Difference between revisions of "ספר המלכים"

Revision as of 05:42, 27 March 2023

שער המספר וסגולתו
(לא ידוע מחברו)

Contents 1 Introduction 2 Section One - Discussion on the Numbers One - Ten 2.1 One 2.1.1 Monad in the existences 2.2 Two 2.2.1 Properties of the number two 2.2.2 Dyad in the existences 2.3 Three 2.3.1 Properties of the number three 2.3.2 Triad in the existences 2.4 Four 2.4.1 Properties of the number four 2.4.2 Tetrad in the existences 2.5 Five 2.5.1 Properties of the number five 2.5.2 Pentad in the existences 2.6 Six 2.6.1 Properties of the number six 2.6.2 Hexad in the existences 2.7 Seven 2.7.1 Properties of the number seven 2.7.2 Heptad in the existences 2.8 Eight 2.8.1 Properties of the number eight 2.8.2 Octad in the existences 2.9 Nine 2.9.1 Properties of the number nine 2.9.2 Ennead in the existences 2.10 Ten 2.10.1 Properties of the number ten 2.10.2 Decade 3 General Properties of Numbers 3.1 Introduction 3.2 A list of arithmetical statements concerning general properties of the numbers – without demonstrations or proofs 3.2.1 Relatively prime numbers 3.2.2 Successive proportional numbers 3.2.3 Relatively prime numbers 3.2.4 The divisors of a plane number 3.2.5 Successive powers of two 3.2.6 Euclidean Propositions - Arithmetical Version 4 Epilogue of the surviving section 5 Apparatus 6 Appendix: Bibliography Introduction
Know that this chapter is the most honorable of this science and it is as the purpose of it.	דע שזה השער הוא הנכבד שבזאת החכמה וכאלו הוא התכלית בה
Because of the virtue of this investigation, the Ancients wrongly assumed that the numbers are transcendent and thought of them as the beginning of the perceptible existence.	ולרוב מעלת זאת החקירה טעו בה הקדמונים והניחו מספרים נבדלים ושמום התחלות המציאות המוחש
For, they have found that "quantity" is said with regard to all material and spiritual things:	וזה שמפני שהם מצאו הכמה נאמר בכל הדברים גשמיים או רוחניים
In relation to God, it is said: the extent of perception and power, or endless power etc.	וזה שבאלוה יאמר גודל ההשגה והיכולת או אין תכליות ביכולת ודומה לזה
The "Endless" is an unlimited quantity, whether in measure or in number.	ואין תכלית הוא כמה בלתי מוגבל בין בשיעור בין במספר
They have found plurality and counting in the separate intellects as well, at least with regard to cause and effect, or existence and essence.	וכן מצאו בשכלים מהנפרדים רבוי וספירה לפחות מצד עלה ועלול או מציאות ומהות
They have also found most of the perceptible existences preserve limited relations:	וג"כ מצאו רוב הנמצאות המוחשות שומרות יחסים מוגבלים
As in the measure of the bodies of the stars, the thickness of their spheres, and their eccentricity; in the eight limited orbits of the universe; in the thickness of the elements; in the organs of the animals, such as the joints of their organs, the extremes of the species and the quantity of its individuals; as we will comment on some of them in this chapter.	כענין בגודל גרמי הכוכבים ועובי גלגליהם ויציאת מרכזיהם וכן בעגולים המוגבלים בכדור הח' וכן בעובי גרמי היסודות וכן באברי הב"ח כמו פרקי איבריהם וקצוות המין בגודל אישיו כמו שנעיר על קצת מאלו בזה השער
Therefore this matter caused them to praise the number [= arithmetic] until they referred to it as a beginning, and they did so also in relation to the measurement [= geometry].	הביאם הענין להגדיל המספר עד שייחסו אליו היותו התחלה וכן עשו בשעור
Although, as we said, this assumption is a mistake, since the number is an incident of the counted and what is an incident cannot be a beginning, this is not the place for that.	כמו שאמרנו אמנם שזה הסברה טעות ושהמספר מקרה בספורים מה שבמקרה אי אפשר לשומו התחלה אין כאן מקומו
"The Philosopher" [= Aristotle] has already discussed this at length in a few instances in his Physics, and many instances in the Metaphysics; and the commentators of his books as well as some later Greek, Arab and Christian writers have elaborated on this.	וכבר האריך בזה הפילוסוף בקצת מקומות מהשמע ובהרבה ממה שאחר הטבע והרחיבו בו מפרשי ספריו וכמה מחברים אחרונים יווניים וערביים ונצרים
Nevertheless, there are indeed wondrous qualities and exceptional natures in number.	ועל האמת יש במספר סגולות נפלאות וטבעים משונים
The reasons of some of them are visible, the reasons of others are hidden, though they themselves are known to exist, but most are hidden themselves as well as their reasons	מהם גלויי הסבות ומהם נעלמי הסבות אבל הם ידועי המציאות ורובם שנעלמו מאתנו אלו ואלו
There is no doubt that when the soul comprehends and apprehends every matter of the general matters of nature, it becomes happy and delighted by it, as this is its purpose, and for this the divine faculty has prepared it, to accept the images of the existences and their conceptions.	ואין ספק שכל ענין וענין מענייני הטבע הכוללים כשתשיגהו הנפש ותדעהו תשמח ותתענג בזה מאד לפי שזה תכליתה ולזה הכינה הכח האלהי לקבול פיתוחי הנמצאות וציוריהן
Therefore, "The Philosopher" [= Aristotle] has said in the third book of On the Soul [III, 4, 429b30-430a2] that it is as an empty board receiving any drawing and writing.	ומפני זה אמר הפילוסוף בשלישי מן הנפש שהיא כמו הלוח החלק המקבל כל ציור וכתיבה
Also Al-Ghazālī, at the beginning of his book Maqāṣid al-Falāsifa [The Aims of the Philosophers, the logical part], has said that it is as a polished mirror receiving the image of all existences as long as there is no curtain between it and them, fully or partially.	ואלגזאלי אמר בתחלת ספרו בכונות שהיא כמו מראה זכה מלוטשת מקבלת דמות המציאות כלו כל עת שלא יחול מסך בינה ובינם בכל או בקצת
As the soul benefits from the knowledge the virtues of the trees, the stones, and the homogeneous organs of the animals, even though it does not know the reasons of most of them, it takes great pleasure in comprehending the existence and is very sorry for not knowing it, and it regrets even more when it does not know these and those; likewise when the soul knows the virtues of the discontinuous and continuous quantity, even though it does not know the reasons of some of them, it takes great pleasure in what it comprehends.	וכמו שתהוה הנפש מידיעת סגולות העצים והאבנים ואברי הב"ח המתדמים והכליים אע"פ שתסכל ברובם הסבות תתענג הרבה בהשיגה המציאות ותצטער בסכלה הרבה ותצטער יותר כשתסכל אלו ואלו כן כשתדע הנפש סגולות ‫^[1]הכמה המתחלק והמתדבק אע"פ שתסכל בקצתם הסבות תתענג הנפש ~~תענוג~~ תענוג גדול במה שהשיגה
Therefore, an Arab sage said: "May we know all the natures of the existences and not know their reasons".	ולזה אמר אחד מחכמי ישמעאל מי יתן ונדע [טבעי]‫^[2] ^כל הנמצאות ונסכל סבותיהם
We shall return to what we were dealing with and say that the one who knows the characteristics and properties of number, knows many of the characteristics of the existence, which should always be known.	ונשוב למה שהיינו בו ונאמר שמי שידע טבעי המספר וסגולותיו ידע הרבה מטבעי ~~הנמצאות~~ המציאות אין ראוי שיוסכלו לעולם
The second meaning is that he deduces from them some precious guidelines concerning the world, the exalted God, the angels, the spheres, the soul, and the lower existences - of which we no doubt know little and do not know much, but even in the little that is known to the wises, some precious heart-pleasing and soul-enlightening hints are stated.	ועל הכונה השנית יקח מהם כמה הערות יקרות בעולם באלוה ית' ובמלאכים ובגלגלים ובנפש ובנמצאות השפלות ואנחנו בלא ספק נדע מהם מעט ונסכל הרבה ואף גם זאת במעט אשר נודע לחכמים ~~באמרו~~ ^נאמרו בו כמה רמזים יקרים משמחי לב ומאירי הנפש
Know that the same goes to geometry, i.e. there are wondrous virtues in it that testify to valuable secrets.	ודע ~~שבין~~ שכן הענין בהנדסה ר"ל שיש בו כמה סגולות נפלאות יעירו על סודות נכבדים
The exalted God has set these two natures [= arithmetic and geometry] in the second meaning as an analogy and example to the whole existence.	וכאלו שני אלו הטבעים שמם האלוה ית' על הכונה השנית דמיון ודוגמה למציאות כלו
After prefacing this, we start discussing it according to what we have found in [the words of] the scholars before us and the little that was introduced to us, without examining and tending to some implausible remarks that some people mentioned, since we agreed to abbreviate as much as possible, without leaving out what is necessary; and now we begin:	ואחר שהקדמנו זה נתחיל לדבר בזה כפי מה שמצאנו לחכמים לפנינו ומעט שהושקף לנו מבלתי שנעיין ונטה אל קצת הערות ~~דחקות~~ ^דחוקות זכרם קצת אנשים מצורף למה שהסכמנו לקצר כפי כחנו מבלתי שנשמיט‫^[3] ההכרחי ומעתה נתחיל

Section One - Discussion on the Numbers One - Ten
One
We say that from the numerical one we can get to know some issues related to the Creator:	ונאמר שמהאחד המספרי נוכל להכיר כמה ענינים בבורא
Among them that as the numerical one, since it is one, it is not multiplied [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1\times1=1}}$ ; $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times1=a}}$ ], not subject to division [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1\div1=1}}$ ; $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\div1=a}}$ ] or change, and therefore cannot be increased when multiplied by itself, so the Creator, who is a simple unity, cannot be described in any aspect as a multitude in itself, only with regard to the additions to Him, or in relation to His action in the existence.	מהם שכמו שהאחד המספרי מצד שהוא אחד לא מתרבה ולא מתקבל חלוק ושנוי ולזה לא יתרבו בהכפלו בעצמו כן הבורא ית' שהוא אחדות [אחת]‫^[4] יותר פשוט לא יתואר בצד מן הצדדים ברבוי בעצמו רק ביחס השלמויות אליו או בצרוף פעלתו במציאות
As the numerical one is by itself in actu and by number in potentia, so God is by Himself absolutely in actu, since He is the cause of all and is transcendent, and He is in each of the beings in potentia.	וכמו שהאחד המספרי הוא בעצמו בפעל ובמספר בכח ~~בין~~ [כן]‫^[5] האלוה ית' הוא בעצמו בפועל גמור אחר שהוא עלת הכל ונבדל ~~והו~~ והוא בכח בכל אחד מן הנמצאות
From this aspect the sages said that "the Creator is in everything" and therefore one of the sages, when his student asked him "where is God?", answered: "and where is He not?", i.e. the divine capacity is found in every being, according to what is in its nature to receive from Him, and this is why a Christian sage said that "God offers himself to every being" etc.	ומזה הצד אמרו החכמים שהבורא בכל ולזה אחד מן החכמים כששאלו תלמידו אנה הוא האלוה השיבו ואנה אינו ר"ל שהכח האלהי מצוי בכל נמצא כפי מה שבטבעו שיקבל ממנו וזה הוא מה שאמר אחד מחכמי הנצרים שהאלוה מתנדב עצמו לכל מצוי וכו‫'
As the numerical one is the cause and beginning of number, but not a number itself and the definition of the number is not true for it; the number exists by it, so much so that the number is gone when it is gone, but it is not gone when the number is gone; likewise the one God is the cause of all beings, He is the beginning of their existence, but He is not of the beings, nor is He a part of them, He is transcendent from His effects, as He is a cause; when He is gone, the rest of the beings are gone, but He is not gone, when they are gone.	וכמו שהאחד המספרי עלת המספר והתחלתו ואינו מספר ולא יצדק בו גדר המספר ובו קיום המספר עד שיסולק המספר בסלוקו והוא לא יסולק בהסתלק המספר ‫^[6]כן האלוה האחד הוא עלת הנמצאות כלן והתחלת היותן וקיומן ואינו משאר הנמצאות ולא חלק מהם אבל הוא נבדל מעלוליו עם היותו עלה ובהסתלקו יסתלקו שאר הנמצאות ולא יסולק הוא בהסתלקן
As the numerical one has only one side, since it is the beginning of counting, the multitude continues from it to infinity in potentia, and all that comes after it is generated from its potentiality; likewise the exalted God is the beginning of the beings, there is nothing before Him, not in actu, nor in thought, because even the thought cannot proceed endlessly, but from His divine capacity the beings increase and decrease, and they are emanated gradually limitedly as species and unlimitedly as individuals following one after the other in potentia.	וכמו שהאחד המספרי אין לו רק פיאה אחת ^אחד לפי שהוא גדול הספירה וממנו ימשך הרבוי עד לאין תכלית בכח וכל הבא אחריו מתילד מכחו כן האלוה ית' הוא גדול הנמצאות אין אחריו כלום לא בפעל ולא במחשבה וזה שאפי' המחשבה אינה הולכת לאין תכלית אבל מכח אלהותו [ירבו ויתמעטו]‫^[7] הנמצאות ויאצלו עד תכליתן בהדרגה במין ולאין תכלית ~~באישותו~~ ^באישים באים זה אחר זה בכח
What some people say that one is a root, a square, a cube, and a triangular is wrong, because the numerical one is understood by the intellect as devoid of all subjects outside the essence and thus it has no multitude at all. So, how can it be described by what bears a division and multitude, as a square and a cube that are things that can be divided endlessly in potentia.	ומה שאמרו קצת אנשים שהאחד שרש ומרובע ומעוקב ומשולש הוא טעות וזה שהאחד המספרי לקוח בשכל מופשט מכל נושא חוץ לנפש ומצד שהוא כן [אין רבוי בו בשום]‫^[8] ~~פעם~~ ^פנים ואיך אם כן יתואר ~~במה~~ ^במה שיסבול הה ההחלק והרבוי כמו מרובע ומעוקב שהם דברים מתחלקים בכח לאין תכלית
If one says that the unity outside the essence is as a cubit and a span that keep the unity in a square and a cube, we say that this is vanity, for they increase by their diagonals. [?]	ואם יאמר שהאחדות המונח חוץ לנפש כמו אמה וזרת שומרים אותו האחדות ברבוע ועקוב אנו אומרים שזה ~~הכל~~ ^הבל וכבר יתרבו אלו באלכסוניהם
If one asks: "why the exalted Creator cannot be described by a numerical unity, as its natures are similar to the divine nature?" We answer him that these similarities are neither all nor many of one nature and whereas the numerical unity is sometimes perceived as accepting unusual form and associated with a multitude, i.e. with the number in some of its natures, as clarified in several places in the two previous lessons [Note: here a hint is given for two chapters that appeared in the original text, before the present chapter, but are missing in the survived version] and it will become even more clear in the present chapter, when we will discuss the particular properties, that there are properties that are attributed to the numbers including the one and in many places its property is the property of the odd number; this is one of the things that exists in number, the reason of which is very much hidden, i.e. at times the nature of the one is the nature of the number, but in other occasions it is not.	ואם ישאל שואל למה לא יתואר הבורא ית' באחדות המספרי אחר שטבעיו [דומים]‫^[9] לטבע אלהות נשוב לו שאלו הדמויים אינם כלם ולא רבים על טבע אחד ועוד שהאחדות המספרי ישיגהו שלפעמים ילבש מלבוש [..] [נכרי]‫^[10] וישתתף לרבוי ר"ל למספר בקצת טבעיו כמו שהתבאר בקצת מקומות משני שעורים שעברו ויתבאר יותר בזה השער כשנדבר בסגלות הפרטיות וזה שיש טבעים שישיגו המספרים ^והאחד עמהם וברב המקומות טבעו טבע [הנפרד וזה אחד מהדברים הנמצאים במספר שסבתו נעלמת מאד ר"ל היות האחד פעם טבעו טבע המספר]‫^[11] ופעם לא
Therefore, the unity of God differs from the numerical unity.	יתבאר א"כ מזה שהאחדות האלוה מתחלף מהאחדות המספרי
Because the unity of God cannot be described by any observation or conception, but it is a simple unity preserved forever, almost inaccessible for the intellect, due to its subtlety and its depth.	וזה שהאחדות האלוה לא יתואר בשום בחינה וציור אבל הוא ~~אחדות~~ ^אחדות פשוט שמור לעולם כמעט [שיבצר מן השכל לדקותו ועמקו
Monad in the existences
Just as the numerical unity includes all of the mentioned virtues and many of the notable beings are designated to receive the nature of the unity according to their capacity, and their species exists as one individual:	וכמו שהאחדות המספרי יכלול כל כל המעלות הנזכרות ויותר]‫^[12] הרבה נתיחדו הנמצאות הנכבדות לקבל טבע ~~האלהות~~ האחדות כפי כחן והיה מינן ~~מתחלף~~ מתקיים כאיש אחד
As the exalted God and the separate intellects, since they differ from each other by their species.	כמו האלוה ית' והשכלים הנפרדים לפי שהם יתחלפו ‫^[13]ביניהם במין
Whereas the sun and the moon differ also, since they have actions that are different in essence in one receiver alone, so they no doubt differ in essence and in species, while each of them is not unique in its species.	והשמש והירח יתחלפו כלם כן וזה שאחר שיש להם פעלות מתחלפות במהות במקבל אחד בעצמו הנה הם בלא ספק יתחלפו במהות ובמין ואין כל אחד מהם יחידי במינו
The universe as a whole is also one from this aspect - as explained by "the Philosopher" [= Aristotle] in the first book of On the Heavens [I.8, 277b8-13]	גם העולם בכללו מצד זה אחד לבד כמו שביאר הפלוסוף בראשון מהשמים והעולם

