Difference between revisions of "ספר חשבון"

Revision as of 14:25, 28 May 2023

1 The Nature of One
2 Shortcuts - Products of Ranks by Ranks
3 The Decimal Ranks
4 Three Types of Numbers
5 The Ten Numerals
6 Finding the Square Numbers
7 Cubic Numbers
8 Primary Definitions
9 Multiplication
10 Addition
11 Subtraction
12 Division
13 Sums
- 13.1 Motion Problems - Pursuit
14 Word Problems - The Rule of Three
- 14.1 Pricing Problems
- 14.2 Employment Problems - Payment Problems
15 Calculation of Fractions
16 Word Problems
17 Notes
18 Appendix: Bibliography

ספר חשבון‫^[1]

The Nature of One

One - from one aspect is a number and the foundation of the numbers and from another aspect it is not a number

האחד מדרך אחד‫^[2] הוא מן המספר‫^[3] ועיקר המספר‫^[4] ומדרך אחר אינו מספר

The proof that one is not a number: every number is half the sum of the numbers on its both sides

\scriptstyle n=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(n-a\right)+\left(n+a\right)\right]

והאות המורה כי אינו מספר הוא‫^[5] כי כל מספר הוא מחצית שני צדיו וכן הוא מחצית שני צדי צדיו על‫^[6] תכלית כל צדיו

\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{1}{2}\sdot20=\frac{1}{2}\sdot\left(9+11\right)}}

\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{1}{2}\sdot\left(8+12\right)}}

\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{1}{2}\sdot\left(7+13\right)}}

המשל בזה י' צדו האחד י"א וצדו האחר ט' ושניהם כ' וי' הוא חצי שני הצדדים

וכן הוא חצי שני צדי צדיו שהם י"ב וח‫'
וכן הוא מחצית שני צדי צדי צדיו שהם י"ג וז‫'
וכן כל מספר הוא מחצית ב' צידיו

One does not have two numbers on its both sides - therefore it is not a number

והאחד מפני שאינו‫^[7] מספר אין אתה מוצא לו ב' צדדים

One is half the number on its one side - therefore it is a number $\scriptstyle1=\frac{1}{2}\sdot2$

ומצד היותו מספר הוא חצי צדו האחד ר"ל חצי מספר ב‫'

Another proof that one is not a number: every number is either integer or a fraction

ואות אחר מורה‫^[8] שהאחד אינו מספר כי כל מספר הוא או מספר שלם או שבר מספר

The product of an integer by itself is greater than the integer itself

\scriptstyle n>1\longrightarrow n<n\times n

ומדרך המספר השלם הוא כשתרבה אותו בעצמו יוסיף

\scriptstyle{\color{blue}{2<2\times2=4}}

כגון ב' פעמי' ב'^[9] ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{3<3\times3=9}}

ג' פעמי' ג'^[10] ט' וכן כלם

The product of an fraction by itself is smaller than the fraction itself

\scriptstyle 0<n<1\longrightarrow n\times n<n

ושבר מספר כשתרבה^[11] אותו בעצמו יחסר

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}<\frac{1}{2}}}

כגון^[12] חצי פעם חצי^[13] שהוא רביע

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}<\frac{1}{3}}}

שליש פעם שליש^[14] שהוא^[15] תשיע

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}<\frac{1}{4}}}

רביע פעם רביע^[16] שהוא^[17] חלק מי"ו וכן כלם

The product of one by itself is not greater than one itself, as the integers, nor smaller than one itself, as the fractions, therefore one is not a number $\scriptstyle1=1\times1$

והאחד שאינו מוסיף על חשבונו כשתמנהו בעצמו כדרך השלמים ולא גורע ממניינו כדרך השברים יורה שאיננו^[18] מספר

Shortcuts - Products of Ranks by Ranks

Units by Tens

\scriptstyle a\times\left(10\sdot b\right)

כשנרצה^[19] לרבות^[20] אחדים עם עשרות

$\scriptstyle6\times40$

כגון ו' פעמי' מ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{6\times40=\left(6\sdot4\right)\sdot10=24\sdot10=240}}

נקח^[21] דמיונם^[22] מן האחדים הדומים להם ובעבור שמ' הם ד' עשרות מניינם הוא ו' פעמים וכמו^[23] שו' פעמי' ד'^[24] הם^[25] כ"ד כן ו' פעמים מ'^[26] הם^[27] כ"ד עשרות שהם ר"מ

$\scriptstyle3\times30$

וכן^[28] ג' פעמים ל‫'^[29]

\scriptstyle{\color{blue}{3\times30=\left(3\sdot3\right)\sdot10=9\sdot10=90}}

דמיונם הוא^[30] ג' פעמים ג' שהם ט' ויהיו^[31] ט' עשרות שהם צ' ועל זה הדרך הם כלם‫^[32]

Tens by Tens

\scriptstyle\left(a\sdot10\right)\times\left(10\sdot b\right)

ואם נרבה^[33] עשרות עם עשרות

$\scriptstyle30\times30$

כגון ל' פעמים ל‫'

\scriptstyle{\color{blue}{30\times30=\left(3\sdot3\right)\sdot100=9\sdot100=900}}

ניקח דמיונם מן האחדים הדומים להם ובעבור היות ל'^[34] ג' עשרות דמיונם הוא ג' פעמי' ג'^[35] וכמו שג' פעמים ג'^[36] הם ט' כן ל' פעמים ל' הם ט' מאות

$\scriptstyle40\times40$

וכן מ' פעמים מ‫'^[37]

\scriptstyle{\color{blue}{40\times40=\left(4\sdot4\right)\sdot100=16\sdot100=1600}}

דמיונם הוא ד' פעמים שהם י"ו מאות‫^[38]

$\scriptstyle30\times40$

וכן ל' פעמים מ‫'^[39]

\scriptstyle{\color{blue}{30\times40=\left(3\sdot4\right)\sdot100=12\sdot100=1200}}

דמיונם הוא ג' פעמים ד'^[40] שהם י"ב וכן ל' פע' מ'^[41] הם י"ב מאות וכן כלם

The rule for multiplication of units by tens: multiplying them as units by units and the result is tens

והכלל המסור לזה הוא כשנרבה אחדים עם עשרות נקח דמיונם מרבוי האחדים עם האחדים ויהיה העולה עשרות

The rule for multiplication of tens by tens: multiplying them as units by units and the result is hundreds

ואם נרבה עשרות עם עשרות יהיו העולה מאות

Tens by Hundreds

\scriptstyle\left(a\sdot10\right)\times\left(100\sdot b\right)

ואם נרבה עשרות עם מאות יהיה^[42] העולה אלפים

$\scriptstyle20\times200$

כגון כ' פעמים ב' מאות‫^[43]

\scriptstyle{\color{blue}{20\times200=\left(2\sdot2\right)\sdot1000=4\sdot1000=4000}}

דמיונם ב' פעמים ב'^[44] שהם ד' והם^[45] ד' אלפים

$\scriptstyle50\times500$

וכן נ' פעמי' ת"ק

\scriptstyle{\color{blue}{50\times500=\left(5\sdot5\right)\sdot1000=25\sdot1000=25000}}

דמיונם ה' פעמי' ה'^[46] שהם^[47] כ"ה והם^[48] כ"ה אלפים וכן כלם

Hundreds by Hundreds

\scriptstyle\left(a\sdot100\right)\times\left(100\sdot b\right)

ואם נרבה מאות עם מאות יהיה העולה עשרות מאלפים

$\scriptstyle200\times200$

כגון ר' פעמים ר‫'‫^[49]

\scriptstyle{\color{blue}{200\times200=\left(2\sdot2\right)\sdot10000=4\sdot10000=40000}}

דמיונם הם^[50] ב' פעמים ב'^[51] שהם ד' והם^[52] ד' עשרות מאלפים^[53]

$\scriptstyle500\times500$

וכן ת"ק פעמים ת"ק

\scriptstyle{\color{blue}{500\times500=\left(5\sdot5\right)\sdot10000=25\sdot10000=250000}}

דמיונם ה' פעמים ה'^[54] שהם כ"ה והם^[55] כ"ה עשרות מאלפים וכן כלם

The Decimal Ranks

מדרגות המספרים זו למעלה מזו

Units

האחדים הם במדרגה הראשונה

Tens

העשרות הם במדרגה השנית

Hundreds

המאות הם במדרגה השלישית

Thousands

האלפים הם במדרגה הרביעית

Tens of Thousands

העשרות מהאלפים הם במדרגה החמישית

Hundreds of Thousands

המאות מהאלפים הם במדרגה השישית

וכן עולים ממדרגה למדרגה

$\scriptstyle600\times4000$

ואם נרצה לרבות^[56] ת"ר^[57] בד' אלפים

\scriptstyle{\color{blue}{600\times4000=\left(6\sdot4\right)\sdot100000=24\sdot100000}}

דמיונם ו'פ'ד' שהם^[58] כ"ד

$\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)\times\left(b\sdot10^m\right)=\left(a\sdot b\right)\sdot\left(10^n\sdot10^m\right)$

The rank of the product 24 - three ranks from the rank of thousands

ואם תרצה לדעת אלו הכ"ד מה יורו קח מעלת המאות שהוא שלשה ומנה מן האלפים ג' מעלות והמעלה שתגיע אליה היא מעלת כ"ד ששמרת^[59] והיא מעלת מאות האלפים‫^[60]

The rank of the product 24 - four ranks from the rank of hundreds

וכן אם אתה מונה מעלת האלפים והוא ד' ממעלת המאות אתה מגיע גם כן^[61] אל מעלת מאות האלפים ותדע מכאן כי האחדים מהמספר אשר שמרת והוא כ"ד הוא ממעלת מאות האלפים ועשרותיו הם ממעלת אלפי האלפים^[62] יהיו אם כן^[63] כ"ד אשר שמרת ב' אלפי אלפים ות' אלף כי אחדיו הם ארבעה ועשרותיו הם ב‫'

The rank of the product = the sum of the number of ranks of both multiplicands minus 1

דרך אחרת תחשוב אישי [פי' אחדי'] ב' המעלות ותדע מספרם ותפחות מהם א'^[64] והנשאר יהיה מעלת הנכלל

The rank of the product 600×4000 is the sum of the rank of hundreds and the rank of thousands minus 1→ (3+4)-1

כאלו תקח במשל הזה אוש המאות והוא ג' ואוש האלפים והוא ד' יהיו ז' ותפחות מהם א' וישארו ו' וזה המספר הוא אוש מאות האלפים

Three Types of Numbers

המספרים הם ג‫'

Perfect number

מספר שלם

Abundant number

מספר עודף

Deficient number

מספר חסר

Perfect number = completed by its fractions [= equal to the sum of its divisors]

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)=6}}

מספר שלם הוא כמו מספר ו' אשר חלקיו המונים אותו ממלאים אותו ואינם עודפים עליו ואינם^[65] חסרים ממנו כי חלקיו הם חצי ושתות ושליש ואם תקבצם יהיו ששה כמוהו

וכן מספר כ"ח חלקיו הם חלק מכ"ח וחלק מי"ד ושביע ורביע וחצי ואם תקבצם יהיו כ"ח כמוהו

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{28}\sdot28\right)+\left(\frac{1}{14}\sdot28\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot28\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot28\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)=28}}

Abundant number

ומספר עודף הוא י"ב שחלקיו הם חלק מי"ב ושתות ושליש ורביע וחצי ואם תקבצם יהיו כלם י"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{12}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=16>12}}

Deficient number

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{14}\sdot14\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot14\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)=10<12}}

ומספר חסר כגון מספר י"ד שחלקיו הם חלק מי"ד וחציו ושביעו ואם תקבצם יהיו כלם עשר

The Ten Numerals

וחכמי הודו עשו צורות אותיותם כמו אלו

^[66]10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Finding the Square Numbers

הסדר למצא המספרים המרובעים

\scriptstyle n^2+\left(2n+1\right)=\left(n+1\right)^2

הוא שתקבץ המרובע הראשון עם המספר הנפרד הבא אחריו ותמצא המרובע השני

$\scriptstyle{\color{blue}{1^2+3=4=2^2}}$

כמו אם תקבץ האחד שהוא המרובע הראשון עם הג' שהוא ראש^[67] הנפרדים^[68] תמצא ד' שהוא המרובע השני אשר צלעו ב‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{2^2+5=4+5=9=3^2}}$

ואם תקבץ ד' שהוא המרובע השני עם ה' שהוא הנפרד השני יהיו ט' והוא המרובע השלישי אשר צלעו ג‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{3^2+7=9+7=16=4^2}}$

ואם אתה מוסיף על ט' שהוא המרובע השלישי המספר הנפרד השלישי שהוא^[69] ז' תמצא י"ו שהוא המרובע הרביעי אשר צלעו ד‫'

ועל זה הסדר תמצאם כלם

Cubic Numbers

Cubic number = anything whose length, breadth, and depth are equal

כל דבר שארכו ורחבו ועמקו שוים יקרא מעוקב

$\scriptstyle{\color{blue}{1^3=1}}$

והנה א' הוא המעוקב הראשון והוא מקום שארכו א' ורחבו א' וגבהו א' ועמקו א‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{2^3=8}}$

וח' הוא המעקב השני היוצא ממקום שארכו ורחבו ועמקו ב‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{3^3=27}}$

וכ"ז הוא המעוקב השלישי היוצא ממקום שארכו ורחבו ועמקו ג‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{4^3=64}}$

וס"ד הוא המעקב הרביעי היוצא ממקום שארכו ורחבו ועמקו ד‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{5^3=125}}$

וקכ"ה הוא המעוקב החמשי היוצא ממקום שארכו ורחבו ועמקו ועמקו ה‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{6^3=216}}$

ורי"ו הוא המעוקב הששי היוצא ממקום שארכו ורחבו ועמקו ו‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{7^3=343}}$

ושמ"ג הוא המעקב השבעי היוצא ממקום שארכו ורחבו ועמקו ז‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{8^3=512}}$

ותקי"ב הוא המעוקב השמני היוצא ממקום שארכו ורחבו ועמקו ח‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{9^3=729}}$

ותשכ"ט הוא המעוקב התשעי היוצא ממקום שארכו ורחבו ועמקו ט‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{10^3=1000}}$

ואלף הוא המעוקב העשרי היוצא ממקום שארכו ורחבו ועמקו י‫'

\scriptstyle\left(2n\right)^3=8\sdot n^3

והנך רואה כי כל מעוקב [זוג] יהיה ח' פעמי' מהמספר הראשון

כי כל מעקב א' הוא א‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{2^3=\left(2\sdot1\right)^3=8=8\sdot1^3}}$

ומעקב ב' שהוא כפל א' הוא ח‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{4^3=\left(2\sdot2\right)^3=64=8\sdot2^3}}$

ומעקב ד' שהוא כפל ב' הוא ס"ד שהוא ח' פ' במעקב ב‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{6^3=8\sdot3^3}}$

וכן מעקב ו' הוא ח' פ' במעקב ג' וכן לעולם

Word Problem - Payment Problem

If someone says: dig me a hole 2 in length, 2 in breadth, 2 in depth, the payment should be 40 liṭra

\scriptstyle{\color{blue}{2^3\sdot5=8\sdot5=40}}

ולכן מי שיאמר חפור לי בור שיהיה ב' ארכו ב' רחבו ב' עמקו יהיה שכרו מ' ליט' שהוא ח' פעמי' ה' ליט'

כי כל מעקב כשיכפול יהיה ח' פעמים מהמספר הראשון

Primary Definitions

Unity - the issue by which every one of the beings in the world is called one

האחדות הוא הענין אשר בו קוראים לכל אחד מהנמצאי' בעולם אחד

Number - multitude summed from units

המספר הוא הרבוי הנקבץ מן האחדים

Number counted by another number - the product of the counted number multiplied a number of times that equals to the number of the units contained in the other number by which it is counted

המספר המנוי במספר אחר הוא מספר הנקבץ מכפל המספר המנוי פעמי' אשר מניינם כמניין האחדים אשר במספר השני אשר הוא נמנה בו

Square number - the product of a number by the number of the units contained in that number itself

המספר המרובע הוא המספר הנקבץ מכפל מספר במספר אחדיו הנמצאי' בו באותו המספר עצמו

Root of the square number - the original number

המספר הראשון הוא גדר המרובע

$\scriptstyle{\color{blue}{9=3^2}}$

כגון מספר תשעה נקרא מרובע מפני שהוא נקבץ מכפל השלשה שלשה פעמי‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{3=\sqrt{9}}}$

ומספר השלשה נקרא גדר המרובע

Cubic number - equilateral body whose length, breadth and depth are equal - the product of a square number by its root

והמספר מעקב הוא הגוף השוה שארכו ורחבו ועמקו שוים והמספר הזה הוא המספר הנקבץ מכפל מספר המרובע כמנין גדרו

$\scriptstyle{\color{blue}{27=9\sdot3=3^2\sdot3}}$

כגון מספר ט' שהוא 9 מרובע אם אתה כופל אותו במניין ג' שהוא גדרו יהיה הנקבץ מזה כ"ז והמספר הזה הוא הנקרא מספר מעוקב

Relating a number to another number, or a shape to another shape - ?

הקשת מניין אל מניין או תמונה לתמונה או ערך אחר כן השני

Multiplication

Units and tens by units and tens

דרך רבוי ב' אותיות כנגד ב' אותיות

כשנרצה^[70] לרבות ב' אותיות כנגד ב' אותיות

Requires three products - units by units, units by tens, tens by tens

נרבה אותם ג' פעמי' זה אחר זה

בראשונה נרבה האחדים עם האחדים
ואחרי כן^[71] נרבה האחדים עם העשרות
ואחרי כן^[72] נרבה העשרות עם העשרות

והנה דמיון הריבוי הקודם והמתאחר

$\scriptstyle22\times22$

וביאור זה רצינו לרבות כ"ב פעמים כ"ב

	2	2	4
2 2			4
	4	4
4 4
4	8	4

4 8 4
	2	2
	2	2

נרבה בתחלה האחדים זה עם זה ונאמר ב' פעמים ב' הם ד' ונכתוב ד' למעלה מן האחדים מצד ימין

אחרי כן נרבה האחדים עם העשרות ונאמר ב' פעמי' ד' וב' פעמים ד' הרי ח' ונכתוב ח‫'
אחרי כן נרבה העשרות זו עם זו ונאמר ב' פעמים ב' ד' ונכתוב ד‫'
יצא לנו כי כ"ב פעמים כ"ב הם תפ"ד

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times2}}={\color{blue}{4}}}$	4	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\times2\right)+ \left(2\times2\right)}}={\color{blue}{8}}}$	84	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times2}}={\color{blue}{4}}}$	484
22		22		22		22
22		22		22		22

$\scriptstyle44\times44$

וכן אם רצינו לרבות מ"ד פעמים מ"ד

1 9 3 6
	4	4
	4	4

נרבה האחדים זה עם זה בתחילה ונאמר ד' פעמים ד' הם י"ו ונכתוב י' ונחזיק בידינו העשרות שהוא א‫'

אחר כן נרבה האחדים עם העשרות ונאמר ד' פעמי' ד' י"ו וד' פעמים ד' י"ו הרי ל"ב וצרף עמהם הא' שהחזקת בידך הרי ל"ג ונכתוב ג' ונחזיק בידינו ג‫'
אחרי כן נרבה העשרות עם העשרות נאמר ד' פעמים ד' י"ו ועם הג' שהחזקנו בידינו הרי י"ט ונכתוב י"ט
היוצא מזה כי מ"ד פעמים מ"ד הם אלף ות"תקל"ו

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4\times4}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}}$	6	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left[\left(4\times4\right)+\left(4\times4\right)\right]+{\color{green}{1}}}}={\color{green}{3}}{\color{blue}{3}}}$	36	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times4\right)+{\color{green}{3}}}}={\color{blue}{19}}}$	1936
24		44		44		44
24		44		44		44

$\scriptstyle44\times44$

וכן אם רצינו לרבות כף פעמים כף

	2	0
2 0
	0	0
4 0
4	0	0

4 0 0
	2	0
	2	0

נאמר ציפרא פעם ציפרא ציפרא ונכתבנה

אחר כך נאמר ציפרא פעמים פעם ב' וב' פעמים ציפרא ציפרא ונכתבנה
ואחר כך נאמ' ב' פעמים ב' הם ד' ונכתבם
יצא לנו כי כ פעמים כ הם ארבע מאות

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times0}}={\color{blue}{0}}}$	0	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\times0\right)+ \left(2\times0\right)}}={\color{blue}{0}}}$	00	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times2}}={\color{blue}{4}}}$	400
20		20		20		20
20		20		20		20

Units by units and tens

ואם רצינו לרבות אות אחד שנגד ב אותיות

$\scriptstyle7\times45$

כגון שרצינו לדעת ז' פעמים מ"ה כמו שתראה בצורה

	0	7
4 5
3	1	5

3 1 5
	0	7
	4	5

Writing a zero in the missing rank of tens and proceeding as in the case of units and tens by units and tens

נרבה אותם עם הציפרא כדי שיהיה ב' אותיות כנגד ב' אותיות ויעשה אותם בנקל

ונאמר ה' פעמי' ז' ל"ה ונכתוב האחדים שהם ה' ונחזיק בידינו העשרות שהם ג‫'

אחר כך נאמר ציפרא פע' ה' ציפרא וד' פעמים ז' כ"ח וצרף עמהם הג' שהחזקנו בידינו יהיו ל"א ונכתוב ל"א כי מעתה לא נשאר לנו לרבות דבר אחר
כי ציפרא פעם ד' שנשאר לנו לרבות הוא ציפרא ואינם עולים לכלום
יצא לנו כי ז' פעמים מ"ה הם שט"ו

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\times7}}={\color{green}{3}}{\color{blue}{5}}}$	5	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left[\left(5\times0\right)+\left(4\times7\right)\right]+{\color{green}{3}}}}={\color{green}{3}}{\color{blue}{1}}}$	15	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times0\right)+{\color{green}{3}}}}={\color{blue}{3}}}$	315
07		07		07		07
45		45		45		45

Check

ואם נרצה לבחון אם החשבון שיצא לנו הוא אמתי

Summing the numerals of each multiplicand as units, multiplying the sums by each other, then casting out the product by nines

$\scriptstyle22\times22$

נעשה על זה הדרך בזה החשבון שהוא כ"ב פעמים כ"ב

4 8 4				7
	2	2	4	7
	2	2	4	7

נקבץ הב' אותיות העליונות ונאמר ב' וב' הם ד' ונכתוב אותם אצל שתי האותיות התחתונות

אחרי כן נרבה אלו שתי האותיות שכתבנו זו עם זו ונאמר ד' פעמי' י"ו נשליך מהם הט' ישארו ז' ונכתוב ז' בתוך שתי האותיות הנזכרות
וכמו שנשארו בידינו כן צריך שישארו בידינו ז' מן ת'פ'ד' שעולה החשבון אחר שנשליך מהם הט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle2+2=4\\\scriptstyle2+2=4\end{cases}\longrightarrow 4\times4=16\longrightarrow16\equiv_97}}

\scriptstyle{\color{blue}{4+8+4=16\longrightarrow16\equiv_97}}

והנה אם נקבץ ד' וח' וד' שהם האותיות המורות ת'פ'ד' יהיו י"ו

ואם נשליך מהם הט' ישארו ז' והוא חשבון אמתי

$\scriptstyle44\times44$

וכן בחשבון השני שעשינו שהם מ"ד פעמים מ"ד

1 9 3 6				1
	4	4	8	1
	4	4	8	1

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle4+4=8\\\scriptstyle4+4=8\end{cases}\longrightarrow 8\times8=64\longrightarrow64\equiv_91}}

נקבץ ‫^[73]האותיות העליונות ונאמר ד' וד' הם ח' ונכתבם

ונרבה אותם זו עם זו ונאמר ח' פע' ח' הם ס"ד השליכם מהם ט' ט' ישאר מהם א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{1+9+3+6\longrightarrow19\equiv_91}}

וכן צריך להשאר מאלף ת"תק'ל'ו' שסימנם הוא א' וט' וג' וו‫'

ואם תקבצם יהיו י"ט ותשליך אותם ט'ט' יהיה הנשאר א‫'

Units, tens, and hundreds by units, tens, and hundreds

ואם נרצה לרבות ג' אותיות כנגד ג' אותיות

$\scriptstyle222\times222$

כגון שרצינו לדעת רכ"ב פעמים רכ"ב פעמים

Requires five products [= i.e. five phases of multiplication, five ranks in the final result of multiplication]

נרבה אותם ה' פעמים

(1) Units by units, (2) units by tens, (3) [units by hundreds + tens by tens], (4) tens by hundreds, (5) hundreds by hundreds

וזהו דרך ריבויים ונכתוב אותם ה' פעמים כדי שיתבאר למראית העין הרבוי הראשון והשני והשלישי והרביעי וחמשי

א	ב	ג	ד	ה
222	222	222	222	222
222	222	222	222	222

ואם נרצה לרבות רכ"ב פעמים רכ"ב

4 9 2 8 4
	2	2	2
	2	2	2

נתחיל לרבות האחדים ונאמר ב' פעמים ב' הם ד' ונכתבם

אחר זה נרבה האחדי' עם העשרות ונאמר ב' פעמי' ב' הם ד' וב' פעמים ב' הם ד' הרי ח' ונכתבם

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times2}}={\color{blue}{4}}}$	4	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\times2\right)+\left(2\times2\right)}}={\color{blue}{8}}}$	84
222		222		222
222		222		222

אחר זה נרבה שלשתם ביחד ונאמר ב' פעמים ב' ד' וב' פעמים ב' ד' הרי ח' וב'פ'ב' ד' הרי י"ב ונכתוב ב' ונחזיק בידינו א‫'

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\times2\right)+\left(2\times2\right)+\left(2\times2\right)}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}}$	284
	222
	222

אחר זה נרבה העשרות עם המאות ונאמר ב' פעמים ב' ד' וב' פעמי' ב' ד' הרי ח' וא' שהחזקנו בידינו הרי ט' ונכתבם

אחר זה נרבה המאות עם המאות ונאמר ב' פעמי' ב' ד' ונכתבם
יצא לנו כי רכ"ב פעמים רכ"ב הם מ"ט אלפים ורפ"ד

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\times2\right)+\left(2\times2\right)+{\color{green}{1}}}}={\color{blue}{9}}}$	9284	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times2}}={\color{blue}{4}}}$	49284
	222		222
	222		222

Check

ולבחון אם החשבון אמת

4 9 2 8 4
	2	2	2	6
	2	2	2	6

קבצנו רכ"ב העליונים שסימנם ב'ב'ב' ועלו ו' וכתבנום אצלם

רבינו ו' על ו' ועלו ל"ו השלכנו אותם ט'ט' ולא נשאר בידינו ונתננו ציפרא באמצעם

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle2+2+2=6\\\scriptstyle2+2+2=6\end{cases}\longrightarrow 6\times6=36\longrightarrow36\equiv_90}}

\scriptstyle{\color{blue}{4+9+2+8+4=27\longrightarrow27\equiv_90}}

וכן צריך להשאר הציפרא מן הסכום מן היוצא מן החשבון שהם מ"ט אלפים ורפ"ד אשר דמיונם הם ד' ט' ב' ח' ד' ועולה כ"ז

ואם תשליכם ט"ט ישאר ציפרא נמצא שהחשבון הוא אמת

Units and tens by units, tens, and hundreds

ואם רצינו לרבות ב' אותיות כנגד ג‫'

$\scriptstyle22\times222$

כגון שרצינו לומר ר'כ'ב' פעמים כ"ב כאשר תראה בצורה

4 8 8 4
	2	2	2
	0	2	2

Writing a zero in the missing rank of hundreds and proceeding as in the case of units, tens, and hundreds by units, tens, and hundreds

נשוה אותה עם הציפרא כדי שיהיו ג' אותיות כנגד ג' אותיות ויקל עשייתו

Units by units, tens, and hundreds

וכן אם רצינו לרבות אות אחת כנגד שלשה

Writing zeros in the missing ranks of tens and hundreds and proceeding as in the case of units, tens, and hundreds by units, tens, and hundreds

נשוה אותה עם הציפרא ג"כ

$\scriptstyle9\times222$

כגון שרצינו לדעת ט' פעמים ר'כ'ב' נכתוב אותם בזה הדרך כאשר תראה בצורה

	0	0	9
2 2 2
1	9	9	8

Units, tens, hundreds, and thousands by units, tens, hundreds, and thousands

אם נרצה לרבות ד' אותיות כנגד ד' אותיות

$\scriptstyle2222\times2222$

כגון שרצינו לרבות ב' אלפים ור'כ'ב' פעמי' ב' אלפים ור'כ'ב‫'

Requires seven products [= i.e. seven phases of multiplication, seven ranks in the final result of multiplication]

[(1) Units by units, (2) units by tens, (3) units by hundreds + tens by tens, (4) tens by hundreds + units by thousands, (5) hundreds by hundreds + tens by thousands, (6) hundreds by thousands, (7) thousands by thousands]

נרבה אותם ז' פעמים ונכתוב אותם ז' פעמי' כדי שיתבאר למעיין הקודם והמתאחר

א	ב	ג	ד	ה	ו	ז
2222	2222	2222	2222	2222	2222	2222
2222	2222	2222	2222	2222	2222	2222

ואם רצינו לרבות ב' אלפי' ור'כ'ב' עם ב' אלפי' ור'כ'ב‫'

4 9 3 7 2 8 4
	2	2	2	2
	2	2	2	2

נעשה כאשר עשינו בחשבונו' הקודמי‫'

ויעלה החשבון ד' אלפי אלפים ות'ת'ק'ל'ז' אלפי' ור'פ'ד‫'

Units, tens, hundreds, and thousands by units, tens, and hundreds

ואם רצינו לרבות ד' אותיות כנגד ג' אותיות

$\scriptstyle2222\times222$

כגון שרצינו לרבות ב' אלפים ור'כ'ב' כנגד ר'כ'ב‫'

Writing a zero in the missing rank of thousands and proceeding as in the case of units, tens, hundreds, and thousands by units, tens, hundreds, and thousands

נשוה אותם עם הציפרא כאשר תראה בצורה

4 9 3 2 8 4
	2	2	2	2
	0	2	2	2

ועולים ת'צ'ג' אלפים ור'פ'ד‫'

Units, tens, hundreds, and thousands by units and tens

וכן אם רצינו לרבות ב' אותיות כנגד ד‫'

$\scriptstyle2222\times22$

כגון שרצינו לרבות ב' אלפים ור'כ'ב' כנגד כ"ב

Writing zeros in the missing ranks of hundreds and thousands and proceeding as in the case of units, tens, hundreds, and thousands by units, tens, hundreds, and thousands

נשוה אותם עם הציפרא כאשר תראה בצורה

4 8 8 8 4
	2	2	2	2
	0	0	2	2

ועולים מ"ח אלפים ות'ת'פ'ד‫'

Units, tens, hundreds, and thousands by units

וכן אם רצינו לרבות אות אחד כנגד כנגד ד' אותיות

$\scriptstyle2\times2222$

כגון ב' עם ב' אלפים ור'כ'ב‫'

Writing zeros in the missing ranks of tens, hundreds and thousands and proceeding as in the case of units, tens, hundreds, and thousands by units, tens, hundreds, and thousands

נשוה אותם עם הציפרא כאשר תראה בצורה

4 4 4 4
2	2	2	2
0	0	0	2

ועולים ד' אלפים ות'מ'ד‫'

Units, tens, hundreds, thousands, and tens of thousands by units, tens, hundreds, thousands, and tens of thousands

אם נרצה לרבות ה' אותיות כנגד ה' אותיות

$\scriptstyle22222\times22222$

כגון שרצינו לדעת כ"ב אלפים ור'כ'ב' כ"ב אלפי' ור'כ'ב‫'

Requires nine products [= i.e. nine phases of multiplication, nine ranks in the final result of multiplication]

[(1) Units by units, (2) units by tens, (3) units by hundreds + tens by tens, (4) tens by hundreds + units by thousands, (5) hundreds by hundreds + tens by thousands + units by tens of thousands, (6) hundreds by thousands + tens by tens of thousands , (7) thousands by thousands + hundreds by tens of thousands, (8) thousands by tens of thousands, (9) tens of thousands by tens of thousands]

נרבה אותם ט' פעמים וזה דרך רבויים

ונכתוב אותם ט' פעמי' כדי שיתבאר למעיין הקודם הקודם והמתאחר

א	ב	ג	ד	ה	ו	ז	ח	ט
22222	22222	22222	22222	22222	22222	22222	22222	22222
22222	22222	22222	22222	22222	22222	22222	22222	22222

Units, tens, hundreds, thousands, tens of thousands, and hundreds of thousands by units, tens, hundreds, thousands, tens of thousands, and hundreds of thousands

ואם נרצה לרבות ו' אותיות כנגד ו' אותיות

Requires eleven products [= i.e. eleven phases of multiplication, eleven ranks in the final result of multiplication]

נרבה אותם י"א פעמי‫'

$\scriptstyle222222\times222222$

כגון שרצינו לרבות ר'כ'ב' אלפי' ור'כ'ב' ר'כ'ב' אלפים ור'כ'ב‫'

ונרבה אותם י"א פעמי' כדי שיתבאר למעיין הקודם והמתאחר

א	ב	ג	ד	ה	ו	ז	ח	ט	י	יא
222222	222222	222222	222222	222222	222222	222222	222222	222222	222222	222222
222222	222222	222222	222222	222222	222222	222222	222222	222222	222222	222222

Addition

דרך קיבוץ חשבונות נפרדים הנראים קונגרייג' או ריונרייי

Summing up different numbers into one sum

אם רצינו לקבץ חשבונות נפרדים ולהביאם לסכום אחד

Description of the procedure:

נעשה על זאת הדרך שנכתוב אותם על הסדר זה תחת זה האחדי' תחת האחדים והעשרות נכח העשרות המאות נכח המאות והאלפים נכח האלפים

The procedure starts from the rank of units

ונתחיל לקבץ האחדי' ולכותבם

If the sum is equal to units and tens

אם יעלו על עשר נכתוב האחדים ונחזיק בידינו העשרות

אחרי כן נקבץ המאות אחרי כן נקבץ האלפים כמו שתראה בצורה הזאת

$\scriptstyle12345+67891+23456+78912+34567$

‫^[74]דמיון זה רצינו לקבץ י"ב אלפים וש'מ'ה' וס"ז אלפי' ות'ת'צ'א' וכ"ג אלפים ת'נ'ו' וע"ח אלפים ות'ת'ק'י'ב' ול"ד אלפים ות'ק'ס'ז'

	1	2	3	4	5
	6	7	8	9	1
	2	3	4	5	6
	7	8	9	1	2
3 4 5 6 7
2	1	7	1	7	1

א	ב	ג	ד	ה
ו	ז	ח	ט	א
ב	ג	ד	ה	ו
ז	ח	ט	א	ב
ז ו ה ד ג
ב	א	ז	א	ז

units:

\scriptstyle{\color{blue}{5+1+6+2+7={\color{green}{2}}1}}

נתחיל לקבץ האחדים ונאמר ה' וא' וו' וב' וז' הם כ"א נכתוב א' ונחזי' בידינו ב‫'

tens:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+9+5+1+6\right)+{\color{green}{2}}=25+2={\color{green}{2}}7}}

נקבץ אחרי כן העשרות ונאמר ד' וט' וה' וא' וו' הם כ"ה וב' שהחזקנו בידינו הם כ"ז נכתו' ז' ונחזיק בידינו ב‫'

hundreds:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+8+4+9+5\right)+{\color{green}{2}}=29+2={\color{green}{3}}1}}

נקבץ אחרי כן המאות ונאמ' ג' וח' וד' וט' וה' הם כ"ט וב' שהחזקנו בידינו הרי ל"א נכתוב א' ונחזיק בידינו ג‫'

thousands:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+7+3+8+4\right)+{\color{green}{3}}=24+3={\color{green}{2}}7}}

נקבץ אחרי כן האלפים ונאמר ב' וז' וג' וח' וד' הם כ"ד וג' שהחזקנו בידינו הרי כ"ז ונכתוב ז' ונחזיק בידינו ב‫'

tens of thousands:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+6+2+7+3\right)+{\color{green}{2}}=19+2=21}}

נקבץ אחר זה העשרות מן האלפים ונאמר א' וו' וב' וז' וג' הם י"ט וב' שהחזקנו בידינו הרי כ"א נכתוב אותם כלם כי אין לנו לקבץ חשבון אחר

עלו כלם רי"ז אלפים וקע"א

If the numbers of ranks in the addends are not equal

ואם רצינו לקבץ חשבונות נפרדים שקצתם הם מג' אותיות וקצתם מד' וקצתם מב' וקצתם מיותר או פחות

Writing zeros in the missing ranks

נכתוב לעולם האחדים נוכח האחדי' והעשרות נוכח העשרות וכן כלם ונשוה אותם עם הציפרי כדי שיקל העניין

$\scriptstyle12345+06789+00123+45600+80912+03406$

דמיון זה רצינו לקבץ י"ב אלפים וש'מ'ה' וו' אלפים ות"שפ"ט וקכ"ג ומ"ה אלפים ות"ר ופ' אלפי' ות"תקי"ב וג' אלפים ות"ו

	1	2	3	4	5
	0	6	7	8	9
	0	0	1	2	3
	4	5	6	0	0
	8	0	9	1	2
0 3 4 0 6
1	4	9	1	7	5

א	ב	ג	ד	ה
‫0	ו	ז	ח	ט
‫0	0	ו	ב	ג
ח	ה	ו	0	0
ח	0	ט	א	ב
‫0	ג	ד	0	ו

units:

\scriptstyle{\color{blue}{5+9+3+2+6={\color{green}{2}}5}}

התחלנו לקבץ האחדים ואמרנו ה' וט' וג' וב' וו' הם כ"ה כתבנו כ"ה והחזקנו בידינו ב‫'

tens:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+8+2+1\right)+{\color{green}{2}}=15+2={\color{green}{1}}7}}

קבצנו אחר כן העשרות ואמרנו ד' וח' וב' וא' הם ט"ו ועם הב' שהחזקנו בידינו הם י"ז כתבנו ז' והחזקנו בידינו א‫'

hundreds:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+7+1+6+9+4\right)+{\color{green}{1}}=30+1={\color{green}{3}}1}}

קבצנו אחרי כן המאות ואמרנו ג' וז' וא' וו' וט' וד' הם ל' ועם הא' שהחזקנו בידינו הם ל"א כתבנו א' והחזקנו בידינו ג‫'

thousands:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+6+5+3\right)+{\color{green}{3}}=16+3={\color{green}{1}}9}}

קבצנו אחרי כן האלפים ואמרנו ב' וו' וה' וג' הם י"ו ועם הג' שהחזקנו בידינו הם י"ט כתבנו ט' והחזקנו בידינו א‫'

tens of thousands:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+4+8\right)+{\color{green}{1}}=13+1=14}}

קבצנו אחר זה העשרות מן האלפי' ואמרנו א' וד' וח' הם י"ג ועם א' שהחזקנו בידינו הם י"ד וכתבנו י"ד כי מעתה קבצנו הכל

ועולה סכומם קמ"ט אלפים וקע"ה

Subtraction

דרך הוצאת מספר ממספר הנק' סורטראיירי

Subtracting a number from a larger number - when each digit of the subtracted is larger than the corresponding digit of the subtrahend

אם רצינו לגרוע מספר ממספר אם המספר הגדול אשר אתה רוצה לגרוע ממנו מספר אחר כל חלקיו גדולי' מחלקי המספר הוא דרך נקל

$\scriptstyle987654-645232$

דמיון זה רצינו לגרוע מתת"קפ"ז אלפים ותרנ"ד ת"רמ"ה אלפים ורל"ב

9	8	7	6	5	4
6 4 5 2 3 2
3 4 2 4 2 2
9	8	7	6	5	4

The procedure starts from the rank of units

נעשה על זה הדרך נתחיל מן האחדים

units:

\scriptstyle{\color{blue}{4-2=2}}

ונאמר מד' הוצא ב' ישארו ב' ונכתוב ב' תחתיהם

tens:

\scriptstyle{\color{blue}{5-3=2}}

ומן ה' הוצא ג' ישארו ב' ותכתוב ב' תחתיהם

hundreds:

