Difference between revisions of "ספר היסודות לאקלידס"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎Definitions)
(→‎Appendix: Bibliography)
 
(366 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 12: Line 12:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנקודה</big> היא דבר אין לה חלק ולא הנחה
+
*{{#annot:definition|833,1606|I0Aq}}The '''point''' is a thing that has no part.
 +
|style="text-align:right;"|<big>הנקודה</big> היא דבר אין לה חלק ולא הנחה{{#annotend:I0Aq}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>והקו</big> הוא אורך אין רוחב לו
+
*{{#annot:definition|592,1450|wN6J}}The '''line''' is a length that has no breadth.
 +
|style="text-align:right;"|<big>והקו</big> הוא אורך אין רוחב לו{{#annotend:wN6J}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותכליות הקו שתי נקודות
+
:The ends of the line are points.
 +
|style="width:45%; text-align:right;"|ותכליות הקו שתי נקודות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>והקו הישר</big> הוא המוצב על נכוחות אי זה נקודות יהיו עליו קצתם אל קצתם
+
*{{#annot:definition|817,1847|lFcp}}The '''straight line''' is that which lies straightly by the arrangement of points on it one by one.
 +
|style="text-align:right;"|<big>והקו הישר</big> הוא המוצב על נכוחות אי זה נקודות יהיו עליו קצתם אל קצתם{{#annotend:lFcp}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>והשטח</big> הוא אשר לו אורך ורוחב לבד
+
*{{#annot:definition|814,1310|PhWl}}The '''surface''' is that which has length and breadth only.
 +
|style="text-align:right;"|<big>והשטח</big> הוא אשר לו אורך ורוחב לבד{{#annotend:PhWl}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:The ends of the surface are lines.
 
|style="text-align:right;"|ותכליות השטח קוים
 
|style="text-align:right;"|ותכליות השטח קוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>והפשוט השוה</big> הוא המוצב על נכוחות אי זה קוים ישרים יהיו עליו קצתם אל קצתם
+
:*{{#annot:definition|2167,1247|kmWD}}The '''plane surface''' is that which lies straightly by the arrangement of straight lines on it one by one.
 +
|style="text-align:right;"|<big>והפשוט השוה</big> הוא המוצב על נכוחות אי זה קוים ישרים יהיו עליו קצתם אל קצתם{{#annotend:kmWD}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>והזוית הפשוטה</big> היא נטיית כל אחד משני קוים מונחים בשטח שוה מדובקים על בלתי יושר האחד מן האחר
+
*{{#annot:definition|2127,2029|YkbQ}}The '''plane angle''' is the inclination of two given lines to one another in a plane, so that they meet one another not in a straight line.
 +
|style="text-align:right;"|<big>והזוית הפשוטה</big> היא נטיית כל אחד משני קוים מונחים בשטח שוה מדובקים על בלתי יושר האחד מן האחר{{#annotend:YkbQ}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*When the two lines containing the angle are straight, the angle is called '''rectilinear'''.
 
|style="text-align:right;"|וכאשר היו שני קוים מקיפים בזוית הזאת ישרים תקרא <big>ישרת הקוים</big>
 
|style="text-align:right;"|וכאשר היו שני קוים מקיפים בזוית הזאת ישרים תקרא <big>ישרת הקוים</big>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*When a straight line is standing on a straight line and the two adjacent angles are equal to one another, then each of them is a right angle, and the standing straight line is called '''perpendicular''' to the line on which it stands.
 
|style="text-align:right;"|וכאשר יעמוד קו ישר על קו ישר ושם שתי הזויות אשר משתי צדדיו שוות הנה כל אחת משתיהן היא זויות נצבת והקו ההוא העומד יקרא <big>העמוד</big> על הקו אשר הוא עומד עליו
 
|style="text-align:right;"|וכאשר יעמוד קו ישר על קו ישר ושם שתי הזויות אשר משתי צדדיו שוות הנה כל אחת משתיהן היא זויות נצבת והקו ההוא העומד יקרא <big>העמוד</big> על הקו אשר הוא עומד עליו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואשר היא גדולה מנצבת תקרא <big>נרוחת</big>
+
:*{{#annot:definition|1093,2524|szjV}}The greater than a right angle is called an '''obtuse angle'''.
 +
|style="text-align:right;"|ואשר היא גדולה מנצבת תקרא <big>נרוחת</big>{{#annotend:szjV}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואשר היא קטנה מנצבת תקרא <big>חדה</big>
+
:*{{#annot:definition|1092,1343|V5db}}The smaller than a right angle is called an '''acute angle'''.
 +
|style="text-align:right;"|ואשר היא קטנה מנצבת תקרא <big>חדה</big>{{#annotend:V5db}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
*The '''boundary''' is the end of the thing.
 
|style="text-align:right;"|<big>והגבול</big> הוא תכלית הדבר
 
|style="text-align:right;"|<big>והגבול</big> הוא תכלית הדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>והתמונה</big> היא אשר יקיף אותה גבול או גבולים
+
*{{#annot:definition|303,1308|zvgX}}The '''figure''' is that which is contained by a boundary or boundaries.
 +
|style="text-align:right;"|<big>והתמונה</big> היא אשר יקיף אותה גבול או גבולים{{#annotend:zvgX}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>והעגולה</big> היא תמונה פשוטה שוה יקיף אותה קו אחד בתוכה נקודה כל הקוים הישרים היוצאים ממנה ויכלו אל הקו ההוא שוים קצתם אל קצתם
+
*{{#annot:definition|304,1471|uqaX}}The '''circle''' is a plane figure contained by one line, within which there is one point such that all the straight lines drawn from it and terminated in the circumference are equal to one another.
 +
|style="text-align:right;"|<big>והעגולה</big> היא תמונה פשוטה שוה יקיף אותה קו אחד בתוכה נקודה כל הקוים הישרים היוצאים ממנה ויכלו אל הקו ההוא שוים קצתם אל קצתם{{#annotend:uqaX}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנקודה ההיא הוא <big>מרכז העגולה</big>
+
:*This point is the '''center''' of the circle.
 +
|style="text-align:right;"|והנקודה ההיא הוא <big>{{#annot:center of a circle|1108,2234|C6ny}}מרכז העגולה{{#annotend:C6ny}}</big>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>וקוטר העגולה</big> הוא קו ישר ילך במרכז העגולה ויכלה בשני הצדדי' אל הקו המקיף אותה והוא יחתכנה בשני חצאים
+
:*{{#annot:definition|1107,2232|v3Ba}}The '''diameter''' of the circle is any straight line, drawn through the center of the circle and terminated in both directions by its circumference, that bisects [the circle].
 +
|style="text-align:right;"|<big>וקוטר העגולה</big> הוא קו ישר ילך במרכז העגולה ויכלה בשני הצדדי' אל הקו המקיף אותה והוא יחתכנה בשני חצאים{{#annotend:v3Ba}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*The '''semicircle''' is the figure contained by the diameter and the arc that is cut off from the circumference by the diameter.
 
|style="text-align:right;"|<big>וחצי העגולה</big> היא תמונה יקיפו בה הקוטר והקשת אשר החזיק בה הקוטר מן הקו המקיף
 
|style="text-align:right;"|<big>וחצי העגולה</big> היא תמונה יקיפו בה הקוטר והקשת אשר החזיק בה הקוטר מן הקו המקיף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>וחתיכת העגול</big> היא תמונה יקיפו בה קו ישר וקשת ממקיף העגולה אם קטנה מחציה או גדולה
+
:*{{#annot:definition|2305,2551|XaeS}}The '''segment of the circle''' is the figure contained by a straight line and an arc on the circumference that is either smaller or greater than its half.
 +
|style="text-align:right;"|<big>וחתיכת העגול</big> היא תמונה יקיפו בה קו ישר וקשת ממקיף העגולה אם קטנה מחציה או גדולה{{#annotend:XaeS}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
*The '''rectilinear figures''' are those which are contained by straight lines.
 
|style="text-align:right;"|<big>והתמונות ישרות הקוים</big> הם אשר יקיפו בהם קוים ישרים
 
|style="text-align:right;"|<big>והתמונות ישרות הקוים</big> הם אשר יקיפו בהם קוים ישרים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*The '''trilateral figures''' are those which are contained by three straight lines.
 
|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> בעלות שלש צלעות הם אשר יקיפו בהם קוים ישרים שלשה
 
|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> בעלות שלש צלעות הם אשר יקיפו בהם קוים ישרים שלשה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*The '''quadrilateral figures''' are those which are contained by four straight lines.
 
|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> בעלות ארבעה צלעות הם אשר יקיפו בהם ארבעה קוים ישרים
 
|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> בעלות ארבעה צלעות הם אשר יקיפו בהם ארבעה קוים ישרים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*The '''multilateral figures''' are those which are contained by more than four straight lines.
 
|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> בעלות צלעות רבות הם אשר יקיפו בהם יותר מארבעה קוים ישרים
 
|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> בעלות צלעות רבות הם אשר יקיפו בהם יותר מארבעה קוים ישרים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:Of the trilateral figures:
 
|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> התמונות בעלות שלש צלעות
 
|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> התמונות בעלות שלש צלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*The '''equilateral triangle''' is that whose three sides are equal to one another.
 
|style="text-align:right;"|הנה מהן <big>המשולש השוה הצלעות</big> והוא אשר צלעותיו השלש שוות קצתם אל קצתם
 
|style="text-align:right;"|הנה מהן <big>המשולש השוה הצלעות</big> והוא אשר צלעותיו השלש שוות קצתם אל קצתם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומהם <big>השוה השוקים</big> והוא אשר בתי צלעותיו לבד שוות
+
:*The '''isosceles triangle''' is that whose two of its sides alone are equal.
 +
|style="text-align:right;"|ומהם <big>השוה השוקים</big> והוא אשר שתי צלעותיו לבד שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*The '''scalene triangle''' is that whose three sides are unequal to one another.
 
|style="text-align:right;"|ומהם <big>המתחלף הצלעות</big> והוא אשר צלעותיו השלש בלתי שוות קצתם אל קצתם
 
|style="text-align:right;"|ומהם <big>המתחלף הצלעות</big> והוא אשר צלעותיו השלש בלתי שוות קצתם אל קצתם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומן התמונות בעלות שלש צלעות <big>המשולש נצב הזוית</big> והוא אשר לו זוית נצבת
+
:Of the trilateral figures:
 +
|style="text-align:right;"|ומן התמונות בעלות שלש צלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>והמשולש הנרוח הזוית</big> והוא אשר לו זוית נרוחת
+
:*{{#annot:triangle-definition|1104,1341|BAtH}}The '''right-angled triangle''' is that which has a right angle.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשולש נצב הזוית</big> והוא אשר לו זוית נצבת{{#annotend:BAtH}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>ומשולש חד הזויות</big> והוא אשר כל אחת מזויותיו השלש חדה
+
:*{{#annot:triangle-definition|1105,2524|g9wm}}The '''obtuse-angled triangle''' is that which has an obtuse angle.
 +
|style="text-align:right;"|<big>והמשולש הנרוח הזוית</big> והוא אשר לו זוית נרוחת{{#annotend:g9wm}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*{{#annot:triangle-definition|1103,1343|pQ2M}}The '''acute-angled triangle''' is that whose three angles are acute.
 +
|style="text-align:right;"|<big>ומשולש חד הזויות</big> והוא אשר כל אחת מזויותיו השלש חדה{{#annotend:pQ2M}}
 +
|-
 +
|
 +
:Of the quadrilateral figures:
 
|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> התמונות בעלות ארבעה צלעות
 
|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> התמונות בעלות ארבעה צלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מהן <big>המרובע</big> הוא השוה הצלעות נצב הזויות
+
:*{{#annot:definition|305,1263|yeYh}}The '''square''' is that which is both equilateral and right-angled.
 +
|style="text-align:right;"|הנה מהן <big>המרובע</big> הוא השוה הצלעות נצב הזויות{{#annotend:yeYh}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומהם <big>המתחלף הארכים</big> והוא הנצב הזויות לא שוה הצלעות
+
:*{{#annot:definition|591,2578|bvdV}}The '''oblong''' is that which is right-angled but not equilateral.
 +
|style="text-align:right;"|ומהם <big>המתחלף הארכים</big> והוא הנצב הזויות לא שוה הצלעות{{#annotend:bvdV}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומהם <big>המעויין</big> והוא השוה הצלעות ואינו נצב הזויות
+
:*{{#annot:definition|1095,1526|us1T}}The '''rhombus''' is that which is equilateral but not right-angled.
 +
|style="text-align:right;"|ומהם <big>המעויין</big> והוא השוה הצלעות ואינו נצב הזויות{{#annotend:us1T}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומהם <big>הדומה למעויין</big> והוא אשר כל שתי צלעות ממנו שזו כנגד זו שוות ואינו שוה הצלעות ואינו נצב הזויות
+
:*{{#annot:definition|1096,2468|Wn4u}}The '''rhomboid''' is that whose opposite sides are equal to one another but is neither equilateral nor right-angled.
 +
|style="text-align:right;"|ומהם <big>הדומה למעויין</big> והוא אשר כל שתי צלעות ממנו שזו כנגד זו שוות ואינו שוה הצלעות ואינו נצב הזויות{{#annotend:Wn4u}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>ומה</big> שהיה על זולת מה שספרנו מן התמונות בעלות ארבע צלעות תקרא <big>הנוטה</big>
+
:*{{#annot:definition|1094,2530|JU9N}}The quadrilaterals that are other than the above-mentioned figures are called '''trapezia'''.
 +
|style="text-align:right;"|<big>ומה</big> שהיה על זולת מה שספרנו מן התמונות בעלות ארבע צלעות תקרא <big>הנוטה</big>{{#annotend:JU9N}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>והקוים הישרים הנכחיים</big> הם אשר יהיו על שטח אחד שוה ואם הוצאו בשני הצדדים אל לא תכלית לא יפגשו באחד מהם
+
*{{#annot:definition|825,1821|Zac6}}The '''parallel straight lines''' are those that are in the same plane such that if they are drawn endlessly in both directions, they do not meet one another in either direction.
 +
|style="text-align:right;"|<big>והקוים הישרים הנכחיים</big> הם אשר יהיו על שטח אחד שוה ואם הוצאו בשני הצדדים אל לא תכלית לא יפגשו באחד מהם{{#annotend:Zac6}}
 +
|}
 +
{|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
 
=== Postulates ===
 
=== Postulates ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|The things on which a consensus is needed are five:
 
|style="text-align:right;"|הדברים אשר תצטרך ההסכמה עליהם חמשה
 
|style="text-align:right;"|הדברים אשר תצטרך ההסכמה עליהם חמשה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
*<span style=color:red>The first postulate:</span> any straight line can be drawn from any point to any point.
 
|style="text-align:right;"|מהם שימשך קו ישר מכל נקודה אל כל נקודה
 
|style="text-align:right;"|מהם שימשך קו ישר מכל נקודה אל כל נקודה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
*<span style=color:red>The second postulate:</span> any finite straight line can be extended indefinitely.
 
|style="text-align:right;"|ושיוצא קו ישר בעל תכלית על יושר ודבקות לבלתי תכלית
 
|style="text-align:right;"|ושיוצא קו ישר בעל תכלית על יושר ודבקות לבלתי תכלית
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושנקוה עגולה על כל נקודה ובשיעור כל מרחק
+
*<span style=color:red>The third postulate:</span> circle can be drawn at any point [= center] and any measure of a distance [= radius]
 +
|style="text-align:right;"|וש{{#annot:term|2549,2498|Pgvr}}נקוה עגולה{{#annotend:Pgvr}} על כל נקודה ובשיעור כל מרחק
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
*<span style=color:red>The fourth postulate:</span> all right angles are equal to one another.
 
|style="text-align:right;"|ושכל הזויות הנצבות שוות קצתם אל קצתם
 
|style="text-align:right;"|ושכל הזויות הנצבות שוות קצתם אל קצתם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
*<span style=color:red>The fifth postulate:</span> if a straight line falls on two straight lines, forming two interior angles on the same side that sum to less than two right angles, then the two straight lines, when extended [indefinitely], meet on that side.
 
|style="text-align:right;"|ואם נפל קו ישר על שני קוים ישרים ושם באחד משני הצדדים שתי הזויות הפנימיות פחות משתי נצבות הנה שני הקוים הישרים כאשר יוצאו בצד ההוא יפגשו
 
|style="text-align:right;"|ואם נפל קו ישר על שני קוים ישרים ושם באחד משני הצדדים שתי הזויות הפנימיות פחות משתי נצבות הנה שני הקוים הישרים כאשר יוצאו בצד ההוא יפגשו
 +
|}
 +
{|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 1 ===
+
=== Common Notions ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|דעת כוללת מוסכם עליה
 +
|-
 +
|
 +
*The things that are equal to one thing in itself are equal to each other.
 +
|style="text-align:right;"|הדברים השוים לדבר אחד בעצמו הם שוים
 +
|-
 +
|
 +
*If equals are added to equals, then the wholes are equal.
 +
|style="text-align:right;"|ואם הוסף על השוים שוים יהיו כולם שוים
 +
|-
 +
|
 +
*If equals are added to unequals, then the wholes are unequals.
 +
|style="text-align:right;"|ואם הוסף על הבלתי שוים שוים יהיו הנשארים בלתי שוים
 +
|-
 +
|
 +
*If equals are subtracted from unequals, then the remainders are unequal.
 +
|style="text-align:right;"|ואם חוסר מהבלתי שוים שוים יהיו הנשארים בלתי שוים
 +
|-
 +
|
 +
*If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal.
 +
|style="text-align:right;"|ואם חוסר מן השוים שוים יהיו הנשארים שוים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואשר כל אחד מהם כפל דבר אחד בעצמו הם שוים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואשר כל אחד מהם חצי דבר אחד בעצמו הם גם כן שוים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואשר לא יעדיף אחד משניהם על האחר כאשר ידובקו בשווי קצתם אל קצתם הם שוים
 +
|-
 +
|
 +
*The whole is greater than its part.
 +
|style="text-align:right;"|והכלל יותר גדול מחלקו
 +
|-
 
|
 
|
 +
*The whole thing is equal to [the sum of] all its parts.
 +
|style="text-align:right;"|וכלל הדבר שוה לכל חלקיו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>נרצה</big> שנעמיד משולש שוה הצלעות על קו ישר בעל תכלית מונח
+
|style="text-align:right;"|ושני קוים ישרים לא יקיפו על שטח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
 +
=== Proposition 1 ===
 +
|
 +
|-
 +
|Whe wish to construct an equilateral triangle on a given finite straight line.
 +
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>א</span> נרצה</big> שנעמיד משולש שוה הצלעות על קו ישר בעל תכלית מונח
 +
|-
 +
|Example: line AB is the finite straight line.
 
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> שיהיה הקו הישר הבעל תכלי' קו א"ב
 
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> שיהיה הקו הישר הבעל תכלי' קו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה שנעמיד על קו א"ב הישר משולש שוה הצלעות
+
|style="text-align:right;"|ונרצה ש{{#annot:term|2550,1015|yirg}}נעמיד על{{#annotend:yirg}} קו א"ב הישר משולש שוה הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המעשה הנה נקיף על מרכז א' ובמרחק א"ב עגולה והיא עגולת גד"ב
+
*<span style=color:red>Postulate 3</span>
 +
|style="text-align:right;"|המעשה הנה {{#annot:term|1855,2498|Wj8n}}נקיף על{{#annotend:Wj8n}} מרכז א' ובמרחק א"ב עגולה והיא עגולת גד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
*<span style=color:red>Postulate 3</span>
 
|style="text-align:right;"|ונקיף גם כן על מרכז ב' ובמרחק ב"א עגולה והיא עגולת אג"ה
 
|style="text-align:right;"|ונקיף גם כן על מרכז ב' ובמרחק ב"א עגולה והיא עגולת אג"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע מנקודת ג' אשר יחתכו עליה שתי העגולות בשתי נקודות א"ב שני קוים ישרים והם ג"ב ג"א
+
*<span style=color:red>Postulate 1</span>
 +
|style="text-align:right;"|ונגיע מנקודת ג' אשר יחתכו עליה שתי העגולות בשתי נקודות א"ב שני קוים ישרים והם ג"ב ג"א <span style=color:red>מא' מהפתיחה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 171: Line 274:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> הנה מפני שנקודת א' היא מרכז עגולת בג"ד הנה יהיה קו א"ג שוה לקו א"ב וגם כן הנה מפני שנקודת ב' היא מרכז עגולת אג"ה הנה קו ב"ג שוה לקו א"ב
+
|[[File:אוקלידס I 1.png|thumb|200px]]
 +
|-
 +
|Proof:
 +
:<span style=color:red>def. circle:</span>
 +
::A the center of <math>\scriptstyle\bigcirc_{BGD}</math>
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> הנה מפני שנקודת א' היא מרכז עגולת בג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי קו א"ג שוה לקו א"ב אם כן קו א"ג שוה לקו ג"ב
+
:*<math>\scriptstyle AG=AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה יהיה קו א"ג שוה לקו א"ב <span style=color:red>מהפתיחה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קוי א"ג ג"ב וא"ב השלשה שוים
+
::B the center of <math>\scriptstyle\bigcirc_{AGH}</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מפני שנקודת ב' היא מרכז עגולת אג"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן משולש אב"ג שוה הצלעות
+
:*<math>\scriptstyle BG=AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו ב"ג שוה לקו א"ב
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle AG=AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי קו א"ג שוה לקו א"ב
 +
|-
 +
|
 +
*<span style=color:red>C.N.:</span> <math>\scriptstyle AG=GB</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ג שוה לקו ג"ב <span style=color:red>מהפתיחה</span>
 +
|-
 +
|
 +
*<math>\scriptstyle AG=GB=AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קוי א"ג ג"ב וא"ב השלשה שוים
 +
|-
 +
|<span style=color:red>def. equilateral triangle:</span> <math>\scriptstyle\longrightarrow\triangle_{ABG}</math> is equilateral
 +
|style="text-align:right;"|אם כן משולש אב"ג שוה הצלעות <span style=color:red>מהפתיחה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 
|style="text-align:right;"|וכבר נעשה על קו א"ב בעל תכלית המונח משולש שוה הצלעות  
 
|style="text-align:right;"|וכבר נעשה על קו א"ב בעל תכלית המונח משולש שוה הצלעות  
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
 
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
 
=== Proposition 2 ===
 
=== Proposition 2 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to attach to a given point a straight line that is equal to a given straight line.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> <big>נרצה</big> שנחבר אל נקודה מונחת קו ישר שוה לקו ישר מונח
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ב</span> נרצה</big> שנחבר אל נקודה מונחת קו ישר שוה לקו ישר מונח
 
|-
 
|-
−
|
+
|Example: A is the given point and BG is the given straight line.
 
|style="text-align:right;"|תהיה הנקודה המונחת א' והקו הישר המונח ב"ג
 
|style="text-align:right;"|תהיה הנקודה המונחת א' והקו הישר המונח ב"ג
 
|-
 
|-
Line 204: Line 331:
 
|style="text-align:right;"|הנה נגיע בין נקודת א' ונקודת ב' קו ישר והוא א"ב
 
|style="text-align:right;"|הנה נגיע בין נקודת א' ונקודת ב' קו ישר והוא א"ב
 
|-
 
|-
−
|
+
|<span style=color:red>I.1:</span> Constructing an equilateral triangle on AB: <math>\scriptstyle\triangle_{DAB}</math>
−
|style="text-align:right;"|ונעמיד על א"ב משולש שוה הצלעות והוא משולש דא"ב
+
|style="text-align:right;"|ונעמיד על א"ב משולש שוה הצלעות והוא משולש דא"ב <span style=color:red>מאשר לפניה</span>
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle DA=DB</math>
 
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי א"ה ב"ז הישרים על יושר ב' קוי ד"א ד"ב הישרים
 
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי א"ה ב"ז הישרים על יושר ב' קוי ד"א ד"ב הישרים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
::<math>\scriptstyle\bigcirc_{CZG}</math>: B center, BG radius
 
|style="text-align:right;"|ונקיף על מרכז ב' ובמרחק ב"ג עגולת חז"ג
 
|style="text-align:right;"|ונקיף על מרכז ב' ובמרחק ב"ג עגולת חז"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
::<math>\scriptstyle\bigcirc_{ZTH}</math>: D center, DZ radius
 
|style="text-align:right;"|ונקיף גם כן על מרכז ד' ובמרחק ד"ז עגולת זט"ה
 
|style="text-align:right;"|ונקיף גם כן על מרכז ד' ובמרחק ד"ז עגולת זט"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני שנקודת ב' מרכז עגולת חז"ג יהיה קו ב"ז שוה לקו ב"ג
+
:*<span style=color:red>def. circle:</span> <math>\scriptstyle\bigcirc_{CZG}\longrightarrow BZ=BG</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני שנקודת ב' מרכז עגולת חז"ג יהיה קו ב"ז שוה לקו ב"ג <span style=color:red>מהפתיחה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני שנקודת ד' גם כן מרכז עגולת הז"ט יהיה קו ה"ד שוה לקו ד"ז
+
:*<span style=color:red>def. circle:</span> <math>\scriptstyle\bigcirc_{ZTH}\longrightarrow HD=DZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומפני שנקודת ד' גם כן מרכז עגולת הז"ט יהיה קו ה"ד שוה לקו ד"ז <span style=color:red>מהפתיחה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:<math>\scriptstyle AD=BD</math>
 
|style="text-align:right;"|וקו א"ד מאחד מהם שוה לקו ב"ד מן האחר
 
|style="text-align:right;"|וקו א"ד מאחד מהם שוה לקו ב"ד מן האחר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
::<math>\scriptstyle\triangle_{DAB}</math> equilateral
 
|style="text-align:right;"|מפני שמשולש דא"ב שוה הצלעות
 
|style="text-align:right;"|מפני שמשולש דא"ב שוה הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:<math>\scriptstyle AH=BZ</math>
 
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ה הנשאר שוה לקו ב"ז הנשאר
 
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ה הנשאר שוה לקו ב"ז הנשאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:<math>\scriptstyle BG=BZ</math>
 
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר שקו ב"ג שוה לקו ב"ז
 
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר שקו ב"ג שוה לקו ב"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:<math>\scriptstyle\longrightarrow AH=BG</math>
 
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ה שוה לקו ב"ג
 
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ה שוה לקו ב"ג
 
|-
 
|-
Line 240: Line 376:
 
|style="text-align:right;"|הנה כבר חברנו אל נקודת א' המונחת קו ישר שוה לקו ב"ג הישר המונח והוא קו א"ה
 
|style="text-align:right;"|הנה כבר חברנו אל נקודת א' המונחת קו ישר שוה לקו ב"ג הישר המונח והוא קו א"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
 
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 37 ===
+
=== Proposition 3 ===
 
|
 
|
 +
|-
 +
|We wish to cut off from the greater of two given unequal straight lines a line that is equal to the smaller.
 +
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ג</span> נרצה</big> שנבדיל מאחד מב' קוי' מונחים ישרים בלתי שוים מן היותר גדול קו שוה ליותר קטן מהם
 +
|-
 +
|Example: AB and G are the two given unequal straight lines, of which AB is the greater <math>\scriptstyle AB>G</math>.
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו שני הקוים הישרים המונחים אשר הם בלתי שוים א"ב וג' והיותר גדול מהם קו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לז</span> <big>המשולשים</big> אשר על תושבת אחת ובצד אחד ובמה שבין קוים נכחיים שוים קצתם אל קצת
+
|style="text-align:right;"|ונרצה שנבדיל מקו א"ב היותר גדול קו שוה לקו ג' הקטן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני משולשים אב"ג דב"ג על תושבת אחת והוא ב"ג
+
|[[File:אוקלידס I 3.png|thumb|150px]]
 
|-
 
|-
−
|
+
|<span style=color:red>I.2:</span> attaching to point A a straight line AD equal to line G. <math>\scriptstyle AD=G</math>
−
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוי ב"ג א"ד הנכחיים
+
|style="text-align:right;"|הנה נחבר אל נקודת א' קו ישר שוה לקו ג' והוא קו א"ד <span style=color:red>מב' מזה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי משולש אב"ג שוה למשולש דב"ג
+
:<math>\scriptstyle\bigcirc_{HZD}</math>: A center, AD radius
 +
|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|2549,2498|MoiN}}נקוה{{#annotend:MoiN}} על מרכז א' ובמרחק א"ד עגולת הז"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא א"ד בשני הצדדים על שתי נקודות ה"ז
+
:*<span style=color:red>def. circle:</span> <math>\scriptstyle\bigcirc_{HZD}\longrightarrow AZ=AD</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי נקודת א' מרכז עגולת הז"ד יהיה קו א"ז שוה לקו א"ד <span style=color:red>מהפתיח'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ב' קו ישר נכחי לקו ג"א הישר והוא ב"ה
+
:<math>\scriptstyle AD=G</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל קו א"ד שוה לקו ג'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומנקודת ג' קו ישר נכחי לקו ב"ד הישר והוא ג"ז
+
:<math>\scriptstyle\longrightarrow AZ=G</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ז שוה לקו ג'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל אחד משני שטחי ה"ב ג"א ד"ב ג"ז נכחי הצלעות שוים
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר הבדלנו מן היותר גדול משני קוי א"ב וג' הישרים המונחים אשר הם בלתי שוים והוא א"ב קו שוה ליותר קטן משניהם והוא ג'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ה"ב ג"א הנכחי הצלעות שוה לשטח ז"ד ב"ג הנכחי הצלעות
+
 
 +
=== Proposition 4 ===
 +
|
 +
|-
 +
|When two sides of one triangle are equal to two sides of another triangle respectively, and the two angles contained by the equal straight lines are equal to one another, then the base equals the base, the triangle equals the triangle, and the remaining angles are equal to the remaining angles respectively, whose opposite side is the side that equals the opposite side of the former.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ד</span> <big>כאשר</big> ישתוו שתי צלעות ממשולש אחד לשתי צלעות ממשולש אחר כל צלע לגילו וישתוו שתי הזויות משניהם אשר יקיפו בהם הקוים הישרים השוים הנה התושבת שוה לתושבת והמשולש שוה למשולש ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה מיתר הראשנה
 +
|-
 +
|Example: <math>\scriptstyle\triangle_{ABG}</math> and <math>\scriptstyle\triangle_{DHZ}</math>.
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו שני המשולשים עליהם אב"ג דה"ז
 +
|-
 +
|The two sides BA and AG of the one are equal to the two sides HD and DZ of the other:
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו שני צלעי ב"א א"ג מאחד משניהם שוים לשני צלעי ה"ד ד"ז מן האחר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני שהם על תושבת אחת והיא ב"ג
+
:*<math>\scriptstyle AB=DH</math>.
 +
|style="text-align:right;"|אולם צלע א"ב שוה לצלע ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוי ב"ג ה"ז הנכחים
+
:*<math>\scriptstyle AG=DZ</math>.
 +
|style="text-align:right;"|וצלע א"ג לצלע ד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וחצי שטח ה"ב ג"א הנוכחי הצלעות הוא משולש אב"ג
+
|style="text-align:right;"|ותהיה הזוית אשר יקיפו בה שתי צלעות ב"א א"ג שוה לזוית אשר יקיפו בה שתי צלעות ה"ד ד"ז
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי תושבת ב"ג גם כן שוה לתושבת ה"ז ושמשולש אב"ג שוה למשולש דה"ז ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה מיתר הראשנה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני שא"ב קוטרו
+
|style="text-align:right;"|אולם זוית אב"ג שוה לזוית דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וחצי שטח ד"ב ג"ז הנכחי הצלעות היא משולש דב"ג
+
|style="text-align:right;"|ואולם זוית בג"א לזוית הז"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני שג"ד קטרו
+
|style="text-align:right;"|וזה כי כאשר הרכב משולש אב"ג על משולש דה"ז והונח צלע א"ב על צלע ד"ה נפלה נקודת א' על נקודת ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר נחלקו השוים יהיו גם כן שוים
+
|style="text-align:right;"|וירכב צלע א"ג על צלע ד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן משלש אב"ג שוה למשולש דב"ג
+
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית בא"ג שוה לזוית הד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל שני משולשים אשר על תושבת אחת ובצד אחד ובמה שבין שני קוים בעצמם נכחים שוים קצתם אל קצת
+
|style="text-align:right;"|ונפלה נקודת ב' על נקודת ה' ונקודת ג' על נקודת ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
+
|style="text-align:right;"|ונדבקה בשווי תושבת ב"ג על תושבת ה"ז והיה שוה אליה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 38 ===
+
|style="text-align:right;"|ונדבק בשווי משולש אב"ג על משולש דה"ז והיה שוה לו
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ונדבקו בשווי שאר הזויות על שאר הזויות והיו קצתם שוות לקצתם כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה מיתר הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לח</span> <big>המשולשים</big> אשר הם על שתי תושבות שוות ובצד אחד ובמה שבין שני קוים בעצמם נכחים שוים קצתם לקצת
+
|style="text-align:right;"|אולם זוית אב"ג לזוית דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני משולשי אב"ג דה"ז על שתי תושבות שוות והם ב"ג ה"ז
+
|style="text-align:right;"|ואולם זוית אג"ב לזוית דז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוי א"ד ב"ז הנכחים
+
|style="text-align:right;"|הנה כאשר השתוו שתי צלעות ממשולש אחד לשתי צלעות ממשולש אחר כל אחת לגילה והשתוו שתי הזויות מהם אשר יקיפו בהם הקוים הישרים השוים הנה התושבת שוה לתושבת והמשולש שוה למשולש ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה מיתר האחרת
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר שמשלש אב"ג שוה למשולש דה"ז
+
 
 +
=== Proposition 5 ===
 +
|
 +
|-
 +
|The two angles at the base of isosceles triangles are equal to one another; and if the equal straight lines are drawn further, the [external] angles under the base are equal to one another.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ה</span> <big>שתי</big> הזויות אשר על תושבת מן המשולשים שוי השוקים שוות ואם הוצאו הקוים הישרים השוים הנה שתי הזויות אשר תחת התושבת תהיינה שוות
 +
|-
 +
|Example: <math>\scriptstyle\triangle_{ABG}</math> is an isosceles triangle:
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה משולש שוה שתי השוקים עליו אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נוציא א"ד בשני הצדדי' על שתי נקודות ח"ט
+
:*<math>\scriptstyle AB=AG</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה צלע א"ב שוה לצלע א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ב' קו ישר נכחי לקו א"ג הישר והוא ב"ח
+
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי ב"ד ג"ה הישרים על יושר שני קוי א"ב א"ג הישרים
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי זוית אב"ג שוה לזוית בג"א
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle GBD=\measuredangle BGH</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית גב"ד שוה לזוית בג"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומנקודת ז' ישר נכחי לקו ה"ד הישר והוא ז"ט
+
|style="text-align:right;"|הנה נרשום על ב"ד נקודה איך מה שקרה והיא ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל אחד משני שטחי ח"ב ג"א ה"ד ז"ט נכחי הצלעות
+
|style="text-align:right;"|ונבדיל מקו א"ה קו ישוה לקו א"ז והוא א"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ח"ב ג"א נכחי הצלעות שוה לשטח ה"ד ט"ז הנכחי הצלעות
+
|style="text-align:right;"|ונגיע שני קוי ג"ז ב"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני שהם על תושבת ב"ג ה"ז השוים
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי קו ז"א שוה לקו א"ח
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle GA=AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|וקו ג"א שוה לקו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוי ב"ז ח"ט הנכחיים
+
|style="text-align:right;"|יהיו כל שני קוי ב"א א"ח שוים לכל שני קוי ג"א א"ז כל אחד לגילו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וחצי שטח ח"ב ג"א הוא משולש אב"ג
+
|style="text-align:right;"|ואלו הצלעות יקיפו בזוית אחת משותפת והיא זוית זא"ח
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle GZ=BC</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ג"ז שוה לתושבת ב"ח
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\triangle_{AZG}=\triangle_{ABC}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומשולש אז"ג שוה למשולש אב"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני שא"ב קטרו
+
|style="text-align:right;"|ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר היה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה מיתר הראשנה
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle AGZ=\measuredangle ABC</math>
 +
|style="text-align:right;"|אולם זוית אג"ז שוה לזוית אב"ח
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle AGZ=\measuredangle ACB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואולם זוית אג"ז שוה לזוית אח"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וחצי שטח ז"ט ד"ה הוא משולש דה"ז
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו ז"א גם כן שוה לקו א"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני שד"ז קטרו
+
|style="text-align:right;"|וקוי ב"א א"ג משניהם שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר נחלקו השוים יהיו גם כן שוים
+
|style="text-align:right;"|יהיה קו ב"ז הנשאר שוה לקו ג"ח הנשאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה משולש אב"ג שוה למשולש דה"ז
+
|style="text-align:right;"|והנה ראוי שיהיה קו ג"ז שוה לקו ב"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אם כן שני המשולשים אשר הם על תושבת שוות ובצד אחד ובמה שבין שני קוים בעצמם נכחיים קצתם לקצת
+
|style="text-align:right;"|הנה כל שני קוי ב"ז ז"ג שוים לכל שני קוי ג"ח ח"ב כל אחד לגילו
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle BZG=\measuredangle GCB</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית בז"ג שוה לזוית גח"ב
 +
|-
 +
|BG is common to both triangles.
 +
|style="text-align:right;"|ותושבת ב"ג משותפת לשני המשולשים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|אם כן משלש בז"ג שוה למשולש גח"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 39 ===
+
|style="text-align:right;"|ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה הראשנה
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle BGZ=\measuredangle GBC</math>
 +
|style="text-align:right;"|אולם זוית בג"ז לזוית גב"ח
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle GBZ=\measuredangle BGC</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואולם זוית גב"ז לזוית בג"ח
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle AGZ=\measuredangle ABC</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי כל זוית אג"ז שוה לכל זוית אב"ח
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle BGZ=\measuredangle GBC</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושתי זויות בג"ז גב"ח משניהם שוות
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בג"א הנשארת שוה לזוית גב"א הנשארת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לט</span> <big>המשולשים</big> השוים אשר על תושבת אחת במה שבין שני קוים בעינם נכחים
+
|style="text-align:right;"|והם שתי הזויות אשר על התושבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיו שני משולשי אב"ג דב"ג שוים והם על תושבת אחת והוא ב"ג
+
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי זוית גב"ד הנשארת שוה לזוית בג"ה הנשארת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונמשיך קו א"ד
+
|style="text-align:right;"|והם שתי הזויות אשר תחת התושבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אומר שא"ד נכחי אל ב"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן שתי הזויות אשר על התושבת מן המשולש שוי שתי השוקים שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם לא יהיה כן הנה נוציא מנקודת א' קו ישר נכחי לקו ב"ג והוא א"ה
+
|style="text-align:right;"|ואם הוצאו הקוי' הישרים השוים הנה שתי הזויות אשר תחת התושבת שוות
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונמשיך קו ה"ב
+
 
 +
=== Proposition 6 ===
 +
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|When two angles of a triangle are equal to one another, then the two sides that are opposite to them are equal [to one another].
−
|style="text-align:right;"|הנה משולש הב"ג שוה למשולש אב"ג
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ו</span> <big>כאשר</big> השתוו שתי זויות ממשולש הנה שני הצלעות אשר יהיו מיתרי שתיהם יהיו שוות
 
|-
 
|-
−
|
+
|Example: <math>\scriptstyle\measuredangle ABG=\measuredangle AGB</math> of <math>\scriptstyle\triangle_{ABG}</math>
−
|style="text-align:right;"|מפני שהם על תושבת אחת והיא ב"ג
+
|style="text-align:right;"|ותהיה זוית אב"ג ממשלש אב"ג שוה לזוית אג"ב ממנו
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוי ב"ג א"ה נכחים
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי צלע ב"א שוה לצלע א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל משולש אב"ג שוה למשולש דב"ג
+
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה צלע ב"א שוה לצלע א"ג הנה אחד משניהם יותר גדול מן האחר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן משולש דב"ג שוה למשולש הב"ג
+
|style="text-align:right;"|ויהיה היותר גדול א"ב אם אפשר זה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הגדול לקטן זה מה שאי אפשר להיות
+
|style="text-align:right;"|ונבדיל מן א"ב היותר גדול קו שוה לקו א"ג היותר קטן והוא ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אין קו א"ה נכחי לקו ב"ג
+
|style="text-align:right;"|ונגיע ד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן יתבאר שלא יוצא מנקודת א' קו נכחי לקו ב"ג זולת קו א"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי קו ד"ב שוה לקו א"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|Line BG is common
−
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ד נכחי לקו ב"ג
+
|style="text-align:right;"|וקו ב"ג משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אם כן שני המשולשים השוים אשר תושבת אחת הם במה שבין שני קוים בעצמם נכחים
+
|style="text-align:right;"|יהיו כל שני קוי ד"ב ב"ג שוים לכל שני קוי א"ג ג"ב כל אחד לגילו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|וזוית דב"ג שוה לזוית אג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 40 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ד"ג שוה לתושבת א"ב
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מ</span> <big>המשולשים</big> השוים אשר על שתי תושבות שוות ושתי התושבות על קו ישר ובצד אחד יכלו במה שבין שני קוים נכחים
+
|style="text-align:right;"|ומשולש דב"ג שוה למשולש אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיו שני משולשי אב"ג דה"ז שוים
+
|style="text-align:right;"|וישוה המשלש הקטן לגדול וזה בלתי אפשר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ועל שתי תושבות שוות והם ב"ג ה"ז
+
|style="text-align:right;"|אם כן אין ב"א יותר גדול מן א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונמשיך קו א"ד
+
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר שאינו קטן ממנו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אומר שא"ד נכחי לב"ז
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"א שוה לקו א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה כן הנה יהיה א"ח נכחי לב"ז אם יהיה אפשר זה
+
|style="text-align:right;"|אם כן כאשר השתוו שתי זויות ממשולש הנה שתי הצלעות אשר יהיו מיתרי שתיהן יהיו שוות
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|ונמשיך קו ח"ה
+
|style="text-align:right;"|ומש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה משולש הח"ז שוה למשלש אב"ג
+
 
−
|-
+
=== Proposition 7 ===
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני שהם על תושבות שוות והם ב"ג ה"ז הישרי'
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|Two straight lines that are equal to two other straight lines cannot stand on one straight line so that their meeting and the meeting of the two others are on the same side in two different points, and their two ends are the two ends of the two lines that are equal to them.
−
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוי ב"ז א"ח הנכחים
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> <big>לא יעמדו</big> על קו אחד ישר שני קוים ישרים שוים לשני קוים אחרים ישרים כל אחד לגילו ותהיה פגישתם ופגישת האחרים בצד אחד על שתי נקודות מתחלפות ושתי תכליותיהם שתי תכליות שני הקוים השוים לשניהם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל משלש אב"ג שוה למשולש דה"ז
+
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר יעמוד על קו א"ב הישר שני קוי א"ג ג"ב הישרים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומשולש דה"ז שוה למשולש הח"ז
+
|style="text-align:right;"|ושני קוים אחרים שוים לשניהם כל אחד לגילו והם א"ד ד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הגדול לקטן וזה בלתי אפשר
+
|style="text-align:right;"|ותהיה פגישתם ופגישת האחרים בצד אחד על שתי נקודות מתחלפות והם ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אין א"ח נכוחי לב"ז
+
|style="text-align:right;"|ושתי תכליות שניהם שתי תכליות שני הקוים השוים להם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אם כן א"ד נכחי לב"ז
+
|style="text-align:right;"|אולם שתי תכליות שני קוי א"ג א"ד הוא נקודת א'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן כן יתבאר כי לא יצא מנקודת א' קו נכחי לקו ב"ז זולת א"ד
+
|style="text-align:right;"|ואולם שתי תכליות שני קוי ג"ב ב"ד הנה היא נקודת ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן א"ד נכחי אל ב"ז
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קו ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני המשולשים השוים אשר על שתי התושבות ושתי התושבות על קו ישר ובצד אחד יכלו במה שבין שני קוים נכחים
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי קו א"ג שוה לקו א"ד
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle GDA=\measuredangle DGA</math>
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|תהיה זוית גד"א שוה לזוית דג"א
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle DGA>\measuredangle DGB</math>
−
=== Proposition 41 ===
+
|style="text-align:right;"|וזוית דג"א גדולה מזוית דג"ב
−
|
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle GDA>\measuredangle DGB</math>
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מא</span> <big>כאשר</big> היה שטח נכחי הצלעות ומשולש על תושבת אחת ובין שני קוי בעינם נכחיים הנה השטח הנכחי הצלעות היא כפל המשולש
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גד"א יותר גדולה מזוית דג"ב
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle GDB>\measuredangle DGB</math>
−
|style="text-align:right;"|יהיה שטח נכחי הצלעות עליו א"ב ג"ד ומשלש אב"ג והבעל תושבת אחת והיא ב"ג ובמה שבין שני קוי ב"ג א"ד הנכחיים
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גד"ב יותר גדולה הרבה מזוית דג"ב
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle GB=DB</math>
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות כפל משלש אב"ג
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו ג"ב גם כן שוה לקו ד"ב
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle GDB=\measuredangle DGB</math>
−
|style="text-align:right;"|מפני כי שניהם על תושבת אחת והיא ב"ג ובמה שבין שני קוי נכחיים והם ב"ג א"ד
+
|style="text-align:right;"|תהיה זוית גד"ב שוה לזוית דג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל כפל משולש אב"ג הוא שטח אבג"ד הנכחי הצלעות
+
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר שהיא יותר גדולה ממנה וזה בלתי אפשר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי קטרו א"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן לא יעמודו על קו אחד ישר שני קוים ישרים שוים לשני קוים אחרים ישרים כל אחד לגילו ותהיה פגישת שניהם ופגישת האחרים בצד אחד על שתי נקודת מתחלפות ושתי תכליותיהם שתי תכליות שני הקוים השוים אליהם
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|אם כן יהיה שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות כפל משולש אב"ג
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כאשר היא שטח נכחי הצלעות ומשולש על תושבת אחת ומה שבין שני קוים בעצמם נכחים הנה השטח הנכחי הצלעות כפל המשולש
+
 
 +
=== Proposition 8 ===
 +
|
 +
|-
 +
|When two sides of one triangle are equal to two sides of another triangle respectively, and the base of the one is equal to the base of the other, then the two angles, which are contained by the equal sides, are equal.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> <big>כאשר</big> השתוו שתי צלעות ממשולש אחד לשתי צלעות ממשולש אחר כל אחת לגילה והשתותה תושבתו לתושבתו הנה שתי הזויות אשר יקיפו בהם הצלעות השוות הם שוות
 +
|-
 +
|Example: <math>\scriptstyle\triangle_{ABG}</math> and <math>\scriptstyle\triangle_{DHZ}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו שני המשלשים אב"ג דה"ז
 +
|-
 +
|The two sides BA and AG of the one are equal to the two sides HD and DZ of the other, each to its corresponding:
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו שתי הצלעות ב"א א"ג מאחד משניהם שוות לשתי צלעות ה"ד ד"ז מן האחר כל אחת לגילה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
:*<math>\scriptstyle AB=HD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אולם צלע א"ב לצלע ה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
:*<math>\scriptstyle AG=DZ</math>
−
=== Proposition 42 ===
+
|style="text-align:right;"|ואולם צלע א"ג לצלע ד"ז
 +
|-
 
|
 
|
 +
:*<math>\scriptstyle BG=HZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותהיה תושבת ב"ג שוה לתושבת ה"ז
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי זוית בא"ג שוה לזוית הד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מב</span> <big>נרצה</big> שנעמיד שטח נכחי הצלעות שוה למשולש מונח שוה זויתו לזוית מונחת ישרת הקוים
+
|style="text-align:right;"|וזה כי כאשר הרכב משלש אב"ג אל משלש דה"ז והושמה תושבת ב"ג על תושבת ה"ז נפלה נקודת ב' על נקודת ה' ונקדת ג' על נקודת ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה יהיה המשולש המונח עליו אב"ג והזוית המונחת ישרת הקוים זוית ד'
+
|style="text-align:right;"|ונפלו שתי צלעות ב"א א"ג על שתי צלעות ה"ד ד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה שנעמיד שטח נכחי הצלעות שוה למשולש אב"ג המונח שוה זויתו לזוית ד' ישרת הקוים
+
|style="text-align:right;"|שאם נפלה תושבת ב"ג על תושבת ה"ז ולא יפלו שתי צלעות ב"א א"ג על שתי צלעו' ה"ד ד"ז ונפלו על זולת נקודת ד' כמו שני קוי ה"ח ח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נחלק ב"ג לחציים על נקודת ה'
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר עמדו על קו אחד ישר שני קוים ישרים שוים אל שני קוים אחרים ישרים כל א' לגילו והיתה פגישתם ופגישת האחרים בצד אחד על שתי נקודות מתחלפות ותכלית שניהם תכליות שתי הקוים השוים ואי אפשר זה מהקודמת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע א"ה
+
|style="text-align:right;"|אם כן כאשר הורכב משלש אב"ג על משולש דה"ז ונפלה תושבת ב"ג על תושבת ה"ז נפלו שתי צלעות ב"א א"ג על שתי צלעות ה"ד ד"ז ונפלה נקודת א' על נקודת ד' היתה זוית בא"ג שוה לזוית הד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעמיד על קו ה"ג הישר על נקודת ה' ממנו זוית ישרת הקוים שוה לזוית ד' ישרת הקוים והיא זוית גה"ז
+
|style="text-align:right;"|אם כן כאשר ישתוו שתי צלעות ממשולש לשתי צלעות ממשולש אחר כל אחת לגילה והשתוותה תושבתו לתושבתו הנה שתי הזויות אשר יקיפו בהם הצלעות השוות הן שוות
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ג' קו ג"ח נכחי לקו ה"ז הישר
+
|style="text-align:right;"|ומש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומנקודת ח' קו א"ח נכחי לקו ב"ג הישר
+
 
−
|-
+
=== Proposition 9 ===
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ז"ה ג"ח נכחי הצלעות
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to bisect a given rectilinear angle.
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי ב"ה שוה אל ה"ג
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> <big>נרצה</big> שנחלק זוית מונחת ישרת הקוים לשני חצאים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיה משולש אב"ה שוה למשלש אה"ג
+
|style="text-align:right;"|ותהיה הזוית המונחת ישרת הקוים זוית בא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי שניהם על שתי תושבות שוות ושניהם בין שני קוי ב"ג א"ח הנכחים
+
|style="text-align:right;"|ונרצה שנחלקה בשני חצאיים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן משלש אב"ג כפל משלש אה"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה נרשום על קו א"ב נקודה איך שנפלה והיא נקודת ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושטח ה"ז ג"ח נכחי הצלעות גם כן כפל משלש אה"ג
+
|style="text-align:right;"|ונבדיל מקו א"ג קו שוה לקו א"ד והוא קו א"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי שניהם על תושבת אחת והיא ה"ג ובמה שבין שני קוי ה"ג א"ח הנכחים
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קו ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ז"ה ג"ח נכחי הצלעות שוה למשלש אב"ג
+
|style="text-align:right;"|ונעמיד על קו ד"ה הישר משלש שוה הצלעות והוא דז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי מה שהם כפל לדבר אחד בעינו הם שוים
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קו א"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר העמדנו שטח ז"ח ג"ה הנכחי הצלעות שוה למשולש אב"ג וזוית זה"ג ממנו שוה לזוית ד'
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי קו א"ד שוה לקו א"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|Line AZ is common.
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|וקו א"ז משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 43 ===
+
|style="text-align:right;"|יהיו כל שני קוים ד"א א"ז שוים לכל שני קוים ה"א א"ז כל אחד לגילו
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מג</span> <big>כל שטח</big> נכחי הצלעות הנה שתי השטחים נכחי הצלעות אשר משני צדי קטרו אשר יקרא לשניהם המתמימים שוים
+
|style="text-align:right;"|ותושבת ד"ז שוה לתושבת ז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח נכחי הצלעות עליו אב"ג ג"ד ויהיה קטרו ד"ב ויהיה על קוטר ד"ב שני שטחי ד"ה ז"ח ז"ט ב"כ נכחי הצלעות
+
|style="text-align:right;"|א"כ זוית דא"ז שוה לזוית הא"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני השטחים אשר יקרא לשניהם המתמימים שטח א"ט ז"ה ז"כ ג"ח
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר נחלקה זוית ה"ד המונחת ישרת הקוים לשתי חציים בקו א"ז הישר
 
|-
 
|-
−
|Supposition: <math>\scriptstyle\Box_{ATZH}=\Box_{ZKGC}</math>
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|ואומר ששני שטחי א"ט ז"ה ז"כ ג"ח שוים
+
|style="text-align:right;"|ומש"ל
 
|-
 
|-
−
|Proof:
+
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי א"ב ג"ד נכחי הצלעות וקטרו ד"ב
+
 
 +
=== Proposition 10 ===
 +
|
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle\triangle_{ABD}=\triangle_{DGB}</math>
+
|We wish to bisect a given finite straight line.
−
|style="text-align:right;"|יהיה משולש אב"ד שוה למשולש דג"ב
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י</span> <big>נרצה</big> שנחלק קו ישר מונח בעל תכלית לשני חציים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי שטח ד"ה ז"ח גם כן נכחי הצלעות וקטרו ד"ז
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו הישר המונח הבעל תכלית א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*<math>\scriptstyle\triangle_{ZHD}=\triangle_{ZCD}</math>
+
|style="text-align:right;"|ונרצה שנחלק אותו לשני חצאים
−
|style="text-align:right;"|יהיה משולש זה"ד שוה למשלש זח"ד
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*<math>\scriptstyle\triangle_{ZTB}=\triangle_{ZKB}</math>
+
|style="text-align:right;"|הנה נעמיד על קו א"ב משלש שוה הצלעות והוא משולש אג"ב
−
|style="text-align:right;"|ולזה גם כן יהיה משולש זט"ב שוה למשולש זכ"ב
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle\triangle_{ZHD}+\triangle_{ZTB}=\triangle_{DCZ}+\triangle_{ZKB}</math>
+
|style="text-align:right;"|ונחלק זוית אג"ב לשני חצאים בקו ג"ד הישר
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני משלשי דה"ז זט"ב שוים לשני משולשי דח"ז זכ"ב
 
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle\triangle_{ABD}=\triangle_{DBG}</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר גם כן כי כל משולש אב"ד שוה לכל משולש דב"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי קו א"ג שוה לקו ג"ב
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle\Box_{ATZH}=\Box_{ZKGC}</math>
+
|Line GD is common.
−
|style="text-align:right;"|הנה יחוייב שיהיה שטח א"ט ז"ה המתמים הנשאר שוה לשטח ז"כ ג"ח המתמים הנשאר
+
|style="text-align:right;"|וקו ג"ד משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כל שטח נכחי הצלעות אשר משני צדדי קטרו אשר יקרא לשניהם המתמימים שוים
+
|style="text-align:right;"|יהיה כל שני קוי א"ג ג"ד שוים לכל שני קוי ב"ג ג"ד כל אחת לגילו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזמש"ל
+
|style="text-align:right;"|וזוית אג"ד שוה לזוית בג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת א"ד שוה לתושבת ד"ב
−
=== Proposition 44 ===
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר נחלק קו א"ב הישר המונח בעל התכלית לשני חציים על נקודת ד'
 
|-
 
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 11 ===
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מד</span> <big>נרצה</big> שנעשה על קו ישר מונח שטח נכחי הצלעות שוה למשולש מונח שוה זויתו לזוית מונחת ישרת הקוים
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו הישר המונח א"ב ומשולש המונח גד"ה והזוית המונחת ישרת הקוים זוית ז'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יא</span> <big>נרצה</big> שנוציא מנקדה מונחת על קו ישר מונח קו ישר על זוית נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה שנעשה על קו א"ב הישר המונח שטח נכחי הצלעות שוה למשולש גד"ה המונח שוה זויתו לזוית ז' המונחת ישרת הקוים
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו הישר המונח א"ב והנקדה המונחת אשר עליו נקדת ג' ונרצה שנוציא מנקדת ג' קו ישר יהיה על זוית נצבת מקו א"ב ונרשום עליו קו ג"א נקדה איך מה שנפלה והיא ד' ונבדיל מקו ג"ב קו שוה לקו ג"ד והוא קו ג"ה ונעמיד על ד"ה משלש שוה הצלעות והוא דה"ז ונגיע קו ז"ג הנה מפני כי קו ד"ג שוה לקו ג"ה וקו ג"ז משתתף יהיו כל שני קוי ה"ג ג"ד כל אחד לגילו ותושבת ד"ז שוה לתושבת ז"ה מפני כי המשלש שוה הצלעות אם כן זוית דג"ז שוה לזוית זג"ה והם אשר משני הצדדים וכאשר עמד קו ישר על קו ישר ושם שתי הזויות אשר משני צדדיו שוות הנה כל אחת משתיהן נצבת אם כן כל אחת משתי זויות דז"ג זג"ה נצבת אם כן קו ג"ז עומד על קו א"ב על זויות נצבות הנה כבר הוצא מנקודת ב' מקו א"ב קו על זוית נצבת והוא ג"ז וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נעמיד שטח נכחי הצלעות עליו ח"ב כ"ט שוה למשולש גד"ה המונח שוה זויתו לזוית ז'
+
=== Proposition 12 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה ב"כ ממנו על יושר כ"א
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יב</span> <big>נרצה</big> שנוציא על קו ישר מונח בלי תכלית מנקדה איננה עליו קו ישר יהיה עמוד על הקו המונח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונתמים שטח ל"א ב"ח הנכחי הצלעות
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו הישר המונח אשר הוא בלתי בעל תכלית קו א"ב והנקודה המונחת אשר עליו וראוי נקודת מנקודת אל קו א"ב הישר קו יהיה עמוד עליו ונרשום בצד האחד מן הקו הישר נקדה איך מה שנפלה והיה ה' ונקוה על מרכז ג' ומרחק ג"ה עגולת דה"ז ונחלק מן ה"ז הישר בשני חציים על נקדת ח' ונגיע קו ה"ג ג"ה ג"ז הנה אומר כי קו ג"ח עמוד על א"ב הנה מפני כי קו ה"ח ג"ה שוים לכל שני קוי ז"ח ח"ג כל אחד לגילו ותושבת ה"ב שוה לתושבת ג"ז מפני כי נקדת ג' מרכז עגלת דה"ז הנה זוית הח"ג שוה לתושבת ג"ז מפני כי נקדת ג' מרכז עגלת דה"ז הנה זוית הא"ג שוה לזוית דה"ג והם השתי זויות אשר משני הצדדים וכאשר עמד קו ישר על קו ישר ושם שתי הזויות אשר משני צדדיו שוות הנה כל אחת מהן נצבת והקו העומד יקרא העמוד על הקו אשר הוא עומד עליו אם כן קו ג"ח עמוד על קו א"ב הנה כבר הוצא אל הקו א"ב הישר המונח אשר הוא בלי תכלית מנקדת ג' המונחת אשר אינה על קו א"ב קו ישר עמוד עליו והוא קו ג"ח וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע קו ל"ב
+
=== Proposition 13 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ל"א נכחי אל ט"ב
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יג</span> <big>כאשר</big> עמד קו ישר על קו ישר איך מה שנפל הנה הוא יחדש שתי זויות אם נצבות ואם שוות לשתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר נפל על שניהם קו ל"ט הישר
+
|style="text-align:right;"|ויעמוד קו א"ב הישר על קו ג"ד הישר ויחדש שתי זויות גב"א אב"ד הנה אמר כי שתי זויות גב"א אב"ד אם שתי נצבות ואם שוות לשתי זויות נצבות ואם היה א"ב נצב על ג"ד על זויות בלתי נצבות הנה נוציא מנקדת ב' מקו ג"ד קו ב"ח על זויות נצבות הנה שתי זויות גב"ה הב"ד שתי זויות נצבות ומפני כי זויות דב"ח הב"א אב"ג השלשה שוות לשתי זויות גב"ח חב"ד יהיו שתי זויות גב"א אב"ד שוות לשתי זויות גב"ח חב"ד הנצבות הנה שתי זויות גב"ח אב"ד שוות לשתי נצבות הנה כאשר עמד קו ישר על קו ישר איך מה שנפל הנה הוא יחדש שתי זויות אם נצבות ואם שוות לשתי נצבות וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיו שתי זויות אל"ט לט"כ הפנימיות שוות לשתי נצבות
+
|style="text-align:right;"|יג) כאשר יחובר אל נקודה על קו מה ישר שני קוים ישרים אינם בצד אחד וישים שני הזויות משני הצדדים שוות לשתי נצבות הנה כל אחד משני הקוים הישרים על יושר אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות בל"ט לט"כ פחות משתי זויות נצבות
+
|style="text-align:right;"|ונחבר אל נקדת ב' אשר על קו א"ב הישר שני קוי ב"ג ב"ד הישרים אשר אינם מונחים בצד אחד וישימו שתי זויות גב"א אב"ד אשר משני הצדדים שוות לשתי נצבות הנה אומר כי קו ג"ב על יושר ב"ד שאם היה אפשר זולת זה הנה יהיה ב"ה על יושר ג"ב הנה מפני כי קו ב"א הישר כבר עמד על גב"ה וחדש שתי זויות גב"א אב"ה יהיו שתי זויות גב"א אב"ה שוות לשתי זויות ושתי גב"א אב"ד כבר ספרנו שהן שוות לשתי נצבות זויות אם כן שתי זויות גב"א אב"ד שוות לשתי זויות גב"א אב"ה ונשליך זוית גב"א המשותפת הנה זוית אב"ד הנשארת שוה לזוית אב"ה הנשארת הגדולה כמו הקטנה וזה בלתי אפשר אם כן אין ב"ה על יושר ב"ג וכן יתבאר שאין קו אחד על יושר ב"ג זולת ב"ד על יושר קו ב"ג הנה כאשר חובר אל נקדה על קו ישר שני קוים ישרים אינם בצד אחד ושם שתי הזויות אשר משני צדדים שוות לשתי נצבות הנה כל אחד משני הקוים הישרים על יושר האחד וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והקוים אשר יצאו בפחות משתי נצבות אשר לא תכלית יפגשו
+
=== Proposition 14 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ל"ב ט"כ כאשר יצאו אל לא תכלית יפגשו ויוצאו ויפגשו על נקודת מ'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יד</span> <big>כאשר</big> חתך כל אחד משני קוים ישרים כאחד את האחר הנה הם ישימו כל שתי זויות מתנגדות מן הזויות אשר יתחדשו שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת מ' קו נכחי לשני קוי ב"א ל"ט והוא מ"נ
+
|style="text-align:right;"|ויחתוך כל אחד משני קוי א"ב ג"ד הישרים האחד על נקדת ה' הנה אומר כי זוית גה"ב שוה לזוית אח"ד וזוית בה"א שוה לזוית בה"ד הנה מפני כי כבר עמד קו ישר והוא ג"ה על קו א"ב הישר וחדש שתי זויות בה"ג גה"א יהיו שתי זויות בה"ג גה"א שוות לשתי נצבות וגם כן הנה מפני כי קו א"ה הישר עמד על קו על קו ג"ד הישר ויחדש שתי זויות דה"א אה"ג יהיו שתי זויות דה"א אה"ג שוות לשתי נצבות וכבר התבאר כי שתי זויות בה"ג גה"א שוות לשתי נצבות אם כן שתי זויות בה"ג גה"א שוות לשתי זויות גה"א אה"ד ונשליך זוית גה"א המשותפת אם כן זוית בה"ג הנשארת שוה לזוית דה"א הנשארת והם שני מתנגדים וכן גם כן יתבאר כי זוית גה"א שוה לזוית בה"ד וכאשר חתך כל אחד משני קוים ישרים האחר הנה שניהם ישימו כל שתי זויות מתנגדות מן הזויות אשר יחדשו שוות וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי א"נ כ"ה על יושר שני קוי ל"א ח"ב
+
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר מזה כי כאשר חתך כל אחד משני קוים ישרים האחר הנה שניהם ישימו הזויות אשר אצל חותכיהם שוות לארבע זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ל"נ נכחי הצלעות וקטרו מ"ל
+
=== Proposition 15 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ועל קוטר ל"מ שני שטחי ל"א ב"ח ב"ס מ"כ נכחי הצלעות
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>טו</span> <big>כל</big> משלש יוצא צלע מצלעיו על יושר הנה זוית היוצאת יותר גדולה מכל אחת משתי זויות פנימיות המתנגדות אליה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושני שטחי א"נ ח"ב ח"כ כ"ט הם המתמימים
+
|style="text-align:right;"|ויהיה משלש עליו אב"ג ויצא צלע ב"ג מצלעיו אל נקדת ד' הנה אומר כי זוית אג"ד החיצונה ממשלש אב"ג יותר גדולה מכל אחת משתי זויות בא"ג אב"ג הפנימיות המתנגדות אליה ונחלק קו א"ג לשני חצאים על ה' ונגיע בה' ונוציא קו ה"ז הישר על יושר ב"ה ונשים קו ה"ז שוה לקו ב"ה ונגיע ג' ונוציא קו ב"ח הישר על יושר קו א"ג הנה מפני כי קו א"ה שוה לקו ה"ג וקו ב"ה שוה לקו ה"ז יהיו כל שני קוי א"ה ה"ב שוים לכל שני קוי ג"ה ה"ז כל אחד לגילו וזוית אה"ב שוה לזוית גה"ז ותושבת א"ב שוה לתושבת ז"ג ומשלש אב"ה שוה למשלש זה"ג ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע יהיה מיתר האחרת אם כן זוית בא"ה שוה לזוית הג"ז וזוית הג"ד יותר גדולה מזוית הג"ז אם כן זוית אג"ד יותר גדולה מזוית בא"ג וכן יתבאר גם כן מחלוקת קו ב"ג בשתי חציים כי זוית בג"ח יותר גדולה מזוית אב"ג אבל זוית בג"ח שוה לזוית אג"ד מפני כי שניהם מתנגדות אם כן זוית אג"ד יותר גדולה מזוית אב"ג אם כן כל משלש יצא צלע מצלעותיו הנה הזוית החיצונה יותר גדולה מכל אחת מהזויות הפנימיות המתנגדות אליה וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ח"ב כ"ט נכחי הצלעות שוה לשטח א"נ ה"ב נכחי הצלעות
+
=== Proposition 16 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל שטח ח"ב ט"ב שוה למשולש גד"ה
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יו</span> <big>כל</big> שתי זויות ממשלש איזה משתי זויות שיהיו הנה הם יותר קטנות משתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"נ ה"כ הנכחי הצלעות שוה למשלש גד"ה
+
|style="text-align:right;"|ויהיה המשלש עליו אב"ג הנה אומר כי כל שתי זויות ממשלש אב"ג איזה שתי זויות שיהיו קטנות משתי נצבות ונוציא קו ג"ד על יושר קו ב"ג הנה מפני כי זוית אג"ד החיצונה ממשלש אב"ג תהיה יותר גדולה מן הזויות הפנימית אשר תתנגד לה והיא זוית אב"ג ונשים זוית בג"א משותפת אם כן שתי זויות דג"א אג"ב יותר גדולות משתי זויות אג"ב גב"א אבל זוית דג"א אג"ב שוות לשתי נצבות אם כן שתי זויות אג"ב גב"א פחות משתי נצבות וכן יתבאר כי שתי זויות גב"א בא"ג פחות משתי נצבות ושתי זויות בא"ג אג"ב גם כן פחות משתי נצבות הנה כל שתי זויות ממשלש איזה שתי זויות שיהיו פחות משתי נצבות וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי זוית חב"כ שוה לזוית אב"ה
+
=== Proposition 17 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית חב"כ שוה לזוית ז'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יז</span> <big>הצלע</big> היותר ארוך מכל משלש יהיה מיתר הזוית הגדולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|תהיה זוית אב"ה שוה לזוית ז'
+
|style="text-align:right;"|ויהיה משלש עליו אב"ג ויהיה צלע א"ב מהם יותר ארוך מצלע א"ג הנה אומר כי זוית אג"ב יותר גדולה מזוית אב"ג הנה מפני כי צלע א"ב יותר ארוך מצלע א"ג הנה אומר כי זוית אג"ב יותר גדולה מזוית אב"ג הנה מפני כי צלע א"ב יותר ארוך מצלע א"ג נשים א"ד כמו א"ג ונציע ד"ג הנה מפני כי קו ד"א שוה לקו א"ג תהיה זוית אד"ג שוה לזוית אג"ד וזוית אג"ב יותר גדולה מזוית אג"ד תהיה זוית אג"ב גדולה מזוית אד"ג ומפני כי זוית אד"ב חיצונה ממשלש דב"ג תהיה יותר גדולה והזוית הפנימית אשר תתנגד לה אשר עליה אב"ג אבל זוית אג"ה יותר גדולה הרבה מזוית אב"ג אם כן הצלע יותר ארוך מכל משלש היא מיתר הזוית הגדולה ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר נעשה על קו א"ב הישר המונח שטח נכחי הצלעות שוה למשולש גד"ה המונח
+
=== Proposition 18 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית אב"ה ממנו שוה לזוית ז' המונחת ישרת הקוים
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יח</span> <big>הזוית</big> היותר גדולה מכל משלש יהיה מיתרה הצלע היותר ארוך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|ויהיה משלש עליו אב"ג ותהיה זוית בג"א ממנו יותר גדולה מזוית אב"ג הנה אומר כי צלע א"ב יותר גדולה מצלע א"ג ואם לא תהיה כן הנה היה שוה אליה או קטנה ממנה ואין צלע א"ב שוה לצלע א"ג כי אלו היתה שוה היתה זוית אג"ב כמו זוית אב"ג ואינו כן אם כן אין צלע א"ב שוה לצלע א"ג ואינה יותר קטנה ממנה היתה זוית אג"ב ואינו כן אם כן צלע א"ב שוה לצלע א"ג ואינה יותר קטנה ממנה היתה זוית אג"ב יותר קטנה מזוית אב"ג ואם כן אין צלע א"ב יותר קטנה מצלע א"ג וכבר התבאר שהיה בלתי שוה אם כן צלע א"ב יותר ארוכה מצלע א"ג אם כן הזוית היותר גדולה מכל משלש יהיה מיתרה הצלע היותר ארוך וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 45 ===
+
=== Proposition 19 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מה</span> <big>נרצה</big> שנעמיד שטח נכחי הצלעות שוה לתמונה ישרת הקוים ותהיה שוה זויתה לזוית מונחת ישרת הקוים
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יט</span> <big>כל</big> שתי צלעות ממשלש איזה שתי צלעות שיהיו הנה שתיהן יותר ארוכות מן הצלע הנשארת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותהיה התמונה ישרת הקוים המונחת א"ב ג"ד
+
|style="text-align:right;"|ויהיה משלש עליו אב"ג הנה אומר כי כל שתי צלעות ממשלש אב"ג איזה שתי צלעות שתהיינה הנה שתיהן יותר ארוכות מן הצלע הנשארת אולם ב"א א"ג הם יותר ארוכות מן ב"ג ואולם א"ב ב"ג ארוכות מא"ג ואולם ב"ג ג"א יותר ארוכות מן א"ב ונוציא קו א"ד הישר על יושר קו ב"א ונשים קו א"ד תהיה זוית אג"ד שוה לזוית אד"ג וזוית דג"ב יותר גדולה מזוית דב"א הנה זוית דג"ב גדולה מזוית בד"ג והזוית היותר גדולה מכל משלש יהיה מיתרה הצלע היותר ארוך אם כן צלע ב"ד יותר ארוך מצלע ב"ג וצלע ב"ד שוה לשתי צלעות ב"א א"ג יותר ארוכות מצלע ב"ג וכן גם כן יתבאר ששתי צלעות א"ב ב"ג ארוכות מצלע א"ג וב"ג ג"א ארוכות מצלע ב"א אם כן כל שתי צלעות ממשלש איזה שתי צלעות שיהיו הנה שתיהן יותר קטנים מן הצלע הנשארת וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותהיה הזוית המונחת ישרת הקוים זוית ל'
+
=== Proposition 20 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה שנעמיד שטח נכחי הצלעות שוה לתמונה א"ב ג"ד ישרת הקוים שוה זויתו לזוית ל'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ</span> <big>כאשר</big> עמדו על צלע מצלעות משלש שני קוים ישרים יצאו משני קצוות הצלע בתוך המשלש המשלש הנה שתיהן יותר קטנים משני הצלעות הנשארות מצלעות המשלש ויקיפו בזוית יותר גדולה מן הזוית אשר יקיפו בה השתי צלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נגיע ב"ג
+
|style="text-align:right;"|ויהיה משלש עליו אב"ג ויעמוד על צלע ב"ג מצלעות משלש אב"ג שני קוים ישרים יצאו משני קצותיו ויפלו בתוך המשלש עליהם ב"ד ד"ג הנה אומר כי שני קוי ב"ד ד"ג יותר קטנים משני קוי ב"א א"ג ושזוית בד"ג אשר יקיפו בה יותר גדולה מזוית בא"ג ונוציא קו ד"ה הישר על יושר קו ב"ד הנה מפני כי כל שתי צלעות ממשלש איזה שתי שיהיו הנה שתיהן יותר מהקודמת ארוכות מן הצלע הנשאר יהיו קוי ב"א ה"א ארוכים מקו ה"ב ונשים ה"ב משותף הנה שני קוי ב"א א"ג יותר ארוכים משני קוי ב"ה ה"ג ומפני כי כל שתי צלעות ממשלש איזה שתי צלעות שיהיו הנה שתיהן יותר ארוכים מן הצלע הנשאר יהיו שני קוי ה"ד ה"ג יותר ארוכים מקו ד"ג ונשים קו ד"ב משותף ויהיו שני קוי ג"ה ה"ב יותר ארוכים משני קוי ב"ד ד"ג וכבר התבאר כי שני ב"א א"ג יותר ארוכים משני קוי ב"ה ה"ג אם כן שני קוי ב"א א"ג יותר ארוכים הרבה משני קוי ב"ד וד"ג זוית בא"ג גם כן חוץ ממשלש בא"ה תהיה יותר גדולה מזוית בא"ג הפנימית אשר תקבילה וכבר התבאר כי זוית בד"ג יותר גדולה מזוית בא"ג אם כן כאשר עמדו על צלע מצלעות המשולש קוים יוצאו מקצוות הצלע ויהיו בתוך המשלש הנה הם יותר קצרים משתי צלעות הנשארות מצלעות המשלש ויקיפו בזוית יותר גדולה מן הזוית אשר יקיפו בה שתי הצלעות הנשארות וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעמיד שטח נכחי הצלעות שוה למשולש אב"ג והוא ה"ז כ"ט
+
=== Proposition 21 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שוה זוית זה"ט ממנו לזוית ל'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כא</span> <big>נרצה</big> שנעמיד משלש משלשה קוים ישרים שוים לשלשה קוים ישרים מונחים וראוי שיהיו כל שני קוים מן הקוים השלשה איזה שני קוים שיהיו יותר ארוכים מן הקו הנשאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעשה על ז"כ שטח נכחי הצלעות שוה למשולש בג"ד והוא ז"ח כ"מ
+
|style="text-align:right;"|ויהיו השלשה קוים המונחים אב"ג ויהיו כל שני מהם איזה שני קוים שיהיו יותר ארוכים מן הקו הנשאר אם כן א"ב יותר ארוכים מן ג' ואם ב"ג יותר ארוכים מן א' ואם א"ג יותר ארוכים מן ב' ונרצה שנעמיד ממשלש יהיו שוות הצלעות לקו אב"ג הנה נשים קו ד"ה הישר בעל תכלית באחד משני צדדים על נקדת ד' ובלתי בעל תכלית בצד אשר בו ט' ונשים קו ד"ז שוה לקו א' וקו ז"ח שוה לקו ב' וקו ח"ט שוה לקו ג' ונקוה על מרכז ז' ובמרחק ז"ד עגולת דב"ג ונקוה גם כן על מרכז ח' ובמרחק ח"ט עגולת טב"ג ונוציא מנקודת ב' אל שתי נקדות ז"ח שני קוי ב"ז ג"ח הישרים הנה אומר כי משלש בז"ה הוקם משלשה קוים ישרים לקו אב"ג הישרים המונחים הנה מפני כי נקדת ז' מרכז עגולת דב"ג יהיה קו ד"ז שוה לקו ז"ב אבל קו ד"ז שוה לקו א' אם כן קו ז"ב שוה לקו א' וגם כן הנה נקדת ח' מרכז עגולת טב"ג אם כן קו ח"ט שוה לקו ח"ב אבל קו ח"ט שוה לקו ג' אם כן קו ח"ב שוה לקו ג' וקו ז"ח שוה לקו ב' הנה כבר הוקם מקו ד"ז ז"ח ח"ט הישרים השוים לקוי אב"ג הישרים המונחים משלש בז"ח וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שוה זוית חז"כ ממנו לזוית ל'
+
=== Proposition 22 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני שכל אחת משתי זויות זה"ט חז"ב שוות לזוית ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|תהיה זוית חז"כ שוה לזוית זה"ט
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כב</span> <big>נרצה</big> שנעמיד על קו ישר מונח על נקודתו ממנו מונחת זוית ישרת שני הקוים שוה לזוית מונחת ישרת שני הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים זוית הז"כ משותפת א"כ שתי זויות זה"ט הז"כ שוות לשתי זויות חז"כ כז"ה
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו הישר המונח א"ב והנקודה המונחת אשר עליו ח' והזוית המונחת ישרת שני הקוים דג"ה ונרצה שנעמיד על קו א"ב הישר המונח על נקודת א' ממנו זוית ישרת שני הקוים שוה לזוית דג"ה המונחת ישרת שני הקוים שוה לזוית דג"ה המונחת ישרת שני הקוים הנה נרשום על כל אחת משני קו ד"ג ג"ה נקדה איך מה שנפלה והם ד"ה ונגיע קו ד"ה ונעמיד מהקו המונח שהוא קו א"ב משולש משלשה קוי א"ז ז"ח א"ח השלשה הישרים השוים לקוי ד"ג ג"ה ה"ד הישרים המונחים והוא משלש אז"ח ויהיה קו א"ז ממנו שוה לקו ג"ד וקו א"ה שוה לקו ג"ה וקו ז"ח לקו ד"ה הנה מפני כי שני קוי ד"ג ג"ה שוים לשני קוי א"ז א"ה כל אחד לגילו ותושבת ד"ה שוה לתושבת זה"ד תהיה זוית דג"ה שוה לזוית זא"ח הנה כבר הוקם על קו א"ב הישר המונח על נקודת א' ממנו זוית ישרת שני הקוים שוה לזוית דג"ה המונחת ישרת הקוים והיא זוית זא"ח וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל שתי זויות זה"ט הז"כ שוות לשתי נצבות
+
 
 +
=== Proposition 30 ===
 +
|
 +
|-
 +
|The lines that are parallel to the same straight line are also parallel to one another.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל</span> <big>הקוים</big> הנכחים לקו אחד בעינו ישר הנה קצתם נכחי לקצת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זויות חז"כ כז"ה שוות לשתי נצבות
+
|style="text-align:right;"|ויהיה כל אחד מן א"ב ג"ד נכחי לקו ה"ז
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ב נכחי אל ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ה"ז על יושר קו ז"ח
+
|style="text-align:right;"|ונפל קו ישר והוא חט"כ הנה מפני כי א"ב נכחי אל ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ולכן גם כן קו ט"ב על יושר קו כ"מ
+
|style="text-align:right;"|וכבר נפל עליהם קו חט"כ הישר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי ה"ז שוה אל כ"ט ונכחי לו
+
|style="text-align:right;"|תהיה זוית חט"ז שוה לזוית טח"א המומרות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וז"ח שוה אל כ"מ ונכחי לו
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי ה"ז נכחי אל ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיה כל ה"ח שוה אל ט"ב ונכחי לו
+
|style="text-align:right;"|תהיה זוית חט"ז החיצונה שוה לזוית טב"ד הפנימית אשר תקבילה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ה"ח ט"מ נכחי הצלעות שוה לתמונה א"ב ג"ד ישרת הקוים
+
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי זוית זט"ח גם כן שוה לזוית טח"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית זה"ט שוה לזוית ל'
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אח"ט שוה לזוית טכ"ד והם המומרות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר העמדנו שטח נכחי הצלעות שוה לתמונת א"ב ג"ד ישרת הקוים שוה זויותו לזוית מונחת ישרת הקוים
+
|style="text-align:right;"|אם כן א"ב נכחי אל ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן הקוים הנכחיים לקו אחד בעינו ישר הנה קצתם נכחי לקצת
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 46 ===
+
 
 +
=== Proposition 31 ===
 +
|
 +
|-
 +
|We wish to draw a straight line from a given point, parallel to a given straight line.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לא</span> <big>נרצה</big> שנוציא מנקודה מונחת קו ישר נכחי לקו ישר מונח
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ותהיה הנקודה המונחת נקדת א' והקו הישר המונח קו ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מו</span> <big>נרצה</big> שנעשה על קו ישר מונח מרובע
+
|style="text-align:right;"|ונרצה שנוציא מנקדת א' קו ישר נכחי אל קו ב"ג הישר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו הישר א"ב ונרצה לעשות על קו א"ב מרובע
+
|style="text-align:right;"|ונרשום על קו ב"ג נקדה איך מה שנפלה והיה נקדת ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נוציא מקו א"ב מנקדת א' ממנו קו ישר על זוית נצבת והוא קו א"ג
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קו א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים א"ג כמו א"ב
+
|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|2550,1015|TWKo}}נעמיד על{{#annotend:TWKo}} קו א"ד הישר על נקדת א' ממנו זוית שוה לזוית אד"ג והיא זוית דא"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ג' קו ישר נכחי לקו א"ב והוא ג"ד
+
|style="text-align:right;"|ונוציא קו א"ז על יושר קו ה"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ב' קו נכחי לקו א"ג והוא ב"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי שני קוי ה"ז ב"ג הישרים כבר נפל עליהם קו ישר והוא א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ג"א ב"ד נכחי הצלעות
+
|style="text-align:right;"|ושם שתי זויות הא"ד אד"ג שוות והם מומרות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו א"ב שוה לקו ג"ד
+
|style="text-align:right;"|יהיה ה"ז נכחי אל ג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו א"ג לקו ב"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר הוצא מנקודת א' המונחת קו ישר והוא ה"ז נכחי אל קו ב"ג הישר המונח
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל קו א"ב שוה לקו א"ג
+
 
 +
=== Proposition 32 ===
 +
|
 +
|-
 +
|For every triangle, if one of its sides is drawn, then the exterior angle equals [the sum of] the two interior opposite angles; and [the sum of] the three interior angles of the triangle equals two right angles.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לב</span> <big>כל משולש</big> תצא צלע מצלעותיו הנה הזוית החיצונה תהיה שוה לשתי הזויות התיכונות אשר יקבילוה והזויות השלשה אשר תוך המשולש שוות לשתי זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ג"ד שוה אל קו ד"ב
+
|style="text-align:right;"|ויהיה משלש עליו אב"ג ותצא אחת מצלעותיו הוא ב"ג אל נקדת ד'
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי זוית אג"ד החיצונה שוה לשתי זויות א"ב הפנימיו' ושזויות אב"ג בג"א גא"ב השלשה אשר תוך המשולש שוות לשתי זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קוי א"ב ב"ד ד"ג ג"א הם שוים
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקדת ג' קו נכחי לקו א"ב הישר והוא ג"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ג ד"ב שוה הצלעות
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי א"ב נכחי אל ג"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואומר גם כן כי הוא נצב הזוי'
+
|style="text-align:right;"|וכבר נפל עליהם א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|כי מפני שהוא כבר נפל על שני קוי א"ב ג"ד הנכחיים קו ג"א
+
|style="text-align:right;"|יהיו שתי זויות בא"ג אג"ה המומרות שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיו שתי זויות בא"ג אג"ד שוות לשתי זויות נצבות
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי א"ב נכחי אל ג"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל זוית בא"ג נצבת
+
|style="text-align:right;"|וכבר נפל עליהם קו בג"ד הישר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אג"ד גם כן נצבת
+
|style="text-align:right;"|תהיה זוית הג"ד החיצונה שוה לזוית אב"ג הפנימית אשר תקבילה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והזויות והצלעות המתנגדות מן השטחים נכחי הצלעות שוים
+
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי זוית אג"ה גם כן שוה לזוית בא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחת משתי זויות אב"ד בד"ג המתנגדות לאשר זכרנו שוות
+
|style="text-align:right;"|אם כן כל זוית אג"ד החיצונה שוה לשתי זויות בא"ג אב"ג הפנימיות אשר יקבילוה
 +
|-
 +
|We define <math>\scriptstyle\measuredangle BGA</math> common.
 +
|style="text-align:right;"|ונשים זוית בג"א משותפת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ב ג"ד נצב הזויות וכבר התבאר שהוא שוה הצלעות
+
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות דג"א אג"ב שוות לזויות השלשה גב"א בג"א בא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ב ג"ד מרובע והוא עשוי על קו א"ב
+
|style="text-align:right;"|אבל שתי זויות דג"א אג"ב שוות לשתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר קוינו מקו א"ב המונח מרובע
+
|style="text-align:right;"|אם כן זויות גב"א בא"ג אג"ב השלשה שוות לשתי זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|אם כל משלש יצא צלע מצלעותיו הנה הזוית החיצונה תהיה שוה לשתי הזויות הפנימיות אשר יקבילום והזויות השלשה אשר בתוך המשולש שוות לשתי זויות נצבות
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 47 ===
+
 
 +
=== Proposition 33 ===
 
|
 
|
 +
|-
 +
|The straight lines, which join the ends of equal and parallel straight lines on the same side, are also equal and parallel.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לג</span> <big>הקוים הישרים</big> אשר יגיעו במה שבין קצוות הקוים הישרים השוים הנכחים אשר בצד אחד הם גם כן שוים נכחיים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מז</span> <big>המרובע</big> ההוה מן הצלע אשר יהיה מיתר הזוית הנצבת מן המשולשים נצבי הזויות שוה לשני המרובעים ההוים משתי צלעות המקיפות הזוית הנצבת
+
|style="text-align:right;"|ונגיע שני קוי א"ג ב"ד הישרים במה שבין קצוות שני קוי א"ב ג"ד אשר בצד אחד
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|ויהיה המשולש נצב הזוית אב"ג ותהיה זויתו הנצבת זוית בא"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ג ב"ד גם כן שוים נכחיים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי המרובע ההווה מן ב"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן ב"א וא"ג
+
|style="text-align:right;"|ונגיע ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נקוה מן ב"ג מרובע ב"ד ה"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי א"ב נכחי אל ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומן ב"א א"ג שני מרובעים ב"ח ז"א ג"א ט"כ
+
|style="text-align:right;"|וכבר נפל עליהם קו ישר והוא ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת א' קו נכחי לכל אחד משני קוי ב"ד ג"ה והוא א"ל
+
|style="text-align:right;"|יהיו שתי זויות אב"ג בג"ד המומרות שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע שני קוי ח"ג א"ד
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי א"ב גם כן שוה אל ג"ד
 +
|-
 +
|BG is common.
 +
|style="text-align:right;"|וב"ג משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני זוית בא"ג נצבת
+
|style="text-align:right;"|יהיו כל שתי קוי א"ב ב"ג שוים לכל שני קוי ד"ג ג"ב כל אחד לגילו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בא"ז גם כן נצבת
+
|style="text-align:right;"|וזוית אב"ג שוה לזוית בג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיה כאשר הוצא מנקודת א' ממנו שני קוי ז"א א"ג הישרים ואינם בצד אחד ויהיו שתי זויות גא"ב בא"ז אשר משני הצדדים שוות לשתי נצבות
+
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת א"ג שוה לתושבת ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"א על יושר ג"א
+
|style="text-align:right;"|ומשולש אב"ג שוה למשולש בג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו א"ט על יושר קו א"ב
+
|style="text-align:right;"|ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה מיתר האחרת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי זוית חב"א שוה לזוית דב"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אג"ב שוה לזוית דב"ג והם מומרות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה כי כל אחת משתיהן נצבות
+
|style="text-align:right;"|אם כן א"ג נכחי אל ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|נשים זוית אב"ג משותפת
+
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי שניהם שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיה כל זוית חב"ג שוה לכל זוית אב"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי א"ג ב"ד שוים נכחיים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי ח"ב שוה אל ב"א
+
|style="text-align:right;"|אם כן הקוים הישרים אשר יגיעו במה שבין קצוות הקוים הישרים הנכחים אשר בצד אחד הם גם כן שוים נכחים וזה מה שרצי' לבא'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וב"ג אל ב"ד
+
 
 +
=== Proposition 34 ===
 +
|
 +
|-
 +
|The opposite sides and angles of parallelogrammic areas are equal to one another, and the diameters of these areas bisect them.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לד</span> <big>הצלעות</big> והזויות המתנגדות מן השטחים נכחי הצלעות שוים קצתם אל קצתם וקטרי השטחים יחלקום בשני חצאים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיו כל שני קוי ח"ב ב"ג שוים לכל שני קוי א"ב ב"ד כל אחד לגילו
+
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"ב ג"ד {{#annot:term|2555,1096|ERBz}}נכחי הצלעות{{#annotend:ERBz}} ויהיה קטרו ד"ב
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי צלעות שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות הצלעות המתנגדות וזויותיו המתנגדות שוות קצתם אל קצתם ושהקוטר יחלקהו לשני חצאיים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית חב"ג שוה לזוית אב"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי קו א"ד נכחי אל ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ח"ג שוה לתושבת א"ד
+
|style="text-align:right;"|וכבר נפל על שניהם קו ד"ב הישר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומשולש חב"ג למשולש אב"ד
+
|style="text-align:right;"|יהיו שתי זויות אד"ב גב"ד המומרות שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל שטח ב"ד ל"מ נכחי הצלעות כפל משולש אב"ד
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי א"ב גם כן נכחי אל ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי שניהם על תושבת אחת והיא ב"ד
+
|style="text-align:right;"|וכבר נפל על שניהם קו ד"ב הישר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוים נכחיים והם ב"ד א"ל ושטח ב"א ז"ח כפל משולש חב"ג
+
|style="text-align:right;"|יהיו שתי זויות גד"ב דב"א המומרות שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני שניהם על תושבת אחת והיא ב"ח
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני משולשי אב"ד גד"ב כבר השתוו משתי זויות אד"ב אב"ד מאחד משניהם לשתי זויות גד"ב דב"ג מן האחר כל אחת לגילה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ובמה שבין קוים נכחיים והם ח"ב ז"ג הנכחיים ואשר הם כפל לדבר אחד שוה הנה הם גם כן שוים
+
|style="text-align:right;"|ובשני המשולשים צלע משותף לשניהם מה שילוה הזויות השוות והוא ד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ב"ד ל"מ הנכחי הצלעות שוה למרובע חבא"ז
+
|style="text-align:right;"|אם כן שאר הצלעות שוות לשאר הצלעות כל אחת לגילה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר כי שטח מ"ל ה"ג הנכחי הצלעות שוה למרובע ט"א
+
|style="text-align:right;"|אולם קו א"ב לקו ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ב"ד ה"ג הנכחיי הצלעות שוה לשני מרובעי ח"ב א"ז ט"ז ג"ב והם הווים מן ב"א א"ג
+
|style="text-align:right;"|ואולם קו א"ד לקו ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מן הצלע אשר תהיה מיתר הזוית הנצבת מן המשולשים נצבי הזויות שוים לשני המרובעים ההוים מהצלעות המקיפות בזוית הנצבת
+
|style="text-align:right;"|וזוית דא"ב הנשארת שוה לזוית בג"ד הנשארת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ומשלש אב"ג שוה למשלש בג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 48 ===
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי זוית אב"ד גם כן שוה לזוית בד"ג
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|וזוית גד"ב שוה לזוית אד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מח</span> <big>כאשר</big> היה המרובע ההווה מן הצלע מצלעות המשלש שוה למרובעים ההוים מן הצלעות הנשארות הנה הזוית אשר יקיפו בה שתי צלעות ההם מן המשולש נצבת
+
|style="text-align:right;"|תהיה זוית אב"ג כלה שוה לזוית אד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה המשלש עליו אב"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן הצלעות והזויות המתנגדות מן השטחים הנכחים הצלעות שוות קצתם אל קצתם וקטרי השטחים יחלקו' לשני חצאים
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|ויהיה המרובע ההוה מן ב"ג ממנו שוה לשני המרובעים ההוים מן א"ג
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי זוית בא"ג נצבת
+
 
−
|-
+
=== Proposition 35 ===
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת א' קו א"ד נצבת על א"ג על זוית נצבת
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|The parallelograms, which are on the same base, on the same side, and between the same parallel lines, are equal to one another.
−
|style="text-align:right;"|ונשים קו א"ד שוה לקו א"ב
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לה</span> <big>השטחים</big> הנכחיי הצלעות אשר על תושבת אחת ובצד אחד ובמה שבין קוים בעינם נכחים שוים קצתם אל קצת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונדביק ג"ד
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני {{#annot:term|2555,1096|9qdL}}השטחים נכחיי הצלעות{{#annotend:9qdL}} א"ב ג"ד ה"ב ג"ז על תושבת אחת והיא ב"ג ובמה שבין שני קוים א"ז ב"ג הנכחים
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי מרובע ב"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן ב"א א"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות שוה לשטח ב"ה ג"ז נכחי הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו ב"א שוה לקו א"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות יהיה ב"ג שוה אל ד"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיה המרובע ההוה מן ב"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן א"ג א"ד
+
|style="text-align:right;"|ומפני זה יהיה ה"ז שוה אל ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל שני המרובעים ההוים מן א"ג א"ד שוים למרובע ההוה מן ד"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן א"ד שוה אל ה"ז
 
|-
 
|-
−
|
+
|We define DH common.
−
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית דא"ג נצבת
+
|style="text-align:right;"|ונשים ד"ה משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן ד"ג שוה למרובע ההוה מן ב"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן א"ה כולו שוה אל ד"ז כולו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ג שוה לקו ג"ד
+
|style="text-align:right;"|וא"ב גם כן שוה אל ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו ב"א שוה אל קו א"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן כל שני קוי ב"א א"ה שוים לכל שני קוי ג"ד ד"ז כל אחת לגילה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו א"ג משותף
+
|style="text-align:right;"|וזוית בא"ה שוה לזוית גד"ז החיצונה לפנימית
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיו כל שני קוי ב"א א"ג שוים לכל שני קוי ד"א א"ג כל אחת לגילו
+
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ב"ה שוה לתושבת ז"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותושבת ב"ג שוה לתושבת ג"ד
+
|style="text-align:right;"|ומשולש הא"ב שוה למשולש זד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בא"ג שוה לזוית גא"ד
+
|style="text-align:right;"|ונשליך משלש דח"ה המשותף נשאר שטח א"ב ח"ד שוה לשטח ג"ח ה"ז הנשאר
 
|-
 
|-
−
|
+
|We define <math>\scriptstyle\triangle_{CBG}</math> common.
−
|style="text-align:right;"|וזוית גא"ד נצבת
+
|style="text-align:right;"|ונשים משלש חב"ג משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בא"ג נצבת
+
|style="text-align:right;"|אם כן כל שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות שוה לכל שטח ה"ב ג"ז נכחי הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כאשר היה המרובע ההוה מצלעות ממשלש שוה לשני המרובעים ההוים משני צלעות הנשארות הנה הזוית אשר יקיפו בה שני הצלעות הנשארות מן המשולש נצבת
+
|style="text-align:right;"|אם כן השטחים נכחי הצלעות אשר על תושבת אחת ובצד אחד ובמה שבין שני קוים בעינם נכחים שוים קצת אל קצת
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
 
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר הראשון מספר אקלידס החכם בשרשים
+
 
 +
=== Proposition 36 ===
 +
|
 +
|-
 +
|The parallelograms, which are on equal bases, on the same side, and between the same two parallel lines, are equal to one another.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לו</span> <big>השטחים</big> נכחי הצלעות אשר על תושבות שוות ובצד אחד ובמה שבין שני קוי נכחיים שוים קצתם אל קצתם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומספר תמונותיו שמנה וארבעים
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני שטחים נכחיים הצלעות עליהם א"ב ג"ד ה"ז ח"ט על שתי תושבות שוות והם ב"ג ז"ח ובמה שבין שני קוים א"ט ב"ח הנכחיים
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שטח א"ב ג"ד הנכחי הצלעות שוה לשטח ה"ז ח"ט הנכחי הצלעות
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונגיע שני קוי ה"ב ט"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונתחיל המאמר השני בג"ה אמן
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ב"ג שוה אל ז"ח
−
|}
 
−
{|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|וז"ח שוה אל ה"ט
−
== Book Two ==
 
−
 
 
−
!style="text-align:right;"|המאמר השני<ref>E: ’מאמר ב; Mu246: מאמר שני</ref> מספר אקלידס החכם&#x202B;<ref>מספר אקלידס החכם| Mu246; P1011; P1013; P1014: om.; Mu130: מספר היסודות; Ma1: מספר היסודות לאקלידס; C, AB; P1012: מספר אקלידס; O16: מספר אוקלידיס; W66: מספר אלקידוס; F137: מספר אוקלידס בשרשים</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*definition: two straight lines containing a rectangular parallelogram
+
|style="text-align:right;"|יהיה ה"ט שוה אל ב"ג והוא גם כן נכחי לו
−
|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref group=note>titled: F137 הקדמות המאמר; Ma1 הקדמות זה המאמר; W66 הקדמה; Lo; Ma1; P1014: marked א</ref>כל שטח נכחי הצלעות נצב הזויות הנה שני<ref>הנה שני: C, Ma1 om.; F137(marg.), P1012, P1014 הנה כל שני; P1007 הנה ב'</ref> הקוים<ref>הקוים: A1, AB, P1010, P1012, P1014 קוים</ref> הישרים המקיפים באחת<ref>באחת: A2 באחד; Ma1 אחת</ref> מזויותיו<ref>מזויותיו: B(except for W66) מזויות; W66 מזויותיה; P1012, P1014 מהזויות</ref> הנצבות<ref>הנצבות: O16 נצבות; W66 om.</ref> יקרא<ref>יקרא: C, F יאמר</ref> לשניהם<ref>לשניהם: B, C, F להם; P1007 לשניהן</ref> המקיפים<ref>המקיפים: P1012 לשון המקיפים</ref> בו&#x202B;<ref>בו: O16 om.</ref><ref group=note>E: הקוים המקיפי’ באחת הזוית הנצבות מהשטח נצב הזויות נכחי הצלעות יקראו מקיפים בשטח ההוא [כי] הנה מקביליהם ישוו להם<br>
 
−
Mu91 (marg.): פי: ר"ל בשטח ולא יקראו המקיפים בו אם לא שיהיה השטח נצב הזוי<sup>ו</sup>ת בעבור שהשני הקוים לא ישערו השטח אם לא שיהיה השטח נצב הזוית <sup>פי' עד כאן</sup><br>
 
−
קוים המקיפים בו פי' ר"ל ששני אלו הקוים מודיעים לנו שעור שטח ומגבילים אותו<br>
 
−
המשל בזה אם יהיה אחד מן הקוים ארכו ו' אמות ורחב האחר ג' אמות יהיה כל שעור זה השטח י"ח אמות מהכאת האורך ברחב או אם תרצה תכה הרחב באורך ויהיה י"ח גם כן<br>
 
−
וכל זה כשיהיה הקו האחד עומד על חבירו על זוית נצבת מה שאין כן בשטח שאינו נצב הזויות<br>
 
−
הנה צריך שילקח בזה התנאי שיהיה השטח נצב הזוית שאם לא יהיה כן לא יקראו המקיפים ולא י[...] את השטח השני קוים המקיפים בו<br>
 
−
W66: ר"ל ששני אלו הקוים [..] מודיעים לנו שעור השטח ומגבילים אותו<br>
 
−
המשל בזה כי אם יהיה אחד מן הקוים ארכו ו' אמות ורחב האחר ג' אמות יהיה כל שעור זה השטח י"ח אמות מהכאת האורך ברחב או הרחב באורך<br>
 
−
וכל זה כשיהיה הקו האחד עומד על חברו על זוי' נצבת מה שאין כן בשטח שאינו נצב הזויות<br>
 
−
Mu91(marg.), Mu130(marg.), W66: ונקרא השטח בשם שתי אותיות המתנגדות<br>
 
−
E: ויקרא השטח בשם שתי אותיות המתנגדות אשר בצד קטרו<br>
 
−
P1010 (marg.), PP: ונקרא השטח בשם שתי אותיות הזויות המתנגדות<br>
 
−
W194 (marg.): ד"ת ונקרא בשטח בשם שתי אותיות הזויות המתנגדות<br>
 
−
Lo (marg.): ונקרא השטח בשם שתי אותיות הזויות המתנגדות בו</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*definition: gnomon
+
|style="text-align:right;"|והקוים הישרים אשר יגיעו במה שבין קצוות הקוים הישרים השוים הנכחיים אשר בצד אחד הם גם כן שוים נכחיים
−
|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref group=note>Ma1: marked השנית</ref>וכל<ref>וכל: F כל; O16 ובכל</ref> שטח<ref>שטח: F תמונה</ref> נכחי<ref>נכחי: F נכחית</ref> הצלעות הנה<ref>הנה: C, F, O16 om.</ref> יקרא אחד<ref>אחד: Ma1 אחד [נ"ל כשאחד&#x202B;]</ref> משני<ref>משני: C, F om.; P1007 מב&#x202B;'</ref> השטחים<ref>משני השטחים: B(except for Mu130) מהשני שטחים; F137 <s>הצלעות</s> <sup>מ</sup>השטחים</ref> הנכחי<ref>הנכחי: B(except for Mu130), F נכחיי; C נכוחי</ref> הצלעות אשר הם<ref>הם: C, F om.</ref> על קוטרו<ref>קוטרו: C אלכסונו</ref> אי זה משניהם היה<ref>משניהם היה: B שיהיה משניהם; C, F מהם שיהיה; P1007 משניהן היה</ref> עם שני השטחים<ref>שני השטחים: A2 השני שטחים; W66 השטחים; P1007 ב' השטחי&#x202B;'</ref> המתמימים<ref>המתמימים: B, C, F המשלימים</ref><ref group=note>Lo: והמתמימים באור זה מבואר במ”ג מראשון והרושם הוא שני השטחים המתמימים עם אחד מן השטחים שעל קטרו</ref> הרושם&#x202B;<ref>הרושם: C המסומן</ref><ref group=note>Mu 246:א כל שטח שוה הצלעות נצב הזויות יסובבנו השני קוים הסובב בזוית הנצבת וכל שטח נגדיי הצלעות נאמ' כי השני שטחים שעל אלכסונו הנגדיי הצלעות והאלכסון יחצבם כשיצטרף אחד מהם לשני השטחים המשלימין שעל שני צדי האלכסון כל זה יקרא עלם<br>
 
−
P1011: כל שטח נכחי הצלעות נצב הזויות הנה יקיפו השני קוים המקיפים בזוית הנצבה<br>
 
−
וכל שטח נכחי הצלעות הנה השני שטחים אשר יהיו על קטרו [נכח]יי הצלעות והקוטר יחצבם כאשר [...] מהם אל השני שטחים המשלימים אשר [על] צדדי הקוטר יקרא הרושם עד כאן פתי[חה&#x202B;]<br>
 
−
E: כל שטח נכחי הצלעות יחתכהו הקוטר והוציאו מנקודו’ ממנו קוים נכחיים לצלעות יחתכם הקוטר ועומדי’ מצדו יקראו השטחי’ אשר יחתכם הקוטר אשר על הקוטר ואשר מצדו המתמימים ומקובץ אחד השטחים שית[ח]כהו הקוטר עם שני המתמימים אשר משני צדיו יקראו הרושם<br>
 
−
Ma1: באור להקדמה ב’ הנה נעשה מרובע עליו א’ב’ג’ד’ ובתוכו קוטר אחד והוא קוטר ב”ד ונרשום עליו נקודה איך שתזדמן והיא נקודת ח’ ונגיע מנקודת ח’ קו ט’ח’כ’ על נוכח א”ב וקו ה’ח’ז’ על נוכח ב”ג הנה חלקנו מרובע א’ב’ג’ד’ לארבעה מרובעי’ והם א”ח ה”כ ט”ז ח”ג שנים מהם על קוטר ב”ד ושנים חוצה לו ויאמר שאם נקח אחד משני מרובעי ט”ז ה”כ אשר על הקוטר איזה מהם שנרצה עם שני המרובעי’ אשר חוץ לקוטר הנקראים המשלימים כמבואר בלמוד מ”ג מהמאמר הראשון יקראו אלה השלשה מרובעים רושם ויהיה שעור דבריו כך כל תמונה נכחית הצלעות אחד השטחים וכו’ יקרא הרושם</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 1 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ה"ב ט"ג שוים נכחיים
−
The distributive law for multiplication over addition:
 
−
<math>\scriptstyle a\times\left(b_1+b_2\right)=\left(a\times b_1\right)+\left(a\times b_2\right)</math>
 
−
|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref group=note>F137 titles the propositions’ section: המבוקשים;</ref>'''א'''<ref>א: F137, Lo, O16, P1012 mark is missing; Mu130 למוד א'</ref> כאשר היו<ref>כאשר היו: C כשיהיו; F כאשר יהיו</ref> שני קוים ישרים<ref>קוים ישרים: F137 הקוין הישרים; P1013 הקוים הישרים; B(except for W66), C קוים ישרים מונחים</ref> וחולק<ref>וחולק: B, C ונחלק</ref> אחד מהם<ref>מהם: Lo, PP משניהם; P1013 מהן</ref> לחלקים<ref>אחד מהם לחלקים: O16 <s>אותם</s> לחלקים אחד מהם; C אחד מהם חלקים</ref> איזה מספר שיהיה<ref>איזה מספר שיהיה: B, F כמה שיהיו/שהיו; C כמות שהן</ref> הנה<ref>הנה: C יהיה</ref> השטח הנצב<ref>הנצב: B, C, F, P1014 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: P1010 הזוית</ref> אשר יקיפו<ref>אשר יקיפו: C שיקיפו</ref> בו<ref>בו: A1 בה; O16, P1012 om.</ref> השני קוים<ref>השני קוים: B, C, F שני הקוים; P1007 ב' הקוים</ref> הישרים<ref>הישרים: C; O16 הישרים המונחים</ref> שוה<ref>שוה: F יהיה שוה</ref> לכל השטחים<ref>לכל השטחים: F לשטחים; W66 לכלל השטחים; O16 כלו לשטחים</ref> הנצבי<ref>הנצבי: B, C, F נצבי; P1012 הנצבים</ref> הזויות אשר יקיף<ref>אשר יקיף: C שיקיפו; O16 אשר יקיפו</ref> בכל אחד מהם<ref>בכל אחד מהם: F בהם</ref> הקו<ref>הקו: A2 הקו הישר</ref> אשר לא<ref>אשר לא: C שלא</ref> יחלק<ref>יחלק: F יתחלק; C, AB, P1012, P1014 נחלק</ref> וכל<ref>וכל: A2, P1012, P1014 עם כל; P1013 לכל</ref> אחד<ref>וכל אחד: C ואחד</ref> מן החלקים&#x202B;<ref>מן החלקים: B, P1007 מהחלקים</ref><ref group=note>P1011: כל שני קוים יחלק אחד מהם בחלוקה איך שיהיה הנה אשר יהיה מהכאת אחד משני הקוים באחר כמו אשר יהיה מהכאת הקו אשר לא יחלק בכל חלקי הקו המתחלק חלוקה חלוקה<br>
 
−
E: &#x202B;1 השטח אשר יקיפו בו כל שני קוים שוה למקובץ השטחים יקיפו בם אחד הקוים עם חלקי הקו השני יחד<br>
 
−
Mu36 adds a marginal note: כונת זה הדרוש שכשהיו לנו שני קוים מונחי’ כמה שיהיו וחולק האחד מהם לחלקים כמה שהיו שהכאת הקו האחד בכל אחד מהחלקים שחולק הקו השני שוה להכאת הקו ההוא בקו המחולק כלו<br>
 
−
The arithmetic version of the proposition is given in marginal notes in a few manuscripts:<br>
 
−
Mu91: המשל לתמונת א' משני: כמו עשרה וששה וחולק עשרה לשלשה חלקים כגון חמשה ושלשה ושנים הנה שטח ששה בעשרה שהוא ס' שוה לשטח חמשה בששה שהוא שלשים ולשטח ששה בשלשה שהוא י"ח ולשטח ששה בשנים שהוא י"ב וקבוץ שלשת שטחים אלו הוא ס'<br>
 
−
W66: פי’ משל זה במספר כמו עשרה וששה וחולק עשרה לג' חלקים כגון ה' וג' וב' הנה שטח ששה בעשרה שהוא ס' שוה לשטח ששה בחמשה שהוא שלשים ולשטח ששה בשלשה שהוא י"ח ולשטח ששה בשנים שהוא י"ב וקבוץ שלשת שטחים אלו הוא ששים<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\times6\right)+\left(3\times6\right)+\left(5\times6\right)=12+18+30=60=10\times6}}</math><br>
 
−
P1010: דמיון במספר כאשר תכה מספר בעצמו יהיה המרובע ההווה ממנו כמרובע ההוה מהכאת המספר ההוא בכל אחד מחלקיו השוים<br>
 
−
המשל בזה הכאת י’ בט”ו הוא ק”נ וכשתחלק ט”ו לג’ חלקים שוים שהוא ה’ ותכה עשרה בה’ ה’ יהיה ק”נ<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\times10\right)+\left(5\times10\right)+\left(5\times10\right)=150=15\times10}}</math><br>
 
−
P1014: וכן במספר שה’ עם ד’ הם כ’ וכולו חולק הה’ על ג’ וב’ ותכה הד’ עם השני חלקים יהיו כ’<br>
 
−
Numerical example:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\times4\right)+\left(2\times4\right)=20=5\times4}}</math></ref>
 
 
|-
 
|-
−
|גב &times; א = &#x202B;(דב &times; א) + &#x202B;(הד &times; א) + &#x202B;(גה &times; א)
+
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו<ref>ויהיו: F המשל יהיו; B הנה יהיה/יהיו</ref> שני<ref>שני: P1007 ב&#x202B;'</ref> קוים ישרים<ref>קוים ישרים: A2, F הקוים הישרים; B(except for W66) קוים ישרים מונחים</ref> על שניהם<ref>על שניהם: B, F עליהם</ref> א' ב"ג ונחלק ב"ג לחלקים<ref>לחלקים: F137 חלקים</ref> כמה שיהיו<ref>כמה שיהיו: B(except for W66) om.; A2 כמה שהוא</ref> על שתי<ref>שתי: F om.; P1012, P1014 שני; P1007, P1013 ב&#x202B;'</ref> נקודות<ref>נקודות: Ma1 נקודת</ref> ד'ה' הנה אומר כי<ref>הנה אומר כי השטח: B הנה נאמר שהשטח; F אומר כי השטח; P1007 הנה אומר כי שטח</ref> השטח הנצב<ref>הנצב: B, F, P1007 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: A2, B(except for W66), P1012 הזוית</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: A1 בה</ref> שני<ref>שני: F om.; P1007 ב&#x202B;'</ref> קוי<ref>קוי: P1013 קוים</ref> א' ב"ג שוה<ref>שוה: Mu130 שוים</ref> לשטח הנצב<ref>הנצב: B, F נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130 הזוית</ref> אשר יקיפו בו שני<ref>שני: P1007 ב&#x202B;'</ref> קוי<ref>שני קוי: F om.| א' ב"ג ... שני קוי: P1012 om.</ref> א' ב"ד<ref>א' ב"ד: P1013 אב"ג אב"ד</ref> והשטח הנצב<ref>והשטח הנצב: B, F ולשטח נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו שני<ref>בו שני: F om.; P1007 בו ב&#x202B;'</ref> קוי<ref>שני קוי: Mu130, P1014 om.</ref> א' ד"ה<ref>ד"ה: Lo, PP ה"ד</ref> והשטח הנצב<ref>והשטח הנצב: B, F ולשטח נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: B(except for O16) הזוית</ref> גם כן<ref>גם כן: B, F om.</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: A2, P1010, P1013, PP om.; B בו שני קוי; F בו קוי</ref> א' ה"ג&#x202B;<ref group=note>C: המשל בזה שקו א' וקו ב"ג נחלק אחד מהם והוא ב"ג על נקודות ד' וה' ואומר שאשר יהיה מהכאת א' בחלק ב"ד ובחלק ד"ה ובחלק ה"ג שוה לאשר יהיה מהכאת א' בב"ג<br>
+
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ב ג"ד הנכחי הצלעות שוה גם כן אל שטח ה"ט ג"ב מפני כי שניהם על תושבת אחת והיא ב"ג ובמה שבין שני קוים והם ב"ח א"ט
−
E: יהיו שני קוי א' ב"ג ונחלק ב"ג על חלקי' איך שנרצה והם ג"ה ה"ד ד"ב ואומ' שהשטח נצב הזויות שיקיפו בו קוי א' ג"ב שוה למקובץ שטחי א'ג"ה וא'ה"ד וא'ד"ב<br>
 
−
Mu246: ב שני קוי א'ב"ג חולק ב"ג בחלקי ב"ד ד"ה ה"ג נאמ' כי כפל א' בכל ב"ג ככפל א' בכל אחד מן ב"ד ד"ה ה"ג מקובצי</ref>
 
 
|-
 
|-
−
|בז &perp; בג
+
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא<ref>ונוציא: A2, B הנה נוציא; F המופת נוציא</ref> מנקודת ב' מן קו<ref>מן קו: A1, B, F, P1007 מקו</ref> ב"ג הישר<ref>הישר: A1, F om.</ref> קו ישר<ref>ישר: P1014 om.</ref> על זוית נצבת<ref>זוית נצבת: B זוית נצבה; A1, F, Lo, P1010, PP זויות נצבות; P1012 זוית קו נצבת</ref> והוא ב"ז <span style=color:red>מי”א מא&#x202B;’</span><ref>מי"א מא': Ma1, E, O16, P1007, P1012 om.; AB מי' מא'; F137, Lo, P1010, P1013, PP, W194 מי"א מראשון</ref>
+
|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ה"ז ח"ט נכחי הצלעות שוה לשטח ט"ה ב"ג הנכחי הצלעות
 
|-
 
|-
−
|בז = א
+
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים<ref>ונשים: B(except for Mu130) ויהיה</ref> קו ב"ז<ref>ונשים קו ב"ז: A1, Ma1 om.</ref> הישר שוה<ref>שוה: P1010 om.</ref> לקו א' הישר<ref>הישר: A1, W66 om.</ref> <span style=color:red>מג’ מא&#x202B;’</span><ref>מג' מא': C, Ma1, E, Mu36, O16, P1007, P1012 om.; F137, P1010, P1013, PP, W194 מב' מראשון; Mu130, P1014 מב' מא'</ref>
+
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחד משני שטחי א"ב ג"ד ה"ז ח"ט שוה לשטח ט"ה ב"ג
 
|-
 
|-
−
|זח <math>\scriptstyle\parallel</math> בג
+
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ז' קו ז"ח נכחי<ref>נכחי: P1013 נכוחי ה[צלע&#x202B;]?</ref> לקו ב"ג הישר&#x202B;<ref>קו ז"ח ... הישר: B קו נכחי לקו ב"ג הישר והוא קו ז"ח; AB קו ז”ח נכחי לקו ב”ג הישר <sup>והוא קו ז”ח</sup>| הישר: Lo om.</ref>
+
|style="text-align:right;"|והדברים השוים לדבר אחד בעינו הם שוים
 
|-
 
|-
−
|דט, הכ, גח <math>\scriptstyle\parallel</math> בז
+
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מן<ref>מן: B, F מנקודות</ref> ד'<ref>מן ד': P1007 מד'</ref> ה' ג'<ref>ד' ה' ג': A1 ד'ה'ג' הישר; F137 ד' ה' <sup>וג'</sup></ref> קוים נכחיים לקו ב"ז והם קוי<ref>קוי: O16 om.</ref> ד"ט ה"כ<ref>ה"כ: AB, P1012, P1014 כ"ה</ref> ג"ח <span style=color:red>מל”א מא&#x202B;’</span><ref>מל"א מא': Ma1, E, P1007, P1012 om.; F137, Lo, P1010, P1013, PP, W194 מל"א מראשון</ref>
+
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ב ג"ד הנכחי הצלעות שוה לשטח ה"ז ח"ט הנכחי הצלעות
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>בט</sub> + &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>דכ</sub> + &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>הח</sub> = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>בח</sub>
+
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל<ref>הנה כל: B(except for W66) וכל</ref> אחד<ref>אחד: P1013 אחת</ref> משטחי ב"ט ד"כ<ref>ד"כ: AB <s>דה</s> <sup>ד"כ</sup></ref> ה"ח נכחי הצלעות ושטח<ref>ושטח: P1013 om.</ref> ב"ח שוה לשטחי<ref>לשטחי: O16 לשטח</ref> ב"ט<ref>שוה לשטחי ב"ט: W194 twice</ref> ד"כ ה"ח <span style=color:red>מפתיחת הראשון</span>&#x202B;<ref>מפתיחת הראשון: according to F137, W194| AB, מפתיחת א'; O561 מהפתיחה מא'; P1010 מפ' מרא'; P1014 מפת' מא'; PP מפתיחת ראשון; W66 מפתיח' א'</ref>
+
|style="text-align:right;"|אם כן השטחים הנכחיים הצלעות אשר על תושבות שוות ובצד אחד ובמה שבין קוים בעינם נכחיים שוים קצתם אל קצת
 
|-
 
|-
−
|בג &times; א = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>בח</sub> &rarr; א = בז
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|ואולם<ref>ואולם: F אבל</ref> שטח ב"ח הנה הוא<ref>הנה הוא: F om.</ref> שוה לשטח הנצב<ref>הנצב: A1, B, F נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130, P1007 הזוית</ref> אשר יקיפו בו שני<ref>שני: F om.; P1007 ב'</ref> קוי א' ב"ג מפני כי קו<ref>מפני כי קו: B מפני שקו; F לפי שקו; AB מפני כי קו<s>י</s>; P1012, P1014 מפני כי קוי; PP מפני כי</ref> ב"ז שוה לקו א&#x202B;'&#x202B;<ref>ואולם ... לקו א': P1007 twice, the second recurrence is erased| א': O16 <s>ג'</s> א'</ref>
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
−
|בד &times; א = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>בט</sub> &rarr; א = בז
+
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם שטח<ref>ואולם שטח: F ושטח</ref> ב"ט<ref>ב"ט: PP marg.</ref> הנה הוא<ref>הנה הוא: F om.; A2, P1007, P1010 הנה</ref> שוה לשטח נצב<ref>נצב: F137 <sup>ה</sup>זויות נצב; P1014 הנצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130 הזוית</ref> אשר<ref>אשר: F om.</ref> יקיפו בו שני<ref>שני: F om.; P1007 ב'</ref> קוי<ref>שני קוי: A2, Lo, P1010, P1012, PP om.; AB <sup>שני קוי</sup></ref> א' ב"ד מפני כי קו<ref>מפני כי קו: B מפני שקו</ref> ב"ז שוה לקו א&#x202B;'&#x202B;<ref>מפני כי קו ב"ז ... א': F om.</ref>
+
 
 +
=== Proposition 37 ===
 +
|
 
|-
 
|-
−
|דה &times; א = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>דכ</sub> &rarr; א = דט
+
|The triangles, which are on the same base, on the same side, and between the same two parallel lines, are equal to one another.
−
|style="text-align:right;"|ואולם שטח<ref>ואולם שטח: F ושטח</ref> ד"כ<ref>ד"כ: P1014 marg.</ref> הנה הוא<ref>הנה הוא: F om.</ref> שוה<ref>שוה: P1010 <sup>שוה</sup></ref> לשטח הנצב<ref>הנצב: B, A1, F, P1014 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130 הזוית</ref> אשר יקיפו בו שני קוי<ref>שני קוי: A2, F, Lo, P1007, P1010, P1014, PP om.; AB <sup>שני קוי</sup></ref> א' ד"ה<ref>א' ד"ה: P1014 marg.</ref> מפני כי קו<ref>מפני כי קו: B מפני שקו; F לפי שקו</ref> א' שוה לקו ד"ט
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לז</span> <big>המשולשים</big> אשר על תושבת אחת ובצד אחד ובמה שבין קוים נכחיים שוים קצתם אל קצת
 
|-
 
|-
−
|הג &times; א = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>הח</sub> &rarr; א = הכ
+
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם שטח<ref>ואולם שטח: F ושטח</ref> ה"ח הנה הוא<ref>הנה הוא: F, P1014 om.</ref> שוה<ref>שוה: P1010 <sup>שוה</sup></ref> לשטח הנצב<ref>הנצב: B, A1, F נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130 הזוית</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: P1013 בהם</ref> שני קוי<ref>א' ד"ה ... שני קוי: P1012 om.| שני קוי: Ma1, O16, P1014 om.; F137 קוי; P1007 ב' קוי</ref> א' ה"ג מפני כי קו<ref>מפני כי קו: B מפני שקו; F לפי שקו</ref> א' שוה לקו ה"כ<ref>לקו ה"כ: A1 לה"כ; Mu130 לקו ה"ד; O16 לקו ה"ג</ref><ref group=note>AB: פי' זה התבאר מכח מה שאמרנו ששטח ב"ח שוה לשטח ב"ד ד"כ ה"ח</ref> <span style=color:red>מל”ד מא’</span>&#x202B;<ref>מל"ד מא': A1, Ma1, E, O16, P1007, P1012, P1014 om.; F137, Lo, P1010, P1013, PP, W194 מל"ד מראשון</ref><ref group=note>C: מופת זה שנוציא מקו ב"ג מנקדת ב' קו על זוית נצבה שוה לקו א' והוא קו ב"ז<br>
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני משולשים אב"ג דב"ג על תושבת אחת והוא ב"ג
−
ונוציא מנקדת ז' קו נכוחי לקו ב"ג והוא קו ז"ח<br>
 
−
ונוציא מנקדת ד' וה' וג' קוים נכוחיים לקו ב"ז והם ד"ט וה"כ וג"ח<br>
 
−
וכבר התבאר ששטח ז"ג שוה לשלשת שטחי ז"ד וט"ה וכ"ג וכל השטחים הם נכוחי הצלעות<br>
 
−
ושטח ז"ג הוא מהכאת קו א' בקו ב"ג לפי שיקיפו בו קוי ז"ב ב"ג וז"ב שוה לא'<br>
 
−
ושטח ז"ד יקיפו בו קוי ז"ב <s>וז"ב שוה</s> ב"ד וקו ב"ז שוה לקו א'<br>
 
−
ושטח ט"ה הוא מהכאת קו א' בקו ד"ה לפי שיקיפו בו קוי ט"ד ד"ה ושקו ט"ד שוה לקו א'<br>
 
−
ושטח כ"ג הוא מהכאת א' בה"ג לפי שכ"ה שוה לקו א'<br>
 
−
E: מופתו שנוציא מן ג' על קו ג"ב עמוד ג"ח שוה לקו א' ונשלים התמונה<br>
 
−
ונוציא מן ה' וד' עמודים על ג"ב והם ה"כ ד"ט<br>
 
−
הנה לפי ששטח ב"ח שוה לשלשה שטחי ח"ה ה"ט ט"ב<br>
 
−
לפי שמקובץ חלקי השטח שוה לכל השטח ושטח ח"ב שוה לה אשר יקיפו בו א' עם ג"ב<br>
 
−
וח"ה שוה לה אשר יקיפו בו א' עם ג"ה<br>
 
−
וכן ה"ט לאשר יקיפו בו א' עם ה"ד<br>
 
−
וד"ז לאשר יקיפו א' עם ד"ב<br>
 
−
Mu246: כיצד נוציא קוי ב"ז כ"ט ה"כ ג"ח על זויות נצבות וכל אחת מהן שוה לקו א'<br>
 
−
לפי הדבר נראה כי כל שטח ב"ח הוא כפל א' בב"ג ושטח ב"ט הוא כפל א' בד"ה ושטח ה"ח כפל א' בה"ג</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה השטח<ref>הנה השטח: F והשטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B, F, P1007 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: O16 הזוית</ref> אשר יקיפו<ref>יקיפו: P1012 om.; P1014 marg.</ref> בו שני<ref>שני: F137 om.; AB <sup>שני</sup>; P1007 ב'</ref> קוי<ref>שני קוי: Ma1 om.</ref> א' ב"ג<ref>א' ב"ג: O16 ב"ג א'</ref> שוה לשטחים נצבי הזויות<ref>הזויות: P1007 הז<sup>ו</sup>יות</ref> אשר יקיפו בהם א' ב"ד וא' ד"ה וא' ה"ג&#x202B;<ref>ה"ג: P1012 ג"ה|<br>
+
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוי ב"ג א"ד הנכחיים
−
לשטחים ... וא' ה"ג: F לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א' ב"ד והשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א' ד"ה והשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א' ה"ג<br>
+
|-
−
B לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ב"ד ולשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ד"ה ולשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ה"ג [&#x202B;הזויות: Mu130 הזוית]<br>
+
|Supposition:
−
AB לשטחים נצבי הזויות אשר יקיפו בהם <sup>שני קוי</sup> א' ב"ד <s>וא' ד"ה וא' ה"ג</s> <sup>ולשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ד"ה ולשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ה"ג</sup></ref><ref group=note>C: וכבר התבאר שאשר יהיה מהכאת <s>ק</s> קו א' בקו ב"ג שוה לאשר הוא מהכאת קו א' בקו ב"ד ובקו ד"ה ובקו ה"ג וזה מה שרצינו לבאר<br>
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי משולש אב"ג שוה למשולש דב"ג
−
E: יהיה <sup>ה</sup>שטח שיקיפו בו א' עם ב"ג שהוא כמו ב"ה שוה למקובץ שטחי א' עם ג"ה ה"ד ד"ב שהם כמו שטחי ח"ה ה"ט ט"ב והוא המכוון</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F137 וא"כ</ref> כאשר<ref>הנה כאשר: AB הנה <sup>התבאר כי</sup> כאשר</ref> היו<ref>היו: F137 יהיו</ref> שני<ref>שני: P1007 ב'</ref> קוים ישרים ונחלק<ref>ונחלק: F137 וחולק</ref> אחד<ref>Mu130: F137 א'</ref> משניהם<ref>משניהם: F137, B(except for W66), P1010 מהם</ref> לחלקים כמה שיהיו<ref>לחלקים כמה שיהיו: A2 בחלקים כמה שהיו; Mu130 לאי זה חלק שיהיה; O16 לאי זה חלקים שיהיו; P1007 לחלקים כמה שיהי<s>ה</s><sup>ו</sup></ref> הנה השטח<ref>השטח: P1007 om.</ref> הנצב<ref>הנצב: F137, B(except for W66) נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130 הזוית, P1007 הז<sup>ו</sup>יות</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: P1007 בהם, P1010 <sup>בו</sup></ref> שני<ref>שני: P1007 ב'</ref> הקוים<ref>הקוים: F137 הקוין; P1007 קוים</ref> הישרים<ref>הישרים: B(except for W66) הישרים המונחים; AB הישרים <sup>המונחים</sup>, A1 om.</ref> שוה<ref>שוה: F137 יהיה שוה; O16 שוים</ref> לכל השטחים<ref>לכל השטחים: F137, B(except for W66) לשטחים</ref> הנצבים<ref>הנצבים: F137, B(except for W66) נצבי; A1, A2 הנצבי</ref> הזויות אשר יקיף<ref>יקיף: B(except for W66), A2, P1007, P1012 יקיפו</ref> בהם<ref>בהם: B(except for W66) בהן</ref> הקו אשר לא נחלק<ref>נחלק: F137 יתחלק; Mu130 תחלק; O16 יחלק</ref> וכל<ref>וכל: P1014 לכל</ref> אחד<ref>וכל אחד: P1012 לאחד</ref> מן החלקים&#x202B;<ref>מן החלקים: B(except for W66), P1007 מהחלקים|<br>
+
|style="text-align:right;"|ונוציא א"ד בשני הצדדים על שתי נקודות ה"ז
−
הנה כאשר ... מן החלקים: C, Ma1, E, W66 om.</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה<ref>וזה: F137 וזהו</ref> מה שרצינו לבאר&#x202B;<ref>וזה מה שרצינו לבאר: E והוא המכוון; Mu130 ומש"ל; P1007 וזמש"ל; Ma1, P1014 וזה מש"ל; P1010 וזה מה שרצינו לבארו; O16 om.</ref>
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ב' קו ישר נכחי לקו ג"א הישר והוא ב"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|ומנקודת ג' קו ישר נכחי לקו ב"ד הישר והוא ג"ז
−
=== Proposition 2 ===
 
−
in modern notation: <math>\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]=\left(a+b\right)^2</math>
 
−
|style="text-align:right;"|'''ב'''<ref>ב: O16, P1007, P1012 mark is missing; Mu130 למוד ב'</ref> כאשר נחלק<ref>כאשר נחלק: C כשיחלק; F כאשר יתחלק</ref> קו ישר<ref>ישר: C, B ישר מונח; AB ישר <sup>מונח</sup></ref> איך שקרה<ref>איך שקרה: C בחלקים כפי אשר קרה; B איך שהזדמן; F איך שיזדמן</ref> הנה<ref>הנה: C, F יהיו; AB <sup>הנה</sup></ref> השטחים<ref>השטחים: Mu130 שני השטחים; O16 השני שטחים</ref> נצבי<ref>נצבי: A1 הנצבי</ref> הזויות<ref>הזויות: C הזוייות</ref> אשר יקיף<ref>אשר יקיף: C שיקיפו; P1007 אשר יקיפו</ref> בהם הקו כלו וכל אחד מחלקיו<ref>מחלקיו: Mu130, O16 מהחלקים; W66 מן חלקיו</ref> שוה למרובע המתהוה<ref>המתהוה: A2, B, F ההוה</ref> מן<ref>המתהוה מן: C om.</ref> הקו<ref>מן הקו: P1007, W66 מהקו; O561 מן <s>כלו</s> הקו</ref> כלו&#x202B;<ref>כלו: Mu130 om.</ref><ref group=note>P1011: כל קו יחלק לחלקים הנה אשר יהיה מהכאת הקו בכל חלקיו כמו אשר יהיה מהכאת הקו בעצמו<br>
 
−
E: &#x202B;2 כשנחלק קו ישר לשני חלקי' איך שהזדמן יהיה השטח נצב הזוית שיקיפו בו הקו <s>כלו</s> כלו עם כל אחד מהחלקים שוי' למרובע כל הקו<br>
 
−
Mu36: ובנס’ אלחג’אג’ כתו’ כאשר נחלק אי זה מספר שהיה בשני חלקים איך שקרה הנה הכאת המספר כלו בכל אחד מהחלקים להכאת המספר כלו בעצמו<br>
 
−
ולפי זאת הנס’ צריך להיות המרובע שוה הצלעו’ כמו זה שלפנינ’<br>
 
−
AB: המשל לתמונת ב' כאשר חולק עשרה לשני חלקים כמו ששה וארבעה הנה שטח ששה בעשרה שהוא ס' ושטח ארבעה בעשרה שהוא ארבעים שוה למרובע המתהווה מעשרה אשר הוא מאה<br>
 
−
וזה מתבאר מתמונת א' וזה כי בתמונת א' התבאר שהכאת קו ראשון בקו שני כולו כהכאת הקו הראשון בחלקי הקו השני בין שיהיו שני הקוים ר"ל הראשון והשני שוים או בלתי שוים<br>
 
−
W66: משל זה במספר כשנחלק עשרה לשני מספרי ו' וד' הנה שטח ו' בי' שהוא ס' ושטח ד' בי' שהוא מ' יחד שוים למרובע המתהוה מי' שהוא מאה<br>
 
−
וזה <s>מתפאר</s> מתבאר מתמונת א' כי שם התבאר שהכאת קו ראשון בקו שני בקו שני כלו כהכאת הקו הראשון בחלקי הקו השני בין שהיו <s>ה</s>שני הקוים ר"ל הראשון והשני שוים או בלתי שוים<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot10\right)+\left(4\sdot10\right)=60+40=100=10^2}}</math><br>
 
−
P1014: וכן הח’ אם תחלקהו לו’ וב’ מרובע הכל ס”ד ואם תכה הח’ עם הב’ ועם הב’ יהיו ס”ד וכן בשני המספרים איזה שיהיו<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(8\sdot6\right)+\left(8\sdot2\right)=8^2}}</math></ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה<ref>ויהיה: F137 יהיה; Ma1 המשל יהיה; B הנה יהיה</ref> קו<ref>קו: F, O16, P1014 הקו</ref> ישר<ref>ישר: F, P1014 הישר; O16 הישר המונח; Mu130, W66 ישר מונח; AB ישר <sup>מונח</sup></ref> עליו<ref>עליו: A1, A2, P1012, P1014 om.; AB, P1010 <sup>עליו</sup></ref> א"ב<ref>א"ב: Mu130, P1014 קו א"ב</ref> ויחלק<ref>ויחלק: F ויתחלק; O16 נחלק; Mu130 ונחלק; W66 שנחלק</ref> איך שיקרה<ref>איך שיקרה: B איך שהזדמן; F איך שיזדמן; P1013 איך שקרה; O561 איך ש<sup>י</sup>קרה</ref> על נקודת ג'<ref>ג': W66 א'</ref> הנה<ref>הנה: F om.</ref> אומר כי<ref>אומר כי: B אומר ש</ref> השטח<ref>השטח: P1007, P1014 שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B, F, P1013 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130 הזוית</ref> אשר יקיפו<ref>יקיפו: O16 יקיף</ref> בו שני<ref>שני: F, O16 om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ב<ref>א"ב: F, B(except for W66) ב"א</ref> ב"ג<ref>ב"ג: F, B(except for W66), P1007 א"ג; Lo <s>ג"ד</s> ב"ג</ref> עם<ref>עם: P1007 <s>שוה למרובע המתהווה</s> עם; P1012 וגם</ref> השטח<ref>השטח: A2 שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B, F, A2 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Ma1, B(except for W66) הזוית</ref> אשר יקיפו בו שני<ref>שני: P1007 ב'; P1012 שתי</ref> קוי<ref>שני קוי: F om.; Mu130 שני קו; P1013 שני קוים</ref> א"ב א"ג<ref>א"ג: B(except for W66), F ב"ג; P1010 <sup>א</sup>"ג</ref> שוה<ref>שוה: B(except for W66) שוים; W66 שוה<sup>ים</sup></ref> למרובע המתהוה<ref>המתהוה: B, F ההוה; O561 ה<sup>מת</sup>הווה</ref> מן א"ב&#x202B;<ref>מן א"ב: B(except for W66), F, P1007 מא"ב; W66 <s>מהקו כלו</s> מא"ב</ref><ref group=note>C:המשל בזה שקו א"ב נחלק לשני חלקים על נקודת ג' ואומר כי אשר יהיה מהכאת קו א"ב בקו א"ג ובקו ג"ב שוה לאשר יהיה מהכאת א"ב בעצמו<br>
+
|style="text-align:right;"|הנה כל אחד משני שטחי ה"ב ג"א ד"ב ג"ז נכחי הצלעות שוים
−
E: יהיה הקו הישר א"ב ויחלק על ג' ואומ' שמרובע א"ב שוה לשטח א"ב בא"ג וא"ב בג"ב</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנה<ref>והנה: Ma1 המופת; B הנה; F137 om.</ref> נעשה על קו<ref>על קו: B מקו; AB <s>על</s> <sup>מ</sup>קו</ref> א"ב<ref>על קו א"ב: F מא"ב</ref> מרובע עליו<ref>עליו: O561 marg.</ref> א"דה"ב <span style=color:red>ממ”ו מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>ממ"ו מא': C בצורת מ"ו; A1, F137, Lo, P1010, PP ממ"ו מראשון; AB מ"ו מראשון; Ma1, E, P1007, P1012, W66 om.</ref>
+
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ה"ב ג"א הנכחי הצלעות שוה לשטח ז"ד ב"ג הנכחי הצלעות
 
|-
 
|-
−
|אד, בה <math>\scriptstyle\parallel</math> גז
+
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ג' קו ישר נכחי לכל<ref>לכל: Mu36, Mu130 <sup>ל</sup>כל; Mu91 <s>לקו</s> לכל; O561 כל</ref> אחד משני<ref>משני: P1007 מב'</ref> קוי <ref>משני קוי: F, B(except for Mu130) מקוי</ref> א"ד ב"ה והוא ג"ז <span style=color:red>מל”א מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>מל"א מא': A1, F137, Lo, P1010, PP מל"א מראשון; Mu130 מל"א; AB, C, Ma1, E, P1007, P1012, W66 om.</ref>
+
|style="text-align:right;"|מפני שהם על תושבת אחת והיא ב"ג
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>אז</sub> + &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>גה</sub> = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>אה</sub>
+
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל אחד משני<ref>הנה כל אחד משני: P1014 <s>הנה כל אחד משני קוי א"ד ב"ה והוא ג"ז</s> הנה כל אחד משני; P1007 הנה כל אחד מב'</ref> שטחי<ref>משני שטחי: F, B משטחי</ref> א"ז ג"ה נכחי הצלעות ושטח א"ה שוה לשני<ref>לשני: A2 לשתי; P1007 לב'</ref> שטחי<ref>לשני שטחי: F137 לשטחי; Ma1 לשטח; W66 לשתי שטחים</ref> א"ז ג"ה<ref>א"ז ג"ה: AB, P1010 א"ז ג"ה <sup>נכחיי הצלעות</sup>; PP, W66 א"ז ג"ה נכחיי הצלעות</ref> <span style=color:red>מא’ מזה</span>&#x202B;<ref>מא' מזה: A2 מהקודמת; AB מפתיחת א'; P1010 מא'; B, C, Ma1, E, P1007, P1012, P1014 om.</ref>
+
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוי ב"ג ה"ז הנכחים
 
|-
 
|-
−
|אב = אד&rarr;
+
|
−
אג &times; בא = אג &times; אד = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>אז</sub>
+
|style="text-align:right;"|וחצי שטח ה"ב ג"א הנוכחי הצלעות הוא משולש אב"ג
−
|style="text-align:right;"|ושטח א"ז שוה<ref>שוה: O16 om.</ref> לשטח נצב<ref>נצב: O16 הנצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130, P1010 הזוית</ref> אשר יקיפו<ref>יקיפו: B(except for Mu130) יקיף</ref> בו<ref>בו: O561 <sup>בו</sup></ref> ב"א <ref>ב"א: A2, P1007 א"ב</ref>א"ג<ref>ב"א א"ג: F137 <s>א"ב ג"ב</s> marg. ב"א א"ג; E א"ג בא"ב; A1 ב"א וא"ג</ref> כי הוא<ref>כי הוא: F, B מפני ש</ref> יקיפו<ref>יקיפו: F, B(except for Mu130) מקיף; Mu130 מקיפים</ref> בו שני<ref>שני: Ma1 om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ד<ref>א"ד: F, B ד"א</ref> א"ג<ref>כי הוא ... א"ד א"ג: Mu36 om.; O561 marg. בו א"ד א"ג וקו א"ד שוה לקו א"ב ושטח ג"ה שוה לשטח<br> א"ג: P1007 ב"ג; A1 וא"ג</ref> וקו א"ד<ref>א"ד: F, B ד"א</ref> שוה לקו א"ב
 
 
|-
 
|-
−
|אב &times; בג = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>גה</sub> &rarr; אב = בה
+
|
−
|style="text-align:right;"|ושטח ג"ה שוה<ref>שוה: P1012 om.</ref> לשטח הנצב<ref>הנצב: AB, B, P1013 נצב</ref> הזויות<ref>הנצב הזויות: F om.</ref> אשר יקיפו בו<ref>ב"א א"ג ... יקיפו בו: P1014 om.<br>בו: P1010 om.</ref> שני<ref>שני: P1007 ב'</ref> קוי<ref>שני קוי: Ma1, A1 om.</ref> א"ב ב"ג<ref>ב"א א"ג ... א"ב ב"ג: F137 marg.<br> ב"ג: Ma1 ג"ב; AB <s>ב"ג</s> <sup>ב"ג</sup>; P1007, P1014 א"ג; P1013 ה"ג</ref> מפני שא"ב<ref>מפני שא"ב: A2 מפני כי א"ב; P1014 מפני שא"ד; O16 הנה מפני שא"ב</ref> שוה לב"ה&#x202B;<ref>לב"ה: P1014 לב"א<br>מפני ש... לב"ה: F137 added on top of the line</ref>
+
|style="text-align:right;"|מפני שא"ב קוטרו
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;<sup>2</sup>אב = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>אה</sub>
+
|
−
|style="text-align:right;"|ושטח א"ה הוא<ref>הוא: O16 om.</ref> המרובע ההוה<ref>ההוה: P1010, P1012, PP הווה</ref> מקו א"ב<ref>מקו א"ב: F137 מא"ב</ref>
+
|style="text-align:right;"|וחצי שטח ד"ב ג"ז הנכחי הצלעות היא משולש דב"ג
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;<sup>2</sup>אב = &#x202B;(אב &times; אג)+(אב &times; בג)
+
|
−
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F ואם כן</ref> השטח<ref>השטח: F השטחים</ref> נצב<ref>נצב: F נצבי; B(except for Mu130), AB, Lo הנצב</ref> הזויות<ref>הזויות: O561 הזוי<sup>ו</sup>ת</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: F בהם; P1007, P1010, W194 om.; O561 <sup>בו</sup></ref> שני<ref>שני: F om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ב<ref>א"ב: B(except for Mu130) ב"א</ref> א"ג<ref>א"ג: A1 ב"ג</ref> עם השטח הנצב<ref>הנצב: B, F, P1013 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Ma1 הזוי<sup>ו</sup>ת; O561 הזוית</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: A2, P1007, P1010, PP om.</ref> שני קוי<ref>שני קוי: F om.</ref> א"ב ב"ג<ref>ב"ג: A1 א"ג</ref> שוה<ref>שוה: F שניהם שוים</ref> למרובע<ref>למרובע: Lo עם המרבע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: B, Lo, P1007 ההוה</ref> מן<ref>המתהוה מן: F om.</ref> א"ב&#x202B;<ref>מן א"ב: B(except for Mu130), P1007 מא"ב; F אדה"ב; Mu130 מן הקו כלו</ref><ref group=note>מופת זה שנצייר על קו א"ב שטח מרובע והוא שטח א"ה ונוציא מנקודת ג' קו עד ז' נכוחי לקוי א"ד וב"ה ויהיו שטחי א"ז וז"ב נכוחי הצלעות והם שוים לשטח א"ה ושטח א"ז הוא <s>נכוחי</s> אשר היה מהכאת קו ב"א בקו א"ג לפי שיקיפו בו קוי ד"א א"ג וד"א שוה לא"ב ושטח ז"ב הוא אשר היה מהכאת א"ב בג"ב לפי שיקיפו בו ה"ב ב"ג וה"ב שוה לא"ב ושטח א"ה הוא אשר היה מהכאת א"ב בעצמו<br>
+
|style="text-align:right;"|מפני שג"ד קטרו
−
וכבר התבאר שאשר היה מהכאת א"ב בא"ג ובג"ב שוה לאשר היה מהכאת א"ב בעצמו<br>
 
−
E: מופתו שנעשה על א"ב מרובע א"ה ונוציא ג"ז נכחי לב"ה ולפי ששטח א"ז שוה לשטח שיקיפו בו א"ג בא"ב כי ג"ז כמו א"ב וכן ששטח ג"ה שוה לשטח שיקיף בו א"ב בג"ב ושניהם שו<sup>י</sup>ם למרובע א"ה יהיה מרובע א"ה שהוא ההוה מקו א"ב שוה לשני שטחים ההוים מא"ב בא"ג וא"ב בב"ג<br>
 
−
וכבר יתבאר זה בצד אחר כשנניח קו ח' שוה לא"ב ותהיה השטח הנצב הזוית שיקיף בו ח' בא"ב שהוא כמו מרובע א"ב משלפניה' שוה לשטח נצב הזוית <sup>שיקיף</sup> בו ח' בא"ג וח' בג"ב והם כמו שטחי א"ג בא"ב וג"ב בא"ב<br>
 
−
Mu246: ג כשיוחלק קו א"ב בחלקי א"ג ג"ב נאמ' כי כפל א"ב בפני עצמו ככפלו בכל אחד מן א"ג ג"ב<br>
 
−
והדבר בו ברור כשנעשה על קו א"ב מרובע ואחר כך נוציא בו קו ג"ז עמוד</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F137 ואם כן</ref> כאשר נחלק<ref>נחלק: F137 יתחלק</ref> קו<ref>קו: O16 om.</ref> ישר<ref>ישר: AB ישר <sup>מונח</sup>; O16 ישר מונח</ref> איך שקרה<ref>איך שקרה: F137 איך שיזדמן; O16 איך שהזדמן</ref> הנה<ref>הנה: F137 יהיו</ref> השטחים<ref>השטחים: O16 שני השטחים</ref> הנצבי<ref>הנצבי: F137, O16, P1012, P1014 נצבי</ref> הזויות אשר יקיף בהם<ref>בהם: P1007 בו</ref> הקו כלו וכל אחד<ref>אחד: P1007 א'</ref> מחלקיו<ref>מחלקיו: O16 מהחלקים</ref> שוה למרובע המתהוה<ref>המתהוה: F137, O16 ההוה; PP המהווה</ref> מן הקו<ref>מן הקו: P1007 מהקו; P1013 מן קו</ref> כלו&#x202B;<ref>הנה ... כלו: C, Ma1, E, B(except for O16) om.</ref>
+
|style="text-align:right;"|וכאשר נחלקו השוים יהיו גם כן שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר&#x202B;<ref>וזה מה שרצינו לבאר: E, Mu130 ומש"ל; P1007 וזמש"ל; F, P1012 וזהו מה שרצינו לבאר; Mu36, P1014 וזה מש"ל; P1010 וזה מה שרצינו בארו</ref>
+
|style="text-align:right;"|אם כן משלש אב"ג שוה למשולש דב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|הנה כל שני משולשים אשר על תושבת אחת ובצד אחד ובמה שבין שני קוים בעצמם נכחים שוים קצתם אל קצת
−
=== Proposition 3 ===
 
−
in modern notation: <math>\scriptstyle\left(a+b\right)\sdot a=\left(b\sdot a\right)+a^2</math>
 
−
|style="text-align:right;"|'''ג'''<ref>ג: P1007, P1012 mark is missing; Ma1 ד'; Mu130 למוד ג'; O561 marg. at the end of proposition 2 חסר מכאן תמונת ג’ והיא &#x202B;[...]</ref> כאשר נחלק<ref>כאשר נחלק: C כשיחלק; F כאשר יתחלק</ref> קו ישר<ref>ישר: C, B ישר מונח; AB ישר <sup>מונח</sup></ref> בשני<ref>בשני: P1007 לב'</ref> חלקים<ref>בשני חלקים: F137 marg.; Ma1 om.</ref> איך שקרה<ref>איך שקרה: C כמו שקרה; F137 איך מה שיזדמן; Ma1 איך שהזדמן; B איך שיזדמן</ref> הנה<ref>הנה: C, F יהיה</ref> השטח<ref>השטח: C שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B, C, F נצב</ref> הזויות אשר יקיף<ref>אשר יקיף: C שיקיפו; B אשר יקיפו</ref> בו<ref>בו: Mu130 om.</ref> הקו<ref>הקו: PP קו</ref> כלו ואחד משני<ref>משני: F137 marg.; P1007 מב'</ref> חלקיו<ref>משני חלקיו: C, Ma1 מחלקיו; B(except for Mu130) מן החלקים</ref> שוה לשטח הנצב<ref>הנצב: B, C, Ma1, W194 נצב; F137 <s>נצב לשטח</s> נצב</ref> הזויות<ref>אשר יקיף ... הזויות: P1013 om.</ref> אשר יקיפו<ref>אשר יקיפו: C שיקיפו</ref> בו<ref>בו: C, P1010 <sup>בו</sup></ref>השני<ref>השני: B(except for W66), C, F, Lo שני; W66 שתי; P1007, P1013 הב'</ref> חלקים<ref>חלקים: B, C, F, Lo החלקים</ref> והמרובע<ref>והמרובע: C ומרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: B, F, Lo ההוה</ref> מן<ref>המתהוה מן: C om.</ref> החלק<ref>מן החלק: B(except for Mu130), P1007 מהחלק</ref> אשר זכרנו&#x202B;<ref>אשר זכרנו: C שהזכרנו</ref><ref group=note>E:&#x202B;3 השטח ההוה מקו מה עם אחד מחלקיו שוה לשטח נ"ה שיקיפו בו השני חלקי' ומרובע החלק הנזכר<br>
 
−
P1011: כל קו יחלק בשני חלקים הנה אשר יהיה מהכאת כל הקו באחד החלקים כמו אשר יהיה מאחד מהחלקים בשני והכאת החלק אשר בו הוכה הקו בעצמו<br>
 
−
Mu36: נס’ אלחג’אג’ כאשר נחלק מספר בשני חלקים איך שקרה הנה הכאת המספר כלו באחד מחלקיו שוה להכאת שני החלקים הא[חד] בחבירו עם הכאת החלק ההוא בעצמו<br>
 
−
W66: משל זה במספר כשחולק קו עשרה לשני חלקים כמו ששה וארבעה הנה שטח ד' בי’ שהוא מ’ שוה לשטח ו' בד’ שהוא כ”ד עם מרובע ד’ שהוא י”ו<br>
 
−
Mu91: המשל לתמונת ג' כאשר חולק קו עשרה לשני חלקים כמו ששה וארבעה הנה שטח ארבעה בעשרה שהוא מ’ שוה לשטח ששה בארבעה שהוא כ”ד עם מרובע ד’ שהוא י”ו<br>
 
−
וזה מתבאר מתמונת א’ וזה כי בתמונת א’ התבאר שהכאת קו ראשון בקו שני כמו הכאת קו ראשון עם חלקי הקו השני<br>
 
−
וכן בתמונה הזאת כי הכאת קו ארבע שהוא הראשון עם עשרה השני כהכאת הקו ד’ הראשון עם ששה וארבעה שהם חלק הקו השני<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot10=40=24+16=\left(4\sdot6)\right)+4^2}}</math><br>
 
−
Mu130: יהיה הקו כלו עשרה ונחלק לשבעה וג’ הנה הכאת עשרה בג’ שהם ל’ כמו הכאת ז’ בג’ שהם כ”א עם הכאת ג’ בעצמו שהם ט’ שהמקובץ מכ”א וט’ יעלו ל’<br>
 
−
Another example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot10=30=21+9=\left(3\sdot7\right)+3^2}}</math><br>
 
−
P1010: דמיון במספר המרובע המתהוה מהכאת עשרה בששה כמרובע ההווה מהכאת ששה בארבעה שהוא כ”ד וכמרובע ההווה מששה בעצמו שהוא החלק אשר זכרנו והיה ל”ו והכל ששים וכך מרובע עשרה בששה<br>
 
−
Example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot10 = 60 = 24+36 = \left(6\sdot4\right)+6^2}}</math><br>
 
−
P1014: וכן הח’ על ו’ וב’ הח’ עם הב’ יעלו י”ו וכן הו’ בב’ ומרובע הב’ יעלו י”ו וכן בכל מן מספר<br>
 
−
Example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot2=16=\left(6\sdot2\right)+2^2}}</math></ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה<ref>ויהיה: B הנה יהיה; F המשל יהיה</ref> קו<ref>קו: Ma1 הקו</ref> ישר<ref>ישר: B ישר מונח; AB ישר <sup>מונח</sup>; Ma1 הישר</ref> עליו<ref>עליו: A1 om.</ref> א"ב<ref>א"ב: A1 om.</ref> ויחלק<ref>ויחלק: AB, B(except for W66) ונחלק; W66 ונחלק אותו; F ויתחלק</ref> איך שיקרה<ref>איך שיקרה: F איך שיזדמן; B איך שהזדמן; P1007 איך שקרה</ref> על<ref>על: P1010 <s>עליו</s> על</ref> נקודת ג' הנה<ref>הנה: F om.</ref> אומר כי השטח<ref>כי השטח: B שהשטח; Ma1 ששטח; F137 כי שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B, F נצב</ref> הזויות אשר יקיפו<ref>יקיפו: Mu130 יקיף</ref> בו קוי<ref>קוי: A2, B, P1014 שני קוי; AB <sup>שני</sup> קוי; A1, P1007 קו</ref> א"ב ב"ג שוה<ref>שוה: Ma1 שוים</ref> לשטח הנצב<ref>הנצב: B, F נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: P1014 הזוית</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: Mu130, W194 om.</ref> שני<ref>שני: F om.; P1007 ב'</ref> קוי<ref>א"ב ב"ג ... שני קוי: W66 marg.</ref> א"ג ג"ב<ref>ג"ב: Mu36, P1007, P1014 ב"ג</ref> והמרובע המתהוה<ref>המתהוה: B, F ההוה</ref> מן ג"ב&#x202B;<ref>מן ג"ב: F מב"ג; P1007 מג"ב; Mu36 מן <s>ג"ב</s> ג"ב</ref><ref group=note>C: המשל בזה שקו א"ב נחלק לשני חלקים על נקודת ג' ואומר שאשר יהיה מהכאת קו א"ב בא"ג שוה לאשר יהיה מהכאת א"ג בג"ב ומהכאת א"ג בעצמו<br>
+
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
−
E: יהיה הקו א"ב ונחלק על נקודת ג' ואומ' ששטח א"ב באחד מחלק<sup>י</sup>ו ויהיה ב"ג שוה למרובע ב"ג עם שטח א"ב בב"ג</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעשה<ref>ונעשה: F137 נעשה; Ma1 מופת זה נעשה; B(except for W66) הנה נעשה</ref> מן קו<ref>מן קו: F על; A1, B, Lo, P1010, PP מקו; P1007 הקו; Mu36 מן <sup>קו</sup></ref> ג"ב<ref>ג"ב: F ב"ג</ref> מרובע עליו<ref>עליו: F om.</ref> בגד"ה<ref>בגד"ה: W66 ה"ג</ref> <span style=color:red>ממ”ו מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>ממ"ו מא': AB מ"ו מראשון; A1, F137, Lo, P1010, PP ממ"ו מראשון; Mu130 ממ"ו; C, Ma1, E, Mu36, P1007, P1012 om.</ref>
+
 
−
|-
+
=== Proposition 38 ===
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונתמים<ref>ונתמים: B(except for W66), F ונשלים; Lo, AB, P1010, PP ונתמם</ref> שטח א"ג ד"ז<ref>א"ג ד"ז: F אזד"ג; B(except for W66) ג"א ז"ד</ref> הנכחי<ref>הנכחי: F נכחי</ref> הצלעות<ref>הנכחי הצלעות: B(except for W66) הנכחי הצלעות נצב הזויות</ref> <span style=color:red>מל”א וממ”ב מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>מל"א וממ"ב מא': F137, Lo, P1013, PP מל"א ומ"ב מראשון; P1010 מל"א מרא'; W66 מב"א ומ"ב מא'; W194 מל"א ומ"ה מראשון; AB, B(except for W66), C, Ma1, E, Mu36, P1007, P1012 om.</ref>
 
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>אד</sub> + &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>גה</sub> = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>אה</sub>
+
|The triangles, which are on equal bases, on the same side, and between the same two parallel lines, are equal to one another.
−
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: O16 marg.</ref> כל אחד<ref>אחד: AB <s>שטח</s> אחד</ref> משני<ref>משני: P1007 מב'; P1010 <s>משטי</s> משני</ref> שטחי<ref>משני שטחי: F משטחי</ref> א"ה<ref>א"ה: A1, Mu130 ג"ה</ref> א"ד<ref>א"ה א"ד: Mu36, P1014 א"ד ג"ה</ref> נכחי<ref>נכחי: F נכחיי</ref> הצלעות<ref>נכחי הצלעות: B(except for W66) נכחי הצלעות נצב הזויות</ref> ושטח א"ה שוה לשטח א"ד עם ג"ה<ref>ג"ה: F שטח ה"ג; B(except for W66), Mu36 שטח ג"ה</ref> <span style=color:red>מא’ מזה</span>&#x202B;<ref>מא' מזה: P1010 מא'; AB, B, C, Ma1, E, P1007, P1012, P1013 om.</ref>
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לח</span> <big>המשולשים</big> אשר הם על שתי תושבות שוות ובצד אחד ובמה שבין שני קוים בעצמם נכחים שוים קצתם לקצת
 
|-
 
|-
−
|אב &times; בג = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>אה</sub> &rarr; בג = בה
+
|
−
|style="text-align:right;"|וא"ה שוה לשטח הנצב<ref>הנצב: AB, B נצב</ref> הזויות<ref>הנצב הזויות: F om.</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: P1013 <s>ש</s> בו</ref> שני<ref>שני: F om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ב ב"ג<ref>ב"ג: Mu130 ג"ב</ref> מפני כי ב"ג<ref>מפני כי ב"ג: F לפי שב"ג; Mu130 מפני שב"ג</ref> שוה לב"ה
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני משולשי אב"ג דה"ז על שתי תושבות שוות והם ב"ג ה"ז
 
|-
 
|-
−
|אג &times; גב = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>אד</sub> &rarr; בג = גד
+
|
−
|style="text-align:right;"|ושטח א"ד שוה לשטח הנצב<ref>הנצב: A1, B, F נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו שני<ref>שני: F om.</ref> קוי<ref>א"ב ב"ג ... שני קוי: O16 marg.; P1007 om.</ref> א"ג ג"ב<ref>ג"ב: F, Mu36 ב"ג</ref> מפני כי ב"ג<ref>מפני כי ב"ג: F לפי שב"ג; B(except for W66) מפני שג"ב; P1013 מפני ב"ג</ref> שוה לג"ד&#x202B;<ref>ושטח א"ד ... לג"ד: Mu130 moved below; P1014 marg.</ref>
+
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוי א"ד ב"ז הנכחים
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;<sup>2</sup>גב = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>הג</sub>
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|ושטח ה"ג<ref>ה"ג: F ג"ה</ref> הוא<ref>הוא: Mu36 om.</ref> המרובע<ref>המרובע: Mu36 מרובע; AB <sup>ה</sup>מרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: B(except for W66), Ma1 ההוה; F137 <s>המ</s> ההווה; Mu36 מתהוה</ref> מן ג"ב&#x202B;<ref>מן ג"ב: F, Mu36, P1007 מג"ב<br>ושטח ה"ג ... מן ג"ב: P1014 ושטח מרובע מתהוה מן ב"ג; marg. ושטח ה"ג הוא המרובע המתהוה מן ג"ב</ref>
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר שמשלש אב"ג שוה למשולש דה"ז
−
|-
 
−
|&#x202B;<sup>2</sup>גב+ &#x202B;(אג &times; גב) = אב &times; בג
 
−
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F אם כן; Mu130 ושטח א"ד [...] לג"ד הנה</ref> השטח הנצב<ref>הנצב: B(except for W66), F, Mu36 נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו שני<ref>שני: F om.</ref> קוי א"ב ב"ג שוה לשטח הנצב<ref>הנצב: B(except for W66), F, P1013 נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו שני<ref>שני: P1007 ב'</ref> קוי<ref>שני קוי: A1, F om.</ref> א"ג ג"ב<ref>א"ג ג"ב: P1012 א"ב ב"ג; F א"ג ב"ג</ref> והמרובע<ref>והמרובע: Ma1 ומרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: B(except for W66), A1, AB, F ההוה</ref> מן ג"ב&#x202B;<ref>מן ג"ב: F מב"ג; P1007 מג"ב</ref><ref group=note>C: מופת זה שנצייר על קו א"ג שטח מרובע עליו א"ז ונוציא קו ז"ד אל ה' ונוציא <sup>מב'</sup> <s>מבית</s> קו נכוחי לקוי א"ד וג"ד והוא קו ב"ה ושטחי ז"ב וז"א נכוחי הצלעות ושטח ב"ד גם כן נכוחי הצלעות והוא שטח ז"ב ושטח ז"א יחד וז"ב הוא שהיה מהכאת א"ג בג"ב לפי שיקיפו בו ב"ג ג"ז וז"ג שוה לג"א וב"ד הוא שהיה מהכאת <s>א"ג בג"ב</s> א"ב בא"ג לפי שיקיפו בו ב"א א"ד וג"א שוה לא"ד וא"ד הוא שהיה מהכאת א"ג בעצמו<br>
 
−
והתבאר כבר שאשר היה מהכאת ב"א בא"ג שוה לאשר היה מהכאת א"ג בג"ב ומהכאת א"ג בעצמו<br>
 
−
E: מופתו שנעשה על ב"ג מרובע והוא ב"ד ונוציא קו ד"ה על יושר ונשלים שטח א"ה ויהיה שטח א"ה שוה לשני שטחי א"ד ד"ב ושטח א"ה שוה לשטח שיקיפו בו א"ב ב"ג כי ב"ג שוה לב"ה ושטח א"ד שוה לשטח שיקיפו בו א"ג ג"ב כי ג"ד שוה לג"ב ושטח ג"ה שוה למרובע ג"ב הנה שטח א"ב ב"ג שוה לשני שטחי א"ג בג"ב ומרובע ג"ב<br>
 
−
וכבר יתבאר זה בהניחנו קו ח' שוה לקו ג"ב ויהיה שטח ח' בא"ב שוה לשני שטחי ח' בא"ג וח' בג"ב וח' בג"ב הוא כמו מרובע ג"ב כי ח' שוה לג"ב וא"ג בח' כמו שטח א"ג בג"ב הנה שטח א"ב בב"ג שוה לשטחי א"ג בג"ב ומרובע ג"ב<br>
 
−
Mu246: ד [כמו של מעלה] קו א"ב חולק בשני חלקי' על ג' נאמ' כי כפל א"ב בא"ג ככפל א"ג בג"ב וכפל א"ג [בפני] עצמו מקובצי' נוציא עמוד א"ד שוה לא"ג וכמו כן כיוצא ב"ה ג"ז והוא כפל א"ג בפני עצמו ושטח ג"ה הוא א"ג בג"ב וכל שטח א"ה הוא כפל א"ב בא"ג</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F137 א"כ</ref> כאשר חולק<ref>חולק: F137 יתחלק; O16 נחלק</ref> קו ישר<ref>ישר: Mu36, O16 ישר מונח; AB ישר <sup>מונח</sup>; Mu130 ישר <s>על</s> מונח</ref> בשני<ref>בשני: P1007 בב'</ref> חלקים<ref>בשני חלקים: F137 om.</ref> איך שיקרה<ref>איך שיקרה: F137 איך מה שיזדמן; B(except for W66) איך שהזדמן; P1013 איך שקרה</ref> הנה<ref>הנה: F137 יהיה</ref> השטח הנצב<ref>הנצב: F137, B(except for W66) נצב</ref> הזויות אשר יקיף<ref>יקיף: Mu36, O16 יקיפו</ref> בו הקו כלו ואחד משני<ref>משני: P1007 מב'</ref> חלקיו<ref>משני חלקיו: F137 <sup>מ</sup>חלקיו; O16 מחלקיו</ref> שוה לשטח הנצב<ref>הנצב: F137, B(except for W66) נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו השני<ref>השני: F137, O16 שני; P1007 הב'</ref> חלקים<ref>חלקים: F137, O16 החלקים</ref> והמרובע המתהוה<ref>המתהוה: F137, O16 ההוה</ref> מן החלק<ref>מן החלק: O16, P1007, P1012 מהחלק</ref> אשר זכרנו&#x202B;<ref>אשר זכרנו: F137 שזכרנו<br>הנה כאשר ... זכרנו: C, Ma1, E, W66 om.</ref>
+
|style="text-align:right;"|הנה נוציא א"ד בשני הצדדי' על שתי נקודות ח"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר&#x202B;<ref>וזה מה שרצינו לבאר: F137, E, Mu130 ומש"ל; Ma1, P1007 וזה מש"ל; Lo, P1010, PP, W194 וזה מה שרצינו באורו; C וזה מה שרצינו</ref>
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ב' קו ישר נכחי לקו א"ג הישר והוא ב"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|ומנקודת ז' ישר נכחי לקו ה"ד הישר והוא ז"ט
−
=== Proposition 4 ===
 
−
in modern notation: <math>\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2\sdot\left(a\sdot b\right)</math>
 
−
|style="text-align:right;"|'''ד'''<ref>ד: P1007, P1012 mark is missing; Ma1 ג'; Mu130 למוד ד'</ref> כאשר חולק<ref>כאשר חולק: B כאשר נחלק; C כשיחלק; F כאשר יתחלק</ref> קו ישר<ref>ישר: B(except for Mu130), C, P1012; P1014 ישר מונח</ref> בשני<ref>בשני: C לשני; P1007 בב'</ref> חלקים<ref>חלקים: Ma1 חצאים</ref> איך שיקרה<ref>איך שיקרה: B איך שהזדמן; C כמו שקרה; F איך שיזדמן; O561 <sup>איך</sup> שיקרה; P1007 איך שקרה; PP איך מה שיקרה</ref> הנה<ref>הנה: C, F יהיה</ref> המרובע<ref>המרובע: C מרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), C ההוה </ref> מן<ref>המתהוה מן: C om.</ref> הקו<ref>מן הקו: B(except for Mu130), P1007 מהקו; PP מן קו</ref> כלו שוה לשני<ref>לשני: P1007 לב'</ref> המרובעים<ref>המרובעים: C מרובעי</ref> המתהוים<ref>המתהוים: B(except for Mu130), F ההוים; C om.<br>מן ... המתהוים: O561 marg.</ref> מן השני<ref>מן השני: B(except for Mu130), F, Lo, P1012, P1013, P1014 משני; C שני; P1007 מהב'; W194 מן שני</ref> חלקים<ref>חלקים: C, F, Lo, O16, P1012, P1014 החלקים; W66 <sup>ה</sup>חלקים</ref> וכפל<ref>וכפל: C ולכפל; Mu36, O16, P1012, P1014 ומכפל; O561 ו<sup>מ</sup>כפל</ref> השטח<ref>השטח: C שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B(except for Mu130), C, F נצב; P1014 om.</ref> הזויות אשר יקיפו בו השני<ref>השני: B(except for Mu130), C, F, PP שני; O561 <sup>ה</sup>שני; P1007 ב'</ref> חלקים&#x202B;<ref>חלקים: B(except for Mu130), C, F החלקים</ref><ref group=note>P1011: כל קו יחלק בחלקים הנה אשר יהיה מהכאת הקו בעצמו כמו אשר יהיה מהכאת כל חלק בעצמו ומהכאת אחד החלקים באחר שני פעמים<br>
 
−
E: &#x202B;4 מרובע כל קו <sup>נחלק לשני חלקים</sup> שוה למרובעי שני חלקיו וכפל שטח אחד מהם באחר
 
−
Mu36: נס’ אלחג’אג’ כאשר חולק איזה מספר שיהיה בשני חלקים איך מה שקרה הנה הכאת המספר ההוא בעצמו שוה להכאת כל אחד מהחלקים בעצמו ולהכאת כל אחד משני החלקים בחבירו<br>
 
−
Mu130: יהיה הקו עשרה נחלק על שלשה וז’ נכה שלשה בשבעה עלו כ”א והכפל מ”ב ומרובע שבעה מ”ט נוסיפם עלו צ”א נוסיף מרובע <s>כל הקו</s> ג’ שהוא ט’ עלו מאה וכן מרובע כל הקו מאה<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]+72+32=\left(2\sdot21\right)+49+9=42+49+9=91+9=100=102}}</math><br>
 
−
P1010: דמיון במספר כאשר תכה עשרה על דרך משל בעצמו יהיה מאה אחר כן תחלק עשרה לשני חלקים על דרך משל לז’ וג’ ותרבע ז’ בעצמו יהיה מ”ט עוד ג’ בעצמו יהיה ט’ והכל נ”ח עוד תכה ג’ בז’ ב’ פעמים יהיה מ”ב הכל מאה<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]+72+32=\left(2\sdot21\right)+49+9=42+58=100=102}}</math><br>
 
−
P1014: העשרה כלו חולק על ו’ וד’ מרובע הכל ק’ שוה למרובע הו’ והד’ וכפל שטח ו' בד’ וכן בשיעורים<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{102=100=\left[2\sdot\left(6\sdot4\right)\right]+62+42}}</math></ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה<ref>ויהיה: B(except for Mu130) הנה יהיה; F137 יהיה; Ma1 המשל יהיה</ref> קו ישר<ref>קו ישר: F, Lo הקו הישר; O16 קו</ref> עליו<ref>עליו: B(except for Mu130) מונח עליו</ref> א"ב ויחולק<ref>ויחולק: F ויתחלק; O16 נחלק; W66 ונחלק</ref> איך שיקרה<ref>איך שיקרה: B(except for Mu130) איך שהזדמן; F איך שיזדמן; P1007 איך שקרה</ref> על נקודת ג' הנה<ref>הנה: F om.</ref> אומר כי המרובע<ref>המרובע: Mu36 <sup>המרובע</sup></ref> המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F ההוה</ref> מן א"ב<ref>מן א"ב: B(except for Mu130), F, P1007 מא"ב</ref> שוה לשני<ref>לשני: P1007 לב'</ref> המרובעים המתהוים<ref>המתהוים: A1, B(except for Mu130), F ההוים</ref> מן א"ג<ref>מן א"ג: B(except for Mu130), F, P1007 מא"ג</ref> ג"ב<ref>ג"ב: F ב"ג</ref> וכפל<ref>וכפל: P1014 ומכפל</ref> השטח<ref>השטח: W66 שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B(except for Mu130), F נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Ma1 הזוית</ref> אשר יקיפו בו שני<ref>שני: F om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ג ג"ב&#x202B;<ref>ג"ב: F ב"ג</ref><ref group=note>C: המשל בזה שקו א"ב נחלק לשני חלקים על נקודת ג' ואומר שאשר יהיה מהכאת א"ב בעצמו שוה לאשר יהיה מהכאת א"ג בעצמו וג"ב בעצמו וא"ג בג"ב פעמים<br>
+
|style="text-align:right;"|הנה כל אחד משני שטחי ח"ב ג"א ה"ד ז"ט נכחי הצלעות
−
E: יהיה הקו הנחלק א"ג וחלקיו א"ב א"ג אומ' שמרובע א"ג כמו שני מרובעי א"ב ב"ג וכפל שטח א"ב [ב]ב"ג</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נעשה מן א"ב מרובע א"דה"ב <span style=color:red>ממ”ו מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ח"ב ג"א נכחי הצלעות שוה לשטח ה"ד ט"ז הנכחי הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע ד"ב ונוציא מנקודת ג' קו נכחי לשני קוי א"ד ב"ה והוא ג"ז <span style=color:red>מל”א מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|מפני שהם על תושבת ב"ג ה"ז השוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויחתוך קו ד"ב על נקודת ח' ונוציא מנקודת ח' קו נכחי לשני קוי א"ב ד"ה והוא קו ט"כ הנה מפני כי קו ג"ז נכחי לקו א"ד וכבר נפל על שניהם קו ב"ד הישר תהיה זוית ג'ח'ב' החיצונה שוה לזוית א'ד'ב' הפנימית אשר תקבילה <span style=color:red>מכ”ט מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוי ב"ז ח"ט הנכחיים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל זוית א'ד'ב' שוה לזוית ד'ב'א' מפני כי צלע א"ד שוה לצלע א"ב <span style=color:red>מה’ מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|וחצי שטח ח"ב ג"א הוא משולש אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית ג'ח'ב' שוה לזוית א'ב'ד' הנה יהיה צלע ג"ח שוה לצלע ג"ב <span style=color:red>מו’ מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|מפני שא"ב קטרו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי צלע ג"ח שוה לב"כ וג"ב שוה לח"כ יהיו קוי ב"ג ג"ח ח"כ כ"ב הארבעה שוים קצתם אל קצת הנה שטח ג"כ שוה הצלעות <span style=color:red>מל”ד מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|וחצי שטח ז"ט ד"ה הוא משולש דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואומר גם כן כי הוא נצב הזויות הנה מפני כי ג"ח נכחי לב"כ וכבר נפל על שניהם ג"ב יהיו שתי זויות ג'ב'כ' ח'ג'ב' שוות לשתי נצבות <span style=color:red>מכ”ט מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|מפני שד"ז קטרו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית כ'ב'ג' נצבת הנה זוית ב'ג'ח' נצבת ויהיו מפני זה שתי זויות ג'ח'כ' ח'כ'ב' המקבילות לשתיהן נצבות <span style=color:red>מל”ד מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|וכאשר נחלקו השוים יהיו גם כן שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שטח ח"ג כ"ב נצב הזויות וכבר התבאר שהוא שוה הצלעות הנה שטח ג"כ מרובע והוא המתהוה מן ג"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה משולש אב"ג שוה למשולש דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן התבאר ששטח ט"ז גם כן מרובע והוא המתהוה מן ט”ח אשר הוא שוה לקו א”ג הנה שני שטחי כ"ג ט"ז שני מרובעים והם שוים לשני מרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה אם כן שני המשולשים אשר הם על תושבת שוות ובצד אחד ובמה שבין שני קוים בעצמם נכחיים קצתם לקצת
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|אבל ה"ח שוה לא"ח <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וא"ח שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב מפני שג"ב שוה לג"ח הנה ה"ח שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב הנה שני שטחי א"ח ח"ה שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב ושני שטחי ט”ז ג”כ שוים לשני המרובעים המתהוים מן קוי א”ג ג”ב הנה כבר התבאר ששטחי ט"ז ג"כ א"ח ח"ה שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א”ג ג”ב ומכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א”ג ג”ב אבל שטחי ט”ז ג”כ א”ח ח”ה הם שוים לשטח א"ד ה"ב אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ב הנה המרובע המתהוה מן א"ב שוה לשני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב&#x202B;<ref group=note>E: מופתו שנעמיד על קו א"ג מרובע א"ה ונוציא בו קוטר א"ה ומן ב' עמוד ב"ד נכחי לג"ה יחתוך קוטר א"ה על ז' ונוציא מז' קו נכחי לקו א"ג והוא ח'ז'ט' ויתבאר ששטחי א"ז ז"ה שעל הקוטר מרובעים לפי שזוית ג' נצבת וזויות ג'א'ה' ג'ה'א' שוות כי קוי ג"א ג"ה שוות הנה כל אחת מהן חצי נצבת הנה קוי א"ב ב"ז שוים ולכן א"ז מרובע וכן קוי ז"ט ט"ה שוים ולכן ז"ה מרובע וקו ז"ט שוה לקו ב"ג הנה שטח ז"ה כמו מרובע ב"ג ולפי שמרובע א"ה ההוה מן א"ג שוה לשני מרובעי א"ז ז"ה ושני מתמימים כ"ט ח"ד ושני אלה המרובעים הם כמו מרובעי א"ב ב"ג ומתמים כ"ט כמו השטח שיקיף בו ב"ג בב"ז השוה לא"ב והוא שוה למתמים ח"ז יהיה מרובע א"ג שוה לשני המרובעים ההווים מן א"ב ב"ג וכפל שטח א"ב בב"ג<br>
+
 
−
ולו מופת קרוב והוא שנניח קו דה"ז שוה לא'ב'ג' ד"ה שוה לא'ב'ג' וה"ז לב"ג והנה יהיה שטח א"ב בכל ד"ז שוה לשטח א"ג בד"ה וא"ג בה"ז ואבל שטח א"ג בד"ה כמו שטח א"ב בד"ה שהוא כמו מרובע א"ב וב"ג בד"ה וכן שטח א"ג בה"ז שוה לשטח ב"ג בה"ז שהוא כמו מרובע ב"ג ושטח א"ב בה"ג הנה שטח א"ג בד"ז השוה לא"ג כמו מרובע א"ב ומרובע ב"ג וכפל שטח א"ב בב"ג ומשל</ref>
+
=== Proposition 39 ===
 +
|
 +
|-
 +
|Equal triangles, which are on the same base [and on the same side], are between the same two parallel lines.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לט</span> <big>המשולשים</big> השוים אשר על תושבת אחת במה שבין שני קוים בעינם נכחים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כאשר נחלק קו ישר איך שיקרה הנה המרובע המתהוה מן הקו כלו שוה לשני המרובעים המתהוים משני החלקים וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו השני חלקים
+
|style="text-align:right;"|יהיו שני משולשי אב"ג דב"ג שוים והם על תושבת אחת והוא ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ונמשיך קו א"ד
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|אומר שא"ד נכחי אל ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ובכאן התבאר כי כל שטח מרובע הנה שני שטחים הנכחי הצלעות אשר על קוטרו גם כן מרובעים
+
|style="text-align:right;"|שאם לא יהיה כן הנה נוציא מנקודת א' קו ישר נכחי לקו ב"ג והוא א"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר מן התמונה הזאת כי השטחים הנכחי הצלעות אשר יהיו על קוטרו שני שטחים מרובעים הם גם כן מרובעים&#x202B;<ref group=note>E: והתבאר בזה שהשטחים שעל קוטר המרובע הם מרובעים ואם הם מרובעי' הקוטר קוטר למרובעי' ושמרובע כל קו ד' דמיוני מרובע חציו וט' דמיוני מרובע שלישיתו</ref>
+
|style="text-align:right;"|ונמשיך קו ה"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אמר תאבת מצאנו בנסחא אחרת שהוא יתבאר על פנים אחרים כי המרובע המתהוה מן א"ב שוה לשני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה משולש הב"ג שוה למשולש אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני שא"ב שוה לא"ד תהיה זוית א'ב'ד' שוה לזוית א'ד'ב' <span style=color:red>מה’ מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|מפני שהם על תושבת אחת והיא ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי כל משולש הנה זויותיו השלש שוות לשתי נצבות <span style=color:red>מל”ב מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוי ב"ג א"ה נכחים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיו זויות א’ד’ב’ א’ב’ד’ ב’א’ד’ השלש ממשולש א'ד'ב' שוות לשתי זויות נצבות וזוית ב'א'ד' נצבת הנה שתי זויות א'ב'ד' א'ד'ב' הנשארות שוות לזוית נצבת ושתיהן שוות <span style=color:red>מה’ מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|אבל משולש אב"ג שוה למשולש דב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל אחת מהן חצי נצבת וזוית ב'ג'ח' נצבת כי היא שוה לזוית אשר אצל א' אשר תנגדה <span style=color:red>מכ”ט מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|אם כן משולש דב"ג שוה למשולש הב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית ג'ב'ח' חצי נצבת הנה זוית ג'ח'ב' הנשארת חצי נצבת הנה זוית ג'ח'ב' אם כן שוה לזוית ג'ב'ח' ויהיה מפני זה צלע ב"ג שוה לצלע ג"ח <span style=color:red>מו’ מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|הגדול לקטן זה מה שאי אפשר להיות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל ג"ב שוה לח"כ <span style=color:red>מל”ד מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|הנה אין קו א"ה נכחי לקו ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וג"ח שוה לכ"ב הנה שטח ג"כ שוה הצלעות וזוית ב'ג'ח' נצבת הנה ג"כ מרובע והוא המתהוה מן ג"ב ומפני הדברים האלה גם כן התבאר כי ז"ט מרובע והוא שוה למרובע המתהוה מן א"ג הנה ג"כ וט"ז שני מרובעים והם שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב ומפני שא"ח שוה לה"ח <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|וכן גם כן יתבאר שלא יוצא מנקודת א' קו נכחי לקו ב"ג זולת קו א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וא"ח הוא אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב מפני שג"ח שוה לג"ב הנה ה"ח שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב הנה אם כן שני שטחי א"ח ח"ה שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב ושני שטחי ג"כ ט"ז שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב הנה שטחי ג"כ ט"ז א"ח ח"ה שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אבל שני שטחי ג"כ ט"ז ושני שטחי א"ח ח"ה הם שטח א"ה הנצב הזויות כלו אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ב הנה המרובע המתהוה מן א"ב שוה לשני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ד נכחי לקו ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|הנה אם כן שני המשולשים השוים אשר תושבת אחת הם במה שבין שני קוים בעצמם נכחים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 5 ===
+
=== Proposition 40 ===
−
in modern notation: <math>\scriptstyle\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|'''ה'''<ref>ה: P1007, P1012 mark is missing; Mu130 למוד ה'</ref> כאשר<ref>כאשר: F om.</ref> נחלק<ref>כאשר נחלק: C כשיחלק</ref> קו ישר<ref>נחלק ... ישר: F כל קו ישר יתחלק</ref> בשני חלקים<ref>בשני חלקים: C לשני חלקים; O16 בחלקים; F לשני חצאים</ref> שוים<ref>שוים: F137 <sup>שוים</sup>; Ma1 om.</ref> ושני<ref>ושני: C ולשני; F ובשני; P1007 ולב'</ref> חלקים<ref>ושני חלקים: O16 וחלקים</ref> בלתי שוים<ref>בלתי שוים: C שאינם שוים; F מתחלפים</ref> הנה<ref>הנה: C; F יהיה</ref> השטח<ref>השטח: C שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B(except for Mu130), C, F137 נצב</ref> הזויות אשר יקיפו<ref>אשר יקיפו: C שיקיפו; P1007 אשר יקיף</ref> בו<ref>בו: P1012 om.</ref> שני חלקי<ref>שני חלקי: C החלקים; F חלקי; P1007 ב' חלקי; AB שני <s>קוי</s> חלקי</ref> הקו כלו<ref>הקו כלו: C om.</ref> אשר הם בלתי<ref>אשר הם בלתי: C שאינם; O16 הבלתי</ref> שוים<ref>אשר הם בלתי שוים: F המתחלפים</ref> עם המרובע<ref>עם המרובע: C עם מרובע; F ומרובע; P1013 מן המרובע; W194 <s>מן</s> <sup>נ' עם</sup> המרובע</ref> המתהוה מן<ref>המתהוה מן: C om.; B(except for Mu130) ההוה מן</ref> הקו<ref>מן הקו: O16, P1007 מהקו; W66 <s>מן הקו</s> מהקו</ref> אשר במה שבין<ref>אשר במה שבין: C כלו שהוא בין; Mu130 אשר במה <s>שני</s> <sup>שבין</sup></ref> שני<ref>שני: B (except for O16), C om.; P1007 ב'; P1013 שכל; P1014 שתי</ref> מקומות<ref>מקומות: P1007 המקומות</ref> השני חלקים<ref>השני חלקים: C <s>שוה</s> החלקים; B(except for Mu130) החלקים<br>המתהוה מן ... השני חלקים: F יתרון חצי הקו על החלק היותר קצר</ref> שוה<ref>שוה: B(except for Mu 130), F, P1012 שוים</ref> למרובע<ref>למרובע: W66 מרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: C, F om.; A1, B(except for Mu130), P1014 ההוה</ref> מחצי<ref>מחצי: C, F חצי; Mu130 מן חצי</ref> הקו&#x202B;<ref group=note>P1011: <div style="text-align: right; direction: ltr; margin-left: 1em;">כל קו יחלק בחציים ואחר יחלק בחלקים מתחלפים הנה אשר יהיה מהכאת החלק היותר ארוך בחלק היותר קטן ומהכאת יתרון חצי הקו על החלק היותר קצר בעצמו הוא כמו אשר יהיה מהכאת חצי הקו בעצמו</div><br>
+
|-
−
For any line divided in half and then divided into two unequal parts, the [sum] of the product of the larger part by the smaller part and the product of the excess of half the line over the smaller part by itself is equal to the product of half the line by itself<br>
+
|Equal triangles, which are on equal bases and both bases are on a straight line and on the same side, are contained between two parallel lines.
−
E: <div style="text-align: right; direction: ltr; margin-left: 1em;">&#x202B;5 הקו הנחלק לחצאיים ולחלקי' בלתי שוים בשטח שיקיפו בו החלקים הבלתי שוים עם מרובע הקו שבן שני המקומות שוים למרובע חצי הקו</div><br>
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מ</span> <big>המשולשים</big> השוים אשר על שתי תושבות שוות ושתי התושבות על קו ישר ובצד אחד יכלו במה שבין שני קוים נכחים
−
Mu36: <div style="text-align: right; direction: ltr; margin-left: 1em;">ובנס’ אלחג’אג’ כאשר חולק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים שוים ובשני חלקים בלתי שוים הנה הכאת החלקים הבלתי שוים כל אחד בחבירו עם הכאת המספר אשר מה שבין בעצמו שוים להכאת חצי המספר בעצמו</div><br>
 
−
In the version of al-Ḥajjāj: when a number is divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the product of the unequal parts one by the other together with the product of the number that is the difference by itself [is] equal to the product of half the number by itself<br>
 
−
Mu130: <div style="text-align: right; direction: ltr; margin-left: 1em;">יהיה הקו עשרה ונחלק בשווי על חמשה ובבלתי שיווי על שלש נכה שלשה בשבעה עלה כ”א נוסיף מרובע שבין שלשה וחמשה והוא ארבע כי המרחק שנים עלו כ”ה וכן מרובע חצי הקו שהוא חמשה עולה כ”ה</div><br>
 
−
P1010: <div style="text-align: right; direction: ltr; margin-left: 1em;">דמיון במספר כשנחלק עשרה על ה’ ה’ חלקים שוים עוד נחלק עשרה לג’ וז’ על [דרך] משל הנה המרובע המתהוה מחלק השוה באחר שהוא [...] כ”ה [...] המרובע המתהוה מג’ על ז’ שהוא כ”א עם המרובע המתהוה מתוספת ז’ על ה’ שהוא ב’ ומרובעו ד’ והכל כ”ה</div><br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot7\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-3\right]^2=21+\left(5-3\right)^2=21+2^2=21+4=25=5^2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}}</math>
 
−
P1014: <div style="text-align: right; direction: ltr; margin-left: 1em;">העשרה אם תחלקהו על ה’ ועל ו’ וד’ הנה שטח ו’ בד’ עם מרובע אחד שבין ה' לו’ שוה למרובע ה’ה’ שהם כ”ה וכן בשיעורים</div><br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot4\right)+\left[6-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2=24+\left(6-5\right)^2=24+1^2=24+1=25=5^2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}}</math></ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה<ref>ויהיה: B (except for Mu130) הנה יהיה; F137 יהיה; Ma1 המשל יהיה</ref> קו ישר<ref>קו ישר: F הקו הישר</ref> עליו א"ב ויחלק<ref>ויחלק: F ויתחלק; B(except for Mu130) ונחלק</ref> בשני<ref>בשני: A2, P1014 לשני; P1007 בב'</ref> חלקים שוים<ref>בשני חלקים שוים: F לחצאים; O16 בחלקים שוים</ref> על נקודת<ref>נקודת: F om.; P1013 מקומות נקודת</ref> ג' <span style=color:red>מי’  מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>מי' מא': according to AB, W66</ref>
+
|style="text-align:right;"|יהיו שני משולשי אב"ג דה"ז שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושני<ref>ושני: Mu130, P1007 וב'; W66 ולשני</ref> חלקים<ref>ושני חלקים: F, O16 ובחלקים</ref> בלתי שוים<ref>בלתי שוים: F מתחלפים<br>על נקודת ג' ... בלתי שוים: Mu130 marg.</ref> על נקודת<ref>נקודת: F om.</ref> ד' הנה<ref>הנה: F om.</ref> אומר כי השטח<ref>כי השטח: B(except for Mu130), Ma1 שהשטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B, F נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו<ref>בו: P1012 om.</ref> שני<ref>שני: F om.</ref> קוי א"ד ד"ב עם המרובע המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F ההוה</ref> מן ג"ד<ref>מן ג"ד: B(except for Mu130), P1007 מג"ד; F מד"ג; Mu130 ג"ד illegible</ref> שוה<ref>שוה: F שוים</ref> למרובע המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F, P1014 ההוה</ref> מן ג"ב&#x202B;<ref>מן ג"ב: B(except for Mu130), P1007, P1013 מג"ב; F מב"ג; AB מן <s>ג"א או מן</s> ג"ב; Mu130 מן ג"א או ג"ב; P1012 מן ג"א או מן ג"ב</ref><ref group=note>C: המשל בזה שקו א"ב נחלק לחלקים שוים על נקדת ג' ולחלקים מתחלפים על נקודת ד' ואומר שאשר היה מהכאת א"ד בד"ב ומהכאת ג"ד בעצמו יחד שוה לאשר יהיה מהכאת ג"ב בעצמו<br>
+
|style="text-align:right;"|ועל שתי תושבות שוות והם ב"ג ה"ז
−
E: ויהיה קו ישר א"ב ויחלק לחלקי' שוים על ג' ולבלתי שוים על ד' הנה אומר ששטח א"ד בד"ב עם מרובע ג"ד שוה למרובע ג"ב</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|[[File:Elements II-5 Hebrew.png|thumb|250px]]
+
|style="text-align:right;"|ונמשיך קו א"ד
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|אומר שא"ד נכחי לב"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעשה<ref>ונעשה: F137 נעשה; Ma1 המופת נעשה; B(except for Mu130) הנה נעשה</ref> מקו<ref>מקו: AB, Mu130, P1012, P1014 מן קו</ref> ג"ב<ref>ג"ב: F ב"ג</ref> מרובע ג"הז"ב<ref>ג"הז"ב: F ב'ג'ה'ז' ונעשה מב"ד מרובע ד'ב'כ'ח'; P1010 <s>ד"ה</s> ג"ה ז"ב</ref> <span style=color:red>ממ”ו מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>ממ"ו מא': A2, C, E, Ma1, Mu130, P1007, P1012 om.; A1, AB, F137, Lo, P1010, PP ממ"ו מראשון; O16 ממ"ו</ref>
+
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה כן הנה יהיה א"ח נכחי לב"ז אם יהיה אפשר זה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרשום התמונה<ref>התמונה: F התבנית</ref> ונשלים שטח א"גט"ל<ref>א"גט"ל: F א'ט'ל'ג'</ref> הנכחי<ref>הנכחי: F נכחי; P1013 [..] נכוחי</ref> הצלעות <span style=color:red>מד’ מזה</span>&#x202B;<ref>מד' מזה: A2, B(except for W66), C, E, Ma1, P1007, P1014 om.; Lo, P1010, P1012 מד'</ref>
+
|style="text-align:right;"|ונמשיך קו ח"ה
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>דז</sub> =  &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>גכ</sub> &rarr; &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>חז</sub> =  &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>גח</sub>
+
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני<ref>הנה מפני: P1012 twice</ref> כי ג"ח<ref>מפני כי ג"ח: F לפי שג"ח; B(except for Mu130) מפני שג"ח<br>ג"ח: P1012 ג"ה</ref> שוה לח"ז<ref>לח"ז: P1012 לה"ז</ref> ונשים ד"כ<ref>ד"כ: Mu130 ח"ב</ref> משותף<ref>משותף: O16 משותפת</ref> הנה<ref>הנה: F om.; W66 <s>ה</s> הנה</ref> יהיה ג"כ<ref>ג"כ: Mu130 ל"ב</ref> כלו שוה לד"ז<ref>לד"ז: Ma1 לשטח ד"ז</ref> כלו <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>ממ"ג מא': A1, E, F137, P1007, P1010, P1012, PP om.; C מצורת מ"ג מן הראשון; Ma1 מג' מזה המאמר; Lo ממ"ג מראשון; O16 ממ"ג</ref>
+
|style="text-align:right;"|הנה משולש הח"ז שוה למשלש אב"ג
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>גכ</sub> =  &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>לא</sub> &rarr; &#x202B;גב =  &#x202B;אג
+
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני שצלע<ref>ומפני שצלע: AB, P1007, P1012, PP ומפני כי צלע</ref> א"ג<ref>א"ג: O561 <s>ג"ה</s> <sup>א"ג</sup></ref> שוה לצלע ג"ב יהיה שטח ל"א שוה לשטח ג"כ<ref>ג"כ: Mu130 ל"ב; PP marg. כ"ג</ref> <span style=color:red>מל”א מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>מל"א מא': according to W66; AB מל"ו מראשון</ref>
+
|style="text-align:right;"|מפני שהם על תושבות שוות והם ב"ג ה"ז הישרי'
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>דז</sub> =  &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>לא</sub> &rarr; &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>דז</sub> =  &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>גכ</sub>
+
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר היה שטח ג"כ<ref>ג"כ: Mu130 ל"ב; PP ל"ג</ref> שוה לשטח ד"ז הנה יהיה<ref>הנה יהיה: B(except for Mu130), AB, F אם כן</ref> שטח ל"א<ref>ל"א: B(except for Mu130), AB, F א"ל</ref> שוה לשטח ד"ז<ref>ומפני שצלע א"ג ... לשטח ד"ז: F137 marg. with the note ונשמט<br>וכבר היה ... ל"א שוה לשטח ד"ז: AB, PP marg.<br>הנה יהיה ... לשטח ד"ז: P1012 om.</ref> <span style=color:red>מפתיח’ א&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>מפתיח' א': according to W66; AB מפתיחת א'</ref>
+
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוי ב"ז א"ח הנכחים
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;<math>\scriptstyle\Box^{\Box}</math><sub>מנס</sub> = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>אח</sub> &#x202B;&rarr;
+
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים<ref>ונשים: Mu31 starts here (247v; line 2 from the bottom) ונשום</ref> ג"ח<ref>ג"ח: Lo ד"ח <sup>ג"ח</sup></ref> משותף<ref>משותף: B(except for Mu130) משותפת</ref> הנה<ref>הנה: F יהיה</ref> א"ח כלו<ref>כלו: Mu31 ג כלנו</ref> שוה<ref>שוה: Mu31 שוים; P1012 om.</ref> לרושם<ref>לרושם: Mu31 om.; Mu130 <s>לשטח</s> לרושם</ref> מנ"ס&#x202B;<ref>מנ"ס: P1012 מנ"ח</ref>
+
|style="text-align:right;"|אבל משלש אב"ג שוה למשולש דה"ז
 
|-
 
|-
−
|אד &times; דב = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>אח</sub> &rarr; דח = בד
+
|
−
|style="text-align:right;"|אבל א"ח<ref>א"ח: Mu31; Mu130 שטח א"ח</ref> שוה<ref>שוה: P1012 שוה לשטח ג”כ וכבר היה שטח ג”כ שוה לשטח ד”ז ונשים ג”ח משותף הנה א”ח כלו לרושם מנ”ח אבל א”ח שוה </ref> לשטח הנצב<ref>הנצב: B, F נצב; P1007 ה[.] הנצב</ref> הזויות<ref>הזויות: P1007 הזוית</ref> אשר יקיפו בו שני<ref>שני: B(except for Mu130), F om. P1007 ב'</ref> קוי א"ד ד"ב מפני כי ב"ד<ref>מפני כי ב"ד: B(except for Mu130) מפני שב"ד; F לפי שד"ב; O561 marg.; P1007 הנה מפני כי ב"ד; P1012 ומפני כי ב"ד</ref> שוה לד"ח<ref>לד"ח: O16 <s>לשטח</s> לד"ח</ref> וזה כי ד"כ<ref>וזה כי ד"כ: B(except for Mu130) וזה שד"כ</ref> מרובע<ref>וזה כי ד"כ מרובע: Ma1 om.</ref> <span style=color:red>משלפניה</span>&#x202B;<ref>משלפניה: according to B(except for Mu130); C מלפניה; Ma1 מג' מזה; AB מאשר לפניה; O561 מהקודמת; P1014 מסוף תמונה אשר לפניה</ref>
+
|style="text-align:right;"|ומשולש דה"ז שוה למשולש הח"ז
 
|-
 
|-
−
|אד &times; דב = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box^{\Box}</math><sub>מנס</sub> &#x202B;&rarr;
+
|
−
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F אם כן</ref> רושם<ref>רושם: AB <s>כי</s> רושם</ref> מנ"ס<ref>מנ"ס: P1012 מנ"ד</ref> שוה לשטח<ref>שוה לשטח: O561 twice</ref> הנצב<ref>הנצב: B, F נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: W66 הזוי<sup>ו</sup>ת</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: Mu31, P1007, P1010, PP om.</ref> שני<ref>שני: B(except for Mu130), F om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ד ד"ב
+
|style="text-align:right;"|הגדול לקטן וזה בלתי אפשר
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;&rarr; &#x202B;<sup>2</sup>גד = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>לע</sub>
+
|
−
&#x202B;<sup>2</sup>גד + &#x202B;(אד &times; דב&#x202B;) = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>לע</sub> + &#x202B;<math>\scriptstyle\Box^{\Box}</math><sub>מנס</sub>
+
|style="text-align:right;"|הנה אין א"ח נכוחי לב"ז
−
|style="text-align:right;"|ונשים ל"ע אשר הוא שוה<ref>אשר הוא שוה: Mu31 אשר ראשונה; O16 <sup>שהוא</sup> כמו</ref> למרובע<ref>למרובע: O16 השטח המרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F ההוה</ref> מן ג"ד<ref>מן ג"ד: B(except for Mu130), F, P1007 מג"ד</ref> משותף<ref>משותף: O16 משותפת</ref> ויהיה<ref>ויהיה: B(except for Mu130) הנה יהיה; F יהיה</ref> רושם מנ"ס<ref>מנ"ס: P1012 מנ"ד</ref> ושטח<ref>ושטח: F עם</ref> ל"ע כמו השטח הנצב<ref>הנצב: F, W66 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: O16 הזוית</ref> אשר יקיפו בו<ref>יקיפו בו: Lo יקיפוהו; A2, F, P1007, P1010, PP, W194 יקיפו</ref> שני<ref>שני: B(except for Mu130), F om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ד ד"ב והמרובע המתהוה<ref>המתהוה: A1, B(except for Mu130), F ההוה</ref> מן ג"ד&#x202B;<ref>מן ג"ד: B(except for Mu130), F, P1007 מג"ד</ref>
 
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>גז</sub> = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>לע</sub> + &#x202B;<math>\scriptstyle\Box^{\Box}</math><sub>מנס</sub>
+
|
−
|style="text-align:right;"|אבל<ref>אבל: A2, AB, Lo, Mu31, Mu130, P1010, P1012, PP, W194 ויהיה</ref> רושם<ref>רושם: PP marg.</ref> מנ"ס ושטח ל"ע<ref>כמו השטח הנצב ... ושטח ל"ע: P1012, P1014 om.</ref> הוא<ref>הוא: F הם</ref> שטח ג"ז כלו&#x202B;<ref>כלו: AB om.</ref>
+
|style="text-align:right;"|הנה אם כן א"ד נכחי לב"ז
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;<sup>2</sup>גב = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>גז</sub>
+
|
−
|style="text-align:right;"|ושטח<ref>ושטח: O561 ג ושטח</ref> ג"ז<ref>ג"ז: Mu31 כ"ז</ref> כלו<ref>ושטח ג"ז כלו: P1012 om.</ref> הוא<ref>ושטח ג"ז כלו הוא: F והוא</ref> שטח<ref>שטח: B(except for Mu130), F, Mu31 om.; P1007 השטח</ref> המרובע המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F ההוה</ref> מן ג"ב&#x202B;<ref>מן ג"ב: AB, B(except for Mu130), P1007, P1012 מג"ב; F מב"ג</ref>
+
|style="text-align:right;"|וכן כן יתבאר כי לא יצא מנקודת א' קו נכחי לקו ב"ז זולת א"ד
 
|-
 
|-
−
|&#x202B;<sup>2</sup>גב = &#x202B;<sup>2</sup>גד + &#x202B;(אד &times; דב&#x202B;) &#x202B;&rarr;
+
|
−
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F אם כן</ref> השטח<ref>השטח: Mu31 השוה; Mu130 שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B(except for Mu130), F נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו<ref>בו: A1 om.</ref> א"ד<ref>א"ד: F קוי א"ד; P1007 ב' קוי א"ד</ref> ד"ב עם המרובע המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F, P1007 ההוה</ref> מן ג"ד<ref>מן ג"ד: O16, P1007, P1012, P1014 מג"ד; F מד"ג</ref> שוה למרובע המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F, P1007 ההוה</ref> מן ג"ב&#x202B;<ref>מן ג"ב: O16, P1007 מג"ב; F מב"ג, AB <s>מג"א או</s> <sup>מן</sup> ג"ב; Mu130 מן ג"א או ג"ב; P1010 מן <s>ג"ח</s> ג"ב; P1012, P1013 מן ג"א ג"ב; W194 מן ג"א ג"ב [נ' שהוא אחד&#x202B;]</ref><ref group=note>C: מופת זה שנצייר על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ה[ז"ב] ונדביק ב' בה' ונוציא מד' קו אל ט' נכוחי לקוי ג"ה וב"ז עליו ד'ח'ט' ונוציא מח' קו נכוחי לקוי א"ב וה"ז עליו לח"ב ונוציא מא' קו נכוחי לקוי ג"ל וד"ח וב"כ והוא א"מ ונמשוך קו כ"ל אל מ' ושטח ג"ח המשלים שוה לשטח ח"ז המשלים ויהיה שטח ד"כ משותף ויהיה יחד שטח ג"כ שוה לשטח ד"ז יחד ואמנם ג"כ שוה לג"מ לפי שהם על שתי תושבות שוות ב"ג וג"א ובין שני קוים נכוחים ב"א וכ"מ<br>
+
|style="text-align:right;"|אם כן א"ד נכחי אל ב"ז
−
ואם כן שטח ג"מ שוה לשטח ד"ז ויהיה ד"ל משותף ויהיה יחד מ"ד שוה לנס"ע המסומן ומ"ד הוא שהיה מהכאת א"ד בד"ב לפי שיקיפו בו א"ד ד"ח וח"ד שוה לב"ד ויהיה נ'ס'ע' המסומן שוה לאשר יהיה מהכאת א"ד בד"ב ונשים אשר יהיה מהכאת ג"ד בעצמו משותף והוא שטח ל"ט המרובע<br>
 
−
ויתבאר שאשר היה מהכאת א"ד בד"ב ומהכאת ג"ד בעצמו יחד שוה לשטח ג"ז שהיה מהכאת ג"ב בעצמו שהוא חצי הקו [ר”ל מהתבארות צורת ד’ מזה השער]<br>
 
−
E: מופתו שנעשה על ג"ב מרובע ג"ז ונוציא ד"ע עמוד על א"ב וקוטר ה"ב ויתחתכו על ח' ונוציא קו ט'ח'ב' נכחי לא"ב ונשלים התמונה הנה מרובע ג"ז ההוה מקו ג"ב שוה לשני מתמימי ג"ח ח"ז עם מרובעי ב"ח ח"ד ולפי שמתמים ג"ח עם [מרובע] ד"כ העושה שטח ג"כ ישוה לשטח ג"ט יהיה שטח ג"ט עם מתמימי ח"ז שהוא כמו שטח א"ח עם מרובע ח"ה [שוה לשטח ג"כ [עם] מרובע ח"ה ומת[מים] ח"ז אבל שטח ג[כ] עם מרובע ח"ה] ומתמים ח"ז כמו המרובע ההווה מן ג"ב ושטח א"ח הוא ההווה מהכאת א"ד בד"ב [כי] ד"ח ד"ב שוים ומרובע ח"ה הוא כמו המרובע ההווה מן ג"ד הנה שטח [א"ד] בד"ב עם מרובע ג"ד כמו המרובע ההווה מן ג"ב<br>
 
−
ויתבאר גם כן שלפי שג"ב נחלק בנקודת ד' איך שיזדמן היה מרובע ג"ב כמו המרובע ההווה מן ג"ד עם [כפל] שטח ג"ד בד"ב ומרובע ד"ב [כפל] ושטח ג"ד בד"ב עם מרובע ד"ב כמו שטח ג"ד בב"ד והוא כמו שטח א"ג בד"ב [הנה] שטח א"ג בד"ב עם שטח ג"ד בד"ב שזה כמו א"ד בד"ב כשקובץ עם מרובע ג"ד היה כמו מרובע ג"ב<br>
 
−
Mu246: ו קו א”ב חולק בחציו על ג’ ובשני חלקים שאינם שוים על ד’ נאמ’ כי כפל א”ד בד”ב וכפל ג”ד בפני עצמו מקובצים ישוו לג”ב בפני עצמו<br>
 
−
נעשה על ג”ב מרובע ג”ז ונחוק בו מרובע ב”ח ושני שטחי ג”ח ח”ז וגם נעשה שטח א”ל על יושר קו מל”כ וקו א”מ כמו ד”ב ומפני שא”ג שוה לב”ז הילכך שטח א”ל כמו ד”ז וכפל א”ד בד”ב הוא שטח א”ח ונשים שטח ג”ח שותף ויהא נס”ע שוה לשטח א”ח שהוא כפל א”ד בד”ב ומרובע ה”ח הוא כפל ג”ד בעצמו</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר<ref>וכאשר: F137 ואם כן; B(except for W66) הנה כאשר; O561 <sup>ו</sup>כאשר</ref> נחלק קו ישר<ref>נחלק קו ישר: F137 כל קו ישר יתחלק</ref> בשני חלקים שוים<ref>בשני חלקים שוים: F137 לשני חצאים; O16 בחלקים שוים; P1007 בב' חלקים שוים</ref> ושני חלקים בלתי שוים<ref>ושני חלקים בלתי שוים: A2 ובלתי שוים; F137 ובשני חלקים מתחלפים; O16 וחלקים בלתי שוים; P1007 om.</ref> הנה<ref>הנה: F137 יהיה</ref> השטח הנצב<ref>הנצב: F137, O16, P1013 נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו<ref>בו: P1010 om.</ref> שני<ref>שני: F137 om.; P1007 ב'</ref> חלקי הקו<ref>חלקי הקו: Mu31 חלקו ההן; AB חלק קו</ref> כלו<ref>כלו: O16 om.</ref> אשר הם בלתי שוים<ref>אשר הם בלתי שוים: F137 המתחלפים; O16 אשר אינם שוים</ref> עם המרובע<ref>עם המרובע: F137 ומרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: O16 ההוה</ref> מן הקו<ref>מן הקו: O16, P1007 מהקו</ref> אשר במה<ref>אשר במה: Mu31 twice</ref> שבין שני מקומות<ref>מקומות: P1013 המקומות</ref> שני<ref>שני: O16 om.; PP marg.</ref> החלקים<ref>שני מקומות שני החלקים: A2 שני המקומות שני חלקים; P1007 ב' מקומות ב' החלקים; P1014 שתי מקומות השני חלקים<br>המתהוה מן הקו אשר במה שבין שני מקומות שני החלקים: F137 יתרון חצי הקו על החלק היותר קצר</ref> שוה<ref>שוה: F137 שוים</ref> למרובע המתהוה<ref>המתהוה: F137 om.; O16 ההוה</ref> מחצי<ref>מחצי: F137 חצי; P1012 מהם</ref> הקו&#x202B;<ref>וכאשר ... מחצי הקו: C, E, Ma1, W66 om.</ref>
+
|style="text-align:right;"|הנה שני המשולשים השוים אשר על שתי התושבות ושתי התושבות על קו ישר ובצד אחד יכלו במה שבין שני קוים נכחים
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר&#x202B;<ref>וזה מה שרצינו לבאר: E om.; Mu130 ומש"ל; P1007 וזמש"ל; W66 וזה מה שרצינו לבאר ונשלם באורו; Ma1, P1014 וזה מש"ל; F137 וזהו מה שרצי' לבאר</ref><ref group=note>C adds: והתבאר לך הנה ששני מרובעי החלקים המתחלפים יעדפו על כפל שטח נצב הזויות שיקיפו בו החלקים ארבעה דמיוני מרובע הקו שבין מקומות החלקים<br>
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
−
תקון המעתיק ועוד יתבאר לך הנה כי כשיחלק קו בשני מקומות לחלקים שאינם שוים שהשטח שיקיפו בו שני קוי החלוקה האחד בלתי שוה לשטח שיקיפו בו שני קוי החלוק האחר<br>
 
−
כי כל אשר ירחק מקום החלוק מחצי הקו יחסר השטח שיקיפו בו שני קוי החלוק<br>
 
−
ומתוך הצורה אשר לפני זו התבאר כי כשיעור אשר יחסר כפל שטח שיקיפו בו קוי החלוק האחד מן האחר יוסיפו שני מרובעי הקוים ההם על שני מרובעי הקוים האחרים ולפי ביאור זה נעשו מופתים רבים בשער העשירי</ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 6 ===
+
=== Proposition 41 ===
−
in modern notation: <math>\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2</math>
 
−
|style="text-align:right;"|'''ו''' כאשר נחלק קו ישר בחציים ונוסף עליו קו ישר על יושר הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת עם המרובע המתהוה מחצי הקו שוה למרובע המתהוה מן הקו המורכב מחצי הקו והתוספת&#x202B;<ref group=note>P1011: כל קו יחלק בחציים עוד נוסף עליו קו אחר בארכו הנה אשר יהיה מהכאת כל זה בקו הנוסף ומהכאת חצי הקו הראשון בעצמו הוא כמו אשר יהיה מחצי הקו הראשון כאשר יחובר הקו הנוסף ואחר הוכה כלו בעצמו יחד<br>
 
−
Mu36: נ’ אלחג’אג’ כאשר נחלק אי זה מספר שהונח בחציים והוספנו עליו מספר מו[נח] הנה הכאת המספר המקובץ במספר הנוסף עם מרובע חצי המ[ספר] שוים למרו[בע] חצי המספ[ר] והתוספת כשחוברו והושמו מ[ספר] אחד<br>
 
−
Mu130: [...] יהיה הקו עשרה ונוסיף עליו ארבע נכה ארבע<br>
 
−
P1010: דמיון במספר כשנחלק עשרה לחציין והוא ה’ ותוסיף על עשרה שנים על דרך משל הנה מרובע המתהוה מהמספר כולו שהוא י”ב כאשר תכה אותו בשנים שהוא התוספת ויהיו עשרים וארבע [..] המרובע המתהוה מ[חצי] [מספר] הראשון שהוא ה’ ומרובעו כ”ה והכל מ”ט כמרובע המתהוה מחצי המספר עם התוספת שהוא ז’ ומרובעו מ”ט<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10+2\right)\sdot2\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2=\left(12\sdot2\right)+5^2=24+25=49=7^2=\left(5+2\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2}}</math><br>
 
−
P1014: וכן במספר אם תחלק הי”ב ות[ו]סיף עליו ב’ הנה השטח י”ד עם ב’ ומרובע ו' שהו’ חצי י”ב והכל ס”ד שוה למרובע הח’ שהו’ תוספת הקו עם חציו כמש[.] התמונה וכן בשיעורים<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(12+2\right)\sdot2\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2=\left(14\sdot2\right)+6^2=64=8^2=\left(6+2\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+2\right]^2}}</math></ref>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחלק בחציים על נקודת ג' <span style=color:red>מי’ מא&#x202B;’</span>
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|When a parallelogram and a triangle are on the same base and are between the same parallel lines, then the parallelogram is double the triangle.
−
|style="text-align:right;"|ויוסיף עליו קו ישר על יושר והוא ב"ד הנה אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב עם המרובע המתהוה מן ג"ב שוה למרובע המתהוה מן ג"ד
+
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_I_41"></div><span style=color:red>מא</span> <big>כאשר</big> היה שטח נכחי הצלעות ומשולש על תושבת אחת ובין שני קוי בעינם נכחיים הנה השטח הנכחי הצלעות היא כפל המשולש
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעשה מן ג"ד מרובע ג"ה ז"ד <span style=color:red>ממ”ו מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|יהיה שטח נכחי הצלעות עליו א"ב ג"ד ומשלש אב"ג והבעל תושבת אחת והיא ב"ג ובמה שבין שני קוי ב"ג א"ד הנכחיים
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|ונרשום התמונה ונתמים שטח א"גט"כ הנכחי הצלעות <span style=color:red>מד’ מזה</span>
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות כפל משלש אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי א"ג שוה לג"ב יהיה שטח א"כ הנכחי הצלעות שוה לשטח ג"ח הנכחי הצלעות אבל ג"ח שוה לח"ז הנה שטח א"כ שוה לשטח ח"ז <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|מפני כי שניהם על תושבת אחת והיא ב"ג ובמה שבין שני קוי נכחיים והם ב"ג א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים ג"ל משותף הנה שטח ל"א כלו שוה לרושם מנ"ס כלו אבל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב שוה לשטח ל"א הנצב הזויות מפני שב"ד שוה לד"ל <span style=color:red>מד’ מזה</span>
+
|style="text-align:right;"|אבל כפל משולש אב"ג הוא שטח אבג"ד הנכחי הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה רושם מנ"ס שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב ושטח כ"ע שוה למרובע המתהוה מן ג"ב הנה רושם מנ"ס עם שטח כ"ע שוה לשטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב והמרובע המתהוה מן ב"ג אבל רושם מנ"ס ומרובע כ"ע הוא ג"ז אשר הוא המרובע המתהוה מן ג"ד
+
|style="text-align:right;"|מפני כי קטרו א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב עם המרובע המתהוה מן ב"ג שוה למרובע המתהוה מן ג"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן יהיה שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות כפל משולש אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנה כאשר נחלק קו ישר בשני חציים והוסף עליו קו ישר על יושר הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת עם המרובע המתהוה מחצי הקו שוה למרובע המתהוה מן הקו המורכב מחצי הקו והתוספת
+
|style="text-align:right;"|אם כן כאשר היא שטח נכחי הצלעות ומשולש על תושבת אחת ומה שבין שני קוים בעצמם נכחים הנה השטח הנכחי הצלעות כפל המשולש
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 7 ===
+
=== Proposition 42 ===
−
in modern notation: <math>\scriptstyle\left(a+b\right)^2+a^2=2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2</math>
 
−
|style="text-align:right;"|'''ז''' כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים איך שיקרה הנה המרובע המתהוה מן הקו כלו והמרובע המתהוה מאחד משני חלקים כאשר התקבצו שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו והחלק אשר זכרנו והמרובע המתהוה מן החלק השני&#x202B;<ref group=note>P1011: כל קו יחלק בחלקים הנה אשר יהיה מהכאת הקו בעצמו והכאת אחד משני החלקים בעצמם יחד הוא כמו אשר יהיה מהכאת הקו כלו בחלק אשר תכה בעצמו שני פעמים ומהכאת החלק האחד בעצמו<br>
 
−
Mu36: נס’ אל חג’אג’ כאשר נחלק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים איך מה שקרה ה[נה] המרובעי’ ההווים מהמספר כלו ומאחד מהחלקים כאש[ר] קובצו שוים לכפל הכאת המספר כלו בחלק אשר זכרנו [עם] הכאת החלק הנשאר בעצמו<br>
 
−
Mu130: ויהיה הקו עשרה ויחלק על ששה נכה ששה בעשרה עלה ס’ וכפלו ק”כ ועם מרובע ארבע שהוא י”ו עלה [...] קל”ו וכן מרובע כל הקו שהוא עשרה עם מרובע החלק הנזכר שהוא ששה עלו [...]<br>
 
−
P1010: דמיון במספר כשנחלק מספר עשרה לד’ ו’ יהיה המרובע המתהוה מכל המספר מאה והמרובע המתהוה מו’ על דרך משל ל”ו והכל קל”ו ויהיה שוה למרובע המתהוה מהכאת עשרה בששה שני פעמים שהם ק”כ והמרובע המתהוה מן החלק הנשאר שהוא ד’ ומרובעו י”ו ועם ק”כ יהיו קל”ו<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{10^2+6^2=100+36=136=120+16=\left(2\sdot60\right)+16=
 
−
\left[2\sdot\left(10\sdot6\right)\right]+4^2}}</math><br>
 
−
P1014: וכן עשרה אם חולק על ח’ וב’ מרובע הי’ שהו’ ק’ ומרובע הב’ שהו’ ד’ והכל ק”ד שוה לכפל י’ עם ב’ שהו’ מ’ ומרובע ח’ בין הכל ג”כ ק”ד וכן בשיעורים<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{10^2+2^2=100+4=104=40+64=
 
−
\left[2\sdot\left(10\sdot2\right)\right]+8^2}}</math></ref>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ישר עליו א"ב ויתחלק איך שיקרה על נקודת ג' הנה אומר כי שני המרובעים המתהוים משני קוי א"ב ב"ג שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג והמרובע המתהוה מן א"ג
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to construct a parallelogram equal to a given triangle, whose angle is equal to a given rectilinear angle.
−
|style="text-align:right;"|ונרשום מן א"ב מרובע א"דה"ב <span style=color:red>ממ”ו מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מב</span> <big>נרצה</big> שנעמיד שטח נכחי הצלעות שוה למשולש מונח שוה זויתו לזוית מונחת ישרת הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונבדיל מן ב"ה כמו ב"ג והוא ב"כ <span style=color:red>מג’ מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|הנה יהיה המשולש המונח עליו אב"ג והזוית המונחת ישרת הקוים זוית ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרשום התמונה הנה שטח א"ז שוה לשטח ז"ה <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|ונרצה שנעמיד שטח נכחי הצלעות שוה למשולש אב"ג המונח שוה זויתו לזוית ד' ישרת הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים ג"כ משותף הנה יהיה א"כ כלו שוה לג"ה כלו הנה א"כ עם ג"ה כפל א"כ
+
|style="text-align:right;"|הנה נחלק ב"ג לחציים על נקודת ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל ג"ה עם א"כ הוא רושם למ"נ ומרובע ג"כ הנה רושם למ"נ ומרובע ג"כ שניהם כפל א"כ וא"כ הוא השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב וב"ג כי הוא יקיפו בו שני קוי א"ב ב"כ וב"כ שוה לב"ג הנה רושם למ"נ ומרובע ג"כ שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג ונשים המרובע המתהוה מן א"ג משותף והוא מרובע ח"ט הנה כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה לרושם למ"נ ושני שטחי ג"כ ט"ח
+
|style="text-align:right;"|ונגיע א"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל רושם למ"נ ושני שטחי ג"כ ט"ח הם א"ה וג"כ וא"ה המרובע המתהוה מן א"ב וג"כ הוא המרובע המתהוה מן ג"ב הנה שני המרובעים המתהוים מן א"ב ב"ג שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג והמרובע המתהוה מן א"ג
+
|style="text-align:right;"|ונעמיד על קו ה"ג הישר על נקודת ה' ממנו זוית ישרת הקוים שוה לזוית ד' ישרת הקוים והיא זוית גה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים איך שקרה הנה המרובע המתהוה מהקו כלו והמרובע המתהוה מאחד משני החלקים כאשר התקבצו שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו והחלק אשר זכרנו והמרובע המתהוה מן החלק הנשאר
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ג' קו ג"ח נכחי לקו ה"ז הישר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ומנקודת ח' קו א"ח נכחי לקו ב"ג הישר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ז"ה ג"ח נכחי הצלעות
−
=== Proposition 8 ===
 
−
in modern notation: <math>\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2</math>
 
−
|style="text-align:right;"|'''ח''' כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים איך שיקרה הנה ארבעה דמיוני<ref group=note>דמיוני: AB פי’ כפולי</ref> השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו ואחד משני חלקיו עם המרובע המתהוה מן החלק הנשאר שוה למרובע המתהוה מן הקו כלו והחלק אשר קדם זכרו כאשר הושמו שניהם בקו אחד&#x202B;<ref group=note>P1011: כל קו יחלק בחלקים עוד נוסף באורך הקו כמו אחד מהחלקים הנה אשר יהיה מהכאת כל זה בעצמו כמו אשר יהיה מהכאת הקו הראשון בחלק הנוסף ארבע פעמים והכאת החלק האחד בעצמו<br>
 
−
Mu36: נס’ אל חג’אג’ כאשר חולק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים איך שקרה הנה ארבעה דמיוני כפל המספר כלו באחד משני חלקיו עם הכאת החלק הנשאר בעצמו שוי[ם] למרובע המספר הנקבץ מהמספר המונח והחלק אשר זכרנו<br>
 
−
Mu130: &#x202B;[יהיה הקו עשרה ונחלקהו על ג’ ונכה ד’] פעמים ג’ בעשרה עלה ק”ך [נרבע] שבעה ויעלה מ”ט נוסיפהו על ק”ך עלה קס”ט וכן [מרובע] כל הקו המונח שהוא עשרה א”כ נוסיף עליו שלושה שחולק עליו יהיה כל הקו י”ג ומרובעו קס”ט<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(10\sdot3\right)\right]+7^2=120+49= 169=13^2=\left(10+3\right)^2}}</math><br>
 
−
P1010: דמיון במספר כש[נחלק] עשרה על דרך משל לב’ וח’ ונוסיף [על] עשרה שנים שה[ם] כמו החלק ה[...] ויהיה הכל י”ב ומרובעו קמ”[ד] ויהיה שוה להכאת המספר הראש[ון] שהוא עשרה ב[שנים] שהוא החלק הנ[שאר] ד’ פעמים שה[ם] שמנים ומרוב[ע] החלק עשרה הנשאר שמנה ומרובעו ס”ד והכל קמ”ד<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(10\sdot2\right)\right]+8^2=80+64=144 =12^2=\left(10+2\right)^2}}</math><br>
 
−
P1014: אם הי’ יחולק לו’ וד’ הנה ד’ פעמי’ הי’ עם הד’ שהם ק”ס עם מרובע הו’ ס”ד ובין הכל קצ”ו שוה למרובע י”ד שהו’ ג”כ קצ”ו וכן בשיעורים<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(10\sdot4\right)\right]+6^2=160+36=196 =14^2=\left(10+4\right)^2}}</math></ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחולק איך שיקרה על נקודת ג' הנה אומר כי ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ב ב"ג כאשר הושמו בקו אחד
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי ב"ה שוה אל ה"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נוציא א"ב אל נקודת ד' <span style=color:red>מפתי’ א&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|יהיה משולש אב"ה שוה למשלש אה"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה ב"ד שוה לב"ג <span style=color:red>מג’ מא’</span>
+
|style="text-align:right;"|מפני כי שניהם על שתי תושבות שוות ושניהם בין שני קוי ב"ג א"ח הנכחים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעשה מן א"ד מרובע אדה"ז <span style=color:red>ממ”ו מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|אם כן משלש אב"ג כפל משלש אה"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונמשיך ד"ז ונוציא משתי נקודות ג"ב שני קוים נכחיים לשני קוי א"ז ד"ה והם ג"ח ב"ט <span style=color:red>מל”א מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|ושטח ה"ז ג"ח נכחי הצלעות גם כן כפל משלש אה"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויחתוך ב"ט קו ד"ז על נקודת כ' וג"ח על נקודת ק' ונוציא משתי נקודות כ"ק שני קוים נכחיים לשני קוי א"ד ז"ה והם מ"נ ס"ר <span style=color:red>מל”ד מא&#x202B;’<span style=color:red>
+
|style="text-align:right;"|מפני כי שניהם על תושבת אחת והיא ה"ג ובמה שבין שני קוי ה"ג א"ח הנכחים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ג"ב שוה לב"ד וג"ב שוה לכל אחד מפ"כ ק"ע וב"ד שוה לכל אחד מן כ"נ ר"ע יהיה פ"כ שוה אל כ"נ וק"ע לר"ע הנה שטח כ"ג הנכחי הצלעות שוה לשטח ב"נ הנכחי הצלעות <span style=color:red>מל”ו מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ז"ה ג"ח נכחי הצלעות שוה למשלש אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ופ"ע לכ"ר וק"ט גם כן לה"ע ומפני כי ג"כ הנכחי הצלעות שוה לשטח ב"נ הנכחי הצלעות ופ"ע אל כ"ר וג"כ שוה אל כ"ר <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|מפני כי מה שהם כפל לדבר אחד בעינו הם שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיה ב"נ שוה לכל אחד מן פ"ע כ"ר ויהיה פ"ע שוה לכל אחד מן ג"כ ב"נ הנה שטחי ג"כ ב"נ פ"ע כ"ר ארבעה דמיוני ג"כ אבל שטחי ג"כ ב"נ פ"ע כ"ר הם כל שטח ג"ר אשר הוא ארבעה דמיוני שטח ג"כ ומפני כי ג"ב גם כן שוה אל ב"ד וג"ב שוה אל פ"כ אשר יקבילהו והוא גם כן שוה אל פ"ק מפני כי פ"ע מרובע <span style=color:red>מד’ מזה</span>
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר העמדנו שטח ז"ח ג"ה הנכחי הצלעות שוה למשולש אב"ג וזוית זה"ג ממנו שוה לזוית ד'
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|וב"ד שוה אל ב"כ ממרובע ב"נ וב"כ הוא גם כן שוה אל ג"פ וג"פ שוה אל פ"ק והנה שטח א"פ שוה לשטח מ"ק <span style=color:red>מל”ו מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וק"ט שוה אל ר"ט אבל מ"ק שוה אל ק"ט מפני כי שניהם מתמימים <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>
+
 
 +
=== Proposition 43 ===
 +
|
 +
|-
 +
|For every parallelogram, the complements of the two parallelograms on both sides of its the diameter are equal to one another.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מג</span> <big>כל שטח</big> נכחי הצלעות הנה שתי השטחים נכחי הצלעות אשר משני צדי קטרו אשר יקרא לשניהם המתמימים שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה א"פ שוה אל ר"ט הנה שטחי א"פ מ"ק ק"ט ע"ה הארבעה ארבעה דמיוני שטח א"פ
+
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח נכחי הצלעות עליו אב"ג ג"ד ויהיה קטרו ד"ב ויהיה על קוטר ד"ב שני שטחי ד"ה ז"ח ז"ט ב"כ נכחי הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושטח ג"ד הנכחי הצלעות ארבעה דמיוני שטח ג"כ הנה כל רושם שת"ת ארבעה דמיוני שטח א"כ וא"כ הוא השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"כ וב"כ שוה אל ב"ג כי הוא שוה אל ב"ד ממרובע ב"ג הנה רושם שת"ת ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג אם כן שוים לרושם שת"ת ונשים המרובע המתהוה מן א"ג משותף והוא ס"ח הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה לרושם שת"ת ומרובע ס"ח אבל רושם שת"ת וס"ח שניהם יחד שטח א"ה אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ד הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ד אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ב וב"ג כאשר הושמו בקו אחד
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני השטחים אשר יקרא לשניהם המתמימים שטח א"ט ז"ה ז"כ ג"ח
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle\Box_{ATZH}=\Box_{ZKGC}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואומר ששני שטחי א"ט ז"ה ז"כ ג"ח שוים
 +
|-
 +
|Proof:
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי א"ב ג"ד נכחי הצלעות וקטרו ד"ב
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\triangle_{ABD}=\triangle_{DGB}</math>
 +
|style="text-align:right;"|יהיה משולש אב"ד שוה למשולש דג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כאשר חולק קו ישר בשני חלקים איך שקרה הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו ואחד מחלקיו עם המרובע המתהוה מן החלק הנשאר שוה למרובע המתהוה מן הקו כלו והחלק אשר קדם זכרו כאשר הושמו בקו אחד
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי שטח ד"ה ז"ח גם כן נכחי הצלעות וקטרו ד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
:*<math>\scriptstyle\triangle_{ZHD}=\triangle_{ZCD}</math>
 +
|style="text-align:right;"|יהיה משולש זה"ד שוה למשלש זח"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
:*<math>\scriptstyle\triangle_{ZTB}=\triangle_{ZKB}</math>
−
=== Proposition 9 ===
+
|style="text-align:right;"|ולזה גם כן יהיה משולש זט"ב שוה למשולש זכ"ב
−
in modern notation: <math>\scriptstyle a^2+b^2=2\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right) \right]^2+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2\right]</math>
 
−
|style="text-align:right;"|'''ט''' כאשר חולק קו ישר לשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים המתהוים משני חלקי הקו כלו אשר הם בלתי שוים שניהם כפל שני המרובעים המתהוים מחצי הקו ומן הקו אשר במה שבין שתי מקומות השני חלקים&#x202B;<ref group=note>P1011: כל קו יחלק בחציים עוד יתחלק גם כן לחלקים מתחלפים הנה אשר יהיה מהכאת שני החלקים המתחלפים כל אחד מהם בעצמו הוא כפל מה שיהיה מהכאת חצי הקו בעצמו וכפל מה שיהיה מהכאת חצי הקו על החלק היותר קצר בעצמו יחד<br>
 
−
Mu36: נס’ אל חג’אג’ כאשר חולק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה הכאת כל אחד מהשני חלקים הבלתי שוים בעצמו מקובצים הנה הם שוים להכאת חצי המספר בעצמו עם הכאת המספר אשר מה שבין בעצמו<br>
 
−
Mu130: [...]<br>
 
−
P1010: דמיון במספר כשנחלק עשרה לה’ ה’ שהם שנים ונחלקהו לז’ וג’ שהם חלקים בלתי שוים הנה המרובע המתהוה מהכאת ז’ בעצמו שהוא מ”ט ומהכאת ג’ בעצמו שהוא ט’ והכל נ”ח כמרובע המתהוה מחצי הקו שהוא ה’ ורבועו כ”ה וכפלו נ’ ועוד כפל מרובע מותר החלק הגדול הבלתי שוה על החלק השוה שהיה המותר ב’ ורבועו ד’ וכפלו ח’ והכל נ”ח<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{7^2+3^2=49+9=58=50+8=\left(2\sdot25\right)+\left(2\sdot4\right)=2\sdot5^2+
 
−
2\sdot2^2=2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+2\sdot\left(7-5\right)^2}}</math><br>
 
−
P1014: וכן הי”ד אם חולק לז’ ז’ וחולק לח’ וו’ מרובעי ח’ ס”ד ומרובע ו’ ל”ו בין הכל הו’ ק’ שוה לכפל מרובע ז’ שהם צ”ח וכפל מרובע א’ ובין הכל ק’ וכן בשיעורים<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{8^2+6^2=64+36=100=98+2=\left(2\sdot49\right)+\left(2\sdot2\right)=2\sdot7^2+
 
−
2\sdot1^2=2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2+2\sdot\left(8-7\right)^2}}</math></ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחלק לשני חלקים שוים על נקודת ג' <span style=color:red>מי’ מא&#x202B;’</span>
+
:<math>\scriptstyle\triangle_{ZHD}+\triangle_{ZTB}=\triangle_{DCZ}+\triangle_{ZKB}</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שני משלשי דה"ז זט"ב שוים לשני משולשי דח"ז זכ"ב
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\triangle_{ABD}=\triangle_{DBG}</math>
−
|style="text-align:right;"|ושני חלקים בלתי שוים על נקודת ד' הנה אומר כי שני המרובעים המתהוים מן שני קוי א"ד ד"ב כפל שני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ד
+
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר גם כן כי כל משולש אב"ד שוה לכל משולש דב"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\Box_{ATZH}=\Box_{ZKGC}</math>
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ג' מקו א"ב הישר קו ישר על זוית נצבה והוא ג"ה <span style=color:red>מי”א מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|הנה יחוייב שיהיה שטח א"ט ז"ה המתמים הנשאר שוה לשטח ז"כ ג"ח המתמים הנשאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים ה"ג שוה לכל אחד משני קוי א"ג ג"ב <span style=color:red>מב’ מא&#x202B;’</span> ונמשיך קו א"ה ה"ב <span style=color:red>מפתיח’ א’</span>
+
|style="text-align:right;"|אם כן כל שטח נכחי הצלעות אשר משני צדדי קטרו אשר יקרא לשניהם המתמימים שוים
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו ג"ה והוא ד"ז <span style=color:red>מל”א מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|וזמש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ז' קו נכחי לקו ג"ד והוא ז"ח ונמשיך א"ז
+
 
−
|-
+
=== Proposition 44 ===
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ה"ג שוה אל א"ג תהיה זוית גה"א שוה לזוית גא"ה <span style=color:red>מה’ מא&#x202B;’</span>
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to construct a parallelogram on a given straight line equal to a given triangle, whose angle is equal to a rectilinear angle.
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי זוית אג"ה נצבת יהיו שתי זויות הא"ג אה"ג הנשארות שוות לזוית נצבת <span style=color:red>מל”ב מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מד</span> <big>נרצה</big> שנעשה על קו ישר מונח שטח נכחי הצלעות שוה למשולש מונח שוה זויתו לזוית מונחת ישרת הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושתיהם שוות הנה כל אחת משתי זויות גה"א גא"ה חצי נצבת ומפני כי ה"ג גם כן שוה לג"ב תהיה זוית גה"ב שוה לזוית גב"ה <span style=color:red>מה’ מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו הישר המונח א"ב ומשולש המונח גד"ה והזוית המונחת ישרת הקוים זוית ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בג"ה נצבת הנה כל אחת משתי זויות גה"ב גב"ה חצי נצבת אבל כל אחת משתי זויות גה"ב אה"ג חצי נצבת תהיה זוית אה"ז נצבת ומפני כי זוית גב"ה חצי נצבת וזוית זד"ב נצבת תהיה זוית דז"ב חצי נצבת <span style=color:red>מל”ב מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|ונרצה שנעשה על קו א"ב הישר המונח שטח נכחי הצלעות שוה למשולש גד"ה המונח שוה זויתו לזוית ז' המונחת ישרת הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ב"ד שוה לקו ד"ז <span style=color:red>מו’ מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|הנה נעמיד שטח נכחי הצלעות עליו ח"ב כ"ט שוה למשולש גד"ה המונח שוה זויתו לזוית ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ולכן גם כן יהיה ז"ח שוה אל ח"ה
+
|style="text-align:right;"|ויהיה ב"כ ממנו על יושר כ"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי ה"ג שוה אל א"ג יהיה המרובע המתהוה מן ה"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ג הנה שני המרובעים המתהוים משני קוי ה"ג א"ג כפל המרובע המתהוה מן א"ג הנה המרובע המתהוה מן א"ה שוה לשני המרובעים המתהוים משני קוי ה"ג א"ג <span style=color:red>ממ”ז מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|ונתמים שטח ל"א ב"ח הנכחי הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית הג"א נצבת הנה המרובע המתהוה מן א"ה כפל המרובע המתהוה מן א"ג ומפני כי ה"ח גם כן שוה אל ז"ח יהיה המרובע ההוה מן ה"ח שוה למרובע ההוה מן ח"ז הנה שני המרובעים ההוים משני קוי ה"ח ח"ז כפל המרובע ההוה מן ח"ז והמרובע ההוה מן ה"ז שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ה"ח ח"ז <span style=color:red>ממ”ז מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קו ל"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן ה"ז כפל המרובע ההוה מן ח"ז וח"ז שוה אל ג"ד הנה המרובע ההוה מן ה"ז כפל המרובע ההוה מן ג"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ל"א נכחי אל ט"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר גם כן שהמרובע ההוה מן ה"א כפל המרובע ההוה מן א"ג הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ה ה"ז כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד והמרובע ההוה מן א"ז שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ה ה"ז <span style=color:red>ממ”ז מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|וכבר נפל על שניהם קו ל"ט הישר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית אה"ז נצבת הנה המרובע ההוה מן א"ז כפל שני המרובעים ההוים מן א"ג ג"ד והמרובע ההוה מן א"ז כמו שני המרובעים ההוים מן א"ד ד"ז <span style=color:red>ממ”ז מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|יהיו שתי זויות אל"ט לט"כ הפנימיות שוות לשתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית אד"ז נצבת הנה שני המרובעים ההוים מן א”ד ד”ז כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א”ג ג”ד וז”ד שוה לד”ב הנה שני המרובעים ההוים מן א"ד ד"ב כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות בל"ט לט"כ פחות משתי זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כאשר חולק קו ישר לשני חלקים שוים ולשני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים ההוים משני חלקי הקו כלו אשר הם בלתי שוים שניהם כפל שני המרובעים ההוים מחצי הקו כלו ומן הקו אשר במה שבין שני מקומות השני חלקים
+
|style="text-align:right;"|והקוים אשר יצאו בפחות משתי נצבות אשר לא תכלית יפגשו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ל"ב ט"כ כאשר יצאו אל לא תכלית יפגשו ויוצאו ויפגשו על נקודת מ'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת מ' קו נכחי לשני קוי ב"א ל"ט והוא מ"נ
−
=== Proposition 10 ===
 
−
in modern notation: <math>\scriptstyle\left(a+b\right)^2+b^2=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2\right]</math>
 
−
|style="text-align:right;"|'''י''' כאשר נחלק קו ישר לשני חציים והוסף עליו קו ישר על יושר הנה המרובע ההווה מן הקו כלו עם התוספת והמרובע ההוה מן התוספת כפל שני המרובעים כאשר יחוברו כלומר המרובע ההווה מחצי הקו והמרובע ההווה מן הקו המורכב מחצי הקו והתוספת&#x202B;<ref group=note>P1011: כל קו יחלק בחציים עוד נוסף באורך הקו קו אחר הנה אשר יהיה מהכאת זה כלו בעצמו והקו הנוסף בעצמו מקבצים הוא כפל מה שיהיה מחצי הקו הראשון כאשר תחבר אליו הקו הנוסף ותכה בעצמו והכאת חצי הקו הראשון בעצמו<br>
 
−
Mu36: נ’ אל חג’אג’ כאשר נחלק אי זה מספר מונח שיהיה בשני חלקים שוים והוספנו עליו אי זה מספר מונח שהיה הנה המרובע ההווה מהמספר <s>המונח</s> המקובץ מהמספר המונח והמספר המוסף עם הכאת המספר המוסף בעצמו הנה הם כפל המרובע ההווה מחצי המספר המונח עם הכאת המספר המקובץ מחצי המספר המונח והתוספת בעצמו<br>
 
−
Mu130: [...]<br>
 
−
P1010: דמיון במספר כשנחלק מספר עשרה על דרך משל לה’ ה’ והוסף עליו מספר [ב'] והוא י”ב יהיה הכאת י”[ב] שה[וא] המספר עם התוספת בעצמו והוא קמ”ד ורבוע התוספת שהוא ב’ ורבועו ד’ והכל קמ”ח שוה לכפל מרובע ההוה מחצי המספר הבלתי נוסף שהיה חציו ה’ ורבועו כ”ה וכפלו נ’ עם כפל מרובע ה’ מורכב עם ב’ שהוא הנוסף והכל ז’ ורובעו מ”ט וכפלו צ”ח והכל קמ”ח<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+2\right)^2+2^2=12^2+2^2=144+4=148=50+98=
 
−
\left(2\sdot25\right)+\left(2\sdot49\right)=\left(2\sdot5^2\right)+\left(2\sdot7^2\right)=\left(2\sdot5^2\right)+\left[2\sdot\left(5+2\right)^2\right]=\left[2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2\right]+\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2\right]}}</math><br>
 
−
P1014: הי’ אילו חולק לה’ ה’ והוסף עליו ד’ שהו’ י”ד הנה מרובע הכל שהו’ קצ”ו עם י”ו שהו’ מרובע ד’ בין הכל רי”ב שוה לכפל מרובע הה’ שהו’ נ’ ולכפל מורכב מה’ וד’ שהו’ ט’ וכפל מרו’ ט’ יהיה קס”ב ובין הכל רי”ב וכן בשיעורים<br>
 
−
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+4\right)^2+4^2=14^2+4^2=196+16=212=50+162=
 
−
\left(2\sdot25\right)+\left(2\sdot81\right)=\left(2\sdot5^2\right)+\left(2\sdot9^2\right)=\left(2\sdot5^2\right)+\left[2\sdot\left(5+4\right)^2\right]=\left[2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2\right]+\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+4\right]^2\right]}}</math></ref>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו הישר א"ב ויחלק לשני חציים על נקודת ג' ויוסיף עליו קו ישר על יושר והוא ב"ד הנה אומר כי שני המרובעים ההוים משני קוי א"ד ד"ב כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג וג"ד
+
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי א"נ כ"ה על יושר שני קוי ל"א ח"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ג' קו ישר על זוית נצבת והוא ג"ה <span style=color:red>מי”א מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ל"נ נכחי הצלעות וקטרו מ"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויושם שוה לכל אחד משני קוי א"ג וג"ב <span style=color:red>מג’ מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|ועל קוטר ל"מ שני שטחי ל"א ב"ח ב"ס מ"כ נכחי הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע קו א"ה ה"ב ונוציא מנקודת ד' קו ישר נכחי לקו ג"ה והוא ד"ז ומנקודת ה' קו ישר נכחי לקו ג"ד והוא ה"ז <span style=color:red>מל”א מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|ושני שטחי א"נ ח"ב ח"כ כ"ט הם המתמימים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ה"ג נכחי אל ז"ד וכבר נפל על שניהם קו ה"ז הישר יהיו שתי זויות גה"ז הז"ד הפנימיות שוות לשתי זויות נצבות <span style=color:red>מכ”ט מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ח"ב כ"ט נכחי הצלעות שוה לשטח א"נ ה"ב נכחי הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שתי זויות בה"ז והז"ד קטנות משתי זויות נצבות והקוים אשר יצאו מפחות משתי זויות נצבות אל לא תכלית יפגשו <span style=color:red>מפתיחת א&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|אבל שטח ח"ב ט"ב שוה למשולש גד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ה"ב וז"ד כאשר הוצאו אל לא תכלית יפגשו ויפגשו על נקודת ח' ונגיע א"ח הנה מפני כי ה"ג שוה אל א"ג תהיה זוית גה"א שוה לזוית גא"ה <span style=color:red>מה’ מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"נ ה"כ הנכחי הצלעות שוה למשלש גד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית אג"ה נצבת הנה כל אחת משתי זויות גה"א גא"ה חצי נצבת <span style=color:red>מל”ב מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי זוית חב"כ שוה לזוית אב"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי ה"ג גם כן שוה לג"ב תהיה זוית גה"ב שוה לזוית גב"ה וזוית בג"ה נצבת הנה כל אחת משתי זויות הב"ג וגה"ב חצי נצבת ומפני כי כל אחת משתי זויות אה"ג בה"ג חצי נצבת תהיה זוית אה"ב נצבת ומפני כי זוית הב"ג חצי נצבת תהיה זוית דב"ח חצי נצבת <span style=color:red>מט”ו מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|וזוית חב"כ שוה לזוית ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בד"ח נצבת כי היא שוה לזוית דג"ה אשר תמירה <span style=color:red>מכ”ט מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|תהיה זוית אב"ה שוה לזוית ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותשאר זוית דח"ב חצי נצבת
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר נעשה על קו א"ב הישר המונח שטח נכחי הצלעות שוה למשולש גד"ה המונח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית דח"ב אם כן שוה לזוית דב"ח ויהיה מפני זה צלע ב"ד שוה לצלע ח"ד <span style=color:red>מו’ מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|וזוית אב"ה ממנו שוה לזוית ז' המונחת ישרת הקוים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי זוית הח"ז גם כן חצי נצבת ואשר אצל ז' נצבת מפני כי היא שוה לאשר תקבילה <span style=color:red>מל”ד מא&#x202B;’</span>
+
 
 +
=== Proposition 45 ===
 +
|
 +
|-
 +
|We wish to construct a parallelogram equal to a rectilinear figure, whose angle is equal to a given rectilinear angle.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מה</span> <big>נרצה</big> שנעמיד שטח נכחי הצלעות שוה לתמונה ישרת הקוים ותהיה שוה זויתה לזוית מונחת ישרת הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והיא אשר אצל ג' תשאר זוית זה"ח חצי נצבת ותהיה זוית הח"ז שוה לזוית זה"ח ולכן יהיה צלע ח"ז שוה לצלע ה"ז
+
|style="text-align:right;"|ותהיה התמונה ישרת הקוים המונחת א"ב ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי ה"ג שוה אל א"ג יהיה המרובע ההוה מן ה"ג שוה למרובע ההוה מן א"ג ושני המרובעים ההוים משני קוי ה"ג וא"ג כפל המרובע ההוה מן א"ג והמרובע ההוה מן א"ה שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ה"ג א"ג מפני כי זוית הג"א נצבת <span style=color:red>ממ”ז מא’</span>
+
|style="text-align:right;"|ותהיה הזוית המונחת ישרת הקוים זוית ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן א"ה כפל המרובע ההוה מן א"ג
+
|style="text-align:right;"|ונרצה שנעמיד שטח נכחי הצלעות שוה לתמונה א"ב ג"ד ישרת הקוים שוה זויתו לזוית ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי ה"ז גם כן שוה אל ז"ח יהיה המרובע ההוה מן ה"ז שוה למרובע ההוה מן ז"ח הנה שני המרובעים ההוים משני קוי ה"ז ז"ח כפל המרובע ההוה מן ה"ז ושני המרובעים ההוים משני קוי ה"ז ז"ח שוים למרובע ההוה מן ה"ח <span style=color:red>ממ”ז מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|הנה נגיע ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן ה"ח כפל המרובע ההוה מן ה"ז
+
|style="text-align:right;"|ונעמיד שטח נכחי הצלעות שוה למשולש אב"ג והוא ה"ז כ"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וה"ז שוה אל ג"ד <span style=color:red>מל”ד מא’</span>
+
|style="text-align:right;"|שוה זוית זה"ט ממנו לזוית ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן ה"ח כפל המרובע ההוה מן ג"ד וכבר התבאר גם כן כי המרובע ההוה מן א"ה כפל המרובע ההוה מן א"ג הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ה וה"ח כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד ושני המרובעים ההוים משני קוי א"ה ה"ח שוים למרובע ההוה מן א"ח מפני כי זוית אה"ח נצבת <span style=color:red>ממ”ז מא&#x202B;’</span>
+
|style="text-align:right;"|ונעשה על ז"כ שטח נכחי הצלעות שוה למשולש בג"ד והוא ז"ח כ"מ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן א"ח כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד והמרובע ההוה מן א"ח שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ד ד"ח מפני כי זוית אד"ח נצבת הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ד וד"ח כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג וג"ד
+
|style="text-align:right;"|שוה זוית חז"כ ממנו לזוית ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו ח"ד שוה לקו ד"ב הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ד ד"ב כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג וג"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני שכל אחת משתי זויות זה"ט חז"ב שוות לזוית ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כאשר חולק קו ישר בשני חציים והוסף עליו קו ישר על יושר הנה המרובע ההווה מן הקו כלו עם התוספת והמרובע ההווה מן התוספת כפל שני המרובעים כאשר יחוברו כלומר המרובע ההווה מחצי הקו והמרובע ההווה מן הקו המורכב מחצי הקו ומן התוספת
+
|style="text-align:right;"|תהיה זוית חז"כ שוה לזוית זה"ט
 
|-
 
|-
−
|
+
|We define <math>\scriptstyle\measuredangle HZK</math> common.
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ונשים זוית הז"כ משותפת
−
|-
 
−
|}
 
−
{|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
== Book Three ==
+
|style="text-align:right;"|א"כ שתי זויות זה"ט הז"כ שוות לשתי זויות חז"כ כז"ה
−
|style="text-align:right;"|<big>המאמר השלישי</big>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>ההקדמות</big>
+
|style="text-align:right;"|אבל שתי זויות זה"ט הז"כ שוות לשתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>העגולים השוים</big> הם אשר קטריהם שוים קצתם אל קצת או אשר יהיו הקוים אשר יצאו ממרכזיהם אל הקוים המקיפים בהם שוים קצתם אל קצת
+
|style="text-align:right;"|אם כן זויות חז"כ כז"ה שוות לשתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> והקו הישר יקרא לו ממשש לעגולה הוא אשר יפגוש לעגולה וכאשר הוצא לכל אחד משני הצדדים לא יחתכה
+
|style="text-align:right;"|אם כן ה"ז על יושר קו ז"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ג</span> והעגולות אשר יקרא קצתם ממששות לקצת הם אשר יפגשו קצתם לקצת ולא יתחתכו
+
|style="text-align:right;"|ולכן גם כן קו ט"ב על יושר קו כ"מ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ד</span> ויאמר כי רוחק הקוים הישרים מן המרכז בעגולה שוה כאשר היו העמודים המוצאים עליהם מן המרכז שוים
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי ה"ז שוה אל כ"ט ונכחי לו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ה</span> והקו אשר יאמר כי מרחקו מהמרכז יותר גדול הוא אשר יהיה העמוד הנופל עליו יותר גדול
+
|style="text-align:right;"|וז"ח שוה אל כ"מ ונכחי לו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ו</span> חתיכת העגולה היא אשר יקיף בה קו ישר יקרא המיתר והחלק מן הקו המקיף יקרא הקשת
+
|style="text-align:right;"|יהיה כל ה"ח שוה אל ט"ב ונכחי לו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> וזוית חתיכת העגולה היא אשר יקיפו בה קו ישר וקשת מן הקו המקיף בעגולה
+
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ה"ח ט"מ נכחי הצלעות שוה לתמונה א"ב ג"ד ישרת הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> והזוית אשר בחתיכת העגולה היא אשר יקיפו בה קוים ישרים יגיעו מנקודה תרשם איך שתפול על קשת החתיכה ובין שני קצוות הקו הישר אשר הוא תושבת החתיכה
+
|style="text-align:right;"|וזוית זה"ט שוה לזוית ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> וכאשר יסבבו השני קוים הישרים המקיפים בזוית קשת מה הנה הזוית יקרה לה אשר על הקשת ההיא
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר העמדנו שטח נכחי הצלעות שוה לתמונת א"ב ג"ד ישרת הקוים שוה זויותו לזוית מונחת ישרת הקוים
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י</span> וחתוך העגולה היא תמונה אשר יקיפו בה שני קוים ישרים יקיפו בזוית על מרכז העגולה וקשת יקיפוה אותם שני הקוים מן העגולה
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יא</span> וחתיכות העגולות המתדמות הם אשר יקבילו זויות שוות
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יב</span> וכאשר היו זויותיהן אשר יקבילו שוות הנה הן מתדמות
 
