Difference between revisions of "ספר הכללים במספר"

Revision as of 07:37, 5 May 2023

Problems of Various Types
[Gold Weights: 1 kikkar = 100 liṭra; 1 liṭra = 20 dinar/zuz; 1 dinar/zuz = 12 pešiṭim/pešuṭim]
Find a Number Problem - Subtraction of Fractions
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{\left[\frac{1}{a}\sdot\left(a\sdot b\right)\right]-\left[\frac{1}{b}\sdot\left(a\sdot b\right)\right]}{a\sdot b}}}$
1) If a man asks you: how large is the third from the quarter? $\scriptstyle\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$	‫^[1]א אם ישאלך אדם כמה הוא יותר השליש מן הרביע
common denominator: say: 3 times 4 is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}$	אמור ג' פעמים ד' הם י"ב
The third is 4 dinar.	השליש הוא ד' דנריצימו
The quarter is 3 dinar.	הרביע הוא ג' דנריציסמו
We find that the third is greater than the quarter by a twelfth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}{12}=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}}}$	נמצא שהשליש הוא יותר מן הרביע א' תריציסמו
If you are asked: how large is the quarter from the fifth? $\scriptstyle\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$	וכן אם ישאלך כמה יותר הרביע מן החומש
common denominator: do as we did above and say: 4 times 5 is 20. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}$	תעשה כמו שעשינו למעלה ואמור ד' פעמים ה' הם כ‫'
The quarter is 5-twentieths.	הרביע הוא ה' בינטיני
The fifth is 4-twentieths.	החומש הוא ד' בינטיני
We find that the quarter is greater than the fifth by a twentieth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)}{20}=\frac{5-4}{20}=\frac{1}{20}}}$	נמצא שהרביע הוא יותר מן החומש א' בינטינו
Likewise for everything similar to it.	וכן כל הדומה לו
If you are asked: how large is the third from the fifth? $\scriptstyle\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$	וכן אם ישאלך כמה הוא יותר השליש מן החמישית
common denominator: say: 3 times 5 is 15. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}$	אמור ג' פעמים ה' הם ט"ו
The third is 5-fifteenths.	השליש הוא ה' קוויניציסמי
The fifth is 3-fifteenths.	והחומש הוא ג' קוויניציס
We find that the third is greater than the fifth by two-fifteenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)}{15}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}}}$	נמצא שהשליש הוא יותר מן החומש ב' קוויניציסמו
Find a Number Problem - Addition of Fractions
2) How much are a third, a quarter, a fifth, a sixth, and a seventh of one pašuṭ? $\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$	ב אם ישאלך אדם כמה הוא שליש פשוט ורביע וחומש ושתות ושביעית
common denominator: you should divide the pašuṭ into the number in which you find all these fractions.	תצטרך לחלק הפשוט לכל כך חלקי' שתמצא בו כל אלו השעורים
Follow this way and say: 3 times 4 is 12; 5 times 12 is 60; 6 times 60 is 360; 7 times 360 is 2520; in this number you find your question.	וכלך לדרך זו ואמור ג' פעמים ד' הם י"ב ה' פעמין י"ב הם ס‫' ו' פעמי' ס' הם ש"ס ז' פעמין ש"ס הם אלפי' ותק"כ ובזה השעור תמצא שאלתך
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(3\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7=\left[\left(12\sdot5\right)\sdot6\right]\sdot7=\left(60\sdot6\right)\sdot7=360\sdot7=2520}}$
The third is 849 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}=\frac{\frac{1}{3}\sdot2520}{2520}=\frac{840}{2520}}}$	השליש הוא תת"מ חלקי‫'
The quarter is 630 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}=\frac{\frac{1}{4}\sdot2520}{2520}=\frac{630}{2520}}}$	הרביע הוא תר"ל חלקי‫'
The fifth is 504 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}=\frac{\frac{1}{5}\sdot2520}{2520}=\frac{504}{2520}}}$	החומש הוא תק"ד חלקי‫'
The sixth is 420 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}=\frac{\frac{1}{6}\sdot2520}{2520}=\frac{420}{2520}}}$	השתות הוא ת"כ חלקי‫'
The seventh is 360 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}=\frac{\frac{1}{7}\sdot2520}{2520}=\frac{360}{2520}}}$	השבעית הוא ש"ס חלקי‫'
The total is 2754.	הרי שמן כולם הם אלפי' ותשנ"ד חלקי‫'
Subtract 2520 parts from it, which is one unit; you are left with 234 parts.	תוציא מהם אלפים ותק"כ חלקי' שהוא אחד שלם נשארו בידך רל"ד חלקי‫'
We find that a third, a quarter, a fifth, a sixth, and a seventh of one pašuṭ are one pašuṭ and 234 parts of one pašuṭ, when you divide it into 2520 parts, which is 117 parts of 1260.	נמצא ששליש פשוט ורבע וחומש ושתות ושביעי הוא א' פשוט שלם ורל"ד חלקי' מפשוט אחד שתחלקהו לאלפי' ותק"כ חלקי‫' שהוא קי"ז חלקי' מאלף ור"ס וכה"ל
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}=\frac{840+630+504+420+360}{2520}=\frac{2754}{2520}=1+\frac{234}{2520}=1+\frac{117}{1260}}}$
Find a Quantity Problem - Whole from Parts Problem - Lance
3) Question: one-third of the lance is in the water, its quarter is in the ground, and 10 cubits of it are up above the water. How many cubits is the whole lance? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+10=X$	ג שאלה רומח אחד שלישיתו במים ורביעיתו בעפר ולמעלה מן המים י' אמות כמה אמות כל הרומח
False Position: We look for a number that has a third and a quarter; it is 12.	נבקש מניין שיש לו שלישית ורביעית והוא י"ב
The sum of its third and its quarter is 7.	ושלישיתו ורביעיתו מחוברים ז‫'
We subtract it from 12; 5 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}$	נחסרם מי"ב ישארו ה‫'
Rule of Three: We multiply the extremes; the result is 120.	כפלנו הקצוות עלו ק"כ
We divide it by 5; the result is 24 and this is the length of the whole lance. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12\sdot10}{5}=\frac{120}{5}=24}}$	חלקנום על ה' עלה כ"ד וזהו גבהות כל הרומח
Check: Its third is 8; its quarter is 6; we subtract them from 24; 10 integers remain no more and no less. $\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=24-8-6=10}}$	שלישיתו ח' ורביעיתו ו' נחסרם מכ"ד ישארו י' שלמים בלי תוספת ומגרעת וכה"ל
How Much Problem - Money
4) Question: An amount of money - we sum its fifth, its seventh, and its ninth; they are 10. How much is the amount of money? $\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=10$	ד שאלה ממון חברנו חמישיתו ושביעיתו ותשיעיתו והיו י‫' כמה הממון
False Position - common denominator: We look for the denominator; it is 315 and the parts are 143.	נבקש המורה והוא שט"ו והחלקי' ההם קמ"ג
When the part of 315 is a fifth, the result is 63. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot315=63}}$	כאשר החלק שט"ו של ה' יעלו ס"ג
When the part is a seventh, the result is 45. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot315=45}}$	וכשהחלק של ז' יעלו מ"ה
When the part is a ninth, the result is 35. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot315=35}}$	וכשהחלק של ט' יעלו ל"ה
Sum them up; the result is 143. $\scriptstyle{\color{blue}{63+45+35=143}}$	חברם יחד יעלו קמ"ג
Rule of Three: We multiply 315 by 10; the result is 3150.	נכפול שט"ו על י' עלו ג' אלפי' וק"נ
We divide it by 143; the result is 22 integers and 4 parts of 143 and this is the amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{315\sdot10}{143}=\frac{3150}{143}=22+\frac{4}{143}}}$	חלקנום על קמ"ג עלו כ"ב שלמי' וד' חלקי' מן קמ"ג וככה הממון
Check: Take a fifth of 22; it is 4 and 2 remain that are 2 times 143, which is 286.	קח חמישית כ"ב הם ד' נשאר ב' שהם ב' פעמי' קמ"ג והם רפ"ו
Add to it 4 parts; it is 290.	חבר עליהם ד' חלקי' הרי ר"צ
Divide it by 5; the result is 58 parts of 143.	חלקם בה' יעלו נ"ח חלקי' מקמ"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(22+\frac{4}{143}\right)=4+\frac{2}{5}+\frac{4}{5\sdot143}=4+\frac{\left(2\sdot143\right)+4}{5\sdot143}=4+\frac{286+4}{5\sdot143}=4+\frac{290}{5\sdot143}=4+\frac{58}{143}}}$
Do likewise with the ninth and the seventh; and the result is 10.	וכן עשה מן התשיעית והשבעית ויעלו י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{5}\sdot\left(22+\frac{4}{143}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(22+\frac{4}{143}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(22+\frac{4}{143}\right)\right]=10}}$
It has another method:	עוד יש בו כלל אחר
Consider the fractions you sum that are 10 as 143 and the original amount of money as 172. $\scriptstyle{\color{blue}{315-143=172}}$	שתאמר החלקי' שהוספת שהם י' הם קמ"ג והממון הראשון היה קע"ב
Rule of Three: say: if 143 equals 10, how much is 172 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{143:10=172:a}}$	אמור אם קמ"ג שוים י' קע"ב כמה שוים
Say: 10 times 172 is 1720. Divide it by 143; the result is 12 integers and 4 parts of 143. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10\sdot172}{143}=\frac{1720}{143}=12+\frac{4}{143}}}$	אמור י' פעמי' קע"ב הם אלף תש"כ חלקם על קמ"ג יבאו י"ב שלמי' וד' חלקי' מקמ"ג
Add the 10 to it; it is 22 integers and 4 parts of 143 no more and no less. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(12+\frac{4}{143}\right)+10=22+\frac{4}{143}}}$	חבר אליהם הי' יהיו כ"ב שלמי' וד' חלקי' מקמ"ג בלי תוספת ומגרעת
This rule is also suitable for knowing the measure of the lance mentioned above.	וכן כ.. מה הכלל ג"כ הוא טוב לדעת מדת הרומח הכתוב למעלה
Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money
5) We do the opposite: An amount of money - we subtract its fifth, its seventh, and its ninth from it and 10 remains. $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X\right)=10$	‫^[2]ה נעשה להפך ממון חסרנו ממנו חמשיתו ושבעיתו ותשיעיתו ונשארו י‫'
We subtract 143, which are the fractions, from 315, which is the denominator; 172 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{315-143=172}}$	נחסר קמ"ג שהם השברי' משט"ו שהוא המורה ישאר קע"ב
Rule of Three: we do as follows: we multiply 10 by 315; the result is 3150. We divide it by 172; the result is 18 integers and 54 parts of 172. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot315}{172}=\frac{3150}{172}=18+\frac{54}{172}}}$	ונעשה כך כפלנו י' על שט"ו עלו ג' אלפי' וק"נ חלקנום על קע"ב עלו י"ח שלמי' ונ"ד חלקי' מקע"ב
Check: we take a fifth, a seventh, and a ninth of this number; 10 integers remain.	לקחנו חמשית ושבעית ותשעית של זה המספר ישאר י' שלמי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(18+\frac{54}{172}\right)-\left[\left[\frac{1}{5}\sdot\left(18+\frac{54}{172}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(18+\frac{54}{172}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(18+\frac{54}{172}\right)\right]\right]=10}}$
How Much Problem – Money
6) Question: An amount of money – we add to it its half, its third, its fifth, and its sixth, and the total sum is 40. How much is the money? $\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X=40$	ו שאלה ממון הוספנו עליו מחציתו ושלישיתו וחמישיתו וששיתו ובסך הכל היה מ‫' כמה היה הממון
False Position: we know that a half, a third, and a sixth are one integer. We consider [the amount of money] as one; so they are two plus a fifth.	ידענו כי החצי והשלישית והששית הוא אחד שלם ונחשוב כי היה אלו אחד הרי שנים יש לו תוספת החמישית
$\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)+\frac{1}{5}=1+1+\frac{1}{5}=2+\frac{1}{5}}}$
Now, we have to divide 40 by 2 and a fifth and the result is the amount of money: we take 5 for each of the integers and add the fifth to them; they are [11]. We also multiply 40 by 5; it is 200. We divide it by 11; the result is 18 integers and 2 parts of 11. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{40}{2+\frac{1}{5}}=\frac{40}{\frac{\left(5\sdot2\right)+1}{5}}=\frac{40\sdot5}{11}=\frac{200}{11}=18+\frac{2}{11}}}$	עתה יש לנו לחלק מ' על ב' וחמישית והעולה הוא הממון הנה נקח לכל אחד מן השלמים ה' ונשים עמהם החמשית יהיו אלף גם נכפול המ' על ה' עד שיהיו דרך אחד יהיו ר‫' נחלקנו על י"א יעלו י"ח שלמים ועוד ב' חלקי' מי"א
How Much Problem – Money
7) Question: We take a fifth amount of money, its seventh, and its ninth. How much is [their sum] in relation to the [original] amount of money? $\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X$	ז שאלה לקחנו חמישית ממון גם שביעיתו ותשיעיתו כמה הוא מערך הממון
False Position - common denominator: we look for the common denominator; it is 315.	נבקש המורה והוא שט"ו
We sum [its] fifth, seventh, and ninth; they are 143. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot315\right)=143}}$	ונחבר חמישית ושביעית ותשיעית יהיו קמ"ג
We divide it by 35; it is 4-ninths and 3 parts of 35 remain, because 35 is the ninth, and 5 is a seventh of the ninth, so 3 parts are 3 fifths of a seventh of a ninth.	נחלקה על ל"ה והנה הם ד' תשעיות ונשארו ג' חלקי' מל"ה כי ל"ה הוא התשיעית וה' הוא שביעית התשיעית לכן ג' חלקי' הם ג' חמשיות שבעית התשיעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=\frac{143}{315}=\frac{\frac{143}{35}}{9}=\frac{4}{9}+\frac{\frac{3}{35}}{9}=\frac{4}{9}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$
Pricing Problem - Find the Amount
8) Question: A man sells 13 measures for 23. How many measures will he sell for 7 [pešiṭim]? $\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{X}{7}$	ח שאלה אדם מוכר י"ג מדות בכ"ג כמה מדות יתן בז' פשוטי‫'
Rule of Three: we say: 7 times 13 is 91. We divide it by 23; the result is 3 measures and 22 of 23 parts of one measure. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot13}{23}=\frac{91}{23}=3+\frac{22}{23}}}$	נאמר ז' פעמי' י"ג יהיו צ"א נחלקם על כ"ג בא ג' מדות וכ"ב מכ"ג חלקי' במדה אחת
Pricing Problem - Find the Price
Now, we reverse the calculation and want to know how much will he get for 7 measures? $\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{7}{X}$	ועת' נהפוך חשבון שנבקש לדעת בכמה יתן לו ז' מדות
Rule of Three: we say: 7 times 23 is 161. We divide it by 17; it is 12 and 5 parts of 13 of one pašuṭ. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot23}{17}=\frac{161}{17}=12+\frac{5}{13}}}$	נאמר ז' פעמים כ"ג הם קס"א נחלקם על י"ז יהיו י"ב וה' חלקי' מי"ג בפשוט
Exchange Problem - Currencies
If 3 of Treviso(?) are worth 4 of Cortona, how many of Cortona are 5 of Treviso(?) worth? $\scriptstyle\frac{3}{4}=\frac{5}{X}$	וכן אם יאמר לך אדם אם ג' תרוביסים שוים ד' קורטונוס ה' תרוביסיט' כמה קורטונוס שוים
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5\sdot4}{3}=\frac{20}{3}=6+\frac{2}{3}}}$ of Cortona	אמור ה' פעמי' ד' הם כ‫' חלקם על ג' בא ו' קורטוניס וב' שלשי' וכה"ל
Motion Problem – Pursuit
9) Question: A man sent a messenger to walk 29 miles a day. After 10 days of walking, he sent another messenger to walk after him 37 miles a day. When will he catch up with him? $\scriptstyle29X=37\sdot\left(X-10\right)$	ט שאלה אדם שלח רץ שילך בכל יום כ"ט מילים אחר מהלך י' ימי' שלח רץ אחר אחריו שילך בכל יום ל"ז מילי‫' מתי ישיגנו
Rule of Three: we multiply the miles he walks by 10 days; it is 290. We divide it by the difference between the two velocities, which is 8; it is 36 days and a quarter of a day. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{29\sdot10}{37-29}=\frac{290}{8}=36+\frac{1}{4}}}$	נכפול המילים שהלך בי' ימי' יהיו ר"צ נחלקם על היתרון שבין שני המהלכים שהוא ח' והנו ל"ו ימים ורבע יום
Motion Problem – Encounter
10) Question: Reuven left his city, walking to Shimon, to his city, on Sunday morning of the first of the month. Shimon left his city on that same day, walking to Reuven's city. The distance between the two cities is 100 miles. Reuven is walking 19 miles a day and Shimon is walking 17 [miles a day]. When will they meet? $\scriptstyle19X+17X=100$	י שאלה ראובן יצא מעירו ללכת לקראת שמעון לעירו בקר יום ראשון של ר"ח ובאותו יום עצמו יצא שמעון מעירו ללכת לעיר ראובן והמרחק בין שני הערים ק' מלים ומהלך ראובן ביום אחד י"ט מלים ומהלך שמעון י"ז מתי יתחברו
Do as follows: sum up the two velocities; it is 36. Divide the 100 miles by it; it is 2 days and 28 parts of 36 of one day remain, which are 7-ninths of a day. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{100}{19+17}=\frac{100}{36}=2+\frac{28}{36}=2+\frac{7}{9}}}$	ככה תעשה חבר שני המהלכי' הם ל"ו חלק עליו הק' מילים יהיו ב' ימים ישארו כ"ח חלקי' מל"ו ביום אחד שהם ז' תשעיו' יום
How Many Problem - Group of People
11) Question: A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us plus one will make 100 $\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100$	יא שאלה אדם עבר על אנשים אמר להם שלו' לכם מאה איש ענו לו אין אנו מאה רק אנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעתנו עדיף נהיה מאה
False Position: we take one for their number and one "like us" - it is two; and "half of us" - it is two and a half. We add a quarter; it is [2 and] 3-quarters.	והנה נקח למספרם אחד ואחד כמונו והנה שנים ומחציתנו חצי אחד הנה שנים וחצי נוסיף רבעיתו יהיו ‫^[3]ג' רבעיות
Since we have quarter[s], we take 4 for each unit; they are 8. We add the 3-quarters to them; they are 11.	ובעבור שיש לנו רבעית נקח לכל שלם ד' ויהיו ח‫' נחבר אליהם הג' רבעים יהיו י"א
$\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{\left(4\sdot2\right)+3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}}}$
Since they said that they are one hundred with him, their number with the additions is 99.	ובעבור שאמרו שיהיו עמו מאה יהיה מספרם עם התוספת צ"ט
We convert them into quarters; they are 396.	נשיבם מהדרך הד' יהיו שצ"ו
We divide them by 11; they are 36 and this is their number. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot\left(100-1\right)}{11}=\frac{4\sdot99}{11}=\frac{396}{11}=36}}$	נחלקם על י"א יהיו ל"ו וככה מספרם
Buy and Sell Problem
12) Question: A man bought 100 liṭra for 100 zehuvim. He sold 50 [of them] at a liṭra and a quarter for one zahuv, and the other 50 at a liṭra minus a quarter for one zahuv. We want to know: did he earn or lose? $\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100$	יב שאלה אדם קנה בק' זהובים ק' ליט‫' אחרי כן מכר הנ' ליט' ורבע ליט' בזהוב והנ' ליט' מכר ליט' פחות רבע ליט' בזהוב נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד
We convert the first 50 into 200, because they are quarters, then divide them by 5, as he sold a liṭra and a quarter for one zahuv; they are 40 zehuvim. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4\sdot50}{5}=\frac{200}{5}=40}}$	נשיב הנ' ראשונים ר' כי רבעים הם נחלקם על ה' כי ליט' ורבע ליט' מכר בזהוב יהיו מ' זהובי‫'
We multiply the other 50 by 4 also; they are 200. We divide them by 3, as he sold 3-quarters for one zahuv; they are 66 zehuvim and two-thirds of a zahuv. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4\sdot50}{3}=\frac{200}{3}=66+\frac{2}{3}}}$	גם נכפול הנ' אחרים על ד' יהיו ר‫' נחלקם על ג' כי ג' רבעים מכר בזהוב והנה יהיו ס"ו זהובים ושני שלישי זהוב
Add the 40 to them; the profit is 6 zehuvim and two-thirds of a zahuv.	וחבר אליהם המ' יהיה הריוח ו' זהובים ושני שלישי זהוב וכה"ל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100=6+\frac{2}{3}}}$
Boiling Problem
13) Question: A man had 10 measures of apricot and he wanted to boil them so that only one third will remain. He started to cook [them] until eight measures remained of them. Then two measures overflow. Now he wants to boil [the remainder] until it will be reduced [as planned for] the original [amount] of apricot $\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}$	יג שאלה אדם היו לו י' מדות משמש ורוצה לבשלם עד שלא ישאר כי אם השלישית והנה החל לבשל עד שנשארו מהם ח' מדות ונשפך מהם ב' מדות והנה רצה לבשלם עד שיהיה כמשמש הראשון
You have three known numbers:	ועתה יש לך ג' מספרים ידועים
The first is a third of 10, which is 3 and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot10=3+\frac{1}{3}}}$	האחד שליש י' והוא ג' ושליש
The second is the 8 cooked measures.	והשני ח' הם המדות שנתבשלו
The third is the 6 [measures] left over from what was overflowed.	והשלישי ו' שנשארו מן הנשפך
Rule of Three: we multiply 6 by 3 and a third; it is 20. Divide it by 8; it is 2 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot6}{8}=\frac{20}{8}=2+\frac{1}{2}}}$	והנה נכפול ו' על ג' ושליש יהיו כ‫' וחלקם על ח' יהיו ב' וחצי
Partnership Problem - For the Same Time
14) Question: Four people: one of them had 11 dinar, the second had 13 dinar, the third had 15 dinar, and the fourth had 17 dinar. They earned 19 dinar. How much should each of them take [from the profit]?	יד שאלה ד' אנשים יש לאחד מהם י"א דינרי' ולשני י"ג די' ולשלישי ט"ו דינרי' ולרבעי י"ז דינרי‫' והרויחו י"ט דינרי‫' כמה יקח כל אחד ואחד
False Position: we sum up all four amounts of their money; it is 56. $\scriptstyle{\color{blue}{11+13+15+17=56}}$	נחבר ראשי' כל ד' ממונם ויהיו נ"ו
Rule of Three: as the ratio of each to 56, so each takes from 19. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a_i}{56}=\frac{x_i}{19}}}$	ובערך כל אחד אל נ"ו ככה יקח מי"ט
We do as follows: we multiply 11 by 19; the result is 209. We divide [it] by 56; the result is 3 integers and 41 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\frac{11\sdot19}{56}=\frac{209}{56}=3+\frac{41}{56}}}$	ונעשה כך נכפול י"א על י"ט יעלו ר"ט נחלק על נ"ו יעלו ג' שלמי' ומ"א חלקי‫'
We do the same with 13; the result is 247. We divide it by 56; the result is 4 integers and 23 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\frac{13\sdot19}{56}=\frac{247}{56}=4+\frac{23}{56}}}$	עשינו כן בי"ג עלו רמ"ז חלקנום על נ"ו עלו ד' שלמי' וכ"ג חלקי‫'
We do the same with 15; it is 285. We divide it by 56; the result is 5 integers and 5 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{x_3=\frac{15\sdot19}{56}=\frac{285}{56}=5+\frac{5}{56}}}$	עשינו כן בט"ו יהיו רפ"ה חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמי' וה' חלקי‫'
We do the same with 17; the result is 323. We divide it by 56; the result is 5 integers and 43 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{x_4=\frac{17\sdot19}{56}=\frac{323}{56}=5+\frac{43}{56}}}$	עשינו כן בי"ז עלו שכ"ג חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמי' ומ"ג חלקי‫'
Check: we sum up the integers and the fractions; the result is 19 integers, because the fractions are 56 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{41}{56}\right)+\left(4+\frac{23}{56}\right)+\left(5+\frac{5}{56}\right)+\left(5+\frac{43}{56}\right)=19}}$	חברנו אלו השלמי' ואלו החלקי' עלו י"ט שלמי' כי החלקי' האלו חלקי נ"ו הם
Purchase Problem – Moneychanger
15) Question: The moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind]. A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive. $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{6}X=1$	טו שאלה יש אצל המחליף ג' מטבעים והזהוב שוה ממטבע אחד ג' דינרי ומן השני ד' ומן השלישי ו‫' ובא אדם אחד ובקש למחליף שיתן לו מג' המטבעים בזהוב ויהיה המספר שוה מן היקרים כמו משאינם יקרים
False Position: look for a [number] that has a third, a quarter, and a sixth; it is 12.	בקש היתרה שיהיה בו שלישית ורבעית וששית והוא י"ב
The parts are 9 and this is a dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=9}}$	החלקי' הם ט' והוא דינר
We divide the denominator by it; it is 12-ninths and so he takes from each coin. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12}{9}}}$	נחלק המורה על זה המספר יהיו י"ב תשי' וככה לקח מכל מטבע
Another [way]: Say: what is the ratio of 12 to 9; it is the amount plus its third. We add 4 to 12; it is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\frac{12}{9}=12\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=12+4=16}}$	אחר על זאת השאלה שתאמר מה ערך י"ב אל ט' והיה כמות שלישיתו והנה נוסיף על י"ב ד' יהיו י"ו
Payment Problem - Digging a Hole
16) Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 7 in length, 6 in width, 5 in depth, and he will pay him 11 pešiṭim, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth. How much should be his payment? $\scriptstyle\frac{7\sdot6\sdot5}{11}=\frac{6\sdot5\sdot4}{X}$	יו שאלה ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקע ז' באורך וו' ברוחב וה' בעומק ויתן לו י"א פשיטי‫' והוא חפר ו' באורך ה' ברוחב ד' בעומק כמה שכרו
We do as follows: 7 times 6 is 42. Multiply it by 5, which is the depth; it is 210. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\sdot6\right)\sdot5=42\sdot5=210}}$	נעשה כך ז' פעמים ו' הם מ"ב כפלם על ה' שהוא העומק ויהיו ר"י
We also multiply the second number, which is 6, by 5; it is 30. We multiply it by 4, which is the depth; it is 120. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot5\right)\sdot4=30\sdot4=120}}$	גם נכפול המספר השני שהוא ו' על ה' והם ל' גם נכפול זה על ד' שהוא העומק יהיו ק"כ
Rule of Three: we multiply 11 times 120; it is 1320. Divide it by 210; the result is 6 integers and 60 remains, which is 2-sevenths of one pašuṭ. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{11\sdot120}{210}=\frac{1320}{210}=6+\frac{60}{210}=6+\frac{2}{7}}}$	ונכפול י"א פעמי' ‫^[4]ק"כ הם אלף וש"כ חלקם על ר"י עלו ו' שלמי' ונשאר ס' שהם ב' שבעיות פשוט וכה"ל
Buy and Sell Problem
17) Question: A man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally? $\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1$	יז שאלה אדם קנה ג' חמשיות ליט' בפשוט ומכר ד' שבעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה ממונו
common denominator: look for the common denominator: multiply 5 by 7; it is 35. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}$	בקש המורה הוא ל"ה וכפול ה' על ז‫'
Its 3-fifths are 21. $\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}$	והיה ג' חמשיותיו כ"א
Its 4-sevenths are 20, so the original amount of money is 20. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}$	וד' שבעיותיו כ' והממון היה כ' וכה"ל
It seems that he wants to say that 20 pešuṭim were spent.	^{נראה שרוצה לו' שהוצ' כ' פשוטי' וזהו}
18) Question: A man bought four sevenths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold five ninth of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally? $\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+1$	יח שאלה אדם קנה ד' שבעיות ליט' בפשוט ומכר ה' תשעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון
It is known that 4-sevenths is greater that 5-ninths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}>\frac{5}{9}}}$	ידוע הוא כי ד' שבעיות אחד הוא יותר מה' תשעיות אחד
common denominator: the common denominator is 63.	והנה המורה ס"ג
Its 5-ninths are 35. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5}{9}\sdot63=35}}$	וה' תשיעיותיו ל"ה
Its 4-sevenths are 36. $\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{4}{7}\sdot63=36}}$	וד' שבעיותיו ל"ו
Check: you can check this: as he buys 4-sevenths of a liṭra for one pašuṭ, and his money is 35, he has 20 liṭra.	ותוכל לבחון זה כי אחר שקנה ד' שבעיות ליט' בפשוט ממונו ל"ה הנה יש לו כ' ליט‫'
Convert them into ninths; they are 180.	עשה מהם תשעיו' יהיו ק"פ
Divide this number by 5, because he sold 5-ninths for one pašuṭ; you receive 36. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{4}{7}\sdot35}{\frac{5}{9}}=\frac{20}{\frac{5}{9}}=\frac{20\sdot9}{5}=\frac{180}{5}=36=35+1}}$	חלק זה המספר על ה' כי ה' תשעיו' מכר בפשוט יעלו בידך ל"ו
If it is said that he earned 2 pešiṭim: $\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+2$	ואילו אמר כי הרויח ב"פ
Multiply them by 35 and they are the pešuṭim he spent. $\scriptstyle{\color{blue}{x=2\sdot35}}$	כפלם על ל"ה יהיו ^{הפשוטי' שהוציא}
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{4}{7}\sdot\left(2\sdot35\right)}{\frac{5}{9}}=\frac{40}{\frac{5}{9}}=\left(2\sdot35\right)+2}}$	^{כי הממון יהיה מ' ליט‫'}
If it is said [that he earned] 3 pešiṭim: $\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+3$	ואם אמר ג"פ
He multiplies them by 35. $\scriptstyle{\color{blue}{x=3\sdot35}}$	יכפלם על ל"ה
And so on for any number.	וככה עד סוף החשבון
Exchange Problems
19) The Rule of Three: The rule of all calculations is in three categories: geometry; weights; arithmetic.	יט כלל כל החשבונות הוא על שלשה פנים במדה או במשקל או במספר
Therefore, we specify the appropriate rules for all three.	על כן נאמר הריגולי' הנאותים לשלשתם
If one asks you for a calculation in one of the three categories: we multiply the thing we want to know by the one that is not of the same species, then divide it by the third. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_3:x\longrightarrow x=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}}}$	אם ישאל לך שום חשבון שיהיה בו אחד מאלו הג' מינים נרבה אותו הדבר שנרצה לידע כנגד אותה שאיננה ממינה עצמה ממש ותחלקנה על השלשי‫'
Example: If 7 of Pisa are worth 9 of Cortona, how many of Cortona are 100 liṭra of Pisa worth? $\scriptstyle\frac{7}{9}=\frac{100}{X}$	המשל בזה אם ז' פיסט' שוים ט' קורטוניס כמה ישוו ק' ליט' מפיסני' לקורטו‫'
You already know that the thing of Cortona is not of the same species, so we multiply 9 times 100; it is 900.	כבר ידעת כי הקורטו' הוא הדבר שאינה ממינה עצמה ממש לכן נרבה ט' פעמי' ק' יהיו תת"ק
Divide it by 7; it is 128 liṭra and 11 dinar and this is the value of 100 liṭra of Pisa in Cortona. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{9\sdot100}{7}=\frac{900}{7}=128+\frac{4}{7}=128+\frac{11}{20}+\frac{3}{7\sdot20}}}$	וחלקם על ז' קכ"ח ליט' וי"א דינרי' והם וכך ישוו הק' ליט' מפיסני' לקורטו‫'
Know that if 7 of Pisa equal 9 of Cortona: 7 dinar of Pisa are equal to 9 dinar of Cortona; 7 liṭra of Pisa are equal 9 liṭra of Cortona; 700 liṭra of Pisa are equal to 900 liṭra of Cortona.	ודע כי אם ז' פיסני' שוים ט' קורטו' הז' דינרי' פיסני' שוים ט' דינרי' קורטוני' והז' ליט' מפיסני' שוים ט' ליט' קורטו' ות"ש ליט' מפיסני' שוים תת"ק ליט' קורטו‫'
	וכן יבא בין פפריני' ופריביסיני' ולכל [חשבון] כזה
20) Rule of Three: with fractions:	כ אם ישאל לך חשבון שיהיה בו מאלו הג' מינים ולפני הב' חלקי' יהיו שבורים נדע באיזה המספר ימצאו אלו השבורים ואחר שידעת באי זה המספר ימצאו אלו השבורים נרבה הב' חלקי' באותו המספר שימצאו בו אלו השבורים אחרי כן נרבה אותו הדבר שנרצה לדעת כנגד אותו הדבר שאנינה ממינה עצמה ונחלק אותה על השלישית וכה"ל
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_1}{b_1}:\frac{a_2}{b_2}=a_3:x\longrightarrow\left[\frac{a_1}{b_1}\sdot\left(b_1\sdot b_2\right)\right]:\left[\frac{a_2}{b_2}\sdot\left(b_1\sdot b_2\right)\right]=a_3:x\longrightarrow x=\frac{\left[\frac{a_2}{b_2}\sdot\left(b_1\sdot b_2\right)\right]\sdot a_3}{\frac{a_1}{b_1}\sdot\left(b_1\sdot b_2\right)}}}$
21) Rule of Three: with fraction:	כא ואם נשאל לך חשבון אחר שיהיה שבור מחלק אחד נרבה הב' חלקי' באותו המספר דהיינו עם אותו השבור אחרי כן נרבה אותו הדבר שנרצה לידע כנגד אותו הדבר שאנינה ממינה ונחלק אותה על השלישית
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_1}{b_1}:a_2=a_3:x \longrightarrow\left(\frac{a_1}{b_1}\sdot b_1\right):\left(a_2\sdot b_1\right)=a_3:x\longrightarrow x=\frac{\left(a_2\sdot b_1\right)\sdot a_3}{\frac{a_1}{b_1}\sdot b_1}}}$
Example for the two cases:	ונשים המשל בשני פנים האחד בעבור החשבון שהוא שבור מחלק אחד והאחר שהוא שבור מב' חלקי‫'
If 5¼ of Pisa are worth 7 of Cortona, how many of Cortona are 1000 liṭra of Pisa worth? $\scriptstyle\frac{5+\frac{1}{4}}{7}=\frac{1000}{X}$	אם ה' פיסני' ורביע שוים ז' קורטוט' כמה ישוו אלף ליט' מפיסני‫'
converting to quarters	וזה החשבון הוא שבור מחלק אחד וזה השיבור הוא הרביע לכן נרבה הב' חלקי' עם ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(5+\frac{1}{4}\right)=21}}$	ואמור ד' פעמי' ה' פיסני' ורביע יבוא כ"א פיסני‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot7=28}}$	וד' פעמי' ז' קורטו' בא כ"ח קורטו‫'
21 of Pisa = 28 of Cortona	הרי שכ"א פיסני' שוים כ"ח קורטו‫'
reducing by 7	ונחלק לשביע בעבור ‫^[5]שבשני החלקי' ימצא שביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot21=3}}$	השביע מכ"א הוא ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot28=4}}$	השביע מכ"ח הוא ד‫'
3 of Pisa = 4 of Cortona	נמצא שג' פיסני' שוים ד' קורטו‫'
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{3:4=1000:X}}$	ואנחנו נרצה לידע כמה ישוו אלף ליט' מפיסני' הפיסני הוא הדבר שנרצה לידע והקורטו' הוא הדבר שאנינה ממינה עצמה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1000\sdot4}{3}=\frac{4000}{3}=1333+\frac{6}{20}+\frac{\frac{8}{12}}{20}}}$ 1000 liṭra of Pisa = 1333 liṭra + 6 dinar + 8 pešuṭim of Cortona	לכן נרבה ד' פעמים אלף יבא ד' אלפי' מקורטו‫' ונחלק בג' שיבא אלף ושל"ג ליט' וו' דינרי' וח"פ וכן ישוו אלף ליט' מפיסני לקורטוט‫'
If 7⅓ ounce of Pisa are worth 73 liṭra and 5 dinar of Cortona, how many of Cortona are 19 ounce of Pisa worth? $\scriptstyle\frac{7+\frac{1}{3}}{73+\frac{1}{4}}=\frac{19}{X}$	ונשים המשל אל החשבון שהוא שבור מב' חלקיו אם ז' אונקיו' ושליש כסף שוים ע"ג ליט' וה' דינרי' מפיסני‫' כמה ישוו הי"ט אונקיו' כסף לפי זה החשבון
converting to parts of 12	ואלו השבורים הם שליש ורביע אנה ימצאו בי"ב לכן יש לנו לרבות הב' חלקי' בי"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(7+\frac{1}{3}\right)=88}}$	ואמור י"ב פעמי' ז' אונקיו' ושליש יבא פ"ח אונקיו' כסף
$\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(73+\frac{1}{4}\right)=879}}$	וי"ב פעמי' ע"ג ליט' וה' דינרי' יהיו תתע"ט ליט' מפסני‫'
88 ounce = 879 liṭra	הרי שפ"ח אונקיות כסף שוים תתע"ט ליט‫'
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{88:879=19:X}}$	ונרצה לידע כמה ישוו הי"ט אונקיו' כסף
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{19\sdot879}{88}=\frac{16701}{88}=\frac{16701}{8\sdot11}=189+\frac{15}{20}+\frac{\frac{8+\frac{2}{11}}{12}}{20}}}$ 19 ounce = 189 liṭra + 15 dinar + 8²/₁₁ pešiṭim	נרבה י"ט פעמי' תתע"ט ליט' יהיו י"ו אלפי' ותש"א חלקם בפ"ח יבא קפ"ט ליט' וט"ו די' וח"פ וב' חלקי' מי"א וכן ישוו הי"ט אונקיו' כסף באותו החשבון

Interest and Pricing Problems

Find the Time

22) Question: one kikkar yields 36 liṭra and 18 dinar a year.