\scriptstyle{\color{blue}{6-2=4}}

ומן ו' הוצא ב' ישארו ד' ותכתוב ד' תחתיהם

thousands:

\scriptstyle{\color{blue}{7-5=2}}

ומן ז' תוצא ה' ישארו ב' ונכתוב ב' תחתיהם

tens of thousands:

\scriptstyle{\color{blue}{8-4=4}}

ומן ח' הוצא ד' ישארו ד' ונכתוב ד' תחתיהם

hundreds of thousands:

\scriptstyle{\color{blue}{9-6=3}}

ומן ט' הוצא ו' ישארו ג' ותכתוב ג' תחתיהם

הרי שאם נוציא מת"תק'פ'ז' אלפים ות"רנ"ד ת"רמ"ה אלפים ורל"ב ישארו ש'מ'ב' אלפים ות'כ'ב' וזהו דרך נקל

Check: addition

ואם תרצה לבחון אם החשבון שעשית הוא אמתי תקבץ המספרים שהוצאת עם המספרים שנשארו ואם יסכימו עם המספרים שהוצאת המספרים האחרי' ההם הוא אמתי

\scriptstyle645232+342422=987654

דמיון זה קבצנו ב' עם ב' והיו ד' וקבצנו ג' וב' והיו ה' וקבצנו ב' עם ד' והיו ו' וקבצנו ה' עם ב' והיו ז' וקבצנו ד' עם ד' והיו ח' וקבצנו ו' עם ג' והיו ט' והם מסכימים עם המספרים הגדולים אשר הוצאת ממספר הקטנים מהם וזה יורה כי החשבון הוא אמתי

Subtracting a number from a larger number - when some of the digits of the subtracted are smaller than the corresponding digits of the subtrahend

אמנם אם תרצה לגרוע מספר ממספר ויהיו קצת חלקי המספר הקטן שאתה רוצה לפחות מהמספר הגדול גדולים מקצת מספר חלקי המספר הגדול אתה צריך לעשות על דרך אחרת

$\scriptstyle93432-27654$

דמיון זה רצינו לגרוע מצ"ג אלפים ותל"ב כ"ז אלפים ות"רנ"ד

9	3	4	3	2
2 7 6 5 4
6 5 7 7 8
9	3	4	3	2

נתחיל מן האחדים ותאמר מב' תוציא ד' לא נוכל נפחות א' מן הג' שבצדה ונחבר אותה אל הב' ויהיו י"ב ונאמר מי"ב הוצא ד' ישארו ח' ונכתבם

ונחזור אל הג' שפחתנו ממנו א' וישארו ב' ונאמר מב' תוצא ה' לא נוכל נפחות א' מהד' אשר בצדה ונאמר מי"ב הוצא ה' ישארו ז' ונכתבם

93432	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{3-1}}={\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{green}{1}}{\color{red}{2-4}}={\color{blue}{8}}\\\end{align}}$	93432	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4-1}}={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{green}{12}}{\color{red}{-5}}={\color{blue}{7}}\\\end{align}}$	93432
27654		27654		27654
		8		78

ונחזור אל הד' שפחתנו ממנה א' ונשארו ג' ונאמר מג' הוצא ו' ולא נוכל נפחות א' מן הג' אשר בצדה ונאמר מי"ג הוצא ו' וישארו ז' ונכתבם

ונחזור אל הג' שפחתנו ממנו א' ונשארו ב' ונאמר מב' הוצא ז' לא נוכל נפחות א' מן הט' אשר בצדה ונאמר מי"ב הוצא ז' ישארו ה' ונכתבם
ונחזור אל הט' אשר פחתנו ממנה א' ונשארו ח' ונאמר מח' הוצא ב' ישארו ו' ונכתבנו
הרי שהוצאנו מצ"ג אלפים ותל"ב כ"ז אלפים ות"רנ"ד ונשארו ס"ה אלפים ות"שע"ח

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{3-1}}={\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{green}{13}}{\color{red}{-6}}={\color{blue}{7}}\\\end{align}}$	93432	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9-1}}={\color{green}{8}}\\&\scriptstyle{\color{green}{12}}{\color{red}{-7}}={\color{blue}{5}}\\\end{align}}$	93432	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{green}{8}}{\color{red}{-2}}={\color{blue}{6}}}$	93432
	27654		27654		27654
	778		5778		65778

Check: addition

והנה אם תקבץ מה שהוצאתו מהמספר הנזכר עם הנשאר יהיה כמספר הראשון

\scriptstyle27654+65778=93432

וזה שאם נקבץ ד' וח' יהיו י"ב ונכתוב ב' ונחזיק בידינו א‫'

ואם נקבץ ה' וז' יהיו י"ב ועם הא' שנשארה בידינו יהיו י"ג ונכתוב ג' ונחזיק א‫'
ואם נקבץ ו' וז' יהיו י"ג וא' שנשאר בידינו הרי י"ד ונכתוב ד' ונחזיק א‫'
ואם נקבץ ז' וה' יהיו י"ב וא' שנשאר בידינו הרי י"ג ונכתוב ג' ונחזיק א‫'
ואם נקבץ ב' וו' יהיו ח' וא' שנשאר בידינו הרי ט' ונכתבם
הרי שהמספר האחרון שוה עם הראשון דרך חילוק

Division

‫^[75]דרך חילוק מספר על מספר הנק' דיבי' או פארטיר‫'

dividing a larger number by a smaller number - when each digit of the dividend is larger than the divisor

אם נרצה לחלוק מספר גדול על מספר קטן אם כל חלקי המספר הגדול הם גדולי מהמספר שאתה רוצה לחלק אותם בו הוא דרך נקל

$\scriptstyle98756\div4$

דמיון זה רצינו לחלק צ"ח אלפים ות'ש'נ'ו' על ד‫'

9	8	7	5	6	4
2	4	6	8	9	4

ט	ח	ז	ה	ו
ב	ד	ו	ח	ט
				ד

נעשה בזה הדרך נתחיל מן המספר הגדול ונאמר נחלק ט' על ד' יהיו ב' ונכתבם וישאר בידינו א‫'

ואותו הא' נחבר עם הח' הסמוך לו ויהיו י"ח ונאמר נחלק י"ח על ד' יהיו ד' ונכתבם וישארו בידינו ב‫'

98756	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\div4}}={\color{blue}{2}}+{\color{green}{r1}}}$	98756	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{1}}8\div4}}={\color{blue}{4}}+{\color{green}{r2}}}$	98756
		2		24
4		4		4

ואלו הב' נחבר עם הז' הבא אחריו ויהיו כ"ז ונחלקם על ד' ויהיו ו' ונכתבם וישארו בידינו ג‫'

ואילו הג' נחבר עם הבא אחריו ויהיו ל"ה ונחלקם על ד' יהיו ח' ונכתבם וישארו בידינו ג‫'

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{2}}7\div4}}={\color{blue}{6}}+{\color{green}{r3}}}$	98756	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{3}}5\div4}}={\color{blue}{8}}+{\color{green}{r3}}}$	98756
	246		2468
	4		4

ואילו הג' נחבר עם ו' הבא אחריו ויהיו ל"ו ונחלקם על ד' ויהיו ט' ונכתבם

הרי שחלקנו צ"ח אלפים ות"שנ"ו על ד' ועלו כ"ד אלפי' ות"רפ"ט

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{3}}6\div4}}={\color{blue}{9}}}$	98756
	24689
	4

If there is a remainder - it is the numerator of a fraction, the denominator of which is the divisor

ואם היה נשאר בידינו באחרונה א' או ב' או ג' היו חלקי' מד' שחלקנו עליו החשבון

$\scriptstyle8976\div5$

וכן אלו רצינו לחלק החשבון ח' אלפים ותת"קע"ו על ה‫'

8	9	7	6		5
1	7	9	5	$\scriptstyle\frac{1}{5}$	5

נעשה על זה הדרך ונאמר חלק ח' על ה' יהיה א' ונכתבנו ישאר ג‫'

ואילו הג' נחבר עם הט' הבא אחריו ויהיו ל"ט נחלקם על ה' יהיו ז' ונכתבם וישארו ד‫'

8976	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8\div5}}={\color{blue}{1}}+{\color{green}{r3}}}$	8976	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{3}}9\div5}}={\color{blue}{7}}+{\color{green}{r4}}}$	8976
		1		17
5		5		5

ואלו הד' נחברם עם הז' הבא אחריו יהיו מ"ז נחלקם על ה' ויהיו ט' ונכתבם וישארו בידינו ב‫'

ואלו הב' נחברם עם ו' הבא אחריו ויהיו כ"ו נחלקם על ה' ויהיו ה' ונכתבם וישאר בידינו א' ונכתבנו על ה' אשר חלקנו עליו החשבון
ויהי היוצא מן החלוקה הנזכר' אלף ות"שצ"ה וא' חומש

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{4}}7\div5}}={\color{blue}{9}}+{\color{green}{r2}}}$	8976	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{2}}6\div5}}={\color{blue}{5+r1}}}$	8976
	179		1795
	5		5

dividing a larger number by a smaller number - when each digit of the dividend is smaller than the divisor

אמנם אילו רצינו לחלק מספר על מספר וחלקי המספר שאתה רוצה לחלק קטנים מהמספר שתרצה לחלקם בו אתה צריך לעשות על זה הדרך

$\scriptstyle12345\div9$

דמיון זה רצינו לחלק י"ב אלפי' ושמ"ה על ט‫'

1	2	3	4	5		9
	1	3	7	1	$\scriptstyle\frac{6}{9}$	9

ואמרנו חלק א' על ט' לא נוכל נחבר א' עם הב' הבא אחריו ויהיו י"ב חלקם על ט' יהיה א' ונכתבנו וישארו בידינו ג‫'

ונחברם עם הג' הבא אחריו ויהיו ל"ג חלקם בט' ויהיו ג' ונכתבם וישארו בידינו ו‫'

12345	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{12\div9}}={\color{blue}{1}}+{\color{green}{r3}}}$	12345	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{3}}3\div9}}={\color{blue}{3}}+{\color{green}{r6}}}$	12345
		1		13
9		9		9

ונחבר אלו הו' עם הד' הבא אחריו ויהיו ס"ד חלקם בט' ויהיו ז' ונכתבם וישאר בידינו א‫'

ונחבר אלו הא' עם הה' הבא אחריו יהיו ט"ו ונאמר חלק ט"ו בט' יהיו א' וישארו בידינו ו' ונכתוב אותם על הט' אשר בו חלקנו כל החשבון
והיוצא מזה הוא שאם נחלק י"ב אלפים וש'מ'ה' על ט' יהיה היוצא מן החלוקה אלפים וש'ע'א' וו' תשיעיות

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{6}}4\div9}}={\color{blue}{7}}+{\color{green}{r1}}}$	12345	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{1}}5\div9}}={\color{blue}{1+r6}}}$	12345
	137		1371
	9		9

Check: summing the numerals of the dividend as units and casting out the sum by nines, then summing the numerals of the result of division as units, multiplying the sum by the divisor and casting out the product by nines

ואם תרצה לבחון אם החשבון שעשינו הוא אמתי נעשה על זה הדרך

היינו שנקבץ המספרים המחולקים ונשליכם ט' ט' ומה שנשאר נחזיק בידינו
אחר כן נקבץ מה שעלה בידינו בחלוק ונשליכם ט' ט' ומה שעלה בידינו נרבה אותו עם המחלק
ומה שעלה בידינו מהרבוי נשליכם ט' ט‫'
ואם החשבון הוא אמתי יעלה בידינו כמו שעלה בידינו בקבצנו המספרים המחולקים

$\scriptstyle98756\div4$

וזה הדמיון נעשו בחשבון שכתבנו לעיל

9	8	7	5	6
2	4	6	8	9

8	4
2

\scriptstyle{\color{blue}{9+8+7+5+6=35\longrightarrow35\equiv_98}}

היינו בתחלה נקבץ המספרי' המחולקים ונאמ' ו' וה' ז' וח' וט' בין כלם ל"ה נשליכם ט' ט' ישארו ח' ונכת' ונכתבם אצל המספרי' המחולקים

\scriptstyle{\color{blue}{2+4+6+8+9=29\longrightarrow29\equiv_92\longrightarrow2\times4=8}}

אחר כן נקבץ מה שעלה בחלוק ונאמ' ט' וח' וו' וד' ב' בין כלם כ"ט נשליכם ט' ט' וישארו ב' ונכתבם אצל מה שעלה בחלוק

אחר כן נרבה אותו עם המחלק ונאמ' ב' פעמי' ד' ח' והנה עלה בידינו מה שעלה בקבצנו המספרי' המחולקים אם כן החשבון אמתי

Check - casting out by nines - if there is a remainder from the division procedure

ואם ישארו מן החלוק א' או ב' או ג' נעשה על זה הדרך

וזה שקבצנו אחר מה שעלה בחלוק והשלכנו אותם ט' ט' נקבצם עם מה שנשאר בידינו
ואם החשבון אמתי יעלה בידינו כמו שעלה בידינו בקבצנו המספרים המחולקים

$\scriptstyle8976\div5$

וזה הדמיון נעשו כחשבון השני שכתבנו למעלה

\scriptstyle{\color{blue}{8+9+7+6=30\longrightarrow30\equiv_93}}

היינו בתחלה נקבץ המספרי' המחולקים ונאמר ו' וז' וח' וט' בין כלם ל' נשליכם ט' ט' וישאר בידינו ג' ונכתבנו אצל המספרי' המחולקים

8	9	7	6
1	7	9	5

3

4

1

5

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+7+9+5=22&\scriptstyle\longrightarrow22\equiv_94\longrightarrow4\times5=20\\&\scriptstyle\longrightarrow20\equiv_92\longrightarrow2+1=3\\\end{align}}}

אחר כן נקבץ מה שעלה בידינו בחלוק ונאמר ה' וט' וז' וא' בין כלם כ"ב נשליכם ט' ט' וישאר בידינו ד' ונכתבנו אצל מה שעלה בחלוק

אחר כן נרבה אותו עם המחלק ונאמ' ד' פעמי' ה' הם כ' ונשליכם ט'ט' וישאר בידינו ב' ונחבר עם הב' הא' שעלה בידינו מן החלוק הכתוב על ה' ויהיו ג‫'
הנה שעלה בידינו כמו שעלה בידינו בקבצנו המספרים אם כך הוא החשבון אמתי

Another division method

דרך מספר על מספר בדרך אחרת

Dividing the dividend twice [by the divisors of the divisor]

‫^[76]אם נרצה לחלק מספר ידוע על מספר אחר ויקשה עלינו לחלקו על המספר ההוא נחלק אותו ב' פעמים ויעלה בידינו כאלו חלקנוהו פעם אחת על המספר ההוא

$\scriptstyle89765\div12$

דמיון זה רצינו לחלק פ"ט אלפים ות"שס"ה על י"ב

ח	ט	ז	ו	ה
	ז	ד	ח	0
			ח	ב

according to the first method of division:

והנה אם חלקנוה על י"ב בפעם אחת יעלה ז' אלפים ות"פ וה' חלקים מי"ב וזה סדר עשייתו

8	9	7	6	5		12
	7	4	8	0	$\scriptstyle\frac{5}{12}$	12

אמרנו חלק ח' על י"ב לא נוכל נחבר אל ח' הט' הבא אחריו יהיו פ"ט חלקם בי"ב יהיו ז' ונכתבם וישאר בידינו ה‫'

ונחבר אליה ז' הבא אחריו ויהיו נ"ז ונאמר חלק נ"ז על י"ב יהיו ד' ונכתבם וישארו בידינו ט‫'

89765	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{89\div12}}={\color{blue}{7}}+{\color{green}{r5}}}$	89765	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{5}}7\div12}}={\color{blue}{4}}+{\color{green}{r9}}}$	89765
		7		74
12		12		12

ונחבר אליהם ו' הבא אחריו יהיו צ"ו חלקים בי"ב יהיו ח' ונכתבם

ונאמר חלק ה' על יב לא נוכל ותכתוב ציפרא תחת הה' וה' תכתוב על י"ב יהיו ז' אלפים ותש"פ וה' חלקים מי"ב

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{9}}6\div12}}={\color{blue}{8}}}$	89765	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\div12}}={\color{blue}{r5}}}$	89765
	748		7480
	12		12

according to the second method of division:

\scriptstyle\left(89765\div3\right)\div4

ואם נרצה לחלק זה החשבון בעצמו בעניין אחר נחלק אותו על ג' פעם אחת והעולה נחלק אותו על ד' ויהיה נחלק לי"ב ג"כ ונכתוב זה החשבון שנית ונחלקנו על ג' בתחילה ואחר זה נחלקנו על ד‫'

8	9	7	6	5
2	9	9	2	1	$\scriptstyle\frac{2}{3}$
	7	4	8	0	$\scriptstyle\frac{1}{4}$

ונאמר ח' חלק אותו על ג' יהיו ב' ונכתבם וישארו ב‫'

ונחבר אותם עם הט' הבא אחריו ויהיו כ"ט חלקם בג' יהיו ט' ונכתבם וישארו ב‫'

89765	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8\div3}}={\color{blue}{2}}+{\color{green}{r2}}}$	89765	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{2}}9\div3}}={\color{blue}{9}}+{\color{green}{r2}}}$	89765
		2		29
3		3		3

ונחברם עם הז' הבא אחריו ויהיו כ"ז ונחלקם על ג' יהיו ט' ונכתבם

ונאמר אחר זה ו' חלק בג' יהיו ב' ונכתבם
ונאמר אחר זה ה' חלק בג' יהיו א' ונכתבנו וישארו ב' ונכתבם על הג' אשר בו חלקנו זה המספר

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{2}}7\div3}}={\color{blue}{9}}}$	89765	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6\div3}}={\color{blue}{2}}}$	89765	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\div3}}={\color{blue}{1}}+{\color{green}{r2}}}$	89765
	299		2992		29921 $\scriptstyle{\color{green}{\frac{2}{3}}}$
	3		3		3

אחר זה נחלק זה המספר שעלה בידינו מן החלוקה על ד' ונאמר חלק ב' בד' לא נוכל חבר ב' עם הט' הבא אחריו יהיו כ"ט חלקם בד' יהיו ז' ונכתבם וישאר בידינו א‫'

ונחבר א' עם הט' הבא אחריו יהיו י"ט חלקם בד' יהיו ד' ונכתבם וישארו בידינו ג‫'
ונחברם עם הב' הבא אחריו ויהיו ל"ב ונחלקם בד' יהיו ח' ונכתבם

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{29\div4}}={\color{blue}{7}}+{\color{green}{r1}}}$	89765	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{1}}9\div4}}={\color{blue}{4}}+{\color{green}{r3}}}$	89765	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{3}}2\div4}}={\color{blue}{8}}}$	89765
	29921 $\scriptstyle\frac{2}{3}$		29921 $\scriptstyle\frac{2}{3}$		29921 $\scriptstyle\frac{2}{3}$
	7		74		748
	4		4		4

ונחלק א' בד' ולא נוכל ונכתוב ציפרא תחת הא' והא' שלא נוכל לחלקה בד' נכתוב אותה על הד' אשר עליה נחלק החשבון

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\div4}}={\color{blue}{\frac{1}{4}}}}$	89765
	29921 $\scriptstyle\frac{2}{3}$
	7480 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$
	4

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\div4\right)+\frac{1}{4}=\frac{2+\left(3\sdot1\right)}{12}=\frac{2+3}{12}=\frac{5}{12}}}

הרי שחלקת החשבון בג' וד' והוא כאלו חלקתו בי"ב

ותרבה אחר זה הא' שעל הד' עם הג' ואמור א' פעם ג' ג' וב' שעל הג' הרי ה' והם ה' חלקים מי"ב
היוצא מדברינו שאם נחלקם בראשונ' על ג' והיוצא נחלק על ד' על הדרך שעשינו יעלה מן החלוקה ז' אלפי' ות"פ וה' חלקים מי"ב כאשר עלה בידינו בעת שחלקנוהו פעם אחת על י"ב וזה מבואר

Sums

‫^[77]דרך ידיעת המספרים המקובצים זה אחר זה על הסדר

If a person says: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 - how much are all worth?

\scriptstyle1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=\sum_{i=1}^{10} i

אם יאמר אדם א' וב' וג' וד' וה' וו' וז' וח' וטי' וי' כמה שוי בין כלם

You should understand if the last term is even as this number or similar to it.

יש לך להבין אם המספר האחרון הוא מספר זוג כמו זה מספר והדומה לו

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=\left(n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left(10+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=11\sdot5=55}}

תוסיף מספר אחד לעולם על הי' המספר האחרון ותרבה אותו על חצי המספר האחרו' ואמור החצי מי' הוא ה' ותרבה אותו על י"א ה' פעמי' י"א נ"ה וכן יהיו המספרים הנזכרי‫'

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i$

ואם הלך בשאלתו עד י"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{12} i=6\sdot13=78}}

אמור ו' פעמי' י"ג ע"ח יהיו

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{20} i$

ואם הלך בשאלתו עד כ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{20} i=10\sdot21}}

אמור י' פעמים כ"א וכן יהיו

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{100} i$

ואם הלך עד מאה

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{100} i=50\sdot101}}

אמור נ' פעמים ק"א וכן יהיו

ואתה תחשוב לעולם בזה הדרך כשיהיה מספר האחרון זוג

last term is odd: $\scriptstyle n=2m+1$

ואם יהיה מספר האחרון מספר נפרד

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=\left[\left(n+1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]\sdot n

תרבה הרוב מהמספר ההוא האחרון על כל המספר האחרון

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i$

כגון האומר הלכתי בחשבוני עד ז' כמה יהיו כלם

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} i=\left[\left(7+1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]\sdot7=4\sdot7=28}}

אמור הרוב מז' הם ד' תרבה אותם על ז' יהיו כ"ח וכן יהיו

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{9} i$

וכן אם הלך בשאלתו עד ט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{9} i=\left[\left(9+1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]\sdot9=5\sdot9=45}}

אמור הרוב מט' הוא ה' מנה אותם בט' יהיו מ"ה וכן יהיו

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{17} i$

ואם הלך עד י"ז

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{17} i=9\sdot17}}

תרבה ט' על י"ז וכן יהיו

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{19} i$

ואם הלך עד י"ט

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{19} i=10\sdot19}}

תרבה י' עם י"ט וכן יהיו

sum of evens

ואם יאמר קבצתי מספרים כלם זוגות על הסדר

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 2i=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)+1\right]

$\scriptstyle2+4+6+8+10+12=\sum_{i=1}^{6} 2i$

כמו ב' וד' וו' וח' וי' וי"ב כמה יהיה בין כלם

תרבה החצי מן המספר האחרון על המספר אשר אחרי החצי ההוא ואמור החצי מי"ב הוא ו' והמספר שהוא אחר ו' הוא ז' ו' פעמים ז' הם מ"ב וכן יהיו

\scriptstyle{\color{blue}{2+4+6+8+10+12=\sum_{i=1}^{6} 2i=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+1\right]=6\sdot\left(6+1\right)=6\sdot7=42}}

$\scriptstyle2+\ldots+20=\sum_{i=1}^{10} 2i$

ואם אומר הלכתי עד עשרי‫'

אמור החצי מעשרי' הוא י' והמספר שאחר י' הוא י"א י' פעמים הם ק"י וכן יהיו

\scriptstyle{\color{blue}{2+\ldots+20=\sum_{i=1}^{10} 2i=\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)+1\right]=10\sdot\left(10+1\right)=10\sdot11=110}}

ועל זה הדרך תחשוב לעולם

sum of odds

ואם יאמר קבצתי מספרים כלם נפרדי' על הסדר

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=\left[\left[\left(2n-1\right)+1\right]\sdot\frac{1}{2}\right]^2

$\scriptstyle1+3+5+7+9=\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)$

כגון א' וג' וה' וז' וט' כמה הם בין כלם

קח הרוב מהמספר האחרון ותרבה הרוב בעצמו ואמור הרוב מט' הוא ה' וה' פעמים ה' הוא כ"ה וכן יהיו כלם

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7+9=\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)=\left[\left(9+1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]^2=5^2=25}}

$\scriptstyle1+\ldots+11=\sum_{i=1}^{6} \left(2i-1\right)$

ואם הלך בשאלתו עד י"א

\scriptstyle{\color{blue}{1+\ldots+11=\sum_{i=1}^{6} \left(2i-1\right)=\left[\left(11+1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]^2=6^2}}

אמור ו' פעמי' ו' וכן יהיו

$\scriptstyle1+\ldots+13=\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)$

ואם הלך עד י"ג

\scriptstyle{\color{blue}{1+\ldots+13=\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)=\left[\left(13+1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]^2=7^2}}

אמור ז' פעמי' ז' וכן יהיו

ועל זה הדרך תחשוב לעולם

sum of even-times-even:

\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} 2^i

ואם יאמר אדם קבצתי מספרים כפולי' זה על זה

$\scriptstyle1+2+4+8+16+32=\sum_{i=1}^{6} 2^{i-1}$

כגון א' וב' וד' וח' וי"ו ול"ב

\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} 2^i=\left(2\sdot2^n\right)-2^m

בכל מקום שירצה להתחיל יתחיל ובכל חשבון שיחפוץ לסיים יסיים כפול המספר האחרון וחסר המספר הראשון

$\scriptstyle1+\ldots+32=\sum_{i=1}^{6} 2^{i-1}$

דמיון זה האומר קבצתי מספרים כפולי' מא' ועד ל"ב כמה הם

\scriptstyle{\color{blue}{1+\ldots+32=\sum_{i=1}^{6} 2^{i-1}=\left(2\sdot32\right)-1=64-1=63}}

ואתה כפול ל"ב שהוא המספר האחרון ויהיו ס"ד וחסר המספר הראשון שהוא א' וישארו ס"ג וכן יהיו

$\scriptstyle1+\ldots+64=\sum_{i=1}^{7} 2^{i-1}$

ואם יאמ' התחלתי מא' וכפלתי עד ס"ד כמה יהיו

\scriptstyle{\color{blue}{1+\ldots+64=\sum_{i=1}^{7} 2^{i-1}=\left(2\sdot64\right)-1=128-1=127}}

כפול ס"ד יהיו קכ"ח חסר אחת יהיו קכ"ז

$\scriptstyle1+\ldots+128=\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}$

ואם יאמר התחלתי מאחד וכפלתי עד קכ"ח כמה יהיו

כפול קכ"ח יהיו רנ"ו חסר א' יהיו רנ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{1+\ldots+128=\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}=\left(2\sdot128\right)-1=256-1=255}}

$\scriptstyle4+\ldots+32=\sum_{i=3}^{6} 2^{i-1}$

ואם יאמר התחלתי מד' וכפלתי עד ל"ב כמה יהיו

\scriptstyle{\color{blue}{4+\ldots+32=\sum_{i=3}^{6} 2^{i-1}=\left(2\sdot32\right)-4=64-4=60}}

כפול ל"ב יהיו ס"ד חסר ד' יהיו ס‫'

והחשבון המסור לזה לכפול האחרון ולחסר הראשון

sum of powers of three:

\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} 3^i

ואם ישאל אדם על מספרים משולשים זה על זה

$\scriptstyle1+3+9+27=\sum_{i=1}^{4} 3^{i-1}$

כגון א' ג' ט' כ"ז

\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} 3^i=\left(3^n-3^m\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(3^n-3^m\right)\right]+3^m

יוסיף על האחרון כ"ז חציו אחר גרעון הראשון שהתחיל בו ועוד יוסיף הראשון עמו דהיינו שיגרע מכ"ז שהוא המספר האחרון המספר הראשון שהוא א' ישארו כ"ו יאמר כ"ו וחציו שהוא י"ג הם ל"ט וא' שהוא החשבון הראשון הרי מ' וכן הם א'ג'ט' כ"ז

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+3+9+27&\scriptstyle=\sum_{i=1}^{4} 3^{i-1}=\left(27-1\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(27-1\right)\right]+1\\&\scriptstyle=26+\left(\frac{1}{2}\sdot26\right)+1=26+13+1=39+1=40\\\end{align}}}

sum of powers of four:

\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} 4^i

ואם ישאל על מספרי מרובעים

$\scriptstyle1+4+16=\sum_{i=1}^{3} 4^{i-1}$

כגון א' ד' י"ו

\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} 4^i=\left(4^n-4^m\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(4^n-4^m\right)\right]+4^m

יוסיף על האחרון שליש אחר גרעון הראשון ועוד יוסיף הראשון עמו

דמיון זה א' ד' י"ו הם כ"א המספר האחרון הוא י"ו חסר המספר הראשון שהוא א' ישארו ט"ו הוסף על ט"ו שלישו שהוא ה' יהיו כ' הוסף עליהם המספר יהיו כ"א

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+4+16&\scriptstyle=\sum_{i=1}^{3} 4^{i-1}=\left(16-1\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(16-1\right)\right]+1\\&\scriptstyle=15+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)+1=15+5+1=20+1=21\\\end{align}}}

The Rule:

\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} a^i=\left(a^n-a^m\right)+\left[\frac{1}{a-1}\sdot\left(a^n-a^m\right)\right]+a^m

\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} 3^i=\left(a^n-a^m\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a^n-a^m\right)\right]+a^m

\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} 4^i=\left(a^n-a^m\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a^n-a^m\right)\right]+a^m

\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} 5^i=\left(a^n-a^m\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a^n-a^m\right)\right]+a^m

\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} 6^i=\left(a^n-a^m\right)+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a^n-a^m\right)\right]+a^m

וכן לעולם והכלל המסור לזה

למשולש יוסיף החצי
ולמרובע יוסיף השלישי
ולמחומש יוסיף הרביע
ולמשושה יוסיף החומש
ועל הדרך הזה יעשה לעולם

Motion Problems - Pursuit

A man is walking ten miles a day.

Another man is walking one mile on the first day, two miles on the second day, three miles on the third day, four miles on the fourth day, and so on he goes on walking in each day [one mile more].

In how many days will [the total distance each of them walked] be equal?

\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x i

אם יאמר אדם אחד הולך בכל יום ויום י' מילי‫'

ואדם אחר הולך ביום אחד א' מיל וביום ב' ב' מילי' וביום ג' ג' מילים וביום ד' ד' מילי' וכן מוסיף והולך בכל יום ויום
כמה ימים יעמדו בשוה

\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(2\sdot10\right)-1=20-1=19}}

days

אתה כפול הי' מילי' שמהלך אותו שמהלך בכל יום ויום י' מילין ויהיו כ‫'

תפחות מהם א' ישארו י"ט
נמצא שבי"ט יעמדו בשוה

Check:

the one who walks 10 miles a day walks in 19 days:

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot19=190}}

miles

שצד אותו שמהלך בכל יום י' מילי' בי"ט ימים יהלך ק"צ מילי' כמנין י' על י"ט שהם ק"צ

the one who adds another mile each day walks in 19 days:

\scriptstyle{\color{blue}{1+\ldots+19=\left[\left(19+1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]\sdot19=10\sdot19=190}}

miles

ואותו שמוסיף בכל יום מיל אחד בי"ט ימים יהלך ג"כ ק"צ מילין

כיצד תפוש הרוב מי"ט והם י' ותכפול אותו על י"ט ויהיו ק"צ

2×(the number of miles a day of the one who walks in a constant [velocity]) - 1 = number of days within which they walk the same [distance]

\scriptstyle ax=\sum_{i=1}^x i\longrightarrow x=2a-1

וכן לעולם תכפול המילי' שמהלך המילי' שמהלך הקבוע ותפחות מהם אחד וכמספרם יהיו הימים שיעמדו בשוה

A man is walking ten miles a day.

Another man is walking two miles on the first day, four [miles] on the second day, six [miles] on the third day, eight [miles] on the fourth day, and so on he adds two [miles more each day].

In how many days will [the total distance each of them walked] be equal?

\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x 2i

ואם יאמר אדם אחד הולך בכל יום י' מילי‫'

ואדם אחר הולך ביום אחד ב' מילין וביום שני ד' וביום שלישי ו' וביום רביעי ח' וכן לעולם הוא מוסיף ב' והולך על הסדר
בכמה ימים יעמדו בשוה

\scriptstyle{\color{blue}{x=10-1=9}}

אתה תפחות אחת מן המילין שמהלך הקבוע בכל יום ישאירו ט‫'

נמצא שבט' ימים יעמדו בשוה

Check:

the one who walks 10 miles a day walks in 9 days:

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot9=90}}

miles

כיצד אותו שמהלך בכל יום י' מילין בט' ימים מהלך צ' מילי‫'

the one who walks an increasing even number of miles each day walks in 9 days: miles

ואותו שמהלך זוגות ר"ל ב' וד' וו' וח' וי' וי"ב וי"ד וי"ו וי"ח

אמור החצי מי"ח הם ט‫'
תרבה אותם עם י' שהוא החשבון הבא אחר ט' יהיו צ‫'
נמצא שבט' ימים יעמדו בשוה

\scriptstyle{\color{blue}{2+4+6+8+10+12+14+16+18=\left(18\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot\left(9+1\right)=9\sdot10=90}}

(the number of miles a day of the one who walks in a constant [velocity]) - 1 = number of days within which they walk the same [distance]

\scriptstyle ax=\sum_{i=1}^x 2i\longrightarrow x=a-1

וכן לעולם תפחות מן המיל' שמהלך הקבוע וכמספרם יהיו הימים יעמדו בשוה

A man is walking ten miles a day.

Another man is walking one mile on the first day, three miles on the second day, five miles on the third day, seven miles on the fourth day, and so on he goes on walking [in each day] an odd number of miles

\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x \left(2i-1\right)

ואם יאמר אדם אחד הולך בכל יום י' מילי‫'

ואדם אחר הולך בכל ביום אחד א' מיל וביום ב' ג' מילי' וביום ג' ה' מילי' וביום ד' ז' מילי' וכן מוסיף והולך לעולם החשבונות נפרדים

the number of miles a day of the one who walks in a constant [velocity] = number of days within which they walk the same [distance]

\scriptstyle ax=\sum_{i=1}^x \left(2i-1\right)\longrightarrow x=a

דע כי כמספר המילין מהלך הקבוע בכל יום כן מספר הימים שיעמדו בשוה

\scriptstyle{\color{blue}{x=10}}

days

דהיינו בי' ימים

Check:

the one who walks 10 miles a day walks in 10 days:

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot10=100}}

miles

כי אותו שמהלך בכל יום י' מילי' ‫^[78]מהלך בי' ימי' ק' מילי‫'

the one who walks an increasing odd number of miles each day walks in 10 days:

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+\ldots+19=\left[\left(19+1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]^2=10^2=100}}

miles

ואותו שמהלך ביום אחד א' מיל וביום שני ג' מילי' ומוסיף והולך על הדרך הזה

ביום העשירי מהלך י"ט מילי‫'
והרוב מי"ט הוא י‫'
ואם תרבה י' בעצמם הוא ק‫'

ועל זה הדרך תעשה לכל חשבון שתרצה

Word Problems - The Rule of Three	ריגולא כללית והיא מבחר כל הריגולא שבעולם
Pricing Problems
Find the Price
3 eggs are worth 4 pešiṭim. How many pešiṭim are 5 eggs worth at this price? $\scriptstyle\frac{4}{3}=\frac{X}{5}$	אם יאמ' אדם ג' ביצות שוי ד' פשיטים ה' ביצות לזה החשבון כמה פשיטים עולי‫'
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{3:4=5:X}}$	עשה על זה הדרך שתחזיר החשבון לאחורנית הוא שואל אם ג' שוה ד' ה' כמה שוה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot4}{3}=6+\frac{2}{3}}}$	ואתה אמור ה' פעמים ד' חלקם בג' יהיו ו' וב' שלישיו‫'
5 are worth 7, how much are 9 worth? $\scriptstyle\frac{7}{5}=\frac{X}{9}$	וכן אם שואל אם ה' שוה ז' ט' כמה שוי
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{9\sdot7}{5}=\frac{63}{5}}}$	אמור ט' פעמים ז' ס"ג חלקם בה' וכן יהיו
11 are worth 17 How much are 31 worth at this price? $\scriptstyle\frac{17}{11}=\frac{X}{31}$	וכן אם יאמר י"א שוים י"ז ל"א לזה החשבון כמה שוים
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{31\sdot17}{11}}}$	אמור ל"א פעמים י"ז וחלקם בי"א וכן על זה הדרך לעולם
10 korim are worth 6 dinar. How much are 4 korim worth at this price? $\scriptstyle\frac{6}{10}=\frac{X}{4}$	וכן אם יאמ' י' כורי' שוי' ו' דינרי‫' ד' כורי' לחשבון זה כמה שוי‫'
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{4\sdot6}{10}=\frac{24}{10}=2+\frac{4}{10}=2+\frac{2}{5}}}$ dinar	אמור ד' פעמי' ו' כ"ד חלקם בי' יבואו ב' וד' עשיריות שהם ב' דינרי' וב' חומשי דינר
3 sheaves are worth 4 dinar. How much are 10 sheaves worth at this price? $\scriptstyle\frac{4}{3}=\frac{X}{10}$	וכן אם יאמר ג' עמרים שוי ד' דינרי‫' י' עומרי' לחשבון זה כמה הם שוי‫'
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot4}{3}=\frac{40}{3}=13+\frac{1}{3}}}$ dinar	אמור י' פעמים ד' מ‫' חלקם בג' יהיו י"ג דינרי' ושליש דינר
Find the Amount
I bought 10 korim of wheat for 6 dinar. How many korim could I buy for 4 dinar? $\scriptstyle\frac{6}{10}=\frac{X}{4}$	אמור אם יאמר קניתי י' כורי חטה בו' דינרי‫' כמה כורי' אוכל ליקח בד' דינרי‫'
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{6:10=4:X}}$	אמור אם בו' דינרי' נמצא י' כורי' חטה בד' דינרי' כמה כורי' נמצא
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{4\sdot10}{6}=\frac{40}{6}=6+\frac{4}{6}=6+\frac{2}{3}}}$	אמור ד' פעמי' י' מ‫' חלקם בו' יהיו ו' וד' ששיות שהם ו' וב' שלישיות
6 korim of wheat are worth 4 dinar. How many [korim] could I buy for 7 dinar? $\scriptstyle\frac{4}{6}=\frac{7}{X}$	וכן אם יאמר שש כורי' שוי' ד' דינרי‫' כמה כורי אוכל לקנות בז' דינרי
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{4:6=7:X}}$	אמור אם ד' דינרי' שוי' ו' כורי' ז' דינרי' כמה כורי' שוי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{7\sdot6}{4}=\frac{42}{4}=10+\frac{2}{4}=10+\frac{1}{2}}}$ korim	אמור ז' פעמים ו' מ"ב חלקם בד' יהיו י' כורי' וב' רביעיות שהם י' כורי' וחצי
Employment Problems - Payment Problems	וכן לעניין השכירות
I hired a worker for 30 days for 10 zuzim but he worked with me 8 days. How much should his payment be? $\scriptstyle\frac{10}{30}=\frac{X}{8}$	כגון האומר שכרתי פועל לל' יום בי' זוזים ועשה עמי ח' ימים כמה שכרו
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{30:10=8:X}}$	אמור אם בל' יום יהיה שכרו י' זוז בח' ימים כמה שכרו
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{8\sdot10}{30}=\frac{80}{30}=2+\frac{20}{30}=2+\frac{2}{3}=3-\frac{1}{3}}}$ dinar	אמור ח' פעמים י' הם כזה פ‫' חלקם בל' יבואו ב' זוזי' וכ' חלקי' מל‫' שהם ב' וב' שלישיות שהם ג' דינרי' [פחות] שליש דינר

