ על פי הצורה שהנחנו אנו ٣١٤ הוא מה שיחלק עליו המספר הנרצה אשר הנחנו הנה א"כ כשרצינו לחלק ٩٨٧٦٥ על ٣١٤ על הצורה שהזכרנו כבר יהיה עלה שיעלה לכל חלק ٣١٤ וזה יקרא מחובר החלוק וזאת היא צורת כלל מה שנחלק עם העתקת המדרגה מהשפל לכל א' ממדרגות העליון כפי מה שהגיעה לנו הצורה בציור הלמידה מהזולת ואולם המחבר צייר זה בספרו על אפן אחר ועל אותיות חלף מה שהנחנו אנו והכונה אחת
ואומר והנשאר מהמספר וכו'
ירצה וכלל מה שיעלה באחרונה מחלוקת המספר הנרצה לחלקו עם מה שבתחתיו שהוא עד"מ לפי צורתנו זאת ١٦٩ הוא יתרת החלוק היא מכלל חלק וחלק מחלקי המספר השפל שהוא ٣١٤ אשר עליו יחלק המספר העליון שהוא עד"מ ٩٨٧٦٥
אומרו המשל וכו'
ירצה והניח צורה בהנחת זאת החלוקה
    3 1 4
    1    
  1 2 6  
  4 4 8  
  5 5 2 9
9 8 7 6 5
3 1 4    
    ٣ ١ ٤
    ١    
  ١ ٢ ٦  
  ٤ ٤ ٨  
  ٥ ٥ ٢ ٩
٩ ٨ ٧ ٦ ٥
٣ ١ ٤    
‫[16]כמו שהנחנו אנו כבר
ואמנם המחבר יניח מספר אחר זולת המספר שהנחנוהו אנו ומבוקש אחר זולת שהנחנו אנו ואמנם הענין הוא א'
והנ' הניח ג' צורות הא' כנגד החלוקה הראשונה והב' כנגד ההעתקה הראשונה שעשה והב' כנגד ההעתקה הב' שעשה
ואומרו ויעלה על זו הצורה
  2  
7 6 7
2 4 3
  ٢  
٧ ٦ ٧
٢ ٤ ٣
ירצה כי בהכותך הב' שהניחו המבוקש עם ג' יעלה ו' חסרנו מה' שבסוף טור
  2    
5 6 2 7
  ٢    
٥ ٦ ٢ ٧
שהוא במדרגה האחרונה ממנו נגד האחרונה שבשפל שעליה שבה אות ٢ שהוא במדרגה האחרונ' מהשפל שהם על זו הצורה
    2  
5 6 2 7
  2 4 3
    ٢  
٥ ٦ ٢ ٧
  ٢ ٤ ٣
וישארו ו' הכה עוד המבוקש עם ٤ יעלה ٨ נרצה לחסרו מ٦ שלמעל' ממנו כמשפט והנה אינו מספיק
נעתיק ה١ שלפניו שהוא על הה' אליו ר"ל אל הו' ונפזרהו לי' ונחברהו עם הו' ויהיה י"ו נוציא הח' מכללם נשאר ח' ושמנוהו על הד' שהוא המוכה כמשפט ומחינו ה١ שעל הה'
עוד הכינו המבוקש עם ה٣ והיה ו' נרצה לחסרו מב' ולא יספיק הוצאנו א' מ٨ שלפניו שהנחנו על אות ٤ ונשאר ז' ומחינו הח' וכתבנו ז' על הד' ופזרנו זה הא' לי' הוצאנו ממנו הו' נשארו ד' הוספנו ר"ל לד' על הב' שלא הספיק להוציא ממנו והיה ٦ וכתבנוהו על הב' המוכה כמשפט גם שמנו עמהם הז' שבטור העליון במדרגה הראשונה שלא חולק עדיין כי כן ראוי לעשות כמו שכתבנו בשער ההכאה והיה היוצא מהכאת המבוקש בטור ٢٤٣ ٧٦٧ וזה הדין עצמו עובר בתקון הצורה האחרת שהביא באומרו עוד תעתיק
אפן נפרד בחלוקה
אמר וראוי לך לזכור שכאשר הכית המבוקש עם אי זו מדרגה מהשפל ויצא לך מההכאה מה שלא הספיק להוציאו מהמדרג' אשר תרצה להוציאו ממנה הוצא א' ממדרגה שלפניה ופזרהו והוצא הנרצה ממנו והשאר צרפהו עם מה שלא הספיק לחסר ממנו והניחהו עליו
המשל הכית ٢ עם ٤ והיה ٨ ורצית לחסרו מ٧ והנה אינו כדי הוצא א' ממדרגה שבצדו אם לא נתקנ' עדיין ולא נמחית ואם לאו הוציאנו מהמדרגה שהוא על המדרגה שבצדו או מהמדרגה שהיא באלכסונו מעט אם נמחית היא שעל המדרגה שבצדו ופזרהו לי' והוצא והוצא ממנו ה٨ שרצית ותקן המדרגה שחסרת ממנה מה שחסרת
וזה שאם היתה עד"מ ٦ והוצאת ממנה א' מחה הו' וכתוב עליו ה' והשאר הוסיפהו על ה٧ שלא הספיק לחסר ממנו יהי' ٩ ותכתבהו על ה٧ ומחה ה٧
ואם קרה להוציא עד"מ מספר יותר מזה מאי זה מספר שרצית כמו שרצית לגרוע כ"ז ממדרגה שכתובה ה' והנה איננו מספיק גרע מהמדרגה שבצדה או ממה שעל צדה או ממה שעל אלכסונה כמו שהזכרנו א' ופזרנו לי' והוצא מכלל הי' ג' ופזרם לל' והוצא מהם כ"ז ונשארו ג' וצרפם עם המספר שלא הספיק לחסר ממנו והניחהו עליו ומחה המספר הראשון כמו שהזכרנו והו' שנשאר מכלל הי' שהוצאת מהם הג' ופזרתם שימם ג"כ על ‫[17]זה המספר