How long will it take 65 liṭra to yield the same?

\scriptstyle\frac{\left(36\sdot20\right)+18}{12\sdot100}=\frac{\left(36\sdot20\right)+18}{X\sdot65}

כב שאלה הככר ירויח השנה ל"ו ליט' וי"ח די' נוסף

הס"ה ליט' בכמה זמן ירויחו כהם

Rule of Three: multiply the 100 liṭra by the 12 months of the year, say: 12 times 100 are 1200.

תרבה הק' ליט' כנגד י"ב חדשי השנה ואמור י"ב פעמי' ק' חדשים הם אלף ור‫'

Divide them by 65; each part receives 18 months, 13 days and 11 parts of 13 parts of a day.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12\sdot100}{65}=\frac{1200}{65}=18+\frac{13}{30}+\frac{\frac{11}{13}}{30}}}

חלקם על ס"ה יבא לכל חלק י"ח חדשי' וי"ג ימים וי"א חלקי' מי"ג חלקי' ביום

We find that 65 liṭra yield in 18 months, 13 days, and 11 parts of 13 of a day the same as one kikkar yields in one year.

נמצא שבי"ח חדשי' וי"ג ימי' וי"א חלקי' מי"ג ביום ירויחו ס"ה ליט' כלכך כמו שירויח הככר השנה

Find the Earned Interest

23) If a man says: I lent some money at 3 pešuṭim a month for one liṭra.

How much will 60 liṭra make in 8 months?

\scriptstyle\frac{3}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{8\sdot60}

כג שאלה אם יאמר אדם הלותי מעות לחשבון גפה"ח ^{הליט' החדש}

כמה יבואו הס' ליט' ח' חדשים

Multiply the interest by the months and say: 3 times 8 are 24 [pešuṭim], which are 2 dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot8=24}}

תרבה מעות הרבית עם החדשים ואמור ג' פעמי' ח' כ"ד שהם ב' דינרי‫'

Then, multiply these 2 dinar by 60 liṭra and say: 60 times 2 dinar are 120 dinar, which are 6 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot60=120=20\sdot6}}

אחר כן תרבה אלו הב' די' עם הס' ליט' ואמור ס' פעמי' ב' דינרי' הם ק"כ די' שהם ו' ליט‫'

We find that 60 liṭra at 3 pešuṭim for one liṭra a month will make 6 liṭra in 8 months.

\scriptstyle{\color{blue}{X=6}}

נמצא שבס' ליט' לחשבון גפה"ח יבוא ו' ליט' לח' חדשים וכה"ל

Find the Fund

24) If a man asks you: I lent some money at one liṭra for so and so a month.

How many liṭra will yield one pašuṭ a day?

\scriptstyle\frac{a}{30\sdot1}=\frac{1}{1\sdot X}

כד אם ישאלך אדם הלותי מעות ^הליט' לחשבון כך וכך ^החדש

כמה ליט' ירויחו היום א"פ

We divide 30 liṭra by the amount of money that one liṭra makes a month.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30}{a}}}

נחלק ל' ליט' בכל כך חלקי' כמו המעות שירויח הליט' החדש

Example: I lent one liṭra for 2 pešuṭim and a half a month.

You want to know how many liṭra will yield one pašuṭ a day?

\scriptstyle\frac{2+\frac{1}{2}}{30\sdot1}=\frac{1}{1\sdot X}

המשל בזה הרי שהלותי הליט' בב' פשוטי' וחצי החדש

ותרצה לידע כמה ליט' ירויחו היום א"פ

We divide 30 liṭra by 2 and half; the result is 12 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30}{2+\frac{1}{2}}=12}}

נחלק ל' ליט' בב' וחצי שיבוא י"ב ליט‫'

We find that 12 liṭra will make one pešuṭim a day.

נמצא שבי"ב ליט' ירויחו היום א"פ וכה"ל

Find the Time

25) If a man asks you: I lent one liṭra for so and so a month.

In how many days will one liṭra yield one pašuṭ?

\scriptstyle\frac{a}{30\sdot1}=\frac{1}{X\sdot1}

כה אם ישאלך אדם הלותי הליט' לחשבון כך וכך החודש בכמה ימים ירויח הליט' א"פ

Divide 30 days by the amount of money that one liṭra yields a month.

\scriptstyle X=\frac{30}{a}

חלק ל' יום בכל כך חלקי' כמו המעות שירויח הליט' החדש

Example: you lent [one liṭra] for 3 [a month].

You want to know in how many days will the liṭra yield one pašuṭ?

\scriptstyle\frac{3}{30\sdot1}=\frac{1}{X\sdot1}

המשל בזה הרי שהלוית לחשבון ג' ותרצה לידע כמה ימים ירויח הליט' א"פ

Divide 30 days into 3 parts; the result is 10 days.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{30}{3}=10}}

חלק ל' יום בג' חלקי' שיבוא י' ימים

So, the liṭra will yield one pašuṭ in 10 days.

הרי שבי' ימים ירויח הליט' א"פ

Find the Fund

26) If a man asks you: one kikkar yields so and so liṭra a year.

How many liṭra will yield one pašuṭ a day?

\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot a}{360\sdot100}=\frac{1}{1\sdot X}

כו אם ישאלך אדם הככר ירויח כל השנה כל כך ליט‫'

כמה ליט' ירויחו היום א"פ

Divide 150 liṭra by the number of liṭra that one kikkar yields a year.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{a}}}

חלק ק"נ ליט' בכל כך חלקי' כמו הליט' שירויח הככר השנה

Example: one kikkar yields 12 liṭra a year.

You want to know how many liṭra will yield one pašuṭ a day?

\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot12}{360\sdot100}=\frac{1}{1\sdot X}

המשל בזה הככר ירויח י"ב ליט' השנה

ותרצה לידע כמה ליט' ירויחו היום א"פ

Divide 150 liṭra into 12 parts; the result is 12 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{12}=12+\frac{1}{2}}}

חלק ק"נ ליט' בי"ב חלקי' שיבוא ‫^[6]י"ב וחצי

So, 12 liṭra and a half will yield one pašuṭ a day.

הרי שבי"ב ליט' וחצי ירויחו ביום א"פ וכה"ל

Find the Time

27) One kikkar yields so and so liṭra a year.

In how many days will one liṭra yield one pašuṭ?

\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot a}{360\sdot100}=\frac{1}{X\sdot1}

כז) אם ישאלך אדם הככר ירויח כל כך ליט' השנה

בכמה ימים ירויח הליט' אח‫'

150÷(the liṭra earned a year)

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{a}}}

חלק ק"נ ימים בכל כך חלקי' כמו הליט' שירויח הככר השנה

One kikkar yields 9 liṭra a year.

In how many days will one liṭra yield one pašuṭ?

\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot9}{360\sdot100}=\frac{1}{X\sdot1}

המשל בזה הככר ירויח ט' ליט' השנה ותרצה לידע בכמה ימים ירויח הליט' אח‫'

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{9}=16+\frac{2}{3}}}

days

חלק ק"נ ימים בט' חלקי' שיבואו י"ו ימים וב' שלשי

הרי שבי"ו ימים וב' שלישי ירויח הליט' אח' וכה

Find the Time

28) So and so liṭra yield so and so [liṭra] in so and so [months].

In how many [months] will so and so liṭra yield the same?

\scriptstyle\frac{a}{c\sdot b}=\frac{a}{X\sdot d}

כח) אם ישאלך אדם כל כך ליט' ירויחו כל כך בכל כך זמן כמה ליט' כמה כל כך ליט' בכל כך זמן בכמה זמן ירויחו כהם או בכל חדשים כמה ליט' ירויחו כל

Rule of Three:

\scriptstyle X=\frac{b\sdot c}{d}

תרבה סכום הליט' כנגד סכום החדשים וחלק בכל כך חלקי' כמו שהם ליט' או חדשים

50 liṭra yield 3 liṭra in 4 months.

In how many [months] will 75 liṭra yield the same?

\scriptstyle\frac{3}{4\sdot50}=\frac{3}{X\sdot75}

המשל בזה נ' ליט' ירויחו ג' ליט' בד' חדשים

הע"ה ליט' בכמה זמן ירויחו כהם

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{50\sdot4}{75}=\frac{200}{75}=2+\frac{20}{30}}}

months

הרבה סכום הליט' כנגד סכום החדשים ואמור נ' פעמי' ד' חדשים יבא ר' חדשים וחלקם בע"ה יבא ב' חדשים וכ' ימים נמצא שבב' חדשי' וב' ימים ירויחו הע"ה ליט' כל כך כמו הנ' ליט' ד' חדשים וכה

Find the Fund

29) So and so liṭra yield so and so liṭra in so and so [months].

How many liṭra will yield the same in so and so [months]?

\scriptstyle\frac{a}{c\sdot b}=\frac{a}{d\sdot X}

כט) אם ישאלך אדם כל כך ליט' ירויחו בכל כך זמן כל כך ליט‫'

כמה ליט' בכל כך זמן ירויחו כהם

(months₂×liṭra)÷months₁

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{c\sdot b}{d}}}

תרבה סכום החדשים כנגד סכום הליט' וחלקם בכל כך חלקי' כמו החדשי' או הליט' שנרצה לידע

25 liṭra yield 40 dinar in 6 months.

How many liṭra will yield the same in 8 months?

\scriptstyle\frac{40}{6\sdot25}=\frac{40}{8\sdot X}

המשל בזה כ"ה ליט' ירויחו בו' חדשי' מ' דינרי‫'

כמה ליט' ירויחו בהם בח' חדשים

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{6\sdot25}{8}=\frac{150}{8}=18+\frac{15}{20}}}

18 liṭra and 15 dinar

תרבה סכום החדשים כנגד סכום הליט' ואמור ו' פעמי' כ"ה ליט' יבא ק"נ ליט‫'

חלקם בח' חלקי' יבא י"ח ליט' וט"ו דינרי‫'
נמצא שי"ח ליט' וט"ו דינרי' ירויחו בח' חדשים מ' דינרי' כמו הכ"ה ליט' ו' חדשים

Find the Time

30) I lent one liṭra for so and so [pešuṭim] a month.

In how many [years] will so and so liṭra be doubled?

\scriptstyle\frac{a}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot b}{12\sdot X\sdot b}

ל) אם ישאלך אדם הלותי הליט' בכך וכך החדש

כל כך ליט' בכמה זמן יכפלו בלתי לשים ריוח אקרן

20÷(the pešuṭim earned a month)

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20}{a}}}

חלק כ' שנים בכל כך חלקי' כמו המעות שירויח הליט' החדש

I lent one liṭra for 3 pešuṭim a month.

In how many [years] will 95 liṭra be doubled?

\scriptstyle\frac{3}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot95}{12\sdot X\sdot95}

המשל בזה הלותי הליט' בגפ"ה הצ"ה ליט' בכמה זמן יכפלו

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20}{3}=6+\frac{8}{12}}}

6 years and 8 months

חלק כ' שנים בג' חלקי' שיבא ו' שנים וח' חדשי' נמצא שבו' שנים וח' חדשים יכפלו הצ"ה ליט‫'

Find the Time

31) One kikkar yields so and so liṭra a year.

In how many [years] will so and so liṭra be doubled?

\scriptstyle\frac{a}{1\sdot100}=\frac{b}{X\sdot b}

לא) אם ישאלך אדם הככר ירויח השנה כל כך ליט‫'

כל כך ליט' בכמה זמן יכפלו בלתי לשים ריוח אקרן

100÷(the liṭra earned a year)

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{100}{a}}}

חלק ק' שנים בכל כך חלקי' כמו הליט' שירויח הככר

One kikkar yields 8 liṭra a year.

In how many [years] will 45 liṭra be doubled?

\scriptstyle\frac{8}{1\sdot100}=\frac{45}{X\sdot45}

המשל בזה הככר ירויח ח' ליט' השנה

המ"ה ליט' בכמה זמן יכפלו

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{100}{8}=12+\frac{6}{12}}}

12 years and 6 months

חלק ק' שנים בח' חלקי' שיבא י"ב שנים וחצי

נמצא שבי"ב שנים וחצי יכפלו המ"ה ליט‫'

Pricing Problem - Find the Price

32) One kantar [measurement of weight] of lint is worth 17 liṭra‏ and 5 dinar.

One kantar is 165 liṭra.

How much is one liṭra worth?

\scriptstyle\frac{165}{\left(20\sdot17\right)+5}=\frac{1}{X}

לב) אם ישאלך אדם הקנטרו' מן המוך שוה י"ז ליט' וה' דינרי‫'

כמה ישוה הליט‫'
והקנטרו' הוא קס"ה ליט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\frac{\frac{\left(20\sdot17\right)+5}{3}}{5}}{11}=\frac{\frac{\left(20\sdot5\right)+15}{5}}{11}=\frac{23}{11}=2+\frac{1}{11}}}

pešuṭim

חלק אלו הי"ז ליט' וה' דינרי' בג' חלקי' שיבא לכל חלק ה' ליט' וט"ו די‫'

אחרי כן חלק אלו הה' ליט' וט"ו די' בה' חלקי' שיבא לכל חלק כ"ג דינרי‫'
עת' תחלק אלו הכ"ג דינרי' בי"א חלקי' שיבא לכל חלק בה"פ וא' חלק מי"א
נמצא שהליט' מן המוך שוה וא' חלק מי"א בפשוט

\scriptstyle{\color{blue}{11\sdot15=165}}

יסוד זה החשבון הוא כי הם ט"ו וי"א פעמי' ט"ו הם קס"ה א"כ בחלק הזמן

Find the Earned Interest

33) So and so liṭra yield one pašuṭ a day.

How many [pešuṭim] will one liṭra yield a month?

\scriptstyle\frac{1}{1\sdot a}=\frac{X}{30\sdot1}

לג) אם ישאלך אדם כל כך ליט' ירויחו היום אח‫'

לאי זה חשבון יבא החדש הליט‫'

30÷(the liṭra that yield one pašuṭ a day)

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30}{a}}}

חלק ליט' בכל כך חלקי' כמו הליט' שירויחו היום אח‫'

12 liṭra yield one pašuṭ a day.

How many [pešuṭim] will one liṭra yield a month?

\scriptstyle\frac{1}{1\sdot12}=\frac{X}{30\sdot1}

המשל בזה י"ב ליט' ירויחו היום א"פ

ותרצה לידע לאי זה חשבון יבא החדש הליט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30}{12}=2+\frac{1}{2}}}

pešuṭim

חלק ל"פ בי"ב חלקי' שיבא ב"פ וחצי

נמצא שיצא החדש הליט' ב"פ וחצי וכה

34) So and so liṭra yield one pašuṭ a day.

How many liṭra will 100 liṭra yield a year?

\scriptstyle\frac{1}{1\sdot a}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{360\sdot100}

לד) אם ישאלך אדם כל כך ליט' ירויחו היום א"פ

כמה ליט' ירויחו ק' ליט' א' שנה

\scriptstyle x=\frac{150}{a}

חלק ק"נ בכל כך חלקי' כמו הליט' שירויחו היום א"פ

15 liṭra yield one pašuṭ a day.

How many liṭra will 100 liṭra yield a year?

\scriptstyle\frac{1}{1\sdot15}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{360\sdot100}

המשל בזה ט"ו ליט' ירויחו היום א"פ

כמה ירויחו ק' ליט' א' שנה‫'

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{150}{15}=10}}

liṭra for 100 liṭra a year

חלק ק"נ ליט' בט"ו חלקי' שיבא י' ליט‫'

נמצא שק' ליט' ירויחו א' שנה י' ליט‫'

35) One kikkar yields 29 liṭra 13 dinar and 7 pešuṭim a year.

How many liṭra will yield the same in 7 months?

\scriptstyle\frac{29+\frac{13}{20}+\frac{7}{12\sdot20}}{12\sdot100}=\frac{29+\frac{13}{20}+\frac{7}{12\sdot20}}{7\sdot X}

לה) אם ישאלך אדם הככר ירויח השנה כ"ט ליט' וי"ג דינרי' וז"פ

כמה ליט' ירויחו בהם ז' חדשי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot100}{7}=\frac{1200}{7}=171+\frac{8}{20}+\frac{6+\frac{6}{7}}{20\sdot12}}}

171 liṭra, 8 dinar, and

\scriptstyle6\frac{6}{7}

pešuṭim

תרבה חדשי השנה עם סכום הליט' דהיינו ק' ליט‫'

וחלקם בכל כך חלקי' כמו החדשי' שנרצה לידע דהיינו הז' חדשים
ואמור י"ב פעמי' ק' ליט' יבא אלף ור‫'
חלקם על ז' שיבא קע"א ליט' וח' דינרי' וחצי וו' חלקי' מז' בפשוט
נמצא שקע"א ליט' וח' די' וחצי וו' חלקי' מז' בפשוט ירויחו כ"ב בז' חדשי' כמו הככר א' שנה וכה

Find the Time

36) One kikkar yields so and so liṭra a year.

In how many [years] will one kikkar be doubled?

\scriptstyle\frac{a}{1\sdot1}=\frac{100}{X\sdot1}

לו) אי"א הככר ירויח כ"כ ליט' השנה

בכמה זמן יכפלו בלתי לשים ריוח אקרן

\scriptstyle x=\frac{100}{a}

חלק ק' שנים בכל כך חלקי' כמו הליט' שירויח הככר השנה

One kikkar yields 14 liṭra a year.

In how many [years] will [one kikkar] be doubled?

\scriptstyle\frac{14}{1\sdot1}=\frac{100}{X\sdot1}

המשל בזה הככר ירויח י"ד ליט' השנה ותרצה לידע בכמה זמן יכפלו

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{100}{14}=7+\frac{1}{12}+\frac{21+\frac{3}{7}}{12\sdot30}}}

7 years, 1 month and 21³/₇ days

חלק ק' שנים בי"ד חלקי' שיבא ז' שנים וא' חדש וכ"א ימים וג' חלקי' מז' ביום

נמצא שבז' שנים וא' חדש וכ"א ימים וג' חלקי' מז' ביום יכפלו

37) One liṭra yields 2½ pešiṭim a month.

In how many [years] will [so and so dinar] be doubled?

\scriptstyle\frac{2+\frac{1}{2}}{1\sdot20}=\frac{12\sdot a}{X\sdot12\sdot a}

לז) אי"א הלויתי הליט' לחשבון ב"פ וחצי החדש

בכמה זמן יכפלו בלתי לשים רבית אקרן

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20}{2+\frac{1}{2}}}}

חלק כ' שנים בכל כך חלקים כמו המעות שירויח הליט' החדש המ"ב

One liṭra yields 2½ pešiṭim a month.

In how many [years] will [20 dinar] be doubled?

\scriptstyle\frac{2+\frac{1}{2}}{1\sdot20}=\frac{12\sdot20}{X\sdot12\sdot20}

הלותי כ' דינרי' לחשבון ב"פ וחצי החדש הליט' ותרצה לידע בכמה זמן יכפלו

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20}{2+\frac{1}{2}}=8}}

years

חלק כ' שני' בב' וחצי שיבא ח' שני‫'

נמצא שבח' שנים יכפלו וכה

Find the Earned Interest

38) One kikkar yields so and so liṭra a year.

How many liṭra will yield one pašuṭ a day?

\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot a}{360\sdot100}=\frac{1}{1\sdot X}

לח) אם ישאלך אדם הככר ירויח כ"כ ליט' השנה

כמה ליט' ירויחו היום א"פ

\scriptstyle x=\frac{150}{a}

חלק ק"נ ליט' בכל כך חלקי‫'

One kikkar yields 13 liṭra a year.

How many liṭra will yield one pašuṭ a day?

\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot13}{360\sdot100}=\frac{1}{1\sdot X}

כמו הליט' שירויחו הככר השנה הב' הככר ירויח י"ג ליט' השנה ותרצה לידע כמה ליט' ירויחו היום א"פ

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{150}{13}=11+\frac{10}{20}+\frac{9+\frac{3}{13}}{12\sdot20}}}

11 liṭra, 10 dinar and 9³/₁₃pešuṭim

חלק ק"נ ליט' בי"ג חלקי' שיבא י"א ליט' וי' די' וט"פ וג' חלקי' מי"ג בפשוט וכל כך מעות ירויחו היום א"פ

39) One liṭra [yields] so and so a month.

How much will 100 liṭra yield a day?

\scriptstyle\frac{a}{30\sdot1}=\frac{X}{1\sdot100}

לט) אי"א הלותי הליט' החדש לחשבון כך וכך

כמה ירויחו היום ק' ליט‫'

3⅓×(money earned)

\scriptstyle{\color{blue}{X=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot a}}

תרבה ג' ושליש כנגד מעות הרבית

One liṭra [yields] 3 pešiṭim a month.

How much will 100 liṭra yield a day?

\scriptstyle\frac{3}{30\sdot1}=\frac{X}{1\sdot100}

המשל בזה הלותי הליט' לחשבון ג"פ החדש

ותרצה לידע כמה ירויחו היום ק' ליט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{X=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot3=10}}

pešuṭim a day

תרבה ג' ושליש עם ג' ואמור ג' פעמי' ושליש ג' י"פ

נמצא שק' ליט' ירויחו היום י"פ וכה

40) One kikkar yields so and so pešuṭim a day.

How many [liṭra] will one kikkar yield a year?

\scriptstyle\frac{a}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{360\sdot1}

מ) אם ישאלך אדם הככר ירויח כ"כ פשוטי' היום

כמה ירויח הככר השנה

\scriptstyle x=a\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)

תרבה א' וחצי עם המעות שירויח הככר היום

One kikkar yields 10 pešuṭim a day.

How much will it yield a year?

\scriptstyle\frac{10}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{360\sdot1}

המשל בזה הככר ירויח היום י"פ ותרצה לידע כמה יבוא השנה

\scriptstyle{\color{blue}{x=10\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=15}}

liṭra

תרבה א' וחצי עם י' ואמור א' וחצי פעמי' י' ליט' יבא ט"ו ליט‫'

נמצא שירויח הככר ט"ו ליט' השנה

41) One kikkar yields so and so pešuṭim a day.

How much will one liṭra yield a month?

\scriptstyle\frac{a}{1\sdot100}=\frac{X}{30\sdot1}

מא) אם ישאלך אדם הככר ירויח היום כ"כ פשוטי‫'

כמה יבא החדש הליט‫'

\scriptstyle x=\frac{a}{3+\frac{1}{3}}

חלק בג' ושליש מ"א המעות שירויח הככר היום

One kikkar yields 10 pešuṭim a day.

How much will one liṭra yield a month?

\scriptstyle\frac{10}{1\sdot100}=\frac{X}{30\sdot1}

המשל בזה הככר ירויח היום י"פ ותרצה לידע כמה יבא החדש הליט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{3+\frac{1}{3}}=3}}

pešuṭim

חלק י"פ בג' ושליש יבא ג"פ נמצא שיבא לחשבון גפה"ה וכה"ל

42) One kikkar yields so and so liṭra a year.

How much will one liṭra yield a month?

\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot a}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot1}

מב) אי"א הככר ירויח כל כך ליט' השנה

כמה יבא החדש הליט‫'

\scriptstyle x=\frac{a}{5}

חלק לחומש הליט' שירויח הככר השנה ותחשבם פשוט‫'

One kikkar yields 12 liṭra a year.

How much will one liṭra yield a month?

\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot12}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot1}

המשל בזה הככר ירויח י"ב ליט' השנה ותרצה לידע כמה יבא החדש הליט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12}{5}=2+\frac{2}{5}}}

pešuṭim

חלק י"ב ליט' ה' לחומש ותחשבם פשוטי' שיבא ב"פ וב' חמשי פשוט נמצא שיבא החדש הליט' ב"פ וב' חמשי' וכה"ל

43) You lend 100 liṭra for one month at 8 liṭra a year.

You want to know how much will be earned

\scriptstyle\frac{8}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot100}

מג) אם תלוה ק' ליט' א' חדש לחשבון ח' ליט' השנה ותרצה לידע כמה יבא בדרך קצרה

\scriptstyle\frac{8}{12\sdot100}=\frac{a}{1\sdot100}

כלך לדרך זו ואמור אם היית מלוה אותם א' חדש לחשבון ח' ליט' השנה

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{100}{12\sdot20}=\frac{8}{20}+\frac{4}{12\sdot20}}}

100 pešuṭim = 8 dinar and 4 pešuṭim

היה עולה הריוח ק' פשוטי' שהם ח' די' וד"פ שיבא לכל ליט' א"פ בחדש

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{12\sdot100}=\frac{1+\frac{3}{5}}{12\sdot20}}}

1⅗ pešuṭim for a liṭra

וכשאתה מוסיף עוד ח' ליט' הרי שעולה הריוח בכל ליט' בא' חדש א' פשוט וג' חמשי פשוט

the profit =

160 pešuṭim = 13 dinar and 4 pešuṭim

שיבא הככר ק' פשוטי' וס' חומשי פשוט שהוא סך הכל י"ג די' וד"פ וכך יבא הככר החדש

\scriptstyle{\color{blue}{x=100\sdot\frac{8}{12\sdot100}=100\sdot\frac{1+\frac{3}{5}}{12\sdot20}=\frac{100+60}{12\sdot20}=\frac{13}{20}+\frac{4}{12\sdot20}}}

At 7 liṭra a year

\scriptstyle\frac{7}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot100}

ולחש' ז' ליט' השנה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{12\sdot100}=\frac{1+\frac{2}{5}}{12\sdot20}}}

1⅖ pešuṭim for a liṭra

יבא לכל ליט' א"פ וב' חומשי פשוט בחדש

\scriptstyle{\color{blue}{x=100\sdot\frac{7}{12\sdot100}=100\sdot\frac{1+\frac{2}{5}}{12\sdot20}=\frac{12}{20}-\frac{4}{12\sdot20}}}

12 dinar minus 4 pešuṭim

שיבא הככר בחדש י"ב די' פד"פ [פחות ד' פשוטי'] וכה"ל

another method

אחר על זאת השאלה הכתובה למעלה

You lend 100 liṭra for one month at 8 liṭra a year.

You want to know how much will be earned.

\scriptstyle\frac{8}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot100}

אם תלוה ק' ליט' א' חדש לחשבון ח' ליט' השנה ותרצה לידע כמה יבא בדרך קצרה

\scriptstyle\frac{\frac{20}{20}}{12\sdot100}=\frac{a}{1\sdot100}

כלך לדרך זו ואמור אם היית מלוה ק' ליט' א' חדש לחשבון כ' די' השנה

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{20}{12\sdot20}=\frac{\frac{5}{3}}{20}}}

20 pešuṭim = 5 yadot a month

1 yadot = ⅓ dinar

יבא החדש כ"פ שהם ה' ידות ‫[שלישיון דינר‫]

\scriptstyle{\color{blue}{x=8\sdot\frac{\frac{5}{3}}{20}=\frac{\frac{40}{3}}{20}=\frac{13}{20}+\frac{4}{12\sdot20}}}

40 yadot = 13 dinar and 4 pešuṭim

ואמור ה' פעמי' ח' ידות [ח' לי'] הם מ' ידות [שלישיון] שהם י"ג די' וד"פ

\scriptstyle\frac{7}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot100}

\scriptstyle{\color{blue}{x=7\sdot\frac{\frac{5}{3}}{20}=\frac{\frac{35}{3}}{20}=\frac{12}{20}-\frac{4}{12\sdot20}}}

35 yadot = 12 dinar minus 4 pešuṭim

ולחשבון זה תאמ' ג"כ ה' פעמי' ז' ידות הם ל"ה ידות שהם י"ב די' פחות ד"פ וכה"ל

Find the Interest

44) I lent 20 dinar for one year at 4 pešuṭim a month and at the end of the year I cashed some.

I lent [what remained] for a second year at 4 pešuṭim a month also and cashed some.

I lent [what remained] for a third year again at 4 pešuṭim a month and cashed some as I did in the first and the second year.

Then I had no pašuṭ left.

How much is the sum of all the repayments, and how much was each repayment?

מד) אם ישאלך אדם הלותי כ' די' שנה אחת לחש' דפ"ה ובסוף השנה פרעתי מהם קצת

הלותים שנה שניה לחשבון דפ"ה כמו כן ופרעתי מהם קצת
הלותים שנה שלשית לחשבון דפ"ה כמו כן ועשיתי הפרעון כמו שעשתי בשנה ראשונה ושנייה
ולא נשאר בידי אי פשוט
כמה עלו כל הפרעונות וכמה כל פרעון ופרעון לבדו

\scriptstyle20+4-X+\left[\frac{4}{20}\sdot\left(20+4-X\right)\right]-X+\left[\frac{4}{20}\sdot\left[20+4-X+\left[\frac{4}{20}\sdot\left(20+4-X\right)\right]-X\right]\right]=X

the three payments =

\scriptstyle{\color{blue}{3X=28+\frac{5+\frac{73}{91}}{12}}}

= 28 dinar +

\scriptstyle5\frac{73}{91}

pešuṭim

עלו כל הפרעונות כ"ח דינרי' וה' פשו' וע"ג חלקי' מצ"א בפשוט

each payment =

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{28+\frac{5+\frac{73}{91}}{12}}{3}=9+\frac{5+\frac{85}{91}}{12}}}

= 9 dinar and

\scriptstyle5\frac{85}{91}

pešuṭim

שיבא לכל פרעון ט' די' וה' פשוטי' ופ"ה חלקי' מצ"א

if the payment in each year was 6 dinar:

ודרך עשיית החשבון הוא על זה הדרך שתתפוש החשבון אחר ותשים קצת הפרעון שבכל שנה ושנה ו' די‫'

at the end of the third year remained:

\scriptstyle{\color{blue}{6}}

dinar

ותתפוש החשבון מסופו דהיינו שבסוף שנה שלישית נשארו ו' דינרי‫'

at the beginning of the third year remained:

\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{5+1}\sdot6\right)=6-\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)=6-1=5}}

dinar

ונרצה לדעת כמה נשארו בראש שנה שלישית שהוא סוף שנה שנייה

אמור אם בסוף שנה שלישית נשארו ו' דינרי' הסר מהם השתות והנשאר הוא הקרן שנשאר בסוף שנה שנייה
כי לעולם בכל חשבון עולה בו ריוח לחשבון דפה"ה החומש מלג שהוא שתות מל' ולכן כשתסיר ממנו השתות ופרי הוא מעתה רשאי לעשות מהם ובהם ככל אות נפשו אך א' עליו פרוע בתנאי שיפרע לעולם כל השתות ישאר הקרן לבד
א"כ בראש שנה שלישית נשארו ה' די‫'

at the end of the second year remained:

\scriptstyle{\color{blue}{6+5=11}}

dinar

ואז פרעת ו' די' עבור שנה שנייה הרי שבסוף שנה שנייה היו י"א

at the beginning of the second year remained:

\scriptstyle{\color{blue}{11-\left(\frac{1}{6}\sdot11\right)=9+\frac{2}{12}}}

= 9 dinar and 2 pešuṭim

הסר מהם השתות שהוא הריוח שעלה בהם בשנה שנייה נשארו ט' די' וב"פ

at the end of the first year remained:

\scriptstyle{\color{blue}{6+\left(9+\frac{2}{12}\right)=15+\frac{2}{12}}}

= 15 dinar and 2 pešuṭim

ואז פרעת ו' די' בעבור שנה ראשונה הרי שבסוף שנה ראשונה היו ט"ו די' וב"פ

at the beginning of the first year remained:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(15+\frac{2}{12}\right)-\left[\frac{1}{6}\sdot\left(15+\frac{2}{12}\right)\right]=12+\frac{7+\frac{2}{3}}{12}}}

= 12 dinar and 7⅔ pešuṭim

הסר מהם השתות ישארו י"ב די' וז"פ וב' שלישי פשוט

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{7+\frac{2}{3}}{12}\right):6=20:X}}

if for 12 dinar and 7⅔ pešuṭim the payment is 6 dinar each year, how much will be the payment for 20 dinar?