Two	השנים
The beginning of the numerical multitude, as well as the beginning of the individual multitude, this is that the separate intellect, which follows the unity of God, has only duality, it is the first effect, which is composed of cause and effect, and of existence and essence.	תחלת הרבוי המספרי וכן תחלת הרבוי האישיי וזה שאחר אחדות האלוה הוא השכל הנבדל ואין בו רק השניות והוא העלול הראשון שיש בו הרכבת מעלה [ועלול]‫^[14] וממציאות ומהות
Since it is an effect, for every existence is an effect, the existence is an accident in it, so the accident and the holder of the accident are the same, whereas God, though it is an effect, the existence and the essence in Him are absolutely one.	לפי שהוא עלול וזה שכל ^הנמצא עלול המציאות מקרה בו והמקרה ובעל המקרה [שוים]‫^[15] אבל האלוה לפי שהוא עלול המציאות והמהות בו אחד לגמרי
Properties of the number two
Of the nature of two is that its sum is as its product [ $\scriptstyle{\color{blue}{2+2=2\times2}}$ ], i.e. that the multitude of the first effect is not absolute multitude, but only in comparison to a multitude of essences, therefore it is similar to the nature of the number two, whose product does not exceed its sum, unlike all the numbers that follow it, whose products exceed their sums [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\forall n>2:\; n+n<n\times n}}$ ]	ומטבע השנים שמחברתו כמערכתו ר"ל שרבוי העלול הראשון אינו רבוי גמור רק בהצטרף לו רבוי מהות ולזה הוא דומה לטבע השניות המספרי שמערכתו לא יותיר על מחברתו וזה בחלוף כל המספרים שאחריו וזה שכלם יעדיף מערכתם על מחברתם
As if it is mean between the nature of unity and the multitude, thus, in its nature, it is situated between one and three.	וכאלו הוא ממוצע בין טבע האחדות והרבוי ולזה בטבעו הוא מונח בין האחד והשלשה
This is that the sum of one is greater than its product [ $\scriptstyle{\color{blue}{1+1>1\times1}}$ ]	וזה שהאחד מחברתו יותר ממערכתו
And vice versa for three [ $\scriptstyle{\color{blue}{3+3<3\times3}}$ ]	ובשלשה בהפך
Therefore two has a moderate nature and similarly is the first effect that is not entirely one and not completely multiple.	ולפי שהשנים מתמצע ביניהם יש לו טבע ממוצע כן ענין העלול הראשון שאינו אחד לגמרי ולא רב לגמרי
The two is the first even number.	~~והוא~~ ^והנה השנים [הזוג]‫^[16] הראשון
Dyad in the existences
Some general things in the existence, whose number runs by two, whether in the intellects, or in the spheres, or in the elements and what is composed of them:	וכמה דברים כוללים ה^במציאות [שירוץ מספרם בשנים]‫^[17] בין בשכלים בין בגלגלים בין ביסודות והמורכב מהם
The aspect of duality in God: the one from the aspect of Himself, the second from the aspect of His other, since He is a cause or an actor	באלוה בחינת [שניות האחד בבחינת]‫^[18] [עצמו]‫^[19] השני [בבחינת זולתו]‫^[20] במה שהוא עלה או [פועל]‫^[21]
[...] the beginnings of the perceptible things are twofold.	והצורה ~~ישובון~~ ^ישיבון מספרים ב^בשנים מזה שהתחלות הדברים המוחשים זוג
Whether the duality is in the elementary bodies: matter and form.	השניות אם בגשמים היסודיים החומר והצורה
Or, in the heavenly spheres: substance, shape.	ואם ברקיעים הנושא והצורה
All types of a pair of opposites are are two:	וכל מיני המקבילות זוג השנים
The limitation of the truths by affirmation and negation, therefore it is the earliest axiom, as "the Philosopher" [Aristotle] explained in the second book of On Interpretation [De interpretatione I.4, 16b)].	והגבלת האמתות בחיוב ובשוללות ולזה היא היותר קודמת ~~שבמושכלות~~ [שבמושכלות]‫^[22] כמו שביאר הפלוסוף בשני ממה שאחר
The truth and false are two.	והאמת והשקר שנים
The parts of the time are two: past and future; since the present is unlimited and not enduring.	חלקי הזמן שנים עבר [ועתיד וזה שההווה בלתי מוגבל ולא קיים
The life and death are two.	החיים והמות שנים]‫^[23]
The potentiality and the actual are two.	הכח והפעל שנים
The change is by two: causing and accepting, i.e, receiving.	השנוי בשנים הפועל וההתפעלות ר"ל הקבול
The [types of] bodies are two: the earthly and heavenly.	הגופות שנים היסודי והרקיעיי
The earthly [types of bodies] are two: simple and compound.	ה היסודיי שנים פשוט ומורכב
The heavenly [types of bodies] are two: planet and star; because they differ in essence, since the planet is transparent, while the star is not; the planet moves in its essence, whereas the star by accident.	הרקיעיי שנים ‫^[24]הגלגל והכוכב וזה שהם מתחלפים במהות לפי שהגלגל ספירי והכוכב לא לא והגלגל מתנועע בעצם והכוכב במקרה
The movements of the planets are two lengthwise – west and east; and two breadthwise – north and south.	תנועות הגלגלים באורך שנים ימה וקדמה וברוחב שנים צפונה ונגבה
The planets [differ and] associate in their natures two-by-two as the astrologers said:	הגלגלים ישתתפו בטבעיהם שנים כמו שאמרו האצטגנינים
Two of them are luminaries.	וזה שמהם שניים מאורות
Two are beneficial: Jupiter and Venus.	ושנים מצליחים צדק ונגה
Two are malefic: Saturn and Mars.	ושנים מזיקים והם שבתאי ומאדים
Mercury has no permanent nature, but it is changeable, according to their sayings.	‫[וכוכב]‫^[25] אין לו טבע מוגבל אבל הוא לפי דבריהם מתהפך
The nature of the genus is twofold: male and female; there is no third that is mean between them, only by natural error, as the tumtum [= whose sex is indeterminate, or unrecognizable] and the androgynos [= hermaphrodite, possesses both male and female sexual characteristics]; what we have stated is regarding the one that is born by its same in species, as for the one that is born by decay, even though it is by that which is in nature, it is not natural.	טבע [הסוגיות]‫^[26] ^בשנים זכר ונקבה ואין ביניהם שלישי ממוצע רק בשגיאת הטבע כמו הטומטום והאנדרוגינוס וזה אשר אמרנו הוא בנולד ~~מדמהו~~ ^מכמהו במין אבל במתילד מהעפוש אע"פ שהוא ממה שבטבע הנה איננו טבעי
The types of compound organs are two: homogeneous and organic.	~~טבע ההויות~~ מיני האברים המורכבים שנים מתדמה וכליי
The types of analogies are two: equality and difference.	סוגי ההקשה שנים השתוף וההבדל
The living species are two: actor and intelligent.	מיני החיים שנים פעלניים ומחשביים
The types of laws are two: natural and hypothetical as "the Philosopher" [= Aristotle] explained in the second book of Rhetoric.	מיני הנמוסים שנים טבעי והנחי כמו שביאר הפלוסוף בשני מספר ההלצה
The durations of existence are two: in time, or in eternity.	המשכות הנמצאות בשנים בזמן או [בנצחות]‫^[27]
The relations between the beings are two: agreement and difference. This is an inclusive type - all types of natures of beings are included in it, as explained by the authors of Ikhwān al-Ṣafā, as well as the chemistry teacher Jābir ibn Hayyān in his book on the properties of things.	בחינת הנמצאות אלו עם אלו בשנים והם ~~ההואת~~ ההאותות והחלוף וזה סוג כולל יכנסו תחתיו כל מיני טבעי ~~[..]~~ הנמצאות כמו שבארו מחברי אלכואן אלצפא וגבר בן חיאן מלמד הכימיאה בספרו בסגלות הדברים
The types of excellences are two: intellectual and moral, as the Philosopher [= Aristotle] explained at the beginning of the [second] book of Nicomachean Ethics [II.1, 1103a14-25].	סוגי האשור שנים מחשביי ~~ומדועי~~ ^{ומדותיי} כמו שביאר הפלוסוף ^בראש המאמר הששי מהמדות

Three	השלושה
Properties of the number three
It is the first odd number.	הוא ראשון למספרים [הנפרדים]‫^[28]
It concludes [the three] kinds of numbers, since it includes the one, and the two types of multitude, which are the even and the odd.	ובו נשלם כל טבע המספר וזה שבו האחד והשני מיני הרבוי [שהם]‫^[29] הזוג והנפרד
Triad in the existences
As three comes after two in the arrangement of numbers, so in the development of natural existence the triad comes after the dyad.	וכמו שהשלשה בסדור המספר אחר שנים כן בהשתלשלות המציאות טבע השלוש מגיע אחר השניות
Since, after we suppose God exists and that He creates the existence, He is described as the form, the actor, and the purpose of the world.	וזה שאחר שנניח האלוה ושהוא ממשיך המציאות מאתו יתואר בשהוא צורת העולם ופועלו ותכליתו
These three are one, and do not indicate plurality in God Himself, as Ibn Rushd explained in the second book of his epitome on the Metaphysics.	ושלשה אלו הם אחד לא יתנו רבוי בעצמו ית' כמו שביאר [בן רשד]‫^[30] בסוף השני מקצורו למה שאחר
It is so in natural things also, because the form, the actor, and the purpose are one in subject and three in observation, as Aristotle explained in the second book of Physics.	וגם בדברים הטבעיים הוא כן כי הצורה והפועל והתכלית אחד בנושא שלשה בבחינה כמו שביאר ארסטו בשני מהשמע
God is described also by three [attributes] as: Intellect, endowed with intelligence, Intelligence	וכן יתואר הבורא ית' בש בשלוש ^בשהוא שכל משכיל ומושכל
These [three] do not indicate plurality [in God], as the great sages have explained.	ולא יביאו אל רבוי כמו ‫^[31]שביארו גדולי החכמים
Thus, Aristotle said at the beginning of the first book of On the Heavens [I, 268a1-268b10] that because three has two ends and a middle, it is whole and complete and therefore we magnify God by this number, in accordance with the act of nature as a law for us.	ולזה יאמר ארסטו בתחלת הראשון מספר השמים כשביאר שהשלשה כל ושלם אחר שיש לו שני ^הקצוות ואמצעי שראוי מפני זה שנגדיל האלוה ית' בזה המספר כדי שנמשך לפועל הטבע ויהיה זה כאלו הוא תורה לנו
Ibn Rushd has explained the number of prayers and sacrifices by [three] and perhaps this was the intention of the founders of our prayers, we [the Israelites], which are three.	ובן רשד המפרש פירש בו מספר התפלות והקרבנות ואולי זאת היתה כונת מיסדי תפלותינו שהם שלשה אנחנו [הישראלים]‫^[32]
God's attributes of perfection are three: Wisdom, Power, Will.	~~ואם~~ תארי הבורא בשלמות שלשה חכמה ויכולת ורצון
What follows the second cause are three: the first orb, its essence, and the mover of the second orb.	והעלה השניה ממשיכה אחריה שלשה והם הגלגל הראשון ונפשו ומניע הגלגל השני
The properties of the heavenly bodies are three: in each of the seven spheres many orbs are moving one star; in the eighth sphere one orb moves one thousand and 22 stars; in the ninth sphere there is no star.	ובגרמים השמיים טבע השלוש וזה ששבעת הכדורים בכל אחד גלגלים רבים להניע כוכב אחד ובשמיני גלגל אחד יניע כוכבים אלף כ"ב ובתשיעי אין בו כוכב
From another aspect, the motion of the stars of the eighth heavenly sphere is simple homogeneous around the center of the world; [the motion] of the luminaries is inhomogeneous, not around the center of the world, but they are receding; the five planets are receding - hence, the heavenly bodies differ by three properties in their longitudinal motions.	ומצד אחר כוכבי הרקיע השמיני תנועתם פשוטה מתדמה סביב מרכז העולם ובמאורות בלתי מתדמה ולא סביב מרכז העולם אבל ישיגם נזורות ובחמשת כוכבי הנבוכה ישיגם הנזורות הנה נבדלו הגופים הרקיעים בשלשה טבעים בתנועת^ם [ב]‫^[33]אורך
From another aspect - the horizontal motion: the sun have no horizontal motion; the moon moves horizontally, and its horizontal eccentric orb exists; the eccentric orb of five planets does not exist.	ומצד אחר בתנועת [הרחב]‫^[34] וזה שהשמש אין לו תנועה ברוחב מאזור המזלות והירח יתנועע ברוחב אבל גלגל[ו]‫^[35] הנוטה ברחב קיים הנטייה ובחמשת הכוכבים גלגלם הנוטה בלתי קיים
From another aspect - the sun, due to its expansion, is satisfied by the eccentric sphere or the epicycle; the remaining six need both; and the fixed stars has neither.	ומצד אחר השמש לפשיטותו יספיק בו יציאת המרכז או גלגל הקפה והששה הנשארים צריכים לשניהם וכוכבי שבת אין בהם לא זה ולא זה
From another aspect - the sun has solar eclipse; the moon has lunar eclipse, which is the total loss of light; the others have neither.	ומצד [אחר]‫^[36] השמש תקרהו הסתרה והירח לקות והוא אבוד האור לגמרי והנשארים לא זה ולא זה
There are three in them from other aspects, but those I have specified are enough.	ויש בהם שלוש מפנים אחרים אבל אלו שאפרש די
The natures of the astrological signs are three: constant, tropical, bicorporal.	טבעי המזלות שלשה קיים מתהפך בעל שני גופות
There are also threes in the elements:	וכן ביסודות שלש
Among them are those that are completely light, those that are completely heavy, and those that are both light and heavy.	מהם קל במוחלט מהם כבד במוחלט מהם ^כבד וקל ~~במוחלט~~ בהצטרף
From another aspect - among them are those that are completely thick, those that are completely thin, and those that are both thick and thin.	‫[ומצד אחר]‫^[37] מהם עב במוחלט ומהם דק במוחלט ומהם עבים ודקים בהצטרף
From another aspect - among them are those that are extremes in quality, as the hot and the dry, the cold and the moist; the others are the mediate between these two, as they share one of their qualities with them.	ומצד אחר מהם קצוות ב^באיך כמו החם והיבש והקר והלח והנשארים זה מתמצעים בין שני אלו להשתתפם עם הנשארים ב^באחד מאיכיותיהם‫^[38]
Work and disobedience are threefold: in thought, speech, and act.	העבודה והמרי בג' במחשבה בדבור ובמעשה‫^[39]
The types of movements of the bodies are three: form the center, to the center, and around the center	מיני תנועות הגשמים שלשה מן האמצע אל האמצע וסביב ‫^[40]האמצעי
From another aspect - the types of movements of the bodies are three: straight, rotative, and a combination of both called spiral.	מיני התנועות מצד אחר שלשה ישרה וסבובית ומורכבת משתיהן הנק^ראת חלזונית
It was explained that the worlds are three and the nature of three is found in each of them, in the way that we also explained about the attributes of God as we mentioned, not other than this.	הנה התבאר שהעולמות ג' ובכל אחד מהם מצוי טבע השלוש בדרך שביארנו גם באלוה בתאריו כמו שזכרנו לא זולת זה
The nature of three is found in the beings also:	גם [בנמצאות]‫^[41] מצוי טבע השלוש
The souls are of three species: vegetative, animal, rational.	כי הנפשות ג' במין הצומחת והחיונית והמדברת
The types of plants are three: tree, grass, vegetable.	מיני הצומח שלשה האילן והעשב והירק
The grass stays for a long time like the tree, while the vegetable seeds and dries within a year.	והעשב נשאר זמן כמו ^האילן והירק מזריע ומתיבש בתוך שנה
The type of animals are three: walking, flying, reptile.	מיני החי ג' המהלך והמעופף [והשח]‫^[42]
The rational cannot be divided, since it does not have multiple species [?].	והמדבר לא יחלק לפי שלא יתרבה במין
The faculties are three: natural, animal, rational.	הכחות ג' טבעית חיונית נפשיי
The dimensions are three: length, width, depth.	המרחקים ג' האורך והרוחב והעמק
They obtain their beginnings from three: line, surface, body.	ולוקחים התחלותיהם משלשה הקו והשטח והגשם
The measure of the newborn is usually threefold in the future to come, as most gentiles have explained.	מדת הילוד על הרב ג' מה שעתיד להיות כמו שבארו רב ההנכרים
The first of the plane polygonal shapes consists of three boundaries no less, and this is the triangle; all the other many polygons are decomposed into it, therefore the ancients thought it is an element, as the "Philosopher" [= Aristotle] explained in the third book of On the Heavens, [III, 306b3-29].	‫[התמונות]‫^[43] הישרות הקוים השטוחות הראשונה משלשה גבולים לא פחות והוא המשלש וכל שאר התמונות ישרות הצלעות הרבות אליו יותכו ולזה חשבוהו הראשונים יסוד כמו שביאר הפלוסוף בג' מ[ה]‫^[44]שמים והעולם
The sciences are three: mathematics, physics, metaphysics.	החכמות ג' הלמודיות והטבעיות והאלהיות
The universal syllogisms are three, as explained in the first book of Prior Analytics.	תמורות ההקש המול^ידות ג' כמו שהתבאר בראשון מספר ההקש
The primary types of ratios are three: equality, excess, defect	מיני ההקשה הראשונים ג' אם שווי אם תוספת אם חסרון
The general types of proportions are three: arithmetical, geometric, harmonic.	מיני היחס הכוללים ג' המספרי המדותיי והנגוניי
The types of speech by the philosophers are three: noun, verb, statement as explained at the beginning of On Interpretation [De Interpretatione, I, 16a1-3]	מיני הדבור אצל הפלוסופי' ג' שם פעל מלה כמו שהתבאר בתחלת ספר המליצה
The types of perseverance and and the lack of perseverance of the natures are three: not existing and not perishable - as in God; permanent in species and perishable in the individual - as the elements; the composed of them that is permanent in the individual - as the spheres, the angels, and the stars.	מיני הטבעים בהתמדה ולא בהתמדה שלשה לא הווה ולא נפסד באלוה אם מתמיד במין נפסד באיש כיסודות והמורכב מהם מתמיד באיש כמו הגלגלים והמלאכים והכוכבים
The main leading faculties are three: generative, growing, nutritive.	~~האחות~~ הכחות המנהיגות הראשונות ג' מוליד ומגדל וזן
The things that are found in the souls are three: states, faculties, passions - as the "Philosopher" [= Aristotle] explained in the second book of Nicomachean Ethics [II.5, 1105b19-28].	~~הנד~~ הדברים הנמצאים בנפש ג' מקרים כחות ותכונות כמו שביאר הפלוסוף בשני מספר המדות
The types of love are three: love of goodwill, love of pleasure, love of utility - as Aristotle explained at the beginning of the eighth book of Nicomachean Ethics [VIII, 2-3, 1155b17-1156a21].	מיני האהבה ג' אהבת מעלה אהבת הנאה אהבת תועלת כמו שביאר ארסטו בתחלת השמיני מספר המדות
The parts of the soul are three: one is for action, which is desire; and two are for judgment, which are sensation and intellect - "what affirmation and negation are in thinking, pursuit and avoidance are in desire" - as explained in the sixth book of Nicomachean Ethics [VI.2, 1139a17-31].	בנפש ג' חלקים אחד [לפועל]‫^[45] והוא התאוה ושנים לשפוט והם החוש והשכל ומה שהוא בשכל חיוב ושוללות הוא בתאוה דרישה ובריחה כמו שהתבאר בששי מספר המדות
The matters of the propositions are three: necessary, impossible, possible; since the absolute is of the nature of the possible and it is one of its types, according to the opinion of the recent [thinkers].	‫^[46]החמרים בגזרות ג' מחויב ונמנע ואיפשר שהמשולח מטבע האפשר והוא מין ממיניו לפי דעת האחרונים
The conic sections of the circular cone are three: sufficient, supplementary, deficient, as explained in the first book of Apollonius, The Conical Sections.	השלמויות הם החתוכים הנופלים ג' במחודד העגול ג' המספיק והנוסף והחסר כמו שהתבאר במאמר הראשון מספר אבולינוס בחרוטים
The social conducts [types of life] are three, as Aristotle has shown in the first book of Nicomachean Ethics [I.5, 1095b13-1096a5] and they are: enjoyment, political, contemplative.	מיני מ^נהגי המדינות כ כפי מה שיראה ארסטו בראשון מספר המדות ג' והם התענוג הכבוד העיון