ואם הזדמן עד"מ להוציא ל"ו מו' והנה איננו מספיק והנה אין בצדו מדרגה להוציא ממנה ולפזרו כי נתקנה ונמחת והנה יש באלכסונו עד"מ ٨ נוציא א' ממנו ונמחה ה٨ ונכתו' עליו ז' ונוציא מזה אחר שפזרנוהו לי' ג' ונעשם ל' והנה יש בידנו ל' והו' שלנו שלא הספיק להוציא ממנו הרי ל"ו ונוציא הל"ו שלנו מהם והנה נשארו מהי' שהוצאנו מהם ה٨ ז' ונכתוב על٦ ז'
ואם הזדמן להוציא עד"מ כ"ו מה' והנה איננו מספיק הנה נעיין בצדו מלפניו אי זו מדרגה היא ואם יש במדרג' שלפניו ٣ עד"מ הנה נפזר' לל' ונוציא מהם הכ"ז ונשארו ג' וצרפם עם הה' שלא הספיק לחסר ממנו ויהיה ٨ ומחה הה' וכתו' עליו ٨
ואם הזדמן להוציא
‫[18]ואומרו והב' והג' אשר למעלה
ירצה על המספר המבוקש שהניח המחבר על המדרגות שבטור גדב לחלק עליו המדרגות שבטור זבוה ואחר כל זה אשר עלה בו המספר המבוקש הוא המחובר מהחלוק אשר נחלק ה٥٦٢٧ על ٢٤٣ וכאילו ירצה כי העולה לכל חלק מה٢٤٣ כאשר נחלק ה٥٦٢٧ עליו הוא ٢٣ וענין זה כענין המחובר מהחלוק שהוא ١٦٩ שעלה בצורה שהנחנו אנו
ואומרו והח' והל'
ירצה על הח' וה٣ שעל ٢٤٣ וכאילו קרא הג' ל' למי שהוא יורה ג' עשרות
וביאור זה הוא ביאור מה שכתבנו באומרו והנשאר מהמספר הנרצה וכו'
ואומרו ואם תרצה להכות היתרון וכו'
ירצה שאם תרצה להכות יתרון כל חלק מהחלקי' אשר יחלק עליהם המספר הנרצה על המספר אשר תחתיו והוא הנקרא בערבי אל קושור
וזה היתרון הוא עד"מ ה١٦٩ לפי הצורה שהנחנו אנו והוא ה٨ וה٣ לפי הצורה שהניח המחבר הכה זה היתרון בס' והעולה חלקהו על מדרגות השפל וזה שתניח העולה על טור מדרגה אחר מדרגה ותניח מדרגות הטור השפל שהוא עד"מ לפי הצורה שהנחנו אנו ٣١٤ ולפי צורת המחבר הוא ٢٤٣ למטה ממנו כפי תנאי ההנחה שהזכרנו למעלה בהנחת צורת הנחלק עם אשר בו נחלק ותחלקהו על הצורה שהזכרנו והעולה הוא דקים מן המעלות אם היה עסקך למודי ופריטי מן המעה אם היה עסקך מוכני ומקמח
ואם הכינו היתרון על חלקי וכו'
ירצה בזה על היתרון שנשאר לכל א' מהדקים אשר עלו מן המעלות אחר החלוק
כי היתרון ההוא הוא שניי הדקים וזה היתרון אם נכהו בס' ואחר נחלקהו על הסדר שהזכרנו העולה ממנו יהיה שניים מן המעלות
כי מה שיעלה מהחלוק הראשון הוא דקים מן המעלות
והעולה מהחלוק השני הוא שנים מן המעלות
ואומרו ואם רצינו לחלק הסיחח ויתרונם וכו'
ירצה במלת סיחח בערבי על המעלות כל עוד שהן מעלות שלימו'
וכאילו אמר שאם עלו בידך מעלות ויתרון מעלות הנקר' בערבי אל קושור במחובר מהחלוק היוצא ממספר נרצה א' וכמו כן מעלות ויתרון מעלות במחובר היוצא ממספר הנרצה אחר ורצית להכות אלה באלה וכבר הזדמן והיו לך במחובר מהחלוק היוצא מהמספר הנרצה הראשון מעלות ראשונים שניים ושלישיים ובב' אין שם כי אם מעלות וראשונים לבד הנח שניהם בב' טורי' זה על זה העודף בראשונים ושניים ושלישיים למעלה והאחד למטה אחר תתחיל ותעתיק ותעתיק המעלות והשניים של השפל על סדר שהזכרנו כבר לעשות במחובר מההכאה וכאשר השוינו המדרגות של שפל למדרגות העליון והיו שלישי' של מטה כנגד השלישיים של מעלה אחר זה נתחיל ראשונ' ונחלק יתרון השלישים של מטה עם של מעלה אח"כ השניים עם השניי' ואח"כ המעלות עם המעלות וזה כאשר תעשה ההנחה בחלוקה על תנאי הצורה שהזכרנו למעלה ע"כ