−
|-
 
−
|
 
−
=== Proposition 1 ===
 
  
 +
=== Proposition 46 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to construct a square on a given straight line.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>נרצה</big> לבאר איך נמצא מרכז עגולה מונחת
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מו</span> <big>נרצה</big> שנעשה על קו ישר מונח מרובע
 
|-
 
|-
−
|
+
|Example: straight line AB.
−
|style="text-align:right;"|תהיה העגולה המונחת א"ב ונרצה למצא מרכזה
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו הישר א"ב
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to construct a square on AB.
−
|style="text-align:right;"|הנה נקוה בה מיתר איך שיפול והוא ג"ד
+
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות על קו א"ב מרובע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונחלקהו בשני חצאים על ה'
+
*We draw line AG at right angle from the point A on line AB.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נוציא מקו א"ב מנקדת א' ממנו קו ישר על זוית נצבת והוא קו א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ה' קו ה"א על זוית נצבת מקו ג"ד ונוציאהו אל ב'
+
*We define: <math>\scriptstyle AG=AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשים א"ג כמו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונחלק א"ב על ח' בשני חצאים
+
*We draw straight line GD from the point D parallel to line AB.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ג' קו ישר נכחי לקו א"ב והוא ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אומר כי ח' מרכז העגולה ואי אפשר זולתו
+
*We draw line BD from the point B parallel to line AG.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ב' קו נכחי לקו א"ג והוא ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|כי אלו היה אפשר זה הנה יהיה זה המרכז נקודת ט'
+
:*GABD is a parallelogram
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ג"א ב"ד נכחי הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ט"ג וט"ה וט"ד
+
:*<math>\scriptstyle AB=GD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וקו א"ב שוה לקו ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ג"ה כמו קו ה"ד
+
:*<math>\scriptstyle AG=BD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וקו א"ג לקו ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים ה"ט משותף
+
*<math>\scriptstyle AB=AG</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל קו א"ב שוה לקו א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ג"ה וה"ט כמו שני קוי ד"ה וה"ט
+
*<math>\scriptstyle\longrightarrow GD=DB</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קו ג"ד שוה אל קו ד"ב
 
|-
 
|-
−
|
+
|Therefore, lines AB, BD, DG, GA are equal to one another.
−
|style="text-align:right;"|ותושבת ג"ט כמו תושבת ט"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן קוי א"ב ב"ד ד"ג ג"א הם שוים
 
|-
 
|-
−
|
+
|Hence, AGDB is equilateral.
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית גה"ט כמו זוית דה"ט הנה שתיהם אם כן שוות
+
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ג ד"ב שוה הצלעות
 +
|-
 +
|Supposition: it is also right-angled.
 +
|style="text-align:right;"|ואומר גם כן כי הוא נצב הזוי'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית דה"א גם כן נצבת
+
:*Line GA falls upon the parallel lines AB and GD.
 +
|style="text-align:right;"|כי מפני שהוא כבר נפל על שני קוי א"ב ג"ד הנכחיים קו ג"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר התאמת כי כל הזויות הנצבות שוות
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle BAG+\measuredangle AGD=90^\circ+90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|יהיו שתי זויות בא"ג אג"ד שוות לשתי זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות דה"ט דה"א שוות
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle BAG=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל זוית בא"ג נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הגדולה לקטנה זה אי אפשר
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle AGD=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אג"ד גם כן נצבת
 +
|-
 +
|Opposite sides and angles in parallelogrammic areas are equal to one another.
 +
|style="text-align:right;"|והזויות והצלעות המתנגדות מן השטחים נכחי הצלעות שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן אין ט' מרכז העגולה ולא זולתה מן הנקודות בלתי נקודת ח'
+
*each of the angles <math>\scriptstyle\measuredangle ABD</math> and <math>\scriptstyle\measuredangle BDG</math> that are opposite to the above mentioned are right.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחת משתי זויות אב"ד בד"ג המתנגדות לאשר זכרנו שוות
 +
|-
 +
|AGDB is right-angled and it was already proved equilateral.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ב ג"ד נצב הזויות וכבר התבאר שהוא שוה הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
*Therefore it is a square and it is constructed on line AB <math>\scriptstyle AB\times GD=AB^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א"ב ג"ד מרובע והוא עשוי על קו א"ב
 +
|-
 +
|We have constructed a square on the given line AB.
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר קוינו מקו א"ב המונח מרובע
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 2 ===
 
  
 +
=== Proposition 47 ===
 
|
 
|
 +
|-
 +
|The square on the hypotenuse in right-angled triangles equals [the sum of] the two squares on the two sides containing the right angle.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מז</span> <big>המרובע</big> ההוה מן הצלע אשר יהיה מיתר הזוית הנצבת מן המשולשים נצבי הזויות שוה לשני המרובעים ההוים משתי צלעות המקיפות הזוית הנצבת
 +
|-
 +
|Example: <math>\scriptstyle\triangle_{ABG}</math> is a right-angled triangle.
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה המשולש נצב הזוית אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> <big>כאשר</big> תרשום על מקיף העגולה שתי נקודות והוצא מאחת משתיהן קו ישר אל האחרת הנה יפול תוך העגולה
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle BAG=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותהיה זויתו הנצבת זוית בא"ג
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle BG^2=BA^2+AG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי המרובע ההווה מן ב"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן ב"א וא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> אנחנו נרשום על עגולת א"ב שתי נקודות ג"ד ונוציא ג"ד הישר
+
*<math>\scriptstyle\Box_{BDHG}=BG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה {{#annot:term|2549,819|kY7l}}נקוה{{#annotend:kY7l}} מן ב"ג מרובע ב"ד ה"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי הוא כבר נפל תוך העגולה אי אפשר זולתו
+
*<math>\scriptstyle\Box_{BCZA}=BA^2\quad\Box_{GATK}=AG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומן ב"א א"ג שני מרובעים ב"ח ז"א ג"א ט"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם יהיה אפשר הנה יפול חוץ ממנה כמו קו גה"ד
+
*We draw line AL from point A parallel to BD and GH.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת א' קו נכחי לכל אחד משני קוי ב"ד ג"ה והוא א"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה מרכז העגולה ז' ונוציא ז"ג וז"ד
+
*We join lines CG and AD.
 +
|style="text-align:right;"|ונגיע שני קוי ח"ג א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מז' אל קשת ג"ד קו ז"ב איך שיפול ונוציאהו אל ה'
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle BAG=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני זוית בא"ג נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית בה"ד יותר גדולה מזוית זג"ה
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle BAZ=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית בא"ז גם כן נצבת
 
|-
 
|-
−
|
+
|When two straight lines ZA and AG are drawn from point A, but are not lying on the same side, the adjacent angles on both sides are equal to two right angles.
−
|style="text-align:right;"|מפני שהיא חוץ ממשולש זג"ה
+
|style="text-align:right;"|יהיה כאשר הוצא מנקודת א' ממנו שני קוי ז"א א"ג הישרים ואינם בצד אחד ויהיו שתי זויות גא"ב בא"ז אשר משני הצדדים שוות לשתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל זוית זג"ה כמו זד"ה
+
*<math>\scriptstyle ZA\parallel GA</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"א על יושר ג"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי צלע ז"ג כמו צלע ז"ד
+
*<math>\scriptstyle AT\parallel AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ולכן יהיה קו א"ט על יושר קו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית זה"ד יותר גדולה מזוית זד"ה
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle CBA=90^\circ=\measuredangle DBG</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומפני כי זוית חב"א שוה לזוית דב"ג<br>
 +
וזה כי כל אחת משתיהן נצבות
 
|-
 
|-
−
|
+
|We define <math>\scriptstyle\measuredangle ABG</math> common:
−
|style="text-align:right;"|והזוית היותר גדולה מכל משולש יהיה מיתרה הצלע היותר ארוך
+
|style="text-align:right;"|נשים זוית אב"ג משותפת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיה ז"ד יותר ארוך מצלע ז"ה
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle CBG=\measuredangle ABD</math>
 +
|style="text-align:right;"|יהיה כל זוית חב"ג שוה לכל זוית אב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל ז"ד כמו ז"ב
+
:*<math>\scriptstyle CB=BA</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומפני כי ח"ב שוה אל ב"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ב יותר ארוך מן ז"ה
+
:*<math>\scriptstyle BG=BD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וב"ג אל ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|היותר קצר יותר ארוך מן היותר גדול זה שקר אי אפשר
+
*The two sides CB and BG are equal to the two sides AB and BD respectively.
 +
|style="text-align:right;"|יהיו כל שני קוי ח"ב ב"ג שוים לכל שני קוי א"ב ב"ד כל אחד לגילו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי הקו אשר יצא מג' אל ד' לא יפול חוץ מן העגולה
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle CBG=\measuredangle ABD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית חב"ג שוה לזוית אב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר שהוא לא יפול אל הקו המקיף בה
+
*<math>\scriptstyle CG=AD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ח"ג שוה לתושבת א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה הוא אם כן יפול בתוכה כמו ג"ד
+
*<math>\scriptstyle\triangle_{CBG}=\triangle_{ABD}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומשולש חב"ג למשולש אב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
*But the parallelogram BDLM = <math>\scriptstyle2\sdot\triangle_{ABD}</math>:
 +
|style="text-align:right;"|אבל שטח ב"ד ל"מ נכחי הצלעות כפל משולש אב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 3 ===
+
:*They have the same base BD.
−
 
+
|style="text-align:right;"|מפני כי שניהם על תושבת אחת והיא ב"ד
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ג</span> <big>כאשר</big> נפל מיתר בעגולה על זולת המרכז ויצא מן המרכז קו וחתך המיתר בשני חצאים הנה הוא יחתכהו על זוית נצבת ואם חתך אותו על זוית נצבת הנה יחתכהו בשני חצאים
+
:*They are between the same parallel lines BD and AL.
 +
|style="text-align:right;"|ובמה שבין שני קוים נכחיים והם ב"ד א"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי נפל בעגולת א"ב מיתר ג"ד על זולת המרכז והקטר א"ב
+
*<math>\scriptstyle\square_{BAZC}=2\sdot\triangle_{CBG}</math>:
 +
|style="text-align:right;"|ושטח ב"א ז"ח כפל משולש חב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אומר כי א"ב אם חתך ג"ד בשני חצאים הנה הוא יחתכהו על זוית נצבת
+
:*They have the same base BC.
 +
|style="text-align:right;"|מפני שניהם על תושבת אחת והיא ב"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם חתכו על זוית נצבת הנה הוא יחתכהו בשני חצאים
+
:*They are between the same parallel lines CB and ZG.
 +
|style="text-align:right;"|ובמה שבין קוים נכחיים והם ח"ב ז"ג הנכחיים
 
|-
 
|-
−
|
+
|Those that are double the same thing are equal.
−
|style="text-align:right;"|ויחתכהו תחלה בשני חצאים על נקודת ה'
+
|style="text-align:right;"|ואשר הם כפל לדבר אחד שוה הנה הם גם כן שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי יחתכהו על זוית נצבת
+
*The parallelogram BDLM = <math>\scriptstyle\square_{CBAZ}</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ב"ד ל"מ הנכחי הצלעות שוה למרובע חבא"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כאשר נשים המרכז ז'
+
*The parallelogram MLHG = <math>\scriptstyle TA^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר כי שטח מ"ל ה"ג הנכחי הצלעות שוה למרובע ט"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ז"ג וז"ד
+
*The parallelogram BDHG = <math>\scriptstyle\square_{CBAZ}+\square_{TZGB}=BA^2+AG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ב"ד ה"ג הנכחיי הצלעות שוה לשני מרובעי ח"ב א"ז ט"ז ג"ב והם הווים מן ב"א א"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|The square on the hypotenuse in right-angled triangles equals [the sum of] the two squares on the [two] sides containing the right angle.
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ג"ה כמו ה"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מן הצלע אשר תהיה מיתר הזוית הנצבת מן המשולשים נצבי הזויות שוים לשני המרובעים ההוים מהצלעות המקיפות בזוית הנצבת
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|ונשים ה"ז משותף
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קוי ג"ה וה"ז כמו ד"ה וה"ז
+
 
−
|-
+
=== Proposition 48 ===
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותושבת ג"ז כמו תושבת ז"ד
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|When the square on one of the sides of the triangle equals [the sum of] the squares on the remaining [two] sides [of the triangle], then the angle contained by the remaining two sides of the triangle is right.
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית גה"ז כמו זוית דה"ז
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מח</span> <big>כאשר</big> היה המרובע ההווה מן הצלע מצלעות המשלש שוה למרובעים ההוים מן הצלעות הנשארות הנה הזוית אשר יקיפו בה שתי צלעות ההם מן המשולש נצבת
 
|-
 
|-
−
|
+
|Example: <math>\scriptstyle\triangle_{ABG}</math>
−
|style="text-align:right;"|הנה שתיהן אם כן נצבות
+
|style="text-align:right;"|ויהיה המשלש עליו אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר חתך א"ב ג"ד בשני חצאים על זויות נצבות
+
*<math>\scriptstyle BG^2=AG^2+{\color{red}{AB^2}}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה המרובע ההוה מן ב"ג ממנו שוה לשני המרובעים ההוים מן א"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: <math>\scriptstyle\measuredangle BAG=90^\circ</math>
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה כאשר יחתוך א"ב לג"ד על זויות נצבות הנה אומר כי הוא יחתכהו בשני חצאים
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי זוית בא"ג נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי ג"ז כמו ז"ד
+
*We draw line AD from point A at right angle to AG.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת א' קו א"ד נצבת על א"ג על זוית נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זג"ד כמו זוית זד"ג
+
*We define: <math>\scriptstyle AD=AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשים קו א"ד שוה לקו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל זוית גה"ז וזוית דה"ז נצבות
+
*We join G and D.
 +
|style="text-align:right;"|ונדביק ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות זג"ה וגה"ז ממשלש זג"ה כמו שתי זויות זד"ה וזה"ד ממשולש זד"ה
+
:*<math>\scriptstyle BG^2=BA^2+AG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי מרובע ב"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן ב"א א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וצלע ג"ז כמו צלע ז"ד
+
:*<math>\scriptstyle BA=AD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וקו ב"א שוה לקו א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו ה"ז משותף לשני המשולשים
+
*<math>\scriptstyle BG^2=AG^2+AD^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|יהיה המרובע ההוה מן ב"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן א"ג א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי הצלעות הנשארות והם ג"ה וה"ד שוות
+
:*<math>\scriptstyle AG^2+AD^2=DG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל שני המרובעים ההוים מן א"ג א"ד שוים למרובע ההוה מן ד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר חתך א"ב לג"ד בשני חצאים
+
::Since <math>\scriptstyle\measuredangle DAG=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית דא"ג נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
+
*<math>\scriptstyle DG^2=BG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן ד"ג שוה למרובע ההוה מן ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 4 ===
+
*<math>\scriptstyle BG=GD</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ג שוה לקו ג"ד
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ד</span> <big>כל שני</big> מיתרים בעגולה יחתוך אחד משניהם האחר ולא יעברו על המרכז הנה לא יחתוך אחד משניהם האחר בשני חצאי'
+
:*<math>\scriptstyle BA=AD</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו ב"א שוה אל קו א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה כי שני מיתרי ג"ד וה"ז בעגולת א"ב וכבר חתך אחד משניהם האחר על ח' ולא יעברו על המרכז
+
:*Line AG is common.
 +
|style="text-align:right;"|וקו א"ג משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומ' כי הוא לא יחתוך כל אחד משניהם האחר בשני חצאים
+
*The two sides BA and AG are equal the two sides DA and AG respectively.
 +
|style="text-align:right;"|יהיו כל שני קוי ב"א א"ג שוים לכל שני קוי ד"א א"ג כל אחת לגילו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה המרכז ט' ונוציא ט"ח
+
*<math>\scriptstyle BG=GD</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותושבת ב"ג שוה לתושבת ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר יצא מן המרכז קו אל ח' וחתך ג"ד בשני חצאים
+
*<math>\scriptstyle\longrightarrow\measuredangle BAG=\measuredangle GAD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בא"ג שוה לזוית גא"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה הוא יחתכהו על זוית נצבת
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle GAD=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית גא"ד נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית דח"ט נצבת
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle BAG=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בא"ג נצבת
 
|-
 
|-
−
|
+
|Therefore, when the square on [one of] the sides of the triangle equals [the sum of] the squares on the remaining two sides [of the triangle], then the angle contained by the remaining two sides of the triangle is right.
−
|style="text-align:right;"|וזוית זח"ט גם כן נצבת
+
|style="text-align:right;"|אם כן כאשר היה המרובע ההוה מצלעות ממשלש שוה לשני המרובעים ההוים משני צלעות הנשארות הנה הזוית אשר יקיפו בה שני הצלעות הנשארות מן המשולש נצבת
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|מפני כי ח"ט כבר חתך ז"ה בשני חצאי'
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית דח"ט כמו זוית זח"ט
+
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר הראשון מספר אקלידס החכם בשרשים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הקטן כמו הגדול זה שקר
+
|style="text-align:right;"|ומספר תמונותיו שמנה וארבעים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי שני מיתרי ג"ד וה"ז לא יחתוך כל אחד משניהם האחר בשני חצאים
+
|style="text-align:right;"|ונתחיל המאמר השני בג"ה אמן
 +
|}
 +
{|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
 
 +
== Book Two ==
 +
 
 +
!style="text-align:right;"|המאמר השני<ref>E: ’מאמר ב; Mu246: מאמר שני</ref> מספר אקלידס החכם&#x202B;<ref>מספר אקלידס החכם| Mu246; P1011; P1013; P1014: om.; Mu130: מספר היסודות; Ma1: מספר היסודות לאקלידס; C, AB; P1012: מספר אקלידס; O16: מספר אוקלידיס; W66: מספר אלקידוס; F137: מספר אוקלידס בשרשים</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 5 ===
+
*definition: two straight lines containing a rectangular parallelogram
−
 
+
|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref group=note>titled: F137 הקדמות המאמר; Ma1 הקדמות זה המאמר; W66 הקדמה; Lo; Ma1; P1014: marked א</ref>כל שטח נכחי הצלעות נצב הזויות הנה שני<ref>הנה שני: C, Ma1 om.; F137(marg.), P1012, P1014 הנה כל שני; P1007 הנה ב'</ref> הקוים<ref>הקוים: A1, AB, P1010, P1012, P1014 קוים</ref> הישרים המקיפים באחת<ref>באחת: A2 באחד; Ma1 אחת</ref> מזויותיו<ref>מזויותיו: B(except for W66) מזויות; W66 מזויותיה; P1012, P1014 מהזויות</ref> הנצבות<ref>הנצבות: O16 נצבות; W66 om.</ref> יקרא<ref>יקרא: C, F יאמר</ref> לשניהם<ref>לשניהם: B, C, F להם; P1007 לשניהן</ref> המקיפים<ref>המקיפים: P1012 לשון המקיפים</ref> בו&#x202B;<ref>בו: O16 om.</ref><ref group=note>E: הקוים המקיפי’ באחת הזוית הנצבות מהשטח נצב הזויות נכחי הצלעות יקראו מקיפים בשטח ההוא [כי] הנה מקביליהם ישוו להם<br>
 +
Mu91 (marg.): פי: ר"ל בשטח ולא יקראו המקיפים בו אם לא שיהיה השטח נצב הזוי<sup>ו</sup>ת בעבור שהשני הקוים לא ישערו השטח אם לא שיהיה השטח נצב הזוית <sup>פי' עד כאן</sup><br>
 +
קוים המקיפים בו פי' ר"ל ששני אלו הקוים מודיעים לנו שעור שטח ומגבילים אותו<br>
 +
המשל בזה אם יהיה אחד מן הקוים ארכו ו' אמות ורחב האחר ג' אמות יהיה כל שעור זה השטח י"ח אמות מהכאת האורך ברחב או אם תרצה תכה הרחב באורך ויהיה י"ח גם כן<br>
 +
וכל זה כשיהיה הקו האחד עומד על חבירו על זוית נצבת מה שאין כן בשטח שאינו נצב הזויות<br>
 +
הנה צריך שילקח בזה התנאי שיהיה השטח נצב הזוית שאם לא יהיה כן לא יקראו המקיפים ולא י[...] את השטח השני קוים המקיפים בו<br>
 +
W66: ר"ל ששני אלו הקוים [..] מודיעים לנו שעור השטח ומגבילים אותו<br>
 +
המשל בזה כי אם יהיה אחד מן הקוים ארכו ו' אמות ורחב האחר ג' אמות יהיה כל שעור זה השטח י"ח אמות מהכאת האורך ברחב או הרחב באורך<br>
 +
וכל זה כשיהיה הקו האחד עומד על חברו על זוי' נצבת מה שאין כן בשטח שאינו נצב הזויות<br>
 +
Mu91(marg.), Mu130(marg.), W66: ונקרא השטח בשם שתי אותיות המתנגדות<br>
 +
E: ויקרא השטח בשם שתי אותיות המתנגדות אשר בצד קטרו<br>
 +
P1010 (marg.), PP: ונקרא השטח בשם שתי אותיות הזויות המתנגדות<br>
 +
W194 (marg.): ד"ת ונקרא בשטח בשם שתי אותיות הזויות המתנגדות<br>
 +
Lo (marg.): ונקרא השטח בשם שתי אותיות הזויות המתנגדות בו</ref>
 +
|-
 
|
 
|
 +
*definition: gnomon
 +
|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref group=note>Ma1: marked השנית</ref>וכל<ref>וכל: F כל; O16 ובכל</ref> שטח<ref>שטח: F תמונה</ref> נכחי<ref>נכחי: F נכחית</ref> הצלעות הנה<ref>הנה: C, F, O16 om.</ref> יקרא אחד<ref>אחד: Ma1 אחד [נ"ל כשאחד&#x202B;]</ref> משני<ref>משני: C, F om.; P1007 מב&#x202B;'</ref> השטחים<ref>משני השטחים: B(except for Mu130) מהשני שטחים; F137 <s>הצלעות</s> <sup>מ</sup>השטחים</ref> הנכחי<ref>הנכחי: B(except for Mu130), F נכחיי; C נכוחי</ref> הצלעות אשר הם<ref>הם: C, F om.</ref> על קוטרו<ref>קוטרו: C אלכסונו</ref> אי זה משניהם היה<ref>משניהם היה: B שיהיה משניהם; C, F מהם שיהיה; P1007 משניהן היה</ref> עם שני השטחים<ref>שני השטחים: A2 השני שטחים; W66 השטחים; P1007 ב' השטחי&#x202B;'</ref> המתמימים<ref>המתמימים: B, C, F המשלימים</ref><ref group=note>Lo: והמתמימים באור זה מבואר במ”ג מראשון והרושם הוא שני השטחים המתמימים עם אחד מן השטחים שעל קטרו</ref> הרושם&#x202B;<ref>הרושם: C המסומן</ref><ref group=note>Mu 246:א כל שטח שוה הצלעות נצב הזויות יסובבנו השני קוים הסובב בזוית הנצבת וכל שטח נגדיי הצלעות נאמ' כי השני שטחים שעל אלכסונו הנגדיי הצלעות והאלכסון יחצבם כשיצטרף אחד מהם לשני השטחים המשלימין שעל שני צדי האלכסון כל זה יקרא עלם<br>
 +
P1011: כל שטח נכחי הצלעות נצב הזויות הנה יקיפו השני קוים המקיפים בזוית הנצבה<br>
 +
וכל שטח נכחי הצלעות הנה השני שטחים אשר יהיו על קטרו [נכח]יי הצלעות והקוטר יחצבם כאשר [...] מהם אל השני שטחים המשלימים אשר [על] צדדי הקוטר יקרא הרושם עד כאן פתי[חה&#x202B;]<br>
 +
E: כל שטח נכחי הצלעות יחתכהו הקוטר והוציאו מנקודו’ ממנו קוים נכחיים לצלעות יחתכם הקוטר ועומדי’ מצדו יקראו השטחי’ אשר יחתכם הקוטר אשר על הקוטר ואשר מצדו המתמימים ומקובץ אחד השטחים שית[ח]כהו הקוטר עם שני המתמימים אשר משני צדיו יקראו הרושם<br>
 +
Ma1: באור להקדמה ב’ הנה נעשה מרובע עליו א’ב’ג’ד’ ובתוכו קוטר אחד והוא קוטר ב”ד ונרשום עליו נקודה איך שתזדמן והיא נקודת ח’ ונגיע מנקודת ח’ קו ט’ח’כ’ על נוכח א”ב וקו ה’ח’ז’ על נוכח ב”ג הנה חלקנו מרובע א’ב’ג’ד’ לארבעה מרובעי’ והם א”ח ה”כ ט”ז ח”ג שנים מהם על קוטר ב”ד ושנים חוצה לו ויאמר שאם נקח אחד משני מרובעי ט”ז ה”כ אשר על הקוטר איזה מהם שנרצה עם שני המרובעי’ אשר חוץ לקוטר הנקראים המשלימים כמבואר בלמוד מ”ג מהמאמר הראשון יקראו אלה השלשה מרובעים רושם ויהיה שעור דבריו כך כל תמונה נכחית הצלעות אחד השטחים וכו’ יקרא הרושם</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ה</span> <big>כל שתי</big> עגולות תתחתכנה הנה אין שני מרכזיהם אחד
+
=== Proposition 1 ===
 +
|
 +
|-
 +
|The distributive law for multiplication over addition:
 +
<math>\scriptstyle a\times\left(b_1+b_2\right)=\left(a\times b_1\right)+\left(a\times b_2\right)</math>
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_II_1"></div>&#x202B;<ref group=note>F137 titles the propositions’ section: המבוקשים;</ref>'''א'''<ref>א: F137, Lo, O16, P1012 mark is missing; Mu130 למוד א'</ref> כאשר היו<ref>כאשר היו: C כשיהיו; F כאשר יהיו</ref> שני קוים ישרים<ref>קוים ישרים: F137 הקוין הישרים; P1013 הקוים הישרים; B(except for W66), C קוים ישרים מונחים</ref> וחולק<ref>וחולק: B, C ונחלק</ref> אחד מהם<ref>מהם: Lo, PP משניהם; P1013 מהן</ref> לחלקים<ref>אחד מהם לחלקים: O16 <s>אותם</s> לחלקים אחד מהם; C אחד מהם חלקים</ref> איזה מספר שיהיה<ref>איזה מספר שיהיה: B, F כמה שיהיו/שהיו; C כמות שהן</ref> הנה<ref>הנה: C יהיה</ref> השטח הנצב<ref>הנצב: B, C, F, P1014 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: P1010 הזוית</ref> אשר יקיפו<ref>אשר יקיפו: C שיקיפו</ref> בו<ref>בו: A1 בה; O16, P1012 om.</ref> השני קוים<ref>השני קוים: B, C, F שני הקוים; P1007 ב' הקוים</ref> הישרים<ref>הישרים: C; O16 הישרים המונחים</ref> שוה<ref>שוה: F יהיה שוה</ref> לכל השטחים<ref>לכל השטחים: F לשטחים; W66 לכלל השטחים; O16 כלו לשטחים</ref> הנצבי<ref>הנצבי: B, C, F נצבי; P1012 הנצבים</ref> הזויות אשר יקיף<ref>אשר יקיף: C שיקיפו; O16 אשר יקיפו</ref> בכל אחד מהם<ref>בכל אחד מהם: F בהם</ref> הקו<ref>הקו: A2 הקו הישר</ref> אשר לא<ref>אשר לא: C שלא</ref> יחלק<ref>יחלק: F יתחלק; C, AB, P1012, P1014 נחלק</ref> וכל<ref>וכל: A2, P1012, P1014 עם כל; P1013 לכל</ref> אחד<ref>וכל אחד: C ואחד</ref> מן החלקים&#x202B;<ref>מן החלקים: B, P1007 מהחלקים</ref><ref group=note>P1011: כל שני קוים יחלק אחד מהם בחלוקה איך שיהיה הנה אשר יהיה מהכאת אחד משני הקוים באחר כמו אשר יהיה מהכאת הקו אשר לא יחלק בכל חלקי הקו המתחלק חלוקה חלוקה<br>
 +
E: &#x202B;1 השטח אשר יקיפו בו כל שני קוים שוה למקובץ השטחים יקיפו בם אחד הקוים עם חלקי הקו השני יחד<br>
 +
Mu36 adds a marginal note: כונת זה הדרוש שכשהיו לנו שני קוים מונחי’ כמה שיהיו וחולק האחד מהם לחלקים כמה שהיו שהכאת הקו האחד בכל אחד מהחלקים שחולק הקו השני שוה להכאת הקו ההוא בקו המחולק כלו<br>
 +
The arithmetic version of the proposition is given in marginal notes in a few manuscripts:<br>
 +
Mu91: המשל לתמונת א' משני: כמו עשרה וששה וחולק עשרה לשלשה חלקים כגון חמשה ושלשה ושנים הנה שטח ששה בעשרה שהוא ס' שוה לשטח חמשה בששה שהוא שלשים ולשטח ששה בשלשה שהוא י"ח ולשטח ששה בשנים שהוא י"ב וקבוץ שלשת שטחים אלו הוא ס'<br>
 +
W66: פי’ משל זה במספר כמו עשרה וששה וחולק עשרה לג' חלקים כגון ה' וג' וב' הנה שטח ששה בעשרה שהוא ס' שוה לשטח ששה בחמשה שהוא שלשים ולשטח ששה בשלשה שהוא י"ח ולשטח ששה בשנים שהוא י"ב וקבוץ שלשת שטחים אלו הוא ששים<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\times6\right)+\left(3\times6\right)+\left(5\times6\right)=12+18+30=60=10\times6}}</math><br>
 +
P1010: דמיון במספר כאשר תכה מספר בעצמו יהיה המרובע ההווה ממנו כמרובע ההוה מהכאת המספר ההוא בכל אחד מחלקיו השוים<br>
 +
המשל בזה הכאת י’ בט”ו הוא ק”נ וכשתחלק ט”ו לג’ חלקים שוים שהוא ה’ ותכה עשרה בה’ ה’ יהיה ק”נ<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\times10\right)+\left(5\times10\right)+\left(5\times10\right)=150=15\times10}}</math><br>
 +
P1014: וכן במספר שה’ עם ד’ הם כ’ וכולו חולק הה’ על ג’ וב’ ותכה הד’ עם השני חלקים יהיו כ’<br>
 +
Numerical example:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\times4\right)+\left(2\times4\right)=20=5\times4}}</math></ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>דמיונו</big> כי שתי עגולות א"ב ג"ד תתחתכנה על שתי נקודות א"ג
+
|style="text-align:right;"|ויהיו<ref>ויהיו: F המשל יהיו; B הנה יהיה/יהיו</ref> שני<ref>שני: P1007 ב&#x202B;'</ref> קוים ישרים<ref>קוים ישרים: A2, F הקוים הישרים; B(except for W66) קוים ישרים מונחים</ref> על שניהם<ref>על שניהם: B, F עליהם</ref> א' ב"ג ונחלק ב"ג לחלקים<ref>לחלקים: F137 חלקים</ref> כמה שיהיו<ref>כמה שיהיו: B(except for W66) om.; A2 כמה שהוא</ref> על שתי<ref>שתי: F om.; P1012, P1014 שני; P1007, P1013 ב&#x202B;'</ref> נקודות<ref>נקודות: Ma1 נקודת</ref> ד'ה'
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle A\times BG=\left(A\times BD\right)+\left(A\times DH\right)+\left(A\times HG\right)</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי<ref>הנה אומר כי השטח: B הנה נאמר שהשטח; F אומר כי השטח; P1007 הנה אומר כי שטח</ref> השטח הנצב<ref>הנצב: B, F, P1007 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: A2, B(except for W66), P1012 הזוית</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: A1 בה</ref> שני<ref>שני: F om.; P1007 ב&#x202B;'</ref> קוי<ref>קוי: P1013 קוים</ref> א' ב"ג שוה<ref>שוה: Mu130 שוים</ref> לשטח הנצב<ref>הנצב: B, F נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130 הזוית</ref> אשר יקיפו בו שני<ref>שני: P1007 ב&#x202B;'</ref> קוי<ref>שני קוי: F om.| א' ב"ג ... שני קוי: P1012 om.</ref> א' ב"ד<ref>א' ב"ד: P1013 אב"ג אב"ד</ref> והשטח הנצב<ref>והשטח הנצב: B, F ולשטח נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו שני<ref>בו שני: F om.; P1007 בו ב&#x202B;'</ref> קוי<ref>שני קוי: Mu130, P1014 om.</ref> א' ד"ה<ref>ד"ה: Lo, PP ה"ד</ref> והשטח הנצב<ref>והשטח הנצב: B, F ולשטח נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: B(except for O16) הזוית</ref> גם כן<ref>גם כן: B, F om.</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: A2, P1010, P1013, PP om.; B בו שני קוי; F בו קוי</ref> א' ה"ג&#x202B;<ref group=note>C: המשל בזה שקו א' וקו ב"ג נחלק אחד מהם והוא ב"ג על נקודות ד' וה' ואומר שאשר יהיה מהכאת א' בחלק ב"ד ובחלק ד"ה ובחלק ה"ג שוה לאשר יהיה מהכאת א' בב"ג<br>
 +
E: יהיו שני קוי א' ב"ג ונחלק ב"ג על חלקי' איך שנרצה והם ג"ה ה"ד ד"ב ואומ' שהשטח נצב הזויות שיקיפו בו קוי א' ג"ב שוה למקובץ שטחי א'ג"ה וא'ה"ד וא'ד"ב<br>
 +
Mu246: ב שני קוי א'ב"ג חולק ב"ג בחלקי ב"ד ד"ה ה"ג נאמ' כי כפל א' בכל ב"ג ככפל א' בכל אחד מן ב"ד ד"ה ה"ג מקובצי</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי מרכזיהם אינם אחד
+
*<math>\scriptstyle BG\perp BZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא<ref>ונוציא: A2, B הנה נוציא; F המופת נוציא</ref> מנקודת ב' מן קו<ref>מן קו: A1, B, F, P1007 מקו</ref> ב"ג הישר<ref>הישר: A1, F om.</ref> קו ישר<ref>ישר: P1014 om.</ref> על זוית נצבת<ref>זוית נצבת: B זוית נצבה; A1, F, Lo, P1010, PP זויות נצבות; P1012 זוית קו נצבת</ref> והוא ב"ז <span style=color:red>מי”א מא&#x202B;’</span><ref>מי"א מא': Ma1, E, O16, P1007, P1012 om.; AB מי' מא'; F137, Lo, P1010, P1013, PP, W194 מי"א מראשון</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יהיה מרכזיהם ה'
+
*<math>\scriptstyle BZ=A</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשים<ref>ונשים: B(except for Mu130) ויהיה</ref> קו ב"ז<ref>ונשים קו ב"ז: A1, Ma1 om.</ref> הישר שוה<ref>שוה: P1010 om.</ref> לקו א' הישר<ref>הישר: A1, W66 om.</ref> <span style=color:red>מג’ מא&#x202B;’</span><ref>מג' מא': C, Ma1, E, Mu36, O16, P1007, P1012 om.; F137, P1010, P1013, PP, W194 מב' מראשון; Mu130, P1014 מב' מא'</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מן ה' קו א"ה אל נקודת א'
+
*<math>\scriptstyle ZC\parallel BG</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ז' קו ז"ח נכחי<ref>נכחי: P1013 נכוחי ה[צלע&#x202B;]?</ref> לקו ב"ג הישר&#x202B;<ref>קו ז"ח ... הישר: B קו נכחי לקו ב"ג הישר והוא קו ז"ח; AB קו ז”ח נכחי לקו ב”ג הישר <sup>והוא קו ז”ח</sup>| הישר: Lo om.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מן המבואר כי הוא כבר הגיע תכליתו אל מקיף שתי העגולות יחד
+
*<math>\scriptstyle DT,HK,GC\parallel BZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מן<ref>מן: B, F מנקודות</ref> ד'<ref>מן ד': P1007 מד'</ref> ה' ג'<ref>ד' ה' ג': A1 ד'ה'ג' הישר; F137 ד' ה' <sup>וג'</sup></ref> קוים נכחיים לקו ב"ז והם קוי<ref>קוי: O16 om.</ref> ד"ט ה"כ<ref>ה"כ: AB, P1012, P1014 כ"ה</ref> ג"ח <span style=color:red>מל”א מא&#x202B;’</span><ref>מל"א מא': Ma1, E, P1007, P1012 om.; F137, Lo, P1010, P1013, PP, W194 מל"א מראשון</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא קו ה"ד אל קשת אד"ג איך שיפול הנה נקודת ה' מרכז עגולת א"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה כל<ref>הנה כל: B(except for W66) וכל</ref> אחד<ref>אחד: P1013 אחת</ref> משטחי ב"ט ד"כ<ref>ד"כ: AB <s>דה</s> <sup>ד"כ</sup></ref> ה"ח נכחי הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ה כמו ה"ז
+
*<math>\scriptstyle\Box_{BC}=\Box_{BT}+\Box_{DK}+\Box_{HC}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושטח<ref>ושטח: P1013 om.</ref> ב"ח שוה לשטחי<ref>לשטחי: O16 לשטח</ref> ב"ט<ref>שוה לשטחי ב"ט: W194 twice</ref> ד"כ ה"ח <span style=color:red>מפתיחת הראשון</span>&#x202B;<ref>מפתיחת הראשון: according to F137, W194| AB, מפתיחת א'; O561 מהפתיחה מא'; P1010 מפ' מרא'; P1014 מפת' מא'; PP מפתיחת ראשון; W66 מפתיח' א'</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מפני כי נקודת ה' מרכז עגלת אד"ג יהיה קו א"ה שוה לקו ה"ד
+
:*<math>\scriptstyle\Box_{BC}= A\times BG</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואולם<ref>ואולם: F אבל</ref> שטח ב"ח הנה הוא<ref>הנה הוא: F om.</ref> שוה לשטח הנצב<ref>הנצב: A1, B, F נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130, P1007 הזוית</ref> אשר יקיפו בו שני<ref>שני: F om.; P1007 ב'</ref> קוי א' ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי קו א"ה שוה לקו ה"ז
+
::<math>\scriptstyle BZ=A</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי קו<ref>מפני כי קו: B מפני שקו; F לפי שקו; AB מפני כי קו<s>י</s>; P1012, P1014 מפני כי קוי; PP מפני כי</ref> ב"ז שוה לקו א&#x202B;'&#x202B;<ref>ואולם ... לקו א': P1007 twice, the second recurrence is erased| א': O16 <s>ג'</s> א'</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והשוים לדבר אחד הנה הם שוים
+
:*<math>\scriptstyle\Box_{BT}= A\times BD</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואולם שטח<ref>ואולם שטח: F ושטח</ref> ב"ט<ref>ב"ט: PP marg.</ref> הנה הוא<ref>הנה הוא: F om.; A2, P1007, P1010 הנה</ref> שוה לשטח נצב<ref>נצב: F137 <sup>ה</sup>זויות נצב; P1014 הנצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130 הזוית</ref> אשר<ref>אשר: F om.</ref> יקיפו בו שני<ref>שני: F om.; P1007 ב'</ref> קוי<ref>שני קוי: A2, Lo, P1010, P1012, PP om.; AB <sup>שני קוי</sup></ref> א' ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ה"ד אם כן שוה לקו ה"ז
+
::<math>\scriptstyle BZ=A</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי קו<ref>מפני כי קו: B מפני שקו</ref> ב"ז שוה לקו א&#x202B;'&#x202B;<ref>מפני כי קו ב"ז ... א': F om.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הגדול כמו הקטן זה שקר בלתי אפשר
+
:*<math>\scriptstyle\Box_{DK}= A\times DH</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואולם שטח<ref>ואולם שטח: F ושטח</ref> ד"כ<ref>ד"כ: P1014 marg.</ref> הנה הוא<ref>הנה הוא: F om.</ref> שוה<ref>שוה: P1010 <sup>שוה</sup></ref> לשטח הנצב<ref>הנצב: B, A1, F, P1014 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130 הזוית</ref> אשר יקיפו בו שני קוי<ref>שני קוי: A2, F, Lo, P1007, P1010, P1014, PP om.; AB <sup>שני קוי</sup></ref> א' ד"ה<ref>א' ד"ה: P1014 marg.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן אין מרכז שתי העגולות אחד
+
::<math>\scriptstyle A=DT</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי קו<ref>מפני כי קו: B מפני שקו; F לפי שקו</ref> א' שוה לקו ד"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
:*<math>\scriptstyle\Box_{HC}= A\times HG</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואולם שטח<ref>ואולם שטח: F ושטח</ref> ה"ח הנה הוא<ref>הנה הוא: F, P1014 om.</ref> שוה<ref>שוה: P1010 <sup>שוה</sup></ref> לשטח הנצב<ref>הנצב: B, A1, F נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130 הזוית</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: P1013 בהם</ref> שני קוי<ref>א' ד"ה ... שני קוי: P1012 om.| שני קוי: Ma1, O16, P1014 om.; F137 קוי; P1007 ב' קוי</ref> א' ה"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 6 ===
+
::<math>\scriptstyle A=HK</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|מפני כי קו<ref>מפני כי קו: B מפני שקו; F לפי שקו</ref> א' שוה לקו ה"כ<ref>לקו ה"כ: A1 לה"כ; Mu130 לקו ה"ד; O16 לקו ה"ג</ref><ref group=note>AB: פי' זה התבאר מכח מה שאמרנו ששטח ב"ח שוה לשטח ב"ד ד"כ ה"ח</ref> <span style=color:red>מל”ד מא’</span>&#x202B;<ref>מל"ד מא': A1, Ma1, E, O16, P1007, P1012, P1014 om.; F137, Lo, P1010, P1013, PP, W194 מל"ד מראשון</ref><ref group=note>C: מופת זה שנוציא מקו ב"ג מנקדת ב' קו על זוית נצבה שוה לקו א' והוא קו ב"ז<br>
 +
ונוציא מנקדת ז' קו נכוחי לקו ב"ג והוא קו ז"ח<br>
 +
ונוציא מנקדת ד' וה' וג' קוים נכוחיים לקו ב"ז והם ד"ט וה"כ וג"ח<br>
 +
וכבר התבאר ששטח ז"ג שוה לשלשת שטחי ז"ד וט"ה וכ"ג וכל השטחים הם נכוחי הצלעות<br>
 +
ושטח ז"ג הוא מהכאת קו א' בקו ב"ג לפי שיקיפו בו קוי ז"ב ב"ג וז"ב שוה לא'<br>
 +
ושטח ז"ד יקיפו בו קוי ז"ב <s>וז"ב שוה</s> ב"ד וקו ב"ז שוה לקו א'<br>
 +
ושטח ט"ה הוא מהכאת קו א' בקו ד"ה לפי שיקיפו בו קוי ט"ד ד"ה ושקו ט"ד שוה לקו א'<br>
 +
ושטח כ"ג הוא מהכאת א' בה"ג לפי שכ"ה שוה לקו א'<br>
 +
E: מופתו שנוציא מן ג' על קו ג"ב עמוד ג"ח שוה לקו א' ונשלים התמונה<br>
 +
ונוציא מן ה' וד' עמודים על ג"ב והם ה"כ ד"ט<br>
 +
הנה לפי ששטח ב"ח שוה לשלשה שטחי ח"ה ה"ט ט"ב<br>
 +
לפי שמקובץ חלקי השטח שוה לכל השטח ושטח ח"ב שוה לה אשר יקיפו בו א' עם ג"ב<br>
 +
וח"ה שוה לה אשר יקיפו בו א' עם ג"ה<br>
 +
וכן ה"ט לאשר יקיפו בו א' עם ה"ד<br>
 +
וד"ז לאשר יקיפו א' עם ד"ב<br>
 +
Mu246: כיצד נוציא קוי ב"ז כ"ט ה"כ ג"ח על זויות נצבות וכל אחת מהן שוה לקו א'<br>
 +
לפי הדבר נראה כי כל שטח ב"ח הוא כפל א' בב"ג ושטח ב"ט הוא כפל א' בד"ה ושטח ה"ח כפל א' בה"ג</ref>
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle A\times BG=\left(A\times BD\right)+\left(A\times DH\right)+\left(A\times HG\right)</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה השטח<ref>הנה השטח: F והשטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B, F, P1007 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: O16 הזוית</ref> אשר יקיפו<ref>יקיפו: P1012 om.; P1014 marg.</ref> בו שני<ref>שני: F137 om.; AB <sup>שני</sup>; P1007 ב'</ref> קוי<ref>שני קוי: Ma1 om.</ref> א' ב"ג<ref>א' ב"ג: O16 ב"ג א'</ref> שוה לשטחים נצבי הזויות<ref>הזויות: P1007 הז<sup>ו</sup>יות</ref> אשר יקיפו בהם א' ב"ד וא' ד"ה וא' ה"ג&#x202B;<ref>ה"ג: P1012 ג"ה|<br>
 +
לשטחים ... וא' ה"ג: F לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א' ב"ד והשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א' ד"ה והשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א' ה"ג<br>
 +
B לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ב"ד ולשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ד"ה ולשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ה"ג [&#x202B;הזויות: Mu130 הזוית]<br>
 +
AB לשטחים נצבי הזויות אשר יקיפו בהם <sup>שני קוי</sup> א' ב"ד <s>וא' ד"ה וא' ה"ג</s> <sup>ולשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ד"ה ולשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ה"ג</sup></ref><ref group=note>C: וכבר התבאר שאשר יהיה מהכאת <s>ק</s> קו א' בקו ב"ג שוה לאשר הוא מהכאת קו א' בקו ב"ד ובקו ד"ה ובקו ה"ג וזה מה שרצינו לבאר<br>
 +
E: יהיה <sup>ה</sup>שטח שיקיפו בו א' עם ב"ג שהוא כמו ב"ה שוה למקובץ שטחי א' עם ג"ה ה"ד ד"ב שהם כמו שטחי ח"ה ה"ט ט"ב והוא המכוון</ref>
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F137 וא"כ</ref> כאשר<ref>הנה כאשר: AB הנה <sup>התבאר כי</sup> כאשר</ref> היו<ref>היו: F137 יהיו</ref> שני<ref>שני: P1007 ב'</ref> קוים ישרים ונחלק<ref>ונחלק: F137 וחולק</ref> אחד<ref>Mu130: F137 א'</ref> משניהם<ref>משניהם: F137, B(except for W66), P1010 מהם</ref> לחלקים כמה שיהיו<ref>לחלקים כמה שיהיו: A2 בחלקים כמה שהיו; Mu130 לאי זה חלק שיהיה; O16 לאי זה חלקים שיהיו; P1007 לחלקים כמה שיהי<s>ה</s><sup>ו</sup></ref> הנה השטח<ref>השטח: P1007 om.</ref> הנצב<ref>הנצב: F137, B(except for W66) נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130 הזוית, P1007 הז<sup>ו</sup>יות</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: P1007 בהם, P1010 <sup>בו</sup></ref> שני<ref>שני: P1007 ב'</ref> הקוים<ref>הקוים: F137 הקוין; P1007 קוים</ref> הישרים<ref>הישרים: B(except for W66) הישרים המונחים; AB הישרים <sup>המונחים</sup>, A1 om.</ref> שוה<ref>שוה: F137 יהיה שוה; O16 שוים</ref> לכל השטחים<ref>לכל השטחים: F137, B(except for W66) לשטחים</ref> הנצבים<ref>הנצבים: F137, B(except for W66) נצבי; A1, A2 הנצבי</ref> הזויות אשר יקיף<ref>יקיף: B(except for W66), A2, P1007, P1012 יקיפו</ref> בהם<ref>בהם: B(except for W66) בהן</ref> הקו אשר לא נחלק<ref>נחלק: F137 יתחלק; Mu130 תחלק; O16 יחלק</ref> וכל<ref>וכל: P1014 לכל</ref> אחד<ref>וכל אחד: P1012 לאחד</ref> מן החלקים&#x202B;<ref>מן החלקים: B(except for W66), P1007 מהחלקים|<br>
 +
הנה כאשר ... מן החלקים: C, Ma1, E, W66 om.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ו</span> <big>כל שתי</big> עגולות תתמששנה הנה אין מרכזי שתיהן אחד
+
|style="text-align:right;"|וזה<ref>וזה: F137 וזהו</ref> מה שרצינו לבאר&#x202B;<ref>וזה מה שרצינו לבאר: E והוא המכוון; Mu130 ומש"ל; P1007 וזמש"ל; Ma1, P1014 וזה מש"ל; P1010 וזה מה שרצינו לבארו; O16 om.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>דמיונו</big> כי שתי עגולות א"ב וא"ג תתמששנה על א'
+
 
 +
=== Proposition 2 ===
 +
|
 +
|-
 +
|in modern notation: <math>\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]=\left(a+b\right)^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_II_2"></div>'''ב'''<ref>ב: O16, P1007, P1012 mark is missing; Mu130 למוד ב'</ref> כאשר נחלק<ref>כאשר נחלק: C כשיחלק; F כאשר יתחלק</ref> קו ישר<ref>ישר: C, B ישר מונח; AB ישר <sup>מונח</sup></ref> איך שקרה<ref>איך שקרה: C בחלקים כפי אשר קרה; B איך שהזדמן; F איך שיזדמן</ref> הנה<ref>הנה: C, F יהיו; AB <sup>הנה</sup></ref> השטחים<ref>השטחים: Mu130 שני השטחים; O16 השני שטחים</ref> נצבי<ref>נצבי: A1 הנצבי</ref> הזויות<ref>הזויות: C הזוייות</ref> אשר יקיף<ref>אשר יקיף: C שיקיפו; P1007 אשר יקיפו</ref> בהם הקו כלו וכל אחד מחלקיו<ref>מחלקיו: Mu130, O16 מהחלקים; W66 מן חלקיו</ref> שוה למרובע המתהוה<ref>המתהוה: A2, B, F ההוה</ref> מן<ref>המתהוה מן: C om.</ref> הקו<ref>מן הקו: P1007, W66 מהקו; O561 מן <s>כלו</s> הקו</ref> כלו&#x202B;<ref>כלו: Mu130 om.</ref><ref group=note>P1011: כל קו יחלק לחלקים הנה אשר יהיה מהכאת הקו בכל חלקיו כמו אשר יהיה מהכאת הקו בעצמו<br>
 +
E: &#x202B;2 כשנחלק קו ישר לשני חלקי' איך שהזדמן יהיה השטח נצב הזוית שיקיפו בו הקו <s>כלו</s> כלו עם כל אחד מהחלקים שוי' למרובע כל הקו<br>
 +
Mu36: ובנס’ אלחג’אג’ כתו’ כאשר נחלק אי זה מספר שהיה בשני חלקים איך שקרה הנה הכאת המספר כלו בכל אחד מהחלקים להכאת המספר כלו בעצמו<br>
 +
ולפי זאת הנס’ צריך להיות המרובע שוה הצלעו’ כמו זה שלפנינ’<br>
 +
AB: המשל לתמונת ב' כאשר חולק עשרה לשני חלקים כמו ששה וארבעה הנה שטח ששה בעשרה שהוא ס' ושטח ארבעה בעשרה שהוא ארבעים שוה למרובע המתהווה מעשרה אשר הוא מאה<br>
 +
וזה מתבאר מתמונת א' וזה כי בתמונת א' התבאר שהכאת קו ראשון בקו שני כולו כהכאת הקו הראשון בחלקי הקו השני בין שיהיו שני הקוים ר"ל הראשון והשני שוים או בלתי שוים<br>
 +
W66: משל זה במספר כשנחלק עשרה לשני מספרי ו' וד' הנה שטח ו' בי' שהוא ס' ושטח ד' בי' שהוא מ' יחד שוים למרובע המתהוה מי' שהוא מאה<br>
 +
וזה <s>מתפאר</s> מתבאר מתמונת א' כי שם התבאר שהכאת קו ראשון בקו שני בקו שני כלו כהכאת הקו הראשון בחלקי הקו השני בין שהיו <s>ה</s>שני הקוים ר"ל הראשון והשני שוים או בלתי שוים<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot10\right)+\left(4\sdot10\right)=60+40=100=10^2}}</math><br>
 +
P1014: וכן הח’ אם תחלקהו לו’ וב’ מרובע הכל ס”ד ואם תכה הח’ עם הב’ ועם הב’ יהיו ס”ד וכן בשני המספרים איזה שיהיו<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(8\sdot6\right)+\left(8\sdot2\right)=8^2}}</math></ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי מרכזי שניהם אינו אחד ואי אפשר זה
+
|style="text-align:right;"|ויהיה<ref>ויהיה: F137 יהיה; Ma1 המשל יהיה; B הנה יהיה</ref> קו<ref>קו: F, O16, P1014 הקו</ref> ישר<ref>ישר: F, P1014 הישר; O16 הישר המונח; Mu130, W66 ישר מונח; AB ישר <sup>מונח</sup></ref> עליו<ref>עליו: A1, A2, P1012, P1014 om.; AB, P1010 <sup>עליו</sup></ref> א"ב<ref>א"ב: Mu130, P1014 קו א"ב</ref> ויחלק<ref>ויחלק: F ויתחלק; O16 נחלק; Mu130 ונחלק; W66 שנחלק</ref> איך שיקרה<ref>איך שיקרה: B איך שהזדמן; F איך שיזדמן; P1013 איך שקרה; O561 איך ש<sup>י</sup>קרה</ref> על נקודת ג'<ref>ג': W66 א'</ref>
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: <math>\scriptstyle\left(AB\times BG\right)+\left(AB\times AG\right)=AB^2</math>
−
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יהיה מרכז שניהם אחד והוא נקדת ד'
+
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F om.</ref> אומר כי<ref>אומר כי: B אומר ש</ref> השטח<ref>השטח: P1007, P1014 שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B, F, P1013 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130 הזוית</ref> אשר יקיפו<ref>יקיפו: O16 יקיף</ref> בו שני<ref>שני: F, O16 om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ב<ref>א"ב: F, B(except for W66) ב"א</ref> ב"ג<ref>ב"ג: F, B(except for W66), P1007 א"ג; Lo <s>ג"ד</s> ב"ג</ref> עם<ref>עם: P1007 <s>שוה למרובע המתהווה</s> עם; P1012 וגם</ref> השטח<ref>השטח: A2 שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B, F, A2 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Ma1, B(except for W66) הזוית</ref> אשר יקיפו בו שני<ref>שני: P1007 ב'; P1012 שתי</ref> קוי<ref>שני קוי: F om.; Mu130 שני קו; P1013 שני קוים</ref> א"ב א"ג<ref>א"ג: B(except for W66), F ב"ג; P1010 <sup>א</sup>"ג</ref> שוה<ref>שוה: B(except for W66) שוים; W66 שוה<sup>ים</sup></ref> למרובע המתהוה<ref>המתהוה: B, F ההוה; O561 ה<sup>מת</sup>הווה</ref> מן א"ב&#x202B;<ref>מן א"ב: B(except for W66), F, P1007 מא"ב; W66 <s>מהקו כלו</s> מא"ב</ref><ref group=note>C:המשל בזה שקו א"ב נחלק לשני חלקים על נקודת ג' ואומר כי אשר יהיה מהכאת קו א"ב בקו א"ג ובקו ג"ב שוה לאשר יהיה מהכאת א"ב בעצמו<br>
 +
E: יהיה הקו הישר א"ב ויחלק על ג' ואומ' שמרובע א"ב שוה לשטח א"ב בא"ג וא"ב בג"ב</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא א"ד
+
|style="text-align:right;"|והנה<ref>והנה: Ma1 המופת; B הנה; F137 om.</ref> נעשה על קו<ref>על קו: B מקו; AB <s>על</s> <sup>מ</sup>קו</ref> א"ב<ref>על קו א"ב: F מא"ב</ref> מרובע עליו<ref>עליו: O561 marg.</ref> א"דה"ב <span style=color:red>ממ”ו מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>ממ"ו מא': C בצורת מ"ו; A1, F137, Lo, P1010, PP ממ"ו מראשון; AB מ"ו מראשון; Ma1, E, P1007, P1012, W66 om.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא רק ד' קו אל עגולת א"ב איך שיפול והוא ד"ב
+
*<math>\scriptstyle AD,BH\parallel GZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ג' קו ישר נכחי לכל<ref>לכל: Mu36, Mu130 <sup>ל</sup>כל; Mu91 <s>לקו</s> לכל; O561 כל</ref> אחד משני<ref>משני: P1007 מב'</ref> קוי <ref>משני קוי: F, B(except for Mu130) מקוי</ref> א"ד ב"ה והוא ג"ז <span style=color:red>מל”א מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>מל"א מא': A1, F137, Lo, P1010, PP מל"א מראשון; Mu130 מל"א; AB, C, Ma1, E, P1007, P1012, W66 om.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעבירהו אל עגולת א"ג איך שיפול והוא ד"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה כל אחד משני<ref>הנה כל אחד משני: P1014 <s>הנה כל אחד משני קוי א"ד ב"ה והוא ג"ז</s> הנה כל אחד משני; P1007 הנה כל אחד מב'</ref> שטחי<ref>משני שטחי: F, B משטחי</ref> א"ז ג"ה נכחי הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נקודת ד' מרכז עגולת א"ב
+
*<math>\scriptstyle\Box_{AH}=\Box_{AZ}+\Box_{GH}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושטח א"ה שוה לשני<ref>לשני: A2 לשתי; P1007 לב'</ref> שטחי<ref>לשני שטחי: F137 לשטחי; Ma1 לשטח; W66 לשתי שטחים</ref> א"ז ג"ה<ref>א"ז ג"ה: AB, P1010 א"ז ג"ה <sup>נכחיי הצלעות</sup>; PP, W66 א"ז ג"ה נכחיי הצלעות</ref> <span style=color:red>מא’ מזה</span>&#x202B;<ref>מא' מזה: A2 מהקודמת; AB מפתיחת א'; P1010 מא'; B, C, Ma1, E, P1007, P1012, P1014 om.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ד כמו ד"ב
+
:*<math>\scriptstyle\Box_{AZ}=BA\times AG</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושטח א"ז שוה<ref>שוה: O16 om.</ref> לשטח נצב<ref>נצב: O16 הנצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Mu130, P1010 הזוית</ref> אשר יקיפו<ref>יקיפו: B(except for Mu130) יקיף</ref> בו<ref>בו: O561 <sup>בו</sup></ref> ב"א <ref>ב"א: A2, P1007 א"ב</ref>א"ג<ref>ב"א א"ג: F137 <s>א"ב ג"ב</s> marg. ב"א א"ג; E א"ג בא"ב; A1 ב"א וא"ג</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונקודת ד' מרכז עגולת א"ג
+
::<math>\scriptstyle AD=AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|כי הוא<ref>כי הוא: F, B מפני ש</ref> יקיפו<ref>יקיפו: F, B(except for Mu130) מקיף; Mu130 מקיפים</ref> בו שני<ref>שני: Ma1 om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ד<ref>א"ד: F, B ד"א</ref> א"ג<ref>כי הוא ... א"ד א"ג: Mu36 om.; O561 marg. בו א"ד א"ג וקו א"ד שוה לקו א"ב ושטח ג"ה שוה לשטח<br> א"ג: P1007 ב"ג; A1 וא"ג</ref> וקו א"ד<ref>א"ד: F, B ד"א</ref> שוה לקו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ד כמו קו ד"ג
+
:*<math>\scriptstyle\Box_{GH}=AB\times BG</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושטח ג"ה שוה<ref>שוה: P1012 om.</ref> לשטח הנצב<ref>הנצב: AB, B, P1013 נצב</ref> הזויות<ref>הנצב הזויות: F om.</ref> אשר יקיפו בו<ref>ב"א א"ג ... יקיפו בו: P1014 om.<br>בו: P1010 om.</ref> שני<ref>שני: P1007 ב'</ref> קוי<ref>שני קוי: Ma1, A1 om.</ref> א"ב ב"ג<ref>ב"א א"ג ... א"ב ב"ג: F137 marg.<br> ב"ג: Ma1 ג"ב; AB <s>ב"ג</s> <sup>ב"ג</sup>; P1007, P1014 א"ג; P1013 ה"ג</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וא"ד כבר היה כמו ד"ב
+
::<math>\scriptstyle AB=BH</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני שא"ב<ref>מפני שא"ב: A2 מפני כי א"ב; P1014 מפני שא"ד; O16 הנה מפני שא"ב</ref> שוה לב"ה&#x202B;<ref>לב"ה: P1014 לב"א<br>מפני ש... לב"ה: F137 added on top of the line</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה ב"ד כמו ד"ג
+
:*<math>\scriptstyle\Box_{AH}=AB^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושטח א"ה הוא<ref>הוא: O16 om.</ref> המרובע ההוה<ref>ההוה: P1010, P1012, PP הווה</ref> מקו א"ב<ref>מקו א"ב: F137 מא"ב</ref>
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\left(AB\times AG\right)+\left(AB\times BG\right)=AB^2</math>
−
|style="text-align:right;"|הגדול כמו הקטן זה שקר
+
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F ואם כן</ref> השטח<ref>השטח: F השטחים</ref> נצב<ref>נצב: F נצבי; B(except for Mu130), AB, Lo הנצב</ref> הזויות<ref>הזויות: O561 הזוי<sup>ו</sup>ת</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: F בהם; P1007, P1010, W194 om.; O561 <sup>בו</sup></ref> שני<ref>שני: F om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ב<ref>א"ב: B(except for Mu130) ב"א</ref> א"ג<ref>א"ג: A1 ב"ג</ref> עם השטח הנצב<ref>הנצב: B, F, P1013 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Ma1 הזוי<sup>ו</sup>ת; O561 הזוית</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: A2, P1007, P1010, PP om.</ref> שני קוי<ref>שני קוי: F om.</ref> א"ב ב"ג<ref>ב"ג: A1 א"ג</ref> שוה<ref>שוה: F שניהם שוים</ref> למרובע<ref>למרובע: Lo עם המרבע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: B, Lo, P1007 ההוה</ref> מן<ref>המתהוה מן: F om.</ref> א"ב&#x202B;<ref>מן א"ב: B(except for Mu130), P1007 מא"ב; F אדה"ב; Mu130 מן הקו כלו</ref><ref group=note>מופת זה שנצייר על קו א"ב שטח מרובע והוא שטח א"ה ונוציא מנקודת ג' קו עד ז' נכוחי לקוי א"ד וב"ה ויהיו שטחי א"ז וז"ב נכוחי הצלעות והם שוים לשטח א"ה ושטח א"ז הוא <s>נכוחי</s> אשר היה מהכאת קו ב"א בקו א"ג לפי שיקיפו בו קוי ד"א א"ג וד"א שוה לא"ב ושטח ז"ב הוא אשר היה מהכאת א"ב בג"ב לפי שיקיפו בו ה"ב ב"ג וה"ב שוה לא"ב ושטח א"ה הוא אשר היה מהכאת א"ב בעצמו<br>
 +
וכבר התבאר שאשר היה מהכאת א"ב בא"ג ובג"ב שוה לאשר היה מהכאת א"ב בעצמו<br>
 +
E: מופתו שנעשה על א"ב מרובע א"ה ונוציא ג"ז נכחי לב"ה ולפי ששטח א"ז שוה לשטח שיקיפו בו א"ג בא"ב כי ג"ז כמו א"ב וכן ששטח ג"ה שוה לשטח שיקיף בו א"ב בג"ב ושניהם שו<sup>י</sup>ם למרובע א"ה יהיה מרובע א"ה שהוא ההוה מקו א"ב שוה לשני שטחים ההוים מא"ב בא"ג וא"ב בב"ג<br>
 +
וכבר יתבאר זה בצד אחר כשנניח קו ח' שוה לא"ב ותהיה השטח הנצב הזוית שיקיף בו ח' בא"ב שהוא כמו מרובע א"ב משלפניה' שוה לשטח נצב הזוית <sup>שיקיף</sup> בו ח' בא"ג וח' בג"ב והם כמו שטחי א"ג בא"ב וג"ב בא"ב<br>
 +
Mu246: ג כשיוחלק קו א"ב בחלקי א"ג ג"ב נאמ' כי כפל א"ב בפני עצמו ככפלו בכל אחד מן א"ג ג"ב<br>
 +
והדבר בו ברור כשנעשה על קו א"ב מרובע ואחר כך נוציא בו קו ג"ז עמוד</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי כל שתי עגולות תתמששנה הנה אין מרכזיהם אחד
+
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F137 ואם כן</ref> כאשר נחלק<ref>נחלק: F137 יתחלק</ref> קו<ref>קו: O16 om.</ref> ישר<ref>ישר: AB ישר <sup>מונח</sup>; O16 ישר מונח</ref> איך שקרה<ref>איך שקרה: F137 איך שיזדמן; O16 איך שהזדמן</ref> הנה<ref>הנה: F137 יהיו</ref> השטחים<ref>השטחים: O16 שני השטחים</ref> הנצבי<ref>הנצבי: F137, O16, P1012, P1014 נצבי</ref> הזויות אשר יקיף בהם<ref>בהם: P1007 בו</ref> הקו כלו וכל אחד<ref>אחד: P1007 א'</ref> מחלקיו<ref>מחלקיו: O16 מהחלקים</ref> שוה למרובע המתהוה<ref>המתהוה: F137, O16 ההוה; PP המהווה</ref> מן הקו<ref>מן הקו: P1007 מהקו; P1013 מן קו</ref> כלו&#x202B;<ref>הנה ... כלו: C, Ma1, E, B(except for O16) om.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר&#x202B;<ref>וזה מה שרצינו לבאר: E, Mu130 ומש"ל; P1007 וזמש"ל; F, P1012 וזהו מה שרצינו לבאר; Mu36, P1014 וזה מש"ל; P1010 וזה מה שרצינו בארו</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 7 ===
 
  
 +
=== Proposition 3 ===
 
|
 
|
 +
|-
 +
|in modern notation: <math>\scriptstyle\left(a+b\right)\sdot a=\left(b\sdot a\right)+a^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_II_3"></div>'''ג'''<ref>ג: P1007, P1012 mark is missing; Ma1 ד'; Mu130 למוד ג'; O561 marg. at the end of proposition 2 חסר מכאן תמונת ג’ והיא &#x202B;[...]</ref> כאשר נחלק<ref>כאשר נחלק: C כשיחלק; F כאשר יתחלק</ref> קו ישר<ref>ישר: C, B ישר מונח; AB ישר <sup>מונח</sup></ref> בשני<ref>בשני: P1007 לב'</ref> חלקים<ref>בשני חלקים: F137 marg.; Ma1 om.</ref> איך שקרה<ref>איך שקרה: C כמו שקרה; F137 איך מה שיזדמן; Ma1 איך שהזדמן; B איך שיזדמן</ref> הנה<ref>הנה: C, F יהיה</ref> השטח<ref>השטח: C שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B, C, F נצב</ref> הזויות אשר יקיף<ref>אשר יקיף: C שיקיפו; B אשר יקיפו</ref> בו<ref>בו: Mu130 om.</ref> הקו<ref>הקו: PP קו</ref> כלו ואחד משני<ref>משני: F137 marg.; P1007 מב'</ref> חלקיו<ref>משני חלקיו: C, Ma1 מחלקיו; B(except for Mu130) מן החלקים</ref> שוה לשטח הנצב<ref>הנצב: B, C, Ma1, W194 נצב; F137 <s>נצב לשטח</s> נצב</ref> הזויות<ref>אשר יקיף ... הזויות: P1013 om.</ref> אשר יקיפו<ref>אשר יקיפו: C שיקיפו</ref> בו<ref>בו: C, P1010 <sup>בו</sup></ref>השני<ref>השני: B(except for W66), C, F, Lo שני; W66 שתי; P1007, P1013 הב'</ref> חלקים<ref>חלקים: B, C, F, Lo החלקים</ref> והמרובע<ref>והמרובע: C ומרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: B, F, Lo ההוה</ref> מן<ref>המתהוה מן: C om.</ref> החלק<ref>מן החלק: B(except for Mu130), P1007 מהחלק</ref> אשר זכרנו&#x202B;<ref>אשר זכרנו: C שהזכרנו</ref><ref group=note>E:&#x202B;3 השטח ההוה מקו מה עם אחד מחלקיו שוה לשטח נ"ה שיקיפו בו השני חלקי' ומרובע החלק הנזכר<br>
 +
P1011: כל קו יחלק בשני חלקים הנה אשר יהיה מהכאת כל הקו באחד החלקים כמו אשר יהיה מאחד מהחלקים בשני והכאת החלק אשר בו הוכה הקו בעצמו<br>
 +
Mu36: נס’ אלחג’אג’ כאשר נחלק מספר בשני חלקים איך שקרה הנה הכאת המספר כלו באחד מחלקיו שוה להכאת שני החלקים הא[חד] בחבירו עם הכאת החלק ההוא בעצמו<br>
 +
W66: משל זה במספר כשחולק קו עשרה לשני חלקים כמו ששה וארבעה הנה שטח ד' בי’ שהוא מ’ שוה לשטח ו' בד’ שהוא כ”ד עם מרובע ד’ שהוא י”ו<br>
 +
Mu91: המשל לתמונת ג' כאשר חולק קו עשרה לשני חלקים כמו ששה וארבעה הנה שטח ארבעה בעשרה שהוא מ’ שוה לשטח ששה בארבעה שהוא כ”ד עם מרובע ד’ שהוא י”ו<br>
 +
וזה מתבאר מתמונת א’ וזה כי בתמונת א’ התבאר שהכאת קו ראשון בקו שני כמו הכאת קו ראשון עם חלקי הקו השני<br>
 +
וכן בתמונה הזאת כי הכאת קו ארבע שהוא הראשון עם עשרה השני כהכאת הקו ד’ הראשון עם ששה וארבעה שהם חלק הקו השני<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot10=40=24+16=\left(4\sdot6)\right)+4^2}}</math><br>
 +
Mu130: יהיה הקו כלו עשרה ונחלק לשבעה וג’ הנה הכאת עשרה בג’ שהם ל’ כמו הכאת ז’ בג’ שהם כ”א עם הכאת ג’ בעצמו שהם ט’ שהמקובץ מכ”א וט’ יעלו ל’<br>
 +
Another example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot10=30=21+9=\left(3\sdot7\right)+3^2}}</math><br>
 +
P1010: דמיון במספר המרובע המתהוה מהכאת עשרה בששה כמרובע ההווה מהכאת ששה בארבעה שהוא כ”ד וכמרובע ההווה מששה בעצמו שהוא החלק אשר זכרנו והיה ל”ו והכל ששים וכך מרובע עשרה בששה<br>
 +
Example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot10 = 60 = 24+36 = \left(6\sdot4\right)+6^2}}</math><br>
 +
P1014: וכן הח’ על ו’ וב’ הח’ עם הב’ יעלו י”ו וכן הו’ בב’ ומרובע הב’ יעלו י”ו וכן בכל מן מספר<br>
 +
Example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot2=16=\left(6\sdot2\right)+2^2}}</math></ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> <big>כל נקדה</big> בעגולה על זולת המרכז יצאו ממנה קוים אל הקו המקיף הנה היותר ארוך מהם אשר יעבור על המרכז והיותר קצר מהם שלימות הקוטר מבין הנקדה וקצה הקטר ומה שקרב מן הקו אשר יעבור על המרכז הנה הוא יותר ארוך ממה שרחק ממנו ושני קוים לבד משני צדדי הקו היותר קצר שוים
+
|style="text-align:right;"|ויהיה<ref>ויהיה: B הנה יהיה; F המשל יהיה</ref> קו<ref>קו: Ma1 הקו</ref> ישר<ref>ישר: B ישר מונח; AB ישר <sup>מונח</sup>; Ma1 הישר</ref> עליו<ref>עליו: A1 om.</ref> א"ב<ref>א"ב: A1 om.</ref> ויחלק<ref>ויחלק: AB, B(except for W66) ונחלק; W66 ונחלק אותו; F ויתחלק</ref> איך שיקרה<ref>איך שיקרה: F איך שיזדמן; B איך שהזדמן; P1007 איך שקרה</ref> על<ref>על: P1010 <s>עליו</s> על</ref> נקודת ג'
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle AB\times BG=\left(AG\times GB\right)+GB^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F om.</ref> אומר כי השטח<ref>כי השטח: B שהשטח; Ma1 ששטח; F137 כי שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B, F נצב</ref> הזויות אשר יקיפו<ref>יקיפו: Mu130 יקיף</ref> בו קוי<ref>קוי: A2, B, P1014 שני קוי; AB <sup>שני</sup> קוי; A1, P1007 קו</ref> א"ב ב"ג שוה<ref>שוה: Ma1 שוים</ref> לשטח הנצב<ref>הנצב: B, F נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: P1014 הזוית</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: Mu130, W194 om.</ref> שני<ref>שני: F om.; P1007 ב'</ref> קוי<ref>א"ב ב"ג ... שני קוי: W66 marg.</ref> א"ג ג"ב<ref>ג"ב: Mu36, P1007, P1014 ב"ג</ref> והמרובע המתהוה<ref>המתהוה: B, F ההוה</ref> מן ג"ב&#x202B;<ref>מן ג"ב: F מב"ג; P1007 מג"ב; Mu36 מן <s>ג"ב</s> ג"ב</ref><ref group=note>C: המשל בזה שקו א"ב נחלק לשני חלקים על נקודת ג' ואומר שאשר יהיה מהכאת קו א"ב בא"ג שוה לאשר יהיה מהכאת א"ג בג"ב ומהכאת א"ג בעצמו<br>
 +
E: יהיה הקו א"ב ונחלק על נקודת ג' ואומ' ששטח א"ב באחד מחלק<sup>י</sup>ו ויהיה ב"ג שוה למרובע ב"ג עם שטח א"ב בב"ג</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>דמיונו</big> כי יצאו מנקודת ה' מן קטר עגולת א"ב והיא על זולת המרכז קוים אל הקו המקיף והם ה"ג ה"כ ה"ב ה"ז ה"ח וה"א וה"ד
+
|style="text-align:right;"|ונעשה<ref>ונעשה: F137 נעשה; Ma1 מופת זה נעשה; B(except for W66) הנה נעשה</ref> מן קו<ref>מן קו: F על; A1, B, Lo, P1010, PP מקו; P1007 הקו; Mu36 מן <sup>קו</sup></ref> ג"ב<ref>ג"ב: F ב"ג</ref> מרובע עליו<ref>עליו: F om.</ref> בגד"ה<ref>בגד"ה: W66 ה"ג</ref> <span style=color:red>ממ”ו מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>ממ"ו מא': AB מ"ו מראשון; A1, F137, Lo, P1010, PP ממ"ו מראשון; Mu130 ממ"ו; C, Ma1, E, Mu36, P1007, P1012 om.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וה"ג הוא הקו אשר ילך במרכז וה"ד שלמות הקוטר
+
|style="text-align:right;"|ונתמים<ref>ונתמים: B(except for W66), F ונשלים; Lo, AB, P1010, PP ונתמם</ref> שטח א"ג ד"ז<ref>א"ג ד"ז: F אזד"ג; B(except for W66) ג"א ז"ד</ref> הנכחי<ref>הנכחי: F נכחי</ref> הצלעות<ref>הנכחי הצלעות: B(except for W66) הנכחי הצלעות נצב הזויות</ref> <span style=color:red>מל”א וממ”ב מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>מל"א וממ"ב מא': F137, Lo, P1013, PP מל"א ומ"ב מראשון; P1010 מל"א מרא'; W66 מב"א ומ"ב מא'; W194 מל"א ומ"ה מראשון; AB, B(except for W66), C, Ma1, E, Mu36, P1007, P1012 om.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי ה"ג הוא היותר ארוך
+
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: O16 marg.</ref> כל אחד<ref>אחד: AB <s>שטח</s> אחד</ref> משני<ref>משני: P1007 מב'; P1010 <s>משטי</s> משני</ref> שטחי<ref>משני שטחי: F משטחי</ref> א"ה<ref>א"ה: A1, Mu130 ג"ה</ref> א"ד<ref>א"ה א"ד: Mu36, P1014 א"ד ג"ה</ref> נכחי<ref>נכחי: F נכחיי</ref> הצלעות<ref>נכחי הצלעות: B(except for W66) נכחי הצלעות נצב הזויות</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והיותר קצר מהם ה"ד והוא שלמות הקטר
+
*<math>\scriptstyle\Box_{AH}=\Box_{AD}+\Box_{GH}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושטח א"ה שוה לשטח א"ד עם ג"ה<ref>ג"ה: F שטח ה"ג; B(except for W66), Mu36 שטח ג"ה</ref> <span style=color:red>מא’ מזה</span>&#x202B;<ref>מא' מזה: P1010 מא'; AB, B, C, Ma1, E, P1007, P1012, P1013 om.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם הקוים הנשארים הנה ה"ז יותר ארוך מן ה"ח
+
:*<math>\scriptstyle\Box_{AH}=AB\times BG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וא"ה שוה לשטח הנצב<ref>הנצב: AB, B נצב</ref> הזויות<ref>הנצב הזויות: F om.</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: P1013 <s>ש</s> בו</ref> שני<ref>שני: F om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ב ב"ג<ref>ב"ג: Mu130 ג"ב</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וה"ח יותר ארוך מן א"ה
+
::<math>\scriptstyle BG=BH</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי ב"ג<ref>מפני כי ב"ג: F לפי שב"ג; Mu130 מפני שב"ג</ref> שוה לב"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושני קוים לבד משני צדדי הקו היותר קצר שוים
+
:*<math>\scriptstyle\Box_{AD}=AG\times GB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושטח א"ד שוה לשטח הנצב<ref>הנצב: A1, B, F נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו שני<ref>שני: F om.</ref> קוי<ref>א"ב ב"ג ... שני קוי: O16 marg.; P1007 om.</ref> א"ג ג"ב<ref>ג"ב: F, Mu36 ב"ג</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>ומופתו</big> שנשים המרכז ט'
+
::<math>\scriptstyle BG=GD</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי ב"ג<ref>מפני כי ב"ג: F לפי שב"ג; B(except for W66) מפני שג"ב; P1013 מפני ב"ג</ref> שוה לג"ד&#x202B;<ref>ושטח א"ד ... לג"ד: Mu130 moved below; P1014 marg.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ט"ז וט"ח וא"ט
+
:*<math>\scriptstyle\Box_{HG}=GB^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושטח ה"ג<ref>ה"ג: F ג"ה</ref> הוא<ref>הוא: Mu36 om.</ref> המרובע<ref>המרובע: Mu36 מרובע; AB <sup>ה</sup>מרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: B(except for W66), Ma1 ההוה; F137 <s>המ</s> ההווה; Mu36 מתהוה</ref> מן ג"ב&#x202B;<ref>מן ג"ב: F, Mu36, P1007 מג"ב<br>ושטח ה"ג ... מן ג"ב: P1014 ושטח מרובע מתהוה מן ב"ג; marg. ושטח ה"ג הוא המרובע המתהוה מן ג"ב</ref>
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle AB\times BG=\left(AG\times GB\right)+GB^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F אם כן; Mu130 ושטח א"ד [...] לג"ד הנה</ref> השטח הנצב<ref>הנצב: B(except for W66), F, Mu36 נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו שני<ref>שני: F om.</ref> קוי א"ב ב"ג שוה לשטח הנצב<ref>הנצב: B(except for W66), F, P1013 נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו שני<ref>שני: P1007 ב'</ref> קוי<ref>שני קוי: A1, F om.</ref> א"ג ג"ב<ref>א"ג ג"ב: P1012 א"ב ב"ג; F א"ג ב"ג</ref> והמרובע<ref>והמרובע: Ma1 ומרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: B(except for W66), A1, AB, F ההוה</ref> מן ג"ב&#x202B;<ref>מן ג"ב: F מב"ג; P1007 מג"ב</ref><ref group=note>C: מופת זה שנצייר על קו א"ג שטח מרובע עליו א"ז ונוציא קו ז"ד אל ה' ונוציא <sup>מב'</sup> <s>מבית</s> קו נכוחי לקוי א"ד וג"ד והוא קו ב"ה ושטחי ז"ב וז"א נכוחי הצלעות ושטח ב"ד גם כן נכוחי הצלעות והוא שטח ז"ב ושטח ז"א יחד וז"ב הוא שהיה מהכאת א"ג בג"ב לפי שיקיפו בו ב"ג ג"ז וז"ג שוה לג"א וב"ד הוא שהיה מהכאת <s>א"ג בג"ב</s> א"ב בא"ג לפי שיקיפו בו ב"א א"ד וג"א שוה לא"ד וא"ד הוא שהיה מהכאת א"ג בעצמו<br>
 +
והתבאר כבר שאשר היה מהכאת ב"א בא"ג שוה לאשר היה מהכאת א"ג בג"ב ומהכאת א"ג בעצמו<br>
 +
E: מופתו שנעשה על ב"ג מרובע והוא ב"ד ונוציא קו ד"ה על יושר ונשלים שטח א"ה ויהיה שטח א"ה שוה לשני שטחי א"ד ד"ב ושטח א"ה שוה לשטח שיקיפו בו א"ב ב"ג כי ב"ג שוה לב"ה ושטח א"ד שוה לשטח שיקיפו בו א"ג ג"ב כי ג"ד שוה לג"ב ושטח ג"ה שוה למרובע ג"ב הנה שטח א"ב ב"ג שוה לשני שטחי א"ג בג"ב ומרובע ג"ב<br>
 +
וכבר יתבאר זה בהניחנו קו ח' שוה לקו ג"ב ויהיה שטח ח' בא"ב שוה לשני שטחי ח' בא"ג וח' בג"ב וח' בג"ב הוא כמו מרובע ג"ב כי ח' שוה לג"ב וא"ג בח' כמו שטח א"ג בג"ב הנה שטח א"ב בב"ג שוה לשטחי א"ג בג"ב ומרובע ג"ב<br>
 +
Mu246: ד [כמו של מעלה] קו א"ב חולק בשני חלקי' על ג' נאמ' כי כפל א"ב בא"ג ככפל א"ג בג"ב וכפל א"ג [בפני] עצמו מקובצי' נוציא עמוד א"ד שוה לא"ג וכמו כן כיוצא ב"ה ג"ז והוא כפל א"ג בפני עצמו ושטח ג"ה הוא א"ג בג"ב וכל שטח א"ה הוא כפל א"ב בא"ג</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכל שתי צלעות ממשולש שניהם יותר ארוכים מן הצלע הנשאר
+
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F137 א"כ</ref> כאשר חולק<ref>חולק: F137 יתחלק; O16 נחלק</ref> קו ישר<ref>ישר: Mu36, O16 ישר מונח; AB ישר <sup>מונח</sup>; Mu130 ישר <s>על</s> מונח</ref> בשני<ref>בשני: P1007 בב'</ref> חלקים<ref>בשני חלקים: F137 om.</ref> איך שיקרה<ref>איך שיקרה: F137 איך מה שיזדמן; B(except for W66) איך שהזדמן; P1013 איך שקרה</ref> הנה<ref>הנה: F137 יהיה</ref> השטח הנצב<ref>הנצב: F137, B(except for W66) נצב</ref> הזויות אשר יקיף<ref>יקיף: Mu36, O16 יקיפו</ref> בו הקו כלו ואחד משני<ref>משני: P1007 מב'</ref> חלקיו<ref>משני חלקיו: F137 <sup>מ</sup>חלקיו; O16 מחלקיו</ref> שוה לשטח הנצב<ref>הנצב: F137, B(except for W66) נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו השני<ref>השני: F137, O16 שני; P1007 הב'</ref> חלקים<ref>חלקים: F137, O16 החלקים</ref> והמרובע המתהוה<ref>המתהוה: F137, O16 ההוה</ref> מן החלק<ref>מן החלק: O16, P1007, P1012 מהחלק</ref> אשר זכרנו&#x202B;<ref>אשר זכרנו: F137 שזכרנו<br>הנה כאשר ... זכרנו: C, Ma1, E, W66 om.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה ז"ט וט"ה יותר ארוכים מן ה"ז
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר&#x202B;<ref>וזה מה שרצינו לבאר: F137, E, Mu130 ומש"ל; Ma1, P1007 וזה מש"ל; Lo, P1010, PP, W194 וזה מה שרצינו באורו; C וזה מה שרצינו</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וז"ט כמו ט"ג
+
 
 +
=== Proposition 4 ===
 +
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|in modern notation: <math>\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2\sdot\left(a\sdot b\right)</math>
−
|style="text-align:right;"|הנה ג"ה יותר ארוך מן ה"ז
+
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_II_4"></div>'''ד'''<ref>ד: P1007, P1012 mark is missing; Ma1 ג'; Mu130 למוד ד'</ref> כאשר חולק<ref>כאשר חולק: B כאשר נחלק; C כשיחלק; F כאשר יתחלק</ref> קו ישר<ref>ישר: B(except for Mu130), C, P1012; P1014 ישר מונח</ref> בשני<ref>בשני: C לשני; P1007 בב'</ref> חלקים<ref>חלקים: Ma1 חצאים</ref> איך שיקרה<ref>איך שיקרה: B איך שהזדמן; C כמו שקרה; F איך שיזדמן; O561 <sup>איך</sup> שיקרה; P1007 איך שקרה; PP איך מה שיקרה</ref> הנה<ref>הנה: C, F יהיה</ref> המרובע<ref>המרובע: C מרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), C ההוה </ref> מן<ref>המתהוה מן: C om.</ref> הקו<ref>מן הקו: B(except for Mu130), P1007 מהקו; PP מן קו</ref> כלו שוה לשני<ref>לשני: P1007 לב'</ref> המרובעים<ref>המרובעים: C מרובעי</ref> המתהוים<ref>המתהוים: B(except for Mu130), F ההוים; C om.<br>מן ... המתהוים: O561 marg.</ref> מן השני<ref>מן השני: B(except for Mu130), F, Lo, P1012, P1013, P1014 משני; C שני; P1007 מהב'; W194 מן שני</ref> חלקים<ref>חלקים: C, F, Lo, O16, P1012, P1014 החלקים; W66 <sup>ה</sup>חלקים</ref> וכפל<ref>וכפל: C ולכפל; Mu36, O16, P1012, P1014 ומכפל; O561 ו<sup>מ</sup>כפל</ref> השטח<ref>השטח: C שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B(except for Mu130), C, F נצב; P1014 om.</ref> הזויות אשר יקיפו בו השני<ref>השני: B(except for Mu130), C, F, PP שני; O561 <sup>ה</sup>שני; P1007 ב'</ref> חלקים&#x202B;<ref>חלקים: B(except for Mu130), C, F החלקים</ref><ref group=note>P1011: כל קו יחלק בחלקים הנה אשר יהיה מהכאת הקו בעצמו כמו אשר יהיה מהכאת כל חלק בעצמו ומהכאת אחד החלקים באחר שני פעמים<br>
 +
E: &#x202B;4 מרובע כל קו <sup>נחלק לשני חלקים</sup> שוה למרובעי שני חלקיו וכפל שטח אחד מהם באחר
 +
Mu36: נס’ אלחג’אג’ כאשר חולק איזה מספר שיהיה בשני חלקים איך מה שקרה הנה הכאת המספר ההוא בעצמו שוה להכאת כל אחד מהחלקים בעצמו ולהכאת כל אחד משני החלקים בחבירו<br>
 +
Mu130: יהיה הקו עשרה נחלק על שלשה וז’ נכה שלשה בשבעה עלו כ"א והכפל מ"ב ומרובע שבעה מ"ט נוסיפם עלו צ"א נוסיף מרובע <s>כל הקו</s> ג’ שהוא ט’ עלו מאה וכן מרובע כל הקו מאה<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]+72+32=\left(2\sdot21\right)+49+9=42+49+9=91+9=100=102}}</math><br>
 +
P1010: דמיון במספר כאשר תכה עשרה על דרך משל בעצמו יהיה מאה אחר כן תחלק עשרה לשני חלקים על דרך משל לז’ וג’ ותרבע ז’ בעצמו יהיה מ"ט עוד ג’ בעצמו יהיה ט’ והכל נ"ח עוד תכה ג’ בז’ ב’ פעמים יהיה מ"ב הכל מאה<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]+72+32=\left(2\sdot21\right)+49+9=42+58=100=102}}</math><br>
 +
P1014: העשרה כלו חולק על ו’ וד’ מרובע הכל ק’ שוה למרובע הו’ והד’ וכפל שטח ו' בד’ וכן בשיעורים<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{102=100=\left[2\sdot\left(6\sdot4\right)\right]+62+42}}</math></ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וז"ט כמו ט"ח
+
|style="text-align:right;"|ויהיה<ref>ויהיה: B(except for Mu130) הנה יהיה; F137 יהיה; Ma1 המשל יהיה</ref> קו ישר<ref>קו ישר: F, Lo הקו הישר; O16 קו</ref> עליו<ref>עליו: B(except for Mu130) מונח עליו</ref> א"ב ויחולק<ref>ויחולק: F ויתחלק; O16 נחלק; W66 ונחלק</ref> איך שיקרה<ref>איך שיקרה: B(except for Mu130) איך שהזדמן; F איך שיזדמן; P1007 איך שקרה</ref> על נקודת ג'
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: <math>\scriptstyle AB^2=AG^2+GB^2+2\sdot\left(AG\times GB\right)</math>
−
|style="text-align:right;"|וט"א כמו ט"ח
+
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F om.</ref> אומר כי המרובע<ref>המרובע: Mu36 <sup>המרובע</sup></ref> המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F ההוה</ref> מן א"ב<ref>מן א"ב: B(except for Mu130), F, P1007 מא"ב</ref> שוה לשני<ref>לשני: P1007 לב'</ref> המרובעים המתהוים<ref>המתהוים: A1, B(except for Mu130), F ההוים</ref> מן א"ג<ref>מן א"ג: B(except for Mu130), F, P1007 מא"ג</ref> ג"ב<ref>ג"ב: F ב"ג</ref> וכפל<ref>וכפל: P1014 ומכפל</ref> השטח<ref>השטח: W66 שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B(except for Mu130), F נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: Ma1 הזוית</ref> אשר יקיפו בו שני<ref>שני: F om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ג ג"ב&#x202B;<ref>ג"ב: F ב"ג</ref><ref group=note>C: המשל בזה שקו א"ב נחלק לשני חלקים על נקודת ג' ואומר שאשר יהיה מהכאת א"ב בעצמו שוה לאשר יהיה מהכאת א"ג בעצמו וג"ב בעצמו וא"ג בג"ב פעמים<br>
 +
E: יהיה הקו הנחלק א"ג וחלקיו א"ב א"ג אומ' שמרובע א"ג כמו שני מרובעי א"ב ב"ג וכפל שטח א"ב [ב]ב"ג</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וט"ה משותף
+
|style="text-align:right;"|הנה נעשה מן א"ב מרובע א"דה"ב <span style=color:red>ממ"ו מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ז"ט וט"ה כמו שני קוי ח"ט וט"ה
+
|style="text-align:right;"|ונגיע ד"ב ונוציא מנקודת ג' קו נכחי לשני קוי א"ד ב"ה והוא ג"ז <span style=color:red>מל"א מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית זט"ה יותר גדולה מזוית חט"ה
+
|style="text-align:right;"|ויחתוך קו ד"ב על נקודת ח' ונוציא מנקודת ח' קו נכחי לשני קוי א"ב ד"ה והוא קו ט"כ הנה מפני כי קו ג"ז נכחי לקו א"ד וכבר נפל על שניהם קו ב"ד הישר תהיה זוית ג'ח'ב' החיצונה שוה לזוית א'ד'ב' הפנימית אשר תקבילה <span style=color:red>מכ”ט מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה תושבת ז"ה יותר ארוכה מתושבת ח"ה
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle ADB=\measuredangle DBA</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל זוית א'ד'ב' שוה לזוית ד'ב'א'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן יתבאר כי ח"ה יותר ארוך מן א"ה
+
::<math>\scriptstyle AD=AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי צלע א"ד שוה לצלע א"ב <span style=color:red>מה’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א"ה וה"ט מקובצים יותר ארוך מן א"ה
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle GCB=\measuredangle ABD</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה זוית ג'ח'ב' שוה לזוית א'ב'ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א"ה וה"ט מקובצים יותר ארוך מן א"ט
+
:*<math>\scriptstyle GC=GB</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה יהיה צלע ג"ח שוה לצלע ג"ב <span style=color:red>מו’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וא"ט כמו ט"ד
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי צלע ג"ח שוה לב"כ וג"ב שוה לח"כ יהיו קוי ב"ג ג"ח ח"כ כ"ב הארבעה שוים קצתם אל קצת הנה שטח ג"כ שוה הצלעות <span style=color:red>מל”ד מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה א"ה וה"ט מחוברים יותר ארוך מן ט"ה וה"ד
+
|style="text-align:right;"|ואומר גם כן כי הוא נצב הזויות הנה מפני כי ג"ח נכחי לב"כ וכבר נפל על שניהם ג"ב יהיו שתי זויות ג'ב'כ' ח'ג'ב' שוות לשתי נצבות <span style=color:red>מכ”ט מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויפול מהם ט"ה המשותף
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle KBG=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית כ'ב'ג' נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וישאר א"ה יותר ארוך מן ה"ד
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle BGC=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה זוית ב'ג'ח' נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה היותר ארוך מן הקוים ה"ג והוא אשר עבר על המרכז
+
|style="text-align:right;"|ויהיו מפני זה שתי זויות ג'ח'כ' ח'כ'ב' המקבילות לשתיהן נצבות <span style=color:red>מל”ד מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והיותר קצר מהם ה"ד אשר הוא שלמות הקטר
+
|style="text-align:right;"|הנה שטח ח"ג כ"ב נצב הזויות וכבר התבאר שהוא שוה הצלעות הנה שטח ג"כ מרובע והוא המתהוה מן ג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנשארים מה שקרב מהם מקו ה"ג יותר ארוך ממה שרחק
+
|style="text-align:right;"|וכן התבאר ששטח ט"ז גם כן מרובע והוא המתהוה מן ט”ח אשר הוא שוה לקו א”ג הנה שני שטחי כ"ג ט"ז שני מרובעים והם שוים לשני מרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ה"ז יותר ארוך מן ה"ח
+
|style="text-align:right;"|אבל ה"ח שוה לא"ח <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וה"ח יותר ארוך מן א"ה
+
|style="text-align:right;"|וא"ח שוה ל{{#annot:term|1824,591|UxZC}}שטח הנצב הזויות{{#annotend:UxZC}} אשר יקיפו בו א"ג ג"ב מפני שג"ב שוה לג"ח הנה ה"ח שוה ל{{#annot:term|1824,591|PIuX}}שטח נצב הזויות{{#annotend:PIuX}} אשר יקיפו בו א"ג ג"ב הנה שני שטחי א"ח ח"ה שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב ושני שטחי ט"ז ג"כ שוים לשני המרובעים המתהוים מן קוי א"ג ג"ב הנה כבר התבאר ששטחי ט"ז ג"כ א"ח ח"ה שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב ומכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב אבל שטחי ט"ז ג"כ א"ח ח"ה הם שוים לשטח א"ד ה"ב אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ב
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle AB^2=AG^2+GB^2+2\sdot\left(AG\times GB\right)</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה המרובע המתהוה מן א"ב שוה לשני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב&#x202B;<ref group=note>E: מופתו שנעמיד על קו א"ג מרובע א"ה ונוציא בו קוטר א"ה ומן ב' עמוד ב"ד נכחי לג"ה יחתוך קוטר א"ה על ז' ונוציא מז' קו נכחי לקו א"ג והוא ח'ז'ט' ויתבאר ששטחי א"ז ז"ה שעל הקוטר מרובעים לפי שזוית ג' נצבת וזויות ג'א'ה' ג'ה'א' שוות כי קוי ג"א ג"ה שוות הנה כל אחת מהן חצי נצבת הנה קוי א"ב ב"ז שוים ולכן א"ז מרובע וכן קוי ז"ט ט"ה שוים ולכן ז"ה מרובע וקו ז"ט שוה לקו ב"ג הנה שטח ז"ה כמו מרובע ב"ג ולפי שמרובע א"ה ההוה מן א"ג שוה לשני מרובעי א"ז ז"ה ושני מתמימים כ"ט ח"ד ושני אלה המרובעים הם כמו מרובעי א"ב ב"ג ומתמים כ"ט כמו השטח שיקיף בו ב"ג בב"ז השוה לא"ב והוא שוה למתמים ח"ז יהיה מרובע א"ג שוה לשני המרובעים ההווים מן א"ב ב"ג וכפל שטח א"ב בב"ג<br>
 +
ולו מופת קרוב והוא שנניח קו דה"ז שוה לא'ב'ג' ד"ה שוה לא'ב'ג' וה"ז לב"ג והנה יהיה שטח א"ב בכל ד"ז שוה לשטח א"ג בד"ה וא"ג בה"ז ואבל שטח א"ג בד"ה כמו שטח א"ב בד"ה שהוא כמו מרובע א"ב וב"ג בד"ה וכן שטח א"ג בה"ז שוה לשטח ב"ג בה"ז שהוא כמו מרובע ב"ג ושטח א"ב בה"ג הנה שטח א"ג בד"ז השוה לא"ג כמו מרובע א"ב ומרובע ב"ג וכפל שטח א"ב בב"ג ומשל</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>ואומר</big> כי שני קוים לבד יהיו משני צדדי הקצר שוים
+
|style="text-align:right;"|הנה כאשר נחלק קו ישר איך שיקרה הנה המרובע המתהוה מן הקו כלו שוה לשני המרובעים המתהוים משני החלקים וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו השני חלקים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נעמיד על נקודת ט' מקו ט"ה כמו זוית אט"ה והיא זוית הט"ב
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ה"ב
+
|style="text-align:right;"|ובכאן התבאר כי כל שטח מרובע הנה שני שטחים הנכחי הצלעות אשר על קוטרו גם כן מרובעים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ט כמו ט"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר מן התמונה הזאת כי השטחים הנכחי הצלעות אשר יהיו על קוטרו שני שטחים מרובעים הם גם כן מרובעים&#x202B;<ref group=note>E: והתבאר בזה שהשטחים שעל קוטר המרובע הם מרובעים ואם הם מרובעי' הקוטר קוטר למרובעי' ושמרובע כל קו ד' דמיוני מרובע חציו וט' דמיוני מרובע שלישיתו</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים ט"ה משותף
+
|style="text-align:right;"|אמר תאבת מצאנו בנסחא אחרת שהוא יתבאר על פנים אחרים כי המרובע המתהוה מן א"ב שוה לשני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ט וט"ה כמו שני קוי ב"ט וט"ה
+
::<math>\scriptstyle AB=AD</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני שא"ב שוה לא"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית אט"ה כמו זוית הט"ב
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle ABD=\measuredangle ADB</math>
 +
|style="text-align:right;"|תהיה זוית א'ב'ד' שוה לזוית א'ד'ב' <span style=color:red>מה’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ה"ב כמו תושבת א"ה
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי כל משולש הנה זויותיו השלש שוות לשתי נצבות <span style=color:red>מל”ב מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואומר גם כן כי אי אפשר שיצא מן ה' אל הקו המקיף כמו א"ה כי אם ה"ב
+
|style="text-align:right;"|יהיו זויות א’ד’ב’ א’ב’ד’ ב’א’ד’ השלש ממשולש א'ד'ב' שוות לשתי זויות נצבות וזוית ב'א'ד' נצבת הנה שתי זויות א'ב'ד' א'ד'ב' הנשארות שוות לזוית נצבת ושתיהן שוות <span style=color:red>מה’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם יהיה אפשר זה יהיה ה"כ ויצא ט"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה כל אחת מהן חצי נצבת וזוית ב'ג'ח' נצבת כי היא שוה לזוית אשר אצל א' אשר תנגדה <span style=color:red>מכ”ט מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ט כמו ט"ב
+
|style="text-align:right;"|וזוית ג'ב'ח' חצי נצבת הנה זוית ג'ח'ב' הנשארת חצי נצבת הנה זוית ג'ח'ב' אם כן שוה לזוית ג'ב'ח' ויהיה מפני זה צלע ב"ג שוה לצלע ג"ח <span style=color:red>מו’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים ה"ט משותף
+
::<math>\scriptstyle GB=CK</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל ג"ב שוה לח"כ <span style=color:red>מל”ד מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ט וט"ה כמו שני קוי כ"ט וט"ה
+
|style="text-align:right;"|וג"ח שוה לכ"ב הנה שטח ג"כ שוה הצלעות וזוית ב'ג'ח' נצבת הנה ג"כ מרובע והוא המתהוה מן ג"ב ומפני הדברים האלה גם כן התבאר כי ז"ט מרובע והוא שוה למרובע המתהוה מן א"ג הנה ג"כ וט"ז שני מרובעים והם שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב ומפני שא"ח שוה לה"ח <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותושבת א"ה כמו תושבת ה"ב
+
|style="text-align:right;"|וא"ח הוא אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב מפני שג"ח שוה לג"ב הנה ה"ח שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב הנה אם כן שני שטחי א"ח ח"ה שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב ושני שטחי ג"כ ט"ז שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב הנה שטחי ג"כ ט"ז א"ח ח"ה שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אבל שני שטחי ג"כ ט"ז ושני שטחי א"ח ח"ה הם שטח א"ה הנצב הזויות כלו אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ב
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle AB^2=AG^2+GB^2+2\sdot\left(AG\times GB\right)</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה המרובע המתהוה מן א"ב שוה לשני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית אט"ה כמו זוית כט"ה
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל זוית אט"ה כמו זוית בט"ה
+
 
−
|-
+
=== Proposition 5 ===
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית כט"ה כמו זוית בט"ה
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|in modern notation: <math>\scriptstyle\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2</math>
−
|style="text-align:right;"|הגדולה שוה לקטנה זה שקר
+
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_II_5"></div>'''ה'''<ref>ה: P1007, P1012 mark is missing; Mu130 למוד ה'</ref> כאשר<ref>כאשר: F om.</ref> נחלק<ref>כאשר נחלק: C כשיחלק</ref> קו ישר<ref>נחלק ... ישר: F כל קו ישר יתחלק</ref> בשני חלקים<ref>בשני חלקים: C לשני חלקים; O16 בחלקים; F לשני חצאים</ref> שוים<ref>שוים: F137 <sup>שוים</sup>; Ma1 om.</ref> ושני<ref>ושני: C ולשני; F ובשני; P1007 ולב'</ref> חלקים<ref>ושני חלקים: O16 וחלקים</ref> בלתי שוים<ref>בלתי שוים: C שאינם שוים; F מתחלפים</ref> הנה<ref>הנה: C; F יהיה</ref> השטח<ref>השטח: C שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B(except for Mu130), C, F137 נצב</ref> הזויות אשר יקיפו<ref>אשר יקיפו: C שיקיפו; P1007 אשר יקיף</ref> בו<ref>בו: P1012 om.</ref> שני חלקי<ref>שני חלקי: C החלקים; F חלקי; P1007 ב' חלקי; AB שני <s>קוי</s> חלקי</ref> הקו כלו<ref>הקו כלו: C om.</ref> אשר הם בלתי<ref>אשר הם בלתי: C שאינם; O16 הבלתי</ref> שוים<ref>אשר הם בלתי שוים: F המתחלפים</ref> עם המרובע<ref>עם המרובע: C עם מרובע; F ומרובע; P1013 מן המרובע; W194 <s>מן</s> <sup>נ' עם</sup> המרובע</ref> המתהוה מן<ref>המתהוה מן: C om.; B(except for Mu130) ההוה מן</ref> הקו<ref>מן הקו: O16, P1007 מהקו; W66 <s>מן הקו</s> מהקו</ref> אשר במה שבין<ref>אשר במה שבין: C כלו שהוא בין; Mu130 אשר במה <s>שני</s> <sup>שבין</sup></ref> שני<ref>שני: B (except for O16), C om.; P1007 ב'; P1013 שכל; P1014 שתי</ref> מקומות<ref>מקומות: P1007 המקומות</ref> השני חלקים<ref>השני חלקים: C <s>שוה</s> החלקים; B(except for Mu130) החלקים<br>המתהוה מן ... השני חלקים: F יתרון חצי הקו על החלק היותר קצר</ref> שוה<ref>שוה: B(except for Mu 130), F, P1012 שוים</ref> למרובע<ref>למרובע: W66 מרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: C, F om.; A1, B(except for Mu130), P1014 ההוה</ref> מחצי<ref>מחצי: C, F חצי; Mu130 מן חצי</ref> הקו&#x202B;<ref group=note>P1011: <div style="text-align: right; direction: ltr; margin-left: 1em;">כל קו יחלק בחציים ואחר יחלק בחלקים מתחלפים הנה אשר יהיה מהכאת החלק היותר ארוך בחלק היותר קטן ומהכאת יתרון חצי הקו על החלק היותר קצר בעצמו הוא כמו אשר יהיה מהכאת חצי הקו בעצמו</div><br>
 +
For any line divided in half and then divided into two unequal parts, the [sum] of the product of the larger part by the smaller part and the product of the excess of half the line over the smaller part by itself is equal to the product of half the line by itself<br>
 +
E: <div style="text-align: right; direction: ltr; margin-left: 1em;">&#x202B;5 הקו הנחלק לחצאיים ולחלקי' בלתי שוים בשטח שיקיפו בו החלקים הבלתי שוים עם מרובע הקו שבן שני המקומות שוים למרובע חצי הקו</div><br>
 +
Mu36: <div style="text-align: right; direction: ltr; margin-left: 1em;">ובנס’ אלחג’אג’ כאשר חולק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים שוים ובשני חלקים בלתי שוים הנה הכאת החלקים הבלתי שוים כל אחד בחבירו עם הכאת המספר אשר מה שבין בעצמו שוים להכאת חצי המספר בעצמו</div><br>
 +
In the version of al-Ḥajjāj: when a number is divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the product of the unequal parts one by the other together with the product of the number that is the difference by itself [is] equal to the product of half the number by itself<br>
 +
Mu130: <div style="text-align: right; direction: ltr; margin-left: 1em;">יהיה הקו עשרה ונחלק בשווי על חמשה ובבלתי שיווי על שלש נכה שלשה בשבעה עלה כ”א נוסיף מרובע שבין שלשה וחמשה והוא ארבע כי המרחק שנים עלו כ”ה וכן מרובע חצי הקו שהוא חמשה עולה כ”ה</div><br>
 +
P1010: <div style="text-align: right; direction: ltr; margin-left: 1em;">דמיון במספר כשנחלק עשרה על ה’ ה’ חלקים שוים עוד נחלק עשרה לג’ וז’ על [דרך] משל הנה המרובע המתהוה מחלק השוה באחר שהוא [...] כ”ה [...] המרובע המתהוה מג’ על ז’ שהוא כ”א עם המרובע המתהוה מתוספת ז’ על ה’ שהוא ב’ ומרובעו ד’ והכל כ”ה</div><br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot7\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-3\right]^2=21+\left(5-3\right)^2=21+2^2=21+4=25=5^2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}}</math>
 +
P1014: <div style="text-align: right; direction: ltr; margin-left: 1em;">העשרה אם תחלקהו על ה’ ועל ו’ וד’ הנה שטח ו’ בד’ עם מרובע אחד שבין ה' לו’ שוה למרובע ה’ה’ שהם כ”ה וכן בשיעורים</div><br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot4\right)+\left[6-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2=24+\left(6-5\right)^2=24+1^2=24+1=25=5^2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}}</math></ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אי אפשר שיצא מן ה' קו אחר כמו אחד משני קוי א"ה ה"ב זולתם אשר הם מזולתם היותר קצר מהם לבד שוים
+
|style="text-align:right;"|ויהיה<ref>ויהיה: B (except for Mu130) הנה יהיה; F137 יהיה; Ma1 המשל יהיה</ref> קו ישר<ref>קו ישר: F הקו הישר</ref> עליו א"ב ויחלק<ref>ויחלק: F ויתחלק; B(except for Mu130) ונחלק</ref> בשני<ref>בשני: A2, P1014 לשני; P1007 בב'</ref> חלקים שוים<ref>בשני חלקים שוים: F לחצאים; O16 בחלקים שוים</ref> על נקודת<ref>נקודת: F om.; P1013 מקומות נקודת</ref> ג' <span style=color:red>מי’  מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>מי' מא': according to AB, W66</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו ביאורו
+
|style="text-align:right;"|ושני<ref>ושני: Mu130, P1007 וב'; W66 ולשני</ref> חלקים<ref>ושני חלקים: F, O16 ובחלקים</ref> בלתי שוים<ref>בלתי שוים: F מתחלפים<br>על נקודת ג' ... בלתי שוים: Mu130 marg.</ref> על נקודת<ref>נקודת: F om.</ref> ד'
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: <math>\scriptstyle \left(AD\times DB\right)+GD^2=GB^2</math>
−
=== Proposition 8 ===
+
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F om.</ref> אומר כי השטח<ref>כי השטח: B(except for Mu130), Ma1 שהשטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B, F נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו<ref>בו: P1012 om.</ref> שני<ref>שני: F om.</ref> קוי א"ד ד"ב עם המרובע המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F ההוה</ref> מן ג"ד<ref>מן ג"ד: B(except for Mu130), P1007 מג"ד; F מד"ג; Mu130 ג"ד illegible</ref> שוה<ref>שוה: F שוים</ref> למרובע המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F, P1014 ההוה</ref> מן ג"ב&#x202B;<ref>מן ג"ב: B(except for Mu130), P1007, P1013 מג"ב; F מב"ג; AB מן <s>ג"א או מן</s> ג"ב; Mu130 מן ג"א או ג"ב; P1012 מן ג"א או מן ג"ב</ref><ref group=note>C: המשל בזה שקו א"ב נחלק לחלקים שוים על נקדת ג' ולחלקים מתחלפים על נקודת ד' ואומר שאשר היה מהכאת א"ד בד"ב ומהכאת ג"ד בעצמו יחד שוה לאשר יהיה מהכאת ג"ב בעצמו<br>
−
 
+
E: ויהיה קו ישר א"ב ויחלק לחלקי' שוים על ג' ולבלתי שוים על ד' הנה אומר ששטח א"ד בד"ב עם מרובע ג"ד שוה למרובע ג"ב</ref>
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> <big>כל נקדה</big> יוצאת חוץ מעגולה יצאו ממנה קוים אל העגולה הנה היותר ארוך שיכנס בעגולה ויחתכנה מן הקוים הוא אשר יעבור מן המרכז ומה שקרב מן הקוים הנשארים מן אשר ילך אל המרכז יותר ארוך ממה שרחק והיותר קצר שבקוים אשר יכלו אל העגולה ולא יכנסו בה הוא הקו אשר בין הנקודה ובין קצה הקטר ומה שקרב ממנו מן הקוים הנשארים יותר קצר ממה שרחק ושנים קוים לבד משני צדדי הקטר שוים
+
|[[File:Elements II-5 Hebrew.png|thumb|250px]]
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>דמיונו</big> כי הוצאו מנקדת ג' אל תוך עגולת א"ב קוים והם ג"ד וג"ה וג"ז וא"ג והקו אשר יעבור על המרכז ג"ד
+
|style="text-align:right;"|ונעשה<ref>ונעשה: F137 נעשה; Ma1 המופת נעשה; B(except for Mu130) הנה נעשה</ref> מקו<ref>מקו: AB, Mu130, P1012, P1014 מן קו</ref> ג"ב<ref>ג"ב: F ב"ג</ref> מרובע ג"הז"ב<ref>ג"הז"ב: F ב'ג'ה'ז' ונעשה מב"ד מרובע ד'ב'כ'ח'; P1010 <s>ד"ה</s> ג"ה ז"ב</ref> <span style=color:red>ממ”ו מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>ממ"ו מא': A2, C, E, Ma1, Mu130, P1007, P1012 om.; A1, AB, F137, Lo, P1010, PP ממ"ו מראשון; O16 ממ"ו</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר שהוא היותר ארוך שבקוים הנכנסים וכי ג"ה יותר ארוך מן ג"ז וכי ג"ז יותר ארוך מן א"ג וכי היותר קצר שבקוי' היוצאים אשר בין הנקודה ובין קצה הקטר הוא ג"ב וכי ג"ב יותר קצר מן ג"ל וג"ל יותר קצר מן ג"ט ושני קוים לבד משני צדדי ג"ב היותר קצר שוים
+
|style="text-align:right;"|ונרשום התמונה<ref>התמונה: F התבנית</ref> ונשלים שטח א"גט"ל<ref>א"גט"ל: F א'ט'ל'ג'</ref> הנכחי<ref>הנכחי: F נכחי; P1013 [..] נכוחי</ref> הצלעות <span style=color:red>מד’ מזה</span>&#x202B;<ref>מד' מזה: A2, B(except for W66), C, E, Ma1, P1007, P1014 om.; Lo, P1010, P1012 מד'</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נשים המרכז נקודת מ'
+
:*<math>\scriptstyle\Box_{GC}=\Box_{CZ}\longrightarrow\Box_{GK}=\Box_{DZ}</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני<ref>הנה מפני: P1012 twice</ref> כי ג"ח<ref>מפני כי ג"ח: F לפי שג"ח; B(except for Mu130) מפני שג"ח<br>ג"ח: P1012 ג"ה</ref> שוה לח"ז<ref>לח"ז: P1012 לה"ז</ref> ונשים ד"כ<ref>ד"כ: Mu130 ח"ב</ref> משותף<ref>משותף: O16 משותפת</ref> הנה<ref>הנה: F om.; W66 <s>ה</s> הנה</ref> יהיה ג"כ<ref>ג"כ: Mu130 ל"ב</ref> כלו שוה לד"ז<ref>לד"ז: Ma1 לשטח ד"ז</ref> כלו <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>ממ"ג מא': A1, E, F137, P1007, P1010, P1012, PP om.; C מצורת מ"ג מן הראשון; Ma1 מג' מזה המאמר; Lo ממ"ג מראשון; O16 ממ"ג</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ממנה קוים מ"ה ומ"ז ומ"א ומ"ט ומ"ל ומ"כ
+
:*<math>\scriptstyle AG=GB\longrightarrow\Box_{LA}=\Box_{GK}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומפני שצלע<ref>ומפני שצלע: AB, P1007, P1012, PP ומפני כי צלע</ref> א"ג<ref>א"ג: O561 <s>ג"ה</s> <sup>א"ג</sup></ref> שוה לצלע ג"ב יהיה שטח ל"א שוה לשטח ג"כ<ref>ג"כ: Mu130 ל"ב; PP marg. כ"ג</ref> <span style=color:red>מל”א מא&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>מל"א מא': according to W66; AB מל"ו מראשון</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי מ"ה ומ"ג מקובצים יותר ארוך מן ג"ה
+
:*<math>\scriptstyle\Box_{GK}=\Box_{DZ}\longrightarrow\Box_{LA}=\Box_{DZ}</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר היה שטח ג"כ<ref>ג"כ: Mu130 ל"ב; PP ל"ג</ref> שוה לשטח ד"ז הנה יהיה<ref>הנה יהיה: B(except for Mu130), AB, F אם כן</ref> שטח ל"א<ref>ל"א: B(except for Mu130), AB, F א"ל</ref> שוה לשטח ד"ז<ref>ומפני שצלע א"ג ... לשטח ד"ז: F137 marg. with the note ונשמט<br>וכבר היה ... ל"א שוה לשטח ד"ז: AB, PP marg.<br>הנה יהיה ... לשטח ד"ז: P1012 om.</ref> <span style=color:red>מפתיח’ א&#x202B;’</span>&#x202B;<ref>מפתיח' א': according to W66; AB מפתיחת א'</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומ"ה כמו מ"ד
+
:*<math>\scriptstyle\Box_{AC}=\Gamma_{MNS}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשים<ref>ונשים: Mu31 starts here (247v; line 2 from the bottom) ונשום</ref> ג"ח<ref>ג"ח: Lo ד"ח <sup>ג"ח</sup></ref> משותף<ref>משותף: B(except for Mu130) משותפת</ref> הנה<ref>הנה: F יהיה</ref> א"ח כלו<ref>כלו: Mu31 ג כלנו</ref> שוה<ref>שוה: Mu31 שוים; P1012 om.</ref> לרושם<ref>לרושם: Mu31 om.; Mu130 <s>לשטח</s> לרושם</ref> מנ"ס&#x202B;<ref>מנ"ס: P1012 מנ"ח</ref>
 +
|-
 +
|אד &times; דב = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>אח</sub> &rarr; דח = בד
 +
|style="text-align:right;"|אבל א"ח<ref>א"ח: Mu31; Mu130 שטח א"ח</ref> שוה<ref>שוה: P1012 שוה לשטח ג”כ וכבר היה שטח ג”כ שוה לשטח ד”ז ונשים ג”ח משותף הנה א”ח כלו לרושם מנ”ח אבל א”ח שוה </ref> לשטח הנצב<ref>הנצב: B, F נצב; P1007 ה[.] הנצב</ref> הזויות<ref>הזויות: P1007 הזוית</ref> אשר יקיפו בו שני<ref>שני: B(except for Mu130), F om. P1007 ב'</ref> קוי א"ד ד"ב מפני כי ב"ד<ref>מפני כי ב"ד: B(except for Mu130) מפני שב"ד; F לפי שד"ב; O561 marg.; P1007 הנה מפני כי ב"ד; P1012 ומפני כי ב"ד</ref> שוה לד"ח<ref>לד"ח: O16 <s>לשטח</s> לד"ח</ref> וזה כי ד"כ<ref>וזה כי ד"כ: B(except for Mu130) וזה שד"כ</ref> מרובע<ref>וזה כי ד"כ מרובע: Ma1 om.</ref> <span style=color:red>משלפניה</span>&#x202B;<ref>משלפניה: according to B(except for Mu130); C מלפניה; Ma1 מג' מזה; AB מאשר לפניה; O561 מהקודמת; P1014 מסוף תמונה אשר לפניה</ref>
 +
|-
 +
|אד &times; דב = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box^{\Box}</math><sub>מנס</sub> &#x202B;&rarr;
 +
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F אם כן</ref> רושם<ref>רושם: AB <s>כי</s> רושם</ref> מנ"ס<ref>מנ"ס: P1012 מנ"ד</ref> שוה לשטח<ref>שוה לשטח: O561 twice</ref> הנצב<ref>הנצב: B, F נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: W66 הזוי<sup>ו</sup>ת</ref> אשר יקיפו בו<ref>בו: Mu31, P1007, P1010, PP om.</ref> שני<ref>שני: B(except for Mu130), F om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ד ד"ב
 
|-
 
|-
−
|
+
|&#x202B;&rarr; &#x202B;<sup>2</sup>גד = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>לע</sub>
−
|style="text-align:right;"|הנה ד"ג יותר ארוך מן ג"ה
+
&#x202B;<sup>2</sup>גד + &#x202B;(אד &times; דב&#x202B;) = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>לע</sub> + &#x202B;<math>\scriptstyle\Box^{\Box}</math><sub>מנס</sub>
 +
|style="text-align:right;"|ונשים ל"ע אשר הוא שוה<ref>אשר הוא שוה: Mu31 אשר ראשונה; O16 <sup>שהוא</sup> כמו</ref> למרובע<ref>למרובע: O16 השטח המרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F ההוה</ref> מן ג"ד<ref>מן ג"ד: B(except for Mu130), F, P1007 מג"ד</ref> משותף<ref>משותף: O16 משותפת</ref> ויהיה<ref>ויהיה: B(except for Mu130) הנה יהיה; F יהיה</ref> רושם מנ"ס<ref>מנ"ס: P1012 מנ"ד</ref> ושטח<ref>ושטח: F עם</ref> ל"ע כמו השטח הנצב<ref>הנצב: F, W66 נצב</ref> הזויות<ref>הזויות: O16 הזוית</ref> אשר יקיפו בו<ref>יקיפו בו: Lo יקיפוהו; A2, F, P1007, P1010, PP, W194 יקיפו</ref> שני<ref>שני: B(except for Mu130), F om.; P1007 ב'</ref> קוי א"ד ד"ב והמרובע המתהוה<ref>המתהוה: A1, B(except for Mu130), F ההוה</ref> מן ג"ד&#x202B;<ref>מן ג"ד: B(except for Mu130), F, P1007 מג"ד</ref>
 
|-
 
|-
−
|
+
|&#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>גז</sub> = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>לע</sub> + &#x202B;<math>\scriptstyle\Box^{\Box}</math><sub>מנס</sub>
−
|style="text-align:right;"|ומ"ה כמו ז"מ
+
|style="text-align:right;"|אבל<ref>אבל: A2, AB, Lo, Mu31, Mu130, P1010, P1012, PP, W194 ויהיה</ref> רושם<ref>רושם: PP marg.</ref> מנ"ס ושטח ל"ע<ref>כמו השטח הנצב ... ושטח ל"ע: P1012, P1014 om.</ref> הוא<ref>הוא: F הם</ref> שטח ג"ז כלו&#x202B;<ref>כלו: AB om.</ref>
 
|-
 
|-
−
|
+
|&#x202B;<sup>2</sup>גב = &#x202B;<math>\scriptstyle\Box</math><sub>גז</sub>
−
|style="text-align:right;"|ונשים מ"ג משותפים
+
|style="text-align:right;"|ושטח<ref>ושטח: O561 ג ושטח</ref> ג"ז<ref>ג"ז: Mu31 כ"ז</ref> כלו<ref>ושטח ג"ז כלו: P1012 om.</ref> הוא<ref>ושטח ג"ז כלו הוא: F והוא</ref> שטח<ref>שטח: B(except for Mu130), F, Mu31 om.; P1007 השטח</ref> המרובע המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F ההוה</ref> מן ג"ב&#x202B;<ref>מן ג"ב: AB, B(except for Mu130), P1007, P1012 מג"ב; F מב"ג</ref>
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle \left(AD\times DB\right)+GD^2=GB^2</math>
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ה"מ ומ"ג כמו שני קוי ז"מ ומ"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה<ref>הנה: F אם כן</ref> השטח<ref>השטח: Mu31 השוה; Mu130 שטח</ref> הנצב<ref>הנצב: B(except for Mu130), F נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו<ref>בו: A1 om.</ref> א"ד<ref>א"ד: F קוי א"ד; P1007 ב' קוי א"ד</ref> ד"ב עם המרובע המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F, P1007 ההוה</ref> מן ג"ד<ref>מן ג"ד: O16, P1007, P1012, P1014 מג"ד; F מד"ג</ref> שוה למרובע המתהוה<ref>המתהוה: B(except for Mu130), F, P1007 ההוה</ref> מן ג"ב&#x202B;<ref>מן ג"ב: O16, P1007 מג"ב; F מב"ג, AB <s>מג"א או</s> <sup>מן</sup> ג"ב; Mu130 מן ג"א או ג"ב; P1010 מן <s>ג"ח</s> ג"ב; P1012, P1013 מן ג"א ג"ב; W194 מן ג"א ג"ב [נ' שהוא אחד&#x202B;]</ref><ref group=note>C: מופת זה שנצייר על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ה[ז"ב] ונדביק ב' בה' ונוציא מד' קו אל ט' נכוחי לקוי ג"ה וב"ז עליו ד'ח'ט' ונוציא מח' קו נכוחי לקוי א"ב וה"ז עליו לח"ב ונוציא מא' קו נכוחי לקוי ג"ל וד"ח וב"כ והוא א"מ ונמשוך קו כ"ל אל מ' ושטח ג"ח המשלים שוה לשטח ח"ז המשלים ויהיה שטח ד"כ משותף ויהיה יחד שטח ג"כ שוה לשטח ד"ז יחד ואמנם ג"כ שוה לג"מ לפי שהם על שתי תושבות שוות ב"ג וג"א ובין שני קוים נכוחים ב"א וכ"מ<br>
 +
ואם כן שטח ג"מ שוה לשטח ד"ז ויהיה ד"ל משותף ויהיה יחד מ"ד שוה לנס"ע המסומן ומ"ד הוא שהיה מהכאת א"ד בד"ב לפי שיקיפו בו א"ד ד"ח וח"ד שוה לב"ד ויהיה נ'ס'ע' המסומן שוה לאשר יהיה מהכאת א"ד בד"ב ונשים אשר יהיה מהכאת ג"ד בעצמו משותף והוא שטח ל"ט המרובע<br>
 +
ויתבאר שאשר היה מהכאת א"ד בד"ב ומהכאת ג"ד בעצמו יחד שוה לשטח ג"ז שהיה מהכאת ג"ב בעצמו שהוא חצי הקו [ר”ל מהתבארות צורת ד’ מזה השער]<br>
 +
E: מופתו שנעשה על ג"ב מרובע ג"ז ונוציא ד"ע עמוד על א"ב וקוטר ה"ב ויתחתכו על ח' ונוציא קו ט'ח'ב' נכחי לא"ב ונשלים התמונה הנה מרובע ג"ז ההוה מקו ג"ב שוה לשני מתמימי ג"ח ח"ז עם מרובעי ב"ח ח"ד ולפי שמתמים ג"ח עם [מרובע] ד"כ העושה שטח ג"כ ישוה לשטח ג"ט יהיה שטח ג"ט עם מתמימי ח"ז שהוא כמו שטח א"ח עם מרובע ח"ה [שוה לשטח ג"כ [עם] מרובע ח"ה ומת[מים] ח"ז אבל שטח ג[כ] עם מרובע ח"ה] ומתמים ח"ז כמו המרובע ההווה מן ג"ב ושטח א"ח הוא ההווה מהכאת א"ד בד"ב [כי] ד"ח ד"ב שוים ומרובע ח"ה הוא כמו המרובע ההווה מן ג"ד הנה שטח [א"ד] בד"ב עם מרובע ג"ד כמו המרובע ההווה מן ג"ב<br>
 +
ויתבאר גם כן שלפי שג"ב נחלק בנקודת ד' איך שיזדמן היה מרובע ג"ב כמו המרובע ההווה מן ג"ד עם [כפל] שטח ג"ד בד"ב ומרובע ד"ב [כפל] ושטח ג"ד בד"ב עם מרובע ד"ב כמו שטח ג"ד בב"ד והוא כמו שטח א"ג בד"ב [הנה] שטח א"ג בד"ב עם שטח ג"ד בד"ב שזה כמו א"ד בד"ב כשקובץ עם מרובע ג"ד היה כמו מרובע ג"ב<br>
 +
Mu246: ו קו א”ב חולק בחציו על ג’ ובשני חלקים שאינם שוים על ד’ נאמ’ כי כפל א”ד בד”ב וכפל ג”ד בפני עצמו מקובצים ישוו לג”ב בפני עצמו<br>
 +
נעשה על ג”ב מרובע ג”ז ונחוק בו מרובע ב”ח ושני שטחי ג”ח ח”ז וגם נעשה שטח א”ל על יושר קו מל”כ וקו א”מ כמו ד”ב ומפני שא”ג שוה לב”ז הילכך שטח א”ל כמו ד”ז וכפל א”ד בד”ב הוא שטח א”ח ונשים שטח ג”ח שותף ויהא נס”ע שוה לשטח א”ח שהוא כפל א”ד בד”ב ומרובע ה”ח הוא כפל ג”ד בעצמו</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית המ"ג יותר גדולה מזוית זמ"ג
+
|style="text-align:right;"|וכאשר<ref>וכאשר: F137 ואם כן; B(except for W66) הנה כאשר; O561 <sup>ו</sup>כאשר</ref> נחלק קו ישר<ref>נחלק קו ישר: F137 כל קו ישר יתחלק</ref> בשני חלקים שוים<ref>בשני חלקים שוים: F137 לשני חצאים; O16 בחלקים שוים; P1007 בב' חלקים שוים</ref> ושני חלקים בלתי שוים<ref>ושני חלקים בלתי שוים: A2 ובלתי שוים; F137 ובשני חלקים מתחלפים; O16 וחלקים בלתי שוים; P1007 om.</ref> הנה<ref>הנה: F137 יהיה</ref> השטח הנצב<ref>הנצב: F137, O16, P1013 נצב</ref> הזויות אשר יקיפו בו<ref>בו: P1010 om.</ref> שני<ref>שני: F137 om.; P1007 ב'</ref> חלקי הקו<ref>חלקי הקו: Mu31 חלקו ההן; AB חלק קו</ref> כלו<ref>כלו: O16 om.</ref> אשר הם בלתי שוים<ref>אשר הם בלתי שוים: F137 המתחלפים; O16 אשר אינם שוים</ref> עם המרובע<ref>עם המרובע: F137 ומרובע</ref> המתהוה<ref>המתהוה: O16 ההוה</ref> מן הקו<ref>מן הקו: O16, P1007 מהקו</ref> אשר במה<ref>אשר במה: Mu31 twice</ref> שבין שני מקומות<ref>מקומות: P1013 המקומות</ref> שני<ref>שני: O16 om.; PP marg.</ref> החלקים<ref>שני מקומות שני החלקים: A2 שני המקומות שני חלקים; P1007 ב' מקומות ב' החלקים; P1014 שתי מקומות השני חלקים<br>המתהוה מן הקו אשר במה שבין שני מקומות שני החלקים: F137 יתרון חצי הקו על החלק היותר קצר</ref> שוה<ref>שוה: F137 שוים</ref> למרובע המתהוה<ref>המתהוה: F137 om.; O16 ההוה</ref> מחצי<ref>מחצי: F137 חצי; P1012 מהם</ref> הקו&#x202B;<ref>וכאשר ... מחצי הקו: C, E, Ma1, W66 om.</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה תושבת ה"ג יותר ארוכה מתושבת ז"ג
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר&#x202B;<ref>וזה מה שרצינו לבאר: E om.; Mu130 ומש"ל; P1007 וזמש"ל; W66 וזה מה שרצינו לבאר ונשלם באורו; Ma1, P1014 וזה מש"ל; F137 וזהו מה שרצי' לבאר</ref><ref group=note>C adds: והתבאר לך הנה ששני מרובעי החלקים המתחלפים יעדפו על כפל שטח נצב הזויות שיקיפו בו החלקים ארבעה דמיוני מרובע הקו שבין מקומות החלקים<br>
 +
תקון המעתיק ועוד יתבאר לך הנה כי כשיחלק קו בשני מקומות לחלקים שאינם שוים שהשטח שיקיפו בו שני קוי החלוקה האחד בלתי שוה לשטח שיקיפו בו שני קוי החלוק האחר<br>
 +
כי כל אשר ירחק מקום החלוק מחצי הקו יחסר השטח שיקיפו בו שני קוי החלוק<br>
 +
ומתוך הצורה אשר לפני זו התבאר כי כשיעור אשר יחסר כפל שטח שיקיפו בו קוי החלוק האחד מן האחר יוסיפו שני מרובעי הקוים ההם על שני מרובעי הקוים האחרים ולפי ביאור זה נעשו מופתים רבים בשער העשירי</ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי ז"ג יותר ארוך מן א"ג
+
 
 +
=== Proposition 6 ===
 +
in modern notation: <math>\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_II_6"></div>'''ו''' כאשר נחלק קו ישר בחציים ונוסף עליו קו ישר על יושר הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת עם המרובע המתהוה מחצי הקו שוה למרובע המתהוה מן הקו המורכב מחצי הקו והתוספת&#x202B;<ref group=note>P1011: כל קו יחלק בחציים עוד נוסף עליו קו אחר בארכו הנה אשר יהיה מהכאת כל זה בקו הנוסף ומהכאת חצי הקו הראשון בעצמו הוא כמו אשר יהיה מחצי הקו הראשון כאשר יחובר הקו הנוסף ואחר הוכה כלו בעצמו יחד<br>
 +
Mu36: נ’ אלחג’אג’ כאשר נחלק אי זה מספר שהונח בחציים והוספנו עליו מספר מו[נח] הנה הכאת המספר המקובץ במספר הנוסף עם מרובע חצי המ[ספר] שוים למרו[בע] חצי המספ[ר] והתוספת כשחוברו והושמו מ[ספר] אחד<br>
 +
Mu130: [...] יהיה הקו עשרה ונוסיף עליו ארבע נכה ארבע<br>
 +
P1010: דמיון במספר כשנחלק עשרה לחציין והוא ה’ ותוסיף על עשרה שנים על דרך משל הנה מרובע המתהוה מהמספר כולו שהוא י”ב כאשר תכה אותו בשנים שהוא התוספת ויהיו עשרים וארבע [..] המרובע המתהוה מ[חצי] [מספר] הראשון שהוא ה’ ומרובעו כ”ה והכל מ”ט כמרובע המתהוה מחצי המספר עם התוספת שהוא ז’ ומרובעו מ”ט<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10+2\right)\sdot2\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2=\left(12\sdot2\right)+5^2=24+25=49=7^2=\left(5+2\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2}}</math><br>
 +
P1014: וכן במספר אם תחלק הי”ב ות[ו]סיף עליו ב’ הנה השטח י”ד עם ב’ ומרובע ו' שהו’ חצי י”ב והכל ס”ד שוה למרובע הח’ שהו’ תוספת הקו עם חציו כמש[.] התמונה וכן בשיעורים<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(12+2\right)\sdot2\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2=\left(14\sdot2\right)+6^2=64=8^2=\left(6+2\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+2\right]^2}}</math></ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכי כן הנה מ"כ וכ"ג יותר ארוכים מן מ"ג
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחלק בחציים על נקודת ג' <span style=color:red>מי’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומ"כ כמו מ"ב
+
|style="text-align:right;"|ויוסיף עליו קו ישר על יושר והוא ב"ד
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: <math>\scriptstyle\left(AD\times DB\right)+GB^2=GD^2</math>
−
|style="text-align:right;"|ונשאר ג"כ יותר ארוך מן ג"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב עם המרובע המתהוה מן ג"ב שוה למרובע המתהוה מן ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה ג"ב יותר קצר מן כ"ג
+
|style="text-align:right;"|ונעשה מן ג"ד מרובע ג"ה ז"ד <span style=color:red>ממ”ו מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ובמשולש למ"ג שתי צלעות נצבות על תושבת מ"ג והם מ"כ וכ"ג
+
|style="text-align:right;"|ונרשום התמונה ונתמים שטח א"גט"כ הנכחי הצלעות <span style=color:red>מד’ מזה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנה נפגשו בתוכו
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי א"ג שוה לג"ב יהיה שטח א"כ הנכחי הצלעות שוה לשטח ג"ח הנכחי הצלעות אבל ג"ח שוה לח"ז הנה שטח א"כ שוה לשטח ח"ז <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
−
|
+
|We define GL common.
−
|style="text-align:right;"|הנה מ"ל ול"ג יותר ארוכים מן מ"כ וכ"ג
+
|style="text-align:right;"|ונשים ג"ל משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם מ"כ הוא כמו מ"ל
+
|style="text-align:right;"|הנה שטח ל"א כלו שוה לרושם מנ"ס כלו אבל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב שוה לשטח ל"א הנצב הזויות מפני שב"ד שוה לד"ל <span style=color:red>מד’ מזה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשאר ל"ג יותר ארוך מן כ"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה רושם מנ"ס שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב ושטח כ"ע שוה למרובע המתהוה מן ג"ב הנה רושם מנ"ס עם שטח כ"ע שוה לשטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב והמרובע המתהוה מן ב"ג אבל רושם מנ"ס ומרובע כ"ע הוא ג"ז אשר הוא המרובע המתהוה מן ג"ד
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\left(AD\times DB\right)+BG^2=GD^2</math>
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי ג"ט יותר ארוך מן ג"ל
+
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב עם המרובע המתהוה מן ב"ג שוה למרובע המתהוה מן ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה היותר ארוך שבקוים הנכנסים ג"ד
+
|style="text-align:right;"|והנה כאשר נחלק קו ישר בשני חציים והוסף עליו קו ישר על יושר הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת עם המרובע המתהוה מחצי הקו שוה למרובע המתהוה מן הקו המורכב מחצי הקו והתוספת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואחר כן ג"ה יותר ארוך מן ג"ז
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואחרי כן ג"ז יותר ארוך מן א"ג
+
 
 +
=== Proposition 7 ===
 +
|
 +
|-
 +
|in modern notation: <math>\scriptstyle\left(a+b\right)^2+a^2=2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_II_7"></div>'''ז''' כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים איך שיקרה הנה המרובע המתהוה מן הקו כלו והמרובע המתהוה מאחד משני חלקים כאשר התקבצו שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו והחלק אשר זכרנו והמרובע המתהוה מן החלק השני&#x202B;<ref group=note>P1011: כל קו יחלק בחלקים הנה אשר יהיה מהכאת הקו בעצמו והכאת אחד משני החלקים בעצמם יחד הוא כמו אשר יהיה מהכאת הקו כלו בחלק אשר תכה בעצמו שני פעמים ומהכאת החלק האחד בעצמו<br>
 +
Mu36: נס’ אל חג’אג’ כאשר נחלק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים איך מה שקרה ה[נה] המרובעי’ ההווים מהמספר כלו ומאחד מהחלקים כאש[ר] קובצו שוים לכפל הכאת המספר כלו בחלק אשר זכרנו [עם] הכאת החלק הנשאר בעצמו<br>
 +
Mu130: ויהיה הקו עשרה ויחלק על ששה נכה ששה בעשרה עלה ס’ וכפלו ק”כ ועם מרובע ארבע שהוא י”ו עלה [...] קל”ו וכן מרובע כל הקו שהוא עשרה עם מרובע החלק הנזכר שהוא ששה עלו [...]<br>
 +
P1010: דמיון במספר כשנחלק מספר עשרה לד’ ו’ יהיה המרובע המתהוה מכל המספר מאה והמרובע המתהוה מו’ על דרך משל ל”ו והכל קל”ו ויהיה שוה למרובע המתהוה מהכאת עשרה בששה שני פעמים שהם ק”כ והמרובע המתהוה מן החלק הנשאר שהוא ד’ ומרובעו י”ו ועם ק”כ יהיו קל”ו<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{10^2+6^2=100+36=136=120+16=\left(2\sdot60\right)+16=
 +
\left[2\sdot\left(10\sdot6\right)\right]+4^2}}</math><br>
 +
P1014: וכן עשרה אם חולק על ח’ וב’ מרובע הי’ שהו’ ק’ ומרובע הב’ שהו’ ד’ והכל ק”ד שוה לכפל י’ עם ב’ שהו’ מ’ ומרובע ח’ בין הכל ג”כ ק”ד וכן בשיעורים<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{10^2+2^2=100+4=104=40+64=
 +
\left[2\sdot\left(10\sdot2\right)\right]+8^2}}</math></ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והיותר קצר שבקוים היוצאים ג"ב
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ישר עליו א"ב ויתחלק איך שיקרה על נקודת ג'
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle AB^2+BG^2=\left[2\sdot\left(AB\times BG\right)\right]+AG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שני המרובעים המתהוים משני קוי א"ב ב"ג שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג והמרובע המתהוה מן א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואחרי כן ג"ב יותר קצר מן ג"כ
+
|style="text-align:right;"|ונרשום מן א"ב מרובע א"דה"ב <span style=color:red>ממ”ו מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וג"כ יותר קצר מן ג"ל
+
|style="text-align:right;"|ונבדיל מן ב"ה כמו ב"ג והוא ב"כ <span style=color:red>מג’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואחרי כן ג"ל יותר קצר מן ג"ט
+
|style="text-align:right;"|ונרשום התמונה הנה שטח א"ז שוה לשטח ז"ה <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>
 +
|-
 +
|We define GK common.
 +
|style="text-align:right;"|ונשים ג"כ משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>ואומר</big> כי שני קוים לבד לשני צדדי ג"ב היות קצר שבקוים שוים
+
|style="text-align:right;"|הנה יהיה א"כ כלו שוה לג"ה כלו הנה א"כ עם ג"ה כפל א"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> שתעמיד על נקודת מ' מקו מ"ג זוית נמ"ג כמו זוית כמ"ג
+
|style="text-align:right;"|אבל ג"ה עם א"כ הוא רושם למ"נ ומרובע ג"כ הנה רושם למ"נ ומרובע ג"כ שניהם כפל א"כ וא"כ הוא השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב וב"ג כי הוא יקיפו בו שני קוי א"ב ב"כ וב"כ שוה לב"ג הנה רושם למ"נ ומרובע ג"כ שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג ונשים המרובע המתהוה מן א"ג משותף והוא מרובע ח"ט הנה כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה לרושם למ"נ ושני שטחי ג"כ ט"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ג"נ
+
|style="text-align:right;"|אבל רושם למ"נ ושני שטחי ג"כ ט"ח הם א"ה וג"כ וא"ה המרובע המתהוה מן א"ב וג"כ הוא המרובע המתהוה מן ג"ב
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle AB^2+BG^2=\left[2\sdot\left(AB\times BG\right)\right]+AG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה שני המרובעים המתהוים מן א"ב ב"ג שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג והמרובע המתהוה מן א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו כ"מ כמו קו נ"מ
+
|style="text-align:right;"|הנה כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים איך שקרה הנה המרובע המתהוה מהקו כלו והמרובע המתהוה מאחד משני החלקים כאשר התקבצו שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו והחלק אשר זכרנו והמרובע המתהוה מן החלק הנשאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים ג"מ משותף
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי כ"מ מ"ג כמו שני קוי מ"נ ומ"ג
+
 
−
|-
+
=== Proposition 8 ===
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית כמ"ג כמו זוית נמ"ג
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|in modern notation: <math>\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2</math>
−
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת כ"ג כמו תושבת ג"נ
+
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_II_8"></div>'''ח''' כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים איך שיקרה הנה ארבעה דמיוני<ref group=note>דמיוני: AB פי’ כפולי</ref> השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו ואחד משני חלקיו עם המרובע המתהוה מן החלק הנשאר שוה למרובע המתהוה מן הקו כלו והחלק אשר קדם זכרו כאשר הושמו שניהם בקו אחד&#x202B;<ref group=note>P1011: כל קו יחלק בחלקים עוד נוסף באורך הקו כמו אחד מהחלקים הנה אשר יהיה מהכאת כל זה בעצמו כמו אשר יהיה מהכאת הקו הראשון בחלק הנוסף ארבע פעמים והכאת החלק האחד בעצמו<br>
 +
Mu36: נס’ אל חג’אג’ כאשר חולק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים איך שקרה הנה ארבעה דמיוני כפל המספר כלו באחד משני חלקיו עם הכאת החלק הנשאר בעצמו שוי[ם] למרובע המספר הנקבץ מהמספר המונח והחלק אשר זכרנו<br>
 +
Mu130: &#x202B;[יהיה הקו עשרה ונחלקהו על ג’ ונכה ד’] פעמים ג’ בעשרה עלה ק”ך [נרבע] שבעה ויעלה מ”ט נוסיפהו על ק”ך עלה קס”ט וכן [מרובע] כל הקו המונח שהוא עשרה א”כ נוסיף עליו שלושה שחולק עליו יהיה כל הקו י”ג ומרובעו קס”ט<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(10\sdot3\right)\right]+7^2=120+49= 169=13^2=\left(10+3\right)^2}}</math><br>
 +
P1010: דמיון במספר כש[נחלק] עשרה על דרך משל לב’ וח’ ונוסיף [על] עשרה שנים שה[ם] כמו החלק ה[...] ויהיה הכל י”ב ומרובעו קמ”[ד] ויהיה שוה להכאת המספר הראש[ון] שהוא עשרה ב[שנים] שהוא החלק הנ[שאר] ד’ פעמים שה[ם] שמנים ומרוב[ע] החלק עשרה הנשאר שמנה ומרובעו ס”ד והכל קמ”ד<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(10\sdot2\right)\right]+8^2=80+64=144 =12^2=\left(10+2\right)^2}}</math><br>
 +
P1014: אם הי’ יחולק לו’ וד’ הנה ד’ פעמי’ הי’ עם הד’ שהם ק”ס עם מרובע הו’ ס”ד ובין הכל קצ”ו שוה למרובע י”ד שהו’ ג”כ קצ”ו וכן בשיעורים<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(10\sdot4\right)\right]+6^2=160+36=196 =14^2=\left(10+4\right)^2}}</math></ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי לא יצא מן ג' קו אחד כמו כל אחד מן כ"ג ונ"ג
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחולק איך שיקרה על נקודת ג'
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: <math>\scriptstyle\left[4\sdot\left(AB\times BG\right)\right]+AG^2=\left(AB+BG\right)^2</math>
−
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר יוצא והוא ג"ס
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ב ב"ג כאשר הושמו בקו אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מן מ' קו אל ס'
+
|style="text-align:right;"|הנה נוציא א"ב אל נקודת ד' <span style=color:red>מפתי’ א&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו כ"מ כמו קו מ"ס
+
|style="text-align:right;"|ויהיה ב"ד שוה לב"ג <span style=color:red>מג’ מא’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים מ"ג משותף
+
|style="text-align:right;"|ונעשה מן א"ד מרובע אדה"ז <span style=color:red>ממ”ו מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי כ"מ ומ"ג כמו שני קוי ס"מ ומ"ג
+
|style="text-align:right;"|ונמשיך ד"ז ונוציא משתי נקודות ג"ב שני קוים נכחיים לשני קוי א"ז ד"ה והם ג"ח ב"ט <span style=color:red>מל”א מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותושבת כ"ג כמו תושבת ג"ס
+
|style="text-align:right;"|ויחתוך ב"ט קו ד"ז על נקודת כ' וג"ח על נקודת ק' ונוציא משתי נקודות כ"ק שני קוים נכחיים לשני קוי א"ד ז"ה והם מ"נ ס"ר <span style=color:red>מל”ד מא&#x202B;’<span style=color:red>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית כמ"ג כמו זוית גמ"ס
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ג"ב שוה לב"ד וג"ב שוה לכל אחד מפ"כ ק"ע וב"ד שוה לכל אחד מן כ"נ ר"ע יהיה פ"כ שוה אל כ"נ וק"ע לר"ע הנה שטח כ"ג הנכחי הצלעות שוה לשטח ב"נ הנכחי הצלעות <span style=color:red>מל”ו מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר היתה זוית כמ"ג כמו זוית נמ"ג
+
|style="text-align:right;"|ופ"ע לכ"ר וק"ט גם כן לה"ע ומפני כי ג"כ הנכחי הצלעות שוה לשטח ב"נ הנכחי הצלעות ופ"ע אל כ"ר וג"כ שוה אל כ"ר <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית גמ"ס כמו זוית גמ"נ
+
|style="text-align:right;"|יהיה ב"נ שוה לכל אחד מן פ"ע כ"ר ויהיה פ"ע שוה לכל אחד מן ג"כ ב"נ הנה שטחי ג"כ ב"נ פ"ע כ"ר ארבעה דמיוני ג"כ אבל שטחי ג"כ ב"נ פ"ע כ"ר הם כל שטח ג"ר אשר הוא ארבעה דמיוני שטח ג"כ ומפני כי ג"ב גם כן שוה אל ב"ד וג"ב שוה אל פ"כ אשר יקבילהו והוא גם כן שוה אל פ"ק מפני כי פ"ע מרובע <span style=color:red>מד’ מזה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הגדולה כמו הקטנה זה שקר
+
|style="text-align:right;"|וב"ד שוה אל ב"כ ממרובע ב"נ וב"כ הוא גם כן שוה אל ג"פ וג"פ שוה אל פ"ק והנה שטח א"פ שוה לשטח מ"ק <span style=color:red>מל”ו מא&#x202B;’</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וק"ט שוה אל ר"ט אבל מ"ק שוה אל ק"ט מפני כי שניהם מתמימים <span style=color:red>ממ”ג מא&#x202B;’</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה א"פ שוה אל ר"ט הנה שטחי א"פ מ"ק ק"ט ע"ה הארבעה ארבעה דמיוני שטח א"פ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואי אפשר שיצא קו אחר כמו קו ג' זולתי נ"ג
+
|style="text-align:right;"|ושטח ג"ד הנכחי הצלעות ארבעה דמיוני שטח ג"כ הנה כל רושם שת"ת ארבעה דמיוני שטח א"כ וא"כ הוא השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"כ וב"כ שוה אל ב"ג כי הוא שוה אל ב"ד ממרובע ב"ג הנה רושם שת"ת ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג אם כן שוים לרושם שת"ת ונשים המרובע המתהוה מן א"ג משותף והוא ס"ח הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה לרושם שת"ת ומרובע ס"ח אבל רושם שת"ת וס"ח שניהם יחד שטח א"ה אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ד
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\left[4\sdot\left(AB\times BG\right)\right]+AG^2=AD^2=\left(AB+BG\right)^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ד אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ב וב"ג כאשר הושמו בקו אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי כ"ג נ"ג אשר הם משני צדדי הקו היותר קצר לבד שוים
+
|style="text-align:right;"|הנה כאשר חולק קו ישר בשני חלקים איך שקרה הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו ואחד מחלקיו עם המרובע המתהוה מן החלק הנשאר שוה למרובע המתהוה מן הקו כלו והחלק אשר קדם זכרו כאשר הושמו בקו אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 2,464: Line 2,941:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
 
=== Proposition 9 ===
 
=== Proposition 9 ===
−
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|in modern notation: <math>\scriptstyle a^2+b^2=2\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right) \right]^2+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2\right]</math>
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> <big>כאשר הוצא</big> מנקודה בעגלה יותר משני קוים אל הקו המקיף והיו הקוים שוים הנה היא מרכז העגלה
+
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_II_9"></div>'''ט''' כאשר חולק קו ישר לשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים המתהוים משני חלקי הקו כלו אשר הם בלתי שוים שניהם כפל שני המרובעים המתהוים מחצי הקו ומן הקו אשר במה שבין שתי מקומות השני חלקים&#x202B;<ref group=note>P1011: כל קו יחלק בחציים עוד יתחלק גם כן לחלקים מתחלפים הנה אשר יהיה מהכאת שני החלקים המתחלפים כל אחד מהם בעצמו הוא כפל מה שיהיה מהכאת חצי הקו בעצמו וכפל מה שיהיה מהכאת חצי הקו על החלק היותר קצר בעצמו יחד<br>
 +
Mu36: נס’ אל חג’אג’ כאשר חולק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה הכאת כל אחד מהשני חלקים הבלתי שוים בעצמו מקובצים הנה הם שוים להכאת חצי המספר בעצמו עם הכאת המספר אשר מה שבין בעצמו<br>
 +
Mu130: [...]<br>
 +
P1010: דמיון במספר כשנחלק עשרה לה’ ה’ שהם שנים ונחלקהו לז’ וג’ שהם חלקים בלתי שוים הנה המרובע המתהוה מהכאת ז’ בעצמו שהוא מ”ט ומהכאת ג’ בעצמו שהוא ט’ והכל נ”ח כמרובע המתהוה מחצי הקו שהוא ה’ ורבועו כ”ה וכפלו נ’ ועוד כפל מרובע מותר החלק הגדול הבלתי שוה על החלק השוה שהיה המותר ב’ ורבועו ד’ וכפלו ח’ והכל נ”ח<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{7^2+3^2=49+9=58=50+8=\left(2\sdot25\right)+\left(2\sdot4\right)=2\sdot5^2+
 +
2\sdot2^2=2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+2\sdot\left(7-5\right)^2}}</math><br>
 +
P1014: וכן הי”ד אם חולק לז’ ז’ וחולק לח’ וו’ מרובעי ח’ ס”ד ומרובע ו’ ל”ו בין הכל הו’ ק’ שוה לכפל מרובע ז’ שהם צ”ח וכפל מרובע א’ ובין הכל ק’ וכן בשיעורים<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{8^2+6^2=64+36=100=98+2=\left(2\sdot49\right)+\left(2\sdot2\right)=2\sdot7^2+
 +
2\sdot1^2=2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2+2\sdot\left(8-7\right)^2}}</math></ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו שיוצא מנקודת ג' מעגלת א"ב קוים שוים יותר משנים והם ג"ד וג"ב וג"ה
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחלק לשני חלקים שוים על נקודת ג' <span style=color:red>מי’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי נקדת ג' מרכז עגלת א"ב
+
|style="text-align:right;"|ושני חלקים בלתי שוים על נקודת ד'
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: <math>\scriptstyle AD^2+DB^2=2\sdot\left(AG^2+GD^2\right)</math>
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נוציא ד"ב וב"ה
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שני המרובעים המתהוים מן שני קוי א"ד ד"ב כפל שני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונחלק שני קוי ד"ב וב"ה בשני חצאים שוים על ח"ז
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ג' מקו א"ב הישר קו ישר על זוית נצבה והוא ג"ה <span style=color:red>מי”א מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ג"ז וג"ח ונעביר בשני הצדדים אל הקו המקיף
+
|style="text-align:right;"|ונשים ה"ג שוה לכל אחד משני קוי א"ג ג"ב <span style=color:red>מב’ מא&#x202B;’</span> ונמשיך קו א"ה ה"ב <span style=color:red>מפתיח’ א’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ד"ז כמו קו ז"ב
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו ג"ה והוא ד"ז <span style=color:red>מל”א מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים ז"ג משותף
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ז' קו נכחי לקו ג"ד והוא ז"ח ונמשיך א"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ד"ז וז"ג כמו שני קוי ב"ז וז"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ה"ג שוה אל א"ג תהיה זוית גה"א שוה לזוית גא"ה <span style=color:red>מה’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותושבת ג"ד כמו תושבת ג"ב
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי זוית אג"ה נצבת יהיו שתי זויות הא"ג אה"ג הנשארות שוות לזוית נצבת <span style=color:red>מל”ב מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית דז"ג כמו זוית בז"ג
+
|style="text-align:right;"|ושתיהם שוות הנה כל אחת משתי זויות גה"א גא"ה חצי נצבת ומפני כי ה"ג גם כן שוה לג"ב תהיה זוית גה"ב שוה לזוית גב"ה <span style=color:red>מה’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שתיהן אם כן שתי נצבות
+
|style="text-align:right;"|וזוית בג"ה נצבת הנה כל אחת משתי זויות גה"ב גב"ה חצי נצבת אבל כל אחת משתי זויות גה"ב אה"ג חצי נצבת תהיה זוית אה"ז נצבת ומפני כי זוית גב"ה חצי נצבת וזוית זד"ב נצבת תהיה זוית דז"ב חצי נצבת <span style=color:red>מל”ב מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר חתך קו א"ט מיתר ב"ד בשני חצאים על שתי זויות
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ב"ד שוה לקו ד"ז <span style=color:red>מו’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מרכז העגולה על א"ט
+
|style="text-align:right;"|ולכן גם כן יהיה ז"ח שוה אל ח"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי המרכז על כ"מ
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי ה"ג שוה אל א"ג יהיה המרובע המתהוה מן ה"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ג הנה שני המרובעים המתהוים משני קוי ה"ג א"ג כפל המרובע המתהוה מן א"ג הנה המרובע המתהוה מן א"ה שוה לשני המרובעים המתהוים משני קוי ה"ג א"ג <span style=color:red>ממ”ז מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנה המרכז יפול על החתך המשותף לשני הקוים א"ט וכ"מ והוא נקדת ג'
+
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית הג"א נצבת הנה המרובע המתהוה מן א"ה כפל המרובע המתהוה מן א"ג ומפני כי ה"ח גם כן שוה אל ז"ח יהיה המרובע ההוה מן ה"ח שוה למרובע ההוה מן ח"ז הנה שני המרובעים ההוים משני קוי ה"ח ח"ז כפל המרובע ההוה מן ח"ז והמרובע ההוה מן ה"ז שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ה"ח ח"ז <span style=color:red>ממ”ז מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן ה"ז כפל המרובע ההוה מן ח"ז וח"ז שוה אל ג"ד הנה המרובע ההוה מן ה"ז כפל המרובע ההוה מן ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>אמ' תבאת</big> מצאנו בקצת הנוסחאות מן היונים לזו התמונה מופת אחר
+
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר גם כן שהמרובע ההוה מן ה"א כפל המרובע ההוה מן א"ג הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ה ה"ז כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד והמרובע ההוה מן א"ז שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ה ה"ז <span style=color:red>ממ”ז מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והוא שאנחנו נשים העגלה א"ב ג"ד
+
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית אה"ז נצבת הנה המרובע ההוה מן א"ז כפל שני המרובעים ההוים מן א"ג ג"ד והמרובע ההוה מן א"ז כמו שני המרובעים ההוים מן א"ד ד"ז <span style=color:red>ממ”ז מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנקדה אשר בתוכה נקדת ה'
+
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית אד"ז נצבת הנה שני המרובעים ההוים מן א”ד ד”ז כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א”ג ג”ד וז”ד שוה לד”ב
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle AD^2+DB^2=2\sdot\left(AG^2+GD^2\right)</math>
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקדת ה' אל העגלה קוים שוים והם ה"ז וא"ה וח"ה
+
|style="text-align:right;"|הנה שני המרובעים ההוים מן א"ד ד"ב כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי נקדת ה' מרכז עגולת א"ב ג"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה כאשר חולק קו ישר לשני חלקים שוים ולשני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים ההוים משני חלקי הקו כלו אשר הם בלתי שוים שניהם כפל שני המרובעים ההוים מחצי הקו כלו ומן הקו אשר במה שבין שני מקומות השני חלקים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה כן הנה יהיה מרכזה ט' אם יהיה אפשר זה
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע קו ט"ה ונעבירהו בשני הצדדים אל שתי נקודות ד"ב
+
 
 +
=== Proposition 10 ===
 +
|
 +
|-
 +
|in modern notation: <math>\scriptstyle\left(a+b\right)^2+b^2=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2\right]</math>
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_II_10"></div>'''י''' כאשר נחלק קו ישר לשני חציים והוסף עליו קו ישר על יושר הנה המרובע ההווה מן הקו כלו עם התוספת והמרובע ההוה מן התוספת כפל שני המרובעים כאשר יחוברו כלומר המרובע ההווה מחצי הקו והמרובע ההווה מן הקו המורכב מחצי הקו והתוספת&#x202B;<ref group=note>P1011: כל קו יחלק בחציים עוד נוסף באורך הקו קו אחר הנה אשר יהיה מהכאת זה כלו בעצמו והקו הנוסף בעצמו מקבצים הוא כפל מה שיהיה מחצי הקו הראשון כאשר תחבר אליו הקו הנוסף ותכה בעצמו והכאת חצי הקו הראשון בעצמו<br>
 +
Mu36: נ’ אל חג’אג’ כאשר נחלק אי זה מספר מונח שיהיה בשני חלקים שוים והוספנו עליו אי זה מספר מונח שהיה הנה המרובע ההווה מהמספר <s>המונח</s> המקובץ מהמספר המונח והמספר המוסף עם הכאת המספר המוסף בעצמו הנה הם כפל המרובע ההווה מחצי המספר המונח עם הכאת המספר המקובץ מחצי המספר המונח והתוספת בעצמו<br>
 +
Mu130: [...]<br>
 +
P1010: דמיון במספר כשנחלק מספר עשרה על דרך משל לה’ ה’ והוסף עליו מספר [ב'] והוא י”ב יהיה הכאת י”[ב] שה[וא] המספר עם התוספת בעצמו והוא קמ”ד ורבוע התוספת שהוא ב’ ורבועו ד’ והכל קמ”ח שוה לכפל מרובע ההוה מחצי המספר הבלתי נוסף שהיה חציו ה’ ורבועו כ”ה וכפלו נ’ עם כפל מרובע ה’ מורכב עם ב’ שהוא הנוסף והכל ז’ ורובעו מ”ט וכפלו צ”ח והכל קמ”ח<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+2\right)^2+2^2=12^2+2^2=144+4=148=50+98=
 +
\left(2\sdot25\right)+\left(2\sdot49\right)=\left(2\sdot5^2\right)+\left(2\sdot7^2\right)=\left(2\sdot5^2\right)+\left[2\sdot\left(5+2\right)^2\right]=\left[2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2\right]+\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2\right]}}</math><br>
 +
P1014: הי’ אילו חולק לה’ ה’ והוסף עליו ד’ שהו’ י”ד הנה מרובע הכל שהו’ קצ”ו עם י”ו שהו’ מרובע ד’ בין הכל רי”ב שוה לכפל מרובע הה’ שהו’ נ’ ולכפל מורכב מה’ וד’ שהו’ ט’ וכפל מרו’ ט’ יהיה קס”ב ובין הכל רי”ב וכן בשיעורים<br>
 +
Numerical example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+4\right)^2+4^2=14^2+4^2=196+16=212=50+162=
 +
\left(2\sdot25\right)+\left(2\sdot81\right)=\left(2\sdot5^2\right)+\left(2\sdot9^2\right)=\left(2\sdot5^2\right)+\left[2\sdot\left(5+4\right)^2\right]=\left[2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2\right]+\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+4\right]^2\right]}}</math></ref>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני שכבר הורשמה בתוך עגולת א"ב ג"ד נקודה איך שתפול והיא ה'
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו הישר א"ב ויחלק לשני חציים על נקודת ג' ויוסיף עליו קו ישר על יושר והוא ב"ד
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle AD^2+DB^2=2\sdot\left(AG^2+GD^2\right)</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שני המרובעים ההוים משני קוי א"ד ד"ב כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג וג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והוצאו ממנה קוים ה"ב וה"ז וא"ה וה"ח אל העגולה איך מה שנפלו
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ג' קו ישר על זוית נצבת והוא ג"ה <span style=color:red>מי”א מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו ב"ה מהם ילך במרכז
+
|style="text-align:right;"|ויושם שוה לכל אחד משני קוי א"ג וג"ב <span style=color:red>מג’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיה קו ב"ה היותר ארוך מהם
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קו א"ה ה"ב ונוציא מנקודת ד' קו ישר נכחי לקו ג"ה והוא ד"ז ומנקודת ה' קו ישר נכחי לקו ג"ד והוא ה"ז <span style=color:red>מל”א מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והיותר קצר מהם קו ד"ה
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ה"ג נכחי אל ז"ד וכבר נפל על שניהם קו ה"ז הישר יהיו שתי זויות גה"ז הז"ד הפנימיות שוות לשתי זויות נצבות <span style=color:red>מכ”ט מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו ז"ה יותר ארוך מקו א"ה
+
|style="text-align:right;"|הנה שתי זויות בה"ז והז"ד קטנות משתי זויות נצבות והקוים אשר יצאו מפחות משתי זויות נצבות אל לא תכלית יפגשו <span style=color:red>מפתיחת א&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו א"ה יותר ארוך מקו ה"ח
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ה"ב וז"ד כאשר הוצאו אל לא תכלית יפגשו ויפגשו על נקודת ח' ונגיע א"ח הנה מפני כי ה"ג שוה אל א"ג תהיה זוית גה"א שוה לזוית גא"ה <span style=color:red>מה’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל אלו הקוים השלשה שוים וזה בלתי אפשר
+
|style="text-align:right;"|וזוית אג"ה נצבת הנה כל אחת משתי זויות גה"א גא"ה חצי נצבת <span style=color:red>מל”ב מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן אין נקדת ט' מרכז לעגולת א"ב ג"ד
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי ה"ג גם כן שוה לג"ב תהיה זוית גה"ב שוה לזוית גב"ה וזוית בג"ה נצבת הנה כל אחת משתי זויות הב"ג וגה"ב חצי נצבת ומפני כי כל אחת משתי זויות אה"ג בה"ג חצי נצבת תהיה זוית אה"ב נצבת ומפני כי זוית הב"ג חצי נצבת תהיה זוית דב"ח חצי נצבת <span style=color:red>מט”ו מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר שאי אפשר שיהיה מרכזה מנקדה אחרת זולת נקודת ה'
+
|style="text-align:right;"|וזוית בד"ח נצבת כי היא שוה לזוית דג"ה אשר תמירה <span style=color:red>מכ”ט מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן נקודת ה' מרכז עגולת א"ב ג"ד
+
|style="text-align:right;"|ותשאר זוית דח"ב חצי נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|הנה זוית דח"ב אם כן שוה לזוית דב"ח ויהיה מפני זה צלע ב"ד שוה לצלע ח"ד <span style=color:red>מו’ מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 10 ===
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי זוית הח"ז גם כן חצי נצבת ואשר אצל ז' נצבת מפני כי היא שוה לאשר תקבילה <span style=color:red>מל”ד מא&#x202B;’</span>
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|והיא אשר אצל ג' תשאר זוית זה"ח חצי נצבת ותהיה זוית הח"ז שוה לזוית זה"ח ולכן יהיה צלע ח"ז שוה לצלע ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י</span> <big>אי אפשר</big> שתחתוך עגולה עגלה ביותר משתי מקומות
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי ה"ג שוה אל א"ג יהיה המרובע ההוה מן ה"ג שוה למרובע ההוה מן א"ג ושני המרובעים ההוים משני קוי ה"ג וא"ג כפל המרובע ההוה מן א"ג והמרובע ההוה מן א"ה שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ה"ג א"ג מפני כי זוית הג"א נצבת <span style=color:red>ממ”ז מא’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר זה הנה תחתוך עגולת א"ב עגולת ג"ד ביותר משני מקומות על נקודות ה"ז ח"ט
+
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן א"ה כפל המרובע ההוה מן א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי ה"ז וז"ח
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי ה"ז גם כן שוה אל ז"ח יהיה המרובע ההוה מן ה"ז שוה למרובע ההוה מן ז"ח הנה שני המרובעים ההוים משני קוי ה"ז ז"ח כפל המרובע ההוה מן ה"ז ושני המרובעים ההוים משני קוי ה"ז ז"ח שוים למרובע ההוה מן ה"ח <span style=color:red>ממ”ז מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונחלקם בשני חצאים על כ"ל
+
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן ה"ח כפל המרובע ההוה מן ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא כ"ג ול"א על זויות נצבות
+
|style="text-align:right;"|וה"ז שוה אל ג"ד <span style=color:red>מל”ד מא’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעביר שניהם אל ב"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן ה"ח כפל המרובע ההוה מן ג"ד וכבר התבאר גם כן כי המרובע ההוה מן א"ה כפל המרובע ההוה מן א"ג הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ה וה"ח כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד ושני המרובעים ההוים משני קוי א"ה ה"ח שוים למרובע ההוה מן א"ח מפני כי זוית אה"ח נצבת <span style=color:red>ממ”ז מא&#x202B;’</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ב בעגולת א"ב כבר חתך ז"ח בשני חצאים על זוית נצבת
+
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן א"ח כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד והמרובע ההוה מן א"ח שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ד ד"ח מפני כי זוית אד"ח נצבת הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ד וד"ח כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג וג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מרכז העגולה על א"ב
+
|style="text-align:right;"|וקו ח"ד שוה לקו ד"ב
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle AD^2+DB^2=2\sdot\left(AG^2+GD^2\right)</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ד ד"ב כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג וג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וג"ד גם כן בעגולת א"ב חתך ז"ה בשני חצאים על זוית נצבת
+
|style="text-align:right;"|הנה כאשר חולק קו ישר בשני חציים והוסף עליו קו ישר על יושר הנה המרובע ההווה מן הקו כלו עם התוספת והמרובע ההווה מן התוספת כפל שני המרובעים כאשר יחוברו כלומר המרובע ההווה מחצי הקו והמרובע ההווה מן הקו המורכב מחצי הקו ומן התוספת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מרכז עגולת א"ב על ג"ד
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי מרכז עגולת א"ב על קו א"ב
+
=== Proposition 11 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מרכזה על הנקדה המשותפת לשני קוי א"ב ג"ד
+
|style="text-align:right;"|יא נרצה שנחלק קו ישר מונח ע"ב שיהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו ואחד משני החלקים ושוה למרובע ההוה מן החלק הנשאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואינם משותפים בנקודה זולת נקודת נ' אם כן נקודת נ' היא מרכז עגולת א"ב
+
|style="text-align:right;"|המשל יהיה הקו הישר המונח א"ב וראוי שנחלק א"ב עד שיהיה השטח הנצב הזוית אשר יקיף בו הקו כלו ואחד מן שני החלקים שוה למרובע ההוה מן החלק הנשאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכמו כן התבאר שמרכז עגלת ג"ד היא נקודת נ'
+
|style="text-align:right;"|הנה נעשה מקו א"ב מרובע א'ב'ג'ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן נקודת נ' מרכז עגולות א"ב וג"ד
+
|style="text-align:right;"|ונחלק קו א"ג בשני חצאים על נקודת ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושתיהם תתחתכנה אם כן אין מרכז שתיהם אחד
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קו ב"ה ונוציא על יושר א"ה קו א"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן לא תחתוך עגלה עגלה ביותר משתי מקומות
+
|style="text-align:right;"|ונשים ה"ז שוה אל ב"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>אמ' תבאת</big> מצאנו בקצת הנוסחאות מהיונים לתמונה הזאת מופת אחר
+
|style="text-align:right;"|ונעשה מן א"ז מרובע א'ז'ט'ח'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והוא שאנחנו נשים העגלה אב"ג תחתוך עגלת דה"ז על יותר משתי נקודות והם נקודות ח"ב וז"ט
+
|style="text-align:right;"|ונוציא על יושר ח"ט ח'ט'כ' הישר
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ב כבר חולק על ט' חלוקה יהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ט שוה למרובע ההוה מן א"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה מרכז עגולת אב"ג נקודת כ'
+
|style="text-align:right;"|מופת זה הנה מפני כי קו א"ג הישר כבר חולק בשני חצאים על נקודת ה' והוסף עליו קו ישר והוא א"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי ב"כ וח"כ וז"כ
+
|style="text-align:right;"|יהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ז ג"ז עם המרובע ההוה מן א"ה שוה למרובע ההוה מן ה"ז וז"ה שוה אל ה"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי כבר הרשמת נקדה בעגולת דה"ז יותר משני קוים והיו שוים והם קוי כ"ב כ"ז כ"ח הנה נקדת כ' מרכז עגולת דה"ז
+
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ז א"ז עם המרובע ההוה מן א"ה שוה למרובע ההוה מן ה"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר היתה גם כן מרכז עגולת אב"ג
+
|style="text-align:right;"|ושני המרובעים ההוים מן א"ב וא"ה שוים למרובע ההוה מן ה"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר נחתכו שתי עגולות והיו מרכזי שתיהן אחד והם נקודת כ' וזה בלתי אפשר
+
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית ב'א'ה' נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה לא תחתוך עגולה עגולה ביותר משני מקומות וזה הוא מה ש"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ז וא"ז עם המרובע ההוה מן א"ה שוים למרובעים ההוים משני קוי א"ב וא"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 11 ===
+
|style="text-align:right;"|ונחסר מהם המרובע המשותף ההוה מן א"ה וישאר השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ז וא"ז שוה למרובע א"ב
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ז וא"ז שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ז וז"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יא</span> <big>כל שתי</big> עגולות תתמששנה הנה הקו אשר יעבור על מרכז שתיהן יעבור במקום המשוש מבפנים היה משושם או מבחוץ
+
|style="text-align:right;"|לפי שא"ז שוה לז"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי עגולת א"ב תמששה עגולת א"ג מבפנים על נקודת א' ויהיה מרכז עגולת א"ב ה' ומרכז א"ג ז'
+
|style="text-align:right;"|והשטח אשר יקיפו ג"ז וז"ח הוא שטח ז"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי הקו אשר יעבור על ה"ז יכלה אל נקודת א' אי אפשר זולתו
+
|style="text-align:right;"|והמרובע ההוה מן א"ב הוא שטח א"ג ד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יפול כמו ה"ז ט"ח
+
|style="text-align:right;"|הנה שטח ז"ב שוה לשטח א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי א"ז וז"ה
+
|style="text-align:right;"|ונחסר מהם א"ב המשותף וישאר ז"ט שוה אל ט"ד הנשאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי א"ז וז"ה מקובצים יותר ארוך מן א"ה
+
|style="text-align:right;"|אבל ט"ד שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב וב"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וא"ז כמו ז"ט
+
|style="text-align:right;"|מפני כי א"ב שוה אל ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וא"ה כמו ה"ח
+
|style="text-align:right;"|וז"ט הוא המרובע ההוה מן א"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ה"ט יותר ארוך מן ה"ח וזה שקר
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר חולק א"ב המונח על נקודת ט'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי הקו אשר יעבור על שתי נקודות ה"ז אין יציאתו כמו יציאת ה"ח ולא יפול במקום אחר כי אם בנקודת א' כאשר תתמששנה שתי העגלות
+
|style="text-align:right;"|והיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב וב"ט שוים למרובע ההוה מן א"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה אנחנו נשים עגלת א"ג תמשש עגלת א"ב מחוץ על נקודת א'
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה מרכז עגלת א"ב ה' ומרכז עגלת א"ג ז'
+
=== Proposition 12 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי הקו אשר יעבור על ה"ז יעבור בנקודת א'
+
|style="text-align:right;"|יב המרובע ההוה מן הצלע אשר יהיה מיתר מן הזוית הנרחבת מן המשולשים הנרוחים יותר משני המרובעים ההוים משני צלעות המקיפות בזוית הנרוחת בכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו אשר יפול עליו העמוד באחד משני קוים המקיפים בזוית הנרוחת והקו אשר יגדילהו העמוד מחוץ ממה שילוה לזוית הנרוחת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה כן הנה נפול כמו קו ה"ח ט"ז
+
|style="text-align:right;"|המשל יהיה המשולש הנרחב הזוית א'ב'ג'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי א"ז וא"ה
+
|style="text-align:right;"|ותהיה ב'א'ג' ממנו נרחבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי א"ז וא"ה יותר ארוך מן ז"ט ח"ה הישר
+
|style="text-align:right;"|ונוציא קו א"ד הישר על יושר קו א"ג הישר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם א"ה הנה הוא כמו ה"ח
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ב' אל קו א"ד הישר עמוד ב"ד
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי המרובע ההוה מג"ב יותר גדול משני המרובעים ההוים משני קוי א"ב וא"ג ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג וא"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם א"ז הנה הוא כמו ז"ט
+
|style="text-align:right;"|מופת זה הנה מפני כי קו ד"ג הישר כבר חולק איך שקרה על נקודת ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ה"ח וז"ט שוים לשני קוי א"ז וא"ה
+
|style="text-align:right;"|יהיה המרובע ההוה מן ד"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן א"ד וא"ג וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו שני קוי א"ג וא"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר היו שני קוי א"ז וא"ה מחוברי' יותר ארוך מן אח"ז ושניהם יותר קטנים ממנו זה אי אפשר
+
|style="text-align:right;"|ונשים המרובע ההוה מן ב"ד משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה הקו אשר יגיע בין שתי נקודות ה"ז יעבור בנקודת א'
+
|style="text-align:right;"|הנה שני המרובעים ההווים משני קוי ג"ד וד"ב שוים למרובעים ההוים מקוי ב"ד וד"א וא"ג וכפל הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א"ג וא"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|אבל שני המרובעים ההווים משני קוי ב"ד וד"ג שוים למרובע ההוה מן ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 12 ===
+
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית ב'ד'ג' נצבת
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ושני המרובעים ההוים משני קוי ב"ד וא"ד שוים למרובע ההוה מן א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יב</span> <big>לא תמשש</big> עגולה עגולה כי אם במקום אחד כאשר תהיה אחת משתיהן תוך האחרת או חוץ ממנה
+
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית ב'ד'א' נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר תמששנה בשתי מקומות או יותר הנה תמשש עגולת ג"ד עגולת א"ב בשתי מקומות מבפנים על שתי נקודות ג"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן ב"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן א"ב וא"ג וכפל שטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ד וא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והיה מרכז עגולת א"ב נקודת ה'
+
|style="text-align:right;"|הנה יהיה המרובע ההוה מן ב"ג יותר גדול משני המרובעים ההוים משני קוי א"ב וא"ג ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד וא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומרכז עגולת ג"ד נקודת ז'
+
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן הצלע אשר יהיה מיתר הזוית הנרוחת וכו'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה הקו אשר יעבור על ה"ז יפול במקום אשר תתמששנה שתי העגולות
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא קו ה"ז ונוציאהו אל שתי נקודות ג"ד
+
=== Proposition 13 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מרכז עגולת א"ב ה'
+
|style="text-align:right;"|יג המרובע ההוה מן הצלע אשר יהיה מיתר הזוית החדה מן המשולשים החדים יותר קטן משני המרובעים ההוים משתי הצלעות המקיפות בזוית החדה ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו אשר יפול עליו העמוד משני הקוים המקיפים בזוית החדה והקו אשר יבדילהו העמוד ממה שילוה לזוית החדה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ה"ד כמו קו ה"ג
+
|style="text-align:right;"|המשל יהיה המשולש החד הזויות א'ב'ג'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וד"ה יותר ארוך הרבה מן ז"ד
+
|style="text-align:right;"|ותהיה זוית א'ב'ג ממנו חדה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מרכז עגולת ג"ד נקדת ז'
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת א' אל ב"ג עמוד א"ד
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי המרובע ההוה מקו א"ג יותר קטן משני המרובעים ההוים מב"ג וא"ב ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ב וב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"ד כמו קו ז"ג וכבר היה שהתבאר כי ג"ז יותר ארוך הרבה מן ז"ד וזה שקר
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי קו ג"ב הישר כבר חולק לשני חלקים איך שקרה על נקודת ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן לא תמשש עגולת ג"ד עגולת א"ב כי אם במקום אחד לבד
+
|style="text-align:right;"|יהיו שני המרובעים ההוים משני קוי ג"ב ב"ד שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי ג"ב וב"ד והמרובע ההוה מן ד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותמששנה מחוץ אם היה אפשר זה כמו עגולת ח"ט לעגולת א"ב בשתי מקומות על שתי נקודות א"ב הנה הקו אשר יצא מן א' אל ב' יפול בעגולת א"ב וחוץ מעגולת ח"ט זה שקר
+
|style="text-align:right;"|ונשים המרובע ההוה מן א"ד משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי שתי נקודות תפולנה על קשת עגולה יהיה הקו הישר אשר יצא מאחת משתיהן אל האחרת יפול בתוך העגולה
+
|style="text-align:right;"|הנה המרובעים ההוים מקוי ג"ב וב"ד וא"ד שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ב וב"ד ושני מרובעי א"ד ד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה לא תמשש עגולה עגולה כי אם במקום אחד אם מבפנים ואם מבחוץ
+
|style="text-align:right;"|ושני המרובעים ההוים משני קוי א"ד וד"ג שוים למרובע ההוה מן א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית א'ד'ג' נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 13 ===
+
|style="text-align:right;"|ושני המרובעים ההוים משני קוי ב"ד וא"ד שוים למרובע ההוה מן א"ב
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית א'ד'ב' נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יג</span> <big>כאשר</big> נפלו בעגולה מיתרים שוים הנה מרחקיהם מן המרכז שוים ואם היו מרחקיהם מן המרכז שוים הנה הם שוים
+
|style="text-align:right;"|הנה שני המרובעים ההוים משני קוי ג"ב וא"ב שוים לכפל אשר יקיפו בו ג"ב וב"ד ולמרובע ההוה מן א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> שהוא נפיל בעגולת א"ב שני מיתרים שוים והם ג"ד וה"ז
+
|style="text-align:right;"|הנה המרובע ההוה מן א"ג יותר קטן משני המרובעים ההוים משני קוי ג"ב וא"ב ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי ג"ב וב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי מרחק שניהם מן המרכז שוה
+
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי נשים המרכז נקודת ח'
+
=== Proposition 14 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ממנו אל שני מיתרי ג"ד ה"ז שני עמודים ח"ט וח"כ
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ה"ח וח"ד וח"ז וח"ג
+
|style="text-align:right;"|יד נרצה שנעשה מרובע שוה לתמונת ישרת הצלעות מונחת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה ג"ד כמו ה"ז
+
|style="text-align:right;"|המשל תהיה התמונה ישרת הצלעות המונחת תמונת ה' וראוי שנעשה מרובע שוה לתמונת ה' ישרת הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וג"ח כמו ה"ח
+
|style="text-align:right;"|ונעמיד שטח נכחי הצלעות נצב הזויות שוה לתמונת ישרת הצלעות והיא ב"ג ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ד"ג ג"ח כמו שני קוי ז"ה וח"ה
+
|style="text-align:right;"|המופת הנה אם שיהיה ב"ה שוה אל ה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותושבת ד"ח כמו תושבת ז"ח
+
|style="text-align:right;"|או שיהיה אחת משניהם יותר גדול מהאחר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית טג"ח כמו זוית כה"ח
+
|style="text-align:right;"|ואם היו שוים הנה כבר ידענו מה שרצינו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית גט"ח כמו זוית הכ"ח מפני כי שתיהן נצבות
+
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיו שוים הנה אחד משניהם יותר גדול מן האחר ויהיה היותר גדול קו ב"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות משולש גט"ח כמו שתי זוית משלש הכ"ח
+
|style="text-align:right;"|ונוציא קו ה"ז הישר על יושר קו ב"ה ונשים ה"ז שוה אל ה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושתי צלעות ג"ח ה"ח שוות
+
|style="text-align:right;"|ונחלק ב"ז בשני חצאים על נקודת ח'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שתי צלעות הנשארות כמו שתי צלעות הנשארות כל אחת כמו הנכחית לה
+
|style="text-align:right;"|ונחוג על מרכז ח' ובמרחק שני קוי ח"ב ח"ז חצי חצי עגולה ב'ט'ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והזוית הנשארת כמו הזוית הנשארת
+
|style="text-align:right;"|ונוציא ה"ט הישר על יושר קו ד"ה ונגיע ט"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ט"ח כמו כ"ח ושניהם שני העמודים
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי קו ב"ז הישר כבר נחלק בשני חלקים שוים על נקודת ח' ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מרחק ג"ד וה"ז מן המרכז שוה
+
|style="text-align:right;"|יהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו ב"ה וה"ז עם המרובע ההוה מן ה"ח שוה למרובע ההוה מן ח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואומר כי שניהם שוים
+
|style="text-align:right;"|וקו ח"ז שוה לקו ח"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי כבר הוצא מן המרכז קו ט"ח אל ג"ד וחתכו על זוית נצבת
+
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ה ה"ז עם המרובע ההוה מן ה"ח שוה למרובע ההוה מן ח"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והוא אם כן יחתכהו בשני חצאין
+
|style="text-align:right;"|והמרובע ההוה מן ח"ט שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ט"ה וה"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ג"ט כמו קו ט"ד
+
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית ט'ה'ח' נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וד"ג כפל ג"ט
+
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ה וה"ז עם המרובע ההוה מן ה"ח שוה לשני המרובעים ההוים מה"ח וט"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ולכן יהיה ז"ה כפל ה"כ
+
|style="text-align:right;"|ונפיל המרובע המשותף ההוה מן ה"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וג"ח כמו ה"ח
+
|style="text-align:right;"|וישאר השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ה וה"ז שוה למרובע ההוה מן קו ה"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מן ג"ח כמו שני המרובעים ההוים מג"ט ט"ח
+
|style="text-align:right;"|והשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ה וה"ז שוה לשטח ב"ד הנכחי הצלעות כי יקיפו בו שני קוי ב"ה וה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית גט"ח נצבת
+
|style="text-align:right;"|וז"ה שוה אל ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והמרובע ההוה מן ה"ח כמו שני המרובעים ההוים מן ה"כ וכ"ח
+
|style="text-align:right;"|הנה שטח ב"ד שוה למרובע ההוה מן ה"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית הכ"ח נצבת
+
|style="text-align:right;"|ושטח ב"ד שוה לתמונת ה' ישרת הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני המרובעים ההוים מן ט"ח ט"ג כמו שני המרובעים ההוים מן ח"כ וכ"ה
+
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מן ה"ט שוה לתמונת ה' ישרת הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והמרובע ההוה מן ט"ח כמו המרובע ההוה מן כ"ח
+
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשאר המרובע ההוה מן ג"ט כמו המרובע ההוה מן ה"כ
+
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר השני מספר אקלידיס החכם
 +
|}
 +
{|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ג"ט כמו קו ה"כ
+
 
 +
== Book Three ==
 +
|style="text-align:right;"|<big>המאמר השלישי</big>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וג"ד כפל ג"ט
+
|style="text-align:right;"|<big>ההקדמות</big>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וה"ז כפל כ"ה
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>העגולים השוים</big> הם אשר קטריהם שוים קצתם אל קצת או אשר יהיו הקוים אשר יצאו ממרכזיהם אל הקוים המקיפים בהם שוים קצתם אל קצת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכל שני קוים שוים כאשר הוכפלו היו שוים
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> והקו הישר יקרא לו ממשש לעגולה הוא אשר יפגוש לעגולה וכאשר הוצא לכל אחד משני הצדדים לא יחתכה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מיתר ג"ד כמו מיתר ה"ז
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ג</span> והעגולות אשר יקרא קצתם ממששות לקצת הם אשר יפגשו קצתם לקצת ולא יתחתכו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו ביאורו
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ד</span> ויאמר כי רוחק הקוים הישרים מן המרכז בעגולה שוה כאשר היו העמודים המוצאים עליהם מן המרכז שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 14 ===
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ה</span> והקו אשר יאמר כי מרחקו מהמרכז יותר גדול הוא אשר יהיה העמוד הנופל עליו יותר גדול
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|{{#annot:definition|2305,2551|ISnG}}A segment of a circle is that which is contained by a straight line that is called a chord and the segment of circumference that is called an arc.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יד</span> <big>כאשר</big> נפלו בעגולה מיתרים הנה היותר ארוך מהם קוטר העגולה והנשארים הנה היותר קרוב מהם אל המרכז יותר ארוך מן היותר רחוק
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ו</span> חתיכת העגולה היא אשר יקיף בה קו ישר יקרא המיתר והחלק מן הקו המקיף יקרא הקשת{{#annotend:ISnG}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי נפלו בעגולת א"ב שני מיתרים והם ז"ה וח"ט והקוטר ג"ד וז"ה יותר קרוב אל המרכז מן ח"ט
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> וזוית חתיכת העגולה היא אשר יקיפו בה קו ישר וקשת מן הקו המקיף בעגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי קוטר ג"ד הוא היותר ארוך מהם ושה"ז יותר ארוך מן ט"ח
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> והזוית אשר בחתיכת העגולה היא אשר יקיפו בה קוים ישרים יגיעו מנקודה תרשם איך שתפול על קשת החתיכה ובין שני קצוות הקו הישר אשר הוא תושבת החתיכה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי נשים המרכז נקדת כ'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> וכאשר יסבבו השני קוים הישרים המקיפים בזוית קשת מה הנה הזוית יקרה לה אשר על הקשת ההיא
 
|-
 
|-
−
|
+
|{{#annot:definition|2552,2553|s56d}}A sector of a circle is a shape that is contained by two straight lines containing an angle at the center of the circle, and the arc that is cut off from the circle by these two lines.
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ממנו שני עמודים אל שני מיתרי ה"ז וח"ט והם כ"ל וכ"מ
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י</span> וחתוך העגולה היא תמונה אשר יקיפו בה שני קוים ישרים יקיפו בזוית על מרכז העגולה וקשת יקיפוה אותם שני הקוים מן העגולה{{#annotend:s56d}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מיתר ז"ה יותר קרוב אל המרכז מן ח"ט
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יא</span> וחתיכות העגולות המתדמות הם אשר יקבילו זויות שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מ"כ יותר קרוב אל המרכז ארוך מן ל"כ
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יב</span> וכאשר היו זויותיהן אשר יקבילו שוות הנה הן מתדמות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונבדיל מן כ"מ כמו ל"כ והוא כ"נ
+
=== Proposition 1 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|We wish to explain how to find the center of a given circle.
 +
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>א</span> נרצה</big> לבאר איך נמצא מרכז עגולה מונחת
 +
|-
 +
|Example: <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math> is the given circle and we wish to find its center.
 +
|style="text-align:right;"|תהיה העגולה המונחת א"ב ונרצה למצא מרכזה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונקוה על נ' קו נכחי לקו ט"ח והוא ס"ע
+
*We draw chord GD in it at random.
 +
|style="text-align:right;"|הנה {{#annot:term|2549,819|qfrQ}}נקוה{{#annotend:qfrQ}} בה {{#annot:term|2558,1118|iAOK}}מיתר{{#annotend:iAOK}} איך שיפול והוא ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ה"ז וס"ע מרחק שניהם מן המרכז שוה
+
*<span style=color:red>I.10:</span> We bisect it at H.
 +
|style="text-align:right;"|ונחלקהו בשני חצאים על ה' <span style=color:red>מי' מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם שוים אם כן קו ה"ז כמו ס"ע
+
*<span style=color:red>I.11:</span> We draw line HA from point H at right angle to line GD.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ה' קו ה"א על זוית נצבת מקו ג"ד <span style=color:red>מי"א מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא קוים כ"ס וכ"ח וכ"ע וכ"ט
+
*We draw it through to B.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציאהו אל ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה ס"כ וכ"ע מחוברים יותר ארוך מן ס"ע
+
*We bisect AB at C.
 +
|style="text-align:right;"|ונחלק א"ב על ח' בשני חצאים
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: C is the center of the circle and otherwise is impossible.
−
|style="text-align:right;"|וס"כ כמו כ"ג
+
|style="text-align:right;"|אומר כי ח' מרכז העגולה ואי אפשר זולתו
 
|-
 
|-
−
|
+
|If possible, let T be the center.
−
|style="text-align:right;"|וכ"ע כמו כ"ד
+
|style="text-align:right;"|כי אלו היה אפשר זה הנה יהיה זה המרכז נקודת ט'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ג"ד יותר ארוך מן ס"ע
+
*We draw TG, TH, and TD.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא ט"ג וט"ה וט"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וס"ע כמו ה"ז
+
:*<math>\scriptstyle GH=DH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו ג"ה כמו קו ה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ג"ד יותר ארוך מן ה"ז
+
:*HT is common.
 +
|style="text-align:right;"|ונשים ה"ט משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וס"ב כמו כ"ח
+
*<span style=color:red>C.N.:</span> <math>\scriptstyle GH+HT=DH+HT</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו ג"ה וה"ט כמו שני קוי ד"ה וה"ט <span style=color:red>מפתיחת א'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וע"כ כמו כ"ט
+
*<span style=color:red>I.8:</span> <math>\scriptstyle GT=TD</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותושבת ג"ט כמו תושבת ט"ד <span style=color:red>מח' מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ס"כ וכ"ע כמו שני קוי כ"ח וכ"ט
+
*<span style=color:red>I.13:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle GHT=\measuredangle DHT=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה זוית גה"ט כמו זוית דה"ט הנה שתיהם אם כן נצבות <span style=color:red>מי"ג מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית עכ"ס יותר גדולה מזוית טכ"ח
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle DHA=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית דה"א גם כן נצבת
 
|-
 
|-
−
|
+
|It has been proven that all right angles are equal.
−
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ס"ע יותר ארוכה מתושבת ט"ח
+
|style="text-align:right;"|וכבר התאמת כי כל הזויות הנצבות שוות
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\longrightarrow\measuredangle DHT=\measuredangle DHA</math>
−
|style="text-align:right;"|אבל ס"ע כמו ה"ז
+
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות דה"ט דה"א שוות
 
|-
 
|-
−
|
+
|The greater equals the less - it is impossible.
−
|style="text-align:right;"|אם כן ה"ז יותר ארוך מן ט"ח
+
|style="text-align:right;"|הגדולה לקטנה זה אי אפשר
 
|-
 
|-
−
|
+
|Therefore, point T is not the center of the circle, neither is any other point except point C.
−
|style="text-align:right;"|הנה המיתרים אשר נפלו בעגולת א"ב היותר ארוך מהם הקוטר והוא ג"ד וה"ז היותר קרוב אל המרכז יותר ארוך מן ט"ח היותר רחוק
+
|style="text-align:right;"|אם כן אין ט' מרכז העגולה ולא זולתה מן הנקודות בלתי נקודת ח'
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 15 ===
+
 
 +
=== Proposition 2 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|When you mark two points on the circumference of a circle and draw a straight line from one of them to the other, it falls within the circle.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>טו</span> <big>כאשר הוצא</big> מקצה הקטר העגולה קו ישר על זוית נצבת הנה יוצא מן העגלה ולא יפול בינו ובין הקו מן המקיף קו אחר ישר ותהיה זוית חצי העגולה יותר גדולה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים ותהיה זוית אשר יקיף בה הקו ההוא והקו המקיף היותר קטנה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ב</span> כאשר</big> תרשום על מקיף העגולה שתי נקודות והוצא מאחת משתיהן קו ישר אל האחרת הנה יפול תוך העגולה
 
|-
 
|-
−
|
+
|Example: we mark on <math>\scriptstyle\bigcirc_{AB}</math> two points G and D
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> כי עגולת א"ב יצא מקצה קוטרה והוא קו ג"ד קו ד"ז על זוית נצבת מנקודת ד'
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> אנחנו נרשום על עגולת א"ב שתי נקודות ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי הוא יפול חוץ מן העגולה אי אפשר זולת זה
+
*We draw the straight line GD.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא ג"ד הישר
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: it falls within the circle and otherwise is impossible.
−
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יפול בתוכה כמו קו ד"ז קו ד"א
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי הוא כבר נפל תוך העגולה אי אפשר זולתו
 
|-
 
|-
−
|
+
|If possible, let it fall outside, as line GHD.
−
|style="text-align:right;"|ויהיה המרכז ה'
+
|style="text-align:right;"|שאם יהיה אפשר הנה יפול חוץ ממנה כמו קו גה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא א"ה והוא כמו ה"ד
+
*The center of the circle is Z.
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה מרכז העגולה ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית הא"ד כמו זוית הד"א
+
*We draw ZG and ZD.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא ז"ג וז"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית הד"א נצבת אם כן זוית הא"ד גם כן נצבת
+
*We draw line ZB from Z to arch GD at random
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מז' אל קשת ג"ד קו ז"ב איך שיפול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן משולש הא"ד נצב שתי הזויות זה שקר
+
*Then, we draw it through to H.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציאהו אל ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי הקו אשר יצא מן ד' והוא קצה ז"ד על זוית נצבת יפול חוץ מן העגולה ויפול כמו ד"ז
+
:*<span style=color:red>I.16:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle BHD>\measuredangle ZGH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה זוית בה"ד יותר גדולה מזוית זג"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי לא יכנס בינו ובין קשת גא"ד קו אחר ישר
+
::Since it is outside of <math>\scriptstyle\triangle_{ZGH}</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני שהיא חוץ ממשולש זג"ה <span style=color:red>מי"ו מ'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יפול בין שניהם כמו קו ד"ח
+
:*<span style=color:red>I.5:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle ZGH=\measuredangle ZDH</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל זוית זג"ה כמו זד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מן ה' עמוד אל קו ד"ח והוא ה"ט
+
::Since <math>\scriptstyle ZG=ZD</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי צלע ז"ג כמו צלע ז"ד <span style=color:red>מה' מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית הט"ד נצבת
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle ZHD>\measuredangle ZDH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה זוית זה"ד יותר גדולה מזוית זד"ה
 +
|-
 +
|<span style=color:red>I.19:</span> The side that is opposite to the greatest angle in every triangle is the greatest.
 +
|style="text-align:right;"|והזוית היותר גדולה מכל משולש יהיה מיתרה הצלע היותר ארוך <span style=color:red>מי"ט מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית הד"ט קטנה מנצבת
+
*<math>\scriptstyle ZD>ZH</math>
 +
|style="text-align:right;"|יהיה ז"ד יותר ארוך מצלע ז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית הט"ד יותר גדולה מזוית הד"ט
+
*<math>\scriptstyle ZD=ZB</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל ז"ד כמו ז"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והזוית היותר גדולה מכל משולש יהיה מיתרה הצלע היותר ארוך
+
:<math>\scriptstyle ZB>ZH</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ב יותר ארוך מן ז"ה
 +
|-
 +
|The smaller is greater than the greater = impossible error.
 +
|style="text-align:right;"|היותר קצר יותר ארוך מן היותר גדול זה שקר אי אפשר
 +
|-
 +
|It has been clarified that the line that is drawn from G to D does not fall outside the circle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי הקו אשר יצא מג' אל ד' לא יפול חוץ מן העגולה
 +
|-
 +
|It has also been clarified that neither does it fall on its circumference.
 +
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר שהוא לא יפול אל הקו המקיף בה
 +
|-
 +
|Therefore, it falls within as GD.
 +
|style="text-align:right;"|הנה הוא אם כן יפול בתוכה כמו ג"ד
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן צלע ה"ד יותר ארוך מן ה"ט
+
 
 +
=== Proposition 3 ===
 +
 
 +
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|When a chord in a circle does not fall on the center and a straight line that is drawn from the center bisects the chord, then it also cuts it at right angle; and if it cuts it at right angle, then it also bisects it.
−
|style="text-align:right;"|וה"ד כמו ה"א
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ג</span> כאשר</big> נפל מיתר בעגולה על זולת המרכז ויצא מן המרכז קו וחתך המיתר בשני חצאים הנה הוא יחתכהו על זוית נצבת ואם חתך אותו על זוית נצבת הנה יחתכהו בשני חצאים
 
|-
 
|-
−
|
+
|Example: chord GD in <math>\scriptstyle\bigcirc_{AB}</math> does not pas through the center.
−
|style="text-align:right;"|אם כן ה"א יותר ארוך מן ה"ט זה שקר
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי נפל בעגולת א"ב {{#annot:term|2558,1118|NCXo}}מיתר{{#annotend:NCXo}} ג"ד על זולת המרכז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי לא יפול בין קשת גא"ד ובין קו ד"ז קו אחר ישר
+
*The diameter is AB.
 +
|style="text-align:right;"|והקטר א"ב
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: if AB bisects GD, it cuts it at right angles; and if it cuts it at right angles, it bisects it.
−
|style="text-align:right;"|<big>ואומר</big> כי הזוית הנכנסת אשר יקיפו בה הקוטר והקו המקיף אשר עליה בד"ה יותר גדולה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים
+
|style="text-align:right;"|אומר כי א"ב אם חתך ג"ד בשני חצאים הנה הוא יחתכהו על זוית נצבת ואם חתכו על זוית נצבת הנה הוא יחתכהו בשני חצאים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושזוית בד"ז החיצונה יותר קטנה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים
+
*Let it first bisect it at point H.
 +
|style="text-align:right;"|ויחתכהו תחלה בשני חצאים על נקודת ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|כי אלו היתה זוית חדה ישרת שני הקוים יותר גדולה מן הפנימית ויותר קטנה מן החיצונה אשר זכרנו בשם היה אפשר שיפול בין קו ד"ז ובין קשת גא"ד קו ישר אבל לא יפול
+
:Supposition: it cuts it at right angles.
 +
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי יחתכהו על זוית נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית חצי העגולה אשר עליה גד"ב יותר גדולה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים ואשר עליה בד"ז יותר קטנה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים
+
:Proof: we set the center Z.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כאשר נשים המרכז ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
+
:*We draw ZG and ZD.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא ז"ג וז"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 16 ===
+
::*<math>\scriptstyle GH=HD</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ג"ה כמו ה"ד
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יו</span> <big>נרצה שנוציא</big> מנקודה ידועה קו ימשש העגולה
+
::*HZ is common.
 +
|style="text-align:right;"|ונשים ה"ז משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים הנקודה הידועה נקודת א' והעגולה עגולת ב"ג
+
:*<math>\scriptstyle GH+HZ=HD+HZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קוי ג"ה וה"ז כמו ד"ה וה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה שנוציא מן א' קו ימשש עגולת ב"ג
+
:*<span style=color:red>I.8:</span> <math>\scriptstyle GZ=ZD</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותושבת ג"ז כמו תושבת ז"ד <span style=color:red>מח' מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נוציא ממרכז העגולה והוא ד' קו ד"א
+
::<math>\scriptstyle\measuredangle GHZ=\measuredangle DHZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה זוית גה"ז כמו זוית דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונקוה על מרכז ד' ובמרחק א"ד עגולת א"ח
+
:*<span style=color:red>I.13:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle GHZ=\measuredangle DHZ=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה שתיהן אם כן נצבות <span style=color:red>מי"ג מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מקו א"ד מנקודת ז' ממנו קו על זוית נצבת והוא ז"ח
+
:Therefore, AB bisects DG at right angles.
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר חתך א"ב ג"ד בשני חצאים על זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ד"ח וט"א
+
*Likewise, let AB cut GD at right angles.
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה כאשר יחתוך א"ב לג"ד על זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ד"ח כמו קו א"ד
+
:Supposition: bisects it.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי הוא יחתכהו בשני חצאים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וד"ז כמו ד"ט
+
:Proof: <math>\scriptstyle GZ=ZD</math>
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי ג"ז כמו ז"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי א"ד וד"ט כמו שני קוי ח"ד וד"ז
+
:*<span style=color:red>I.5:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle ZGD=\measuredangle ZDG</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זג"ד כמו זוית זד"ג <span style=color:red>מה' מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והזויות אשר יקיפו בו שני קוי ח"ד וד"ז ושני קוי א"ד וד"ט אחת
+
:*But, <math>\scriptstyle\measuredangle GHZ=\measuredangle DHZ=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל זוית גה"ז וזוית דה"ז נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני שהם יקיפו זוית אחת והיא ד'
+
::*<math>\scriptstyle\measuredangle ZGH+\measuredangle GHZ</math> of <math>\scriptstyle\triangle_{ZGH}</math> = <math>\scriptstyle\measuredangle ZDH+\measuredangle ZHD</math> of <math>\scriptstyle\triangle_{ZDH}</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות זג"ה וגה"ז ממשלש זג"ה כמו שתי זויות זד"ה וזה"ד ממשולש זד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה תושבת ז"ח כמו תושבת א"ט
+
::*<math>\scriptstyle GZ=ZD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וצלע ג"ז כמו צלע ז"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומשלש זד"ח כמו משלש טד"א
+
::*Line HZ is common to both triangles.
 +
|style="text-align:right;"|וקו ה"ז משותף לשני המשולשים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והזויות הנשארות כמו הזויות הנשארות אשר יהיו מיתריהם הצלעות השוות
+
:*<span style=color:red>I.26:</span> <math>\scriptstyle GH=DH</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שתי הצלעות הנשארות והם ג"ה וה"ד שוות <span style=color:red>מכ"ו מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית דט"א כמו זוית דז"ח הנה שתיהם יחד נצבות
+
:Therefore, AB bisects DG.
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר חתך א"ב לג"ד בשני חצאים
 +
|-
 +
|Its explanation is completed.
 +
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וד"ט קו הקוטר
+
 
−
|-
+
=== Proposition 4 ===
 +
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והקו אשר יצא מקצה הקוטר על זוית נצבת ימשש העגולה
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|Every two chords in a circle that cut one another and do not pass through the center, do not bisect one another.
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי קו א"ט ימשש עגולת ב"ג
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ד</span> כל שני</big> מיתרים בעגולה יחתוך אחד משניהם האחר ולא יעברו על המרכז הנה לא יחתוך אחד משניהם האחר בשני חצאי'
 
|-
 
|-
−
|
+
|Example: the two chords DG and HZ in <math>\scriptstyle\bigcirc_{AB}</math>, cut one another at C, do not pass through the center.
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה כי שני מיתרי ג"ד וה"ז בעגולת א"ב וכבר חתך אחד משניהם האחר על ח' ולא יעברו על המרכז
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: neither of the two bisect the other.
−
=== Proposition 17 ===
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומ' כי הוא לא יחתוך כל אחד משניהם האחר בשני חצאים
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יז</span> <big>כל קו ימשש</big> העגולה ויצא מן המקום אשר ימששה בו קו אל המרכז הנה הקו יהיה עמוד על הקו הממשש לעגולה
+
*The center is T.
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה המרכז ט'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי קו ג"ד ימשש עגולת א"ב על נקודת ב' והמרכז ה' ונוציא ב"ה
+
*We draw TC.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא ט"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר שהוא עמוד על ג"ד אי אפשר זולתו
+
*A line is drawn from the center to C and bisects GD.
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר יצא מן המרכז קו אל ח' וחתך ג"ד בשני חצאים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יצא מן ה' עמוד אל קו ג"ד זולת ב"ה והוא ה"ז
+
*<span style=color:red>III.3:</span> it cuts it at right angles.
 +
|style="text-align:right;"|הנה הוא יחתכהו על זוית נצבת <span style=color:red>מג' מזה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית הז"ב אם כן נצבת
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle DCT=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית דח"ט נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית הב"ז חדה
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle ZCT=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית זח"ט גם כן נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית הב"ז יותר גדולה מזוית הב"ז
+
::Since CT bisects ZH.
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי ח"ט כבר חתך ז"ה בשני חצאי'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והזוית היותר גדולה מכל משלש מיתרה הצלע היותר ארוך
+
*<math>\scriptstyle\longrightarrow\measuredangle DCT=\measuredangle ZCT</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה זוית דח"ט כמו זוית זח"ט
 
|-
 
|-
−
|
+
|The smaller is as the greater = error.
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ב"ה יותר ארוך מן ה"ז וה"ב כמו ה"א אם כן ה"א יותר ארוך מן ה"ז וזה שקר
+
|style="text-align:right;"|הקטן כמו הגדול זה שקר
 
|-
 
|-
−
|
+
|It has been clarified that neither of the two chords GD and HZ bisect the other.
−
|style="text-align:right;"|אם כן אי אפשר שיהיה ה"ז עמוד על ג"ד ולא זולתו מן הקוים
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי שני מיתרי ג"ד וה"ז לא יחתוך כל אחד משניהם האחר בשני חצאים
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
 
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 18 ===
+
 
 +
=== Proposition 5 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|For every two circles that cut one another, their two centers are not the same.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יח</span> <big>כאשר ימשש</big> קו ישר עגולה ויצא מן המקום אשר ימששנה קו על זוית נצבת לפנים מן העגולה הנה יהיה עליו המרכז
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ה</span> כל שתי</big> עגולות תתחתכנה הנה אין שני מרכזיהם אחד
 
|-
 
|-
−
|
+
|Example: the two circles <math>\scriptstyle\bigcirc_{AB}</math> and <math>\scriptstyle\bigcirc_{GD}</math> cut one another at the two points A and G.
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי קו ג"ד ימשש עגולת א"ב על ב' ויצא מנקודת ב' קו א"ב על זוית נצבת
+
|style="text-align:right;"|<big>דמיונו</big> כי שתי עגולות א"ב ג"ד תתחתכנה על שתי נקודות א"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: their centers are not the same.
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי המרכז יפול על קו א"ב אי אפשר זולתו
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי מרכזיהם אינם אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם יהיה אפשר נאמר שיפול על קו ב"ה אם כן זוית הב"ד נצבת
+
*If possible, let their center be H.
 +
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יהיה מרכזיהם ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית דב"א נצבת
+
*We draw line AH from H to point A.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מן ה' קו א"ה אל נקודת א'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושתיהם נצבות זה שקר
+
:It is clear that it ends at the circumference of both circles together.
 +
|style="text-align:right;"|הנה מן המבואר כי הוא כבר הגיע תכליתו אל מקיף שתי העגולות יחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן אין המרכז על ב"ה ולא בזולת קו א"ב
+
*We draw line HD to arch ADG at random.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא קו ה"ד אל קשת אד"ג איך שיפול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מרכז העגולה על א"ב
+
:*H is the center of <math>\scriptstyle\bigcirc_{AB}</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה נקודת ה' מרכז עגולת א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
+
:*<span style=color:red>def. circle:</span> <math>\scriptstyle AH=HZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ה כמו ה"ז <span style=color:red>מפתיחת א'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 19 ===
+
:*H is the center of <math>\scriptstyle\bigcirc_{ADG}</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מפני כי נקודת ה' מרכז עגלת אד"ג
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יט</span> <big>הזוית</big> אשר תהיה על מרכז העגולה כמו שני פעמים מאשר תהיה על הקו המקיף כאשר תהיינה תושבות שתיהם קשת אחת
+
:*<span style=color:red>def. circle:</span> <math>\scriptstyle AH=HD</math>
 +
|style="text-align:right;"|יהיה קו א"ה שוה לקו ה"ד <span style=color:red>מפתיחת א'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי על מרכז עגולת בא"ג זוית בד"ג ועל הקו המקיף זוית בא"ג ותושבת שתיהם יחד קשת ב"ג
+
:It is clear that <math>\scriptstyle AH=HZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי קו א"ה שוה לקו ה"ז
 +
|-
 +
|Those that are equal to the same thing are equal to each other.
 +
|style="text-align:right;"|והשוים לדבר אחד הנה הם שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי זוית בד"ג כפל זוית בא"ג
+
*<math>\scriptstyle\longrightarrow HD=HZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו ה"ד אם כן שוה לקו ה"ז
 +
|-
 +
|The greater is as the smaller = impossible error.
 +
|style="text-align:right;"|הגדול כמו הקטן זה שקר בלתי אפשר
 +
|-
 +
|Therefore, the center of the two circles is not the same.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין מרכז שתי העגולות אחד
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי נוציא קו א"ד ונוציאהו אל ה'
+
 
 +
=== Proposition 6 ===
 +
 
 +
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|For every two circles that touch one another, the centers of both are not the same.
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי א"ד וד"ג שוים
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ו</span> כל שתי</big> עגולות תתמששנה הנה אין מרכזי שתיהן אחד
 
|-
 
|-
−
|
+
|Example: the two circles <math>\scriptstyle\bigcirc_{AB}</math> and <math>\scriptstyle\bigcirc_{AG}</math> touch one another at A.
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות דא"ג ודג"א שוות
+
|style="text-align:right;"|<big>דמיונו</big> כי שתי עגולות א"ב וא"ג תתמששנה על א'
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: the centers of both are not the same and this is impossible.
−
|style="text-align:right;"|וזוית הד"ג כפל זוית הא"ג
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי מרכזי שניהם אינו אחד ואי אפשר זה
 
|-
 
|-
−
|
+
|If possible, let the center of both be one and it is point D.
−
|style="text-align:right;"|ולכן זוית בד"ה כפל זוית בא"ד
+
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יהיה מרכז שניהם אחד והוא נקדת ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל זוית בד"ג כפל זוית בא"ג
+
*We draw AD.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
*We draw line DB from D to <math>\scriptstyle\bigcirc_{AB}</math> at random.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא רק ד' קו אל עגולת א"ב איך שיפול והוא ד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 20 ===
+
*We draw line DG to <math>\scriptstyle\bigcirc_{AG}</math> at random.
−
 
+
|style="text-align:right;"|ו{{#annot:to draw a line|1843,819|ztOj}}נעביר קו{{#annotend:ztOj}} אל עגולת א"ג איך שיפול והוא ד"ג
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ</span> <big>כאשר תהיה</big>בחתיכה אחת מעגלה שתי זויות הנה שתיהן שוות
+
*D is the center of <math>\scriptstyle\bigcirc_{AB}</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה נקודת ד' מרכז עגולת א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי בעגלת אב"ג חתיכת ג"א ה"ד בה שתי זויות גה"ד וגא"ד
+
:*<span style=color:red>def. circle:</span> <math>\scriptstyle AD=DB</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ד כמו ד"ב <span style=color:red>מפתיחת א'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר שהן שוות
+
*D is the center of <math>\scriptstyle\bigcirc_{AG}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונקודת ד' מרכז עגולת א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> הנה נשים המרכז ז'
+
:*<span style=color:red>def. circle:</span> <math>\scriptstyle AD=DG</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ד כמו קו ד"ג <span style=color:red>מפתיחת א'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ג"ז ז"ד
+
:<math>\scriptstyle AD=DB</math>
 +
|style="text-align:right;"|וא"ד כבר היה כמו ד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית גז"ד על המרכז וזוית גה"ד על הקו המקיף
+
*<math>\scriptstyle\longrightarrow BD=DG</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה ב"ד כמו ד"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|The greater is as the smaller = error.
−
|style="text-align:right;"|וזוית גז"ד כפל זוית גה"ד ולכן גם כן יהיה כפל זוית גא"ד
+
|style="text-align:right;"|הגדול כמו הקטן זה שקר
 
|-
 
|-
−
|
+
|It has been clarified that for every two circles that touch one another, the centers of both are not the same.
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גה"ד כמו זוית גא"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי כל שתי עגולות תתמששנה הנה אין מרכזיהם אחד
 
|-
 
|-
−
|
+
|Its explanation is completed.
 