Calculation of Fractions	חֶשְׁבּוֹן הַשְׁבָרִים
Dividing 1 into equal parts
$\scriptstyle1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$	אם תחלק האחד בב' חלקים יהיה בכל חלק מהם חצי ושני החצאי' הם אחד שלם
$\scriptstyle1=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$	וכן אם החלק האחד בג' חלקי' יהיה כל חלק מהם שליש ושלש השלישיות הם אחד שלם
$\scriptstyle1=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$	וכן אם תחלק האחד בד' חלקי' יהיה כל אחד מהם רביע וד' הרביעיי' הם אחד שלם
	ועל זה הדרך הם כלם
Addition of Fractions
$\scriptstyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{\left[\frac{1}{a}\sdot\left(a\sdot b\right)\right]+\left[\frac{1}{b}\sdot\left(a\sdot b\right)\right]}{a\sdot b}$
$\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$	ואם יאמ' מי שיש לו החצי והשליש מדבר אחד כמה חלק יש לו מן הדבר ההוא
Common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	אמור חצי ושליש ימצא בב' פעמים ג' שהם ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}}}$	חציי ג' ושלישיתו ב' ואם תקבצו יהיו ה' הרי שאותו שיש לו החצי והשליש מן הדבר יש לו ה' חלקי' מו' מן הדבר ההוא
$\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$	ואם מי שיש לו השליש והרביעי מן הדבר כמה חלק יש לו ממנו
Common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}$	אמור שליש ורביע ימצא בג' פעמים ד' שהם י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}{12}=\frac{4+3}{12}=\frac{7}{12}}}$	השליש מהם הם ד' והרביעי הוא ג' ואם תקבצם הם ז' הרי שמי שיש לו השליש והרביע מן הדבר יש לו ז' חלקי' מי"ב מן הדבר ההוא
$\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{5}$	וכן מי שיש לו השליש והחומש מן הדבר
Common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}$	אמור שליש וחומש ימצא בג' פעמים ה' שהם ט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)}{15}=\frac{5+3}{15}=\frac{8}{15}}}$	השליש מהם הוא ה' והחומש ג' ושניהם יחד הם ח' אם כן מי שיש לו השליש והחומש מן הדבר יש לו ח' חלקים מט"ו מן הדבר ההוא
$\scriptstyle\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$	וכן מי שיש לו הרביע והחומש מן הדבר
Common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}$	אמור רביע וחומש ימצא בד' פעמי' ה' שהם כ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)}{20}=\frac{5+4}{20}=\frac{9}{20}}}$	הרביע הוא ה' והחומש הוא ד' ושניהם יחד הם ט' אם כן יש לו ט' חלקים מכ' מן הדבר ההוא
$\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{7}$	וכן מי שיש לו שליש ושביע מן הדבר
Common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot7=21}}$	אמור שליש ושביע ימצאו בג' פעמים ז' שהם כ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{7}=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot21\right)}{21}=\frac{7+3}{21}=\frac{10}{21}}}$	השליש ז' והשביעי ג' ושניהם יחד הם י' א"כ יש לו י' חלקי' מכ"א
$\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$	וכן מי שיש לו שליש ורביע וחומש ושתות מן הדבר
Common denominator:	אמור שליש ורביע וחומש ושתות אם ימצאו בס‫'
	השליש הוא כ' הרבי' ט"ו והחומש י"ב והשתות י' ואם תקבצם יהיו נ"ז הרי שיש לו נ"ז חלקים מס' מן הדבר ההוא
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)}{60}=\frac{20+15+12+10}{60}=\frac{57}{60}}}$

Subtraction of Fractions
$\scriptstyle\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{\left[\frac{1}{a}\sdot\left(a\sdot b\right)\right]-\left[\frac{1}{b}\sdot\left(a\sdot b\right)\right]}{a\sdot b}$
$\scriptstyle\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$	אמנם אם יאמר אדם כמה הוא יותר השליש מן הרביע
Common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}$	עשה על זה הדרך אמור שליש ורביע ימצאו בג' פעמי' ד' שהם י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}{12}=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}}}$	השליש הוא ד' והרביעי הוא ג' כמה יותר ד' שהוא השליש מג' שהוא הרביעי א' א"כ השליש הוא יותר מן הרביע א' חלק מי"ב
$\scriptstyle\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$	וכן אם יאמר אדם כמה הוא יותר הרביע מן החומש
Common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}$	אמור רביע וחומש ימצאו בד' פעמי' ה' שהוא כ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)}{20}=\frac{5-4}{20}=\frac{1}{20}}}$	הרביעי הוא ה' והחומש הוא ד' כמה הוא יותר ה' מד' א' אם כן הרביע הוא יותר מן החומש א' חלק מעשרים
$\scriptstyle\frac{1}{3}-\frac{1}{7}$	וכן אם יאמר כמה הוא יותר השליש מן השביע
Common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot7=21}}$	אמור שליש ושביע ימצאו בג' פעמים ז' שהם כ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)-\left(\frac{1}{7}\sdot21\right)}{21}=\frac{7-3}{21}=\frac{4}{21}}}$	השליש הוא ז' השביע הוא ג' כמה הוא יותר ז' על ג' ד' וא"כ השליש יותר מן השביע ד' חלקי' מכ"א
$\scriptstyle\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)$	ואם יאמר כמה הם יותר השליש והרביע מן החומש ושתות
Common denominator:	אמור שליש ורביע וחומש ושתות ימצאו בס‫'
	השליש הוא כ' הרביע ט"ו אם תקבצם יהיו ל"ה והחומש מס' הוא י"ב השתות י' אם תקבצם יהיו כ"ב כמה הם יותר ל"ה שהם השליש והרביע מכ"ב שהם החומש והשתות י"ג אם כן השליש והרביע הם יותר מן החומש והשתות י"ג חלקים מס‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)\right]-\left[\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)\right]}{60}\\&\scriptstyle=\frac{\left(20+15\right)-\left(12+10\right)}{60}=\frac{35-22}{60}=\frac{13}{60}\\\end{align}}}$

Fractions of Fractions

\scriptstyle\frac{1}{a}\sdot\frac{1}{b}=\frac{\frac{1}{a}\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(a\sdot b\right)\right]}{a\sdot b}

$\scriptstyle\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}$

אמנם אם יאמר מי שיש לו השליש מן הרביע מן הדבר כמה חלק יש לו ממנו

Common denominator:

אמור שליש ורביע ימצא בי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}=\frac{\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}{12}=\frac{\frac{1}{3}\sdot3}{12}=\frac{1}{12}}}

ומי שיש לו הרביע מי"ב יש לו ג' חלקים מי"ב ומי שיש לו השליש מאלו הג' שהם הרביע יהיה לו א' חלק מי"ב

$\scriptstyle\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}$

ואם יאמר מי שיש לו השליש מן החומש כמה חלק יש לו

Common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}

אמור שליש וחומש ימצא בג' פעמים ה' שהם ט"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}=\frac{\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)}{15}=\frac{\frac{1}{3}\sdot3}{15}=\frac{1}{15}}}

החומש מט"ו הם ג' ומי שיש לו השליש מג' שהוא החומש יש לו א' חלק מט"ו

$\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}$

וכן מי שיש לו החומש מן התשיעית

Common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9=45}}

אמור חומש ותשיע ימצא בה' פעמים ט' שהם מ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}=\frac{\frac{1}{5}\sdot\left(\frac{1}{9}\sdot45\right)}{45}=\frac{\frac{1}{5}\sdot5}{45}=\frac{1}{45}}}

והתשיעי ממ"ה הוא ה' והחומש מה' הוא א' א"כ מי שיש לו החומש מן התשיעית יש לו א' חלק ממ"ה מן הדבר ההוא

Conversion of fractions

How many tenths there are in three eighths

אם יאמר אדם ג' שמיניות כמה עשיריות הם

Common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot10=80}}

עשה על זה הדרך אמור שמינית ועשירית ימצאו בח' פעמי' י' שהם פ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}\sdot80=30}}

וג' שמיניות הם ל‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot80=10}}

כי י' הוא שמינית פ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot80=8}}

וח' הוא עשירית פ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}=\frac{\frac{3}{8}\sdot80}{80}=\frac{30}{80}=\frac{\frac{30}{8}}{10}=\frac{3}{10}+\frac{6}{80}}}

ואם תרצה לידע כמה עשיריות הם הג' שמיניות מפ' חלק הל' שהוא הג' שמיניות חלקם בח' שהוא עשירית פ' הם ג' עשריות וו' ואותם הו' הם ו' חלקים מפ‫'

Operations with fractions - numerator greater than 1

$\scriptstyle\frac{3}{8}+\frac{7}{10}$

ואם יאמר הוסף ג' שמיניות על ז' עשיריות כמה יהיו

Common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot10=80}}

אמו' שמינית ועשירית ימצאו בח' פעמ' י' שהם פ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}+\frac{7}{10}=\frac{\left(\frac{3}{8}\sdot80\right)+\left(\frac{7}{10}\sdot80\right)}{80}=\frac{30+56}{80}=\frac{86}{80}=1+\frac{6}{80}}}

ותוסיף ג' שמיניות והם ל' על ז' עשיריות והם נ"ו יהיו הכל פ"ו חלקים שהם א' שלם וו' חלקים מפ‫'

$\scriptstyle\frac{2}{3}-\frac{3}{7}$

ואם יאמר השלך ג' שביעיות מב' שלישיות

Common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot7=21}}

אמו' שלישית ושביעית ימצאו בג' פעמ' ז' שהם כ"א

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}-\frac{3}{7}=\frac{\left(\frac{2}{3}\sdot21\right)-\left(\frac{3}{7}\sdot21\right)}{21}=\frac{14-9}{21}=\frac{5}{21}}}

וקח ב' שלישיותיו והם י"ד ותשלך מהם ג' שביעיותיו והם ט' וישארו ה' חלקים מכ"א

$\scriptstyle\frac{2}{5}-\frac{3}{8}$

ואם יאמר כמה הם יותר ג' שמניות מב' חמשיות

Common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot8=40}}

אמו' חמישיות ושמינית ימצא בה' פעמ' ח' שהם מ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}-\frac{3}{8}=\frac{\left(\frac{2}{5}\sdot40\right)-\left(\frac{3}{8}\sdot40\right)}{40}=\frac{16-15}{40}=\frac{1}{40}}}

ב' חמישיות הם י"ו וג' שמיניות הם ט"ו נמצא שהב' חמישיות הם יותר מג' שמיניות חלק אחת ממ‫'

$\scriptstyle\frac{3}{8}\sdot\frac{2}{5}$

ואם יאמ' כמה הם ג' שמיניות מב' חמישיות

Common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot8=40}}

אמור שמינית וחמישית ימצאו בה' פע' ח' שהם מ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}\sdot\frac{2}{5}=\frac{\frac{3}{8}\sdot\left(\frac{2}{5}\sdot40\right)}{40}=\frac{\frac{3}{8}\sdot16}{40}=\frac{6}{40}}}

וב' חמישיות מ' הם י"ו וג' שמיניות י"ו הם ו' א"כ הם ו' חלקי' ממ‫'

$\scriptstyle\frac{3}{8}\div\frac{2}{5}$

ואם יאמ' חלק ג' שמיניות על ב' חמשיות

Common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot8=40}}

אמו' שמינית וחומש ימצאו בה' פעמ' ח' שהם מ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}\div\frac{2}{5}=\frac{\frac{3}{8}\sdot40}{\frac{2}{5}\sdot40}=\frac{15}{16}}}

וג' שמניות מ' הם ט"ו וב' חמשיותיו הם י"ו חלק ט"ו על י"ו

$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}$

ואם יאמר חשוב ב' שלישים עם ב' חמישיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}=\frac{2\sdot2}{3\sdot5}=\frac{4}{15}}}

תחשוב שלשה על ה' שהם שמות החלקים יהיו ט"ו ואמור ב' פעמ' ב' כי ב' הם שמות החלקים ויהיו ד' הרי שב' שלישיות על ב' חמישיות הם ד' חלקים מט"ו מן האחד

$\scriptstyle\frac{2}{11}\times\frac{2}{13}$

ואם יאמר חשוב ב' חלקים מי"א באחד על ב' חלקים מי"ג מן האחד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{11}\times\frac{2}{13}=\frac{2\sdot2}{11\sdot13}=\frac{4}{143}}}

תחשוב שמות החלקים והם י"א על י"ג שעולים קמ"ג ותרבה מספר החלקים שהם ב' ואמור ב' פעמים ב' ד' הרי שעולים ד' חלקים מקמ"ג בא‫'

$\scriptstyle\frac{2}{5}\times\frac{1}{10}\times\frac{2}{3}$

ואם יאמ' ב' חלקים מה' בעשירית האחד בב' שלישי האחר כמה הם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\times\frac{1}{10}\times\frac{2}{3}=\frac{2\sdot2}{\left(5\sdot10\right)\sdot3}=\frac{4}{50\sdot3}=\frac{4}{150}}}

דע כי שם האחד הם חמשים בעניין חמשה בעשרה ותמנה אלו הנ' בג' שהוא שם החלק השני ויהיה הכל ק"נ ואמור ב' פעמ' ב' ד' כי ב' הוא מספר החלקי' הרי שהחשבו' הזה הוא ד' חלקי' מק"נ מהאחר

$\scriptstyle\frac{2}{5}\times\frac{1}{10}\times\frac{2}{8}\times\frac{1}{3}$

ואם יאמ' ב' חלקים מחמשה בעשירית האחד בשני חלקים משמנה בשלישית האחד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\times\frac{1}{10}\times\frac{2}{8}\times\frac{1}{3}=\frac{2\sdot2}{\left(5\sdot10\right)\sdot\left(8\sdot3\right)}=\frac{4}{50\sdot24}=\frac{4}{1200}}}

אתה צריך לדעת את שמות החלקים ותחשוב ה' בי' והם נ' והוא שם החלק האחד ותחשוב עוד ח' בג' ויהיו כ"ד והוא שם החלק השני וחשוב אחר כן נ' על כ"ד ויהיה אלף ומאתים ואמו' אחר כן ב' פעמ' ב' ר"ל ד' הרי שהם ד' חלקים מאלף ומאתים מן האחר

Multiplication of fractions

$\scriptstyle\frac{1}{3}\times1=\frac{1}{3}$

כשנרבה השליש באחד הוא שליש

$\scriptstyle\frac{1}{3}\times2=\frac{2}{3}$

וכשנרבה השליש בשנים הוא ב' שלישי האחד

$\scriptstyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{3}$

וכשנרבה שליש בשליש הוא שליש בשליש

$\scriptstyle\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}$

והרביע ברביע הוא רביע הרביע

$\scriptstyle\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}$

וחומש בחומש הוא חומ' החומש וכן כלם

$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}$

ואם נרבה ב' שלישי בב' שלישי

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{2\sdot2}{3\sdot3}=\frac{4}{9}}}

אמור ג' פעמים ג' ט' ואחר כך אמור ב' פעמים ב' פעמים הרי ד' הרי שאם נרבה ב' שלישי על ב' שלישי הם ד' חלקי' מט' באחד

Proportions with fractions

$\scriptstyle\frac{1}{3}:\frac{1}{4}=\frac{1}{5}:X$

אם יאמר אדם אם שליש שוה רביע החומש כפי זה החשבון כמה שוה

Common denominator:

אמור שליש ורביע וחומש ימצאו בס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot60=20}}

השליש מס' הוא כ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot60=15}}

א"כ הרביע הוא ט"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot60=12}}

והחומש הוא י"ב

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{20:15=12:\left(X\sdot60\right)}}

ואמור אם כ' שהוא שליש מס' שוה ט"ו שהוא הרביע החומש שהוא י"ב כמה שוה

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{\frac{12\sdot15}{20}}{60}=\frac{\frac{180}{20}}{60}=\frac{9}{60}}}

אמור י"ב פעמי' ט"ו הם ק"פ חלקים חלקם בכ' יבאו ט' והם ט' חלקים מס' באחד

$\scriptstyle\left(3+\frac{1}{3}\right):\left(4+\frac{1}{4}\right)=\left(5+\frac{1}{5}\right):X$

אם יאמר אדם אם ג' ושליש שוים ד' ורביע ה' [ו]חומש כמה שוים

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{\left(5+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)}{3+\frac{1}{3}}}}

אמור ה' וחומש פעמים ד' ורביע וחלקם בג' ושליש וזה סדר עשייתו

\scriptstyle{\color{blue}{5+\frac{1}{5}=\frac{\left(5\sdot5\right)+1}{5}=\frac{25+1}{5}=\frac{26}{5}}}

תפוש ה' וחומש ואמור ה' פעמים ה' הם כ"ה וא' חומש הרי כ"ו

\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{1}{4}=\frac{\left(4\sdot4\right)+1}{4}=\frac{16+1}{4}=\frac{17}{4}}}

אחר זה תפוש ד' ורביע ואמור ד' פעמים ד' י"ו וא' רביע הרי י"ז

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)=\frac{26}{5}\sdot\frac{17}{4}=\frac{26\sdot17}{5\sdot4}=\frac{442}{20}=22+\frac{1}{10}}}

ותרבה י"ז עם כ"ו ויעלו תמ"ב ונחלק אותם בד' פעמים ה' שהם כ' יבואו כ"ב וא' עשירי‫'

converting to thirds:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)=22+\frac{1}{10}=\frac{3\sdot\left(22+\frac{1}{10}\right)}{3}=\frac{66+\frac{3}{10}}{3}}}

ובעבור שנצטרך לחלקם לג' ושליש עשה מכ"ב וא' עשיריות כלם שלישיות ואמור ג"פ כ"ב ס"ו וג' פעמי' א' עשירית הרי ג' עשיריות הרי ס"ו וג' עשיריות

\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{1}{3}=\frac{\left(3\sdot3\right)+1}{3}=\frac{9+1}{3}=\frac{10}{3}}}

וצריך שנחלק אותם בג' ושליש וסדר חילופו שתעשה מג' ושליש כלם שלישיות ואמור ג'פ'ג' ט' וא' הרי י‫'

ואם נחלק ס"ו בי' חלקים יבואו ו' וו' עשיריות

נחלק אח"כ ג' עשיריות בי' חלקי' ישאר ג' חלקי' ממאה
הרי שעולה החשבון ו' וו' עשיריות וג' חלקי' ממאה
וכדי שנוכל לקבץ הכל יחד ו' עשיריות חלקים ממאה ויהיו ס' חלקים מק' וג' חלקים מק' שהיו בידינו הרי ס"ג
תמצא מדברינו שאם ג' ושליש שוי' ד' ורביע ה' וחומש שוי' ו' וס"ג חלקים ממאה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X&\scriptstyle=\frac{\left(5+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)}{3+\frac{1}{3}}=\frac{\frac{66+\frac{3}{10}}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{66+\frac{3}{10}}{10}=\frac{66}{10}+\frac{\frac{3}{10}}{10}=6+\frac{6}{10}+\frac{3}{100}\\&\scriptstyle=6+\frac{60}{100}+\frac{3}{100}=6+\frac{63}{100}\\\end{align}}}

Word Problems

Exchange Problems

If a man says: 7 of Pisa are worth 9 of Cortona, how many liṭra of Cortona are 100 liṭra of Pisa worth?

\scriptstyle\frac{7}{9}=\frac{100}{X}

אם יאמר אדם ז' פיסאני שוים ט' קונטוניסי

ק' ליט' פיסאני כמה ליט' קוטורניסי שוים

Do it this way:

עשה על זה הדרך

It is known that if 7 pisani are worth 9 cortonisi, then 7 dinar of Pisa are worth 9 dinar of Cortona; 7 liṭra of Pisa are worth 9 liṭra of Cortona; and 700 liṭra of Pisa are worth 900 liṭra of Cortona; and the same for any currency you want.

ידוע כי אם ז' פיסאני שוים ט' קוטורניסי ז' דינ' פיסאני שוים ט' דנרי' קוטורניסי וז' ליט' פיסאני שוים ט' ליט' קוטורניסי ות"ש ליט' פיסאני שוים תת"ק ליט' קוטורניסי וכן לכל מטבע שתרצה

Rule of Three: So, this question is as if it is asked: If 700 liṭra of Pisa are worth 900 liṭra of Cortona, how much are 100 liṭra of Pisa worth?

\scriptstyle{\color{blue}{700:900=100:X}}

א"כ השאלה הזאת היא כאלו שאל אם ת"ש ליט' פיסאני שוים תת"ק ליט' קוטורניסי ק' ליט' פיסאני כמה שוים

Rule of Three: To make the calculation easier we say: if 7 is equal to 9, how much is 100 equal to?

\scriptstyle{\color{blue}{7:9=100:X}}

ולהקל החשבון נאמר אם ז' שוים ט' ק' כמה שוים

Say: 100 times 9 is 900.

אמור ק' פעמי' ט' תת"ק

Divide it by 7; it is 128 liṭra, 11 dinar and [3-sevenths]; and this number of Cortona is equal to 100 of Pisa.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{100\sdot9}{7}=\frac{900}{7}=128+\frac{11}{20}+\frac{\frac{3}{7}}{20}}}

חלקם בז' יהיו קכ"ח ליט' וי"א דינ' וא' שביע וכן ישוו הק' ליט' פיסא' לקוטורניסי

If a man says: if 5 and a quarter of Pisa are worth 7 of Cortona, how many liṭra of Cortona are a thousand liṭra of Pisa worth?

\scriptstyle\frac{5+\frac{1}{4}}{7}=\frac{1000}{X}

אם יאמר אדם אם ה' פיסאני ורביע שוים ז' קוטורניסי

אלף ליט' פיסאני כמה ליט מקוטורניסי שוים

You see that this calculation has a fraction in one part and this fraction is a quarter.

הנך רואה כי זה החשבון הוא שבור מחלק אחד וזה השבור הוא רביע

Therefore, we multiply both parts, which are 5 and a quarter and 7, by 4, i.e. we convert all into quarters.

לכן נרבה הב' חלקים שהם ה' ורביע וז' בד' דהיינו שנעשה כלם רביעיים

Say: 4 times 5 pisani and a quarter; the result is 21 pisani.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(5+\frac{1}{4}\right)=21}}

ואמ' ד' פעמי' ה' פיסאני ורביע יבואו כ"א פיסאני

4 times 7 cortonisi; the result is 28 cortonisi.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot7=28}}

וד' פעמי' ז' קוטורניסי יבואו כ"ח קוטורניסי

So, 21 pisani are worth 28 cortonosi.

הרי שכ"א פיסאני שוים כ"ח קוטורניסי

To make the case easier, we reduce them by seven, because both parts have a seventh.

ולהקל הענין נחלקם בשביע בעבור שבשני החלקים ימצא שביע

The seventh of 21 is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot21=3}}

השביע מכ"א הוא ג‫'

The seventh of 28 is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot28=4}}

והשביע מכ"ח הוא ד‫'

We find that 3 pisani are worth 4 cortonisi.

נמצא שג' פיסאני שוים ד' קוטורניסי

We want to know how much are a thousand liṭra of Pisa worth?

ואנו רוצים לדעת כמה שוים אלף ליט' פיסאני

Rule of Three: Say: if 3 pisani are worth 4 cortonisi, how much are a thousand liṭra worth?

\scriptstyle{\color{blue}{3:4=1000:X}}

אמור א"כ אם ג' פיסאני שוים ד' קוטורניסי אלף ליט' פיסאני כמה שוים

Say: a thousand times 4 are 4 thousand.

אמור אלף פעמי' ד' יבואו ד' אלפים

Divide them by 3; the result is 1333 [liṭra], 6 dinar and 8 pešuṭim and so are a thousand liṭra of Pisa worth in Cortona.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1000\sdot4}{3}=\frac{4000}{3}=1333+\frac{6}{20}+\frac{\frac{8}{12}}{20}}}

חלקם בג' יבואו אלף ושל"ג וו' די' וח' פשוטי' וכן שוים אלף ליט' פיסאני לקוטרניסי

If a man says: if 7 silver ounces and a third are worth 73 liṭra and a quarter, how much are 19 silver ounces worth?

\scriptstyle\frac{7+\frac{1}{3}}{73+\frac{1}{4}}=\frac{19}{X}

ואם יאמר אדם אם ז' אונקיו' ושליש מכסף שוי' ע"ג ליטרי' ורביע

י"ט אונקיו' מכסף כמה ישוו לפי חשבון זה

Do this way: the fractions in this calculation are a third and a quarter; a third and a quarter are found in 12.

עשה על זה הדרך השברי' שהם בזה החשבון הם שליש ורביע ושליש ורביע ימצאו בי"ב

Therefore, we have to multiply both parts, which are 7 and a third and 73 and a quarter, by 12, i.e. to convert all of them into parts of 12.

לכן יש לנו לרבות הב' חלקי' שהם ז' ושליש וע"ג ורביע בי"ב דהיינו לעשות מכלם חלקים מי"ב

Say: 12 times 7 and a third; the result is 88 silver ounces.

\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(7+\frac{1}{3}\right)=88}}

ואמור י"ב פעמי' ז' ושליש יבואו פ"ח אונקיו' כסף

12 times 73 liṭra and 5 dinar are 879 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(73+\frac{1}{4}\right)=879}}

וי"ב פעמים ע"ג ליטרי' וה' דינרי' יהיו ת"תע"ט ליט‫'

So, 88 silver ounces are worth 879 liṭra.

הרי שפ"ח אונקיו' כסף שוי' תתע"ט ליטרי‫'

We want to know how much the 19 ounces are worth.

ואנו רוצי' לידע כמה שוי' הי"ט אונקיו' לחשבון זה

Rule of Three: Say: if 88 silver ounces are worth 879 liṭra, how much are 19 ounces worth?

\scriptstyle{\color{blue}{88:879=19:X}}

אמור אם כן אם פ"ח אונקיו' כסף שוי' תתע"ט ליטרי' ואנו רוצי' לידע כמה שוי הי"ט אונקיו' לחשבון זה

Say: 19 times 879 is 16701.

אמור י"ט פעמי' תתע"ט יהיו י"ו אלפים ותש"א ליט‫'

Divide it by 88, i.e. by 8 and by 11; the result is 189 liṭra, 15 dinar, 8 pešiṭim and 2 parts of 11 of one pašuṭ and so the 19 silver ounces are worth.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{19\sdot879}{88}=\frac{16701}{88}=\frac{16701}{8\sdot11}=189+\frac{15}{20}+\frac{\frac{8+\frac{2}{11}}{12}}{20}}}

חלק אותם בפ"ח דהיינו בח' ובי"א יבואו קפ"ט ליטרי' וט"ו דינרי' וח' פשיטי' וב' חלקי' מי"א מהפשוט וכן ישוו הי"ט אונקיו' כסף לפי חשבון זה

Divide a Quantity Problems

If you want to divide 5 pešiṭim into a third and a quarter without a remainder

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=5

אם תרצה לחלק ה' פשיטים לשליש ולרביע ולא ישארו מהם כלל

False Position - denominator: Say: a third and a quarter are found in 3 times 4, which is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}

אמור שליש ורביע ימצא בג' פעמים ד' שהם י"ב

The third is 4; the quarter is 3; their sum is 7 and this is the denominator.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=4+3=7}}

השליש הוא ד' הרביע הוא ג' וכללם הוא ז' והוא המחלק

Rule of Three: If you want to know how much is the portion of the one who has a third, say: 4 times 5, since they are 5; the result is 20. Divide them by 7; it is 2 and 6 parts of 7.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{4\sdot5}{7}=\frac{20}{7}=2+\frac{6}{7}}}

ואם יאמר תרצה לדעת כמה הוא חלק אותו שיש לו השליש

אמור ד' פעמי' ה' בעבור שהם ה' יבואו כ‫'
חלק אותם בז' יהיו ב' וו' חלקים מז‫'

Rule of Three: If you want to know the portion of the one who has a quarter, say: 3 times 5 is 15. Divide them by 7; it is 2 and one part of 7.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{3\sdot5}{7}=\frac{15}{7}=2+\frac{1}{7}}}

ואם תרצה לדעת חלק אותו שיש לו הרביע

אמור ג' פעמי' ה' ט"ו
חלקם בז' יהיו ב' וא' חלק מז‫'

Check: If you sum 2 and 6 parts of 7 with 2 and one part of 7; they are 5 pešiṭim, as the amount of money you divided.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{6}{7}\right)+\left(2+\frac{1}{7}\right)=5}}

ואם תקבץ ב' וו' חלקים מז' וב' וא' חלק מז' יהיו ה' פשיטי' כמספר המעות שחלקת

If you want to divide 12 pešiṭim into a half, a third, and a quarter

\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=12

ואם תרצה לחלק י"ב פשי' לחצי לשליש ולרביע

False Position - denominator: Say: a half, a third and a quarter are found in 12.

אמור חצי ושליש ורביע ימצאו בי"ב

The half is 6; the third is 4; the quarter is 3; their sum is 13 and this is the denominator.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=6+4+3=13}}

החצי הוא ו' השליש הוא ד' הרביע ג' וכללם י"ג והוא המחלק

If you want to know the share of the one who has a half:

ואם תרצה לדעת חלק מי שיש לו החצי

Rule of Three: Say: a half of 12 is 6. Multiply it by 12, which is the amount of money; it is 72. Divide it by 13; it is 5 and 7 parts of 13.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot12}{13}=\frac{6\sdot12}{13}=\frac{72}{13}=5+\frac{7}{13}}}

אמור החצי מי"ב הוא ו' תרבה אותם עם י"ב שהוא סך המעות יהיו ע"ב

חלקם בי"ג יהיו ה' וז' חלקים מי"ג

If you want to know the share of the one who has a third:

ואם תרצה לדעת חלק אותו שיש לו השליש

Rule of Three: Say: a third of 12 is 4. Multiply it by the amount of money, which is 12; it is 48. Divide it by 13; it is 3 and 9 parts of 13.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\sdot12}{13}=\frac{4\sdot12}{13}=\frac{48}{13}=3+\frac{9}{13}}}

אמור השליש מי"ב הוא ד' ותרבה אותם עם סך המעות שהם י"ב ויהיו מ"ח

וחלקם בי"ג יהיו ג' וט' חלקים מי"ג

If you want to know the share of the one who has a quarter:

ואם תרצה לדעת חלק אותו שיש לו הרביע

Rule of Three: Say: a quarter of 12 is 3. Multiply it by the amount of money, which is 12; it is 36. Divide it by 13; it is 2 and 10 parts of 13.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\sdot12}{13}=\frac{3\sdot12}{13}=\frac{36}{13}=2+\frac{10}{13}}}

אמור הרביע מי"ב הוא ג' תרבה אותו עם סך המעות שהם י"ב ויהיו ל"ו

חלקם בי"ג יהיו ב' וי' חלקי' מי"ג

Check: If you sum up these three portions, they are 12, as the amount of money you divided.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{7}{13}\right)+\left(3+\frac{9}{13}\right)+\left(2+\frac{10}{13}\right)=12}}

ואם תקבץ ג' החלקים האלה יהיו י"ב כמספר המעו' שחלקת

If you want to divide 12 pešiṭim into a third and a quarter

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=12

וכן אם תרצה לחלק י"ב פשיטי' לשליש ולרביע

False Position - denominator: Say: a third and a quarter are found in 12.

אמור שליש ורבי' ימצאו א בי"ב

The third is 4; the quarter is 3; their sum is 7 and this is the denominator.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=4+3=7}}

השליש הוא ד' והרביע הוא ג' וכללם ז' והוא המחלק

If you want to know how much is [the share of] the one who has a third:

ואם תרצה לדעת מי שיש לו השליש כמה יהיו

Rule of Three: Say: a third of 12 is 4. Multiply it by the amount of money, which is 12; it is 48. Divide it by 7; it is 6 and 6 parts of 7.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\sdot12}{7}=\frac{4\sdot12}{7}=\frac{48}{7}=6+\frac{6}{7}}}

אמור שליש מי"ב הם ד' תרבה אותם על סך המעות שיהיו י"ב ויהיו מ"ח

חלקם בז' יהיו ו' וו' חלקי' מז‫'

To know [how much is the share of] the one who has a quarter:

ולדעת אותו שיש לו הרביע

Rule of Three: Say: a quarter of 12 is 3. Multiply it by 12; the quarter is 36. Divide it by 7; it is 5 and 1 part of 7.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\sdot12}{7}=\frac{3\sdot12}{7}=\frac{36}{7}=5+\frac{1}{7}}}

אמור הרביע מי"ב הוא ג' תרבה ‫^[79]אותם עם י"ב יהיה הרביע ל"ו

חלקם בז' יהיו ה' וא' חלק מז‫'

Check: The [sum of the] two is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{6}{7}\right)+\left(5+\frac{1}{7}\right)=12}}

ושניהם י"ב

If you have 30 pešiṭim and you want to divide them to a third, a quarter, a fifth, and a sixth

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X=30

ואם יהיו בידך ל' פשיטי' ותרצה לחלק אותם לשליש ולרביע ולחומש ולשתות

False Position - denominator: Say: these fractions are found in 60.

אמור החלקי' האלה ימצאו בס‫'

The third is 20; the quarter is 15; the fifth is 12; the sixth is 10; their sum is 57 and this is the denominator.

השליש הוא כ' הרביע ט"ו החומש י"ב השתות י' וכלם נ"ז והוא המחלק

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=20+15+12+10=57}}

Rule of Three: For the one who has a third, say: a third of 60 is 20. Multiply it by 30, which is the amount of money; it is 600. Divide it by 57; the result is 10 and 30 parts of 57.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\sdot30}{57}=\frac{20\sdot30}{57}=\frac{600}{57}=10+\frac{30}{57}}}

ואותו שיש לו השליש יאמר השליש מס' הוא כ' ותרבה אותם עם ל' שהוא סך המעות יהיו ת"ר

חלקי' בנ"ז יבואו י' ול' חלקי' מנ"ז

Rule of Three: For the one who has a quarter, which is 15, say: 15 times 30, is 450. Divide it by 57; it is 7 and 51 parts of 57.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)\sdot30}{57}=\frac{15\sdot30}{57}=\frac{450}{57}=7+\frac{51}{57}}}

ואותו שיש לו הרביע שהוא ט"ו יאמר ט"ו פעמי' ל' הם ת"ן

חלקם בנ"ז יהיו ז' ונ"א חלקי' מנ"ז

Rule of Three: For the one who has a fifth of [60], which is 12, say: 12 times 30, is 360. Divide it by 57; the result is 6 and 18 parts of 57.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}X=\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)\sdot30}{57}=\frac{12\sdot30}{57}=\frac{360}{57}=6+\frac{18}{57}}}

ואותו שיש לו החומש מי"ב שהוא י"ב יאמר י"ב פעמי' ל' הם ש"ס

חלקם בנ"ז יבאו ו' וי"ח חלקי' מנ"ז

Rule of Three: For the one who has a sixth, which is 10, say: 10 times 30, is 300. Divide it by 57; it is 5 and 15 parts of 57.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}X=\frac{\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)\sdot30}{57}=\frac{10\sdot30}{57}=\frac{300}{57}=5+\frac{15}{57}}}

ואותו שיש לו השתות שהוא י' יאמר י' פעמי' ל' הם ש"ס ש‫'

חלקם בנ"ז יהיו ה' וט"ו חלקי' מנ"ז

Check: The total sum of all the mentioned portions is 30 pešiṭim.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{30}{57}\right)+\left(7+\frac{51}{57}\right)+\left(6+\frac{18}{57}\right)+\left(5+\frac{15}{57}\right)=30}}

וכלל כל החלקי' הנזכרי' הם ל' פשיטי‫'

If you want to divide 60 liṭra into a half, a third, and a quarter

\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=60

לחלק ס' ליטרי' לחצי לשליש ולרביע

False Position - denominator: Say: a half, a third and a quarter are found in 12.

אמור חצי ושליש ורביע ימצאו בי"ב

Their sum is 13 and this is the denominator.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=13}}

וכללם י"ג והוא המחלק

If you want to know the share of the one who has a half:

ואם תרצה לדעת חלק אותו שיש לו החצי

Rule of Three: Say: a half of 12 is 6. Multiply it by 60, which is the number of liṭra; the result is 360. Divide them by 13; it is 27 and 9 parts of 13 of one liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot60}{13}=\frac{6\sdot60}{13}=\frac{360}{13}=27+\frac{9}{13}}}

אמור החצי מי"ב הוא ו' תרבה אות' עם ס' שהוא סכום ה' ליטרי' יהיו ש"ס

חלקם בי"ג יהיו כ"ז וט' חלקים מי"ג מהליטר‫'

If you want to know the share of the one who has a third:

ואם תרצה לדעת חלק אותו שיש לו השליש

Rule of Three: Say: a third of 12 is 4. Multiply it by 60; it is 240. Divide them by 13; it is 18 and 6 parts of 13 of one liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\sdot60}{13}=\frac{4\sdot60}{13}=\frac{240}{13}=18+\frac{6}{13}}}

אמור השליש מי"ב הם ד' תרבה אותם עם ס' יהיו ר"מ

חלקם בי"ג יהיו יהיו י"ח וו' חלקי' מי"ג מן הליטר‫'

If you want to know the share of the one who has a quarter:

ואם תרצה לדעת אותו שיש לו הרביע

Rule of Three: Say: a quarter of 12 is 3. Multiply it by 60; it is 180. Divide them by 13; it is 13 and 11 parts of 13 of one liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\sdot60}{13}=\frac{3\sdot60}{13}=\frac{180}{13}=13+\frac{11}{13}}}

אמור הרביע מי"ב הוא ג' תרבה אותם עם ס' יהיו ק"פ

חלקם בי"ג הוא י"ג וי"א חלקי' מי"ג מן הליט‫'

1 part of 13 of one liṭra is 18 pešiṭim and [6] parts of 13.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{13}=\frac{18+\frac{6}{13}}{20\sdot12}}}

וא' חלק מי"ג מן הליטר' הוא י"ח פשיטי' וב' חלקי' מי"ג

So, the share of the one who has a half is 27 liṭra, 13 dinar, 10 pešiṭim and 2 parts of 13 of one pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X=27+\frac{9}{13}=27+\frac{13}{20}+\frac{10+\frac{2}{13}}{20\sdot12}}}

יהיה אם כן חלק אותו שיש לו החצי כ"ז ליטרי' וי"ג דינרי' וי' פשיטי' וב' חלקי' מי"ג מן הפשוט

The share of the one who has a third is 18 liṭra, 9 dinar, 2 pešiṭim and 10 parts of 13 of one pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=18+\frac{6}{13}=18+\frac{9}{20}+\frac{2+\frac{10}{13}}{20\sdot12}}}

וחלק אותו שיש לו השליש הוא י"ח ליטרי' וט' דינרי' וב' פשיטי' וי' חלקי' מי"ג מן הפשוט

The share of the one who has a quarter is 13 liṭra, 16 dinar, 11 pešiṭim and 1 part of 13 of one pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=13+\frac{11}{13}=13+\frac{16}{20}+\frac{11+\frac{1}{13}}{20\sdot12}}}

וחלק אותו שיש לו הרביע הוא י"ג ליטרי' וי"ו דינרי' וי"א פשיטי' וא' חלק מי"ג מן הפשוט

Check: If you sum up all the mentioned portions, they are 60 liṭra.

ואם תקבץ כל החלקים הנזכרי' יהיו ס' ליטרי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(27+\frac{13}{20}+\frac{10+\frac{2}{13}}{20\sdot12}\right)+\left(18+\frac{9}{20}+\frac{2+\frac{10}{13}}{20\sdot12}\right)+\left(13+\frac{16}{20}+\frac{11+\frac{1}{13}}{20\sdot12}\right)=60}}

Partnership - for the same time

Three people formed a partnership and contribute together 40 ounces of gold.

The first has gold that is worth 3 liṭra per ounce.

The second has gold that is worth 5 liṭra per ounce.

The third has gold that is worth 8 liṭra per ounce.

How much gold should each of them contribute so that the total will be 40 ounces and the share of each of them will be equal to the shares of his friends?

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{8}X=40

שלשה אנשים עשו חברותה ושמו בין שלשתם א' אונקי' זהב

לאחד היה זהב שוה ג' ליטרי' האונקי‫'
ולשני זהב שוה ה' ליטרי' האונקי‫'
ולשלישי זהב שוה ח' לי' האונקי‫'
כמה זהב ישי' כל אחד שיהיו בין כלם מ' אונקיו' ויהיה חלק כלם שוה

False Position - denominator: Say: a third, a fifth, and an eighth are found is 120.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot120\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot120\right)+\left(\frac{1}{8}\sdot120\right)=40+24+15=79}}

אמור שליש וחומש ושמין ימצאו בק"כ

The third is 40; the fifth is 24; the eighth is 15; their total sum is 79 and this is the denominator.