Chapter Seven: The Result of Division

 ‫[19]השער הז' בעולה מהחלוק
העולה מהחלוק כל א' עם דומהו מעלות עם מעלות דקים עם דקים
והעולה מחלוק מהסיחח של הדקים והוא מרפוע וזה כשהגיע ס' בחלוקה וחשבונו הוא מה שבין הסיחח והדקים העלהו אל המדרגה
והעולה מחלוק המעלות על הדקי' הוא מרפוע א'
וכשתכה זה המרפוע הא' בס' העולה הוא מעלות פשוטות
וכאשר תחלק המעלות על השניים העולה הוא מרפוע שני
וכשנכה זה עם ס' מה שיחובר הוא מעלות פשוטות
וכשנכה הדקים עם השלישי' הוא מרפוע שני
ועם הרביעי' הוא מרפוע שלישי
והעולה מחלוק הדקי' על הסיחח הוא אל קושור ולפני מה שבין הסיחח הדקים
והעולה מחלוק הדקים על המעלות הוא דקים
והעו' מחלוק השניים על המעלות הוא שניי'
והעולה מחלוק השניי על הדקים הוא דקים
והעולה מהחלוק השלישי' על הדקי' הוא שניים
והכל על זה הדרך
הפירוש
אומרו העולה מהחלוק כל א' וכו'
ירצה שכאשר רצית לחלק מה שעלה מחלוק א' שחלקת עם מה מחלוק אחר שים העולה מכל חלוק מין עם מינו כלומ' מעל' עם מעלות החלוק הא' תחת מעלות החלוק האחר וכן דקי החלוק הא' תחת דקי החלוק האחר ואח"כ חלק העולה עם העולה כפי הצורה שהנחנו כבר
ואומר והעול' מחלוק אלה וכו'
ירצה שהעולה מחלוק אלה הב' והם העולה מחלוק הא' עם העולה מהחלוק האחר מה שיעלה מחלוקת מעלות האחד עם המעלות מהאחר הוא מעלות
ואמנם העולה מחלוק הסיחח מהא' וכבר ידעת פי' סיחח על הדקי' מהאחר יקרא מורם והוא מרפוע בערבי וזהו אשר יקרא מרפוע כשהגיעו דקי החלוק ר"ל חלוק הסיחח על הדקי' לס' וכבר עלו במדרגת המעלה ולזה נקראהו מורם כלומר שהורם ממדרג' הדקים למדרגת המעלות ופי' מרפוע בערבי הוא המורם בהעתקתי
ואומרו וחשבונו הוא מה שבין הסיחח וכו'
ירצה והמדרגה אשר בה נחשב זה העולה ונקראהו בשמה היא מה שבין הסיחח והדקי'
ואומרו והעולה מחלוק המעלות וכו'
ירצה כאילו הוא מבאר יותר למה שאמר והעולה מחלוק אלה מהסיחח על הדקים וכו' וכאילו אמר שכאשר נחלק המעלו' מהעולה מהחלוק הא' על הדקים מהעולה מהחלוק האחר הוא מרפוע א'
המשל כמו שנחלק ב' מעלות מהחלוק הא' עם ב' דקים מהעולה מהחלוק האחר כפי הצורה שהנחנו כבר ויעלה א' הנה זה הא' הוא מרפוע א'
ואומרו וכשתכה המעלות עם השניים וכו'
ירצה על המעלו' מהעולה מהחלוק הא' עם השניים מהעולה מהחלוק האחר
וכן אומרו וכשנכה הדקי' עם השלישי' וכו'
ואומרו והעולה מחלוק הדקי' עם הסיח' וכו'
ירצה שכאשר נחלק הדקי' מן העולה מהחלוק הא' והוא שהנחנוהו עליון עד"מ על המעלות מהעולה מהחלוק האחר והוא שהנחנוהו תחת זה העליון לחלקו עליו הנה העולה מזאת החלוקה הוא אשר יקרא יתרון בערבי אל קושור כלומר יתרון הדקי'
ואומרו ע"כ לפניו וכו'
פי' וקריאת שם מה שראוי שיקרא כן ע"כ