Four	הא^רבעה
Properties of the number four
The beginning of the composite numbers.	תחלת מספר מורכב
The beginning of the even-times-even numbers.	ותחלת זוג הזוג
The beginning of the squares in actu.	ותחלת מרובע שיהיה בפעל
It completes the sum of ten, [which is the end of] the numbers of the first rank. $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4=10}}$	וחבורו משלים עשרה שהם בפנים ע' מספרי המעלה הראשונה
Its root is its half. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=\frac{1}{2}\sdot4}}$	‫[ושרשו]‫^[47] חציו
It is half the cube [of its root]. $\scriptstyle{\color{blue}{4=\frac{1}{2}\sdot\left(\sqrt{4}\right)^3}}$	והוא חצי מעוקבו
Tetrad in the existences
The tetrad is found in the existences after the triad:	אמנם בנמצאות איך ימצא ~~[.]~~ רבוע אחר [השלוש]‫^[48]
Plato has already explained this in his spiritual Timaeus, when he said that all existents apart from God, though they differ in their existence, they share four things: their being imperfect; their being an effect; they have multitude; the faculty of each does not spread to the rest.	כבר ביארו אפלטון בספר טימאוס הרוחניי כשיאמר שהנמצאות כלם בלתי האלוה אחר הבדלם ~~בוש~~ בישותיהם ישתתפו בארבעה דברים בהיותם בלתי שלמים בהיותם עלולים בהיותם בעלי רבוי בהיות כח כל אחד מהם בלתי מתפשט בכל הנשארים
There are four things in the orbs: orb; star; essence; separate mover.	ובגלגלים ארבעה דברים הגלגל והכוכב הנפש והמניע הנבדל
There are four natures in the formed orbs: stars, planets; the two luminaries as the late Maimonides explained in chapter 11 of the second book [Guide II.9].	בגלגלים המצויירים ד' טבעים המכוכב כוכבי הנבוכה שני המאורות כמו שביאר הר"ם ז"ל פרק י"א משני והגלגל
The faculties emanate from the orbs are four: inanimate; vegetative; animal; rational.	הכוחות השופעות מן הגלגל ד' הדומם הצומח החי והמדבר
The skills that use analogy are four: proof; argumentation; refutation; rhetoric.	המלאכות אשר תעשינה ^ההיקש ד' והן [המופת והנצוח וההטעמה וההלצה]‫^[49]
The seasons are four: cold; hot; summer; winter.	התקופות ד' קור וחום קיץ וחורף
The opposites are four: contradiction; correlation; privation and possession; affirmation and negation	המקבילות ד' ההפכים המצטרפים ההעדר והקנין החיוב והשוללות
The types of astrological aspects in which the rays of the stars combine are four: opposition; triplicity; quartile; sextile.	מיני המבטים אשר כפיהם יתמזג ניצוצות הכוכבי' ד' נכח שליש רביע שתות
The qualities are four: hot; cold; moist; dry.	האיכיות ד' החום והקור הלחות והיובש
The mixtures generated from them are four, as the sages explained.	וההתמזגות המתילדות [מהם]‫^[50] ד' כמו שביארו החכמים
The types of “how” are four: possession; meaning; natural faculty and nonnatural faculty; causing and effecting.	מיני האיך ד' קנין ענין כח טבעי ולא כח טבעי הפעל ו^ההפעלות
The phlegms are four: red; black; white; blood.	הליחות ד' אדומה שחורה לבנה דם
The causes are four: matter; form; act; purpose.	הסבות ד' החמר והצורה והפועל והתכלית
The directions are four: west; east; north; south; and they are limited, as the "Philosopher" [= Aristotle] explained in the second book of On the Heavens, when he clarified that the orb has limited directions in nature.	הרוחות ד' ימה וקדמה וצפונה ונגבה והן ~~מוגבולו~~ מוגבלות כמו שביאר הפילוסוף בתחלת השני [מס' השמים והעולם]‫^[51] כשביאר שלגלגל פאות מוגבלות בטבע
The types of perfections are four.	מיני השלמויות ד‫'
The acting powers of the nutritive capacity are four: attraction; retentive; digestion; repulsion.	הכחות העובדות הכח הזן ד' מושך מחזק מעכל ודוחה
The heavenly cardines are four: ascendant; line of the lower midheaven; setting point; midheaven.	יתדות הרקיע ד' הצומח וקו התהום והשוקע וחצי השמי‫'
The primary mental faculties are four and they are: intellect; mixing; strength; righteousness.	‫^[52]כחות הנפש הראשיים ד' והם השכל [וההמזגה]‫^[53] [והחוזק]‫^[54] והצדק
The natures of the trees are four: those that have waters; those that have resins; those that have oils; those that have milky saps; as explained in the Book on Agriculture.	טבעי האילנות ד' בעלי מימות בעלי שרפים בעלי שמנים בעלי חלבים כמו שהתבאר בספר עבודת האדמה
The primary organs are four: brain; heart; liver; testicles.	האיברים הראשיים ד' מוח לב כבד אשכים
The types of faculties attributed to medicines by their action in us are four, according to the opinion of the recent thinkers and in particular Ibn Rushd in the book al-Kulliyat	מיני הכחות המיוחסות [לרפואות כפי פעולתם]‫^[55] בנו ד' כפי דעת האחרונים ובפרט בן רשד בספר הכליות
The constructions of the figure are four and in the other figures there are no natural construction, because this figure, as Aristotle said in the Prior Analytics is realized in the human thought by nature. It generates without skill, and it creates contradictions. The other figures are opposite to all these as explained in the Prior Analytics.	חבורי התמונה ד' ואין בכל חבורי שאר ה^התמונות טבעי אלא כי זאת התמונה יש שאמר ארסטו בהקש ממה שתפול מחשבת בני אדם בטבע והיא תוליד בלא מלאכה ותוליד כל מיני הסותרים ושאר התמונות בהפך כל אלו כמו שהתבאר בספר ההקש
The types of questions are four: simple "if"; complex "if"; what; why - as the "Philosopher" [= Aristotle] explained at the beginning of the second book of Posterior Analytics [II, 1, 89b23-24] and other have said these are: if; what; how; why.	מיני הדרישות ד' אם פשוט ואם מורכב ומה ולמה כמו שביאר הפלוסוף בתחלת השני מספר המופת ואחרים אמרו שהם אם ומה איך ולמה
The animals of the chariot are four.	חיות המרכבה ד‫'
Zechariah’s chariots are four and they are a proof of respectable matters that the sages before us mentioned a lot.	ומרכבות זכריא ד' והם מופת על ענינים נכבדים זכרו מהם החכמים שלפנינו הרבה
There are still many left, but there is no place in this book to discuss them, especially since they involve long and profound things, and if God allows us, we will dedicate a separate treatise to them.	ועדין נשאר הרבה אבל אין בזה הספר מקום לדבר בם וכל שכן שסובלים דברים ארוכים ועמוקים ואם יניח השם לנו ניחד בהם מאמר בפני עצמו

Five	החמשה
Properties of the number five
It is a "round number", revolving around itself, that is - it stays in its square and in its cube: because, the square of 5 is 25; its cube is 125; and so on, if it is further duplicated its units are 5 [= the units of the powers of five are always five] $\scriptstyle{\color{blue}{5^2=25\quad5^3=125\quad{\color{OliveGreen}{5^n=10a+5}}}}$	מספר [עגול]‫^[56] סובב על עצמו וזה שהוא שומר עצמו במרובעו ובמעוקבו כי מרובע ה' כ"ה ומעוקבו קכ"ה וכן תמיד אם יכפיל יותר ימצא בו פרט ה‫'
Five is as a midpoint between the nine numbers [= units].	וזאת שהחמשה כנקדה אמצעית בין המספרים התשעה
It is a sum of the first square in potentia with the first square in actu. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{5=1^2+2^2}}$	והוא [חבור]‫^[57] המרובע הראשון בכח עם המרובע הראשון בפועל
It has a wonderful virtue that indicates that the numbers are nine alone, which is that the square of five, plus the square of its double, is the same as its cube: its square is 25 and the square of its double is a hundred; this is 125, which is the cube of five. $\scriptstyle{\color{blue}{5^2+\left(2\sdot5\right)^2=25+100=125=5^3}}$	ויש בו סגלה נפלאה מעידה שהמספרים תשעה לבד והיא שהחמשה מרובעו ומרובע כפלו כמו מעוקבו וזה שמרובעו כ"ה ומרובע כפלו מאה [הרי]‫^[58] קכ"ה והוא [מעוקב]‫^[59] חמשה
For every number preceding five, the ratio of its square plus the square of its double to its cube is the same as the ratio of that number to five. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n<5\longrightarrow\left[n^2+\left(2\sdot n\right)^2\right]:n^3=n:5}}$	וכל מספר שלפני חמשה ערך מרובעו ומרובע כפלו אל מעוקבו כערך אותו המספר אל חמשה
For every number greater than five it is the other way around. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n>5\longrightarrow\left[n^2+\left(2\sdot n\right)^2\right]:n^3=5:n}}$	וכל מספר שאחר חמשה הדבר בהפך
We will elaborate on this in its appropriate place.	והנה נאריך [בזה]‫^[60] במקומו הראוי לו
Pentad in the existences
There are general things in the existences that run by five.	ויש בנמצאות דברים כוללים ירוצו מרוצת החמשה
Among them, as Plato said in Timaeus, are the five foundations of existence that are: intellect, form, matter, place, and time.	מהם כמו שאמ' אפלטון בספר טימאוס שחמשה הם שרשי המציאות והם השכל והצורה והחומר והמקום והזמן
The subjects of geometry are five: point, line, surface, solid, angle.	נושאי ההנדסה חמשה הנקדה הקו השטח [הגשם]‫^[61] הזוית
The predicates of the sentence are five and they are: genus, species, difference, property, accident.	‫^[62]נשואי הגזרות ה' [והם]‫^[63] סוג מין הבדל סגלה מקרה
The corporeal senses are five: sight, hearing, smelling, taste, and touch.	ההרגשות הגשמיות ה' ~~הראות~~ ^הראות והשמע והריח הטעם והמשוש
The signs of life in the nativities according to the astrologers are five and they are: the two luminaries, the ascendant, midheaven, and the lot of beauty.	סימני החיים ~~במליד~~ במולדות אצל ההוברים ה' והם מקומות שני המאורות הצומח וחצי השמים וגורל היופי
The knowledge of the spherical power in the sublunar world depends on the position of the five orbs: orb of the zodiacal signs, the orbs of the two opposites[?], the orb that separates the ever-visible from the sphere, the orb the separates the ever-hidden.	עוד ידיעת הכח הגלגלי בעולם השפל תלוי במצבי חמשה עגולים והם עגול המזלות ועגולי שני ההפ^וכים והעגול ~~הנראה תמיד~~ המבדיל בין הנראה תמיד מהגלגל והעגול המבדיל בין הנסתר תמיד
The [types of] geometrical solids that have equal faces touching on all sides [= polyhedrons] are only five; their matter has already been clarified in the 13th book of Euclid's.	התמונות הגשמיות שוות התושבות וימוששו מכל צד הם ה' לבד וכבר התבאר ענינם בי"ג מאיקלידיס
The final types of analogies between things are five; their matter has already been clarified in the second section.	מיני ההקשה האחרונים בין הדברים שיפול ביניהם הם חמשה וכבר התבאר ענינם בשער השני
The retrograde planets of nonexistent width [?] are five: Saturn, Jupiter, Mars, Venus, Mercury.	הכוכבי' שהשתתפו בנזורות ורוחב בלתי קיים חמשה והם שצ"ם נ"ך
The types of excellences are five: three intellectual and two [moral] etc. as explained at the end of the first book of Nicomachean Ethics [I.13, 1103a4-13].	מיני [האשור]‫^[64] חמשה שלשה במחשב^יה ושנים וכו' כמו שהתבאר בסוף הראשון מספר המדות
The vowels by which the parts of the sentences are pronounced are five: pattā́ḥ [a], ṣērê [e], ḥiriq [i] šuruq [u], and ḥōlam [o]; the rest are not natural. Those that have vocalization are called vowels as said Nahmanides / Moses Qimhi in his summary on vocalization and Ibn Ezra in his Commentary on Exodus [lit. These are the Names].	התנועות שיבוטאו בהם התארים הגזרים חמש והם פתח צרי חרק שורוק חולם והשאר אינם טבעיות ויקראו בעלי הנקוד תנועות כמו שיאמ' משה קמחי‫^[65] בקצורו לנקוד [ואבן עזרא]‫^[66] בספר [ואלה שמות]‫^[67]
The simple and compound parts of speech are five: sound, letter, word, section, sentence.	חלקי הדבור הפשוטים והמורכבים ה' והם הקול הגזר האות התיבה הגזרה
The generative faculty of animals is found in five types: the first gives birth to its like in its body; the second lays eggs in its body and [gives birth to] an animal outside its body; the third lays complete eggs in its body and outside its body; the fourth lays incomplete eggs in its body which are completed outside [its body]; and the fifth is generating worms outside its body - as the philosopher [= Aristotle] explained in ,Generation of Animals [II.1, 732a25-b7].	התולדה בב"ח תמצא על ה' פנים הא' שיוליד בגופו חי כ כמהו בצורה והשני שיוליד בגופו ביצים וחוץ מגופו בעל חיים הג' שיוליד בגופו וחוץ מגופו ביצים שלמים הד' שיוליד בגופו ביצים בלתי שלמים וישלמו בחוץ והה' שיוליד בחוץ תולעים כמו שביאר הפלוסוף בי"ו מספר ב"ח
The causes of maleness and femaleness in animals are five: mixture of two, directions, nature of the place, nature of the water and the air - as Aristotle explained in the Generation of Animals [IV].	סבות הזכרות והנקבות [בב"ח]‫^[68] ה' והם המזג השנים הרחות טבע המקום טבע המים והאויר כמו שביאר ארסטו בי"ח מב"ח

Six	הששה
Properties of the number six
It is the beginning of the even-times-odd numbers.	תחלת זוג הנפרד
It is also a "round number", revolving around itself, as the five, that is - six also stays in its square and in its cube as 5: because, 6 by 6 is 36; 6 by 36 is 216; and so on, if it is further duplicated it stays in this duplication [= the units of the powers of six are always six]. $\scriptstyle{\color{blue}{6^2=36\quad6^3=216\quad{\color{OliveGreen}{6^n=10a+6}}}}$	והוא כמו כן מספר [כדוריי]‫^[69] מתגלגל על עצמו כמו החמשה וזה שהששה שומר גם כן עצמו במרובעו ובמעוקבו כמו הה' וזה כי ו' על ו' ל"ו וואו על ל"ו רי"ו ואם יכפל עוד ישמר בכפל ההוא וכן לעולם
Six is a perfect number, i.e. [the sum of] its divisors is equal to its whole no less and no more: its half is 3; its third is 2; it sixth is 1; the total is six. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)=3+2+1=6}}$	והששה מספר שלם ר"ל שחלקיו שוים לכלו לא פחות ולא יתר וזה שחציו ג' ושלישיתו ב' וששיתו א' הרי ששה
There is no other perfect number but it in the first rank.	ואין בלעדיו מספר ‫^[70]שלם במדרגה הראשונה
In the second [rank] there is one [perfect number], which is 28.	ובשנית ימצא אחד והוא כ"ח
In the third - 496.	ובשלישית תצ"ו
In the fourth, which is the thousands – 81[2]8	וברביעית שמות אלפים ר"פ
From here on perfect numbers are found only by skipping over ranks.	ומן הוא והלאה לא ימצא מספר שלם רק בדלוג מדרגות
Most numbers are either deficient or abundant.	וכל המספרים אם נוספים ואם חסרים
The philosophers deduced from this an allusion that very few perfect [people] are found miraculously, by skipping over countries and generations.	וחכמי העיון הוציאו מזה רמז כי השלמים ימצאו מעטים ובפליאה ובדלוג מדינות ודורות
They call this number "šalem" [= perfect], since the definition of "šalem" [= perfect, lit. whole, complete], as "the philosopher" [= Aristotle] said, is "that which is not to be added to or subtracted from", therefore, the circle is called "šalem" among the plane figures and the sphere among the solid figures.	ואמנם קראו זה המספר שלם לפי שגדר השלם כמ"ש הפילוסוף הוא אשר אין להוסיף עליו ולא לגרוע ממנו ולזה נק' העגול שלם בתמונות השטוחות והכדור במוגשמות
The people who have this attribute are very few.	והאנשים שעניינם כך מעטים
Most people, either lack what should be in them, or have something in them that should not be in them.	ואמנם רוב האנשים אם חסרים מהראוי להיות בם ואם שיהיו בם דבר לא יתכן שיהיו
We will explain the way to extract them [i.e. the perfect numbers], when we will reach [the discussion of] special properties.	ואמנם הדרך בהוצאתם נבארהו כשנגיע אל הסגולות הפרטיות
Hexad in the existences
There are some general things in the existences that run by six.	וכמה דברים כוללים בנמצאות ירוצו מרוצת הששה
As Al-Fārābī said in the beginning of his book called The Principles of Existing Things, the principles of the existing things are six: God, intellect, soul, wheel, form, primeval matter.	כמ"ש אלפראבי בתחלת ספרו הנק' התחלות הנמצאות שאמר שהתחלות המציאות ששה והם האלוה השכל הנפש הגלגל הצורה ההיולי
The directions are six: upward, down, right, left, forward, backwards.	הפאות ששה מעלה ומטה ימין ושמאל פנים ואחור
The northern signs are six: Aries, Taurus, Gemini, Cancer, Leo, Virgo.	המזלות הצפוניים ו' והם טש"ת סא"ב
The southern signs are six: Libra, Scorpio, Sagittarius, Capricorn, Aquarius, Pisces.	והדרומיים ו' מע"ק גד"ד
The [types of] composition of relations taken in diverse aspects are six.	חבור היחסים הלקוחים בנושאים מפורדים אמנם הוא בששה
The musical sounds are six, in the fourth of them the other nature of the melody begins and goes up to six and from there up to infinity in potentia, because what has no end can never be carried out.	קולות הנגון ו' וברביעי מהם מתחיל הטבע האחר מהנעימה והולך עד ו' וכן משם ולמעלה עד לאין תכלית בכח כי מה שאין תכלית לו אי אפשר שיצא אל הפועל לעולם
The [types of] inexpressible [= irrational] continuous or discontinuous lines formed in all kinds of apotome are always six.	הקוים האלמים מדובקים או נבדלים המתילדים בכל סוג מסוגי הנבדלים הם לעולם ששה ששה
The orifices of the human body are six: eye, ear, nose, mouth, small intestine, large intestine - the doubles should be counted only as units, because, as "the philosopher" [= Aristotle] said, they are doubled only to be better [?].	מוצאי המותר בגוף האדם ו' והם העין האזן האף הפה מוצא המותר הדק ומוצא המותר העב ואין ראוי למנות הכפולים רק אחדים כי כמ"ש הפילוסוף לא נכפלו רק מפני היותר טוב
The general faculties of the human soul are six: growth, nourishment, sensation, common sense, imagination, reason.	כחות הנפש האנושית הכוללים ששה והם צמיחה הזנה הרגש חוש משותף דמיון שכל
The joints of the arm, the hand and each finger are six: from the shoulder to the beginning of the hand there are two; from the beginning of the hand to the tip of each finger there is one; in each finger there are three - so, there are six. All of them are gradually related by nature in a limited ratio, unless the nature is wrong by anomaly.	פרקי הזרוע והיד וכל אצבע ששה וזה שמהכתף עד תחלת היד שנים ומתחלת היד עד ראש כל אצבע א' ובכל אצבע ג' הרי ו' וכלם מתיחסים בהדרגה ביחס מוגבל בטבע אם לא שישגה הטבע על הזרות
Similarly, from the beginning of the foot to the tip of each toe.	וכן מתחלת הרגל עד קצות כל אצבעות הרגל
The protrusive organs of the face are six: two eyes, two ears, two nostrils. It is not appropriate to count the lips, because a person can shut his mouth and lips tightly, so that no difference will be recognized in them from the rest of the face.	האיברים הבולטים בפנים ו' והם שתי עינים שתי אזנים שתי נחירים ואין ראוי למנות השפתים לפי שהאדם יכול לקפוץ פיו ושפתיו ולא יוכר בם שנוי משאר שטח הפנים
The measures of all stars in the sky are divided into six, as the sages explained.	גדלי כוכבי הרקיע כלם יחלקו לו' כמ"ש החכמים
The common causes of health and sickness are six: surrounding air, food and drink, motion and rest, sleeping and waking, emptying and constipation, psychological accidents.	הסבות המשותפות לבריאות והחולי ששה האויר המקיף מאכל ומשתה תנועה ומנוחה שינה ויקיצה הרקה והסגר חדושים נפשיים

