Difference between revisions of "ספר דיני ממונות"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎Multiple Quantities - Grinders)
(→‎Multiple Quantities - Grinders)
Line 15,101: Line 15,101:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
::370) Question: if 250 minyanim yield 60 minyanim in 8 months, I ask in how much time will 400 minyanim yield 180?
 
|style="text-align:right;"|שטו)&#x202B;<ref>MS L שע</ref> שאלה אם ר"נ מנינים הרויחו בח' חדשים ס' מנינים אשאל ד' מאות מנינים בכמה זמן ירויחו ק"פ
 
|style="text-align:right;"|שטו)&#x202B;<ref>MS L שע</ref> שאלה אם ר"נ מנינים הרויחו בח' חדשים ס' מנינים אשאל ד' מאות מנינים בכמה זמן ירויחו ק"פ
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ותאמר אם ק"נ (ר"נ) הרויחו בח' ס' כמה ירויחו ד' מאות ויצא לך צ"ו הנה א"כ עם ד' מאות מנינים בח' חדשים נרויח צ"ו א"כ תאמר אם צו נתן לי ח' ק"פ כמה יתן ויצא ט"ו א"כ בט"ו חדשים עם ד' מאות מנינים נרויח ק"פ
+
::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if [2]50 yield 60 in 8, how much will 400 yield?
 +
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{250:60=400:X}}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותאמר אם ק"נ (ר"נ) הרויחו בח' ס' כמה ירויחו ד' מאות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:316) Question: if a kikkar of chestnuts is worth 2½ minyanim and a man sells one liṭra for 14 piccoli, I ask: if one kikkar is worth 2 minyanim, what weight should be given for one soldi?  
+
::You receive 96. So, with 400 minyanim we earn 96 in 8 months.
 +
|style="text-align:right;"|ויצא לך צ"ו הנה א"כ עם ד' מאות מנינים בח' חדשים נרויח צ"ו
 +
|-
 +
|
 +
::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> then, say: if 96 gives me 8, how much will 180 give?
 +
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{96:8=180:X}}</math>
 +
|style="text-align:right;"|א"כ תאמר אם צ"ו נתן לי ח' ק"פ כמה יתן
 +
|-
 +
|
 +
::The result is 15. So, in 15 months with 400 minyanim we earn 180.
 +
|style="text-align:right;"|ויצא ט"ו א"כ בט"ו חדשים עם ד' מאות מנינים נרויח ק"פ
 +
|-
 +
|
 +
:316) Question: if a kikkar of chestnuts is worth 2 minyanim and a half and a man sells one liṭra for 14 piccoli, I ask: if one kikkar is worth 2 minyanim, what weight should be given for one soldi?  
 
|style="text-align:right;"|שיו)&#x202B;<ref>MS L: שעא</ref> שאלה אם ככר הערמונים שוה ב' מנינים וחצי ואדם מוכר הליט' י"ד פיצולי אשאל אם הככר שוה ב' מנינים איזה משקל ראוי לתת עבור א' סולדו
 
|style="text-align:right;"|שיו)&#x202B;<ref>MS L: שעא</ref> שאלה אם ככר הערמונים שוה ב' מנינים וחצי ואדם מוכר הליט' י"ד פיצולי אשאל אם הככר שוה ב' מנינים איזה משקל ראוי לתת עבור א' סולדו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span>
+
::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> do as follows: say: when one kikkar is worth 2 minyanim and a half I sell 14, how much will I sell when it is worth 2?
 
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right):14=2:x}}</math>
 
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right):14=2:x}}</math>
 
|style="text-align:right;"|תעשה כך תאמר שהככר שוה ב' וחצי אני מוכר י"ד כשהוא שוה ב' כמה אמכור
 
|style="text-align:right;"|תעשה כך תאמר שהככר שוה ב' וחצי אני מוכר י"ד כשהוא שוה ב' כמה אמכור
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=11+\frac{1}{5}}}</math>
+
::You receive 11 and a fifth.
 +
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=11+\frac{1}{5}}}</math>
 
|style="text-align:right;"|ויצא לך י"א וחומש
 
|style="text-align:right;"|ויצא לך י"א וחומש
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span>
+
::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> to know how much weight should be given for one soldi, say if for 11 and a fifth I give 12 ՚oqya that are in a liṭra, how much will I give for 12 piccoli that are 1 soldo?
 
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{1}{5}\right):12=12:x}}</math>
 
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{1}{5}\right):12=12:x}}</math>
 
|style="text-align:right;"|ולדעת כמה משקל ראוי לתת עבור א' סולדו תאמר אם עבור י"א וחומש אני נותן י"ב אוקיו' שיש בליט' כמה אתן עבור י"ב פיצולי שהם א' סולדו
 
|style="text-align:right;"|ולדעת כמה משקל ראוי לתת עבור א' סולדו תאמר אם עבור י"א וחומש אני נותן י"ב אוקיו' שיש בליט' כמה אתן עבור י"ב פיצולי שהם א' סולדו
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=12+\frac{6}{7}}}</math>
+
::You receive 12 and 6-sevenths and so the liṭra should be sold.
 +
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=12+\frac{6}{7}}}</math>
 
|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ב וו' שביעיות וכך ראוי למכור הליט&#x202B;'
 
|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ב וו' שביעיות וכך ראוי למכור הליט&#x202B;'
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:317) Question: when one tomolo of wheat is worth 80 soldi, the bread that is sold for 4 piccoli weighs 6 ounces.
+
:317) Question: when one tomolo of wheat is worth 80 soldi, the bread that is sold for 4 piccoli weighs 6 ՚oqya.
 
:When one tomolo is worth only 70 soldi, how much should the bread that is sold for 4 piccoli weigh?
 
:When one tomolo is worth only 70 soldi, how much should the bread that is sold for 4 piccoli weigh?
−
|style="text-align:right;"|שיז)&#x202B;<ref>MS L: שעב</ref> שאלה כשה{{#annot:tomolo|1068|A5jY}}טומולי{{#annotקמג}} מהחטה שוה פ' סולדי הלחם הנמכר ד' פיצולי שוקל ו' אוק' כשהטומולי לא ישוה כי אם ע' סולדי כמה ראוי שישקול הלחם הנמכר ד' פיצולי
+
|style="text-align:right;"|שיז)&#x202B;<ref>MS L: שעב</ref> שאלה כשה{{#annot:tomolo|1068|fvuD}}טומולי{{#annotend:fvuD}} מהחטה שוה פ' סולדי הלחם הנמכר ד' פיצולי שוקל ו' אוק' כשהטומולי לא ישוה כי אם ע' סולדי כמה ראוי שישקול הלחם הנמכר ד' פיצולי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 15,143: Line 15,161:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:318) Question: when one kikkar of wheat is worth 80 soldi, the bread that is worth 6 piccoli weighs 9 ounces.
+
:318) Question: when one kikkar of wheat is worth 80 soldi, the bread that is worth 6 piccoli weighs 9 ՚oqya.
 
:When one kikkar is worth only 70, how much should the bread that is sold for 4 piccoli weigh?
 
:When one kikkar is worth only 70, how much should the bread that is sold for 4 piccoli weigh?
 
|style="text-align:right;"|שיח)&#x202B;<ref>MS L: שעג</ref> שאלה בעוד שככר החטה שוה פ' סולדי הלחם השוה ו' פיצולי שוקל ט' אוקיו&#x202B;'<br>
 
|style="text-align:right;"|שיח)&#x202B;<ref>MS L: שעג</ref> שאלה בעוד שככר החטה שוה פ' סולדי הלחם השוה ו' פיצולי שוקל ט' אוקיו&#x202B;'<br>
Line 15,167: Line 15,185:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:319) Question: when one kikkar of wheat weighs 132 liṭra, and the kikkar is worth 24 grossi, the bread that is sold for 6 piccoli weighs 12 ounces.<br>
+
:319) Question: when one kikkar of wheat weighs 132 liṭra, and the kikkar is worth 24 grossi, the bread that is sold for 6 piccoli weighs 12 ՚oqya.<br>
 
:I ask: when one kikkar weighs 120 and is worth 16 grossi, how much should the bread for 4 piccoli weigh?
 
:I ask: when one kikkar weighs 120 and is worth 16 grossi, how much should the bread for 4 piccoli weigh?
 
|style="text-align:right;"|שיט)&#x202B;<ref>MS L: שעד</ref> כשככר החטה שוקלת קל"ב ליט' ושוה הככר כ"ד גרושי הלחם הנמכר מו' פיצולי שוקל י"ב אוק'<br>
 
|style="text-align:right;"|שיט)&#x202B;<ref>MS L: שעד</ref> כשככר החטה שוקלת קל"ב ליט' ושוה הככר כ"ד גרושי הלחם הנמכר מו' פיצולי שוקל י"ב אוק'<br>

Revision as of 15:51, 8 October 2022

Contents


עמי עשו ספר
בשם האל עלי כל חטא מכפר וגם ממציא כופר לכל עונות דיני ממונות
אתחיל ספר הנותן אמרי שפר אשר קראתיהו דיני ממונות
ראו ספר מדריך כל מעיין אל היושר וגם שומרו מעלבון
בו יודע כל ערך גם מעוקב וכל שרש אשר יושב בחשבון

Prologue
מאחר שהיתה הכוונה הרביעית וחפץ השם להצדיקנו בתורתו הקדושה הנתונה לנו למורשה על יד משה נאמן ביתו מבחר המין האנושי פה אל פה דבר עמו במראה ולא בחידות והבדילו משאר הנביאי באמרם ז"ל כל הנביאים הסתכלו באספקלריאה שאינה מאירה ומרע"ה הסתכל באספקלריאה המאירה והמצוחצחת
וזה מאהבת יי' עמו כי לא יעשה יי' דבר כי אם בשביל ישראל כמו שכתב רש"י בפי' התורה כי כל עוד שהיו ישראל במדבר נזופים מהש"י משה היה כאחד מהם ולא דבר לו בפנים מאירים
והנה השם כיון בנתינת תורתו לעמו ישראל לשתי סבות אשר בם נכללו כל עניני העולם הזה והבא
הסבה הראשנה היא להנחילנו חיי העולם הזה להחיות בבריאות
כמו שבאו הרבה מצוות על זה בתורה הקדושה כגון המאכלות אסורות אשר הכוונה היא שלא נאכל שום דבר מוליד עפוש או יגון וכיוצא בהם או חליים משונים
כמו שכתב החכם המקובל ר' מנחם מרקאנאטי (1310-1250) כי אמר כי האוכל שקצים ורמשים ומיני בהמות חולניות וטרפות גורם לו חליים משונים ועובר על והתקדשתם והייתם קדושים מצורף אל זה גורם לעצמו הבהמיות וגסות המוח ובלבול המחשבה הש"י הטובה לבל יראה כעור בנועם יי' במעון הצדיקים עב"ל
Furthermore many commandments occur in the Torah, by which we direct ourselves toward the political and subtle [commandments] concerning matters of acquiring assets, such as the laws in Portion Mishpaṭim [Exodus 21:1-24:18] which constitute the principle and the foundation of the whole Torah. ועוד באו מצוות רבות בתורה אשר באמצעותם ניישיר עצמינו אל המדיניות והדקות בענין השגת הממונות כגון הדינין שבפרשת משפטים אשר הם שרש ויסוד כל התורה בכללה
It is known to those who have eyes to see, and ears to hear, and a heart to know [Deuteronomy 29, 3], that man has no ability to make a true judgment and to pronounce truth, unless he is skilled in arithmetic. וידוע הוא למי שיש לו עינים לראות ואזנים לשמוע ולב לדעת כי אין ביכולת שום אדם לדון דין אמת וליתן אומר באמתות אם לא יהיה בקי בחכמת החשבון
For instance, Reuven owes Shimon 5 ma‘ot, and he comes before the judge for verdict, if the judge would not know what is a ma‘ah is and how many peshuṭim or peruṭot it is, he would not be able to rule the verdict and verify it completely. כאלו תאמר ראובן חייב לתת לשמעון ה' מעות ויבא אצל הדיין לדין הנה אם הדיין לא ידע מהו המעה וכמה פשוטים הם או כמה פרוטות לא יוכל להחליט הדין ולאמתו לגמרי
כמו שביאר ג"כ בפרשת משפטים בענין שור נגח אמר הכתו' ומכרו את השור החי וחצו את כספו וכו'
If the judge does not learn the method of division, how will he be able to divide the ma‘ot between these two rivals? ואם לא ילמד הדיין אופן החלוק איך יוכל לחלק המעות בין שני אלו המריבים
וגם בפרשת בחקותי בענין מכירת ה' הקרקעות אמר וחשב עם קונהו והשיב את העודף לאיש אשר מכר לו
If the judge does not know to divide fairly and correctly as his duty imposed upon him, he will be found breaking the law Thou shalt not wrest the judgment [Exodus 23, 6]. ואם לא ידע הדיין או השופט לעשות החלוק כהוגן וכשורה כמוטל עליו חובה נמצא שהוא עובר על לא תטה משפט
וגורם הגלות והטרוד והטלטול לו ולכל ישראל כאמרם גלות בא לעולם על עוות הדין
ומצוות אחדות עצמו מספר נכללו בזאת הסבה הראשנה ר"ל עניני העולם הזה
ולכן ראוי לאדם שינהיג עצמו באופן ישיג תפישתו דרך כבוד ואל יחסר פת בצלו ואולם הסבה מהשגת המנוחה והחיים הנצחיים בעת יפרדו איש מעל אחיו ר"ל הנפש מהגוף זה מבואר בכמה מקומות בתורה אמר על כבוד אב ואם למען ייטב לך והארכת ימים וארז"ל למען יטב לך לעולם שכלו טוב והארכת ימים לעולם שכלו ארוך
וגם תמצא לשון זה בגמרא אמר הכתוב בשלוח האם שלח תשלח את האם ואחר אמר למען יטב לך והארכת ימים שזה רומז אל העולם המקווה שהוא כלו ארוך כי שכר מצוות בהאי עלמא ליבא כמו שהוכיחו ז"ל בכח מרוב פלפולם וחכמתם כי לא נעלם מהם שום דבר כמו שארז"ל במסכת כתובות ר' עקיבא אומר שכר מצוות בהאי עלמא ליבא כי הנה מצינו אריכות ימים על כבוד אב ואם ועל שלוח האם הרי שאמר אדם לבנו עלי לבירה והבא לי גוזלות והאם רובצת על הבנים וזה עלה לעשות מצוות אביו ושלח האם מעל הבנים ולקח הבנים ובעודו יורד נשבר הסולם ונפל ומת היכן טובתו של זה היכן אריכות ימים של זה אלא למען יטב לך לעולם שכלו טוב ולמען יאריכון ימים לעולם שכלו ארוך
However the first reason forced me to write a short treatise, in which to include all the matters of number in brief. ואולם הסבה הראשנה בכריחתני לחבר חבור קטן אכלול בו כל עניני המספר בקצור דברים
I did that in order to fulfill the commandments of my friends who begged me and asked me to compose for them something on arithmetic. ועשיתי זה כדי לעשות מצוות חבירי אשר חלו בי ובקשו ממני שאחבר להם איזה דבר על חכמת המספר
This has brought me in the path of this composition [or translation/ copying] not to brag and boast, and take a crown on my head and not to talk on things greater and wondrous than me as did the wise man R. A. [probably R. Abraham Ibn Ezra] and Maestro Leon [called R. Levi ben Gershom] in Maase Ḥoshev, for each of them ascended in the degrees of sciences, grasped the branches of ideas. וזה הביאתני במשעול ההעתקה הזאת לא להתגדל ולהתהדר ולקחת עטרה לראשי ולא שאדבר בגדולות ובנפלאות ממני כמו שעשו רא' ומאישטרו ליאון במעשה חושב כי כל אחד מהם עלה במעלות אחז' במושכלות
I called this treatise Diney mamonot [= laws of properties], because through it the worth of every property and the value of everything relating to trade and bargaining will be known in all possible manners. והנה קראתי החבור הזה דיני ממונות יען כי בו יודע שווי כל ממון וערך כל דבר של מסחר ומקח וממכר בכל האופנים שאפשר
וקודם כל דבר אשאל עזר מאלהי ישעי יהיה עם פי בעת הטיפי
ועם לבבי בעת מחשבי וישמרני משגיאות וינקני מזדונות ויחשכני
מעוונות יהיו לרצון אמרי פי והגיון לבי לפניך יי' צורי וגואל
והנה שקטה הסכמתי לחלק זה החבור לי"ב שערים
השער הא' ידבר על חבור השלמים קצתם עם קצת גם נדבר בו מחבור המספרים המטבעים המתחלפים
השער הב' ידבר על מגרעת השלמים קצתם מקצתם גם נדבר על מגרעת הממון גם נדבר על מאזני הדינרין כי דרך אחד להם וכן ג"כ בשער החבור
השער הג' ידבר על הכפל בכל האופנים אשר אפשר להמצא גם על מאזני הדינרין
השער הד' ידבר על השלמים בכל הדרכים הנהוגים היום גם על מאזניהם
השער הה' ידבר על חבור השברים מין עם מינו גם שלמים עם שברים
השער הו' ידבר על מגרעת השברים זה מזה גם על מגרעת שלמים עם שברים
השער הז' ידבר על כפל השברים זה על זה גם על כפל שברים עם שלמים
השער הח' ידבר על חלוק השברי' זה על זה גם על חלוק שלמים עם שברים גם על חלוק שברים עם שלמים עם שברים ושלמים
השער הט' ידבר על ענין הערכין והסחורות
ונחלק זה השער לשלשה חלקים
החלק הא' ידבר על ערך שלמים עם שלמי'
והחלק הב' הוא ערכי השברים עם שברים
והחלק הג' ערכי שלמים עם שברים
השער הי' ידבר על הוצאת השרשים
וגם נחלק זה השער לג' חלקים
החלק הא' הוצאת שרש השלמים
והחלק הב' הוצאת שרש השברים
והחלק הג' הוצאת שרש שלמי' ושברים
השער הי"א ידבר על המאזנים הן מן הכפל הן מהחלוק וכן לשאר המלאכות בין בשברים בין בשלמים בין בשברים עם שלמים
השער הי"ב נחבר בו שאלות אשר קצתם תלויות בערכין ומקצתן בשרשים הן בכפל ומהם בחלוק ומהם מורכבות מכפל וחלוק או מערכין ושרשים
וכדי להרגיל הקורא והמעיין בחבור זה באופן ימצא איזו שאלה שתהיה מאיזה דגל הוא אם מחלוק או ממגרעת או מכפל או מערכין או משרשים
ויהיה קל למבין וישר למוצאי דעת וצדיקים ילכו בו וזה החלי לעשות ומי שזכני להתחיל הוא יזכני להשלים אמן ואמן
אנא אלי שמרני משגיאות כי אתה נקרא מיישיר כל עקוב
תצרני מאנשי ריב ומדון וגם תקוב כל איש עקוב יעקב
ומאשפות דלותי תעלני
אני עבדך גד בר' יעקב
אל שדי טהר רשעי
ושמע קולי
בעת רצון ישועתך ענני
קדוש בך חסייה נפשי
תמיד מרגשת פועלי און שמרני