אם כן ידענו שאם הקרן הוא י"ב די' וז"פ וב' שלישי פשוט הפרעון הוא ו' די' בכל שנה ונרצה לידע אם הקרן הוא כ' די' כמה הוא הפרעון

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{3:4=5:X}}

עשהו בדרך זה אם ג' שוה ד' ה' כמה שוה והבן זה כי עמוק הוא וכה"ל

another method:

גם נוכל לעשותו בדרך אחרת

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1+\frac{2}{3}}{12}}{12+\frac{7+\frac{2}{3}}{12}}=\frac{1}{91}}}

ותאמר א"פ וב' שלשיות כמה חלק הוא מי"ב די' וז"פ וב' שלישיות הוא חלק אחד מצ"א

\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{7+\frac{2}{3}}{12}\right)-\left[\frac{1}{91}\sdot\left(12+\frac{7+\frac{2}{3}}{12}\right)\right]=12+\frac{1}{2}}}

dinar

אם תסירהו מן הקרן ישארו י"ב די' וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(12+\frac{1}{2}\right)\right]=10}}

dinar

תסיר ממנו עוד מן הנשאר החומש ישארו י' די‫'

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10=20}}

dinar

כפלהו יעלה כ' די‫'

each payment:

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left[6-\left(\frac{1}{91}\sdot6\right)\right]-\left[\frac{1}{5}\sdot\left[6-\left(\frac{1}{91}\sdot6\right)\right]\right]\right]=9+\frac{5+\frac{85}{91}}{12}}}

= 9 dinar and

\scriptstyle5\frac{85}{91}

pešuṭim

וכן תעשה בפרעון תסיר מו' די' חלק אחד מצ"א

אחרי כן תסיר מן הנשאר החומש ותכפול המותר
יעלה בידך ט' די' וה"פ ופ"ה חלקי' מצ"א וכן יבא לכל פרעון ופרעון וכה"ל

Pricing Problem - Find the Price

45) You bought some fruit in trade at so and so liṭra for one kikkar and you want to know how much one liṭra is worth

\scriptstyle\frac{20\sdot a}{100}=\frac{X}{1}

מה) פרי שקנית תגרות בכל כך ליט' הככר ותרצה לידע כמה יבא הליט' התגרות בדרך קצרה

\scriptstyle X=\frac{a}{5}

תפוש החומש מסכום החשבון המעות וד' חומשי' תשליך ומכל ליט' שנשאר בידך קח די' וכל כך מעות יבא הליט' מן התגרות

I bought 100 liṭra of pepper for 40 liṭra and you want to know how much one liṭra is worth

\scriptstyle\frac{20\sdot40}{100}=\frac{X}{1}

המשל בזה הרי שקניתי ק' ליט' מפלפל לחשבון מ' ליט' ותרצה לידע כמה יבא הליט‫'

one liṭra of pepper for

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{40}{5}=8}}

dinar

תפוש החומש שהם ח' ליט' ומכל ה' ליט' תקח די' הרי שיבא ח' די' הרי שיבא הליט' מן הפלפל ח' די‫'

if each liṭra is worth

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{5}=2+\frac{2}{5}}}

pešuṭim

וה"ל אחר שבכל ליט' ממעות שהוציא בככר אחד מן התגרות יגיע לכל ליט' ב"פ וב' חמשי‫'

If you bought one kikkar in trade for 40 liṭra and you want to know how much one liṭra is worth

והרי שקנית הככר מן התגרות במ' ליט' ותרצה לידע כמה יבא הליט‫'

one liṭra for

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{2}{5}\right)\sdot\frac{40}{12}=\left(2\sdot\frac{40}{12}\right)+\left(2\sdot\frac{\frac{40}{5}}{12}\right)=8}}

dinar

תאמר ב"פ מ"פ וב' פעמי' מ' חומשי פשוט הם ח' די' וכה"ל

Find the Earned Interest

46) How much will be the profit of 100 liṭra for one day at 8 liṭra a year?

\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot8}{360\sdot100}=\frac{X}{1\sdot100}

מו) אם ישאלך אדם כמה יעלה הריוח מק' ליט' א' יום לחשבון ח' ליט' השנה

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2\sdot8}{3}=\frac{16}{3}=5+\frac{1}{3}}}

pešuṭim

תאמר ב' פעמי' ח' הם י"ו תפוש השליש בפרוטות שהם ה"פ ושליש וכן יבא וכה"ל

Problems of Various Types

Rent Problem

47) If you rent a house at so and so liṭra a year and you want to know how much [should be paid] a day

\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot a}{360}=\frac{X}{1}

מז) אם תשכיר בית אחד לחשבון כך וכך ליט' השנה ותרצה לידע כמה יבא היום

take for every liṭra

\scriptstyle\frac{2}{3}

pešuṭim a day

\scriptstyle X=a\sdot\frac{2}{3}

עשה כן מכל ליט' שתוציא בבית השנה יבא ליום ב' שלישי פשוט

You rent a house at 20 liṭra a year

\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot20}{360}=\frac{X}{1}

והרי שהשכרת בית אחד לחשבון כ' ליט' השנה

\scriptstyle{\color{blue}{x=20\sdot\frac{2}{3}=\frac{40}{3}=13+\frac{1}{3}}}

pešuṭim

תאמ' כ' פעמי' ב שלשיים הם מ' שהם י"ג פשו' ושלי' וכן יבא לזו

Exchange Problems

48) 22 of Pisa are worth 25 of Bologna.

What is the exchange of the liṭra of Bologna to a liṭra of Pisa?

\scriptstyle\frac{22}{25}=\frac{1}{X}

מח) אם ישאלך אדם הכ"ב פיסני שוים כ"ה בולייניני' כמה יתן חלוף הליט' מן הבולונייני' לליט' מן הפיסני‫'

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{25\sdot1}{22}=\frac{25}{22}=\frac{20}{20}+\frac{\frac{8}{11}}{20}}}

20 dinar and

\scriptstyle8\frac{8}{11}

pešuṭim?

תרבה כ"ה פעמי' א' ליט' מבולנייני' יהיו כ"ה ליט' מבולנייני‫'

חלקם על כ"ב יבא כ' די' וח"פ ח' חלקי' מי"א בפשוט
וכן יתן חלוף הליט' מן הבוליי' לליט' מן הפיסני‫'

Proportions of Fractions

49) If one third equals a quarter, how much is one fifth equal?

\scriptstyle\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{5}}{X}

מט) אם שליש שוה רביע חומש כמה שוה

False Position = commen denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5=12\sdot5=60}}

אמור תחלה אנה ימצאו שליש ורביע וחומש

אמור ג' פעמי' ד' י"ב
ה' פעמי' י"ב הם ס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot60=20}}

השליש הוא כ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot60=15}}

הרביע הוא ט"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot60=12}}

החומש הוא י"ב

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{20:15=12:\left(60\sdot X\right)}}

ואמור אם כ' שוה ט"ו י"ב כמה שוה

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{\frac{12\sdot15}{20}}{60}=\frac{\frac{180}{20}}{60}=\frac{9}{60}=\frac{3}{20}}}

אמור י"ב פעמי' ט"ו הם ק"פ

חלקם בכ' חלקי' הרי שיבא ט' שהם ט' חלקי' מס‫'
שהם ג' חלקי' מכ' וכה"ל

Find a Quantity Problem - Whole from Parts – Tree

50) If one asks you: I have a tree - its half and its third are in the water; a third and a quarter of what is left are planted in the soil; and three spans remain.

How much is the length of the tree?

\scriptstyle\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)+\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)\right]\right]+3=X

נ) אם ישאלך אדם יש לי אי אילן שהחצי והשליש ממנו הוא עומד במים תחת הארץ

והשליש והרבע מן הנשאר הוא מכוסה תקוע בארץ
ונשאר ממנו מן האילן ג' זרתות
אשאלך כמה גבהות כל האילן

False Position = common denominator: Look for the denominator, which is 72, by multiplying 3 by 2, which is 6; 3 by 6 is 18; 4 by 18 is 72.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2\sdot3\sdot4=6\sdot3\sdot4=18\sdot4=72}}

בקש המורה והוא ע"ב בכפלך ג' על ב' והם ו' וג' פעמי' ו' הם י"ח וד' פעמי' י"ח הם ע"ב

So, you find in 72 a half, a third, a third, and a quarter.

ובע"ב תמצא חצי ושליש ושליש ורבע

Extract a third and a half from 72; it is 60 and 12 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{72-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot72\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot72\right)\right]=72-60=12}}

והוצא שליש וחצי מע"ב והם ס' וישארו י"ב

For the part that is in the ground, extract a third and a quarter of 12; it is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7}}

א"כ בעבור החלק האחד שהוא בארץ הוצא השליש והרבע מי"ב והם ז‫'

Now, sum 7 with 60; it is 67 and 5 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{72-\left(60+7\right)=72-67=5}}

ועתה אסוף ז' עם ס' והם ס"ז וישארו ה‫'

Rule of Three: Do [as follows:] if 5 is 3, how much is 72?

\scriptstyle{\color{blue}{5:3=72:X}}

אם כן עשה אם ה' היו ג' ע"ב כמה היו

72 times 3 is 216.

ע"ב פעמי' ג' הם רי"ו

Divide it by 5, the result is 43⅕.

חלקם בה' בא מ"ג וחומש

Hence, the length of the whole tree is 43⅕ spans.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{72\sdot3}{5}=\frac{216}{5}=43+\frac{1}{5}}}

א"כ אורך כל האילן היה מ"ג זרתות וחומש

וכה

Motion Problem - To and From - an Ant Climbing a Tower

51) A tower is 20 cubits tall.

An ant wants to climb up.

Every day it climbs up one third of a cubit and every night it goes down a quarter [of a cubit].

In how many days will it reach the top?

\scriptstyle\frac{1}{3}X-\frac{1}{4}X=20

נא) הרי שיש לפניך מגדל גבוה כ' אמה

ונמלה אחת רוצה לעלות למעלה
ובכל יום עולה שליש אמה ובכל לילה יורדת רביע
בכמה ימי' עולה למעלה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}}

אמור תחלה כמה יותר השליש מן הרביע א' חלק מי"ב

each day it moves upwards by

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}}}

of a cubit

נמצא שבכל יום יש לה יתרון א' חלק מי"ב מן האמה

it climbs up one cubit in 12 days

הרי שבי"ב ימים היא עולה אמה אחת

it will reach the top in

\scriptstyle{\color{blue}{x=12\sdot20=240}}

days

אמור י"ב פעמים כ' בעבור המגדל שגובהו כ' הרי ר"מ

הרי שבר"מ ימים תעלה על המגדל

Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money

52) You have some money in your purse.

You take a third, a quarter, and a fifth of it and their sum is nine.

How much remains?

\scriptstyle X-\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X\right)=X-9

נב) הרי שיש לך מעות בכיס

והוצאת מהם השליש והרביע והחומש והם ט‫'
כמה יהיו הנשארים

False Position = common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{60}}

אמור תחלה אנה ימצאו שליש ורביע וחומש בס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot60=20}}

השליש הוא כ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot60=15}}

והרביע ט"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot60=12}}

והחומש י"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{20+15+12}{60}=\frac{47}{60}}}

וכללם מ"ז חלקי' מס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{60}-\frac{47}{60}=\frac{13}{60}}}

נמצא שהנשארי' הם י"ג חלקי' מס‫'

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{47}{60}:9=\frac{13}{60}:a}}

ואמור אם מ"ז חלקי' מס' שוים ט' פשוט י"ג חלקי' מס' כמה יבואו

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{13\sdot9}{47}=\frac{117}{47}=2+\frac{23}{47}}}

אמור י"ג פעמי' ט' הם קי"ז חלקם במ"ז בא ב' וכ"ג חלקי' ממ"ז

the money that was in the purse:

\scriptstyle{\color{blue}{X=11+\frac{23}{47}}}

pešiṭim

נמצא שהיו בתוך הכיס י"א וכ"ג חלקי' ממ"ז

the money that remained:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{23}{47}\right)-9=2+\frac{23}{47}}}

ומה שהוציא היו ט' ומה שנשאר היו ב' וכ"ג חלקי' ממ"ז וכ"ה

Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money

53) You have some money in your purse.

You subtract a tenth from it and ten remain.

How much was the money at first?

\scriptstyle X-\left(\frac{1}{10}X\right)=10

נג) אם ישאלך אדם היו לי מעות בכיס

והוצאתי מהם העשירית ונשאר י‫'
כמה היו בתחלה

False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(\frac{1}{10}\sdot10\right)=9}}

תפוש חשבון אחד ואמור מי' כשתקח ממנו העשירית ישארו ט‫'

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{9:10=1:a}}

ואם כן הדרך היא כך אם ט' היו י' א' כמה היא

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1\sdot10}{9}=\frac{10}{9}=1+\frac{1}{9}}}

כפול א' על י' הם י‫'

חלקם על ט' יהיו א' ותשיעי‫'

[the money that was in the purse:]

\scriptstyle{\color{blue}{X=10+\left(1+\frac{1}{9}\right)=11+\frac{1}{9}}}

והוסיפם על הי' יהיו י"א ותשיעי‫'

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{11+\frac{1}{9}-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(11+\frac{1}{9}\right)\right]=10}}

הוצא מהם העשירית ישארו י' שלמי' וכה"ל

If ten and a sixth remain

\scriptstyle X-\left(\frac{1}{10}X\right)=10+\frac{1}{6}

ואם יאמר ט' נשארו י' ושתות

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{6}:a}}

עשה כן אחר שידעת כי האחד היא אחד ותשיעי‫'

תאמ' אם אחת היא אחת ותשיעי' השתות כמה היא

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{6}\sdot\left(1+\frac{1}{9}\right)}}

תפוש השתות מא' ותשיעי‫'

[the money that was in the purse:]

\scriptstyle{\color{blue}{X=11+\frac{1}{9}+\frac{1}{6}\sdot\left(1+\frac{1}{9}\right)}}

והוסיפם על הי"א ותשיעי' וכן יצא

Divide a Quantity – Money

54) If you want to divide 5 pešuṭim to a third and a quarter without a remainder

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=5

נד) אם תרצה לחלק ה"פ לשליש ולרביע ולא ישאר ממנו כלל

False Position - common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{12}}

אמור תחלה שליש ורביע נמצא בי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}}

השליש הוא ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot12=3}}

הרביע הוא ג‫'

denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{4+3=7}}

חברם יחד הם ז' והוא המחלק

the portion of the one who has a third -

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{4\sdot5}{7}=\frac{20}{7}=2+\frac{6}{7}}}

ואם תרצה לידע כמה יבא למי שיש לו השליש שהוא ד‫'

אמור ד' פעמי' ה' בעבור שהם הפ' יבא כ‫'
וחלק אותם לז' יבאו ב' וו' חלקי' מז‫'

the portion of the one who has a quarter -

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{3\sdot5}{7}=\frac{15}{7}=2+\frac{1}{7}}}

ומי שהוא שיש לו הרביע שהוא ג‫'

אמור ג' פעמי' ה' ט"ו
חלקם לז' יבא ב' וא' חלק מז‫'

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{6}{7}\right)+\left(2+\frac{1}{7}\right)=5}}

חברם יחד יעלו ה' במספר המעות הרי שנחלקו לשליש ולרביע ולא נשאר מהם כלל וכה"ל

Divide a Quantity – Money

55) If you want to divide 12 pešuṭim to a half, a third, and a quarter without a remainder

\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=12

נה) אם תרצה לחלק י"ב פשוט לחצי ולשליש ולרביע

False Position - common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{12}}

אמור תחלה אנה ימצאו בי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot12=6}}

החצי הוא ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}}

והשליש ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot12=3}}

והרביע ג‫'

denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{6+4+3=13}}

חברם הם י"ג והוא המחלק

the portion of the one who has a half -

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X=\frac{6\sdot12}{13}=\frac{72}{13}=5+\frac{7}{13}}}

ומי שיש לו החצי אמור החצי מי"ב הוא ו‫'

ואמור ו' פעמי' י"ב בעבור המעות שהם י"ב יבואו ע"ב
חלקם על י"ג יבואו ה' וז' חלקי' מי"ג

the portion of the one who has a third -

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{4\sdot12}{13}=\frac{48}{13}=3+\frac{9}{13}}}

ומי שיש לו השליש שהוא ד‫'

אמור ד' י"ב הם מ"ח
חלקם בי"ג יבואו ג' וט' חלקי' מי"ג

the portion of the one who has a quarter -

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{3\sdot12}{13}=\frac{36}{13}=2+\frac{10}{13}}}

ומי שיש לו הרביע שהוא ג‫'

אמור ג' פעמי' י"ב הם ל"ו
חלקם בי"ג יבוא ב' וי' חלקי' מי"ג

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{7}{13}\right)+\left(3+\frac{9}{13}\right)+\left(2+\frac{10}{13}\right)=12}}

ואם תאסוף כלם יבאו יב"פ כמספ' המעו‫'

Ordering Problem - Six Coins

56) A man has a worker for 30 pešuṭim for 30 days.

[The worker] wants to be paid each day, but the employer has only six silver coins that are worth a total of 30 pešuṭim.

He pays him every day with these six coins.

How much should [each of] the six coins [be worth] so that he will not need to exchange them?

\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4+8+12=30}}

נו) הרי שאדם יש לו שכיר אחד לשלשי' יום בל' פשו‫'

ורוצה לקבל פרעונו בכל יום ואין לשוכר רק ו' מטבעות כסף ששוים ל"פ סך כולם
והוא פורע אותו בכל יום עם אלו הו' מטבעות
היאך יהיו אלו הו' מטבעות ולא יצטרך להחליפם

1; 2; 3; 4; 8; 12

סימ' א' ב' ג' ד' ח' י"ב

Find a Number Problem - Ratio of Integers and Fractions

57) If three and one third equal four and a quarter, how much are five and one fifth equal?

\scriptstyle\left(3+\frac{1}{3}\right):\left(4+\frac{1}{4}\right)=\left(5+\frac{1}{5}\right):X

נז) אם ג' ושליש שוים ד' ורביע ה' וחומש כמה שוים

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{\left(5+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)}{3+\frac{1}{3}}}}

אמור ה' וחומש פעמי' ד' ורביע ומה שיבא חלקהו בג' ושליש

\scriptstyle{\color{blue}{5+\frac{1}{5}=\frac{\left(5\sdot5\right)+1}{5}=\frac{25+1}{5}=\frac{26}{5}}}

וזה סדר עשייתו תפוש ה' וחומש ואמור ה' פעמי' כ"ה וא' הרי כ"ו

הרי שעשית מה' וחומש כ"ו חמשיות ותזמן אותם כאשר תראה

\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{1}{4}=\frac{\left(4\sdot4\right)+1}{4}=\frac{16+1}{4}=\frac{17}{4}}}

אחרי כן תפוש ד' ורביע ואמור ד' פעמי' ד' י"ו וא' הרי י"ז

הרי שעשית מד' ורביע י"ז רבעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)=\frac{26}{5}\sdot\frac{17}{4}=\frac{26\sdot17}{5\sdot4}=\frac{442}{20}=22+\frac{1}{10}}}

ובעבור שאנו צריכים לומ' ה' וחומש פעמי' ד' ורביע תרבה כ"ו עם י"ז יעלו תמ"ב

ונחלק אותם אחרי כן לרביע וחומש ונאמ' ד' פעמי' ה' כ‫'
נחלק אותם תמ"ב יעלו כ"ב וב' חלקי' מכ' דהיינו א' עשירי‫'

converting to thirds:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)=22+\frac{1}{10}=\frac{3\sdot\left(22+\frac{1}{10}\right)}{3}=\frac{66+\frac{3}{10}}{3}}}

ובעבור שאנו צריכים לחלק בג' ושליש עשה מכ"ב וא' עשירי' כולם שלישייות ואמור ג' פעמי' כ"ב ס"ו וג' פעמי' א' עשירי' הם ג' עשריות הרי ס"ו וג' עשירייות

\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{1}{3}=\frac{\left(3\sdot3\right)+1}{3}=\frac{9+1}{3}=\frac{10}{3}}}

חלק אותם אחרי כן בג' ושליש וזהו דרך חלוקו שתעשה מג' ושליש כולם שלישייות ואמור ג' פעמי' ג' ט' וא' הרי י‫'

א"כ נחלק ס"ו בי' חלקי' יבואו ו' וו' עשירייות

נחלק אחרי כן ג' עשיריות בי' חלקי' יבואו' ג' חלקי' מק‫'
הרי שעולה החשבון ו' שלמים וו' עשירייות וג' חלקי' מק‫'
נקבץ אותם יחד ונעשה מו' עשיריות חלקי' מק' ויהיו ס' וג' חלקי' שהיו לנו הרי ס"ג
נמצא שיבא ו' שלמים וס"ג חלקי' ממאה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X&\scriptstyle=\frac{\left(5+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)}{3+\frac{1}{3}}=\frac{\frac{66+\frac{3}{10}}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{66+\frac{3}{10}}{10}=\frac{66}{10}+\frac{\frac{3}{10}}{10}\\&\scriptstyle=6+\frac{6}{10}+\frac{3}{100}=6+\frac{60}{100}+\frac{3}{100}=6+\frac{63}{100}\\\end{align}}}

Multiple Quantities - Boys Selling Eggs

58) A man gave his sons eggs to sell: to one [of them] he gave 50 eggs, to the second 30, and to the third 10.

He said to them: go, sell the eggs equally, and bring me equal amounts of money

\scriptstyle10X=30Y=50Z

נח) אדם נתן לבניו ביצות למכור לאחד נתן נ' בצים ולשני ל' ולשלישי י‫'

ואמ' להם לכו ומכרו הבצים בשוה וכולכם תביאו לי מעות בשוה

first they sold 7 eggs for one pašuṭ

הלכו ונתנו ז' בצים בפשוט

The first who had 50 eggs: 49 eggs for 7 pešuṭim

\scriptstyle{\color{blue}{50-\left(7\sdot7\right)=50-49=1}}

egg remains

אותו שהיו לו נ' בצים מכר מ"ט בצי' בז"פ ונשארה לו ביצה אחת

The second who had 30 eggs: 28 eggs for 4 pešuṭim

\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(7\sdot4\right)=30-28=2}}

eggs remain

ואותו שהיו לו ל' בצים מכר כ"ח בצים בד' פשו' ונשארו לו ב' בצים

The third who had 10 eggs: 7 eggs for 1 pašuṭ

\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(7\sdot1\right)=10-7=3}}

eggs remain

ואותו שהיו לו י' בצים מכר ז' בצים בפשו' ונשארו לו ג' בצים

then they sold one egg for 3 pešuṭim

הילכו פעם שנייה ומכרו הבצים שנשארו להם בג"פ הביצה

The first who had 1 egg left: 1 egg for 3 pešuṭim

he had a total of

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot3\right)+7=3+7=10}}

pešuṭim

הראשון שנשארה לו ביצה אחת קבל ג' פשוט וז' שקבל במכירה ראשונה הרי י' פשו‫'

The second who had 2 eggs left: 2 eggs for 6 pešuṭim

he had a total of

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)+4=6+4=10}}

pešuṭim

והשני שנשארו לו ב' בצים קבל ו"פ וד"פ שקבל במכירה ראשונה הרי י"פ

The third who had 3 eggs left: 3 eggs for 9 pešuṭim

he had a total of

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot3\right)+1=9+1=10}}

pešuṭim

והשלישי שנשארו לו ג' בצים קבל ט"פ וא"פ שקבל במכירה ראשונה הרי שקבל י"פ

they sold the eggs for the same price and received the same amount of money

נמצא שכולם מכרו הבצים בשוה וכולם קיבלו מעות בשוה

Find a Quantity Problem - Whole from Parts – Fish

59) A fish - its head and tail were cut off.

The body weighs 10 liṭra.

The head weighs one third and a quarter of the whole fish.

The tail weighs a fifth and a sixth of the whole fish.

How much does the whole fish weigh?

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+10=X

נט) הרי שיש לפניך דג ונחתך ראשו וזנבו

והגוף שוקל י' ליט‫'
והראש היה שוקל השליש והרביע מכל הדג
והזנב שוקל החומש והשתות מכל הדג
כמה ישקול כולו

False Position: First say: a third, a quarter, a fifth, and a sixth are found in 60.

אמור תחלה שליש ורביע וחומש ושתות נמצא בס‫'

They are 20, 15, 12, and 10, which are 57 parts of 60.

שהם כ' וט"ו וי"ב וי' שהם נ"ז חלקי' מס‫'

We find that the head and tail that weigh together a third, a quarter, a fifth, and a sixth are 57 parts of 60, which is the whole.

נמצא שהראש והזנב ששקלו סך שניהם שליש ורביע וחומש ושתות הם נ"ז חלקי' מס' שהוא השלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)}{60}=\frac{20+15+12+10}{60}=\frac{57}{60}}}

The 3 parts that remain from 60 are the body that weighs 10 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{60}-\frac{57}{60}=\frac{3}{60}}}

ואותם הג' חלקי' שנשארו עד ס' הוא הגוף ששוקל י' ליט‫'

Rule of Three: So say: if 3 parts of 60, i.e. the body, weigh 10 liṭra, how much do the remaining 57 parts of 60, i.e. the third, the quarter, the fifth, and the sixth, which are the head and the tail weigh?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{60}:10=\frac{57}{60}:a}}

אמור א"כ אם ג' חלקי' מס' שוקלים י' ליט' דהיינו הגוף הנשאר הנ"ז חלקי' מס' דהיינו השליש והרביע והחומש ושתות שהם הראש והזנב כמה שוקלי‫'

Say: 57 times 10 is 570.

אמור נ"ז פעמי' י' הם תק"ע

Divide it by 3 parts; the result is 190 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{57\sdot10}{3}=\frac{570}{3}=190}}

חלקם בג' חלקי' יבוא ק"צ ליט‫'

We find that the head and the tail weigh 190 liṭra.

נמצא שהראש והזנב שוקלים ק"צ ליט‫'

The body weighs 10 liṭra, so the total is 200 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{x=190+10=200}}

והגוף שוקל י' ליט' שהוא סך הכל ר' ליט‫'

If you wish to know how much does the head weigh alone:

ואם תרצה לידע כמה שוקל הראש לבדו

You already know that the head weighs a third and a quarter; and the third and the quarter of 60 are 35 parts of 60.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)}{60}=\frac{20+15}{60}=\frac{35}{60}}}

כבר ידעת כי הראש שוקל השליש והרביע והשליש והרביע מס' הם ל"ה חלקי' מס‫'

Rule of Three: Say: if 3 parts of 60, i.e. the body, weigh 10 liṭra, how much do these 35 parts, i.e. the head that weighs a third and a quarter, weigh?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{60}:10=\frac{35}{60}:b}}

ואמור אם ג' חלקי' מס' דהיינו הגוף שוקל י' ליט' אלו הל"ה חלקי' דהיינו הראש ששוקל שליש ורביע כמה שוקל

Say 35 times 10 [is] 350.

אמור ל"ה פעמי' י' ש"נ

Divide it by 3; the result is 116⅔ and this is the weight of the head.

\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{35\sdot10}{3}=\frac{350}{3}=116+\frac{2}{3}}}

חלקם בג' יבא קי"ו וב' שלשיות והוא משקל הראש

Do the same with the tail and you will get the matter.

ובזה הדרך תעשה גם הזנב ויצא לך הענין

וכה"ל

Simultaneous Division - Money in a Purse

60) Two men had money in one purse.

One said to the other: hear me my brother, one third and a quarter of my money are equal to a sixth and a seventh of your money.

They checked and found this as they said.

How much money did each one of them have?

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=\frac{1}{6}Y+\frac{1}{7}Y

ס) ב' אנשים היו להם מעות בא' כיס

אמ' זה לזה שמעני אחי כך הם השליש והרביע ממעותי כמו השתות והשבע ממעותיך
והם בדקו ומצאו כן כאשר אמרו
אשאלך כמה מעות היו לכל אחד ואחד

the money of the one with the third and the quarter:

\scriptstyle{\color{blue}{12}}

תמצא חשבון שימצא בו שליש ורביע וימצא בי"ב וכך מעות היו לו

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7}}

pešuṭim

קח מהם שליש ורביע והם ז"פ

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{6}\sdot42\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot42\right)}{42}=\frac{13}{42}}}

ועבור האיש האחר שהיה לו שתות ושביע שהם י"ג חלקי' ממ"ב

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{13:7=42:y}}

ואמור אם י"ג היו ז' כמה היו מ"ב

the money of the one with the sixth and the seventh:

\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{7\sdot42}{13}=\frac{294}{13}=22+\frac{8}{13}}}

אמור ז' פעמי' מ"ב רצ"ד

חלקם בי"ג יהיו כ"ב וח' חלקי' מי"ג וכך מעות היו לו

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{6}\sdot\left(22+\frac{8}{13}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(22+\frac{8}{13}\right)\right]=7}}

pešuṭim

תוציא השתות והשביע מהם ויהיו ז"פ

Partnership - for the same time

61) Three people wanted to form a partnership and contribute together 40 ounces of gold.

The first has gold that is worth 3 liṭra per ounce.

The second has gold that is worth 5 liṭra per ounce.

The third has gold that is worth 8 liṭra per ounce.

How much gold should each of them contribute so that the total will be 40 ounces and the share of each of them will be equal to the shares of his friends?

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{8}X=40

סא) הרי שג' אנשים רצו להתחבר ולשים בחברותה מ' אונקי' זהב

לאחד יש לו זהב ששוה ג' ליט' האונ‫'
והשני יש לו זהב ששוה ה' ליט' האונקי‫'
ולשלשי יש לו זהב ששוה ח' ליט' האונקי‫'
כמה זהב ישים כל אחד שיהיו מ' אונקיו' וכל אחד יהיה שוה השלו כמו של חברו

False Position - common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{120}}

עשה על זה הדרך אמור שליש וחומש ושמינית אנה ימצאו

בקש המורה והוא ק"כ

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot120=40}}

השלשי הוא מ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot120=24}}

החומש הוא כ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot120=15}}

השמינית הוא ט"ו

denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{40+24+15=79}}

צרף כולם יהיו ע"ט והוא המחלק

the one whose gold is worth 3 liṭra contributes:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{40\sdot40}{79}=\frac{1600}{79}=20+\frac{20}{79}}}

ounces of gold

ואם תרצה לידע כמה זהב ישים אותו שיש לו הזהב ששוה ג' ליט' האונקי‫'

אמור השלשי הוא מ' ותרבה אותו עם סך האונקי' שהם מ' ואמור מ' פעמי' מ' אלף ות"ר
חלקם בע"ט יבוא כ' וכ' חלקי' מע"ט
הרי שישים בחברותה כ' אונ' וכ' חלקי' מע"ט

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot20=60}}

liṭra

ואם תרצה לידע כמה שוה חלקו של זה אמור מן הכ' אונקי' יבוא ס' ליט‫'

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{1:720=\frac{20}{79}:X}}

ומן הכ' חלקי' מע"ט אמור אם ע"ט שהוא אחד שלם שוה תש"כ פש' הכ' חלקי' מע"ט כמה שוים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{720\sdot20}{79}=\frac{14400}{79}=182+\frac{22}{79}}}

pešiṭim

אמור כ' פעמי' תש"כ י"ד אלפי' ות‫'

חלקם בע"ט יבואו קפ"ב פשוטי' וכ"ב חלקי' מע"ט

\scriptstyle{\color{blue}{X=60+\frac{182+\frac{22}{79}}{20\sdot12}=60+\frac{15}{20}+\frac{2+\frac{22}{79}}{20\sdot12}}}

his share is worth: 60 liṭra, 15 dinar, 2²²/₇₉ pešiṭim

הרי ששוה חלקו של זה ס' ליט' וט"ו די' וב"פ וכ"ב חלקי' מע"ט

the same for the others

וכן תעשה מן האחרים ויצא לך הענין וכה"ל

Give and Take Problem - gatekeeper

62) A man passed through four towns.

In the first town, he doubled all his money and when leaving town the gatekeeper took from him 8 pešuṭim.

The same happened in the second and the third towns – in each town he doubled all his money and when leaving town the gatekeeper took from him 8 pešuṭim.

In the fourth town, he doubled again all the remaining money and paid 8 pešuṭim.

Then he had no pašuṭ left.

How much money did he have at first?

\scriptstyle2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left(2x-8\right)-8\right]-8\right]=8

סב) איש אחד מהלך בד' עיירות

ובעיר ראשונה הכפיל כל מעותיו ובצאתו מן העיר לקח לו השוער ח"פ
וכן בעיר השנית והשלישית הכפיל כל מעותיו ובצאתו מן העיר לקח לו השוער ח"פ בכל עיר
וכן בעיר הרביעית הכפיל כל מעותיו הנשארים ופרע ח"פ ומ.. לא נשאר בידו פשוט
אשאלך כמה מעות היו לו קודם

If you wish to know this, since this man passed through four towns and in each town he paid 8 pešuṭim:

אם תרצה לידע אותו עבור כי זה האיש הלך בד' עיירות ובכל עיר פרע ח"פ

For the first town, the 8 pešuṭim should be divided into half; they are 4 pešuṭim.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{2}=4}}

עבור העיר ראשונה צריך אלו הח"פ לחלק לחצי ויהיו ד"פ

For the second town, the 4 pešuṭim should be divided into half; they are 2 pešuṭim.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{2}=2}}

ועבו' העיר השנית אלו הד"פ חלק לחצי ויהיו ב"פ

For the third town, the 2 pešuṭim should be divided into half; they are 1 pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{2}=1}}

ועבו' העיר השלישית אלו הב"פ חלק לחצי ויהיה א"פ

Divide the pašuṭ into half; it is a half pašuṭ.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}

וזה הפשוט חלק לחצי ויהיה חצי פשוט

Then, sum up all together; they are 7½ pešuṭim and this was the original amount of money.

\scriptstyle{\color{blue}{x=4+2+1+\frac{1}{2}=7+\frac{1}{2}}}

ואסוף אחרי כן כולם יחד ויהיו ז' פשו' וחצי וכך היה הקרן

וכה"ל

Shared Work Problem - Rivers Filling a Fountain

63) Four rivers are flowing towards a fountain.

The first fills it in a day.

The second fills it in two days.

The third [fills it] in 3 days.

The fourth [fills it] in 4 days.

If all are flowing together, how long will it take them to fill [the fountain]?

\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=1

סג) ד' נהרות רצים אל מעיין אחד

האחד ממלאו ביום אחד
והשני ממלאו בב' ימים
והשלשי בג' ימים
והרבעי בד' ימים
ותרצה לידע אם ירוצו בו כלם יחד בכמה זמן ימלאוהו

False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{12}}

עשה על זה הדרך אמור ראשון וחצי ושליש ורביע ימצא בי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot12=12}}

הראשון י"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot12=6}}

החצי ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}}

השליש ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot12=3}}

הרביע ג‫'

denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{12+6+4+3=25}}

חברם יחד הם כ"ה והוא המחלק

together they fill 25 fountains in 12 days:

הרי שבי"ב ימי' ימלאו כ"ה מעינות

the one that fills it in 1 day - fills 12 fountains in 12 days

כיצד אותו שממלאהו ביום אחד א"כ בי"ב ימים ימלא י"ב מעינות

the one that fills it in 2 days - fills 6 fountains in 12 days

ואותו שממלאהו בב' ימים א"כ בי"ב ימים ימלא ו' מעינות

the one that fills it in 3 days - fills 4 fountains in 12 days

ואותו שממלאהו בג' ימים א"כ בי"ב ימים ימלא ד' מעיינות

the one that fills it in 4 days - fills 3 fountains in 12 days

ואותו שממלאהו בד' ימים א"כ בי"ב ימים ימלא ג' מעיינו‫'

together they fill 25 fountains in 12 days

נמצא שארבעתם יחד ימלאו בי"ב ימים כ"ה מעיינות

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{25:12=1:X}}

אמור א"כ אם כ"ה מעיינות מתמלאי' בי"ב ימים א' מעיין בכמה מתמלא

together they fill one fountain in

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot12}{25}=\frac{12}{25}}}

of a day

אמור א' פעם י"ב הם י"ב

חלקם בכ"ה יבא י"ב חלקי' מכ"ה הרי שבי"ב חלקי' מכ"ה מתמלא ביום המעיין

ואם תרצה לידע כמה חלק מן המים שם כל אחד מן הנהרות במעיין

the one that fills it alone in 1 day, fills $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot12}{25}=\frac{12}{25}}}$ parts of the fountain in $\scriptstyle\frac{12}{25}$ of a day

אמור הראשון הוא י"ב אמור י"ב פעמי' א' בעבו' המתמלא שהוא א' הם י"ב חלקם בכ"ה יבוא י"ב חלקי' מכ"ה

the same for the others

ובזה הדרך תעשה מן האחרים וכה"ל

the number of fountains they fill in one day:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot25}{12}=\frac{25}{12}=2+\frac{1}{12}}}

fountains

ואם תרצה לידע כמה מעיינות ימלאו ביום אחד תאמ' א' פעם כ"ה הם כ"ה חלקם בי"ב יבואו ב' מעיינות וא' חלק מי"ב וכה"ל

Motion Problem – Pursuit

64) A man is walking ten miles a day.