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 21 ===
+
 
 +
=== Proposition 7 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|For every point in a circle that is not the center, from which lines are drawn to the circumference: the longest of which passes through the center; the shortest is the complement of the diameter from the point to the end of the diameter; the nearer to the line through the center is longer than those that are more remote from it; and only two lines on each side of the shortest line are equal.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כא</span> <big>כל עגולה</big> תפול בה תמונה בעלת ארבע צלעות הנה כל שתי זויות מתנגדות מזויותיה הנה שתיהן שוות לשתי זויות נצבות
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> <big>כל נקדה</big> בעגולה על זולת המרכז יצאו ממנה קוים אל הקו המקיף הנה היותר ארוך מהם אשר יעבור על המרכז והיותר קצר מהם שלימות הקוטר מבין הנקדה וקצה הקטר ומה שקרב מן הקו אשר יעבור על המרכז הנה הוא יותר ארוך ממה שרחק ממנו ושני קוים לבד משני צדדי הקו היותר קצר שוים
 
|-
 
|-
−
|
+
|Example: from point H that is not the center on the diameter of <math>\scriptstyle\bigcirc_{AB}</math> lines are drawn to the circumference, which are: HG, HK, HB, HZ, HC, HA, HD
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי בעגולת אב"ג תמונה בעלת ארבע צלעות והיא תמונת א"ב ג"ד
+
|style="text-align:right;"|<big>דמיונו</big> כי יצאו מנקודת ה' מן קטר עגולת א"ב והיא על זולת המרכז קוים אל הקו המקיף והם ה"ג ה"כ ה"ב ה"ז ה"ח וה"א וה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי כל שתי זויות מתנגדות מזויותיה שוות לשתי נצבות
+
*HG passes through the center
 +
|style="text-align:right;"|וה"ג הוא הקו אשר ילך במרכז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נוציא א"ג וב"ד
+
*HD the complement of the diameter
 +
|style="text-align:right;"|וה"ד שלמות הקוטר
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: HG is the longest and HD is the shortest, which is the complement of the diameter.
−
|style="text-align:right;"|וכל שתי זויות בחתיכה אחת הנה שתיהן שוות
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי ה"ג הוא היותר ארוך והיותר קצר מהם ה"ד והוא שלמות הקטר
 
|-
 
|-
−
|
+
|As for the rest of the lines:
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית בא"ג כמו זוית בד"ג
+
|style="text-align:right;"|ואולם הקוים הנשארים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית אד"ב גם כן כמו זוית אג"ב
+
*<math>\scriptstyle HZ>HC</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה ה"ז יותר ארוך מן ה"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל זוית אד"ג כמו שתי זויות אג"ב וגא"ב
+
*<math>\scriptstyle HC>AH</math>
 +
|style="text-align:right;"|וה"ח יותר ארוך מן א"ה
 +
|-
 +
|And only two lines on each side of the shortest line are equal.
 +
|style="text-align:right;"|ושני קוים לבד משני צדדי הקו היותר קצר שוים
 +
|-
 +
|Proof:
 +
*The center is T
 +
|style="text-align:right;"|<big>ומופתו</big> שנשים המרכז ט'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים זוית גב"א משותפת
+
*We draw TZ, TC and AT
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא ט"ז וט"ח וא"ט
 +
|-
 +
|[The sum of] any two sides of a triangle is greater than the remaining side.
 +
|style="text-align:right;"|וכל שתי צלעות ממשולש שניהם יותר ארוכים מן הצלע הנשאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בא"ג ואג"ב וגב"א כמו שתי זויות אב"ג ואד"ג
+
*<math>\scriptstyle ZT+TH>HZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה ז"ט וט"ה יותר ארוכים מן ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזויות גב"א ובא"ג ובג"א יחד כמו שתי זויות נצבות
+
:*<math>\scriptstyle ZT=TG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וז"ט כמו ט"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שתי זויות אד"ג ואב"ג המתנגדות כמו שתי זויות נצבות
+
*<math>\scriptstyle GH>HZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה ג"ה יותר ארוך מן ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ובכמו הצורה הזאת תדע כי שתי זויות בא"ד ודג"ב שוות לשתי נצבות
+
:*<math>\scriptstyle ZT=TC</math>
 +
|style="text-align:right;"|וז"ט כמו ט"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
+
:*<math>\scriptstyle TA=TC</math>
 +
|style="text-align:right;"|וט"א כמו ט"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 22 ===
+
::*TH is common
−
 
+
|style="text-align:right;"|וט"ה משותף
 +
|-
 
|
 
|
 +
:*<math>\scriptstyle ZT+TH=CT+TH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ז"ט וט"ה כמו שני קוי ח"ט וט"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כב</span> <big>אי אפשר</big> שיעמודו על קו אחד ישר שתי חתיכות מתדמות מחתיכות העגולות בצד אחד ואחת משתיהן יותר גדולה מן האחרת
+
::*<math>\scriptstyle\measuredangle ZTH>\measuredangle CTH</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית זט"ה יותר גדולה מזוית חט"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר נאמר שיקום על קו א"ב הישר שתי חתיכות דומות מחתיכות העגולות בצד אחד והאחת יותר גדולה מן האחרת והם שתי חתיכות אה"ב ואז"ב והיותר גדולה משתיהן חתיכת אז"ב
+
:*<math>\scriptstyle ZH>CH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה תושבת ז"ה יותר ארוכה מתושבת ח"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרשום על קשת אה"ב נקדת ה'
+
:*Likewise it is clear that <math>\scriptstyle CH>AH</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן גם כן יתבאר כי ח"ה יותר ארוך מן א"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא קו א"ה ונוציאהו עד ז'
+
:*<math>\scriptstyle AH+HT>AH</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א"ה וה"ט מקובצים יותר ארוך מן א"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי ה"ב וז"ב
+
:*<math>\scriptstyle AH+HT>AT</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א"ה וה"ט מקובצים יותר ארוך מן א"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה חתיכת אה"ב דומה לחתיכת אז"ב
+
::*<math>\scriptstyle AT=TD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וא"ט כמו ט"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אה"ב כמו זוית אז"ב היוצאת המשלש כמו הפנימית זה שקר
+
:*<math>\scriptstyle AH+HT>TH+HD</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה א"ה וה"ט מחוברים יותר ארוך מן ט"ה וה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן לא יעמדו על קו אחד ישר שתי חתיכות דומות מחתיכות העגולים ואחת משתיהם יותר גדולה מן האחרת
+
::*The common TH is subtracted
 +
|style="text-align:right;"|ויפול מהם ט"ה המשותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
+
:*<math>\scriptstyle AH>HD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וישאר א"ה יותר ארוך מן ה"ד
 +
|-
 +
|The longest line is HG, which passes through the center.
 +
|style="text-align:right;"|הנה היותר ארוך מן הקוים ה"ג והוא אשר עבר על המרכז
 +
|-
 +
|The shortest is HD, which is the complement of the diameter.
 +
|style="text-align:right;"|והיותר קצר מהם ה"ד אשר הוא שלמות הקטר
 +
|-
 +
|As for the rest: the nearer to line HG is longer than the more remote from it.
 +
|style="text-align:right;"|והנשארים מה שקרב מהם מקו ה"ג יותר ארוך ממה שרחק
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 23 ===
+
:*<math>\scriptstyle HZ>HC</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ה"ז יותר ארוך מן ה"ח
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כג</span> <big>כאשר יהיו</big> חתיכות העגולות דומות והיו על קוים ישרים שוים הנה החתיכות גם כן שוות
+
:*<math>\scriptstyle HC>AH</math>
 +
|style="text-align:right;"|וה"ח יותר ארוך מן א"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי שתי חתיכות אה"ב וגז"ד דומות ועל שני קוים ישרים שוים והם א"ב ג"ד
+
|style="text-align:right;"|<big>ואומר</big> כי שני קוים לבד יהיו משני צדדי הקצר שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי שתי החתיכות שוות
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נעמיד על נקודת ט' מקו ט"ה כמו זוית אט"ה והיא זוית הט"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי אנחנו כאשר הרכבנו חתיכת אה"ב על חתיכת גז"ד ותושבת א"ב על תושבת ג"ד נפלה קשת אה"ב על קשת גז"ד
+
|style="text-align:right;"|ונוציא ה"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם לא תפול ונפל כמו גה"ד והיה תושבת א"ב כבר נפל על תושבת ג"ד
+
:*<math>\scriptstyle AT=TB</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ט כמו ט"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר עמדו על קו ג"ד הישר שתי חתיכות דומות מחתיכות העגולות בצד אחד ואחת משתיהן יותר גדולה מן האחרת והם גז"ד וגה"ד זה שקר אי אפשר
+
|style="text-align:right;"|ונשים ט"ה משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן חתיכת אה"ב תפול על חתיכת גז"ד הנה היא אם כן שוה אליה
+
:*<math>\scriptstyle AT+TH=BT+TH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ט וט"ה כמו שני קוי ב"ט וט"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו ביאורו
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle ATH=\measuredangle HTB</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית אט"ה כמו זוית הט"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 24 ===
+
:*<math>\scriptstyle HB=AH</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ה"ב כמו תושבת א"ה
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|ואומר גם כן כי אי אפשר שיצא מן ה' אל הקו המקיף כמו א"ה כי אם ה"ב
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם יהיה אפשר זה יהיה ה"כ ויצא ט"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כד</span> <big>נרצה שנשלים</big> חתיכה ידועה מהעגולה
+
:*<math>\scriptstyle AT=TB</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ט כמו ט"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותהיה חתיכת העגולה הידועה אג"ב
+
|style="text-align:right;"|ונשים ה"ט משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כאשר רצינו להשלים עגולתה הנה נגיע א"ב ונחלקהו בשני חצאים על ד'
+
:*<math>\scriptstyle AT+TH=BT+TH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ט וט"ה כמו שני קוי ב"ט וט"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ד' עמוד על א"ב והוא ד"ג
+
:*<math>\scriptstyle AH=HB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותושבת א"ה כמו תושבת ה"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע א"ג
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle ATH=\measuredangle KTH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה זוית אט"ה כמו זוית כט"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעמיד על קו א"ג הישר על נקודת א' ממנו זוית שוה לזוית אג"ד ישרת שתי הצלעות והיא זוית גא"ה
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle ATH=\measuredangle BTH</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל זוית אט"ה כמו זוית בט"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית דג"א יותר קטנה מנצבת
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle KTH=\measuredangle BTH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה זוית כט"ה כמו זוית בט"ה
 +
|-
 +
|The greater equals the smaller = error.
 +
|style="text-align:right;"|הגדולה שוה לקטנה זה שקר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות דג"א וגא"ה יותר קטנות משתי נצבות וירחקו אל לא תכלית יפגשו
+
|style="text-align:right;"|הנה אי אפשר שיצא מן ה' קו אחר כמו אחד משני קוי א"ה ה"ב זולתם אשר הם מזולתם היותר קצר מהם לבד שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונאמר שיפגשו שני קוי א"ה ג"ד על נקדת ה'
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע קו ב"ה
+
 
 +
=== Proposition 8 ===
 +
 
 +
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|For every point outside a circle, from which lines are drawn through to the circle: the longest that enters the circle and cuts lines from it is the one that passes through the center; of the remaining lines, the nearer to the one that passes through the center is longer than those that are more remote; the shortest of the lines that end on the circumference and not entering it is the line that is between the point and the end of the diameter; of the remaining lines the nearer to it is shorter than the more remote; and only two lines on each side of the diameter are equal.
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי זוית גא"ה שוה לזוית אג"ח יהיה צלע א"ה שוה לצלע ה"ג
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> <big>כל נקדה</big> יוצאת חוץ מעגולה יצאו ממנה קוים אל העגולה הנה היותר ארוך שיכנס בעגולה ויחתכנה מן הקוים הוא אשר יעבור מן המרכז ומה שקרב מן הקוים הנשארים מן אשר ילך אל המרכז יותר ארוך ממה שרחק והיותר קצר שבקוים אשר יכלו אל העגולה ולא יכנסו בה הוא הקו אשר בין הנקודה ובין קצה הקטר ומה שקרב ממנו מן הקוים הנשארים יותר קצר ממה שרחק ושנים קוים לבד משני צדדי הקטר שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה כי שתי זויות משולש הא"ג אשר הן על התושבת שוות
+
|style="text-align:right;"|<big>דמיונו</big> כי הוצאו מנקדת ג' אל תוך עגולת א"ב קוים והם ג"ד וג"ה וג"ז וא"ג והקו אשר יעבור על המרכז ג"ד
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מפני כי צלע א"ד שוה לצלע ד"ב וקו ד"ה משותף הנה כל אחד משני קוי א"ד ד"ה שוים לכל אחד משני קוי ב"ד ד"ה כל אחד לנכחי אליו
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר שהוא היותר ארוך שבקוים הנכנסים וכי ג"ה יותר ארוך מן ג"ז וכי ג"ז יותר ארוך מן א"ג וכי היותר קצר שבקוי' היוצאים אשר בין הנקודה ובין קצה הקטר הוא ג"ב וכי ג"ב יותר קצר מן ג"ל וג"ל יותר קצר מן ג"ט ושני קוים לבד משני צדדי ג"ב היותר קצר שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית אד"ה שוה לזוית בד"ה
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נשים המרכז נקודת מ'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה תושבת א"ה שוה לתושבת ב"ה
+
|style="text-align:right;"|ונוציא ממנה קוים מ"ה ומ"ז ומ"א ומ"ט ומ"ל ומ"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והיה כבר התבאר כי קו א"ה שוה לקו ה"ג
+
:*<math>\scriptstyle MH+MG>GH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי מ"ה ומ"ג מקובצים יותר ארוך מן ג"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קוי א"ה ה"ג ה"ב השלשה שוים
+
:*<math>\scriptstyle MH=MD</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומ"ה כמו מ"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר שמנו נקודת ה' מרכז וסבבנו עגולה במרחק ה"א ה"ב ה"ג הלכה בנקודת השלש ונקוה העגולה הזאת והיא עגולת אז"ב
+
:*<math>\scriptstyle DG>GH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה ד"ג יותר ארוך מן ג"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קוינו אל עגולת אג"ב חתיכה ממנה והיא עגולת אז"ב
+
:*<math>\scriptstyle MH=ZM</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומ"ה כמו ז"מ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבארו
+
|style="text-align:right;"|ונשים מ"ג משותפים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 25 ===
+
:*<math>\scriptstyle HM+MG=ZM+MG</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ה"מ ומ"ג כמו שני קוי ז"מ ומ"ג
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כה</span> <big>כאשר היו בעגולות</big> שוות שתי זויות שוות הנה הן על שתי קשתות שוות על המרכז היו או על הקו המקיף
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle HMG>\measuredangle ZMG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית המ"ג יותר גדולה מזוית זמ"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>דמיונו</big> כי שתי עגולות אב"ג דה"ז שוות ומרכזי שתיהן ח"ט ובשתיהן שתי זויות שוות על המרכז והם בח"ג הט"ז
+
:*<math>\scriptstyle HG>ZG</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה תושבת ה"ג יותר ארוכה מתושבת ז"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי קשת ב"ג כמו קשת ה"ז
+
:*<math>\scriptstyle ZG>AG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי ז"ג יותר ארוך מן א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נוציא משתי נקודות א"ד משתי קשתות בא"ג הד"ז קוי א"ב ב"ג ד"ה ד"ז
+
:*<math>\scriptstyle MK+KG>MG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכי כן הנה מ"כ וכ"ג יותר ארוכים מן מ"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ח"ב כמו ט"ה
+
:*<math>\scriptstyle MK=MB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומ"כ כמו מ"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וח"ג כמו ט"ז מפני כי שניהם בעגולות שוות
+
:*<math>\scriptstyle GK>GB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשאר ג"כ יותר ארוך מן ג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל אחת מב"ח ג"ח כמו כל אחת מן ה"ט ט"ז
+
:*<math>\scriptstyle GB<KG</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה ג"ב יותר קצר מן כ"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בח"ג כמו זוית הט"ז
+
|style="text-align:right;"|ובמשולש למ"ג שתי צלעות נצבות על תושבת מ"ג והם מ"כ וכ"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ב"ג כמו תושבת ה"ז
+
|style="text-align:right;"|והנה נפגשו בתוכו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בח"ג כפל זוית בא"ג
+
:*<math>\scriptstyle ML+LG>MK+KG</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה מ"ל ול"ג יותר ארוכים מן מ"כ וכ"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית חט"ז כפל הד"ז
+
:*<math>\scriptstyle MK=ML</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואולם מ"כ הוא כמו מ"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר היתה זוית בח"ג כמו זוית הט"ז
+
:*<math>\scriptstyle LG>KG</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשאר ל"ג יותר ארוך מן כ"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בא"ג כמו זוית הד"ז
+
:*<math>\scriptstyle GT>GL</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי ג"ט יותר ארוך מן ג"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן חתיכת בח"ג דומה לחתיכת הד"ז
+
|style="text-align:right;"|הנה היותר ארוך שבקוים הנכנסים ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושתי החתיכות שוות
+
:*<math>\scriptstyle GH>GZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואחר כן ג"ה יותר ארוך מן ג"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קשת ב"ג הנשארת כמו קשת ה"ז הנשארת
+
:*<math>\scriptstyle GZ>AG</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואחרי כן ג"ז יותר ארוך מן א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי השתי זויות השוות אשר בעגולת שוות תהיינה על שתי קשתות שוות אם היו על המרכז או היו על הקו המקיף
+
|style="text-align:right;"|והיותר קצר שבקוים היוצאים ג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונ"ב
+
:*<math>\scriptstyle GB<GK</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואחרי כן ג"ב יותר קצר מן ג"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 26 ===
+
:*<math>\scriptstyle GK<GL</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|וג"כ יותר קצר מן ג"ל
 +
|-
 
|
 
|
 +
:*<math>\scriptstyle GL<GT</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואחרי כן ג"ל יותר קצר מן ג"ט
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כו</span> <big>כאשר תהיינה</big> בעגולות שוות שתי זויות על שתי קשתות שוות הנה הזויות שוות היו על המרכז או על הקו המקיף
+
|style="text-align:right;"|<big>ואומר</big> כי שני קוים לבד לשני צדדי ג"ב היות קצר שבקוים שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי שתי עגולות אב"ג דה"ז שוות ושתי קשתות ב"ג ה"ז שוות עליהן שתי זויות בט"ג הח"ז והם על המרכז או לא אבל היו על הקו המקיף
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> שתעמיד על נקודת מ' מקו מ"ג זוית נמ"ג כמו זוית כמ"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי שתיהם שוות אי אפשר כי אם זה
+
|style="text-align:right;"|ונוציא ג"נ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר נאמר שתהיה זוית בט"ג קטנה מזוית הח"ז
+
:*<math>\scriptstyle KM=NM</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו כ"מ כמו קו נ"מ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעמיד על נקודת ח' מקו ה"ח זוית הח"ז כמו בט"ג
+
|style="text-align:right;"|ונשים ג"מ משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קשת ב"ג כמו קשת ה"כ
+
:*<math>\scriptstyle KM+MG=NM+MG</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי כ"מ מ"ג כמו שני קוי מ"נ ומ"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל קשת ה"ז היה כמו קשת ב"ג
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle HMG=\measuredangle NMG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית כמ"ג כמו זוית נמ"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קשת ה"ז כמו ה"כ הגדולה כמו הקטנה זה שקר
+
:*<math>\scriptstyle KG=GN</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת כ"ג כמו תושבת ג"נ
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|הנה אם כן אין בט"ג בלתי שוה לזוית הח"ז
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי לא יצא מן ג' קו אחד כמו כל אחד מן כ"ג ונ"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן היא שוה לה
+
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר יוצא והוא ג"ס
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושתי הזויות אשר תהיינה על קשת בא"ג הד"ז חציי זויות בט"ג הח"ז השוות
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מן מ' קו אל ס'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הן שוות
+
:*<math>\scriptstyle KM=MS</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו כ"מ כמו קו מ"ס
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ונשים מ"ג משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 27 ===
+
:*<math>\scriptstyle KM+MG=SM+MG</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי כ"מ ומ"ג כמו שני קוי ס"מ ומ"ג
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כז</span> <big>המיתרים השוים</big> אשר בעגולות השוות יבדילו קשתות שוות הגדולה לגדולה והקטנה לקטנה
+
:*<math>\scriptstyle KG=GS</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותושבת כ"ג כמו תושבת ג"ס
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי שתי עגולות אב"ג דה"ז שוות ושני מיתרי ב"ג ה"ז הם שוים
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle KMG=\measuredangle GMS</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה זוית כמ"ג כמו זוית גמ"ס
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי שניהם יבדילו קשתות שוות
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle KMG=\measuredangle NMG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר היתה זוית כמ"ג כמו זוית נמ"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אולם קשת ב"ג כמו קשת ה"ז
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle GMS=\measuredangle GMN</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה זוית גמ"ס כמו זוית גמ"נ
 +
|-
 +
|The greater is as the smaller = error.
 +
|style="text-align:right;"|הגדולה כמו הקטנה זה שקר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם קשת בא"ג כמו קשת הד"ז
+
|style="text-align:right;"|ואי אפשר שיצא קו אחר כמו קו ג' זולתי נ"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני המרכזים ט"ח
+
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי כ"ג נ"ג אשר הם משני צדדי הקו היותר קצר לבד שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ט"ב ט"ג וה"ח וח"ז
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ט"ב כמו קו ה"ח
+
 
 +
=== Proposition 9 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When more than two lines are drawn from a point in the circle to the circumference and the lines are equal, then the point is the center of the circle.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> <big>כאשר הוצא</big> מנקודה בעגלה יותר משני קוים אל הקו המקיף והיו הקוים שוים הנה היא מרכז העגלה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו ט"ג כמו קו ח"ז
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו שיוצא מנקודת ג' מעגלת א"ב קוים שוים יותר משנים והם ג"ד וג"ב וג"ה
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי נקדת ג' מרכז עגלת א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל שני קוי ב"ט ט"ג כמו שני קוי ה"ח ח"ז
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נוציא ד"ב וב"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותושבת ב"ג כמו תושבת ה"ז
+
|style="text-align:right;"|ונחלק שני קוי ד"ב וב"ה בשני חצאים שוים על ח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בט"ג כמו זוית הח"ז
+
|style="text-align:right;"|ונוציא ג"ז וג"ח ונעביר בשני הצדדים אל הקו המקיף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקשת ב"ג כמו קשת ה"ז
+
:*<math>\scriptstyle DZ=ZB</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו ד"ז כמו קו ז"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והעגולה כמו העגולה
+
|style="text-align:right;"|ונשים ז"ג משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן בא"ג כמו קשת הד"ג
+
:*<math>\scriptstyle DZ+ZG=BZ+ZG</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ד"ז וז"ג כמו שני קוי ב"ז וז"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה שרצינו לבארו
+
:*<math>\scriptstyle GD=GB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותושבת ג"ד כמו תושבת ג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 28 ===
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle DZG=\measuredangle BZG</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית דז"ג כמו זוית בז"ג
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה שתיהן אם כן שתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כח</span> <big>השתי קשתות</big> מן העגולות השוות יבדילום מיתרים שוים
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר חתך קו א"ט מיתר ב"ד בשני חצאים על שתי זויות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שתי עגולות אב"ג דה"ז שוות
+
|style="text-align:right;"|אם כן מרכז העגולה על א"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומשתיהן שתי קשתות ב"ג ה"ז שוות
+
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי המרכז על כ"מ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי השני מיתרים והם ב"ג ה"ז שוים
+
|style="text-align:right;"|והנה המרכז יפול על החתך המשותף לשני הקוים א"ט וכ"מ והוא נקדת ג'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי נשים המרכזים ט"ח ונוציא ט"ב ט"ג ה"ח ח"ז
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ט"ב כמו קו ה"ח
+
|style="text-align:right;"|<big>אמ' תבאת</big> מצאנו בקצת הנוסחאות מן היונים לזו התמונה מופת אחר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו ט"ג כמו קו ח"ז
+
|style="text-align:right;"|והוא שאנחנו נשים העגלה א"ב ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ב"ט ט"ג כמו שני קוי ה"ח ח"ז
+
|style="text-align:right;"|והנקדה אשר בתוכה נקדת ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והזויות אשר יפלו בחתיכות השוות שוות
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקדת ה' אל העגלה קוים שוים והם ה"ז וא"ה וח"ה
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי נקדת ה' מרכז עגולת א"ב ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בט"ג כמו זוית הח"ז
+
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה כן הנה יהיה מרכזה ט' אם יהיה אפשר זה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ב"ג כמו תושבת ה"ז
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קו ט"ה ונעבירהו בשני הצדדים אל שתי נקודות ד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי שני מיתרי ב"ג ה"ז שוים
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני שכבר הורשמה בתוך עגולת א"ב ג"ד נקודה איך שתפול והיא ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבארו
+
|style="text-align:right;"|והוצאו ממנה קוים ה"ב וה"ז וא"ה וה"ח אל העגולה איך מה שנפלו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 29 ===
+
|style="text-align:right;"|וקו ב"ה מהם ילך במרכז
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|יהיה קו ב"ה היותר ארוך מהם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כט</span> <big>נרצה לחתוך</big> קשת ידועה בשני חצאים
+
|style="text-align:right;"|והיותר קצר מהם קו ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים הקשת הידועה בא"ג
+
|style="text-align:right;"|וקו ז"ה יותר ארוך מקו א"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה לחתוך אותה בשני חציים
+
|style="text-align:right;"|וקו א"ה יותר ארוך מקו ה"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נגיע ב"ג ונחלקהו בשני חציים על ד'
+
|style="text-align:right;"|אבל אלו הקוים השלשה שוים וזה בלתי אפשר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מן ד' אל קשת בא"ג קו א"ד על זוית נצבת על קו ב"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן אין נקדת ט' מרכז לעגולת א"ב ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי א"ב א"ג
+
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר שאי אפשר שיהיה מרכזה מנקדה אחרת זולת נקודת ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ב"ד כמו קו ג"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן נקודת ה' מרכז עגולת א"ב ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים א"ד משותף
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ב"ד ד"א כמו שני קוי ג"ד ד"א
+
 
 +
=== Proposition 10 ===
 +
 
 +
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|A circle cannot cut a circle at more than two points.
−
|style="text-align:right;"|וזוית בד"א כמו זוית גד"א
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>י</span> אי אפשר</big> שתחתוך עגולה עגלה ביותר משתי מקומות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת א"ב אשר הוא מיתר קשת א"ב כמו תושבת א"ג אשר הוא מיתר קשת א"ג
+
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר זה הנה תחתוך עגולת א"ב עגולת ג"ד ביותר משני מקומות על נקודות ה"ז ח"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קשת א"ב אם כן כמו קשת א"ג
+
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי ה"ז וז"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר חתכנו קשת בא"ג בשני חציים על נקודת א'
+
|style="text-align:right;"|ונחלקם בשני חצאים על כ"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|ונוציא כ"ג ול"א על זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 30 ===
+
|style="text-align:right;"|ונעביר שניהם אל ב"ד
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל</span> <big>כאשר היתה</big> בחתיכת העגולה זוית ישרת שני הקוים מורכבת על הקשת והיתה החתיכה חצי עגולה הנה הזוית נצבת ואם היתה יותר גדולה מחצי העגולה הנה היא חדה ואם היתה יותר קטנה מחצי עגולה הנה היא נרחבת וזוית החתיכה אשר היא יותר גדולה מחצי עגולה הנה היא נרחבת
+
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ב בעגולת א"ב כבר חתך ז"ח בשני חצאים על זוית נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה כי עגולת אב"ג קוטרה א"ב
+
|style="text-align:right;"|אם כן מרכז העגולה על א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרשו' על הקשת נקדת ד' איך שתפול ונוציא ממנה מיתרי א"ד ד"ב
+
|style="text-align:right;"|וג"ד גם כן בעגולת א"ב חתך ז"ה בשני חצאים על זוית נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> נאמר כי זוית אד"ב אשר בחצי העגולה נצבת וכאשר היתה הזוית ביותר גדולה מחצי העגולה הנה היא חדה וכאשר היתה ביותר קטנה מחצי העגולה הנה היא נרחבת
+
|style="text-align:right;"|אם כן מרכז עגולת א"ב על ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נרשום על קשת א"ד נקדת ז' איך שתפול
+
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי מרכז עגולת א"ב על קו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים המרכז ה'
+
|style="text-align:right;"|אם כן מרכזה על הנקדה המשותפת לשני קוי א"ב ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא קוים א"ז ד"ז ד"ה
+
|style="text-align:right;"|ואינם משותפים בנקודה זולת נקודת נ' אם כן נקודת נ' היא מרכז עגולת א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ה"ד כמו קו ה"ב מפני כי המרכז נקודת ה'
+
|style="text-align:right;"|וכמו כן התבאר שמרכז עגלת ג"ד היא נקודת נ'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית הב"ד כמו זוית הד"ב
+
|style="text-align:right;"|אם כן נקודת נ' מרכז עגולות א"ב וג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שתיהן כפל זוית הד"ב
+
|style="text-align:right;"|ושתיהם תתחתכנה אם כן אין מרכז שתיהם אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל זוית אה"ד החיצונה מן המשולש כמו שתי זויות הד"ב הב"ד הפנימיות יחד
+
|style="text-align:right;"|אם כן לא תחתוך עגלה עגלה ביותר משתי מקומות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה היא כפל זוית הד"ב
+
|style="text-align:right;"|<big>אמ' תבאת</big> מצאנו בקצת הנוסחאות מהיונים לתמונה הזאת מופת אחר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ולכן תהיה זוית דה"ב כפל זוית הד"א
+
|style="text-align:right;"|והוא שאנחנו נשים העגלה אב"ג תחתוך עגלת דה"ז על יותר משתי נקודות והם נקודות ח"ב וז"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושתי זויות דה"א דה"ב כמו שתי זויות נצבות
+
|style="text-align:right;"|ויהיה מרכז עגולת אב"ג נקודת כ'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אד"ב אשר בחצי עגולת אד"ב נצבת
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי ב"כ וח"כ וז"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית דב"א יותר קטנה מנצבת והיא בקשת יותר גדולה מחצי עגולה והיא קשת ד"ב ג"א
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי כבר הרשמת נקדה בעגולת דה"ז יותר משני קוים והיו שוים והם קוי כ"ב כ"ז כ"ח הנה נקדת כ' מרכז עגולת דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכל תמונה בעלת ארבע צלעות תפול בעגולה הנה כל שתי זויות מקבילות מזויותיה שוות לשתי נצבות
+
|style="text-align:right;"|וכבר היתה גם כן מרכז עגולת אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית דב"א יותר קטנה מנצבת
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר נחתכו שתי עגולות והיו מרכזי שתיהן אחד והם נקודת כ' וזה בלתי אפשר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשאר זוית דז"א יותר גדולה מנצבת והיא בקשת אז"ד אשר היא יותר קטנה מחצי העגולה
+
|style="text-align:right;"|הנה לא תחתוך עגולה עגולה ביותר משני מקומות וזה הוא מה ש"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>ואומר</big> כי הזוית אשר תקיף בה קשת ב"ד ומיתר א"ד נרחבת והיא זוית חתיכת א"ג ב"ד אשר היא יותר גדולה מחצי העגולה ושהזוית אשר יקיפו בה קשת אז"ד ומיתר א"ד חדה והיא זוית חתיכת א"ד והיא יותר קטנה מחצי העגולה
+
 
−
|-
+
=== Proposition 11 ===
 +
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנו נוציא מיתר ב"ד אל ח'
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|For every two circles that touch one another, the line that passes through their centers passes through their point of contact, whether it is inside or outside.
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי זוית אד"ב נצבת היתה הזוית אשר יקיפו בה מיתר א"ד וקשת ד"ב נרחבת
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יא</span> <big>כל שתי</big> עגולות תתמששנה הנה הקו אשר יעבור על מרכז שתיהן יעבור במקום המשוש מבפנים היה משושם או מבחוץ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי שתי זויות אד"ב אד"ח כמו שתי נצבות וזוית אד"ב נצבת תשאר זוית אד"ח נצבת
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי עגולת א"ב תמששה עגולת א"ג מבפנים על נקודת א' ויהיה מרכז עגולת א"ב ה' ומרכז א"ג ז'
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|והיתה הזוית אשר יקיפו בה קשת אז"ד ומיתר א"ד יותר קטנה מזוית אד"ח
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי הקו אשר יעבור על ה"ז יכלה אל נקודת א' אי אפשר זולתו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
+
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יפול כמו ה"ז ט"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>אמר תבאת</big> מצאנו בקצת הנוסחאות מהיונים לתמונה הזאת מופת אחר על היות זוית אד"ב נצבת
+
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי א"ז וז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והוא כי קו א"ה כמו ה"ד אם כן זוית הא"ד כמו זוית הד"א
+
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי א"ז וז"ה מקובצים יותר ארוך מן א"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו ה"ד שוה לקו ב"ה אם כן זוית הב"ד כמו זוית הד"ב
+
|style="text-align:right;"|וא"ז כמו ז"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל זוית אד"ב שוה לשתי זויות בא"ד אב"ד
+
|style="text-align:right;"|וא"ה כמו ה"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית אד"ח גם כן שוה לשתי זויות בא"ד אב"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן ה"ט יותר ארוך מן ה"ח וזה שקר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית אד"ב שוה לזוית אד"ח הנה היא אם כן נצבת
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי הקו אשר יעבור על שתי נקודות ה"ז אין יציאתו כמו יציאת ה"ח ולא יפול במקום אחר כי אם בנקודת א' כאשר תתמששנה שתי העגלות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה אנחנו נשים עגלת א"ג תמשש עגלת א"ב מחוץ על נקודת א'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 31 ===
+
|style="text-align:right;"|ויהיה מרכז עגלת א"ב ה' ומרכז עגלת א"ג ז'
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לא</span> <big>כל קו</big> ימשש העגולה ויצא מן המקום אשר ימששה קו ישר יחתוך העגולה ולא יעבור במרכז הנה השתי זויות אשר משני צדדיו כמו השתי זויות אשר תפולנה בשתי חתיכות העגולה המומרות להם
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי הקו אשר יעבור על ה"ז יעבור בנקודת א'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי קו ד"ה ימשש עגולת אב"ג על ב'
+
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה כן הנה נפול כמו קו ה"ח ט"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויצא מב' קו ב"ז וחתך העגולה על זולת המרכז
+
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי א"ז וא"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי שתי זויות זב"ד זב"ה כמו השתי זויות אשר יפלו בשתי חתיכות זט"ב זא"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי א"ז וא"ה יותר ארוך מן ז"ט ח"ה הישר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נרשום על קשת ז"ב נקודת ט' איך שתפול
+
|style="text-align:right;"|ואולם א"ה הנה הוא כמו ה"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה המרכז ח'
+
|style="text-align:right;"|ואולם א"ז הנה הוא כמו ז"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ב"ח ויעבור אל א'
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ה"ח וז"ט שוים לשני קוי א"ז וא"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא קוים ב"ט ט"ז א"ז
+
|style="text-align:right;"|וכבר היו שני קוי א"ז וא"ה מחוברי' יותר ארוך מן אח"ז ושניהם יותר קטנים ממנו זה אי אפשר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו דב"ה ימשש עגולת אב"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה הקו אשר יגיע בין שתי נקודות ה"ז יעבור בנקודת א'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר הוצא מן המרכז קו א"ב הנה הוא עמוד על קו דה"ב
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אב"ה נצבת
+
 
 +
=== Proposition 12 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|A circle does not touch another circle at more than one point, whether one of them is inside the other or outside it.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יב</span> <big>לא תמשש</big> עגולה עגולה כי אם במקום אחד כאשר תהיה אחת משתיהן תוך האחרת או חוץ ממנה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית אז"ב נצבת כי היא בחצי העגולה
+
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר תמששנה בשתי מקומות או יותר הנה תמשש עגולת ג"ד עגולת א"ב בשתי מקומות מבפנים על שתי נקודות ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והיה מרכז עגולת א"ב נקודת ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומרכז עגולת ג"ד נקודת ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים זוית זב"א משותפת
+
|style="text-align:right;"|הנה הקו אשר יעבור על ה"ז יפול במקום אשר תתמששנה שתי העגולות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל זוית זב"ה כמו שתי זויות אז"ב זב"א
+
|style="text-align:right;"|ונוציא קו ה"ז ונוציאהו אל שתי נקודות ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושתי זויות דב"ז זב"ה כמו שתי נצבות
+
|style="text-align:right;"|הנה מרכז עגולת א"ב ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל שלש זויות בא"ז אז"ב אב"ז מן המשולש כמו שתי נצבות
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ה"ד כמו קו ה"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הם יחד כמו שתי זויות דב"ז זב"ה
+
|style="text-align:right;"|וד"ה יותר ארוך הרבה מן ז"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית זב"ה כמו שתי זויות אז"ב זב"א
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מרכז עגולת ג"ד נקדת ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זב"ד הנשארת כמו זוית זא"ב והיא בחתיכת זא"ב
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"ד כמו קו ז"ג וכבר היה שהתבאר כי ג"ז יותר ארוך הרבה מן ז"ד וזה שקר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכל תמונה בעלת ארבע צלעות בעגולה הנה כל שתי זויות מקבילות מזויותיה כמו שתי נצבות
+
|style="text-align:right;"|אם כן לא תמשש עגולת ג"ד עגולת א"ב כי אם במקום אחד לבד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות זט"ב זא"ב כמו שתי נצבות ושתיהן כמו שתי זויות זב"ה זב"ד
+
|style="text-align:right;"|ותמששנה מחוץ אם היה אפשר זה כמו עגולת ח"ט לעגולת א"ב בשתי מקומות על שתי נקודות א"ב הנה הקו אשר יצא מן א' אל ב' יפול בעגולת א"ב וחוץ מעגולת ח"ט זה שקר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית זב"ד כמו זוית זא"ב
+
|style="text-align:right;"|מפני כי שתי נקודות תפולנה על קשת עגולה יהיה הקו הישר אשר יצא מאחת משתיהן אל האחרת יפול בתוך העגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זט"ב הנשארת כמו זוית זב"ה הנשארת והיא בחתיכת זט"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה לא תמשש עגולה עגולה כי אם במקום אחד אם מבפנים ואם מבחוץ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 3,869: Line 4,626:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 32 ===
+
 
 +
=== Proposition 13 ===
  
 
|
 
|
 +
|-
 +
|When there are equal chords in a circle, their distances from the center are equal; and those, whose distances from the center are equal, are equal.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יג</span> <big>כאשר</big> נפלו בעגולה מיתרים שוים הנה מרחקיהם מן המרכז שוים ואם היו מרחקיהם מן המרכז שוים הנה הם שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לב</span> <big>נרצה לעשות</big> על קו ידוע חתיכת עגולה תקביל זוית כמו זוית מונחת ישרת שני הקוים
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> שהוא נפיל בעגולת א"ב שני מיתרים שוים והם ג"ד וה"ז
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי מרחק שניהם מן המרכז שוה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים קו א"ב הידוע
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי נשים המרכז נקודת ח'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והזוית הידועה גד"ה
+
|style="text-align:right;"|ונוציא ממנו אל שני מיתרי ג"ד ה"ז שני עמודים ח"ט וח"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות על קו א"ב חתיכת עגולה תקביל זוית כמו זוית גד"ה
+
|style="text-align:right;"|ונוציא ה"ח וח"ד וח"ז וח"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נעמיד על קו א"ב על נקודת א' ממנו זוית בא"ז כמו זוית גד"ה
+
:*<math>\scriptstyle GD=HZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה ג"ד כמו ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת א' ממנו קו א"ח על זוית נצבת
+
:*<math>\scriptstyle GC=HC</math>
 +
|style="text-align:right;"|וג"ח כמו ה"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעמיד על קו א"ב על נקודת ב' ממנו זוית אב"ח כמו זוית בא"ח
+
:*<math>\scriptstyle DG+GC=ZH+CH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ד"ג ג"ח כמו שני קוי ז"ה וח"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויפגשו שתי צלעות א"ח א"ב על נקודת ח' מפני כי שתיהן יצאו מפחות משתי זויות נצבות
+
:*<math>\scriptstyle DC=ZC</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותושבת ד"ח כמו תושבת ז"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן צלע א"ח כמו ח"ב
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle TGC=\measuredangle KHC</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית טג"ח כמו זוית כה"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים המרכז ח'
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle GTC=\measuredangle HKC=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית גט"ח כמו זוית הכ"ח מפני כי שתיהן נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונקיף עגולה במרחק א"ח ב"ח
+
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות משולש גט"ח כמו שתי זוית משלש הכ"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה בעבור כי זוית זא"ח נצבת הנה קו א"ז ימשש עגולת א"ב
+
:*<math>\scriptstyle GC=HC</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושתי צלעות ג"ח ה"ח שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר יצא ממקום משושם קו א"ב וחתך העגולה על זולת המרכז הנה בשתי צדדיו שתי זויות כמו השתי זויות אשר יפלו בשתי חתיכות העגולה המומרות לשתיהן
+
|style="text-align:right;"|הנה שתי צלעות הנשארות כמו שתי צלעות הנשארות כל אחת כמו הנכחית לה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זא"ב כמו אשר יפול בחתיכת א"ב
+
|style="text-align:right;"|והזוית הנשארת כמו הזוית הנשארת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל זוית זא"ב כמו זוית גד"ה
+
|style="text-align:right;"|אם כן ט"ח כמו כ"ח ושניהם שני העמודים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה מרחק ג"ד וה"ז מן המרכז שוה
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|ואומר כי שניהם שוים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי כבר הוצא מן המרכז קו ט"ח אל ג"ד וחתכו על זוית נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גד"ה כמו אשר תפול בחתיכת א"ב
+
|style="text-align:right;"|והוא אם כן יחתכהו בשני חצאין
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
+
:*<math>\scriptstyle GT=TD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קו ג"ט כמו קו ט"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 33 ===
+
:*<math>\scriptstyle DG=2\sdot GT</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|וד"ג כפל ג"ט
 +
|-
 
|
 
|
 +
:*<math>\scriptstyle ZH=2\sdot HK</math>
 +
|style="text-align:right;"|ולכן יהיה ז"ה כפל ה"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לג</span> <big>נרצה</big> שנבדיל מעגולה ידועה חתיכה תקביל זוית ידועה ישרת שני הקוים
+
:*<math>\scriptstyle GC=HC</math>
 +
|style="text-align:right;"|וג"ח כמו ה"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים העגולה הידועה עגולת אב"ג
+
:*<math>\scriptstyle GC^2=GT^2+TC^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מן ג"ח כמו שני המרובעים ההוים מג"ט ט"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והזוית הידועה ישרת שני הקוים זוית דה"ז
+
::<math>\scriptstyle\measuredangle GTC=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית גט"ח נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה שנבדיל מעגולת אב"ג חתיכה תקביל זוית כמו זוית דה"ז
+
:*<math>\scriptstyle HC^2=HK^2+KC^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|והמרובע ההוה מן ה"ח כמו שני המרובעים ההוים מן ה"כ וכ"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעביר על נקודת ג' קו חג"ט ממשש לעגולת אב"ג
+
::<math>\scriptstyle\measuredangle HKC=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית הכ"ח נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעמיד על קו ג"ח על נקודת ג' ממנו זוית בג"ח כמו זוית דה"ז
+
:*<math>\scriptstyle TC^2+TG^2=CK^2+KH^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה שני המרובעים ההוים מן ט"ח ט"ג כמו שני המרובעים ההוים מן ח"כ וכ"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו חג"ט ימשש עגולת אב"ג
+
:*<math>\scriptstyle TC^2=KC^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|והמרובע ההוה מן ט"ח כמו המרובע ההוה מן כ"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר יצא מהמקום אשר ימששה קו ב"ג יחתוך העגולה על זולת המרכז
+
:*<math>\scriptstyle GT^2=HK^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשאר המרובע ההוה מן ג"ט כמו המרובע ההוה מן ה"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה משתי צדדיו שתי זויות אשר יפלו בשתי חתיכות העגולה המומרות לשתיהן
+
:*<math>\scriptstyle GT=HK</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו ג"ט כמו קו ה"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בג"ח כמו אשר תפול בחתיכת גא"ב
+
:*<math>\scriptstyle GD=2\sdot GT</math>
 +
|style="text-align:right;"|וג"ד כפל ג"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל זוית בג"ח כמו זוית דה"ז
+
:*<math>\scriptstyle HZ=2\sdot KH</math>
 +
|style="text-align:right;"|וה"ז כפל כ"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית דה"ז כמו אשר תפול בחתיכת גא"ב
+
|style="text-align:right;"|וכל שני קוים שוים כאשר הוכפלו היו שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר הבדלנו מעגולת אב"ג הידועה חתיכת גא"ב תקביל זוית כמו זוית דה"ז
+
:*<math>\scriptstyle DG=HZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מיתר ג"ד כמו מיתר ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 34 ===
+
 
 +
=== Proposition 14 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|When there are chords in a circle, the longest of them is the diameter of the circle; and of the rest, the nearer to the center is longer than the more remote.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לד</span> <big>כל שני</big> מיתרים יתחתכו בעגולה הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בה שני חלקי אחד משניהם המיתרים כמו השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני חלקי המיתר האחר
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יד</span> <big>כאשר</big> נפלו בעגולה מיתרים הנה היותר ארוך מהם קוטר העגולה והנשארים הנה היותר קרוב מהם אל המרכז יותר ארוך מן היותר רחוק
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> שני חלקי מיתרי א"ג ב"ד יתחתכו בעגולת א"ב ג"ד על נקודת ה'
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי נפלו בעגולת א"ב שני מיתרים והם ז"ה וח"ט והקוטר ג"ד וז"ה יותר קרוב אל המרכז מן ח"ט
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ה ה"ג שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ד"ה ה"ב
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי קוטר ג"ד הוא היותר ארוך מהם ושה"ז יותר ארוך מן ט"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> שנשים מרכז עגולת א"ב ג"ד נקודת ז'
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי נשים המרכז נקדת כ'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע קו ז"ה
+
|style="text-align:right;"|ונוציא ממנו שני עמודים אל שני מיתרי ה"ז וח"ט והם כ"ל וכ"מ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מן נקודת ז' אל שני קוי א"ג ב"ד שני עמודי ז"ח ז"ט
+
|style="text-align:right;"|הנה מיתר ז"ה יותר קרוב אל המרכז מן ח"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע שני קוי ז"ג ז"ב
+
|style="text-align:right;"|אם כן מ"כ יותר קרוב אל המרכז ארוך מן ל"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני שכבר יצא ממרכז עגולת א"ב ג"ד קו ישר והוא קו ז"ח וחתך א"ג על זויות נצבות הנה כבר חלקו בשני חצאים על נקודת ח' ובשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה'
+
|style="text-align:right;"|ונבדיל מן כ"מ כמו ל"כ והוא כ"נ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ה ה"ג עם המרובע המתהוה מן ה"ח שוה למרובע ההוה מן ג"ח
+
|style="text-align:right;"|ונקוה על נ' קו נכחי לקו ט"ח והוא ס"ע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים המרובע ההוה מן ז"ח משותף
+
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ה"ז וס"ע מרחק שניהם מן המרכז שוה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ה ה"ג עם שני המרובעים ההוים משני קוי ה"ח ח"ז שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ז"ח ח"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם שוים אם כן קו ה"ז כמו ס"ע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל שני המרובעים ההוים משני קוי ז"ח ה"ח שוים למרובע ההוה מן ז"ה
+
|style="text-align:right;"|ונוציא קוים כ"ס וכ"ח וכ"ע וכ"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית הח"ז נצבת
+
|style="text-align:right;"|הנה ס"כ וכ"ע מחוברים יותר ארוך מן ס"ע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני המרובעים ההוים משני קוי ז"ח ח"ג שוים למרובע ההוה מן ז"ג
+
|style="text-align:right;"|וס"כ כמו כ"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ה ה"ג עם המרובע ההוה מן ז"ה שוה למרובע ההוה מן ז"ג
+
|style="text-align:right;"|וכ"ע כמו כ"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי השטח הנצב הזויו' אשר יקיפו בו שני קוי ד"ה ה"ב עם המרובע ההוה מן ז"ה שוה למרובע ההוה מן ז"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ג"ד יותר ארוך מן ס"ע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והמרובע ההוה מן ז"ב שוה למרובע ההוה מן ז"ג
+
|style="text-align:right;"|וס"ע כמו ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ה ה"ג עם המרובע ההוה מן ז"ה שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ד"ה ה"ב עם המרובע ההוה מן ז"ה
+
|style="text-align:right;"|אם כן ג"ד יותר ארוך מן ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר חסרנו המשותף והוא המרובע ההוה מן ז"ה נשאר השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ד"ה ה"ב
+
|style="text-align:right;"|וס"ב כמו כ"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו ביאורו
+
|style="text-align:right;"|וע"כ כמו כ"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 35 ===
+
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ס"כ וכ"ע כמו שני קוי כ"ח וכ"ט
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|וזוית עכ"ס יותר גדולה מזוית טכ"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לה</span> <big>כאשר רשמת</big> נקודה חוץ מעגולה והוצאו ממנה שני קוים ישרים אל העגולה אחד משתיהם יחתכה והאחר ימששה הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו הקו כלו אשר יחתוך העגולה עם הקו אשר יפול ממנו חוץ לעגולה שוה למרובע ההוה מן הקו הממשש
+
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ס"ע יותר ארוכה מתושבת ט"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותהיה העגולה אב"ג
+
|style="text-align:right;"|אבל ס"ע כמו ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנקודה אשר נרשמה חוץ ממנה נקודת ד'
+
|style="text-align:right;"|אם כן ה"ז יותר ארוך מן ט"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ממנה אל עגולת אב"ג שני קוי ד"א ד"ג הישרים
+
|style="text-align:right;"|הנה המיתרים אשר נפלו בעגולת א"ב היותר ארוך מהם הקוטר והוא ג"ד וה"ז היותר קרוב אל המרכז יותר ארוך מן ט"ח היותר רחוק
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ד"ג מהם חותך לעגולה וקו א"ד ממשש אותה
+
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג שוה למרובע ההוה מן א"ד
+
 
 +
=== Proposition 15 ===
 +
 
 +
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|When a straight line is drawn from the end of the diameter of a circle at right angles, it falls outside the circle, and no other straight line falls between it and the circumference; the angle of the semicircle is greater than any acute rectilinear angle, and the angle contained by that line and the circumference is less than any acute rectilinear angle.
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> שנשים המרכז ה'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>טו</span> <big>כאשר הוצא</big> מקצה הקטר העגולה קו ישר על זוית נצבת הנה יוצא מן העגלה ולא יפול בינו ובין הקו מן המקיף קו אחר ישר ותהיה זוית חצי העגולה יותר גדולה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים ותהיה זוית אשר יקיף בה הקו ההוא והקו המקיף היותר קטנה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ה' אל קו ב"ג עמוד ה"ז
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> כי עגולת א"ב יצא מקצה קוטרה והוא קו ג"ד קו ד"ז על זוית נצבת מנקודת ד'
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי א"ה ג"ה ה"ד
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי הוא יפול חוץ מן העגולה אי אפשר זולת זה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי בעגולת אב"ג קו יצא מן המרכז והוא ה"ז וכבר חתך את ב"ג על זוית נצבת הנה הוא חתכו בשני חצאים
+
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יפול בתוכה כמו קו ד"ז קו ד"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ב"ז שוה לקו ז"ג
+
|style="text-align:right;"|ויהיה המרכז ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו ב"ג כבר נחלק בשני חלקים על נקודת ז' ונוסף בו קו ב"ד על יושר יהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג עם המרובע ההוה מן ז"ג כמו המרובע ההוה מן ד"ז בעצמו
+
|style="text-align:right;"|ונוציא א"ה והוא כמו ה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים המרובע ההוה מן ה"ז משותף
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית הא"ד כמו זוית הד"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג עם שני המרובעים ההוים מן ה"ז ז"ג שוים לשני המרובעים ההוים מן שני קוי ז"ה ז"ד
+
|style="text-align:right;"|וזוית הד"א נצבת אם כן זוית הא"ד גם כן נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושני המרובעים ההוים משני קוי ז"ה ז"ג שוים למרובע ההוה מן ה"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן משולש הא"ד נצב שתי הזויות זה שקר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני שזוית הז"ג נצבת
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי הקו אשר יצא מן ד' והוא קצה ז"ד על זוית נצבת יפול חוץ מן העגולה ויפול כמו ד"ז
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|ושני המרובעים ההוים משני קוי ה"ז ז"ד שוים למרובע ההוה מן ה"ד
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי לא יכנס בינו ובין קשת גא"ד קו אחר ישר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית הז"ד נצבת
+
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יפול בין שניהם כמו קו ד"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג עם המרובע ההוה מן ה"ג שוה למרובע ההוה מן ה"ד
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מן ה' עמוד אל קו ד"ח והוא ה"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל המרובע ההוה מן ה"ד שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ה"א א"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה זוית הט"ד נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית הא"ד נצבת
+
|style="text-align:right;"|וזוית הד"ט קטנה מנצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג עם המרובע ההוה מן ה"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן א"ה א"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית הט"ד יותר גדולה מזוית הד"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והמרובע ההוה מן ה"ג שוה למרובע ההוה מן א"ה
+
|style="text-align:right;"|והזוית היותר גדולה מכל משולש יהיה מיתרה הצלע היותר ארוך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה שהם יצאו מן מרכז העגולה אל הקו המקיף בה
+
|style="text-align:right;"|אם כן צלע ה"ד יותר ארוך מן ה"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשאר השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג שוה למרובע ההוה מן א"ד
+
|style="text-align:right;"|וה"ד כמו ה"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונש"ל ב
+
|style="text-align:right;"|אם כן ה"א יותר ארוך מן ה"ט זה שקר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 36 ===
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי לא יפול בין קשת גא"ד ובין קו ד"ז קו אחר ישר
−
 
+
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|<big>ואומר</big> כי הזוית הנכנסת אשר יקיפו בה הקוטר והקו המקיף אשר עליה בד"ה יותר גדולה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ושזוית בד"ז החיצונה יותר קטנה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לו</span> <big>כאשר היתה</big> עגולה והושמה חוץ ממנה נקודה והוצאו ממנה שני קוים ישרים אל העגולה אחד משניהם יחתכה והאחר יכלה אליה והיה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו אשר יחתכה כלו והחתיכה אשר יפול ממנו חוץ מן העגולה שוה למרובע ההוה מן הקו האחר אשר יכלה אל העגולה הנה הקו אשר יכלה אליה ימשש לעגלה
+
|style="text-align:right;"|כי אלו היתה זוית חדה ישרת שני הקוים יותר גדולה מן הפנימית ויותר קטנה מן החיצונה אשר זכרנו בשם היה אפשר שיפול בין קו ד"ז ובין קשת גא"ד קו ישר אבל לא יפול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר יצאו שני קוים מהנקודה האחת ושניהם ימששו העגלה הנה הם שוים
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית חצי העגולה אשר עליה גד"ב יותר גדולה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים ואשר עליה בד"ז יותר קטנה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותהיה העגולה אב"ג ונרשמה חוץ ממנה נקודת ד' ויצאו ממנה אל מקיף עגלת אב"ג שני קוי א"ד ד"ב הישרים ויהיה ד"ב חותך אותה וד"ה כלה אליה ויהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג שוה למרובע ההוה מן א"ד
+
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי קו א"ד ממשש לעגלת אב"ג
+
 
−
|-
+
=== Proposition 16 ===
 +
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ד' קו ממשש לעגלת אב"ג והוא ד"ה
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to draw from a given point a line that touches the circle.
−
|style="text-align:right;"|ונשים מרכז עגלת אב"ג נקודת ז'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יו</span> <big>נרצה שנוציא</big> מנקודה ידועה קו ימשש העגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי א"ז ז"ד ז"ה
+
|style="text-align:right;"|הנה נשים הנקודה הידועה נקודת א' והעגולה עגולת ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג שוה למרובע ההוה מן ד"ה וגם כן יהיה המרובע ההוה מן א"ד שוה למרובע ההוה מן קו ד"ה אם כן יהיה המרובע ההוה מן א"ד שוה למרובע ההוה מן ד"ה
+
|style="text-align:right;"|ונרצה שנוציא מן א' קו ימשש עגולת ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ד שוה לקו ד"ה
+
|style="text-align:right;"|הנה נוציא ממרכז העגולה והוא ד' קו ד"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו א"ז שוה לקו ז"ה וזה כי הם יצאו מן המרכז אל המקיף הקו וקו ד"ז משותף יהיו כל שני קוי א"ז ז"ד שוים לכל שני קוי ה"ז ז"ד כל אחד לנכחי אליו
+
|style="text-align:right;"|ונקוה על מרכז ד' ובמרחק א"ד עגולת א"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותושבת א"ד שוה לתושבת ד"ה תהיה זוית אז"ד שוה לזוית הז"ד ומשולש אז"ד שוה למשולש זד"ה ושאר הזויות שוות לשאר הזויות אם כן שתי זויות זא"ד אד"ז שוות לשתי זויות זה"ב הד"ז כל אחד לנכחי לו אשר הם מיתריהם הצלעות השוות אם כן זוית זא"ד שוה לזוית זה"ד וזוית זה"ד נצבת הנה זוית זא"ד נצבת וקו א"ז כאשר הוצא הנה הוא קטר וכבר הוצא מקצה הקטר קו א"ד על זוית נצבת הנה קו א"ד ממשש לעגלת אב"ג
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מקו א"ד מנקודת ז' ממנו קו על זוית נצבת והוא ז"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|ונוציא ד"ח וט"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר השלישי מספר אקלידס החכם בשרשים ומספר תמונותיו ששה ושלשים
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ד"ח כמו קו א"ד
−
|}
 
−
{|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|וד"ז כמו ד"ט
−
== Book Four ==
 
−
|style="text-align:right;"|<big>המאמר הרביעי</big>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי א"ד וד"ט כמו שני קוי ח"ד וד"ז
−
=== Definitions ===
 
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>יאמר</big> כי התמונה מורשמת בתמונה כאשר תהיה כל אחת מזויותיה ממששת לכל אחת מצלעות התמונה אשר נרשמת בה
+
|style="text-align:right;"|והזויות אשר יקיפו בו שני קוי ח"ד וד"ז ושני קוי א"ד וד"ט אחת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>ויאמר</big> כי התמונה נרשמת סביב התמונה כשתהיה כל אחת מצלעותיה ממששת לכל אחת מזויות התמונה אשר היא נרשמת סביבה
+
|style="text-align:right;"|מפני שהם יקיפו זוית אחת והיא ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|הנה תושבת ז"ח כמו תושבת א"ט
−
=== Proposition 1 ===
 
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>נרצה</big> שנקוה בעגלה ידועה מיתר שוה לקו ידוע אינו יותר גדול מקוטר העגולה
+
|style="text-align:right;"|ומשלש זד"ח כמו משלש טד"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגלה הידועה עגלת אב"ג
+
|style="text-align:right;"|והזויות הנשארות כמו הזויות הנשארות אשר יהיו מיתריהם הצלעות השוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והקו הישר הידוע אשר לא יהיה יותר גדול מקוטר העגלה קו ד"ה
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית דט"א כמו זוית דז"ח הנה שתיהם יחד נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה שנקוה בעגלת אב"ג מיתר שוה לקו ד"ה
+
|style="text-align:right;"|וד"ט קו הקוטר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נוציא קוטר העגולה והוא ב"ג
+
|style="text-align:right;"|והקו אשר יצא מקצה הקוטר על זוית נצבת ימשש העגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה ד"ה כמו ב"ג כבר היה מה שרצינו
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי קו א"ט ימשש עגולת ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה יותר קצר יהיה ז"ג כמו ד"ה
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים ג' מרכז
+
 
 +
=== Proposition 17 ===
 +
 
 +
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|For every line that touches the circle, when a line is drawn from the touching point to the center, this line is perpendicular to the line that touches the circle.
−
|style="text-align:right;"|ובמרחק ג"ז עגולת א"ח
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יז</span> <big>כל קו ימשש</big> העגולה ויצא מן המקום אשר ימששה בו קו אל המרכז הנה הקו יהיה עמוד על הקו הממשש לעגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא קו ג"א
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי קו ג"ד ימשש עגולת א"ב על נקודת ב' והמרכז ה' ונוציא ב"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|הנה ג"ז כמו ד"ה אם כן א"ג כמו ד"ה
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר שהוא עמוד על ג"ד אי אפשר זולתו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר קוינו בעגלת אב"ג מיתר כמו קו ד"ה שאינו יותר גדול מן הקוטר
+
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יצא מן ה' עמוד אל קו ג"ד זולת ב"ה והוא ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|הנה זוית הז"ב אם כן נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|וזוית הב"ז חדה
−
=== Proposition 2 ===
 
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> <big>נרצה</big> לעשות בעגולה ידועה משולש שוה זויותיו לזויות משולש ידוע
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית הב"ז יותר גדולה מזוית הב"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגולה הידועה עגלת אב"ג
+
|style="text-align:right;"|והזוית היותר גדולה מכל משלש מיתרה הצלע היותר ארוך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והמשולש הידוע משולש דה"ז
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ב"ה יותר ארוך מן ה"ז וה"ב כמו ה"א אם כן ה"א יותר ארוך מן ה"ז וזה שקר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעמיד גם כן על קו א"ט על נקודת א' ממנו כמו זוית דז"ה והיא זוית טא"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן אי אפשר שיהיה ה"ז עמוד על ג"ד ולא זולתו מן הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ב"ג
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו טא"ח ממשש לעגלת אב"ג
+
 
−
|-
+
=== Proposition 18 ===
 +
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר יצאו ממקום משושו א"ב א"ג יחתכו העגולה
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|When a straight line touches a circle, and from the touching point a straight line is drawn at right angles to the [line] outside of the circle, then the center falls on it.
−
|style="text-align:right;"|הנה משני צדדי כל אחת מהן שתי זויות כמו אשר יפלו בשתי חתיכות העגולה המומרות
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יח</span> <big>כאשר ימשש</big> קו ישר עגולה ויצא מן המקום אשר ימששנה קו על זוית נצבת לפנים מן העגולה הנה יהיה עליו המרכז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בא"ח כמו זוית בג"א
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי קו ג"ד ימשש עגולת א"ב על ב' ויצא מנקודת ב' קו א"ב על זוית נצבת
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|וזוית גא"ט כמו זוית אב"ג
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי המרכז יפול על קו א"ב אי אפשר זולתו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית גא"ט כמו זוית דז"ה
+
|style="text-align:right;"|שאם יהיה אפשר נאמר שיפול על קו ב"ה אם כן זוית הב"ד נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בא"ח כמו זוית דה"ז
+
|style="text-align:right;"|וזוית דב"א נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות דה"ז דז"ה כמו שתי זויות אב"ג אג"ב
+
|style="text-align:right;"|ושתיהם נצבות זה שקר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשארה זוית הד"ז כמו זוית בא"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן אין המרכז על ב"ה ולא בזולת קו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זויות דה"ז שוות למשולש אב"ג העשוי בעגלת אב"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן מרכז העגולה על א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם באורו
+
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 3 ===
+
=== Proposition 19 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|The angle that is at the center of the circle is double the angle that is at the circumference, when the base of both [the angles] is the same arch.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ג</span> <big>נרצה</big> לעשות על עגולה ידועה משולש יקיף בה תהיינה זויותיו שוות לזויות משולש ידוע
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יט</span> <big>הזוית</big> אשר תהיה על מרכז העגולה כמו שני פעמים מאשר תהיה על הקו המקיף כאשר תהיינה תושבות שתיהם קשת אחת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגולה עגולת אב"ג
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי על מרכז עגולת בא"ג זוית בד"ג ועל הקו המקיף זוית בא"ג ותושבת שתיהם יחד קשת ב"ג
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי זוית בד"ג כפל זוית בא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והמשולש הידוע משולש דה"ז
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי נוציא קו א"ד ונוציאהו אל ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות על עגלת אב"ג משולש יקיף בה שוות זויותיו לזויות משולש דה"ז
+
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי א"ד וד"ג שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נוציא ה"ז בכל אחד משני הצדדין אל ט"ב
+
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות דא"ג ודג"א שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה המרכז ח'
+
|style="text-align:right;"|וזוית הד"ג כפל זוית הא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא ממנו קו ח"ב אל המקיף איך שיפול
+
|style="text-align:right;"|ולכן זוית בד"ה כפל זוית בא"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעמיד על ח' מקו ב"ח זוית כמו זוית דה"ט והיא זוית בח"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה כל זוית בד"ג כפל זוית בא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכמו זוית דז"ב והיא זוית בח"א
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעביר על נקודות בג"א קוים ל"מ מ"נ נ"ל ממששים לעגלת אב"ג
+
 
 +
=== Proposition 20 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When two angles falls on the same segment of a circle, they are equal to one another.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ</span> <big>כאשר תהיה</big> בחתיכה אחת מעגלה שתי זויות הנה שתיהן שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ל"מ ממשש לעגלת אב"ג
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי בעגלת אב"ג חתיכת ג"א ה"ד בה שתי זויות גה"ד וגא"ד
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר שהן שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר הוצא ממקום המשוש קו ח"ב אל המרכז והוא עמוד על קו לב"מ
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> הנה נשים המרכז ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית לב"ח נצבת
+
|style="text-align:right;"|ונוציא ג"ז ז"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית מב"ח גם כן נצבת
+
|style="text-align:right;"|הנה זוית גז"ד על המרכז וזוית גה"ד על הקו המקיף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן יהיו שתי זויות אשר אצל ג' נצבות
+
|style="text-align:right;"|וזוית גז"ד כפל זוית גה"ד ולכן גם כן יהיה כפל זוית גא"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן יהיו זויות אשר אצל א' כל אחת מהן נצבת
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גה"ד כמו זוית גא"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכל תמונה בעלת ארבע צלעות הנה זויותיה הארבעה שוות לארבע זויות נצבות
+
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח זויות א"ח ב"ל כמו ארבע זויות נצבות
+
 
 +
=== Proposition 21 ===
 +
 
 +
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|For every cyclic quadrilateral, [the sum of] each pair of its opposite angles is equal to two right angles.
−
|style="text-align:right;"|אבל אשר אצל א"ב נצבות
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כא</span> <big>כל עגולה</big> תפול בה תמונה בעלת ארבע צלעות הנה כל שתי זויות מתנגדות מזויותיה הנה שתיהן שוות לשתי זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשארו אשר אצל ח"ל המתנגדות כמו שתי נצבות
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי בעגולת אב"ג תמונה בעלת ארבע צלעות והיא תמונת א"ב ג"ד
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|אבל שתי זויות דז"ב דז"ה כמו שתי נצבות
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי כל שתי זויות מתנגדות מזויותיה שוות לשתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות ח"ל כמו שתי זויות דז"ב דז"ה
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נוציא א"ג וב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית דז"ב כמו זוית ח'
+
|style="text-align:right;"|וכל שתי זויות בחתיכה אחת הנה שתיהן שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשארה זוית דז"ה כמו זוית ל'
+
|style="text-align:right;"|הנה זוית בא"ג כמו זוית בד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן יהיו שתי זויות דה"ט דה"ז כמו שתי זויות ח"מ
+
|style="text-align:right;"|וזוית אד"ב גם כן כמו זוית אג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית דה"ט כמו זוית ח'
+
|style="text-align:right;"|הנה כל זוית אד"ג כמו שתי זויות אג"ב וגא"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשארה זוית מ' כמו זוית דה"ז
+
|style="text-align:right;"|ונשים זוית גב"א משותפת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכל משולש הנה זויותיו השלש כמו שתי נצבות
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בא"ג ואג"ב וגב"א כמו שתי זויות אב"ג ואד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושתי זויות דה"ז דז"ה כמו שתי זויות ל"מ
+
|style="text-align:right;"|וזויות גב"א ובא"ג ובג"א יחד כמו שתי זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשארה זוית ד' כמו זוית נ'
+
|style="text-align:right;"|הנה שתי זויות אד"ג ואב"ג המתנגדות כמו שתי זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זויות משלש דה"ז שוות לזויות משולש נל"מ העשוי על עגלת אב"ג המקיף בה
+
|style="text-align:right;"|ובכמו הצורה הזאת תדע כי שתי זויות בא"ד ודג"ב שוות לשתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 4 ===
+
=== Proposition 22 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ד</span> <big>נרצה</big> שנעשה במשולש ידוע עגולה יקיף בה
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כב</span> <big>אי אפשר</big> שיעמודו על קו אחד ישר שתי חתיכות מתדמות מחתיכות העגולות בצד אחד ואחת משתיהן יותר גדולה מן האחרת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים המשולש הידוע משולש אב"ג
+
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר נאמר שיקום על קו א"ב הישר שתי חתיכות דומות מחתיכות העגולות בצד אחד והאחת יותר גדולה מן האחרת והם שתי חתיכות אה"ב ואז"ב והיותר גדולה משתיהן חתיכת אז"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה שנעשה בו עגולה יקיף בה
+
|style="text-align:right;"|ונרשום על קשת אה"ב נקדת ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נחלק זוית אב"ג בשני חצאים בקו ב"ד וזוית בג"א בשני חצאים בקו ג"ה
+
|style="text-align:right;"|ונוציא קו א"ה ונוציאהו עד ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונדביק שני הקוים האלו על ז'
+
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי ה"ב וז"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מן ז' אל קוי א"ב א"ג ב"ג עמודים ז"ה ז"ח ז"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה חתיכת אה"ב דומה לחתיכת אז"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים נקודת ז' מרכז ונקיף במרחק ז"ד עגולה במשלש אב"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אה"ב כמו זוית אז"ב היוצאת המשלש כמו הפנימית זה שקר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי הוא ימשש צלעותיו על נקודות דח"ה
+
|style="text-align:right;"|אם כן לא יעמדו על קו אחד ישר שתי חתיכות דומות מחתיכות העגולים ואחת משתיהם יותר גדולה מן האחרת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>מופתו</big> כי זוית דג"ז כמו זוית דג"ח
+
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית גד"ז נצבת והיא כמו זוית גח"ז
+
=== Proposition 23 ===
 +
 
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות דג"ז גד"ז ממשולש דג"ז כמו שתי זויות זג"ח גח"ז מן משולש גח"ז
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כג</span> <big>כאשר יהיו</big> חתיכות העגולות דומות והיו על קוים ישרים שוים הנה החתיכות גם כן שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וצלע ג"ז משותף לשתיהם יהיה מיתר שתי זויות שוות מזויות שניהם
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי שתי חתיכות אה"ב וגז"ד דומות ועל שני קוים ישרים שוים והם א"ב ג"ד
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי שתי החתיכות שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי צלעות המשולש הנשארות כמו שתי צלעות המשולש האחר הנשארות כל אחת לנכחי אליה
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי אנחנו כאשר הרכבנו חתיכת אה"ב על חתיכת גז"ד ותושבת א"ב על תושבת ג"ד נפלה קשת אה"ב על קשת גז"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה צלע ד"ז כמו צלע ז"ח
+
|style="text-align:right;"|שאם לא תפול ונפל כמו גה"ד והיה תושבת א"ב כבר נפל על תושבת ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן יתבאר כי ז"ח כמו ז"ה
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר עמדו על קו ג"ד הישר שתי חתיכות דומות מחתיכות העגולות בצד אחד ואחת משתיהן יותר גדולה מן האחרת והם גז"ד וגה"ד זה שקר אי אפשר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קוי ז"ח ז"ד ז"ה השלשה שוים
+
|style="text-align:right;"|אם כן חתיכת אה"ב תפול על חתיכת גז"ד הנה היא אם כן שוה אליה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והזויות אשר אצל נקודת דח"ה נצבות
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן העגולה אשר תסבוב על מרכז ז' ובמרחק ז"ד תלך בשתי נקודות ה"ח ותשמש צלע המשלש
+
=== Proposition 24 ===
 +
 
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר עשינו במשולש אב"ג הידוע עגלת הד"ח יקיף בה
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כד</span> <big>נרצה שנשלים</big> חתיכה ידועה מהעגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
+
|style="text-align:right;"|ותהיה חתיכת העגולה הידועה אג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|הנה כאשר רצינו להשלים עגולתה הנה נגיע א"ב ונחלקהו בשני חצאים על ד'
−
=== Proposition 5 ===
 
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ה</span> <big>נרצה</big> לעשות אל משולש ידוע עגולה תקיף בו
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ד' עמוד על א"ב והוא ד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה יהיה המשולש הידוע משולש אב"ג
+
|style="text-align:right;"|ונגיע א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות עליו עגלה תקיף בו
+
|style="text-align:right;"|ונעמיד על קו א"ג הישר על נקודת א' ממנו זוית שוה לזוית אג"ד ישרת שתי הצלעות והיא זוית גא"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נחלק כל אחד משתי הצלעות א"ב א"ג בשני חצאים על שתי נקודות ד"ה
+
|style="text-align:right;"|וזוית דג"א יותר קטנה מנצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעמיד על שני קוי א"ב א"ג שני קוים על זויות נצבות והם ד"ז ה"ז
+
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות דג"א וגא"ה יותר קטנות משתי נצבות וירחקו אל לא תכלית יפגשו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונדביק קוי ז"א ז"ג ז"ב
+
|style="text-align:right;"|ונאמר שיפגשו שני קוי א"ה ג"ד על נקדת ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי א"ה שוה לקו ה"ב וקו ז"ה משותף יהיו כל שני קוי א"ה ה"ז כמו כל שני קוי ב"ה ה"ז כל אחד אצל הנכחי לו
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קו ב"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית אה"ז הנצבת שוה לזוית בה"ז הנצבת
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי זוית גא"ה שוה לזוית אג"ח יהיה צלע א"ה שוה לצלע ה"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת א"ז שוה לתושבת ב"ז
+
|style="text-align:right;"|וזה כי שתי זויות משולש הא"ג אשר הן על התושבת שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי קו א"ז שוה לקו ג"ז
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מפני כי צלע א"ד שוה לצלע ד"ב וקו ד"ה משותף הנה כל אחד משני קוי א"ד ד"ה שוים לכל אחד משני קוי ב"ד ד"ה כל אחד לנכחי אליו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קוי א"ז ז"ג ז"ב שוים
+
|style="text-align:right;"|וזוית אד"ה שוה לזוית בד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כאשר שמנו נקודת ז' מרכז וסבבנו במרחק א"ז עגולה הלכה בנקודת אב"ג הנה נקוה העגולה הזאת ויהיה עליה אב"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה תושבת א"ה שוה לתושבת ב"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר עשינו אל משולש אב"ג עגולה תקיף בו
+
|style="text-align:right;"|והיה כבר התבאר כי קו א"ה שוה לקו ה"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|הנה קוי א"ה ה"ג ה"ב השלשה שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|וכאשר שמנו נקודת ה' מרכז וסבבנו עגולה במרחק ה"א ה"ב ה"ג הלכה בנקודת השלש ונקוה העגולה הזאת והיא עגולת אז"ב
−
=== Proposition 6 ===
+
|-
−
 
 
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה קוינו אל עגולת אג"ב חתיכה ממנה והיא עגולת אז"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ו</span> <big>נרצה</big> לעשות בעגולה ידועה מרובע תקיף בו
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבארו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגלה הידועה עגולת אב"ג
+
=== Proposition 25 ===
−
|-
+
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות בה שטח מרובע תקיף בו
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נוציא בה שני קטרים יתחתכו על זוית נצבת והם א"ג ב"ד
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כה</span> <big>כאשר היו בעגולות</big> שוות שתי זויות שוות הנה הן על שתי קשתות שוות על המרכז היו או על הקו המקיף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא קוים א"ב א"ד ב"ג ג"ד
+
|style="text-align:right;"|<big>דמיונו</big> כי שתי עגולות אב"ג דה"ז שוות ומרכזי שתיהן ח"ט ובשתיהן שתי זויות שוות על המרכז והם בח"ג הט"ז
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ב"ה כמו קו ה"ד וקו א"ה משותף הנה כל שני קוי ב"ה א"ה כמו כל שני קוי ד"ה א"ה
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי קשת ב"ג כמו קשת ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בה"א כמו זוית דה"א
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נוציא משתי נקודות א"ד משתי קשתות בא"ג הד"ז קוי א"ב ב"ג ד"ה ד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת א"ב כמו תושבת א"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ח"ב כמו ט"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי ב"ג כמו ג"ד
+
|style="text-align:right;"|וח"ג כמו ט"ז מפני כי שניהם בעגולות שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן ג"ד כמו א"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה כל אחת מב"ח ג"ח כמו כל אחת מן ה"ט ט"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מרובע א"ב ג"ד שוה הצלעות והזויות אשר בחצי העגלות נצבות
+
|style="text-align:right;"|וזוית בח"ג כמו זוית הט"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל הזויות אשר אצל נקדות א"ב ג"ד כל אחת מהן נצבת
+
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ב"ג כמו תושבת ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר שאנחנו כבר עשינו בעגולת א"ב ג"ד הידועה מרובע
+
|style="text-align:right;"|וזוית בח"ג כפל זוית בא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|וזוית חט"ז כפל הד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|וכבר היתה זוית בח"ג כמו זוית הט"ז
−
=== Proposition 7 ===
 
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> <big>נרצה</big> לעשות על עגלה ידועה מרובע יקיף בה
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בא"ג כמו זוית הד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגולה הידועה עגלת אב"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן חתיכת בח"ג דומה לחתיכת הד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשו' עליה מרובע יקיף בה
+
|style="text-align:right;"|ושתי החתיכות שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא בה שני קטרים יתחתכו על זויות נצבות והם א"ג ב"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן קשת ב"ג הנשארת כמו קשת ה"ז הנשארת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודות א'ב'ג'ד' קוי ז"ח ז"ט ט"כ כ"ח ממששים לעגולה
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי השתי זויות השוות אשר בעגולת שוות תהיינה על שתי קשתות שוות אם היו על המרכז או היו על הקו המקיף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והוא שנוציאם על זויות נצבות על קצות הקטרים
+
|style="text-align:right;"|ונ"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה ז"ח ימשש לעגולה
+
=== Proposition 26 ===
−
|-
+
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר הוצא ממקום אשר ימששה קו א"ה אל המרכז
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הוא עמוד על ז"ח
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כו</span> <big>כאשר תהיינה</big> בעגולות שוות שתי זויות על שתי קשתות שוות הנה הזויות שוות היו על המרכז או על הקו המקיף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושתי זויות זא"ה הא"ח נצבות
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי שתי עגולות אב"ג דה"ז שוות ושתי קשתות ב"ג ה"ז שוות עליהן שתי זויות בט"ג הח"ז והם על המרכז או לא אבל היו על הקו המקיף
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|וכן תהיינה הזויות אשר אצל נקדות בג"ד נצבות
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי שתיהם שוות אי אפשר כי אם זה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות בה"א זא"ה שתי נצבות
+
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר נאמר שתהיה זוית בט"ג קטנה מזוית הח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ה"ב ז"א נכחיים
+
|style="text-align:right;"|ונעמיד על נקודת ח' מקו ה"ח זוית הח"ז כמו בט"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן יהיו שני קוי ז"ב א"ה נכחיים
+
|style="text-align:right;"|הנה קשת ב"ג כמו קשת ה"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שטח ז"ב ה"א נכחי הצלעות הנה צלעותיו וזויותיו המתנגדות שוות
+
|style="text-align:right;"|אבל קשת ה"ז היה כמו קשת ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן צלע ז"א כמו צלע ב"ה
+
|style="text-align:right;"|הנה קשת ה"ז כמו ה"כ
 
|-
 
|-
−
|
+
|The greater is as the smaller = error.
−
|style="text-align:right;"|וכן יהיה ב"ה כמו ט"ג
+
|style="text-align:right;"|הגדולה כמו הקטנה זה שקר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וא"ח כמו ה"ד וכמו ג"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה אם כן אין בט"ג בלתי שוה לזוית הח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה ב"ד כמו ז"ח וכמו ט"כ
+
|style="text-align:right;"|אם כן היא שוה לה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ולכן א"ג כמו ט"ז וכמו ח"כ
+
|style="text-align:right;"|ושתי הזויות אשר תהיינה על קשת בא"ג הד"ז חציי זויות בט"ג הח"ז השוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שטח ז"ט כ"ח שוה הצלעות
+
|style="text-align:right;"|אם כן הן שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וב"ה ינגד א"ז
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר נפל עליהם קו ב"ז
+
=== Proposition 27 ===
 +
 
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות הב"ז אז"ב הפנימיות כמו שתי נצבות
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כז</span> <big>המיתרים השוים</big> אשר בעגולות השוות יבדילו קשתות שוות הגדולה לגדולה והקטנה לקטנה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית הב"ז נצבת
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי שתי עגולות אב"ג דה"ז שוות ושני מיתרי ב"ג ה"ז הם שוים
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי שניהם יבדילו קשתות שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשארה זוית אז"ב נצבת
+
|style="text-align:right;"|אולם קשת ב"ג כמו קשת ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן תהיה כל אחת מהזויות אשר אצל נקדות טכ"ח נצבות
+
|style="text-align:right;"|ואולם קשת בא"ג כמו קשת הד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ז"ט כ"ח מרובע והוא עשוי על עגלת א"ב ג"ד
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני המרכזים ט"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
+
|style="text-align:right;"|ונוציא ט"ב ט"ג וה"ח וח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ט"ב כמו קו ה"ח
−
=== Proposition 8 ===
 
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> <big>נרצה</big> לעשות במרובע ידוע עגלה יקיף בה
+
|style="text-align:right;"|וקו ט"ג כמו קו ח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים המרובע א"ב ג"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה כל שני קוי ב"ט ט"ג כמו שני קוי ה"ח ח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונחלק כל אחד מקוי א"ד א"ב בשני חצאים על שתי נקודות ה"ז
+
|style="text-align:right;"|ותושבת ב"ג כמו תושבת ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא משתי נקודות ה"ז שני קוי ה"ח ז"ט על זויות נצבות הנה כל אחד משטחי א"ח ה"ג א"ט ז"ג נכחי הצלעות
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בט"ג כמו זוית הח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הזויות אשר אצל ח"ט נצבות כי הם יקבילו הזויות הנצבות אשר אצל נקדות בא"ד מן המרבע הידוע
+
|style="text-align:right;"|וקשת ב"ג כמו קשת ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והזויות אשר אצל ה"ז נצבות
+
|style="text-align:right;"|והעגולה כמו העגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי א"ב כמו א"ד יהיה א"ז כמו א"ה
+
|style="text-align:right;"|אם כן בא"ג כמו קשת הד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי א"ז וא"ה חציי א"ב א"ד
+
|style="text-align:right;"|וזה שרצינו לבארו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו א"ה כמו ב"ח כי הוא יקבילהו
+
=== Proposition 28 ===
−
|-
+
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וז"כ כמו א"ה גם כן
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וז"א כמו כ"ה וד"ט
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כח</span> <big>השתי קשתות</big> מן העגולות השוות יבדילום מיתרים שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן ה"ד כמו ב"ט
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שתי עגולות אב"ג דה"ז שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וג"ח וז"ב כמו כ"ח וט"ג
+
|style="text-align:right;"|ומשתיהן שתי קשתות ב"ג ה"ז שוות
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטחי א"כ ח"ט ז"ח כ"ג הארבעה מרובעים שוים
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי השני מיתרים והם ב"ג ה"ז שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יהיו קוי כ"ז כ"ה כ"ט כ"ח הארבעה שוים
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי נשים המרכזים ט"ח ונוציא ט"ב ט"ג ה"ח ח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי הזויות המוצאות מקצוי אלו הקוים נצבות
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ט"ב כמו קו ה"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כאשר שמנו נקודת כ' מרכז
+
|style="text-align:right;"|וקו ט"ג כמו קו ח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וסבבנו במרחק כל אחד מקוי כ"ז כ"ה כ"ח כ"ט עגולה
+
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ב"ט ט"ג כמו שני קוי ה"ח ח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הלכה העגולה בנקדות ז"ה ט"ח ותמשש צלעות א"ב ג"ד
+
|style="text-align:right;"|והזויות אשר יפלו בחתיכות השוות שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי שני קוי ז"ט ה"ח שני קטרי העגולה והזויות אשר אצל קצויהם נצבות
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בט"ג כמו זוית הח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן צלעות מרובע א"ב ג"ד כאשר קוינו העגלה הזאת תמששם
+
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ב"ג כמו תושבת ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הנה נקוה העגולה במרובע המונח ותהיה ממששת לצלעות א"ב ג"ד ב"ג א"ד מפני כי הזויות אשר אצל נקדות ה"ז ח"ט נצבות
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי שני מיתרי ב"ג ה"ז שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבארו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
=== Proposition 29 ===
  
−
=== Proposition 9 ===
+
|
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> <big>נרצה</big> לעשות על מרובע ידוע עגלה מקיף בו
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כט</span> <big>נרצה לחתוך</big> קשת ידועה בשני חצאים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים המרובע הידוע מרובע א"ב ג"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה נשים הקשת הידועה בא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות עליו תקיף בו
+
|style="text-align:right;"|ונרצה לחתוך אותה בשני חציים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נוציא שני קוי א"ג ב"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה נגיע ב"ג ונחלקהו בשני חציים על ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה א"ב כמו א"ד
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מן ד' אל קשת בא"ג קו א"ד על זוית נצבת על קו ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בא"ד נצבת
+
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי א"ב א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות אד"ב אב"ד כל אחת חצי נצבת
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ב"ד כמו קו ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן יהיו שתי זויות דא"ג דג"א כל אחת חצי נצבת
+
|style="text-align:right;"|ונשים א"ד משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אד"ב כמו זוית דא"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה שני קוי ב"ד ד"א כמו שני קוי ג"ד ד"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן צלע א"ה כמו צלע ה"ד
+
|style="text-align:right;"|וזוית בד"א כמו זוית גד"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן יהיה ב"ה כמו ה"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת א"ב אשר הוא מיתר קשת א"ב כמו תושבת א"ג אשר הוא מיתר קשת א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וה"ג כמו ד"ה
+
|style="text-align:right;"|הנה קשת א"ב אם כן כמו קשת א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|א"כ ה"ד ה"א ה"ב ה"ג שוים
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר חתכנו קשת בא"ג בשני חציים על נקודת א'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה על מרכז ה' ובמרחק ה"ג הקפנו עגולה מוקפת במרובע א"ב ג"ד
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
=== Proposition 30 ===
−
|-
 
−
|
 
−
 
 
−
=== Proposition 10 ===
 
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י</span> <big>נרצה</big> לעשות משולש שוה השוקים תהיה כל אחת מזויותיו אשר על התושבת כפל הזוית הנשארת
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל</span> <big>כאשר היתה</big> בחתיכת העגולה זוית ישרת שני הקוים מורכבת על הקשת והיתה החתיכה חצי עגולה הנה הזוית נצבת ואם היתה יותר גדולה מחצי העגולה הנה היא חדה ואם היתה יותר קטנה מחצי עגולה הנה היא נרחבת וזוית החתיכה אשר היא יותר גדולה מחצי עגולה הנה היא נרחבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נקוה קו א"ב ונחלקהו על ג' חלוקה יהיה בה א"ב בב"ג כמו א"ג בעצמו
+
|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה כי עגולת אב"ג קוטרה א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים נקודת א' מרכז ונקוה על מרכז א' ובמרחק א"ב עגלת הב"ד
+
|style="text-align:right;"|ונרשו' על הקשת נקדת ד' איך שתפול ונוציא ממנה מיתרי א"ד ד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מן ב' מיתר יהיה שוה אל א"ג והוא ב"ד
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> נאמר כי זוית אד"ב אשר בחצי העגולה נצבת וכאשר היתה הזוית ביותר גדולה מחצי העגולה הנה היא חדה וכאשר היתה ביותר קטנה מחצי העגולה הנה היא נרחבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי א"ד ג"ד
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נרשום על קשת א"ד נקדת ז' איך שתפול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונקוה על משולש אג"ד עגלה תקיף בו והיא עגלת אג"ד
+
|style="text-align:right;"|ונשים המרכז ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה יהיה א"ב בב"ג כמו א"ג בעצמו
+
|style="text-align:right;"|ונוציא קוים א"ז ד"ז ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וג"א כמו ב"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ה"ד כמו קו ה"ב מפני כי המרכז נקודת ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יהיה א"ב בב"ג כמו ב"ד בעצמו
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית הב"ד כמו זוית הד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונקודת ב' חוץ מעגולת אג"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה שתיהן כפל זוית הד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר יצאו ממנה אל עגלת אג"ד שני קוים אחד מהם יחתכה והוא א"ב והאחר יכלה אליה והוא ב"ד
+
|style="text-align:right;"|אבל זוית אה"ד החיצונה מן המשולש כמו שתי זויות הד"ב הב"ד הפנימיות יחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואשר מן א"ב בב"ג כמו ב"ד בעצמו
+
|style="text-align:right;"|הנה היא כפל זוית הד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ב"ד ימשש עגולת אג"ד
+
|style="text-align:right;"|ולכן תהיה זוית דה"ב כפל זוית הד"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר יצא מהמקום שימששה קו ד"ג ויחתוך העגולה על זולת המרכז
+
|style="text-align:right;"|ושתי זויות דה"א דה"ב כמו שתי זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנה שתי הזויות אשר משני צדדיו כמו אשר יפלו בשתי חתיכות העגולה המומרות לשתיהן
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אד"ב אשר בחצי עגולת אד"ב נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גד"ב כמו זוית גא"ד וזוית גד"א משותפת אם כן כל זוית בד"א כמו שתי זויות גד"א דא"ג
+
|style="text-align:right;"|וזוית דב"א יותר קטנה מנצבת והיא בקשת יותר גדולה מחצי עגולה והיא קשת ד"ב ג"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל שתי זויות גד"א דא"ג שתיהן יחד כמו זוית בג"ד החיצונה מן המשולש
+
|style="text-align:right;"|וכל תמונה בעלת ארבע צלעות תפול בעגולה הנה כל שתי זויות מקבילות מזויותיה שוות לשתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בג"ד כמו זוית בד"א
+
|style="text-align:right;"|וזוית דב"א יותר קטנה מנצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בד"א כמו זוית דב"א
+
|style="text-align:right;"|ונשאר זוית דז"א יותר גדולה מנצבת והיא בקשת אז"ד אשר היא יותר קטנה מחצי העגולה
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
|style="text-align:right;"|<big>ואומר</big> כי הזוית אשר תקיף בה קשת ב"ד ומיתר א"ד נרחבת והיא זוית חתיכת א"ג ב"ד אשר היא יותר גדולה מחצי העגולה ושהזוית אשר יקיפו בה קשת אז"ד ומיתר א"ד חדה והיא זוית חתיכת א"ד והיא יותר קטנה מחצי העגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית דב"א כמו זוית בג"ד
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנו נוציא מיתר ב"ד אל ח'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן צלע ב"ד כמו צלע ג"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי זוית אד"ב נצבת היתה הזוית אשר יקיפו בה מיתר א"ד וקשת ד"ב נרחבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וב"ד כמו א"ג
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי שתי זויות אד"ב אד"ח כמו שתי נצבות וזוית אד"ב נצבת תשאר זוית אד"ח נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן א"ג כמו ג"ד
+
|style="text-align:right;"|והיתה הזוית אשר יקיפו בה קשת אז"ד ומיתר א"ד יותר קטנה מזוית אד"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גא"ד כמו זוית גד"א
+
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושתי זויות גא"ד גד"א יחד כפל זוית גא"ד
+
|style="text-align:right;"|<big>אמר תבאת</big> מצאנו בקצת הנוסחאות מהיונים לתמונה הזאת מופת אחר על היות זוית אד"ב נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בג"ד החיצונה מן משולש אג"ד כמו שתי זויות גא"ד גד"א יחד
+
|style="text-align:right;"|והוא כי קו א"ה כמו ה"ד אם כן זוית הא"ד כמו זוית הד"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בג"ד כפל זוית דא"ג
+
|style="text-align:right;"|וקו ה"ד שוה לקו ב"ה אם כן זוית הב"ד כמו זוית הד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בג"ד כמו זוית אב"ד וכמו זוית אד"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה כל זוית אד"ב שוה לשתי זויות בא"ד אב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל אחת משתי זויות אב"ד אד"ב כפל זוית בא"ד
+
|style="text-align:right;"|וזוית אד"ח גם כן שוה לשתי זויות בא"ד אב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר עשינו משולש שוה השוקים עליו אב"ד תהיה כל אחת מזויותיו אשר על תושבת ב"ד כפל הזויות הנשארות
+
|style="text-align:right;"|הנה זוית אד"ב שוה לזוית אד"ח הנה היא אם כן נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 4,864: Line 5,672:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
=== Proposition 31 ===
−
=== Proposition 11 ===
 
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יא</span> <big>נרצה</big> לעשות בעגולה ידועה מחמש שוה הצלעות והזויות אשר תקיף בו
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לא</span> <big>כל קו</big> ימשש העגולה ויצא מן המקום אשר ימששה קו ישר יחתוך העגולה ולא יעבור במרכז הנה השתי זויות אשר משני צדדיו כמו השתי זויות אשר תפולנה בשתי חתיכות העגולה המומרות להם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגולה הידועה עגולת אב"ג
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי קו ד"ה ימשש עגולת אב"ג על ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות בה מחומש שוה הצלעות והזויות תקיף בו
+
|style="text-align:right;"|ויצא מב' קו ב"ז וחתך העגולה על זולת המרכז
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|הנה נעשה משולש שוה השוקים תהיה כל אחת מזויותיו אשר על התושבת כפל הזוית הנשארת והוא משולש דה"ז
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי שתי זויות זב"ד זב"ה כמו השתי זויות אשר יפלו בשתי חתיכות זט"ב זא"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעשה בעגולת אב"ג משולש אב"ג שות זויותיו לזויות משולש דה"ז
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נרשום על קשת ז"ב נקודת ט' איך שתפול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל אחת משתי זויות אב"ג אג"ב כפל זוית בא"ג
+
|style="text-align:right;"|ויהיה המרכז ח'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונחלק זוית אב"ג בשני חצאים בקו ב"ח וזוית אג"ב בקו ג"ט
+
|style="text-align:right;"|ונוציא ב"ח ויעבור אל א'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא קוי א"ט ט"ב ב"ג א"ח ח"ג
+
|style="text-align:right;"|ונוציא קוים ב"ט ט"ז א"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל אחת משתי זויות אב"ג אג"ב כפל זוית בא"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה קו דב"ה ימשש עגולת אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר נחלקה כל אחת מהן בשני חצאים אם כן זוית בא"ג אג"ט טג"ב חב"ג חב"א החמש שוות
+
|style="text-align:right;"|וכבר הוצא מן המרכז קו א"ב הנה הוא עמוד על קו דה"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קשתות א"ט ט"ב ב"ג ג"ח ח"א החמשה שוים
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אב"ה נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מחומש אטבג"ח שוה הצלעות
+
|style="text-align:right;"|וזוית אז"ב נצבת כי היא בחצי העגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקשת ב"ט כמו קשת ג"ח
+
|style="text-align:right;"|ונשים זוית זב"א משותפת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים קשת טא"ח משותף אם כן כל קשת ב"ט א"ח כמו כל קשת ג"ח א"ט
+
|style="text-align:right;"|הנה כל זוית זב"ה כמו שתי זויות אז"ב זב"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית גב"ט על קשת ג"ח ט"א וזוית בג"ח על קשת ח"א ט"ב
+
|style="text-align:right;"|ושתי זויות דב"ז זב"ה כמו שתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גב"ט כמו זוית בג"ח
+
|style="text-align:right;"|אבל שלש זויות בא"ז אז"ב אב"ז מן המשולש כמו שתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן יהיו זויות גח"א חא"ט אט"ב כמו כל אחת משתי זויות בג"ח וכן גב"ט
+
|style="text-align:right;"|אם כן הם יחד כמו שתי זויות דב"ז זב"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מחומש טבגח"א שוה הצלעות והזויות הנה כבר נעשה בעגולת אב"ג
+
|style="text-align:right;"|וזוית זב"ה כמו שתי זויות אז"ב זב"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זב"ד הנשארת כמו זוית זא"ב והיא בחתיכת זא"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|וכל תמונה בעלת ארבע צלעות בעגולה הנה כל שתי זויות מקבילות מזויותיה כמו שתי נצבות
−
=== Proposition 12 ===
+
|-
−
 
 
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות זט"ב זא"ב כמו שתי נצבות ושתיהן כמו שתי זויות זב"ה זב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יב</span> <big>נרצה</big> לעשות על עגולה ידועה מחמש שוה הצלעות והזוית יקיף בה
+
|style="text-align:right;"|וזוית זב"ד כמו זוית זא"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו נקודות זויות המחמש נקודות א'ב'ג'ד'ה'
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זט"ב הנשארת כמו זוית זב"ה הנשארת והיא בחתיכת זט"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונעביר על אלו הנקודות קוים ממששים לעגלה עליהם כ"ל ל"ז ז"ח ח"ט ט"כ
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים מרכז העגולה מ'
+
=== Proposition 32 ===
 +
 
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי מ"כ מ"ב מ"ל מ"ג מ"ז מ"ד מ"ח מ"ה מ"ט מ"א
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לב</span> <big>נרצה לעשות</big> על קו ידוע חתיכת עגולה תקביל זוית כמו זוית מונחת ישרת שני הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי שני קוי ג"ז ז"ד כבר יצאו מנקודת ז' ומששו עגולת אבגד"ה יהיה קו ג"ז שוה לקו ז"ד וקו ז"מ משותף הנה כל שני קוי ג"ז ז"מ שוים לכל שני קוי ד"ז ז"מ כל אחת לדומה לו
+
|style="text-align:right;"|הנה נשים קו א"ב הידוע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותושבת ג"מ שוה לתושבת מ"ד
+
|style="text-align:right;"|והזוית הידועה גד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי שתיהן יוצאות ממרכז העגולה אל הקו המקיף
+
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות על קו א"ב חתיכת עגולה תקביל זוית כמו זוית גד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גז"מ שוה לזוית דז"מ
+
|style="text-align:right;"|הנה נעמיד על קו א"ב על נקודת א' ממנו זוית בא"ז כמו זוית גד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו מ"ז כבר חלק בם זוית גז"ד בשני חצאים
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת א' ממנו קו א"ח על זוית נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי זויות הח"ד אט"ה בל"א בל"ג כבר חלקום קוי מ"ח מ"ט מ"כ מ"ל בשני חצאי'
+
|style="text-align:right;"|ונעמיד על קו א"ב על נקודת ב' ממנו זוית אב"ח כמו זוית בא"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ג"מ שוה לקו מ"ד וקו מ"ז משותף אם כן כל שני קוי ג"מ מ"ז שוים לכל שני קוי ז"מ מ"ד כל אחד לדומה לו
+
|style="text-align:right;"|ויפגשו שתי צלעות א"ח א"ב על נקודת ח' מפני כי שתיהן יצאו מפחות משתי זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותושבת ג"ז שוה לתושבת ז"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן צלע א"ח כמו ח"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גמ"ז שוה לזוית זמ"ד
+
|style="text-align:right;"|ונשים המרכז ח'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גמ"ד כבר נחלקה בשני חצאים בקו מ"ז
+
|style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|1855,2498|Bgcx}}נקיף עגולה{{#annotend:Bgcx}} במרחק א"ח ב"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי זויות דמ"ה המ"א אמ"כ כמ"ג כבר חלקום קוי מ"ט מ"ח מ"כ מ"ל בשני חצאים
+
|style="text-align:right;"|הנה בעבור כי זוית זא"ח נצבת הנה קו א"ז ימשש עגולת א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי קשת ד"ה שוה לקשת ג"ד כי היה מיתר צלעות מחומש תהיה זוית גמ"ד שוה לזוית דמ"ה
+
|style="text-align:right;"|וכבר יצא ממקום משושם קו א"ב וחתך העגולה על זולת המרכז הנה בשתי צדדיו שתי זויות כמו השתי זויות אשר יפלו בשתי חתיכות העגולה המומרות לשתיהן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם זוית גמ"ד הנה היא כפל זוית דמ"ז
+
|style="text-align:right;"|אם כן זא"ב כמו אשר יפול בחתיכת א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם זוית המ"ד הנה היא כפל דמ"ח
+
|style="text-align:right;"|אבל זוית זא"ב כמו זוית גד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זמ"ד שוה לזוית דמ"ח
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גד"ה כמו אשר תפול בחתיכת א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית מד"ח נצבת מפני כי קו ד"מ אשר יעבור במרכז כבר יצא ממקום המשוש ולכן תהיה מד"ז נצבת
+
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות זמ"ד מד"ז ממשולש זמ"ד שוות לשתי זויות דמ"ח חד"מ ממשולש מד"ח כל אחת לדומה לה וקו מ"ד משותף בין שתיהם אם כן הצלעות הנשארות שוות לצלעות הנשארות כל אחת לדומה לה
+
 
−
|-
+
=== Proposition 33 ===
 +
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז שוה לד"ח
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית מז"ד שוה לזוית מח"ד הנשארת
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לג</span> <big>נרצה</big> שנבדיל מעגולה ידועה חתיכה תקביל זוית ידועה ישרת שני הקוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי קו ל"ג שוה לקו ג"ז
+
|style="text-align:right;"|ונשים העגולה הידועה עגולת אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו ג"ז שוה לקו ג"ל וכפל ג"ז הוא ז"ל וכפל ז"ד הוא ז"ח יהיה ז"ח שוה לקו ז"ל
+
|style="text-align:right;"|והזוית הידועה ישרת שני הקוים זוית דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי קו ז"ח שוה לקו ח"ט
+
|style="text-align:right;"|ונרצה שנבדיל מעגולת אב"ג חתיכה תקביל זוית כמו זוית דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושקו ח"ט שוה לקו ט"כ
+
|style="text-align:right;"|ונעביר על נקודת ג' קו חג"ט ממשש לעגולת אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושקו ט"כ שוה לקו כ"ל
+
|style="text-align:right;"|ונעמיד על קו ג"ח על נקודת ג' ממנו זוית בג"ח כמו זוית דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושקו כ"ל שוה לקו ל"ז
+
|style="text-align:right;"|הנה קו חג"ט ימשש עגולת אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קוי כ"ל ל"ז ז"ח ח"ט ט"כ שוים
+
|style="text-align:right;"|וכבר יצא מהמקום אשר ימששה קו ב"ג יחתוך העגולה על זולת המרכז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומחומש זחטכ"ל שוה הצלעות
+
|style="text-align:right;"|הנה משתי צדדיו שתי זויות אשר יפלו בשתי חתיכות העגולה המומרות לשתיהן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואומר שהוא שוה הזויות
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בג"ח כמו אשר תפול בחתיכת גא"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי כפל זוית מז"ד היא זוית גז"ד וכפל זוית מח"ד היא זוית הח"ד תהיה זוית גז"ד שוה לזוית הח"ד
+
::<math>\scriptstyle\measuredangle BGC=\measuredangle DHZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל זוית בג"ח כמו זוית דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי זוית זח"ט שוה לזוית כט"ח
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית דה"ז כמו אשר תפול בחתיכת גא"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושזוית כט"ח שוה לזוית לכ"ט
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר הבדלנו מעגולת אב"ג הידועה חתיכת גא"ב תקביל זוית כמו זוית דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושזוית לכ"ט שוה לזוית לז"ח
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זויות אשר עליהן לכ"ט כל"ז לז"ח זח"ט חט"כ שוות
+
=== Proposition 34 ===
 +
 
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מחומש זחטכ"ל שוה הזויות
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לד</span> <big>כל שני</big> מיתרים יתחתכו בעגולה הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בה שני חלקי אחד משניהם המיתרים כמו השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני חלקי המיתר האחר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר ביארנו שהוא שוה הצלעות והוא יקיף בעגלת אבג"ד
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> שני חלקי מיתרי א"ג ב"ד יתחתכו בעגולת א"ב ג"ד על נקודת ה'
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle AH\times HG=DH\times HB</math>
 +
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ה ה"ג שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ד"ה ה"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו ביאורו
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> שנשים מרכז עגולת א"ב ג"ד נקודת ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קו ז"ה
−
=== Proposition 13 ===
 
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יג</span> <big>נרצה</big> לעשות במחומש ידוע שוה הצלעות והזויות עגלה יקיף בה
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מן נקודת ז' אל שני קוי א"ג ב"ד שני עמודי ז"ח ז"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים המחומש הידוע השוה הצלעות והזויות אבגד"ה
+
|style="text-align:right;"|ונגיע שני קוי ז"ג ז"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות בו עגלה יקיף בה
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני שכבר יצא ממרכז עגולת א"ב ג"ד קו ישר והוא קו ז"ח וחתך א"ג על זויות נצבות הנה כבר חלקו בשני חצאים על נקודת ח' ובשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נחלק שתי זויות בג"ד דג"ה כל אחת בשני חצאים בשני קוי ז"ג ז"ד
+
*<math>\scriptstyle\left(AH\times HG\right)+CH^2=GC^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|יהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ה ה"ג עם המרובע המתהוה מן ה"ח שוה למרובע ההוה מן ג"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי א"ז ז"ב ה"ז
+
|style="text-align:right;"|ונשים המרובע ההוה מן ז"ח משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ז' אל קוי א"ב ב"ג ג"ד ה"ד א"ה עמודים ז"ח ז"ט ז"כ ז"ל ז"מ
+
*<math>\scriptstyle\left(AH\times HG\right)+HC^2+CZ^2=ZC^2+CG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ה ה"ג עם שני המרובעים ההוים משני קוי ה"ח ח"ז שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ז"ח ח"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי צלע ב"ג שוה לצלע ג"ד כי המחומש הוא שוה הצלעות וקו ז"ג משותף יהיו כל שני קוי ב"ג ג"ז שוים לכל שני קוי ג"ד ג"ז כל אחד לגילו
+
:*<math>\scriptstyle ZC^2+HC^2=ZH^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל שני המרובעים ההוים משני קוי ז"ח ה"ח שוים למרובע ההוה מן ז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בג"ז שוה לזוית זג"ד
+
::<math>\scriptstyle\measuredangle HCZ=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית הח"ז נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ב"ז שוה לתושבת ז"ד
+
:*<math>\scriptstyle ZC^2+HG^2=ZG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שני המרובעים ההוים משני קוי ז"ח ח"ג שוים למרובע ההוה מן ז"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומשולש בג"ז שוה למשולש זד"ג
+
*<math>\scriptstyle\left(AH\times HG\right)+ZH^2=ZG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ה ה"ג עם המרובע ההוה מן ז"ה שוה למרובע ההוה מן ז"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושאר הזויות שוות לשאר הזויות אשר היו מיתריהם הצלעות השוות
+
*<math>\scriptstyle\left(DH\times HB\right)+ZH^2=ZB^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי השטח הנצב הזויו' אשר יקיפו בו שני קוי ד"ה ה"ב עם המרובע ההוה מן ז"ה שוה למרובע ההוה מן ז"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גב"ז שוה לזוית זא"ג
+
:*<math>\scriptstyle ZB^2=ZG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|והמרובע ההוה מן ז"ב שוה למרובע ההוה מן ז"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשארה זוית אב"ז שוה לזוית זד"ה
+
*<math>\scriptstyle\left(AH\times HG\right)+ZH^2=\left(DH\times HB\right)+ZH^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ה ה"ג עם המרובע ההוה מן ז"ה שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ד"ה ה"ב עם המרובע ההוה מן ז"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle AH\times HG=DH\times HB</math>
−
|style="text-align:right;"|ותהיה זוית זד"ה שוה לזוית זד"ג
+
|style="text-align:right;"|וכאשר חסרנו המשותף והוא המרובע ההוה מן ז"ה נשאר השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ד"ה ה"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה זוית אב"ז שוה לזוית זד"ג
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר היתה זוית זד"ג שוה לזוית זב"ג
+
=== Proposition 35 ===
−
|-
+
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אב"ז שוה לזוית זב"ג
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אב"ג כבר נחלקה בשני חצאים כל אחת בקו ב"ז
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לה</span> <big>כאשר רשמת</big> נקודה חוץ מעגולה והוצאו ממנה שני קוים ישרים אל העגולה אחד משתיהם יחתכה והאחר ימששה הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו הקו כלו אשר יחתוך העגולה עם הקו אשר יפול ממנו חוץ לעגולה שוה למרובע ההוה מן הקו הממשש
 
|-
 
|-
−
|
+
|Example: <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>.
−
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי כל אחת משתי זויות בא"ה אה"ד כבר נחלקה כל אחת בשני חציים בשני קוי א"ז ז"ה
+
|style="text-align:right;"|ותהיה העגולה אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי זוית בג"ז שוה לזוית זג"ד וזוית זח"ג נצבת והיא שוה לזוית זמ"ג יהיו כל שתי זויות זמ"ג זג"מ שוות לכל שתי זויות זח"ג זג"ח כל אחת לנכחי לה וקו ז"ג משותף לשני המשולשים יחד יהיו הצלעות הנשארות שוות לשתי הצלעות הנשארות כל אחד לנכחי לו
+
|style="text-align:right;"|והנקודה אשר נרשמה חוץ ממנה נקודת ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו מ"ז שוה לקו ז"ח
+
|style="text-align:right;"|ונוציא ממנה אל עגולת אב"ג שני קוי ד"א ד"ג הישרים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי קו ח"ז שוה לקו ז"ט
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ד"ג מהם חותך לעגולה וקו א"ד ממשש אותה
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: <math>\scriptstyle\left(BD\times DG\right)=AD^2</math>
−
|style="text-align:right;"|וקו ז"ט לקו ז"כ
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג שוה למרובע ההוה מן א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו ז"כ לקו ז"ל
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> שנשים המרכז ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו ז"ל לקו ז"מ
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ה' אל קו ב"ג עמוד ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה הקוים החמשה אשר עליהם ח"ז ז"ט ז"כ ל"ז ז"מ שוים
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי א"ה ג"ה ה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר שמנו נקודת ז' מרכז וסבבנו במרחק אחת מנקודות ח'ט'כ'ל'מ' עגולה עברה העגולה על שאר הנקודות ומששה צלעות מחומש אבגד"ה מפני כי הזויות אשר אצל נקודות ח'ט'כ'ל'מ' נצבות ונקוה העגולה הזאת והיא עגולת חטכל"מ
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי בעגולת אב"ג קו יצא מן המרכז והוא ה"ז וכבר חתך את ב"ג על זוית נצבת הנה הוא חתכו בשני חצאים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר עשינו במחומש אבגד"ה עגולה יקיף בה והיא עגולת חטכל"מ
+
*<math>\scriptstyle BZ=ZG</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו ב"ז שוה לקו ז"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו ביאורו
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו ב"ג כבר נחלק בשני חלקים על נקודת ז' ונוסף בו קו ב"ד על יושר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
*<math>\scriptstyle\left(BD\times DG\right)+ZG^2=DZ^2</math>
−
=== Proposition 14 ===
+
|style="text-align:right;"|יהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג עם המרובע ההוה מן ז"ג כמו המרובע ההוה מן ד"ז בעצמו
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יד</span> <big>נרצה</big> לעשות על מחומש ידוע שוה הצלעות והזויות עגולה תקיף בו
+
|style="text-align:right;"|ונשים המרובע ההוה מן ה"ז משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים המחומש הידוע מחומש אבגד"ה
+
*<math>\scriptstyle\left(BD\times DG\right)+HZ^2+ZG^2=ZH^2+ZD^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג עם שני המרובעים ההוים מן ה"ז ז"ג שוים לשני המרובעים ההוים מן שני קוי ז"ה ז"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות עליו עגלה תקיף בו
+
:*<math>\scriptstyle ZH^2+ZG^2=HG^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושני המרובעים ההוים משני קוי ז"ה ז"ג שוים למרובע ההוה מן ה"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נחלק זוית בג"ד בשני חצאים בקו ג"ז וזוית גד"ה בשני חצאים בקו ד"ז ויפגשו על נקודת ז'
+
::<math>\scriptstyle\measuredangle HZG=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני שזוית הז"ג נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא קוי ז"ב ז"א ז"ה
+
:*<math>\scriptstyle HZ^2+ZD^2=HD^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושני המרובעים ההוים משני קוי ה"ז ז"ד שוים למרובע ההוה מן ה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו ב"ג כמו קו ג"ד וג"ז משותף אם כן שני קוי ב"ג ג"ז כמו שני קוי ג"ד ג"ז
+
::<math>\scriptstyle\measuredangle HZD=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית הז"ד נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בג"ז כמו זוית דג"ז
+
*<math>\scriptstyle\left(BD\times DG\right)+HG^2=HD^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג עם המרובע ההוה מן ה"ג שוה למרובע ההוה מן ה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ב"ז שוה לתושבת ז"ד
+
:*<math>\scriptstyle HD^2=AH^2+AD^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל המרובע ההוה מן ה"ד שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ה"א א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומשולש זב"ג כמו משולש זד"ג
+
::<math>\scriptstyle\measuredangle HAD=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי זוית הא"ד נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושתי זויות זב"ג בז"ג הנשארות כמו שתי זויות זד"ג דז"ג כל אחת לנכחי לה
+
*<math>\scriptstyle\left(BD\times DG\right)+HG^2=AH^2+AD^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג עם המרובע ההוה מן ה"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן א"ה א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זב"ג כמו זוית זד"ג
+
:*<math>\scriptstyle HG^2=AH^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|והמרובע ההוה מן ה"ג שוה למרובע ההוה מן א"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית זד"ג חצי זוית גד"ה
+
|style="text-align:right;"|וזה שהם יצאו מן מרכז העגולה אל הקו המקיף בה
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle BD\times DG=AD^2</math>
−
|style="text-align:right;"|וזוית גד"ה כמו זוית גב"א
+
|style="text-align:right;"|הנה נשאר השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג שוה למרובע ההוה מן א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זד"ג חצי זוית גב"א
+
|style="text-align:right;"|ונש"ל ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זב"ג כמו זוית זב"א
+
=== Proposition 36 ===
−
|-
+
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו א"ב כמו קו ב"ג וקו ב"ז משותף
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|When there is a circle and a point is placed outside it and two straight lines are drawn from it to the circle, so that one of them cuts it, and the other falls on it, if the rectangle contained by the whole of the straight line which cuts it and its segment that falls outside the circle equals the square on the straight line which falls on the circle, then the straight line which falls on it touches the circle.
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי א"ב ב"ז כמו שני קוי ג"ב ב"ז
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>לו</span> כאשר היתה</big> עגולה והושמה חוץ ממנה נקודה והוצאו ממנה שני קוים ישרים אל העגולה אחד משניהם יחתכה והאחר יכלה אליה והיה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו אשר יחתכה כלו והחתיכה אשר יפול ממנו חוץ מן העגולה שוה למרובע ההוה מן הקו האחר אשר יכלה אל העגולה הנה הקו אשר יכלה אליה ימשש לעגלה
 
|-
 
|-
−
|
+
|When two lines are drawn from the point, so that both touch the circle, they are equal.
−
|style="text-align:right;"|וזוית אב"ז כמו זוית גב"ז
+
|style="text-align:right;"|וכאשר יצאו שני קוים מהנקודה האחת ושניהם ימששו העגלה הנה הם שוים
 +
|-
 +
|Example: <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>.
 +
|style="text-align:right;"|ותהיה העגולה אב"ג
 +
|-
 +
|Point D is drawn outside of it.
 +
|style="text-align:right;"|ונרשמה חוץ ממנה נקודת ד'
 +
|-
 +
|AD and DB are drawn from it to the circumference of <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>: DB cuts it and DA falls on it.
 +
|style="text-align:right;"|ויצאו ממנה אל מקיף עגלת אב"ג שני קוי א"ד ד"ב הישרים ויהיה ד"ב חותך אותה וד"א כלה אליה
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle BD\times DG=AD^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג שוה למרובע ההוה מן א"ד
 +
|-
 +
|Supposition: AD touches <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>
 +
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי קו א"ד ממשש לעגלת אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת א"ז כמו תושבת ז"ג
+
:<span style=color:red>III.16:</span> We draw line DH from point D, so that it touches <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ד' קו ממשש לעגלת אב"ג והוא ד"ה <span style=color:red>מי"ו מזה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי כל אחד מן א"ז ז"ב ז"ג שוים
+
:We set the center <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>: point Z
 +
|style="text-align:right;"|ונשים מרכז עגלת אב"ג נקודת ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קוי א"ז ז"ב ז"ג ז"ד ז"ה החמשה שוים
+
:We join lines AZ, ZD, ZH
 +
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי א"ז ז"ד ז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כאשר שמנו נקודת ז' מרכז והקפנו במרחק ז"א עגולה הלכה בנקודות ב"ג ד"ה והקיפה במחמש שוה הצלעות והזויות הידוע והיא עגולת אבגד"ה
+
:*<span style=color:red>III.35:</span> <math>\scriptstyle BD\times DG=DH^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג שוה למרובע ההוה מן ד"ה <span style=color:red>מל"ה מזה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה הוא מה שרצינו לבאר
+
:*<math>\scriptstyle AD^2=DH^2</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן יהיה המרובע ההוה מן א"ד שוה למרובע ההוה מן קו ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
*<math>\scriptstyle AD^2=DH^2</math>
−
=== Proposition 15 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן יהיה המרובע ההוה מן א"ד שוה למרובע ההוה מן ד"ה
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
*<math>\scriptstyle AD=DH</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ד שוה לקו ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>טו</span> <big>נרצה</big> לעשות בעגולה ידועה משושה שוה הצלעות והזויות
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו א"ז שוה לקו ז"ה וזה כי הם יצאו מן המרכז אל המקיף הקו וקו ד"ז משותף יהיו כל שני קוי א"ז ז"ד שוים לכל שני קוי ה"ז ז"ד כל אחד לנכחי אליו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|תהיה העגולה הידועה עגולת א"ב ג"ד ה"ז
+
*<math>\scriptstyle AD=DH</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותושבת א"ד שוה לתושבת ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות בה משושה שוה הצלעות והזויות
+
*<span style=color:red>I.8:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle AZD=\measuredangle HZD</math>
 +
|style="text-align:right;"|תהיה זוית אז"ד שוה לזוית הז"ד <span style=color:red>מח' מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נוציא קוטר העגולה והוא ג"ז
+
*<math>\scriptstyle\triangle AZD=\triangle ZDH</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומשולש אז"ד שוה למשולש זד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה המרכז ח'
+
|style="text-align:right;"|ושאר הזויות שוות לשאר הזויות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים נקודת ז' מרכז ונקיף במרחק ז"ח עגולה עליה חאטב"ה
+
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות זא"ד אד"ז שוות לשתי זויות זה"ב הד"ז כל אחד לנכחי לו אשר הם מיתריהם הצלעות השוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי א"ז א"ח ה"ח ה"ז
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle ZAD=\measuredangle ZHD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זא"ד שוה לזוית זה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי א"ח ה"ח אל שתי נקודות ד"ב
+
*<span style=color:red>III.17:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle ZHD=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית זה"ד נצבת <span style=color:red>מי"ז מזה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי א"ב ג"ב ג"ד ד"ה
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle ZAD=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה זוית זא"ד נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי נקודת ח' מרכז עגולת אג"ה יהיה קו א"ח שוה לקו ה"ח
+
|style="text-align:right;"|וקו א"ז כאשר הוצא הנה הוא קטר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי נקודת ז' גם כן מרכז עגולת אטב"ה יהיה קו א"ז שוה לקו ז"ה
+
|style="text-align:right;"|וכבר הוצא מקצה הקטר קו א"ד על זוית נצבת <span style=color:red>מי"ז מזה</span>
 +
|-
 +
|AD touches <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ד ממשש לעגלת אב"ג
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכל אחד ממשולשי אח"ז הח"ז שוה הצלעות
+
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר השלישי מספר אקלידס החכם בשרשים ומספר תמונותיו ששה ושלשים
 +
|}
 +
{|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו א"ח שוה לקו ח"ה
+
 
 +
== Book Four ==
 +
|style="text-align:right;"|<big>המאמר הרביעי</big>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו א"ז שוה לקו ז"ה
+
 
 +
=== Definitions ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|{{#annot:definition|2525,2527|A5Vw}}The figure is said to be inscribed in a figure when each of its angles touches each of the respective sides of the figure in which it is inscribed.
 +
|style="text-align:right;"|<big>יאמר</big> כי התמונה <big>מורשמת בתמונה</big> כאשר תהיה כל אחת מזויותיה ממששת לכל אחת מצלעות התמונה אשר נרשמת בה{{#annotend:A5Vw}}
 +
|-
 +
|{{#annot:definition|2526,2528|9RjX}}The figure is said to be circumscribed about a figure when each of its sides touches each of the respective angles of the figure about which it is circumscribed.
 +
|style="text-align:right;"|<big>ויאמר</big> כי התמונה <big>נרשמת סביב התמונה</big> כשתהיה כל אחת מצלעותיה ממששת לכל אחת מזויות התמונה אשר היא נרשמת סביבה{{#annotend:9RjX}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו ח"ז משותף
+
 
 +
=== Proposition 1 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|We wish to draw a chord in a given circle equal to a given line, which is not greater than the diameter of the circle.
 +
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>א</span> נרצה</big> שנקוה בעגלה ידועה מיתר שוה לקו ידוע אינו יותר גדול מקוטר העגולה
 +
|-
 +
|Defining:
 +
*<math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math> the known circle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגלה הידועה עגלת אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל שני קוי א"ח ח"ז שוים לכל שני קוי ה"ח ח"ז כל אחד לנכחי לו ותושבת א"ז שוה לתושבת ז"ה
+
*DH = the known straight line which is not greater than the diameter of the circle.
 +
|style="text-align:right;"|והקו הישר הידוע אשר לא יהיה יותר גדול מקוטר העגלה קו ד"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to draw a chord in <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>, which is equal to DH.
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אח"ז שוה לזוית זח"ה
+
|style="text-align:right;"|ונרצה שנקוה בעגלת אב"ג מיתר שוה לקו ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל זוית אח"ז שוה לזוית גח"ד
+
*<span style=color:red>III.1:</span> We draw a diameter of the circle = BG
 +
|style="text-align:right;"|הנה נוציא קוטר העגולה והוא ב"ג <span style=color:red>מא' מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית גח"ב שוה לזוית זח"ה
+
:*If <math>\scriptstyle DH=BG</math>, the required has been achieved.
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה ד"ה כמו ב"ג כבר היה מה שרצינו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זויות בח"ג גח"ד אח"ז זח"ה הארבעה שוות
+
:*<span style=color:red>I.3:</span> If <math>\scriptstyle DH<BG</math>, [defining] <math>\scriptstyle ZG=DH</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה יותר קצר יהיה ז"ג כמו ד"ה <span style=color:red>מג' מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו א"ח שוה לקו ח"ז כי הם יוצאים ממרכז העגולה אל הקו המקיף בהם תהיה זוית חא"ז שוה לזוית אז"ח
+
:Defining: G = center, GZ = radius of <math>\scriptstyle\bigcirc_{AC}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשים ג' מרכז ובמרחק ג"ז עגולת א"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כל שתי זויות חא"ז אז"ח כפל זוית חא"ז
+
:Drawing line GA
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא קו ג"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל שתי זויות חא"ז אז"ח שוות לזוית אח"ג החיצונה
+
*<math>\scriptstyle GZ=DH\longrightarrow AG=DH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה ג"ז כמו ד"ה אם כן א"ג כמו ד"ה
 +
|-
 +
|We have drew in <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math> a chord equal to DH, which is not greater than the diameter.
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר קוינו בעגלת אב"ג מיתר כמו קו ד"ה שאינו יותר גדול מן הקוטר
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אם כן זוית אח"ג החיצונה כפל זוית חא"ז
+
 
 +
=== Proposition 2 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|We wish to inscribe in a given circle a triangle equiangular with a given triangle.
 +
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ב</span> נרצה</big> לעשות בעגולה ידועה משולש שוה זויותיו לזויות משולש ידוע
 +
|-
 +
|Defining:
 +
*<math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math> the known circle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגולה הידועה עגלת אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית חא"ז שוה לזוית אח"ז מפני כי המשולש שוה הצלעות
+
*<math>\scriptstyle\triangle_{DHZ}</math> the known triangle.
 +
|style="text-align:right;"|והמשולש הידוע משולש דה"ז
 +
|-
 +
|We wish to inscribe in <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math> a triangle equiangular with <math>\scriptstyle\triangle_{DHZ}</math>.
 +
|style="text-align:right;"|ונרצה שנעשה בעגולת אב"ג משולש שוות זויותיו לזוית משולש דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית אח"ז שוה לזוית בח"ג
+
*<span style=color:red>III.16:</span> We draw line AC touching the circle at A.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נעביר על נקודת א' קו א"ח ממשש לעגולה <span style=color:red>מי"ו מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בח"ג שוה לזוית בח"א
+
*<span style=color:red>I.23:</span> We construct on A <math>\scriptstyle\measuredangle BAC=\measuredangle DHZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונעמיד על נקודת א' מקו א"ח זוית בא"ח כמו זוית דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל זוית בח"א שוה לזוית דח"ה
+
*<span style=color:red>I.23:</span> We construct on line AT at A <math>\scriptstyle\measuredangle DZH=\measuredangle TAG</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונעמיד גם כן על קו א"ט על נקודת א' ממנו כמו זוית דז"ה והיא זוית טא"ג <span style=color:red>מכ"ג מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית דח"ה שוה לכל אחת מזויות אח"ז זח"ה גח"ד
+
*We join BG.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל אחת מזויות בח"ג גח"ד אח"ז זח"ה שוות לכל אחת משתי זויות בח"א דח"ה
+
:Line AC touches <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ח ממשש לעגלת אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הזויות השש אשר אצל נקודת ח' שוות קצתם אל קצת
+
:AB and AG are drawn from the point of contact and cut the circle.
 +
|style="text-align:right;"|וכבר יצאו ממקום משושו א"ב א"ג יחתכו העגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והזויות השוות יהיו מיתריהם קשתות שוות
+
:<span style=color:red>III.31:</span> The angles on both sides of each of them equal the angles that fall on the two alternate segments of the circle:
 +
|style="text-align:right;"|הנה משני צדדי כל אחת מהן שתי זויות כמו אשר יפלו בשתי חתיכות העגולה המומרות <span style=color:red>מל"א מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קשתות א"ב ב"ג ג"ד ד"ה ה"ז ז"א הששה שוים
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle BAC=\measuredangle BGA</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בא"ח כמו זוית בג"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי הקשתות השוות יהיו מיתריהם קוים שוים אם כן משושה א"ב ג"ד ה"ז שוה הצלעות
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle GAT=\measuredangle ABG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית גא"ט כמו זוית אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>ואומ'</big> שהוא שוה הזויות
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle GAT=\measuredangle DZH</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית גא"ט כמו זוית דז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי קשת א"ז שוה לקשת ב"ג וקשת ג"ד ה"ז משותף הנה כל קשת בגדה"ז שוה לכל קשת אזהד"ג
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle BAC=\measuredangle DHZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית בא"ח כמו זוית דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית בא"ז על קשת בגדה"ז וזוית אב"ג על קשת אזהד"ג
+
:<math>\scriptstyle\measuredangle DHZ\quad\measuredangle DZH</math> are equal to <math>\scriptstyle\measuredangle ABG\quad\measuredangle AGB</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות דה"ז דז"ה כמו שתי זויות אב"ג אג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והזויות אשר תהיינה על הקשתות השוות הן שוות
+
:<span style=color:red>I.32:</span> The remaining <math>\scriptstyle\measuredangle HDZ=\measuredangle BAG</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשארה זוית הד"ז כמו זוית בא"ג <span style=color:red>מל"ב מא'</span>
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\triangle_{DHZ}</math> is equiangular with <math>\scriptstyle\triangle_{ABG}</math> in <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זויות דה"ז שוות למשולש אב"ג העשוי בעגלת אב"ג
 +
|-
 +
|The explanation is complete.
 +
|style="text-align:right;"|ונשלם באורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בא"ז שוה לזוית גב"א
+
 
 +
=== Proposition 3 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|We wish to circumscribe about a given circle a triangle equiangular with a given triangle.
 +
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ג</span> נרצה</big> לעשות על עגולה ידועה משולש יקיף בה תהיינה זויותיו שוות לזויות משולש ידוע
 +
|-
 +
|Defining:
 +
*<math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math> the known circle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגולה עגולת אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי זוית גב"א שוה לזוית בג"ד
+
*<math>\scriptstyle\triangle_{DHZ}</math> the known triangle.
 +
|style="text-align:right;"|והמשולש הידוע משולש דה"ז
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to circumscribe about <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math> a triangle equiangular with <math>\scriptstyle\triangle_{DHZ}</math>.
−
|style="text-align:right;"|וזוית בג"ד שוה לזוית גד"ה
+
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות על עגלת אב"ג משולש יקיף בה שוות זויותיו לזויות משולש דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית גד"ה לזוית דה"ז
+
*We draw HZ in both directions to T and B.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נוציא ה"ז בכל אחד משני הצדדין אל ט"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית דה"ז לזוית אז"ה
+
*C = the center
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה המרכז ח'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הזויות השש אשר אצל נקודות אב"ג דה"ז שוות
+
*We draw from it the line CB to circumference randomly.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא ממנו קו ח"ב אל המקיף איך שיפול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מששת אב"ג דה"ז שוה הזויות
+
*<span style=color:red>I.23:</span> We construct on line BC at C <math>\scriptstyle\measuredangle BCG=\measuredangle DHT</math> and <math>\scriptstyle\measuredangle BCA=\measuredangle DZB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונעמיד על ח' מקו ב"ח זוית כמו זוית דה"ט והיא זוית בח"ג וכמו זוית דז"ב והיא זוית בח"א <span style=color:red>מכ"ג מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר ביארנו שהוא שוה הצלעות והוא עשוי בעגולת א"ב ג"ד ה"ז
+
*<span style=color:red>III.16:</span> We draw lines LM, MN and NL through the points B, G, and A, touching <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>.
 +
|style="text-align:right;"|ונעביר על נקודות בג"א קוים ל"מ מ"נ נ"ל ממששים לעגלת אב"ג <span style=color:red>מי"ו מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
:*Line LM touches <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו ל"מ ממשש לעגלת אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>וכבר</big> היה אפשר שנעשה על עגולה ידועה משושת שוה הצלעות והזויות יקיף בה ושנעשה עליו עגולה תקיף בו על דמיונו מה שספרנו במחומש
+
:*Line CB that was drawn from the touching point to the center is perpendicular to line LBM <math>\scriptstyle CB\perp LBM</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר הוצא ממקום המשוש קו ח"ב אל המרכז והוא עמוד על קו לב"מ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ובכאן התבאר כי חצי קוטר העגולה יהיה מיתר הקו המקיף בה בששה פעמים כי צלע משושת שוה לחצי קוטר העגולה
+
::*<math>\scriptstyle\measuredangle LBC=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית לב"ח נצבת <span style=color:red>מי"ז מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מצאנו התמונה זאת בנוסחא אחרת במין אחר לפי מה שתראה
+
::*<math>\scriptstyle\measuredangle MBC=90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית מב"ח גם כן נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
:*The angles at point G are right.
−
=== Proposition 16 ===
+
|style="text-align:right;"|וכן יהיו שתי זויות אשר אצל ג' נצבות
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
:*The angles at point A are right.
 +
|style="text-align:right;"|וכן יהיו זויות אשר אצל א' כל אחת מהן נצבת
 +
|-
 +
|The four angles of every quadrilateral figure are equal to four right angles.
 +
|style="text-align:right;"|וכל תמונה בעלת ארבע צלעות הנה זויותיה הארבעה שוות לארבע זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יו</span> <big>נרצה</big> שנעשה בעגולה ידועה משושת שוה הצלעות
+
::The angles of ACBL are equal to four right angles.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זויות שטח א"ח ב"ל כמו ארבע זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגולה אב"ג והקוטר שלה ד"ג ומרכזה ה'
+
:*The angles at points A and B are right.
 +
|style="text-align:right;"|אבל אשר אצל א"ב נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות בה משושת שוה הצלעות והזויות תקיף בו
+
::The remaining opposite angles at C and L are equal to two right angles.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשארו אשר אצל ח"ל המתנגדות כמו שתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נקוה על מרכז ג' ובמרחק ה' עגולת הב"ז
+
:<math>\scriptstyle\measuredangle DZB+\measuredangle DZH=90^\circ+90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל שתי זויות דז"ב דז"ה כמו שתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא א"ה ה"ב ונוציאם אל ח"ט על יושר
+
::The two angles at C and L are equal to <math>\scriptstyle\measuredangle DZB+\measuredangle DZH</math>.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות ח"ל כמו שתי זויות דז"ב דז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא קוי א"ג ג"ב ב"ח ח"ד ד"ט א"ט
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle DZB=\measuredangle C</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית דז"ב כמו זוית ח'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מרכז עגולת א"ב ג"ד נקודת ה'
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle DZH=\measuredangle L</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשארה זוית דז"ה כמו זוית ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ה כמו קו ה"ג
+
:<math>\scriptstyle\measuredangle DHT+\measuredangle DHZ=\measuredangle C+\measuredangle M</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן גם כן יהיו שתי זויות דה"ט דה"ז כמו שתי זויות ח"מ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מרכז עגולת אב"ז נקודת ג'
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle DHT=\measuredangle C</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית דה"ט כמו זוית ח'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|א"כ קו א"ג כמו קו ג"ה
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle M=\measuredangle DHZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשארה זוית מ' כמו זוית דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומשלש אג"ה שוה הצלעות והזויות
+
*<span style=color:red>I.32:</span> The three angles of every triangle are equal to two right angles.
 +
|style="text-align:right;"|וכל משולש הנה זויותיו השלש כמו שתי נצבות <span style=color:red>מל"ב מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן התבאר שמשלש גה"ב שוה הצלעות והזויות
+
:<math>\scriptstyle\measuredangle DHZ+\measuredangle DZH=\measuredangle L+\measuredangle M</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושתי זויות דה"ז דז"ה כמו שתי זויות ל"מ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אה"ג שני שלישי נצבת
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle D=\measuredangle N</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשארה זוית ד' כמו זוית נ'
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\triangle_{DHZ}</math> is equiangular with <math>\scriptstyle\triangle_{NLM}</math> that is circumscribed about <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זויות משלש דה"ז שוות לזויות משולש נל"מ העשוי על עגלת אב"ג המקיף בה
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית גה"ב שני שלישי נצבת
+
 
−
|-
+
=== Proposition 4 ===
 +
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כל זוית אה"ב נצבת ושליש נצבת
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to inscribe a circle in a given triangle.
−
|style="text-align:right;"|וזוית טה"א וזוית אה"ב כמו ב' נצבות
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ד</span> נרצה</big> שנעשה במשולש ידוע עגולה יקיף בה
 
|-
 
|-
−
|
+
|Defining:
−
|style="text-align:right;"|וזוית אה"ב נצבת ושליש נצבת
+
*<math>\scriptstyle\triangle_{ABG}</math> the known circle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים המשולש הידוע משולש אב"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to inscribe a circle in it.
−
|style="text-align:right;"|הנה ישאר זוית אה"ט שני שלישי נצבת גם כן
+
|style="text-align:right;"|ונרצה שנעשה בו עגולה יקיף בה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית אה"ט כמו זוית בה"ח
+
*<span style=color:red>I.9:</span> We bisect <math>\scriptstyle\measuredangle ABG</math> by line BD and <math>\scriptstyle\measuredangle BGA</math> by line GH.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נחלק זוית אב"ג בשני חצאים בקו ב"ד וזוית בג"א בשני חצאים בקו ג"ה <span style=color:red>מט' מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית אה"ג כמו זוית דה"ח
+
*We join these two lines at Z.
 +
|style="text-align:right;"|ונדביק שני הקוים האלו על ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזוית גה"ב כמו זוית טה"ד
+
*<span style=color:red>I.12:</span> We draw from Z lines ZH, ZC, and ZD perpendicular to lines AB, AG, and BG.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מן ז' אל קוי א"ב א"ג ב"ג עמודים ז"ה ז"ח ז"ד <span style=color:red>מי"ב מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כל אחד מהזויות השש אשר אצל נקודות ה' שני שלישי נצבת
+
:Defining: Z = center, ZD = radius of a circle in <math>\scriptstyle\triangle_{ABG}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשים נקודת ז' מרכז ונקיף במרחק ז"ד עגולה במשלש אב"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: [the circle] touches the sides [of the triangle] at D, C and H.
−
|style="text-align:right;"|אם כן הם שוות
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי הוא ימשש צלעותיו על נקודות דח"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|Proof:
−
|style="text-align:right;"|והקשתות השש אשר עליהם א"ט ט"ד ד"ח ח"ב ב"ג ג"ה שוות
+
::*<math>\scriptstyle\measuredangle DGZ=\measuredangle DGC</math>
 +
|style="text-align:right;"|<big>מופתו</big> כי זוית דג"ז כמו זוית דג"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומשושת א"ט ד"ח ב"ג שוה הצלעות
+
::*<math>\scriptstyle\measuredangle GDZ=90^\circ=\measuredangle GCZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית גד"ז נצבת והיא כמו זוית גח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקשת ד"ח כמו ב"ג וקשת ד"ט א"ג משותף
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle DGZ\quad\measuredangle GDZ</math> of <math>\scriptstyle\triangle_{DGZ}</math> are equal to <math>\scriptstyle\measuredangle ZGC\quad\measuredangle GCZ</math> of <math>\scriptstyle\triangle_{GCZ}</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות דג"ז גד"ז ממשולש דג"ז כמו שתי זויות זג"ח גח"ז מן משולש גח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כל קשת דט"א ג"ב כמו כל קשת גא"ט ד"ח
+
:*Side GZ common to both, as a hypotenuse that is opposite to one of the equal angles.
 +
|style="text-align:right;"|וצלע ג"ז משותף לשתיהם יהיה מיתר שתי זויות שוות מזויות שניהם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל קשת דט"א ג"ב עליהם זוית דח"ב ועל קשת ג"א טד"ח זוית חב"ג
+
*<span style=color:red>I.26:</span> the two remaining sides of one triangle are equal to the two remaining sides of the other triangle respectively:
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שתי צלעות המשולש הנשארות כמו שתי צלעות המשולש האחר הנשארות כל אחת לנכחי אליה <span style=color:red>מכ"ו מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית חב"ג כמו זוית בח"ד
+
:*<math>\scriptstyle DZ=ZC</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה צלע ד"ז כמו צלע ז"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן הזויות אשר אצל נקודת ד"ט א"ג שוה לשתי הזויות דח"ב חב"ג
+
:*<math>\scriptstyle ZC=ZH</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן גם כן יתבאר כי ז"ח כמו ז"ה
 +
|-
 +
|
 +
*The three lines ZC, ZD, and ZH are equal to one another.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קוי ז"ח ז"ד ז"ה השלשה שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי המשושת שוה הצלעות והזויות והוא עשוי בעגולת אב"ג
+
*The angles at the points D, C, and H are right.
 +
|style="text-align:right;"|והזויות אשר אצל נקודת דח"ה נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
*<span style=color:red>III.9:</span> The circle revolving around the center Z at radius DZ passes through points H and C.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן העגולה אשר תסבוב על מרכז ז' ובמרחק ז"ד תלך בשתי נקודות ה"ח <span style=color:red>מט' מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ובכאן התבאר כי אם נעשה בעגולה משושת שוה הצלעות והזויות הנה צלעו שוה לחצי קוטר העגולה
+
*<span style=color:red>III.15:</span> It touches the sides of the triangles.
 +
|style="text-align:right;"|ותשמש צלע המשלש <span style=color:red>מט"ו מג'</span>
 +
|-
 +
|We have constructed <math>\scriptstyle\bigcirc_{HDC}</math> inscribed in the given <math>\scriptstyle\triangle_{ABG}</math>.
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר עשינו במשולש אב"ג הידוע עגלת הד"ח יקיף בה
 +
|-
 +
|The explanation is complete.
 +
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 17 ===
+
=== Proposition 5 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to circumscribe a circle about a given triangle.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יז</span> <big>נרצה</big> לעשות בעגולה ידועה תמונה יש לה ט"ו זויות שוה הצלעות והזויות תקיף בה העגולה
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ה</span> נרצה</big> לעשות אל משולש ידוע עגולה תקיף בו
 +
|-
 +
|Defining:
 +
*<math>\scriptstyle\triangle_{ABG}</math> the known circle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה יהיה המשולש הידוע משולש אב"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to circumscribe a circle about it.
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגולה הידועה אב"ג
+
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות עליו עגלה תקיף בו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונרצה שנעשה בה תמונה בעלת ט"ו זויות שוות הצלעות והזויות תקיף בה העגולה
+
*<span style=color:red>I.10:</span> We bisect each of the sides AB and AG at points D and H.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נחלק כל אחד משתי הצלעות א"ב א"ג בשני חצאים על שתי נקודות ד"ה <span style=color:red>מי' מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נקוה בעגולה מיתר יהיה צלע המשלש שוה הצלעות והזויות והוא מיתר א"ג
+
*<span style=color:red>I.11:</span> We draw two lines DZ and HZ at right angles to AB and AG.
 +
|style="text-align:right;"|ונעמיד על שני קוי א"ב א"ג שני קוים על זויות נצבות והם ד"ז ה"ז <span style=color:red>מי"א מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת א' מיתר יהיה צלע מחומש שוה הצלעות והזויות בקשת א"ג והוא מיתר א"ב
+
*We join lines AZ, ZG and ZB.
 +
|style="text-align:right;"|ונדביק קוי ז"א ז"ג ז"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר חולק הקו המקיף בט"ו חלקים יפול מיתר א"ג על חמשה חלקים מהם ויפול מיתר אב על ג' חלקים מהם
+
::*<math>\scriptstyle AH=HB</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי א"ה שוה לקו ה"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וישארו שני חלקים והם קשת ב"ג ונחלקם בשני חצאים על ד' ויצאו שני מיתרי ב"ד ד"ג
+
::*Line ZH is common.
 +
|style="text-align:right;"|וקו ז"ה משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קשת ב"ד כמו קשת ד"ג
+
:*Lines AH and HZ are equal to lines BH and HZ, each to its corresponding.
 +
|style="text-align:right;"|יהיו כל שני קוי א"ה ה"ז כמו כל שני קוי ב"ה ה"ז כל אחד אצל הנכחי לו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מיתר ב"ד כמו מיתר ד"ג
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle AHZ=90^\circ=\measuredangle BHZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית אה"ז הנצבת שוה לזוית בה"ז הנצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כאשר חלקנו כל הקו המקיף כמו קשת ד"ג ושמנו על כל קשת מיתר הנה כבר עשינו בעגולה תמונה יש לה ט"ו זויות שוות הצלעות והזויות
+
*<span style=color:red>I.4:</span> <math>\scriptstyle AZ=BZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת א"ז שוה לתושבת ב"ז <span style=color:red>מד' מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
*<math>\scriptstyle AZ=GZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי קו א"ז שוה לקו ג"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנה אפשר לנו שנעשה על עגולה ידועה תמונה יש לה ט"ו זויות שוות הצלעות והזויות ושנעשה עליה עגולה תקיף בו על דמיון מה שספרנו במחומש
+
:<math>\scriptstyle AZ=ZG=ZB</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קוי א"ז ז"ג ז"ב שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
:<span style=color:red>III.9:</span> When we define the center Z and radius AZ, the circle passes through points A, B and G.
 +
|style="text-align:right;"|הנה כאשר שמנו נקודת ז' מרכז וסבבנו במרחק א"ז עגולה הלכה בנקודת אב"ג הנה נקוה העגולה הזאת ויהיה עליה אב"ג <span style=color:red>מט' מג'</span>
 
|-
 
|-
−
|
+
|We have circumscribed a circle about <math>\scriptstyle\triangle_{ABG}</math>.
−
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר הרביעי מספר אקלידיס החכם בשרשים
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר עשינו אל משולש אב"ג עגולה תקיף בו
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|ואחריו יבא המאמר הה' בגה"ו
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
−
|}
 
−
{|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
== Book Five ==
+
=== Proposition 6 ===
−
|style="text-align:right;"|<big>המאמר החמישי לאקלידס</big>
 
−
|-
 
−
|
 
−
=== Definitions ===
 
  
−
|style="text-align:right;"|<big>הקדמות זה המאמר</big>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|השיעור הקטן הוא חלק מן השעור הגדול כאשר ישער הגדול
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to inscribe a square in a given circle.
−
|style="text-align:right;"|וקצת הוא אשר לא יכלול הגדול כאשר ישערהו ויהיה הגדול כפלים לקטן כאשר יפול עליו השעור בקטן
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ו</span> נרצה</big> לעשות בעגולה ידועה מרובע תקיף בו
 
|-
 
|-
−
|
+
|Defining:
−
|style="text-align:right;"|היחס הוא הצטרפות מה בשיעור בין שני שעורים מסוג אחד
+
*<math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math> the known circle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגלה הידועה עגולת אב"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to inscribe a square in it.
−
|style="text-align:right;"|ההתיחס הוא הדמות המתיחסים
+
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות בה שטח מרובע תקיף בו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|השעורים אשר יאמר כי בין קצתם ובין קצתם יחס הם אשר אפשר כי כשיכפלו שיעדיף קצתם על קצת
+
*<span style=color:red>III.1:</span> We draw two diameters AG and BD that cut each other at right angle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נוציא בה שני קטרים יתחתכו על זוית נצבת והם א"ג ב"ד <span style=color:red>מא' מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יאמר בשעורים שהם על יחס אחד הראשון אל השני והשלישי אל הרביעי כשיהיו כפלי הראשון והשלישי שווי הפעמים איזה מין שיהיו אם שיעדפו יחד על כפלי השני והרביעי השווי הפעמים אי זה כפל שיהיו ואם שישוו עליהם יחד ואם שיגרעו מהם כשיוקשו כסדר קצתם לקצת
+
*We draw lines AB, AD, BG and GD.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא קוים א"ב א"ד ב"ג ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ובהפך כשיהיו השיעורים ביחס אחד בעצמו על הסדר הנה כפלי הראשון והשלישי יהיו אם נוספים יחד על כפלי השני והרביעי ואם חסרים יחד מהם ואם שוים יחד לשניהם
+
::*<math>\scriptstyle BH=HD</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קו ב"ה כמו קו ה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויקראו השעורים אשר יחסם יחס אחד בעצמם המתיחסים
+
::*Line AH is common.
 +
|style="text-align:right;"|וקו א"ה משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר היו הכפלים שווי הפעמים וכפלי הראשון מהם יעדפו על כפלי השני וכפלי השלישי לא יעדפו על כפלי הרביעי הנה יחס הראשון אז יאמר אל השני שהוא גדול מיחס השלישי אל הרביעי
+
:*Lines BH and AH are equal to lines DH and AH.
 +
|style="text-align:right;"|הנה כל שני קוי ב"ה א"ה כמו כל שני קוי ד"ה א"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והמעט שיהיה להתיחסות שלשה שעורים
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle BHA=\measuredangle DHA</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית בה"א כמו זוית דה"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר יהיו שלשה שעורים מתיחסים נאמר כי יחס הראשון אל השלישי כפל יחסו אל השני כלומר נשנה בהשנות
+
*<span style=color:red>I.4:</span> <math>\scriptstyle AB=AD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת א"ב כמו תושבת א"ד <span style=color:red>מד' מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר היו ארבעה שעורים מתיחסים נאמר כי יחס הראשון אל הרביעי שלשה כפלי יחסו אל השני כלומר משולש ועל זה המשל ילך מה שימשך לזה
+
*<math>\scriptstyle BG=GD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי ב"ג כמו ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויאמר בשעורים שהם מסודרים ביחס ובסדר כאשר הוקשו הראשונים עם הראשונים והנמשכים עם הנמשכים
+
*<math>\scriptstyle GD=AD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן ג"ד כמו א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והפך היחס הוא כשילקח הנמשך במדרגת הראשון
+
:<span style=color:red>III.30:</span> the quadrilateral ABGD is equilateral and the angles at the semicircles are right.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מרובע א"ב ג"ד שוה הצלעות והזויות אשר בחציי העגלות נצבות <span style=color:red>מל' מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והראשון במדרגת הנמשך
+
:All angles at points A, B, G and D are right.
 +
|style="text-align:right;"|הנה כל הזויות אשר אצל נקדות א"ב ג"ד כל אחת מהן נצבת
 +
|-
 +
|We have inscribed a square in the given <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABGD}</math>.
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר שאנחנו כבר עשינו בעגולת א"ב ג"ד הידועה מרובע
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|תמורת היחס הוא לקיחת הראשון אל הראשון והנמשך אל הנמשך
+
 
 +
=== Proposition 7 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|We wish to circumscribe a square about a given circle.
 +
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ז</span> נרצה</big> לעשות על עגלה ידועה מרובע יקיף בה
 +
|-
 +
|Defining:
 +
*<math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math> the known circle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגולה הידועה עגלת אב"ג
 +
|-
 +
|We wish to circumscribe a square about it.
 +
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשו' עליה מרובע יקיף בה
 +
|-
 +
|
 +
*<span style=color:red>III.1:</span> We draw two diameters AG and BD that cut each other at right angle.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא בה שני קטרים יתחתכו על זויות נצבות והם א"ג ב"ד <span style=color:red>מא' מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הרכבת היחס הוא לקיחת הראשון עם הנמשך במדרגת דבר אחד אצל הנמשך
+
*We draw lines ZC, ZT, TK and KC through the points A, B, G, and D, touching the circle.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודות א'ב'ג'ד' קוי ז"ח ז"ט ט"כ כ"ח ממששים לעגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הבדל היחס הוא לקיחת מותר הראשון על הנמשך אצל הנמשך
+
*<span style=color:red>III.15:</span> We draw them at right angles to the diameters.
 +
|style="text-align:right;"|והוא שנוציאם על זויות נצבות על קצות הקטרים <span style=color:red>מט"ו מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הפוך היחס הוא לקיחת הראשון אצל מותרו על הנמשך
+
*ZC touches the circle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה ז"ח ימשש לעגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יחס השווי הוא כשיהיה כמה שעורים שיהיו ושעורים אחרים כפי מספרם וכשילקחו שנים מאחד משניהם יהיו על יחס שנים מן האחר ונלקחו הקצוות מלבד מה שביניהם
+
:*<span style=color:red>III.17:</span> Line AH that was drawn from its touching point to the center is perpendicular to line ZC <math>\scriptstyle AH\perp ZC</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר הוצא ממקום אשר ימששה קו א"ה אל המרכז אם כן הוא עמוד על ז"ח <span style=color:red>מי"ז מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ועל פנים אחרים כשיהיו שיעורים ושעורים אחרים על מספרם הנה יחס השווי הוא יחס הקצוות כשהוכפלו השעורים אשר באמצע
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle ZAH=90^\circ=\measuredangle HAC</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושתי זויות זא"ה הא"ח נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|היחס ההולך על סדר הוא כשהראשון אצל הנמשך כראשון אצל הנמשך והנמשך אצל דבר אחד כנמשך אצל דבר אחר
+
:The angles at points B, G and D are right.
 +
|style="text-align:right;"|וכן תהיינה הזויות אשר אצל נקדות בג"ד נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והיחס הנפתל במערכת הוא כשיהיה הראשון אצל הנמשך כראשון אצל הנמשך
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle BHA=90^\circ=\measuredangle ZAH</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות בה"א זא"ה שתי נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנמשך אצל דבר אחד כדבר אחר אצל הראשון
+
*<span style=color:red>I.28:</span> <math>\scriptstyle HB\parallel ZA</math> and <math>\scriptstyle ZB\parallel AH</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ה"ב ז"א נכחיים וכן יהיו שני קוי ז"ב א"ה נכחיים <span style=color:red>מכ"ח מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 1 ===
+
*<span style=color:red>I.34:</span> The parallelogram ZBHA is equilateral and its angles are equal.
−
 
+
|style="text-align:right;"|הנה שטח ז"ב ה"א נכחי הצלעות הנה צלעותיו וזויותיו המתנגדות שוות <span style=color:red>מל"ד מא'</span>
 +
|-
 
|
 
|
 +
:*<math>\scriptstyle ZA=BH</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן צלע ז"א כמו צלע ב"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>כאשר</big> יהיו שעורים בהם כפלי שעורים אחרים קרובים להם על מספרם וכפליהם שוים הנה מה שבאחד מכפלי גילו כמו מה שבכל מכפלי הכל
+
:*<math>\scriptstyle BH=TG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן יהיה ב"ה כמו ט"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי בשעורי א"ב ג"ד כפלים שוים לשעורי ה'ז' ומה שבא"ב מכפלי ה' כמו מה שבג"ד מכפלי ז'
+
:*<math>\scriptstyle AC=HD=GK</math>
 +
|style="text-align:right;"|וא"ח כמו ה"ד וכמו ג"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי מה שבא"ב מכפלי ה' כמו שבא"ב וג"ד מקובצים מכפלי ה' וז' יחד
+
:*<math>\scriptstyle BD=ZC=TK</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה ב"ד כמו ז"ח וכמו ט"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נחלק א"ב בשעור ה' ויהיו חלקיו א"ח וח"ב ונחלק ג"ד בשעור ז' ויהיו חלקיו ג"ט ט"ד
+
*<span style=color:red>I.30:</span> <math>\scriptstyle AG=TZ=CK</math>
 +
|style="text-align:right;"|ולכן א"ג כמו ט"ז וכמו ח"כ <span style=color:red>מל' מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle AC=CB</math>
+
*ZTKC is equilateral.
−
|style="text-align:right;"|אם כן שעור א"ח כמו ח"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה שטח ז"ט כ"ח שוה הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle GT=TD</math>
+
:*<math>\scriptstyle BH\parallel AZ</math>
−
|style="text-align:right;"|ושעור ג"ט כמו ט"ד
+
|style="text-align:right;"|וב"ה ינגד א"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle AC=H</math>
+
:*BZ is perpendicular to them.
−
|style="text-align:right;"|וא"ח כמו ה'
+
|style="text-align:right;"|וכבר נפל עליהם קו ב"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle GT=Z</math>
+
:*<span style=color:red>I.34:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle HBZ+\measuredangle AZB=90^\circ+90^\circ</math>
−
|style="text-align:right;"|וג"ט כמו ז'
+
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות הב"ז אז"ב הפנימיות כמו שתי נצבות <span style=color:red>מל"ד מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle AC+GT=H+Z</math>
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle HBZ=90^\circ</math>
−
|style="text-align:right;"|אם כן כל א"ח וג"ט כמו ה' וז' יחד
+
|style="text-align:right;"|וזוית הב"ז נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle CB+TD=H+Z</math>
+
*<span style=color:red>I.29:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle AZB=90^\circ</math>
−
|style="text-align:right;"|וכן כל ח"ב וט"ד כמו ה'ז' יחד
+
|style="text-align:right;"|הנה נשארה זוית אז"ב נצבת <span style=color:red>מכ"ט מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מה שבא"ב מכפל ה' שוה למה שבא"ב וג"ד מקובצים מכפל ה' וז' יחד וזה מש"ל
+
:All angles at points T, K and C are right.
 +
|style="text-align:right;"|וכן תהיה כל אחת מהזויות אשר אצל נקדות טכ"ח נצבות
 +
|-
 +
|ZTKC is a square that is circumscribed about <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math>.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ז"ט כ"ח מרובע והוא עשוי על עגלת א"ב ג"ד
 +
|-
 +
|The explanation is complete.
 +
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 2 ===
+
=== Proposition 8 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|When the magnitude of the multiple of the second in the first is as the multiple of the fourth in the third, and the multiple of the second in the fifth is as the multiple of the fourth in the sixth, then the multiple of the second in the sum of the first and the fifth is the same as the multiple of the fourth in the sum of the third and the sixth.
+
|We wish to inscribe a circle in a given square.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> <big>כשיהיו</big> שעורים בראשון מכפלי השני כמו מה שבשלישי מכפלי הרביעי ובחמישי מכפלי השני כמו מה שבששי מכפלי הרביעי הנה מה שבכפלי הראשון והחמשי מכפלי השני כמו מה שבכפלי השלישי והששי מכפלי הרביעי
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ח</span> נרצה</big> לעשות במרובע ידוע עגלה יקיף בה
 +
|-
 +
|Defining:
 +
*<math>\scriptstyle\square_{ABGD}</math> the [known] square.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים המרובע א"ב ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle AB=n\sdot G\quad DH=n\sdot Z</math>
+
*<span style=color:red>I.10:</span> We bisect each of the lines AD and AB at the points H and Z.
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי בראשון והוא א"ב מכפלי השני והוא ג' כמו מה שבשלישי והוא ד"ה מכפלי הרביעי והוא ז'
+
|style="text-align:right;"|ונחלק כל אחד מקוי א"ד א"ב בשני חצאים על שתי נקודות ה"ז <span style=color:red>מי' מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle BC=m\sdot G\quad TH=m\sdot Z</math>
+
*We draw at points H and Z lines HC and ZT EH at right angles.
−
|style="text-align:right;"|ובחמשי והוא ב"ח מכפלי השני והוא ג' כמו מה שבששי והוא ט"ה מכפלי הרביעי והוא ז'
+
|style="text-align:right;"|ונוציא משתי נקודות ה"ז שני קוי ה"ח ז"ט על זויות נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle AC=r\sdot G\quad DT=r\sdot Z</math>
+
*<span style=color:red>I.28:</span> each of the figures AC, HG, AT and ZG is a parallelogram.
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי מה שבראשון והחמישי והוא א"ח מכפלי השני והוא ג' כמו מה שבכל השלישי והששי והוא ד"ט מכפלי הרביעי והוא ז'
+
|style="text-align:right;"|הנה כל אחד משטחי א"ח ה"ג א"ט ז"ג נכחי הצלעות <span style=color:red>מכ"ח מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי מה שבא"ב מכפלי ג' כמו מה שבד"ה מכפלי ז'
+
*<span style=color:red>I.34:</span> The angles at points C and T are right, as they are opposite to the right angles at points B, A and D.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן הזויות אשר אצל ח"ט נצבות כי הם יקבילו הזויות הנצבות אשר אצל נקדות בא"ד מן המרבע הידוע <span style=color:red>מל"ד מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מספר מה שבא"ב מן השעורים השוים אל ג' כמו מספר מה שבד"ה מן השעורים השוים אל ז' ומה שבב"ח מכפלי ג' כמו מה שבה"ט מכפלי ז'
+
:*The angles at points H and Z are right.
 +
|style="text-align:right;"|והזויות אשר אצל ה"ז נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מספר מה שבב"ח מן השעורים השוים אל ג' כמו מספר מה שבה"ט מן השעורים השוים אל ז'
+
:*<math>\scriptstyle AB=AD\longrightarrow AZ=AH</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומפני כי א"ב כמו א"ד יהיה א"ז כמו א"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מספר מה שבא"ח אם כן מן השעורים השוים אל ג' כמו מספר מה שבד"ט מן השעורים השוים אל ז'
+
:*AZ and AH are half of AB and AD [respectively].
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי א"ז וא"ה חציי א"ב א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מה שבכל א"ח מכפלי ג' כמו מה שבד"ט מכפלי ז' וזה מש"ל'
+
:*<math>\scriptstyle AH\parallel BC\longrightarrow AH=BC</math>
 +
|style="text-align:right;"|וקו א"ה כמו ב"ח כי הוא יקבילהו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
:*<math>\scriptstyle ZK=AH</math>
−
=== Proposition 3 ===
+
|style="text-align:right;"|וז"כ כמו א"ה גם כן
−
 
+
|-
 
|
 
|
−
|-
+
:*<math>\scriptstyle ZA=KH=DT</math>
−
|When the multiple of the second in the first is the same as that of the fourth in the third, and if equimultiples are taken of the first and third, then the multiple of the first taken of the second is the same as that of the third taken of the fourth.
+
|style="text-align:right;"|וז"א כמו כ"ה וד"ט
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ג</span> <big>כשיהיה</big> בראשון מכפלי השני כמו מה שבשלישי מן הרביעי ונלקח לראשון ולשלישי כפלים שוי הפעמי' אי זה מספר שיהיו הנה מה שבכפלי הראשון הלקוח מכפלי השני כמו מה שבשלישי הלקוח מכפלי הרביעי
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle A=n\sdot B\quad G=n\sdot D</math>
+
:*<math>\scriptstyle HD=BT</math>
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי הראשון א' ובו מכפלי השני והוא ב' כמו מה שבשלישי והוא ג' מכפלי הרביעי והוא ד'
+
|style="text-align:right;"|וכן ה"ד כמו ב"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר נלקחו כפלים לשעור א' והם ה"ז וכפלים לשעור ג' והם שוים להם במספר הפעמים והם ח"ט
+
:*GC and ZB are equal to KC and TG.
 +
|style="text-align:right;"|וג"ח וז"ב כמו כ"ח וט"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<math>\scriptstyle HZ=m\sdot B\quad CT=m\sdot D</math>
+
*The four figures AK, CT, ZC and KG are equal squares.
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי מה שבה"ז מכפלי ב' כמו שבח"ט מכפלי ד'
+
|style="text-align:right;"|אם כן שטחי א"כ ח"ט ז"ח כ"ג הארבעה מרובעים שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי מה שבה"ז מכפלי א' כמו מה שבח"ט מכפלי ג' אם כן מספר מה שבה"ז מן השעורים השוים לשעור א' כמו מספר מה שבח"ט מן השעורים השוים לשעור ג' הנה נחלק ה"ז בשעור א' ויהיו חלקיו ה"כ ז"כ ונחלק ח"ט בשעור ג' ויהיו חלקיו ח"ל ול"ט
+
*<math>\scriptstyle KZ=KH=KT=KC</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יהיו קוי כ"ז כ"ה כ"ט כ"ח הארבעה שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מספר ה"כ וכ"ז כמו מספר ח"ל ול"ט
+
*The angles at the ends of these lines are right.
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי הזויות המוצאות מקצוי אלו הקוים נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומה שבא' מכפלי ב' כמו מה שבג' מכפלי ד' וא' כמו ה"כ וג' כמו ח"ל
+
:Defining: K = center, the radius of the circle = KZ = KH = KC = KT.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כאשר שמנו נקודת כ' מרכז וסבבנו במרחק כל אחד מקוי כ"ז כ"ה כ"ח כ"ט עגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מה שבה"כ מכפלי ב' כמו שבח"ל מכפלי ד'
+
*<span style=color:red>III.15:</span> The circle passes through points Z, H, T and C and it touches sides AB and GD.
 +
|style="text-align:right;"|הלכה העגולה בנקדות ז"ה ט"ח ותמשש צלעות א"ב ג"ד <span style=color:red>מט"ו מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן מה שבכ"ז מכפלי ב' כמו מה שבל"ט מכפלי ד'
+
::Both lines ZT and HC are diameters of the circle and the angles at their ends are right.
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי שני קוי ז"ט ה"ח שני קטרי העגולה והזויות אשר אצל קצויהם נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים הראשון ה"כ ובו מכפלי ב' כמו מה שבשלישי והוא ח"ל מכפלי ד'
+
:This circle touches the sides of <math>\scriptstyle\square_{ABGD}</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן צלעות מרובע א"ב ג"ד כאשר קוינו העגלה הזאת תמששם
 
|-
 
|-
−
|
+
|We have inscribed the circle in the given square, so that it touches sides AB, GD, BG and AD, since the angles at points H, Z, C and T are right.
−
|style="text-align:right;"|והחמישי כ"ז ובו מכפלי ב' כמו מה שבששי והוא ל"ט מכפלי ד'
+
|style="text-align:right;"|אם כן הנה נקוה העגולה במרובע המונח ותהיה ממששת לצלעות א"ב ג"ד ב"ג א"ד מפני כי הזויות אשר אצל נקדות ה"ז ח"ט נצבות
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|וכאשר קובץ הראשון והחמישי והם ה"ז היה בשניהם מכפלי ב' כמו מה שבשלישי והשישי והם ח"ט מכפלי ד' אם כן מה שבה"ז מכפלי ב' כמו מה שבח"ט מכפלי ד' וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 4 ===
+
=== Proposition 9 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to circumscribe a circle about a given square.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ד</span> כאשר היה יחס הראשון אל השני הוא השלישי אל הרביעי ונלקח לראשון ולשלישי כפלים שווי הפעמים אי זה מספר שיהיה ולשני ולרביעי כפלים שווי הפעמים אי זה מספר שיהיה הנה יחס כפלי הראשון הלקוחים אל כפלי השני הם יחס כפלי השלישי הלקוחים אל כפלי הרביעי
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>ט</span> נרצה</big> לעשות על מרובע ידוע עגלה מקיף בו
 
|-
 
|-
−
|
+
|Defining:
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי יחס הראשון והוא א' אל השני והוא ב' הוא יחס השלישי והוא ג' אל הרביעי והוא ד'
+
:*<math>\scriptstyle\square_{ABGD}</math> the known square.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים המרובע הידוע מרובע א"ב ג"ד
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to circumscribe [a circle] about it.
−
|style="text-align:right;"|וכבר נלקח לשעורי א"ג כפלים שווי הפעמים והם ח"ט הנה אומר כי יחס ה' אל ח' הוא יחס ז' אל ט'
+
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות עליו תקיף בו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשני שעורי ה"ז כפלים שווי הפעמים והם ל"נ ולשני שעורי ח"ט כפלים שווי הפעמים והם מ"ס
+
|style="text-align:right;"|הנה נוציא שני קוי א"ג ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כפלי ל' לשעור א' כמו כפלי נ' לשעור ג' וכן כפלי מ' לשעור ב' כמו כפלי ס' לשעור ד' ויחס א' אל ב' הוא יחס ג' אל ד'
+
|style="text-align:right;"|הנה א"ב כמו א"ד
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle BAD=90^\circ</math>
−
|style="text-align:right;"|וכבר נלקח לשני שעורי א"ג כפלים שווי הפעמים והם מ"ס ל"נ ולשני שעורי ב"ד כפלים שווי הפעמים והם מ"ס
+
|style="text-align:right;"|וזוית בא"ד נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שעור ל"נ אם מוסיפים יחד על מ"ס ואם שוים יחדל שניהם ואם גורעים יחד מהם ושעור ל"נ כפלים שוים לשני שעורי ה"ו ושעור מ"ס כפלים שוים לשני שעורי ח"ט
+
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות אד"ב אב"ד כל אחת חצי נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ח' הוא יחס ו' אל ט'
+
|style="text-align:right;"|וכן יהיו שתי זויות דא"ג דג"א כל אחת חצי נצבת
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle ADB=\measuredangle DAG</math>
−
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אד"ב כמו זוית דא"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle AH=HD</math>
−
=== Proposition 5 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן צלע א"ה כמו צלע ה"ד
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle BH=HG</math>
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ה</span> כאשר יהיו שני שעורים אחד משניהם כפלים לאחר וחוסר משניהם שני שעורים והיה מה שבמחוסר מכפלי המחוסר כמו מה שבכל מכפלי הכל הנה מה שנשאר מכפלי הנשאר כמו מה שבכל מכפלי הכל
+
|style="text-align:right;"|וכן יהיה ב"ה כמו ה"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle HG=DH</math>
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעור א"ב כפלים לשעור ג"ד והמחוסרים משניהם א"ה וג"ו ומה שבא"ה מכפלי ג"ו כמו מה שבא"ב מכפלי ג"ד
+
|style="text-align:right;"|וה"ג כמו ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי מה שבה"ב הנשאר מכפלי ו"ד הנשאר כמו מה שבא"ב מכפלי ג"ד
+
|style="text-align:right;"|א"כ ה"ד ה"א ה"ב ה"ג שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נשים בא"ט מכפלי ו"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו
+
|style="text-align:right;"|הנה על מרכז ה' ובמרחק ה"ג הקפנו עגולה מוקפת במרובע א"ב ג"ד
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|וכבר היה בא"ב מכפלי ג"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו אם כן מה שבה"ט כלו מכפלי ג"ד כמו מה שבא"ב מכפלי ג"ד
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ה"ט כמו א"ב ותשליך א"ה המשותף וישאר א"ט כמו ה"ב
+
 
−
|-
+
=== Proposition 10 ===
 +
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר היה בא"ט מכפלי ו"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to construct an isosceles triangle, such that each of its angles at the base is double the remaining angle.
−
|style="text-align:right;"|אם כן מה שבה"ב מכפלי ו"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>י</span> נרצה</big> לעשות משולש שוה השוקים תהיה כל אחת מזויותיו אשר על התושבת כפל הזוית הנשארת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר היה מה שבא"ב כלו מכפלי ג"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו
+
|style="text-align:right;"|הנה נקוה קו א"ב ונחלקהו על ג' חלוקה יהיה בה א"ב בב"ג כמו א"ג בעצמו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מה שבה"ב מכפלי ו"ד כמו מה שבא"ב מכפלי ג"ד
+
|style="text-align:right;"|ונשים נקודת א' מרכז ונקוה על מרכז א' ובמרחק א"ב עגלת הב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מן ב' מיתר יהיה שוה אל א"ג והוא ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 6 ===
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי א"ד ג"ד
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ו</span> כאשר היו שני שעורים בשניהם כפלים שוים לשני שעורים אחרים וחוסר מהשנים הגדולים כפלים שוים לקטנים הנה השנים הנשארים אם שוים לשנים הקטנים ואם כפלים לשניהם שוים
+
|style="text-align:right;"|ונקוה על משולש אג"ד עגלה תקיף בו והיא עגלת אג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי כפלי א"ב לשעור ה' וכפלי ג"ד לשעור ז'
+
|style="text-align:right;"|הנה יהיה א"ב בב"ג כמו א"ג בעצמו
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle AG=BD</math>
−
|style="text-align:right;"|וכבר חוסר מן א"ב וג"ד כפלים שוים לשעור ה' וז' והם א"ח וג"ט הנה אומר כי ב"ח וט"ד הנשארים אם שוים יחד לשני שעורי ה"ז ואם כפלים לשניהם שוים
+
|style="text-align:right;"|וג"א כמו ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה ב"ח תחלה כפלים לשעור ה' הנה אומר כי ט"ד כפלים כמוהם לשעור ז'
+
|style="text-align:right;"|אם כן יהיה א"ב בב"ג כמו ב"ד בעצמו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נשים מה שבג"ב מכפלי ז' כמו מה שבח"ב מכפלי ה' והוא השני כמו מה שבג"ט והוא השלישי מכפלי ז' והוא הרביעי
+
|style="text-align:right;"|ונקודת ב' חוץ מעגולת אג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומה שבח"ב והוא החמישי מכפלי ה' השני כמו מה שבג"ב והוא הששי מכפלי ז' הרביעי
+
|style="text-align:right;"|וכבר יצאו ממנה אל עגלת אג"ד שני קוים אחד מהם יחתכה והוא א"ב והאחר יכלה אליה והוא ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מה שבא"ב והוא הראשון והחמישי יחד מכפלי ה' השני
+
|style="text-align:right;"|ואשר מן א"ב בב"ג כמו ב"ד בעצמו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|כמו מה שבב"ט השלישי והששי יחד מכפלי ז' הרביעי וכבר היה בא"ב מכפלי ה' כמו שבג"ד מכפלי ז' אם כן ב"ט כמו ג"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן ב"ד ימשש עגולת אג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשליך ג"ט המשותף וישאר ב"ג כמו מה שבט"ד
+
|style="text-align:right;"|וכבר יצא מהמקום שימששה קו ד"ג ויחתוך העגולה על זולת המרכז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר היה מה שבח"ב מכפלי ה' כמו מה שבב"ג מכפלי ז'
+
|style="text-align:right;"|והנה שתי הזויות אשר משני צדדיו כמו אשר יפלו בשתי חתיכות העגולה המומרות לשתיהן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן מה שבט"ד מכפלי ז' כמו מה שבח"ב מכפלי ה'
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גד"ב כמו זוית גא"ד וזוית גד"א משותפת אם כן כל זוית בד"א כמו שתי זויות גד"א דא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה גם כן ח"ב שוה אל ה' הנה אומר כי ט"ד שוה אל ז'
+
|style="text-align:right;"|אבל שתי זויות גד"א דא"ג שתיהן יחד כמו זוית בג"ד החיצונה מן המשולש
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle BGD=\measuredangle BDA</math>
−
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נשים ג"ב שוה אל ז'
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בג"ד כמו זוית בד"א
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle BDA=\measuredangle DBA</math>
−
|style="text-align:right;"|הנה בכמו המעשה הראשון נבאר כי ב"ט כמו ג"ד
+
|style="text-align:right;"|וזוית בד"א כמו זוית דב"א
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle DBA=\measuredangle BGD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית דב"א כמו זוית בג"ד
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle BD=GD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן צלע ב"ד כמו צלע ג"ד
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle BD=AG</math>
−
|style="text-align:right;"|הנה כאשר הושלך ג"ט המשותף ישאר ט"ד כמו ב"ג ומפני שב"ג כמו ז' הנה ט"ד אם כן כמו ז'
+
|style="text-align:right;"|וב"ד כמו א"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle AG=GD</math>
−
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|אם כן א"ג כמו ג"ד
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle GAD=\measuredangle GDA</math>
−
=== Proposition 7 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גא"ד כמו זוית גד"א
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> השעורים השוים יחסם אל שיעור אחד אחד ויחס הוא גם כן אליהם אחד
+
|style="text-align:right;"|ושתי זויות גא"ד גד"א יחד כפל זוית גא"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני שעורי א"ב שוים ושיעור ג' שיעור אחד הנה אומר כי יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ג' ויחס ג' גם כן אל א' כיחסו אל ב'
+
|style="text-align:right;"|וזוית בג"ד החיצונה מן משולש אג"ד כמו שתי זויות גא"ד גד"א יחד
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle BGD=2\sdot\measuredangle DAG</math>
−
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשני שעורי א"ב כפלים שוים והם ד"ה ולשעור ג' כפלים מה שיהיו והם ז' הנה כפלי ד' לשעור א' ככפלי ה' לשעור ב'
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בג"ד כפל זוית דא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וא' כמו ב' אם כן ד' כמו ה'
+
|style="text-align:right;"|וזוית בג"ד כמו זוית אב"ד וכמו זוית אד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושעור ז' שעור אחד אי זה שיהיה אם כן שני שעורי ה"ד אם שוים יחד לשעור ז' ואם נוספים יחד עליו ואם חסרים יחד ממנו ושניהם כפלים שוים לשני שעורי א"ב וז' כפלים לשעור ג' אם כן יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ג'
+
|style="text-align:right;"|הנה כל אחת משתי זויות אב"ד אד"ב כפל זוית בא"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואומר כי יחס ג' אל א' כיחסו אל ב' מפני כי הנהגת שניהם אחת כי ד"ה שוים
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר עשינו משולש שוה השוקים עליו אב"ד תהיה כל אחת מזויותיו אשר על תושבת ב"ד כפל הזויות הנשארות
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|וכי ז' אם שוה לשניהם ואם נוסף על שניהם
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם חסר משניהם יחד
+
 
−
|-
+
=== Proposition 11 ===
 +
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וז' כפלים לשעור ג' וד' ה' כפלים שוים לשני שעורי א"ב
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to inscribe an equilateral and equiangular pentagon in a given circle.
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ג' אל א' כיחסו אל ב'
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>יא</span> נרצה</big> לעשות בעגולה ידועה מחמש שוה הצלעות והזויות אשר תקיף בו
 
|-
 
|-
−
|
+
|Defining:
−
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
+
:*<math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math> the known circle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגולה הידועה עגולת אב"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to inscribe an equilateral and equiangular pentagon in it.
−
=== Proposition 8 ===
+
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות בה מחומש שוה הצלעות והזויות תקיף בו
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> השעורים המתחלפים כאשר נתיחסו אל שעור אחד הנה הגדול יותר יחסו אליו מן הקטן
+
|style="text-align:right;"|הנה נעשה משולש שוה השוקים תהיה כל אחת מזויותיו אשר על התושבת כפל הזוית הנשארת והוא משולש דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר נתיחס הוא אליהם הנה יחסו אל הקטן יותר מיחסו אל הגדול
+
|style="text-align:right;"|ונעשה בעגולת אב"ג משולש אב"ג שות זויותיו לזויות משולש דה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו שעורי א"ב וג' מתחלפים א"ב יותר גדול מן ג'
+
|style="text-align:right;"|הנה כל אחת משתי זויות אב"ג אג"ב כפל זוית בא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושעור ד' שעור אחד הנה אומר כי א"ב יותר גדול יחסו אל ד' מן ג' אל ד'
+
|style="text-align:right;"|ונחלק זוית אב"ג בשני חצאים בקו ב"ח וזוית אג"ב בקו ג"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושד' יותר גדול יחסו אל ג' מאשר הוא אל א"ב
+
|style="text-align:right;"|ונוציא קוי א"ט ט"ב ב"ג א"ח ח"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מופתו שנבדיל מן א"ב כמו ג' והוא ב"ה הנה היותר קטן משני שעורי א"ה ה"ב הנה אפשר שיכפל עד שיהיה יותר גדול מן ד'
+
|style="text-align:right;"|הנה כל אחת משתי זויות אב"ג אג"ב כפל זוית בא"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה א"ה יותר קטן משניהם ויהיה כפלו הנוסף על שעור ד' כפל ו"ח
+
|style="text-align:right;"|וכבר נחלקה כל אחת מהן בשני חצאים אם כן זוית בא"ג אג"ט טג"ב חב"ג חב"א החמש שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונקח לשני שעורי ה"ב וג' כפלים שוים לכפלי ו"ח נוסף והוא ח"ט וכ"ל ונשים מ' שני כפלי ד' ונ' שלשה כפלו אחר כן לא תסור נקח כפלי ד' על הסדר עד שיכלה אל הראשון מכפליו עד שיהיה יותר גדול מן כ"ל
+
|style="text-align:right;"|אם כן קשתות א"ט ט"ב ב"ג ג"ח ח"א החמשה שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה ס' הוא ראשון מכפלי ד' אשר הוא יותר גדול מן כ"ל הנה כפלי ו"ח לשיעור א"ה ככפלי ח"ט לשעור ה"ב
+
|style="text-align:right;"|אם כן מחומש אטבג"ח שוה הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כפלי ו"ח לשעור א"ה ככפלי ו"ט לשעור א"ב ושעור ו"ח לשעור א"ה ככפלי כ"ל לשעור ג'
+
|style="text-align:right;"|וקשת ב"ט כמו קשת ג"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכפלי ו"ט וכ"ל לשני שעורי א"ב וג' שוה
+
|style="text-align:right;"|ונשים קשת טא"ח משותף אם כן כל קשת ב"ט א"ח כמו כל קשת ג"ח א"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה כפלי ח"ט לשעור ה"ב ככפלי כ"ל לשעור ג' וה"ב כמו ג' אם כן ח"ט כמו כ"ל וס' יותר גדול מן כ"ל וכ"ל אינו יותר קטן מן נ'
+
|style="text-align:right;"|וזוית גב"ט על קשת ג"ח ט"א וזוית בג"ח על קשת ח"א ט"ב
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle GBT=\measuredangle BGC</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גב"ט כמו זוית בג"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכ"ל כמו ח"ט אם כן ח"ט אינו יותר קטן מן נ' וו"ח יותר מן ד' אם כן ו"ט יותר גדול מן ד' ונ' יחד
+
|style="text-align:right;"|וכן יהיו זויות גח"א חא"ט אט"ב כמו כל אחת משתי זויות בג"ח וכן גב"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וס' כמו ד' ונ' יחד
+
|style="text-align:right;"|אם כן מחומש טבגח"א שוה הצלעות והזויות הנה כבר נעשה בעגולת אב"ג
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ו"ט יותר גדול מן ס' אם כן הוא נוסף עליו
+
 
−
|-
+
=== Proposition 12 ===
 +
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכ"ל בלתי נוסף על ס' וו"ט וכ"ל כפלים שוים לשעורי א"ב וג' וס' כפלים שוים לשעור ד'
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to circumscribe an equilateral and equiangular pentagon about a given circle.
−
|style="text-align:right;"|אם כן שעור א"ב יותר גדול היחס אל ד' מן ג' אל ד'
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>יב</span> נרצה</big> לעשות על עגולה ידועה מחמש שוה הצלעות והזוית יקיף בה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואומר גם כן כי ד' יותר גדול היחס אל ג' מאשר הוא אל ב' מפני כי הנהגתם אחת
+
|style="text-align:right;"|ויהיו נקודות זויות המחמש נקודות א'ב'ג'ד'ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והתבאר כי ס' נוסף על כ"ל ואינו נוסף על ו"ט וס' כפל ד' וכ"ל וו"ט כפלים שוים לשעורים א"ב וג'
+
|style="text-align:right;"|ונעביר על אלו הנקודות קוים ממששים לעגלה עליהם כ"ל ל"ז ז"ח ח"ט ט"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ד' אל ג' יותר גדול מיחסו אל א"ב
+
|style="text-align:right;"|ונשים מרכז העגולה מ'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי מ"כ מ"ב מ"ל מ"ג מ"ז מ"ד מ"ח מ"ה מ"ט מ"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 9 ===
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי שני קוי ג"ז ז"ד כבר יצאו מנקודת ז' ומששו עגולת אבגד"ה יהיה קו ג"ז שוה לקו ז"ד וקו ז"מ משותף הנה כל שני קוי ג"ז ז"מ שוים לכל שני קוי ד"ז ז"מ כל אחת לדומה לו
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> השעורים אשר יחסם אל שעור אחד אחד הם שוים
+
|style="text-align:right;"|ותושבת ג"מ שוה לתושבת מ"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה שעור יחסו אל שעורים אחד הנה השעורים שוים
+
|style="text-align:right;"|מפני כי שתיהן יוצאות ממרכז העגולה אל הקו המקיף
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle GZM=\measuredangle DZM</math>
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני שעורי א"ב יחסם אל שעור ג' אחד
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גז"מ שוה לזוית דז"מ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' כמו ב'
+
|style="text-align:right;"|הנה קו מ"ז כבר חלק בם זוית גז"ד בשני חצאים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם לא יהיה כמוהו הנה הוא יותר גדול ממנו או יותר קטן
+
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי זויות הח"ד אט"ה בל"א בל"ג כבר חלקום קוי מ"ח מ"ט מ"כ מ"ל בשני חצאי'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר גדול יהיה יחסו אל ג' יותר גדול
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ג"מ שוה לקו מ"ד וקו מ"ז משותף אם כן כל שני קוי ג"מ מ"ז שוים לכל שני קוי ז"מ מ"ד כל אחד לדומה לו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר קטן היה יחסו אל ג' יותר קטן ואינו כן
+
|style="text-align:right;"|ותושבת ג"ז שוה לתושבת ז"ד
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle GMZ=\measuredangle ZMD</math>
−
|style="text-align:right;"|אם כן אין א' יותר קטן ויותר גדול מן ב' אבל הוא שוה לו
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גמ"ז שוה לזוית זמ"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יחס ג' אל א' וב' אחד
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גמ"ד כבר נחלקה בשני חצאים בקו מ"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' כמו ב' שאם לא יהיה כמוהו הנה הוא יותר גדול או יותר קטן ממנו
+
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי זויות דמ"ה המ"א אמ"כ כמ"ג כבר חלקום קוי מ"ט מ"ח מ"כ מ"ל בשני חצאים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר גדול היה יחס ג' אליו יותר קטן
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי קשת ד"ה שוה לקשת ג"ד כי היה מיתר צלעות מחומש תהיה זוית גמ"ד שוה לזוית דמ"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle GMD=2\sdot\measuredangle DMZ</math>
−
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר קטן היה יחס ג' אליו יותר גדול
+
|style="text-align:right;"|ואולם זוית גמ"ד הנה היא כפל זוית דמ"ז
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle HMD=2\sdot\measuredangle DMC</math>
−
|style="text-align:right;"|אם כן אין א' יותר גדול ולא יותר קטן מן ב' אם כן הוא שוה לו
+
|style="text-align:right;"|ואולם זוית המ"ד הנה היא כפל דמ"ח
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle ZND=\measuredangle DMC</math>
−
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זמ"ד שוה לזוית דמ"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 10 ===
+
|style="text-align:right;"|וזוית מד"ח נצבת מפני כי קו ד"מ אשר יעבור במרכז כבר יצא ממקום המשוש ולכן תהיה מד"ז נצבת
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י</span> גדול השעורים יחס אל שעור הוא היותר הוא היותר גדול מהם
+
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות זמ"ד מד"ז ממשולש זמ"ד שוות לשתי זויות דמ"ח חד"מ ממשולש מד"ח כל אחת לדומה לה וקו מ"ד משותף בין שתיהם אם כן הצלעות הנשארות שוות לצלעות הנשארות כל אחת לדומה לה
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle DZ=DC</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז שוה לד"ח
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle MZD=\measuredangle MCD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית מז"ד שוה לזוית מח"ד הנשארת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואשר יחס השעור אליו יותר גדול הוא היותר קטן מהם
+
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי קו ל"ג שוה לקו ג"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי א' יותר גדול יחסו אל ג'
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו ג"ז שוה לקו ג"ל וכפל ג"ז הוא ז"ל וכפל ז"ד הוא ז"ח יהיה ז"ח שוה לקו ז"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' יותר גדול יחסו מן ב'
+
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי קו ז"ח שוה לקו ח"ט
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle CT=TK</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושקו ח"ט שוה לקו ט"כ
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle TK=KL</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושקו ט"כ שוה לקו כ"ל
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle KL=LZ</math>
−
|style="text-align:right;"|שאם לא יהיה יותר גדול ממנו הנה הוא כמוהו או יותר קטן ממנו
+
|style="text-align:right;"|ושקו כ"ל שוה לקו ל"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואלו היה כמוהו היה יחס שניהם אל ג' אחד
+
|style="text-align:right;"|אם כן קוי כ"ל ל"ז ז"ח ח"ט ט"כ שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר קטן ממנו היה יחסו אל ג' יותר קטן
+
|style="text-align:right;"|ומחומש זחטכ"ל שוה הצלעות
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|ואינו כן הנה כבר התבאר כי א' אינו כמו ב' ולא קטן ממנו
+
|style="text-align:right;"|ואומר שהוא שוה הזויות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אם כן הוא יותר גדול ממנו
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי כפל זוית מז"ד היא זוית גז"ד וכפל זוית מח"ד היא זוית הח"ד תהיה זוית גז"ד שוה לזוית הח"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יחס ג' אל ב' יותר גדול מיחסו אל א'
+
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי זוית זח"ט שוה לזוית כט"ח
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle KTC=\measuredangle LKT</math>
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' יותר גדול מן ב'
+
|style="text-align:right;"|ושזוית כט"ח שוה לזוית לכ"ט
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle LKT=\measuredangle LZC</math>
−
|style="text-align:right;"|שאם לא יהיה יותר גדול ממנו הנה הוא כמוהו או יותר קטן ממנו
+
|style="text-align:right;"|ושזוית לכ"ט שוה לזוית לז"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואלו היה כמוהו היה יחס ג' אליו ואל ב' אחד
+
|style="text-align:right;"|אם כן זויות אשר עליהן לכ"ט כל"ז לז"ח זח"ט חט"כ שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר קטן ממנו היה יחס ג' אליו יותר גדול ואינו כן
+
|style="text-align:right;"|אם כן מחומש זחטכ"ל שוה הזויות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן אינו כמו ב' ולא קטן ממנו אבל הוא יותר גדול ממנו
+
|style="text-align:right;"|וכבר ביארנו שהוא שוה הצלעות והוא יקיף בעגלת אבג"ד
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 11 ===
+
 
 +
=== Proposition 13 ===
 +
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to inscribe a circle in a given equilateral and equiangular pentagon.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יא</span> השעורים אשר יחסם שוים ליחס אחד הנה יחסם שוים
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>יג</span> נרצה</big> לעשות במחומש ידוע שוה הצלעות והזויות עגלה יקיף בה
 
|-
 
|-
−
|
+
|Defining:
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' ויחס ה' אל ז' כיחס ג' אל ד' הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ז'
+
:*ABGDH the given equilateral and equiangular pentagon.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים המחומש הידוע השוה הצלעות והזויות אבגד"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to inscribe a circle in it.
−
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשיעורי א'ג'ה' כפלים שוים והם ח'ט'ב' ולשעורי ב'ד'ז' כפלים שוים והם ל'מ'נ' הנה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' וכבר לוקח לשעורי א"ג כפלים שוים והם ח"ט
+
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות בו עגלה יקיף בה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ולשעורי ב"ד כפלים שוים והם ל"מ הנה שני שעורי ח"ט אם נוספים יחד על שני שעורי ל"מ ואם שוים לשניהם יחד ואם חסרים משניהם יחד
+
|style="text-align:right;"|הנה נחלק שתי זויות בג"ד דג"ה כל אחת בשני חצאים בשני קוי ז"ג ז"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יחס ג' אל ד' כיחס ה' אל ז'
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי א"ז ז"ב ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר נלקח לשני שעורי ג"ה כפלים שוים והם ט"כ
+
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת ז' אל קוי א"ב ב"ג ג"ד ה"ד א"ה עמודים ז"ח ז"ט ז"כ ז"ל ז"מ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ולשני שעורי ד"ז כפלים והם מ"נ
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי צלע ב"ג שוה לצלע ג"ד כי המחומש הוא שוה הצלעות וקו ז"ג משותף יהיו כל שני קוי ב"ג ג"ז שוים לכל שני קוי ג"ד ג"ז כל אחד לגילו
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle BGZ=\measuredangle ZGD</math>
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני שעורי ט"כ אם נוספים יחד על שני שעורי מ"נ ואם שוים יחד לשניהם
+
|style="text-align:right;"|וזוית בג"ז שוה לזוית זג"ד
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle BZ=ZD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ב"ז שוה לתושבת ז"ד
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\triangle_{BGZ}=\triangle_{ZDG}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומשולש בג"ז שוה למשולש זד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם חסרים יחד משניהם וח"כ כפלים שוים לשני שעורי א"ה ול"נ כפלים שוים לשני שעורי ז"ב אם כן יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ז'
+
|style="text-align:right;"|ושאר הזויות שוות לשאר הזויות אשר היו מיתריהם הצלעות השוות
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle GBZ=\measuredangle ZAG</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גב"ז שוה לזוית זא"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle ABZ=\measuredangle ZDH</math>
−
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|ונשארה זוית אב"ז שוה לזוית זד"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle ZDH=\measuredangle ZDG</math>
−
=== Proposition 12 ===
+
|style="text-align:right;"|ותהיה זוית זד"ה שוה לזוית זד"ג
−
|
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle ABZ=\measuredangle ZDG</math>
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יב</span> כאשר היה יחס הראשון אל השני כיחס השלישי אל הרביעי ויחס השלישי אל הרביעי יותר גדול מיחס החמישי על הששי הנה יחס הראשון אל השני יותר גדול מיחס החמשי על הששי
+
|style="text-align:right;"|הנה זוית אב"ז שוה לזוית זד"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle ZDG=\measuredangle ZBG</math>
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' ויחס ג' אל ד' יותר גדול מיחס ה' אל ו' הנה אומר כי יחס א' אל ב' יותר גדול מיחס ה' אל ו'
+
|style="text-align:right;"|וכבר היתה זוית זד"ג שוה לזוית זב"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle ABZ=\measuredangle ZBG</math>
−
|style="text-align:right;"|מופתו מפני כי יחס ג' אל ד' יותר גדול מיחס ה' אל ו' הנה יהיה אל ג' וה' כפלים שוים
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אב"ז שוה לזוית זב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואל ד' וו' כפלים שוים ויהיו כפלי ג' נוספים על כפלי ד' וכפלי ה' בלתי נוספים על כפלי ו' הנה יהיו כפלי ג' וה' השוים וכפלי ד' וו' השוים אשר אלו עניינם כפלי ג' וה' הנה ח"ט
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אב"ג כבר נחלקה בשני חצאים כל אחת בקו ב"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם כפלי ד' הנה כ"ל ויהיה מה שבמ' מכפלי א' כמו מה שבח' מכפלי ג'
+
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי כל אחת משתי זויות בא"ה אה"ד כבר נחלקה כל אחת בשני חציים בשני קוי א"ז ז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומה שבנ' מכפלי ב' כמו מה שבכ' מכפלי ד'
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי זוית בג"ז שוה לזוית זג"ד וזוית זח"ג נצבת והיא שוה לזוית זמ"ג יהיו כל שתי זויות זמ"ג זג"מ שוות לכל שתי זויות זח"ג זג"ח כל אחת לנכחי לה וקו ז"ג משותף לשני המשולשים יחד יהיו הצלעות הנשארות שוות לשתי הצלעות הנשארות כל אחד לנכחי לו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו מ"ז שוה לקו ז"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר הוסף לשני שעורי א"ג כפלים שוים והם מ"ח ולשני שעורי ב"ד כפלים שוים והם נ"כ הנה שני שעורי מ"ח אם נוספים יחד על שני שעורי נ"ב ואם שוים יחד לשניהם ואם חסרים יחד משניהם
+
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי קו ח"ז שוה לקו ז"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל אם היה נוסף ח' על כ' הנה מ' נוסף על נ' וט' בלתי נוסף על ל' הנה מ"ט כפלים שוים לשני שעורי א"ה ונ"ל כפלים שוים לשני שעורי ב' ו' אם כן יחס א' אל ב' יותר גדול מיחס ה' אל ו'
+
|style="text-align:right;"|וקו ז"ט לקו ז"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|וקו ז"כ לקו ז"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 13 ===
+
|style="text-align:right;"|וקו ז"ל לקו ז"מ
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יג</span> השעורים אשר יחסם אל שעורי' אחרים קרובים להם על מספרם כמה שיהיו אחד הנה יחס האחד אל קרובו כיחס הכל אל הכל
+
|style="text-align:right;"|הנה הקוים החמשה אשר עליהם ח"ז ז"ט ז"כ ל"ז ז"מ שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ו' אחד הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס א'ג'ה' יחד אל ב'ד'ו' יחד
+
|style="text-align:right;"|וכאשר שמנו נקודת ז' מרכז וסבבנו במרחק אחת מנקודות ח'ט'כ'ל'מ' עגולה עברה העגולה על שאר הנקודות ומששה צלעות מחומש אבגד"ה מפני כי הזויות אשר אצל נקודות ח'ט'כ'ל'מ' נצבות ונקוה העגולה הזאת והיא עגולת חטכל"מ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשעורי א'ג'ה' כפלים שוים והם ח'ט'כ' ולשעורי ב'ד'ו' כפלים שוים והם ל'מ'נ' הנה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר עשינו במחומש אבגד"ה עגולה יקיף בה והיא עגולת חטכל"מ
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|וכיחס ה' אל ו'
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וח' וט' וכ' כפלים שוים לשעורי א'ג'ה' ול'מ'נ' כפלים שוים לשעורי ב'ד'ו' אם כן ח'ט'כ' אם נוספים יחד על ל'מ'נ' ואם חסרים מהם יחד ואם שוים להם יחד
+
 
−
|-
+
=== Proposition 14 ===
 +
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה ח' נוסף על ל' הנה ח'ט'כ' מקובצים נוספים על ל'מ'נ'
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to circumscribe a circle about a given equilateral and equiangular pentagon.
−
|style="text-align:right;"|ואם היה חסר ממנו הנה הם חסרים מהם
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>יד</span> נרצה</big> לעשות על מחומש ידוע שוה הצלעות והזויות עגולה תקיף בו
 
|-
 
|-
−
|
+
|Defining:
−
|style="text-align:right;"|ואם היה שוה לו הנה הם שוים להם
+
:*ABGDH the given equilateral and equiangular pentagon.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים המחומש הידוע מחומש אבגד"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to circumscribe a circle about it.
−
|style="text-align:right;"|וכפלי ח' לשעור א' ככפלי ח'ט'כ' מקובצים לשעורי א'ג'ה' מקובצים וכפלי ל' לשעור ב' ככפלי ל'מ'נ' לשעור ב'ד'ו' מקובצים
+
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות עליו עגלה תקיף בו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס א'ג'ה' מקובצים אל ב'ד'ו' יחד
+
|style="text-align:right;"|הנה נחלק זוית בג"ד בשני חצאים בקו ג"ז וזוית גד"ה בשני חצאים בקו ד"ז ויפגשו על נקודת ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|ונוציא קוי ז"ב ז"א ז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 14 ===
+
|style="text-align:right;"|הנה קו ב"ג כמו קו ג"ד וג"ז משותף אם כן שני קוי ב"ג ג"ז כמו שני קוי ג"ד ג"ז
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle BGZ=\measuredangle DGZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית בג"ז כמו זוית דג"ז
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle BZ=ZD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ב"ז שוה לתושבת ז"ד
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\triangle_{ZBG}=\triangle_{ZDG}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומשולש זב"ג כמו משולש זד"ג
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ושתי זויות זב"ג בז"ג הנשארות כמו שתי זויות זד"ג דז"ג כל אחת לנכחי לה
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle ZBG=\measuredangle ZDG</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זב"ג כמו זוית זד"ג
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle ZDG=\frac{1}{2}\sdot\measuredangle GDH</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית זד"ג חצי זוית גד"ה
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle GDH=\measuredangle GBA</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית גד"ה כמו זוית גב"א
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle ZDG=\frac{1}{2}\sdot\measuredangle GBA</math>
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יד</span> כאשר היו ארבעה שעורים מתיחסים והיה הראשון יותר גדול מן השלישי הנה השני יותר גדול מן הרביעי ואם היה שוה לו הנה הוא שוה לו ואם היה יותר קטן ממנו הנה הוא יותר קטן ממנו
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זד"ג חצי זוית גב"א
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle ZBG=\measuredangle ZBA</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית זב"ג כמו זוית זב"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א"ב ג"ד הארבעה מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' וא' יותר גדול מן ג' הנה אומר כי ב' יותר גדול מן ד'
+
|style="text-align:right;"|וקו א"ב כמו קו ב"ג וקו ב"ז משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מופתו כי א' יותר גדול מן ג' אם כן א' גדול היחס אל ב' מג' אל ב'
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי א"ב ב"ז כמו שני קוי ג"ב ב"ז
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle ABZ=\measuredangle GBZ</math>
−
|style="text-align:right;"|אבל יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' אם כן יחס ג' אל ד' יותר גדול מיחסו אל ב'
+
|style="text-align:right;"|וזוית אב"ז כמו זוית גב"ז
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle AZ=ZG</math>
−
|style="text-align:right;"|ואשר יהיה היחס אליו יותר גדול הנה הוא יותר קטן
+
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת א"ז כמו תושבת ז"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ד' יותר קטן מן ב' אם כן ב' יותר גדול מן ד'
+
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי כל אחד מן א"ז ז"ב ז"ג שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי אלו היה א' כמו ג' היה ב' כמו ד'
+
|style="text-align:right;"|אם כן קוי א"ז ז"ב ז"ג ז"ד ז"ה החמשה שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר קטן מן ג' היה ב' יותר קטן מן ד'
+
|style="text-align:right;"|הנה כאשר שמנו נקודת ז' מרכז והקפנו במרחק ז"א עגולה הלכה בנקודות ב"ג ד"ה והקיפה במחמש שוה הצלעות והזויות הידוע והיא עגולת אבגד"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|וזה הוא מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
 
=== Proposition 15 ===
 
=== Proposition 15 ===
 +
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to inscribe an equilateral and equiangular hexagon in a given circle.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>טו</span> החלקים אשר כפליהם שוים הנה יחס קצתם כיחס כפלי קצתם אל קצת
+
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>טו</span> נרצה</big> לעשות בעגולה ידועה משושה שוה הצלעות והזויות
 +
|-
 +
|Defining:
 +
:*<math>\scriptstyle\bigcirc_{ABGDHZ}</math> the known circle.
 +
|style="text-align:right;"|תהיה העגולה הידועה עגולת א"ב ג"ד ה"ז
 
|-
 
|-
−
|
+
|We wish to inscribe an equilateral and equiangular hexagon in it.
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי כפלי א"ב אל שעור ג' כשעור ד"ה לשעור ו' הנה אומר כי יחס א"ב אל ד"ה כיחס ג' אל ו'
+
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות בה משושה שוה הצלעות והזויות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ד"ת כי יחס ג' אל ו' כיחס א"ב אל ד"ה
+
|style="text-align:right;"|הנה נוציא קוטר העגולה והוא ג"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נחלק א"ב בשעור ג' וחלקיו א"ח וח"ט וט"ב והם שוים ונחלק ד"ה בשעור ו' וחלקיו ד"ל ול"מ ומ"ה והם שוים
+
|style="text-align:right;"|ויהיה המרכז ח'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומניין א"ח ח"ט וט"ב כמספר ד"ל ול"מ ומ"ה
+
|style="text-align:right;"|ונשים נקודת ז' מרכז ונקיף במרחק ז"ח עגולה עליה חאטב"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א"ח אל ד"ל כיחס ח"ט אל ל"מ וכיחס ט"ב אל מ"ה ויחס האחר אל קרובו כיחס הכל אל הכל
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי א"ז א"ח ה"ח ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א"ח אל ד"ל כיחס א"ב אל ד"ה וא"ח כמו ג' וד"ל כמו ז' אם כן יחס א"ב אל ד"ה כיחס ג' אל ז'
+
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי א"ח ה"ח אל שתי נקודות ד"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|ונגיע קוי א"ב ג"ב ג"ד ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 16 ===
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי נקודת ח' מרכז עגולת אג"ה יהיה קו א"ח שוה לקו ה"ח
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יו</span> כאשר היו שעורים מתיחסים הם יהיו כאשר הומרו מתיחסים
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי נקודת ז' גם כן מרכז עגולת אטב"ה יהיה קו א"ז שוה לקו ז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א"ב ג"ד הארבעה מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' הנה אומר כי יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד' על התמורה
+
|style="text-align:right;"|וכל אחד ממשולשי אח"ז הח"ז שוה הצלעות
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle AC=CH</math>
−
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשעורי א"ב כפלים שוים והם ה"ו ולשעורי ג"ד כפלים שוים והם ח"ט
+
|style="text-align:right;"|וקו א"ח שוה לקו ח"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle AZ=ZH</math>
−
|style="text-align:right;"|והחלקים אשר כפליהם שוים
+
|style="text-align:right;"|וקו א"ז שוה לקו ז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יחס קצתם אל קצתם כיחס כפליהם קצתם אל קצת
+
|style="text-align:right;"|וקו ח"ז משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וה"ו כפלים לשעורי א"ב אם כן יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו' וגם כן הנה ח' וט' כפלים שוים לשעורי ג' וד' אם כן ג' אל ד' כיחס ח' אל ט' אבל ג' אל ד' כיחס א' אל ב' וכיחס ה' אל ו'
+
|style="text-align:right;"|הנה כל שני קוי א"ח ח"ז שוים לכל שני קוי ה"ח ח"ז כל אחד לנכחי לו ותושבת א"ז שוה לתושבת ז"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle ACZ=\measuredangle ZCH</math>
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ו' כיחס ח' אל ט'
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אח"ז שוה לזוית זח"ה
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle ACZ=\measuredangle GCD</math>
−
|style="text-align:right;"|ואם היה ה' מוסיף אל ח' הנה ו' יוסיף על ט'
+
|style="text-align:right;"|אבל זוית אח"ז שוה לזוית גח"ד
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle GCB=\measuredangle ZCH</math>
−
|style="text-align:right;"|ואם היה שוה הנה הוא שוה לו ואם שיחסר ממנו הנה יחסר ממנו אם כן שני שעורי ה' וו' אם נוספים יחד על שני שעורי ח' וט' ואם שוים יחד להם ואם חסרים יחד מהם
+
|style="text-align:right;"|וזוית גח"ב שוה לזוית זח"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וה'ו' כפלים שוים לשני שעורי א"ב וח' וט' כפלים שוים לשני שעורי ג' וד'
+
|style="text-align:right;"|אם כן זויות בח"ג גח"ד אח"ז זח"ה הארבעה שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד'
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו א"ח שוה לקו ח"ז כי הם יוצאים ממרכז העגולה אל הקו המקיף בהם תהיה זוית חא"ז שוה לזוית אז"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|אם כן כל שתי זויות חא"ז אז"ח כפל זוית חא"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 17 ===
+
|style="text-align:right;"|אבל שתי זויות חא"ז אז"ח שוות לזוית אח"ג החיצונה
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יז</span> כאשר היו שעורים מורכבים מתיחסים הנה הם כאשר נבדלו יהיו מתיחסים
+
|style="text-align:right;"|הנה אם כן זוית אח"ג החיצונה כפל זוית חא"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א"ב וב"ה וג"ד וד"ו מורכבים מתיחסים יחס א"ב אל ב"ה כיחס ג"ד אל ד"ו הנה אומר שהם כאשר נבדלו יהיו מתיחסים
+
|style="text-align:right;"|וזוית חא"ז שוה לזוית אח"ז מפני כי המשולש שוה הצלעות
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle ACZ=\measuredangle BCG</math>
−
|style="text-align:right;"|ויהיה יחס א"ה אל ה"ב כיחס ג"ו אל ו"ד
+
|style="text-align:right;"|וזוית אח"ז שוה לזוית בח"ג
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle BCG=\measuredangle BCA</math>
−
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשעורי א"ה וה"ב וג"ו וו"ד כפלים שוים והם ח"ט וט"כ ול"מ ומ"נ
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בח"ג שוה לזוית בח"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כפלי ח"ט לשעור א"ה ככפלי ח"כ לשעור א"ב וכפלי ח"ט לשעור א"ה ככפלי ל"מ לשעור ג"ו אם כן כפלי ח"כ לשעור א"ב ככפלי ל"מ לשעור ג"ו
+
|style="text-align:right;"|אבל זוית בח"א שוה לזוית דח"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה כפלי ל"מ לשעור ג"ז ככפלי מ"נ לשעור ז"ד אם כן כפלי ל"מ לשעור ג"ז ככפלי ח"כ לשעור א"ב
+
|style="text-align:right;"|וזוית דח"ה שוה לכל אחת מזויות אח"ז זח"ה גח"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כפלי ח"כ לשעור א"ב ככפלי ל"נ לשעור ג"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה כל אחת מזויות בח"ג גח"ד אח"ז זח"ה שוות לכל אחת משתי זויות בח"א דח"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונקח לשעורי ה"ב וז"ד כפלים שוים והם כ"ס ונ"ע הנה כפלי ט"כ הראשון לשעור ה"ב השני ככפלי מ"נ השלישי לשעור ז"ד הרביעי וכן כפלי כ"ס החמישי לשעור ה"ב השני ככפלי נ"ע הששי לשעור ז"ד הרביעי
+
|style="text-align:right;"|אם כן הזויות השש אשר אצל נקודת ח' שוות קצתם אל קצת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כפלי הראשון והחמישי מקובצים ט"ס לשעור ה"ב השני ככפלי השלישי והששי מקובצים והם מ"ע לשעור ז"ד הרביעי
+
|style="text-align:right;"|והזויות השוות יהיו מיתריהם קשתות שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויחס א"ב אל ב"ה כיחס ג"ד אל ד"ז ושני שעורי ח"כ ול"נ כפלים שוים לשני שעורי א"ב וג"ד ושני שעורי ט"ס מ"ע כפלים שוים לשני שעורי ה"ב ז"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן קשתות א"ב ב"ג ג"ד ד"ה ה"ז ז"א הששה שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני שעורי ח"כ ול"נ אם נוספים יחד על שני שעורי ט"ס ומ"ע ואם שוים יחד לשניהם
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי הקשתות השוות יהיו מיתריהם קוים שוים אם כן משושה א"ב ג"ד ה"ז שוה הצלעות
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|ואם חסרים יחד משניהם
+
|style="text-align:right;"|<big>ואומ'</big> שהוא שוה הזויות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם חסרנו ט"כ ומ"נ המשותפים הנה שני שעורי ח"ט ול"מ אם נוספים יחד על שני שעורי כ"ס ונ"ע ואם שוים יחד לשניהם ואם חסרים יחד משניהם וח"ט ול"מ כפלים שוים לשני שעורי א"ה וג"ז וכ"ס ונ"ע כפלים שוים לשני שעורי ה"ב וז"ד אם כן יחס א"ה אל ה"ב כיחס ג"ז אל ז"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי קשת א"ז שוה לקשת ב"ג וקשת ג"ד ה"ז משותף הנה כל קשת בגדה"ז שוה לכל קשת אזהד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזוית בא"ז על קשת בגדה"ז וזוית אב"ג על קשת אזהד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 18 ===
+
|style="text-align:right;"|והזויות אשר תהיינה על הקשתות השוות הן שוות
−
|
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle BAZ=\measuredangle GBA</math>
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יח</span> כאשר היו שעורים נבדלים מתיחסים הנה הם כאשר הורכבו יהיו מתיחסים
+
|style="text-align:right;"|אם כן זוית בא"ז שוה לזוית גב"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני שעורי א"ב וב"ג וד"ה וה"ו מתיחסים יחס א"ב אל ב"ג כיחס ד"ה אל ה"ו הנה אומר שהם כאשר הורכבו יהיו מתיחסים א"ג אל ג"ב כיחס ד"ו אל ו"ה
+
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי זוית גב"א שוה לזוית בג"ד
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle BGD=\measuredangle GDH</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית בג"ד שוה לזוית גד"ה
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\measuredangle GDH=\measuredangle DHZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית גד"ה לזוית דה"ז
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle\measuredangle DHZ=\measuredangle AZH</math>
−
|style="text-align:right;"|מופתו אם לא יהיה יחס א"ג אל ג"ב כיחס ד"ו אל ו"ה הנה יחס א"ג אל ג"ב כיחס ד"ו אל מה שהוא יותר קטן או יותר גדול מן ו"ה
+
|style="text-align:right;"|וזוית דה"ז לזוית אז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה תחלה אל מה שהוא יותר קטן ממנו והוא ז"ח
+
|style="text-align:right;"|אם כן הזויות השש אשר אצל נקודות אב"ג דה"ז שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה יחס א"ג אל ג"ב כיחס ד"ז אל ז"ח וכאשר הבדלנו הנה יחס א"ב אל ב"ג כיחס ד"ח אל ח"ז
+
|style="text-align:right;"|אם כן מששת אב"ג דה"ז שוה הזויות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס א"ב אל ב"ג כיחס ד"ה אל ה"ז אם כן יחס ד"ח אל ח"ז כיחס ד"ה אל ה"ז וח"ד הראשון יותר גדול מן ד"ה השלישי
+
|style="text-align:right;"|וכבר ביארנו שהוא שוה הצלעות והוא עשוי בעגולת א"ב ג"ד ה"ז
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|אם כן ח"ז השני יותר גדול מן ז"ה הרביעי וכבר היה יותר גדול מן ז"ח הנה הקטן אם כן יותר גדול מן הגדול זה שקר
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן אין יחס א"ג אל ג"ב כיחס ד"ז אל שעור הוא יותר קטן מן ז"ה
+
|style="text-align:right;"|<big>וכבר</big> היה אפשר שנעשה על עגולה ידועה משושת שוה הצלעות והזויות יקיף בה ושנעשה עליו עגולה תקיף בו על דמיונו מה שספרנו במחומש
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר כי יחס א"ג אל ג"ב אינו כיחס ד"ז אל שעור הוא יותר גדול מן ז"ה
+
|style="text-align:right;"|ובכאן התבאר כי חצי קוטר העגולה יהיה מיתר הקו המקיף בה בששה פעמים כי צלע משושת שוה לחצי קוטר העגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|מצאנו התמונה זאת בנוסחא אחרת במין אחר לפי מה שתראה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 19 ===
+
=== Proposition 16 ===
  
 
|
 
|
 +
|-
 +
|We wish to circumscribe an equilateral and equiangular hexagon about a circle.
 +
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>יו</span> נרצה</big> שנעשה בעגולה ידועה משושת שוה הצלעות
 +
|-
 +
|Defining:
 +
:*<math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math> the [known] circle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגולה אב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יט</span> כאשר חוסר משני שעורים מכל אחד משניהם שעור ויהיה יחס המחוסר אל המחוסר כיחס הכל אל הכל
+
|style="text-align:right;"|והקוטר שלה ד"ג ומרכזה ה'
 +
|-
 +
|We wish to circumscribe an equilateral and equiangular hexagon about it.
 +
|style="text-align:right;"|ונרצה לעשות בה משושת שוה הצלעות והזויות תקיף בו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה יחס הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל
+
|style="text-align:right;"|הנה נקוה על מרכז ג' ובמרחק ה' עגולת הב"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי א"ב חוסר ממנו א"ה וג"ד חוסר ממנו ג"ו ויחס א"ה אל ג"ו כיחס א"ב הכל אל ג"ד הכל
+
|style="text-align:right;"|ונוציא א"ה ה"ב ונוציאם אל ח"ט על יושר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס ה"ב הנשאר אל ו"ד הנשאר כיחס א"ב הכל אל ג"ד
+
|style="text-align:right;"|ונוציא קוי א"ג ג"ב ב"ח ח"ד ד"ט א"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מופתו כי יחס א"ב אל ג"ד כיחס א"ה אל ג"ו וכאשר המירונו הנה יחס א"ב אל א"ה כיחס ד"ג אל ג"ו וכאשר הבדלנו הנה יחס ב"ה אל ו"ד כיחס א"ה אל ג"ו וכבר היה א"ה אל ג"ו כיחס א"ב אל ג"ד אם כן יחס ב"ה אל ו"ד כיחס א"ב אל ג"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה מרכז עגולת א"ב ג"ד נקודת ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבארו
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ה כמו קו ה"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 20 ===
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מרכז עגולת אב"ז נקודת ג'
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ</span> כאשר היו שעורים מה שיהיו ושעורים אחרים על מספרם כל שנים מהראשון על יחס שנים מן האחר הנה הראשון מן הראשון ביחס השווי אם היה יותר גדול מן האחרון הנה הראשון מן האחר יותר גדול מן האחרון
+
|style="text-align:right;"|א"כ קו א"ג כמו קו ג"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה שוה לו הנה הוא שוה לו
+
|style="text-align:right;"|ומשלש אג"ה שוה הצלעות והזויות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה יותר קטן ממנו הנה הוא יותר קטן ממנו
+
|style="text-align:right;"|וכן התבאר שמשלש גה"ב שוה הצלעות והזויות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א'ב'ג' על מספר שעורי ד'ה'ו'
+
*<span style=color:red>I.32:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle AHG=\frac{2}{3}\sdot90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אה"ג שני שלישי נצבת <span style=color:red>מל"ב מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכל שנים מהם על יחס שנים מהם יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה' ויחס ב' אל ג' כיחס ה' אל ו'
+
*<span style=color:red>I.32:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle GHB=\frac{2}{3}\sdot90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית גה"ב שני שלישי נצבת <span style=color:red>מל"ב מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים הראשון מן הראשון והוא א' יותר גדול מן האחרון והוא ג' הנה אומר כי הראשון מן האחר והוא ד' יותר גדול מן האחרון והוא ו'
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle AHB=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל זוית אה"ב נצבת ושליש נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מופתו כי א' יותר מן ג' ושעור ב' שעור אחד
+
*<span style=color:red>I.13:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle THA+\measuredangle AHB=90^\circ+90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית טה"א וזוית אה"ב כמו ב' נצבות <span style=color:red>מי"ג מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שעור א' יותר גדול היחס אל ב' מן ג' אל ב'
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle AHB=\frac{2}{3}\sdot90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית אה"ב נצבת ושליש נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה' ויחס ג' אל ב' כיחס ה' אל ו' אם כן שעור ד' יותר גדול היחס אל ב' מן ג' אל ב'
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle AHT=\frac{2}{3}\sdot90^\circ</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה ישאר זוית אה"ט שני שלישי נצבת גם כן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
+
*<span style=color:red>I.15:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle AHT=\measuredangle BHC</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית אה"ט כמו זוית בה"ח <span style=color:red>מט"ו מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויחס ג' אל ב' כיחס ו' אל ה' אם כן שעור ד' יותר גדול היחס אל ה' מן ו' אל ה' ואשר יחסו יותר גדול הנה הוא יותר גדול
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle AHG=\measuredangle DHC</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית אה"ג כמו זוית דה"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם שעור ד' יותר גדול מן ו'
+
*<math>\scriptstyle\measuredangle GHB=\measuredangle THD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית גה"ב כמו זוית טה"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי א' אלו היה שוה אל ג' היה ד' שוה אל ו' ואלו היה יותר קטן מן ג' היה ד' יותר קטן מן ו'
+
|style="text-align:right;"|הנה כל אחד מהזויות השש אשר אצל נקודות ה' שני שלישי נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|אם כן הם שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 21 ===
+
|style="text-align:right;"|והקשתות השש אשר עליהם א"ט ט"ד ד"ח ח"ב ב"ג ג"ה שוות
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ומשושת א"ט ד"ח ב"ג שוה הצלעות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כא</span> כאשר היו שעורים מה ושעורים אחרים על מספרם כל שנים מהראשון על יחס שנים מהאחר ונתבלבל היחס הנה הראשון מן הראשון ביחס השווי אם היה יותר גדול מן האחרון הנה הראשון מן האחר יותר גדול מן האחרון
+
|style="text-align:right;"|וקשת ד"ח כמו ב"ג וקשת ד"ט א"ג משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה שוה לו הנה הוא שוה לו
+
|style="text-align:right;"|אם כן כל קשת דט"א ג"ב כמו כל קשת גא"ט ד"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה יותר קטן ממנו הנה הוא יותר קטן ממנו
+
|style="text-align:right;"|אבל קשת דט"א ג"ב עליהם זוית דח"ב ועל קשת ג"א טד"ח זוית חב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א'ב'ג' על מספר שעורי ד'ה'ו' וכל שנים מן הראשון על יחס שנים מן האחר
+
*<span style=color:red>III.26:</span><math>\scriptstyle\measuredangle CBG=\measuredangle BCD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית חב"ג כמו זוית בח"ד <span style=color:red>מכ"ו מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והיחס מתבלבל יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו' ויחס ב' אל ג' כיחס ד' אל ה'
+
|style="text-align:right;"|וכן הזויות אשר אצל נקודת ד"ט א"ג שוה לשתי הזויות דח"ב חב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשים א' יותר גדול מג' הנה אומר כי ד' יותר גדול מן ו'
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי המשושת שוה הצלעות והזויות והוא עשוי בעגולת אב"ג
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מופתו כי א' יותר גדול מן ג' וב' שעור אחר הנה שעור א' יותר גדול היחס אל ב' מן ג' אל ב' אבל יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו' כי אם כן יחס ה' אל ו' יותר גדול מיחס ג' אל ב' ויחס ג' אל ב' כיחס ה' אל ד' אם כן יחס ה' אל ו' יותר גדול מיחס ה' אל ד' ואשר יהיה היחס אליו יותר גדול הנה הוא יותר קטן אם כן שעור ו' יותר קטן מן ד'
+
|style="text-align:right;"|ובכאן התבאר כי אם נעשה בעגולה משושת שוה הצלעות והזויות הנה צלעו שוה לחצי קוטר העגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ד' יותר גדול מן ו'
+
 
 +
=== Proposition 17 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|We wish to inscribe an equilateral and equiangular fifteen-angled figure in a given circle.
 +
|style="text-align:right;"|<big><span style=color:red>יז</span> נרצה</big> לעשות בעגולה ידועה תמונה יש לה ט"ו זויות שוה הצלעות והזויות תקיף בה העגולה
 +
|-
 +
|Defining:
 +
*<math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}</math> the known circle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים העגולה הידועה אב"ג
 +
|-
 +
|We wish to inscribe an equilateral and equiangular fifteen-angled figure in the given circle.
 +
|style="text-align:right;"|ונרצה שנעשה בה תמונה בעלת ט"ו זויות שוות הצלעות והזויות תקיף בה העגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי אלו היה א' שוה לשעור ג' היה ד' שוה לו'
+
*<span style=color:red>IV.2:</span> We draw the chord AG in the circle, as a side of an equilateral triangle.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נקוה בעגולה מיתר יהיה צלע המשלש שוה הצלעות והזויות והוא מיתר א"ג <span style=color:red>מב' מזה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר קטן מן ג' היה ד' יותר קטן מן ו'
+
*<span style=color:red>IV.11:</span> We draw the chord AB from point A of arc AG, as a side of an equilateral pentagon.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מנקודת א' מיתר יהיה צלע מחומש שוה הצלעות והזויות בקשת א"ג והוא מיתר א"ב <span style=color:red>מי"א מזה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
+
:When the circumference is divided into 15 segments, chord AG falls on five segments of them and chord AB falls on 3 segments of them.
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר חולק הקו המקיף בט"ו חלקים יפול מיתר א"ג על חמשה חלקים מהם ויפול מיתר א"ב על ג' חלקים מהם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 22 ===
+
*<span style=color:red>III.29</span> Two segments remain, which are arc BG. We bisect it at D and the result are the two chords BD and DG.
−
 
+
|style="text-align:right;"|וישארו שני חלקים והם קשת ב"ג ונחלקם בשני חצאים על ד' ויצאו שני מיתרי ב"ד ד"ג <span style=color:red>מכ"ט מג'</span>
 +
|-
 
|
 
|
 +
:*<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DG}</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קשת ב"ד כמו קשת ד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כב</span> אשר היו שעורים מה ואחרים על מספרם כל שני שעורים מן הראשון על יחס שני שעורים מן האחר הנה הם ביחס השווי יהיו ביחסם
+
:*<span style=color:red>III.28:</span><math>\scriptstyle BD=DG</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מיתר ב"ד כמו מיתר ד"ג <span style=color:red>מכ"ח מג'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א'ב'ג' ושעורי ד'ה'ו' על מספר אחד וכל שנים מן הראשון על יחס שנים מן האחר יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
+
|style="text-align:right;"|אם כן כאשר חלקנו כל הקו המקיף כמו קשת ד"ג ושמנו על כל קשת מיתר הנה כבר עשינו בעגולה תמונה יש לה ט"ו זויות שוות הצלעות והזויות
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויחס ב' אל ג' כיחס ה' אל ו' הנה אומר כי יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ו'
+
|style="text-align:right;"|והנה אפשר לנו שנעשה על עגולה ידועה תמונה יש לה ט"ו זויות שוות הצלעות והזויות ושנעשה עליה עגולה תקיף בו על דמיון מה שספרנו במחומש
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשני שעורי א"ד כפלים שוים והם ח"ט ולשני שעורי ב"ה כפלים שוים והם כ"ל ולשני שעורי ג"ו כפלים שוים והם מ"נ הנה יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
+
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר הרביעי מספר אקלידיס החכם בשרשים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וח"ט כפלים שוים לשני שעורי א"ד וכ"ל כפלים שוים לשני שעורי ב"ה
+
|style="text-align:right;"|ואחריו יבא המאמר הה' בגה"ו
 +
|}
 +
{|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ט' אל ל'
+
 
 +
== Book Five ==
 +
|style="text-align:right;"|<big>המאמר החמישי לאקלידס</big>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יחס ב' אל ג' כיחס ה' אל ו' וכ"ל כפלים שוים לשעורי ב"ה ומ"נ כפלים שוים לשני שעורי ג"ו אם כן יחס כ' אל מ' כיחס ל' אל נ'
+
=== Definitions ===
 +
 
 +
|style="text-align:right;"|<big>הקדמות זה המאמר</big>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי יחס א' אל ב' כיחס ט' אל ל'
+
*The smaller magnitude is a '''part''' of the greater magnitude, when it measures the greater.
 +
|style="text-align:right;"|<big>השיעור</big> הקטן הוא חלק מן השעור הגדול כאשר ישער הגדול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני שעורי ח"ט אם נוספים יחד על שני שעורי מ"נ
+
|style="text-align:right;"|והקצת הוא אשר לא יכלול הגדול כאשר ישערהו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם שוים יחד לשניהם ואם חסרים יחד משניהם
+
*The greater is a '''multiple''' of the smaller, when it is measured by the smaller.
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה הגדול <big>כפלים</big> לקטן כאשר יפול עליו השעור בקטן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וח"ט כפלים שוים לשעורי א"ד ומ"נ כפלים שוים לשני שעורי ג"ו אם כן יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ו' וזה מה שרצינו לבארו
+
*The '''ratio''' is a relation by measure between two magnitudes of the same kind.
 +
|style="text-align:right;"|<big>היחס</big> הוא הצטרפות מה בשיעור בין שני שעורים מסוג אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 23 ===
+
*The '''proportion''' is the similarity of the ratios of magnitudes that are said to have a ratio to one another which can, when multiplied, exceed one another.
−
 
+
|style="text-align:right;"|<big>ההתיחס</big> הוא הדמות היחסים השעורים אשר יאמר בם כי בין קצתם ובין קצת יחס הם אשר אפשר בהם כשיכפלו שיתוסף קצתם על קצת
 +
|-
 
|
 
|
 +
*The magnitudes are said to be in the same ratio, the first to the second and the third to the fourth, when the multiples of the first and third, of whatever kind they are, are equimultiple, whether they exceed whatever multiples of the second and fourth that are equimultiple, or equal to them, or fall short of them, when they are related to one another respectively.
 +
|style="text-align:right;"|יאמר בשעורים שהם על יחס אחד הראשון אל השני והשלישי אל הרביעי כשיהיו כפלי הראשון והשלישי שווי הפעמים איזה מין שיהיו אם שיעדפו יחד על כפלי השני והרביעי השווי הפעמים אי זה כפל שיהיו ואם שישוו עליהם יחד ואם שיגרעו מהם כשיוקשו כסדר קצתם לקצת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כג</span> כאשר היו שעורים כמה שיהיו ושעורים אחרים על מספרם כל שנים מהראשון על יחס שנים מן האחר ונתבלבל היחס הנה הם ביחס השווי יהיו על יחסם
+
:Vice versa, when the magnitudes are in the same ratio respectively, the multiples of the first and third either exceed the multiples of the second and fourth, or fall short of them, or equal to them.
 +
|style="text-align:right;"|ובהפך כשיהיו השיעורים ביחס אחד בעצמו על הסדר הנה כפלי הראשון והשלישי יהיו אם נוספים יחד על כפלי השני והרביעי ואם חסרים יחד מהם ואם שוים יחד לשניהם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א'ב'ג' ושעורי ד'ה'ו' על מספר אחד וכל שנים מן הראשון על יחס שנים מן האחרון והיחס מבולבל יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו' ויחס ב' אל ג' כיחס ד' אל ה' הנה אומר כי יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ו'
+
*The magnitudes that have the same ratio are called proportional.
 +
|style="text-align:right;"|ויקראו השעורים אשר יחסם יחס אחד בעצמם המתיחסים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשעורי א'ב'ד' כפלים שוים והם ח'ט'ל' ולשעורי ה'ו'ג' כפלים שוים והם מנ"כ הנה כפלי ח' לשעור א' ככפלי ט' לשעור ב'
+
|style="text-align:right;"|וכאשר היו הכפלים שווי הפעמים וכפלי הראשון מהם יעדפו על כפלי השני וכפלי השלישי לא יעדפו על כפלי הרביעי הנה יחס הראשון אז יאמר אל השני שהוא גדול מיחס השלישי אל הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והחלקים אשר כפליהם שוים הנה יחס קצתם אל קצת כיחס כפליהם קצתם אל קצת
+
|style="text-align:right;"|והמעט שיהיה להתיחסות שלשה שעורים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט' אבל יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו'
+
|style="text-align:right;"|וכאשר יהיו שלשה שעורים מתיחסים נאמר כי יחס הראשון אל השלישי כפל יחסו אל השני כלומר נשנה בהשנות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ו' כיחס ח' אל ט'
+
|style="text-align:right;"|וכאשר היו ארבעה שעורים מתיחסים נאמר כי יחס הראשון אל הרביעי שלשה כפלי יחסו אל השני כלומר משולש ועל זה המשל ילך מה שימשך לזה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מפני כפלי מ' לשעור ה' ככפלי נ' לשעור ו' אם כן יחס ה' אל ו' כיחס מ' אל נ' אבל יחס ה' אל ו' כיחס ח' אל ט'
+
|style="text-align:right;"|ויאמר בשעורים שהם מסודרים ביחס ובסדר כאשר הוקשו הראשונים עם הראשונים והנמשכים עם הנמשכים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס מ' אל נ' כיחס ח' אל ט'
+
|style="text-align:right;"|והפך היחס הוא כשילקח הנמשך במדרגת הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יחס ב' אל ג' כיחס ד' אל ה'
+
|style="text-align:right;"|והראשון במדרגת הנמשך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר נלקח לשני שעורי ב"ד כפלים שוים והם ט"ל
+
|style="text-align:right;"|תמורת היחס הוא לקיחת הראשון אל הראשון והנמשך אל הנמשך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ולשני שעורי ג"ה כפלים שוים והם כ"מ אם כן יחס ט' אל כ' כיחס ל' אל מ'
+
|style="text-align:right;"|הרכבת היחס הוא לקיחת הראשון עם הנמשך במדרגת דבר אחד אצל הנמשך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי יחס ח' אל ט' כיחס מ' אל נ'
+
|style="text-align:right;"|הבדל היחס הוא לקיחת מותר הראשון על הנמשך אצל הנמשך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני שעורי ח"ל אם נוספים יחד על שני שעורי כ"נ ואם שוים יחד להם
+
|style="text-align:right;"|הפוך היחס הוא לקיחת הראשון אצל מותרו על הנמשך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם חסרים יחד משניהם וח"ל כפלים שוים לשני שעורי א"ד וכ"נ לשני שעורי ג"ו אם כן יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ו'
+
|style="text-align:right;"|יחס השווי הוא כשיהיה כמה שעורים שיהיו ושעורים אחרים כפי מספרם וכשילקחו שנים מאחד משניהם יהיו על יחס שנים מן האחר ונלקחו הקצוות מלבד מה שביניהם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ועל פנים אחרים כשיהיו שיעורים ושעורים אחרים על מספרם הנה יחס השווי הוא יחס הקצוות כשהוכפלו השעורים אשר באמצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 24 ===
+
|style="text-align:right;"|היחס ההולך על סדר הוא כשהראשון אצל הנמשך כראשון אצל הנמשך והנמשך אצל דבר אחד כנמשך אצל דבר אחר
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כד</span> כאשר היה יחס הראשון אל השני כיחס השלישי אל הרביעי ויחס החמישי אל השני כיחס הששי אל הרביעי הנה יחס הראשון והחמישי מקובצים אל השני כיחס השלישי והששי מקובצים אל הרביעי
+
|style="text-align:right;"|והיחס הנפתל במערכת הוא כשיהיה הראשון אצל הנמשך כראשון אצל הנמשך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי יחס הראשון והוא א"ב אל השני והוא ג' כיחס השלישי והוא ד"ה אל הרביעי והוא ו'
+
|style="text-align:right;"|והנמשך אצל דבר אחד כדבר אחר אצל הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויחס החמישי והוא ב"ח אל השני והוא ג' כיחס הששי והוא ה"ט אל הרביעי והוא ו'
+
=== Proposition 1 ===
−
|-
+
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס הראשון והחמישי מקובצים והוא א"ח אל השני והוא ג' כיחס השלישי והששי מקובצים והוא ד"ט אל הרביעי והוא ז'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מופתו כי יחס א"ב אל ג' כיחס ד"ה אל ז'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>כאשר</big> יהיו שעורים בהם כפלי שעורים אחרים קרובים להם על מספרם וכפליהם שוים הנה מה שבאחד מכפלי גילו כמו מה שבכל מכפלי הכל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל יחס ג' אל ב"ח כיחס ז' אל ה"ט הנה השווי יהיה יחס א"ב אל ב"ח כיחס ד"ה אל ה"ט
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי בשעורי א"ב ג"ד כפלים שוים לשעורי ה'ז' ומה שבא"ב מכפלי ה' כמו מה שבג"ד מכפלי ז'
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|וכאשר הרכבנו יהיה יחס א"ח אל ח"ב כיחס ד"ט אל ט"ה אבל יחס ח"ב אל ג' כיחס ה"ט אל ו'
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי מה שבא"ב מכפלי ה' כמו שבא"ב וג"ד מקובצים מכפלי ה' וז' יחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה בשווי יהיה יחס א"ח אל ג' כיחס ד"ט אל ו'
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נחלק א"ב בשעור ה' ויהיו חלקיו א"ח וח"ב ונחלק ג"ד בשעור ז' ויהיו חלקיו ג"ט ט"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
::<math>\scriptstyle AC=CB</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור א"ח כמו ח"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 25 ===
+
::<math>\scriptstyle GT=TD</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|ושעור ג"ט כמו ט"ד
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כה</span> כאשר יהיו ארבעה שעורים מתיחסים והיה הראשון היותר גדול מהם והאחרון היותר קטן מהם הנה שניהם מקובצים יותר גדולים מן הנשארים מקובצים
+
::<math>\scriptstyle AC=H</math>
 +
|style="text-align:right;"|וא"ח כמו ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי ארבעה שעורי אב'ג'ד' ה'ז' מתיחסים יחס א"ב אל ג"ד כיחס ה' אל ו' וא"ב היותר גדול מהם וו' היותר קטן מהם
+
::<math>\scriptstyle GT=Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|וג"ט כמו ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ב וו' מקובצים יותר גדולים מג"ד וה' מקובצים
+
::<math>\scriptstyle AC+GT=H+Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל א"ח וג"ט כמו ה' וז' יחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נבדיל מן א"ב כמו ה' והוא א"ח ומן ג"ד כמו ז' והוא ג"ט הנה יחס א"ב אל ג"ד כיחס ה' אל ז' וה' כמו א"ח וז' כמו ג"ט אם כן א"ב אל ג"ד כיחס א"ח אל ג"ט
+
::<math>\scriptstyle CB+TD=H+Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן כל ח"ב וט"ד כמו ה'ז' יחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א"ב אל ג"ד כיחס ח"ב הנשאר אל ט"ד הנשאר וכאשר המירונו היה יחס א"ב אל ב"ח כיחס ג"ד אל ד"ט
+
|style="text-align:right;"|הנה מה שבא"ב מכפל ה' שוה למה שבא"ב וג"ד מקובצים מכפל ה' וז' יחד וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וא"ב הראשון יותר גדול מן ג"ד השלישי אם כן ב"ח השני יותר גדול מן ט"ד הרביעי ונשים א"ח וט"ג משותפים אם כן שני שעורי א"ב וט"ג יותר גדולים מא"ח וג"ד וג"ט כמו ו' וא"ח כמו ה' אם כן א"ב וו' מקובצים יותר גדולים מן ג"ד וה' מקובצים
+
 
 +
=== Proposition 2 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When the magnitude of the multiple of the second in the first is as the multiple of the fourth in the third, and the multiple of the second in the fifth is as the multiple of the fourth in the sixth, then the multiple of the second in the sum of the first and the fifth is the same as the multiple of the fourth in the sum of the third and the sixth.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> <big>כשיהיו</big> שעורים בראשון מכפלי השני כמו מה שבשלישי מכפלי הרביעי ובחמישי מכפלי השני כמו מה שבששי מכפלי הרביעי הנה מה שבכפלי הראשון והחמשי מכפלי השני כמו מה שבכפלי השלישי והששי מכפלי הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
::<math>\scriptstyle AB=n\sdot G\quad DH=n\sdot Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי בראשון והוא א"ב מכפלי השני והוא ג' כמו מה שבשלישי והוא ד"ה מכפלי הרביעי והוא ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר החמישי מספר אקלידס החכם
+
::<math>\scriptstyle BC=m\sdot G\quad TH=m\sdot Z</math>
−
|}
+
|style="text-align:right;"|ובחמשי והוא ב"ח מכפלי השני והוא ג' כמו מה שבששי והוא ט"ה מכפלי הרביעי והוא ז'
−
{|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
== Book Six ==
+
::Supposition: <math>\scriptstyle AC=r\sdot G\quad DT=r\sdot Z</math>
−
|style="text-align:right;"|<big>המאמר השישי</big>
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי מה שבראשון והחמישי והוא א"ח מכפלי השני והוא ג' כמו מה שבכל השלישי והששי והוא ד"ט מכפלי הרביעי והוא ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Definitions ===
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי מה שבא"ב מכפלי ג' כמו מה שבד"ה מכפלי ז'
−
 
 
−
|style="text-align:right;"|<big>הקדמות המאמר הששי</big>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The similar rectilinear figures are those whose angles are equal and whose sides about the equal angles are proportional.
+
|style="text-align:right;"|הנה מספר מה שבא"ב מן השעורים השוים אל ג' כמו מספר מה שבד"ה מן השעורים השוים אל ז' ומה שבב"ח מכפלי ג' כמו מה שבה"ט מכפלי ז'
−
|style="text-align:right;"|השטחים המתדמים הם אשר זויותיהם שוות וצלעותיהם המקיפות בזויות השוות מתיחסות
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The figures that are reciprocally related are those whose sides are reciprocally proportional.
+
|style="text-align:right;"|הנה מספר מה שבב"ח מן השעורים השוים אל ג' כמו מספר מה שבה"ט מן השעורים השוים אל ז'
−
|style="text-align:right;"|והשטחים המספיקות הצלעות הם אשר צלעותיהם מתיחסות על הקדמה ואחור
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|נמצא בנסחא אחרת
+
|style="text-align:right;"|הנה מספר מה שבא"ח אם כן מן השעורים השוים אל ג' כמו מספר מה שבד"ט מן השעורים השוים אל ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המספיקות הם אשר בכל אחת מהן הקדמות והמשכות
+
|style="text-align:right;"|אם כן מה שבכל א"ח מכפלי ג' כמו מה שבד"ט מכפלי ז' וזה מש"ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The height of any figure is the perpendicular drawn from its vertex to its base.
+
 
−
|style="text-align:right;"|הגובה בתמונה הוא העמוד המוציא מנקודת ראשו אל תושבתו
+
=== Proposition 3 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When the multiple of the second in the first is the same as that of the fourth in the third, and if equimultiples are taken of the first and third, then the multiple of the first taken of the second is the same as that of the third taken of the fourth.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ג</span> <big>כשיהיה</big> בראשון מכפלי השני כמו מה שבשלישי מן הרביעי ונלקח לראשון ולשלישי כפלים שוי הפעמי' אי זה מספר שיהיו הנה מה שבכפלי הראשון הלקוח מכפלי השני כמו מה שבשלישי הלקוח מכפלי הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומצאתי בקצת הנסחאות
+
::<math>\scriptstyle A=n\sdot B\quad G=n\sdot D</math>
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי הראשון א' ובו מכפלי השני והוא ב' כמו מה שבשלישי והוא ג' מכפלי הרביעי והוא ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הגובה בתמונה הוא היותר גדול שבעמודים הנופלים מנקודת מה מן הנקודות אשר על מקיף תמונה מן התמונות אי זו תמונה שיהיה על התושבת או על קו אשר יהיה על יושרו
+
|style="text-align:right;"|וכבר נלקחו כפלים לשעור א' והם ה"ז וכפלים לשעור ג' והם שוים להם במספר הפעמים והם ח"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*A straight line is said to have been cut in mean and extreme ratio, when the ratio of the whole line to its greater segment is as the ratio of its greater segment to the smaller.
+
::Supposition: <math>\scriptstyle HZ=m\sdot B\quad CT=m\sdot D</math>
−
|style="text-align:right;"|ויאמר בקו הישר שהוא חלק על יחס בעל אמצעי ושתי קצוות כאשר היה יחס בקו בכללו אל היותר גדול שבחלקיו כיחס היותר גדול שבחלקיו אל היותר קטן משניהם
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי מה שבה"ז מכפלי ב' כמו שבח"ט מכפלי ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יאמר כי היחס מחובר מיחסים כאשר היו שעורי היחסים אשר נכפלו בעצמיהם עשו יחס מה
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי מה שבה"ז מכפלי א' כמו מה שבח"ט מכפלי ג' אם כן מספר מה שבה"ז מן השעורים השוים לשעור א' כמו מספר מה שבח"ט מן השעורים השוים לשעור ג' הנה נחלק ה"ז בשעור א' ויהיו חלקיו ה"כ ז"כ ונחלק ח"ט בשעור ג' ויהיו חלקיו ח"ל ול"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|נמצא בנסחא אחרת כי היחס מחובר יחלק ליחסים כאשר היו שעורי היחסים קצתם על קצת יחדשו יחס מה
+
|style="text-align:right;"|אם כן מספר ה"כ וכ"ז כמו מספר ח"ל ול"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 1 ===
+
|style="text-align:right;"|ומה שבא' מכפלי ב' כמו מה שבג' מכפלי ד' וא' כמו ה"כ וג' כמו ח"ל
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מה שבה"כ מכפלי ב' כמו שבח"ל מכפלי ד'
 
|-
 
|-
−
|The parallelograms and triangles whose heights are the same magnitude, their ratio to one another is as the ratio of their bases to one another.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>השטחים</big> נכחי הצלעות והמשולשים כאשר היה גבהותם בשעור אחד הנה יחס קצתם אל קצת כיחס תושבותיהם קצתם אל קצת
+
|style="text-align:right;"|וכן מה שבכ"ז מכפלי ב' כמו מה שבל"ט מכפלי ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונשים הראשון ה"כ ובו מכפלי ב' כמו מה שבשלישי והוא ח"ל מכפלי ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והחמישי כ"ז ובו מכפלי ב' כמו מה שבששי והוא ל"ט מכפלי ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר קובץ הראשון והחמישי והם ה"ז היה בשניהם מכפלי ב' כמו מה שבשלישי והשישי והם ח"ט מכפלי ד' אם כן מה שבה"ז מכפלי ב' כמו מה שבח"ט מכפלי ד' וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 32 ===
+
=== Proposition 4 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|For every right-angled triangle, the rectilinear figure on the side that is opposite to the right angle equals the sum of the rectilinear figures on the two remaining sides that are similar to it.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לב</span> <big>כל משולש</big> נצב הזוית הנה התמונה ישרת הקוים המחוברת אל מיתר הזויות הנצבת ממנו כמו שתי התמונות ישרות הצלעות המחוברות אל שתי הצלעות הנשארות יחד כאשר היו דומות אליו והיו על מצבו
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ד</span> כאשר היה יחס הראשון אל השני הוא השלישי אל הרביעי ונלקח לראשון ולשלישי כפלים שווי הפעמים אי זה מספר שיהיה ולשני ולרביעי כפלים שווי הפעמים אי זה מספר שיהיה הנה יחס כפלי הראשון הלקוחים אל כפלי השני הם יחס כפלי השלישי הלקוחים אל כפלי הרביעי
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי יחס הראשון והוא א' אל השני והוא ב' הוא יחס השלישי והוא ג' אל הרביעי והוא ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכבר נלקח לשעורי א"ג כפלים שווי הפעמים והם ח"ט הנה אומר כי יחס ה' אל ח' הוא יחס ז' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשני שעורי ה"ז כפלים שווי הפעמים והם ל"נ ולשני שעורי ח"ט כפלים שווי הפעמים והם מ"ס
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי זוית א' ממשלש אב"ג נצבת
+
|style="text-align:right;"|הנה כפלי ל' לשעור א' כמו כפלי נ' לשעור ג' וכן כפלי מ' לשעור ב' כמו כפלי ס' לשעור ד' ויחס א' אל ב' הוא יחס ג' אל ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי התמונה ישרת הצלעות הסמוכה אל מיתר זוית א' והוא צלע ב"ג כמו השתי תמונות ישרות הצלעות הסמוכות אל שתי צלעות א"ב א"ג יחד כאשר היו דומים לה ועל מצבה
+
|style="text-align:right;"|וכבר נלקח לשני שעורי א"ג כפלים שווי הפעמים והם מ"ס ל"נ ולשני שעורי ב"ד כפלים שווי הפעמים והם מ"ס
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle BG^2:AB^2=\left(BG:AB\right)^2</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי יחס מרובע ב"ג אל מרובע א"ב כיחס ב"ג אל א"ב שנוי
+
|style="text-align:right;"|אם כן שעור ל"נ אם מוסיפים יחד על מ"ס ואם שוים יחדל שניהם ואם גורעים יחד מהם ושעור ל"נ כפלים שוים לשני שעורי ה"ו ושעור מ"ס כפלים שוים לשני שעורי ח"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויחס התמונה ישרת הצלעות הסמוכה אל ב"ג אל התמונה הסמוכה אל א"ב הדומה אליו והמונח במצבו כיחס ב"ג אל א"ב שנוי
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ח' הוא יחס ו' אל ט'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס מרובע ב"ג אל מרובע א"ב כיחס התמונה הסמוכה אל ב"ג אל התמונה הסמוכה אל א"ב
+
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אם כן יחס מרובע ב"ג אל שני מרובעי א"ב א"ג כיחס התמונה הסמוכה אל ב"ג אל שתי התמונות הסמוכות אל א"ב א"ג
+
=== Proposition 5 ===
 +
 
 +
|
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle BG^2=AB^2+AG^2</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|אבל מרובע ב"ג כמו שני מרובעי א"ב וא"ג
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ה</span> כאשר יהיו שני שעורים אחד משניהם כפלים לאחר וחוסר משניהם שני שעורים והיה מה שבמחוסר מכפלי המחוסר כמו מה שבכל מכפלי הכל הנה מה שנשאר מכפלי הנשאר כמו מה שבכל מכפלי הכל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן התמונה ישרת הצלעות הסמוכה אל ב"ג כמו שתי התמונות הישרות הצלעות הדומות אליה והמונחת במצבה הסמוכה אל א"ב
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעור א"ב כפלים לשעור ג"ד והמחוסרים משניהם א"ה וג"ו ומה שבא"ה מכפלי ג"ו כמו מה שבא"ב מכפלי ג"ד
 
|-
 
|-
−
|Q.E.D.
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי מה שבה"ב הנשאר מכפלי ו"ד הנשאר כמו מה שבא"ב מכפלי ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אחרים והוא שנוציא עמוד א"ד הנה שני משולשי אב"ג אב"ד מתדמים
+
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נשים בא"ט מכפלי ו"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle BG:AB=AB:BD</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ב"ג אל א"ב כמו יחס א"ב אל ב"ד
+
|style="text-align:right;"|וכבר היה בא"ב מכפלי ג"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו אם כן מה שבה"ט כלו מכפלי ג"ד כמו מה שבא"ב מכפלי ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויחס ג"ב אל ב"ד כיחס השטח הסמוך אל ג"ב אל השטח הסמוך אל א"ב והדומה אליו
+
|style="text-align:right;"|אם כן ה"ט כמו א"ב ותשליך א"ה המשותף וישאר א"ט כמו ה"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן יחס ב"ג אל ג"ד כיחס השטח הסמוך אל ב"ג אל השטח הסמוך אל ג"א הדומה אליו
+
|style="text-align:right;"|וכבר היה בא"ט מכפלי ו"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ב"ג אל ב"ד וד"ג כיחס השטח שהוא סמוך אל ב"ג אל שני השטחים הסמוכים אל א"ב וא"ג יחד
+
|style="text-align:right;"|אם כן מה שבה"ב מכפלי ו"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle BG=BD+DG</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|וב"ג כמו ב"ד ד"ג יחד
+
|style="text-align:right;"|וכבר היה מה שבא"ב כלו מכפלי ג"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן השטח הסמוך אליו כמו שני השטחים הסמוכים אל שניהם יחד
+
|style="text-align:right;"|אם כן מה שבה"ב מכפלי ו"ד כמו מה שבא"ב מכפלי ג"ד
 
|-
 
|-
−
|Q.E.D.
+
|
 
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
=== Proposition 6 ===
−
=== Proposition 33 ===
 
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|When there are two angles in equal circles that stand at the centers or at the circumferences, the ratio of the angle to the angle is as the ratio of both arcs on which they stand one to the other.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לג</span> <big>כאשר</big> היו בשתי עגולות שוות שתי זויות על המרכז או על הקו המקיף הנה יחס הזויות אל הזויות כיחס שתי הקשתות אשר עליהם אחת אל אחת
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ו</span> כאשר היו שני שעורים בשניהם כפלים שוים לשני שעורים אחרים וחוסר מהשנים הגדולים כפלים שוים לקטנים הנה השנים הנשארים אם שוים לשנים הקטנים ואם כפלים לשניהם שוים
 
|-
 
|-
−
|Example: <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}=\bigcirc_{DHZ}</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו בשתי עגולות אב"ג דה"ז השוות
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי כפלי א"ב לשעור ה' וכפלי ג"ד לשעור ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ועל מרכזיהם שתי זויות גח"ב הט"ז
+
|style="text-align:right;"|וכבר חוסר מן א"ב וג"ד כפלים שוים לשעור ה' וז' והם א"ח וג"ט הנה אומר כי ב"ח וט"ד הנשארים אם שוים יחד לשני שעורי ה"ז ואם כפלים לשניהם שוים
 
|-
 
|-
−
|Supposition: <math>\scriptstyle\overset{\frown}{BG}:\overset{\frown}{HZ}=\measuredangle BCG:\measuredangle HTZ=\measuredangle GAB:\measuredangle HDZ</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי יחס קשת ב"ג אל קשת ה"ז כיחס זוית בח"ג אל זוית הט"ז וכיחס זוית גא"ב אל זוית הד"ז
+
|style="text-align:right;"|ויהיה ב"ח תחלה כפלים לשעור ה' הנה אומר כי ט"ד כפלים כמוהם לשעור ז'
 
|-
 
|-
−
|Proof:
+
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נבדיל מעגולת אב"ג כמו קשת ב"ג כמה שרצינו נאמר שנבדיל ג"כ כ"ל ומעגולת דה"ז גם כן כמו קשת ה"ז כמה שנרצה נאמר שנבדיל ז"מ מ"נ ונוציא שני קוי כ"ח ח"ל ושני קוי ט"מ ט"נ
+
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נשים מה שבג"ב מכפלי ז' כמו מה שבח"ב מכפלי ה' והוא השני כמו מה שבג"ט והוא השלישי מכפלי ז' והוא הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BG}=\overset{\frown}{GK}=\overset{\frown}{KL}</math>
+
|style="text-align:right;"|ומה שבח"ב והוא החמישי מכפלי ה' השני כמו מה שבג"ב והוא הששי מכפלי ז' הרביעי
−
|style="text-align:right;"|הנה קשתות ב"ג ג"כ כ"ל שוות
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle\measuredangle BCG=\measuredangle GCK=\measuredangle KCL</math>
+
|style="text-align:right;"|אם כן מה שבא"ב והוא הראשון והחמישי יחד מכפלי ה' השני
−
|style="text-align:right;"|אם כן זויות בח"ג גח"כ כח"ל שוות
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle\left(n\sdot\overset{\frown}{BL}\right):\overset{\frown}{BG}=\left(n\sdot\measuredangle BCL\right):\measuredangle BCG</math>
+
|style="text-align:right;"|כמו מה שבב"ט השלישי והששי יחד מכפלי ז' הרביעי וכבר היה בא"ב מכפלי ה' כמו שבג"ד מכפלי ז' אם כן ב"ט כמו ג"ד
−
|style="text-align:right;"|אם כן כפלי קשת ב"ל לקשת ב"ג ככפלי זוית בח"ל לזוית בח"ג
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle\left(m\sdot\overset{\frown}{HN}\right):\overset{\frown}{HZ}=\left(m\sdot\measuredangle HTN\right):\measuredangle HTZ</math>
+
|style="text-align:right;"|ונשליך ג"ט המשותף וישאר ב"ג כמו מה שבט"ד
−
|style="text-align:right;"|וכן כפלי קשת ה"נ לקשת ה"ז ככפלי זוית הט"נ לזוית הט"ז
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}>\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL>\measuredangle HTN</math>
+
|style="text-align:right;"|וכבר היה מה שבח"ב מכפלי ה' כמו מה שבב"ג מכפלי ז'
−
|style="text-align:right;"|ואם היה ב"ל תוסיף על קשת ה"נ הנה זוית בח"ל תוסיף על זוית הט"נ
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}=\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL=\measuredangle HTN</math>
+
|style="text-align:right;"|אם כן מה שבט"ד מכפלי ז' כמו מה שבח"ב מכפלי ה'
−
|style="text-align:right;"|ואם יהיה שיהיו שוים אליה הנה היא שוה אליה
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}<\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL<\measuredangle HTN</math>
+
|style="text-align:right;"|ויהיה גם כן ח"ב שוה אל ה' הנה אומר כי ט"ד שוה אל ז'
−
|style="text-align:right;"|ואם היה שיוחסרו ממנה הנה היא תחסר ממנה
 
 
|-
 
|-
−
|The four magnitudes: <math>\scriptstyle\overset{\frown}{BG}\quad\overset{\frown}{HZ}\quad\measuredangle BCG\quad\measuredangle HTZ</math> are proportional.
+
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן השעורים ארבעה קשת ב"ג וקשת ה"ז וזוית בח"ג וזוית הט"ז מתיחסים
+
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נשים ג"ב שוה אל ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}</math> and <math>\scriptstyle\measuredangle BCL</math> are equimultiples of <math>\scriptstyle\overset{\frown}{BG}</math> and <math>\scriptstyle\measuredangle BCG</math>
+
|style="text-align:right;"|הנה בכמו המעשה הראשון נבאר כי ב"ט כמו ג"ד
−
|style="text-align:right;"|וכפלי קשת ב"ג וזוית בח"ג השוה הפעמים היא קשת ב"ל וזוית בח"ל
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle\overset{\frown}{HN}</math> and <math>\scriptstyle\measuredangle HTN</math> are equimultiples of <math>\scriptstyle\overset{\frown}{HZ}</math> and <math>\scriptstyle\measuredangle HTZ</math>
+
|style="text-align:right;"|הנה כאשר הושלך ג"ט המשותף ישאר ט"ד כמו ב"ג ומפני שב"ג כמו ז' הנה ט"ד אם כן כמו ז'
−
|style="text-align:right;"|וכפלי קשת ה"ז וזוית הט"ז השוה הפעמים היא קשת ה"נ וזוית הט"נ
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}>\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL>\measuredangle HTN</math>
+
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
−
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי קשת ב"ל אם היתה נוספת על קשת ה"נ הנה זוית בח"ל נוספת על זוית הט"נ
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}=\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL=\measuredangle HTN</math>
+
=== Proposition 7 ===
−
|style="text-align:right;"|ואם היתה שוה אליה הנה היא שוה אליה
+
 
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}<\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL<\measuredangle HTN</math>
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> השעורים השוים יחסם אל שיעור אחד אחד ויחס הוא גם כן אליהם אחד
−
|style="text-align:right;"|ואם היתה חסרה ממנו הנה היא חסרה ממנה
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BG}:\overset{\frown}{HZ}=\measuredangle BCG:\measuredangle HTZ</math>
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני שעורי א"ב שוים ושיעור ג' שיעור אחד
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס קשת ב"ג אל קשת ה"ז כיחס זוית בח"ג אל זוית הט"ז
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
:*<math>\scriptstyle\measuredangle A=\frac{1}{2}\measuredangle BCG</math>
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ג' ויחס ג' גם כן אל א' כיחסו אל ב'
−
|style="text-align:right;"|וזוית א' אשר על המקיף הנה היא חצי זוית בח"ג אשר על המרכז
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*<math>\scriptstyle\measuredangle HDZ=\frac{1}{2}\measuredangle HTZ</math>
+
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשני שעורי א"ב כפלים שוים והם ד"ה ולשעור ג' כפלים מה שיהיו והם ז' הנה כפלי ד' לשעור א' ככפלי ה' לשעור ב'
−
|style="text-align:right;"|וזוית הד"ז היא חצי זוית הט"ז
+
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא' כמו ב' אם כן ד' כמו ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BG}:\overset{\frown}{HZ}=\measuredangle A:\measuredangle D</math>
+
|style="text-align:right;"|ושעור ז' שעור אחד אי זה שיהיה אם כן שני שעורי ה"ד אם שוים יחד לשעור ז' ואם נוספים יחד עליו ואם חסרים יחד ממנו ושניהם כפלים שוים לשני שעורי א"ב וז' כפלים לשעור ג' אם כן יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ג'
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס קשת ב"ג אל קשת ה"ז גם כן כיחס זוית א' אל זוית ד'
 
 
|-
 
|-
−
|Q.E.D.
+
|Supposition:
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ואומר כי יחס ג' אל א' כיחסו אל ב' מפני כי הנהגת שניהם אחת כי ד"ה שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנה נשלם המאמר הששי מספר אקלידס החכם בשרשים
+
|style="text-align:right;"|וכי ז' אם שוה לשניהם ואם נוסף על שניהם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויבא אחריו המאמ' השביעי מזה הספר בג"ה בעה"ו ובס"ד
+
|style="text-align:right;"|ואם חסר משניהם יחד
−
|}
 
−
{|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|וז' כפלים לשעור ג' וד' ה' כפלים שוים לשני שעורי א"ב
−
== Book Seven ==
 
−
|style="text-align:right;"|<big>המאמר השביעי</big>
 
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Definitions ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ג' אל א' כיחסו אל ב'
−
 
 
−
|style="text-align:right;"|<big>הקדמות המאמר</big>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The unit is that by which each of the beings is called one.
+
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
−
|style="text-align:right;"|<big>האחדות</big> הוא הדבר אשר יאמר בו לכל דבר אחד מן הנמצאות אחד
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The number is a multitude composed of units.
+
=== Proposition 8 ===
−
|style="text-align:right;"|<big>המספר</big> הוא הקבוץ המורכב מן האחדים
+
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
*The smaller number is a part of the greater number, when it counts it.
 
−
|style="text-align:right;"|המספר הקטן יהיה <big>חלק</big> מן המספר הרב כאשר היה שימנה אותו
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*But, it is parts of it, when it does not count it.
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> השעורים המתחלפים כאשר נתיחסו אל שעור אחד הנה הגדול יותר יחסו אליו מן הקטן
−
|style="text-align:right;"|ויהיה <big>חלקים</big> ממנו כאשר היה שלא ימנה אותו
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The greater number is a multiple of the smaller number, when the smaller counts it.
+
|style="text-align:right;"|וכאשר נתיחס הוא אליהם הנה יחסו אל הקטן יותר מיחסו אל הגדול
−
|style="text-align:right;"|המספר הרב יהיה <big>כפלים</big> למספר הקטן כאשר היה הקטן מונה אותו
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The even number is that which is divisible into two equal parts.
+
|style="text-align:right;"|המשל בו שעורי א"ב וג' מתחלפים א"ב יותר גדול מן ג'
−
|style="text-align:right;"|<big>המספר הזוג</big> הוא אשר יחלק בשני חלקים שוים
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The odd number is that which is not divisible into two equal parts, and that which differs by a unit from an even number.
+
|style="text-align:right;"|ושעור ד' שעור אחד
−
|style="text-align:right;"|<big>המספר הנפרד</big> הוא אשר אי אפשר שיחולק לשני חלקים שוים ואשר יתחלף הזוג באחד
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition:
−
*The number that is called an even-times-even number is that which is counted an even number of times by an even number.
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ב יותר גדול יחסו אל ד' מן ג' אל ד'
−
|style="text-align:right;"|המספר אשר יאמר לו <big>זוג הזוג</big> הוא אשר ימנה אותו מספר זוג פעמים מספרם זוג
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The number that is called an even-times-odd number is that which is counted an even number of times by an odd number.
+
|style="text-align:right;"|ושד' יותר גדול יחסו אל ג' מאשר הוא אל א"ב
−
|style="text-align:right;"|המספר אשר יאמר לו <big>זוג הנפרד</big> הוא אשר ימנהו מספר נפרד פעמים מספרם זוג
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The number that is called an odd-times-odd number is that which is counted an odd number of times by an odd number.
+
|style="text-align:right;"|מופתו שנבדיל מן א"ב כמו ג' והוא ב"ה הנה היותר קטן משני שעורי א"ה ה"ב הנה אפשר שיכפל עד שיהיה יותר גדול מן ד'
−
|style="text-align:right;"|המספר אשר יאמר לו <big>נפרד הנפרד</big> הוא אשר ימנהו מספר נפרד פעמים מספרם נפרד
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The number that is called a prime number is that which is counted by a unit alone.
+
|style="text-align:right;"|ויהיה א"ה יותר קטן משניהם ויהיה כפלו הנוסף על שעור ד' כפל ו"ח
−
|style="text-align:right;"|המספר אשר יקרא <big>ראשון</big> הוא אשר ישיגהו המנין באחד לבד
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The number that is called a composite number is that which is counted by a number other than the unit.
+
|style="text-align:right;"|ונקח לשני שעורי ה"ב וג' כפלים שוים לכפלי ו"ח נוסף והוא ח"ט וכ"ל ונשים מ' שני כפלי ד' ונ' שלשה כפלו אחר כן לא תסור נקח כפלי ד' על הסדר עד שיכלה אל הראשון מכפליו עד שיהיה יותר גדול מן כ"ל
−
|style="text-align:right;"|המספר אשר יאמר לו <big>המספר המורכב</big> הוא אשר ישיגהו המנין במספר זולת אחד
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The numbers that are relatively composite are those which are counted by a number.
+
|style="text-align:right;"|ויהיה ס' הוא ראשון מכפלי ד' אשר הוא יותר גדול מן כ"ל הנה כפלי ו"ח לשיעור א"ה ככפלי ח"ט לשעור ה"ב
−
|style="text-align:right;"|<big>המספרים המשותפים</big> הם אשר ימנה אותם מספר אחד
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The numbers that are relatively prime are those which are counted by a unit alone as a common measure.
+
|style="text-align:right;"|אם כן כפלי ו"ח לשעור א"ה ככפלי ו"ט לשעור א"ב ושעור ו"ח לשעור א"ה ככפלי כ"ל לשעור ג'
−
|style="text-align:right;"|<big>המספרים המובדלים</big> הם אשר אמנם לא ימנם מספר משותף כי אם אחד לבדו
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The number that is multiplied by a number is that which is duplicated as many times as there are units in the multiplicand and the product is some number.
+
|style="text-align:right;"|וכפלי ו"ט וכ"ל לשני שעורי א"ב וג' שוה
−
|style="text-align:right;"|<big>המספר המוכה</big> במספר הוא אשר יכפל פעמים כמנין מה שבמוכה בו מן האחדים ויהיה מה שיתקבץ מספר אחד
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The square number is the product of a number that is multiplied by its similar, or that which is contained by two equal numbers.
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה כפלי ח"ט לשעור ה"ב ככפלי כ"ל לשעור ג' וה"ב כמו ג' אם כן ח"ט כמו כ"ל וס' יותר גדול מן כ"ל וכ"ל אינו יותר קטן מן נ'
−
|style="text-align:right;"|<big>המספר המרובע</big> הוא המקובץ מהכאת מספר בדומה לו או הוא אשר יקיפו בו שני מספרים שוים
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The cube number is the product of a number that is multiplied by its product by its similar, or that which is contained by three equal numbers.
+
|style="text-align:right;"|וכ"ל כמו ח"ט אם כן ח"ט אינו יותר קטן מן נ' וו"ח יותר מן ד' אם כן ו"ט יותר גדול מן ד' ונ' יחד
−
|style="text-align:right;"|<big>המספר המעוקב</big> הוא המקובץ מהכאת מספר במה שיתקבץ מהכאתו בדומה לו או הוא אשר יקיפו בו שלשה מספרים שוים
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The plane number is the product of a number that is multiplied by another, or that which is contained by two numbers.
+
|style="text-align:right;"|וס' כמו ד' ונ' יחד
−
|style="text-align:right;"|<big>המספר המשוטח</big> הוא המקובץ מהכאת מספר מה שהיה באחר או אשר יקיפו בו שני מספרים
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*The two numbers that are multiplied one by the other, so that the plane number is produced, are called the two sides of the plane.
+
|style="text-align:right;"|אם כן ו"ט יותר גדול מן ס' אם כן הוא נוסף עליו
−
|style="text-align:right;"|ויקראו שני המספרים אשר הוכה אחד משניהם באחר והתקבץ משניהם המשוטח ההוא שני <big>צלעי השטח</big>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The solid number is the product of a number that is multiplied by the product of two numbers that are multiplied one by the other.
+
|style="text-align:right;"|וכ"ל בלתי נוסף על ס' וו"ט וכ"ל כפלים שוים לשעורי א"ב וג' וס' כפלים שוים לשעור ד'
−
|style="text-align:right;"|<big>והמספר המוגשם</big> הוא המקובץ מהכאת מספר במה שיתקבץ מהכאת שני מספרים אחד באחר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*The three numbers are the sides of the solid.
+
|style="text-align:right;"|אם כן שעור א"ב יותר גדול היחס אל ד' מן ג' אל ד'
−
|style="text-align:right;"|והמספרים השלשה <big>צלעות המוגשם</big>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The proportional numbers are those of which the first is the same part, or the same parts, of the second, as the third is of the fourth.
+
|style="text-align:right;"|ואומר גם כן כי ד' יותר גדול היחס אל ג' מאשר הוא אל ב' מפני כי הנהגתם אחת
−
|style="text-align:right;"|<big>והמספרים המתיחסים</big> הם אשר יהיה הראשון מן השני והשלישי מן הרביעי חלק אחד בעצמו או חלקים אחדים בעינם
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The similar plane and solid numbers are those whose sides are proportional.
+
|style="text-align:right;"|והתבאר כי ס' נוסף על כ"ל ואינו נוסף על ו"ט וס' כפל ד' וכ"ל וו"ט כפלים שוים לשעורים א"ב וג'
−
|style="text-align:right;"|המספרים המשוטחים והמוגשמים הדומים הם אשר צלעותיהם מתיחסות
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*The perfect number is that which is equal to [the sum] of all its parts.
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ד' אל ג' יותר גדול מיחסו אל א"ב
−
|style="text-align:right;"|<big>המספר השלם</big> הוא השוה לכל חלקיו
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|תמו ההקדמות
+
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
−
|}
 
−
{|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
=== Proposition 9 ===
−
=== Proposition 1 ===
 
−
 
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>כל</big> שני מספרים מתחלפים יחסר מהרב משניהם מה שבו מכפלי הקטן עד שיותר פחות מן הקטן אחר כן יחסר מן הקטן מה שבו מכפלי היתרון ההוא ויותר פחות ממנו
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> השעורים אשר יחסם אל שעור אחד אחד הם שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אחר כן יחוסר מן היתרון הראשון מה שבו מכפלי המותר השני וישאר פחות ממנו
+
|style="text-align:right;"|ואם היה שעור יחסו אל שעורים אחד הנה השעורים שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|עוד לא יסורו יחסרו כן ולא יכלה במה שישאר משניהם אל מספר אחר אשר ילוה לו לפניו עד שיכלה אל האחר הנה שני המספרים המתחלפים נבדלים
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני שעורי א"ב יחסם אל שעור ג' אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א'ב'ג'ד' יחוסר מן הגדול משניהם והוא א"ב ממנו מדמיוני ג"ד הפחות משניהם והוא ט"כ ונשאר פחות מן ג"ד והוא א"ט
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' כמו ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|עוד חוסר מן ג"ד מה שבו מדמיוני א"ט והוא ז"ח והותיר פחות מן א"ט והוא ג"ח
+
|style="text-align:right;"|שאם לא יהיה כמוהו הנה הוא יותר גדול ממנו או יותר קטן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|עוד חוסר מן א"ט מה שבו מדמיוני ג"ח והוא כ"ט ונותר א"ב והוא אחד ואומר כי שני מספרי א"ב ג"ד נבדלים
+
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר גדול יהיה יחסו אל ג' יותר גדול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המופת כי אם לא יהיה מספרי א"ב ג"ד נבדלים הנה ימנה שניהם מספר מה אם היה
+
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר קטן היה יחסו אל ג' יותר קטן ואינו כן
−
אפשר והוא מספר ה' . אם כן מספר ה' ימנה ג"ד וג"ד ימנה ט"ב . אם כן ימנה ט"כ
 
−
והוא ימנה ^ הנה הוא אם כן ימנה כל א"ט וט"א ימנה ח"ד . אם כן ה' ימנה ח"ד וימנה כל ^ כל א"ב
 
−
ג"ד הנה הוא אם כן ימנה ח"ג וח"ג ימנה כ"ט אם כן ה' ימנה כ"ט והוא ימנה כל ט"א הנה
 
−
הוא אם כן ^ לא ימנה א"ב ג"ד מספר זולת האחד אם כן שניהם נבדלים . ומ'ש'ל'..     ^ ימנה* א"כ וא"כ אחד וה' מספר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 2 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן אין א' יותר קטן ויותר גדול מן ב' אבל הוא שוה לו
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יחס ג' אל א' וב' אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> <big>נרצה</big> שנבאר איך נמצא גדול מספר משותף ימנה שני מספרים ידועים זה שקר אם כן לא
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' כמו ב' שאם לא יהיה כמוהו הנה הוא יותר גדול או יותר קטן ממנו
−
משותפים בלתי שוים . הנה נשים שני המספרים הידועים המשותפים
 
−
הבלתי שוים שני מספרי א"ב ג"ד ונרצה למצוא המספר היותר גדול המשותף אשר ימנה
 
−
שניהם יחד . הנה אם היה ג"ד ימנה א"ב והוא ימנה עצמו הנה הוא גדול מספר שימנה
 
−
שניהם יחד כי הוא בלתי אפשר שימנה שניהם יחד מספר יותר גדול ממנו . ואם היה
 
−
ג"ד בלתי מונה א"ב הנה א"ב ג"ד אם כן מתחסרים^ כמו שספרנו קודם . כי הנה אי אפשר ^כאשר יתחסרו
 
−
שלא יותיר מספר ימנה אשר ילוה אליו לפניו . כי הוא אם לא יותיר מספר ימנה אשר
 
−
ילוה אליו לפניו הנה שניהם אם כן^ נבדלים . הנה ג"ד כאשר מנה ב"ה יותיר פחות ממנו ^מא' מזה ..
 
−
והוא א"ה וה"א כאשר מנה ג"ד יחס^ פחות ממנו והוא ז"ג אם כן הנה ימנה ז"ג ה"א . אם כן ^יותיר
 
−
ז"ג ימנה ה"א וה"א ימנה ז"ד אם כן ז"ג ימנה ז"ד וימנה עצמו . אם כן ז"ג ימנה כל ג"ד וג"ד
 
−
ימנה ה"ב^ ימנה ה"א אם כן ז"ג ימנה ה"ב וימנה א"ה אם כן ז"ג ימנה כל א"ב וימנה ג"ד הנה ^וז"ג
 
−
הוא אם כן מספר משותף לשניהם
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואומר כי הוא המספר הגדול המשותף הנה אם [כן] לא יהיה ז"ג הוא המספר הגדול המשותף אשר ימנה א"ב ג"ד יחד הנה ימנה אותם מספר אחר יותר מז"ג הוא המספר המשותף והוא ח' אם כן ח' ימנה ג"ד וג"ד ימנה ה"ב אם כן ח' ימנה ה"ב וימנה כל א"ב
+
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר גדול היה יחס ג' אליו יותר קטן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה ח' אם כן ימנה א"ה וגם כן הנה ח' ימנה א"ה וה"א ימנה ז"ד אם כן ח' ימנה ז"ד וימנה כל ג"ד הנה הוא אם כן ימנה זג וז"ג פחות ממנו
+
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר קטן היה יחס ג' אליו יותר גדול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אם כן הגדול ימנה הפחות זה שקר
+
|style="text-align:right;"|אם כן אין א' יותר גדול ולא יותר קטן מן ב' אם כן הוא שוה לו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה שני מספרי א"ב ג"ד מספר יותר ממספר ז"ג אם כן ז"ג גדול מספר ימנה א"ב ג"ד הנה כבר מצאנו גדול מספר משותף ימנה א"ב ג"ד והוא ז"ג וזה מ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ובכאן התבאר כי כל מספר ימנה שני מספרים הנה הוא גם כן ימנה המספר הגדול אשר ימנה שניהם יחד מספר משותף
+
=== Proposition 10 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י</span> גדול השעורים יחס אל שעור הוא היותר הוא היותר גדול מהם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 3 ===
+
|style="text-align:right;"|ואשר יחס השעור אליו יותר גדול הוא היותר קטן מהם
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי א' יותר גדול יחסו אל ג'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ג</span> <big>נרצה</big> למצא גדול מספר משותף ימנה שלשה מספרים ידועים משותפים בלתי שוים
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' יותר גדול יחסו מן ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נשים המספרים הידועים המשותפים הבלתי שוים א'ב'ג'
+
|style="text-align:right;"|שאם לא יהיה יותר גדול ממנו הנה הוא כמוהו או יותר קטן ממנו
−
ונקח גדול מספר משותף ימנה שני מספרים והם א"ב משותף משניהם והוא מספר
 
−
ד' אם כן ד' ימנה ג' או לא ימנה אותו . ונאמר תחלה שימנה אותו והוא ימנה א"ב אם
 
−
כן ד' ימנה א'ב'ג' הנה אומר שהוא גדול מספר משותף ימנה אותם יחד . שאם לא
 
−
יהיה ד' גדול מספר ימנה א'ב'ג' הנה ימנה אותם מספר גדול מד' והוא מספר ה' אם כן
 
−
ה' ימנה א'ב'ג' אם כן הוא ימנה א"ב . וימנה המספר הגדול היותר אשר ימנה שניהם
 
−
והוא ד' אם כן ה' ימנה ד' הגדול ימנה הפחות זה שקר אם כן לא ימנה א'ב'ג' מספר
 
−
גדול מן ד' . וגם כן נאמר שיהיה ד' לא ימנה ג' ונקח גדול מספר ימנה שני מספרי
 
−
ג"ד והוא ה' אם כן ימנה ד' וד' ימנה שני מספרי א"ב וימנה ג' אם כן ה' ימנה א'ב'ג' יחד
 
−
הנה אומר שהוא המספר הגדול היותר משותף אשר ימנה אותם שאם לא יהיה ה' גדול
 
−
יותר מספר משותף א'ב'ג' אם כן ז' ימנה א"ב וימנה המספר הגדול המשותף אשר ימנה
 
−
שניהם יחד והוא ד' אם כן ז' ימנה ד' והוא ימנה ג' . אם כן ז' ימנה גדול מספר ימנה
 
−
ג"ד והוא ה' הנה ז' אם כן ימנה ה' הגדול ימנה הפחות זה שקר אם כן לא ימנה א'ב'ג'
 
−
מספר גדול מן ה' הנה כבר מצאנו גדול מספר משותף ימנה א'ב'ג' השלשה הידועים
 
−
המשותפים הבלתי שוים. ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 4 ===
+
|style="text-align:right;"|ואלו היה כמוהו היה יחס שניהם אל ג' אחד
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר קטן ממנו היה יחסו אל ג' יותר קטן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ד</span> <big>כל</big> שני מספרים מתחלפים
+
|style="text-align:right;"|ואינו כן הנה כבר התבאר כי א' אינו כמו ב' ולא קטן ממנו
−
הנה הקטן אם שיהיה חלק מן הגדול ואם חלקים המשל בו כי שני
 
−
מספרי א'^ מתחלפים והקטן משניהם ג"ד הנה אומר כי ג"ד אם* מן א' ואם חלקים. ^ג'ד' *חלק
 
−
המופת כי ג"ד אם היה שימנה א' הנה הוא חלק ממנו ואם היה שלא ימנה אותו
 
−
הנה א' ג"ד נבדלים או יהיה ג"ד חלקים מן א' משותפים . ואם היו נבדלים
 
−
הנה אנחנו כאשר חלקנו ג"ד לאחדים בו יהיה כל אחד מן ג"ד חלק מן א' ואם היו
 
−
משותפים לקחנו גדול מספר^ משותף ימנה אותם והוא ה"ז ונחלק ג"ד על ה"ז ויצא ^מב' מזה ..
 
−
ג"ח ח"ט ט"ד הנה ז"ה ימנה א' וישתוה לכל אחד מן ג"ח ח"ט ט"ד . אם כן כל אחד מן ג"ח
 
−
ח"ט ט"ד חלק מן א' הנה ג"ד אם כן חלקים מן א' . וזה מה שרצינו לבאר..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 5 ===
+
|style="text-align:right;"|הנה אם כן הוא יותר גדול ממנו
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יחס ג' אל ב' יותר גדול מיחסו אל א'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ה</span> <big>כאשר</big> יהיה מספר מה חלק ממספר ומספר אחד כמו החלק ההוא ממספר
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' יותר גדול מן ב'
−
אחר הנה שנים הקטנים מקובצים מהשנים הגדולים מקובצים
 
−
הם החלק ההוא אשר היה אחד מן השנים הקטנים מאחד מהשנים הגדולים . המשל
 
−
בו כי מספר א' חלק ממספר ג"ד ומספר ז' ממספר ח"ט כמו החלק ההוא הנה אומר כי
 
−
שני מספרי א"ז מקובצים משני מספרי ח"ט ג"ד מקובצים הם החלק ההוא אשר הוא א'
 
−
מן ג"ד..     המופת כי חלק א' מן ג"ד הוא חלק ז' מן ח"ט אם כן שעור^ מה שבג'ד' ^מפתיחת זה
 
−
מכפלי א' כשעור מה שב'ח'ט' מכפלי ז' . הנה נחלק ג"ד על א' ויצא ג"כ כ"ד
 
−
ונחלק ח"ט על ז' ויצא ח"ל ל"ט הנה מספר ג"כ כ"ד כמספר ח"ל ל"ט וג"כ כמו א' וח"ל כמו ז'
 
−
אם כן ג"כ ח"ל כמו א"ז וכן כ"ד ל"ט כמו א"ז אם כן מנין מה שב'ג'ד' מדמיוני א' כמנין מה
 
−
שב'ג'ד' ה"ט מקובצים מדמיוני א"ז מקובצים אם כן חלק א' מן ג"ד הוא חלק ז"א מקובצים
 
−
מן ג"ד ח"ט מקובצים . ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 6 ===
+
|style="text-align:right;"|שאם לא יהיה יותר גדול ממנו הנה הוא כמוהו או יותר קטן ממנו
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ואלו היה כמוהו היה יחס ג' אליו ואל ב' אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ו</span> <big>כאשר</big> היה מספר מה חלקים ממספר אחר
+
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר קטן ממנו היה יחס ג' אליו יותר גדול ואינו כן
−
הנה השנים הקטנים ומספר אחד כמו החלקים ההם ממספר
 
−
אחר . הנה השנים הקטנים מן השנים הגדולים מקובצים כמו חלקי אחד מן השנים
 
−
הקטנים מקרובו מן השנים הגדולים . המשל בו כי מספר א"ב חלקים ממספר ג' . ומספר
 
−
ה"ז ממספר ח' כמו חלקי א"ב מן ג' הנה אומר כי כל א"ב ה"ז מכל ג"ח כמו חלקי א"ב מן ג'
 
−
המופת כי חלקי א"ב מן ג' כמו חלקי ה"ז מן ח' . והנה נחלק א"ב בחלקי ג' א"כ כ"ב וה"ז
 
−
בחלקי ח' ויצא ה"ל ל"ז הנה מנין א"כ כ"ב כמנין ה"ל ל"ז אם כן חלק א"כ מן ג' הוא חלק ה"ל
 
−
מן ח' הנה אם כן^ כל א"כ ה"ל היו מכל ג"ח כמו חלק א"כ מן ג' . וכן כאשר קבץ ב"כ ל"ז ^מה' מזה ..
 
−
היו מכל ג"ח כמו חלק כ"ב מן ג' . אם כן א"ב ה"ז כאשר יקובצו היו מן ג"ח מקובצים כמו
 
−
חלקי א"ב מן ג' ו'מ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 7 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן אינו כמו ב' ולא קטן ממנו אבל הוא יותר גדול ממנו
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> <big>כאשר</big> היו ארבעה מספרים והיה הראשון חלק
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
−
מן השני והיה השלישי מן הרביעי כמו החלק ההוא הנה
 
−
אנחנו כאשר המירונו היה החלק או החלקים אשר יהיה הראשון מן השלישי כמו
 
−
החלק או החלקים אשר יהיה השני מן הרביעי . המשל בו כי מספר א' חלק ממספר
 
−
ג"ב ומספר ד' חלק ממספר ה"ז כמו חלק א' מן ג"ב הנה אנחנו כאשר המירונו היה חלק
 
−
או החלקים אשר יהיה הראשון והוא א' וד' הוא החלק או החלקים אשר יהיה הראשון מן השלישי
 
−
והם א' וד' הוא החלק או החלקים אשר יהיה השני מן הרביעי והם ב"ג וה"ז .. המופת
 
−
כי חלק א' מן ב"ג הוא חלק ד' מן ה"ז אם כן מה שבכ"ג מדמיוני א' כמו מה
 
−
שבה"ז מדמיוני ד' . ונחלק ב"ג מדמיוני א' ויצא ב"ח ח"ג כמו מנין ה"ט ט"ז וב"ח כמו
 
−
ח"ג וה"ט כמו ט"ז אם כן החלק או חלקים^ אשר הוא ב"ח מן ה"ט הוא החלק או החלקי' ^מה' מזה
 
−
אשר הוא ב"ג מן ה"ז וב"ח כמו א' וה"ט כמו ד' . אם כן החלק או החלקים אשר הוא א' מן
 
−
ד' הוא החלק או החלקים אשר הוא ב"ג מן ה"ז. וזה מה שרצינו לבאר ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 8 ===
+
=== Proposition 11 ===
−
 
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> <big>כאשר</big> היו ארבעה מספרים והיה הראשון חלקים מן השני והיה השלישי
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יא</span> השעורים אשר יחסם שוים ליחס אחד הנה יחסם שוים
−
מן הרביעי כמו החלקים ההם הנה כאשר המירונו היו החלקים או
 
−
החלק אשר היו הראשון מן השלישי כמו החלקים או החלק אשר יהיה השני מן הרביעי
 
−
המשל בו כי מספר א"ב חלקים ממספר ג' ומספר ד"ה ממספר ו' כמו חלקי א"ב
 
−
מן ג' . הנה אומר כי אנחנו כאשר המירונו יהיו החלקים או החלק אשר א"ב מן ד"ה
 
−
הם החלק או החלקים אשר יהיה ג' מן ו' ..  המופת כי החלקים אשר הם
 
−
א"ב מן ג' הם החלקים אשר הם ד"ה מן ו' הנה מה שבא"ב מדמיוני
 
−
חלקי ג' כמו מה שבד"ה מדמיוני חלקי ו' .  ונחלק א"ב בחלקי ג' ויצא א"ח ח"ב ונחלק
 
−
ד"ה בחלקי ו' ויצא ד"ט ט"ה הנה מנין א"ח ח"ב כמו מנין ד"ט ט"ה . וא"ח כמו ח"ב וד"ט כמו
 
−
ט"ה אם כן חלק א"ח מן ג' כחלק ד"ט מן ו' . וכאשר המירונו הנה החלק או החלקים אשר
 
−
הוא מן ד"ט הוא החלק או החלקים אשר הוא ג' מן ו' . והחלק אשר הוא ח"ב מן ג' הוא
 
−
החלק אשר הוא ט"ה מן ו' . וכאשר המירונו היה החלק או החלקים אשר הוא ח"ב מן
 
−
ט"ה הוא החלק או החלקים אשר הוא ג' מן ו' . וכבר התבאר כי החלק או החלקים
 
−
אשר הוא א"ב מן ד"ה הוא החלק או החלקים אשר הוא ג' מן ו' . ומ'ש'ל' ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 9 ===
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' ויחס ה' אל ז' כיחס ג' אל ד' הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ז'
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשיעורי א'ג'ה' כפלים שוים והם ח'ט'ב' ולשעורי ב'ד'ז' כפלים שוים והם ל'מ'נ' הנה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' וכבר לוקח לשעורי א"ג כפלים שוים והם ח"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> <big>כאשר</big> היה מספר מה חלק ממספר אחר כחלק מה שיחסר ממנו הנה ממה
+
|style="text-align:right;"|ולשעורי ב"ד כפלים שוים והם ל"מ הנה שני שעורי ח"ט אם נוספים יחד על שני שעורי ל"מ ואם שוים לשניהם יחד ואם חסרים משניהם יחד
−
שיחסר מן האחר הנה הנשאר מאחד משניהם מן הנשאר מן האחר
 
−
הוא חלק הכל מן הכל .. בנסחא האחרת כאשר היו שני מספרים אחד מהם
 
−
חלק מן האחר וחוסר מכל אחד מהם מספר והיה המחוסר מהחלק למחוסר
 
−
מהכל בכל מהכל הנה הנשאר מהחלק מהנשאר מהכל כחלק הכל מהכל ..
 
−
המשל בו כי מספר א"ב חלק ממספר ג"ד והמחוסרים משניהם א"ה ג"ו וחלק א"ב מן
 
−
ג"ד כמו חלק א"ה מן ג"ו הנה אומר כי חלק א"ב ה"ב הנשאר הוא חלק כל א"ב מכל ג"ד ..
 