Chapter One: Addition

 השער הראשון ידבר על חבור השלמים קצתם עם קצתם גם על חבור המטבעי' ועל מאזני הדינרין כי דרך אחרת להם
  • If a person says: sum three numbers, the first is 223, the second 342 and the third 422.
\scriptstyle223+342+422
 אם יאמר לך אדם קבץ לי שלשה מספרים אשר הא' הוא רכ"ג והשני שמ"ב והשלישי תכ"ב
ראוי לקבץ תחלה האחדים עם האחדים והם גב"ב ויעלו ז' ושים אותם למטה
אח"כ נקבץ העשרות שהם בד"ב ויהיו ח' ונשימם במדרגת העשרות
אח"כ נחבר המאיות שהם דג"ב ויהיו ט' ונשימם במקום המאות
הנה א"כ יעלה ט' מאות ופ"ז ותרשמם כמו זאת הצורה
2 2 3
3 4 2
4 2 2
9 8 7
ואם יאמר לך קבץ לי ג' מספרים אשר יהיה ציפרא בכל שלשתם במדרגת העשרות
  • As if you say: sum 203 with 402 and with 809.
\scriptstyle203+402+809
 כאלו תאמר קבץ לי ר"ג עם ת"ב ועם תת"ט
הנה נחבר תחלה האחדים שהם טב"ג ויהיו י"ד ושים ד' במקום האחדים ותחזיק א' עמך
אחר כך תחבר כל העשרות ולא תמצא שם כי אם ציפרא ולכן נשים הא' שעלה לנו מן האחדים
אח"כ נחבר המאות שהם י"ד ונשים ד' במקום המאיות וא' במדרגה רביעית שהם אלפים
ויהיה העולה אלף וד' מאות וי"ד כמו זאת הצורה
  2 0 3
  4 0 2
  8 0 9
1 4 1 4
  • If you wish to sum numbers: in the first of which there are zeros in the units and the tens and 2 in the hundreds; in the second there is a zero in the units, 4 in the tens and 2 in the hundreds; in the third there is 3 in the units, zero in the tens and 4 in the hundreds.
\scriptstyle200+240+403
 ואם תרצה לחבר שום מספר אשר בראשון יהיה ציפרא באחדים ובעשרות וב' במאיות ובמספר השני יהיה ציפרא באחדים ובעשרות ד' ובמאיות ב' ובמספר השני יהיה ג' באחדים וציפרא בעשרות וד' במאיות
ככה תעשה תתחיל מהאחדים ותמצא בם ג' ושימם במקום האחדים
אח"כ חבר העשרות שהם ד' ושימם במקום העשרו'
אח"כ חבר המאיות שהם בב"ד ויעלו ח' ושימם במקום המאיות
ויהיה א"כ העולה ח' מאות ומ"ג כמו זאת הצורה
2 0 0
2 4 0
4 0 3
8 4 3
  • If you wish to sum 4 numbers: in the first of which there are 4 thousands, 2 hundreds and 4; in the second there are 2 hundreds and 12; in the third there is 12; and in the fourth 30.
\scriptstyle4204+212+12+30
 ואם תרצה לחבר ד' מספרים אשר בראשון יש בו ד' אלפים וב' מאות וד' ובשני יש ב' מאות וי"ב ובשלישי יש י"ב וברביעי ל'
הנה ראוי לקבץ האחדים שהם בב"ד והם ח' ושים ח' במקום האחדים
אח"כ תחבר העשרות שהם גא"א ויהיו ה' ותשימם במדרגת העשרות
אח"כ חבר המאיות שהם ב"ב ויהיו ד' ושימם במקום המאיות
אח"כ קבץ האלפים שהם ד'
ויהיה היוצא ד' אלפים וד' מאות ונ"ח כמו זאת הצורה
4 2 0 4
  2 1 2
    1 2
    3 0
4 4 5 8

Addition of Coins
ואם תרצה לקבץ איזה חשבון יהיה בו מספרים מתחלפים כאלו מנינים וקרליני וגרות ודינרין
ראוי לקבץ תחלה הדינרין אח"כ הגרות ואחר כך הקרליניאו הטאריני ואח"כ המנינים
דמיון זה נרצה לקבץ ד' מספרים כל אחד ואחד מד' מטבעי' מתחלפים במספר הראשון יש בו ב' מנינים וג' קרליני וד' גרות וב' דינרין ובמספר השני יש בו ה' מנינים וג' קרליני וב' גרות וא' דינר ובמספר השלישי ד' מנינים וב' קרליני וא גרה וג' דינרין ובמספר הרביעי יש ה מנינים וט' קרליני וז' גרות וב' דינרין
נתחיל לקבץ הגרות (הדינרין) שהם ב' ג' א' ב' ויהיו ח' ודע כי הו' דינרין שוים גרה אחת ולכן נעשה מו' מהם גרה וישארו ב' ושים ב' במקום הדינרין אח"כ נחבר הגרות שהם ז' א' ב' ד' והם י"ד ועם הא' שיש לנו יהיו ט"ו ודע כי העשרה גרות שוות קרליני אחד וישארו עדין ה' גרות ושים ה' במקום הגרות אח"כ חבר הקרליני שהם טבג"ג ויעלו י"ז ועם האחד שיש לנו יהיו י"ח ודע כי הי' קרליני הם דוקאטו אחד ולכן נשים ח' קרליני ונעכב עמנו העשרה שהם מגן אחד כן נחבר המנינים שהם הדה"ב שהם י"ו ונחבר עמם א' ויהיו י"ז הנה א"כ היוצא הוא יז מנינים וח' קרליני וה' גרות וב' דינרין כמו זאת הצורה
ducati carlini grani dinar
2
5
4
5
3
3
2
9
4
2
1
7
2
1
3
2
17
8
5
2
2 3 4 4
5 3 2 1
4 2 1 3
5 9 7 2
17 8 5 2
ואם תרצה לבחון אותו השלך כל התשיעיות מכל אלו הד' מספרים וישאר אחד אח"כ השלך כל הט' מהמספר היוצא ותקח בעד כל גרה שעשית מהדינרין ה' ותחבר אותם עם המספר ר"ל עם הסך העולה וישאר ג"כ אחד כמו זאת הצורה
ואם תרצה לחבר ג' מספרים בראשון ב' מנינים וג' קרליני וד' גרות וד' דינרין ובשני יש בו א מגן וב' קרליני וג' גרות וד' דינרין ובמספר השלישי יש א מגן וה' קרליני וג' גרות וה דינרין
תחבר ראשנה הדינרין שהם הד"ד ויהיו י"ג נעשה מהם ד' גרות נשאר א דינר אח"כ חבר הגרות שהם גג"ד ויהיו י' תחבר עמהם ב' ויהיו י"ב ושים ב' אח"כ חבר הקרליני שהם הב"ג ויהיו י' ושים עמהם א ויהיו י"א אח"כ חבר המנינים שהם אא"ב והם ד' נשים עמהם הד' (הא') ויהיו ה' הנה א"כ סך העולה הוא ה' מנינים וא' קרליני וב' גרות וא דינר כמו זאת הצורה
ducati carlini grani dinar
2
1
1
3
2
5
4
3
3
4
4
5
5
1
2
1
2 3 4 2
1 2 3 4
1 5 3 5
5 1 2 1
ואם תרצה לבחון אותו השלך כל הט' מלמעלה הנשאר א אחר כן שוב אל היוצא וגם השלך כל התשיעיות ותחבר עמם בעד כל גרה ה' והנה הטעם בזה כי הו' דינרין העומדים למעלה ר"ל במספרים העליונים ולמטה הו' אינם שוים כי אם א' גרה ר"ל א דינר ולכן נקח בעד כל דינר שעלה לנו מחבור הדינרין חמשה והנה נקח בעד הב' גרות עשרה ונחבר אותם עם הסך העולה וישאר ג"כ א' והוא שוה אל האחד השמור כמו זאת הצורה
ובכאן נשלם מה שרצינו לבארו בשער הראשון והשם ישמרנו
באישון * השער השני ידבר על המגרעת גם על *נ"ר מגרעת הממון
דע כי כשתרצה לגרוע שים מספר ראוי להתחיל מן האחדים ולשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה ותתחיל לגרוע מהאחדים ותגרע האחדים השפלים מהאחדים אשר למעלה ותשים הנשאר בקו שלישי ואחר תגרע העשרות התחתונות מהעשרות העליונות וכן תעשה מהאלפים וכן עד כלות כל המספרים ומה שישאר לך הוא המבוקש
דמיון זה נרצה לגרוע מן רל"ד קכ"ב
הורידם בב' שטות אח"כ תתחיל הגרעון מן האחדים ותגרע מן הד' אשר למעלה הב' אשר למטה הנשאר ב' אח"כ תגרע מן הג' עשרות מלמעלה הב' עשרות מלמטה הנשאר א' ושים אותו למטה במקום העשרות אח"כ תגרע המאיות וגרע מן הב' מאיות אשר מלמעלה א' מאה מלמטה הנשאר אחד הנה א"כ נשארו עדין קי"ב כמו זאת הצורה
ואם תרצה לבחון אותו תחבר המספר הקטן עם מה שנשאר עדין וישוב כמו המספר הגדול
ואם תרצה השלך כל התשיעיות מהמספר הגדול הנשאר ציפרא אח"כ השלך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר ג"כ ציפרא והוא שוה אל הציפרא השמורה כמו זאת הצורה
ואם תרצה לחבר מנינים עם טרין ועם גרות ועם דינרין יש לך לקבץ הדינרין
דמיון זה נרצה לחבר ב' מנינים וא' טריני וח' גרות וה' דינרין עם ב' מנינים וב' טרי וי"ב גרות וד' דינרין
הנה יש לך לחבר ראשנה הדינרין שהם ד'(ה) ויהיו ט' ושים ג' במקום הדינרין ויש לנו גרה אחת אח"כ נחבר הגרות שהם ח' וי"ב וא' ויהיו כ"א נעשה מהכ' טרי אחד וישאר א' ושימהו במקום הגרות אח"כ חבר הטרי שהם ב'וא' ועם הא' יהיו ד' ושים ד' במקום הטאריני אח"כ חבר המנינים שהם ב"ב ויהיו ד' הנה א"כ יהיה סך העולה ד' מניני' וד' טרי וא' גרה וג' דינרין כמו זאת הצורה
ואם תרצה לבחון אותו השלך כל הט' מכל המספרים אח"כ השלך כל התשיעיות מן היוצא ועל כל גרה שיצא לך מן הדינרין קח ה' ועל כל טרי שיצא לך מן הגרות קח א' ועל כל מגן שיצא לך מהטאריני קח ד' ויצא לך מספר שוה למספר העליון והתשובה בה ציפרא
ובכאן נשלם השער הראשון