Another man is walking one mile on the first day, two miles on the second day, three miles on the third day, and so on he adds in each day one more mile.

In how many days will [the total distance each of them walked] be equal?

[See the additional problems below]

\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x i

סד) הרי אדם אחד שהוא מהלך בכל יום י' מילין

ואדם אחר מהלך ביום אחד א' מיל וביום שני ב' וביום ג' ג' והוא מוסיף בכל יום מיל אחד
בכמה ימים יעמדו בשוה

\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(2\sdot10\right)-1=20-1=19}}

days

כפול י' עם י' ויבוא כ' תפחות א' מכ' יהיו י"ט הרי שבי"ט ימים יעמדו בשוה וכה"ל

If the slower is walking 1, 3, 5, 7, and so on - each day he walks an odd number [of miles]

\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x \left(2i-1\right)

ואם הצולע מהלך אגה"ז ובכל יום מוסיף והולך פרדים ולא זוגות

\scriptstyle{\color{blue}{x=10}}

days

תפוס הי' מילים שמהלך הקבוע ודע שבי' ימים ישיגנו

If the slower is walking 2, 4, 6, 8, and so on - each day he walks an even number [of miles]

\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x 2i

ואם הצולע מהלך בדו"ח וכן מוסיף והולך זוגות ולא פרדים

\scriptstyle{\color{blue}{x=10-1=9}}

days

תפחות א' מן הי' מילין שמהלך הקבוע ואמור כי בט' ישיגנו ימים וכה"ל

Mixture and Alligation Problem - Goldsmith making rings from several kinds of coins

65) You gave the goldsmith 10 ounces of gold to create rings from them.

Two ounces of them were of 14 carat per ounce.

Three ounces of them were of 16 carat per ounce.

Five ounces of them were of 18 carat per ounce.

The goldsmith mixed all the gold together.

You want to know how many carats per ounce all of them will be together

\scriptstyle\frac{\left(2\sdot14\right)+\left(3\sdot16\right)+\left(5\sdot18\right)}{2+3+5}

סה) הרי שנתתה לצורף י' אונקיו' זהב לעשות ממנו טבעות

והב' אונקיו' מהם היה זהב מי"ד קראטי' האונקי‫'
והג' אונק' מהם היה זהב מי"ו קרטי' האונק‫'
והה' אונקיות מהם היה זהב מי"ח קרטי' האונק‫'
והצורף צירף כל הזהב ביחד
ותרצה לידע מכמה קראטי' יהיה האונק' כולם יחד

(the total sum of the carat)÷(the total sum of the ounces)

תפוש סכום האונק' והקרטי' וכפול הקרטי' בסכום האונק' שלהם

two ounces of 14 carat:

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot14=28}}

carat

כיצד הב' אונ' מי"ד קרטי' האונ' ת..ם כ"ח

three ounces of 16 carat:

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot16=48}}

carat

והג' אונק' מי"ו קרטי' האונ' ת..ם מ"ח

five ounces of 18 carat:

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot18=90}}

carat

והה' אונק' מי"ח קרטי' האונ' ת..ם צ‫'

total sum: :

\scriptstyle{\color{blue}{28+48+90=166}}

carat

חברם יחד הם קס"ו קרטי‫'

each ounce:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28+48+90}{2+3+5}=\frac{166}{10}=16+\frac{3}{5}}}

carat

חלקם לי' חלקי' כמנין האונ' יבא לכל אונק' י"ו קרטי' וג' חומשי קרטי' וכה"ל

Divide a Quantity - Price of a Fish Paid by a Group of People

66) Three men bought one fish for nine pešuṭim.

One had a half; the second had a third; and the third had a ninth.

You want to know: how much was the share of each in the fish?

\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{9}X=9

סו) הרי שג' אנשים קנו א' דג בט"פ

לאחד יש לו החצי ולשני יש לו השליש ולשלישי יש לו התשיעי
ותרצה לידע כמה חלק מן הדג יש לכל אחד

False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{18}}

עשה על זה הדרך אמור אנה ימצא חצי ושליש ותשיעי בי"ח

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot18=9}}

החצי הוא ט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot18=6}}

השליש הוא ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot18=2}}

התשיעי הוא ב‫'

denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{9+6+2=17}}

חברם יחד הם י"ז והוא המחלק

the one who has a half:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)}{17}=\frac{9}{17}}}

of the fish

ואותו שיש לו החצי מן הדג

אמור החצי הוא ט' ותרבה אותו על הדג שהוא א' ואמור ט' פעמי' א' הוא ט‫'
חלקהו בי"ז יבא לחלקו ט' חלקי' מי"ז

the same for the others

וכן תעשה מן האחרים ויצא לך הענין וכה"ל

Joint Purchase Problem - If You Give Me - two men - Amounts of Money

67) A man said to his friend: give me six pešuṭim and I will have as much as you have.

The other one said: if you give me six pešuṭim I will have twice as much as you have.

How much money did the first have and how much money did the second have?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+6=Y-6\\\scriptstyle Y+6=2\sdot\left(X-6\right)\end{cases}

סז) אם יאמר אדם לחבירו תן לי ו"פ יהיה לי כאשר יש לך

והאחר אמ' אם תתן לי ו"פ יהיה לי פי שנים ממך
אשאלך כמה מעות היו לאחד וכמה מעות היו לאחר

the one who asked for 6 pešuṭim:

\scriptstyle{\color{blue}{Y=6\sdot7=42}}

pešuṭim.

תאמ' ו' פעמי' ז' מ"ב וכך מעות היו לאיש שאמר תן לי ו"פ יהיה לי כפול ממך

the second:

\scriptstyle{\color{blue}{X=5\sdot6=30}}

pešuṭim.

ולמעות האחר תאמ' ה' פעמ' ו' ל' וכן היו לו כה"ל

Interest and Discount Problem - find the fund

68) I produced two pešuṭim from one pašuṭ, I produced three [pešuṭim] from two [pešuṭim], four from three, five from four, and six from five, and I had a total of 400 pešuṭim.

How much was the money invested?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{1}=\frac{400}{X}}}

סח) אם נאמר לך אני פלני עשיתי מא"פ ב' ומב' עשיתי ג' ומג' ד' ומד' ה' ומה' ו' והיו לי בין קרן וריוח ת"פ

אשאלך כמה היה הקרן

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{6:1=400:X}}

עשה כן עת' כי מאחד עשית ב' ומב' ג' ומג' ד' ומד' ה' ומה' ו‫'

א"כ צריך לראות כי ו' יצאו מא' א"כ מאיין מצים לצאת ת"פ

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1\sdot400}{6}=66+\frac{2}{3}}}

pešuṭim

עשה כן א' פעם ת"פ וחלקם בו' יהיו ס"ו פשו' וב' שלישי פשוט וכן היה הקרן

Exchange Problems

69) 20 dinar of Ancona are worth 31½ pešuṭim of Bologna.

How many [of Bologna] are 37½ dinar of Ancona worth?

\scriptstyle\frac{20}{31+\frac{1}{2}}=\frac{37+\frac{1}{2}}{X}

סט) כ' די' אונקוניטני לחילוף בולייניני' ל"א פ' וחצי הליט' שוה שתות מן הבולונייני‫'

כמה יבא לל"ז די' וחצי מאנקונטני' מחלוף

\scriptstyle{\color{blue}{37\sdot31=1147}}

עשה כן ל"ז פעמי' ל"א הם אלף וקמ"ז

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot31=15+\frac{1}{2}}}

ואחר אמור איזהו החצי מל"א הוא ט"ו וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot37=18+\frac{1}{2}}}

ומהו החצי מל"ז והוא י"ח וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}}

ומהו החצי מן החצי הוא רביע

Rule of Three:

ואסוף ט"ו וחצי וי"ח וחצי ורביע יהיו אלף וקפ"א ורביע

חלק אותם לכ' חלקי' יבא נ"ט פשו' וא' חלק מכ' וא' חלק מפ‫'
דהיינו ה' חלקי' מפ' וכה"ל

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{\left(37+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(31+\frac{1}{2}\right)}{20}=\frac{1147+\left(15+\frac{1}{2}\right)+\left(18+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}}{20}=\frac{1181+\frac{1}{4}}{20}\\&\scriptstyle=59+\frac{1}{20}+\frac{1}{80}=59+\frac{5}{80}\\\end{align}}}

How many [of Bologna] are 91¼ dinar of Ancona worth?

\scriptstyle\frac{20}{31+\frac{1}{2}}=\frac{91+\frac{1}{4}}{X}

ואם יאמר לצ"א די' ורביע כמה יבא כמו כן

\scriptstyle{\color{blue}{91\sdot31=2821}}

תרבה צ"א פעמי' ל"א והם אלפיים ותתכ"א

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot31=7+\frac{3}{4}}}

ואחר אמור איזהו הרביע מל"א הוא ז' וג' רבעי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot91=45+\frac{1}{2}}}

ומה הוא החצי מצ"א והוא מ"ה וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}}}

ומהו החצי מן הרביע הוא שמינית

Rule of Three:

ואסוף עם אלפים ותתכ"א ויהיו אלפי' ותתע"ד וא' רביע וא' שמינית

וחלקם בכ' חלקי' ויהיו קמ"ג פשו' וג' רבעים וא' חלק מכ‫'
דהיינו קמ"ד פשו' פחות חומש וכה"ל

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{\left(91+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(31+\frac{1}{2}\right)}{20}=\frac{2821+\left(7+\frac{3}{4}\right)+\left(45+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{8}}{20}=\frac{2874+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}{20}\\&\scriptstyle\approx143+\frac{3}{4}+\frac{1}{20}=144-\frac{1}{5}\\\end{align}}}

Interest and Discount Problem

70) A certain amount produced 17 liṭra in one year at 3 pešuṭim for one liṭra a month.

How much was the money invested?

\scriptstyle X+\left(12X\sdot\frac{3}{12\sdot20}\right)=17

ע) חשבון אחר שבין קרן וריוח היו בשנה אחת י"ז ליט' לחשבון גפה"ה

כמה היה הקרן

תפוס חשבון אחד ואמור כ"ג ליט' לחשבון גפה"ה היו בסוף השנה כ' ליט' מקרן וג' ליט' מריוח

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{23:20=17:X}}

ואמור אם כ"ג היה כ' י"ז כמה היה

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{17\sdot20}{23}=\frac{340}{23}=14+\frac{15}{20}+\frac{\frac{15}{23}}{20}}}

14 liṭra and 15

\scriptstyle\frac{15}{23}

dinar

אמור י"ז פעמי' כ' ש"מ

חלקם על כ"ג יהיו י"ד ליט' וט"ו די' נוס' וט"ו חלקי' מכ"ג בפשוט וכה"ל

Pricing Problem - Find the Amount

71) One kikkar of leather for 21½ liṭra.

How much leather [can be bought] for 12¼ liṭra?

\scriptstyle\frac{100}{21+\frac{1}{2}}=\frac{X}{12+\frac{1}{4}}

עא) אם נשאלת בכ"א ליט' וחצי הככר מן העורות עבור י"ב ליט' ורביע כמה עורות יבא

False Position - denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(21+\frac{1}{2}\right)+\left(21+\frac{1}{2}\right)=43}}

עשה כ"א וחצי וכ"א וחצי ויהיו מ"ג וזהו המחלק

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot100=200}}

ואחר עשה ב' פעמי' ק' והם מאתיי‫'

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{200\sdot\left(12+\frac{1}{4}\right)}{43}=\frac{2450}{43}=56+\frac{42}{43}}}

ותרבה י"ב ליט' ורביע עם מאתיים ויהיו אלפיי' ות"נ

וחלק במ"ג חלקים ויהיו נ"ו עורות ומ"ב חלקי' ממ"ג מא' עור וכה"ל

How much leather [can be bought] for 71½ liṭra?

\scriptstyle\frac{100}{21+\frac{1}{2}}=\frac{X}{71+\frac{1}{2}}

ואם יאמר בע"א ליט' וחצי כמה עורות יבואו לו כמו כן

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{100\sdot2\sdot\left(71+\frac{1}{2}\right)}{\left(21+\frac{1}{2}\right)+\left(21+\frac{1}{2}\right)}=\frac{100\sdot143}{43}=332+\frac{24}{43}}}

תרבה ע"א ליט' וחצי עם ב' ויהיו קמ"ג ככרים

וחלק במ"ג ויהיו של"ב עורות וכ"ד חלקי' ממ"ג מא' עור וכה"ל

Divide a Quantity - Sharing Food

72) Two men sat down to eat.

One had two loaves of bread and the second had three [loaves of bread].

A third came and ate with them.

The three ate the five loaves of bread and after they ate and drank, the third who came to eat with them gave five pešiṭim for the two.

How should they share the [five pešiṭim]?

\scriptstyle\left[\left(2-\frac{5}{3}\right)\sdot X\right]+\left[\left(3-\frac{5}{3}\right)\sdot X\right]=5

עב) ב' אנשים היו יושבים לאכול

לאחד יש לו ב' לחמים ולשני ג‫'
בא השלישי והיסב לאכול עמהם ואכלו כן שלשתם אלו הה' לחמים
לאחר שאכלו ושתו נתן השלשי שבא לאכול עמהם הפ' לאותם השנים
היאך יחלקום

each ate

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}}}

loaves of bread

אמור כמה חלקי' מן הלחם אכל כל אחד ואחד א' לחם וב' שלישיות

the one who had 2 loaves of bread lost

\scriptstyle{\color{blue}{2-\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}}}

of a loaf

א"כ אותו שהיו לו ב' לחמים ואכל א' לחם וב' שלשיות לא הפסיד כי אם שליש לחם

the one who had 3 loaves of bread lost

\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(1+\frac{2}{3}\right)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}}}

of a loaf

ואותו שהיו לו ג' לחמים ואכל א' לחם וב' שלשיות הפסיד א' לחם ושליש דהיינו ד' שלשיות

the one who had 2 loaves of bread will receive:

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=1}}

pašuṭ

א"כ אותו שהיו לו ב' לחמי' יקבל א"פ

the one who had 3 loaves of bread will receive:

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=4}}

pešiṭim

והאחר יקבל ד"פ

Find a Number Problems - Multiplication of fractions

Fractions by Fractions

73) How much are four fifths by four fifths?

\scriptstyle\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}

עג) אם ישאלך אדם כמה הוא ד' חמשיות על ד' חמשיות

\scriptstyle\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}

תאמר אם היה שואל א' חמישית על א' חמישית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{5\sdot5}=\frac{1}{25}}}

הייתה אומר ה' פעמי' ה' כ"ה והיה עולה א' חלק מכ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{4\sdot4}{25}=\frac{16}{25}}}

ועתה שהוא שואל ד' חמשיות על ד' חמשיות עדיין תאמ' ד' פעמי' ד' י"ו נמצא שיבא י"ו חלקי' מכ"ה

74) How much are seven ninths by four sevenths?

\scriptstyle\frac{7}{9}\times\frac{4}{7}

עד) אי"א כמה הוא ז' תשיעיות על ד' שבעיות

\scriptstyle\frac{1}{9}\times\frac{1}{7}

תאמ' אם היה שואל א' תשיעית על א' שבעית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\times\frac{1}{7}=\frac{1}{7\sdot9}=\frac{1}{63}}}

הייתה אומ' ז' פעמ' ט' הם ס"ג נמצא שהיה עולה א' חלק מס"ג

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}\times\frac{4}{7}=\frac{7\sdot4}{63}=\frac{28}{63}}}

ועתה שהוא שואל ז' תשעיות על ד' שבעיות עדיין תאמ' ז' פעמ' ד' כ"ח נמצא שיבא כ"ח חלקי' מס"ג וכה"ל

Integers and Fractions

How much are three integers and two fifths by two integers and four sevenths?

\scriptstyle\left(3+\frac{2}{5}\right)\times\left(2+\frac{4}{7}\right)

אי"א ג' שלמים וב' חמשיות על ב' שלמים וד' שבעיות כמה הוא

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2=6}}

תאמ' ג' פעמ' ב' הם ו' שלמים

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\frac{4}{7}=\frac{12}{7}=1+\frac{5}{7}=1+\frac{25}{35}}}

אח"כ תאמר ג' פעמ' ד' שבעיות הם י"ב שהוא אחד שלם וה' שבעיות שהוא כ"ה חלקי' מל"ה

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\frac{2}{5}=\frac{4}{5}=\frac{28}{35}}}

אח"כ תאמ' ב' פעמ' ב' חמשיות הם ד' חמשיות שהם כ"ח חלקי' מל"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot\frac{4}{7}=\frac{8}{35}}}

ואחרי כן תאמ' ב' חמשיות על ד' שבעיות הוא ח' חלקי' מל"ה

צרף כלם יחד יבא ח' שלמים וכ"ו חלקי' מל"ה וכן יבא וכה"ל

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{2}{5}\right)\times\left(2+\frac{4}{7}\right)=6+\left(1+\frac{25}{35}\right)+\frac{28}{35}+\frac{8}{35}=8+\frac{26}{35}}}

75) How much are one integer and five sevenths by one integer and four fifths?

\scriptstyle\left(1+\frac{5}{7}\right)\times\left(1+\frac{4}{5}\right)

עה) אי"א א' וה' שבעיות על א' וד' חמשיות כמה הוא

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot1=1}}

אמור א' פעם א' א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot\frac{4}{5}=\frac{28}{35}}}

א"כ תאמ' א' פעם ד' חמשיות הם כ"ח חלקי' מל"ה

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot\frac{5}{7}=\frac{25}{35}}}

אח"כ תאמ' א' פעם ה' שבעיות הם כ"ה חלקי' מל"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{7}=\frac{20}{35}}}

אחר כן תאמ' ד' חמשיות על ה' שבעיות הם כ' חלקי' מל"ה

צרפם יחד יבא ג' שלמים וג' חלקי' מל"ה וכה"ל

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{5}{7}\right)\times\left(1+\frac{4}{5}\right)=1+\frac{28}{35}+\frac{25}{35}+\frac{20}{35}=3+\frac{3}{35}}}

Multiple Quantities - Coins that Worth an Amount of Money

76) Four coins are worth all in all 80 pešuṭim:

The first is equal to a half and a sixth of the second.

What is left from the second equals two thirds of the third.

The third is equal to a third, a quarter, and a sixth of the first.

The fourth is equal to four fifths of the third.

How much is each [of the coins] worth?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4=80\\\scriptstyle a_1=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\\\scriptstyle a_2-\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\right]=\frac{2}{3}a_3\\\scriptstyle a_3=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_1\\\scriptstyle a_4=\frac{4}{5}a_3\end{cases}

עו) הרי שיש לך ד' מטבעות ששוים סך ארבעתם פ' פשוטי‫'

והראשון שוה החצי והשתות מן השני
הנשאר מן השני הם ב' שלישיות מן השלשי
והשלשי הוא שליש ורביע ושתות מן הראשון
והרבעי הוא ד' חמשים מהשלשי
ותרצה לידע כמה שוה כל אחד ואחד

עשה על זה הדרך אמור הראשון ששוה החצי והשתות מן השני

אמור חצי ושתות אנה ימצא בו‫'

החצי הוא ג' השתות הוא א‫'
הרי ד' חלקי' מו‫'
שהם ב' שלשיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)}{6}=\frac{3+1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2=\frac{2}{3}a_2}}

א"כ זה ששוה חצי ושתות מן השני הוא כאלו אמר הראשון שוה ב' שלשיות מהשני

והשלשי ששוה שליש ורביע ושתות מן הראשון

אמור אנה ימצא שליש ורביע ושתות בס‫'

השליש הוא כ' הרביע ט"ו והשתות י‫'
הרי למ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)}{60}=\frac{20+15+10}{60}=\frac{45}{60}}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{45}{60}a_1=\frac{3}{4}a_1}}

א"כ השלשי ששוה שליש ורביע ושתות מן הראשון שהם מ"ה חלקי' מס' הוא כאלו אמר ג' רבעיות מן הראשון

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{4}{5}a_3}}

והרבעי ששוה ד' חמשיות מהשלשי הוא מבואר

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=\frac{2}{3}a_2\\\scriptstyle a_3=\frac{3}{4} a_1\\\scriptstyle a_4=\frac{4}{5}a_3\end{cases}}}

א"כ הסדר כך הוא הראשון ששוה ב' שלשיות מהשני

והשלשי שוה ג' רבעיות מן הראשון
והרבעי שוה ד' חמשים מהשלשי

False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{b_2=60}}

אמור תחלה השברים הנז' בזה החשבון הם חצי ושליש ורבע וחומש ושתות וימצאו כלם בס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle b_2=60\\\scriptstyle b_1=\frac{2}{3}b_2=\frac{2}{3}\sdot60=40\\\scriptstyle b_3=\frac{3}{4}b_1=\frac{3}{4}\sdot40=30\\\scriptstyle b_4=\frac{4}{5}b_3=\frac{4}{5}\sdot30=24\end{cases}}}

א"כ השני הוא ס‫'

והראשון שהוא שוה ב' שלשיות מן השני שהוא ס' הוא מ' כי מ' הוא ב' שלשיות מס‫'
והשלשי ששוה ג' רבעיות מהראשון שהוא מ' א"כ הוא ל' כי ל' הם ג' רבעיות ממ‫'
והרבעי ששוה ד' חמשיות מהשלשי שהוא ל' הוא כ"ד כי כ"ד הוא ד' חמשיות מל‫'

\scriptstyle{\color{blue}{b_2-b_1=60-40=20=\frac{2}{3}\sdot30=\frac{2}{3}b_3}}

והנשאר מהשני שהוא ב' שלשיות מהשלשי

עשה על זה הדרך אמור כמה נשאר מן השני שהוא ס' אחר שהוצאת ממנו הראשון שהוא מ' נשארו כ‫'
א"כ כ' שהוא הנשאר מהשני הם ב' שלשיות מן השלשי שהוא ל‫'
כי כ' הם ב' שלשיות מל‫'

denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{b_1+b_2+b_3+b_4=40+60+30+24=154}}

הרי שהראשון הוא מ' והשני הוא ס' והשלשי ל' והרבעי כ"ד צרף אותם יחד יעלו קנ"ד והוא המחלק

Rule of Three: $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{40\sdot80}{154}=\frac{3200}{154}=20+\frac{120}{154}}}$

ואם תרצה לידע כמה שוה הראשון שהוא מ‫'

אמור מ' פעמ' פ' בעבור שכלם שוים פ' יהיו ג' אלפי' ומאתיים
חלקם בקנ"ד יבאו כ' וק"כ חלקי' מקנ"ד

the same for the others

ובזה הדרך תעשה מן האחרים ויצא לך הענין השוה וכה"ל

Find a Number Problems - Sums

77) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

\scriptstyle1+2+3+4+5+6+7+8=\sum_{i=1}^{8} i

עז) א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח‫'

[the number of items] is divisible by 2 = last term is even:

\scriptstyle n=2m

שהם נחלקי' לחצי

\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=\frac{1}{2}n\sdot\left(n+1\right)

תוסיף א' על הסך ותרבה אותו על החצי

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^8 i=\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\sdot\left(8+1\right)=4\sdot9=36}}

ואמור ד' פעמ' ט' ל"ו וכן יהיה מספרם ל"ו וכה"ל

78) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

\scriptstyle1+2+3+4+5+6+7=\sum_{i=1}^{7} i

עח) א' ב' ג' ד' ה' ו' ז‫'

[the number of items] is indivisible by 2 = last term is odd:

\scriptstyle n=2m+1

שאינם נחלקים לחצי

\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n+1\right)\right]\sdot n

תפוס הרוב ותרבה אותו על הסך

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^7 i=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(7+1\right)\right]\sdot7=4\sdot7=28}}

ע"ח ואמור ד' פעמ' ז' כ"ח וכה"ל

79) 1, 3, 5, 7, 9 - that are odds

\scriptstyle1+3+5+7+9=\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)

עט) א' ג' ה' ז' ט' שהם פרדים

\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=n^2

תרבה הרוב בעצמו

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^5 \left(2i-1\right)=5^2=25}}

ואמור הרוב מט' הוא ה' ואמ' ה' פעמ' ה' כ"ה וכן יבאו וכה"ל

80) 2, 4, 6, 8 - that are evens

\scriptstyle2+4+6+8=\sum_{i=1}^{4} 2i

פ) ב' ד' ו' ח' שהם כלם זוגות

\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=n\sdot\left(n+1\right)

תרבה חציים על הבא לאחריו

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^4 2i=4\sdot\left(4+1\right)=4\sdot5=20}}

ואמור החצי מח' ד' ואמור ד' פעמ' ה' הם כ' וכן יבא וכה"ל

Find a Number Problem - Multiplication of integers and fractions

81) How much are one integer and a quarter by one integer and a fifth?

\scriptstyle\left(1+\frac{1}{4}\right)\times\left(1+\frac{1}{5}\right)

פא) אם ישאלך אדם א' ורביע על א' וחמישית כמה הוא

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot1=1}}

אמור תחלה א' פעם א' א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(1\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{9}{20}}}

אח"כ תאמ' פעם אחת רביע ופעם אחת חמישית הם ט' בנטיני‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{20}}}

אחר כך תאמ' א' רביע על א' חמישית הוא א' חלק מכ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{4}\right)\times\left(1+\frac{1}{5}\right)=1+\frac{9}{20}+\frac{1}{20}=1+\frac{10}{20}=1+\frac{1}{2}}}

נמצא שיבא הכל א' וי' בנטיני' דהיינו א' וחצי

Interest and Discount Problems

Find the Earned Interest

82) One liṭra yields so and so pešuṭim a month.

How much is the profit of 100 liṭra for a year?

\scriptstyle\frac{a}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{12\sdot100}

פב) אם ישאלך אדם הלותי מעות לחשבון כך וכך פשו' החדש הליט‫'

כמה יעלה ריוח בק' ליט' א' שנה

\scriptstyle X=a\sdot5

תרבה ה' פעמ' כנגד המעות שירויח הליט' החדש

I lent 100 liṭra for one [year] at 7 pešuṭim for one liṭra a month

\scriptstyle\frac{7}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{12\sdot100}

המשל בזה הרי שהלוית ק' ליט' א' חדש לחשבון ז"פ החדש הליט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{x=5\sdot7=35}}

liṭra

תאמ' ה' פעמ' ז' ל"ה נמצא שיבא הק' ליט' השנה ל"ה ליט' וכה"ל

Compound Interest

83) Summing several loans for different times and converting them to one time

פג) מי שרוצה לקבץ חשבונות הלוואות רבים שנעשו בזמנים שונים להביאם בזמן אחד

(Sum of the months)÷(Number of loans)

יקבץ חשבונות החדשים כלם ויחלקם כחשבון המעות או הפרחי' או כמטבע ההלוואות ההם

I lent 100 peraḥim of gold for a month, 100 peraḥim for two months, 100 peraḥim for three months, 100 peraḥim for four months, and 100 peraḥim for five months

המשל בזה הרי שהלוית ק' פרחי' זהב א' חדש וק' פרחי' ב' חדשים וק' פרחי' ג' חדשי' וק' פרחי' ד' חדשי' וק' פרחי' ה' חדשי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{15}{5}=3}}

= 5 kikkar for 3 months

עשה כן אחד ושנים ושלשה וארבעה וחמשה שהם החדשי' הרי ט"ו

חלקם בסכום המעות שהם ה' יגיע לכל חלק מהם ג‫'
הרי שעמדו כלם ג' חדשי‫'

וכן הדומה לכל מטבע ולכל מ וכה"ל

Find the Earned Interest

84) The one who wants to know for one kikkar at so and so [a year], how much will be [the interest] a month?

\scriptstyle\frac{20\sdot a}{100}=\frac{X}{b}

פד הרוצה לידע לחשבון כך וכך הככר כמה יבואו קצתם לחדש

Rule of Three: multiply the interest of the kikkar by the amount of money you want, then divide by five and the resulting quotient is [the interest] per month for the amount you want.

\scriptstyle X=\frac{b\sdot a}{5}

תרבה חשבון הככר כסכום המעות שתרצה וחלקם בחמשה והחלק שיצא יגיע לכל חדש כסכום ההוא

Example: At 7 liṭra for one kikkar a year: how much will 30 liṭra yield a month or two months or more?

\scriptstyle\frac{20\sdot7}{100}=\frac{X}{30}

המשל בזה לחשבון ז' ליט' הככר לשנה כמה יבא ל' ליט' חדש אחד או ב' חדשי' או יותר

Multiply 30 by 7; it is 210.

תרבה ל' בז' והם ר"י

Divide by five; each part is 42.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{30\sdot7}{5}=\frac{210}{5}=42}}

חלקם בחמשה יגיע לכל חלק מהם מ"ב

So, [the interest is] 42 pešuṭim a month.

הרי שבמב"פ יבא לכל לחדש אחד

Then, multiply by [the number of] months you want and you will get the answer.

אחרי כן תרבה החדשים שתרצה ויצא לך הענין וכה"ל

Multiple Quantities Problem - Five Weights

85) The butcher sells meat but he has only five weights summed up together to 121 liṭra.

How much should each of the weights weigh, so that the butcher will be able to weigh the meat with these weights be it light or heavy?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\sum_{i=1}^5 a_i=121\\\scriptstyle a_i=3^{i-1}\\\scriptstyle a_i:a_{i+1}=a_{i+1}:a_{i+2}\end{cases}

פה אם הקצב מוכר בשר ואין לו רק ה' משקלות ששוקלות בין כולם קכ"א ליט‫'

כמה ישקול כל משקל לעצמו שיוכל הקצב לשקול הבשר באלו המשקלות למי רב ולמי מעט

So, if someone wants to buy 121 liṭra of meat, he puts all the weights against the meat.

שמי שירצה לקנות קכ"א ליט' בשר ישים כל המשקלות כנגד הבשר

If he wants to buy 50 liṭra of meat, or more or less, he puts as many weights in the scales against the meat, so that they will weigh as much as the meat he wants to buy.

ואם ירצה לקנות נ' ליט' בשר או יותר או פחות ישים כל כך משקלות בצד המאזנים שכנגד הבשר שישקלו כמו הבשר שהוא רוצה לקנות

If there is no balance, he changes the weights.

ואם לא יבא בכיוון יחליף המשקלות

Sometimes he must put one, or two, or three weights with the meat against one weight to fulfill the buyer's wish.

ולפעמים צריך שישים אחד ושנים ושלשה משקלות עם הבשר כנגד משקל אחד להפיק רצון הקונה

Now, I ask you: How much does each weight weigh by itself?

ועתה אשאלך כמה ישקול כל משקל לעצמו

One weighs 1 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1}}

האחד ישקול א' ליט‫'

The second weighs 3 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=3}}

והשני ישקול ג' ליט‫'

The third - 9 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=9}}

והשלישי ט' ליט‫'

The fourth - 27 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=27}}

והרבעי כ"ז ליט‫'

The fifth - 81 liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{a_5=81}}

והחמשי פ"א ליט‫'

Add them together; they are 121 liṭra, no less and no more.

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+9+27+81=121}}

צרפם יחד יהיו קכ"א ליט' לא פחות ולא יותר

With these weights the butcher can sell as he wishes, to some a lot and to some a little.

ובאלו המשקלות יוכל הקצב למכור כרצונו למי רב ולמי מעט וכה"ל

Guessing - coins

86) Three different coins [gold, silver, and copper, given] to three different people: give the first one pašuṭ, the second two [pešuṭim], and the third four [pešuṭim].

The one who has the largest coin should multiply his share [= the number of the pešuṭim he has] by 4, the second by 3, and the one who has the smallest coin should double his share once.

Then they should sum up [the products] and cast out the sevens from the result

פו חשבון הג' מטבעות שונות לג' אנשים שונים להגידם לראשון תן א"פ ולשני ב' ולשלשי ד‫'

ובעל המטבע הגדול יכפול חלקו ד' פעמ' והשני ג' פעמים ‫^[7]ובעל המטבע הקטן יכפול חלקו פעם אחד
ויקבצום וישלכום ז"ז

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(2\sdot1\right)+\left(4\sdot2\right)+\left(3\sdot4\right)\right]\bmod7=}}

1 → copper, gold, silver.

וסימן א' כסף זהב נחשת

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(3\sdot1\right)+\left(2\sdot2\right)+\left(4\sdot4\right)\right]\bmod7=}}

2 → silver, copper, gold.

ב' זהב נחשת כסף

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(2\sdot1\right)+\left(3\sdot2\right)+\left(4\sdot4\right)\right]\bmod7=}}

3 → copper, silver, gold.

ג' זהב כסף נחשת

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(4\sdot1\right)+\left(3\sdot2\right)+\left(2\sdot4\right)\right]\bmod7=}}

4 → gold, silver, copper.

ד' נחשת כסף זהב

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(3\sdot1\right)+\left(4\sdot2\right)+\left(2\sdot4\right)\right]\bmod7=}}

5 → silver, gold, copper.

ה' נחשת זהב כסף

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(4\sdot1\right)+\left(2\sdot2\right)+\left(3\sdot4\right)\right]\bmod7=}}

6 → gold, copper, silver.

ו' כסף נחשת זהב וכה"ל

Payment Problem - three workers, three different daily wages, the same actual payment

87) A man hired three brothers – Reuven, Shimon, and Levi – to do his work for 20 days from morning until evening, any one of them in turns so that the work will not cease.

If Reuven works all the days he will pay him 5 zehuvim; if Shimon – 4, if Levi – 3.

They all worked during the 20 days and he was sitting and watching over them: how many hours and parts of hours each of them is working a day.

Finally, he paid each of them an equal share.

How much is the share of each of them?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{5}{20}X=\frac{4}{20}Y=\frac{3}{20}Z\\\scriptstyle X+Y+Z=20\end{cases}

פז אדם שכר ג' אחים ראובן שמעון לוי שיעשו עבודתו כ' ימים מן הבקר עד הערב מאיזה מהם שיהיה ולא תשבות המלאכה

והנה אם עבד ראובן כל הימים יתן לו ה' זהובים ואם שמעון ד' ואם לוי ג‫'
והנה בין כלם עבדו הכ' שנים ימים והוא יושב ושומר עליהם כמה שעות ביום עבד כל אחד מהם וכמה חלקי שעות
והנה באחרונה נתן לכל אחד מהם חלק שוה
נרצה לדעת כמה החלק של כל אחד

Know that Reuven is paid one zahuv for 4 days.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}=4}}

דע כי ראובן ישמש ד' ימים בזהוב אחד

Shimon [is paid one zahuv] for 5 days.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{4}=5}}

ושמעון ה' ימים

Levi [is paid one zahuv] for 6 days and 2-thirds of a day.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{3}=6+\frac{2}{3}}}

ולוי ו' ימים וב' שלישיות יום

The total is 15 days and 2-thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{4+5+\left(6+\frac{2}{3}\right)=15+\frac{2}{3}}}

days

והנה הכל ט"ו ימים וב' שלישיות אחד

We divide 20 by this number; the result is one integer; 4 integers and a third remain.

נחלק כ' על זה המספר ועלה אחד שלם ונשארו ד' שלמים ושלישית

We convert all into thirds because of the third:

והנה בעבור השלישית נשים הכל שלישיות

We convert the 20 days into 60-thirds; the 15 and 2-thirds into 47-thirds; and the 4 and a third into 13.

והנה נשיב הכ' ימים ס' שלשיות והט"ו וב' שלישיו' מ"ז שלשיות והד' ושלישית י"ג

So, each one was paid one zahuv and 13 pešuṭim.

והנה כל אחד לקח זהוב אחד וי"ג פשו' ממטבע מ"ז בזהוב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{15+\frac{2}{3}}=1+\frac{4+\frac{1}{3}}{15+\frac{2}{3}}=\frac{\frac{60}{3}}{\frac{47}{3}}=1+\frac{\frac{13}{3}}{\frac{47}{3}}=1+\frac{13}{47}}}

Now, we check how much each must work, so that they complete the 20 days.