−
המופת אנחנו נשים חלק א"ה מן ג"ו הוא חלק ב"ה מן ג"ח אם כן חלק א"ה
 
−
מן ג"ו הוא חלק א"ב מן ו"ח וחלק א"ה מן ג"ו הוא חלק א"ב מן ג"ד אם
 
−
כן חלק א"ב מן ח"ו הוא חלק א"ב מן ג"ד . אם כן ח"ו כמו ג"ד ויחוסר ג"ו המשותף וישאר
 
−
ג"ח כמו ו"ד . וכבר היה חלק א"ה מן ג"ו הוא חלק ה"ב מן ג"ח אם כן חלק א"ה מן ג"ו הוא
 
−
חלק ה"ב מן ד"ו . וחלק א"ה מן ג"ו הוא חלק א"ב מן ג"ד . אם כן חלק ה"ב מן ו"ד הוא חלק
 
−
א"ב מן ג"ד . וזה מה שרצינו לבאר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 10 ===
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יחס ג' אל ד' כיחס ה' אל ז'
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י</span> <big>כאשר</big> היה מספר חלקים
+
|style="text-align:right;"|וכבר נלקח לשני שעורי ג"ה כפלים שוים והם ט"כ
−
ממספר אחר כחלקי מה שיחסר ממנו ממה שיחוסר
 
−
מן האחר הנה הנשאר מן הנשאר הוא חלקי הכל מן הכל . המשל בו כי מספר א"ב חלקי'
 
−
ממספר ג"ד והמחוסרים משניהם א"ה ג"ו . וחלקי א"ה מן ג"ו כחלקי א"ב מן ג"ד . הנה
 
−
אומר כי חלקי ה"ב הנשאר מחלקי ו"ד הנשאר הם חלקי כל א"ב מחלקי כל ג"ד ..
 
−
המופת אנחנו נשים ח"ט כמו א"ב אם כן כל חלקי ח"ט מן ג"ד הם חלקי א"ה
 
−
מן ג"ו . ונחלק ח"ט בחלקי ג"ד ויצא ח"כ כ"ט . ונחלק א"ה בחלקי ג"ו ויצא
 
−
א"ל ל"ה הנה מנין ח"כ כ"ט כמו מנין א"ל ל"ה אם כן חלק ח"כ מן ג"ד הוא חלק א"ל מן ג"ו
 
−
וג"ד גדול מן ג"ו אם כן חלק ח"ב מן ג"ד כחלק ח"מ מן ג"ו . וישאר מ"כ מן ו"ד כמו חלק
 
−
ח"כ מן ג"ד וגם כן הנה חלקי כ"ט מן ג"ד כחלקי ל"ה מן ג"ו . וג"ד גדול מן ג"ו אם כן כ"ט גדול
 
−
מן ל"ה ונשים כ"ל כמו ל"ה אם כן חלק כ"ט מן ג"ד כחלק כ"נ מן ג"ו ונשאר ט"נ מן ו"ד כמו
 
−
החלק כל כ"ט מכל ג"ד וכאשר קובץ מ"כ נ"ט היו מן ו"ד כמו כל ח"ט מכל ג"ד . ומ"כ נ"ט
 
−
יחד כמו ה"ב וח"ט כמו א"ב הנה נשאר חלקי ה"ב מן ו"ד כמו חלקי א"ב מן ג"ד . ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 11 ===
+
|style="text-align:right;"|ולשני שעורי ד"ז כפלים והם מ"נ
−
 
+
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שני שעורי ט"כ אם נוספים יחד על שני שעורי מ"נ ואם שוים יחד לשניהם
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם חסרים יחד משניהם וח"כ כפלים שוים לשני שעורי א"ה ול"נ כפלים שוים לשני שעורי ז"ב אם כן יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"א</span> <big>כאשר</big> חוסר משני מספרים שני מספרים והיה יחס המחוסר אל המחוסר
+
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
−
כיחס הכל אל הכל הנה יחס הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל .
 
−
המשל בו כי שני מספרי א"ב וג"ד חוסר משניהם א"ה וג"ו והיה יחס א"ב אל ג"ד כיחס
 
−
א"ה אל ג"ו הנה אומר כי יחס ה"ב הנשאר אל ו"ד הנשאר כיחס א"ב אל ג"ד ..
 
−
המופת כי יחס א"ב אל ג"ד כיחס א"ה אל ג"ו . אם כן החלק או החלקים אשר
 
−
הם א"ב מן ג"ד הוא החלק או החלקים אשר הם א"ה מן ג"ו . וישאר ה"ב
 
−
מן ו"ד הוא החלק או החלקים אשר הם א"ב מן ג"ד אם כן יחס ה"ב אל ג"ד כיחס א"ב
 
−
אל ג"ד וזה מה שרצינו לבאר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 
=== Proposition 12 ===
 
=== Proposition 12 ===
−
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"ב</span> <big>כאשר</big> היו מספרים מתיחסים כמה שיהיו
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יב</span> כאשר היה יחס הראשון אל השני כיחס השלישי אל הרביעי ויחס השלישי אל הרביעי יותר גדול מיחס החמישי על הששי הנה יחס הראשון אל השני יותר גדול מיחס החמשי על הששי
−
הנה יחס אחד מן הקודמים אל קרובו מן הנמשכים כיחס הקודמים
 
−
אל הנמשכים . המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' הנה
 
−
אומר כי יחס א' אל ב' כיחס א"ג יחד אל ב"ד יחד ..  המופת כי יחס א' אל ב' כיחס
 
−
ג' אל ד' . אם כן החלק או החלקים אשר הוא א' מן ב' הוא החלק או
 
−
החלקים אשר ג' מן ד' . וכאשר קובץ א"ג וקובץ ב"ד היה החלק או החלקים אשר
 
−
הוא א"ג מן ב"ד יחד הוא החלק או החלקים אשר הוא א' מן ב' יחד אם כן יחס א'
 
−
אל ב' כיחס א"ג יחד אל ב"ד יחד ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 13 ===
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' ויחס ג' אל ד' יותר גדול מיחס ה' אל ו' הנה אומר כי יחס א' אל ב' יותר גדול מיחס ה' אל ו'
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|מופתו מפני כי יחס ג' אל ד' יותר גדול מיחס ה' אל ו' הנה יהיה אל ג' וה' כפלים שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"ג</span> <big>כל</big> ארבעה מספרים
+
|style="text-align:right;"|ואל ד' וו' כפלים שוים ויהיו כפלי ג' נוספים על כפלי ד' וכפלי ה' בלתי נוספים על כפלי ו' הנה יהיו כפלי ג' וה' השוים וכפלי ד' וו' השוים אשר אלו עניינם כפלי ג' וה' הנה ח"ט
−
מתיחסים הנה הם כאשר הומרו יהיו מתיחסים המשל בו כי
 
−
ארבעה מספרי א"בג"ד מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' הנה אומר שהם כאשר
 
−
הומרו היה יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד' ..  המופת כי יחס א' אל ב' כיחס ג'
 
−
אל ד' אם כן החלק או החלקים אשר הוא א' מן ב' הוא החלק או
 
−
החלקים אשר הוא ג' מן ד' . וכאשר המירונו היה החלק או החלקים אשר הוא א' מן
 
−
ג' הוא החלקים אשר הוא ב' מן ד' אם כן יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד' . ומ'ש'ל' ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 14 ===
+
|style="text-align:right;"|ואולם כפלי ד' הנה כ"ל ויהיה מה שבמ' מכפלי א' כמו מה שבח' מכפלי ג'
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ומה שבנ' מכפלי ב' כמו מה שבכ' מכפלי ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"ד</span> <big>כאשר</big> היו מספרים כמה שיהיו ומספרים אחרים על מספרם כל שני
+
|style="text-align:right;"|הנה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
−
מספרים מן הראשון על יחס שני מספרים מן האחר הנה הם
 
−
ביחס השווי מתיחסים . המשל כי מספרי א'ב'ג' ומספרי ד'ה'ו' על מנין אחד
 
−
וכל שני מספרים מן הראשון על יחס שני מספרים מן האחר יחס א' אל ב' כיחס
 
−
ד' אל ה' ויחס ב' אל ג' כיחס ה' אל ו' הנה אומר שהם ביחס השוים יהיה יחס
 
−
א' אל ג' כיחס ד' אל ו' ..  המופת כי יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה' . וכאשר
 
−
המירונו היה יחס א' אל ד' כיחס ב' אל ה' וכבר התבאר כי יחס א' אל
 
−
ד' כיחס ב' אל ה' אם כן יחס א' אל ג' כיחס ג' אל ז' . ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 15 ===
+
|style="text-align:right;"|וכבר הוסף לשני שעורי א"ג כפלים שוים והם מ"ח ולשני שעורי ב"ד כפלים שוים והם נ"כ הנה שני שעורי מ"ח אם נוספים יחד על שני שעורי נ"ב ואם שוים יחד לשניהם ואם חסרים יחד משניהם
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל אם היה נוסף ח' על כ' הנה מ' נוסף על נ' וט' בלתי נוסף על ל' הנה מ"ט כפלים שוים לשני שעורי א"ה ונ"ל כפלים שוים לשני שעורי ב' ו' אם כן יחס א' אל ב' יותר גדול מיחס ה' אל ו'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט"ו</span> <big>כאשר</big> היה האחד ימנה מספר מה בשעור מספר אחר הנה אנחנו
+
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
−
כאשר המירונו היה האחד ימנה המספר המונה בשעור מה שימנה המספר המנוי
 
−
את המנוי המספר אשר ימנהו האחר . המשל בו כי האחד ימנה מספר א"ב בשעור
 
−
מה שימנה מספר ג' מספר ה"ו . הנה אומר כי אנחנו כאשר המירונו האחד ימנה
 
−
מספר ג' בשעור מה שימנה א"ב מספר ה"ו     המופת כי מה שבא"ב מן האחד
 
−
כמו מה שבה"ו מדמיוני ג' ונחלק א"ב באחדים ויצא א"ח ה"ט ט"ב וה"ו
 
−
על ג' . ויצא ה"כ כ"ל ל"ו הנה סכום אחד א"ח ח"ט ט"ב שוים לסכום ה"כ כ"ל ל"ו אם
 
−
כן שעור האחד והוא א"ח ממספר ה"כ כשעור האחד והוא ח"ט ממספר כ"ל וכשעור
 
−
האחד והוא ט"ב ממספר ל"ו ושעור אחד מן הקודמים . מקרובו מהנמשכים
 
−
כשעור כל הקודמים מכל הנמשכים . אם כן שעור האחד והוא א"ח ממספר ה"כ
 
−
כשעור א"ב מן ה"ו אם כן חלק א"ח מן ה"כ הוא חלק א"ב מן ה"ו . וא"ח שוה לאחד . ומספר
 
−
ה"כ שוה למספר ג' אם כן שעור מה שימנה האחד ג' כשעור מה שימנה א"ב ה"ו . ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 16 ===
+
=== Proposition 13 ===
−
 
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"ו</span> <big>כל</big> שני מספרים יוכה כל אחד משניהם באחר הנה שני שטחיהם שוים
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יג</span> השעורים אשר יחסם אל שעורי' אחרים קרובים להם על מספרם כמה שיהיו אחד הנה יחס האחד אל קרובו כיחס הכל אל הכל
−
המשל בו כי מספר א' הוכה בו מספר ב' והיה ג' ומספר ב' הוכה בו
 
−
מספר א' והיה ד' הנה אומר כי ג"ד שוים . המופת כי א' הוכה בו מספר
 
−
ב' והיה ג' אם כן ב' ימנה ג' בשעור אחדי א' והאחר ימנה א' בשעור אחדיו
 
−
ואם כן שעור מה שימנה האחד א' כשעור מה שימנה ב"ג . וכאשר המירונו הנה מה
 
−
שימנה האחד ב' בשעור מה שימנה א"ג אם כן [שעור] האחד מן ב' כשיעור א' מן ג' .
 
−
ויהיה שעור האחד מן ב' כשעור א' מן ד' מפני כי ב' הוכה בו א' והיה ג' המקובץ ד' . אם
 
−
כן יחס א' אל ג' וד' אחד אם כן ג"ד שוים . ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 17 ===
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ו' אחד הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס א'ג'ה' יחד אל ב'ד'ו' יחד
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"ז</span> <big>כל</big> מספר יוכו בו שני
+
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשעורי א'ג'ה' כפלים שוים והם ח'ט'כ' ולשעורי ב'ד'ו' כפלים שוים והם ל'מ'נ' הנה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
−
מספרים הנה שעור אחד משני השטחים אצל האחר בשעור אחד
 
−
משני המספרים אצל האחר . המשל בו כי מספר א' הוכו בו שני מספרי ב"ג והתקבץ
 
−
משניהם שני שטחי ד"ה הנה אומר כי שעור ב' מן ג' כשעור ד' מן ה' .. המופת
 
−
כי א' הוכה בו ב' והתקבץ בו ד' אם כן ב' ימנה ד' בשעור אחדי א'
 
−
והאחד ימנה א' בשעור אחדיו אם כן שעור מה שימנה האחד א' כשעור מה שימנה
 
−
ב"ד . וגם כן הנה א' הוכה בו ג' והתקבץ ה' אם כן ג' ימנה ה' בשעור אחדי א' והאחד
 
−
ימנה א' בשעור אחדיו . אם כן שעור מה שימנה האחד א' כשעור מה שימנה ג"ה
 
−
אם כן שעור האחד מן א' כשעור ג' מן ה' וכן שעור האחד מן א' כשעור ב' מן ד' אם
 
−
כן שעור ב' מן ד' כשעור ג' מן ה' . וכאשר המירונו היה שעור ב' מן ג' כשעור ד' מן ה'
 
−
וזה מה שרצינו לבאר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 18 ===
+
|style="text-align:right;"|וכיחס ה' אל ו'
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"ח</span> <big>כל</big> מספר יוכה בשני מספרים הנה יחס אחד משני
+
|style="text-align:right;"|וח' וט' וכ' כפלים שוים לשעורי א'ג'ה' ול'מ'נ' כפלים שוים לשעורי ב'ד'ו' אם כן ח'ט'כ' אם נוספים יחד על ל'מ'נ' ואם חסרים מהם יחד ואם שוים להם יחד
−
השטחים אל האחר כיחס אחד משני המספרים אל האחר . המשל
 
−
בו כי שני מספרי א"ב הוכה בשניהם מספר ג' והיו שני השטחים שני מספרי ד"ה
 
−
הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה' .       המופת כי א' הוכה בו ג' והיה המקובץ
 
−
ד' אם כן ג' הוכה בו א' והיה המקובץ ד' . וגם כן הנה ב' הוכה בו ג' והיה
 
−
המקובץ ה' אם כן ג' הוכה בו ב' והיה המקובץ ה' אם כן מספר ג' הוכו בו שני מספרי
 
−
א"ב והיו מזה שני שטחי ד"ה אם כן יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה' . ומ'ש'ל' ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 19 ===
+
|style="text-align:right;"|ואם היה ח' נוסף על ל' הנה ח'ט'כ' מקובצים נוספים על ל'מ'נ'
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"ט</span> <big>כל</big> מספרים מתיחסים הנה שטח הראשון ברביעי כמו שטח השני בשלישי
+
|style="text-align:right;"|ואם היה חסר ממנו הנה הם חסרים מהם
−
ואם היה שטח הראשון ברביעי כמו השטח השני בשלישי הנה
 
−
המספרים הארבעה מתיחסים המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד הארבעה מתיחסים
 
−
יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' ושטח א' הראשון בד' הרביעי מספר ז' . ושטח ב' השני
 
−
בג' השלישי מספר ה' הנה אומר כי ה"ז שוים ..      מופת אנחנו נכה א' בג' ויהיה
 
−
ח' הנה א' בשני מספרי ג"ד והתקבץ מזה שני שטחי ח"ז . אם כן שעור
 
−
ג' מן ד' כשעור ח' מן ז' ושעור ג' מן ד' כשעור א' מן ב' . אם כן שעור מן ב' כשעור
 
−
ח' מן ז' . וגם כן הנה א' הוכה בג' והיה ח' אבל ב' הוכה בג' והיה ה' . אם כן שעור א' מן
 
−
ב' כשעור ח' מן ה' . וכבר התבאר כי שעור א' מן ב' כשעור ח' מן ז' אם כן יחס ח' אל
 
−
ה"ז אחד . אם כן ה' כמו ז' . עוד תהיה ה' כמו ז' הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס ג' אל
 
−
ד' ..  מופת כי ההנהגה אחת הנה א' הוכה בג' והיה ח' והוכה בד' והיה ז' אם
 
−
כן שעור ג' מן ד' כשעור ח' מן ה"ז וז' כמו ה' . אם כן שעור ג' מן ד' כשעור
 
−
ה' מן ה' . וגם כן הנה א' הוכה בג' והיה ח' וב' הוכה בג' והיה ה' אם כן שעור א' מן ב'
 
−
כשעור ח' מן ה' וכבר התבאר כי שעור ח' מן ה' כשעור ג' מן ד' אם כן יחס א' אל ב'
 
−
כיחס ג' אל ד' וזה מ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 20 ===
+
|style="text-align:right;"|ואם היה שוה לו הנה הם שוים להם
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ</span> <big>המעט</big> שבמספרים על יחס הנה הם ימנו
+
|style="text-align:right;"|וכפלי ח' לשעור א' ככפלי ח'ט'כ' מקובצים לשעורי א'ג'ה' מקובצים וכפלי ל' לשעור ב' ככפלי ל'מ'נ' לשעור ב'ד'ו' מקובצים
−
המספרים אשר על יחסם המעט למעט והרב לרב . המשל בו
 
−
כי המעט שבמספרים על יחס א' אל ג' והוא ה"ז אל ח"ט הנה אומר כי ה"ז ימנה א'
 
−
בשעור מה שימנה ח"ט ג' . וזה כי אנחנו כבר בארנו כי חלק כל אחד מחברו
 
−
או חלקיו כחלק אחד מן האחר או חלקיו . שאם לא יהיה ה"ז חלק מן א' הנה הוא
 
−
חלקים ממנו . כי הוא פחות ממנו ויהיה ח"ט חלקים מן ג' כחלקי ה"ז מן א' ונחלק
 
−
ה"ז בחלקי א' ויצא ה"כ כ"ז ונחלק ח"ט בחלקי ג' ויצא ח"ל ל"ט אם כן סכום ה"כ כ"ז
 
−
כמו סכום ח"ל ל"ט וה"כ כמו כ"ז וח"ל כמו ל"ט אם כן שעור ה"כ מן ח"ל כשעור ה"ז מן
 
−
ח"ט . אם כן ה"כ וח"ל על יחס ה"ז וח"ט . וה"כ ח"ל פחות מן ה"ז וח"ט זה שקר מפני כי ה"ז
 
−
וח"ט היו הקטן שבמספרים על יחסם אם כן אין ה"ז חלקים מן א' אבל הוא  חלק
 
−
אחד אם כן ח"ט מן ג' הוא חלק כמו חלק ה"ז מן א' אם כן ה"ז ימנה א' בשעור מה
 
−
שימנה ח"ט ג' ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 21 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס א'ג'ה' מקובצים אל ב'ד'ו' יחד
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"א</span> <big>שני</big> מספרים הקטנים על יחס הנה הם
+
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
−
נבדלים . המשל בו כי שני מספרי א"ב הקטנים שני
 
−
מספרים על יחס שניהם הנה אומר כי שניהם נבדלים . המופת אם יהיו
 
−
משותפים הנה ימנה שניהם מספר ג' ונאמר שהוא אחדי ד' שיעור
 
−
מה שימנה ג"א ואחדי ה' שיעור מה שימנה ג"ב . אם כן ג' ימנה א' בשיעור אחדי
 
−
ד' והנה ג' הוכה בד' והיה א' . וגם כן הנה ג' ימנה ב' בשעור אחדי ה' והנה ג' הוכה
 
−
בה' והיה ב' אם כן ג' הוכה בשני מספרי ד"ה והיה מזה א"ב . אם כן יחס ד' אל ה' כיחס
 
−
א' אל ב' וד' וה' קטן מא' וב' זה שקר כי א"ב היו שני המספרים הקטנים על יחס
 
−
שניהם אם כן לא ימנה א"ב מספר אחד . אם כן שניהם נבדלים . מ'ש'ל' ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 22 ===
+
=== Proposition 14 ===
−
 
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ב</span> <big>כל</big> שני מספרים נבדלים הנה שניהם שני המספרים הקטנים על יחסם
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יד</span> כאשר היו ארבעה שעורים מתיחסים והיה הראשון יותר גדול מן השלישי הנה השני יותר גדול מן הרביעי ואם היה שוה לו הנה הוא שוה לו ואם היה יותר קטן ממנו הנה הוא יותר קטן ממנו
−
המשל בו שני מספרים א"ב נבדלים הנה אומר שהם הקטנים
 
−
שבמספרים על יחסם .. המופת שאם לא יהיו כן נאמר שיהיו שני
 
−
מספרים קטנים משניהם ושני מספרים היותר קטנים על יחס
 
−
שניהם הם ג"ד . אם כן שעור מה שימנה ג"א כשעור מה שימנה ד"ב ויהיו אחדי
 
−
מספר אחד והוא ה' בשעור מה שימנה ג"א אם כן ד' ימנה ב' בשעור אחדי ה' . וה'
 
−
ימנה א' בשעור אחדי ג' וה' ימנה ב' בשיעור אחדי ד' אם כן ה' ימנה א"ב ושניהם
 
−
נבדלים זה שקר . אם כן א"ב השני מספרים היותר קטנים על יחסם . ומ'ש'ל' ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 23 ===
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א"ב ג"ד הארבעה מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' וא' יותר גדול מן ג' הנה אומר כי ב' יותר גדול מן ד'
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ג</span> <big>כל</big> מספר ימנה אחד משני מספרים נבדלים הנה הוא הנבדל מן המספר
+
|style="text-align:right;"|מופתו כי א' יותר גדול מן ג' אם כן א' גדול היחס אל ב' מג' אל ב'
−
האחר . המשל בו כי שני מספרי א"ב נבדלים . ומספר ג' ימנה
 
−
א' הנה אומר שהוא נבדל מב' . המופת אם היו ב' וג' משותפים הנה ימנה
 
−
שניהם מספר ד' אם כן ד' ימנה ג' וג' ימנה א' אם כן ד' ימנה א'.
 
−
והוא ימנה ב' ושניהם נבדלים זאת שקר אם כן לא ימנה ב' ג' מספר אחד אם כן
 
−
שניהם נבדלים . ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 24 ===
+
|style="text-align:right;"|אבל יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' אם כן יחס ג' אל ד' יותר גדול מיחסו אל ב'
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ד</span> <big>כל</big> שני מספרים יובדלו ממספר אחר הנה
+
|style="text-align:right;"|ואשר יהיה היחס אליו יותר גדול הנה הוא יותר קטן
−
שטח אחד משניהם באחר יובדל מן המספר ההוא . המשל בו
 
−
כי שני מספרי א"ב יובדלו ממספר ג' ושטח א' בב' מספר ד' הנה אומר כי ג"ד נבדלים
 
−
המופת כי שניהם אם היו משותפים הנה ימנה שניהם מספר אחד והוא ה'
 
−
ונאמר שיהיה אחדי ז' בשעור מה שימנה ה' ד' וה' יוכה בז' ויהיה ד' וא'
 
−
יוכה בב' ויהיה ד' אם כן שטח ה' בז' כמו שטח א' בב' אם כן היחס אחד . יחס ה' אל
 
−
א' כיחס ב' אל ז' וא"ג נבדלים וה' ימנה אחד משניהם והוא ג' אם א"ה נבדלים . אם
 
−
כן שניהם שני מספרים היותר קטנים על יחסם וימנו כל שני מספרים על יחסם
 
−
בשוה היותר קטן ליותר קטן . והרב לרב . אם כן ה' ימנה ב' והוא ימנה ג' וב"ג נבדלים
 
−
זה שקר אם כן לא ימנה ג"ד מספר אם כן שניהם נבדלים . ומ'ש'ל' ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 25 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן ד' יותר קטן מן ב' אם כן ב' יותר גדול מן ד'
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ה</span> <big>כל</big> שני מספרים נבדלים הנה מרובע הנה מרובע אחד משניהם נבדל
+
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי אלו היה א' כמו ג' היה ב' כמו ד'
−
מן האחר . המשל בו כי שני מספרי א"ב נבדלים ומרובע א' מספר
 
−
ג' הנה אומר כי ג"ב נבדלים .. המופת אנחנו נשים ד' כמו א' הנה א"ב
 
−
נבדלים וא' כמו ד' אם כן ד"ב נבדלים אם כן א"ד יובדלו מן ב'
 
−
אם כן שטח א' בד' יובדל ^ ב' ושטח א' בד' הוא ג' אם כן ג"ב נבדלים . ומ'ש'ל' .. ^מן
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 26 ===
+
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר קטן מן ג' היה ב' יותר קטן מן ד'
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ו</span> <big>כאשר</big> יהיה כל אחד משני מספרים יובדלו משנים אחרים הנה שטח
+
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
−
הראשונים אחד משניהם באחר יובדל גם כן משטח השנים האחרים
 
−
המשל בו כי כל אחד משני מספרי א"ב יובדל מכל אחד משני מספרי ג"ד ושטח
 
−
א' בב' מספר ה' ושטח ג' בד' מספר ז' הנה אומר כי ה"ז נבדלים .         המופת כי
 
−
א"ב יובדלו מן ג' אם כן שטח א' בב' והוא ה' יובדל ^ ג' אם כן ה"ג נבד לים ^מן
 
−
וכן יהיו ה"ד נבדלים מן ה' אם כן ג' בד' הוא ז' יובדל מן ה' אם כן ה"ז נבדלים . ומ'ש'ל' ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 27 ===
+
=== Proposition 15 ===
−
 
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ז</span> <big>כל</big> שני מספרים נבדלים יוכה כל אחד משניהם בדומה לו הנה שני מרובעיהם
+
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_V_15"></div><span style=color:red>טו</span> החלקים אשר כפליהם שוים הנה יחס קצתם כיחס כפלי קצתם אל קצת
−
נבדלים . וכן אם הוכו שני המרובעים בגדריהם והם השני מספרים
 
−
הראשונים כל מרובע בגדרו הנה השני מעוקבים גם כן נבדלים . וכן לא יסורו
 
−
בקצוות והמספרים האחרונים כי כל מרובע בגדרו הנה השני מעוקבים נבדלים
 
−
גם כן וכן לא יסורו . המשל בו כי שני מספרי א"ב נבדלים והוכה א' בדומה לו והיה
 
−
מרובע ג' והוכה ב' בדומה לו והיה מרובע ד' . וגם כן הנה א' הוכה בג' והיה מעוקב
 
−
ה' וב' הוכה בד' והיה מעוקב ז' הנה אומר כי שני מרובעי ג"ד נבדלים ושני מעוקבי
 
−
ה"ז נבדלים גם כן .. המופת כי א"ב נבדלים הנה מרובע אחד משניהם
 
−
נבדל מן האחר ומרובע א' הוא ג' אם כן ג"ב נבדלים . וגם כן
 
−
הנה ג"ב נבדלים אם כן מרובע אחד משניהם נבדל מן האחר . ומרובע ב' הוא
 
−
ד' אם כן ג"ד נבדלים . וגם כן הנה א"ב נבדלים ומרובע ב' הוא ד' אם כן א"ד
 
−
נבדלים וג"ד נבדלים אם כן א"ג נבדלים מן ד' ונבדלים מן ב' אם כן שטח א' בג'
 
−
והוא מעוקב ה' נבדל משטח ב' בד' והוא ז' אם כן שני מעוקבי ה"ז נבדלים וכבר
 
−
בארנו כי שני מרובעי ג"ד נבדלים וכן לא יסורו בקצוות והמספרים האחרונים
 
−
אשר יתקבץ מן ההכאה . וזה מה שרצינו לבאר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 28 ===
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי כפלי א"ב אל שעור ג' כשעור ד"ה לשעור ו' הנה אומר כי יחס א"ב אל ד"ה כיחס ג' אל ו'
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ד"ת כי יחס ג' אל ו' כיחס א"ב אל ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ח</span> <big>כל</big> שני מספרים
+
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נחלק א"ב בשעור ג' וחלקיו א"ח וח"ט וט"ב והם שוים ונחלק ד"ה בשעור ו' וחלקיו ד"ל ול"מ ומ"ה והם שוים
−
נבדלים הנה מקובץ שניהם נבדל מכל אחד משניהם ואם היה
 
−
מקובץ שניהם נבדל מכל אחד משניהם הנה שניהם נבדלים . המשל בו כי
 
−
שני מספרי א"ב ב"ג נבדלים הנה אומר כי כל א"ג נבדל מכל אחד מן א"ב ב"ג .
 
−
המופת כי אם לא יהיה א"ג נבדל מן ב"ג הנה ימנה שניהם מספר אחד
 
−
והוא ד' אם כן ד' ימנה א"ג וימנה ב"ג הנה הוא אם כן ימנה א"ב
 
−
אם כן ד' ימנה א"ב ב"ג והם נבדלים זה שקר . אם כן לא ימנה א"ג ב"ג מספר
 
−
אחד אם כן שניהם נבדלים . וכן התבאר כי א"ג א"ב נבדלים אם כן א"ג נבדל
 
−
מכל אחד מן א"ב ב"ג ויהיה גם כן א"ג נבדל מכל אחד מן א"ב ב"ג הנה אומר
 
−
כי א"ב ב"ג נבדלים .. המופת כי שניהם אם לא יהיו כן הנה ימנה שניהם
 
−
מספר ד' אם כן ד' ימנה א"ב וימנה ב"ג אם כן הוא ימנה כל א"ג אם כן
 
−
ד' ימנה א"ג ב"ג ושניהם נבדלים זה שקר . אם כן לא ימנה א"ב ב"ג מספר אחר אם
 
−
כן שניהם נבדלים . וכן יתבאר אם היה א"ג נבדל מן א"ב שזה שקר . ומ'ש'ל' ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 29 ===
+
|style="text-align:right;"|ומניין א"ח ח"ט וט"ב כמספר ד"ל ול"מ ומ"ה
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ט</span> <big>כל</big> מספר מורכב הנה ימנה אותו מספר ראשון . המשל בו כי מספר א'
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א"ח אל ד"ל כיחס ח"ט אל ל"מ וכיחס ט"ב אל מ"ה ויחס האחר אל קרובו כיחס הכל אל הכל
−
מורכב הנה אומר כי הוא ימנהו מספר ראשון .. המופת
 
−
כי א' מורכב אם כן ימנהו מספר אחר והוא ב' הנה אם היה ב'
 
−
ראשון הנה התאמת הספור ואם היה מורכב הנה ימנהו מספר אחר והוא ג' וכן
 
−
לא יסור יעשה עד שיכלה אל מספר ראשון ימנה אשר לפניו וימנה א'. ואם לא
 
−
יכלה אל מספר ראשון ימנה אשר לפניו וימנה א' הנה הוא ימנהו מספרים
 
−
מורכבים בלי תכלית כל אחד מהם קטן מן האחר זה שקר אי אפשר
 
−
במספר אבל בלא ספק שיכלה אל מספר ראשון ימנה מה שילוה אליו לפניו וימנה
 
−
א' וזה מה שרצינו לבאר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 30 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א"ח אל ד"ל כיחס א"ב אל ד"ה וא"ח כמו ג' וד"ל כמו ז' אם כן יחס א"ב אל ד"ה כיחס ג' אל ז'
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל</span> <big>כל</big> מספר הנה הוא ראשון או ימנהו מספר
+
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
−
ראשון נאמר שהוא מספר מה והוא א' הנה אומר כי א' ימנהו
 
−
מספר ראשון .. המופת כי א' אם היה ראשון הנה כבר התאמת הספור . ואם
 
−
היה מורכב הנה ימנהו מספר ראשון וכן כל מספר . וזה מ'ש'ל' ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 31 ===
 
  
 +
=== Proposition 16 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"א</span> <big>כל</big> מספר ראשון הנה הוא נבדל לכל מספר לא ימנהו הוא . המשל בו כי
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יו</span> כאשר היו שעורים מתיחסים הם יהיו כאשר הומרו מתיחסים
−
מספר א' ראשון ומספר ב' לא ימנהו א' הנה אומר כי א"ב נבדלים
 
−
המופת כי אם היו משותפים הנה ימנה אותם מספר אחד אם כן זה המספר
 
−
ימנה אם כן מספר א' והוא ראשון זה שקר אם כן לא ימנה א"ב
 
−
מספר אחר אם כן שניהם נבדלים . וזה מה שרצינו לבאר ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 32 ===
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א"ב ג"ד הארבעה מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' הנה אומר כי יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד' על התמורה
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ב</span> <big>כל</big> מספר ראשון ימנה איזה משוטח שיהיה הנה הוא גם כן ימנה אחד משתי
+
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשעורי א"ב כפלים שוים והם ה"ו ולשעורי ג"ד כפלים שוים והם ח"ט
−
צלעות השטח . המשל בו כי מספר א' ראשון והוא ימנה מספר
 
−
ב' והוא משוטח ושתי צלעותיו ג"ד הנה אומר כי א' ימנה אחד משני מספרי ג"ד ..
 
−
המופת אם היה א' לא ימנה ג' וא' ראשון הנה א"ג נבדלים ונאמר שיהיה אחדי
 
−
מספר אחר הוא ה' בשעור מה שימנה א"ב אם כן א' ויכה בה' ויהיה ב'
 
−
אבל ג' הוכה בד' והוא ב' אם כן שטח א' בה' כמו שטח ג' בד' אם כן יחס א' אל ג'
 
−
כיחס ד' אל ה' וא"ג נבדלים אם כן שניהם שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם
 
−
וימנו כל שני מספרים בשוה הקטן לקטן והרב לרב . אם כן א' ימנה ד' וכן יתבאר
 
−
אם היה א' לא ימנה ד' שהוא ימנה ג' אם כן א' ימנה אחד משני מספרי ג"ד . ומ'ש'ל' ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 33 ===
+
|style="text-align:right;"|והחלקים אשר כפליהם שוים
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ג</span> <big>נרצה</big> לבאר איך נמצא הקטן שבמספרים על יחס מספרים ידועים כמה שיהיו
+
|style="text-align:right;"|יחס קצתם אל קצתם כיחס כפליהם קצתם אל קצת
−
הנה נשים המספרים הידועים מספרי א'ב'ג' ונרצה לבאר איך נמצא
 
−
הקטן שבמספרים על יחס א'ב'ג' הנה אם יהיו מספרי א'ב'ג' נבדלים הנה הם המעט
 
−
שבמספרים על יחסם ואם היו משותפים יקח גדול מספר שימנם יחד ונאמר
 
−
שיהיה המספר ההוא ד' ויהיה באחד בעינו ממספרי ה'ז'ח' מן האחדים בשעור מה
 
−
שימנה ד' אחד בעינו ממספרי א'ב'ג' הנה כל אחד ממספרי א'ב'ג' ימנהו אחד ממספרי
 
−
ה'ז'ח' אשר אחדיו בשעור מה שימנהו ד' בשעור אחדי ד' הנה מספר ה'ז'ח' על יחס א'ב'ג'
 
−
אם כן יחס מ' אל ד' כיחס ה' אל ט' וה' גדול מן ט' אם כן מ' גדול מן ד' ואומר שהם המעט
 
−
שבמספרים על יחסם . ואם לא יהיו כן יהיו מספרים אחרים יותר קטנים מן ה'ז'ח'
 
−
קטני המספרים על יחס א'ב'ג' והם מספרי ט'כ'ל' . אם כן ט' ימנה א' בשעור מה
 
−
שימנה כ"ב ובשעור מה שימנה ל"ג . ויהיו אחדי מספר אחד והוא מספר מ' בשעור
 
−
מה שימנה ט"א הנה כל אחד מספרי כ"ל ימנה בן גילו משני מספרי ב"ג בשעור
 
−
אחדי מ' וט' ימנה א' בשעור אחדי מ' אם כן מ' ימנה א' בשעור אחדי ט' . וכן מ' ימנה
 
−
ב' בשעור אחדי כ' וימנה ג' בשעור אחדי ל' . אם כן מ' ימנה א'ב'ג' ומ' ימנה א' בשעור
 
−
אחדי ט' הנה מ' אם כן כאשר הוכה בט' היה א' וד' כאשר הוכה בה' היה א' אם כן שטח
 
−
מ' בט' כמו שטח ד' בה' אם כן אין מספרים קטנים מן ה'ז'ח' על יחס א'ב'ג' . ומ'ש'ל' ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 34 ===
+
|style="text-align:right;"|וה"ו כפלים לשעורי א"ב אם כן יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו' וגם כן הנה ח' וט' כפלים שוים לשעורי ג' וד' אם כן ג' אל ד' כיחס ח' אל ט' אבל ג' אל ד' כיחס א' אל ב' וכיחס ה' אל ו'
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ד</span> <big>נרצה</big> לבאר איך נמצא המספר היותר קטן שימנו אותו שני מספרים ידועים בלתי שוים
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ו' כיחס ח' אל ט'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה יהיו שני המספרים הידועים מספרי א"ב
+
|style="text-align:right;"|ואם היה ה' מוסיף אל ח' הנה ו' יוסיף על ט'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אם היה הקטן ימנה הגדול משניהם והגדול משניהם ימנה עצמו הנה הגדול הוא קטן המספר שימנוהו
+
|style="text-align:right;"|ואם היה שוה הנה הוא שוה לו ואם שיחסר ממנו הנה יחסר ממנו אם כן שני שעורי ה' וו' אם נוספים יחד על שני שעורי ח' וט' ואם שוים יחד להם ואם חסרים יחד מהם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה הקטן ימנה הגדול הנה א"ב נבדלים או משותפים ואם היו נבדלים יוכה א' בב' ויהיה ג' הנה אומר כי ג' המספר הקטן שימנוהו מספרי א"ב ואם לא יהיה כן הנה ימנו מספר קטן ממנו והוא ד' ויהיו אחדי ה' כשעור מה שימנה א"ד
+
|style="text-align:right;"|וה'ו' כפלים שוים לשני שעורי א"ב וח' וט' כפלים שוים לשני שעורי ג' וד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואחדי ז' בשעור מה שימנה ב"ד אם כן א' יוכה בה' ויהיה ד' וב' יוכה בז' ויהיה ד' אם כן שטח א' בה' כמו שטח ב' בז'
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ה'
+
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וא"ב נבדלים אם כן שניהם קטני מספרים על יחסם וימנו כל שני מספרים על יחסם בשוה הקטן לקטן והרב לרב אם כן א' ימנה ז' וב' הוכה בא' ובז' והיו ג"ד אם כן יחס א' אל ז' כיחס ג' אל ד' אבל א' ימנה ז' אם כן ג' ימנה ד' וג' גדול מן ד' הנה הגדול אם כן ימנה הקטן זה שקר
+
=== Proposition 17 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה שני מספרי א"ב מספר הוא קטן מן ג' אם כן ג' היותר קטן שבמספרים שימנהו א"ב
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היו א"ב משותפים יהיו ז"ה קטני המספרים על יחסם אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ה' ויוכה א' בה' ויהיה ג' הנה ב' כאשר הוכה בז' היה ג' אם כן א"ב ימנו ג' הנה אומר כי ג' קטן מספר ימנוהו א"ב
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יז</span> כאשר היו שעורים מורכבים מתיחסים הנה הם כאשר נבדלו יהיו מתיחסים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיו כן הנה ימנו מספר קטן מן ג' ויהיה מספר ד' ויהיו אחדי ח' כשעור מה שימנה א"ד ואחדי ט' בשעור מה שימנה ב"ד אם כן א' יוכה בח' ויהיה ד' וב' יוכה בט' ויהיה ד' אם כן שטח א' בח' כמו שטח ב' בט' אם כן יחס א' אל ב' כיחס ט' אל ח' ויחס א' אל ב' כיחס ז' אל ה' אם כן יחס ז' אל ה' כיחס ט' אל ח' וז"ה שני מספרים קטנים על יחסם אם כן שניהם ימנו כל מספר על יחסם בשוה הקטן לקטן והרב לרב אם כן ז' ימנה ט' וב' הוכה בז' ובט' והיה ג"ד אם כן יחס ז' אל ט' כיחס ג' אל ד' אבל ז' ימנה ט' אם כן ג' ימנה ד' הגדול ימנה הקטן זה שקר אם כן לא ימנה א"ב מספר יותר קטן מן ג'
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א"ב וב"ה וג"ד וד"ו מורכבים מתיחסים יחס א"ב אל ב"ה כיחס ג"ד אל ד"ו הנה אומר שהם כאשר נבדלו יהיו מתיחסים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ג' מספר קטן שימנוהו א"ב
+
|style="text-align:right;"|ויהיה יחס א"ה אל ה"ב כיחס ג"ו אל ו"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל' ..
+
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשעורי א"ה וה"ב וג"ו וו"ד כפלים שוים והם ח"ט וט"כ ול"מ ומ"נ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 35 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן כפלי ח"ט לשעור א"ה ככפלי ח"כ לשעור א"ב וכפלי ח"ט לשעור א"ה ככפלי ל"מ לשעור ג"ו אם כן כפלי ח"כ לשעור א"ב ככפלי ל"מ לשעור ג"ו
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה כפלי ל"מ לשעור ג"ז ככפלי מ"נ לשעור ז"ד אם כן כפלי ל"מ לשעור ג"ז ככפלי ח"כ לשעור א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ה</span> <big>כאשר</big> היו שני מספרים ימנו מספר הנה קטן מספר שימנהו הוא גם כן ימנה המספר ההוא
+
|style="text-align:right;"|אם כן כפלי ח"כ לשעור א"ב ככפלי ל"נ לשעור ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה שני מספרי א"ב ימנו ה"ז ויהיה קטן מספר שימנוהו א"ב מספר ח' הנה אומר כי ח' ימנה ה"ז
+
|style="text-align:right;"|ונקח לשעורי ה"ב וז"ד כפלים שוים והם כ"ס ונ"ע הנה כפלי ט"כ הראשון לשעור ה"ב השני ככפלי מ"נ השלישי לשעור ז"ד הרביעי וכן כפלי כ"ס החמישי לשעור ה"ב השני ככפלי נ"ע הששי לשעור ז"ד הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המופת אם לא יהיה שימנהו הנה הוא אם כן מנה ז"ב נשאר כ"ה קטן מן ח' וא"ב ימנו ח' וח' ימנה ז"ב אם כן א"ב ימנו ז"ב וימנו כל ז"ה הנה שניהם אם כן ימנו ב"ה וה"ב קטן מן ח' זה שקר מפני כי ח' היה קטן מספר ימנהו א"ב אם כן ח' ימנה ה"ז
+
|style="text-align:right;"|אם כן כפלי הראשון והחמישי מקובצים ט"ס לשעור ה"ב השני ככפלי השלישי והששי מקובצים והם מ"ע לשעור ז"ד הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|ויחס א"ב אל ב"ה כיחס ג"ד אל ד"ז ושני שעורי ח"כ ול"נ כפלים שוים לשני שעורי א"ב וג"ד ושני שעורי ט"ס מ"ע כפלים שוים לשני שעורי ה"ב ז"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 36 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני שעורי ח"כ ול"נ אם נוספים יחד על שני שעורי ט"ס ומ"ע ואם שוים יחד לשניהם
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם חסרים יחד משניהם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ו</span> <big>נרצה</big> לבאר היאך נמצא קטן מספר שימנוהו שלשה מספרים ידועים
+
|style="text-align:right;"|ואם חסרנו ט"כ ומ"נ המשותפים הנה שני שעורי ח"ט ול"מ אם נוספים יחד על שני שעורי כ"ס ונ"ע ואם שוים יחד לשניהם ואם חסרים יחד משניהם וח"ט ול"מ כפלים שוים לשני שעורי א"ה וג"ז וכ"ס ונ"ע כפלים שוים לשני שעורי ה"ב וז"ד אם כן יחס א"ה אל ה"ב כיחס ג"ז אל ז"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו השלשה מספרים א'ב'ג' ונרצה שנמצא קטן מספר ימנוהו מספרי א'ב'ג' הנה נקח קטן מספר שימנוהו שני מספרים מהם והם א"ב ויהיה מספר ד' הנה ג' אם שימנה ד' ואם שלא ימנהו ואם היה ג' ימנה ד' וא"ב ימנוהו הנה ד' מספר שימנוהו מספרי א'ב'ג'
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה כן הנה הם ימנו מספר קטן ממנו ויהיה מספר ה' אם כן ימנוהו א"ב וימנוהו קטן מספר שימנוהו מספרי א"ב והוא מספר ד' אם כן הגדול ימנה הקטן זה שקר אם כן אין מספר קטן מן ד' ימנוהו א'ב'ג' ואם היה ג' קטן מספר ימנוהו ג"ד ויהיה מספר ה' אם כן ד' ימנה ה' וא"ב ימנו ד' אם כן שניהם ימנו ה' וג' ימנה ה' אם כן ה' ימנוהו מספרי א'ב'ג' השלשה הנה אומר שהוא קטן מספר ימנוהו א'ב'ג' ואם לא יהיה כן נאמר שיהיה מספר קטן מן ה' ימנוהו א'ב'ג' ויהיה מספר ז' אם כן ז' ימנוהו מספרי א"ב וימנהו קטן מספר שימנוהו והוא ד' אם כן ד' ימנה ז' וג' ימנה ז' אם כן ז' ימנוהו שני מספרי ג"ד וימנהו קטן מספר שימנוהו והוא ה' אם כן ה' ימנה ז' וה' יותר קטן מז' זה שקר אם כן אין מספר יותר קטן מן ה' ימנוהו מספרי א'ב'ג' אם כן ה' קטן מספר ימנוהו מספרי א'ב'ג'
+
=== Proposition 18 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יח</span> כאשר היו שעורים נבדלים מתיחסים הנה הם כאשר הורכבו יהיו מתיחסים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 37 ===
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני שעורי א"ב וב"ג וד"ה וה"ו מתיחסים יחס א"ב אל ב"ג כיחס ד"ה אל ה"ו הנה אומר שהם כאשר הורכבו יהיו מתיחסים א"ג אל ג"ב כיחס ד"ו אל ו"ה
−
 
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|מופתו אם לא יהיה יחס א"ג אל ג"ב כיחס ד"ו אל ו"ה הנה יחס א"ג אל ג"ב כיחס ד"ו אל מה שהוא יותר קטן או יותר גדול מן ו"ה
 
|-
 
|-
−
|For every number that is counted by another number, the [counted] number has a part named after the number that counts it.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ז</span> <big>כל</big> מספר ימנהו מספר אחר הנה במספר חלק קורא למספר אשר ימנהו
+
|style="text-align:right;"|ויהיה תחלה אל מה שהוא יותר קטן ממנו והוא ז"ח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה מספר א' ימנהו מספר ב'
+
|style="text-align:right;"|הנה יחס א"ג אל ג"ב כיחס ד"ז אל ז"ח וכאשר הבדלנו הנה יחס א"ב אל ב"ג כיחס ד"ח אל ח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי בא' חלקים נקראו במספר ב'
+
|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס א"ב אל ב"ג כיחס ד"ה אל ה"ז אם כן יחס ד"ח אל ח"ז כיחס ד"ה אל ה"ז וח"ד הראשון יותר גדול מן ד"ה השלישי
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle G\mid1=A\mid B</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה האחד ימנה ג' בשיעור מה שימנה ב' א'
+
|style="text-align:right;"|אם כן ח"ז השני יותר גדול מן ז"ה הרביעי וכבר היה יותר גדול מן ז"ח
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle B\mid1=A\mid G</math>
+
|The smaller is greater than the greater = error.
−
|style="text-align:right;"|וכאשר המירונו הנה שיעור מה שימנה האחד ב' כשעור מה שימנה ג' א'
+
|style="text-align:right;"|הנה הקטן אם כן יותר גדול מן הגדול זה שקר
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle\frac{B}{1}=\frac{A}{G}</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן חלק האחד מן ב' הוא חלק ג' מן א'
+
|style="text-align:right;"|אם כן אין יחס א"ג אל ג"ב כיחס ד"ז אל שעור הוא יותר קטן מן ז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והאחד מן ב' הוא חלק נקרא אל ב' אם כן ג' הוא חלק מן א' נקרא אל ב' אם כן בא' חלק אל ב'
+
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר כי יחס א"ג אל ג"ב אינו כיחס ד"ז אל שעור הוא יותר גדול מן ז"ה
 
|-
 
|-
−
|Q.E.D.
+
|
 
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 38 ===
+
 
 +
=== Proposition 19 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|Every number that has any part whatever, is counted by a number after which the part is named.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ח</span> <big>כל</big> מספר שיש לו אי זה חלק היה הנה הוא ימנהו מספר נקרא לחלק ההוא
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יט</span> כאשר חוסר משני שעורים מכל אחד משניהם שעור ויהיה יחס המחוסר אל המחוסר כיחס הכל אל הכל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|נאמר שיהיה במספר א' חלק מה והוא ב'
+
|style="text-align:right;"|הנה יחס הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' ימנהו מספר נקרא לחלק ב' מן א'
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי א"ב חוסר ממנו א"ה וג"ד חוסר ממנו ג"ו ויחס א"ה אל ג"ו כיחס א"ב הכל אל ג"ד הכל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה חלק האחד מן ג' הוא חלק ב' מן א' אם כן ג' נקרא אל חלק ב' וג' נקרא החלק ממנו וחלק האחד מן ג' הוא חלק ב' מן א'
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס ה"ב הנשאר אל ו"ד הנשאר כיחס א"ב הכל אל ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שעור מה שימנה האחד ג' בשעור מה שימנה ב' א'
+
|style="text-align:right;"|מופתו כי יחס א"ב אל ג"ד כיחס א"ה אל ג"ו וכאשר המירונו הנה יחס א"ב אל א"ה כיחס ד"ג אל ג"ו וכאשר הבדלנו הנה יחס ב"ה אל ו"ד כיחס א"ה אל ג"ו וכבר היה א"ה אל ג"ו כיחס א"ב אל ג"ד אם כן יחס ב"ה אל ו"ד כיחס א"ב אל ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר המירונו הנה שיעור מה שימנה האחד ב' כשיעור מה שימנה ג"א והאחד ימנה ב' כשיעור אחדי ב' אם כן ג' ימנה א' בשיעור אחדי ב' וג' מספר נקרא לחלק ב' מן א'
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבארו
−
|-
 
−
|Q.E.D.
 
−
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
=== Proposition 20 ===
−
=== Proposition 39 ===
 
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|We wish to explain how to find the number, which is the least that has given parts.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ט</span> <big>נרצה</big> לבאר איך נמצא קטן מספר בו חלקים מונחים
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ</span> כאשר היו שעורים מה שיהיו ושעורים אחרים על מספרם כל שנים מהראשון על יחס שנים מן האחר הנה הראשון מן הראשון ביחס השווי אם היה יותר גדול מן האחרון הנה הראשון מן האחר יותר גדול מן האחרון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו החלקים המונחים א'ב'ג' ונרצה למצוא אחד קטן מספר בו חלקי א'ב'ג' הנה נקח מספרים נקראים לחלקי א'ב'ג' והם מספרי ד'ה'ז'
+
|style="text-align:right;"|ואם היה שוה לו הנה הוא שוה לו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קטן מספרים שימנוהו ד'ה'ז' מספר ח' אם כן ח' בו חלקים נקראים אל ד'ה'ז'
+
|style="text-align:right;"|ואם היה יותר קטן ממנו הנה הוא יותר קטן ממנו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והחלקים הנקראים אל ד'ה'ז' הם א'ב'ג' אם כן ח' בו חלקי א'ב'ג'
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א'ב'ג' על מספר שעורי ד'ה'ו'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ח' קטן מספר בו אלו החלקים
+
|style="text-align:right;"|וכל שנים מהם על יחס שנים מהם יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה' ויחס ב' אל ג' כיחס ה' אל ו'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה זה הנה יהיה מספר קטן מן ח' בו חלקי א'ב'ג' ויהיה מספר ט'
+
|style="text-align:right;"|ונשים הראשון מן הראשון והוא א' יותר גדול מן האחרון והוא ג' הנה אומר כי הראשון מן האחר והוא ד' יותר גדול מן האחרון והוא ו'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ט' בו חלקי א'ב'ג' הנה ט' אם כן ימנוהו מספרים נקראים לחלקי א'ב'ג' והמספרים הנקראים לחלקים האלו הם מספרי ד'ה'ז' אם כן ט' ימנוהו מספרי ד'ה'ז' והוא קטן מן ח' זה שקר אי איפשר מפני כי ח' קטן מספר ימנו אלה המספרים הנה ח' אם כן קטן מספר בו חלקי א'ב'ג'
+
|style="text-align:right;"|מופתו כי א' יותר מן ג' ושעור ב' שעור אחד
−
|-
 
−
|Q.E.D.
 
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר השביעי מהחכם אקלידס ת"ל
+
|style="text-align:right;"|אם כן שעור א' יותר גדול היחס אל ב' מן ג' אל ב'
−
|}
 
−
{|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|אבל יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה' ויחס ג' אל ב' כיחס ה' אל ו' אם כן שעור ד' יותר גדול היחס אל ב' מן ג' אל ב'
−
== Book Eight ==
 
−
|style="text-align:right;"|המאמר השמיני
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> כאשר היו מספרים נמשכים על יחס אחד כמה שיהיו והיה כל אחד משתי הקצוות ראשון אצל האחר הנה הם קטני המספרים על יחסם
+
|style="text-align:right;"|אבל יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד נמשכים על יחס אחד ושתי הקצוות כל אחת משתיהן ראשון אצל האחר ושניהם א"ד הנה אומר כי א"ב ג"ד הם קטני המספרים על יחסם
+
|style="text-align:right;"|ויחס ג' אל ב' כיחס ו' אל ה' אם כן שעור ד' יותר גדול היחס אל ה' מן ו' אל ה' ואשר יחסו יותר גדול הנה הוא יותר גדול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המופת כי אם לא יהיה כן הנה יהיו מספרים קטנים מהם ועל מניינם ויחסם והם ה"ז ח"ט הנה יחס א"ב ג"ד הוא כיחס ה"ז ח"ט מכ"ב מזה ומנין א'ב'ג'ד' כמניין ה"ז ח"ט אם כן יחס א' אל ד' כיחס ה' אל ט' וכל אחד מן א"ד ראשון אצל האחר אם כן שניהם קטני המספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים שהם על יחס שניהם בשוה הקטן לקטן והרב לרב אם כן א' ימנה ה' הרב ימנה המעט זה שקר אם כן אין מספרים נמשכים על יחס אחד הם קטנים מן א"ב ג"ד ומ'ש'ל'
+
|style="text-align:right;"|אם שעור ד' יותר גדול מן ו'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> נרצה לבאר איך נמצא קטני המספרים נמשכים על יחס אחד מונח כמה שנרצה הנה נשים היחס המונח בקטן שני מספרים והם יחס א' אל ב' ונרצה למצא קטני מספרים נמשכים על יחס א"ב כמה שנרצה ויהיו המספרים ארבעה ונכה א' בכמוהו ויהיה ג'
+
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי א' אלו היה שוה אל ג' היה ד' שוה אל ו' ואלו היה יותר קטן מן ג' היה ד' יותר קטן מן ו'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונכה בב' ויהיו ד'
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונכה ב' בכמוהו ויהיה ה' וגם כן הנה אנחנו נכה א' בג' ובד' ובה' ויהיה ז'ח'ט' ונכה ב' בה' ויהיה ל' הנה אומר כי ז"ח ש"ל קטני ארבעה מספרים נמשכים על יחס א' אל ב'
+
=== Proposition 21 ===
−
|-
+
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המופת כי א' הוכה בכמוהו והיה ג' והוכה בב' והיה ד' הנה א' הוכה בשני מספרים בכמוהו ובב' והיה ג"ד אם כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' וגם כן הנה ב' הוכה בכמוהו והיה ה' והוכה בא' והיה ד'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה' ויחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' אם כן יחס ג' אל ד' כיחס ד' אל ה' אם כן ג'ד'ה' נמשכים על יחס א' אל ב' וגם כן הנה א' הוכה בג' והיה ז' והוכה בד' והיה ח'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כא</span> כאשר היו שעורים מה ושעורים אחרים על מספרם כל שנים מהראשון על יחס שנים מהאחר ונתבלבל היחס הנה הראשון מן הראשון ביחס השווי אם היה יותר גדול מן האחרון הנה הראשון מן האחר יותר גדול מן האחרון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה א' הוכה בשני מספרי ג"ד והיו מזה ז"ח . אם כן יחס ג' אל ד' כיחס ז' אל ח' ויחס ג' אל ד' כיחס א' אל ב'
+
|style="text-align:right;"|ואם היה שוה לו הנה הוא שוה לו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ח'
+
|style="text-align:right;"|ואם היה יותר קטן ממנו הנה הוא יותר קטן ממנו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א' הוכה בד' והיה ח' והוכה בה' והיה ט'
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א'ב'ג' על מספר שעורי ד'ה'ו' וכל שנים מן הראשון על יחס שנים מן האחר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ד' אל ה' כיחס ח' אל ט' ויחס ד' אל ה' כיחס א' אל ב'
+
|style="text-align:right;"|והיחס מתבלבל יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו' ויחס ב' אל ג' כיחס ד' אל ה'
−
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט' . ויחס א' אל ב' כיחס ז' אל ח' אם כן יחס ז' אל ח'
 
−
כיחס ח' אל ט' אם כן ז'ח'ט' נמשכים על יחס א' אל ב' וכבר הוכו א"ב ב"ה והיו מזה
 
−
ט"ל אם כן יחס א' אל ב' כיחס ט' אל ל' אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ח' וח' אל ט'
 
−
וט' אל ל' אם כן ז"ח ט"ל נמשכים על יחס אחד והוא יחס א' אל ב' והם ארבעה מספרים
 
−
ונשלם באורו ..     והתבאר שהם מעטי המספרים על יחסם כי כל אחד מן א"ב
 
−
ראשון אצל האחר וכבר הוכה א' בכמוהו והיה ג' והוכה בג' והיה ז' וכבר
 
−
הוכה ב' בכמוהו והיה ה' . והוכה בה' והיה ל' . אם כן כל אחד מן ג"ה ראשון אצל האחר
 
−
וכל אחד מן ז"ל ראשון אצל האחר . ואם כן היו מספרים נמשכים על יחס אחד כמה
 
−
שיהיו המספרים והיתה כל אחת משתי הקצוות ראשון אצל האחר אם כן הם קטני
 
−
המספרים על יחסם . אם כן מספרי ז"ח ט"ל קטני המספרים . ומ'ש'ל' .. ובכאן
 
−
התבאר כי הם כאשר היו שלשה מספרים קטנים מה שיהיו על יחס אחד הנה
 
−
שתי הקצוות שני מרובעים א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז' . וכאשר נמשכו ארבעה
 
−
מספרים קטנים מה שיהיו על יחס אחד הנה השתי קצוות מעוקבים ..
 
−
כאשר היו קטני מספרים נמשכים על יחס אחד כמה שיהיו הנה כל אחד משתי ג'
 
−
הקצוות ראשון אצל האחר . המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד הם קטני
 
−
מספרים נמשכים על יחסם הנה אומר כי כל אחד משתי הקצוות ראשון אצל האחר..
 
−
המופת אנחנו נקח קטן שני מספרים על יחס א"ב ג"ד והם ה"ז ונקח שלשה
 
−
מספרים הם קטני מספרים נמשכים על יחס והם ח'ט'כ' . וכן לא יסור נקח מן המספרים
 
−
הנמשכים על יחס א"בג"ד עד שיהיה על מניין א"בג"ד ויהיה ל'מ'נ'ס' נמשכים והם על יחס
 
−
א'ב'ג'ד' . וא"בג"ד הם קטני המספרים על יחסם . ומנין ל'מ'נ'ס' כמנין א'ב'ג'ד' אם כן כל
 
−
אחד מן ל'מ'נ'ס' שוה לבן גילו מן א"בג"ד אם כן שניהם ל' כמו א' וס' כמו ד' . וה"ז שני
 
−
מספרים היותר קטנים על יחסם אם כן שניהם נבדלים . וכבר הוכה ה' בכמוהו והיה
 
−
ח' והוכה ה' בח' והיה ל' והוכה ז' בכמוהו והיה כ' אם כן ח"כ נבדלים וכן ל"ס נבדלים
 
−
ול' כמו א' וס' כמו ד' אם כן א"ד נבדלים . וזה מ'ש'ל' .. נרצה לבאר איך נמצא ד'
 
−
קטני מספרים נמשכים על יחסם כמו יחסים מונחים ויהיו היחסי' המונחים
 
−
הם יחס א' אל וג' אל ד' וה' אל ז' ויהיו א"ב קטני שני מספרים על יחס שניהם וכן
 
−
ג"ד וה"ז . ונרצה למצא קטני מספרים נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז' . הנה נקח
 
−
קטן מספר ימנוהו ב"ג והוא ט' ונשים א' ימנה ח' בשעור מה שימנה ב"ט וד' ימנה
 
−
כ' בשעור מה שימנה ג"ט ונקח קטן מספר ימנוהו ה"ב והוא ל' . ויהיה ז' ימנה מ' בשעור מה
 
−
שימנה ה"ל . וח"ט ימנו נ' וס' בשעור מה שימנה כ"ל והנה א' ימנה ח' בשעור מה שימנה
 
−
כ"ל והנה א' ימנה ח' בשעור מה שימנה ב"ט . אם כן יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט' וח'
 
−
ימנה נ' בשעור מה שימנה ט"ס . אם כן יחס ח' אל ט' כיחס נ' אל ס' . וכבר היה יחס
 
−
א' אל ב' כיחס ח' אל ט' . אם כן יחס א' אל ב' כיחס נ' אל ס' . וכן יחס ג' אל ד' כיחס ס'
 
−
אל ל' . וה' ימנה ל' בשעור מה שימנה ז' מ' אם כן יחס ה' אל ז' כיחס ל' אל מ' אם כן
 
−
מספר נ"ס ל"מ נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז' ואומר שהם קטני מספרים
 
−
נמשכים על אלו הששה . ואם לא יהיו אלו נאמר שיהיו ע"פ צ"ק קטני המספרים על אלו
 
−
הששה על היחס הזה הנה אם כן הם יותר קטנים מן נ"ס ל"מ . אם כן יחס א' אל ב' כיחס
 
−
ע' אל פ' . וא"ב שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם אם כן ב' ימנה פ' וכן ג'
 
−
ימנה פ' וקטן מספר ימנוהו ב' וג' הוא ט' אם כן ט' ימנה פ' ויחס ג' אל ד' כיחס פ' אל צ'
 
−
וכיחס ט' אל כ' אם כן יחס ט' אל כ' כיחס פ' אל צ' . וט' ימנה פ' אם כן כ' ימנה צ' . ויחס
 
−
ה' אל ז' כיחס צ' אל ק' וה"ז שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם . אם כן ה' ימנה
 
−
צ' . וכבר היה כ' ימנה צ' אם כן ה' וכ' ימנו צ' . אם כן קטן מספר שימנוהו ה' וכ' והוא ל'
 
−
ימנה צ' אם כן ל' הגדול ימנה צ' הקטן זה שקר . אם כן נ"ס ל"מ מעטי מספר נמשכים
 
−
על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ט' ונשלם באורו .. ולו פנים אחרים והוא זה
 
−
אנחנו נקח קטן מספר ימנוהו ב"ג והוא ט' ונשים א' ימנה ח' בשעור
 
−
מה שימנה ב"ט ויהיה ד' ימנה כ' בשעור מה שימנה ג"ט זה אם שיהיה שימנה כ' אם
 
−
שיהיה שלא ימנהו . ואם היה שימנה כ' הנה יהיה ז' ימנה ל' בשעור מה שימנה ה' כ' אם
 
−
כן א' ימנה ח' בשעור מה שימנה ב"ט אם כן יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט' . וגם כן הנה ג'
 
−
ימנה ט' בשעור מה שימנה ד' כ' אם כן יחס ג' אל ד' כיחס ט' אל כ' . וגם כן הנה ה'
 
−
ימנה כ' בשעור מה שימנה ז"ל . אם כן יחס ה' אל ז' כיחס כ' אל ל' . הנה כבר התבאר
 
−
כי יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט' ויחס ג' אל ד' כיחס ט' אל כ' ויחס ה' אל ז' כיחס כ' אל
 
−
ל' אם כן מספרי ח"ט כ"ל נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז' הנה אומר כי הם
 
−
קטני מספרים נמשכים על היחס הזה קטנים מהם והם מספרי מ'נ'ס'ע' . אם כן יחס
 
−
א' אל ב' כיחס מ' אל נ' . וא"ב שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם אם כן
 
−
ב' ימנה נ' וג' ימנה גם כן נ' וקטן מספר שימנוהו ב' וג' הוא ימנה נ' . וקטן מספר
 
−
שימנוהו ב' ג' הוא ט' אם כן ט' הגדול ימנה נ' הקטן זה שקר אם כן אין מספרים
 
−
נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז' יותר קטנים ממספרי ח"ט כ"ל . אם כן
 
−
מספרי ח"ט כ"ל הם קטני המספרים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז' . ואם היה
 
−
ה' לא ימנה כ' נקח קטן מספר שימנוהו ה' וכ' והוא ס' ויהיה ח' ימנה מ' וט' ימנה
 
−
נ' כשעור מה שימנה כ"ס . ויהיה ז' ימנה ע' בשעור מה שימנה ה"ס אם כן ח' ימנה
 
−
מ' בשעור מה שימנה ט"נ . אם כן יחס ח' אל ט' כיחס מ' אל נ' ויחס ח' אל ט' כיחס
 
−
א' אל ב' אם כן יחס מ' אל נ' כיחס א' אל ב' . וכן יחס ג' אל ד' כיחס נ' אל ס' . וגם כן
 
−
הנה ה' ימנה ס' בשעור מה שימנה ז"ע אם כן יחס ה' אל ז' כיחס ס' אל ע' . וכבר
 
−
התבאר כי יחס א' אל ב' כיחס מ' אל נ' ושיחס ג' אל ד' כיחס נ' אל ס' אם כן מספרי
 
−
מ'נ'ס'ע' נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז' . ואומר כי הם קטני המספרים
 
−
על היחס הזה קטנים מהם והם מספרי פ"ק ת"צ . אם כן יחס א' אל ב' כיחס פ' אל ק'
 
−
וא"ב שני מספרים היותר קטנים על יחסם אם כן ב' ימנה ק' אם כן ב' וג' ימנו ק' וקטן
 
−
מספר שימנוהו גם כן הנה הוא ימנה א' והוא ט' אם כן ט' ימנה ק' ויחס ט' אל ק' כיחס
 
−
כ' אל התמורה . אם כן כ' ימנה ת' וה' ימנה כ' אם כן ה' וכ' ימנו ת' וקטן מספר
 
−
שימנוהו והוא ס' ימנה ת' אם כן ס' הגדול ימנה ת' הקטן זה שקר . אם כן אין מספרים
 
−
נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז' קטנים ממספרי מ'נ'ס'ע' אם כן מספרי
 
−
מ'נ'ס'ע' הם קטני מספרים נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז' . ומ'ש'ל' ..
 
−
כל שני מספרים משוטחים הנה יחס אחד משניהם אל האחר מחובר משני ה'
 
−
יחסי צלעות שניהם . ויהיו מספרי א"ב שני שטחים הנה אומר כי יחס
 
−
א' אל ב' מחובר משני יחסי צלעות שניהם . ויהיו שתי צלעות א' שני מספרי ג"ד
 
−
ושתי צלעות ב' שני מספרי ה"ז . ושני היחסים הם יחס ג' אל ה' וד' אל ז' . ונקח קטני
 
−
מספרים נמשכים על שני יחסי ג' אל ה' וד' אל ז' כיחס ט' אל כ' הנה יחס ג' אל ה' שנוי
 
−
ביחס ד' אל ז' הוא כיחס ח' אל ט' שנוי ביחס ט' אל כ' . אבל יחס ח' אל ט"כ שנוי ביחס ט'
 
−
אל כ' הוא יחס ח' אל כ' . אם כן יחס ח' אל כ' מחובר משני יחסי הצלעות הנה אומר כי
 
−
יחס ח' אל כ' הוא יחס א' אל ב' . המופת שנכה ד' בה' ויהיה ל' . אם כן ד' הוכה
 
−
בה' והיה ל' והוכה בג' והיה א' אם כן יחס ג' אל ה' כיחס א' אל ל' . אבל
 
−
יחס ג' אל ה' כיחס ח' אל ט' . אם כן יחס א' אל ל' הוא כיחס ה' אל ט' . וגם כן הנה ה' הוכה בד'
 
−
והיה ל' והוכה בז' והיה ב' אם כן יחס ד' אל ז' כיחס ל' אל ב' . ויחס ד' אל ז' כיחס ט' אל כ'
 
−
אם כן יחס ל' אל ב' כיחס ט' אל כ' . וכבר התבאר כי יחס א' אל ל' כיחס ח' אל ט'
 
−
הנה ביחס השוים יהיה יחס א' אל ב' כיחס ח' אל כ' . אם כן יחס א' אל ב' כמחובר
 
−
משני יחסי צלעות שניהם . וזה מ'ש'ל' .. איזה מספרים שיהיו ו'
 
−
נמשכים על יחס אחד . והראשון מהם לא ימנה השני
 
−
הנה אין מהם מספר ימנה האחר . נאמר שיהיו מספרי א"בג'ד'ה' נמשכים על יחס
 
−
אחד . ויהיה א' לא ימנה ב' הנה אומר שאין מהם מספר ימנה אחר . ואולם שאין
 
−
מהם מספר ימנה השני לו הנה זה יתבאר מפני כי יחס כל אחד מהם אל השני לו
 
−
הוא יחס א' אל ב' הנה אומר שהוא לא ימנה זולת השני לו גם כן . ואם לא יהיה כן
 
−
נאמר שימנה ג"ה ונמצא קטן מספרים על יחס ג'ד'ה' ומניינם והם ז'ח'ט' . הנה
 
−
ז"ט שתי הקצוות נבדלים ויחס ז' אל ח' הוא יחס ג' אל ד' אבל ג' לא ימנה ד' אם כן ז' לא
 
−
ימנה ח' אם כן אין ז' אחד . כי האחד ימנה כל מספר ומפני כי מספרי ז'ח'ט' . על יחס
 
−
ג'ד'ה' ועל מניינם היו ביחס השוים יחס ג' אל ה' כיחס ז' אל ט' אבל ג' ימנה ה' אם
 
−
כן ז' ימנה ט' והוא ימנה עצמו הנה ז' אם כן ימנה מספרי ז"ט הנבדלים זה שקר
 
−
אם כן אין ג' ימנה ה' . ובכמו זה יתבאר כי אין מהם מספר ימנה אחר . ומ'ש'ל' ..
 
−
ויש לו פנים אחרים מן המופת והוא שנעשה כמו שאמרנו במשל ואומר
 
−
כי ג' לא ימנה ה' .. המופת כי מספרי ג'ד'ה' אם היו קטני
 
−
המספרים על יחסם הנה ג' לא ימנה ה' כי שניהם נבדלים . ואם לא
 
−
יהיו קטן המספרים על יחסם נקח קטן המספרים על יחסם ומניינם והם ז'ח'ט'
 
−
ונבאר כמו שבארנו קודם כי ז' אינו אחד ויהיה ביחס השוים יחס ז' אל ט' כיחס
 
−
ג' אל ה' אבל ז' לא ימנה ט' מפני כי שניהם נבדלים כי שניהם שתי הקצוות מקטן
 
−
מספרים על יחסם אם כן ג' לא ימנה ה' וכן יתבאר בשני המספרים שאין בהם אחד
 
−
ימנה אחר . וזה מה שרצינו לבאר .. כאשר נמשכו אי זה מספרים ז'
 
−
שיהיו על יחס אחד כמה שיהיו והיה הראשון ימנה האחרון
 
−
הנה הוא גם כן ימנה השני . ונאמר שיהיו ^ א' ימנה ד' הנה אומר שהוא גם כן ימנה
 
−
ב' . וזה כי א' והוא הראשון אם לא יהיה מונה ב' השני לו הנה אין ממספרי א"בג"ד
 
−
מספר ימנה אחר . אבל א' ימנה ד' הנה הוא אם כן ימנה ב' . ומ'ש'ל' ..
 
−
כל שני מספרים יפלו בין שניהם מספרים ויהיו כלם על יחס אחד הנה ח'
 
−
יפול בין כל שני מספרים על יחס שניהם מן המספרים עד שישובו
 
−
כלם נמשכים על יחס כמו שנפלו בין שניהם . ונאמר שיפולו בין שני מספרי א"ב
 
−
שני מספרי ג"ד הנה יהיו מספרי א"ג ד"ב על יחס אחד ויהיה יחס א' אל ב' כיחס
 
−
ה' אל ז' הנה אומר כי יפולו בין ה"ז מן המספרים עד שיהיו כלם נמשכים על יחס
 
−
אחד כמו מספר מה שנפל בין א"ב והוא ג"ד ..     המופת אנחנו נקח קטן
 
−
מספרים על יחס א"ג ד"ב ומניינם ח"ט כ"ל על מנין א"ג ד"ב ויחסם
 
−
אם כן יחס ח' אל ל' כיחס א' אל ב' ויחס א' אל ב' כיחס ה' אל ז' אם כן יחס ח' אל
 
−
ל' כיחס ה' אל ז' וח"ל נבדלים אם כן שניהם שני מספרים היותר קטנים על יחס
 
−
שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשוה אם כן ח' ימנה ה' בשעור
 
−
מה שימנה ל"ז ויהיה ט' ימנה מ' וכ' ימנה נ' בשעור מה שימנה ח' ה' אם כן כל אחד
 
−
ממספרי ח"ט כ"ל ימנה בן גילו ממספרי ה"מ נ"ז בשוה . אם כן מספרי ח"ט כ"ל על
 
−
יחס מספרי ה'מ'נ'ז' וח"ט כ"ל על יחס א"ג ד"ב . אם כן א"ג ד"ב על יחס ה'מ'נ'ז' ומניינם
 
−
אם כן מנין מה שנפל בין ה"ז מן המספרים אשר שבו יחד נמשכים על יחסם
 
−
כמנין מה שנפל בין א"ב ומ'ש'ל' .. כל שני מספרים נבדלים יפלו בין ט'
 
−
שניהם מספרים ויהיו כלם נמשכים על יחס אחד הנה מנין מה
 
−
שיפול בין שניהם מהמספרים כמו מנין מה שיפול בין כל אחד משניהם
 
−
ובין האחד מן המספרים עד שישובו כלם נמשכים על יחס אחד . נאמר שיהיו
 
−
שני מספרי א"ב נבדלים ויפולו בין שניהם שני מספרי ג"ד וישובו מספרי א"ג ד"ב
 
−
נמשכים על יחס אחד הנה אומר כי מניין מה שיפול בין א' ובין האחד ובין ב' ובין
 
−
האחד מן המספרים עד שישובו כלם נמשכים על יחס ..      המופת אנחנו
 
−
נקח שני מספרים היותר קטנים על יחס א"ג ד"ב והם ה"ז ושלשה
 
−
מספרים היותר קטנים על היחס הזה והם ח'ט'כ' לא נסור להוסיף אחד אחד עד
 
−
שנקח קטני מספרים על יחס א"ג ד"ב ומניינם והם ל'מ'נ'ס' אם כן מספרי ל'מ'נ'ס'
 
−
קטני מספרים נמשכים על יחס א"ג ד"ב ושתי הקצוות ממספרי א"ג ד"ב הנמשכים
 
−
על יחס נבדלים אם כן א"ג ד"ב קטני המספרים על יחסם אם כן כל אחד מן
 
−
ל'מ'נ'ס' שוה לגילו מן א"ג ד"ב . וה' הוכה בכמוהו ושב ח' אם כן ה' ימנה ח' בשעור
 
−
אחדי ה' . והאחד ימנה אחדיו אם כן האחד ימנה ה' בשעור מה שימנה ה' ח' . אם כן יחס
 
−
האחד אל ה' כיחס ה' אל ח' . וגם כן הנה ה' הוכה בח' והיה ל' אם כן ח' ימנה ל' בשעור
 
−
אחדי ה' אם כן האחד ימנה ה' בשעור מה שימנה ח' ל' אם כן יחס האחד אל ה' כיחס
 
−
ח' אל ל' . וכבר התבאר כי יחס האחד אל ה' כיחס ה' אל ח' ויחס ח' אל א' . וכן התבאר
 
−
כי יחס האחד אל ז' כיחס ז' אל כ' . ויחס כ' אל ב' . אם כן מנין מה שנפל בין א' וב' מן
 
−
המספרים והוא ג"ד כמנין מה שנפל בין א' ובין האחד מן המספרים והוא ז"כ ושבו
 
−
כלם נמשכים על יחס אחד . ומ'ש'ל' .. כל שני מספרים בין כל אחד משניהם י'
 
−
ובין האחד מהמספרים כמה שיהיו הנה יהיו כלם נמשכים על יחס אחד
 
−
הנה יפול בין שניהם מן המספרים עד שיהיו כלם נמשכים על יחס אחד כמו מנין מה
 
−
שנפל בין כל אחד משניהם ובין האחד מן המספרים אשר יהיו בהם הכל נמשכים על יחס
 
−
אחד . ונניח שיהיה האחד ל' ויפולו בין א' ובין ל' האחד שני מספרי ג"ד . ובין מספר ב'
 
−
ובין ל' האחד שני מספרי ה"ז וישובו א"ד ג"ל נמשכים על יחס אחד וכן ב"ז ה"ל נמשכים
 
−
על יחס אחד . הנה אומר שיפול בין שני מספרי א"ב מן המספרים עד שישובו כלם נמשכים
 
−
על יחס במנין מה שנפל בין כל אחד משני מספרי א"ב ובין האחד מן המספרים עד
 
−
שיהיו כלם נמשכים על יחס אחד והם ג"ד ה"ז ..    המופת כי יחס ל' והוא האחד
 
−
אל ג' כיחס ג' אל ד' אם כן האחד ימנה ג' בשעור מה שימנה ג"ד והאחד
 
−
ימנה ג' בשעור אחדי ג' . וג' הוכה בדומה לו והיה ד' וגם כן הנה יחס האחד אל ג' הוא
 
−
יחס ד' אל א' . אם כן האחד ימנה ג' בשעור מה שימנה ד"א . והאחד ימנה ג' בשעור
 
−
אחדי ג' וג' הוכה בד' והיה א' . וכן ה' הוכה בכמוהו ושב ז' והוכה בז' ושב ב' וגם כן הנה
 
−
נכה ג' בה' וישוב ח' ויוכה בח' וישוב ט' וה' בח' וישוב כ' . ויתבאר כמו שבאררנו קודם
 
−
כי ד'ח'ז' מתיחסים ויחסם יחס ג' אל ה' ושא"ט כ"ב נמשכים אל יחס ג' אל ה' אם כן מנין
 
−
מה שנפל בין שני מספרי א"ב מן המספרים והוא ט"כ עד כי שבו כלם נמשכים על יחס
 
−
אחד כמנין מה שנפל בין כל אחד משניהם ובין האחד מן המספרים . ומ'ש'ל' ..
 
−
כל שני מספרים מרובעים הנה יפול בין שניהם מספר מתיחס לשניהם ויחס י"א
 
−
המרובע אל המרובע הוא יחס צלעו אל צלעו שנוי בכפל . נניח שיהיו
 
−
שני מספרים מרובעים והם א"ב ויהיה צלע א' מספר ג' וצלע ב' מספר ד' הנה אומר כי
 
−
בין א' ובין ב' מספר מתיחס לשניהם ושיחס א' אל ב' הוא יחס ג' אל ד' שנוי בכפל
 
−
ויהיה המקובץ מהכאת ג' בד' מספר ה' הנה מפני כי צלע המרובע הוא מספר ג'
 
−
יהיה המקובץ מהכאת ג' בכמוהו מספר א' . וכן יהיה המקובץ מהכאת ד' בכמוהו
 
−
מספר ב' . הנה מפני כי ג' הוכה בשני מספרים והם ג"ד והיו מזה שני מספרי א"ה
 
−
יהיה יחס ג' אל ד' כיחס א' אל ה' . וכמו זה גם כן התבאר כי יחס ג' אל ד' כיחס ה' אל
 
−
ב' . אם כן יחס א' אל ה' כיחס ה' אל ב' אם כן בין שני מרובעי מספר ה' מתיחס לשניהם
 
−
מפני כי א'ה'ב' השלשה מתיחסים יהיה יחס א' אל ב' כיחס א' אל ה' שנוי בכפל .
 
−
אבל א' אל ה' כיחס ג' אל ד' . אם כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' שנוי בכפל . ומ'ש'ל' ..
 
−
כל שני מספרים מעוקבים הנה יפול בין שניהם שני מספרים ויהיה י"ב
 
−
הארבעה נמשכים מתיחסים על יחס אחד ויחס המעוקב אל
 
−
המעוקב הוא ישם צלעו אל צלעו משולשת . ונניח שיהיו שני מספרים מעוקבים
 
−
והם א"ב ויהיה צלע א' המעוקב מספר ג' וצלע ב' המעוקב מספר ד' הנה אומר כי
 
−
בין א' וב' שני מספרים ישיבו הארבעה נמשכים על יחס אחד ושיחס א' אל ב'
 
−
הוא יחס ג' אל ד' משולש בכפל . ויהיה המקובץ מהכאת ג' בכמוהו מספר ה' ומהכאת
 
−
ג' בד' ז' . ומהכאת ד' בכמוהו ח' . ויהיה המקובץ מהכאת ג' בז' ט' . ומהכאת ד' בז' כ'
 
−
הנה מפני כי א' מעוקב וצלעו ג' ומרובע ג' הוא ה' יהיה המקובץ מהכאת ג' בה' מעוקב
 
−
א' . וכן גם כן יהיה המקובץ מן ד' בח' מעוקב ב' . ומפני כי ג' הוכה בשני מספרי ג"ד
 
−
והיו מזה שני מספרי ה"ז יהיה יחס ג' אל ד' הוא יחס ה' אל ז' ויהיה גם כן יחס ג' אל
 
−
ד' הוא יחס ז' אל ח' . ומפני כי ג' הוכה גם כן ב'ה'ז' והיה מזה א"ט יהיה יחס ה' אל
 
−
ז' הוא יחס א' אל ט' . אבל כי יחס ה' אל ז' הוא יחס ג' אל ד' אם כן יחס א' אל ט'
 
−
הוא יחס ג' אל ד' . ומפני כי ד' הוכה בז' וח' והיה מזה כ' וב' יהיה ז' אל ח' הוא יחס כ' אל
 
−
ב' . ויחס ז' אל ח' הוא יחס ג' אל ד' אם כן יחס כ' אל ב' הוא יחס ג' אל ד' . ויחס ג' אל ד'
 
−
הוא יחס א' אל ט' וט' אל כ' וכ' אל ב' . אם כן יחס א' אל ט' הוא יחס ט' אל כ' וכ' אל ב'
 
−
אם כן בין שני מספרי א"ב המעוקבים שני מספר ט"כ והארבעה נמשכים על יחס
 
−
אחד . ומפני כי מספרי א"ט כ"ב הארבעה נמשכים על יחס אחד יהיה יחס א' אל ב'
 
−
הוא יחס א' אל ט' משולש בכפל . אבל יחס א' אל ט' הוא יחס ג' אל ד' . אם כן יחס א' אל
 
−
ב' הוא יחס ג' אל ד' משולש בכפל . וזה מה שרצינו לבאר ..
 
−
איזה מספרים שיהיו על יחס אחד והוכה כל אחד בכמוהו הנה מרובעיהם י"ג
 
−
גם נמשכים על יחס אחד . וכן אם הוכה כל מספר מהם
 
−
במרובעו הנה מעוקביהם גם כן נמשכים על יחס אחד . וכן לא יסורו הקצוות
 
−
והמספרים האחרונים כאשר הוכו בהם על הדרך הזה יהיו נמשכים על יחס אחד
 
−
ונניח שיהיו מספרים נמשכים על יחס אחד והם מספרי א'ב'ג' ונכה כל אחד
 
−
משניהם בדומה לו ויהיו מרובעיהם ד' ה"ז ויוכה כל אחד משניהם במרובעו
 
−
וישובו מעוקביהם ח'ט'ב' הנה אומר כי ד'ה'ז' מתיחסים . ושח'ט'כ' מתיחסים והיחס הוא
 
−
הוא א'ב'ג' . ויוכה א' בב' ויהיה ל' ובל' וה' ויהיה מזה נ' וס' ויוכה ב' בג' ויהיה מ' ובמ' וז'
 
−
ויהיה מזה ע' ופ' . הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיו מזה ד"ל . אם כן א' אל ב' כיחס ד' אל
 
−
ל' . וגם כן ב' הנה הוכה בא' והיה ל' ובדומה לו והיה ה' . אם כן יחס א' אל ב' כיחס ל' אל ה'
 
−
וכבר היה יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ל' אם כן יחס ד' אל ל' כיחס ל' אל ה' אם כן ד'ל"ה
 
−
מתיחסים ויחסם הוא יחס א' אל ב' אבל יחס א' אל ב' הוא יחס ב' אל ג' אם כן יחס
 
−
ד'ל"ה הוא יחס ב' אל ג' . וגם כן הנה ב' הוכה בדומה לו והיה ה' ובג' והיה מ' אם כן יחס
 
−
ב' אל ג' הוא יחס ה' אל מ' וג' הוכה בב' והיה מ' והוכה בדומה לו והיה ז' . אם כן יחס ב'
 
−
אל ג' הוא יחס מ' אל ז' אם כן יחס ה' אל מ' הוא יחס מ' אל ז' . אם כן ה' ומ"ז מתיחסים
 
−
הנה יחסם הוא יחס ב' אל ג' . וכבר היו מספרי ד'ל"ה אלו יחסם כמו יחס ב' אל ג' אם כן ד'ל"ה
 
−
מתיחסים וה'מ'ז' מתיחסים והיחס אחד והמנין אחד אם כן ביחס השוים יהיה יחס ד'
 
−
אל ה' הוא יחס ה' אל ז' וד'ה'ז' מתיחסים והם שלשה מספרים הנה יחסם אל הראשון
 
−
וגם כן הנה א' הוכה בד' והיה ח' ובל' והיה נ' אם כן יחס ד' אל ל' הוא יחס ח' אל נ' ויחס
 
−
ד' אל ל' הוא יחס א' אל ב' אם כן יחס ח' אל נ' הוא יחס א' אל ב' . וכן יחס א' אל ב' הוא
 
−
יחס נ' אל ס' . ויחס א' אל ב' הוא יחס ח' אל נ' . אם כן ח'נ'ס' מתיחסים . וא' וב' הוכו בה'
 
−
והיה מזה ס' וט' אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס נ' אל ס' . וס' אל ט' אם כן מספרי ח'נ'ס'ט'
 
−
מתיחסים נמשכים על יחס א' אל ב' . וכן ט"עפ"ב נמשכים על יחס ב' אל ג' ושני
 
−
היחסים אחד . אם כן ח'נ'ס'ט' נמשכים על יחס ט"ע פ"כ והמנין אחד . אם כן יחס
 
−
ח' אל ט' כיחס ט' אל כ' אם כן ח'ט'כ' גם כן נמשכים על יחס אחד וזה הוא מה
 
−
אשר רצינו לבארו
 
−
כל שני מספרים מרובעים ימנה אחד משניהם האחר הנה צלע המונה י"ד
 
−
משניהם ימנה צלע המנוי . ואם היה מספר ימנה מספר הנה מרובע
 
−
המונה ימנה מרובע המנוי . נניח שיהיו שני המספרים מרובעים והם א"ב ויהיה
 
−
צלע א' מספר ג' וצלע ב' מספר ד' ויהיה א' ימנה ב' הנה אומר כי ג' ימנה ד' ..
 
−
המופת אנחנו נכה ג' בד' ויהיה ה' וא' מרובע ג' וב' מרובע ד' אם כן ה'
 
−
הוא המספר אשר בין שניהם וא'ה'ב' מתיחסים ויחסם הוא יחס ג' אל
 
−
ד' וא' הראשון ימנה ב' האחרון אם כן הוא ימנה מספר ה' ויחס א' אל ה' הוא יחס ג' אל
 
−
ד' וא' ימנה ה' אם כן ג' ימנה ד' ואם יהיה ג' ימנה ד' הנה אומר כי א' ימנה ב' והתבאר
 
−
כי א'ה'ב' מתיחסים ויחסם יחס ג' אל ד' אם כן יחס ג' אל ד' כיחס א' אל ה' וג' ימנה
 
−
ד' אם כן א' ימנה ה' וה' השני הוא ימנה הוא ימנה ב' האחר . וזה מה שרצינו לבאר ..
 
−
ובכאן התבאר כי אם לא ימנה מרובע מרובע לא ימנה צלעו צלעו . ואם לא
 
−
ימנה הצלע הצלע לא ימנה המרובע המרובע ..  כל מספר מעוקב ט"ו
 
−
ימנה מספר מעוקב הנה צלע המעוקב המונה ימנה צלע המעוקב
 
−
המנוי . ואם היה מספר ימנה מספר הנה מעוקב המונה ימנה מעוקב המנוי . ויהיו
 
−
שני מספרים מעוקבים והם א"ב ושתי צלעותיהם ג"ד ויהיה א' ימנה ב' הנה אומר כי
 
−
ג' ימנה ד' .. המופת שנכה ג' בדומה לו ויהיה ה' ונכה ד' בדומה לו ויהיה ז' הנה
 
−
ג' כאשר הוכה בה' היה א' וד' כאשר הוכה בז' היה ב' . היה נכה ג' בד' ויהיה
 
−
ח' ונכהו גם כן בח' וז' ויהיו ט' וכ' הנה מספרי ה'ח'ז' מתיחסים ויחסם הוא יחס ג' אל
 
−
ד' וג' הוכה בה' והיה א' והוכה בח' והיה ט' אם כן יחס ה' אל ח' הוא יחס א' אל ט' ויחס ה'
 
−
אל ח' כיחס ג' אל ד' אם כן יחס א' אל ט' כיחס ג' אל ד' . וכן יהיה יחס ט' אל כ' הוא
 
−
יחס ג' אל ד' . ויחס ג' אל ד' הוא יחס א' אל ט' . אם כן יחס א' אל ט' הוא יחס ט' אל כ'
 
−
וג"ד הוכו בז' והיה מזה כ"ב אם כן יחס ג' אל ד' כיחס כ' אל ב' . ויחס ג' אל ד' הוא יחס
 
−
א' אל ט' וט' אל כ' אם כן א"ט כ"ב נמשכים על יחס ג' אל ד' . וא' הראשון ימנה ב' האחרון
 
−
אם כן הוא ימנה ט' השני ויחס א' אל ט' כיחס ג' אל ד' וא' ימנה ט' אם כן ג' ימנה ד' .
 
−
וגם כן יהיה ג' ימנה ד' הנה אומר כי א' ימנה ב' . וכן יתבאר כמו שבארנו כי א"ט כ"ב
 
−
נמשכים על יחס ג' אל ד' ויהיה א' הראשון ימנה ט' השני ויתחייב שימנה ב' . ומ'ש'ל' ..
 
−
ובכאן כי כאשר לא ימנה מעוקב מעוקב לא ימנה צלעו צלעו . וכאשר לא ימנה
 
−
הצלע הצלע לא ימנה המעוקב המעוקב .. בין כל שני י"ו
 
−
מספרים משוטחים מתדמים מספר מתיחס לשניהם ויחס
 
−
השטח אל השטח הוא יחס צלעו אל צלעו שנוי . ויהיו שני מספרים משוטחים והם
 
−
א"ב . ויהיו שני צלעי א' שני מספרי ג"ד ושני צלעי ב' שני מספרי ה"ז הנה אומר כי בין
 
−
שני מספרי א"ב מספר מתיחס לשניהם ויחס א' אל ב' כיחס צלע א' אל צלע ב' אשר
 
−
הוא גילו שנוי .. המופת כי א"ב שני שטחים מתדמים אם כן צלעותיהם
 
−
מתיחסות ושני צלעי א' ג"ד . ושני צלעי ב' ה"ז הנה יהיה יחס ג' אל ה' כיחס ד' אל ז'
 
−
ונכה ד' בה' ויהיה מזה ח' אבל הכאת ד' בג' הוא מספר א' וד' הוכה בשני מספרי ג"ה
 
−
והיה מזה א"ח . אם כן יחס ג' אל ה' כיחס א' אל ח' . ויחס ג' אל ה' כיחס ד' אל ז' אם כן
 
−
יחס ד' אל ז' כיחס א' אל ח' ^ שיחס ד' אל ז' כיחס א' אל ח' אם כן יחס א' אל ח' הוא יחס
 
−
ח' אל ב' אם כן א'ח'ב' מתיחסים הנה כבר נפל בין א' וב' מספר והוא ח' והיו מתיחסים
 
−
הנה אומר כי יחס א' אל ב' הוא יחס צלעו אל צלעו אשר הוא גילו שנוי . הנה מפני
 
−
כי יחס א' אל ח' כיחס ח' אל ב' . הנה יחס א' אל ב' הוא יחס א' אל ח' שנוי ויחס א' אל
 
−
ח' הוא יחס הצלע אל הצלע אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס צלעו אל צלעו שנוי . ומ'ש'ל' ..
 
−
כל שני מספרים מוגשמים מתדמים הנה יפול בין שניהם שני מספרים י"ז
 
−
וימשכו מתיחסים ויחס אחד משני המוגשמים אל האחר הוא יחס
 
−
צלעו אל צלעו שהוא גילו משולש .     המופת כי א"ב שני מוגשמים מתדמים
 
−
וצלעי איהם ג'ד'ה' וצלעי ב' הם ז'ח'ט' ויחס ג' אל ז' כיחס ד' אל ח' וכיחס ה'
 
−
אל ט' וג' כאשר הוכה בד' היה כ' וז' כאשר הוכה בח' היה ל' אם כן כ"ל שנים משוטחים
 
−
מתדמים מפני כי צלעות שניהם מתיחסות הנה יפול בין כ"ל מספר וימשך עם
 
−
שניהם על יחס אחד ויהיה המספר הזה מ' וה' כאשר הוכה במ' היה נ' וט' כאשר
 
−
הוכה במ' היה ס' . ומשוטח ג' בד' אשר הוא ב' כאשר הוכה בה' היה א' אבל ה' כאשר
 
−
הוכה גם כן במ' היה נ' אם כן יחס א' אל נ' כיחס כ' אל מ' . ויחס כ' אל מ' כיחס מ'
 
−
אל ל' . ויחס מ' אל ל' כיחס ג' אל ז' וכיחס ד' אל ח' . וכיחס ה' אל ט' . והוא יחס
 
−
הצלע אל הצלע שהוא גילו . וכן יחס א' אל נ' . וכן כל אחד מן ה"ט הוכה במ' והיה
 
−
נ"ס אם כן יחס ה' אל ט' כיחס נ' אל ס' ויחס ה' אל ט' וג' אל ז' וד' אל ח' הוא יחס
 
−
הצלע לצלע שהוא גילו . ויחס הצלע אל הצלע כיחס א' אל נ' אם כן יחס א' אל
 
−
נ' כיחס נ' אל ס' וט' כאשר הוכה בל' היה ב' . וכבר הוכה ט' במ' והיה ס' אם כן יחס
 
−
מ' אל ל' כיחס ס' אל ב' ויחס מ' אל ל' הוא יחס הצלע אל הצלע . אם כן יחס ס' אל
 
−
ב' הוא יחס הצלע אל הצלע . אם כן יחס הצלע אל הצלע הוא כיחס א' אל נ' וכיחס
 
−
נ' אל ס' וכיחס ה' אל ב' . אם כן מספרי א'נ'ס'ב' נמשכים על יחס הצלע אל הצלע
 
−
שהוא גילו . וכבר נפלו בין א"ב שני מספרי נ"ס . והנה אומר כי יחס א' אל ב' הוא יחס
 
−
הצלע אל הצלע אשר הוא גילו משולש . מפני כי יחס א' אל נ' כיחס נ' אל ס' . וכיחס
 
−
ס' אל ב' . אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס א' אל נ' משולש ויהיה א' אל נ' הוא יחס
 
−
הצלע אל הצלע אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס צלעו אל צלעו אשר הוא גילו
 
−
משולש . וזה מה שרצינו לבאר .. כאשר נפל מספר בין שני מספרים י"ח
 
−
וימשכו מתיחסים הנה שני המספרים משוטחים
 
−
מתדמים . המשל בו כי מספר ג' נפל בין שני מספרי א"ב משוטחים מתדמים
 
−
המופת אנחנו נקח שני מספרים היותר קטנים על יחס א'ג'ב' והם ד"ה
 
−
הנה יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ה' . וד"ה שני מספרים היותר קטנים והם ימנו כל שני
 
−
מספרים על יחס שניהם בשוה הקטן לקטן והרב לרב . הנה ד' ימנה א' וה' ימנה ג'
 
−
בשוה ויהיו אחדי מספר ז' בשעור מה שימנה ד' א' . אם כן ה' ימנה ג' בשעור אחדי
 
−
ז' . וד' הוכה בז' והיה א' משוטח ושתי צלעותיו ד"ז . וגם כן הנה יחס ג' אל ב' כיחס ד' אל
 
−
ה' וד"ה שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם בשוה הקטן לקטן והרב לרב אם
 
−
כן ד' ימנה ג' וה' ימנה ב' ויהיו אחדי מספר ח' כשעור מה שימנה ה"ב אם כן ה' ימנה ב'
 
−
בשעור אחדי ח' וה' יוכה בח' ויהיה ב' . אם כן ב' משוטח ושתי צלעותיו ה"ח וד' ימנה
 
−
ג' בשעור אחדי ח' הנה ד' הוכה בח' והיה ג' . וכן ז' יוכה בה' ויהיה ג' אם כן שטח ז' בה'
 
−
שוה למשוטח ד' בח' אם כן יחס ז' אל ד' כיחס ח' אל ה' וד' וז' שתי צלעות א' וה' וח' שתי
 
−
צלעות ב' אם ^ א"ב שתי שטחים מתדמים מפני כי צלעות שניהם מתיחסים . ומ'ש'ל' ..
 
−
כל שני מספרים יפלו בין שניהם שני מספרים וימשכו מתיחסים הנה שניהם י"ט
 
−
מוגשמים מתדמים . המשל בו כי שני מספרי א"ב נפלו בין שניהם שני
 
−
מספרי ג"ד ונמשכו מתיחסים הנה אומר כי א"ב שניהם מוגשמים מתדמים ..
 
−
המופת אנחנו נקח קטן שלשה מספרים מתיחסים על יחס א"ג ד"ב והם מספרי
 
−
ה'ז'ח' אם כן שני הקצוות והם ח"ה כבר נפל בין שניהם מספר ו' ונמשכו
 
−
מתיחסים אם כן ה' וח' שני שטחים מתדמים ויהיו שני צלעי ה' כ"ל . ושני צלעי ח' מ"נ
 
−
וה"ח שני שטחים מתדמים וצלעות שניהם מתיחסות יחס כ' אל מ' כיחס ל' אל נ' וה'ז'ח'
 
−
על יחס א'ג'ד' . אם כן יחס ה' אל ז' כיחס א' אל ג' ויחס ז' אל ח' כיחס ג' אל ד' . ומנין
 
−
ה'ז'ח' כמו מנין א'ג'ד' אם כן יחס ה' אל ח' כיחס א' אל ד' . וכל אחד מן ה"ח ראשון אצל
 
−
האחר אם כן שניהם קטן שני מספרים על יחס שניהם . וימנו כל שני מספרים על
 
−
יחס שניהם בשווי הקטן לקטן והרב לרב . הנה ה' ימנה א' בשעור מה שימנה ח"ד ויהיו
 
−
אחדי מספר ט' בשעור מה שימנה ה"א אם כן ח' ימנה ד' בשעור אחדי מספר ט' הנה
 
−
ט' יוכה בח' ויהיה ד' . וה' ימנה א' בשעור אחדי ט' וה' יוכה בט' ויהיה א' וה' הוא שטח
 
−
כ' בל' אם כן שטח כ' בל' הוכה בט' והיה מוגשם א' אם כן צלעותיו כ'ל'ט' . וגם כן הנה
 
−
מספרי ה'ז'ח' על יחס מספרי ג'ד'ב' . ומנין ה'ז'ח' כמנין ג'ד'ב' אם כן יחס ה' אל ח' כיחס
 
−
ג' אל ב' וכל אחד מן ה"ח ראשון אצל האחר אם כן שניהם קטני שני מספרים על יחס
 
−
שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשווי הקטן לקטן והרב לרב אם כן
 
−
ה' ימנה ג' בשעור מה שימנה ח"ב ויהיו אחדי מספר ס' בשיעור מה שימנה ח"ב אם
 
−
כן ה' ימנה ג' בשעור אחדי מספר ס' וח' יוכה בס' ויהיה ב' וח' והוא שטח מ' בנ' אם כן
 
−
שטח מ' בנ' הוכה בס' והיה מוגשם ב' וצלעיו מ'נ'ס' . וט' הוכה בח' והיה ד' וס' הוכה בח'
 
−
והיה ב' אם כן יחס ט' אל ס' כיחס ד' אל ב' ויחס ד' אל ב' כיחס ה' אל ז' . וכיחס ז' אל ח' אבל
 
−
יחס ה' אל ז' וז' אל ח' כיחס כ' אל מ' ול' אל נ' . אם כן יחס ט' אל ס' כיחס כ' אל מ' ול' אל נ'
 
−
והוא יחס הצלע אל הצלע . וצלעות א' הם כ'ל'ט' . וצלעות ב' הם מ'נ'ס' אם כן א' וב' שני
 
−
מוגשמים מתדמים מפני כי צלעות שניהם מתיחסות ונשלם באורו ..
 
−
כל שלשה מספרים נמשכים על יחס אחד יהיה הראשון מהם מרובע הנה כ'
 
−
השלישי מרובע . המשל בו כי מספרי א'ב'ג' השלשה נמשכים
 
−
על יחס אחד . והראשון מהם והוא א' הוא מרובע הנה אומר כי ג' השלישי מרובע .
 
−
המופת אנחנו נקח קטן מספרים על יחס א'ב'ג' מניינם כמניינם והם ד'ה'ז'
 
−
ושתי הקצוות והם ד"ז שני מרובעים . ויהיה צלע מרובע א' מספר ח'
 
−
וצלע מרובע ז' מספר כ' וצלע מרובע ד' מספר ט' הנה מפני כי יחס א'ב'ג' כיחס ד'ה'ז'
 
−
ומניינם כמניינם יהיו ביחס השוים יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ז' וכל אחד משני מספרי
 
−
ד"ז ראשון אצל האחר . והמספרים אשר קצתם ראשון אצל קצת הם קטני המספרים
 
−
על יחסם . וקטן המספרים על יחס ימנו המספרים אשר על יחסם בשווי הקטן לקטן
 
−
והרב לרב . אם כן ד' ימנה א' בשעור מה שימנה ז"ג וכאשר ימנה מרובע מרובע הנה
 
−
צלעו ימנה צלעו . אם כן ט' ימנה ח' וימנה כ"ל בשעור מה שימנה ט"ח אם כן יחס ט'
 
−
אל ח' כיחס כ' אל ל' ויחס המרובע ההווה מן ט' אל המרובע ההווה מן ח' כיחס
 
−
המרובע ההווה מן כ' אל המרובע ההווה מן ל' והמרובע ההווה מן ט' הוא ד' והמרובע
 
−
ההווה מן ח' הוא א' והמרובע ההווה מן כ' הוא ז' אם כן יחס ד' אל המרובע ההווה
 
−
מן ל' ויחס ד' אל א' כיחס ז' אל ג' . אם כן יחס ז' אל ג' כיחס ז' אל המרובע ההווה מן ל'
 
−
אם כן ג' שוה למרובע ההווה מן ל' אם כן ג' מרובע ונשלם באורו ..
 
−
כל ארבעה מספרים נמשכים על יחס יהיה הראשון מהם מעוקב הנה כ"א
 
−
הרביעי מעוקב . המשל בו כי ארבעה מספרי א'ב'ג'ד' נמשכים
 
−
על יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ג' וכיחס ג' אל ד' ויהיה א' מעוקב הנה אומר כי ד'
 
−
מעוקב .     המופת אנחנו נקח קטני המספרים על יחס מספרי א'ב'ג'ד' ועל
 
−
מניינם והם ה'ז'ח'ט' הנה הקצוות והם ה"ט מעוקב . ויהיה צלע מעוקב
 
−
א"ל . וצלע מעוקב ה"ב . וצלע מעוקב ט"נ . הנה מפני כי יחס א"בג"ד כיחס ה'ז'ח'ט'
 
−
והם שוים במנין יהיו ביחס השווי יחס א' אל ד' כיחס ה' אל ט' . וכל אחד מן ה"ט ראשון
 
−
אצל האחר אם כן שניהם קטן שני המספרים על יחסם וקטני המספרים על יחס
 
−
ימנו המספרים על יחסם בשווי הקטן לקטן והרב לרב . אם כן ה' ימנה א' כמו מה
 
−
שימנה ט"ד . וכאשר מנה מעוקב מעוקב הנה צלעו ימנה צלעו אם כן ב' ימנה ל' ויהיה
 
−
מנין מה שימנה נ"מ כמו מנין מה שימנה כ"ל אם כן יחס כ' אל ל' כיחס נ' אל מ' ויחס
 
−
המעוקב ההווה מן נ' אל המעוקב ההווה מן ל' כיחס המעוקב ההווה מן נ' אל המעוקב
 
−
ההווה מן מ' והמעוקב ההווה מן כ' הוא ה' והמעוקב ההווה מן ל' הוא א' . והמעוקב ההווה
 
−
מן נ' הוא ט' . אם כן יחס ה' אל א' כיחס ט' אל המעוקב ההווה מן מ' . ויחס ה' אל א' כיחס
 
−
ט' אל ד' אם כן ד' שוה למעוקב ההווה מן מ' . אם כן ד' מעוקב . וזה מ'ש'ל' ..
 
−
כל שני מספרים יחס אחד מהם אל האחר כיחס מרובע אל מרובע . ואחד כ"ב
 
−
משניהם מרובע הנה האחר מרובע המשל בו כי שני מספרי א"ב יחס אחד
 
−
משניהם אל האחר כיחס מספר ג' המרובע אל מספר ד' המרובע . וא' מרובע
 
−
אומר כי ב' מרובע ..  המופת כי שני מספרי ג"ד מרובעים ומשוטחים מתדמים
 
−
וכבר יפול בין שניהם מספר וימשכו מתיחסים . ויחס ג' אל ד' כיחס
 
−
א' א' אל ב' אם כן א"ב הנה יפול בין שניהם מספר ימשכו מתיחסים וא' מרובע
 
−
הנה אם כן ב' מרובע וזה מה שרצינו לבאר .. כל שני מספרים יחס אחד כ"ג
 
−
מהם אל האחר כיחס מעוקב אל מעוקב ואחד
 
−
משניהם מעוקב הנה האחר מעוקב . המשל בו כי שני מספרי א"ב יחס אחד
 
−
משניהם אל האחר כיחס מספר ג' המעוקב אל מספר ד' המעוקב וא' מעוקב הנה
 
−
אומר כי ב' מעוקב .  המופת כי ג"ד מעוקבים ומוגשמים מתדמים והנה
 
−
יפול בין שניהם שני מספרים וימשכו מתיחסים . ויחס ג' אל ד'
 
−
כיחס א' אל ב' הנה כבר יפול בין א"ב שני מספרים וימשכו מתיחסים וא' מעוקב
 
−
אם כן ב' מעוקב . וזה מה שרצינו לבאר ..  כאשר היו שני מספרים והיה כ"ד
 
−
יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 
−
הנה שניהם שני שטחים מתדמים המשל בו כי שני מספרי א"ב יחס אחד משניהם
 
−
אל האחר כיחס מספר ג' המרובע אל מספר ד' המרובע הנה אומר כי שני מספרי א"ב
 
−
שני שטחים מתדמים ..  המופת כי שני מספרי ג"ד שני מרובעים וכבר יפול
 
−
בין שניהם מספר מתיחס לשניהם . ויחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' הנה
 
−
כבר יפול בין מספרי א"ב מספר מתיחס לשניהם אם כן מספרי א"ב שני שטחים
 
−
מתדמים וזה מה שרצינו לבאר .. כאשר היו שני מספרים והיה יחס אחד כ"ה
 
−
משניהם אל האחר כיחס מספר מעוקב הנה שניהם מוגשמים
 
−
מתדמים . המשל בו כי שני מספרי א"ב יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר
 
−
ג' המעוקב אל מספר ד' המעוקב הנה אומר כי שני מוגשמי א"ב מוגשמים מתדמים
 
−
המופת כי כל אחד משני מספרי ג"ד מעוקב והנה יפול בין שני מספרי ג"ד
 
−
שני מספרים מתיחסים לשניהם אם כן מספר א"ב שנים מוגשמים
 
−
מתדמים וזה מה שרצינו לבאר .. כל שני מספרים משוטחים מתדמים כ"ו
 
−
הנה יחס אחד משניהם כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 
−
המשל בו כי שני מספרי א"ב שנים משוטחים מתדמים הנה אומר כי יחס א' אל
 
−
ב' כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע .. המופת כי א"ב שני משוטחים
 
−
מתדמים וכבר נפל בין שניהם מספר ג' ונמשכו מתיחסים . ונקח
 
−
קטן שלשה מספרים על יחס א'ג'ב' והוא ד'ה'ז' הנה שתי הקצוות והם ד"ז מרובעים
 
−
ומנין ד'ה'ז' כמנין א'ג'ב' אם כן יחס א' אל ב' כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 
−
וזה מה שרצינו לבאר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ז</span> כל שני מספרים מוגשמים מתדמים הנה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מעוקב אל מספר מעוקב
+
|style="text-align:right;"|ונשים א' יותר גדול מג' הנה אומר כי ד' יותר גדול מן ו'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב מוגשמים מתדמים ויפולו בין שניהם שני מספרים והם ג"ד וימשכו מתיחסים ונקח קטן ארבעה מספרים על יחס א"גד"ב והם ה'ז'ח'ט' הנה שני הקצוות הם ה"ט מעוקבים ומנין ה"זח"ט א"גד"ב הנה יחס ה' אל ט' כיחס א' אל ב' ויחס א' אל ב' כיחס מספר ה' המעוקב אל מספר ט' המעוקב וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|מופתו כי א' יותר גדול מן ג' וב' שעור אחר הנה שעור א' יותר גדול היחס אל ב' מן ג' אל ב' אבל יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו' כי אם כן יחס ה' אל ו' יותר גדול מיחס ג' אל ב' ויחס ג' אל ב' כיחס ה' אל ד' אם כן יחס ה' אל ו' יותר גדול מיחס ה' אל ד' ואשר יהיה היחס אליו יותר גדול הנה הוא יותר קטן אם כן שעור ו' יותר קטן מן ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר השמיני
+
|style="text-align:right;"|אם כן ד' יותר גדול מן ו'
−
|}
 
−
{|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי אלו היה א' שוה לשעור ג' היה ד' שוה לו'
−
== Book Nine ==
 
−
|style="text-align:right;"|<big>המאמר התשיעי</big>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> כל שני מספרים משוטחים מתדמים יוכה אחד משניהם באחר הנה הוא ישוב מרובע המשל בו כי שני מספרי א"ב שני שטחים מתדמים והוכה א' בב' והיה ג' הנה אומר כי ג' מרובע
+
|style="text-align:right;"|ואלו היה יותר קטן מן ג' היה ד' יותר קטן מן ו'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המופת כי א' הוכה בדומה לו והיה ד'
+
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
−
והוכה בב' והיה ג' הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיה ד"ג . אם כן יחס א' אל
 
−
ב' כיחס ד' אל ג' וא"ב שני משוטחים מתדמים ויפול בין שניהם מספר וימשכו מתיחסים
 
−
הנה יפול גם כן בין שני מספרי ד"ג מספר אם כן ד"ג שני שטחים מתדמים . וד' מרובע
 
−
אם כן ג' מרובע . וזה מ'ש'ל' .. כל מספר יוכה במספר אחר ויהיה מרובע הנה ב'
 
−
השני מספרים משוטחים מתדמים . המשל בו כי א' הוכה במספר
 
−
ב' והיה ג' וג' מרובע הנה אומר כי א"ב שני שטחים מתדמים ..     המופת כי א' הוכה
 
−
בדומה לו והיה ד' וד' מרובע וא' הוכה בב' והיה ג' הנה יחס א' אל ב' כיחס
 
−
ד' אל ג' וכל אחד מד' ג' מרובע אם כן יחס א' אל ב' כיחס מספר ד' המרובע אל מספר
 
−
ג' המרובע . אם כן מספר א"ב שני שטחים מתדמים . וזה מה שרצינו לבאר ..
 
−
ובכאן התבאר כי כאשר הוכה מספר מרוב' במספר מרובע הנה הוא יהיה מרובע
 
−
ואם הוכה מספר מרובע במספר והיה מרובע הנה המוכה בו מרובע . ואם
 
−
הוכה מספר מרובע במספר והיה בלתי מרובע הנה המוכה בו בלתי מרובע . ואם
 
−
הוכה מספר מרובע במספר בלתי מרובע הנה הוא בלתי מרובע . ומ'ש'ל' ..
 
−
כל מספר מעוקב יוכה בדומה לו הנה הוא יהיה מעוקב . המשל בו כי מספר ג'
 
−
א' הוא מעוקב . וכאשר הוכה בכמוהו והיה מספר ב' הנה אומר כי ב'
 
−
מעוקב .. המופת כי א' מעוקב וצלעו מספר ג' הנה ג' הוכה בכמוהו והיה
 
−
ד' וג' הוכה בד' והיה א' אם כן ג' ימנה ד' בשעור אחדי ג' והאחד ימנה
 
−
ג' בשעור אחדי ג' . אם כן האחד ימנה ג' בשעור מה שימנה ג"ד . אם כן יחס האחד
 
−
אל הג' כיחס ג' אל ד' . וגם כן הנה ג' הוכה בד' והיה א' אם כן ד' ימנה א' בשעור אחדי
 
−
ג' . והאחד ימנה ג' בשעור ג' אם כן האחד ימנה ג' בשעור מה שימנה ד"א אם כן
 
−
יחס האחד אל ג' כיחס ג' אל ד' וכיחס ד' אל א' הנה בין האחד ובין א' מספר ג"ד והם
 
−
נמשכים על יחס . וגם כן הנה א' הוכה בכמוהו והיה ב' אם כן א' ימנה ב' בשעור
 
−
אחדי א' . והאחד ימנה א' בשעור אחדי א' . אם כן האחד ימנה א' בשעור מה
 
−
שימנה א"ב אם כן יחס האחד אל א' כיחס א' אל ב' . ובין האחד ובין א' מספרי ג"ד והם
 
−
נמשכים על יחס ויפול בין א' ובין ב' שני מספרים וימשכו על יחס . ומספר א' מעוקב
 
−
אם כן מספר ב' מעוקב . ומ'ש'ל' .. כל מספר מעוקב יוכה במספר מעוקב ד'
 
−
אחר הנה הוא מעוקב . המשל בו כי מספר א' מעוקב וכבר הוכה
 
−
במספר אחר מעוקב והוא ב' והיה ג' הנה אומר כי ג' מעוקב ..     המופת כי א'
 
−
הוכה בכמוהו והיה ד' אם כן ד' מעוקב . וא' הוכה בכמוהו והיה ד' והוכה
 
−
בב' והיה ג' . הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיה ד"ג אם כן יחס א' אל ב' כיחס ד' אל
 
−
ג' אם כן יחס ד' אל ג' כיחס מעוקב א' אל מעוקב ב' וד' מעוקב אם כן ג' מעוקב
 
−
וזה מה שרצינו לבאר .. כל מספר מעוקב יוכה במספר ויהיה מעוקב ה'
 
−
הנה המספר המוכה בו מעוקב . המשל בו כי מספר א' מעוקב
 
−
וכבר הוכה במספר ב' והיה ג' וג' מעוקב הנה אומר כי ב' מעוקב . המופת
 
−
כי א' הוכה בכמוהו והיה ד' אם כן ד' מעוקב . וא' הוכה בכמוהו והיה
 
−
ד' והוכה בב' והיה ג' הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיה ד"ג אם כן יחס א' אל ב'
 
−
כיחס ד' אל ג' . אם כן יחס א' אל ב' כיחס מעוקב ד' אל מעוקב ג' . וא' מעוקב אם
 
−
כן ב' מעוקב .   ובכאן התבאר כי אם הוכה מספר מעוקב במספר בלתי מעוקב
 
−
יהיה בלתי מעוקב ואם הוכה מספר מעוקב במספר והיה בלתי מעוקב
 
−
הנה המוכה בו בלתי מעוקב . וזה מה שרצינו לבאר .. כל מספר יוכה ו'
 
−
בכמוהו ויהיה מעוקב הנה הוא מעוקב . המשל בו כי מספר
 
−
א' הוכה בכמוהו והיה ב' וב' מעוקב הנה אומר כי א' מעוקב .. המופת
 
−
כי א' הוכה בב' והיה ג' הנה ג' מעוקב . וא' הוכה בכמוהו והיה ב'
 
−
והוכה בב' והיה ג' הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיה ב"ג אם כן יחס א' אל ב'
 
−
כיחס ב' אל ג' וב"ג מעוקבים אם כן יחס א' אל ב' כיחס מעוקב ב' אל מעוקב ג'
 
−
וב' מעוקב אם כן א' מעוקב וזה מ'ש'ל' .. כל מספר מורכב יוכה במספר ז'
 
−
הנה הוא ישוב מוגשם . המשל בו כי מספר א' מורכב וכבר
 
−
הוכה במספר ב' והיה ג' הנה אומר כי ג' מוגשם ..  המופת כי מספר א' מורכב
 
−
הנה ימנהו מספר ד' ויהיו אחדי ה' בשעור מה שימנה ד"א אם כן ד'
 
−
יוכה בה' ויהיה א' וא' יוכה בב' ויהיה ג' אם כן מוגשם וזה מה שרצינו לבאר ..
 
−
כאשר היו מספרים מן האחד נמשכים מתיחסים כמה שהיו הנה המספר ח'
 
−
השלישי מן האחד מרובע מה שימנה זה מן המספרים כאשר עזב
 
−
מהם אחד ולקח אחד על ההמשכות יהיו המספרים הלקוחים מרובעים והרביעי מן
 
−
מן האחד מעוקב עוד אחר זה כאשר עזב שני מספרים ולקח מספר יהיו
 
−
המעוקבים והשביעי מן האחד מרובע מעוקב . עוד אחר זה כאשר עזב חמשה
 
−
מספרים ולקח מספר יהיו המספרים הלקוחים מרובעים מעוקבים . המשל בו
 
−
כי מספרי א"בג"דה"ז והאחד יקדם להם נמשכים מתיחסים . הנה אומר כי השלישי מן
 
−
האחד והוא ב' מרובע . והרביעי מן האחד והוא ג' מעוקב . עוד אחד אחר שנים מעוקב
 
−
והשביעי מן האחד והוא ז' מרובע מעוקב . עוד אחד אחר מחשה מרובע מעוקב .
 
−
המופת כי יחס האחד אל א' כיחס א' אל ב' הנה האחד ימנה א' בשיעור מה שימנה
 
−
א' ב' והאחד ימנה א' בשעור אחדי א' אם כן א' ימנה ב' בשעור אחדי א'
 
−
אם כן א' יוכה בכמוהו ויהיה ב' אם כן ב' מרובע והוא השלישי מן האחד . ויחס ב' אל
 
−
אל ג' כיחס ג' אל ד' הנה כבר נפל בין ב"ד מספר ג' וימשכו מתיחסים וב' מרובע . אם
 
−
כן ד' מרובע . וכן יתבאר כי מה שאחר זה מן המספרים כאשר עזב מספר ולקח
 
−
אחר על ההמשכות יהיו המספרים הלקוחים מרובעים . וגם כן הנה יחס האחד אל א'
 
−
כיחס ב' אל ג' . אם כן האחד ימנה א' בשעור מה שימנה ב"ג והאחד ימנה א' בשעור
 
−
אחדי א' . אם כן ב' ימנה ג' בשעור אחדי א' . אם כן א' יוכה בב' ויהיה ג' . אם כן א' יוכה
 
−
בכמוהו ויהיה ב' ויוכה בב' ויהיה ג' אם כן ג' מעוקב והוא הרביעי מן האחד . ויחס ג' אל
 
−
ד' כיחס ד' אל ה' וכיחס ה' אל ז' הנה כבר נפל בין ג' וז' שני מספרי ד"ה ונמשכו מתיחסים
 
−
וג' מעוקב אם כן ז' מעוקב . וכן יתבאר כי מה שאחר זה מן המספרים כאשר עזב
 
−
מהם שני מספרים ולקח מספר יהיו המספרים הלקוחים מעוקבים . ומספר ז' יכנס
 
−
במספרים המרובעים ובמספרים המעוקבים אם כן הוא מרובע ומעוקב . וז' הוא
 
−
השביעי מן האחד . וכן יתבאר כי מה שאחר זה מן האחדים אם עזב מהם חמשה
 
−
מספרים ולקח אחד יהיו המספרים הלקוחים מרובעים מעוקבים . ומ'ש'ל' ..
 
−
כאשר היו מספרים מן האחד נמשכים מתיחסים כמה שיהיו והיה הנמשך אל ט'
 
−
האחד מרובע הנה הם כלם מרובעים . ואם היה הנמשך אל האחד
 
−
מעוקב הנה הם כלם מעוקבים . המשל בו כי מספרי א'ב'ג'ד' והאחד יקדם להם
 
−
נמשכים מתיחסים וא' מרובע הנה אומר כי הנשארים מרובעים . המופת
 
−
כי א' מרובע וב' מרובע כי הוא השלישי מן האחד ויחס א' אל ב'
 
−
כיחס ב' אל ג' . אם כן יחס ב' אל ג' הוא יחס מרובע א' אל מרובע ב' וב' מרובע
 
−
אם כן ג' מרובע . וכן יתבאר כי כל הנשארים מרובעים וגם כן הנה יהיה הנמשך
 
−
אל האחד מעוקב הנה אומר כי הנשארים כלם מעוקבים .. המופת
 
−
כי א' הוכה בכמוהו והיה ב' וא' מעוקב אם כן ב' מעוקב . וג'
 
−
מעוקב כי הוא הרביעי מן האחד . ויחס ב' אל ג' כיחס ג' אל ד' אם כן יחס ג' אל ד'
 
−
הוא כיחס מעוקב ב' אל מעוקב ג' וג' מעוקב אם כן ד' מעוקב . וכן יתבאר כי כל
 
−
הנשארים מעוקבים . וזה מ'ש'ל' ..     כאשר היו מספרים מן האחד נמשכים י'
 
−
מתיחסים כמה שיהיו והיה הנלוה אל האחד בלתי מרובע הנה יהיו
 
−
הנשארים אין מהם מספר מרובע כי אם השלישי מן האחד . עוד אחר זה אחד בלתי
 
−
מרובע ואחד מרובע . ואם היה הנמשך אל האחד בלתי מעוקב הנה הנשארים
 
−
אין אחד מהם מספר מעוקב כי אם הרביעי מן האחד . עוד אחר זה שנים
 
−
בלתי מעוקבים ואחד מעוקב . המשל בו כי מספרי א'ב'ג'ד'ה'ז' והאחד יקדם להם
 
−
נמשכים מתיחסים ואשר ילוה אל האחד והוא א' בלתי מרובע הנה אומר כי אין
 
−
מהם מספר מרובע כי אם השלישי מן האחד והוא ב' . עוד אחר זה אחד בלתי
 
−
מרובע ואחד מרובע ..   המופת אם לא יהיה כן הנה יהיה ג' מרובע
 
−
אם יהיה אפשר ויחס א' אל ב' כיחס ב' אל ג' . אם כן יחס א' אל
 
−
ב' כיחס מרובע ב' אל מרובע ג' וב' מרובע אם כן א' מרובע זה שקר אם כן אין ג'
 
−
מרובע . וכן יתבאר כי זולתו בלתי מרובע כי אם השלישי מן האחד . עוד אחד בלתי
 
−
מרובע ואחד מרובע . וגם כן הנה יהיה א' בלתי מעוקב הנה אומר כי זולתו מאלו המספרים
 
−
בלתי מעוקב כי אם הרביעי מן האחד . עוד מה שאחר זה שני מספרים בלתי מעוקבים
 
−
ומספר מעוקב . המופת כי אם לא יהיה כן הנה יהיה ה' מעוקב אם יהיה
 
−
אפשר ויחס א' אל ג' כיחס ג' אל ה' אם כן יחס א' אל ג' כיחס מעוקב
 
−
ג' אל מעוקב ה' וג' מעוקב אם כן א' מעוקב וזה שקר . אם כן אין ה' מעוקב . וכן
 
−
יתבאר כי זולתו בלתי מעוקב כי אם הרביעי מן האחד . עוד אחר זה שני מספרים
 
−
בלתי מעוקבים ומספר מעוקב . ומ'ש'ל' .. כאשר היו מספרים י"א
 
−
נמשכים מן האחד מתיחסים כמה שיהיו הנה הקטן ימנה הרב בשעור
 
−
מספר מהם . המשל בו כי מספרי א"בג'ד'ה' מן האחד נמשכים מתיחסים הנה
 
−
נאמר כי הקטן ימנה הרב בשעור מספר מהם .       המופת כי מספר ג'ד'ה'
 
−
כמו מנין האחד וא' וב' על יחס ג'ד'ה' אם כן יחס האחד אל ב'
 
−
כיחס ג' אל ה' והאחד ימנה ב' בשעור אחדי ב' אם כן ג' ימנה ה' בשעור ב' . וזהו
 
−
שעור ב' . אם כן הקטן ממספרי א'ב'ג'ד'ה' ימנה הרב בשעור מספר מהם . ומ'ש'ל' ..
 
−
כאשר היו מספרים מן האחד נמשכים מתיחסים כמה שיהיו הנה כל מספר י"ב
 
−
ראשון ימנה האחרון מהם הנה הוא ימנה המספר אשר ילוה לאחד
 
−
המשל בו כי מספרי א'ב'ג'ד' והאחד יקדם להם נמשכים מתיחסים הנה אומר כי
 
−
כל מספר ראשון ימנה האחרון והוא ד' הנה הוא ימנה א' אשר הוא נלוה אל האחד
 
−
ונאמר שיהיה ה' ראשון וימנה ד' הנה אומר כי ה' ימנה א' .    המופת אם לא יהיה
 
−
כן הנה לא ימנהו אם יהיה אפשר הנה כל אחד מן א' וה' ראשון אצל
 
−
האחר . וה' ימנה ד' . הנה ימנה ה' בשעור אחדי ז' הנה ה' יוכה בז' ויהיה ד' . אבל א' הוכה
 
−
בג' והיה ד' אם כן שטח ה' בז' כמו שטח א' בג' אם כן יחס ה' אל א' כיחס ג' אל ז' וכל
 
−
אחד מן א' וה' ראשון אצל האחר אם כן שניהם שני קטני מספרים על יחס שניהם
 
−
וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשווי הקטן לקטן והרב לרב . אם כן ה' ימנה
 
−
ג' ויהיו אחדי ח' בשעור מה שימנה הג' הנה ה' יוכה בח' ויהיה ג' וא' הוכה בב' והיה ג'
 
−
אם כן שטח ה' בח' כמו שטח א' בב' . אם כן יחס ה' אל א' כיחס ב' אל ח' וכל אחד
 
−
מן א' וה' ראשון אצל האחר . אם כן שניהם שני קטני שני מספרים על יחס שניהם
 
−
וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם אם כן ה' ימנה ב' ויהיו אחדי ט' בשעור מה
 
−
שימנה ה' ב' הנה ה' יוכה בט' ויהיה כ' . אבל א' הוכה בכמוהו והיה ב' . הנה ה' בט' כמו א'
 
−
בכמוהו . אם כן יחס ה' אל א' כיחס א' אל ט' וכל אחד מן א' וה' ראשון אצל האחר
 
−
אם כן שניהם קטני שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס
 
−
שניהם . אם כן ה' ימנה א' וכבר היה שלא ימנהו זה שקר אם כן כל מספר ראשון
 
−
ימנה ד' הנה הוא ימנה א' אשר ילוה אל האחד . ומ'ש'ל' ..    כאשר נתיחסו י"ג
 
−
מספרים מן האחד נמשכים כמה שיהיו והיה הנלוה אל האחד
 
−
ראשון הנה לא ימנה הרב מהם כי אם מספר מהם . המשל בו כי מספרי א'ב'ג'ד'
 
−
נמשכים מתיחסים מן האחד ואשר ילוה אל האחד א' . והוא ראשון הנה אומר כי לא
 
−
ימנה הרב מהם והוא ד' מספר אחר זולת א'ב'ג' .. המופת אנחנו נבאר
 
−
שהוא בלתי אפשר זה . שאם היה אפשר זה נאמר שימנהו ה' ואין
 
−
ה' כמו אחד מן א'ב'ג' . וה' אם שיהיה ראשון ואם שיהיה מורכב ואיננו ראשון כי הוא
 
−
אלו היה ראשון והוא ימנה ד' היה מונה א' אשר ילוה אל האחד אבל הוא לא ימנה א'
 
−
מפני כי א' ראשון אם כן אין ה' ראשון והנה ימנה ה' אם כן [.] מספר ראשון . והנה אומר
 
−
שלא ימנהו מספר ראשון כי אם א' . שאם היה אפשר הנה ימנהו כ' . אם כן כ' ימנה ה'
 
−
וה' ימנה ד' . אם כן כ' ימנה ד' . וכ' ראשון אם כן הוא ימנה א' אשר ילוה אל האחד וא'
 
−
ראשון זה שקר . אם כן לא ימנהו מספר ראשון כי אם א' וה' ימנה ד' הנה ימנה ד'
 
−
בשעור אחדי ז' הנה אומר כי ז' ימנה ג' ושז' איננו כמו אחד מן א'ב'ג' מפני כי ה'
 
−
ימנה ד' בשעור אחדי ז' אם כן ה' יוכה בז' ויהיה ד' . אבל א' הוכה בג' והיה ד' אם כן א'
 
−
בג' כמו ה' בז' אם כן יחס א' אל ה' כיחס ז' אל ג' . וא' ימנה ה' אם כן ז' ימנה ג' . ואומר
 
−
כי ז' אינו כמו אחד מן א'ב'ג' כי הוא אם כן יתיחס מספרים מן האחד נמשכים הנה
 
−
הקטן מהם ימנה הרב בשעור אחדי מספר מהם . וז' לא ימנה ד' בשעור אחדי מספר
 
−
ממספרי א'ב'ג' כי הוא אם כן ימנה בשעור אחדי מספר ה' ואין ה' כמו אחד מן
 
−
א'ב'ג' . אם כן ז' אינו כמו אחד מן א'ב'ג' . וכבר התבאר שהוא ימנה ג' וגם כן הנה ז'
 
−
ימנה ג' נאמר שימנהו בשעור אחדי ח' . ונבאר כמו שבארנו קודם כי א' ימנה ז' וח'
 
−
ימנה ב' ושא' אינו כמו אחד מן א"ב אם כן ח' ימנה ב' . ונאמר שימנהו בשעור אחדי
 
−
ט' וח' ראשון או מורכב . ואם היה ראשון והוא ימנה ב' והנה ח' אינו כמו אחד מן א"ב
 
−
וח' ימנה ב' הנה הוא ימנה א' וא' ראשון זה שקר אם כן אין ח' ראשון . ואם היה
 
−
מורכב נאמר שימנהו מספר ראשון הנה אומר כי לא ימנהו ראשון כי אם א' . מפני
 
−
שהוא אם היה מספר ראשון ימנה ח' וח' ימנה ב' אם כן הוא ימנה ב' וימנה א' וא'
 
−
ראשון זה שקר אם כן ח' לא ימנהו כי אם א' וא' ימנה ח' הנה אומר כי ט' אינו כמו הנלוה
 
−
לאחד ולא ט' ימנה ב' בשעור מספר מן המתיחס כי הוא אמנם ימנהו בשעור ח' .
 
−
וח' אינו כמו א' וח' ימנה ב' בשעור אחדי ט' אם כן ח' יוכה בט' ויהיה ב' וא' יוכה בכמוהו
 
−
ויהיה ב' אם כן א' בכמוהו כמו ח' בט' אם כן יחס א' אל ח' כיחס ט' אל א' . וא' ימנה
 
−
ח' אם כן ט' ימנה א' ואינו כמוהו וזה שקר . אם כן המספרים המתיחסים הנמשכים
 
−
מן האחד כאשר יהיה אשר ימשך מן האחד ראשון הנה לא ימנה הרב מהם כי אם
 
−
מספר מהם . וזה מה שרצינו לבאר .. כל מספרים ראשונים ידועי י"ד
 
−
המספר הנה יהיה מן המספרים הראשונים מה שהוא
 
−
יותר מספר מהם . המשל בו כי מספרי א'ב'ג' ראשונים ידועי המספר הנה אומר כי
 
−
הנה יהיה במספרים הראשונים מה שהוא יותר מנין מהם .  המופת אנחנו
 
−
נוציא קטן מספר ימנוהו א'ב'ג' והוא ה"ד ונוסיף עליו אחד והוא ה"ז
 
−
הנה אם היה ז"ד ראשון הנה כבר התאמת הספור כי אנחנו כבר מצאנו מספר
 
−
ראשון איננו כמו אחד ממספרי א'ב'ג' והוא ז"ד . ואם היה ז"ד מורכב הנה ימנהו
 
−
מספר ראשון והוא ח' הנה אומר כי ח' מספר אחר בלתי שוה לאחד מן א'ב'ג' כי הוא
 
−
אם היה כמו אחד מהם הנה הוא ימנה ג"ד ה"ד וימנה האחד הנשאר והוא ז' וח' מספר
 
−
זה שקר אם כן ח' ראשון ואינו כמו אחד מן א'ב'ג' אם כן כל מספרים ידועי המספר
 
−
הנה יהיה מן המספרים הראשונים מה שהוא יותר ממנין מהם וזה מ'ש'ל' ..
 
−
קטן מספר ימנוהו מספרים ראשונים ידועים הנה לא ימנהו זולתם . המשל ט"ו
 
−
בו כי מספר א' הוא קטן מספר ימנהו מספרי ב'ג'ד' הראשונים
 
−
הידועים הנה אומר כי הוא לא ימנה א' זולת מספרי ב'ג'ד' ..    המופת כי זה
 
−
אי אפשר שאם היה אפשר נאמר שימנהו ה' . ואין ה' כמו אחד מן ב'ג'ד'
 
−
ויהיו אחדי ז' בשעור מה שימנה ה"א אם כן ה' הוכה בז' והיה א' וכל שני מספרים
 
−
יוכה אחד משניהם באחר [....] ומספר ראשון הנה אותו המספר הראשון ימנה
 
−
אחד משני המספרים המוכים אם כן ב'ג'ד' [....] וימנו אחד מן ז"ה . ואולם ה' הנה
 
−
לא ימנוהו כי הוא ראשון אם כן ימנה ז' וכן ג"ד ימנו ז' . אם כן מספרי ב'ג'ד' ימנו
 
−
ז' והוא קטן מן א' זה שקר . כי א' היה קטן מספר ימנוהו מספרי ב'ג'ד' . אם כן לא ימנה
 
−
א' כי אם ב'ג'ד' . וזה מ'ש'ל' ..    כאשר היו שלשה מספרים מתיחסים י"ו
 
−
נמשכים והיו קטן המספרים על יחסם הנה כל שני מספרים
 
−
יתקבצו מהם הנה שניהם מספר ראשון אצל המספר השלישי הנשאר . המשל בו
 
−
כי מספרי א'ב'ג' השלשה מתיחסים נמשכים והם קטן המספרים על יחסם הנה
 
−
אומר כי כל שני מספרים יתקבצו ממספרי א'ב'ג' הנה כלם מספר ראשון אצל
 
−
המספר השלישי הנשאר . המופת אנחנו נקח קטן שני המספרים על
 
−
יחס א'ב'ג' והם ז"ה ה"ד הנה כל אחד מן ז"ה ה"ד ראשון אצל
 
−
האחר . וז"ה אם כן יוכה בכמוהו ויהיה א' ויוכה בד"ה ויהיה ב' . וגם כן ה"ד יוכה
 
−
בכמוהו ויהיה ג' וכל אחד מן ז"ה ה"ד ראשון אצל האחר אם כן כל ז"ד ראשון
 
−
אצל ד"ה וה"ז וה"ז ראשון אצל ה"ד . אם כן כל אחד מן ד"ז ז"ה ראשון אצל ד"ה . וכאשר היו שני
 
−
מספרים ראשונים אצל מספר אחר הנה שטח אחד משניהם באחר ראשון
 
−
אצל אותו המספר אם כן משוטח ד"ז בז"ה ראשון אצל ה"ד . וכל שני מספרים יהיה
 
−
אחד משניהם ראשון אצל האחר הנה מרובע אחד משניהם ראשון אצל האחר
 
−
אם כן מרובע ד"ה ראשון אצל משוטח ד"ז בז"ה ומשוטח ד"ז בז"ה ראשון אצל מרובע
 
−
ה"ד . וכל קו יחלק בשני חלקים . ואם כן הכאת הקו באחד משני החלקים כמו הכאת
 
−
החלק ההוא בכמוהו ואחד משניהם באחר . אם כן משוטח ד"ז בז"ה כמו מרובע ה"ז
 
−
וכמו משוטח ז"ה בה"ד . אבל משוטח ד"ה בז"ה הוא ב' . ומרובע ה"ז הוא א' ושניהם
 
−
יחד כמו משוטח ד"ז בז"ה . אם כן כל א"ב יבדל ממרובע ה"ד בכמוהו . אבל מרובע
 
−
ה"ד הוא ג' אם כן כל א"ב ראשון אצל ג' ולכן יהיה כל ג"ב ראשון אצל א' . הנה אומר כי
 
−
כל א"ג גם כן ראשון אצל ב' .    המופת כי כל אחד מן ז"ה ה"ד ראשון אצל האחר
 
−
וכל ז"ד ראשון אצל כל אחד מן ז"ה ה"ד וכל אחד מן ז"ה ה"ד ראשון אצל
 
−
ז"ד . וכאשר היו שני מספרים והיה כל אחד משניהם יחד ראשון אצל מספר אחר
 
−
הנה משוטח אחד משניהם באחר הוא גם כן ראשון אצל המספר ההוא אם כן משוטח
 
−
ז"ה בה"ד ראשון אצל ד"ז . וכל שני מספרים אחד משניהם ראשון אצל האחר הנה
 
−
מרובע אחד מהם ראשון אצל האחר . אם כן מרובע ז"ד ראשון אצל משוטח ז"ה
 
−
בה"ד . ומרובע ז"ד הוא כמו ז"ה בכמוהו . וה"ד בכמוהו . וכפל ז"ה בה"ד יחד אם כן
 
−
מרובע ז"ה בכמוהו ומרובע ה"ד . וכפל שטח ז"ה בה"ד ראשון אצל שטח ז"ה בה"ד
 
−
וכאשר הבדלנו היה מרובע ז"ה ומרובע ה"ד ומשוטח ז"ה בה"ד ראשון אצל משוטח
 
−
ז"ה בה"ד . וכאשר הבדלנו גם כן היה מרובע ז"ה בכמוהו ומרובע ה"ד בכמוהו יחד
 
−
ראשון אצל משוטח ז"ה בה"ד אשר הוא ב' אבל שני מרובעי ז"ה בכמוהו וה"ד בכמוהו
 
−
הם א' וג' . אם כן כל א' וג' ראשון אצל ב' . וזה מה שרצינו לבאר ..
 
−
כאשר היו שני מספרים והיה כל אחד משניהם ראשון אצל האחר הנה אין י"ז
 
−
יחס הראשון מהם אל השני כיחס השני אל מספר אחר . המשל בו
 
−
כי כל אחד משני מספרי א"ב ראשון אצל האחר הנה אומר כי יחס א' אל ב' אינו
 
−
כיחס ב' אל מספר אחר . המופת כי זה אי אפשר שאם היה אפשר נאמר
 
−
שיהיה יחס א' אל ב'  כיחס ב' אל ג' . וכל אחד מן א"ב ראשון אצל
 
−
האחר . אם כן שניהם קטני שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים
 
−
על יחס שניהם הקטן לקטן והרב לרב . אם כן א' ימנה ב' . וימנה עצמו . אם כן א'
 
−
ימנה א' וימנה ב' וכל אחד משניהם ראשון אצל האחר זה שקר אם כן אין יחס
 
−
א' אל ב' כיחס ב' אל מספר אחר וזה מה שרצינו לבאר .. כאשר היו י"ח
 
−
מספרים מתיחסים נמשכים כמה שהיו וכל אחד משתי הקצוות
 
−
ראשון אצל האחר הנה אין יחס הראשון אל השני כיחס האחרון אל מספר אחר
 
−
המשל בו כי מספרי א'ב'ג' מתיחסים נמשכים וכל אחד משתי הקצוות אשר הם
 
−
א"ג ראשון אצל האחר הנה אומר כי יחס א' אל ב' אינו כיחס ג' אל מספר אחר
 
−
המופת אם היה אפשר נאמר שיהיה כיחס ג' אל ד' . וכאשר המירונו יהיה
 
−
יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד' וכל אחד מא"ג ראשון אצל האחר אם כן
 
−
שניהם קטן שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם
 
−
אם כן א' ימנה ב' . וכאשר היו מספרים מתיחסים נמשכים והיה הראשון ימנה השני
 
−
הנה הוא ימנה האחר . הנה א' אם כן ימנה ג' וימנה עצמו וכל אחד משניהם ראשון
 
−
אצל האחר זה שקר . אם כן אין יחס א' אל ב' כיחס ג' אל מספר אחר . ומ'ש'ל' ..
 
−
נרצה לדעת כאשר היו שני מספרים ידועים אם אפשר שיהיה מספר י"ט
 
−
שלישי לשניהם . ונאמר שיהיו שני המספרים הידועים א"ב . ונרצה
 
−
שנדע אם אפשר שיהיה מספר שלישי מתיחס לשני מספרי א"ב אם היה כל אחד
 
−
משני מספרי א"ב ראשון אצל האחר הנה לא יהיה אפשר שיהיה מספר שלישי
 
−
מתיחס לשניהם . ואם לא יהיה כל אחד משני מספרי א"ב ראשון אצל האחר
 
−
הנה כאשר נכה ב' בכמוהו ויהיה מרובע ג' הנה שהוא אם יהיה א' ימנה ג' הנה אפשר
 
−
שיהיה מספר שלישי מתיחס לשני מספרי א"ב ואם לא יהיה א' ימנה ג' הנה לא ימצא
 
−
מספר מתיחס לשניהם .. המופת אנחנו נשים א' ראשון ימנה ג' וימנהו
 
−
בשעור אחדי ד' אם כן א' כאשר הוכה בד' היה ממנו ג' . וכאשר
 
−
הוכה ב' בכמוהו היה ג' אם כן משוטח א' בד' כמו מרובע ב' בכמוהו . אם כן יחס א'
 
−
אל ב' כיחס ב' אל ד' הנה כבר מצאנו מספר שלישי מתיחס לשני מספרי א"ב והוא
 
−
ד' . וגם כן הנה אנחנו נשים א' לא ימנה ג' הנה אומר כי לא ימצא מספר שלישי
 
−
יתיחס א"ב . שאם היה אפשר נאמר שיהיה מספר ד' . אם כן יחס א' אל ב' כיחס
 
−
ב' אל ד' . ומשוטח א' בד' כמו מרובע ב' ומרובע ב' הוא ג' אם כן משוטח א' בד' הוא
 
−
ג' אם כן א' ימנה ג' וכבר היה שלא ימנהו זה שקר אם כן אי אפשר שיהיה מספר
 
−
שלישי מתיחס לשני מספרי א"ב ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
=== Proposition 22 ===
−
=== Proposition 20 ===
 
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ</span> <big>נרצה</big> לדעת כאשר היו
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כב</span> אשר היו שעורים מה ואחרים על מספרם כל שני שעורים מן הראשון על יחס שני שעורים מן האחר הנה הם ביחס השווי יהיו ביחסם
−
שלשה מספרים ידועים אם אפשר שיהיה מספר רביעי יתיחס
 
−
להם . ויהיו המספרים השלשה א'ב'ג' . ונרצה שנדע אם יהיה מספר רביעי מתיחס
 
−
אל א'ב'ג' . הנה אם היה כל אחת משתי הקצוות והם א"ג ראשון אצל האחר הנה
 
−
אין מספר רביעי יתיחס א'ב'ג' . ואם לא יהיה כל אחד מהם מן א"ג ראשון אצל
 
−
האחר נכה ב' בג' ויהיה ד' הנה אומר כי אם היה א' ימנה ד' הנה יהיה מספר רביעי
 
−
יתיחס א'ב'ג' . ואם היה א' לא ימנה ד' הנה לא יהיה מספר רביעי יתיחס א'ב'ג' ..
 
−
המופת אנחנו נשים תחלה א' ימנה ד' וימנהו בשעור אחדי ה' הנה הוא
 
−
יוכה בה' ויהיה ד' אבל ב' הוכה בג' והיה ד' . אם כן שטח א' בה' כמו
 
−
שטח ב' בג' אם כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ה' הנה כבר מצאנו מספר רביעי
 
−
יתיחס א'ב'ג' והוא ה' . ואם לא יהיה א' ימנה ד' הנה לא יהיה אפשר שימצא מספר
 
−
רביעי יתיחס א'ב'ג' . המופת אם אפשר נאמר שיתיחס להם ה' אם
 
−
כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ה' הנה שטח א' אם כן בה' כמו משוטח
 
−
ב' בג' ומשוטח ב' בג' הוא ד' אם כן שטח א' בה' הוא ד' אם כן א' ימנה ד' וכבר היה
 
−
שלא ימנהו זה שקר אם כן אי אפשר שיהיה מספר רביעי שלא ימנה א'ב'ג כאשר
 
−
היה שלא ימנה ג' . ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א'ב'ג' ושעורי ד'ה'ו' על מספר אחד וכל שנים מן הראשון על יחס שנים מן האחר יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
−
=== Proposition 21 ===
+
|-
−
 
 
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ב' אל ג' כיחס ה' אל ו' הנה אומר כי יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ו'
 
|-
 
|-
−
|When even numbers are summed, as many one pleases, then their sum is an even number.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כא</span> <big>כאשר</big> נקבצו מספרי זוגות כמה שהיו הנה קבוצם מספר זוג
+
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשני שעורי א"ד כפלים שוים והם ח"ט ולשני שעורי ב"ה כפלים שוים והם כ"ל ולשני שעורי ג"ו כפלים שוים והם מ"נ הנה יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספרי א"ב ב"ג ג"ד זוגות
+
|style="text-align:right;"|וח"ט כפלים שוים לשני שעורי א"ד וכ"ל כפלים שוים לשני שעורי ב"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ד זוגות
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ט' אל ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי כל אחד מא"ב ב"ג ג"ד זוג
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יחס ב' אל ג' כיחס ה' אל ו' וכ"ל כפלים שוים לשעורי ב"ה ומ"נ כפלים שוים לשני שעורי ג"ו אם כן יחס כ' אל מ' כיחס ל' אל נ'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן לכל אחד מהם חצי מאחדי שעורו
+
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי יחס א' אל ב' כיחס ט' אל ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה לכל א"ד אם כן חצי מאחדי שעורו
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני שעורי ח"ט אם נוספים יחד על שני שעורי מ"נ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן א"ד זוג
+
|style="text-align:right;"|ואם שוים יחד לשניהם ואם חסרים יחד משניהם
 
|-
 
|-
−
|Q.E.D.
+
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|וח"ט כפלים שוים לשעורי א"ד ומ"נ כפלים שוים לשני שעורי ג"ו אם כן יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ו' וזה מה שרצינו לבארו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
=== Proposition 23 ===
−
=== Proposition 22 ===
 
  
 
|
 
|
−
|-
 
−
|When odd numbers are summed, as many as one pleases, and their multitude is even, then the sum is an even number.
 
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כב</span> <big>כאשר</big> נקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו והיה מספרם זוג הנה קבוצם מספר זוג
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו א"ב ב"ג ג"ד ד"ה נפרדים ומספרם זוג
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כג</span> כאשר היו שעורים כמה שיהיו ושעורים אחרים על מספרם כל שנים מהראשון על יחס שנים מן האחר ונתבלבל היחס הנה הם ביחס השווי יהיו על יחסם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי קבוץ א"ה זוג
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שעורי א'ב'ג' ושעורי ד'ה'ו' על מספר אחד וכל שנים מן הראשון על יחס שנים מן האחרון והיחס מבולבל יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו' ויחס ב' אל ג' כיחס ד' אל ה' הנה אומר כי יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ו'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המופת כי כל אחד מהם בינו ובין הזוג אחד
+
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נקח לשעורי א'ב'ד' כפלים שוים והם ח'ט'ל' ולשעורי ה'ו'ג' כפלים שוים והם מנ"כ הנה כפלי ח' לשעור א' ככפלי ט' לשעור ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר נבדל האחד מכל מספר מהם ישארו המספרים זוגות מנינם זוג <span style=color:red>מפתיחת ז</span>
+
|style="text-align:right;"|והחלקים אשר כפליהם שוים הנה יחס קצתם אל קצת כיחס כפליהם קצתם אל קצת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומנין האחרים הנבדלים זוג
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט' אבל יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן א"ה זוג <span style=color:red>משלפניה</span>
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ו' כיחס ח' אל ט'
−
|-
 
−
|Q.E.D.
 
−
|style="text-align:right;"|וזמש"ל
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מפני כפלי מ' לשעור ה' ככפלי נ' לשעור ו' אם כן יחס ה' אל ו' כיחס מ' אל נ' אבל יחס ה' אל ו' כיחס ח' אל ט'
−
=== Proposition 23 ===
 
−
 
 
−
|
 
−
|-
 
−
|When odd numbers are summed, as many as one pleases, and their multitude is odd, then the sum is an odd number.
 
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כג</span> <big>כאשר</big> נתקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו והיה מספרם נפרד הנה קבוצם נפרד
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי א"ב ב"ג ג"ד נפרדים ומנינם נפרד
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס מ' אל נ' כיחס ח' אל ט'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי קבוץ א"ד נפרד
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יחס ב' אל ג' כיחס ד' אל ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי ג"ד נפרד ונבדל ממנו אחד והוא ד"ה
+
|style="text-align:right;"|וכבר נלקח לשני שעורי ב"ד כפלים שוים והם ט"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וישאר ג"ה זוג <span style=color:red>מפתיחת ז</span>
+
|style="text-align:right;"|ולשני שעורי ג"ה כפלים שוים והם כ"מ אם כן יחס ט' אל כ' כיחס ל' אל מ'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וא"ג זוג כי הוא יקובץ ממספרים נפרדים מניינם זוג והם א"ב ב"ג <span style=color:red>משלפניה</span>
+
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי יחס ח' אל ט' כיחס מ' אל נ'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כל א"ה זוג
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני שעורי ח"ל אם נוספים יחד על שני שעורי כ"נ ואם שוים יחד להם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וה"ד אחד
+
|style="text-align:right;"|ואם חסרים יחד משניהם וח"ל כפלים שוים לשני שעורי א"ד וכ"נ לשני שעורי ג"ו אם כן יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ו'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן א"ד נפרד <span style=color:red>מכ"א</span>
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
−
|-
 
−
|Q.E.D.
 
−
|style="text-align:right;"|ונשלם באורו
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
 
=== Proposition 24 ===
 
=== Proposition 24 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|When an even number is subtracted from an even number, then the remainder is even.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כד</span> <big>כאשר</big> נבדל ממספר זוג זוג הנה הנשאר זוג
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כד</span> כאשר היה יחס הראשון אל השני כיחס השלישי אל הרביעי ויחס החמישי אל השני כיחס הששי אל הרביעי הנה יחס הראשון והחמישי מקובצים אל השני כיחס השלישי והששי מקובצים אל הרביעי
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי יחס הראשון והוא א"ב אל השני והוא ג' כיחס השלישי והוא ד"ה אל הרביעי והוא ו'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס החמישי והוא ב"ח אל השני והוא ג' כיחס הששי והוא ה"ט אל הרביעי והוא ו'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס הראשון והחמישי מקובצים והוא א"ח אל השני והוא ג' כיחס השלישי והששי מקובצים והוא ד"ט אל הרביעי והוא ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א"ב זוג וכבר נבדל ממנו מספר זוג והוא ב"ג
+
|style="text-align:right;"|מופתו כי יחס א"ב אל ג' כיחס ד"ה אל ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ג הנשאר זוג
+
|style="text-align:right;"|אבל יחס ג' אל ב"ח כיחס ז' אל ה"ט הנה השווי יהיה יחס א"ב אל ב"ח כיחס ד"ה אל ה"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי כל אחד מא"ב ב"ג זוג אם כן לכל אחד מהם חצי מאחדי השלם
+
|style="text-align:right;"|וכאשר הרכבנו יהיה יחס א"ח אל ח"ב כיחס ד"ט אל ט"ה אבל יחס ח"ב אל ג' כיחס ה"ט אל ו'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן א"ג הנשאר לו חצי מאחדי השלם אם כן הוא זוג
+
|style="text-align:right;"|הנה בשווי יהיה יחס א"ח אל ג' כיחס ד"ט אל ו'
 
|-
 
|-
−
|Q.E.D.
+
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם באורו
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
 
=== Proposition 25 ===
 
=== Proposition 25 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|When an odd number is subtracted from an even number, then the remainder is odd.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כה</span> <big>כאשר</big> נבדל ממספר זוג מספר נפרד הנה הנשאר נפרד
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כה</span> כאשר יהיו ארבעה שעורים מתיחסים והיה הראשון היותר גדול מהם והאחרון היותר קטן מהם הנה שניהם מקובצים יותר גדולים מן הנשארים מקובצים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי ארבעה שעורי אב'ג'ד' ה'ז' מתיחסים יחס א"ב אל ג"ד כיחס ה' אל ו' וא"ב היותר גדול מהם וו' היותר קטן מהם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א"ב זוג וכבר נבדל ממנו מספר א"ג והוא נפרד
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ב וו' מקובצים יותר גדולים מג"ד וה' מקובצים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי גם כן ג"ב הנשאר נפרד
+
|style="text-align:right;"|מופתו אנחנו נבדיל מן א"ב כמו ה' והוא א"ח ומן ג"ד כמו ז' והוא ג"ט הנה יחס א"ב אל ג"ד כיחס ה' אל ז' וה' כמו א"ח וז' כמו ג"ט אם כן א"ב אל ג"ד כיחס א"ח אל ג"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי א"ג נפרד וכאשר חברנו אחד אליו והוא ג"ד היה א"ד זוג
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א"ב אל ג"ד כיחס ח"ב הנשאר אל ט"ד הנשאר וכאשר המירונו היה יחס א"ב אל ב"ח כיחס ג"ד אל ד"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר נבדל מא"ב אשר הוא זוג א"ד אשר הוא זוג ישאר ד"ב זוג <span style=color:red>מאשר לפניה</span>
+
|style="text-align:right;"|וא"ב הראשון יותר גדול מן ג"ד השלישי אם כן ב"ח השני יותר גדול מן ט"ד הרביעי ונשים א"ח וט"ג משותפים אם כן שני שעורי א"ב וט"ג יותר גדולים מא"ח וג"ד וג"ט כמו ו' וא"ח כמו ה' אם כן א"ב וו' מקובצים יותר גדולים מן ג"ד וה' מקובצים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וג"ד אחד אם כן ג"ב נפרד
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
−
|Q.E.D.
+
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר החמישי מספר אקלידס החכם
 +
|}
 +
{|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 26 ===
+
== Book Six ==
 +
|style="text-align:right;"|<big>המאמר השישי</big>
 +
|-
 +
|
 +
=== Definitions ===
  
 +
|style="text-align:right;"|<big>הקדמות המאמר הששי</big>
 +
|-
 
|
 
|
 +
*{{#annot:surfaces-definition|2532|7gj7}}The similar rectilinear figures are those whose angles are equal and whose sides about the equal angles are proportional.
 +
|style="text-align:right;"|השטחים המתדמים הם אשר זויותיהם שוות וצלעותיהם המקיפות בזויות השוות מתיחסות{{#annotend:7gj7}}
 
|-
 
|-
−
|When an even number is subtracted from an odd number, then the remainder is odd.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כו</span> <big>כאשר</big> נבדל ממספר נפרד מספר זוג הנה הנשאר נפרד
+
*The figures that are reciprocally related are those whose sides are reciprocally proportional.
 +
|style="text-align:right;"|והשטחים המספיקות הצלעות הם אשר צלעותיהם מתיחסות על הקדמה ואחור
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א"ב נפרד וכבר נבדל ממנו מספר א"ג והוא זוג
+
|style="text-align:right;"|נמצא בנסחא אחרת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג"ב הנשאר נפרד
+
|style="text-align:right;"|המספיקות הם אשר בכל אחת מהן הקדמות והמשכות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי א"ב נפרד וכאשר חברנו אליו אחד והוא ב"ד היה א"ד זוג
+
*The height of any figure is the perpendicular drawn from its vertex to its base.
 +
|style="text-align:right;"|הגובה בתמונה הוא העמוד המוציא מנקודת ראשו אל תושבתו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר הבדלנו מא"ד הזוג א"ג הזוג נשאר ג"ד זוג <span style=color:red>מכ"ד</span>
+
|style="text-align:right;"|ומצאתי בקצת הנסחאות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וב"ד אחד אם כן ג"ב נפרד
+
|style="text-align:right;"|הגובה בתמונה הוא היותר גדול שבעמודים הנופלים מנקודת מה מן הנקודות אשר על מקיף תמונה מן התמונות אי זו תמונה שיהיה על התושבת או על קו אשר יהיה על יושרו
−
|-
 
−
|Q.E.D.
 
−
|style="text-align:right;"|ונשלם באורו
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
*A straight line is said to have been cut in mean and extreme ratio, when the ratio of the whole line to its greater segment is as the ratio of its greater segment to the smaller.
−
=== Proposition 27 ===
+
|style="text-align:right;"|ויאמר בקו הישר שהוא חלק על יחס בעל אמצעי ושתי קצוות כאשר היה יחס בקו בכללו אל היותר גדול שבחלקיו כיחס היותר גדול שבחלקיו אל היותר קטן משניהם
−
 
 
−
|
 
−
|-
 
−
|When an odd number is subtracted from an odd number, then the remainder is even.
 
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כז</span> <big>כאשר</big> נבדל ממספר נפרד מספר נפרד הנה הנשאר זוג
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א"ב נפרד וכבר נבדל ממנו ב"ג והוא נפרד
+
|style="text-align:right;"|יאמר כי היחס מחובר מיחסים כאשר היו שעורי היחסים אשר נכפלו בעצמיהם עשו יחס מה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ג הנשאר זוג
+
|style="text-align:right;"|נמצא בנסחא אחרת כי היחס מחובר יחלק ליחסים כאשר היו שעורי היחסים קצתם על קצת יחדשו יחס מה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי כל אחד מן א"ב ב"ג נפרד וכבר נבדל מכל אחד משניהם אחד והוא ב"ד הנה ישאר כל אחד מא"ד ד"ג זוג
+
 
−
|-
+
=== Proposition 1 ===
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר נבדל מא"ד הזוג ד"ג הזוג וישאר א"ג זוג <span style=color:red>מכ"ד מזה</span>
 
 
|-
 
|-
−
|Q.E.D.
+
|The parallelograms and triangles whose heights are the same magnitude, their ratio to one another is as the ratio of their bases to one another.
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_VI_1"></div><span style=color:red>א</span> <big>השטחים</big> נכחי הצלעות והמשולשים כאשר היה גבהותם בשעור אחד הנה יחס קצתם אל קצת כיחס תושבותיהם קצתם אל קצת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
=== Proposition 18 ===
−
=== Proposition 28 ===
 
  
 
|
 
|
−
|-
 
−
|When an odd number is multiplied by an even number, then the product is even.
 
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כח</span> <big>כאשר</big> הוכה מספר נפרד במספר זוג הנה המקובץ זוג
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א' נפרד והוכה במספר ב' והוא זוג וקובץ ג' אם כן ג' קבוץ
+
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_VI_18"></div><span style=color:red>יח</span> <big>כל שני</big> משולשים דומים הנה יחס אחד משניהם אל האחר הוא יחס צלעו אל צלעו אשר הוא נכחי לו שנוי
−
ממספרים נפרדים מנינם זוג אם כן מספר ג' זוג <span style=color:red>מכ"ב מזה</span>
 
−
|-
 
−
|Q.E.D.
 
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 29 ===
+
=== Proposition 32 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|For every right-angled triangle, the rectilinear figure on the side that is opposite to the right angle equals the sum of the rectilinear figures on the two remaining sides that are similar to it.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כט</span> <big>כאשר</big> הוכה מספר נפרד במספר נפרד הנה המקובץ נפרד . המשל בו כי
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לב</span> <big>כל משולש</big> נצב הזוית הנה התמונה ישרת הקוים המחוברת אל מיתר הזויות הנצבת ממנו כמו שתי התמונות ישרות הצלעות המחוברות אל שתי הצלעות הנשארות יחד כאשר היו דומות אליו והיו על מצבו
−
מספר א' נפרד וכבר הוכה במספר ב' והוא נפרד והתקבץ ג' הנה
 
−
אומר כי ג' נפרד .    המופת כי א' הנפרד הוכה בב' הנפרד והתקבץ ג' אם כן
 
−
מספר ג' מקובץ ממספרים נפרדים מניינם נפרד אם כן מנין ג'
 
−
נפרד . וזה מה שרצינו לבאר .. ויתבאר ממה שספרנו כי כאשר היה מספר
 
−
נפרד ימנה מספר זוג הנה הוא ימנהו במספר זוג . המשל בו כי מספר
 
−
א' נפרד והוא ימנה מספר ב' . וב' זוג הנה אומר כי הוא ימנהו במספר זוג . המופת
 
−
אנחנו נשים אחדי ג' בשעור מה שימנה א' הנפרד ב' הזוג . הנה א' יוכה בג'
 
−
והיה ב' הנה אומר כי ג' זוג ואם לא יהיה כן נאמר שיהיה ג' נפרד . אם א' הנפרד הוכה
 
−
בג' הנפרד והיה ב' הנה ב' אם כן נפרד זה שקר כי הוא כבר היה זוג אם כן אין ג' נפרד
 
−
הנה הוא אם כן זוג . אם כן א' ימנה ב' בשעור ג' הזוג וזה מה שרצינו לבאר ..
 
−
אמר תאבת והתמונה השלשים והאחת ושלשים לא נמצאם בנסחאות
 
−
אשר היו בהיכל ומצאנו אותם בכפרים
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי זוית א' ממשלש אב"ג נצבת
−
=== Proposition 30 ===
 
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל</span> <big>כאשר</big> יהיה מספר נפרד ימנה מספר נפרד הנה הוא ימנהו במספר נפרד
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי התמונה ישרת הצלעות הסמוכה אל מיתר זוית א' והוא צלע ב"ג כמו השתי תמונות ישרות הצלעות הסמוכות אל שתי צלעות א"ב א"ג יחד כאשר היו דומים לה ועל מצבה
−
המשל בו כי א' נפרד והוא ימנה ב' וב' נפרד הנה ימנהו בשעור ג' הנה אומר כי ג' נפרד
 
−
אי אפשר כי אם זה שאם היה אפשר נאמר שיהיה ג' זוג הנה א' מספר נפרד יוכה בג'
 
−
הזוג ויהיה ב' הנה ב' אם כן זוג . זה שקר כי הוא כבר היה נפרד אם כן אין ג' זוג הנה
 
−
הוא אם כן נפרד אם כן א' ימנה ב' בשעור ג' הנפרד . וזה מה שרצינו לבאר ..
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle BG^2:AB^2=\left(BG:AB\right)^2</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי יחס מרובע ב"ג אל מרובע א"ב כיחס ב"ג אל א"ב שנוי
−
=== Proposition 31 ===
 
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לא</span> <big>כאשר</big> היה מספר נפרד ימנה זוג . הנה הוא ימנה חציו גם כן ויהיה מספר
+
|style="text-align:right;"|ויחס התמונה ישרת הצלעות הסמוכה אל ב"ג אל התמונה הסמוכה אל א"ב הדומה אליו והמונח במצבו כיחס ב"ג אל א"ב שנוי
−
א' נפרד . ויהיה ב"ג זוג וימנה א' ב"ג ויהיה חצי ב"ג ג"ד הנה אומר כי א'
 
−
ימנה ג' ד' . המופת אם הנחנו מספר מה ב'ה'ז' מן האחדים כמו מניין מה שימנה א'
 
−
מספר ב"ג אם כן מספר ה"ז זוג . ויהיה חציו ז"ח הנה מפני כי א' ימנה
 
−
ב"ג בשעור האחדים אשר בה"ז יהיה א' אם כן הוכה בה"ז התקבץ ממנו ב"ג ומפני כי חצי
 
−
ה"ז הוא ח"ז וחצי ב"ג הוא ג"ד יהיה א' כאשר הוכה בז"ח והתקבץ ממנו ג"ד אם כן א' ימנה
 
−
ג"ד וזה מה שרצינו לבאר ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס מרובע ב"ג אל מרובע א"ב כיחס התמונה הסמוכה אל ב"ג אל התמונה הסמוכה אל א"ב
−
=== Proposition 32 ===
 
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לב</span> <big>כל</big> מספר נפרד יהיה ראשון אצל מספר אחר הנה הוא ראשון אצל כפלו . המשל
+
|style="text-align:right;"|הנה אם כן יחס מרובע ב"ג אל שני מרובעי א"ב א"ג כיחס התמונה הסמוכה אל ב"ג אל שתי התמונות הסמוכות אל א"ב א"ג
−
בו כי מספר א' נפרד והוא ראשון אצל ג"ד . ויהיה ג"ה כפל ג"ד . הנה
 
−
אומר כי א' ראשון אצל הג' . המופת אם היה אפשר שלא יהיה כן הנה ימנה
 
−
אותם מספר אחד והוא ב' אם כן ב' ימנה א' הנפרד . הנה ב' אם כן נפרד
 
−
והוא ימנה הג' הזוג והוא ימנה חציו וימנה א' אם כן ב' ימנה א' וימנה ד"ג וכל אחד
 
−
מהם ראשון אצל האחר זה שקר אם כן לא ימנה א' וה"ג מספר אחר אם כן כל אחד
 
−
משניהם ראשון אצל האחר ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle BG^2=AB^2+AG^2</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|אבל מרובע ב"ג כמו שני מרובעי א"ב וא"ג
−
=== Proposition 33 ===
 
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לג</span> <big>המספרים</big> אשר יכפלו משנים הם זוג
+
|style="text-align:right;"|אם כן התמונה ישרת הצלעות הסמוכה אל ב"ג כמו שתי התמונות הישרות הצלעות הדומות אליה והמונחת במצבה הסמוכה אל א"ב
−
הזוג לבד . המשל בו כי מספרי ב'ג'ד' כפולים משנים הנה
+
|-
−
אומר כי כל אחד מן ב'ג'ד' הוא זוג הזוג . המופת אנחנו נשים האחד קודם . וא'
+
|Q.E.D.
−
הוא שנים והוא כפל האחד וב' הוא כפל א' וג' כפל ב' וד' כפל ג' הנה כל אחד
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
−
מן א"ב ג"ד הוא זוג וא' הוא שנים והוא ראשון . וכאשר הגענו [...] מספרים מן האחד
 
−
נמשכים כמה שהיו והיה אשר ילוה אל האחד מהם ראשון לא ימנה הרב מהם כי אם
 
−
מספרים מהם אם כן ד' לא ימנהו אלא מספרים ממספרי א'ב'ג' וכל מספר ימנהו
 
−
מהם הנה הוא אמנם ימנהו במספר מן א'ב'ג' אשר הם זוגות אם כן מספר ד' זוג
 
−
הזוג לבד . שאם היה אפשר שיהיה זוג הזוג וזוג הנפרד הנה ימנה אותם מספר
 
−
נפרד ויתחייב מזה שיהיה מספר אחד ממספרי א'ב'ג'ד' נפרד וזה בלתי אפשר
 
−
אם כן אין אחד ממספרי ב'ג'ד' זוג הנפרד . אם כן אין כל אחד מהם זוג הזוג לבד
 
−
וזה מ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|אחרים והוא שנוציא עמוד א"ד הנה שני משולשי אב"ג אב"ד מתדמים
−
=== Proposition 34 ===
+
|-
−
 
+
|<math>\scriptstyle BG:AB=AB:BD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ב"ג אל א"ב כמו יחס א"ב אל ב"ד
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ג"ב אל ב"ד כיחס השטח הסמוך אל ג"ב אל השטח הסמוך אל א"ב והדומה אליו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לד</span> <big>כל</big> מספר חציו נפרד הנה הוא זוג הנפרד לבד . המשל בו כי
+
|style="text-align:right;"|וכן יחס ב"ג אל ג"ד כיחס השטח הסמוך אל ב"ג אל השטח הסמוך אל ג"א הדומה אליו
−
מספר א"ב חציו נפרד והוא ב"ג הנה אומר כי א"ב זוג הנפרד
 
−
לבד . ואולם אם היה א"ב זוג הנפרד הנה הוא מבואר . וזה כי חציו איננו זוג
 
−
הנה אומר שהוא אמנם הוא זוג הנפרד לבד . ואם היה אפשר שיהיה עם זה זוג
 
−
הזוג הנה חציו זוג . ואין הדבר כן אם כן מספר א"ב הוא זוג הנפרד . ומ'ש'ל' ..
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ב"ג אל ב"ד וד"ג כיחס השטח שהוא סמוך אל ב"ג אל שני השטחים הסמוכים אל א"ב וא"ג יחד
−
=== Proposition 35 ===
 
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|<math>\scriptstyle BG=BD+DG</math>
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לה</span> <big>כל</big> מספר זוג איננו כפול משנים ואין חציו נפרד הנה הוא זוג הזוג וזוג
+
|style="text-align:right;"|וב"ג כמו ב"ד ד"ג יחד
−
הנפרד . ויהיה מספר עליו א"ב ולא יהיה כפול משנים ולא יהיה
 
−
חציו אשר הוא ג"ב נפרד הנה אומר כי א"ב זוג הזוג וזוג הנפרד . ואולם היות מספר
 
−
א"ב זוג הזוג הנה הוא מבואר . וזה כי חציו זוג ואומר כי הוא זוג הנפרד וזה כי
 
−
אנחנו חלקנו ב"ג בשני חציים וחציו בשני חציים ולא נסור נעשה כמו זה הנה אנחנו
 
−
נכלה אל מספר נפרד ימנה אשר לפניו וימנה א"ב ולא יכלה אל האחד . כי אנחנו
 
−
אם כלינו אל האחד הנה א"ב מכפלי השנים וכבר היה שאמרנו שאינו כן ושיכלה
 
−
אל מספר ימנה אשר ילוה אליו לפניו וימנה א"ב והוא מבואר שהוא ימנה
 
−
פעמי מספרם זוג אם כן מספר א"ב זוג הנפרד וכבר היה זוג הזוג . אם כן מספר
 
−
א"ב זוג הזוג וזוג הנפרד . ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|אם כן השטח הסמוך אליו כמו שני השטחים הסמוכים אל שניהם יחד
−
=== Proposition 36 ===
 
−
 
 
−
|
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|Q.E.D.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לו</span> <big>כאשר</big>ימשכו מספרים מה על יחס כמה
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
−
שיהיו המספרים ונבדל מן השני ומן האחרון כמו הראשון הנה יחס
 
−
הנשאר מן השני אל הראשון כיחס הנשאר מן האחרון אל כל המספרים אשר לפניו
 
−
כאשר נקבצו . המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד ח"ז ט"נ נמשכים על יחס וכבר נבדל
 
−
מן ג"ד השני ומן ט"נ האחרון כמו א"ב והם ה"ד מ"נ הנה אומר כי יחס ג"ה הנשאר
 
−
מן השני אל א"ב כיחס ט"מ הנשאר מן האחרון אל כל המספרים אשר לפניו והם
 
−
א"ב ג"ד ז"ח . המופת אנחנו נשים ל"נ כמו ג"ד וכ"נ כמו ז"ח הנה יחס ט"נ
 
−
אל ז"ח כיחס ז"ח אל ג"ד וכיחס ג"ד אל א"ב . וז"ח כמו כ"נ וג"ד כמו ל"נ
 
−
וא"ב כמו מ"נ אם כן יחס ט"נ אל כ"נ כיחס כ"נ אל נ"ל וכיחס ל"נ אל מ"נ . וכאשר
 
−
הבדלנו היה יחס ט"כ אל כ"נ כיחס כ"ל אל ל"נ וכיחס ל"מ אל מ"נ . ויחס אחד מן
 
−
הקודמים אל אחד מן הנמשכים כיחס כל הקודמים אל כל הנמשכים . אם כן יחס
 
−
ל"מ אל מ"נ כיחס כל ט"כ כ"ל ל"מ אל כל כ"נ נ"ל מ"נ ול"מ כמו ג"ה כי כל ל"נ כמו ג"ד ומ"נ כמו
 
−
כל אחד מן א"ב ה"ד מ"נ וישאר ל"מ כמו ג"ה ומ"נ כמו א"ב אם כן יחס ג"ה אל א"ב כיחס
 
−
ט"מ אל כל כ"נ ל"נ מ"נ וכ"נ כמו ח"ז ול"נ כמו ג"ד ומ"נ כמו א"ב . אם כן יחס הנשאר מן
 
−
ג"ד השני אל א"ב כיחס הנשאר מן ט"נ האחרון אל כל ז"ח ג"ד א"ב והם המספרים
 
−
אשר לפני ט"נ . וזה מה שרצינו לבאר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 37 ===
+
=== Proposition 33 ===
  
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|When there are two angles in equal circles that stand at the centers or at the circumferences, the ratio of the angle to the angle is as the ratio of both arcs on which they stand one to the other.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לז</span> <big>כאשר</big> היו מספרים נמשכים על יחס
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לג</span> <big>כאשר</big> היו בשתי עגולות שוות שתי זויות על המרכז או על הקו המקיף הנה יחס הזויות אל הזויות כיחס שתי הקשתות אשר עליהם אחת אל אחת
−
הכפל מתחילים מן האחד כמה שהיו אחר כן יקובצו יחד והאחד
 
−
עמהם והיה כל זה מספר ראשון אחר כן הוכה אותו המספר הראשון באחרון מן
 
−
המספרים אשר נקבצו הנה המספר אשר יתקבץ מן ההכאה הוא מספר שלם . המשל
 
−
בו כי מספרי א"ב ג"ד נכפלו מן האחד אחר כן נקבצו והאחד עמהם והיו מספר ה' והוא
 
−
ראשון הנה כאשר הוכה ה' במספר האחרון והוא ד' היה ז"ח הנה אומר כי ז"ח מספר שלם .
 
−
המופת שילקח מה' מספרים על יחס א"ב ג"ד ועל מניינם והם ה^ מ' אם כן ^ט"ב
 
−
א"ב ג"ד על יחס ה^ מ' ועל מניינם אם כן יחס א' אל ד' כיחס ה' אל מ' ^ט"ב
 
−
אם כן ה' בד' כמו א' במ' אבל ה' בד' הוא ז"ח אם כן א' במ' הוא ז"ח וא' הוא שני אם כן
 
−
ז"ח כפל מ' ומ' כפל ל' ול' כפל ט"כ וט"כ כפל ה' . ואם כן החמשה מספרים אשר הם ה' ט"כ
 
−
ל' מ' ז"ח מתיחסים נמשכים . וכאשר נבדל מן השני והאחרון כמו הראשון הנה יחס
 
−
הנשאר מן השני אל הראשון כיחס הנשאר מן האחרון אל כל המספרים אשר לפניו
 
−
כאשר נקבצו ונבדל מכל אחד מן ט"כ ז"ח כמו ה' והם כ"ס ע"ח . אם כן יחס הנשאר
 
−
מן ט"כ והוא ט"ס אל ה' כיחס הנשאר מן ז"ח והוא ז"ע אל כל מ"ל ט"כ ה' . וט"כ כפל ה'
 
−
וס"כ כמו ה' אם כן ט"ס כמו ה' וז"ע אם כן כמו כל מ"ל ט"כ ה' וה' כמו כל ד"ג ב"א והאחד
 
−
עמהם והוא גם כן שוה לע"ח אם כן ע"ח שוה לכל ד"ג ב"א והאחד עמהם . וז"ע כבר
 
−
התבאר שהוא שוה לכל מ"ל ט"כ ה' אם כן כל ז"ח שוה לכל מ"ל ט'כ' ה' ד"ג ב"א והאחד
 
−
עמהם הנה אומר כי לא ימנה ז"ח מספר אחר זולת ד"ג ב"א ה'ט'ב' ל"ח והאחד .. המופת
 
−
כי הוא אי אפשר שאם היה אפשר הנה ימנהו זולתם והוא נ' וימנהו
 
−
במספר אחדי פ' אם כן פ' יוכה בנ' ויהיה ז"ח אם כן שטח פ' בנ' כמו משוטח ה' בד'
 
−
אם כן יחס פ' אל ק' כיחס ד' אל נ' ונ' אינו אחד מן א"ב ג' אם כן נ' לא ימנה ד' אבל
 
−
יחס נ' אל ד' כיחס ה' אל פ' . אם כן ה' לא ימנה פ' וה' ראשון אם כן כל אחד מן פ' וה' ראשון
 
−
אצל האחר אם כן שניהם קטני שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על
 
−
יחס שניהם בשווי הקטן לקטן והרב לרב . אם כן פ' ימנה ד' . וכאשר התיחסו מספרים
 
−
מן האחד נמשכים כמה שהיו והיה אשר ילוה אל האחד ראשון הנה הוא לא ימנה
 
−
אחד מהם כי אם המספרים מן היחס ההוא . אם כן מספר ד' לא ימנוהו כי אם המספרים
 
−
ממספרי א'ב'ג' אם כן מספר פ' אחד ממספרי א'ב'ג' . ויהיה ב' וילקח מן ה' מן המספרים
 
−
על מנין ב'ג'ד' והם ה"ט כ"ל והם על יחס ב'ג'ד' אם כן יחס ב' אל ד' כיחס ה' אל ל' אם כן ה'
 
−
בד' כמו ב' בל' . אבל ה' בד' כמו ב' בנ' והוא ז"ח אם כן ב' בל' כמו פ' בנ' והוא ז"ח אם כן
 
−
יחס ב' אל פ' כיחס נ' אל ל' ופ' הוא ב' אם כן נ' הוא ל' וכבר היה נ' אינו אחד מן א"ב ג"ד
 
−
ה'ט'כ' ל"מ זה שקר . אם כן ז"ח לא ימנהו מספר אחר כי אם א'ב'ג'ד' ה"ט כ'ל'מ' והאחד וז"ח
 
−
שוה לכלם והאחד עמהם . אם כן ז"ח מספר שלם שוה לכל חלקיו . ומ'ש'ל' ..
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|Example: <math>\scriptstyle\bigcirc_{ABG}=\bigcirc_{DHZ}</math>
−
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר התשיעי
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו בשתי עגולות אב"ג דה"ז השוות
−
|}
 
−
{|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|ועל מרכזיהם שתי זויות גח"ב הט"ז
−
== Book Ten ==
 
−
|style="text-align:right;"|<big>המאמר העשירי</big>
 
 
|-
 
|-
−
|
+
|Supposition: <math>\scriptstyle\overset{\frown}{BG}:\overset{\frown}{HZ}=\measuredangle BCG:\measuredangle HTZ=\measuredangle GAB:\measuredangle HDZ</math>
−
|style="text-align:right;"|בעלי השעורים מן הקוים והשטחים והמוגשמים אשר יאמר להם המשותפים הם אשר ישער אותם כלם שעור אחד
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי יחס קשת ב"ג אל קשת ה"ז כיחס זוית בח"ג אל זוית הט"ז וכיחס זוית גא"ב אל זוית הד"ז
 
|-
 
|-
−
|
+
|Proof:
−
|style="text-align:right;"|ואשר יאמר להם בלתי משותפים הם אשר לא ישער אותם כלם שעור אחד
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נבדיל מעגולת אב"ג כמו קשת ב"ג כמה שרצינו נאמר שנבדיל ג"כ כ"ל ומעגולת דה"ז גם כן כמו קשת ה"ז כמה שנרצה נאמר שנבדיל ז"מ מ"נ ונוציא שני קוי כ"ח ח"ל ושני קוי ט"מ ט"נ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והקוים הישרים יאמר להם המשותפים בכח כאשר היה למרובעים ההווים מהם שטח ישער אותם
+
:<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BG}=\overset{\frown}{GK}=\overset{\frown}{KL}</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה קשתות ב"ג ג"כ כ"ל שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויאמר להם בלתי משותפים בכח כאשר לא יהיה למרובעים ההווים מהם שטח ישער אותם
+
:<math>\scriptstyle\measuredangle BCG=\measuredangle GCK=\measuredangle KCL</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זויות בח"ג גח"כ כח"ל שוות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה נבאר כי כאשר התחיל והניח קו ישר הנה לו קוים ישרים אין תכלית לרבויים בלתי משותפים לו קצתם באורך לבד וקצתם באורך והניח יחד
+
:<math>\scriptstyle\left(n\sdot\overset{\frown}{BL}\right):\overset{\frown}{BG}=\left(n\sdot\measuredangle BCL\right):\measuredangle BCG</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כפלי קשת ב"ל לקשת ב"ג ככפלי זוית בח"ל לזוית בח"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויגיע לקו הישר אי זה קו שיהיה ממה שיתחיל הנחתו וישים תחלה המדבר
+
:<math>\scriptstyle\left(m\sdot\overset{\frown}{HN}\right):\overset{\frown}{HZ}=\left(m\sdot\measuredangle HTN\right):\measuredangle HTZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן כפלי קשת ה"נ לקשת ה"ז ככפלי זוית הט"נ לזוית הט"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה הקוים המשותפים לו הם המדברים
+
:*<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}>\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL>\measuredangle HTN</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה ב"ל תוסיף על קשת ה"נ הנה זוית בח"ל תוסיף על זוית הט"נ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואשר בלתי משותפים לו בלתי מדברים
+
:*<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}=\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL=\measuredangle HTN</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואם יהיה שיהיו שוים אליה הנה היא שוה אליה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והקו כאשר היה ממנו מרובע ידובר בו הנה המרובעים המשותפים למרובע ההוא ידובר בהם והבלתי משותפים בלתי מדברים
+
:*<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}<\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL<\measuredangle HTN</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה שיוחסרו ממנה הנה היא תחסר ממנה
 +
|-
 +
|The four magnitudes: <math>\scriptstyle\overset{\frown}{BG}\quad\overset{\frown}{HZ}\quad\measuredangle BCG\quad\measuredangle HTZ</math> are proportional.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן השעורים ארבעה קשת ב"ג וקשת ה"ז וזוית בח"ג וזוית הט"ז מתיחסים
 +
|-
 +
|
 +
:<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}</math> and <math>\scriptstyle\measuredangle BCL</math> are equimultiples of <math>\scriptstyle\overset{\frown}{BG}</math> and <math>\scriptstyle\measuredangle BCG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכפלי קשת ב"ג וזוית בח"ג השוה הפעמים היא קשת ב"ל וזוית בח"ל
 +
|-
 +
|
 +
:<math>\scriptstyle\overset{\frown}{HN}</math> and <math>\scriptstyle\measuredangle HTN</math> are equimultiples of <math>\scriptstyle\overset{\frown}{HZ}</math> and <math>\scriptstyle\measuredangle HTZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכפלי קשת ה"ז וזוית הט"ז השוה הפעמים היא קשת ה"נ וזוית הט"נ
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}>\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL>\measuredangle HTN</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי קשת ב"ל אם היתה נוספת על קשת ה"נ הנה זוית בח"ל נוספת על זוית הט"נ
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}=\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL=\measuredangle HTN</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואם היתה שוה אליה הנה היא שוה אליה
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BL}<\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL<\measuredangle HTN</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואם היתה חסרה ממנו הנה היא חסרה ממנה
 +
|-
 +
|
 +
:<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BG}:\overset{\frown}{HZ}=\measuredangle BCG:\measuredangle HTZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס קשת ב"ג אל קשת ה"ז כיחס זוית בח"ג אל זוית הט"ז
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle\measuredangle A=\frac{1}{2}\measuredangle BCG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית א' אשר על המקיף הנה היא חצי זוית בח"ג אשר על המרכז
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle\measuredangle HDZ=\frac{1}{2}\measuredangle HTZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית הד"ז היא חצי זוית הט"ז
 +
|-
 +
|
 +
:<math>\scriptstyle\overset{\frown}{BG}:\overset{\frown}{HZ}=\measuredangle A:\measuredangle D</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס קשת ב"ג אל קשת ה"ז גם כן כיחס זוית א' אל זוית ד'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והנה נשלם המאמר הששי מספר אקלידס החכם בשרשים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויבא אחריו המאמ' השביעי מזה הספר בג"ה בעה"ו ובס"ד
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
== Book Seven ==
 +
|style="text-align:right;"|<big>המאמר השביעי</big>
 +
 