Seven	השבעה
Properties of the number seven
It is [the last] prime number in the first rank: the prime numbers in this rank are 2, 3, 5, 7.	הוא מספר ראשון שבמדרגה ראשונה וזה שהמספרים הראשונים שבמדרגה היא בגה"ז
The number seven consists of the beginning of the even numbers and the second of the odd numbers; as well as of the beginning of the odd numbers and the second of the even numbers. $\scriptstyle{\color{blue}{7=2+5=3+4}}$	ומספר הז' מורכב מתחלת הזוגות עם שני לנפרדים ומתחלת הנפרדים עם שני לזוגות
Therefore, the ancient sages called it an inclusive number.	ולזה קראוהו קדמוני החכמים מספר כולל
It is middle between the four composite numbers [among the units]: two precede it - 4, 6; and two follow it - 8, 9.	והוא אמצעי בין ארבעת המספרים המורכבים שנים לפניו ושנים לאחריו לפניו ד"ו ואחריו ח"ט
If you double seven, it is 14, which is the sum of the squares of 1, 2, 3 that are the whole nature of number, as said above. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot7=1^2+2^2+3^2}}$	ואם תכפול שבעה יהיו י"ד וזה עולה במחובר מרובעי אב"ג שהם כל טבע המספר כמ"ש למעלה
The sum of [the units up to] seven is a perfect number and there is no other [perfect number] in the rank of tens. $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4+5+6+7=28}}$	וחבור ז' מספר שלם ואין במדרגת העשרות זולתו
Heptad in the existences
There are many things in the existences that run by seven.	ויש בנמצאות דברים רבים ירוצו מרוצת השבעה
The planets are seven and they are the first governors of the world. Therefore, the sages of Israel called them "the servants" from ancient times.	מהם שהכוכבים ז' והם מנהיגי העולם הראשונים ולזה קראום מקדם חכמי ישראל המשרתים
The days of the moon’s quadrant are seven and in them the airs and natures move through health and sickness.	ימי כל רבוע מרבועי הירח ז' ובהם יעתקו האוירים והטבעים בבריאות ובחולי
The climates of the earth are seven. This is not a hypothetical categorization, but it follows a higher power, as the astrologers say.	אקלימי הארץ שבעה ואינה חלוקה הנחית אבל נמשכת לכח עליוני כמ"ש חכמי הכוכבים
The types of metals are seven: gold, silver, copper, tin, lead, iron, mercury.	מיני המתכות ז' הזהב הכסף הנחשת הבדיל העופרת הברזל הכסף חי
Although the iron does not melt as one would think, it is possible to melt it with a hidden trick until it melts as fast as lead.	ואע"פ שהברזל לא יותך כפי מה שיחשב הנה איפשר להתיכו בתחבולה נעלמת עד שיותך מהרה כמו העופרת
The types of natures of non-talking animals are seven: carnivores, vegetarians, birds of prey, song birds, insects, reptiles, i.e. detestable creatures and creeping animals, and aquatic animals - from each of them many species diverge.	סוגי טבעי הב"ח הבלתי מדברים שבעה חיות טורפות בלתי טורפות עופות דורסים בלתי דורסים שרץ העוף זוחלי עפר ר"ל שקצים ורמשים חיות המים ותחת כל א' מאלו ישתרגו מינים רבים
The sciences categorized according to the opinion of "the philosopher" [= Aristotle] are seven: physics, metaphysics, arithmetic, geometry, astronomy, music, politics.	החכמות שיחלקו כפי דעת הפילוסוף ז' והם הטבע והאלהות והמספר וההנדסה וחכמת התכונה הגלגליית וחכמת המוסיקה והחכמה המדינית
This classification differs from the opinions of recent thinkers.	ויש בחלוקה הזאת חלוף דעות לאחרונים
They did not count logic, as it is not a science, but only a tool.	ולא מנו ההגיון לפי שאינו חכמה אבל כלי לבד
The truth, as the late Maimonides said in chapter 43, section 3, is that the seven are great introduction to natural and theologial matters, and the author of The Book of the Palm [Sefer ha-Tamar] said at the end of his book that these are among the things whose knowledge is obliged.	והאמת כמ"ש הר"ם ז"ל בפ' מ"ג מג' שלשבעה מבוא גדול בעניינים הטבעים והתוריים וכן יאמר בעל ספר התמר בסוף ספרו וזה מכלל הדברים הכרתם מחויבת
The changes in a human life are seven, as Ibn Sinā said at the beginning of his book The Qānon, as well as Hippocrates in his books on the heptads [?].	שנויי שנות האדם שבעה כמ"ש בן סינא בראש ספרו בקאנון ואבוקראט בספריו בשביעיות
The types of quantities are seven: line, surface, solid, place, time, number, speech.	מיני הכמה שבעה הקו השטח הגשם המקום הזמן המספר הדבור
The minimal months of existence in which the embryo can survive are seven.	חדשי עמידת העובר לפחות שיוכל לחיות בו הילוד שבעה
The reason for this is long and well explained in the books of the astrologers, as there is not enough in the natural science to complete this reason.	וטעם זה ארוך והתבאר היטב בספרי חכמי הכוכבים כי אין בחכמת הטבע די להשלים סבת זה

Eight	השמנה
Properties of the number eight
It is the beginning of the cubic numbers in actu, i.e. a number whose length, width, and height are equal.	תחלת מעוקב בפעל ר"ל מספר שארכו ורחבו וגבהו שוה
It is an even-times-even number, as 4, and therefore it is a deficient number, i.e. [the sum of] its divisors is less than its whole - because this is the way of all even-times-even numbers, that is, they are deficient by one over their whole.	והוא זוג הזוג כמו הד' ולזה הוא מספר חסר ר"ל שחלקיו פחות מכלו כי כן דרך מספרי זוג הזוג ר"ל שהם חסרים לעולם אחד אחד מכללם
The sum of the eight [first units] is the same as the preceding even-times-even number. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^8 i=6^2}}$	וחבור ח' כמרובע הזוג הזוג שלפניו
The sum of the sum [of the eight first units] is 120, the sum of whose divisors is its double and is the sum of the squares of the even numbers in the first rank. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{j=1}^8\sum_{i=1}^j i=120=2^2+4^2+6^2+8^2}}$	וחבור חבורו עולה ק"כ שחלקיו כפלו והוא סך מרובעי הזוגות שבמדרגה הראשונה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(120\sdot\frac{1}{120}\right)+\left(120\sdot\frac{1}{60}\right)+\left(120\sdot\frac{1}{40}\right)+\left(120\sdot\frac{1}{30}\right)+\left(120\sdot\frac{1}{24}\right)+\left(120\sdot\frac{1}{20}\right)+\left(120\sdot\frac{1}{15}\right)\\&\scriptstyle+\left(120\sdot\frac{1}{12}\right)+\left(120\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(120\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(120\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(120\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(120\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(120\sdot\frac{1}{3}\right)+\left(120\sdot\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=2\sdot120\\\end{align}}}$
Every cube consists of six surfaces; 12 sides; 24 plane angles – all these [numbers] are related by the double proportion. When you sum up the surfaces, the sides and the angles, the result is 42, which is the same as double the sum of the even number [of units] preceding eight. $\scriptstyle{\color{blue}{6+12+24=42=2\sdot\sum_{i=1}^6 i}}$	וכל מעוקב מחובר מששה שטחים וי"ב צלעות וכ"ד זויות שטוחות וכל אלו מתיחסים ביחס כפל וכשתחבר שטחי שמנה וצלעותיו וזויותיו יעלה מ"ב וזה ככפל מחובר הזוג שלפני שמנה
Octad in the existences
There are things in the existences that run by eight.	ויש בנמצאות דברים ירוצו במספרם על שמנה
The starred heavens are eight.	מהם שהרקיעים המכוכבים שמנה
The parts of speech according to the grammarians of some languages are eight.	וחלקי הדבור אצל מדקדק קצת הלשונות שמנה
The extremes of motions are eight, since the change in the four categories, which are the substance, the quantity, the quality, and the place, is from it and to it in each.	קצוות התנועות שמנה לפי שהשנוי בארבעת המאמרות שהם העצם והכמה והאיך והאנה ובכל א' מה ממנו ומה אליו
The dimensions of natural motion are eight.	היו גבולי התנועה הטבעית שמנה
The natures of the trees are eight: non-fruit bearing tree; a tree whose whole fruit is eaten; the exterior of its fruit is eaten; the inside of its fruit is eaten; its fruit has no peel; its fruit has one peel; its fruit has two peels; its fruit has three [peels].	טבעי האילנות שמנה והם אילן סרק אילן שפריו נאכל כלו שנאכל מה שבחוץ שנאכל מה שבפנים שאין שומר לפריו שיש לו שומר אחד שיש לו שני שומרים שיש לו שלשה

Nine	התשעה
Properties of the number nine
It is the beginning of the squares of odd numbers.	תחלת מרובע מספר נפרד
[The sum of] its divisors is the same as the square of the first even number, because its divisors are three and 1; they are 4, which is the square of 2. $\scriptstyle{\color{blue}{1+3=4=2^2}}$	וחלקיו הם כמספר מרובע תחלת זוג לפי שחלקיו שלשה וא' והם ד' שהוא מרובע ב‫'
Its sum is the same as its product by the mean number, which is 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^9 i=5\sdot9}}$	ומחוברו כמו הכאתו במספר האמצעי והוא ה‫'
The sum of its sum is 265 and it is the sum of the squares of the odd numbers in the first rank, as Ibn Ezra noted in Sefer ha-Shem. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{j=1}^9 {\sum_{i=1}^j i=1^2+3^2+5^2+7^2+9^2=265}}}$	וחבור חבורו עולה רס"ה והוא סך מרובעי הנפרדים שבמעלה הא' כמ"ש בן עזרא בס' השם
Nine is the last number of the first rank of the numbers that includes 9 and one.	ותשעה סוף המדרגה הראשונה מהמספר וזה שהמספרים ט' והאחד עמהם
Representation of the products of nine on a circle [corresponding to the description of Ibn Ezra, Sefer ha-Mispar]
The sign for this is that if you draw a circle and write around it the nine digits, then you start multiplying 9 by itself, you find the square is 81 - you find 8 for 80 on the right and 1 on the left. $\scriptstyle{\color{blue}{9\times9=81}}$	והאות ע"ז שאם תעשה עגול ותניח סביבו תשעת המספרים ותתחיל ותכפול ט' על עצמו תמצא המרובע פ"א ותמצא ח' שהוא כנגד פ' אל הימין והא' אל השמאל
If you multiply 9 by 8, the result is 72 - you find 7 for 70 on the right and 2 on the left. $\scriptstyle{\color{blue}{9\times8=72}}$	ואם תכפול ט' על ח' יעלו ע"ב ותמצא ז' שהוא כנגד ע' מימין והב' אל השמאל
Likewise for all four numbers preceding 5 - the tens are one the right and the units on the left.	וכן כל ארבעת מספרים אשר לפני ה' עגול הכלל מימין והפרט משמאל לארבעתם
Five, as it is a mean round number, it revolves around itself and is in this matter as a midpoint of a circle.	וחמשה לפי שהוא חשבון עגול אמצעי הוא מתגלגל על עצמו והוא בזה הענין כנקודה אמצעית עגול
Therefore, if you multiply 9 by 4, the result is 36 - you find 3 for 30 on the left and 6, which is the units, on the right. $\scriptstyle{\color{blue}{9\times4=36}}$	ולזה כאשר תכפול ט' על ד' יעלה ל"ו ותמצא ג' שהוא כנגד ל' עגול אל השמאל וו' שהוא הפרט אל הימין
Similarly for all four that follow 5, as you can see.	וכן כל הד' שאחר ה' כמו שתראה
It is clear from this then that the nature of the circulation is in nine, and as 5 is in the middle, it begin to incline to the other side of the circle, because this is the rule of the mover in a circle, that from a point on the circle to half the circle it runs in one state, and from there on it changes the state.	הנה יתבאר א"כ מזה כי בתשעה טבע הסבוב ולפי שה' באמצע יתחיל ממנו לנטות אל צד אחר מהעגול כי כן משפט מתנועע בסבוב שמנוקדה מהעגול עד חצי העגול ירוץ במצב א' ומשם והלאה מחליף המצב
Special properties of the rank of the units
Just as it is clear from the numbers themselves that the numbers are nine including 1, it is also clear from their squares and from their cubes.	וכמו שהיות המספרים ט' עם הא' התבאר מצד המספרים עצמם יתבאר מצד מרובעיהם ומצד מעוקביהם
From their squares: if you arrange the natural numbers up to 9 in a line and write their squares above them, or beneath them successively, you find that the units of the squares up to the square of 5 return backwards in the squares after it - that is, the units before the square of 5 are 1, 4, 9[, 6]; 5 that is in the middle keeps itself [the units of the square of five are five], then they return backwards, as if they were going in the other half circle - that is, the units after the square of 5 are 6, 9, 4, 1.	אמנם מצד מרובעיהם שאם תסדר בטור במספרים הטבעים עד ט' ותניח עליהם או תחתיהם מרובעיהם על הסדר תמצא שהפרטים ההוים במרובעים עד מרובע ה' חוזרים אחורנית במרובעים שאחריו וזה שהפרטים שאחר שלפני מרובע ה' הם אד"ט וה' שבאמצע שומר עצמו ואחר חוזרים לאחוריהם כאלו הם הולכים חצי עגול אחריו וזה שהפרטים שאחר מרובע ה' הם ו' ט' ד' א‫'
From their cubes, this it becomes clear as follows: if you arrange the cubes of the natural numbers successively up to 9, you find that [the sum of] the units of the first cube [ $\scriptstyle{\color{blue}{1^3=1}}$ ] and the units of the last [cube $\scriptstyle{\color{blue}{9^3}}$ ] is ten and this is the beginning of the second rank. $\scriptstyle{\color{blue}{1+9=10}}$	ואמנם במעוקבים יתבאר הדבר כן אם תסדר מעוקבי המספרים הטבעיים על הסדר עד ט' תמצא פרט המעוקב הראשון עם פרט האחרון הוא כלל והוא ראש המדרגה השנית
The second [after] 1 [ $\scriptstyle{\color{blue}{2^3}}$ ] with the second before the last [ $\scriptstyle{\color{blue}{8^3}}$ ] form ten. $\scriptstyle{\color{blue}{8+2=10}}$	והשני לא' עם השני לאחרון לפניו עושים כלל
And so on, until the mean, which is 5, which is the point in the middle of this matter, as if it were in half the arc of the circle.	וכן תמיד עד האמצעי שהוא ה' שהוא הנקודה לאמצע זה הענין כאלו הוא בחצי קשת העיגול
These sums of the of the units of the first nine cubes represent all the possible ways to divide the number ten into two integers:
You find here a wonderful thing that all the whole parts into which the number ten can be divided are found in these units - the units before 5 with the units after it: as 1 and 9; 8 and 2; 7 and 3; and [5] in the middle, which is one of its parts, when it is divided in half. $\scriptstyle{\color{blue}{10=1+9=8+2=7+3=5+5}}$	ותמצא בכאן דבר מופלא שכל החלקים השלמין שאפשר שיחלק בם מספר העשרה נמצאים באלו הפרטים פרט לפני ה' עם פרט לאחריו וזה כמו א' וט' ח' וב' ז' וג' ובאמצע שהוא א' מחלקיו בהתחלקו לחצי
In another way from the cubes, we explain that the numbers are nine, because, as we have said concerning the number 5, its square plus the square of its double equals its cube. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[5^2+\left(2\sdot5\right)^2\right]=5^3}}$	ומדרך אחרת מצד המעוקב נבאר שהמספרים ט' שכמו שאמרנו במספר ה' שמרובעו ומרובע כפלו שוה אל מעוקבו
For every number preceding it the ratio of [the sum of] its square plus the square of its double to its cube is the same as the ratio of that simple number to five. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n<5\longrightarrow\left[n^2+\left(2n\right)^2\right]:n^3=n:5}}$	וכל מספר שלפניו ערך מרובעו ומרובע כפלו אל מעוקבו כערך אותו המספר פשוט אל חמשה
After five, this matter is reversed, for then the ratio of [the sum of] the square of the number plus the square of its double to its cube is the same as the ratio of five to that number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n>5\longrightarrow\left[n^2+\left(2n\right)^2\right]:n^3=5:n}}$	ואחר החמשה יתהפך הענין וזה שאז יהיה ערך מרובע המספר ומרובע כפלו אל מעוקבו כערך חמשה אל אותו המספר
This is a sign that the 9 is the perfection of the number and it is like a whole circle revolving around itself.	וזה לאות שהט' שלמות המספר והוא כדמות עגול שלם סובב על עצמו
What strengthen what we have just said is that if you arrange the nine numbers in a line, and you write above each of them [the sum of] its square plus the square of its double, you find that the units of the first [ $\scriptstyle{\color{blue}{1^2+\left(2\sdot1\right)^2}}$ ] is 5, and that the second [ $\scriptstyle{\color{blue}{2^2+\left(2\sdot2\right)^2}}$ ] is a product of ten and so on up to 9.	וממה שיחזק מה שאמרנו עתה והוא שאם תסדר תשעה המספרים בטור ותשים על כל א' מהם מרובעו ומרובע כפלו תמצא בראשון פרט ה' ובשני כלל וכן עד ט‫'
The ratio of [the sum of] every square of a certain number plus the square of its double to [the sum of] the square of any number plus the square of its double is the same as the ratio of the simple number to the simple number duplicated. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[n^2+\left(2n\right)^2\right]:\left[m^2+\left(2m\right)^2\right]=n^2:m^2}}$	וערך כל מרובע מספר מה עם מרובע כפלו אל מרובע אי זה מספר עם מרובע כפלו כערך המספר הפשוט אל המספר הפשוט שנוי בכפל
If you arrange the squares of the natural numbers with the squares of their doubles in a line, the product of any rank of them by any other rank is always a square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[n^2+\left(2n\right)^2\right]\sdot\left[m^2+\left(2m\right)^2\right]}}$	ואם תסדר מרובעי המספרים הטבעיים עם מרובעי כפליהם בטור הנה הכאת איזו מדרגה שתהיה מהם עם איזו מדרגה אחרת לעולם מרובע
Finding the roots of these squares is this way:	אמנם ידיעת שרשי אלו המרובעים היא ע"ז הדרך
Multiply the first, which is 5, by 2, then by 3, then by 4, and so on in that order. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n>1\longrightarrow\sqrt{\left[1^2+\left(2\sdot1\right)^2\right]\sdot\left[n^2+\left(2\sdot n\right)^2\right]}}}$	תכה הראשון שהוא ה' בשני לו ואחר בג' ואחר בד' וכן ע"ז הסדר
You find that the root of the first square is double 5, which is 10. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left[1^2+\left(2\sdot1\right)^2\right]\sdot\left[2^2+\left(2\sdot2\right)^2\right]}=5\sdot2=10}}$	תמצא המרובע הראשון שרשו כפל ה' והוא י‫'
The root of the second exceeds by 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left[1^2+\left(2\sdot1\right)^2\right]\sdot\left[3^2+\left(2\sdot3\right)^2\right]}=10+5}}$	ושרש השני יוסיף ה‫'
The root of the [third] exceeds by 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left[1^2+\left(2\sdot1\right)^2\right]\sdot\left[4^2+\left(2\sdot4\right)^2\right]}=10+5+5}}$	ושרש ה' יוסיף ה‫'
And so on. This is called the first round.	וכן כלם וזה יקרא הסבוב הראשון
In all this round you find the squares - one whose units [are 5] and the other is a multiple of ten, and so on forever.	ובכל זה הסבוב תמצא המרובעים האחד פרטי והשני כללו וכן לעולם
The second round is by that you multiply the second in the mentioned line by all that follow it. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n>2\longrightarrow\sqrt{\left[2^2+\left(2\sdot2\right)^2\right]\sdot\left[n^2+\left(2\sdot n\right)^2\right]}}}$	ובסבוב השני והוא שתכה השני מהטור הנז' בכל הבאים אחריו
You find that the resulting squares are four times the former squares, therefore, their roots are double [the former] roots, so they are all multiple of ten.	תמצא המרובעים היוצאים ד' דמיוני המרובעים הראשונים ולזה שרשיהם כפלי שרשיהם ולזה הם כלם כללים
In the third round, you multiply the third by all those that follow it; the resulting squares are four times the second [squares], therefore, their roots are double [the previous] roots, so you find that one is a multiple of ten and the other whose units are 5 and so on forever, as the way of the first round, likewise the fifth, the seventh and the ninth.	ובסבוב הג' והוא שתכה הג' בכל הבאים אחריו יהיו המרובעים היוצאים ארבעה דמיוני השניים ולזה שרשיהם כפלי שרשיהם ותמצא האחד כלל והשני פרטו ה' וכן תמיד כדרך הסבוב הראשון וכן החמישי והשביעי והט‫'
In conclusion, the even rounds are in one way and the odd [rounds] are in another way.	סוף דבר הסבובים הזוגות בדרך אחת והנפרדים בדרך אחרת
It is seen in these numbers, i.e. the squares of the natural numbers, with the squares of their doubles, that if you add each of them to its simple number, you find the units of the first are 6, then 2, then 8, then 4. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[n+n^2+\left(2n\right)^2\right]}}$	וייראה באלו המספרים ר"ל מרובעי המספרים הטבעיים על מרובעי כפליהם שאם תחבר כל א' מהם אל מספרו פשוט תמצא הפרט הראשון ו' עוד ב' עוד ח' עוד ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[1+1^2+\left(2\sdot1\right)^2\right]=6}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+2^2+\left(2\sdot2\right)^2\right]=22}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left[3+3^2+\left(2\sdot3\right)^2\right]=48}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left[4+4^2+\left(2\sdot4\right)^2\right]=84}}$
The mean, which is 125, with its [simple] number is a multiple of ten. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[5+5^2+\left(2\sdot5\right)^2\right]=5+125=130}}$	והאמצעי שהוא קכ"ה עם מספרו יהיה כלל
The four numbers after 5 have the same property as the [four] numbers before 5 [= the units of their sum are 6; 2; 8; 4].	והמספרים הארבעה שאחריו ה' הענין בם כמו במספרים שלפני ה‫'
This is a miraculous sign that the numbers 9 alone.	וזה אות מופלא שהמספרים ט' לבד
Algorithms for checking if a number is a square or a cube and what are the digits of is its root, considering its units:
We have already clarified that the numbers 9 are alone, so we take scales for squares and cubes from the previously mentioned propositions:	הנה כבר ביארנו שהמספרים ט' לבד ולזה נקח מהקדמות הנזכרות ראשונה מאזנים למרובעים ולמעוקבים
It is impossible for any square to have 2, or 3, or 7 units, and if it does it is not a square.	וזה שאי אפשר בשום מרובע שיהיה בו פרט ב' או ג' או ז' ואם הוא כן אינו מרובע
If it has 1 or 9 [units], its root has also.	ואם יש בו א' או ט' היה בשורש
If it has 4 [units], its root has 2 or 8 [units].	ואם יש בו ד' ב' או ח' היה בשורש
If it has 6 [units], its root has 4 or 6 [units].	ואם היה בו ו' ד' או ז' היה בשורש
If its units are 5, its root has 5 [units] also.	ואם בפרט ה' בשורש ה' ג"כ
And so on.	וכן תמיד
As for the cubic numbers: if the number has 1 unit, its root has 1 unit.	ואמנם במעוקבים אם יש במספר פרט א' הנה במספר בשורש א‫'
If it has [8] [units], its root has 2 [units].	ואם יש בו ב' בשורש היה ב‫'
If it has 3 [units], its root has 7 [units].	ואם יש בו ג' בשורש היה ז‫'
If it has 4 [units], its root has 4 [units].	ואם יש בו ד' בשורש ד‫'
If it has 5 [units], its root has 5 [units].	ואם יש בו ה' בשורש ה‫'
If [it has] 6 [units], its root has 6 [units].	ואם ו' בשורש ו‫'
If it has 9 [units], its root has 9 [units].	ואם יש בו ט' בשורש ט‫'
These are enough proofs that the numbers are nine alone.	ודי בזה ראיות שהמספרים ט' לבד
Ennead in the existences
Know that there are many things in the existences that are run by the number nine:	ודע שיש בנמצאות דברים הרבה ירוצו במספרי הט‫'
The heavenly spheres are no more [than nine], even in the ninth there is quite a bit of doubt.	מהם כי הרקיעים לא יותר גם בתשיעי ספק לא מעט
The separate intellects after the exalted God are at least nine, according to the philosophers opinion, but according to the Torah they are too many to be counted.	השכלים הנפרדים אחר האלוה ית' לפחות ט' וזה כפי דעת הפילוסופי אבל כפי דעת התורה רבו מלמנות
The temperaments are nine: one balanced, four simple, and four compound.	המזגים ט' אחד פשוט שוה וארבעה פשוטים וארבעה מורכבים
The simple essences are nine: God, the intellect, the soul, the orb, the planet, and the four elements.	המהויות הפשוטים ט' אלוה השכל הנפש הגלגל הכוכב היסודות הארבעה
The types of agreement and difference between a thing and another are nine: a thing loves a thing; a thing hates a thing; a thing pursues a thing; a thing escapes from a thing; a thing dominates a thing; a thing surrenders to a thing; a thing maintains a thing; a thing damages a thing; the ninth is a thing alien to a thing, i.e. there is no agreement or difference between them.	מיני האותות והחילוף שיש בין דבר וזולתו ט' והם טבע יאהב טבע וטבע ישנא טבע טבע רודף טבע טבע בורח מטבע טבע יתגדר על טבע טבע יכנע לטבע טבע מקיים טבע טבע מפסיד טבע והתשעי הוא טבע נכרי לטבע ר"ל שאין ביניהם האותות והתנגדות
These are nine types that include all types of action and effect in the natural properties.	ואלו הם ט' סוגים יכנסו תחתיהם כל מיני הפעל וההפעלות בעניינים הטבעיים
In the book of Ikhwān al-Ṣafā examples of the properties of nature are given for each of them.	ובס' אכואן אלספא הובאו משלים מפרטי הטבע בכל א' מהם
The ancients used to count 13 types, but the recent thinkers turn them into nine.	והראשונים היו מונים אלו הסוגים י"ג והאחרונים השיבום אל ט‫'
These things are explained in the book The Change of Natures [?].	והנה התבארו דברים אלו בס' השתנות הטבעים
The human duplicate organs designed for special actions outside the body are nine: eye; ear; nose, lip; teeth; hand; foot; breasts; testicles.	האיברים שייחדם הטבע במין האנושי חוץ מהגוף לפעולות מיוחדות וכפל אותם הם ט' והם העין האזן האף השפה השניים היד הרגל השדים האשכים
The types of accidents are nine, as the "Philosopher" [= Aristotle] explained in the book of Categories.	סוגי המקרים ט' והם שביארם הפילוסוף בס' המאמרות בהגיון
The qualities of the homogeneous bodies that signify differences of form - as "the Philosopher" [= Aristotle] counted them in the fourth book of Meteorology [IV, 8, 383a1-20] - are nine: he counted them as 18, but they are actually 9, since he included positive properties and their negations, but the negations are not existing things, as will be clearly explained in its place.	טבעי המתדמי החלקים אשר ספרם הפילוסוף ברביעי מאותות השמים שהם כדמות הבדלים צוריים הם ט' וזה שהוא מנאם י"ח שישובו לט' וזה שהוא מנה הקניינים והעדריהם וההעדרים אינם דברים ישיים ובמקומו יתבאר בבירור
The months in which the human embryo stays in the womb are nine - this is an issue that the natural scientists agreed upon, but did not give a sufficient reason for it. Yet, the astrologers elaborated on this with correct words, as [written] in many books, and the most sufficient is what the authors Ikhwān al-Ṣafā noted.	חדשי עמידת העובר האנושי בבטן ט' וזה דבר הסכימו בו חכמי הטבע ולא נתנו לזה טעם מספיק אבל האיצטגנינים האריכו בזה בדברים נכונים כמ"ש בספרים הרבה והיותר מספיק בה מה שזכרו מחברי אכואן אלצפא
The types of tastes are [eight]: sweet; bitter; salty; spicy; sour; acidic; creamy; tasteless; but the astringent should not be included as a taste by itself, since it is only the essence of acidity, as Ibn Rushd said in Kitāb Kulliyyāt.	מיני הטעמים שמנה מתוק מר מליח חריף חמוץ קובץ דשן תפל ואין למנות העפוץ טעם בפני עצמו לפי שהוא אינו אלא תכלית ה[ק]ביצות כמ"ש בן רשד בס' הכליאת

