Difference between revisions of "Kaufmann A506/2 – Discussion on Numbers"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎Chapter on the Multiplication of Numbers by Numbers, Some of which are Knowns and Some are Unknown)
(→‎Chapter on the Finding a Number from a Number by Knowing Their Ratio)
Line 504: Line 504:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נכפול הראשון והוא ב' בג' השלישי והוא ד' וחצי והעולה והוא ט' נקח שורשו והוא ג' וכן השני
+
|style="text-align:right;"|הנה נכפול הראשון והוא ב' בג' השלישי והוא ד' וחצי והעולה והוא ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|נקח שורשו והוא ג' וכן השני
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 515: Line 518:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
::We multiply 3 by itself and divide the product by 2; the result is 4 and a half and this is the unknown.
 +
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3^2}{2}=4+\frac{1}{2}}}</math>
 
|style="text-align:right;"|נכפול ג' על עצמו ונחלק העולה על ב' ויצא ד' וחצי וכן הנעלם
 
|style="text-align:right;"|נכפול ג' על עצמו ונחלק העולה על ב' ויצא ד' וחצי וכן הנעלם
 
|-
 
|-
Line 526: Line 531:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נכפול ב' בכ"ה עלו נ' נחלקם על ה' יצא עשרה והוא הנעלם השלישי
+
::We multiply 2 by 25; the result is 50.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נכפול ב' בכ"ה עלו נ&#x202B;'
 +
|-
 +
|
 +
::We divide it by 5; the result is ten and this is the third that is unknown.
 +
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2\sdot25}{5}=\frac{50}{5}=10}}</math>
 +
|style="text-align:right;"|נחלקם על ה' יצא עשרה והוא הנעלם השלישי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 540: Line 551:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נכפול ו' בט' עלה נ"ד נחלקם על ב' עלה כ"ז
+
::We multiply 6 by 9; the result is 54.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נכפול ו' בט' עלה נ"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן הרביעי
+
::We divide it by 2; the result is 27 and this is the fourth.
 +
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6\sdot9}{2}=\frac{54}{2}=27}}</math>
 +
|style="text-align:right;"|נחלקם על ב' עלה כ"ז וכן הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 557: Line 571:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נחלק ט' על ג' עלה שליש כפלנו שליש בי"ח יעלו ו' וכן האמצעי הנעלם
+
::We divide [3] by [9]; the result is a third.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נחלק ט' על ג' עלה שליש
 +
|-
 +
|
 +
::We multiply a third by 18; the result is 6 and this is the mean that is unknown.
 +
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{9}\sdot18=\frac{1}{3}\sdot18=6}}</math>
 +
|style="text-align:right;"|כפלנו שליש בי"ח יעלו ו' וכן האמצעי הנעלם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
*When the unknown is one of the extremes:
 
|style="text-align:right;"|בהיות הנעלם אחד הקצוות
 
|style="text-align:right;"|בהיות הנעלם אחד הקצוות
 
|-
 
|-
Line 568: Line 589:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה חלקנו י"ב על ג' עלה רביע כפלנוהו על ד' עלה אחד והוא הראשון
+
::We divide [3] by [12]; the result is a quarter.
 +
|style="text-align:right;"|הנה חלקנו י"ב על ג' עלה רביע
 +
|-
 +
|
 +
::We multiply it by 4; the result is one and this is the first.
 +
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{12}\sdot4=\frac{1}{4}\sdot4=1}}</math>
 +
|style="text-align:right;"|כפלנוהו על ד' עלה אחד והוא הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
*If there are three terms and the unknown is one of the extremes:
 
|style="text-align:right;"|ואולם בג' שעורים בהיות הנעלם אחד הקצוות
 
|style="text-align:right;"|ואולם בג' שעורים בהיות הנעלם אחד הקצוות
 
|-
 
|-
Line 579: Line 607:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה חלקנו ו' על ב' עלה ג' כפלנו ג' בו' עלה י"ח וכן השלישי הנעלם
+
::We divide 6 by 2; the result is 3.
 +
|style="text-align:right;"|הנה חלקנו ו' על ב' עלה ג&#x202B;'
 +
|-
 +
|
 +
::We multiply 3 by 6; the result is 18 and this is the third that is unknown.
 +
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6}{2}\sdot6=3\sdot6=18}}</math>
 +
|style="text-align:right;"|כפלנו ג' בו' עלה י"ח וכן השלישי הנעלם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
*If the mean is unknown:
 
|style="text-align:right;"|ואם היה האמצעי נעלם
 
|style="text-align:right;"|ואם היה האמצעי נעלם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:We [multiply] the extremes by each other, then extract the root of the product and this is the second.
 +
:<math>\scriptstyle a_2=\sqrt\left(a_1\sdot a_3\right)}</math>
 