השליש הוא מ' החומש הוא כ"ד השמינית ט"ו וכללם ע"ט והוא המחלק

If you want to know how much gold the one whose gold is worth 3 liṭra for an ounce contributes, say: the third of 120 is 40. Multiply it by the number of ounces, which is 40; it is 1600. Divide it by 79; the result is 20 ounces and 20 parts of 79.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot120\right)\sdot40}{79}=\frac{40\sdot40}{79}=\frac{1600}{79}=20+\frac{20}{79}}}

ואם תרצה ‫[לדעת כמה זהב ישים אותו שהזהב שלו שוה ג' ליטרי' האונקי‫'

אמור השליש מק"כ הוא מ' ותרבה אותו עם סך האונקיות ‫^[80]שהם מ' יהיו אלף ות"ר]‫^[81]
חלקם בע"ט יביאו כ' אונקיו' זהב וכ' חלקי' מע"ט

If you want to know how much his share is worth, say: the 20 ounces at 3 liṭra for an ounce are worth 60 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot20=60}}

ואם תרצה לדעת כמה שוה חלקו אמור הכ' אונקיו' לחשבון ג' לי' האונ' עולי' ס' ליטרי‫'

Rule of Three: for the 20 parts of 79 say: if 79, which is 1 ounce, is worth 720 pešuṭim that are 3 liṭra, how much are 20 parts of 79 worth?

\scriptstyle{\color{blue}{1:720=\frac{20}{79}:X}}

ומן הכ' חלקי' מע"ט אמור אם ע"ט שהוא כ' ליטרי' א' אונקי' שוה תש"כ [פשוטי' שהם ג' ליט' כ' חלקים מע"ט כמה שווים

Say: 20 times 720 is 14400. Divide it by 79; the result is 182 pešiṭim and 22 parts of 79.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{720\sdot20}{79}=\frac{14400}{79}=182+\frac{22}{79}}}

אמו' כ' פעמ' תש"כ]‫^[82] יהיו ד י"ד אלפי' ות‫'

חלקם בע"ט יבואו קפ"ב פשיטי' וכ"ב חלקים מע"ט

Which are [60 liṭra], 15 dinar, 2 pešuṭim and 22 parts of 79.

\scriptstyle{\color{blue}{X=60+\frac{182+\frac{22}{79}}{20\sdot12}=60+\frac{15}{20}+\frac{2+\frac{22}{79}}{20\sdot12}}}

שהם [ס' ליט']‫^[83] וט"ו דינרי' וב"פ וכ"ב חלקים מע"ט

If you want to know how much gold the one whose gold is worth 5 liṭra for an ounce contributes, say: the fifth of 120 is 24. Multiply it by 40, which is the number of ounces; the result is 960. Divide it by 79; [it is] 12 ounces and 12 parts of 79.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}X=\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot120\right)\sdot40}{79}=\frac{24\sdot40}{79}=\frac{960}{79}=12+\frac{12}{79}}}

ואם תרצה לדעת כמה זהב ישים אותו שהזהב שלו שוה ה' ליטרי' האונ‫'

אמור החומש ~~מק"פ~~ [מק"כ]‫^[84] הם כ"ד תרבה אותם עם מ' שהוא סכום האונקי' עולים תתק"ס
חלקם בע"ט י"ב אונקיו' וי"ב חלקי' מע"ט

If you want to know how much his share is worth, say: the 12 ounces at 5 liṭra for an ounce are worth 60 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot12=60}}

ואם תרצה לדעת כמה שוה חלקו אמור הי"ב אונקיו' לחשבון ה' ליטרי' האונקי' עולי' ס' ליטרי‫'

Rule of Three: for the 12 parts of 79 say: if 79, which is 1 ounce, is worth 1200 pešuṭim that are 5 liṭra, how much are 12 parts of 79 worth?

\scriptstyle{\color{blue}{1:1200=\frac{12}{79}:X}}

ומן הי"ב [חלקים]‫^[85] מע"ט [אמור אם ע"ט שהוא א' אונקי' עולה אלף ור' פשוטי' שהם ה' ליט' הי"ב חלקים מע"ט כמה שווים

Say: 12 times 120 is 14400. Divide it by 79; the result is 182 pešiṭim and 22 parts of 79.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200\sdot12}{79}=\frac{14400}{79}=182+\frac{22}{79}}}

אמו' י"ב פעמ' אלף ור' הם י"ד אלפים ות‫'

חלקם בע"ט יבואו קפ"ב פשוטי' וכ"ב חלקים מע"ט

So, his share is worth 60 liṭra, 15 dinar, 2 pešiṭim and 22 parts of 79, as the first.

\scriptstyle{\color{blue}{X=60+\frac{182+\frac{22}{79}}{20\sdot12}=60+\frac{15}{20}+\frac{2+\frac{22}{79}}{20\sdot12}}}

הרי ששווה חלקו ס' ליט' וט"ו די' וב"פ וכ"ב חלקים מע"ט כמו הראשון

If you want to know how much gold the one whose gold is worth 8 liṭra for an ounce contributes, say: the eighth of 120 is 15. Multiply it by 40, which is the number of ounces; it is 600. Divide it by 79; the result is 7 ounces and 47 parts of 79.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}X=\frac{\left(\frac{1}{8}\sdot120\right)\sdot40}{79}=\frac{15\sdot40}{79}=\frac{600}{79}=7+\frac{47}{79}}}

ואם תרצה לדעת כמה זהב ישים אותו שהזהב שלו שווה ח' ליט' האונק‫'

אמו' השמינית מק"כ הם ט"ו תרבה אותם עם מ' שהם סכום האונק' יהיו ת"ר
חלקם בע"ט יבואו ז' אונק' ומ"ז חלקים מע"ט

If you want to know how much his share is worth, say: the 7 ounces at 8 liṭra [for an ounce] are worth 56 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot7=56}}

ואם תרצה לדעת כמה שוה חלקו שלזה אמו' הז' אונק' לחשבו' ח' ליט' עולים נ"ו ליט‫'

Rule of Three: for the 47 parts of 79 say: if 79, which is 1 ounce, is worth 1920 pešuṭim that are 8 liṭra, how much are 47 parts of 79 worth?

\scriptstyle{\color{blue}{1:1920=\frac{47}{79}:X}}

ומן המ"ז חלקים מע"ט אמו' אם ע"ט שהוא א' אונק' שוה אלף ותתק"כ פשוט' שהוא ח' ליט' המ"ז חלקים מע"ט כמה שווים

Say: 47 times 1920 is 90240. Divide it by 79; it is 1142 pešiṭim and 22 parts of 79.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1920\sdot47}{79}=\frac{90240}{79}=1142+\frac{22}{79}}}

אמו' מ"ז פעמ' אלף ותתק"כ הם צ' אלפים ור"מ

חלקם בע"ט יהיו אלף וקמ"ב פשוטי' וכ"ב חלקים מע"ט

Which are 4 liṭra, 15 dinar, 2 pešiṭim and 22 parts of 79.

\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{15}{20}+\frac{2+\frac{22}{79}}{20\sdot12}}}

שהם ד' ליט' וט"ו די' וב"פ וכ"ב חלקים מע"ט

Add them to the 56 liṭra, so his share is worth the same as each of his friends: 60 liṭra, 15 dinar, 2 pešiṭim and 22 parts of 79.

\scriptstyle{\color{blue}{X=56+\left(4+\frac{15}{20}+\frac{2+\frac{22}{79}}{20\sdot12}\right)=60+\frac{15}{20}+\frac{2+\frac{22}{79}}{20\sdot12}}}

צרף אותם עם הנ"ו ליט' הרי ששווה חלקו שלזה כחלק כל אחד מחבריו ס' ליט' וט"ו די' וב"פ וכ"ב חלקים מע"ט]‫^[86]

Multiple Quantities Problems

Three brothers.

The second has three [times] the first.

The third has three [times] the second.

The sum of what all the three have is 60.

How much does each of them have?

שלשה אחים לשיני יש יותר מן הראשו' על אחת ג‫'

ולשלישי יש לאחת על אחת שיני ג‫'
ומחובר שלשתן ס‫'
כמה יש לכל אחת מהן

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=60\\\scriptstyle a_2=3a_1\\\scriptstyle a_3=3a_2\end{cases}

False Position - denominator: Find a denominator [of their sum], for instance, let them be 1, 3, 9; the sum of all three is 13; the first has 1, the second has 3, and the third has 9.

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+9=13}}

עשה לך מורה שיוסיף לך זה על זה כזה הדמיון והם א' ג' ט' ומחובר שלשתם י"ג יהיה לראשון א' ולשני ג' ולשלישי ט‫'

Now that it is said "the sum of what all the three have is 60", do this way:

ועתה שאמר ומחובר שלשתם [ס']‫^[87] עשה על זה הדרך

Rule of Three: To know how much the first has, say: if, when the sum is 13, the share of the first is 1, now that the sum is 60, how much does he have?

\scriptstyle{\color{blue}{13:1=60:a_1}}

ולדעת כמה יש לראשון אמור אם בהיות המחובר י"ג יהיה החלק הראשון א' עתה שהמחובר ס' כמה יש לו

Say: 60 times 1 is 60. Divide it by 13; it is 4 and 8 parts of 13.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{60\sdot1}{13}=\frac{60}{13}=4+\frac{8}{13}}}

אמור ס' פעמי' א' הם ס‫'

חלקם בי"ג יהיו [ד' וח']‫^[88] חלקים מי"ג

Rule of Three: To know the share of the second, say: if, when the sum is 13, the share of the second is 3, now that the sum is 60, how much is his share?

\scriptstyle{\color{blue}{13:3=60:a_2}}

‫[ולדעת חלק השיני אמור אם בהיות המחובר י"ג יהיה [החלק]‫^[89] השני [ג']‫^[90] עתה שהמחובר ס' כמה הוא חלקו

Say: 60 times 3 is 180. Divide it by 13; it is 13 and 11 parts of 13.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{60\sdot3}{13}=\frac{180}{13}=13+\frac{11}{13}}}

אמו' ס' פעמי' ג' הם ק"פ

חלקם בי"ג יהיו י"ג וי"א חלקים מי"ג]‫^[91]

Rule of Three: To know the share of the third, say: if, when the sum is 13, the share of the third is 9, now that the sum is 60, how much is his share?

\scriptstyle{\color{blue}{13:9=60:a_3}}

ולדעת חלק השלישי אמור אם בהיות המחובר י"ג היה חלק השלישי ט' עתה בהיות המחובר ס' כמה הוא חלקו

Say: 60 times 9 is 540. Divide it by 13; it is 41 and 7 parts of 13.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{60\sdot9}{13}=\frac{540}{13}=41+\frac{7}{13}}}

אמור ס' פעמי' ט' הם תק"מ

חלקם בי"ג יהיו ~~י"א~~ מ"א וז' חלקים מי"ג

Check: If you sum them up the total is 60.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{8}{13}\right)+\left(13+\frac{11}{13}\right)+\left(41+\frac{7}{13}\right)=60}}

ואם תקבצם יהיו כלם ס‫'

The same if they exceed each other by 2, or 4, or 5 and if they are more than three friends, find the denominator in the appropriate way and you will find your wish.

\scriptstyle X+aX+a^2X=60

וכן אם יהיו זה על זה ב' או ד' או ה' וכן אם יהיו יותר מג' חברים כמו כן עשה המורה על דרך הראוי ותמצא חפצך

Jacob gave his five sons 35 dinar.

Reuven's share was greater than Levi's share, and Levi's share was greater than Issachar's share.

Shimon's share was equal to the excess of Reuven's share over Levi's share.

Yehuda's share was equal to the excess of Levi's share over Issachar's share.

Issachar's share turned out to be equal to a fifth of Reuven's share.

Yehuda's share turned out to be equal to a fifth of Shimon's share

יעקב חלק לחמשה בניו ל"ה דינרים

והיה חלק ראובן גדול משל לוי ושל לוי גדול משל יששכר
ושל שמעון כעודף ראובן על לוי
ושל יהודה כעודף לוי על ~~ישכ~~ יששכר
ואז מצא ישכר בחלקו חמשית של ראובן
ויהודה מצא בחלקו חמשית של שמעון

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=35\\\scriptstyle a_2=a_1-a_3\\\scriptstyle a_5=a_3-a_4\\\scriptstyle a_4=\frac{1}{5}a_1\\\scriptstyle a_5=\frac{1}{5}a_2\end{cases}

According to this, Reuven's share:= is 15.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=15}}

והנה ‫^[92]לפי זה חלק ראובן ט"ו

Levi's share is 5.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=5}}

וחלק לוי ה‫'

Issachar's share is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=3}}

וחלק יששכר ג‫'

Shimon's share is 10.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=10}}

וחלק שמעון י‫'

Yehuda's share is 2.

\scriptstyle{\color{blue}{a_5=2}}

וחלק יהודה ב‫'

Check: The total is 35.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=35}}

וכך כלם ל"ה

The one who asks says: Jacob gave his five sons 60 dinar according to the previous problem.

והנה אמר השואל יעקב חלק לה' בניו ס' דינרי' כפי השאלה הקודמ‫'

Do as follows:

עשה כפי זה הדרך

Rule of Three: If you want to find Reuven's share, say: if, when the amount of money is 35 dinar, Reuven's share is 15, when the amount of money is 60, how much is his share?

\scriptstyle{\color{blue}{35:15=60:a_1}}

אם תרצה לדעת חלק ראובן אמור אם בהיות סכום המעות [ל"ה היה חלק ראובן ט"ו בהיות סכום]‫^[93] הדינרי' ס' כמה הוא חלקו

Say: 60 times 15 is 900. Divide it by 35; it is 25 and 25 parts of 35.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{60\sdot15}{35}=\frac{900}{35}=25+\frac{25}{35}}}

אמור ס' פעמים [ט"ו]‫^[94] הם תת"ק

חלקם בל"ה יהיו כ"ה וכ"ה חלקים מל"ה

Rule of Three: To find Levi's share, say: if, when the amount of money is 35 dinar, Levi's share is 5, when the amount of money is [60], how much is [his share]?

\scriptstyle{\color{blue}{35:5=60:a_3}}

ולדעת חלק לוי אמור אם בהיות סכום הדינרי' ל"ה היה חלק לוי ה' בהיות סכום המעות ח' כמה יהיו

Say: 60 times 5 is 300. Divide it by 35; it is 8 and 20 parts of 35.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{60\sdot5}{35}=\frac{300}{35}=8+\frac{20}{35}}}

אמור ס' פעמי' [ה']‫^[95] הם ש‫'

חלקם בל"ה יהיו ח' דינרי' וכ' חלקים מל"ה

Rule of Three: To find Issachar's share, say: if, when the amount of money is 35 dinar, his share is 3, when the amount of money is 60, how much is [his share]?

\scriptstyle{\color{blue}{35:3=60:a_4}}

ולדעת חלק יששכר אמור אם בהיות סך המעות ל"ה דינרי' היה חלקו [ג']‫^[96] בהיות סך המעות ס' כמה יהיו

Say: 60 times 3 is 180. Divide it by 35; it is 5 and 5 parts of 35.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{60\sdot3}{35}=\frac{180}{35}=5+\frac{5}{35}}}

אמור ס' פעמים ג' הם ק"פ

חלקם בל"ה יהיו ה' וה' חלקים מל"ה

To find Shimon's share, which is as the excess of Reuven's [share] over Levi's [share]: his share is 17 and 5 parts of 35.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=a_1-a_3={\color{OliveGreen}{\left(25+\frac{25}{35}\right)-\left(8+\frac{20}{35}\right)}}=17+\frac{5}{35}}}

ולדעת חלק [שמעון שהוא כעודף ראובן על לוי יהיה חלקו י"ז וה' חלקים מל"ה

To find Yehuda's share, which is as the excess of Levi's [share] over Issachar's [share]: his share is 3 and 15 parts of 35.

\scriptstyle{\color{blue}{a_5=a_3-a_4={\color{OliveGreen}{\left(8+\frac{20}{35}\right)-\left(5+\frac{5}{35}\right)}}=3+\frac{15}{35}}}

ולדעת חלק]‫^[97] יהודה שהוא כעודף לוי על יששכר יהיו חלקו ג' וט"ו חלקי' מל"ה

Check: If you sum up all the numbers, it is 60. You find that Issachar's share is a fifth of Reuven's share and Yehuda's share is a fifth of Shimon's share.

ואם תקבץ כל המספרים יהיו ס‫'

ותמצ' [חלק]‫^[98] ~~ישכ~~ יששכר חומש חלק ראובן
ויהודה מצא חלקו חמישית חלק שמעון

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=60\\\scriptstyle a_4=\frac{1}{5}a_1\\\scriptstyle a_5=\frac{1}{5}a_2\end{cases}}}

Joint Purchase Problem - If You Give Me - Amounts of Money

Three friends.

One said to the second: all what is in my purse and a half of what both of you have will be 60.

The second answered: all what is in my purse and a third of what both of you have will be 60.

The third replied: all what is in my purse and a quarter of what both of you have will be 60.

How much money did each of them have?

שלשה חברים אומר הראשון לשני כל מה שבכיסי וחצי שניכם עולה ס‫'

ענה השיני כל מה שבכיסי ושליש שניכם עולה ס‫'
ענה השלישי כל מה שבכיסי ורביע שניכם עולה ס‫'
כמה מעות היו לכל אחד ואחד

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}Y+\frac{1}{2}Z=60\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}X+\frac{1}{3}Z=60\\\scriptstyle Z+\frac{1}{4}X+\frac{1}{4}Y=60\end{cases}

False Position: We find three numbers, which are 5, 11, 13 that match the question.

\scriptstyle{\color{blue}{X_1=5\quad Y_1=11\quad Z_1=13}}

מצאנו ג' מספרי' והם ה' י"א י"ג שהם כעין השאילה הזאת

Because, 5 says to 11 and 13: me and a half of both of you are 17.

\scriptstyle{\color{blue}{5+\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)=17}}

כי ה' אומ' לי"א ולי"ג אני וחצי שניכם י"ז

11 says to 13 and 5: me and a third of both of you are 17.

\scriptstyle{\color{blue}{11+\left(\frac{1}{3}\sdot5\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot13\right)=17}}

וי"א אומ' לי"ג [וה']‫^[99] אני ושליש שניכם י"ז

13 says to 11 and 5: me and a quarter of both of you are 17.

\scriptstyle{\color{blue}{13+\left(\frac{1}{4}\sdot5\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot11\right)=17}}

י"ג אומרת לי"א ולה' אני ורביע שניכם י"ז

You see that when it is said "the sum of the three of us is 17", the first has 5, the second has 11 and the third has 13. Now that it is said "the sum of the three of us is 60", we relate:

והנך רואה שאמרו מחובר שלשתינו י"ז יהיה לאחד ה' ולשני י"א ולשלישי י"ג ועכשיו שאמרו מחובר שלשתינו ס' נשיב לערכים

Rule of Three: We say: as the ratio of 5 to 17, so is the ratio of the first, who asks his friends for a half, to 60.

\scriptstyle{\color{blue}{5:17=X:60}}

ונאמר כערך ה' לי"ז כן ערך ראשון לס' הוא ששאל לחביריו החצי

Rule of Three: As the ratio of 11 to 17, so is the ratio of the middle, who asks his friends for a third, to 60.

\scriptstyle{\color{blue}{11:17=Y:60}}

וכערך י"א לי"ז כן ערך האמצעי [לס']‫^[100] הוא ששאל לחבירו השליש

Rule of Three: As the ratio of 13 to 17, so is the ratio of the greater, who asks his friends for a quarter, to 60.

\scriptstyle{\color{blue}{13:17=Z:60}}

וכערך י"ג לי"ז כן ערך הגדול אל ס' והוא ששאל לחביריו הרביע

Relate all the amounts the three mentioned like this:

וכן תעריך לכל הסכומים שיאמרו שלשתם

תשיב המורה ה' י"א י"ג

The proportion method is as follows:

ודרך הערכים הוא בעניין הזה

Rule of Three: If you want to know the share of the smaller, say: if, when the sum is 17, the share of the smaller is 5, how much is his share, when the sum is 60?

\scriptstyle{\color{blue}{17:5=60:X}}

‫[אם תרצה לדעת חלק הקטון אמור אם בעת שהמחובר י"ז יהיה חלק הקטן ה' בהיות המחובר ס' כמה הם חלקו

Say: 60 times 5 is 300. Divide it by 17; it is 17 and 11 parts of 17.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{60\sdot5}{17}=\frac{300}{17}=17+\frac{11}{17}}}

אמור ס' פעמי' ה' הם ש‫'

חלקם בי"ז יהיו י"ז וי"א חלקים מי"ז

Rule of Three: To know the share of the middle, say: if, when the sum is 17, the share of the middle is 11, how much is his share, when the sum is 60?

\scriptstyle{\color{blue}{17:11=60:Y}}

ולדעת חלק האמצעי אמור אם בעת שהמחבר י"ז שוה החלק האמצעי י"א בהיות המחבר ס' כמה הוא חלקו

Say: 60 times 11 is 660. Divide it by 17; it is 38 and 14 parts of 17.

\scriptstyle{\color{blue}{Y=\frac{60\sdot11}{17}=\frac{660}{17}=38+\frac{14}{17}}}

אמור ס' פעמי' י"א הם תר"ס

חלקם בי"ז יהיו ל"ח וי"ד חלקים מי"ז

Rule of Three: To know the share of the greater, say: if, when the sum is 17, the share of the greater is 13, how much is his share, when the sum is 60?

\scriptstyle{\color{blue}{17:13=60:Z}}

ולדעת חלק הגדול אמור אם בעת שהמחבר הוא י"ז יהיה חלק הגדול י"ג בהיות המחובר ס' כמה הוא חלקו

Say: 60 times 13 is 780. Divide it by 17; it is 45 and 15 parts of 17.

\scriptstyle{\color{blue}{Z=\frac{60\sdot13}{17}=\frac{780}{17}=45+\frac{15}{17}}}

אמור ס' פעמי' י"ג הם תש"פ

חלקם בי"ז יהיו מ"ה וט"ו חלקים מי"ז

The order of the matter is as follows:

ויהיה סדר העניין כן

The smaller says: I am 17 and 11 parts of 17, with half the middle, which is 19 and 7 parts of 17, and with half the greater, which is 22 and 16 parts of 17 - the sum of the three of us is 60.

אומר הקטן אני שאני י"ז וי"א חלקים מי"ז וחצי האמצעי שהם י"ט וז' חלקים מי"ז וחצי הגדול שהם כ"ב וי"ו חלקים מי"ז מחובר שלשתינו עולה ס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X+\frac{1}{2}Y+\frac{1}{2}Z &\scriptstyle=\left(17+\frac{11}{17}\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(38+\frac{14}{17}\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(45+\frac{15}{17}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(17+\frac{11}{17}\right)+\left(19+\frac{7}{17}\right)+\left(22+\frac{16}{17}\right)=60\\\end{align}}}

The middle says: I am 38 and 14 parts of 17, with a third of the smaller, which is 5 and 15 parts of 17, and with a third of the greater, which is 15 and 5 parts of 17 - the sum of the three of us is 60.

ואומר האמצעי אני שאני ל"ח וי"ד חלקים מי"ז ושליש הקטן שהם ה' וט"ו חלקים מי"ז ושליש הגדול שהם ט"ו וה' חלקים מי"ז מחובר שלשתינו עולה שהם ס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle Y+\frac{1}{3}X+\frac{1}{3}Z &\scriptstyle=\left(38+\frac{14}{17}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(17+\frac{11}{17}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(45+\frac{15}{17}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(38+\frac{14}{17}\right)+\left(5+\frac{15}{17}\right)+\left(15+\frac{5}{17}\right)=60\\\end{align}}}

The greater says: I am 45 and 15 parts of 17, with a quarter of the smaller, which is 4 and 7 parts of 17, and with a quarter of the middle, which is 9 and 12 parts of 17 - the sum of the three of us is 60.

ואמר הגדול אני שאני מ"ה וט"ו חלקים מי"ז רביע הקטן שהוא ד' וז' חלקים מי"ז ורביע האמצעי שהוא ט' וי"ב חלקים מי"ז מחובר שלשתינו עולה ס‫']‫^[101]

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle Z+\frac{1}{4}X+\frac{1}{4}Y &\scriptstyle=\left(45+\frac{15}{17}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(17+\frac{11}{17}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(38+\frac{14}{17}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(45+\frac{15}{17}\right)+\left(4+\frac{7}{17}\right)+\left(9+\frac{12}{17}\right)=60\\\end{align}}}

Multiple Quantities Problems

Three Brothers - Money

Jacob gave his three sons 24 dinar.

Reuven's share was greater than Shimon's share, and Shimon's share was greater than Levi's share.

Reuven gave from his share to his two brothers as much as they had.

Shimon also gave his two brothers as much as they had.

Levi gave his two brothers as much as they had as well.

Then their shares were equal.

How much was the share of each of them at first?

שאלה יעקב חלק [כ"ד]‫^[102] דינרים לג' בניו

והיה חלק ראובן גדול משל שמעון וחלק שמעון גדול מחלק לוי
נתן ראובן לשני אחיו מחלקו כפי מה שהיה חלקם
ושמעון גם הוא נתן לשני אחיו כפי חלקם
ולוי גם הוא נתן לשני אחיו כשני חלקם
ואז נמצא חלק שלשתם שוה
כמה היה חלק כל אחד מהם בראשונה

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=24\\\scriptstyle2\sdot\left[2\sdot\left[a_1-\left(a_2+a_3\right)\right]\right]\\\scriptstyle=2\sdot\left[\left(2\sdot a_2\right)-\left[\left[a_1-\left(a_2+a_3\right)\right]+\left(2\sdot a_3\right)\right]\right]\\\scriptstyle=\left[2\sdot\left(2\sdot a_3\right)\right]-\left[\left[2\sdot\left[a_1-\left(a_2+a_3\right)\right]\right]+\left[\left(2\sdot a_2\right)-\left[\left[a_1-\left(a_2+a_3\right)\right]+\left(2\sdot a_3\right)\right]\right]\right]\end{cases}

Say that the part of the first is 4; the part of the second is 7; the part of the third is 13.

אמור כי החלק האחד היה ד' והחלק השני ז' והחלק השלישי י"ג

We find that at the end the share of each is 8 equally.

ונמצא באחרונה חלק כל אחד מהם ח' שוה בשוה

The Reuven's share was 13 [

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=13}}

]; Shimon's share was 7 [

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=7}}

]; and Levi's share was 4 [

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=4}}

].

והיה חלק ראובן י"ג וחלק שמעו' ז' וחלק לוי ד‫'

Reuven started and gave 7 of his 13 to Shimon as his share and 4 to Levi as his share.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1-\left(a_2+a_3\right)=13-\left(7+4\right)}}

והנה התחיל ראובן ונתן מן הי"ג שלו ז' לשמעון כפי חלקו וד' [ל]לוי כפי חלקו

Shimon, whose share is 14 now, gave 2 to Reuven as his share and 8 to Levi as his share.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot a_2\right)-\left[\left[a_1-\left(a_2+a_3\right)\right]+\left(2\sdot a_3\right)\right]=14-\left(2+8\right)}}

‫[ושמעון שחלקו מעתה הם י"ד נתן ב' לראובן כפי חלקו וח' ללוי כפי חלקו]‫^[103]

Levi, whose share is 16 now, gave 4 to Reuven and 4 to Shimon.

ולוי שחלקו הם מעתה י"ו נתן ד' לראובן וד' לשמעון

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[2\sdot\left(2\sdot a_3\right)\right]-\left[\left[2\sdot\left[a_1-\left(a_2+a_3\right)\right]\right]+\left[\left(2\sdot a_2\right)-\left[\left[a_1-\left(a_2+a_3\right)\right]+\left(2\sdot a_3\right)\right]\right]\right]\\&\scriptstyle=16-\left(4+4\right)\\\end{align}}}

Now, each has 8.

מעתה יש לכל אחד ואחד מהם ח‫'

Selling Cloth

A man gave his three sons 30 cubits of cloth to sell and they went to sell them in the market.

One sold one cubit for 4 dinar, the second sold one cubit for 5 dinar, and the third sold one cubit for 6 dinar.

All of them earned the same amount of money.

How many cubits of cloth did each of them sell and how much money did each of them get?

אדם אחד נתן לשלש[ת] [בניו]‫^[104] ‫^[105]שלשי' אמות בגד למכור הלכו בשוק למכרו

האחד מכר בד' דינרי' האמה והשני מכר בה' דינרי' האמה והשלישי מכר בו' דינרי' האמה
וכלם הביאו מעות בשוה
כמה מעות בגד מכר אחד כל אחד וכמה מעות הביא כל אחד

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=30\\\scriptstyle4a_1=5a_2=6a_3\end{cases}

False Position: First say: a quarter, a fifth, and a sixth are found in 60.

אמור תחלה רביע וחומש ושתות ימצאו בס‫'

Denominator: The quarter is 15; the fifth is 12; the sixth is 10; their sum is 37 and this is the denominator.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=15+12+10=37}}

הרביע הוא ט"ו והחומש הוא י"ב והשתות י' וכללם ל"ז והוא המחלק

If you want to know how much cloth sold the one who sold one cubit for 4 dinar:

ואם תרצה לדעת כמה בגד מכר אותו שמכר בד' דינרי' האמה

Rule of Three: Say: the quarter of 60 is 15. Multiply it by the measure of the cloth, which is 30 cubits, and say: 15 times 30 is 450. Divide it by 37, which is the denominator; the result is 12 cubits and 6 parts of 37 of one cubit.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)\sdot30}{37}=\frac{15\sdot30}{37}=\frac{450}{37}=12+\frac{6}{37}}}

אמור הרביע מט"ו מס' הוא ט"ו ותרבה אותו על סך הבגד שהו' ל' אמות ואמור ט"ו פעמים ל' הם ת"נ

חלקם בל"ז שהוא המחלק יבאו י"ב אמות וו' חלקי' מל"ז מן האמה

If you want to know how much money received the one who sold one cubit for 4 dinar:

ואם תרצה לדעת כמה מעות קבל זה שמכר בד' דינרי' האמה

Say: for 12 cubits he received 48 dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot12=48}}

אמור מי"ב אמות קבל מ"ח דינרי‫'

Rule of Three: For the 6 parts of 37 do as follows: if 37, which is a whole cubit, is worth 48 pešiṭim, which is 4 dinar, how much are 6 parts of 37 worth?

\scriptstyle{\color{blue}{37:48=6:X}}

ומן הו' חלקים מל"ז עשה על זה הדרך אמור אם ל"ז שהם אמה שלמה שוה מ"ח פשיטי' שהם ד' דינרי' הו' חלקי' מל"ז כמה שוי‫'

Say: 6 times 48 is 288. Divide it by 37; the result is 7 pešuṭim and 29 parts of 37.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{6\sdot48}{37}=\frac{288}{37}=7+\frac{29}{37}}}

אמור ו' פעמי' מ"ח הם רפ"ח

חלקם בל"ז יבואו ז"פ וכ"ט חלקים מל"ז

So, he sold 12 cubits and 6 parts of 37.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=12+\frac{6}{37}}}

הרי שמכר י"ב אמות וו' חלקי' מל"ז

He received 48 dinar, 7 pešuṭim and 29 parts of 37.

\scriptstyle{\color{blue}{4a_1=48+\frac{7+\frac{29}{37}}{12}}}

וקיבל מ"ח דינרי' וז"פ וכ"ט חלקי' מל"ז

If you want to know how much cloth sold the one who sold one cubit for 5 dinar:

ואם תרצה לדעת כמה בגד מכר אותו שמכר בה' דינרי' האמה

Rule of Three: Say: the fifth of 60 is 12. Multiply it by the measure of the cloth, which is 30 cubits, and say: 12 times 30 is 360. Divide it by 37, which is the denominator; the result is 9 cubits and 27 parts of 37 of one cubit.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)\sdot30}{37}=\frac{12\sdot30}{37}=\frac{360}{37}=9+\frac{27}{37}}}

אמור החומש מס' הוא י"ב תרבה אותם עם סכום הבגד שהם ל' אמות ואמור י"ב פעמים ל' והם ש"ס

חלקם בל"ז שהוא המחלק יבואו ט' אמות וכ"ז חלקים מל"ז מן האמה

If you want to know how much money received the one who sold one cubit for 5 dinar:

ואם תרצה לדעת כמה מעות קבל אותו שמכר בה' דינרי' האמה

Say: for 9 cubits at 5 dinar for one cubit he received 45 dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9=45}}

אמור מט' אמות [בה' די' האמה]‫^[106] קבל מ"ה דינרי‫'

Rule of Three: For the 27 parts of 37 do as the first way, say: if 37, which is a whole [cubit], is worth 60 pešiṭim, which is 5 dinar, how much are 27 parts of 37 worth?

\scriptstyle{\color{blue}{37:60=27:X}}

ומן ה"ז הכ"ז חלקים מל"ז עשה על דרך הראשון ואמור אם מל"ז שהוא א' שלם שוי' ס' פשיטי' שהם ה' דינרי' הכ"ז חלקי' מל"ז כמה הם שוי‫'

Say: 27 times 60 is 1620. Divide it by 37; the result is 43 pešuṭim and 29 parts of 37.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{27\sdot60}{37}=\frac{1620}{37}=43+\frac{29}{37}}}

אמור כ"ז פעמי' ס' הם אלף ותר"כ

חלקם בל"ז יבואו מ"ג פשיטים וכ"ט חלקי' מל"ז

Add them to the 45 dinar he received for the 9 cubits of cloth he sold; this is what he sold at 5 dinar for one cubit.

‫[וצרף אותם עם המ"ה די' שקבל מט' אמות בגד שמכר הרי שזה שמכר בה' די' האמה

So, he sold 9 cubits and 27 parts of 37.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=9+\frac{27}{37}}}

ומכר ט' אמו' וכ"ז חלקים מל"ז

He received 48 dinar, 7 pešuṭim and 29 parts of 37, as the first.

\scriptstyle{\color{blue}{5a_2=48+\frac{7+\frac{29}{37}}{12}}}

קבל מ"ח די' וז' פשו' וכ"ט חלקים מל"ז]‫^[107] כמו הראשון

If you want to know how much cloth sold the one who sold one cubit for 6 dinar:

ואם תרצה לדעת כמה בגד מכר אותו שמכר בו' דינרי' האמה

Rule of Three: Say: the sixth of 60 is 10. Multiply it by the measure of the cloth, which is 30 cubits, and say: 10 times 30 is 300. Divide it by 37; it is 8 cubits and 4 parts of 37 of one cubit.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)\sdot30}{37}=\frac{10\sdot30}{37}=\frac{300}{37}=8+\frac{4}{37}}}

אמור [השתות מס' הוא י' תרבה אותם עם סכום הבגד שהם ל' אמות ואמו' י' פעמ' ל' הם ש‫'

חלקם בל"ז יהיו ח' אמות וד' חלקים מל"ז

If you want to know how much money received the one who sold one cubit for 6 dinar:

ואם תרצה לדעת כמה מעות קבל זה שמכר בו' די' האמה

Say: for 8 cubits he received 48 dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot8=48}}

אמו']‫^[108] מן הח' אמות קבל מ"ח דינרי‫'

Rule of Three: For the 4 parts of 37, say: if 37, which is a whole [cubit], is worth 72 pešiṭim, which is 6 dinar, how much are 4 parts of 37 worth?

\scriptstyle{\color{blue}{37:72=4:X}}

ומן הד' חלקים מל"ז אמור אם ל"ז שהוא אחד שלם שוה ע"ב פשיטי' שהם ו' דינרי' הד' חלקי' מל"ז כמה הם שוי‫'

Say: 4 times 72 is 288. Divide it by 37; the result is 7 pešuṭim and 29 parts of 37.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{4\sdot72}{37}=\frac{288}{37}=7+\frac{29}{37}}}

pešuṭim

אמור ד' פעמים ע"ב הוא רפ"ח

חלקם בל"ז יהיו ז"פ וכ"ט חלקים מל"ז

So, the one who sold one cubit for 6 dinar sold 8 cubits and 4 parts of 37 [of one cubit].

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=8+\frac{4}{37}}}

הרי שזה שמכר בו' דינרי' האמה מכר ח' אמות וד' חלקי' מל"ז אמות

He received 48 dinar, 7 pešuṭim and 29 parts of 37, as each of his friends.

\scriptstyle{\color{blue}{6a_3=48+\frac{7+\frac{29}{37}}{12}}}

וקבל מ"ח וז"פ וכ"ט חלקי' מל"ז ככל אחד מחבירו

Mixture and Alligation Problem

you gave the goldsmith 10 ounces of gold to create coins from them.

Two ounces of them were of 14 carat per ounce.

Three ounces of them were of 16 carat per ounce.

Five ounces of them were of 18 carat per ounce.

The goldsmith mixed all the gold together.

You want to know: how many carats per ounce all of them will be together?

\scriptstyle\frac{\left(2\sdot14\right)+\left(3\sdot16\right)+\left(5\sdot18\right)}{2+3+5}

הרי שנתת לצורף י' אונקיות זהב לעשות ממנו מעות

הב' אונקיות מהם היה זהב מי"ד קראטי האונקי‫'
והג' אונקיו' מהם היה זהב מי"ו קראטי האונקי‫'
והה' אונקיו' מהם היה זהב מי"ח קראטי [האונקי‫'
והצ]ורף צירף כל הזהב יחד
ותרצה לדעת מכמה קראטי יהיה [האונק' של הזה]ב שנתערב כלו יחד

Take take total sum of the ounces of gold; take also the sum of the carat; divide the [sum of] the carat by the sum of the ounces.

ואתה קח סכום כל הא' ‫^[109]על האוקיו' של זהב וקח סכום הקראטי ג"כ וחלק הקראטי לסכום האוקיו‫'

2 ounces of 14 carat are 28 carat.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot14=28}}

כיצד הב' אוקיו' לי"ד קראטי האוקי' עולות כ"ח קראטי

3 ounces of 16 carat are 48 carat.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot16=48}}

והג' אונקיו' מי"ו קראטי האוקיו' עולי' מ"ח קראטי

5 ounces of 18 carat are 90 carat.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot18=90}}

carat

והה' אונקיו' מי"ח קראטי עולות צ' קאראטי

The total sum is 166 carat.

\scriptstyle{\color{blue}{28+48+90=166}}

עולי' קס"ו קראטי בין הכל

Divide it by ten, as the number of ounces; each ounce is 16 carat and 3-fifths of one carat.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28+48+90}{2+3+5}=\frac{166}{10}=16+\frac{3}{5}}}

חלקם בעשרות כמניין האוקיו‫'

יבא לכל אונקי' י"ו קראטי וג' חומשי קראטי

The same for any number you wish.

וכן לכל חשבון שתרצה

Pricing Problems

When you know that the gold is 18 carat per ounce and you wish to know how many peraḥim is one ounce worth.

\scriptstyle\frac{18}{3}

כשתדע שהזהב הוא מי"ח קראטי האונקי' ותרצה לדעת כמה פרחי' שוה האוקי‫'

Convert every 18 carat into thirds; 18 thirds are 6 integers. So, every ounce of gold that is 18 carat per ounce is worth 6 peraḥim.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{3}=6}}

עשה מכל י"ח קראטי שלישיות וי"ח שלישיות הם ו' שלמים

הרי שהזהב שהוא מי"ח קראטי שוה האונקי' ממנו ו' פרחי‫'

But, you should subtract 6 pešiṭim for each carat, since the gold is not [pure?].

אמת שאתה צרי' לפחות מכל קראטי ו' פשי' בעבור שזה הזהב אינו קוניינטו

If the gold is 20 carat [per ounce] and you wish to know how much is one ounce worth?

\scriptstyle\frac{20}{3}

ואם הזהב מעשרי' קראטי ותרצה לדע' כמה שוה האונקי‫'

Convert the 20 carat into thirds. So, every ounce of gold that is 20 carat per ounce is worth 6 peraḥim and 2-thirds of one peraḥ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{3}=6+\frac{2}{3}}}

עשה מן הכ' קראטי שלישיות

הרי שהזהב שהוא מכ' קראטי שוה אונקי' ממנו ו' פרחי' וב' שלישי פרח

You should always subtract 6 pešiṭim for each carat.

ואתה צרי' לעולם לפחות ו"פ לכל קראטו

If the gold is 21 carat [per ounce].