Chapter Eight: Root

 ‫[20]השער הח' בשרש
בערבי גדר שים המספר נרצה השרש ומנה המדרגות המדברות והאלמות בערבי מנטק ואסם עד הגיעך למדברת האחרונה
אחר נבקש המספר המבוקש ונכהו בנפשו ונגרעהו מהמספר הנרצה ונשאר הוא המספר הנרצה
אחר שים המבוקש תחת המדברת האחרונה ועליה ונכה מה שעליה עם מה שתחתיה ונשליכהו מהמספר הנרצה
אחר נכפול השפל במקומו ואחר נעתיקהו ממדרגתו אל ימין המספר הנתקן
אחר נבקש עוד מבוקש אחר ונכהו עם המדרגה השפל ובנפשו והשליכהו מהמספר הנרצה והנשאר הוא המספר
אחר שים זה המספר בצד מהשפל וכנגדו למעלה ונכה זה הנשאר עם כל א' ממדרגות השפל והיוצא השליכהו מהמספר
אחר תכפול השפל במקומו אחר תעתיק המדרגה השפלה ממדרגתה
אחר נבקש מבוקש כאשר בראשונה ונעשה כמו שעשינו עד שיפול המבוקש תחת המדרגה הראשונה ועליה ונעשה זה המעשה עליו
אחר נוסיף עליו א' לעולם ותהיה המדרגה העליונה השרש ויתרון השרש נגד כל א' מהמדרגו' השפלים
המשל נרצה שרש המספר אל זו הצורה
2        
6 5 3 4 2
2        
٢        
٦ ٥ ٣ ٤ ٢
٢        
אחר נכפול הב' השפל במקומו ונשימהו ונספרהו במדבר ואלם ויפול המדבר באחרונה על הו' ויהיה המספר המבוקש ב' ונשימהו על הו' ותחתיו ונכה העליון עם השפל ונשליכהו מהמספר וישאר אל זו הצורה
2        
6 5 3 4 2
2        
٢        
٦ ٥ ٣ ٤ ٢
٢        
אחר נספור הב' השפל במקומו ואחר נעתיקהו ממדרגתו ויהיה המספר המבוקש הב' ה' ונשימהו בצד הד' השפל ועל הג' ממדרגות המספר ויהיה על זו הצורה
2 5 3 4 2
  4 5    
٢ ٥ ٣ ٤ ٢
  ٤ ٥    
ונכה הה' העליון עם הד' השפל ועם הה' ונשליכהו מהמספר ויהיה על זו הצורה
2 5    
2 8 4 2
4 5    
٢ ٥    
٢ ٨ ٤ ٢
٤ ٥    
אחר תכפול הה' השפל במקומו ותעתיק המדרגה השפלה ממדרגתה ויהיה על זו הצורה
2 8 4 2
  5    
٢ ٨ ٤ ٢
  ٥    
ונבקש עוד מבוקש שלישי ויהיה ה' ונשימהו תחת המדרג' הראשונה ועליה על זו הצורה
ונכה מה שעליה עם כל אחד מהמדרגות השפל ונשליכהו מהמספר ויהיה על זו הצור'
ואחר נכפול השפל במקומו וישאר אל זו הצורה
ונוסיף על היוצא אל זו הצורה ונוסיף על היוצא א' ויהיה על זו הצורה
והמדרגות העליונות הם השרש והיתרון מהשרש הם חלקי כל א' מהמדרגות השפלות
ואם תרצה שרש הסיחח והיתרון נעתיק הסיחח והיתרון אל המדרגה היותר אחרונה ואחר אם יהיה לפני יתרון הזוגות להוציא ממנו השרש וישאר א' הכהו עם ס'
הפירוש
אומרו שים המספר נרצה השרש וכו'
ירצה שכאשר רצית לדעת שרש אי זה מספר כמה הוא ערוך המספר אשר תרצה לדעת שרשו מדרגה אחר מדרגה מאחדים ועשרות ומאות וכו' אח"כ מנה המדרגות אשר עלו הראשונ' מהם מדברת והב' אלמת והג' מדברת והד' אלמת וכן הכל עד הסוף
וירצה במדברת על הנחלקת כמו הד' ד"מ שהם נחלקי' בשוה
וירצה באלמת על הבלתי נחלקת כמו הה' שהם בלתי נחלקים בשוה עד נחלק הא' הנוסף לשנים