Chapter Two: Subtraction

 * השער השני ידבר על מגרעת השלמים קצתם מקצתם * עד כאן מיותר גם על מגרעת הממון
דע כי השער הזה הוא קל להבין במעט עיון ונדבר בזה השער בקצור גם לפעמים ברמיזה כי המעט יספיק
ודע כאשר תרצה לגרוע מספר מה ממספר אחר צריך שתשים המספר הגדול למעלה והקטן ל' למטה ותתחיל לגרוע מהאחדים ועדין אתן דרכים נכונים להתחיל הגרעון מהמספר האחרון ר"ל מן האלפים או מן העשרות אלפים אם הוא מגיע אל האלף הי' או ליותר מכן ותגרע האחדים התחתונים מן העליונים ואח"כ העשרות התחתונות מהעליונות וכן המאיות והאלפים עד תומם
  • Example: we wish to subtract 123 from 245.
\scriptstyle245-123
 דמיון זה נרצה לגרוע מן רמה קכ"ג
הורידם בב' שטות אח"כ תמשוך קו שלישי תחתיהם
ותתחיל לגרוע מן האחדים שהם הג' ותקח מה' ג' הנשאר שנים ושים אותם בקו ג' במקום האחדים
אח"כ תגרע העשרות ר"ל ב' מד' הנשאר ב' ושים אותם למטה במקום המאיות (העשרות)
אח"כ תגרע המאיות ותגרע א מב' הנשאר א ושימם למטה במקום המאיות בקו שלישי
הנה א"כ הנשאר הוא קכ"ב וזאת צורתם
2 4 5
1 2 3
1 2 2
  • Another example: we wish to subtract 207 from 349.
\scriptstyle349-207
 דמיון אחר נרצה להוציא ממספר שמ"ט מספר ר"ז
תתחיל מן האחדים ותוציא ממספר ט' שלמעלה הט' ז' מלמטה הנשאר א ב' נשים אותם למטה בקו שלישי
אח"כ תגרע העשרות והנה למטה ר"ל במספר התחתון תמצא ציפרא ולכן ראוי שתאמר מד' עשרות שהם למעלה במספר הגדול תגרע ציפרא שהיא למטה הנשאר ד' ושים אותם הד' במקום העשרות למטה
אח"כ תגרע המאיות זאת לדעת ב' מג' נשאר א' ושום אותם למטה במקום המאות
הנה א"כ הנשאר הוא קמ"ב על זאת הצורה
3 4 9
2 0 7
1 4 2
  • Another example: we wish to subtract 253 from 304.
\scriptstyle304-253
 דמיון אחר נרצה לגרוע מג' מאות וד' רנ"ג
הנה נגרע ראשנה ג מד' נשאר א ושום אותו למטה בקו שלישי אח"כ תגרע העשרות
והנה אתן לך כלל בדבר שלא תוכל להחטיא לעולם כי כשתראה שהמספר התחתון הוא יותר גדול מהעליון ר"ל *שהאותיות *כשא התחתונות היא יותר גדולה מאותה שכנגדה למעלה באיזו מדרגה שתהיה הנה יש לך לעשות נקדה למטה אצל האות הבאה אחר הגדולה ואותה האות שוה עשרה למעלה אצל האות הקטנה ובמקומה שוה אחד ר"ל למטה באשר הוא שם
והנה נרצה לגרוע אותם הה' עשרות שהם למטה מהציפרא אשר למעלה ולא נוכל כי לא נוכל להסיר ה' מציפרא לכן עשה נקדה למטה אצל הב' מאות ואותה הנקדה ישווה למעלה במקום הציפרא עשרה ולכן תגרע ה' מי' הנשאר ה' ושימם במקום העשרות
אחר כן גרע המאות שהם שנים למעלה וכבר אמרנו כי הנקדה שוה א' ונחבר אותו עם הב' ויהיו ג' גרע מג' ג' הנשאר מאומה
הנה א"כ הנשאר עדין נ"א על זאת הצורה
3 0 4
2 5 3
0 5 1
  • Another example: we wish to subtract 1403 from 2040.
\scriptstyle2040-1403
 דמיון אחר נרצה לגרוע ממספר ב אלפים ומ' מספר אלף ות"ג
הורידם בשתי שטות
אח"כ התחיל מהאחדי' ותגרע מהציפרא העומדת למעלה במקום האחדים השלשה אשר הם למטה כנגדו ולא נוכל ולהקיש לך לעשות נקדה למטה במקום העשרות אצל הציפרא וישוה א' במקומו ר"ל במקו' הציפרא של מטה ובציפרא אשר למעלה במקום האחדים היא שוה עשרה וגרע עתה מאלו העשרה הג' אשר למטה הנשאר ז' ושימם בקו שלישי
אח"כ גרע מן הד' אשר הם למעלה במקום העשרות הא' אשר היא למטה אשר היא אצל הנקדה הנשאר ג' ושימם במקום מדרגתם
אח"כ תגרע המאיות ותגרע מהציפרא אשר למעלה במקום המאיות הד' אשר למטה במקום המאיות ולא נוכל לכן נעשה נקדה למטה אצל האלף הנמצאים שם ואותה הנקדה שוה אחת במקומה ולמעלה אצל הציפרא שוה עשרה ונקח מאלו הי' שהם למעלה הד' שהם למטה הנשאר ו'
אח"כ נסיר האלפים מן האלפים ונסיר מן ב' אלפים שהם למעלה ב' אלפים שהם למטה עם הנקדה ששוה אחת ולא ישאר כלום
הנה א"כ מה שנשאר הוא תרל"ז על זאת הצורה
2 0 4 0
1 4 0 3
  6 3 7
ואולם אם תרצה לגרוע חשבון קטן מחשבון אחר גדול בזולת נקדה וזולת שתתחיל הגרעון מן האחדים כי אם מהאות הגדולה ר"ל מהאלפים או יותר אם יעלה כל כך למעלה ככה תעשה אם כל האותיות מהמספר השפל הם פחותות מהאותיות העליונו' הדבר הוא קל ואם אחת מהאותיות השפלות יותר גדולות מהעליונות הדבר הוא מעט קשה והוא כי תצטרך להשיב אחת מהמדרגה האחרונה אחורנית לפי שלפעמים המדרגה השלישית או האמצעית כפי מה שתראה בדמיונו'
  • Example: we wish to subtract 135 from 246.
\scriptstyle246-135
 דמיון נרצה לגרוע מן רמ"ו מספר קל"ה
ראוי להתחיל מן המאיות שהיא המדרגה אחרונה ותגרע מן ב' שהם המאיות העומדות למעלה הא' אשר למטה ג"כ במקום המאיות הנשאר א' ושים אותו למטה בקו שלישי
אח"כ תגרע העשרות ותגרע (מ)הד' אשר הם העשרות שלמעלה (מ)ג' שהם העשרות של מטה הנשאר א' ושים אותה בקו שלישי
אח"כ תגרע האחדים ותגרע מן הו' אשר למעלה הה' אשר למטה במקום האחדים הנשאר א' ושים אותו בקו שלישי
הנה א"כ נשאר עדין קי"א וזאת היא צורתם
2 4 6
1 3 5
1 1 1
ואולם אם אחת מהאותיות תחתונות היא יותר גדולה מאותה שכנגדה למעלה ראוי לך להשיב אות אחת מהאותיות העליונות הקודמו' אל הגדולה אחורנית והא' יספיק לך במגרעת המספר
אבל במגרעת הממון יצטרך להשיב ב' או ג' אחורנית כפי שווי הממון והכל תראה בדמיונות במראה ולא בחידות
  • Example: we wish to subtract 382 from 468.
\scriptstyle468-382
 דמיון נרצה לגרוע מתס"ח מספר שפ"ב
תתחיל מהמאות ותגרע מהד' שהם למעלה הג' שהם למטה והנה נשאר א' והיה מן הדין לשים אותו למטה בקו שלישי אבל מאחר שהאות אשר היא למעלה במקום העשרות היא יותר קטנה מאותה שכנגדה למטה במקום העשרות ג"כ לכן תשיב זה האחד אחורנית ותחברהו אל הו' אשר הם למעלה
ודע כי זה האחד אשר שב אחור הוא שוה עשרה לעולם אצל המדרגה הבאה אחריה א"כ זה האחד אשר הוא אצל המאות ישוה עשרה אצל הו' אשר הם למעלה במקום העשרות ועם הי' יהיו י"ו
אח"כ תגרע מי"ו הח' אשר למטה הנשאר ח' ושום כל אלו השמנה במקום העשרות
אח"כ תגרע האחדי' והם למעלה ח' ולמטה ב' ותגרע ב' מן ח' הנשאר ו' ושים אותם למטה בקו שלישי במקום האחדים
הנה א"כ הנשאר הוא פ"ו וזאת היא צורתם
4 6 8
3 8 2
  8 6
ודע כי לפעמים תצטרך להשיב אות א' בב' מדרגות מתחלפות אחורנית ולפעמים ג' או ד' כפי המספר המונח וכפי גדלו וקטנו
  • Example: we wish to subtract 3456 from 4321.
\scriptstyle4321-3456
 דמיון נרצה לגרוע מן ד אלפים ושכ"א ג' אלפי' ותנ"ו
הנה יש לך להתחיל מהאלפים ותגרע מן הד' העליונים הג' התחתונים הנשאר א ולכן נשיב זה הא' אחורנית כי המאיות השפלות הם מיותרות על העליונות וזה הא' אשר ישוב אחור ישוה עשרה למעלה במקום המאות שהם ג' וא"כ יהיו י"ג נסיר מי"ג ד' הנשאר ט' ולא תשימם כלם אלא נניח ח' ונעכב א' עמנו מצד כי המספר העליון אשר הוא במקום העשרות הוא פחות מאותו שלמטה כנגדו וכבר אמרנו שכל אחד שוה עשרה ולמעלה תמצא במקום העשרות ב' ועם א שוה י' הם י"ב תסיר מי"ב הה' אשר למטה במקום העשרו' הנשאר ז' ולא נניח מאלו הז' כי אם ו' בקו שלישי מפני כי יש לנו לגרוע האחדים מלמטה שהם גדולים מן האחדים מלמעלה והנה למעלה במקום האחדים תמצא אחד ועם הא' ששב לאחור יהיו י"א תסיר מי"א ו' שהם למטה במקום האחדים הנשאר ה' ושימם כלם כי אין לך להשיב אחורנית שום מדרגה כי כבר שבנו לאחור כל מה שיכולנו הנה א"כ הנשאר אחר הגרעון הוא תתס"ה על זאת הצורה
4 3 2 1
3 4 5 6
  8 6 5
ואם תרצה לגרוע מספר יהיה בו ציפרא או למעלה או למטה תשיב אחור אם תצטרך ואם לאו מקומך אל תנח
  • Example: we wish to subtract 2304 from 5060.
\scriptstyle5060-2304
 דמיון זה נרצה לגרוע מן ה' אלפים וס' ב' אלפים וש"ד
הנה תתחיל מהאלפים ותגרע מן הה' העליונים הב' תחתונים הנשאר ג' והנה לא נשים בקו שלישי מאלו הג' כי אם ב' והא' נחזיק עמנו ונשיב זה הא' אצל הציפרא אשר היא למעלה במקום המאות וישוה י' כנזכר למעלה ונסיר מהם ג' שהם למטה מכוונים אצלם ר"ל במקום המאיות ג"כ הנשאר ז' ושים כל אלו הז' ולא תעכב עמך מאומה מצד כי המספר העליון ר"ל מדרגת העשרות אשר הם למעלה היא יותר גדולה מאותה השפלה שכנגדה ר"ל כי הו' שהם למעלה במקום העשרות הם יותר מהציפרא שהיא למטה במקום העשרות ג"כ ותסיר ציפרא מן ו' הנשאר ו' ולא נשים כל אלו הו' אלא נעכב א עמנו בעבור כי הד' שהם למטה במקום האחדים הם יותר גדולים מהציפרא שהיא למעלה במקו' האחדים ג"כ ותשים הה' ותשיב זה הא' אחורנית וישוה עשרה ותסיר מי' הד' שהם למטה במקום האחדים וישאר ו' ושים אותם בקו שלישי במקום האחדים הנה א"כ הנשאר הוא ב' אלפים ותשנ"ו וזאת היא צורתם
5 0 6 0
2 3 0 4
2 7 5 6

Subtraction of Coins

 ועתה נרצה לדבר על מגרעת הממון ממטבעים מתחלפים זה מזה
ונתחיל לגרוע מהמטבע היותר קטן כמו שעשינו במדרגת המספר שהיינו מתחילים הגרעון מן האחדים אח"כ נדבר על מגרעת הממון ונתחיל מן המטבע הגדול כמו שעשינו בדמיונות למעלה כשהתחלנו הגרעון מהמספר ר"ל מהמדרגה היותר עליונה
דמיון זה נרצה לגרוע מן רל"ג זהובים וג' טרי וד' גרות וה' דינרין סך קכ"ד זהובים וד' טרי וו' גרות וג' דינרין
ראוי להתחיל מן הדינרין שהיא המטבע היותר פחותה ותגרע מן הה' דינרין שלמעלה הג' מלמטה וישארו ב' ושים אותם בקו ג' אח"כ תגרע הגרות וד' מהד' שלמעלה הו' מלמטה ולא נוכל לכן נעשה נקדה למטה במקום הד' טרוני ואותה הנקדה שוה עשרים גרות למעלה במקום הגרות ונחבר אליהם הד' גרות שהם למעלה ויהיו כ"ד נסיר מהם ו' הנשאר י"ח ושים אותם בקו שלישי אצל הגרות אח"כ תגרע הטרוני ותגרע מהג' טריני מלמעלה הד' שלמטה ולא נוכל והנקדה שבה שהיא שוה א ועם הד' הם ה' ולא נוכל להסיר מן ג' ה' ונעשה נקדה למטה במקום אחדי הזהובים
ודע כי אותה הנקדה שוה ה' למעלה במקום הטריני מצד כי הה' טריני שוים זהוב א' ובמקומו אינו שוה כי אם א'
והנה נחבר אלו הה' אל הג' ויהיו ח' נסיר מהם ה' וישארו ג' ושים אלו הג' למטה במקום הטרי בקו שלישי אח"כ תגרע הזהובים ותגרע מן הג' שהם במקום האחדים למעלה הה' שהם במקום האחדים למטה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום העשרות וישוה עשרה ותחבר אליהם הג' ויהיו י"ג תחסר מהם ח' (ה') הנשאר ה' (ח') ותניחם למטה בקו שלישי במקום האחדים א"כ תגרע העשרות וזה מן הג' העליונים הג' התחתונים עם הנקודה שבה הסר ג' מג' הנשאר ציפרא ושים ציפרא בקו ג' אח"כ תגרע המאיות וזה מן ב' התחתונים (העליונים) א' העליון (התחתון) הנשאר א' הנה א"כ הנשאר אחר הגרעון הוא ק"ח מנינים ג' טרי י"ח גרות ב' דינרין כזאת הצורה
ducati tarini grani dinar
233
124
3
4
4
6
5
3
108
3
18
2
233 3  4 5
124 4  6 3
108 3 18 2
ואם תרצה לגרוע ממספר שיהיה בו זהובים וטארי וגרות ודינרין מספר שלא יהיה בו כי אם זהובים לבד
כאלו תאמר נרצה לגרוע מן רל"ד זהובים וג' טרי וב' גרות א דינר מספר קמ"ה זהובים בלי טרי וגרות ודינרין
הנה יש לך להתחיל מהמטבע היותר פחותה ותגרע מן הדינר אשר הוא למעלה הציפרא אשר היא למטה הנשאר א' נשים א בקו שלישי במקום הדינרין אח"כ תגרע הגרות וזה מן הב' גרות אשר הם למעלה הציפרא אשר היא למטה הנשאר ב' ושים אותם למטה בקו ג' אח"כ תגרע הטרי וזה מן הג' אשר למעלה הציפרא מלמטה הנשאר ג' ושים אותם למטה בקו שלישי אח"כ תגרע הזהובים וזה מן הד' אשר למעלה במקום האחדים תגרע הה' אשר למטה במקום האחדים ג"כ ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום העשרות ונצרף אותה אל הד' העליונים ויהיו י"ד נסיר מהם חמשה הנשאר ט' אח"כ נגרע מהג' אשר למעלה במקום העשרות החמשה השפלים ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום המאיות ונחבר אותה אל הג' העליונים ויהיו י"ג נחסר מהם ה' הנשאר ח' ושים אותם במקום העשרות אח"כ תגרע המאות שהם ב' מב' הנשאר מאומה ולכן שים ציפרא במקומם הנה א"כ נשאר עדין הוא פ"ט זהובים ג טרי ב גרות א דינר כמו זאת הצורה
ducati tarini grani dinar
234
145
3
0
2
0
1
0
89
3
2
1
234 3 2 1
145 0 0 0
89 3 2 1
ואם תרצה לגרוע תנ"ו זהובים בלי שום טרי ושום גרה ובלי שום דינר מספר שפ"ז זהובים ב' טרין ג' גרות ד' דינרין
הנה יש לך להתחיל מן הדינרין ותחסר מן הציפרא אשר למעלה הד' אשר אשר הם למטה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה אצל הג' גרות הנמצאי' לשם ואותה הנקדה ישוה למעלה במקום הדינרין ששה בעבור כי הו' דינרין הם גרה אחת שלימה ונחסר מו' ד' הנשאר ב' ושים אותם למטה בקו שלישי אצל הדינרין אח"כ תגרע הגרות ותגרע מן הציפרא אשר היא למעלה הד' אשר הם למטה עם הנקדה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה אצל הב' טרי וישוה אותה הנקדה למעלה במקום הגרות עשרים מצד כי עשרים גרה השקל ר"ל הטרי ונחסר מב' הד' מלמעלה הנשאר י"ו נשים אותם למטה אצל הגרות אח"כ תגרע הטרי וזה מציפרא נסיר שלשה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום אחדי הזהובים ואותה הנקדה שוה ה' מצד כי זהוב א' שוה ה' טרי ותסיר מה' ג' הנשאר ב' אח"כ תגרע הזהובים וזה מו' נסיר ח' ולא נוכל ולכן יש לך לעשות נקדה למטה [במ]קום עשרות וישוה עשרה ותחברם אל הו' ויהיו י"ו ותגרע מהם ח' הנשאר ח' נשים אותם במקום האחדים למטה בקו שלישי אח"כ תגרע העשרות וזה שתחסר מה' ט' ולא נוכל לכן יש לך לעשות נקדה למטה במקום ג' מאות וישוה עשרה ותחברם אל הה' ויהיו ט"ו ותחסר מהם ט' הנשאר ו' ושים אותם למטה במקום העשרות הנה א"כ הנשאר מהמגרעת הוא ס"ח מנינים ב' טרי י"ו גרות ב' דינרין וזאת היא צורתם
ducati tarini grani dinar
456
387
0
2
0
3
0
4
68
2
16
2
456 0  0 0
387 2  3 4
68 2 16 2
ואולם אם תרצה לגרוע באופן אחר ר"ל אם תרצה להתחיל הגרעון מן המטבע היותר קטן גדול ראוי לך לראות אם יש שום אות למטה באיזה מקום מאיזה מטבע שיהיה אם היא יותר גדולה מהאות המכוונת אשר למעלה באותו המטבע עצמו ראוי לך להשיב אחד אחורנית ולעשות כל מלאכה והמעשה עם אותו ששב לאחור ואם אינה יותר גדולה לא תצטרך לשוב לאחור
דמיון זה נרצה לגרוע מן רל"ד מנינים ד' טרין ה' גרות ד' דינרין מספר אשר הוא קכ"ג מנינים ב' טרי ד' גרות ג דינרין
הנה ראוי להתחיל מן מאיות המנינים שהוא המטבע היותר גדול וגרע מב' אשר הם למעלה במקום המאיות הא' אשר למטה במקום המאיות ג"כ הנשאר א' ושים אותו למטה במקום המאיות אח"כ תגרע עשרות מניני' וזה מג' אשר למעלה ב' שהם למטה הנשאר אחד ושים אותו למטה במקום העשרות אח"כ תגרע אחדי המנינים וזה מד' העליונים הד' (ג') תחתוני' הנשאר א' ושים אותו ג"כ למטה במקום (העשרות) האחדים הנה עשינו כל החשבון עם המנינים ועתה נגרע המטבעים האחדים ונגרע מן הד' טרי העליונים הב' טרי התחתונים הנשאר ב' ושים אותם למטה במקום הטרי אח"כ הגרות וזה מהה' העליונים גרע הד' התחתונים הנשאר א' ושים אותם למטה במקום הגרות אח"כ תגרע הדינרין והם למעלה ד' ולמטה ג' ותגרע ג' מד' הנשאר א ושים אותם למטה בקו שלישי במקום הדינרין ונשלם המעשה הנה א"כ הנשאר הוא קי"א מנינים ב' טרי א' גרה א דינר על זאת הצורה
ducati tarini grani dinar
234
123
4
2
5
4
4
3
111
2
1
1
234 4 5 4
123 2 4 3
111 2 1 1
ואם תרצה לגרוע מספר ויהיה האות התחתונה גדולה מהעליונה רצוני לומר אחד מן המטבעים תשיב א לאחור ויספיק לך כנזכר לעיל
דמיון זה נרצה לגרוע מן רמ"ו מנינים ג' טרי ב גרות א' דינר קנט מנינים ד' טרי ה' גרות ג דינרין
הנה יש לך להתחיל מן המאיות ממטבע המנינים ותגרע מן ב' אשר למעלה הא' אשר למטה הנשאר א אבל לא תשים בקו שלישי מאומה מצד כי נצטרך להשיבו אחורנית מפני האותיות התחתונות שהם יותר גדולות מהעליונות ונשים זה הא' לאחור אצל העשרות אשר הם למעלה שהם ד' ויהיו י"ד נסיר מהם ה' נשאר הנשאר ט' ולא נשים כל אלו הט' למטה בקו שלישי אלא נעכב א בידינו להשיבו לאחור והח' נשים למטה במדרגת העשרות אח"כ תגרע [.]אחדים מהמנינים ונגרע מהו' העליונים הט' התחתונים ולא נוכל ולכן נצרף עם הו' הא' אשר הוא בידינו ששוה עשרה ויהיו י"ו נסיר מהם ט' הנשאר ז' ולא נשים כל הז' למטה אלא נשים מהם ו' ונעכב א' בידינו ונשיבהו אחורנית אח"כ נסיר הטרי ונסיר מן הג' העליונים הד' התחתונים ולא נוכל לכן נשיב זה המגן אשר הוא בידינו אצל הג' טרי ויהיו ח' כי המגן ישוה ה' טרי ונסיר מהם ד' הנשאר ד' ולא נשים מאלו הד' כי אם ג' והא' נעכב להשיבו אחור מפני הגרות אח"כ נגרע הגרות וזה מב' ה' ולא נוכל לכן נשיב זה הטרי אצל הב' גרות ויהיו כ"ב יען כי הטרי הוא עשרים גרה ונסיר מהכ"ב ה' הנשאר י"ז ולא נשים כלם כי אם י"ו והא' נקים עמנו אח"כ נגרע הדינרין וזה מהא' אשר למעלה נגרע הג' השפלים ולא נוכל ולכן נשיב הגרה אשר עכבנו עמנו אצל הדינר ויהיו ז' עם אותו הדינר הא' מצד כי הגרה שוה ו' דינרין ונסיר מהם ג' הנשאר ד' הנה הנשאר עדין פ"ו מנינים ג' טרי י"ו גרות ד' דינרין כזו היא צורתם
ואם תרצה לגרוע מספר יהיה בו ציפראות תשוב לאחור אם תצטרך כמו שתראה בדמיון
ducati tarini grani dinar
246
159
3
4
2
5
1
3
86
3
16
4
246 3  2 1
159 4  5 3
86 3 16 4
דמיון זה נרצה לגרוע מן שמ"ז מנינים בלי טרי ד' גרות בלי שום דינר מספר ר"נ מנינים ד' טרי בלי שום גרה ד' דינרין
הנה יש לך להתחיל מן מדרגת המניני' מן האות האחרונה ר"ל להתחיל מן המאיות ולגרוע מן הג' אשר הם למעלה במקום המאות הב' אשר הם למטה במקום המאות ג"כ ישאר א' לזה תשים אותו הא' למטה בקו שלישי אלא שים בו גלגל ר"ל ציפרא כי יצטרך לנו זה הא' מאד מצד כי עשרות מנינים אשר הן למטה (ק') הן יותר גדולות מהעשרות העליונות אח"כ תגרע העשרות וזה מן הד' העליוני' [הה'] התחתונים ולא נוכל ולכן נקח אותו אשר עכבנו עמנו ונשיבהו [אל ה]ד' ויהיו י"ד נסיר מהם ה' הנשאר ט' והנה נשים כל אלו הט' למטה במקום העשרות כי אין לנו צורך ממנו מצד כי אחדי המנינים העליוני' הם ד' ואותו שלמטה אינו מאומה כי אם גלגל הוא שחוזר ונסיר מהז' ציפרא הנשאר ז' ולא נשים כל אלו הז' במקום אחדי המנינים כי יצטרך לנו לאחד מהם ולכן נניח למטה ו' והאחד נקיים אותו עמנו אח"כ נגרע הטרי וזה מהציפרא אשר היא למעלה הד' אשר הם למטה ולא נוכל ולכן נשיב אותו האחד אשר בידינו אצלו ויהיו ה' כי כבר ידעת כי המגן שוה ה' טרי ונסיר מהם ד' הנשאר א' ונשים אותו למטה במקום הטרי ולא נעכב אותו כי הוא מעלת הגרות משוויים כי לא תוכל לומ' כי כבר תמצא למעלה במקום הגרות ארבעה ולמטה תמצא גלגל אח"כ תגרע הגרות ותגרע מן הד' העליונים הגלגל אשר למטה הנשאר ד' ולכן לא תשים כל אלו הארבעה למטה במקום הגרות אלא תשים ג' והא' תקים עמך אח"כ תגרע הדינרי' והנה תמצא למעלה גלגל ולמטה תמצא ד' ולכן לא תוכל לגרוע מהגלגל ר"ל כן נצר[ף] אותה הגרה אשר נשארה בידך אל הגלגל העליון ויהיו ו' כי כבר ידעת כי הגרה ו' דינרין ותסיר מאלו הו' הד' אשר למטה הנשאר שנים ושי' אותם למטה במקום הדינרין הנה הנשאר א"כ הוא צ"ו מנינים א טרי ג' גרות ב' דינרין כמו שהוא מצוייר בכאן
ducati tarini grani dinar
347
250
0
4
4
0
0
4
96
1
3
2
347 0 4 0
250 4 0 4
96 1 3 2
ובכאן נשלם השער השני והתהלה לאל