\scriptstyle\frac{21}{3}

וכן אם הזהב הוא מכ"א קראטי

Say: 21 thirds are 7 integers; so the ounce is worth 7 peraḥim.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{21}{3}=7}}

אמור כ"א שלישיות הם ז' שלימים הרי ~~שבאוקי~~ ששוה ^האוקי' ז' פרחי‫'

If the gold is 24 carat [per ounce]

\scriptstyle\frac{24}{3}

וכן אם הזהב הוא מכ"ד קראטי

Say: 24 thirds are 8 integers; so the ounce is worth 8 peraḥim.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{24}{3}=8}}

אמור כ"ד שלישיות הם ח' שלימים הרי שהאוקי' שוה ח' פרחי‫'

You should always subtract 6 pešiṭim for each carat.

ואתה צריך לפחות ו' פשיטי לכל קראטו

So, each ounce is worth 12 dinar.

שיבואו י"ב דינרי' בין כל האונקיו‫'

The ounce weighs 8 peraḥim that are 18 pešuṭim for each peraḥ.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{6\sdot24=12\sdot12=8\sdot18}}

והאונקי' שוקלת ח' פרחי' שיבואו ד י"ח [פשוטי']‫^[110] לכל פרח

So, the gold that is not [pure?] is worth 18 pešuṭim minus one peraḥ [?]

הרי שהזהב מפרח שאינו קוניינטו שוה י"ח פ' פחו' מא' פרח

Shared Work Problem - Four rivers

Four rivers are flowing towards a fountain.

The first fills it in a day.

The second fills it in two days.

The third [fills it] in 3 days.

The fourth [fills it] in 4 days.

If all are flowing together, how long will it take them to fill [the fountain]?

\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=1

ארבע נהרות רצים אל מעיין אחד

האחד ממלאו ביום אחד
והשני ממלאו בשני ימים
והשלישי בג' ימים
והרביעי בד' ימים
ותרצה לדעת אם ירוצו כלם יחד בכמה זמן ימלאוהו

False Position: Do as follows: say: one, a half, a third, and a quarter are found in 12.

\scriptstyle{\color{blue}{12}}

עשה על זה הדרך אמור ראשון ושליש ורביע ימצאו י"ב

One is 12.

הראשון הוא י"ב

The half is 6.

החצי ו‫'

The third is 4.

השליש ד‫'

The quarter is 3.

הרביעי ג‫'

Denominator: Add them together; they are 25 and this is the denominator.

חבר אותם יחד יהיו כ"ה והוא המחלק

\scriptstyle{\color{blue}{12+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)=12+6+4+3=25}}

When you look, you find that [together] they fill 25 fountains in 12 days:

וכשתתבונן תמצא שי"ב ימים ימלאו כ"ה מעיינות

The one that fills it in one day - fills 12 fountains in 12 days.

כיצד הממלאו ביום אחד ביום בי"ב ימים ימלא י"ב מעיינות

The one that fills it in 2 days - fills 6 fountains in 12 days.

והממלאו בב' ימים ~~בכ"ד ימים~~ בי"ב ימים ימלא ו' מעיינות

The one that fills it in 3 days - fills 4 fountains in 12 days.

והממלאו בג' ימים בי"ב ימים ימלא [ד']‫^[111] מעיינות

The one that fills it in 4 days - fills 3 fountains in 12 days.

והממלאו בד' ימים בי"ב ימים ימלא ג' מעיינות

So, the four together fill 25 fountains in 12 days.

הרי שארבעתם יחד ימלאו בי"ב ימים כ"ה מעיינות

Rule of Three: Say: if 25 fountains are filled in 12 days, in how many parts of the day will it take for one fountain to be filled?

\scriptstyle{\color{blue}{25:12=1:X}}

אמור אם כן כ"ה מעיינות יתמלאו בי"ב ימים א' מעיין בכמה חלק מן היום יתמלא

Say: 1 time 12 is 12. Divide it by 25; the result is 12 parts of 25. So, when all four flow together, they fill it in 12 parts of 25 of a day.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot12}{25}=\frac{12}{25}}}

אמור א' פעם י"ב י"ב חלקם בכ"ה יבואו י"ב חלקים מכ"ה הרי שי"ב חלקים מכ"ה ‫^[112]מהיום ממלאים אותו כשירוצו מארבעתם יחד

If you want to know how much of the water flows from each of the rivers to the fountain:

ואם תרצה לדעת כמה חלק מן המים שם כל אחד מן הנהרות במעיין

Say: the first is 12; 12 times 1, for the fountain, which is one, is 12. Divide it by 25; the result is 12 parts of 25. So, the one that fills it alone in 1 day, fills 12 parts of 25 in one day.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot12}{25}=\frac{12}{25}}}

אמור הראשון הוא י"ב וי"ב פעמים א' בעבור המעיין שהוא א' הרי י"ב

חלקם בכ"ה יבואו י"ב חלקים מכ"ה
א"כ הממלאו ביום אחד שם בו ביום אחד י"ב חלקים מכ"ה

For the one that fills it alone in 2 days, say: a half of 12 is 6. Say: 6 times 1, for the fountain, is 6. Divide it by 25; the result is 6 parts of 25. So, it fills 6 parts of 25 of the fountain.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X=\frac{\frac{1}{2}\sdot12}{25}=\frac{6\sdot1}{25}=\frac{6}{25}}}

ואותו הממלאו בב' ימים אמור החצי מי"ב הוא ו' אמור ו' פעמי' א' בעבור המעיין הם ו‫'

חלקם בכ"ה יבואו ו' חלקים מכ"ה הרי ששם במעיין ו' חלקים מכ"ה

For the one that fills it alone in 3 days, say: a third of 12 is 4. Say: 4 times 1 is 4. Divide it by 25; the result is 4 parts of 25.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{\frac{1}{3}\sdot12}{25}=\frac{4\sdot1}{25}=\frac{4}{25}}}

והממלאו בג' ימים אמור השליש מי"ב הוא ד' אמו' ד' פעמי' א' ד‫'

חלקם בכ"ה יבואו ד' חלקים מכ"ה

For the one that fills it alone in 4 days, say: a quarter of 12 is 3. Say: 3 times 1 is 3. Divide it by 25; it fills 3 parts of 25 of the fountain.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{\frac{1}{4}\sdot12}{25}=\frac{3\sdot1}{25}=\frac{3}{25}}}

והממלאו בד' ימים אמור הרביע מי"ב הוא ג' אמור ג' פעמים א' ג‫'

חלקם בכ"ה הרי ששם במעיין ג' חלקי' מכ"ה מן המים

Do this way for any number you wish.

ועל זה הדרך תעשה לכל חשבון שתרצה

Multiple Quantities Problems

A man who had sons, their number is unknown, and he had peraḥim, their amount is not stated.

He said to the first: go to the box and take one peraḥ and a tithe of the remaining.

To the second he said: take for yourself two peraḥim and a tithe of the remaining.

So he said to all his sons.

To the last [son] he said: take all that remained in the box.

They went and took as he said and found out that they all received the same share equally.

How many were the sons, how many were the peraḥim, and how many peraḥim did each receive?

אדם אחד היה לו בנים לא נדע מספרם

והיו לו פרחי' לא אומר לך כמה
אמר לראשון לך בארגז וקח א' פרח והעשירית מכל הנשאר
ולשיני אמר קח לך ב' פרחי' והעשירית מכל הנשאר
וכן אמר לכל בניו
ולאחרון אמר קח כל מה שנשאר בארגז
הלכו ולקחו כמו שאמר ומצאו שקב שכלם קבלו בשוה
ועתה אמור כמה היו הבנים וכמה היו הפרחי' וכמה פרחי' באו לחלק כל אחד ואחד

\scriptstyle1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-1\right)\right]=2+\frac{1}{10}\sdot\left[X-\left[\left[1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-1\right)\right]\right]+2\right]\right]

Do this way: since the fraction in this calculation is a tenth, take its analogous ten. Subtract one from it; 9 remains, so the sons are 9.

\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(\frac{1}{10}\sdot10\right)=10-1=9}}

עשה על זה הדרך בעבור שהחשבון השבור שבזה החשבון הוא עשירית קח דוגמתו עשרה ותפחות מהם אחד ישארו ט' וט' היו הבנים

9 times 9 is [the number of] the peraḥim, which are 81.

\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot9=81}}

וט' פעמים ט' היו הפרחים והם פ"א

The share of each is 9 peraḥim.

וט' פרחים היה חלק כל אחד ואחד

The first received one peraḥ and a tenth of the remainder, which is 8. So, he received 9 peraḥim.

\scriptstyle{\color{blue}{1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(81-1\right)\right]=1+8=9}}

כיצד הראשון קבל א' פרח מן הפ"א ועשירית הנשאר שהוא ח' הרי שקיבל ט' פרחי‫'

72 [peraḥim] remain.

\scriptstyle{\color{blue}{81-9=72}}

ונשארו ע"ב

The second received 2 peraḥim from the 72 and a tenth of the remainder, which is 7. So, he received 9 peraḥim.

\scriptstyle{\color{blue}{2+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(72-2\right)\right]=2+7=9}}

השני קבל ב' פרחים מן הע"ב ועשירית הנשאר שהם ז' הרי שקיבל ט' פרחי‫'

63 [peraḥim] remain.

\scriptstyle{\color{blue}{72-9=63}}

ונשארו ס"ג

The third received 3 peraḥim from the 63 and a tenth of the remainder, which is 6. So, he received 9 peraḥim.

\scriptstyle{\color{blue}{3+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(63-3\right)\right]=3+6=9}}

השלישי קיבל ג' פרחי' מן הס"ג ועשירית הנשאר שהם ו' הרי שקבל ט' פרחי‫'

54 [peraḥim] remain.

\scriptstyle{\color{blue}{63-9=54}}

ונשארו נ"ד

The fourth received 4 [peraḥim] from the 54 and a tenth of the remainder, which is 5. So, he received 9 peraḥim.

\scriptstyle{\color{blue}{4+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(54-4\right)\right]=4+5=9}}

הרביעי קבל ד' מן הנ"ד ועשירית הנשאר שהם ה' פרחי' הרי שקבל ט‫'

45 [peraḥim] remain.

\scriptstyle{\color{blue}{54-9=45}}

ונשארו מ"ה

The fifth received 5 peraḥim from the 45 and a tenth of the remainder, which is 4. So, he received 9 peraḥim.

\scriptstyle{\color{blue}{5+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(45-5\right)\right]=5+4=9}}

החמשי קבל ה' פרחי' מן המ"ה ועשירית מן הנשאר שהם ד' הרי שקיבל ט‫'

36 [peraḥim] remain.

\scriptstyle{\color{blue}{45-9=36}}

ונשארו ל"ו

The sixth received 6 peraḥim from the 36 and a tenth of the remainder, which is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{6+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(36-6\right)\right]=6+3=9}}

הששי קבל ו' פרחי' א מן הל"ו ועשירית מן הנשאר שהם ג‫'

27 [peraḥim] remain.

\scriptstyle{\color{blue}{36-9=27}}

ונשארו כ"ז

The seventh received 7 peraḥim from the 27 and a tenth of the remaining 20, which is 2. So, he received 9 peraḥim.

\scriptstyle{\color{blue}{7+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(27-7\right)\right]=7+2=9}}

השביעי קיבל ז' פרחי' מן הכ"ז ועשירית הכ' הנשארי' שהם ב' הרי שקבל ט' פרחי‫'

18 [peraḥim] remain.

\scriptstyle{\color{blue}{27-9=18}}

ונשארו י"ח

The eighth received 8 peraḥim from the 18 and a tenth of the remaining 10, which is 1. So, he received 9 peraḥim.

\scriptstyle{\color{blue}{8+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(18-8\right)\right]=8+1=9}}

השמיני לקח ח' פר' מן הי"ח ועשירית הי' הנשארים שהוא א' הרי שקבל ט' פרחי‫'

9 [peraḥim] remain.

\scriptstyle{\color{blue}{18-9=9}}

ונשארו ט‫'

The ninth, which is the last, went and took all, which is the remaining 9 peraḥim.

התשיעי שהוא האחרון הלך ולקח הכל שהם הט' פרחי' הנשארי‫'

So, the sons are 9; the peraḥim are 9 times 9; and the share of each is 9 peraḥim.

הרי שט' היו הבני' וט' פע' ט' היו הפרחי' וט' פרחי' היה חלק כל אחד ואחד

Know that this is a general rule.

‫^[113]ודע כי זאת הריגולא היא כללם

If he said to the first: take one peraḥ and a ninth of the remaining;

and to the second [he said]: [take] two [peraḥim] and a ninth of the remaining;

and so [he said] to all of them;

and to the last [son] he said: take all that remained

\scriptstyle1+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(X-1\right)\right]=2+\frac{1}{9}\sdot\left[X-\left[\left[1+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(X-1\right)\right]\right]+2\right]\right]

וכמו כן אם אמר לראשון קח א' פרח ותשיעית הנשאר

ולשני ב' ותשיעית הנשאר
וכן לכלם
ולאחרון אמר קח כל מה שנשאר

Do according to the way mentioned, i.e. since the fraction in this calculation is a ninth, take its analogous nine and subtract one from it; eight remains, so the sons are eight.

\scriptstyle{\color{blue}{9-\left(\frac{1}{9}\sdot9\right)=9-1=8}}

יעשה על דרך הנזכר דהיינו בעבור שהחשבון השבור בזה החשבון הוא תש^יעית

יקח דוגמתו תשעה ויפחות מהם אחד וישארו שמנה ושמנה היו הבנים

8 times 8 are 64; so the peraḥim are 64.

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot8=64}}

וח' פע' ח' שהם ס"ד וס"ד היו הפרחים

So, each received 8 peraḥim.

וח' פרחי' יבואו לכל אחד ואחד

The same for any number you wish.

וכן לכל חשבון שתרצה

Rent Problems

If the house is rented at 6 liṭra a year or if you have [some money] that yields 6 liṭra a year, and you want to know how much it will yield a day:

\scriptstyle\frac{6\sdot\left(20\sdot12\right)}{360}=\frac{X}{1}

אם יהיה שכירות הבית ו' ליטרין לשנה או אם יהיה לך חשבון שירויח השנה ו' ליטרי' ותרצה לידע כמה יבא היום

Take 2-thirds of 6, which is 4; so it yields 4 pešiṭim a day.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2}{3}\sdot6=4}}

תפוש הב' שלישיות מו' שהם ד' וכן יבואו אילו ד"פ ליום אחד

The house is rented at, or [the money] earns 9 liṭra a year, and you want to know how much it will yield a day

\scriptstyle\frac{9\sdot\left(20\sdot12\right)}{360}=\frac{X}{1}

וכן אם יהיה שכירות הבית או ריוח החשבון ט' ליטרי' השנה ותרצה לדעת כמה יבא היום

Take 2 parts of 9, which is 6; so it yields 6 pešiṭim a day.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2}{3}\sdot9=6}}

קח מב' חלקים מט' שהם ו' יבואו ו"פ ליום

The house is rented at, or [the money] earns 12 liṭra a year, [how much will it yield a day]

\scriptstyle\frac{12\sdot\left(20\sdot12\right)}{360}=\frac{X}{1}

וכן יהיה שכירות הבית או ריוח החשבון י"ב ליטרי' השנה

Take two-thirds, which is 8; so it yields 8 pešiṭim a day.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2}{3}\sdot12=8}}

קח שני שלשיות והם ח' וכן יבואו ח' פשיטים בכל יום

Or, do this way: double the [number of] liṭra earned a year, then divide them into a third; the result are the pešiṭim earned a day.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a\sdot\left(20\sdot12\right)}{360}=\frac{X}{1}}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{X=\frac{1}{3}\sdot2a}}

או תעשה בעניין זה תכפול הליטר' שיבואו השנה וחלקם לשליש וכמספר העולה יהיו הפשיטי' שיבואו ליום

Example: if is rented at 6 liṭra a year:

דמיון זה אם יהיה השכירו ו' ליטרין השנה

Double it; it is 12. Divide it into a third; it is 4; so it yields 4 pešiṭim a day.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2\sdot6}{3}=\frac{12}{3}=4}}

תכפלם יהיו י"ב חלקם לשליש יהיו ד' הרי שיבואו ד"פ ליום

If is rented at 9 liṭra a year:

וכן אם יהיה השכירות ט' ליטרי' השנה

Double it; it is 18. Divide it into a third; it is 6; so it yields 6 pešiṭim a day.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2\sdot9}{3}=\frac{18}{3}=6}}

כפלם יהיו י"ח חלקם לשליש יהיו ו' הרי שיבואו ו' פשיטי' ליום

If is rented at 12 liṭra a year:

וכן אם יהיה השכירות י"ב ליט' השנה

Double it; it is 24. Divide it into a third; it is 8; so [it yields] 8 pešiṭim a day.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2\sdot12}{3}=\frac{24}{3}=8}}

כפלם יהיו כ"ד חלקם לשליש יהיו [ח']‫^[114] וכן יהיו ח"פ ליום

Do this way for any similar calculation.

ועל זה הדרך תעשה לכל חשבון הדומה לזה

If a man says: the house is rented at, or [the money] yields 4 pešiṭim a day, how many liṭra will be earned a year?

\scriptstyle\frac{4}{1}=\frac{X\sdot\left(20\sdot12\right)}{360}

ואם יאמר אדם [שכירות הבית או ריוח חשבון אחד עולה ד"פ ליום כמה ליט' יבואו השנה

Add to 4 its half, which is 2; it is 6; so it yields at this rate 6 liṭra a year.

\scriptstyle{\color{blue}{X=4+\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)=4+2=6}}

הוסף על ד' חציים שהם ב' ויהיו ו' וכן יבואו לחשבון זה ו' ליטרי' [השכיר']‫^[115] השנה]‫^[116]

If it is said: the house is rented at 6 pešiṭim a day, how many liṭra will be earned a year.

\scriptstyle\frac{6}{1}=\frac{X\sdot\left(20\sdot12\right)}{360}

‫^[117]וכן אם יאמר שכירות הבית ו' ליטרי' בשנה ו' פשיטי' ליום כמה ליטרי' יבואו השנה

Add to 6 its half; it is 9; so it yields a year.

\scriptstyle{\color{blue}{X=6+\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)=6+3=9}}

הוסף על ו' חציים ג' הוא ט' וכן יבא ט' לשנה

If it is said: the house is rented at 8 pešiṭim a day, how many liṭra will be earned a year

\scriptstyle\frac{8}{1}=\frac{X\sdot\left(20\sdot12\right)}{360}

וכן אם יאמר שכירות הבית הוא ח' פשיטים ליום כמה ליטרי' יבאו השנה

Add to 8 its half, which is 4; it is 12; so it yields 12 liṭra a year.

\scriptstyle{\color{blue}{X=8+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=8+4=12}}

הוסף על ח' חציים שהם ד' יהיו י"ב וכך יהיו י"ב ליטרי' לשנ‫'

Do this way for any number you want.

ועל זה הדרך תעשה כל חשבון שתרצה

Pricing Problems

If you buy one kikkar for 7 liṭra, and you want to know how much one liṭra is worth.

\scriptstyle\frac{7\sdot\left(20\sdot12\right)}{100}=\frac{X}{1}

אם תקנה הככר מן הלוחות או מאיזה דבר שתרצה בז' ליט' ותרצה לדעת כמה יבא האחד

Take 2 pešuṭim and 2-fifths for each liṭra.

קח לכל ליט' ב' פשוטי' וב' חמישייו‫'

Then, double 7; they are 14 pešuṭim and 14-fifths; so the total is 17 pešuṭim minus a fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{X=7\sdot\left(2+\frac{2}{5}\right)=14+\frac{14}{5}=17-\frac{1}{5}}}

אם כן תכפול ז' ויהיו י"ד פשוטי' וי"ד חומשים הרי בן כולם י"ז פשוטי' פחו' מחומש

If you buy one kikkar for 5 liṭra.

\scriptstyle\frac{5\sdot\left(20\sdot12\right)}{100}=\frac{X}{1}

וכן אם תקנה הככר בה' ליט‫'

Double 5; it is 10. So, at this rate it is worth 10 pešuṭim and 10-fifths that are 12 pešuṭim.

\scriptstyle{\color{blue}{X=5\sdot\left(2+\frac{2}{5}\right)=10+\frac{10}{5}=12}}

כפול ה' יהיו י' הרי שיבוא לזה החשבו' י' פשוטי' וי' חמשייו' שהם י"ב פשוטים

If you buy one kikkar for 9 liṭra.

\scriptstyle\frac{9\sdot\left(20\sdot12\right)}{100}=\frac{X}{1}

וכן אם תקנה הככר בט' ליט' ליט‫'

Double 9; it is 18 and 18-fifths, which are 21 pešuṭim and 3-fifths.

\scriptstyle{\color{blue}{X=9\sdot\left(2+\frac{2}{5}\right)=18+\frac{18}{5}=21+\frac{3}{5}}}

כפול ט' יהיו יהיו י"ח וי"ח חמשיות שהם כ"א פשו' וג' חמשיות

One kikkar for 25 liṭra.

\scriptstyle\frac{25\sdot\left(20\sdot12\right)}{100}=\frac{X}{1}

וכן לחשבון כ"ה ליט' הככר

One is worth 50 pešuṭim and 50-fifths, which are 5 [dinar].

\scriptstyle{\color{blue}{X=25\sdot\left(2+\frac{2}{5}\right)=50+\frac{50}{5}=5\sdot12}}

יבא האחד נ' פשו' ונ' חמשיות שהם ה‫'

One kikkar for 30 liṭra.

\scriptstyle\frac{30\sdot\left(20\sdot12\right)}{100}=\frac{X}{1}

וכן לחשבון ל' ליט' הככר

One is worth 60 pešuṭim and 60-fifths, which are 6 dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{X=30\sdot\left(2+\frac{2}{5}\right)=60+\frac{60}{5}=6\sdot12}}

יבא האחד ס' פשו' וס' חמשיות שהם ו' דינ‫'

If there are dinar included, for example: one kikkar for 10 liṭra and 3 dinar.

\scriptstyle\frac{\left[10\sdot\left(20\sdot12\right)\right]+\left(3\sdot12\right)}{100}=\frac{X}{1}

ואם יהיו שם די' כגון שיבא הככר י' ליט' וג' די‫'

Take for each dinar 3 parts of 25 [of one pašuṭ].

קח לכל די' ג' חלקים מכ"ה

The 10 liṭra are worth 2 dinar, as you know.

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(2+\frac{2}{5}\right)=2\sdot12}}

ומן הי' ליט' יבואו ב' די' כמו שידעת

The 3 dinar are worth 9 parts of 25.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{25}\sdot3=\frac{9}{25}}}

ובעבו' הג' די' יבואו ט' חלקים מכ"ה

So, always add 3 parts of 25 for each dinar.

וכן לעולם תוסיף לכל די' ג' חלקים מכ"ה

Interest and Discount Problems - Find the Earned Interest

You pay 12 liṭra for one kikkar a year.

You want to know: how many pešuṭim for one liṭra a month should be given?

\scriptstyle\frac{12\sdot\left(20\sdot12\right)}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot1}

ואם תתן י"ב ליט' מן הככר לשנה

ותרצה לידע לחשבו' כמה פשוטי' הליט' יבוא החודש

Take one fifth [of a pašuṭ] for each liṭra given for the kikkar.

תפוש מכל ליט' שיבא הככר א' חומש

So, one liṭra a month is worth 12-fifths, i.e. 2 pešuṭim and 2-fifths.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{5}\sdot12=\frac{12}{5}=2+\frac{2}{5}}}

אם כן יבא לחשבו' י"ב חומשי' דהיינו לחשבו' ב' פשוטי' וב' חמישייו' החודש הליט‫'

At 7 liṭra for one kikkar a year, how much will one liṭra yield a month?

\scriptstyle\frac{7\sdot\left(20\sdot12\right)}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot1}

ולחשבו' ז' ליט' הככר לשנה יבוא הליט' א' חודש

It is worth 7-fifths, which is 1 pašuṭ and 2-fifths.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{5}\sdot7=\frac{7}{5}=1+\frac{2}{5}}}

לחשבו' ז' חומשים שהוא א' פשוט וב' חמישייו‫'

At 8 liṭra for one kikkar a year.

\scriptstyle\frac{8\sdot\left(20\sdot12\right)}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot1}

ולחשבון ח' ליט' הככר לשנה

One liṭra a month is worth [8]-fifths, which is 1 pašuṭ and 3-fifths of [one pašuṭ].

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{5}\sdot8=1+\frac{3}{5}}}

יבא חמשים שהם א' פשוט וג' חמשי' פשוטי' לליט' בחדש

At 10 liṭra for one kikkar a year.

\scriptstyle\frac{10\sdot\left(20\sdot12\right)}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot1}

ולחש[ב]ון י' ליט' הככר לשנה

One liṭra a month is worth 10-fifths, which is 2 pešuṭim.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{5}\sdot10=\frac{10}{5}=2}}

יבא לחשבון י' חמשים שהוא לחשבון ב' פשו' החדש לליט‫'

The same for any number you want.

וכן לכל חשבון שתרצה

You lend 3 dinar at 6 pešuṭim for one liṭra a month.

You want to know: how much will be earned in one month?

\scriptstyle\frac{6}{1\sdot20}=\frac{X}{1\sdot3}

אם תלוה שלשה דינרי' לחשבון ו' פשיטי' החדש הליטר‫'

ותרצה לידע כמה יבא החדש

Rule of Three: Say: if 20 dinar yield 6 pešiṭim, how much will 3 dinar yield?

\scriptstyle{\color{blue}{20:6=3:X}}

אמור אם מכ' דינרים יבא ו' פשיטי' מג' דינרי כמה יעלו יבאו

Say: 3 times 6 is 18. Divide it by 20; the result is 18 parts of 20 of one pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{3\sdot6}{20}=\frac{18}{20}}}

אמור ג"פ ו' י"ח

חלקם בכ' יבואו י"ח חלקים מכ' בפשוט

You lend 5 dinar at 7 pešuṭim for one liṭra a month.

You want to know: how much will be earned in one month?

\scriptstyle\frac{7}{1\sdot20}=\frac{X}{1\sdot5}

וכן אם תלוה ה' דינרי' לחשבון ז' פשיטי' הליט' בחדש

ותרצה לידע כמה יבא בחדש

Rule of Three: Say: if 20 dinar yield 7 pešiṭim, how much will 5 dinar yield?

\scriptstyle{\color{blue}{20:7=5:X}}

אמור אם מכ' דינרי' יבא ז' פשי' מה' דינרי' כמה יבואו

Say: 5 times 7 is 35. Divide it by 20; the result is 1 pašuṭ and 15 parts of 20 of one pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot7}{20}=\frac{35}{20}=1+\frac{15}{20}}}

אמור ה' פעמים ז' ל"ה

חלקם בכ' יבואו א' פשוט וט"ו חלקים מכ' בפשוט

Always apply this way.

ועל זה הדרך תעשה לעולם

You lend 3 dinar for 9 months at 6 pešuṭim for one liṭra a month.

You want to know: how much will be earned?

\scriptstyle\frac{6}{1\sdot20}=\frac{X}{9\sdot3}

אם תלוה שלשה דינרי' לחשבון ו' פשו' הליט' בחדש ועמדו ט' חדשי' ותרצה לידע כמה יבואו

Say: 3 times 9 is 27. So, 3 dinar yield in 9 month as 27 dinar yield in one month at 6 pešuṭim for one liṭra a month.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot9=27}}

אמור ג' פעמים ט' הם כ"ז

וכמו שיבואו כ"ז דינרי' א' חודש לחשבון ו' פשו' הליט' בחדש כן יבואו ג' דינרי' ט' חדשים

You lend 7 dinar for 10 months at 5 pešuṭim for one liṭra a month.

You want to know: how much will be earned?

\scriptstyle\frac{5}{1\sdot20}=\frac{X}{10\sdot7}

וכן אם תלוה ז' דינרי' לחשבון ה' פשיטי' הליט' בחדש ועמדו י' חדשים ותרצה לדעת כמה יבאו

Say: 7 times 10 is 70. So, 7 dinar yield in 10 month as 70 dinar that are 3 liṭra and a half yield in one month at 5 pešuṭim for one liṭra a [month].

\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot10=70=\left(3+\frac{1}{2}\right)\sdot20}}

אמור ז' פעמי' י' הם ע‫'

וכמו שיבאו ע' דינרי' שהם ג' ליטרין וחצי א' חדש הליט' לחשבון ה' פשיט הליט' השנה כן יבואו הז' דינרי' י' חדשים

You lend 9 dinar for 5 months at 5 pešuṭim for one liṭra a month.

You want to know: how much will be earned?

\scriptstyle\frac{5}{1\sdot20}=\frac{X}{5\sdot9}

וכן אם תלוה ט' דינרי' לחשבון ה' פשי' הליט' החדש ועמדו ה' חדשים ותרצה לדעת כמה יבואו

Say: 5 times 9 is 45. So, 9 dinar yield in 5 month as 45 dinar yield in one month at 5 pešuṭim for one liṭra a [month].

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9=45}}

אמור ה' פעמי' ט' מ"ה

וכמו שיבואו מ"ה דינרי' א' חדש לחשבון [ה]"פ הלי' השנה כן יבואו הט' דינרי' ה' חדשים

The same for any number you wish.

וכן לכל חשבון שתרצה

You lend one kikkar at 12 liṭra a year.

You want to know: how much it will yield a month?

\scriptstyle\frac{12\sdot20}{12\sdot1}=\frac{X}{1\sdot1}

אם תלוה הככר בי"ב ליטרי' השנה

ותרצה לידע כמה יבא החדש

The rule: always multiply the [number of] liṭra earned in one year bu 5 and the result is the yadot.

דרך ריגולא תרבה הליט' שיבואו השנה לעולם על ה' ומה שיעלה יהיה ידות

For example, say: 12 times 5 is 60. We find that they are 60 yadot that are 20 dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot5=60=20\sdot3}}

דמיון זה אמור י"ב פעמים ה' הם ס' נמצא שהם ס' ידות

שהם כ' דינרי‫'

You lend one kikkar at 5 liṭra a year.

You want to know: how much it will yield a month?

\scriptstyle\frac{5\sdot20}{12\sdot1}=\frac{X}{1\sdot1}

ואם תלוה הכיכר לחשבון ה' ליטרי' לשנה

ותרצה לידע כמה יבא החדש

Say: 5 times 5 is 25, which is 25 yadot that are 8 dinar and 4 pešiṭim; and so it yields a month.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot5=25=\left(8+\frac{4}{12}\right)\sdot3}}

אמור ה' פעמים ה' כ"ה והם כ"ה ידות שהם ח' דינרי' וד' פשיטי' וכן יבא החדש

You lend one kikkar at 6 liṭra a year

\scriptstyle\frac{6\sdot20}{12\sdot1}=\frac{X}{1\sdot1}

וכן אם תלוה הכיכר לחשבון ו' ליטרי' השנה

Say: 5 times 6 is 30, which is 30 yadot that are 10 dinar; and so it yields a month.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30=10\sdot3}}

אמור ה' פעמים ו' הם ל' והם ל' ידות שהם י' דינרי' וכן יבא החדש

At one kikkar at 8 liṭra a year, you want to know how much it will yield a month

\scriptstyle\frac{8\sdot20}{12\sdot1}=\frac{X}{1\sdot1}

ולחשבון ח' ליטרי' הככר לשנה אם תרצה לידע כמה יבא החדש

Say: 5 times 8 is 40, which is 40 yadot that are 13 dinar and 4 pešiṭim; and so it yields a month.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot8=40=\left(13+\frac{4}{12}\right)\sdot3}}

אמור ה' פעמי' ח' הם מ' והם מ' ידות שהם י"ג דינרי' וד"פ

If there are dinar involved, take 1 pašuṭ for every dinar.

ואם יהיו שם דינרי' תפוש מכל דינר א' פשוט

The same for any number you want.

וכן לכל חשבון שתרצה

Interest and Discount Problems (MS Verona)

I lent 20 dinar for one year at 4 pešuṭim for one liṭra a month, then some of the money was cashed.

What remained was lent for another year and some of the money was cashed as before.

Then what remained was lent for a third year at 4 pešuṭim for one liṭra a month.

At the end of the year some money was cashed as was done at the end of the first and the second year and no pašuṭ was left.

הלוויתי כ' דינ' לחשבון ד' פשו' לליט' בחדש עמדו שנה אחת והחזיר קצת מהמעות

והנשארים עמדו שנה אחת והחזיר קצת מהמעו' כמו שנתן בראשונה
והנשארים עמדו שנה שלשית לחשבון ד' פשוטי' לליט' בחדש
ובסוף השנה נתן כל כך מעות כמו שנתן בסוף שנה ראשונה ושנייה ולא נשאר לתת שום פשוט

\scriptstyle20+4-X+\left[\frac{4}{20}\sdot\left(20+4-X\right)\right]-X+\left[\frac{4}{20}\sdot\left[20+4-X+\left[\frac{4}{20}\sdot\left(20+4-X\right)\right]-X\right]\right]=X

The three payments are 28 dinar, 5 pešuṭim and 73 parts of 91.

\scriptstyle{\color{blue}{3X=28+\frac{5+\frac{73}{91}}{12}}}

עולים הג' פרעונות כ"ח דינ' וה' פשוטים וע"ג חלקים מצ"א

So, each payment is 9 dinar, 5 pešuṭim and 85 parts of 91.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{28+\frac{5+\frac{73}{91}}{12}}{3}=9+\frac{5+\frac{85}{91}}{12}}}

הרי שיבא בכל פרעון ופרעון ט' די' וה' פשו' ופ"ה חלקים מצ"א

If a man asks you: I lent one liṭra for 3 pešuṭim a month.

How much will 60 liṭra make in 8 months?

\scriptstyle\frac{3}{1\sdot1}=\frac{X\sdot\left(20\sdot12\right)}{8\sdot60}

אם ישאלך אדם הלוותי מעות לחשבון ג' פשוטי' לליט' בחדש

כמה יבואו לס' ליט' בח' חדשים

Multiply the 3 pešuṭim by the months and say: 3 times 8 is 24 pešuṭim that are 2 dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot8=24}}

תרבה אלו הג' פשו' עם החדשים ואמור ג' פעמי' ח' הם כ"ד כ"ד פשוטי' שהם ב' דינ‫'

Then, multiply the 2 dinar by the 60 liṭra and say: 60 times 2 are 120 dinar that are 6 liṭra. So, 60 liṭra at one liṭra for 3 pešuṭim a month yield 6 liṭra in 8 months.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot60=120=20\sdot6}}

אחר כך תרבה אלו הב' די' עם הס' ליט' ואמור ס' פעמים ב' הם ק"כ דינ' שהם ו' ליט‫'

נמצא הס' ליט' לחשבון ג' פשוטי' הליט' לחדש יבואו ו' ליט' לח' חדשים

If a man says: I lent one liṭra for so and so pešuṭim a month.

How many liṭra will yield one pašuṭ a day?

\scriptstyle\frac{a}{30\sdot1}=\frac{1}{1\sdot X}

אם יאמר אדם הלויתי מעות לחשבון כך וכך לליט' לחדש

כמה ליט' ירוויחו ביום אחד א' פשו‫'

We divide 30 liṭra by as much money that one liṭra yields a month.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30}{a}}}

נחלק ל' ליט' בכל כך חלקים כמו המעו' שהרויח הליט' לחדש

Example: I lent one liṭra for 2 pešuṭim and a half a month.

You want to know how many liṭra will yield one pašuṭ a day at this price.

\scriptstyle\frac{2+\frac{1}{2}}{30\sdot1}=\frac{1}{1\sdot X}

המשל בזה הרי שהלוותי הליט' בב' פשו' וחצי לחדש

ותרצה לידע כמה ליט' ירוויחו ביום אחד א' פשו' לפי זה החשבון

We divide 30 liṭra by 2 and a half; the result is 12 liṭra. We find that 12 liṭra yield one pašuṭ a day.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30}{2+\frac{1}{2}}=12}}

נחלק ל' ליט' בב' וחצי יבואו י"ב ליט‫'

נמצא שבי"ב ליט' יבואו ביום אחד א' פשוט ביום אחד א' פשוט

If a man says: one kikkar yields 37 liṭra, 18 dinar, and 7 pešuṭim a year.

How long will it take 65 liṭra to yield the same?

\scriptstyle\frac{\left[37\sdot\left(20\sdot12\right)\right]+\left(18\sdot12\right)+7}{12\sdot100}=\frac{\left[37\sdot\left(20\sdot12\right)\right]+\left(18\sdot12\right)+7}{X\sdot65}

אם יאמר אדם הככר מריוח השנה ל"ז ליט' וי"ח דינ' וז' פשוטי‫'

ס"ה ליט' בכמה זמן ירוויחו כהם

Multiply the 100 liṭra by the 12 months of the year and say: 12 times 100 is 1200. Divide it by 65; the quotient is [18] months, 13 days and 11 parts of 13 of one day, i.e. parts of 65 and this is the time it takes 65 liṭra to yield as much as the kikkar yields a year.

תרבה הק' ליט' עם י"ב חדשי השנה ואמור י"ב פעמים ק' הם אלף ור‫'

חלקם על ס"ה יבואו לכל חלק י"ב חדשים וי"ג ימים וי"א חלקים מי"ג ביום ר"ל חלקים מס"ה ובזה הזמן ירוויחו ס"ה ליט' כמו שירויח הככר לשנה

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{100\sdot12}{65}=\frac{1200}{65}=18+\frac{13+\frac{55}{65}}{30}=18+\frac{13+\frac{11}{13}}{30}}}

Whether the kikkar yields 37 liṭra, 18 dinar, and 7 pešuṭim a year as we [said], or 20 liṭra, or 30, or any number it may be.

בין לחשבון ל"ז ליט' וי"ח דינ' וז' פשו' הככר לשנה כמו שעשינו

בין לחשבון כ' ליט' בין לחשבון כ"ה בין לחשבון ל' בין לאי זה חשבון שיהיה

If it is said: 20 liṭra yield 4 liṭra a year.

How long will it take 30 liṭra to yield the same?

\scriptstyle\frac{4}{20\sdot12}=\frac{4}{X\sdot30}

וכן אם יאמר כ' ליט' ירוויחו לשנה ד' ליט‫'

ל' ליט' בכמה זמן ירוויחו כהם

Do as you did above and say: 20 times 12 is 240. Divide it into 30 parts; the result is 8 months. We find that 30 liṭra yield in 8 months the same as 20 liṭra yield in one year.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20\sdot12}{30}=\frac{240}{30}=8}}

עשה כמו שעשית למעלה ואמור כ' פעמים י"ב הם ר"מ

חלקם בל' חלקים יבואו ח' חדשים
נמצא שהל' ליט' ירוויחו בח' חדשים כמו שירוויחו הכ' ליט' בא' שנה

If it is said: I lent one liṭra for 3 pešuṭim a month.

You want to know in how many days will one liṭra yield one pašuṭ.

\scriptstyle\frac{3}{30\sdot1}=\frac{1}{X\sdot1}

אם יאמר הלוויתי הליט' לחשבון ג' ג' פשו' הליט' בחדש

ותרצה לידע בכמה ימים תרוויח הליט' א' פשוט

Divide 30 days into 3 parts; the result is 10 days for each part. So, one liṭra yields in 10 days 1 pašuṭ at 3 pešuṭim a month for one liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{3}=10}}

תחלק ל' יום בג' חלקים יבואו י' ימים לכל חלק

הרי שבי' ימים תרויח הליט' א' פשו' לחשבון ג' פשו' הליט' לחדש

Rule of Three: This calculation is as follows, say: if 3 pešuṭim are earned a day for one liṭra, in how many days will 1 pašuṭ be earned?

\scriptstyle{\color{blue}{3:30=1:X}}

וזה החשבון יוצא כך אמור אם ג' פשו' ירויחו לא' ליט' בא' יום א' פשוט בכמה ימים ירויח

Say: 1 time 30 is 30. Divide it by 3; the result is 10 days.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30\sdot1}{3}=\frac{30}{3}=10}}

אמור א' פעם ל' הוא ל‫'

חלקם בג' יבואו י' ימים

One kikkar yields so and so liṭra a year.

How many liṭra will yield one pašuṭ a day?