ועתה נבקש כמה חייב כל אחד לעבוד עד שישלימו הכ' ימים

We start with Levi, who has to work 6 days and 2-thirds for the zahuv he is paid.

והנה נחל מלוי שחייב לשמש בזהוב שלקח ו' ימים וב' שלישיות

We convert them into thirds; they are 20.

ונעשה מאלו שלשיות ויהיו כ‫'

We want to know how much he must work for the 13 pešuṭim he received:

ונבקש לדעת כמה יש לו לעבוד בעבור יג"פ שלקח

We multiply 13 by 20; it is 260.

כפלנו י"ג על כ' היו ר"ס

We divide it by 47; the result is 5 and 25 parts remain.

חלקנום על מ"ז עלו ה' נשארו כ"ה חלקי‫'

We add 5 to 20; they are 25-thirds and 25 parts of 47.

חברנו ה' עם כ' היו כ"ה שלשיות וכ"ה חלקי' ממ"ז

We divide the thirds by 3; the result is 8 integers and one remains.

חלקנו אלו השלישיות על ג' עלו ח' שלמים ונשאר אחד

We consider it as 4 hours, which are a third of a day.

נקח לו ד' שעות שהם שלישית יום

We multiply 25 by 4; the result is 100.

נכפול כ"ה על ד' עלו ק‫'

We divide it by 47; the result is 2 hours and 6 parts remain.

נחלקם על מ"ז עלו ב' שעות ונשארו ו' חלקי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{20}{3}=\frac{20}{3}+\frac{\frac{13\sdot20}{47}}{3}=\frac{20}{3}+\frac{\frac{260}{47}}{3}=\frac{20}{3}+\frac{5}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=\frac{25}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}\\&\scriptstyle=8+\frac{1}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot25}{47}}{12}=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{100}{47}}{12}\\&\scriptstyle=8+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}=8+\frac{6}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}\\\end{align}}}

So, Levi worked 8 days, 6 hours and 6 parts [of 47].

והנה לוי עבד ח' ימים ו' שעות ו' חלקי‫'

We want to know how much Shimon worked, who has to work 5 days, which is 15-thirds, for the zahuv he is paid.

\scriptstyle{\color{blue}{5=\frac{15}{3}}}

נבקש לדעת כמה עבד שמעון הוא חייב לעבוד בעבור הזהוב ה' ימים שהם ט"ו שלישיות

We want to know how much he must work for the 13 pešuṭim he received:

ונבקש לדעת כמה יעבוד בעבור יג"פ שלקח

We multiply 13 by 15; the result is 195.

נכפול י"ג על ט"ו עלו קצ"ה

We divide it by 47; the result is 4 and 7 parts remain.

נחלקם על מ"ז יעלו ד' ונשאר ז' חלקי‫'

We add 4 to 15, because they are thirds; they are 19-thirds.

נחבר הד' אל הט"ו כי שלשיות הם יהיו י"ט שלשיות

We divide them by 3; they are 6 whole days.

נחלקם על ג' יהיו ו' ימים שלמים

We consider the one that remains as 4 hours.

ונקח לאחד הנשאר ד' שעו‫'

We also multiply 7 by 4; it is 28.

גם נכפול ז' על ד' יהיו כ"ח

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot5&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{15}{3}=\frac{15}{3}+\frac{\frac{13\sdot15}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{\frac{195}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{4}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=\frac{19}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}\\&\scriptstyle=6+\frac{1}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot7}{47}}{12}=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{28}{47}}{12}\\\end{align}}}

So, Shimon worked 6 days, 4 hours and 28 parts [of 47].

והנה הם ו' ימים וד' שעות וכ"ח חלקי' וככה עבד שמעון

We want to know how much Reuven must work: he must work 4 days for the one zahuv, which are 12 thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{4=\frac{12}{3}}}

נבקש לדעת כמה עבד ראובן והנה עבד בשביל הזהוב ד' ימים שהם י"ב שלשיות

We extract the ratio for the 13 pešuṭim he received:

ונעשה בעבור היג"פ שלקח הערך

We multiply 13 by 12; the result is 156.

נפ נכפול י"ג על י"ב עלו קנ"ו

We divide it by 47; the result is 3 and 15 parts remain.

נחלקם על מ"ז עלו ג' ונשארו ט"ו חלקים

We add 3 to the 12 we have; they are 15-thirds.

חברנו אלו הג' עם הי"ב שהיו לנו היו ט"ו והם שלשיות

So, he worked 5 days.

והנה עבד ה' ימים

We also multiply the 15 parts by 4; the result is 60.

גם הט"ו חלקי' נכפול על ד' עלו ס‫'

We divide it by 47; the result is one hour and 13 parts of an hour remain in which Reuven worked.

נחלקם על מ"ז עלתה שעה אחת ונשארו י"ג חלקי' משעה שעבד ראובן

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot4&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{12}{3}=\frac{12}{3}+\frac{\frac{13\sdot12}{47}}{3}=\frac{12}{3}+\frac{\frac{156}{47}}{3}=\frac{12}{3}+\frac{3}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}\\&\scriptstyle=5+\frac{\frac{15}{47}}{3}=5+\frac{\frac{4\sdot15}{47}}{12}=5+\frac{\frac{60}{47}}{12}=5+\frac{1}{12}+\frac{\frac{13}{47}}{12}\\\end{align}}}

Check: When you add up these parts, the result is one hour, no more and no less.

וכאשר תחבר אלה החלקי' יעלה מהם שעה אחת בלי תוספת ומגרעת

When you add this hour to the mentioned hours, they are 12 hours, which is one day.

וכאשר תחבר שעה זו לשעות הנזכרות יהיו י"ב שעות שהוא יום אחד

When you add this day to the mentioned days, they are 20 days, no more and no less.

וכאשר תחבר היום לימים הנז' יהיו כ' ימים בלי תוספת ומגרעת וכה"ל

\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{6}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}\right)+\left(6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{28}{47}}{12}\right)+\left(5+\frac{1}{12}+\frac{\frac{13}{47}}{12}\right)=20}}

Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Inheritance

88) Jacob died.

Reuven issued a deed with two witnesses, according to which his father Jacob has given him all the property he had and instructed so in case of death.

His son Shimon issued a deed as well according to which half of his property should be granted to him.

His son Levi also issued a deed according to which a third of his property should be given to him.

His son Yehudah too issued a deed according to which a quarter of his property should be granted to him.

All of them are writing this in Jerusalem in the same day, the same time, the same hour

פח שאלה יעקב מת

והוציא ראובן שטר בשני עדים כשרים שנתן לו יעקב אביו כל ‫^[8]הממון שהיה לו וציוה כן מחמת מיתה
גם הוציא שמעון בנו שטר שיינתן לו חצי ממונו
גם הוציא לוי שטר שינתן לו שליש ממונו
גם הוציא יהודה שטר שינתן לו רביע ממונו
וכולם ביום אחד וזמן אחד ושעה אחת ברושלים שכותבים בו שעות

Three methods to divide the property between the four sons each according to his relative portion:

The sages of Israel divide it according to the request of each.

והנה חכמי ישראל מחלקים אותו על דרך בקשת כל אחד

The Gentile sages - according to the ratio of each share.

וחכמי הגוים על דרך ערך הממון של כל אחד

The arithmeticians consider the property as a whole, so when you add to it its half, its third, and its quarter, the total is two and half a sixth.

\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=120

\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}

וחכמי החשבון יחשבו כי הממון היה אחד וכאשר תחבר אליו חציתו ושלשיתו ורבעיתו יהיו הכל שנים וחצי ששית

False Position: We suppose the whole is 60, which has all the mentioned parts; their sum is 125.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot60=125}}

והנה נשים האחד שלם ס' שיש לו כל החלקי' הנז' ויהיו בין הכל קכ"ה

Another false position: Or, we suppose the whole is 12, and the [sum of the] mentioned fractions is 13.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot12=12+13}}

או נשים האחד שלם י"ב והשברים הנז' י"ג

The result, for whichever you take, will be the same.

ושוה יצא המספר באחרונה אי זה מהם שתקח

Now, we look how much Reuven will take according to the value of his share: we extract the ratio from 60, as he ask for the whole property. We suppose the property is 10 dinar that are 120 pešuṭim.

ועתה נבקש כמה יקח ראובן לפי ערך ממונו ונעשה הערך ככה על דרך ס' כי הוא מבקש כל הממון ונעשה כי הממון י' די' שהם ק"כ פ‫'

This is the diagram of the share that Reuven takes:

וזה צורת ערך הממון שיקח ראובן

0	60
120	125

‫0	‫0ו
‫0בא	הבא

Rule of Three: We multiply the extremes; the result is 7200. We divide it by 125; the result is 57 pešuṭim and 75 parts and this is Reuven's share.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot120}{125}=\frac{7200}{125}=57+\frac{75}{125}}}

כפלנו הקצוות עלו ז' אלפי' ור‫'

חלקנום על קכ"ה עלו נ"ז פשו' וע"ה חלקי' וזה חלק ראובן

This is the diagram of Shimon's share:

וזה צורת ערך שמעון

0	30
120	125

‫0	‫0ג
‫0בא	הבא

Rule of Three: We multiply the extremes and divide according to the rule.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot120}{125}}}

נכפול הקצוות ונחלק כמשפט

This is the diagram of Levi's share:

וזה צורת חלק לוי

0	20
120	125

‫0	‫0ב
‫0בא	הבא

Rule of Three: We multiply and divide according to the rule.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20\sdot120}{125}}}

ונכפול ונחלק כמשפט

This is the diagram of Yehudah's share:

וזו צורת חלק יהודה

0	15
120	125

‫0	הא
‫0בא	הבא

Rule of Three: We multiply and divide according to the rule.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15\sdot120}{125}}}

ונכפול ונחלק כמשפט

Another shorter method [according to the Gentile sages]:

ענין אחר בדרך קצרה

Shimon takes a half of Reuven's share.

יקח שמעון חצי חלק ראובן

Levi takes a third of Reuven's share.

ולוי יקח שליש חלק ראובן

Yehudah takes a quarter of Reuven's share.

ויהודה יקח רביע חלק ראובן

When you sum up all these fractions and the integers, they are 120 pešuṭim that are 10 dinar.

וכאשר תחבר אלו כל החלקי' והשלמים יהיו ק"כ פ' שהם י' די‫'

According to the method of the sages of Israel:

ועל דרך חכמי ישראל

The three older brothers say to Yehudah: you are only appealing about 30 pešuṭim and the appeal of each of us is the same about them, so take 7 and a half, which is a quarter and leave us.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot30=7+\frac{1}{2}}}

יאמר הג' אחים הגדולים ליהודה אין אתה מערער רק על ל"פ וערעור כל אחד ממנו שוה בהם קח ז' וחצי שהוא הרבעית ולך מעמנו

Each of the three brothers takes the same also.

וכמו כן יקח כל אחד מהג' אחים

Then, Reuven says to Levi: you are only appealing about 40 pešuṭim and you have already taken your share from the 30 the four of us shared, so take a third of 10, which is a quarter of 40 and leave us.

ועוד יאמר ראובן ללוי אין אתה מערער רק על מ"פ וכבר לקחת חלקך מהל' שהארבעתינו חלקנו עליו

קח אתה שלישית י' שהוא רבעית מ' ולך מעמנו

Hence, Levi's share is 10 pešuṭim and 5-sixths, because the half from the 7 and a half he already took is 3-sixths and the third from the 10 are 2-sixths, so they are 5-sixths

והנה חלק לוי י' וה' ששיות פשוטי כי החצי מן הז' וחצי שלקח כבר הם ג' ששיות ושליש אחד מן הי' הם ב' ששיות הרי ה' ששיות

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)=\left(7+\frac{3}{6}\right)+\left(3+\frac{2}{6}\right)=10+\frac{5}{6}}}

Reuven also says to Shimon: you are only appealing about one half, which is 60; all the other half is mine; and you have already taken your share from the 40, so take half of the appeal that remains between you and me, and leave me.

גם ראובן יאמ' לשמעון אין אתה מערער רק על חצי האחד שהוא ס' וחצי האחר כולו שלי וכבר לקחת חלק מהמ' והנה שנשאר בינך ובני הערעור קח חציים ולך מעלי

So, Shimon's share is 20 pešuṭim and 5-sixths.

והנה חלק שמעון כ' וה' ששיות פשוט

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]=20+\frac{5}{6}}}

Reuven's share is 80 pešuṭim and 5-sixths.

וחלק ראובן פ' וה' ששיות פשוט

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot120\right)=80+\frac{5}{6}}}

When you sum up all these shares, they are 10 dinar.

וכאשר תחבר אלו החלקי' יהיו י' די' וכה"ל

Geometrical Problems
Triangulation Problem - Two towers
89) two towers, one is 15 cubits tall and the other is 12 cubits tall. There are two pigeons there, [one pigeon at the top of each tower], and between them a spring. [The pigeons] arrive to the spring at the same moment. How far are the towers from each other and where is the place of the spring? $\scriptstyle15^2+a^2=12^2+b^2$	פט ב מגדלים אחד גבוה ט"ו אמות ואחד גבוה י"ב אמות ושם ב' יונים ומעיין אחד ביניהם ומגיעים ברגע אחד במעיין כמה מרוחקים המגדלים זה מזה ואנה מקום המעיין

Suppose the distance between them is the same as the measure of both heights, i.e. 12 plus 15, which is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{12+15=27}}$	שים הרוחק שבניהם כמדת גובה שתיהם דהיינו י"ב וט"ו שהם כ"ז
Divide 27 into 12 and 15. $\scriptstyle{\color{blue}{27=12+15}}$	וחלק כ"ז לי"ב ולט"ו
Give the 15 to the tower that is 12 cubits high.	ושים הט"ו אצל המגדל שהוא גבוה י"ב
Give the 12 to the tower that is 15 cubits high.	ושים הי"ב אצל המגדל שהוא גבוה ט"ו
The place of the spring is 12-15 cubits from the bases [of the towers].	ובגבול הט"ו והי"ב מן התושבת שם המעיין וכה"ל
Rectangle
Figure Problem - Side; Diagonal; Area – Rectangle
90) Question: a rectangle, its diagonal together with its one side are 18, and its other side is 6. How much are its area, its diagonal and its side that is summed with the diagonal?	צ שאלה מרובע ארוך אשר אלכסונו עם צלעו האחד י"ח וצלעו השנית ו‫' כמה הוא ריבועו ואלכסונו וצלעו המנויה עם האלכסון
[this figure does not appear in the text]
The one who answers this question squares the known side, which is 6; its square is 36.	והמשיב על השאלה הזאת ‫^[9]ירבע את הצלע הידועה והוא ו' ויהיה רביעו ל"ו
He divides it by the sum of the diagonal and the second side, which is 18; the quotient is 2.	ויחלקם על מניין האלכסון והצלע השנית שהוא י"ח ותהיה החלוקה ב‫'
He adds 2 to 18; it is 20.	ויוסיף ב' על י"ח ויהיו כ‫'
So, he knows that half 20 is the diagonal.	וידע כי מחצית כ' הוא האלכסון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{6^2}{18}\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{36}{18}\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(18+2\right)=\frac{1}{2}\sdot20}}$
The remainder from 18 is the second side; it is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{18-10=8}}$	והנשאר מי"ח הוא הצלע השנית והוא ח‫'
Their product, 8 by 6, is the area. $\scriptstyle{\color{blue}{8\times6}}$	ורבועם ח' בו' והוא התשבורת
Quadrangle
Figure Problem - Area - Quadrangle
91) A quadrangle whose sides are not equal - its length is not equal to its breadth, the one length is not equal to the other length, and the one breadth is also not equal to the other breadth.	צא הרי שיש לפניך א' מרובע שאין ארכו כרחבו ואינו שוה האורך האחד לאורך השני וגם רוחב האחד אינו שוה לרוחב השני
Add up the lengths, divide [the sum] in half and keep its half.	צרף האורך וחלקהו לחצי ותפוש חציו
Add up the breadth with the breadth, and keep its half.	וצרף הרוחב עם הרוחב ותפוש חציו
Multiply half the sum of the two lengths by half the sum of the two breadths; its area is as their product. $\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{length_1+length_2}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{breadth_1+breadth_2}\right)\right]}}$	ותרבה החצי משני הארכים על החצי משני הרחבים וכפי מספר אותם הרבויים יהיו מספר שבריו
[The author does not note that this formula is not accurate in the general case]
Example: its one length is 4, and its other length is 6 its one breadth is 5, and its other breadth is 3	והמשל בזה הרי שהיה מקום אחד ארכו האחד ד' ואורכו השני ו' ורחבו האחד ה' ורחבו השני ג' כזה

Add the length to the length and say: 6 plus 4 is 10. Take its half; it is 5. Keep it.	צרף האורך עם האורך ואמ' ו' וד' הרי י' תפוס חציו הרי ה' ויהיה ד' ארכו ו' לך למשמר
Then add the breadth to the breadth and say: 3 plus 5 is 8. Take its half; it is 4.	אחרי כן צרף הרוחב עם הרוחב ואמור ג' וה' הרי ח' תפוס חציו שהוא ד' רחבו ה‫'
Multiply it by 5, which is half the sum of the two lengths; say: 4 by 5 is 20. So, its area is 20.	ותרבה אותו עם הה' שהוא מחצית ב' האורכים ואמור ד' פעמ' ה' הם כ' הרי שמידת שבריו הם כ' וכה"ל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(4+6\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+3\right)\right]=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=5\sdot4=20}}$
Triangulation Problem - Tree leaning against a wall
92) A tree 30 cubits high was standing straight next to a wall. Then it was withdrawn from the bottom [of the wall] by 10 cubits [so that its top is leaning against the wall]. By how much was the top of the tree brought down from its original place?	צב הרי שעץ אחד גבוה ל' אמות וזקוף בצד חומה אחת והוסר מלמטה י' אמות נרצה לידע מזה כמה הורד ראש העץ ממקום שהיה
[this figure does not appear in the text]
You know that from the top of the tree to the ground and from the wall to the base of the tree is a right angle.	אתה יודע כי החומה דהיינו מראש העץ עד הקרקע והקרקע דהיינו מן החומה עד סוף העץ הם שני זוויות על זוית נצבה
Pythagorean Theorem:
The hypotenuse is the tree, which is 30 cubits. Its square is 900.	והאלכסון שלהם הוא העץ שהוא ל' אמות ושברי מרובע שיוצא ממנו הם תת"ק
Then, square the line of the ground, which is 10; its square is 100.	ואחר כן תרבע קו הקרקע שהוא י' ושבריו הם ק‫'
Subtract it from 900; 800 remains.	והוציאם מן התת"ק ישארו ת"ת
Extract the root and it is the length of the wall; it is slightly more than 28 and a quarter.	ומצא השורש והוא קו החומה ויהיה מעט יותר מכ"ח ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{30^2-10^2}=\sqrt{900-100}=\sqrt{800}\approx28+\frac{1}{4}}}$
Subtract the length of the wall from 30 when the tree was upright; a little less than 1 and 3-quarters remain and this is [the length of the part of] the tree that was brought down. $\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(28+\frac{1}{4}\right)=1+\frac{3}{4}}}$	והוציאם מן הל' שהיה קו החומה כשהיה העץ זקוף ישארו מעט פחות מא' וג' רבעי' וכן הורד העץ
Sometimes the result is exact.	ולפעמי' יבא בכיוון וכה"ל
93) A tree 10 cubits high was standing straight next to a wall. Then it was withdrawn from the bottom [of the wall] by 6 cubits [so that its top is leaning against the wall]. By how much was the top of the tree brought down from its original place?	צג וכן אם היה עץ אחד גבוה י' אמות וזקוף בצד חומה והוסר מלמטה ו' אמות כמה הורד ראש העץ ממקום שהיה
Pythagorean Theorem:
Do as we did above: square the length of the tree, it is 100.	עשה כמו שעשינו למעלה ותרבע מדת העץ והם ק‫'
Then, square the 6 cubits that were brought down; it is 36.	אחר כן תרבע הו' אמות שהורד מלמטה והם ל"ו
Subtract it from 100; 64 remains.	והוציאם מן הק' ישארו ס"ד
Extract the root, meaning 8, and it is the length of the wall.	ומצא השורש דהיינו ח' והוא קו החומה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8}}$
Subtract the length of the wall from 10 when the tree was upright; you are left with [the length of the part of] the tree that was brought down, meaning 2 cubits. $\scriptstyle{\color{blue}{10-8=2}}$	והוציאם מן הי' שהיה קו החומה כשהיה העץ זקוף ומה שישאר בידך הורד העץ דהיינו ב' אמות
Now, the result is exact.	ועתה בא בכיוון וכה"ל
Transformation Problems
Square to Circle
94) A square, its area is 38 and a half and you want to create a circle from it, so that its area is the same as the area of the square.	צד מרובע שוה צלעות ושבריו ל"ח וחצי ותרצה לעשות מהם עגול שיהיו שבריו כשברי זה המרובע
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Area_{\square}=38+\frac{1}{2}\\\scriptstyle Area_{\bigcirc}=Area_{\square}\\\scriptstyle\rm{Perimeter_{\bigcirc}}=\sqrt{4\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)\sdot\rm{Area_{\bigcirc}}}\end{cases}$
Multiply 38 and a half by 12 and 4-sevenths; the result is 484.	תרבה ל"ח וחצי על י"ב וד' שבעיות עולים תפ"ד
Extract the root of 484; it is 22 and it is the perimeter of the circle, whose area is the same as the area of the square, whose area is 38 and a half.	ותמצא השורש מתפ"ד והם כ"ב והוא יהיה מספר העגול יהיו שבריו כשבר המרובע שמספר שבריו ל"ח וחצי וכה"ל
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(38+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[4\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)\right]}=\sqrt{\left(38+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(12+\frac{4}{7}\right)}=\sqrt{484}=22}}$
Circle to Square
95) A circle, its area is 100, and you want to create a square from it.	צה עגול שבריו ק' ותרצה לעשות ממנו מרובע שוה צלעות
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\rm{Area_{\bigcirc}}=100\\\scriptstyle \rm{Area_{\bigcirc}=Area_{\square}}\\\scriptstyle\rm{Side_{\square}=\sqrt{Area_{\square}}}\end{cases}$
Extract the root of 100; it is 10 and it is the size of each of its sides. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{100}=10}}$	תפוס השורש מק' והוא י' והוא יהיה מדת כל צלע מצלעו וכה"ל
Volume
Sphere
96) The volume of the sphere.	‫^[10]צו תשבורת הכדור
As the geometricians stated, it is that you square the diameter of the sphere, then multiply this square 3 times and a seventh; you receive the surface of the sphere. $\scriptstyle\left(2r\right)^2\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)$	כאשר זכרו אנשי חכמת השיעור הוא שתהיה מרבע את קוטר הכדור ותכפול המרובע הזה ג' פעמ' ושביעית פעם ויעלה בידך משיחת שטח הכדור
Multiply it by a sixth of the diameter; you receive the volume of the sphere. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\rm{Surface_{sphere}}\sdot\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2r\right)\right]}}$	מנה אותו בשתות הקוטר ויעלה בידך תשבורת גוף הכדור
Example: a sphere whose diameter is 7 cubits	כגון כדור אשר קוטרו ז' אמות

The square of the diameter is 49 cubits.	יהיה מרובע הקטר מ"ט אמה
When you multiply this number 3 times and a seventh, it is 154 and this is the surface of the sphere. $\scriptstyle{\color{blue}{7^2\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=49\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=154}}$	וכשאתה כופל המספר הזה ג' פעמ' ושביעית פעם יהיה קנ"ד והם מניין שטח אמות הכדור
Multiply it by a sixth of the diameter; it is 180 minus a third and this is the volume of the sphere. $\scriptstyle{\color{blue}{154\sdot\left(1+\frac{1}{6}\right)=180-\frac{1}{3}}}$	מנה אותו בשתות הקוטר והוא אחד ושתות ויהיה ק"פ פחות שליש והוא תשבורת גוף הכדור הזה
Segment of a Sphere
From this calculation you can deduce the volume of the segments of a sphere.	ומתוך החשבון הזה אתה יכול להבין תשבורת שברי הכדור
Example: a water pool - its body is rounded from the inside, its upper surface is a circular, its breadth [= diameter] is 7 cubits, and its depth is 3 cubits and a half.	כגון בריכת מים אשר גופה מבפנים מעוגל ופיה עגול ורחבו ז' אמות ועומקו ג' אמות וחצי
You know that this pool is a hemisphere. Multiply its depth by the breadth of its upper surface, which is the diameter of the sphere, then multiply the product you received 3 times and a seventh, as you have done with the sphere; the result is 77 and this is the surface of the hemisphere. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[7\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=77}}$	ואתה יודע כי הבריכה הזאת היא חצי כדור ובא ומנה עומקה ברחב פיה אשר הוא קוטר הכדור והנקבץ בידך כפליהו ג' פעמי' ושביעית פעם כאשר עשית בכדור ויעלה ע"ז והוא משיחת שטח הבריכה
Multiply it by a sixth of the diameter; it is 90 minus a sixth and it is the volume of the hemispherical pool. $\scriptstyle{\color{blue}{77\sdot\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2r\right)\right]=90-\frac{1}{6}}}$	מנה אותו בשתות הקוטר יהיה צ' פחות שתות והוא תשבורת גוף הבריכה אשר היא חצי כדור
If the depth is less than half the breadth [= less than half the diameter], know that the pool is less than a hemisphere.	ואלו היה העומק פחות ממחצית הרוחב תהיה יודע שהבריכה הזאת מעוטה מחצי הכדור
Example: a spherical solid [spherical cap] – its depth is 2 cubits and the breadth of the circle [= the diameter] of its base is a root of 40 which is approximately 6 and a third.	כגון עגולת גוף שעמקה ב' אמות ורוחב עגולת פיה גדר מ' שהוא ו' ושליש בקירוב
You know that this pool is less than a hemisphere, because its depth is less than half the breadth of its upper surface.	ואתה יודע שהבריכה הזאת אין בה חצי כדור מפני שעומקה פחות ממחצית רוחב פיה
If you extract its diameter as you have learned, you find it 7. $\scriptstyle{\color{blue}{2r=7}}$	ואם אתה מוציא את קוטרה כאשר למדת תמצאנו ז‫'
Multiply 2, which is the depth of the pool, by 7, which is the diameter of the sphere; it is 14.	ובא ומנה ב' שהוא עומק הבריכה בז' שהוא קוטר הכדור יהיו י"ד
Multiply it 3 times and a seventh; it is 44 and this is the surface of the pool. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\sdot2\right)\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=14\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=44}}$	כפול אותם ג' פעמי' ושביעית יהיו מ"ד והוא משיחת שטח הבריכה
Multiply it by a sixth of the diameter, which is one and a sixth; it is 51 and a third and this is the volume of the pool. $\scriptstyle{\color{blue}{44\sdot\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2r\right)\right]=44\sdot\left(1+\frac{1}{6}\right)=51+\frac{1}{3}}}$	מנה אותו בשתות הקוטר והוא אחד ושתות יהיו נ"א ושליש והוא תשבורת גוף הבריכה
If you say that the depth of the pool is 5 cubits and the breadth [= diameter] of its upper surface is a root of 40.	ואם היית אומר עומק הבריכה ה' אמות ורוחב פיה גדר מ‫'
You find its diameter is 7. $\scriptstyle{\color{blue}{2r=7}}$	היות מוצא קוטרה ז‫'
If you multiply the depth by the diameter, it is 35.	ואם אתה מונה העומק בקוטר יהיה ל"ה
Multiply it 3 times and a seventh; it is 110 and this is the surface of the pool. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\sdot5\right)\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=35\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=110}}$	כפליהו ג' פעמ' ושביעית יהיה ק"י והוא משיחת שטח הבריכה
Multiply it by a sixth of the diameter; it is 128 and a third and this is the volume of the pool. $\scriptstyle{\color{blue}{110\sdot\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2r\right)\right]=128+\frac{1}{3}}}$	מנה אותו בשתות הקוטר יהיה קכ"ח ושליש והוא תשבורת רבוע הבריכה וכה"ל
Triangular Prism
97) A halved prism: a triangular prism is called halved, bacause it is half a square prism.	צז מצבה חצויה וקורים למצבה משולשת חצויה מפני שהיא מחצית המרובעת
A halved prism, its upper base and its lower base are a right triangle, whose one side is 3 cubits, the second [side] is 4 [cubits] and the third [side] is 5 [cubits], and the height [of the prism] is 10 cubits	מצבה חצויה אשר ראשה ותושבתה משולש נצב הזוית אשר צלעו האחת ג' אמות והשני ד' והשלישית ה' וגובהו י' אמות
[this figure does not appear in the text]
You know the area of this triangle is 6 cubits.	אתה יודע תשבורת המשולש הזה והוא ו' אמות
Multiply it by 10, which is the height; it is 60 cubits and this is the volume of the halved prism. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\rm{height_{prism}}\times \rm{Area_{triangle}}}}{\color{blue}{=10\sdot6=60}}$	מנה אותם בי' שהוא הגובה יהיו ס' אמה והוא תשבורת המצבה חצוית הראש
Pentagonal / Hexagonal Prism
Likewise if the upper and lower bases of the solid are pentagonal or hexagonal surfaces, it is called pentagonal or hexagonal prism.	וכן אלו היה הגולם ראשו ותושבתו שטחים מחומשות או משושתות היא נקראת מצבה מחומשת או משותתת
You know the area of the pentagon or the hexagon that is its lower or upper base. You multiply its area by the height and you receive the volume of that prism.	תהיה יודע משיחת המחומש או המשותת הזה אשר היא תושבתו או ראשו ותהיה מונה משיחתו במניין הגובה ויעלה בידך תשבורת המצבה ההיא
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\rm{Volume_{prism}=height_{prism}}\times\rm{Area_{pentagon/hexagon}}}}$
Cylinder
If the upper and lower bases of the solid are circular surfaces and the whole solid rises circularily to the top:	ואם יהיה הגולם ראשו ותשברתו שטחים עגולים וכל גופו עולה בעגול עם הראש
You calculate the volume of this shape the way you find the previous shapes.	ואתה מונה תשבורת התמונה הזאת על הדרך אשר ידעת התמונות הראשונות
If you find the area of the circle that is the lower or upper base, then multiply its area by the height, you get the volume of this shape called a cylinder [lit. circular prism]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\rm{Volume_{cylinder}=height_{cylinder}}\times\rm{Area_{circle}}}}$	אם אתה מרבע העגול שהוא התושבת או הראש ואתה מונה מרובעו במניין הגובה יעלה בידך תשבורת התמונה ‫^[11]הזאת והיא נקראת מצבה עגולה
Example: a cylinder, its upper base as well as its lower base are a circle whose diameter is 10 cubits, and the height of the cylinder is 14.	ואני נותן לך דמיון מזה מצבה עגולה אשר ראשה וכן תושבתה שטח עגול אשר קוטרו י' אמות וגובה המצבה י"ד
[this figure does not appear in the text]
You can get the volume of this prism, if you multiply the diameter of the circle, which is 10 cubits, by itself; it is 100 cubits. You multiply 100 by 14 that are the cubits of the height; it is 1400 cubits and this would be the volume of this shape if it were square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(2r\right)^2\sdot\rm{height_{cylinder}}}}{\color{blue}{=10^2\sdot14=100\sdot14=1400}}$	ואתה יכול להגיע אל תשבורת המצבה הזאת אם אתה מונה את קוטר העגול שהוא י' אמות במנין עצמם ויהיו ק' אמות ומנה ק' בי"ד שהם אמות הגובה ויהיו אלף ות' אמות וזה הוא תשבורת התמונה הזאת אלו היתה מרובעת
Subtract its seventh and its half-seventh from this number, which is 300 cubits; you are left with 110 cubits and that is the volume of the cylinder.	הוצא מהמספר הזה שבעיתו וחצי שבעיתו והם ג' מאות אמה ונשאר בידך אלף ומאה אמה והוא תשבורת המצבה העגולה
$\scriptstyle{\color{blue}{1400-\left[\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot1400\right]=1400-300=1100}}$
Also if you were to subtract from 100 cubits, which is a quarter of the base, its seventh and its half-seventh, which is 2[1] cubits and 3 parts of 7 parts of a cubits, you would have been left with 78 cubits and [4] parts of 7 of a cubits and this is the volume of the circle that is the base of the prism.	וכן אלו היית מוציא מן ק' אמה שהוא רביע התושבת שביעיתו ומחצית שבעיתו והוא כ' אמה וג' חלקי' מז' חלקי' באמה וישאר בידך ע"ח אמה וג' חלקי' מז' באמה והם משיחת העגול אשר היא תושבת המצבה
$\scriptstyle{\color{blue}{100-\left[\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot100\right]=100-\left(21+\frac{3}{7}\right)=78+\frac{4}{7}}}$
Multiply it by the height, which is 14; the result is 110 cubits and it is the volume of the cylinder. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\rm{Volume_{circle}}\times \rm{height_{cylinder}}}}{\color{blue}{=\left(78+\frac{4}{7}\right)\sdot14=1100}}$	מנה אותה בגובה אשר הוא י"ד יעלה המניין לאלף ומאה אמה והוא תשבורת המצבה הזאת העגולה
General rule: You see that the practice with the whole species is the same: if you know the area of the base of any shape, whether the upper or the lower base, and you multiply its area by the height, you find the volume of that solid. There is no difference there. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\rm{Volume_{prism}=Area_{base}}\times\rm{height_{prism}}}}$	ונראה לך שדרך כל המין הזה נוהג מנהג אחד ואם אתה יודע מספר תשבורת מזה התושבת מן התושבת או הראש מאיזו תמונה הייתה ותמנה תשברתה במנין הגובה י' אתה מוצא תשבורת הגוף ההוא ואין שם חילוף
Questions about Rectangles	שאלות במרובע ארוך
Figure Problem - Diagonal - Rectangle
98) A rectangle whose one side is 8 cubits and its other side is 6 [cubits]. How much is its diagonal?	צח מרובע ארוך שיש בצלעו האחד ח' אמות ובצלעו השנית ו‫' כמה הוא אלכסונו

The answer: multiply 8, which is one side, by 6, which is the other side; their product is 48.	תשובה מנה ח' שהוא צלע האחת בו' שהוא הצלע השנית ויהיה רבועם מ"ח
Double this product; it is 96.	וכפול המרובע הזה והם צ"ו
If you add to it the square of 2, which is the excess of one side over the other, the total is 100.	ואם תוסיף עליו מרובע ב' אשר היא תוספת הצלע האחת אל השנית יהיה הכל ק‫'
The root of 100 is 10 and it is the diagonal of this quadrilateral.	וגדר ק' הוא י' והוא אלכסון מן המרובע הזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left[2\sdot\left(8\sdot6\right)\right]+\left(8-6\right)^2}=\sqrt{\left(2\sdot48\right)+2^2}=\sqrt{96+2^2}=\sqrt{100}=10}}$
The general rule of this matter is that for every rectangle, if you add the square of the difference between the two sides to twice its area, the sum both is equal to the square of its diagonal.	וכללו של ענין שכל מרובע ארוך אם אתה מוסיף רבוע העודף אשר בן שתי צלעיו על כפל תשברתו יהיו אלה שניהם שוים למרובע אלכסונו
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\rm{diagonal_{rectangle}}=\sqrt{\left(2\sdot\rm{Area_{rectangle}}\right)+\left(\rm{side_1-side_2}\right)^2}}}$
Figure Problem - Side; Area - Rectangle
99) Another question: a rectangle whose diagonal is 10 cubits, and its length exceeds its breadth by 2 cubits. How much are its length, its breadth, and its area?	צט שאלה אחרת מרובע ארוך אשר באלכסונו י' אמה וארכו מוסיף על רחבו ב' אמות כמה הוא ארכו וכמה הוא רחבו וכמה תשברתו