ואומרו עד הגיעך למדברת האחרונ'
ירצה שצרי' להגיע באחרונ' על מדרגה מדברת שאם כלה הענין אל אלמת אי אפשר להוציא השרש אשר נרצה
ואומרו אחר נבקש המספר המבוקש
ירצה הביאור הנה כפי מה שביארנו בשער ההכאה והחלוקה בפי' המבוקש
ואומרו בנפשו
ירצה שנכה המספר על עצמו כמו שנאמר ב' פעמים ב' ד'
ואומרו מהמספר הנרצה
ירצה המספר נרצה השרש
וכן אומרו והנשאר הוא המספר הנרצה
ואומרו אחר נשים המבוקש
ירצה כאילו הוא דבק עם מה שאמ' למעלה אחר נבקש המספר המבוקש ורצון המאמר ככה שאחר שנמצא המבוקש נשימהו על תחת המדברת האחרונ' מהמספ' הנרצה ועליה ג"כ על זו הצורה
2        
6 5 3 4 2
2        
٢        
٦ ٥ ٣ ٤ ٢
٢        
ואומרו המדברת האחרונ' לפי שפרי' שתכלה המנין כשאנו מונים המדרגות אחת מדברת ואחת אלמת בסוף על מדרגה מדברת אח"כ נכה מה שעל המדברת עם מה שתחתיה והוא ה٢ שעל ה٦ שהוא המבוקש ותחתיו וזהו אשר רצה באומרו ונכהו בנפשו כי כשנכה מה שעל המדברת שהוא הב' עם מה שתחתיה הרי אנו מכים ה٢ בנפשו ואחר נשליכהו ר"ל נגרעהו מהמספר הנרצה שהוא ה٦ שהוא המדרגה האחרונה המדברת מהמספר הנרצה שעליו ותחתיו הנחנו הב' והנה כשנכה ה٢ על עצמו יהיה ד' ונגרענו מהו' וישאר ב' והנה ישאר המספר הנרצה על זו הצורה
2        
2 5 3 4 2
2        
٢        
٢ ٥ ٣ ٤ ٢
٢        
‫[21]ואומרו אחר נכפול השפל במקומו וכו'
ירצה ואחר ההכאה והמגרעת שעשינו נכפול המבוקש השפל כפל פשוט וזה שנכפול ה٢ שתחת ה٢ ממדרג' המספר הנרצה באחרונה על עצמו ٢ ויהיה ד'
ואומרו במקומו
ירצה שהתנה בזה שלא תעתיקהו קודם שתכפלהו אלא אחר שתכפלהו תעתיקהו ממדרגתו אל ימין המספר שעליו ותחתיו הנחת המבוקש שהוא ה٥ כי בתחלה קודם הכפל היה במדרגת הי' אלפי' שהוא עתה עד"מ האלפי' תחת הב' ואחר הכפל נעתיקהו אל ימינו שהוא מדרג' האלפי' והוא תחת ה٥
ואומרו המספר הנתקן
הוא ה٢ שהוא אשר נתקן כשגרענו הד' שיצא מהכאת הב' על עצמו מה٦ ונשאר ٢
ואומרו אחר נבקש עוד וכו'
ירצה שהעתקנו הנכפל ממדרגתו צריכים אנו לבקש עוד אי זה מבוקש אחר והנה יהיה המבוקש עד"מ ٥ ונכה זה המבוקש עם ה٤ שהוא אשר יצא מכפל הב' שהיה תחת הב' וכפלנוהו ושב ד' ואחר העתקנוהו ולזה יקראהו המדרגה השפלה לפי שהיה תחת ה٢ ונכהו ג"כ על עצמו
ואומרו והשליכהו מהמספר
ירצה אחר שהכית המבוקש עם המדרגה השפלה שהוא ٦ ויצא ٢ הנה נניח על ה٥ ٢ וכאשר הכינו ה٥ עם ה٥ שבצד ה٤ והיה כ"ה נכתו' על הג' והוא תחת הב' וה٥ שעליו במקום הה' אחר נגרע הב' מהה' וישאר ג' נכתבהו על ה٢ שכתבנו על הה' אחר נגרע הכ"ה מהג' ואינו מספיק הנה נפזר ה٣ שכתבנו על ה٢ נוציא מהם הכ"ה נשארו ה' וה٣ שלא הספיק להוציא ממנו הכ"ה הכינו עם ז' ויהיו ٨ [גם נשים המספר הנתקן לפניו שהוא ה٢] וישאר המספר הנרצה על זו הצורה