\scriptstyle\frac{a\sdot\left(20\sdot12\right)}{360\sdot100}=\frac{1}{1\sdot X}

אם הככר ירוויח בשנה כך וכך וכך ליט' כמה ליט' ירויחו ביום א' פשוט

Divide 150 into as many parts as the [number of] liṭra earned by one kikkar a year.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{a}}}

חלק ק"נ בכל כך חלקים כמו הליט' שירויח הככר לשנה

Example: one kikkar yields 12 liṭra a year.

You wish to know how many liṭra will yield one pašuṭ a day?

\scriptstyle\frac{12\sdot\left(20\sdot12\right)}{360\sdot100}=\frac{1}{1\sdot X}

המשל בזה הככר ירויח י"ב ליט' בשנה

ותרצה לידע כמה ליט' ירויחו ביום אחד א' פשוט

Divide 150 liṭra into 12 parts; the result is 12 liṭra and a half in each part. So, 12 liṭra and a half yield one pašuṭ a day.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{12}=12+\frac{1}{2}}}

חלק ק"נ ליט' בי"ב חלקים ויעלו י"ב ליט' וחצי בכל חלק

הרי שי"ב ליט' וחצי ירויחו ביום אחד א' פשוט

The same for any similar calculation.

וכן לכל חשבון כזה

One kikkar yields so and so liṭra a year.

In how many days will one liṭra yield one pašuṭ?

\scriptstyle\frac{a\sdot\left(20\sdot12\right)}{360\sdot100}=\frac{1}{X\sdot1}

אם הככר ירויח כל כך ליט' השנה

בכמה ימים תרויח הליט' א' פשו‫'

Divide 150 days into as many parts as the [number of] liṭra earned by one kikkar a year.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{a}}}

חלק ק"נ ימים בכל כך חלקים כמו הליט' שירויח הככר לשנה

Example: one kikkar yields 9 liṭra a year.

You wish to know in how many days will one liṭra yield one pašuṭ?

\scriptstyle\frac{9\sdot\left(20\sdot12\right)}{360\sdot100}=\frac{1}{X\sdot1}

המשל בזה הככר ירויח ט' ליט' השנה

ותרצה לידע בכמה ימים תרויח הליט' א' פשו‫'

Divide 150 days into 9 parts; they are 16 days and 2-thirds of a day. So, one liṭra yields [one] pašuṭ in 16 days and 2-thirds of a day.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{9}=16+\frac{2}{3}}}

חלק ק"נ ימים בט' חלקים שהם י"ו ימים וב' שלישי יום

הרי שבי"ו ימים וב' שלישי יום תרויח הליט' ט' פשוט

If a man says: so and so liṭra yield so and so liṭra in so and so [months].

How many liṭra will yield the same in so and so [months]?

\scriptstyle\frac{a}{c\sdot b}=\frac{a}{d\sdot X}

אם יאמר אדם כל [כך] ליט' בכל כך זמן תרויח כך וכך הליט‫'

כמה ליט' בכך וכך זמן ירויח כהם

(months₂×liṭra)÷months₁

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{c\sdot b}{d}}}

תרבה סכום החדשי' כנגד סכום הליט' וחלקם בכך וכך חלקים כמו החדשי' שנרצה לידע

25 liṭra yield 40 dinar in 6 months.

How many liṭra will yield the same in 8 months?

\scriptstyle\frac{40}{6\sdot25}=\frac{40}{8\sdot X}

המשל בזה כ"ה ליט' ירויחו בח' חדשים מ' די‫'

בכמה ליט' ירויחו כהם בו' חדשים

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{6\sdot25}{8}=\frac{150}{8}=18+\frac{15}{20}}}

18 liṭra and 15 dinar

תרבה סכום החדשים כנגד סכום הליט' ואמור ו' פעמי' כ"ה יבוא ק"נ

חלקם בח' חדשים יבואו י"ח ליט' וט"ו די‫'
נמצא שי"ח ליט' וט"ו די' ירויחו בח' חדשים מ' די' כמו שירויח כ"ה ליטרין בו' חדשים

I lent one liṭra for so and so [pešuṭim] a month.

In how many [years] will so and so liṭra be doubled?

\scriptstyle\frac{a}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot b}{12\sdot X\sdot b}

אם יאמר אדם הלוויתי הליטרא בכך וכך לחדש כל כך

כל כך ליט בכמה זמן יכפלו מבלתי שישים ריוח בקרן

20÷(the pešuṭim earned a month)

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20}{a}}}

חלק כ' שנים בכל כך חלקים כמו המעות שתרוויח הליט' בחדש

I lent one liṭra for 3 pešuṭim a month.

In how many [years] will 95 liṭra be doubled?

\scriptstyle\frac{3}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot95}{12\sdot X\sdot95}

המשל בזה הלוותי הליט' בג' פשו' לחדש צ"ה ליט' בכמה זמן יכפלו

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20}{3}=6+\frac{8}{12}}}

6 years and 8 months

חלק כ' שנים בג' חלקים ויבא שבו' שנים וח' חדשים יכפלו הצ"ה ליט‫'

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(6+\frac{8}{12}\right)=3\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)=18+2=20}}

dinar

וזה החשבון יוצא כך אחרי שהליט' היא בג' פשוטי' לחדש אם כן מרווחו בשנה ג' די' ויכפלו הג' די' בו' שנים וב' שלישי שנה

כי בו' שנים יבואו י"ח די' ובח' חדשים ב' די' הרי כ' דינ‫'
וכמו שיכפלו כ' די' בו' שנים וח' חדשים כן בזה הזמן יכפלו הצ"ה ליט‫'
ולכן אמר חלק ב' שנים בג' חלקים

One kikkar yields so and so liṭra a year.

In how many [years] will so and so liṭra be doubled?

\scriptstyle\frac{a}{1\sdot100}=\frac{b}{X\sdot b}

אם יאמר אדם הככר ירויח כל כך ליט' בשנה

כך וכך ליט בכמה זמן יכפלו בלא ריוח וקרן

100÷(the liṭra earned a year)

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{100}{a}}}

חלק ק' שנים בכל כך חלקים כמו הליט' שירויח הככר לשנה

One kikkar yields 8 liṭra a year.

In how many [years] will 45 liṭra be doubled?

\scriptstyle\frac{8}{1\sdot100}=\frac{45}{X\sdot45}

המשל בזה הככר ירויח ח' ליט' לשנה

מ"ה ליט' בכמה זמן יכפלו

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{100}{8}=12+\frac{6}{12}}}

12 years and 6 months

חלק ק' שנים בח' חלקים יבואו י"ב שנים וו' חדשים

נמצא שבי"ב שנים וו' חדשים יכפלו מ"ה ליט‫'

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\left(12+\frac{6}{12}\right)=8\sdot\left(12+\frac{1}{2}\right)=100}}

וזה החשבון יוצא כך ידוע כי בזמן שיכפול הככר באותו הזמן עצמו יכפול כל חלק וחלק מן הככר בין לחשבון י' בין לכל חשבון שיהיה

וכדי להקל החשבון חשוב המ"ה ליט' יהיו ככר שלם
ולחשבון ח' ליט' הככר לשנה יכפול הככר בי"ב שנים וחצי
כי י"ב פעמים וחצי ח' ליט' הם ק' ליט‫'
אם כן כמו שהככר יכפל בי"ב שנים וחצי כן המ"ה ליט' יכפלו בי"ב שנים וחצי
ולכן אמ' אמור חלק ק' בח' חלקים יבוא י"ב שנים וחצי

One kikkar yields 29 liṭra, 13 dinar, and 6 pešuṭim a year.

How many liṭra will yield the same in 7 months?

\scriptstyle\frac{29+\frac{13}{20}+\frac{6}{20\sdot12}}{12\sdot100}=\frac{29+\frac{13}{20}+\frac{6}{20\sdot12}}{7\sdot X}

אם יאמר אדם הככר ירויח בשנה כ"ט ליט' וי"ג די' ו' פשו‫'

כמה ליט' ירויחו כהם בז' חדשים

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot100}{7}=\frac{1200}{7}=171+\frac{8}{20}+\frac{6+\frac{6}{7}}{20\sdot12}}}

171 liṭra, 8 dinar, and

\scriptstyle6\frac{6}{7}

pešuṭim

תרבה חדשי השנה עם הסך הליט' דהינו עם ק' ליט‫'

וחלקם בכל כך חלקים כמו החדשים שנרצה לידע דהיינו הז' חדשים
ואמור י"ב פעמי' ק' יבואו אלף ור‫'
וחלקם על ז' יבואו קע"א ליט' וח' די' ו' פשו' וו' חלקים מז' בפשו‫'
הרי שירויחו בז' חדשים כמו שירויח [הככר] א' שנה

ודע כי זה הוא חשבון חשבון כללי וכן תוכל לאמר הככר ירויח לשנה כ' ליט' או ל' או כ"ה וכן בכל עניין שתרצה הכל ‫[...]

one liṭra yields 2½ pešuṭim a month.

In how many [years] will [so and so dinar] be doubled?

\scriptstyle\frac{2+\frac{1}{2}}{1\sdot20}=\frac{12\sdot a}{12\sdot X\sdot a}

אם יאמר אדם הלויתי הליט' לחשבון ב' פשו' וחצי לחדש

בכמה זמן יכפלו מבלתי שנשים רויח בקרן

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20}{2+\frac{1}{2}}}}

חלק כ' שנים בכל כך חלקים כמו המעו' שירויח הליט' לחדש

One liṭra yields 2½ pešuṭim a month.

In how many [years] will [20 dinar] be doubled?

\scriptstyle\frac{2+\frac{1}{2}}{1\sdot20}=\frac{12\sdot20}{12\sdot X\sdot20}

המשל בזה הלוויתי כ' דינ' לחשבון ב' פשו' וחצי הליט' לחדש ותרצה לידע בכמה זמן יכפלו

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20}{2+\frac{1}{2}}=8}}

years

חלק כ' דינ' בב' וחצי יבואו ח' שנים

נמצא שבח' שנים יכפלו זה

Check:

וזה החשבון יוצא כך כבר ידוע כי לחשבון ב' פשו' וחצי הליט' יבא בשנה ב' דינ' וחצי

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right):1=20:X}}

אמור אם כן אם ב' דינ' וחצי יהיו בא' שנה כ' דינ' כ' דינ' דהיינו שיכפלו בכמה זמן יהיו

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot20}{2+\frac{1}{2}}=\frac{20}{2+\frac{1}{2}}=8}}

years

אמור כ' פעמים א' כ‫'

חלקם בב' וחצי יבואו ח‫'
הרי שבח' שנים יכפול

If a man says: I lent one liṭra at so and so a month.

How much will [100] liṭra yield a day?

\scriptstyle\frac{a}{30\sdot1}=\frac{X}{1\sdot100}

אם יאמר אדם הלוותי הליט' לחשבון כך וכך לחדש

כמה יעלה לך ליט' ביום

Multiply 3 and a half by the money of the interest.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot a}}

תרבה ג' ושליש כנגד מעו' הרבית

Example: I lent one liṭra at 3 pešuṭim a month.

You want to know how much will 100 liṭra yield a day?

\scriptstyle\frac{3}{30\sdot1}=\frac{X}{1\sdot100}

המשל בזה הלוותי הליט' לחשבון ג' פשו' הליט' לחדש

ותרצה לדעת כמה ירויחו היום ק' ליט‫'

Multiply 3 and a third by 3 and say: 3 and a third times 3 is 10 pešuṭim. We find that 100 liṭra yield 10 pešuṭim a day.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot3=10}}

תרבה ג' ושליש עם ג' ואמור ג' ושליש פעמי' ג' הם י' פשו‫'

נמצא שק' ליט' ירויחו ביום אחד י' פשו‫'

You can know this because one kikkar yields 15 liṭra a year at 3 pešuṭim a month for one liṭra.

וזה החשבון תוכל לדעת בעניין זה כי לחשבון ג' פשו' הליט' לחדש יבא הככר לשנה ט"ו ליט‫'

From the year you can deduce how much will be earned a day. Double it and take a third.

ומהשנה תוכל לדעת כמה יבא ביום ותכפול אותו ותפוש השליש

If you double 15, it is 30. Take a third; it is 10 and so one kikkar yields a day, when you lend one liṭra at 3 pešuṭim a month.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot15}{3}=\frac{30}{3}=10}}

pešuṭim a day

ואם תכפול ט"ו יהיו ל' ותפוש השליש והם י‫'

או תפוש הרוב מט"ו והם י‫'
וכן יבא הככר ליום כשתלווה ליט' לחשבון ג' פשו' הליט' בחדש

And so on.

וכן לעולם

If a man say: so and so liṭra yield one pašuṭ a day.

How much will one liṭra yield a month?

\scriptstyle\frac{1}{1\sdot a}=\frac{X}{30\sdot1}

אם יאמר אדם כל כך ליט' ירויחו א' פשו' ביום

לאי זה סך יעלה בחדש הליט‫'

Divide 30 pešuṭim by as many liṭra that yield one pašuṭ a day.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30}{a}}}

חלק ל' פשו' בכל כך חלקים כמו הליט' שירוויחו ביום א' פשו‫'

Example: 12 liṭra yield one pašuṭ a day.

You wish to know how much will one liṭra yield a month.

\scriptstyle\frac{1}{1\sdot12}=\frac{X}{30\sdot1}

המשל בזה י"ב ליט' ירויחו ליום א' פשו‫'

ותרצה לידע כמה יגיע לליט' בחדש

Divide 30 pešuṭim into 12 parts; the result is 2 and a half. We find that the liṭra yields 2 pešuṭim and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30}{12}=2+\frac{1}{2}}}

חלק ל' פשו' לי"ב חלקים יבואו ב' וחצי

נמצא שיבא לחשבון ב' פשו' וחצי הליט‫'

This is the result, since 12 liṭra yield each day one pašuṭ, so they yield in 30 days, which is a month, [30] pešuṭim.

וזה החשבון יוצא כך שאחרי שהי"ב ליט' מרויחים בכל יום א' פשו‫'

אם כן מרויחים בל' יום שהוא א' חדש א' פשו‫'

Find a Number Problems

A number, you subtract a tenth from it, then you subtract again a tenth from the remainder, and 100 are left.

How much was the original number before subtracting the two tenths?

\scriptstyle X-\frac{1}{10}X-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-\frac{1}{10}X\right)\right]=100

אם ישאלך אדם חשבון שהסרות ממנו הי' ומן הנשאר הסרות ממנו העשירית פעם שנית ונשארו ק‫'

כמה היה כל החשבון בטרם שהסרת ממנו ב' העשיריות

False position:

\scriptstyle{\color{blue}{X=100}}

עשה על זה הדרך אמור על זה הדרך

אלו היה החשבון ק' ופחתת ממנו ב' עשיריות ישארו פ"א
כיצד העשירית מק' והם י' נשארו תשעים
חסרת עוד העשירית מצ' והם נשארו פ"א
הרי שבעת שנשארו פ"א אחרי הסרת ב' עשיריות היו ק' בראשונה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle100-\left(\frac{1}{10}\sdot100\right)-\left[\frac{1}{10}\sdot\left[100-\left(\frac{1}{10}\sdot100\right)\right]\right]&\scriptstyle=100-10-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(100-10\right)\right]\\&\scriptstyle=90-\left(\frac{1}{10}\sdot90\right)=81\\\end{align}}}

\scriptstyle{\color{blue}{100-81=19}}

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{81:100=19:a}}

אמור אם כן אם בחשבו' שנשארו פ"א אחר שהסרת ממנו הב' עשיריו' כמה היו הב' עשרייו' י"ט

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{100\sdot19}{81}=\frac{1900}{81}=23+\frac{37}{81}}}

אם כן ק' פעמים הי"ט הם אלף ותת"ק

חלק בפ"א יהיו כ"ג ול"ז חלקים מפ"א

\scriptstyle{\color{red}{X=123+\frac{37}{81}}}

הסר מהם העשיריות שהם י"ב וכ"ח חלקים מפ"א

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot120=12}}

כיצד העשירית מק"כ הם י"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot\left(3+\frac{37}{81}\right)=\frac{1}{10}\sdot\frac{280}{81}=\frac{28}{81}}}

והג' והל"ז חלקים מפ"א הם ר"פ חלקים מפ"א

והעשירית מהם הם כ"ח חלקים מפ"א

the first tithe =

\scriptstyle{\color{blue}{12+\frac{28}{81}}}

הרי שהמעשר הראשון היה י"ב וכ"ח חלקים מפ"א

the remainder:

נשארו ק"ח ורנ"ב חלקי' מפ"א

שהם קי"א וט' חלקי' מפ"א

\scriptstyle{\color{blue}{\left(123+\frac{37}{81}\right)-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(123+\frac{37}{81}\right)\right]=\left(123+\frac{37}{81}\right)-\left(12+\frac{28}{81}\right)=108+\frac{252}{81}=111+\frac{9}{81}}}

הסר מהם עוד העשירית שהם י"א וט' חלקים מפ"א

ישארו ק‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(123+\frac{37}{81}\right)-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(123+\frac{37}{81}\right)\right]-\left[\frac{1}{10}\sdot\left[\left(123+\frac{37}{81}\right)-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(123+\frac{37}{81}\right)\right]\right]\right]\\&\scriptstyle=111+\frac{9}{81}-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(111+\frac{9}{81}\right)\right]\\&\scriptstyle=111+\frac{9}{81}-\left(11+\frac{9}{81}\right)=100\\\end{align}}}

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot110=11}}

כיצד העשיריות מק"י הוא י"א

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot\left(1+\frac{9}{81}\right)=\frac{1}{10}\sdot\frac{90}{81}=\frac{9}{81}}}

והא' והט' חלקי' מפ"א הם צ' חלקי' מפ"א

והעשירית מהם הוא ט' חלקי' מפ"א

the first tithe =

\scriptstyle{\color{blue}{12+\frac{28}{81}}}

הרי שהמעשר הראשון היה י"ב וכ"ח חלקים מפ"א

the remainder =

\scriptstyle{\color{blue}{111+\frac{9}{81}}}

ונשארו קי"א וט' חלקי' מפ"א

the second tithe =

\scriptstyle{\color{blue}{11+\frac{9}{81}}}

והמעשר השני היה י"א וט' חלקי' מפ"א

remainder = 100

ונשארו ק‫'

How much are 3⅓ times 4¼?

\scriptstyle\left(3+\frac{1}{3}\right)\times\left(4+\frac{1}{4}\right)

אם תרצה לדעת ג' ושליש פעמים ד' ורביע כמה עולי‫'

converting the 3⅓ into thirds:

\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{1}{3}=\frac{\left(3\sdot3\right)+1}{3}=\frac{10}{3}}}

עשה מן הג' ושליש כלם שלישיות

ואמור ג' פעמים ג' ט' וא' שליש הרי י' ותכתבם

converting the 4¼ into fourths:

\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{1}{4}=\frac{\left(4\sdot4\right)+1}{4}=\frac{17}{4}}}

אחרי כן עשה מן הד' ורביע כלם רביעיות

ואמור ד' פעמים ד' י"ו וא' רביע הרי י"ז ותכתבם

הרי שיש לנו י' שלישיות וי"ז רביעיות

תרבה אותם זה עם זה ואמור י' פעמי' י"ז הם ק"ע
וחלקם בג' פעמים ד' שהם י"ב
הרי י"ד וב' חלקי' מי"ב
שהם א' שתות

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{3}\right)\times\left(4+\frac{1}{4}\right)=\frac{10}{3}\sdot\frac{17}{4}=\frac{10\sdot17}{3\sdot4}=\frac{170}{12}=14+\frac{2}{12}=14+\frac{1}{6}}}

ועל זה הדרך תעשה כלם

Find the Price - Cubits of Cloth

How much are 3 cubits of cloth plus one third, a quarter, and a fifth for 4 pešuṭim plus a quarter, a fifth, and a sixth?

\scriptstyle\left(3+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)\times\left(4+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)

ואם תרצה לדעת ג' אמות בגד ושליש ורביע וחומש לחשבון ד"פ ורביע וחומש ושתות כמה יבואו

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=20+15+12=47}}

אמור שליש ורביע וחומש ימצאו בס' השליש כ' הרביע ט"ו החומש י"ב וכללם מ"ז

\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=3+\frac{47}{60}}}

cubits

וכאלו השאילה היא ג' אמות ומ"ז חלקים מס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=15+12+10=37}}

וכן רביע וחומש ושתות ימצאו בס' הרביע ט"ו והחומש י"ב והשתות י' וכללם ל"ז

\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=4+\frac{37}{60}}}

pešuṭim

והוא כאלו אמר לחשבון ד"פ ול"ז חלקים מס‫'

ותכתבם כאשר תראם בצורה ותרבה האותיות העליונות ואמור ג' פעמי' ס' הם ק"פ וצרף עמהם המ"ז הם רכ"ז ותכתבם

\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=3+\frac{47}{60}=\frac{\left(3\sdot60\right)+47}{60}=\frac{180+47}{60}=\frac{227}{60}}}

ותרבה אחרי כן האותיות התחתונות ואמור ד' פעמי' ס' ר"מ ול"ז הכתובים למעלה הרי רע"ז ותכתבם

\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=4+\frac{37}{60}=\frac{\left(4\sdot60\right)+37}{60}=\frac{240+37}{60}=\frac{277}{60}}}

pešuṭim

ותרבה רכ"ז עם רע"ז יהיו ס"ב אלפי' ותתע"ט

חלקם בס' פעמי' ס' שהם ג' אלפים ות"ר יבאו י"ז פשוטי' ואלף ותרע"ט חלקים מג' אלפים ות"ר מן הפשוט

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)\times\left(4+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)&\scriptstyle=\frac{227}{60}\sdot\frac{277}{60}=\frac{227\sdot277}{60\sdot60}\\&\scriptstyle=\frac{62879}{3600}=17+\frac{1679}{3600}\\\end{align}}}

ועל זה הדרך תעשה לעולם

Interest and Discount Problem - Compound Interest

Summing several loans for different times and converting them to one time

מי שרוצה לקבץ חשבונות הלואות רבות שנעשו בזמנים שונים

(Sum of the months)÷(Number of loans)

יקבץ מספר החדשים ויחלקם במספר המעות

I lent 100 peraḥim for a month, 100 peraḥim for two months, 100 peraḥim for three months, 100 peraḥim for four months, and 100 peraḥim for five months

המשל בזה הרי שהלוית ק' פרחי' א' חדש וק' פרחי' הרי ב' חדשי' וק' פרחי' הרי ג' ‫^[118]חדשי' וק' פרחי' הרי ד' חדשי' וק' פרחי' הרי ה' חדשי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{15}{5}=3}}

= 5 kikkar for 3 months

עשה על זה הדרך אמור א' וב' וג' וד' וה' שהם חשבון החדשי' עולי' ט"ו

חלק הסכום הככרים שהם ה' יהיו ג' וכאלו עמדו ג' חדשי‫'

וכן לכל חשבון כיוצא בזה

Pricing Problems

One moiola's of soil are worth 12 staro.

If you buy one moiola's for one liṭra or more or less and you want to know how much one staro is worth

‫^[119]המוייולו מן האדמה הם י"ב שטארו

אם תקנה המוייולו בעשרה ליט' או פחו' או יתר ותרצה לדעת כמה יבא השטארו

1 liṭra = 20 dinar

1 dinar = 12 pešuṭim

\scriptstyle{\color{red}{X=12\sdot20\sdot a}}

תפוש מכל ליט' כ' פשוטי' ומכל די' א' פשוט' וכן לכל חשבו' שתרצה

1 liṭra of silk = 12 ounce

והוא הדין לליט' מן המשי שהוא י"ב אונק' עשה על זה הדרך

1000 liṭra are sold for 111 liṭra and 7 dinar.

How much is one kikkar worth?

\scriptstyle\frac{12\sdot\left[\left(20\sdot111\right)+7\right]}{1000}=\frac{X}{100}

אם האלף נמכר קי"א ליט' וז' די‫'

כמה יבא הככר

1 liṭra = 20 dinar

1 dinar = 1⅕ pešuṭim

\scriptstyle{\color{red}{X=\left[\left(20\sdot111\right)+7\right]\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)}}

תפוש מכל ליט' כ' די‫'

ומכל די' א' פשוט וחומש
וכן תעשה מככר לעשרון ומעשרון לאחד

One ounce of pepper is sold for 7 pešiṭim.

How much is one kikkar worth?

\scriptstyle\frac{7}{20}=\frac{X}{100}

אם יאמר אדם האונקיא של פלפל נמכרה ז' פשיטי‫'

כמה יבא הכיכר

take 5 liṭra for every 1 pašuṭ

\scriptstyle{\color{red}{X=7\sdot5}}

תפוש מכל פשוט ה' ליטרי' וכן כלם

One ounce of pepper is sold for 8 pešiṭim.

How much are 1000 [liṭra] worth?

\scriptstyle\frac{8}{20}=\frac{X}{1000}

ואם יאמר האונקי' נמכרה ח' פשיטי‫'

כמה יבא האלף

take 50 liṭra for every 1 pašuṭ

תפוש מכל פשוט נ' ליטרי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{X=8\sdot50=400}}

liṭra

ואמור ח' פעמי' נ' ליט' הם ת' ליטרי‫'

One marco of silver, which is 8 ounce, is worth 7 liṭra and 5 dinar.

How much is one ounce worth?

\scriptstyle\frac{12\sdot\left[\left(20\sdot7\right)+5\right]}{8}=\frac{X}{1}

אם יאמר אדם המארקו של כסף שהוא ח' אונקי' שוה ז' ליטרי' וח' ^וה' דינרי‫'

כמה בא האונקי‫'

take for every liṭra 20 dinar and for every dinar 1½ pašuṭ

\scriptstyle{\color{red}{X=\left[\left(20\sdot7\right)+5\right]\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)}}

תפוש מכל ליטרא כ' דינרי' וחצי

ומכל דינר א' פשוט וחצי
וכן יבא ועל זה הדרך תעשה כלם

One liṭra is worth 5 dinar.

You want to know how much 1000 [liṭra] are worth

\scriptstyle\frac{5}{1}=\frac{20X}{1000}

ואם יאמר הליט' שוה ה' דינרי‫'

ותרצה לידע כמה יבא האלף

take 50 liṭra for every 1 dinar

\scriptstyle{\color{red}{X=5\sdot50}}

תפוש מכל דינר נ' ליט‫'

If there are pešiṭim there

\scriptstyle\frac{5}{1}=\frac{12\sdot20\sdot X}{1000}

ואם היו שם פשיטי‫'

take 4 liṭra and 40 pešiṭim for every 1 pašuṭ

\scriptstyle{\color{red}{X=\left(4+\frac{40}{20\sdot12}\right)\sdot5}}

תפוש מכל פשוט א' ד' ליטרי' וי' פשיטי' וכן תעשה לכל חשבון שתרצה

1000 [liṭra] are worth 150 liṭra.

You want to know how much one liṭra is worth

\scriptstyle\frac{150\sdot\left(12\sdot20\right)}{1000\sdot\left(12\sdot20\right)}=\frac{X}{1}

ואם האלף שוה ק"נ ליטרי‫'

ותרצה לידע כמה שוה הליט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{6\sdot150}{25\sdot\left(12\sdot20\right)}=\frac{900}{25\sdot\left(12\sdot20\right)}=\frac{36}{20\sdot12}}}

= 36 pešiṭim

אמור ו' פעמי' ק"נ תת"ק

ותפוש מכל [כ"ה]‫^[120] א' פשוט שיבואו ל"ו פשיטי' וכן יבא הליט‫'

1 ounce of gold = 30 terri;

האונקיא של זהב הוא ל' טרי

1 terri = 5 groni;

והטרי הם גארוני

1 groni = 4 grani

והגרוני הם ד' גראניו

One ounce of gold is sold for 5 liṭra and 15 dinar.

How much is one terri worth?

\scriptstyle\frac{\left[5\sdot\left(12\sdot20\right)\right]+\left(15\sdot12\right)}{30}=\frac{X}{1}

ואם יאמר אדם האונקיא של זהב נמכרה ה' ליטרי' וט"ו דינרי‫'

כמה יבא הטרי‫'

take 8 pešiṭim for every liṭra and ⅖ for every dinar

\scriptstyle{\color{red}{X=\left(5\sdot8\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot15\right)}}

תפוש מכל ליטר' ח"פ ומכל דינר [ב']‫^[121] חמשיות וכן לכל חשבון שתרצה

One ounce of gold is worth 6 liṭra.

How much is one garobi worth?

\scriptstyle\frac{6\sdot\left(12\sdot20\right)}{30\sdot5}=\frac{X}{1}

ואם יאמר האונקי' של זהב שוה ו' ליטרי‫'

כמה יבא הגרונא

take 1⅗ pešiṭim for every liṭra

\scriptstyle{\color{red}{X=6\sdot\left(1+\frac{3}{5}\right)}}

תפוש מכל ליטר' א' פשיט וג' חמישיות

and for every dinar

ואם יהיו שם דינרי' תפוש מכל דינר ג' חלקי' מכ"ה

How much is one grani worth?

\scriptstyle\frac{6\sdot\left(12\sdot20\right)}{30\sdot5\sdot4}=\frac{X}{1}

ואם יאמר כמה יהיו גרנו‫'

take ⅖ for every liṭra

תפוש מכל ליטר' ב' חומשי

\scriptstyle{\color{blue}{X=6\sdot\frac{2}{5}=2+\frac{2}{5}}}

pešiṭim

הרי שיבא הגרנו לחשבון ו' ליטרי האונקי' ב"פ וב' חמישיות

and ¹/₅₀ for every dinar

ואם יהיו שם דינרים תפוש מכל דינר א' חלק מחמשים

One terri is worth 28 pešiṭim.

How much is one ounce worth?

\scriptstyle\frac{28}{1}=\frac{X}{30}

ואם יאמר הטרי שוה כ"ח פשיטי‫'

כמה יבא האוקי‫'

take 30 dinar for every dinar; and 30 pešiṭim for every pašuṭ

\scriptstyle{\color{red}{X=28\sdot30}}

תפוש מכל דינר ל' דינרי' ומכל פשוט ל' פשיטי‫'

Guessing Problems

give three different coins to three people: one of gold, one of silver, and one of copper, and they should divide them between them without your knowledge.

You can guess [who has each coin] by giving one of them one coin, the second two [coins], and the third four [coins].

Then tell them that the one who has the gold should multiply [the number of] coins you gave him recently by 4.

The one who has the silver should multiply [the number of] coins you gave him recently by 3.

The one who has the copper should double [the number of] coins you gave him recently.

Then they should sum up [the products] and cast out the sevens [from the result].

Ask them what is the remainder.

[The answer] will be known according to the [results]: 4, 6, 2, 5, 1, 3

תן לג' אנשים ג' מטבעות שונות הא' מזהב וא' מכסף וא' מנחשת ויחלקום ביניהם בלתי ידיעתך

וזה תוכל לדעת שתתן לאחד מהם א' מטבע ולשני ב' ולשליש ד‫'
ואמור להם שאותו שיש לו הזהב יכפול ד' פעמי' המטבעות שנתת לו באחרונה
ובעל הכסף יכפול ה' פעמים המטבעות שנתת לו באחרונה
ובעל הנחושת יכפול המטבעות שנתת לו באחרונה
ויקבצו הכל וישליכו ז"ז
ושאל הנשאר
וזה יודע על פי ד'ו'ב' ה'א'ג‫'

Explanation:

[(4·1)+(3·2)+(2·4)] mod 7 = 4 → gold, silver, copper

וביאור זה אם נשאר בידם ד' יהיה הסדר זהב כסף ונחושת

[(4·1)+(2·2)+(3·4)] mod 7 = 6 → gold, copper, silver

ואם נשאר בידם ו' יהיה הנשאר יהיה הנשאר זהב ונחושת כסף

[(3·1)+(2·2)+(4·4)] mod 7 = 2 → silver, copper, gold

ואם נשאר בידם ב' יהיה הכסף כסף נחושת זהב

[(3·1)+(4·2)+(2·4)] mod 7 = 5 → silver, gold, copper

ואם נשאר בידם ה' יהיה הסדר כסף זהב נחושת

[(2·1)+(4·2)+(3·4)] mod 7 = 1 → copper, gold, silver

ואם נשאר בידם א' יהיה הסדר פ נחשת זהב כסף

[(2·1)+(3·2)+(4·4)] mod 7 = 3 → copper, silver, gold

ואם נשאר בידם ג' יהיה הסדר נחושת כסף זהב

Tell a man to choose a number not less than 7 and to cast out the threes from it, and ask him the remainder.

Then he should cast out the fives from the number he chose, and ask him the remainder.

Afterwards he should cast out the sevens from the number he chose, and ask him the remainder.

For each one that remains from casting the threes take 70.

For the remainder from casting the fives [take] 21.

For each one that remains from casting sevens take 15.

Then sum up [the results] and cast out 105 repeatedly.

The remainder will be the number he chose.

תאמר לאיש שיחשוב אך לא פחות מז' וישליכם ג' ג' ג' ושאל הנשאר

אחר כן ישליך מה שחשב ה' ה' ושאל הנשאר
אחר זה ישליך מה שחשב ז' ז' ושאל הנשאר
ומכל מה שנשאר אחר שהשליכם ג' ג' תחשוב לכל אחד הנ[ות]ר מן הג' ע‫'
ומכל מה שנשאר אחר שהשליכם ה'ה' תחשוב לכל אחד כ"א
ומכל מה הנשאר אחר שהשליכם ז' ז' קח לכל אחד ט"ו
וצרפם והשלך אותם ק"ה והנותר יהיה מה שחשב והסימן ג"ע הכ"א זט"ו

\scriptstyle\left[\left[\left(x\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(x\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(x\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105=x

(MS Verona): If he chose [the number] 17

דמיון זה כאלו חשב י"ז

אמרנו שישליכם ג'ג' וישאר בידו ב‫'

אחר כן אמרנו לו שישליכם ה'ה' וישאר בידו ב‫'
אחר כן אמרנו לו שישליכם ז'ז' וישאר בידו ג‫'
ממה שנשאר כשהשליכם ג'ג' דהיין ב' תחשוב לכל אחד ע' ויהיו ק"מ
וממה שנשאר כשהשליכם ה'ה' דהיין ב' תחשוב לכל אחד כ"א ויהיו מ"ב
ומה שנשאר כשהשליכם ז'ז' דהיין ג' תחשוב לכל אחד ט"ו ויהיו מ"ה
קבץ הכל ויהיו רכ"ז
השליכם ק"ה ק"ה ישארו בידך י"ז כמו שחשב חברך

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left[\left[\left(17\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(17\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(17\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105\\&\scriptstyle=\left[\left(2\sdot70\right)+\left(2\sdot21\right)+\left(3\sdot15\right)\right]mod105\\&\scriptstyle=\left(140+42+45\right)mod105\\&\scriptstyle=227mod105=17\\\end{align}}}

Divide a Quantity Problem

Two men sat down to eat.

One had three loaves of bread and the second had two loaves of bread.

A third man came and ate with them.

The three ate the five loaves of bread and after they ate, the third who came to eat with them gave them five pešiṭim to share them.

How should they share the [five pešiṭim]?

\scriptstyle\left(2-\frac{5}{3}\right)X+\left(3-\frac{5}{3}\right)X=5

‫^[122]שני אנשים היו יושבים לאכול

לאחד היו ב' [ג']‫^[123] לחמים ולשני ב' לחמים
בא אדם אחד שלישי ואכל עמהם ואכלו בין שלשתם אילו הה' לחמים
לאחר שאכלו נתן אותו השליש שאכל עמהם ה' פשיטי שיחלקום ביניהם
היאך חלקו ביניהם

each ate

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}}}

loaves of bread

אמור כמה חלק מן הלחם אכל כל אחד מהם א' לחם וב' שלישיות לחם

the one who had 2 loaves of bread lost

\scriptstyle{\color{blue}{2-\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}}}

of a loaf

אם כן אותו שהיו לו ב' לחמים ואכל א' לחם וב' שלישיות לא הפסיד כי אם שליש לחם

the one who had 3 loaves of bread lost

\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(1+\frac{2}{3}\right)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}}}

of a loaf

ואותו שהיו לו ג' לחמים ואכל א' לחם וב' שלישיות ^לא הפסיד ~~כי אם שליש~~ ^א' לחם ושליש שהם ד' שלישיו' לחם

the one who had 2 loaves of bread will receive:

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=1}}

pašuṭ

אם כן אותו שיש לו ב' לחמים יקבל א' פשוט בעבור שהפסיד שליש לחם

the one who had 3 loaves of bread will receive:

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=4}}

pešiṭim

ואותו שיש לו ג' לחמים יקבל ד' פשיטי' כי הפסיד ד' שלישי לחם

Motion Problem - To and From

A tower is 20 cubits tall.

An ant wants to climb up.

Every day it climbs up one third of a cubit and every night it goes down a quarter of a cubit.

How much is its progress each day and in how many days it will reach to the top?

\scriptstyle\frac{1}{3}X-\frac{1}{4}X=20

מגדל שהוא גבוה עשרים אמה

ונמלה אחת רוצה לעלות למעלה
ובכל יום עולה שליש אמה ובכל לילה יורדת רביע אמה
כמה יתרון יש לה בכל יום ובכמה ימים עולה למעלה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}}

אמור תחלה כמה הוא יותר השליש מן הרביע א' חלק מי"ב

it climbs up one cubit in 12 days

הרי [שי"ב ימים היא]^[124] עולה א' אמה

it will reach the top in

\scriptstyle{\color{blue}{x=12\sdot20=240}}

days

ובעבור שהמגדל הוא גבוה כ' אמה אמור י"ב פעמים כ' הם ר"מ

הרי שבר"מ ימים תגיע בראש המגדל

וכן כלם

Find a Quantity Problem - First from Last

You have some money in your purse.

You take a third, a quarter, and a fifth of it and their sum is nine pešiṭim.

How much remains?

\scriptstyle X-\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X\right)=X-9

הרי שיש לך מעות בכיס

והוצאת מהם השליש והרביע והחומש [והם ט']^[125] פשיטים
כמה יהיו הנשארים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=20+15+12=47}}

אמור שליש ורביע וחומש ימצאו בס' השליש הוא כ' הרביע הוא ט"ו החומש י"ב וכללם מ"ז

False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{47}{60}}}

הרי שהשליש והרביע והחומש שהם ט"פ הם מ"ז חלקים מס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{60}-\frac{47}{60}=\frac{13}{60}}}

נמצא שהנשאר בכיס הם י"ג חלקי' מס‫'

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{47}{60}:9=\frac{13}{60}:a}}

ולכן אמור אם מ"ז חלקי' מס' שוי' ט"פ י"ג חלקי' מס' כמה שוים

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{13\sdot9}{47}=\frac{117}{47}=2+\frac{23}{47}}}

אמור י"ג פעמי' ‫^[126]ט' קי"ז

חלקם במ"ז יבאו ב' וכ"ג חלקים ממ"ז

the money that was in the purse:

\scriptstyle{\color{blue}{X=11+\frac{23}{47}}}

pešiṭim

‫[נמצא שהיו בתוך הכיס י"א פשו' וכ"ג חלקים ממ"ז]‫^[127]

the money that remained:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{23}{47}\right)-9=2+\frac{23}{47}}}

ומה שהוציא היו ט' ומה שנשאר היו ב' וכ"ג חלקים ממ"ז וכן לכל חשבון שתרצה

Ordering Problems

A man has a jug with maximum capacity of 8 cups of wine.

He wants to divide its content between two people, giving each 4 cups.

But he has only two jars – one with a maximum capacity of 3 cups and the other [with a maximum capacity of] 5 [cups].

How will he divide it into two?