|style="text-align:right;"|הנה חלקנו הקצוות האחד על האחר ונקח שורש העולה והוא השני
 
|style="text-align:right;"|הנה חלקנו הקצוות האחד על האחר ונקח שורש העולה והוא השני
 
|-
 
|-
Line 593: Line 630:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|כפלנו ב' בי"ב וחצי עלה כ"ה לקחנו שורשו והוא ה' וכן הוא האמצעי
+
::We multiply 2 by 12 and a half; the result is 25
 +
|style="text-align:right;"|כפלנו ב' בי"ב וחצי עלה כ"ה
 +
|-
 +
|
 +
::We extract its root; it is 5 and this is the mean.
 +
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{2\sdot\left(12+\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{25}=5}}</math>
 +
|style="text-align:right;"|לקחנו שורשו והוא ה' וכן הוא האמצעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|

Revision as of 10:50, 31 May 2024

Discussion about Numbers Divided into Chapters

 ‫[1]המאמר במספרים נחלק לפרקי‫'

The First Method in the Introduction to the Discussion

 הדרך הא' בהצעת המאמר
The unknown number, the knowledge of which is required, is known either through another number or numbers, or through its relation or sequence. המספר הנעלם דרוש הידיעה יודע אם מפני מספר או מספרי' אחרים או מפני יחסו או סדורו
Through another known number: either it is equal to it, which is simple; or it is greater than it, and knowing the term that is greater than it is called addition; or it is smaller and knowing how much smaller it is, is called subtraction. אולם מפני מספר אחר ידוע הנה או שזה שוה לו והוא פשוט או שזה יותר גדול ממנו וידיעת השעור שהוא יותר גדול ממנו ויקרא זה חבור או שהוא יותר קטן ויודע בכמה יותר קטן ויקרא מגרעת
Through other numbers: they are multiplied by each other and this is called multiplication. אולם מפני מספרי' אחרי' שיוכפלו יחד ויקרא זה הכפלה
Through its relation, it is called ratio; or its sequence, it is called the sequential number in ratio. אולם מפני יחסו ויקרא ערך או סדרו ויקרא המספר המסודר ביחס

The Second Introduction

 הצעה שנית
The numbers that the arithmetician investigates are integers summed together called contiguous with regard to their subject. המספרים שיעיין בם בעל חכמת החשבון הם מחוברי' מאחדי' שלמים ויקרא לאחר החלוקה בבחינת נושאו שהוא המתדבק
The mathematician investigates this also, when he thinks about the subject of the one divided into parts, whether into halves or thirds or quarters and so on. ויעיין בו הלמודי ג"כ כשיצייר נושא האחד נחלק לחלקי' אם לחצי או לשלישי או לרביע וזולתם
The fractions are called by a name that is derived from the integers: the third is derived from three, because the greater is 3 times the smaller and the smaller is one of its three parts; the quarter is derived from the four; and so on. ויקרא שם לשברי' נגזר מהשלמי' יקרא השליש נגזר משלש למה שהגדול ג' דמיוני הקטן הקטן חלק משלשה בו והרביע נגזר מהארבעה וכן זולתם

The Third Introduction

 הצעה ג‫'
The arithmetic numbers are arranged in sequence according to the ratio of one to ten, since the ratio of all the units of the first rank to the units of the second rank is the same as the ratio of the units of the second to the units of the third and the same as the ratio of the units of the tenth [rank] to the units of the eleventh [rank]. המספרי' החשבוניי' מסודרי' בהדרגה ועל יחס האחד לעשר על שיחס כל אחדי המעלה הא' לאחדי המעלה הב' כיחס אחדי השנית אל אחדי השלישית וכיחס אחדי העשירית לאחדי האחד עשר
For example: as two in the second rank is ten times two in the first rank, so two in the fifth rank is ten times two in the fourth rank.
 דמיונו שכמו ששנים במעלה השנית הם עשרה פעמי' שנים במעלה הא' כך שניים במעלה החמישית הם עשרה דמיוני לשנים במעלה רביעית
Similarly, the ranks of the sexagesimal fractions, except that the [fractions] are in a subtractive ratio and [the units] are in an additive ratio; the [fractions] are in the ratio of sixtieth to each other and [the units] are in the ratio of one to sixty. וכן מדרגות שברי חכמי התכונה אלא שאותם הם יחס הגרעון ואלו יחס התוספת ואותם יחס אחר ששים לאחר ואלו יחס אחד מששים
The ratio of 3-minutes to 3-seconds is the same as the ratio of 3-sevenths to 3-eighths.
\scriptstyle{\color{blue}{3^\prime:3^{\prime\prime}=3^{vii}:3^{viii}}}
 ועם זה יחס ג' דקי' לג' שניים כיחס ג' שביעיים לג' שמיניים
ולזה יפול בכל אחד מהמספרי' בחינה בבחינות המספר ומה שבו מהאחדים ובחינה במדרגתו