Answer: you know that the square of the diagonal is 100.	תשובה אתה יודע כי מרובע האלכסון הוא ק‫'
Subtract from it the square of the excess of the length over the breadth, which is 2 and its square is 4; you are left with 96.	הוצא ממנו רבוע עדף האורך על הרחב אשר הוא ב' וריבועו ד' ישאר בידך מהם צ"ו
Divide it in half; it is 48 and this is the area of the quadrilateral.	חלק אותם לשנים ויהיו מ"ח והוא תשבורת המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left[diagonal^2-\left(side_1-side_2\right)^2\right]=\frac{1}{2}\sdot\left(10^2-2^2\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(100-4\right)=\frac{1}{2}\sdot96=48}}$
If you wish to know its sides, one of which exceeds over the other by 2, divide this excess in half; it is 1 and its square is 1.	ואם תרצה לדעת צלעותיו אשר האחד מוספת על השנית ב' בא וחלק העודף הזה לשנים ויהיה א' וריבועו א‫'
Add it to the area; it is 49.	הוסיפנו על התשבורת ויהיה מ"ט
The root of this number is 7.	וגדר המניין הזה הוא ז‫'
If you add to it one, which is half the excess, it is 8 and this is the length.	ואם תוסיף עליו אחת שהוא מחצית העודף יהיה ח' והוא קו האורך
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2+\rm{Area}}+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)=\sqrt{1^2+48}+1=\sqrt{1+48}+1=\sqrt{49}+1=7+1=8}}$
If you subtract 1 from it, 6 remains and it is the breadth. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2+\rm{Area}}-\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)=7-1=6}}$	ואם תפחות ממנו א' ישאר ו' והוא קו הרוחב
The product of 8 by 6 is 48 and this is the area. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot6=48}}$	ומנין ח' בו' הוא מ"ח והוא התשבורת
If one says: A rectangle, its area is 48 and the sum of its length and its breadth together is 14. How much are its length and its breadth?	ואם יאמר מרובע בתשברתו מ"ח וקו ארכו עם קו רחבו שניהם יחד י"ד כמה הוא ארכו וכמה הוא רחבו
To answer this question, take a half of 14, it is 7.	ולתשובת השאלה הזאת תקח מחצית י"ד והוא ז‫'
Square it; it is 49.	ותרבע אותו ויהיה מ"ט
Subtract from it 48, which is the area; you are left with 1.	הוצא מהם מ"ח הוא התשבורת וישאר בידך א‫'
The root of 1 it 1.	וגדר הא' הוא א‫'
If you add it to 7, it is 8 and this is the length of the quadrilateral.	אם תוסיפנו על ז' יהיה ח' והוא אורך המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}=7+\sqrt{7^2-48}=7+\sqrt{49-48}=7+\sqrt{1}=7+1=8}}$
If you subtract one from 7, you are left with 6 and this is the breadth of the quadrilateral. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}=7-1=6}}$	ואם תפחות האחד מן הז' ישאר בידך ו' והוא רוחב המרובע
Know that if a question is asked on this matter, in which the area exceeds the square of half [the sum of] the sides, this question is false.	והוי יודע כי אם ישאל בענין זה שאלה אשר יהיה בה התשבורת עודף על מרובע מחצית הצלעות כי שאלה זאת שקר וכזב
Example: one says to you: a rectangle whose area is 48 and the sum of its length and its breadth together is 13.	כגון האומר לך מרובע שתשברתו מ"ח וקו ארכו עם רחבו י"ג
He is wrong, or testing you, and you do not have to answer.	טעות הוא בידו ‫^[12]או מנסה הוא לך ואינך צריך להשיב
Square
Figure Problem - Diagonal - Square
100) Question: a square, its length is 10 and its breadth is 10. How much is its diagonal?	ק שאלה מרובע השוה ונצב הצ' הזוית שארכו י' ורחבו י‫' כמה הוא אורך אלכסונו
Answer: the diagonal is a root of two hundred, because the square of the diagonal is two hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10^2}=\sqrt{200}}}$	תשובה האלכסון הזה הוא גדר מאתים כי מרובע האלכסון ימצא ברבועו מאתי‫'
Since, for every square [lit. right-angled quadrilateral], the square of its diagonal is twice that square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\rm{diagonal_{\square}}\right)^2=2\sdot\left(\rm{side_{\square}}\right)^2}}$	מפני שכל מרובע נצב הזוויות רבוע אלכסונו כפלים מהמרובע ההוא
So, we say about this diagonal that it is the root of two hundred, which is twice the square of 10 by 10.	ומפני זה אמרנו על האלכסון הזה שהוא גדר מאתיי' אשר הוא כפלים מרובע י' על י‫'
Figure Problem - Side - Square
If it is said: A square whose diagonal is √200. How much is its side?	ואם יאמר מרובע שאלכסונו גדר מאתים כמה צלעו
Divide the square of the diagonal in half; it is 100.	חלק מרובע האלכסון לשנים ויהיה ק' האחד
Say: the root of 100 is the side of the square and it is 10.	ואמור גדר ק' הוא הצלע המרובע והוא י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}^2}=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot200}=\sqrt{100}=10}}$
This diagonal is 14 and a seventh approximately. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{200}\approx14+\frac{1}{7}}}$	והאלכסון הזה י"ד ושביעית בקרוב
Figure Problem - Side; Area - Square
101) Another question: a square, you subtract the sum of its four sides from its area and the remainder is 21 cubits. How much is its area, and how much is each of its sides?	קא שאלה אחרת מרובע שוה שהוצאת מן מניין תשברתו מניין צלעותיו הארבעה ונשאר בידך מהתשבורת כ"א אמה כמה הוא התשבורת וכמה מניין כל צלע וצלע מהמרובע
Answer: divide the number of the sides, which is 4, in half.	תשובה חלק מנין הצלעות שהוא ד' לשנים
Multiply two by itself, meaning square it; it is 4.	ומנה השנים בעצמם כלומר רבעם יהיו ד‫'
Add to this number the number that is given to you that remains from the square; the total is 25.	הוסף המניין הזה על המניין המסודר לך הנשאר לך מן המרובע ויהיה הכל כ"ה
Find the root of 25; it is 5.	ודע גדר כ"ה והוא ה‫'
Add to it half the number of the sides, which is 2; the total is 7 and it is the side of the square.	ותוסיף עליו חצי מניין הצלעות והוא ב' ויהיה הכל ז' והוא צלע המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+21}+\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)=\sqrt{2^2+21}+2=\sqrt{4+21}+2=\sqrt{25}+2=5+2=7}}$
Its area is 49. $\scriptstyle{\color{blue}{7^2=49}}$	ותשברתו מ"ט
If it is said: A square, you add the sum of its four sides to its area and the result is 77. How much is the area?	ואם יאמר מרובע אשר הוספת מניין כל ד' צלעותיו על מניין תשברתו ויהיה הכל ע"ז כמה הוא המרובע הזה
In this question, take half the number of the sides; it is 2.	ואתה בשאלה הזאת קח מניין חצי הצלעות והוא ב‫'
Multiply it by itself; it is 4.	ותמנה אותו בעצמו ויהיו ד‫'
Add it to the number that is given to you, which is 77; it is 81.	והוסיפנו על המניין שמסר לך והוא ע"ז ויהיו פ"א
Take the root of this number; it is 9.	וקח גדר המספר הזה והוא ט‫'
Subtract from it half the number of the sides that you added; you are left with 7 and it is the side of the square.	הוצא ממנו חצי מספר הצלעות שהוספת וישארו בידך ז' והוא צלע המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+77}-\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)=\sqrt{2^2+77}-2=\sqrt{4+77}-2=\sqrt{81}-2=9-2=7}}$
Its area is 49. $\scriptstyle{\color{blue}{7^2=49}}$	ותשברתו מ"ט
Figure Problem - Side - Square
102) The third question: a square, you subtract its area from the sum of its four sides and the remainder is 3. $\scriptstyle4a-a^2=3$	קב שאלה שלישית מרובע השלכת תשברתו ממניין ד' צלעותיו ונשאר בידך ג‫'
Divide the number of the sides by 2; their half is 2.	חלק מניין הצלעות על ב' וחציים הוא ב‫'
Its square is 4.	וריבועם הוא ד‫'
Subtract from it the three you have left; 1 remains.	הוצא מהם השלשה שנשארו בידך וישאר א‫'
Its root is 1.	אשר גדרו א‫'
Subtract it from half [the number of] the sides; one remains and this is the side of the square.	פחות אותו ממחצית הצלעות וישאר אחד והוא צלע המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2-3}=2-\sqrt{2^2-3}=2-\sqrt{4-3}=2-\sqrt{1}=2-1=1}}$
Or, add the root of the one you have left to half [the number of] the sides; it is three and this is also the side of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2-3}=2+\sqrt{1}=2+1=3}}$	או הוסף עליו גדר האחד שנשאר בידך על מחצית הצלעות יהיו ג' ויהיו גם הם צלע המרובע
Since 1 and 3 can be the root, so there are two possible answers to this question.	כי יכול יהיה א' הגדר ויכול יהיה ג' כי שני חשבונות לשאלה הזאת
Area
Circle
103) If you want to know the area of a whole circle, when its diameter is known	קג אם תרצה לדעת תשבורת העגול התמים אם תדע אלכסונו והוא הקוטר
Multiply it by 3 and a seventh and this is the length of the perimeter. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2r\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)}}$	תכפול אותו ג' פעמי' ושבעית פעם והוא יהיה אורך הקו הסובב
Then square half the diameter by half the perimeter and this is area of the circle. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot2r\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot \rm{perimeter_{\bigcirc}}\right)}}$	ואחר כן הוי מרבע מחצית הקוטר במחצית הקו הסובב והוא יהיה תשבורת העגול
Example: a circle whose diameter is 14.	והדמיון לענין הזה עגולה שהקוטר שלה י"ד

Multiply it by 3 and a seventh; it is 44 and this is the measure of the perimeter. $\scriptstyle{\color{blue}{14\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=44}}$	ואתה כופל אותו ג' פעמ' ושביעית ויהיה מ"ד והוא מדת הקו הסובב
If you multiply half the diameter, which is 7, by half the perimeter, which is 22, the product is 154 cubits and this is area of the circle. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot44\right)=7\sdot22=154}}$	ואם אתה מונה מחצית הקוטר והוא ז' במחצית הקו הסובב והוא כ"ב יהיה המניין קנ"ד אמות והוא תשבורת העגול
Triangle
104) You have a triangle such as this and you want to know its area.	קד הרי שיש לפניך אי' משולש כזה ותרצה לידע מדת שבריו

Multiply half the upper side by the whole height and this is the measure of its area. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot side\right)\sdot \rm{height_{\triangle}}}}$	תרבה חצי צלע העליון על כל העמוד וכן יהיו מדת שבריו
Example: the upper side is 10 cubits and its height is 12 cubits.	המשל בזה הרי שהיה צלע העליון י' אמות והעמוד שלו י"ב אמות
Take half the upper side, which is 5 and multiply it by the whole height, which is 12, say: 12 times 12 is 60 and this is the result. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot12=5\sdot12=60}}$	תקח ‫^[13]חצי צלע העליון שהוא ה' ותרבה אותו על כל העמוד שהוא י"ב ואמור ה' פעמ' י"ב ס' וכן יבא
Square
105) An equilateral quadrangle whose angles are right angles - you want to know its area	קה המרובע שהוא שוה הצלעות וכל זוויותיו נצבות ותרצה לידע תשברתו
Measure one of its sides and multiply it by itself and [its area is] the result. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\rm{side}^2}}$	תמדוד אחד מצלעיו ותרבה אותו בעצמו וכפי מה שיעלה כן יהיה
Example: a square, each of its sides is 4.	המשל בזה מרובע אחד שכל אחד מצלעותיו ד' וזוויותיו נצבות

Measure one of its sides, which is 4, multiply it by itself, say: 4 times 4 is 16 and this is the measure of its area. $\scriptstyle{\color{blue}{4^2=16}}$	תמדוד אחד מצלעותיו שהוא ד' ותרבה אותו בעצמו ואמור ד' פעמ' ד' י"ו וכן יהיה מניין תשברתו וכה"ל
Triangle whose base is an arc - Sector
106) A triangle whose base is arc BG and its two sides are straight lines, which are like the figure I draw for you - the two lines AB and AG and its arc is BDG.	קו משולש אשר תושבתו עקמימות ב"ג וב' צלעיו הם קוים ישרים והם כצורה אשר אני מצייר לך ב' קוים א"ב וא"ג והתושבת קו עקום אשר עליו בד"ג
If you draw such a figure, as line BG, you have triangle ABG on it and arc BDG, and this is a segment of a circle.	ואם אתה עושה כצורה הזאת קו כגון קו ב"ג יהיה לך משולש ישר אשר עליו אב"ג וצורת העקום אשר עליה בד"ג והיא שבר עגולה

You find the area of each by itself, then sum the two areas and this is the area of the [sector]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\rm{Area_{triangle}+Area_{segment\ of\ circle}}}}$	ואתה מרבע כל אחד מהם לבד ותאסוף שני המרובעים ויהיו תשבורת הצורה
Rectangle
107) A rectangle whose parallel sides are identical i.e. both longitudinal lines are identical and both latitudinal lines are identical and all the angles are right angles. You want to know its area.	קז המרובע ארוך שלא תהיינה צלעותיו שוות זו לזו אבל הנכוחים לבד הם שוות דהיינו שיהיו שני הארוכים שוים ושני הרחבים שוים וכל הזוויות הם נצבות ותרצה לידע תשברתו
Multiply the side of the length by the side of the width and the result is its area. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\rm{length_{rectangle}\times breadth_{rectangle}}}}$	תרבה צלע האורך עם צלע הרוחב וכאשר יעלה כן יהיה תשברתו
Example: rectangle, its two long sides are 9 cubits and its two short sides are 5 cubits	כגון מרובע ארוך ששתי צלעותיו האורך כל אחד מהם ט' אמות ושתי צלעות הרוחב כל אחד מהם ה' אמות כזה

Multiply the length by the width and say: 5 by 9 is 45 and this is the measure of its area. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9=45}}$	תרבה האורך עם הרוחב ואמור ה' ט' הם מ"ה וכן יהיה מניין תשברתו וכה"ל
Rhombus
108) An equilateral quadrangle whose angles are not right angles is called a rhombus quadrangle. For example: rhombus, each of its sides is 10 cubits, its angles are not right angles, and its diagonals are not identical e.g.- its one diagonal is 12 cubits and the other diagonal is 16 cubits. You want to know its area.	קח המרובע שהוא שוה הצלעות ואינו נצב הזוויות והוא הנקרא מרובע המעויין כגון מרובע שיש בכל צלעותיו י' אמות ואינו נצב הזוויות ואתה מוצא אלכסונותיו שאינן שוים כגון שיהיה האלכסון האחד י"ב אמות ואלכסון השני י"ו אמות ותרצה לידע תשברתו

Multiply one diagonal by half the other diagonal. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\rm{diagonal_1}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot \rm{diagonal_2}\right)}}$	תמנה האלכסון האחד במחצית האלכסון השני
Say: 16 times 6 is 96 and this is the measure of its area. $\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=16\sdot6=96}}$	ואמור י"ו פעמי' ו' הם צ"ו וכן יהיה מנין תשברתו
Or, say: 12 times 8 is 96 and this is the measure of its area. $\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=12\sdot8=96}}$	או אמור י"ב פעמ' ח' צ"ו וכן יהיה מניין תשברתו וזו היא הצורה
Equilateral Triangle
109) This shape is an equilateral triangle and you want to know its area	קט משולש שוה הצלעות ותרצה לדעת תשברתו

the area of the equilateral triangle $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{3}\sdot side^2\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot side^2\right)}}$	דע כי תשברתו הוא שלישית מרובע צלעו ועשירית מרובע הצלע
Example: triangle, each of its sides is 15	כגון משולש שכל אחד מצלעיו ט"ו
the area =	תרבה אחת מצלעיו ואמור ט"ו פעמי' ט"ו הם רכ"ה קח שלישית רכ"ה שהוא ע"ה ועשירית רכ"ה שהוא כ"ב וחצי ויהיה הכל צ"ז וחצי וכן יהיה תשבורת זה המשולש וכה"ל וזאת היא הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot15^2\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot15^2\right)=\left(\frac{1}{3}\sdot225\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot225\right)=75+\left(22+\frac{1}{2}\right)=97+\frac{1}{2}}}$
the area of the equilateral triangle = $\scriptstyle\rm{height}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{side}\right)=\rm{side}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{height}\right)$	ואם תרצה לדעת תשבורת המשולש בעניין אחר תרבע העמוד היוצא בו במחצית התושבת או תרבע התושבת במחצית העמוד
Example: triangle, each of its sides is 15 and its height is 13	כגון משולש שכל אחד מצלעותיו ט"ו ועמודו י"ג כזה
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)=13\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)=97+\frac{1}{2}}}$	תרבה העמוד שהוא י"ג במחצית התושבת שהוא ז' וחצי ואמור י"ג פעמ' ז' וחצי הם צ"ז וחצי וכן יהיה תשבורת המשולש
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{15\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)=15\sdot\left(6+\frac{1}{2}\right)=97+\frac{1}{2}}}$	או תרבע התושבת שהוא ט"ו במחצית העמוד שהוא ו' וחצי ואמור ט"ו פעמ' ו' וחצי צ"ז וחצי וכן יהיה תשברתו וכה"ל
Equilateral Triangle
Figure Problem - height; Area - Equilateral Triangle
110) if you want to know the area and the height of the triangle that is an equilateral triangle For example: triangle, each of its sides is 10	קי) ואם תרצה לדעת שבור העמוד מן המשולש שהוא שוה הצלעות עשה כענין זה כגון משולש שכל אחד מצלעותיו י' כזה

the height of the equilateral triangle =	תרבה הצלע האחד בעצמו ואמור י' פעמ' י' הם ק‫'
	ותרבה חצי התושבת שהוא ה' בעצמו ואמור ה' פעמ' ה' כ"ה
	ותפחות אותם מק' ישארו ע"ה
	ותמצא הגדר של ע"ה והנו ח' וב' שלישי בקירוב והוא יהיה מספר העמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\rm{side}^2-\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{side}\right)}=\sqrt{10^2-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}=\sqrt{100-5^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}\approx8+\frac{2}{3}}}$
the area of the equilateral triangle =	ואם תרצה לדעת שברי זה המשולש
$\scriptstyle\rm{height}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{side}\right)$	תרבה כל העמוד עם חצי התושבת שהוא ה‫'
$\scriptstyle\rm{side}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{height}\right)$	או תרבה כל התושבת במחצית העמוד
Figure Problem - height; Area; Side - Equilateral Triangle
111) If you want to know the height of the triangle that is equilateral in another way	קיא) ואם תרצה לדעת שיעור העמוד בעניין אחר מן המשולש שהוא שוה הצלעות
the height of the equilateral triangle = $\scriptstyle\rm{side}-\left(\frac{2}{15}\sdot\rm{side}\right)$	תפחות לעולם מן הצלע שלמשולש שוה הצלעות ב' חלקי' מט"ו והוא יהיה מספר העמוד
Example: triangle, each of its sides is 15, you know that its height is 13, and you want to know its area	כגון משולש שכל אחד מצלעותיו [ט"ו]‫ הוי יודע כי עמודו י"ג ואם תרצה לדעת תשברתו
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)=13\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)}}$	תרבה י"ג שהוא העמוד בז' וחצי שהוא חצי התושבת
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{15\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)=15\sdot\left(6+\frac{1}{2}\right)}}$	או כל התושבת שהוא ט"ו בו' וחצי שהוא חצי השיעור מן העמוד
If you know the height of the equilateral triangle and you want to know the side using the height	ואם תדע העמוד מן המשולש השוה הצלעות ותרצה לדעת הצלע מן העמוד ההוא
the side of the equilateral triangle = $\scriptstyle\sqrt{\rm{height}^2+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\rm{height}^2\right)\right]}$	תרבע העמוד בעצמו והוסיף על זה המרובע שלישיתו ותידע כמה הוא גדר הכל והוא יהיה מדת כל צלע מצלעי המשולש שוה הצלעות
Example: triangle, its height is 13, and you want to know its side	כגון משולש שהעמוד שלו הוא י"ג ותרצה לידע מידת הצלע
the side =	תרבה העמוד בעצמו ואמור י"ג פעמ' י"ג קס"ט הוסף עליהם שלישית קס"ט שהם נ"ו ושליש יהיו רכ"ה ושליש תמצא הגדר של רכ"ה ושליש שהם ט"ו בקירוב והוא יהיה מספר הצלע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{13^2+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(13^2\right)\right]}=\sqrt{169+\left(\frac{1}{3}\sdot169\right)}=\sqrt{169+\left(56+\frac{1}{3}\right)}=\sqrt{225+\frac{1}{3}}\approx15}}$
Scalene Triangle
Figure Problem - Side - Scalene Triangle
112) If someone tells you: a scalene triangle, its height is 12, one of its legs is 13 and the other is 15. How much is the base?	קיב) אם יאמר לך אדם משולש מתחלף עמודו י"ב והצלע האחר המקפת את ראשו י"ג והשנית ט"ו כמה תהיה התושבת
the base =	והתשובה בשאלה הזאת תרבע הצלע האחת כגון י"ג שריבועה קס"ט ותוציא ממנו מרובע העמוד והוא קמ"ד ישאר כ"ה שגדרו ה' והוא המעמד האחד ושוב ורבע את הצלע השנית ומרובעה רכ"ה הוצא ממנה מרובע העמוד ישאר פ"א וגדרו ט' והוא המעמד השני וב' המעמדי' האלה הם י"ד והוא אורך התושבת
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\rm{side}_1^2-\rm{height}^2}+\sqrt{\rm{side}_2^2-\rm{height}^2}&\scriptstyle=\sqrt{13^2-12^2}+\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{169-144}+\sqrt{225-144}\\&\scriptstyle=\sqrt{25}+\sqrt{81}=5+9=14\\\end{align}}}$
Figure Problem - height - Scalene Triangle
If he tells you: a scalene triangle, the sum of its area with the height is 96, the base of the height is 14. How much is the height?	ואם יאמר לך משולש מתחלף בתשברתו עם העמוד צ"ו ותושבת העמוד י"ד כמה הוא העמוד
the height of the scalene triangle = $\scriptstyle\frac{\rm{Area+height}}{\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{base}\right)+1}$	תשובה קח מחצית התושבת והוסף אחד לעולם וחלק עליה את המספר אשר בידך ותמצא העמוד
the height = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{96}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+1}=\frac{96}{8}=12}}$	כאילו היית מחלק בשאלה הזאת התושבת לשנים ומחציתה הוסף עליה אחד יהיו ח‫' חלק עליהם צ"ו יהיה י"ב והוא אורך העמוד
Isosceles Triangle
Figure Problem - Area; height; Side - Isosceles Triangle
113) An isosceles triangle is a triangle whose legs are equal but the base is not equal to the legs. For example: this triangle, whose both legs are 15, and its base is 18. If we want to know its area.	קיג) משולש שוה השוקים והוא משולש ששוקיו שוים והתושבת אינו שוה עמהם כגון זה המשולש שכל אחד משוקיו ט"ו והתושבת היא י"ח ואם נרצה לדעת שבריו

the height of the isosceles triangle =	נדע מספר העמוד תחלה ונעשה בענין זה נרבע אחד מן השוקים בעצמו ואמור ט"ו פעמי' ט"ו הם רכ"ה ונפחות מרכ"ה מרובע חצי התושבת וחצי התושבת הוא ט' ומרובעו פ"א ונפחות אותם מרכ"ה ישארו קמ"ד ותמצא השורש מקמ"ד והוא י"ב וכן יהיה מספר העמוד הזה י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\rm{side}^2-\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{base}\right)^2}=\sqrt{15^2-\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)^2}=\sqrt{225-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12}}$
the area of the isosceles triangle =	ואם תרצה לדעת תשבורת המשולש הזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\rm{height}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{base}\right)=12\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)=12\sdot9=108}}$	תרבה כל העמוד שהוא י"ב על חצי התושבת שהוא ט' ואמור ט' פעמ' י"ב הוא ק"ח והוא תשבורת זה המשולש
$\scriptstyle{\color{blue}{\rm{base}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{height}\right)=18\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=18\sdot6=108}}$	או תרבה כל התושבת שהוא י"ח על חצי העמוד שהוא ו' ואמ' ו' פעמ' י"ח הוא ק"ח והוא יהיה תשברתו וכה"ל
If you know the size of the height and the base of an isosceles triangle and you want to know the size of both legs. For example: this triangle, whose height is 12, and its base is 18. You want to know how much are the legs.	ואם תדע מדת העמוד ומדת התושבת ממשולש שוה השוקים ותרצה לדעת מדת כל אחד מהשוקים כגון זה המשולש שעמודו י"ב ותושבתו י"ח ותרצה לדעת מדת השוקים
the side of the isosceles triangle =	תרבע העמוד בעצמו שהוא י"ב ואמור י"ב פעמ' י"ב הם קמ"ד הוסף עליהם מרובע חצי התושבת שהוא ט' שיבא פ"א וקבצם יהיו רכ"ה תמצא השורש מרכ"ה והוא ט"ו וכן יהיה מדת כל אחד מהשוקיים וכה"ל
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\rm{height}^2+\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{base}\right)^2}=\sqrt{12^2+\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)^2}=\sqrt{144+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15}}$
Area
Scalene Triangle
114) A scalene triangle such as triangle ABG: AB is 13, BG is 14, and AG is 15	קיד) משולש מתחלף הצלעות כגון משולש אב"ג שצלע א"ב י"ג וצלע ב"ג י"ד וצלע א"ג ט"ו

The area of this triangle can be found only by using the height	וזה המשולש לא נוכל לדעת תשברתו אלא מן העמוד
[Although later on (problem 116) a general formula is given for finding the area of any triangle according to its three sides without needing to know the height]
The rule for every triangle: the area = $\scriptstyle\rm{height}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{base}\right)=\rm{base}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{height}\right)$	כי כל משולש בין שוה הצלעות בין מתחלף הצלעות תשברתו הוא ברבוע העמוד על חצי התושבת או בריבוע כל התושבת בחצי העמוד
The height of a scalene triangle does not stand on half its base, but is closer to one side than the other	ולכן נצטרך להוציא העמוד ולהגביל מעמדו בתושבת כי העמוד במשולש הזה אינו עומד במחצית התושבת אבל נוטה ממחצית התושבת אל צד אחד
The long segment of the base from its meeting point with the height	והצד הארוך מגבול מעמדו אנו קוראים לו מעמד ארוך
The short segment of the base from its meeting point with the height	והצד השני מעמד קצר
the long segment =	ואם נרצה להוציא המעמד הארוך נקח מרובע הצלע משתי הצלעות אשר העמוד יוצא מבניהם והוא צלע א"ג שהוא ט"ו ומרבעו רכ"ה ונחבר המרובע הזה אל מרובע התושבת שהוא י"ד ומרובעו קצ"ו ויהיו שני המרובעים תכ"א נוציא מהם מרובע צלע הקצר שהוא צלע א"ב שהוא י"ג ומרובעו קס"ט וישארו רנ"ב נחלק רנ"ב לשנים ויהיה המחצית קכ"ו נחלק קכ"ו על התושבת שהוא י"ד יהיו ט' והוא מרחק גבול מעמד העמוד מן הצלע הארוך הרי שקו ג"ד הוא ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(AG^2+BG^2\right)-AB^2\right]}{BG}&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(15^2+14^2\right)-13^2\right]}{14}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(225+196\right)-169\right]}{14}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(421-169\right)}{14}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot252}{14}=\frac{126}{14}=9\\\end{align}}}$
the short segment =	ואם נרצה לדעת המעמד הקצר נקח מרובע הצלע הקצר שהוא י"ג ומרובעו קס"ט עם מרובע התושבת שהוא קצ"ו ויהיו שני המרובעי' שס"ה נוציא מהם רכ"ה שהוא מרובע קו א"ג שהוא הצלע הארוך שהוא ט"ו ישארו ק"מ חלקם לשנים ויהיה המחצית ע‫' נחלקם על התושבת שהוא י"ד יהיו ה' וכן מרחק מעמד העמוד מן הצלע הקצר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(AB^2+BG^2\right)-AG^2\right]}{BG}&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(13^2+14^2\right)-15^2\right]}{14}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(169+196\right)-225\right]}{14}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(365-225\right)}{14}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot140}{14}=\frac{70}{14}=5\\\end{align}}}$
height = $\scriptstyle\sqrt{side_1^2-\left(\rm{long\ segment}\right)^2}=\sqrt{side_2^2-\left(\rm{short\ segment}\right)^2}$	ואם תרצה לדעת אורך זה העמוד נרבע הצלע ונוציא ממרובעו מרובע המעמד הדבק בו ונקח גדר הנשאר והוא יהיה אורך העמוד
the height =	המשל בזה נרבע הצלע הקצר שהוא י"ג בזה המשולש יהיו קס"ט נפחות מקס"ט מרובע המעמד הקצר הדבק בו דהיינו קו ד"ב שהוא ה' ומרובעו כ"ה ישארו קמ"ד וגדר קמ"ד הוא י"ב הרי שמספר העמוד הוא י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{AB^2-DB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12}}$
the height =	וכן אם נרבע הצלע הארוך שהוא ט"ו ומרובעו רכ"ה ונפחות ממנו מרובע המעמד הארוך דהיינו קו ג"ד שהוא ט' ומרובעו פ"א ישארו קמ"ד כמו שנשאר מן הצלע הקצר וגדר קמ"ד הוא י"ב והוא אורך העמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{AG^2-GD^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12}}$
the area =	ואם תרצה לדעת תשבורת זה המשולש
$\scriptstyle{\color{blue}{\rm{height}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{base}\right)=12\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)=12\sdot7=84}}$	תרבה כל העמוד שהוא י"ב בחצי התושבת שהוא ז' שיבואו פ"ד והוא תשברתו
$\scriptstyle{\color{blue}{\rm{base}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{height}\right)=14\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=14\sdot6=84}}$	או תרבה כל התושבת שהוא י"ד בחצי העמוד שהוא ו' ויהיו פ"ד והוא תשברתו וכה"ל
Right Triangle
115) This is the shape of the triangle that is called a right-angled triangle. If you want to know its area	קטו) וזאת היא צורתה המשולש הזה נקרא משולש נצב הזויות ואם תרצה לדעת תשברתו
the area of the right triangle = $\scriptstyle base_1\times\left(\frac{1}{2}\sdot base_2\right)$	תרבה הצלע האחד מן הצלעות המקיפות בזוית הנצבה בחצי הצלע האחרת
Example: line BA is 10 and line BG is also 10	כגון אם היה קו ב"א י' וקו ב"ג ג"כ י‫'

the area = $\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=10\sdot5=50}}$	אמור י' פעמ' ה' הם נ' והוא תשברתו
Right triangle is half a square	כי אתה רואה שהוא חצי מרובע שוה הצלעות נצב הזוויות
the area of the right triangle = = $\scriptstyle\frac{1}{2}$ the area of the square	ואם היה מרובע שלם היינו אומרי' י' פעמ' י' הם ק‫' ועכשיו שהוא חצי מרובע נאמר י' פעמ' ה' הם נ' וכן לכל חשבון כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=10\sdot5=50=\frac{1}{2}\sdot100=\frac{1}{2}\sdot10^2}}$
Heron's Theorem
116) General Rule: calculating the area of a triangle without considering the height- "calculation of differences" [= Heron's Theorem]	קיו) כלל גדול לדעת תשבורת המשולש שאינך צריך בו אל הוצאת העמוד והחשבון הזה נקרא חשבון המותרות
	והוא שתדע מחצית כל אחד מצלעי המשולש ותקבץ כל המחציות האלה ותדע מותר כללם על כל צלע וצלע ותשמור המותרות האלה ותמנה אחד מהם בשיני והמספר הנקבץ מנה אותו בשלישי במספר ואשר יכנס בידך מהחשבון הזה מנה אותו בכל כלל המחציות אשר קבצת ויהיה המספר הזה מרובע תשבורת המשולש ואם תוציא גדר המספר הזה תמצא התשבורת
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle side_1=a\\\scriptstyle side_2=b\\\scriptstyle side_3=c\\\scriptstyle\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c=s\end{cases}\scriptstyle\longrightarrow Area_{\triangle}=\sqrt{\left(s-a\right)\times\left(s-b\right)\times\left(s-c\right)\times s}$
Example: triangle whose one side is 10, the second is 8, and the third is 6	המשל בזה משולש שצלעו האחד י' והשני ח' והשלישי ו‫'

half the sum of the sides = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(10+8+6\right)=12}}$	ואם אתה מקבץ מחצית ג' הצלעות האלה יהיה המספר י"ב
the area =	ומותר י"ב על הצלע האחד ב' ועל השני ד' ועל השלישי ו‫' ואתה בוא ומנה ב' שהוא מותר הצלע האחד בד' שהוא מותר הצלע השני יהיו ח‫' בוא ומנה אלו הח' בו' שהוא מותר הצלע השלישי ויהיו מ"ח שוב ומנה מ"ח בי"ב שהוא כלל המחציות ויהיו תקע"ו ותקע"ו הוא מרובע התשבורת ואם תמצא הגדר של תקע"ו יהיו כ"ד והוא יהיה תשבורת זה המשולש וכה"ל
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(12-10\right)\times\left(12-8\right)\times\left(12-6\right)\times12}=\sqrt{2\sdot4\sdot6\sdot12}=\sqrt{8\sdot6\sdot12}=\sqrt{48\sdot12}=\sqrt{576}=24}}$
Parallelogram
117) Quadrangle whose two long sides are equal, both are 25, its two short sides are equal, both are 15, and its angles are not right angles.	קיז) מרובע ששני אורכיו שוים וכל אחד מהם כ"ה ושני רחביו שוים וכל אחד מהם ט"ו ואין זוויותיו נצבות כגון זה