Chapter Three: Discusses the Multiplication in all Possible Ways Found in Integers

 השער השלישי ידבר על הכפל בכל האופנים שאפשר להמצא בשלמי'
Know that the one who wants to multiply any number by another number has to put the greater number above and the smaller below. דע כי הרוצה לכפול שום מספר על מספר אחר יש לו לשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה
He should start to multiply from the units, i.e. he has to multiply the first digit below, which are the units, by the rank of the units above, then by the rank of the tens, then by the rank of the hundreds and so on until they are complete. ויש לו להתחיל מן האחדים לכפול ר"ל האות הראשנה אשר למטה שהם האחדים יש לו לכפול על מדרגת האחדים אשר למעלה אח"כ על מדרגת העשרו' ואח"כ על מדרגת המאות וכן תמיד עד תומם
After one have made all the products that should be done with the first digit, he should do the same with the second and with the third, if the number is that great; he then should sum each type, i.e. units with units, tens with tens, hundreds with hundreds; and the result is the required. ואחר שעשית כל ההכאו' הראויות לעשות עם האות הראשנה יעשה כן מהשניה וכן מהג' אם המספר כל כך גדול ואח"כ יחבר הכל מין עם מינו ר"ל אחדים עם אחדי' עשרות עם עשרות מאיות עם מאיות והעולה הוא המבוקש
ודע כי מיני הכפל הם רבים ואנו נעשה ההכפלה על ג' דרכים אם יסכים השם בחיים גם נדבר מעט על הכפל הרביעי הנקרא בלשונם אשקקי או קואדרו

Type one

 ונדבר בתחלה על הכפל הנהוג אצל רוב הסוחרים ואח"כ נדבר בדרכים האחרים
  • Example: we wish to multiply 23 by 2[4].
\scriptstyle23\times24
 דמיון זה נרצה לכפול כ"ג על כ"ג
הנה נשים הכ"ג למעלה והד' (כ"ד) למטה ואם תהפכם לא יזיק כי הכל הולך אל מקום אחד ודרך אחד לכלם
והנה בתחלה נכפול הד' אשר הם למעלה (למטה) עם הג' אשר הם למטה (למעלה) שהם במדרגת האחדים ונאמ' ד' פעמים ג' הם י"ב
והנה נשים הב' למטה בקו שלישי ונעכב העשרה
אח"כ נכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים עם הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח' ותחבר אליהם העשרה שיש לך מן האחדים ויהיו ט'
ושימם במקום העשרות אח"כ תוציא לחוץ האות הראשנה ר"ל שלא תעשה שום הכאה עוד עם הד' אשר הם למטה במקו' האחדים מאחר שהכינו אותה עם כל המדרגות העליונות
אח"כ תכה המדרגה השנית אשר למטה עם כל המדרגות אשר הם למעלה
ותכה אותה תחלה עם ג' ר"ל הב' אשר הם למטה במקום העשרות עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ו'
ושים אלו הו' בקו אחרת ונקראנו קו רביעי ושים אותם במקום העשרות
אח"כ תכפול הב' אשר הם למטה עם הב' אשר הם למעלה ותאמר ב' פעמים ב' הם ד'
ושים ד' אל המדרגה הבאה אחר העשרות ר"ל במקום המאיות אח"כ תחבר הכל ויהיה העולה תקנ"ב וזהו צורתם
  2 3
  2 4
5 5 2
ודע כי אם תרצה לכפול ג' מספרים על אחד יצטרך לעשו' ג' הכאות ולא יותר
ואם תרצה לכפול ג' אותיות על ב' אותיות אתה צריך לעשות ו' הכאות
ואם תכפול ג' אותיות על ג' אותיות תצטרך לעשות ט' הכאות
  • Example: we wish to multiply 234 by 24.
\scriptstyle234\times24
 דמיון נרצה לכפול רל"ד על כ"ד
הנה יש לך לכפול תחלה הד' אשר הם למטה במקום האחדי' עם הד' אשר הם ג"כ למעלה במקום האחדים ויהיו י"ו
ושים ו' במקום האחדים בקו שלישי והי' תקים עמך
עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם במקו' האחדים למטה על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויעלו י"ב ותחבר אליהם אותה העשרה שיש לך ויהיו י"ג
ושים ג' במקום העשרות בקו שלישי והעשרה תחזיק עמך
עוד תשוב ותכפול הד' התחתונים נגד הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ח' ותחבר אליהם העשרה ויהיו ט'
הנה כבר נשלם הכפל מהאות הראשנה אשר למטה
ועתה נשוב לכפול האות השניה אשר במדרגת העשרות עם כל האותיות העליונות
ונכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הד' אשר למעלה במדרגת האחדים ויהיו ח'
ושים אותם הח' בשטה רביעית נגד העשרות
אחר כן תכפול עוד הב' אשר הם למטה נגד הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ו'
ושים אותם בשטה רביעית במקום המאיות
אח"כ תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה עם הב' אשר הם למעלה במדרגת המאיות ויהיו ד'
ושים אותם הד' בשטה רביעית במקום האלפים
אח"כ תחבר כל אלו ההכאות ויהיה העולה ה' אלפים ותרי"ו על זאת הצורה
  2 3 4
    2 4
5 6 1 6
ואם תרצה לכפול ג' אותיות על ג' אותיות ראוי לעשות ככה
  • Example: we wish to multiply 222 by 333.
\scriptstyle222\times333
 דמיון זה נרצה לכפול רכ"ב על של"ג
הורידם בשתי שטות ותתחיל לכפול הב' אשר הם למטה במקום האחדים נגד הג' אשר הם למעלה במקום האחדים גם כן ויעלו ו'
ושים אותם בקו שלישי במקום האחדים
עוד תכפול אותם הב' ממש ר"ל אותם אשר הם למטה במדרגת האחדים נגד העשרות אשר הם למעלה ויהיו ו'
ושים אותם בקו שלישי במקום העשרות
עוד תכפול אותם הב' אשר (הם למטה) על הג' אשר למעלה במקום המאות ויהיו ו' ג"כ
ותקים אותם במקום המאות
והנה עשינו עם האות הראשנה התחתונה כל ההכאות
ועתה נרצה להכות האות השנית שהיא ב' במקום העשרות עם כל האותיות העליונות
ותכפול הב' בתחלה על הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ו'
ושים אותם בקו רביעי במקום העשרות
עוד תשוב ותכפול הב' אשר (הם למטה) על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויהיו ו'
ושים אותם בקו רביעי במקום המאיות
עוד שוב וכפול אותם הב' עצמם על הג' אשר למעלה במקום המאיות ויהיו ו'
ושים אותם בקו רביעי במקום האלפים
הנה עשינו כל הכפל וההכאה מהאות השניה אשר למטה עם כל האותיות העליונות
אח"כ שוב והכה המדרגה הג' ר"ל האות הג' אשר למטה עם כל האותיות העליונות
ותכה תחלה הב' אשר למטה עם הג' אשר למעלה במקום האחדים ויהיו ו'
ושים אותם בקו חמישי במקום המאיות אח"כ תשוב ותכפול הב' על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויהיו ו'
ושים אותם בקו חמישי במקום האלפים
אח"כ תשוב ותכפול הב' אשר למטה על הג' אשר למעלה במקום המאיות ויהיו ו'
ושים אותם בקו חמישי במקום עשרת אלפים
והנה נשלמו כל הט' הכאות אח"כ תחבר כל אלו ההכאות מין עם מינו ויהיה העולה ע"ג אלפים ותתקכ"ו על זאת הצורה
    3 3 3
    2 2 2
7 3 9 2 6
ואם תרצה לכפול איזה דבר שיהיה על האחר ויהיה באחד משניהם ציפרא ראוי למנות הציפרא ולעשות ההכאה עמה כאלו היתה אות באיזה מקום שתמצאנו או למעלה או למטה
  • Example: we wish to multiply 230 by 324.
\scriptstyle230\times324
 דמיון זה נרצה לכפול מספר ר"ל על מספר שכ"ד
הנה יש לך לכפול בתחלה הד' אשר הם למטה במדרגת האחדים על הציפרא אשר למעלה במדרגת האחדים ג"כ ותאמר ד' פעמים ציפרא היא ציפרא
ולכן תשים ציפרא במקום האחדים
אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' מלמטה על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויעלה י"ב
ותשים ב' במקום העשרות ותעכב העשרה עמך
אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' נגד הב' אשר למעלה במקו' המאיות ויעלה ח' ותחבר אליהם אותה העשרה שהיה לך כבר ויעלה ט'
ושים אותם הט' במדרגת המאות בקו שלישי אח"כ תחבר הב' אשר הם למטה במקום העשרות כי כבר השלמנו הכפל מהאות הראשנה התחתונה עם כל האותיות העליונות
ותכפול אותם הב' על הציפרא אשר היא למעלה במקו' האחדים ויעלה בידך ציפרא
ולכן תשים ציפרא בקו רביעי במקום העשרות
אח"כ תכפול אותם הב' ג"כ השפלים נגד הו' (הג') אשר הם למעלה במקום העשרות ויעלו ו'
ושים אותם נגד המאות בקו רביעי
אח"כ תשוב ותכפול אותם הב' ג"כ העליונים על הב' אשר הם במקום המאות ויעלו ד'
ושים אותם בקו ד' במקום האלפים
והנה נשלם הכפל מהאות הב' שלמטה
אח"כ תכפול האות הג' שלמטה עם כל האותיות העליונות
ותכפול אותה עם הציפרא תחלה ויעלה ציפרא
ולכן שים ציפרא בקו ה' במקום המאות
עוד תכפול הג' ג"כ שלמטה נגד הג' אשר הם למעלה במדרגה הב' ויהיו ט'
ושים אלו הט' במדרגת האלפים בקו ה'
אח"כ תכפול הג' פעם ג' על הב' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו ו'
ושים אותם במקום עשרת אלפים בקו ה'
ונשלם הכפל מכל הג' אותיות אח"כ תחבר הכל זה על זה ויהיה סך העולה ע"ד אלפים תק"כ וזאת צורתם
    2 3 0
    3 2 4
7 4 5 2 0
ואם תרצה לכפול ב' סכומות ויהיה בכל אחד מהם ציפרא יש לך לכפול הציפרא על כל האותיות אשר תמצא ותחבר הכל מין עם מינו והעולה הוא המבוקש
  • Example: we wish to multiply 240 by 368.
\scriptstyle240\times368
 דמיון נרצה לכפול ר"ם על שס"ח
הנה תכפול תחלה הח' אשר הם למטה על הציפרא אשר היא למעלה במקום האחדים ויעלה לך ציפרא
עוד תשוב ותכפול הח' התחתונים שהם במדרגת האחדים על הד' אשר במדרגת העשרות ויהיו ל"ב
ותשים הב' במקום העשרות ותקיים בידך הל'
אח"כ תכפול הח' על הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו י"ו ותחבר אליהם הג' ויהיו י"ט
ושים אותם בקו ג'
הנה עשינו כל ההכאות עם הח' אשר הם למטה במקום האחדים
אח"כ תכפול העשרות העומדות למטה שהם ו'
ותכפול אותם בתחלה על הציפרא העומדת למעלה ויעלה בידך ציפרא
ושים ציפרא בקו רביעי במקום העשרות
אח"כ תכפול העשרות ג"כ התחתונות על המ' אשר למעלה ויעלה בידך כ"ד
והנה תשים הד' במקום המאות והב' תעכב עמך
אח"כ תכפול הו' אשר למטה על הב' אשר הם למעלה ויעלה י"ב תחבר אליהם הב' ויהיו י"ד
אח"כ נכפול המאיות אשר הם למטה על כל האותיות שהם למעלה
והנה נכפול בתחלה על הציפרא אשר היא למעלה במקום האחדים ויהיה ציפרא
אח"כ נכפול אותו על הד' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו י"ב
ושים הב' במקום האלפים
אח"כ תכפול אותם על המאות אשר למעלה ויעלו ו' ותחבר אליהם האחד והיו ז'
הנה א"כ היוצא מכפל זה על זה הוא פ"ח אלפים וש"כ על זאת הצורה
    2 4 0
    3 6 8
8 8 3 2 0
ואם תרצה לכפול איזה מספר יהיה בו ב' ציפרי או יותר יש לך לחשוב כל א' מאלו כאלו היה מספר ועשות ההכאה עם כל א' וא'
  • Example: we wish to multiply 403 by 230.
\scriptstyle403\times230
 דמיון נרצה לכפול מספר ת"ג על מספר ר"ל
הנה יש לך לכפול בתחלה הציפרא אשר למטה במדרגת האחדים על הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיה העולה ציפרא
ושים אותם למטה במדרגת האחדים בקו ג'
עוד תכפול הציפרא על הציפרא אשר היא למעלה ויהיה העולה ציפרא
ושים אותה בקו ג' במדרגת העשרות
עוד כפול הציפרא על הד' העליונים אשר הם במקום המאיות ויעלה בידך ציפרא
ושים ציפרא בקו ג' במדרגת המאות
והנה כבר עשינו כל ההכאות מהציפרא אשר היא בשטה התחתונה עם כל המדרגות העליונות
אח"כ נכה הג' אשר למטה במדרגת העשרות עם כל המדרגות העליונות
ונכה אותה תחלה עם הג' אשר היא למעלה במדרגת האחדים ויהיה העולה תשעה
ושים אותם בקו רביעי במדרגת העשרות
עוד תכה אותם הג' של מטה עם הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרו' ויהיה היוצא ציפרא
ושים אותה במדרגת המאות
עוד תשוב ותכפול אותם הג' של מטה על הד' העליונים אשר הם במקום המאיות ויעלה י"ב
ושים הי' במדרגת העשרות אלפים והב' במקום אחדי האלפים
והנה השלמנו ההכאה מהג' אשר הם למטה במקום העשרות עם כל המדרגות העליונות
ועתה נכה הב' אשר הם למטה במקום המאיות עם כל המדרגות העליונות
ונכה תחלה הב' עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויעלו ו'
נשים אותם בקו הה' במקום המאיות
אח"כ תכה הב' נגד הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרות ויעלה בידך ציפרא
ושים אותה הציפרא במ[דרגת ה]אלפים
אח"כ תכה הב' פעם ג' עם הד' אשר הם למעלה במקום המ[או]ת [ויעלה] ח'
ושים אלו הח' למטה בקו ה' במקום עשרת אלפים
והנה השלמנו כל הט' הכאות ואח"כ נחבר הכל ויהיה העולה צ"ב אלפים ותר"צ וזאת היא צורתם
    4 0 3
    2 3 0
9 2 6 9 0
ואם תכפול ד' אותיות על ד' אותיות ראוי לעשות י"ו הכאות
וה' על ה' ראוי לעשות כ"ה וכן עד אין קץ ואין צורך להאריך