Ten

העשרה

Properties of the number ten

It is the beginning of the second rank and is as one; the second in it is twenty; the third is thirty; and so on until 90. Therefore, their names are derived from the names of the units of the first rank.

תחלת המדרגה השנית והוא כאחד והשני בה עשרים והשלישי שלשים וכן עד צ' ולזה נגזרו לאלו שמות משמות אחד המדרגה הראשונה

The units between them consist of both ranks, as 12, 23, 34, 45.

והפרטים שבין אלו הם מורכבים משתי המדרגות כמו י"ב כ"ג ל"ד מ"ה

As [ten] is the beginning of the second rank, so the hundred is the beginning of the third [rank], the thousand of the fourth, and so on.

וכמו שהוא תחלת מדרגה שנית כן המאה תחלת מדרגה שלישית והאלף רביעית וכן תמיד

If you sum up the squares up to its half, you find [their sum] the same as the simple sum up to ten.

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\sum_{i=1}^{\frac{1}{2}\sdot10} i^2}}

ואם תחבר המרובעים שיש עד חציו ר"ל תמצאם כמחובר עשרה פשוט

The people and the books used to end at ten, because it is a total, as if the divine Will brought them to this, in order to indicate that it is the end of the counted.

ונהגו ההמון והספרים לגמור בעשרה מפני שהוא כלל וכאלו הביאם הרצון האלהי לזה להורות שהוא סוף הספורים

Decade

The counted are ten: God; intellect; sphere; star; soul; element; mineral; plant; animal; human

וזה שהספורים עשרה האלוה והשכל והגלגל והכוכב והנפש והיסוד והדומם והצומח והחי והמדבר

The categories are ten [Aristotle, Categories, 4, 1b].

והמאמרות עשרה

The commandments the Holy Torah that were handed down to us at Sinai are ten and they are an honorable divine secret, for being this number.

ודברות התורה הקדושה שנמסרו לנו בסיני הם עשרה והם סוד אלהי נכבד בהנהגם בזה המספר

These are the ten "Sefirot Belimah" alluded to in The Book of Creation [Sefer Yetzira].

וזה הוא שנרמז בס' יצירה עשר ספירות בלי מה

The branches of the human tree are ten: ten above and ten below, which are the ten fingers and the ten toes.

ופארות אילן האדם עשרה למעלה ועשרה למטה והם עשר אצבעות הידים ועשר אצבעות הרגלים

It follows from the absolute wonder that the counted follow the number that, as the units are not more than nine or ten, so there is nothing among the universal principles of the existences that is more than this number, except by a hypothetical division, such as the 12 zodiac signs, or the 28 stations of the moon, and their like that are not definite real divisions, and this is one of the wonders of nature without a doubt.

ומן הפלא הגמור בהמשך הספורים למספר שכמו שהמספר לא יעבור ט' או עשרה כן לא תמצא בכוללי הנמצאות דבר שיעבור זה המספר כי אם בדרך חלוקה הנחית כמו י"ב מזלות וכ"ח מחנות הלבנה וכיוצא באלו שאינה חלוקה מוגבלת יישיית וזה א' מנפלאות הטבע בלא ספק

If I were not afraid of the length and that we would go beyond our discussion, I would elaborate the explanation of wonderful, great and precious matters in this issue, but we dedicated another place to it in the book, where we agreed to discuss the nature of existence.

ולולא יראתיהו מהאריכות ושלא נצא ממה שאנחנו בו הייתי מאריך בביאור עניינים נפלאים גדולים ויקרים על זה הדרוש אבל ייעדנו לו מקום אחר בס' הסכמנו לדבר בו בטבע המציאות

Because of this wonder and various other, those who assumed that the number is a beginning were mistaken.

ומפני הפליאה ‫^[71]הזאת עם אחרות רבות טעו המניחים המספר התחלה

Know that the universal principles we mentioned for each number are only a few of many, since the human intellect cannot grasp them, even more so for those that are far from perfection, thus a clear remark on those we mentioned is enough.

ודע שאותם הכוללים שזכרנו‫^[72] בכל מספר ומספר הם מעט מהרבה כי קצרה יד השכל האנושי להשיגה כל שכן לרחוקים מהשלמות ודי הערה גלויה באותם שזכרנו

General Properties of Numbers

Introduction

Since we have reached this place, we will present some specific qualities of the nature of number, by way of tale and description.

ואחר שהגענו לזה המקום נביא קצת סגולות פרטיות מטבע המספר בדרך הגדה וספור

Not as the way used by Euclid in the Elements, books 7-9, because the number does not require this, since the practical counting verifies any hypothetical proposition, even there the reader will not rest until checking it through the counting test, hence you find Euclid at the end of every proposition brings a numerical example, and not just for the numerical propositions, but also for the geometric propositions. Every matter that could be examined with numbers is translated to numbers, as in most of the propositions of the second book of Euclid's Elements

לא בדרך שעשה איקלידיס בז' וח' וט' מספרו כי המספר אינו צריך דרך אחר [לזה]‫^[73] וכן תמצא מפרש איקלידיס בסוף פירוש כל הקדמה מהן מביא משל מספריי‫^[74] ולא [בהקדמות]‫^[75] המספריות לבד אבל גם בהנדסיות כל מה שאפשר לבחון הענין במספר יושב אל מספר כמו רב הקדמות המאמר השני מאקלידס שהספירה המעשית נאמת כל הקדמה מונחת גם שם לא ינוח לב הקורא עד יבחננו במבחן הספירה

Some people argue that Euclid needed this as a proposition for a few of the cases of the tenth book of the Elements, but the author claims that he has checked it and did not find it so and he concludes that Euclid's method in books 7-9 is nothing but a rational comprehension that should be rejected

וקצת אנשים אמרו שהוצרך אקלידס מזה להיות לו כהקדמה לקצת מקומות מהמאמר הי' מספרו ואנחנו חפשנו ולא מצאנו הענין כן אם כן דרך איקלידס בשלשת המאמרים הנזכר' הוא יגיעת השכל לא זולת וזה ממה שראוי שירוחק בכל מקום

The author declares that by this he wishes to satisfy "Our lord, the great king, may God grant him success" [which could be a reference to king Robert of Anjou]

וכל שכן באשר אנחנו בו להפיס בו דעת אדוננו המלך הגדול יצליחהו השכל

Therefore, narrative propositions are presented below, which could be proven by counting, collected from the predecessors or formulated by the author himself, according to his testimony

ולזה נביא ההקדמות ספוריות ותעיד בם הספירה ונלקוט מה שמצאנו מזה לאשר קדמונו ומה שחדשנוהו אנחנו

He who adds to this will be granted long life and peace

והמוסיף אחרינו שנות חיים ושלום נוסיפו לו

A list of arithmetical statements concerning general properties of the numbers – without demonstrations or proofs

Proportional Triad: For every three proportional numbers, the product of the first by the third is the same as the product of the mean by itself

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a:b=b:c\longrightarrow a\sdot c=b^2}}

כל שלשה מספרים מתיחסים [הנה הכאת]‫^[76] הראשון בשלישי כהכאת האמצעי בעצמו

The Rule of Three: If there are four, the product of the extremes is the same as the product of the means.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a:b=c:d\longrightarrow a\sdot d=b\sdot c}}

ואם היו ארבעה תהיה הכאת הקצוות כהכאת האמצעיים

The smallest numbers in a certain proportion divide the numbers that maintain their proportion – the smaller ones to small numbers and the larger ones to large numbers.

‫[קטני המספרים על יחס מה הנה הם ימנו המספרים אשר על יחסם הקטן לקטן והרב לרב]‫^[77]

Relatively prime numbers

Each one of the smallest numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1, a_2}}$ ] in a certain proportion [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1, a_2,\ldots, a_n}}$ ] is relatively prime to the other; and this proposition can be reversed.

קטני המספרים על יחס מה הנה כל אחד מהם ראשון אצל האחר וזאת ההקדמה מתהפכת

When there are two numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a, b}}$ ], each of which is relatively prime to the other, and each of them is multiplied by itself, then each of the products [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2, b^2}}$ ] is relatively prime to the other.

כאשר היו שני מספרים כל אחד מהם ראשון אצל האחר והוכה כל אחד מהם בעצמו הנה כל אחת משתי ההכאות ראשון אצל האחר

Likewise, if two [numbers] [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a, b}}$ ] are relatively prime to two other [numbers] [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{c, d}}$ ], and they are multiplied by each other and the two others are [multiplied] by each other, then the two products [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a\sdot b\right), \left(c\sdot d\right)}}$ ] are relatively prime to each other.

וכן אם היו שנים ראשונים אצל שנים אחרים והוכו השנים זה בזה [והשנים האחרים זה בזה]‫^[78] הנה שתי ההכאות ראשונות זו לזו

When there are two numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a, b}}$ ], each of which is relatively prime to the other, and they are multiplied by each other, then the product [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\sdot b}}$ ] is relatively prime to each of the two numbers [sic].

כאשר היו שני מספרים כל אחד מהם ראשון לאחר והוכו זה בזה הנה אותה ההכאה מספר ראשון אצל [כל א' משני המספרים]‫^[79]

When there are two numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a, b}}$ ], each of which is relatively prime to the other, then their sum [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+b}}$ ] is relatively prime to each of the two numbers.

כאשר היו שני מספרים כל אחד מהם ראשון לאחר הנה מקובץ שניהם ראשון אצל כל אחד משני המספרים

Successive proportional numbers

When there are as many numbers as they may [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1, a_2,\ldots, a_n}}$ ], successive by ratio, and the extremes [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1, a_n}}$ ] are relatively prime to each other, then the smallest numbers of this ratio [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1, a_2}}$ ] are relatively prime to each other; and this proposition can be reversed.

כאשר היו מספרים כמה שיהיו וימשכו על יחס והיו הקצוות ראשונים זה לזה הנה קטני המספרים על אותו היחס וזאת ההקדמה מתהפכת

When there are as many numbers as they may [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1, a_2,\ldots, a_n}}$ ], successive by a certain ratio, and the first [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1}}$ ] does not divide [lit. count] the second [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2}}$ ], then none of them [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1, a_2,\ldots, a_n}}$ ] divides the other.

כאשר היו מספרים [כמה שיהיו ו]‫^[80]ימשכו קצתם לקצת על יחס מה והראשון מהם לא ימנה השני אין מהם מספר ימנה האחר

If the first [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1}}

] divides the last [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_n}}

], then it divides the second [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2}}

].

ואם היה הראשון מונה האחרון היה הוא מונה השני

When numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b_1, b_2,\ldots, b_n}}$ ] fall between numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1, a_2,\ldots, a_n}}$ ] and they follow each other by a certain ratio, then as many numbers that fall between these two numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_j,b_1, b_2,\ldots, b_n,a_{j+1}}}$ ], so many [numbers] [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b_{i_1},b_{i_2},\ldots,b_{i_n}}}$ ] fall between every two numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_i, a_{i+1}}}$ ] of the same ratio and all [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_i,b_{i_1},b_{i_2},\ldots,b_{i_n},a_{i+1}}}$ ] are following by the same ratio.

כאשר נפלו מספרים בין מספרים וימשכו קצתם לקצתם ‫^[81]ביחס מה הנה כסך ^מה שיפול מן‫^[82] המספרים בין שני אותם המספרים כן נפל בין [כל שני]‫^[83] מספרים מאותו היחס וימשכו כלם ביחס אחד

When there are two numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a, b}}$ ], each of which is relatively prime to the other, and some numbers fall between them that follow [each other] by a certain ratio [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a,c_1, c_2,\ldots, c_n,b}}$ ], then as many numbers that fall between the two of them, so many fall between the first and each of them [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1,d_1, d_2,\ldots, d_n,a}}$ , $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1,g_1, g_2,\ldots, g_n,b}}$ ]; and this proposition can be reversed.

כאשר היו שני מספרים כל אחד מהם ראשון אצל האחר ונפלו ביניהם מספרים ונמשכו ביחס מה הנה כסך המספרים שנפלו בין שניהם כן ~~יועילו~~ [נ' ינפלו]‫^[84] בין האחר וכל אחד מהם וזאת ההקדמה מתהפכת

The ratio of the square numbers to each other is as the ratio of their roots to each other duplicated.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2:b^2::\left(a:b\right)^2}}

המספרים המרובעים יחס קצתם אל קצת כיחס שרשיהם קצתם אל קצת שנוי

When each of the proportional numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1, a_2,\ldots, a_n}}$ ] is multiplied by itself, then all the products [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a_1\right)^2, \left(a_2\right)^2,\ldots, \left(a_n\right)^2}}$ ] are also proportional; and if you multiply the products by the original numbers, the resulting products, which are cubes [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a_1\right)^3, \left(a_2\right)^3,\ldots, \left(a_n\right)^3}}$ ], are also proportional; and so on, if they are further multiplied [the products] are proportional.