 +
|-
 +
|
 +
=== Definitions ===
 +
 
 +
|style="text-align:right;"|<big>הקדמות המאמר</big>
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|369,1686|KTZd}}The unit is that by which each of the beings is called one.
 +
|style="text-align:right;"|<big>האחדות</big> הוא הדבר אשר יאמר בו לכל דבר אחד מן הנמצאות אחד{{#annotend:KTZd}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|35,1174|MNqP}}The number is a multitude composed of units.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המספר</big> הוא הקבוץ המורכב מן האחדים{{#annotend:MNqP}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|606,1259|3rk2}}The smaller number is a part of the greater number, when it counts it.
 +
|style="text-align:right;"|המספר הקטן יהיה <big>חלק</big> מן המספר הרב כאשר היה שימנה אותו{{#annotend:3rk2}}
 +
|-
 +
|
 +
*But, it is parts of it, when it does not count it.
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה <big>חלקים</big> ממנו כאשר היה שלא ימנה אותו
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|1630|gPT0}}The greater number is a multiple of the smaller number, when the smaller counts it.
 +
|style="text-align:right;"|המספר הרב יהיה <big>כפלים</big> למספר הקטן כאשר היה הקטן מונה אותו{{#annotend:gPT0}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|63,1333|ei5Y}}The even number is that which is divisible into two equal parts.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המספר הזוג</big> הוא אשר יחלק בשני חלקים שוים{{#annotend:ei5Y}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|65,1336|XFQh}}The odd number is that which is not divisible into two equal parts, and that which differs by a unit from an even number.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המספר הנפרד</big> הוא אשר אי אפשר שיחולק לשני חלקים שוים ואשר יתחלף הזוג באחד{{#annotend:XFQh}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|69,1334|FVG6}}The number that is called an even-times-even number is that which is counted an even number of times by an even number.
 +
|style="text-align:right;"|המספר אשר יאמר לו <big>זוג הזוג</big> הוא אשר ימנה אותו מספר זוג פעמים מספרם זוג{{#annotend:FVG6}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|70,2125|lLa0}}The number that is called an even-times-odd number is that which is counted an even number of times by an odd number.
 +
|style="text-align:right;"|המספר אשר יאמר לו <big>זוג הנפרד</big> הוא אשר ימנהו מספר נפרד פעמים מספרם זוג{{#annotend:lLa0}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|2341,2340|Fgjc}}The number that is called an odd-times-odd number is that which is counted an odd number of times by an odd number.
 +
|style="text-align:right;"|המספר אשר יאמר לו <big>נפרד הנפרד</big> הוא אשר ימנהו מספר נפרד פעמים מספרם נפרד{{#annotend:Fgjc}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|76,1520|5Z33}}The number that is called a prime number is that which is counted by a unit alone.
 +
|style="text-align:right;"|המספר אשר יקרא <big>ראשון</big> הוא אשר ישיגהו המנין באחד לבד{{#annotend:5Z33}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|1977,1959|OCw3}}The number that is called a composite number is that which is counted by a number other than the unit.
 +
|style="text-align:right;"|המספר אשר יאמר לו <big>המספר המורכב</big> הוא אשר ישיגהו המנין במספר זולת אחד{{#annotend:OCw3}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|2546,1873|XAQP}}The numbers that are relatively composite are those which are counted by a number.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המספרים המשותפים</big> הם אשר ימנה אותם מספר אחד{{#annotend:XAQP}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|78,2547|QkYH}}The numbers that are relatively prime are those which are counted by a unit alone as a common measure.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המספרים המובדלים</big> הם אשר אמנם לא ימנם מספר משותף כי אם אחד לבדו{{#annotend:QkYH}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|358,2265|KOz0}}The number that is multiplied by a number is that which is duplicated as many times as there are units in the multiplicand and the product is some number.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המספר המוכה</big> במספר הוא אשר יכפל פעמים כמנין מה שבמוכה בו מן האחדים ויהיה מה שיתקבץ מספר אחד{{#annotend:KOz0}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|86,1263|Os89}}The square number is the product of a number that is multiplied by its similar, or that which is contained by two equal numbers.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המספר המרובע</big> הוא המקובץ מהכאת מספר בדומה לו או הוא אשר יקיפו בו שני מספרים שוים{{#annotend:Os89}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|91,1828|3TfL}}The cube number is the product of a number that is multiplied by its product by its similar, or that which is contained by three equal numbers.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המספר המעוקב</big> הוא המקובץ מהכאת מספר במה שיתקבץ מהכאתו בדומה לו או הוא אשר יקיפו בו שלשה מספרים שוים{{#annotend:3TfL}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|83,1568|ZQ6h}}The plane number is the product of a number that is multiplied by another, or that which is contained by two numbers.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המספר המשוטח</big> הוא המקובץ מהכאת מספר מה שהיה באחר או אשר יקיפו בו שני מספרים{{#annotend:ZQ6h}}
 +
|-
 +
|
 +
:*{{#annot:definition|1604,1464|9saF}}The two numbers that are multiplied one by the other, so that the plane number is produced, are called the two sides of the plane.
 +
|style="text-align:right;"|ויקראו שני המספרים אשר הוכה אחד משניהם באחר והתקבץ משניהם המשוטח ההוא שני <big>צלעי השטח</big>{{#annotend:9saF}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|89,1851|Q65J}}The solid number is the product of a number that is multiplied by the product of two numbers that are multiplied one by the other.
 +
|style="text-align:right;"|<big>והמספר המוגשם</big> הוא המקובץ מהכאת מספר במה שיתקבץ מהכאת שני מספרים אחד באחר{{#annotend:Q65J}}
 +
|-
 +
|
 +
:*The three numbers are the sides of the solid.
 +
|style="text-align:right;"|והמספרים השלשה <big>צלעות המוגשם</big>
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|994,1277|ekBL}}The proportional numbers are those of which the first is the same part, or the same parts, of the second, as the third is of the fourth.
 +
|style="text-align:right;"|<big>והמספרים המתיחסים</big> הם אשר יהיה הראשון מן השני והשלישי מן הרביעי חלק אחד בעצמו או חלקים אחדים בעינם{{#annotend:ekBL}}
 +
|-
 +
|
 +
*The similar plane and solid numbers are those whose sides are proportional.
 +
|style="text-align:right;"|המספרים המשוטחים והמוגשמים הדומים הם אשר צלעותיהם מתיחסות
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|75,1268|ongl}}The perfect number is that which is equal to [the sum] of all its parts.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המספר השלם</big> הוא השוה לכל חלקיו{{#annotend:ongl}}
 +
|-
 +
|The definitions are complete.
 +
|style="text-align:right;"|תמו ההקדמות
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 1 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|1) For every two unequal numbers, such that the multiple of the smaller that is contained in [the greater] is subtracted from the greater, until the remainder is less than the smaller; then the multiple of this remainder that is contained in [the smaller] is subtracted from the smaller and what is left is less than the [first] remainder; then the multiple of second remainder that is contained in [the first remainder] is subtracted from the first remainder and what is left is less than the [second remainder]; and so on [the remainders] are subtracted continually; if what is left from [the two original numbers] never ends with the number that precedes it, but until a unit is left, then the two [original] unequal numbers are relatively prime.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>כל</big> שני מספרים מתחלפים יחסר מהרב משניהם מה שבו מכפלי הקטן עד שיותר פחות מן הקטן<br>
 +
אחר כן יחסר מן הקטן מה שבו מכפלי היתרון ההוא ויותר פחות ממנו<br>
 +
אחר כן יחוסר מן היתרון הראשון מה שבו מכפלי המותר השני וישאר פחות ממנו<br>
 +
עוד לא יסורו יחסרו כן ולא יכלה במה שישאר משניהם אל מספר אחד אשר ילוה לו לפניו עד שיכלה אל האחד הנה שני המספרים המתחלפים נבדלים
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|Example:
 +
:<math>\scriptstyle AB-n\sdot GD=AB-TB=AT<GD</math>
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי שני מספרי א"ב ג"ד יחוסר מן הגדול משניהם והוא א"ב ממנו מדמיוני ג"ד הפחות משניהם והוא ט"ב ונשאר פחות מן ג"ד והוא א"ט
 +
|-
 +
|
 +
:<math>\scriptstyle GD-m\sdot AT=GD-DC=GC<AT</math>
 +
|style="text-align:right;"|עוד חוסר מן ג"ד מה שבו מדמיוני א"ט והוא ד"ח והותיר פחות מן א"ט והוא ג"ח
 +
|-
 +
|
 +
:<math>\scriptstyle AT-f\sdot GC=AT-KT=AK=1</math>
 +
|style="text-align:right;"|עוד חוסר מן א"ט מה שבו מדמיוני ג"ח והוא כ"ט ונותר א"כ והוא אחד
 +
|-
 +
|Supposition: AB and GD are relatively prime.
 +
|style="text-align:right;"|ואומר כי שני מספרי א"ב ג"ד נבדלים
 +
|-
 +
|Proof:
 +
:<span style=color:red>def. relatively prime:</span> If AB and GD are not relatively prime, there is a number that measures both of them. Let it be H.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי אם לא יהיו מספרי א"ב ג"ד נבדלים הנה ימנה שניהם מספר מה אם היה אפשר והוא מספר ה' <span style=color:red>מהפתיחה</span>
 +
|-
 +
|
 +
::H measures GD and GD measures TB.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספר ה' ימנה ג"ד וג"ד ימנה ט"ב
 +
|-
 +
|
 +
::Then, [H] measures TB and it measures the whole AB.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן הוא ימנה ט"ב והוא ימנה כל א"ב
 +
|-
 +
|
 +
::Therefore, it measures the whole AT and TA measures CD.
 +
|style="text-align:right;"|הנה הוא אם כן ימנה כל א"ט וט"א ימנה ח"ד
 +
|-
 +
|
 +
::Hence, H measures CD and it measures the whole GD.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ח"ד וימנה כל ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
::Then, H measures CG and CG measures KT.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אם כן ה' ימנה ח"ג וח"ג ימנה כ"ט
 +
|-
 +
|
 +
::Therefore, H measures KT and it measures the whole TA.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה כ"ט והוא ימנה כל ט"א
 +
|-
 +
|
 +
::Hence, [H] measures AK and AK is one, but H is a number - it is false.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אם כן ימנה א"כ וא"כ אחד וה' מספר זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
::So, no number measures AB and GD except one.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה א"ב ג"ד מספר זולת האחד
 +
|-
 +
|<span style=color:red>def. relatively prime:</span> Therefore, they are relatively prime.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם נבדלים <span style=color:red>מהפתיחה</span>
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל    
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 2 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|2) We wish to explain how we find the greatest common number that counts two given relatively composite unequal numbers.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> <big>נרצה</big> שנבאר איך נמצא גדול מספר משותף ימנה שני מספרים ידועים משותפים בלתי שוים
 +
|-
 +
|
 +
:We set the two given relatively composite unequal numbers AB and GD.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים שני המספרים הידועים המשותפים הבלתי שוים שני מספרי א"ב ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
:We wish to find the greatest common number that counts both of them.
 +
|style="text-align:right;"|ונרצה למצוא המספר היותר גדול המשותף אשר ימנה שניהם יחד
 +
|-
 +
|
 +
:*If GD counts AB and it counts itself, then it is the greatest common number that counts both of them.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אם היה ג"ד ימנה א"ב והוא ימנה עצמו הנה הוא גדול המשותף אשר ימנה שניהם יחד
 +
|-
 +
|
 +
::For it is impossible that a number greater than GD counts both.
 +
|style="text-align:right;"|כי הוא בלתי אפשר שימנה שניהם יחד מספר יותר גדול ממנו
 +
|-
 +
|
 +
:*If GD does not count AB
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה ג"ד בלתי מונה א"ב הנה א"ב ג"ד אם כן מתחסרים כמו שספרנו קודם
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VII.1:</span>
 +
|style="text-align:right;"|כי הנה אי אפשר שלא יותיר מספר ימנה אשר ילוה אליו לפניו כי הוא אם לא יותיר מספר ימנה אשר ילוה אליו לפניו הנה שניהם אם כן נבדלים <span style=color:red>משלפניה</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה ג"ד כאשר ימנה ב"א יותיר פחות ממנו והוא א"ה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה"א כאשר מנה ג"ד יחסר פחות ממנו והוא ז"ג
 +
|-
 +
|
 +
::ZG measures HA.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן הנה ימנה ז"ג ה"א
 +
|-
 +
|
 +
::ZG measures HA and HA measures ZD.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ג ימנה ה"א וה"א ימנה ז"ד
 +
|-
 +
|
 +
::ZG measures ZD and it measures itself.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ג ימנה ז"ד וימנה עצמו
 +
|-
 +
|
 +
::ZG measures the whole GD and GD measures HB.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ג ימנה כל ג"ד וג"ד ימנה ה"ב
 +
|-
 +
|
 +
::ZG measures HB and it measures AH.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ג ימנה ה"ב וימנה א"ה
 +
|-
 +
|
 +
::ZG measures the whole AB and it measures GD, so it is a common measure of both of them.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ג ימנה כל א"ב וימנה ג"ד הנה הוא אם כן מספר משותף לשניהם
 +
|-
 +
|Supposition: it is their greatest common measure.
 +
|style="text-align:right;"|ואומר כי הוא המספר הגדול המשותף
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אם לא יהיה ז"ג הוא המספר הגדול המשותף אשר ימנה א"ב ג"ד יחד הנה ימנה אותם מספר אחר יותר מז"ג הוא המספר המשותף והוא ח'
 +
|-
 +
|
 +
::C measures GD and GD measures HB.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח' ימנה ג"ד וג"ד ימנה ה"ב
 +
|-
 +
|
 +
::C measures HB and it measures the whole AB.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח' ימנה ה"ב וימנה כל א"ב
 +
|-
 +
|
 +
::C measures AH.
 +
|style="text-align:right;"|הנה ח' אם כן ימנה א"ה
 +
|-
 +
|
 +
::C measures AH and HA measures ZD.
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ח' ימנה א"ה וה"א ימנה ז"ד
 +
|-
 +
|
 +
::C measures ZD and it measures the whole GD.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח' ימנה ז"ד וימנה כל ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה הוא אם כן ימנה ז"ג וז"ג פחות ממנו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אם כן הגדול ימנה הפחות זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה שני מספרי א"ב ג"ד מספר יותר ממספר ז"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ג גדול מספר ימנה א"ב ג"ד הנה כבר מצאנו גדול מספר משותף ימנה א"ב ג"ד והוא ז"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ובכאן התבאר כי כל מספר ימנה שני מספרים הנה הוא גם כן ימנה המספר הגדול אשר ימנה שניהם יחד מספר משותף
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 3 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|3) We wish to find the greatest common measure of three given relatively composite unequal numbers.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ג</span> <big>נרצה</big> למצא גדול מספר משותף ימנה שלשה מספרים ידועים משותפים בלתי שוים
 +
|-
 +
|
 +
:We set the given relatively composite unequal numbers A, B, G.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים המספרים הידועים המשותפים הבלתי שוים א'ב'ג'
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VII.2:</span> We take the greatest common number that counts two numbers of them A and B, which is D.
 +
|style="text-align:right;"|ונקח גדול מספר משותף ימנה שני מספרים משניהם והם א"ב משותף משניהם והוא מספר ד' <span style=color:red>משלפניה</span>
 +
|-
 +
|D either measures G, or does not measure it.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה ג' או לא ימנה אותו
 +
|-
 +
|
 +
*It measures it and it measures A and B.
 +
|style="text-align:right;"|ונאמר תחלה שימנה אותו והוא ימנה א"ב
 +
|-
 +
|
 +
::D measures A, B, and G.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
::Supposition: it is the greatest common number that counts them.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר שהוא גדול מספר משותף ימנה אותם יחד
 +
|-
 +
|
 +
::If D is not the greatest number that counts A, B, G, then there is a number greater than D that counts them, which is H.
 +
|style="text-align:right;"|שאם לא יהיה ד' גדול מספר ימנה א'ב'ג' הנה ימנה אותם מספר גדול מד' והוא מספר ה'
 +
|-
 +
|
 +
::H measures A, B, and G.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
::It measures A and B
 +
|style="text-align:right;"|אם כן הוא ימנה א"ב
 +
|-
 +
|
 +
::It measures the greatest number that counts both of them, which is D.
 +
|style="text-align:right;"|וימנה המספר הגדול היותר אשר ימנה שניהם והוא ד' <span style=color:red>מסוף אשר לפניה</span>
 +
|-
 +
|
 +
::H measures D.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
::The greater measures the smaller - false.
 +
|style="text-align:right;"|הגדול ימנה הפחות זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
:No number greater than D measures A, B, G.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה א'ב'ג' מספר גדול מן ד'
 +
|-
 +
|
 +
*D does not measure G.
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן נאמר שיהיה ד' לא ימנה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונקח גדול מספר ימנה שני מספרי ג"ד והוא ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ד' וד' ימנה שני מספרי א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה שני מספרי א"ב וימנה ג' אם כן ה' ימנה א'ב'ג' יחד <span style=color:red>מסוף אשר לפניה</span>
 +
|-
 +
|
 +
::Supposition: it is the greatest common number that counts them.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר שהוא המספר הגדול היותר משותף אשר ימנה אותם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|שאם לא יהיה ה' גדול יותר מספר משותף א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
::Z measures A and B.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז' ימנה א"ב
 +
|-
 +
|
 +
::It measures the greatest number that counts both of them, which is D.
 +
|style="text-align:right;"|וימנה המספר הגדול המשותף אשר ימנה שניהם יחד והוא ד'
 +
|-
 +
|
 +
::Z measures D and it measures G.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז' ימנה ד' והוא ימנה ג'
 +
|-
 +
|
 +
::Z measures the greatest number that counts both G and D, which is H.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז' ימנה גדול מספר ימנה ג"ד והוא ה'
 +
|-
 +
|
 +
::Z measures H.
 +
|style="text-align:right;"|הנה ז' אם כן ימנה ה'
 +
|-
 +
|
 +
::The greater measures the smaller - false.
 +
|style="text-align:right;"|הגדול ימנה הפחות זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
:No number greater than H measures A, B, G.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה א'ב'ג' מספר גדול מן ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר מצאנו גדול מספר משותף ימנה א'ב'ג' השלשה הידועים המשותפים הבלתי שוים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 4 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|4) For every two unequal numbers, the smaller is either a part or parts of the greater.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ד</span> <big>כל</big> שני מספרים מתחלפים
 +
הנה הקטן אם שיהיה חלק מן הגדול ואם חלקים
 +
|-
 +
|Example: <math>\scriptstyle GD<AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב ג"ד מתחלפים והקטן משניהם ג"ד
 +
|-
 +
|Supposition: GD is either a part or parts of AB.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג"ד אם חלק מן א"ב ואם חלקים
 +
|-
 +
|Proof:
 +
:*GD either measures AB, then GD is a part of AB.
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי ג"ד אם היה שימנה א"ב הנה הוא חלק ממנו
 +
|-
 +
|
 +
:*Or it does not measure it, then AB and GD are either relatively prime, or relatively composite.
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה שלא ימנה אותו הנה א"ב ג"ד אם שיהיו נבדלים ואם שיהיו משותפים
 +
|-
 +
|
 +
::*If they are relatively prime, then when we divide GD into the units in it, each unit of GD is a part of AB.
 +
|style="text-align:right;"|ואם היו נבדלים הנה אנחנו כאשר חלקנו ג"ד לאחדים בו יהיה כל אחד מן ג"ד חלק מן א"ב
 +
|-
 +
|
 +
::*<span style=color:red>VII.2:</span> If they are relatively composite, we take the greatest common measure of them, which is HZ
 +
|style="text-align:right;"|ואם היו משותפים לקחנו גדול מספר משותף ימנה אותם והוא ה"ז <span style=color:red>מב' מזה</span>
 +
|-
 +
|
 +
:::We divide GD into HZ: <math>\scriptstyle GD=GC+CT+TD</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונחלק ג"ד על ה"ז ויצא ג"ח ח"ט ט"ד
 +
|-
 +
|
 +
:::ZH measures AB
 +
|style="text-align:right;"|הנה ז"ה ימנה א"ב
 +
|-
 +
|
 +
:::<math>\scriptstyle ZH=GC=CT=TD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וישתוה לכל אחד מן ג"ח ח"ט ט"ד
 +
|-
 +
|
 +
:::Each of [the numbers] GC, CT, and TD is a part of AB, therefore GD is parts of AB.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחד מן ג"ח ח"ט ט"ד חלק מן א"ב הנה ג"ד אם כן חלקים מן א"ב
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 5 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|5) When a number is a part of a number, and another number is the same part of another number, then the sum of the two smaller is the same part of the sum of the two greater that one of the two smaller is of one of the two greater.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ה</span> <big>כאשר</big> יהיה מספר מה חלק ממספר ומספר אחר כמו החלק ההוא ממספר אחר הנה שנים הקטנים מקובצים מהשנים הגדולים מקובצים הם החלק ההוא אשר היה אחד מן השנים הקטנים מאחד מהשני הגדולים
 +
|-
 +
|Example: A is a part of GD, and Z is the same part of CT.
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א' חלק ממספר ג"ד ומספר ז' ממספר ח"ט כמו החלק ההוא
 +
|-
 +
|Supposition: A+Z is the same part of CT+GD that A is of GD.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שני מספרי א"ז מקובצים משני מספרי ח"ט ג"ד מקובצים הם החלק ההוא אשר הוא א' מן ג"ד
 +
|-
 +
|Proof: the part that A is of GD is the same part that Z is of CT.
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי חלק א' מן ג"ד הוא חלק ז' מן ח"ט
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VII.introduction:</span> the number of multiples of A in GD is as the number of multiples of Z in CT.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור מה שבג"ד מכפלי א' כשעור מה שבח"ט מכפלי ז' <span style=color:red>מפתיחת זה</span>
 +
|-
 +
|
 +
:We divide GD into A: <math>\scriptstyle GD=GK+KD</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה נחלק ג"ד על א' ויצא ג"כ כ"ד
 +
|-
 +
|
 +
:We divide CT into Z: <math>\scriptstyle CT=CL+LT</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונחלק ח"ט על ז' ויצא ח"ל ל"ט
 +
|-
 +
|
 +
:The multitude of GK and KD equals the multitude of CL and LT.
 +
|style="text-align:right;"|הנה מספר ג"כ כ"ד כמספר ח"ל ל"ט
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle GK=A</math>
 +
|style="text-align:right;"|וג"כ כמו א'
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle CL=Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|וח"ל כמו ז'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle GK+CL=A+Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג"כ ח"ל כמו א"ז
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle KD+LT=A+Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן כ"ד ל"ט כמו א"ז
 +
|-
 +
|The number of multiples of A in GD is as the number of multiples of A+Z in GD+HT.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מנין מה שבג"ד מדמיוני א' כמנין מה שבג"ד ח"ט מקובצים מדמיוני א"ז מקובצים
 +
|-
 +
|The part that A is of GD is the same part that Z+A is of GD+CT.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן חלק א' מן ג"ד הוא חלק ז"א מקובצים מן ג"ד ח"ט מקובצים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 6 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|6) When a number is parts of a number, and another number is the same parts of another number, then the sum of the two smaller is the same parts of the sum of the two greater that one of the two smaller is of one of the two greater.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ו</span> <big>כאשר</big> היה מספר מה חלקים ממספר אחר ומספר אחר כמו החלקים ההם ממספר אחר הנה השנים הקטנים מן השנים הגדולים מקובצים כמו חלקי אחד מן השנים הקטנים מקרובו מן השנים הגדולים
 +
|-
 +
|Example: AB is parts of G, and HZ is the same parts of C that AB is of G.
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א"ב חלקים ממספר ג' ומספר ה"ז ממספר ח' כמו חלקי א"ב מן ג'
 +
|-
 +
|Supposition: AB+HZ is the same parts of G+C that AB is of G.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי כל א"ב ה"ז מכל ג"ח כמו חלקי א"ב מן ג'
 +
|-
 +
|Proof: the parts that AB is of G are the same parts that HZ is of C.
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי חלקי א"ב מן ג' כמו חלקי ה"ז מן ח'
 +
|-
 +
|
 +
:We divide AB into G: <math>\scriptstyle AB=AK+KB</math>
 +
|style="text-align:right;"|והנה נחלק א"ב בחלקי ג' א"כ כ"ב
 +
|-
 +
|
 +
:And HZ into C: <math>\scriptstyle HZ=HL+LZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וה"ז בחלקי ח' ויצא ה"ל ל"ז
 +
|-
 +
|
 +
:The multitude of AK and KB equals the multitude of HL and LZ.
 +
|style="text-align:right;"|הנה מנין א"כ כ"ב כמנין ה"ל ל"ז
 +
|-
 +
|
 +
:*AK is the same part of G that HL is of C.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן חלק א"כ מן ג' הוא חלק ה"ל מן ח'
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VII.5:</span>
 +
:AK+HL is the same part of GC that AK is of G.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אם כן כל א"כ ה"ל היו מכל ג"ח כמו חלק א"כ מן ג' <span style=color:red>מה' מזה</span>
 +
|-
 +
|
 +
:KB+LZ is the same part of GC that KB is of G.
 +
|style="text-align:right;"|וכן כאשר קבץ כ"ב ל"ז היו מכל ג"ח כמו חלק כ"ב מן ג'
 +
|-
 +
|AB+HZ is the same parts of G+C that AB is of G.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ב ה"ז כאשר יקובצו היו מן ג"ח מקובצים כמו חלקי א"ב מן ג'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ו'מ'ש'ל'
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 7 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|7) When there are four numbers, such that the first is the same part of the second as the third is of the fourth, when we invert, the first is the same part or parts of the third, as the second is of the fourth.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> <big>כאשר</big> היו ארבעה מספרים והיה הראשון חלק מן השני והיה השלישי מן הרביעי כמו החלק ההוא הנה אנחנו כאשר המירונו היה החלק או החלקים אשר יהיה הראשון מן השלישי כמו החלק או החלקים אשר יהיה השני מן הרביעי
 +
|-
 +
|Example: A is a part of GB; D is the same part of HZ as A is of GB.
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א' חלק ממספר ג"ב ומספר ד' חלק ממספר ה"ז כמו חלק א' מן ג"ב
 +
|-
 +
|Supposition: When we invert, the first, which is A, is the same part or parts of the third, which is D, as the second is of the fourth, which are BG and HZ.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כאשר המירונו היה החלק או החלקים אשר יהיה הראשון והוא א' מן השלישי והוא ד' כמו החלק או החלקים אשר יהיה השני מן הרביעי והם ב"ג וה"ז
 +
|-
 +
|Proof: A is the same part of GB that D is of HZ.
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי חלק א' מן ב"ג הוא חלק ד' מן ה"ז
 +
|-
 +
|
 +
::The number of multiples of A in BG is as the number of multiples of D in HZ.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מה שבב"ג מדמיוני א' כמו מה שבה"ז מדמיוני ד'
 +
|-
 +
|
 +
::We divide BG into the multiples of A: <math>\scriptstyle BG=BC+CG</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונחלק ב"ג מדמיוני א' ויצא ב"ח ח"ג
 +
|-
 +
|
 +
::We divide HZ into the multiples of D: <math>\scriptstyle HZ=HT+TZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונחלק ה"ז כדמיוני ד' ויצא ה"ט ט"ז
 +
|-
 +
|
 +
::The multitude of <math>\scriptstyle BC+CG</math> equals the multitude of <math>\scriptstyle HT+TZ</math>.
 +
|style="text-align:right;"|הנה מנין ב"ח ח"ג כמו מנין ה"ט ט"ז
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle BC=CG</math>.
 +
|style="text-align:right;"|וב"ח כמו ח"ג
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle HT=TZ</math>.
 +
|style="text-align:right;"|וה"ט כמו ט"ז
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VII.5:</span> BC is the same part or parts of HT as BG is of HZ.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן החלק או חלקים אשר הוא ב"ח מן ה"ט הוא החלק או החלקים אשר הוא ב"ג מן ה"ז <span style=color:red>מה' מזה</span>
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle BC=A</math>.
 +
|style="text-align:right;"|וב"ח כמו א'
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle HT=D</math>.
 +
|style="text-align:right;"|וה"ט כמו ד'
 +
|-
 +
|A is the same part or parts of D, as BG is of HZ.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן החלק או החלקים אשר הוא א' מן ד' הוא החלק או החלקים אשר הוא ב"ג מן ה"ז
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 8 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|8) When there are four numbers, such that the first is the same parts of the second as the third is of the fourth, when we invert, the first is the same part or parts of the third, as the second is of the fourth.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> <big>כאשר</big> היו ארבעה מספרים והיה הראשון חלקים מן השני והיה השלישי מן הרביעי כמו החלקים ההם הנה כאשר המירונו היו החלקים או החלק אשר היו הראשון מן השלישי כמו החלקים או החלק אשר יהיה השני מן הרביעי
 +
|-
 +
|Example: AB is parts of G; DH is the same parts of Z as AB is of G.
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א"ב חלקים ממספר ג' ומספר ד"ה ממספר ז' כמו חלקי א"ב מן ג'
 +
|-
 +
|Supposition: When we invert AB is the same part or parts of DH, as G is of Z.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי אנחנו כאשר המירונו יהיו החלקים או החלק אשר א"ב מן ד"ה הם החלק או החלקים אשר יהיה ג' מן ז'
 +
|-
 +
|Proof: AB is the same parts of G that DH is of Z.
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי החלקים אשר הם א"ב מן ג' הם החלקים אשר הם ד"ה מן ז'
 +
|-
 +
|
 +
::The number of multiples of AB in G is as the number of multiples of DH in Z.
 +
|style="text-align:right;"|הנה מה שבא"ב מדמיוני חלקי ג' כמו מה שבד"ה מדמיוני חלקי ז'
 +
|-
 +
|
 +
::We divide AB into the multiples of G: <math>\scriptstyle AB=AC+CB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונחלק א"ב בחלקי ג' ויצא א"ח ח"ב
 +
|-
 +
|
 +
::We divide DH into the multiples of Z: <math>\scriptstyle DH=DT+TH</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונחלק ד"ה בחלקי ז' ויצא ד"ט ט"ה
 +
|-
 +
|
 +
::The multitude of <math>\scriptstyle AC+CB</math> equals the multitude of <math>\scriptstyle DT+TH</math>.
 +
|style="text-align:right;"|הנה מנין א"ח ח"ב כמו מנין ד"ט ט"ה
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle AC=CB</math>.
 +
|style="text-align:right;"|וא"ח כמו ח"ב
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle DT=TH</math>.
 +
|style="text-align:right;"|וד"ט כמו ט"ה
 +
|-
 +
|AC is the same part of G as DT is of Z.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן חלק א"ח מן ג' כחלק ד"ט מן ז'
 +
|-
 +
|When we invert, AC is the same part or parts of DT, as G is of Z.
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר המירונו הנה החלק או החלקים אשר הוא א"ח מן ד"ט הוא החלק או החלקים אשר הוא ג' מן ז'
 +
|-
 +
|CB is the same part of G as TH is of Z.
 +
|style="text-align:right;"|והחלק אשר הוא ח"ב מן ג' הוא החלק אשר הוא ט"ה מן ז'
 +
|-
 +
|When we invert, CB is the same part or parts of TH, as G is of Z.
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר המירונו היה החלק או החלקים אשר הוא ח"ב מן ט"ה הוא החלק או החלקים אשר הוא ג' מן ז'
 +
|-
 +
|It has been clarified that AB is the same part or parts of DH, as G is of Z.
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי החלק או החלקים אשר הוא א"ב מן ד"ה הוא החלק או החלקים אשר הוא ג' מן ז'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 9 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|9) When a number is a part of another number, as the part that a subtracted from the one is of a subtracted from the other, then the remainder from one of them is the same part of the remainder from the other that the whole is of the whole.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> <big>כאשר</big> היה מספר מה חלק ממספר אחר כחלק מה שיחסר ממנו הנה ממה שיחסר מן האחר הנה הנשאר מאחד משניהם מן הנשאר מן האחר הוא חלק הכל מן הכל
 +
|-
 +
|In another version: When there are two numbers, such that one is a part of the other, and a number was subtracted from each of them, so that the subtracted from the part is of the subtracted from the whole as the whole is of the whole, then the remainder from the part is the same part of the remainder from the whole that the whole is of the whole.
 +
|style="text-align:right;"|בנסחא האחרת כאשר היו שני מספרים אחד מהם חלק מן האחר וחוסר מכל אחד מהם מספר והיה המחוסר מהחלק למחוסר מהכל בכל מהכל הנה הנשאר מהחלק מהנשאר מהכל כחלק הכל מהכל
 +
|-
 +
|Example: AB is a part of GD; AH and GZ are subtracted from them, so that AB is the same part of GD as AH is of GZ.
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א"ב חלק ממספר ג"ד והמחוסרים משניהם א"ה ג"ז וחלק א"ב מן ג"ד כמו חלק א"ה מן ג"ז
 +
|-
 +
|Supposition: the remainder HB is the same part of the remainder DZ as whole AB is of whole GD.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי חלק ה"ב הנשאר מן ד"ז הנשאר הוא חלק כל א"ב מכל ג"ד
 +
|-
 +
|Proof: We set AH as the same part of GZ that BH is of GC.
 +
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נשים חלק א"ה מן ג"ז הוא חלק ב"ה מן ג"ח
 +
|-
 +
|
 +
:*AH is the same part of GZ that AB is of ZC.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן חלק א"ה מן ג"ז הוא חלק א"ב מן ז"ח
 +
|-
 +
|
 +
:*AH is the same part of GZ that AB is of GD.
 +
|style="text-align:right;"|וחלק א"ה מן ג"ז הוא חלק א"ב מן ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
::AB is the same part of CZ that AB is of GD.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן חלק א"ב מן ח"ז הוא חלק א"ב מן ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle CZ=GD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח"ז כמו ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle CZ-GZ=GD-GZ\longrightarrow GC=ZD</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחוסר ג"ז המשותף וישאר ג"ח כמו ז"ד
 +
|-
 +
|
 +
:*AH is the same part of GZ that HB is of GC.
 +
|style="text-align:right;"|וכבר היה חלק א"ה מן ג"ז הוא חלק ה"ב מן ג"ח
 +
|-
 +
|
 +
::AH is the same part of GZ that HB is of DZ.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן חלק א"ה מן ג"ז הוא חלק ה"ב מן ד"ז
 +
|-
 +
|
 +
:*AH is the same part of GZ that AB is of GD.
 +
|style="text-align:right;"|וחלק א"ה מן ג"ז הוא חלק א"ב מן ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
::HB is the same part of ZD that AB is of GD.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן חלק ה"ב מן ז"ד הוא חלק א"ב מן ג"ד
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 10 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|10) When a number is parts of another number, as the parts that a subtracted from the one is of a subtracted from the other, then the remainder [from one of them] is the same parts of the remainder [from the other] that the whole is of the whole.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י</span> <big>כאשר</big> היה מספר חלקים ממספר אחר כחלקי מה שיחסר ממנו ממה שיחוסר מן האחר הנה הנשאר מן הנשאר הוא חלקי הכל מן הכל
 +
|-
 +
|Example: AB is parts of GD; AH and GZ are subtracted from them, so that AH is the same part of GZ as AB is of GD.
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א"ב חלקי' ממספר ג"ד והמחוסרים משניהם א"ה ג"ז וחלקי א"ה מן ג"ז כחלקי א"ב מן ג"ד
 +
|-
 +
|Supposition: the remainder HB is the same parts of the remainder ZD as whole AB is of whole GD.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי חלקי ה"ב הנשאר מחלקי ז"ד הנשאר הם חלקי כל א"ב מחלקי כל ג"ד
 +
|-
 +
|Proof:
 +
:*We set <math>\scriptstyle CT=AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נשים ח"ט כמו א"ב
 +
|-
 +
|
 +
::CT is the same parts of GD that AH is of GZ.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל חלקי ח"ט מן ג"ד הם חלקי א"ה מן ג"ז
 +
|-
 +
|We divide CT into the parts of GD: <math>\scriptstyle CT=CK+KT</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונחלק ח"ט בחלקי ג"ד ויצא ח"כ כ"ט
 +
|-
 +
|We divide AH into the parts of GZ: <math>\scriptstyle AH=AL+LH</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונחלק א"ה בחלקי ג"ז ויצא א"ל ל"ה
 +
|-
 +
|
 +
::The multitude of <math>\scriptstyle CK+KT</math> equals the multitude of <math>\scriptstyle AL+LH</math>.
 +
|style="text-align:right;"|הנה מנין ח"כ כ"ט כמו מנין א"ל ל"ה
 +
|-
 +
|
 +
::CK is the same part of GD that AL is of GZ.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן חלק ח"כ מן ג"ד הוא חלק א"ל מן ג"ז
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle GD>GZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וג"ד גדול מן ג"ז
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle CK>AL</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן חלק ח"כ גדול מן א"ל
 +
|-
 +
|
 +
:*We set <math>\scriptstyle CM=AL</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשים ח"מ כמו א"ל
 +
|-
 +
|
 +
::CK is the same part of GD that CM is of GZ.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן חלק ח"כ מן ג"ד כחלק ח"מ מן ג"ז
 +
|-
 +
|
 +
::The remainder MK is the same part of ZD that CK is of GD.
 +
|style="text-align:right;"|וישאר מ"כ מן ז"ד כמו חלק ח"כ מן ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
::KT is the same part of GD that LH is of GZ.
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה חלק כ"ט מן ג"ד כחלק ל"ה מן ג"ז
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle GD>GZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וג"ד גדול מן ג"ז
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle KT>LH</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כ"ט גדול מן ל"ה
 +
|-
 +
|
 +
:*We set <math>\scriptstyle KN=LH</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונשים כ"נ כמו ל"ה
 +
|-
 +
|
 +
::KT is the same part of GD that KN is of GZ.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן חלק כ"ט מן ג"ד כחלק כ"נ מן ג"ז
 +
|-
 +
|
 +
::The remainder TN is the same part of ZD that KT is of GD.
 +
|style="text-align:right;"|ונשאר חלק ט"נ מן ז"ד כמו חלק כל כ"ט מכל ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
::MK+NT is of ZD as whole CT is of whole GD.
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר קובץ מ"כ נ"ט היו מן ז"ד כמו כל ח"ט מכל ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle MK+NT=HB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומ"כ נ"ט יחד כמו ה"ב
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle CT=AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|וח"ט כמו א"ב
 +
|-
 +
|The remainder HB is the same parts of the remainder ZD as AB is of GD.
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשאר חלקי ה"ב מן ז"ד כמו חלקי א"ב מן ג"ד
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 11 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|<div id="Elements_VII_11"></div>11) When two numbers are subtracted from two numbers and the ratio of the subtracted to the subtracted is as the ratio of the whole to the whole, then the ratio of the remainder to the remainder is as the ratio of the whole to the whole.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"א</span> <big>כאשר</big> חוסר משני מספרים שני מספרים והיה יחס המחוסר אל המחוסר כיחס הכל אל הכל הנה יחס הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל
 +
|-
 +
|Example: two numbers AB and GD; AH and GZ are subtracted from them, so that <math>\scriptstyle AB:GD=AH:GZ</math>.
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב וג"ד חוסר משניהם א"ה וג"ז והיה יחס א"ב אל ג"ד כיחס
 +
א"ה אל ג"ז
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle HB:ZD=AB:GD</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס ה"ב הנשאר אל ז"ד הנשאר כיחס א"ב אל ג"ד
 +
|-
 +
|Proof: <math>\scriptstyle AB:GD=AH:GZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי יחס א"ב אל ג"ד כיחס א"ה אל ג"ז
 +
|-
 +
|
 +
::AB is the same part or parts of GD as AH is of GZ.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן החלק או החלקים אשר הם א"ב מן ג"ד הוא החלק או החלקים אשר הם א"ה מן ג"ז
 +
|-
 +
|
 +
::The remainder HB is the same part or parts of ZD that AB is of GD.
 +
|style="text-align:right;"|וישאר ה"ב מן ז"ד הוא החלק או החלקים אשר הם א"ב מן ג"ד
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle HB:ZD=AB:GD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה"ב אל ז"ד כיחס א"ב אל ג"ד
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 12 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|12) When there are proportional numbers, as many as there are, then the ratio of one of the antecedents to its corresponding of the consequents is as the ratio of [the sum of] the antecedents to [the sum of] the consequents.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"ב</span> <big>כאשר</big> היו מספרים מתיחסים כמה שיהיו הנה יחס אחד מן הקודמים אל קרובו מן הנמשכים כיחס הקודמים אל הנמשכים
 +
|-
 +
|Example: A, B, G, D are proportional numbers: <math>\scriptstyle A:B=G:D</math>.
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle A:B=\left(A+G\right):\left(B+D\right)</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס א"ג יחד אל ב"ד יחד
 +
|-
 +
|Proof: <math>\scriptstyle A:B=G:D</math>
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
::A is the same part or parts of B as G is of D.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן החלק או החלקים אשר הוא א' מן ב' הוא החלק או החלקים אשר ג' מן ד'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A+G</math> is the same part or parts of <math>\scriptstyle B+D</math> that A is of B.
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר קובץ א"ג וקובץ ב"ד היה החלק או החלקים אשר הוא א"ג מן ב"ד יחד הוא החלק או החלקים אשר הוא א' מן ב' יחד
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle A:B=\left(A+G\right):\left(B+D\right)</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס א"ג יחד אל ב"ד יחד
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 13 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|13) For every four proportional numbers, when they are inverted they are proportional.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"ג</span> <big>כל</big> ארבעה מספרים מתיחסים הנה הם כאשר הומרו יהיו מתיחסים
 +
|-
 +
|Example: A, B, G, D are proportional numbers: <math>\scriptstyle A:B=G:D</math>
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי ארבעה מספרי א"בג"ד מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle A:G=B:D</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר שהם כאשר הומרו היה יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד'
 +
|-
 +
|Proof:
 +
:*<math>\scriptstyle A:B=G:D</math>
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
::A is the same part or parts of B as G is of D.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן החלק או החלקים אשר הוא א' מן ב' הוא החלק או החלקים אשר הוא ג' מן ד'
 +
|-
 +
|
 +
::When we invert, A is the same part or parts of G as B is of D.
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר המירונו היה החלק או החלקים אשר הוא א' מן ג' הוא החלק או החלקים אשר הוא ב' מן ד'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:G=B:D</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 14 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|14) When there are numbers, as many as there are, and other numbers of the same multitude, such that every two numbers of the first are in the same ratio to two numbers of the others, then they are proportional in the ratio of equality.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"ד</span> <big>כאשר</big> היו מספרים כמה שיהיו ומספרים אחרים על מספרם כל שני מספרים מן הראשון על יחס שני מספרים מן האחר הנה הם ביחס השווי מתיחסים
 +
|-
 +
|Example: A, B, G, and D, H, Z are of the same multitude; every two of the first are in the same ratio to two of the others:
 +
|style="text-align:right;"|המשל כי מספרי א'ב'ג' ומספרי ד'ה'ז' על מנין אחד וכל שני מספרים מן הראשון על יחס שני מספרים מן האחר
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle A:B=D:H</math>
 +
|style="text-align:right;"|יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle B:G=H:Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ב' אל ג' כיחס ה' אל ז'
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle A:G=D:Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר שהם ביחס השווי יהיה יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ז'
 +
|-
 +
|Proof:
 +
:*<math>\scriptstyle A:B=D:H</math>
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
::When we invert: <math>\scriptstyle A:D=B:H</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר המירונו היה יחס א' אל ד' כיחס ב' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:D=B:H</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי יחס א' אל ד' כיחס ב' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:G=G:Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ג' כיחס ג' אל ז'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 15 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|15) When the unit measures any number by the measure that [another] number measures another number, then when we invert, the unit measures the measuring number by the measure that the measured number measures the number that is measured by the other.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט"ו</span> <big>כאשר</big> היה האחד ימנה מספר מה בשעור מה שימנה מספר למספר אחר הנה אנחנו כאשר המירונו היה האחד ימנה המספר המונה בשעור מה שימנה המספר המנוי המספר אשר ימנהו האחר
 +
|-
 +
|Example: the unit measures AB by the measure that G measures HZ.
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי האחד ימנה מספר א"ב בשעור מה שימנה מספר ג' מספר ה"ז
 +
|-
 +
|Supposition: when we invert, the unit measures G by the measure that AB measures HZ.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי אנחנו כאשר המירונו האחד ימנה מספר ג' בשעור מה שימנה א"ב מספר ה"ז
 +
|-
 +
|Proof: there are as many units in AB as the number of times that G is in HZ.
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי מה שבא"ב מן האחד כמו מה שבה"ז מדמיוני ג'
 +
|-
 +
|We divide AB into the units: <math>\scriptstyle AB=AC+CT+TB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונחלק א"ב באחדים ויצא א"ח ח"ט ט"ב
 +
|-
 +
|And HZ into the G: <math>\scriptstyle HZ=HK+KL+LZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וה"ז על ג' ויצא ה"כ כ"ל ל"ז
 +
|-
 +
|The multitude of the units AC, CT, TB equals the multitude of HK, KL, LZ.
 +
|style="text-align:right;"|הנה סכום אחדי א"ח ח"ט ט"ב שוים לסכום ה"כ כ"ל ל"ז
 +
|-
 +
|
 +
::The measure of the unit AC to HK is as the measure of the unit CT to KL, and as the measure of the unit TB to LZ.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור האחד והוא א"ח ממספר ה"כ כשעור האחד והוא ח"ט ממספר כ"ל וכשעור האחד והוא ט"ב ממספר ל"ז
 +
|-
 +
|The measure of one of the antecedents is to its corresponding of the consequents as the measure of all the antecedents to all the consequents.
 +
|style="text-align:right;"|ושעור אחד מן הקודמים מקרובו מהנמשכים כשעור כל הקודמים מכל הנמשכים
 +
|-
 +
|
 +
::The measure of the unit AC to HK is as the measure of AB to HZ.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור האחד והוא א"ח ממספר ה"כ כשעור א"ב מן ה"ז
 +
|-
 +
|
 +
::AC is the same part of HK as AB is of HZ.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן חלק א"ח מן ה"כ הוא חלק א"ב מן ה"ז
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle AC=1</math>
 +
|style="text-align:right;"|וא"ח שוה לאחד
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle HK=G</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומספר ה"כ שוה למספר ג'
 +
|-
 +
|The unit measures G by the measure that AB measures HZ.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור מה שימנה האחד ג' כשעור מה שימנה א"ב ה"ז
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 16 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|16) For every two numbers multiplied by one another, their products are equal.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"ו</span> <big>כל</big> שני מספרים יוכה כל אחד משניהם באחר הנה שני שטחיהם שוים
 +
|-
 +
|Example:
 +
:*<math>\scriptstyle A\times B=G</math>
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א' הוכה בו מספר ב' והיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle B\times A=D</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומספר ב' הוכה בו מספר א' והיה ד'
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle G=D</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג"ד שוים
 +
|-
 +
|Proof:
 +
:*<math>\scriptstyle A\times B=G</math>
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי א' הוכה בו מספר ב' והיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
::B measures G by the units of A.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ב' ימנה ג' בשעור אחדי א'
 +
|-
 +
|
 +
:*The unit measures A by its units.
 +
|style="text-align:right;"|והאחד ימנה א' בשעור אחדיו
 +
|-
 +
|
 +
::The unit measures A as the measure that B measures G.
 +
|style="text-align:right;"|ואם כן שעור מה שימנה האחד א' כשעור מה שימנה ב' ג'
 +
|-
 +
|
 +
::When we invert, the unit measures B as the measure that A measures G.
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר המירונו הנה מה שימנה האחד ב' בשעור מה שימנה א' ג'
 +
|-
 +
|
 +
::The measure of the unit to B is as the measure of A to G.
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור האחד מן ב' כשיעור א' מן ג'
 +
|-
 +
|
 +
::The measure of the unit to B is as the measure of A to D.
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה שעור האחד מן ב' כשעור א' מן ד'
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle B\times A=D</math>
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי ב' הוכה בו א' והיה המקובץ ד'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:G=A:D</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ג' וד' אחד
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle G=D</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג"ד שוים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 17 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|17) For every number multiplied by two numbers, the measure of one of the two products to the other is the same measure that one of the two [multiplied] numbers is to the other.
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_VII_17"></div><span style=color:red>י"ז</span> <big>כל</big> מספר יוכו בו שני מספרים הנה שעור אחד משני השטחים אצל האחר בשעור אחד משני המספרים אצל האחר
 +
|-
 +
|Example: <math>\scriptstyle A\times B=D</math>; <math>\scriptstyle A\times G=H</math>
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א' הוכו בו שני מספרי ב"ג והתקבץ משניהם שני שטחי ד"ה
 +
|-
 +
|Supposition: the measure of B to G is as the measure of D to H.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שעור ב' מן ג' כשעור ד' מן ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי א' הוכה בו ב' והתקבץ בו ד' אם כן ב' ימנה ד' בשעור אחדי א' והאחד ימנה א' בשעור אחדיו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור מה שימנה האחד א' כשעור מה שימנה ב"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א' הוכה בו ג' והתקבץ ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' ימנה ה' בשעור אחדי א' והאחד ימנה א' בשעור אחדיו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור מה שימנה האחד א' כשעור מה שימנה ג"ה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור האחד מן א' כשעור ג' מן ה' וכן שעור האחד מן א' כשעור ב' מן ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור ב' מן ד' כשעור ג' מן ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר המירונו היה שעור ב' מן ג' כשעור ד' מן ה'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 18 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_VII_18"></div><span style=color:red>י"ח</span> <big>כל</big> מספר יוכה בשני מספרים הנה יחס אחד משני השטחים אל האחר כיחס אחד משני המספרים אל האחר
 +
|-
 +
|Example: <math>\scriptstyle\left(A+B\right)\times G=D+H</math>
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב הוכה בשניהם מספר ג' והיו שני השטחים שני מספרי ד"ה
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle A:B=D:H</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
 +
|-
 +
|Proof:
 +
:*<math>\scriptstyle A\times G=D</math>
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי א' הוכה בו ג' והיה המקובץ ד'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle G\times A=D</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' הוכה בו א' והיה המקובץ ד'
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle B\times G=H</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ב' הוכה בו ג' והיה המקובץ ה'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle G\times B=H</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' הוכה בו ב' והיה המקובץ ה'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle G\times\left(A+B\right)=D+H</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספר ג' הוכו בו שני מספרי א"ב והיו מזה שני שטחי ד"ה
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:B=D:H</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 19 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_VII_19"></div><span style=color:red>י"ט</span> <big>כל</big> מספרים מתיחסים הנה שטח הראשון ברביעי כמו שטח השני בשלישי ואם היה שטח הראשון ברביעי כמו השטח השני בשלישי הנה המספרים הארבעה מתיחסים
 +
|-
 +
|Example: <math>\scriptstyle A:B=G:D</math>
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד הארבעה מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle A\times D=Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושטח א' הראשון בד' הרביעי מספר ז'
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle B\times G=H</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושטח ב' השני בג' השלישי מספר ה'
 +
|-
 +
|Supposition: <math>\scriptstyle H=Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ה"ז שוים
 +
|-
 +
|Proof:
 +
:*<math>\scriptstyle A\times G=C</math>
 +
|style="text-align:right;"|מופת אנחנו נכה א' בג' ויהיה ח'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A\times\left(G+D\right)=C+Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה א' בשני מספרי ג"ד והתקבץ מזה שני שטחי ח"ז
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור ג' מן ד' כשעור ח' מן ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ושעור ג' מן ד' כשעור א' מן ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור מן ב' כשעור  ח' מן ז'
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle A\times G=C</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א' הוכה בג' והיה ח'
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle B\times G=H</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל ב' הוכה בג' והיה ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור א' מן ב' כשעור ח' מן ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי שעור א' מן ב' כשעור ח' מן ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ח' אל ה"ז אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' כמו ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|עוד תהיה ה' כמו ז'
 +
|-
 +
|Supposition:
 +
:*<math>\scriptstyle A:B=G:D</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|מופת כי ההנהגה אחת הנה א' הוכה בג' והיה ח' והוכה בד' והיה ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור ג' מן ד' כשעור ח' מן ה"ז וז' כמו ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור ג' מן ד' כשעור ה' מן ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א' הוכה בג' והיה ח' וב' הוכה בג' והיה ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור א' מן ב' כשעור ח' מן ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי שעור ח' מן ה' כשעור ג' מן ד'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:B=G:D</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 20 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ</span> <big>המעט</big> שבמספרים על יחס הנה הם ימנו המספרים אשר על יחסם המעט למעט והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי המעט שבמספרים על יחס א' אל ג' והוא ה"ז אל ח"ט
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ה"ז ימנה א' בשעור מה שימנה ח"ט ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה כי אנחנו כבר בארנו כי חלק כל אחד מחברו או חלקיו כחלק אחד מן האחר או חלקיו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|שאם לא יהיה ה"ז חלק מן א' הנה הוא חלקים ממנו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|כי הוא פחות ממנו ויהיה ח"ט חלקים מן ג' כחלקי ה"ז מן א' ונחלק ה"ז בחלקי א' ויצא ה"כ כ"ז ונחלק ח"ט בחלקי ג' ויצא ח"ל ל"ט
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן סכום ה"כ כ"ז כמו סכום ח"ל ל"ט וה"כ כמו כ"ז וח"ל כמו ל"ט
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור ה"כ מן ח"ל כשעור ה"ז מן ח"ט
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה"כ וח"ל על יחס ה"ז וח"ט
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה"כ ח"ל פחות מן ה"ז וח"ט זה שקר מפני כי ה"ז וח"ט היו הקטן שבמספרים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין ה"ז חלקים מן א' אבל הוא חלק אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח"ט מן ג' הוא חלק כמו חלק ה"ז מן א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה"ז ימנה א' בשעור מה שימנה ח"ט ג'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 21 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"א</span> <big>שני</big> מספרים הקטנים על יחס הנה הם נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב הקטנים שני מספרים על יחס שניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שניהם נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת אם יהיו משותפים הנה ימנה שניהם מספר ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונאמר שהוא אחדי ד' שיעור מה שימנה ג"א ואחדי ה' שיעור מה שימנה ג"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' ימנה א' בשיעור אחדי ד' והנה ג' הוכה בד' והיה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ג' ימנה ב' בשעור אחדי ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והנה ג' הוכה בה' והיה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' הוכה בשני מספרי ד"ה והיה מזה א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ד' אל ה' כיחס א' אל ב' וד' וה' קטן מא' וב' זה שקר כי א"ב היו שני המספרים הקטנים על יחס שניהם אם כן לא ימנה א"ב מספר אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם נבדלים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|מ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 22 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ב</span> <big>כל</big> שני מספרים נבדלים הנה שניהם שני המספרים הקטנים על יחסם המשל בו שני מספרים א"ב נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר שהם הקטנים שבמספרים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת שאם לא יהיו כן נאמר שיהיו שני מספרים קטנים משניהם ושני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם הם ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור מה שימנה ג"א כשעור מה שימנה ד"ב ויהיו אחדי מספר אחד והוא ה' בשעור מה שימנה ג"א
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה ב' בשעור אחדי ה' וה' ימנה א' בשעור אחדי ג' וה' ימנה ב' בשיעור אחדי ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה א"ב ושניהם נבדלים זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ב השני מספרים היותר קטנים על יחסם
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 23 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ג</span> <big>כל</big> מספר ימנה אחד משני מספרים נבדלים הנה הוא הנבדל מן המספר האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב נבדלים ומספר ג' ימנה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר שהוא נבדל מב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת אם היו ב' וג' משותפים הנה ימנה שניהם מספר ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה ג' וג' ימנה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה א'. והוא ימנה ב' ושניהם נבדלים זאת שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה ב' ג' מספר אחד אם כן שניהם נבדלים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 24 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ד</span> <big>כל</big> שני מספרים יובדלו ממספר אחר הנה שטח אחד משניהם באחר יובדל מן המספר ההוא
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב יובדלו ממספר ג' ושטח א' בב' מספר ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג"ד נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי שניהם אם היו משותפים הנה ימנה שניהם מספר אחד והוא ה' ונאמר שיהיה אחדי ז' בשעור מה שימנה ה' ד' וה' יוכה בז' ויהיה ד' וא' יוכה בב' ויהיה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ה' בז' כמו שטח א' בב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן היחס אחד יחס ה' אל א' כיחס ב' אל ז' וא"ג נבדלים וה' ימנה אחד משניהם והוא ג' אם א"ה נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם שני מספרים היותר קטנים על יחסם וימנו כל שני מספרים על יחסם בשוה היותר קטן ליותר קטן והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ב' והוא ימנה ג' וב"ג נבדלים זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה ג"ד מספר אם כן שניהם נבדלים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 25 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ה</span> <big>כל</big> שני מספרים נבדלים הנה מרובע הנה מרובע אחד משניהם נבדל מן האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב נבדלים ומרובע א' מספר ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג"ב נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נשים ד' כמו א' הנה א"ב נבדלים וא' כמו ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד"ב נבדלים אם כן א"ד יובדלו מן ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א' בד' יובדל מן ב' ושטח א' בד' הוא ג' אם כן ג"ב נבדלים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 26 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ו</span> <big>כאשר</big> יהיה כל אחד משני מספרים יובדלו משנים אחרים הנה שטח הראשונים אחד משניהם באחר יובדל גם כן משטח השנים האחרים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי כל אחד משני מספרי א"ב יובדל מכל אחד משני מספרי ג"ד ושטח א' בב' מספר ה' ושטח ג' בד' מספר ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ה"ז נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי א"ב יובדלו מן ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א' בב' והוא ה' יובדל מן ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה"ג נבדלים וכן יהיו ה"ד נבדלים מן ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' בד' הוא ז' יובדל מן ה' אם כן ה"ז נבדלים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 27 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ז</span> <big>כל</big> שני מספרים נבדלים יוכה כל אחד משניהם בדומה לו הנה שני מרובעיהם נבדלים וכן אם הוכו שני המרובעים בגדריהם והם השני מספרים הראשונים כל מרובע בגדרו הנה השני מעוקבים גם כן נבדלים וכן לא יסורו בקצוות והמספרים האחרונים כי כל מרובע בגדרו הנה השני מעוקבים נבדלים גם כן וכן לא יסורו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב נבדלים והוכה א' בדומה לו והיה מרובע ג' והוכה ב' בדומה לו והיה מרובע ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א' הוכה בג' והיה מעוקב ה' וב' הוכה בד' והיה מעוקב ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שני מרובעי ג"ד נבדלים ושני מעוקבי ה"ז נבדלים גם כן
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי א"ב נבדלים הנה מרובע אחד משניהם נבדל מן האחר ומרובע א' הוא ג' אם כן ג"ב נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ג"ב נבדלים אם כן מרובע אחד משניהם נבדל מן האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומרובע ב' הוא ד' אם כן ג"ד נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א"ב נבדלים ומרובע ב' הוא ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ד נבדלים וג"ד נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ג נבדלים מן ד' ונבדלים מן ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א' בג' והוא מעוקב ה' נבדל משטח ב' בד' והוא ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שני מעוקבי ה"ז נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכבר בארנו כי שני מרובעי ג"ד נבדלים וכן לא יסורו בקצוות והמספרים האחרונים אשר יתקבץ מן ההכאה
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 28 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ח</span> <big>כל</big> שני מספרים נבדלים הנה מקובץ שניהם נבדל מכל אחד משניהם ואם היה מקובץ שניהם נבדל מכל אחד משניהם הנה שניהם נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב ב"ג נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי כל א"ג נבדל מכל אחד מן א"ב ב"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי אם לא יהיה א"ג נבדל מן ב"ג הנה ימנה שניהם מספר אחד והוא ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה א"ג וימנה ב"ג הנה הוא אם כן ימנה א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה א"ב ב"ג והם נבדלים זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה א"ג ב"ג מספר אחד אם כן שניהם נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי א"ג א"ב נבדלים אם כן א"ג נבדל מכל אחד מן א"ב ב"ג ויהיה גם כן א"ג נבדל מכל אחד מן א"ב ב"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ב ב"ג נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי שניהם אם לא יהיו כן הנה ימנה שניהם מספר ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה א"ב וימנה ב"ג אם כן הוא ימנה כל א"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה א"ג ב"ג ושניהם נבדלים זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה א"ב ב"ג מספר אחר אם כן שניהם נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר אם היה א"ג נבדל מן א"ב שזה שקר
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 29 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ"ט</span> <big>כל</big> מספר מורכב הנה ימנה אותו מספר ראשון
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א' מורכב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי הוא ימנהו מספר ראשון
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי א' מורכב אם כן ימנהו מספר אחר והוא ב' הנה אם היה ב' ראשון הנה התאמת הספור
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה מורכב הנה ימנהו מספר אחר והוא ג' וכן לא יסור יעשה עד שיכלה אל מספר ראשון ימנה אשר לפניו וימנה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יכלה אל מספר ראשון ימנה אשר לפניו וימנה א' הנה הוא ימנהו מספרים מורכבים בלי תכלית כל אחד מהם קטן מן האחר זה שקר אי אפשר במספר אבל בלא ספק שיכלה אל מספר ראשון ימנה מה שילוה אליו לפניו וימנה א'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 30 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל</span> <big>כל</big> מספר הנה הוא ראשון או ימנהו מספר ראשון
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|נאמר שהוא מספר מה והוא א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' ימנהו מספר ראשון
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי א' אם היה ראשון הנה כבר התאמת הספור
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה מורכב הנה ימנהו מספר ראשון וכן כל מספר
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 31 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"א</span> <big>כל</big> מספר ראשון הנה הוא נבדל לכל מספר לא ימנהו הוא
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א' ראשון ומספר ב' לא ימנהו א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ב נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי אם היו משותפים הנה ימנה אותם מספר אחד אם כן זה המספר ימנה אם כן מספר א' והוא ראשון זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה א"ב מספר אחר אם כן שניהם נבדלים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 32 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ב</span> <big>כל</big> מספר ראשון ימנה איזה משוטח שיהיה הנה הוא גם כן ימנה אחד משתי צלעות השטח
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר א' ראשון והוא ימנה מספר ב' והוא {{#annot:term|83,1568|tUaX}}משוטח{{#annotend:tUaX}} ושתי צלעותיו ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' ימנה אחד משני מספרי ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת אם היה א' לא ימנה ג' וא' ראשון הנה א"ג נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונאמר שיהיה אחדי מספר אחר הוא ה' בשעור מה שימנה א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ויכה בה' ויהיה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל ג' הוכה בד' והוא ב' אם כן שטח א' בה' כמו שטח ג' בד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ה' וא"ג נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים בשוה הקטן לקטן והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר אם היה א' לא ימנה ד' שהוא ימנה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה אחד משני מספרי ג"ד
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 33 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ג</span> <big>נרצה</big> לבאר איך נמצא הקטן שבמספרים על יחס מספרים ידועים כמה שיהיו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה נשים המספרים הידועים מספרי א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונרצה לבאר איך נמצא הקטן שבמספרים על יחס א'ב'ג' הנה אם יהיו מספרי א'ב'ג' נבדלים הנה הם המעט שבמספרים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היו משותפים יקח גדול מספר שימנם יחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונאמר שיהיה המספר ההוא ד' ויהיה באחד בעינו ממספרי ה'ז'ח' מן האחדים בשעור מה שימנה ד' אחד בעינו ממספרי א'ב'ג' הנה כל אחד ממספרי א'ב'ג' ימנהו אחד ממספרי ה'ז'ח' אשר אחדיו בשעור מה שימנהו ד' בשעור אחדי ד' הנה מספר ה'ז'ח' על יחס א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס מ' אל ד' כיחס ה' אל ט' וה' גדול מן ט' אם כן מ' גדול מן ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואומר שהם המעט שבמספרים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיו כן יהיו מספרים אחרים יותר קטנים מן ה'ז'ח' קטני המספרים על יחס א'ב'ג' והם מספרי ט'כ'ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ט' ימנה א' בשעור מה שימנה כ"ב ובשעור מה שימנה ל"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו אחדי מספר אחד והוא מספר מ' בשעור מה שימנה ט"א הנה כל אחד מספרי כ"ל ימנה בן גילו משני מספרי ב"ג בשעור אחדי מ' וט' ימנה א' בשעור אחדי מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מ' ימנה א' בשעור אחדי ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן מ' ימנה ב' בשעור אחדי כ' וימנה ג' בשעור אחדי ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מ' ימנה א'ב'ג' ומ' ימנה א' בשעור אחדי ט' הנה מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כאשר הוכה בט' היה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וד' כאשר הוכה בה' היה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח מ' בט' כמו שטח ד' בה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין מספרים קטנים מן ה'ז'ח' על יחס א'ב'ג'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 34 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ד</span> <big>נרצה</big> לבאר איך נמצא המספר היותר קטן שימנו אותו שני מספרים ידועים בלתי שוים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה יהיו שני המספרים הידועים מספרי א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אם היה הקטן ימנה הגדול משניהם והגדול משניהם ימנה עצמו הנה הגדול הוא קטן המספר שימנוהו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה הקטן ימנה הגדול הנה א"ב נבדלים או משותפים ואם היו נבדלים יוכה א' בב' ויהיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג' המספר הקטן שימנוהו מספרי א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה כן הנה ימנו מספר קטן ממנו והוא ד' ויהיו אחדי ה' כשעור מה שימנה א"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואחדי ז' בשעור מה שימנה ב"ד אם כן א' יוכה בה' ויהיה ד' וב' יוכה בז' ויהיה ד' אם כן שטח א' בה' כמו שטח ב' בז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא"ב נבדלים אם כן שניהם קטני מספרים על יחסם וימנו כל שני מספרים על יחסם בשוה הקטן לקטן והרב לרב אם כן א' ימנה ז' וב' הוכה בא' ובז' והיו ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ז' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל א' ימנה ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' ימנה ד' וג' גדול מן ד' הנה הגדול אם כן ימנה הקטן זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה שני מספרי א"ב מספר הוא קטן מן ג' אם כן ג' היותר קטן שבמספרים שימנהו א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היו א"ב משותפים יהיו ז"ה קטני המספרים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ה' ויוכה א' בה' ויהיה ג' הנה ב' כאשר הוכה בז' היה ג' אם כן א"ב ימנו ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג' קטן מספר ימנוהו א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיו כן הנה ימנו מספר קטן מן ג' ויהיה מספר ד' ויהיו אחדי ח' כשעור מה שימנה א"ד ואחדי ט' בשעור מה שימנה ב"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' יוכה בח' ויהיה ד' וב' יוכה בט' ויהיה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א' בח' כמו שטח ב' בט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ט' אל ח' ויחס א' אל ב' כיחס ז' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ז' אל ה' כיחס ט' אל ח' וז"ה שני מספרים קטנים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם ימנו כל מספר על יחסם בשוה הקטן לקטן והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז' ימנה ט' וב' הוכה בז' ובט' והיה ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ז' אל ט' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל ז' ימנה ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' ימנה ד' הגדול ימנה הקטן זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה א"ב מספר יותר קטן מן ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' מספר קטן שימנוהו א"ב
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 35 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ה</span> <big>כאשר</big> היו שני מספרים ימנו מספר הנה קטן מספר שימנהו הוא גם כן ימנה המספר ההוא
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה שני מספרי א"ב ימנו ה"ז ויהיה קטן מספר שימנוהו א"ב מספר ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ח' ימנה ה"ז
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת אם לא יהיה שימנהו הנה הוא אם כן מנה ז"ב נשאר כ"ה קטן מן ח' וא"ב ימנו ח' וח' ימנה ז"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ב ימנו ז"ב וימנו כל ז"ה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה שניהם אם כן ימנו ב"ה וה"ב קטן מן ח' זה שקר מפני כי ח' היה קטן מספר ימנהו א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח' ימנה ה"ז
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 36 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ו</span> <big>נרצה</big> לבאר היאך נמצא קטן מספר שימנוהו שלשה מספרים ידועים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו השלשה מספרים א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונרצה שנמצא קטן מספר ימנוהו מספרי א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה נקח קטן מספר שימנוהו שני מספרים מהם והם א"ב ויהיה מספר ד' הנה ג' אם שימנה ד' ואם שלא ימנהו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה ג' ימנה ד' וא"ב ימנוהו הנה ד' מספר שימנוהו מספרי א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה כן הנה הם ימנו מספר קטן ממנו ויהיה מספר ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ימנוהו א"ב וימנוהו קטן מספר שימנוהו מספרי א"ב והוא מספר ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן הגדול ימנה הקטן זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין מספר קטן מן ד' ימנוהו א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה ג' קטן מספר ימנוהו ג"ד ויהיה מספר ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה ה' וא"ב ימנו ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם ימנו ה' וג' ימנה ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנוהו מספרי א'ב'ג' השלשה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר שהוא קטן מספר ימנוהו א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה כן נאמר שיהיה מספר קטן מן ה' ימנוהו א'ב'ג' ויהיה מספר ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז' ימנוהו מספרי א"ב וימנהו קטן מספר שימנוהו והוא ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה ז' וג' ימנה ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז' ימנוהו שני מספרי ג"ד וימנהו קטן מספר שימנוהו והוא ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ז' וה' יותר קטן מז' זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין מספר יותר קטן מן ה' ימנוהו מספרי א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' קטן מספר ימנוהו מספרי א'ב'ג'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 37 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|For every number that is counted by another number, the [counted] number has a part named after the number that counts it.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ז</span> <big>כל</big> מספר ימנהו מספר אחר הנה במספר חלק קורא למספר אשר ימנהו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה מספר א' ימנהו מספר ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי בא' חלקים נקראו במספר ב'
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle G\mid1=A\mid B</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה האחד ימנה ג' בשיעור מה שימנה ב' א'
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle B\mid1=A\mid G</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר המירונו הנה שיעור מה שימנה האחד ב' כשעור מה שימנה ג' א'
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\frac{B}{1}=\frac{A}{G}</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן חלק האחד מן ב' הוא חלק ג' מן א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והאחד מן ב' הוא חלק נקרא אל ב' אם כן ג' הוא חלק מן א' נקרא אל ב' אם כן בא' חלק אל ב'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 38 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|Every number that has any part whatever, is counted by a number after which the part is named.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ח</span> <big>כל</big> מספר שיש לו אי זה חלק היה הנה הוא ימנהו מספר נקרא לחלק ההוא
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|נאמר שיהיה במספר א' חלק מה והוא ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' ימנהו מספר נקרא לחלק ב' מן א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה חלק האחד מן ג' הוא חלק ב' מן א' אם כן ג' נקרא אל חלק ב' וג' נקרא החלק ממנו וחלק האחד מן ג' הוא חלק ב' מן א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שעור מה שימנה האחד ג' בשעור מה שימנה ב' א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר המירונו הנה שיעור מה שימנה האחד ב' כשיעור מה שימנה ג"א והאחד ימנה ב' כשיעור אחדי ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' ימנה א' בשיעור אחדי ב' וג' מספר נקרא לחלק ב' מן א'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 39 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|We wish to explain how to find the number, which is the least that has given parts.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל"ט</span> <big>נרצה</big> לבאר איך נמצא קטן מספר בו חלקים מונחים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו החלקים המונחים א'ב'ג' ונרצה למצוא אחד קטן מספר בו חלקי א'ב'ג' הנה נקח מספרים נקראים לחלקי א'ב'ג' והם מספרי ד'ה'ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה קטן מספרים שימנוהו ד'ה'ז' מספר ח' אם כן ח' בו חלקים נקראים אל ד'ה'ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והחלקים הנקראים אל ד'ה'ז' הם א'ב'ג' אם כן ח' בו חלקי א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ח' קטן מספר בו אלו החלקים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה זה הנה יהיה מספר קטן מן ח' בו חלקי א'ב'ג' ויהיה מספר ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ט' בו חלקי א'ב'ג' הנה ט' אם כן ימנוהו מספרים נקראים לחלקי א'ב'ג' והמספרים הנקראים לחלקים האלו הם מספרי ד'ה'ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ט' ימנוהו מספרי ד'ה'ז' והוא קטן מן ח' זה שקר אי איפשר מפני כי ח' קטן מספר ימנו אלה המספרים הנה ח' אם כן קטן מספר בו חלקי א'ב'ג'
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר השביעי מהחכם אקלידס ת"ל
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
== Book Eight ==
 +
|style="text-align:right;"|המאמר השמיני
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 1 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_VIII_1"></div><span style=color:red>א</span> <big>כאשר</big> היו מספרים נמשכים על יחס אחד כמה שיהיו והיה כל אחד משתי הקצוות ראשון אצל האחר הנה הם קטני המספרים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד נמשכים על יחס אחד ושתי הקצוות כל אחת משתיהן ראשון אצל האחר ושניהם א"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ב ג"ד הם קטני המספרים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי אם לא יהיה כן הנה יהיו מספרים קטנים מהם ועל מניינם ויחסם והם ה"ז ח"ט
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה יחס א"ב ג"ד הוא כיחס ה"ז ח"ט מכ"ב מזה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומנין א'ב'ג'ד' כמניין ה"ז ח"ט
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ד' כיחס ה' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכל אחד מן א"ד ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם קטני המספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים שהם על יחס שניהם בשוה הקטן לקטן והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה ה' הרב ימנה המעט זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין מספרים נמשכים על יחס אחד הם קטנים מן א"ב ג"ד ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 2 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> <big>נרצה</big> לבאר איך נמצא קטני המספרים נמשכים על יחס אחד מונח כמה שנרצה הנה נשים היחס המונח בקטן שני מספרים והם יחס א' אל ב' ונרצה למצא קטני מספרים נמשכים על יחס א"ב כמה שנרצה ויהיו המספרים ארבעה
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A\times A=G</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונכה א' בכמוהו ויהיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A\times B=D</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונכה בב' ויהיו ד'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle B\times B=H</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונכה ב' בכמוהו ויהיה ה'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A\times G=Z</math>; <math>\scriptstyle A\times D=C</math>; <math>\scriptstyle A\times H=T</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה אנחנו נכה א' בג' ובד' ובה' ויהיה ז'ח'ט'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle B\times H=L</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונכה ב' בה' ויהיה ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ז"ח ש"ל קטני ארבעה מספרים נמשכים על יחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A\times A=G</math>
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי א' הוכה בכמוהו והיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A\times B=D</math>
 +
|style="text-align:right;"|והוכה בב' והיה ד'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A\times\left(A+B\right)=G+D</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה א' הוכה בשני מספרים בכמוהו ובב' והיה ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:B=G:D</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle B\times B=H</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ב' הוכה בכמוהו והיה ה'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle B\times A=D</math>
 +
|style="text-align:right;"|והוכה בא' והיה ד'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:B=D:H</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:B=G:D</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle G:D=D:H</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ג' אל ד' כיחס ד' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג'ד'ה' נמשכים על יחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A\times G=Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א' הוכה בג' והיה ז'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A\times D=C</math>
 +
|style="text-align:right;"|והוכה בד' והיה ח'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A\times\left(G+D\right)=Z+C</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה א' הוכה בשני מספרי ג"ד והיו מזה ז"ח
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle G:D=Z:C</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ג' אל ד' כיחס ז' אל ח'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle G:D=A:B</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ג' אל ד' כיחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:B=Z:C</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ח'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A\times D=C</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א' הוכה בד' והיה ח'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A\times H=T</math>
 +
|style="text-align:right;"|והוכה בה' והיה ט'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle D:H=C:T</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ד' אל ה' כיחס ח' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle D:H=A:B</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ד' אל ה' כיחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:B=C:T</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:B=Z:C</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס א' אל ב' כיחס ז' אל ח'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle Z:C=C:T</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ז' אל ח' כיחס ח' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז'ח'ט' נמשכים על יחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכבר הוכו א"ב ב"ה והיו מזה ט"ל
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:B=T:L</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ט' אל ל'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:B=Z:C=C:T=T:L</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ח' וח' אל ט' וט' אל ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ח ט"ל נמשכים על יחס אחד והוא יחס א' אל ב' והם ארבעה מספרים ונשלם באורו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והתבאר שהם מעטי המספרים על יחסם כי כל אחד מן א"ב ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A\times A=G</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר הוכה א' בכמוהו והיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A\times G=Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|והוכה בג' והיה ז'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle B\times B=H</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר הוכה ב' בכמוהו והיה ה'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle B\times H=L</math>
 +
|style="text-align:right;"|והוכה בה' והיה ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחד מן ג"ה ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכל אחד מן ז"ל ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם כן היו מספרים נמשכים על יחס אחד כמה שיהיו המספרים והיתה כל אחת משתי הקצוות ראשון אצל האחר אם כן הם קטני המספרים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספרי ז"ח ט"ל קטני המספרים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ובכאן התבאר כי הם כאשר היו שלשה מספרים קטנים מה שיהיו על יחס אחד הנה שתי הקצוות שני מרובעים א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר נמשכו ארבעה מספרים קטנים מה שיהיו על יחס אחד הנה השתי קצוות מעוקבים
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 3 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ג</span> <big>כאשר</big> היו קטני מספרים נמשכים על יחס אחד כמה שיהיו הנה כל אחד משתי הקצוות ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד הם קטני מספרים נמשכים על יחסם הנה אומר כי כל אחד משתי הקצוות ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נקח קטן שני מספרים על יחס א"ב ג"ד והם ה"ז
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונקח שלשה מספרים הם קטני מספרים נמשכים על יחס והם ח'ט'כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן לא יסור נקח מן המספרים הנמשכים על יחס א"בג"ד עד שיהיה על מניין א"בג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה ל'מ'נ'ס' נמשכים והם על יחס א'ב'ג'ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא"בג"ד הם קטני המספרים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומנין ל'מ'נ'ס' כמנין א'ב'ג'ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחד מן ל'מ'נ'ס' שוה לבן גילו מן א"בג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם ל' כמו א' וס' כמו ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה"ז שני מספרים היותר קטנים על יחסם אם כן שניהם נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle H\times H=C</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר הוכה ה' בכמוהו והיה ח'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle H\times C=L</math>
 +
|style="text-align:right;"|והוכה ה' בח' והיה ל'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle Z\times Z=K</math>
 +
|style="text-align:right;"|והוכה ז' בכמוהו והיה כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח"כ נבדלים וכן ל"ס נבדלים ול' כמו א' וס' כמו ד' אם כן א"ד נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 4 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ד</span> <big>נרצה</big> לבאר איך נמצא
 +
קטני מספרים נמשכים על יחסם כמו יחסים מונחים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו היחסי' המונחים הם יחס א' אל וג' אל ד' וה' אל ז' ויהיו א"ב קטני שני מספרים על יחס שניהם וכן ג"ד וה"ז
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונרצה למצא קטני מספרים נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה נקח קטן מספר ימנוהו ב"ג והוא ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונשים א' ימנה ח' בשעור מה שימנה ב"ט
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וד' ימנה כ' בשעור מה שימנה ג"ט
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונקח קטן מספר ימנוהו ה"ב והוא ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה ז' ימנה מ' בשעור מה שימנה ה"ל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וח"ט ימנו נ' וס' בשעור מה שימנה כ"ל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והנה א' ימנה ח' בשעור מה שימנה כ"ל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והנה א' ימנה ח' בשעור מה שימנה ב"ט
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A:B=C:T</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וח' ימנה נ' בשעור מה שימנה ט"ס
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle C:T=N:S</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ח' אל ט' כיחס נ' אל ס'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A:B=C:T</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A:B=N:S</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס נ' אל ס'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle G:D=S:L</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן יחס ג' אל ד' כיחס ס' אל ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה' ימנה ל' בשעור מה שימנה ז' מ'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle H:Z=L:M</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ז' כיחס ל' אל מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספר נ"ס ל"מ נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואומר שהם קטני מספרים נמשכים על אלו הששה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיו אלו נאמר שיהיו ע"פ צ"ק קטני המספרים על אלו הששה על היחס הזה הנה אם כן הם יותר קטנים מן נ"ס ל"מ
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A:B=E:P</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ע' אל פ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא"ב שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ב' ימנה פ' וכן ג' ימנה פ' וקטן מספר ימנוהו ב' וג' הוא ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ט' ימנה פ'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle G:D=P:Z'</math>; <math>\scriptstyle G:D=T:K</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ג' אל ד' כיחס פ' אל צ' וכיחס ט' אל כ'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle T:K=P:Z'</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ט' אל כ' כיחס פ' אל צ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וט' ימנה פ' אם כן כ' ימנה צ'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle H:Z=Z':Q</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ה' אל ז' כיחס צ' אל ק'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה"ז שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה צ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכבר היה כ' ימנה צ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' וכ' ימנו צ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קטן מספר שימנוהו ה' וכ' והוא ל' ימנה צ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ל' הגדול ימנה צ' הקטן זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן נ"ס ל"מ מעטי מספר נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ט' ונשלם באורו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ולו פנים אחרים והוא זה אנחנו נקח קטן מספר ימנוהו ב"ג והוא ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונשים א' ימנה ח' בשעור מה שימנה ב"ט
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה ד' ימנה כ' בשעור מה שימנה ג"ט
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|זה אם שיהיה שימנה כ' אם שיהיה שלא ימנהו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה שימנה כ' הנה יהיה ז' ימנה ל' בשעור מה שימנה ה' כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה ח' בשעור מה שימנה ב"ט
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A:B=C:T</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ג' ימנה ט' בשעור מה שימנה ד' כ'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle G:D=T:K</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ג' אל ד' כיחס ט' אל כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ה' ימנה כ' בשעור מה שימנה ז"ל
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle H:Z=K:L</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ז' כיחס כ' אל ל'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A:B=C:T</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר כי יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle G:D=T:K</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ג' אל ד' כיחס ט' אל כ'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle H:Z=K:L</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ה' אל ז' כיחס כ' אל ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספרי ח"ט כ"ל נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי הם קטני מספרים נמשכים על היחס הזה קטנים מהם והם מספרי מ'נ'ס'ע'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A:B=M:N</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס מ' אל נ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא"ב שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם אם כן ב' ימנה נ' וג' ימנה גם כן נ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וקטן מספר שימנוהו ב' וג' הוא ימנה נ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וקטן מספר שימנוהו ב' ג' הוא ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ט' הגדול ימנה נ' הקטן זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין מספרים נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז' יותר קטנים ממספרי ח"ט כ"ל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספרי ח"ט כ"ל הם קטני המספרים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה ה' לא ימנה כ' נקח קטן מספר שימנוהו ה' וכ' והוא ס'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה ח' ימנה מ' וט' ימנה נ' כשעור מה שימנה כ"ס
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה ז' ימנה ע' בשעור מה שימנה ה"ס
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח' ימנה מ' בשעור מה שימנה ט"נ
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle C:T=M:N</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ח' אל ט' כיחס מ' אל נ'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle C:T=A:B</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ח' אל ט' כיחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle M:N=A:B</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס מ' אל נ' כיחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle G:D=N:S</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכן יחס ג' אל ד' כיחס נ' אל ס'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ה' ימנה ס' בשעור מה שימנה ז"ע
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle H:Z=S:E</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ז' כיחס ס' אל ע'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A:B=M:N</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי יחס א' אל ב' כיחס מ' אל נ'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle G:D=N:S</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושיחס ג' אל ד' כיחס נ' אל ס'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספרי מ'נ'ס'ע' נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואומר כי הם קטני המספרים על היחס הזה קטנים מהם והם מספרי פ"ק ת"צ
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A:B=P:Q</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס פ' אל ק'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא"ב שני מספרים היותר קטנים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ב' ימנה ק'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ב' וג' ימנו ק'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וקטן מספר שימנוהו גם כן הנה הוא ימנה א' והוא ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ט' ימנה ק'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle T:Q=K:T'</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ט' אל ק' כיחס כ' אל ת' על התמורה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כ' ימנה ת' וה' ימנה כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' וכ' ימנו ת'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וקטן מספר שימנוהו והוא ס' ימנה ת'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ס' הגדול ימנה ת' הקטן זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין מספרים נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז' קטנים ממספרי מ'נ'ס'ע'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספרי מ'נ'ס'ע' הם קטני מספרים נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 5 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ה</span> <big>כל</big> שני מספרים משוטחים הנה יחס אחד משניהם אל האחר מחובר משני יחסי צלעות שניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו מספרי א"ב שני שטחים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס א' אל ב' מחובר משני יחסי צלעות שניהם
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A=G\times D</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו שתי צלעות א' שני מספרי ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle B=H\times Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|ושתי צלעות ב' שני מספרי ה"ז
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ושני היחסים הם יחס ג' אל ה' וד' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונקח קטני מספרים נמשכים על שני יחסי ג' אל ה' וד' אל ז' והם מספרי ח'ט'כ'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle G:H=C:T</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה יחס ג' אל ה' כיחס ח' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle D:Z=T:K</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ד' אל ז' כיחס ט' אל כ'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle\left(G:H\right)\times\left(D:Z\right)=\left(C:T\right)\times\left(T:K\right)</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה יחס ג' אל ה' שנוי ביחס ד' אל ז' הוא כיחס ח' אל ט' שנוי ביחס ט' אל כ'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle\left(C:T\right)\times\left(T:K\right)=C:K</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל יחס ח' אל ט' שנוי ביחס ט' אל כ' הוא יחס ח' אל כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ח' אל כ' מחובר משני יחסי הצלעות
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle C:K=A:B</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס ח' אל כ' הוא יחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle D\times H=L</math>
 +
|style="text-align:right;"|המופת שנכה ד' בה' ויהיה ל'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle D\times H=L</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' הוכה בה' והיה ל'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle D\times G=A</math>
 +
|style="text-align:right;"|והוכה בג' והיה א'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle G:H=A:L</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ג' אל ה' כיחס א' אל ל'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle G:H=C:T</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל יחס ג' אל ה' כיחס ח' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:L=H:T</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ל' הוא כיחס ה' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle H\times D=L</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ה' הוכה בד' והיה ל'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle H\times Z=B</math>
 +
|style="text-align:right;"|והוכה בז' והיה ב'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle D:Z=L:B</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ד' אל ז' כיחס ל' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle D:Z=T:K</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ד' אל ז' כיחס ט' אל כ'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle L:B=T:K</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ל' אל ב' כיחס ט' אל כ'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:L=C:T</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי יחס א' אל ל' כיחס ח' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:B=C:K</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה ביחס השוים יהיה יחס א' אל ב' כיחס ח' אל כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כמחובר משני יחסי צלעות שניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 6 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ו</span> <big>איזה</big> מספרים שיהיו
 +
נמשכים על יחס אחד והראשון מהם לא ימנה השני הנה אין מהם מספר ימנה האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|נאמר שיהיו מספרי א"בג'ד'ה' נמשכים על יחס אחד ויהיה א' לא ימנה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר שאין מהם מספר ימנה אחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואולם שאין מהם מספר ימנה השני לו הנה זה יתבאר מפני כי יחס כל אחד מהם אל השני לו הוא יחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר שהוא לא ימנה זולת השני לו גם כן
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה כן נאמר שימנה ג"ה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונמצא קטן מספרים על יחס ג'ד'ה' ומניינם והם ז'ח'ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה ז"ט שתי הקצוות נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle Z:C=G:D</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ז' אל ח' הוא יחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל ג' לא ימנה ד' אם כן ז' לא ימנה ח' אם כן אין ז' אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|כי האחד ימנה כל מספר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומפני כי מספרי ז'ח'ט' על יחס ג'ד'ה' ועל מניינם היו ביחס השוים יחס ג' אל ה' כיחס ז' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל ג' ימנה ה' אם כן ז' ימנה ט' והוא ימנה עצמו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה ז' אם כן ימנה מספרי ז"ט הנבדלים זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין ג' ימנה ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ובכמו זה יתבאר כי אין מהם מספר ימנה אחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויש לו פנים אחרים מן המופת והוא שנעשה כמו שאמרנו במשל ואומר כי ג' לא ימנה ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי מספרי ג'ד'ה' אם היו קטני המספרים על יחסם הנה ג' לא ימנה ה' כי שניהם נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיו קטן המספרים על יחסם נקח קטן המספרים על יחסם ומניינם והם ז'ח'ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונבאר כמו שבארנו קודם כי ז' אינו אחד
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle Z:T=G:H</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה ביחס השוים יחס ז' אל ט' כיחס ג' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל ז' לא ימנה ט' מפני כי שניהם נבדלים כי שניהם שתי הקצוות מקטן מספרים על יחסם אם כן ג' לא ימנה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר בשני המספרים שאין בהם אחד ימנה אחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 7 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> <big>כאשר</big> נמשכו איזה מספרים שיהיו על יחס אחד כמה שיהיו והיה הראשון ימנה האחרון הנה הוא גם כן ימנה השני
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו א'ב'ג'ד' נמשכים על יחס אחד ויהיה א' ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר שהוא גם כן ימנה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה כי א' והוא הראשון אם לא יהיה מונה ב' השני לו הנה אין ממספרי אבג"ד מספר ימנה אחר אבל א' ימנה ד' הנה הוא אם כן ימנה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 8 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|For every two numbers, between which fall numbers that are all in the same ratio, between every two numbers, which have the same ratio with the [original] numbers, fall numbers that are in the same ratio as the ratio of those that fall between the two [original numbers].
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> <big>כל</big> שני מספרים יפלו בין שניהם מספרים ויהיו כלם על יחס אחד הנה יפול בין כל שני מספרים על יחס שניהם מן המספרים עד שישובו כלם נמשכים על יחס כמו שנפלו בין שניהם
 +
|-
 +
|We say that the two numbers G and D fall between the two numbers A and B
 +
|style="text-align:right;"|ונאמר שיפולו בין שני מספרי א"ב שני מספרי ג"ד
 +
|-
 +
|Let the numbers A; G; D; B be in the same ratio
 +
|style="text-align:right;"|הנה יהיו מספרי א"ג ד"ב על יחס אחד
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle A:B=H:Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ז'
 +
|-
 +
|Supposition: between H and Z fall numbers that are in the same ratio as the numbers that fall between A and B, which are G and D.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יפולו בין ה"ז מן המספרים עד שיהיו כלם נמשכים על יחס אחד כמו מספר מה שנפל בין א"ב והוא ג"ד
 +
|-
 +
|Proof:
 +
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נקח קטן מספרים על יחס א"ג ד"ב ומניינם ח"ט כ"ל על מנין א"ג ד"ב
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle C:L=A:B</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחסם אם כן יחס ח' אל ל' כיחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A:B=H:Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויחס א' אל ב' כיחס ה' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle C:L=H:Z</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ח' אל ל' כיחס ה' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וח"ל נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשוה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח' ימנה ה' בשעור מה שימנה ל"ז
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה ט' ימנה מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכ' ימנה נ' בשעור מה שימנה ח' ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחד ממספרי ח"ט כ"ל ימנה בן גילו ממספרי ה"מ נ"ז בשוה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספרי ח"ט כ"ל על יחס מספרי ה'מ'נ'ז' וח"ט כ"ל על יחס א"ג ד"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ג ד"ב על יחס ה'מ'נ'ז' ומניינם אם כן מנין מה שנפל בין ה"ז מן המספרים אשר שבו יחד נמשכים על יחסם כמנין מה שנפל בין א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 9 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> <big>כל</big> שני מספרים נבדלים יפלו בין שניהם מספרים ויהיו כלם נמשכים על יחס אחד הנה מנין מה שיפול בין שניהם מהמספרים כמו מנין מה שיפול בין כל אחד משניהם ובין האחד מן המספרים עד שישובו כלם נמשכים על יחס אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|נאמר שיהיו שני מספרי א"ב נבדלים ויפולו בין שניהם שני מספרי ג"ד וישובו מספרי א"ג ד"ב נמשכים על יחס אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי מניין מה שיפול בין א' ובין האחד ובין ב' ובין האחד מן המספרים עד שישובו כלם נמשכים על יחס
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נקח שני מספרים היותר קטנים על יחס א"ג ד"ב והם ה"ז ושלשה מספרים היותר קטנים על היחס הזה והם ח'ט'כ' לא נסור להוסיף אחד אחד עד שנקח קטני מספרים על יחס א"ג ד"ב ומניינם והם ל'מ'נ'ס'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספרי ל'מ'נ'ס' קטני מספרים נמשכים על יחס א"ג ד"ב ושתי הקצוות ממספרי א"ג ד"ב הנמשכים על יחס נבדלים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ג ד"ב קטני המספרים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחד מן ל'מ'נ'ס' שוה לגילו מן א"ג ד"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה' הוכה בכמוהו ושב ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ח' בשעור אחדי ה' והאחד ימנה אחדיו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן האחד ימנה ה' בשעור מה שימנה ה' ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס האחד אל ה' כיחס ה' אל ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ה' הוכה בח' והיה ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח' ימנה ל' בשעור אחדי ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן האחד ימנה ה' בשעור מה שימנה ח' ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס האחד אל ה' כיחס ח' אל ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי יחס האחד אל ה' כיחס ה' אל ח' ויחס ח' אל א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן התבאר כי יחס האחד אל ז' כיחס ז' אל כ' . ויחס כ' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מנין מה שנפל בין א' וב' מן המספרים והוא ג"ד כמנין מה שנפל בין א' ובין האחד מן המספרים והוא ז"כ ושבו כלם נמשכים על יחס אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 10 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י</span> <big>כל</big> שני מספרים בין כל אחד משניהם ובין האחד מהמספרים כמה שיהיו הנה יהיו כלם נמשכים על יחס אחד הנה יפול בין שניהם מן המספרים עד שיהיו כלם נמשכים על יחס אחד כמו מנין מה שנפל בין כל אחד משניהם ובין האחד מן המספרים אשר יהיו בהם הכל נמשכים על יחס אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונניח שיהיה האחד ל' ויפולו בין א' ובין ל' האחד שני מספרי ג"ד . ובין מספר ב' ובין ל' האחד שני מספרי ה"ז וישובו א"ד ג"ל נמשכים על יחס אחד וכן ב"ז ה"ל נמשכים על יחס אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר שיפול בין שני מספרי א"ב מן המספרים עד שישובו כלם נמשכים על יחס במנין מה שנפל בין כל אחד משני מספרי א"ב ובין האחד מן המספרים עד שיהיו כלם נמשכים על יחס אחד והם ג"ד ה"ז
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי יחס ל' והוא האחד אל ג' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן האחד ימנה ג' בשעור מה שימנה ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והאחד ימנה ג' בשעור אחדי ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וג' הוכה בדומה לו והיה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יחס האחד אל ג' הוא יחס ד' אל א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן האחד ימנה ג' בשעור מה שימנה ד"א
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והאחד ימנה ג' בשעור אחדי ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וג' הוכה בד' והיה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן ה' הוכה בכמוהו ושב ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והוכה בז' ושב ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה נכה ג' בה' וישוב ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויוכה בח' וישוב ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה' בח' וישוב כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויתבאר כמו שבאררנו קודם כי ד'ח'ז' מתיחסים ויחסם יחס ג' אל ה' ושא"ט כ"ב נמשכים אל יחס ג' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מנין מה שנפל בין שני מספרי א"ב מן המספרים והוא ט"כ עד כי שבו כלם נמשכים על יחס אחד כמנין מה שנפל בין כל אחד משניהם ובין האחד מן המספרים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 11 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_VIII_11"></div><span style=color:red>יא</span> <big>כל</big> שני מספרים מרובעים הנה יפול בין שניהם מספר מתיחס לשניהם ויחס המרובע אל המרובע הוא יחס צלעו אל צלעו שנוי בכפל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|נניח שיהיו שני מספרים מרובעים והם א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה צלע א' מספר ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וצלע ב' מספר ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי בין א' ובין ב' מספר מתיחס לשניהם ושיחס א' אל ב' הוא יחס ג' אל ד' שנוי בכפל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה המקובץ מהכאת ג' בד' מספר ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי צלע המרובע הוא מספר ג' יהיה המקובץ מהכאת ג' בכמוהו מספר א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יהיה המקובץ מהכאת ד' בכמוהו מספר ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ג' הוכה בשני מספרים והם ג"ד והיו מזה שני מספרי א"ה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|יהיה יחס ג' אל ד' כיחס א' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכמו זה גם כן התבאר כי יחס ג' אל ד' כיחס ה' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ה' כיחס ה' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן בין שני מרובעי מספר ה' מתיחס לשניהם מפני כי א'ה'ב' השלשה מתיחסים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|יהיה יחס א' אל ב' כיחס א' אל ה' שנוי בכפל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל א' אל ה' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' שנוי בכפל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 12 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_VIII_12"></div><span style=color:red>יב</span> <big>כל</big> שני מספרים מעוקבים הנה יפול בין שניהם שני מספרים ויהיה הארבעה נמשכים מתיחסים על יחס אחד ויחס המעוקב אל המעוקב הוא ישם צלעו אל צלעו משולשת
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונניח שיהיו שני מספרים מעוקבים והם א"ב ויהיה צלע א' המעוקב מספר ג' וצלע ב' המעוקב מספר ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי בין א' וב' שני מספרים ישיבו הארבעה נמשכים על יחס אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ושיחס א' אל ב' הוא יחס ג' אל ד' משולש בכפל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה המקובץ מהכאת ג' בכמוהו מספר ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומהכאת ג' בד' ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומהכאת ד' בכמוהו ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה המקובץ מהכאת ג' בז' ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומהכאת ד' בז' כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי א' מעוקב וצלעו ג' ומרובע ג' הוא ה' יהיה המקובץ מהכאת ג' בה' מעוקב א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן גם כן יהיה המקובץ מן ד' בח' מעוקב ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומפני כי ג' הוכה בשני מספרי ג"ד והיו מזה שני מספרי ה"ז יהיה יחס ג' אל ד' הוא יחס ה' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה גם כן יחס ג' אל ד' הוא יחס ז' אל ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומפני כי ג' הוכה גם כן ב'ה'ז' והיה מזה א"ט יהיה יחס ה' אל ז' הוא יחס א' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל כי יחס ה' אל ז' הוא יחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ט' הוא יחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומפני כי ד' הוכה בז' וח' והיה מזה כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וב' יהיה ז' אל ח' הוא יחס כ' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ז' אל ח' הוא יחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס כ' אל ב' הוא יחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ג' אל ד' הוא יחס א' אל ט' וט' אל כ' וכ' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ט' הוא יחס ט' אל כ' וכ' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן בין שני מספרי א"ב המעוקבים שני מספר ט"כ והארבעה נמשכים על יחס אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומפני כי מספרי א"ט כ"ב הארבעה נמשכים על יחס אחד יהיה יחס א' אל ב' הוא יחס א' אל ט' משולש בכפל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל יחס א' אל ט' הוא יחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס ג' אל ד' משולש בכפל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 13 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יג</span> <big>איזה</big> מספרים שיהיו על יחס אחד והוכה כל אחד בכמוהו הנה מרובעיהם גם נמשכים על יחס אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן אם הוכה כל מספר מהם במרובעו הנה מעוקביהם גם כן נמשכים על יחס אחד וכן לא יסורו הקצוות והמספרים האחרונים כאשר הוכו בהם על הדרך הזה יהיו נמשכים על יחס אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונניח שיהיו מספרים נמשכים על יחס אחד והם מספרי א'ב'ג' ונכה כל אחד משניהם בדומה לו ויהיו מרובעיהם ד' ה"ז ויוכה כל אחד משניהם במרובעו וישובו מעוקביהם ח'ט'ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ד'ה'ז' מתיחסים ושח'ט'כ' מתיחסים והיחס הוא הוא א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויוכה א' בב' ויהיה ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ובל' וה' ויהיה מזה נ' וס'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויוכה ב' בג' ויהיה מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ובמ' וז' ויהיה מזה ע' ופ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיו מזה ד"ל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' אל ב' כיחס ד' אל ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן ב' הנה הוכה בא' והיה ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ובדומה לו והיה ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ל' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ד' אל ל' כיחס ל' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד'ל"ה מתיחסים ויחסם הוא יחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל יחס א' אל ב' הוא יחס ב' אל ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ד'ל"ה הוא יחס ב' אל ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ב' הוכה בדומה לו והיה ה' ובג' והיה מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ב' אל ג' הוא יחס ה' אל מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וג' הוכה בב' והיה מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והוכה בדומה לו והיה ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ב' אל ג' הוא יחס מ' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל מ' הוא יחס מ' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ומ"ז מתיחסים הנה יחסם הוא יחס ב' אל ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכבר היו מספרי ד'ל"ה אלו יחסם כמו יחס ב' אל ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד'ל"ה מתיחסים וה'מ'ז' מתיחסים והיחס אחד והמנין אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ביחס השוים יהיה יחס ד' אל ה' הוא יחס ה' אל ז' וד'ה'ז' מתיחסים והם שלשה מספרים הנה יחסם אל הראשון
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א' הוכה בד' והיה ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ובל' והיה נ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ד' אל ל' הוא יחס ח' אל נ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ד' אל ל' הוא יחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ח' אל נ' הוא יחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יחס א' אל ב' הוא יחס נ' אל ס'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס א' אל ב' הוא יחס ח' אל נ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח'נ'ס' מתיחסים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא' וב' הוכו בה' והיה מזה ס' וט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס נ' אל ס' וס' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספרי ח'נ'ס'ט' מתיחסים נמשכים על יחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן ט"עפ"ב נמשכים על יחס ב' אל ג' ושני היחסים אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח'נ'ס'ט' נמשכים על יחס ט"ע פ"כ והמנין אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ח' אל ט' כיחס ט' אל כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח'ט'כ' גם כן נמשכים על יחס אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה הוא מה אשר רצינו לבארו
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 14 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יד</span> <big>כל</big> שני מספרים מרובעים ימנה אחד משניהם האחר הנה צלע המונה משניהם ימנה צלע המנוי
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה מספר ימנה מספר הנה מרובע המונה ימנה מרובע המנוי
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|נניח שיהיו שני המספרים מרובעים והם א"ב ויהיה צלע א' מספר ג' וצלע ב' מספר ד' ויהיה א' ימנה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג' ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נכה ג' בד' ויהיה ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא' מרובע ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וב' מרובע ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' הוא המספר אשר בין שניהם וא'ה'ב' מתיחסים ויחסם הוא יחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא' הראשון ימנה ב' האחרון
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן הוא ימנה מספר ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס א' אל ה' הוא יחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא' ימנה ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' ימנה ד' ואם יהיה ג' ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' ימנה ב' והתבאר כי א'ה'ב' מתיחסים ויחסם יחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ג' אל ד' כיחס א' אל ה' וג' ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה ה' וה' השני הוא ימנה הוא ימנה ב' האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ובכאן התבאר כי אם לא ימנה מרובע מרובע לא ימנה צלעו צלעו ואם לא ימנה הצלע הצלע לא ימנה המרובע המרובע
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 15 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>טו</span> <big>כל</big> מספר מעוקב ימנה מספר מעוקב הנה צלע המעוקב המונה ימנה צלע המעוקב המנוי
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה מספר ימנה מספר הנה מעוקב המונה ימנה מעוקב המנוי
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו שני מספרים מעוקבים והם א"ב ושתי צלעותיהם ג"ד ויהיה א' ימנה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג' ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת שנכה ג' בדומה לו ויהיה ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונכה ד' בדומה לו ויהיה ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה ג' כאשר הוכה בה' היה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וד' כאשר הוכה בז' היה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|היה נכה ג' בד' ויהיה ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונכהו גם כן בח' וז' ויהיו ט' וכ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה מספרי ה'ח'ז' מתיחסים ויחסם הוא יחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וג' הוכה בה' והיה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והוכה בח' והיה ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ח' הוא יחס א' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ה' אל ח' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ט' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יהיה יחס ט' אל כ' הוא יחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ג' אל ד' הוא יחס א' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ט' הוא יחס ט' אל כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וג"ד הוכו בז' והיה מזה כ"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ג' אל ד' כיחס כ' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ג' אל ד' הוא יחס א' אל ט' וט' אל כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ט כ"ב נמשכים על יחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא' הראשון ימנה ב' האחרון
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן הוא ימנה ט' השני
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס א' אל ט' כיחס ג' אל ד' וא' ימנה ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן יהיה ג' ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' ימנה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר כמו שבארנו כי א"ט כ"ב נמשכים על יחס ג' אל ד' ויהיה א' הראשון ימנה ט' השני ויתחייב שימנה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ובכאן כי כאשר לא ימנה מעוקב מעוקב לא ימנה צלעו צלעו וכאשר לא ימנה הצלע הצלע לא ימנה המעוקב המעוקב
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 16 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יו</span> <big>כל</big> שני מספרים משוטחים מתדמים יפול בין שניהם מספר מתיחס לשניהם ויחס השטח אל השטח הוא יחס צלעו אל צלעו שנוי
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו שני מספרים משוטחים והם א"ב ויהיו שני צלעי א' שני מספרי ג"ד ושני צלעי ב' שני מספרי ה"ז
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי בין שני מספרי א"ב מספר מתיחס לשניהם ויחס א' אל ב' כיחס צלע א' אל צלע ב' אשר הוא גילו שנוי
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי א"ב שני שטחים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן צלעותיהם מתיחסות ושני צלעי א' ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ושני צלעי ב' ה"ז
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה יהיה יחס ג' אל ה' כיחס ד' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונכה ד' בה' ויהיה מזה ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל הכאת ד' בג' הוא מספר א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וד' הוכה בשני מספרי ג"ה והיה מזה א"ח
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ג' אל ה' כיחס א' אל ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ג' אל ה' כיחס ד' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ד' אל ז' כיחס א' אל ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|שיחס ד' אל ז' כיחס א' אל ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ח' הוא יחס ח' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א'ח'ב' מתיחסים הנה כבר נפל בין א' וב' מספר והוא ח' והיו מתיחסים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס א' אל ב' הוא יחס צלעו אל צלעו אשר הוא גילו שנוי
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי יחס א' אל ח' כיחס ח' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה יחס א' אל ב' הוא יחס א' אל ח' שנוי
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס א' אל ח' הוא יחס הצלע אל הצלע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס צלעו אל צלעו שנוי
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 17 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יז</span> <big>כל</big> שני מספרים מוגשמים מתדמים הנה יפול בין שניהם שני מספרים וימשכו מתיחסים ויחס אחד משני המוגשמים אל האחר הוא יחס צלעו אל צלעו שהוא גילו משולש
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי א"ב שני מוגשמים מתדמים וצלעי איהם ג'ד'ה' וצלעי ב' הם ז'ח'ט' ויחס ג' אל ז' כיחס ד' אל ח' וכיחס ה' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וג' כאשר הוכה בד' היה כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וז' כאשר הוכה בח' היה ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כ"ל שנים משוטחים מתדמים מפני כי צלעות שניהם מתיחסות הנה יפול בין כ"ל מספר וימשך עם שניהם על יחס אחד ויהיה המספר הזה מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה' כאשר הוכה במ' היה נ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וט' כאשר הוכה במ' היה ס'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומשוטח ג' בד' אשר הוא ב' כאשר הוכה בה' היה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל ה' כאשר הוכה גם כן במ' היה נ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל נ' כיחס כ' אל מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס כ' אל מ' כיחס מ' אל ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס מ' אל ל' כיחס ג' אל ז' וכיחס ד' אל ח' וכיחס ה' אל ט' והוא יחס הצלע אל הצלע שהוא גילו וכן יחס א' אל נ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן כל אחד מן ה"ט הוכה במ' והיה נ"ס
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ט' כיחס נ' אל ס'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ה' אל ט' וג' אל ז' וד' אל ח' הוא יחס הצלע לצלע שהוא גילו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס הצלע אל הצלע כיחס א' אל נ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל נ' כיחס נ' אל ס'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וט' כאשר הוכה בל' היה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכבר הוכה ט' במ' והיה ס'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס מ' אל ל' כיחס ס' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס מ' אל ל' הוא יחס הצלע אל הצלע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ס' אל ב' הוא יחס הצלע אל הצלע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס הצלע אל הצלע הוא כיחס א' אל נ' וכיחס נ' אל ס' וכיחס ה' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספרי א'נ'ס'ב' נמשכים על יחס הצלע אל הצלע שהוא גילו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכבר נפלו בין א"ב שני מספרי נ"ס
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והנה אומר כי יחס א' אל ב' הוא יחס הצלע אל הצלע אשר הוא גילו משולש
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|מפני כי יחס א' אל נ' כיחס נ' אל ס' וכיחס ס' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס א' אל נ' משולש
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה א' אל נ' הוא יחס הצלע אל הצלע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס צלעו אל צלעו אשר הוא גילו משולש
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 18 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יח</span> <big>כאשר</big> נפל מספר בין שני מספרים וימשכו מתיחסים הנה שני המספרים משוטחים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספר ג' נפל בין שני מספרי א"ב משוטחים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נקח שני מספרים היותר קטנים על יחס א'ג'ב' והם ד"ה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וד"ה שני מספרים היותר קטנים והם ימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשוה הקטן לקטן והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה ד' ימנה א' וה' ימנה ג' בשוה ויהיו אחדי מספר ז' בשעור מה שימנה ד' א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ג' בשעור אחדי ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וד' הוכה בז' והיה א' משוטח ושתי צלעותיו ד"ז
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יחס ג' אל ב' כיחס ד' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וד"ה שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם בשוה הקטן לקטן והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה ג' וה' ימנה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו אחדי מספר ח' כשעור מה שימנה ה"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ב' בשעור אחדי ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה' יוכה בח' ויהיה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ב' משוטח ושתי צלעותיו ה"ח
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וד' ימנה ג' בשעור אחדי ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה ד' הוכה בח' והיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן ז' יוכה בה' ויהיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ז' בה' שוה למשוטח ד' בח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ז' אל ד' כיחס ח' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וד' וז' שתי צלעות א' וה' וח' שתי צלעות ב' אם ^ א"ב שתי שטחים מתדמים מפני כי צלעות שניהם מתיחסים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 19 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יט</span> <big>כל</big> שני מספרים יפלו בין שניהם שני מספרים וימשכו מתיחסים הנה שניהם מוגשמים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב נפלו בין שניהם שני מספרי ג"ד ונמשכו מתיחסים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ב שניהם מוגשמים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נקח קטן שלשה מספרים מתיחסים על יחס א"ג ד"ב והם מספרי ה'ז'ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שני הקצוות והם ח"ה כבר נפל בין שניהם מספר ו' ונמשכו מתיחסים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' וח' שני שטחים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו שני צלעי ה' כ"ל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ושני צלעי ח' מ"נ
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה"ח שני שטחים מתדמים וצלעות שניהם מתיחסות יחס כ' אל מ' כיחס ל' אל נ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה'ז'ח' על יחס א'ג'ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ז' כיחס א' אל ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ז' אל ח' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומנין ה'ז'ח' כמו מנין א'ג'ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ח' כיחס א' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכל אחד מן ה"ח ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם קטן שני מספרים על יחס שניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשווי הקטן לקטן והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה ה' ימנה א' בשעור מה שימנה ח"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו אחדי מספר ט' בשעור מה שימנה ה"א
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח' ימנה ד' בשעור אחדי מספר ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה ט' יוכה בח' ויהיה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה' ימנה א' בשעור אחדי ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה' יוכה בט' ויהיה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה' הוא שטח כ' בל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח כ' בל' הוכה בט' והיה מוגשם א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן צלעותיו כ'ל'ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מספרי ה'ז'ח' על יחס מספרי ג'ד'ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומנין ה'ז'ח' כמנין ג'ד'ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל ח' כיחס  ג' אל ב' וכל אחד מן ה"ח ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם קטני שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשווי הקטן לקטן והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ג' בשעור מה שימנה ח"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו אחדי מספר ס' בשיעור מה שימנה ח"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ג' בשעור אחדי מספר ס'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וח' יוכה בס' ויהיה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וח' והוא שטח מ' בנ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח מ' בנ' הוכה בס' והיה מוגשם ב' וצלעיו מ'נ'ס'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וט' הוכה בח' והיה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וס' הוכה בח' והיה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ט' אל ס' כיחס ד' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ד' אל ב' כיחס ה' אל ז' וכיחס ז' אל ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל יחס ה' אל ז' וז' אל ח' כיחס כ' אל מ' ול' אל נ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ט' אל ס' כיחס כ' אל מ' ול' אל נ' והוא יחס הצלע אל הצלע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וצלעות א' הם כ'ל'ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וצלעות ב' הם מ'נ'ס'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' וב' שני מוגשמים מתדמים מפני כי צלעות שניהם מתיחסות
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונשלם באורו
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 20 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|For every three numbers that are in continued proportion, such that the first is a square, the third is a square.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ</span> <big>כל</big> שלשה מספרים נמשכים על יחס אחד יהיה הראשון מהם מרובע הנה השלישי מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי מספרי א'ב'ג' השלשה נמשכים על יחס אחד והראשון מהם והוא א' הוא מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג' השלישי מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נקח קטן מספרים על יחס א'ב'ג' מניינם כמניינם והם ד'ה'ז' ושתי הקצוות והם ד"ז שני מרובעים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה צלע מרובע א' מספר ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וצלע מרובע ז' מספר כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וצלע מרובע ד' מספר ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי יחס א'ב'ג' כיחס ד'ה'ז' ומניינם כמניינם יהיו ביחס השוים יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכל אחד משני מספרי ד"ז ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והמספרים אשר קצתם ראשון אצל קצת הם קטני המספרים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וקטן המספרים על יחס ימנו המספרים אשר על יחסם בשווי הקטן לקטן והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה א' בשעור מה שימנה ז"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר ימנה מרובע מרובע הנה צלעו ימנה צלעו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ט' ימנה ח' וימנה כ"ל בשעור מה שימנה ט"ח
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ט' אל ח' כיחס כ' אל ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס המרובע ההווה מן ט' אל המרובע ההווה מן ח' כיחס המרובע ההווה מן כ' אל המרובע ההווה מן ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והמרובע ההווה מן ט' הוא ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והמרובע ההווה מן ח' הוא א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והמרובע ההווה מן כ' הוא ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ד' אל המרובע ההווה מן ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ד' אל א' כיחס ז' אל ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ז' אל ג' כיחס ז' אל המרובע ההווה מן ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' שוה למרובע ההווה מן ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונשלם באורו
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 21 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|For every four numbers that are in continued proportion, such that the first is a cube, the fourth is a cube.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כא</span> <big>כל</big> ארבעה מספרים נמשכים על יחס יהיה הראשון מהם מעוקב הנה הרביעי מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי ארבעה מספרי א'ב'ג'ד' נמשכים על יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ג' וכיחס ג' אל ד' ויהיה א' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ד' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת אנחנו נקח קטני המספרים על יחס מספרי א'ב'ג'ד' ועל מניינם והם ה'ז'ח'ט' הנה הקצוות והם ה"ט מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה צלע מעוקב א"ל וצלע מעוקב ה"ב וצלע מעוקב ט"נ
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי יחס א"בג"ד כיחס ה'ז'ח'ט' והם שוים במנין יהיו ביחס השווי יחס א' אל ד' כיחס ה' אל ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכל אחד מן ה"ט ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם קטן שני המספרים על יחסם וקטני המספרים על יחס ימנו המספרים על יחסם בשווי הקטן לקטן והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה א' כמו מה שימנה ט"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר מנה מעוקב מעוקב הנה צלעו ימנה צלעו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ב' ימנה ל' ויהיה מנין מה שימנה נ"מ כמו מנין מה שימנה כ"ל
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס כ' אל ל' כיחס נ' אל מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס המעוקב ההווה מן נ' אל המעוקב ההווה מן ל' כיחס המעוקב ההווה מן נ' אל המעוקב ההווה מן מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והמעוקב ההווה מן כ' הוא ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והמעוקב ההווה מן ל' הוא א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והמעוקב ההווה מן נ' הוא ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל א' כיחס ט' אל המעוקב ההווה מן מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ה' אל א' כיחס ט' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' שוה למעוקב ההווה מן מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' מעוקב
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 22 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|For every two numbers such that the ratio of one of them to the other is as the ratio of a square number to a square number and one of them is a square number, the other is a square number.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כב</span> <big>כל</big> שני מספרים יחס אחד מהם אל האחר כיחס מרובע אל מרובע ואחד משניהם מרובע הנה האחר מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר ג' המרובע אל מספר ד' המרובע וא' מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אומר כי ב' מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי שני מספרי ג"ד מרובעים ומשוטחים מתדמים וכבר יפול בין שניהם מספר וימשכו מתיחסים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ג' אל ד' כיחס א' א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ב הנה יפול בין שניהם מספר ימשכו מתיחסים וא' מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אם כן ב' מרובע
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 23 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|For every two numbers such that the ratio of one of them to the other is as the ratio of a cubic number to a cubic number and one of them is a cubic number, the other is a cubic number.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כג</span> <big>כל</big> שני מספרים יחס אחד מהם אל האחר כיחס מעוקב אל מעוקב ואחד משניהם מעוקב הנה האחר מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר ג' המעוקב אל מספר ד' המעוקב וא' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ב' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי ג"ד מעוקבים ומוגשמים מתדמים והנה יפול בין שניהם שני מספרים וימשכו מתיחסים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ג' אל ד' כיחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר יפול בין א"ב שני מספרים וימשכו מתיחסים וא' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ב' מעוקב
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 24 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When there are two numbers such that the ratio of one of them to the other is as the ratio of a square number to a square number, then they are similar plane numbers.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כד</span> <big>כאשר</big> היו שני מספרים והיה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע הנה שניהם שני שטחים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר ג' המרובע אל מספר ד' המרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שני מספרי א"ב שני שטחים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי שני מספרי ג"ד שני מרובעים וכבר יפול בין שניהם מספר מתיחס לשניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר יפול בין מספרי א"ב מספר מתיחס לשניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספרי א"ב שני שטחים מתדמים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 25 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When there are two numbers such that the ratio of one of them to the other is as the ratio of a cubic number to a cubic number, then they are similar solid numbers.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כה</span> <big>כאשר</big> היו שני מספרים והיה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מעוקב אל מעוקב הנה שניהם מוגשמים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר ג' המעוקב אל מספר ד' המעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שני מוגשמי א"ב מוגשמים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי כל אחד משני מספרי ג"ד מעוקב והנה יפול בין שני מספרי ג"ד שני מספרים מתיחסים לשניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספר א"ב שנים מוגשמים מתדמים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 26 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|For every two similar plane numbers, the ratio of one of them to the other is as the ratio of a square number to a square number.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כו</span> <big>כל</big> שני מספרים משוטחים מתדמים הנה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב שנים משוטחים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המופת כי א"ב שני משוטחים מתדמים וכבר נפל בין שניהם מספר ג' ונמשכו מתיחסים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונקח קטן שלשה מספרים על יחס א'ג'ב' והוא ד'ה'ז' הנה שתי הקצוות והם ד"ז מרובעים ומנין ד'ה'ז' כמנין א'ג'ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
=== Proposition 27 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|For every two similar solid numbers, the ratio of one of them to the other is as the ratio of a cubic number to a cubic number.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כז</span> <big>כל</big> שני מספרים מוגשמים מתדמים הנה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מעוקב אל מספר מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מספרי א"ב מוגשמים מתדמים ויפולו בין שניהם שני מספרים והם ג"ד וימשכו מתיחסים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונקח קטן ארבעה מספרים על יחס א"גד"ב והם ה'ז'ח'ט' הנה שני הקצוות הם ה"ט מעוקבים ומנין ה"זח"ט א"גד"ב
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle H:T=A:B</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה יחס ה' אל ט' כיחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|
 +
::*<math>\scriptstyle A:B</math> = cubic number H to cubic number T
 +
|style="text-align:right;"|ויחס א' אל ב' כיחס מספר ה' המעוקב אל מספר ט' המעוקב
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר השמיני
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
== Book Nine ==
 +
|style="text-align:right;"|<big>המאמר התשיעי</big>
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 1 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>כל</big> שני מספרים משוטחים מתדמים יוכה אחד משניהם באחר הנה הוא ישוב מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי שני מספרי א"ב שני שטחים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והוכה א' בב' והיה ג&#x202B;'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג' מרובע
 +
|-
 +
|Proof:
 +
:*<math>\scriptstyle A\times A=D</math>
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי א' הוכה בדומה לו והיה ד&#x202B;'
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle A\times B=G</math>
 +
|style="text-align:right;"|והוכה בב' והיה ג&#x202B;'
 +
|-
 +
|
 +
::<math>\scriptstyle A\times\left(A+B\right)=D+G</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיה ד"ג
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VII.18:</span> <math>\scriptstyle A:B=D:G</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ג' <span style=color:red>מי"ח משביעי</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא"ב שני משוטחים מתדמים ויפול בין שניהם מספר וימשכו מתיחסים
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VIII.17:</span>
 +
|style="text-align:right;"|הנה יפול גם כן בין שני מספרי ד"ג מספר <span style=color:red>מי"ז משמיני</span>
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VIII.18:</span>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד"ג שני שטחים מתדמים <span style=color:red>מי"ח משמיני</span>
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VIII.20:</span>
 +
|style="text-align:right;"|וד' מרובע אם כן ג' מרובע <span style=color:red>מכ' מח'</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל&#x202B;'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 2 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> <big>כל</big> מספר יוכה במספר אחר ויהיה מרובע הנה השני מספרים משוטחים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי א' הוכה במספר ב' והיה ג' וג' מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ב שני שטחים מתדמים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי א' הוכה בדומה לו והיה ד' וד' מרובע וא' הוכה בב' והיה ג'
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VII.18:</span> <math>\scriptstyle A:B=D:G</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ג' <span style=color:red>מי"ח מז'</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכל אחד מד' ג' מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס מספר ד' המרובע אל מספר ג' המרובע
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VIII.24:</span>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספר א"ב שני שטחים מתדמים <span style=color:red>מכ"ד משמיני</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>ובכאן</big> התבאר כי כאשר הוכה מספר מרוב' במספר מרובע הנה הוא יהיה מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם הוכה מספר מרובע במספר והיה מרובע הנה המוכה בו מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם הוכה מספר מרובע במספר והיה בלתי מרובע הנה המוכה בו בלתי מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם הוכה מספר מרובע במספר בלתי מרובע הנה הוא בלתי מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 3 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ג</span> <big>כל</big> מספר מעוקב יוכה בדומה לו הנה הוא יהיה מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א' הוא מעוקב וכאשר הוכה בכמוהו והיה מספר ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ב' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי א' מעוקב וצלעו מספר ג' הנה ג' הוכה בכמוהו והיה ד' וג' הוכה בד' והיה א' אם כן ג' ימנה ד' בשעור אחדי ג' והאחד ימנה ג' בשעור אחדי ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן האחד ימנה ג' בשעור מה שימנה ג"ד
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VII.def. proportional numbers:</span> <math>\scriptstyle 1:G=G:D</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס האחד אל הג' כיחס ג' אל ד' <span style=color:red>מפתיחת ז'</span>
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle G\times D=A</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה ג' הוכה בד' והיה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' ימנה א' בשעור אחדי ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והאחד ימנה ג' בשעור ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן האחד ימנה ג' בשעור מה שימנה ד"א
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VII.def. proportional numbers:</span> <math>\scriptstyle 1:G=G:D=D:A</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס האחד אל ג' כיחס ג' אל ד' וכיחס ד' אל א' <span style=color:red>מפתיחת ז'</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה בין האחד ובין א' מספר ג"ד והם נמשכים על יחס
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle A\times A=B</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה א' הוכה בכמוהו והיה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה ב' בשעור אחדי א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והאחד ימנה א' בשעור אחדי א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן האחד ימנה א' בשעור מה שימנה א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס האחד אל א' כיחס א' אל ב'
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VIII.8:</span>
 +
|style="text-align:right;"|ובין האחד ובין א' מספרי ג"ד והם נמשכים על יחס ויפול בין א' ובין ב' שני מספרים וימשכו על יחס <span style=color:red>מח' מח'</span>
 +
|-
 +
|<span style=color:red>VIII.21:</span>
 +
|style="text-align:right;"|ומספר א' מעוקב אם כן מספר ב' מעוקב <span style=color:red>מכ"א מח'</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 4 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ד</span> <big>כל</big> מספר מעוקב יוכה במספר מעוקב אחר הנה הוא מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א' מעוקב וכבר הוכה במספר אחר מעוקב והוא ב' והיה ג' הנה אומר כי ג' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי א' הוכה בכמוהו והיה ד' אם כן ד' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא' הוכה בכמוהו והיה ד' והוכה בב' והיה ג' הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיה ד"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ד' אל ג' כיחס מעוקב א' אל מעוקב ב' וד' מעוקב אם כן ג' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 5 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ה</span> <big>כל</big> מספר מעוקב יוכה במספר ויהיה מעוקב הנה המספר המוכה בו מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א' מעוקב וכבר הוכה במספר ב' והיה ג' וג' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ב' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי א' הוכה בכמוהו והיה ד' אם כן ד' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא' הוכה בכמוהו והיה ד' והוכה בב' והיה ג' הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיה ד"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס מעוקב ד' אל מעוקב ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא' מעוקב אם כן ב' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ובכאן התבאר כי אם הוכה מספר מעוקב במספר בלתי מעוקב יהיה בלתי מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם הוכה מספר מעוקב במספר והיה בלתי מעוקב הנה המוכה בו בלתי מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 6 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ו</span> <big>כל</big> מספר יוכה בכמוהו ויהיה מעוקב הנה הוא מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א' הוכה בכמוהו והיה ב' וב' מעוקב הנה אומר כי א' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי א' הוכה בב' והיה ג' הנה ג' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא' הוכה בכמוהו והיה ב' והוכה בב' והיה ג' הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיה ב"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ג' וב"ג מעוקבים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס מעוקב ב' אל מעוקב ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וב' מעוקב אם כן א' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 7 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> <big>כל</big> מספר מורכב יוכה במספר
 +
הנה הוא ישוב מוגשם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א' מורכב וכבר הוכה במספר ב' והיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג' מוגשם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי מספר א' מורכב הנה ימנהו מספר ד' ויהיו אחדי ה' בשעור מה שימנה ד"א
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' יוכה בה' ויהיה א' וא' יוכה בב' ויהיה ג' אם כן מוגשם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 8 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> <big>כאשר</big> היו מספרים מן האחד נמשכים מתיחסים כמה שהיו הנה המספר השלישי מן האחד מרובע מה שימנה זה מן המספרים כאשר עזב מהם אחד ולקח אחד על ההמשכות יהיו המספרים הלקוחים מרובעים והרביעי מן מן האחד מעוקב עוד אחר זה כאשר עזב שני מספרים ולקח מספר יהיו המעוקבים והשביעי מן האחד מרובע מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|עוד אחר זה כאשר עזב חמשה מספרים ולקח מספר יהיו המספרים הלקוחים מרובעים מעוקבים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספרי א"בג"דה"ז והאחד יקדם להם נמשכים מתיחסים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי השלישי מן האחד והוא ב' מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והרביעי מן האחד והוא ג' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|עוד אחד אחר שנים מעוקב והשביעי מן האחד והוא ז' מרובע מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|עוד אחד אחר מחשה מרובע מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי יחס האחד אל א' כיחס א' אל ב' הנה האחד ימנה א' בשיעור מה שימנה א' ב' והאחד ימנה א' בשעור אחדי א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה ב' בשעור אחדי א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' יוכה בכמוהו ויהיה ב' אם כן ב' מרובע והוא השלישי מן האחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ב' אל אל ג' כיחס ג' אל ד' הנה כבר נפל בין ב"ד מספר ג' וימשכו מתיחסים וב' מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר כי מה שאחר זה מן המספרים כאשר עזב מספר ולקח אחר על ההמשכות יהיו המספרים הלקוחים מרובעים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יחס האחד אל א' כיחס ב' אל ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן האחד ימנה א' בשעור מה שימנה ב"ג והאחד ימנה א' בשעור אחדי א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ב' ימנה ג' בשעור אחדי א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' יוכה בב' ויהיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' יוכה בכמוהו ויהיה ב' ויוכה בב' ויהיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ג' מעוקב והוא הרביעי מן האחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס ג' אל ד' כיחס ד' אל ה' וכיחס ה' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר נפל בין ג' וז' שני מספרי ד"ה ונמשכו מתיחסים וג' מעוקב אם כן ז' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר כי מה שאחר זה מן המספרים כאשר עזב מהם שני מספרים ולקח מספר יהיו המספרים הלקוחים מעוקבים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומספר ז' יכנס במספרים המרובעים ובמספרים המעוקבים אם כן הוא מרובע ומעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וז' הוא השביעי מן האחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר כי מה שאחר זה מן האחדים אם עזב מהם חמשה מספרים ולקח אחד יהיו המספרים הלקוחים מרובעים מעוקבים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 9 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> <big>כאשר</big> היו מספרים מן האחד נמשכים מתיחסים כמה שיהיו והיה הנמשך אל האחד מרובע הנה הם כלם מרובעים ואם היה הנמשך אל האחד מעוקב הנה הם כלם מעוקבים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספרי א'ב'ג'ד' והאחד יקדם להם נמשכים מתיחסים וא' מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי הנשארים מרובעים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי א' מרובע וב' מרובע כי הוא השלישי מן האחד ויחס א' אל ב' כיחס ב' אל ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ב' אל ג' הוא יחס מרובע א' אל מרובע ב' וב' מרובע אם כן ג' מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר כי כל הנשארים מרובעים וגם כן הנה יהיה הנמשך אל האחד מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי הנשארים כלם מעוקבים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי א' הוכה בכמוהו והיה ב' וא' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ב' מעוקב וג' מעוקב כי הוא הרביעי מן האחד ויחס ב' אל ג' כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ג' אל ד' הוא כיחס מעוקב ב' אל מעוקב ג' וג' מעוקב אם כן ד' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר כי כל הנשארים מעוקבים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 10 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י</span> <big>כאשר</big> היו מספרים מן האחד נמשכים מתיחסים כמה שיהיו והיה הנלוה אל האחד בלתי מרובע הנה יהיו הנשארים אין מהם מספר מרובע כי אם השלישי מן האחד עוד אחר זה אחד בלתי מרובע ואחד מרובע ואם היה הנמשך אל האחד בלתי מעוקב הנה הנשארים אין אחד מהם מספר מעוקב כי אם הרביעי מן האחד עוד אחר זה שנים בלתי מעוקבים ואחד מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספרי א'ב'ג'ד'ה'ז' והאחד יקדם להם נמשכים מתיחסים ואשר ילוה אל האחד והוא א' בלתי מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי אין מהם מספר מרובע כי אם השלישי מן האחד והוא ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|עוד אחר זה אחד בלתי מרובע ואחד מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אם לא יהיה כן הנה יהיה ג' מרובע אם יהיה אפשר ויחס א' אל ב' כיחס ב' אל ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס מרובע ב' אל מרובע ג' וב' מרובע אם כן א' מרובע זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין ג' מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר כי זולתו בלתי מרובע כי אם השלישי מן האחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|עוד אחד בלתי מרובע ואחד מרובע
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה יהיה א' בלתי מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי זולתו מאלו המספרים בלתי מעוקב כי אם הרביעי מן האחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|עוד מה שאחר זה שני מספרים בלתי מעוקבים ומספר מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי אם לא יהיה כן הנה יהיה ה' מעוקב אם יהיה אפשר ויחס א' אל ג' כיחס ג' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ג' כיחס מעוקב ג' אל מעוקב ה' וג' מעוקב אם כן א' מעוקב וזה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין ה' מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן יתבאר כי זולתו בלתי מעוקב כי אם הרביעי מן האחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|עוד אחר זה שני מספרים בלתי מעוקבים ומספר מעוקב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 11 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יא</span> <big>כאשר</big> היו מספרים נמשכים מן האחד מתיחסים כמה שיהיו הנה הקטן ימנה הרב בשעור מספר מהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספרי א"בג'ד'ה' מן האחד נמשכים מתיחסים הנה נאמר כי הקטן ימנה הרב בשעור מספר מהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי מספר ג'ד'ה' כמו מנין האחד וא' וב' על יחס ג'ד'ה' אם כן יחס האחד אל ב' כיחס ג' אל ה' והאחד ימנה ב' בשעור אחדי ב' אם כן ג' ימנה ה' בשעור ב' וזהו שעור ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן הקטן ממספרי א'ב'ג'ד'ה' ימנה הרב בשעור מספר מהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 12 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יב</span> <big>כאשר</big> היו מספרים מן האחד נמשכים מתיחסים כמה שיהיו הנה כל מספר ראשון ימנה האחרון מהם הנה הוא ימנה המספר אשר ילוה לאחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספרי א'ב'ג'ד' והאחד יקדם להם נמשכים מתיחסים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי כל מספר ראשון ימנה האחרון והוא ד' הנה הוא ימנה א' אשר הוא נלוה אל האחד ונאמר שיהיה ה' ראשון וימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ה' ימנה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אם לא יהיה כן הנה לא ימנהו אם יהיה אפשר הנה כל אחד מן א' וה' ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה' ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה ימנה ה' בשעור אחדי ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה ה' יוכה בז' ויהיה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל א' הוכה בג' והיה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ה' בז' כמו שטח א' בג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל א' כיחס ג' אל ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכל אחד מן א' וה' ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם שני קטני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשווי הקטן לקטן והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ג' ויהיו אחדי ח' בשעור מה שימנה הג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה ה' יוכה בח' ויהיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא' הוכה בב' והיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ה' בח' כמו שטח א' בב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל א' כיחס ב' אל ח' וכל אחד מן א' וה' ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם שני קטני שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ב' ויהיו אחדי ט' בשעור מה שימנה ה' ב' הנה ה' יוכה בט' ויהיה כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל א' הוכה בכמוהו והיה ב' הנה ה' בט' כמו א' בכמוהו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ה' אל א' כיחס א' אל ט' וכל אחד מן א' וה' ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם קטני שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה א' וכבר היה שלא ימנהו זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל מספר ראשון ימנה ד' הנה הוא ימנה א' אשר ילוה אל האחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 13 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יג</span> <big>כאשר</big> נתיחסו מספרים מן האחד נמשכים כמה שיהיו והיה הנלוה אל האחד ראשון הנה לא ימנה הרב מהם כי אם מספר מהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספרי א'ב'ג'ד' נמשכים מתיחסים מן האחד ואשר ילוה אל האחד א' והוא ראשון
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי לא ימנה הרב מהם והוא ד' מספר אחר זולת א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נבאר שהוא בלתי אפשר זה שאם היה אפשר זה נאמר שימנהו ה' ואין
 +
ה' כמו אחד מן א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה' אם שיהיה ראשון ואם שיהיה מורכב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואיננו ראשון כי הוא אלו היה ראשון והוא ימנה ד' היה מונה א' אשר ילוה אל האחד אבל הוא לא ימנה א' מפני כי א' ראשון אם כן אין ה' ראשון והנה ימנה ה' אם כן [.] מספר ראשון
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והנה אומר שלא ימנהו מספר ראשון כי אם א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה ימנהו כ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כ' ימנה ה' וה' ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כ' ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכ' ראשון אם כן הוא ימנה א' אשר ילוה אל האחד וא' ראשון זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנהו מספר ראשון כי אם א' וה' ימנה ד' הנה ימנה ד' בשעור אחדי ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ז' ימנה ג' ושז' איננו כמו אחד מן א'ב'ג' מפני כי ה' ימנה ד' בשעור אחדי ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' יוכה בז' ויהיה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל א' הוכה בג' והיה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' בג' כמו ה' בז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ה' כיחס ז' אל ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא' ימנה ה' אם כן ז' ימנה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואומר כי ז' אינו כמו אחד מן א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|כי הוא אם כן יתיחס מספרים מן האחד נמשכים הנה הקטן מהם ימנה הרב בשעור אחדי מספר מהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וז' לא ימנה ד' בשעור אחדי מספר ממספרי א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|כי הוא אם כן ימנה בשעור אחדי מספר ה' ואין ה' כמו אחד מן א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז' אינו כמו אחד מן א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר שהוא ימנה ג' וגם כן הנה ז' ימנה ג' נאמר שימנהו בשעור אחדי ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונבאר כמו שבארנו קודם כי א' ימנה ז' וח' ימנה ב' ושא' אינו כמו אחד מן א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח' ימנה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונאמר שימנהו בשעור אחדי ט' וח' ראשון או מורכב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה ראשון והוא ימנה ב' והנה ח' אינו כמו אחד מן א"ב וח' ימנה ב' הנה הוא ימנה א' וא' ראשון זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין ח' ראשון
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה מורכב נאמר שימנהו מספר ראשון הנה אומר כי לא ימנהו ראשון כי אם א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|מפני שהוא אם היה מספר ראשון ימנה ח' וח' ימנה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן הוא ימנה ב' וימנה א' וא' ראשון זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח' לא ימנהו כי אם א' וא' ימנה ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ט' אינו כמו הנלוה לאחד ולא ט' ימנה ב' בשעור מספר מן המתיחס כי הוא אמנם ימנהו בשעור ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וח' אינו כמו א' וח' ימנה ב' בשעור אחדי ט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח' יוכה בט' ויהיה ב' וא' יוכה בכמוהו ויהיה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' בכמוהו כמו ח' בט'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ח' כיחס ט' אל א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא' ימנה ח' אם כן ט' ימנה א' ואינו כמוהו וזה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן המספרים המתיחסים הנמשכים מן האחד כאשר יהיה אשר ימשך מן האחד ראשון הנה לא ימנה הרב מהם כי אם מספר מהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 14 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יד</span> <big>כל</big> מספרים ראשונים ידועי המספר הנה יהיה מן המספרים הראשונים מה שהוא יותר מספר מהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספרי א'ב'ג' ראשונים ידועי המספר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי הנה יהיה במספרים הראשונים מה שהוא יותר מנין מהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נוציא קטן מספר ימנוהו א'ב'ג' והוא ה"ד ונוסיף עליו אחד והוא ה"ז
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אם היה ז"ד ראשון הנה כבר התאמת הספור כי אנחנו כבר מצאנו מספר ראשון איננו כמו אחד ממספרי א'ב'ג' והוא ז"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה ז"ד מורכב הנה ימנהו מספר ראשון והוא ח'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ח' מספר אחר בלתי שוה לאחד מן א'ב'ג' כי הוא אם היה כמו אחד מהם הנה הוא ימנה ג"ד ה"ד וימנה האחד הנשאר והוא ז' וח' מספר זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ח' ראשון ואינו כמו אחד מן א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל מספרים ידועי המספר הנה יהיה מן המספרים הראשונים מה שהוא יותר ממנין מהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 15 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>טו</span> <big>קטן</big> מספר ימנוהו מספרים ראשונים ידועים הנה לא ימנהו זולתם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א' הוא קטן מספר ימנהו מספרי ב'ג'ד' הראשונים הידועים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי הוא לא ימנה א' זולת מספרי ב'ג'ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי זה אי אפשר שאם היה אפשר נאמר שימנהו ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואין ה' כמו אחד מן ב'ג'ד' ויהיו אחדי ז' בשעור מה שימנה ה"א
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' הוכה בז' והיה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכל שני מספרים יוכה אחד משניהם באחר [....] ומספר ראשון הנה אותו המספר הראשון ימנה אחד משני המספרים המוכים אם כן ב'ג'ד' [....] וימנו אחד מן ז"ה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואולם ה' הנה לא ימנוהו כי הוא ראשון אם כן ימנה ז' וכן ג"ד ימנו ז'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספרי ב'ג'ד' ימנו ז' והוא קטן מן א' זה שקר כי א' היה קטן מספר ימנוהו מספרי ב'ג'ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה א' כי אם ב'ג'ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 16 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יו</span> <big>כאשר</big> היו שלשה מספרים מתיחסים נמשכים והיו קטן המספרים על יחסם הנה כל שני מספרים יתקבצו מהם הנה שניהם מספר ראשון אצל המספר השלישי הנשאר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספרי א'ב'ג' השלשה מתיחסים נמשכים והם קטן המספרים על יחסם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי כל שני מספרים יתקבצו ממספרי א'ב'ג' הנה כלם מספר ראשון אצל המספר השלישי הנשאר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נקח קטן שני המספרים על יחס א'ב'ג' והם ז"ה ה"ד הנה כל אחד מן ז"ה ה"ד ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וז"ה אם כן יוכה בכמוהו ויהיה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויוכה בד"ה ויהיה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן ה"ד יוכה בכמוהו ויהיה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכל אחד מן ז"ה ה"ד ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל ז"ד ראשון אצל ד"ה וה"ז וה"ז ראשון אצל ה"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחד מן ד"ז ז"ה ראשון אצל ד"ה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר היו שני מספרים ראשונים אצל מספר אחר הנה שטח אחד משניהם באחר ראשון אצל אותו המספר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן משוטח ד"ז בז"ה ראשון אצל ה"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכל שני מספרים יהיה אחד משניהם ראשון אצל האחר הנה מרובע אחד משניהם ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מרובע ד"ה ראשון אצל משוטח ד"ז בז"ה ומשוטח ד"ז בז"ה ראשון אצל מרובע ה"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכל קו יחלק בשני חלקים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם כן הכאת הקו באחד משני החלקים כמו הכאת החלק ההוא בכמוהו ואחד משניהם באחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן משוטח ד"ז בז"ה כמו מרובע ה"ז וכמו משוטח ז"ה בה"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל משוטח ד"ה בז"ה הוא ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומרובע ה"ז הוא א' ושניהם יחד כמו משוטח ד"ז בז"ה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל א"ב יבדל ממרובע ה"ד בכמוהו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל מרובע ה"ד הוא ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל א"ב ראשון אצל ג' ולכן יהיה כל ג"ב ראשון אצל א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי כל א"ג גם כן ראשון אצל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי כל אחד מן ז"ה ה"ד ראשון אצל האחר וכל ז"ד ראשון אצל כל אחד מן ז"ה ה"ד וכל אחד מן ז"ה ה"ד ראשון אצל ז"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר היו שני מספרים והיה כל אחד משניהם יחד ראשון אצל מספר אחר הנה משוטח אחד משניהם באחר הוא גם כן ראשון אצל המספר ההוא
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן משוטח ז"ה בה"ד ראשון אצל ד"ז
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכל שני מספרים אחד משניהם ראשון אצל האחר הנה מרובע אחד מהם ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מרובע ז"ד ראשון אצל משוטח ז"ה בה"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומרובע ז"ד הוא כמו ז"ה בכמוהו וה"ד בכמוהו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכפל ז"ה בה"ד יחד אם כן מרובע ז"ה בכמוהו ומרובע ה"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכפל שטח ז"ה בה"ד ראשון אצל שטח ז"ה בה"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר הבדלנו היה מרובע ז"ה ומרובע ה"ד ומשוטח ז"ה בה"ד ראשון אצל משוטח ז"ה בה"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר הבדלנו גם כן היה מרובע ז"ה בכמוהו ומרובע ה"ד בכמוהו יחד ראשון אצל משוטח ז"ה בה"ד אשר הוא ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל שני מרובעי ז"ה בכמוהו וה"ד בכמוהו הם א' וג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל א' וג' ראשון אצל ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 17 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יז</span> <big>כאשר</big> היו שני מספרים והיה כל אחד משניהם ראשון אצל האחר הנה אין יחס הראשון מהם אל השני כיחס השני אל מספר אחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי כל אחד משני מספרי א"ב ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס א' אל ב' אינו כיחס ב' אל מספר אחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי זה אי אפשר שאם היה אפשר נאמר שיהיה יחס א' אל ב'  כיחס ב' אל ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכל אחד מן א"ב ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם קטני שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם הקטן לקטן והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה ב' וימנה עצמו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה א' וימנה ב' וכל אחד משניהם ראשון אצל האחר זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין יחס א' אל ב' כיחס ב' אל מספר אחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 18 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יח</span> <big>כאשר</big> היו מספרים מתיחסים נמשכים כמה שהיו וכל אחד משתי הקצוות ראשון אצל האחר הנה אין יחס הראשון אל השני כיחס האחרון אל מספר אחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספרי א'ב'ג' מתיחסים נמשכים וכל אחד משתי הקצוות אשר הם א"ג ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס א' אל ב' אינו כיחס ג' אל מספר אחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אם היה אפשר נאמר שיהיה כיחס ג' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר המירונו יהיה יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד' וכל אחד מא"ג ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם קטן שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר היו מספרים מתיחסים נמשכים והיה הראשון ימנה השני הנה הוא ימנה האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה א' אם כן ימנה ג' וימנה עצמו וכל אחד משניהם ראשון אצל האחר זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין יחס א' אל ב' כיחס ג' אל מספר אחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 19 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יט</span> <big>נרצה</big> לדעת כאשר היו שני מספרים ידועים אם אפשר שיהיה מספר שלישי לשניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונאמר שיהיו שני המספרים הידועים א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונרצה שנדע אם אפשר שיהיה מספר שלישי מתיחס לשני מספרי א"ב אם היה כל אחד משני מספרי א"ב ראשון אצל האחר הנה לא יהיה אפשר שיהיה מספר שלישי מתיחס לשניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה כל אחד משני מספרי א"ב ראשון אצל האחר הנה כאשר נכה ב' בכמוהו ויהיה מרובע ג' הנה שהוא אם יהיה א' ימנה ג' הנה אפשר שיהיה מספר שלישי מתיחס לשני מספרי א"ב ואם לא יהיה א' ימנה ג' הנה לא ימצא מספר מתיחס לשניהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נשים א' ראשון ימנה ג' וימנהו בשעור אחדי ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' כאשר הוכה בד' היה ממנו ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר הוכה ב' בכמוהו היה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן משוטח א' בד' כמו מרובע ב' בכמוהו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה כבר מצאנו מספר שלישי מתיחס לשני מספרי א"ב והוא ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה אנחנו נשים א' לא ימנה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי לא ימצא מספר שלישי יתיחס א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר נאמר שיהיה מספר ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומשוטח א' בד' כמו מרובע ב' ומרובע ב' הוא ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן משוטח א' בד' הוא ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה ג' וכבר היה שלא ימנהו זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אי אפשר שיהיה מספר שלישי מתיחס לשני מספרי א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 20 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ</span> <big>נרצה</big> לדעת כאשר היו שלשה מספרים ידועים אם אפשר שיהיה מספר רביעי יתיחס להם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו המספרים השלשה א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונרצה שנדע אם יהיה מספר רביעי מתיחס אל א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אם היה כל אחת משתי הקצוות והם א"ג ראשון אצל האחר הנה אין מספר רביעי יתיחס א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה כל אחד מהם מן א"ג ראשון אצל האחר נכה ב' בג' ויהיה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי אם היה א' ימנה ד' הנה יהיה מספר רביעי יתיחס א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה א' לא ימנה ד' הנה לא יהיה מספר רביעי יתיחס א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נשים תחלה א' ימנה ד' וימנהו בשעור אחדי ה' הנה הוא יוכה בה' ויהיה ד' אבל ב' הוכה בג' והיה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א' בה' כמו שטח ב' בג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ה' הנה כבר מצאנו מספר רביעי יתיחס א'ב'ג' והוא ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה א' ימנה ד' הנה לא יהיה אפשר שימצא מספר רביעי יתיחס א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אם אפשר נאמר שיתיחס להם ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה שטח א' אם כן בה' כמו משוטח ב' בג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומשוטח ב' בג' הוא ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח א' בה' הוא ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה ד' וכבר היה שלא ימנהו זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אי אפשר שיהיה מספר רביעי שלא ימנה א'ב'ג כאשר היה שלא ימנה ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 21 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When even numbers are summed, as many one pleases, then their sum is an even number.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כא</span> <big>כאשר</big> נקבצו מספרי זוגות כמה שהיו הנה קבוצם מספר זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספרי א"ב ב"ג ג"ד זוגות
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ד זוגות
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי כל אחד מא"ב ב"ג ג"ד זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לכל אחד מהם חצי מאחדי שעורו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה לכל א"ד אם כן חצי מאחדי שעורו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ד זוג
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 22 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When odd numbers are summed, as many as one pleases, and their multitude is even, then the sum is an even number.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כב</span> <big>כאשר</big> נקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו והיה מספרם זוג הנה קבוצם מספר זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו א"ב ב"ג ג"ד ד"ה נפרדים ומספרם זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי קבוץ א"ה זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי כל אחד מהם בינו ובין הזוג אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר נבדל האחד מכל מספר מהם ישארו המספרים זוגות מנינם זוג <span style=color:red>מפתיחת ז</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומנין האחרים הנבדלים זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ה זוג <span style=color:red>משלפניה</span>
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזמש"ל
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 23 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When odd numbers are summed, as many as one pleases, and their multitude is odd, then the sum is an odd number.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כג</span> <big>כאשר</big> נתקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו והיה מספרם נפרד הנה קבוצם נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי א"ב ב"ג ג"ד נפרדים ומנינם נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי קבוץ א"ד נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי ג"ד נפרד ונבדל ממנו אחד והוא ד"ה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וישאר ג"ה זוג <span style=color:red>מפתיחת ז</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וא"ג זוג כי הוא יקובץ ממספרים נפרדים מניינם זוג והם א"ב ב"ג <span style=color:red>משלפניה</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל א"ה זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וה"ד אחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ד נפרד <span style=color:red>מכ"א</span>
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ונשלם באורו
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 24 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When an even number is subtracted from an even number, then the remainder is even.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כד</span> <big>כאשר</big> נבדל ממספר זוג זוג הנה הנשאר זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א"ב זוג וכבר נבדל ממנו מספר זוג והוא ב"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ג הנשאר זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי כל אחד מא"ב ב"ג זוג אם כן לכל אחד מהם חצי מאחדי השלם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ג הנשאר לו חצי מאחדי השלם אם כן הוא זוג
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ונשלם באורו
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 25 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When an odd number is subtracted from an even number, then the remainder is odd.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כה</span> <big>כאשר</big> נבדל ממספר זוג מספר נפרד הנה הנשאר נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א"ב זוג וכבר נבדל ממנו מספר א"ג והוא נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי גם כן ג"ב הנשאר נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי א"ג נפרד וכאשר חברנו אחד אליו והוא ג"ד היה א"ד זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר נבדל מא"ב אשר הוא זוג א"ד אשר הוא זוג ישאר ד"ב זוג <span style=color:red>מאשר לפניה</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וג"ד אחד אם כן ג"ב נפרד
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 26 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When an even number is subtracted from an odd number, then the remainder is odd.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כו</span> <big>כאשר</big> נבדל ממספר נפרד מספר זוג הנה הנשאר נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א"ב נפרד וכבר נבדל ממנו מספר א"ג והוא זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג"ב הנשאר נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי א"ב נפרד וכאשר חברנו אליו אחד והוא ב"ד היה א"ד זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר הבדלנו מא"ד הזוג א"ג הזוג נשאר ג"ד זוג <span style=color:red>מכ"ד</span>
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וב"ד אחד אם כן ג"ב נפרד
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|ונשלם באורו
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 27 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When an odd number is subtracted from an odd number, then the remainder is even.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כז</span> <big>כאשר</big> נבדל ממספר נפרד מספר נפרד הנה הנשאר זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א"ב נפרד וכבר נבדל ממנו ב"ג והוא נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ג הנשאר זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי כל אחד מן א"ב ב"ג נפרד וכבר נבדל מכל אחד משניהם אחד והוא ב"ד הנה ישאר כל אחד מא"ד ד"ג זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכבר נבדל מא"ד הזוג ד"ג הזוג וישאר א"ג זוג <span style=color:red>מכ"ד מזה</span>
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 28 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|When an odd number is multiplied by an even number, then the product is even.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כח</span> <big>כאשר</big> הוכה מספר נפרד במספר זוג הנה המקובץ זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א' נפרד והוכה במספר ב' והוא זוג וקובץ ג' אם כן ג' קבוץ
 +
ממספרים נפרדים מנינם זוג אם כן מספר ג' זוג <span style=color:red>מכ"ב מזה</span>
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 29 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כט</span> <big>כאשר</big> הוכה מספר נפרד במספר נפרד הנה המקובץ נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א' נפרד וכבר הוכה במספר ב' והוא נפרד והתקבץ ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג' נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי א' הנפרד הוכה בב' הנפרד והתקבץ ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספר ג' מקובץ ממספרים נפרדים מניינם נפרד אם כן מנין ג' נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויתבאר ממה שספרנו כי כאשר היה מספר נפרד ימנה מספר זוג הנה הוא ימנהו במספר זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א' נפרד והוא ימנה מספר ב' וב' זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי הוא ימנהו במספר זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נשים אחדי ג' בשעור מה שימנה א' הנפרד ב' הזוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה א' יוכה בג' והיה ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג' זוג ואם לא יהיה כן נאמר שיהיה ג' נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם א' הנפרד הוכה בג' הנפרד והיה ב' הנה ב' אם כן נפרד זה שקר כי הוא כבר היה זוג אם כן אין ג' נפרד הנה הוא אם כן זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה ב' בשעור ג' הזוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אמר תאבת והתמונה השלשים והאחת ושלשים לא נמצאם בנסחאות אשר היו בהיכל ומצאנו אותם בכפרים
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 30 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל</span> <big>כאשר</big> יהיה מספר נפרד ימנה מספר נפרד הנה הוא ימנהו במספר נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי א' נפרד והוא ימנה ב' וב' נפרד הנה ימנהו בשעור ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ג' נפרד אי אפשר כי אם זה שאם היה אפשר נאמר שיהיה ג' זוג הנה א' מספר נפרד יוכה בג' הזוג ויהיה ב' הנה ב' אם כן זוג זה שקר כי הוא כבר היה נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין ג' זוג הנה הוא אם כן נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה ב' בשעור ג' הנפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 31 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לא</span> <big>כאשר</big> היה מספר נפרד ימנה זוג הנה הוא ימנה חציו גם כן ויהיה מספר א' נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה ב"ג זוג וימנה א' ב"ג ויהיה חצי ב"ג ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' ימנה ג' ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אם הנחנו מספר מה ב'ה'ז' מן האחדים כמו מניין מה שימנה א' מספר ב"ג אם כן מספר ה"ז זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה חציו ז"ח הנה מפני כי א' ימנה ב"ג בשעור האחדים אשר בה"ז יהיה א' אם כן הוכה בה"ז התקבץ ממנו ב"ג ומפני כי חצי ה"ז הוא ח"ז וחצי ב"ג הוא ג"ד יהיה א' כאשר הוכה בז"ח והתקבץ ממנו ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' ימנה ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 32 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לב</span> <big>כל</big> מספר נפרד יהיה ראשון אצל מספר אחר הנה הוא ראשון אצל כפלו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א' נפרד והוא ראשון אצל ג"ד ויהיה ג"ה כפל ג"ד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' ראשון אצל הג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אם היה אפשר שלא יהיה כן הנה ימנה אותם מספר אחד והוא ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ב' ימנה א' הנפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה ב' אם כן נפרד והוא ימנה הג' הזוג והוא ימנה חציו וימנה א'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ב' ימנה א' וימנה ד"ג וכל אחד מהם ראשון אצל האחר זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן לא ימנה א' וה"ג מספר אחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחד משניהם ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 33 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לג</span> <big>המספרים</big> אשר יכפלו משנים הם זוג הזוג לבד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספרי ב'ג'ד' כפולים משנים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי כל אחד מן ב'ג'ד' הוא זוג הזוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נשים האחד קודם הוא שנים והוא כפל האחד וב' הוא כפל א' וג' כפל ב' וד' כפל ג' הנה כל אחד מן א"ב ג"ד הוא זוג וא' הוא שנים והוא ראשון
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר הגענו [...] מספרים מן האחד נמשכים כמה שהיו והיה אשר ילוה אל האחד מהם ראשון לא ימנה הרב מהם כי אם מספרים מהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד' לא ימנהו אלא מספרים ממספרי א'ב'ג' וכל מספר ימנהו מהם הנה הוא אמנם ימנהו במספר מן א'ב'ג' אשר הם זוגות
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספר ד' זוג הזוג לבד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר שיהיה זוג הזוג וזוג הנפרד הנה ימנה אותם מספר נפרד ויתחייב מזה שיהיה מספר אחד ממספרי א'ב'ג'ד' נפרד וזה בלתי אפשר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין אחד ממספרי ב'ג'ד' זוג הנפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין כל אחד מהם זוג הזוג לבד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 34 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לד</span> <big>כל</big> מספר חציו נפרד הנה הוא זוג הנפרד לבד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספר א"ב חציו נפרד והוא ב"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ב זוג הנפרד לבד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואולם אם היה א"ב זוג הנפרד הנה הוא מבואר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה כי חציו איננו זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר שהוא אמנם הוא זוג הנפרד לבד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם היה אפשר שיהיה עם זה זוג הזוג הנה חציו זוג ואין הדבר כן
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספר א"ב הוא זוג הנפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 35 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לה</span> <big>כל</big> מספר זוג איננו כפול משנים ואין חציו נפרד הנה הוא זוג הזוג וזוג הנפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה מספר עליו א"ב ולא יהיה כפול משנים ולא יהיה חציו אשר הוא ג"ב נפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ב זוג הזוג וזוג הנפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואולם היות מספר א"ב זוג הזוג הנה הוא מבואר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה כי חציו זוג ואומר כי הוא זוג הנפרד וזה כי אנחנו חלקנו ב"ג בשני חציים וחציו בשני חציים ולא נסור נעשה כמו זה הנה אנחנו נכלה אל מספר נפרד ימנה אשר לפניו וימנה א"ב ולא יכלה אל האחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|כי אנחנו אם כלינו אל האחד הנה א"ב מכפלי השנים וכבר היה שאמרנו שאינו כן ושיכלה אל מספר ימנה אשר ילוה אליו לפניו וימנה א"ב והוא מבואר שהוא ימנה פעמי מספרם זוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספר א"ב זוג הנפרד וכבר היה זוג הזוג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספר א"ב זוג הזוג וזוג הנפרד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 36 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לו</span> <big>כאשר</big>ימשכו מספרים מה על יחס כמה שיהיו המספרים ונבדל מן השני ומן האחרון כמו הראשון הנה יחס הנשאר מן השני אל הראשון כיחס הנשאר מן האחרון אל כל המספרים אשר לפניו כאשר נקבצו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספרי א"ב ג"ד ח"ז ט"נ נמשכים על יחס וכבר נבדל מן ג"ד השני ומן ט"נ האחרון כמו א"ב והם ה"ד מ"נ
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי יחס ג"ה הנשאר מן השני אל א"ב כיחס ט"מ הנשאר מן האחרון אל כל המספרים אשר לפניו והם א"ב ג"ד ז"ח
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> אנחנו נשים ל"נ כמו ג"ד וכ"נ כמו ז"ח הנה יחס ט"נ אל ז"ח כיחס ז"ח אל ג"ד וכיחס ג"ד אל א"ב וז"ח כמו כ"נ וג"ד כמו ל"נ וא"ב כמו מ"נ
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ט"נ אל כ"נ כיחס כ"נ אל נ"ל וכיחס ל"נ אל מ"נ
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר הבדלנו היה יחס ט"כ אל כ"נ כיחס כ"ל אל ל"נ וכיחס ל"מ אל מ"נ
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויחס אחד מן הקודמים אל אחד מן הנמשכים כיחס כל הקודמים אל כל הנמשכים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ל"מ אל מ"נ כיחס כל ט"כ כ"ל ל"מ אל כל כ"נ נ"ל מ"נ ול"מ כמו ג"ה כי כל ל"נ כמו ג"ד ומ"נ כמו כל אחד מן א"ב ה"ד מ"נ וישאר ל"מ כמו ג"ה ומ"נ כמו א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ג"ה אל א"ב כיחס ט"מ אל כל כ"נ ל"נ מ"נ וכ"נ כמו ח"ז ול"נ כמו ג"ד ומ"נ כמו א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס הנשאר מן ג"ד השני אל א"ב כיחס הנשאר מן ט"נ האחרון אל כל ז"ח ג"ד א"ב והם המספרים אשר לפני ט"נ
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 37 ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לז</span> <big>כאשר</big> היו מספרים נמשכים על יחס הכפל מתחילים מן האחד כמה שהיו אחר כן יקובצו יחד והאחד עמהם והיה כל זה מספר ראשון אחר כן הוכה אותו המספר הראשון באחרון מן המספרים אשר נקבצו הנה המספר אשר יתקבץ מן ההכאה הוא מספר שלם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי מספרי א"ב ג"ד נכפלו מן האחד אחר כן נקבצו והאחד עמהם והיו מספר ה' והוא ראשון הנה כאשר הוכה ה' במספר האחרון והוא ד' היה ז"ח
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ז"ח מספר שלם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> שילקח מה' מספרים על יחס א"ב ג"ד ועל מניינם והם ה מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ב ג"ד על יחס ה מ' ועל מניינם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ד' כיחס ה' אל מ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' בד' כמו א' במ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל ה' בד' הוא ז"ח
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א' במ' הוא ז"ח וא' הוא שני
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ח כפל מ' ומ' כפל ל' ול' כפל ט"כ וט"כ כפל ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם כן החמשה מספרים אשר הם ה' ט"כ ל' מ' ז"ח מתיחסים נמשכים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר נבדל מן השני והאחרון כמו הראשון הנה יחס הנשאר מן השני אל הראשון כיחס הנשאר מן האחרון אל כל המספרים אשר לפניו כאשר נקבצו ונבדל מכל אחד מן ט"כ ז"ח כמו ה' והם כ"ס ע"ח
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס הנשאר מן ט"כ והוא ט"ס אל ה' כיחס הנשאר מן ז"ח והוא ז"ע אל כל מ"ל ט"כ ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וט"כ כפל ה' וס"כ כמו ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ט"ס כמו ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וז"ע אם כן כמו כל מ"ל ט"כ ה' וה' כמו כל ד"ג ב"א והאחד עמהם והוא גם כן שוה לע"ח
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ע"ח שוה לכל ד"ג ב"א והאחד עמהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וז"ע כבר התבאר שהוא שוה לכל מ"ל ט"כ ה'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל ז"ח שוה לכל מ"ל ט'כ' ה' ד"ג ב"א והאחד עמהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי לא ימנה ז"ח מספר אחר זולת ד"ג ב"א ה'ט'ב' ל"ח והאחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי הוא אי אפשר שאם היה אפשר הנה ימנהו זולתם והוא נ' וימנהו במספר אחדי פ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן פ' יוכה בנ' ויהיה ז"ח
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח פ' בנ' כמו משוטח ה' בד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס פ' אל ק' כיחס ד' אל נ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונ' אינו אחד מן א"ב ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן נ' לא ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל יחס נ' אל ד' כיחס ה' אל פ'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' לא ימנה פ' וה' ראשון
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחד מן פ' וה' ראשון אצל האחר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שניהם קטני שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשווי הקטן לקטן והרב לרב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן פ' ימנה ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר התיחסו מספרים מן האחד נמשכים כמה שהיו והיה אשר ילוה אל האחד ראשון הנה הוא לא ימנה אחד מהם כי אם המספרים מן היחס ההוא
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספר ד' לא ימנוהו כי אם המספרים ממספרי א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מספר פ' אחד ממספרי א'ב'ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה ב' וילקח מן ה' מן המספרים על מנין ב'ג'ד' והם ה"ט כ"ל והם על יחס ב'ג'ד'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ב' אל ד' כיחס ה' אל ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה' בד' כמו ב' בל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אבל ה' בד' כמו ב' בנ' והוא ז"ח
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ב' בל' כמו פ' בנ' והוא ז"ח
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ב' אל פ' כיחס נ' אל ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ופ' הוא ב'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן נ' הוא ל' וכבר היה נ' אינו אחד מן א"ב ג"ד ה'ט'כ' ל"מ זה שקר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ח לא ימנהו מספר אחר כי אם א'ב'ג'ד' ה"ט כ'ל'מ' והאחד וז"ח שוה לכלם והאחד עמהם
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ח מספר שלם שוה לכל חלקיו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומ'ש'ל'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|נשלם המאמר התשיעי
 +
|}
 +
{|
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
== Book Ten ==
 +
|style="text-align:right;"|<big>המאמר העשירי</big>
 +
|-
 +
|
 +
=== Definitions ===
 +
 
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|1873,2539|qiVv}}Those that have magnitudes, as lines, surfaces, and solids, that are said to be '''commensurable''', are those that are measured by the same measure.
 +
|style="text-align:right;"|בעלי השעורים מן הקוים והשטחים והמוגשמים אשר יאמר להם <big>המשותפים</big> הם אשר ישער אותם כלם שעור אחד{{#annotend:qiVv}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition-incommensurable|2543,2539|lGqt}}Those that are said to be '''incommensurable''' are those that cannot be measured the same measure.
 +
|style="text-align:right;"|ואשר יאמר להם <big>בלתי משותפים</big> הם אשר לא ישער אותם כלם שעור אחד{{#annotend:lGqt}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition|2544,2541|shEk}}Straight lines are said to be '''commensurable in square''', when the squares that are generated from them are measured by the same area.
 +
|style="text-align:right;"|והקוים הישרים יאמר להם <big>המשותפים בכח</big> כאשר היה למרובעים ההווים מהם שטח ישער אותם{{#annotend:shEk}}
 +
|-
 +
|
 +
*{{#annot:definition-incommensurable in square|2545,2541|zQYu}}They are said to be '''incommensurable in square''', when the squares that are generated from them cannot be measured by the same area.
 +
|style="text-align:right;"|ויאמר להם <big>בלתי משותפים בכח</big> כאשר לא יהיה למרובעים ההווים מהם שטח ישער אותם{{#annotend:zQYu}}
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה נבאר כי כאשר התחיל והניח קו ישר הנה לו קוים ישרים אין תכלית לרבויים בלתי משותפים לו קצתם באורך לבד וקצתם באורך והניח יחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויגיע לקו הישר אי זה קו שיהיה ממה שיתחיל הנחתו וישים תחלה המדבר
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה הקוים המשותפים לו הם המדברים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואשר בלתי משותפים לו בלתי מדברים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והקו כאשר היה ממנו מרובע ידובר בו הנה המרובעים המשותפים למרובע ההוא ידובר בהם והבלתי משותפים בלתי מדברים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והקוים אשר מהם אלו המרובעים הם כן בלתי מדברים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והקו אשר מרובעו בלתי מדבר הנה הוא גם כן בלתי מדבר
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 1 ===
 +
|
 +
|-
 +
|When unequal magnitudes are given, and we subtract from the greater a magnitude greater than its half, and from the remainder a magnitude greater than its half, and if this subtraction is repeated continually, then there will be left a magnitude that is less than the smaller given magnitude.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>כאשר</big> היו שעורים מונחים בלתי שוים ונבדיל מהגדול משניהם יותר מחציו וממה שישאר יותר מחציו ונבדל בו תמיד הנה ישאר ממנו שעור מה יותר קטן מהשעור המונח
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו שני שעורים בלתי שוים והם א"ב וג' ויהיה היותר קטן מהם ג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי כאשר הובדל מא"ב יותר מחציו ועשה כן פעמים רבות תמיד הנה ישאר שעור מה יותר קטן מג'
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle\left(n\sdot G\right)>AB\quad n\sdot G=DH</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזה כי ג' כאשר הוכפל פעמים הנה הוא יהיה יותר גדול מא"ב ויהיה מה שיתקבץ ממנו ד"ה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויתחלק ד"ה בדמיוני ג' והם ד"ז וז"ח וח"ה
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle BT>\frac{1}{2}AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ונבדל מא"ב יותר מחציו והוא ב"ט
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle TK>\frac{1}{2}AT</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומא"ט יותר מחציו והוא ט"כ
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ונבדיל זה תמיד עד שיהיה מנין מה שיתחלק בו א"ב שוה למספר חלקי ד"ה
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle AB=AK+KT+TB</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו החלקים אשר מא"ב א"כ כ"ט ט"ב
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle AK=SN=NM=ML</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה א"כ שוה לכל אחד מן ס"נ נ"מ ומ"ל
 +
|-
 +
|SN, NM, ML are equal in multitude with DZ, ZC, CH
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה סך ס"נ ונ"מ ומ"ל כמו סך ד"ז וז"ח וח"ה
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle TB>\frac{1}{2}AB\longrightarrow BT>TA</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ט"ב יותר מחצי א"ב יהיה ב"ט יותר גדול מט"א
 +
|-
 +
|BT is much greater than AK
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה ב"ט יותר גדול הרבה מא"כ
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle AK=LM\longrightarrow BT>LM</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל א"כ כמו ל"מ אם כן ב"ט יותר גדול מל"מ
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle KT>\frac{1}{2}TA\longrightarrow TK>KA</math>
 +
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מפני כי כ"ט גם כן יותר גדול מחצי ט"א יהיה ט"כ יותר גדול מן כ"א
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle KA=MN\longrightarrow TK>MN</math>
 +
|style="text-align:right;"|אבל כ"א כמו מ"נ אם כן ט"כ יותר גדול ממ"נ
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle KT>LM</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי כ"ט גם כן יותר גדול מל"מ
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle KA=NS</math>
 +
|style="text-align:right;"|וכ"א כמו נ"ס
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle AB>SL</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן כל א"ב יותר גדול מכל ס"ל
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle DH>AB</math>
 +
|style="text-align:right;"|וד"ה יותר גדול מן א"ב
 +
|-
 +
|DH is much greater than LS
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ד"ה יותר גדול הרבה מן ל"ס
 +
|-
 +
|<math>\scriptstyle LS<DH</math>
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה ל"ס יותר קטן מד"ה
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle SN=NM=ML</math>
 +
|style="text-align:right;"|ומפני כי שעורי ס"נ ונ"מ ומ"ל שוים
 +
|-
 +
|
 +
:*SN, NM, ML are equal in multitude with DZ, ZC, CH
 +
|style="text-align:right;"|וסך ס"נ ונ"מ ומ"ל שוים לסך ד"ז וז"ח וח"ה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה יחס אחד מהקודמים אל אחד מהנמשכים כיחס כל הקודמים אל כל הנמשכים <span style=color:red>מג' מה'</span>
 +
|-
 +
|
 +
:<math>\scriptstyle SN:DZ=SL:DH</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה יחס ס"נ אל ד"ז כיחס ס"ל אל ד"ה
 +
|-
 +
|
 +
:<math>\scriptstyle SL<DH\longrightarrow SN<DZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וס"ל יותר קטן מד"ה אם כן ס"נ יותר קטן מד"ז <span style=color:red>מד' מה'</span>
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle SN=AK</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואולם ס"נ הנה הוא כמו א"כ
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle DZ=G</math>
 +
|style="text-align:right;"|ואולם ד"ז הנה הוא כמו ג'
 +
|-
 +
|
 +
:<math>\scriptstyle AK<G</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"כ יותר קטן מג'
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן א"ב כבר נשאר ממנו שעור יותר קטן מג' אשר הוא היותר קטן משני השעורים
 +
|-
 +
|Q.E.D.
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 +
|-
 +
|
 +
 
 +
=== Proposition 2 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והקוים אשר מהם אלו המרובעים הם כן בלתי מדברים
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> <big>כאשר</big> היו שעורים מונחים בלתי שוים ויחוסר הקטן מהגדול ויעשה כמו זה למה שיגדל משניהם ולא נסור לחסר ביניהם ולא יכלו אל יתרון משניהם ישער אשר נבדל לפניו הנה השני שעורים בלתי משותפים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והקו אשר מרובעו בלתי מדבר הנה הוא גם כן בלתי מדבר
+
|style="text-align:right;"|ויהיו השני שעורים בלתי שוים והם א"ב וג"ד ונבדל קטן שני שעורי א"ב וג"ד מהגדול משניהם ונעשה כמו זה כמה שיותיר משניהם ולא יסורו יחסרו ולא יכלו אל יתרון ישער אשר נבדל לפניו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 1 ===
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שני שעורי א"ב וג"ד בלתי משותפים וזה כי הם אם היו משותפים היה להם שעור מה שישער אותם ויאמר שישער אותם ט' וישער ג"ד ב"ה ויותיר קטן ממנו והוא הא' וישער א"ה ד"ז ויותיר הקטן ממנו והוא ז"ג וישער ז"ג ה"ח ויותיר קטן ממנו והוא ח' א' ויובדל זה תמיד עד שיותיר קטן מט' ויותיר קטן ממנו והוא א"ח הנה מפני כי ט' ישער ג"ד וג"ד ישער ב"ה אם כן ט' ישער ב"ה והוא גם כן ישער כל א"ב הנה הוא אם כן ישער הנשאר אשר הוא א"ה אבל א"ה ישער ד"ז אם כן ט' ישער ז"ד והוא גם כן ישער כל ג"ד הנה הוא אם כן ישער הנשאר אשר הוא ג"ז וכל ג"ז ישער ה"ח אם כן ט' ישער ה"ח והוא ישער כל א"ה הנה אם כן ישער הנשאר אם הוא א"ח הגדול לקטן וזה בלתי אפשרי
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן אין לשני שעורי א"ב ג"ד שעור ישתף שניהם
 
|-
 
|-
−
|When unequal magnitudes are given, and we subtract from the greater a magnitude greater than its half, and from the remainder a magnitude greater than its half, and if this subtraction is repeated continually, then there will be left a magnitude that is less than the smaller given magnitude.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>כאשר</big> היו שעורים מונחים בלתי שוים ונבדיל מהגדול משניהם יותר מחציו וממה שישאר יותר מחציו ונבדל בו תמיד הנה ישאר ממנו שעור מה יותר קטן מהשעור המונח
+
|style="text-align:right;"|אם כן שעורי א"ב וג"ד בלתי משותפים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני שעורים בלתי שוים והם א"ב וג' ויהיה היותר קטן מהם ג'
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי כאשר הובדל מא"ב יותר מחציו ועשה כן פעמים רבות תמיד הנה ישאר שעור מה יותר קטן מג'
+
 
 +
=== Proposition 3 ===
 +
|
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle\left(n\sdot G\right)>AB\quad n\sdot G=DH</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|וזה כי ג' כאשר הוכפל פעמים הנה הוא יהיה יותר גדול מא"ב ויהיה מה שיתקבץ ממנו ד"ה
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ג</span> <big>נרצה</big> שנמצא שיעור יותר גדול משותף ישער שני שעורים משותפים ידועים בלתי שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויתחלק ד"ה בדמיוני ג' והם ד"ז וז"ח וח"ה
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני שעורים הידועים המשותפים אשר הם בלתי שוים א"ב ג"ד ונרצה שנמצא גדול שעור משותף ישער שניהם
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle BT>\frac{1}{2}AB</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|ונבדל מא"ב יותר מחציו והוא ב"ט
+
|style="text-align:right;"|אם כן ג"ז הוא השיעור היותר גדול משותף אשר ישער שני שעורי א"ב וג"ד אם היה ג"ד לא ישער א"ב
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle TK>\frac{1}{2}AT</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|ומא"ט יותר מחציו והוא ט"כ
+
|style="text-align:right;"|ואולם אם היה ג"ד ישער א"ב הנה ג"ד הוא השיעור היותר גדול משותף אשר ישער שני שיעורי א"ב וג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונבדיל זה תמיד עד שיהיה מנין מה שיתחלק בו א"ב שוה למספר חלקי ד"ה
+
|style="text-align:right;"|ונשלם באורו
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle AB=AK+KT+TB</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו החלקים אשר מא"ב א"כ כ"ט ט"ב
+
|style="text-align:right;"|<big>ובכאן</big> התבאר כי כאשר היה שעור ישער שני שיעורים הנה הוא ישער שיעור היותר גדול המשותף אשר ישער שניהם
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle AK=SN=NM=ML</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה א"כ שוה לכל אחד מן ס"נ נ"מ ומ"ל
+
=== Proposition 4 ===
 +
|
 
|-
 
|-
−
|SN, NM, ML are equal in multitude with DZ, ZC, CH
+
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה סך ס"נ ונ"מ ומ"ל כמו סך ד"ז וז"ח וח"ה
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ד</span> <big>נרצה</big> שנמצא שיעור יותר גדול משותף ישער שלשה שיעורים ידועים בלתי שוים משותפים
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle TB>\frac{1}{2}AB\longrightarrow BT>TA</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ט"ב יותר מחצי א"ב יהיה ב"ט יותר גדול מט"א
+
|style="text-align:right;"|ויהיו השיעורים השלשה הידועים המשותפים אשר הם בלתי שוים א' וב' וג'
 
|-
 
|-
−
|BT is much greater than AK
+
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה ב"ט יותר גדול הרבה מא"כ
+
|style="text-align:right;"|ונקח השיעור היותר גדול משותף אשר ישער שני שיעורי ד' וג' ויהיה ז'
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle AK=LM\longrightarrow BT>LM</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|אבל א"כ כמו ל"מ אם כן ב"ט יותר גדול מל"מ
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ז' ישער ד' וד' ישער א' וב' הנה שיעור ז' ישער א' וב' והוא גם כן ישער ג'
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle KT>\frac{1}{2}TA\longrightarrow TK>KA</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה מפני כי כ"ט גם כן יותר גדול מחצי ט"א יהיה ט"כ יותר גדול מן כ"א
+
|style="text-align:right;"|אם כן ז' הוא השיעור היותר גדול המשותף אשר ישער א' וב' וג' אם לא ישער ד"ג
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle KA=MN\longrightarrow TK>MN</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|אבל כ"א כמו מ"נ אם כן ט"כ יותר גדול ממ"נ
+
|style="text-align:right;"|ואם היה ד' ישער ג' הנה ד' הוא השיעור היותר גדול המשותף אשר ישער א' וב' וג'
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle KT>LM</math>
+
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי כ"ט גם כן יותר גדול מל"מ
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
−
|-
 
−
|<math>\scriptstyle KA=NS</math>
 
−
|style="text-align:right;"|וכ"א כמו נ"ס
 
−
|-
 
−
|<math>\scriptstyle AB>SL</math>
 
−
|style="text-align:right;"|אם כן כל א"ב יותר גדול מכל ס"ל
 
−
|-
 
−
|<math>\scriptstyle DH>AB</math>
 
−
|style="text-align:right;"|וד"ה יותר גדול מן א"ב
 
−
|-
 
−
|DH is much greater than LS
 
−
|style="text-align:right;"|אם כן ד"ה יותר גדול הרבה מן ל"ס
 
−
|-
 
−
|<math>\scriptstyle LS<DH</math>
 
−
|style="text-align:right;"|ויהיה ל"ס יותר קטן מד"ה
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*<math>\scriptstyle SN=NM=ML</math>
+
=== Proposition 5 ===
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי שעורי ס"נ ונ"מ ומ"ל שוים
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
:*SN, NM, ML are equal in multitude with DZ, ZC, CH
 
−
|style="text-align:right;"|וסך ס"נ ונ"מ ומ"ל שוים לסך ד"ז וז"ח וח"ה
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה יחס אחד מהקודמים אל אחד מהנמשכים כיחס כל הקודמים אל כל הנמשכים <span style=color:red>מג' מה'</span>
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ה</span> <big>השיעורים</big> המשותפים יחס קצתם אל קצת כיחס מספר אל מספר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle SN:DZ=SL:DH</math>
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני שעורים משותפים והם א' וב'
−
|style="text-align:right;"|הנה יחס ס"נ אל ד"ז כיחס ס"ל אל ד"ה
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle SL<DH\longrightarrow SN<DZ</math>
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי יחס א' אל ב' כיחס מספר אל מספר
−
|style="text-align:right;"|וס"ל יותר קטן מד"ה אם כן ס"נ יותר קטן מד"ז <span style=color:red>מד' מה'</span>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*<math>\scriptstyle SN=AK</math>
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי שיעורי א' וב' משותפים הנה ישער שניהם שיעור מה וישער שניהם שיעור ה'
−
|style="text-align:right;"|ואולם ס"נ הנה הוא כמו א"כ
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:*<math>\scriptstyle DZ=G</math>
+
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר גם כן כי יחס א' אל ה' כיחס ג' אל האחד
−
|style="text-align:right;"|ואולם ד"ז הנה הוא כמו ג'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle AK<G</math>
+
|style="text-align:right;"|הנה ביחס השווי יהיה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
−
|style="text-align:right;"|אם כן א"כ יותר קטן מג'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן א"ב כבר נשאר ממנו שעור יותר קטן מג' אשר הוא היותר קטן משני השעורים
 
−
|-
 
−
|Q.E.D.
 
 
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
=== Proposition 6 ===
−
=== Proposition 2 ===
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> <big>כאשר</big> היו שעורים מונחים בלתי שוים ויחוסר הקטן מהגדול ויעשה כמו זה למה שיגדל משניהם ולא נסור לחסר ביניהם ולא יכלו אל יתרון משניהם ישער אשר נבדל לפניו הנה השני שעורים בלתי משותפים
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ו</span> <big>השיעורים</big> אשר יחס קצתם אל קצת כיחס מספר אל מספר הם משותפים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו השני שעורים בלתי שוים והם א"ב וג"ד ונבדל קטן שני שעורי א"ב וג"ד מהגדול משניהם ונעשה כמו זה כמה שיותיר משניהם ולא יסורו יחסרו ולא יכלו אל יתרון ישער אשר נבדל לפניו
+
|style="text-align:right;"|ויהיה יחס א' אל ב' כיחס מספר ג' אל מספר ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שני שעורי א"ב וג"ד בלתי משותפים וזה כי הם אם היו משותפים היה להם שעור מה שישער אותם ויאמר שישער אותם ט' וישער ג"ד ב"ה ויותיר קטן ממנו והוא הא' וישער א"ה ד"ז ויותיר הקטן ממנו והוא ז"ג וישער ז"ג ה"ח ויותיר קטן ממנו והוא ח' א' ויובדל זה תמיד עד שיותיר קטן מט' ויותיר קטן ממנו והוא א"ח הנה מפני כי ט' ישער ג"ד וג"ד ישער ב"ה אם כן ט' ישער ב"ה והוא גם כן ישער כל א"ב הנה הוא אם כן ישער הנשאר אשר הוא א"ה אבל א"ה ישער ד"ז אם כן ט' ישער ז"ד והוא גם כן ישער כל ג"ד הנה הוא אם כן ישער הנשאר אשר הוא ג"ז וכל ג"ז ישער ה"ח אם כן ט' ישער ה"ח והוא ישער כל א"ה הנה אם כן ישער הנשאר אם הוא א"ח הגדול לקטן וזה בלתי אפשרי
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי א' משותף אל ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן אין לשני שעורי א"ב ג"ד שעור ישתף שניהם
+
|style="text-align:right;"|וזה כי אנחנו נחלק א' לחלקים בשיעור האחדים אשר בג' ויהיה ה' שוה לאחד מחלקיו
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שעורי א"ב וג"ד בלתי משותפים
+
|style="text-align:right;"|ונניח האחד הנה מפני כי א' כבר חולק לחלקים כמנין מה שבג' מהאחדים ואחד מחלקיו הוא כמו ה' יהיה חלק האחד ממספר ג' כמו חלק ה' מא'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס האחד אל ג' כיחס ה' אל א'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|ויחס מספר ג' אל מספר ד' כיחס א' אל ב'
−
=== Proposition 3 ===
+
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ביחס השווי יהיה יחס אחד אל מספר ד' כיחס ה' אל ב' והאחד ימנה ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ג</span> <big>נרצה</big> שנמצא שיעור יותר גדול משותף ישער שני שעורים משותפים ידועים בלתי שוים
+
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ב' והוא גם כן ימנה א' אם כן א' משותף לב' ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני שעורים הידועים המשותפים אשר הם בלתי שוים א"ב ג"ד ונרצה שנמצא גדול שעור משותף ישער שניהם
+
|style="text-align:right;"|ובחלוף יהיה יחס א' אל ה' כיחס ג' אל האחד
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וכן גם כן יהיה יחס ה' אל ז' כיחס האחד אל הד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ג"ז הוא השיעור היותר גדול משותף אשר ישער שני שעורי א"ב וג"ד אם היה ג"ד לא ישער א"ב
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ז' כיחס ג' אל ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם אם היה ג"ד ישער א"ב הנה ג"ד הוא השיעור היותר גדול משותף אשר ישער שני שיעורי א"ב וג"ד
+
|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם באורו
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ז' ואל ב' אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>ובכאן</big> התבאר כי כאשר היה שעור ישער שני שיעורים הנה הוא ישער שיעור היותר גדול המשותף אשר ישער שניהם
+
|style="text-align:right;"|אם כן ז' כמו ב' וא' וז' משותפים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 4 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן א' וב' גם כן משותפים
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ד</span> <big>נרצה</big> שנמצא שיעור יותר גדול משותף ישער שלשה שיעורים ידועים בלתי שוים משותפים
+
=== Proposition 7 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו השיעורים השלשה הידועים המשותפים אשר הם בלתי שוים א' וב' וג'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> <big>המרובעים</big> ההוים מהקוים הישרים המשותפים באורך יחס קצתם אל קצת כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע והמרובעים אשר יחס קצתם אל קצת כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע הנה צלעות שניהם משותפות באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונקח השיעור היותר גדול משותף אשר ישער שני שיעורי ד' וג' ויהיה ז'
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה אנחנו נשים יחס המרובע ההוה מא' אל המרובע ההוה מב' אינו כיחס  מספר מרובע אל מספר מרובע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי ז' ישער ד' וד' ישער א' וב' הנה שיעור ז' ישער א' וב' והוא גם כן ישער ג'
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי א' וב' בלתי משותפים באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ז' הוא השיעור היותר גדול המשותף אשר ישער א' וב' וג' אם לא ישער ד"ג
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי הוא בלתי אפשר כי אם היה אפשר הנה שניהם משותפים באורך וכאשר היו כן הנה יחס המרובע ההוה מא' אל המרובע ההוה מב' כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע ואינו כן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה ד' ישער ג' הנה ד' הוא השיעור היותר גדול המשותף אשר ישער א' וב' וג'
+
|style="text-align:right;"|אם כן א' בלתי משותף אל ב' באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 9,024: Line 15,266:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 5 ===
+
=== Proposition 8 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ה</span> <big>השיעורים</big> המשותפים יחס קצתם אל קצת כיחס מספר אל מספר
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> <big>כאשר</big> היו ארבעה שיעורים מתיחסים והיה הראשון משותף לשני הנה השלישי משותף לרביעי ואם היה הראשון בלתי משותף לשני הנה השלישי בלתי משותף לרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני שעורים משותפים והם א' וב'
+
|style="text-align:right;"|ויהיו ארבעה שיעורים מתיחסים והם א' וב' וג' וד' ויחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' ויהיה א' משותף אל ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי יחס א' אל ב' כיחס מספר אל מספר
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי ג' משותף אל ד'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי שיעורי א' וב' משותפים הנה ישער שניהם שיעור מה וישער שניהם שיעור ה'
+
|style="text-align:right;"|אבל א' בלתי משותף אל ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר גם כן כי יחס א' אל ה' כיחס ג' אל האחד
+
|style="text-align:right;"|אם כן אין ג' משותף אל ד'
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|הנה ביחס השווי יהיה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 9,049: Line 15,288:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 6 ===
+
=== Proposition 9 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ו</span> <big>השיעורים</big> אשר יחס קצתם אל קצת כיחס מספר אל מספר הם משותפים
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ישרים בלתי משותפים לקו ישר ידוע אחד מהם באורך לבד והאחר באורך ובכח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה יחס א' אל ב' כיחס מספר ג' אל מספר ד'
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו הישר הידוע א' ונרצה שנמצא לקו א' הישר שני קוים ישרים בלתי משותפים אליו אחד משניהם באורך לבד והאחר באורך ובכח
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי א' משותף אל ב'
+
|style="text-align:right;"|אם כן א' בלתי משותף אל ה' בכח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה כי אנחנו נחלק א' לחלקים בשיעור האחדים אשר בג' ויהיה ה' שוה לאחד מחלקיו
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר מצאנו לקו א' הידוע שני קוים בלתי משותפים אליו אולם באורך לבד ד' ואולם באורך והכח ה'
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונניח האחד הנה מפני כי א' כבר חולק לחלקים כמנין מה שבג' מהאחדים ואחד מחלקיו הוא כמו ה' יהיה חלק האחד ממספר ג' כמו חלק ה' מא'
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס האחד אל ג' כיחס ה' אל א'
+
=== Proposition 10 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויחס מספר ג' אל מספר ד' כיחס א' אל ב'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י</span> <big>השיעורים</big> המשותפים לשיעור א' הנה קצתם משותף לקצת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ביחס השווי יהיה יחס אחד אל מספר ד' כיחס ה' אל ב' והאחד ימנה ד'
+
|style="text-align:right;"|ויהיה כל אחד מא"ג משותף אל ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ה' ימנה ב' והוא גם כן ימנה א' אם כן א' משותף לב' ונשלם ביאורו
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' משותף אל ג'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ובחלוף יהיה יחס א' אל ה' כיחס ג' אל האחד
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי א' משותף אל ב' יהיה יחס א' אל ב' כיחס מספר ד' אל מספר ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן יהיה יחס ה' אל ז' כיחס האחד אל הד'
+
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי יחס ב' אל ג' כיחס כ' אל ל' הנה כיחס השווי יהיה יחס א' אל ג' כיחס ט' אל ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ז' כיחס ג' אל ד'
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ג' כיחס מספר ט' אל מספר ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר היה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
+
|style="text-align:right;"|אם כן א' משותף אל ג'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ז' ואל ב' אחד
+
|style="text-align:right;"|וזמש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ז' כמו ב' וא' וז' משותפים
+
=== Proposition 11 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן א' וב' גם כן משותפים
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יא</span> <big>כאשר</big> היו שני שיעורים משותפים והורכבו הנה כלל שניהם משותף לכל אחד משניהם ואם היה הכל משותף לאחד משניהם השני שיעורים הראשונים משותפים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני שיעורים משותפים עליהם א"ב וב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 7 ===
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי כל א"ג משותף לכל אחד מא"ב וב"ג
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ונאמר שיהיה שיעור ד' הנה מפני כי ד' ישער כל אחד משני שיעורי א"ג וב"ג הנה הוא ישער הנשאר אשר הוא א"ב והוא גם כן שיעור ד' ישער שני שיעורי א"ב ב"ג אם כן א"ב משותף אל ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ז</span> <big>המרובעים</big> ההוים מהקוים הישרים המשותפים באורך יחס קצתם אל קצת כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע והמרובעים אשר יחס קצתם אל קצת כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע הנה צלעות שניהם משותפות באורך
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה אנחנו נשים יחס המרובע ההוה מא' אל המרובע ההוה מב' אינו כיחס  מספר מרובע אל מספר מרובע
+
=== Proposition 12 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי א' וב' בלתי משותפים באורך
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי הוא בלתי אפשר כי אם היה אפשר הנה שניהם משותפים באורך וכאשר היו כן הנה יחס המרובע ההוה מא' אל המרובע ההוה מב' כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע ואינו כן
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יב</span> <big>כאשר</big> היו ארבעה קוים מתיחסים והיה הראשון משניהם יוסיף על השני בכח ורוצה באומרו בכח כי מרובעו יוסיף על מרובעו כמו מרובע יהיה מקו משותף לו באורך הנה השלישי יוסיף על הרביעי בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף לו באורך ואם היה הראשון יוסיף על השני בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך הנה השלישי יוסיף על הרביעי בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן א' בלתי משותף אל ב' באורך
+
|style="text-align:right;"|ואם היה בלתי משותף אל ה' הנה ג' בלתי משותף אל ז'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 9,127: Line 15,368:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 8 ===
+
=== Proposition 13 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ח</span> <big>כאשר</big> היו ארבעה שיעורים מתיחסים והיה הראשון משותף לשני הנה השלישי משותף לרביעי ואם היה הראשון בלתי משותף לשני הנה השלישי בלתי משותף לרביעי
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יג</span> <big>כאשר</big> היו שני קוים ישרים בלתי שוים וחובר אל היותר ארוך משניהם שטח שוה לרביע המרובע ההוה מהקו הקצר יחסר משלימות הקו שטח מרובע הנה אם חולק הקו היותר ארוך בשני חלקים משותפים הנה הקו היותר ארוך יוסיף על הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף לקו הארוך ואם היה הקו הארוך יוסיף על קו הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף לקו הארוך הנה אם חובר מהארוך שטח שוה לרביע המרובע ההוה מהקו הקצר וחסר משלימות הקו שטח מרובע הנה יחלק הקו בשני חלקים משותפים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו ארבעה שיעורים מתיחסים והם א' וב' וג' וד' ויחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' ויהיה א' משותף אל ב'
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוי ישרים עליהם א"ב וגו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי ג' משותף אל ד'
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי א"ב יוסיף על ג' בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף לקו א"ב ויהיה ד"ה כמו ב"ד הנה מפני כי קו א"ד כבר חולק בשני חלקים איך שנפל על ה' ונוסף באורכו כמו אחת משתי החלוקות והוא ד"ב יהיו ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד וד"ה עם המרובע ההוה מהא' שוה למרובע ההוה מקו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אבל א' בלתי משותף אל ב'
+
|style="text-align:right;"|וזה כי אנחנו כאשר הלכנו כמו הדרך הקודם הנה נבאר בזה כי א"ב יוסיף על ג' בכח כמו המרובע ההוה מא"ה ויהיה א"ב משותף אל ב"ד באורך וישאר ה"ב גם כן משותף אל א"ב וה"ב כפל ב"ד אם כן א"ב משותף אל ב"ד באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן אין ג' משותף אל ד'
+
|style="text-align:right;"|וכאשר הבדלנו יהיה א"ד משותף אל ב"ד באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 9,149: Line 15,390:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 9 ===
+
=== Proposition 14 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ט</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ישרים בלתי משותפים לקו ישר ידוע אחד מהם באורך לבד והאחר באורך ובכח
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יד</span> <big>כל </big> שני קוים בלתי שוים יחובר אל הארוך שטח שוה לרביע המרובע ההוה מהקו הקצר יחסר משלימות הקו שטח מרובע ויחלק הקו הארוך לשני חלקים בלתי משותפים הנה הקו הארוך יוסיף על הקו הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו בלתי משותף אליו באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו הישר הידוע א' ונרצה שנמצא לקו א' הישר שני קוים ישרים בלתי משותפים אליו אחד משניהם באורך לבד והאחר באורך ובכח
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוי א' וב"ג בלתי שוים והקצר משניהם קו א' ונחבר אל ב"ג הארוך שטח שוה לרביע המרובע ההוה מקו א' יחסר משלימות שטח מרובע והוא שטח ב"ד בד"ג ויהיה ב"ד בלתי משותף אל ד"ג באורך
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן א' בלתי משותף אל ה' בכח
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ב"ג יוסיף על א' בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר מצאנו לקו א' הידוע שני קוים בלתי משותפים אליו אולם באורך לבד ד' ואולם באורך והכח ה'
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> שאנחנו נשים ד"ה כמו ג"ד והתבאר כמו שביארנו בתמונה הקודמת כי ב"ג יוסיף על א' בכח כמו המרובע ההוה מב"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|[הנה אומר] כי ב"ג בלתי משותף אל ב"ה באורך כי אלו היה משותף אל ב"ה היה ב"ד משותף אל ד"ג ואין זה כן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 10 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן לא ישתתף אליו באורך
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י</span> <big>השיעורים</big> המשותפים לשיעור א' הנה קצתם משותף לקצת
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה אנחנו נשים ב"ג יוסיף על א' בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף אל ב"ג באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה כל אחד מא"ג משותף אל ב'
+
|style="text-align:right;"|אם כן אין ב"ד משותף אל ד"ג באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א' משותף אל ג'
+
|style="text-align:right;"|הנה הוא אם כן בלתי משותף אליו באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי א' משותף אל ב' יהיה יחס א' אל ב' כיחס מספר ד' אל מספר ה'
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר כי יחס ב' אל ג' כיחס כ' אל ל' הנה כיחס השווי יהיה יחס א' אל ג' כיחס ט' אל ל'
+
=== Proposition 15 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס א' אל ג' כיחס מספר ט' אל מספר ל'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>טו</span> <big>כל שטח</big> נצב הזויות יקיפו בו שני קוים ישרים משותפים באורך מדברים הנה הוא מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן א' משותף אל ג'
+
|style="text-align:right;"|ויקיפו שני קוי ב"א וא"ג הישרים אשר ידבר לשניהם בשטח ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזמש"ל
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי שטח ב"ג מדבר ונעשה על קו א"ב מרובע עליו ב"ד הנה מרובע ב"ד מדבר
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 11 ===
+
|style="text-align:right;"|הנה שטח ב"ד משותף לשטח ב"ג ומרובע ב"ד מדבר
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ב"ג מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יא</span> <big>כאשר</big> היו שני שיעורים משותפים והורכבו הנה כלל שניהם משותף לכל אחד משניהם ואם היה הכל משותף לאחד משניהם השני שיעורים הראשונים משותפים
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני שיעורים משותפים עליהם א"ב וב"ג
+
=== Proposition 16 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי כל א"ג משותף לכל אחד מא"ב וב"ג
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונאמר שיהיה שיעור ד' הנה מפני כי ד' ישער כל אחד משני שיעורי א"ג וב"ג הנה הוא ישער הנשאר אשר הוא א"ב והוא גם כן שיעור ד' ישער שני שיעורי א"ב ב"ג אם כן א"ב משותף אל ב"ג
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יו</span> <big>כאשר</big> חובר שטח מדבר אל קו מדבר הנה הוא יחדש רוחב מדבר ישתתף אל הקו אשר חובר אליו השטח באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו המדבר א"ב והשטח המדבר אשר חובר אליו ב"ג ויחדש ב"ג רוחב א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 12 ===
+
|style="text-align:right;"|<big>המופ'</big> הנה אומר כי א"ג מדבר משותף לקו א"ב באורך
−
|
+
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יב</span> <big>כאשר</big> היו ארבעה קוים מתיחסים והיה הראשון משניהם יוסיף על השני בכח ורוצה באומרו בכח כי מרובעו יוסיף על מרובעו כמו מרובע יהיה מקו משותף לו באורך הנה השלישי יוסיף על הרביעי בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף לו באורך ואם היה הראשון יוסיף על השני בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך הנה השלישי יוסיף על הרביעי בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"א מדבר משותף לקו א"ג וקו ד"א מדובר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה בלתי משותף אל ה' הנה ג' בלתי משותף אל ז'
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ג מדובר והוא משותף לקו ב' בארך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 9,229: Line 15,470:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 13 ===
+
=== Proposition 17 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יג</span> <big>כאשר</big> היו שני קוים ישרים בלתי שוים וחובר אל היותר ארוך משניהם שטח שוה לרביע המרובע ההוה מהקו הקצר יחסר משלימות הקו שטח מרובע הנה אם חולק הקו היותר ארוך בשני חלקים משותפים הנה הקו היותר ארוך יוסיף על הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף לקו הארוך ואם היה הקו הארוך יוסיף על קו הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף לקו הארוך הנה אם חובר מהארוך שטח שוה לרביע המרובע ההוה מהקו הקצר וחסר משלימות הקו שטח מרובע הנה יחלק הקו בשני חלקים משותפים
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יז</span> <big>כאשר</big> היה שטח נצב הזויות יקיפו בו שני קוים ישרים מדברים בכח והיו בהם לבד משותפים הנה הוא בלתי מדבר והקו הישר אשר יחזיק עליו גם כן בלתי מדבר ויקרא הממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוי ישרים עליהם א"ב וגו
+
|style="text-align:right;"|ויקיפו בשטח ב"ג שני קוי ב"א א"ג הישרים ויהיו בכח מדברים ובהם לבד משותפים
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי א"ב יוסיף על ג' בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף לקו א"ב ויהיה ד"ה כמו ב"ד הנה מפני כי קו א"ד כבר חולק בשני חלקים איך שנפל על ה' ונוסף באורכו כמו אחת משתי החלוקות והוא ד"ב יהיו ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד וד"ה עם המרובע ההוה מהא' שוה למרובע ההוה מקו א"ב
+
|style="text-align:right;"|אם כן ד"ב בלתי משותף אל ב"ג וד"ב מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה כי אנחנו כאשר הלכנו כמו הדרך הקודם הנה נבאר בזה כי א"ב יוסיף על ג' בכח כמו המרובע ההוה מא"ה ויהיה א"ב משותף אל ב"ד באורך וישאר ה"ב גם כן משותף אל א"ב וה"ב כפל ב"ד אם כן א"ב משותף אל ב"ד באורך
+
|style="text-align:right;"|אם כן ב"ג בלתי מדבר והקו אשר יחזיק עליו גם כן בלתי מדבר ויקרא הממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר הבדלנו יהיה א"ד משותף אל ב"ד באורך
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
=== Proposition 18 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 14 ===
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יח</span> <big>כאשר</big> יחובר אל קו מדבר שטח שוה למרובע יהיה מקו ממוצע הנה יתחדש ממנו רוחב מדובר בכח והוא באורך בלתי משותף לקו אשר חובר אליו השטח
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה קו א' ממוצע והקו המדבר ב"ג
 +
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יד</span> <big>כל </big> שני קוים בלתי שוים יחובר אל הארוך שטח שוה לרביע המרובע ההוה מהקו הקצר יחסר משלימות הקו שטח מרובע ויחלק הקו הארוך לשני חלקים בלתי משותפים הנה הקו הארוך יוסיף על הקו הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו בלתי משותף אליו באורך
+
|style="text-align:right;"|ויהיה זה השטח אשר יחזיק עליו קו א' שטח ה"ח והוא יקיפו בו שני קוי ה"ז וז"ח ושניהם מדברים בכח בהם לבד משותפים וא' גם כן יחזיק על ג"ד הנה ג"ד כמו ה"ח וזויותיו כמו זויותיו והשטחים הנכחי הצלעות השוים אשר זויותיהם שוות צלעות שניהם המקיפות בזויות השוות מספיקות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוי א' וב"ג בלתי שוים והקצר משניהם קו א' ונחבר אל ב"ג הארוך שטח שוה לרביע המרובע ההוה מקו א' יחסר משלימות שטח מרובע והוא שטח ב"ד בד"ג ויהיה ב"ד בלתי משותף אל ד"ג באורך
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ב בלתי משותף לקו ב"ג באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי ב"ג יוסיף על א' בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ב מדבר בכח והוא בלתי משותף לקו ב"ג באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> שאנחנו נשים ד"ה כמו ג"ד והתבאר כמו שביארנו בתמונה הקודמת כי ב"ג יוסיף על א' בכח כמו המרובע ההוה מב"ה
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|[הנה אומר] כי ב"ג בלתי משותף אל ב"ה באורך כי אלו היה משותף אל ב"ה היה ב"ד משותף אל ד"ג ואין זה כן
+
=== Proposition 19 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן לא ישתתף אליו באורך
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה אנחנו נשים ב"ג יוסיף על א' בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף אל ב"ג באורך
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יט</span> <big>כל קו</big> משותף לממוצע הנה הוא ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן אין ב"ד משותף אל ד"ג באורך
+
|style="text-align:right;"|ויהיה א' ממוצע ויהיה משותף לקו ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה הוא אם כן בלתי משותף אליו באורך
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי ב' ממוצע ויהיה קו ג"ד מדבר ונחבר אל קו ג"ד שטח שוה למרובע ההוה מא' והוא שטח ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וקו ב' יחזיק על שטח ד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 15 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב' בלתי מדבר ויקרא ממוצע
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>טו</span> <big>כל שטח</big> נצב הזויות יקיפו בו שני קוים ישרים משותפים באורך מדברים הנה הוא מדבר
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויקיפו שני קוי ב"א וא"ג הישרים אשר ידבר לשניהם בשטח ב"ג
+
=== Proposition 20 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי שטח ב"ג מדבר ונעשה על קו א"ב מרובע עליו ב"ד הנה מרובע ב"ד מדבר
 
−
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה שטח ב"ד משותף לשטח ב"ג ומרובע ב"ד מדבר
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ</span> <big>יתרון</big> הממוצע על הממוצע בלתי מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ב"ג מדבר
+
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"ב ממוצע ושטח א' ממוצע ויותיר מה שבין שניהם שטח ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי ב' בלתי מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 16 ===
+
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר שלא יהיה כן נאמר שיהיה מדבר ויהיה קו ג"ד גם כן מדבר
−
|
+
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יו</span> <big>כאשר</big> חובר שטח מדבר אל קו מדבר הנה הוא יחדש רוחב מדבר ישתתף אל הקו אשר חובר אליו השטח באורך
+
|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ג"ז בז"ה בלתי משותף למרובע ההוה מז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו המדבר א"ב והשטח המדבר אשר חובר אליו ב"ג ויחדש ב"ג רוחב א"ג
+
|style="text-align:right;"|ואולם שטח ג"ז בז"ה הוא משותף לכפל שטח ג"ז בז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופ'</big> הנה אומר כי א"ג מדבר משותף לקו א"ב באורך
+
|style="text-align:right;"|ואולם המרובע ההוה מז"ה הנה הוא משותף למרובע ההוה מג"ז
  
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"א מדבר משותף לקו א"ג וקו ד"א מדובר
+
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מג"ה בלתי מדבר וזה בלתי אפשר מפני כי ג"ה מדבר בכח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ג מדובר והוא משותף לקו ב' בארך
+
|style="text-align:right;"|אם כן אין תוספת הממוצע על הממוצע שטח מדבר וזה מש"ל
 +
היה שעור אחד
 +
בלתי משותף לשני שעורים לכל אחד בעצמו והיו שני השעורים
 +
ההם משותפים הנה הוא בלתי משותף לשניהם מקובצים . דמיון זה כי שעור
 +
א' בלתי משותף לשעור ב' ולשעור ג' ושני שעורי ב"ג משותפים ואומר כי א' בלתי
 +
משותף לשני ב"ג מקובצים .    המופת שאי אפשר בלתי זה . שאם היה אפשר
 +
הנה יהיה ב' משותף לג' אם כן הוא משותף לכל ב"ג וא' משותף לכל
 +
ב"ג אם כן ב"ג משותף לשני שעורי א"ב אם כן א"ב משותפים זה שקר אם כן אין
 +
א' משותף לכל ב"ג ומ'ש'ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
=== Proposition 21 ===
−
|-
 
−
|
 
−
=== Proposition 17 ===
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יז</span> <big>כאשר</big> היה שטח נצב הזויות יקיפו בו שני קוים ישרים מדברים בכח והיו בהם לבד משותפים הנה הוא בלתי מדבר והקו הישר אשר יחזיק עליו גם כן בלתי מדבר ויקרא הממוצע
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כא</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויקיפו בשטח ב"ג שני קוי ב"א א"ג הישרים ויהיו בכח מדברים ובהם לבד משותפים
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוים משותפים בכח לבד וידובר בשניהם בו והם א' וב' ויהיה המרובע ההוה מג' שוה לשטח ההוה מא' בב'
  
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ד"ב בלתי משותף אל ב"ג וד"ב מדבר
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ג' וד' ממוצעים ושניהם משותפים בכח לבד ויקיפו בשטח מדבר והוא שטח ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ב"ג בלתי מדבר והקו אשר יחזיק עליו גם כן בלתי מדבר ויקרא הממוצע
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
=== Proposition 22 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 18 ===
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כב</span> <big>נרצה</big> שנבאר איך נמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח ממוצע
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יח</span> <big>כאשר</big> יחובר אל קו מדבר שטח שוה למרובע יהיה מקו ממוצע הנה יתחדש ממנו רוחב מדובר בכח והוא באורך בלתי משותף לקו אשר חובר אליו השטח
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שלשה קוים בכח לבד מדברים משותפים והם א'ב'ג' ויהיה המרובע ההוה מד' שוה לשטח ההוה מא' בב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו א' ממוצע והקו המדבר ב"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן השטח ההוה מד' בה' ממוצע
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה זה השטח אשר יחזיק עליו קו א' שטח ה"ח והוא יקיפו בו שני קוי ה"ז וז"ח ושניהם מדברים בכח בהם לבד משותפים וא' גם כן יחזיק על ג"ד הנה ג"ד כמו ה"ח וזויותיו כמו זויותיו והשטחים הנכחי הצלעות השוים אשר זויותיהם שוות צלעות שניהם המקיפות בזויות השוות מספיקות
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי השטח ההוה מא' בב' שוה למרובע ההוה מד' והשטח ההוה מב' בג' שוה לשטח ההוה מד' בה' יהיה יחס השטח ההוה מא' בב' אל המרובע ההוה מד' כיחס השטח ההוה מב' בג' אל השטח ההוה מד' בה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ב בלתי משותף לקו ב"ג באורך
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד' משותף לקו ה' בכח לבד וקו ד' ממוצע אם כן ה' ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ב מדבר בכח והוא בלתי משותף לקו ב"ג באורך
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ד"ה ממוצעים משותפים בכח לבד ויקיפו בשטח ד' בה' אשר הוא ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 9,374: Line 15,618:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 19 ===
+
=== Proposition 23 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>יט</span> <big>כל קו</big> משותף לממוצע הנה הוא ממוצע
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כג</span> <big>כאשר</big> הקיפו בשטח נצב הזויות שני קוים ממוצעים משותפים לבד בכח הנה השטח ההוא אם שיהיה מדבר ואם שיהיה ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה א' ממוצע ויהיה משותף לקו ב'
+
|style="text-align:right;"|ויקיף בשטח ב"ג שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד והם ב"א וא"ג
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי ב' ממוצע ויהיה קו ג"ד מדבר ונחבר אל קו ג"ד שטח שוה למרובע ההוה מא' והוא שטח ד"ה
+
|style="text-align:right;"|אם כן שטח כ"ל אם שיהיה מדבר ואם שיהיה ממוצע וכ"ל כמו ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו ב' יחזיק על שטח ד"ז
+
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ב"ג אם שיהיה מדבר ואם שיהיה ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב' בלתי מדבר ויקרא ממוצע
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
=== Proposition 24 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 20 ===
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כד</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים מדברים בכח משותפים בהם לבד ויוסיף היותר ארוך משניהם על הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיו שני מספרים מרובעים והם א"ב וא"ג ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם והוא ב"ג מרובע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כ</span> <big>יתרון</big> הממוצע על הממוצע בלתי מדבר
+
|style="text-align:right;"|מפני כי יחס א"ב אל ב"ג כיחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מד"ז ויחס א"ב אל ב"ג כיחס מספר אל מספר ולא יהיה כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח א"ב ממוצע ושטח א' ממוצע ויותיר מה שבין שניהם שטח ב'
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מז"ה כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע הנה קו ד"ה משותף לקו ז"ה באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי ב' בלתי מדבר
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ה יוסיף על קו ד"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף אליו באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר שלא יהיה כן נאמר שיהיה מדבר ויהיה קו ג"ד גם כן מדבר
+
|style="text-align:right;"|וזמש"ל
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ג"ז בז"ה בלתי משותף למרובע ההוה מז"ה
+
|style="text-align:right;"|<big>ומצאתי</big> אני המעתיק זאת הנסחא בשני ספרים אחרים במקום מה שסיימתי כן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם שטח ג"ז בז"ה הוא משותף לכפל שטח ג"ז בז"ה
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מד"ז כיחס מספר אל מספר ולא יהיה כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם המרובע ההוה מז"ה הנה הוא משותף למרובע ההוה מג"ז
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי יחס א"ב אל ב"ג כיחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מד"ז והיה כאשר הפכנו יחס א"ב אל א"ג כיחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מז"ה וכו' כמו שהשלים
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מג"ה בלתי מדבר וזה בלתי אפשר מפני כי ג"ה מדבר בכח
+
=== Proposition 25 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן אין תוספת הממוצע על הממוצע שטח מדבר וזה מש"ל
 
−
היה שעור אחד
 
−
בלתי משותף לשני שעורים לכל אחד בעצמו והיו שני השעורים
 
−
ההם משותפים הנה הוא בלתי משותף לשניהם מקובצים . דמיון זה כי שעור
 
−
א' בלתי משותף לשעור ב' ולשעור ג' ושני שעורי ב"ג משותפים ואומר כי א' בלתי
 
−
משותף לשני ב"ג מקובצים .    המופת שאי אפשר בלתי זה . שאם היה אפשר
 
−
הנה יהיה ב' משותף לג' אם כן הוא משותף לכל ב"ג וא' משותף לכל
 
−
ב"ג אם כן ב"ג משותף לשני שעורי א"ב אם כן א"ב משותפים זה שקר אם כן אין
 
−
א' משותף לכל ב"ג ומ'ש'ל'
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 21 ===
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כה</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים מדברים בכח ומשותפים בהם לבד ויוסיף הארוך משניהם על הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כא</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח מדבר
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני מספרים בלתי מרובעים והם א"ג ג"ב ויהיה קבוץ שניהם קו א"ב ואינו מרובע ויהיה קו ד"ה מדבר ונקוה עליו חצי עגולה דז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוים משותפים בכח לבד וידובר בשניהם בו והם א' וב' ויהיה המרובע ההוה מג' שוה לשטח ההוה מא' בב'
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ה בלתי משותף לקו ז"ה באורך
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ג' וד' ממוצעים ושניהם משותפים בכח לבד ויקיפו בשטח מדבר והוא שטח ג"ד
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ה יוסיף על קו ד"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו בלתי משותף אליו באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 9,454: Line 15,689:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 22 ===
+
=== Proposition 26 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כב</span> <big>נרצה</big> שנבאר איך נמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח ממוצע
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כו</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח מדבר ויוסיף אחד משניהם על האחר בכח בתוספת מרובע מקו ישתתף עמו באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שלשה קוים בכח לבד מדברים משותפים והם א'ב'ג' ויהיה המרובע ההוה מד' שוה לשטח ההוה מא' בב'
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוים מדברים בכח ובהם לבד משותפים והם א"ב ויוסיף הגדול מהם והוא א' על הקטן והוא ב' כמו מרובע מקו ישתתף עמו באורך ונקח מה שבין שני קוי א' וב' קו מתיחס להם והוא ג'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן השטח ההוה מד' בה' ממוצע
+
|style="text-align:right;"|ויהיה יחס ב' אל ד' כיחס א' אל ג'
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי השטח ההוה מא' בב' שוה למרובע ההוה מד' והשטח ההוה מב' בג' שוה לשטח ההוה מד' בה' יהיה יחס השטח ההוה מא' בב' אל המרובע ההוה מד' כיחס השטח ההוה מב' בג' אל השטח ההוה מד' בה'
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ג' וד' ממוצעים בכח ובהם לבד משותפים ויקיפו בשטח מדבר ויוסיף ג' על ד' בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד' משותף לקו ה' בכח לבד וקו ד' ממוצע אם כן ה' ממוצע
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ד"ה ממוצעים משותפים בכח לבד ויקיפו בשטח ד' בה' אשר הוא ממוצע
+
=== Proposition 27 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כז</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח מדבר ויוסיף אחד משניהם על האחר כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 23 ===
+
|style="text-align:right;"|ומעשה זה יתבאר כמו שבארנו על התמונה אשר לפני זאת כאשר נשים שני הקוים הראשונים אשר בהם עשינו זה מדברים בכח משותפים בה יוסיף הגדול משניהם על הקטן כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כג</span> <big>כאשר</big> הקיפו בשטח נצב הזויות שני קוים ממוצעים משותפים לבד בכח הנה השטח ההוא אם שיהיה מדבר ואם שיהיה ממוצע
+
=== Proposition 28 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויקיף בשטח ב"ג שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד והם ב"א וא"ג
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כח</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח ממוצע ויוסיף אחד משניהם על האחר כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח כ"ל אם שיהיה מדבר ואם שיהיה ממוצע וכ"ל כמו ב"ג
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שלשה קוים מדברים בכח ויהיו בו לבד משותפים והם א' וב' וג'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שטח ב"ג אם שיהיה מדבר ואם שיהיה ממוצע
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ה' וקו א' יוסיף על קו ג' בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך הנה שני קוי ד"ה ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בממוצע ויוסיף ד' על ה' בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עליו באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 24 ===
+
=== Proposition 29 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כד</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים מדברים בכח משותפים בהם לבד ויוסיף היותר ארוך משניהם על הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כט</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח ממוצע ויוסיף אחד משניהם על האחר בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו בארך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני מספרים מרובעים והם א"ב וא"ג ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם והוא ב"ג מרובע
+
|style="text-align:right;"|והמעשה הזה יתבאר כמו שהתבאר מעשה התמונה אשר לפני זאת כאשר יעשה השלשה קוים אשר בהם עשינו אותו מדברים בכח משותפים השיעור בו לבד יוסיף אחד משניהם על האחר בכח כמו מרובע יהיה בקו ולא ישתתף עמו באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי יחס א"ב אל ב"ג כיחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מד"ז ויחס א"ב אל ב"ג כיחס מספר אל מספר ולא יהיה כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מז"ה כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע הנה קו ד"ה משותף לקו ז"ה באורך
+
=== Proposition 30 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ה יוסיף על קו ד"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף אליו באורך
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזמש"ל
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם יהיה מה שיתקבץ מדבר ויהיה כפל השטח אשר יקיפו בו ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>ומצאתי</big> אני המעתיק זאת הנסחא בשני ספרים אחרים במקום מה שסיימתי כן
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוים מדברים בכח ובו לבד משותפים והם א"ב ב"ג
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מד"ז כיחס מספר אל מספר ולא יהיה כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
+
|style="text-align:right;"|וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם יהיה מה שיתקבץ מדבר ויהיה כפל אשר יקיפו בו ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי יחס א"ב אל ב"ג כיחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מד"ז והיה כאשר הפכנו יחס א"ב אל א"ג כיחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מז"ה וכו' כמו שהשלים
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 25 ===
+
=== Proposition 31 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כה</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים מדברים בכח ומשותפים בהם לבד ויוסיף הארוך משניהם על הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לא</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם היה מה שיתקבץ ממוצע ויהיה כפל השטח אשר יקיפו בו מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני מספרים בלתי מרובעים והם א"ג ג"ב ויהיה קבוץ שניהם קו א"ב ואינו מרובע ויהיה קו ד"ה מדבר ונקוה עליו חצי עגולה דז"ה
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד והם א"ב ב"ג ויהיה השטח אשר יקיפו בו והוא ההוה מא"ב בב"ג מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ה בלתי משותף לקו ז"ה באורך
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי המרובע ההוה מא"ב שוה לשני המרובעים ההוים מא"ז א"ב והמרובע ההוה מא"ב ממוצע הנה יהיו שני המרובעים ההוים מא"ז ז"ב כאשר יקובצו ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ה יוסיף על קו ד"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו בלתי משותף אליו באורך
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג מדבר יהיה השטח אשר יקיפו שני קוי א"ב ב"ד מדבר ולכן יהיה מה שיהיה מא"ב בב"ד שתי פעמים מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|אם כן אשר יהיה מא"ב בז"ה שתי פעמים מדבר והוא שוה לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ז ז"ב אם כן שני קוי א"ז ז"ב בלתי משותפים בכח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 26 ===
+
|style="text-align:right;"|וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם יהיו ממוצעים וכפל השטח אשר יקיפו בו מדבר
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כו</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח מדבר ויוסיף אחד משניהם על האחר בכח בתוספת מרובע מקו ישתתף עמו באורך
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוים מדברים בכח ובהם לבד משותפים והם א"ב ויוסיף הגדול מהם והוא א' על הקטן והוא ב' כמו מרובע מקו ישתתף עמו באורך ונקח מה שבין שני קוי א' וב' קו מתיחס להם והוא ג'
+
=== Proposition 32 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה יחס ב' אל ד' כיחס א' אל ג'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לב</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם היה מה שיקובץ ממוצע ויהיה כפל השטח אשר יקיפו בו ממוצע ויהיו מרובעיהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לכפל השטח אשר יקיפו בו
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ג' וד' ממוצעים בכח ובהם לבד משותפים ויקיפו בשטח מדבר ויוסיף ג' על ד' בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
+
|style="text-align:right;"|ואולם קבוץ המרובעים ההוים משניהם היה מה שיתקבץ ממוצע וכפל השטח אשר יקיפו בו הוא גם כן ממוצע והוא בלתי משותף לשני המרובעים ההוים משני קוים א"ז ז"ב כאשר יקובצו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 9,570: Line 15,806:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 27 ===
+
=== Proposition 33 ===
 
|
 
|
 +
|-
 +
|When a line is composed of two straight lines measurable in square only, then the whole straight line is unmeasurable; let it be called binomial.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לג</span> <big>כאשר</big> הורכב קו משני קוים ישרים מדברים בכח והיו בו לבד משותפים הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר משתי שמות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כז</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח מדבר ויוסיף אחד משניהם על האחר כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
+
|style="text-align:right;"|ויורכב קו מה משני קוים ישרים מדברים בכח משותפים בו לבד והם א"ב ב"ג
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומעשה זה יתבאר כמו שבארנו על התמונה אשר לפני זאת כאשר נשים שני הקוים הראשונים אשר בהם עשינו זה מדברים בכח משותפים בה יוסיף הגדול משניהם על הקטן כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
+
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מא"ג בלתי מדבר הנה קו א"ג אם כן בלתי מדבר ויקרא אשר משתי שמות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 9,583: Line 15,823:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 28 ===
+
 
 +
=== Proposition 34 ===
 
|
 
|
 +
|-
 +
|When a line is composed of two medial straight lines commensurable in square only, and the rectangle contained by them is measurable, then the whole straight line is unmeasurable; let it be called first bimedial.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לד</span> <big>כאשר</big> הורכב קו משני קוים ישרים ממוצעים משותפים בכח לבד ויהיה השטח אשר יקיפו בו מדבר הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר משתי הממוצעים הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כח</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח ממוצע ויוסיף אחד משניהם על האחר כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
+
|style="text-align:right;"|ויורכב קו משני קוים ישרים ממוצעים משותפים בכח לבד והם א"ב ב"ג ויקיפו בשטח מדבר והוא שטח א"ב בב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שלשה קוים מדברים בכח ויהיו בו לבד משותפים והם א' וב' וג'
+
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מא"ג בלתי מדבר ויקרא אשר משני האמצעים הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ה' וקו א' יוסיף על קו ג' בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך הנה שני קוי ד"ה ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בממוצע ויוסיף ד' על ה' בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עליו באורך
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
 
 +
=== Proposition 35 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 29 ===
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לה</span> <big>כאשר</big> הורכב קו משני קוים ישרים ממוצעים משותפים בכח לבד ויהיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר משני ממוצעים השני
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ויורכב קו משני קוים ישרים ממוצעים משותפים בכח לבד והם א"ב ב"ג ויקיפו בשטח ממוצע והוא שטח א"ב בב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>כט</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח ממוצע ויוסיף אחד משניהם על האחר בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו בארך
+
|style="text-align:right;"|והקו אשר יחזיק על השטח אשר יקיפו בו בלתי מדבר וקו א"ג יחזיק על שטח ה"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והמעשה הזה יתבאר כמו שהתבאר מעשה התמונה אשר לפני זאת כאשר יעשה השלשה קוים אשר בהם עשינו אותו מדברים בכח משותפים השיעור בו לבד יוסיף אחד משניהם על האחר בכח כמו מרובע יהיה בקו ולא ישתתף עמו באורך
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר משני הממוצעים השני
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 30 ===
+
=== Proposition 36 ===
 
|
 
|
 +
|-
 +
|When a line is composed of two straight lines incommensurable in square, so that the rectangle that equals the sum of their two squares is measurable and the rectangle contained by them is medial, then the whole straight line is unmeasurable; let it be called major.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לו</span> <big>כאשר</big> הורכב קו משני קוים ישרים בלתי משותפים בכח והיה השטח השוה לשני מרובעיהם כאשר קובצו מדבר והיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא היותר גדול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ל</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם יהיה מה שיתקבץ מדבר ויהיה כפל השטח אשר יקיפו בו ממוצע
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח והם א"ב ב"ג ויהיה השטח השוה לשני מרובעי א"ב ב"ג מדבר
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוים מדברים בכח ובו לבד משותפים והם א"ב ב"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מא"ג בלתי מדבר
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם יהיה מה שיתקבץ מדבר ויהיה כפל אשר יקיפו בו ממוצע
+
|style="text-align:right;"|הנה א"ג אם כן בלתי מדבר ויקרא היותר גדול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|וזה מה ש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 31 ===
+
 
 +
=== Proposition 37 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|When a line is composed of two straight lines incommensurable in square, so that the rectangle that equals the sum of their two squares is medial and the rectangle contained by them is measurable, then the whole straight line is unmeasurable; let it be called the sum of a measurable and a medial area.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לא</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם היה מה שיתקבץ ממוצע ויהיה כפל השטח אשר יקיפו בו מדבר
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לז</span> <big>כאשר</big> הורכב קו משני קוים ישרים בלתי משותפים בכח והיה השטח השוה לשני מרובעיהם ממוצע והיה השטח אשר יקיפו בו מדבר הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על מדבר וממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד והם א"ב ב"ג ויהיה השטח אשר יקיפו בו והוא ההוה מא"ב בב"ג מדבר
+
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מא"ג בלתי מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי המרובע ההוה מא"ב שוה לשני המרובעים ההוים מא"ז א"ב והמרובע ההוה מא"ב ממוצע הנה יהיו שני המרובעים ההוים מא"ז ז"ב כאשר יקובצו ממוצע
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על מדבר וממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג מדבר יהיה השטח אשר יקיפו שני קוי א"ב ב"ד מדבר ולכן יהיה מה שיהיה מא"ב בב"ד שתי פעמים מדבר
+
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן אשר יהיה מא"ב בז"ה שתי פעמים מדבר והוא שוה לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ז ז"ב אם כן שני קוי א"ז ז"ב בלתי משותפים בכח
+
 
 +
=== Proposition 38 ===
 +
|
 +
|-
 +
|When two straight lines incommensurable in square are combined, so that the rectangle that equals the sum of their two squares is medial and the rectangle contained by them is medial and the sum of their two squares is incommensurable with the rectangle contained by them, then the whole straight line is unmeasurable; let it be called the sum of two medial areas.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לח</span> <big>כאשר</big> הורכבו שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח והיה השטח השוה לשני מרובעיהם ממוצע והיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע ויהיו שני המרובעים ההוים משניהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על שני ממוצעים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם יהיו ממוצעים וכפל השטח אשר יקיפו בו מדבר
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוים בלתי משותפים בכח והם א"ב ב"ג ויהיה השטח השוה לשני המרובעים ההוים ממוצע ויהיה גם כן השטח אשר יקיפו בו ממוצע ויהיו שני המרובעים ההוים משניהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי כל א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על שני ממוצעים
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 32 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן ד"ט בלתי מדבר והוא אשר יקרא משתי שמות וקו ד"ה מדבר והשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קו מדבר וקו בלתי מדבר הנה הוא בלתי מדבר והקו אשר יחזיק עליו בלתי מדבר וקו א"ג יחזיק על שטח ה"ט
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על שני ממוצעים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לב</span> <big>נרצה</big> שנמצא שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם היה מה שיקובץ ממוצע ויהיה כפל השטח אשר יקיפו בו ממוצע ויהיו מרובעיהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לכפל השטח אשר יקיפו בו
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם קבוץ המרובעים ההוים משניהם היה מה שיתקבץ ממוצע וכפל השטח אשר יקיפו בו הוא גם כן ממוצע והוא בלתי משותף לשני המרובעים ההוים משני קוים א"ז ז"ב כאשר יקובצו
+
 
 +
=== Proposition 39 ===
 +
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|The binomial straight line is divided into its two terms at one point only.
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לט</span> <big>הקו</big> אשר משתי שמות אמנם יחלק בשתי שמות על נקודה אחת לבד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 33 ===
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר משתי שמות א"ג ויתחלק בשתי שמות על נקודת ב'
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לג</span> <big>כאשר</big> הורכב קו משני קוים ישרים מדברים בכח והיו בו לבד משותפים הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר משתי שמות
+
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי א"ג לא יתחלק בשתי שמות על נקודה אחרת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויורכב קו מה משני קוים ישרים מדברים בכח משותפים בו לבד והם א"ב ב"ג
+
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יתחלק על נקודת ד' גם כן
  
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מא"ג בלתי מדבר הנה קו א"ג אם כן בלתי מדבר ויקרא אשר משתי שמות
+
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר משני שמות לא יתחלק בשתי שמות בשתי מקומות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 34 ===
+
=== Proposition 40 ===
 
|
 
|
 +
|-
 +
|The first bimedial straight line is divided into two medial areas at one point only.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מ</span> <big>הקו</big> אשר משני ממוצעים הראשון אמנם יתחלק בשני הממוצעים על נקודה אחת לבד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לד</span> <big>כאשר</big> הורכב קו משני קוים ישרים ממוצעים משותפים בכח לבד ויהיה השטח אשר יקיפו בו מדבר הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר משתי הממוצעים הראשון
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר משני ממוצעים הראשון א"ג ויתחלק בשני ממוצעים על נקודת ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויורכב קו משני קוים ישרים ממוצעים משותפים בכח לבד והם א"ב ב"ג ויקיפו בשטח מדבר והוא שטח א"ב בב"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי הוא לא יתחלק בשני ממוצעים על נקודה אחרת שאם היה אפשר יתחלק גם כן על נקודת ד' הנה מפני כי יתרון מה שבין מרובעי א"ב ב"ג כאשר יקובצו ובין שני מרובעי א"ד ד"ג כאשר יקובצו שוה ליתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג ובין כפל השטח אשר יקיפו בו א"ד ד"ג ויתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו א"ב ב"ג ובין כפל השטח אשר יקיפו בו א"ד ד"ג מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מא"ג בלתי מדבר ויקרא אשר משני האמצעים הראשון
+
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר משני הממוצעים הראשון לא יתחלק בשני הממוצעים בשני מקומות מתחלפות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 35 ===
+
 
 +
=== Proposition 41 ===
 
|
 
|
 +
|-
 +
|The second bimedial straight line is divided into two medial areas at one point only.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מא</span> <big>הקו</big> אשר משני הממוצעים השני אמנם יתחלק בשני ממוצעים על נקודה אחת לבד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לה</span> <big>כאשר</big> הורכב קו משני קוים ישרים ממוצעים משותפים בכח לבד ויהיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר משני ממוצעים השני
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר משני ממוצעים השני א"ג ויתחלק בשני ממוצעים על נקודת ב'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויורכב קו משני קוים ישרים ממוצעים משותפים בכח לבד והם א"ב ב"ג ויקיפו בשטח ממוצע והוא שטח א"ב בב"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ג לא יתחלק בשני ממוצעים על נקודה אחרת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והקו אשר יחזיק על השטח אשר יקיפו בו בלתי מדבר וקו א"ג יחזיק על שטח ה"ט
+
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר שהוא כבר חולק בשתי שמות על נקודת ל'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר משני הממוצעים השני
+
|style="text-align:right;"|הנה הקו אשר משתי שמות כבר חולק בשתי שמות על שתי נקודות מתחלפות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי זה בלתי אפשר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 36 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן לא יתחלק הקו אשר משני ממוצעים השני על שתי נקודות מתחלפות
 +
|-
 
|
 
|
−
|-
+
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
−
|When a line is composed of two straight lines incommensurable in square, so that the rectangle that equals the sum of their two squares is rational and the rectangle contained by them is medial, then the whole straight line is irrational; let it be called major.
 
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לו</span> <big>כאשר</big> הורכב קו משני קוים ישרים בלתי משותפים בכח והיה השטח השוה לשני מרובעיהם כאשר קובצו מדבר והיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא היותר גדול
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח והם א"ב ב"ג ויהיה השטח השוה לשני מרובעי א"ב ב"ג מדבר
 
  
 +
=== Proposition 42 ===
 +
|
 +
|-
 +
|The major straight line is divided at one point only.
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מב</span> <big>הקו</big> היותר גדול אמנם יתחלק על נקודה אחת לבד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מא"ג בלתי מדבר
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו היותר גדול א"ג ויתחלק על נקודת ב' הנה קוי א"ב ב"ג שניהם בכח בלתי משותפים ושני מרובעיהם כאשר יקובצו יהיה משניהם מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה א"ג אם כן בלתי מדבר ויקרא היותר גדול
+
|style="text-align:right;"|אם כן אי אפשר שיתחלק הקו היותר גדול על שתי נקודות מתחלפות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה ש"ל
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 37 ===
+
 
 +
=== Proposition 43 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|When a line is composed of two straight lines incommensurable in square, so that the rectangle that equals the sum of their two squares is medial and the rectangle contained by them is rational, then the whole straight line is irrational; let it be called the sum of a rational and a medial area.
+
|The line of a measurable plus a medial area is divided at one point only.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לז</span> <big>כאשר</big> הורכב קו משני קוים ישרים בלתי משותפים בכח והיה השטח השוה לשני מרובעיהם ממוצע והיה השטח אשר יקיפו בו מדבר הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על מדבר וממוצע
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מג</span> <big>הקו</big> אשר יחזיק על מדבר וממוצע אמנם יתחלק על נקודה אחת לבד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההוה מא"ג בלתי מדבר
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר יחזיק על מדבר ממוצע א"ג ויתחלק על נקודת ב' הנה שני קוי א"ב ב"ג בלתי משותפים בכח ושניהם המרובעים ההוים משניהם כאשר יקובצו יהיה ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על מדבר וממוצע
+
|style="text-align:right;"|וזה בלתי אפשר מפני כי כל אחד משניהם ממוצע הנה לא יתחלק הקו אשר יחזיק על מדבר וממוצע על שתי נקודות מתחלפות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 38 ===
+
 
 +
=== Proposition 44 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|When two straight lines incommensurable in square are combined, so that the rectangle that equals the sum of their two squares is medial and the rectangle contained by them is medial and the sum of their two squares is incommensurable with the rectangle contained by them, then the whole straight line is irrational; let it be called the sum of two medial areas.
+
|The line of the sum of two medial areas is divided at one point only.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לח</span> <big>כאשר</big> הורכבו שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח והיה השטח השוה לשני מרובעיהם ממוצע והיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע ויהיו שני המרובעים ההוים משניהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על שני ממוצעים
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מד</span> <big>הקו</big> אשר יחזיק על שני ממוצעים אמנם יתחלק על נקודה אחת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני קוים בלתי משותפים בכח והם א"ב ב"ג ויהיה השטח השוה לשני המרובעים ההוים ממוצע ויהיה גם כן השטח אשר יקיפו בו ממוצע ויהיו שני המרובעים ההוים משניהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר יחזיק על שני ממוצעים א"ד ויתחלק על נקודת ב' הנה קוי א"ב ב"ד בלתי משותפים בכח ושני המרובעים ההוים מב' קוי א"ב ב"ד כאשר יקובצו היה ממוצע והשטח אשר יקיפו בו ב' קוי א"ב ב"ד גם כן ממוצע ושני המרובעים ההוים מב' קוי א"ב ב"ד כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו א"ב ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי כל א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על שני ממוצעים
+
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר יחזיק על שני ממוצעים אמנם יתחלק על נקודה אחת לבד
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ד"ט בלתי מדבר והוא אשר יקרא משתי שמות וקו ד"ה מדבר והשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קו מדבר וקו בלתי מדבר הנה הוא בלתי מדבר והקו אשר יחזיק עליו בלתי מדבר וקו א"ג יחזיק על שטח ה"ט
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על שני ממוצעים
+
=== Definitions ===
 +
|style="text-align:right;"|<big>הקדמה</big>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|כאשר היה קו מה מדבר וקו משתי שמות והיה כבר חולק משתי שמות והיה היותר גדול מהחלקים יוסיף על הקטן מהם בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך והיה החלק הגדול משותף באורך לקו המדבר הנה יקרא הקו כלו אשר משתי שמות הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 39 ===
+
|style="text-align:right;"|ואם היה החלק הקטן משותף באורך לקו המדבר הנה יקרא אשר משתי שמות החמשי
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה אחד משתי השמות משותף באורך לקו המדבר הנה יקרא אשר משתי שמות הששי
 
|-
 
|-
−
|The binomial straight line is divided into its two terms at one point only.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>לט</span> <big>הקו</big> אשר משתי שמות אמנם יחלק בשתי שמות על נקודה אחת לבד
+
 
 +
=== Proposition 45 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר משתי שמות א"ג ויתחלק בשתי שמות על נקודת ב'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מה</span> <big>נרצה</big> שנמצא קו משתי שמות הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הנה</big> אומר כי א"ג לא יתחלק בשתי שמות על נקודה אחרת
+
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיה קו ב"ג משותף לקו א' באורך וקו א' מדבר אם כן קו ב"ג מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ה"ד ד"ז ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם אשר הוא ה"ז מספר מרובע
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|שאם היה אפשר הנה יתחלק על נקודת ד' גם כן
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ג משותף לקו ט' באורך ותוספת ב"ג על ג"ח בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וקו ב"ג משותף לקו המדבר המונח אשר הוא א'
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר משני שמות לא יתחלק בשתי שמות בשתי מקומות
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ח הוא אשר משתי שמות הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 40 ===
+
=== Proposition 46 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|The first bimedial straight line is divided into two medial areas at one point only.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מ</span> <big>הקו</big> אשר משני ממוצעים הראשון אמנם יתחלק בשני הממוצעים על נקודה אחת לבד
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מו</span> <big>נרצה</big> שנמצא קו משתי שמות השני
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיה קו ג"ח משותף לקו א' באורך אם כן קו ג"ח מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ה"ד ד"ז ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם אשר הוא ה"ז מספר מרובע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר משני ממוצעים הראשון א"ג ויתחלק בשני ממוצעים על נקודת ב'
+
|style="text-align:right;"|וזה כי יחס המרובע ההווה מן ג"ח אל המרובע ההווה מן ג"ב כיחס מספר ה"ז אל מספר ד"ה ומספר ה"ז קטן ממספר ד"ה אם כן המרובע ההווה מן ג"ח קטן מן המרובע ההווה מן ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי הוא לא יתחלק בשני ממוצעים על נקודה אחרת שאם היה אפשר יתחלק גם כן על נקודת ד' הנה מפני כי יתרון מה שבין מרובעי א"ב ב"ג כאשר יקובצו ובין שני מרובעי א"ד ד"ג כאשר יקובצו שוה ליתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג ובין כפל השטח אשר יקיפו בו א"ד ד"ג ויתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו א"ב ב"ג ובין כפל השטח אשר יקיפו בו א"ד ד"ג מדבר
+
|style="text-align:right;"|ונבאר כמו שבארנו במה שקדם כי ט' משותף לקו ב"ג באורך אם כן ב"ג יוסיף על קו ג"ח בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וקו ג"ח הוא הקטן משני קוי ב"ג ג"ח והוא ישתתף באורך לקו המדבר אשר הוא א'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר משני הממוצעים הראשון לא יתחלק בשני הממוצעים בשני מקומות מתחלפות
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ח הוא אשר משתי השמות השני
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
=== Proposition 47 ===
−
=== Proposition 41 ===
 
 
|
 
|
−
|-
 
−
|The second bimedial straight line is divided into two medial areas at one point only.
 
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מא</span> <big>הקו</big> אשר משני הממוצעים השני אמנם יתחלק בשני ממוצעים על נקודה אחת לבד
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר משני ממוצעים השני א"ג ויתחלק בשני ממוצעים על נקודת ב'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מז</span> <big>נרצה</big> שנמצא קו משתי שמות השלישי הנה נניח קו מדבר והוא א' ושלשה מספרים כי אין יחס אחד מהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע והם ב"ג ג"ד ה'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי א"ג לא יתחלק בשני ממוצעים על נקודה אחרת
+
|style="text-align:right;"|יהיה כאשר הפכנו יחס ב"ג אל ב"ד כיחס המרובע ההווה מן ז"ח אל המרובע ההווה מן כ' ויחס ב"ג אל ב"ד כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכן גם כן התבאר שהוא כבר חולק בשתי שמות על נקודת ל'
+
|style="text-align:right;"|אם כן יחס המרובע ההווה מן ז"ח אל המרובע ההווה מן כ' כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה הקו אשר משתי שמות כבר חולק בשתי שמות על שתי נקודות מתחלפות
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"ח משותף לקו כ' באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר התבאר כי זה בלתי אפשר
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"ח יוסיף על ח"ט בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך ואין אחד משני קוי ז"ח ח"ט משותף באורך לקו המדבר המונח אשר הוא א'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן לא יתחלק הקו אשר משני ממוצעים השני על שתי נקודות מתחלפות
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"ט הוא אשר משתי שמות השלישי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזמש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
=== Proposition 48 ===
−
=== Proposition 42 ===
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|The major straight line is divided at one point only.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מב</span> <big>הקו</big> היותר גדול אמנם יתחלק על נקודה אחת לבד
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מח</span> <big>נרצה</big> שנמצא קו אשר משתי שמות הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו היותר גדול א"ג ויתחלק על נקודת ב' הנה קוי א"ב ב"ג שניהם בכח בלתי משותפים ושני מרובעיהם כאשר יקובצו יהיה משניהם מדבר
+
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיה קו ב"ג משותף לקו א' באורך וקו א' מדבר הנה קו ב"ג מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ד"ז ז"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן אי אפשר שיתחלק הקו היותר גדול על שתי נקודות מתחלפות
+
|style="text-align:right;"|והיותר גדול שבשני קוי ב"ג ג"ח אשר הוא ב"ג משותף באורך לקו המדבר אשר הוא א' אם כן קו ב"ח הוא אשר משתי שמות הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 9,866: Line 16,141:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
=== Proposition 49 ===
−
=== Proposition 43 ===
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|The line of a rational plus a medial area is divided at one point only.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מג</span> <big>הקו</big> אשר יחזיק על מדבר וממוצע אמנם יתחלק על נקודה אחת לבד
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מט</span> <big>נרצה</big> שנמצא קו אשר משתי שמות החמישי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר יחזיק על מדבר ממוצע א"ג ויתחלק על נקודת ב' הנה שני קוי א"ב ב"ג בלתי משותפים בכח ושניהם המרובעים ההוים משניהם כאשר יקובצו יהיה ממוצע
+
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיה קו ג"ח משותף לקו א' באורך וקו א' מדבר אם כן קו ג"ח מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ד"ז ז"ה ולא יהיו שניהם יחד אשר הוא ד"ה מרובע
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה בלתי אפשר מפני כי כל אחד משניהם ממוצע הנה לא יתחלק הקו אשר יחזיק על מדבר וממוצע על שתי נקודות מתחלפות
+
|style="text-align:right;"|ונבאר כמו שביארנו במה שקדם כי קו ב"ג בלתי משותף לקו ט' באורך וכי ב"ג יוסיף על ג"ח בכח כמו מרובע ההוה מקו ט' אשר לא ישתתף עמו באורך והיותר קטן מב' קוי ב"ג ג"ח אשר הוא ג"ח משותף לקו המדבר אשר הוא א' באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|וזמש"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
=== Proposition 50 ===
−
=== Proposition 44 ===
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|The line of the sum of two medial areas is divided at one point only.
+
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מד</span> <big>הקו</big> אשר יחזיק על שני ממוצעים אמנם יתחלק על נקודה אחת
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נ</span> <big>נרצה</big> שנמצא קו משתי שמות הששי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר יחזיק על שני ממוצעים א"ד ויתחלק על נקודת ב' הנה קוי א"ב ב"ד בלתי משותפים בכח ושני המרובעים ההוים מב' קוי א"ב ב"ד כאשר יקובצו היה ממוצע והשטח אשר יקיפו בו ב' קוי א"ב ב"ד גם כן ממוצע ושני המרובעים ההוים מב' קוי א"ב ב"ד כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו א"ב ב"ד
+
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיו שלשה מספרים אין יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע והם ב"ג ג"ד ה' ולא יהיו גם כן יחס ב"ג אל ג"ד כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע ויהיה יחס המרובע ההוה מא' אל המרובע ההוה מז"ח כיחס ה' אל ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר יחזיק על שני ממוצעים אמנם יתחלק על נקודה אחת לבד
+
|style="text-align:right;"|יתבאר לנו כי שני קוי ז"ח ח"ט בכח מדברים ושהם בו לבד משותפים ושאינו משותף אחד משניהם באורך לקו א' המדבר ושהיותר גדול הוא ז"ח יוסיף על הקצר והוא ח"ט כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ח ז"ט הוא אשר משתי שמות הששי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Definitions ===
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
−
|style="text-align:right;"|<big>הקדמה</big>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|כאשר היה קו מה מדבר וקו משתי שמות והיה כבר חולק משתי שמות והיה היותר גדול מהחלקים יוסיף על הקטן מהם בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך והיה החלק הגדול משותף באורך לקו המדבר הנה יקרא הקו כלו אשר משתי שמות הראשון
+
=== Proposition 51 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה החלק הקטן משותף באורך לקו המדבר הנה יקרא אשר משתי שמות החמשי
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה אחד משתי השמות משותף באורך לקו המדבר הנה יקרא אשר משתי שמות הששי
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נא</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות הראשון הנה הקו אשר יחזיק על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא אשר משתי שמות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח עליו ב"ג יקיף בו קו מדבר והוא א"ב וקו משתי שמות הראשון והוא קו א"ג
  
−
=== Proposition 45 ===
 
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מה</span> <big>נרצה</big> שנמצא קו משתי שמות הראשון
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי קו ע"ס הוא אשר משתי שמות הנה מפני כי קו א"ז משותף לקו ז"ד באורך יהיה קו א"ד משותף לכל אחד מב' קוי א"ז ז"ד באורך וקו א"ד מדבר ומשותף לקו א"ב באורך אם כן כל אחד משני קוי א"ז ז"ד מדבר משותף באורך לקו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיה קו ב"ג משותף לקו א' באורך וקו א' מדבר אם כן קו ב"ג מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ה"ד ד"ז ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם אשר הוא ה"ז מספר מרובע
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"פ בלתי משותף לקו פ"ס באורך הנה שניהם בכח לבד משותפים והם בו מדברים אם כן קו ע"ס הוא אשר מב' שמות והוא יחזיק על שטח ב"ג
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ג משותף לקו ט' באורך ותוספת ב"ג על ג"ח בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וקו ב"ג משותף לקו המדבר המונח אשר הוא א'
+
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר יחזיק על שטח ב"ג בלתי מדבר והוא אשר משתי שמות
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ח הוא אשר משתי שמות הראשון
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 9,934: Line 16,200:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 46 ===
+
=== Proposition 52 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מו</span> <big>נרצה</big> שנמצא קו משתי שמות השני
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נב</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות השני הנה הקו אשר יחזיק על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא אשר משני הממוצעים הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיה קו ג"ח משותף לקו א' באורך אם כן קו ג"ח מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ה"ד ד"ז ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם אשר הוא ה"ז מספר מרובע
+
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח עליו א"ל ויקיפו בו קו מדבר והוא א"ב וקו משתי שמות השני והוא א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה כי יחס המרובע ההווה מן ג"ח אל המרובע ההווה מן ג"ב כיחס מספר ה"ז אל מספר ד"ה ומספר ה"ז קטן ממספר ד"ה אם כן המרובע ההווה מן ג"ח קטן מן המרובע ההווה מן ב"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי השטח הנצב אשר יקיפו בו שני קוי א"ז ז"ד כמו המרובע ההוה מד"ה יהיה קו ד"ה מתיחס לב' קוי א"ז ז"ד במה שבין שניהם ושטח נ"ע גם כן מתיחס לשני מרובעי מ"נ נ"ס הנה שטח ד"כ אם כן שוה לשטח נ"ע אבל שטח ד"כ שוה לשטח כ"ג ושטח נ"ע שוה לשטח נ"ק אם כן שטח כ"ג שוה לשטח נ"ק אם כן שטח כ"ג שוה לכל שטח ע"ק ושטח ע"ק מרובע אם כן קו ע"ס יחזיק על שטח ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונבאר כמו שבארנו במה שקדם כי ט' משותף לקו ב"ג באורך אם כן ב"ג יוסיף על קו ג"ח בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וקו ג"ח הוא הקטן משני קוי ב"ג ג"ח והוא ישתתף באורך לקו המדבר אשר הוא א'
+
|style="text-align:right;"|אם כן ע"ס הוא אשר משתי ממוצעים הראשון והוא יחזיק על שטח ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ח הוא אשר משתי השמות השני
+
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר יחזיק על ב"ג בלתי מדבר והוא אשר משני ממוצעים הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 47 ===
+
=== Proposition 53 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מז</span> <big>נרצה</big> שנמצא קו משתי שמות השלישי הנה נניח קו מדבר והוא א' ושלשה מספרים כי אין יחס אחד מהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע והם ב"ג ג"ד ה'
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נג</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות השלישי הנה הקו אשר יחזיק על השטח הוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא אשר משני ממוצעים השני
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יהיה כאשר הפכנו יחס ב"ג אל ב"ד כיחס המרובע ההווה מן ז"ח אל המרובע ההווה מן כ' ויחס ב"ג אל ב"ד כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
+
|style="text-align:right;"|ויהיה השטח עליו ב"ג ויקיף בו קו מדבר והוא א"ב וקו משתי שמות השלישי והוא א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן יחס המרובע ההווה מן ז"ח אל המרובע ההווה מן כ' כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי קו ע"ס הוא אשר משני ממוצעים השני הנה מפני כי קו א"ז משותף לקו ז"ד באורך יהיה קו א"ד משותף לכל אחד מב' קוי א"ז ז"ד באורך וקו א"ד בכח מדבר ובלתי משותף לקו א"ב באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"ח משותף לקו כ' באורך
+
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחד מב' קוי א"ז ז"ד מדבר בכח ובלתי משותף לקו א"ב באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"ח יוסיף על ח"ט בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך ואין אחד משני קוי ז"ח ח"ט משותף באורך לקו המדבר המונח אשר הוא א'
+
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחד משני שטחי א"ח ח"ד ממוצע והם משותפים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"ט הוא אשר משתי שמות השלישי
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"ס אמנם הוא אשר משתי שמות ממוצעים השני והוא יחזיק על שטח ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזמש"ל
+
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר יחזיק על שטח ב"ג הוא אשר משני ממוצעים השני
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 48 ===
+
|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 +
|-
 
|
 
|
−
|-
+
=== Proposition 54 ===
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מח</span> <big>נרצה</big> שנמצא קו אשר משתי שמות הרביעי
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיה קו ב"ג משותף לקו א' באורך וקו א' מדבר הנה קו ב"ג מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ד"ז ז"ה
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נד</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות הרביעי הנה הקו אשר יחזיק על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא היותר גדול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והיותר גדול שבשני קוי ב"ג ג"ח אשר הוא ב"ג משותף באורך לקו המדבר אשר הוא א' אם כן קו ב"ח הוא אשר משתי שמות הרביעי
+
|style="text-align:right;"|ויהיה עליו שטח ב"ג יקיף בו קו מדבר והוא א"ב וקו משתי שמות הרביעי והוא א"ג ויתחלק א"ג בשתי שמות ויהיה השם היותר גדול א"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מש"ל
+
|style="text-align:right;"|ואומר שהוא היותר גדול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 49 ===
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו א"ז בלתי משותף לקו ז"ד באורך יהיה שטח א"ח בלתי משותף לשטח ח"ד
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>מט</span> <big>נרצה</big> שנמצא קו אשר משתי שמות החמישי
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני מרובעי מ"נ נ"ס אשר הם כמו [שני] שטח[י] א"ח ח"ד בלתי משותפים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיה קו ג"ח משותף לקו א' באורך וקו א' מדבר אם כן קו ג"ח מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ד"ז ז"ה ולא יהיו שניהם יחד אשר הוא ד"ה מרובע
+
|style="text-align:right;"|וכבר בארנו כי שני קוי ע"פ פ"ס בלתי משותפים בכח ושטחי שניהם כאשר יקובצו מדבר
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונבאר כמו שביארנו במה שקדם כי קו ב"ג בלתי משותף לקו ט' באורך וכי ב"ג יוסיף על ג"ח בכח כמו מרובע ההוה מקו ט' אשר לא ישתתף עמו באורך והיותר קטן מב' קוי ב"ג ג"ח אשר הוא ג"ח משותף לקו המדבר אשר הוא א' באורך
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"ס הוא היותר גדול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזמש"ל
+
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 50 ===
+
=== Proposition 55 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נ</span> <big>נרצה</big> שנמצא קו משתי שמות הששי
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נה</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות החמישי הנה הקו אשר יגבר על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא אשר יגבר על מדבר וממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיו שלשה מספרים אין יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע והם ב"ג ג"ד ה' ולא יהיו גם כן יחס ב"ג אל ג"ד כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע ויהיה יחס המרובע ההוה מא' אל המרובע ההוה מז"ח כיחס ה' אל ב"ג
+
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח עליו ב"ג יקיפו בו קו מדבר והוא א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|יתבאר לנו כי שני קוי ז"ח ח"ט בכח מדברים ושהם בו לבד משותפים ושאינו משותף אחד משניהם באורך לקו א' המדבר ושהיותר גדול הוא ז"ח יוסיף על הקצר והוא ח"ט כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
+
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו א"ד בלתי משותף לקו א"ב באורך ושניהם בכח מדברים יהיה שטח א"ט ממוצע והוא כמו שני מרובעי ע"פ פ"ס כאשר יקובצו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ז"ח ז"ט הוא אשר משתי שמות הששי
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"ס הוא אשר יגבר על מדבר וממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,033: Line 16,297:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 51 ===
+
=== Proposition 56 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נא</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות הראשון הנה הקו אשר יחזיק על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא אשר משתי שמות
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נו</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות הששי הנה הקו אשר יגבר על השטח ההוא בלתי מדבר ויקרא אשר יגבר על שני ממוצעים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח עליו ב"ג יקיף בו קו מדבר והוא א"ב וקו משתי שמות הראשון והוא קו א"ג
+
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח עליו ב"ג יקיף בו קו מדבר והוא א"ב
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי קו ע"ס הוא אשר משתי שמות הנה מפני כי קו א"ז משותף לקו ז"ד באורך יהיה קו א"ד משותף לכל אחד מב' קוי א"ז ז"ד באורך וקו א"ד מדבר ומשותף לקו א"ב באורך אם כן כל אחד משני קוי א"ז ז"ד מדבר משותף באורך לקו א"ב
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"ס הוא אשר יגבר על שטח ב"ג והקו אשר יגבר על שטח ב"ג הוא אשר יגבר על שני הממוצעים
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"פ בלתי משותף לקו פ"ס באורך הנה שניהם בכח לבד משותפים והם בו מדברים אם כן קו ע"ס הוא אשר מב' שמות והוא יחזיק על שטח ב"ג
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר יחזיק על שטח ב"ג בלתי מדבר והוא אשר משתי שמות
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,056: Line 16,313:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 52 ===
+
=== Proposition 57 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נב</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות השני הנה הקו אשר יחזיק על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא אשר משני הממוצעים הראשון
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נז</span> <big>כאשר</big> חובר שטח שוה למרובע ההוה מקו משתי שמות אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח עליו א"ל ויקיפו בו קו מדבר והוא א"ב וקו משתי שמות השני והוא א"ג
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו משתי שמות והוא א"ב ויחלק בשתי שמות על נקודת ג' ויהיה השם היותר גדול ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה מפני כי השטח הנצב אשר יקיפו בו שני קוי א"ז ז"ד כמו המרובע ההוה מד"ה יהיה קו ד"ה מתיחס לב' קוי א"ז ז"ד במה שבין שניהם ושטח נ"ע גם כן מתיחס לשני מרובעי מ"נ נ"ס הנה שטח ד"כ אם כן שוה לשטח נ"ע אבל שטח ד"כ שוה לשטח כ"ג ושטח נ"ע שוה לשטח נ"ק אם כן שטח כ"ג שוה לשטח נ"ק אם כן שטח כ"ג שוה לכל שטח ע"ק ושטח ע"ק מרובע אם כן קו ע"ס יחזיק על שטח ב"ג
+
|style="text-align:right;"|וזה כי אנחנו כאשר הבדלנו מן ה"ז שטח שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ב והוא ה"כ ונשאר שטח ל"ז שוה לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ויתחלק קו כ"ז בשני חציים על נקודת מ' ונוציא מנקודת מ' קו נכחי לכל אחד משני קוי ד"ה ז"ס והוא קו מ"נ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן ע"ס הוא אשר משתי ממוצעים הראשון והוא יחזיק על שטח ב"ג
+
|style="text-align:right;"|חלק אותו על נקודת ח' בשני חלקים ד"ח ח"כ אשר הם משותפים יהיה קו ד"ב יותר גדול מקו כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וקו ד"כ משותף באורך לקו ד"ה המדבר המונח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר יחזיק על ב"ג בלתי מדבר והוא אשר משני ממוצעים הראשון
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 53 ===
+
=== Proposition 58 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נג</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות השלישי הנה הקו אשר יחזיק על השטח הוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא אשר משני ממוצעים השני
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נח</span> <big>כאשר</big> חובר שטח שוה למרובע ההוה מקו משני הממוצעים הראשון אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות השני
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה השטח עליו ב"ג ויקיף בו קו מדבר והוא א"ב וקו משתי שמות השלישי והוא א"ג
+
|style="text-align:right;"|[ויהיה קו משני הממוצעים הראשון והוא א"ב ויחלק בשני אמצעיים על נקודת ג'] ויהיה קו ד"ה מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי קו ע"ס הוא אשר משני ממוצעים השני הנה מפני כי קו א"ז משותף לקו ז"ד באורך יהיה קו א"ד משותף לכל אחד מב' קוי א"ז ז"ד באורך וקו א"ד בכח מדבר ובלתי משותף לקו א"ב באורך
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי קו ז"ד הוא משתי שמות השני וזה כי אנחנו כאשר הבדלנו מן ה"ז שטח שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ב ושמנו אותם ה"כ נשאר שטח ל"ז שוה לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ויתחלק קו כ"ז בשני חציים על נקודת מ' ונוציא מנקודת מ' קו נכחי לכל אחד משני קוי ד"ה ז"ס והוא קו מ"נ
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחד מב' קוי א"ז ז"ד מדבר בכח ובלתי משותף לקו א"ב באורך
+
|style="text-align:right;"|ומפני שהוא כאשר חובר אל קו ד"ב שטח שוה לרביע המרובע ההוה מן כ"ז יחסר משלימותו שטח מרובע חלק השטח ההוא קו ד"ב על נקודת שני חלקים משותפים יהיה קו ד"ב נוסף על כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וקו כ"ז משותף לקו ד"ה המדבר המונח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כל אחד משני שטחי א"ח ח"ד ממוצע והם משותפים
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא משתי שמות השני
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"ס אמנם הוא אשר משתי שמות ממוצעים השני והוא יחזיק על שטח ב"ג
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר יחזיק על שטח ב"ג הוא אשר משני ממוצעים השני
+
=== Proposition 59 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והוא מש"ל
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 54 ===
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נט</span> <big>כאשר</big> חובר שטח שוה למרובע ההווה מקו משני הממוצעים השני [אל קו מדבר הנה] הרוחב אשר יתחדש הוא משתי [השמות] השלישי
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נד</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות הרביעי הנה הקו אשר יחזיק על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא היותר גדול
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו משני ממוצעים השני והוא א"ב ויתחלק בשני ממוצעים על נקודת ג'
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה עליו שטח ב"ג יקיף בו קו מדבר והוא א"ב וקו משתי שמות הרביעי והוא א"ג ויתחלק א"ג בשתי שמות ויהיה השם היותר גדול א"ד
+
|style="text-align:right;"|ונוציא קו מ"נ נכחי לכל אחד משני שטחי ד"ה ז"ס
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואומר שהוא היותר גדול
+
|style="text-align:right;"|הנה השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב שוה לכל אחד משני שטחי כ"נ נ"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו א"ז בלתי משותף לקו ז"ד באורך יהיה שטח א"ח בלתי משותף לשטח ח"ד
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה אנחנו כאשר שמנו שטח ה"ח שוה למרובע ההווה מן ב"ג ישאר שטח כ"ט שוה למרובע ההוה מן ג"א
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני מרובעי מ"נ נ"ס אשר הם כמו [שני] שטח[י] א"ח ח"ד בלתי משותפים
+
|style="text-align:right;"|ומפני שהוא כאשר חובר אל קו ד"ב שטח שוה לרביע המרובע ההוה מן קו כ"ז יחסר משלמותו שטח מרובע וחלק השטח ההוא קו ד"ב על נקודת ח' בשני חלקים משתתפים יהיה קו ד"ב נוסף על קו כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכבר בארנו כי שני קוי ע"פ פ"ס בלתי משותפים בכח ושטחי שניהם כאשר יקובצו מדבר
+
|style="text-align:right;"|ואין אחד משני קוי כ"ד כ"ז משותף לקו ד"ה באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"ס הוא היותר גדול
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות השלישי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 55 ===
+
=== Proposition 60 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נה</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות החמישי הנה הקו אשר יגבר על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא אשר יגבר על מדבר וממוצע
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ס</span> <big>כאשר</big> חובר שטח שוה למרובע ההוה מן הקו היותר גדול אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח עליו ב"ג יקיפו בו קו מדבר והוא א"ב
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו היותר גדול א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג' ויהיה א"ג יותר גדול מן ג"ב
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני כי קו א"ד בלתי משותף לקו א"ב באורך ושניהם בכח מדברים יהיה שטח א"ט ממוצע והוא כמו שני מרובעי ע"פ פ"ס כאשר יקובצו
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ב יוסיף על קו כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך ושני קוי ד"כ כ"ז בכח מדברים ובו לבד משותפים וקו ד"כ משותף לקו ד"ה המדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"ס הוא אשר יגבר על מדבר וממוצע
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,153: Line 16,410:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 56 ===
+
=== Proposition 61 ===
 +
|
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סא</span> <big>כאשר</big> חובר שטח שוה למרובע ההווה מן הקו אשר יגבר על מדבר וממוצע אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות
 +
החמישי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נו</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות הששי הנה הקו אשר יגבר על השטח ההוא בלתי מדבר ויקרא אשר יגבר על שני ממוצעים
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר יגבר על מדבר וממוצע א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג'
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח עליו ב"ג יקיף בו קו מדבר והוא א"ב
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ד"כ כ"ז בכח מדברים ובו לבד משותפים וקו כ"ז משותף באורך לקו ד"ה המדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"ס הוא אשר יגבר על שטח ב"ג והקו אשר יגבר על שטח ב"ג הוא אשר יגבר על שני הממוצעים
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות החמישי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,169: Line 16,431:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 57 ===
+
=== Proposition 62 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נז</span> <big>כאשר</big> חובר שטח שוה למרובע ההוה מקו משתי שמות אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות הראשון
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סב</span> <big>כאשר</big> חובר שטח שוה למרובע ההווה מן הקו אשר יגבר על שני ממוצעים אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות הששי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו משתי שמות והוא א"ב ויחלק בשתי שמות על נקודת ג' ויהיה השם היותר גדול ב"ג
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר יגבר על שני ממוצעים א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג' ויהיה א"ג יותר גדול מן ג"ב ויהיה קו ד"ה מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה כי אנחנו כאשר הבדלנו מן ה"ז שטח שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ב והוא ה"כ ונשאר שטח ל"ז שוה לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ויתחלק קו כ"ז בשני חציים על נקודת מ' ונוציא מנקודת מ' קו נכחי לכל אחד משני קוי ד"ה ז"ס והוא קו מ"נ
+
|style="text-align:right;"|וזה כי אנחנו נבאר כמו שביארנו במה שקדם כי השטח אשר יקיפו בו שני קוי ד"ח ח"כ שוה למרובע ההווה מן קו כ"מ ושקו ד"ח בלתי משותף לקו ח"כ באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|חלק אותו על נקודת ח' בשני חלקים ד"ח ח"כ אשר הם משותפים יהיה קו ד"ב יותר גדול מקו כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וקו ד"כ משותף באורך לקו ד"ה המדבר המונח
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ד"כ נוסף על קו כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך ואין אחד משני קוי ד"כ כ"ז משותף באורך לקו ד"ה המדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות הראשון
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות הששי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 58 ===
+
=== Proposition 63 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נח</span> <big>כאשר</big> חובר שטח שוה למרובע ההוה מקו משני הממוצעים הראשון אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות השני
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סג</span> <big>הקו</big> אשר ישתתף באורך לקו משתי שמות הנה הוא גם כן משתי שמות ומדרגתו כמדרגתו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|[ויהיה קו משני הממוצעים הראשון והוא א"ב ויחלק בשני אמצעיים על נקודת ג'] ויהיה קו ד"ה מדבר
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר משתי שמות א"ב ויחלק בשתי שמות על נקודת ג' ויהיה קו ד"ה משותף באורך לקו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי קו ז"ד הוא משתי שמות השני וזה כי אנחנו כאשר הבדלנו מן ה"ז שטח שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ב ושמנו אותם ה"כ נשאר שטח ל"ז שוה לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ויתחלק קו כ"ז בשני חציים על נקודת מ' ונוציא מנקודת מ' קו נכחי לכל אחד משני קוי ד"ה ז"ס והוא קו מ"נ
+
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה אחד משני קוי א"ג ג"ב משותף לקו המדבר הנה הוא לא היה אחד משני קוי ד"ז ז"ה משותף לקו המדבר
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני שהוא כאשר חובר אל קו ד"ב שטח שוה לרביע המרובע ההוה מן כ"ז יחסר משלימותו שטח מרובע חלק השטח ההוא קו ד"ב על נקודת שני חלקים משותפים יהיה קו ד"ב נוסף על כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וקו כ"ז משותף לקו ד"ה המדבר המונח
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ה הוא משתי שמות ומדרגתו כמדרגת קו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא משתי שמות השני
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
=== Proposition 64 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 59 ===
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סד</span> <big>הקו</big> אשר ישתתף קו משני ממוצעים באורך הוא גם כן משני ממוצעים ומדרגתו כמדרגתו
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר משני ממוצעים א"ב ויחלק בשני ממוצעים על נקודת ג' ויהיה קו ד"ה משותף לקו א"ב באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>נט</span> <big>כאשר</big> חובר שטח שוה למרובע ההווה מקו משני הממוצעים השני [אל קו מדבר הנה] הרוחב אשר יתחדש הוא משתי [השמות] השלישי
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי קו ד"ה הוא משני אמצעיים ומדרגתו כמדרגת קו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו משני ממוצעים השני והוא א"ב ויתחלק בשני ממוצעים על נקודת ג'
+
|style="text-align:right;"|ואם היה שטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב מדבר הנה השטח אשר יקיפו בו שני קוי ד"ז ז"ה גם כן מדבר
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונוציא קו מ"נ נכחי לכל אחד משני שטחי ד"ה ז"ס
+
|style="text-align:right;"|ואם היה שטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ממוצע הנה השטח אשר יקיפו בו שני קוי ד"ז ז"ה גם כן ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב שוה לכל אחד משני שטחי כ"נ נ"ז
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר משני ממוצעים ומדרגתו כמדרגת קו א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה אנחנו כאשר שמנו שטח ה"ח שוה למרובע ההווה מן ב"ג ישאר שטח כ"ט שוה למרובע ההוה מן ג"א
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומפני שהוא כאשר חובר אל קו ד"ב שטח שוה לרביע המרובע ההוה מן קו כ"ז יחסר משלמותו שטח מרובע וחלק השטח ההוא קו ד"ב על נקודת ח' בשני חלקים משתתפים יהיה קו ד"ב נוסף על קו כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
+
=== Proposition 65 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואין אחד משני קוי כ"ד כ"ז משותף לקו ד"ה באורך
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות השלישי
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סה</span> <big>הקו</big> אשר ישתתף הקו היותר גדול באורך הוא גם כן קו יותר גדול
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ויהיה היותר גדול א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג' הנה שני קוי א"ג ג"ב הם בכח בלתי משותפים ושני מרובעיהם כאשר יקובצו מדבר והשטח אשר יקיפו ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 60 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן כל קו ד"ה בלתי מדבר והוא אשר יקרא היותר גדול
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ס</span> <big>כאשר</big> חובר שטח שוה למרובע ההוה מן הקו היותר גדול אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות הרביעי
+
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו היותר גדול א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג' ויהיה א"ג יותר גדול מן ג"ב
+
=== Proposition 66 ===
−
 
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ב יוסיף על קו כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך ושני קוי ד"כ כ"ז בכח מדברים ובו לבד משותפים וקו ד"כ משותף לקו ד"ה המדבר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות הרביעי
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סו</span> <big>הקו</big> אשר ישתתף הקו אשר יגבר על מדבר וממוצע הוא גם כן יגבר על מדבר וממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר יגבר על מדבר וממוצע א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג' הנה שני קוי א"ג ג"ב שניהם בכח בלתי משותפים ושני מרובעיהם כאשר יקובצו ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 61 ===
+
|style="text-align:right;"|ונבאר כי כל אחד משני קוי א"ג ג"ב משותף לגילו משני קוי ד"ז ז"ה ושיחס המרובע ההוה מן א"ב אל המרובע ההוה מן ד"ה כיחס שני המרובעים ההווים משני קוי א"ג ג"ב אל שני המרובעים ההווים מן ד"ז ז"ה
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סא</span> <big>כאשר</big> חובר שטח שוה למרובע ההווה מן הקו אשר יגבר על מדבר וממוצע אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות
+
|style="text-align:right;"|והמרובע ההווה מן א"ב משותף למרובע ההווה מן ד"ה
−
החמישי
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר יגבר על מדבר וממוצע א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג'
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני המרובעים ההווים מן א"ג ג"ב משותפים לשני המרובעים ההווים מן ד"ז ז"ה
−
 
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ד"כ כ"ז בכח מדברים ובו לבד משותפים וקו כ"ז משותף באורך לקו ד"ה המדבר
+
|style="text-align:right;"|אם כן השטח אשר יקיפו בו ד"ז ז"ה מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות החמישי
+
|style="text-align:right;"|אם כן כל ד"ה בלתי מדבר והוא אשר יגבר על מדבר וממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,287: Line 16,541:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 62 ===
+
=== Proposition 67 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סב</span> <big>כאשר</big> חובר שטח שוה למרובע ההווה מן הקו אשר יגבר על שני ממוצעים אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות הששי
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סז</span> <big>הקו</big> אשר ישתתף באורך הקו אשר יגבר על שני ממוצעים הוא גם כן יגבר על שני ממוצעים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר יגבר על שני ממוצעים א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג' ויהיה א"ג יותר גדול מן ג"ב ויהיה קו ד"ה מדבר
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר יגבר על שני ממוצעים א"ב ויחלק הקו אשר יגבר בשני חלקיו על נקודה ג'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה כי אנחנו נבאר כמו שביארנו במה שקדם כי השטח אשר יקיפו בו שני קוי ד"ח ח"כ שוה למרובע ההווה מן קו כ"מ ושקו ד"ח בלתי משותף לקו ח"כ באורך
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ד"ז ז"ה בלתי משותפים בכח ושני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו ממוצע והשטח אשר יקיפו בו גם כן ממוצע ושני המרובעים ההווים משניהם בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ד"כ נוסף על קו כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך ואין אחד משני קוי ד"כ כ"ז משותף באורך לקו ד"ה המדבר
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר יגבר על שני ממוצעים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות הששי
+
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
=== Proposition 68 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 63 ===
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סח</span> <big>כאשר</big>יקובצו שני שטחים אחד משניהם מדבר והאחר ממוצע הנה הקו אשר יגבר על שניהם הוא אחד מארבעה קוים בלתי מדברים אם שיהיה משתי שמות ואם אשר משני ממוצעים הראשון ואם היותר גדול ואם אשר יגבר על מדבר וממוצע
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שני שטחי אבג"ד כאשר יקובצו יהיה הקו אשר יגבר על שניהם אחד מהארבעה קוים אשר זכרנו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סג</span> <big>הקו</big> אשר ישתתף באורך לקו משתי שמות הנה הוא גם כן משתי שמות ומדרגתו כמדרגתו
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ז"ה מדבר ונחבר אליו שטח שוה לשטח א"ב והוא ה"ח ונחבר אל ט"ח שטח שוה לשטח ג"ד והוא ח"כ הנה מפני כי שטח א"ב מדבר יהיה ה"ח מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר משתי שמות א"ב ויחלק בשתי שמות על נקודת ג' ויהיה קו ד"ה משותף באורך לקו א"ב
+
|style="text-align:right;"|הנה כאשר יקובצו שני שטחים אחד משניהם מדבר והאחר ממוצע הנה הקו אשר יגבר על כל שניהם כאשר יקובצו הוא אחד מארבעה קוים בלתי מדברים אם שיהיה אשר משתי שמות ואם שיהיה אשר משני ממוצעים הראשון ואם שיהיה יותר גדול ואם שיהיה אשר יגבר על מדבר וממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה אחד משני קוי א"ג ג"ב משותף לקו המדבר הנה הוא לא היה אחד משני קוי ד"ז ז"ה משותף לקו המדבר
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ה הוא משתי שמות ומדרגתו כמדרגת קו א"ב
+
=== Proposition 69 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 64 ===
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סט</span> <big>כאשר</big> יקובצו שני שטחים ממוצעים בלתי משותפים הנה הקו אשר יגבר על שניהם אחד משני קוים בלתי מדברים אם שיהיה אשר משני ממוצעים השני ואם שיהיה אשר יגבר על שני ממוצעים
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סד</span> <big>הקו</big> אשר ישתתף קו משני ממוצעים באורך הוא גם כן משני ממוצעים ומדרגתו כמדרגתו
+
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר יגבר על שטח אבג"ד אם שיהיה אשר משני ממוצעים השני ואם שיהיה אשר יגבר על שני ממוצעים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר משני ממוצעים א"ב ויחלק בשני ממוצעים על נקודת ג' ויהיה קו ד"ה משותף לקו א"ב באורך
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי קו ד"ה הוא משני אמצעיים ומדרגתו כמדרגת קו א"ב
+
=== Definitions ===
 +
|style="text-align:right;"|<big>הקדמה</big>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה שטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב מדבר הנה השטח אשר יקיפו בו שני קוי ד"ז ז"ה גם כן מדבר
+
|style="text-align:right;"|הקו אשר משתי שמות ומה שאחריו מסוגי הקוים אשר אינם מדברים אין מהם קו ממוצע ואין בהם דבר מסוג הנשארים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה שטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ממוצע הנה השטח אשר יקיפו בו שני קוי ד"ז ז"ה גם כן ממוצע
+
|style="text-align:right;"|וזה כי המרובע ההווה מן הקו הממוצע כאשר חובר אל קו מדבר יחדש רוחב מדבר בכח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר משני ממוצעים ומדרגתו כמדרגת קו א"ב
+
|style="text-align:right;"|והרחבים אשר זכרנו הם מתחלפים אין מהם דבר מסוג חבירו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|והקוים אשר מרובעיהם יחדשו הרחבים ההם המתחלפים אין מהם דבר מסוג חבירו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 65 ===
+
=== Proposition 70 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|{{#annot:definition|2538,2358|9THR}}When an segment measurable in a square is subtracted from a straight line and the two lines are commensurable in square only, then the remaining straight line is unmeasurable; let it be called an apotome.
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סה</span> <big>הקו</big> אשר ישתתף הקו היותר גדול באורך הוא גם כן קו יותר גדול
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ע</span> <big>כאשר</big> הובדל מקו ישר מדבר בכח והיו השני קוים בכח לבד משותפים הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא הנבדל{{#annotend:9THR}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה היותר גדול א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג' הנה שני קוי א"ג ג"ב הם בכח בלתי משותפים ושני מרובעיהם כאשר יקובצו מדבר והשטח אשר יקיפו ממוצע
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו מדבר בכח והוא א"ג ונבדיל ממנו קו מדבר בכח והוא ב"ג ויהיה בכח לבד משותף לכל קו א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כל קו ד"ה בלתי מדבר והוא אשר יקרא היותר גדול
+
|style="text-align:right;"|וישאר המרובע ההווה מן א"ב בלתי משותף לשני המרובע ההווים משני קוי א"ג ג"ב ושני המרובעים ההווים משני קוי א"ג ג"ב מדברים אם כן המרובע ההוה מקו א"ב בלתי מדבר ויקרא הנבדל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 66 ===
+
 
 +
=== Proposition 71 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סו</span> <big>הקו</big> אשר ישתתף הקו אשר יגבר על מדבר וממוצע הוא גם כן יגבר על מדבר וממוצע
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עא</span> <big>כאשר</big> הובדל מממוצע ממוצע והיו בכח לבד משותפים והיה השטח אשר יקיפו בו מדבר הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא נבדל הממוצע הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר יגבר על מדבר וממוצע א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג' הנה שני קוי א"ג ג"ב שניהם בכח בלתי משותפים ושני מרובעיהם כאשר יקובצו ממוצע
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ממוצע והוא א"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונבאר כי כל אחד משני קוי א"ג ג"ב משותף לגילו משני קוי ד"ז ז"ה ושיחס המרובע ההוה מן א"ב אל המרובע ההוה מן ד"ה כיחס שני המרובעים ההווים משני קוי א"ג ג"ב אל שני המרובעים ההווים מן ד"ז ז"ה
+
|style="text-align:right;"|וישאר המרובע ההווה מן א"ב בלתי משותף לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אם כן המרובע ההווה מן א"ב בלתי מדבר הנה קו א"ב אם כן בלתי מדבר ויקרא נבדל הממוצע הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והמרובע ההווה מן א"ב משותף למרובע ההווה מן ד"ה
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני המרובעים ההווים מן א"ג ג"ב משותפים לשני המרובעים ההווים מן ד"ז ז"ה
+
=== Proposition 72 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן השטח אשר יקיפו בו ד"ז ז"ה מדבר
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עב</span> <big>כאשר</big> נבדל מממוצע ממוצע והיו בכח לבד משותפים והיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא נבדל הממוצע השני
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כל ד"ה בלתי מדבר והוא אשר יגבר על מדבר וממוצע
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ממוצע והוא א"ג ויובדל ממנו קו ממוצע והוא ג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ויחס א"ג אל ג"ב כיחס המרובע ההווה מן א"ג אל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 67 ===
+
|style="text-align:right;"|ואולם המרובע ההווה מן א"ג הנה הוא משותף לשני המרובעים ההווים מן א"ג ג"ב
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|והקו אשר יגבר על ד"ז הוא א"ב אם כן קו א"ב בלתי מדבר ויקרא נבדל הממוצע השני
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סז</span> <big>הקו</big> אשר ישתתף באורך הקו אשר יגבר על שני ממוצעים הוא גם כן יגבר על שני ממוצעים
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו אשר יגבר על שני ממוצעים א"ב ויחלק הקו אשר יגבר בשני חלקיו על נקודה ג'
+
=== Proposition 73 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ד"ז ז"ה בלתי משותפים בכח ושני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו ממוצע והשטח אשר יקיפו בו גם כן ממוצע ושני המרובעים ההווים משניהם בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עג</span> <big>כאשר</big> נבדל מקו ישר קו ישר והיו בכח בלתי משותפים והיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו מדבר והיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא היותר קטן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ד"ז הוא אשר יגבר על שני ממוצעים
+
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ג אם כן בלתי מדבר ויקרא היותר קטן
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלם ביאורו
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 68 ===
+
=== Proposition 74 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סח</span> <big>כאשר</big>יקובצו שני שטחים אחד משניהם מדבר והאחר ממוצע הנה הקו אשר יגבר על שניהם הוא אחד מארבעה קוים בלתי מדברים אם שיהיה משתי שמות ואם אשר משני ממוצעים הראשון ואם היותר גדול ואם אשר יגבר על מדבר וממוצע
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עד</span> <big>כאשר</big> נבדל מקו ישר קו ישר והיו בכח בלתי משותפים והיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו ממוצא והיה השטח אשר יקיפו בו מדבר הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא אשר עם המדבר יהיה הכל ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי שני שטחי אבג"ד כאשר יקובצו יהיה הקו אשר יגבר על שניהם אחד מהארבעה קוים אשר זכרנו
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו מה ישר והוא א"ב ונבדיל ממנו קו ב"ג ויהיו שני קוי א"ב ב"ג בכח בלתי משותפים ויהיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ז"ה מדבר ונחבר אליו שטח שוה לשטח א"ב והוא ה"ח ונחבר אל ט"ח שטח שוה לשטח ג"ד והוא ח"כ הנה מפני כי שטח א"ב מדבר יהיה ה"ח מדבר
+
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההווה מן א"ג בלתי מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כאשר יקובצו שני שטחים אחד משניהם מדבר והאחר ממוצע הנה הקו אשר יגבר על כל שניהם כאשר יקובצו הוא אחד מארבעה קוים בלתי מדברים אם שיהיה אשר משתי שמות ואם שיהיה אשר משני ממוצעים הראשון ואם שיהיה יותר גדול ואם שיהיה אשר יגבר על מדבר וממוצע
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר עם המדבר יהיה הכל ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,435: Line 16,695:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 69 ===
+
=== Proposition 75 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>סט</span> <big>כאשר</big> יקובצו שני שטחים ממוצעים בלתי משותפים הנה הקו אשר יגבר על שניהם אחד משני קוים בלתי מדברים אם שיהיה אשר משני ממוצעים השני ואם שיהיה אשר יגבר על שני ממוצעים
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עה</span> <big>כאשר</big> נבדל מקו ישר קו ישר והיו בכח בלתי משותפים והיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו ממוצע והיה השטח אשר יקיפו בו גם כן ממוצע והיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו גם כן הנה הנשאר בלתי מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר יגבר על שטח אבג"ד אם שיהיה אשר משני ממוצעים השני ואם שיהיה אשר יגבר על שני ממוצעים
+
|style="text-align:right;"|והקו אשר יגבר על ד"ז הוא א"ג אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר עם הממוצע יקרא הכל ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,448: Line 16,708:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Definitions ===
+
=== Proposition 76 ===
−
|style="text-align:right;"|<big>הקדמה</big>
+
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עו</span> <big>אמנם</big> ידבק בקו הנבדל קו אחד לבד מדבר בכח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הקו אשר משתי שמות ומה שאחריו מסוגי הקוים אשר אינם מדברים אין מהם קו ממוצע ואין בהם דבר מסוג הנשארים
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו א"ב נבדל וידבק בו קו על הדרך שספרנו והוא ב"ג הנה אומר שהוא לא ידבק בקו א"ב קו אחד מדבר בכח ישתתף הכל בכח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה כי המרובע ההווה מן הקו הממוצע כאשר חובר אל קו מדבר יחדש רוחב מדבר בכח
+
|style="text-align:right;"|וכאשר המירונו יהיה יתרון מה שבין שני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב ובין שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב שוה ליתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ובין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב ויתרון מה שבין שני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב ובין שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והרחבים אשר זכרנו הם מתחלפים אין מהם דבר מסוג חבירו
+
|style="text-align:right;"|מפני כי שניהם ממוצעים ולא יוסיף ממוצע על ממוצע מדבר אם כן הקו הנבדל אמנם ידבק בו קו אחד לבד מדבר בכח לבד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והקוים אשר מרובעיהם יחדשו הרחבים ההם המתחלפים אין מהם דבר מסוג חבירו
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 70 ===
+
=== Proposition 77 ===
 +
|
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עז</span> <big>אמנם</big> ידבק בנבדל הממוצע הראשון קו אחד לבד ממוצע ישתתף הכל בכח לבד ויקיף עם הכל במדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ע</span> <big>כאשר</big> הובדל מקו ישר מדבר בכח והיו השני קוים בכח לבד משותפים הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא הנבדל
+
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו א"ב נבדל הממוצע הראשון וידבק בו קו על הדרך שספרנו והוא ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו מדבר בכח והוא א"ג ונבדיל ממנו קו מדבר בכח והוא ב"ג ויהיה בכח לבד משותף לכל קו א"ג
+
|style="text-align:right;"|הנה אומר שהוא לא ידבק בו קו אחר ממוצע ישתתף הכל בכח לבד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וישאר המרובע ההווה מן א"ב בלתי משותף לשני המרובע ההווים משני קוי א"ג ג"ב ושני המרובעים ההווים משני קוי א"ג ג"ב מדברים אם כן המרובע ההוה מקו א"ב בלתי מדבר ויקרא הנבדל
+
|style="text-align:right;"|אם כן נבדל הממוצע הראשון אמנם ידבק בו קו אחד לבד ויקיף עמו במדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,480: Line 16,746:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 71 ===
+
=== Proposition 78===
 +
|
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עח</span> <big>אמנם</big> ידבק בנבדל הממוצע השני קו אחד לבד ממוצע ישתתף הכל בכח לבד ויקיף עם הכל בממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עא</span> <big>כאשר</big> הובדל מממוצע ממוצע והיו בכח לבד משותפים והיה השטח אשר יקיפו בו מדבר הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא נבדל הממוצע הראשון
+
|style="text-align:right;"|ויהיה קו א"ב נבדל הממוצע השני וידבק בו קו על הדרך שספרנו והוא ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ממוצע והוא א"ג
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב כאשר יקובצו בלתי משותפים לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אבל שני המרובעים ההווים משני קוי א"ג ג"ב הוא כמו שטח ז"כ וכפל השטח אשר יקיפו בו
 +
שני קוי א"ג ג"ב הוא כמו שטח כ"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וישאר המרובע ההווה מן א"ב בלתי משותף לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אם כן המרובע ההווה מן א"ב בלתי מדבר הנה קו א"ב אם כן בלתי מדבר ויקרא נבדל הממוצע הראשון
+
|style="text-align:right;"|הנה אמנם ידבק בנבדל הממוצע ישתתף הכל בכח לבד ויקיפו עם הכל בממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,496: Line 16,766:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 72 ===
+
=== Proposition 79 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עב</span> <big>כאשר</big> נבדל מממוצע ממוצע והיו בכח לבד משותפים והיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא נבדל הממוצע השני
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עט</span> <big>אמנם</big> ידבק בקו היותר קטן קו אחד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובעו עם מרובע הכל מדבר ויהיה השטח אשר יקיפו
 +
בו ממוצע ויהיה הקו היותר קטן א"ב וידבק בו קו ב"ג ויהיו שני קוי א"ג ב"ג בלתי משותפים בכח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו ממוצע והוא א"ג ויובדל ממנו קו ממוצע והוא ג"ב
+
|style="text-align:right;"|אם כן הקו היותר קטן אמנם ידבק בו קו אחד לבד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובעו עם מרובע הכל מדבר ויהיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויחס א"ג אל ג"ב כיחס המרובע ההווה מן א"ג אל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואולם המרובע ההווה מן א"ג הנה הוא משותף לשני המרובעים ההווים מן א"ג ג"ב
+
=== Proposition 80 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והקו אשר יגבר על ד"ז הוא א"ב אם כן קו א"ב בלתי מדבר ויקרא נבדל הממוצע השני
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פ</span> <big>אמנם</big> ידבק באשר עם המדבר ויהיה הכל ממוצע קו אחד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובע עם מרובע הכל ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ויהיה השטח אשר יקיפו בו מדבר ויהיה קו אשר עם המדבר יהיה הכל ממוצע והוא א"ב וידבק בו קו ב"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 73 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי א"ד ד"ב כאשר יקובצו ממוצע והשטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב מדבר הנה יתרון מה שבין שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב ושני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב שוה ליתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב וכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ויתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב וכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב מדבר
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עג</span> <big>כאשר</big> נבדל מקו ישר קו ישר והיו בכח בלתי משותפים והיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו מדבר והיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא היותר קטן
+
|style="text-align:right;"|הנה יתרון מה שבין שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב ושני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב מדבר וזה בלתי איפשר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה קו א"ג אם כן בלתי מדבר ויקרא היותר קטן
+
|style="text-align:right;"|מפני כי שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב כאשר יקובצו ממוצע וכן שני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב אם כן הקו אשר עם המדבר ישוב הכל ממוצע לא ידבק בו כי אם קו אחד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובעו עם מרובע הכל ממוצע ויהיה השטח אשר יקיף בו מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,531: Line 16,802:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 74 ===
+
=== Proposition 81 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עד</span> <big>כאשר</big> נבדל מקו ישר קו ישר והיו בכח בלתי משותפים והיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו ממוצא והיה השטח אשר יקיפו בו מדבר הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא אשר עם המדבר יהיה הכל ממוצע
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פא</span> <big>אמנם</big> ידבק בקו אשר עם הממוצע יהיה הכל ממוצע קו אחד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובעו עם מרובע הכל ממוצע ויהיה השטח אשר יקיפו בו לבד גם כן ממוצע ויהיו שני מרובעיהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו ויהיה קו עם הממוצע ישים הכל ממוצע והוא א"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו מה ישר והוא א"ב ונבדיל ממנו קו ב"ג ויהיו שני קוי א"ב ב"ג בכח בלתי משותפים ויהיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו ממוצע
+
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר עם הממוצע ישיב הכל ממוצע אמנם ידבק בו קו אחד לבד לא ישתתף עמו הכל בכח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן המרובע ההווה מן א"ג בלתי מדבר
+
|style="text-align:right;"|ויהיה מרובעו עם מרובע הכל ממוצע ויהיה השטח אשר יקיפו גם כן ממוצע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר עם המדבר יהיה הכל ממוצע
+
|style="text-align:right;"|ויהיו שני מרובעי שניהם כאשר יקובצו בלתי משותף לשטח אשר יקיפו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,550: Line 16,821:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 75 ===
+
=== Definitions ===
 +
|style="text-align:right;"|<big>הקדמה</big>
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>כאשר</big> הונח קו מדבר וקו נבדל ונדבק בקו הנבדל הקו אשר ממנו נבדל והיה הכל יוסיף בכח על אשר התחבר כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך והיה כל הקו משותף באורך לקו המדבר המונח יקרא הקו ההוא הנבדל הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עה</span> <big>כאשר</big> נבדל מקו ישר קו ישר והיו בכח בלתי משותפים והיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו ממוצע והיה השטח אשר יקיפו בו גם כן ממוצע והיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו גם כן הנה הנשאר בלתי מדבר
+
|style="text-align:right;"|ואם היה אשר ישתתף הקו המדבר המונח הוא הקו אשר חובר אליו הנה יקרא הקו הנבדל אשר זכרנו הנבדל השני
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והקו אשר יגבר על ד"ז הוא א"ג אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר עם הממוצע יקרא הכל ממוצע
+
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה אחד משניהם משותף לקו המדבר המונח הנה יקרא הנבדל השלישי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה הקו הנבדל עם אשר התחבר בו אם היו כל שניהם יוסיפו בכח על הקו המובא כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך והיה הכל משותף לקו מדבר הנה יקרא הקו ההוא הנבדל הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 76 ===
+
|style="text-align:right;"|ואם היה אשר ישתתף עמו הקו המדבר הוא אשר יובא הנה יקרא הקו ההוא הנבדל החמשי
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|ואם לא היה אחד משניהם משותף לקו המדבר הנה יקרא הקו ההוא הנבדל הששי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עו</span> <big>אמנם</big> ידבק בקו הנבדל קו אחד לבד מדבר בכח
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו א"ב נבדל וידבק בו קו על הדרך שספרנו והוא ב"ג הנה אומר שהוא לא ידבק בקו א"ב קו אחד מדבר בכח ישתתף הכל בכח
+
=== Proposition 82 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכאשר המירונו יהיה יתרון מה שבין שני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב ובין שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב שוה ליתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ובין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב ויתרון מה שבין שני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב ובין שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב מדבר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|מפני כי שניהם ממוצעים ולא יוסיף ממוצע על ממוצע מדבר אם כן הקו הנבדל אמנם ידבק בו קו אחד לבד מדבר בכח לבד
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פב</span> <big>נרצה</big> שנמצא הנבדל הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ונשים קו ב"ח משותף לקו א' באורך ויהיה קו ב"ח אם כן מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ד"ה ה"ז ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם אשר הוא ז"ד מספר מרובע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 77 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ח יוסיף על קו ג"ח בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וכל קו ב"ח משותף לקו המדבר המונח באורך והוא א'
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עז</span> <big>אמנם</big> ידבק בנבדל הממוצע הראשון קו אחד לבד ממוצע ישתתף הכל בכח לבד ויקיף עם הכל במדבר
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ג הוא הנבדל הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה הקו א"ב נבדל הממוצע הראשון וידבק בו קו על הדרך שספרנו והוא ב"ג
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אומר שהוא לא ידבק בו קו אחר ממוצע ישתתף הכל בכח לבד
+
=== Proposition 83 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן נבדל הממוצע הראשון אמנם ידבק בו קו אחד לבד ויקיף עמו במדבר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פג</span> <big>נרצה</big> שנמצא הנבדל השני
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|נניח קו מדבר והוא א' ונשים קו ג"ח משותף אליו ויהיה קו ג"ח אם כן מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ד"ה ה"ז ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם אשר הוא ד"ז מספר מרובע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 78===
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ח יוסיף על קו ג"ח בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|וקו ג"ח אשר הובדל מקו ב"ח משותף לקו מדבר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עח</span> <big>אמנם</big> ידבק בנבדל הממוצע השני קו אחד לבד ממוצע ישתתף הכל בכח לבד ויקיף עם הכל בממוצע
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ג הוא הנבדל השני
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה קו א"ב נבדל הממוצע השני וידבק בו קו על הדרך שספרנו והוא ב"ג
+
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב כאשר יקובצו בלתי משותפים לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אבל שני המרובעים ההווים משני קוי א"ג ג"ב הוא כמו שטח ז"כ וכפל השטח אשר יקיפו בו
+
=== Proposition 84 ===
−
שני קוי א"ג ג"ב הוא כמו שטח כ"ט
+
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה אמנם ידבק בנבדל הממוצע ישתתף הכל בכח לבד ויקיפו עם הכל בממוצע
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פד</span> <big>נרצה</big> שנמצא הנבדל השלישי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ונניח קו מדבר והוא א' ויהיו שלשה מספרים עליהם ה' ב"ג ג"ד ולא יתהוה מהם דבר יחסו אל חבירו כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע ויהיה יחס השני מספרי ב"ג ב"ד כל אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 79 ===
+
|style="text-align:right;"|ואומר כי הוא השלישי מן הנבדלים
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|וזה כי יחס ה' אל ב"ג כיחס המרובע ההווה מן א' אל המרובע ההווה מן ז"ח ויחס ב"ג אל ג"ד כיחס המרובע ההווה מן ז"ח אל המרובע ההווה מן ח"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>עט</span> <big>אמנם</big> ידבק בקו היותר קטן קו אחד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובעו עם מרובע הכל מדבר ויהיה השטח אשר יקיפו
+
|style="text-align:right;"|ואין אחד משני קוי ז"ח ח"ט משותף לקו א' המדבר באורך
−
בו ממוצע ויהיה הקו היותר קטן א"ב וידבק בו קו ב"ג ויהיו שני קוי א"ג ב"ג בלתי משותפים בכח
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הקו היותר קטן אמנם ידבק בו קו אחד לבד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובעו עם מרובע הכל מדבר ויהיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"ט הוא הנבדל השלישי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,635: Line 16,912:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 80 ===
+
=== Proposition 85 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פ</span> <big>אמנם</big> ידבק באשר עם המדבר ויהיה הכל ממוצע קו אחד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובע עם מרובע הכל ממוצע
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פה</span> <big>נרצה</big> שנמצא הנבדל הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה השטח אשר יקיפו בו מדבר ויהיה קו אשר עם המדבר יהיה הכל ממוצע והוא א"ב וידבק בו קו ב"ג
+
|style="text-align:right;"|ונניח קו מדבר והוא א' ונשים קו ב"ח משותף אליו באורך ויהיה קו ב"ח גם כן מדבר ונניח שני מספרים עליהם ד"ה ז"ה ולא יהיה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי א"ד ד"ב כאשר יקובצו ממוצע והשטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב מדבר הנה יתרון מה שבין שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב ושני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב שוה ליתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב וכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ויתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב וכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב מדבר
+
|style="text-align:right;"|וכל קו ב"ח משותף לקו א' המדבר המונח באורך אם כן ב"ג הוא הנבדל הרביעי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה יתרון מה שבין שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב ושני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב מדבר וזה בלתי איפשר
+
|style="text-align:right;"|הנה כבר מצאנו הנבדל הרביעי
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|מפני כי שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב כאשר יקובצו ממוצע וכן שני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב אם כן הקו אשר עם המדבר ישוב הכל ממוצע לא ידבק בו כי אם קו אחד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובעו עם מרובע הכל ממוצע ויהיה השטח אשר יקיף בו מדבר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,657: Line 16,931:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 81 ===
+
=== Proposition 86 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פא</span> <big>אמנם</big> ידבק בקו אשר עם הממוצע יהיה הכל ממוצע קו אחד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובעו עם מרובע הכל ממוצע ויהיה השטח אשר יקיפו בו לבד גם כן ממוצע ויהיו שני מרובעיהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו ויהיה קו עם הממוצע ישים הכל ממוצע והוא א"ב
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פו</span> <big>נרצה</big> שנמצא הנבדל החמישי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן הקו אשר עם הממוצע ישיב הכל ממוצע אמנם ידבק בו קו אחד לבד לא ישתתף עמו הכל בכח
+
|style="text-align:right;"|ונניח קו מדבר והוא א' ונשים קו ג"ח משותף לקו א' באורך ויהיה קו ג"ח מדבר ונניח שני מספרים עליהם ד"ה ה"ז כמו השני מספרים אשר זכרנו בתמונות אשר קודם זאת ונשים יחס המרובע ההווה מג"ח אל המרובע ההווה מכ"ח כיחס ה"ז אל ד"ה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה מרובעו עם מרובע הכל ממוצע ויהיה השטח אשר יקיפו גם כן ממוצע
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ח יוסיף על קו ח"ג בב"ח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך וקו ג"ח אשר הובדל מקו ב"ג ישתתף א' המדבר באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיו שני מרובעי שניהם כאשר יקובצו בלתי משותף לשטח אשר יקיפו
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ג הוא הנבדל החמשי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,676: Line 16,950:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Definitions ===
+
=== Proposition 87 ===
−
|style="text-align:right;"|<big>הקדמה</big>
+
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>כאשר</big> הונח קו מדבר וקו נבדל ונדבק בקו הנבדל הקו אשר ממנו נבדל והיה הכל יוסיף בכח על אשר התחבר כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך והיה כל הקו משותף באורך לקו המדבר המונח יקרא הקו ההוא הנבדל הראשון
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פז</span> <big>נרצה</big> שנמצא הנבדל הששי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה אשר ישתתף הקו המדבר המונח הוא הקו אשר חובר אליו הנה יקרא הקו הנבדל אשר זכרנו הנבדל השני
+
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיו שלשה מספרים עליהם ה' ב"ג ג"ד ולא
 +
יהיה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע ולא יהיה גם כן יחס ב"ג אל ב"ד כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם לא יהיה אחד משניהם משותף לקו המדבר המונח הנה יקרא הנבדל השלישי
+
|style="text-align:right;"|ואומר שהוא הששי מהנבדלים וזה כי יחס ה' אל ב"ג כיחס המרובע ההווה מא' אל המרובע ההווה מז"ח ויחס ב"ג אל ג"ד כיחס המרובע ההוה מז"ח אל המרובע ההווה מח"ט וביחס ההשואה יהיה יחס ה' אל ג"ד כיחס המרובע ההווה מא' אל המרובע ההווה מח"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וגם כן הנה הקו הנבדל עם אשר התחבר בו אם היו כל שניהם יוסיפו בכח על הקו המובא כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך והיה הכל משותף לקו מדבר הנה יקרא הקו ההוא הנבדל הרביעי
+
|style="text-align:right;"|ואין אחד משני קוי ז"ח ח"ט משותף לקו א' המדבר המונח באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואם היה אשר ישתתף עמו הקו המדבר הוא אשר יובא הנה יקרא הקו ההוא הנבדל החמשי
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"ט הוא הנבדל הששי
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|ואם לא היה אחד משניהם משותף לקו המדבר הנה יקרא הקו ההוא הנבדל הששי
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 10,701: Line 16,973:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 82 ===
+
=== Proposition 88 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פב</span> <big>נרצה</big> שנמצא הנבדל הראשון
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פח</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר והנבדל הראשון הנה הקו אשר יגבר על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא הנבדל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ונשים קו ב"ח משותף לקו א' באורך ויהיה קו ב"ח אם כן מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ד"ה ה"ז ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם אשר הוא ז"ד מספר מרובע
+
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח עליו א"ח יקיף בו קו מדבר והוא א"ב והקו הנבדל הראשון
 +
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ח יוסיף על קו ג"ח בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וכל קו ב"ח משותף לקו המדבר המונח באורך והוא א'
+
|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ג"ט מתייחס לשני שטחי א"ב ב"ג במה שבין שניהם ושטח ע"ד מתייחס לשני שטחי ע"ק נ"ס במה שבין שניהם
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ג הוא הנבדל הראשון
+
|style="text-align:right;"|ושטח א"כ שוה לשטח מ"ס ושטח כ"ג שוה לשטח נ"ס אם כן שטח ג"ט שוה לשטח ע"ד אבל שטח ג"ט שוה לשטח ט"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו
+
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"ס בלתי משותף לקו ס"פ באורך
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 83 ===
+
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ע"ס ס"פ בכח מדברים ושניהם בו לבד משותפים
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"פ נבדל והוא נגבר על שטח א"ח אם כן הקו אשר יגבר על א"ח
 +
בלתי מדבר והוא אשר יקרא הנבדל וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פג</span> <big>נרצה</big> שנמצא הנבדל השני
+
=== Proposition 89 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|נניח קו מדבר והוא א' ונשים קו ג"ח משותף אליו ויהיה קו ג"ח אם כן מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ד"ה ה"ז ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם אשר הוא ד"ז מספר מרובע
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פט</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר והנבדל השני הנה הקו אשר יגבר על השטח ההוא הוא אשר יקרא נבדל הממוצע הראשון
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ח יוסיף על קו ג"ח בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
+
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח עליו א"ח יקיף בו קו מדבר והוא א"ב
 +
 
 +
מתיחס לשני שטחי א"ב ב"ג במה שבין שניהם . ושטח ע"ד גם כן מתיחס לשני שטחי
 +
 
 +
ע"ק פ"ד במה שבין שניהם . ושטח א"ב שוה לשטח ע"ק . ושטח ב"ג שוה לשטח פ"ד . אם כן
 +
 
 +
משותפים . והשטח אשר יקיפו בו מדבר . אם כן קו ע"פ הוא נבדל הממוצע הראשון .
 +
והוא  יגבר על
 +
|}
 +
{|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וקו ג"ח אשר הובדל מקו ב"ח משותף לקו מדבר
+
 
 +
== Book Eleven ==
 +
|style="text-align:right;"|<big>המאמר האחד עשר מספר אקלידס החכם</big>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ג הוא הנבדל השני
+
*A solid is that which has length, breadth, and depth, and everything that has a body.
 +
|style="text-align:right;"|<big>התמונה</big> המוגשמת היא אשר לה אורך ורוחב וגובה וכל מה שיש לו גוף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזהו מה שרצינו לבאר
+
:The limits of a solid are a surface.
 +
|style="text-align:right;"|וקצוות המוגשם פשוט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 84 ===
+
*When a straight line stands on a plane and straight lines are drawn in that plane that meet the straight line so that every angle contained by one of those lines and the line is a right angle, the straight line is perpendicular to the plane.
−
|
+
|style="text-align:right;"|וכאשר עמד קו ישר על שטח והוציאו בשטח ההוא קוים ישרים ימששו הקו הנצב והיתה כל זוית יקיף בה קו מאותם הקוים עם הקו הנצב נצבת הנה הקו הנצב ההוא עמוד על השטח
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פד</span> <big>נרצה</big> שנמצא הנבדל השלישי
+
|style="text-align:right;"|<big>כאשר</big> עמד שטח על שטח והיו כל שני עמודים יצאו מן הקו אשר הוא הפרק המשותף מנקודה אחת ממנו אל כל שני השטחים יקיפו בזוית נצבת הנה שני השטחים יקיפו בזוית נצבת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונניח קו מדבר והוא א' ויהיו שלשה מספרים עליהם ה' ב"ג ג"ד ולא יתהוה מהם דבר יחסו אל חבירו כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע ויהיה יחס השני מספרי ב"ג ב"ד כל אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
+
|style="text-align:right;"|<big>השטחים</big> הנכחיים הם אשר לא ימשש שטח מהם האחר ואפילו הוציאו לכל הצדדים עד לאין תכלית
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואומר כי הוא השלישי מן הנבדלים
+
*{{#annot:solids-definition|1247,2531|68bD}}The equal similar solid shapes are those that each solid of which is contained by the same number of surfaces as the number of the surfaces containing the other, and each surface is similar and equal in measure to its corresponding surface in the other solid.
 +
|style="text-align:right;"|<big>התמונות</big> המוגשמות השוות הדומות הם אשר יקיפו בכל מוגשם מהם ממנין השטחים כמו מנין מה שיקיפו באחר ויהיה כל שטח מאחד מהם דומה ושוה השיעור לשטח אשר הוא גילו מן המוגשם האחר ועל בריאתו{{#annotend:68bD}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה כי יחס ה' אל ב"ג כיחס המרובע ההווה מן א' אל המרובע ההווה מן ז"ח ויחס ב"ג אל ג"ד כיחס המרובע ההווה מן ז"ח אל המרובע ההווה מן ח"ט
+
*{{#annot:solids-definition|1397,2532|oKi8}}The similar solid shapes are those that each solid of which is contained by the same number of surfaces as the number of the surfaces containing the other, and each surface is similar to its corresponding surface in the other solid.
 +
|style="text-align:right;"|<big>התמונות</big> המוגשמות הדומות הם אשר יקיף כל מוגשם מהם ממנין השטחים כמו מנין מה שיקיף באחר ויהיה כל שטח מאחד מהם דומה בשטח אשר הוא גילו מן המוגשם האחר ועל בריאתו{{#annotend:oKi8}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואין אחד משני קוי ז"ח ח"ט משותף לקו א' המדבר באורך
+
*{{#annot:triangular-definition|2111,1100|Dfy8}}A prism is a solid figure contained by three rectangles and two triangles.
 +
|style="text-align:right;"|<big>התמונה</big> המוגשמת המגוררת היא אשר יקיפו בה שלשה שטחים נכחיי הצלעות ושני שטחים משולשים{{#annotend:Dfy8}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"ט הוא הנבדל השלישי
+
*{{#annot:definition|1892,1098|sI0K}}The sphere is when the semicircle is drawn round with the diameter fixed in two points, so it does not move, and the arc, which is half the perimeter, revolves until it returns to its position; it is the circular solid. The center of the sphare and the center of the circle are the same.
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_XI_def_sphere"></div><big>הכדור</big> הוא מה שיעבור חצי עגולה כאשר יקוים קו הקוטר בין שני כשורים עד שלא יסור וסבבה הקשת אשר היא חצי הקו המקיף עד שתשוב אל מקומה והוא המוגשם העגול ומרכז הכדור ומרכז העגולה אחד{{#annotend:sI0K}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|<big>התמונה</big> המוגשמת המחודדת היא אשר יקיפו בה שטחים יעלו משטח אחד אל נקודה אחת מקבילה אותו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 85 ===
+
|style="text-align:right;"|<big>התמונה</big> המוגשמת העגולה היא אשר שני תושבותיה שני שטחים ושניהם שתי עגולות
−
|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פה</span> <big>נרצה</big> שנמצא הנבדל הרביעי
+
|style="text-align:right;"|<big>השוה</big> שתי קצוות והעובי הוא מה שיעבור שטח שוה הצלעות נצב הזויות כאשר יקוים אחת מצלעותיו המקיפות בזוית נצבת בין שני פלכים עד שלא יסור ויעוגל השטח עד שישוב אל מקומו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונניח קו מדבר והוא א' ונשים קו ב"ח משותף אליו באורך ויהיה קו ב"ח גם כן מדבר ונניח שני מספרים עליהם ד"ה ז"ה ולא יהיה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
+
|style="text-align:right;"|<big>וחץ</big> התמונה הוא הצלע הקים ונקראת התמונה הזאת האסטונה העגולה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וכל קו ב"ח משותף לקו א' המדבר המונח באורך אם כן ב"ג הוא הנבדל הרביעי
+
|style="text-align:right;"|<big>התמונה</big> המוגשמת המחודדת העגולה היא מה שיעבור משולש נצב הזויות כאשר יקוים אחת מצלעותיו המקיפות בזוית הנצבת בין שני כישורים עד שלא יסור ויסובב המשולש עד שישוב אל מקומו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> היה הצלע הקים שוה לצלע האחר הנה התמונה נצבת הזויות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה כבר מצאנו הנבדל הרביעי
+
|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> היה יותר ארוך ממנו הנה היא חדה הזוית
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|<big>וכאשר</big> היה יותר קצר ממנו הנה היא נרחבת הזוית
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 86 ===
+
|style="text-align:right;"|<big>וחץ</big> התמונה היא הצלע הקים ותושבתה היא עגולה וזאת התמונה היא מחודדת האסטונה העגולה
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>הזוית</big> המוגשמת היא אשר יקיפו אותה זויות משוטחות יותר משתי זויות ואינם על שטח אחד ויתקבצו בנקודה אחת
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פו</span> <big>נרצה</big> שנמצא הנבדל החמישי
+
|style="text-align:right;"|<big>התמונות</big> המוגשמות העגולות השוות שתי הקצוות והעובי והמחודדים העגולים הדומים הם אשר יהיה יחס חץ כל תמונה מהם אל קוטר תושבתה כיחס חץ התמונה האחרת אל קוטר תושבתה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונניח קו מדבר והוא א' ונשים קו ג"ח משותף לקו א' באורך ויהיה קו ג"ח מדבר ונניח שני מספרים עליהם ד"ה ה"ז כמו השני מספרים אשר זכרנו בתמונות אשר קודם זאת ונשים יחס המרובע ההווה מג"ח אל המרובע ההווה מכ"ח כיחס ה"ז אל ד"ה
+
=== Proposition 1 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ח יוסיף על קו ח"ג בב"ח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך וקו ג"ח אשר הובדל מקו ב"ג ישתתף א' המדבר באורך
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>הקו</big> הישר לא יהיה חלק ממנו בשטח וחלק בגובה
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ב"ג הוא הנבדל החמשי
+
|style="text-align:right;"|<big>מופתו</big> שאי איפשר ונבאר זה במשל הנה אם היה איפשר נאמר שיהיה חלק מקו אב"ג והוא א"ב בשטח וחלק אחר והוא ב"ג והוא בגובה ונוציא מקו א"ב קו בשטח והוא ב"ד הנה אב"ג הוא קו ישר אם כן א"ב דבק ב"ג ובקו ב"ד על יושר זה שקר <span style=color:red>מפתי' א'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|אם כן לא יהיה חלק מקו ישר בשטח וחלק בגובה וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 87 ===
+
 
 +
=== Proposition 2 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פז</span> <big>נרצה</big> שנמצא הנבדל הששי
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> <big>כל שני</big> קוים ישרים יחתכו הנה שניהם בשטח אחד וכל משולש הנה הוא בשטח אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיו שלשה מספרים עליהם ה' ב"ג ג"ד ולא
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי שני קוי א"ב ג"ד יחתכו על נקודת ה' הנה אומר כי א"ב ג"ד בשטח אחד ונרשום על שני קוי ד"ה ה"ב שתי נקודות ז"ח ונוציא קו ז"ח הנה אומר כי משולש זה"ח הוא בשטח אחד
−
יהיה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע ולא יהיה גם כן יחס ב"ג אל ב"ד כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואומר שהוא הששי מהנבדלים וזה כי יחס ה' אל ב"ג כיחס המרובע ההווה מא' אל המרובע ההווה מז"ח ויחס ב"ג אל ג"ד כיחס המרובע ההוה מז"ח אל המרובע ההווה מח"ט וביחס ההשואה יהיה יחס ה' אל ג"ד כיחס המרובע ההווה מא' אל המרובע ההווה מח"ט
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי הוא אי איפשר זולתו ונבאר זה כי אם היה איפשר זה הנה היה חלק ממשולש זה"ח בשטח וחלק בגובה אם כן שני חלקים משני קוי ז"ה ה"ח בשטח ושני חלקים בגובה זה שקר <span style=color:red>מא'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ואין אחד משני קוי ז"ח ח"ט משותף לקו א' המדבר המונח באורך
+
|style="text-align:right;"|אם כן משולש זה"ח הוא בשטח אחד והשטח אשר בו משולש זה"ח בו שני קוי ז"ה ה"ח ובו שני קוי א"ב ג"ד אם כן שני קוי א"ב ג"ד בשטח אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ז"ט הוא הנבדל הששי
+
|style="text-align:right;"|אם כן כל שני קוים ישרים יחתכו הנה שניהם בשטח אחד וכל משולש הנה הוא בשטח אחד וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
+
 
 +
=== Proposition 3 ===
 +
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 88 ===
+
|style="text-align:right;"|ג <big>כל שני</big> שטחים יחתכו הנה פרק שניהם המשותף הוא קו אחד ישר
 +
|-
 
|
 
|
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי שני שטחי א"ב ג"ד ה"ז ח"ט יחתכו ופרקם משותף הוא כ"ל הנה אומ' כי כ"ל קו אחד ישר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פח</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר והנבדל הראשון הנה הקו אשר יגבר על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא הנבדל
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> שהוא אי איפשר שיהיה יותר מקו ונבאר זה שאם היה איפשר הנה נוציא מן ל' אל כ' קו בשטח א"ב ג"ד והוא כמ"ל ונוציא מכ' אל ל' קו בשטח ה"ז ח"ט והוא כנ"ל אם כן כמ"ל קו ישר וכנ"ל קו ישר מתחברים אם כן שני קוי כמ"ל כנ"ל ישרים מתקרבים יפגשו קצוות שניהם בכל שתי הצדדים זה שקר אם כן כ"ל הוא קו אחד ישר וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח עליו א"ח יקיף בו קו מדבר והוא א"ב והקו הנבדל הראשון
 
  
 +
=== Proposition 4 ===
 +
|
 
|-
 
|-
−
|
+
|When a perpendicular line stands at the intersection point of two intersecting lines, then it is also perpendicular to the plane passing through them.
−
|style="text-align:right;"|ולכן יהיה שטח ג"ט מתייחס לשני שטחי א"ב ב"ג במה שבין שניהם ושטח ע"ד מתייחס לשני שטחי ע"ק נ"ס במה שבין שניהם
+
|style="text-align:right;"|ד <big>כאשר</big> עמד עמוד על פרק שני קוים ישרים יחתכו הנה הוא עמוד על שטח שניהם
 +
|-
 +
|Example: line AB is perpendicular stands at the common intersection point of two lines GD and HZ.
 +
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי קו א"ב עמוד נצב על פרק שני קוי ג"ד ה"ז המשותף
 +
|-
 +
|Supposition: I say that line AB is perpendicular to plane GD.
 +
|style="text-align:right;"|הנה אומר כי קו א"ב עמוד נצב על שטח ג"ד
 +
|-
 +
|Proof:
 +
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ושטח א"כ שוה לשטח מ"ס ושטח כ"ג שוה לשטח נ"ס אם כן שטח ג"ט שוה לשטח ע"ד אבל שטח ג"ט שוה לשטח ט"ז
+
*<math>\scriptstyle BH=BZ=DB=BG</math>
 +
|style="text-align:right;"|שיהיו קוי ב"ה ב"ז ד"ב ב"ג הנחלקים שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"ס בלתי משותף לקו ס"פ באורך
+
*We draw two lines HG and DZ.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי ה"ג ד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ע"ס ס"פ בכח מדברים ושניהם בו לבד משותפים
+
*We draw line TK from K on plane GDHZ.
 +
|style="text-align:right;"|ונוציא מן כ' קו בשטח ג"ד ה"ז והוא ט"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן קו ע"פ נבדל והוא נגבר על שטח א"ח אם כן הקו אשר יגבר על א"ח
+
*We place point C on AB.
−
בלתי מדבר והוא אשר יקרא הנבדל וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|ונרשום על א"ב נקודת ח'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 89 ===
+
*We draw lines HC, DC, CZ, CG, CK and CT.
−
|
+
|style="text-align:right;"|ונוציא קוים ה"ח ד"ח ח"ז ח"ג ח"כ ח"ט
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>פט</span> <big>כאשר</big> הקיף בשטח קו מדבר והנבדל השני הנה הקו אשר יגבר על השטח ההוא הוא אשר יקרא נבדל הממוצע הראשון
+
:*<math>\scriptstyle CK=BZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|הנה צלע ה"ב כמו ב"ז
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle GB=BD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וג"ב כמו ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ויהיה שטח עליו א"ח יקיף בו קו מדבר והוא א"ב
+
:<span style=color:red>I.4, 15, 27:</span> <math>\scriptstyle HG\parallel DZ\;HG=DZ</math>
−
 
+
|style="text-align:right;"|אם כן ה"ג ד"ז נכחיים ושוים <span style=color:red>מט"ו וד' וכ"ז מא&#x202B;'</span>
−
מתיחס לשני שטחי א"ב ב"ג במה שבין שניהם . ושטח ע"ד גם כן מתיחס לשני שטחי
 
−
 
 
−
ע"ק פ"ד במה שבין שניהם . ושטח א"ב שוה לשטח ע"ק . ושטח ב"ג שוה לשטח פ"ד . אם כן
 
−
 
 
−
משותפים . והשטח אשר יקיפו בו מדבר . אם כן קו ע"פ הוא נבדל הממוצע הראשון .
 