2 5    
2 8 4 2
4 5    
٢ ٥    
٢ ٨ ٤ ٢
٤ ٥    
ואומרו אחר שים זה המספר בצד מהשפל וכו'
ירצה כאילו הוא דבק למה שאמר למעלה אחר נבקש עוד מבוקש אחר וכו' ורצון המאמ' הוא ככה אחר שמצאת המבוקש הב' שהוא הה' שימהו בצד המדרג' השפלה שהזכרנו ביאורה כבר שהוא ה٤ וכאשר שמנו בצדה שים זה המבוקש עצמו שהוא נגד המושם עצמו שהוא המבוקש אשר שמנו בצד המדרגה השפלה למעלה מהמספר אשר תחתיו שמתי המבוקש והוא הג' עד שנמצא המבוקש הוא נכת' על ה٣ שבצד המדרגה השפלה ותחתיו עד שיהיה על זו הצורה
2 5 3 4 2
  4 5    
٢ ٥ ٣ ٤ ٢
  ٤ ٥    
ואומרו ונכה זה הנשאר ירצה על המבוקש העליון שהוא על הג' עם הד' והה' כפי מה שהזכרנו הסדר באומרו אחר נבקש ע"ז וכו'
ואומרו ואחר תכפול השפל וכו'
ירצה ביאורו כפי מה שביארנו בלשון שלמעלה ואמנם ענינו הוא שירצה שנכפול המבוקש השפל שהוא ה٥ שהוא תחת ה٣ ולזה יקראהו שפל כפל פשוט ונשיבהו י' והנה נוסף לנו א' ונוסיפהו על ה٤ שבצדו וישוב ה' ונכתו' תחת הי' 0 אח"כ נעתיק הה' שהוא ה٤ שהוספנו עליו א' ושב ה' ממדרגתו שהוא ה٢ והיא מדרגת האלפי' לתקון שיצא מהכאת הה' שעל ה٣ עם הד' והה' אשר הם תחת ٢ וה' ממספר ‫[22]אשר הם תחת ٣ ו٥ ממספר
2 5 3 4 2
  4 5    
٢ ٥ ٣ ٤ ٢
  ٤ ٥    
וגרענו מהמספר כפי מה שכתבנו והוא מספר
2 5    
2 8 4 2
4 5    
٢ ٥    
٢ ٨ ٤ ٢
٤ ٥    
ונניחהו לימין שהעתקנוהו ממנו שהוא הב' וזה שנניחנו תחת מדרגת המאות שהוא אות ה٨ עתה מדרגה עד"מ ונניח ה٥ בצדו למעלה ממנו בצדו תחת מדרגת העשרות והוא אות ٤ עתה עד"מ ויהיה על זו הצורה
2 5    
2 8 4 2
  8 5  
  7    
٢ ٥    
٢ ٨ ٤ ٢
  ٨ ٥  
  ٧    
ודע כי הב' שעל הב' הוא המבוקש הראשון והה' שעל הח' הוא המבוקש השני כי כן הוא החק לשים המבוקש הראשון שיצא לנו בתקון הראשון ובתקון הב' הב' מבוקש הראשון שיצא בתקון הראשון והב' ג"כ אי זה שיצא לנו וכן בתקון הג' נשים הב' מבוקשי' שיצאו בב' התקונים והג' ג"כ אי זה שיצא
ואומרו אחר נבקש מבוקש וכו'
ירצה אחר זה התקון שעשינו הב' נבקש עוד מבוקש ג' ונניחהו כפי ההנחה שעשינו כבר בתקונים הקודמי' של טור עד שנכוין ההנחה להיות זה המבוקש על המדרגה הראשונה ותחתיה ונעשה על האפן שעשינו בשאר התקונים והנה תהיה ההנחה על זו הצורה
  2 5 5
2 8 4 2
  5 0 5
  ٢ ٥ ٥
٢ ٨ ٤ ٢
  0 ٥ ٥
אח"כ נכה זה המבוקש השלישי שהנחנו על המדרגה הראשונה ותחתיה עם כל א' ממדרגו' הטור השפל שהוא טור ٥0٥ אשר הוא למטה מטור המספר הנרצה ולזה יקראהו שפל והנה נכהו עם כל אחד מהם על זו הצורה נערוך המספר הנרצה ותחתיו הטור השפל מדרגה תחת מדרגה על זו הצורה
והנה נכה הה' שעל המדרגה הראשונה עם הה' של טור השפל והנה יהיה כ"ה נשים על הב' ב' נגד הב' ונשים הה' על הח' עוד נכה ה٥ עם ה0 של טור השפל והנה יהיה 0 ונכתבהו על ה٤