Type two

 ועתה נרצה לדבר על הכפל הנקרא בלשונם קרוציטא
והנה נעשה ככה כי נצטרך להניח המספר הגדול למעלה והקטן למטה האמנם אם תעשה ההפך לא יזיק אך להקל ההכאות מוטב להניח הגדול למעלה והקטן למטה ותתחיל להכות מהאות הראשנה של מטה עם האות הראשנה של מעלה ומה שיעדיף על העשרות שים בקו ג' ותעכב העשרות עוד תשוב ותכפול האחדים של מטה עם העשרות שלמעלה ותחבר על העולה העשרות שיש לך מן האחדים ומה שיעלה על העשרות ר"ל מהסך שיש לך עתה אל תשים מאומה אלא תשוב לחבר העשרות של מטה עם האחדים שלמעלה ותחבר העולה על מה שיש לך מן העשרות ומה שישאר על העשרות תשים במקום העשרות ותעכב העשרות בידך אח"כ תשוב לכפול העשרות של מטה עם העשרות של מעלה ותחבר על העולה סך העשרות שיש לך ויצא לך המבוקש
  • Example: we wish to multiply 24 by 25.
\scriptstyle24\times25
 דמיון זה נרצה לכפול כ"ד על כ"ה
[Illustration of the procedure:]
25 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times5\right)}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{0}}} 25 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times2\right)}}+{\color{green}{2}}={\color{red}{8+2}}={\color{green}{10}}} 25 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\times5\right)}}+{\color{green}{10}}={\color{red}{10+10}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{0}}} 25 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\times2\right)}}+{\color{green}{2}}={\color{red}{4+2}}={\color{blue}{6}}}  25
24 24 24 24  24
 0  0 00 600
תשימם בב' שטות
ותתחיל לכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים עם הה' אשר הם למעלה במקום האחדים ג"כ ויהיו עשרים
ותשים ציפרא במקום האחדים כי לא נשאר לך על העשרות מאומה
עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים נגד הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח' ותחבר אליהם ב' עשרות שיש לך ויהיו י'
ואל תניח מאומה
אלא שוב וכפול הב' אשר הם למטה במקום העשרות נגד הה' אשר הם למעלה במקום האחדים ויעלו עשרה ותחבר אליהם הי' אחדים ויהיו כ'
והנה בעבור כי לא נשאר לך מאומה על העשרות לכן נשים גלגל למטה במקום העשרות ונעכב אותם הב'
עוד נשוב לכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות על הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד' ותחבר אליהם אותם הב' שיש לך ויהיו ו'
ושים אותם במקום המאות ויהיה א"כ היוצא ו' מאות כמו זאת הצורה
  2 5
  2 4
6 0 0
ואם תרצה לכפול ג' מספרים על ג' מספרים תצטרך לעשות ט' הכאות על זה האופן
  • Example: we wish to multiply 123 by 456.
\scriptstyle123\times456
 דמיון זה נרצה לכפול קכ"ג על תנ"ו
[Illustration of the procedure:]
123 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times3\right)}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{8}}} 123 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times2\right)}}+{\color{green}{1}}+{\color{Orange}{\left(5\times3\right)}}={\color{red}{12+1+15=13+15}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{8}}} 123
456 456 456
  8  88
הנה נכפול בתחלה הו' אשר למטה במדרגת האחדים על הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיו י"ח
נשים ח' למטה בקו שלישי והאחד תקים עמך
אח"כ תכפול עוד הו' אשר למטה במקום האחדים נגד הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו י"ב ותחבר אליהם האחד ויהיו י"ג ולא תשים מאומה
עוד תכפול הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים עם הה' אשר למטה במדרגת העשרות ויהיו ט"ו ותחבר אליהם הי"ג ויהיו כ"ח
ושים הח' למטה במקום העשרות ותעכב הב'
123 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{Brown}{\left(6\times1\right)}}+{\color{green}{2}}+{\color{red}{\left(5\times2\right)}}+{\color{Orange}{\left(4\times3\right)}}={\color{red}{6+2+10+12=8+10+12=18+12}}={\color{green}{3}}{\color{blue}{0}}} 123
456 456
 88 088
עוד תשוב ותכפול הו' אשר הם למטה במקום האחדים על האחד אשר הוא למעלה במקום המאות ויהיו ו' ותחבר אליהם הב' שעכבנו בידינו ויהיו ח'
עוד תשוב לכפול הה' אשר למטה במדרגת העשרות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ג"כ ויהיו עשרה ותחבר אליהם הח' ויהיו י"ח
עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום המאות עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו י"ב ותחבר אותם אל הי"ח ויהיו ל'
אח"כ תשים ציפרא למטה במקום ה' המאות
123 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{Orange}{\left(4\times2\right)}}+{\color{green}{3}}+{\color{red}{\left(5\times1\right)}}={\color{red}{8+3+5=11+5}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}}  123 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times1\right)}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{4+1}}={\color{blue}{5}}}   123
456  456   456
088 6088 56088
עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום המאות עם הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח' ותחבר אליהם הל' ששוים ג' ויהיו י"א
עוד תשוב לכפול הה' אשר הם למטה במקום העשרות עם הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ויהיו ה' ותחבר אל הי"א ויהיו י"ו
ושים ו' במקו' האלפי'
אח"כ תכפול הד' אשר הם למטה במקום המאיות על הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ג"כ ויהיו ד' ותחבר אליהם האחד שיש לך ויהיו ה'
ושים אותם במקום עשרת אלפים
ויהיה העולה א"כ נ"ו אלפים ופ"ח כמו זאת הצורה
    1 2 3
    4 5 6
5 6 0 8 8
ואם תרצה לכפול איזה מספר יהיה בו ציפרא יצטרך ג"כ לעשות ההכאה מהציפרא עם כל האותיות אע"פ שלא יצא לעולם כי אם ציפרא
  • Example: we wish to multiply 246 by 140.
\scriptstyle246\times140
 דמיון זה נרצה לכפול רמ"ו על ק"מ
[Illustration of the procedure:]
246 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(0\times6\right)}}={\color{blue}{0}}} 246 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(0\times4\right)}}+{\color{Orange}{\left(4\times6\right)}}={\color{red}{0+24}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{4}}} 246
140 140 140
  0  40
246 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{Brown}{\left(0\times2\right)}}+{\color{green}{2}}+{\color{red}{\left(4\times4\right)}}+{\color{Orange}{\left(1\times6\right)}}={\color{red}{0+2+16+6=2+16+6=18+6}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{4}}} 246
140 140
 40 440
246 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{Orange}{\left(1\times4\right)}}+{\color{green}{2}}+{\color{red}{\left(4\times2\right)}}={\color{red}{4+2+8=6+8}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{4}}}  246 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(1\times2\right)}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{2+1}}={\color{blue}{3}}}   246
140  140   140
440 4440 34440
הנה תכפול תחלה הציפרא אשר היא למעלה (למטה) במקום האחדים על הו' אשר הם למעלה במקום האחדים והנם ציפרא
ושים ציפרא במקום האחדים
אח"כ תכפול הציפרא ג"כ על הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ציפרא
עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם למטה במקום העשרות על הו' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו כ"ד
ושים הד' למטה במקום העשרות והב' תעכב עמך
עוד תשוב ותכפול הציפרא על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ציפרא ועם ב' שיש לך ויהיו ב'
עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הד' אשר הם למעלה ג"כ במדרגת העשרות ויהיו י"ו ועם הב' יהיו י"ח
עוד תשוב ותכפול האחד אשר הוא למטה במדרגת המאות נגד הו' אשר הם למעלה במדרגת האלפים ויהיו ו' ועם הי"ח יהיו כ"ד
ושים הד' במקום המאיות וקיים עמך הב'
עוד תשוב ותכפול האחד אשר הוא למטה במדרגת המאות נגד הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ד' תחבר אליהם ב' ויהיו ו'
עוד תשוב לכפול הב' אשר הם לעיל במדרגת המאות עם הד' השפלים אשר במדרגת העשרות ויהיו ח' ועם הו' והנם י"ד
ושים הד' למטה במדרגת האלפים והאחד תקים עמך
עוד תכפול האחד אשר למטה במדרגת המאיות על הב' אשר למעלה במדרגת המאיות ג"כ ויהיו ב' תחבר אליהם הא' ויהיו ג'
ושים אותם במקום עשרת אלפים
ויהיה א"כ היוצא ל"ד אלפים ות"מ על זאת הצורה
    2 4 6
    1 4 0
3 4 4 4 0
וזה יספיק לך בידיעת זה הכפל אם תקיש על זה

Type three

 ואולם המין הג' מהכפל
הוא בהפך אלו השנים כי בב' אשר עברו היינו מתחילים ההכאו' מן האחדים ואח"כ העשרות ואח"כ המאות וכן תמיד היינו עולים למעלה מעלה ובזה ראוי לעשות ההפך כונתי לרדת מטה מטה ר"ל שתתחיל ההכאה מהמאיות או מהאלפים אם הוא כל כך גדול ואח"כ תבא אל העשרות וכן עד שתגיע אל האחדים
ונניח לזה דמיונות למען תהיה בקי בכל ההכפלות בכל האופנים שאפשר להמצא
  • Example: we wish to multiply 23 by 17.
\scriptstyle23\times17
 דמיון זה נרצה לכפול כ"ג על י"ז
הנה נכפול בתחלה הא' אשר למטה במקום העשרות על הב' אשר למעלה במקום העשרות ג"כ ויהיו ב' ודע כי אלו הב' היוצאים הם מאות והכלל על זה כי עשרות על עשרות הם מאות ומאות על מאות הם עשרות אלפים ו(עשרות) אלפים על מאות הם מאות אלפים הנה א"כ אלו הב' שיצאו לנו הם ב' מאות ונניחם בשטה אחת למטה תחת ב' שטות מהכפל במקום הראוי ר"ל במקום המאיות
אח"כ נכפול האחד העומד למטה במקום העשרות על השלשה אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ג' והם עשרות כי אחדים על עשרות הם עשרות וא"כ יהיו ג' עשרות
אח"כ תכפול השבעה אשר הם למטה במקום האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו י"ד ויהיו עשרות ותחבר אליהם הג' עשרות שהם י"ד ויהיו י"ז עשרות שהם מאה ושבעים ותשימם במקום
אחר כן תחבר (תכפול) האחדים עם האחדים והם ז' עם ג' ויהיו כ"א
אח"כ חבר הכל מין עם מינו ויהיה העולה ג' מאות וצ"א על זאת הצורה
  2 3
  1 7
2 0 0
1 4 0
  3 0
  2 1
3 9 1
ואם תרצה לכפול ג' מדרגות על ג' מדרגות תצטרך לעשות ט' שורות
  • Example: we wish to multiply 242 by 144.
\scriptstyle242\times144
 דמיון זה נרצה לכפול רמ"ב על קמ"ד
והנה נכפול בתחלה הא' אשר היא למטה במדרגת המאות על הב' אשר היא למעלה במדרגת המאות ויהיו ב' וכבר אמרנו כי מאיות על מאיות הם עשרות אלפים ונניחם במקום אחד
עוד נכפול הא' אשר היא למטה במדרגת המאות נגד הד' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד' ושים אותם במקום האלפים כי כן אמרנו כי מאיות על מאיות (עשרות) הם אלפים
עוד נשוב ונכפול הא' מלמטה אשר במדרגת המאות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ויהיו שנים ושים אותם במקום המאות הנה כבר עשינו כל ההכאות מהמאות שלמטה עם כל המדרגות של מעלה
אח"כ נכפול הד' שהם עשרות העומדות למטה על הב' אשר היא למעלה במקום המאיות ויהיו שמונה והם אלפים ותניחם במקום האלפים
אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' עוד עם הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו אלף ות"ר ותניחם במקומם
עוד תשוב וכפול אותם הד' פעם שלישית עם הב' אשר למעלה במקום האחדים עם הב' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו שמונה ושים אותם במקום המאות
עו' תכפול אותם הד' פעם שנית עם הד' העומדים למעלה במקום העשרות ויהיו י"ו שהם ק"ס ותניחם במקומם
עוד תשוב ותכפול הד' פעם ג' על הב' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ח' ושימם במקום האחדים ותחברם כלם ויהיו ל"ד אלפים תתמח על זאת הצורה
    2 4 2
    1 4 4
2 0 0 0 0
  4 0 0 0
    2 0 0
  8 0 0 0
  1 6 0 0
      8 0
    8 0 0
    1 6 0
        8
3 4 8 4 8
ואם תרצה לכפול איזה מספר יהיה בם ציפרא צריך שתמנה הציפרא כמו האותיות האחרות ותעשה ההכאה עם הציפרא אע"פ שלא יצא לעולם מן המחובר כי אם ציפרא
  • Example: we wish to multiply 240 by 170.
\scriptstyle240\times170
 דמיון זה נרצה לכפול ר"ם על ק"ע
הנה תכפול תחלה הא' אשר הוא למטה במקום המאיות על הב' אשר הם למעלה במקו' המאות ג"כ ויהיו ב' ושים אותם במקו' עשרות האלפים כמו שביארנו
עוד תכפול פעם שנית הא' אשר הוא למטה נגד הד' אשר הם למעלה במקו' העשרו' ויהיו ד' אלפים
עוד תכפול פעם ג' הא' אשר למטה על הציפרא אשר למעלה במקו' האחדים
אח"כ תכפול הז' אשר למטה במדרגת העשרות על הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו י"ד אלפים
עוד תכפול פעם ב' אותם הז' על הד' אשר למעלה במדרגת העשרות ויהיו ב' אלפים וח' מאות
עו' כפול הז' פעם ג' נגד הציפרא אשר למעלה ולא יעלה בידך מאומה ומהציפרא הבאה ר"ל הציפרא אשר היא למטה במקום האחדים אין צורך לעשות עמה שום הכאה
הנה א"כ היוצא הוא מ' אלפים וח' מאות על זאת הצורה
    2 4 0
    1 7 0
2 0 0 0 0
  4 0 0 0
1 4 0 0 0
  2 8 0 0
4 0 8 0 0