המספרים המתיחסים כשהוכה כל אחד בעצמו הנה כל ההכאות גם כן מתיחסות ואם תכה ההכאות במספרים הראשונים יהיו כמו כן ההכאות השניות שהם מעוקבות מתיחסות וכן אם יוכו עוד לעולם יתיחסו

When a square [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2}}$ ] divides another square [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b^2}}$ ], then its factor [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a}}$ ] divides its factor [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b}}$ ] and vice versa.

כאשר ימנה המרובע מרובע אחר הנה צלעו ימנה צלעו ובהפך

If a³ is a divisor of b³ then a is a divisor of b and vice versa

The same is for a cube.

וכן במעוקב

For every two numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a,b}}$ ], one of which is relatively prime to the other, the ratio of the first to the second is not the same as the ratio of the second to another number [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\nexists c:\;a:b=b:c}}$ ].

כל שני מספרים שהאחד מהם ראשון אצל האחר אין יחס הראשון אל [השני]‫^[85] כיחס ~~האחר~~ השני אל מספר אחר

When there are two proportional plane numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a_1\sdot b_1\right);\left(a_2\sdot b_2\right)}}$ ], i.e. the two factors of one plane number are proportional to the two factors of the other plane number [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=b_1:b_2}}$ ], then there is a proportional number between them and this mean [number] is generated from [the product of] the smaller factor of one of the plane numbers by the greater factor of the other [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a_1\sdot b_1\right);\left(a_1\sdot b_2\right);\left(a_2\sdot b_2\right)}}$ ]; and this proposition can be reversed.

כאשר היו שני מספרים שטוחים מתדמים ר"ל ששני צלעות המספר האחד אל השטוח על יחס שני צלעות המספר השטוח האחר הנה יפול ביניהם מספר יתמצע ביחס ואותו האמצעי ~~מתמצע~~ נולד מקטן צלע אחד מהשטחים עם גדול צל צלע האחר וזאת ההקדמה מתהפכת

When there are two proportional solid numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a_1\sdot b_1\sdot c_1\right);\left(a_2\sdot b_2\sdot c_2\right)}}$ ], there are two numbers between them, so that the four are proportional and the extraction of these two [numbers] is that you first multiply the smaller factor of one of the solid numbers by the second [factor] of the other solid [number], then multiply the product by the greater factor of each of the solid [numbers] and the two resulting [products] are the means [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a_1\sdot b_1\sdot c_1\right);\left(a_1\sdot b_2\sdot c_1\right);\left(a_1\sdot b_2\sdot c_2\right);\left(a_2\sdot b_2\sdot c_2\right)}}$ ]; this proposition can be reversed.

כאשר היו שני מספרים מוגשמים מתדמים הנה יפלו ביניהם שני מספרים וימשכו ארבעתם ביחס והוצאת אלו השנים בשתכה ~~עולה~~ תחלה קטן שני צלעות אחד מהם מוגשמים בשני מהמוגשם האחר והיוצא תכהו בצלע הגדול מכל אחד מהם מוגשמים והשנים שיצאו הם האמצעיים וזאת ההקדמה גם כן מתהפכת

When there are two numbers, such that the ratio of one of them to the other is the same as the ratio of a square number to a square number, and one of them is a square [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2:b=c^2:d^2}}$ ], then the other [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b}}$ ] is a square.

כאשר היו שני מספרים והיה יחס אחד מהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע והיה האחד מרובע הנה האחר מרובע

If their ratio [is the same as the ratio] of a cube number to a cube number, and one of them is a cube [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^3:b=c^3:d^3}}$ ], then the other [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b}}$ ] is a cube.

ואם היו ביחס מספר ~~מרובע~~ מעוקב אל מספר מעוקב והיה האחד מעוקב הנה האחר מעוקב

The ratio of proportional plane numbers to each other is as the ratio of a square number to a square number.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=b_1:b_2\longrightarrow\left(a_1\sdot b_1\right):\left(a_2\sdot b_2\right)=c^2:d^2}}

המספרים השטוחים המתדמים יחס אחד אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע

The ratio of proportional solid numbers to each other is as the ratio of a cube number to a cube number.

והמוגשמים המתדמים יחס אחד מהם אל האחר כיחס מספר מעוקב אל מספר מעוקב

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=b_1:b_2=c_1:c_2\longrightarrow\left(a_1\sdot b_1\sdot c_1\right):\left(a_2\sdot b_2\sdot c_2\right)=d^3:g^3}}

When proportional plane numbers are multiplied by each other, the product is a square number, whose root is a product of the smaller factor of one of them by the greater [factor] of the other.

המספרים השטוחים המתדמים כשיכו זה ‫^[86]בזה יתקבץ מההכאה מספר מרובע ושרשו הכאת קטן צלע מאחד מהם בגדול האחר

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=b_1:b_2\longrightarrow\left(a_1\sdot b_1\right)\times\left(a_2\sdot b_2\right)=\left(a_1\sdot b_2\right)^2=\left(a_2\sdot b_1\right)^2}}

For a₁<b₁<c₁ and a₂<b₂<c₂ if a₁:a₂=b₁:b₂=c₁:c₂, then (a₁·b₁·c₁)·(a₂·b₂·c₂) is a cubic number and its root is a product of the root of (a₁·b₁·c₁) by the root of (a₂·b₂·c₂)

When proportional solid numbers are multiplied by each other, the product is a cube number, whose root is the product of the root of one of the solid [numbers] by the root of the other [solid number]. I say "the root", since [the product] is always a number that has a root.

המספרים המוגשמים המתדמים כשיוכו זה בזה יתקבץ מספר מעוקב ושרשו שתכה שורש אחד משני המוגשמים בשורש האחר והיוצא הוא השורש המבוקש ואמנם אמרתי השרש לפי שהוא מספר נגדר לעולם

When there are proportional numbers starting from one [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1, a_2,\ldots, a_n}}$ ], then the third [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3}}$ ] is a square, the fourth [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_4}}$ ] is a cube, the fifth [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_5}}$ ] is a square, the sixth [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_6}}$ ] is a cube, the seventh [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_7}}$ ] is [a square] and so on endlessly.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_{2i-1}\;\text{is a square}\quad a_{2i}\;\text{is a cube}}}

כאשר היו מספרים מתיחסים מתחילים מהאחד הנה השלישי מרובע והרביעי מעוקב והחמשי מרובע והששי מעוקב והשביעי מרובע מעוקב וכן ימשך לעולם

When there are proportional numbers starting from one [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1, a_2,\ldots, a_n}}$ ], and the second [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2}}$ ] is a square, then all the rest [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3,\ldots, a_n}}$ ] are squares.

כאשר היו מספרים מתיחסים מתחילים מהאחד והיה השני מרובע הנה הנשארים כלם מרובעים

If it [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2}}

] is a cube, then all the rest [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3,\ldots, a_n}}

] are cubes.

ואם היה מעוקב יהיו כלם מעוקבים

If the second [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2}}

] is not a square, then none of them [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3,\ldots, a_n}}

] is a square. [contradicts the above]

ואם לא היה השני מרובע אין בהם שם מרובע

If the second [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2}}

] is not a cube, then none of them [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3,\ldots, a_n}}

] is a cube. [contradicts the above]

ואם לא היה ^השני מעוקב אין בהם שום מעוקב

When there are proportional numbers starting from one [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1, a_2,\ldots, a_n}}$ ], then every prime number [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{p}}$ ] that divides the last of them [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_n}}$ ], divides also the [number] that follows one [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2}}$ ].

כאשר היו מספרים מתיחסים מתחילים מהאחד הנה כל מספר ראשון ימנה האחרון מהם הנה הוא ימנה ~~[..]~~ אשר ילוה לאחד

If the [number] that follows one [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2}}

] is a prime [number], then the largest of them [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_n}}

] is divisible only by numbers among them [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2,\ldots, a_n}}

].

ואם היה אשר ילוה לאחד ראשון הנה לא ימנה הרב מהם ~~כי אם~~ ^{כי אם} מספר מהם

The smallest number divided by some given primes cannot be divided by any number, other than those given primes.

כשהיה קטן מספר ימנוהו מספרים ראשונים ידועים הנה לא ימנהו מספר אחר זולתם

If a, b, c are proportional and are the smallest possible numbers in that proportion then a+b is prime to c

כאשר היו שלשה מספרים מתיחסים והיו קטני המספרי' על אותו היחס הנה כל שנים מהם מחוברים ראשונים אצל הנשאר

If a and b are prime to each other then there is no other number c so that a:b=b:c

כל שני מספרים ראשונים זה אל זה הנה אין יחס הראשון אל השני כיחס השני אל מספר אחר

If a₁, a₂,..., aₙ are proportional; a₁ and aₙ are primes to each other then $\scriptstyle a_1:a_2$ is not equal to $\scriptstyle1:a_1$ ??

כאשר היו מספרים ימשכו קצתם לקצת ביחס מה והיו הקצוות הראשונים זה לזה הנה אין שעור הראשון אצל השני כשיעור האחד אל המספר האחר

If a₁, a₂,..., aₙ are proportional then $\scriptstyle\left(a_2-a_1\right):a_1=\left(a_n-a_1\right):\left(a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}\right)$

כאשר היו מספרים נמשכים על יחס מה וחוסר על כל אחד מהשני והאחרון כמו הראשון הנה שעור מה שישאר מהשני אצל הראשון כשעור מה שישאר מהאחרון אצל כל המספרים אשר לפניו כאשר יקובצו

Relatively prime numbers

Every odd number [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2a-1}}$ ] that is relatively prime to another number [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b}}$ ] is relatively prime to its double [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2b}}$ ].

כל מספר נפרד ראשון אצל מספר אחר הנה הוא ראשון אצל כפלו

When there are two numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a, b}}$ ] relatively prime to each other, then the divisor of one of them is relatively prime to the other.

כשהיו שני מספרים ראשונים זה אל זה הנה אשר ימנה אחד מהם הוא ראשון לאחר

For every two numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a, b}}$ ] multiplied by each other, and there is a prime number [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{p}}$ ] that divides the product [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\sdot b}}$ ], then this prime number divides one of the two numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\;or\;b}}$ ] that are multiplied by each other.

כל שני מספרים יוכה אחד מהם באחר וימנה אותה ההכאה מספר הראשון [הנה אותו המספר הראשון]‫^[87] ימנה אחד משני המספרים אשר [הוכו]‫^[88] זה בזה

Proportional numbers are proportional by ??

‫^[89]המספרים המתיחסים הנה הם בחלוף ובתמורה ובהבדל ובהרכבה יתיחסו

(a·c):(b·c)=a:b

כשהוכה מספר בשני מספרים הנה יחס שתי ההכאות אחת מהם לאחרת כיחס המספר למספר

The divisors of a plane number

Every plane number, whose one factor is a prime number and the other factor is composite [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=p\sdot\left(b\sdot c\right)}}$ ] is divided [lit. counted] by its factors, as well as by any number that divides the factors of the composite [factor], [and by] any product of its prime factor by any number that divides its composite factor. No number other than those divides it.

כל מספר שטוח יהיה אחד מצלעותיו מספר ראשון והמספר השני מורכב הנה הוא ימנוהו צלעותיו וכל מספר ימנה צלעות המורכב ככל מספר יתקבץ מהכאת צלעו הראשון בכל מספר ימנה צלעו המורכב ולא ימנהו מספר אחר בלתי אלו

Every plane number, whose factors are composite numbers [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=\left(b\sdot c\right)\sdot\left(d\sdot g\right)}}$ ] is divided [lit. counted] by its factors, as well as by any number that divides any of its factors, and by any product of any of its factors by any number that divides another factor of them. No number other than those divides it.

כל מספר שטוח צלעותיו מספרים מורכבים הנה ימנוהו צלעותיו וכל מספר ימנה כל אחד מצלעותיו וכל מספר יתקבץ מהכאת כל אחת מצלעותיו בכל מספר ימנה הצלע האחר מהם ולא ימנהו מספר אחר בלתי אלו

Successive powers of two

Sorting perfect / superabundant / deficient numbers by the sums of successive powers of two

When summing up the successive [powers of two], starting with one, including one, so that a certain amount is obtained [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)}}$ ], then the greatest of these numbers is multiplied by a prime number other than two [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(p\sdot2^{i-1}\right)}}$ ]:

כשקובצו ~~מספרים~~ מספרים נמשכים על יחס הכפל מן האחד עם האחד והתקבץ מהם כלל והוכה הרב מספר מאותם המספרים במספר ראשון בלתי השנים

If the prime number equals the sum [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{p=\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)}}

], the product [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(p\sdot2^{i-1}\right)}}

] is a perfect number.

הנה אם היה המספר הראשון שוה לכלל אשר קובץ הנה המספר המוקבץ מזה מספר שלם

If the prime number is less than the sum [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{p<\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)}}

], the product [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(p\sdot2^{i-1}\right)}}

] is a superabundant number.

ואם היה אותו המספר הראשון פחות מהכלל אשר קובץ הנה הוא מספר נוסף

If the prime number is greater than the sum [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{p>\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)}}

], the product [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(p\sdot2^{i-1}\right)}}

] is a deficient number.

ואם היה המספר הראשון יותר מהכלל אשר קובץ מספר חסר

Its excess, if it is superabundant number, or its deficit, if it is a deficient number, is the same as the difference between the sum and the prime number [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-p\right]}}

or

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[p-\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)\right]}}

].

והגעת תוספתו אם היה נוסף וחסרונו אם היה חסר כמו יתרון מה שבין אותו הכלל אשר קובץ ואותו המספר הראשון

There is another shorter technique to produce the perfect numbers:

ויש בהוצאת המספר השלם תחבולה אחרת יותר קצרה

It is that you arrange the even-times-even numbers in a line and write beneath it the line of the natural odd numbers correspondingly starting from 2, which is even.

והיא שתסדר מספר זוג הזוג בטור ותניח תחתיו טור הנפרדים הטבעיים מתחיל כנגד ב' מהזוגות

Multiply every even number of the upper line, beneath which you find a prime number, by [this prime number] and you will receive a perfect number.

הנה כל מספר זוג מהטור העליון שתמצא תחתיו מספר ראשון ותכהו בו יצא לך מספר שלם

This way all the perfect numbers are produced successively.

ובזה הדרך יצאו המספרים השלמים על סדרם

𝐸𝑣𝑒𝑛−𝑡𝑖𝑚𝑒𝑠−𝑒𝑣𝑒𝑛	512	256	128	64	32	16	8	4	2
𝑂𝑑𝑑 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟𝑠	1093	511	255	127	63	31	15	7	3
𝑃𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟𝑠		130816		8128		496		28	6

תקיב	רנו	קכח	סד	לב	יו	ח	ד	ב	מספר זוג הזוג
תתרכג	תקיא	רצה	קכז	סג	לא	טו	ז	ג	נפרדים טבעיים
	ואח0גא		חבאח		תצו		כח	ו

The unites of the perfect numbers are 6, then 8, then again 6, then 8, and so on

ומסגלתם שאם יסודרו [אלו]‫^[90] השלמים כפי מה שנולדו בטבע תמצא האחד פרטו ו' ~~ואז~~ ואשר אחריו פרטו ח' ואחר ו' ואחר ח' וכן תמיד

When summing up the successive [powers of two], starting with one, including one, so that a certain amount is obtained [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)}}$ ], then the greatest of these numbers is multiplied by a plane number, whose factors are two prime numbers other than two [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(p\sdot q\sdot2^{i-1}\right)}}$ ], the product is either a superabundant number or a deficient number:

כאשר קובצו מספרים נמשכים על יחס ^הכפל מהאחד והאחד עמהם והתקבץ מהם כלל והוכה גדול מספר מאותם המספרים במספר שטוח צלעותיו שני מספרים ראשונים בלתי השנים הנה אשר יתקבץ מזה מספר נוסף או מספר חסר

If the plane number is less than the sum plus the product of the sum by the factors of the plane number [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(p\sdot q\right)<\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)\sdot\left(p+q\right)\right]\right]}}

], then the product [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(p\sdot q\right)\sdot2^{n-1}\right]}}

] is a superabundant number.

אמנם אם היה אותו המספר השטוח פחות מהכלל אשר קובץ עם אשר יתקבץ מהכאתם בצלעי אותו המספר השטוח מקובצים הנה המוקבץ מספר נוסף

Its excess is as the excess of their sum over the plane number [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)\sdot\left(p+q\right)\right]\right]-\left(p\sdot q\right)\right]}}

].

והגעת תוספתו בהגעת תוספתם על המספר השטוח

If the plane number is greater than the sum plus the product of the sum by the factors of the plane number [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(p\sdot q\right)>\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)\sdot\left(p+q\right)\right]\right]}}

], then the product

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(p\sdot q\right)\sdot2^{n-1}\right]}}

is a deficient number.

ואמנם אם היה אותו המספר השטוח יותר מהכלל אשר קובץ עם אשר יתקבץ מהכאתו בשני צלעי ‫^[91]אותו המספר השטוח מקובצים הנה המספר המוקבץ חסר

Its deficit is as the difference of their sum and the plane number [

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(p\sdot q\right)-\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)\sdot\left(p+q\right)\right]\right]\right]}}

]

והגעת חסרונו בהגעת חסרוניהם מהמספר השטוח

For every four successive powers of two, the first of which is the smallest, the plane number generated from the product of the sum of the second and the third by the sum of the third and the fourth is the same as the plane [number] generated from the product of the fourth number by the sum of the first and the fourth.

כל ארבעה מספרים נמשכים על יחס הכפל הראשון מהם היותר קטן הנה המספר המשוטח ההווה מהכאת השני והשלישי מקובצים בשלישי והרביעי מקובצים הוא כמו המשוטח ההווה מהכאת המספר הרביעי בראשון והרביעי מקובצים

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(2^{n+1}+2^{n+2}\right)\sdot\left(2^{n+2}+2^{n+3}\right)=2^{n+3}\sdot\left(2^n+2^{n+3}\right)}}

If the plane number generated from the product of the sum of the [third] and the second by the sum of the fourth and the third is the same as the plane [number] generated from the product of the fourth [number] by the sum of the first and the fourth, then the solid number, whose one factor is the third number, its second factor is the sum of the third and the fourth, and its third factor is the sum of the second number and the third, is the same as the solid number whose one factor is the third number, its second [factor] is the fourth number, and [its] third [factor] is the sum of the first number and the fourth.

ואם היה המספר המשוטח ההווה מהכאת השני והשני מקובצים ברביעי והשלישי מקובצים כמו המשוטח ההווה מהכאת הרביעי בראשון והרביעי מקובצים הנה המספר המוגשם אשר אחד מצלעותיו המספר השלישי מהם וצלעו השני והשלישי והרביעי מקובצים וצלעו השלישי המספר השני והשלישי מקובצים כמו המספר המוגשם אז אשר אחד מצלעותיו המספר השלישי מהם והשני המספר הרביעי מהם והשלישי המספר הראשון והרביעי מקובצים

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2^{n+2}\sdot\left(2^{n+2}+2^{n+3}\right)\sdot\left(2^{n+1}+2^{n+2}\right)=2^{n+2}\sdot2^{n+3}\sdot\left(2^n+2^{n+3}\right)}}

For every four proportional powers of two, the first of which is the smallest, the solid number generated from the product of the last by the sum of the first and the last minus one is the same as the product of the third of them by the difference between the product of the last by the sum of the first and the last minus one and the product of the sum of the third number and the fourth minus one by the sum of the third and the second minus one.