−
והוא  יגבר על
 
−
|}
 
−
{|
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
:*<math>\scriptstyle GB=BD</math>
−
== Book Eleven ==
+
|style="text-align:right;"|וג"ב כמו ב"ד
−
|style="text-align:right;"|<big>המאמר האחד עשר מספר אקלידס החכם</big>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*A solid is that which has length, breadth, and depth, and everything that has a body.
+
:*<math>\scriptstyle BC\perp GD</math>
−
|style="text-align:right;"|<big>התמונה</big> המוגשמת היא אשר לה אורך ורוחב וגובה וכל מה שיש לו גוף
+
|style="text-align:right;"|וב"ח עמוד על ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:The limits of a solid are a surface.
+
*<span style=color:red>I.4:</span> <math>\scriptstyle CG=CD</math>
−
|style="text-align:right;"|וקצוות המוגשם פשוט
+
|style="text-align:right;"|אם כן ח"ג כמו ח"ד <span style=color:red>מד' מא&#x202B;'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
*When a straight line stands on a plane and straight lines are drawn in that plane that meet the straight line so that every angle contained by one of those lines and the line is a right angle, the straight line is perpendicular to the plane.
+
:*<math>\scriptstyle HB=BZ</math>
−
|style="text-align:right;"|וכאשר עמד קו ישר על שטח והוציאו בשטח ההוא קוים ישרים ימששו הקו הנצב והיתה כל זוית יקיף בה קו מאותם הקוים עם הקו הנצב נצבת הנה הקו הנצב ההוא עמוד על השטח
+
|style="text-align:right;"|וגם כן ה"ב כמו ב"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>כאשר</big> עמד שטח על שטח והיו כל שני עמודים יצאו מן הקו אשר הוא הפרק המשותף מנקודה אחת ממנו אל כל שני השטחים יקיפו בזוית נצבת הנה שני השטחים יקיפו בזוית נצבת
+
:*<math>\scriptstyle BC\perp HZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וב"ח עמוד על ה"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>השטחים</big> הנכחיים הם אשר לא ימשש שטח מהם האחר ואפילו הוציאו לכל הצדדים עד לאין תכלית
+
*<span style=color:red>I.4:</span> <math>\scriptstyle HC=CZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ה"ח כמו ח"ז <span style=color:red>מד' מא&#x202B;'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>התמונות</big> המוגשמות השוות הדומות הם אשר יקיפו בכל מוגשם מהם ממנין השטחים כמו מנין מה שיקיפו באחר ויהיה כל שטח מאחד מהם דומה ושוה השיעור לשטח אשר הוא גילו מן המוגשם האחר ועל בריאתו
+
:*<math>\scriptstyle GC=CD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן צלע ג"ח כמו ח"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>התמונות</big> המוגשמות הדומות הם אשר יקיף כל מוגשם מהם ממנין השטחים כמו מנין מה שיקיף באחר ויהיה כל שטח מאחד מהם דומה בשטח אשר הוא גילו מן המוגשם האחר ועל בריאתו
+
:*<math>\scriptstyle HG=DZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וה"ג כמו ד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>התמונה</big> המוגשמת המגוררת היא אשר יקיפו בה שלשה שטחים נכחיי הצלעות ושני שטחים משולשים
+
*CG and GH are equal to CD and DZ
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ח"ג ג"ה שוים לשני קוי ח"ד ד"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הכדור</big> הוא מה שיעבור חצי עגולה כאשר יקוים קו הקוטר בין שני כשורים עד שלא יסור וסבבה הקשת אשר היא חצי הקו המקיף עד שתשוב אל מקומה והוא המוגשם העגול ומרכז הכדור ומרכז העגולה אחד
+
:*<math>\scriptstyle HC=CZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותושבת ה"ח כמו תושבת ח"ז
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>התמונה</big> המוגשמת המחודדת היא אשר יקיפו בה שטחים יעלו משטח אחד אל נקודה אחת מקבילה אותו
+
*<span style=color:red>I.8:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle CGH=\measuredangle HDZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית חג"ה כמו זוית הד"ז <span style=color:red>מח' מא&#x202B;'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>התמונה</big> המוגשמת העגולה היא אשר שני תושבותיה שני שטחים ושניהם שתי עגולות
+
|style="text-align:right;"|וקו ט"ג ד"ב נכחיים וכבר הוצאו אל שניהם ט"כ ג"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>השוה</big> שתי קצוות והעובי הוא מה שיעבור שטח שוה הצלעות נצב הזויות כאשר יקוים אחת מצלעותיו המקיפות בזוית נצבת בין שני פלכים עד שלא יסור ויעוגל השטח עד שישוב אל מקומו
+
*<span style=color:red>I.29:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle GTB=\measuredangle KBD</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן זוית גט"ב שוה לזוית כב"ד <span style=color:red>מכ"ט מא&#x202B;'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>וחץ</big> התמונה הוא הצלע הקים ונקראת התמונה הזאת האסטונה העגולה
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle BGT=\measuredangle BDK</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית בג"ט שוה לזוית בד"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>התמונה</big> המוגשמת המחודדת העגולה היא מה שיעבור משולש נצב הזויות כאשר יקוים אחת מצלעותיו המקיפות בזוית הנצבת בין שני כישורים עד שלא יסור ויסובב המשולש עד שישוב אל מקומו
+
:*<math>\scriptstyle GB=BD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וג"ב כמו ב"ד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> היה הצלע הקים שוה לצלע האחר הנה התמונה נצבת הזויות
+
*<span style=color:red>I.26:</span> <math>\scriptstyle TG=DK</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן ט"ג כמו ד"כ <span style=color:red>מכ"ו מא&#x202B;'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> היה יותר ארוך ממנו הנה היא חדה הזוית
+
*CG and GT are equal to CD and DK
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ח"ג ג"ט שוים לשני קוי ח"ד ד"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>וכאשר</big> היה יותר קצר ממנו הנה היא נרחבת הזוית
+
:*<math>\scriptstyle\measuredangle CGT=\measuredangle CDK</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית חג"ט שוה לזוית חד"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>וחץ</big> התמונה היא הצלע הקים ותושבתה היא עגולה וזאת התמונה היא מחודדת האסטונה העגולה
+
*<span style=color:red>I.4:</span> <math>\scriptstyle TC=CK</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן תושבת ט"ח כמו תושבת ח"כ <span style=color:red>מד' מא&#x202B;'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>הזוית</big> המוגשמת היא אשר יקיפו אותה זויות משוטחות יותר משתי זויות ואינם על שטח אחד ויתקבצו בנקודה אחת
+
:*<math>\scriptstyle TK=BK</math>
 +
|style="text-align:right;"|וצלע ט"כ כמו צלע ב"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>התמונות</big> המוגשמות העגולות השוות שתי הקצוות והעובי והמחודדים העגולים הדומים הם אשר יהיה יחס חץ כל תמונה מהם אל קוטר תושבתה כיחס חץ התמונה האחרת אל קוטר תושבתה
+
|style="text-align:right;"|וכ"ח משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
=== Proposition 1 ===
+
*TB and BC are equal to KB and KC
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שני קוי ט"ב ב"ח יהיו שוים כ"ב כ"ח
 +
|-
 
|
 
|
 +
:*<math>\scriptstyle TC=CK</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותושבת ט"ח כמו תושבת ח"כ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>א</span> <big>הקו</big> הישר לא יהיה חלק ממנו בשטח וחלק בגובה
+
*<span style=color:red>I.8:</span> <math>\scriptstyle\measuredangle CBK=\measuredangle CBT</math>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות חב"כ וחב"ט שוות <span style=color:red>מח' מא&#x202B;'</span>
 +
|-
 +
|<span style=color:red>def.</span>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שתיהם נצבות <span style=color:red>מפתיחת מא&#x202B;'</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>מופתו</big> שאי איפשר ונבאר זה במשל הנה אם היה איפשר נאמר שיהיה חלק מקו אב"ג והוא א"ב בשטח וחלק אחר והוא ב"ג והוא בגובה ונוציא מקו א"ב קו בשטח והוא ב"ד הנה אב"ג הוא קו ישר אם כן א"ב דבק ב"ג ובקו ב"ד על יושר זה שקר <span style=color:red>מפתי' א'</span>
+
|style="text-align:right;"|אם כן ח"ב עמוד על ט"כ וכן יתבאר כי כל קו יצא מן ב' בשטח שני קוי ג"ד ה"ז הנה הוא יקיף עם ח"ב בזוית נצבת
 +
|-
 +
|<span style=color:red>def.</span>
 +
|style="text-align:right;"|אם כן קו כ"א הוא עמוד על שטח ג"ד ה"ז <span style=color:red>מפתיחת זה</span>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן לא יהיה חלק מקו ישר בשטח וחלק בגובה וזה מה שרצינו לבאר
+
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
|-
 
|-
 
|
 
|
  
−
=== Proposition 2 ===
+
=== Proposition 5 ===
 
|
 
|
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>ב</span> <big>כל שני</big> קוים ישרים יחתכו הנה שניהם בשטח אחד וכל משולש הנה הוא בשטח אחד
+
|style="text-align:right;"|ה <big>כאשר</big> עמד קו על פרק משותף לשלשה קוים יקיף עם כל קו מהם בזוית נצבת הנה הקוים השלשה בשטח אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי שני קוי א"ב ג"ד יחתכו על נקודת ה' הנה אומר כי א"ב ג"ד בשטח אחד ונרשום על שני קוי ד"ה ה"ב שתי נקודות ז"ח ונוציא קו ז"ח הנה אומר כי משולש זה"ח הוא בשטח אחד
+
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי קו א"ב נצב על פרק משותף לשלשה קוים ב"ג ב"ד ב"ה על זויות נצבות הנה אומר כי ב"ג ב"ד ב"ה בשטח אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי הוא אי איפשר זולתו ונבאר זה כי אם היה איפשר זה הנה היה חלק ממשולש זה"ח בשטח וחלק בגובה אם כן שני חלקים משני קוי ז"ה ה"ח בשטח ושני חלקים בגובה זה שקר <span style=color:red>מא'</span>
+
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי איפשר שיהיה קו מהם בזולת שטח האחר ונבאר זה שאם היה איפשר הנה היה ב"ד בשטח בגובה הנה שטח א"ב ב"ד הנה יחלק שטח ג"ב ב"ה ויחלקהו ויהיה חלוקם המשותף קו ב"ז [מג'] ותהיה זוית אב"ז נצבת וכבר היתה זוית אב"ד נצבת א"ב ב"ד ב"ז בשטח אחד הנה זוית אב"ז אם כן שוה לזוית אב"ד הגדולה לקטנה זה שקר אם כן ב"ג ב"ד ב"ה בשטח אחד
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן משולש זה"ח הוא בשטח אחד והשטח אשר בו משולש זה"ח בו שני קוי ז"ה ה"ח ובו שני קוי א"ב ג"ד אם כן שני קוי א"ב ג"ד בשטח אחד
+
=== Proposition 11 ===
−
|-
 
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אם כן כל שני קוים ישרים יחתכו הנה שניהם בשטח אחד וכל משולש הנה הוא בשטח אחד וזה מה שרצינו לבאר
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
 
+
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"א</span> <big>נרצה</big> שנוציא מנקודה מונחת בגובה קו יהיה עמוד על שטח מונח
−
=== Proposition 3 ===
 
−
|
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|ג <big>כל שני</big> שטחים יחתכו הנה פרק שניהם המשותף הוא קו אחד ישר
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי שני שטחי א"ב ג"ד ה"ז ח"ט יחתכו ופרקם משותף הוא כ"ל הנה אומ' כי כ"ל קו אחד ישר
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> שהוא אי איפשר שיהיה יותר מקו ונבאר זה שאם היה איפשר הנה נוציא מן ל' אל כ' קו בשטח א"ב ג"ד והוא כמ"ל ונוציא מכ' אל ל' קו בשטח ה"ז ח"ט והוא כנ"ל אם כן כמ"ל קו ישר וכנ"ל קו ישר מתחברים אם כן שני קוי כמ"ל כנ"ל ישרים מתקרבים יפגשו קצוות שניהם בכל שתי הצדדים זה שקר אם כן כ"ל הוא קו אחד ישר וזה מה שרצינו לבאר
 
−
|-
 
−
|
 
−
 
 
−
=== Proposition 4 ===
 
−
|
 
−
|-
 
−
|When a perpendicular line stands at the intersection point of two intersecting lines, then it is also perpendicular to the plane passing through them.
 
−
|style="text-align:right;"|ד <big>כאשר</big> עמד עמוד על פרק שני קוים ישרים יחתכו הנה הוא עמוד על שטח שניהם
 
−
|-
 
−
|Example: line AB is perpendicular stands at the common intersection point of two lines GD and HZ, I say that line AB is perpendicular to plane GD.
 
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי קו א"ב עמוד נצב על פרק שני קוי ג"ד ה"ז המשותף הנה אומר כי קו א"ב עמוד נצב על שטח ג"ד
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big>
 
−
|-
 
−
|
 
−
::<math>\scriptstyle BH=BZ=DB=BG</math>
 
−
|style="text-align:right;"|שיהיו קוי ב"ה ב"ז ד"ב ב"ג הנחלקים שוים
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|ונוציא שני קוי ה"ג ד"ז ונוציא מן כ' קו בשטח ג"ד ה"ז והוא ט"כ ונרשום על א"ב נקודת ח' ונוציא קוים ה"ח ד"ח ח"ז ח"ג ח"כ ח"ט
 
−
|-
 
−
|
 
−
:*<math>\scriptstyle CK=BZ</math>
 
−
|style="text-align:right;"|הנה צלע ה"ב כמו ב"ז
 
−
|-
 
−
|
 
−
:*<math>\scriptstyle GB=BD</math>
 
−
|style="text-align:right;"|וג"ב כמו ב"ד
 
−
|-
 
−
|
 
−
:<math>\scriptstyle HG\parallel DZ\;HG=DZ</math>
 
−
|style="text-align:right;"|אם כן [מט"ו וד' וכ"ז מא'] ה"ג ד"ז נכחיים ושוים
 
−
|-
 
−
|
 
−
:*<math>\scriptstyle GB=BD</math>
 
−
|style="text-align:right;"|וג"ב כמו ב"ד
 
−
|-
 
−
|
 
−
:*<math>\scriptstyle BC\perp GD</math>
 
−
|style="text-align:right;"|וב"ח עמוד על ג"ד
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|אם כן ח"ג כמו ח"ד [מד' מא']
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|וגם כן ה"ב כמו ב"ז וכ"ח עמוד על ה"ז אם כן ה"ח כמו ח"ז אם כן צלע ג"ח כמו ח"ד וה"ג כמו ד"ז אם כן שני קוי ח"ג ג"ה שוים לשני קוי ח"ד ד"ז ותושבת ה"ח כמו תושבת ח"ז
 
−
|-
 
−
|
 
−
::I.8: <math>\scriptstyle\measuredangle CGH=\measuredangle HDZ</math>
 
−
|style="text-align:right;"|אם כן זוית חג"ה כמו זוית הד"ז <span style=color:red>מח' מא&#x202B;'</span>
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|וקו ט"ג ד"ב נכחיים וכבר הוצאו אל שניהם ט"כ ג"ד אם כן זוית גט"ב שוה לזוית כב"ד וזוית בג"ט שוה לזוית בד"כ וג"ב כמו ב"ד
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|אם כן [מכ"א מא'] ט"ג כמו ד"כ אם כן שני קוי ח"ג ג"ט שוים לשני קוי ח"ד ד"כ וזוית חג"ט שוה לזוית חד"כ
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|אם כן [מכ"ו מא'] תושבת ט"ח כמו תושבת ח"כ וצלע ט"כ כמו צלע ב"כ וכ"ח משותף אם כן שני קוי ט"ב ב"ח יהיו שוים כ"ב כ"ח ותושבת ט"ח כמו תושבת ח"כ
 
−
|-
 
−
|
 
−
::I.8: <math>\scriptstyle\measuredangle CBK=\measuredangle CBT</math>
 
−
|style="text-align:right;"|אם כן שתי זויות חב"כ וחב"ט שוות <span style=color:red>מח' מא&#x202B;'</span>
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|אם כן [מפתי' א'] שתיהם נצבות אם כן ח"ב עמוד על ט"כ וכן יתבאר כי כל קו יצא מן ב' בשטח שני קוי ג"ד ה"ז הנה הוא יקיף עם ח"ב בזוית נצבת
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|אם כן [מפתיחת א'] קו כ"א הוא עמוד על שטח ג"ד ה"ז
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|וזה מה שרצינו לבאר
 
−
|-
 
−
|
 
−
 
 
−
=== Proposition 5 ===
 
−
|
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|ה <big>כאשר</big> עמד קו על פרק משותף לשלשה קוים יקיף עם כל קו מהם בזוית נצבת הנה הקוים השלשה בשטח אחד
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בו כי קו א"ב נצב על פרק משותף לשלשה קוים ב"ג ב"ד ב"ה על זויות נצבות הנה אומר כי ב"ג ב"ד ב"ה בשטח אחד
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|<big>המופת</big> כי איפשר שיהיה קו מהם בזולת שטח האחר ונבאר זה שאם היה איפשר הנה היה ב"ד בשטח בגובה הנה שטח א"ב ב"ד הנה יחלק שטח ג"ב ב"ה ויחלקהו ויהיה חלוקם המשותף קו ב"ז [מג'] ותהיה זוית אב"ז נצבת וכבר היתה זוית אב"ד נצבת א"ב ב"ד ב"ז בשטח אחד הנה זוית אב"ז אם כן שוה לזוית אב"ד הגדולה לקטנה זה שקר אם כן ב"ג ב"ד ב"ה בשטח אחד
 
−
|-
 
−
|
 
−
=== Proposition 11 ===
 
−
|
 
−
|-
 
−
|
 
−
|style="text-align:right;"|<span style=color:red>י"א</span> <big>נרצה</big> שנוציא מנקודה מונחת בגובה קו יהיה עמוד על שטח מונח
 
 
|
 
|
 
|-
 
|-
Line 11,207: Line 17,438:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני מוגשמי כ"ב וז"ל נכחי השטחים ורומם בשיעור אחד הנה אומר כי יחס תושבת אבג"ד אל תושבת הזח"ט כיחס מוגשם כ"ב אל מוגשם ז"ל
+
|style="text-align:right;"|המשל בו כי שני {{#annot:term|2556,2557|5wo6}}מוגשמי כ"ב וז"ל נכחי השטחים{{#annotend:5wo6}} ורומם בשיעור אחד הנה אומר כי יחס תושבת אבג"ד אל תושבת הזח"ט כיחס מוגשם כ"ב אל מוגשם ז"ל
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 11,214: Line 17,445:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ונשלים מוגשם ס"ג וכל מוגשם נכחיי השטחים יבדילהו שטח על נכחות שני שטחים מקבילים
+
|style="text-align:right;"|ונשלים מוגשם ס"ג וכל {{#annot:term|2556,2557|w1JC}}מוגשם נכחיי השטחים{{#annotend:w1JC}} יבדילהו שטח על נכחות שני שטחים מקבילים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 11,443: Line 17,674:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
=== Proposition 6 ===
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|<div id="Elements_XII_6"></div>כל מגורר הנה הוא אפשר שיחלקו ממנו שלשה מחודדים שוים ותושבותיהם משולשים
 +
|-
 +
|
 +
 
=== Proposition 15 ===
 
=== Proposition 15 ===
 
|
 
|
Line 11,595: Line 17,834:
 
::[http://daten.digitale-sammlungen.de/0010/bsb00103925/images/index.html?id=00103925&groesser=&fip=eayayztsxdsydeayaeayaxseayaenxdsydxdsydqrs&no=2&seite=4 Mu130]<br>
 
::[http://daten.digitale-sammlungen.de/0010/bsb00103925/images/index.html?id=00103925&groesser=&fip=eayayztsxdsydeayaeayaxseayaenxdsydxdsydqrs&no=2&seite=4 Mu130]<br>
 
:2) Oxford, Bodleian Library MS Hunt. 16/1 (IMHM: f 19290) (cat. Neub. 2005, 1), 1r-89v, (15th century)<br>
 
:2) Oxford, Bodleian Library MS Hunt. 16/1 (IMHM: f 19290) (cat. Neub. 2005, 1), 1r-89v, (15th century)<br>
−
::[https://digital.bodleian.ox.ac.uk/inquire/Discover/Search/#/?p=c+3,t+Elements,rsrs+0,rsps+10,fa+ox%3Acollection%5EHebrew,so+ox%3Asort%5Easc,scids+,pid+3bdaec9a-2c1c-42e6-b920-159ec11cb923,vi+b9765195-4112-4d11-8528-fe34388bc69c O16]<br>
+
::[https://digital.bodleian.ox.ac.uk/objects/3bdaec9a-2c1c-42e6-b920-159ec11cb923/surfaces/1fdffb6c-d958-40f5-bfb0-1744903b6836/ O16]<br>
 
:3) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 66/3 (IMHM: f 1343), ff. 157-233 (16th century)<br>
 
:3) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 66/3 (IMHM: f 1343), ff. 157-233 (16th century)<br>
 
::[http://web.nli.org.il/sites/NLI/Hebrew/digitallibrary/pages/viewer.aspx?presentorid=MANUSCRIPTS&docid=PNX_MANUSCRIPTS000169510-1#|FL17619849 W66]<br>
 
::[http://web.nli.org.il/sites/NLI/Hebrew/digitallibrary/pages/viewer.aspx?presentorid=MANUSCRIPTS&docid=PNX_MANUSCRIPTS000169510-1#|FL17619849 W66]<br>

Latest revision as of 08:27, 2 September 2023

Contents


Book One

Definitions
  • The point is a thing that has no part.
 הנקודה היא דבר אין לה חלק ולא הנחה
  • The line is a length that has no breadth.
 והקו הוא אורך אין רוחב לו
The ends of the line are points.
 ותכליות הקו שתי נקודות
  • The straight line is that which lies straightly by the arrangement of points on it one by one.
 והקו הישר הוא המוצב על נכוחות אי זה נקודות יהיו עליו קצתם אל קצתם
  • The surface is that which has length and breadth only.
 והשטח הוא אשר לו אורך ורוחב לבד
The ends of the surface are lines.
 ותכליות השטח קוים
  • The plane surface is that which lies straightly by the arrangement of straight lines on it one by one.
 והפשוט השוה הוא המוצב על נכוחות אי זה קוים ישרים יהיו עליו קצתם אל קצתם
  • The plane angle is the inclination of two given lines to one another in a plane, so that they meet one another not in a straight line.
 והזוית הפשוטה היא נטיית כל אחד משני קוים מונחים בשטח שוה מדובקים על בלתי יושר האחד מן האחר
  • When the two lines containing the angle are straight, the angle is called rectilinear.
 וכאשר היו שני קוים מקיפים בזוית הזאת ישרים תקרא ישרת הקוים
  • When a straight line is standing on a straight line and the two adjacent angles are equal to one another, then each of them is a right angle, and the standing straight line is called perpendicular to the line on which it stands.
 וכאשר יעמוד קו ישר על קו ישר ושם שתי הזויות אשר משתי צדדיו שוות הנה כל אחת משתיהן היא זויות נצבת והקו ההוא העומד יקרא העמוד על הקו אשר הוא עומד עליו
  • The greater than a right angle is called an obtuse angle.
 ואשר היא גדולה מנצבת תקרא נרוחת
  • The smaller than a right angle is called an acute angle.
 ואשר היא קטנה מנצבת תקרא חדה
  • The boundary is the end of the thing.
 והגבול הוא תכלית הדבר
  • The figure is that which is contained by a boundary or boundaries.
 והתמונה היא אשר יקיף אותה גבול או גבולים
  • The circle is a plane figure contained by one line, within which there is one point such that all the straight lines drawn from it and terminated in the circumference are equal to one another.
 והעגולה היא תמונה פשוטה שוה יקיף אותה קו אחד בתוכה נקודה כל הקוים הישרים היוצאים ממנה ויכלו אל הקו ההוא שוים קצתם אל קצתם
  • This point is the center of the circle.
 והנקודה ההיא הוא מרכז העגולה
  • The diameter of the circle is any straight line, drawn through the center of the circle and terminated in both directions by its circumference, that bisects [the circle].
 וקוטר העגולה הוא קו ישר ילך במרכז העגולה ויכלה בשני הצדדי' אל הקו המקיף אותה והוא יחתכנה בשני חצאים
  • The semicircle is the figure contained by the diameter and the arc that is cut off from the circumference by the diameter.
 וחצי העגולה היא תמונה יקיפו בה הקוטר והקשת אשר החזיק בה הקוטר מן הקו המקיף
  • The segment of the circle is the figure contained by a straight line and an arc on the circumference that is either smaller or greater than its half.
 וחתיכת העגול היא תמונה יקיפו בה קו ישר וקשת ממקיף העגולה אם קטנה מחציה או גדולה
  • The rectilinear figures are those which are contained by straight lines.
 והתמונות ישרות הקוים הם אשר יקיפו בהם קוים ישרים
  • The trilateral figures are those which are contained by three straight lines.
 ואולם בעלות שלש צלעות הם אשר יקיפו בהם קוים ישרים שלשה
  • The quadrilateral figures are those which are contained by four straight lines.
 ואולם בעלות ארבעה צלעות הם אשר יקיפו בהם ארבעה קוים ישרים
  • The multilateral figures are those which are contained by more than four straight lines.
 ואולם בעלות צלעות רבות הם אשר יקיפו בהם יותר מארבעה קוים ישרים
Of the trilateral figures:
 ואולם התמונות בעלות שלש צלעות
  • The equilateral triangle is that whose three sides are equal to one another.
 הנה מהן המשולש השוה הצלעות והוא אשר צלעותיו השלש שוות קצתם אל קצתם
  • The isosceles triangle is that whose two of its sides alone are equal.
 ומהם השוה השוקים והוא אשר שתי צלעותיו לבד שוות
  • The scalene triangle is that whose three sides are unequal to one another.
 ומהם המתחלף הצלעות והוא אשר צלעותיו השלש בלתי שוות קצתם אל קצתם
Of the trilateral figures:
 ומן התמונות בעלות שלש צלעות
  • The right-angled triangle is that which has a right angle.
 המשולש נצב הזוית והוא אשר לו זוית נצבת
  • The obtuse-angled triangle is that which has an obtuse angle.
 והמשולש הנרוח הזוית והוא אשר לו זוית נרוחת
  • The acute-angled triangle is that whose three angles are acute.
 ומשולש חד הזויות והוא אשר כל אחת מזויותיו השלש חדה
Of the quadrilateral figures:
 ואולם התמונות בעלות ארבעה צלעות
  • The square is that which is both equilateral and right-angled.
 הנה מהן המרובע הוא השוה הצלעות נצב הזויות
  • The oblong is that which is right-angled but not equilateral.
 ומהם המתחלף הארכים והוא הנצב הזויות לא שוה הצלעות
  • The rhombus is that which is equilateral but not right-angled.
 ומהם המעויין והוא השוה הצלעות ואינו נצב הזויות
  • The rhomboid is that whose opposite sides are equal to one another but is neither equilateral nor right-angled.
 ומהם הדומה למעויין והוא אשר כל שתי צלעות ממנו שזו כנגד זו שוות ואינו שוה הצלעות ואינו נצב הזויות
  • The quadrilaterals that are other than the above-mentioned figures are called trapezia.
 ומה שהיה על זולת מה שספרנו מן התמונות בעלות ארבע צלעות תקרא הנוטה
  • The parallel straight lines are those that are in the same plane such that if they are drawn endlessly in both directions, they do not meet one another in either direction.
 והקוים הישרים הנכחיים הם אשר יהיו על שטח אחד שוה ואם הוצאו בשני הצדדים אל לא תכלית לא יפגשו באחד מהם

Postulates
The things on which a consensus is needed are five: הדברים אשר תצטרך ההסכמה עליהם חמשה
  • The first postulate: any straight line can be drawn from any point to any point.
 מהם שימשך קו ישר מכל נקודה אל כל נקודה
  • The second postulate: any finite straight line can be extended indefinitely.
 ושיוצא קו ישר בעל תכלית על יושר ודבקות לבלתי תכלית
  • The third postulate: circle can be drawn at any point [= center] and any measure of a distance [= radius]
 ושנקוה עגולה על כל נקודה ובשיעור כל מרחק
  • The fourth postulate: all right angles are equal to one another.
 ושכל הזויות הנצבות שוות קצתם אל קצתם
  • The fifth postulate: if a straight line falls on two straight lines, forming two interior angles on the same side that sum to less than two right angles, then the two straight lines, when extended [indefinitely], meet on that side.
 ואם נפל קו ישר על שני קוים ישרים ושם באחד משני הצדדים שתי הזויות הפנימיות פחות משתי נצבות הנה שני הקוים הישרים כאשר יוצאו בצד ההוא יפגשו

Common Notions
דעת כוללת מוסכם עליה
  • The things that are equal to one thing in itself are equal to each other.
 הדברים השוים לדבר אחד בעצמו הם שוים
  • If equals are added to equals, then the wholes are equal.
 ואם הוסף על השוים שוים יהיו כולם שוים
  • If equals are added to unequals, then the wholes are unequals.
 ואם הוסף על הבלתי שוים שוים יהיו הנשארים בלתי שוים
  • If equals are subtracted from unequals, then the remainders are unequal.
 ואם חוסר מהבלתי שוים שוים יהיו הנשארים בלתי שוים
  • If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal.
 ואם חוסר מן השוים שוים יהיו הנשארים שוים
ואשר כל אחד מהם כפל דבר אחד בעצמו הם שוים
ואשר כל אחד מהם חצי דבר אחד בעצמו הם גם כן שוים
ואשר לא יעדיף אחד משניהם על האחר כאשר ידובקו בשווי קצתם אל קצתם הם שוים
  • The whole is greater than its part.
 והכלל יותר גדול מחלקו
  • The whole thing is equal to [the sum of] all its parts.
 וכלל הדבר שוה לכל חלקיו
ושני קוים ישרים לא יקיפו על שטח

Proposition 1
Whe wish to construct an equilateral triangle on a given finite straight line. א נרצה שנעמיד משולש שוה הצלעות על קו ישר בעל תכלית מונח
Example: line AB is the finite straight line. המשל שיהיה הקו הישר הבעל תכלי' קו א"ב
ונרצה שנעמיד על קו א"ב הישר משולש שוה הצלעות
  • Postulate 3
 המעשה הנה נקיף על מרכז א' ובמרחק א"ב עגולה והיא עגולת גד"ב
  • Postulate 3
 ונקיף גם כן על מרכז ב' ובמרחק ב"א עגולה והיא עגולת אג"ה
  • Postulate 1
 ונגיע מנקודת ג' אשר יחתכו עליה שתי העגולות בשתי נקודות א"ב שני קוים ישרים והם ג"ב ג"א מא' מהפתיחה
ונאמ' שכבר העמדנו על קו א"ב משלש שוה הצלעות והוא משלש אג"ב
אוקלידס I 1.png
Proof:
def. circle:
A the center of \scriptstyle\bigcirc_{BGD}
 המופת הנה מפני שנקודת א' היא מרכז עגולת בג"ד
  • \scriptstyle AG=AB
 הנה יהיה קו א"ג שוה לקו א"ב מהפתיחה
B the center of \scriptstyle\bigcirc_{AGH}
 וגם כן הנה מפני שנקודת ב' היא מרכז עגולת אג"ה
  • \scriptstyle BG=AB
 הנה קו ב"ג שוה לקו א"ב
  • \scriptstyle AG=AB
 וכבר התבאר כי קו א"ג שוה לקו א"ב
  • C.N.: \scriptstyle AG=GB
 אם כן קו א"ג שוה לקו ג"ב מהפתיחה
  • \scriptstyle AG=GB=AB
 אם כן קוי א"ג ג"ב וא"ב השלשה שוים
def. equilateral triangle: \scriptstyle\longrightarrow\triangle_{ABG} is equilateral אם כן משולש אב"ג שוה הצלעות מהפתיחה
וכבר נעשה על קו א"ב בעל תכלית המונח משולש שוה הצלעות
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 2
We wish to attach to a given point a straight line that is equal to a given straight line. ב נרצה שנחבר אל נקודה מונחת קו ישר שוה לקו ישר מונח
Example: A is the given point and BG is the given straight line. תהיה הנקודה המונחת א' והקו הישר המונח ב"ג
ונרצה שנחבר אל נקודת א' המונחת קו ישר שוה לקו ב"ג הישר המונח
הנה נגיע בין נקודת א' ונקודת ב' קו ישר והוא א"ב
I.1: Constructing an equilateral triangle on AB: \scriptstyle\triangle_{DAB} ונעמיד על א"ב משולש שוה הצלעות והוא משולש דא"ב מאשר לפניה
\scriptstyle DA=DB ונוציא שני קוי א"ה ב"ז הישרים על יושר ב' קוי ד"א ד"ב הישרים
\scriptstyle\bigcirc_{CZG}: B center, BG radius
 ונקיף על מרכז ב' ובמרחק ב"ג עגולת חז"ג
\scriptstyle\bigcirc_{ZTH}: D center, DZ radius
 ונקיף גם כן על מרכז ד' ובמרחק ד"ז עגולת זט"ה
  • def. circle: \scriptstyle\bigcirc_{CZG}\longrightarrow BZ=BG
 הנה מפני שנקודת ב' מרכז עגולת חז"ג יהיה קו ב"ז שוה לקו ב"ג מהפתיחה
  • def. circle: \scriptstyle\bigcirc_{ZTH}\longrightarrow HD=DZ
 ומפני שנקודת ד' גם כן מרכז עגולת הז"ט יהיה קו ה"ד שוה לקו ד"ז מהפתיחה
\scriptstyle AD=BD
 וקו א"ד מאחד מהם שוה לקו ב"ד מן האחר
\scriptstyle\triangle_{DAB} equilateral
 מפני שמשולש דא"ב שוה הצלעות
\scriptstyle AH=BZ
 אם כן קו א"ה הנשאר שוה לקו ב"ז הנשאר
\scriptstyle BG=BZ
 וכבר התבאר שקו ב"ג שוה לקו ב"ז
\scriptstyle\longrightarrow AH=BG
 אם כן קו א"ה שוה לקו ב"ג
הנה כבר חברנו אל נקודת א' המונחת קו ישר שוה לקו ב"ג הישר המונח והוא קו א"ה
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 3
We wish to cut off from the greater of two given unequal straight lines a line that is equal to the smaller. ג נרצה שנבדיל מאחד מב' קוי' מונחים ישרים בלתי שוים מן היותר גדול קו שוה ליותר קטן מהם
Example: AB and G are the two given unequal straight lines, of which AB is the greater \scriptstyle AB>G. ויהיו שני הקוים הישרים המונחים אשר הם בלתי שוים א"ב וג' והיותר גדול מהם קו א"ב
ונרצה שנבדיל מקו א"ב היותר גדול קו שוה לקו ג' הקטן
אוקלידס I 3.png
I.2: attaching to point A a straight line AD equal to line G. \scriptstyle AD=G הנה נחבר אל נקודת א' קו ישר שוה לקו ג' והוא קו א"ד מב' מזה
\scriptstyle\bigcirc_{HZD}: A center, AD radius
 ונקוה על מרכז א' ובמרחק א"ד עגולת הז"ד
  • def. circle: \scriptstyle\bigcirc_{HZD}\longrightarrow AZ=AD
 הנה מפני כי נקודת א' מרכז עגולת הז"ד יהיה קו א"ז שוה לקו א"ד מהפתיח'
\scriptstyle AD=G
 אבל קו א"ד שוה לקו ג'
\scriptstyle\longrightarrow AZ=G
 אם כן א"ז שוה לקו ג'
הנה כבר הבדלנו מן היותר גדול משני קוי א"ב וג' הישרים המונחים אשר הם בלתי שוים והוא א"ב קו שוה ליותר קטן משניהם והוא ג'
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 4
When two sides of one triangle are equal to two sides of another triangle respectively, and the two angles contained by the equal straight lines are equal to one another, then the base equals the base, the triangle equals the triangle, and the remaining angles are equal to the remaining angles respectively, whose opposite side is the side that equals the opposite side of the former. ד כאשר ישתוו שתי צלעות ממשולש אחד לשתי צלעות ממשולש אחר כל צלע לגילו וישתוו שתי הזויות משניהם אשר יקיפו בהם הקוים הישרים השוים הנה התושבת שוה לתושבת והמשולש שוה למשולש ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה מיתר הראשנה
Example: \scriptstyle\triangle_{ABG} and \scriptstyle\triangle_{DHZ}. ויהיו שני המשולשים עליהם אב"ג דה"ז
The two sides BA and AG of the one are equal to the two sides HD and DZ of the other: ויהיו שני צלעי ב"א א"ג מאחד משניהם שוים לשני צלעי ה"ד ד"ז מן האחר
  • \scriptstyle AB=DH.
 אולם צלע א"ב שוה לצלע ד"ה
  • \scriptstyle AG=DZ.
 וצלע א"ג לצלע ד"ז
ותהיה הזוית אשר יקיפו בה שתי צלעות ב"א א"ג שוה לזוית אשר יקיפו בה שתי צלעות ה"ד ד"ז
Supposition: הנה אומר כי תושבת ב"ג גם כן שוה לתושבת ה"ז ושמשולש אב"ג שוה למשולש דה"ז ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה מיתר הראשנה
אולם זוית אב"ג שוה לזוית דה"ז
ואולם זוית בג"א לזוית הז"ד
וזה כי כאשר הרכב משולש אב"ג על משולש דה"ז והונח צלע א"ב על צלע ד"ה נפלה נקודת א' על נקודת ד'
וירכב צלע א"ג על צלע ד"ז
מפני כי זוית בא"ג שוה לזוית הד"ז
ונפלה נקודת ב' על נקודת ה' ונקודת ג' על נקודת ז'
ונדבקה בשווי תושבת ב"ג על תושבת ה"ז והיה שוה אליה
ונדבק בשווי משולש אב"ג על משולש דה"ז והיה שוה לו
ונדבקו בשווי שאר הזויות על שאר הזויות והיו קצתם שוות לקצתם כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה מיתר הראשון
אולם זוית אב"ג לזוית דה"ז
ואולם זוית אג"ב לזוית דז"ה
הנה כאשר השתוו שתי צלעות ממשולש אחד לשתי צלעות ממשולש אחר כל אחת לגילה והשתוו שתי הזויות מהם אשר יקיפו בהם הקוים הישרים השוים הנה התושבת שוה לתושבת והמשולש שוה למשולש ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה מיתר האחרת
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 5
The two angles at the base of isosceles triangles are equal to one another; and if the equal straight lines are drawn further, the [external] angles under the base are equal to one another. ה שתי הזויות אשר על תושבת מן המשולשים שוי השוקים שוות ואם הוצאו הקוים הישרים השוים הנה שתי הזויות אשר תחת התושבת תהיינה שוות
Example: \scriptstyle\triangle_{ABG} is an isosceles triangle: ויהיה משולש שוה שתי השוקים עליו אב"ג
  • \scriptstyle AB=AG
 ויהיה צלע א"ב שוה לצלע א"ג
ונוציא שני קוי ב"ד ג"ה הישרים על יושר שני קוי א"ב א"ג הישרים
Supposition: הנה אומר כי זוית אב"ג שוה לזוית בג"א
\scriptstyle\measuredangle GBD=\measuredangle BGH וזוית גב"ד שוה לזוית בג"ה
הנה נרשום על ב"ד נקודה איך מה שקרה והיא ז'
ונבדיל מקו א"ה קו ישוה לקו א"ז והוא א"ח
ונגיע שני קוי ג"ז ב"ח
הנה מפני כי קו ז"א שוה לקו א"ח
\scriptstyle GA=AB וקו ג"א שוה לקו א"ב
יהיו כל שני קוי ב"א א"ח שוים לכל שני קוי ג"א א"ז כל אחד לגילו
ואלו הצלעות יקיפו בזוית אחת משותפת והיא זוית זא"ח
\scriptstyle GZ=BC אם כן תושבת ג"ז שוה לתושבת ב"ח
\scriptstyle\triangle_{AZG}=\triangle_{ABC} ומשולש אז"ג שוה למשולש אב"ח
ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר היה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה מיתר הראשנה
\scriptstyle\measuredangle AGZ=\measuredangle ABC אולם זוית אג"ז שוה לזוית אב"ח
\scriptstyle\measuredangle AGZ=\measuredangle ACB ואולם זוית אג"ז שוה לזוית אח"ב
ומפני כי קו ז"א גם כן שוה לקו א"ח
וקוי ב"א א"ג משניהם שוים
יהיה קו ב"ז הנשאר שוה לקו ג"ח הנשאר
והנה ראוי שיהיה קו ג"ז שוה לקו ב"ח
הנה כל שני קוי ב"ז ז"ג שוים לכל שני קוי ג"ח ח"ב כל אחד לגילו
\scriptstyle\measuredangle BZG=\measuredangle GCB וזוית בז"ג שוה לזוית גח"ב
BG is common to both triangles. ותושבת ב"ג משותפת לשני המשולשים
אם כן משלש בז"ג שוה למשולש גח"ב
ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה הראשנה
\scriptstyle\measuredangle BGZ=\measuredangle GBC אולם זוית בג"ז לזוית גב"ח
\scriptstyle\measuredangle GBZ=\measuredangle BGC ואולם זוית גב"ז לזוית בג"ח
\scriptstyle\measuredangle AGZ=\measuredangle ABC וכבר התבאר כי כל זוית אג"ז שוה לכל זוית אב"ח
\scriptstyle\measuredangle BGZ=\measuredangle GBC ושתי זויות בג"ז גב"ח משניהם שוות
אם כן זוית בג"א הנשארת שוה לזוית גב"א הנשארת
והם שתי הזויות אשר על התושבת
וכבר התבאר כי זוית גב"ד הנשארת שוה לזוית בג"ה הנשארת
והם שתי הזויות אשר תחת התושבת
אם כן שתי הזויות אשר על התושבת מן המשולש שוי שתי השוקים שוות
ואם הוצאו הקוי' הישרים השוים הנה שתי הזויות אשר תחת התושבת שוות
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 6
When two angles of a triangle are equal to one another, then the two sides that are opposite to them are equal [to one another]. ו כאשר השתוו שתי זויות ממשולש הנה שני הצלעות אשר יהיו מיתרי שתיהם יהיו שוות
Example: \scriptstyle\measuredangle ABG=\measuredangle AGB of \scriptstyle\triangle_{ABG} ותהיה זוית אב"ג ממשלש אב"ג שוה לזוית אג"ב ממנו
Supposition: הנה אומר כי צלע ב"א שוה לצלע א"ג
ואם לא יהיה צלע ב"א שוה לצלע א"ג הנה אחד משניהם יותר גדול מן האחר
ויהיה היותר גדול א"ב אם אפשר זה
ונבדיל מן א"ב היותר גדול קו שוה לקו א"ג היותר קטן והוא ב"ד
ונגיע ד"ג
הנה מפני כי קו ד"ב שוה לקו א"ג
Line BG is common וקו ב"ג משותף
יהיו כל שני קוי ד"ב ב"ג שוים לכל שני קוי א"ג ג"ב כל אחד לגילו
וזוית דב"ג שוה לזוית אג"ב
אם כן תושבת ד"ג שוה לתושבת א"ב
ומשולש דב"ג שוה למשולש אב"ג
וישוה המשלש הקטן לגדול וזה בלתי אפשר
אם כן אין ב"א יותר גדול מן א"ג
וכן יתבאר שאינו קטן ממנו
אם כן קו ב"א שוה לקו א"ג
אם כן כאשר השתוו שתי זויות ממשולש הנה שתי הצלעות אשר יהיו מיתרי שתיהן יהיו שוות
Q.E.D. ומש"ל

Proposition 7
Two straight lines that are equal to two other straight lines cannot stand on one straight line so that their meeting and the meeting of the two others are on the same side in two different points, and their two ends are the two ends of the two lines that are equal to them. ז לא יעמדו על קו אחד ישר שני קוים ישרים שוים לשני קוים אחרים ישרים כל אחד לגילו ותהיה פגישתם ופגישת האחרים בצד אחד על שתי נקודות מתחלפות ושתי תכליותיהם שתי תכליות שני הקוים השוים לשניהם
שאם היה אפשר יעמוד על קו א"ב הישר שני קוי א"ג ג"ב הישרים
ושני קוים אחרים שוים לשניהם כל אחד לגילו והם א"ד ד"ב
ותהיה פגישתם ופגישת האחרים בצד אחד על שתי נקודות מתחלפות והם ג"ד
ושתי תכליות שניהם שתי תכליות שני הקוים השוים להם
אולם שתי תכליות שני קוי א"ג א"ד הוא נקודת א'
ואולם שתי תכליות שני קוי ג"ב ב"ד הנה היא נקודת ב'
ונגיע קו ג"ד
הנה מפני כי קו א"ג שוה לקו א"ד
\scriptstyle\measuredangle GDA=\measuredangle DGA תהיה זוית גד"א שוה לזוית דג"א
\scriptstyle\measuredangle DGA>\measuredangle DGB וזוית דג"א גדולה מזוית דג"ב
\scriptstyle\measuredangle GDA>\measuredangle DGB אם כן זוית גד"א יותר גדולה מזוית דג"ב
\scriptstyle\measuredangle GDB>\measuredangle DGB אם כן זוית גד"ב יותר גדולה הרבה מזוית דג"ב
\scriptstyle GB=DB ומפני כי קו ג"ב גם כן שוה לקו ד"ב
\scriptstyle\measuredangle GDB=\measuredangle DGB תהיה זוית גד"ב שוה לזוית דג"ב
וכבר התבאר שהיא יותר גדולה ממנה וזה בלתי אפשר
אם כן לא יעמודו על קו אחד ישר שני קוים ישרים שוים לשני קוים אחרים ישרים כל אחד לגילו ותהיה פגישת שניהם ופגישת האחרים בצד אחד על שתי נקודת מתחלפות ושתי תכליותיהם שתי תכליות שני הקוים השוים אליהם
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 8
When two sides of one triangle are equal to two sides of another triangle respectively, and the base of the one is equal to the base of the other, then the two angles, which are contained by the equal sides, are equal. ח כאשר השתוו שתי צלעות ממשולש אחד לשתי צלעות ממשולש אחר כל אחת לגילה והשתותה תושבתו לתושבתו הנה שתי הזויות אשר יקיפו בהם הצלעות השוות הם שוות
Example: \scriptstyle\triangle_{ABG} and \scriptstyle\triangle_{DHZ} ויהיו שני המשלשים אב"ג דה"ז
The two sides BA and AG of the one are equal to the two sides HD and DZ of the other, each to its corresponding: ויהיו שתי הצלעות ב"א א"ג מאחד משניהם שוות לשתי צלעות ה"ד ד"ז מן האחר כל אחת לגילה
  • \scriptstyle AB=HD
 אולם צלע א"ב לצלע ה"ד
  • \scriptstyle AG=DZ
 ואולם צלע א"ג לצלע ד"ז
  • \scriptstyle BG=HZ
 ותהיה תושבת ב"ג שוה לתושבת ה"ז
Supposition: הנה אומר כי זוית בא"ג שוה לזוית הד"ז
וזה כי כאשר הרכב משלש אב"ג אל משלש דה"ז והושמה תושבת ב"ג על תושבת ה"ז נפלה נקודת ב' על נקודת ה' ונקדת ג' על נקודת ז'
ונפלו שתי צלעות ב"א א"ג על שתי צלעות ה"ד ד"ז
שאם נפלה תושבת ב"ג על תושבת ה"ז ולא יפלו שתי צלעות ב"א א"ג על שתי צלעו' ה"ד ד"ז ונפלו על זולת נקודת ד' כמו שני קוי ה"ח ח"ז
הנה כבר עמדו על קו אחד ישר שני קוים ישרים שוים אל שני קוים אחרים ישרים כל א' לגילו והיתה פגישתם ופגישת האחרים בצד אחד על שתי נקודות מתחלפות ותכלית שניהם תכליות שתי הקוים השוים ואי אפשר זה מהקודמת
אם כן כאשר הורכב משלש אב"ג על משולש דה"ז ונפלה תושבת ב"ג על תושבת ה"ז נפלו שתי צלעות ב"א א"ג על שתי צלעות ה"ד ד"ז ונפלה נקודת א' על נקודת ד' היתה זוית בא"ג שוה לזוית הד"ז
אם כן כאשר ישתוו שתי צלעות ממשולש לשתי צלעות ממשולש אחר כל אחת לגילה והשתוותה תושבתו לתושבתו הנה שתי הזויות אשר יקיפו בהם הצלעות השוות הן שוות
Q.E.D. ומש"ל

Proposition 9
We wish to bisect a given rectilinear angle. ט נרצה שנחלק זוית מונחת ישרת הקוים לשני חצאים
ותהיה הזוית המונחת ישרת הקוים זוית בא"ג
ונרצה שנחלקה בשני חצאיים
הנה נרשום על קו א"ב נקודה איך שנפלה והיא נקודת ד'
ונבדיל מקו א"ג קו שוה לקו א"ד והוא קו א"ה
ונגיע קו ד"ה
ונעמיד על קו ד"ה הישר משלש שוה הצלעות והוא דז"ה
ונגיע קו א"ז
הנה מפני כי קו א"ד שוה לקו א"ה
Line AZ is common. וקו א"ז משותף
יהיו כל שני קוים ד"א א"ז שוים לכל שני קוים ה"א א"ז כל אחד לגילו
ותושבת ד"ז שוה לתושבת ז"ה
א"כ זוית דא"ז שוה לזוית הא"ז
הנה כבר נחלקה זוית ה"ד המונחת ישרת הקוים לשתי חציים בקו א"ז הישר
Q.E.D. ומש"ל

Proposition 10
We wish to bisect a given finite straight line. י נרצה שנחלק קו ישר מונח בעל תכלית לשני חציים
ויהיה הקו הישר המונח הבעל תכלית א"ב
ונרצה שנחלק אותו לשני חצאים
הנה נעמיד על קו א"ב משלש שוה הצלעות והוא משולש אג"ב
ונחלק זוית אג"ב לשני חצאים בקו ג"ד הישר
הנה מפני כי קו א"ג שוה לקו ג"ב
Line GD is common. וקו ג"ד משותף
יהיה כל שני קוי א"ג ג"ד שוים לכל שני קוי ב"ג ג"ד כל אחת לגילו
וזוית אג"ד שוה לזוית בג"ד
אם כן תושבת א"ד שוה לתושבת ד"ב
הנה כבר נחלק קו א"ב הישר המונח בעל התכלית לשני חציים על נקודת ד'
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 11
יא נרצה שנוציא מנקדה מונחת על קו ישר מונח קו ישר על זוית נצבת
ויהיה הקו הישר המונח א"ב והנקדה המונחת אשר עליו נקדת ג' ונרצה שנוציא מנקדת ג' קו ישר יהיה על זוית נצבת מקו א"ב ונרשום עליו קו ג"א נקדה איך מה שנפלה והיא ד' ונבדיל מקו ג"ב קו שוה לקו ג"ד והוא קו ג"ה ונעמיד על ד"ה משלש שוה הצלעות והוא דה"ז ונגיע קו ז"ג הנה מפני כי קו ד"ג שוה לקו ג"ה וקו ג"ז משתתף יהיו כל שני קוי ה"ג ג"ד כל אחד לגילו ותושבת ד"ז שוה לתושבת ז"ה מפני כי המשלש שוה הצלעות אם כן זוית דג"ז שוה לזוית זג"ה והם אשר משני הצדדים וכאשר עמד קו ישר על קו ישר ושם שתי הזויות אשר משני צדדיו שוות הנה כל אחת משתיהן נצבת אם כן כל אחת משתי זויות דז"ג זג"ה נצבת אם כן קו ג"ז עומד על קו א"ב על זויות נצבות הנה כבר הוצא מנקודת ב' מקו א"ב קו על זוית נצבת והוא ג"ז וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 12
יב נרצה שנוציא על קו ישר מונח בלי תכלית מנקדה איננה עליו קו ישר יהיה עמוד על הקו המונח
ויהיה הקו הישר המונח אשר הוא בלתי בעל תכלית קו א"ב והנקודה המונחת אשר עליו וראוי נקודת מנקודת אל קו א"ב הישר קו יהיה עמוד עליו ונרשום בצד האחד מן הקו הישר נקדה איך מה שנפלה והיה ה' ונקוה על מרכז ג' ומרחק ג"ה עגולת דה"ז ונחלק מן ה"ז הישר בשני חציים על נקדת ח' ונגיע קו ה"ג ג"ה ג"ז הנה אומר כי קו ג"ח עמוד על א"ב הנה מפני כי קו ה"ח ג"ה שוים לכל שני קוי ז"ח ח"ג כל אחד לגילו ותושבת ה"ב שוה לתושבת ג"ז מפני כי נקדת ג' מרכז עגלת דה"ז הנה זוית הח"ג שוה לתושבת ג"ז מפני כי נקדת ג' מרכז עגלת דה"ז הנה זוית הא"ג שוה לזוית דה"ג והם השתי זויות אשר משני הצדדים וכאשר עמד קו ישר על קו ישר ושם שתי הזויות אשר משני צדדיו שוות הנה כל אחת מהן נצבת והקו העומד יקרא העמוד על הקו אשר הוא עומד עליו אם כן קו ג"ח עמוד על קו א"ב הנה כבר הוצא אל הקו א"ב הישר המונח אשר הוא בלי תכלית מנקדת ג' המונחת אשר אינה על קו א"ב קו ישר עמוד עליו והוא קו ג"ח וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 13
יג כאשר עמד קו ישר על קו ישר איך מה שנפל הנה הוא יחדש שתי זויות אם נצבות ואם שוות לשתי נצבות
ויעמוד קו א"ב הישר על קו ג"ד הישר ויחדש שתי זויות גב"א אב"ד הנה אמר כי שתי זויות גב"א אב"ד אם שתי נצבות ואם שוות לשתי זויות נצבות ואם היה א"ב נצב על ג"ד על זויות בלתי נצבות הנה נוציא מנקדת ב' מקו ג"ד קו ב"ח על זויות נצבות הנה שתי זויות גב"ה הב"ד שתי זויות נצבות ומפני כי זויות דב"ח הב"א אב"ג השלשה שוות לשתי זויות גב"ח חב"ד יהיו שתי זויות גב"א אב"ד שוות לשתי זויות גב"ח חב"ד הנצבות הנה שתי זויות גב"ח אב"ד שוות לשתי נצבות הנה כאשר עמד קו ישר על קו ישר איך מה שנפל הנה הוא יחדש שתי זויות אם נצבות ואם שוות לשתי נצבות וזה מה שרצינו לבאר
יג) כאשר יחובר אל נקודה על קו מה ישר שני קוים ישרים אינם בצד אחד וישים שני הזויות משני הצדדים שוות לשתי נצבות הנה כל אחד משני הקוים הישרים על יושר אחד
ונחבר אל נקדת ב' אשר על קו א"ב הישר שני קוי ב"ג ב"ד הישרים אשר אינם מונחים בצד אחד וישימו שתי זויות גב"א אב"ד אשר משני הצדדים שוות לשתי נצבות הנה אומר כי קו ג"ב על יושר ב"ד שאם היה אפשר זולת זה הנה יהיה ב"ה על יושר ג"ב הנה מפני כי קו ב"א הישר כבר עמד על גב"ה וחדש שתי זויות גב"א אב"ה יהיו שתי זויות גב"א אב"ה שוות לשתי זויות ושתי גב"א אב"ד כבר ספרנו שהן שוות לשתי נצבות זויות אם כן שתי זויות גב"א אב"ד שוות לשתי זויות גב"א אב"ה ונשליך זוית גב"א המשותפת הנה זוית אב"ד הנשארת שוה לזוית אב"ה הנשארת הגדולה כמו הקטנה וזה בלתי אפשר אם כן אין ב"ה על יושר ב"ג וכן יתבאר שאין קו אחד על יושר ב"ג זולת ב"ד על יושר קו ב"ג הנה כאשר חובר אל נקדה על קו ישר שני קוים ישרים אינם בצד אחד ושם שתי הזויות אשר משני צדדים שוות לשתי נצבות הנה כל אחד משני הקוים הישרים על יושר האחד וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 14
יד כאשר חתך כל אחד משני קוים ישרים כאחד את האחר הנה הם ישימו כל שתי זויות מתנגדות מן הזויות אשר יתחדשו שוות
ויחתוך כל אחד משני קוי א"ב ג"ד הישרים האחד על נקדת ה' הנה אומר כי זוית גה"ב שוה לזוית אח"ד וזוית בה"א שוה לזוית בה"ד הנה מפני כי כבר עמד קו ישר והוא ג"ה על קו א"ב הישר וחדש שתי זויות בה"ג גה"א יהיו שתי זויות בה"ג גה"א שוות לשתי נצבות וגם כן הנה מפני כי קו א"ה הישר עמד על קו על קו ג"ד הישר ויחדש שתי זויות דה"א אה"ג יהיו שתי זויות דה"א אה"ג שוות לשתי נצבות וכבר התבאר כי שתי זויות בה"ג גה"א שוות לשתי נצבות אם כן שתי זויות בה"ג גה"א שוות לשתי זויות גה"א אה"ד ונשליך זוית גה"א המשותפת אם כן זוית בה"ג הנשארת שוה לזוית דה"א הנשארת והם שני מתנגדים וכן גם כן יתבאר כי זוית גה"א שוה לזוית בה"ד וכאשר חתך כל אחד משני קוים ישרים האחר הנה שניהם ישימו כל שתי זויות מתנגדות מן הזויות אשר יחדשו שוות וזה מה שרצינו לבאר
וכבר התבאר מזה כי כאשר חתך כל אחד משני קוים ישרים האחר הנה שניהם ישימו הזויות אשר אצל חותכיהם שוות לארבע זויות נצבות

Proposition 15
טו כל משלש יוצא צלע מצלעיו על יושר הנה זוית היוצאת יותר גדולה מכל אחת משתי זויות פנימיות המתנגדות אליה
ויהיה משלש עליו אב"ג ויצא צלע ב"ג מצלעיו אל נקדת ד' הנה אומר כי זוית אג"ד החיצונה ממשלש אב"ג יותר גדולה מכל אחת משתי זויות בא"ג אב"ג הפנימיות המתנגדות אליה ונחלק קו א"ג לשני חצאים על ה' ונגיע בה' ונוציא קו ה"ז הישר על יושר ב"ה ונשים קו ה"ז שוה לקו ב"ה ונגיע ג' ונוציא קו ב"ח הישר על יושר קו א"ג הנה מפני כי קו א"ה שוה לקו ה"ג וקו ב"ה שוה לקו ה"ז יהיו כל שני קוי א"ה ה"ב שוים לכל שני קוי ג"ה ה"ז כל אחד לגילו וזוית אה"ב שוה לזוית גה"ז ותושבת א"ב שוה לתושבת ז"ג ומשלש אב"ה שוה למשלש זה"ג ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע יהיה מיתר האחרת אם כן זוית בא"ה שוה לזוית הג"ז וזוית הג"ד יותר גדולה מזוית הג"ז אם כן זוית אג"ד יותר גדולה מזוית בא"ג וכן יתבאר גם כן מחלוקת קו ב"ג בשתי חציים כי זוית בג"ח יותר גדולה מזוית אב"ג אבל זוית בג"ח שוה לזוית אג"ד מפני כי שניהם מתנגדות אם כן זוית אג"ד יותר גדולה מזוית אב"ג אם כן כל משלש יצא צלע מצלעותיו הנה הזוית החיצונה יותר גדולה מכל אחת מהזויות הפנימיות המתנגדות אליה וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 16
יו כל שתי זויות ממשלש איזה משתי זויות שיהיו הנה הם יותר קטנות משתי נצבות
ויהיה המשלש עליו אב"ג הנה אומר כי כל שתי זויות ממשלש אב"ג איזה שתי זויות שיהיו קטנות משתי נצבות ונוציא קו ג"ד על יושר קו ב"ג הנה מפני כי זוית אג"ד החיצונה ממשלש אב"ג תהיה יותר גדולה מן הזויות הפנימית אשר תתנגד לה והיא זוית אב"ג ונשים זוית בג"א משותפת אם כן שתי זויות דג"א אג"ב יותר גדולות משתי זויות אג"ב גב"א אבל זוית דג"א אג"ב שוות לשתי נצבות אם כן שתי זויות אג"ב גב"א פחות משתי נצבות וכן יתבאר כי שתי זויות גב"א בא"ג פחות משתי נצבות ושתי זויות בא"ג אג"ב גם כן פחות משתי נצבות הנה כל שתי זויות ממשלש איזה שתי זויות שיהיו פחות משתי נצבות וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 17
יז הצלע היותר ארוך מכל משלש יהיה מיתר הזוית הגדולה
ויהיה משלש עליו אב"ג ויהיה צלע א"ב מהם יותר ארוך מצלע א"ג הנה אומר כי זוית אג"ב יותר גדולה מזוית אב"ג הנה מפני כי צלע א"ב יותר ארוך מצלע א"ג הנה אומר כי זוית אג"ב יותר גדולה מזוית אב"ג הנה מפני כי צלע א"ב יותר ארוך מצלע א"ג נשים א"ד כמו א"ג ונציע ד"ג הנה מפני כי קו ד"א שוה לקו א"ג תהיה זוית אד"ג שוה לזוית אג"ד וזוית אג"ב יותר גדולה מזוית אג"ד תהיה זוית אג"ב גדולה מזוית אד"ג ומפני כי זוית אד"ב חיצונה ממשלש דב"ג תהיה יותר גדולה והזוית הפנימית אשר תתנגד לה אשר עליה אב"ג אבל זוית אג"ה יותר גדולה הרבה מזוית אב"ג אם כן הצלע יותר ארוך מכל משלש היא מיתר הזוית הגדולה ונשלם ביאורו

Proposition 18
יח הזוית היותר גדולה מכל משלש יהיה מיתרה הצלע היותר ארוך
ויהיה משלש עליו אב"ג ותהיה זוית בג"א ממנו יותר גדולה מזוית אב"ג הנה אומר כי צלע א"ב יותר גדולה מצלע א"ג ואם לא תהיה כן הנה היה שוה אליה או קטנה ממנה ואין צלע א"ב שוה לצלע א"ג כי אלו היתה שוה היתה זוית אג"ב כמו זוית אב"ג ואינו כן אם כן אין צלע א"ב שוה לצלע א"ג ואינה יותר קטנה ממנה היתה זוית אג"ב ואינו כן אם כן צלע א"ב שוה לצלע א"ג ואינה יותר קטנה ממנה היתה זוית אג"ב יותר קטנה מזוית אב"ג ואם כן אין צלע א"ב יותר קטנה מצלע א"ג וכבר התבאר שהיה בלתי שוה אם כן צלע א"ב יותר ארוכה מצלע א"ג אם כן הזוית היותר גדולה מכל משלש יהיה מיתרה הצלע היותר ארוך וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 19
יט כל שתי צלעות ממשלש איזה שתי צלעות שיהיו הנה שתיהן יותר ארוכות מן הצלע הנשארת
ויהיה משלש עליו אב"ג הנה אומר כי כל שתי צלעות ממשלש אב"ג איזה שתי צלעות שתהיינה הנה שתיהן יותר ארוכות מן הצלע הנשארת אולם ב"א א"ג הם יותר ארוכות מן ב"ג ואולם א"ב ב"ג ארוכות מא"ג ואולם ב"ג ג"א יותר ארוכות מן א"ב ונוציא קו א"ד הישר על יושר קו ב"א ונשים קו א"ד תהיה זוית אג"ד שוה לזוית אד"ג וזוית דג"ב יותר גדולה מזוית דב"א הנה זוית דג"ב גדולה מזוית בד"ג והזוית היותר גדולה מכל משלש יהיה מיתרה הצלע היותר ארוך אם כן צלע ב"ד יותר ארוך מצלע ב"ג וצלע ב"ד שוה לשתי צלעות ב"א א"ג יותר ארוכות מצלע ב"ג וכן גם כן יתבאר ששתי צלעות א"ב ב"ג ארוכות מצלע א"ג וב"ג ג"א ארוכות מצלע ב"א אם כן כל שתי צלעות ממשלש איזה שתי צלעות שיהיו הנה שתיהן יותר קטנים מן הצלע הנשארת וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 20
כ כאשר עמדו על צלע מצלעות משלש שני קוים ישרים יצאו משני קצוות הצלע בתוך המשלש המשלש הנה שתיהן יותר קטנים משני הצלעות הנשארות מצלעות המשלש ויקיפו בזוית יותר גדולה מן הזוית אשר יקיפו בה השתי צלעות
ויהיה משלש עליו אב"ג ויעמוד על צלע ב"ג מצלעות משלש אב"ג שני קוים ישרים יצאו משני קצותיו ויפלו בתוך המשלש עליהם ב"ד ד"ג הנה אומר כי שני קוי ב"ד ד"ג יותר קטנים משני קוי ב"א א"ג ושזוית בד"ג אשר יקיפו בה יותר גדולה מזוית בא"ג ונוציא קו ד"ה הישר על יושר קו ב"ד הנה מפני כי כל שתי צלעות ממשלש איזה שתי שיהיו הנה שתיהן יותר מהקודמת ארוכות מן הצלע הנשאר יהיו קוי ב"א ה"א ארוכים מקו ה"ב ונשים ה"ב משותף הנה שני קוי ב"א א"ג יותר ארוכים משני קוי ב"ה ה"ג ומפני כי כל שתי צלעות ממשלש איזה שתי צלעות שיהיו הנה שתיהן יותר ארוכים מן הצלע הנשאר יהיו שני קוי ה"ד ה"ג יותר ארוכים מקו ד"ג ונשים קו ד"ב משותף ויהיו שני קוי ג"ה ה"ב יותר ארוכים משני קוי ב"ד ד"ג וכבר התבאר כי שני ב"א א"ג יותר ארוכים משני קוי ב"ה ה"ג אם כן שני קוי ב"א א"ג יותר ארוכים הרבה משני קוי ב"ד וד"ג זוית בא"ג גם כן חוץ ממשלש בא"ה תהיה יותר גדולה מזוית בא"ג הפנימית אשר תקבילה וכבר התבאר כי זוית בד"ג יותר גדולה מזוית בא"ג אם כן כאשר עמדו על צלע מצלעות המשולש קוים יוצאו מקצוות הצלע ויהיו בתוך המשלש הנה הם יותר קצרים משתי צלעות הנשארות מצלעות המשלש ויקיפו בזוית יותר גדולה מן הזוית אשר יקיפו בה שתי הצלעות הנשארות וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 21
כא נרצה שנעמיד משלש משלשה קוים ישרים שוים לשלשה קוים ישרים מונחים וראוי שיהיו כל שני קוים מן הקוים השלשה איזה שני קוים שיהיו יותר ארוכים מן הקו הנשאר
ויהיו השלשה קוים המונחים אב"ג ויהיו כל שני מהם איזה שני קוים שיהיו יותר ארוכים מן הקו הנשאר אם כן א"ב יותר ארוכים מן ג' ואם ב"ג יותר ארוכים מן א' ואם א"ג יותר ארוכים מן ב' ונרצה שנעמיד ממשלש יהיו שוות הצלעות לקו אב"ג הנה נשים קו ד"ה הישר בעל תכלית באחד משני צדדים על נקדת ד' ובלתי בעל תכלית בצד אשר בו ט' ונשים קו ד"ז שוה לקו א' וקו ז"ח שוה לקו ב' וקו ח"ט שוה לקו ג' ונקוה על מרכז ז' ובמרחק ז"ד עגולת דב"ג ונקוה גם כן על מרכז ח' ובמרחק ח"ט עגולת טב"ג ונוציא מנקודת ב' אל שתי נקדות ז"ח שני קוי ב"ז ג"ח הישרים הנה אומר כי משלש בז"ה הוקם משלשה קוים ישרים לקו אב"ג הישרים המונחים הנה מפני כי נקדת ז' מרכז עגולת דב"ג יהיה קו ד"ז שוה לקו ז"ב אבל קו ד"ז שוה לקו א' אם כן קו ז"ב שוה לקו א' וגם כן הנה נקדת ח' מרכז עגולת טב"ג אם כן קו ח"ט שוה לקו ח"ב אבל קו ח"ט שוה לקו ג' אם כן קו ח"ב שוה לקו ג' וקו ז"ח שוה לקו ב' הנה כבר הוקם מקו ד"ז ז"ח ח"ט הישרים השוים לקוי אב"ג הישרים המונחים משלש בז"ח וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 22
כב נרצה שנעמיד על קו ישר מונח על נקודתו ממנו מונחת זוית ישרת שני הקוים שוה לזוית מונחת ישרת שני הקוים
ויהיה הקו הישר המונח א"ב והנקודה המונחת אשר עליו ח' והזוית המונחת ישרת שני הקוים דג"ה ונרצה שנעמיד על קו א"ב הישר המונח על נקודת א' ממנו זוית ישרת שני הקוים שוה לזוית דג"ה המונחת ישרת שני הקוים שוה לזוית דג"ה המונחת ישרת שני הקוים הנה נרשום על כל אחת משני קו ד"ג ג"ה נקדה איך מה שנפלה והם ד"ה ונגיע קו ד"ה ונעמיד מהקו המונח שהוא קו א"ב משולש משלשה קוי א"ז ז"ח א"ח השלשה הישרים השוים לקוי ד"ג ג"ה ה"ד הישרים המונחים והוא משלש אז"ח ויהיה קו א"ז ממנו שוה לקו ג"ד וקו א"ה שוה לקו ג"ה וקו ז"ח לקו ד"ה הנה מפני כי שני קוי ד"ג ג"ה שוים לשני קוי א"ז א"ה כל אחד לגילו ותושבת ד"ה שוה לתושבת זה"ד תהיה זוית דג"ה שוה לזוית זא"ח הנה כבר הוקם על קו א"ב הישר המונח על נקודת א' ממנו זוית ישרת שני הקוים שוה לזוית דג"ה המונחת ישרת הקוים והיא זוית זא"ח וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 30
The lines that are parallel to the same straight line are also parallel to one another. ל הקוים הנכחים לקו אחד בעינו ישר הנה קצתם נכחי לקצת
ויהיה כל אחד מן א"ב ג"ד נכחי לקו ה"ז
Supposition: הנה אומר כי א"ב נכחי אל ג"ד
ונפל קו ישר והוא חט"כ הנה מפני כי א"ב נכחי אל ה"ז
וכבר נפל עליהם קו חט"כ הישר
תהיה זוית חט"ז שוה לזוית טח"א המומרות
ומפני כי ה"ז נכחי אל ג"ד
תהיה זוית חט"ז החיצונה שוה לזוית טב"ד הפנימית אשר תקבילה
וכבר התבאר כי זוית זט"ח גם כן שוה לזוית טח"א
אם כן זוית אח"ט שוה לזוית טכ"ד והם המומרות
אם כן א"ב נכחי אל ג"ד
אם כן הקוים הנכחיים לקו אחד בעינו ישר הנה קצתם נכחי לקצת
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 31
We wish to draw a straight line from a given point, parallel to a given straight line. לא נרצה שנוציא מנקודה מונחת קו ישר נכחי לקו ישר מונח
ותהיה הנקודה המונחת נקדת א' והקו הישר המונח קו ב"ג
ונרצה שנוציא מנקדת א' קו ישר נכחי אל קו ב"ג הישר
ונרשום על קו ב"ג נקדה איך מה שנפלה והיה נקדת ד'
ונגיע קו א"ד
ונעמיד על קו א"ד הישר על נקדת א' ממנו זוית שוה לזוית אד"ג והיא זוית דא"ה
ונוציא קו א"ז על יושר קו ה"א
הנה מפני כי שני קוי ה"ז ב"ג הישרים כבר נפל עליהם קו ישר והוא א"ד
ושם שתי זויות הא"ד אד"ג שוות והם מומרות
יהיה ה"ז נכחי אל ג"ב
הנה כבר הוצא מנקודת א' המונחת קו ישר והוא ה"ז נכחי אל קו ב"ג הישר המונח
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 32
For every triangle, if one of its sides is drawn, then the exterior angle equals [the sum of] the two interior opposite angles; and [the sum of] the three interior angles of the triangle equals two right angles. לב כל משולש תצא צלע מצלעותיו הנה הזוית החיצונה תהיה שוה לשתי הזויות התיכונות אשר יקבילוה והזויות השלשה אשר תוך המשולש שוות לשתי זויות נצבות
ויהיה משלש עליו אב"ג ותצא אחת מצלעותיו הוא ב"ג אל נקדת ד'
Supposition: הנה אומר כי זוית אג"ד החיצונה שוה לשתי זויות א"ב הפנימיו' ושזויות אב"ג בג"א גא"ב השלשה אשר תוך המשולש שוות לשתי זויות נצבות
ונוציא מנקדת ג' קו נכחי לקו א"ב הישר והוא ג"ה
הנה מפני כי א"ב נכחי אל ג"ה
וכבר נפל עליהם א"ג
יהיו שתי זויות בא"ג אג"ה המומרות שוות
ומפני כי א"ב נכחי אל ג"ה
וכבר נפל עליהם קו בג"ד הישר
תהיה זוית הג"ד החיצונה שוה לזוית אב"ג הפנימית אשר תקבילה
וכבר התבאר כי זוית אג"ה גם כן שוה לזוית בא"ג
אם כן כל זוית אג"ד החיצונה שוה לשתי זויות בא"ג אב"ג הפנימיות אשר יקבילוה
We define \scriptstyle\measuredangle BGA common. ונשים זוית בג"א משותפת
אם כן שתי זויות דג"א אג"ב שוות לזויות השלשה גב"א בג"א בא"ג
אבל שתי זויות דג"א אג"ב שוות לשתי נצבות
אם כן זויות גב"א בא"ג אג"ב השלשה שוות לשתי זויות נצבות
אם כל משלש יצא צלע מצלעותיו הנה הזוית החיצונה תהיה שוה לשתי הזויות הפנימיות אשר יקבילום והזויות השלשה אשר בתוך המשולש שוות לשתי זויות נצבות
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 33
The straight lines, which join the ends of equal and parallel straight lines on the same side, are also equal and parallel. לג הקוים הישרים אשר יגיעו במה שבין קצוות הקוים הישרים השוים הנכחים אשר בצד אחד הם גם כן שוים נכחיים
ונגיע שני קוי א"ג ב"ד הישרים במה שבין קצוות שני קוי א"ב ג"ד אשר בצד אחד
Supposition: הנה אומר כי א"ג ב"ד גם כן שוים נכחיים
ונגיע ב"ג
הנה מפני כי א"ב נכחי אל ג"ד
וכבר נפל עליהם קו ישר והוא ב"ג
יהיו שתי זויות אב"ג בג"ד המומרות שוות
ומפני כי א"ב גם כן שוה אל ג"ד
BG is common. וב"ג משותף
יהיו כל שתי קוי א"ב ב"ג שוים לכל שני קוי ד"ג ג"ב כל אחד לגילו
וזוית אב"ג שוה לזוית בג"ד
אם כן תושבת א"ג שוה לתושבת ב"ד
ומשולש אב"ג שוה למשולש בג"ד
ושאר הזויות שוות לשאר הזויות כל אחת לגילה אשר יהיה מיתרה הצלע השוה לצלע אשר יהיה מיתר האחרת
אם כן זוית אג"ב שוה לזוית דב"ג והם מומרות
אם כן א"ג נכחי אל ב"ד
וכבר התבאר כי שניהם שוים
אם כן שני קוי א"ג ב"ד שוים נכחיים
אם כן הקוים הישרים אשר יגיעו במה שבין קצוות הקוים הישרים הנכחים אשר בצד אחד הם גם כן שוים נכחים וזה מה שרצי' לבא'

Proposition 34
The opposite sides and angles of parallelogrammic areas are equal to one another, and the diameters of these areas bisect them. לד הצלעות והזויות המתנגדות מן השטחים נכחי הצלעות שוים קצתם אל קצתם וקטרי השטחים יחלקום בשני חצאים
ויהיה שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות ויהיה קטרו ד"ב
Supposition: הנה אומר כי צלעות שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות הצלעות המתנגדות וזויותיו המתנגדות שוות קצתם אל קצתם ושהקוטר יחלקהו לשני חצאיים
הנה מפני כי קו א"ד נכחי אל ב"ג
וכבר נפל על שניהם קו ד"ב הישר
יהיו שתי זויות אד"ב גב"ד המומרות שוות
ומפני כי א"ב גם כן נכחי אל ג"ד
וכבר נפל על שניהם קו ד"ב הישר
יהיו שתי זויות גד"ב דב"א המומרות שוות
אם כן שני משולשי אב"ד גד"ב כבר השתוו משתי זויות אד"ב אב"ד מאחד משניהם לשתי זויות גד"ב דב"ג מן האחר כל אחת לגילה
ובשני המשולשים צלע משותף לשניהם מה שילוה הזויות השוות והוא ד"ב
אם כן שאר הצלעות שוות לשאר הצלעות כל אחת לגילה
אולם קו א"ב לקו ג"ד
ואולם קו א"ד לקו ב"ג
וזוית דא"ב הנשארת שוה לזוית בג"ד הנשארת
ומשלש אב"ג שוה למשלש בג"ד
ומפני כי זוית אב"ד גם כן שוה לזוית בד"ג
וזוית גד"ב שוה לזוית אד"ב
תהיה זוית אב"ג כלה שוה לזוית אד"ג
אם כן הצלעות והזויות המתנגדות מן השטחים הנכחים הצלעות שוות קצתם אל קצתם וקטרי השטחים יחלקו' לשני חצאים
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 35
The parallelograms, which are on the same base, on the same side, and between the same parallel lines, are equal to one another. לה השטחים הנכחיי הצלעות אשר על תושבת אחת ובצד אחד ובמה שבין קוים בעינם נכחים שוים קצתם אל קצת
ויהיו שני השטחים נכחיי הצלעות א"ב ג"ד ה"ב ג"ז על תושבת אחת והיא ב"ג ובמה שבין שני קוים א"ז ב"ג הנכחים
Supposition: הנה אומר כי שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות שוה לשטח ב"ה ג"ז נכחי הצלעות
הנה מפני כי שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות יהיה ב"ג שוה אל ד"א
ומפני זה יהיה ה"ז שוה אל ב"ג
אם כן א"ד שוה אל ה"ז
We define DH common. ונשים ד"ה משותף
אם כן א"ה כולו שוה אל ד"ז כולו
וא"ב גם כן שוה אל ג"ד
אם כן כל שני קוי ב"א א"ה שוים לכל שני קוי ג"ד ד"ז כל אחת לגילה
וזוית בא"ה שוה לזוית גד"ז החיצונה לפנימית
אם כן תושבת ב"ה שוה לתושבת ז"ג
ומשולש הא"ב שוה למשולש זד"ג
ונשליך משלש דח"ה המשותף נשאר שטח א"ב ח"ד שוה לשטח ג"ח ה"ז הנשאר
We define \scriptstyle\triangle_{CBG} common. ונשים משלש חב"ג משותף
אם כן כל שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות שוה לכל שטח ה"ב ג"ז נכחי הצלעות
אם כן השטחים נכחי הצלעות אשר על תושבת אחת ובצד אחד ובמה שבין שני קוים בעינם נכחים שוים קצת אל קצת
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 36
The parallelograms, which are on equal bases, on the same side, and between the same two parallel lines, are equal to one another. לו השטחים נכחי הצלעות אשר על תושבות שוות ובצד אחד ובמה שבין שני קוי נכחיים שוים קצתם אל קצתם
ויהיו שני שטחים נכחיים הצלעות עליהם א"ב ג"ד ה"ז ח"ט על שתי תושבות שוות והם ב"ג ז"ח ובמה שבין שני קוים א"ט ב"ח הנכחיים
Supposition: הנה אומר כי שטח א"ב ג"ד הנכחי הצלעות שוה לשטח ה"ז ח"ט הנכחי הצלעות
ונגיע שני קוי ה"ב ט"ג
הנה מפני כי ב"ג שוה אל ז"ח
וז"ח שוה אל ה"ט
יהיה ה"ט שוה אל ב"ג והוא גם כן נכחי לו
והקוים הישרים אשר יגיעו במה שבין קצוות הקוים הישרים השוים הנכחיים אשר בצד אחד הם גם כן שוים נכחיים
אם כן שני קוי ה"ב ט"ג שוים נכחיים
אם כן שטח א"ב ג"ד הנכחי הצלעות שוה גם כן אל שטח ה"ט ג"ב מפני כי שניהם על תושבת אחת והיא ב"ג ובמה שבין שני קוים והם ב"ח א"ט
ולכן יהיה שטח ה"ז ח"ט נכחי הצלעות שוה לשטח ט"ה ב"ג הנכחי הצלעות
אם כן כל אחד משני שטחי א"ב ג"ד ה"ז ח"ט שוה לשטח ט"ה ב"ג
והדברים השוים לדבר אחד בעינו הם שוים
אם כן שטח א"ב ג"ד הנכחי הצלעות שוה לשטח ה"ז ח"ט הנכחי הצלעות
אם כן השטחים הנכחיים הצלעות אשר על תושבות שוות ובצד אחד ובמה שבין קוים בעינם נכחיים שוים קצתם אל קצת
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 37
The triangles, which are on the same base, on the same side, and between the same two parallel lines, are equal to one another. לז המשולשים אשר על תושבת אחת ובצד אחד ובמה שבין קוים נכחיים שוים קצתם אל קצת
ויהיו שני משולשים אב"ג דב"ג על תושבת אחת והוא ב"ג
ובמה שבין שני קוי ב"ג א"ד הנכחיים
Supposition: הנה אומר כי משולש אב"ג שוה למשולש דב"ג
ונוציא א"ד בשני הצדדים על שתי נקודות ה"ז
ונוציא מנקודת ב' קו ישר נכחי לקו ג"א הישר והוא ב"ה
ומנקודת ג' קו ישר נכחי לקו ב"ד הישר והוא ג"ז
הנה כל אחד משני שטחי ה"ב ג"א ד"ב ג"ז נכחי הצלעות שוים
אם כן שטח ה"ב ג"א הנכחי הצלעות שוה לשטח ז"ד ב"ג הנכחי הצלעות
מפני שהם על תושבת אחת והיא ב"ג
ובמה שבין שני קוי ב"ג ה"ז הנכחים
וחצי שטח ה"ב ג"א הנוכחי הצלעות הוא משולש אב"ג
מפני שא"ב קוטרו
וחצי שטח ד"ב ג"ז הנכחי הצלעות היא משולש דב"ג
מפני שג"ד קטרו
וכאשר נחלקו השוים יהיו גם כן שוים
אם כן משלש אב"ג שוה למשולש דב"ג
הנה כל שני משולשים אשר על תושבת אחת ובצד אחד ובמה שבין שני קוים בעצמם נכחים שוים קצתם אל קצת
ונשלם ביאורו

Proposition 38
The triangles, which are on equal bases, on the same side, and between the same two parallel lines, are equal to one another. לח המשולשים אשר הם על שתי תושבות שוות ובצד אחד ובמה שבין שני קוים בעצמם נכחים שוים קצתם לקצת
ויהיו שני משולשי אב"ג דה"ז על שתי תושבות שוות והם ב"ג ה"ז
ובמה שבין שני קוי א"ד ב"ז הנכחים
Supposition: הנה אומר שמשלש אב"ג שוה למשולש דה"ז
הנה נוציא א"ד בשני הצדדי' על שתי נקודות ח"ט
ונוציא מנקודת ב' קו ישר נכחי לקו א"ג הישר והוא ב"ח
ומנקודת ז' ישר נכחי לקו ה"ד הישר והוא ז"ט
הנה כל אחד משני שטחי ח"ב ג"א ה"ד ז"ט נכחי הצלעות
אם כן שטח ח"ב ג"א נכחי הצלעות שוה לשטח ה"ד ט"ז הנכחי הצלעות
מפני שהם על תושבת ב"ג ה"ז השוים
ובמה שבין שני קוי ב"ז ח"ט הנכחיים
וחצי שטח ח"ב ג"א הוא משולש אב"ג
מפני שא"ב קטרו
וחצי שטח ז"ט ד"ה הוא משולש דה"ז
מפני שד"ז קטרו
וכאשר נחלקו השוים יהיו גם כן שוים
הנה משולש אב"ג שוה למשולש דה"ז
הנה אם כן שני המשולשים אשר הם על תושבת שוות ובצד אחד ובמה שבין שני קוים בעצמם נכחיים קצתם לקצת
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 39
Equal triangles, which are on the same base [and on the same side], are between the same two parallel lines. לט המשולשים השוים אשר על תושבת אחת במה שבין שני קוים בעינם נכחים
יהיו שני משולשי אב"ג דב"ג שוים והם על תושבת אחת והוא ב"ג
ונמשיך קו א"ד
Supposition: אומר שא"ד נכחי אל ב"ג
שאם לא יהיה כן הנה נוציא מנקודת א' קו ישר נכחי לקו ב"ג והוא א"ה
ונמשיך קו ה"ב
הנה משולש הב"ג שוה למשולש אב"ג
מפני שהם על תושבת אחת והיא ב"ג
ובמה שבין שני קוי ב"ג א"ה נכחים
אבל משולש אב"ג שוה למשולש דב"ג
אם כן משולש דב"ג שוה למשולש הב"ג
הגדול לקטן זה מה שאי אפשר להיות
הנה אין קו א"ה נכחי לקו ב"ג
וכן גם כן יתבאר שלא יוצא מנקודת א' קו נכחי לקו ב"ג זולת קו א"ד
הנה קו א"ד נכחי לקו ב"ג
הנה אם כן שני המשולשים השוים אשר תושבת אחת הם במה שבין שני קוים בעצמם נכחים
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 40
Equal triangles, which are on equal bases and both bases are on a straight line and on the same side, are contained between two parallel lines. מ המשולשים השוים אשר על שתי תושבות שוות ושתי התושבות על קו ישר ובצד אחד יכלו במה שבין שני קוים נכחים
יהיו שני משולשי אב"ג דה"ז שוים
ועל שתי תושבות שוות והם ב"ג ה"ז
ונמשיך קו א"ד
Supposition: אומר שא"ד נכחי לב"ז
ואם לא יהיה כן הנה יהיה א"ח נכחי לב"ז אם יהיה אפשר זה
ונמשיך קו ח"ה
הנה משולש הח"ז שוה למשלש אב"ג
מפני שהם על תושבות שוות והם ב"ג ה"ז הישרי'
ובמה שבין שני קוי ב"ז א"ח הנכחים
אבל משלש אב"ג שוה למשולש דה"ז
ומשולש דה"ז שוה למשולש הח"ז
הגדול לקטן וזה בלתי אפשר
הנה אין א"ח נכוחי לב"ז
הנה אם כן א"ד נכחי לב"ז
וכן כן יתבאר כי לא יצא מנקודת א' קו נכחי לקו ב"ז זולת א"ד
אם כן א"ד נכחי אל ב"ז
הנה שני המשולשים השוים אשר על שתי התושבות ושתי התושבות על קו ישר ובצד אחד יכלו במה שבין שני קוים נכחים
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 41
When a parallelogram and a triangle are on the same base and are between the same parallel lines, then the parallelogram is double the triangle.
מא כאשר היה שטח נכחי הצלעות ומשולש על תושבת אחת ובין שני קוי בעינם נכחיים הנה השטח הנכחי הצלעות היא כפל המשולש
יהיה שטח נכחי הצלעות עליו א"ב ג"ד ומשלש אב"ג והבעל תושבת אחת והיא ב"ג ובמה שבין שני קוי ב"ג א"ד הנכחיים
Supposition: הנה אומר כי שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות כפל משלש אב"ג
מפני כי שניהם על תושבת אחת והיא ב"ג ובמה שבין שני קוי נכחיים והם ב"ג א"ד
אבל כפל משולש אב"ג הוא שטח אבג"ד הנכחי הצלעות
מפני כי קטרו א"ג
אם כן יהיה שטח א"ב ג"ד נכחי הצלעות כפל משולש אב"ג
אם כן כאשר היא שטח נכחי הצלעות ומשולש על תושבת אחת ומה שבין שני קוים בעצמם נכחים הנה השטח הנכחי הצלעות כפל המשולש
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 42
We wish to construct a parallelogram equal to a given triangle, whose angle is equal to a given rectilinear angle. מב נרצה שנעמיד שטח נכחי הצלעות שוה למשולש מונח שוה זויתו לזוית מונחת ישרת הקוים
הנה יהיה המשולש המונח עליו אב"ג והזוית המונחת ישרת הקוים זוית ד'
ונרצה שנעמיד שטח נכחי הצלעות שוה למשולש אב"ג המונח שוה זויתו לזוית ד' ישרת הקוים
הנה נחלק ב"ג לחציים על נקודת ה'
ונגיע א"ה
ונעמיד על קו ה"ג הישר על נקודת ה' ממנו זוית ישרת הקוים שוה לזוית ד' ישרת הקוים והיא זוית גה"ז
ונוציא מנקודת ג' קו ג"ח נכחי לקו ה"ז הישר
ומנקודת ח' קו א"ח נכחי לקו ב"ג הישר
אם כן שטח ז"ה ג"ח נכחי הצלעות
ומפני כי ב"ה שוה אל ה"ג
יהיה משולש אב"ה שוה למשלש אה"ג
מפני כי שניהם על שתי תושבות שוות ושניהם בין שני קוי ב"ג א"ח הנכחים
אם כן משלש אב"ג כפל משלש אה"ג
ושטח ה"ז ג"ח נכחי הצלעות גם כן כפל משלש אה"ג
מפני כי שניהם על תושבת אחת והיא ה"ג ובמה שבין שני קוי ה"ג א"ח הנכחים
אם כן שטח ז"ה ג"ח נכחי הצלעות שוה למשלש אב"ג
מפני כי מה שהם כפל לדבר אחד בעינו הם שוים
הנה כבר העמדנו שטח ז"ח ג"ה הנכחי הצלעות שוה למשולש אב"ג וזוית זה"ג ממנו שוה לזוית ד'
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 43
For every parallelogram, the complements of the two parallelograms on both sides of its the diameter are equal to one another. מג כל שטח נכחי הצלעות הנה שתי השטחים נכחי הצלעות אשר משני צדי קטרו אשר יקרא לשניהם המתמימים שוים
ויהיה שטח נכחי הצלעות עליו אב"ג ג"ד ויהיה קטרו ד"ב ויהיה על קוטר ד"ב שני שטחי ד"ה ז"ח ז"ט ב"כ נכחי הצלעות
ויהיו שני השטחים אשר יקרא לשניהם המתמימים שטח א"ט ז"ה ז"כ ג"ח
Supposition: \scriptstyle\Box_{ATZH}=\Box_{ZKGC} ואומר ששני שטחי א"ט ז"ה ז"כ ג"ח שוים
Proof: הנה מפני כי א"ב ג"ד נכחי הצלעות וקטרו ד"ב
\scriptstyle\triangle_{ABD}=\triangle_{DGB} יהיה משולש אב"ד שוה למשולש דג"ב
ומפני כי שטח ד"ה ז"ח גם כן נכחי הצלעות וקטרו ד"ז
  • \scriptstyle\triangle_{ZHD}=\triangle_{ZCD}
 יהיה משולש זה"ד שוה למשלש זח"ד
  • \scriptstyle\triangle_{ZTB}=\triangle_{ZKB}
 ולזה גם כן יהיה משולש זט"ב שוה למשולש זכ"ב
\scriptstyle\triangle_{ZHD}+\triangle_{ZTB}=\triangle_{DCZ}+\triangle_{ZKB}
 אם כן שני משלשי דה"ז זט"ב שוים לשני משולשי דח"ז זכ"ב
\scriptstyle\triangle_{ABD}=\triangle_{DBG} וכבר התבאר גם כן כי כל משולש אב"ד שוה לכל משולש דב"ג
\scriptstyle\Box_{ATZH}=\Box_{ZKGC} הנה יחוייב שיהיה שטח א"ט ז"ה המתמים הנשאר שוה לשטח ז"כ ג"ח המתמים הנשאר
אם כן כל שטח נכחי הצלעות אשר משני צדדי קטרו אשר יקרא לשניהם המתמימים שוים
Q.E.D. וזמש"ל

Proposition 44
We wish to construct a parallelogram on a given straight line equal to a given triangle, whose angle is equal to a rectilinear angle. מד נרצה שנעשה על קו ישר מונח שטח נכחי הצלעות שוה למשולש מונח שוה זויתו לזוית מונחת ישרת הקוים
ויהיה הקו הישר המונח א"ב ומשולש המונח גד"ה והזוית המונחת ישרת הקוים זוית ז'
ונרצה שנעשה על קו א"ב הישר המונח שטח נכחי הצלעות שוה למשולש גד"ה המונח שוה זויתו לזוית ז' המונחת ישרת הקוים
הנה נעמיד שטח נכחי הצלעות עליו ח"ב כ"ט שוה למשולש גד"ה המונח שוה זויתו לזוית ז'
ויהיה ב"כ ממנו על יושר כ"א
ונתמים שטח ל"א ב"ח הנכחי הצלעות
ונגיע קו ל"ב
הנה מפני כי ל"א נכחי אל ט"ב
וכבר נפל על שניהם קו ל"ט הישר
יהיו שתי זויות אל"ט לט"כ הפנימיות שוות לשתי נצבות
אם כן שתי זויות בל"ט לט"כ פחות משתי זויות נצבות
והקוים אשר יצאו בפחות משתי נצבות אשר לא תכלית יפגשו
אם כן שני קוי ל"ב ט"כ כאשר יצאו אל לא תכלית יפגשו ויוצאו ויפגשו על נקודת מ'
ונוציא מנקודת מ' קו נכחי לשני קוי ב"א ל"ט והוא מ"נ
ונוציא שני קוי א"נ כ"ה על יושר שני קוי ל"א ח"ב
הנה מפני כי ל"נ נכחי הצלעות וקטרו מ"ל
ועל קוטר ל"מ שני שטחי ל"א ב"ח ב"ס מ"כ נכחי הצלעות
ושני שטחי א"נ ח"ב ח"כ כ"ט הם המתמימים
אם כן שטח ח"ב כ"ט נכחי הצלעות שוה לשטח א"נ ה"ב נכחי הצלעות
אבל שטח ח"ב ט"ב שוה למשולש גד"ה
אם כן שטח א"נ ה"כ הנכחי הצלעות שוה למשלש גד"ה
ומפני כי זוית חב"כ שוה לזוית אב"ה
וזוית חב"כ שוה לזוית ז'
תהיה זוית אב"ה שוה לזוית ז'
הנה כבר נעשה על קו א"ב הישר המונח שטח נכחי הצלעות שוה למשולש גד"ה המונח
וזוית אב"ה ממנו שוה לזוית ז' המונחת ישרת הקוים
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 45
We wish to construct a parallelogram equal to a rectilinear figure, whose angle is equal to a given rectilinear angle. מה נרצה שנעמיד שטח נכחי הצלעות שוה לתמונה ישרת הקוים ותהיה שוה זויתה לזוית מונחת ישרת הקוים
ותהיה התמונה ישרת הקוים המונחת א"ב ג"ד
ותהיה הזוית המונחת ישרת הקוים זוית ל'
ונרצה שנעמיד שטח נכחי הצלעות שוה לתמונה א"ב ג"ד ישרת הקוים שוה זויתו לזוית ל'
הנה נגיע ב"ג
ונעמיד שטח נכחי הצלעות שוה למשולש אב"ג והוא ה"ז כ"ט
שוה זוית זה"ט ממנו לזוית ל'
ונעשה על ז"כ שטח נכחי הצלעות שוה למשולש בג"ד והוא ז"ח כ"מ
שוה זוית חז"כ ממנו לזוית ל'
הנה מפני שכל אחת משתי זויות זה"ט חז"ב שוות לזוית ל'
תהיה זוית חז"כ שוה לזוית זה"ט
We define \scriptstyle\measuredangle HZK common. ונשים זוית הז"כ משותפת
א"כ שתי זויות זה"ט הז"כ שוות לשתי זויות חז"כ כז"ה
אבל שתי זויות זה"ט הז"כ שוות לשתי נצבות
אם כן זויות חז"כ כז"ה שוות לשתי נצבות
אם כן ה"ז על יושר קו ז"ח
ולכן גם כן קו ט"ב על יושר קו כ"מ
ומפני כי ה"ז שוה אל כ"ט ונכחי לו
וז"ח שוה אל כ"מ ונכחי לו
יהיה כל ה"ח שוה אל ט"ב ונכחי לו
אם כן שטח ה"ח ט"מ נכחי הצלעות שוה לתמונה א"ב ג"ד ישרת הקוים
וזוית זה"ט שוה לזוית ל'
הנה כבר העמדנו שטח נכחי הצלעות שוה לתמונת א"ב ג"ד ישרת הקוים שוה זויותו לזוית מונחת ישרת הקוים
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 46
We wish to construct a square on a given straight line. מו נרצה שנעשה על קו ישר מונח מרובע
Example: straight line AB. ויהיה הקו הישר א"ב
We wish to construct a square on AB. ונרצה לעשות על קו א"ב מרובע
  • We draw line AG at right angle from the point A on line AB.
 הנה נוציא מקו א"ב מנקדת א' ממנו קו ישר על זוית נצבת והוא קו א"ג
  • We define: \scriptstyle AG=AB
 ונשים א"ג כמו א"ב
  • We draw straight line GD from the point D parallel to line AB.
 ונוציא מנקודת ג' קו ישר נכחי לקו א"ב והוא ג"ד
  • We draw line BD from the point B parallel to line AG.
 ונוציא מנקודת ב' קו נכחי לקו א"ג והוא ב"ד
  • GABD is a parallelogram
 אם כן שטח ג"א ב"ד נכחי הצלעות
  • \scriptstyle AB=GD
 וקו א"ב שוה לקו ג"ד
  • \scriptstyle AG=BD
 וקו א"ג לקו ב"ד
  • \scriptstyle AB=AG
 אבל קו א"ב שוה לקו א"ג
  • \scriptstyle\longrightarrow GD=DB
 אם כן קו ג"ד שוה אל קו ד"ב
Therefore, lines AB, BD, DG, GA are equal to one another. אם כן קוי א"ב ב"ד ד"ג ג"א הם שוים
Hence, AGDB is equilateral. אם כן שטח א"ג ד"ב שוה הצלעות
Supposition: it is also right-angled. ואומר גם כן כי הוא נצב הזוי'
  • Line GA falls upon the parallel lines AB and GD.
כי מפני שהוא כבר נפל על שני קוי א"ב ג"ד הנכחיים קו ג"א
  • \scriptstyle\measuredangle BAG+\measuredangle AGD=90^\circ+90^\circ
 יהיו שתי זויות בא"ג אג"ד שוות לשתי זויות נצבות
  • \scriptstyle\measuredangle BAG=90^\circ
 אבל זוית בא"ג נצבת
  • \scriptstyle\measuredangle AGD=90^\circ
 אם כן זוית אג"ד גם כן נצבת
Opposite sides and angles in parallelogrammic areas are equal to one another. והזויות והצלעות המתנגדות מן השטחים נכחי הצלעות שוים
  • each of the angles \scriptstyle\measuredangle ABD and \scriptstyle\measuredangle BDG that are opposite to the above mentioned are right.
 אם כן כל אחת משתי זויות אב"ד בד"ג המתנגדות לאשר זכרנו שוות
AGDB is right-angled and it was already proved equilateral. אם כן שטח א"ב ג"ד נצב הזויות וכבר התבאר שהוא שוה הצלעות
  • Therefore it is a square and it is constructed on line AB \scriptstyle AB\times GD=AB^2
 אם כן שטח א"ב ג"ד מרובע והוא עשוי על קו א"ב
We have constructed a square on the given line AB. הנה כבר קוינו מקו א"ב המונח מרובע
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 47
The square on the hypotenuse in right-angled triangles equals [the sum of] the two squares on the two sides containing the right angle. מז המרובע ההוה מן הצלע אשר יהיה מיתר הזוית הנצבת מן המשולשים נצבי הזויות שוה לשני המרובעים ההוים משתי צלעות המקיפות הזוית הנצבת
Example: \scriptstyle\triangle_{ABG} is a right-angled triangle. ויהיה המשולש נצב הזוית אב"ג
  • \scriptstyle\measuredangle BAG=90^\circ
 ותהיה זויתו הנצבת זוית בא"ג
Supposition: \scriptstyle BG^2=BA^2+AG^2 הנה אומר כי המרובע ההווה מן ב"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן ב"א וא"ג
  • \scriptstyle\Box_{BDHG}=BG^2
 הנה נקוה מן ב"ג מרובע ב"ד ה"ג
  • \scriptstyle\Box_{BCZA}=BA^2\quad\Box_{GATK}=AG^2
 ומן ב"א א"ג שני מרובעים ב"ח ז"א ג"א ט"כ
  • We draw line AL from point A parallel to BD and GH.
 ונוציא מנקודת א' קו נכחי לכל אחד משני קוי ב"ד ג"ה והוא א"ל
  • We join lines CG and AD.
 ונגיע שני קוי ח"ג א"ד
  • \scriptstyle\measuredangle BAG=90^\circ
 הנה מפני זוית בא"ג נצבת
  • \scriptstyle\measuredangle BAZ=90^\circ
 וזוית בא"ז גם כן נצבת
When two straight lines ZA and AG are drawn from point A, but are not lying on the same side, the adjacent angles on both sides are equal to two right angles. יהיה כאשר הוצא מנקודת א' ממנו שני קוי ז"א א"ג הישרים ואינם בצד אחד ויהיו שתי זויות גא"ב בא"ז אשר משני הצדדים שוות לשתי נצבות
  • \scriptstyle ZA\parallel GA
 אם כן קו ז"א על יושר ג"א
  • \scriptstyle AT\parallel AB
 ולכן יהיה קו א"ט על יושר קו א"ב
  • \scriptstyle\measuredangle CBA=90^\circ=\measuredangle DBG
 ומפני כי זוית חב"א שוה לזוית דב"ג

וזה כי כל אחת משתיהן נצבות

We define \scriptstyle\measuredangle ABG common: נשים זוית אב"ג משותפת
  • \scriptstyle\measuredangle CBG=\measuredangle ABD
 יהיה כל זוית חב"ג שוה לכל זוית אב"ד
  • \scriptstyle CB=BA
 ומפני כי ח"ב שוה אל ב"א
  • \scriptstyle BG=BD
 וב"ג אל ב"ד
  • The two sides CB and BG are equal to the two sides AB and BD respectively.
 יהיו כל שני קוי ח"ב ב"ג שוים לכל שני קוי א"ב ב"ד כל אחד לגילו
  • \scriptstyle\measuredangle CBG=\measuredangle ABD
 וזוית חב"ג שוה לזוית אב"ד
  • \scriptstyle CG=AD
 אם כן תושבת ח"ג שוה לתושבת א"ד
  • \scriptstyle\triangle_{CBG}=\triangle_{ABD}
 ומשולש חב"ג למשולש אב"ד
  • But the parallelogram BDLM = \scriptstyle2\sdot\triangle_{ABD}:
אבל שטח ב"ד ל"מ נכחי הצלעות כפל משולש אב"ד
  • They have the same base BD.
מפני כי שניהם על תושבת אחת והיא ב"ד
  • They are between the same parallel lines BD and AL.
 ובמה שבין שני קוים נכחיים והם ב"ד א"ל
  • \scriptstyle\square_{BAZC}=2\sdot\triangle_{CBG}:
 ושטח ב"א ז"ח כפל משולש חב"ג
  • They have the same base BC.
 מפני שניהם על תושבת אחת והיא ב"ח
  • They are between the same parallel lines CB and ZG.
 ובמה שבין קוים נכחיים והם ח"ב ז"ג הנכחיים
Those that are double the same thing are equal. ואשר הם כפל לדבר אחד שוה הנה הם גם כן שוים
  • The parallelogram BDLM = \scriptstyle\square_{CBAZ}
 אם כן שטח ב"ד ל"מ הנכחי הצלעות שוה למרובע חבא"ז
  • The parallelogram MLHG = \scriptstyle TA^2
 וכן יתבאר כי שטח מ"ל ה"ג הנכחי הצלעות שוה למרובע ט"א
  • The parallelogram BDHG = \scriptstyle\square_{CBAZ}+\square_{TZGB}=BA^2+AG^2
 אם כן ב"ד ה"ג הנכחיי הצלעות שוה לשני מרובעי ח"ב א"ז ט"ז ג"ב והם הווים מן ב"א א"ג
The square on the hypotenuse in right-angled triangles equals [the sum of] the two squares on the [two] sides containing the right angle. אם כן המרובע ההוה מן הצלע אשר תהיה מיתר הזוית הנצבת מן המשולשים נצבי הזויות שוים לשני המרובעים ההוים מהצלעות המקיפות בזוית הנצבת
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 48
When the square on one of the sides of the triangle equals [the sum of] the squares on the remaining [two] sides [of the triangle], then the angle contained by the remaining two sides of the triangle is right. מח כאשר היה המרובע ההווה מן הצלע מצלעות המשלש שוה למרובעים ההוים מן הצלעות הנשארות הנה הזוית אשר יקיפו בה שתי צלעות ההם מן המשולש נצבת
Example: \scriptstyle\triangle_{ABG} ויהיה המשלש עליו אב"ג
  • \scriptstyle BG^2=AG^2+{\color{red}{AB^2}}
 ויהיה המרובע ההוה מן ב"ג ממנו שוה לשני המרובעים ההוים מן א"ג
Supposition: \scriptstyle\measuredangle BAG=90^\circ הנה אומר כי זוית בא"ג נצבת
  • We draw line AD from point A at right angle to AG.
 ונוציא מנקודת א' קו א"ד נצבת על א"ג על זוית נצבת
  • We define: \scriptstyle AD=AB
 ונשים קו א"ד שוה לקו א"ב
  • We join G and D.
 ונדביק ג"ד
  • \scriptstyle BG^2=BA^2+AG^2
 הנה מפני כי מרובע ב"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן ב"א א"ג
  • \scriptstyle BA=AD
 וקו ב"א שוה לקו א"ד
  • \scriptstyle BG^2=AG^2+AD^2
 יהיה המרובע ההוה מן ב"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן א"ג א"ד
  • \scriptstyle AG^2+AD^2=DG^2
 אבל שני המרובעים ההוים מן א"ג א"ד שוים למרובע ההוה מן ד"ג
Since \scriptstyle\measuredangle DAG=90^\circ
 מפני כי זוית דא"ג נצבת
  • \scriptstyle DG^2=BG^2
 הנה המרובע ההוה מן ד"ג שוה למרובע ההוה מן ב"ג
  • \scriptstyle BG=GD
 אם כן קו ב"ג שוה לקו ג"ד
  • \scriptstyle BA=AD
 ומפני כי קו ב"א שוה אל קו א"ד
  • Line AG is common.
 וקו א"ג משותף
  • The two sides BA and AG are equal the two sides DA and AG respectively.
 יהיו כל שני קוי ב"א א"ג שוים לכל שני קוי ד"א א"ג כל אחת לגילו
  • \scriptstyle BG=GD
 ותושבת ב"ג שוה לתושבת ג"ד
  • \scriptstyle\longrightarrow\measuredangle BAG=\measuredangle GAD
 אם כן זוית בא"ג שוה לזוית גא"ד
  • \scriptstyle\measuredangle GAD=90^\circ
 וזוית גא"ד נצבת
  • \scriptstyle\measuredangle BAG=90^\circ
 אם כן זוית בא"ג נצבת
Therefore, when the square on [one of] the sides of the triangle equals [the sum of] the squares on the remaining two sides [of the triangle], then the angle contained by the remaining two sides of the triangle is right. אם כן כאשר היה המרובע ההוה מצלעות ממשלש שוה לשני המרובעים ההוים משני צלעות הנשארות הנה הזוית אשר יקיפו בה שני הצלעות הנשארות מן המשולש נצבת
Q.E.D. וזה מש"ל
נשלם המאמר הראשון מספר אקלידס החכם בשרשים
ומספר תמונותיו שמנה וארבעים
ונתחיל המאמר השני בג"ה אמן

Book Two

 המאמר השני[1] מספר אקלידס החכם‫[2]
  • definition: two straight lines containing a rectangular parallelogram
 ‫[note 1]כל שטח נכחי הצלעות נצב הזויות הנה שני[3] הקוים[4] הישרים המקיפים באחת[5] מזויותיו[6] הנצבות[7] יקרא[8] לשניהם[9] המקיפים[10] בו‫[11][note 2]
  • definition: gnomon
 ‫[note 3]וכל[12] שטח[13] נכחי[14] הצלעות הנה[15] יקרא אחד[16] משני[17] השטחים[18] הנכחי[19] הצלעות אשר הם[20] על קוטרו[21] אי זה משניהם היה[22] עם שני השטחים[23] המתמימים[24][note 4] הרושם‫[25][note 5]

Proposition 1
The distributive law for multiplication over addition:

\scriptstyle a\times\left(b_1+b_2\right)=\left(a\times b_1\right)+\left(a\times b_2\right)

‫[note 6]א[26] כאשר היו[27] שני קוים ישרים[28] וחולק[29] אחד מהם[30] לחלקים[31] איזה מספר שיהיה[32] הנה[33] השטח הנצב[34] הזויות[35] אשר יקיפו[36] בו[37] השני קוים[38] הישרים[39] שוה[40] לכל השטחים[41] הנצבי[42] הזויות אשר יקיף[43] בכל אחד מהם[44] הקו[45] אשר לא[46] יחלק[47] וכל[48] אחד[49] מן החלקים‫[50][note 7]
ויהיו[51] שני[52] קוים ישרים[53] על שניהם[54] א' ב"ג ונחלק ב"ג לחלקים[55] כמה שיהיו[56] על שתי[57] נקודות[58] ד'ה'
Supposition: \scriptstyle A\times BG=\left(A\times BD\right)+\left(A\times DH\right)+\left(A\times HG\right) הנה אומר כי[59] השטח הנצב[60] הזויות[61] אשר יקיפו בו[62] שני[63] קוי[64] א' ב"ג שוה[65] לשטח הנצב[66] הזויות[67] אשר יקיפו בו שני[68] קוי[69] א' ב"ד[70] והשטח הנצב[71] הזויות אשר יקיפו בו שני[72] קוי[73] א' ד"ה[74] והשטח הנצב[75] הזויות[76] גם כן[77] אשר יקיפו בו[78] א' ה"ג‫[note 8]
  • \scriptstyle BG\perp BZ
 ונוציא[79] מנקודת ב' מן קו[80] ב"ג הישר[81] קו ישר[82] על זוית נצבת[83] והוא ב"ז מי”א מא‫’[84]
  • \scriptstyle BZ=A
 ונשים[85] קו ב"ז[86] הישר שוה[87] לקו א' הישר[88] מג’ מא‫’[89]
  • \scriptstyle ZC\parallel BG
 ונוציא מנקודת ז' קו ז"ח נכחי[90] לקו ב"ג הישר‫[91]
  • \scriptstyle DT,HK,GC\parallel BZ
 ונוציא מן[92] ד'[93] ה' ג'[94] קוים נכחיים לקו ב"ז והם קוי[95] ד"ט ה"כ[96] ג"ח מל”א מא‫’[97]
הנה כל[98] אחד[99] משטחי ב"ט ד"כ[100] ה"ח נכחי הצלעות
  • \scriptstyle\Box_{BC}=\Box_{BT}+\Box_{DK}+\Box_{HC}
 ושטח[101] ב"ח שוה לשטחי[102] ב"ט[103] ד"כ ה"ח מפתיחת הראשון‫[104]
  • \scriptstyle\Box_{BC}= A\times BG
 ואולם[105] שטח ב"ח הנה הוא[106] שוה לשטח הנצב[107] הזויות[108] אשר יקיפו בו שני[109] קוי א' ב"ג
\scriptstyle BZ=A
 מפני כי קו[110] ב"ז שוה לקו א‫'‫[111]
  • \scriptstyle\Box_{BT}= A\times BD
 ואולם שטח[112] ב"ט[113] הנה הוא[114] שוה לשטח נצב[115] הזויות[116] אשר[117] יקיפו בו שני[118] קוי[119] א' ב"ד
\scriptstyle BZ=A
 מפני כי קו[120] ב"ז שוה לקו א‫'‫[121]
  • \scriptstyle\Box_{DK}= A\times DH
 ואולם שטח[122] ד"כ[123] הנה הוא[124] שוה[125] לשטח הנצב[126] הזויות[127] אשר יקיפו בו שני קוי[128] א' ד"ה[129]
\scriptstyle A=DT
 מפני כי קו[130] א' שוה לקו ד"ט
  • \scriptstyle\Box_{HC}= A\times HG
 ואולם שטח[131] ה"ח הנה הוא[132] שוה[133] לשטח הנצב[134] הזויות[135] אשר יקיפו בו[136] שני קוי[137] א' ה"ג
\scriptstyle A=HK
 מפני כי קו[138] א' שוה לקו ה"כ[139][note 9] מל”ד מא’‫[140][note 10]
\scriptstyle A\times BG=\left(A\times BD\right)+\left(A\times DH\right)+\left(A\times HG\right) הנה השטח[141] הנצב[142] הזויות[143] אשר יקיפו[144] בו שני[145] קוי[146] א' ב"ג[147] שוה לשטחים נצבי הזויות[148] אשר יקיפו בהם א' ב"ד וא' ד"ה וא' ה"ג‫[149][note 11]
הנה[150] כאשר[151] היו[152] שני[153] קוים ישרים ונחלק[154] אחד[155] משניהם[156] לחלקים כמה שיהיו[157] הנה השטח[158] הנצב[159] הזויות[160] אשר יקיפו בו[161] שני[162] הקוים[163] הישרים[164] שוה[165] לכל השטחים[166] הנצבים[167] הזויות אשר יקיף[168] בהם[169] הקו אשר לא נחלק[170] וכל[171] אחד[172] מן החלקים‫[173]
וזה[174] מה שרצינו לבאר‫[175]

Proposition 2
in modern notation: \scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]=\left(a+b\right)^2
ב[176] כאשר נחלק[177] קו ישר[178] איך שקרה[179] הנה[180] השטחים[181] נצבי[182] הזויות[183] אשר יקיף[184] בהם הקו כלו וכל אחד מחלקיו[185] שוה למרובע המתהוה[186] מן[187] הקו[188] כלו‫[189][note 12]
ויהיה[190] קו[191] ישר[192] עליו[193] א"ב[194] ויחלק[195] איך שיקרה[196] על נקודת ג'[197]
Supposition: \scriptstyle\left(AB\times BG\right)+\left(AB\times AG\right)=AB^2 הנה[198] אומר כי[199] השטח[200] הנצב[201] הזויות[202] אשר יקיפו[203] בו שני[204] קוי א"ב[205] ב"ג[206] עם[207] השטח[208] הנצב[209] הזויות[210] אשר יקיפו בו שני[211] קוי[212] א"ב א"ג[213] שוה[214] למרובע המתהוה[215] מן א"ב‫[216][note 13]
והנה[217] נעשה על קו[218] א"ב[219] מרובע עליו[220] א"דה"ב ממ”ו מא‫’‫[221]
  • \scriptstyle AD,BH\parallel GZ
 ונוציא מנקודת ג' קו ישר נכחי לכל[222] אחד משני[223] קוי [224] א"ד ב"ה והוא ג"ז מל”א מא‫’‫[225]
הנה כל אחד משני[226] שטחי[227] א"ז ג"ה נכחי הצלעות
  • \scriptstyle\Box_{AH}=\Box_{AZ}+\Box_{GH}
 ושטח א"ה שוה לשני[228] שטחי[229] א"ז ג"ה[230] מא’ מזה‫[231]
  • \scriptstyle\Box_{AZ}=BA\times AG
 ושטח א"ז שוה[232] לשטח נצב[233] הזויות[234] אשר יקיפו[235] בו[236] ב"א [237]א"ג[238]
\scriptstyle AD=AB
 כי הוא[239] יקיפו[240] בו שני[241] קוי א"ד[242] א"ג[243] וקו א"ד[244] שוה לקו א"ב
  • \scriptstyle\Box_{GH}=AB\times BG
 ושטח ג"ה שוה[245] לשטח הנצב[246] הזויות[247] אשר יקיפו בו[248] שני[249] קוי[250] א"ב ב"ג[251]
\scriptstyle AB=BH
 מפני שא"ב[252] שוה לב"ה‫[253]
  • \scriptstyle\Box_{AH}=AB^2
 ושטח א"ה הוא[254] המרובע ההוה[255] מקו א"ב[256]
\scriptstyle\left(AB\times AG\right)+\left(AB\times BG\right)=AB^2 הנה[257] השטח[258] נצב[259] הזויות[260] אשר יקיפו בו[261] שני[262] קוי א"ב[263] א"ג[264] עם השטח הנצב[265] הזויות[266] אשר יקיפו בו[267] שני קוי[268] א"ב ב"ג[269] שוה[270] למרובע[271] המתהוה[272] מן[273] א"ב‫[274][note 14]
הנה[275] כאשר נחלק[276] קו[277] ישר[278] איך שקרה[279] הנה[280] השטחים[281] הנצבי[282] הזויות אשר יקיף בהם[283] הקו כלו וכל אחד[284] מחלקיו[285] שוה למרובע המתהוה[286] מן הקו[287] כלו‫[288]
וזה מה שרצינו לבאר‫[289]

Proposition 3
in modern notation: \scriptstyle\left(a+b\right)\sdot a=\left(b\sdot a\right)+a^2
ג[290] כאשר נחלק[291] קו ישר[292] בשני[293] חלקים[294] איך שקרה[295] הנה[296] השטח[297] הנצב[298] הזויות אשר יקיף[299] בו[300] הקו[301] כלו ואחד משני[302] חלקיו[303] שוה לשטח הנצב[304] הזויות[305] אשר יקיפו[306] בו[307]השני[308] חלקים[309] והמרובע[310] המתהוה[311] מן[312] החלק[313] אשר זכרנו‫[314][note 15]
ויהיה[315] קו[316] ישר[317] עליו[318] א"ב[319] ויחלק[320] איך שיקרה[321] על[322] נקודת ג'
Supposition: \scriptstyle AB\times BG=\left(AG\times GB\right)+GB^2 הנה[323] אומר כי השטח[324] הנצב[325] הזויות אשר יקיפו[326] בו קוי[327] א"ב ב"ג שוה[328] לשטח הנצב[329] הזויות[330] אשר יקיפו בו[331] שני[332] קוי[333] א"ג ג"ב[334] והמרובע המתהוה[335] מן ג"ב‫[336][note 16]
ונעשה[337] מן קו[338] ג"ב[339] מרובע עליו[340] בגד"ה[341] ממ”ו מא‫’‫[342]
ונתמים[343] שטח א"ג ד"ז[344] הנכחי[345] הצלעות[346] מל”א וממ”ב מא‫’‫[347]
הנה[348] כל אחד[349] משני[350] שטחי[351] א"ה[352] א"ד[353] נכחי[354] הצלעות[355]
  • \scriptstyle\Box_{AH}=\Box_{AD}+\Box_{GH}
 ושטח א"ה שוה לשטח א"ד עם ג"ה[356] מא’ מזה‫[357]
  • \scriptstyle\Box_{AH}=AB\times BG
 וא"ה שוה לשטח הנצב[358] הזויות[359] אשר יקיפו בו[360] שני[361] קוי א"ב ב"ג[362]
\scriptstyle BG=BH
 מפני כי ב"ג[363] שוה לב"ה
  • \scriptstyle\Box_{AD}=AG\times GB
 ושטח א"ד שוה לשטח הנצב[364] הזויות אשר יקיפו בו שני[365] קוי[366] א"ג ג"ב[367]
\scriptstyle BG=GD
 מפני כי ב"ג[368] שוה לג"ד‫[369]
  • \scriptstyle\Box_{HG}=GB^2
 ושטח ה"ג[370] הוא[371] המרובע[372] המתהוה[373] מן ג"ב‫[374]
\scriptstyle AB\times BG=\left(AG\times GB\right)+GB^2 הנה[375] השטח הנצב[376] הזויות אשר יקיפו בו שני[377] קוי א"ב ב"ג שוה לשטח הנצב[378] הזויות אשר יקיפו בו שני[379] קוי[380] א"ג ג"ב[381] והמרובע[382] המתהוה[383] מן ג"ב‫[384][note 17]
הנה[385] כאשר חולק[386] קו ישר[387] בשני[388] חלקים[389] איך שיקרה[390] הנה[391] השטח הנצב[392] הזויות אשר יקיף[393] בו הקו כלו ואחד משני[394] חלקיו[395] שוה לשטח הנצב[396] הזויות אשר יקיפו בו השני[397] חלקים[398] והמרובע המתהוה[399] מן החלק[400] אשר זכרנו‫[401]
וזה מה שרצינו לבאר‫[402]

Proposition 4
in modern notation: \scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2\sdot\left(a\sdot b\right)
ד[403] כאשר חולק[404] קו ישר[405] בשני[406] חלקים[407] איך שיקרה[408] הנה[409] המרובע[410] המתהוה[411] מן[412] הקו[413] כלו שוה לשני[414] המרובעים[415] המתהוים[416] מן השני[417] חלקים[418] וכפל[419] השטח[420] הנצב[421] הזויות אשר יקיפו בו השני[422] חלקים‫[423][note 18]
ויהיה[424] קו ישר[425] עליו[426] א"ב ויחולק[427] איך שיקרה[428] על נקודת ג'
Supposition: \scriptstyle AB^2=AG^2+GB^2+2\sdot\left(AG\times GB\right) הנה[429] אומר כי המרובע[430] המתהוה[431] מן א"ב[432] שוה לשני[433] המרובעים המתהוים[434] מן א"ג[435] ג"ב[436] וכפל[437] השטח[438] הנצב[439] הזויות[440] אשר יקיפו בו שני[441] קוי א"ג ג"ב‫[442][note 19]
הנה נעשה מן א"ב מרובע א"דה"ב ממ"ו מא‫’
ונגיע ד"ב ונוציא מנקודת ג' קו נכחי לשני קוי א"ד ב"ה והוא ג"ז מל"א מא‫’
ויחתוך קו ד"ב על נקודת ח' ונוציא מנקודת ח' קו נכחי לשני קוי א"ב ד"ה והוא קו ט"כ הנה מפני כי קו ג"ז נכחי לקו א"ד וכבר נפל על שניהם קו ב"ד הישר תהיה זוית ג'ח'ב' החיצונה שוה לזוית א'ד'ב' הפנימית אשר תקבילה מכ”ט מא‫’
  • \scriptstyle\measuredangle ADB=\measuredangle DBA
 אבל זוית א'ד'ב' שוה לזוית ד'ב'א'
\scriptstyle AD=AB
 מפני כי צלע א"ד שוה לצלע א"ב מה’ מא‫’
  • \scriptstyle\measuredangle GCB=\measuredangle ABD
 הנה זוית ג'ח'ב' שוה לזוית א'ב'ד'
  • \scriptstyle GC=GB
 הנה יהיה צלע ג"ח שוה לצלע ג"ב מו’ מא‫’
ומפני כי צלע ג"ח שוה לב"כ וג"ב שוה לח"כ יהיו קוי ב"ג ג"ח ח"כ כ"ב הארבעה שוים קצתם אל קצת הנה שטח ג"כ שוה הצלעות מל”ד מא‫’
ואומר גם כן כי הוא נצב הזויות הנה מפני כי ג"ח נכחי לב"כ וכבר נפל על שניהם ג"ב יהיו שתי זויות ג'ב'כ' ח'ג'ב' שוות לשתי נצבות מכ”ט מא‫’
  • \scriptstyle\measuredangle KBG=90^\circ
 וזוית כ'ב'ג' נצבת
  • \scriptstyle\measuredangle BGC=90^\circ
 הנה זוית ב'ג'ח' נצבת
ויהיו מפני זה שתי זויות ג'ח'כ' ח'כ'ב' המקבילות לשתיהן נצבות מל”ד מא‫’
הנה שטח ח"ג כ"ב נצב הזויות וכבר התבאר שהוא שוה הצלעות הנה שטח ג"כ מרובע והוא המתהוה מן ג"ב
וכן התבאר ששטח ט"ז גם כן מרובע והוא המתהוה מן ט”ח אשר הוא שוה לקו א”ג הנה שני שטחי כ"ג ט"ז שני מרובעים והם שוים לשני מרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב
אבל ה"ח שוה לא"ח ממ”ג מא‫’
וא"ח שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב מפני שג"ב שוה לג"ח הנה ה"ח שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב הנה שני שטחי א"ח ח"ה שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב ושני שטחי ט"ז ג"כ שוים לשני המרובעים המתהוים מן קוי א"ג ג"ב הנה כבר התבאר ששטחי ט"ז ג"כ א"ח ח"ה שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב ומכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב אבל שטחי ט"ז ג"כ א"ח ח"ה הם שוים לשטח א"ד ה"ב אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ב
\scriptstyle AB^2=AG^2+GB^2+2\sdot\left(AG\times GB\right) הנה המרובע המתהוה מן א"ב שוה לשני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב‫[note 20]
הנה כאשר נחלק קו ישר איך שיקרה הנה המרובע המתהוה מן הקו כלו שוה לשני המרובעים המתהוים משני החלקים וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו השני חלקים
וזה מה שרצינו לבאר
ובכאן התבאר כי כל שטח מרובע הנה שני שטחים הנכחי הצלעות אשר על קוטרו גם כן מרובעים
הנה כבר התבאר מן התמונה הזאת כי השטחים הנכחי הצלעות אשר יהיו על קוטרו שני שטחים מרובעים הם גם כן מרובעים‫[note 21]
אמר תאבת מצאנו בנסחא אחרת שהוא יתבאר על פנים אחרים כי המרובע המתהוה מן א"ב שוה לשני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
\scriptstyle AB=AD
 הנה מפני שא"ב שוה לא"ד
  • \scriptstyle\measuredangle ABD=\measuredangle ADB
 תהיה זוית א'ב'ד' שוה לזוית א'ד'ב' מה’ מא‫’
ומפני כי כל משולש הנה זויותיו השלש שוות לשתי נצבות מל”ב מא‫’
יהיו זויות א’ד’ב’ א’ב’ד’ ב’א’ד’ השלש ממשולש א'ד'ב' שוות לשתי זויות נצבות וזוית ב'א'ד' נצבת הנה שתי זויות א'ב'ד' א'ד'ב' הנשארות שוות לזוית נצבת ושתיהן שוות מה’ מא‫’
הנה כל אחת מהן חצי נצבת וזוית ב'ג'ח' נצבת כי היא שוה לזוית אשר אצל א' אשר תנגדה מכ”ט מא‫’
וזוית ג'ב'ח' חצי נצבת הנה זוית ג'ח'ב' הנשארת חצי נצבת הנה זוית ג'ח'ב' אם כן שוה לזוית ג'ב'ח' ויהיה מפני זה צלע ב"ג שוה לצלע ג"ח מו’ מא‫’
\scriptstyle GB=CK
 אבל ג"ב שוה לח"כ מל”ד מא‫’
וג"ח שוה לכ"ב הנה שטח ג"כ שוה הצלעות וזוית ב'ג'ח' נצבת הנה ג"כ מרובע והוא המתהוה מן ג"ב ומפני הדברים האלה גם כן התבאר כי ז"ט מרובע והוא שוה למרובע המתהוה מן א"ג הנה ג"כ וט"ז שני מרובעים והם שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב ומפני שא"ח שוה לה"ח ממ”ג מא‫’
וא"ח הוא אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב מפני שג"ח שוה לג"ב הנה ה"ח שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב הנה אם כן שני שטחי א"ח ח"ה שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ג ג"ב ושני שטחי ג"כ ט"ז שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב הנה שטחי ג"כ ט"ז א"ח ח"ה שוים לשני המרובעים המתהוים משני קוי א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אבל שני שטחי ג"כ ט"ז ושני שטחי א"ח ח"ה הם שטח א"ה הנצב הזויות כלו אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ב
\scriptstyle AB^2=AG^2+GB^2+2\sdot\left(AG\times GB\right) הנה המרובע המתהוה מן א"ב שוה לשני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ב וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 5
in modern notation: \scriptstyle\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2
ה[443] כאשר[444] נחלק[445] קו ישר[446] בשני חלקים[447] שוים[448] ושני[449] חלקים[450] בלתי שוים[451] הנה[452] השטח[453] הנצב[454] הזויות אשר יקיפו[455] בו[456] שני חלקי[457] הקו כלו[458] אשר הם בלתי[459] שוים[460] עם המרובע[461] המתהוה מן[462] הקו[463] אשר במה שבין[464] שני[465] מקומות[466] השני חלקים[467] שוה[468] למרובע[469] המתהוה[470] מחצי[471] הקו‫[note 22]
ויהיה[472] קו ישר[473] עליו א"ב ויחלק[474] בשני[475] חלקים שוים[476] על נקודת[477] ג' מי’ מא‫’‫[478]
ושני[479] חלקים[480] בלתי שוים[481] על נקודת[482] ד'
Supposition: \scriptstyle \left(AD\times DB\right)+GD^2=GB^2 הנה[483] אומר כי השטח[484] הנצב[485] הזויות אשר יקיפו בו[486] שני[487] קוי א"ד ד"ב עם המרובע המתהוה[488] מן ג"ד[489] שוה[490] למרובע המתהוה[491] מן ג"ב‫[492][note 23]
Elements II-5 Hebrew.png
ונעשה[493] מקו[494] ג"ב[495] מרובע ג"הז"ב[496] ממ”ו מא‫’‫[497]
ונרשום התמונה[498] ונשלים שטח א"גט"ל[499] הנכחי[500] הצלעות מד’ מזה‫[501]
  • \scriptstyle\Box_{GC}=\Box_{CZ}\longrightarrow\Box_{GK}=\Box_{DZ}
 הנה מפני[502] כי ג"ח[503] שוה לח"ז[504] ונשים ד"כ[505] משותף[506] הנה[507] יהיה ג"כ[508] כלו שוה לד"ז[509] כלו ממ”ג מא‫’‫[510]
  • \scriptstyle AG=GB\longrightarrow\Box_{LA}=\Box_{GK}
 ומפני שצלע[511] א"ג[512] שוה לצלע ג"ב יהיה שטח ל"א שוה לשטח ג"כ[513] מל”א מא‫’‫[514]
  • \scriptstyle\Box_{GK}=\Box_{DZ}\longrightarrow\Box_{LA}=\Box_{DZ}
 וכבר היה שטח ג"כ[515] שוה לשטח ד"ז הנה יהיה[516] שטח ל"א[517] שוה לשטח ד"ז[518] מפתיח’ א‫’‫[519]
  • \scriptstyle\Box_{AC}=\Gamma_{MNS}
 ונשים[520] ג"ח[521] משותף[522] הנה[523] א"ח כלו[524] שוה[525] לרושם[526] מנ"ס‫[527]
אד × דב = ‫\scriptstyle\Boxאח → דח = בד אבל א"ח[528] שוה[529] לשטח הנצב[530] הזויות[531] אשר יקיפו בו שני[532] קוי א"ד ד"ב מפני כי ב"ד[533] שוה לד"ח[534] וזה כי ד"כ[535] מרובע[536] משלפניה‫[537]
אד × דב = ‫\scriptstyle\Box^{\Box}מנס ‫→ הנה[538] רושם[539] מנ"ס[540] שוה לשטח[541] הנצב[542] הזויות[543] אשר יקיפו בו[544] שני[545] קוי א"ד ד"ב
‫→ ‫2גד = ‫\scriptstyle\Boxלע

‫2גד + ‫(אד × דב‫) = ‫\scriptstyle\Boxלע + ‫\scriptstyle\Box^{\Box}מנס

ונשים ל"ע אשר הוא שוה[546] למרובע[547] המתהוה[548] מן ג"ד[549] משותף[550] ויהיה[551] רושם מנ"ס[552] ושטח[553] ל"ע כמו השטח הנצב[554] הזויות[555] אשר יקיפו בו[556] שני[557] קוי א"ד ד"ב והמרובע המתהוה[558] מן ג"ד‫[559]
‫\scriptstyle\Boxגז = ‫\scriptstyle\Boxלע + ‫\scriptstyle\Box^{\Box}מנס אבל[560] רושם[561] מנ"ס ושטח ל"ע[562] הוא[563] שטח ג"ז כלו‫[564]
‫2גב = ‫\scriptstyle\Boxגז ושטח[565] ג"ז[566] כלו[567] הוא[568] שטח[569] המרובע המתהוה[570] מן ג"ב‫[571]
\scriptstyle \left(AD\times DB\right)+GD^2=GB^2 הנה[572] השטח[573] הנצב[574] הזויות אשר יקיפו בו[575] א"ד[576] ד"ב עם המרובע המתהוה[577] מן ג"ד[578] שוה למרובע המתהוה[579] מן ג"ב‫[580][note 24]
וכאשר[581] נחלק קו ישר[582] בשני חלקים שוים[583] ושני חלקים בלתי שוים[584] הנה[585] השטח הנצב[586] הזויות אשר יקיפו בו[587] שני[588] חלקי הקו[589] כלו[590] אשר הם בלתי שוים[591] עם המרובע[592] המתהוה[593] מן הקו[594] אשר במה[595] שבין שני מקומות[596] שני[597] החלקים[598] שוה[599] למרובע המתהוה[600] מחצי[601] הקו‫[602]
וזה מה שרצינו לבאר‫[603][note 25]

Proposition 6

in modern notation: \scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2

ו כאשר נחלק קו ישר בחציים ונוסף עליו קו ישר על יושר הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת עם המרובע המתהוה מחצי הקו שוה למרובע המתהוה מן הקו המורכב מחצי הקו והתוספת‫[note 26]
ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחלק בחציים על נקודת ג' מי’ מא‫’
ויוסיף עליו קו ישר על יושר והוא ב"ד
Supposition: \scriptstyle\left(AD\times DB\right)+GB^2=GD^2 הנה אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב עם המרובע המתהוה מן ג"ב שוה למרובע המתהוה מן ג"ד
ונעשה מן ג"ד מרובע ג"ה ז"ד ממ”ו מא‫’
ונרשום התמונה ונתמים שטח א"גט"כ הנכחי הצלעות מד’ מזה
הנה מפני כי א"ג שוה לג"ב יהיה שטח א"כ הנכחי הצלעות שוה לשטח ג"ח הנכחי הצלעות אבל ג"ח שוה לח"ז הנה שטח א"כ שוה לשטח ח"ז ממ”ג מא‫’
We define GL common. ונשים ג"ל משותף
הנה שטח ל"א כלו שוה לרושם מנ"ס כלו אבל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב שוה לשטח ל"א הנצב הזויות מפני שב"ד שוה לד"ל מד’ מזה
הנה רושם מנ"ס שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב ושטח כ"ע שוה למרובע המתהוה מן ג"ב הנה רושם מנ"ס עם שטח כ"ע שוה לשטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב והמרובע המתהוה מן ב"ג אבל רושם מנ"ס ומרובע כ"ע הוא ג"ז אשר הוא המרובע המתהוה מן ג"ד
\scriptstyle\left(AD\times DB\right)+BG^2=GD^2 הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב עם המרובע המתהוה מן ב"ג שוה למרובע המתהוה מן ג"ד
והנה כאשר נחלק קו ישר בשני חציים והוסף עליו קו ישר על יושר הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת עם המרובע המתהוה מחצי הקו שוה למרובע המתהוה מן הקו המורכב מחצי הקו והתוספת
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 7
in modern notation: \scriptstyle\left(a+b\right)^2+a^2=2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2
ז כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים איך שיקרה הנה המרובע המתהוה מן הקו כלו והמרובע המתהוה מאחד משני חלקים כאשר התקבצו שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו והחלק אשר זכרנו והמרובע המתהוה מן החלק השני‫[note 27]
ויהיה קו ישר עליו א"ב ויתחלק איך שיקרה על נקודת ג'
Supposition: \scriptstyle AB^2+BG^2=\left[2\sdot\left(AB\times BG\right)\right]+AG^2 הנה אומר כי שני המרובעים המתהוים משני קוי א"ב ב"ג שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג והמרובע המתהוה מן א"ג
ונרשום מן א"ב מרובע א"דה"ב ממ”ו מא‫’
ונבדיל מן ב"ה כמו ב"ג והוא ב"כ מג’ מא‫’
ונרשום התמונה הנה שטח א"ז שוה לשטח ז"ה ממ”ג מא‫’
We define GK common. ונשים ג"כ משותף
הנה יהיה א"כ כלו שוה לג"ה כלו הנה א"כ עם ג"ה כפל א"כ
אבל ג"ה עם א"כ הוא רושם למ"נ ומרובע ג"כ הנה רושם למ"נ ומרובע ג"כ שניהם כפל א"כ וא"כ הוא השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב וב"ג כי הוא יקיפו בו שני קוי א"ב ב"כ וב"כ שוה לב"ג הנה רושם למ"נ ומרובע ג"כ שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג ונשים המרובע המתהוה מן א"ג משותף והוא מרובע ח"ט הנה כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה לרושם למ"נ ושני שטחי ג"כ ט"ח
אבל רושם למ"נ ושני שטחי ג"כ ט"ח הם א"ה וג"כ וא"ה המרובע המתהוה מן א"ב וג"כ הוא המרובע המתהוה מן ג"ב
\scriptstyle AB^2+BG^2=\left[2\sdot\left(AB\times BG\right)\right]+AG^2 הנה שני המרובעים המתהוים מן א"ב ב"ג שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג והמרובע המתהוה מן א"ג
הנה כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים איך שקרה הנה המרובע המתהוה מהקו כלו והמרובע המתהוה מאחד משני החלקים כאשר התקבצו שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו והחלק אשר זכרנו והמרובע המתהוה מן החלק הנשאר
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 8
in modern notation: \scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2
ח כאשר נחלק קו ישר בשני חלקים איך שיקרה הנה ארבעה דמיוני[note 28] השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו ואחד משני חלקיו עם המרובע המתהוה מן החלק הנשאר שוה למרובע המתהוה מן הקו כלו והחלק אשר קדם זכרו כאשר הושמו שניהם בקו אחד‫[note 29]
ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחולק איך שיקרה על נקודת ג'
Supposition: \scriptstyle\left[4\sdot\left(AB\times BG\right)\right]+AG^2=\left(AB+BG\right)^2 הנה אומר כי ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ב ב"ג כאשר הושמו בקו אחד
הנה נוציא א"ב אל נקודת ד' מפתי’ א‫’
ויהיה ב"ד שוה לב"ג מג’ מא’
ונעשה מן א"ד מרובע אדה"ז ממ”ו מא‫’
ונמשיך ד"ז ונוציא משתי נקודות ג"ב שני קוים נכחיים לשני קוי א"ז ד"ה והם ג"ח ב"ט מל”א מא‫’
ויחתוך ב"ט קו ד"ז על נקודת כ' וג"ח על נקודת ק' ונוציא משתי נקודות כ"ק שני קוים נכחיים לשני קוי א"ד ז"ה והם מ"נ ס"ר מל”ד מא‫’
הנה מפני כי ג"ב שוה לב"ד וג"ב שוה לכל אחד מפ"כ ק"ע וב"ד שוה לכל אחד מן כ"נ ר"ע יהיה פ"כ שוה אל כ"נ וק"ע לר"ע הנה שטח כ"ג הנכחי הצלעות שוה לשטח ב"נ הנכחי הצלעות מל”ו מא‫’
ופ"ע לכ"ר וק"ט גם כן לה"ע ומפני כי ג"כ הנכחי הצלעות שוה לשטח ב"נ הנכחי הצלעות ופ"ע אל כ"ר וג"כ שוה אל כ"ר ממ”ג מא‫’
יהיה ב"נ שוה לכל אחד מן פ"ע כ"ר ויהיה פ"ע שוה לכל אחד מן ג"כ ב"נ הנה שטחי ג"כ ב"נ פ"ע כ"ר ארבעה דמיוני ג"כ אבל שטחי ג"כ ב"נ פ"ע כ"ר הם כל שטח ג"ר אשר הוא ארבעה דמיוני שטח ג"כ ומפני כי ג"ב גם כן שוה אל ב"ד וג"ב שוה אל פ"כ אשר יקבילהו והוא גם כן שוה אל פ"ק מפני כי פ"ע מרובע מד’ מזה
וב"ד שוה אל ב"כ ממרובע ב"נ וב"כ הוא גם כן שוה אל ג"פ וג"פ שוה אל פ"ק והנה שטח א"פ שוה לשטח מ"ק מל”ו מא‫’
וק"ט שוה אל ר"ט אבל מ"ק שוה אל ק"ט מפני כי שניהם מתמימים ממ”ג מא‫’
הנה א"פ שוה אל ר"ט הנה שטחי א"פ מ"ק ק"ט ע"ה הארבעה ארבעה דמיוני שטח א"פ
ושטח ג"ד הנכחי הצלעות ארבעה דמיוני שטח ג"כ הנה כל רושם שת"ת ארבעה דמיוני שטח א"כ וא"כ הוא השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"כ וב"כ שוה אל ב"ג כי הוא שוה אל ב"ד ממרובע ב"ג הנה רושם שת"ת ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג אם כן שוים לרושם שת"ת ונשים המרובע המתהוה מן א"ג משותף והוא ס"ח הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה לרושם שת"ת ומרובע ס"ח אבל רושם שת"ת וס"ח שניהם יחד שטח א"ה אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ד
\scriptstyle\left[4\sdot\left(AB\times BG\right)\right]+AG^2=AD^2=\left(AB+BG\right)^2 הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג עם המרובע המתהוה מן א"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ד אשר הוא המרובע המתהוה מן א"ב וב"ג כאשר הושמו בקו אחד
הנה כאשר חולק קו ישר בשני חלקים איך שקרה הנה ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו ואחד מחלקיו עם המרובע המתהוה מן החלק הנשאר שוה למרובע המתהוה מן הקו כלו והחלק אשר קדם זכרו כאשר הושמו בקו אחד
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 9
in modern notation: \scriptstyle a^2+b^2=2\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right) \right]^2+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2\right]
ט כאשר חולק קו ישר לשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים המתהוים משני חלקי הקו כלו אשר הם בלתי שוים שניהם כפל שני המרובעים המתהוים מחצי הקו ומן הקו אשר במה שבין שתי מקומות השני חלקים‫[note 30]
ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחלק לשני חלקים שוים על נקודת ג' מי’ מא‫’
ושני חלקים בלתי שוים על נקודת ד'
Supposition: \scriptstyle AD^2+DB^2=2\sdot\left(AG^2+GD^2\right) הנה אומר כי שני המרובעים המתהוים מן שני קוי א"ד ד"ב כפל שני המרובעים המתהוים מן א"ג ג"ד
ונוציא מנקודת ג' מקו א"ב הישר קו ישר על זוית נצבה והוא ג"ה מי”א מא‫’
ונשים ה"ג שוה לכל אחד משני קוי א"ג ג"ב מב’ מא‫’ ונמשיך קו א"ה ה"ב מפתיח’ א’
ונוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו ג"ה והוא ד"ז מל”א מא‫’
ונוציא מנקודת ז' קו נכחי לקו ג"ד והוא ז"ח ונמשיך א"ז
הנה מפני כי ה"ג שוה אל א"ג תהיה זוית גה"א שוה לזוית גא"ה מה’ מא‫’
ומפני כי זוית אג"ה נצבת יהיו שתי זויות הא"ג אה"ג הנשארות שוות לזוית נצבת מל”ב מא‫’
ושתיהם שוות הנה כל אחת משתי זויות גה"א גא"ה חצי נצבת ומפני כי ה"ג גם כן שוה לג"ב תהיה זוית גה"ב שוה לזוית גב"ה מה’ מא‫’
וזוית בג"ה נצבת הנה כל אחת משתי זויות גה"ב גב"ה חצי נצבת אבל כל אחת משתי זויות גה"ב אה"ג חצי נצבת תהיה זוית אה"ז נצבת ומפני כי זוית גב"ה חצי נצבת וזוית זד"ב נצבת תהיה זוית דז"ב חצי נצבת מל”ב מא‫’
הנה קו ב"ד שוה לקו ד"ז מו’ מא‫’
ולכן גם כן יהיה ז"ח שוה אל ח"ה
ומפני כי ה"ג שוה אל א"ג יהיה המרובע המתהוה מן ה"ג שוה למרובע המתהוה מן א"ג הנה שני המרובעים המתהוים משני קוי ה"ג א"ג כפל המרובע המתהוה מן א"ג הנה המרובע המתהוה מן א"ה שוה לשני המרובעים המתהוים משני קוי ה"ג א"ג ממ”ז מא‫’
מפני כי זוית הג"א נצבת הנה המרובע המתהוה מן א"ה כפל המרובע המתהוה מן א"ג ומפני כי ה"ח גם כן שוה אל ז"ח יהיה המרובע ההוה מן ה"ח שוה למרובע ההוה מן ח"ז הנה שני המרובעים ההוים משני קוי ה"ח ח"ז כפל המרובע ההוה מן ח"ז והמרובע ההוה מן ה"ז שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ה"ח ח"ז ממ”ז מא‫’
הנה המרובע ההוה מן ה"ז כפל המרובע ההוה מן ח"ז וח"ז שוה אל ג"ד הנה המרובע ההוה מן ה"ז כפל המרובע ההוה מן ג"ד
וכבר התבאר גם כן שהמרובע ההוה מן ה"א כפל המרובע ההוה מן א"ג הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ה ה"ז כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד והמרובע ההוה מן א"ז שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ה ה"ז ממ”ז מא‫’
מפני כי זוית אה"ז נצבת הנה המרובע ההוה מן א"ז כפל שני המרובעים ההוים מן א"ג ג"ד והמרובע ההוה מן א"ז כמו שני המרובעים ההוים מן א"ד ד"ז ממ”ז מא‫’
מפני כי זוית אד"ז נצבת הנה שני המרובעים ההוים מן א”ד ד”ז כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א”ג ג”ד וז”ד שוה לד”ב
\scriptstyle AD^2+DB^2=2\sdot\left(AG^2+GD^2\right) הנה שני המרובעים ההוים מן א"ד ד"ב כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד
הנה כאשר חולק קו ישר לשני חלקים שוים ולשני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים ההוים משני חלקי הקו כלו אשר הם בלתי שוים שניהם כפל שני המרובעים ההוים מחצי הקו כלו ומן הקו אשר במה שבין שני מקומות השני חלקים
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 10
in modern notation: \scriptstyle\left(a+b\right)^2+b^2=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2\right]
י כאשר נחלק קו ישר לשני חציים והוסף עליו קו ישר על יושר הנה המרובע ההווה מן הקו כלו עם התוספת והמרובע ההוה מן התוספת כפל שני המרובעים כאשר יחוברו כלומר המרובע ההווה מחצי הקו והמרובע ההווה מן הקו המורכב מחצי הקו והתוספת‫[note 31]
ויהיה הקו הישר א"ב ויחלק לשני חציים על נקודת ג' ויוסיף עליו קו ישר על יושר והוא ב"ד
Supposition: \scriptstyle AD^2+DB^2=2\sdot\left(AG^2+GD^2\right) הנה אומר כי שני המרובעים ההוים משני קוי א"ד ד"ב כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג וג"ד
ונוציא מנקודת ג' קו ישר על זוית נצבת והוא ג"ה מי”א מא‫’
ויושם שוה לכל אחד משני קוי א"ג וג"ב מג’ מא‫’
ונגיע קו א"ה ה"ב ונוציא מנקודת ד' קו ישר נכחי לקו ג"ה והוא ד"ז ומנקודת ה' קו ישר נכחי לקו ג"ד והוא ה"ז מל”א מא‫’
הנה מפני כי ה"ג נכחי אל ז"ד וכבר נפל על שניהם קו ה"ז הישר יהיו שתי זויות גה"ז הז"ד הפנימיות שוות לשתי זויות נצבות מכ”ט מא‫’
הנה שתי זויות בה"ז והז"ד קטנות משתי זויות נצבות והקוים אשר יצאו מפחות משתי זויות נצבות אל לא תכלית יפגשו מפתיחת א‫’
הנה קו ה"ב וז"ד כאשר הוצאו אל לא תכלית יפגשו ויפגשו על נקודת ח' ונגיע א"ח הנה מפני כי ה"ג שוה אל א"ג תהיה זוית גה"א שוה לזוית גא"ה מה’ מא‫’
וזוית אג"ה נצבת הנה כל אחת משתי זויות גה"א גא"ה חצי נצבת מל”ב מא‫’
ומפני כי ה"ג גם כן שוה לג"ב תהיה זוית גה"ב שוה לזוית גב"ה וזוית בג"ה נצבת הנה כל אחת משתי זויות הב"ג וגה"ב חצי נצבת ומפני כי כל אחת משתי זויות אה"ג בה"ג חצי נצבת תהיה זוית אה"ב נצבת ומפני כי זוית הב"ג חצי נצבת תהיה זוית דב"ח חצי נצבת מט”ו מא‫’
וזוית בד"ח נצבת כי היא שוה לזוית דג"ה אשר תמירה מכ”ט מא‫’
ותשאר זוית דח"ב חצי נצבת
הנה זוית דח"ב אם כן שוה לזוית דב"ח ויהיה מפני זה צלע ב"ד שוה לצלע ח"ד מו’ מא‫’
ומפני כי זוית הח"ז גם כן חצי נצבת ואשר אצל ז' נצבת מפני כי היא שוה לאשר תקבילה מל”ד מא‫’
והיא אשר אצל ג' תשאר זוית זה"ח חצי נצבת ותהיה זוית הח"ז שוה לזוית זה"ח ולכן יהיה צלע ח"ז שוה לצלע ה"ז
ומפני כי ה"ג שוה אל א"ג יהיה המרובע ההוה מן ה"ג שוה למרובע ההוה מן א"ג ושני המרובעים ההוים משני קוי ה"ג וא"ג כפל המרובע ההוה מן א"ג והמרובע ההוה מן א"ה שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ה"ג א"ג מפני כי זוית הג"א נצבת ממ”ז מא’
הנה המרובע ההוה מן א"ה כפל המרובע ההוה מן א"ג
ומפני כי ה"ז גם כן שוה אל ז"ח יהיה המרובע ההוה מן ה"ז שוה למרובע ההוה מן ז"ח הנה שני המרובעים ההוים משני קוי ה"ז ז"ח כפל המרובע ההוה מן ה"ז ושני המרובעים ההוים משני קוי ה"ז ז"ח שוים למרובע ההוה מן ה"ח ממ”ז מא‫’
הנה המרובע ההוה מן ה"ח כפל המרובע ההוה מן ה"ז
וה"ז שוה אל ג"ד מל”ד מא’
הנה המרובע ההוה מן ה"ח כפל המרובע ההוה מן ג"ד וכבר התבאר גם כן כי המרובע ההוה מן א"ה כפל המרובע ההוה מן א"ג הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ה וה"ח כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד ושני המרובעים ההוים משני קוי א"ה ה"ח שוים למרובע ההוה מן א"ח מפני כי זוית אה"ח נצבת ממ”ז מא‫’
הנה המרובע ההוה מן א"ח כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ד והמרובע ההוה מן א"ח שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ד ד"ח מפני כי זוית אד"ח נצבת הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ד וד"ח כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג וג"ד
וקו ח"ד שוה לקו ד"ב
\scriptstyle AD^2+DB^2=2\sdot\left(AG^2+GD^2\right) הנה שני המרובעים ההוים משני קוי א"ד ד"ב כפל שני המרובעים ההוים משני קוי א"ג וג"ד
הנה כאשר חולק קו ישר בשני חציים והוסף עליו קו ישר על יושר הנה המרובע ההווה מן הקו כלו עם התוספת והמרובע ההווה מן התוספת כפל שני המרובעים כאשר יחוברו כלומר המרובע ההווה מחצי הקו והמרובע ההווה מן הקו המורכב מחצי הקו ומן התוספת
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 11
יא נרצה שנחלק קו ישר מונח ע"ב שיהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו ואחד משני החלקים ושוה למרובע ההוה מן החלק הנשאר
המשל יהיה הקו הישר המונח א"ב וראוי שנחלק א"ב עד שיהיה השטח הנצב הזוית אשר יקיף בו הקו כלו ואחד מן שני החלקים שוה למרובע ההוה מן החלק הנשאר
הנה נעשה מקו א"ב מרובע א'ב'ג'ד'
ונחלק קו א"ג בשני חצאים על נקודת ה'
ונגיע קו ב"ה ונוציא על יושר א"ה קו א"ז
ונשים ה"ז שוה אל ב"ה
ונעשה מן א"ז מרובע א'ז'ט'ח'
ונוציא על יושר ח"ט ח'ט'כ' הישר
Supposition: הנה אומר כי א"ב כבר חולק על ט' חלוקה יהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ט שוה למרובע ההוה מן א"ט
מופת זה הנה מפני כי קו א"ג הישר כבר חולק בשני חצאים על נקודת ה' והוסף עליו קו ישר והוא א"ז
יהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ז ג"ז עם המרובע ההוה מן א"ה שוה למרובע ההוה מן ה"ז וז"ה שוה אל ה"ב
הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ז א"ז עם המרובע ההוה מן א"ה שוה למרובע ההוה מן ה"ב
ושני המרובעים ההוים מן א"ב וא"ה שוים למרובע ההוה מן ה"ב
מפני כי זוית ב'א'ה' נצבת
הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ז וא"ז עם המרובע ההוה מן א"ה שוים למרובעים ההוים משני קוי א"ב וא"ה
ונחסר מהם המרובע המשותף ההוה מן א"ה וישאר השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ז וא"ז שוה למרובע א"ב
אבל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ז וא"ז שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ז וז"ח
לפי שא"ז שוה לז"ח
והשטח אשר יקיפו ג"ז וז"ח הוא שטח ז"ב
והמרובע ההוה מן א"ב הוא שטח א"ג ד"ב
הנה שטח ז"ב שוה לשטח א"ד
ונחסר מהם א"ב המשותף וישאר ז"ט שוה אל ט"ד הנשאר
אבל ט"ד שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב וב"ט
מפני כי א"ב שוה אל ב"ד
וז"ט הוא המרובע ההוה מן א"ט
הנה כבר חולק א"ב המונח על נקודת ט'
והיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ב וב"ט שוים למרובע ההוה מן א"ט
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 12
יב המרובע ההוה מן הצלע אשר יהיה מיתר מן הזוית הנרחבת מן המשולשים הנרוחים יותר משני המרובעים ההוים משני צלעות המקיפות בזוית הנרוחת בכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו אשר יפול עליו העמוד באחד משני קוים המקיפים בזוית הנרוחת והקו אשר יגדילהו העמוד מחוץ ממה שילוה לזוית הנרוחת
המשל יהיה המשולש הנרחב הזוית א'ב'ג'
ותהיה ב'א'ג' ממנו נרחבת
ונוציא קו א"ד הישר על יושר קו א"ג הישר
ונוציא מנקודת ב' אל קו א"ד הישר עמוד ב"ד
Supposition: הנה אומר כי המרובע ההוה מג"ב יותר גדול משני המרובעים ההוים משני קוי א"ב וא"ג ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג וא"ד
מופת זה הנה מפני כי קו ד"ג הישר כבר חולק איך שקרה על נקודת ה'
יהיה המרובע ההוה מן ד"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן א"ד וא"ג וכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו שני קוי א"ג וא"ד
ונשים המרובע ההוה מן ב"ד משותף
הנה שני המרובעים ההווים משני קוי ג"ד וד"ב שוים למרובעים ההוים מקוי ב"ד וד"א וא"ג וכפל הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א"ג וא"ד
אבל שני המרובעים ההווים משני קוי ב"ד וד"ג שוים למרובע ההוה מן ב"ג
מפני כי זוית ב'ד'ג' נצבת
ושני המרובעים ההוים משני קוי ב"ד וא"ד שוים למרובע ההוה מן א"ב
מפני כי זוית ב'ד'א' נצבת
הנה המרובע ההוה מן ב"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן א"ב וא"ג וכפל שטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ד וא"ג
הנה יהיה המרובע ההוה מן ב"ג יותר גדול משני המרובעים ההוים משני קוי א"ב וא"ג ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד וא"ג
הנה המרובע ההוה מן הצלע אשר יהיה מיתר הזוית הנרוחת וכו'
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 13
יג המרובע ההוה מן הצלע אשר יהיה מיתר הזוית החדה מן המשולשים החדים יותר קטן משני המרובעים ההוים משתי הצלעות המקיפות בזוית החדה ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו אשר יפול עליו העמוד משני הקוים המקיפים בזוית החדה והקו אשר יבדילהו העמוד ממה שילוה לזוית החדה
המשל יהיה המשולש החד הזויות א'ב'ג'
ותהיה זוית א'ב'ג ממנו חדה
ונוציא מנקודת א' אל ב"ג עמוד א"ד
Supposition: הנה אומר כי המרובע ההוה מקו א"ג יותר קטן משני המרובעים ההוים מב"ג וא"ב ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ב וב"ד
הנה מפני כי קו ג"ב הישר כבר חולק לשני חלקים איך שקרה על נקודת ד'
יהיו שני המרובעים ההוים משני קוי ג"ב ב"ד שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי ג"ב וב"ד והמרובע ההוה מן ד"ג
ונשים המרובע ההוה מן א"ד משותף
הנה המרובעים ההוים מקוי ג"ב וב"ד וא"ד שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ג"ב וב"ד ושני מרובעי א"ד ד"ג
ושני המרובעים ההוים משני קוי א"ד וד"ג שוים למרובע ההוה מן א"ג
מפני כי זוית א'ד'ג' נצבת
ושני המרובעים ההוים משני קוי ב"ד וא"ד שוים למרובע ההוה מן א"ב
מפני כי זוית א'ד'ב' נצבת
הנה שני המרובעים ההוים משני קוי ג"ב וא"ב שוים לכפל אשר יקיפו בו ג"ב וב"ד ולמרובע ההוה מן א"ג
הנה המרובע ההוה מן א"ג יותר קטן משני המרובעים ההוים משני קוי ג"ב וא"ב ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי ג"ב וב"ד
וזה מ'ש'ל'

Proposition 14
יד נרצה שנעשה מרובע שוה לתמונת ישרת הצלעות מונחת
המשל תהיה התמונה ישרת הצלעות המונחת תמונת ה' וראוי שנעשה מרובע שוה לתמונת ה' ישרת הצלעות
ונעמיד שטח נכחי הצלעות נצב הזויות שוה לתמונת ישרת הצלעות והיא ב"ג ד"ה
המופת הנה אם שיהיה ב"ה שוה אל ה"ד
או שיהיה אחת משניהם יותר גדול מהאחר
ואם היו שוים הנה כבר ידענו מה שרצינו
ואם לא יהיו שוים הנה אחד משניהם יותר גדול מן האחר ויהיה היותר גדול קו ב"ה
ונוציא קו ה"ז הישר על יושר קו ב"ה ונשים ה"ז שוה אל ה"ד
ונחלק ב"ז בשני חצאים על נקודת ח'
ונחוג על מרכז ח' ובמרחק שני קוי ח"ב ח"ז חצי חצי עגולה ב'ט'ז'
ונוציא ה"ט הישר על יושר קו ד"ה ונגיע ט"ח
הנה מפני כי קו ב"ז הישר כבר נחלק בשני חלקים שוים על נקודת ח' ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה'
יהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו ב"ה וה"ז עם המרובע ההוה מן ה"ח שוה למרובע ההוה מן ח"ז
וקו ח"ז שוה לקו ח"ט
הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ה ה"ז עם המרובע ההוה מן ה"ח שוה למרובע ההוה מן ח"ט
והמרובע ההוה מן ח"ט שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ט"ה וה"ח
מפני כי זוית ט'ה'ח' נצבת
הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ה וה"ז עם המרובע ההוה מן ה"ח שוה לשני המרובעים ההוים מה"ח וט"ה
ונפיל המרובע המשותף ההוה מן ה"ח
וישאר השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ה וה"ז שוה למרובע ההוה מן קו ה"ט
והשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ה וה"ז שוה לשטח ב"ד הנכחי הצלעות כי יקיפו בו שני קוי ב"ה וה"ד
וז"ה שוה אל ד"ה
הנה שטח ב"ד שוה למרובע ההוה מן ה"ט
ושטח ב"ד שוה לתמונת ה' ישרת הקוים
אם כן המרובע ההוה מן ה"ט שוה לתמונת ה' ישרת הקוים
וזה מ'ש'ל'
נשלם המאמר השני מספר אקלידיס החכם

Book Three

 המאמר השלישי
ההקדמות
א העגולים השוים הם אשר קטריהם שוים קצתם אל קצת או אשר יהיו הקוים אשר יצאו ממרכזיהם אל הקוים המקיפים בהם שוים קצתם אל קצת
ב והקו הישר יקרא לו ממשש לעגולה הוא אשר יפגוש לעגולה וכאשר הוצא לכל אחד משני הצדדים לא יחתכה
ג והעגולות אשר יקרא קצתם ממששות לקצת הם אשר יפגשו קצתם לקצת ולא יתחתכו
ד ויאמר כי רוחק הקוים הישרים מן המרכז בעגולה שוה כאשר היו העמודים המוצאים עליהם מן המרכז שוים
ה והקו אשר יאמר כי מרחקו מהמרכז יותר גדול הוא אשר יהיה העמוד הנופל עליו יותר גדול
A segment of a circle is that which is contained by a straight line that is called a chord and the segment of circumference that is called an arc. ו חתיכת העגולה היא אשר יקיף בה קו ישר יקרא המיתר והחלק מן הקו המקיף יקרא הקשת
ז וזוית חתיכת העגולה היא אשר יקיפו בה קו ישר וקשת מן הקו המקיף בעגולה
ח והזוית אשר בחתיכת העגולה היא אשר יקיפו בה קוים ישרים יגיעו מנקודה תרשם איך שתפול על קשת החתיכה ובין שני קצוות הקו הישר אשר הוא תושבת החתיכה
ט וכאשר יסבבו השני קוים הישרים המקיפים בזוית קשת מה הנה הזוית יקרה לה אשר על הקשת ההיא
A sector of a circle is a shape that is contained by two straight lines containing an angle at the center of the circle, and the arc that is cut off from the circle by these two lines. י וחתוך העגולה היא תמונה אשר יקיפו בה שני קוים ישרים יקיפו בזוית על מרכז העגולה וקשת יקיפוה אותם שני הקוים מן העגולה
יא וחתיכות העגולות המתדמות הם אשר יקבילו זויות שוות
יב וכאשר היו זויותיהן אשר יקבילו שוות הנה הן מתדמות

Proposition 1
We wish to explain how to find the center of a given circle. א נרצה לבאר איך נמצא מרכז עגולה מונחת
Example: \scriptstyle\bigcirc_{ABG} is the given circle and we wish to find its center. תהיה העגולה המונחת א"ב ונרצה למצא מרכזה
  • We draw chord GD in it at random.
 הנה נקוה בה מיתר איך שיפול והוא ג"ד
  • I.10: We bisect it at H.
 ונחלקהו בשני חצאים על ה' מי' מא'
  • I.11: We draw line HA from point H at right angle to line GD.
 ונוציא מנקודת ה' קו ה"א על זוית נצבת מקו ג"ד מי"א מא'
  • We draw it through to B.
 ונוציאהו אל ב'
  • We bisect AB at C.
 ונחלק א"ב על ח' בשני חצאים
Supposition: C is the center of the circle and otherwise is impossible. אומר כי ח' מרכז העגולה ואי אפשר זולתו
If possible, let T be the center. כי אלו היה אפשר זה הנה יהיה זה המרכז נקודת ט'
  • We draw TG, TH, and TD.
 ונוציא ט"ג וט"ה וט"ד
  • \scriptstyle GH=DH
 הנה קו ג"ה כמו קו ה"ד
  • HT is common.
 ונשים ה"ט משותף
  • C.N.: \scriptstyle GH+HT=DH+HT
 הנה קו ג"ה וה"ט כמו שני קוי ד"ה וה"ט מפתיחת א'
  • I.8: \scriptstyle GT=TD
 ותושבת ג"ט כמו תושבת ט"ד מח' מא'
  • I.13: \scriptstyle\measuredangle GHT=\measuredangle DHT=90^\circ
 הנה זוית גה"ט כמו זוית דה"ט הנה שתיהם אם כן נצבות מי"ג מא'
  • \scriptstyle\measuredangle DHA=90^\circ
 וזוית דה"א גם כן נצבת
It has been proven that all right angles are equal. וכבר התאמת כי כל הזויות הנצבות שוות
\scriptstyle\longrightarrow\measuredangle DHT=\measuredangle DHA אם כן שתי זויות דה"ט דה"א שוות
The greater equals the less - it is impossible. הגדולה לקטנה זה אי אפשר
Therefore, point T is not the center of the circle, neither is any other point except point C. אם כן אין ט' מרכז העגולה ולא זולתה מן הנקודות בלתי נקודת ח'
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 2
When you mark two points on the circumference of a circle and draw a straight line from one of them to the other, it falls within the circle. ב כאשר תרשום על מקיף העגולה שתי נקודות והוצא מאחת משתיהן קו ישר אל האחרת הנה יפול תוך העגולה
Example: we mark on \scriptstyle\bigcirc_{AB} two points G and D המשל אנחנו נרשום על עגולת א"ב שתי נקודות ג"ד
  • We draw the straight line GD.
 ונוציא ג"ד הישר
Supposition: it falls within the circle and otherwise is impossible. הנה אומר כי הוא כבר נפל תוך העגולה אי אפשר זולתו
If possible, let it fall outside, as line GHD. שאם יהיה אפשר הנה יפול חוץ ממנה כמו קו גה"ד
  • The center of the circle is Z.
 ויהיה מרכז העגולה ז'
  • We draw ZG and ZD.
 ונוציא ז"ג וז"ד
  • We draw line ZB from Z to arch GD at random
 ונוציא מז' אל קשת ג"ד קו ז"ב איך שיפול
  • Then, we draw it through to H.
 ונוציאהו אל ה'
  • I.16: \scriptstyle\measuredangle BHD>\measuredangle ZGH
 הנה זוית בה"ד יותר גדולה מזוית זג"ה
Since it is outside of \scriptstyle\triangle_{ZGH}
 מפני שהיא חוץ ממשולש זג"ה מי"ו מ'
  • I.5: \scriptstyle\measuredangle ZGH=\measuredangle ZDH
 אבל זוית זג"ה כמו זד"ה
Since \scriptstyle ZG=ZD
 מפני כי צלע ז"ג כמו צלע ז"ד מה' מא'
  • \scriptstyle\measuredangle ZHD>\measuredangle ZDH
 הנה זוית זה"ד יותר גדולה מזוית זד"ה
I.19: The side that is opposite to the greatest angle in every triangle is the greatest. והזוית היותר גדולה מכל משולש יהיה מיתרה הצלע היותר ארוך מי"ט מא'
  • \scriptstyle ZD>ZH
 יהיה ז"ד יותר ארוך מצלע ז"ה
  • \scriptstyle ZD=ZB
 אבל ז"ד כמו ז"ב
\scriptstyle ZB>ZH
 אם כן ז"ב יותר ארוך מן ז"ה
The smaller is greater than the greater = impossible error. היותר קצר יותר ארוך מן היותר גדול זה שקר אי אפשר
It has been clarified that the line that is drawn from G to D does not fall outside the circle. הנה כבר התבאר כי הקו אשר יצא מג' אל ד' לא יפול חוץ מן העגולה
It has also been clarified that neither does it fall on its circumference. וכן גם כן התבאר שהוא לא יפול אל הקו המקיף בה
Therefore, it falls within as GD. הנה הוא אם כן יפול בתוכה כמו ג"ד
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 3
When a chord in a circle does not fall on the center and a straight line that is drawn from the center bisects the chord, then it also cuts it at right angle; and if it cuts it at right angle, then it also bisects it. ג כאשר נפל מיתר בעגולה על זולת המרכז ויצא מן המרכז קו וחתך המיתר בשני חצאים הנה הוא יחתכהו על זוית נצבת ואם חתך אותו על זוית נצבת הנה יחתכהו בשני חצאים
Example: chord GD in \scriptstyle\bigcirc_{AB} does not pas through the center. המשל בו כי נפל בעגולת א"ב מיתר ג"ד על זולת המרכז
  • The diameter is AB.
 והקטר א"ב
Supposition: if AB bisects GD, it cuts it at right angles; and if it cuts it at right angles, it bisects it. אומר כי א"ב אם חתך ג"ד בשני חצאים הנה הוא יחתכהו על זוית נצבת ואם חתכו על זוית נצבת הנה הוא יחתכהו בשני חצאים
  • Let it first bisect it at point H.
 ויחתכהו תחלה בשני חצאים על נקודת ה'
Supposition: it cuts it at right angles.
 הנה אומר כי יחתכהו על זוית נצבת
Proof: we set the center Z.
 המופת כאשר נשים המרכז ז'
  • We draw ZG and ZD.
 ונוציא ז"ג וז"ד
  • \scriptstyle GH=HD
 הנה קו ג"ה כמו ה"ד
  • HZ is common.
 ונשים ה"ז משותף
  • \scriptstyle GH+HZ=HD+HZ
 הנה קוי ג"ה וה"ז כמו ד"ה וה"ז
  • I.8: \scriptstyle GZ=ZD
 ותושבת ג"ז כמו תושבת ז"ד מח' מא'
\scriptstyle\measuredangle GHZ=\measuredangle DHZ
 הנה זוית גה"ז כמו זוית דה"ז
  • I.13: \scriptstyle\measuredangle GHZ=\measuredangle DHZ=90^\circ
 הנה שתיהן אם כן נצבות מי"ג מא'
Therefore, AB bisects DG at right angles.
 הנה כבר חתך א"ב ג"ד בשני חצאים על זויות נצבות
  • Likewise, let AB cut GD at right angles.
 וגם כן הנה כאשר יחתוך א"ב לג"ד על זויות נצבות
Supposition: bisects it.
 הנה אומר כי הוא יחתכהו בשני חצאים
Proof: \scriptstyle GZ=ZD
 המופת כי ג"ז כמו ז"ד
  • I.5: \scriptstyle\measuredangle ZGD=\measuredangle ZDG
 אם כן זוית זג"ד כמו זוית זד"ג מה' מא'
  • But, \scriptstyle\measuredangle GHZ=\measuredangle DHZ=90^\circ
 אבל זוית גה"ז וזוית דה"ז נצבות
  • \scriptstyle\measuredangle ZGH+\measuredangle GHZ of \scriptstyle\triangle_{ZGH} = \scriptstyle\measuredangle ZDH+\measuredangle ZHD of \scriptstyle\triangle_{ZDH}
 אם כן שתי זויות זג"ה וגה"ז ממשלש זג"ה כמו שתי זויות זד"ה וזה"ד ממשולש זד"ה
  • \scriptstyle GZ=ZD
 וצלע ג"ז כמו צלע ז"ד
  • Line HZ is common to both triangles.
 וקו ה"ז משותף לשני המשולשים
  • I.26: \scriptstyle GH=DH
 אם כן שתי הצלעות הנשארות והם ג"ה וה"ד שוות מכ"ו מא'
Therefore, AB bisects DG.
 הנה כבר חתך א"ב לג"ד בשני חצאים
Its explanation is completed. ונשלם ביאורו

Proposition 4
Every two chords in a circle that cut one another and do not pass through the center, do not bisect one another. ד כל שני מיתרים בעגולה יחתוך אחד משניהם האחר ולא יעברו על המרכז הנה לא יחתוך אחד משניהם האחר בשני חצאי'
Example: the two chords DG and HZ in \scriptstyle\bigcirc_{AB}, cut one another at C, do not pass through the center. דמיון זה כי שני מיתרי ג"ד וה"ז בעגולת א"ב וכבר חתך אחד משניהם האחר על ח' ולא יעברו על המרכז
Supposition: neither of the two bisect the other. הנה אומ' כי הוא לא יחתוך כל אחד משניהם האחר בשני חצאים
  • The center is T.
 ויהיה המרכז ט'
  • We draw TC.
 ונוציא ט"ח
  • A line is drawn from the center to C and bisects GD.
 הנה כבר יצא מן המרכז קו אל ח' וחתך ג"ד בשני חצאים
  • III.3: it cuts it at right angles.
 הנה הוא יחתכהו על זוית נצבת מג' מזה
  • \scriptstyle\measuredangle DCT=90^\circ
 אם כן זוית דח"ט נצבת
  • \scriptstyle\measuredangle ZCT=90^\circ
 וזוית זח"ט גם כן נצבת
Since CT bisects ZH.
 מפני כי ח"ט כבר חתך ז"ה בשני חצאי'
  • \scriptstyle\longrightarrow\measuredangle DCT=\measuredangle ZCT
 הנה זוית דח"ט כמו זוית זח"ט
The smaller is as the greater = error. הקטן כמו הגדול זה שקר
It has been clarified that neither of the two chords GD and HZ bisect the other. הנה כבר התבאר כי שני מיתרי ג"ד וה"ז לא יחתוך כל אחד משניהם האחר בשני חצאים
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 5
For every two circles that cut one another, their two centers are not the same. ה כל שתי עגולות תתחתכנה הנה אין שני מרכזיהם אחד
Example: the two circles \scriptstyle\bigcirc_{AB} and \scriptstyle\bigcirc_{GD} cut one another at the two points A and G. דמיונו כי שתי עגולות א"ב ג"ד תתחתכנה על שתי נקודות א"ג
Supposition: their centers are not the same. הנה אומר כי מרכזיהם אינם אחד
  • If possible, let their center be H.
 שאם היה אפשר הנה יהיה מרכזיהם ה'
  • We draw line AH from H to point A.
 ונוציא מן ה' קו א"ה אל נקודת א'
It is clear that it ends at the circumference of both circles together.
 הנה מן המבואר כי הוא כבר הגיע תכליתו אל מקיף שתי העגולות יחד
  • We draw line HD to arch ADG at random.
 ונוציא קו ה"ד אל קשת אד"ג איך שיפול
  • H is the center of \scriptstyle\bigcirc_{AB}
 הנה נקודת ה' מרכז עגולת א"ב
  • def. circle: \scriptstyle AH=HZ
 אם כן קו א"ה כמו ה"ז מפתיחת א'
  • H is the center of \scriptstyle\bigcirc_{ADG}
 וגם כן הנה מפני כי נקודת ה' מרכז עגלת אד"ג
  • def. circle: \scriptstyle AH=HD
 יהיה קו א"ה שוה לקו ה"ד מפתיחת א'
It is clear that \scriptstyle AH=HZ
 וכבר התבאר כי קו א"ה שוה לקו ה"ז
Those that are equal to the same thing are equal to each other. והשוים לדבר אחד הנה הם שוים
  • \scriptstyle\longrightarrow HD=HZ
 הנה קו ה"ד אם כן שוה לקו ה"ז
The greater is as the smaller = impossible error. הגדול כמו הקטן זה שקר בלתי אפשר
Therefore, the center of the two circles is not the same. אם כן אין מרכז שתי העגולות אחד
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 6
For every two circles that touch one another, the centers of both are not the same. ו כל שתי עגולות תתמששנה הנה אין מרכזי שתיהן אחד
Example: the two circles \scriptstyle\bigcirc_{AB} and \scriptstyle\bigcirc_{AG} touch one another at A. דמיונו כי שתי עגולות א"ב וא"ג תתמששנה על א'
Supposition: the centers of both are not the same and this is impossible. הנה אומר כי מרכזי שניהם אינו אחד ואי אפשר זה
If possible, let the center of both be one and it is point D. שאם היה אפשר הנה יהיה מרכז שניהם אחד והוא נקדת ד'
  • We draw AD.
 ונוציא א"ד
  • We draw line DB from D to \scriptstyle\bigcirc_{AB} at random.
 ונוציא רק ד' קו אל עגולת א"ב איך שיפול והוא ד"ב
  • We draw line DG to \scriptstyle\bigcirc_{AG} at random.
 ונעביר קו אל עגולת א"ג איך שיפול והוא ד"ג
  • D is the center of \scriptstyle\bigcirc_{AB}
 הנה נקודת ד' מרכז עגולת א"ב
  • def. circle: \scriptstyle AD=DB
 הנה קו א"ד כמו ד"ב מפתיחת א'
  • D is the center of \scriptstyle\bigcirc_{AG}
 ונקודת ד' מרכז עגולת א"ג
  • def. circle: \scriptstyle AD=DG
 הנה קו א"ד כמו קו ד"ג מפתיחת א'
\scriptstyle AD=DB
 וא"ד כבר היה כמו ד"ב
  • \scriptstyle\longrightarrow BD=DG
 הנה ב"ד כמו ד"ג
The greater is as the smaller = error. הגדול כמו הקטן זה שקר
It has been clarified that for every two circles that touch one another, the centers of both are not the same. הנה כבר התבאר כי כל שתי עגולות תתמששנה הנה אין מרכזיהם אחד
Its explanation is completed. ונשלם ביאורו

Proposition 7
For every point in a circle that is not the center, from which lines are drawn to the circumference: the longest of which passes through the center; the shortest is the complement of the diameter from the point to the end of the diameter; the nearer to the line through the center is longer than those that are more remote from it; and only two lines on each side of the shortest line are equal. ז כל נקדה בעגולה על זולת המרכז יצאו ממנה קוים אל הקו המקיף הנה היותר ארוך מהם אשר יעבור על המרכז והיותר קצר מהם שלימות הקוטר מבין הנקדה וקצה הקטר ומה שקרב מן הקו אשר יעבור על המרכז הנה הוא יותר ארוך ממה שרחק ממנו ושני קוים לבד משני צדדי הקו היותר קצר שוים
Example: from point H that is not the center on the diameter of \scriptstyle\bigcirc_{AB} lines are drawn to the circumference, which are: HG, HK, HB, HZ, HC, HA, HD דמיונו כי יצאו מנקודת ה' מן קטר עגולת א"ב והיא על זולת המרכז קוים אל הקו המקיף והם ה"ג ה"כ ה"ב ה"ז ה"ח וה"א וה"ד
  • HG passes through the center
 וה"ג הוא הקו אשר ילך במרכז
  • HD the complement of the diameter
 וה"ד שלמות הקוטר
Supposition: HG is the longest and HD is the shortest, which is the complement of the diameter. הנה אומר כי ה"ג הוא היותר ארוך והיותר קצר מהם ה"ד והוא שלמות הקטר
As for the rest of the lines: ואולם הקוים הנשארים
  • \scriptstyle HZ>HC
 הנה ה"ז יותר ארוך מן ה"ח
  • \scriptstyle HC>AH
 וה"ח יותר ארוך מן א"ה
And only two lines on each side of the shortest line are equal. ושני קוים לבד משני צדדי הקו היותר קצר שוים
Proof:
  • The center is T
 ומופתו שנשים המרכז ט'
  • We draw TZ, TC and AT
 ונוציא ט"ז וט"ח וא"ט
[The sum of] any two sides of a triangle is greater than the remaining side. וכל שתי צלעות ממשולש שניהם יותר ארוכים מן הצלע הנשאר
  • \scriptstyle ZT+TH>HZ
 הנה ז"ט וט"ה יותר ארוכים מן ה"ז
  • \scriptstyle ZT=TG
 וז"ט כמו ט"ג
  • \scriptstyle GH>HZ
 הנה ג"ה יותר ארוך מן ה"ז
  • \scriptstyle ZT=TC
 וז"ט כמו ט"ח
  • \scriptstyle TA=TC
 וט"א כמו ט"ח
  • TH is common
 וט"ה משותף
  • \scriptstyle ZT+TH=CT+TH
 הנה שני קוי ז"ט וט"ה כמו שני קוי ח"ט וט"ה
  • \scriptstyle\measuredangle ZTH>\measuredangle CTH
 וזוית זט"ה יותר גדולה מזוית חט"ה
  • \scriptstyle ZH>CH
 הנה תושבת ז"ה יותר ארוכה מתושבת ח"ה
  • Likewise it is clear that \scriptstyle CH>AH
 וכן גם כן יתבאר כי ח"ה יותר ארוך מן א"ה
  • \scriptstyle AH+HT>AH
 וגם כן הנה א"ה וה"ט מקובצים יותר ארוך מן א"ה
  • \scriptstyle AH+HT>AT
 וגם כן הנה א"ה וה"ט מקובצים יותר ארוך מן א"ט
  • \scriptstyle AT=TD
 וא"ט כמו ט"ד
  • \scriptstyle AH+HT>TH+HD
 הנה א"ה וה"ט מחוברים יותר ארוך מן ט"ה וה"ד
  • The common TH is subtracted
 ויפול מהם ט"ה המשותף
  • \scriptstyle AH>HD
 וישאר א"ה יותר ארוך מן ה"ד
The longest line is HG, which passes through the center. הנה היותר ארוך מן הקוים ה"ג והוא אשר עבר על המרכז
The shortest is HD, which is the complement of the diameter. והיותר קצר מהם ה"ד אשר הוא שלמות הקטר
As for the rest: the nearer to line HG is longer than the more remote from it. והנשארים מה שקרב מהם מקו ה"ג יותר ארוך ממה שרחק
  • \scriptstyle HZ>HC
 הנה קו ה"ז יותר ארוך מן ה"ח
  • \scriptstyle HC>AH
 וה"ח יותר ארוך מן א"ה
Supposition: ואומר כי שני קוים לבד יהיו משני צדדי הקצר שוים
המופת אנחנו נעמיד על נקודת ט' מקו ט"ה כמו זוית אט"ה והיא זוית הט"ב
ונוציא ה"ב
  • \scriptstyle AT=TB
 הנה קו א"ט כמו ט"ב
ונשים ט"ה משותף
  • \scriptstyle AT+TH=BT+TH
 הנה קו א"ט וט"ה כמו שני קוי ב"ט וט"ה
  • \scriptstyle\measuredangle ATH=\measuredangle HTB
 וזוית אט"ה כמו זוית הט"ב
  • \scriptstyle HB=AH
 אם כן תושבת ה"ב כמו תושבת א"ה
Supposition: ואומר גם כן כי אי אפשר שיצא מן ה' אל הקו המקיף כמו א"ה כי אם ה"ב
ואם יהיה אפשר זה יהיה ה"כ ויצא ט"ב
  • \scriptstyle AT=TB
 הנה קו א"ט כמו ט"ב
ונשים ה"ט משותף
  • \scriptstyle AT+TH=BT+TH
 הנה קו א"ט וט"ה כמו שני קוי ב"ט וט"ה
  • \scriptstyle AH=HB
 ותושבת א"ה כמו תושבת ה"ב
  • \scriptstyle\measuredangle ATH=\measuredangle KTH
 הנה זוית אט"ה כמו זוית כט"ה
  • \scriptstyle\measuredangle ATH=\measuredangle BTH
 אבל זוית אט"ה כמו זוית בט"ה
  • \scriptstyle\measuredangle KTH=\measuredangle BTH
 הנה זוית כט"ה כמו זוית בט"ה
The greater equals the smaller = error. הגדולה שוה לקטנה זה שקר
הנה אי אפשר שיצא מן ה' קו אחר כמו אחד משני קוי א"ה ה"ב זולתם אשר הם מזולתם היותר קצר מהם לבד שוים
וזה מה שרצינו ביאורו

Proposition 8
For every point outside a circle, from which lines are drawn through to the circle: the longest that enters the circle and cuts lines from it is the one that passes through the center; of the remaining lines, the nearer to the one that passes through the center is longer than those that are more remote; the shortest of the lines that end on the circumference and not entering it is the line that is between the point and the end of the diameter; of the remaining lines the nearer to it is shorter than the more remote; and only two lines on each side of the diameter are equal. ח כל נקדה יוצאת חוץ מעגולה יצאו ממנה קוים אל העגולה הנה היותר ארוך שיכנס בעגולה ויחתכנה מן הקוים הוא אשר יעבור מן המרכז ומה שקרב מן הקוים הנשארים מן אשר ילך אל המרכז יותר ארוך ממה שרחק והיותר קצר שבקוים אשר יכלו אל העגולה ולא יכנסו בה הוא הקו אשר בין הנקודה ובין קצה הקטר ומה שקרב ממנו מן הקוים הנשארים יותר קצר ממה שרחק ושנים קוים לבד משני צדדי הקטר שוים
דמיונו כי הוצאו מנקדת ג' אל תוך עגולת א"ב קוים והם ג"ד וג"ה וג"ז וא"ג והקו אשר יעבור על המרכז ג"ד
Supposition: הנה אומר שהוא היותר ארוך שבקוים הנכנסים וכי ג"ה יותר ארוך מן ג"ז וכי ג"ז יותר ארוך מן א"ג וכי היותר קצר שבקוי' היוצאים אשר בין הנקודה ובין קצה הקטר הוא ג"ב וכי ג"ב יותר קצר מן ג"ל וג"ל יותר קצר מן ג"ט ושני קוים לבד משני צדדי ג"ב היותר קצר שוים
המופת אנחנו נשים המרכז נקודת מ'
ונוציא ממנה קוים מ"ה ומ"ז ומ"א ומ"ט ומ"ל ומ"כ
  • \scriptstyle MH+MG>GH
 הנה שני קוי מ"ה ומ"ג מקובצים יותר ארוך מן ג"ה
  • \scriptstyle MH=MD
 ומ"ה כמו מ"ד
  • \scriptstyle DG>GH
 הנה ד"ג יותר ארוך מן ג"ה
  • \scriptstyle MH=ZM
 ומ"ה כמו ז"מ
ונשים מ"ג משותפים
  • \scriptstyle HM+MG=ZM+MG
 הנה שני קוי ה"מ ומ"ג כמו שני קוי ז"מ ומ"ג
  • \scriptstyle\measuredangle HMG>\measuredangle ZMG
 וזוית המ"ג יותר גדולה מזוית זמ"ג
  • \scriptstyle HG>ZG
 הנה תושבת ה"ג יותר ארוכה מתושבת ז"ג
  • \scriptstyle ZG>AG
 וכן גם כן התבאר כי ז"ג יותר ארוך מן א"ג
  • \scriptstyle MK+KG>MG
 וכי כן הנה מ"כ וכ"ג יותר ארוכים מן מ"ג
  • \scriptstyle MK=MB
 ומ"כ כמו מ"ב
  • \scriptstyle GK>GB
 ונשאר ג"כ יותר ארוך מן ג"ב
  • \scriptstyle GB<KG
 הנה ג"ב יותר קצר מן כ"ג
ובמשולש למ"ג שתי צלעות נצבות על תושבת מ"ג והם מ"כ וכ"ג
והנה נפגשו בתוכו
  • \scriptstyle ML+LG>MK+KG
 הנה מ"ל ול"ג יותר ארוכים מן מ"כ וכ"ג
  • \scriptstyle MK=ML
 ואולם מ"כ הוא כמו מ"ל
  • \scriptstyle LG>KG
 ונשאר ל"ג יותר ארוך מן כ"ג
  • \scriptstyle GT>GL
 וכן גם כן התבאר כי ג"ט יותר ארוך מן ג"ל
הנה היותר ארוך שבקוים הנכנסים ג"ד
  • \scriptstyle GH>GZ
 ואחר כן ג"ה יותר ארוך מן ג"ז
  • \scriptstyle GZ>AG
 ואחרי כן ג"ז יותר ארוך מן א"ג
והיותר קצר שבקוים היוצאים ג"ב
  • \scriptstyle GB<GK
 ואחרי כן ג"ב יותר קצר מן ג"כ
  • \scriptstyle GK<GL
 וג"כ יותר קצר מן ג"ל
  • \scriptstyle GL<GT
 ואחרי כן ג"ל יותר קצר מן ג"ט
Supposition: ואומר כי שני קוים לבד לשני צדדי ג"ב היות קצר שבקוים שוים
המופת שתעמיד על נקודת מ' מקו מ"ג זוית נמ"ג כמו זוית כמ"ג
ונוציא ג"נ
  • \scriptstyle KM=NM
 הנה קו כ"מ כמו קו נ"מ
ונשים ג"מ משותף
  • \scriptstyle KM+MG=NM+MG
 הנה שני קוי כ"מ מ"ג כמו שני קוי מ"נ ומ"ג
  • \scriptstyle\measuredangle HMG=\measuredangle NMG
 וזוית כמ"ג כמו זוית נמ"ג
  • \scriptstyle KG=GN
 אם כן תושבת כ"ג כמו תושבת ג"נ
Supposition: הנה אומר כי לא יצא מן ג' קו אחד כמו כל אחד מן כ"ג ונ"ג
שאם היה אפשר יוצא והוא ג"ס
ונוציא מן מ' קו אל ס'
  • \scriptstyle KM=MS
 הנה קו כ"מ כמו קו מ"ס
ונשים מ"ג משותף
  • \scriptstyle KM+MG=SM+MG
 הנה שני קוי כ"מ ומ"ג כמו שני קוי ס"מ ומ"ג
  • \scriptstyle KG=GS
 ותושבת כ"ג כמו תושבת ג"ס
  • \scriptstyle\measuredangle KMG=\measuredangle GMS
 הנה זוית כמ"ג כמו זוית גמ"ס
  • \scriptstyle\measuredangle KMG=\measuredangle NMG
 וכבר היתה זוית כמ"ג כמו זוית נמ"ג
  • \scriptstyle\measuredangle GMS=\measuredangle GMN
 הנה זוית גמ"ס כמו זוית גמ"נ
The greater is as the smaller = error. הגדולה כמו הקטנה זה שקר
ואי אפשר שיצא קו אחר כמו קו ג' זולתי נ"ג
הנה שני קוי כ"ג נ"ג אשר הם משני צדדי הקו היותר קצר לבד שוים
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 9
When more than two lines are drawn from a point in the circle to the circumference and the lines are equal, then the point is the center of the circle. ט כאשר הוצא מנקודה בעגלה יותר משני קוים אל הקו המקיף והיו הקוים שוים הנה היא מרכז העגלה
המשל בו שיוצא מנקודת ג' מעגלת א"ב קוים שוים יותר משנים והם ג"ד וג"ב וג"ה
Supposition: הנה אומר כי נקדת ג' מרכז עגלת א"ב
המופת אנחנו נוציא ד"ב וב"ה
ונחלק שני קוי ד"ב וב"ה בשני חצאים שוים על ח"ז
ונוציא ג"ז וג"ח ונעביר בשני הצדדים אל הקו המקיף
  • \scriptstyle DZ=ZB
 הנה קו ד"ז כמו קו ז"ב
ונשים ז"ג משותף
  • \scriptstyle DZ+ZG=BZ+ZG
 הנה שני קוי ד"ז וז"ג כמו שני קוי ב"ז וז"ג
  • \scriptstyle GD=GB
 ותושבת ג"ד כמו תושבת ג"ב
  • \scriptstyle\measuredangle DZG=\measuredangle BZG
 אם כן זוית דז"ג כמו זוית בז"ג
הנה שתיהן אם כן שתי נצבות
הנה כבר חתך קו א"ט מיתר ב"ד בשני חצאים על שתי זויות
אם כן מרכז העגולה על א"ט
וכן התבאר כי המרכז על כ"מ
והנה המרכז יפול על החתך המשותף לשני הקוים א"ט וכ"מ והוא נקדת ג'
וזה מש"ל
אמ' תבאת מצאנו בקצת הנוסחאות מן היונים לזו התמונה מופת אחר
והוא שאנחנו נשים העגלה א"ב ג"ד
והנקדה אשר בתוכה נקדת ה'
ונוציא מנקדת ה' אל העגלה קוים שוים והם ה"ז וא"ה וח"ה
Supposition: הנה אומר כי נקדת ה' מרכז עגולת א"ב ג"ד
ואם לא יהיה כן הנה יהיה מרכזה ט' אם יהיה אפשר זה
ונגיע קו ט"ה ונעבירהו בשני הצדדים אל שתי נקודות ד"ב
הנה מפני שכבר הורשמה בתוך עגולת א"ב ג"ד נקודה איך שתפול והיא ה'
והוצאו ממנה קוים ה"ב וה"ז וא"ה וה"ח אל העגולה איך מה שנפלו
וקו ב"ה מהם ילך במרכז
יהיה קו ב"ה היותר ארוך מהם
והיותר קצר מהם קו ד"ה
וקו ז"ה יותר ארוך מקו א"ה
וקו א"ה יותר ארוך מקו ה"ח
אבל אלו הקוים השלשה שוים וזה בלתי אפשר
אם כן אין נקדת ט' מרכז לעגולת א"ב ג"ד
וכן גם כן התבאר שאי אפשר שיהיה מרכזה מנקדה אחרת זולת נקודת ה'
אם כן נקודת ה' מרכז עגולת א"ב ג"ד
וזה מש"ל

Proposition 10
A circle cannot cut a circle at more than two points. י אי אפשר שתחתוך עגולה עגלה ביותר משתי מקומות
שאם היה אפשר זה הנה תחתוך עגולת א"ב עגולת ג"ד ביותר משני מקומות על נקודות ה"ז ח"ט
ונוציא שני קוי ה"ז וז"ח
ונחלקם בשני חצאים על כ"ל
ונוציא כ"ג ול"א על זויות נצבות
ונעביר שניהם אל ב"ד
הנה קו א"ב בעגולת א"ב כבר חתך ז"ח בשני חצאים על זוית נצבת
אם כן מרכז העגולה על א"ב
וג"ד גם כן בעגולת א"ב חתך ז"ה בשני חצאים על זוית נצבת
אם כן מרכז עגולת א"ב על ג"ד
וכבר התבאר כי מרכז עגולת א"ב על קו א"ב
אם כן מרכזה על הנקדה המשותפת לשני קוי א"ב ג"ד
ואינם משותפים בנקודה זולת נקודת נ' אם כן נקודת נ' היא מרכז עגולת א"ב
וכמו כן התבאר שמרכז עגלת ג"ד היא נקודת נ'
אם כן נקודת נ' מרכז עגולות א"ב וג"ד
ושתיהם תתחתכנה אם כן אין מרכז שתיהם אחד
אם כן לא תחתוך עגלה עגלה ביותר משתי מקומות
אמ' תבאת מצאנו בקצת הנוסחאות מהיונים לתמונה הזאת מופת אחר
והוא שאנחנו נשים העגלה אב"ג תחתוך עגלת דה"ז על יותר משתי נקודות והם נקודות ח"ב וז"ט
ויהיה מרכז עגולת אב"ג נקודת כ'
ונגיע קוי ב"כ וח"כ וז"כ
הנה מפני כי כבר הרשמת נקדה בעגולת דה"ז יותר משני קוים והיו שוים והם קוי כ"ב כ"ז כ"ח הנה נקדת כ' מרכז עגולת דה"ז
וכבר היתה גם כן מרכז עגולת אב"ג
הנה כבר נחתכו שתי עגולות והיו מרכזי שתיהן אחד והם נקודת כ' וזה בלתי אפשר
הנה לא תחתוך עגולה עגולה ביותר משני מקומות וזה הוא מה ש"ב

Proposition 11
For every two circles that touch one another, the line that passes through their centers passes through their point of contact, whether it is inside or outside. יא כל שתי עגולות תתמששנה הנה הקו אשר יעבור על מרכז שתיהן יעבור במקום המשוש מבפנים היה משושם או מבחוץ
המשל בו כי עגולת א"ב תמששה עגולת א"ג מבפנים על נקודת א' ויהיה מרכז עגולת א"ב ה' ומרכז א"ג ז'
Supposition: הנה אומר כי הקו אשר יעבור על ה"ז יכלה אל נקודת א' אי אפשר זולתו
שאם היה אפשר הנה יפול כמו ה"ז ט"ח
ונוציא שני קוי א"ז וז"ה
הנה שני קוי א"ז וז"ה מקובצים יותר ארוך מן א"ה
וא"ז כמו ז"ט
וא"ה כמו ה"ח
אם כן ה"ט יותר ארוך מן ה"ח וזה שקר
הנה כבר התבאר כי הקו אשר יעבור על שתי נקודות ה"ז אין יציאתו כמו יציאת ה"ח ולא יפול במקום אחר כי אם בנקודת א' כאשר תתמששנה שתי העגלות
וגם כן הנה אנחנו נשים עגלת א"ג תמשש עגלת א"ב מחוץ על נקודת א'
ויהיה מרכז עגלת א"ב ה' ומרכז עגלת א"ג ז'
Supposition: הנה אומר כי הקו אשר יעבור על ה"ז יעבור בנקודת א'
ואם לא יהיה כן הנה נפול כמו קו ה"ח ט"ז
ונוציא שני קוי א"ז וא"ה
הנה שני קוי א"ז וא"ה יותר ארוך מן ז"ט ח"ה הישר
ואולם א"ה הנה הוא כמו ה"ח
ואולם א"ז הנה הוא כמו ז"ט
אם כן שני קוי ה"ח וז"ט שוים לשני קוי א"ז וא"ה
וכבר היו שני קוי א"ז וא"ה מחוברי' יותר ארוך מן אח"ז ושניהם יותר קטנים ממנו זה אי אפשר
הנה הקו אשר יגיע בין שתי נקודות ה"ז יעבור בנקודת א'
וזה מש"ל

Proposition 12
A circle does not touch another circle at more than one point, whether one of them is inside the other or outside it. יב לא תמשש עגולה עגולה כי אם במקום אחד כאשר תהיה אחת משתיהן תוך האחרת או חוץ ממנה
שאם היה אפשר תמששנה בשתי מקומות או יותר הנה תמשש עגולת ג"ד עגולת א"ב בשתי מקומות מבפנים על שתי נקודות ג"ד
והיה מרכז עגולת א"ב נקודת ה'
ומרכז עגולת ג"ד נקודת ז'
הנה הקו אשר יעבור על ה"ז יפול במקום אשר תתמששנה שתי העגולות
ונוציא קו ה"ז ונוציאהו אל שתי נקודות ג"ד
הנה מרכז עגולת א"ב ה'
הנה קו ה"ד כמו קו ה"ג
וד"ה יותר ארוך הרבה מן ז"ד
וגם כן הנה מרכז עגולת ג"ד נקדת ז'
אם כן קו ז"ד כמו קו ז"ג וכבר היה שהתבאר כי ג"ז יותר ארוך הרבה מן ז"ד וזה שקר
אם כן לא תמשש עגולת ג"ד עגולת א"ב כי אם במקום אחד לבד
ותמששנה מחוץ אם היה אפשר זה כמו עגולת ח"ט לעגולת א"ב בשתי מקומות על שתי נקודות א"ב הנה הקו אשר יצא מן א' אל ב' יפול בעגולת א"ב וחוץ מעגולת ח"ט זה שקר
מפני כי שתי נקודות תפולנה על קשת עגולה יהיה הקו הישר אשר יצא מאחת משתיהן אל האחרת יפול בתוך העגולה
הנה לא תמשש עגולה עגולה כי אם במקום אחד אם מבפנים ואם מבחוץ
וזה מש"ל

Proposition 13
When there are equal chords in a circle, their distances from the center are equal; and those, whose distances from the center are equal, are equal. יג כאשר נפלו בעגולה מיתרים שוים הנה מרחקיהם מן המרכז שוים ואם היו מרחקיהם מן המרכז שוים הנה הם שוים
המשל שהוא נפיל בעגולת א"ב שני מיתרים שוים והם ג"ד וה"ז
Supposition: הנה אומר כי מרחק שניהם מן המרכז שוה
המופת כי נשים המרכז נקודת ח'
ונוציא ממנו אל שני מיתרי ג"ד ה"ז שני עמודים ח"ט וח"כ
ונוציא ה"ח וח"ד וח"ז וח"ג
  • \scriptstyle GD=HZ
 הנה ג"ד כמו ה"ז
  • \scriptstyle GC=HC
 וג"ח כמו ה"ח
  • \scriptstyle DG+GC=ZH+CH
 הנה שני קוי ד"ג ג"ח כמו שני קוי ז"ה וח"ה
  • \scriptstyle DC=ZC
 ותושבת ד"ח כמו תושבת ז"ח
  • \scriptstyle\measuredangle TGC=\measuredangle KHC
 אם כן זוית טג"ח כמו זוית כה"ח
  • \scriptstyle\measuredangle GTC=\measuredangle HKC=90^\circ
 וזוית גט"ח כמו זוית הכ"ח מפני כי שתיהן נצבות
אם כן שתי זויות משולש גט"ח כמו שתי זוית משלש הכ"ח
  • \scriptstyle GC=HC
 ושתי צלעות ג"ח ה"ח שוות
הנה שתי צלעות הנשארות כמו שתי צלעות הנשארות כל אחת כמו הנכחית לה
והזוית הנשארת כמו הזוית הנשארת
אם כן ט"ח כמו כ"ח ושניהם שני העמודים
הנה מרחק ג"ד וה"ז מן המרכז שוה
Supposition: ואומר כי שניהם שוים
המופת כי כבר הוצא מן המרכז קו ט"ח אל ג"ד וחתכו על זוית נצבת
והוא אם כן יחתכהו בשני חצאין
  • \scriptstyle GT=TD
 אם כן קו ג"ט כמו קו ט"ד
  • \scriptstyle DG=2\sdot GT
 וד"ג כפל ג"ט
  • \scriptstyle ZH=2\sdot HK
 ולכן יהיה ז"ה כפל ה"כ
  • \scriptstyle GC=HC
 וג"ח כמו ה"ח
  • \scriptstyle GC^2=GT^2+TC^2
 אם כן המרובע ההוה מן ג"ח כמו שני המרובעים ההוים מג"ט ט"ח
\scriptstyle\measuredangle GTC=90^\circ
 מפני כי זוית גט"ח נצבת
  • \scriptstyle HC^2=HK^2+KC^2
 והמרובע ההוה מן ה"ח כמו שני המרובעים ההוים מן ה"כ וכ"ח
\scriptstyle\measuredangle HKC=90^\circ
 מפני כי זוית הכ"ח נצבת
  • \scriptstyle TC^2+TG^2=CK^2+KH^2
 הנה שני המרובעים ההוים מן ט"ח ט"ג כמו שני המרובעים ההוים מן ח"כ וכ"ה
  • \scriptstyle TC^2=KC^2
 והמרובע ההוה מן ט"ח כמו המרובע ההוה מן כ"ח
  • \scriptstyle GT^2=HK^2
 ונשאר המרובע ההוה מן ג"ט כמו המרובע ההוה מן ה"כ
  • \scriptstyle GT=HK
 הנה קו ג"ט כמו קו ה"כ
  • \scriptstyle GD=2\sdot GT
 וג"ד כפל ג"ט
  • \scriptstyle HZ=2\sdot KH
 וה"ז כפל כ"ה
וכל שני קוים שוים כאשר הוכפלו היו שוים
  • \scriptstyle DG=HZ
 אם כן מיתר ג"ד כמו מיתר ה"ז
וזה מה שרצינו ביאורו

Proposition 14
When there are chords in a circle, the longest of them is the diameter of the circle; and of the rest, the nearer to the center is longer than the more remote. יד כאשר נפלו בעגולה מיתרים הנה היותר ארוך מהם קוטר העגולה והנשארים הנה היותר קרוב מהם אל המרכז יותר ארוך מן היותר רחוק
המשל בו כי נפלו בעגולת א"ב שני מיתרים והם ז"ה וח"ט והקוטר ג"ד וז"ה יותר קרוב אל המרכז מן ח"ט
Supposition: הנה אומר כי קוטר ג"ד הוא היותר ארוך מהם ושה"ז יותר ארוך מן ט"ח
המופת כי נשים המרכז נקדת כ'
ונוציא ממנו שני עמודים אל שני מיתרי ה"ז וח"ט והם כ"ל וכ"מ
הנה מיתר ז"ה יותר קרוב אל המרכז מן ח"ט
אם כן מ"כ יותר קרוב אל המרכז ארוך מן ל"כ
ונבדיל מן כ"מ כמו ל"כ והוא כ"נ
ונקוה על נ' קו נכחי לקו ט"ח והוא ס"ע
הנה שני קוי ה"ז וס"ע מרחק שניהם מן המרכז שוה
אם כן שניהם שוים אם כן קו ה"ז כמו ס"ע
ונוציא קוים כ"ס וכ"ח וכ"ע וכ"ט
הנה ס"כ וכ"ע מחוברים יותר ארוך מן ס"ע
וס"כ כמו כ"ג
וכ"ע כמו כ"ד
הנה קו ג"ד יותר ארוך מן ס"ע
וס"ע כמו ה"ז
אם כן ג"ד יותר ארוך מן ה"ז
וס"ב כמו כ"ח
וע"כ כמו כ"ט
הנה שני קוי ס"כ וכ"ע כמו שני קוי כ"ח וכ"ט
וזוית עכ"ס יותר גדולה מזוית טכ"ח
אם כן תושבת ס"ע יותר ארוכה מתושבת ט"ח
אבל ס"ע כמו ה"ז
אם כן ה"ז יותר ארוך מן ט"ח
הנה המיתרים אשר נפלו בעגולת א"ב היותר ארוך מהם הקוטר והוא ג"ד וה"ז היותר קרוב אל המרכז יותר ארוך מן ט"ח היותר רחוק
ונשלם ביאורו

Proposition 15
When a straight line is drawn from the end of the diameter of a circle at right angles, it falls outside the circle, and no other straight line falls between it and the circumference; the angle of the semicircle is greater than any acute rectilinear angle, and the angle contained by that line and the circumference is less than any acute rectilinear angle. טו כאשר הוצא מקצה הקטר העגולה קו ישר על זוית נצבת הנה יוצא מן העגלה ולא יפול בינו ובין הקו מן המקיף קו אחר ישר ותהיה זוית חצי העגולה יותר גדולה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים ותהיה זוית אשר יקיף בה הקו ההוא והקו המקיף היותר קטנה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים
המשל כי עגולת א"ב יצא מקצה קוטרה והוא קו ג"ד קו ד"ז על זוית נצבת מנקודת ד'
Supposition: הנה אומר כי הוא יפול חוץ מן העגולה אי אפשר זולת זה
שאם היה אפשר הנה יפול בתוכה כמו קו ד"ז קו ד"א
ויהיה המרכז ה'
ונוציא א"ה והוא כמו ה"ד
אם כן זוית הא"ד כמו זוית הד"א
וזוית הד"א נצבת אם כן זוית הא"ד גם כן נצבת
אם כן משולש הא"ד נצב שתי הזויות זה שקר
הנה כבר התבאר כי הקו אשר יצא מן ד' והוא קצה ז"ד על זוית נצבת יפול חוץ מן העגולה ויפול כמו ד"ז
Supposition: הנה אומר כי לא יכנס בינו ובין קשת גא"ד קו אחר ישר
שאם היה אפשר הנה יפול בין שניהם כמו קו ד"ח
ונוציא מן ה' עמוד אל קו ד"ח והוא ה"ט
הנה זוית הט"ד נצבת
וזוית הד"ט קטנה מנצבת
אם כן זוית הט"ד יותר גדולה מזוית הד"ט
והזוית היותר גדולה מכל משולש יהיה מיתרה הצלע היותר ארוך
אם כן צלע ה"ד יותר ארוך מן ה"ט
וה"ד כמו ה"א
אם כן ה"א יותר ארוך מן ה"ט זה שקר
הנה כבר התבאר כי לא יפול בין קשת גא"ד ובין קו ד"ז קו אחר ישר
Supposition: ואומר כי הזוית הנכנסת אשר יקיפו בה הקוטר והקו המקיף אשר עליה בד"ה יותר גדולה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים
ושזוית בד"ז החיצונה יותר קטנה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים
כי אלו היתה זוית חדה ישרת שני הקוים יותר גדולה מן הפנימית ויותר קטנה מן החיצונה אשר זכרנו בשם היה אפשר שיפול בין קו ד"ז ובין קשת גא"ד קו ישר אבל לא יפול
אם כן זוית חצי העגולה אשר עליה גד"ב יותר גדולה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים ואשר עליה בד"ז יותר קטנה מכל זוית חדה ישרת שני הקוים
ונשלם ביאורו

Proposition 16
We wish to draw from a given point a line that touches the circle. יו נרצה שנוציא מנקודה ידועה קו ימשש העגולה
הנה נשים הנקודה הידועה נקודת א' והעגולה עגולת ב"ג
ונרצה שנוציא מן א' קו ימשש עגולת ב"ג
הנה נוציא ממרכז העגולה והוא ד' קו ד"א
ונקוה על מרכז ד' ובמרחק א"ד עגולת א"ח
ונוציא מקו א"ד מנקודת ז' ממנו קו על זוית נצבת והוא ז"ח
ונוציא ד"ח וט"א
הנה קו ד"ח כמו קו א"ד
וד"ז כמו ד"ט
הנה שני קוי א"ד וד"ט כמו שני קוי ח"ד וד"ז
והזויות אשר יקיפו בו שני קוי ח"ד וד"ז ושני קוי א"ד וד"ט אחת
מפני שהם יקיפו זוית אחת והיא ד'
הנה תושבת ז"ח כמו תושבת א"ט
ומשלש זד"ח כמו משלש טד"א
והזויות הנשארות כמו הזויות הנשארות אשר יהיו מיתריהם הצלעות השוות
אם כן זוית דט"א כמו זוית דז"ח הנה שתיהם יחד נצבות
וד"ט קו הקוטר
והקו אשר יצא מקצה הקוטר על זוית נצבת ימשש העגולה
הנה כבר התבאר כי קו א"ט ימשש עגולת ב"ג
וזה מש"ל

Proposition 17
For every line that touches the circle, when a line is drawn from the touching point to the center, this line is perpendicular to the line that touches the circle. יז כל קו ימשש העגולה ויצא מן המקום אשר ימששה בו קו אל המרכז הנה הקו יהיה עמוד על הקו הממשש לעגולה
המשל בו כי קו ג"ד ימשש עגולת א"ב על נקודת ב' והמרכז ה' ונוציא ב"ה
Supposition: הנה אומר שהוא עמוד על ג"ד אי אפשר זולתו
שאם היה אפשר הנה יצא מן ה' עמוד אל קו ג"ד זולת ב"ה והוא ה"ז
הנה זוית הז"ב אם כן נצבת
וזוית הב"ז חדה
אם כן זוית הב"ז יותר גדולה מזוית הב"ז
והזוית היותר גדולה מכל משלש מיתרה הצלע היותר ארוך
הנה קו ב"ה יותר ארוך מן ה"ז וה"ב כמו ה"א אם כן ה"א יותר ארוך מן ה"ז וזה שקר
אם כן אי אפשר שיהיה ה"ז עמוד על ג"ד ולא זולתו מן הקוים
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 18
When a straight line touches a circle, and from the touching point a straight line is drawn at right angles to the [line] outside of the circle, then the center falls on it. יח כאשר ימשש קו ישר עגולה ויצא מן המקום אשר ימששנה קו על זוית נצבת לפנים מן העגולה הנה יהיה עליו המרכז
המשל בו כי קו ג"ד ימשש עגולת א"ב על ב' ויצא מנקודת ב' קו א"ב על זוית נצבת
Supposition: הנה אומר כי המרכז יפול על קו א"ב אי אפשר זולתו
שאם יהיה אפשר נאמר שיפול על קו ב"ה אם כן זוית הב"ד נצבת
וזוית דב"א נצבת
ושתיהם נצבות זה שקר
אם כן אין המרכז על ב"ה ולא בזולת קו א"ב
אם כן מרכז העגולה על א"ב
וזהו מה שרצינו לבאר

Proposition 19
The angle that is at the center of the circle is double the angle that is at the circumference, when the base of both [the angles] is the same arch. יט הזוית אשר תהיה על מרכז העגולה כמו שני פעמים מאשר תהיה על הקו המקיף כאשר תהיינה תושבות שתיהם קשת אחת
המשל בו כי על מרכז עגולת בא"ג זוית בד"ג ועל הקו המקיף זוית בא"ג ותושבת שתיהם יחד קשת ב"ג
Supposition: הנה אומר כי זוית בד"ג כפל זוית בא"ג
המופת כי נוציא קו א"ד ונוציאהו אל ה'
הנה שני קוי א"ד וד"ג שוים
אם כן שתי זויות דא"ג ודג"א שוות
וזוית הד"ג כפל זוית הא"ג
ולכן זוית בד"ה כפל זוית בא"ד
הנה כל זוית בד"ג כפל זוית בא"ג
וזה מש"ל

Proposition 20
When two angles falls on the same segment of a circle, they are equal to one another. כ כאשר תהיה בחתיכה אחת מעגלה שתי זויות הנה שתיהן שוות
המשל בו כי בעגלת אב"ג חתיכת ג"א ה"ד בה שתי זויות גה"ד וגא"ד
Supposition: הנה אומר שהן שוות
המופת הנה נשים המרכז ז'
ונוציא ג"ז ז"ד
הנה זוית גז"ד על המרכז וזוית גה"ד על הקו המקיף
וזוית גז"ד כפל זוית גה"ד ולכן גם כן יהיה כפל זוית גא"ד
אם כן זוית גה"ד כמו זוית גא"ד
ונשלם ביאורו

Proposition 21
For every cyclic quadrilateral, [the sum of] each pair of its opposite angles is equal to two right angles. כא כל עגולה תפול בה תמונה בעלת ארבע צלעות הנה כל שתי זויות מתנגדות מזויותיה הנה שתיהן שוות לשתי זויות נצבות
המשל בו כי בעגולת אב"ג תמונה בעלת ארבע צלעות והיא תמונת א"ב ג"ד
Supposition: הנה אומר כי כל שתי זויות מתנגדות מזויותיה שוות לשתי נצבות
המופת אנחנו נוציא א"ג וב"ד
וכל שתי זויות בחתיכה אחת הנה שתיהן שוות
הנה זוית בא"ג כמו זוית בד"ג
וזוית אד"ב גם כן כמו זוית אג"ב
הנה כל זוית אד"ג כמו שתי זויות אג"ב וגא"ב
ונשים זוית גב"א משותפת
אם כן זוית בא"ג ואג"ב וגב"א כמו שתי זויות אב"ג ואד"ג
וזויות גב"א ובא"ג ובג"א יחד כמו שתי זויות נצבות
הנה שתי זויות אד"ג ואב"ג המתנגדות כמו שתי זויות נצבות
ובכמו הצורה הזאת תדע כי שתי זויות בא"ד ודג"ב שוות לשתי נצבות
ונשלם ביאורו

Proposition 22
כב אי אפשר שיעמודו על קו אחד ישר שתי חתיכות מתדמות מחתיכות העגולות בצד אחד ואחת משתיהן יותר גדולה מן האחרת
שאם היה אפשר נאמר שיקום על קו א"ב הישר שתי חתיכות דומות מחתיכות העגולות בצד אחד והאחת יותר גדולה מן האחרת והם שתי חתיכות אה"ב ואז"ב והיותר גדולה משתיהן חתיכת אז"ב
ונרשום על קשת אה"ב נקדת ה'
ונוציא קו א"ה ונוציאהו עד ז'
ונוציא שני קוי ה"ב וז"ב
הנה חתיכת אה"ב דומה לחתיכת אז"ב
אם כן זוית אה"ב כמו זוית אז"ב היוצאת המשלש כמו הפנימית זה שקר
אם כן לא יעמדו על קו אחד ישר שתי חתיכות דומות מחתיכות העגולים ואחת משתיהם יותר גדולה מן האחרת
וזהו מה שרצינו לבאר

Proposition 23
כג כאשר יהיו חתיכות העגולות דומות והיו על קוים ישרים שוים הנה החתיכות גם כן שוות
המשל בו כי שתי חתיכות אה"ב וגז"ד דומות ועל שני קוים ישרים שוים והם א"ב ג"ד
Supposition: הנה אומר כי שתי החתיכות שוות
המופת כי אנחנו כאשר הרכבנו חתיכת אה"ב על חתיכת גז"ד ותושבת א"ב על תושבת ג"ד נפלה קשת אה"ב על קשת גז"ד
שאם לא תפול ונפל כמו גה"ד והיה תושבת א"ב כבר נפל על תושבת ג"ד
הנה כבר עמדו על קו ג"ד הישר שתי חתיכות דומות מחתיכות העגולות בצד אחד ואחת משתיהן יותר גדולה מן האחרת והם גז"ד וגה"ד זה שקר אי אפשר
אם כן חתיכת אה"ב תפול על חתיכת גז"ד הנה היא אם כן שוה אליה
וזה מה שרצינו ביאורו

Proposition 24
כד נרצה שנשלים חתיכה ידועה מהעגולה
ותהיה חתיכת העגולה הידועה אג"ב
הנה כאשר רצינו להשלים עגולתה הנה נגיע א"ב ונחלקהו בשני חצאים על ד'
ונוציא מנקודת ד' עמוד על א"ב והוא ד"ג
ונגיע א"ג
ונעמיד על קו א"ג הישר על נקודת א' ממנו זוית שוה לזוית אג"ד ישרת שתי הצלעות והיא זוית גא"ה
וזוית דג"א יותר קטנה מנצבת
אם כן שתי זויות דג"א וגא"ה יותר קטנות משתי נצבות וירחקו אל לא תכלית יפגשו
ונאמר שיפגשו שני קוי א"ה ג"ד על נקדת ה'
ונגיע קו ב"ה
הנה מפני כי זוית גא"ה שוה לזוית אג"ח יהיה צלע א"ה שוה לצלע ה"ג
וזה כי שתי זויות משולש הא"ג אשר הן על התושבת שוות
וגם כן הנה מפני כי צלע א"ד שוה לצלע ד"ב וקו ד"ה משותף הנה כל אחד משני קוי א"ד ד"ה שוים לכל אחד משני קוי ב"ד ד"ה כל אחד לנכחי אליו
וזוית אד"ה שוה לזוית בד"ה
הנה תושבת א"ה שוה לתושבת ב"ה
והיה כבר התבאר כי קו א"ה שוה לקו ה"ג
הנה קוי א"ה ה"ג ה"ב השלשה שוים
וכאשר שמנו נקודת ה' מרכז וסבבנו עגולה במרחק ה"א ה"ב ה"ג הלכה בנקודת השלש ונקוה העגולה הזאת והיא עגולת אז"ב
הנה קוינו אל עגולת אג"ב חתיכה ממנה והיא עגולת אז"ב
וזה מה שרצינו לבארו

Proposition 25
כה כאשר היו בעגולות שוות שתי זויות שוות הנה הן על שתי קשתות שוות על המרכז היו או על הקו המקיף
דמיונו כי שתי עגולות אב"ג דה"ז שוות ומרכזי שתיהן ח"ט ובשתיהן שתי זויות שוות על המרכז והם בח"ג הט"ז
Supposition: הנה אומר כי קשת ב"ג כמו קשת ה"ז
המופת אנחנו נוציא משתי נקודות א"ד משתי קשתות בא"ג הד"ז קוי א"ב ב"ג ד"ה ד"ז
הנה קו ח"ב כמו ט"ה
וח"ג כמו ט"ז מפני כי שניהם בעגולות שוות
הנה כל אחת מב"ח ג"ח כמו כל אחת מן ה"ט ט"ז
וזוית בח"ג כמו זוית הט"ז
אם כן תושבת ב"ג כמו תושבת ה"ז
וזוית בח"ג כפל זוית בא"ג
וזוית חט"ז כפל הד"ז
וכבר היתה זוית בח"ג כמו זוית הט"ז
אם כן זוית בא"ג כמו זוית הד"ז
אם כן חתיכת בח"ג דומה לחתיכת הד"ז
ושתי החתיכות שוות
אם כן קשת ב"ג הנשארת כמו קשת ה"ז הנשארת
הנה כבר התבאר כי השתי זויות השוות אשר בעגולת שוות תהיינה על שתי קשתות שוות אם היו על המרכז או היו על הקו המקיף
ונ"ב

Proposition 26
כו כאשר תהיינה בעגולות שוות שתי זויות על שתי קשתות שוות הנה הזויות שוות היו על המרכז או על הקו המקיף
המשל בו כי שתי עגולות אב"ג דה"ז שוות ושתי קשתות ב"ג ה"ז שוות עליהן שתי זויות בט"ג הח"ז והם על המרכז או לא אבל היו על הקו המקיף
Supposition: הנה אומר כי שתיהם שוות אי אפשר כי אם זה
שאם היה אפשר נאמר שתהיה זוית בט"ג קטנה מזוית הח"ז
ונעמיד על נקודת ח' מקו ה"ח זוית הח"ז כמו בט"ג
הנה קשת ב"ג כמו קשת ה"כ
אבל קשת ה"ז היה כמו קשת ב"ג
הנה קשת ה"ז כמו ה"כ
The greater is as the smaller = error. הגדולה כמו הקטנה זה שקר
הנה אם כן אין בט"ג בלתי שוה לזוית הח"ז
אם כן היא שוה לה
ושתי הזויות אשר תהיינה על קשת בא"ג הד"ז חציי זויות בט"ג הח"ז השוות
אם כן הן שוות
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 27
כז המיתרים השוים אשר בעגולות השוות יבדילו קשתות שוות הגדולה לגדולה והקטנה לקטנה
המשל בו כי שתי עגולות אב"ג דה"ז שוות ושני מיתרי ב"ג ה"ז הם שוים
Supposition: הנה אומר כי שניהם יבדילו קשתות שוות
אולם קשת ב"ג כמו קשת ה"ז
ואולם קשת בא"ג כמו קשת הד"ז
ויהיו שני המרכזים ט"ח
ונוציא ט"ב ט"ג וה"ח וח"ז
הנה קו ט"ב כמו קו ה"ח
וקו ט"ג כמו קו ח"ז
הנה כל שני קוי ב"ט ט"ג כמו שני קוי ה"ח ח"ז
ותושבת ב"ג כמו תושבת ה"ז
אם כן זוית בט"ג כמו זוית הח"ז
וקשת ב"ג כמו קשת ה"ז
והעגולה כמו העגולה
אם כן בא"ג כמו קשת הד"ג
וזה שרצינו לבארו

Proposition 28
כח השתי קשתות מן העגולות השוות יבדילום מיתרים שוים
ויהיו שתי עגולות אב"ג דה"ז שוות
ומשתיהן שתי קשתות ב"ג ה"ז שוות
Supposition: הנה אומר כי השני מיתרים והם ב"ג ה"ז שוים
המופת כי נשים המרכזים ט"ח ונוציא ט"ב ט"ג ה"ח ח"ז
הנה קו ט"ב כמו קו ה"ח
וקו ט"ג כמו קו ח"ז
הנה שני קוי ב"ט ט"ג כמו שני קוי ה"ח ח"ז
והזויות אשר יפלו בחתיכות השוות שוות
אם כן זוית בט"ג כמו זוית הח"ז
אם כן תושבת ב"ג כמו תושבת ה"ז
הנה כבר התבאר כי שני מיתרי ב"ג ה"ז שוים
וזה מה שרצינו לבארו

Proposition 29
כט נרצה לחתוך קשת ידועה בשני חצאים
הנה נשים הקשת הידועה בא"ג
ונרצה לחתוך אותה בשני חציים
הנה נגיע ב"ג ונחלקהו בשני חציים על ד'
ונוציא מן ד' אל קשת בא"ג קו א"ד על זוית נצבת על קו ב"ג
ונוציא שני קוי א"ב א"ג
הנה קו ב"ד כמו קו ג"ד
ונשים א"ד משותף
הנה שני קוי ב"ד ד"א כמו שני קוי ג"ד ד"א
וזוית בד"א כמו זוית גד"א
אם כן תושבת א"ב אשר הוא מיתר קשת א"ב כמו תושבת א"ג אשר הוא מיתר קשת א"ג
הנה קשת א"ב אם כן כמו קשת א"ג
הנה כבר חתכנו קשת בא"ג בשני חציים על נקודת א'
וזה מש"ל

Proposition 30
ל כאשר היתה בחתיכת העגולה זוית ישרת שני הקוים מורכבת על הקשת והיתה החתיכה חצי עגולה הנה הזוית נצבת ואם היתה יותר גדולה מחצי העגולה הנה היא חדה ואם היתה יותר קטנה מחצי עגולה הנה היא נרחבת וזוית החתיכה אשר היא יותר גדולה מחצי עגולה הנה היא נרחבת
דמיון זה כי עגולת אב"ג קוטרה א"ב
ונרשו' על הקשת נקדת ד' איך שתפול ונוציא ממנה מיתרי א"ד ד"ב
הנה נאמר כי זוית אד"ב אשר בחצי העגולה נצבת וכאשר היתה הזוית ביותר גדולה מחצי העגולה הנה היא חדה וכאשר היתה ביותר קטנה מחצי העגולה הנה היא נרחבת
המופת אנחנו נרשום על קשת א"ד נקדת ז' איך שתפול
ונשים המרכז ה'
ונוציא קוים א"ז ד"ז ד"ה
הנה קו ה"ד כמו קו ה"ב מפני כי המרכז נקודת ה'
אם כן זוית הב"ד כמו זוית הד"ב
הנה שתיהן כפל זוית הד"ב
אבל זוית אה"ד החיצונה מן המשולש כמו שתי זויות הד"ב הב"ד הפנימיות יחד
הנה היא כפל זוית הד"ב
ולכן תהיה זוית דה"ב כפל זוית הד"א
ושתי זויות דה"א דה"ב כמו שתי זויות נצבות
אם כן זוית אד"ב אשר בחצי עגולת אד"ב נצבת
וזוית דב"א יותר קטנה מנצבת והיא בקשת יותר גדולה מחצי עגולה והיא קשת ד"ב ג"א
וכל תמונה בעלת ארבע צלעות תפול בעגולה הנה כל שתי זויות מקבילות מזויותיה שוות לשתי נצבות
וזוית דב"א יותר קטנה מנצבת
ונשאר זוית דז"א יותר גדולה מנצבת והיא בקשת אז"ד אשר היא יותר קטנה מחצי העגולה
Supposition: ואומר כי הזוית אשר תקיף בה קשת ב"ד ומיתר א"ד נרחבת והיא זוית חתיכת א"ג ב"ד אשר היא יותר גדולה מחצי העגולה ושהזוית אשר יקיפו בה קשת אז"ד ומיתר א"ד חדה והיא זוית חתיכת א"ד והיא יותר קטנה מחצי העגולה
המופת אנו נוציא מיתר ב"ד אל ח'
הנה מפני כי זוית אד"ב נצבת היתה הזוית אשר יקיפו בה מיתר א"ד וקשת ד"ב נרחבת
ומפני כי שתי זויות אד"ב אד"ח כמו שתי נצבות וזוית אד"ב נצבת תשאר זוית אד"ח נצבת
והיתה הזוית אשר יקיפו בה קשת אז"ד ומיתר א"ד יותר קטנה מזוית אד"ח
ונשלם ביאורו
אמר תבאת מצאנו בקצת הנוסחאות מהיונים לתמונה הזאת מופת אחר על היות זוית אד"ב נצבת
והוא כי קו א"ה כמו ה"ד אם כן זוית הא"ד כמו זוית הד"א
וקו ה"ד שוה לקו ב"ה אם כן זוית הב"ד כמו זוית הד"ב
הנה כל זוית אד"ב שוה לשתי זויות בא"ד אב"ד
וזוית אד"ח גם כן שוה לשתי זויות בא"ד אב"ד
הנה זוית אד"ב שוה לזוית אד"ח הנה היא אם כן נצבת
וזה מש"ל

Proposition 31
לא כל קו ימשש העגולה ויצא מן המקום אשר ימששה קו ישר יחתוך העגולה ולא יעבור במרכז הנה השתי זויות אשר משני צדדיו כמו השתי זויות אשר תפולנה בשתי חתיכות העגולה המומרות להם
המשל בו כי קו ד"ה ימשש עגולת אב"ג על ב'
ויצא מב' קו ב"ז וחתך העגולה על זולת המרכז
Supposition: הנה אומר כי שתי זויות זב"ד זב"ה כמו השתי זויות אשר יפלו בשתי חתיכות זט"ב זא"ב
המופת אנחנו נרשום על קשת ז"ב נקודת ט' איך שתפול
ויהיה המרכז ח'
ונוציא ב"ח ויעבור אל א'
ונוציא קוים ב"ט ט"ז א"ז
הנה קו דב"ה ימשש עגולת אב"ג
וכבר הוצא מן המרכז קו א"ב הנה הוא עמוד על קו דה"ב
אם כן זוית אב"ה נצבת
וזוית אז"ב נצבת כי היא בחצי העגולה
ונשים זוית זב"א משותפת
הנה כל זוית זב"ה כמו שתי זויות אז"ב זב"א
ושתי זויות דב"ז זב"ה כמו שתי נצבות
אבל שלש זויות בא"ז אז"ב אב"ז מן המשולש כמו שתי נצבות
אם כן הם יחד כמו שתי זויות דב"ז זב"ה
וזוית זב"ה כמו שתי זויות אז"ב זב"א
אם כן זוית זב"ד הנשארת כמו זוית זא"ב והיא בחתיכת זא"ב
וכל תמונה בעלת ארבע צלעות בעגולה הנה כל שתי זויות מקבילות מזויותיה כמו שתי נצבות
אם כן שתי זויות זט"ב זא"ב כמו שתי נצבות ושתיהן כמו שתי זויות זב"ה זב"ד
וזוית זב"ד כמו זוית זא"ב
אם כן זוית זט"ב הנשארת כמו זוית זב"ה הנשארת והיא בחתיכת זט"ב
וזה מש"ל

Proposition 32
לב נרצה לעשות על קו ידוע חתיכת עגולה תקביל זוית כמו זוית מונחת ישרת שני הקוים
הנה נשים קו א"ב הידוע
והזוית הידועה גד"ה
ונרצה לעשות על קו א"ב חתיכת עגולה תקביל זוית כמו זוית גד"ה
הנה נעמיד על קו א"ב על נקודת א' ממנו זוית בא"ז כמו זוית גד"ה
ונוציא מנקודת א' ממנו קו א"ח על זוית נצבת
ונעמיד על קו א"ב על נקודת ב' ממנו זוית אב"ח כמו זוית בא"ח
ויפגשו שתי צלעות א"ח א"ב על נקודת ח' מפני כי שתיהן יצאו מפחות משתי זויות נצבות
אם כן צלע א"ח כמו ח"ב
ונשים המרכז ח'
ונקיף עגולה במרחק א"ח ב"ח
הנה בעבור כי זוית זא"ח נצבת הנה קו א"ז ימשש עגולת א"ב
וכבר יצא ממקום משושם קו א"ב וחתך העגולה על זולת המרכז הנה בשתי צדדיו שתי זויות כמו השתי זויות אשר יפלו בשתי חתיכות העגולה המומרות לשתיהן
אם כן זא"ב כמו אשר יפול בחתיכת א"ב
אבל זוית זא"ב כמו זוית גד"ה
אם כן זוית גד"ה כמו אשר תפול בחתיכת א"ב
ונשלם ביאורו

Proposition 33
לג נרצה שנבדיל מעגולה ידועה חתיכה תקביל זוית ידועה ישרת שני הקוים
ונשים העגולה הידועה עגולת אב"ג
והזוית הידועה ישרת שני הקוים זוית דה"ז
ונרצה שנבדיל מעגולת אב"ג חתיכה תקביל זוית כמו זוית דה"ז
ונעביר על נקודת ג' קו חג"ט ממשש לעגולת אב"ג
ונעמיד על קו ג"ח על נקודת ג' ממנו זוית בג"ח כמו זוית דה"ז
הנה קו חג"ט ימשש עגולת אב"ג
וכבר יצא מהמקום אשר ימששה קו ב"ג יחתוך העגולה על זולת המרכז
הנה משתי צדדיו שתי זויות אשר יפלו בשתי חתיכות העגולה המומרות לשתיהן
אם כן זוית בג"ח כמו אשר תפול בחתיכת גא"ב
\scriptstyle\measuredangle BGC=\measuredangle DHZ
 אבל זוית בג"ח כמו זוית דה"ז
אם כן זוית דה"ז כמו אשר תפול בחתיכת גא"ב
הנה כבר הבדלנו מעגולת אב"ג הידועה חתיכת גא"ב תקביל זוית כמו זוית דה"ז
וזה מש"ל

Proposition 34
לד כל שני מיתרים יתחתכו בעגולה הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בה שני חלקי אחד משניהם המיתרים כמו השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני חלקי המיתר האחר
המשל שני חלקי מיתרי א"ג ב"ד יתחתכו בעגולת א"ב ג"ד על נקודת ה'
Supposition: \scriptstyle AH\times HG=DH\times HB הנה אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ה ה"ג שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ד"ה ה"ב
המופת שנשים מרכז עגולת א"ב ג"ד נקודת ז'
ונגיע קו ז"ה
ונוציא מן נקודת ז' אל שני קוי א"ג ב"ד שני עמודי ז"ח ז"ט
ונגיע שני קוי ז"ג ז"ב
הנה מפני שכבר יצא ממרכז עגולת א"ב ג"ד קו ישר והוא קו ז"ח וחתך א"ג על זויות נצבות הנה כבר חלקו בשני חצאים על נקודת ח' ובשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה'
  • \scriptstyle\left(AH\times HG\right)+CH^2=GC^2
 יהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו א"ה ה"ג עם המרובע המתהוה מן ה"ח שוה למרובע ההוה מן ג"ח
ונשים המרובע ההוה מן ז"ח משותף
  • \scriptstyle\left(AH\times HG\right)+HC^2+CZ^2=ZC^2+CG^2
 הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ה ה"ג עם שני המרובעים ההוים משני קוי ה"ח ח"ז שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ז"ח ח"ג
  • \scriptstyle ZC^2+HC^2=ZH^2
 אבל שני המרובעים ההוים משני קוי ז"ח ה"ח שוים למרובע ההוה מן ז"ה
\scriptstyle\measuredangle HCZ=90^\circ
 מפני כי זוית הח"ז נצבת
  • \scriptstyle ZC^2+HG^2=ZG^2
 אם כן שני המרובעים ההוים משני קוי ז"ח ח"ג שוים למרובע ההוה מן ז"ג
  • \scriptstyle\left(AH\times HG\right)+ZH^2=ZG^2
 אם כן השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ה ה"ג עם המרובע ההוה מן ז"ה שוה למרובע ההוה מן ז"ג
  • \scriptstyle\left(DH\times HB\right)+ZH^2=ZB^2
 וכן גם כן התבאר כי השטח הנצב הזויו' אשר יקיפו בו שני קוי ד"ה ה"ב עם המרובע ההוה מן ז"ה שוה למרובע ההוה מן ז"ב
  • \scriptstyle ZB^2=ZG^2
 והמרובע ההוה מן ז"ב שוה למרובע ההוה מן ז"ג
  • \scriptstyle\left(AH\times HG\right)+ZH^2=\left(DH\times HB\right)+ZH^2
 אם כן השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ה ה"ג עם המרובע ההוה מן ז"ה שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ד"ה ה"ב עם המרובע ההוה מן ז"ה
\scriptstyle AH\times HG=DH\times HB וכאשר חסרנו המשותף והוא המרובע ההוה מן ז"ה נשאר השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ד"ה ה"ב
וזה מה שרצינו ביאורו

Proposition 35
לה כאשר רשמת נקודה חוץ מעגולה והוצאו ממנה שני קוים ישרים אל העגולה אחד משתיהם יחתכה והאחר ימששה הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו הקו כלו אשר יחתוך העגולה עם הקו אשר יפול ממנו חוץ לעגולה שוה למרובע ההוה מן הקו הממשש
Example: \scriptstyle\bigcirc_{ABG}. ותהיה העגולה אב"ג
והנקודה אשר נרשמה חוץ ממנה נקודת ד'
ונוציא ממנה אל עגולת אב"ג שני קוי ד"א ד"ג הישרים
ויהיה קו ד"ג מהם חותך לעגולה וקו א"ד ממשש אותה
Supposition: \scriptstyle\left(BD\times DG\right)=AD^2 הנה אומר כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג שוה למרובע ההוה מן א"ד
המופת שנשים המרכז ה'
ונוציא מנקודת ה' אל קו ב"ג עמוד ה"ז
ונגיע קוי א"ה ג"ה ה"ד
הנה מפני כי בעגולת אב"ג קו יצא מן המרכז והוא ה"ז וכבר חתך את ב"ג על זוית נצבת הנה הוא חתכו בשני חצאים
  • \scriptstyle BZ=ZG
 הנה קו ב"ז שוה לקו ז"ג
ומפני כי קו ב"ג כבר נחלק בשני חלקים על נקודת ז' ונוסף בו קו ב"ד על יושר
  • \scriptstyle\left(BD\times DG\right)+ZG^2=DZ^2
 יהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג עם המרובע ההוה מן ז"ג כמו המרובע ההוה מן ד"ז בעצמו
ונשים המרובע ההוה מן ה"ז משותף
  • \scriptstyle\left(BD\times DG\right)+HZ^2+ZG^2=ZH^2+ZD^2
 הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג עם שני המרובעים ההוים מן ה"ז ז"ג שוים לשני המרובעים ההוים מן שני קוי ז"ה ז"ד
  • \scriptstyle ZH^2+ZG^2=HG^2
 ושני המרובעים ההוים משני קוי ז"ה ז"ג שוים למרובע ההוה מן ה"ג
\scriptstyle\measuredangle HZG=90^\circ
 מפני שזוית הז"ג נצבת
  • \scriptstyle HZ^2+ZD^2=HD^2
 ושני המרובעים ההוים משני קוי ה"ז ז"ד שוים למרובע ההוה מן ה"ד
\scriptstyle\measuredangle HZD=90^\circ
 מפני כי זוית הז"ד נצבת
  • \scriptstyle\left(BD\times DG\right)+HG^2=HD^2
 הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג עם המרובע ההוה מן ה"ג שוה למרובע ההוה מן ה"ד
  • \scriptstyle HD^2=AH^2+AD^2
 אבל המרובע ההוה מן ה"ד שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי ה"א א"ד
\scriptstyle\measuredangle HAD=90^\circ
 מפני כי זוית הא"ד נצבת
  • \scriptstyle\left(BD\times DG\right)+HG^2=AH^2+AD^2
 הנה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג עם המרובע ההוה מן ה"ג שוה לשני המרובעים ההוים מן א"ה א"ד
  • \scriptstyle HG^2=AH^2
 והמרובע ההוה מן ה"ג שוה למרובע ההוה מן א"ה
וזה שהם יצאו מן מרכז העגולה אל הקו המקיף בה
\scriptstyle BD\times DG=AD^2 הנה נשאר השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג שוה למרובע ההוה מן א"ד
ונש"ל ב

Proposition 36
When there is a circle and a point is placed outside it and two straight lines are drawn from it to the circle, so that one of them cuts it, and the other falls on it, if the rectangle contained by the whole of the straight line which cuts it and its segment that falls outside the circle equals the square on the straight line which falls on the circle, then the straight line which falls on it touches the circle. לו כאשר היתה עגולה והושמה חוץ ממנה נקודה והוצאו ממנה שני קוים ישרים אל העגולה אחד משניהם יחתכה והאחר יכלה אליה והיה השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו אשר יחתכה כלו והחתיכה אשר יפול ממנו חוץ מן העגולה שוה למרובע ההוה מן הקו האחר אשר יכלה אל העגולה הנה הקו אשר יכלה אליה ימשש לעגלה
When two lines are drawn from the point, so that both touch the circle, they are equal. וכאשר יצאו שני קוים מהנקודה האחת ושניהם ימששו העגלה הנה הם שוים
Example: \scriptstyle\bigcirc_{ABG}. ותהיה העגולה אב"ג
Point D is drawn outside of it. ונרשמה חוץ ממנה נקודת ד'
AD and DB are drawn from it to the circumference of \scriptstyle\bigcirc_{ABG}: DB cuts it and DA falls on it. ויצאו ממנה אל מקיף עגלת אב"ג שני קוי א"ד ד"ב הישרים ויהיה ד"ב חותך אותה וד"א כלה אליה
\scriptstyle BD\times DG=AD^2 ויהיה השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג שוה למרובע ההוה מן א"ד
Supposition: AD touches \scriptstyle\bigcirc_{ABG} הנה אומר כי קו א"ד ממשש לעגלת אב"ג
III.16: We draw line DH from point D, so that it touches \scriptstyle\bigcirc_{ABG}
 ונוציא מנקודת ד' קו ממשש לעגלת אב"ג והוא ד"ה מי"ו מזה
We set the center \scriptstyle\bigcirc_{ABG}: point Z
 ונשים מרכז עגלת אב"ג נקודת ז'
We join lines AZ, ZD, ZH
 ונגיע קוי א"ז ז"ד ז"ה
  • III.35: \scriptstyle BD\times DG=DH^2
 הנה מפני כי השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי ב"ד ד"ג שוה למרובע ההוה מן ד"ה מל"ה מזה
  • \scriptstyle AD^2=DH^2
 וגם כן יהיה המרובע ההוה מן א"ד שוה למרובע ההוה מן קו ד"ה
  • \scriptstyle AD^2=DH^2
 אם כן יהיה המרובע ההוה מן א"ד שוה למרובע ההוה מן ד"ה
  • \scriptstyle AD=DH
 אם כן קו א"ד שוה לקו ד"ה
ומפני כי קו א"ז שוה לקו ז"ה וזה כי הם יצאו מן המרכז אל המקיף הקו וקו ד"ז משותף יהיו כל שני קוי א"ז ז"ד שוים לכל שני קוי ה"ז ז"ד כל אחד לנכחי אליו
  • \scriptstyle AD=DH
 ותושבת א"ד שוה לתושבת ד"ה
  • I.8: \scriptstyle\measuredangle AZD=\measuredangle HZD
 תהיה זוית אז"ד שוה לזוית הז"ד מח' מא'
  • \scriptstyle\triangle AZD=\triangle ZDH
 ומשולש אז"ד שוה למשולש זד"ה
ושאר הזויות שוות לשאר הזויות
אם כן שתי זויות זא"ד אד"ז שוות לשתי זויות זה"ב הד"ז כל אחד לנכחי לו אשר הם מיתריהם הצלעות השוות
  • \scriptstyle\measuredangle ZAD=\measuredangle ZHD
 אם כן זוית זא"ד שוה לזוית זה"ד
  • III.17: \scriptstyle\measuredangle ZHD=90^\circ
 וזוית זה"ד נצבת מי"ז מזה
  • \scriptstyle\measuredangle ZAD=90^\circ
 הנה זוית זא"ד נצבת
וקו א"ז כאשר הוצא הנה הוא קטר
וכבר הוצא מקצה הקטר קו א"ד על זוית נצבת מי"ז מזה
AD touches \scriptstyle\bigcirc_{ABG} הנה קו א"ד ממשש לעגלת אב"ג
Q.E.D. וזה מש"ל
נשלם המאמר השלישי מספר אקלידס החכם בשרשים ומספר תמונותיו ששה ושלשים

Book Four

 המאמר הרביעי

Definitions
The figure is said to be inscribed in a figure when each of its angles touches each of the respective sides of the figure in which it is inscribed. יאמר כי התמונה מורשמת בתמונה כאשר תהיה כל אחת מזויותיה ממששת לכל אחת מצלעות התמונה אשר נרשמת בה
The figure is said to be circumscribed about a figure when each of its sides touches each of the respective angles of the figure about which it is circumscribed. ויאמר כי התמונה נרשמת סביב התמונה כשתהיה כל אחת מצלעותיה ממששת לכל אחת מזויות התמונה אשר היא נרשמת סביבה