Type four

 ואולם המין הד' מהכפל
הוא הפך הכפל אשר כתבנו בתחלה והוא כי יש לנו להתחיל מן האלפים או יותר מכן אם הוא כל כך גדול עד אשר תגיע לאחדים ראוי לך לשוב אחורנית
  • Example: we wish to multiply 122 by 232.
\scriptstyle122\times232
 דמיון זה נרצה לכפול קכ"ב על רל"ב
הורידם בב' שטות אח"כ תתחיל לכפול מן המאיות ותכפול הא' אשר היא למטה במקום המאיות על ב' אשר היא למעלה במקום המאיות ג"כ ויהיו ב' ולא תשים מאומה אלא תחזיקם ואם תרצה לשים אותם לא תכתוב שום ציפרא כמו שיהיה ראוי לכתוב כי מאה על ב' מאות הוא עשרים אלף ולא תוכל לכתוב עשרים אלף בזולת הציפראות המצטרכות אבל בכאן אין ראוי לכתוב מפני כי עדין לא עשית כל ההכאות מהאותיות העליונות עם זה האחד אשר התחלת עמה לעשות הכאתו אבל כשתסיים כל ההכאות מהאותיות של מעלה עם זה האחד יש לך לראות המרחק אשר יש מזה האחד עד האות הראשנה של מטה ר"ל כי זה הא' הוא למטה במדרגת המאיות והנה עד המדרגה הראשנה שהיא מדרגת האחדים יצטרך עדין ב' מדרגות ולכן ראוי שתשים ב' ציפראות אחר שסיימת הכאת זאת המדרגה מה' מהמאיות אשר היא למטה עם כל המדרגות העליונות ושמור זה הסוד מאד כי זה יישירך שלא תטעה בשום צד שבעולם ונחזור לראשנות והנה נכפול הא' אשר היא למטה במדרגת המאות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו שנים ושימם לבדם בלי שום ציפרא אלא שימם כאלו הם אחדים בידך עוד כפול אותו הא' אשר הוא למטה במדרגת המאות עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ג' וכתוב אותם אצל הב' שכבר כתבת אחורנית אח"כ כפול זה הא' פעם ג' עם הב' אשר הם למעלה במקום האחדים וכתוב אותם אחורנית אצל הג' כמו שעשית ג"כ מהג' והנה עתה השלמת הכאת המאות אשר למטה עם כל האותיות העליונות ולכן תכתוב ב' ציפרי אחורנית אצל היוצא מההכאה שעשית עם המאיות
אח"כ תכפול העשרות של מטה שהם ב' על הב' אשר הם למעלה ויהיו ד' עוד תכפול פעם שנית העשרות מלמעלה (מלמטה) עם הג' של מעלה שהם במקום העשרות ויהיו ו' וכתוב אלו הו' אחורנית אצל הד' עוד תכתוב פעם ג' העשרות של מטה עם הב' של מעלה שהם במקום האחדים ויהיו ד' וכתוב אותם אצל הו' אחורנית ודע כי זה הכפל שעשית עתה היה מהעשרות של מטה עם כל האותיות העליונות ולכן יש לך לראות כמה ציפרי יצטרך מא' עד י' ותמצא א' על כן תכתוב ציפרא אחורנית אצל היוצא מההכאה מהעשרות השפלות ר"ל מהשטה התחתונה
עוד תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה במקו' האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ד' וכתוב אותם
אח"כ שוב וכפול אלו הב' פעם ב' על הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ו' וכתוב אותם אחורנית אצל הד' שכבר כתבת עוד שוב פעם ג' אלו הב' על ב' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ד'
אח"כ תצרף הכל מין עם מינו ויעלה הכל כ"ח אלפים וג' מאות וד' וזאת היא צורתם
    2 3 2
    1 2 2
2 3 2 0 0
  4 6 4 0
    4 6 4
2 8 3 0 4
ואם תרצה לכפול מספר יהיה בו ציפרא תעשה על אופן שעשינו
  • Example: we wish to multiply 470 by 580.
\scriptstyle470\times580
 דמיון זה נרצה לכפול ת"ע על תק"פ
הנה נכפול בתחלה הג' (הה') אשר הם למטה במקום המאיות על הד' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו עשרים ושים אותם הכ' ר"ל שנים עם ציפרא אחת ויהיו כ'
אח"כ תכפול הה' שלמטה פעם שנית עם הז' אשר הם למעלה ויהיו ל"ה ושים ל' על הציפרא אשר כתבת עם העשרים ושים תחת הציפרא ג' שהם ל' והה' הבאים תכתוב לאחור והנה נצטרך לעשות על זה ג' ציפרי ב' בעד המספר התחתון וא' שעומדת למעלה במקום האחדים
עוד נכפול הח' אשר הם למטה במקום העשרות אצל הד' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ל"ב ושים ל"ב בקו אחד תחת הל"ה אשר למעלה
עוד תכפול ח' על ז' שהם למעלה במדרגת העשרות ויהיו נ"ו ותכתוב הנ' תחת הב' מהל"ב והו' תכתוב אחורנית אח"כ תחברם ויהיו רע"ב אלפים ות"ר וזאת צורתם
      4 7 0
      5 8 0
2 0 0 0 0 0
  3 5 0 0 0
  3 2 0 0 0
    5 6 0 0
2 7 2 6 0 0

Type five

 ואולם המין הה' מהכפל הוא אשר כתבנו הנקרא בלשונם קרוציטא
ונעשה אותו בזה האופן והוא שנחזיק לעולם המספר ממה שיעלה מהאות הראשנה עד שנראה מה יצא מהשניה כדי שלא נצטרך למחוק אותה האות ולרשום אחרת תעמוד תחתיה וזה תבין בבירור בלי שום ספק אחר שנעיין בעין פתוחה בדמיונות
  • Example: we wish to multiply 27 by 32.
\scriptstyle27\times32
 דמיון זה נרצה לכפול כ"ז על ל"ב
הנה נכפול תחלה הג' אשר במדרגה השנית על הב' אשר הם למעלה ב' במדרגה השנית ג"כ ר"ל במדרגת העשרות ויעשה בידך י' (ו') ולא נניח אותם כמו שקדם שמא יעלה לנו משאר ההכאות שאנו עתידין להכות עם שאר האותיות
עוד נכפול אותם הג' על הז' אשר הם לעיל במדרגת האחדים ויהיו כ"א
עוד נכפול הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים עם הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד'
נחברם אל הכ"א ויהיו כ"ה ונעשה מהכ' ב' עשרות ב' שלמים ר"ל שאותם הכ' שהם ב' עשרות ישוו ב' מאות ונחבר אלו הב' אצל הו' ויהיו ח' ותניח ח' במקום המאות וישארו בידך ה'
עוד תכפול הב' אשר הם למטה על הז' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ויהיו י"ד ונעשה מהעשרה אחד ונחבר זה הא' אצל הה' שיש לנו ויהיו ו' נשים אותם אצל העשרות והד' הנשארים תשיבם אחורנית אצל הנשארים ויהיו ד' הנה א"כ היוצא הוא תתס"ד על זאת הצורה
  2 7
  3 2
8 6 4
  • Another example: we wish to multiply 231 by 342.
\scriptstyle231\times342
 דמיון אחר נרצה לכפול רל"א על שמ"ב
והנה נתחיל לכפול הג' אשר הם למטה במקום המאיות על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ו' ולא תניחם
אח"כ נשוב לכפול הג' אשר הם למטה במקום המאיות על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ה' ט' ושמור אותם
עוד כפול הב' אשר הם למעלה במקום המאיות על הד' אשר הם למטה במקו' העשרות ויהיו ח'
ותחברם אל הט' ויהיו י"ז ותעשה מהעשרה אחד ותחבר זה הא' עם הו' שהיו לנו ושים אותם למטה בקו שלישי והז' יהיו לאחדים בידך
אח"כ תשוב לכפול הג' אשר הם למטה במדרגת המאיות אצל הא' אשר היא למעלה במדרגת האחדים ויהיו ג' ושמור אותם
עוד שוב וכפול הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות אצל הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים ויהיו ד' ותחברם אל הג' השמורים ויהיו ז'
עוד כפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו י"ב
ותחברם אל הז' השמורים ויהיו י"ט תעשה מהי' אחד ושים זה האחד עם הז' השמורים הראשנים ויהיו ח' ושים אלו הח' אצל הז' אשר הם בקו ג' ונשארו בידך עדין ט'
אח"כ תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הא' אשר הוא למעלה במדרגת האחדים ויהיו ד'
עו' תכפול הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות אצל הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים ויהיו ו' ושים אותם על הד' ויהיו י' ותעשה מהם א' ותחבר זה הא' עם הט' ויהיו י' ואלו הי' ישוו ג"כ א' אצל הח' המונחים בקו ג' ויהיו עתה ח' תחת הט' ותעשה ב' ציפרי א' מצד כי עלה בידך י' מצומצמים מהמספר האחרון והשניה כי היו בידך ט' ובא זה והשלים המנין באופן שהיו עשרה כי אין מנין פחות מעשרה אח"כ תכפול הב' אשר הם למטה אצל האחדים עם הא' אשר הוא למעלה ויהיו ב' הנה א"כ העולה הוא ע"ח (ע"ט) אלפים וב' על זאת הצורה
    2 3 1
    3 4 2
7 9 0 0 2
ואם יצטרך לך לע[שו]ת הכפל עם ציפרי תעשה כנז' בכמה מקומות מזה החבור ולא תחטיא אם תקיש זה לזה

Type six: Gelosia

 ואולם המין הו' מהכפל
הוא הפך הכפל הג' אשר כתבנו בכאן כי הכפל הג' צריך להתחיל ההכאות מן המדרגה היותר גדולה ר"ל מן האלפים אם המספר הוא כל כך גדול וזה צריך לעשות הכפל ולהתחיל מן המספר היותר קטן להתחיל מן האחדים ואל תחשוב כי זה הכפל הוא כמו הכפל הראשון כי הפרש בין זה לזה וזה הכפל נקרא בלשונם מולטיפליקארי פיראושקאקי
ודע כי צריך לעשות מרובע אחד כפי האותיות שתרצה לכפול ר"ל שאם תרצה לכפול ב' אותיות על ב' אותיות תצטרך לעשות ג' קוים באורך וג' ברוחב וג' באלכסון הא' והג' קצרות והאמצעית ארוכה וצריך שתשים היוצא בין הקוים ואחר כן תחבר הכל מין עם מינו ודע כי בזה המרובע תמצא כמו בתים
ודע כי אם תמצא בבית הראשון ציפרא זה יורה כי אין במדרגת האחדים דבר כי אם ציפרא וכן תעשה מהבתים האחרים ותחבר הבתים המכוונים זה מזה והשמר לך ושמור נפשך שלא תטעה בחבור ר"ל שתחבר הבית הב' עם הב' והג' עם הג' והד' עם הד' וכן תמיד
  • Example: we wish to multiply 25 by 25.
\scriptstyle25\times25
 דמיון זה נרצה לכפול כ"ה על כ"ה
הנה בתחלה תצטרך לעשות מרובע מג' קוים באורך וג' ברוחב וג' באלכסון מצד כי המדרגות אינם כי אם ב' כמו זאת הצורה
Astruk - Gelosia - I.png
ותתחיל לכפול בתחלה הה' אשר למטה במדרגת האחדים על הה' אשר למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיו כ"ה ושים הה' בבית הראשון והב' עשרות תעכב עמך אח"כ תכפול הה' אשר למטה פעם שניה על הב' למעלה במדרגה הב' ויהיו י' ותחבר אליהם הב' ויהיו י"ב ושים הב' בבית השני והאחד בבית הג' עוד תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הה' אשר הם למעלה במדרגת האחדי' ויהיו י'
ודע כי כל אלו האותיות אשר שמנו עד עתה היו בבתים העליונים ר"ל באותם הבתים אשר בין הקו הא' והב' שהולכים ברוחב אבל מה שיצא עתה נשים בבתים אשר בין הקו הב' והג' והנה נשים זה הגלגל בבית הב'
אח"כ נשוב ונכפול הב' אשר הם למטה במקום העשרות על הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ג"כ ויהיו ד' ונחבר אליהם זה הא' שעלה בידינו ויהיו ה' ושים אותם בבית הג'
אח"כ נחבר הכל והנה תמצא למעלה בבית הראשון ה' וזה מורה שהם אחדים גם תמצא בבית הב' ב' וזה מורה כי הם עשרות גם תמצא בבית העליון ר"ל בבית השלישי א' ג"כ למטה בבית הג' וה' עם א' ויהיו ו' ומאחר שמצאנו אלו הו' בבתים השלישיים יורה על המאיות ויהיה היוצא ו' מאות וכ"ה כמו זאת הצורה
ולמען תהיה בקי לעשות זה הכפל נכתוב דמיון אחר ויהיה מג' מדרגות
  • Example: we wish to multiply 212 by 132.
\scriptstyle212\times132
 דמיון זה נרצה לכפול רי"ב על קל"ב
הנה נצטרך לעשות מרובע מג' (ד') קוים ברוחב וד' באורך וד' באלכסון מאחר שהאותיות הם ג' וראה ועשה כתבניתו אשר אתה מראה בכאן
Astruk - Gelosia - II.png
והנה תתחיל לכפול הב' אשר הם למטה במקום האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום האחדים ג"כ ויהיו ד' נשים אותם לעיל בבית הא'
אח"כ נכפול הב' אשר הם למטה במקו' האחדים על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ו' וכתו' אותם לעיל בבית הב'
אח"כ תשוב לכפול פעם ג' הב' מלמטה נגד הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ויהיו ב' ושים אותם למעלה בבית הג'
אח"כ תכפול הא' אשר הוא למטה במדרגת העשרות נגד הב' אשר הוא לעיל במדרגת האחדים ויהיו ב' ושים אותם באמצע הבתים ר"ל בין הבתים אשר הם בין הקו הב' והג' ושים אותם הב' בבית הב'
אח"כ שוב וכפול אותו הא' פעם ב' עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ג' ושים אותם בבית הג'
אח"כ שוב וכפול אותו הא' פעם ג' עם הא' אשר הוא למעלה במדרגת המאות ויעלה א' ושים אותו בבית הד'
אח"כ תשוב לכפול השנים אשר הם למטה במדרגת המאות עם הב' העליונים אשר הם במדרגת האחדים ויעלו ד' ושים אותם למטה בין הבתים אשר הם בין הקו הג' והד' ושים אלו הד' בבית הג'
עוד שוב וכפול אלו הב' פעם ב' עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ו' ושימם בבית הד'
עוד כפול אלו הב' פעם ג' עם הא' אשר הוא לעיל במדרגת המאות ויעלה ב' ושים אותם בבית הה'
אח"כ תחברם זה עם זה ולא תטעה בחבור ויצא לך כ"ז אלפים תתקפ"ד על זאת הצורה