כל ארבעה מספרים מתיחסים ביחס הכפל יהיה הראשון מהם היותר קטן הנה המספר המשוטח ההווה מהכאת האחרון בראשון והאחרון מקובצים מלבד אחד כמו המתקבץ מהכאת המספר השלישי מהם במותר מה שבין השטח ההווה מהכאת האחרון בראשון והאחרון מקובצים מלבד אחד ובין השטח ההווה מהכאת המספר השלישי והרביעי מהם בלתי אחד מקובצים בשלישי והשני בלתי אחד מקובצים

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{align}\scriptstyle&\scriptstyle2^{n+3}\sdot\left[\left(2^n+2^{n+3}\right)-1\right]\\&\scriptstyle=2^{n+2}\sdot\left[\left[2^{n+3}\sdot\left[\left(2^n+2^{n+3}\right)-1\right]\right]-\left[\left[\left(2^{n+2}+2^{n+3}\right)-1\right]\sdot\left[\left(2^{n+2}+2^{n+1}\right)-1\right]\right]\right]\\\end{align}}}

Euclidean Propositions - Arithmetical Version

[Euclid, Elements, Book II, proposition 4:] For any number divided into [two] parts, whichever they may be, the product of the whole number by itself is equal to the sum of the products of each of the two parts by itself and double the product of one of the two parts by the other.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]}}

כל מספר יחלק בחלקים כמו שיהיו הנה הכאת המספר כלו בעצמו כמו הכאת כל אחד משני החלקים בעצמו וכפל הכאת אחד משני החלקים באחר כאשר יקובצו

[Euclid, Elements, Book II, proposition 1]: For every two numbers, such that one of them is divided into as many parts as there are, [the product of] the number that is not divided by the divided number is equal to the sum of its products by each part of the divided number.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a_1+a_2+\ldots+a_n\right)\sdot b=\left(a_1\sdot b\right)+\left(a_2\sdot b\right)+\ldots+\left(a_n\sdot b\right)}}

כל שני מספרים יחלק אחד מהם בחלקים כמו שיהיו הנה המספר שלא חולק במספר שחולק כמו הכאתו בכל חלקי המספר הנחלק כאשר יקובצו

[Euclid, Elements, Book II, proposition 5]: For any even number divided into halves and into [two] unequal parts, the product of half the [whole] number by itself is equal to [the sum of] the product of the greater part by the smaller [part] and the product of the excess of the half of the [whole] number over the smaller part by itself.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2=\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2}}

כל מספר זוג יחלק לחצאים ולחלקים מתחלפים הנה אשר יהיה מהכאת [חצי]‫^[92] המספר בעצמו כמו ההווה מהכאת החלק הגדול בקטן עם הכאת מותר חצי המספר על החלק ה^הקטן [בכמהו]‫^[93]

[Euclid, Elements, Book II, proposition 6]: For any number divided into two halves and another number is added to it, the product of half the number and the additional [number] together by itself is equal to [the sum of] the product of the [whole] number plus the additional [number] by the additional [number] and the product of half the original number by itself.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2=\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2}}

כל מספר זוג יחלק לשני חצאים ויתוסף בו מספר אחר הנה הכאת חצי המספר עם התוספת בכמהו כהכאת המספר עם התוספת בתוספת והכאת חצי המספר הראשון בעצמו

[Euclid, Elements, Book II, proposition 7]: For any number divided into two parts, [the sum of] the product of the [whole] number by itself and [the product of] one of the two parts by itself is equal to twice the product of the [whole] number by the part that is multiplied by itself plus the [product of the] other part by itself.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+b\right)^2+a^2=\left[2\sdot\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2}}

כל מספר יחלק לשני חלקים ~~[..]~~ הנה הכאת המספר בכמוהו ואחד ‫^[94]משני החלקים בכמוהו כמו ההווה מהכאת המספר בחלק המוכה בכמוהו שני פעמים והחלק השני בכמוהו

[Euclid, Elements, Book II, proposition 8]: For any number divided into two parts and one of the two parts is added to it, the product of the [whole] number plus the additional [part] by itself is equal to [the sum of] the product of the [whole] number by the additional [part] four times and the product of the other part by itself.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a+b\right)+a\right]^2=\left[4\sdot\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2}}

כל מספר יחלק בשני חלקים ונוסף עליו כמו אחד משני החלקים הנה הכאת המספר עם התוספת בכמהו כהכאת המספר בתוספת ד' פעמים והכאת החלק האחר בכמהו

[Euclid, Elements, Book II, proposition 9]: For any even number divided into two halves and into two unequal parts, [the sum of the products of] each of the two unequal parts by themselves is equal to [the sum of] twice the product of half the [whole] number by itself and twice the product of the excess of half the [whole] number over the smaller part by itself.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+b^2=\left[2\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2\right]+\left[2\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2\right]}}

כל מספר זוג יחלק בשני חצאים ובשני חלקים מתחלפים הנה כל אחד משני החלקים המתחלפים בכמהו כהכאת חצי המספר בכמהו שני פעמים והכאת מותר חצי המספר על החלק הקטן בכמהו שני פעמים

[Euclid, Elements, Book II, proposition 10]: For any even number divided into half and another number is added to it, [the sum of] twice the product of half the number by itself and twice the product of half the number plus the additional [number] by itself is equal to [the sum of] the product of the [whole] number plus the additional [number] by itself and [the product] of the additional [number] by itself.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2\right]+\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2\right]=\left(a+b\right)^2+b^2}}

כל מספר זוג יחלק לחציים ונוסף בו מספר אחר הנה ההווה מהכאת חצי המספר בכמהו שני פעמים והכאת חצי המספר עם התוספת בכמהו שני פעמים הכהכאת המספר עם התוספת בכמהו והתוספת בכמהו

For every number divided into two different parts and into two other different parts, the product of the smallest by the greatest plus the product of the difference between the [two] smaller by the difference between the [sum of the two] smaller and the whole number is equal to the product of the greatest among the [two] smaller by the smallest among the [two] greater.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a<c<d<b;a+b=c+d\longrightarrow\left(a\sdot b\right)+\left[\left(c-a\right)\sdot\left[\left(a+b\right)-\left(c+a\right)\right]\right]=c\sdot d}}

כל מספר יחלק בשני חלקים מתחלפים ובשני חלקים אחרים מתחלפים הנה הכאת כל אחד קטן קטנים בגדול הגדולים ותוספת הכאת מותר מה שבין הקטנים במותר מה שבין הקטנים והמספר כלו כמו הכאת רב הקטנים בקטן הגדולים

For two numbers which share a common factor, when subtracting repeatedly the smaller from the larger until the remainder is less than the smaller, the remainder will be the greatest common factor of the two given numbers

כשהיו שני מספרים משותפים מתחלפים [והובדלו]‫^[95] מהגדול דמיוני הקטן עד שישאר פחות ממנו או הוא עצמו וכן ~~נסור~~ בסור הקטן מהגדול עד שיכלה אל מספר הנה הוא גדול משותף בין שני המספרים

If p and q are primes, then the smallest number which is divided by both of them is p·q

אם רצינו למצוא קטן מספר ימנוהו שני מספרים ידועים אם היו המספרים ראשונים נכה האחד באחר ויגיע דרושנו

For a·c and b·c with a,b relatively prime the smallest number which is divided by both of them is (a·c)·b=(b·c)·a

ואם היו משותפים נקח גדול מספר משותף ביניהם ונקח מספר האחדים שהוא מונה הקטן ושהוא[.] מונה הגדול ונכה הקטן מאלו בגדול המספרים המשותפים או הגדול בקטן המספרים המשותפים כי הכל אחד ואותו המספר הוא המבוקש

When we wish to find the smallest number divisible by known numbers, as if one says: 2, 3, and 4, we take the smallest number divisible by 2 and 3, which is 6. If 6 is divisible by 2, 3, and 4, it is good, otherwise, we take the smallest number divisible by 6 and 4, which is 24 and this is the required.

~~כשנ~~ כשנרצה למצוא קטן מספר ימנוהו מספרים ידועים כאלו יאמר ב'ג'ד' הנה נקח קטן ימנוהו מספר ב"ג ~~ונקח ו'~~ והוא ו' ואם היה [ו']‫^[96] ימנוהו בג"ד טוב ואם לא נקח קטן מספר ימנוהו ו' וד' והוא כ"ד והוא הדרוש

Finding the smallest number whose parts are given – the same case as above

כשנרצה למצוא קטן מספר בו חלקים ידועים הנה יתבאר מפני ההקדמה שלפני זאת

finding the smallest numbers in a proportion of some proportional given numbers:

כשנרצה למצוא [קטני]‫^[97] מספרים על יחס מוגבל

if the given proportional numbers are primes, then they are the smallest numbers of that proportion

אם היו ראשונים הנה הם קטני המספרים על אותו היחס

if the given proportional numbers have a common divisor

‫[ואם]‫^[98] היו משותפים הנה נקח גדול מספר ימנם

example: 8, 12, 18

\scriptstyle{\color{blue}{8:12:18=\left(4\sdot2\right):\left(6\sdot2\right):\left(9\sdot2\right)=4:6:9}}

ואלו המספרים הם ח' י"ב י"ח וגדול מספר ימנם ב' ונקח מספר אחדים שימנה ב' ח' ומספר שימנה ב' י"ב וכשעור שימנה י"ח ותמצא דו"ט והם קטני המספרים על אותו היחס

When we wish to find the smallest numbers in a given ratio [?] - 2:4=½; 4:12=⅓; 6:24=¼

‫^[99]כשנרצה למצוא קטני המספרים על ~~יחסים~~ יחסים ידועים בנושאים מפורדים כמו א' אל ב' חצי ד' אל י"ב שליש ו' אל כ"ד ~~רביע~~ רביע ה ונבקשהו בנושאים נלוים ~~הנק~~ הנה נקח קטן מספר שיש לו חצי

If a and b are primes, then there is no third number proportional to them

נרצה לידע כשהיו שני מספרים אם ימצא להם מתיחס הנה אם היו ראשונים לא ימצא שלישי על יחסם

If a and b have a common divisor: if a is a divisor of b² then there is a third number proportional to a and b;

but if a is not a divisor of b² then there is no third number proportional to a and b

ואם היו משותפים נכה השני בעצמו ואם ימנהו הראשון הנה ימנה להם שלישי מתיחס אחריהם ואם לא לא

For three proportional numbers a<b<c: if a and c are prime to each other, then there is no fourth number proportional to a, b, c

ואם היו שלשה ונרצה לידע אם יש להם רביעי הנה אם היו הראשון והשלישי ראשונים זה לזה אין להם רביעי

When a and c have a common divisor: if a is a divisor of b·c then there is a fourth number proportional to a, b, c;

but if a is not a divisor of b·c then there is no fourth number proportional to a, b, c

ואם היו משותפים נכה השני ~~בשני~~ בשלישי ויצא מספר מה הנה אם ימנהו הראשון ימצא להם מספר רביעי ואם לא לא

Algorithm for finding pairs of amicable numbers

When we wish to find amicable numbers as many as we wish:

כשנרצה למצוא מספרים נאהבים כמה שנרצה

We assume consecutive numbers in the double ratio from one, including one. The numbers are summed [until] the number that precedes the last, including one, then the number that precedes the last in added to the sum and the number that comes before the number that precedes the last is subtracted from the sum. The numbers that are generated from the addition and the subtraction are prime numbers

הנה נניח מספרים‫^[100] נלוים על יחס הכפל מן האחד והאחד עמהם ויקובצו המספרים אשר קודם האחרון והאחד עמהם ונוסף על המקובץ המספר אשר קודם האחרון וחוסר מהנוסף עליו המספר אשר ילוה מה שקודם האחרון הנה יהיו המספרים המתחדשים אחר התוספת והחסרון מספרים ראשונים ואין אחד מהם שנים ואם לא יהיו ראשונים תעבור הלאה עד שיצאו המספרים הראשונים והוכה ~~כל אחד משניהם~~ משוטח‫^[101] אחד מהם באחר כמספר אשר קודם האחרון ושמור מה שיצא והוסף על האחרון המספר הרביעי או האחד אם היה האחד כרביעי ממנו ~~ונה~~ והנה מה שיתקבץ במספר האחרון וחסר מהיוצא מן ההכאה ויהיה הנשאר מספר ראשון תכה זה המספר הראשון במספר אשר קודם האחרון הנה היוצא מן ההכאה עם המספר השמור ישוה כל אחד מהם כל חלקי‫^[102] האחר ואלו המספרים המתילדים מזאת התחבולה נקראו נאהבים

For

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+2^{i-1}\right]}}

and

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-2^{i-2}\right]}}

prime numbers

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=\left[\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+2^{i-1}\right]\sdot\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-2^{i-2}\right]\sdot2^{n-1}\right]}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b=\left[\left[\left[\left(2^n+2^{n-3}\right)\sdot2^n\right]-1\right]\sdot2^{n-1}\right]}}

a and b are amicable numbers

The product of even by even is even

הכאת זוג במספר זוג הוא זוג

The product of even by odd is [even]

הכאת זוג בנפרד נפרד

The product of odd by odd is odd

הכאת נפרד בנפרד נפרד

$\scriptstyle a^2\sdot b^2=\left(a\sdot b\right)^2$

כשיוכה‫^[103] מרובע במרובע היוצא יהיה מרובע ושרשו כפל השרש על השורש

$\scriptstyle a^2:b^2=\left(a:b\right)^2$

וערך מרובע אל מרובע מרובע ושורש היוצא בחלוק השורש הגדול על השורש הקטן

$\scriptstyle\left(\frac{1}{4}\sdot a^2\right)$ is a square

כל מרובע רביעיתו מרובע

\scriptstyle\left(4\sdot a^2\right)

is a square

וארבעה דמיוניו מרובע

$\scriptstyle\left[n^2-\left[n+\left(n-1\right)\right]\right]$ is a square

כל מרובע שתחסר ממנו השרש והמספר [..] שלפניו הוא מרובע

\scriptstyle\left[n^2+\left[n+\left(n+1\right)\right]\right]

is a square

ואם תוסיף בו השורש והמספר שלאחריו יהיה מרובע

$\scriptstyle\left(n+1\right)^2-n^2=\left(n+1\right)+n$

מרחק מרובע ‫^[104]ממרובע סמוך לו כמחובר שני השרשים

$\scriptstyle a^2:\left(b\sdot a\right)=\left(b\sdot a\right):b^2$

כל שני מרובעים סמוכים או רחוקים יוכה שורש אחד מהם באחר יגיע מספר מתיחס בין שני המרובעים ההם

$\scriptstyle\left(\sum_{i=1}^{n-1} i\right)+\left(\sum_{i=1}^n i\right)=n^2$

אם תסדר החבור הטבעי בטור ותצרף כל מדרגה עם אשר אחריה יתילדו המרובעים

$\scriptstyle\left(\sum_{i=1}^n i\right)+\left(\sum_{i=n-1}^1 i\right)=n^2$

‫[אם תקבץ המספרים עד גבול ותחזור לאחור ותקבץ הכל יעלה כמרובע המספר אשר עמדת בו‫]‫^[105]

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=n^2$

אם תקבץ המספרים הנפרדים כסדרם והאחד עמהם ותחברם אחד אחד יתילדו המרובעים הטבעיים

Example: 1; 3; 5; 7; 9; 11

כמו שתניח בטור א' ג' ה' ז' ט' י"א

\scriptstyle{\color{blue}{1=1^2}}

הנה א' מרובעו א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{1+3=4=2^2}}

תחבר אליו [ג']‫^[106] יהיו ד' והוא מרובע ב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5=9=3^2}}

תחבר אליהם ה' יהיו [ט']‫^[107] והוא מרובע ג' וכן תמיד

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=n^2+n$

אם תניח הזוגות הטבעיים בטור ותחברם כמו שעשינו בנפרדי' יתילדו המרובעים הטבעיים ושרשיהם

Example: 2; 4; 6; 8; 10

כמו ב' ד' ו' ח' י‫'

\scriptstyle{\color{blue}{2=1^2+1}}

הנה ב' א' וצלעו

\scriptstyle{\color{blue}{2+4=6=2^2+2}}

נחבר אליו ד' יהיו ו' שהם מרובע ב' וצלעו

\scriptstyle{\color{blue}{2+4+6=12=3^2+3}}

תחבר אליהם [ו']‫^[108] יהיו י"ב והוא כמרובע ג' וצלעו וכן לעולם

If you arrange the natural odd numbers in a line successively:

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n^3}}

אם תסדר הנפרדי' הטבעיים בטור נסדרים

The first odd number, which is 1, is the cube of 1.

\scriptstyle{\color{blue}{1=1^3}}

הנה ^הנכנפרד הראשון והוא א' מעוקב א‫'

The sum of the two odd numbers that follow it, which are 3 and 5, is the cube of 2.

\scriptstyle{\color{blue}{3+5=2^3}}

וחבור שני נפרדים אחריו שהם ג' ה' יהיה מעוקב ב‫'

The three odd numbers that follow 5, which are 7, 9, 11, form the cube of 3.

\scriptstyle{\color{blue}{7+9+11=3^3}}

ושלשה נפרדים אחר ה' שהם ז' ט' י"א יולידו מעוקב ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{13+15+17+19=4^3}}

וארבעה אחר י"א יולידו המעוקב הרביעי וכן תמיד

If you sum up the even numbers this way, the cube numbers and their roots will be generated.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n^3+n}}

ואם תחבר בזה הדרך הזוגות יתילדו המעוקבים‫^[109] כסדרם וצלעותיהם

Forming the odds: $\scriptstyle\left(n-1\right)+n=2n-1$

אם תסדר המספר הטבעי ותצרף כל מדרגה [אל]‫^[110] אשר אחריה יתילדו הנפרדים הטבעיים

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n i^3=\left(\sum_{i=1}^n i\right)^2$

אם תחבר המעוקבים כסדרם כמו שתרצה והאחד עמהם היה המקובץ מרובע ושרשו מרובע ^התחבור עד שורש מעוקב שעמדת

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n i^2=\left(\sum_{i=1}^n i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]$

חבור המרובעים הנלוים יודע כשתקח מחובר המספר שהוא שורש לאותו המרובע שעמדת בו שמרהו וקח שני שלישי שורש אותו המרובע עם תוספת שלישית אחד ונכפלהו בשמור והעולה הוא מחובר המרובעים עד סוף אותו המספר

The sum of the natural numbers is that you multiply whichever [last] number you want to sum by half the number that follows, or by its own half plus on half, and the result is the sum.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n i=n\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n+1\right)\right]=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]}}

חבור המספר פשוט הוא שתכפל איזה מספר שתרצה חבורו בחצי המספר הבא אחריו או בחציו וחצי אחד והעולה הוא המחובר

The sum of the odd numbers alone is that you multiply the mean number twice by itself, the add the last number to it and this is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=\left(\frac{2n-1}{2}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(2n-1\right)}}

חבור הנפרדים לבד הוא שתכה המספר המספר האמצעי בעצמו שני פעמים ותוסיף עליו השורש והוא המבוקש

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)$

חבור הזוגות לבד תקח חצי סוף החשבון ותכהו בעצמו ותוסיף עליו שרשו והוא המבוקש

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=\frac{1}{2}\sdot\left(n^2+n\right)$

החבור הטבעי הוא חצי [מרובע]‫^[111] המספר שעמדנו בו וצלעו

Illustration of the formula: $\scriptstyle\left[\left(\sum_{i=1}^n i\right):n\right]-\left[\left(\sum_{i=1}^{n-1} i\right):\left(n-1\right)\right]=\frac{1}{2}$

אם תסדר המספר הטבעי בטור ותשים על כל אחד חבורו ותקיש כל אחד אל חבורו תמצא כל חבור יוסיף על המספר חצי

$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^n i}}$	36	28	21	15	10	6	3	1
n	8	7	6	5	4	3	2	1

ל	כח	כא	טו	י	ו	ג	א
ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א

\scriptstyle{\color{blue}{1=1\times1}}

דמיון המשל בו שתמצא בכאן ‫^[112]א' ~~כמו~~ כמו א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{3=\left(1+\frac{1}{2}\right)\times2}}

וג' כמו ב' [וחציו]‫^[113]

\scriptstyle{\color{blue}{6=2\times3}}

וו' שני דמיוני ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{10=\left(2+\frac{1}{2}\right)\times4}}

וי' שני דמיוני ד' וחציו

\scriptstyle{\color{blue}{15=3\times5}}

וט"ו שלשה דמיוני ה‫'

The ratio of the bottom line to the upper line is

\scriptstyle1:n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]

וכן תמיד יוסיף בחצי דמיון

$\scriptstyle\left(\frac{a+b}{a}\sdot\frac{a+b}{b}\right)\sdot\left(a\sdot b\right)=\left(a+b\right)^2$

כל מספר שתחלקהו בשני חלקים איך שיהיה ותחלק כלו על כל אחד מחלקיו ותכה היוצא מכל אחד משתי החלוקות זו בזו ותשמרהו ואחר תכה אחד משני החלקים באחר ותכהו בשמור יעלה כמרובע המספר

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2}}

For every number that you take its third, multiply it by itself, rise it by one rank, and subtract from it the square of the third, the result is as the square of that number.