אדם שיש לו צלוחית אחת שהיא מחזקת ח' כוסות יין

ורוצה לחלקו לב' אנשי' וליתן לכל אחד ד' מנות
אמנם אין לו רק ב' כלים שהאחד מהם מחזיק ג' והאחר מחזיק ה‫'
היאך יעשה אותם לחלק [זה היין]‫^[128] לחצי

Filling the small jar [3 cups] and pouring its content to the medium jar [5 cups]

3 cups - medium jar
5 cups - large jug

ימלא הכלי שמחזיק ג' וישי' אותם בכלי שמחזיק ה‫'

Filling the small jar once more, pouring its content to the medium jar until it is full

1 cup - small jar
5 cups - medium jar
[2 cups - large jug]

אחרי כן ימלא שנית הכלי שמחזיק ג' וישים מהם בכלי שמחזיק ה' ב‫'

נמצא שהכלי שמחזיק ה' הוא מלא והכלי שמחזיק ג' יש שם א' והכלי שמחזיק ח' יש שם ב‫'

Pouring the content of the medium jar to the large jug [8 cups]

1 cup - small jar
[7] cups - large jug

ישים אחר כן הכלי שמחזיק ה' שהוא מלא לתוך הכלי שמחזיק ח‫'

נמצא שיש באותו הכלי ז' כוסות

Pouring the content of the small jar [1 cup] to the medium jar, then filling the small jar once again from the large jug and pouring the content of the small jar [3 cup] to the medium jar

4 cups - medium jar
4 cups - large jug

ישים אחרי כן אותו הכוס האחד שהוא בכלי שמחזיק ג' בתוך הכלי שמחזיק ה‫'

וימלא הכלי שמחזיק ג' וישים אותם בכלי שמחזיק ה‫'
הרי שיש שם ד' כוסות ובכלי שמחזיק ח' נשארו ד' כוסות
הרי שהם נחלקים לחצי

A man has 12 barrels of wine:

one barrel contains one measure;

the second [contains] two [measures];

the third [contains] three [measures];

and so on until the twelve [barrel].

He wants to divide [the barrels] between his three sons, so that each of them will have the same amount of wine and the same number of barrels.

How should he divide them so that each will have 4 barrels containing 26 measures of wine?

‫^[129]אדם אחד שהיו לו י"ב חביות יין

הא' מחזקת א' משואי
והשנית ב‫'
והשלישית ג‫'
וכן עד י"ב
ורוצה לחלקם לג' בניו ורוצה שיהיה לכל אחד יין בשוה וחביות בשוה
היאך יחלקום שיהיו לכל אחד ד' חביות ויחזיקו כ"ו משואות יין לכל אחד

the division should be as follows:

יחלקם על זה הסדר כגון זה

12	7	6	1
11	8	5	2
10	9	4	3

יב	ז	ו	א
יא	ח	ה	ב
י	ט	ד	ג

Find a Quantity Problem - Whole from Parts^[130]

A fish - its head and tail were cut off.

The body weighs 10 liṭra.

The head weighs one third and a quarter of the whole fish.

The tail weighs a fifth and a sixth of the whole fish.

How much does the whole fish weigh?

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+10=X

הרי שיש לפניך דג ונחתך ראשו וזנבו

והגוף שוקל י' ליט‫'
והראש שוקל השליש והרביע מכל הדג
וזנבו שוקל חומש ושתות מכל הדג
כמה שקל כולו

False Position: First say: a third, a quarter, a fifth, and a sixth are found in 60; they are 20, 15, 12, and 10.

אמור תחלה שליש ורביע וחומש ושתות ימצאו בס' שהם כ' וט"ו וי"ב וי‫'

Their sum is 57 parts of 60, which is the whole.

ובין כולם הם נ"ז חלקים מס' שהוא השלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)}{60}=\frac{20+15+12+10}{60}=\frac{57}{60}}}

The 3 parts the remain from 57 to 60 are the body that weighs 10 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{60}-\frac{57}{60}=\frac{3}{60}}}

ואותם הג' חלקים שנשארו מנ"ז עד ס' הוא הגוף ששוקל י' ליט‫'

Rule of Three: So, say: if 3 parts of 60, i.e. the body, weighs 10 liṭra, how much do the 57 parts of 60, which are the head and the tail weigh?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{60}:10=\frac{57}{60}:a}}

אמו' א"כ אם ג' חלקים מס' דהיינו הגוף שוקל י' ליט' הנ"ז חלקים מס' שהם הראש והזנב כמה שוקל

Say: 57 times 10 is 570.

אמו' נ"ז פעמ' י' הם תק"ע

Divide it by 3; the result is 190.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{57\sdot10}{3}=\frac{570}{3}=190}}

חלקם בג' יבואו ק"צ

We find that the head and the tail weigh 190 liṭra and the body weighs 10 liṭra.

נמצא שהראש והזנב שוקלים ק"צ ליט' והגוף שוקל י' ליט‫'

Hence, the whole fish weighs two hundred liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{x=190+10=200}}

הרי שכל הדג שקל מאתים ליט‫'

If you wish to know how much does the head weigh:

ואם תרצה לדעת כמה שוקל הראש

You already know that the head is a third and a quarter of the whole fish, which are 20 and 15 parts of 60 and their sum is 35.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)}{60}=\frac{20+15}{60}=\frac{35}{60}}}

כבר ידעת שהראש השליש והרביע מכל הדג שהם כ' וט"ו חלקים מס' ובין כולם ל"ה

Rule of Three: Say: if 3 parts of 60, which are the body, weigh 10 liṭra, how much do the 35 parts of 60 [weigh]?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{60}:10=\frac{35}{60}:b}}

ואמו' אם ג' חלקים מס' שהוא הגוף שוקל י' ליט' ל"ה חלקים מס' כמה הם

Say: 10 times 35 is 350.

אמו' י' פעמ' ל"ה ש"נ

Divide it by 3; the result is 116⅔ liṭra, and this is the weight of the head.

\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{35\sdot10}{3}=\frac{350}{3}=116+\frac{2}{3}}}

חלקם בג' יבואו קי"ו ליט' וב' שלישייות והוא משק' הראש

If you wish to know how much does the tail weigh:

ואם תרצה לדעת כמה שוקל הזנב

You already know that the tail weighs one-fifth and one-sixth of 60, which are 12 and 10 and their sum is 22 parts of 60.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)}{60}=\frac{12+10}{60}=\frac{22}{60}}}

כבר ידעת שהזנב שוקל החומש והשתות מס' שהם י"ב וי' ובין כולם הוא כ"ב חלקים מס‫'

Rule of Three: Say: if 3 parts of 60 weigh 10 liṭra, how much do the 22 parts of 60 weigh?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{60}:10=\frac{22}{60}:c}}

ואמו' אם ג' חלקים מס' שוקל י' ליט' כ"ב חלקים מס' כמה שוקלים

Say: 22 times 10 is 220.

אמו' כ"ב פעמ' י' הם ר"כ

Divide it by 3; the result is 73⅓ liṭra, and this is the weight of the tail.

\scriptstyle{\color{blue}{c=\frac{22\sdot10}{3}=\frac{220}{3}=73+\frac{1}{3}}}

חלקם בג' יבואו ע"ג ליט' ושליש והוא משקל הזנב

We find that the body weighs 10 liṭra, the head weighs 116⅔ liṭra and the tail weighs 73⅓ liṭra.

נמצא שהגוף שוקל י' ליט' והראש שוקל קי"ו ליט' וב' שלשייו' והזנב שוקל ע"ג ליט' ושליש

The total is two hundred liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{10+\left(116+\frac{2}{3}\right)+\left(73+\frac{1}{3}\right)=200}}

סך הכל מאתים ליט‫'

Divide a Quantity Problem - Proportional Division^[131]

Three men bought one fish for nine pešuṭim.

One had a half; the second had a third; and the third had a ninth.

You want to know: how much was the share of each of the fish and how much money did each of them have

\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{9}X=9

הרי שג' אנשים קנו א' דג בט' פשוטי‫'

האחד יש לו החצי והשני יש לו השליש והשלישי יש לו התשיע
ותרצה לידע כמה חלק מן הדג יש לכל אחד וכמה מעות יגיע לכל אחד

False Position: Do this way, say: a half, a third and a ninth are found in 18.

עשה על זה הדרך אמור חצי ושליש ותשיע ימצאו בי"ח

Denominator: Its half is 9; its third is 6; its ninth is 2. Sum them together; they are 17 and this is the denominator.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot18\right)=9+6+2=17}}

חציו ט' שלישיתו ו' תשיעיתו ב' חבר אותם יחד יהיו י"ז והוא המחלק

For the one who has a half of the fish, say: the half of 18 is 9. Divide it by 17; his share of the fish is 9 parts of 17.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)}{17}=\frac{9}{17}}}

ואותו שיש לו החצי מן הדג

אמו' החצי מי"ח הוא ט‫'
חלקם בי"ז יבא חלקו מן הדג ט' חלקים מי"ז

he paid:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X=\frac{9\sdot9}{17}=\frac{81}{17}=4+\frac{13}{17}}}

pešuṭim

ואם תרצה לידע כמה ופרע בעבור חלקו שהוא החצי

אמו' החצי מי"ח הוא ט' ותרבה אותו בט' שהוא סך מכירת הדג יבא פ"א
חלקם בי"ז יבוא ד' פשוטי' וי"ג חלקים מי"ז מן הפשוט

the one who has a third:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)}{17}=\frac{1\sdot6}{17}=\frac{6}{17}}}

of the fish

ואותו שיש לו השליש מן הדג

אמו' השליש מי"ח הוא ו' ותרבה אותו על הדג שהוא א' ואמו' ו' פעמ' א' ו‫'
חלקם בי"ז יבא לחלקו מן הדג ו' חלקים מי"ז

he paid:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{6\sdot9}{17}=\frac{54}{17}=3+\frac{3}{17}}}

pešuṭim

ואם תרצה לידע כמה מעות יפרע בעבור חלקו שהוא השליש

אמור השליש מי"ח הוא ו' ותרבה אותם על ט' פשוטי' שנמכר הדג ואמו' ו' פעמ' ט' הם נ"ד
חלקם בי"ז הרי שיפרע בעבור השליש ג' פשוטי' וג' חלקים מי"ז

the one who has a ninth:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot\left(\frac{1}{9}\sdot18\right)}{17}=\frac{1\sdot2}{17}=\frac{2}{17}}}

of the fish

ואותו שיש לו התשיע

אמו' התשיע מי"ז הוא ב' ותרבה אותם על א' שהוא הדג ואמו' ב' פעמ' א' ב‫'
חלקם בי"ז יבוא לחלקו מן הדג ב' חלקים מי"ז

he paid:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}X=\frac{2\sdot9}{17}=\frac{18}{17}=1+\frac{1}{17}}}

pešuṭim

ואם תרצה לידע כמה מעות יפרע בעבו' חלקו שהוא התשיע

אמו' התשיע מי"ח הוא ב' ותרבה אותם על מה שנמכר הדג שהוא ט' ואמו' ב' פעמ' ט' הם י"ח
חלקם בי"ז יבא א' פשוט' וא' חלק מי"ז

Buy and Sell Problem

A man said to his friend: here are two baskets of figs, each contains 100 figs.

Sell the fine fruit at 20 for one pašuṭ, and the defective fruit at 30 for one pašuṭ.

Their total was 8⅓ pešuṭim.

One asked him: how do you sell [the figs]?

He answered him: these at 30 for one pašuṭ and these at 20 for one pašuṭ.

He replied: if so, give me from these and from these at 50 for 2 pešuṭim.

He sold all for 8 pešuṭim and lost ⅓ pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{100}{20}+\frac{100}{30}\right)-8=\left[5+\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]-8=\left(8+\frac{1}{3}\right)-8=\frac{1}{3}}}

אדם אחד אמר לחבירו הנה שני כלכלות של תאנים בכל אחת מהן ק' תאנים

מכור היפות כ' בפשוט והרעות ל' בפשוט עולה חשבונם ח' פשיטי ושליש
אמר לו אחד היאך אתה מוכר
אמר לו אלו ל' בפשוט ואילו כ' בפשוט
אמ' לו א"כ תן לי מאלו ומאלו חמשים בב' פשוטי‫'
נתן הכל בח' פשיטי' והפסיד שליש פשוט

100 at 20 for one pašuṭ =

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{20}=5}}

pešuṭim

כי אותם שהם כ' בפשוט עולי' ה' פשיטים

100 at 30 for one pašuṭ =

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{30}=3+\frac{1}{3}}}

ואותם שהם ל' בפשוט עולי' ג' פעמי' ושליש פשוט

Ordering Problems

A man has a worker for 30 pešuṭim for 30 days.

[The worker] wants to be paid each day, but the employer has only six coins that are worth a total of 30 pešuṭim.

He pays him every day with these six coins no less and no more than what he should be paid.

How much should [each of] these coins [be worth]?

\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4+8+12=30}}

אדם שיש לו שכיר אחד לשלשים יום בל' פשיטי' ורוצה לקבל פרעונו בכל יום

ואי' לשוכר רק ו' מטבעי' שוי' ל' פשיטי' בין כלם
והוא פורע אותו בכל יום עם אלו המטבעו' הו' מטבעות ‫^[132]ואינו מחסר ואינו מותיר לו על מה שיש לו לקבל
היאך יהיו אלו המטבעות

They should be according to this order:

צריכין להיות על זה הסדר

Put the first - 1; the second - 2; the third - 3; the fourth - 4; the fifth - 8; the sixth - 12.

שהאחת שי[ם] א' והשנית ב' והשלישית ג' והרביעית ד' והחמשית ח' והששית י"ב

ובזה יתכן העניין

Multiple Quantities Problems

Four Coins‫^[133]

Four coins are worth all in all 100 pešuṭim:

The first is equal to a third, a quarter, and a sixth of the second.

What is left from the second equals two fifths of the third.

The third is equal to a half and a third of the first.

The fourth is equal to a fifth of the third.

How much does each [of the coins] worth?

ד' מטבעות שוים בין ארבעתן ק' פשוטי‫'

הראשון שוה שליש ורביע ושתות מן השני
מה שנשאר מן השני שוה ב' חמישייו' מן השלישי
השלישי שוה חצי ושליש מן הראשון
הרביעי שוה חומש השלישי
כמה שוה כל אחד

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4=100\\\scriptstyle a_1=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\\\scriptstyle a_2-\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\right]=\frac{2}{5}a_3\\\scriptstyle a_3=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\sdot a_1\\\scriptstyle a_4=\frac{1}{5}a_3\end{cases}

אמו' הראשון ששוה שליש ורביע ושתות מן השני כמה חלקים משלם הם

אמו' שליש ורביע ושתות ימצאו בי"ב השליש ד' הרביע ג' השתות ב‫'
והם בן כולם ט' חלקים מי"ב שהם ג' רביעייו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)}{12}=\frac{4+3+2}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2=\frac{3}{4}a_2}}

אם כן הראשון שוה ג' רביעייו' מהשני

וימצאו כל אילו השברים בארבעים

אם כן השני הוא מ‫'
הראשון ששווה ג' רביעייו' מהשני הוא ל‫'
השלישי ששוה חצי ושליש מן הראשון שהוא ל' הוא כ"ה
הרביעי ששוה חומש השלישי שהוא כ"ה הוא ה‫'
ואם תקבץ כל אלו המספרים יהיו ק‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_2=40\\\scriptstyle a_1=\frac{3}{4}a_2=\frac{3}{4}\sdot40=30\\\scriptstyle a_3=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)a_1=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\sdot30=25\\\scriptstyle a_4=\frac{1}{5}a_3=\frac{1}{5}\sdot25=5\\\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4=30+40+25+5=100\end{cases}}}

Selling Eggs

A man gave his three sons eggs to sell: to one [of them] he gave 50 eggs, to the second 30, and to the third 10.

He said to them: go, sell the eggs equally, and bring me equal amounts of money.

\scriptstyle10X=30Y=50Z

אדם אחד נתן לשלשת בניו ביצות למכור

לאחד נתן נ' ביצות ולשלישי ל' ולשלישי י‫'
ואמר להם לכו ומכרו הביצות בשוה והביאו לי מעות בשוה

[First], they sold 7 eggs for one pašuṭ:

הלכו ונתנו ז' ביצות בפשוט

The one who had 50 eggs sold 49 eggs for 7 pešuṭim and had one egg left.

\scriptstyle{\color{blue}{50-\left(7\sdot7\right)=50-49=1}}

אותו שהיו לו נ' ביצות מכר ז' פ' מ"ט ביצות בז' פשיטי' ונשארה לו ביצה אחת

The one who had 30 eggs sold 28 eggs for 4 pešuṭim and had 2 eggs left.

\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(7\sdot4\right)=30-28=2}}

ואותו שהיו לו ל' ביצות מכר כ"ח ביצות בד"פ ונשארו לו ב' ביצות

The one who had 10 eggs sold [7] eggs for [one] pašuṭ and had 3 eggs left.

\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(7\sdot1\right)=10-7=3}}

ואותו שהיו לו י' ביצות מכר א' ביצה בז' פשיטי' ונשארו לו ג' ביצי‫'

Then, they sold the eggs they had left at 3 pešuṭim for an egg:

הלכו פעם שניה ומכרו הביצות שנשארו בג' פשיטי' הביצה

The first who had one egg left received 3 pešuṭim; with the 7 pešuṭim he received from the first sale, he received 10 pešuṭim.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot3\right)+7=3+7=10}}

הראשון ה שנשאר לו ביצה אחת קיבל ג"פ וז"פ שקיבל במכירה הראשונה

הרי שקיבל י' פשיטי‫'

The second who had 2 eggs left received 6 pešuṭim; with the 4 pešuṭim of the first sale, he received 10 pešuṭim.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)+4=6+4=10}}

והשיני שנשארו לו ב' ביצות קיבל ו' פשיטי' וד"פ שקיבל במכירה ראשונה

הרי שקבל י' פשיטי‫'

The third who had 3 eggs left received 9 pešuṭim; with the 1 pešuṭ he received from the first sale he got 10 pešuṭim.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot3\right)+1=9+1=10}}

והשלישי שנשארו ג' ~~פשיטי'~~ ביצות קיבל ט' פשיטי' וא' פשוט שקיבל במכירה הראשונה

הרי שקיבל י"פ

So, they sold the eggs for the same price and received the same amount of money.

הרי ~~שקיבל~~ שכלם מכרו הביצות בשוה וכלם קבלו המעות בשוה

Four Coins‫^[134]

Four coins are worth all in all 80 pešuṭim:

The first is equal to a half and a sixth of the second.

What is left from the second equals two thirds of the third.

The third is equal to a third, a quarter, and a sixth of the first.

The fourth is equal to four fifths of the third.

How much does each [of the coins] worth?

ד' מט' מטבעות שוים בין ארבעתם פ' פשוטי‫'

הראשון שוה החצי והשתות מן השני
הנשאר מן השני הם ב' שלישיות מן השלישי
השלישי הוא שליש ורביע ושתות מן הראשו‫'
הרביעי הוא ד' חומשים מהשני
ותרצה לידע כמה שוה כל אחד ואחד

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4=80\\\scriptstyle a_1=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\\\scriptstyle a_2-\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\right]=\frac{2}{3}a_3\\\scriptstyle a_3=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_1\\\scriptstyle a_4=\frac{4}{5}a_3\end{cases}

עשה על זה הדרך בעבו' שהראשו' שוה החצי והשתות מהשני

אמור חצי ושתות ימצאו בו‫'
החצי ג' השתות א‫'
וכללם ד' והם ב' שלשיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)}{6}=\frac{3+1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2=\frac{2}{3}a_2}}

אם כן זה ששוה חצי ושתות מן השני הוא כאלו אמר שוה ב' שלישייו' מן השני

והשלישי ששוה שליש ורביע ושתות מן הראשו‫'

אמו' שליש ורביע ושתות ימצאו בס‫'
השליש כ' הרביע ט"ו השתות י‫'
וכללם מ"ה חלקים מס' שהם ג' רביעייו' מס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}&\scriptstyle=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)}{60}\\&\scriptstyle=\frac{20+15+10}{60}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}\\\end{align}}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{3}{4}a_1}}

והוא כאלו אמר השלישי שוה ג' רבעייו' מן הראשון

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{4}{5}a_3}}

והרביעי שוה ד' חמישייו' מהשלישי הוא מבואר

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=\frac{2}{3}a_2\\\scriptstyle a_3=\frac{3}{4} a_1\\\scriptstyle a_4=\frac{4}{5}a_3\end{cases}}}

אם כן הסדר הוא כך הראשו' שוה ב' שלשייו' מהשני

והשלישי שוה ג' רביעייו' מן הראשון
הרביעי שוה ד' חמישיו' מהשני

False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{b_2=60}}

ואמו' תחלה השברים הנזכרי' בזה החשבו' הם חצי ושליש ורביע ושתות מי' וימצאו כולם בס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle b_2=60\\\scriptstyle b_1=\frac{2}{3}b_2=\frac{2}{3}\sdot60=40\\\scriptstyle b_3=\frac{3}{4}b_1=\frac{3}{4}\sdot40=30\\\scriptstyle b_4=\frac{4}{5}b_3=\frac{4}{5}\sdot30=24\end{cases}}}

אם כן השיני הוא ס‫'

הראשון ששוה ב' שלישיו' מהשני הוא מ‫'
והשלישי ששוה ג' רביעיו' מהראשון הוא ל‫'
והרביעי ששוה ד' חמשייו' מהשלישי הוא כ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{b_2-b_1=60-40=20=\frac{2}{3}\sdot30=\frac{2}{3}b_3}}

והנשאר מן השני שהוא ב' שלישייו' מהשלישי עשה על זה הדרך

אמו' כמה נשאר מהשני שהוא ס' אחר שהוצאת ממנו הראשון שהוא מ' נשארו כ‫'
אם כן כ' שהוא הנשאר מהשני הם ב' שלישייו' מהשלישי שהוא ל‫'

Denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{b_1+b_2+b_3+b_4=40+60+30+24=154}}

והרי שהראשו' הוא מ' והשני ס' והשלישי ל' והרביעי כ"ד

צרף אותם יחד יהיו קנ"ד והוא המחלק

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{40\sdot80}{154}=\frac{3200}{154}=20+\frac{120}{154}}}

ואם תרצה לדעת כמה שוה הראשו' אמו' מ' פעמ' פ' ג' אלפים ומאתים

חלקם בקנ"ד יבואו כ' וק"כ חלקים מקנ"ד

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{60\sdot80}{154}=\frac{4800}{154}=31+\frac{26}{154}}}

ואם תרצה לדעת כמה שוה השני אמו' ס' פעמ' פ' ד' אלפים ות"ת

חלקם בקנ"ד יבואו ל"א פשוטי' וכ"ו חלקים מקנ"ד

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{30\sdot80}{154}=\frac{2400}{154}=15+\frac{90}{154}}}

ולדעת חלק השלישי אמו' ל' פעמי' פ' ב' אלפים ות‫'

חלקם בקנ"ד יבואו ט"ו פשוטי' וצ' חלקים מקנ"ד

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{24\sdot80}{154}=\frac{1920}{154}=12+\frac{72}{154}}}

ולדעת חלק הרביעי אמ' כ"ד פעמי' פ' הם אלף ותתק"כ

חלקם בקנ"ד יבואו י"ב וע"ב חלקים מקנ"ד

If the coins are worth all in all 100 pešuṭim

וכן תעש' ג"כ אם יהיו שוים ד' המטבעו' האילו ק' פשוטי' בין כולם

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{40\sdot100}{154}}}

לדעת הראשו' אמו' מ' פעמ' ק' וחלקם בקנ"ד

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{60\sdot100}{154}}}

ולדעת השני אמו' ס' פעמ' ק' וחלקם בקנ"ד

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{30\sdot100}{154}}}

ולדעת השלישי אמו' ל' פעמ' ק' וחלקם בקנ"ד

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{24\sdot100}{154}}}

ולדעת הרביעי אמו' כ"ד פעמ' ק' וחלקם בקנ"ד

וכן לכל חשבו' שתרצה תפוש אותו על זה הדרך

Fractions of Fractions (MS Firenze)‫^[135]

Who has the third of the quarter of the fifth

\scriptstyle\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}

מי שיש לו השליש מן הרביע מן החומש

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{60}}}

יש לו א' חלק מס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{3}\sdot3=1\\\end{align}}}

כי החומש מס' הוא י"ב

והרביע מי"ב הוא ג‫'
והשליש מג' הוא א‫'

Who has the third of the quarter of the fifth of the sixth

\scriptstyle\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}

ומי שיש לו השליש מן הרביע מן החומש מן השתות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}=\frac{1}{360}}}

יש לו א' חלק מש"ס

\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot60=360}}

וש"ס יוצא מו' פעמ' ס‫'

Who has the third of the quarter of the fifth of the sixth of the seventh

\scriptstyle\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}

ומי שיש לו השליש מן הרביע מן החומש מן השתות מן השביע

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}=\frac{1}{2520}}}

יש לו א' חלק מב' אלפי' ותק"כ

\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot360=2520}}

וזה יוצא מן ז' פעמ' ש"ס

Who has the third of the quarter of the fifth of the sixth of the seventh of the eighth

\scriptstyle\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}

ומי שיש לו השליש מן הרביע מן החומש מן השתות מן השביע מן השמין

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}=\frac{1}{20160}}}

יש לו א' חלק מכ' אלפי' וק"ס

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot2520=20160}}

וזה יוצא מח' פעמ' ב' אלפים ותק"כ

Who has the third of the quarter of the fifth of the sixth of the seventh of the eighth of the ninth

\scriptstyle\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}

ומי שיש לו השליש מן הרביע מן החומש מן השתות מן השביע מן השמין מן התשיע

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}=\frac{1}{1814{\color{red}{40}}}}}

יש לו א' חלק מקפ"א אלפי' ות"כ

\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot20160=1814{\color{red}{40}}}}

וזה יוצא מט' פעמ' כ' אלפים וק"ס

Who has the third of the quarter of the fifth of the sixth of the seventh of the eighth of the ninth of the tenth

\scriptstyle\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}

ומי שיש לו השליש מן הרביע מן החומש מן השתות מן השביע מן השמין מן התשיע מן העשור

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}=\frac{1}{1814{\color{red}{400}}}}}

יש לו א' חלק מאלף אלפים ותתי"ד אלפי' ור‫'

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot1814{\color{red}{40}}=1814{\color{red}{400}}}}

וזה יוצא מי' פעמ' קפ"א אלפי' ות"כ

Pricing Problems‫^[136]

1000 of oil are equal to 40 mitri(?).

If 1000 are worth 27 liṭra and 5 dinar, how much is one mitro(?) worth?

\scriptstyle\frac{\left[27\sdot\left(20\sdot12\right)\right]+\left(5\sdot12\right)}{40}=\frac{X}{1}

האלף של שמן הוא מ' מיטרי א‫'

אם האלף שווה כ"ז ליט' וה' די' כמה יבא המיטרו

take 6 pešuṭim for every liṭra

and ⅕+(½·⅕)=³/₁₀ for every dinar

\scriptstyle{\color{red}{X=\left(27\sdot6\right)+\left(5\sdot\frac{3}{10}\right)=\left(27\sdot6\right)+\left[5\sdot\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\right]}}

תפוש מכל ליט' ו' פשו‫'

ומכל די' א' חומש וחצי שהם ג' עשירייו‫'

One kikkar of salt is equal to 200 botinili(?).

If you buy one kikkar of salt for 25 liṭra and you want to know how much one botinilo(?) is worth

\scriptstyle\frac{25\sdot\left(20\sdot12\right)}{200}=\frac{X}{1}

הככר מן המלח הוא מאתים בוטינילי אם תקנה הככר מן המלח בכ"ה ליט' ותרצה לידע כמה יבא הבוטינילו

take 1⅕ pešuṭim for every liṭra

\scriptstyle{\color{red}{X=25\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)}}

תפוש מכל ליט' א' פשוט וחומש

Divide a Quantity Problems

Dividing 9 dinar to a half, a third, and a ninth.

\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{9}X=9

לחלק ט' דינרי' לחצי לשליש ולתשיע

False Position - denominator: Say: a half, a third, and a ninth are found in 18. The half is 9; the third is 6; the ninth is 2. Their sum is 17 and this is the denominator.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot18\right)=9+6+2=17}}

אמור חצי ושליש ותשיע ימצאו בי"ח החצי ט' השליש ו' התשיע ב' וכללם י"ז והוא המחלק

To know the portion of the one who has a half:

ולדעת חלק אותו שיש לו החצי

Rule of Three: Say: [a half] of 18 is 9. Multiply it by the number of dinar, which is 9, and say: 9 times 9 is 81. Divide it by 17; it is [4] dinar and 13 parts of 17 of one dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)\sdot9}{17}=\frac{9\sdot9}{17}=\frac{81}{17}=4+\frac{13}{17}}}

אמור מי"ח הוא ט' ותרבה אותם עם סך הדינרי' שהם ט' ואמור ט' פעמים ט' הם פ"א

חלקם בי"ז יהיו י"ד דינרי' וי"ג חלקים מי"ז מן הדינר

We should divide the dinar into 17 parts; so one part is 12 parts of 17 of one pašuṭ.

נצטרך אם כן לחלק הדינר בי"ז חלקים ויהיה החלק י"ב חלקי' מי"ז מן הפשוט

If we want to know how much are 13 parts of 17 of a dinar, we say: 12 times 13 is 156. Divide it by 17; it is 9 pešuṭim and 3 parts of 17.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13\sdot12}{17}=\frac{156}{17}=9+\frac{3}{17}}}

ואם נרצה לדעת הי"ג חלקים מי"ז מן הדינר כמה הם

נאמר ^י"בי"ג פעמים י"ג הם קנ"ו
חלקם בי"ז יהיו ט"פ וג' חלקי' מי"ז

Therefore, the portion of the one who has a half is 4 dinar, 9 pešuṭim and 3 parts of 17 of one pašuṭ.

הרי אותו שיש לו החצי יש לו לחלקו ד' דינרי' וט"פ וג' חלקי' מי"ז מהפשוט

To know the portion of the one who has a third:

ולדעת חלק אותו שיש לו השליש

Rule of Three: Multiply 6, which is a third of 18, by 9, which is the number of dinar, and say: 6 times 9 is 54. Divide it by 17 [parts] of one dinar; it is 3 dinar and 3 parts of 17 of one dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)\sdot9}{17}=\frac{6\sdot9}{17}=\frac{54}{17}=3+\frac{3}{17}}}

תרבה ו' שהוא השליש מי"ח עם ט' שהוא סכום הדינרי' ואמור ו' פעמי' [ט' נ"ד]‫^[137]

חלקם בי"ז מהדינר [יבואו ג' די' וג' חלקים מי"ז מן הדי‫']‫^[138]

To know how much are 3 parts of 17 of one dinar, say: 3 times 12 is 36. Divide it by 17; the result is 2 pešuṭim and 2 parts of 17 of one pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot12}{17}=\frac{36}{17}=2+\frac{2}{17}}}

ולדעת כמה הם אילו הג' חלקים מי"ז מהדינר

אמור ג' פעמים י"ב ל"ו
חלקם בי"ז יבאו ב"פ וב' חלקים מי"ז מהפשוט

To know the portion of the one who has a ninth:

‫^[139]ולדעת חלק אותו שיש לו התשיע

Rule of Three: Multiply 2, which is a ninth of 18, by 9, which is the number of dinar, and say: 2 times 9 is 18. Divide it by 17; it is 1 dinar and 1 part of 17 of one dinar, which is 12 parts of 17 of one pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}X=\frac{\left(\frac{1}{9}\sdot18\right)\sdot9}{17}=\frac{2\sdot9}{17}=\frac{18}{17}=1+\frac{1}{17}=1+\frac{\frac{12}{17}}{12}}}

תרבה ב' שהוא התשיע מי"ח עם הדינר שהוא סך הדינר ~~מי"ח עם הדינר שהוא סך הדינר~~ ואמור ב' פע' ט' י"ח

חלקם בי"ז יהיו א' דינר וא' חלק מי"ז מהדינר שהוא י"ב חלקי' מי"ז ^מהפשוט

Therefore, the owner of a ninth has 1 dinar and 12 parts of 17 of one pašuṭ.

הרי שבעל התשיע יש לו א' דינר וי"ב חלקי' מי"ז מהפשוט

Dividing 9 liṭra to a half, a third, and a ninth.

\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{9}X=9

ולחלק ט' ליט' לחצי לשליש ולתשיע

The portion of the owner of the half is 4 liṭra and 13 parts of 17 of one liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X=4+\frac{13}{17}}}

יהיה א"כ לבעל החצי ד' ליטרי' וי"ג חלקי' מי"ז מהלי‫'

To know how much are the 13 parts of 17 of [one] liṭra: divide one liṭra, which are 240 pešuṭim, into 17 parts; each part is 14 pešuṭim and 2 parts of 17 of one pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{240}{17}=14+\frac{2}{17}}}

ולדעת כמה הם הי"ג חלקי' מהי"ז מן הליטרי‫'

חלק הליט' שהו' ר"מ פשיטי' בי"ז חלקים יהיה כל חלק יד"פ וב' חלקי' מי"ז מן הפשוט

If you want to know the 13 parts of 17 of one liṭra, say: 13 times 14 pešuṭim and 2 parts of 17 are 15 dinar, 3 pešuṭim and 9 parts of 17.

\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot\left(14+\frac{2}{17}\right)=\left(15\sdot12\right)+3+\frac{9}{17}}}

ואם תרצה לדעת הי"ג חלקי' מי"ז מן הליטרא

אמור י"ג פעמים יד"פ וב' חלקי' מי"ז הם ט"ו דינרים וג"פ וט' חלקי' מי"ז

So, the owner of the half has 4 liṭra, 15 dinar, 3 pešuṭim and [9] parts of 17 of one pašuṭ.

הרי שבעל החצי יש לו ד' ליטרי' וט"ו דינרי' וג"פ וט"ו חלקי' מי"ז מהפשוט

The one who has a third has 3 liṭra and 13 parts of 17 of one liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=3+\frac{3}{17}}}

ואותו שיש לו השליש יש לו ג' ליטרי' וג' חלקים מי"ז ~~מהפשוט~~ מהליט‫'

The 3 parts of 17 of one liṭra are 3 times 14 pešuṭim and 3 times 2 parts of 17 of one pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{17}=\frac{3\sdot\left(14+\frac{2}{17}\right)}{20\sdot12}}}

‫[והג' חלקים מי"ז מן הליט']‫^[140] הם ג' פעמים יד"פ וג' פעמים ב' חלקים מי"ז מהפשוט

The total are 3 liṭra, 3 dinar, 6 pešuṭim and 6 parts of 17 of one pašuṭ.

שהם בין הכל ג' ליטרי' וג' דינרי' וו' פשיטי' וו' חלקי' מי"ז מהפשוט

The one who has a ninth has 1 liṭra and 1 part of 17 of one liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}X=1+\frac{1}{17}}}

ואותו שיש לו התשיע יש לו א' ליטר' וא' חלק מי"ז מהליט‫'

1 part of 17 of one liṭra is 14 pešuṭim and 2 parts of 17 of one pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{17}=\frac{14+\frac{2}{17}}{20\sdot12}}}

וא' חלק מי"ז הליט' הוא יד"פ וב' חלקי' מי"ז מהפשוט

Check: If you sum up all the portions, they are exactly 9 liṭra.

ואם תקבץ כל החלקי' יהיו ט' ליטרין ממש

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{9}X=\left(4+\frac{15}{20}+\frac{3+\frac{9}{17}}{20\sdot12}\right)+\left(3+\frac{3}{20}+\frac{6+\frac{6}{17}}{20\sdot12}\right)+\left(1+\frac{14+\frac{2}{17}}{20\sdot12}\right)=9}}

Guessing a chosen number (MS Verona)

To find [the number] that a man has chosen, tell the man to choose [a number] as he pleases and double it twice, or three times, or four, as you wish to ask him.

Then tell him to divide [the product] by [the original number] that he thought of at first.

You can figure it out by doing the same with 1, and your remainder is the same as his remainder no less and no more

\scriptstyle\frac{x\sdot2^n}{x}=2^n

לדעת מה יחשוב האדם אמור לאדם שיחשוב כרצונו ויכפלם פעמים או שלוש או ארבע כמו שתרצה לומ' לו

א"כ תאמ' לו שיחלקם כפי המחשבה הראשונה שחשב
וזה תוכל לדעת בעשותך גם אתה החשבון על אחד והנשאר בידך הוא הנשאר בידו לא פחות ולא יתר

Example: if he thought of the number 4

דמיון זה כאלו חשב ד‫'

Double it once; it is 8.

כפול אותם פעם אחת יהיו ח‫'

Double it a second time; it is 16.

כפול אותם שנית יהיו י"ו

Double it a third time; it is 32.

כפול אותם שלישית יהיה ל"ב

Double it a fourth time; it is 64.

כפול אותם רביעית יהיו ס"ד

Divide it by the 4 he thought of at first; 16 remains.

חלקם על ד' שחשב בראשונה נשארו י"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot2^4}{4}=\frac{\left[\left[\left(4\sdot2\right)\sdot2\right]\sdot2\right]\sdot2}{4}=\frac{\left[\left(8\sdot2\right)\sdot2\right]\sdot2}{4}=\frac{\left(16\sdot2\right)\sdot2}{4}=\frac{32\sdot2}{4}=\frac{64}{4}=16}}

You think of 1.

ואתה חשבת א‫'

You double it once; it is 2.

כפלת אותו פעם אחת יהיו ב‫'

You double 2; it is 4.

כפלת ב' יהיו ד‫'

You double 4; it is 8.

כפלת ד' יהיו ח‫'

You double 8; it is 16.

כפול ח' יהיו י"ו

Divide it by 1; it is 16 as what he [got].

חלקם על א' יהיו כמוהו י"ו בשוה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot2^4}{1}=\frac{\left[\left[\left(1\sdot2\right)\sdot2\right]\sdot2\right]\sdot2}{1}=\frac{\left[\left(2\sdot2\right)\sdot2\right]\sdot2}{1}=\frac{\left(4\sdot2\right)\sdot2}{1}=\frac{8\sdot2}{1}=\frac{16}{1}=16}}

Tell [a man] to think of [a certain amount of] dinar, then add so and so pešuṭim for each dinar, double the sum, and buy fishes with [the result], paying for each the same number [of pešuṭim] added for each dinar.

You will be able to know [the chosen number] by calculating to yourself [using the same procedure] with 12.

\scriptstyle\frac{\left[12x+\left(a\sdot x\right)\right]\sdot2}{a}=

the number of fishes that can be bought

אחר אמו' שיחשוב דינרי' ויוסיף עליו כך וכך פשו' בכל לי' ויכפלם ויקנה מהם דגים שיתן לכל אחד כמספר התוספת שהוסיף בין כל הלי‫'

וזה תוכל לדעת שתעשה החשבון בינך לבינך על י"ב

He thought of 3 dinar and was told to add 3 pešuṭim for each dinar.

דמיון זה שחשב ג' לי' ואמרנו לו שיוסיף בכל די' ג' פ‫'

והנה עלו כל הפשו' מ"ה

עו' אמרנו לו שיכפלם ועלו צ' פשו‫'

וכאשר אמרנו לו שיקנה מהם דגים ויתן בכל אחד ג' פשו' כמספר התוספת שאמרנו לו שיוסיף הנה קנה ל' דגים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\left(12\sdot3\right)+\left(3\sdot3\right)\right]\sdot2}{3}=\frac{45\sdot2}{3}=\frac{90}{3}=30}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(12\sdot1\right)+\left(3\sdot1\right)\right]\sdot2=\left(12+3\right)\sdot2=15\sdot2=30}}

והנה כשתעשה החשבון בינך לבינך על י"ב שתאמר שחשב א' לי' והוא י"ב פשו‫'

הנה כאשר הוסיף ג' פשו' עליהם ועלו ט"ו

וכפלם ועלו ל‫'

וקנה מהם דגים ונתן בכל אחד ג' פשו' שהוא מספר התוספת ועלו הדגים י‫'

If he said that he bought 10 fishes, you should know that he thought of one dinar

הנה תידע שאם יאמ' שקנה י' דגים תידע שחשב א' לי‫'

If he said that he bought 20 fishes, you should know that he thought of two dinar

וכן אם אמר שקנה כ דגים תידע שחשב ב' לי‫'

Tell a man to think [of a number], add twice of it, then halve [the sum], and if there is a half [in the result] he should consider it as a whole [i.e. round it up].

Then he should add to half the sum twice of it, and cast out the nines.

[The chosen number] is found by taking two for each nine and [the result] is the number he thought of, if there is no remainder [from casting out the nines].

If there is a remainder [from casting out the nines] it is 6 […] and for the remainder take one [and add it to the previous result].