Chapter on the Multiplication of Numbers by Numbers, Some of which are Knowns and Some are Unknown

 הפרק במכפלת מספרי' במספרי' קצתם ידועי' וקצתם נעלמי‫'
ויקרא הנעלם בשם הסוג היותר כולל והוא דבר
אם ינתן לך לכפול מספרי' ידועי המניין והשעור בדברי' ידועי המניין לא השעור כאלו נאמר כפלנו עשרה אחדי' בד' כ דברים והיה מהנעלם [....] אם הדברי' ההם מספרי' או קבוץ מספרים או מרובעים או הדומה לזה
הנה איך אתה השיב תשובה ידועה מצד ונעלמת ונכפול עשרה בארבעה יעלו מ‫'
ואחר בדבר יהיה דבר ולכן תאמר שהעולה מ' דברים כלומר הוא מ' פעמים השעור ש[כינת] אותו אתה בשם דבר מספר היה או מקובץ אחדים
ואלו היה המכוון בדבר עשריים היה מובן השאלה תכפול עשרה אחדי' בארבעה דברים על שכל דבר הוא עשרה מספרי‫'
ואם היה המכוון בדבר מאה היו מ' מאות וכן בכל מה שרצהו מהכוונות ואז צריך ב' הכפלות
Six types of combinations are created from this: ויתחדשו בזה ו' מינים מההרכבות
  • The first is that you multiply the numbers by things.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times bx}}
 הא' שתכפול המספרי' בדברי‫'
  • As our saying: 10 numbers by 4 things.
\scriptstyle10\times4x
 כאמרנו י' מספרי' בד' דברי‫'
  • The second is that you multiply numbers by numbers and things.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times\left(b+cx\right)}}
 הב' שתכפול מספרי' במספרי' ודברי‫'
  • As our saying: multiply 4 numbers by 6 numbers and 5 things.
\scriptstyle4\times\left(6+5x\right)
 כאמרנו כפול ד' מספרי' בו' מספרי' וה' דברים
Then two products are needed.
 ואז צריך ב' הכפלות
The way is that you multiply 4 numbers by 6 numbers; the result is 24.
 והדרך שתכפול ד' מספרי' בו' מספרי' יעלו כ"ד
Multiply 4 by 5 things; the result are 20 things.
 כפול ד' בה' דברים יעלו כ' דברים
The sum is 24 numbers and 20 things.
\scriptstyle{\color{blue}{4\times\left(6+5x\right)=\left(4\sdot6\right)+\left(4\sdot5x\right)=24+20x}}
 הנה המקובץ כ"ד מספרים וכ' דברים
ºc nº
5 4 6
  • The third is that you multiply numbers and things by numbers and things.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+bx\right)\times\left(c+dx\right)}}
 הג' שתכפול מספרים ודברי' במספרי' ודברי‫'
Then four products are needed.
 ואז צריך ד' הכפלות
  • Multiply 4 numbers and 3 things by 5 numbers and 6 things.
\scriptstyle\left(4+3x\right)\times\left(5+6x\right)
 כפול ד' מספרי' וג' דברים בה' מספרי' וו' דברים
We multiply 4 numbers by 5 numbers; the result is 20.
 הנה נכפול הד' מספרים בה' מספרי' עלו כ‫'
4 numbers by 6 things; the result are 24 things.
 וד' מספרי' בו' דברי' עלה כ"ד דברים
We multiply 3 things by 5 numbers; the result are 15 things.
 עוד נשוב ‫[2]נשוב נכפול ג' דברי' בה' מספרים עלו ט"ו דברים
We multiply 3 things by 6 things; the result are 18 things of things, i.e. 18 squares of the given thing.
 נשוב נכפול ג' דברים בו' מספרים דברים עלו י"ח דברים מדברים כלומר י"ח מרובעי הדבר המונח
We sum them, the result is 20 numbers, 39 things, and 18 squares of the things.
 נקבצם עלה כ' מספרים ל"ט דברים וי"ח מרובעי הדברים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(4+3x\right)\times\left(5+6x\right)&\scriptstyle=\left(4\sdot5\right)+\left(4\sdot6x\right)+\left(3x\sdot5\right)+\left(3x\sdot6x\right)\\&\scriptstyle=20+24x+15x+18x^2\\&\scriptstyle=20+39x+18x^2\end{align}}}
  • The fourth is the subtraction method.
 הד' דרך הגרעון
  • If you are told: six numbers by ten numbers minus 6 things.
\scriptstyle6\times\left(10-6x\right)
 אם יאמר לך ששה מספרים בעשרה מספרים פחות ו' דברים