כל חשבון שתקח שלישיתו ותכהו בעצמו ותעלהו מדרגה אחת ותחסר ממנו מרובע השלישית יעלה כמרובע המספר

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]+a+\left(a+1\right)}}

If it does not have a third, but it exceeds over [a number that has a third] by one, subtract the one from it and do with the remainder as we explained, then add to it the number that has a third and the [original] number itself; the result is the square of the number.

ואם לא היה לו שלישית אבל הוא מוסיף אחד חסר ממנו האחד ותעשה בנשאר כאשר תארנו והוסף עליו אחר כן המספר שיש לו שלישית והמספר בעצמו ויגיע מרובע המספר

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-a-\left(a-1\right)}}$

ואם תוסיף שנים על שלישית [המספר]‫^[114] נעשה בהפך וזה שנוסיף אחד ויהי' מ ויהיה מספר שלישי ונעשה כבראשונה ונחסר ממנו בסוף מה שהיינו מוסיפים ויעלה המבוקש

$\scriptstyle a^3\sdot b^3=\left(a\sdot b\right)^3$

הכאת מעוקב על מעוקב מעוקב ושרשו הכאת שורש אחד מהם בשני

$\scriptstyle a^3\div b^3=\left(a\div b\right)^3$

חלוק מעוקב על מעוקב מעוקב ואם תחלק שורש הגדול על הקטן תמצא שרשו

$\scriptstyle n^2:\left[n\sdot\left(n+1\right)\right]=\left[n\sdot\left(n+1\right)\right]:\left(n+1\right)^2$

‫[אם תסדר המספר הטבעי והא' עמהם ותתחיל ותכה הא' בשני והשני בג' והג' בד' וכן תמיד יתילדו המספרים שהם אמצעיים ביחס בין המרובעים הטבעיים]‫^[115]

$\scriptstyle a:b=b:c\longrightarrow a\sdot b\sdot c=b^3$

כל שלשה מספרים מתיחסים שתכה שלשתם זה בזה ותקבץ מספר מעוקב ושרשו המספר האמצעי

Every cubic number is between two squares:

כל מעוקב יש מצדדיו שני מרובעים

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)-\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]^2<n^3<\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]^2}}

אם תחסר מחצי שרש המעוקב חצי אחד ותכה הנשאר בשורש המעוקב תמצא שורש המרובע הקטן ואם תוסיף על חצי שורש המעוקב חצי אחד ותכהו בשורש המעוקב תמצא שורש המרובע הגדול

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]^2-\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)-\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]^2=n^3}}

ואם תחסר המרובע הקטן מהמרובע הגדול תמצא המעוקב

The number of squares between the two squares $\scriptstyle\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)-\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]^2$ and $\scriptstyle\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]^2$ is rising by one at a time

והנה תראה בזה פליאה ^נשגבה מאד שאם תסדר המרובעים הטבעיים בטור ותבחן [.] בהם ענין זאת ההקדמה תמצא שהמעוקב הראשון ההווה מחסרון מרובע ממנו תמצא שאותם ~~שני~~ שני המרובעים שזה דרכם ביניהם מרובע אחד והמעוקב השני שמצדדיו שני מרובעים הנה ביניהם שני מרובעים והמעוקב השלש בין שני מרובעים ביניהם שלשה מרובעים וכן תמיד יוסיף המרחק באחד כמו זאת הצורה

cubes			125				64		27			8		1
squares	196	169	144	121	100	81	64	49	36	25	16	9	4	1

			קכה				סד		כז			ח		א
רכה	קצו	קסט	קמד	קכא	ק	פא	סד	מט	לו	כה	יו	ט	ד	א

אם תסדר המספר הטבעי והאחד עמהם ותתחיל ותכה הראשון בשני והשני בשלישי והשלישי ברביעי וכן תמיד ~~יתילד~~ יתילדו המספרים שהם אמצעיים ביחס בין המספרים הטבעיים

$\scriptstyle\left[1+\left(\sum_{i=1}^n 2i\right)\right]\sdot n=n+n^2+n^3$

Examples:

\scriptstyle{\color{blue}{1+2=3=1+1^2+1^3}}

אם תסדר המספר ‫^[116]הטבעי ותשים תחתיו הזוגות הטבעיים על הסדר ותחבר הראשון הוא א' בזוג הראשון והוא ב' יעלה שלשה והוא המספר הראשון עם מרובעו ומעוקבו

תחבר אל השלשה הזוג השני והוא ד' יהיו ז' תכהו במספר השני והוא ב' יעלו י"ד והוא המספר [השני]‫^[117] עם מרובעו ומעוקבו

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+2\right)+\left(2\sdot2\right)\right]\sdot2=\left(3+4\right)\sdot2=7\sdot2=14=2+2^2+2^3}}

תוסיף על הז' הזוג השלישי והוא ו' יהיו י"ג תכהו במספר השלישי שהוא י"ג יעלו ל"ט והוא המספר השלישי עם מרובעו ומעוקבו וכן לעולם

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(1+2\right)+\left(2\sdot2\right)\right]+\left(2\sdot3\right)\right]\sdot3=\left(7+6\right)\sdot3=13\sdot3=39=3+3^2+3^3}}

Now we conclude this part by explaining a wonderful property of the numbers, which is that the squares of the nine numbers that are in the first rank are found in two ranks, i.e. the units and the tens:

ונחתום עתה זה החלק בביאור סגלה נפלאה מהמספר והוא שמרובעי המספרים התשעה שהם במדרגה הראשונה הם נשלמים בשתי מדרגות ר"ל האחדים והעשרות

In the units [the squares of] only three numbers are found, which are 1, 2, 3, whose squares are 1, 4, 9.

וזה שבאחדים‫^[118] לא ימצאו רק משלשה ~~מספרי~~ מספרים והם אב"ג שמרובעיהם אד"ט

The [squares of the] rest are found in the [rank of] tens.

והנשארים ישלמו בעשרות

Since the first rank is the beginning and the foundation of all the generated numbers, the squares of [the numbers in it] are analogous for the [squares] of all subsequent ranks endlessly.

ולפי שהמדרגה הראשונה התחלה ויסוד לכל המספרים המתחדשים היו מרובעיה דוגמא ומשל לכל המדרגות שאחריה לאין תכלית

The squares in odd ranks – follows the squares in the first rank; the squares in even ranks – follows the squares in the second rank

~~ולפי~~ ולפי שמרובעי אחדי המדרגה הראשונה לוקחים משתי המדרגות שהם אחדים עשרות תחזור השלישית אל הראשונה והרביעית לשנית והחמשית לראשונה והששית לשנית וכן תמיד המדרגות הנפרדות מהראשונה והזוגות מהשנית

\scriptstyle{\color{blue}{1^2=1;\quad2^2=4;\quad3^2=9}}

וזה לך ~~הפירוש הפ הפ~~ הפירוש במדרגה הראשונה אד"ט מרובעים

\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100;\quad20^2=400;\quad30^2=900}}

ובשלישית מאה ד' מאות ט' מאות גם כן מרובעים ושרשיהם דמיון שרשיהם אלא ~~שית~~ שיפלו מדרגה אחת כי שרשי אד"ט אב"ג ושרשי אלו יהיו עשרה עשרים שלשים

ואין במדרגה השלישית מרובעים ראשי כללים רק אלה כאשר אין באחדים רק אד"ט

\scriptstyle{\color{blue}{4^2=16;\quad5^2=25;\quad6^2=36}}

ושלמות מרובעי שאר המספרים הטבעיים הם י"ו כ"ה ל"ו וכו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{40^2=1600;\quad50^2=2500;\quad60^2=3600}}

וכן במדרגה הרביעית אלף ות"ר אלפים ות"ק ג' אלפים ~~ות"ר~~ ות"ר וכו' ושרשיהם דמיוני שרשי מרובעי האחדים אלא שיעלו מדרגה אחת ויהיו ארבעים חמשים ששים וכו' וזה שומר סדר בכל המדרגות עד אין סוף

Since the cubes have three dimensions, the cubes of the units are [found in three ranks] and therefore the cubes of the rest of the ranks are acting as the cubes of the units in these three ranks, in intervals of three ranks

ודע שכמו שיש נמשלים במרובעים כן יש במעוקבים ומרובעי תשעת המספרים ישלמו בשתי מדרגות ר"ל באחדים והעשרות ולזה ידלגו משתים לשתים עד אין תכלית ואמנם המעוקבים הפליא בם הטבע ול וזה לפי שהמרובע הוא משני מרחקים [ישלמו נמשליו בשתי מדרגות ולפי שהמעוקב הוא בעל ג' רחקים]‫^[119] ישלמו נמשליו בשלשה מדרגות וידלגו אחר כן משלש לשלש מדרגות עד לאין תכלית כאשר היה דולג במרובעם משנים לשנים

\scriptstyle{\color{blue}{1^3=1}}

וזה שהאחד מעוקב אחד ושרשו אחד

\scriptstyle{\color{blue}{10^3=1000}}

כן אלף שהוא רביעי לו ‫^[120]מעוקב ושרשו ~~אחד עש~~ עשרה שהוא אחד ועלה מדרגה

\scriptstyle{\color{blue}{2^3=8\longrightarrow20^3=8000}}

וכן שמנת אלפים מעוקב שהוא כנגד שמנה ושרשו עשרים שהוא כנגד שנים ומשם והלאה תשמור הסדר שזכרנו לך

This property is, according to the author, a profound proof that the numbers are nine alone

ומכאן ראיה חזקה שהמספרים תשעה לבד והתבונן בו

Epilogue of the surviving section

As the numerical properties are endless and therefore further emphasizing concerning them is a waste of time, what is brought is enough for us now, for our intention and according to what was ordered upon us by the great king [again could be a reference to king Robert of Anjou], our lord, may he live and last for long in quiet and safe

ולפי שבסגולות המספריות כמעט שאין להם תכלית ולזה ההפלגה בם אבוד הזמן די לנו עתה במה שהבאנו לפי כונתנו ומה שנצטוינו מאת המלך הגדול אדונינו שיחיה ויאריך ימים בכבוד ובהשקט ובטחה

Furthermore, we do not want to attach to this a technical section on actualization of calculations and questions, as much was written about it by all nations due to their need of it in their social affairs, hence it was agreed to conclude here our talk on this first section

ולזה לא רצינו לחבר‫^[121] אל זה חלק מלאכותי בהוצאת החשבונות והשאלות לפי שחובר על זה הרבה אצל כל האומות לצרכם אליו בעניניהם המדיניים ולזה הסכמנו שיהיה בכאן סוף דברינו בזה החלק הראשון

colophon of MS Kepah 36

נשלמה העתקת ספרי הראב"ע ז"ל באלול הרמ"ג בקצ"ד לשטרי הצעיר יחיא בן סלי' אלקאפח יצ"ו

Apparatus

↑ here starts M: 49r
↑ M om.
↑ M שנשימהו^נו
↑ M om.
↑ marg.
↑ 49v
↑ M יורדין וישתשלו
↑ M איך נדע בו
↑ marg.
↑ marg.
↑ marg.
↑ marg.
↑ 50r
↑ M om.
↑ M om.
↑ M הסוג
↑ M om.
↑ M om.
↑ M עצמי
↑ M בבחינה זולת
↑ M om.
↑ M marg.
↑ M marg.
↑ 50v
↑ M ~~וכוכב~~ ^וכותב
↑ M ההפכיות marg.: ~~ההוריות~~ ההוויות
↑ M בעצמו
↑ M הנכבדים
↑ M om.
↑ M om.
↑ 51r
↑ M הישאליים
↑ M om.
↑ M הרוב
↑ M om.
↑ M om.
↑ M ומצא אחד
↑ M marg.: יש לכתוב הנה מה שכתבתי בכונות שלי המתחיל הכח הגלגלי ~~הכותב~~ הכולל וכו' גם לשון אחר המתחיל הדברים הזרים וכו'
↑ M marg.
↑ 51v
↑ M במציאות
↑ M והשור
↑ M התישרות
↑ M om.
↑ M אלפמכ
↑ 52r
↑ M ופירושו
↑ M ושלוש
↑ M השיר וההטעאה והנצוח והשיר
↑ M om.
↑ M משמים
↑ 52v
↑ M om.
↑ M ויחוזק
↑ M לרפואת רבוי פעלתם
↑ M על
↑ M om.
↑ M om.
↑ M מעוקבו
↑ M om.
↑ M om.
↑ 53r
↑ M om.
↑ M הישור
↑ J רמב"ן
↑ M וא"ע
↑ M מאזנים
↑ M om.
↑ M om.
↑ 53v
↑ 57r
↑ M שזכרו
↑ M om.
↑ M מספריו
↑ M בזה דמות דעות
↑ M הם הדעת
↑ M om.
↑ M om.
↑ M האחר
↑ M on.
↑ 57v
↑ M בין
↑ M שני כל
↑ M marg.
↑ M om.
↑ 58r
↑ M om.
↑ M הוא
↑ 58v
↑ M או
↑ 59r
↑ M om.
↑ M וכמוהו
↑ 59v
↑ om.
↑ M י"א
↑ M שני
↑ M om.
↑ 60r
↑ M מספר
↑ M משטח
↑ M חלקו
↑ M כשיכה
↑ 60v
↑ M om.
↑ M om.
↑ M om.
↑ M om.
↑ M המחוברים
↑ M om.
↑ M om.
↑ 61r
↑ M om.
↑ M om.
↑ M om.
↑ 61v
↑ M om.
↑ marg. נ' שהאחדים
↑ M om.
↑ 62r
↑ M לדבר

Appendix: Bibliography

Qalonymos ben Qalonymos (known as Maestro Calo or Callus)
South of France, b. 1286/7 – d. after 1329
Sefer ha-Melaḵim (The Book of the Kings)
Manuscripts:

Jerusalem, Kepah 36/21 (IMHM: f 47427), ff. 215v-225r (1883)
München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 290/3 (IMHM: f 1633), ff. 49r-62r (15th century)

hebr. 290/3

The transcript is based mainly on manuscript München 290

Bibliography:

Langermann, Y. Tzvi. 2001. Studies in Medieval Hebrew Pythagoreanism: Translations and Notes to Nicomachus; Arithmological Texts, Micrologus IX, pp. 219–236.
Lévy, Tony. 1996. L’histoire des nombres amiables: le témoignage des textes hébreux médiévaux, Arabic Sciences and Philosophy 6, pp. 63–87.
Steinschneider, Moritz. 1870. Das Königsbuch des Kalonymos, Jüdische Zeitschrift für Wissenschaft und Leben, 8, pp. 118-22.

[1] re starts M: 49r

[2] M om.

[3] M שנשימהו^נו

[4] M om.

[5] rg.

[6] 49v

[7] M יורדין וישתשלו

[8] M איך נדע בו

[9] rg.

[10] rg.

[11] rg.

[12] rg.

[13] 50r

[14] M om.

[15] M om.

[16] M הסוג

[17] M om.

[18] M om.

[19] M עצמי

[20] M בבחינה זולת

[21] M om.

[22] M marg.

[23] M marg.

[24] 50v

[25] M ~~וכוכב~~ ^וכותב

[26] M ההפכיות marg.: ~~ההוריות~~ ההוויות

[27] M בעצמו

[28] M הנכבדים

[29] M om.

[30] M om.

[31] 51r

[32] M הישאליים

[33] M om.

[34] M הרוב

[35] M om.

[36] M om.

[37] M ומצא אחד

[38] M marg.: יש לכתוב הנה מה שכתבתי בכונות שלי המתחיל הכח הגלגלי ~~הכותב~~ הכולל וכו' גם לשון אחר המתחיל הדברים הזרים וכו'

[39] M marg.

[40] 51v

[41] M במציאות

[42] M והשור

[43] M התישרות

[44] M om.

[45] M אלפמכ

[46] 52r

[47] M ופירושו

[48] M ושלוש

[49] M השיר וההטעאה והנצוח והשיר

[50] M om.

[51] M משמים

[52] 52v

[53] M om.

[54] M ויחוזק

[55] M לרפואת רבוי פעלתם

[56] M על

[57] M om.

[58] M om.

[59] M מעוקבו

[60] M om.

[61] M om.

[62] 53r

[63] M om.

[64] M הישור

[65] J רמב"ן

[66] M וא"ע

[67] M מאזנים

[68] M om.

[69] M om.

[70] 53v

[71] 57r

[72] M שזכרו

[73] M om.

[74] M מספריו

[75] M בזה דמות דעות

[76] M הם הדעת

[77] M om.

[78] M om.

[79] M האחר

[80] M on.

[81] 57v

[82] M בין

[83] M שני כל

[84] M marg.

[85] M om.

[86] 58r

[87] M om.

[88] M הוא

[89] 58v

[90] M או

[91] 59r

[92] M om.

[93] M וכמוהו

[94] 59v

[95] .

[96] M י"א

[97] M שני

[98] M om.

[99] 60r

[100] M מספר

[101] M משטח

[102] M חלקו

[103] M כשיכה

[104] 60v

[105] M om.

[106] M om.

[107] M om.

[108] M om.

[109] M המחוברים

[110] M om.

[111] M om.

[112] 61r

[113] M om.

[114] M om.

[115] M om.

[116] 61v

[117] M om.

[118] rg. נ' שהאחדים

[119] M om.

[120] 62r

[121] M לדבר

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

[98]

[99]

[100]

@@ Line 1,937: / Line 1,937: @@
 |-
 |
-*For <math>\scriptstyle a<c<d<b</math> if <math>\scriptstyle a+b=c+d</math> then <math>\scriptstyle \left(a\sdot b\right)+\left[\left(c-a\right)\sdot\left[\left(a+b\right)-\left(c+a\right)\right]\right]=c\sdot d</math>
+*For every number divided into two different parts and into two other different parts, the product of the smallest by the greatest plus the product of the difference between the [two] smaller by the difference between the [sum of the two] smaller and the whole number is equal to the product of the greatest among the [two] smaller by the smallest among the [two] greater.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a<c<d<b;a+b=c+d\longrightarrow\left(a\sdot b\right)+\left[\left(c-a\right)\sdot\left[\left(a+b\right)-\left(c+a\right)\right]\right]=c\sdot d}}</math>
 |style="text-align:right;"|כל מספר יחלק בשני חלקים מתחלפים ובשני חלקים אחרים מתחלפים הנה הכאת כל אחד קטן קטנים בגדול הגדולים ותוספת הכאת מותר מה שבין הקטנים במותר מה שבין הקטנים והמספר כלו כמו הכאת רב הקטנים בקטן הגדולים
 |-

Difference between revisions of "ספר המלכים"

Revision as of 05:42, 27 March 2023

Contents

Introduction

Section One - Discussion on the Numbers One - Ten

One

Monad in the existences

Two

Properties of the number two

Dyad in the existences

Three

Properties of the number three

Triad in the existences

Four

Properties of the number four

Tetrad in the existences

Five

Properties of the number five

Pentad in the existences

Six

Properties of the number six

Hexad in the existences

Seven

Properties of the number seven

Heptad in the existences

Eight

Properties of the number eight

Octad in the existences

Nine

Properties of the number nine

Ennead in the existences

Ten

Properties of the number ten

Decade

General Properties of Numbers

Introduction

A list of arithmetical statements concerning general properties of the numbers – without demonstrations or proofs

Relatively prime numbers

Successive proportional numbers

Relatively prime numbers

The divisors of a plane number

Successive powers of two

Euclidean Propositions - Arithmetical Version

Epilogue of the surviving section

Apparatus

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Search