Type seven: multiplying by tens

 ואולם המין הז' מהכפל
נעשה על זה האופן והוא שאם תרצה לכפול איזה מספר על כלל אחד ר"ל כי הכלל נקרא כמו י' או ק' או אלף או י' אלפים אבל אלפים אינו נקרא כלל וזה הכלל יהיה בידיך כי כשתמצא יותר מאות א' אינו נקרא כלל
וכשתרצה לדעת זה הכפל אם תרצה לכפול על עשרה תשים ציפרא למעלה על המספר המונח ומה שיעלה הוא המבוקש
ואם תרצה לכפול אותו על ק' תוסיף בו ב' ציפרי על המספר העליון
ואם תרצה על אלף תוסיף ג' ציפרי
  • Example: we wish to multiply 33 by 10.
\scriptstyle33\times10
 דמיון זה נרצה לכפול ל"ג על י'
הנה יש לך לשים למעלה על הל"ג ציפרא א' הנה ישוו עתה הל"ג ש"ל והוא המבוקש
ואם תרצה לכפול אותם על מאה
ראוי להוסיף על ל"ג ב' ציפרי ויגיעו למדרגת האלפים ויהיה העולה ג' אלפי' וש'
ואם תרצה לכפול אותם על אלף
יש לך להוסיף על הל"ג ג' ציפרי ויגיעו לעשרות אלפים ויעלה ל"ג אלפים
ואולם אם תרצה לכפול המספר המונח על עשרים
הנה יש לך לכפול המספר המונח על ב' ואח"כ תוסיף על הסך ציפרא א' ומה שיעלה הוא המבוקש
  • Example: we wish to multiply 45 by 20.
\scriptstyle45\times20
 דמיון זה נרצה לכפול מ"ה על עשרים
הנה יש לך לכפול מ"ה על ב' והטעם למה אנו כופלי' אותו ב' פעמים מצד כי עשרים הם כפל עשרה והנה ב' פעמים מ"ה הם צ' ועתה יש לך להוסיף על הצ' ציפרא אחת ויעלה ט' מאות והוא המבוקש
ואם תרצה לכפול המספר המונח שהוא מ"ה על מאתים
יש לך ג"כ לכפול מ"ה על ב' ותוסיף עליו ב' ציפראות ויהיו ט' אלפים
ואם תרצה לכפול אותו על אלפים יש לך לכפול המספר כאשר אמרנו ותוסיף עליו ג' ציפרי ויעלה צ' אלפים והוא המבוקש וכן כל כיוצא בזה
אבל אם תרצה לכפול המספר המונח על ד' יש לך לכפול המספר המונח ד' פעמים ולהוסיף עליו כפי הציפרי ר"ל אם הם ד' אלפי' תוסיף עליו ג' ציפראות
ואם ד' מאות תוסיף עליו ב' ציפרי
ואם הם ד' עשרו' תוסיף ציפרא והעולה הוא המבוקש
  • Example: we wish to multiply 15 by 40.
\scriptstyle15\times40
 דמיון זה נרצה לדעת כפל ט"ו על מ'
הנה יש לך לכפול ט"ו ד' פעמים ויעלו ס'
ואח"כ ראוי להוסיף על הס' ציפרא א' ויהיו ו' מאות והוא המבוקש
וכן על ד' אלפים תוסיף ג' ציפרי ויעלה ס' אלפים ותקיש על זה

Type eight: subtraction and multiplication

 ואולם המין הח' מהכפל הוא מעורב ממגרעת ומכפל
במקום אחד עומד הכפל ובמקום אחד הגרעון מהמספר הא' וכך ראוי לעשות מהמספר הב' ר"ל שהכפל עומד בזוית זו והגרעון בזוית זו
והנה יש לך להתחיל ההכפלה מגרעון המספר הראשון עם תוספת המספר השני ושמור העולה
ואח"כ יש לך לכפול גרעון המספר השני על תוספת המספר הראשון (ואח"כ יש לך לכפול גרעון המספר הראשון עם תוספת המספר השני) ושמור העולה מאלו הב' הכפלות
אח"כ תכפול תוספת המספר הראשון על תוספת המספר השני ושמור העולה
ועוד יש לך לכפול שני החסרונות ר"ל חסרון המספר הא' על חסרון המספר הב'
ותחבר העולה עם התוספת ממה שעלה ב' המספרים
ותגרע מזה מה שיש לך מהתוספת והחסרון והנשאר הוא המבוקש
  • Example: we wish to multiply 4 minus 2 by 8 minus 3.
\scriptstyle\left(4-2\right)\times\left(8-3\right)
 דמיון זה נרצה לכפול ד' פחות שנים עם ח' פחות ג'
הורידם בב' שטות כמו זאת הצורה
תוספת תוספת
4 8
2 3
חסרון חסרון
והנה יש לך להתחיל ההכפלה בזה האופן והוא שתכפול הב' אשר הם תחת הד' על הח' אשר הם על הג' 3 2 ויעלה בידך י"ו
אח"כ כפול עוד הג' אשר הם תחת חסרון חסרון הח' נגד הד' אשר הם על הב' ויהיו י"ב
אח"כ תחבר י"ב עם י"ו ויהיו כ"ח
עוד כפול הד' אשר הם על הב' נגד הח' אשר הם על הג' ויהיו ל"ב
עוד תכפול הב' אשר הם תחת הד' על הג' אשר הם תחת הח' ויעלו ו'
ותחברם אל ל"ב ויהיו ל"ח
הסר משם כ"ח נשארו עשרה והוא המבוקש
  • Another example: we wish to multiply 7 minus 2 by 8 minus 4.
\scriptstyle\left(7-2\right)\times\left(8-4\right)
 דמיון אחר נרצה לכפול ז' פחות ב' על ח' פחות ד' הורידם בזאת הצורה
תוספת תוספת
7 8
2 4
חסרון חסרון
והנה בתחלה יש לך לכפול הב' אשר הם תחת הז' על הח' אשר הם על הד' ויהיו י"ו ושמור אותם
אח"כ תכפול הד' אשר הם תחת הח' על הז' אשר הם על הב' ויהיו כ"ח
ותחברם אל הי"ו ויהיו מ"ד
אח"כ תכפול הז' אשר הם על הב' על הח' אשר הם על הד' ויהיו נ"ו
עוד תכפול הד' אשר הם תחת הח' על הב' אשר הם תחת הז' ויהיו ח'
ותחברם עם נ"ו ויהיו ס"ד
גרע מהם מ"ד הנשאר עשרים והוא המבוקש ותקיש על זה
ובכאן נשלם השער הג'

Chapter Four: Division

 השער הד' ידבר על חלוק השלמים בכל הדרכים הנהוגים היום
ונחלק זה השער לב' חלקים
החלק הראשון ידבר על חלוק המספר הקטן על הגדול
והחלק הב' ידבר על חלוק המספר הגדול על הקטן
דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון קטן על חשבון גדול ראוי לך לראות אם אותם המספרים הם מורכבים ר"ל הגדול והקטן ואם הם מורכבים חלקם לאותו מספר אשר ממנו הורכבו
  • Example: we wish to divide 36 by 48.
\scriptstyle36\div48
 דמיון זה נרצה לחלק ל"ו על מ"ח
הנה מספר מ"ח מספר מורכב ר"ל שנוכל לחלק מ"ח על ב' ויצא לך כ"ד אח"כ תחלק ל"ו ג"כ על ב' ויצא לך י"ח א"כ היוצא הוא י"ח חלקים מכ"ד ועדין נוכל לחלקם והוא שנחלק י"ח על ב' ויצא לך ט' עוד חלק כ"ד על ב' ויצא לך י"ב א"כ היוצא הוא ט' חלקים מי"ב ועדין נוכל לחלקו והוא שתחלק ט' על ג' ויצא לך ג' עוד תחלק י"ב על ג' ויצא לך ד' א"כ היוצא הוא ג' רביעיות
ואם המספר הגדול מורכב והקטן בלתי מורכב תחלק הגדול להרכבתו אח"כ תחלק המספר הקטן באותם המספרים והיוצא הם חלקים ממנו
  • Example: we wish to divide 11 by 18.
\scriptstyle11\div18
 דמיון זה נרצה לחלק י"א על י"ח
הנה מספר י"ח הוא מספר מורכב מג' וו' או מב' וט' הנה נחלק י"ח על ג' ויצא לך ו' ושים במקום אחד ו' ובמקום אחר ג' ותחלק י"א שהוא המספר הקטן על ג' ויצא לך ג' ונשארו ב' ושים אלו הג' על הו' והשנים שנשארו שים על הג' הנה א"כ היוצא הוא ג' שישיות וב' שלישיות שישית אחד כמו זאת הצורה
  • Another example: we wish to divide 23 by 36.
\scriptstyle23\div36
 דמיון אחר נרצה לחלק כ"ג על ל"ו
הנה מספר ל"ו מספר מורכב מב' וג' וו' ר"ל כי אם תכפול ו' על ג' יעלו י"ח ואם תכפול יח על ב' יעלו ל"ו ולכן נניח ב' ואח"כ ג' ואח"כ ו' ויש לנו לחלק כ"ג על המספר היותר קטן שהוא ב' ויצא לך י"א וישאר א' ותניח א' על הב' וי"א תשים על הקצה האחרון שהוא ו' ויש לך עתה לחלק י"א על ג' ויצא לך ג' וישארו ב' ותניח הב' על הג' והג' תשים על הו' הנה א"כ היוצא הוא ג' שישיות וב' שלישיות שישית וחצי שליש שישית וזאת צורתם
והכלל בזה שתחלק המספר הקטן על הסכום היותר קטן אשר המספר הגדול מורכב ממנו ואם נשאר כלום תניחהו על אותו הסכום הקטן והיוצא שים על הסכום הגדול אשר המספר הגדול מורכב ממנו ואח"כ תחלק מה שהנחת על הסכום הגדול על הסכום האמצעי אם אותו המספר הגדול מורכב מג' מספרים ומה שישאר תניח על הסכום האמצעי והיוצא תשים על הסכום הקטן (הגדול)
ולמען תהיה בקי אתן לך דמיון אחר
  • Example: we wish to divide 37 by 48.
\scriptstyle37\div48
 דמיון זה נרצה לחלק ל"ז על מ"ח
הנה מספר מ"ח הוא מורכב מב' וד' וד' (וו') כי ו' פעמים ד' הם כ"ד וב' פעמים כ"ד הם מ"ח ולכן נשים ב' שהוא הסכום הקטן תחלה ואח"כ נשים ד' ואחר נשים ו' שהוא הסכום הגדול וכבר אמרנו כי הראשנה ראוי לנו לחלק מספרינו על הסכום הקטן ונחלק ל"ז על ב' ויצא לך י"ח וישאר א' ותניח א' על הב' כי כן אמרנו כי הנשאר נניח על הסכום הקטן והי"ח נניח על הסכום הגדול כי כן אמרנו כי היוצא נניח על הסכום הגדול ועתה יש לנו י"ח על הסכום האמצעי שהוא ד' כי כן אמרנו ויצא ד' וישארו ב' ושים ב' שהוא מה שנשאר על ד' כי כן אמרנו שהנשאר ראוי להניחו על הסכום האמצעי והיוצא נשים על הסכום הגדול כי כן אמרנו כי היוצא ראוי להניחו על הסכום הגדול הנה א"כ נשאר על הסכום הגדול ד' ועל הסכום האמצעי ב' ועל הסכום הקטן א' הנה א"כ היוצא הוא ד' שישיות שהוא ב' שלישיות וב' רביעיות שישית וחצי רביעית שישית וזאת היא צורתם
ואם תרצה לבחון אותו קח ב' שלישיות מ"ח שהם ל"ב אח"כ קח ב' תשיעיות (רביעיות) שישית שהם ד' חלקים ממ"ח ועם ל"ב יהיו ל"ו ואח"כ חצי רביעית שישית שהוא חלק א ממ"ח ושים אותו על ל"ו ויהיו ל"ז כמו שהיה מספרינו וזה המעט יספיק לך
ואם אין שום מספר מורכב ר"ל הגדול והקטן יש לך לעשות חצאין מהמספר הקטן ותראה אם המספר הגדול הוא עדין יותר גדול מסכום חצאי המספר הקטן ואם המספר הקטן הוא עתה יותר גדול הנה יצא לך חצי אחד והחלקים שנשארו הם חלקי כפל המספר הגדול
  • Example: we wish to divide 11 by 19.
\scriptstyle11\div19
 דמיון זה נרצה לחלק י"א על י"ט
הנה נעשה מהיא חצאים ויהיו כ"ב חצאים ותחלק עתה כ"ב על י"ט ויצא לך א' שהוא חצי אחד ונשארו עדין ג' חלקים ועתה יש לך לכפול י"ט על ב' ר"ל שנעשה גם מהי"ט חצאים ויהיו ל"ח הנה א"כ יצא לך חצי אחד וג' חלקים מל"ח
  • Example: we wish to divide 5 into 17 parts.
\scriptstyle5\div17
 דמיון אחר נרצה לחלק ה' לי"ז חלקים
הנה אם נעשה מהה' שהוא המספר הקטן חצאים לא יהיו כי אם עשרה ומספרינו הוא י"ז ולא יספיק לכן יש לנו למצא מספר יספיק לחלקו על י"ז ונעשה מהה' רביעיות ויהיו כ' רביעיות וחלקם על י"ז ויצא לך א' שהוא רביעית אחד ונשארו עדין ג' לחלקם על י"ז ולכן נעשה מהי"ז רביעיים ג"כ ויהיו ס"ח הנה א"כ היוצא הוא רביעית אחד וג' חלקים מס"ח
וזה יספיק לך בחלוק המספר הקטן על הגדול
החלק השני ידבר על חלוקת המספר הגדול על הקטן
והוא נעשה ככה
דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון צריך לך לדעת כי המספר המחולק יהיה לעולם יותר גדול מהמחלק ויש לך לשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה ואח"כ תתחיל לגרוע מן האלפים ויש לך לחשוב אותם כמו אחדים ועליו תחלק ואם נראה לך כי לא תוכל לחלק מה שהוא בשטה היותר גדולה למעלה על היותר גדולה (קטנה) שהיא למטה יש לך להשיב אותו של מעלה אחורנית אצל האות הסמוכה לה וחשוב אותם כמו אחדים והיו לאחדים בידיך ואלו האחדים תחלק על האות הגדולה אשר היא למעלה (למטה) וכן תמיד תשוב אחורנית ואח"כ תכפול מה שיצא מהחלוקה נגד האות של מטה אצל אותה האות אשר עשית החלוקה עליה ותגרע העולה מן האות של מעלה אצל הגדולה וכן תמיד עד שתגיע אצל האחדים
  • Example: we wish to divide 245 by 34.
\scriptstyle245\div34
 דמיון זה נרצה לחלק רמ"ה על ל"ד
הורידם בשתי שטות על זאת הצורה
ותמשוך ב' קוים בין המחלק והמחולק כדי לשים מה שיצא ביניהם ואח"כ תתחיל לחלק האות האחרונה של מעלה שהיא ב' במקום המאות על היותר גדולה של מעלה (מטה) שהיא ג' במקום העשרות ולא תוכל לחלק ב' על ג' לכן יש לך להשיב הב' מאות אצל העשרות אשר הם ד' הנה הב' ישוו עשרים ועם הד' יהיו כ"ד ותחלקם על ג' יעלו ח' שלמים ולא תוכל לשים כל אלו הח' כי אנו צריכין לכפול הח' נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים שיגיע סך העולה ל"ב והנה למעלה לא נשאר לנו כי אם ה' ולא נוכל לגרוע מהה' של מעלה הל"ב של מטה ולכן לא נתן לו כי אם ז' ונשאר עדין ג' למעלה במקום העשרות אח"כ נכפול אלו הז' היוצאים נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ח ונסיר כ"ח מל"ה אשר הם עדין למעלה הנשאר ז' והיוצא הוא ז' ג"כ
ואם תרצה לחלק מספר יהיה למעלה ד' או ה' מדרגות ובתחתונה יהיה ג' מדרגות תעשה כנז'
  • Example: we wish to divide 12345 by 234.
\scriptstyle12345\div234
 דמיון זה נרצה לחלק י"ב אלפים ושמ"ה על רל"ד
הורידם בב' שטות על זאת הצורה
אח"כ תתחיל לחלק הא אשר הוא למעלה ששוה במקום עשרת אלפים על הב' אשר הוא למטה במקום המאיות ולא תוכל כי ב' יותר גדול מא' על כן יש לך להשיב זה הא' אשר הוא למעלה במקום עשרת אלפים אצל הב' אשר הם למעלה במקום האלפים ויהיו י"ב ותחלק י"ב על ב' ויצא לנו ו' אבל לא נשיב כל הו' כי יש לנו לכפול אותם הו' היוצאים על ג' אשר הם למטה ויעלה י"ח ויש לנו לקחת אלו הי"ח מהג' אשר הם לעיל במקום המאיות ולא נוכל על כן לא נשים כי אם ה' ונשארו עדין למעלה הב' אשר הם במקום האלפים
אח"כ תכפול הה' היוצאים על הג' אשר הם למטה במקום העשרות ויהיו ט"ו ותגרע ט"ו מן הג' אשר הם למעלה במקום המאיות ולא נוכל על כן יש לנו להשיב אותם הב' אשר הם למעלה במקום האלפים אצל הג' שהם במקום המאיות ויהיו כ"ג תגרע מהם ט"ו הנשאר ח' ושים אלו הח' למעלה במקום המאיות
אח"כ תכפול עוד אותם הה' שיצאו בין שני הקוים נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו עשרים ויש לך לגרוע אלו הכ' מהד' אשר הם למעלה במקום העשרות ולא תוכל על כן יש לך לקחת ב' מאלו הח' אשר הם במקום המאיות ולהשיבם אצל הד' ויהיו כ"ד תקח מהם עשרים ונשארו ד' אצל העשרות גם נשארו ו' על המאות
אח"כ תשוב אחורנית המספר התחתון וזה שתשיב הב' מאות ממטה אצל הו' מאות של מעלה והג' עשרות של מטה אצל הד' עשרות של מעלה והד' אחדים של מטה אצל הה' אחדים של מעלה ותתחיל לחלק הו' אשר הם למעלה במקום המאות על הב' אשר הם למטה ויעלו ג' ואל תשים כל אלו הג' כי אם תכפול אותם הג' על הג' אשר הם למטה במקום העשרות יעלו ט' והנה לא תוכל לקחת ט' מן הד' אשר הם למעלה במקום האחדים (העשרות) על כן נקח לו ב' ונשארו עדין ב' למעלה במקום המאות
אח"כ נכפול הב' היוצאים על הג' אשר הם למטה במקום העשרות ויהיו ו' נחסר ו' מד' אשר הם למעלה במקום העשרות ולא נוכל על כן יש לנו לקחת אחד מאותם הב' שנשארו עדין במקום המאות ונשיב אותו אחורנית אצל הד' אשר הם בעשרות ויהיו י"ד נחסר מהם הו' ונשארו עדין ח' במקום העשרות למעלה [וא'] במקום המאות
עוד נשוב ונכפול הב' היוצאים על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו ח' ותחסר אותם הח' מן הה' אשר למעלה במקום האחדים ולא נוכל ועל כן נקח אחד מהח' אשר הם למעלה במקום העשרות ונשארו עדין ז' ותשיב אלו העשרה אצל הה' ויהיו ט"ו ותחסר מט"ו ח' ונשארו ז' ושים אלו הז' למעלה במקום האחדים
הנה א"כ היוצא מן החלוקה הוא נ"ב ונשארו עדין קע"ז כמו שכתו' לעיל
ואם תרצה לחלק מספר מה יהיה בו ציפרא גם במחלק יהיה ציפרא תעשה כמו שתראה בדמיון
  • Example: we wish to divide 20503 by 304.
\scriptstyle20503\div304
 דמיון זה נרצה לחלק עשרים אלף תק"ג על מספר ש"ד
הורידם בב' שטות על זאת הצורה
ותתחיל לחלק הב' אשר היא למעלה במקום עשרת אלפים על הג' אשר היא למטה במקום המאיות ולא תוכל על כן יש לך להשיב אותם הב' שלמעלה אצל הציפרא ויהיו כ' תחלקם על ג' אשר הם למטה ויצא לך ו' ושים אותם הו' בין שני הקוים ונשארו עדין למעלה ב' במקו' האלפים
אח"כ תכפול אותם הו' היוצאים נגד הציפרא ויעלה בידך ציפרא ולא תשים מאומה מהה' אשר הם למעלה במקום המאות כי אלו עלה בידך איזה דבר היה לך לחסר אותם מהה' ומאחר שעלה בידך ציפרא לא תשים מאומה
עוד תכפול היוצא שהם ו' על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ד ויש לך לקחת אלו הכ"ד מן הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרות ולא תוכל על כן יש לך להשיב הה' אשר הם במקום המאיות אחורנית ויהיו נ' תחסר מהם כ"ד הנשאר כ"ו ושים הב' על המאיות והו' על העשרות
אח"כ תעתיק המספר התחתון ושים הג' אשר הם במקום המאיות תחת הב' אשר הם במקום האלפים (המאיות) למעלה ושים הציפרא תחת הציפרא (הו') של מעלה אשר היא במקום העשרות ושים הד' של מטה תחת הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ותתחיל לחלק מן האלפים ותחלק הב' אלפים על הג' ולא תוכל כי ג' גדול מב' ועל כן יש לך להשיב אחורנית אלו הב' אצל הב' אשר הם במקום המאיות ויהיו כ"ב תחלקם על ג' ויצא לך ז' ושים אותם בין שני הקוים אצל הו' אחורנית וישאר עדין למעלה אחת במקום המאות
עוד תכפול הז' היוצאים על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ח תחסר אותם מהג' אשר למעלה במקום האחדים ולא תוכל על כן יש לך לעשות בזה האופן והוא שתשיב אותם הו' אשר הם על העשרות אחורנית ויהיו ס' תחסר מהם כ"ח הנשאר לב תחבר אליהם הג' שלמעלה ויהיו ל"ה
הנה א"כ היוצא הוא ס"ז והנשאר קל"ה
ואולם המין השני מן החלוק הוא על זה האופן והוא שנחלק המספר הגדול נגד הקטן בבת אחת כוונתי שלא נחלק אותו אות באות כאשר עשינו עד עתה אלא נחלק המספר העליון אצל המספר התחתון
ולעולם נשוב אחורנית כמו שעשינו בחלוק אשר קדם זכרו וזה החלוק נקרא בלשונם דאנדא והקודם נקרא גליאה
  • Example: we wish to divide 4321 by 23.
\scriptstyle4321\div23
 דמיון זה נרצה לחלק ד' אלפים שכ"א על כ"ג
הורידם בשתי שטות כמו זאת הצורה
אח"כ תחלק מ"ג אשר הם למעלה רצוני הד' אלפים וג' מאות ונחשוב אותם כאלו היו יחידים ונחלקם על כ"ג ויצא לנו א' וישאר עדין ב' שהם ב' אלפים
אח"כ נשיב אלו הב' אלפים אצל העשרות שהם ב' עשרות ויהיו ב' מאות וב' ונחלקם על כ"ג ונתן לו ח' ונשארו עדין י"ח שהם ק"ף
אח"כ נשיב אלו הק"פ אצל האחדים רצוני אצל הא' אשר הם למעלה במקום האחדי' ויהיו קפ"א ותחלקם על כ"ג ויצא לך ז' ונשארו עדין כ'
הנה א"כ היוצא הוא קפ"ז ונשארו עדין כ' לחלקם על כ"ג
  • Another example: we wish to divide 70213 by 136.
\scriptstyle70213\div136
 דמיון אחר נרצה לחלק שבעים אלף ורי"ג על קל"ו
הורידם בשתי שטות על זאת הצורה
אח"כ תתחיל לחלק מן האלפים שהם ע' ותשיבם אל הב' מאות ויהיו תש"ב ותחלקם על קל"ו יצא לך ה' ונשארו עדין כ"ב שהם ב' אלפים וב' מאות
אח"כ תשיב אלו הכ"ב אצל העשרות ויהיו רכ"א ותחלקם על קל"ו ויצא לך א' ונשארו עדין פ"ה
אח"כ תשיב אלו הפ"ה אצל האחדים שהם ג' ויהיו תתפ"ג (תתנ"ג) ותחלקם על קל"ו ויצא לך ו' ונשארו עדין ל"ז
הנה א"כ היוצא הוא תקי"ו ונשארו ל"ז וכן תעשה תמיד אם תקישם אל מה שקדם זכרם
ואם תרצה לחלק מטבעים מתחלפים אל מטבע אחד הנה יש לך להשיב כל המטבעים אל ערך אותה המטבע אשר תרצה לעשות החלוקה כנגדה
דמיון זה נרצה לחלק כ"ג דוקטי וב' קרליני וז' גרות על י"ו טורנישי
הורידם בב' שטות אח"כ יש לך לעשות מהכ"ג דוקטי קרליני ויהיו ר"ל ותחבר אליהם ב' קרליני ויהיו רל"ב
אח"כ תעשה מאלו הרל"ב קרליני גרות ויהיו (שכ"ב) (ב') אלפים וש"כ גרות ותחבר אליהם הז' גרות ויהיו ב' אלפים ושכ"ז
אח"כ תעשה מאלו הגרות טורנישי ויהיו ד' אלפים ותרנ"ד ותחלקם על המספר שהם י"ו ויצא לך ר"ץ ונשארו עדין י"ד כמו זאת הצורה
ואם תרצה לחלק מטבעים מתחלפים על מטבעים מתחלפים
כגון שנרצה לחלק מ"ג דוקטי וה' קרליני וח' גרות וב' טורנישי על ה' קרליני וט' גרות וב' טורנישי הורידם בשתי שטות על זאת הצורה
אח"כ תעשה מהמ"ג דוקטי קארליני ויהיו ת"ל ותחבר אליהם הה' קרליני ויהיו תל"ה ותעשה מהם גרות ויהיו ד' אלפים ושנ"ח עשה מהם טורנישי ויהיו ח' אלפים ותשי"ח ושמור אותם
אח"כ תשוב אל המספר המחלק ותעשה מהה' קרליני גרות ויהיו נ' ותחבר אליהם הט' גרות ויהיו נ"ט ותעשה מהם טורניש ויהיו ק"כ אח"כ תחלק הח' אלפים ותשי"ח על ק"כ ויצא לך ע"ב וישארו עדין ע"ח עז"ה
ואולם המין הג' מהחלוק הוא שתחלק המספר הגדול נגד הרכבתו ר"ל אם הוא מורכב תחלקהו נגד המספר אשר הורכב ממנו אח"כ תחלק המספר הקטן על הרכבת הגדול ושים הגדול על הקטן והיוצא הוא המבוקש
  • Example: we wish to divide two hundred by 50.
\scriptstyle200\div50
 דמיון זה נרצה לחלק מאתים על נ'
קח חומש נ' והוא עשרה גם חומש מאתים והוא מ' חלק מ' על ד' (י') ויצא לך י' (ד') והוא המבוקש
ובכאן נשלם השער הד' והתהלה לאל אמן