You multiply six by ten; the result are 60 numbers.
 הנה תכפול ששה בעשרה עלו ס' מספרים
Multiply 6 numbers also by subtractive six things; they are 36 subtractive things.
 עוד שוב כפול ו' מספרים בששה דברים חסרים יהיו ל"ו דברים חסרים
The sum is 60 minus 36 things.
\scriptstyle{\color{blue}{6\times\left(10-6x\right)=\left(6\sdot10\right)-\left(6\sdot6x\right)=60-36x}}
 הנה המקובץ ששים פחות ל"ו דברים
  • The fifth is subtraction and addition.
 הה' גרעון ותוספת
  • If you are told: multiply 6 numbers and 3 things by 7 numbers minus 5 things.
\scriptstyle\left(6+3x\right)\times\left(7-5x\right)
 אלו אמ' לך כפול ו' מספרים וג' דברים בז' מספרים פחות ה' דברים
Multiply 6 numbers by 7 numbers; the result is 42.
 הנה תכפול ו' מספרי' בז' מספרים עלו מ"ב
Multiply 6 numbers by subtractive 5 things; the result is 30 subtractive things.
 כפול ו' מספרים בה' דברים חסרים עלו ל' דברים חסרים
Multiply 3 additive things by 7 numbers; the result is 21 additive things.
 כפול ג' דברים נוספים בז' מספרים עלו כ"א דברים נוספים
3 additive things by 5 subtractive things; the result is 15 things of subtractive things, that is, 15 subtractive squared things.
 ג' דברים נוספים בה' דברים חסרים עלו ט"ו דברים מדברים חסרים כלומ' ט"ו מרובעי הדברים חס(ר)ים
We subtract 21 additive things from the thirty subtractive things; 9 remain.
 ונסיר מן השלשים דברים הנגרעים כ"א דברים נוספים נשארו ט‫'
The total sum of the products is 42 numbers, 9 subtractive things and 15 things of things.
 ויהיה כלל המקובץ מההכפלה מ"ב מספרי' ט' דברים חסרים וט"ו דברים מדברים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(6+3x\right)\times\left(7-5x\right)&\scriptstyle=\left(6\sdot7\right)+\left[6\sdot\left(-5x\right)\right]+\left(3x\sdot7\right)+\left[3x\sdot\left(-5x\right)\right]\\&\scriptstyle=42-30x+21x-15x^2\\&\scriptstyle=42-\left(9x+15x^2\right)\end{align}}}
וראוי שתקדם ותדע שהכפלת כל מספר בכל מספר העולה מספר
ומספר בדבר או מניין מדברים יעלה דבר או דברים כמו העולה מכפל מניין הדברים על המספר
ודבר בדבר או דברים יעלה דבר מדבר כלומ' מרובע המספר ההוא הנעלם או דברים כעולה מכפל מניין הדברים קצתם בקצת
A number by an additive thing; the result is an additive thing.
 ומספר בדבר נוסף יעלה דבר נוסף
By a subtractive thing; the result is a subtractive thing.
 ובדבר גורע יעלה דבר גורע
A subtractive thing by an additive or a subtractive thing; the result is a subtractive thing of a thing.
 ודבר גורע בדבר מוסיף או גורע יעלה דבר מדבר גורע
  • The sixth method is subtraction in the multiplier and in the multiplicand.
 הו' דרך הגרעון בכופל והנכפל
  • If it is said: multiply ten minus 3 things by 8 minus 5 things.
\scriptstyle\left(10-3x\right)\times\left(8-5x\right)
 שיאמ' כפול עשרה פחות ג' דברים בח' פחות ה' דברים
It is by four products: one additive and three subtractive.
 הנה זה בד' הכפלות א' להוסיף וג' לגרוע
We multiply 10 by 8; the result is 80.
 נכפול י' בח' ויעלו פ‫'
10 by subtractive 5 things; it is 50 subtractive things.
 י' בה' דברים גורעים יהיו נ' דברים גורעים
8 by subtractive 3 things; it is 24 subtractive things.
 ח' בג' דברים גורעים יהיו כ"ד דברים גורעים
3 subtractive things by 5 subtractive things; it is 15 [additive] things of things.
 ג' דברים גורעים בה' דברים גורעים הרי ט"ו דברי' מדברי' גורעים
The total sum is 80 numbers minus 74 things and 15 things of things.