\scriptstyle\frac{\left(2\sdot\frac{2x+x}{2}\right)+\frac{2x+x}{2}}{9}\sdot2=x

אחר אמור לו שיחשוב ויכפלם פי שנים ויחלקם לחצי אם יש שם חצי יחשבהו שלם

ויכפול זה החצי פי שנים וישליכם ט' ט‫'
וזה יודע שתקח לכל ט' שיש בידו ב' וכן חשב כשלא ישאר בידו כלום
ואם ישארו בידו כלום יהיו ו' ואם לא יגיעו לכל ט' חשב א' והם ו‫'
ואם היו יותר מט' ונשארו בידו תקח המספר הידוע לכל ט' ובעבו' הנשארים תקח א‫'

If he thought of 20

דמיון זה כאילו חשב כ‫'

אמרנו לו שיכפלם פי שנים ועלו ס‫'

ואמרנו לו שיחלקם לחצי ועלו ל‫'

והנה יש לנו חצי עו' אמרנו לו שיכפול זה החצי שהוא ל' פי שנים ועלו צ‫'

עו' אמרנו לו שישליכם ט'ט' והנה לא ישאר בידו כלום

הרי שיש שם י' פעמים ט' ובעבו' כל ט' תקח ב' ועלו כ' כמו שהוא חשב כ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[2\sdot\frac{\left(2\sdot20\right)+20}{2}\right]+\frac{\left(2\sdot20\right)+20}{2}}{9}\sdot2=\frac{\left(2\sdot\frac{60}{2}\right)+\frac{60}{2}}{9}\sdot2=\frac{\left(2\sdot30\right)+30}{9}\sdot2=\frac{90}{9}\sdot2=10\sdot2=20}}

If he thought of 9

דמיון לכשישאר בידו יותר מט' כגון שחשב ט‫'

אמרנו לו שיכפלם פי שנים ועלו כ"ז

ואמרנו לו שיחלקם לחצי ועלו י"ג וחצי

ולפי שיש כן חצי אמרנו שיחשבהו שלם ויהיו י"ד

עו' אמרנו לו שיכפול אלו הי"ד פי שנים ועלו מ"ב

עו' אמרנו לו שישליכם ט'ט' ונשארו בידו ו‫'

הרי שיש בהם ד' פעמים ט' ובעבו' כל ט' תקח ב' הרי ח‫'

ובעבו' הנשארי' תקח א' הרי ט' כמו ט' שחשב הוא

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\left[2\sdot\frac{\left(2\sdot9\right)+9}{2}\right]+\frac{\left(2\sdot9\right)+9}{2}}{9}\sdot2&\scriptstyle=\frac{\left(2\sdot\frac{27}{2}\right)+\frac{27}{2}}{9}\sdot2=\frac{\left[2\sdot\left(13+\frac{1}{2}\right)\right]+\left(13+\frac{1}{2}\right)}{9}\sdot2\\&\scriptstyle\approx\frac{\left(2\sdot14\right)+14}{9}\sdot2=\frac{42}{9}\sdot2=\left(4+\frac{6}{9}\right)\sdot2\\&\scriptstyle\approx\left(4\sdot2\right)+1=8+1=9\\\end{align}}}

To know [the number] a man thinks of, tell him to double it, add 5 [to the result], and multiply [the sum] by 5.

Then he should add 10 [to the product], multiply [the sum] by 10, and subtract 350 from [the product].

Ask him what remained and take its figure, i.e.:

if 100 remained, its figure is 1, so say that he thought of 1;
if 200 remained, its figure is 2, so say that he thought of 2;
if 300 remained, its figure is 3, so say that he thought of 3;
and so on.

\scriptstyle\frac{\left[10\sdot\left[\left[5\sdot\left[\left(2\sdot x\right)+5\right]\right]+10\right]\right]-350}{100}=x

‫^[141]לדעת מה שיחשוב האדם‫^[142] אמור לו שיחשוב ויכפלם ויוסיף עליהם ה' וירבה אותם על ה‫'

ויוסיף עליהם י' וירבה אותם על י' וישליך מהם ש"נ
ושאל הנשאר ותקח דמיונם
דהיינו שאם נשארו ק' שדמיונם א' אמור כי חשב א‫'
ואם נשארו [ר']‫^[143] שדמיונם ב' אמור כי חשב ב‫'
ואם נשארו ש' שדמיונם ג' אמור כי חשב ג‫'
וכן לעולם‫^[144]

Example: if he thought of the number 10

דמיון זה כגון שחשב י‫'

אמרנו לו שיכפלם ויהיו כ‫'

גם אמרנו לו שיוסיף עליהם ה' ויהיו כ"ה

גם אמרנו לו שירבה אותם על ה' ויהיו קכ"ה

עו' אמרנו לו שיוסיף עליהם י' ויהיו קל"ה

גם אמרנו לו שירבה אותם על י' ויהיו אלף וש"נ

השלך מהם ש"נ ישארו אלף

ונקח דמיונם והוא י' כמו שחשב

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\left[10\sdot\left[\left[5\sdot\left[\left(2\sdot10\right)+5\right]\right]+10\right]\right]-350}{100}&\scriptstyle=\frac{\left[10\sdot\left[\left[5\sdot\left(20+5\right)\right]+10\right]\right]-350}{100}\\&\scriptstyle=\frac{\left[10\sdot\left[\left(5\sdot25\right)+10\right]\right]-350}{100}\\&\scriptstyle=\frac{\left[10\sdot\left(125+10\right)\right]-350}{100}\\&\scriptstyle=\frac{\left(10\sdot135\right)-350}{100}\\&\scriptstyle=\frac{1350-350}{100}=\frac{1000}{100}=10\\\end{align}}}

Tell him to multiply [the number] he thought of by 3, multiply [the result] by 4, multiply [the product] by 5, then divide [the result] by [the number] he thought of at first.

You can guess the result by applying this calculation on 1.

\scriptstyle\frac{x\sdot3\sdot4\sdot5}{x}=3\sdot4\sdot5

אחר אמור שיחשוב ויכפול מה שחשב על ג' כן יכפלהו על ד' א"כ יכפלהו על ה' ויחלקהו על מה שחשב בראשונה

ותוכל לדעת הנשאר בעשותך החשבון הזה על א‫'

Example: if he thought of the number 4

דמיון זה כגון שחשב ד‫'

כפול אותם על ג' ויהיו י"ב

כפול אותם על ד' ויהיו מ"ח

כפול אותם על ה' ויהיו ר"מ

חלקם על ד' שחשב בראשונה נשארו בידו ס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot3\sdot4\sdot5}{4}=\frac{12\sdot4\sdot5}{4}=\frac{48\sdot5}{4}=\frac{240}{4}=60}}

ואתה חשבת א‫'

כפלת אותו על ג' היו ג‫'

כפלת אותו על ד' יהיו י"ב

כפלת אותו על ה' היו ס‫'

חלקת אותו על א' יהיו ס' כמו שנשאר בידו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot3\sdot4\sdot5}{1}=\frac{3\sdot4\sdot5}{1}=\frac{12\sdot5}{1}=\frac{60}{1}=60}}

Tell him to think of any number that he wishes, but not less than 4, add twice of it, and halve the result.

If there is a fraction in half the result, he should consider it as a whole; if not, there is no need for another correction.

Then he should take the half, add twice of it, and halve the result.

If there is a fraction in half the result, he should consider it as a whole, as before.

Tell him to divide the result by 9 and let you know the number resulted from the division.

As he tells you the number, multiply it by 4.

Now you should make the result more accurate: when you asked him twice if there was or was not a fraction in half the result -

If he answered on the first time [there are] fractions [in half the result], and on the second time wholes [only], add 1 to your result.
If on the first time he answered wholes [only] and on the second time [there were] fractions, add 2 to your result.
If he answered on both the first and the second times [that there are] fractions [in half the result] add 3 to your result.
If he answered on both the first and the second times [that there are] wholes [in half the result] there is no need for another correction - what he thought of is what you get when multiplying his result of division by 4.

\scriptstyle x\ge4\longrightarrow\frac{\frac{\left(2\sdot\frac{2x+x}{2}\right)+\frac{2x+x}{2}}{2}}{9}\sdot4=x

אחר אמור שיחשוב אי זה מספר שירצה אך לא יהיה פחות מד' ויוסיף עליו פי שנים ויחלק העולה לחצאים

אם יש בחצי שבר יחשבהו שלם ואם לאו אין צריך תקון אחר
ויקח החצי ויוסיף עליו פי שנים ויחלק העולה לחצאים
ואם יש בחצי שבר יחשבהו שלם כאשר בתחלה
ואמור לו שיחלק מה שיעלה בידו על ט' ויגיד לך מספר מה שיעלה בחלוק
וכאשר הגיד לך המספר תקח לך בעבו' כל אחד ממספר שעלה בחלוק ד‫'
וכאשר עלה אמנם צריך אתה לדקדק עו‫'
כי אם כאשר שאלת לו פעמים אם יש בחצי שבר או לאו והשיב לך בפעם הראשונה שבורי' ובשנייה שלמים תוסיף על מה שעלה בידיך א‫'
ואם השיב בראשונה שלמים ובשנייה שבורי' תוסיף על מה שעלה בידיך ב‫'
ואם השיב בראשונה ובשנייה שבורים תוסיף על מה שעלה בידיך ג‫'
ואם השיב בראשונה ובשנייה שלמים אינך צריך עוד התקון אחר רק כאשר עולה בידיך כשלקח ד' לכל אחד ממה שעשה בחלוק כמה שחשב והבן זה

endnote - MS Verona

תמו אלו הדרכים ברוך שוכן עליונים אמן חזק הכותב ואמץ הקורא

additional problem - another version of a guessing problem discussed above

Tell a man to choose a number

Then tell him to cast out the threes from it, and tell you the remainder - for each one that remained [take] 70.

[The sign for this is] 3, 70.

Then tell him to cast out the fives from the number he thought of, and tell you the remainder - for each one that remained [take] 21.

The sign for this is 5, 21.

Afterwards tell him to cast out the sevens from the number he chose, and tell you the remainder - for each one that remained [take] 15.

The sign for this is 100, 15.

Then sum up [the results] and cast out 105 repeatedly.

The remainder will be the number he chose.

ג"ע הכ"א קט"ו

כשתרצה לעשות זה החשבון אמור לחברך שיחשוב אי זה חשבון שתרצה
ואחר שחשב תאמ' לו להשליכם ג' ג' והוא יאמ' לך הנשאר וכל אחד אשר ישאר ע' הוא ע‫'
ג"ע
א"כ תאמ' לו השלך מה שחשבת ה' ה' והוא יאמ' לך הנשאר וכל אחד שתאמר עתה הוא כ"א
וזה סימן הכ"א
א"כ אמר לו השלך מה שחשבת ז' ז' והוא יאמ' לך הנשאר וכל אחד שישאר עתה הוא ט"ו
וזה סימן קט"ו
א"כ כלול הנשאר יחד והוציא מהמספר ק"ה ומה שישאר בידך הוא המספר שחשב חברך

\scriptstyle\left[\left[\left(x\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(x\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(x\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105=x

If he chose [the number] 11

דמיון זה הרי שחשב חברך י"א

השליכם ג' ג' ישאר ב‫'

השליכם [ה' ה'] ישאר א‫'

השליכם ז' ז' ישאר [ד‫']

[...] כלול הכל

שתי פעמי' ע' הם ק"מ

א' פעם כ"א הוא כ"א

ד' פעמי' ט"ו הם ס‫'

חבר ק"מ וכ"א וס' יעלו רכ"א

השלך מהם שתי פעמים ק"ה ישאר י"א כמו שחשב חברך

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left[\left[\left(11\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(11\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(11\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105\\&\scriptstyle=\left[\left(2\sdot70\right)+\left(1\sdot21\right)+\left(4\sdot15\right)\right]mod105\\&\scriptstyle=\left(140+21+60\right)mod105\\&\scriptstyle=221mod105=221-\left(2\sdot105\right)=11\\\end{align}}}

if [the sum is] three [=should be four] hundreds or more - subtract from it 3 times 105

ודע שאם שלש מאות או יותר תשליך מהם ג' פעמי' ק"ה

[if the sum is] five [hundreds] - [subtract from it] 4 times 105

וכן לה' ד' פעמי' ק"ה

and so on

וכן כלם

Divisibility of the Numbers 1-112 (MS Ithaca)

endnote - MS Ithaca

נשלם ספר החשבון

תהלה לאל המחכים לכל חכם ונבון

תם ונשלם

A list of the fractions [= divisors] of each of the numbers 1-112

‫^[145]אלו הם חשבונות שיש להם ריגולא ר"ל שיש להם חלוק לחצי ולשליש ולרביע ולדומים ואותן שאין להם ריגולא

1 - no divisors

א' אין לו ריגולא

2 - divisible by 2

ב' יש לו ריגולא כי יש לו חצי

3 - divisible by 3

ג' יש לו שליש

4 - divisible by 2, 4

ד' יש לו חצי ורביע

5 - no divisors

ה' אין לו ריגולא

6 - divisible by 2, 3 - it is a perfect number

ו' יש לו חצי ושליש והוא שוה בחלקיו

7 - no divisors

ז' אין לו ריגולא

8 - divisible by 2, 4

ח' יש לו חצי ורביע

9 - divisible by 3

ט' יש לו שליש

10 - divisible by 2, 5

י' יש לו חצי וחמש

11 - no divisors

י"א אין לו ריגולא

12 - divisible by 2, 3, 4, 6

י"ב יש לו חצי ושליש ורביע ושתות

13 - no divisors

י"ג אין לו ריגולא

14 - divisible by 2, 7

י"ד יש לו חצי ושביע

15 - divisible by 3, 5

ט"ו יש לו שליש וחמש

16 - divisible by 2, 4, 8

י"ו יש לו חצי ורביע ושמיני

17 - no divisors

י"ז אין לו ריגולא

18 - divisible by 2, 3, 6, (9 is missing)

י"ח יש לו חצי ושליש ושתות

19 - no divisors

י"ט אין לו ריגולא

20 - divisible by 2, 4, 5, (10 is missing)

כ' יש לו חצי ורביע וחמש

21 - divisible by 3, 7

כ"א יש לו שליש ושביע

22 - divisible by 2, 11

כ"ב יש לו חצי ואחד מי"א

23 - no divisors

כ"ג אין לו ריגולא

24 - divisible by 2, 3, 4, 6, 8, (12 is missing)

כ"ד יש לו חצי ושליש ורביע ושתות [ו]שמיני

25 - divisible by 5

כ"ה יש לו חמש

26 - divisible by 2, 13

כ"ו יש לו חצי ואחד מי"ג

27 - divisible by 3, 9

כ"ז יש לו שליש ותשיע

28 - divisible by 2, 4, 7, 14

כ"ח יש לו חצי ורביע ושביע ואחד מי"ד

29 - no divisors

כ"ט אין לו רגולא

30 - divisible by 2, 3, 10, 15, (5, 6, are missing)

ל' יש לו חצי ושליש ועשירית ואחד מט"ו

31 - no divisors

ל"א אין לו ריגולא

32 - divisible by 2, 4, 8, 16

ל"ב יש לו חצי ורביעי' ושמינית ואחד מי"ו

33 - divisible by 3, 11

ל"ג יש לו שליש ואחד מי"א

34 - divisible by 2, 17

ל"ד יש לו חצי ואחד מי"ז

35 - divisible by 5, 7

ל"ה יש לו חמש ושביע

36 - divisible by 2, 3, 9, 4, (12, 18 are missing)

ל"ו יש לו חצי ושליש ותשיע ורביע

37 - no divisors

ל"ז אין לו ריגולא

38 - divisible by 2, 19

ל"ח יש לו חצי ואחד מי"ט

39 - divisible by 3, 13

ל"ט יש לו שליש ואחד מי"ג

40 - divisible by 2, 4, 5, 8, 10, (20 is missing)

מ' יש לו חצי ורביע וחמש ושמין ועשירי

41 - no divisors

מ"א אין לו ריגולא

42 - divisible by 2, 3, 6, 7, 14, 21

מ"ב יש לו חצי ושליש ושתות ושביע וי"ד וכ"א

43 - no divisors

מ"ג אין לו ריגולא

44 - divisible by 2, 4, 11, 22

מ"ד יש לו חצי ורביע וי"א וכ"ב

45 - divisible by 5, 9, 15, (3 is missing)

מ"ה יש לו חמש ותשיע וט"ו

46 - divisible by 2, 23

מ"ו יש לו חצי ואחד מכ"ג

47 - no divisors

מ"ז אין לו ריגולא

48 - divisible by 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24

מ"ח יש לו חצי ושליש ורביע ושתות ושמין י"ב וי"ו וכ"ד

49 - divisible by 7

מ"ט יש לו שביע

50 - divisible by 2, 5, 10, 25

נ' יש לו חצי וחמש ועשירית וכ"ה

51 - divisible by 3, 17

נ"א יש לו שליש וי"ז

52 - divisible by 2, 4, 13, 26

נ"ב יש לו חצי ורביע וי"ג וכ"ו

53 - no divisors

נ"ג אין לו ריגולא

54 - divisible by 2, 3, 6, 9, 27, (18 is missing)

נ"ד יש לו חצי ושליש ושתות ותשיע וכ"ז

55 - divisible by 5, 11

נ"ה יש לו חמש וי"א

56 - divisible by 2, 4, 7, 8, 14, 28

נ"ו יש לו חצי ורביע ושביע ושמיני וי"ד וכ"ח

57 - divisible by 3, 19

נ"ז יש לו שליש וי"ט

58 - divisible by 2, 29

נ"ח יש לו חצי וכ"ט

59 - no divisors

נ"ט אין לו ריגולא

60 - divisible by 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30

‫^[146]ס' יש לו חצי ושליש ורביע וחמש ושתות ועשירי וי"ב וט"ו וכ' ול‫'

61 - no divisors

ס"א אין לו ריגולא

62 - divisible by 2, 31

ס"ב יש לו חצי ול"א

63 - divisible by 3, 7, 9, (21 is missing)

ס"ג יש לו שליש ושביע ותשיע

64 - divisible by 2, 4, 8, 16, 32

ס"ד יש לו חצי ורביע ושמיני וי"ו ול"ב

65 - divisible by 5, 13

ס"ה יש לו חמש וי"ג

66 - divisible by 2, 3, 6, 11, 22, 33

ס"ו יש לו חצי ושליש ושתות וי"א וכ"ב ול"ג

67 - no divisors

ס"ז אין לו ריגולא

68 - divisible by 2, 4, 17, 34

ס"ח יש לו חצי ורביע וי"ז ול"ד

69 - divisible by 3, 23

ס"ט יש לו שליש וכ"ג

70 - divisible by 2, 7, 5, 14, 35, (10 is missing)

ע' יש לו חצי ושביע וחמש וי"ד ול"ה

71 - no divisors

ע"א אין לו ריגולא

72 - divisible by 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36

ע"ב יש לו חצי ושליש ורביע ושתות ושמיני ותשיע י"ב י"ח כ"ד ל"ו

73 - no divisors

ע"ג אין לו ריגולא

74 - divisible by 2, 37

ע"ד יש לו חצי ול"ז

75 - divisible by 5, 15, 25, (3 is missing)

ע"ה יש לו חמש וט"ו וכ"ה

76 - divisible by 2, 4, 19, 38

ע"ו יש לו חצי ורביע וי"ט ול"ח

77 - divisible by 7, 11

ע"ז יש לו שביע וי"א

78 - divisible by 2, 6, 13, 39

ע"ח יש לו חצי ושתות וי"ג ול"ט

79 - no divisors

ע"ט אין לו ריגולא

80 - divisible by 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40

פ' יש לו חצי ורביע וחמש ושמיני ועשירי וי"ו וכ' ומ‫'

81 - divisible by 9

פ"א יש לו תשיע

82 - divisible by 2, 41

פ"ב יש לו חצי ומ"א

83 - no divisors

פ"ג אין לו ריגולא

84 - divisible by 2, 3, 4, 6, 12, 21, 42, (7, 14, 28 are missing)

פ"ד יש לו חצי ושליש ורביע ושתות וי"ב וכ"א ומ"ב

85 - divisible by 7, 17, (5 is missing)

פ"ה יש לו שביע וי"ז

86 - divisible by 2, 43

פ"ו יש לו חצי ומ"ג

87 - divisible by 3, 29

פ"ז יש לו שליש וכ"ט

88 - divisible by 2, 11, 8, 4, 22, 44

פ"ח יש לו חצי וי"א ושמיני ורביע וכ"ב ומ"ד

89 - no divisors

פ"ט אין לו ריגולא

90 - divisible by 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 30, 45, (18 is missing)

צ' יש לו חצי ושלישי וחמש ושתות ותשיעי ועשירי וט"ו ול' ומ"ה

91 - divisible by 7, 13

צ"א יש לו שביע וי"ג

92 - divisible by 2, 3, 4, 6, 46, (23 is missing)

צ"ב יש לו חצי ושליש ורביע ושתות ומ"ו

93 - divisible by 3, 31

צ"ג יש לו שליש ול"א

94 - divisible by 2, 47

צ"ד יש לו חצי ומ"ז

95 - divisible by 5, 19

צ"ה יש לו חמש וי"ט

96 - divisible by 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48

צ"ו יש לו חצי ושליש ורביע ושתות ושמיני וי"ב וי"ו וכ"ד ול"ב ומ"ח

97 - no divisors

צ"ז אין לו ריגולא

98 - divisible by 2, 7, (14, 49 are missing)

צ"ח יש לו חצי ושביע

99 - divisible by 9, 11

צ"ט יש לו תשיע וי"א

100 - divisible by 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50

ק' יש לו חצי ורביע וחמש ועשירי וכ' וכ"ה ונ‫'

101 - no divisors

ק"א אין לו ריגולא

102 - divisible by 2, 3, 6, 17, 34, 51

ק"ב יש לו ריגולא חצי ושליש ושתות וי"ז ול"ד ונ"א

103 - no divisors

ק"ג אין לו ריגולא

104 - divisible by 2, 4, 13, 26, 52, 8

ק"ד יש לו חצי ורביע וי"ג וכ"ו ונ"ב ושמיני

105 - divisible by 3, 5, 7, 15, 21, 35

ק"ה יש לו שליש וחמש ושביע וט"ו וכ"א ול"ה

106 - divisible by 2, 53

ק"ו יש לו חצי ונ"ג

107 - no divisors

ק"ז אין לו ריגולא

108 - divisible by 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, 54, (27 is missing)

ק"ח יש לו חצי ושליש ורביע ושתות ותשיע וי"ב וי"ח ול"ו ונ"ד

109 - no divisors

ק"ט אין לו ריגולא

110 - divisible by 2, 5, 10, 11, 22, 55

ק"י יש לו חצי וחמש ועשירי וי"א וכ"ב ונ"ה

111 - no divisors

קי"א אין לו ריגולא

112 - divisible by 2, 4, 28, 56

קי"ב יש לו חצי ורביע וכ"ח ונ"ו

סליק

‫^[147]כתבים כ"ז, מהשר החכם דון בנבנשית בן לביא

Notes

↑ MS Cambridge: title is missing
↑ אחד: MS Cambridge א‫' MS Ithaca חשבון
↑ מן המספר: MS Cambridge מספר
↑ ועיקר המספר: MS Cambridge om.
↑ הוא: MS Cambridge om.
↑ על: MS Cambridge עד
↑ שאינו: MS Cambridge שהוא אינו
↑ מורה: MS Cambridge מוראה
↑ ב'פ'ב‫'‫ MS Cambridge :ב' פעמי' ב‫'
↑ ג'פ'ג‫'‫ MS Cambridge :ג' פעמי' ג‫'
↑ כשתרבה: MS Cambridge כשאתה מרבה
↑ כגון: MS Cambridge כמו
↑ חצי פעם חצי: MS Cambridge חצי פעם חצי פעם
↑ שליש פעם שליש: MS Cambridge שליש פעם שליש פעם
↑ שהוא: MS Cambridge הוא
↑ רביע פעם רביע: MS Cambridge רביע פעם רביע פעם
↑ שהוא: MS Cambridge הוא
↑ שאיננו: MS Cambridge כי אינו
↑ כשנרצה: MS Cambridge ואם נרצה
↑ לרבות: MS Cambridge לדעת
↑ נקח: MS Cambridge om.
↑ דמיונם: MS Cambridge שדמיונם
↑ מן ... וכמו: MS Cambridge om.
↑ ו'פ'ד‫'‫ MS Cambridge :שו' פעמי' ד‫'
↑ הם: MS Cambridge שהם
↑ ‫כן ... מ‫': MS Cambridge om.
↑ הם: MS Cambridge בין יהיו
↑ וכן: MS Cambridge ~~וג'~~ וכן
↑ ג'פ'ל‫'‫ MS Cambridge :ג' פעמים ל‫'
↑ הוא: MS Cambridge om.
↑ ויהיו: MS Cambridge כן ג'פ'ל' יהיו
↑ כשנרצה ... כלם: MS Cambridge the discussion on multiplication of units by tens appears after the discussion on multiplication of tens by tens
↑ ואם נרבה: MS Cambridge כשתרבה
↑ של' הם‫ MS Cambridge :היות ל‫'
↑ ג'פ'ג‫'‫ MS Cambridge :ג' פעמי' ג‫'
↑ שג'פ'ג‫'‫ MS Cambridge :שג' פעמים ג‫'
↑ מ'פ'מ‫'‫ MS Cambridge :מ' פעמים מ‫'
↑ ד' ד'פ'ד' י"ו וכן מ'פ'מ' י"ו מאות‫ MS Cambridge :ד' ... מאות
↑ ל'פ'מ‫'‫ MS Cambridge :ל' פעמים מ‫'
↑ ג'פ'ד‫'‫ MS Cambridge :הוא ... ד‫'
↑ ל'פ'מ‫'‫ MS Cambridge :ל' פע' מ‫'
↑ יהיה: MS Cambridge יהיו
↑ ב'פ'ר‫'‫ MS Cambridge :כ' פעמים ב' מאות
↑ ב'פ'ב‫'‫ MS Cambridge :ב' פעמים ב‫'
↑ כן ב'פ'ר‫'‫ MS Cambridge :והם
↑ ה'פ'ה‫'‫ MS Cambridge :ה' פעמי' ה‫'
↑ שהם: MS Cambridge יהיו
↑ והם: MS Cambridge כן נ' פ' ת"ק יהיו
↑ ר'פ'ר‫'‫ MS Cambridge :ר' פעמים ר‫'
↑ הם: MS Cambridge om.
↑ ב'פ'ב‫'‫ MS Cambridge :ב' פעמים ב‫'
↑ שהם: MS Cambridge כגון ר'פ'ר' יהיו
↑ מאלפים: MS Cambridge מאלפים והם מ' אלפים
↑ ה'פ'ה‫'‫ MS Cambridge :ה' פעמים ה‫'
↑ והם: MS Cambridge ויהיו ת"ק פ' ת"ק
↑ ואם נרצה לרבות: MS Cambridge אם נרבה
↑ ת"ר: MS Cambridge ת"ר ~~אלפים~~
↑ שהם: MS Cambridge הם
↑ ששמרת: MS Cambridge המשמרת
↑ מאות האלפים: MS Cambridge המאות מהאלפים
↑ גם כן: MS Cambridge ג"כ
↑ האלפים: MS Cambridge אלפים
↑ אם כן: MS Cambridge א"כ
↑ אחד ‫MS Cambridge א‫':
↑ ואינם: MS Cambridge ולא
↑ וחכמי ... 10: MS Cambridge om.
↑ ראש: MS Cambridge תחלת
↑ הנפרדים: MS Cambridge הנפרדות
↑ שהוא: MS Cambridge והוא
↑ כשנרצה: MS Cambridge כשתרצה
↑ ואחרי כן: MS Cambridge ואח"כ
↑ ואחרי כן: MS Cambridge ואח"כ
↑ 32v
↑ 33r
↑ 34r
↑ 34v
↑ 35r
↑ 36r
↑ 38r
↑ 38v
↑ MS ithaca twice
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca כ"ה אלפים
↑ MS Ithaca marg.
↑ MS Ithaca ליטרי'
↑ MS Ithaca om. שלשתי ארבעי' אונקיו' זהב
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca י"ג וי"א
↑ MS Ithaca המחובר
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca twice
↑ 39r
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca ראשון ס'
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca עשרים
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca illegible
↑ 39v
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ 40r
↑ MS Ithaca פרחי' כ'
↑ MS Ithaca ג'
↑ 40v
↑ 41r
↑ MS Ithaca י"ח
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca twice
↑ 41v
↑ 43r
↑ This problem is missing in MS Ithaca
↑ MS ithaca אלף
↑ MS Ithaca ח'
↑ 44r
↑ marg.
↑ MS Ithaca twice
↑ MS ithaca twice
↑ 44v
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca אותם
↑ This problem is missing in MS Ithaca; it appears in MS Verona, Cambridge
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ 45r
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca om.
↑ 45v
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca: this problem appears at the end of the treatise, 46v
↑ MS Verona אחר
↑ MS Ithaca om.
↑ MS Ithaca end.
↑ 46r
↑ 46v
↑ MS Ithaca end

Appendix: Bibliography

Anonymous Hebrew-Italian Textbook

Manuscripts:

1) Cambridge, University Library Add. 553 (IMHM: f 16842), ff. 64r-86r (17th century)

2) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.44.3/2 (IMHM: f 17826), ff. 62r-69v (15th century)

Plut.44.3/2

3) Ithaca (NY), Cornell University A 26/3 (IMHM: f 46122), ff. 31r-46v (15th century)

4) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1049/2 (IMHM: f 27767), ff. 35r-41v (14th-15th century)

heb. 1049/2

5) Verona, Biblioteca Civica 33 (83.1)/2 (IMHM: f 32674), ff. 8r-84v; 222r-v (Cento, 1461)

The transcript is based mainly on manuscript Ithaca 26

[1] MS Cambridge: title is missing

[2] אחד: MS Cambridge א‫' MS Ithaca חשבון

[3] מן המספר: MS Cambridge מספר

[4] ועיקר המספר: MS Cambridge om.

[5] הוא: MS Cambridge om.

[6] על: MS Cambridge עד

[7] שאינו: MS Cambridge שהוא אינו

[8] מורה: MS Cambridge מוראה

[9] ב'פ'ב‫'‫ MS Cambridge :ב' פעמי' ב‫'

[10] ג'פ'ג‫'‫ MS Cambridge :ג' פעמי' ג‫'

[11] כשתרבה: MS Cambridge כשאתה מרבה

[12] כגון: MS Cambridge כמו

[13] חצי פעם חצי: MS Cambridge חצי פעם חצי פעם

[14] שליש פעם שליש: MS Cambridge שליש פעם שליש פעם

[15] שהוא: MS Cambridge הוא

[16] רביע פעם רביע: MS Cambridge רביע פעם רביע פעם

[17] שהוא: MS Cambridge הוא

[18] שאיננו: MS Cambridge כי אינו

[19] כשנרצה: MS Cambridge ואם נרצה

[20] לרבות: MS Cambridge לדעת

[21] נקח: MS Cambridge om.

[22] דמיונם: MS Cambridge שדמיונם

[23] מן ... וכמו: MS Cambridge om.

[24] ו'פ'ד‫'‫ MS Cambridge :שו' פעמי' ד‫'

[25] הם: MS Cambridge שהם

[26] ‫כן ... מ‫': MS Cambridge om.

[27] הם: MS Cambridge בין יהיו

[28] וכן: MS Cambridge ~~וג'~~ וכן

[29] ג'פ'ל‫'‫ MS Cambridge :ג' פעמים ל‫'

[30] הוא: MS Cambridge om.

[31] ויהיו: MS Cambridge כן ג'פ'ל' יהיו

[32] כשנרצה ... כלם: MS Cambridge the discussion on multiplication of units by tens appears after the discussion on multiplication of tens by tens

[33] ואם נרבה: MS Cambridge כשתרבה

[34] של' הם‫ MS Cambridge :היות ל‫'

[35] ג'פ'ג‫'‫ MS Cambridge :ג' פעמי' ג‫'

[36] שג'פ'ג‫'‫ MS Cambridge :שג' פעמים ג‫'

[37] מ'פ'מ‫'‫ MS Cambridge :מ' פעמים מ‫'

[38] ד' ד'פ'ד' י"ו וכן מ'פ'מ' י"ו מאות‫ MS Cambridge :ד' ... מאות

[39] ל'פ'מ‫'‫ MS Cambridge :ל' פעמים מ‫'

[40] ג'פ'ד‫'‫ MS Cambridge :הוא ... ד‫'

[41] ל'פ'מ‫'‫ MS Cambridge :ל' פע' מ‫'

[42] יהיה: MS Cambridge יהיו

[43] ב'פ'ר‫'‫ MS Cambridge :כ' פעמים ב' מאות

[44] ב'פ'ב‫'‫ MS Cambridge :ב' פעמים ב‫'

[45] כן ב'פ'ר‫'‫ MS Cambridge :והם

[46] ה'פ'ה‫'‫ MS Cambridge :ה' פעמי' ה‫'

[47] שהם: MS Cambridge יהיו

[48] והם: MS Cambridge כן נ' פ' ת"ק יהיו

[49] ר'פ'ר‫'‫ MS Cambridge :ר' פעמים ר‫'

[50] הם: MS Cambridge om.

[51] ב'פ'ב‫'‫ MS Cambridge :ב' פעמים ב‫'

[52] שהם: MS Cambridge כגון ר'פ'ר' יהיו

[53] מאלפים: MS Cambridge מאלפים והם מ' אלפים

[54] ה'פ'ה‫'‫ MS Cambridge :ה' פעמים ה‫'

[55] והם: MS Cambridge ויהיו ת"ק פ' ת"ק

[56] ואם נרצה לרבות: MS Cambridge אם נרבה

[57] ת"ר: MS Cambridge ת"ר ~~אלפים~~

[58] שהם: MS Cambridge הם

[59] ששמרת: MS Cambridge המשמרת

[60] מאות האלפים: MS Cambridge המאות מהאלפים

[61] גם כן: MS Cambridge ג"כ

[62] האלפים: MS Cambridge אלפים

[63] אם כן: MS Cambridge א"כ

[64] אחד ‫MS Cambridge א‫':

[65] ואינם: MS Cambridge ולא

[66] וחכמי ... 10: MS Cambridge om.

[67] ראש: MS Cambridge תחלת

[68] הנפרדים: MS Cambridge הנפרדות

[69] שהוא: MS Cambridge והוא

[70] כשנרצה: MS Cambridge כשתרצה

[71] ואחרי כן: MS Cambridge ואח"כ

[72] ואחרי כן: MS Cambridge ואח"כ

[73] 32v

[74] 33r

[75] 34r

[76] 34v

[77] 35r

[78] 36r

[79] 38r

[80] 38v

[81] MS ithaca twice

[82] MS Ithaca om.

[83] MS Ithaca כ"ה אלפים

[84] MS Ithaca marg.

[85] MS Ithaca ליטרי'

[86] MS Ithaca om. שלשתי ארבעי' אונקיו' זהב

[87] MS Ithaca om.

[88] MS Ithaca י"ג וי"א

[89] MS Ithaca המחובר

[90] MS Ithaca om.

[91] MS Ithaca twice

[92] 39r

[93] MS Ithaca om.

[94] MS Ithaca om.

[95] MS Ithaca om.

[96] MS Ithaca om.

[97] MS Ithaca om.

[98] MS Ithaca om.

[99] MS Ithaca om.

[100] MS Ithaca ראשון ס'

[101] MS Ithaca om.

[102] MS Ithaca עשרים

[103] MS Ithaca om.

[104] MS Ithaca illegible

[105] 39v

[106] MS Ithaca om.

[107] MS Ithaca om.

[108] MS Ithaca om.

[109] 40r

[110] MS Ithaca פרחי' כ'

[111] MS Ithaca ג'

[112] 40v

[113] 41r

[114] MS Ithaca י"ח

[115] MS Ithaca om.

[116] MS Ithaca twice

[117] 41v

[118] 43r

[119] This problem is missing in MS Ithaca

[120] MS ithaca אלף

[121] MS Ithaca ח'

[122] 44r

[123] rg.

[124] MS Ithaca twice

[125] MS ithaca twice

[126] 44v

[127] MS Ithaca om.

[128] MS Ithaca אותם

[129] This problem is missing in MS Ithaca; it appears in MS Verona, Cambridge

[130] MS Ithaca om.

[131] MS Ithaca om.

[132] 45r

[133] MS Ithaca om.

[134] MS Ithaca om.

[135] MS Ithaca om.

[136] MS Ithaca om.

[137] MS Ithaca om.

[138] MS Ithaca om.

[139] 45v

[140] MS Ithaca om.

[141] MS Ithaca: this problem appears at the end of the treatise, 46v

[142] MS Verona אחר

[143] MS Ithaca om.

[144] MS Ithaca end.

[145] 46r

[146] 46v

[147] MS Ithaca end

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

[98]

[99]

[100]

@@ Line 4,322: / Line 4,322: @@
 *{{#annot:a year|615|i7R1}}If it is said: the house is rented at 6 pešiṭim a day, how many liṭra will be earned a year.
 :<math>\scriptstyle\frac{6}{1}=\frac{X\sdot\left(20\sdot12\right)}{360}</math>
-|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>40v</ref>וכן אם יאמר שכירות הבית ו' ליטרי' בשנה ו' פשיטי' ליום כמה ליטרי' יבואו השנה{{#annotend:i7R1}}
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>41v</ref>וכן אם יאמר שכירות הבית ו' ליטרי' בשנה ו' פשיטי' ליום כמה ליטרי' יבואו השנה{{#annotend:i7R1}}
 |-
 |

Difference between revisions of "ספר חשבון"

Revision as of 14:25, 28 May 2023

Contents

The Nature of One

Shortcuts - Products of Ranks by Ranks

The Decimal Ranks

Three Types of Numbers

The Ten Numerals

Finding the Square Numbers

Cubic Numbers

Primary Definitions

Multiplication

Units and tens by units and tens

Units by units and tens

Check

Units, tens, and hundreds by units, tens, and hundreds

Units and tens by units, tens, and hundreds

Units by units, tens, and hundreds

Units, tens, hundreds, and thousands by units, tens, hundreds, and thousands

Units, tens, hundreds, and thousands by units, tens, and hundreds

Units, tens, hundreds, and thousands by units and tens

Units, tens, hundreds, and thousands by units

Units, tens, hundreds, thousands, and tens of thousands by units, tens, hundreds, thousands, and tens of thousands

Units, tens, hundreds, thousands, tens of thousands, and hundreds of thousands by units, tens, hundreds, thousands, tens of thousands, and hundreds of thousands

Addition

Subtraction

Division

Sums

Motion Problems - Pursuit

Word Problems - The Rule of Three

Pricing Problems

Employment Problems - Payment Problems

Calculation of Fractions

Addition of Fractions

Subtraction of Fractions

Fractions of Fractions

Conversion of fractions

Operations with fractions - numerator greater than 1

Multiplication of fractions

Proportions with fractions

Word Problems

Exchange Problems

Divide a Quantity Problems

Partnership - for the same time

Multiple Quantities Problems

Joint Purchase Problem - If You Give Me - Amounts of Money

Multiple Quantities Problems

Three Brothers - Money

Selling Cloth

Mixture and Alligation Problem

Pricing Problems

Shared Work Problem - Four rivers

Multiple Quantities Problems

Rent Problems

Pricing Problems

Interest and Discount Problems - Find the Earned Interest

Interest and Discount Problems (MS Verona)

Find a Number Problems

Find the Price - Cubits of Cloth

Interest and Discount Problem - Compound Interest

Pricing Problems

Guessing Problems

Divide a Quantity Problem

Motion Problem - To and From

Find a Quantity Problem - First from Last

Ordering Problems

Find a Quantity Problem - Whole from Parts[130]

Divide a Quantity Problem - Proportional Division[131]

Buy and Sell Problem

Ordering Problems

Multiple Quantities Problems

Four Coins‫[133]

Selling Eggs

Four Coins‫[134]

Fractions of Fractions (MS Firenze)‫[135]

Pricing Problems‫[136]

Divide a Quantity Problems

Guessing a chosen number (MS Verona)

Divisibility of the Numbers 1-112 (MS Ithaca)

Notes

Find a Quantity Problem - Whole from Parts^[130]

Divide a Quantity Problem - Proportional Division^[131]

Four Coins‫^[133]

Four Coins‫^[134]

Fractions of Fractions (MS Firenze)‫^[135]

Pricing Problems‫^[136]