השער הט' ביוצא מהשרש

Chapter Ten: Cubing

 השער הי' בקעב
This chapter is carried out in four lines: יפול זה השער על ד' טורים
הראשון טור היוצא בקעב ויקרא הטור העליון
ותחתיו טור המשפט הנרצה
ותחת המספר הנרצה טור הספריין ויקרא הטור האמצעי
ותחת האמצעי טור יקרא השפל
והנה נשים המספר הנרצה ונמנהו במדברות ואלמות עד הגיע במדברת האחרונה ונשים תחתיו הטור השפל ועליו מנגד הטור העליון בחשבון מבוקש
נכהו בנפשו ונוסיף היוצא על האמצעי
אחר נכה העליון על האמצעי ונשליכהו מהמספר הנרצה
אחר תכפול המבוקש במקומו השפל ונכהו עם כל א' ממדרגות השפל ונוסיף היוצא על האמצעי ונוסיף העליון על השפל
ואחר תעתיק האמצעי ממדרגתו והשפל מב' מדרגות
אחר תבקש מבוקש אחר כפי מה שזכרנו ראשונ' בתנאיו ונעשה המעשה הראשון בשוה
המשל נרצה המספר הקעב על זו הצורה
2            
2 9 8 6 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0
1            
٢            
٢ ٩ ٨ ٦ ١ ٠ ٠
٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠
١            
ונשימהו ונמנהו במדברת ואלמות ויפול המדבר האחרונה תחת ה٢ ונניח כנגדו הטור השפל וכנגדו למעלה בטור המספר ונכה העליון בשפל ונוסיף היוצא על האמצעי ונכה העליון על האמצעי ונשליכהו מהמספר הנרצה וישאר על זו הצורה
1            
1 9 8 6 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1            
١            
١ ٩ ٨ ٦ ١ ٠ ٠
١ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠
١            
אחר תכפול השפל במקומו ונכה העליון עם השפל ונוסיף היוצא על האמצעי ונוסיף העליון על השפל ונעתיק האמצעי השפל ממדרגתו והשפל מב' מדרגו' וישאר על זו הצורה
1 9 8 6 1 0 0
3 0 0 0 0 0 0
      3      
١ ٩ ٨ ٦ ١ ٠ ٠
٣ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠
      ٣      
עוד נבקש מבוקש נכהו בג' השפל ובנפשו ונוסיף היוצא על האמצעי ונכה העליון עם השפל ונשליכהו מהמספר הנרצה והנה מצאנו ד' ונשימהו בצד הג' השפל וכנגד ה٦ השני מהמספר
אחר נכה העליון עם כל א' ממדרגות השפל ונוסיף היוצא על אמצעי
ונכה העליון באמצעי ונשליכהו מהמספר וישאר על זו הצורה
  1   4    
2 4 2 1 ٠ ٠
4 3 6 ٠ ٠ ٠
  3 4      
  ١   ٤    
٢ ٤ ٢ ١ ٠ ٠
٤ ٣ ٦ ٠ ٠ ٠
  ٣ ٤      

Chapter Eleven: The Result of Cubing

 השער הי"א בעולה מהקעב
The result of the cube root of degrees is degrees. העולה מקעב מעלות הוא מעלות
The cube roots of the thirds are minutes. ומקעב השלישים דקים
The cube roots of the sixths are seconds. ומקעב הששים שניים
The cube roots of the ninths are thirds. ומקעב תשעים שלישי‫'
And so on, always do this way. ועל זה הנוסח עשה לעולם