 היה כלל המקובץ פ' מספרים פחות ע"ד דברים וט"ו דברים מדברים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10-3x\right)\times\left(8-5x\right)&\scriptstyle=\left(10\sdot8\right)+\left[10\sdot\left(-5x\right)\right]+\left[8\sdot\left(-3x\right)\right]+\left[\left(-3x\right)\sdot\left(-5x\right)\right]\\&\scriptstyle=80-50x-24x-15x^2\\&\scriptstyle=80-74x+15x^2\end{align}}}
  • The seventh is subtraction and addition.
 הז' גרעון ותוספת
  • If it is said: multiply ten numbers and a thing by a thing minus ten numbers.
\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)
 שיאמ' כפול עשרה מספרים ודבר על דבר פחות עשרה מספרים
It is also by four products:
 הנה זה בד' הכפלות גם כן
Multiply the additive thing by the additive thing; the result is an additive thing of a thing.
 והוא שתכפול הדבר הנוסף על הדבר הנוסף יעלה יעלה דבר מדבר נוסף
The ten numbers by 10 subtractive numbers; they are 100 subtractive numbers.
 הנה העשרה מספרים בי' מספרים הגורעים יהיו ק' מספרים גורעים
Multiply 10 by a thing; the result is 10 additive things.
 תכפול י' בדבר עלו י' דברים נוספים
Multiply again a thing by 10 subtractive numbers; the result is 10 subtractive things.
 שוב כפול דבר נוסף בי' מספרי' גורעי' עלו י' דברים גורעים
Multiply a thing by an additive thing; the result is an additive thing of a thing.
 כפול דבר בדבר נוסף עלה דבר מדבר נוסף
We give the 10 additive things to the subtractive; the total sum is subtractive 100 numbers and an additive thing of a thing; so the result is a thing of a thing minus 100 numbers.
 נתן הי' דברים נוספים כנגד הגורעים ועלה כלל החשבון ק' מספרים חסרים ודבר מדבר נוסף הנה העולה דבר מדבר פחות ק' מספרים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+x\right)\times\left(x-10\right)&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(-100\right)\right]+\left(10\sdot x\right)+\left[x\sdot\left(-10\right)\right]+\left(x\sdot x\right)\\&\scriptstyle=-100+10x-10x+x^2\\&\scriptstyle=-100+x^2=x^2-100\end{align}}}
As we have illustrated for integers, so this is possible for fractions. וכמו שהמשלנו בשלמי' כן יתכן ביחס בשברים
  • Example: we multiply 10 numbers and two-thirds of a thing by 3 numbers minus 6 things.
\scriptstyle\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)
 דמיונו כפלנו י' מספרים ושני שלישי דבר על ג' מספרים פחות ו' דברים
We multiply ten numbers by 3 numbers; the result is 30 numbers.
 הנה נכפול עשרה מספרים על ג' מספרים עלה ל' מספרים
We multiply ten [numbers] by six subtractive things; they are 60 subtractive things.
 נכה עשרה דברים בששה דברים הגורעים יהיו ס' דברים גורעים
We multiply 2-thirds of a thing by 3 numbers; they are 2 additive things.
 נכה ב' שלישי דבר על ג' מספרים יהיו ב' דברים נוספים
We multiply 2-thirds of a thing by 6 subtractive things; they are 4 subtractive things of things.
 נכה ב' שלישי דבר בו' דברים גורעים יהיו ד' דברים מדברים גורעים
We sum all, but we subtract the 2 additive things from the sixty subtractive; 58 subtractive remain.
 נקבץ הכל אלא שנגרע הב' דברים הנוספים מהששים הגורעים נשארו נ"ח גורעים
So, the total is 30 numbers minus 58 things and 4 subtractive things of things.
 ולזה יהיה המקובץ ל' מספרים פחות נ"ח דברים וד' דברי' מדברים גורעים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+\frac{2}{3}x\right)\times\left(3-6x\right)&\scriptstyle=\left(10\sdot3\right)+\left[10\sdot\left(-6x\right)\right]+\left(\frac{2}{3}x\sdot3\right)+\left[\frac{2}{3}x\sdot\left(-6x\right)\right]\\&\scriptstyle=30-60x+2x-4x^2\\&\scriptstyle=30-58x-4x^2\end{align}}}