Proposition 1
We wish to draw a chord in a given circle equal to a given line, which is not greater than the diameter of the circle. א נרצה שנקוה בעגלה ידועה מיתר שוה לקו ידוע אינו יותר גדול מקוטר העגולה
Defining:
  • \scriptstyle\bigcirc_{ABG} the known circle.
 הנה נשים העגלה הידועה עגלת אב"ג
  • DH = the known straight line which is not greater than the diameter of the circle.
 והקו הישר הידוע אשר לא יהיה יותר גדול מקוטר העגלה קו ד"ה
We wish to draw a chord in \scriptstyle\bigcirc_{ABG}, which is equal to DH. ונרצה שנקוה בעגלת אב"ג מיתר שוה לקו ד"ה
  • III.1: We draw a diameter of the circle = BG
 הנה נוציא קוטר העגולה והוא ב"ג מא' מג'
  • If \scriptstyle DH=BG, the required has been achieved.
 ואם היה ד"ה כמו ב"ג כבר היה מה שרצינו
  • I.3: If \scriptstyle DH<BG, [defining] \scriptstyle ZG=DH
 ואם היה יותר קצר יהיה ז"ג כמו ד"ה מג' מא'
Defining: G = center, GZ = radius of \scriptstyle\bigcirc_{AC}
 ונשים ג' מרכז ובמרחק ג"ז עגולת א"ח
Drawing line GA
 ונוציא קו ג"א
  • \scriptstyle GZ=DH\longrightarrow AG=DH
 הנה ג"ז כמו ד"ה אם כן א"ג כמו ד"ה
We have drew in \scriptstyle\bigcirc_{ABG} a chord equal to DH, which is not greater than the diameter. הנה כבר קוינו בעגלת אב"ג מיתר כמו קו ד"ה שאינו יותר גדול מן הקוטר
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 2
We wish to inscribe in a given circle a triangle equiangular with a given triangle. ב נרצה לעשות בעגולה ידועה משולש שוה זויותיו לזויות משולש ידוע
Defining:
  • \scriptstyle\bigcirc_{ABG} the known circle.
 הנה נשים העגולה הידועה עגלת אב"ג
  • \scriptstyle\triangle_{DHZ} the known triangle.
 והמשולש הידוע משולש דה"ז
We wish to inscribe in \scriptstyle\bigcirc_{ABG} a triangle equiangular with \scriptstyle\triangle_{DHZ}. ונרצה שנעשה בעגולת אב"ג משולש שוות זויותיו לזוית משולש דה"ז
  • III.16: We draw line AC touching the circle at A.
 הנה נעביר על נקודת א' קו א"ח ממשש לעגולה מי"ו מג'
  • I.23: We construct on A \scriptstyle\measuredangle BAC=\measuredangle DHZ
 ונעמיד על נקודת א' מקו א"ח זוית בא"ח כמו זוית דה"ז
  • I.23: We construct on line AT at A \scriptstyle\measuredangle DZH=\measuredangle TAG
ונעמיד גם כן על קו א"ט על נקודת א' ממנו כמו זוית דז"ה והיא זוית טא"ג מכ"ג מא'
  • We join BG.
 ונוציא ב"ג
Line AC touches \scriptstyle\bigcirc_{ABG}
 הנה קו א"ח ממשש לעגלת אב"ג
AB and AG are drawn from the point of contact and cut the circle.
 וכבר יצאו ממקום משושו א"ב א"ג יחתכו העגולה
III.31: The angles on both sides of each of them equal the angles that fall on the two alternate segments of the circle:
 הנה משני צדדי כל אחת מהן שתי זויות כמו אשר יפלו בשתי חתיכות העגולה המומרות מל"א מג'
  • \scriptstyle\measuredangle BAC=\measuredangle BGA
 אם כן זוית בא"ח כמו זוית בג"א
  • \scriptstyle\measuredangle GAT=\measuredangle ABG
 וזוית גא"ט כמו זוית אב"ג
  • \scriptstyle\measuredangle GAT=\measuredangle DZH
 וזוית גא"ט כמו זוית דז"ה
  • \scriptstyle\measuredangle BAC=\measuredangle DHZ
 וזוית בא"ח כמו זוית דה"ז
\scriptstyle\measuredangle DHZ\quad\measuredangle DZH are equal to \scriptstyle\measuredangle ABG\quad\measuredangle AGB
 אם כן שתי זויות דה"ז דז"ה כמו שתי זויות אב"ג אג"ב
I.32: The remaining \scriptstyle\measuredangle HDZ=\measuredangle BAG
 ונשארה זוית הד"ז כמו זוית בא"ג מל"ב מא'
\scriptstyle\triangle_{DHZ} is equiangular with \scriptstyle\triangle_{ABG} in \scriptstyle\bigcirc_{ABG} אם כן זויות דה"ז שוות למשולש אב"ג העשוי בעגלת אב"ג
The explanation is complete. ונשלם באורו

Proposition 3
We wish to circumscribe about a given circle a triangle equiangular with a given triangle. ג נרצה לעשות על עגולה ידועה משולש יקיף בה תהיינה זויותיו שוות לזויות משולש ידוע
Defining:
  • \scriptstyle\bigcirc_{ABG} the known circle.
 הנה נשים העגולה עגולת אב"ג
  • \scriptstyle\triangle_{DHZ} the known triangle.
 והמשולש הידוע משולש דה"ז
We wish to circumscribe about \scriptstyle\bigcirc_{ABG} a triangle equiangular with \scriptstyle\triangle_{DHZ}. ונרצה לעשות על עגלת אב"ג משולש יקיף בה שוות זויותיו לזויות משולש דה"ז
  • We draw HZ in both directions to T and B.
 הנה נוציא ה"ז בכל אחד משני הצדדין אל ט"ב
  • C = the center
 ויהיה המרכז ח'
  • We draw from it the line CB to circumference randomly.
 ונוציא ממנו קו ח"ב אל המקיף איך שיפול
  • I.23: We construct on line BC at C \scriptstyle\measuredangle BCG=\measuredangle DHT and \scriptstyle\measuredangle BCA=\measuredangle DZB
 ונעמיד על ח' מקו ב"ח זוית כמו זוית דה"ט והיא זוית בח"ג וכמו זוית דז"ב והיא זוית בח"א מכ"ג מא'
  • III.16: We draw lines LM, MN and NL through the points B, G, and A, touching \scriptstyle\bigcirc_{ABG}.
 ונעביר על נקודות בג"א קוים ל"מ מ"נ נ"ל ממששים לעגלת אב"ג מי"ו מג'
  • Line LM touches \scriptstyle\bigcirc_{ABG}
 הנה קו ל"מ ממשש לעגלת אב"ג
  • Line CB that was drawn from the touching point to the center is perpendicular to line LBM \scriptstyle CB\perp LBM
 וכבר הוצא ממקום המשוש קו ח"ב אל המרכז והוא עמוד על קו לב"מ
  • \scriptstyle\measuredangle LBC=90^\circ
 אם כן זוית לב"ח נצבת מי"ז מג'
  • \scriptstyle\measuredangle MBC=90^\circ
 וזוית מב"ח גם כן נצבת
  • The angles at point G are right.
 וכן יהיו שתי זויות אשר אצל ג' נצבות
  • The angles at point A are right.
 וכן יהיו זויות אשר אצל א' כל אחת מהן נצבת
The four angles of every quadrilateral figure are equal to four right angles. וכל תמונה בעלת ארבע צלעות הנה זויותיה הארבעה שוות לארבע זויות נצבות
The angles of ACBL are equal to four right angles.
 אם כן זויות שטח א"ח ב"ל כמו ארבע זויות נצבות
  • The angles at points A and B are right.
 אבל אשר אצל א"ב נצבות
The remaining opposite angles at C and L are equal to two right angles.
 הנה נשארו אשר אצל ח"ל המתנגדות כמו שתי נצבות
\scriptstyle\measuredangle DZB+\measuredangle DZH=90^\circ+90^\circ
 אבל שתי זויות דז"ב דז"ה כמו שתי נצבות
The two angles at C and L are equal to \scriptstyle\measuredangle DZB+\measuredangle DZH.
 אם כן שתי זויות ח"ל כמו שתי זויות דז"ב דז"ה
  • \scriptstyle\measuredangle DZB=\measuredangle C
 וזוית דז"ב כמו זוית ח'
  • \scriptstyle\measuredangle DZH=\measuredangle L
 ונשארה זוית דז"ה כמו זוית ל'
\scriptstyle\measuredangle DHT+\measuredangle DHZ=\measuredangle C+\measuredangle M
 וכן גם כן יהיו שתי זויות דה"ט דה"ז כמו שתי זויות ח"מ
  • \scriptstyle\measuredangle DHT=\measuredangle C
 וזוית דה"ט כמו זוית ח'
  • \scriptstyle\measuredangle M=\measuredangle DHZ
 ונשארה זוית מ' כמו זוית דה"ז
  • I.32: The three angles of every triangle are equal to two right angles.
 וכל משולש הנה זויותיו השלש כמו שתי נצבות מל"ב מא'
\scriptstyle\measuredangle DHZ+\measuredangle DZH=\measuredangle L+\measuredangle M
 ושתי זויות דה"ז דז"ה כמו שתי זויות ל"מ
  • \scriptstyle\measuredangle D=\measuredangle N
 ונשארה זוית ד' כמו זוית נ'
\scriptstyle\triangle_{DHZ} is equiangular with \scriptstyle\triangle_{NLM} that is circumscribed about \scriptstyle\bigcirc_{ABG} אם כן זויות משלש דה"ז שוות לזויות משולש נל"מ העשוי על עגלת אב"ג המקיף בה
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 4
We wish to inscribe a circle in a given triangle. ד נרצה שנעשה במשולש ידוע עגולה יקיף בה
Defining:
  • \scriptstyle\triangle_{ABG} the known circle.
 הנה נשים המשולש הידוע משולש אב"ג
We wish to inscribe a circle in it. ונרצה שנעשה בו עגולה יקיף בה
  • I.9: We bisect \scriptstyle\measuredangle ABG by line BD and \scriptstyle\measuredangle BGA by line GH.
 הנה נחלק זוית אב"ג בשני חצאים בקו ב"ד וזוית בג"א בשני חצאים בקו ג"ה מט' מא'
  • We join these two lines at Z.
 ונדביק שני הקוים האלו על ז'
  • I.12: We draw from Z lines ZH, ZC, and ZD perpendicular to lines AB, AG, and BG.
 ונוציא מן ז' אל קוי א"ב א"ג ב"ג עמודים ז"ה ז"ח ז"ד מי"ב מא'
Defining: Z = center, ZD = radius of a circle in \scriptstyle\triangle_{ABG}
 ונשים נקודת ז' מרכז ונקיף במרחק ז"ד עגולה במשלש אב"ג
Supposition: [the circle] touches the sides [of the triangle] at D, C and H. הנה אומר כי הוא ימשש צלעותיו על נקודות דח"ה
Proof:
  • \scriptstyle\measuredangle DGZ=\measuredangle DGC
 מופתו כי זוית דג"ז כמו זוית דג"ח
  • \scriptstyle\measuredangle GDZ=90^\circ=\measuredangle GCZ
 וזוית גד"ז נצבת והיא כמו זוית גח"ז
  • \scriptstyle\measuredangle DGZ\quad\measuredangle GDZ of \scriptstyle\triangle_{DGZ} are equal to \scriptstyle\measuredangle ZGC\quad\measuredangle GCZ of \scriptstyle\triangle_{GCZ}
 אם כן שתי זויות דג"ז גד"ז ממשולש דג"ז כמו שתי זויות זג"ח גח"ז מן משולש גח"ז
  • Side GZ common to both, as a hypotenuse that is opposite to one of the equal angles.
 וצלע ג"ז משותף לשתיהם יהיה מיתר שתי זויות שוות מזויות שניהם
  • I.26: the two remaining sides of one triangle are equal to the two remaining sides of the other triangle respectively:
 אם כן שתי צלעות המשולש הנשארות כמו שתי צלעות המשולש האחר הנשארות כל אחת לנכחי אליה מכ"ו מא'
  • \scriptstyle DZ=ZC
 הנה צלע ד"ז כמו צלע ז"ח
  • \scriptstyle ZC=ZH
 וכן גם כן יתבאר כי ז"ח כמו ז"ה
  • The three lines ZC, ZD, and ZH are equal to one another.
אם כן קוי ז"ח ז"ד ז"ה השלשה שוים
  • The angles at the points D, C, and H are right.
 והזויות אשר אצל נקודת דח"ה נצבות
  • III.9: The circle revolving around the center Z at radius DZ passes through points H and C.
 אם כן העגולה אשר תסבוב על מרכז ז' ובמרחק ז"ד תלך בשתי נקודות ה"ח מט' מג'
  • III.15: It touches the sides of the triangles.
 ותשמש צלע המשלש מט"ו מג'
We have constructed \scriptstyle\bigcirc_{HDC} inscribed in the given \scriptstyle\triangle_{ABG}. הנה כבר עשינו במשולש אב"ג הידוע עגלת הד"ח יקיף בה
The explanation is complete. ונשלם ביאורו

Proposition 5
We wish to circumscribe a circle about a given triangle. ה נרצה לעשות אל משולש ידוע עגולה תקיף בו
Defining:
  • \scriptstyle\triangle_{ABG} the known circle.
 הנה יהיה המשולש הידוע משולש אב"ג
We wish to circumscribe a circle about it. ונרצה לעשות עליו עגלה תקיף בו
  • I.10: We bisect each of the sides AB and AG at points D and H.
 הנה נחלק כל אחד משתי הצלעות א"ב א"ג בשני חצאים על שתי נקודות ד"ה מי' מא'
  • I.11: We draw two lines DZ and HZ at right angles to AB and AG.
 ונעמיד על שני קוי א"ב א"ג שני קוים על זויות נצבות והם ד"ז ה"ז מי"א מא'
  • We join lines AZ, ZG and ZB.
 ונדביק קוי ז"א ז"ג ז"ב
  • \scriptstyle AH=HB
 הנה מפני כי א"ה שוה לקו ה"ב
  • Line ZH is common.
וקו ז"ה משותף
  • Lines AH and HZ are equal to lines BH and HZ, each to its corresponding.
 יהיו כל שני קוי א"ה ה"ז כמו כל שני קוי ב"ה ה"ז כל אחד אצל הנכחי לו
  • \scriptstyle\measuredangle AHZ=90^\circ=\measuredangle BHZ
 וזוית אה"ז הנצבת שוה לזוית בה"ז הנצבת
  • I.4: \scriptstyle AZ=BZ
 אם כן תושבת א"ז שוה לתושבת ב"ז מד' מא'
  • \scriptstyle AZ=GZ
 וכן גם כן התבאר כי קו א"ז שוה לקו ג"ז
\scriptstyle AZ=ZG=ZB
 אם כן קוי א"ז ז"ג ז"ב שוים
III.9: When we define the center Z and radius AZ, the circle passes through points A, B and G.
 הנה כאשר שמנו נקודת ז' מרכז וסבבנו במרחק א"ז עגולה הלכה בנקודת אב"ג הנה נקוה העגולה הזאת ויהיה עליה אב"ג מט' מג'
We have circumscribed a circle about \scriptstyle\triangle_{ABG}. הנה כבר עשינו אל משולש אב"ג עגולה תקיף בו
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 6
We wish to inscribe a square in a given circle. ו נרצה לעשות בעגולה ידועה מרובע תקיף בו
Defining:
  • \scriptstyle\bigcirc_{ABG} the known circle.
 הנה נשים העגלה הידועה עגולת אב"ג
We wish to inscribe a square in it. ונרצה לעשות בה שטח מרובע תקיף בו
  • III.1: We draw two diameters AG and BD that cut each other at right angle.
 הנה נוציא בה שני קטרים יתחתכו על זוית נצבת והם א"ג ב"ד מא' מג'
  • We draw lines AB, AD, BG and GD.
 ונוציא קוים א"ב א"ד ב"ג ג"ד
  • \scriptstyle BH=HD
 הנה קו ב"ה כמו קו ה"ד
  • Line AH is common.
 וקו א"ה משותף
  • Lines BH and AH are equal to lines DH and AH.
 הנה כל שני קוי ב"ה א"ה כמו כל שני קוי ד"ה א"ה
  • \scriptstyle\measuredangle BHA=\measuredangle DHA
 וזוית בה"א כמו זוית דה"א
  • I.4: \scriptstyle AB=AD
 אם כן תושבת א"ב כמו תושבת א"ד מד' מא'
  • \scriptstyle BG=GD
 וכן גם כן התבאר כי ב"ג כמו ג"ד
  • \scriptstyle GD=AD
 וכן ג"ד כמו א"ד
III.30: the quadrilateral ABGD is equilateral and the angles at the semicircles are right.
 אם כן מרובע א"ב ג"ד שוה הצלעות והזויות אשר בחציי העגלות נצבות מל' מג'
All angles at points A, B, G and D are right.
 הנה כל הזויות אשר אצל נקדות א"ב ג"ד כל אחת מהן נצבת
We have inscribed a square in the given \scriptstyle\bigcirc_{ABGD}. הנה כבר התבאר שאנחנו כבר עשינו בעגולת א"ב ג"ד הידועה מרובע
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 7
We wish to circumscribe a square about a given circle. ז נרצה לעשות על עגלה ידועה מרובע יקיף בה
Defining:
  • \scriptstyle\bigcirc_{ABG} the known circle.
 הנה נשים העגולה הידועה עגלת אב"ג
We wish to circumscribe a square about it. ונרצה לעשו' עליה מרובע יקיף בה
  • III.1: We draw two diameters AG and BD that cut each other at right angle.
 ונוציא בה שני קטרים יתחתכו על זויות נצבות והם א"ג ב"ד מא' מג'
  • We draw lines ZC, ZT, TK and KC through the points A, B, G, and D, touching the circle.
 ונוציא מנקודות א'ב'ג'ד' קוי ז"ח ז"ט ט"כ כ"ח ממששים לעגולה
  • III.15: We draw them at right angles to the diameters.
 והוא שנוציאם על זויות נצבות על קצות הקטרים מט"ו מג'
  • ZC touches the circle.
 הנה ז"ח ימשש לעגולה
  • III.17: Line AH that was drawn from its touching point to the center is perpendicular to line ZC \scriptstyle AH\perp ZC
 וכבר הוצא ממקום אשר ימששה קו א"ה אל המרכז אם כן הוא עמוד על ז"ח מי"ז מג'
  • \scriptstyle\measuredangle ZAH=90^\circ=\measuredangle HAC
 ושתי זויות זא"ה הא"ח נצבות
The angles at points B, G and D are right.
 וכן תהיינה הזויות אשר אצל נקדות בג"ד נצבות
  • \scriptstyle\measuredangle BHA=90^\circ=\measuredangle ZAH
 אם כן שתי זויות בה"א זא"ה שתי נצבות
  • I.28: \scriptstyle HB\parallel ZA and \scriptstyle ZB\parallel AH
 אם כן שני קוי ה"ב ז"א נכחיים וכן יהיו שני קוי ז"ב א"ה נכחיים מכ"ח מא'
  • I.34: The parallelogram ZBHA is equilateral and its angles are equal.
 הנה שטח ז"ב ה"א נכחי הצלעות הנה צלעותיו וזויותיו המתנגדות שוות מל"ד מא'
  • \scriptstyle ZA=BH
 אם כן צלע ז"א כמו צלע ב"ה
  • \scriptstyle BH=TG
 וכן יהיה ב"ה כמו ט"ג
  • \scriptstyle AC=HD=GK
 וא"ח כמו ה"ד וכמו ג"כ
  • \scriptstyle BD=ZC=TK
 הנה ב"ד כמו ז"ח וכמו ט"כ
  • I.30: \scriptstyle AG=TZ=CK
 ולכן א"ג כמו ט"ז וכמו ח"כ מל' מא'
  • ZTKC is equilateral.
 הנה שטח ז"ט כ"ח שוה הצלעות
  • \scriptstyle BH\parallel AZ
 וב"ה ינגד א"ז
  • BZ is perpendicular to them.
 וכבר נפל עליהם קו ב"ז
  • I.34: \scriptstyle\measuredangle HBZ+\measuredangle AZB=90^\circ+90^\circ
 אם כן שתי זויות הב"ז אז"ב הפנימיות כמו שתי נצבות מל"ד מא'
  • \scriptstyle\measuredangle HBZ=90^\circ
 וזוית הב"ז נצבת
  • I.29: \scriptstyle\measuredangle AZB=90^\circ
 הנה נשארה זוית אז"ב נצבת מכ"ט מא'
All angles at points T, K and C are right.
 וכן תהיה כל אחת מהזויות אשר אצל נקדות טכ"ח נצבות
ZTKC is a square that is circumscribed about \scriptstyle\bigcirc_{ABG}. אם כן שטח ז"ט כ"ח מרובע והוא עשוי על עגלת א"ב ג"ד
The explanation is complete. ונשלם ביאורו

Proposition 8
We wish to inscribe a circle in a given square. ח נרצה לעשות במרובע ידוע עגלה יקיף בה
Defining:
  • \scriptstyle\square_{ABGD} the [known] square.
 הנה נשים המרובע א"ב ג"ד
  • I.10: We bisect each of the lines AD and AB at the points H and Z.
 ונחלק כל אחד מקוי א"ד א"ב בשני חצאים על שתי נקודות ה"ז מי' מא'
  • We draw at points H and Z lines HC and ZT EH at right angles.
 ונוציא משתי נקודות ה"ז שני קוי ה"ח ז"ט על זויות נצבות
  • I.28: each of the figures AC, HG, AT and ZG is a parallelogram.
 הנה כל אחד משטחי א"ח ה"ג א"ט ז"ג נכחי הצלעות מכ"ח מא'
  • I.34: The angles at points C and T are right, as they are opposite to the right angles at points B, A and D.
 אם כן הזויות אשר אצל ח"ט נצבות כי הם יקבילו הזויות הנצבות אשר אצל נקדות בא"ד מן המרבע הידוע מל"ד מא'
  • The angles at points H and Z are right.
 והזויות אשר אצל ה"ז נצבות
  • \scriptstyle AB=AD\longrightarrow AZ=AH
 ומפני כי א"ב כמו א"ד יהיה א"ז כמו א"ה
  • AZ and AH are half of AB and AD [respectively].
 מפני כי א"ז וא"ה חציי א"ב א"ד
  • \scriptstyle AH\parallel BC\longrightarrow AH=BC
 וקו א"ה כמו ב"ח כי הוא יקבילהו
  • \scriptstyle ZK=AH
 וז"כ כמו א"ה גם כן
  • \scriptstyle ZA=KH=DT
 וז"א כמו כ"ה וד"ט
  • \scriptstyle HD=BT
 וכן ה"ד כמו ב"ט
  • GC and ZB are equal to KC and TG.
 וג"ח וז"ב כמו כ"ח וט"ג
  • The four figures AK, CT, ZC and KG are equal squares.
 אם כן שטחי א"כ ח"ט ז"ח כ"ג הארבעה מרובעים שוים
  • \scriptstyle KZ=KH=KT=KC
 אם כן יהיו קוי כ"ז כ"ה כ"ט כ"ח הארבעה שוים
  • The angles at the ends of these lines are right.
 וכבר התבאר כי הזויות המוצאות מקצוי אלו הקוים נצבות
Defining: K = center, the radius of the circle = KZ = KH = KC = KT.
 אם כן כאשר שמנו נקודת כ' מרכז וסבבנו במרחק כל אחד מקוי כ"ז כ"ה כ"ח כ"ט עגולה
  • III.15: The circle passes through points Z, H, T and C and it touches sides AB and GD.
 הלכה העגולה בנקדות ז"ה ט"ח ותמשש צלעות א"ב ג"ד מט"ו מג'
Both lines ZT and HC are diameters of the circle and the angles at their ends are right.
 מפני כי שני קוי ז"ט ה"ח שני קטרי העגולה והזויות אשר אצל קצויהם נצבות
This circle touches the sides of \scriptstyle\square_{ABGD}
 אם כן צלעות מרובע א"ב ג"ד כאשר קוינו העגלה הזאת תמששם
We have inscribed the circle in the given square, so that it touches sides AB, GD, BG and AD, since the angles at points H, Z, C and T are right. אם כן הנה נקוה העגולה במרובע המונח ותהיה ממששת לצלעות א"ב ג"ד ב"ג א"ד מפני כי הזויות אשר אצל נקדות ה"ז ח"ט נצבות
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 9
We wish to circumscribe a circle about a given square. ט נרצה לעשות על מרובע ידוע עגלה מקיף בו
Defining:
  • \scriptstyle\square_{ABGD} the known square.
 הנה נשים המרובע הידוע מרובע א"ב ג"ד
We wish to circumscribe [a circle] about it. ונרצה לעשות עליו תקיף בו
הנה נוציא שני קוי א"ג ב"ד
הנה א"ב כמו א"ד
\scriptstyle\measuredangle BAD=90^\circ וזוית בא"ד נצבת
אם כן שתי זויות אד"ב אב"ד כל אחת חצי נצבת
וכן יהיו שתי זויות דא"ג דג"א כל אחת חצי נצבת
\scriptstyle\measuredangle ADB=\measuredangle DAG אם כן זוית אד"ב כמו זוית דא"ג
\scriptstyle AH=HD אם כן צלע א"ה כמו צלע ה"ד
\scriptstyle BH=HG וכן יהיה ב"ה כמו ה"ג
\scriptstyle HG=DH וה"ג כמו ד"ה
א"כ ה"ד ה"א ה"ב ה"ג שוים
הנה על מרכז ה' ובמרחק ה"ג הקפנו עגולה מוקפת במרובע א"ב ג"ד
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 10
We wish to construct an isosceles triangle, such that each of its angles at the base is double the remaining angle. י נרצה לעשות משולש שוה השוקים תהיה כל אחת מזויותיו אשר על התושבת כפל הזוית הנשארת
הנה נקוה קו א"ב ונחלקהו על ג' חלוקה יהיה בה א"ב בב"ג כמו א"ג בעצמו
ונשים נקודת א' מרכז ונקוה על מרכז א' ובמרחק א"ב עגלת הב"ד
ונוציא מן ב' מיתר יהיה שוה אל א"ג והוא ב"ד
ונגיע קוי א"ד ג"ד
ונקוה על משולש אג"ד עגלה תקיף בו והיא עגלת אג"ד
הנה יהיה א"ב בב"ג כמו א"ג בעצמו
\scriptstyle AG=BD וג"א כמו ב"ד
אם כן יהיה א"ב בב"ג כמו ב"ד בעצמו
ונקודת ב' חוץ מעגולת אג"ד
וכבר יצאו ממנה אל עגלת אג"ד שני קוים אחד מהם יחתכה והוא א"ב והאחר יכלה אליה והוא ב"ד
ואשר מן א"ב בב"ג כמו ב"ד בעצמו
אם כן ב"ד ימשש עגולת אג"ד
וכבר יצא מהמקום שימששה קו ד"ג ויחתוך העגולה על זולת המרכז
והנה שתי הזויות אשר משני צדדיו כמו אשר יפלו בשתי חתיכות העגולה המומרות לשתיהן
אם כן זוית גד"ב כמו זוית גא"ד וזוית גד"א משותפת אם כן כל זוית בד"א כמו שתי זויות גד"א דא"ג
אבל שתי זויות גד"א דא"ג שתיהן יחד כמו זוית בג"ד החיצונה מן המשולש
\scriptstyle\measuredangle BGD=\measuredangle BDA אם כן זוית בג"ד כמו זוית בד"א
\scriptstyle\measuredangle BDA=\measuredangle DBA וזוית בד"א כמו זוית דב"א
\scriptstyle\measuredangle DBA=\measuredangle BGD אם כן זוית דב"א כמו זוית בג"ד
\scriptstyle BD=GD אם כן צלע ב"ד כמו צלע ג"ד
\scriptstyle BD=AG וב"ד כמו א"ג
\scriptstyle AG=GD אם כן א"ג כמו ג"ד
\scriptstyle\measuredangle GAD=\measuredangle GDA אם כן זוית גא"ד כמו זוית גד"א
ושתי זויות גא"ד גד"א יחד כפל זוית גא"ד
וזוית בג"ד החיצונה מן משולש אג"ד כמו שתי זויות גא"ד גד"א יחד
\scriptstyle\measuredangle BGD=2\sdot\measuredangle DAG אם כן זוית בג"ד כפל זוית דא"ג
וזוית בג"ד כמו זוית אב"ד וכמו זוית אד"ב
הנה כל אחת משתי זויות אב"ד אד"ב כפל זוית בא"ד
הנה כבר עשינו משולש שוה השוקים עליו אב"ד תהיה כל אחת מזויותיו אשר על תושבת ב"ד כפל הזויות הנשארות
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 11
We wish to inscribe an equilateral and equiangular pentagon in a given circle. יא נרצה לעשות בעגולה ידועה מחמש שוה הצלעות והזויות אשר תקיף בו
Defining:
  • \scriptstyle\bigcirc_{ABG} the known circle.
 הנה נשים העגולה הידועה עגולת אב"ג
We wish to inscribe an equilateral and equiangular pentagon in it. ונרצה לעשות בה מחומש שוה הצלעות והזויות תקיף בו
הנה נעשה משולש שוה השוקים תהיה כל אחת מזויותיו אשר על התושבת כפל הזוית הנשארת והוא משולש דה"ז
ונעשה בעגולת אב"ג משולש אב"ג שות זויותיו לזויות משולש דה"ז
הנה כל אחת משתי זויות אב"ג אג"ב כפל זוית בא"ג
ונחלק זוית אב"ג בשני חצאים בקו ב"ח וזוית אג"ב בקו ג"ט
ונוציא קוי א"ט ט"ב ב"ג א"ח ח"ג
הנה כל אחת משתי זויות אב"ג אג"ב כפל זוית בא"ג
וכבר נחלקה כל אחת מהן בשני חצאים אם כן זוית בא"ג אג"ט טג"ב חב"ג חב"א החמש שוות
אם כן קשתות א"ט ט"ב ב"ג ג"ח ח"א החמשה שוים
אם כן מחומש אטבג"ח שוה הצלעות
וקשת ב"ט כמו קשת ג"ח
ונשים קשת טא"ח משותף אם כן כל קשת ב"ט א"ח כמו כל קשת ג"ח א"ט
וזוית גב"ט על קשת ג"ח ט"א וזוית בג"ח על קשת ח"א ט"ב
\scriptstyle\measuredangle GBT=\measuredangle BGC אם כן זוית גב"ט כמו זוית בג"ח
וכן יהיו זויות גח"א חא"ט אט"ב כמו כל אחת משתי זויות בג"ח וכן גב"ט
אם כן מחומש טבגח"א שוה הצלעות והזויות הנה כבר נעשה בעגולת אב"ג
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 12
We wish to circumscribe an equilateral and equiangular pentagon about a given circle. יב נרצה לעשות על עגולה ידועה מחמש שוה הצלעות והזוית יקיף בה
ויהיו נקודות זויות המחמש נקודות א'ב'ג'ד'ה'
ונעביר על אלו הנקודות קוים ממששים לעגלה עליהם כ"ל ל"ז ז"ח ח"ט ט"כ
ונשים מרכז העגולה מ'
ונגיע קוי מ"כ מ"ב מ"ל מ"ג מ"ז מ"ד מ"ח מ"ה מ"ט מ"א
הנה מפני כי שני קוי ג"ז ז"ד כבר יצאו מנקודת ז' ומששו עגולת אבגד"ה יהיה קו ג"ז שוה לקו ז"ד וקו ז"מ משותף הנה כל שני קוי ג"ז ז"מ שוים לכל שני קוי ד"ז ז"מ כל אחת לדומה לו
ותושבת ג"מ שוה לתושבת מ"ד
מפני כי שתיהן יוצאות ממרכז העגולה אל הקו המקיף
\scriptstyle\measuredangle GZM=\measuredangle DZM אם כן זוית גז"מ שוה לזוית דז"מ
הנה קו מ"ז כבר חלק בם זוית גז"ד בשני חצאים
וכן גם כן התבאר כי זויות הח"ד אט"ה בל"א בל"ג כבר חלקום קוי מ"ח מ"ט מ"כ מ"ל בשני חצאי'
וגם כן הנה ג"מ שוה לקו מ"ד וקו מ"ז משותף אם כן כל שני קוי ג"מ מ"ז שוים לכל שני קוי ז"מ מ"ד כל אחד לדומה לו
ותושבת ג"ז שוה לתושבת ז"ד
\scriptstyle\measuredangle GMZ=\measuredangle ZMD אם כן זוית גמ"ז שוה לזוית זמ"ד
אם כן זוית גמ"ד כבר נחלקה בשני חצאים בקו מ"ז
וכן גם כן התבאר כי זויות דמ"ה המ"א אמ"כ כמ"ג כבר חלקום קוי מ"ט מ"ח מ"כ מ"ל בשני חצאים
ומפני כי קשת ד"ה שוה לקשת ג"ד כי היה מיתר צלעות מחומש תהיה זוית גמ"ד שוה לזוית דמ"ה
\scriptstyle\measuredangle GMD=2\sdot\measuredangle DMZ ואולם זוית גמ"ד הנה היא כפל זוית דמ"ז
\scriptstyle\measuredangle HMD=2\sdot\measuredangle DMC ואולם זוית המ"ד הנה היא כפל דמ"ח
\scriptstyle\measuredangle ZND=\measuredangle DMC אם כן זוית זמ"ד שוה לזוית דמ"ח
וזוית מד"ח נצבת מפני כי קו ד"מ אשר יעבור במרכז כבר יצא ממקום המשוש ולכן תהיה מד"ז נצבת
אם כן שתי זויות זמ"ד מד"ז ממשולש זמ"ד שוות לשתי זויות דמ"ח חד"מ ממשולש מד"ח כל אחת לדומה לה וקו מ"ד משותף בין שתיהם אם כן הצלעות הנשארות שוות לצלעות הנשארות כל אחת לדומה לה
\scriptstyle DZ=DC אם כן קו ד"ז שוה לד"ח
\scriptstyle\measuredangle MZD=\measuredangle MCD וזוית מז"ד שוה לזוית מח"ד הנשארת
וכן התבאר כי קו ל"ג שוה לקו ג"ז
ומפני כי קו ג"ז שוה לקו ג"ל וכפל ג"ז הוא ז"ל וכפל ז"ד הוא ז"ח יהיה ז"ח שוה לקו ז"ל
וכן גם כן התבאר כי קו ז"ח שוה לקו ח"ט
\scriptstyle CT=TK ושקו ח"ט שוה לקו ט"כ
\scriptstyle TK=KL ושקו ט"כ שוה לקו כ"ל
\scriptstyle KL=LZ ושקו כ"ל שוה לקו ל"ז
אם כן קוי כ"ל ל"ז ז"ח ח"ט ט"כ שוים
ומחומש זחטכ"ל שוה הצלעות
Supposition: ואומר שהוא שוה הזויות
ומפני כי כפל זוית מז"ד היא זוית גז"ד וכפל זוית מח"ד היא זוית הח"ד תהיה זוית גז"ד שוה לזוית הח"ד
וכן גם כן התבאר כי זוית זח"ט שוה לזוית כט"ח
\scriptstyle\measuredangle KTC=\measuredangle LKT ושזוית כט"ח שוה לזוית לכ"ט
\scriptstyle\measuredangle LKT=\measuredangle LZC ושזוית לכ"ט שוה לזוית לז"ח
אם כן זויות אשר עליהן לכ"ט כל"ז לז"ח זח"ט חט"כ שוות
אם כן מחומש זחטכ"ל שוה הזויות
וכבר ביארנו שהוא שוה הצלעות והוא יקיף בעגלת אבג"ד
Q.E.D. וזה מה שרצינו ביאורו

Proposition 13
We wish to inscribe a circle in a given equilateral and equiangular pentagon. יג נרצה לעשות במחומש ידוע שוה הצלעות והזויות עגלה יקיף בה
Defining:
  • ABGDH the given equilateral and equiangular pentagon.
 הנה נשים המחומש הידוע השוה הצלעות והזויות אבגד"ה
We wish to inscribe a circle in it. ונרצה לעשות בו עגלה יקיף בה
הנה נחלק שתי זויות בג"ד דג"ה כל אחת בשני חצאים בשני קוי ז"ג ז"ד
ונגיע קוי א"ז ז"ב ה"ז
ונוציא מנקודת ז' אל קוי א"ב ב"ג ג"ד ה"ד א"ה עמודים ז"ח ז"ט ז"כ ז"ל ז"מ
הנה מפני כי צלע ב"ג שוה לצלע ג"ד כי המחומש הוא שוה הצלעות וקו ז"ג משותף יהיו כל שני קוי ב"ג ג"ז שוים לכל שני קוי ג"ד ג"ז כל אחד לגילו
\scriptstyle\measuredangle BGZ=\measuredangle ZGD וזוית בג"ז שוה לזוית זג"ד
\scriptstyle BZ=ZD אם כן תושבת ב"ז שוה לתושבת ז"ד
\scriptstyle\triangle_{BGZ}=\triangle_{ZDG} ומשולש בג"ז שוה למשולש זד"ג
ושאר הזויות שוות לשאר הזויות אשר היו מיתריהם הצלעות השוות
\scriptstyle\measuredangle GBZ=\measuredangle ZAG אם כן זוית גב"ז שוה לזוית זא"ג
\scriptstyle\measuredangle ABZ=\measuredangle ZDH ונשארה זוית אב"ז שוה לזוית זד"ה
\scriptstyle\measuredangle ZDH=\measuredangle ZDG ותהיה זוית זד"ה שוה לזוית זד"ג
\scriptstyle\measuredangle ABZ=\measuredangle ZDG הנה זוית אב"ז שוה לזוית זד"ג
\scriptstyle\measuredangle ZDG=\measuredangle ZBG וכבר היתה זוית זד"ג שוה לזוית זב"ג
\scriptstyle\measuredangle ABZ=\measuredangle ZBG אם כן זוית אב"ז שוה לזוית זב"ג
אם כן זוית אב"ג כבר נחלקה בשני חצאים כל אחת בקו ב"ז
וכן התבאר כי כל אחת משתי זויות בא"ה אה"ד כבר נחלקה כל אחת בשני חציים בשני קוי א"ז ז"ה
ומפני כי זוית בג"ז שוה לזוית זג"ד וזוית זח"ג נצבת והיא שוה לזוית זמ"ג יהיו כל שתי זויות זמ"ג זג"מ שוות לכל שתי זויות זח"ג זג"ח כל אחת לנכחי לה וקו ז"ג משותף לשני המשולשים יחד יהיו הצלעות הנשארות שוות לשתי הצלעות הנשארות כל אחד לנכחי לו
אם כן קו מ"ז שוה לקו ז"ח
וכן התבאר כי קו ח"ז שוה לקו ז"ט
וקו ז"ט לקו ז"כ
וקו ז"כ לקו ז"ל
וקו ז"ל לקו ז"מ
הנה הקוים החמשה אשר עליהם ח"ז ז"ט ז"כ ל"ז ז"מ שוים
וכאשר שמנו נקודת ז' מרכז וסבבנו במרחק אחת מנקודות ח'ט'כ'ל'מ' עגולה עברה העגולה על שאר הנקודות ומששה צלעות מחומש אבגד"ה מפני כי הזויות אשר אצל נקודות ח'ט'כ'ל'מ' נצבות ונקוה העגולה הזאת והיא עגולת חטכל"מ
הנה כבר עשינו במחומש אבגד"ה עגולה יקיף בה והיא עגולת חטכל"מ
Q.E.D. וזה מה שרצינו ביאורו

Proposition 14
We wish to circumscribe a circle about a given equilateral and equiangular pentagon. יד נרצה לעשות על מחומש ידוע שוה הצלעות והזויות עגולה תקיף בו
Defining:
  • ABGDH the given equilateral and equiangular pentagon.
 הנה נשים המחומש הידוע מחומש אבגד"ה
We wish to circumscribe a circle about it. ונרצה לעשות עליו עגלה תקיף בו
הנה נחלק זוית בג"ד בשני חצאים בקו ג"ז וזוית גד"ה בשני חצאים בקו ד"ז ויפגשו על נקודת ז'
ונוציא קוי ז"ב ז"א ז"ה
הנה קו ב"ג כמו קו ג"ד וג"ז משותף אם כן שני קוי ב"ג ג"ז כמו שני קוי ג"ד ג"ז
\scriptstyle\measuredangle BGZ=\measuredangle DGZ וזוית בג"ז כמו זוית דג"ז
\scriptstyle BZ=ZD אם כן תושבת ב"ז שוה לתושבת ז"ד
\scriptstyle\triangle_{ZBG}=\triangle_{ZDG} ומשולש זב"ג כמו משולש זד"ג
ושתי זויות זב"ג בז"ג הנשארות כמו שתי זויות זד"ג דז"ג כל אחת לנכחי לה
\scriptstyle\measuredangle ZBG=\measuredangle ZDG אם כן זוית זב"ג כמו זוית זד"ג
\scriptstyle\measuredangle ZDG=\frac{1}{2}\sdot\measuredangle GDH וזוית זד"ג חצי זוית גד"ה
\scriptstyle\measuredangle GDH=\measuredangle GBA וזוית גד"ה כמו זוית גב"א
\scriptstyle\measuredangle ZDG=\frac{1}{2}\sdot\measuredangle GBA אם כן זוית זד"ג חצי זוית גב"א
\scriptstyle\measuredangle ZBG=\measuredangle ZBA אם כן זוית זב"ג כמו זוית זב"א
וקו א"ב כמו קו ב"ג וקו ב"ז משותף
אם כן שני קוי א"ב ב"ז כמו שני קוי ג"ב ב"ז
\scriptstyle\measuredangle ABZ=\measuredangle GBZ וזוית אב"ז כמו זוית גב"ז
\scriptstyle AZ=ZG אם כן תושבת א"ז כמו תושבת ז"ג
וכן גם כן התבאר כי כל אחד מן א"ז ז"ב ז"ג שוים
אם כן קוי א"ז ז"ב ז"ג ז"ד ז"ה החמשה שוים
הנה כאשר שמנו נקודת ז' מרכז והקפנו במרחק ז"א עגולה הלכה בנקודות ב"ג ד"ה והקיפה במחמש שוה הצלעות והזויות הידוע והיא עגולת אבגד"ה
Q.E.D. וזה הוא מה שרצינו לבאר

Proposition 15
We wish to inscribe an equilateral and equiangular hexagon in a given circle. טו נרצה לעשות בעגולה ידועה משושה שוה הצלעות והזויות
Defining:
  • \scriptstyle\bigcirc_{ABGDHZ} the known circle.
 תהיה העגולה הידועה עגולת א"ב ג"ד ה"ז
We wish to inscribe an equilateral and equiangular hexagon in it. ונרצה לעשות בה משושה שוה הצלעות והזויות
הנה נוציא קוטר העגולה והוא ג"ז
ויהיה המרכז ח'
ונשים נקודת ז' מרכז ונקיף במרחק ז"ח עגולה עליה חאטב"ה
ונגיע קוי א"ז א"ח ה"ח ה"ז
ונוציא שני קוי א"ח ה"ח אל שתי נקודות ד"ב
ונגיע קוי א"ב ג"ב ג"ד ד"ה
הנה מפני כי נקודת ח' מרכז עגולת אג"ה יהיה קו א"ח שוה לקו ה"ח
ומפני כי נקודת ז' גם כן מרכז עגולת אטב"ה יהיה קו א"ז שוה לקו ז"ה
וכל אחד ממשולשי אח"ז הח"ז שוה הצלעות
\scriptstyle AC=CH וקו א"ח שוה לקו ח"ה
\scriptstyle AZ=ZH וקו א"ז שוה לקו ז"ה
וקו ח"ז משותף
הנה כל שני קוי א"ח ח"ז שוים לכל שני קוי ה"ח ח"ז כל אחד לנכחי לו ותושבת א"ז שוה לתושבת ז"ה
\scriptstyle\measuredangle ACZ=\measuredangle ZCH אם כן זוית אח"ז שוה לזוית זח"ה
\scriptstyle\measuredangle ACZ=\measuredangle GCD אבל זוית אח"ז שוה לזוית גח"ד
\scriptstyle\measuredangle GCB=\measuredangle ZCH וזוית גח"ב שוה לזוית זח"ה
אם כן זויות בח"ג גח"ד אח"ז זח"ה הארבעה שוות
ומפני כי קו א"ח שוה לקו ח"ז כי הם יוצאים ממרכז העגולה אל הקו המקיף בהם תהיה זוית חא"ז שוה לזוית אז"ח
אם כן כל שתי זויות חא"ז אז"ח כפל זוית חא"ז
אבל שתי זויות חא"ז אז"ח שוות לזוית אח"ג החיצונה
הנה אם כן זוית אח"ג החיצונה כפל זוית חא"ז
וזוית חא"ז שוה לזוית אח"ז מפני כי המשולש שוה הצלעות
\scriptstyle\measuredangle ACZ=\measuredangle BCG וזוית אח"ז שוה לזוית בח"ג
\scriptstyle\measuredangle BCG=\measuredangle BCA אם כן זוית בח"ג שוה לזוית בח"א
אבל זוית בח"א שוה לזוית דח"ה
וזוית דח"ה שוה לכל אחת מזויות אח"ז זח"ה גח"ד
הנה כל אחת מזויות בח"ג גח"ד אח"ז זח"ה שוות לכל אחת משתי זויות בח"א דח"ה
אם כן הזויות השש אשר אצל נקודת ח' שוות קצתם אל קצת
והזויות השוות יהיו מיתריהם קשתות שוות
אם כן קשתות א"ב ב"ג ג"ד ד"ה ה"ז ז"א הששה שוים
ומפני כי הקשתות השוות יהיו מיתריהם קוים שוים אם כן משושה א"ב ג"ד ה"ז שוה הצלעות
Supposition: ואומ' שהוא שוה הזויות
הנה מפני כי קשת א"ז שוה לקשת ב"ג וקשת ג"ד ה"ז משותף הנה כל קשת בגדה"ז שוה לכל קשת אזהד"ג
וזוית בא"ז על קשת בגדה"ז וזוית אב"ג על קשת אזהד"ג
והזויות אשר תהיינה על הקשתות השוות הן שוות
\scriptstyle\measuredangle BAZ=\measuredangle GBA אם כן זוית בא"ז שוה לזוית גב"א
וכן גם כן התבאר כי זוית גב"א שוה לזוית בג"ד
\scriptstyle\measuredangle BGD=\measuredangle GDH וזוית בג"ד שוה לזוית גד"ה
\scriptstyle\measuredangle GDH=\measuredangle DHZ וזוית גד"ה לזוית דה"ז
\scriptstyle\measuredangle DHZ=\measuredangle AZH וזוית דה"ז לזוית אז"ה
אם כן הזויות השש אשר אצל נקודות אב"ג דה"ז שוות
אם כן מששת אב"ג דה"ז שוה הזויות
וכבר ביארנו שהוא שוה הצלעות והוא עשוי בעגולת א"ב ג"ד ה"ז
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר
וכבר היה אפשר שנעשה על עגולה ידועה משושת שוה הצלעות והזויות יקיף בה ושנעשה עליו עגולה תקיף בו על דמיונו מה שספרנו במחומש
ובכאן התבאר כי חצי קוטר העגולה יהיה מיתר הקו המקיף בה בששה פעמים כי צלע משושת שוה לחצי קוטר העגולה
מצאנו התמונה זאת בנוסחא אחרת במין אחר לפי מה שתראה

Proposition 16
We wish to circumscribe an equilateral and equiangular hexagon about a circle. יו נרצה שנעשה בעגולה ידועה משושת שוה הצלעות
Defining:
  • \scriptstyle\bigcirc_{ABG} the [known] circle.
 הנה נשים העגולה אב"ג
והקוטר שלה ד"ג ומרכזה ה'
We wish to circumscribe an equilateral and equiangular hexagon about it. ונרצה לעשות בה משושת שוה הצלעות והזויות תקיף בו
הנה נקוה על מרכז ג' ובמרחק ה' עגולת הב"ז
ונוציא א"ה ה"ב ונוציאם אל ח"ט על יושר
ונוציא קוי א"ג ג"ב ב"ח ח"ד ד"ט א"ט
הנה מרכז עגולת א"ב ג"ד נקודת ה'
אם כן קו א"ה כמו קו ה"ג
וגם כן הנה מרכז עגולת אב"ז נקודת ג'
א"כ קו א"ג כמו קו ג"ה
ומשלש אג"ה שוה הצלעות והזויות
וכן התבאר שמשלש גה"ב שוה הצלעות והזויות
  • I.32: \scriptstyle\measuredangle AHG=\frac{2}{3}\sdot90^\circ
 אם כן זוית אה"ג שני שלישי נצבת מל"ב מא'
  • I.32: \scriptstyle\measuredangle GHB=\frac{2}{3}\sdot90^\circ
 וזוית גה"ב שני שלישי נצבת מל"ב מא'
  • \scriptstyle\measuredangle AHB=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot90^\circ
 אם כן כל זוית אה"ב נצבת ושליש נצבת
  • I.13: \scriptstyle\measuredangle THA+\measuredangle AHB=90^\circ+90^\circ
 וזוית טה"א וזוית אה"ב כמו ב' נצבות מי"ג מא'
  • \scriptstyle\measuredangle AHB=\frac{2}{3}\sdot90^\circ
 וזוית אה"ב נצבת ושליש נצבת
  • \scriptstyle\measuredangle AHT=\frac{2}{3}\sdot90^\circ
 הנה ישאר זוית אה"ט שני שלישי נצבת גם כן
  • I.15: \scriptstyle\measuredangle AHT=\measuredangle BHC
 וזוית אה"ט כמו זוית בה"ח מט"ו מא'
  • \scriptstyle\measuredangle AHG=\measuredangle DHC
 וזוית אה"ג כמו זוית דה"ח
  • \scriptstyle\measuredangle GHB=\measuredangle THD
 וזוית גה"ב כמו זוית טה"ד
הנה כל אחד מהזויות השש אשר אצל נקודות ה' שני שלישי נצבת
אם כן הם שוות
והקשתות השש אשר עליהם א"ט ט"ד ד"ח ח"ב ב"ג ג"ה שוות
ומשושת א"ט ד"ח ב"ג שוה הצלעות
וקשת ד"ח כמו ב"ג וקשת ד"ט א"ג משותף
אם כן כל קשת דט"א ג"ב כמו כל קשת גא"ט ד"ח
אבל קשת דט"א ג"ב עליהם זוית דח"ב ועל קשת ג"א טד"ח זוית חב"ג
  • III.26:\scriptstyle\measuredangle CBG=\measuredangle BCD
 אם כן זוית חב"ג כמו זוית בח"ד מכ"ו מג'
וכן הזויות אשר אצל נקודת ד"ט א"ג שוה לשתי הזויות דח"ב חב"ג
הנה כבר התבאר כי המשושת שוה הצלעות והזויות והוא עשוי בעגולת אב"ג
Q.E.D. וזה מש"ל
ובכאן התבאר כי אם נעשה בעגולה משושת שוה הצלעות והזויות הנה צלעו שוה לחצי קוטר העגולה

Proposition 17
We wish to inscribe an equilateral and equiangular fifteen-angled figure in a given circle. יז נרצה לעשות בעגולה ידועה תמונה יש לה ט"ו זויות שוה הצלעות והזויות תקיף בה העגולה
Defining:
  • \scriptstyle\bigcirc_{ABG} the known circle.
 הנה נשים העגולה הידועה אב"ג
We wish to inscribe an equilateral and equiangular fifteen-angled figure in the given circle. ונרצה שנעשה בה תמונה בעלת ט"ו זויות שוות הצלעות והזויות תקיף בה העגולה
  • IV.2: We draw the chord AG in the circle, as a side of an equilateral triangle.
 הנה נקוה בעגולה מיתר יהיה צלע המשלש שוה הצלעות והזויות והוא מיתר א"ג מב' מזה
  • IV.11: We draw the chord AB from point A of arc AG, as a side of an equilateral pentagon.
 ונוציא מנקודת א' מיתר יהיה צלע מחומש שוה הצלעות והזויות בקשת א"ג והוא מיתר א"ב מי"א מזה
When the circumference is divided into 15 segments, chord AG falls on five segments of them and chord AB falls on 3 segments of them.
 וכאשר חולק הקו המקיף בט"ו חלקים יפול מיתר א"ג על חמשה חלקים מהם ויפול מיתר א"ב על ג' חלקים מהם
  • III.29 Two segments remain, which are arc BG. We bisect it at D and the result are the two chords BD and DG.
 וישארו שני חלקים והם קשת ב"ג ונחלקם בשני חצאים על ד' ויצאו שני מיתרי ב"ד ד"ג מכ"ט מג'
  • \scriptstyle\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DG}
 אם כן קשת ב"ד כמו קשת ד"ג
  • III.28:\scriptstyle BD=DG
 אם כן מיתר ב"ד כמו מיתר ד"ג מכ"ח מג'
אם כן כאשר חלקנו כל הקו המקיף כמו קשת ד"ג ושמנו על כל קשת מיתר הנה כבר עשינו בעגולה תמונה יש לה ט"ו זויות שוות הצלעות והזויות
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר
והנה אפשר לנו שנעשה על עגולה ידועה תמונה יש לה ט"ו זויות שוות הצלעות והזויות ושנעשה עליה עגולה תקיף בו על דמיון מה שספרנו במחומש
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר
נשלם המאמר הרביעי מספר אקלידיס החכם בשרשים
ואחריו יבא המאמר הה' בגה"ו

Book Five

 המאמר החמישי לאקלידס

Definitions

 הקדמות זה המאמר
  • The smaller magnitude is a part of the greater magnitude, when it measures the greater.
 השיעור הקטן הוא חלק מן השעור הגדול כאשר ישער הגדול
והקצת הוא אשר לא יכלול הגדול כאשר ישערהו
  • The greater is a multiple of the smaller, when it is measured by the smaller.
 ויהיה הגדול כפלים לקטן כאשר יפול עליו השעור בקטן
  • The ratio is a relation by measure between two magnitudes of the same kind.
 היחס הוא הצטרפות מה בשיעור בין שני שעורים מסוג אחד
  • The proportion is the similarity of the ratios of magnitudes that are said to have a ratio to one another which can, when multiplied, exceed one another.
 ההתיחס הוא הדמות היחסים השעורים אשר יאמר בם כי בין קצתם ובין קצת יחס הם אשר אפשר בהם כשיכפלו שיתוסף קצתם על קצת
  • The magnitudes are said to be in the same ratio, the first to the second and the third to the fourth, when the multiples of the first and third, of whatever kind they are, are equimultiple, whether they exceed whatever multiples of the second and fourth that are equimultiple, or equal to them, or fall short of them, when they are related to one another respectively.
 יאמר בשעורים שהם על יחס אחד הראשון אל השני והשלישי אל הרביעי כשיהיו כפלי הראשון והשלישי שווי הפעמים איזה מין שיהיו אם שיעדפו יחד על כפלי השני והרביעי השווי הפעמים אי זה כפל שיהיו ואם שישוו עליהם יחד ואם שיגרעו מהם כשיוקשו כסדר קצתם לקצת
Vice versa, when the magnitudes are in the same ratio respectively, the multiples of the first and third either exceed the multiples of the second and fourth, or fall short of them, or equal to them.
 ובהפך כשיהיו השיעורים ביחס אחד בעצמו על הסדר הנה כפלי הראשון והשלישי יהיו אם נוספים יחד על כפלי השני והרביעי ואם חסרים יחד מהם ואם שוים יחד לשניהם
  • The magnitudes that have the same ratio are called proportional.
 ויקראו השעורים אשר יחסם יחס אחד בעצמם המתיחסים
וכאשר היו הכפלים שווי הפעמים וכפלי הראשון מהם יעדפו על כפלי השני וכפלי השלישי לא יעדפו על כפלי הרביעי הנה יחס הראשון אז יאמר אל השני שהוא גדול מיחס השלישי אל הרביעי
והמעט שיהיה להתיחסות שלשה שעורים
וכאשר יהיו שלשה שעורים מתיחסים נאמר כי יחס הראשון אל השלישי כפל יחסו אל השני כלומר נשנה בהשנות
וכאשר היו ארבעה שעורים מתיחסים נאמר כי יחס הראשון אל הרביעי שלשה כפלי יחסו אל השני כלומר משולש ועל זה המשל ילך מה שימשך לזה
ויאמר בשעורים שהם מסודרים ביחס ובסדר כאשר הוקשו הראשונים עם הראשונים והנמשכים עם הנמשכים
והפך היחס הוא כשילקח הנמשך במדרגת הראשון
והראשון במדרגת הנמשך
תמורת היחס הוא לקיחת הראשון אל הראשון והנמשך אל הנמשך
הרכבת היחס הוא לקיחת הראשון עם הנמשך במדרגת דבר אחד אצל הנמשך
הבדל היחס הוא לקיחת מותר הראשון על הנמשך אצל הנמשך
הפוך היחס הוא לקיחת הראשון אצל מותרו על הנמשך
יחס השווי הוא כשיהיה כמה שעורים שיהיו ושעורים אחרים כפי מספרם וכשילקחו שנים מאחד משניהם יהיו על יחס שנים מן האחר ונלקחו הקצוות מלבד מה שביניהם
ועל פנים אחרים כשיהיו שיעורים ושעורים אחרים על מספרם הנה יחס השווי הוא יחס הקצוות כשהוכפלו השעורים אשר באמצע
היחס ההולך על סדר הוא כשהראשון אצל הנמשך כראשון אצל הנמשך והנמשך אצל דבר אחד כנמשך אצל דבר אחר
והיחס הנפתל במערכת הוא כשיהיה הראשון אצל הנמשך כראשון אצל הנמשך
והנמשך אצל דבר אחד כדבר אחר אצל הראשון

Proposition 1
א כאשר יהיו שעורים בהם כפלי שעורים אחרים קרובים להם על מספרם וכפליהם שוים הנה מה שבאחד מכפלי גילו כמו מה שבכל מכפלי הכל
המשל בו כי בשעורי א"ב ג"ד כפלים שוים לשעורי ה'ז' ומה שבא"ב מכפלי ה' כמו מה שבג"ד מכפלי ז'
Supposition: הנה אומר כי מה שבא"ב מכפלי ה' כמו שבא"ב וג"ד מקובצים מכפלי ה' וז' יחד
המופת אנחנו נחלק א"ב בשעור ה' ויהיו חלקיו א"ח וח"ב ונחלק ג"ד בשעור ז' ויהיו חלקיו ג"ט ט"ד
\scriptstyle AC=CB
 אם כן שעור א"ח כמו ח"ב
\scriptstyle GT=TD
 ושעור ג"ט כמו ט"ד
\scriptstyle AC=H
 וא"ח כמו ה'
\scriptstyle GT=Z
 וג"ט כמו ז'
\scriptstyle AC+GT=H+Z
 אם כן כל א"ח וג"ט כמו ה' וז' יחד
\scriptstyle CB+TD=H+Z
 וכן כל ח"ב וט"ד כמו ה'ז' יחד
הנה מה שבא"ב מכפל ה' שוה למה שבא"ב וג"ד מקובצים מכפל ה' וז' יחד וזה מש"ל

Proposition 2
When the magnitude of the multiple of the second in the first is as the multiple of the fourth in the third, and the multiple of the second in the fifth is as the multiple of the fourth in the sixth, then the multiple of the second in the sum of the first and the fifth is the same as the multiple of the fourth in the sum of the third and the sixth. ב כשיהיו שעורים בראשון מכפלי השני כמו מה שבשלישי מכפלי הרביעי ובחמישי מכפלי השני כמו מה שבששי מכפלי הרביעי הנה מה שבכפלי הראשון והחמשי מכפלי השני כמו מה שבכפלי השלישי והששי מכפלי הרביעי
\scriptstyle AB=n\sdot G\quad DH=n\sdot Z
 המשל בו כי בראשון והוא א"ב מכפלי השני והוא ג' כמו מה שבשלישי והוא ד"ה מכפלי הרביעי והוא ז'
\scriptstyle BC=m\sdot G\quad TH=m\sdot Z
 ובחמשי והוא ב"ח מכפלי השני והוא ג' כמו מה שבששי והוא ט"ה מכפלי הרביעי והוא ז'
Supposition: \scriptstyle AC=r\sdot G\quad DT=r\sdot Z
 הנה אומר כי מה שבראשון והחמישי והוא א"ח מכפלי השני והוא ג' כמו מה שבכל השלישי והששי והוא ד"ט מכפלי הרביעי והוא ז'
המופת כי מה שבא"ב מכפלי ג' כמו מה שבד"ה מכפלי ז'
הנה מספר מה שבא"ב מן השעורים השוים אל ג' כמו מספר מה שבד"ה מן השעורים השוים אל ז' ומה שבב"ח מכפלי ג' כמו מה שבה"ט מכפלי ז'
הנה מספר מה שבב"ח מן השעורים השוים אל ג' כמו מספר מה שבה"ט מן השעורים השוים אל ז'
הנה מספר מה שבא"ח אם כן מן השעורים השוים אל ג' כמו מספר מה שבד"ט מן השעורים השוים אל ז'
אם כן מה שבכל א"ח מכפלי ג' כמו מה שבד"ט מכפלי ז' וזה מש"ל'

Proposition 3
When the multiple of the second in the first is the same as that of the fourth in the third, and if equimultiples are taken of the first and third, then the multiple of the first taken of the second is the same as that of the third taken of the fourth. ג כשיהיה בראשון מכפלי השני כמו מה שבשלישי מן הרביעי ונלקח לראשון ולשלישי כפלים שוי הפעמי' אי זה מספר שיהיו הנה מה שבכפלי הראשון הלקוח מכפלי השני כמו מה שבשלישי הלקוח מכפלי הרביעי
\scriptstyle A=n\sdot B\quad G=n\sdot D
 המשל בו כי הראשון א' ובו מכפלי השני והוא ב' כמו מה שבשלישי והוא ג' מכפלי הרביעי והוא ד'
וכבר נלקחו כפלים לשעור א' והם ה"ז וכפלים לשעור ג' והם שוים להם במספר הפעמים והם ח"ט
Supposition: \scriptstyle HZ=m\sdot B\quad CT=m\sdot D
 הנה אומר כי מה שבה"ז מכפלי ב' כמו שבח"ט מכפלי ד'
המופת כי מה שבה"ז מכפלי א' כמו מה שבח"ט מכפלי ג' אם כן מספר מה שבה"ז מן השעורים השוים לשעור א' כמו מספר מה שבח"ט מן השעורים השוים לשעור ג' הנה נחלק ה"ז בשעור א' ויהיו חלקיו ה"כ ז"כ ונחלק ח"ט בשעור ג' ויהיו חלקיו ח"ל ול"ט
אם כן מספר ה"כ וכ"ז כמו מספר ח"ל ול"ט
ומה שבא' מכפלי ב' כמו מה שבג' מכפלי ד' וא' כמו ה"כ וג' כמו ח"ל
אם כן מה שבה"כ מכפלי ב' כמו שבח"ל מכפלי ד'
וכן מה שבכ"ז מכפלי ב' כמו מה שבל"ט מכפלי ד'
ונשים הראשון ה"כ ובו מכפלי ב' כמו מה שבשלישי והוא ח"ל מכפלי ד'
והחמישי כ"ז ובו מכפלי ב' כמו מה שבששי והוא ל"ט מכפלי ד'
וכאשר קובץ הראשון והחמישי והם ה"ז היה בשניהם מכפלי ב' כמו מה שבשלישי והשישי והם ח"ט מכפלי ד' אם כן מה שבה"ז מכפלי ב' כמו מה שבח"ט מכפלי ד' וזה מש"ל

Proposition 4
ד כאשר היה יחס הראשון אל השני הוא השלישי אל הרביעי ונלקח לראשון ולשלישי כפלים שווי הפעמים אי זה מספר שיהיה ולשני ולרביעי כפלים שווי הפעמים אי זה מספר שיהיה הנה יחס כפלי הראשון הלקוחים אל כפלי השני הם יחס כפלי השלישי הלקוחים אל כפלי הרביעי
המשל בו כי יחס הראשון והוא א' אל השני והוא ב' הוא יחס השלישי והוא ג' אל הרביעי והוא ד'
וכבר נלקח לשעורי א"ג כפלים שווי הפעמים והם ח"ט הנה אומר כי יחס ה' אל ח' הוא יחס ז' אל ט'
מופתו אנחנו נקח לשני שעורי ה"ז כפלים שווי הפעמים והם ל"נ ולשני שעורי ח"ט כפלים שווי הפעמים והם מ"ס
הנה כפלי ל' לשעור א' כמו כפלי נ' לשעור ג' וכן כפלי מ' לשעור ב' כמו כפלי ס' לשעור ד' ויחס א' אל ב' הוא יחס ג' אל ד'
וכבר נלקח לשני שעורי א"ג כפלים שווי הפעמים והם מ"ס ל"נ ולשני שעורי ב"ד כפלים שווי הפעמים והם מ"ס
אם כן שעור ל"נ אם מוסיפים יחד על מ"ס ואם שוים יחדל שניהם ואם גורעים יחד מהם ושעור ל"נ כפלים שוים לשני שעורי ה"ו ושעור מ"ס כפלים שוים לשני שעורי ח"ט
אם כן יחס ה' אל ח' הוא יחס ו' אל ט'
וזה מ'ש'ל'

Proposition 5
ה כאשר יהיו שני שעורים אחד משניהם כפלים לאחר וחוסר משניהם שני שעורים והיה מה שבמחוסר מכפלי המחוסר כמו מה שבכל מכפלי הכל הנה מה שנשאר מכפלי הנשאר כמו מה שבכל מכפלי הכל
המשל בו כי שעור א"ב כפלים לשעור ג"ד והמחוסרים משניהם א"ה וג"ו ומה שבא"ה מכפלי ג"ו כמו מה שבא"ב מכפלי ג"ד
Supposition: הנה אומר כי מה שבה"ב הנשאר מכפלי ו"ד הנשאר כמו מה שבא"ב מכפלי ג"ד
מופתו אנחנו נשים בא"ט מכפלי ו"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו
וכבר היה בא"ב מכפלי ג"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו אם כן מה שבה"ט כלו מכפלי ג"ד כמו מה שבא"ב מכפלי ג"ד
אם כן ה"ט כמו א"ב ותשליך א"ה המשותף וישאר א"ט כמו ה"ב
וכבר היה בא"ט מכפלי ו"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו
אם כן מה שבה"ב מכפלי ו"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו
וכבר היה מה שבא"ב כלו מכפלי ג"ד כמו מה שבא"ה מכפלי ג"ו
אם כן מה שבה"ב מכפלי ו"ד כמו מה שבא"ב מכפלי ג"ד
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 6
ו כאשר היו שני שעורים בשניהם כפלים שוים לשני שעורים אחרים וחוסר מהשנים הגדולים כפלים שוים לקטנים הנה השנים הנשארים אם שוים לשנים הקטנים ואם כפלים לשניהם שוים
המשל בו כי כפלי א"ב לשעור ה' וכפלי ג"ד לשעור ז'
וכבר חוסר מן א"ב וג"ד כפלים שוים לשעור ה' וז' והם א"ח וג"ט הנה אומר כי ב"ח וט"ד הנשארים אם שוים יחד לשני שעורי ה"ז ואם כפלים לשניהם שוים
ויהיה ב"ח תחלה כפלים לשעור ה' הנה אומר כי ט"ד כפלים כמוהם לשעור ז'
מופתו אנחנו נשים מה שבג"ב מכפלי ז' כמו מה שבח"ב מכפלי ה' והוא השני כמו מה שבג"ט והוא השלישי מכפלי ז' והוא הרביעי
ומה שבח"ב והוא החמישי מכפלי ה' השני כמו מה שבג"ב והוא הששי מכפלי ז' הרביעי
אם כן מה שבא"ב והוא הראשון והחמישי יחד מכפלי ה' השני
כמו מה שבב"ט השלישי והששי יחד מכפלי ז' הרביעי וכבר היה בא"ב מכפלי ה' כמו שבג"ד מכפלי ז' אם כן ב"ט כמו ג"ד
ונשליך ג"ט המשותף וישאר ב"ג כמו מה שבט"ד
וכבר היה מה שבח"ב מכפלי ה' כמו מה שבב"ג מכפלי ז'
אם כן מה שבט"ד מכפלי ז' כמו מה שבח"ב מכפלי ה'
ויהיה גם כן ח"ב שוה אל ה' הנה אומר כי ט"ד שוה אל ז'
המופת אנחנו נשים ג"ב שוה אל ז'
הנה בכמו המעשה הראשון נבאר כי ב"ט כמו ג"ד
הנה כאשר הושלך ג"ט המשותף ישאר ט"ד כמו ב"ג ומפני שב"ג כמו ז' הנה ט"ד אם כן כמו ז'
ומ'ש'ל'

Proposition 7
ז השעורים השוים יחסם אל שיעור אחד אחד ויחס הוא גם כן אליהם אחד
המשל בו כי שני שעורי א"ב שוים ושיעור ג' שיעור אחד
Supposition: הנה אומר כי יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ג' ויחס ג' גם כן אל א' כיחסו אל ב'
מופתו אנחנו נקח לשני שעורי א"ב כפלים שוים והם ד"ה ולשעור ג' כפלים מה שיהיו והם ז' הנה כפלי ד' לשעור א' ככפלי ה' לשעור ב'
וא' כמו ב' אם כן ד' כמו ה'
ושעור ז' שעור אחד אי זה שיהיה אם כן שני שעורי ה"ד אם שוים יחד לשעור ז' ואם נוספים יחד עליו ואם חסרים יחד ממנו ושניהם כפלים שוים לשני שעורי א"ב וז' כפלים לשעור ג' אם כן יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ג'
Supposition: ואומר כי יחס ג' אל א' כיחסו אל ב' מפני כי הנהגת שניהם אחת כי ד"ה שוים
וכי ז' אם שוה לשניהם ואם נוסף על שניהם
ואם חסר משניהם יחד
וז' כפלים לשעור ג' וד' ה' כפלים שוים לשני שעורי א"ב
אם כן יחס ג' אל א' כיחסו אל ב'
ומ'ש'ל'

Proposition 8
ח השעורים המתחלפים כאשר נתיחסו אל שעור אחד הנה הגדול יותר יחסו אליו מן הקטן
וכאשר נתיחס הוא אליהם הנה יחסו אל הקטן יותר מיחסו אל הגדול
המשל בו שעורי א"ב וג' מתחלפים א"ב יותר גדול מן ג'
ושעור ד' שעור אחד
Supposition: הנה אומר כי א"ב יותר גדול יחסו אל ד' מן ג' אל ד'
ושד' יותר גדול יחסו אל ג' מאשר הוא אל א"ב
מופתו שנבדיל מן א"ב כמו ג' והוא ב"ה הנה היותר קטן משני שעורי א"ה ה"ב הנה אפשר שיכפל עד שיהיה יותר גדול מן ד'
ויהיה א"ה יותר קטן משניהם ויהיה כפלו הנוסף על שעור ד' כפל ו"ח
ונקח לשני שעורי ה"ב וג' כפלים שוים לכפלי ו"ח נוסף והוא ח"ט וכ"ל ונשים מ' שני כפלי ד' ונ' שלשה כפלו אחר כן לא תסור נקח כפלי ד' על הסדר עד שיכלה אל הראשון מכפליו עד שיהיה יותר גדול מן כ"ל
ויהיה ס' הוא ראשון מכפלי ד' אשר הוא יותר גדול מן כ"ל הנה כפלי ו"ח לשיעור א"ה ככפלי ח"ט לשעור ה"ב
אם כן כפלי ו"ח לשעור א"ה ככפלי ו"ט לשעור א"ב ושעור ו"ח לשעור א"ה ככפלי כ"ל לשעור ג'
וכפלי ו"ט וכ"ל לשני שעורי א"ב וג' שוה
וגם כן הנה כפלי ח"ט לשעור ה"ב ככפלי כ"ל לשעור ג' וה"ב כמו ג' אם כן ח"ט כמו כ"ל וס' יותר גדול מן כ"ל וכ"ל אינו יותר קטן מן נ'
וכ"ל כמו ח"ט אם כן ח"ט אינו יותר קטן מן נ' וו"ח יותר מן ד' אם כן ו"ט יותר גדול מן ד' ונ' יחד
וס' כמו ד' ונ' יחד
אם כן ו"ט יותר גדול מן ס' אם כן הוא נוסף עליו
וכ"ל בלתי נוסף על ס' וו"ט וכ"ל כפלים שוים לשעורי א"ב וג' וס' כפלים שוים לשעור ד'
אם כן שעור א"ב יותר גדול היחס אל ד' מן ג' אל ד'
ואומר גם כן כי ד' יותר גדול היחס אל ג' מאשר הוא אל ב' מפני כי הנהגתם אחת
והתבאר כי ס' נוסף על כ"ל ואינו נוסף על ו"ט וס' כפל ד' וכ"ל וו"ט כפלים שוים לשעורים א"ב וג'
אם כן יחס ד' אל ג' יותר גדול מיחסו אל א"ב
ומ'ש'ל'

Proposition 9
ט השעורים אשר יחסם אל שעור אחד אחד הם שוים
ואם היה שעור יחסו אל שעורים אחד הנה השעורים שוים
המשל בו כי שני שעורי א"ב יחסם אל שעור ג' אחד
הנה אומר כי א' כמו ב'
שאם לא יהיה כמוהו הנה הוא יותר גדול ממנו או יותר קטן
ואלו היה יותר גדול יהיה יחסו אל ג' יותר גדול
ואלו היה יותר קטן היה יחסו אל ג' יותר קטן ואינו כן
אם כן אין א' יותר קטן ויותר גדול מן ב' אבל הוא שוה לו
וגם כן הנה יחס ג' אל א' וב' אחד
הנה אומר כי א' כמו ב' שאם לא יהיה כמוהו הנה הוא יותר גדול או יותר קטן ממנו
ואלו היה יותר גדול היה יחס ג' אליו יותר קטן
ואלו היה יותר קטן היה יחס ג' אליו יותר גדול
אם כן אין א' יותר גדול ולא יותר קטן מן ב' אם כן הוא שוה לו
וזה מ'ש'ל'

Proposition 10
י גדול השעורים יחס אל שעור הוא היותר הוא היותר גדול מהם
ואשר יחס השעור אליו יותר גדול הוא היותר קטן מהם
המשל בו כי א' יותר גדול יחסו אל ג'
הנה אומר כי א' יותר גדול יחסו מן ב'
שאם לא יהיה יותר גדול ממנו הנה הוא כמוהו או יותר קטן ממנו
ואלו היה כמוהו היה יחס שניהם אל ג' אחד
ואלו היה יותר קטן ממנו היה יחסו אל ג' יותר קטן
ואינו כן הנה כבר התבאר כי א' אינו כמו ב' ולא קטן ממנו
הנה אם כן הוא יותר גדול ממנו
וגם כן הנה יחס ג' אל ב' יותר גדול מיחסו אל א'
הנה אומר כי א' יותר גדול מן ב'
שאם לא יהיה יותר גדול ממנו הנה הוא כמוהו או יותר קטן ממנו
ואלו היה כמוהו היה יחס ג' אליו ואל ב' אחד
ואלו היה יותר קטן ממנו היה יחס ג' אליו יותר גדול ואינו כן
אם כן אינו כמו ב' ולא קטן ממנו אבל הוא יותר גדול ממנו
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 11
יא השעורים אשר יחסם שוים ליחס אחד הנה יחסם שוים
המשל בו כי יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' ויחס ה' אל ז' כיחס ג' אל ד' הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ז'
מופתו אנחנו נקח לשיעורי א'ג'ה' כפלים שוים והם ח'ט'ב' ולשעורי ב'ד'ז' כפלים שוים והם ל'מ'נ' הנה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' וכבר לוקח לשעורי א"ג כפלים שוים והם ח"ט
ולשעורי ב"ד כפלים שוים והם ל"מ הנה שני שעורי ח"ט אם נוספים יחד על שני שעורי ל"מ ואם שוים לשניהם יחד ואם חסרים משניהם יחד
וגם כן הנה יחס ג' אל ד' כיחס ה' אל ז'
וכבר נלקח לשני שעורי ג"ה כפלים שוים והם ט"כ
ולשני שעורי ד"ז כפלים והם מ"נ
אם כן שני שעורי ט"כ אם נוספים יחד על שני שעורי מ"נ ואם שוים יחד לשניהם
ואם חסרים יחד משניהם וח"כ כפלים שוים לשני שעורי א"ה ול"נ כפלים שוים לשני שעורי ז"ב אם כן יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ז'
ומ'ש'ל'

Proposition 12
יב כאשר היה יחס הראשון אל השני כיחס השלישי אל הרביעי ויחס השלישי אל הרביעי יותר גדול מיחס החמישי על הששי הנה יחס הראשון אל השני יותר גדול מיחס החמשי על הששי
המשל בו כי יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' ויחס ג' אל ד' יותר גדול מיחס ה' אל ו' הנה אומר כי יחס א' אל ב' יותר גדול מיחס ה' אל ו'
מופתו מפני כי יחס ג' אל ד' יותר גדול מיחס ה' אל ו' הנה יהיה אל ג' וה' כפלים שוים
ואל ד' וו' כפלים שוים ויהיו כפלי ג' נוספים על כפלי ד' וכפלי ה' בלתי נוספים על כפלי ו' הנה יהיו כפלי ג' וה' השוים וכפלי ד' וו' השוים אשר אלו עניינם כפלי ג' וה' הנה ח"ט
ואולם כפלי ד' הנה כ"ל ויהיה מה שבמ' מכפלי א' כמו מה שבח' מכפלי ג'
ומה שבנ' מכפלי ב' כמו מה שבכ' מכפלי ד'
הנה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
וכבר הוסף לשני שעורי א"ג כפלים שוים והם מ"ח ולשני שעורי ב"ד כפלים שוים והם נ"כ הנה שני שעורי מ"ח אם נוספים יחד על שני שעורי נ"ב ואם שוים יחד לשניהם ואם חסרים יחד משניהם
אבל אם היה נוסף ח' על כ' הנה מ' נוסף על נ' וט' בלתי נוסף על ל' הנה מ"ט כפלים שוים לשני שעורי א"ה ונ"ל כפלים שוים לשני שעורי ב' ו' אם כן יחס א' אל ב' יותר גדול מיחס ה' אל ו'
ומ'ש'ל'

Proposition 13
יג השעורים אשר יחסם אל שעורי' אחרים קרובים להם על מספרם כמה שיהיו אחד הנה יחס האחד אל קרובו כיחס הכל אל הכל
המשל בו כי יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ו' אחד הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס א'ג'ה' יחד אל ב'ד'ו' יחד
מופתו אנחנו נקח לשעורי א'ג'ה' כפלים שוים והם ח'ט'כ' ולשעורי ב'ד'ו' כפלים שוים והם ל'מ'נ' הנה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
וכיחס ה' אל ו'
וח' וט' וכ' כפלים שוים לשעורי א'ג'ה' ול'מ'נ' כפלים שוים לשעורי ב'ד'ו' אם כן ח'ט'כ' אם נוספים יחד על ל'מ'נ' ואם חסרים מהם יחד ואם שוים להם יחד
ואם היה ח' נוסף על ל' הנה ח'ט'כ' מקובצים נוספים על ל'מ'נ'
ואם היה חסר ממנו הנה הם חסרים מהם
ואם היה שוה לו הנה הם שוים להם
וכפלי ח' לשעור א' ככפלי ח'ט'כ' מקובצים לשעורי א'ג'ה' מקובצים וכפלי ל' לשעור ב' ככפלי ל'מ'נ' לשעור ב'ד'ו' מקובצים
אם כן יחס א' אל ב' כיחס א'ג'ה' מקובצים אל ב'ד'ו' יחד
ומ'ש'ל'

Proposition 14
יד כאשר היו ארבעה שעורים מתיחסים והיה הראשון יותר גדול מן השלישי הנה השני יותר גדול מן הרביעי ואם היה שוה לו הנה הוא שוה לו ואם היה יותר קטן ממנו הנה הוא יותר קטן ממנו
המשל בו כי שעורי א"ב ג"ד הארבעה מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' וא' יותר גדול מן ג' הנה אומר כי ב' יותר גדול מן ד'
מופתו כי א' יותר גדול מן ג' אם כן א' גדול היחס אל ב' מג' אל ב'
אבל יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' אם כן יחס ג' אל ד' יותר גדול מיחסו אל ב'
ואשר יהיה היחס אליו יותר גדול הנה הוא יותר קטן
אם כן ד' יותר קטן מן ב' אם כן ב' יותר גדול מן ד'
וכן התבאר כי אלו היה א' כמו ג' היה ב' כמו ד'
ואלו היה יותר קטן מן ג' היה ב' יותר קטן מן ד'
ומ'ש'ל'

Proposition 15
טו החלקים אשר כפליהם שוים הנה יחס קצתם כיחס כפלי קצתם אל קצת
המשל בו כי כפלי א"ב אל שעור ג' כשעור ד"ה לשעור ו' הנה אומר כי יחס א"ב אל ד"ה כיחס ג' אל ו'
ד"ת כי יחס ג' אל ו' כיחס א"ב אל ד"ה
המופת אנחנו נחלק א"ב בשעור ג' וחלקיו א"ח וח"ט וט"ב והם שוים ונחלק ד"ה בשעור ו' וחלקיו ד"ל ול"מ ומ"ה והם שוים
ומניין א"ח ח"ט וט"ב כמספר ד"ל ול"מ ומ"ה
אם כן יחס א"ח אל ד"ל כיחס ח"ט אל ל"מ וכיחס ט"ב אל מ"ה ויחס האחר אל קרובו כיחס הכל אל הכל
אם כן יחס א"ח אל ד"ל כיחס א"ב אל ד"ה וא"ח כמו ג' וד"ל כמו ז' אם כן יחס א"ב אל ד"ה כיחס ג' אל ז'
ומ'ש'ל'

Proposition 16
יו כאשר היו שעורים מתיחסים הם יהיו כאשר הומרו מתיחסים
המשל בו כי שעורי א"ב ג"ד הארבעה מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' הנה אומר כי יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד' על התמורה
מופתו אנחנו נקח לשעורי א"ב כפלים שוים והם ה"ו ולשעורי ג"ד כפלים שוים והם ח"ט
והחלקים אשר כפליהם שוים
יחס קצתם אל קצתם כיחס כפליהם קצתם אל קצת
וה"ו כפלים לשעורי א"ב אם כן יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו' וגם כן הנה ח' וט' כפלים שוים לשעורי ג' וד' אם כן ג' אל ד' כיחס ח' אל ט' אבל ג' אל ד' כיחס א' אל ב' וכיחס ה' אל ו'
אם כן יחס ה' אל ו' כיחס ח' אל ט'
ואם היה ה' מוסיף אל ח' הנה ו' יוסיף על ט'
ואם היה שוה הנה הוא שוה לו ואם שיחסר ממנו הנה יחסר ממנו אם כן שני שעורי ה' וו' אם נוספים יחד על שני שעורי ח' וט' ואם שוים יחד להם ואם חסרים יחד מהם
וה'ו' כפלים שוים לשני שעורי א"ב וח' וט' כפלים שוים לשני שעורי ג' וד'
אם כן יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד'
ומ'ש'ל'

Proposition 17
יז כאשר היו שעורים מורכבים מתיחסים הנה הם כאשר נבדלו יהיו מתיחסים
המשל בו כי שעורי א"ב וב"ה וג"ד וד"ו מורכבים מתיחסים יחס א"ב אל ב"ה כיחס ג"ד אל ד"ו הנה אומר שהם כאשר נבדלו יהיו מתיחסים
ויהיה יחס א"ה אל ה"ב כיחס ג"ו אל ו"ד
מופתו אנחנו נקח לשעורי א"ה וה"ב וג"ו וו"ד כפלים שוים והם ח"ט וט"כ ול"מ ומ"נ
אם כן כפלי ח"ט לשעור א"ה ככפלי ח"כ לשעור א"ב וכפלי ח"ט לשעור א"ה ככפלי ל"מ לשעור ג"ו אם כן כפלי ח"כ לשעור א"ב ככפלי ל"מ לשעור ג"ו
וגם כן הנה כפלי ל"מ לשעור ג"ז ככפלי מ"נ לשעור ז"ד אם כן כפלי ל"מ לשעור ג"ז ככפלי ח"כ לשעור א"ב
אם כן כפלי ח"כ לשעור א"ב ככפלי ל"נ לשעור ג"ד
ונקח לשעורי ה"ב וז"ד כפלים שוים והם כ"ס ונ"ע הנה כפלי ט"כ הראשון לשעור ה"ב השני ככפלי מ"נ השלישי לשעור ז"ד הרביעי וכן כפלי כ"ס החמישי לשעור ה"ב השני ככפלי נ"ע הששי לשעור ז"ד הרביעי
אם כן כפלי הראשון והחמישי מקובצים ט"ס לשעור ה"ב השני ככפלי השלישי והששי מקובצים והם מ"ע לשעור ז"ד הרביעי
ויחס א"ב אל ב"ה כיחס ג"ד אל ד"ז ושני שעורי ח"כ ול"נ כפלים שוים לשני שעורי א"ב וג"ד ושני שעורי ט"ס מ"ע כפלים שוים לשני שעורי ה"ב ז"ד
אם כן שני שעורי ח"כ ול"נ אם נוספים יחד על שני שעורי ט"ס ומ"ע ואם שוים יחד לשניהם
ואם חסרים יחד משניהם
ואם חסרנו ט"כ ומ"נ המשותפים הנה שני שעורי ח"ט ול"מ אם נוספים יחד על שני שעורי כ"ס ונ"ע ואם שוים יחד לשניהם ואם חסרים יחד משניהם וח"ט ול"מ כפלים שוים לשני שעורי א"ה וג"ז וכ"ס ונ"ע כפלים שוים לשני שעורי ה"ב וז"ד אם כן יחס א"ה אל ה"ב כיחס ג"ז אל ז"ד
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 18
יח כאשר היו שעורים נבדלים מתיחסים הנה הם כאשר הורכבו יהיו מתיחסים
המשל בו כי שני שעורי א"ב וב"ג וד"ה וה"ו מתיחסים יחס א"ב אל ב"ג כיחס ד"ה אל ה"ו הנה אומר שהם כאשר הורכבו יהיו מתיחסים א"ג אל ג"ב כיחס ד"ו אל ו"ה
מופתו אם לא יהיה יחס א"ג אל ג"ב כיחס ד"ו אל ו"ה הנה יחס א"ג אל ג"ב כיחס ד"ו אל מה שהוא יותר קטן או יותר גדול מן ו"ה
ויהיה תחלה אל מה שהוא יותר קטן ממנו והוא ז"ח
הנה יחס א"ג אל ג"ב כיחס ד"ז אל ז"ח וכאשר הבדלנו הנה יחס א"ב אל ב"ג כיחס ד"ח אל ח"ז
וכבר היה יחס א"ב אל ב"ג כיחס ד"ה אל ה"ז אם כן יחס ד"ח אל ח"ז כיחס ד"ה אל ה"ז וח"ד הראשון יותר גדול מן ד"ה השלישי
אם כן ח"ז השני יותר גדול מן ז"ה הרביעי וכבר היה יותר גדול מן ז"ח
The smaller is greater than the greater = error. הנה הקטן אם כן יותר גדול מן הגדול זה שקר
אם כן אין יחס א"ג אל ג"ב כיחס ד"ז אל שעור הוא יותר קטן מן ז"ה
וכן יתבאר כי יחס א"ג אל ג"ב אינו כיחס ד"ז אל שעור הוא יותר גדול מן ז"ה
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 19
יט כאשר חוסר משני שעורים מכל אחד משניהם שעור ויהיה יחס המחוסר אל המחוסר כיחס הכל אל הכל
הנה יחס הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל
המשל בו כי א"ב חוסר ממנו א"ה וג"ד חוסר ממנו ג"ו ויחס א"ה אל ג"ו כיחס א"ב הכל אל ג"ד הכל
הנה אומר כי יחס ה"ב הנשאר אל ו"ד הנשאר כיחס א"ב הכל אל ג"ד
מופתו כי יחס א"ב אל ג"ד כיחס א"ה אל ג"ו וכאשר המירונו הנה יחס א"ב אל א"ה כיחס ד"ג אל ג"ו וכאשר הבדלנו הנה יחס ב"ה אל ו"ד כיחס א"ה אל ג"ו וכבר היה א"ה אל ג"ו כיחס א"ב אל ג"ד אם כן יחס ב"ה אל ו"ד כיחס א"ב אל ג"ד
וזה מה שרצינו לבארו

Proposition 20
כ כאשר היו שעורים מה שיהיו ושעורים אחרים על מספרם כל שנים מהראשון על יחס שנים מן האחר הנה הראשון מן הראשון ביחס השווי אם היה יותר גדול מן האחרון הנה הראשון מן האחר יותר גדול מן האחרון
ואם היה שוה לו הנה הוא שוה לו
ואם היה יותר קטן ממנו הנה הוא יותר קטן ממנו
המשל בו כי שעורי א'ב'ג' על מספר שעורי ד'ה'ו'
וכל שנים מהם על יחס שנים מהם יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה' ויחס ב' אל ג' כיחס ה' אל ו'
ונשים הראשון מן הראשון והוא א' יותר גדול מן האחרון והוא ג' הנה אומר כי הראשון מן האחר והוא ד' יותר גדול מן האחרון והוא ו'
מופתו כי א' יותר מן ג' ושעור ב' שעור אחד
אם כן שעור א' יותר גדול היחס אל ב' מן ג' אל ב'
אבל יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה' ויחס ג' אל ב' כיחס ה' אל ו' אם כן שעור ד' יותר גדול היחס אל ב' מן ג' אל ב'
אבל יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
ויחס ג' אל ב' כיחס ו' אל ה' אם כן שעור ד' יותר גדול היחס אל ה' מן ו' אל ה' ואשר יחסו יותר גדול הנה הוא יותר גדול
אם שעור ד' יותר גדול מן ו'
וכן התבאר כי א' אלו היה שוה אל ג' היה ד' שוה אל ו' ואלו היה יותר קטן מן ג' היה ד' יותר קטן מן ו'
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 21
כא כאשר היו שעורים מה ושעורים אחרים על מספרם כל שנים מהראשון על יחס שנים מהאחר ונתבלבל היחס הנה הראשון מן הראשון ביחס השווי אם היה יותר גדול מן האחרון הנה הראשון מן האחר יותר גדול מן האחרון
ואם היה שוה לו הנה הוא שוה לו
ואם היה יותר קטן ממנו הנה הוא יותר קטן ממנו
המשל בו כי שעורי א'ב'ג' על מספר שעורי ד'ה'ו' וכל שנים מן הראשון על יחס שנים מן האחר
והיחס מתבלבל יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו' ויחס ב' אל ג' כיחס ד' אל ה'
ונשים א' יותר גדול מג' הנה אומר כי ד' יותר גדול מן ו'
מופתו כי א' יותר גדול מן ג' וב' שעור אחר הנה שעור א' יותר גדול היחס אל ב' מן ג' אל ב' אבל יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו' כי אם כן יחס ה' אל ו' יותר גדול מיחס ג' אל ב' ויחס ג' אל ב' כיחס ה' אל ד' אם כן יחס ה' אל ו' יותר גדול מיחס ה' אל ד' ואשר יהיה היחס אליו יותר גדול הנה הוא יותר קטן אם כן שעור ו' יותר קטן מן ד'
אם כן ד' יותר גדול מן ו'
וכן התבאר כי אלו היה א' שוה לשעור ג' היה ד' שוה לו'
ואלו היה יותר קטן מן ג' היה ד' יותר קטן מן ו'
ומ'ש'ל'

Proposition 22
כב אשר היו שעורים מה ואחרים על מספרם כל שני שעורים מן הראשון על יחס שני שעורים מן האחר הנה הם ביחס השווי יהיו ביחסם
המשל בו כי שעורי א'ב'ג' ושעורי ד'ה'ו' על מספר אחד וכל שנים מן הראשון על יחס שנים מן האחר יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
ויחס ב' אל ג' כיחס ה' אל ו' הנה אומר כי יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ו'
מופתו אנחנו נקח לשני שעורי א"ד כפלים שוים והם ח"ט ולשני שעורי ב"ה כפלים שוים והם כ"ל ולשני שעורי ג"ו כפלים שוים והם מ"נ הנה יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
וח"ט כפלים שוים לשני שעורי א"ד וכ"ל כפלים שוים לשני שעורי ב"ה
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ט' אל ל'
וגם כן הנה יחס ב' אל ג' כיחס ה' אל ו' וכ"ל כפלים שוים לשעורי ב"ה ומ"נ כפלים שוים לשני שעורי ג"ו אם כן יחס כ' אל מ' כיחס ל' אל נ'
וכבר התבאר כי יחס א' אל ב' כיחס ט' אל ל'
אם כן שני שעורי ח"ט אם נוספים יחד על שני שעורי מ"נ
ואם שוים יחד לשניהם ואם חסרים יחד משניהם
וח"ט כפלים שוים לשעורי א"ד ומ"נ כפלים שוים לשני שעורי ג"ו אם כן יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ו' וזה מה שרצינו לבארו

Proposition 23
כג כאשר היו שעורים כמה שיהיו ושעורים אחרים על מספרם כל שנים מהראשון על יחס שנים מן האחר ונתבלבל היחס הנה הם ביחס השווי יהיו על יחסם
המשל בו כי שעורי א'ב'ג' ושעורי ד'ה'ו' על מספר אחד וכל שנים מן הראשון על יחס שנים מן האחרון והיחס מבולבל יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו' ויחס ב' אל ג' כיחס ד' אל ה' הנה אומר כי יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ו'
מופתו אנחנו נקח לשעורי א'ב'ד' כפלים שוים והם ח'ט'ל' ולשעורי ה'ו'ג' כפלים שוים והם מנ"כ הנה כפלי ח' לשעור א' ככפלי ט' לשעור ב'
והחלקים אשר כפליהם שוים הנה יחס קצתם אל קצת כיחס כפליהם קצתם אל קצת
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט' אבל יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ו'
אם כן יחס ה' אל ו' כיחס ח' אל ט'
וגם כן הנה מפני כפלי מ' לשעור ה' ככפלי נ' לשעור ו' אם כן יחס ה' אל ו' כיחס מ' אל נ' אבל יחס ה' אל ו' כיחס ח' אל ט'
אם כן יחס מ' אל נ' כיחס ח' אל ט'
וגם כן הנה יחס ב' אל ג' כיחס ד' אל ה'
וכבר נלקח לשני שעורי ב"ד כפלים שוים והם ט"ל
ולשני שעורי ג"ה כפלים שוים והם כ"מ אם כן יחס ט' אל כ' כיחס ל' אל מ'
וכבר התבאר כי יחס ח' אל ט' כיחס מ' אל נ'
אם כן שני שעורי ח"ל אם נוספים יחד על שני שעורי כ"נ ואם שוים יחד להם
ואם חסרים יחד משניהם וח"ל כפלים שוים לשני שעורי א"ד וכ"נ לשני שעורי ג"ו אם כן יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ו'
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 24
כד כאשר היה יחס הראשון אל השני כיחס השלישי אל הרביעי ויחס החמישי אל השני כיחס הששי אל הרביעי הנה יחס הראשון והחמישי מקובצים אל השני כיחס השלישי והששי מקובצים אל הרביעי
המשל בו כי יחס הראשון והוא א"ב אל השני והוא ג' כיחס השלישי והוא ד"ה אל הרביעי והוא ו'
ויחס החמישי והוא ב"ח אל השני והוא ג' כיחס הששי והוא ה"ט אל הרביעי והוא ו'
הנה אומר כי יחס הראשון והחמישי מקובצים והוא א"ח אל השני והוא ג' כיחס השלישי והששי מקובצים והוא ד"ט אל הרביעי והוא ז'
מופתו כי יחס א"ב אל ג' כיחס ד"ה אל ז'
אבל יחס ג' אל ב"ח כיחס ז' אל ה"ט הנה השווי יהיה יחס א"ב אל ב"ח כיחס ד"ה אל ה"ט
וכאשר הרכבנו יהיה יחס א"ח אל ח"ב כיחס ד"ט אל ט"ה אבל יחס ח"ב אל ג' כיחס ה"ט אל ו'
הנה בשווי יהיה יחס א"ח אל ג' כיחס ד"ט אל ו'
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 25
כה כאשר יהיו ארבעה שעורים מתיחסים והיה הראשון היותר גדול מהם והאחרון היותר קטן מהם הנה שניהם מקובצים יותר גדולים מן הנשארים מקובצים
המשל בו כי ארבעה שעורי אב'ג'ד' ה'ז' מתיחסים יחס א"ב אל ג"ד כיחס ה' אל ו' וא"ב היותר גדול מהם וו' היותר קטן מהם
הנה אומר כי א"ב וו' מקובצים יותר גדולים מג"ד וה' מקובצים
מופתו אנחנו נבדיל מן א"ב כמו ה' והוא א"ח ומן ג"ד כמו ז' והוא ג"ט הנה יחס א"ב אל ג"ד כיחס ה' אל ז' וה' כמו א"ח וז' כמו ג"ט אם כן א"ב אל ג"ד כיחס א"ח אל ג"ט
אם כן יחס א"ב אל ג"ד כיחס ח"ב הנשאר אל ט"ד הנשאר וכאשר המירונו היה יחס א"ב אל ב"ח כיחס ג"ד אל ד"ט
וא"ב הראשון יותר גדול מן ג"ד השלישי אם כן ב"ח השני יותר גדול מן ט"ד הרביעי ונשים א"ח וט"ג משותפים אם כן שני שעורי א"ב וט"ג יותר גדולים מא"ח וג"ד וג"ט כמו ו' וא"ח כמו ה' אם כן א"ב וו' מקובצים יותר גדולים מן ג"ד וה' מקובצים
וזה מה שרצינו לבאר
נשלם המאמר החמישי מספר אקלידס החכם

Book Six

 המאמר השישי

Definitions

 הקדמות המאמר הששי
  • The similar rectilinear figures are those whose angles are equal and whose sides about the equal angles are proportional.
 השטחים המתדמים הם אשר זויותיהם שוות וצלעותיהם המקיפות בזויות השוות מתיחסות
  • The figures that are reciprocally related are those whose sides are reciprocally proportional.
 והשטחים המספיקות הצלעות הם אשר צלעותיהם מתיחסות על הקדמה ואחור
נמצא בנסחא אחרת
המספיקות הם אשר בכל אחת מהן הקדמות והמשכות
  • The height of any figure is the perpendicular drawn from its vertex to its base.
 הגובה בתמונה הוא העמוד המוציא מנקודת ראשו אל תושבתו
ומצאתי בקצת הנסחאות
הגובה בתמונה הוא היותר גדול שבעמודים הנופלים מנקודת מה מן הנקודות אשר על מקיף תמונה מן התמונות אי זו תמונה שיהיה על התושבת או על קו אשר יהיה על יושרו
  • A straight line is said to have been cut in mean and extreme ratio, when the ratio of the whole line to its greater segment is as the ratio of its greater segment to the smaller.
 ויאמר בקו הישר שהוא חלק על יחס בעל אמצעי ושתי קצוות כאשר היה יחס בקו בכללו אל היותר גדול שבחלקיו כיחס היותר גדול שבחלקיו אל היותר קטן משניהם
יאמר כי היחס מחובר מיחסים כאשר היו שעורי היחסים אשר נכפלו בעצמיהם עשו יחס מה
נמצא בנסחא אחרת כי היחס מחובר יחלק ליחסים כאשר היו שעורי היחסים קצתם על קצת יחדשו יחס מה

Proposition 1
The parallelograms and triangles whose heights are the same magnitude, their ratio to one another is as the ratio of their bases to one another.
א השטחים נכחי הצלעות והמשולשים כאשר היה גבהותם בשעור אחד הנה יחס קצתם אל קצת כיחס תושבותיהם קצתם אל קצת

Proposition 18
יח כל שני משולשים דומים הנה יחס אחד משניהם אל האחר הוא יחס צלעו אל צלעו אשר הוא נכחי לו שנוי

Proposition 32
For every right-angled triangle, the rectilinear figure on the side that is opposite to the right angle equals the sum of the rectilinear figures on the two remaining sides that are similar to it. לב כל משולש נצב הזוית הנה התמונה ישרת הקוים המחוברת אל מיתר הזויות הנצבת ממנו כמו שתי התמונות ישרות הצלעות המחוברות אל שתי הצלעות הנשארות יחד כאשר היו דומות אליו והיו על מצבו
המשל בו כי זוית א' ממשלש אב"ג נצבת
הנה אומר כי התמונה ישרת הצלעות הסמוכה אל מיתר זוית א' והוא צלע ב"ג כמו השתי תמונות ישרות הצלעות הסמוכות אל שתי צלעות א"ב א"ג יחד כאשר היו דומים לה ועל מצבה
\scriptstyle BG^2:AB^2=\left(BG:AB\right)^2 הנה מפני כי יחס מרובע ב"ג אל מרובע א"ב כיחס ב"ג אל א"ב שנוי
ויחס התמונה ישרת הצלעות הסמוכה אל ב"ג אל התמונה הסמוכה אל א"ב הדומה אליו והמונח במצבו כיחס ב"ג אל א"ב שנוי
אם כן יחס מרובע ב"ג אל מרובע א"ב כיחס התמונה הסמוכה אל ב"ג אל התמונה הסמוכה אל א"ב
הנה אם כן יחס מרובע ב"ג אל שני מרובעי א"ב א"ג כיחס התמונה הסמוכה אל ב"ג אל שתי התמונות הסמוכות אל א"ב א"ג
\scriptstyle BG^2=AB^2+AG^2 אבל מרובע ב"ג כמו שני מרובעי א"ב וא"ג
אם כן התמונה ישרת הצלעות הסמוכה אל ב"ג כמו שתי התמונות הישרות הצלעות הדומות אליה והמונחת במצבה הסמוכה אל א"ב
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר
אחרים והוא שנוציא עמוד א"ד הנה שני משולשי אב"ג אב"ד מתדמים
\scriptstyle BG:AB=AB:BD אם כן יחס ב"ג אל א"ב כמו יחס א"ב אל ב"ד
ויחס ג"ב אל ב"ד כיחס השטח הסמוך אל ג"ב אל השטח הסמוך אל א"ב והדומה אליו
וכן יחס ב"ג אל ג"ד כיחס השטח הסמוך אל ב"ג אל השטח הסמוך אל ג"א הדומה אליו
אם כן יחס ב"ג אל ב"ד וד"ג כיחס השטח שהוא סמוך אל ב"ג אל שני השטחים הסמוכים אל א"ב וא"ג יחד
\scriptstyle BG=BD+DG וב"ג כמו ב"ד ד"ג יחד
אם כן השטח הסמוך אליו כמו שני השטחים הסמוכים אל שניהם יחד
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 33
When there are two angles in equal circles that stand at the centers or at the circumferences, the ratio of the angle to the angle is as the ratio of both arcs on which they stand one to the other. לג כאשר היו בשתי עגולות שוות שתי זויות על המרכז או על הקו המקיף הנה יחס הזויות אל הזויות כיחס שתי הקשתות אשר עליהם אחת אל אחת
Example: \scriptstyle\bigcirc_{ABG}=\bigcirc_{DHZ} המשל בו בשתי עגולות אב"ג דה"ז השוות
ועל מרכזיהם שתי זויות גח"ב הט"ז
Supposition: \scriptstyle\overset{\frown}{BG}:\overset{\frown}{HZ}=\measuredangle BCG:\measuredangle HTZ=\measuredangle GAB:\measuredangle HDZ הנה אומר כי יחס קשת ב"ג אל קשת ה"ז כיחס זוית בח"ג אל זוית הט"ז וכיחס זוית גא"ב אל זוית הד"ז
Proof: המופת אנחנו נבדיל מעגולת אב"ג כמו קשת ב"ג כמה שרצינו נאמר שנבדיל ג"כ כ"ל ומעגולת דה"ז גם כן כמו קשת ה"ז כמה שנרצה נאמר שנבדיל ז"מ מ"נ ונוציא שני קוי כ"ח ח"ל ושני קוי ט"מ ט"נ
\scriptstyle\overset{\frown}{BG}=\overset{\frown}{GK}=\overset{\frown}{KL}
 הנה קשתות ב"ג ג"כ כ"ל שוות
\scriptstyle\measuredangle BCG=\measuredangle GCK=\measuredangle KCL
 אם כן זויות בח"ג גח"כ כח"ל שוות
\scriptstyle\left(n\sdot\overset{\frown}{BL}\right):\overset{\frown}{BG}=\left(n\sdot\measuredangle BCL\right):\measuredangle BCG
 אם כן כפלי קשת ב"ל לקשת ב"ג ככפלי זוית בח"ל לזוית בח"ג
\scriptstyle\left(m\sdot\overset{\frown}{HN}\right):\overset{\frown}{HZ}=\left(m\sdot\measuredangle HTN\right):\measuredangle HTZ
 וכן כפלי קשת ה"נ לקשת ה"ז ככפלי זוית הט"נ לזוית הט"ז
  • \scriptstyle\overset{\frown}{BL}>\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL>\measuredangle HTN
 ואם היה ב"ל תוסיף על קשת ה"נ הנה זוית בח"ל תוסיף על זוית הט"נ
  • \scriptstyle\overset{\frown}{BL}=\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL=\measuredangle HTN
 ואם יהיה שיהיו שוים אליה הנה היא שוה אליה
  • \scriptstyle\overset{\frown}{BL}<\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL<\measuredangle HTN
 ואם היה שיוחסרו ממנה הנה היא תחסר ממנה
The four magnitudes: \scriptstyle\overset{\frown}{BG}\quad\overset{\frown}{HZ}\quad\measuredangle BCG\quad\measuredangle HTZ are proportional. אם כן השעורים ארבעה קשת ב"ג וקשת ה"ז וזוית בח"ג וזוית הט"ז מתיחסים
\scriptstyle\overset{\frown}{BL} and \scriptstyle\measuredangle BCL are equimultiples of \scriptstyle\overset{\frown}{BG} and \scriptstyle\measuredangle BCG
 וכפלי קשת ב"ג וזוית בח"ג השוה הפעמים היא קשת ב"ל וזוית בח"ל
\scriptstyle\overset{\frown}{HN} and \scriptstyle\measuredangle HTN are equimultiples of \scriptstyle\overset{\frown}{HZ} and \scriptstyle\measuredangle HTZ
 וכפלי קשת ה"ז וזוית הט"ז השוה הפעמים היא קשת ה"נ וזוית הט"נ
  • \scriptstyle\overset{\frown}{BL}>\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL>\measuredangle HTN
 וכבר התבאר כי קשת ב"ל אם היתה נוספת על קשת ה"נ הנה זוית בח"ל נוספת על זוית הט"נ
  • \scriptstyle\overset{\frown}{BL}=\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL=\measuredangle HTN
 ואם היתה שוה אליה הנה היא שוה אליה
  • \scriptstyle\overset{\frown}{BL}<\overset{\frown}{HN}\longrightarrow\measuredangle BCL<\measuredangle HTN
 ואם היתה חסרה ממנו הנה היא חסרה ממנה
\scriptstyle\overset{\frown}{BG}:\overset{\frown}{HZ}=\measuredangle BCG:\measuredangle HTZ
 אם כן יחס קשת ב"ג אל קשת ה"ז כיחס זוית בח"ג אל זוית הט"ז
  • \scriptstyle\measuredangle A=\frac{1}{2}\measuredangle BCG
 וזוית א' אשר על המקיף הנה היא חצי זוית בח"ג אשר על המרכז
  • \scriptstyle\measuredangle HDZ=\frac{1}{2}\measuredangle HTZ
 וזוית הד"ז היא חצי זוית הט"ז
\scriptstyle\overset{\frown}{BG}:\overset{\frown}{HZ}=\measuredangle A:\measuredangle D
 אם כן יחס קשת ב"ג אל קשת ה"ז גם כן כיחס זוית א' אל זוית ד'
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר
והנה נשלם המאמר הששי מספר אקלידס החכם בשרשים
ויבא אחריו המאמ' השביעי מזה הספר בג"ה בעה"ו ובס"ד

Book Seven

 המאמר השביעי

Definitions

 הקדמות המאמר
  • The unit is that by which each of the beings is called one.
 האחדות הוא הדבר אשר יאמר בו לכל דבר אחד מן הנמצאות אחד
  • The number is a multitude composed of units.
 המספר הוא הקבוץ המורכב מן האחדים
  • The smaller number is a part of the greater number, when it counts it.
 המספר הקטן יהיה חלק מן המספר הרב כאשר היה שימנה אותו
  • But, it is parts of it, when it does not count it.
 ויהיה חלקים ממנו כאשר היה שלא ימנה אותו
  • The greater number is a multiple of the smaller number, when the smaller counts it.
 המספר הרב יהיה כפלים למספר הקטן כאשר היה הקטן מונה אותו
  • The even number is that which is divisible into two equal parts.
 המספר הזוג הוא אשר יחלק בשני חלקים שוים
  • The odd number is that which is not divisible into two equal parts, and that which differs by a unit from an even number.
 המספר הנפרד הוא אשר אי אפשר שיחולק לשני חלקים שוים ואשר יתחלף הזוג באחד
  • The number that is called an even-times-even number is that which is counted an even number of times by an even number.
 המספר אשר יאמר לו זוג הזוג הוא אשר ימנה אותו מספר זוג פעמים מספרם זוג
  • The number that is called an even-times-odd number is that which is counted an even number of times by an odd number.
 המספר אשר יאמר לו זוג הנפרד הוא אשר ימנהו מספר נפרד פעמים מספרם זוג
  • The number that is called an odd-times-odd number is that which is counted an odd number of times by an odd number.
 המספר אשר יאמר לו נפרד הנפרד הוא אשר ימנהו מספר נפרד פעמים מספרם נפרד
  • The number that is called a prime number is that which is counted by a unit alone.
 המספר אשר יקרא ראשון הוא אשר ישיגהו המנין באחד לבד
  • The number that is called a composite number is that which is counted by a number other than the unit.
 המספר אשר יאמר לו המספר המורכב הוא אשר ישיגהו המנין במספר זולת אחד
  • The numbers that are relatively composite are those which are counted by a number.
 המספרים המשותפים הם אשר ימנה אותם מספר אחד
  • The numbers that are relatively prime are those which are counted by a unit alone as a common measure.
 המספרים המובדלים הם אשר אמנם לא ימנם מספר משותף כי אם אחד לבדו
  • The number that is multiplied by a number is that which is duplicated as many times as there are units in the multiplicand and the product is some number.
 המספר המוכה במספר הוא אשר יכפל פעמים כמנין מה שבמוכה בו מן האחדים ויהיה מה שיתקבץ מספר אחד
  • The square number is the product of a number that is multiplied by its similar, or that which is contained by two equal numbers.
 המספר המרובע הוא המקובץ מהכאת מספר בדומה לו או הוא אשר יקיפו בו שני מספרים שוים
  • The cube number is the product of a number that is multiplied by its product by its similar, or that which is contained by three equal numbers.
 המספר המעוקב הוא המקובץ מהכאת מספר במה שיתקבץ מהכאתו בדומה לו או הוא אשר יקיפו בו שלשה מספרים שוים
  • The plane number is the product of a number that is multiplied by another, or that which is contained by two numbers.
 המספר המשוטח הוא המקובץ מהכאת מספר מה שהיה באחר או אשר יקיפו בו שני מספרים
  • The two numbers that are multiplied one by the other, so that the plane number is produced, are called the two sides of the plane.
 ויקראו שני המספרים אשר הוכה אחד משניהם באחר והתקבץ משניהם המשוטח ההוא שני צלעי השטח
  • The solid number is the product of a number that is multiplied by the product of two numbers that are multiplied one by the other.
 והמספר המוגשם הוא המקובץ מהכאת מספר במה שיתקבץ מהכאת שני מספרים אחד באחר
  • The three numbers are the sides of the solid.
 והמספרים השלשה צלעות המוגשם
  • The proportional numbers are those of which the first is the same part, or the same parts, of the second, as the third is of the fourth.
והמספרים המתיחסים הם אשר יהיה הראשון מן השני והשלישי מן הרביעי חלק אחד בעצמו או חלקים אחדים בעינם
  • The similar plane and solid numbers are those whose sides are proportional.
 המספרים המשוטחים והמוגשמים הדומים הם אשר צלעותיהם מתיחסות
  • The perfect number is that which is equal to [the sum] of all its parts.
 המספר השלם הוא השוה לכל חלקיו
The definitions are complete. תמו ההקדמות

Proposition 1
1) For every two unequal numbers, such that the multiple of the smaller that is contained in [the greater] is subtracted from the greater, until the remainder is less than the smaller; then the multiple of this remainder that is contained in [the smaller] is subtracted from the smaller and what is left is less than the [first] remainder; then the multiple of second remainder that is contained in [the first remainder] is subtracted from the first remainder and what is left is less than the [second remainder]; and so on [the remainders] are subtracted continually; if what is left from [the two original numbers] never ends with the number that precedes it, but until a unit is left, then the two [original] unequal numbers are relatively prime. א כל שני מספרים מתחלפים יחסר מהרב משניהם מה שבו מכפלי הקטן עד שיותר פחות מן הקטן

אחר כן יחסר מן הקטן מה שבו מכפלי היתרון ההוא ויותר פחות ממנו
אחר כן יחוסר מן היתרון הראשון מה שבו מכפלי המותר השני וישאר פחות ממנו
עוד לא יסורו יחסרו כן ולא יכלה במה שישאר משניהם אל מספר אחד אשר ילוה לו לפניו עד שיכלה אל האחד הנה שני המספרים המתחלפים נבדלים

Example:
\scriptstyle AB-n\sdot GD=AB-TB=AT<GD
 המשל בו כי שני מספרי א"ב ג"ד יחוסר מן הגדול משניהם והוא א"ב ממנו מדמיוני ג"ד הפחות משניהם והוא ט"ב ונשאר פחות מן ג"ד והוא א"ט
\scriptstyle GD-m\sdot AT=GD-DC=GC<AT
 עוד חוסר מן ג"ד מה שבו מדמיוני א"ט והוא ד"ח והותיר פחות מן א"ט והוא ג"ח
\scriptstyle AT-f\sdot GC=AT-KT=AK=1
 עוד חוסר מן א"ט מה שבו מדמיוני ג"ח והוא כ"ט ונותר א"כ והוא אחד
Supposition: AB and GD are relatively prime. ואומר כי שני מספרי א"ב ג"ד נבדלים
Proof:
def. relatively prime: If AB and GD are not relatively prime, there is a number that measures both of them. Let it be H.
 המופת כי אם לא יהיו מספרי א"ב ג"ד נבדלים הנה ימנה שניהם מספר מה אם היה אפשר והוא מספר ה' מהפתיחה
H measures GD and GD measures TB.
 אם כן מספר ה' ימנה ג"ד וג"ד ימנה ט"ב
Then, [H] measures TB and it measures the whole AB.
 אם כן הוא ימנה ט"ב והוא ימנה כל א"ב
Therefore, it measures the whole AT and TA measures CD.
 הנה הוא אם כן ימנה כל א"ט וט"א ימנה ח"ד
Hence, H measures CD and it measures the whole GD.
 אם כן ה' ימנה ח"ד וימנה כל ג"ד
Then, H measures CG and CG measures KT.
 הנה אם כן ה' ימנה ח"ג וח"ג ימנה כ"ט
Therefore, H measures KT and it measures the whole TA.
 אם כן ה' ימנה כ"ט והוא ימנה כל ט"א
Hence, [H] measures AK and AK is one, but H is a number - it is false.
 הנה אם כן ימנה א"כ וא"כ אחד וה' מספר זה שקר
So, no number measures AB and GD except one.
 אם כן לא ימנה א"ב ג"ד מספר זולת האחד
def. relatively prime: Therefore, they are relatively prime. אם כן שניהם נבדלים מהפתיחה
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 2
2) We wish to explain how we find the greatest common number that counts two given relatively composite unequal numbers. ב נרצה שנבאר איך נמצא גדול מספר משותף ימנה שני מספרים ידועים משותפים בלתי שוים
We set the two given relatively composite unequal numbers AB and GD.
 הנה נשים שני המספרים הידועים המשותפים הבלתי שוים שני מספרי א"ב ג"ד
We wish to find the greatest common number that counts both of them.
 ונרצה למצוא המספר היותר גדול המשותף אשר ימנה שניהם יחד
  • If GD counts AB and it counts itself, then it is the greatest common number that counts both of them.
 הנה אם היה ג"ד ימנה א"ב והוא ימנה עצמו הנה הוא גדול המשותף אשר ימנה שניהם יחד
For it is impossible that a number greater than GD counts both.
 כי הוא בלתי אפשר שימנה שניהם יחד מספר יותר גדול ממנו
  • If GD does not count AB
 ואם היה ג"ד בלתי מונה א"ב הנה א"ב ג"ד אם כן מתחסרים כמו שספרנו קודם
VII.1: כי הנה אי אפשר שלא יותיר מספר ימנה אשר ילוה אליו לפניו כי הוא אם לא יותיר מספר ימנה אשר ילוה אליו לפניו הנה שניהם אם כן נבדלים משלפניה
הנה ג"ד כאשר ימנה ב"א יותיר פחות ממנו והוא א"ה
וה"א כאשר מנה ג"ד יחסר פחות ממנו והוא ז"ג
ZG measures HA.
 אם כן הנה ימנה ז"ג ה"א
ZG measures HA and HA measures ZD.
 אם כן ז"ג ימנה ה"א וה"א ימנה ז"ד
ZG measures ZD and it measures itself.
 אם כן ז"ג ימנה ז"ד וימנה עצמו
ZG measures the whole GD and GD measures HB.
 אם כן ז"ג ימנה כל ג"ד וג"ד ימנה ה"ב
ZG measures HB and it measures AH.
 אם כן ז"ג ימנה ה"ב וימנה א"ה
ZG measures the whole AB and it measures GD, so it is a common measure of both of them.
 אם כן ז"ג ימנה כל א"ב וימנה ג"ד הנה הוא אם כן מספר משותף לשניהם
Supposition: it is their greatest common measure. ואומר כי הוא המספר הגדול המשותף
הנה אם לא יהיה ז"ג הוא המספר הגדול המשותף אשר ימנה א"ב ג"ד יחד הנה ימנה אותם מספר אחר יותר מז"ג הוא המספר המשותף והוא ח'
C measures GD and GD measures HB.
 אם כן ח' ימנה ג"ד וג"ד ימנה ה"ב
C measures HB and it measures the whole AB.
 אם כן ח' ימנה ה"ב וימנה כל א"ב
C measures AH.
 הנה ח' אם כן ימנה א"ה
C measures AH and HA measures ZD.
 וגם כן הנה ח' ימנה א"ה וה"א ימנה ז"ד
C measures ZD and it measures the whole GD.
 אם כן ח' ימנה ז"ד וימנה כל ג"ד
הנה הוא אם כן ימנה ז"ג וז"ג פחות ממנו
הנה אם כן הגדול ימנה הפחות זה שקר
אם כן לא ימנה שני מספרי א"ב ג"ד מספר יותר ממספר ז"ג
אם כן ז"ג גדול מספר ימנה א"ב ג"ד הנה כבר מצאנו גדול מספר משותף ימנה א"ב ג"ד והוא ז"ג
וזה מ'ש'ל'
ובכאן התבאר כי כל מספר ימנה שני מספרים הנה הוא גם כן ימנה המספר הגדול אשר ימנה שניהם יחד מספר משותף
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 3
3) We wish to find the greatest common measure of three given relatively composite unequal numbers. ג נרצה למצא גדול מספר משותף ימנה שלשה מספרים ידועים משותפים בלתי שוים
We set the given relatively composite unequal numbers A, B, G.
 הנה נשים המספרים הידועים המשותפים הבלתי שוים א'ב'ג'
VII.2: We take the greatest common number that counts two numbers of them A and B, which is D. ונקח גדול מספר משותף ימנה שני מספרים משניהם והם א"ב משותף משניהם והוא מספר ד' משלפניה
D either measures G, or does not measure it. אם כן ד' ימנה ג' או לא ימנה אותו
  • It measures it and it measures A and B.
 ונאמר תחלה שימנה אותו והוא ימנה א"ב
D measures A, B, and G.
 אם כן ד' ימנה א'ב'ג'
Supposition: it is the greatest common number that counts them.
 הנה אומר שהוא גדול מספר משותף ימנה אותם יחד
If D is not the greatest number that counts A, B, G, then there is a number greater than D that counts them, which is H.
 שאם לא יהיה ד' גדול מספר ימנה א'ב'ג' הנה ימנה אותם מספר גדול מד' והוא מספר ה'
H measures A, B, and G.
 אם כן ה' ימנה א'ב'ג'
It measures A and B
 אם כן הוא ימנה א"ב
It measures the greatest number that counts both of them, which is D.
 וימנה המספר הגדול היותר אשר ימנה שניהם והוא ד' מסוף אשר לפניה
H measures D.
 אם כן ה' ימנה ד'
The greater measures the smaller - false.
 הגדול ימנה הפחות זה שקר
No number greater than D measures A, B, G.
 אם כן לא ימנה א'ב'ג' מספר גדול מן ד'
  • D does not measure G.
 וגם כן נאמר שיהיה ד' לא ימנה ג'
ונקח גדול מספר ימנה שני מספרי ג"ד והוא ה'
אם כן ה' ימנה ד' וד' ימנה שני מספרי א"ב
אם כן ה' ימנה שני מספרי א"ב וימנה ג' אם כן ה' ימנה א'ב'ג' יחד מסוף אשר לפניה
Supposition: it is the greatest common number that counts them.
 הנה אומר שהוא המספר הגדול היותר משותף אשר ימנה אותם
שאם לא יהיה ה' גדול יותר מספר משותף א'ב'ג'
Z measures A and B.
 אם כן ז' ימנה א"ב
It measures the greatest number that counts both of them, which is D.
 וימנה המספר הגדול המשותף אשר ימנה שניהם יחד והוא ד'
Z measures D and it measures G.
 אם כן ז' ימנה ד' והוא ימנה ג'
Z measures the greatest number that counts both G and D, which is H.
 אם כן ז' ימנה גדול מספר ימנה ג"ד והוא ה'
Z measures H.
 הנה ז' אם כן ימנה ה'
The greater measures the smaller - false.
 הגדול ימנה הפחות זה שקר
No number greater than H measures A, B, G.
 אם כן לא ימנה א'ב'ג' מספר גדול מן ה'
הנה כבר מצאנו גדול מספר משותף ימנה א'ב'ג' השלשה הידועים המשותפים הבלתי שוים
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 4
4) For every two unequal numbers, the smaller is either a part or parts of the greater. ד כל שני מספרים מתחלפים

הנה הקטן אם שיהיה חלק מן הגדול ואם חלקים

Example: \scriptstyle GD<AB המשל בו כי שני מספרי א"ב ג"ד מתחלפים והקטן משניהם ג"ד
Supposition: GD is either a part or parts of AB. הנה אומר כי ג"ד אם חלק מן א"ב ואם חלקים
Proof:
  • GD either measures AB, then GD is a part of AB.
 המופת כי ג"ד אם היה שימנה א"ב הנה הוא חלק ממנו
  • Or it does not measure it, then AB and GD are either relatively prime, or relatively composite.
 ואם היה שלא ימנה אותו הנה א"ב ג"ד אם שיהיו נבדלים ואם שיהיו משותפים
  • If they are relatively prime, then when we divide GD into the units in it, each unit of GD is a part of AB.
 ואם היו נבדלים הנה אנחנו כאשר חלקנו ג"ד לאחדים בו יהיה כל אחד מן ג"ד חלק מן א"ב
  • VII.2: If they are relatively composite, we take the greatest common measure of them, which is HZ
 ואם היו משותפים לקחנו גדול מספר משותף ימנה אותם והוא ה"ז מב' מזה
We divide GD into HZ: \scriptstyle GD=GC+CT+TD
 ונחלק ג"ד על ה"ז ויצא ג"ח ח"ט ט"ד
ZH measures AB
 הנה ז"ה ימנה א"ב
\scriptstyle ZH=GC=CT=TD
 וישתוה לכל אחד מן ג"ח ח"ט ט"ד
Each of [the numbers] GC, CT, and TD is a part of AB, therefore GD is parts of AB.
 אם כן כל אחד מן ג"ח ח"ט ט"ד חלק מן א"ב הנה ג"ד אם כן חלקים מן א"ב
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 5
5) When a number is a part of a number, and another number is the same part of another number, then the sum of the two smaller is the same part of the sum of the two greater that one of the two smaller is of one of the two greater. ה כאשר יהיה מספר מה חלק ממספר ומספר אחר כמו החלק ההוא ממספר אחר הנה שנים הקטנים מקובצים מהשנים הגדולים מקובצים הם החלק ההוא אשר היה אחד מן השנים הקטנים מאחד מהשני הגדולים
Example: A is a part of GD, and Z is the same part of CT. המשל בו כי מספר א' חלק ממספר ג"ד ומספר ז' ממספר ח"ט כמו החלק ההוא
Supposition: A+Z is the same part of CT+GD that A is of GD. הנה אומר כי שני מספרי א"ז מקובצים משני מספרי ח"ט ג"ד מקובצים הם החלק ההוא אשר הוא א' מן ג"ד
Proof: the part that A is of GD is the same part that Z is of CT. המופת כי חלק א' מן ג"ד הוא חלק ז' מן ח"ט
VII.introduction: the number of multiples of A in GD is as the number of multiples of Z in CT. אם כן שעור מה שבג"ד מכפלי א' כשעור מה שבח"ט מכפלי ז' מפתיחת זה
We divide GD into A: \scriptstyle GD=GK+KD
 הנה נחלק ג"ד על א' ויצא ג"כ כ"ד
We divide CT into Z: \scriptstyle CT=CL+LT
 ונחלק ח"ט על ז' ויצא ח"ל ל"ט
The multitude of GK and KD equals the multitude of CL and LT.
 הנה מספר ג"כ כ"ד כמספר ח"ל ל"ט
  • \scriptstyle GK=A
 וג"כ כמו א'
  • \scriptstyle CL=Z
 וח"ל כמו ז'
\scriptstyle GK+CL=A+Z
 אם כן ג"כ ח"ל כמו א"ז
\scriptstyle KD+LT=A+Z
 וכן כ"ד ל"ט כמו א"ז
The number of multiples of A in GD is as the number of multiples of A+Z in GD+HT. אם כן מנין מה שבג"ד מדמיוני א' כמנין מה שבג"ד ח"ט מקובצים מדמיוני א"ז מקובצים
The part that A is of GD is the same part that Z+A is of GD+CT. אם כן חלק א' מן ג"ד הוא חלק ז"א מקובצים מן ג"ד ח"ט מקובצים
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 6
6) When a number is parts of a number, and another number is the same parts of another number, then the sum of the two smaller is the same parts of the sum of the two greater that one of the two smaller is of one of the two greater. ו כאשר היה מספר מה חלקים ממספר אחר ומספר אחר כמו החלקים ההם ממספר אחר הנה השנים הקטנים מן השנים הגדולים מקובצים כמו חלקי אחד מן השנים הקטנים מקרובו מן השנים הגדולים
Example: AB is parts of G, and HZ is the same parts of C that AB is of G. המשל בו כי מספר א"ב חלקים ממספר ג' ומספר ה"ז ממספר ח' כמו חלקי א"ב מן ג'
Supposition: AB+HZ is the same parts of G+C that AB is of G. הנה אומר כי כל א"ב ה"ז מכל ג"ח כמו חלקי א"ב מן ג'
Proof: the parts that AB is of G are the same parts that HZ is of C. המופת כי חלקי א"ב מן ג' כמו חלקי ה"ז מן ח'
We divide AB into G: \scriptstyle AB=AK+KB
 והנה נחלק א"ב בחלקי ג' א"כ כ"ב
And HZ into C: \scriptstyle HZ=HL+LZ
 וה"ז בחלקי ח' ויצא ה"ל ל"ז
The multitude of AK and KB equals the multitude of HL and LZ.
 הנה מנין א"כ כ"ב כמנין ה"ל ל"ז
  • AK is the same part of G that HL is of C.
 אם כן חלק א"כ מן ג' הוא חלק ה"ל מן ח'
VII.5:
AK+HL is the same part of GC that AK is of G.
 הנה אם כן כל א"כ ה"ל היו מכל ג"ח כמו חלק א"כ מן ג' מה' מזה
KB+LZ is the same part of GC that KB is of G.
 וכן כאשר קבץ כ"ב ל"ז היו מכל ג"ח כמו חלק כ"ב מן ג'
AB+HZ is the same parts of G+C that AB is of G. אם כן א"ב ה"ז כאשר יקובצו היו מן ג"ח מקובצים כמו חלקי א"ב מן ג'
Q.E.D. ו'מ'ש'ל'

Proposition 7
7) When there are four numbers, such that the first is the same part of the second as the third is of the fourth, when we invert, the first is the same part or parts of the third, as the second is of the fourth. ז כאשר היו ארבעה מספרים והיה הראשון חלק מן השני והיה השלישי מן הרביעי כמו החלק ההוא הנה אנחנו כאשר המירונו היה החלק או החלקים אשר יהיה הראשון מן השלישי כמו החלק או החלקים אשר יהיה השני מן הרביעי
Example: A is a part of GB; D is the same part of HZ as A is of GB. המשל בו כי מספר א' חלק ממספר ג"ב ומספר ד' חלק ממספר ה"ז כמו חלק א' מן ג"ב
Supposition: When we invert, the first, which is A, is the same part or parts of the third, which is D, as the second is of the fourth, which are BG and HZ. הנה אומר כאשר המירונו היה החלק או החלקים אשר יהיה הראשון והוא א' מן השלישי והוא ד' כמו החלק או החלקים אשר יהיה השני מן הרביעי והם ב"ג וה"ז
Proof: A is the same part of GB that D is of HZ. המופת כי חלק א' מן ב"ג הוא חלק ד' מן ה"ז
The number of multiples of A in BG is as the number of multiples of D in HZ.
 אם כן מה שבב"ג מדמיוני א' כמו מה שבה"ז מדמיוני ד'
We divide BG into the multiples of A: \scriptstyle BG=BC+CG
 ונחלק ב"ג מדמיוני א' ויצא ב"ח ח"ג
We divide HZ into the multiples of D: \scriptstyle HZ=HT+TZ
 ונחלק ה"ז כדמיוני ד' ויצא ה"ט ט"ז
The multitude of \scriptstyle BC+CG equals the multitude of \scriptstyle HT+TZ.
 הנה מנין ב"ח ח"ג כמו מנין ה"ט ט"ז
  • \scriptstyle BC=CG.
 וב"ח כמו ח"ג
  • \scriptstyle HT=TZ.
 וה"ט כמו ט"ז
VII.5: BC is the same part or parts of HT as BG is of HZ. אם כן החלק או חלקים אשר הוא ב"ח מן ה"ט הוא החלק או החלקים אשר הוא ב"ג מן ה"ז מה' מזה
  • \scriptstyle BC=A.
 וב"ח כמו א'
  • \scriptstyle HT=D.
 וה"ט כמו ד'
A is the same part or parts of D, as BG is of HZ. אם כן החלק או החלקים אשר הוא א' מן ד' הוא החלק או החלקים אשר הוא ב"ג מן ה"ז
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 8
8) When there are four numbers, such that the first is the same parts of the second as the third is of the fourth, when we invert, the first is the same part or parts of the third, as the second is of the fourth. ח כאשר היו ארבעה מספרים והיה הראשון חלקים מן השני והיה השלישי מן הרביעי כמו החלקים ההם הנה כאשר המירונו היו החלקים או החלק אשר היו הראשון מן השלישי כמו החלקים או החלק אשר יהיה השני מן הרביעי
Example: AB is parts of G; DH is the same parts of Z as AB is of G. המשל בו כי מספר א"ב חלקים ממספר ג' ומספר ד"ה ממספר ז' כמו חלקי א"ב מן ג'
Supposition: When we invert AB is the same part or parts of DH, as G is of Z. הנה אומר כי אנחנו כאשר המירונו יהיו החלקים או החלק אשר א"ב מן ד"ה הם החלק או החלקים אשר יהיה ג' מן ז'
Proof: AB is the same parts of G that DH is of Z. המופת כי החלקים אשר הם א"ב מן ג' הם החלקים אשר הם ד"ה מן ז'
The number of multiples of AB in G is as the number of multiples of DH in Z.
 הנה מה שבא"ב מדמיוני חלקי ג' כמו מה שבד"ה מדמיוני חלקי ז'
We divide AB into the multiples of G: \scriptstyle AB=AC+CB
 ונחלק א"ב בחלקי ג' ויצא א"ח ח"ב
We divide DH into the multiples of Z: \scriptstyle DH=DT+TH
 ונחלק ד"ה בחלקי ז' ויצא ד"ט ט"ה
The multitude of \scriptstyle AC+CB equals the multitude of \scriptstyle DT+TH.
 הנה מנין א"ח ח"ב כמו מנין ד"ט ט"ה
  • \scriptstyle AC=CB.
 וא"ח כמו ח"ב
  • \scriptstyle DT=TH.
 וד"ט כמו ט"ה
AC is the same part of G as DT is of Z. אם כן חלק א"ח מן ג' כחלק ד"ט מן ז'
When we invert, AC is the same part or parts of DT, as G is of Z. וכאשר המירונו הנה החלק או החלקים אשר הוא א"ח מן ד"ט הוא החלק או החלקים אשר הוא ג' מן ז'
CB is the same part of G as TH is of Z. והחלק אשר הוא ח"ב מן ג' הוא החלק אשר הוא ט"ה מן ז'
When we invert, CB is the same part or parts of TH, as G is of Z. וכאשר המירונו היה החלק או החלקים אשר הוא ח"ב מן ט"ה הוא החלק או החלקים אשר הוא ג' מן ז'
It has been clarified that AB is the same part or parts of DH, as G is of Z. וכבר התבאר כי החלק או החלקים אשר הוא א"ב מן ד"ה הוא החלק או החלקים אשר הוא ג' מן ז'
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 9
9) When a number is a part of another number, as the part that a subtracted from the one is of a subtracted from the other, then the remainder from one of them is the same part of the remainder from the other that the whole is of the whole. ט כאשר היה מספר מה חלק ממספר אחר כחלק מה שיחסר ממנו הנה ממה שיחסר מן האחר הנה הנשאר מאחד משניהם מן הנשאר מן האחר הוא חלק הכל מן הכל
In another version: When there are two numbers, such that one is a part of the other, and a number was subtracted from each of them, so that the subtracted from the part is of the subtracted from the whole as the whole is of the whole, then the remainder from the part is the same part of the remainder from the whole that the whole is of the whole. בנסחא האחרת כאשר היו שני מספרים אחד מהם חלק מן האחר וחוסר מכל אחד מהם מספר והיה המחוסר מהחלק למחוסר מהכל בכל מהכל הנה הנשאר מהחלק מהנשאר מהכל כחלק הכל מהכל
Example: AB is a part of GD; AH and GZ are subtracted from them, so that AB is the same part of GD as AH is of GZ. המשל בו כי מספר א"ב חלק ממספר ג"ד והמחוסרים משניהם א"ה ג"ז וחלק א"ב מן ג"ד כמו חלק א"ה מן ג"ז
Supposition: the remainder HB is the same part of the remainder DZ as whole AB is of whole GD. הנה אומר כי חלק ה"ב הנשאר מן ד"ז הנשאר הוא חלק כל א"ב מכל ג"ד
Proof: We set AH as the same part of GZ that BH is of GC. המופת אנחנו נשים חלק א"ה מן ג"ז הוא חלק ב"ה מן ג"ח
  • AH is the same part of GZ that AB is of ZC.
 אם כן חלק א"ה מן ג"ז הוא חלק א"ב מן ז"ח
  • AH is the same part of GZ that AB is of GD.
 וחלק א"ה מן ג"ז הוא חלק א"ב מן ג"ד
AB is the same part of CZ that AB is of GD.
 אם כן חלק א"ב מן ח"ז הוא חלק א"ב מן ג"ד
\scriptstyle CZ=GD
 אם כן ח"ז כמו ג"ד
\scriptstyle CZ-GZ=GD-GZ\longrightarrow GC=ZD
 ויחוסר ג"ז המשותף וישאר ג"ח כמו ז"ד
  • AH is the same part of GZ that HB is of GC.
 וכבר היה חלק א"ה מן ג"ז הוא חלק ה"ב מן ג"ח
AH is the same part of GZ that HB is of DZ.
 אם כן חלק א"ה מן ג"ז הוא חלק ה"ב מן ד"ז
  • AH is the same part of GZ that AB is of GD.
 וחלק א"ה מן ג"ז הוא חלק א"ב מן ג"ד
HB is the same part of ZD that AB is of GD.
 אם כן חלק ה"ב מן ז"ד הוא חלק א"ב מן ג"ד
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 10
10) When a number is parts of another number, as the parts that a subtracted from the one is of a subtracted from the other, then the remainder [from one of them] is the same parts of the remainder [from the other] that the whole is of the whole. י כאשר היה מספר חלקים ממספר אחר כחלקי מה שיחסר ממנו ממה שיחוסר מן האחר הנה הנשאר מן הנשאר הוא חלקי הכל מן הכל
Example: AB is parts of GD; AH and GZ are subtracted from them, so that AH is the same part of GZ as AB is of GD. המשל בו כי מספר א"ב חלקי' ממספר ג"ד והמחוסרים משניהם א"ה ג"ז וחלקי א"ה מן ג"ז כחלקי א"ב מן ג"ד
Supposition: the remainder HB is the same parts of the remainder ZD as whole AB is of whole GD. הנה אומר כי חלקי ה"ב הנשאר מחלקי ז"ד הנשאר הם חלקי כל א"ב מחלקי כל ג"ד
Proof:
  • We set \scriptstyle CT=AB
 המופת אנחנו נשים ח"ט כמו א"ב
CT is the same parts of GD that AH is of GZ.
 אם כן כל חלקי ח"ט מן ג"ד הם חלקי א"ה מן ג"ז
We divide CT into the parts of GD: \scriptstyle CT=CK+KT ונחלק ח"ט בחלקי ג"ד ויצא ח"כ כ"ט
We divide AH into the parts of GZ: \scriptstyle AH=AL+LH ונחלק א"ה בחלקי ג"ז ויצא א"ל ל"ה
The multitude of \scriptstyle CK+KT equals the multitude of \scriptstyle AL+LH.
 הנה מנין ח"כ כ"ט כמו מנין א"ל ל"ה
CK is the same part of GD that AL is of GZ.
 אם כן חלק ח"כ מן ג"ד הוא חלק א"ל מן ג"ז
\scriptstyle GD>GZ
 וג"ד גדול מן ג"ז
\scriptstyle CK>AL
 אם כן חלק ח"כ גדול מן א"ל
  • We set \scriptstyle CM=AL
 ונשים ח"מ כמו א"ל
CK is the same part of GD that CM is of GZ.
 אם כן חלק ח"כ מן ג"ד כחלק ח"מ מן ג"ז
The remainder MK is the same part of ZD that CK is of GD.
 וישאר מ"כ מן ז"ד כמו חלק ח"כ מן ג"ד
KT is the same part of GD that LH is of GZ.
 וגם כן הנה חלק כ"ט מן ג"ד כחלק ל"ה מן ג"ז
\scriptstyle GD>GZ
 וג"ד גדול מן ג"ז
\scriptstyle KT>LH
 אם כן כ"ט גדול מן ל"ה
  • We set \scriptstyle KN=LH
 ונשים כ"נ כמו ל"ה
KT is the same part of GD that KN is of GZ.
 אם כן חלק כ"ט מן ג"ד כחלק כ"נ מן ג"ז
The remainder TN is the same part of ZD that KT is of GD.
 ונשאר חלק ט"נ מן ז"ד כמו חלק כל כ"ט מכל ג"ד
MK+NT is of ZD as whole CT is of whole GD.
 וכאשר קובץ מ"כ נ"ט היו מן ז"ד כמו כל ח"ט מכל ג"ד
\scriptstyle MK+NT=HB
 ומ"כ נ"ט יחד כמו ה"ב
  • \scriptstyle CT=AB
 וח"ט כמו א"ב
The remainder HB is the same parts of the remainder ZD as AB is of GD. הנה נשאר חלקי ה"ב מן ז"ד כמו חלקי א"ב מן ג"ד
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 11
11) When two numbers are subtracted from two numbers and the ratio of the subtracted to the subtracted is as the ratio of the whole to the whole, then the ratio of the remainder to the remainder is as the ratio of the whole to the whole. 		י"א כאשר חוסר משני מספרים שני מספרים והיה יחס המחוסר אל המחוסר כיחס הכל אל הכל הנה יחס הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל
Example: two numbers AB and GD; AH and GZ are subtracted from them, so that \scriptstyle AB:GD=AH:GZ. המשל בו כי שני מספרי א"ב וג"ד חוסר משניהם א"ה וג"ז והיה יחס א"ב אל ג"ד כיחס

א"ה אל ג"ז

Supposition: \scriptstyle HB:ZD=AB:GD הנה אומר כי יחס ה"ב הנשאר אל ז"ד הנשאר כיחס א"ב אל ג"ד
Proof: \scriptstyle AB:GD=AH:GZ המופת כי יחס א"ב אל ג"ד כיחס א"ה אל ג"ז
AB is the same part or parts of GD as AH is of GZ.
 אם כן החלק או החלקים אשר הם א"ב מן ג"ד הוא החלק או החלקים אשר הם א"ה מן ג"ז
The remainder HB is the same part or parts of ZD that AB is of GD.
 וישאר ה"ב מן ז"ד הוא החלק או החלקים אשר הם א"ב מן ג"ד
\scriptstyle HB:ZD=AB:GD אם כן יחס ה"ב אל ז"ד כיחס א"ב אל ג"ד
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 12
12) When there are proportional numbers, as many as there are, then the ratio of one of the antecedents to its corresponding of the consequents is as the ratio of [the sum of] the antecedents to [the sum of] the consequents. י"ב כאשר היו מספרים מתיחסים כמה שיהיו הנה יחס אחד מן הקודמים אל קרובו מן הנמשכים כיחס הקודמים אל הנמשכים
Example: A, B, G, D are proportional numbers: \scriptstyle A:B=G:D. המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
Supposition: \scriptstyle A:B=\left(A+G\right):\left(B+D\right) הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס א"ג יחד אל ב"ד יחד
Proof: \scriptstyle A:B=G:D המופת כי יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
A is the same part or parts of B as G is of D.
 אם כן החלק או החלקים אשר הוא א' מן ב' הוא החלק או החלקים אשר ג' מן ד'
\scriptstyle A+G is the same part or parts of \scriptstyle B+D that A is of B.
 וכאשר קובץ א"ג וקובץ ב"ד היה החלק או החלקים אשר הוא א"ג מן ב"ד יחד הוא החלק או החלקים אשר הוא א' מן ב' יחד
\scriptstyle A:B=\left(A+G\right):\left(B+D\right) אם כן יחס א' אל ב' כיחס א"ג יחד אל ב"ד יחד
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 13
13) For every four proportional numbers, when they are inverted they are proportional. י"ג כל ארבעה מספרים מתיחסים הנה הם כאשר הומרו יהיו מתיחסים
Example: A, B, G, D are proportional numbers: \scriptstyle A:B=G:D המשל בו כי ארבעה מספרי א"בג"ד מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
Supposition: \scriptstyle A:G=B:D הנה אומר שהם כאשר הומרו היה יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד'
Proof:
  • \scriptstyle A:B=G:D
 המופת כי יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
A is the same part or parts of B as G is of D.
 אם כן החלק או החלקים אשר הוא א' מן ב' הוא החלק או החלקים אשר הוא ג' מן ד'
When we invert, A is the same part or parts of G as B is of D.
 וכאשר המירונו היה החלק או החלקים אשר הוא א' מן ג' הוא החלק או החלקים אשר הוא ב' מן ד'
\scriptstyle A:G=B:D
 אם כן יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד'
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 14
14) When there are numbers, as many as there are, and other numbers of the same multitude, such that every two numbers of the first are in the same ratio to two numbers of the others, then they are proportional in the ratio of equality. י"ד כאשר היו מספרים כמה שיהיו ומספרים אחרים על מספרם כל שני מספרים מן הראשון על יחס שני מספרים מן האחר הנה הם ביחס השווי מתיחסים
Example: A, B, G, and D, H, Z are of the same multitude; every two of the first are in the same ratio to two of the others: המשל כי מספרי א'ב'ג' ומספרי ד'ה'ז' על מנין אחד וכל שני מספרים מן הראשון על יחס שני מספרים מן האחר
  • \scriptstyle A:B=D:H
 יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
  • \scriptstyle B:G=H:Z
 ויחס ב' אל ג' כיחס ה' אל ז'
Supposition: \scriptstyle A:G=D:Z הנה אומר שהם ביחס השווי יהיה יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ז'
Proof:
  • \scriptstyle A:B=D:H
 המופת כי יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
When we invert: \scriptstyle A:D=B:H
 וכאשר המירונו היה יחס א' אל ד' כיחס ב' אל ה'
\scriptstyle A:D=B:H
 וכבר התבאר כי יחס א' אל ד' כיחס ב' אל ה'
\scriptstyle A:G=G:Z
 אם כן יחס א' אל ג' כיחס ג' אל ז'
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 15
15) When the unit measures any number by the measure that [another] number measures another number, then when we invert, the unit measures the measuring number by the measure that the measured number measures the number that is measured by the other. ט"ו כאשר היה האחד ימנה מספר מה בשעור מה שימנה מספר למספר אחר הנה אנחנו כאשר המירונו היה האחד ימנה המספר המונה בשעור מה שימנה המספר המנוי המספר אשר ימנהו האחר
Example: the unit measures AB by the measure that G measures HZ. המשל בו כי האחד ימנה מספר א"ב בשעור מה שימנה מספר ג' מספר ה"ז
Supposition: when we invert, the unit measures G by the measure that AB measures HZ. הנה אומר כי אנחנו כאשר המירונו האחד ימנה מספר ג' בשעור מה שימנה א"ב מספר ה"ז
Proof: there are as many units in AB as the number of times that G is in HZ. המופת כי מה שבא"ב מן האחד כמו מה שבה"ז מדמיוני ג'
We divide AB into the units: \scriptstyle AB=AC+CT+TB ונחלק א"ב באחדים ויצא א"ח ח"ט ט"ב
And HZ into the G: \scriptstyle HZ=HK+KL+LZ וה"ז על ג' ויצא ה"כ כ"ל ל"ז
The multitude of the units AC, CT, TB equals the multitude of HK, KL, LZ. הנה סכום אחדי א"ח ח"ט ט"ב שוים לסכום ה"כ כ"ל ל"ז
The measure of the unit AC to HK is as the measure of the unit CT to KL, and as the measure of the unit TB to LZ.
 אם כן שעור האחד והוא א"ח ממספר ה"כ כשעור האחד והוא ח"ט ממספר כ"ל וכשעור האחד והוא ט"ב ממספר ל"ז
The measure of one of the antecedents is to its corresponding of the consequents as the measure of all the antecedents to all the consequents. ושעור אחד מן הקודמים מקרובו מהנמשכים כשעור כל הקודמים מכל הנמשכים
The measure of the unit AC to HK is as the measure of AB to HZ.
 אם כן שעור האחד והוא א"ח ממספר ה"כ כשעור א"ב מן ה"ז
AC is the same part of HK as AB is of HZ.
 אם כן חלק א"ח מן ה"כ הוא חלק א"ב מן ה"ז
  • \scriptstyle AC=1
 וא"ח שוה לאחד
  • \scriptstyle HK=G
 ומספר ה"כ שוה למספר ג'
The unit measures G by the measure that AB measures HZ. אם כן שעור מה שימנה האחד ג' כשעור מה שימנה א"ב ה"ז
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 16
16) For every two numbers multiplied by one another, their products are equal. י"ו כל שני מספרים יוכה כל אחד משניהם באחר הנה שני שטחיהם שוים
Example:
  • \scriptstyle A\times B=G
 המשל בו כי מספר א' הוכה בו מספר ב' והיה ג'
  • \scriptstyle B\times A=D
 ומספר ב' הוכה בו מספר א' והיה ד'
Supposition: \scriptstyle G=D הנה אומר כי ג"ד שוים
Proof:
  • \scriptstyle A\times B=G
 המופת כי א' הוכה בו מספר ב' והיה ג'
B measures G by the units of A.
 אם כן ב' ימנה ג' בשעור אחדי א'
  • The unit measures A by its units.
 והאחד ימנה א' בשעור אחדיו
The unit measures A as the measure that B measures G.
 ואם כן שעור מה שימנה האחד א' כשעור מה שימנה ב' ג'
When we invert, the unit measures B as the measure that A measures G.
 וכאשר המירונו הנה מה שימנה האחד ב' בשעור מה שימנה א' ג'
The measure of the unit to B is as the measure of A to G.
 אם כן שעור האחד מן ב' כשיעור א' מן ג'
The measure of the unit to B is as the measure of A to D.
 ויהיה שעור האחד מן ב' כשעור א' מן ד'
  • \scriptstyle B\times A=D
 מפני כי ב' הוכה בו א' והיה המקובץ ד'
\scriptstyle A:G=A:D
 אם כן יחס א' אל ג' וד' אחד
\scriptstyle G=D אם כן ג"ד שוים
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 17
17) For every number multiplied by two numbers, the measure of one of the two products to the other is the same measure that one of the two [multiplied] numbers is to the other.
י"ז כל מספר יוכו בו שני מספרים הנה שעור אחד משני השטחים אצל האחר בשעור אחד משני המספרים אצל האחר
Example: \scriptstyle A\times B=D; \scriptstyle A\times G=H המשל בו כי מספר א' הוכו בו שני מספרי ב"ג והתקבץ משניהם שני שטחי ד"ה
Supposition: the measure of B to G is as the measure of D to H. הנה אומר כי שעור ב' מן ג' כשעור ד' מן ה'
המופת כי א' הוכה בו ב' והתקבץ בו ד' אם כן ב' ימנה ד' בשעור אחדי א' והאחד ימנה א' בשעור אחדיו
אם כן שעור מה שימנה האחד א' כשעור מה שימנה ב"ד
וגם כן הנה א' הוכה בו ג' והתקבץ ה'
אם כן ג' ימנה ה' בשעור אחדי א' והאחד ימנה א' בשעור אחדיו
אם כן שעור מה שימנה האחד א' כשעור מה שימנה ג"ה
אם כן שעור האחד מן א' כשעור ג' מן ה' וכן שעור האחד מן א' כשעור ב' מן ד'
אם כן שעור ב' מן ד' כשעור ג' מן ה'
וכאשר המירונו היה שעור ב' מן ג' כשעור ד' מן ה'
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 18
י"ח כל מספר יוכה בשני מספרים הנה יחס אחד משני השטחים אל האחר כיחס אחד משני המספרים אל האחר
Example: \scriptstyle\left(A+B\right)\times G=D+H המשל בו כי שני מספרי א"ב הוכה בשניהם מספר ג' והיו שני השטחים שני מספרי ד"ה
Supposition: \scriptstyle A:B=D:H הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
Proof:
  • \scriptstyle A\times G=D
 המופת כי א' הוכה בו ג' והיה המקובץ ד'
\scriptstyle G\times A=D
 אם כן ג' הוכה בו א' והיה המקובץ ד'
  • \scriptstyle B\times G=H
 וגם כן הנה ב' הוכה בו ג' והיה המקובץ ה'
\scriptstyle G\times B=H
 אם כן ג' הוכה בו ב' והיה המקובץ ה'
\scriptstyle G\times\left(A+B\right)=D+H
 אם כן מספר ג' הוכו בו שני מספרי א"ב והיו מזה שני שטחי ד"ה
\scriptstyle A:B=D:H
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 19
י"ט כל מספרים מתיחסים הנה שטח הראשון ברביעי כמו שטח השני בשלישי ואם היה שטח הראשון ברביעי כמו השטח השני בשלישי הנה המספרים הארבעה מתיחסים
Example: \scriptstyle A:B=G:D המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד הארבעה מתיחסים יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
  • \scriptstyle A\times D=Z
 ושטח א' הראשון בד' הרביעי מספר ז'
  • \scriptstyle B\times G=H
 ושטח ב' השני בג' השלישי מספר ה'
Supposition: \scriptstyle H=Z הנה אומר כי ה"ז שוים
Proof:
  • \scriptstyle A\times G=C
 מופת אנחנו נכה א' בג' ויהיה ח'
\scriptstyle A\times\left(G+D\right)=C+Z
 הנה א' בשני מספרי ג"ד והתקבץ מזה שני שטחי ח"ז
אם כן שעור ג' מן ד' כשעור ח' מן ז'
ושעור ג' מן ד' כשעור א' מן ב'
אם כן שעור מן ב' כשעור ח' מן ז'
  • \scriptstyle A\times G=C
 וגם כן הנה א' הוכה בג' והיה ח'
  • \scriptstyle B\times G=H
 אבל ב' הוכה בג' והיה ה'
אם כן שעור א' מן ב' כשעור ח' מן ה'
וכבר התבאר כי שעור א' מן ב' כשעור ח' מן ז'
אם כן יחס ח' אל ה"ז אחד
אם כן ה' כמו ז'
עוד תהיה ה' כמו ז'
Supposition:
  • \scriptstyle A:B=G:D
 הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
מופת כי ההנהגה אחת הנה א' הוכה בג' והיה ח' והוכה בד' והיה ז'
אם כן שעור ג' מן ד' כשעור ח' מן ה"ז וז' כמו ה'
אם כן שעור ג' מן ד' כשעור ה' מן ה'
וגם כן הנה א' הוכה בג' והיה ח' וב' הוכה בג' והיה ה'
אם כן שעור א' מן ב' כשעור ח' מן ה'
וכבר התבאר כי שעור ח' מן ה' כשעור ג' מן ד'
\scriptstyle A:B=G:D
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
Q.E.D. וזה מ'ש'ל'

Proposition 20
כ המעט שבמספרים על יחס הנה הם ימנו המספרים אשר על יחסם המעט למעט והרב לרב
המשל בו כי המעט שבמספרים על יחס א' אל ג' והוא ה"ז אל ח"ט
הנה אומר כי ה"ז ימנה א' בשעור מה שימנה ח"ט ג'
וזה כי אנחנו כבר בארנו כי חלק כל אחד מחברו או חלקיו כחלק אחד מן האחר או חלקיו
שאם לא יהיה ה"ז חלק מן א' הנה הוא חלקים ממנו
כי הוא פחות ממנו ויהיה ח"ט חלקים מן ג' כחלקי ה"ז מן א' ונחלק ה"ז בחלקי א' ויצא ה"כ כ"ז ונחלק ח"ט בחלקי ג' ויצא ח"ל ל"ט
אם כן סכום ה"כ כ"ז כמו סכום ח"ל ל"ט וה"כ כמו כ"ז וח"ל כמו ל"ט
אם כן שעור ה"כ מן ח"ל כשעור ה"ז מן ח"ט
אם כן ה"כ וח"ל על יחס ה"ז וח"ט
וה"כ ח"ל פחות מן ה"ז וח"ט זה שקר מפני כי ה"ז וח"ט היו הקטן שבמספרים על יחסם
אם כן אין ה"ז חלקים מן א' אבל הוא חלק אחד
אם כן ח"ט מן ג' הוא חלק כמו חלק ה"ז מן א'
אם כן ה"ז ימנה א' בשעור מה שימנה ח"ט ג'
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 21
כ"א שני מספרים הקטנים על יחס הנה הם נבדלים
המשל בו כי שני מספרי א"ב הקטנים שני מספרים על יחס שניהם
הנה אומר כי שניהם נבדלים
המופת אם יהיו משותפים הנה ימנה שניהם מספר ג'
ונאמר שהוא אחדי ד' שיעור מה שימנה ג"א ואחדי ה' שיעור מה שימנה ג"ב
אם כן ג' ימנה א' בשיעור אחדי ד' והנה ג' הוכה בד' והיה א'
וגם כן הנה ג' ימנה ב' בשעור אחדי ה'
והנה ג' הוכה בה' והיה ב'
אם כן ג' הוכה בשני מספרי ד"ה והיה מזה א"ב
אם כן יחס ד' אל ה' כיחס א' אל ב' וד' וה' קטן מא' וב' זה שקר כי א"ב היו שני המספרים הקטנים על יחס שניהם אם כן לא ימנה א"ב מספר אחד
אם כן שניהם נבדלים
Q.E.D. מ'ש'ל'

Proposition 22
כ"ב כל שני מספרים נבדלים הנה שניהם שני המספרים הקטנים על יחסם המשל בו שני מספרים א"ב נבדלים
הנה אומר שהם הקטנים שבמספרים על יחסם
המופת שאם לא יהיו כן נאמר שיהיו שני מספרים קטנים משניהם ושני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם הם ג"ד
אם כן שעור מה שימנה ג"א כשעור מה שימנה ד"ב ויהיו אחדי מספר אחד והוא ה' בשעור מה שימנה ג"א
אם כן ד' ימנה ב' בשעור אחדי ה' וה' ימנה א' בשעור אחדי ג' וה' ימנה ב' בשיעור אחדי ד'
אם כן ה' ימנה א"ב ושניהם נבדלים זה שקר
אם כן א"ב השני מספרים היותר קטנים על יחסם
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 23
כ"ג כל מספר ימנה אחד משני מספרים נבדלים הנה הוא הנבדל מן המספר האחר
המשל בו כי שני מספרי א"ב נבדלים ומספר ג' ימנה א'
הנה אומר שהוא נבדל מב'
המופת אם היו ב' וג' משותפים הנה ימנה שניהם מספר ד'
אם כן ד' ימנה ג' וג' ימנה א'
אם כן ד' ימנה א'. והוא ימנה ב' ושניהם נבדלים זאת שקר
אם כן לא ימנה ב' ג' מספר אחד אם כן שניהם נבדלים
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 24
כ"ד כל שני מספרים יובדלו ממספר אחר הנה שטח אחד משניהם באחר יובדל מן המספר ההוא
המשל בו כי שני מספרי א"ב יובדלו ממספר ג' ושטח א' בב' מספר ד'
הנה אומר כי ג"ד נבדלים
המופת כי שניהם אם היו משותפים הנה ימנה שניהם מספר אחד והוא ה' ונאמר שיהיה אחדי ז' בשעור מה שימנה ה' ד' וה' יוכה בז' ויהיה ד' וא' יוכה בב' ויהיה ד'
אם כן שטח ה' בז' כמו שטח א' בב'
אם כן היחס אחד יחס ה' אל א' כיחס ב' אל ז' וא"ג נבדלים וה' ימנה אחד משניהם והוא ג' אם א"ה נבדלים
אם כן שניהם שני מספרים היותר קטנים על יחסם וימנו כל שני מספרים על יחסם בשוה היותר קטן ליותר קטן והרב לרב
אם כן ה' ימנה ב' והוא ימנה ג' וב"ג נבדלים זה שקר
אם כן לא ימנה ג"ד מספר אם כן שניהם נבדלים
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 25
כ"ה כל שני מספרים נבדלים הנה מרובע הנה מרובע אחד משניהם נבדל מן האחר
המשל בו כי שני מספרי א"ב נבדלים ומרובע א' מספר ג'
הנה אומר כי ג"ב נבדלים
המופת אנחנו נשים ד' כמו א' הנה א"ב נבדלים וא' כמו ד'
אם כן ד"ב נבדלים אם כן א"ד יובדלו מן ב'
אם כן שטח א' בד' יובדל מן ב' ושטח א' בד' הוא ג' אם כן ג"ב נבדלים
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 26
כ"ו כאשר יהיה כל אחד משני מספרים יובדלו משנים אחרים הנה שטח הראשונים אחד משניהם באחר יובדל גם כן משטח השנים האחרים
המשל בו כי כל אחד משני מספרי א"ב יובדל מכל אחד משני מספרי ג"ד ושטח א' בב' מספר ה' ושטח ג' בד' מספר ז'
הנה אומר כי ה"ז נבדלים
המופת כי א"ב יובדלו מן ג'
אם כן שטח א' בב' והוא ה' יובדל מן ג'
אם כן ה"ג נבדלים וכן יהיו ה"ד נבדלים מן ה'
אם כן ג' בד' הוא ז' יובדל מן ה' אם כן ה"ז נבדלים
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 27
כ"ז כל שני מספרים נבדלים יוכה כל אחד משניהם בדומה לו הנה שני מרובעיהם נבדלים וכן אם הוכו שני המרובעים בגדריהם והם השני מספרים הראשונים כל מרובע בגדרו הנה השני מעוקבים גם כן נבדלים וכן לא יסורו בקצוות והמספרים האחרונים כי כל מרובע בגדרו הנה השני מעוקבים נבדלים גם כן וכן לא יסורו
המשל בו כי שני מספרי א"ב נבדלים והוכה א' בדומה לו והיה מרובע ג' והוכה ב' בדומה לו והיה מרובע ד'
וגם כן הנה א' הוכה בג' והיה מעוקב ה' וב' הוכה בד' והיה מעוקב ז'
הנה אומר כי שני מרובעי ג"ד נבדלים ושני מעוקבי ה"ז נבדלים גם כן
המופת כי א"ב נבדלים הנה מרובע אחד משניהם נבדל מן האחר ומרובע א' הוא ג' אם כן ג"ב נבדלים
וגם כן הנה ג"ב נבדלים אם כן מרובע אחד משניהם נבדל מן האחר
ומרובע ב' הוא ד' אם כן ג"ד נבדלים
וגם כן הנה א"ב נבדלים ומרובע ב' הוא ד'
אם כן א"ד נבדלים וג"ד נבדלים
אם כן א"ג נבדלים מן ד' ונבדלים מן ב'
אם כן שטח א' בג' והוא מעוקב ה' נבדל משטח ב' בד' והוא ז'
אם כן שני מעוקבי ה"ז נבדלים
וכבר בארנו כי שני מרובעי ג"ד נבדלים וכן לא יסורו בקצוות והמספרים האחרונים אשר יתקבץ מן ההכאה
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 28
כ"ח כל שני מספרים נבדלים הנה מקובץ שניהם נבדל מכל אחד משניהם ואם היה מקובץ שניהם נבדל מכל אחד משניהם הנה שניהם נבדלים
המשל בו כי שני מספרי א"ב ב"ג נבדלים
הנה אומר כי כל א"ג נבדל מכל אחד מן א"ב ב"ג
המופת כי אם לא יהיה א"ג נבדל מן ב"ג הנה ימנה שניהם מספר אחד והוא ד'
אם כן ד' ימנה א"ג וימנה ב"ג הנה הוא אם כן ימנה א"ב
אם כן ד' ימנה א"ב ב"ג והם נבדלים זה שקר
אם כן לא ימנה א"ג ב"ג מספר אחד אם כן שניהם נבדלים
וכן התבאר כי א"ג א"ב נבדלים אם כן א"ג נבדל מכל אחד מן א"ב ב"ג ויהיה גם כן א"ג נבדל מכל אחד מן א"ב ב"ג
הנה אומר כי א"ב ב"ג נבדלים
המופת כי שניהם אם לא יהיו כן הנה ימנה שניהם מספר ד'
אם כן ד' ימנה א"ב וימנה ב"ג אם כן הוא ימנה כל א"ג
אם כן ד' ימנה א"ג ב"ג ושניהם נבדלים זה שקר
אם כן לא ימנה א"ב ב"ג מספר אחר אם כן שניהם נבדלים
וכן יתבאר אם היה א"ג נבדל מן א"ב שזה שקר
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 29
כ"ט כל מספר מורכב הנה ימנה אותו מספר ראשון
המשל בו כי מספר א' מורכב
הנה אומר כי הוא ימנהו מספר ראשון
המופת כי א' מורכב אם כן ימנהו מספר אחר והוא ב' הנה אם היה ב' ראשון הנה התאמת הספור
ואם היה מורכב הנה ימנהו מספר אחר והוא ג' וכן לא יסור יעשה עד שיכלה אל מספר ראשון ימנה אשר לפניו וימנה א'
ואם לא יכלה אל מספר ראשון ימנה אשר לפניו וימנה א' הנה הוא ימנהו מספרים מורכבים בלי תכלית כל אחד מהם קטן מן האחר זה שקר אי אפשר במספר אבל בלא ספק שיכלה אל מספר ראשון ימנה מה שילוה אליו לפניו וימנה א'
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 30
ל כל מספר הנה הוא ראשון או ימנהו מספר ראשון
נאמר שהוא מספר מה והוא א'
הנה אומר כי א' ימנהו מספר ראשון
המופת כי א' אם היה ראשון הנה כבר התאמת הספור
ואם היה מורכב הנה ימנהו מספר ראשון וכן כל מספר
Q.E.D. וזה מ'ש'ל'

Proposition 31
ל"א כל מספר ראשון הנה הוא נבדל לכל מספר לא ימנהו הוא
המשל בו כי מספר א' ראשון ומספר ב' לא ימנהו א'
הנה אומר כי א"ב נבדלים
המופת כי אם היו משותפים הנה ימנה אותם מספר אחד אם כן זה המספר ימנה אם כן מספר א' והוא ראשון זה שקר
אם כן לא ימנה א"ב מספר אחר אם כן שניהם נבדלים
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 32
ל"ב כל מספר ראשון ימנה איזה משוטח שיהיה הנה הוא גם כן ימנה אחד משתי צלעות השטח
המשל בו כי מספר א' ראשון והוא ימנה מספר ב' והוא משוטח ושתי צלעותיו ג"ד
הנה אומר כי א' ימנה אחד משני מספרי ג"ד
המופת אם היה א' לא ימנה ג' וא' ראשון הנה א"ג נבדלים
ונאמר שיהיה אחדי מספר אחר הוא ה' בשעור מה שימנה א"ב
אם כן א' ויכה בה' ויהיה ב'
אבל ג' הוכה בד' והוא ב' אם כן שטח א' בה' כמו שטח ג' בד'
אם כן יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ה' וא"ג נבדלים
אם כן שניהם שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים בשוה הקטן לקטן והרב לרב
אם כן א' ימנה ד'
וכן יתבאר אם היה א' לא ימנה ד' שהוא ימנה ג'
אם כן א' ימנה אחד משני מספרי ג"ד
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 33
ל"ג נרצה לבאר איך נמצא הקטן שבמספרים על יחס מספרים ידועים כמה שיהיו
הנה נשים המספרים הידועים מספרי א'ב'ג'
ונרצה לבאר איך נמצא הקטן שבמספרים על יחס א'ב'ג' הנה אם יהיו מספרי א'ב'ג' נבדלים הנה הם המעט שבמספרים על יחסם
ואם היו משותפים יקח גדול מספר שימנם יחד
ונאמר שיהיה המספר ההוא ד' ויהיה באחד בעינו ממספרי ה'ז'ח' מן האחדים בשעור מה שימנה ד' אחד בעינו ממספרי א'ב'ג' הנה כל אחד ממספרי א'ב'ג' ימנהו אחד ממספרי ה'ז'ח' אשר אחדיו בשעור מה שימנהו ד' בשעור אחדי ד' הנה מספר ה'ז'ח' על יחס א'ב'ג'
אם כן יחס מ' אל ד' כיחס ה' אל ט' וה' גדול מן ט' אם כן מ' גדול מן ד'
ואומר שהם המעט שבמספרים על יחסם
ואם לא יהיו כן יהיו מספרים אחרים יותר קטנים מן ה'ז'ח' קטני המספרים על יחס א'ב'ג' והם מספרי ט'כ'ל'
אם כן ט' ימנה א' בשעור מה שימנה כ"ב ובשעור מה שימנה ל"ג
ויהיו אחדי מספר אחד והוא מספר מ' בשעור מה שימנה ט"א הנה כל אחד מספרי כ"ל ימנה בן גילו משני מספרי ב"ג בשעור אחדי מ' וט' ימנה א' בשעור אחדי מ'
אם כן מ' ימנה א' בשעור אחדי ט'
וכן מ' ימנה ב' בשעור אחדי כ' וימנה ג' בשעור אחדי ל'
אם כן מ' ימנה א'ב'ג' ומ' ימנה א' בשעור אחדי ט' הנה מ'
אם כן כאשר הוכה בט' היה א'
וד' כאשר הוכה בה' היה א'
אם כן שטח מ' בט' כמו שטח ד' בה'
אם כן אין מספרים קטנים מן ה'ז'ח' על יחס א'ב'ג'
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 34
ל"ד נרצה לבאר איך נמצא המספר היותר קטן שימנו אותו שני מספרים ידועים בלתי שוים
הנה יהיו שני המספרים הידועים מספרי א"ב
הנה אם היה הקטן ימנה הגדול משניהם והגדול משניהם ימנה עצמו הנה הגדול הוא קטן המספר שימנוהו
ואם לא יהיה הקטן ימנה הגדול הנה א"ב נבדלים או משותפים ואם היו נבדלים יוכה א' בב' ויהיה ג'
הנה אומר כי ג' המספר הקטן שימנוהו מספרי א"ב
ואם לא יהיה כן הנה ימנו מספר קטן ממנו והוא ד' ויהיו אחדי ה' כשעור מה שימנה א"ד
ואחדי ז' בשעור מה שימנה ב"ד אם כן א' יוכה בה' ויהיה ד' וב' יוכה בז' ויהיה ד' אם כן שטח א' בה' כמו שטח ב' בז'
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ה'
וא"ב נבדלים אם כן שניהם קטני מספרים על יחסם וימנו כל שני מספרים על יחסם בשוה הקטן לקטן והרב לרב אם כן א' ימנה ז' וב' הוכה בא' ובז' והיו ג"ד
אם כן יחס א' אל ז' כיחס ג' אל ד'
אבל א' ימנה ז'
אם כן ג' ימנה ד' וג' גדול מן ד' הנה הגדול אם כן ימנה הקטן זה שקר
אם כן לא ימנה שני מספרי א"ב מספר הוא קטן מן ג' אם כן ג' היותר קטן שבמספרים שימנהו א"ב
ואם היו א"ב משותפים יהיו ז"ה קטני המספרים על יחסם
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ה' ויוכה א' בה' ויהיה ג' הנה ב' כאשר הוכה בז' היה ג' אם כן א"ב ימנו ג'
הנה אומר כי ג' קטן מספר ימנוהו א"ב
ואם לא יהיו כן הנה ימנו מספר קטן מן ג' ויהיה מספר ד' ויהיו אחדי ח' כשעור מה שימנה א"ד ואחדי ט' בשעור מה שימנה ב"ד
אם כן א' יוכה בח' ויהיה ד' וב' יוכה בט' ויהיה ד'
אם כן שטח א' בח' כמו שטח ב' בט'
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ט' אל ח' ויחס א' אל ב' כיחס ז' אל ה'
אם כן יחס ז' אל ה' כיחס ט' אל ח' וז"ה שני מספרים קטנים על יחסם
אם כן שניהם ימנו כל מספר על יחסם בשוה הקטן לקטן והרב לרב
אם כן ז' ימנה ט' וב' הוכה בז' ובט' והיה ג"ד
אם כן יחס ז' אל ט' כיחס ג' אל ד'
אבל ז' ימנה ט'
אם כן ג' ימנה ד' הגדול ימנה הקטן זה שקר
אם כן לא ימנה א"ב מספר יותר קטן מן ג'
אם כן ג' מספר קטן שימנוהו א"ב
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 35
ל"ה כאשר היו שני מספרים ימנו מספר הנה קטן מספר שימנהו הוא גם כן ימנה המספר ההוא
ויהיה שני מספרי א"ב ימנו ה"ז ויהיה קטן מספר שימנוהו א"ב מספר ח'
הנה אומר כי ח' ימנה ה"ז
המופת אם לא יהיה שימנהו הנה הוא אם כן מנה ז"ב נשאר כ"ה קטן מן ח' וא"ב ימנו ח' וח' ימנה ז"ב
אם כן א"ב ימנו ז"ב וימנו כל ז"ה
הנה שניהם אם כן ימנו ב"ה וה"ב קטן מן ח' זה שקר מפני כי ח' היה קטן מספר ימנהו א"ב
אם כן ח' ימנה ה"ז
Q.E.D. ומ'ש'ל'

Proposition 36
ל"ו נרצה לבאר היאך נמצא קטן מספר שימנוהו שלשה מספרים ידועים
ויהיו השלשה מספרים א'ב'ג'
ונרצה שנמצא קטן מספר ימנוהו מספרי א'ב'ג'
הנה נקח קטן מספר שימנוהו שני מספרים מהם והם א"ב ויהיה מספר ד' הנה ג' אם שימנה ד' ואם שלא ימנהו
ואם היה ג' ימנה ד' וא"ב ימנוהו הנה ד' מספר שימנוהו מספרי א'ב'ג'
ואם לא יהיה כן הנה הם ימנו מספר קטן ממנו ויהיה מספר ה'
אם כן ימנוהו א"ב וימנוהו קטן מספר שימנוהו מספרי א"ב והוא מספר ד'
אם כן הגדול ימנה הקטן זה שקר
אם כן אין מספר קטן מן ד' ימנוהו א'ב'ג'
ואם היה ג' קטן מספר ימנוהו ג"ד ויהיה מספר ה'
אם כן ד' ימנה ה' וא"ב ימנו ד'
אם כן שניהם ימנו ה' וג' ימנה ה'
אם כן ה' ימנוהו מספרי א'ב'ג' השלשה
הנה אומר שהוא קטן מספר ימנוהו א'ב'ג'
ואם לא יהיה כן נאמר שיהיה מספר קטן מן ה' ימנוהו א'ב'ג' ויהיה מספר ז'
אם כן ז' ימנוהו מספרי א"ב וימנהו קטן מספר שימנוהו והוא ד'
אם כן ד' ימנה ז' וג' ימנה ז'
אם כן ז' ימנוהו שני מספרי ג"ד וימנהו קטן מספר שימנוהו והוא ה'
אם כן ה' ימנה ז' וה' יותר קטן מז' זה שקר
אם כן אין מספר יותר קטן מן ה' ימנוהו מספרי א'ב'ג'
אם כן ה' קטן מספר ימנוהו מספרי א'ב'ג'
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 37
For every number that is counted by another number, the [counted] number has a part named after the number that counts it. ל"ז כל מספר ימנהו מספר אחר הנה במספר חלק קורא למספר אשר ימנהו
ויהיה מספר א' ימנהו מספר ב'
הנה אומר כי בא' חלקים נקראו במספר ב'
\scriptstyle G\mid1=A\mid B ויהיה האחד ימנה ג' בשיעור מה שימנה ב' א'
\scriptstyle B\mid1=A\mid G וכאשר המירונו הנה שיעור מה שימנה האחד ב' כשעור מה שימנה ג' א'
\scriptstyle\frac{B}{1}=\frac{A}{G} אם כן חלק האחד מן ב' הוא חלק ג' מן א'
והאחד מן ב' הוא חלק נקרא אל ב' אם כן ג' הוא חלק מן א' נקרא אל ב' אם כן בא' חלק אל ב'
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 38
Every number that has any part whatever, is counted by a number after which the part is named. ל"ח כל מספר שיש לו אי זה חלק היה הנה הוא ימנהו מספר נקרא לחלק ההוא
נאמר שיהיה במספר א' חלק מה והוא ב'
הנה אומר כי א' ימנהו מספר נקרא לחלק ב' מן א'
ויהיה חלק האחד מן ג' הוא חלק ב' מן א' אם כן ג' נקרא אל חלק ב' וג' נקרא החלק ממנו וחלק האחד מן ג' הוא חלק ב' מן א'
אם כן שעור מה שימנה האחד ג' בשעור מה שימנה ב' א'
וכאשר המירונו הנה שיעור מה שימנה האחד ב' כשיעור מה שימנה ג"א והאחד ימנה ב' כשיעור אחדי ב'
אם כן ג' ימנה א' בשיעור אחדי ב' וג' מספר נקרא לחלק ב' מן א'
Q.E.D. וזהו מה שרצינו לבאר

Proposition 39
We wish to explain how to find the number, which is the least that has given parts. ל"ט נרצה לבאר איך נמצא קטן מספר בו חלקים מונחים
ויהיו החלקים המונחים א'ב'ג' ונרצה למצוא אחד קטן מספר בו חלקי א'ב'ג' הנה נקח מספרים נקראים לחלקי א'ב'ג' והם מספרי ד'ה'ז'
ויהיה קטן מספרים שימנוהו ד'ה'ז' מספר ח' אם כן ח' בו חלקים נקראים אל ד'ה'ז'
והחלקים הנקראים אל ד'ה'ז' הם א'ב'ג' אם כן ח' בו חלקי א'ב'ג'
הנה אומר כי ח' קטן מספר בו אלו החלקים
ואם לא יהיה זה הנה יהיה מספר קטן מן ח' בו חלקי א'ב'ג' ויהיה מספר ט'
אם כן ט' בו חלקי א'ב'ג' הנה ט' אם כן ימנוהו מספרים נקראים לחלקי א'ב'ג' והמספרים הנקראים לחלקים האלו הם מספרי ד'ה'ז'
אם כן ט' ימנוהו מספרי ד'ה'ז' והוא קטן מן ח' זה שקר אי איפשר מפני כי ח' קטן מספר ימנו אלה המספרים הנה ח' אם כן קטן מספר בו חלקי א'ב'ג'
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר
נשלם המאמר השביעי מהחכם אקלידס ת"ל

Book Eight

 המאמר השמיני

Proposition 1
א כאשר היו מספרים נמשכים על יחס אחד כמה שיהיו והיה כל אחד משתי הקצוות ראשון אצל האחר הנה הם קטני המספרים על יחסם
המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד נמשכים על יחס אחד ושתי הקצוות כל אחת משתיהן ראשון אצל האחר ושניהם א"ד
הנה אומר כי א"ב ג"ד הם קטני המספרים על יחסם
המופת כי אם לא יהיה כן הנה יהיו מספרים קטנים מהם ועל מניינם ויחסם והם ה"ז ח"ט
הנה יחס א"ב ג"ד הוא כיחס ה"ז ח"ט מכ"ב מזה
ומנין א'ב'ג'ד' כמניין ה"ז ח"ט
אם כן יחס א' אל ד' כיחס ה' אל ט'
וכל אחד מן א"ד ראשון אצל האחר
אם כן שניהם קטני המספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים שהם על יחס שניהם בשוה הקטן לקטן והרב לרב
אם כן א' ימנה ה' הרב ימנה המעט זה שקר
אם כן אין מספרים נמשכים על יחס אחד הם קטנים מן א"ב ג"ד ומ'ש'ל'

Proposition 2
ב נרצה לבאר איך נמצא קטני המספרים נמשכים על יחס אחד מונח כמה שנרצה הנה נשים היחס המונח בקטן שני מספרים והם יחס א' אל ב' ונרצה למצא קטני מספרים נמשכים על יחס א"ב כמה שנרצה ויהיו המספרים ארבעה
  • \scriptstyle A\times A=G
 ונכה א' בכמוהו ויהיה ג'
  • \scriptstyle A\times B=D
 ונכה בב' ויהיו ד'
  • \scriptstyle B\times B=H
 ונכה ב' בכמוהו ויהיה ה'
  • \scriptstyle A\times G=Z; \scriptstyle A\times D=C; \scriptstyle A\times H=T
 וגם כן הנה אנחנו נכה א' בג' ובד' ובה' ויהיה ז'ח'ט'
  • \scriptstyle B\times H=L
 ונכה ב' בה' ויהיה ל'
הנה אומר כי ז"ח ש"ל קטני ארבעה מספרים נמשכים על יחס א' אל ב'
  • \scriptstyle A\times A=G
 המופת כי א' הוכה בכמוהו והיה ג'
  • \scriptstyle A\times B=D
 והוכה בב' והיה ד'
\scriptstyle A\times\left(A+B\right)=G+D
 הנה א' הוכה בשני מספרים בכמוהו ובב' והיה ג"ד
\scriptstyle A:B=G:D
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
  • \scriptstyle B\times B=H
 וגם כן הנה ב' הוכה בכמוהו והיה ה'
  • \scriptstyle B\times A=D
 והוכה בא' והיה ד'
\scriptstyle A:B=D:H
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ה'
\scriptstyle A:B=G:D
 ויחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
\scriptstyle G:D=D:H
 אם כן יחס ג' אל ד' כיחס ד' אל ה'
אם כן ג'ד'ה' נמשכים על יחס א' אל ב'
  • \scriptstyle A\times G=Z
 וגם כן הנה א' הוכה בג' והיה ז'
  • \scriptstyle A\times D=C
 והוכה בד' והיה ח'
\scriptstyle A\times\left(G+D\right)=Z+C
 הנה א' הוכה בשני מספרי ג"ד והיו מזה ז"ח
\scriptstyle G:D=Z:C
 אם כן יחס ג' אל ד' כיחס ז' אל ח'
\scriptstyle G:D=A:B
 ויחס ג' אל ד' כיחס א' אל ב'
\scriptstyle A:B=Z:C
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ח'
  • \scriptstyle A\times D=C
 וגם כן הנה א' הוכה בד' והיה ח'
  • \scriptstyle A\times H=T
 והוכה בה' והיה ט'
\scriptstyle D:H=C:T
 אם כן יחס ד' אל ה' כיחס ח' אל ט'
\scriptstyle D:H=A:B
 ויחס ד' אל ה' כיחס א' אל ב'
\scriptstyle A:B=C:T
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט'
\scriptstyle A:B=Z:C
 ויחס א' אל ב' כיחס ז' אל ח'
\scriptstyle Z:C=C:T
 אם כן יחס ז' אל ח' כיחס ח' אל ט'
אם כן ז'ח'ט' נמשכים על יחס א' אל ב'
וכבר הוכו א"ב ב"ה והיו מזה ט"ל
\scriptstyle A:B=T:L
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס ט' אל ל'
\scriptstyle A:B=Z:C=C:T=T:L
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ח' וח' אל ט' וט' אל ל'
אם כן ז"ח ט"ל נמשכים על יחס אחד והוא יחס א' אל ב' והם ארבעה מספרים ונשלם באורו
והתבאר שהם מעטי המספרים על יחסם כי כל אחד מן א"ב ראשון אצל האחר
  • \scriptstyle A\times A=G
 וכבר הוכה א' בכמוהו והיה ג'
  • \scriptstyle A\times G=Z
 והוכה בג' והיה ז'
  • \scriptstyle B\times B=H
 וכבר הוכה ב' בכמוהו והיה ה'
  • \scriptstyle B\times H=L
 והוכה בה' והיה ל'
אם כן כל אחד מן ג"ה ראשון אצל האחר
וכל אחד מן ז"ל ראשון אצל האחר
ואם כן היו מספרים נמשכים על יחס אחד כמה שיהיו המספרים והיתה כל אחת משתי הקצוות ראשון אצל האחר אם כן הם קטני המספרים על יחסם
אם כן מספרי ז"ח ט"ל קטני המספרים
ומ'ש'ל'
ובכאן התבאר כי הם כאשר היו שלשה מספרים קטנים מה שיהיו על יחס אחד הנה שתי הקצוות שני מרובעים א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
וכאשר נמשכו ארבעה מספרים קטנים מה שיהיו על יחס אחד הנה השתי קצוות מעוקבים

Proposition 3
ג כאשר היו קטני מספרים נמשכים על יחס אחד כמה שיהיו הנה כל אחד משתי הקצוות ראשון אצל האחר
המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד הם קטני מספרים נמשכים על יחסם הנה אומר כי כל אחד משתי הקצוות ראשון אצל האחר
המופת אנחנו נקח קטן שני מספרים על יחס א"ב ג"ד והם ה"ז
ונקח שלשה מספרים הם קטני מספרים נמשכים על יחס והם ח'ט'כ'
וכן לא יסור נקח מן המספרים הנמשכים על יחס א"בג"ד עד שיהיה על מניין א"בג"ד
ויהיה ל'מ'נ'ס' נמשכים והם על יחס א'ב'ג'ד'
וא"בג"ד הם קטני המספרים על יחסם
ומנין ל'מ'נ'ס' כמנין א'ב'ג'ד'
אם כן כל אחד מן ל'מ'נ'ס' שוה לבן גילו מן א"בג"ד
אם כן שניהם ל' כמו א' וס' כמו ד'
וה"ז שני מספרים היותר קטנים על יחסם אם כן שניהם נבדלים
  • \scriptstyle H\times H=C
 וכבר הוכה ה' בכמוהו והיה ח'
  • \scriptstyle H\times C=L
 והוכה ה' בח' והיה ל'
  • \scriptstyle Z\times Z=K
 והוכה ז' בכמוהו והיה כ'
אם כן ח"כ נבדלים וכן ל"ס נבדלים ול' כמו א' וס' כמו ד' אם כן א"ד נבדלים
וזה מ'ש'ל'

Proposition 4
ד נרצה לבאר איך נמצא

קטני מספרים נמשכים על יחסם כמו יחסים מונחים

ויהיו היחסי' המונחים הם יחס א' אל וג' אל ד' וה' אל ז' ויהיו א"ב קטני שני מספרים על יחס שניהם וכן ג"ד וה"ז
ונרצה למצא קטני מספרים נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
הנה נקח קטן מספר ימנוהו ב"ג והוא ט'
ונשים א' ימנה ח' בשעור מה שימנה ב"ט
וד' ימנה כ' בשעור מה שימנה ג"ט
ונקח קטן מספר ימנוהו ה"ב והוא ל'
ויהיה ז' ימנה מ' בשעור מה שימנה ה"ל
וח"ט ימנו נ' וס' בשעור מה שימנה כ"ל
והנה א' ימנה ח' בשעור מה שימנה כ"ל
והנה א' ימנה ח' בשעור מה שימנה ב"ט
  • \scriptstyle A:B=C:T
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט'
וח' ימנה נ' בשעור מה שימנה ט"ס
  • \scriptstyle C:T=N:S
 אם כן יחס ח' אל ט' כיחס נ' אל ס'
  • \scriptstyle A:B=C:T
 וכבר היה יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט'
  • \scriptstyle A:B=N:S
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס נ' אל ס'
  • \scriptstyle G:D=S:L
 וכן יחס ג' אל ד' כיחס ס' אל ל'
וה' ימנה ל' בשעור מה שימנה ז' מ'
  • \scriptstyle H:Z=L:M
 אם כן יחס ה' אל ז' כיחס ל' אל מ'
אם כן מספר נ"ס ל"מ נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
ואומר שהם קטני מספרים נמשכים על אלו הששה
ואם לא יהיו אלו נאמר שיהיו ע"פ צ"ק קטני המספרים על אלו הששה על היחס הזה הנה אם כן הם יותר קטנים מן נ"ס ל"מ
  • \scriptstyle A:B=E:P
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס ע' אל פ'
וא"ב שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם
אם כן ב' ימנה פ' וכן ג' ימנה פ' וקטן מספר ימנוהו ב' וג' הוא ט'
אם כן ט' ימנה פ'
  • \scriptstyle G:D=P:Z'; \scriptstyle G:D=T:K
 ויחס ג' אל ד' כיחס פ' אל צ' וכיחס ט' אל כ'
  • \scriptstyle T:K=P:Z'
 אם כן יחס ט' אל כ' כיחס פ' אל צ'
וט' ימנה פ' אם כן כ' ימנה צ'
  • \scriptstyle H:Z=Z':Q
 ויחס ה' אל ז' כיחס צ' אל ק'
וה"ז שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם
אם כן ה' ימנה צ'
וכבר היה כ' ימנה צ'
אם כן ה' וכ' ימנו צ'
אם כן קטן מספר שימנוהו ה' וכ' והוא ל' ימנה צ'
אם כן ל' הגדול ימנה צ' הקטן זה שקר
אם כן נ"ס ל"מ מעטי מספר נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ט' ונשלם באורו
ולו פנים אחרים והוא זה אנחנו נקח קטן מספר ימנוהו ב"ג והוא ט'
ונשים א' ימנה ח' בשעור מה שימנה ב"ט
ויהיה ד' ימנה כ' בשעור מה שימנה ג"ט
זה אם שיהיה שימנה כ' אם שיהיה שלא ימנהו
ואם היה שימנה כ' הנה יהיה ז' ימנה ל' בשעור מה שימנה ה' כ'
אם כן א' ימנה ח' בשעור מה שימנה ב"ט
  • \scriptstyle A:B=C:T
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט'
וגם כן הנה ג' ימנה ט' בשעור מה שימנה ד' כ'
  • \scriptstyle G:D=T:K
 אם כן יחס ג' אל ד' כיחס ט' אל כ'
וגם כן הנה ה' ימנה כ' בשעור מה שימנה ז"ל
  • \scriptstyle H:Z=K:L
 אם כן יחס ה' אל ז' כיחס כ' אל ל'
  • \scriptstyle A:B=C:T
 הנה כבר התבאר כי יחס א' אל ב' כיחס ח' אל ט'
  • \scriptstyle G:D=T:K
 ויחס ג' אל ד' כיחס ט' אל כ'
  • \scriptstyle H:Z=K:L
 ויחס ה' אל ז' כיחס כ' אל ל'
אם כן מספרי ח"ט כ"ל נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
הנה אומר כי הם קטני מספרים נמשכים על היחס הזה קטנים מהם והם מספרי מ'נ'ס'ע'
  • \scriptstyle A:B=M:N
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס מ' אל נ'
וא"ב שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם אם כן ב' ימנה נ' וג' ימנה גם כן נ'
וקטן מספר שימנוהו ב' וג' הוא ימנה נ'
וקטן מספר שימנוהו ב' ג' הוא ט'
אם כן ט' הגדול ימנה נ' הקטן זה שקר
אם כן אין מספרים נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז' יותר קטנים ממספרי ח"ט כ"ל
אם כן מספרי ח"ט כ"ל הם קטני המספרים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
ואם היה ה' לא ימנה כ' נקח קטן מספר שימנוהו ה' וכ' והוא ס'
ויהיה ח' ימנה מ' וט' ימנה נ' כשעור מה שימנה כ"ס
ויהיה ז' ימנה ע' בשעור מה שימנה ה"ס
אם כן ח' ימנה מ' בשעור מה שימנה ט"נ
  • \scriptstyle C:T=M:N
 אם כן יחס ח' אל ט' כיחס מ' אל נ'
  • \scriptstyle C:T=A:B
 ויחס ח' אל ט' כיחס א' אל ב'
  • \scriptstyle M:N=A:B
 אם כן יחס מ' אל נ' כיחס א' אל ב'
  • \scriptstyle G:D=N:S
 וכן יחס ג' אל ד' כיחס נ' אל ס'
וגם כן הנה ה' ימנה ס' בשעור מה שימנה ז"ע
  • \scriptstyle H:Z=S:E
 אם כן יחס ה' אל ז' כיחס ס' אל ע'
  • \scriptstyle A:B=M:N
 וכבר התבאר כי יחס א' אל ב' כיחס מ' אל נ'
  • \scriptstyle G:D=N:S
 ושיחס ג' אל ד' כיחס נ' אל ס'
אם כן מספרי מ'נ'ס'ע' נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
ואומר כי הם קטני המספרים על היחס הזה קטנים מהם והם מספרי פ"ק ת"צ
  • \scriptstyle A:B=P:Q
 אם כן יחס א' אל ב' כיחס פ' אל ק'
וא"ב שני מספרים היותר קטנים על יחסם
אם כן ב' ימנה ק'
אם כן ב' וג' ימנו ק'
וקטן מספר שימנוהו גם כן הנה הוא ימנה א' והוא ט'
אם כן ט' ימנה ק'
  • \scriptstyle T:Q=K:T'
 ויחס ט' אל ק' כיחס כ' אל ת' על התמורה
אם כן כ' ימנה ת' וה' ימנה כ'
אם כן ה' וכ' ימנו ת'
וקטן מספר שימנוהו והוא ס' ימנה ת'
אם כן ס' הגדול ימנה ת' הקטן זה שקר
אם כן אין מספרים נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז' קטנים ממספרי מ'נ'ס'ע'
אם כן מספרי מ'נ'ס'ע' הם קטני מספרים נמשכים על יחס א' אל ב' וג' אל ד' וה' אל ז'
ומ'ש'ל'

Proposition 5
ה כל שני מספרים משוטחים הנה יחס אחד משניהם אל האחר מחובר משני יחסי צלעות שניהם
ויהיו מספרי א"ב שני שטחים
הנה אומר כי יחס א' אל ב' מחובר משני יחסי צלעות שניהם
  • \scriptstyle A=G\times D
 ויהיו שתי צלעות א' שני מספרי ג"ד
  • \scriptstyle B=H\times Z
 ושתי צלעות ב' שני מספרי ה"ז
ושני היחסים הם יחס ג' אל ה' וד' אל ז'
ונקח קטני מספרים נמשכים על שני יחסי ג' אל ה' וד' אל ז' והם מספרי ח'ט'כ'
  • \scriptstyle G:H=C:T
 הנה יחס ג' אל ה' כיחס ח' אל ט'
  • \scriptstyle D:Z=T:K
 ויחס ד' אל ז' כיחס ט' אל כ'
\scriptstyle\left(G:H\right)\times\left(D:Z\right)=\left(C:T\right)\times\left(T:K\right)
 הנה יחס ג' אל ה' שנוי ביחס ד' אל ז' הוא כיחס ח' אל ט' שנוי ביחס ט' אל כ'
\scriptstyle\left(C:T\right)\times\left(T:K\right)=C:K
 אבל יחס ח' אל ט' שנוי ביחס ט' אל כ' הוא יחס ח' אל כ'
אם כן יחס ח' אל כ' מחובר משני יחסי הצלעות
  • \scriptstyle C:K=A:B
 הנה אומר כי יחס ח' אל כ' הוא יחס א' אל ב'
  • \scriptstyle D\times H=L
 המופת שנכה ד' בה' ויהיה ל'
  • \scriptstyle D\times H=L
 אם כן ד' הוכה בה' והיה ל'
  • \scriptstyle D\times G=A
 והוכה בג' והיה א'
\scriptstyle G:H=A:L
 אם כן יחס ג' אל ה' כיחס א' אל ל'
\scriptstyle G:H=C:T
 אבל יחס ג' אל ה' כיחס ח' אל ט'
\scriptstyle A:L=H:T
 אם כן יחס א' אל ל' הוא כיחס ה' אל ט'
  • \scriptstyle H\times D=L
 וגם כן הנה ה' הוכה בד' והיה ל'
  • \scriptstyle H\times Z=B
 והוכה בז' והיה ב'
\scriptstyle D:Z=L:B
 אם כן יחס ד' אל ז' כיחס ל' אל ב'
\scriptstyle D:Z=T:K
 ויחס ד' אל ז' כיחס ט' אל כ'
\scriptstyle L:B=T:K
 אם כן יחס ל' אל ב' כיחס ט' אל כ'
\scriptstyle A:L=C:T
 וכבר התבאר כי יחס א' אל ל' כיחס ח' אל ט'
\scriptstyle A:B=C:K
 הנה ביחס השוים יהיה יחס א' אל ב' כיחס ח' אל כ'
אם כן יחס א' אל ב' כמחובר משני יחסי צלעות שניהם
וזה מ'ש'ל'

Proposition 6
ו איזה מספרים שיהיו

נמשכים על יחס אחד והראשון מהם לא ימנה השני הנה אין מהם מספר ימנה האחר

נאמר שיהיו מספרי א"בג'ד'ה' נמשכים על יחס אחד ויהיה א' לא ימנה ב'
הנה אומר שאין מהם מספר ימנה אחר
ואולם שאין מהם מספר ימנה השני לו הנה זה יתבאר מפני כי יחס כל אחד מהם אל השני לו הוא יחס א' אל ב'
הנה אומר שהוא לא ימנה זולת השני לו גם כן
ואם לא יהיה כן נאמר שימנה ג"ה
ונמצא קטן מספרים על יחס ג'ד'ה' ומניינם והם ז'ח'ט'
הנה ז"ט שתי הקצוות נבדלים
\scriptstyle Z:C=G:D
 ויחס ז' אל ח' הוא יחס ג' אל ד'
אבל ג' לא ימנה ד' אם כן ז' לא ימנה ח' אם כן אין ז' אחד
כי האחד ימנה כל מספר
ומפני כי מספרי ז'ח'ט' על יחס ג'ד'ה' ועל מניינם היו ביחס השוים יחס ג' אל ה' כיחס ז' אל ט'
אבל ג' ימנה ה' אם כן ז' ימנה ט' והוא ימנה עצמו
הנה ז' אם כן ימנה מספרי ז"ט הנבדלים זה שקר
אם כן אין ג' ימנה ה'
ובכמו זה יתבאר כי אין מהם מספר ימנה אחר
ומ'ש'ל'
ויש לו פנים אחרים מן המופת והוא שנעשה כמו שאמרנו במשל ואומר כי ג' לא ימנה ה'
המופת כי מספרי ג'ד'ה' אם היו קטני המספרים על יחסם הנה ג' לא ימנה ה' כי שניהם נבדלים
ואם לא יהיו קטן המספרים על יחסם נקח קטן המספרים על יחסם ומניינם והם ז'ח'ט'
ונבאר כמו שבארנו קודם כי ז' אינו אחד
\scriptstyle Z:T=G:H
 ויהיה ביחס השוים יחס ז' אל ט' כיחס ג' אל ה'
אבל ז' לא ימנה ט' מפני כי שניהם נבדלים כי שניהם שתי הקצוות מקטן מספרים על יחסם אם כן ג' לא ימנה
וכן יתבאר בשני המספרים שאין בהם אחד ימנה אחר
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 7
ז כאשר נמשכו איזה מספרים שיהיו על יחס אחד כמה שיהיו והיה הראשון ימנה האחרון הנה הוא גם כן ימנה השני
ויהיו א'ב'ג'ד' נמשכים על יחס אחד ויהיה א' ימנה ד'
הנה אומר שהוא גם כן ימנה ב'
וזה כי א' והוא הראשון אם לא יהיה מונה ב' השני לו הנה אין ממספרי אבג"ד מספר ימנה אחר אבל א' ימנה ד' הנה הוא אם כן ימנה ב'
ומ'ש'ל'

Proposition 8
For every two numbers, between which fall numbers that are all in the same ratio, between every two numbers, which have the same ratio with the [original] numbers, fall numbers that are in the same ratio as the ratio of those that fall between the two [original numbers]. ח כל שני מספרים יפלו בין שניהם מספרים ויהיו כלם על יחס אחד הנה יפול בין כל שני מספרים על יחס שניהם מן המספרים עד שישובו כלם נמשכים על יחס כמו שנפלו בין שניהם
We say that the two numbers G and D fall between the two numbers A and B ונאמר שיפולו בין שני מספרי א"ב שני מספרי ג"ד
Let the numbers A; G; D; B be in the same ratio הנה יהיו מספרי א"ג ד"ב על יחס אחד
  • \scriptstyle A:B=H:Z
 ויהיה יחס א' אל ב' כיחס ה' אל ז'
Supposition: between H and Z fall numbers that are in the same ratio as the numbers that fall between A and B, which are G and D. הנה אומר כי יפולו בין ה"ז מן המספרים עד שיהיו כלם נמשכים על יחס אחד כמו מספר מה שנפל בין א"ב והוא ג"ד
Proof: המופת אנחנו נקח קטן מספרים על יחס א"ג ד"ב ומניינם ח"ט כ"ל על מנין א"ג ד"ב
\scriptstyle C:L=A:B
 ויחסם אם כן יחס ח' אל ל' כיחס א' אל ב'
\scriptstyle A:B=H:Z
 ויחס א' אל ב' כיחס ה' אל ז'
\scriptstyle C:L=H:Z
 אם כן יחס ח' אל ל' כיחס ה' אל ז'
וח"ל נבדלים
אם כן שניהם שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשוה
אם כן ח' ימנה ה' בשעור מה שימנה ל"ז
ויהיה ט' ימנה מ'
וכ' ימנה נ' בשעור מה שימנה ח' ה'
אם כן כל אחד ממספרי ח"ט כ"ל ימנה בן גילו ממספרי ה"מ נ"ז בשוה
אם כן מספרי ח"ט כ"ל על יחס מספרי ה'מ'נ'ז' וח"ט כ"ל על יחס א"ג ד"ב
אם כן א"ג ד"ב על יחס ה'מ'נ'ז' ומניינם אם כן מנין מה שנפל בין ה"ז מן המספרים אשר שבו יחד נמשכים על יחסם כמנין מה שנפל בין א"ב
ומ'ש'ל'

Proposition 9
ט כל שני מספרים נבדלים יפלו בין שניהם מספרים ויהיו כלם נמשכים על יחס אחד הנה מנין מה שיפול בין שניהם מהמספרים כמו מנין מה שיפול בין כל אחד משניהם ובין האחד מן המספרים עד שישובו כלם נמשכים על יחס אחד
נאמר שיהיו שני מספרי א"ב נבדלים ויפולו בין שניהם שני מספרי ג"ד וישובו מספרי א"ג ד"ב נמשכים על יחס אחד
הנה אומר כי מניין מה שיפול בין א' ובין האחד ובין ב' ובין האחד מן המספרים עד שישובו כלם נמשכים על יחס
המופת אנחנו נקח שני מספרים היותר קטנים על יחס א"ג ד"ב והם ה"ז ושלשה מספרים היותר קטנים על היחס הזה והם ח'ט'כ' לא נסור להוסיף אחד אחד עד שנקח קטני מספרים על יחס א"ג ד"ב ומניינם והם ל'מ'נ'ס'
אם כן מספרי ל'מ'נ'ס' קטני מספרים נמשכים על יחס א"ג ד"ב ושתי הקצוות ממספרי א"ג ד"ב הנמשכים על יחס נבדלים
אם כן א"ג ד"ב קטני המספרים על יחסם
אם כן כל אחד מן ל'מ'נ'ס' שוה לגילו מן א"ג ד"ב
וה' הוכה בכמוהו ושב ח'
אם כן ה' ימנה ח' בשעור אחדי ה' והאחד ימנה אחדיו
אם כן האחד ימנה ה' בשעור מה שימנה ה' ח'
אם כן יחס האחד אל ה' כיחס ה' אל ח'
וגם כן הנה ה' הוכה בח' והיה ל'
אם כן ח' ימנה ל' בשעור אחדי ה'
אם כן האחד ימנה ה' בשעור מה שימנה ח' ל'
אם כן יחס האחד אל ה' כיחס ח' אל ל'
וכבר התבאר כי יחס האחד אל ה' כיחס ה' אל ח' ויחס ח' אל א'
וכן התבאר כי יחס האחד אל ז' כיחס ז' אל כ' . ויחס כ' אל ב'
אם כן מנין מה שנפל בין א' וב' מן המספרים והוא ג"ד כמנין מה שנפל בין א' ובין האחד מן המספרים והוא ז"כ ושבו כלם נמשכים על יחס אחד
ומ'ש'ל'

Proposition 10
י כל שני מספרים בין כל אחד משניהם ובין האחד מהמספרים כמה שיהיו הנה יהיו כלם נמשכים על יחס אחד הנה יפול בין שניהם מן המספרים עד שיהיו כלם נמשכים על יחס אחד כמו מנין מה שנפל בין כל אחד משניהם ובין האחד מן המספרים אשר יהיו בהם הכל נמשכים על יחס אחד
ונניח שיהיה האחד ל' ויפולו בין א' ובין ל' האחד שני מספרי ג"ד . ובין מספר ב' ובין ל' האחד שני מספרי ה"ז וישובו א"ד ג"ל נמשכים על יחס אחד וכן ב"ז ה"ל נמשכים על יחס אחד
הנה אומר שיפול בין שני מספרי א"ב מן המספרים עד שישובו כלם נמשכים על יחס במנין מה שנפל בין כל אחד משני מספרי א"ב ובין האחד מן המספרים עד שיהיו כלם נמשכים על יחס אחד והם ג"ד ה"ז
המופת כי יחס ל' והוא האחד אל ג' כיחס ג' אל ד'
אם כן האחד ימנה ג' בשעור מה שימנה ג"ד
והאחד ימנה ג' בשעור אחדי ג'
וג' הוכה בדומה לו והיה ד'
וגם כן הנה יחס האחד אל ג' הוא יחס ד' אל א'
אם כן האחד ימנה ג' בשעור מה שימנה ד"א
והאחד ימנה ג' בשעור אחדי ג'
וג' הוכה בד' והיה א'
וכן ה' הוכה בכמוהו ושב ז'
והוכה בז' ושב ב'
וגם כן הנה נכה ג' בה' וישוב ח'
ויוכה בח' וישוב ט'
וה' בח' וישוב כ'
ויתבאר כמו שבאררנו קודם כי ד'ח'ז' מתיחסים ויחסם יחס ג' אל ה' ושא"ט כ"ב נמשכים אל יחס ג' אל ה'
אם כן מנין מה שנפל בין שני מספרי א"ב מן המספרים והוא ט"כ עד כי שבו כלם נמשכים על יחס אחד כמנין מה שנפל בין כל אחד משניהם ובין האחד מן המספרים
ומ'ש'ל'

Proposition 11
יא כל שני מספרים מרובעים הנה יפול בין שניהם מספר מתיחס לשניהם ויחס המרובע אל המרובע הוא יחס צלעו אל צלעו שנוי בכפל
נניח שיהיו שני מספרים מרובעים והם א"ב
ויהיה צלע א' מספר ג'
וצלע ב' מספר ד'
הנה אומר כי בין א' ובין ב' מספר מתיחס לשניהם ושיחס א' אל ב' הוא יחס ג' אל ד' שנוי בכפל
ויהיה המקובץ מהכאת ג' בד' מספר ה'
הנה מפני כי צלע המרובע הוא מספר ג' יהיה המקובץ מהכאת ג' בכמוהו מספר א'
וכן יהיה המקובץ מהכאת ד' בכמוהו מספר ב'
הנה מפני כי ג' הוכה בשני מספרים והם ג"ד והיו מזה שני מספרי א"ה
יהיה יחס ג' אל ד' כיחס א' אל ה'
וכמו זה גם כן התבאר כי יחס ג' אל ד' כיחס ה' אל ב'
אם כן יחס א' אל ה' כיחס ה' אל ב'
אם כן בין שני מרובעי מספר ה' מתיחס לשניהם מפני כי א'ה'ב' השלשה מתיחסים
יהיה יחס א' אל ב' כיחס א' אל ה' שנוי בכפל
אבל א' אל ה' כיחס ג' אל ד'
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' שנוי בכפל
ומ'ש'ל'

Proposition 12
יב כל שני מספרים מעוקבים הנה יפול בין שניהם שני מספרים ויהיה הארבעה נמשכים מתיחסים על יחס אחד ויחס המעוקב אל המעוקב הוא ישם צלעו אל צלעו משולשת
ונניח שיהיו שני מספרים מעוקבים והם א"ב ויהיה צלע א' המעוקב מספר ג' וצלע ב' המעוקב מספר ד'
הנה אומר כי בין א' וב' שני מספרים ישיבו הארבעה נמשכים על יחס אחד
ושיחס א' אל ב' הוא יחס ג' אל ד' משולש בכפל
ויהיה המקובץ מהכאת ג' בכמוהו מספר ה'
ומהכאת ג' בד' ז'
ומהכאת ד' בכמוהו ח'
ויהיה המקובץ מהכאת ג' בז' ט'
ומהכאת ד' בז' כ'
הנה מפני כי א' מעוקב וצלעו ג' ומרובע ג' הוא ה' יהיה המקובץ מהכאת ג' בה' מעוקב א'
וכן גם כן יהיה המקובץ מן ד' בח' מעוקב ב'
ומפני כי ג' הוכה בשני מספרי ג"ד והיו מזה שני מספרי ה"ז יהיה יחס ג' אל ד' הוא יחס ה' אל ז'
ויהיה גם כן יחס ג' אל ד' הוא יחס ז' אל ח'
ומפני כי ג' הוכה גם כן ב'ה'ז' והיה מזה א"ט יהיה יחס ה' אל ז' הוא יחס א' אל ט'
אבל כי יחס ה' אל ז' הוא יחס ג' אל ד'
אם כן יחס א' אל ט' הוא יחס ג' אל ד'
ומפני כי ד' הוכה בז' וח' והיה מזה כ'
וב' יהיה ז' אל ח' הוא יחס כ' אל ב'
ויחס ז' אל ח' הוא יחס ג' אל ד'
אם כן יחס כ' אל ב' הוא יחס ג' אל ד'
ויחס ג' אל ד' הוא יחס א' אל ט' וט' אל כ' וכ' אל ב'
אם כן יחס א' אל ט' הוא יחס ט' אל כ' וכ' אל ב'
אם כן בין שני מספרי א"ב המעוקבים שני מספר ט"כ והארבעה נמשכים על יחס אחד
ומפני כי מספרי א"ט כ"ב הארבעה נמשכים על יחס אחד יהיה יחס א' אל ב' הוא יחס א' אל ט' משולש בכפל
אבל יחס א' אל ט' הוא יחס ג' אל ד'
אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס ג' אל ד' משולש בכפל
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 13
יג איזה מספרים שיהיו על יחס אחד והוכה כל אחד בכמוהו הנה מרובעיהם גם נמשכים על יחס אחד
וכן אם הוכה כל מספר מהם במרובעו הנה מעוקביהם גם כן נמשכים על יחס אחד וכן לא יסורו הקצוות והמספרים האחרונים כאשר הוכו בהם על הדרך הזה יהיו נמשכים על יחס אחד
ונניח שיהיו מספרים נמשכים על יחס אחד והם מספרי א'ב'ג' ונכה כל אחד משניהם בדומה לו ויהיו מרובעיהם ד' ה"ז ויוכה כל אחד משניהם במרובעו וישובו מעוקביהם ח'ט'ב'
הנה אומר כי ד'ה'ז' מתיחסים ושח'ט'כ' מתיחסים והיחס הוא הוא א'ב'ג'
ויוכה א' בב' ויהיה ל'
ובל' וה' ויהיה מזה נ' וס'
ויוכה ב' בג' ויהיה מ'
ובמ' וז' ויהיה מזה ע' ופ'
הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיו מזה ד"ל
אם כן א' אל ב' כיחס ד' אל ל'
וגם כן ב' הנה הוכה בא' והיה ל'
ובדומה לו והיה ה'
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ל' אל ה'
וכבר היה יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ל'
אם כן יחס ד' אל ל' כיחס ל' אל ה'
אם כן ד'ל"ה מתיחסים ויחסם הוא יחס א' אל ב'
אבל יחס א' אל ב' הוא יחס ב' אל ג'
אם כן יחס ד'ל"ה הוא יחס ב' אל ג'
וגם כן הנה ב' הוכה בדומה לו והיה ה' ובג' והיה מ'
אם כן יחס ב' אל ג' הוא יחס ה' אל מ'
וג' הוכה בב' והיה מ'
והוכה בדומה לו והיה ז'
אם כן יחס ב' אל ג' הוא יחס מ' אל ז'
אם כן יחס ה' אל מ' הוא יחס מ' אל ז'
אם כן ה' ומ"ז מתיחסים הנה יחסם הוא יחס ב' אל ג'
וכבר היו מספרי ד'ל"ה אלו יחסם כמו יחס ב' אל ג'
אם כן ד'ל"ה מתיחסים וה'מ'ז' מתיחסים והיחס אחד והמנין אחד
אם כן ביחס השוים יהיה יחס ד' אל ה' הוא יחס ה' אל ז' וד'ה'ז' מתיחסים והם שלשה מספרים הנה יחסם אל הראשון
וגם כן הנה א' הוכה בד' והיה ח'
ובל' והיה נ'
אם כן יחס ד' אל ל' הוא יחס ח' אל נ'
ויחס ד' אל ל' הוא יחס א' אל ב'
אם כן יחס ח' אל נ' הוא יחס א' אל ב'
וכן יחס א' אל ב' הוא יחס נ' אל ס'
ויחס א' אל ב' הוא יחס ח' אל נ'
אם כן ח'נ'ס' מתיחסים
וא' וב' הוכו בה' והיה מזה ס' וט'
אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס נ' אל ס' וס' אל ט'
אם כן מספרי ח'נ'ס'ט' מתיחסים נמשכים על יחס א' אל ב'
וכן ט"עפ"ב נמשכים על יחס ב' אל ג' ושני היחסים אחד
אם כן ח'נ'ס'ט' נמשכים על יחס ט"ע פ"כ והמנין אחד
אם כן יחס ח' אל ט' כיחס ט' אל כ'
אם כן ח'ט'כ' גם כן נמשכים על יחס אחד
וזה הוא מה אשר רצינו לבארו

Proposition 14
יד כל שני מספרים מרובעים ימנה אחד משניהם האחר הנה צלע המונה משניהם ימנה צלע המנוי
ואם היה מספר ימנה מספר הנה מרובע המונה ימנה מרובע המנוי
נניח שיהיו שני המספרים מרובעים והם א"ב ויהיה צלע א' מספר ג' וצלע ב' מספר ד' ויהיה א' ימנה ב'
הנה אומר כי ג' ימנה ד'
המופת אנחנו נכה ג' בד' ויהיה ה'
וא' מרובע ג'
וב' מרובע ד'
אם כן ה' הוא המספר אשר בין שניהם וא'ה'ב' מתיחסים ויחסם הוא יחס ג' אל ד'
וא' הראשון ימנה ב' האחרון
אם כן הוא ימנה מספר ה'
ויחס א' אל ה' הוא יחס ג' אל ד'
וא' ימנה ה'
אם כן ג' ימנה ד' ואם יהיה ג' ימנה ד'
הנה אומר כי א' ימנה ב' והתבאר כי א'ה'ב' מתיחסים ויחסם יחס ג' אל ד'
אם כן יחס ג' אל ד' כיחס א' אל ה' וג' ימנה ד'
אם כן א' ימנה ה' וה' השני הוא ימנה הוא ימנה ב' האחר
וזה מה שרצינו לבאר
ובכאן התבאר כי אם לא ימנה מרובע מרובע לא ימנה צלעו צלעו ואם לא ימנה הצלע הצלע לא ימנה המרובע המרובע

Proposition 15
טו כל מספר מעוקב ימנה מספר מעוקב הנה צלע המעוקב המונה ימנה צלע המעוקב המנוי
ואם היה מספר ימנה מספר הנה מעוקב המונה ימנה מעוקב המנוי
ויהיו שני מספרים מעוקבים והם א"ב ושתי צלעותיהם ג"ד ויהיה א' ימנה ב'
הנה אומר כי ג' ימנה ד'
המופת שנכה ג' בדומה לו ויהיה ה'
ונכה ד' בדומה לו ויהיה ז'
הנה ג' כאשר הוכה בה' היה א'
וד' כאשר הוכה בז' היה ב'
היה נכה ג' בד' ויהיה ח'
ונכהו גם כן בח' וז' ויהיו ט' וכ'
הנה מספרי ה'ח'ז' מתיחסים ויחסם הוא יחס ג' אל ד'
וג' הוכה בה' והיה א'
והוכה בח' והיה ט'
אם כן יחס ה' אל ח' הוא יחס א' אל ט'
ויחס ה' אל ח' כיחס ג' אל ד'
אם כן יחס א' אל ט' כיחס ג' אל ד'
וכן יהיה יחס ט' אל כ' הוא יחס ג' אל ד'
ויחס ג' אל ד' הוא יחס א' אל ט'
אם כן יחס א' אל ט' הוא יחס ט' אל כ'
וג"ד הוכו בז' והיה מזה כ"ב
אם כן יחס ג' אל ד' כיחס כ' אל ב'
ויחס ג' אל ד' הוא יחס א' אל ט' וט' אל כ'
אם כן א"ט כ"ב נמשכים על יחס ג' אל ד'
וא' הראשון ימנה ב' האחרון
אם כן הוא ימנה ט' השני
ויחס א' אל ט' כיחס ג' אל ד' וא' ימנה ט'
אם כן ג' ימנה ד'
וגם כן יהיה ג' ימנה ד'
הנה אומר כי א' ימנה ב'
וכן יתבאר כמו שבארנו כי א"ט כ"ב נמשכים על יחס ג' אל ד' ויהיה א' הראשון ימנה ט' השני ויתחייב שימנה ב'
ומ'ש'ל'
ובכאן כי כאשר לא ימנה מעוקב מעוקב לא ימנה צלעו צלעו וכאשר לא ימנה הצלע הצלע לא ימנה המעוקב המעוקב

Proposition 16
יו כל שני מספרים משוטחים מתדמים יפול בין שניהם מספר מתיחס לשניהם ויחס השטח אל השטח הוא יחס צלעו אל צלעו שנוי
ויהיו שני מספרים משוטחים והם א"ב ויהיו שני צלעי א' שני מספרי ג"ד ושני צלעי ב' שני מספרי ה"ז
הנה אומר כי בין שני מספרי א"ב מספר מתיחס לשניהם ויחס א' אל ב' כיחס צלע א' אל צלע ב' אשר הוא גילו שנוי
המופת כי א"ב שני שטחים מתדמים
אם כן צלעותיהם מתיחסות ושני צלעי א' ג"ד
ושני צלעי ב' ה"ז
הנה יהיה יחס ג' אל ה' כיחס ד' אל ז'
ונכה ד' בה' ויהיה מזה ח'
אבל הכאת ד' בג' הוא מספר א'
וד' הוכה בשני מספרי ג"ה והיה מזה א"ח
אם כן יחס ג' אל ה' כיחס א' אל ח'
ויחס ג' אל ה' כיחס ד' אל ז'
אם כן יחס ד' אל ז' כיחס א' אל ח'
שיחס ד' אל ז' כיחס א' אל ח'
אם כן יחס א' אל ח' הוא יחס ח' אל ב'
אם כן א'ח'ב' מתיחסים הנה כבר נפל בין א' וב' מספר והוא ח' והיו מתיחסים
הנה אומר כי יחס א' אל ב' הוא יחס צלעו אל צלעו אשר הוא גילו שנוי
הנה מפני כי יחס א' אל ח' כיחס ח' אל ב'
הנה יחס א' אל ב' הוא יחס א' אל ח' שנוי
ויחס א' אל ח' הוא יחס הצלע אל הצלע
אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס צלעו אל צלעו שנוי
ומ'ש'ל'

Proposition 17
יז כל שני מספרים מוגשמים מתדמים הנה יפול בין שניהם שני מספרים וימשכו מתיחסים ויחס אחד משני המוגשמים אל האחר הוא יחס צלעו אל צלעו שהוא גילו משולש
המופת כי א"ב שני מוגשמים מתדמים וצלעי איהם ג'ד'ה' וצלעי ב' הם ז'ח'ט' ויחס ג' אל ז' כיחס ד' אל ח' וכיחס ה' אל ט'
וג' כאשר הוכה בד' היה כ'
וז' כאשר הוכה בח' היה ל'
אם כן כ"ל שנים משוטחים מתדמים מפני כי צלעות שניהם מתיחסות הנה יפול בין כ"ל מספר וימשך עם שניהם על יחס אחד ויהיה המספר הזה מ'
וה' כאשר הוכה במ' היה נ'
וט' כאשר הוכה במ' היה ס'
ומשוטח ג' בד' אשר הוא ב' כאשר הוכה בה' היה א'
אבל ה' כאשר הוכה גם כן במ' היה נ'
אם כן יחס א' אל נ' כיחס כ' אל מ'
ויחס כ' אל מ' כיחס מ' אל ל'
ויחס מ' אל ל' כיחס ג' אל ז' וכיחס ד' אל ח' וכיחס ה' אל ט' והוא יחס הצלע אל הצלע שהוא גילו וכן יחס א' אל נ'
וכן כל אחד מן ה"ט הוכה במ' והיה נ"ס
אם כן יחס ה' אל ט' כיחס נ' אל ס'
ויחס ה' אל ט' וג' אל ז' וד' אל ח' הוא יחס הצלע לצלע שהוא גילו
ויחס הצלע אל הצלע כיחס א' אל נ'
אם כן יחס א' אל נ' כיחס נ' אל ס'
וט' כאשר הוכה בל' היה ב'
וכבר הוכה ט' במ' והיה ס'
אם כן יחס מ' אל ל' כיחס ס' אל ב'
ויחס מ' אל ל' הוא יחס הצלע אל הצלע
אם כן יחס ס' אל ב' הוא יחס הצלע אל הצלע
אם כן יחס הצלע אל הצלע הוא כיחס א' אל נ' וכיחס נ' אל ס' וכיחס ה' אל ב'
אם כן מספרי א'נ'ס'ב' נמשכים על יחס הצלע אל הצלע שהוא גילו
וכבר נפלו בין א"ב שני מספרי נ"ס
והנה אומר כי יחס א' אל ב' הוא יחס הצלע אל הצלע אשר הוא גילו משולש
מפני כי יחס א' אל נ' כיחס נ' אל ס' וכיחס ס' אל ב'
אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס א' אל נ' משולש
ויהיה א' אל נ' הוא יחס הצלע אל הצלע
אם כן יחס א' אל ב' הוא יחס צלעו אל צלעו אשר הוא גילו משולש
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 18
יח כאשר נפל מספר בין שני מספרים וימשכו מתיחסים הנה שני המספרים משוטחים מתדמים
המשל בו כי מספר ג' נפל בין שני מספרי א"ב משוטחים מתדמים
המופת אנחנו נקח שני מספרים היותר קטנים על יחס א'ג'ב' והם ד"ה
הנה יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ה'
וד"ה שני מספרים היותר קטנים והם ימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשוה הקטן לקטן והרב לרב
הנה ד' ימנה א' וה' ימנה ג' בשוה ויהיו אחדי מספר ז' בשעור מה שימנה ד' א'
אם כן ה' ימנה ג' בשעור אחדי ז'
וד' הוכה בז' והיה א' משוטח ושתי צלעותיו ד"ז
וגם כן הנה יחס ג' אל ב' כיחס ד' אל ה'
וד"ה שני מספרים היותר קטנים על יחס שניהם בשוה הקטן לקטן והרב לרב
אם כן ד' ימנה ג' וה' ימנה ב'
ויהיו אחדי מספר ח' כשעור מה שימנה ה"ב
אם כן ה' ימנה ב' בשעור אחדי ח'
וה' יוכה בח' ויהיה ב'
אם כן ב' משוטח ושתי צלעותיו ה"ח
וד' ימנה ג' בשעור אחדי ח'
הנה ד' הוכה בח' והיה ג'
וכן ז' יוכה בה' ויהיה ג'
אם כן שטח ז' בה' שוה למשוטח ד' בח'
אם כן יחס ז' אל ד' כיחס ח' אל ה'
וד' וז' שתי צלעות א' וה' וח' שתי צלעות ב' אם ^ א"ב שתי שטחים מתדמים מפני כי צלעות שניהם מתיחסים
ומ'ש'ל'

Proposition 19
יט כל שני מספרים יפלו בין שניהם שני מספרים וימשכו מתיחסים הנה שניהם מוגשמים מתדמים
המשל בו כי שני מספרי א"ב נפלו בין שניהם שני מספרי ג"ד ונמשכו מתיחסים
הנה אומר כי א"ב שניהם מוגשמים מתדמים
המופת אנחנו נקח קטן שלשה מספרים מתיחסים על יחס א"ג ד"ב והם מספרי ה'ז'ח'
אם כן שני הקצוות והם ח"ה כבר נפל בין שניהם מספר ו' ונמשכו מתיחסים
אם כן ה' וח' שני שטחים מתדמים
ויהיו שני צלעי ה' כ"ל
ושני צלעי ח' מ"נ
וה"ח שני שטחים מתדמים וצלעות שניהם מתיחסות יחס כ' אל מ' כיחס ל' אל נ'
וה'ז'ח' על יחס א'ג'ד'
אם כן יחס ה' אל ז' כיחס א' אל ג'
ויחס ז' אל ח' כיחס ג' אל ד'
ומנין ה'ז'ח' כמו מנין א'ג'ד'
אם כן יחס ה' אל ח' כיחס א' אל ד'
וכל אחד מן ה"ח ראשון אצל האחר
אם כן שניהם קטן שני מספרים על יחס שניהם
וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשווי הקטן לקטן והרב לרב
הנה ה' ימנה א' בשעור מה שימנה ח"ד
ויהיו אחדי מספר ט' בשעור מה שימנה ה"א
אם כן ח' ימנה ד' בשעור אחדי מספר ט'
הנה ט' יוכה בח' ויהיה ד'
וה' ימנה א' בשעור אחדי ט'
וה' יוכה בט' ויהיה א'
וה' הוא שטח כ' בל'
אם כן שטח כ' בל' הוכה בט' והיה מוגשם א'
אם כן צלעותיו כ'ל'ט'
וגם כן הנה מספרי ה'ז'ח' על יחס מספרי ג'ד'ב'
ומנין ה'ז'ח' כמנין ג'ד'ב'
אם כן יחס ה' אל ח' כיחס ג' אל ב' וכל אחד מן ה"ח ראשון אצל האחר
אם כן שניהם קטני שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשווי הקטן לקטן והרב לרב
אם כן ה' ימנה ג' בשעור מה שימנה ח"ב
ויהיו אחדי מספר ס' בשיעור מה שימנה ח"ב
אם כן ה' ימנה ג' בשעור אחדי מספר ס'
וח' יוכה בס' ויהיה ב'
וח' והוא שטח מ' בנ'
אם כן שטח מ' בנ' הוכה בס' והיה מוגשם ב' וצלעיו מ'נ'ס'
וט' הוכה בח' והיה ד'
וס' הוכה בח' והיה ב'
אם כן יחס ט' אל ס' כיחס ד' אל ב'
ויחס ד' אל ב' כיחס ה' אל ז' וכיחס ז' אל ח'
אבל יחס ה' אל ז' וז' אל ח' כיחס כ' אל מ' ול' אל נ'
אם כן יחס ט' אל ס' כיחס כ' אל מ' ול' אל נ' והוא יחס הצלע אל הצלע
וצלעות א' הם כ'ל'ט'
וצלעות ב' הם מ'נ'ס'
אם כן א' וב' שני מוגשמים מתדמים מפני כי צלעות שניהם מתיחסות
ונשלם באורו

Proposition 20
For every three numbers that are in continued proportion, such that the first is a square, the third is a square. כ כל שלשה מספרים נמשכים על יחס אחד יהיה הראשון מהם מרובע הנה השלישי מרובע
המשל בו כי מספרי א'ב'ג' השלשה נמשכים על יחס אחד והראשון מהם והוא א' הוא מרובע
הנה אומר כי ג' השלישי מרובע
המופת אנחנו נקח קטן מספרים על יחס א'ב'ג' מניינם כמניינם והם ד'ה'ז' ושתי הקצוות והם ד"ז שני מרובעים
ויהיה צלע מרובע א' מספר ח'
וצלע מרובע ז' מספר כ'
וצלע מרובע ד' מספר ט'
הנה מפני כי יחס א'ב'ג' כיחס ד'ה'ז' ומניינם כמניינם יהיו ביחס השוים יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ז'
וכל אחד משני מספרי ד"ז ראשון אצל האחר
והמספרים אשר קצתם ראשון אצל קצת הם קטני המספרים על יחסם
וקטן המספרים על יחס ימנו המספרים אשר על יחסם בשווי הקטן לקטן והרב לרב
אם כן ד' ימנה א' בשעור מה שימנה ז"ג
וכאשר ימנה מרובע מרובע הנה צלעו ימנה צלעו
אם כן ט' ימנה ח' וימנה כ"ל בשעור מה שימנה ט"ח
אם כן יחס ט' אל ח' כיחס כ' אל ל'
ויחס המרובע ההווה מן ט' אל המרובע ההווה מן ח' כיחס המרובע ההווה מן כ' אל המרובע ההווה מן ל'
והמרובע ההווה מן ט' הוא ד'
והמרובע ההווה מן ח' הוא א'
והמרובע ההווה מן כ' הוא ז'
אם כן יחס ד' אל המרובע ההווה מן ל'
ויחס ד' אל א' כיחס ז' אל ג'
אם כן יחס ז' אל ג' כיחס ז' אל המרובע ההווה מן ל'
אם כן ג' שוה למרובע ההווה מן ל'
אם כן ג' מרובע
ונשלם באורו

Proposition 21
For every four numbers that are in continued proportion, such that the first is a cube, the fourth is a cube. כא כל ארבעה מספרים נמשכים על יחס יהיה הראשון מהם מעוקב הנה הרביעי מעוקב
המשל בו כי ארבעה מספרי א'ב'ג'ד' נמשכים על יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ג' וכיחס ג' אל ד' ויהיה א' מעוקב
הנה אומר כי ד' מעוקב
המופת אנחנו נקח קטני המספרים על יחס מספרי א'ב'ג'ד' ועל מניינם והם ה'ז'ח'ט' הנה הקצוות והם ה"ט מעוקב
ויהיה צלע מעוקב א"ל וצלע מעוקב ה"ב וצלע מעוקב ט"נ
הנה מפני כי יחס א"בג"ד כיחס ה'ז'ח'ט' והם שוים במנין יהיו ביחס השווי יחס א' אל ד' כיחס ה' אל ט'
וכל אחד מן ה"ט ראשון אצל האחר
אם כן שניהם קטן שני המספרים על יחסם וקטני המספרים על יחס ימנו המספרים על יחסם בשווי הקטן לקטן והרב לרב
אם כן ה' ימנה א' כמו מה שימנה ט"ד
וכאשר מנה מעוקב מעוקב הנה צלעו ימנה צלעו
אם כן ב' ימנה ל' ויהיה מנין מה שימנה נ"מ כמו מנין מה שימנה כ"ל
אם כן יחס כ' אל ל' כיחס נ' אל מ'
ויחס המעוקב ההווה מן נ' אל המעוקב ההווה מן ל' כיחס המעוקב ההווה מן נ' אל המעוקב ההווה מן מ'
והמעוקב ההווה מן כ' הוא ה'
והמעוקב ההווה מן ל' הוא א'
והמעוקב ההווה מן נ' הוא ט'
אם כן יחס ה' אל א' כיחס ט' אל המעוקב ההווה מן מ'
ויחס ה' אל א' כיחס ט' אל ד'
אם כן ד' שוה למעוקב ההווה מן מ'
אם כן ד' מעוקב
Q.E.D. וזה מ'ש'ל'

Proposition 22
For every two numbers such that the ratio of one of them to the other is as the ratio of a square number to a square number and one of them is a square number, the other is a square number. כב כל שני מספרים יחס אחד מהם אל האחר כיחס מרובע אל מרובע ואחד משניהם מרובע הנה האחר מרובע
המשל בו כי שני מספרי א"ב יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר ג' המרובע אל מספר ד' המרובע וא' מרובע
אומר כי ב' מרובע
המופת כי שני מספרי ג"ד מרובעים ומשוטחים מתדמים וכבר יפול בין שניהם מספר וימשכו מתיחסים
ויחס ג' אל ד' כיחס א' א' אל ב'
אם כן א"ב הנה יפול בין שניהם מספר ימשכו מתיחסים וא' מרובע
הנה אם כן ב' מרובע
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 23
For every two numbers such that the ratio of one of them to the other is as the ratio of a cubic number to a cubic number and one of them is a cubic number, the other is a cubic number. כג כל שני מספרים יחס אחד מהם אל האחר כיחס מעוקב אל מעוקב ואחד משניהם מעוקב הנה האחר מעוקב
המשל בו כי שני מספרי א"ב יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר ג' המעוקב אל מספר ד' המעוקב וא' מעוקב
הנה אומר כי ב' מעוקב
המופת כי ג"ד מעוקבים ומוגשמים מתדמים והנה יפול בין שניהם שני מספרים וימשכו מתיחסים
ויחס ג' אל ד' כיחס א' אל ב'
הנה כבר יפול בין א"ב שני מספרים וימשכו מתיחסים וא' מעוקב
אם כן ב' מעוקב
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 24
When there are two numbers such that the ratio of one of them to the other is as the ratio of a square number to a square number, then they are similar plane numbers. כד כאשר היו שני מספרים והיה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע הנה שניהם שני שטחים מתדמים
המשל בו כי שני מספרי א"ב יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר ג' המרובע אל מספר ד' המרובע
הנה אומר כי שני מספרי א"ב שני שטחים מתדמים
המופת כי שני מספרי ג"ד שני מרובעים וכבר יפול בין שניהם מספר מתיחס לשניהם
ויחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
הנה כבר יפול בין מספרי א"ב מספר מתיחס לשניהם
אם כן מספרי א"ב שני שטחים מתדמים
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 25
When there are two numbers such that the ratio of one of them to the other is as the ratio of a cubic number to a cubic number, then they are similar solid numbers. כה כאשר היו שני מספרים והיה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מעוקב אל מעוקב הנה שניהם מוגשמים מתדמים
המשל בו כי שני מספרי א"ב יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר ג' המעוקב אל מספר ד' המעוקב
הנה אומר כי שני מוגשמי א"ב מוגשמים מתדמים
המופת כי כל אחד משני מספרי ג"ד מעוקב והנה יפול בין שני מספרי ג"ד שני מספרים מתיחסים לשניהם
אם כן מספר א"ב שנים מוגשמים מתדמים
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 26
For every two similar plane numbers, the ratio of one of them to the other is as the ratio of a square number to a square number. כו כל שני מספרים משוטחים מתדמים הנה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
המשל בו כי שני מספרי א"ב שנים משוטחים מתדמים
הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
המופת כי א"ב שני משוטחים מתדמים וכבר נפל בין שניהם מספר ג' ונמשכו מתיחסים
ונקח קטן שלשה מספרים על יחס א'ג'ב' והוא ד'ה'ז' הנה שתי הקצוות והם ד"ז מרובעים ומנין ד'ה'ז' כמנין א'ג'ב'
אם כן יחס א' אל ב' כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 27
For every two similar solid numbers, the ratio of one of them to the other is as the ratio of a cubic number to a cubic number. כז כל שני מספרים מוגשמים מתדמים הנה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מעוקב אל מספר מעוקב
המשל בו כי שני מספרי א"ב מוגשמים מתדמים ויפולו בין שניהם שני מספרים והם ג"ד וימשכו מתיחסים
ונקח קטן ארבעה מספרים על יחס א"גד"ב והם ה'ז'ח'ט' הנה שני הקצוות הם ה"ט מעוקבים ומנין ה"זח"ט א"גד"ב
  • \scriptstyle H:T=A:B
 הנה יחס ה' אל ט' כיחס א' אל ב'
  • \scriptstyle A:B = cubic number H to cubic number T
 ויחס א' אל ב' כיחס מספר ה' המעוקב אל מספר ט' המעוקב
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר
נשלם המאמר השמיני

Book Nine

 המאמר התשיעי

Proposition 1
א כל שני מספרים משוטחים מתדמים יוכה אחד משניהם באחר הנה הוא ישוב מרובע
המשל בו כי שני מספרי א"ב שני שטחים מתדמים
והוכה א' בב' והיה ג‫'
הנה אומר כי ג' מרובע
Proof:
  • \scriptstyle A\times A=D
 המופת כי א' הוכה בדומה לו והיה ד‫'
  • \scriptstyle A\times B=G
 והוכה בב' והיה ג‫'
\scriptstyle A\times\left(A+B\right)=D+G
 הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיה ד"ג
VII.18: \scriptstyle A:B=D:G אם כן יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ג' מי"ח משביעי
וא"ב שני משוטחים מתדמים ויפול בין שניהם מספר וימשכו מתיחסים
VIII.17: הנה יפול גם כן בין שני מספרי ד"ג מספר מי"ז משמיני
VIII.18: אם כן ד"ג שני שטחים מתדמים מי"ח משמיני
VIII.20: וד' מרובע אם כן ג' מרובע מכ' מח'
וזה מ'ש'ל‫'

Proposition 2
ב כל מספר יוכה במספר אחר ויהיה מרובע הנה השני מספרים משוטחים מתדמים
המשל בו כי א' הוכה במספר ב' והיה ג' וג' מרובע
הנה אומר כי א"ב שני שטחים מתדמים
המופת כי א' הוכה בדומה לו והיה ד' וד' מרובע וא' הוכה בב' והיה ג'
VII.18: \scriptstyle A:B=D:G הנה יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ג' מי"ח מז'
וכל אחד מד' ג' מרובע
אם כן יחס א' אל ב' כיחס מספר ד' המרובע אל מספר ג' המרובע
VIII.24: אם כן מספר א"ב שני שטחים מתדמים מכ"ד משמיני
וזה מה שרצינו לבאר
ובכאן התבאר כי כאשר הוכה מספר מרוב' במספר מרובע הנה הוא יהיה מרובע
ואם הוכה מספר מרובע במספר והיה מרובע הנה המוכה בו מרובע
ואם הוכה מספר מרובע במספר והיה בלתי מרובע הנה המוכה בו בלתי מרובע
ואם הוכה מספר מרובע במספר בלתי מרובע הנה הוא בלתי מרובע
ומ'ש'ל'

Proposition 3
ג כל מספר מעוקב יוכה בדומה לו הנה הוא יהיה מעוקב
המשל בו כי מספר א' הוא מעוקב וכאשר הוכה בכמוהו והיה מספר ב'
הנה אומר כי ב' מעוקב
המופת כי א' מעוקב וצלעו מספר ג' הנה ג' הוכה בכמוהו והיה ד' וג' הוכה בד' והיה א' אם כן ג' ימנה ד' בשעור אחדי ג' והאחד ימנה ג' בשעור אחדי ג'
אם כן האחד ימנה ג' בשעור מה שימנה ג"ד
VII.def. proportional numbers: \scriptstyle 1:G=G:D אם כן יחס האחד אל הג' כיחס ג' אל ד' מפתיחת ז'
  • \scriptstyle G\times D=A
 וגם כן הנה ג' הוכה בד' והיה א'
אם כן ד' ימנה א' בשעור אחדי ג'
והאחד ימנה ג' בשעור ג'
אם כן האחד ימנה ג' בשעור מה שימנה ד"א
VII.def. proportional numbers: \scriptstyle 1:G=G:D=D:A אם כן יחס האחד אל ג' כיחס ג' אל ד' וכיחס ד' אל א' מפתיחת ז'
הנה בין האחד ובין א' מספר ג"ד והם נמשכים על יחס
  • \scriptstyle A\times A=B
 וגם כן הנה א' הוכה בכמוהו והיה ב'
אם כן א' ימנה ב' בשעור אחדי א'
והאחד ימנה א' בשעור אחדי א'
אם כן האחד ימנה א' בשעור מה שימנה א"ב
אם כן יחס האחד אל א' כיחס א' אל ב'
VIII.8: ובין האחד ובין א' מספרי ג"ד והם נמשכים על יחס ויפול בין א' ובין ב' שני מספרים וימשכו על יחס מח' מח'
VIII.21: ומספר א' מעוקב אם כן מספר ב' מעוקב מכ"א מח'
ומ'ש'ל'

Proposition 4
ד כל מספר מעוקב יוכה במספר מעוקב אחר הנה הוא מעוקב
המשל בו כי מספר א' מעוקב וכבר הוכה במספר אחר מעוקב והוא ב' והיה ג' הנה אומר כי ג' מעוקב
המופת כי א' הוכה בכמוהו והיה ד' אם כן ד' מעוקב
וא' הוכה בכמוהו והיה ד' והוכה בב' והיה ג' הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיה ד"ג
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ג'
אם כן יחס ד' אל ג' כיחס מעוקב א' אל מעוקב ב' וד' מעוקב אם כן ג' מעוקב
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 5
ה כל מספר מעוקב יוכה במספר ויהיה מעוקב הנה המספר המוכה בו מעוקב
המשל בו כי מספר א' מעוקב וכבר הוכה במספר ב' והיה ג' וג' מעוקב
הנה אומר כי ב' מעוקב
המופת כי א' הוכה בכמוהו והיה ד' אם כן ד' מעוקב
וא' הוכה בכמוהו והיה ד' והוכה בב' והיה ג' הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיה ד"ג
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ג'
אם כן יחס א' אל ב' כיחס מעוקב ד' אל מעוקב ג'
וא' מעוקב אם כן ב' מעוקב
ובכאן התבאר כי אם הוכה מספר מעוקב במספר בלתי מעוקב יהיה בלתי מעוקב
ואם הוכה מספר מעוקב במספר והיה בלתי מעוקב הנה המוכה בו בלתי מעוקב
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 6
ו כל מספר יוכה בכמוהו ויהיה מעוקב הנה הוא מעוקב
המשל בו כי מספר א' הוכה בכמוהו והיה ב' וב' מעוקב הנה אומר כי א' מעוקב
המופת כי א' הוכה בב' והיה ג' הנה ג' מעוקב
וא' הוכה בכמוהו והיה ב' והוכה בב' והיה ג' הנה א' הוכה בשני מספרי א"ב והיה ב"ג
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ג' וב"ג מעוקבים
אם כן יחס א' אל ב' כיחס מעוקב ב' אל מעוקב ג'
וב' מעוקב אם כן א' מעוקב
וזה מ'ש'ל'

Proposition 7
ז כל מספר מורכב יוכה במספר

הנה הוא ישוב מוגשם

המשל בו כי מספר א' מורכב וכבר הוכה במספר ב' והיה ג'
הנה אומר כי ג' מוגשם
המופת כי מספר א' מורכב הנה ימנהו מספר ד' ויהיו אחדי ה' בשעור מה שימנה ד"א
אם כן ד' יוכה בה' ויהיה א' וא' יוכה בב' ויהיה ג' אם כן מוגשם
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 8
ח כאשר היו מספרים מן האחד נמשכים מתיחסים כמה שהיו הנה המספר השלישי מן האחד מרובע מה שימנה זה מן המספרים כאשר עזב מהם אחד ולקח אחד על ההמשכות יהיו המספרים הלקוחים מרובעים והרביעי מן מן האחד מעוקב עוד אחר זה כאשר עזב שני מספרים ולקח מספר יהיו המעוקבים והשביעי מן האחד מרובע מעוקב
עוד אחר זה כאשר עזב חמשה מספרים ולקח מספר יהיו המספרים הלקוחים מרובעים מעוקבים
המשל בו כי מספרי א"בג"דה"ז והאחד יקדם להם נמשכים מתיחסים
הנה אומר כי השלישי מן האחד והוא ב' מרובע
והרביעי מן האחד והוא ג' מעוקב
עוד אחד אחר שנים מעוקב והשביעי מן האחד והוא ז' מרובע מעוקב
עוד אחד אחר מחשה מרובע מעוקב
המופת כי יחס האחד אל א' כיחס א' אל ב' הנה האחד ימנה א' בשיעור מה שימנה א' ב' והאחד ימנה א' בשעור אחדי א'
אם כן א' ימנה ב' בשעור אחדי א'
אם כן א' יוכה בכמוהו ויהיה ב' אם כן ב' מרובע והוא השלישי מן האחד
ויחס ב' אל אל ג' כיחס ג' אל ד' הנה כבר נפל בין ב"ד מספר ג' וימשכו מתיחסים וב' מרובע
אם כן ד' מרובע
וכן יתבאר כי מה שאחר זה מן המספרים כאשר עזב מספר ולקח אחר על ההמשכות יהיו המספרים הלקוחים מרובעים
וגם כן הנה יחס האחד אל א' כיחס ב' אל ג'
אם כן האחד ימנה א' בשעור מה שימנה ב"ג והאחד ימנה א' בשעור אחדי א'
אם כן ב' ימנה ג' בשעור אחדי א'
אם כן א' יוכה בב' ויהיה ג'
אם כן א' יוכה בכמוהו ויהיה ב' ויוכה בב' ויהיה ג'
אם כן ג' מעוקב והוא הרביעי מן האחד
ויחס ג' אל ד' כיחס ד' אל ה' וכיחס ה' אל ז'
הנה כבר נפל בין ג' וז' שני מספרי ד"ה ונמשכו מתיחסים וג' מעוקב אם כן ז' מעוקב
וכן יתבאר כי מה שאחר זה מן המספרים כאשר עזב מהם שני מספרים ולקח מספר יהיו המספרים הלקוחים מעוקבים
ומספר ז' יכנס במספרים המרובעים ובמספרים המעוקבים אם כן הוא מרובע ומעוקב
וז' הוא השביעי מן האחד
וכן יתבאר כי מה שאחר זה מן האחדים אם עזב מהם חמשה מספרים ולקח אחד יהיו המספרים הלקוחים מרובעים מעוקבים
ומ'ש'ל'

Proposition 9
ט כאשר היו מספרים מן האחד נמשכים מתיחסים כמה שיהיו והיה הנמשך אל האחד מרובע הנה הם כלם מרובעים ואם היה הנמשך אל האחד מעוקב הנה הם כלם מעוקבים
המשל בו כי מספרי א'ב'ג'ד' והאחד יקדם להם נמשכים מתיחסים וא' מרובע
הנה אומר כי הנשארים מרובעים
המופת כי א' מרובע וב' מרובע כי הוא השלישי מן האחד ויחס א' אל ב' כיחס ב' אל ג'
אם כן יחס ב' אל ג' הוא יחס מרובע א' אל מרובע ב' וב' מרובע אם כן ג' מרובע
וכן יתבאר כי כל הנשארים מרובעים וגם כן הנה יהיה הנמשך אל האחד מעוקב
הנה אומר כי הנשארים כלם מעוקבים
המופת כי א' הוכה בכמוהו והיה ב' וא' מעוקב
אם כן ב' מעוקב וג' מעוקב כי הוא הרביעי מן האחד ויחס ב' אל ג' כיחס ג' אל ד'
אם כן יחס ג' אל ד' הוא כיחס מעוקב ב' אל מעוקב ג' וג' מעוקב אם כן ד' מעוקב
וכן יתבאר כי כל הנשארים מעוקבים
וזה מ'ש'ל'

Proposition 10
י כאשר היו מספרים מן האחד נמשכים מתיחסים כמה שיהיו והיה הנלוה אל האחד בלתי מרובע הנה יהיו הנשארים אין מהם מספר מרובע כי אם השלישי מן האחד עוד אחר זה אחד בלתי מרובע ואחד מרובע ואם היה הנמשך אל האחד בלתי מעוקב הנה הנשארים אין אחד מהם מספר מעוקב כי אם הרביעי מן האחד עוד אחר זה שנים בלתי מעוקבים ואחד מעוקב
המשל בו כי מספרי א'ב'ג'ד'ה'ז' והאחד יקדם להם נמשכים מתיחסים ואשר ילוה אל האחד והוא א' בלתי מרובע
הנה אומר כי אין מהם מספר מרובע כי אם השלישי מן האחד והוא ב'
עוד אחר זה אחד בלתי מרובע ואחד מרובע
המופת אם לא יהיה כן הנה יהיה ג' מרובע אם יהיה אפשר ויחס א' אל ב' כיחס ב' אל ג'
אם כן יחס א' אל ב' כיחס מרובע ב' אל מרובע ג' וב' מרובע אם כן א' מרובע זה שקר
אם כן אין ג' מרובע
וכן יתבאר כי זולתו בלתי מרובע כי אם השלישי מן האחד
עוד אחד בלתי מרובע ואחד מרובע
וגם כן הנה יהיה א' בלתי מעוקב
הנה אומר כי זולתו מאלו המספרים בלתי מעוקב כי אם הרביעי מן האחד
עוד מה שאחר זה שני מספרים בלתי מעוקבים ומספר מעוקב
המופת כי אם לא יהיה כן הנה יהיה ה' מעוקב אם יהיה אפשר ויחס א' אל ג' כיחס ג' אל ה'
אם כן יחס א' אל ג' כיחס מעוקב ג' אל מעוקב ה' וג' מעוקב אם כן א' מעוקב וזה שקר
אם כן אין ה' מעוקב
וכן יתבאר כי זולתו בלתי מעוקב כי אם הרביעי מן האחד
עוד אחר זה שני מספרים בלתי מעוקבים ומספר מעוקב
ומ'ש'ל'

Proposition 11
יא כאשר היו מספרים נמשכים מן האחד מתיחסים כמה שיהיו הנה הקטן ימנה הרב בשעור מספר מהם
המשל בו כי מספרי א"בג'ד'ה' מן האחד נמשכים מתיחסים הנה נאמר כי הקטן ימנה הרב בשעור מספר מהם
המופת כי מספר ג'ד'ה' כמו מנין האחד וא' וב' על יחס ג'ד'ה' אם כן יחס האחד אל ב' כיחס ג' אל ה' והאחד ימנה ב' בשעור אחדי ב' אם כן ג' ימנה ה' בשעור ב' וזהו שעור ב'
אם כן הקטן ממספרי א'ב'ג'ד'ה' ימנה הרב בשעור מספר מהם
ומ'ש'ל'

Proposition 12
יב כאשר היו מספרים מן האחד נמשכים מתיחסים כמה שיהיו הנה כל מספר ראשון ימנה האחרון מהם הנה הוא ימנה המספר אשר ילוה לאחד
המשל בו כי מספרי א'ב'ג'ד' והאחד יקדם להם נמשכים מתיחסים
הנה אומר כי כל מספר ראשון ימנה האחרון והוא ד' הנה הוא ימנה א' אשר הוא נלוה אל האחד ונאמר שיהיה ה' ראשון וימנה ד'
הנה אומר כי ה' ימנה א'
המופת אם לא יהיה כן הנה לא ימנהו אם יהיה אפשר הנה כל אחד מן א' וה' ראשון אצל האחר
וה' ימנה ד'
הנה ימנה ה' בשעור אחדי ז'
הנה ה' יוכה בז' ויהיה ד'
אבל א' הוכה בג' והיה ד'
אם כן שטח ה' בז' כמו שטח א' בג'
אם כן יחס ה' אל א' כיחס ג' אל ז'
וכל אחד מן א' וה' ראשון אצל האחר
אם כן שניהם שני קטני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשווי הקטן לקטן והרב לרב
אם כן ה' ימנה ג' ויהיו אחדי ח' בשעור מה שימנה הג'
הנה ה' יוכה בח' ויהיה ג'
וא' הוכה בב' והיה ג'
אם כן שטח ה' בח' כמו שטח א' בב'
אם כן יחס ה' אל א' כיחס ב' אל ח' וכל אחד מן א' וה' ראשון אצל האחר
אם כן שניהם שני קטני שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם
אם כן ה' ימנה ב' ויהיו אחדי ט' בשעור מה שימנה ה' ב' הנה ה' יוכה בט' ויהיה כ'
אבל א' הוכה בכמוהו והיה ב' הנה ה' בט' כמו א' בכמוהו
אם כן יחס ה' אל א' כיחס א' אל ט' וכל אחד מן א' וה' ראשון אצל האחר
אם כן שניהם קטני שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם
אם כן ה' ימנה א' וכבר היה שלא ימנהו זה שקר
אם כן כל מספר ראשון ימנה ד' הנה הוא ימנה א' אשר ילוה אל האחד
ומ'ש'ל'

Proposition 13
יג כאשר נתיחסו מספרים מן האחד נמשכים כמה שיהיו והיה הנלוה אל האחד ראשון הנה לא ימנה הרב מהם כי אם מספר מהם
המשל בו כי מספרי א'ב'ג'ד' נמשכים מתיחסים מן האחד ואשר ילוה אל האחד א' והוא ראשון
הנה אומר כי לא ימנה הרב מהם והוא ד' מספר אחר זולת א'ב'ג'
המופת אנחנו נבאר שהוא בלתי אפשר זה שאם היה אפשר זה נאמר שימנהו ה' ואין

ה' כמו אחד מן א'ב'ג'