The area of a parallelogram can be found only by calculating the areas of the two equal triangles to which it is intersected by the diagonal Example: AG is 20 and the height to AB in the triangle ABG is 12	כשנבוא לרבעו נמדוד בו אלכסון א"ג והיה כ' אמה והוא החולק הזה המרובע לב' משולשים שוים ואין אנו יכולין לדעת שברי זה המרובע אלא מתוך ריבוע ב' המשולשים האלה
Therefore, the area is calculated after finding the height	ומפני זה אם אנו מוציאים את העמוד באחד מהם נדע תשבורת המשולש ההוא
the area of the parallelogram = $\scriptstyle\rm{side}\times\rm{height}$ = twice the area of the triangle	ונכפול אותו ונמצא תשבורת שני המשולשים דהיינו תשבורת כל זה המרובע
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\rm{Area_{ABG}}=2\sdot150=300}}$	ואם תוציא עמוד במשולש אב"ג על צלע א"ב יהיה העמוד י"ב ותשבורת המשולש ק"נ וכפל ק"נ הוא ש' והוא תשבורת המרובע הזה
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{300\neq375=25\sdot15=side_1\times side_2}}$	ומי שלא היה מבין זה הדרך והיה מרבע האורך עם הרוחב כשאר המרובעים שהם על זוויות נצבות והיה אומ' כ"ה פעמ' ט"ו היו עולים שע"ה ראה כמה טעות בין שני החשבונות המרובע עודף
Additional segment: the differences between the square and its inner circle and the inner square of the inner circle	המרובע עודף על העגול שבתוכו העגול עודף על המרובע שבתוכו
The external square is larger than the circle by $\scriptstyle\frac{3}{14}$ The inner square is less than the circle by $\scriptstyle\frac{4}{14}$
Trapezoid
Isosceles Trapezoid
118) A trapezoid such as this ABGD. AB and GD are equal, both 13. AG and BD are parallel and not equal to each other AG is 8 cubits and BD is 18 cubits	קיח) קטומת הראש כגון זאת הצורה שיש לה ד' צלעות ועליהם אבג"ד וצלע א"ב וג"ד הם שוות וכל אחד מהם י"ג וצלעי א"ג וב"ד הם נכוחיים ואינם שוים זה לזה וצלע א"ג ח' אמות וצלע ב"ד י"ח אמות
this shape is called isosceles trapezoid	והצורה הזאת נקראת קטומת הראש שוה
AG which is the shorter is called the upper base	וצלע א"ג שהיא הקצרה משתי צלעות הנכוחייות נקראת ראש הקטומה
BD which is the longer is called the lower base	וצלע ב"ד הארוכה נקראת תושבת הקטומה

height of isosceles trapezoid = $\scriptstyle\sqrt{\rm{side}^2-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(\rm{bottom\ base}\right)-\left(\rm{top\ base}\right)\right]\right]^2}$	והרוצה למדוד הצורה הזאת יוציא עמודה ראשונה ודרך הוצאתו הוא שיפחות ראש הקטומה משרשה מתושבתה והעודף ביניהם יחלק אותו לשנים וידע מרובע המחצית ויפחות מהמרובע הזה מרובע אחת מן הצלעות השוות והנשאר ממרובע הצלע ידע שרשו והוא יהיה מספר העמוד
the height =	ובצורה הזאת נפחות מנין ח' שהוא ראש הקטומה מן י"ח שהוא התושבת ישאר י‫' והמחצית מי' הוא ה' והוא יהיה ודאי חלק העודף האחד מנקודת ה' קו ב"ה ומנקודת ז' קו ד"ז ונוציא קו מא' אל ה' ומן ג' אל ז' ובידוע שכל קו מהם הוא עמוד על תושבת ב"ד ויהיה משולש אה"ב נצב הזוית ומיתר הזוית הזאת הוא קו א"ב ובידוע כי מרובע המיתר הזה שהוא י"ג שוה למרובע ב"ה שהוא אשר ידענו שהוא ה' ולמרובע א"ה שאנו רוצים לדעתו ואם נפחות מרובע ה' שהוא כ"ה ממרובע י"ג שהוא קס"ט ישאר קמ"ד ובידוע שגדר קמ"ד והוא י"ב יהיה מדת העמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle AH&\scriptstyle=\sqrt{AB^2-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(BD-AG\right)\right]^2}=\sqrt{13^2-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(18-8\right)\right]^2}=\sqrt{169-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{169-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\\\end{align}}}$
the area =	ואם תרצה לדעת תשבורת זאת הצורה תכניס הראש עם התושבת ויהיו כ"ו קח מחציתם והם י"ג ומנה אותם בי"ב שהוא מדת העמוד יהיו קנ"ו והוא תשברתו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(\rm{top\ base}\right)+\left(\rm{bottom\ base}\right)\right]\right]\sdot\rm{height}=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+18\right)\right]\sdot12=\left[\frac{1}{2}\sdot26\right]\sdot12=13\sdot12=156}}$
Extending the sides in order to create a triangle	ואם תרצה להאריך למעלה שני צלעי הקטומה שהם קו א"ב וג"ד עד שיפגשו אל נקודת ז' כמו שתראה בצורה ותהיה הצורה דומה למשולש

the additional segments of the sides of the triangle	ותרצה לדעת אורך הקוים העולים למעלה והם קוי א"ז וג"ז
	תדע עודף התושבת על הראש שהוא י' בצורה הזאת ותשמור אותו עמך ושוב ותראה הראש שהוא ח' בכל הצלע שהוא י"ג ויהיה הכל ק"ד חלקם על י' אשר הוא העודף אשר שמרת ותהיה החלוקה י' ושני חומשי' והוא אורך קו א"ז וכמו כן קו ג"ז העולים עד הנקודה
$\scriptstyle{\color{blue}{AC=GC=\frac{\left(\rm{bottom\ base}\right)\sdot\rm{side}}{\left(\rm{bottom\ base}\right)-\left(\rm{top\ base}\right)}=\frac{8\sdot13}{18-8}=\frac{104}{10}=10+\frac{2}{5}}}$
	או תעשה על זה הדרך שתדע ערך ח' אמות שהוא אורך הראש מי' שהוא עודף התושבת על הראש וערך ח' אל י' הוא ד' חמשי' דהיינו א' פחות חומש וכערך ח' אל י' כן יהיה ערך הקו העולה עד נקודת הז' אל י"ג שהוא הצלע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle AC:13=AC:BC=GC:13&\scriptstyle=GC:DC=AG:\left(BD-AG\right)\\&\scriptstyle=\left(\rm{top\ base}\right):\left[\left(\rm{bottom\ base}\right)-\left(\rm{top\ base}\right)\right]\\&\scriptstyle=8:\left(18-8\right)=8:10=\frac{4}{5}=1-\frac{1}{5}\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{AC=GC=13-\frac{13}{5}=10+\frac{2}{5}}}$	דהיינו שיהיו י"ג פחות י"ג חומשי' שהם י' וב' חמשים וכה"ל
Trapezoid
119) the area of this trapezoid is the product of one of its heights by half the sum of the upper base and the lower base together the area of the trapezoid = $\scriptstyle\rm{height}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(\rm{top\ base}\right)+\left(\rm{bottom\ base}\right)\right]\right]$	קיט) רבוע הקטומה הזאת הוא בריבוע אחד מעמודה במחצית הראש והתושבת יחד והוא שתהיה מקבץ

Example: the length of the upper base is 8; the lower base is 22; and the height is 12	בצורה הזאת ח' שהוא אורך הראש כ"ב שהוא התושבת
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+22\right)\right]=12\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot30\right)=12\sdot15=180}}$	ויהיה הכל ל' קח מחציתו והוא ט"ו ומנה אותו בי"ב שהוא אורך העמוד ויהיה הכל ק"פ והוא יהיה תשבורת הקטומה הזאת וזאת היא הצורה
Right Trapezoid
120) The area of this trapezoid	קכ) רבוע הקטומה הזאת

Finding the area of this drawn shape Area of right trapezoid = $\scriptstyle height\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(top\ base\right)+\left(bottom\ base\right)\right]\right]$	הוא באסיפת ראשה אל תושבתה ותקח מחצית' וימנה בעמוד והוא יהיה תשברתה
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+20\right)\right]=9\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)=9\sdot14=126}}$	ואם תאסוף בצורה הזאת ראשה אל תושבתה יהיה כללם כ"ח קח מחציתם שהוא י"ד ותרבה אותו בט' שהוא אורך העמוד יהיו קכ"ו והוא תשבורת הקטומה הזאת
Trapezoid
121) The area of this trapezoid	קכא) תשבורת הקטומה הזאת

Finding the area of this drawn shape Area of trapezoid = $\scriptstyle\rm{height}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(\rm{top\ base}\right)+\left(\rm{bottom\ base}\right)\right]\right]$	הוא ברבוע העמוד בחצי הראש וחצי התושבת
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(14+21\right)\right]=12\sdot\left(17+\frac{1}{2}\right)=210}}$	וחצי הראש וחצי התושבת הם י"ז וחצי תרבה אותם על י"ב שהוא העמוד יהיו ר"י והוא תשברתו וכה"ל
Figure Problem - Quadrangle whose two sides are equal to its diagonal
122) Quadrangle whose two sides are equal to its diagonal	קכב) מרובע שני קוויה כמרובע אלכסונה


No verbal description is given
Arc
Half a Circle; Arc
123) A shape of half a circle - if you want to know the area of this shape	קכג) צורת חצי עגול אם תרצה לדעת תשבורת הצורה הזאת
the area of half the circle = $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot2r\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{perimeter\ of\ half\ circle}\right)$	תרבע חצי המיתר שהוא חצי קוטר העגול בחצי הקו העקום הנקרא קשת ותמצא התשבורת
the perimeter of half the circle = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot2r\right)\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=4\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=12+\frac{4}{7}}}$	ואם תרצה לדעת מדת הקשת תכפול חצי המיתר שהוא ד' ג' פעמ' ושביעי' פעם ויהיו י"ב אמות וד' שבעיות וכן יהיה מדת הקשת ר"ל הקו הסובב עקמומית זה החצי העגול

the area = $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(12+\frac{4}{7}\right)\right]=4\sdot\left(6+\frac{2}{7}\right)=25+\frac{1}{7}}}$	ואם תרצה לדעת שברי זה החצי העגול תרבע כאשר אמרנו חצי המיתר בחצי הקו הסובב דהיינו שתאמ' ד' פעמ' ו' וב' שבעיות יהיו כ"ה ושביעית וכן יהיה תשבורת חצי העגול וכה"ל
the area of half the circle = $\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\left[\left(2r\right)^2-\left[\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot\left(2r\right)^2\right]\right]$	או תעשה על דרך זה תרבע את המיתר בעצמו ותוציא מזה המרובע שביעיתו וחצי שביעיתו וקח מחצית הנשאר והוא יהיה תשבורת חצי העגול
the area =	וכצורה הזאת אשר עשינו תרבע המיתר שהוא ח' בעצמו יהיו ס"ד הוצא ממנו שבעיתו וחצי שביעיתו שהם י"ג אמות וה' שבעיות ישארו נ' אמות וב' שביעי אמה קח מחציתם שהם כ"ה ושביעית והוא יהיה תשבורת חצי העגול
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\left[8^2-\left[\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot8^2\right]\right]&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left[64-\left[\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot64\right]\right]=\frac{1}{2}\sdot\left[64-\left(13+\frac{5}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left(50+\frac{2}{7}\right)=25+\frac{1}{7}\\\end{align}}}$
Arc, smaller than half a circle
124) An arc that is smaller than half a circle For example: arc ABG; its chord AG = 8; its versed sine DB = 2	קכד) קשת פחות מחצי עגול הדמיון לצורה המעוטה מחצי העגולה היא צורת קשת אב"ג ומיתרה א"ג ואורכו ח' וחיצה ד"ב ואורכו ב‫'

The area can be found only if the diameter is known	ואי אתה יכול להגיע לתשבורת הצורה הזאת אם אינך יודע כל קוטר העגול שזה הקשת נקטם ממנו
the diameter = $\scriptstyle2r=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{chord}\right)^2}{\rm{versed\ sine}}+\rm{versed\ sine}$	ותוכל לדעת קוטר העגול בעניין זה תרבע מחצית המיתר ותחלק מרובעו על החץ והוסף מדת החץ עליו ותדע סך הכל והוא יהיה אורך כל הקוטר
the diameter = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2}{2}+2=\frac{4^2}{2}+2=\frac{16}{2}+2=8+2=10}}$	ומצורה הזאת אשר עשינו תרבע מחצית המיתר שהוא ד' בעצמו יהיו י"ו וחלק אותו על החץ שהוא ב' יהיו ח' והוא האורך הנשאר מן הקוטר הוסף עליהם ב' שהוא החץ יהיו י‫' הרי שכל הקוטר מן העגול שזה הקשת נקטם ממנו הוא י' וכה"ל
Geometric illustration - completing the circle in order to find the area of the figure that is smaller than half the circle	ולראות העניין באר הטב הוי משלים העגולה הזאת כלה והוצא קו ב"ד עד שיגיע אל עקמימות העגולה מן הצד השני כגון קו בד"ז ואם תרצה לידע תשבורת הצורה הזאת חלק קו ב"ז לב' חלקי' שוים על נקודת ח' ות‫' נקודת ח' ותהיה הנקודה הזאת ציר העגולה ותרצה והוצא ממנה ב' קווים אל נקודת א' ואל נקודת ג' והם קוי ח"א וח"ג

triangle AHG = $\scriptstyle{\color{blue}{HD\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AG\right)}}$	ואם אתה מרבע קו א"ח שהוא חצי הקוטר העגול בחצי הקשת אשר הוא עוקם א"ג יהיה מנין הזה תשבורת המשולש אשר ב' צלעיו הם ב' קוי א"ח וח"ג
segment ABGD =	ותשבורת קשת אב"ג הוצא מן המנין תשבורת המשולש אח"ג וישאר בידך תשבורת הצורה שעליה אבג"ד ותשבורת המשולש הזה הוא רבוע קו ח"ד שהוא בצורה הזאת ג' אמות בחצי קו א"ג והוא ד' אמות ורבועם י"ב והוא הסך אשר תוציא מרבוע קו א"ח הישר בקו א"ב העקום ויהיה הנשאר תשבורת צורת אבג"ד שהוא צורת הקשת שהוא פחות מחצי עגול
$\scriptstyle{\color{blue}{AG_{sector}-AHG_{\triangle}=AH\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AG_{arc}\right)-AHG_{\triangle}=\left[r\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AG_{arc}\right)\right]-AHG_{\triangle}}}$
the area of the shape that is smaller than half a circle =	ומכאן אתה אומ' כי רבוע הקשת שהוא פחות מחצי עגול הוא שתרבע חצי כל הקוטר מן העגול שהקשת נקטם ממנו בחצי הקשת ותשמור אותו ואחרי כן תוציא מחצי הקוטר קו החץ אשר לקשת והנשאר מחצי הקוטר מנה אותו במחצית המיתר והעולה בידך תפחות אותו מן המנין אשר שמרת בידך והנשאר בידך הוא תשבורת הקשת שהוא פוחת מחצי עגול
$\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2r\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{arc}\right)\right]-\left[\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2r\right)\right]-\rm{versed\ sine}\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{chord}\right)\right]$
Arc, greater than half a circle
125) The shape of the arc that is greater than half the circle, which is arc ABG; its chord AG = 12; [versed sine = 12]	קכה) צורת הקשת העודף על חצי העגול והוא קשת אשר עליו אב"ג ומיתרו א"ג ואורכו י"ב

the area of the shape that is greater than half a circle = $\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2r\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{arc}\right)\right]+\rm{Area}_{\triangle}$	ואם תרצה לדעת תשבורת הצורה הזאת תוציא קוטר כל העגול שזאת הצורה נקטמת ממנו ותרבה חצי הקוטר בחצי הקשת ותוסיף עליו תשבורת המשולש אשר המיתר הוא תושבתו ויהיה סך הכל תשבורת כל זאת הצורה
the diameter = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2}{12}+12=\frac{6^2}{12}+12=\frac{36}{12}+12=3+12=15}}$	ובצורה הזאת תרבע חצי המיתר שהוא ו' בעצמו שיבואו ל"ו חלק אותם על החץ שהוא י"ב ויהיה החלוקה ג‫' הוסיפם על החץ יהיה סך הכל ט"ו והוא אורך כל הקוטר מן העגול שזאת הצורה נקטמת ממנה
BZ = $\scriptstyle{\color{blue}{r=\frac{1}{2}\sdot15=7+\frac{1}{2}}}$	ומחציתו הוא מחצית הקוטר והוא בצורה הזאת קו ב"ז הרי שקו ב"ז הוא ז' וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{ABGZA=BZ\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{arc}_{ABG}\right)}}$	מנה אותו במחצית הקשת ומה שיעלה יהיה תשבורת הצורה העקומה אשר יקיפו אותה ב' קווי ג"ז וא"ז עם קשת א'ב'ג‫'
	הוסף עליהם תשבורת משולש א'ז'ג' והוא המספר הנקבץ מרובע קו ד"ז במחצית קו א"ג וכשתקבץ הכל יהיה תשבורת העקמומית הזאת
$\scriptstyle{\color{blue}{ABGDA=ABGZA+AZG=ABGZA+\left[DZ\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AG\right)\right]}}$
the area of the shape that is greater than half a circle =	ומכאן אתה למד הרוצה לדעת תשבורת העקום העודף על חצי העגול יהיה מרבע חצי הקוטר בחצי הקשת וישמור המספר ואחרי כן יפחות חצי הקוטר מן החץ [והנשאר מן החץ] ירבע אותו בחצי המיתר והמספר העולה יאספינו אל המספר אשר שמר ויהיה הכל סך תשבורת העקומה העודפת על חצי העגול
$\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2r\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{arc}\right)\right]+\left[\left[\rm{versed\ sine}-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2r\right)\right]\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{chord}\right)\right]$
Divide a Figure
Triangle
126) If you want to divide the triangle into two equal parts [= the areas of both are equal] such that one part is a triangle and the other is a quadrangle	קכו) אם תרצה לחלק המשולש לב' חלקי' שוים וישאר החלק האחד משולש והשני דומה למרובע
Geometric illustration - dividing triangle ABG - based on the following condition: the square of the original side should be twice as the square of its larger portion	כגון משולש א'ב'ג' אשר ראשו נקודת א' ותושבתו ב"ג ותרצה לחלקו לחצי אתה צריך לחלק כל אחד מצלעי א"ב וא"ג לב' חלקי' בענין שיהיה מרובע הצלע כולו כפליים ממרובע הצלע החלק הגדול מחלקיו
	כגון שתהיה חולק קו א"ב לב' חלקים על נקודת ד' וקו א"ג לב' חלקי' על נקודת ה‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{AD^2=\frac{1}{2}\sdot AB^2}}$	ויהיה מרובע א"ד מחצית מרובע א
$\scriptstyle{\color{blue}{AH^2=\frac{1}{2}\sdot AG^2}}$	וכן מרובע א"ה מחצית מרובע א"ג
ADH = DHBG	ותוציא קו מד' על ה' והיה משולש נחלק לב' חלקי' שוים החלק האחד משולש א'ד'ה' וחלק השני נפתל ד'ה'ב'ג‫'
The size of the large portion of a side a should be: $\scriptstyle\frac{5}{7}a-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{7}\right)a=\frac{99}{140}a$	ודרך חשבון המרובעים האלה יהיה אם תהיה לוקח מאורך הקו מנקודת א' אשר הוא הראש ה' חלקי' מז' בו פחות חצי עשירית השביעית והכלל המסור לזה הוא שתהיה לוקח מן הקו צ"ט חלקי' מק"מ חלקי' בו
Example: [triangle ABC] AB is 7 cubits long	כאילו היה אורך צלע א"ב ז' אמות
AD = $\scriptstyle{\color{blue}{5-\frac{1}{20}}}$ cubits	יהיה קו א"ד מהם ה' אמות פחות חלק אחד מעשרים באמה
AG is 10 cubits long	וצלע א"ג היה אורכו י' אמות
AH = $\scriptstyle{\color{blue}{AH=7+\frac{1}{14}}}$ cubits	יהיה קו א"ה ז' אמות וחלק אחד מי"ד באמה
	ועל החשבון הזה אתה חולק את שתי הצלעות האלה ותוציא קו מן החלק האחד אל השני ויחלק המשולש לב' חלקים שוים
Triangular Field
127) If you have to divide a triangular field to three owners and each asks his share in accordance with one of the sides of the triangle	קכז) ואם יהיה קרקע המשולש לג' בעלים ואתה צריך לחלקו ביניהם וכל אחד מהבעלים מבקש חלקו נגד צלע אחד מצלעי המשולש
Geometric illustration of the problem: triangle ABG	ויהיה המשולש הזה משולש א'ב'ג‫'
AD = BD	ואתה בא וחלק צלע א"ב לב' חלקי' שוים על נקודת ד' והוצא קו מד' אל ג' ויחלק המשולש לב' חלקי' שוי‫'

${\color{blue}{\scriptstyle DH=\frac{1}{3}\sdot DG}}$	ואחר כן מדוד מקו ד"ג אשר הוא קומת המשולש שלישיתו מנגד נקודת ד' אשר על התושבת ויהיה החלק הזה קו ד"ה והוצא מנקודת ה' ב' קוים אל נקודת א' ואל נקודת ב‫'
$\scriptstyle\triangle GHA=\triangle AHB=\triangle GHB$	ויחלק המשולש לג' חלקים שוים והם משולש ג'ה'א' ומשולש א'ה'ב' ומשולש ג'ה'ב‫'
Rhombus
128) Questions concerning the rhombus mentioned above	קכח) שאלות במעויין הנז' למעלה
Example: one of the diagonals is 16 and the other is 12. How much is the side?	אשר אחד מאלכסוניו י"ו והשני י"ב כמה הוא צלעו
the side of the rhombus = $\scriptstyle\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}_1\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}_2\right)^2}$	תשובה קח מחצית כל אחד מאלכסוניו ורבע אותם וקבץ שני המרובעי' וקח את גדרם ותמצא הצלע
the side =	ופירוש התשובה קח מחצית י"ו והוא ח‫' וריבועו ס"ד וקח מחצית י"ב והוא ו‫' וריבועו ל"ו ומניין שני המרובעים האלו הם ק‫' וגדר ק' הם י' והוא צלע המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10}}$
Example: the area of the rhombus is 96, and one of its diagonals is 16. How much is the other diagonal?	ואם יאמר מעויין שתשברתו צ"ו ואלכסון האחד י"ו כמה הוא האלכסון השני
$\scriptstyle\rm{diagonal}_2={\color{blue}{2\sdot\frac{\rm{area_{rhombus}}}{diagonal_1}=2\sdot\frac{96}{16}=2\sdot6=12}}$	חלק צ"ו אשר הוא התשבורת על האלכסון אשר ידעת שהוא י"ו ותמצא מחצית האלכסון השני ו' וכפלה י"ב והוא האלכסון השני
Example: the side of the rhombus is 10 and its area is 96. How much are its diagonals?	ואם יאמ' מעויין צלעו י' ותשברתו צ"ו כמה אלכסונו
	קח מרובע הצלע והוא ק' הוסף עליו התשבורת ויהיו קצ"ו וגדר המספר הזה הוא י"ד והם שני חציי האלכסונות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}_1+\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}_2=\sqrt{\rm{side^2+area}}=\sqrt{10^2+96}=\sqrt{100+96}=\sqrt{196}=14}}$
	קח מחצית המספר והוא ז' ומרובעו מ"ט הוצא ממנו מחצית התשבורת אשר הוא מ"ח וישאר בידך א‫' וגדר הא' הוא א' אם אתה מוסיף אותו על ז' יהיו ח' והוא מחצית האלכסון האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}_1&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{area}\right)}=7+\sqrt{7^2-\left(\frac{1}{2}\sdot96\right)}\\&\scriptstyle=7+\sqrt{49-48}\\&\scriptstyle=7+\sqrt{1}=7+1=8\\\end{align}}}$
	ואם אתה פוחת אותו מן ז' ישאר ששה והוא מחצית האלכסון השני
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}_2=\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{area}\right)}=7-1=6}}$
Figure Problem - Divide a Figure - Triangle
129) Question: a triangle, its one side AB is 12 cubits; the second side BG is 10 cubits and the third side AG is 15 cubits. You want to divide it to two owners equally	קכט) שאילה משולש אשר צלעו האחד י"ב אמות והוא צלע א"ב וצלע ב"ג השני י' אמות וצלע א"ג השלישי ט"ו אמות ואתה רוצה לחלקו לב' בעלים לכל אחד חלק שוה

Geometric illustration of the problem: D₁B = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$ cubits	והנה נשים נקודות ד' אשר הוא המיתר רחוקה מנקודת ב' על צלע א"ב שתי אמות
AD₁ = $\scriptstyle{\color{blue}{AB-D_1B=10}}$ cubits	וישאר קו א"ד י' אמות
AZ = BZ = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot AB=6}}$ cubits	ויהיה מחצית צלע א"ב על נקודת ז' ויהיה קו א"ז שש אמות כי כן מסרנו צלע א"ב כולו י"ב אמות
D₁Z = AZ-AD₁ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$ cubits $\scriptstyle{\color{blue}{=\frac{2}{5}\sdot AD_1}}$	ובין קו א"ז שהוא המחצית ובין קו א"ד ארבע אמות והם שני חמישיות קו א"ד
GH₁ = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot AG=\frac{2}{5}\sdot15=6}}$ cubits	ואתה קח מצלע א"ג הנדבק אל א"ד שני חמשיותיו אשר היא הראש על נקודת ה‫' ויהיה קו ג"ה שש אמות כי כל צלע א"ג היה ט"ו אמה והוצא המחצה מנקודת ד' עד נקודת ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\triangle D_1AH_1=D_1H_1GB}}$	ויהיה המשולש הזה נחלק לשני חלקי' שוים החלק האחד משולש ד'א'ה' והחלק השני נפתל ד"ה ג"ב
AD₂ = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$ cubits	ואילו היה המיצר אשר הוא נקודת ד' נופל לצד אחד עד שיהיה א"ד שתי אמות לא היית מוצא המחצה אל הצלע א"ג אבל אל צלע ב"ג
GH₂ = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot BG=\frac{2}{5}\sdot10=4}}$ cubits	והיית לוקח מצלע ב"ג אשר הוא י' אמות שני חמשיותיו על נקודת ה' מנגד נקודת ג‫' ויהיה קו ג"ה בצלע ב"ג ד' אמות
$\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\triangle D_2BH_2=D_2H_2GA}}$	ותוציא המחצה מנקודת ד' אל נקודת ה' כאשר אתה רואה בצורה הזאת
	כי המחצה בדמיון הזה היא יוצאה לעולם אל החלק הארוך אם יהיה הארוך ב"ד אתה מוציא המחצה אל צלע ב"ג ואם יהיה הארוך א"ד אתה מוציא המחצה אל צלע א"ג ואתה מתחיל למדוד את שתי החמשיות מנקודת ג' אשר היא הראש ואל הנקודה הזאת הייתה המחצה יוצאה אלו היה המיצר נופל על מחצית צלע א"ב ומדת מרחק המיצר מן המחצית אתה מתרחק מנקודת ג' אשר הוא הראש
It is possible to understand the issue without the numbers attached, but the author added the numbers in the above example to facilitate learning	ואתה יכול להבין את העניין הזה אם לא היית מדמה אותו במספר אלא שזכרתי המספר כדי להקל על הלומד ולהקריב העניין ללב המלמד
Area
Polygons
130) Measuring equilateral or scalene polygons with more than four sides	קל) שאלה במדידת הצורות אשר צלעותיו עודפות על ארבע הצלעות והצורות האלה הם על תמונות רבות מהם מחומשות ומהם משותתות ומשובעות ולמעלה מהם יש מהם שצלעותם וזוויותם שוות ויש שלא יהיו שוות אלא מתחלפות
The rule for equilateral polygons:	ואני נותן לך כלל ראשונה במדידת הצורות אשר צלעותן וזוויותן שוות
the area of the equilateral polygon = $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{diameter_{incircle}}\right)\sdot\frac{1}{2}\sdot\sum \rm{sides}$	והכלל הזה הוא כל תבנית וכל צורה אשר אין לה קוים ישרים אם אתה מעגיל בתוכה עגול שיהיה מושש לצלעיה ידוע הוא כי רבוע קוטר חצי העגול הזה במחצית כל צלעי הצורה ההיא א"ו היא תשברתה
Every equilateral polygon with four or more sides can contain an incircle that will touch all its sides	וכל צורה מן המרבע ולמעלה אשר צלעיה וזוויותיה שוות זו לזו אתה יכול לחוק בה עגול שיהיה מושש לכל צלעיה
A scalene polygon might not contain an incircle that will touch all its sides	ואם אין צלעיה וזוויותיה שוות יש מהם שלא יתכן לחוק בעגול שיהיה מושש לכל צלעיה
the area of the equilateral polygon = $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{diameter_{incircle}}\right)\sdot\frac{1}{2}\sdot\sum \rm{sides}$	ואם תבא לידך צורה מכל התמונות מן משולש או מרובע או מחומש או למעלה מהם ואתה מחיק בתוכה עגולה מוששת לצלעיה הוי יודע כי רבוע חצי קוטר העגול ההוא במחצית כל צלעי התמונה הוא תשברתה
The method for finding the area of triangle and square - was explained above	ואין אנו צריכין לתת דמיון מן המשולש ולא מן המרובע כי כבר פורש דרך רבועם
Geometric Illustration: Example: [finding the area] of pentagon ABGDH, of which all the sides are equal and all the angles are equal	אבל אנו נותנין דמיון מן המחומש והוא אשר על חמש זוויותיו א'ב'ג'ד'ה' וכל צלע וצלע מצלעותיו שוות באורכן וכן זוויותיו כלם שוות זו לזו
ZCTKL - the incircle of the pentagon	ואנו מעגילים בתוכן עגול מושש לה' צלעותיו על חמש נקודות ז'ח'ט'כ'ל‫'
M - the incenter	וציר העגול הזה הנקרא מרכז הוא נקודת מ‫'


the area = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{diameter_{incircle}}\right)\sdot\frac{1}{2}\sdot\sum_{i=1}^5 \rm{side}_i}}$	ואנו אומרים כי רבוע חצי קוטר העגול הזה במחצית כל צלעי המחומש הוא תשברתו
half the diameter = any line that connects the center with one of the points of tangency	וחצי הקוטר הוא קו יוצא מנקודת מ' אל אחת הנקודות אשר העגול מושש עליהם את המחומש
creating triangle MAB	ועתה אם אנו מוצאים קו מנקודת מ' אשר הוא המרכז על שתי נקודות א' וב' מן זווית המחומש נתן לנו משולש אשר עליו מ'א'ב‫'
the area of MAB = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\rm{height}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AB\right)&\scriptstyle=ML\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AB\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\rm{diameter}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AB\right)\\\end{align}}}$	ותשבורת המשולש הזה הוא ברבוע העמוד היוצא אל תושבתו בחצי התושבת ואם אנו מוציאים קו מנקודת מ' אל נקודת ל' אשר משש עליה העגול את צלע א"ב יהיה הקו הזה עמוד במשולש מ'א'ב' והוא חצי קוטר העגול ואם מרבע העמוד הזה בחצי צלע א"ב יהיה רבועו תשבורת המשולש
The area of the pentagon is calculated by dividing it into 5 equal triangles the area = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot diameter_{incircle}\right)\sdot\frac{1}{2}\sdot\sum_{i=1}^5 side_i}}$	ועל הדרך הזה אתה יכול לעשות חמשה משולשים על חמש צלעי המשולש המחומש ויהיה תשבורת כל משולש מהם ברבוע חצי הקוטר בחצי הצלע כאשר היה בצלע הזה ותשבורת חמש המשולשים כולם הוא תשבורת המחומש והוא מרבוע חצי הקוטר בחצי כל חמש הצלעות
	והוא יהיה העניין לכל צורה כמוה אשר צלעותיה רבים או מעטים אם אתה מעגיל בתוכה עגול מושש לצלעיה יהיה תשברתה ברבוע חצי קוטר העגול במחצית הצלעות וזאת היא צורתה
Not all the geometrical figures can have incircle	ומפני שאין אתה יכול להוציא בכל תמונה ותמונה עגול שיהיה מושש לכל צלעיה אין הכלל הזה מספיק לך במדידת כל העודפות על ד' צלעות
Another rule for polygons [no proof is given]:	ומפני זה אני נותן לך כלל אחר שיהיה נוהג לך בכל צורה אשר צלעותיה ישרות
Every polygon with n sides can be divided into (n-2) equal triangles	הוי יודע כי כל תמונה שטוחה שצלעותיה ישרות מתחלקת למשולשים שהם חסרים מן מניין הצלעות שנים
Square - is divided into 2 equal triangles	כגון המרובע אשר לו ד' צלעות יתחלק לב' משולשים אשר מניינם פוחת ב' ממספר הצלעות
Hexagon - is divided into 4 equal triangles	והמשושה יתחלק לד' משולשים וכן למעלה מזה
Finding the area of a polygon - by finding the areas of the triangles into which the polygon is divided	ואתה בא מן הכלל הזה וחלק כל תמונה שיבוא לידך אל המשולשים אשר היא נחלקת אליהם ורבע כל משולש מהם על הדרך אשר למדת ויהיה מרובע כולם תשבורת התמונה אשר נחלקו ממנה
Example: dividing the pentagon into three triangles – as illustrated in the figure above – lines AG and AD divide the pentagon ABGDH into three equal triangles	כאלו היית מוצא במחומש אשר ציירתי לך למעלה קו מנקודת א' אל נקודת ג' וקו אחר אל נקודת ד' ויהיה המחומש נחלק לג' משולשים
The minimal number of equal triangles in a pentagon with n sides is n-2	ואין אתה יכול לפחות מהמשולשים האלה ואם אתה מרבע אותם יהיה רבוע שלשתם תשבורת המחומש כגון הצורה הזאת
Square
131) A square of 10 cubits by 10 cubits within it a smaller square of 4 cubits by 4 cubits. You want to know how much is the area of the larger square after subtracting the area of the smaller square from it	קלא) הרי שיש לפניך א' מרובע מי' אמה על י' אמה ובאמצע הוא חקוק ופוחת ד' אמות על ד' אמות ותרצה לדעת כמה הוא המרובע בשיבור אחר הוצאת הד' אמות על ד' אמות מן החקק

$\scriptstyle\rm{area_{big\ square}}-\rm{area_{small\ square}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{10^2-4^2=100-16=84}}$	תאמר אלו היה הטבלה מרובעת שלימה בלתי שום חקיקה היית אומר י' פעמ' י' הם ק' ותשברתו היה ק‫' ועתה שפוחת באמצע ד' על ד' תאמ' ד' פעמ' ד' הם י"ו תפחתם מק' ישארו פ"ד א"כ א' טבלה מרובעת שהיא י' על י' ופוחת באמצעה ד' על ד' תשברתה פ"ד וכן כל הדומה לו
Scalene Trapezoid
132) Scalene trapezoid that has two parallel sides: AG is 8 cubits long, BD is 22 cubits long; and two unequal sides: AB is 15 [cubits] long, and GD is 13 cubits long. It is called scalene trapezoid.	קלב) קטומה שיש לה ב' קוים נכוחיים קו א"ג ואורכו ח' אמות וקו ב"ז ואורכו כ"ב אמות וב' צלעים שאינם שוות והם קו א"ב ואורכו ט"ו וקו ג"ד ואורכו י"ג אמות והצורה הזאת נקראת קטומת הראש חלופה


The area of the trapezoid is found using the height	וריבוע הצורה הזאת יהיה בהוצאת עמוד ה' כאשר עשית בראשונה שכתבתיה למעלה
Finding the distances between the heights and the meeting points of the longer and shorter sides with the basis	ואתה צריך בקטומה הזאת לגבל מעמד העמודים ולדעת מעמד הגדול ומעמד הקטון ואתה נוהג בהם המנהג הזה
The distance between the height and the meeting point of the longer side with the basis: $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{base_{bottom}-base_{top}}\right)\right]+\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{side_1^2-side_2^2}\right)}{\rm{base_{bottom}-base_{top}}}$	תרבע הצלע הקצורה וגרע מרובעה ממרובע הצלע הארוך והעודף שבהם תקח מחציתו ותחלק אותו על עודף התושבת על הראש ואשר יצא מהחלוקה הזאת אם אתה מוסיף אותו על מחצית עדף התושבת תמצא המעמד הגדול אשר לעמוד והוא מרחקו מן הצלע הארוך
The distance between the height and the meeting point of the shorter side with the basis: $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{base_{bottom}-base_{top}}\right)\right]-\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{side_1^2-side_2^2}\right)}{\rm{base_{bottom}-base_{top}}}$	ואם תגרעינו ממחצית העודף תמצא המעמד הקטן אשר לעמוד והוא מרחקו מן הצלע הקצר
	ואם אתה מרבע בצורה הזאת י"ג שהוא אורך צלע ג"ד הקצור יהיה מרובעו ק'ס'ט‫' פחות אותו ממרובע א"ב שהוא מרובע הצלע הארוך ישאר נ"ו קח מחצית המניין הזה והוא כ"ח חלק אותו על י"ד שהוא עודף התושבת על הראש תהיה החלוקה ב‫' ואם תוסיף ב' על ז' אשר הוא חצי עדף התושבת יהיה ט' והוא אורך קו ב"ה אשר הוא מרחק העמוד מהצלע הארוך
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle BH &\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(BD-AG\right)\right]+\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(AB^2-GD^2\right)}{BD-AG}=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(22-8\right)\right]+\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(15^2-13^2\right)}{22-8}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(15^2-169\right)}{14}=7+\frac{\frac{1}{2}\sdot56}{14}=7+\frac{28}{14}=7+2=9\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{CD=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(BD-AG\right)\right]-\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(AB^2-GD^2\right)}{BD-AG}=7-2}}$	ואם תפחות ב' מז' תמצא מרחק העמוד מהצלע הקצר
Extending the sides in order to create a scalene triangle BZD:	והאות על העניין הזה התבונן לך מאשר פירשתי למעלה בעמוד המשולש מתחלף הצלעות