Chapter on the Finding a Number from a Number by Knowing Their Ratio

 ‫[3]הפרק בהוצאת מספר ממספר מתוך ידיעת יחסו
כשהיה מספר מה נעלם ידוע היחס למספר אחר ותבקש ידיעתו מתוך ידיעת המספר האחר ויחסו לו
הנה ראשונה ראוי שתדע שהיחס ימצא על ג' פנים
אם יחס מספרי והוא הבדל במספרים שלימים ידועי' כאלו תאמר יחס ג' לי' כיחס ג' דמיונים ואחד
ויהיו המספרים מתיחסים כשהיה התוספת בהם שוה
  • For example: the ratio of ten to 13 is the same as the ratio of 100 to 1[30].
\scriptstyle{\color{blue}{10:13=100:1{\color{red}{30}}}}
 דמיונו שיחס עשרה לי"ג כיחס ק' לק"ג
ואם יחס למודי והוא יחס בין ההבדל וכלל המספרים המתיחסים
  • As our saying: the ratio of 3 to ten is the ratio of 3 times and a third
\scriptstyle{\color{blue}{10:3=3+\frac{1}{3}}}
 כאמרנו יחס ג' לעשרה כיחס ג' דמיונים ושליש
ויהיה היחס בין המספרים אחר כשיהיה ההבדל לו יחס אחד למתיחסים
  • For example: the ratio of ten to 13 is the same as the ratio of 40 to 52.
\scriptstyle{\color{blue}{10:13=40:52}}
 דמיונו יחס עשרה לי"ג כיחס מ' לנ"ב
כי ההבדל בין הראשוני' הוא ג' ויחסו לעשרה כיחס כמוהו וחומשו וחצי
וכן יחס מ' לנ"ב
והג' הוא יחס נגוני
אולם היחס למודי יהיה לקוח אם בין שני שעורים לבד
  • As if you say: the ratio of 9 to 12 is 3-quarters
\scriptstyle{\color{blue}{9:12=\frac{3}{4}}}
 כאלו תאמר יחס ט' לי"ב הוא ג' רביעיות
  • Also the ratio of 1[6] to 1[2] is 4-thirds
\scriptstyle{\color{blue}{1{\color{red}{6}}:1{\color{red}{2}}=\frac{4}{3}}}
 ויחס י"ב לי"ו הוא ד' שלישיות
והדרך בזה כשיהיה אחד השעורים ידוע ויחס האחר אליו ידוע
שיכפל היחס בשעור האחד ויצא האחר
  • For example: one of the terms is 7 and a half and the ratio of the other to it is 5-sevenths.
\scriptstyle{\color{blue}{x:\left(7+\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{7}}}
 דמיונו שאחד השעורים ז' וחצי והאחר יחסו לו שהוא ה' שביעיות
We multiply 5-sevenths by 7 and a half; it is 5 and 5 parts of 14.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5}{7}\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)=5+\frac{5}{14}}}
 הנה נכפול ה' שביעיות בז' וחצי יהיה ה' וה' חלקים מן י"ד
  • If [the ratio] is 9-sevenths.
\scriptstyle{\color{blue}{x:\left(7+\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{7}}}
 ואם היה ט' שביעיות
It is 9 and 9 parts of 14.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{9}{7}\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)=9+\frac{9}{14}}}
 יהיה תשעה וט' חלקים מי"ד
ואם יהיה בין ג' שעורים לבד
כאלו תאמר יחס אחד השעורי' והוא הנעלם אל שעור ידוע כיחס הידוע אל ידוע אחר
  • As if you say: the ratio of an unknown term to ten is the same as the ratio of ten to forty.
\scriptstyle{\color{blue}{x:10=10:40}}
 כאלו תאמר יחס שעור נעלם אל עשרה כיחס עשרה לארבעים
והנה זה הנעלם אפשר שיהיה
אם הראשון כמו בהמשלנו
ואפשר שיהיה השני כאמרנו יחס עשרה לנעלם כיחס הנעלם לחמשים
ואם שיהיה בין ג' שעורים לבד כאלו תאמר יחס אחד השעורים והוא הנעלם אל שעור ידוע כיחס הידוע
ואם שיהיה בין ד' שעורים
  • As if you say: the ratio of the unknown to ten is the same as the ratio of 100 to 3 hundred.
\scriptstyle{\color{blue}{x:10=100:300}}
 כאלו תאמר יחס הנעלם לעשרה כיחס ק' לג' מאות
וזה גם כן אם שיהיה הנעלם מהמספרים אשר מהקצוות או מהמספרים האמצעיים
והראשון מאלו כבר המשלנו בו
והשני כאמרנו יחס עשרה לנעלם כיחס ק' לג' מאות
והדרך בזה הוא אחד משני דברים
אם לכפול הקצוות כשהיה הנעלם האמצעי ושורש העולה הוא הנעלם
וזה בג' מספרים
  • As your saying: the ratio of two to the unknown is the same as the ratio of the unknown to 4 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{2:x=x:\left(4+\frac{1}{2}\right)}}
 כאמרך יחס שנים לנעלם כיחס הנעלם לד' וחצי
הנה נכפול הראשון והוא ב' בג' השלישי והוא ד' וחצי והעולה והוא ט'
נקח שורשו והוא ג' וכן השני
וכשהיה הנעלם הוא אחד הקצוות נכפול האמצעי בעצמו ונחלק העולה על אחד הקצוות ויצא האחר
  • For example: the ratio of 2 to 3 is the same as the ratio of 3 to the unknown.
\scriptstyle{\color{blue}{2:3=3:x}}
 דמיונו שיחס ב' לג' כיחס ג' לנעלם
We multiply 3 by itself and divide the product by 2; the result is 4 and a half and this is the unknown.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3^2}{2}=4+\frac{1}{2}}}
 נכפול ג' על עצמו ונחלק העולה על ב' ויצא ד' וחצי וכן הנעלם
ואולם בד' מספרים הנה אם היה הנעלם אחד האמצעיים הנה נכפול הקצוות ונחלק העולה על האמצעי הידוע יצא האמצעי האחר