וה' אם שיהיה ראשון ואם שיהיה מורכב
ואיננו ראשון כי הוא אלו היה ראשון והוא ימנה ד' היה מונה א' אשר ילוה אל האחד אבל הוא לא ימנה א' מפני כי א' ראשון אם כן אין ה' ראשון והנה ימנה ה' אם כן [.] מספר ראשון
והנה אומר שלא ימנהו מספר ראשון כי אם א'
שאם היה אפשר הנה ימנהו כ'
אם כן כ' ימנה ה' וה' ימנה ד'
אם כן כ' ימנה ד'
וכ' ראשון אם כן הוא ימנה א' אשר ילוה אל האחד וא' ראשון זה שקר
אם כן לא ימנהו מספר ראשון כי אם א' וה' ימנה ד' הנה ימנה ד' בשעור אחדי ז'
הנה אומר כי ז' ימנה ג' ושז' איננו כמו אחד מן א'ב'ג' מפני כי ה' ימנה ד' בשעור אחדי ז'
אם כן ה' יוכה בז' ויהיה ד'
אבל א' הוכה בג' והיה ד'
אם כן א' בג' כמו ה' בז'
אם כן יחס א' אל ה' כיחס ז' אל ג'
וא' ימנה ה' אם כן ז' ימנה ג'
ואומר כי ז' אינו כמו אחד מן א'ב'ג'
כי הוא אם כן יתיחס מספרים מן האחד נמשכים הנה הקטן מהם ימנה הרב בשעור אחדי מספר מהם
וז' לא ימנה ד' בשעור אחדי מספר ממספרי א'ב'ג'
כי הוא אם כן ימנה בשעור אחדי מספר ה' ואין ה' כמו אחד מן א'ב'ג'
אם כן ז' אינו כמו אחד מן א'ב'ג'
וכבר התבאר שהוא ימנה ג' וגם כן הנה ז' ימנה ג' נאמר שימנהו בשעור אחדי ח'
ונבאר כמו שבארנו קודם כי א' ימנה ז' וח' ימנה ב' ושא' אינו כמו אחד מן א"ב
אם כן ח' ימנה ב'
ונאמר שימנהו בשעור אחדי ט' וח' ראשון או מורכב
ואם היה ראשון והוא ימנה ב' והנה ח' אינו כמו אחד מן א"ב וח' ימנה ב' הנה הוא ימנה א' וא' ראשון זה שקר
אם כן אין ח' ראשון
ואם היה מורכב נאמר שימנהו מספר ראשון הנה אומר כי לא ימנהו ראשון כי אם א'
מפני שהוא אם היה מספר ראשון ימנה ח' וח' ימנה ב'
אם כן הוא ימנה ב' וימנה א' וא' ראשון זה שקר
אם כן ח' לא ימנהו כי אם א' וא' ימנה ח'
הנה אומר כי ט' אינו כמו הנלוה לאחד ולא ט' ימנה ב' בשעור מספר מן המתיחס כי הוא אמנם ימנהו בשעור ח'
וח' אינו כמו א' וח' ימנה ב' בשעור אחדי ט'
אם כן ח' יוכה בט' ויהיה ב' וא' יוכה בכמוהו ויהיה ב'
אם כן א' בכמוהו כמו ח' בט'
אם כן יחס א' אל ח' כיחס ט' אל א'
וא' ימנה ח' אם כן ט' ימנה א' ואינו כמוהו וזה שקר
אם כן המספרים המתיחסים הנמשכים מן האחד כאשר יהיה אשר ימשך מן האחד ראשון הנה לא ימנה הרב מהם כי אם מספר מהם
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 14
יד כל מספרים ראשונים ידועי המספר הנה יהיה מן המספרים הראשונים מה שהוא יותר מספר מהם
המשל בו כי מספרי א'ב'ג' ראשונים ידועי המספר
הנה אומר כי הנה יהיה במספרים הראשונים מה שהוא יותר מנין מהם
המופת אנחנו נוציא קטן מספר ימנוהו א'ב'ג' והוא ה"ד ונוסיף עליו אחד והוא ה"ז
הנה אם היה ז"ד ראשון הנה כבר התאמת הספור כי אנחנו כבר מצאנו מספר ראשון איננו כמו אחד ממספרי א'ב'ג' והוא ז"ד
ואם היה ז"ד מורכב הנה ימנהו מספר ראשון והוא ח'
הנה אומר כי ח' מספר אחר בלתי שוה לאחד מן א'ב'ג' כי הוא אם היה כמו אחד מהם הנה הוא ימנה ג"ד ה"ד וימנה האחד הנשאר והוא ז' וח' מספר זה שקר
אם כן ח' ראשון ואינו כמו אחד מן א'ב'ג'
אם כן כל מספרים ידועי המספר הנה יהיה מן המספרים הראשונים מה שהוא יותר ממנין מהם
וזה מ'ש'ל'

Proposition 15
טו קטן מספר ימנוהו מספרים ראשונים ידועים הנה לא ימנהו זולתם
המשל בו כי מספר א' הוא קטן מספר ימנהו מספרי ב'ג'ד' הראשונים הידועים
הנה אומר כי הוא לא ימנה א' זולת מספרי ב'ג'ד'
המופת כי זה אי אפשר שאם היה אפשר נאמר שימנהו ה'
ואין ה' כמו אחד מן ב'ג'ד' ויהיו אחדי ז' בשעור מה שימנה ה"א
אם כן ה' הוכה בז' והיה א'
וכל שני מספרים יוכה אחד משניהם באחר [....] ומספר ראשון הנה אותו המספר הראשון ימנה אחד משני המספרים המוכים אם כן ב'ג'ד' [....] וימנו אחד מן ז"ה
ואולם ה' הנה לא ימנוהו כי הוא ראשון אם כן ימנה ז' וכן ג"ד ימנו ז'
אם כן מספרי ב'ג'ד' ימנו ז' והוא קטן מן א' זה שקר כי א' היה קטן מספר ימנוהו מספרי ב'ג'ד'
אם כן לא ימנה א' כי אם ב'ג'ד'
וזה מ'ש'ל'

Proposition 16
יו כאשר היו שלשה מספרים מתיחסים נמשכים והיו קטן המספרים על יחסם הנה כל שני מספרים יתקבצו מהם הנה שניהם מספר ראשון אצל המספר השלישי הנשאר
המשל בו כי מספרי א'ב'ג' השלשה מתיחסים נמשכים והם קטן המספרים על יחסם
הנה אומר כי כל שני מספרים יתקבצו ממספרי א'ב'ג' הנה כלם מספר ראשון אצל המספר השלישי הנשאר
המופת אנחנו נקח קטן שני המספרים על יחס א'ב'ג' והם ז"ה ה"ד הנה כל אחד מן ז"ה ה"ד ראשון אצל האחר
וז"ה אם כן יוכה בכמוהו ויהיה א'
ויוכה בד"ה ויהיה ב'
וגם כן ה"ד יוכה בכמוהו ויהיה ג'
וכל אחד מן ז"ה ה"ד ראשון אצל האחר
אם כן כל ז"ד ראשון אצל ד"ה וה"ז וה"ז ראשון אצל ה"ד
אם כן כל אחד מן ד"ז ז"ה ראשון אצל ד"ה
וכאשר היו שני מספרים ראשונים אצל מספר אחר הנה שטח אחד משניהם באחר ראשון אצל אותו המספר
אם כן משוטח ד"ז בז"ה ראשון אצל ה"ד
וכל שני מספרים יהיה אחד משניהם ראשון אצל האחר הנה מרובע אחד משניהם ראשון אצל האחר
אם כן מרובע ד"ה ראשון אצל משוטח ד"ז בז"ה ומשוטח ד"ז בז"ה ראשון אצל מרובע ה"ד
וכל קו יחלק בשני חלקים
ואם כן הכאת הקו באחד משני החלקים כמו הכאת החלק ההוא בכמוהו ואחד משניהם באחר
אם כן משוטח ד"ז בז"ה כמו מרובע ה"ז וכמו משוטח ז"ה בה"ד
אבל משוטח ד"ה בז"ה הוא ב'
ומרובע ה"ז הוא א' ושניהם יחד כמו משוטח ד"ז בז"ה
אם כן כל א"ב יבדל ממרובע ה"ד בכמוהו
אבל מרובע ה"ד הוא ג'
אם כן כל א"ב ראשון אצל ג' ולכן יהיה כל ג"ב ראשון אצל א'
הנה אומר כי כל א"ג גם כן ראשון אצל ב'
המופת כי כל אחד מן ז"ה ה"ד ראשון אצל האחר וכל ז"ד ראשון אצל כל אחד מן ז"ה ה"ד וכל אחד מן ז"ה ה"ד ראשון אצל ז"ד
וכאשר היו שני מספרים והיה כל אחד משניהם יחד ראשון אצל מספר אחר הנה משוטח אחד משניהם באחר הוא גם כן ראשון אצל המספר ההוא
אם כן משוטח ז"ה בה"ד ראשון אצל ד"ז
וכל שני מספרים אחד משניהם ראשון אצל האחר הנה מרובע אחד מהם ראשון אצל האחר
אם כן מרובע ז"ד ראשון אצל משוטח ז"ה בה"ד
ומרובע ז"ד הוא כמו ז"ה בכמוהו וה"ד בכמוהו
וכפל ז"ה בה"ד יחד אם כן מרובע ז"ה בכמוהו ומרובע ה"ד
וכפל שטח ז"ה בה"ד ראשון אצל שטח ז"ה בה"ד
וכאשר הבדלנו היה מרובע ז"ה ומרובע ה"ד ומשוטח ז"ה בה"ד ראשון אצל משוטח ז"ה בה"ד
וכאשר הבדלנו גם כן היה מרובע ז"ה בכמוהו ומרובע ה"ד בכמוהו יחד ראשון אצל משוטח ז"ה בה"ד אשר הוא ב'
אבל שני מרובעי ז"ה בכמוהו וה"ד בכמוהו הם א' וג'
אם כן כל א' וג' ראשון אצל ב'
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 17
יז כאשר היו שני מספרים והיה כל אחד משניהם ראשון אצל האחר הנה אין יחס הראשון מהם אל השני כיחס השני אל מספר אחר
המשל בו כי כל אחד משני מספרי א"ב ראשון אצל האחר
הנה אומר כי יחס א' אל ב' אינו כיחס ב' אל מספר אחר
המופת כי זה אי אפשר שאם היה אפשר נאמר שיהיה יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ג'
וכל אחד מן א"ב ראשון אצל האחר
אם כן שניהם קטני שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם הקטן לקטן והרב לרב
אם כן א' ימנה ב' וימנה עצמו
אם כן א' ימנה א' וימנה ב' וכל אחד משניהם ראשון אצל האחר זה שקר
אם כן אין יחס א' אל ב' כיחס ב' אל מספר אחר
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 18
יח כאשר היו מספרים מתיחסים נמשכים כמה שהיו וכל אחד משתי הקצוות ראשון אצל האחר הנה אין יחס הראשון אל השני כיחס האחרון אל מספר אחר
המשל בו כי מספרי א'ב'ג' מתיחסים נמשכים וכל אחד משתי הקצוות אשר הם א"ג ראשון אצל האחר
הנה אומר כי יחס א' אל ב' אינו כיחס ג' אל מספר אחר
המופת אם היה אפשר נאמר שיהיה כיחס ג' אל ד'
וכאשר המירונו יהיה יחס א' אל ג' כיחס ב' אל ד' וכל אחד מא"ג ראשון אצל האחר
אם כן שניהם קטן שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם
אם כן א' ימנה ב'
וכאשר היו מספרים מתיחסים נמשכים והיה הראשון ימנה השני הנה הוא ימנה האחר
הנה א' אם כן ימנה ג' וימנה עצמו וכל אחד משניהם ראשון אצל האחר זה שקר
אם כן אין יחס א' אל ב' כיחס ג' אל מספר אחר
ומ'ש'ל'

Proposition 19
יט נרצה לדעת כאשר היו שני מספרים ידועים אם אפשר שיהיה מספר שלישי לשניהם
ונאמר שיהיו שני המספרים הידועים א"ב
ונרצה שנדע אם אפשר שיהיה מספר שלישי מתיחס לשני מספרי א"ב אם היה כל אחד משני מספרי א"ב ראשון אצל האחר הנה לא יהיה אפשר שיהיה מספר שלישי מתיחס לשניהם
ואם לא יהיה כל אחד משני מספרי א"ב ראשון אצל האחר הנה כאשר נכה ב' בכמוהו ויהיה מרובע ג' הנה שהוא אם יהיה א' ימנה ג' הנה אפשר שיהיה מספר שלישי מתיחס לשני מספרי א"ב ואם לא יהיה א' ימנה ג' הנה לא ימצא מספר מתיחס לשניהם
המופת אנחנו נשים א' ראשון ימנה ג' וימנהו בשעור אחדי ד'
אם כן א' כאשר הוכה בד' היה ממנו ג'
וכאשר הוכה ב' בכמוהו היה ג'
אם כן משוטח א' בד' כמו מרובע ב' בכמוהו
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ד'
הנה כבר מצאנו מספר שלישי מתיחס לשני מספרי א"ב והוא ד'
וגם כן הנה אנחנו נשים א' לא ימנה ג'
הנה אומר כי לא ימצא מספר שלישי יתיחס א"ב
שאם היה אפשר נאמר שיהיה מספר ד'
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ד'
ומשוטח א' בד' כמו מרובע ב' ומרובע ב' הוא ג'
אם כן משוטח א' בד' הוא ג'
אם כן א' ימנה ג' וכבר היה שלא ימנהו זה שקר
אם כן אי אפשר שיהיה מספר שלישי מתיחס לשני מספרי א"ב
ומ'ש'ל'

Proposition 20
כ נרצה לדעת כאשר היו שלשה מספרים ידועים אם אפשר שיהיה מספר רביעי יתיחס להם
ויהיו המספרים השלשה א'ב'ג'
ונרצה שנדע אם יהיה מספר רביעי מתיחס אל א'ב'ג'
הנה אם היה כל אחת משתי הקצוות והם א"ג ראשון אצל האחר הנה אין מספר רביעי יתיחס א'ב'ג'
ואם לא יהיה כל אחד מהם מן א"ג ראשון אצל האחר נכה ב' בג' ויהיה ד'
הנה אומר כי אם היה א' ימנה ד' הנה יהיה מספר רביעי יתיחס א'ב'ג'
ואם היה א' לא ימנה ד' הנה לא יהיה מספר רביעי יתיחס א'ב'ג'
המופת אנחנו נשים תחלה א' ימנה ד' וימנהו בשעור אחדי ה' הנה הוא יוכה בה' ויהיה ד' אבל ב' הוכה בג' והיה ד'
אם כן שטח א' בה' כמו שטח ב' בג'
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ה' הנה כבר מצאנו מספר רביעי יתיחס א'ב'ג' והוא ה'
ואם לא יהיה א' ימנה ד' הנה לא יהיה אפשר שימצא מספר רביעי יתיחס א'ב'ג'
המופת אם אפשר נאמר שיתיחס להם ה'
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ה'
הנה שטח א' אם כן בה' כמו משוטח ב' בג'
ומשוטח ב' בג' הוא ד'
אם כן שטח א' בה' הוא ד'
אם כן א' ימנה ד' וכבר היה שלא ימנהו זה שקר
אם כן אי אפשר שיהיה מספר רביעי שלא ימנה א'ב'ג כאשר היה שלא ימנה ג'
ומ'ש'ל'

Proposition 21
When even numbers are summed, as many one pleases, then their sum is an even number. כא כאשר נקבצו מספרי זוגות כמה שהיו הנה קבוצם מספר זוג
המשל בו כי מספרי א"ב ב"ג ג"ד זוגות
הנה אומר כי א"ד זוגות
המופת כי כל אחד מא"ב ב"ג ג"ד זוג
אם כן לכל אחד מהם חצי מאחדי שעורו
הנה לכל א"ד אם כן חצי מאחדי שעורו
אם כן א"ד זוג
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 22
When odd numbers are summed, as many as one pleases, and their multitude is even, then the sum is an even number. כב כאשר נקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו והיה מספרם זוג הנה קבוצם מספר זוג
המשל בו א"ב ב"ג ג"ד ד"ה נפרדים ומספרם זוג
הנה אומר כי קבוץ א"ה זוג
המופת כי כל אחד מהם בינו ובין הזוג אחד
וכאשר נבדל האחד מכל מספר מהם ישארו המספרים זוגות מנינם זוג מפתיחת ז
ומנין האחרים הנבדלים זוג
אם כן א"ה זוג משלפניה
Q.E.D. וזמש"ל

Proposition 23
When odd numbers are summed, as many as one pleases, and their multitude is odd, then the sum is an odd number. כג כאשר נתקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו והיה מספרם נפרד הנה קבוצם נפרד
המשל בו כי א"ב ב"ג ג"ד נפרדים ומנינם נפרד
הנה אומר כי קבוץ א"ד נפרד
המופת כי ג"ד נפרד ונבדל ממנו אחד והוא ד"ה
וישאר ג"ה זוג מפתיחת ז
וא"ג זוג כי הוא יקובץ ממספרים נפרדים מניינם זוג והם א"ב ב"ג משלפניה
אם כן כל א"ה זוג
וה"ד אחד
אם כן א"ד נפרד מכ"א
Q.E.D. ונשלם באורו

Proposition 24
When an even number is subtracted from an even number, then the remainder is even. כד כאשר נבדל ממספר זוג זוג הנה הנשאר זוג
המשל בו כי מספר א"ב זוג וכבר נבדל ממנו מספר זוג והוא ב"ג
הנה אומר כי א"ג הנשאר זוג
המופת כי כל אחד מא"ב ב"ג זוג אם כן לכל אחד מהם חצי מאחדי השלם
אם כן א"ג הנשאר לו חצי מאחדי השלם אם כן הוא זוג
Q.E.D. ונשלם באורו

Proposition 25
When an odd number is subtracted from an even number, then the remainder is odd. כה כאשר נבדל ממספר זוג מספר נפרד הנה הנשאר נפרד
המשל בו כי מספר א"ב זוג וכבר נבדל ממנו מספר א"ג והוא נפרד
הנה אומר כי גם כן ג"ב הנשאר נפרד
המופת כי א"ג נפרד וכאשר חברנו אחד אליו והוא ג"ד היה א"ד זוג
וכאשר נבדל מא"ב אשר הוא זוג א"ד אשר הוא זוג ישאר ד"ב זוג מאשר לפניה
וג"ד אחד אם כן ג"ב נפרד
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 26
When an even number is subtracted from an odd number, then the remainder is odd. כו כאשר נבדל ממספר נפרד מספר זוג הנה הנשאר נפרד
המשל בו כי מספר א"ב נפרד וכבר נבדל ממנו מספר א"ג והוא זוג
הנה אומר כי ג"ב הנשאר נפרד
המופת כי א"ב נפרד וכאשר חברנו אליו אחד והוא ב"ד היה א"ד זוג
וכאשר הבדלנו מא"ד הזוג א"ג הזוג נשאר ג"ד זוג מכ"ד
וב"ד אחד אם כן ג"ב נפרד
Q.E.D. ונשלם באורו

Proposition 27
When an odd number is subtracted from an odd number, then the remainder is even. כז כאשר נבדל ממספר נפרד מספר נפרד הנה הנשאר זוג
המשל בו כי מספר א"ב נפרד וכבר נבדל ממנו ב"ג והוא נפרד
הנה אומר כי א"ג הנשאר זוג
המופת כי כל אחד מן א"ב ב"ג נפרד וכבר נבדל מכל אחד משניהם אחד והוא ב"ד הנה ישאר כל אחד מא"ד ד"ג זוג
וכבר נבדל מא"ד הזוג ד"ג הזוג וישאר א"ג זוג מכ"ד מזה
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 28
When an odd number is multiplied by an even number, then the product is even. כח כאשר הוכה מספר נפרד במספר זוג הנה המקובץ זוג
המשל בו כי מספר א' נפרד והוכה במספר ב' והוא זוג וקובץ ג' אם כן ג' קבוץ

ממספרים נפרדים מנינם זוג אם כן מספר ג' זוג מכ"ב מזה

Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 29
כט כאשר הוכה מספר נפרד במספר נפרד הנה המקובץ נפרד
המשל בו כי מספר א' נפרד וכבר הוכה במספר ב' והוא נפרד והתקבץ ג'
הנה אומר כי ג' נפרד
המופת כי א' הנפרד הוכה בב' הנפרד והתקבץ ג'
אם כן מספר ג' מקובץ ממספרים נפרדים מניינם נפרד אם כן מנין ג' נפרד
וזה מה שרצינו לבאר
ויתבאר ממה שספרנו כי כאשר היה מספר נפרד ימנה מספר זוג הנה הוא ימנהו במספר זוג
המשל בו כי מספר א' נפרד והוא ימנה מספר ב' וב' זוג
הנה אומר כי הוא ימנהו במספר זוג
המופת אנחנו נשים אחדי ג' בשעור מה שימנה א' הנפרד ב' הזוג
הנה א' יוכה בג' והיה ב'
הנה אומר כי ג' זוג ואם לא יהיה כן נאמר שיהיה ג' נפרד
אם א' הנפרד הוכה בג' הנפרד והיה ב' הנה ב' אם כן נפרד זה שקר כי הוא כבר היה זוג אם כן אין ג' נפרד הנה הוא אם כן זוג
אם כן א' ימנה ב' בשעור ג' הזוג
וזה מה שרצינו לבאר
אמר תאבת והתמונה השלשים והאחת ושלשים לא נמצאם בנסחאות אשר היו בהיכל ומצאנו אותם בכפרים

Proposition 30
ל כאשר יהיה מספר נפרד ימנה מספר נפרד הנה הוא ימנהו במספר נפרד
המשל בו כי א' נפרד והוא ימנה ב' וב' נפרד הנה ימנהו בשעור ג'
הנה אומר כי ג' נפרד אי אפשר כי אם זה שאם היה אפשר נאמר שיהיה ג' זוג הנה א' מספר נפרד יוכה בג' הזוג ויהיה ב' הנה ב' אם כן זוג זה שקר כי הוא כבר היה נפרד
אם כן אין ג' זוג הנה הוא אם כן נפרד
אם כן א' ימנה ב' בשעור ג' הנפרד
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 31
לא כאשר היה מספר נפרד ימנה זוג הנה הוא ימנה חציו גם כן ויהיה מספר א' נפרד
ויהיה ב"ג זוג וימנה א' ב"ג ויהיה חצי ב"ג ג"ד
הנה אומר כי א' ימנה ג' ד'
המופת אם הנחנו מספר מה ב'ה'ז' מן האחדים כמו מניין מה שימנה א' מספר ב"ג אם כן מספר ה"ז זוג
ויהיה חציו ז"ח הנה מפני כי א' ימנה ב"ג בשעור האחדים אשר בה"ז יהיה א' אם כן הוכה בה"ז התקבץ ממנו ב"ג ומפני כי חצי ה"ז הוא ח"ז וחצי ב"ג הוא ג"ד יהיה א' כאשר הוכה בז"ח והתקבץ ממנו ג"ד
אם כן א' ימנה ג"ד
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 32
לב כל מספר נפרד יהיה ראשון אצל מספר אחר הנה הוא ראשון אצל כפלו
המשל בו כי מספר א' נפרד והוא ראשון אצל ג"ד ויהיה ג"ה כפל ג"ד
הנה אומר כי א' ראשון אצל הג'
המופת אם היה אפשר שלא יהיה כן הנה ימנה אותם מספר אחד והוא ב'
אם כן ב' ימנה א' הנפרד
הנה ב' אם כן נפרד והוא ימנה הג' הזוג והוא ימנה חציו וימנה א'
אם כן ב' ימנה א' וימנה ד"ג וכל אחד מהם ראשון אצל האחר זה שקר
אם כן לא ימנה א' וה"ג מספר אחר
אם כן כל אחד משניהם ראשון אצל האחר
ומ'ש'ל'

Proposition 33
לג המספרים אשר יכפלו משנים הם זוג הזוג לבד
המשל בו כי מספרי ב'ג'ד' כפולים משנים
הנה אומר כי כל אחד מן ב'ג'ד' הוא זוג הזוג
המופת אנחנו נשים האחד קודם הוא שנים והוא כפל האחד וב' הוא כפל א' וג' כפל ב' וד' כפל ג' הנה כל אחד מן א"ב ג"ד הוא זוג וא' הוא שנים והוא ראשון
וכאשר הגענו [...] מספרים מן האחד נמשכים כמה שהיו והיה אשר ילוה אל האחד מהם ראשון לא ימנה הרב מהם כי אם מספרים מהם
אם כן ד' לא ימנהו אלא מספרים ממספרי א'ב'ג' וכל מספר ימנהו מהם הנה הוא אמנם ימנהו במספר מן א'ב'ג' אשר הם זוגות
אם כן מספר ד' זוג הזוג לבד
שאם היה אפשר שיהיה זוג הזוג וזוג הנפרד הנה ימנה אותם מספר נפרד ויתחייב מזה שיהיה מספר אחד ממספרי א'ב'ג'ד' נפרד וזה בלתי אפשר
אם כן אין אחד ממספרי ב'ג'ד' זוג הנפרד
אם כן אין כל אחד מהם זוג הזוג לבד
וזה מ'ש'ל'

Proposition 34
לד כל מספר חציו נפרד הנה הוא זוג הנפרד לבד
המשל בו כי מספר א"ב חציו נפרד והוא ב"ג
הנה אומר כי א"ב זוג הנפרד לבד
ואולם אם היה א"ב זוג הנפרד הנה הוא מבואר
וזה כי חציו איננו זוג
הנה אומר שהוא אמנם הוא זוג הנפרד לבד
ואם היה אפשר שיהיה עם זה זוג הזוג הנה חציו זוג ואין הדבר כן
אם כן מספר א"ב הוא זוג הנפרד
ומ'ש'ל'

Proposition 35
לה כל מספר זוג איננו כפול משנים ואין חציו נפרד הנה הוא זוג הזוג וזוג הנפרד
ויהיה מספר עליו א"ב ולא יהיה כפול משנים ולא יהיה חציו אשר הוא ג"ב נפרד
הנה אומר כי א"ב זוג הזוג וזוג הנפרד
ואולם היות מספר א"ב זוג הזוג הנה הוא מבואר
וזה כי חציו זוג ואומר כי הוא זוג הנפרד וזה כי אנחנו חלקנו ב"ג בשני חציים וחציו בשני חציים ולא נסור נעשה כמו זה הנה אנחנו נכלה אל מספר נפרד ימנה אשר לפניו וימנה א"ב ולא יכלה אל האחד
כי אנחנו אם כלינו אל האחד הנה א"ב מכפלי השנים וכבר היה שאמרנו שאינו כן ושיכלה אל מספר ימנה אשר ילוה אליו לפניו וימנה א"ב והוא מבואר שהוא ימנה פעמי מספרם זוג
אם כן מספר א"ב זוג הנפרד וכבר היה זוג הזוג
אם כן מספר א"ב זוג הזוג וזוג הנפרד
ומ'ש'ל'

Proposition 36
לו כאשרימשכו מספרים מה על יחס כמה שיהיו המספרים ונבדל מן השני ומן האחרון כמו הראשון הנה יחס הנשאר מן השני אל הראשון כיחס הנשאר מן האחרון אל כל המספרים אשר לפניו כאשר נקבצו
המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד ח"ז ט"נ נמשכים על יחס וכבר נבדל מן ג"ד השני ומן ט"נ האחרון כמו א"ב והם ה"ד מ"נ
הנה אומר כי יחס ג"ה הנשאר מן השני אל א"ב כיחס ט"מ הנשאר מן האחרון אל כל המספרים אשר לפניו והם א"ב ג"ד ז"ח
המופת אנחנו נשים ל"נ כמו ג"ד וכ"נ כמו ז"ח הנה יחס ט"נ אל ז"ח כיחס ז"ח אל ג"ד וכיחס ג"ד אל א"ב וז"ח כמו כ"נ וג"ד כמו ל"נ וא"ב כמו מ"נ
אם כן יחס ט"נ אל כ"נ כיחס כ"נ אל נ"ל וכיחס ל"נ אל מ"נ
וכאשר הבדלנו היה יחס ט"כ אל כ"נ כיחס כ"ל אל ל"נ וכיחס ל"מ אל מ"נ
ויחס אחד מן הקודמים אל אחד מן הנמשכים כיחס כל הקודמים אל כל הנמשכים
אם כן יחס ל"מ אל מ"נ כיחס כל ט"כ כ"ל ל"מ אל כל כ"נ נ"ל מ"נ ול"מ כמו ג"ה כי כל ל"נ כמו ג"ד ומ"נ כמו כל אחד מן א"ב ה"ד מ"נ וישאר ל"מ כמו ג"ה ומ"נ כמו א"ב
אם כן יחס ג"ה אל א"ב כיחס ט"מ אל כל כ"נ ל"נ מ"נ וכ"נ כמו ח"ז ול"נ כמו ג"ד ומ"נ כמו א"ב
אם כן יחס הנשאר מן ג"ד השני אל א"ב כיחס הנשאר מן ט"נ האחרון אל כל ז"ח ג"ד א"ב והם המספרים אשר לפני ט"נ
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 37
לז כאשר היו מספרים נמשכים על יחס הכפל מתחילים מן האחד כמה שהיו אחר כן יקובצו יחד והאחד עמהם והיה כל זה מספר ראשון אחר כן הוכה אותו המספר הראשון באחרון מן המספרים אשר נקבצו הנה המספר אשר יתקבץ מן ההכאה הוא מספר שלם
המשל בו כי מספרי א"ב ג"ד נכפלו מן האחד אחר כן נקבצו והאחד עמהם והיו מספר ה' והוא ראשון הנה כאשר הוכה ה' במספר האחרון והוא ד' היה ז"ח
הנה אומר כי ז"ח מספר שלם
המופת שילקח מה' מספרים על יחס א"ב ג"ד ועל מניינם והם ה מ'
אם כן א"ב ג"ד על יחס ה מ' ועל מניינם
אם כן יחס א' אל ד' כיחס ה' אל מ'
אם כן ה' בד' כמו א' במ'
אבל ה' בד' הוא ז"ח
אם כן א' במ' הוא ז"ח וא' הוא שני
אם כן ז"ח כפל מ' ומ' כפל ל' ול' כפל ט"כ וט"כ כפל ה'
ואם כן החמשה מספרים אשר הם ה' ט"כ ל' מ' ז"ח מתיחסים נמשכים
וכאשר נבדל מן השני והאחרון כמו הראשון הנה יחס הנשאר מן השני אל הראשון כיחס הנשאר מן האחרון אל כל המספרים אשר לפניו כאשר נקבצו ונבדל מכל אחד מן ט"כ ז"ח כמו ה' והם כ"ס ע"ח
אם כן יחס הנשאר מן ט"כ והוא ט"ס אל ה' כיחס הנשאר מן ז"ח והוא ז"ע אל כל מ"ל ט"כ ה'
וט"כ כפל ה' וס"כ כמו ה'
אם כן ט"ס כמו ה'
וז"ע אם כן כמו כל מ"ל ט"כ ה' וה' כמו כל ד"ג ב"א והאחד עמהם והוא גם כן שוה לע"ח
אם כן ע"ח שוה לכל ד"ג ב"א והאחד עמהם
וז"ע כבר התבאר שהוא שוה לכל מ"ל ט"כ ה'
אם כן כל ז"ח שוה לכל מ"ל ט'כ' ה' ד"ג ב"א והאחד עמהם
הנה אומר כי לא ימנה ז"ח מספר אחר זולת ד"ג ב"א ה'ט'ב' ל"ח והאחד
המופת כי הוא אי אפשר שאם היה אפשר הנה ימנהו זולתם והוא נ' וימנהו במספר אחדי פ'
אם כן פ' יוכה בנ' ויהיה ז"ח
אם כן שטח פ' בנ' כמו משוטח ה' בד'
אם כן יחס פ' אל ק' כיחס ד' אל נ'
ונ' אינו אחד מן א"ב ג'
אם כן נ' לא ימנה ד'
אבל יחס נ' אל ד' כיחס ה' אל פ'
אם כן ה' לא ימנה פ' וה' ראשון
אם כן כל אחד מן פ' וה' ראשון אצל האחר
אם כן שניהם קטני שני מספרים על יחס שניהם וימנו כל שני מספרים על יחס שניהם בשווי הקטן לקטן והרב לרב
אם כן פ' ימנה ד'
וכאשר התיחסו מספרים מן האחד נמשכים כמה שהיו והיה אשר ילוה אל האחד ראשון הנה הוא לא ימנה אחד מהם כי אם המספרים מן היחס ההוא
אם כן מספר ד' לא ימנוהו כי אם המספרים ממספרי א'ב'ג'
אם כן מספר פ' אחד ממספרי א'ב'ג'
ויהיה ב' וילקח מן ה' מן המספרים על מנין ב'ג'ד' והם ה"ט כ"ל והם על יחס ב'ג'ד'
אם כן יחס ב' אל ד' כיחס ה' אל ל'
אם כן ה' בד' כמו ב' בל'
אבל ה' בד' כמו ב' בנ' והוא ז"ח
אם כן ב' בל' כמו פ' בנ' והוא ז"ח
אם כן יחס ב' אל פ' כיחס נ' אל ל'
ופ' הוא ב'
אם כן נ' הוא ל' וכבר היה נ' אינו אחד מן א"ב ג"ד ה'ט'כ' ל"מ זה שקר
אם כן ז"ח לא ימנהו מספר אחר כי אם א'ב'ג'ד' ה"ט כ'ל'מ' והאחד וז"ח שוה לכלם והאחד עמהם
אם כן ז"ח מספר שלם שוה לכל חלקיו
ומ'ש'ל'
נשלם המאמר התשיעי

Book Ten

 המאמר העשירי

Definitions
  • Those that have magnitudes, as lines, surfaces, and solids, that are said to be commensurable, are those that are measured by the same measure.
 בעלי השעורים מן הקוים והשטחים והמוגשמים אשר יאמר להם המשותפים הם אשר ישער אותם כלם שעור אחד
  • Those that are said to be incommensurable are those that cannot be measured the same measure.
 ואשר יאמר להם בלתי משותפים הם אשר לא ישער אותם כלם שעור אחד
  • Straight lines are said to be commensurable in square, when the squares that are generated from them are measured by the same area.
 והקוים הישרים יאמר להם המשותפים בכח כאשר היה למרובעים ההווים מהם שטח ישער אותם
  • They are said to be incommensurable in square, when the squares that are generated from them cannot be measured by the same area.
 ויאמר להם בלתי משותפים בכח כאשר לא יהיה למרובעים ההווים מהם שטח ישער אותם
וכאשר היה זה כן הנה נבאר כי כאשר התחיל והניח קו ישר הנה לו קוים ישרים אין תכלית לרבויים בלתי משותפים לו קצתם באורך לבד וקצתם באורך והניח יחד
ויגיע לקו הישר אי זה קו שיהיה ממה שיתחיל הנחתו וישים תחלה המדבר
הנה הקוים המשותפים לו הם המדברים
ואשר בלתי משותפים לו בלתי מדברים
והקו כאשר היה ממנו מרובע ידובר בו הנה המרובעים המשותפים למרובע ההוא ידובר בהם והבלתי משותפים בלתי מדברים
והקוים אשר מהם אלו המרובעים הם כן בלתי מדברים
והקו אשר מרובעו בלתי מדבר הנה הוא גם כן בלתי מדבר

Proposition 1
When unequal magnitudes are given, and we subtract from the greater a magnitude greater than its half, and from the remainder a magnitude greater than its half, and if this subtraction is repeated continually, then there will be left a magnitude that is less than the smaller given magnitude. א כאשר היו שעורים מונחים בלתי שוים ונבדיל מהגדול משניהם יותר מחציו וממה שישאר יותר מחציו ונבדל בו תמיד הנה ישאר ממנו שעור מה יותר קטן מהשעור המונח
ויהיו שני שעורים בלתי שוים והם א"ב וג' ויהיה היותר קטן מהם ג'
הנה אומר כי כאשר הובדל מא"ב יותר מחציו ועשה כן פעמים רבות תמיד הנה ישאר שעור מה יותר קטן מג'
\scriptstyle\left(n\sdot G\right)>AB\quad n\sdot G=DH וזה כי ג' כאשר הוכפל פעמים הנה הוא יהיה יותר גדול מא"ב ויהיה מה שיתקבץ ממנו ד"ה
ויתחלק ד"ה בדמיוני ג' והם ד"ז וז"ח וח"ה
\scriptstyle BT>\frac{1}{2}AB ונבדל מא"ב יותר מחציו והוא ב"ט
\scriptstyle TK>\frac{1}{2}AT ומא"ט יותר מחציו והוא ט"כ
ונבדיל זה תמיד עד שיהיה מנין מה שיתחלק בו א"ב שוה למספר חלקי ד"ה
\scriptstyle AB=AK+KT+TB ויהיו החלקים אשר מא"ב א"כ כ"ט ט"ב
\scriptstyle AK=SN=NM=ML ויהיה א"כ שוה לכל אחד מן ס"נ נ"מ ומ"ל
SN, NM, ML are equal in multitude with DZ, ZC, CH ויהיה סך ס"נ ונ"מ ומ"ל כמו סך ד"ז וז"ח וח"ה
\scriptstyle TB>\frac{1}{2}AB\longrightarrow BT>TA הנה מפני כי ט"ב יותר מחצי א"ב יהיה ב"ט יותר גדול מט"א
BT is much greater than AK ויהיה ב"ט יותר גדול הרבה מא"כ
\scriptstyle AK=LM\longrightarrow BT>LM אבל א"כ כמו ל"מ אם כן ב"ט יותר גדול מל"מ
\scriptstyle KT>\frac{1}{2}TA\longrightarrow TK>KA וגם כן הנה מפני כי כ"ט גם כן יותר גדול מחצי ט"א יהיה ט"כ יותר גדול מן כ"א
\scriptstyle KA=MN\longrightarrow TK>MN אבל כ"א כמו מ"נ אם כן ט"כ יותר גדול ממ"נ
\scriptstyle KT>LM וכבר התבאר כי כ"ט גם כן יותר גדול מל"מ
\scriptstyle KA=NS וכ"א כמו נ"ס
\scriptstyle AB>SL אם כן כל א"ב יותר גדול מכל ס"ל
\scriptstyle DH>AB וד"ה יותר גדול מן א"ב
DH is much greater than LS אם כן ד"ה יותר גדול הרבה מן ל"ס
\scriptstyle LS<DH ויהיה ל"ס יותר קטן מד"ה
  • \scriptstyle SN=NM=ML
 ומפני כי שעורי ס"נ ונ"מ ומ"ל שוים
  • SN, NM, ML are equal in multitude with DZ, ZC, CH
 וסך ס"נ ונ"מ ומ"ל שוים לסך ד"ז וז"ח וח"ה
ויהיה יחס אחד מהקודמים אל אחד מהנמשכים כיחס כל הקודמים אל כל הנמשכים מג' מה'
\scriptstyle SN:DZ=SL:DH
 הנה יחס ס"נ אל ד"ז כיחס ס"ל אל ד"ה
\scriptstyle SL<DH\longrightarrow SN<DZ
 וס"ל יותר קטן מד"ה אם כן ס"נ יותר קטן מד"ז מד' מה'
  • \scriptstyle SN=AK
 ואולם ס"נ הנה הוא כמו א"כ
  • \scriptstyle DZ=G
 ואולם ד"ז הנה הוא כמו ג'
\scriptstyle AK<G
 אם כן א"כ יותר קטן מג'
אם כן א"ב כבר נשאר ממנו שעור יותר קטן מג' אשר הוא היותר קטן משני השעורים
Q.E.D. וזה מש"ל

Proposition 2
ב כאשר היו שעורים מונחים בלתי שוים ויחוסר הקטן מהגדול ויעשה כמו זה למה שיגדל משניהם ולא נסור לחסר ביניהם ולא יכלו אל יתרון משניהם ישער אשר נבדל לפניו הנה השני שעורים בלתי משותפים
ויהיו השני שעורים בלתי שוים והם א"ב וג"ד ונבדל קטן שני שעורי א"ב וג"ד מהגדול משניהם ונעשה כמו זה כמה שיותיר משניהם ולא יסורו יחסרו ולא יכלו אל יתרון ישער אשר נבדל לפניו
הנה אומר כי שני שעורי א"ב וג"ד בלתי משותפים וזה כי הם אם היו משותפים היה להם שעור מה שישער אותם ויאמר שישער אותם ט' וישער ג"ד ב"ה ויותיר קטן ממנו והוא הא' וישער א"ה ד"ז ויותיר הקטן ממנו והוא ז"ג וישער ז"ג ה"ח ויותיר קטן ממנו והוא ח' א' ויובדל זה תמיד עד שיותיר קטן מט' ויותיר קטן ממנו והוא א"ח הנה מפני כי ט' ישער ג"ד וג"ד ישער ב"ה אם כן ט' ישער ב"ה והוא גם כן ישער כל א"ב הנה הוא אם כן ישער הנשאר אשר הוא א"ה אבל א"ה ישער ד"ז אם כן ט' ישער ז"ד והוא גם כן ישער כל ג"ד הנה הוא אם כן ישער הנשאר אשר הוא ג"ז וכל ג"ז ישער ה"ח אם כן ט' ישער ה"ח והוא ישער כל א"ה הנה אם כן ישער הנשאר אם הוא א"ח הגדול לקטן וזה בלתי אפשרי
אם כן אין לשני שעורי א"ב ג"ד שעור ישתף שניהם
אם כן שעורי א"ב וג"ד בלתי משותפים
וזה מש"ל

Proposition 3
ג נרצה שנמצא שיעור יותר גדול משותף ישער שני שעורים משותפים ידועים בלתי שוים
ויהיו שני שעורים הידועים המשותפים אשר הם בלתי שוים א"ב ג"ד ונרצה שנמצא גדול שעור משותף ישער שניהם
אם כן ג"ז הוא השיעור היותר גדול משותף אשר ישער שני שעורי א"ב וג"ד אם היה ג"ד לא ישער א"ב
ואולם אם היה ג"ד ישער א"ב הנה ג"ד הוא השיעור היותר גדול משותף אשר ישער שני שיעורי א"ב וג"ד
ונשלם באורו
ובכאן התבאר כי כאשר היה שעור ישער שני שיעורים הנה הוא ישער שיעור היותר גדול המשותף אשר ישער שניהם

Proposition 4
ד נרצה שנמצא שיעור יותר גדול משותף ישער שלשה שיעורים ידועים בלתי שוים משותפים
ויהיו השיעורים השלשה הידועים המשותפים אשר הם בלתי שוים א' וב' וג'
ונקח השיעור היותר גדול משותף אשר ישער שני שיעורי ד' וג' ויהיה ז'
הנה מפני כי ז' ישער ד' וד' ישער א' וב' הנה שיעור ז' ישער א' וב' והוא גם כן ישער ג'
אם כן ז' הוא השיעור היותר גדול המשותף אשר ישער א' וב' וג' אם לא ישער ד"ג
ואם היה ד' ישער ג' הנה ד' הוא השיעור היותר גדול המשותף אשר ישער א' וב' וג'
וזה מש"ל

Proposition 5
ה השיעורים המשותפים יחס קצתם אל קצת כיחס מספר אל מספר
ויהיו שני שעורים משותפים והם א' וב'
הנה אומר כי יחס א' אל ב' כיחס מספר אל מספר
הנה מפני כי שיעורי א' וב' משותפים הנה ישער שניהם שיעור מה וישער שניהם שיעור ה'
וכבר התבאר גם כן כי יחס א' אל ה' כיחס ג' אל האחד
הנה ביחס השווי יהיה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
וזה מש"ל

Proposition 6
ו השיעורים אשר יחס קצתם אל קצת כיחס מספר אל מספר הם משותפים
ויהיה יחס א' אל ב' כיחס מספר ג' אל מספר ד'
הנה אומר כי א' משותף אל ב'
וזה כי אנחנו נחלק א' לחלקים בשיעור האחדים אשר בג' ויהיה ה' שוה לאחד מחלקיו
ונניח האחד הנה מפני כי א' כבר חולק לחלקים כמנין מה שבג' מהאחדים ואחד מחלקיו הוא כמו ה' יהיה חלק האחד ממספר ג' כמו חלק ה' מא'
אם כן יחס האחד אל ג' כיחס ה' אל א'
ויחס מספר ג' אל מספר ד' כיחס א' אל ב'
אם כן ביחס השווי יהיה יחס אחד אל מספר ד' כיחס ה' אל ב' והאחד ימנה ד'
אם כן ה' ימנה ב' והוא גם כן ימנה א' אם כן א' משותף לב' ונשלם ביאורו
ובחלוף יהיה יחס א' אל ה' כיחס ג' אל האחד
וכן גם כן יהיה יחס ה' אל ז' כיחס האחד אל הד'
אם כן יחס א' אל ז' כיחס ג' אל ד'
וכבר היה יחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד'
אם כן יחס א' אל ז' ואל ב' אחד
אם כן ז' כמו ב' וא' וז' משותפים
אם כן א' וב' גם כן משותפים
וזה מש"ל

Proposition 7
ז המרובעים ההוים מהקוים הישרים המשותפים באורך יחס קצתם אל קצת כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע והמרובעים אשר יחס קצתם אל קצת כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע הנה צלעות שניהם משותפות באורך
וגם כן הנה אנחנו נשים יחס המרובע ההוה מא' אל המרובע ההוה מב' אינו כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
הנה אומר כי א' וב' בלתי משותפים באורך
המופת כי הוא בלתי אפשר כי אם היה אפשר הנה שניהם משותפים באורך וכאשר היו כן הנה יחס המרובע ההוה מא' אל המרובע ההוה מב' כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע ואינו כן
אם כן א' בלתי משותף אל ב' באורך
וזה מש"ל

Proposition 8
ח כאשר היו ארבעה שיעורים מתיחסים והיה הראשון משותף לשני הנה השלישי משותף לרביעי ואם היה הראשון בלתי משותף לשני הנה השלישי בלתי משותף לרביעי
ויהיו ארבעה שיעורים מתיחסים והם א' וב' וג' וד' ויחס א' אל ב' כיחס ג' אל ד' ויהיה א' משותף אל ב'
הנה אומר כי ג' משותף אל ד'
אבל א' בלתי משותף אל ב'
אם כן אין ג' משותף אל ד'
וזה מש"ל

Proposition 9
ט נרצה שנמצא שני קוים ישרים בלתי משותפים לקו ישר ידוע אחד מהם באורך לבד והאחר באורך ובכח
ויהיה הקו הישר הידוע א' ונרצה שנמצא לקו א' הישר שני קוים ישרים בלתי משותפים אליו אחד משניהם באורך לבד והאחר באורך ובכח
אם כן א' בלתי משותף אל ה' בכח
הנה כבר מצאנו לקו א' הידוע שני קוים בלתי משותפים אליו אולם באורך לבד ד' ואולם באורך והכח ה'
וזה מש"ל

Proposition 10
י השיעורים המשותפים לשיעור א' הנה קצתם משותף לקצת
ויהיה כל אחד מא"ג משותף אל ב'
הנה אומר כי א' משותף אל ג'
הנה מפני כי א' משותף אל ב' יהיה יחס א' אל ב' כיחס מספר ד' אל מספר ה'
וכן גם כן התבאר כי יחס ב' אל ג' כיחס כ' אל ל' הנה כיחס השווי יהיה יחס א' אל ג' כיחס ט' אל ל'
אם כן יחס א' אל ג' כיחס מספר ט' אל מספר ל'
אם כן א' משותף אל ג'
וזמש"ל

Proposition 11
יא כאשר היו שני שיעורים משותפים והורכבו הנה כלל שניהם משותף לכל אחד משניהם ואם היה הכל משותף לאחד משניהם השני שיעורים הראשונים משותפים
ויהיו שני שיעורים משותפים עליהם א"ב וב"ג
הנה אומר כי כל א"ג משותף לכל אחד מא"ב וב"ג
ונאמר שיהיה שיעור ד' הנה מפני כי ד' ישער כל אחד משני שיעורי א"ג וב"ג הנה הוא ישער הנשאר אשר הוא א"ב והוא גם כן שיעור ד' ישער שני שיעורי א"ב ב"ג אם כן א"ב משותף אל ב"ג
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 12
יב כאשר היו ארבעה קוים מתיחסים והיה הראשון משניהם יוסיף על השני בכח ורוצה באומרו בכח כי מרובעו יוסיף על מרובעו כמו מרובע יהיה מקו משותף לו באורך הנה השלישי יוסיף על הרביעי בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף לו באורך ואם היה הראשון יוסיף על השני בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך הנה השלישי יוסיף על הרביעי בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
ואם היה בלתי משותף אל ה' הנה ג' בלתי משותף אל ז'
וזה מש"ל

Proposition 13
יג כאשר היו שני קוים ישרים בלתי שוים וחובר אל היותר ארוך משניהם שטח שוה לרביע המרובע ההוה מהקו הקצר יחסר משלימות הקו שטח מרובע הנה אם חולק הקו היותר ארוך בשני חלקים משותפים הנה הקו היותר ארוך יוסיף על הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף לקו הארוך ואם היה הקו הארוך יוסיף על קו הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף לקו הארוך הנה אם חובר מהארוך שטח שוה לרביע המרובע ההוה מהקו הקצר וחסר משלימות הקו שטח מרובע הנה יחלק הקו בשני חלקים משותפים
ויהיו שני קוי ישרים עליהם א"ב וגו
הנה אומר כי א"ב יוסיף על ג' בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף לקו א"ב ויהיה ד"ה כמו ב"ד הנה מפני כי קו א"ד כבר חולק בשני חלקים איך שנפל על ה' ונוסף באורכו כמו אחת משתי החלוקות והוא ד"ב יהיו ארבעה דמיוני השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ד וד"ה עם המרובע ההוה מהא' שוה למרובע ההוה מקו א"ב
וזה כי אנחנו כאשר הלכנו כמו הדרך הקודם הנה נבאר בזה כי א"ב יוסיף על ג' בכח כמו המרובע ההוה מא"ה ויהיה א"ב משותף אל ב"ד באורך וישאר ה"ב גם כן משותף אל א"ב וה"ב כפל ב"ד אם כן א"ב משותף אל ב"ד באורך
וכאשר הבדלנו יהיה א"ד משותף אל ב"ד באורך
וזה מש"ל

Proposition 14
יד כל שני קוים בלתי שוים יחובר אל הארוך שטח שוה לרביע המרובע ההוה מהקו הקצר יחסר משלימות הקו שטח מרובע ויחלק הקו הארוך לשני חלקים בלתי משותפים הנה הקו הארוך יוסיף על הקו הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו בלתי משותף אליו באורך
ויהיו שני קוי א' וב"ג בלתי שוים והקצר משניהם קו א' ונחבר אל ב"ג הארוך שטח שוה לרביע המרובע ההוה מקו א' יחסר משלימות שטח מרובע והוא שטח ב"ד בד"ג ויהיה ב"ד בלתי משותף אל ד"ג באורך
הנה אומר כי ב"ג יוסיף על א' בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
המופת שאנחנו נשים ד"ה כמו ג"ד והתבאר כמו שביארנו בתמונה הקודמת כי ב"ג יוסיף על א' בכח כמו המרובע ההוה מב"ה
[הנה אומר] כי ב"ג בלתי משותף אל ב"ה באורך כי אלו היה משותף אל ב"ה היה ב"ד משותף אל ד"ג ואין זה כן
אם כן לא ישתתף אליו באורך
וגם כן הנה אנחנו נשים ב"ג יוסיף על א' בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף אל ב"ג באורך
אם כן אין ב"ד משותף אל ד"ג באורך
הנה הוא אם כן בלתי משותף אליו באורך
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 15
טו כל שטח נצב הזויות יקיפו בו שני קוים ישרים משותפים באורך מדברים הנה הוא מדבר
ויקיפו שני קוי ב"א וא"ג הישרים אשר ידבר לשניהם בשטח ב"ג
הנה אומר כי שטח ב"ג מדבר ונעשה על קו א"ב מרובע עליו ב"ד הנה מרובע ב"ד מדבר
הנה שטח ב"ד משותף לשטח ב"ג ומרובע ב"ד מדבר
אם כן שטח ב"ג מדבר
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 16
יו כאשר חובר שטח מדבר אל קו מדבר הנה הוא יחדש רוחב מדבר ישתתף אל הקו אשר חובר אליו השטח באורך
ויהיה הקו המדבר א"ב והשטח המדבר אשר חובר אליו ב"ג ויחדש ב"ג רוחב א"ג
המופ' הנה אומר כי א"ג מדבר משותף לקו א"ב באורך
אם כן קו ד"א מדבר משותף לקו א"ג וקו ד"א מדובר
אם כן קו א"ג מדובר והוא משותף לקו ב' בארך
וזה מש"ל

Proposition 17
יז כאשר היה שטח נצב הזויות יקיפו בו שני קוים ישרים מדברים בכח והיו בהם לבד משותפים הנה הוא בלתי מדבר והקו הישר אשר יחזיק עליו גם כן בלתי מדבר ויקרא הממוצע
ויקיפו בשטח ב"ג שני קוי ב"א א"ג הישרים ויהיו בכח מדברים ובהם לבד משותפים
אם כן ד"ב בלתי משותף אל ב"ג וד"ב מדבר
אם כן ב"ג בלתי מדבר והקו אשר יחזיק עליו גם כן בלתי מדבר ויקרא הממוצע
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 18
יח כאשר יחובר אל קו מדבר שטח שוה למרובע יהיה מקו ממוצע הנה יתחדש ממנו רוחב מדובר בכח והוא באורך בלתי משותף לקו אשר חובר אליו השטח
ויהיה קו א' ממוצע והקו המדבר ב"ג
ויהיה זה השטח אשר יחזיק עליו קו א' שטח ה"ח והוא יקיפו בו שני קוי ה"ז וז"ח ושניהם מדברים בכח בהם לבד משותפים וא' גם כן יחזיק על ג"ד הנה ג"ד כמו ה"ח וזויותיו כמו זויותיו והשטחים הנכחי הצלעות השוים אשר זויותיהם שוות צלעות שניהם המקיפות בזויות השוות מספיקות
אם כן קו ד"ב בלתי משותף לקו ב"ג באורך
אם כן קו ד"ב מדבר בכח והוא בלתי משותף לקו ב"ג באורך
וזה מש"ל

Proposition 19
יט כל קו משותף לממוצע הנה הוא ממוצע
ויהיה א' ממוצע ויהיה משותף לקו ב'
הנה אומר כי ב' ממוצע ויהיה קו ג"ד מדבר ונחבר אל קו ג"ד שטח שוה למרובע ההוה מא' והוא שטח ד"ה
וקו ב' יחזיק על שטח ד"ז
אם כן קו ב' בלתי מדבר ויקרא ממוצע
וזה מש"ל

Proposition 20
כ יתרון הממוצע על הממוצע בלתי מדבר
ויהיה שטח א"ב ממוצע ושטח א' ממוצע ויותיר מה שבין שניהם שטח ב'
הנה אומר כי ב' בלתי מדבר
שאם היה אפשר שלא יהיה כן נאמר שיהיה מדבר ויהיה קו ג"ד גם כן מדבר
ולכן יהיה שטח ג"ז בז"ה בלתי משותף למרובע ההוה מז"ה
ואולם שטח ג"ז בז"ה הוא משותף לכפל שטח ג"ז בז"ה
ואולם המרובע ההוה מז"ה הנה הוא משותף למרובע ההוה מג"ז
אם כן המרובע ההוה מג"ה בלתי מדבר וזה בלתי אפשר מפני כי ג"ה מדבר בכח
אם כן אין תוספת הממוצע על הממוצע שטח מדבר וזה מש"ל

היה שעור אחד בלתי משותף לשני שעורים לכל אחד בעצמו והיו שני השעורים ההם משותפים הנה הוא בלתי משותף לשניהם מקובצים . דמיון זה כי שעור א' בלתי משותף לשעור ב' ולשעור ג' ושני שעורי ב"ג משותפים ואומר כי א' בלתי משותף לשני ב"ג מקובצים . המופת שאי אפשר בלתי זה . שאם היה אפשר הנה יהיה ב' משותף לג' אם כן הוא משותף לכל ב"ג וא' משותף לכל ב"ג אם כן ב"ג משותף לשני שעורי א"ב אם כן א"ב משותפים זה שקר אם כן אין א' משותף לכל ב"ג ומ'ש'ל'

Proposition 21
כא נרצה שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח מדבר
ויהיו שני קוים משותפים בכח לבד וידובר בשניהם בו והם א' וב' ויהיה המרובע ההוה מג' שוה לשטח ההוה מא' בב'
אם כן שני קוי ג' וד' ממוצעים ושניהם משותפים בכח לבד ויקיפו בשטח מדבר והוא שטח ג"ד
וזה מש"ל

Proposition 22
כב נרצה שנבאר איך נמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח ממוצע
ויהיו שלשה קוים בכח לבד מדברים משותפים והם א'ב'ג' ויהיה המרובע ההוה מד' שוה לשטח ההוה מא' בב'
אם כן השטח ההוה מד' בה' ממוצע
ומפני כי השטח ההוה מא' בב' שוה למרובע ההוה מד' והשטח ההוה מב' בג' שוה לשטח ההוה מד' בה' יהיה יחס השטח ההוה מא' בב' אל המרובע ההוה מד' כיחס השטח ההוה מב' בג' אל השטח ההוה מד' בה'
אם כן קו ד' משותף לקו ה' בכח לבד וקו ד' ממוצע אם כן ה' ממוצע
אם כן שני קוי ד"ה ממוצעים משותפים בכח לבד ויקיפו בשטח ד' בה' אשר הוא ממוצע
וזה מש"ל

Proposition 23
כג כאשר הקיפו בשטח נצב הזויות שני קוים ממוצעים משותפים לבד בכח הנה השטח ההוא אם שיהיה מדבר ואם שיהיה ממוצע
ויקיף בשטח ב"ג שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד והם ב"א וא"ג
אם כן שטח כ"ל אם שיהיה מדבר ואם שיהיה ממוצע וכ"ל כמו ב"ג
אם כן שטח ב"ג אם שיהיה מדבר ואם שיהיה ממוצע
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 24
כד נרצה שנמצא שני קוים מדברים בכח משותפים בהם לבד ויוסיף היותר ארוך משניהם על הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
ויהיו שני מספרים מרובעים והם א"ב וא"ג ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם והוא ב"ג מרובע
מפני כי יחס א"ב אל ב"ג כיחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מד"ז ויחס א"ב אל ב"ג כיחס מספר אל מספר ולא יהיה כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
אם כן יחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מז"ה כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע הנה קו ד"ה משותף לקו ז"ה באורך
אם כן קו ד"ה יוסיף על קו ד"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו משותף אליו באורך
וזמש"ל
ומצאתי אני המעתיק זאת הנסחא בשני ספרים אחרים במקום מה שסיימתי כן
אם כן יחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מד"ז כיחס מספר אל מספר ולא יהיה כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
ומפני כי יחס א"ב אל ב"ג כיחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מד"ז והיה כאשר הפכנו יחס א"ב אל א"ג כיחס המרובע ההוה מד"ה אל המרובע ההוה מז"ה וכו' כמו שהשלים

Proposition 25
כה נרצה שנמצא שני קוים מדברים בכח ומשותפים בהם לבד ויוסיף הארוך משניהם על הקצר בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
ויהיו שני מספרים בלתי מרובעים והם א"ג ג"ב ויהיה קבוץ שניהם קו א"ב ואינו מרובע ויהיה קו ד"ה מדבר ונקוה עליו חצי עגולה דז"ה
אם כן קו ד"ה בלתי משותף לקו ז"ה באורך
אם כן קו ד"ה יוסיף על קו ד"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו בלתי משותף אליו באורך
וזה מש"ל

Proposition 26
כו נרצה שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח מדבר ויוסיף אחד משניהם על האחר בכח בתוספת מרובע מקו ישתתף עמו באורך
ויהיו שני קוים מדברים בכח ובהם לבד משותפים והם א"ב ויוסיף הגדול מהם והוא א' על הקטן והוא ב' כמו מרובע מקו ישתתף עמו באורך ונקח מה שבין שני קוי א' וב' קו מתיחס להם והוא ג'
ויהיה יחס ב' אל ד' כיחס א' אל ג'
אם כן שני קוי ג' וד' ממוצעים בכח ובהם לבד משותפים ויקיפו בשטח מדבר ויוסיף ג' על ד' בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
וזה מש"ל

Proposition 27
כז נרצה שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח מדבר ויוסיף אחד משניהם על האחר כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
ומעשה זה יתבאר כמו שבארנו על התמונה אשר לפני זאת כאשר נשים שני הקוים הראשונים אשר בהם עשינו זה מדברים בכח משותפים בה יוסיף הגדול משניהם על הקטן כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 28
כח נרצה שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח ממוצע ויוסיף אחד משניהם על האחר כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
ויהיו שלשה קוים מדברים בכח ויהיו בו לבד משותפים והם א' וב' וג'
ומפני כי יחס א' אל ג' כיחס ד' אל ה' וקו א' יוסיף על קו ג' בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך הנה שני קוי ד"ה ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בממוצע ויוסיף ד' על ה' בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עליו באורך
וזה מש"ל

Proposition 29
כט נרצה שנמצא שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד יקיפו בשטח ממוצע ויוסיף אחד משניהם על האחר בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו בארך
והמעשה הזה יתבאר כמו שהתבאר מעשה התמונה אשר לפני זאת כאשר יעשה השלשה קוים אשר בהם עשינו אותו מדברים בכח משותפים השיעור בו לבד יוסיף אחד משניהם על האחר בכח כמו מרובע יהיה בקו ולא ישתתף עמו באורך
וזה מש"ל

Proposition 30
ל נרצה שנמצא שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם יהיה מה שיתקבץ מדבר ויהיה כפל השטח אשר יקיפו בו ממוצע
ויהיו שני קוים מדברים בכח ובו לבד משותפים והם א"ב ב"ג
וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם יהיה מה שיתקבץ מדבר ויהיה כפל אשר יקיפו בו ממוצע
וזה מש"ל

Proposition 31
לא נרצה שנמצא שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם היה מה שיתקבץ ממוצע ויהיה כפל השטח אשר יקיפו בו מדבר
ויהיו שני קוים ממוצעים משותפים בכח לבד והם א"ב ב"ג ויהיה השטח אשר יקיפו בו והוא ההוה מא"ב בב"ג מדבר
ומפני כי המרובע ההוה מא"ב שוה לשני המרובעים ההוים מא"ז א"ב והמרובע ההוה מא"ב ממוצע הנה יהיו שני המרובעים ההוים מא"ז ז"ב כאשר יקובצו ממוצע
ומפני כי השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג מדבר יהיה השטח אשר יקיפו שני קוי א"ב ב"ד מדבר ולכן יהיה מה שיהיה מא"ב בב"ד שתי פעמים מדבר
אם כן אשר יהיה מא"ב בז"ה שתי פעמים מדבר והוא שוה לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ז ז"ב אם כן שני קוי א"ז ז"ב בלתי משותפים בכח
וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם יהיו ממוצעים וכפל השטח אשר יקיפו בו מדבר
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 32
לב נרצה שנמצא שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח וכאשר יקובצו שני המרובעים ההוים משניהם היה מה שיקובץ ממוצע ויהיה כפל השטח אשר יקיפו בו ממוצע ויהיו מרובעיהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לכפל השטח אשר יקיפו בו
ואולם קבוץ המרובעים ההוים משניהם היה מה שיתקבץ ממוצע וכפל השטח אשר יקיפו בו הוא גם כן ממוצע והוא בלתי משותף לשני המרובעים ההוים משני קוים א"ז ז"ב כאשר יקובצו
וזה מש"ל

Proposition 33
When a line is composed of two straight lines measurable in square only, then the whole straight line is unmeasurable; let it be called binomial. לג כאשר הורכב קו משני קוים ישרים מדברים בכח והיו בו לבד משותפים הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר משתי שמות
ויורכב קו מה משני קוים ישרים מדברים בכח משותפים בו לבד והם א"ב ב"ג
אם כן המרובע ההוה מא"ג בלתי מדבר הנה קו א"ג אם כן בלתי מדבר ויקרא אשר משתי שמות
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 34
When a line is composed of two medial straight lines commensurable in square only, and the rectangle contained by them is measurable, then the whole straight line is unmeasurable; let it be called first bimedial. לד כאשר הורכב קו משני קוים ישרים ממוצעים משותפים בכח לבד ויהיה השטח אשר יקיפו בו מדבר הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר משתי הממוצעים הראשון
ויורכב קו משני קוים ישרים ממוצעים משותפים בכח לבד והם א"ב ב"ג ויקיפו בשטח מדבר והוא שטח א"ב בב"ג
אם כן המרובע ההוה מא"ג בלתי מדבר ויקרא אשר משני האמצעים הראשון
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 35
לה כאשר הורכב קו משני קוים ישרים ממוצעים משותפים בכח לבד ויהיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר משני ממוצעים השני
ויורכב קו משני קוים ישרים ממוצעים משותפים בכח לבד והם א"ב ב"ג ויקיפו בשטח ממוצע והוא שטח א"ב בב"ג
והקו אשר יחזיק על השטח אשר יקיפו בו בלתי מדבר וקו א"ג יחזיק על שטח ה"ט
אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר משני הממוצעים השני
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 36
When a line is composed of two straight lines incommensurable in square, so that the rectangle that equals the sum of their two squares is measurable and the rectangle contained by them is medial, then the whole straight line is unmeasurable; let it be called major. לו כאשר הורכב קו משני קוים ישרים בלתי משותפים בכח והיה השטח השוה לשני מרובעיהם כאשר קובצו מדבר והיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא היותר גדול
ויהיו שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח והם א"ב ב"ג ויהיה השטח השוה לשני מרובעי א"ב ב"ג מדבר
אם כן המרובע ההוה מא"ג בלתי מדבר
הנה א"ג אם כן בלתי מדבר ויקרא היותר גדול
וזה מה ש"ל

Proposition 37
When a line is composed of two straight lines incommensurable in square, so that the rectangle that equals the sum of their two squares is medial and the rectangle contained by them is measurable, then the whole straight line is unmeasurable; let it be called the sum of a measurable and a medial area. לז כאשר הורכב קו משני קוים ישרים בלתי משותפים בכח והיה השטח השוה לשני מרובעיהם ממוצע והיה השטח אשר יקיפו בו מדבר הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על מדבר וממוצע
אם כן המרובע ההוה מא"ג בלתי מדבר
אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על מדבר וממוצע
וזהו מה שרצינו לבאר

Proposition 38
When two straight lines incommensurable in square are combined, so that the rectangle that equals the sum of their two squares is medial and the rectangle contained by them is medial and the sum of their two squares is incommensurable with the rectangle contained by them, then the whole straight line is unmeasurable; let it be called the sum of two medial areas. לח כאשר הורכבו שני קוים ישרים בלתי משותפים בכח והיה השטח השוה לשני מרובעיהם ממוצע והיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע ויהיו שני המרובעים ההוים משניהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו הנה כל הקו בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על שני ממוצעים
ויהיו שני קוים בלתי משותפים בכח והם א"ב ב"ג ויהיה השטח השוה לשני המרובעים ההוים ממוצע ויהיה גם כן השטח אשר יקיפו בו ממוצע ויהיו שני המרובעים ההוים משניהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו
הנה אומר כי כל א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על שני ממוצעים
אם כן ד"ט בלתי מדבר והוא אשר יקרא משתי שמות וקו ד"ה מדבר והשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קו מדבר וקו בלתי מדבר הנה הוא בלתי מדבר והקו אשר יחזיק עליו בלתי מדבר וקו א"ג יחזיק על שטח ה"ט
אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר יחזיק על שני ממוצעים
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 39
The binomial straight line is divided into its two terms at one point only. לט הקו אשר משתי שמות אמנם יחלק בשתי שמות על נקודה אחת לבד
ויהיה הקו אשר משתי שמות א"ג ויתחלק בשתי שמות על נקודת ב'
הנה אומר כי א"ג לא יתחלק בשתי שמות על נקודה אחרת
שאם היה אפשר הנה יתחלק על נקודת ד' גם כן
אם כן הקו אשר משני שמות לא יתחלק בשתי שמות בשתי מקומות
וזהו מה שרצינו לבאר

Proposition 40
The first bimedial straight line is divided into two medial areas at one point only. מ הקו אשר משני ממוצעים הראשון אמנם יתחלק בשני הממוצעים על נקודה אחת לבד
ויהיה הקו אשר משני ממוצעים הראשון א"ג ויתחלק בשני ממוצעים על נקודת ב'
הנה אומר כי הוא לא יתחלק בשני ממוצעים על נקודה אחרת שאם היה אפשר יתחלק גם כן על נקודת ד' הנה מפני כי יתרון מה שבין מרובעי א"ב ב"ג כאשר יקובצו ובין שני מרובעי א"ד ד"ג כאשר יקובצו שוה ליתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ב ב"ג ובין כפל השטח אשר יקיפו בו א"ד ד"ג ויתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו א"ב ב"ג ובין כפל השטח אשר יקיפו בו א"ד ד"ג מדבר
אם כן הקו אשר משני הממוצעים הראשון לא יתחלק בשני הממוצעים בשני מקומות מתחלפות
וזהו מה שרצינו לבאר

Proposition 41
The second bimedial straight line is divided into two medial areas at one point only. מא הקו אשר משני הממוצעים השני אמנם יתחלק בשני ממוצעים על נקודה אחת לבד
ויהיה הקו אשר משני ממוצעים השני א"ג ויתחלק בשני ממוצעים על נקודת ב'
הנה אומר כי א"ג לא יתחלק בשני ממוצעים על נקודה אחרת
וכן גם כן התבאר שהוא כבר חולק בשתי שמות על נקודת ל'
הנה הקו אשר משתי שמות כבר חולק בשתי שמות על שתי נקודות מתחלפות
וכבר התבאר כי זה בלתי אפשר
אם כן לא יתחלק הקו אשר משני ממוצעים השני על שתי נקודות מתחלפות
וזהו מה שרצינו לבאר

Proposition 42
The major straight line is divided at one point only. מב הקו היותר גדול אמנם יתחלק על נקודה אחת לבד
ויהיה הקו היותר גדול א"ג ויתחלק על נקודת ב' הנה קוי א"ב ב"ג שניהם בכח בלתי משותפים ושני מרובעיהם כאשר יקובצו יהיה משניהם מדבר
אם כן אי אפשר שיתחלק הקו היותר גדול על שתי נקודות מתחלפות
וזה מש"ל

Proposition 43
The line of a measurable plus a medial area is divided at one point only. מג הקו אשר יחזיק על מדבר וממוצע אמנם יתחלק על נקודה אחת לבד
ויהיה הקו אשר יחזיק על מדבר ממוצע א"ג ויתחלק על נקודת ב' הנה שני קוי א"ב ב"ג בלתי משותפים בכח ושניהם המרובעים ההוים משניהם כאשר יקובצו יהיה ממוצע
וזה בלתי אפשר מפני כי כל אחד משניהם ממוצע הנה לא יתחלק הקו אשר יחזיק על מדבר וממוצע על שתי נקודות מתחלפות
וזה מש"ל

Proposition 44
The line of the sum of two medial areas is divided at one point only. מד הקו אשר יחזיק על שני ממוצעים אמנם יתחלק על נקודה אחת
ויהיה הקו אשר יחזיק על שני ממוצעים א"ד ויתחלק על נקודת ב' הנה קוי א"ב ב"ד בלתי משותפים בכח ושני המרובעים ההוים מב' קוי א"ב ב"ד כאשר יקובצו היה ממוצע והשטח אשר יקיפו בו ב' קוי א"ב ב"ד גם כן ממוצע ושני המרובעים ההוים מב' קוי א"ב ב"ד כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו א"ב ב"ד
אם כן הקו אשר יחזיק על שני ממוצעים אמנם יתחלק על נקודה אחת לבד
וזה מה שרצינו לבאר

Definitions

 הקדמה
כאשר היה קו מה מדבר וקו משתי שמות והיה כבר חולק משתי שמות והיה היותר גדול מהחלקים יוסיף על הקטן מהם בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך והיה החלק הגדול משותף באורך לקו המדבר הנה יקרא הקו כלו אשר משתי שמות הראשון
ואם היה החלק הקטן משותף באורך לקו המדבר הנה יקרא אשר משתי שמות החמשי
ואם לא יהיה אחד משתי השמות משותף באורך לקו המדבר הנה יקרא אשר משתי שמות הששי

Proposition 45
מה נרצה שנמצא קו משתי שמות הראשון
הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיה קו ב"ג משותף לקו א' באורך וקו א' מדבר אם כן קו ב"ג מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ה"ד ד"ז ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם אשר הוא ה"ז מספר מרובע
אם כן קו ב"ג משותף לקו ט' באורך ותוספת ב"ג על ג"ח בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וקו ב"ג משותף לקו המדבר המונח אשר הוא א'
אם כן קו ב"ח הוא אשר משתי שמות הראשון
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 46
מו נרצה שנמצא קו משתי שמות השני
הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיה קו ג"ח משותף לקו א' באורך אם כן קו ג"ח מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ה"ד ד"ז ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם אשר הוא ה"ז מספר מרובע
וזה כי יחס המרובע ההווה מן ג"ח אל המרובע ההווה מן ג"ב כיחס מספר ה"ז אל מספר ד"ה ומספר ה"ז קטן ממספר ד"ה אם כן המרובע ההווה מן ג"ח קטן מן המרובע ההווה מן ב"ג
ונבאר כמו שבארנו במה שקדם כי ט' משותף לקו ב"ג באורך אם כן ב"ג יוסיף על קו ג"ח בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וקו ג"ח הוא הקטן משני קוי ב"ג ג"ח והוא ישתתף באורך לקו המדבר אשר הוא א'
אם כן קו ב"ח הוא אשר משתי השמות השני
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 47
מז נרצה שנמצא קו משתי שמות השלישי הנה נניח קו מדבר והוא א' ושלשה מספרים כי אין יחס אחד מהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע והם ב"ג ג"ד ה'
יהיה כאשר הפכנו יחס ב"ג אל ב"ד כיחס המרובע ההווה מן ז"ח אל המרובע ההווה מן כ' ויחס ב"ג אל ב"ד כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
אם כן יחס המרובע ההווה מן ז"ח אל המרובע ההווה מן כ' כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
אם כן קו ז"ח משותף לקו כ' באורך
אם כן קו ז"ח יוסיף על ח"ט בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך ואין אחד משני קוי ז"ח ח"ט משותף באורך לקו המדבר המונח אשר הוא א'
אם כן קו ז"ט הוא אשר משתי שמות השלישי
וזמש"ל

Proposition 48
מח נרצה שנמצא קו אשר משתי שמות הרביעי
הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיה קו ב"ג משותף לקו א' באורך וקו א' מדבר הנה קו ב"ג מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ד"ז ז"ה
והיותר גדול שבשני קוי ב"ג ג"ח אשר הוא ב"ג משותף באורך לקו המדבר אשר הוא א' אם כן קו ב"ח הוא אשר משתי שמות הרביעי
וזה מש"ל

Proposition 49
מט נרצה שנמצא קו אשר משתי שמות החמישי
הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיה קו ג"ח משותף לקו א' באורך וקו א' מדבר אם כן קו ג"ח מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ד"ז ז"ה ולא יהיו שניהם יחד אשר הוא ד"ה מרובע
ונבאר כמו שביארנו במה שקדם כי קו ב"ג בלתי משותף לקו ט' באורך וכי ב"ג יוסיף על ג"ח בכח כמו מרובע ההוה מקו ט' אשר לא ישתתף עמו באורך והיותר קטן מב' קוי ב"ג ג"ח אשר הוא ג"ח משותף לקו המדבר אשר הוא א' באורך
וזמש"ל

Proposition 50
נ נרצה שנמצא קו משתי שמות הששי
הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיו שלשה מספרים אין יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע והם ב"ג ג"ד ה' ולא יהיו גם כן יחס ב"ג אל ג"ד כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע ויהיה יחס המרובע ההוה מא' אל המרובע ההוה מז"ח כיחס ה' אל ב"ג
יתבאר לנו כי שני קוי ז"ח ח"ט בכח מדברים ושהם בו לבד משותפים ושאינו משותף אחד משניהם באורך לקו א' המדבר ושהיותר גדול הוא ז"ח יוסיף על הקצר והוא ח"ט כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך
אם כן ז"ח ז"ט הוא אשר משתי שמות הששי
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 51
נא כאשר הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות הראשון הנה הקו אשר יחזיק על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא אשר משתי שמות
ויהיה שטח עליו ב"ג יקיף בו קו מדבר והוא א"ב וקו משתי שמות הראשון והוא קו א"ג
הנה אומר כי קו ע"ס הוא אשר משתי שמות הנה מפני כי קו א"ז משותף לקו ז"ד באורך יהיה קו א"ד משותף לכל אחד מב' קוי א"ז ז"ד באורך וקו א"ד מדבר ומשותף לקו א"ב באורך אם כן כל אחד משני קוי א"ז ז"ד מדבר משותף באורך לקו א"ב
אם כן קו ע"פ בלתי משותף לקו פ"ס באורך הנה שניהם בכח לבד משותפים והם בו מדברים אם כן קו ע"ס הוא אשר מב' שמות והוא יחזיק על שטח ב"ג
אם כן הקו אשר יחזיק על שטח ב"ג בלתי מדבר והוא אשר משתי שמות
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 52
נב כאשר הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות השני הנה הקו אשר יחזיק על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא אשר משני הממוצעים הראשון
ויהיה שטח עליו א"ל ויקיפו בו קו מדבר והוא א"ב וקו משתי שמות השני והוא א"ג
הנה מפני כי השטח הנצב אשר יקיפו בו שני קוי א"ז ז"ד כמו המרובע ההוה מד"ה יהיה קו ד"ה מתיחס לב' קוי א"ז ז"ד במה שבין שניהם ושטח נ"ע גם כן מתיחס לשני מרובעי מ"נ נ"ס הנה שטח ד"כ אם כן שוה לשטח נ"ע אבל שטח ד"כ שוה לשטח כ"ג ושטח נ"ע שוה לשטח נ"ק אם כן שטח כ"ג שוה לשטח נ"ק אם כן שטח כ"ג שוה לכל שטח ע"ק ושטח ע"ק מרובע אם כן קו ע"ס יחזיק על שטח ב"ג
אם כן ע"ס הוא אשר משתי ממוצעים הראשון והוא יחזיק על שטח ב"ג
אם כן הקו אשר יחזיק על ב"ג בלתי מדבר והוא אשר משני ממוצעים הראשון
וזהו מה שרצינו לבאר

Proposition 53
נג כאשר הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות השלישי הנה הקו אשר יחזיק על השטח הוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא אשר משני ממוצעים השני
ויהיה השטח עליו ב"ג ויקיף בו קו מדבר והוא א"ב וקו משתי שמות השלישי והוא א"ג
הנה אומר כי קו ע"ס הוא אשר משני ממוצעים השני הנה מפני כי קו א"ז משותף לקו ז"ד באורך יהיה קו א"ד משותף לכל אחד מב' קוי א"ז ז"ד באורך וקו א"ד בכח מדבר ובלתי משותף לקו א"ב באורך
אם כן כל אחד מב' קוי א"ז ז"ד מדבר בכח ובלתי משותף לקו א"ב באורך
אם כן כל אחד משני שטחי א"ח ח"ד ממוצע והם משותפים
אם כן קו ע"ס אמנם הוא אשר משתי שמות ממוצעים השני והוא יחזיק על שטח ב"ג
אם כן הקו אשר יחזיק על שטח ב"ג הוא אשר משני ממוצעים השני
והוא מש"ל

Proposition 54
נד כאשר הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות הרביעי הנה הקו אשר יחזיק על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא היותר גדול
ויהיה עליו שטח ב"ג יקיף בו קו מדבר והוא א"ב וקו משתי שמות הרביעי והוא א"ג ויתחלק א"ג בשתי שמות ויהיה השם היותר גדול א"ד
ואומר שהוא היותר גדול
ומפני כי קו א"ז בלתי משותף לקו ז"ד באורך יהיה שטח א"ח בלתי משותף לשטח ח"ד
אם כן שני מרובעי מ"נ נ"ס אשר הם כמו [שני] שטח[י] א"ח ח"ד בלתי משותפים
וכבר בארנו כי שני קוי ע"פ פ"ס בלתי משותפים בכח ושטחי שניהם כאשר יקובצו מדבר
אם כן קו ע"ס הוא היותר גדול
וזהו מה שרצינו לבאר

Proposition 55
נה כאשר הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות החמישי הנה הקו אשר יגבר על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא אשר יגבר על מדבר וממוצע
ויהיה שטח עליו ב"ג יקיפו בו קו מדבר והוא א"ב
ומפני כי קו א"ד בלתי משותף לקו א"ב באורך ושניהם בכח מדברים יהיה שטח א"ט ממוצע והוא כמו שני מרובעי ע"פ פ"ס כאשר יקובצו
אם כן קו ע"ס הוא אשר יגבר על מדבר וממוצע
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 56
נו כאשר הקיף בשטח קו מדבר וקו משתי שמות הששי הנה הקו אשר יגבר על השטח ההוא בלתי מדבר ויקרא אשר יגבר על שני ממוצעים
ויהיה שטח עליו ב"ג יקיף בו קו מדבר והוא א"ב
אם כן קו ע"ס הוא אשר יגבר על שטח ב"ג והקו אשר יגבר על שטח ב"ג הוא אשר יגבר על שני הממוצעים
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 57
נז כאשר חובר שטח שוה למרובע ההוה מקו משתי שמות אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות הראשון
ויהיה קו משתי שמות והוא א"ב ויחלק בשתי שמות על נקודת ג' ויהיה השם היותר גדול ב"ג
וזה כי אנחנו כאשר הבדלנו מן ה"ז שטח שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ב והוא ה"כ ונשאר שטח ל"ז שוה לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ויתחלק קו כ"ז בשני חציים על נקודת מ' ונוציא מנקודת מ' קו נכחי לכל אחד משני קוי ד"ה ז"ס והוא קו מ"נ
חלק אותו על נקודת ח' בשני חלקים ד"ח ח"כ אשר הם משותפים יהיה קו ד"ב יותר גדול מקו כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וקו ד"כ משותף באורך לקו ד"ה המדבר המונח
אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות הראשון
ונשלם ביאורו

Proposition 58
נח כאשר חובר שטח שוה למרובע ההוה מקו משני הממוצעים הראשון אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות השני
[ויהיה קו משני הממוצעים הראשון והוא א"ב ויחלק בשני אמצעיים על נקודת ג'] ויהיה קו ד"ה מדבר
הנה אומר כי קו ז"ד הוא משתי שמות השני וזה כי אנחנו כאשר הבדלנו מן ה"ז שטח שוה לשני המרובעים ההוים משני קוי א"ג ג"ב ושמנו אותם ה"כ נשאר שטח ל"ז שוה לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ויתחלק קו כ"ז בשני חציים על נקודת מ' ונוציא מנקודת מ' קו נכחי לכל אחד משני קוי ד"ה ז"ס והוא קו מ"נ
ומפני שהוא כאשר חובר אל קו ד"ב שטח שוה לרביע המרובע ההוה מן כ"ז יחסר משלימותו שטח מרובע חלק השטח ההוא קו ד"ב על נקודת שני חלקים משותפים יהיה קו ד"ב נוסף על כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וקו כ"ז משותף לקו ד"ה המדבר המונח
אם כן קו ד"ז הוא משתי שמות השני
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 59
נט כאשר חובר שטח שוה למרובע ההווה מקו משני הממוצעים השני [אל קו מדבר הנה] הרוחב אשר יתחדש הוא משתי [השמות] השלישי
ויהיה קו משני ממוצעים השני והוא א"ב ויתחלק בשני ממוצעים על נקודת ג'
ונוציא קו מ"נ נכחי לכל אחד משני שטחי ד"ה ז"ס
הנה השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב שוה לכל אחד משני שטחי כ"נ נ"ז
וגם כן הנה אנחנו כאשר שמנו שטח ה"ח שוה למרובע ההווה מן ב"ג ישאר שטח כ"ט שוה למרובע ההוה מן ג"א
ומפני שהוא כאשר חובר אל קו ד"ב שטח שוה לרביע המרובע ההוה מן קו כ"ז יחסר משלמותו שטח מרובע וחלק השטח ההוא קו ד"ב על נקודת ח' בשני חלקים משתתפים יהיה קו ד"ב נוסף על קו כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
ואין אחד משני קוי כ"ד כ"ז משותף לקו ד"ה באורך
אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות השלישי
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 60
ס כאשר חובר שטח שוה למרובע ההוה מן הקו היותר גדול אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות הרביעי
ויהיה הקו היותר גדול א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג' ויהיה א"ג יותר גדול מן ג"ב
אם כן קו ד"ב יוסיף על קו כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך ושני קוי ד"כ כ"ז בכח מדברים ובו לבד משותפים וקו ד"כ משותף לקו ד"ה המדבר
אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות הרביעי
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 61
סא כאשר חובר שטח שוה למרובע ההווה מן הקו אשר יגבר על מדבר וממוצע אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות

החמישי

ויהיה הקו אשר יגבר על מדבר וממוצע א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג'
אם כן שני קוי ד"כ כ"ז בכח מדברים ובו לבד משותפים וקו כ"ז משותף באורך לקו ד"ה המדבר
אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות החמישי
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 62
סב כאשר חובר שטח שוה למרובע ההווה מן הקו אשר יגבר על שני ממוצעים אל קו מדבר הנה הרוחב אשר יתחדש הוא משתי שמות הששי
ויהיה הקו אשר יגבר על שני ממוצעים א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג' ויהיה א"ג יותר גדול מן ג"ב ויהיה קו ד"ה מדבר
וזה כי אנחנו נבאר כמו שביארנו במה שקדם כי השטח אשר יקיפו בו שני קוי ד"ח ח"כ שוה למרובע ההווה מן קו כ"מ ושקו ד"ח בלתי משותף לקו ח"כ באורך
ויהיה קו ד"כ נוסף על קו כ"ז בכח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך ואין אחד משני קוי ד"כ כ"ז משותף באורך לקו ד"ה המדבר
אם כן קו ד"ז הוא אשר משתי שמות הששי
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 63
סג הקו אשר ישתתף באורך לקו משתי שמות הנה הוא גם כן משתי שמות ומדרגתו כמדרגתו
ויהיה הקו אשר משתי שמות א"ב ויחלק בשתי שמות על נקודת ג' ויהיה קו ד"ה משותף באורך לקו א"ב
ואם לא יהיה אחד משני קוי א"ג ג"ב משותף לקו המדבר הנה הוא לא היה אחד משני קוי ד"ז ז"ה משותף לקו המדבר
אם כן קו ד"ה הוא משתי שמות ומדרגתו כמדרגת קו א"ב
וזה מה שרצינו

Proposition 64
סד הקו אשר ישתתף קו משני ממוצעים באורך הוא גם כן משני ממוצעים ומדרגתו כמדרגתו
ויהיה הקו אשר משני ממוצעים א"ב ויחלק בשני ממוצעים על נקודת ג' ויהיה קו ד"ה משותף לקו א"ב באורך
הנה אומר כי קו ד"ה הוא משני אמצעיים ומדרגתו כמדרגת קו א"ב
ואם היה שטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב מדבר הנה השטח אשר יקיפו בו שני קוי ד"ז ז"ה גם כן מדבר
ואם היה שטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ממוצע הנה השטח אשר יקיפו בו שני קוי ד"ז ז"ה גם כן ממוצע
אם כן קו ד"ז הוא אשר משני ממוצעים ומדרגתו כמדרגת קו א"ב
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 65
סה הקו אשר ישתתף הקו היותר גדול באורך הוא גם כן קו יותר גדול
ויהיה היותר גדול א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג' הנה שני קוי א"ג ג"ב הם בכח בלתי משותפים ושני מרובעיהם כאשר יקובצו מדבר והשטח אשר יקיפו ממוצע
אם כן כל קו ד"ה בלתי מדבר והוא אשר יקרא היותר גדול
ונשלם ביאורו

Proposition 66
סו הקו אשר ישתתף הקו אשר יגבר על מדבר וממוצע הוא גם כן יגבר על מדבר וממוצע
ויהיה הקו אשר יגבר על מדבר וממוצע א"ב ויחלק בשני חלקיו על נקודת ג' הנה שני קוי א"ג ג"ב שניהם בכח בלתי משותפים ושני מרובעיהם כאשר יקובצו ממוצע
ונבאר כי כל אחד משני קוי א"ג ג"ב משותף לגילו משני קוי ד"ז ז"ה ושיחס המרובע ההוה מן א"ב אל המרובע ההוה מן ד"ה כיחס שני המרובעים ההווים משני קוי א"ג ג"ב אל שני המרובעים ההווים מן ד"ז ז"ה
והמרובע ההווה מן א"ב משותף למרובע ההווה מן ד"ה
אם כן שני המרובעים ההווים מן א"ג ג"ב משותפים לשני המרובעים ההווים מן ד"ז ז"ה
אם כן השטח אשר יקיפו בו ד"ז ז"ה מדבר
אם כן כל ד"ה בלתי מדבר והוא אשר יגבר על מדבר וממוצע
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 67
סז הקו אשר ישתתף באורך הקו אשר יגבר על שני ממוצעים הוא גם כן יגבר על שני ממוצעים
ויהיה הקו אשר יגבר על שני ממוצעים א"ב ויחלק הקו אשר יגבר בשני חלקיו על נקודה ג'
אם כן שני קוי ד"ז ז"ה בלתי משותפים בכח ושני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו ממוצע והשטח אשר יקיפו בו גם כן ממוצע ושני המרובעים ההווים משניהם בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו
אם כן קו ד"ז הוא אשר יגבר על שני ממוצעים
ונשלם ביאורו

Proposition 68
סח כאשריקובצו שני שטחים אחד משניהם מדבר והאחר ממוצע הנה הקו אשר יגבר על שניהם הוא אחד מארבעה קוים בלתי מדברים אם שיהיה משתי שמות ואם אשר משני ממוצעים הראשון ואם היותר גדול ואם אשר יגבר על מדבר וממוצע
הנה אומר כי שני שטחי אבג"ד כאשר יקובצו יהיה הקו אשר יגבר על שניהם אחד מהארבעה קוים אשר זכרנו
ויהיה קו ז"ה מדבר ונחבר אליו שטח שוה לשטח א"ב והוא ה"ח ונחבר אל ט"ח שטח שוה לשטח ג"ד והוא ח"כ הנה מפני כי שטח א"ב מדבר יהיה ה"ח מדבר
הנה כאשר יקובצו שני שטחים אחד משניהם מדבר והאחר ממוצע הנה הקו אשר יגבר על כל שניהם כאשר יקובצו הוא אחד מארבעה קוים בלתי מדברים אם שיהיה אשר משתי שמות ואם שיהיה אשר משני ממוצעים הראשון ואם שיהיה יותר גדול ואם שיהיה אשר יגבר על מדבר וממוצע
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 69
סט כאשר יקובצו שני שטחים ממוצעים בלתי משותפים הנה הקו אשר יגבר על שניהם אחד משני קוים בלתי מדברים אם שיהיה אשר משני ממוצעים השני ואם שיהיה אשר יגבר על שני ממוצעים
אם כן הקו אשר יגבר על שטח אבג"ד אם שיהיה אשר משני ממוצעים השני ואם שיהיה אשר יגבר על שני ממוצעים
וזה מה שרצינו לבאר

Definitions

 הקדמה
הקו אשר משתי שמות ומה שאחריו מסוגי הקוים אשר אינם מדברים אין מהם קו ממוצע ואין בהם דבר מסוג הנשארים
וזה כי המרובע ההווה מן הקו הממוצע כאשר חובר אל קו מדבר יחדש רוחב מדבר בכח
והרחבים אשר זכרנו הם מתחלפים אין מהם דבר מסוג חבירו
והקוים אשר מרובעיהם יחדשו הרחבים ההם המתחלפים אין מהם דבר מסוג חבירו

Proposition 70
When an segment measurable in a square is subtracted from a straight line and the two lines are commensurable in square only, then the remaining straight line is unmeasurable; let it be called an apotome. ע כאשר הובדל מקו ישר מדבר בכח והיו השני קוים בכח לבד משותפים הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא הנבדל
ויהיה קו מדבר בכח והוא א"ג ונבדיל ממנו קו מדבר בכח והוא ב"ג ויהיה בכח לבד משותף לכל קו א"ג
וישאר המרובע ההווה מן א"ב בלתי משותף לשני המרובע ההווים משני קוי א"ג ג"ב ושני המרובעים ההווים משני קוי א"ג ג"ב מדברים אם כן המרובע ההוה מקו א"ב בלתי מדבר ויקרא הנבדל
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 71
עא כאשר הובדל מממוצע ממוצע והיו בכח לבד משותפים והיה השטח אשר יקיפו בו מדבר הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא נבדל הממוצע הראשון
ויהיה קו ממוצע והוא א"ג
וישאר המרובע ההווה מן א"ב בלתי משותף לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אם כן המרובע ההווה מן א"ב בלתי מדבר הנה קו א"ב אם כן בלתי מדבר ויקרא נבדל הממוצע הראשון
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 72
עב כאשר נבדל מממוצע ממוצע והיו בכח לבד משותפים והיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא נבדל הממוצע השני
ויהיה קו ממוצע והוא א"ג ויובדל ממנו קו ממוצע והוא ג"ב
ויחס א"ג אל ג"ב כיחס המרובע ההווה מן א"ג אל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
ואולם המרובע ההווה מן א"ג הנה הוא משותף לשני המרובעים ההווים מן א"ג ג"ב
והקו אשר יגבר על ד"ז הוא א"ב אם כן קו א"ב בלתי מדבר ויקרא נבדל הממוצע השני
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 73
עג כאשר נבדל מקו ישר קו ישר והיו בכח בלתי משותפים והיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו מדבר והיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא היותר קטן
הנה קו א"ג אם כן בלתי מדבר ויקרא היותר קטן
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 74
עד כאשר נבדל מקו ישר קו ישר והיו בכח בלתי משותפים והיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו ממוצא והיה השטח אשר יקיפו בו מדבר הנה הקו הנשאר בלתי מדבר ויקרא אשר עם המדבר יהיה הכל ממוצע
ויהיה קו מה ישר והוא א"ב ונבדיל ממנו קו ב"ג ויהיו שני קוי א"ב ב"ג בכח בלתי משותפים ויהיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו ממוצע
אם כן המרובע ההווה מן א"ג בלתי מדבר
אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר עם המדבר יהיה הכל ממוצע
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 75
עה כאשר נבדל מקו ישר קו ישר והיו בכח בלתי משותפים והיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו ממוצע והיה השטח אשר יקיפו בו גם כן ממוצע והיו שני המרובעים ההווים משניהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו גם כן הנה הנשאר בלתי מדבר
והקו אשר יגבר על ד"ז הוא א"ג אם כן קו א"ג בלתי מדבר ויקרא אשר עם הממוצע יקרא הכל ממוצע
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 76
עו אמנם ידבק בקו הנבדל קו אחד לבד מדבר בכח
ויהיה קו א"ב נבדל וידבק בו קו על הדרך שספרנו והוא ב"ג הנה אומר שהוא לא ידבק בקו א"ב קו אחד מדבר בכח ישתתף הכל בכח
וכאשר המירונו יהיה יתרון מה שבין שני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב ובין שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב שוה ליתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ובין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב ויתרון מה שבין שני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב ובין שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב מדבר
מפני כי שניהם ממוצעים ולא יוסיף ממוצע על ממוצע מדבר אם כן הקו הנבדל אמנם ידבק בו קו אחד לבד מדבר בכח לבד
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 77
עז אמנם ידבק בנבדל הממוצע הראשון קו אחד לבד ממוצע ישתתף הכל בכח לבד ויקיף עם הכל במדבר
ויהיה הקו א"ב נבדל הממוצע הראשון וידבק בו קו על הדרך שספרנו והוא ב"ג
הנה אומר שהוא לא ידבק בו קו אחר ממוצע ישתתף הכל בכח לבד
אם כן נבדל הממוצע הראשון אמנם ידבק בו קו אחד לבד ויקיף עמו במדבר
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 78
עח אמנם ידבק בנבדל הממוצע השני קו אחד לבד ממוצע ישתתף הכל בכח לבד ויקיף עם הכל בממוצע
ויהיה קו א"ב נבדל הממוצע השני וידבק בו קו על הדרך שספרנו והוא ב"ג
אם כן שני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב כאשר יקובצו בלתי משותפים לכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אבל שני המרובעים ההווים משני קוי א"ג ג"ב הוא כמו שטח ז"כ וכפל השטח אשר יקיפו בו

שני קוי א"ג ג"ב הוא כמו שטח כ"ט

הנה אמנם ידבק בנבדל הממוצע ישתתף הכל בכח לבד ויקיפו עם הכל בממוצע
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 79
עט אמנם ידבק בקו היותר קטן קו אחד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובעו עם מרובע הכל מדבר ויהיה השטח אשר יקיפו

בו ממוצע ויהיה הקו היותר קטן א"ב וידבק בו קו ב"ג ויהיו שני קוי א"ג ב"ג בלתי משותפים בכח

אם כן הקו היותר קטן אמנם ידבק בו קו אחד לבד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובעו עם מרובע הכל מדבר ויהיה השטח אשר יקיפו בו ממוצע
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 80
פ אמנם ידבק באשר עם המדבר ויהיה הכל ממוצע קו אחד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובע עם מרובע הכל ממוצע
ויהיה השטח אשר יקיפו בו מדבר ויהיה קו אשר עם המדבר יהיה הכל ממוצע והוא א"ב וידבק בו קו ב"ג
אם כן שני קוי א"ד ד"ב כאשר יקובצו ממוצע והשטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב מדבר הנה יתרון מה שבין שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב ושני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב שוה ליתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב וכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב ויתרון מה שבין כפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ד ד"ב וכפל השטח אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב מדבר
הנה יתרון מה שבין שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב ושני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב מדבר וזה בלתי איפשר
מפני כי שני מרובעי שני קוי א"ד ד"ב כאשר יקובצו ממוצע וכן שני מרובעי שני קוי א"ג ג"ב אם כן הקו אשר עם המדבר ישוב הכל ממוצע לא ידבק בו כי אם קו אחד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובעו עם מרובע הכל ממוצע ויהיה השטח אשר יקיף בו מדבר
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 81
פא אמנם ידבק בקו אשר עם הממוצע יהיה הכל ממוצע קו אחד לא ישתתף הכל בכח ויהיה מרובעו עם מרובע הכל ממוצע ויהיה השטח אשר יקיפו בו לבד גם כן ממוצע ויהיו שני מרובעיהם כאשר יקובצו בלתי משותפים לשטח אשר יקיפו בו ויהיה קו עם הממוצע ישים הכל ממוצע והוא א"ב
אם כן הקו אשר עם הממוצע ישיב הכל ממוצע אמנם ידבק בו קו אחד לבד לא ישתתף עמו הכל בכח
ויהיה מרובעו עם מרובע הכל ממוצע ויהיה השטח אשר יקיפו גם כן ממוצע
ויהיו שני מרובעי שניהם כאשר יקובצו בלתי משותף לשטח אשר יקיפו
וזה מה שרצינו לבאר

Definitions

 הקדמה
כאשר הונח קו מדבר וקו נבדל ונדבק בקו הנבדל הקו אשר ממנו נבדל והיה הכל יוסיף בכח על אשר התחבר כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך והיה כל הקו משותף באורך לקו המדבר המונח יקרא הקו ההוא הנבדל הראשון
ואם היה אשר ישתתף הקו המדבר המונח הוא הקו אשר חובר אליו הנה יקרא הקו הנבדל אשר זכרנו הנבדל השני
ואם לא יהיה אחד משניהם משותף לקו המדבר המונח הנה יקרא הנבדל השלישי
וגם כן הנה הקו הנבדל עם אשר התחבר בו אם היו כל שניהם יוסיפו בכח על הקו המובא כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך והיה הכל משותף לקו מדבר הנה יקרא הקו ההוא הנבדל הרביעי
ואם היה אשר ישתתף עמו הקו המדבר הוא אשר יובא הנה יקרא הקו ההוא הנבדל החמשי
ואם לא היה אחד משניהם משותף לקו המדבר הנה יקרא הקו ההוא הנבדל הששי
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 82
פב נרצה שנמצא הנבדל הראשון
הנה נניח קו מדבר והוא א' ונשים קו ב"ח משותף לקו א' באורך ויהיה קו ב"ח אם כן מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ד"ה ה"ז ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם אשר הוא ז"ד מספר מרובע
אם כן קו ב"ח יוסיף על קו ג"ח בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך וכל קו ב"ח משותף לקו המדבר המונח באורך והוא א'
אם כן קו ב"ג הוא הנבדל הראשון
וזה מה שרצינו

Proposition 83
פג נרצה שנמצא הנבדל השני
נניח קו מדבר והוא א' ונשים קו ג"ח משותף אליו ויהיה קו ג"ח אם כן מדבר ויהיו שני מספרים מרובעים והם ד"ה ה"ז ולא יהיה יתרון מה שבין שניהם אשר הוא ד"ז מספר מרובע
אם כן קו ב"ח יוסיף על קו ג"ח בכח כמו מרובע יהיה מקו ישתתף עמו באורך
וקו ג"ח אשר הובדל מקו ב"ח משותף לקו מדבר
אם כן קו ב"ג הוא הנבדל השני
וזהו מה שרצינו לבאר

Proposition 84
פד נרצה שנמצא הנבדל השלישי
ונניח קו מדבר והוא א' ויהיו שלשה מספרים עליהם ה' ב"ג ג"ד ולא יתהוה מהם דבר יחסו אל חבירו כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע ויהיה יחס השני מספרי ב"ג ב"ד כל אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
ואומר כי הוא השלישי מן הנבדלים
וזה כי יחס ה' אל ב"ג כיחס המרובע ההווה מן א' אל המרובע ההווה מן ז"ח ויחס ב"ג אל ג"ד כיחס המרובע ההווה מן ז"ח אל המרובע ההווה מן ח"ט
ואין אחד משני קוי ז"ח ח"ט משותף לקו א' המדבר באורך
אם כן קו ז"ט הוא הנבדל השלישי
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 85
פה נרצה שנמצא הנבדל הרביעי
ונניח קו מדבר והוא א' ונשים קו ב"ח משותף אליו באורך ויהיה קו ב"ח גם כן מדבר ונניח שני מספרים עליהם ד"ה ז"ה ולא יהיה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע
וכל קו ב"ח משותף לקו א' המדבר המונח באורך אם כן ב"ג הוא הנבדל הרביעי
הנה כבר מצאנו הנבדל הרביעי
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 86
פו נרצה שנמצא הנבדל החמישי
ונניח קו מדבר והוא א' ונשים קו ג"ח משותף לקו א' באורך ויהיה קו ג"ח מדבר ונניח שני מספרים עליהם ד"ה ה"ז כמו השני מספרים אשר זכרנו בתמונות אשר קודם זאת ונשים יחס המרובע ההווה מג"ח אל המרובע ההווה מכ"ח כיחס ה"ז אל ד"ה
אם כן קו ב"ח יוסיף על קו ח"ג בב"ח כמו מרובע יהיה מקו לא ישתתף עמו באורך וקו ג"ח אשר הובדל מקו ב"ג ישתתף א' המדבר באורך
אם כן קו ב"ג הוא הנבדל החמשי
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 87
פז נרצה שנמצא הנבדל הששי
הנה נניח קו מדבר והוא א' ויהיו שלשה מספרים עליהם ה' ב"ג ג"ד ולא

יהיה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע ולא יהיה גם כן יחס ב"ג אל ב"ד כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע

ואומר שהוא הששי מהנבדלים וזה כי יחס ה' אל ב"ג כיחס המרובע ההווה מא' אל המרובע ההווה מז"ח ויחס ב"ג אל ג"ד כיחס המרובע ההוה מז"ח אל המרובע ההווה מח"ט וביחס ההשואה יהיה יחס ה' אל ג"ד כיחס המרובע ההווה מא' אל המרובע ההווה מח"ט
ואין אחד משני קוי ז"ח ח"ט משותף לקו א' המדבר המונח באורך
אם כן קו ז"ט הוא הנבדל הששי
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 88
פח כאשר הקיף בשטח קו מדבר והנבדל הראשון הנה הקו אשר יגבר על השטח ההוא בלתי מדבר והוא אשר יקרא הנבדל
ויהיה שטח עליו א"ח יקיף בו קו מדבר והוא א"ב והקו הנבדל הראשון
ולכן יהיה שטח ג"ט מתייחס לשני שטחי א"ב ב"ג במה שבין שניהם ושטח ע"ד מתייחס לשני שטחי ע"ק נ"ס במה שבין שניהם
ושטח א"כ שוה לשטח מ"ס ושטח כ"ג שוה לשטח נ"ס אם כן שטח ג"ט שוה לשטח ע"ד אבל שטח ג"ט שוה לשטח ט"ז
אם כן קו ע"ס בלתי משותף לקו ס"פ באורך
אם כן שני קוי ע"ס ס"פ בכח מדברים ושניהם בו לבד משותפים
אם כן קו ע"פ נבדל והוא נגבר על שטח א"ח אם כן הקו אשר יגבר על א"ח

בלתי מדבר והוא אשר יקרא הנבדל וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 89
פט כאשר הקיף בשטח קו מדבר והנבדל השני הנה הקו אשר יגבר על השטח ההוא הוא אשר יקרא נבדל הממוצע הראשון
ויהיה שטח עליו א"ח יקיף בו קו מדבר והוא א"ב

מתיחס לשני שטחי א"ב ב"ג במה שבין שניהם . ושטח ע"ד גם כן מתיחס לשני שטחי

ע"ק פ"ד במה שבין שניהם . ושטח א"ב שוה לשטח ע"ק . ושטח ב"ג שוה לשטח פ"ד . אם כן

משותפים . והשטח אשר יקיפו בו מדבר . אם כן קו ע"פ הוא נבדל הממוצע הראשון . והוא יגבר על

Book Eleven

 המאמר האחד עשר מספר אקלידס החכם
  • A solid is that which has length, breadth, and depth, and everything that has a body.
 התמונה המוגשמת היא אשר לה אורך ורוחב וגובה וכל מה שיש לו גוף
The limits of a solid are a surface.
 וקצוות המוגשם פשוט
  • When a straight line stands on a plane and straight lines are drawn in that plane that meet the straight line so that every angle contained by one of those lines and the line is a right angle, the straight line is perpendicular to the plane.
 וכאשר עמד קו ישר על שטח והוציאו בשטח ההוא קוים ישרים ימששו הקו הנצב והיתה כל זוית יקיף בה קו מאותם הקוים עם הקו הנצב נצבת הנה הקו הנצב ההוא עמוד על השטח
כאשר עמד שטח על שטח והיו כל שני עמודים יצאו מן הקו אשר הוא הפרק המשותף מנקודה אחת ממנו אל כל שני השטחים יקיפו בזוית נצבת הנה שני השטחים יקיפו בזוית נצבת
השטחים הנכחיים הם אשר לא ימשש שטח מהם האחר ואפילו הוציאו לכל הצדדים עד לאין תכלית
  • The equal similar solid shapes are those that each solid of which is contained by the same number of surfaces as the number of the surfaces containing the other, and each surface is similar and equal in measure to its corresponding surface in the other solid.
 התמונות המוגשמות השוות הדומות הם אשר יקיפו בכל מוגשם מהם ממנין השטחים כמו מנין מה שיקיפו באחר ויהיה כל שטח מאחד מהם דומה ושוה השיעור לשטח אשר הוא גילו מן המוגשם האחר ועל בריאתו
  • The similar solid shapes are those that each solid of which is contained by the same number of surfaces as the number of the surfaces containing the other, and each surface is similar to its corresponding surface in the other solid.
 התמונות המוגשמות הדומות הם אשר יקיף כל מוגשם מהם ממנין השטחים כמו מנין מה שיקיף באחר ויהיה כל שטח מאחד מהם דומה בשטח אשר הוא גילו מן המוגשם האחר ועל בריאתו
  • A prism is a solid figure contained by three rectangles and two triangles.
 התמונה המוגשמת המגוררת היא אשר יקיפו בה שלשה שטחים נכחיי הצלעות ושני שטחים משולשים
  • The sphere is when the semicircle is drawn round with the diameter fixed in two points, so it does not move, and the arc, which is half the perimeter, revolves until it returns to its position; it is the circular solid. The center of the sphare and the center of the circle are the same.
הכדור הוא מה שיעבור חצי עגולה כאשר יקוים קו הקוטר בין שני כשורים עד שלא יסור וסבבה הקשת אשר היא חצי הקו המקיף עד שתשוב אל מקומה והוא המוגשם העגול ומרכז הכדור ומרכז העגולה אחד
התמונה המוגשמת המחודדת היא אשר יקיפו בה שטחים יעלו משטח אחד אל נקודה אחת מקבילה אותו
התמונה המוגשמת העגולה היא אשר שני תושבותיה שני שטחים ושניהם שתי עגולות
השוה שתי קצוות והעובי הוא מה שיעבור שטח שוה הצלעות נצב הזויות כאשר יקוים אחת מצלעותיו המקיפות בזוית נצבת בין שני פלכים עד שלא יסור ויעוגל השטח עד שישוב אל מקומו
וחץ התמונה הוא הצלע הקים ונקראת התמונה הזאת האסטונה העגולה
התמונה המוגשמת המחודדת העגולה היא מה שיעבור משולש נצב הזויות כאשר יקוים אחת מצלעותיו המקיפות בזוית הנצבת בין שני כישורים עד שלא יסור ויסובב המשולש עד שישוב אל מקומו
ואם היה הצלע הקים שוה לצלע האחר הנה התמונה נצבת הזויות
ואם היה יותר ארוך ממנו הנה היא חדה הזוית
וכאשר היה יותר קצר ממנו הנה היא נרחבת הזוית
וחץ התמונה היא הצלע הקים ותושבתה היא עגולה וזאת התמונה היא מחודדת האסטונה העגולה
הזוית המוגשמת היא אשר יקיפו אותה זויות משוטחות יותר משתי זויות ואינם על שטח אחד ויתקבצו בנקודה אחת
התמונות המוגשמות העגולות השוות שתי הקצוות והעובי והמחודדים העגולים הדומים הם אשר יהיה יחס חץ כל תמונה מהם אל קוטר תושבתה כיחס חץ התמונה האחרת אל קוטר תושבתה

Proposition 1
א הקו הישר לא יהיה חלק ממנו בשטח וחלק בגובה
מופתו שאי איפשר ונבאר זה במשל הנה אם היה איפשר נאמר שיהיה חלק מקו אב"ג והוא א"ב בשטח וחלק אחר והוא ב"ג והוא בגובה ונוציא מקו א"ב קו בשטח והוא ב"ד הנה אב"ג הוא קו ישר אם כן א"ב דבק ב"ג ובקו ב"ד על יושר זה שקר מפתי' א'
אם כן לא יהיה חלק מקו ישר בשטח וחלק בגובה וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 2
ב כל שני קוים ישרים יחתכו הנה שניהם בשטח אחד וכל משולש הנה הוא בשטח אחד
המשל בו כי שני קוי א"ב ג"ד יחתכו על נקודת ה' הנה אומר כי א"ב ג"ד בשטח אחד ונרשום על שני קוי ד"ה ה"ב שתי נקודות ז"ח ונוציא קו ז"ח הנה אומר כי משולש זה"ח הוא בשטח אחד
המופת כי הוא אי איפשר זולתו ונבאר זה כי אם היה איפשר זה הנה היה חלק ממשולש זה"ח בשטח וחלק בגובה אם כן שני חלקים משני קוי ז"ה ה"ח בשטח ושני חלקים בגובה זה שקר מא'
אם כן משולש זה"ח הוא בשטח אחד והשטח אשר בו משולש זה"ח בו שני קוי ז"ה ה"ח ובו שני קוי א"ב ג"ד אם כן שני קוי א"ב ג"ד בשטח אחד
אם כן כל שני קוים ישרים יחתכו הנה שניהם בשטח אחד וכל משולש הנה הוא בשטח אחד וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 3
ג כל שני שטחים יחתכו הנה פרק שניהם המשותף הוא קו אחד ישר
המשל בו כי שני שטחי א"ב ג"ד ה"ז ח"ט יחתכו ופרקם משותף הוא כ"ל הנה אומ' כי כ"ל קו אחד ישר
המופת שהוא אי איפשר שיהיה יותר מקו ונבאר זה שאם היה איפשר הנה נוציא מן ל' אל כ' קו בשטח א"ב ג"ד והוא כמ"ל ונוציא מכ' אל ל' קו בשטח ה"ז ח"ט והוא כנ"ל אם כן כמ"ל קו ישר וכנ"ל קו ישר מתחברים אם כן שני קוי כמ"ל כנ"ל ישרים מתקרבים יפגשו קצוות שניהם בכל שתי הצדדים זה שקר אם כן כ"ל הוא קו אחד ישר וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 4
When a perpendicular line stands at the intersection point of two intersecting lines, then it is also perpendicular to the plane passing through them. ד כאשר עמד עמוד על פרק שני קוים ישרים יחתכו הנה הוא עמוד על שטח שניהם
Example: line AB is perpendicular stands at the common intersection point of two lines GD and HZ. המשל בו כי קו א"ב עמוד נצב על פרק שני קוי ג"ד ה"ז המשותף
Supposition: I say that line AB is perpendicular to plane GD. הנה אומר כי קו א"ב עמוד נצב על שטח ג"ד
Proof: המופת
  • \scriptstyle BH=BZ=DB=BG
 שיהיו קוי ב"ה ב"ז ד"ב ב"ג הנחלקים שוים
  • We draw two lines HG and DZ.
 ונוציא שני קוי ה"ג ד"ז
  • We draw line TK from K on plane GDHZ.
 ונוציא מן כ' קו בשטח ג"ד ה"ז והוא ט"כ
  • We place point C on AB.
 ונרשום על א"ב נקודת ח'
  • We draw lines HC, DC, CZ, CG, CK and CT.
 ונוציא קוים ה"ח ד"ח ח"ז ח"ג ח"כ ח"ט
  • \scriptstyle CK=BZ
 הנה צלע ה"ב כמו ב"ז
  • \scriptstyle GB=BD
 וג"ב כמו ב"ד
I.4, 15, 27: \scriptstyle HG\parallel DZ\;HG=DZ
 אם כן ה"ג ד"ז נכחיים ושוים מט"ו וד' וכ"ז מא‫'
  • \scriptstyle GB=BD
 וג"ב כמו ב"ד
  • \scriptstyle BC\perp GD
 וב"ח עמוד על ג"ד
  • I.4: \scriptstyle CG=CD
 אם כן ח"ג כמו ח"ד מד' מא‫'
  • \scriptstyle HB=BZ
 וגם כן ה"ב כמו ב"ז
  • \scriptstyle BC\perp HZ
 וב"ח עמוד על ה"ז
  • I.4: \scriptstyle HC=CZ
 אם כן ה"ח כמו ח"ז מד' מא‫'
  • \scriptstyle GC=CD
 אם כן צלע ג"ח כמו ח"ד
  • \scriptstyle HG=DZ
 וה"ג כמו ד"ז
  • CG and GH are equal to CD and DZ
 אם כן שני קוי ח"ג ג"ה שוים לשני קוי ח"ד ד"ז
  • \scriptstyle HC=CZ
 ותושבת ה"ח כמו תושבת ח"ז
  • I.8: \scriptstyle\measuredangle CGH=\measuredangle HDZ
 אם כן זוית חג"ה כמו זוית הד"ז מח' מא‫'
וקו ט"ג ד"ב נכחיים וכבר הוצאו אל שניהם ט"כ ג"ד
  • I.29: \scriptstyle\measuredangle GTB=\measuredangle KBD
 אם כן זוית גט"ב שוה לזוית כב"ד מכ"ט מא‫'
  • \scriptstyle\measuredangle BGT=\measuredangle BDK
 וזוית בג"ט שוה לזוית בד"כ
  • \scriptstyle GB=BD
 וג"ב כמו ב"ד
  • I.26: \scriptstyle TG=DK
 אם כן ט"ג כמו ד"כ מכ"ו מא‫'
  • CG and GT are equal to CD and DK
 אם כן שני קוי ח"ג ג"ט שוים לשני קוי ח"ד ד"כ
  • \scriptstyle\measuredangle CGT=\measuredangle CDK
 וזוית חג"ט שוה לזוית חד"כ
  • I.4: \scriptstyle TC=CK
 אם כן תושבת ט"ח כמו תושבת ח"כ מד' מא‫'
  • \scriptstyle TK=BK
 וצלע ט"כ כמו צלע ב"כ
וכ"ח משותף
  • TB and BC are equal to KB and KC
 אם כן שני קוי ט"ב ב"ח יהיו שוים כ"ב כ"ח
  • \scriptstyle TC=CK
 ותושבת ט"ח כמו תושבת ח"כ
  • I.8: \scriptstyle\measuredangle CBK=\measuredangle CBT
 אם כן שתי זויות חב"כ וחב"ט שוות מח' מא‫'
def. אם כן שתיהם נצבות מפתיחת מא‫'
אם כן ח"ב עמוד על ט"כ וכן יתבאר כי כל קו יצא מן ב' בשטח שני קוי ג"ד ה"ז הנה הוא יקיף עם ח"ב בזוית נצבת
def. אם כן קו כ"א הוא עמוד על שטח ג"ד ה"ז מפתיחת זה
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 5
ה כאשר עמד קו על פרק משותף לשלשה קוים יקיף עם כל קו מהם בזוית נצבת הנה הקוים השלשה בשטח אחד
המשל בו כי קו א"ב נצב על פרק משותף לשלשה קוים ב"ג ב"ד ב"ה על זויות נצבות הנה אומר כי ב"ג ב"ד ב"ה בשטח אחד
המופת כי איפשר שיהיה קו מהם בזולת שטח האחר ונבאר זה שאם היה איפשר הנה היה ב"ד בשטח בגובה הנה שטח א"ב ב"ד הנה יחלק שטח ג"ב ב"ה ויחלקהו ויהיה חלוקם המשותף קו ב"ז [מג'] ותהיה זוית אב"ז נצבת וכבר היתה זוית אב"ד נצבת א"ב ב"ד ב"ז בשטח אחד הנה זוית אב"ז אם כן שוה לזוית אב"ד הגדולה לקטנה זה שקר אם כן ב"ג ב"ד ב"ה בשטח אחד

Proposition 11
י"א נרצה שנוציא מנקודה מונחת בגובה קו יהיה עמוד על שטח מונח
הנה נשים הנקודה המונחת נקודת א' ונרצה שנוציא ממנה עמוד נצב על השטח המונח ונתחיל ונקוה בשטח קו ישר איך מה שיפול והוא ב"ג ונוציא מנקודת א' אל קו ב"ג עמוד על קו ב"ג והוא א"ד ונוציא מן ד' בשטח המונח עמוד על ב"ג והוא ד"ה ונוציא מן א' אל קו ד"ה עמוד נצב על ד"ה והוא א"ז הנה אומר כי א"ז עמוד על השטח המונח
המופת אנחנו נוציא מן ז' קו יהיה נכחי אל ב"ג בשטח המונח והוא ח"ט
אם כן קו ב"ג עמוד על פרק משותף לשני קוי ז"ד ד"א מד' מזה
\scriptstyle BG\perp ZDDA
 אם כן קו ב"ג עמוד על שטח ז"ד ד"א
\scriptstyle BG\parallel CT
 וב"ג יהיה נכחי אל ח"ט
\scriptstyle CT\perp ZDDA
 אם כן ח"ט עמוד נצב על שטח ז"ד ד"א מח' מזה
וז"א הוא בשטח ז"ד ד"א
\scriptstyle CT\perp AZ
 אם כן ח"ט עמוד על א"ז
\scriptstyle AZ\perp CT\quad CT\perp HD
 וא"ז עמוד על ח"ט והוא גם כן עמוד על ה"ד
\scriptstyle AZ\perp HD\quad AZ\perp CT
 אם כן א"ז עמוד נצב על ה"ד ועל ח"ט
\scriptstyle AZ\perp HZCT
 אם כן א"ז עמוד על שטח הזח"ט
ושטח הזח"ט הוא השטח המונח וא"ז עמוד נצב עליו
הנה כבר הוצאנו מנקודת א' אשר היא בגובה המונח עמוד נצב על השטח המונח והוא א"ז
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 12
י"ב נרצה שנעמיד על שטח מונח על נקודה ידועה ממנו עמוד
ונשים הנקודה א' ונרצה שנעמיד על נקודת א' עמוד על השטח המונח ונניח בגובה נקודת ב' איך מה שנפלה ונוציא ממנה עמוד על השטח המונח והוא ב"ג ונוציא מן א' קו יהיה נכחי אל ג"ב והוא א"ד הנה אומר כי א"ד עמוד על השטח המונח
המופת כי א"ד הוא נכחי אל ב"ג וב"ג עמוד על השטח המונח הנה א"ד עמוד על השטח המונח
הנה כבר העמדנו על השטח המונח על נקודת א'
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 13
י"ג לא יעמוד על שטח אחד שני עמודים על נקודה אחת מן השטח
המופת שהוא אי איפשר ויתבאר זה במשל שאם היה איפשר הנה נעמיד על נקודת א' שני עמודים על השטח המונח והם א"ב א"ג ויהיה קו ד"ה פרק משותף לשני שטחים אם כן זוית בא"ה נצבת וזוית גא"ה נצבת אם כן שתיהן שוות הגדולה לקטנה זה שקר
אם כן אי איפשר שיעמדו על נקודה אחת שני עמודים
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 14
י"ד כאשר היה קו אחד עמוד על שני שטחים הנה השני שטחים כאשר הוצאו בכל הצדדים לא יפגשו ואפי' הוצאו בכל הצדדים לאין תכלית
המשל בו שיהיה קו א"ב עמוד על שני שטחי ג"ד ח"ט הנה אומר כי שני שטחי ג"ד ח"ט נכחיים וששניהם כאשר הוצאו עד לאין תכלית לא יפגשו
המופת שהוא אי איפשר ונבאר זה שאם היה איפשר הנה יפגשו ותהיה פגישת שניהם פרק משותף והוא קו כ"ל ונרשום על כ"ל נקודת מ' איך מה שתפול ונוציא שני קוי א"'מ כ"מ הנה כ"ל הוא בשטח ג"ד וכל הנקודות אשר בו הם בשטח ג"ד אם כן א"מ בשטח ג"ד וכל עמוד על שטח הנה הוא עמוד על קו יצא בשטח וימשש העמוד אם כן זוית מא"ב נצבת ולכן זוית אב"מ נצבת אם כן שתי זויות ממשולש אב"מ שתי נצבות זה שקר אם כן שני שטחי ג"ד ח"ט כאשר הוצאו בכל הצדדים לא יפגשו
וזהו מה שרצינו לבאר

Proposition 33
Parallelepipedal solids, whose heights are the same: the ratio of the solid to the solid is as the ratio of its base to its base. ל"ג המוגשמים נכחיי השטחים כאשר היה רומם בשיעור אחד הנה יחס המוגשם אל המוגשם כיחס תושבתו אל תושבתו
המשל בו כי שני מוגשמי כ"ב וז"ל נכחי השטחים ורומם בשיעור אחד הנה אומר כי יחס תושבת אבג"ד אל תושבת הזח"ט כיחס מוגשם כ"ב אל מוגשם ז"ל
\scriptstyle DGMN=HZCT
 המופת כי נשים תושבת ד"ג מ"נ שוה לתושבת הזח"ט
ונשלים מוגשם ס"ג וכל מוגשם נכחיי השטחים יבדילהו שטח על נכחות שני שטחים מקבילים
הנה הוא יחלקהו בשני חלקים יהיה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס תושבתו אל תושבתו [מכ"ה מזה]
\scriptstyle ABGD:DGMN=KB:GS
 אם כן יחס תושבת אבג"ד אל תושבת דגמ"נ כיחס מוגשם כ"ב אל מוגשם ג"ס
\scriptstyle DGMN=HZCT
 ותושבת דגמ"נ כמו תושבת הזח"ט
\scriptstyle GS=ZL
 ומוגשם ג"ס כמו מוגשם ז"ל
\scriptstyle ABGD:HZCT=KB:ZL
 אם כן יחס תושבת אבג"ד אל תושבת הזח"ט כיחס כ"ב אל מוגשם ז"ל
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 40
מ כל מעוקב יובדלו צלעות שני שטחים משטחיו מקבילים כל צלע בשני חציים אחר כן יצאו ממקומות ההבדלים שני שטחים יבדילו המעוקב ויבדיל כל אחד משניהם האחר הנה הבדל שניהם המשותף יחתוך קוטר המעוקב בשני חציים ויחתכהו הקוטר בשני חציים
המשל בו כי שני שטחי מעוקב א"ב המקבילים ג"ד א"ה ז"ח ט"כ הנה כבר הובדלו צלעות שניהם והם ג"ד ד"א א"ה ה"ג ב"ז ז"ח ח"ט ט"ב כל צלע בשני חציים על נקודת כ' ל' מ' נ' ס' ע' פ' ק' והוצא ממקומות ההבדלים שני שטחים והם כ"מ פ"ס ונ"ל ע"ק יבדילו המעוקב ויבדיל כל אחד משניהם האחר והבדלם המשותף קו ר"ש וקוטר המעוקב קו ב"א הנה אומר כי כל אחד מן ר"ש ב"א יחתוך האחד בשני חציים
המופת כי נוציא קוים ג"ר ר"א ב"ש ש"ח
  • \scriptstyle GH=DA
 הנה ג"ה ישוה ד"א
  • \scriptstyle\frac{1}{2}GH=GN
 וחצי ג"ה הוא ג"נ
  • \scriptstyle\frac{1}{2}DA=LA
 וחצי ד"א הוא ל"א
\scriptstyle GN=LA
 וג"נ ישוה ל"א
\scriptstyle RN=LR
 ור"נ ישוה ר"ל
\scriptstyle\longrightarrow GN+NR=AL+LR
 הנה כל ג"נ נ"ר כמו כל א"ל ל"ר כל אחד כמו גילו
\scriptstyle\measuredangle GNR=\measuredangle ALR
 וזוית גנ"ר כמו זוית אל"ר
I.4: \scriptstyle GR=RA
 אם כן תושבת ג"ד כמו תושבת ר"א מד' מא'
\scriptstyle\triangle GNR=\triangle ALR
 ומשולש גנ"ר כמו משולש אל"ר
ושאר הזויות כמו שאר הזויות אשר יהיו מיתריהם הצלעות השוות
\scriptstyle\measuredangle GRN=\measuredangle LRA
 זוית גר"נ כמו זוית לר"א
ויהיה זוית נר"א משותפת
\scriptstyle\measuredangle GRN+\measuredangle NRA=\measuredangle LRA+\measuredangle ARN
 אם כן שתי זויות גר"נ נר"א שוות לשתי זויות לר"א אר"נ
I.13: \scriptstyle\measuredangle LRA+\measuredangle ARN=90^\circ+90^\circ
 אבל שתי זויות לר"א אר"נ ישוו שתי נצבות מי"ג מא'
\scriptstyle\measuredangle GRN+\measuredangle NRA=90^\circ+90^\circ
 אם כן שתי זויות גר"נ נר"א ישוו שתי נצבות
וכבר יצא מקו ר"נ מנקודת ד' שני קוים ר"נ ר"א בשני צדדים מתחלפים ויהיו שתי זויות גר"נ נר"א ישוו שתי נצבות
אם כן יהיו שני קוי ג"ר ר"א קו אחד ישר מי"ד מא'
ולכן יהיו שני קוי ב"ש ש"ח קו אחד ישר
\scriptstyle GB=HT\quad AC=HT
\scriptstyle GB\parallel HT\quad AC\parallel HT
 וכל אחד מן ג"ב א"ח ישוה ה"ט והם נכחיים
והנכחיים לקו ואינם בשטח אחד הנה הם נכחיים
\scriptstyle GB=AC\quad GB\parallel AC
 אם כן ג"ב א"ח נכחיים שוים ונדבקים בקצוות ג"א ב"ח
\scriptstyle GA=BC\quad GA\parallel BC
 אם כן ג"א ב"ח שוים נכחים מל"ג מא'
  • \scriptstyle\frac{1}{2}GA=RA
 וחצי ג"א הוא ר"א
  • \scriptstyle\frac{1}{2}BC=B\hat S
 וחצי ב"ח הוא ב"ש
\scriptstyle RA=B\hat S\quad RA\parallel B\hat S
 אם כן ר"א ב"ש שוים נכחיים ונדבקים בקצוות ר"ש א"ב
I.29; I.46: \scriptstyle RT=T\hat S\quad AT=TB
 אם כן ר"ת ישוה ת"ש וא"ת ישוה ת"ב מכ"ט ומ"ו מא'
הנה כבר חתך כל אחד מן א"ב ר"ס האחד בשני חצאים
וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 41
For every two prisms whose heights are equal, if the base of one of them is a triangle, the base of the other is parallelogram, and it is double the base of the other, which is the triangle, then both prisms are equal. מא כל שני מגוררים רום שניהם שוים ותושבת אחד משניהם משולש ותושבת האחר נכחית הצלעות והיא כפל תושבת האחר המשולש הנה שני המגוררים שוים
המשל בו כי שני מגוררי א"ב ג"ד ה"ז ח"ט כ"ל מ"נ רום שניהם שוים ותושבת אחד משניהם משולש והיא נכ"ל ותושבת האחר נכחית הצלעות והוא בגד"ה הנה אומר כי שני המגוררים שוים
המופת שנשלים שני מוגשמי א"ד ח"ל הנכחיים
  • \scriptstyle\Box_{BGDH}=2\sdot\triangle_{NKL}
 הנה נכחי בגד"ה הוא כפל משולש נכ"ל
  • \scriptstyle\Box_{NL}=2\sdot\triangle_{NKL}
 ונכחי נ"ל הוא כפל משולש נכ"ל
\scriptstyle\Box_{BD}=\Box_{NL}
 אם כן שתי תושבות ב"ד נ"ל הנכחיי הצלעות שוות
XI.32: \scriptstyle AD=CL
 אם כן מוגשם א"ד ח"ל שוים הרום נכחיי השטחים על שתי תושבות שוות אם כן שתיהן שוות מל"ב
  • \scriptstyle\frac{1}{2}AD=ABGDHZ
 אבל חצי א"ד הוא מגורר א"ב ג"ד ה"ז
  • \scriptstyle\frac{1}{2}CL=CTKLMN
 וחצי ח"ל הוא מגורר ח"ט כ"ל מ"נ
\scriptstyle ABGDHZ=CTKLMN
 אם כן שני מגוררי א"ב ג"ד ה"ז ח"ט כ"ל מ"נ שוים
וזה מה שרצינו לבאר
נשלם המאמר האחד עשר ת"ל

Book Twelve

 המאמר השנים עשר מספר אקלידס החכם

Proposition 1
א כל שתי שטחים רבי הזויות דומים בשתי עגולות הנה יחס אחד משניהם אל האחר כיחס מרובעי שני קוטרי שתי העגולות אחד מהם אצל האחר
המשל בו כי שני שטחי א"ב גד"ה וח"ט כ"ל רבי הזויות מתדמים בשתי עגולות שני קטריהם ב"ז ט"נ הנה אומר כי יחס שטח א"ב גד"ה אל שטח ח"ט כ"ל מרבי הזויות כיחס מרובע קוטר ב"ז אל מרובע קוטר ט"נ
המופת שנוציא קוים כ"ה א"ז ט"מ ח"נ הנה יחס ב"א אל ט"ח כיחס א"ה אל ח"מ ושתי זויות בא"ה טח"מ השוות יקיפו בהם צלעות מתיחסות אם כן [מו' ומד' מו'] משולש אב"ה ידמה משולש חט"מ אם כן זויות אה"ב כמו זוית חמ"ט וזוית אה"ב [מכ' מג'] כמו זוית אז"ב וזוית חמ"ט כמו זוית חנ"ט אם כן זוית אז"ב כמו זוית חנ"ט וזוית בא"ז [מל' מג'] נצבת שוה לזוית טח"נ ונשארה זוית אב"ז כמו זוית חט"נ הנשארת אם כן משולש אב"ז שוה הזויות למשולש חט"נ אם כן יחס ז"ב אל נ"ט כיחס ב"א אל ט"ח אם כן [מסוף י"ח מו'] יחס מרובע ב"ז אל מרובע ט"נ הוא יחס ב"ז אל ט"נ שנוי ויחס א"ב גד"ה אל ח"ט כ"ל מרבי הזויות הוא [מי"ט מו'] יחס א"ב אל ח"ט שנוי ויחס ב"ז אל ט"נ כיחס א"ב אל ח"ט אם כן יחס מרובע ב"ז אל מרובע ט"נ כיחס שטח א"ב גד"ה אל שטח ח"ט כל"מ רבי הזויות וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 2
ב כל שתי עגולות הנה יחס אחד משתיהן אל האחרת כיחס שני מרובעי שני קטריהם אחד מהם אל האחר
המשל בו כי שתי עגולות אבג"ד ה"ז ח"ט קטרי שניהם ב"ד ז"ט הנה אומר כי יחס מרובע קוטר ב"ד אל מרובע קוטר ז"ט כיחס עגולת א"ב ג"ד אל עגולה ה"ז ח"ט
המופת כי אי איפשר זולתו ונבאר זה כי אם היה איפשר נאמר שיהיה יחס מרובע ב"ד אל מרובע ז"ט כיחס עגולת א"ב ג"ד אל שטח הוא יותר גדול או יותר קטן מעגולת ה"ז ח"ט ויהיה ראשונה אל שטח הוא יותר קטן ממנה ויהיו ת' ויהיו ת"כ מקובצים כמו עגולת ה"ז ח"ט ונקוה בעגולת ה"ז ח"ט מרובע ה"ז ח"ט ויחתכו קשתות ה"ז ז"ח ח"ט ט"ה כל אחת בשני חציים על נקודת כ' ל' מ' נ' ונוציא מיתרי ה"כ כ"ז ז"ל ל"ח ח"מ מ"ט ט"נ נ"ה הנה כל אחד ממשולשי הכ"ז זל"ח חמ"ט טנ"ה הוא יותר גדול מחצי חתיכת העגולה אשר בה המשולש וכאשר עשינו זה פעמים הנה תשאר לנו חתיכות מן העגולה כלם יותר קטן משטח כ' ותשאר ויהיו חתיכות ה"כ כ"ז ז"ל ל"ח ח"מ מ"ט ט"נ נ"ה הנה עגולת ה"ז ח"ט יותר גדולה משטח כ' וכבר חסר מהגדול יותר מחציו ועשה זה פעמים וישאר [מא' מי'] מה שהוא יותר קטן מן כ' ויהיה שטח ה"כ ז"ל ח"מ ט"נ הרב הזויות יותר גדול מן ת' ויקיפו בעגולת א"ג שטח רבי הזויות דומה בשטח ה"כ ז"ל ח"מ ט"נ והוא שטח א"ס ב"ע ג"פ ד"ק הנה יחס מרובע ד' אל מרובע ז"ט כיחס עגולת א"ב ג"ד אל שטח ת' אבל יחס מרובע ב"ד אל מרובע ז"ט כיחס שטח א"ס ב"ע ג"פ ד"ק הרב הזויות אל שטח ה"כ ז"ל ח"נ מ"ט הרב הזויות אם כן [מי"ח מה'] יחס עגולת א"ב ג"ד אל שטח ת' כיחס שטח א"ס ב"ע ג"פ ד"ק אל שטח הכז"ל חנמ"ט וכאשר המירונו [מי"ו מה'] יהיה יחס עגולת א"ב ג"ד אל השטח הרב הזויות אשר בה כיחס שטח ת' אל שטח הכז"ל חמנ"ט הרב הזויות ועגולת א"ב ג"ד היא יותר גדולה מן הרב הזויות אשר בה ושטח ת' אם כן יותר גדול מן הכל"ז חמנ"ט הרב הזויות אבל ת' היה יותר קטן ממנו כמו שבארנו זה שקר אי איפשר אם כן אין יחס מרובע ב"ד אל מרובע ז"ט כיחס עגולת א"ב ג"ד אל שטח הוא יותר קטן מעגולת ה"ז ח"ט
הנה אומר ולא אל שטח הוא יותר גדול שאם היה איפשר נאמר שיהיה אל ת' והוא יותר גדול ממנה הנה יחס מרובע ב"ד אל מרובע ז"ט כיחס עגולת א"ב ג"ד אל שטח ת' וכאשר חלפנו היה יחס מרובע ז"ט אל מרובע ב"ד כיחס שטח ת' אל עגולת א"ב ג"ד וכיחס עגולת ה"ז ח"ט אל שטח הוא יותר קטן מעגולת א"ב ג"ד אם כן יחס מרובע ט"ז אל מרובע ד"ב כיחס עגולת ה"ז ח"ט אל שטח הוא יותר קטן מעגולת א"ב ג"ד וכבר ביארנו כי זה שקר אי איפשר אם כן אין יחס מרובע ב"ד אל מרובע ז"ט כיחס מרובע א"ב ג"ד אל שטח הוא יותר גדול מעגולת ה"ז ח"ט וכבר ביארנו ולא אל יותר קטן ממנו אם כן יחס מרובע ב"ד אל מרובע ז"ט כיחס עגולת א"ב ג"ד אל עגולת ה"ז ח"ט וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 6
כל מגורר הנה הוא אפשר שיחלקו ממנו שלשה מחודדים שוים ותושבותיהם משולשים

Proposition 15
ט"ו כל שני כדורים הנה יחס אחד משניהם אל האחר הוא יחס קוטרו אל קוטרו משולש
המשל בו כי נניח שתי כדורים א"ב ג"ד ה"ז ח"ט וקוטרי שניהם ב"ד ז"ט הנה אומר כי יחס כדור א"ב ג"ד אל כדור ה"ז ח"ט הוא יחס קוטר ב"ד אל קוטר ז"ט משולש
המופת כי אי איפשר זולתו ובאור זה שאם היה איפשר נאמר שיהיה יחס כדור א"ב ג"ד אל כדור הוא יותר קטן או יותר גדול מכדור ה"ז ח"ט הוא יחס ב"ד אל ז"ט משולש ויהיה תחלה אל כדור הוא יותר קטן ממנו והוא כדור א' ויהיה כדור כ"ל מ"נ על מרכז ה"ז ח"ט שוה לכדור א' ויהיו שני כדורים על מרכז אחד ונעשה [מי"ד] בכדור ה"ז ח"ט הגדול מוגשם רב התושבות יקיפו בו בלתי ממשש לפשט כדור כ"ל מ"נ הקטן ונעשה בכדור א"ב ג"ד מוגשם דומה לרב התושבות אשר בכדור ה"ז ח"ט הנה יחס כדור א"ב ג"ד אל כדור א' כיחס ב"ד אל ז"ט משולש ויחס רב התושבות אשר בכדור א"ב ג"ד אל הרב התושבות אשר בכדור ה"ז ח"ט הוא יחס ב"ד אל ז"ט משולש אם כן יחס כדור א"ב ג"ד אל כדור א' כיחס רב התושבות אשר בכדור א"ב ג"ד אל הרב התושבות אשר בכדור ה"ז ח"ט וכאשר המירונו יהיה יחס כדור א"ב ג"ד אל הרב התושבות אשר בו כיחס כדור א' אל הרב התושבות אשר בכדור ה"ז ח"ט הרב התושבות אשר בו וכדור א"ב ג"ד יותר גדול מן הרב התושבות אשר בו אם כן כדור א' יותר גדול מן הרב התושבות אשר בו אם כן כדור א' יותר גדול מן הרב התושבות אשר בכדור ה"ז ח"ט אבל הרב התושבות אשר בכדור ה"ז ח"ט יקיף בכדור כ"ל מ"נ השוה לכדור א' זה שקר אי איפשר אם כן אין יחס כדור א"ב ג"ד אל כדור הוא יותר קטן מכדור ה"ז ח"ט הוא יחס ב"ד אל ז"ט משולש
ואומר ולא אל כדור הוא יותר גדול ממנו ונבאר כי זה אי איפשר שאם היה איפשר נאמר שיהיה אל כדור א' והוא יותר גדול ממנו ונשוב בתואר הנה יחס כדור א' אל כדור א"ב ג"ד הוא יחס ז"ט אל ב"ד משולש ויחס כדור א"ב אל כדור א"ב ג"ד כיחס ה"ז ח"ט אל כדור הוא יותר קטן מכדור א"ב ג"ד אם כן יחס כדור ה"ז ח"ט אל כדור הוא יותר קטן מכדור א"ב ג"ד הוא כיחס ז"ט אל ב"ד משולש זה שקר אי איפשר שכבר ביארנו זה אם כן אין יחס כדור א"ב ג"ד אל כדור הוא יותר קטן ולא אל יותר גדול מכדור ה"ז ח"ט הוא יחס ב"ד אל ז"ט משולש אם כן יחס כדור א"ב ג"ד אל כדור ה"ז ח"ט הוא יחס ב"ד אל ז"ט משולש וזה מה שרצינו לבאר
נשלם המאמר השנים עשר מספר אקלידס החכם ת"ל

Book Fifteen

 המאמר החמשה עשר לאספקלאוס
אשר יאות לאקלידס החכם

Proposition 1
א הקדמה לאספקלאוס בהשלמת המאמר על המוגשמים החמשה
כאשר נחלק צלע המשושת על יחס בעל אמצע ושתי קצוות הנה חלק היותר גדול הוא צלע המעושר אשר תקיף בו העגולה אשר תקיף במשושת
המשל בזה כי קו א"ב צלע המשושת וכבר נחלק על [יחס] בעל אמצע ושתי קצוות על נקודת ג' וחלקו הגדול ב"ג הנה אומר כי ב"ג צלע המעושר אשר תקיף בו העגולה אשר תקיף במשושת
המופת כי כבר התבאר במאמר השלש עשרה [בט' ממנו] כי צלע משושת העגולה ומעושר כאשר נדבקו על יושר אחר כן נחלק הקו על יחס בעל אמצע ושתי קצוות הנה החלק הגדול הוא צלע המשושת והחלק הקטן הוא צלע המעושר ונגיע בקו א"ב צלע המעושר והוא ד"ב הנה קו א"ד כבר נחלק על יחס בעל אמצע ושתי קצוות על נקודת ב' וחלקו הגדול קו א"ב ונרשום קו שוה לקו א"ב והוא קו ה"ו ונחלקהו כיחס בעל אמצע ושתי קצוות על נקודת ז' וחלקו הגדול ו"ז שוה אל קו ב"ג הנה יחס א"ד אל א"ב כיחס ה"ו אל ו"ז וכאשר הבדלנו אחר כן הפכנו הנה [מי"ו מו'] יחס א"ב אל ב"ד כיחס ו"ז אל ז"ה אם כן המרובע אשר יהיה מן א"ב בה"ז כמו המרובע אשר יהיה מן ב"ד בו"ז וא"ב כמו ה"ו ואשר [מי"ו מו'] יהיה מן ה"ו בה"ז שוה לאשר יהיה מן ו"ז בכמוהו אם כן קו ד"ב הוא כמו ו"ז וקו ו"ו כמקומו כמו קו ב"ג וד"ב צלע המעושר אם כן קו ב"ג צלע המעושר וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 2
ב נרצה שנרשום בעל ארבעה תושבות משולשות שוות הצלעות במעוקב ידוע ויהיה המעוקב הידוע מעוקב א"ב ג"ד ו"ז ח' ונגיע א"ג ונוציא א"ז וג"ז וא"ה וה"ג וה"ז הנה אומר כי כבר עשינו בעל ארבעה תושבות משולשות שוות הצלעות והוא מוגשם א"ג ז"ה
המופת כי א"ג כבר היה מיתר זוית אד"ג הנצבת וא"ז כבר היה מיתר זוית אד"ז הנצבת וג"ז כבר היה מיתר זוית גד"ז הנצבת וא"ה כבר היה מיתר זוית אב"ה הנצבת וג"ה כבר היה מיתר גב"ה הנצבת וה"ז כבר היה מיתר זוית הו"ז הנצבת וקוי א"ד ד"ז ג"ד ג"ב א"ב ב"ה ו"ז שוים אם כן [מד' מא'] צלעות א"ז ז"ג א"ג א"ה ז"ה ג"ה שוות אם כן משולשי אג"ז אה"ג אה"ז הז"ג שוים אם כן מוגשם א"ג ז"ה בעל ארבעה תושבות משולשות שוות הצלעות בתושבת משולש אג"ז וראשו נקודת ה' וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 3
ג נרצה שנרשום תמונה בעלת שמונה תושבות משולשות שוות הצלעו' במוגשם בעל ארבעה תושבות משולשות שוות הצלעות ויהיה המוגשם אשר לו ארבעה תושבות משולשות שוות הצלעות מוגשם א"ב ג"ד ותהיה תושבתו משולש אב"ג וזוית ראשו נקודת ד' ונבדיל כל צלע מצלעותיו בשני חציים אצל נקודת ה"ו ז"ח ט"ל ונגיע ה"ז ז"ו ו"ה ח"ט ט"ל ל"ח ח"ה ה"ט ט"ו ו"ל ל"ז ז"ח הנה אומר כי אנחנו כבר עשינו במוגשם א"ב ג"ד בעל שמונה תושבות משולשות שוות הצלעות
המופת כי קוי ח"ל ח"ט ח"ז ח"ה ו"ה ו"ז ו"ט ו"ל ה"ז ז"ל ל"ט ט"ה שוים מפני כי הם זויות שוות יקיפו בהם קוים שוים וזויות מוגשם א"ב ג"ד שוות מפני כי תושבותיהם משולשים שוים והקוים המוצאים הנעשים מיתרים לזויות נכחיים לתושבות המשולשות אשר הם מיתרי זויותיהם אם כן [מב' מו'] המשולשים אשר יתחדשו מהם דומים ודומים למשולשי בעל הארבעה תושבות אם כן קו ז"ה נכחי קו ג"ב וכן קוי משולש הז"ו נכחיים לקוי משולש אב"ג גם כן וקוי משולש חז"ל נכחיים לקוי אד"ג וקוי משולש ול"ט נכחיים לקוי משולש דג"ב וקוי משולש הח"ט נכחיים לקוי משולש אד"ב אם כן המוגשם הח"ט ול"ז בעל שמונה תושבות שוות הקוים וזויות המשולשים שוות ומשולשיו השוים הם משולשי זח"ל לח"ט טח"ה הז"ח והמשולשים הארבעה הנכחיים להם והם המשולשים טו"ה הו"ז זו"ל טו"ל והצלעות הארבעה המרובעים אשר יקיפו באמצעו הם צלעות ט"ל ז"ה ושתי זויות ראשי המחודדים שתי נקודות ח"ו הנה כבר עשינו במוגשם א"ב ג"ד בעל הארבע תושבות תמונה בעלת השמונה תושבות משולשות שוות הצלעות וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 4
ד נרצה שנרצה במעוקב ידוע בעל שמונה תושבות ויהיה המעוקב הידוע מעוקב א"ב ג"ד ה"ו ז"ח בשטחו הששה המרובעים שטח אבג"ד והוא השטח העליון ממנו [ושטח הוז"ח והוא השטח התחתון ממנו והוא הנכחי] לשטח אבג"ד ושטח אהח"ד הנכחי לשטח בגז"ו ושטח אבו"ה הנכחי לשטח חדג"ז ונקח מכל שטח משטחיו הששה הנקודה אשר יחתכו ממנה שני הקוטרים לשטח ההוא ונרשום על הנקודה אשר במרובע אבג"ד רושם מ' ובמרובע הוז"ח רושם ה' ובאבו"ה רושם י' ובגדז"ח רושם ל' ובאהח"ד רושם ט' ובבגז"ו רושם כ' ונוציא קוי י"ט ט"ל ל"כ כ"י מ"י מ"ט מ"ל מ"כ ס"ל ס"ט ס"י ס"כ ואומר כי אנחנו כבר עשינו במעוקב א"ב ג"ד ה"ו ז"ח בעל שמונה תושבות והוא מוגשם י"ט ל"ב מ"ס
מופת זה כי אנחנו נקודת ט' אם הוצא עליה קו נכחי לשתי צלעות א"ה ד"ח והוא קו עט"פ וקו אחר לשתי צלעי א"ד ה"ח והוא קו קט"ג יחתכו על זויות נצבות מפני כי שטח א"ה ח"ד שוה צלעות ונכחיים להם ונצב הזויות ולכן [מסוף ד' מב'] יהיו קוי ט"ע ט"פ ט"ק ט"נ שוים וכן כל שטחי המעוקב כאשר ננהיגם בזאת ההנהגה יהיו הקוים אשר יצאו מן הנקודות אשר יחתכו עליה קוטריהם אצל צלעיהם ונכחי צלעיהם שוה יחד ויהיה דבקות כל שני קוים מהם בשני שטחים יתמששו על זוית נצבת ויהיו הקוים אשר ידבקו בין כל שתי נקודות מן הנקודות אשר יחתכו עליהם הקוטרים שוים ויהיו קוי י"ט י"כ ל"ב ל"ט ס"כ ס"ל ס"י ס"ט מ"כ מ"ל מ"י מ"ט שוים ויהיו הזויות אשר יקיפו בהם שוות אם כן [מח' מא'] משולשי ימ"ט ימ"כ טמ"ל מכ"ל טי"ס טל"ס לכ"ס כי"ס שוי הצלעות הנה כבר עשינו תמונה בעל שמונה תושבות יכ"ל טמ"ס אשר רצינו במעוקב א"ב ג"ד ה"ו ז"ח הידוע וזה מה שרצינו לבאר

Proposition 5
ה נרצה שנרשום במוגשם בעל שמונה תושבות ידוע מעוקב ויהיה המוגשם בעל השמונה תושבות מוגשם א"ב ג"ד ה"ו ומשולשיו הצלעות משולשי אה"ד דה"ג גה"ב בה"א או"ד דו"ג גו"ב בו"א ונקח מרכז המשולשים מרכז אח"ד נקודת ז' ומרכז דה"ז נקודת ח' ומרכז גה"ב נקודת ט' ובה"א נקודת י' ואו"ד נקודת ל' וגו"ד נקודת מ' וגו"ב נקודת נ' ובו"א נקודת כ' ונוציא קוי ז"י י"ט ט"ח ל"כ כ"נ נ"מ מ"ל י"כ ז"ל ח"מ ט"נ הנה אומר כי כבר עשינו במוגשם א"ב ג"ד ה"ו בעל השמונה תושבות הידוע מעוקב והוא מעוקב יז"ח טכ"ל מ"נ
מופת זה אנחנו אם הוצאנו מן הנקודות אשר הם מרכזי המשולשים אשר הם נקודות זי"ט חל"כ מ"נ עמודים אל צלעות משולשיהם יהיו העמודים שוים והיו הזויות אשר יתחדשו ממשוש אותם העמודים היוצאים ממשולש אל משולש אחר שוים מפני כי הזויות אשר יתחדשו ממשוש שטחי משולשי בעל השמונה תושבות שוות ויהיו הקוים אשר הם מיתרי אותם הזויות הם היוצאים מן ז' אל וי ומן י' אל ט' ומן ט' אל ח' ומן ח' אל ז' ומן ז' ל' אל כ' ומן כ' אל נ' ומן נ' אל מ' ומן מ' אל ל' ומן י' אל כ' ומן ט' אל נ' ומן ז' אל ל' ומן ח' אל מ' שוים [מד' מא'] והזויות אשר יקיפו בהם אותם הקוים שוות מפני כי מרחק ו"ח מן ה' מרחק אחד ושוה למרחק ט"ז מן ה' ואם הוצא מט' אל ז' קו ומן י' אל ח' קו יהיו שוים אם כן מרובע י"ז ח"ט נצב הזויות שוה הצלעות וכן כל מרובעי כ"ל מ"נ וי"כ נ"ט וי"כ ז"ל וז"ל מ"ח וט"נ ח"מ שוי הצלעות נצבי הזויות אם כן כל המרובעים הששה שוים שוי הצלעות נצבי הזויות אם כן מוגשם זי"ט חל"כ מ"נ מעוקב והוא בבעל שמונה תושבות הידוע וזה מה שרצינו לבאר


Notes

  1. ↑ titled: F137 הקדמות המאמר; Ma1 הקדמות זה המאמר; W66 הקדמה; Lo; Ma1; P1014: marked א
  2. ↑ E: הקוים המקיפי’ באחת הזוית הנצבות מהשטח נצב הזויות נכחי הצלעות יקראו מקיפים בשטח ההוא [כי] הנה מקביליהם ישוו להם
    Mu91 (marg.): פי: ר"ל בשטח ולא יקראו המקיפים בו אם לא שיהיה השטח נצב הזויות בעבור שהשני הקוים לא ישערו השטח אם לא שיהיה השטח נצב הזוית פי' עד כאן
    קוים המקיפים בו פי' ר"ל ששני אלו הקוים מודיעים לנו שעור שטח ומגבילים אותו
    המשל בזה אם יהיה אחד מן הקוים ארכו ו' אמות ורחב האחר ג' אמות יהיה כל שעור זה השטח י"ח אמות מהכאת האורך ברחב או אם תרצה תכה הרחב באורך ויהיה י"ח גם כן
    וכל זה כשיהיה הקו האחד עומד על חבירו על זוית נצבת מה שאין כן בשטח שאינו נצב הזויות
    הנה צריך שילקח בזה התנאי שיהיה השטח נצב הזוית שאם לא יהיה כן לא יקראו המקיפים ולא י[...] את השטח השני קוים המקיפים בו
    W66: ר"ל ששני אלו הקוים [..] מודיעים לנו שעור השטח ומגבילים אותו
    המשל בזה כי אם יהיה אחד מן הקוים ארכו ו' אמות ורחב האחר ג' אמות יהיה כל שעור זה השטח י"ח אמות מהכאת האורך ברחב או הרחב באורך
    וכל זה כשיהיה הקו האחד עומד על חברו על זוי' נצבת מה שאין כן בשטח שאינו נצב הזויות
    Mu91(marg.), Mu130(marg.), W66: ונקרא השטח בשם שתי אותיות המתנגדות
    E: ויקרא השטח בשם שתי אותיות המתנגדות אשר בצד קטרו
    P1010 (marg.), PP: ונקרא השטח בשם שתי אותיות הזויות המתנגדות
    W194 (marg.): ד"ת ונקרא בשטח בשם שתי אותיות הזויות המתנגדות
    Lo (marg.): ונקרא השטח בשם שתי אותיות הזויות המתנגדות בו
  3. ↑ Ma1: marked השנית
  4. ↑ Lo: והמתמימים באור זה מבואר במ”ג מראשון והרושם הוא שני השטחים המתמימים עם אחד מן השטחים שעל קטרו
  5. ↑ Mu 246:א כל שטח שוה הצלעות נצב הזויות יסובבנו השני קוים הסובב בזוית הנצבת וכל שטח נגדיי הצלעות נאמ' כי השני שטחים שעל אלכסונו הנגדיי הצלעות והאלכסון יחצבם כשיצטרף אחד מהם לשני השטחים המשלימין שעל שני צדי האלכסון כל זה יקרא עלם
    P1011: כל שטח נכחי הצלעות נצב הזויות הנה יקיפו השני קוים המקיפים בזוית הנצבה
    וכל שטח נכחי הצלעות הנה השני שטחים אשר יהיו על קטרו [נכח]יי הצלעות והקוטר יחצבם כאשר [...] מהם אל השני שטחים המשלימים אשר [על] צדדי הקוטר יקרא הרושם עד כאן פתי[חה‫]
    E: כל שטח נכחי הצלעות יחתכהו הקוטר והוציאו מנקודו’ ממנו קוים נכחיים לצלעות יחתכם הקוטר ועומדי’ מצדו יקראו השטחי’ אשר יחתכם הקוטר אשר על הקוטר ואשר מצדו המתמימים ומקובץ אחד השטחים שית[ח]כהו הקוטר עם שני המתמימים אשר משני צדיו יקראו הרושם
    Ma1: באור להקדמה ב’ הנה נעשה מרובע עליו א’ב’ג’ד’ ובתוכו קוטר אחד והוא קוטר ב”ד ונרשום עליו נקודה איך שתזדמן והיא נקודת ח’ ונגיע מנקודת ח’ קו ט’ח’כ’ על נוכח א”ב וקו ה’ח’ז’ על נוכח ב”ג הנה חלקנו מרובע א’ב’ג’ד’ לארבעה מרובעי’ והם א”ח ה”כ ט”ז ח”ג שנים מהם על קוטר ב”ד ושנים חוצה לו ויאמר שאם נקח אחד משני מרובעי ט”ז ה”כ אשר על הקוטר איזה מהם שנרצה עם שני המרובעי’ אשר חוץ לקוטר הנקראים המשלימים כמבואר בלמוד מ”ג מהמאמר הראשון יקראו אלה השלשה מרובעים רושם ויהיה שעור דבריו כך כל תמונה נכחית הצלעות אחד השטחים וכו’ יקרא הרושם
  6. ↑ F137 titles the propositions’ section: המבוקשים;
  7. ↑ P1011: כל שני קוים יחלק אחד מהם בחלוקה איך שיהיה הנה אשר יהיה מהכאת אחד משני הקוים באחר כמו אשר יהיה מהכאת הקו אשר לא יחלק בכל חלקי הקו המתחלק חלוקה חלוקה
    E: ‫1 השטח אשר יקיפו בו כל שני קוים שוה למקובץ השטחים יקיפו בם אחד הקוים עם חלקי הקו השני יחד
    Mu36 adds a marginal note: כונת זה הדרוש שכשהיו לנו שני קוים מונחי’ כמה שיהיו וחולק האחד מהם לחלקים כמה שהיו שהכאת הקו האחד בכל אחד מהחלקים שחולק הקו השני שוה להכאת הקו ההוא בקו המחולק כלו
    The arithmetic version of the proposition is given in marginal notes in a few manuscripts:
    Mu91: המשל לתמונת א' משני: כמו עשרה וששה וחולק עשרה לשלשה חלקים כגון חמשה ושלשה ושנים הנה שטח ששה בעשרה שהוא ס' שוה לשטח חמשה בששה שהוא שלשים ולשטח ששה בשלשה שהוא י"ח ולשטח ששה בשנים שהוא י"ב וקבוץ שלשת שטחים אלו הוא ס'
    W66: פי’ משל זה במספר כמו עשרה וששה וחולק עשרה לג' חלקים כגון ה' וג' וב' הנה שטח ששה בעשרה שהוא ס' שוה לשטח ששה בחמשה שהוא שלשים ולשטח ששה בשלשה שהוא י"ח ולשטח ששה בשנים שהוא י"ב וקבוץ שלשת שטחים אלו הוא ששים
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(2\times6\right)+\left(3\times6\right)+\left(5\times6\right)=12+18+30=60=10\times6}}
    P1010: דמיון במספר כאשר תכה מספר בעצמו יהיה המרובע ההווה ממנו כמרובע ההוה מהכאת המספר ההוא בכל אחד מחלקיו השוים
    המשל בזה הכאת י’ בט”ו הוא ק”נ וכשתחלק ט”ו לג’ חלקים שוים שהוא ה’ ותכה עשרה בה’ ה’ יהיה ק”נ
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(5\times10\right)+\left(5\times10\right)+\left(5\times10\right)=150=15\times10}}
    P1014: וכן במספר שה’ עם ד’ הם כ’ וכולו חולק הה’ על ג’ וב’ ותכה הד’ עם השני חלקים יהיו כ’
    Numerical example:\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\times4\right)+\left(2\times4\right)=20=5\times4}}
  8. ↑ C: המשל בזה שקו א' וקו ב"ג נחלק אחד מהם והוא ב"ג על נקודות ד' וה' ואומר שאשר יהיה מהכאת א' בחלק ב"ד ובחלק ד"ה ובחלק ה"ג שוה לאשר יהיה מהכאת א' בב"ג
    E: יהיו שני קוי א' ב"ג ונחלק ב"ג על חלקי' איך שנרצה והם ג"ה ה"ד ד"ב ואומ' שהשטח נצב הזויות שיקיפו בו קוי א' ג"ב שוה למקובץ שטחי א'ג"ה וא'ה"ד וא'ד"ב
    Mu246: ב שני קוי א'ב"ג חולק ב"ג בחלקי ב"ד ד"ה ה"ג נאמ' כי כפל א' בכל ב"ג ככפל א' בכל אחד מן ב"ד ד"ה ה"ג מקובצי
  9. ↑ AB: פי' זה התבאר מכח מה שאמרנו ששטח ב"ח שוה לשטח ב"ד ד"כ ה"ח
  10. ↑ C: מופת זה שנוציא מקו ב"ג מנקדת ב' קו על זוית נצבה שוה לקו א' והוא קו ב"ז
    ונוציא מנקדת ז' קו נכוחי לקו ב"ג והוא קו ז"ח
    ונוציא מנקדת ד' וה' וג' קוים נכוחיים לקו ב"ז והם ד"ט וה"כ וג"ח
    וכבר התבאר ששטח ז"ג שוה לשלשת שטחי ז"ד וט"ה וכ"ג וכל השטחים הם נכוחי הצלעות
    ושטח ז"ג הוא מהכאת קו א' בקו ב"ג לפי שיקיפו בו קוי ז"ב ב"ג וז"ב שוה לא'
    ושטח ז"ד יקיפו בו קוי ז"ב וז"ב שוה ב"ד וקו ב"ז שוה לקו א'
    ושטח ט"ה הוא מהכאת קו א' בקו ד"ה לפי שיקיפו בו קוי ט"ד ד"ה ושקו ט"ד שוה לקו א'
    ושטח כ"ג הוא מהכאת א' בה"ג לפי שכ"ה שוה לקו א'
    E: מופתו שנוציא מן ג' על קו ג"ב עמוד ג"ח שוה לקו א' ונשלים התמונה
    ונוציא מן ה' וד' עמודים על ג"ב והם ה"כ ד"ט
    הנה לפי ששטח ב"ח שוה לשלשה שטחי ח"ה ה"ט ט"ב
    לפי שמקובץ חלקי השטח שוה לכל השטח ושטח ח"ב שוה לה אשר יקיפו בו א' עם ג"ב
    וח"ה שוה לה אשר יקיפו בו א' עם ג"ה
    וכן ה"ט לאשר יקיפו בו א' עם ה"ד
    וד"ז לאשר יקיפו א' עם ד"ב
    Mu246: כיצד נוציא קוי ב"ז כ"ט ה"כ ג"ח על זויות נצבות וכל אחת מהן שוה לקו א'
    לפי הדבר נראה כי כל שטח ב"ח הוא כפל א' בב"ג ושטח ב"ט הוא כפל א' בד"ה ושטח ה"ח כפל א' בה"ג
  11. ↑ C: וכבר התבאר שאשר יהיה מהכאת ק קו א' בקו ב"ג שוה לאשר הוא מהכאת קו א' בקו ב"ד ובקו ד"ה ובקו ה"ג וזה מה שרצינו לבאר
    E: יהיה השטח שיקיפו בו א' עם ב"ג שהוא כמו ב"ה שוה למקובץ שטחי א' עם ג"ה ה"ד ד"ב שהם כמו שטחי ח"ה ה"ט ט"ב והוא המכוון
  12. ↑ P1011: כל קו יחלק לחלקים הנה אשר יהיה מהכאת הקו בכל חלקיו כמו אשר יהיה מהכאת הקו בעצמו
    E: ‫2 כשנחלק קו ישר לשני חלקי' איך שהזדמן יהיה השטח נצב הזוית שיקיפו בו הקו כלו כלו עם כל אחד מהחלקים שוי' למרובע כל הקו
    Mu36: ובנס’ אלחג’אג’ כתו’ כאשר נחלק אי זה מספר שהיה בשני חלקים איך שקרה הנה הכאת המספר כלו בכל אחד מהחלקים להכאת המספר כלו בעצמו
    ולפי זאת הנס’ צריך להיות המרובע שוה הצלעו’ כמו זה שלפנינ’
    AB: המשל לתמונת ב' כאשר חולק עשרה לשני חלקים כמו ששה וארבעה הנה שטח ששה בעשרה שהוא ס' ושטח ארבעה בעשרה שהוא ארבעים שוה למרובע המתהווה מעשרה אשר הוא מאה
    וזה מתבאר מתמונת א' וזה כי בתמונת א' התבאר שהכאת קו ראשון בקו שני כולו כהכאת הקו הראשון בחלקי הקו השני בין שיהיו שני הקוים ר"ל הראשון והשני שוים או בלתי שוים
    W66: משל זה במספר כשנחלק עשרה לשני מספרי ו' וד' הנה שטח ו' בי' שהוא ס' ושטח ד' בי' שהוא מ' יחד שוים למרובע המתהוה מי' שהוא מאה
    וזה מתפאר מתבאר מתמונת א' כי שם התבאר שהכאת קו ראשון בקו שני בקו שני כלו כהכאת הקו הראשון בחלקי הקו השני בין שהיו השני הקוים ר"ל הראשון והשני שוים או בלתי שוים
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot10\right)+\left(4\sdot10\right)=60+40=100=10^2}}
    P1014: וכן הח’ אם תחלקהו לו’ וב’ מרובע הכל ס”ד ואם תכה הח’ עם הב’ ועם הב’ יהיו ס”ד וכן בשני המספרים איזה שיהיו
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(8\sdot6\right)+\left(8\sdot2\right)=8^2}}
  13. ↑ C:המשל בזה שקו א"ב נחלק לשני חלקים על נקודת ג' ואומר כי אשר יהיה מהכאת קו א"ב בקו א"ג ובקו ג"ב שוה לאשר יהיה מהכאת א"ב בעצמו
    E: יהיה הקו הישר א"ב ויחלק על ג' ואומ' שמרובע א"ב שוה לשטח א"ב בא"ג וא"ב בג"ב
  14. ↑ מופת זה שנצייר על קו א"ב שטח מרובע והוא שטח א"ה ונוציא מנקודת ג' קו עד ז' נכוחי לקוי א"ד וב"ה ויהיו שטחי א"ז וז"ב נכוחי הצלעות והם שוים לשטח א"ה ושטח א"ז הוא נכוחי אשר היה מהכאת קו ב"א בקו א"ג לפי שיקיפו בו קוי ד"א א"ג וד"א שוה לא"ב ושטח ז"ב הוא אשר היה מהכאת א"ב בג"ב לפי שיקיפו בו ה"ב ב"ג וה"ב שוה לא"ב ושטח א"ה הוא אשר היה מהכאת א"ב בעצמו
    וכבר התבאר שאשר היה מהכאת א"ב בא"ג ובג"ב שוה לאשר היה מהכאת א"ב בעצמו
    E: מופתו שנעשה על א"ב מרובע א"ה ונוציא ג"ז נכחי לב"ה ולפי ששטח א"ז שוה לשטח שיקיפו בו א"ג בא"ב כי ג"ז כמו א"ב וכן ששטח ג"ה שוה לשטח שיקיף בו א"ב בג"ב ושניהם שוים למרובע א"ה יהיה מרובע א"ה שהוא ההוה מקו א"ב שוה לשני שטחים ההוים מא"ב בא"ג וא"ב בב"ג
    וכבר יתבאר זה בצד אחר כשנניח קו ח' שוה לא"ב ותהיה השטח הנצב הזוית שיקיף בו ח' בא"ב שהוא כמו מרובע א"ב משלפניה' שוה לשטח נצב הזוית שיקיף בו ח' בא"ג וח' בג"ב והם כמו שטחי א"ג בא"ב וג"ב בא"ב
    Mu246: ג כשיוחלק קו א"ב בחלקי א"ג ג"ב נאמ' כי כפל א"ב בפני עצמו ככפלו בכל אחד מן א"ג ג"ב
    והדבר בו ברור כשנעשה על קו א"ב מרובע ואחר כך נוציא בו קו ג"ז עמוד
  15. ↑ E:‫3 השטח ההוה מקו מה עם אחד מחלקיו שוה לשטח נ"ה שיקיפו בו השני חלקי' ומרובע החלק הנזכר
    P1011: כל קו יחלק בשני חלקים הנה אשר יהיה מהכאת כל הקו באחד החלקים כמו אשר יהיה מאחד מהחלקים בשני והכאת החלק אשר בו הוכה הקו בעצמו
    Mu36: נס’ אלחג’אג’ כאשר נחלק מספר בשני חלקים איך שקרה הנה הכאת המספר כלו באחד מחלקיו שוה להכאת שני החלקים הא[חד] בחבירו עם הכאת החלק ההוא בעצמו
    W66: משל זה במספר כשחולק קו עשרה לשני חלקים כמו ששה וארבעה הנה שטח ד' בי’ שהוא מ’ שוה לשטח ו' בד’ שהוא כ”ד עם מרובע ד’ שהוא י”ו
    Mu91: המשל לתמונת ג' כאשר חולק קו עשרה לשני חלקים כמו ששה וארבעה הנה שטח ארבעה בעשרה שהוא מ’ שוה לשטח ששה בארבעה שהוא כ”ד עם מרובע ד’ שהוא י”ו
    וזה מתבאר מתמונת א’ וזה כי בתמונת א’ התבאר שהכאת קו ראשון בקו שני כמו הכאת קו ראשון עם חלקי הקו השני
    וכן בתמונה הזאת כי הכאת קו ארבע שהוא הראשון עם עשרה השני כהכאת הקו ד’ הראשון עם ששה וארבעה שהם חלק הקו השני
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{4\sdot10=40=24+16=\left(4\sdot6)\right)+4^2}}
    Mu130: יהיה הקו כלו עשרה ונחלק לשבעה וג’ הנה הכאת עשרה בג’ שהם ל’ כמו הכאת ז’ בג’ שהם כ”א עם הכאת ג’ בעצמו שהם ט’ שהמקובץ מכ”א וט’ יעלו ל’
    Another example: \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot10=30=21+9=\left(3\sdot7\right)+3^2}}
    P1010: דמיון במספר המרובע המתהוה מהכאת עשרה בששה כמרובע ההווה מהכאת ששה בארבעה שהוא כ”ד וכמרובע ההווה מששה בעצמו שהוא החלק אשר זכרנו והיה ל”ו והכל ששים וכך מרובע עשרה בששה
    Example: \scriptstyle{\color{blue}{6\sdot10 = 60 = 24+36 = \left(6\sdot4\right)+6^2}}
    P1014: וכן הח’ על ו’ וב’ הח’ עם הב’ יעלו י”ו וכן הו’ בב’ ומרובע הב’ יעלו י”ו וכן בכל מן מספר
    Example: \scriptstyle{\color{blue}{8\sdot2=16=\left(6\sdot2\right)+2^2}}
  16. ↑ C: המשל בזה שקו א"ב נחלק לשני חלקים על נקודת ג' ואומר שאשר יהיה מהכאת קו א"ב בא"ג שוה לאשר יהיה מהכאת א"ג בג"ב ומהכאת א"ג בעצמו
    E: יהיה הקו א"ב ונחלק על נקודת ג' ואומ' ששטח א"ב באחד מחלקיו ויהיה ב"ג שוה למרובע ב"ג עם שטח א"ב בב"ג
  17. ↑ C: מופת זה שנצייר על קו א"ג שטח מרובע עליו א"ז ונוציא קו ז"ד אל ה' ונוציא מב' מבית קו נכוחי לקוי א"ד וג"ד והוא קו ב"ה ושטחי ז"ב וז"א נכוחי הצלעות ושטח ב"ד גם כן נכוחי הצלעות והוא שטח ז"ב ושטח ז"א יחד וז"ב הוא שהיה מהכאת א"ג בג"ב לפי שיקיפו בו ב"ג ג"ז וז"ג שוה לג"א וב"ד הוא שהיה מהכאת א"ג בג"ב א"ב בא"ג לפי שיקיפו בו ב"א א"ד וג"א שוה לא"ד וא"ד הוא שהיה מהכאת א"ג בעצמו
    והתבאר כבר שאשר היה מהכאת ב"א בא"ג שוה לאשר היה מהכאת א"ג בג"ב ומהכאת א"ג בעצמו
    E: מופתו שנעשה על ב"ג מרובע והוא ב"ד ונוציא קו ד"ה על יושר ונשלים שטח א"ה ויהיה שטח א"ה שוה לשני שטחי א"ד ד"ב ושטח א"ה שוה לשטח שיקיפו בו א"ב ב"ג כי ב"ג שוה לב"ה ושטח א"ד שוה לשטח שיקיפו בו א"ג ג"ב כי ג"ד שוה לג"ב ושטח ג"ה שוה למרובע ג"ב הנה שטח א"ב ב"ג שוה לשני שטחי א"ג בג"ב ומרובע ג"ב
    וכבר יתבאר זה בהניחנו קו ח' שוה לקו ג"ב ויהיה שטח ח' בא"ב שוה לשני שטחי ח' בא"ג וח' בג"ב וח' בג"ב הוא כמו מרובע ג"ב כי ח' שוה לג"ב וא"ג בח' כמו שטח א"ג בג"ב הנה שטח א"ב בב"ג שוה לשטחי א"ג בג"ב ומרובע ג"ב
    Mu246: ד [כמו של מעלה] קו א"ב חולק בשני חלקי' על ג' נאמ' כי כפל א"ב בא"ג ככפל א"ג בג"ב וכפל א"ג [בפני] עצמו מקובצי' נוציא עמוד א"ד שוה לא"ג וכמו כן כיוצא ב"ה ג"ז והוא כפל א"ג בפני עצמו ושטח ג"ה הוא א"ג בג"ב וכל שטח א"ה הוא כפל א"ב בא"ג
  18. ↑ P1011: כל קו יחלק בחלקים הנה אשר יהיה מהכאת הקו בעצמו כמו אשר יהיה מהכאת כל חלק בעצמו ומהכאת אחד החלקים באחר שני פעמים
    E: ‫4 מרובע כל קו נחלק לשני חלקים שוה למרובעי שני חלקיו וכפל שטח אחד מהם באחר Mu36: נס’ אלחג’אג’ כאשר חולק איזה מספר שיהיה בשני חלקים איך מה שקרה הנה הכאת המספר ההוא בעצמו שוה להכאת כל אחד מהחלקים בעצמו ולהכאת כל אחד משני החלקים בחבירו
    Mu130: יהיה הקו עשרה נחלק על שלשה וז’ נכה שלשה בשבעה עלו כ"א והכפל מ"ב ומרובע שבעה מ"ט נוסיפם עלו צ"א נוסיף מרובע כל הקו ג’ שהוא ט’ עלו מאה וכן מרובע כל הקו מאה
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]+72+32=\left(2\sdot21\right)+49+9=42+49+9=91+9=100=102}}
    P1010: דמיון במספר כאשר תכה עשרה על דרך משל בעצמו יהיה מאה אחר כן תחלק עשרה לשני חלקים על דרך משל לז’ וג’ ותרבע ז’ בעצמו יהיה מ"ט עוד ג’ בעצמו יהיה ט’ והכל נ"ח עוד תכה ג’ בז’ ב’ פעמים יהיה מ"ב הכל מאה
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]+72+32=\left(2\sdot21\right)+49+9=42+58=100=102}}
    P1014: העשרה כלו חולק על ו’ וד’ מרובע הכל ק’ שוה למרובע הו’ והד’ וכפל שטח ו' בד’ וכן בשיעורים
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{102=100=\left[2\sdot\left(6\sdot4\right)\right]+62+42}}
  19. ↑ C: המשל בזה שקו א"ב נחלק לשני חלקים על נקודת ג' ואומר שאשר יהיה מהכאת א"ב בעצמו שוה לאשר יהיה מהכאת א"ג בעצמו וג"ב בעצמו וא"ג בג"ב פעמים
    E: יהיה הקו הנחלק א"ג וחלקיו א"ב א"ג אומ' שמרובע א"ג כמו שני מרובעי א"ב ב"ג וכפל שטח א"ב [ב]ב"ג
  20. ↑ E: מופתו שנעמיד על קו א"ג מרובע א"ה ונוציא בו קוטר א"ה ומן ב' עמוד ב"ד נכחי לג"ה יחתוך קוטר א"ה על ז' ונוציא מז' קו נכחי לקו א"ג והוא ח'ז'ט' ויתבאר ששטחי א"ז ז"ה שעל הקוטר מרובעים לפי שזוית ג' נצבת וזויות ג'א'ה' ג'ה'א' שוות כי קוי ג"א ג"ה שוות הנה כל אחת מהן חצי נצבת הנה קוי א"ב ב"ז שוים ולכן א"ז מרובע וכן קוי ז"ט ט"ה שוים ולכן ז"ה מרובע וקו ז"ט שוה לקו ב"ג הנה שטח ז"ה כמו מרובע ב"ג ולפי שמרובע א"ה ההוה מן א"ג שוה לשני מרובעי א"ז ז"ה ושני מתמימים כ"ט ח"ד ושני אלה המרובעים הם כמו מרובעי א"ב ב"ג ומתמים כ"ט כמו השטח שיקיף בו ב"ג בב"ז השוה לא"ב והוא שוה למתמים ח"ז יהיה מרובע א"ג שוה לשני המרובעים ההווים מן א"ב ב"ג וכפל שטח א"ב בב"ג
    ולו מופת קרוב והוא שנניח קו דה"ז שוה לא'ב'ג' ד"ה שוה לא'ב'ג' וה"ז לב"ג והנה יהיה שטח א"ב בכל ד"ז שוה לשטח א"ג בד"ה וא"ג בה"ז ואבל שטח א"ג בד"ה כמו שטח א"ב בד"ה שהוא כמו מרובע א"ב וב"ג בד"ה וכן שטח א"ג בה"ז שוה לשטח ב"ג בה"ז שהוא כמו מרובע ב"ג ושטח א"ב בה"ג הנה שטח א"ג בד"ז השוה לא"ג כמו מרובע א"ב ומרובע ב"ג וכפל שטח א"ב בב"ג ומשל
  21. ↑ E: והתבאר בזה שהשטחים שעל קוטר המרובע הם מרובעים ואם הם מרובעי' הקוטר קוטר למרובעי' ושמרובע כל קו ד' דמיוני מרובע חציו וט' דמיוני מרובע שלישיתו
  22. ↑ P1011:
    כל קו יחלק בחציים ואחר יחלק בחלקים מתחלפים הנה אשר יהיה מהכאת החלק היותר ארוך בחלק היותר קטן ומהכאת יתרון חצי הקו על החלק היותר קצר בעצמו הוא כמו אשר יהיה מהכאת חצי הקו בעצמו

    For any line divided in half and then divided into two unequal parts, the [sum] of the product of the larger part by the smaller part and the product of the excess of half the line over the smaller part by itself is equal to the product of half the line by itself

    E:
    ‫5 הקו הנחלק לחצאיים ולחלקי' בלתי שוים בשטח שיקיפו בו החלקים הבלתי שוים עם מרובע הקו שבן שני המקומות שוים למרובע חצי הקו

    Mu36:
    ובנס’ אלחג’אג’ כאשר חולק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים שוים ובשני חלקים בלתי שוים הנה הכאת החלקים הבלתי שוים כל אחד בחבירו עם הכאת המספר אשר מה שבין בעצמו שוים להכאת חצי המספר בעצמו

    In the version of al-Ḥajjāj: when a number is divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the product of the unequal parts one by the other together with the product of the number that is the difference by itself [is] equal to the product of half the number by itself

    Mu130:
    יהיה הקו עשרה ונחלק בשווי על חמשה ובבלתי שיווי על שלש נכה שלשה בשבעה עלה כ”א נוסיף מרובע שבין שלשה וחמשה והוא ארבע כי המרחק שנים עלו כ”ה וכן מרובע חצי הקו שהוא חמשה עולה כ”ה

    P1010:
    דמיון במספר כשנחלק עשרה על ה’ ה’ חלקים שוים עוד נחלק עשרה לג’ וז’ על [דרך] משל הנה המרובע המתהוה מחלק השוה באחר שהוא [...] כ”ה [...] המרובע המתהוה מג’ על ז’ שהוא כ”א עם המרובע המתהוה מתוספת ז’ על ה’ שהוא ב’ ומרובעו ד’ והכל כ”ה

    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot7\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-3\right]^2=21+\left(5-3\right)^2=21+2^2=21+4=25=5^2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}}

    P1014:
    העשרה אם תחלקהו על ה’ ועל ו’ וד’ הנה שטח ו’ בד’ עם מרובע אחד שבין ה' לו’ שוה למרובע ה’ה’ שהם כ”ה וכן בשיעורים

    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot4\right)+\left[6-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2=24+\left(6-5\right)^2=24+1^2=24+1=25=5^2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}}

  23. ↑ C: המשל בזה שקו א"ב נחלק לחלקים שוים על נקדת ג' ולחלקים מתחלפים על נקודת ד' ואומר שאשר היה מהכאת א"ד בד"ב ומהכאת ג"ד בעצמו יחד שוה לאשר יהיה מהכאת ג"ב בעצמו
    E: ויהיה קו ישר א"ב ויחלק לחלקי' שוים על ג' ולבלתי שוים על ד' הנה אומר ששטח א"ד בד"ב עם מרובע ג"ד שוה למרובע ג"ב
  24. ↑ C: מופת זה שנצייר על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ה[ז"ב] ונדביק ב' בה' ונוציא מד' קו אל ט' נכוחי לקוי ג"ה וב"ז עליו ד'ח'ט' ונוציא מח' קו נכוחי לקוי א"ב וה"ז עליו לח"ב ונוציא מא' קו נכוחי לקוי ג"ל וד"ח וב"כ והוא א"מ ונמשוך קו כ"ל אל מ' ושטח ג"ח המשלים שוה לשטח ח"ז המשלים ויהיה שטח ד"כ משותף ויהיה יחד שטח ג"כ שוה לשטח ד"ז יחד ואמנם ג"כ שוה לג"מ לפי שהם על שתי תושבות שוות ב"ג וג"א ובין שני קוים נכוחים ב"א וכ"מ
    ואם כן שטח ג"מ שוה לשטח ד"ז ויהיה ד"ל משותף ויהיה יחד מ"ד שוה לנס"ע המסומן ומ"ד הוא שהיה מהכאת א"ד בד"ב לפי שיקיפו בו א"ד ד"ח וח"ד שוה לב"ד ויהיה נ'ס'ע' המסומן שוה לאשר יהיה מהכאת א"ד בד"ב ונשים אשר יהיה מהכאת ג"ד בעצמו משותף והוא שטח ל"ט המרובע
    ויתבאר שאשר היה מהכאת א"ד בד"ב ומהכאת ג"ד בעצמו יחד שוה לשטח ג"ז שהיה מהכאת ג"ב בעצמו שהוא חצי הקו [ר”ל מהתבארות צורת ד’ מזה השער]
    E: מופתו שנעשה על ג"ב מרובע ג"ז ונוציא ד"ע עמוד על א"ב וקוטר ה"ב ויתחתכו על ח' ונוציא קו ט'ח'ב' נכחי לא"ב ונשלים התמונה הנה מרובע ג"ז ההוה מקו ג"ב שוה לשני מתמימי ג"ח ח"ז עם מרובעי ב"ח ח"ד ולפי שמתמים ג"ח עם [מרובע] ד"כ העושה שטח ג"כ ישוה לשטח ג"ט יהיה שטח ג"ט עם מתמימי ח"ז שהוא כמו שטח א"ח עם מרובע ח"ה [שוה לשטח ג"כ [עם] מרובע ח"ה ומת[מים] ח"ז אבל שטח ג[כ] עם מרובע ח"ה] ומתמים ח"ז כמו המרובע ההווה מן ג"ב ושטח א"ח הוא ההווה מהכאת א"ד בד"ב [כי] ד"ח ד"ב שוים ומרובע ח"ה הוא כמו המרובע ההווה מן ג"ד הנה שטח [א"ד] בד"ב עם מרובע ג"ד כמו המרובע ההווה מן ג"ב
    ויתבאר גם כן שלפי שג"ב נחלק בנקודת ד' איך שיזדמן היה מרובע ג"ב כמו המרובע ההווה מן ג"ד עם [כפל] שטח ג"ד בד"ב ומרובע ד"ב [כפל] ושטח ג"ד בד"ב עם מרובע ד"ב כמו שטח ג"ד בב"ד והוא כמו שטח א"ג בד"ב [הנה] שטח א"ג בד"ב עם שטח ג"ד בד"ב שזה כמו א"ד בד"ב כשקובץ עם מרובע ג"ד היה כמו מרובע ג"ב
    Mu246: ו קו א”ב חולק בחציו על ג’ ובשני חלקים שאינם שוים על ד’ נאמ’ כי כפל א”ד בד”ב וכפל ג”ד בפני עצמו מקובצים ישוו לג”ב בפני עצמו
    נעשה על ג”ב מרובע ג”ז ונחוק בו מרובע ב”ח ושני שטחי ג”ח ח”ז וגם נעשה שטח א”ל על יושר קו מל”כ וקו א”מ כמו ד”ב ומפני שא”ג שוה לב”ז הילכך שטח א”ל כמו ד”ז וכפל א”ד בד”ב הוא שטח א”ח ונשים שטח ג”ח שותף ויהא נס”ע שוה לשטח א”ח שהוא כפל א”ד בד”ב ומרובע ה”ח הוא כפל ג”ד בעצמו
  25. ↑ C adds: והתבאר לך הנה ששני מרובעי החלקים המתחלפים יעדפו על כפל שטח נצב הזויות שיקיפו בו החלקים ארבעה דמיוני מרובע הקו שבין מקומות החלקים
    תקון המעתיק ועוד יתבאר לך הנה כי כשיחלק קו בשני מקומות לחלקים שאינם שוים שהשטח שיקיפו בו שני קוי החלוקה האחד בלתי שוה לשטח שיקיפו בו שני קוי החלוק האחר
    כי כל אשר ירחק מקום החלוק מחצי הקו יחסר השטח שיקיפו בו שני קוי החלוק
    ומתוך הצורה אשר לפני זו התבאר כי כשיעור אשר יחסר כפל שטח שיקיפו בו קוי החלוק האחד מן האחר יוסיפו שני מרובעי הקוים ההם על שני מרובעי הקוים האחרים ולפי ביאור זה נעשו מופתים רבים בשער העשירי
  26. ↑ P1011: כל קו יחלק בחציים עוד נוסף עליו קו אחר בארכו הנה אשר יהיה מהכאת כל זה בקו הנוסף ומהכאת חצי הקו הראשון בעצמו הוא כמו אשר יהיה מחצי הקו הראשון כאשר יחובר הקו הנוסף ואחר הוכה כלו בעצמו יחד
    Mu36: נ’ אלחג’אג’ כאשר נחלק אי זה מספר שהונח בחציים והוספנו עליו מספר מו[נח] הנה הכאת המספר המקובץ במספר הנוסף עם מרובע חצי המ[ספר] שוים למרו[בע] חצי המספ[ר] והתוספת כשחוברו והושמו מ[ספר] אחד
    Mu130: [...] יהיה הקו עשרה ונוסיף עליו ארבע נכה ארבע
    P1010: דמיון במספר כשנחלק עשרה לחציין והוא ה’ ותוסיף על עשרה שנים על דרך משל הנה מרובע המתהוה מהמספר כולו שהוא י”ב כאשר תכה אותו בשנים שהוא התוספת ויהיו עשרים וארבע [..] המרובע המתהוה מ[חצי] [מספר] הראשון שהוא ה’ ומרובעו כ”ה והכל מ”ט כמרובע המתהוה מחצי המספר עם התוספת שהוא ז’ ומרובעו מ”ט
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10+2\right)\sdot2\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2=\left(12\sdot2\right)+5^2=24+25=49=7^2=\left(5+2\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2}}
    P1014: וכן במספר אם תחלק הי”ב ות[ו]סיף עליו ב’ הנה השטח י”ד עם ב’ ומרובע ו' שהו’ חצי י”ב והכל ס”ד שוה למרובע הח’ שהו’ תוספת הקו עם חציו כמש[.] התמונה וכן בשיעורים
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(12+2\right)\sdot2\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2=\left(14\sdot2\right)+6^2=64=8^2=\left(6+2\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+2\right]^2}}
  27. ↑ P1011: כל קו יחלק בחלקים הנה אשר יהיה מהכאת הקו בעצמו והכאת אחד משני החלקים בעצמם יחד הוא כמו אשר יהיה מהכאת הקו כלו בחלק אשר תכה בעצמו שני פעמים ומהכאת החלק האחד בעצמו
    Mu36: נס’ אל חג’אג’ כאשר נחלק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים איך מה שקרה ה[נה] המרובעי’ ההווים מהמספר כלו ומאחד מהחלקים כאש[ר] קובצו שוים לכפל הכאת המספר כלו בחלק אשר זכרנו [עם] הכאת החלק הנשאר בעצמו
    Mu130: ויהיה הקו עשרה ויחלק על ששה נכה ששה בעשרה עלה ס’ וכפלו ק”כ ועם מרובע ארבע שהוא י”ו עלה [...] קל”ו וכן מרובע כל הקו שהוא עשרה עם מרובע החלק הנזכר שהוא ששה עלו [...]
    P1010: דמיון במספר כשנחלק מספר עשרה לד’ ו’ יהיה המרובע המתהוה מכל המספר מאה והמרובע המתהוה מו’ על דרך משל ל”ו והכל קל”ו ויהיה שוה למרובע המתהוה מהכאת עשרה בששה שני פעמים שהם ק”כ והמרובע המתהוה מן החלק הנשאר שהוא ד’ ומרובעו י”ו ועם ק”כ יהיו קל”ו
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{10^2+6^2=100+36=136=120+16=\left(2\sdot60\right)+16= \left[2\sdot\left(10\sdot6\right)\right]+4^2}}
    P1014: וכן עשרה אם חולק על ח’ וב’ מרובע הי’ שהו’ ק’ ומרובע הב’ שהו’ ד’ והכל ק”ד שוה לכפל י’ עם ב’ שהו’ מ’ ומרובע ח’ בין הכל ג”כ ק”ד וכן בשיעורים
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{10^2+2^2=100+4=104=40+64= \left[2\sdot\left(10\sdot2\right)\right]+8^2}}
  28. ↑ דמיוני: AB פי’ כפולי
  29. ↑ P1011: כל קו יחלק בחלקים עוד נוסף באורך הקו כמו אחד מהחלקים הנה אשר יהיה מהכאת כל זה בעצמו כמו אשר יהיה מהכאת הקו הראשון בחלק הנוסף ארבע פעמים והכאת החלק האחד בעצמו
    Mu36: נס’ אל חג’אג’ כאשר חולק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים איך שקרה הנה ארבעה דמיוני כפל המספר כלו באחד משני חלקיו עם הכאת החלק הנשאר בעצמו שוי[ם] למרובע המספר הנקבץ מהמספר המונח והחלק אשר זכרנו
    Mu130: ‫[יהיה הקו עשרה ונחלקהו על ג’ ונכה ד’] פעמים ג’ בעשרה עלה ק”ך [נרבע] שבעה ויעלה מ”ט נוסיפהו על ק”ך עלה קס”ט וכן [מרובע] כל הקו המונח שהוא עשרה א”כ נוסיף עליו שלושה שחולק עליו יהיה כל הקו י”ג ומרובעו קס”ט
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(10\sdot3\right)\right]+7^2=120+49= 169=13^2=\left(10+3\right)^2}}
    P1010: דמיון במספר כש[נחלק] עשרה על דרך משל לב’ וח’ ונוסיף [על] עשרה שנים שה[ם] כמו החלק ה[...] ויהיה הכל י”ב ומרובעו קמ”[ד] ויהיה שוה להכאת המספר הראש[ון] שהוא עשרה ב[שנים] שהוא החלק הנ[שאר] ד’ פעמים שה[ם] שמנים ומרוב[ע] החלק עשרה הנשאר שמנה ומרובעו ס”ד והכל קמ”ד
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(10\sdot2\right)\right]+8^2=80+64=144 =12^2=\left(10+2\right)^2}}
    P1014: אם הי’ יחולק לו’ וד’ הנה ד’ פעמי’ הי’ עם הד’ שהם ק”ס עם מרובע הו’ ס”ד ובין הכל קצ”ו שוה למרובע י”ד שהו’ ג”כ קצ”ו וכן בשיעורים
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(10\sdot4\right)\right]+6^2=160+36=196 =14^2=\left(10+4\right)^2}}
  30. ↑ P1011: כל קו יחלק בחציים עוד יתחלק גם כן לחלקים מתחלפים הנה אשר יהיה מהכאת שני החלקים המתחלפים כל אחד מהם בעצמו הוא כפל מה שיהיה מהכאת חצי הקו בעצמו וכפל מה שיהיה מהכאת חצי הקו על החלק היותר קצר בעצמו יחד
    Mu36: נס’ אל חג’אג’ כאשר חולק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה הכאת כל אחד מהשני חלקים הבלתי שוים בעצמו מקובצים הנה הם שוים להכאת חצי המספר בעצמו עם הכאת המספר אשר מה שבין בעצמו
    Mu130: [...]
    P1010: דמיון במספר כשנחלק עשרה לה’ ה’ שהם שנים ונחלקהו לז’ וג’ שהם חלקים בלתי שוים הנה המרובע המתהוה מהכאת ז’ בעצמו שהוא מ”ט ומהכאת ג’ בעצמו שהוא ט’ והכל נ”ח כמרובע המתהוה מחצי הקו שהוא ה’ ורבועו כ”ה וכפלו נ’ ועוד כפל מרובע מותר החלק הגדול הבלתי שוה על החלק השוה שהיה המותר ב’ ורבועו ד’ וכפלו ח’ והכל נ”ח
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{7^2+3^2=49+9=58=50+8=\left(2\sdot25\right)+\left(2\sdot4\right)=2\sdot5^2+ 2\sdot2^2=2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+2\sdot\left(7-5\right)^2}}
    P1014: וכן הי”ד אם חולק לז’ ז’ וחולק לח’ וו’ מרובעי ח’ ס”ד ומרובע ו’ ל”ו בין הכל הו’ ק’ שוה לכפל מרובע ז’ שהם צ”ח וכפל מרובע א’ ובין הכל ק’ וכן בשיעורים
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{8^2+6^2=64+36=100=98+2=\left(2\sdot49\right)+\left(2\sdot2\right)=2\sdot7^2+ 2\sdot1^2=2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2+2\sdot\left(8-7\right)^2}}
  31. ↑ P1011: כל קו יחלק בחציים עוד נוסף באורך הקו קו אחר הנה אשר יהיה מהכאת זה כלו בעצמו והקו הנוסף בעצמו מקבצים הוא כפל מה שיהיה מחצי הקו הראשון כאשר תחבר אליו הקו הנוסף ותכה בעצמו והכאת חצי הקו הראשון בעצמו
    Mu36: נ’ אל חג’אג’ כאשר נחלק אי זה מספר מונח שיהיה בשני חלקים שוים והוספנו עליו אי זה מספר מונח שהיה הנה המרובע ההווה מהמספר המונח המקובץ מהמספר המונח והמספר המוסף עם הכאת המספר המוסף בעצמו הנה הם כפל המרובע ההווה מחצי המספר המונח עם הכאת המספר המקובץ מחצי המספר המונח והתוספת בעצמו
    Mu130: [...]
    P1010: דמיון במספר כשנחלק מספר עשרה על דרך משל לה’ ה’ והוסף עליו מספר [ב'] והוא י”ב יהיה הכאת י”[ב] שה[וא] המספר עם התוספת בעצמו והוא קמ”ד ורבוע התוספת שהוא ב’ ורבועו ד’ והכל קמ”ח שוה לכפל מרובע ההוה מחצי המספר הבלתי נוסף שהיה חציו ה’ ורבועו כ”ה וכפלו נ’ עם כפל מרובע ה’ מורכב עם ב’ שהוא הנוסף והכל ז’ ורובעו מ”ט וכפלו צ”ח והכל קמ”ח
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(10+2\right)^2+2^2=12^2+2^2=144+4=148=50+98= \left(2\sdot25\right)+\left(2\sdot49\right)=\left(2\sdot5^2\right)+\left(2\sdot7^2\right)=\left(2\sdot5^2\right)+\left[2\sdot\left(5+2\right)^2\right]=\left[2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2\right]+\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2\right]}}
    P1014: הי’ אילו חולק לה’ ה’ והוסף עליו ד’ שהו’ י”ד הנה מרובע הכל שהו’ קצ”ו עם י”ו שהו’ מרובע ד’ בין הכל רי”ב שוה לכפל מרובע הה’ שהו’ נ’ ולכפל מורכב מה’ וד’ שהו’ ט’ וכפל מרו’ ט’ יהיה קס”ב ובין הכל רי”ב וכן בשיעורים
    Numerical example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(10+4\right)^2+4^2=14^2+4^2=196+16=212=50+162= \left(2\sdot25\right)+\left(2\sdot81\right)=\left(2\sdot5^2\right)+\left(2\sdot9^2\right)=\left(2\sdot5^2\right)+\left[2\sdot\left(5+4\right)^2\right]=\left[2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2\right]+\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+4\right]^2\right]}}

Apparatus

  1. ↑ E: ’מאמר ב; Mu246: מאמר שני
  2. ↑ מספר אקלידס החכם| Mu246; P1011; P1013; P1014: om.; Mu130: מספר היסודות; Ma1: מספר היסודות לאקלידס; C, AB; P1012: מספר אקלידס; O16: מספר אוקלידיס; W66: מספר אלקידוס; F137: מספר אוקלידס בשרשים
  3. ↑ הנה שני: C, Ma1 om.; F137(marg.), P1012, P1014 הנה כל שני; P1007 הנה ב'
  4. ↑ הקוים: A1, AB, P1010, P1012, P1014 קוים
  5. ↑ באחת: A2 באחד; Ma1 אחת
  6. ↑ מזויותיו: B(except for W66) מזויות; W66 מזויותיה; P1012, P1014 מהזויות
  7. ↑ הנצבות: O16 נצבות; W66 om.
  8. ↑ יקרא: C, F יאמר
  9. ↑ לשניהם: B, C, F להם; P1007 לשניהן
  10. ↑ המקיפים: P1012 לשון המקיפים
  11. ↑ בו: O16 om.
  12. ↑ וכל: F כל; O16 ובכל
  13. ↑ שטח: F תמונה
  14. ↑ נכחי: F נכחית
  15. ↑ הנה: C, F, O16 om.
  16. ↑ אחד: Ma1 אחד [נ"ל כשאחד‫]
  17. ↑ משני: C, F om.; P1007 מב‫'
  18. ↑ משני השטחים: B(except for Mu130) מהשני שטחים; F137 הצלעות מהשטחים
  19. ↑ הנכחי: B(except for Mu130), F נכחיי; C נכוחי
  20. ↑ הם: C, F om.
  21. ↑ קוטרו: C אלכסונו
  22. ↑ משניהם היה: B שיהיה משניהם; C, F מהם שיהיה; P1007 משניהן היה
  23. ↑ שני השטחים: A2 השני שטחים; W66 השטחים; P1007 ב' השטחי‫'
  24. ↑ המתמימים: B, C, F המשלימים
  25. ↑ הרושם: C המסומן
  26. ↑ א: F137, Lo, O16, P1012 mark is missing; Mu130 למוד א'
  27. ↑ כאשר היו: C כשיהיו; F כאשר יהיו
  28. ↑ קוים ישרים: F137 הקוין הישרים; P1013 הקוים הישרים; B(except for W66), C קוים ישרים מונחים
  29. ↑ וחולק: B, C ונחלק
  30. ↑ מהם: Lo, PP משניהם; P1013 מהן
  31. ↑ אחד מהם לחלקים: O16 אותם לחלקים אחד מהם; C אחד מהם חלקים
  32. ↑ איזה מספר שיהיה: B, F כמה שיהיו/שהיו; C כמות שהן
  33. ↑ הנה: C יהיה
  34. ↑ הנצב: B, C, F, P1014 נצב
  35. ↑ הזויות: P1010 הזוית
  36. ↑ אשר יקיפו: C שיקיפו
  37. ↑ בו: A1 בה; O16, P1012 om.
  38. ↑ השני קוים: B, C, F שני הקוים; P1007 ב' הקוים
  39. ↑ הישרים: C; O16 הישרים המונחים
  40. ↑ שוה: F יהיה שוה
  41. ↑ לכל השטחים: F לשטחים; W66 לכלל השטחים; O16 כלו לשטחים
  42. ↑ הנצבי: B, C, F נצבי; P1012 הנצבים
  43. ↑ אשר יקיף: C שיקיפו; O16 אשר יקיפו
  44. ↑ בכל אחד מהם: F בהם
  45. ↑ הקו: A2 הקו הישר
  46. ↑ אשר לא: C שלא
  47. ↑ יחלק: F יתחלק; C, AB, P1012, P1014 נחלק
  48. ↑ וכל: A2, P1012, P1014 עם כל; P1013 לכל
  49. ↑ וכל אחד: C ואחד
  50. ↑ מן החלקים: B, P1007 מהחלקים
  51. ↑ ויהיו: F המשל יהיו; B הנה יהיה/יהיו
  52. ↑ שני: P1007 ב‫'
  53. ↑ קוים ישרים: A2, F הקוים הישרים; B(except for W66) קוים ישרים מונחים
  54. ↑ על שניהם: B, F עליהם
  55. ↑ לחלקים: F137 חלקים
  56. ↑ כמה שיהיו: B(except for W66) om.; A2 כמה שהוא
  57. ↑ שתי: F om.; P1012, P1014 שני; P1007, P1013 ב‫'
  58. ↑ נקודות: Ma1 נקודת
  59. ↑ הנה אומר כי השטח: B הנה נאמר שהשטח; F אומר כי השטח; P1007 הנה אומר כי שטח
  60. ↑ הנצב: B, F, P1007 נצב
  61. ↑ הזויות: A2, B(except for W66), P1012 הזוית
  62. ↑ בו: A1 בה
  63. ↑ שני: F om.; P1007 ב‫'
  64. ↑ קוי: P1013 קוים
  65. ↑ שוה: Mu130 שוים
  66. ↑ הנצב: B, F נצב
  67. ↑ הזויות: Mu130 הזוית
  68. ↑ שני: P1007 ב‫'
  69. ↑ שני קוי: F om.| א' ב"ג ... שני קוי: P1012 om.
  70. ↑ א' ב"ד: P1013 אב"ג אב"ד
  71. ↑ והשטח הנצב: B, F ולשטח נצב
  72. ↑ בו שני: F om.; P1007 בו ב‫'
  73. ↑ שני קוי: Mu130, P1014 om.
  74. ↑ ד"ה: Lo, PP ה"ד
  75. ↑ והשטח הנצב: B, F ולשטח נצב
  76. ↑ הזויות: B(except for O16) הזוית
  77. ↑ גם כן: B, F om.
  78. ↑ בו: A2, P1010, P1013, PP om.; B בו שני קוי; F בו קוי
  79. ↑ ונוציא: A2, B הנה נוציא; F המופת נוציא
  80. ↑ מן קו: A1, B, F, P1007 מקו
  81. ↑ הישר: A1, F om.
  82. ↑ ישר: P1014 om.
  83. ↑ זוית נצבת: B זוית נצבה; A1, F, Lo, P1010, PP זויות נצבות; P1012 זוית קו נצבת
  84. ↑ מי"א מא': Ma1, E, O16, P1007, P1012 om.; AB מי' מא'; F137, Lo, P1010, P1013, PP, W194 מי"א מראשון
  85. ↑ ונשים: B(except for Mu130) ויהיה
  86. ↑ ונשים קו ב"ז: A1, Ma1 om.
  87. ↑ שוה: P1010 om.
  88. ↑ הישר: A1, W66 om.
  89. ↑ מג' מא': C, Ma1, E, Mu36, O16, P1007, P1012 om.; F137, P1010, P1013, PP, W194 מב' מראשון; Mu130, P1014 מב' מא'
  90. ↑ נכחי: P1013 נכוחי ה[צלע‫]?
  91. ↑ קו ז"ח ... הישר: B קו נכחי לקו ב"ג הישר והוא קו ז"ח; AB קו ז”ח נכחי לקו ב”ג הישר והוא קו ז”ח| הישר: Lo om.
  92. ↑ מן: B, F מנקודות
  93. ↑ מן ד': P1007 מד'
  94. ↑ ד' ה' ג': A1 ד'ה'ג' הישר; F137 ד' ה' וג'
  95. ↑ קוי: O16 om.
  96. ↑ ה"כ: AB, P1012, P1014 כ"ה
  97. ↑ מל"א מא': Ma1, E, P1007, P1012 om.; F137, Lo, P1010, P1013, PP, W194 מל"א מראשון
  98. ↑ הנה כל: B(except for W66) וכל
  99. ↑ אחד: P1013 אחת
  100. ↑ ד"כ: AB דה ד"כ
  101. ↑ ושטח: P1013 om.
  102. ↑ לשטחי: O16 לשטח
  103. ↑ שוה לשטחי ב"ט: W194 twice
  104. ↑ מפתיחת הראשון: according to F137, W194| AB, מפתיחת א'; O561 מהפתיחה מא'; P1010 מפ' מרא'; P1014 מפת' מא'; PP מפתיחת ראשון; W66 מפתיח' א'
  105. ↑ ואולם: F אבל
  106. ↑ הנה הוא: F om.
  107. ↑ הנצב: A1, B, F נצב
  108. ↑ הזויות: Mu130, P1007 הזוית
  109. ↑ שני: F om.; P1007 ב'
  110. ↑ מפני כי קו: B מפני שקו; F לפי שקו; AB מפני כי קוי; P1012, P1014 מפני כי קוי; PP מפני כי
  111. ↑ ואולם ... לקו א': P1007 twice, the second recurrence is erased| א': O16 ג' א'
  112. ↑ ואולם שטח: F ושטח
  113. ↑ ב"ט: PP marg.
  114. ↑ הנה הוא: F om.; A2, P1007, P1010 הנה
  115. ↑ נצב: F137 הזויות נצב; P1014 הנצב
  116. ↑ הזויות: Mu130 הזוית
  117. ↑ אשר: F om.
  118. ↑ שני: F om.; P1007 ב'
  119. ↑ שני קוי: A2, Lo, P1010, P1012, PP om.; AB שני קוי
  120. ↑ מפני כי קו: B מפני שקו
  121. ↑ מפני כי קו ב"ז ... א': F om.
  122. ↑ ואולם שטח: F ושטח
  123. ↑ ד"כ: P1014 marg.
  124. ↑ הנה הוא: F om.
  125. ↑ שוה: P1010 שוה
  126. ↑ הנצב: B, A1, F, P1014 נצב
  127. ↑ הזויות: Mu130 הזוית
  128. ↑ שני קוי: A2, F, Lo, P1007, P1010, P1014, PP om.; AB שני קוי
  129. ↑ א' ד"ה: P1014 marg.
  130. ↑ מפני כי קו: B מפני שקו; F לפי שקו
  131. ↑ ואולם שטח: F ושטח
  132. ↑ הנה הוא: F, P1014 om.
  133. ↑ שוה: P1010 שוה
  134. ↑ הנצב: B, A1, F נצב
  135. ↑ הזויות: Mu130 הזוית
  136. ↑ בו: P1013 בהם
  137. ↑ א' ד"ה ... שני קוי: P1012 om.| שני קוי: Ma1, O16, P1014 om.; F137 קוי; P1007 ב' קוי
  138. ↑ מפני כי קו: B מפני שקו; F לפי שקו
  139. ↑ לקו ה"כ: A1 לה"כ; Mu130 לקו ה"ד; O16 לקו ה"ג
  140. ↑ מל"ד מא': A1, Ma1, E, O16, P1007, P1012, P1014 om.; F137, Lo, P1010, P1013, PP, W194 מל"ד מראשון
  141. ↑ הנה השטח: F והשטח
  142. ↑ הנצב: B, F, P1007 נצב
  143. ↑ הזויות: O16 הזוית
  144. ↑ יקיפו: P1012 om.; P1014 marg.
  145. ↑ שני: F137 om.; AB שני; P1007 ב'
  146. ↑ שני קוי: Ma1 om.
  147. ↑ א' ב"ג: O16 ב"ג א'
  148. ↑ הזויות: P1007 הזויות
  149. ↑ ה"ג: P1012 ג"ה|
    לשטחים ... וא' ה"ג: F לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א' ב"ד והשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א' ד"ה והשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א' ה"ג
    B לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ב"ד ולשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ד"ה ולשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ה"ג [‫הזויות: Mu130 הזוית]
    AB לשטחים נצבי הזויות אשר יקיפו בהם שני קוי א' ב"ד וא' ד"ה וא' ה"ג ולשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ד"ה ולשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א' ה"ג
  150. ↑ הנה: F137 וא"כ
  151. ↑ הנה כאשר: AB הנה התבאר כי כאשר
  152. ↑ היו: F137 יהיו
  153. ↑ שני: P1007 ב'
  154. ↑ ונחלק: F137 וחולק
  155. ↑ Mu130: F137 א'
  156. ↑ משניהם: F137, B(except for W66), P1010 מהם
  157. ↑ לחלקים כמה שיהיו: A2 בחלקים כמה שהיו; Mu130 לאי זה חלק שיהיה; O16 לאי זה חלקים שיהיו; P1007 לחלקים כמה שיהיהו
  158. ↑ השטח: P1007 om.
  159. ↑ הנצב: F137, B(except for W66) נצב
  160. ↑ הזויות: Mu130 הזוית, P1007 הזויות
  161. ↑ בו: P1007 בהם, P1010 בו
  162. ↑ שני: P1007 ב'
  163. ↑ הקוים: F137 הקוין; P1007 קוים
  164. ↑ הישרים: B(except for W66) הישרים המונחים; AB הישרים המונחים, A1 om.
  165. ↑ שוה: F137 יהיה שוה; O16 שוים
  166. ↑ לכל השטחים: F137, B(except for W66) לשטחים
  167. ↑ הנצבים: F137, B(except for W66) נצבי; A1, A2 הנצבי
  168. ↑ יקיף: B(except for W66), A2, P1007, P1012 יקיפו
  169. ↑ בהם: B(except for W66) בהן
  170. ↑ נחלק: F137 יתחלק; Mu130 תחלק; O16 יחלק
  171. ↑ וכל: P1014 לכל
  172. ↑ וכל אחד: P1012 לאחד
  173. ↑ מן החלקים: B(except for W66), P1007 מהחלקים|
    הנה כאשר ... מן החלקים: C, Ma1, E, W66 om.
  174. ↑ וזה: F137 וזהו
  175. ↑ וזה מה שרצינו לבאר: E והוא המכוון; Mu130 ומש"ל; P1007 וזמש"ל; Ma1, P1014 וזה מש"ל; P1010 וזה מה שרצינו לבארו; O16 om.
  176. ↑ ב: O16, P1007, P1012 mark is missing; Mu130 למוד ב'
  177. ↑ כאשר נחלק: C כשיחלק; F כאשר יתחלק
  178. ↑ ישר: C, B ישר מונח; AB ישר מונח
  179. ↑ איך שקרה: C בחלקים כפי אשר קרה; B איך שהזדמן; F איך שיזדמן
  180. ↑ הנה: C, F יהיו; AB הנה
  181. ↑ השטחים: Mu130 שני השטחים; O16 השני שטחים
  182. ↑ נצבי: A1 הנצבי
  183. ↑ הזויות: C הזוייות
  184. ↑ אשר יקיף: C שיקיפו; P1007 אשר יקיפו
  185. ↑ מחלקיו: Mu130, O16 מהחלקים; W66 מן חלקיו
  186. ↑ המתהוה: A2, B, F ההוה
  187. ↑ המתהוה מן: C om.
  188. ↑ מן הקו: P1007, W66 מהקו; O561 מן כלו הקו
  189. ↑ כלו: Mu130 om.
  190. ↑ ויהיה: F137 יהיה; Ma1 המשל יהיה; B הנה יהיה
  191. ↑ קו: F, O16, P1014 הקו
  192. ↑ ישר: F, P1014 הישר; O16 הישר המונח; Mu130, W66 ישר מונח; AB ישר מונח
  193. ↑ עליו: A1, A2, P1012, P1014 om.; AB, P1010 עליו
  194. ↑ א"ב: Mu130, P1014 קו א"ב
  195. ↑ ויחלק: F ויתחלק; O16 נחלק; Mu130 ונחלק; W66 שנחלק
  196. ↑ איך שיקרה: B איך שהזדמן; F איך שיזדמן; P1013 איך שקרה; O561 איך שיקרה
  197. ↑ ג': W66 א'
  198. ↑ הנה: F om.
  199. ↑ אומר כי: B אומר ש
  200. ↑ השטח: P1007, P1014 שטח
  201. ↑ הנצב: B, F, P1013 נצב
  202. ↑ הזויות: Mu130 הזוית
  203. ↑ יקיפו: O16 יקיף
  204. ↑ שני: F, O16 om.; P1007 ב'
  205. ↑ א"ב: F, B(except for W66) ב"א
  206. ↑ ב"ג: F, B(except for W66), P1007 א"ג; Lo ג"ד ב"ג
  207. ↑ עם: P1007 שוה למרובע המתהווה עם; P1012 וגם
  208. ↑ השטח: A2 שטח
  209. ↑ הנצב: B, F, A2 נצב
  210. ↑ הזויות: Ma1, B(except for W66) הזוית
  211. ↑ שני: P1007 ב'; P1012 שתי
  212. ↑ שני קוי: F om.; Mu130 שני קו; P1013 שני קוים
  213. ↑ א"ג: B(except for W66), F ב"ג; P1010 א"ג
  214. ↑ שוה: B(except for W66) שוים; W66 שוהים
  215. ↑ המתהוה: B, F ההוה; O561 המתהווה
  216. ↑ מן א"ב: B(except for W66), F, P1007 מא"ב; W66 מהקו כלו מא"ב
  217. ↑ והנה: Ma1 המופת; B הנה; F137 om.
  218. ↑ על קו: B מקו; AB על מקו
  219. ↑ על קו א"ב: F מא"ב
  220. ↑ עליו: O561 marg.
  221. ↑ ממ"ו מא': C בצורת מ"ו; A1, F137, Lo, P1010, PP ממ"ו מראשון; AB מ"ו מראשון; Ma1, E, P1007, P1012, W66 om.
  222. ↑ לכל: Mu36, Mu130 לכל; Mu91 לקו לכל; O561 כל
  223. ↑ משני: P1007 מב'
  224. ↑ משני קוי: F, B(except for Mu130) מקוי
  225. ↑ מל"א מא': A1, F137, Lo, P1010, PP מל"א מראשון; Mu130 מל"א; AB, C, Ma1, E, P1007, P1012, W66 om.
  226. ↑ הנה כל אחד משני: P1014 הנה כל אחד משני קוי א"ד ב"ה והוא ג"ז הנה כל אחד משני; P1007 הנה כל אחד מב'
  227. ↑ משני שטחי: F, B משטחי
  228. ↑ לשני: A2 לשתי; P1007 לב'
  229. ↑ לשני שטחי: F137 לשטחי; Ma1 לשטח; W66 לשתי שטחים
  230. ↑ א"ז ג"ה: AB, P1010 א"ז ג"ה נכחיי הצלעות; PP, W66 א"ז ג"ה נכחיי הצלעות
  231. ↑ מא' מזה: A2 מהקודמת; AB מפתיחת א'; P1010 מא'; B, C, Ma1, E, P1007, P1012, P1014 om.
  232. ↑ שוה: O16 om.
  233. ↑ נצב: O16 הנצב
  234. ↑ הזויות: Mu130, P1010 הזוית
  235. ↑ יקיפו: B(except for Mu130) יקיף
  236. ↑ בו: O561 בו
  237. ↑ ב"א: A2, P1007 א"ב
  238. ↑ ב"א א"ג: F137 א"ב ג"ב marg. ב"א א"ג; E א"ג בא"ב; A1 ב"א וא"ג
  239. ↑ כי הוא: F, B מפני ש
  240. ↑ יקיפו: F, B(except for Mu130) מקיף; Mu130 מקיפים
  241. ↑ שני: Ma1 om.; P1007 ב'
  242. ↑ א"ד: F, B ד"א
  243. ↑ כי הוא ... א"ד א"ג: Mu36 om.; O561 marg. בו א"ד א"ג וקו א"ד שוה לקו א"ב ושטח ג"ה שוה לשטח
    א"ג: P1007 ב"ג; A1 וא"ג
  244. ↑ א"ד: F, B ד"א
  245. ↑ שוה: P1012 om.
  246. ↑ הנצב: AB, B, P1013 נצב
  247. ↑ הנצב הזויות: F om.
  248. ↑ ב"א א"ג ... יקיפו בו: P1014 om.
    בו: P1010 om.
  249. ↑ שני: P1007 ב'
  250. ↑ שני קוי: Ma1, A1 om.
  251. ↑ ב"א א"ג ... א"ב ב"ג: F137 marg.
    ב"ג: Ma1 ג"ב; AB ב"ג ב"ג; P1007, P1014 א"ג; P1013 ה"ג
  252. ↑ מפני שא"ב: A2 מפני כי א"ב; P1014 מפני שא"ד; O16 הנה מפני שא"ב
  253. ↑ לב"ה: P1014 לב"א
    מפני ש... לב"ה: F137 added on top of the line
  254. ↑ הוא: O16 om.
  255. ↑ ההוה: P1010, P1012, PP הווה
  256. ↑ מקו א"ב: F137 מא"ב
  257. ↑ הנה: F ואם כן
  258. ↑ השטח: F השטחים
  259. ↑ נצב: F נצבי; B(except for Mu130), AB, Lo הנצב
  260. ↑ הזויות: O561 הזויות
  261. ↑ בו: F בהם; P1007, P1010, W194 om.; O561 בו
  262. ↑ שני: F om.; P1007 ב'
  263. ↑ א"ב: B(except for Mu130) ב"א
  264. ↑ א"ג: A1 ב"ג
  265. ↑ הנצב: B, F, P1013 נצב
  266. ↑ הזויות: Ma1 הזויות; O561 הזוית
  267. ↑ בו: A2, P1007, P1010, PP om.
  268. ↑ שני קוי: F om.
  269. ↑ ב"ג: A1 א"ג
  270. ↑ שוה: F שניהם שוים
  271. ↑ למרובע: Lo עם המרבע
  272. ↑ המתהוה: B, Lo, P1007 ההוה
  273. ↑ המתהוה מן: F om.
  274. ↑ מן א"ב: B(except for Mu130), P1007 מא"ב; F אדה"ב; Mu130 מן הקו כלו
  275. ↑ הנה: F137 ואם כן
  276. ↑ נחלק: F137 יתחלק
  277. ↑ קו: O16 om.
  278. ↑ ישר: AB ישר מונח; O16 ישר מונח
  279. ↑ איך שקרה: F137 איך שיזדמן; O16 איך שהזדמן
  280. ↑ הנה: F137 יהיו
  281. ↑ השטחים: O16 שני השטחים
  282. ↑ הנצבי: F137, O16, P1012, P1014 נצבי
  283. ↑ בהם: P1007 בו
  284. ↑ אחד: P1007 א'
  285. ↑ מחלקיו: O16 מהחלקים
  286. ↑ המתהוה: F137, O16 ההוה; PP המהווה
  287. ↑ מן הקו: P1007 מהקו; P1013 מן קו
  288. ↑ הנה ... כלו: C, Ma1, E, B(except for O16) om.
  289. ↑ וזה מה שרצינו לבאר: E, Mu130 ומש"ל; P1007 וזמש"ל; F, P1012 וזהו מה שרצינו לבאר; Mu36, P1014 וזה מש"ל; P1010 וזה מה שרצינו בארו
  290. ↑ ג: P1007, P1012 mark is missing; Ma1 ד'; Mu130 למוד ג'; O561 marg. at the end of proposition 2 חסר מכאן תמונת ג’ והיא ‫[...]
  291. ↑ כאשר נחלק: C כשיחלק; F כאשר יתחלק
  292. ↑ ישר: C, B ישר מונח; AB ישר מונח
  293. ↑ בשני: P1007 לב'
  294. ↑ בשני חלקים: F137 marg.; Ma1 om.
  295. ↑ איך שקרה: C כמו שקרה; F137 איך מה שיזדמן; Ma1 איך שהזדמן; B איך שיזדמן
  296. ↑ הנה: C, F יהיה
  297. ↑ השטח: C שטח
  298. ↑ הנצב: B, C, F נצב
  299. ↑ אשר יקיף: C שיקיפו; B אשר יקיפו
  300. ↑ בו: Mu130 om.
  301. ↑ הקו: PP קו
  302. ↑ משני: F137 marg.; P1007 מב'
  303. ↑ משני חלקיו: C, Ma1 מחלקיו; B(except for Mu130) מן החלקים
  304. ↑ הנצב: B, C, Ma1, W194 נצב; F137 נצב לשטח נצב
  305. ↑ אשר יקיף ... הזויות: P1013 om.
  306. ↑ אשר יקיפו: C שיקיפו
  307. ↑ בו: C, P1010 בו
  308. ↑ השני: B(except for W66), C, F, Lo שני; W66 שתי; P1007, P1013 הב'
  309. ↑ חלקים: B, C, F, Lo החלקים
  310. ↑ והמרובע: C ומרובע
  311. ↑ המתהוה: B, F, Lo ההוה
  312. ↑ המתהוה מן: C om.
  313. ↑ מן החלק: B(except for Mu130), P1007 מהחלק
  314. ↑ אשר זכרנו: C שהזכרנו
  315. ↑ ויהיה: B הנה יהיה; F המשל יהיה
  316. ↑ קו: Ma1 הקו
  317. ↑ ישר: B ישר מונח; AB ישר מונח; Ma1 הישר
  318. ↑ עליו: A1 om.
  319. ↑ א"ב: A1 om.
  320. ↑ ויחלק: AB, B(except for W66) ונחלק; W66 ונחלק אותו; F ויתחלק
  321. ↑ איך שיקרה: F איך שיזדמן; B איך שהזדמן; P1007 איך שקרה
  322. ↑ על: P1010 עליו על
  323. ↑ הנה: F om.
  324. ↑ כי השטח: B שהשטח; Ma1 ששטח; F137 כי שטח
  325. ↑ הנצב: B, F נצב
  326. ↑ יקיפו: Mu130 יקיף
  327. ↑ קוי: A2, B, P1014 שני קוי; AB שני קוי; A1, P1007 קו
  328. ↑ שוה: Ma1 שוים
  329. ↑ הנצב: B, F נצב
  330. ↑ הזויות: P1014 הזוית
  331. ↑ בו: Mu130, W194 om.
  332. ↑ שני: F om.; P1007 ב'
  333. ↑ א"ב ב"ג ... שני קוי: W66 marg.
  334. ↑ ג"ב: Mu36, P1007, P1014 ב"ג
  335. ↑ המתהוה: B, F ההוה
  336. ↑ מן ג"ב: F מב"ג; P1007 מג"ב; Mu36 מן ג"ב ג"ב
  337. ↑ ונעשה: F137 נעשה; Ma1 מופת זה נעשה; B(except for W66) הנה נעשה
  338. ↑ מן קו: F על; A1, B, Lo, P1010, PP מקו; P1007 הקו; Mu36 מן קו
  339. ↑ ג"ב: F ב"ג
  340. ↑ עליו: F om.
  341. ↑ בגד"ה: W66 ה"ג
  342. ↑ ממ"ו מא': AB מ"ו מראשון; A1, F137, Lo, P1010, PP ממ"ו מראשון; Mu130 ממ"ו; C, Ma1, E, Mu36, P1007, P1012 om.
  343. ↑ ונתמים: B(except for W66), F ונשלים; Lo, AB, P1010, PP ונתמם
  344. ↑ א"ג ד"ז: F אזד"ג; B(except for W66) ג"א ז"ד
  345. ↑ הנכחי: F נכחי
  346. ↑ הנכחי הצלעות: B(except for W66) הנכחי הצלעות נצב הזויות
  347. ↑ מל"א וממ"ב מא': F137, Lo, P1013, PP מל"א ומ"ב מראשון; P1010 מל"א מרא'; W66 מב"א ומ"ב מא'; W194 מל"א ומ"ה מראשון; AB, B(except for W66), C, Ma1, E, Mu36, P1007, P1012 om.
  348. ↑ הנה: O16 marg.
  349. ↑ אחד: AB שטח אחד
  350. ↑ משני: P1007 מב'; P1010 משטי משני
  351. ↑ משני שטחי: F משטחי
  352. ↑ א"ה: A1, Mu130 ג"ה
  353. ↑ א"ה א"ד: Mu36, P1014 א"ד ג"ה
  354. ↑ נכחי: F נכחיי
  355. ↑ נכחי הצלעות: B(except for W66) נכחי הצלעות נצב הזויות
  356. ↑ ג"ה: F שטח ה"ג; B(except for W66), Mu36 שטח ג"ה
  357. ↑ מא' מזה: P1010 מא'; AB, B, C, Ma1, E, P1007, P1012, P1013 om.
  358. ↑ הנצב: AB, B נצב
  359. ↑ הנצב הזויות: F om.
  360. ↑ בו: P1013 ש בו
  361. ↑ שני: F om.; P1007 ב'
  362. ↑ ב"ג: Mu130 ג"ב
  363. ↑ מפני כי ב"ג: F לפי שב"ג; Mu130 מפני שב"ג
  364. ↑ הנצב: A1, B, F נצב
  365. ↑ שני: F om.
  366. ↑ א"ב ב"ג ... שני קוי: O16 marg.; P1007 om.
  367. ↑ ג"ב: F, Mu36 ב"ג
  368. ↑ מפני כי ב"ג: F לפי שב"ג; B(except for W66) מפני שג"ב; P1013 מפני ב"ג
  369. ↑ ושטח א"ד ... לג"ד: Mu130 moved below; P1014 marg.
  370. ↑ ה"ג: F ג"ה
  371. ↑ הוא: Mu36 om.
  372. ↑ המרובע: Mu36 מרובע; AB המרובע
  373. ↑ המתהוה: B(except for W66), Ma1 ההוה; F137 המ ההווה; Mu36 מתהוה
  374. ↑ מן ג"ב: F, Mu36, P1007 מג"ב
    ושטח ה"ג ... מן ג"ב: P1014 ושטח מרובע מתהוה מן ב"ג; marg. ושטח ה"ג הוא המרובע המתהוה מן ג"ב
  375. ↑ הנה: F אם כן; Mu130 ושטח א"ד [...] לג"ד הנה
  376. ↑ הנצב: B(except for W66), F, Mu36 נצב
  377. ↑ שני: F om.
  378. ↑ הנצב: B(except for W66), F, P1013 נצב
  379. ↑ שני: P1007 ב'
  380. ↑ שני קוי: A1, F om.
  381. ↑ א"ג ג"ב: P1012 א"ב ב"ג; F א"ג ב"ג
  382. ↑ והמרובע: Ma1 ומרובע
  383. ↑ המתהוה: B(except for W66), A1, AB, F ההוה
  384. ↑ מן ג"ב: F מב"ג; P1007 מג"ב
  385. ↑ הנה: F137 א"כ
  386. ↑ חולק: F137 יתחלק; O16 נחלק
  387. ↑ ישר: Mu36, O16 ישר מונח; AB ישר מונח; Mu130 ישר על מונח
  388. ↑ בשני: P1007 בב'
  389. ↑ בשני חלקים: F137 om.
  390. ↑ איך שיקרה: F137 איך מה שיזדמן; B(except for W66) איך שהזדמן; P1013 איך שקרה
  391. ↑ הנה: F137 יהיה
  392. ↑ הנצב: F137, B(except for W66) נצב
  393. ↑ יקיף: Mu36, O16 יקיפו
  394. ↑ משני: P1007 מב'
  395. ↑ משני חלקיו: F137 מחלקיו; O16 מחלקיו
  396. ↑ הנצב: F137, B(except for W66) נצב
  397. ↑ השני: F137, O16 שני; P1007 הב'
  398. ↑ חלקים: F137, O16 החלקים
  399. ↑ המתהוה: F137, O16 ההוה
  400. ↑ מן החלק: O16, P1007, P1012 מהחלק
  401. ↑ אשר זכרנו: F137 שזכרנו
    הנה כאשר ... זכרנו: C, Ma1, E, W66 om.
  402. ↑ וזה מה שרצינו לבאר: F137, E, Mu130 ומש"ל; Ma1, P1007 וזה מש"ל; Lo, P1010, PP, W194 וזה מה שרצינו באורו; C וזה מה שרצינו
  403. ↑ ד: P1007, P1012 mark is missing; Ma1 ג'; Mu130 למוד ד'
  404. ↑ כאשר חולק: B כאשר נחלק; C כשיחלק; F כאשר יתחלק
  405. ↑ ישר: B(except for Mu130), C, P1012; P1014 ישר מונח
  406. ↑ בשני: C לשני; P1007 בב'
  407. ↑ חלקים: Ma1 חצאים
  408. ↑ איך שיקרה: B איך שהזדמן; C כמו שקרה; F איך שיזדמן; O561 איך שיקרה; P1007 איך שקרה; PP איך מה שיקרה
  409. ↑ הנה: C, F יהיה
  410. ↑ המרובע: C מרובע
  411. ↑ המתהוה: B(except for Mu130), C ההוה
  412. ↑ המתהוה מן: C om.
  413. ↑ מן הקו: B(except for Mu130), P1007 מהקו; PP מן קו
  414. ↑ לשני: P1007 לב'
  415. ↑ המרובעים: C מרובעי
  416. ↑ המתהוים: B(except for Mu130), F ההוים; C om.
    מן ... המתהוים: O561 marg.
  417. ↑ מן השני: B(except for Mu130), F, Lo, P1012, P1013, P1014 משני; C שני; P1007 מהב'; W194 מן שני
  418. ↑ חלקים: C, F, Lo, O16, P1012, P1014 החלקים; W66 החלקים
  419. ↑ וכפל: C ולכפל; Mu36, O16, P1012, P1014 ומכפל; O561 ומכפל
  420. ↑ השטח: C שטח
  421. ↑ הנצב: B(except for Mu130), C, F נצב; P1014 om.
  422. ↑ השני: B(except for Mu130), C, F, PP שני; O561 השני; P1007 ב'
  423. ↑ חלקים: B(except for Mu130), C, F החלקים
  424. ↑ ויהיה: B(except for Mu130) הנה יהיה; F137 יהיה; Ma1 המשל יהיה
  425. ↑ קו ישר: F, Lo הקו הישר; O16 קו
  426. ↑ עליו: B(except for Mu130) מונח עליו
  427. ↑ ויחולק: F ויתחלק; O16 נחלק; W66 ונחלק
  428. ↑ איך שיקרה: B(except for Mu130) איך שהזדמן; F איך שיזדמן; P1007 איך שקרה
  429. ↑ הנה: F om.
  430. ↑ המרובע: Mu36 המרובע
  431. ↑ המתהוה: B(except for Mu130), F ההוה
  432. ↑ מן א"ב: B(except for Mu130), F, P1007 מא"ב
  433. ↑ לשני: P1007 לב'
  434. ↑ המתהוים: A1, B(except for Mu130), F ההוים
  435. ↑ מן א"ג: B(except for Mu130), F, P1007 מא"ג
  436. ↑ ג"ב: F ב"ג
  437. ↑ וכפל: P1014 ומכפל
  438. ↑ השטח: W66 שטח
  439. ↑ הנצב: B(except for Mu130), F נצב
  440. ↑ הזויות: Ma1 הזוית
  441. ↑ שני: F om.; P1007 ב'
  442. ↑ ג"ב: F ב"ג
  443. ↑ ה: P1007, P1012 mark is missing; Mu130 למוד ה'
  444. ↑ כאשר: F om.
  445. ↑ כאשר נחלק: C כשיחלק
  446. ↑ נחלק ... ישר: F כל קו ישר יתחלק
  447. ↑ בשני חלקים: C לשני חלקים; O16 בחלקים; F לשני חצאים
  448. ↑ שוים: F137 שוים; Ma1 om.
  449. ↑ ושני: C ולשני; F ובשני; P1007 ולב'
  450. ↑ ושני חלקים: O16 וחלקים
  451. ↑ בלתי שוים: C שאינם שוים; F מתחלפים
  452. ↑ הנה: C; F יהיה
  453. ↑ השטח: C שטח
  454. ↑ הנצב: B(except for Mu130), C, F137 נצב
  455. ↑ אשר יקיפו: C שיקיפו; P1007 אשר יקיף
  456. ↑ בו: P1012 om.
  457. ↑ שני חלקי: C החלקים; F חלקי; P1007 ב' חלקי; AB שני קוי חלקי
  458. ↑ הקו כלו: C om.
  459. ↑ אשר הם בלתי: C שאינם; O16 הבלתי
  460. ↑ אשר הם בלתי שוים: F המתחלפים
  461. ↑ עם המרובע: C עם מרובע; F ומרובע; P1013 מן המרובע; W194 מן נ' עם המרובע
  462. ↑ המתהוה מן: C om.; B(except for Mu130) ההוה מן
  463. ↑ מן הקו: O16, P1007 מהקו; W66 מן הקו מהקו
  464. ↑ אשר במה שבין: C כלו שהוא בין; Mu130 אשר במה שני שבין
  465. ↑ שני: B (except for O16), C om.; P1007 ב'; P1013 שכל; P1014 שתי
  466. ↑ מקומות: P1007 המקומות
  467. ↑ השני חלקים: C שוה החלקים; B(except for Mu130) החלקים
    המתהוה מן ... השני חלקים: F יתרון חצי הקו על החלק היותר קצר
  468. ↑ שוה: B(except for Mu 130), F, P1012 שוים
  469. ↑ למרובע: W66 מרובע
  470. ↑ המתהוה: C, F om.; A1, B(except for Mu130), P1014 ההוה
  471. ↑ מחצי: C, F חצי; Mu130 מן חצי
  472. ↑ ויהיה: B (except for Mu130) הנה יהיה; F137 יהיה; Ma1 המשל יהיה
  473. ↑ קו ישר: F הקו הישר
  474. ↑ ויחלק: F ויתחלק; B(except for Mu130) ונחלק
  475. ↑ בשני: A2, P1014 לשני; P1007 בב'
  476. ↑ בשני חלקים שוים: F לחצאים; O16 בחלקים שוים
  477. ↑ נקודת: F om.; P1013 מקומות נקודת
  478. ↑ מי' מא': according to AB, W66
  479. ↑ ושני: Mu130, P1007 וב'; W66 ולשני
  480. ↑ ושני חלקים: F, O16 ובחלקים
  481. ↑ בלתי שוים: F מתחלפים
    על נקודת ג' ... בלתי שוים: Mu130 marg.
  482. ↑ נקודת: F om.
  483. ↑ הנה: F om.
  484. ↑ כי השטח: B(except for Mu130), Ma1 שהשטח
  485. ↑ הנצב: B, F נצב
  486. ↑ בו: P1012 om.
  487. ↑ שני: F om.
  488. ↑ המתהוה: B(except for Mu130), F ההוה
  489. ↑ מן ג"ד: B(except for Mu130), P1007 מג"ד; F מד"ג; Mu130 ג"ד illegible
  490. ↑ שוה: F שוים
  491. ↑ המתהוה: B(except for Mu130), F, P1014 ההוה
  492. ↑ מן ג"ב: B(except for Mu130), P1007, P1013 מג"ב; F מב"ג; AB מן ג"א או מן ג"ב; Mu130 מן ג"א או ג"ב; P1012 מן ג"א או מן ג"ב
  493. ↑ ונעשה: F137 נעשה; Ma1 המופת נעשה; B(except for Mu130) הנה נעשה
  494. ↑ מקו: AB, Mu130, P1012, P1014 מן קו
  495. ↑ ג"ב: F ב"ג
  496. ↑ ג"הז"ב: F ב'ג'ה'ז' ונעשה מב"ד מרובע ד'ב'כ'ח'; P1010 ד"ה ג"ה ז"ב
  497. ↑ ממ"ו מא': A2, C, E, Ma1, Mu130, P1007, P1012 om.; A1, AB, F137, Lo, P1010, PP ממ"ו מראשון; O16 ממ"ו
  498. ↑ התמונה: F התבנית
  499. ↑ א"גט"ל: F א'ט'ל'ג'
  500. ↑ הנכחי: F נכחי; P1013 [..] נכוחי
  501. ↑ מד' מזה: A2, B(except for W66), C, E, Ma1, P1007, P1014 om.; Lo, P1010, P1012 מד'
  502. ↑ הנה מפני: P1012 twice
  503. ↑ מפני כי ג"ח: F לפי שג"ח; B(except for Mu130) מפני שג"ח
    ג"ח: P1012 ג"ה
  504. ↑ לח"ז: P1012 לה"ז
  505. ↑ ד"כ: Mu130 ח"ב
  506. ↑ משותף: O16 משותפת
  507. ↑ הנה: F om.; W66 ה הנה
  508. ↑ ג"כ: Mu130 ל"ב
  509. ↑ לד"ז: Ma1 לשטח ד"ז
  510. ↑ ממ"ג מא': A1, E, F137, P1007, P1010, P1012, PP om.; C מצורת מ"ג מן הראשון; Ma1 מג' מזה המאמר; Lo ממ"ג מראשון; O16 ממ"ג
  511. ↑ ומפני שצלע: AB, P1007, P1012, PP ומפני כי צלע
  512. ↑ א"ג: O561 ג"ה א"ג
  513. ↑ ג"כ: Mu130 ל"ב; PP marg. כ"ג
  514. ↑ מל"א מא': according to W66; AB מל"ו מראשון
  515. ↑ ג"כ: Mu130 ל"ב; PP ל"ג
  516. ↑ הנה יהיה: B(except for Mu130), AB, F אם כן
  517. ↑ ל"א: B(except for Mu130), AB, F א"ל
  518. ↑ ומפני שצלע א"ג ... לשטח ד"ז: F137 marg. with the note ונשמט
    וכבר היה ... ל"א שוה לשטח ד"ז: AB, PP marg.
    הנה יהיה ... לשטח ד"ז: P1012 om.
  519. ↑ מפתיח' א': according to W66; AB מפתיחת א'
  520. ↑ ונשים: Mu31 starts here (247v; line 2 from the bottom) ונשום
  521. ↑ ג"ח: Lo ד"ח ג"ח
  522. ↑ משותף: B(except for Mu130) משותפת
  523. ↑ הנה: F יהיה
  524. ↑ כלו: Mu31 ג כלנו
  525. ↑ שוה: Mu31 שוים; P1012 om.
  526. ↑ לרושם: Mu31 om.; Mu130 לשטח לרושם
  527. ↑ מנ"ס: P1012 מנ"ח
  528. ↑ א"ח: Mu31; Mu130 שטח א"ח
  529. ↑ שוה: P1012 שוה לשטח ג”כ וכבר היה שטח ג”כ שוה לשטח ד”ז ונשים ג”ח משותף הנה א”ח כלו לרושם מנ”ח אבל א”ח שוה
  530. ↑ הנצב: B, F נצב; P1007 ה[.] הנצב
  531. ↑ הזויות: P1007 הזוית
  532. ↑ שני: B(except for Mu130), F om. P1007 ב'
  533. ↑ מפני כי ב"ד: B(except for Mu130) מפני שב"ד; F לפי שד"ב; O561 marg.; P1007 הנה מפני כי ב"ד; P1012 ומפני כי ב"ד
  534. ↑ לד"ח: O16 לשטח לד"ח
  535. ↑ וזה כי ד"כ: B(except for Mu130) וזה שד"כ
  536. ↑ וזה כי ד"כ מרובע: Ma1 om.
  537. ↑ משלפניה: according to B(except for Mu130); C מלפניה; Ma1 מג' מזה; AB מאשר לפניה; O561 מהקודמת; P1014 מסוף תמונה אשר לפניה
  538. ↑ הנה: F אם כן
  539. ↑ רושם: AB כי רושם
  540. ↑ מנ"ס: P1012 מנ"ד
  541. ↑ שוה לשטח: O561 twice
  542. ↑ הנצב: B, F נצב
  543. ↑ הזויות: W66 הזויות
  544. ↑ בו: Mu31, P1007, P1010, PP om.
  545. ↑ שני: B(except for Mu130), F om.; P1007 ב'
  546. ↑ אשר הוא שוה: Mu31 אשר ראשונה; O16 שהוא כמו
  547. ↑ למרובע: O16 השטח המרובע
  548. ↑ המתהוה: B(except for Mu130), F ההוה
  549. ↑ מן ג"ד: B(except for Mu130), F, P1007 מג"ד
  550. ↑ משותף: O16 משותפת
  551. ↑ ויהיה: B(except for Mu130) הנה יהיה; F יהיה
  552. ↑ מנ"ס: P1012 מנ"ד
  553. ↑ ושטח: F עם
  554. ↑ הנצב: F, W66 נצב
  555. ↑ הזויות: O16 הזוית
  556. ↑ יקיפו בו: Lo יקיפוהו; A2, F, P1007, P1010, PP, W194 יקיפו
  557. ↑ שני: B(except for Mu130), F om.; P1007 ב'
  558. ↑ המתהוה: A1, B(except for Mu130), F ההוה
  559. ↑ מן ג"ד: B(except for Mu130), F, P1007 מג"ד
  560. ↑ אבל: A2, AB, Lo, Mu31, Mu130, P1010, P1012, PP, W194 ויהיה
  561. ↑ רושם: PP marg.
  562. ↑ כמו השטח הנצב ... ושטח ל"ע: P1012, P1014 om.
  563. ↑ הוא: F הם
  564. ↑ כלו: AB om.
  565. ↑ ושטח: O561 ג ושטח
  566. ↑ ג"ז: Mu31 כ"ז
  567. ↑ ושטח ג"ז כלו: P1012 om.
  568. ↑ ושטח ג"ז כלו הוא: F והוא
  569. ↑ שטח: B(except for Mu130), F, Mu31 om.; P1007 השטח
  570. ↑ המתהוה: B(except for Mu130), F ההוה
  571. ↑ מן ג"ב: AB, B(except for Mu130), P1007, P1012 מג"ב; F מב"ג
  572. ↑ הנה: F אם כן
  573. ↑ השטח: Mu31 השוה; Mu130 שטח
  574. ↑ הנצב: B(except for Mu130), F נצב
  575. ↑ בו: A1 om.
  576. ↑ א"ד: F קוי א"ד; P1007 ב' קוי א"ד
  577. ↑ המתהוה: B(except for Mu130), F, P1007 ההוה
  578. ↑ מן ג"ד: O16, P1007, P1012, P1014 מג"ד; F מד"ג
  579. ↑ המתהוה: B(except for Mu130), F, P1007 ההוה
  580. ↑ מן ג"ב: O16, P1007 מג"ב; F מב"ג, AB מג"א או מן ג"ב; Mu130 מן ג"א או ג"ב; P1010 מן ג"ח ג"ב; P1012, P1013 מן ג"א ג"ב; W194 מן ג"א ג"ב [נ' שהוא אחד‫]
  581. ↑ וכאשר: F137 ואם כן; B(except for W66) הנה כאשר; O561 וכאשר
  582. ↑ נחלק קו ישר: F137 כל קו ישר יתחלק
  583. ↑ בשני חלקים שוים: F137 לשני חצאים; O16 בחלקים שוים; P1007 בב' חלקים שוים
  584. ↑ ושני חלקים בלתי שוים: A2 ובלתי שוים; F137 ובשני חלקים מתחלפים; O16 וחלקים בלתי שוים; P1007 om.
  585. ↑ הנה: F137 יהיה
  586. ↑ הנצב: F137, O16, P1013 נצב
  587. ↑ בו: P1010 om.
  588. ↑ שני: F137 om.; P1007 ב'
  589. ↑ חלקי הקו: Mu31 חלקו ההן; AB חלק קו
  590. ↑ כלו: O16 om.
  591. ↑ אשר הם בלתי שוים: F137 המתחלפים; O16 אשר אינם שוים
  592. ↑ עם המרובע: F137 ומרובע
  593. ↑ המתהוה: O16 ההוה
  594. ↑ מן הקו: O16, P1007 מהקו
  595. ↑ אשר במה: Mu31 twice
  596. ↑ מקומות: P1013 המקומות
  597. ↑ שני: O16 om.; PP marg.
  598. ↑ שני מקומות שני החלקים: A2 שני המקומות שני חלקים; P1007 ב' מקומות ב' החלקים; P1014 שתי מקומות השני חלקים
    המתהוה מן הקו אשר במה שבין שני מקומות שני החלקים: F137 יתרון חצי הקו על החלק היותר קצר
  599. ↑ שוה: F137 שוים
  600. ↑ המתהוה: F137 om.; O16 ההוה
  601. ↑ מחצי: F137 חצי; P1012 מהם
  602. ↑ וכאשר ... מחצי הקו: C, E, Ma1, W66 om.
  603. ↑ וזה מה שרצינו לבאר: E om.; Mu130 ומש"ל; P1007 וזמש"ל; W66 וזה מה שרצינו לבאר ונשלם באורו; Ma1, P1014 וזה מש"ל; F137 וזהו מה שרצי' לבאר

Appendix: Bibliography

Manuscripts:

A) Moses ibn Tibbon - the main translation

1) London, British Library Add. 20746 (IMHM: f 5053), (cat. Margo. 1001) (15th century)
translation: 6 September 1270; Book X – 2 August 1270
Lo
2) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1007/3 (IMHM: f 15710), ff. 37r-65v (16th century)
P1007
3) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1010 (IMHM: f 15712), (15th-16th century)
translation: 6 September 1270; Book X – 2 August 1270
P1010
4) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1012/1 (IMHM: f 15713), ff. 1-254 (15th century)
translation: 16 September 1270
P1012
5) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1014/1 (IMHM: f 15714), ff. 1r-157r (16th century)
P1014
6) Paris, Private collection (IMHM: f 39116) (1470-1475)
A1)
1) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1013 (IMHM: f 15018), (15th century)
P1013
2) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 194/1 (IMHM: f 1456), ff. 1-82 (16th century)
W194
A2)
1)München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 36/3 (IMHM: f 1166), ff. 8r-17r, 22r-85r, 87r-100r (Istanbul, 1485)
translation: 16 September 1270
Mu36
2) Oxford, Bodleian Library MS Hunt. 561 (IMHM: f 19288) (cat. Neub. 2003) (Candia, 1375)
O561

Unchecked

  • Jerusalem, Jewish National and University Library Ms. Heb. 8°2339 (IMHM: B 449 (8°2339)), (19th century)
  • Leiden, Bibliotheek der Rijksuniversiteit Cod. Or. 4785 (IMHM: f 27910) (14th-15th century) (similar to MS Oxford 405?)
  • Madrid, Biblioteca Nacional 5474/1 (IMHM: f 7233), 1-190 (14th-15th century)
translation: 16 September 1270
  • Montecassino, Archivio di Stato 510/1 (IMHM: f 34894), ff. 1v-132v (15th century)
translation: 2 August 1270
  • New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2613 (IMHM: f 28866), ff. 1r-30r (list of propositions of Books I-XV); 31r-38r (Book I until proposition 19) (18th century)
NY
  • New York, Jewish Theological Seminary Ms. 9545/2 (IMHM: f 49965), ff. 16r, 18v-21v (15th century)
  • Oxford, Bodleian Library MS Mich. 358/1 (IMHM: f 19289) (cat. Neub. 2004, 1), ff. 1r-72v, (13th-14th century)
  • Oxford, Bodleian Library MS Mich. 400/1 (IMHM: f 19291) (cat. Neub. 2006, 1), 1r-10v, (15th century) (list of definitions and propositions)
  • Oxford, Bodleian Library MS Mich. 405 (IMHM: f 19287) (cat. Neub. 2002) (1573) (similar to MS Leiden?)
  • Philadelphia, University of Pennsylvania Ms. Codex 1787
PH
  • Roma, Accademia Nazionale dei Lincei, Biblioteca Corsiniana, Or. 259/1 (IMHM: f 73284), ff. 1r-68v, (Mantova, 1441)
  • Roma, Biblioteca Nazionale Centrale Vittorio Emanuele II Or. 78 (IMHM: f 415) (15th century) (with comments by Gersonides)
  • St. Petersburg, Inst. of Oriental Studies of the Russian Academy B 16 (IMHM: f 52919), (15th century)
  • St. Petersburg, Inst. of Oriental Studies of the Russian Academy B 191/2 (IMHM: f 53338), ff. 167v-178v (Volga, 1392)
  • St. Petersburg, Inst. of Oriental Studies of the Russian Academy C 127 (IMHM: f 69382), (Istanbul, 17th century)


B) Jacob ben Makir - revision of ibn Tibbon's translation

1) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 130 (IMHM: f 1195), (15th century)
Mu130
2) Oxford, Bodleian Library MS Hunt. 16/1 (IMHM: f 19290) (cat. Neub. 2005, 1), 1r-89v, (15th century)
O16
3) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 66/3 (IMHM: f 1343), ff. 157-233 (16th century)
W66

AB)

  • München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 91/1 (IMHM: f 1157), ff. 1r-141v (14th century)
AB

C)

  • Cambridge, Trinity College R 14 61 (IMHM: f 12598), (14th century)

F)

1) Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale Magl. III. 137/1 (IMHM: f 11976), ff. 4v-199r (15th century)
translation: 6 September 1270
F137
2) Mantova, Comunita Israelitica MS ebr. 1 (IMHM: f 782) (15th century)
translation: 6 September 1270
Ma1

E)

  • Mantova, Comunita Israelitica MS ebr. 2 (IMHM: f 783) (14th-15th century)
Ma2


lists

  • München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 246/6 (IMHM: f 1102), ff. 56r-64r (1429-1431)
Mu246
  • Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1011/1 (IMHM: f 15017), ff. 1r-64r (13th-14th century)
P1011

Campanus de Novare?

  • Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 539/2 (IMHM: f 47860), ff. 67r-91r (16th century) (Moses Provenṣali ?)
  • München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 31/3; 31/5 (IMHM: f 1165), ff. 113r-122v; 242v-254r (16th century)
Mu31
  • Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1015/1 (IMHM: f 15019), ff. 1-29 (16th century)
P1015


Bibliography:

Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=ספר_היסודות_לאקלידס&oldid=62092"