Finding the additional segment of the short side of the triangle	כי בהוציאך מן התושבת את הרחב הראש והוא ה' ישאר קו ט"ח ג' אמות פחות שביע והוא עודף מעמד עמוד המשולש על מעמד עמוד הקטומה הקצר והעודף הזה רבע בצלע הקטומה הקצר שהוא י"ג יהיה ל"ז ושביעית בוא וחלק המספר הזה על מעמד העמוד הקצר בקטומה והוא ה' תהיה החלוקה הזאת ז' וג' שביעיות והוא עודף צלע המשולש על צלע הקטומה הקצרה והוא קו ג"ז היוצא מצד הקצר
$\scriptstyle{\color{blue}{GZ=\frac{TC\sdot GD}{CD}=\frac{\left(DT-CD\right)\sdot GD}{CD}=\frac{\left(3-\frac{1}{7}\right)\sdot13}{5}=\frac{37+\frac{1}{7}}{5}=7+\frac{3}{7}}}$
Finding the additional segment of the long side of the triangle:	ואם תרצה לדעת קו א"ז הארוך הוצא המעמד הארוך במשולש על העניין שהוצאת הקצר ותמצא אותו י"ד ושביעית והוא מעדיף על מעמד הארוך ה' ושביעית מנה אותו בצלע הארוך שהוא ט"ו יהיה המניין ע"ז ושביעית חלק המספר הזה על ט' שהוא המעמד הארוך בקטומה תהיה החלוקה ח' וד' שביעיות והוא עודף צלע המשולש על צלע הקטומה הא' הארוך והוא א"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{AZ=\frac{HT\sdot AB}{HB}=\frac{\left(BT-HB\right)\sdot AB}{HB}=\frac{\left[\left(14+\frac{1}{7}\right)-9\right]\sdot 15}{9}=\frac{\left(5+\frac{1}{7}\right)\sdot15}{9}=\frac{77+\frac{1}{7}}{9}=8+\frac{4}{7}}}$
Finding the height of the triangle	ואם תבוא לדעת עמוד המשולש הזה הוי מונה עודף המעמד הקטן והוא ג' פחות שביע בעמוד הקטומה שהוא י"ב וחלק אותו על מעמד הקטן והוא ה‫' או הוי מונה עודף המעמד הגדול והוא ה' ושביע בעמוד הקטומה שהוא י"ב נחלקהו על המעמד הגדול והוא ט‫' תמצא שניהם מוציאים אל חשבון אחד והוא ז' פחות שביע והוא עודף עמוד המשולש על עמוד הקטומה הוסף אותו על י"ב שהוא עמוד הקטומה ויהיה הכל י"ט פחות שביע והוא אורך קו ז"ט אשר הוא עמוד המשולש בצורה הזאת
$\scriptstyle{\color{blue}{ZT=\frac{TC\sdot GC}{CD}+GC=\frac{\left(3-\frac{1}{7}\right)\sdot12}{5}+12=\left(7-\frac{1}{7}\right)+12=19-\frac{1}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{ZT=\frac{HT\sdot AH}{BH}+AH=\frac{\left(5+\frac{1}{7}\right)\sdot12}{9}+12=\left(7-\frac{1}{7}\right)+12=19-\frac{1}{7}}}$
	גליון וזה דבר ברור הוא כאשר אמרנו למעלה כי קו ה"ט בקו א"ה בקו ב"ה בקו עודף עמוד המשולש על עמוד הקטומה שהיה א"ה על כן אם נרבע קו ה"ט בקו א"ה ונחלק על קו ב"ה יצא לנו העודף
Right Trapezoid
133) The third trapezoid is a trapezoid whose upper base is parallel to its lower base and one of its legs is its height - right trapezoid. For example: [right] trapezoid ABGD - its upper base AG is 8, its lower base BD is 20, its long leg AB is 15, and its short leg GD is 9 which is the height of BD.	קלג) התמונה השלישית הקטומה שראשה נכוחי לתושבתה ואחד מצלעיה עמוד עליה והתמונה הזאת נקראת חצי קטומה והדמיון לצורה הזאת קטומה שעליה א'ב'ג'ד' וראשה א"ג והיא ח' ותושבתה ב"ד והיא כ' וצלע א"ב הארוך ט"ו וצלע ג"ד הקצור ט' אמות והוא עמוד על תושבת ב"ד


Area of right trapezoid = $\scriptstyle \left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{base_{top}+base_{bottom}}\right)\right]\sdot\rm{height}$	וחשבון רבוע הקטומה הזאת הוא באסיפת ראשה אל תושבתה ולקחת מחציתם וימנה בעמוד ויהיה תשבורת הקטומה
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+20\right)\right]\sdot9=\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)\sdot9=14\sdot9=126}}$	ואם תאסוף בצורה הזאת ראשה אל תושבתה יהיה כללם כ"ח ומחציתם י"ד ואם תרבע המספר הזה באורך העמוד והוא ט' יהיה ק'כ'ו' והוא תשבורת הקטומה הזאת
The reason for that was given above	ואות לזה מפורש למעלה בקטומה הנשלמת
the short diagonal =	ואם תבוא לדעת אלכסונה הקצור והוא א"ד הוי מרבע את הראש והוא ח' ומרובעו ס"ד ואסוף אליו מרובע העמוד והוא הצלע הקצור והוא פ"א ויהיו שניהם יחד ק'מ'ה' והוא מרובע האלכסון וגדר המספר הזה הוא אורך אלכסון הקצור
$\scriptstyle{\color{blue}{AD=\sqrt{\rm{base_{top}^2+height^2}}=\sqrt{8^2+9^2}=\sqrt{64+81}=\sqrt{145}}}$
the long diagonal =	ואם תרצה לדעת אלכסון הארוך אסוף מרובע התושבת למרובע העמוד ויהיו שניהם ת'פ'א' והוא מרובע אלכסון הארוך
$\scriptstyle{\color{blue}{GB=\sqrt{\rm{base_{bottom}^2+height^2}}=\sqrt{20^2+9^2}=\sqrt{481}}}$
Explanation: both diagonals are hypotenuses of right-angled triangles	ונתכוון לך החשבון הזה מפני ששתי זוויות אשר על נקודת ג' ונקודת ד' מן צלע ג"ד הן ניצבות כי הצלע הזה הוא עמוד על התושבת ועל הראש אשר הם נכוחיים
AD is the hypotenuse opposite the right angle AGD	ואלכסון א"ד הוא מיתר לזוית ג' הניצבה
GB is the hypotenuse opposite the right angle GDB	ואלכסון ג"ב הוא מיתר לזוית ד' הניצבה ומרובע מיתר זוית הניצבה הוא שוה לשם מרובעי ב' הצלעות אשר הן מקיפות לה כאשר ידעת וזה לך האות על חשבון האלכסונות בצורה הזאת
Extending the sides in order to create a right-angled triangle:	ואם תרצה להשלים הקטומה הזאת ולהוציא ראש המשולש הנקטמת ממנה
Finding the additional segment of the height of the triangle: $\scriptstyle\frac{\rm{base_{top}}\times\rm{long\ side_{trapezoid}}}{\rm{base_{bottom}-base_{top}}}$	עשה כמעשה שלמדת מן הקטומה שלפניה והוא שתהיה יודע עודף התושבת על הראש והוא י"ב בצורה הזאת ואם תמנה הראש בקו א"ב וחלקנו על עודף התושבת יצא לך אורך הקו היוצא מהעמוד אל ראש המשולש ואתה יכול להוציאו למעשה מן הדרך שלמדת בצורות האחרות
Obtuse Trapezoid
134) A trapezoid whose upper base is parallel to its lower base and one of its legs is at obtuse angle to the lower base. It has two inner heights and one outer height. It is an obtuse trapezoid For example: [obtuse] trapezoid ABGD - its upper base AG is 14, its lower base BD is 21, its long leg AB is 20, and its short leg GD is 15.	קלד) קטומה שראשה נכוחי לתושבתה והצלע אחת נופלת על התושבת על זוית נרווחת ולקטומה הזאת שני עמודים תכונים ועמוד חצוני והיא קטומה מתמוטטת והדמיון קטומה שעליה א'ב'ג'ד' וקו א"ג ראשה י"ד וקו ב"ד התושבת כ"א וצלע א"ב הארוך כ' וצלע ג"ד הקצור ט"ו


You know the area of this trapezoid by extracting its heights:	ואתה יודע תשבורת הקטומה הזאת בהוצאת עמודיה
First, you should find [the distance between the height and the meeting point of the shorter side with the basis]:	ואתה צריך תחלה להגביל מעמד העמוד
It is by that you subtract the upper base, which is 14, from the bottom base, which is 21; you are left with 7 and this is the excess of the bottom base.	והוא שתהיה פוחת הראש והוא י"ד מן התושבת והוא כ"א ישאר בידך ז' והוא עודף התושבת
Square this excess and add its square to the square of the short leg; you find [the sum of] these two squares is 274.	ובוא ורבע העודף הזה ואסוף מרובעו אל מרובע הצלע הקצור ותמצא ב' מרובעים אילו ר'ע'ד‫'
Subtract this number from the square of the short leg, which is 400; you are left with 126.	הוצא המספר ממרובע הצלע הארוך שהוא ת' ישאר בידך ק'כ'ו‫'
Take its half, which is 63, and divide it by 7, which is the excess of the bottom base.	קח המחצית והוא ס"ג חלק אותו על ז' והוא עודף התושבת
The total is 16, which is the [distance between the height and the meeting point of the longer side AB with the basis. $\scriptstyle{\color{blue}{HB=16}}$	ויהיה הכל י"ו והוא גבול מעמד העמוד מנגד קו א"ב הארוך
The 9 you have found is [the distance between the height and the meeting point of the shorter side with the basis].	ואלו הט' אשר מצאת הם המרחק הקצר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle CD &\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[AB^2-\left[\left(BD-AG\right)^2+GD^2\right]\right]}{BD-AG}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[20^2-\left[\left(21-14\right)^2+15^2\right]\right]}{21-14}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[20^2-\left(7^2+15^2\right)\right]}{7}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(400-274\right)}{7}=\frac{\frac{1}{2}\sdot126}{7}=\frac{63}{7}=9\\\end{align}}}$
	וכן מרחק העמוד שעליו ג"ח אשר הוא יוצא חוצה מן קו ב"ד התושבת וכן מרחק העמוד התיכוני הנופל על נקודת ד' שעליו ד"ט
the height =	ואם תבוא לדעת אורך העמוד הוי מרבע את מעמד שתרצה ואם [אתה] מרבע המעמד הארוך שהוא י"ו הוציאנו ממרובע הצלע הארוך אשר הוא כ‫' ואם תרבע המעמד הקצור הוציאנו ממרובע הצלע הקצר ויהיה המותר מן כל אחד משני החשבונים האלה ק'מ'ד' והוא מרובע העמוד בק וגדרו י"ב והוא אורך העמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{AH=\sqrt{AB^2-HB^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{144}=12}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{GC=\sqrt{GD^2-CD^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12}}$
the area of obtuse trapezoid = $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{base_{top}+base_{bottom}}\right)\right]\sdot\rm{height}$	ותשבורת הקטומה הוא ברבוע העמוד בחצי הראש ובחצי התושבת כאשר עשית בשאר הקטומות שלפניה
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(14+21\right)\right]\sdot12=210}}$	והתשבורת הוא ר"י והאות על החשבון הזה שהוצאת בו את העמוד הוא מעניין האות שהורתיך בקטומה שאין צלעותיה שוות
The reason: the height of the obtuse trapezoid is also the height of an obtuse triangle whose hypotenuse is the long side of the trapezoid AB, one of its two other sides is created by subtracting the upper base from the lower base (BD-AG), and its third side is equal to the short side of the trapezoid GD	כי בהוציאך הראש מהתושבת ונשארו בידך ז' היה הקו ההוא צלע למשולש מרויח הזויות א' שצלעו האחת ז' והשינית ט"ו והם הצלעות המקיפות זוית הנרווחת ומיתר הזוית הזאת הוא כ' אמה אשר הוא אורך קו א"ב מן הקטומה הזאת ואם אתה מוציא במשולש הזה המרויח הזויות עמוד שיהיה נופל חוצה אתה מוצא מעמדו חוצה כאשר מצאת בחשבונך בצורה הזאת

the long diagonal =	ואתה יכול להוציא אלכסון הקטומה הארוך אם אתה מאסף אל התושבת מעמד העמוד החיצוני וכולל את הכל ומרבע אותו כאילו היית מאסף בצורה הזאת כ"א שהוא אורך התושבת אל ט' שהוא אורך מעמד העמוד חוצה ויהיה הכל ל‫' ואתה מרבע המניין הזה ומוסיף עליו מרובע העמוד ויהיה הכל אלף ומ"ד והוא מרובע האלכסון הארוך וגדר המספר הזה הוא אורך האלכסון בקטומה הזאת מנקודת ג' אל נקודת ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{GB=\sqrt{\left(BD+CD\right)^2+GC^2}=\sqrt{\left(21+9\right)^2+12^2}=\sqrt{30^2+12^2}=\sqrt{1044}}}$
the short diagonal =	ואם תרצה להוציא אלכסון הקצור היוצא מן א' ועד ד‫' תאסוף אל מרובע העמוד מרובע עודף התושבת על המעמד הארוך והוא בצורה הזאת ה' ויהיו שני המרובעים ק'ס'ט' והוא מרובע האלכסון הקצור וגדרו הוא אורך האלכסון
$\scriptstyle{\color{blue}{AD=\sqrt{\left(BD-HB\right)^2+AH^2}=\sqrt{\left(21-16\right)^2+12^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}}}$
The reason can be found when looking on right-angled triangles created from the diagonals, the sides, and the heights of the trapezoid [→ ∆GCB and ∆AHD]	והאות אל העניין הזה אתה יכול להבין מהאותות אשר למעלה אם אתה מביט אל המשולשים מוצבי זוית אשר הם מתיילדים מהאלכסונות האלה עם צלעי הקטומה והעמודים כאשר הראיתך למעלה
The short diagonal of the trapezoid can be also its height	ויכול הוא בצורה הזאת שיהיה אלכסון הקצור הוא עמוד בקטומה בעצמו


Example: [obtuse trapezoid ABGD] - the upper base of the trapezoid [AG] is 9 cubits, its lower base [BD] is 16, [its long leg AB is 20, and its short leg GD is 15].	כאילו היה בצורה הזאת אורך ראש הקטומה ט' אמות ותושבתה י"ו ומניין ב' הצלעות הנשארות המניין אשר היה להם בצורה הראשונה
the short diagonal = $\scriptstyle{\color{blue}{AD=\rm{height}}}$	והיית מוצא בצורה הזאת השינית העמוד נופל מנקודת א' אל נקודת ד' ויהיה העמוד ההוא אורך האלכסון הקצר
the long diagonal =	והאלכסון הארוך אשר הוא יוצא מג' עד ב' הוא גדר ת'ש'ס'ט' אשר הוא מרבע עמוד א"ד עם מרובע קו א"ג עם קו ב"ד אשר ראש הקטומה ותושבת שניהם יחד בקו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{GB=\sqrt{\left(AG+BD\right)^2+AD^2}=\sqrt{\left(16+9\right)^2+12^2}=\sqrt{769}}}$
	ואתה מבין אותות כל החשבון הזה על מכונו אם אתה מעיין בה עיון יפה
Quadrangle which has no parallel sides
135) The second type of shapes that have four sides are all the quadrangles that none of their sides is parallel to another side	קלה) המין השני הנשאר מן התמונות אשר יש להם ד' צלעות הוא כל מרובע שאין אחת מצלעותיו נכוחי לצלע אחרת
The areas of these quadrangles can be found only by calculating the areas of the triangles contained in them	ובתמונות האלו אי אתה מוצא רבועם אלא מרבוע המשולשי' אשר הם נחלקי' עליהם
Every quadrangle can be divided into two triangles	וכל מרובע בעולם אתה יכול לחלקו לשני משולשין
The sum of the areas of these two triangles is the area of the quadrangle	וידוע הוא כי המשבר שני המשולשי' ההם ומצרף תשברתם ימצא התשבורת המרובע אשר הם חלקיו
Therefore, the area of every quadrangle can be found by calculating the areas of the triangles into which they are divided	ועל הענין הזה תוכל למצא התשבורת כל מרובע על חלופי מיניהן מן השוים בצלעותיו והנכוחיים מתשבורת המשולשים שהן נחלקים עליהם
For quadrangles that have equal sides or parallel sides there is another method for finding their area that does not rely on calculating the areas of the triangles into which they are divided	אלא שהמרובעים השוים בצלעותיו והנכוחיים בהם אתה יכול להגיע אל תשברתן מדרך אחרת ואינך צריך לרבע בהן את המשולשים הנחלקים עליהם
The areas of other quadrangles that do not have parallel sides can be found only by calculating the areas of the triangles into which they are divided	ושאר המרובעים הנפתלים ואין בהם צלע נכוחי ובצלע אחד אי אתה יכול למצוא תשברתם אלא מתשבורת המשולש אשר יחלקו עליהם
Example:	ואני נותן לך דמיון בעניין זה ויהיה מספיק לך בשאר הצורות והדמיון הזה הוא מהצורה שהשלמתי פירושה
The fourth trapezoid is the obtuse trapezoid ABGD - [its upper base] AG is 14 cubits, [its lower base] BD is 21 cubits, [its long leg] AB is 20 cubits, and [its short leg] GD is 15 cubits.	והיא הקטומה הרביעית המתמוטטת אשר צלע א"ג היה בה י"ד אמה וצלע ב"ד כ"א אמה וצלע א"ב כ' אמות וצלע ג"ד ט"ו אמה
the short diagonal = $\scriptstyle{\color{blue}{AD=13}}$	ומצאת האלכסון הקצור בקטומה הזאת כאשר חשבונו למעלה י"ג אמה
If the diagonal is not 13 → the area of the quadrangle is greater or smaller than the area of the given trapezoid	וכשמדדת אותו אתה מרבע לא מצאת בו המידה הזאת אלא יותר ממנה או פחות ממנה
If the short diagonal = 16 → the sides are not parallel - if they were parallel, their diagonals should have been exactly the same as in the given trapezoid	ואנו מוסרין כאילו מצאת אותה יתר ב"ג י"ו אמה ונודע לך מזה כי אין הצורה הזאת קטומת הראש כי אין אחת מצלעיה נכוחית עם צלע אחרת לפי אם היו נרוחיות לא היה אלכסונה הארוך או הקצר מתחלף מחשבונו שהיא בקטומה

Finding the area of the quadrangle: finding the areas of the two triangles into which the diagonal divides the quadrangle by calculating their heights: ABGD = ∆ADB + ∆ADG	ומפני זה אתה צריך לרבע שני המשולשים אשר נחלק עליהן המרבע הזה באלכסון שהוצאת בו והוא שני משולשי א'ד'ב' וא'ד'ג' וכל אחד מהם צלעותיו ידועות
finding the areas of the triangles - by finding their heights	ואתה יכול להגיע אל ריבועם בהוצאת העמודים כאשר למדת בריבוע המשולשים
∆ADB = $\scriptstyle{\color{blue}{96+\frac{1}{3}-\ldots}}$	ואם אתה נוהג בהם המנהג הזה תמצא תשבורת משולש א'ד'ב' מהן צ"ו ושליש פחות משהו
∆ADG = $\scriptstyle{\color{blue}{150+\frac{2}{3}-\ldots}}$	ומשולש א'ד'ג' תהיה תשברתו ק"נ וב' שלישיים פחות משהו
ABGD = $\scriptstyle{\color{blue}{247-\ldots}}$	ויהיה כל התשבורת בעניין הזה ר'מ'ז' פחות משהו ואנו מצאנו רבועו בקטומה המתמוטטת ה‫'
Since the diagonal of the quadrangle ABGD is greater than the diagonal of the obtuse trapezoid ABGD, the area of the quadrangle ABGD is greater than the area of the trapezoid ABGD	ונמצא הריבוע עודף בתמונה הזאת מפני עדיפת האלכסון
If the diagonal of the quadrangle were smaller than the diagonal of the given obtuse trapezoid, the area of the quadrangle would be smaller than the area of the trapezoid	ואילו היה האלכסון מתמעט היה הריבוע פוחת
Rule for finding the area of a quadrangle: the diagonal divides the quadrangle into triangle1 and triangle2 - looking for the height of the diagonal in each of these two triangles:	ומהעניין הזה אתה יכול למסור לך גדול במרובעת ואומר מרובע אשר אתה מוציא את אלכסונו נחלק לב' משולשים אם אתה מוציא עמוד של האלכסון בשני המשולשין
Area of quadrangle = $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{height_1+height_2}\right)\right]\sdot\rm{diagonal}$	ותאסוף את שני העמודים ותקח את מחציתם ותצרף המחצית הזה במניין כל האלכסון אתה מוציא תשבורת המרבע
Area of quadrangle = $\scriptstyle\left(\rm{height_1+height_2}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}\right)$	או תצרף שני העמודים במחצית האלכסון וגם בא תמצא תשבורת המרובע
No need for example - this can be understood from the examples concerning the areas of triangles	ואיני צריך להביא לך להביא לך משל מן החשבון הזה מפני שאתה מבין אותו מהדמיונות אשר במשיחת המשולשין ואיני נזקק להאריך בפירוש המרובעי' יותר מזה

Additional Problems
Motion Problem - Pursuit
136) A man is walking ten miles a day. Another man is walking one mile on the first day, two miles on the second day, three miles on the third day, and so on he goes on walking in each day [one mile more]. In how many days will [the total distance each of them walked] be equal? $\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x i$	קלו) אם יאמר הרי אדם שהוא מהלך י' מלים בכל יום ואחר הוא מהלך ביום ראשון א' מיל וביום שני ב' מילים וביום השלישי ג' ומוסיף והולך בכל יום בכמה ימים יהיו בשוה
[See problem 64 above]
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(2\sdot10\right)-1=20-1=19}}$ days	תכפול המילים שמהלך הקבוע יהיו כ' וגרע מהם אחד ישארו י"ט הרי שבי"ט ימים יהיו בשוה
2×(the miles of the one who walks regularly)-1	וכן לעולם תכפול שמהלך הקבוע ותגרע מהם אחד
137) A man is walking ten miles a day. Another man is walking one mile on the first day, three miles on the second day, five miles on the third day, and so on he goes on walking in each day an odd number of miles. In how many days will [the total distance each of them walked] be equal? $\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x \left(2i-1\right)$	קלז) ואם יאמר הרי אדם שהוא מהלך י' מילים בכל יום והאחר מהלך ביום אחד א' מיל וביום שני ג' וביום שלישי ה' וביום רבעי ז' ומוסיף והולך בכל יום חשבון נפרד בכמה יעמדו בשוה
the days = the miles of the one who walks regularly	דע כי כמספר המילים שמהלך הקבוע ליום כן מספר הימים שיעמדו בשוה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=10}}$ days	ואם הקבוע מהלך י' מילים ביום בי' ימים יעמדו בשוה
if he walks 9 miles a day = $\scriptstyle{\color{blue}{x=9}}$ days	ואם מהלך ט' מילים ביום בט' ימים יעמדו בשוה וכה"ל
138) A man is walking ten miles a day. Another man is walking two miles on the first day, four miles on the second day, six miles on the third day, and so on he goes on walking in each day an even number of miles. In how many days will [the total distance each of them walked] be equal? $\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x 2i$	קלח) וכן אדם שמהלך בכל יום י' מילים והאחר מהלך ביום ראשון ב' וביום שני ד' וביום שלשי ו' ומוסיף והולך בכל יום מספר זוג כגון בדוח"י י"ב י"ד י"ו בכמה ימים יעמדו בשוה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=10-1=9}}$ days	תחסר אחד מן המילים שמהלך הקבוע שהם י' יהיו ט‫' הרי שבט' ימים יעמדו בשוה
(the miles of the one who walks regularly)-1	וכן לעולם תחסר אחד ממספר המילים וכן כל הדומה לו
Triangulation Problem - Tree
Question: a tree is ten cubits tall. One day a strong wind blew and broke it into two parts, so that the top of the tree snapped and bent from the breaking spot to the ground. The distance between the top of the tree and its roots was five cubits. How many cubits are there from the top of the tree to the breaking spot? $\scriptstyle X^2=\left(10-X\right)^2+5^2$	שאלה אילן שגובהו י' אמות ובא רוח חזק ושברתו לשנים חלקים ולא נערכו חלקיו אך נטז ממקו' השבירה והגיע ראשו לארץ והרוחק שבין ראשו לשרשו ה' אמות כמה אמות מראש האילן עד מקום השבירה
from the top of the tree to the breaking spot: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{2}\sdot\left(10+\frac{5^2}{10}\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(10+\frac{25}{10}\right)=\frac{1}{2}\sdot\left[10+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]=6+\frac{1}{4}}}$	תשובה תחלק מרובע הרוחק שמשרש האילן לראש שהם כ"ה במשלנו על גובה האילן שהם י' ויצאו ב' וחצי נחברם עם הי' ונקח חציים שהם ו' ורביע וזהו כמות האילן עד מקום השבירה
from the breaking spot to the foot of the tree: $\scriptstyle{\color{blue}{10-x=10-\left(6+\frac{1}{4}\right)=3+\frac{3}{4}}}$ cubits	והנשאר עד תשלום הי' שהם ג' וג' רביעיות הם כמות האמות שממקום השבירה עד שרש האילן
MS Mantova: Multiple Quantities - Boys Sharing Property of Their Father
A man who had sons, their number is unknown, said to one of them: take one peraḥ for yourself, and a tithe of the remaining. To the second he said: take two peraḥim and a tithe of the remaining. And so [he said] to the third [son] and the fourth [son] and the fifth [son] until the last [son]. To the last [son] he said: take all that remained. They went and took [the peraḥim] and found out that they all took the same share equally, the number of the peraḥim corresponded to the number of the boys. How many were the sons and how many were the peraḥim? $\scriptstyle1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-1\right)\right]=2+\frac{1}{10}\sdot\left[X-\left[\left[1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-1\right)\right]\right]+2\right]\right]$	אדם שהיו לו בנים ולא נודע מספרם ואמר לאחד לך [....] וקח לך פרח אחד והעשירית מכל הנשאר ולשני אמ' קח ב' פרחים והעשירית מכל הנשאר וכן לשלישי וכן לרביעי ולחמשי עד האחרון ולאחרון אמ' קח לך כל הנשאר הלכו ולקחו ומצאו שכולם לקחו בשוה וכמספר הבנים כך מספר הפרחים שיבאו לכל אחד כמה היו הבנים וכמה היו הפרחי‫'
the number of the sons: $\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(\frac{1}{10}\sdot10\right)=10-1=9}}$	לפי חשבון השבור [.....] הוא עשירית תפחות א' מעשרה ישארו ט' הרי שט' היו הבנים
the number of the peraḥim: $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot9=81}}$	אמור אחר זה ט' פעמי' ט' [...] פ"א ו[ככה] היו הפרחים
	ואם יקחו [..] שצוה אביהם [יהיה] לכל אחד חלק שוה וכן לכל חשבון ש[תרצה] עשה כן שתפחות א' מהחשבון השבור והוא חשבון הבנים ותרבע [...] והוא חשבון הפרחי' [.......] מספר הפרחים שיבא לכל אחד ודו"ק
MS Mantova; MS Amsterdam: Multiple Quantities - Boys Selling Cubits of a Cloth
A man gave his three sons 30 cubits of cloth and they went to sell them in the market. One sold one cubit for 4 dinar, the second for 5 [dinar], and the third for 6 [dinar]. All of them earned the same [amount of money]. How many cubits did each of them [sell] and how much money did each of them get? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=30\\\scriptstyle4a_1=5a_2=6a_3\end{cases}$	הרי אדם שנתן לג' בניו ל' אמות בגד והלכו לשוק למכרו האחד מכר בד' דנרי' האמה והשני בה' והשלישי בו‫' וכולם הביאו מעות בשוה כמה אמות כל אחד וכמה מעות קבל כל אחד
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{60}}$	אומר תחילה רביע וחומש ושתות נמצא בס‫'
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=15+12+10=37}}$	וכללם הוא ל"ז והוא המחלק
the one who sold one cubit for 4 dinar sold: Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)\sdot30}{37}=\frac{15\sdot30}{37}=\frac{450}{37}=12+\frac{6}{37}}}$ cubits	ואם תרצה לדעת כמה אמות מכר אותו שמכר בד' דינרי‫' תפוס הרביע מס' שהוא ט"ו ותרבע אותו על סך הבגד שהוא ל' ואמור ט"ו פעמי' ל' ת"נ חלקם בל"ז יבא י"ב ו' חלקי' מל"ז הרי שמכר [הה] י"ב אמות ו' חלקי' מל"ז
the money he received:	ואם תרצה לדעת כמה מעות קבל
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot12=48}}$ dinar for 12 cubits	אמור תחילה מי"ב אמות קבל מ"ח דינ‫'
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{37:48=6:X}}$	ומן הו' חלקי' מל"ז עשה על זה הדרך אם ל"ז שהוא אמה שלמה שוה מ"ח פשי' הו' חלקי' מל"ז כמה שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{6\sdot48}{37}=\frac{288}{37}=7+\frac{29}{37}}}$ pešuṭim	אמור ו' פעמי' מ"ח רפ"ח חלקם בל"ז יבא ז' פשי' וכ"ט חלקים מל"ז
the same for the others	וכזה תעשה האחרי' ויצא לך העניין

Apparatus

↑ 88r
↑ 88v
↑ 89r
↑ 89v
↑ 90r
↑ 90v
↑ 96v
↑ 97r
↑ 97v
↑ 98r
↑ 98v
↑ 99r
↑ 99v

Appendix: Bibliography

Anonymous
Sefer ha-Kelalim ba-Mispar
Manuscripts:

1) Amsterdam, Portugees Israelitisch Seminarium Ets Haim 47 D 20/43 (IMHM: f 3576), ff. 227r-232v (15th century)

Ets Haim 47 D 20/43

2) Cambridge, University Library Add. 553 (IMHM: f 16842), ff. 90r-95r; 101r-104r (17th century)

3) Mantova, Comunità Ebraica MS ebr. 8/16 (IMHM: f 788), ff. 72r-82v (Porto, 1464-1471)

ebr. 8/16

4) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 698/2 (IMHM: f 47914), ff. 10r-40v (14th-15th century)

5) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 536/6 (IMHM: f 22082), ff. 88r-99v; 110r-117v (cat. Neub. 1268, 6); (1518-1520)

The transcript is based mainly on manuscript Oxford 536

Bibliography:
Steinschneider, Moritz. 1906. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 50, p. 214. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, p. 137.

[1] 88r

[2] 88v

[3] 89r

[4] 89v

[5] 90r

[6] 90v

[7] 96v

[8] 97r

[9] 97v

[10] 98r

[11] 98v

[12] 99r

[13] 99v

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

@@ Line 3,256: / Line 3,256: @@
 |
 :{{#annot:for some liṭra a month|638|HIJ5}}84) The one who wants to know for one kikkar at so and so [a year], how much will be [the interest] a month?
-:<math>\scriptstyle\frac{20\sdot a}{100}=\frac{X}{1\sdot b}</math>
+:<math>\scriptstyle\frac{20\sdot a}{100}=\frac{X}{b}</math>
 |style="text-align:right;"|פד <big>הרוצה</big> לידע לחשבון כך וכך הככר כמה יבואו קצתם לחדש{{#annotend:HIJ5}}
 |-
@@ Line 3,266: / Line 3,266: @@
 |
 *{{#annot:for some liṭra a month|638|ErCS}}Example: At 7 liṭra for one kikkar a year: how much will 30 liṭra yield a month or two months or more?
-:<math>\scriptstyle\frac{20\sdot7}{100}=\frac{X}{1\sdot30}</math>
+:<math>\scriptstyle\frac{20\sdot7}{100}=\frac{X}{30}</math>
 |style="text-align:right;"|המשל בזה לחשבון ז' ליט' הככר לשנה כמה יבא ל' ליט' חדש אחד או ב' חדשי' או יותר{{#annotend:ErCS}}
 |-

Difference between revisions of "ספר הכללים במספר"

Revision as of 07:37, 5 May 2023

Contents

Problems of Various Types

Find a Number Problem - Subtraction of Fractions

Find a Number Problem - Addition of Fractions

Find a Quantity Problem - Whole from Parts Problem - Lance

How Much Problem - Money

Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money

How Much Problem – Money

How Much Problem – Money

Pricing Problem - Find the Amount

Pricing Problem - Find the Price

Exchange Problem - Currencies

Motion Problem – Pursuit

Motion Problem – Encounter

How Many Problem - Group of People

Buy and Sell Problem

Boiling Problem

Partnership Problem - For the Same Time

Purchase Problem – Moneychanger

Payment Problem - Digging a Hole

Buy and Sell Problem

Exchange Problems

Interest and Pricing Problems

Problems of Various Types

Rent Problem

Exchange Problems

Proportions of Fractions

Find a Quantity Problem - Whole from Parts – Tree

Motion Problem - To and From - an Ant Climbing a Tower

Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money

Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money

Divide a Quantity – Money

Divide a Quantity – Money

Ordering Problem - Six Coins

Find a Number Problem - Ratio of Integers and Fractions

Multiple Quantities - Boys Selling Eggs

Find a Quantity Problem - Whole from Parts – Fish

Simultaneous Division - Money in a Purse

Partnership - for the same time

Give and Take Problem - gatekeeper

Shared Work Problem - Rivers Filling a Fountain

Motion Problem – Pursuit

Mixture and Alligation Problem - Goldsmith making rings from several kinds of coins

Divide a Quantity - Price of a Fish Paid by a Group of People

Joint Purchase Problem - If You Give Me - two men - Amounts of Money

Interest and Discount Problem - find the fund

Exchange Problems

Interest and Discount Problem

Pricing Problem - Find the Amount

Divide a Quantity - Sharing Food

Find a Number Problems - Multiplication of fractions

Fractions by Fractions

Integers and Fractions

Multiple Quantities - Coins that Worth an Amount of Money

Find a Number Problems - Sums

Find a Number Problem - Multiplication of integers and fractions

Interest and Discount Problems

Find the Earned Interest

Compound Interest

Find the Earned Interest

Multiple Quantities Problem - Five Weights

Guessing - coins

Payment Problem - three workers, three different daily wages, the same actual payment

Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Inheritance

Geometrical Problems

Triangulation Problem - Two towers

Rectangle

Quadrangle

Triangulation Problem - Tree leaning against a wall

Transformation Problems

Volume

Sphere

Segment of a Sphere

Triangular Prism

Pentagonal / Hexagonal Prism

Cylinder

Questions about Rectangles

Square