  • For example: the ratio of 2 to 5 is the same as the ratio of the unknown to 25.
\scriptstyle{\color{blue}{2:5=x:25}}
 דמיונו יחס ה' לב' ב' לה' כיחס הנעלם לכ"ה
We multiply 2 by 25; the result is 50.
 הנה נכפול ב' בכ"ה עלו נ‫'
We divide it by 5; the result is ten and this is the third that is unknown.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2\sdot25}{5}=\frac{50}{5}=10}}
 נחלקם על ה' יצא עשרה והוא הנעלם השלישי
ואם היה אחד הקצוות הוא הנעלם
הנה נכפול האמצעיים בעצמם ונחלק העולה על אחד הקצוות והוא הידוע יצא האחר
  • For example: the ratio of 2 to 6 is the same as the ratio of 9 to the unknown.
\scriptstyle{\color{blue}{2:6=9:x}}
 דמיונו יחס ב' לו' כיחס ט' לנעלם
We multiply 6 by 9; the result is 54.
 הנה נכפול ו' בט' עלה נ"ד
We divide it by 2; the result is 27 and this is the fourth.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6\sdot9}{2}=\frac{54}{2}=27}}
 נחלקם על ב' עלה כ"ז וכן הרביעי
והדרך הב' מהמצאתינו שבד' שעורים שנחלק השוים הן הקרובים הידועים
ונכפול העולה על האחר על הקרוב לנעלם
  • For example: the ratio of 3 to 9 is the same as the ratio of the unknown to 18.
\scriptstyle{\color{blue}{3:9=x:18}}
 דמיונו יחס ג' לט' כיחס הנעלם לי"ח
We divide [3] by [9]; the result is a third.
 הנה נחלק ט' על ג' עלה שליש
We multiply a third by 18; the result is 6 and this is the mean that is unknown.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{9}\sdot18=\frac{1}{3}\sdot18=6}}
 כפלנו שליש בי"ח יעלו ו' וכן האמצעי הנעלם
  • When the unknown is one of the extremes:
 בהיות הנעלם אחד הקצוות
  • As our saying: the ratio of the unknown to 4 is the same as the ratio of 3 to 12.
\scriptstyle{\color{blue}{x:4=3:12}}
 כאמרנו יחס הנעלם לד' כיחס ג' לי"ב
We divide [3] by [12]; the result is a quarter.
 הנה חלקנו י"ב על ג' עלה רביע
We multiply it by 4; the result is one and this is the first.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{12}\sdot4=\frac{1}{4}\sdot4=1}}
 כפלנוהו על ד' עלה אחד והוא הראשון
  • If there are three terms and the unknown is one of the extremes:
 ואולם בג' שעורים בהיות הנעלם אחד הקצוות
  • As our saying: the ratio of 2 to 6 is the same as the ratio of 6 to the unknown.
\scriptstyle{\color{blue}{2:6=6:x}}
 כאמרנו יחס ב' לו' כיחס ו' לנעלם
We divide 6 by 2; the result is 3.
 הנה חלקנו ו' על ב' עלה ג‫'
We multiply 3 by 6; the result is 18 and this is the third that is unknown.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6}{2}\sdot6=3\sdot6=18}}
 כפלנו ג' בו' עלה י"ח וכן השלישי הנעלם
  • If the mean is unknown:
 ואם היה האמצעי נעלם
We [multiply] the extremes by each other, then extract the root of the product and this is the second.
Failed to parse (syntax error): \scriptstyle a_2=\sqrt\left(a_1\sdot a_3\right)}
הנה חלקנו הקצוות האחד על האחר ונקח שורש העולה והוא השני
  • For example: the ratio of 2 to the unknown is the same as the ratio of the unknown to 12 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{2:x=x:\left(12+\frac{1}{2}\right)}}
 דמיונו יחס ב' לנעלם כיחס הנעלם לי"ב וחצי
We multiply 2 by 12 and a half; the result is 25
 כפלנו ב' בי"ב וחצי עלה כ"ה
We extract its root; it is 5 and this is the mean.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{2\sdot\left(12+\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{25}=5}}
 לקחנו שורשו והוא ה' וכן הוא האמצעי
9 º 2
12 º
והסבה בכל אלו הדרכים אם לראשון הנה לפי שהיו השעורים המתיחסים שיור העולה מהכאת הראשון בשלישי כהכאת השלישי השני בעצמו בהיות היחס בין ג' שעורים
ובהיותו בין ד' מספרים היה הכאת הראשון באחרון כהכאת השני בשלישי היה יחס הנעלם הנה יצא כהכאת הראשון באחרון כשיהיה הנעלם האמצעי שטח האמצעי בעצמו ידוע להיותו שוה לו
כי הכאת השני בשלישי ידוע כשהיה היחס בין ד' שעורים ‫[4]שעורים והנעלם אחד מהאמצעים
או שטח הראשון באחרון ידוע כשהיה הנעלם אחד הקצוות
וכשהיה שטח מה ידוע ואחד צלעיו ידועים הנה הצלע האחר גם כן ידוע בדרך חלוקה כמו שקדם
הוא כשנחלק שטח האמצעי בעצמו או האמצעים על אחד הקצוות יצא האחר
ואם נחלק שטח הקצוות על אחד האמצעיים יצא האחר בד' שעורים
ובג' כשנמצא של שרשו הוא צלע המרובע השוה לשטח המתחדש מהכפלת הקצוות
ואולם לדרך הב' כי אחר שהיה היחס הנעלם לידוע ידוע כי הוא כיחס הידוע לידוע אחר
יצא היחס בין שני הידועים והוא בעינו כיחס הנעלם לידוע ולזה כשיכפל היחס בידוע יצא הנעלם הידוע
והיחס בין ששה שעורים שתאמר יחס עשרה לעשרים מורכב מיחס ד' לי"ו ומיחס י"ד לז'
עשרה עשרים
ד' י"ד י"ו ז‫'