Chapter Twelve: Check

 השער הי"ב במאזנים
מאזני כל המדרגות הנפרדות הוא שתקבץ אותיותיהן יחד וכלם ט"ט והשאר הוא מאזני המדרגות ההן
המשל נרצה מאזני המדרגות על זו הצורה
7 5 6 4 2
٧ ٥ ٦ ٤ ٢
ותקבץ אותיותיהן יחד ויהיה כ"ד וכלם ט"ט וישארו ו' והם מאזני אלה המדרגות
ואחר שקדם לך זה עוד ילוה לך בו ענין אחר וזה אם רצית להכות ממאזני ערך במאזני נערך ערוך זה על זה ואחר כלה היוצא ט"ט והנשאר הוא מאזני הערך שוה למאזני הנערך
ואולם מאזני החלוק כאשר תערכהו במאזני העולה הוסף עליו מאזני היתרון וכלם ט"ט והנשאר הוא שוה למאזני החלוק
ואולם מאזני השרש כשתכהו בנפשו הוסף עליו מאזני היתרון וכלם ט"ט והנשאר הוא מאזנים שוה למאזני השרש
ואולם מאזני הקעב הכהו בנפשו ובמאזני' מהיוצא והוסף עליו מאזני יתרון הקעב וכלם ט"ט והנשאר הוא מאזנים שוה למאזני הקעב
ואלה השרשים נשלמו על כל חשבון הלמודיים ועל כל חשבון העסוקיים בשקול וטריות להם בכלל עסקי העולם
ותם שבח לאל ית'
הפירוש
אומרו מאזני כל המדרגות הנפרדות
ירצה על המדרגות הנבדלות קצת מקצת למה שהם אחדים עשרות מאות וכו'
ואמר שמאזני המדרגות הנפרדו' על אי זה מספר שנרצה אם מספר היוצא מההכאה ואם מספר היוצא מהחלוק או זולת זה מכלל המספר הנזכרי' באלה השערי' הוא שתקבץ אותיות המדרגות ההן יחד
והמשל בזה כמו שנרצה לדעת מאזני המדרגות שהן על זו הצורה
7 5 6 4 2
٧ ٥ ٦ ٤ ٢
הנה נקבץ האותיות שהן מורות על המדרגות שהן עתה עד"מ ה٢ וה٤ וכ' ונאמר כי ה٢ ב' וה٤ ד' הרי ו' וה٦ ו' הרי י"ב וה٥ ה' הרי י"ז וה٧ ז הרי כ"ד הנה כלל שקובץ מאותיות המדרגו' יחד הוא כ"ד
וזכור זה כי המאזנים שיצאו לך לאולם יהיו באמצע המדרגו' וב' מדרגות מזן א' וב' מדרגות מזן ב' או ג' מזן א' וג' מזן ב' או אי זה מספר הזדמן ולזה אם ישאלך שואל כשיאמר ואיך ידעת כי זה שיצא לך הוא המבוקש השיבהו והראיה על זה שמבוקשי יצא מתווך במדרגות המספר הנרצה
והמשל בזה מאשר מאזני המספר הנזכר הוא ששה כפי מה שיצא מהדרך אשר גזרה המלאכה והנה נמצא הששה מתווך במדרגות המספר המבוקש על זו הצורה
7 5 6 4 2
٧ ٥ ٦ ٤ ٢
הנה ה٦ מתווך שהוא המאזנים וה٢ וה٤ מזן א' וה٥ וה٧ מזן ב'
ואומרו וזה אם רצית וכו'
ירצה שאם שתרצה לדעת אם מאזני המספר שהכית בו שוה למאזני המספר שהוכה והנה תצטרך ברצותך זה להכות מאזני ההכאה במאזני המוכ' הכה זה עם זה וכו' כפי הדרך אשר יגזור המחבר
ואומרו מאזני החלוק הוא המאזנים שיצא לך ממדרגות המספר הנרצה לחלקו על אי זה מספר יהיה
ואומרו במאזני העולה ירצה על מדרגות המספר אשר עליו תחלק המספר הנרצה
ואומרו מאזני היתרון ירצה על מאזני מדרגות מספר החלקים המגיעים לכל א' ממדרגות המספר אשר עליו יחלק הנרצה
וענין החלוק והעולה והיתרון תמצאהו ובואר ומצוייר בשער המיוחד לחלוק
ואומרו הכהו בנפשו ובמאזנים מהיוצא
ירצה הכה המאזנים בעצמו ואחר הוצא מאזני היוצא מההכאה ועוד הכהו במאזנים אשר יצאו לך מהיוצא מהכלל
והנה הגיע מבוקשינו
והשבח לבעל היופי הרבניי
נשלם חשבון ההנדיים לאבן חצאן גאושייר
אשר העתיקו מרנ' ורבנ' החכם השלם ר' שלום בכ"ר יוסף ענבי מלשון ערבי ללשון עברי והשבי
עם ביאור החכם המעתיק הנזכר
והשבח לראשון שזיכנו ושעורנו עד הנה כית'

Notes

  1. ↑ 39r
  2. ↑ 39v
  3. ↑ 40r
  4. ↑ 40v
  5. ↑ 41r
  6. ↑ 41v
  7. ↑ 42r
  8. ↑ 42v
  9. ↑ 43r
  10. ↑ 43v
  11. ↑ 44r
  12. ↑ 44v
  13. ↑ 45r
  14. ↑ 45v
  15. ↑ 46r
  16. ↑ 46v
  17. ↑ 47r
  18. ↑ 47v
  19. ↑ 48r
  20. ↑ 48v
  21. ↑ 49v
  22. ↑ 50r

Appendix I: Glossary of Terms

rank מדרגה

Bibliography

Kitāb fī Uṣūl Ḥisāb al-Hind / by Kūšyār Ibn Labbān (Persia, fl. ca. 971-1029)

– Hebrew translation & commentary –

by Shalom Ben Josepp ‘Anavi (Constantinople, 15th century)
‘Iyyun ha-‘Iqqarim
ca. 1450-1460

Manuscript:

  • MS Oxford, Bodleian Library MS Opp. 211 (IMHM: f 17281), ff. 39r-55r (Cat. Neub. 362, 6); (15th century)

Bibliography:

  • Levey, Martin and Marvin Petruck. 1965. Kūshyār Ibn Labbān. Principles of Hindu Reckoning (Kitāb fī Usūl Hisāb al-Hind). Madison: The University of Wisconsin Press.
  • Petruck, Marvin. 1961. Kushyār Ibn Labbān and the Translation of His Kitāb fī Uṣūl Ḥisāb al-Hind with a commentary by Shālôm Ben Joseph ‛Anabī. PhD. Thesis, Dropsie College.
Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=ספר_עיון_העקרים_לחשבון_ההנדיים&oldid=64289"