The Chapter on Knowing the Root from Another Root or Roots

 ‫[5]הפרק בידיעת השורש מפני שורש אחר או שרשים
ויחלק לה' דרושים
הא' מפני קבוץ השרשים
הב' מפני כפלם
הג' מפני חלוקתם
הד' מפני סדרם
הה' מפני יחסם

The First Investigation

 הדרוש הא‫'
בקשנו השורש העולה מחבור ב' שרשי' כאלו תאמר חברנו שורש כ"ה בשורש י"ו ונבקש השורש המקובץ
הנה הדרך בזה שתחבר השני מרובעים יחד ועלה מקובצם מ"א הכה שני המרובעים קצתם בקצת עלה ת' קח שני שרשיו והם מ' תקבצם עם מחובר השני מרובעי' שהוא מ"א עלה פ"א קח שרשו והוא ט' והוא כמו מקובץ שורש י"ו בשורש כ"ה
וכזה כשבקשנו חבור שורש י"ו י' בשורש כ' חברנו עשרה בעשרי' עלו ל' כפלנו י' בכ' עלה מאתים בקש [נקח ‫[6] שרשו והוא י"ד ונעלם כפלנום עלה כ"ח וב' נעלמים קבצנום עם ל' עלה נ"ח וב' נעלמים
ושורשו הוא הדרוש
והסבה בזה שנניח השני שרשי' קוי א"ב ג"ד ומרובע א"ב ד"ט ומרובע ב"ג ה"ג מרובע ב"ג
הנה לפי שמרובע א"ג שוה לשני מרובעי א"ב ב"ג וכפל שטח א"ב בב"ג שהוא כמו כפל שטח כ"ה
ושטח א"ה אמצעי ביחס בין שני מרובעי ה"ט וה"ג היה כפל מרובע ד"ט בה"ג כמו כפל א"ה בעצמו הנה כשכפלנו מרובע ד"ט בה"ג ולקחנו שורש
העולה היה השורש ההוא שוה לשטח א"ה
וכאשר הכפלנוהו על שני שטחי א"ה ה"ב וכאשר קבצנום עם שני מרובעי ד"ט ה"ג הידועים היה כלל מרובע א"ב ידוע שרשו המחובר מן א"ב ב"ג ידוע

The Second Investigation

 הדרוש הב‫'
בקשנו העולה מגרעון שני שרשים האחד מהאחר כאלו תאמר בקשנו לגרוע שורש

Appendix: Bibliography

Manuscript:

  • Budapest, Magyar Tudományos Akadámia, Ms. Kaufmann A 506/2 (IMHM: f 14991), ff. 114-118 (15th century)
Kaufmann A 506/2
  1. ↑ 114
  2. ↑ 115
  3. ↑ 116
  4. ↑ 17
  5. ↑ 18
  6. ↑ marg.
    7. Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=Kaufmann_A506/2_–_Discussion_on_Numbers&oldid=62831"