Chapter Five: Addition of Fractions

 השער הה' ידבר על חבור השברים מין עם מינו
דע כי השער הזה הוא חמור מאד והוא הכרחי בכל מעשה חשבון עד מאד אבל אתן דרכים וקלים
הנה כשתרצה לחבר שני שברים מתחלפים
ראוי לקחת המורה ודע כי מורה נקרא הרכבת ב' שברים זה על זה והעולה מכפל שניהם או שלשתן או ארבעתם נקראהו מורה בזה המקום ואחר ראוי לקחת חלקי המספר הא' מהמורה ולשים אותו במקומו כן תעשה מן השני גם את השלישי גם מכל המספרים המונחי' ותחבר כל החלקים מכל המספרים ותחלק סך העולה על המורה ומה שיעלה הם חלקי המורה ולפעמים יעלה לך מקבוצם שלם א' או יותר או פחות
  • \scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{2}
 דמיון זה נרצה לחבר שליש אחד עם חצי אחד
הנה בתחלה יש לך לכפול ג' על ב' אולם כונתי לומר ג' על ב' כי השליש יצא מג' והחצי יצא משנים ונכפול זה על זה ויעלו ו' ושמור אותם כי הוא המורה אח"כ קח שליש המורה שהם ב' וחציו ג' ותחברם ויהיו ה' ותחלק ה' על ו' שהוא המורה ויצא לך ה' שישיות עז"ה
  • \scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{4}
 דמיון אחר נרצה לחבר שלישית אחד ורביעית אחד
תקח המורה והוא שתכפול ג' על ד' ויהיו י"ב ונקראהו מורה אח"כ תקח רביעיתו והם ג' וקח שלישיתו והם ד' ותחברם ויהיו ז' חלקים מי"ב עז"ה ואם תרצה לחבר ב' שלישיות עם ד' חמישיות קח המורה שהוא כפל ג' על ה' ויהיו ט"ו וקח שלישיתו והוא ה' וכפול אותו ב' פעמים מצד שאמר ב' שלישיות ויהיו עשרה אח"כ קח שלישיתם (חמישיתם) שהוא ג' וכפול אותם ד' פעמים כי אמר ד' חמישיות ויהיו י"ב ותחברם ויהיו כ"ב ותחלקם על ט"ו ויצא לך א' שלם וז' חלקים מט"ו על זאת הצורה
ואם תרצה לחבר ג' מספרים
הנה יש לך לבקש מורה א' לכלם מכפל זה על זה ולתת לכל אחד חלק הראוי לו ואחר תחלק המקובץ משלשתם על המורה והעולה הוא המבוקש
  • \scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}
 דמיון נרצה לחבר חצי עם שליש ועם רביעית
תחלה תכפול ג' על ד' ויהיו י"ב והיה ראוי לכפול אלו הי"ב על ב' שהם החצי אכן מאחר שיש לנו רביעית אין צורך לקחת החצי והבן זה מאד כי זה כלל גדול במלאכת החשבון והנה הי"ב הם המורה אח"כ קח חצי המורה שהם ו' וקח שלישית המורה שהם ד' וקח רביעיתו שהוא ג' ותחברם ויהיו י"ג תחלקם אל י"ב שהוא מורה ויצא לך א וחלק אחד מי"ב
ואם תרצה לחבר ג' מספרי' מתחלפים באופן אחר עשה כך והוא שתחבר ב' מן הג' ותדע כמה העולה אח"כ תחבר אליהם המספר השלישי ומה שיעלה הוא המבוקש
  • \scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}
 דמיון זה נרצה לחבר ג' רביעיות וד' חמישיות וה' שישיות
הנה יש לך לחבר ג' רביעיות וד' חמישיות ותקח המורה שהוא עשרים וקח ג' רביעיותם שהם ט"ו וד' חמישיותם שהם י"ד (י"ו) ותחברם ויהיו ל"א ותחלקם על המורה ויצא לך א' שלם וי"א חלקים מכ' אח"כ תחבר על זה ה' שישיות ותבקש המורה והנה המורה הוא ק"כ שהוא כפל כ' על ו' וקח ממנו י"א חלקים מכ' ויעלו ס"ו וקח ה' שישיותיו ויעלה ק' ותחברם ויהיו קצ"ו (קס"ו) ותחלקם על המורה שהוא ק"כ ויעלה א' שלם ונשארו עדין מ"ו חלקים מק"כ שהם כ"ג חלקים מס'
ואם תרצה לחבר שלמים עם שברים
הנה יש לך להשיב א שברים אצל שברם ולעשות מהם שברים ולחבר מהם מה שבאותו השבר כן תעשה מהמספר הב' אח"כ תקח המורה ותעשה כנז'
  • \scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{4}\right)
 דמיון זה נרצה לחבר ב' וחצי עם ג' ורביע
הנה יש לך לעשות מהב' שלמים חצאים ויהיו ד' חצאים ותקח החצי בעבור שאמר ב' וחצי ויהיו ה' חצאים ושמור אותם וכן תעשה מהמספר השני שהם ג' ורביע תעשה מהם (ג') רביעיות ויהיו י"ג רביעיות כי בכל שלם יש ד' רביעיות ותכפול הב' אשר הם תחת הה' על הי"ג אשר הם על הד' ויהיו כ"ו ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הי"ג על הה' אשר הם על הב' ויהיו כ' ותחברם אל כ"ו ויהיו מו ו ותקח המורה שהוא כפל ב' על ד' שהם ח' וחלק מ"ו על ח' ויצא ה' שלמים וו' חלקים מח' שהם ג' רביעיות על זאת הצורה
ואם תרצה לחבר שנים מספרים אשר יהיה בא מהם שלמים עם שברים ובאחד שברים בלבד תשיב השלמים אשר הוא בחלק א' מהם אצל שברו שכנגדו
  • \scriptstyle\left(3+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{5}
 דמיון זה נרצה לחבר ג' וחצי עם ב' חמישיות
הנה ראוי לעשות מהג' אשר אצל החצי חצאין ויהיו ז' חצאין ותקח המורה שהוא כפל ב' על ה' ויהיו עשרה אח"כ כפול ז' אשר הם על הב' נגד הה' אשר הם תחת הב' ויהיו ל"ה ושמרם אח"כ כפול הב' אשר על הה' נגד הב' אשר תחת הז' ויהיו ד' ותחברם אל ל"ה ויהיו ל"ט ותחלקם על המורה שהוא כפל ב' על ה' ויהיו ג' שלמים וט' חלקים מי'

Chapter Six: Subtraction of Fractions

 השער הו' ידבר על מגרעת השברים
דע כי כשתרצה לגרוע שום חשבון תצטרך לקחת המורה ואחר ראוי לכפול מה שעל המספר הא' על מה שלמטה מהמספר האחר ומה שלמטה על מה שלמעלה מהמספר האחר ולחסר המספר הקטן מהגדול ומה שנשאר הם חלקים מן המורה
  • \scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{1}{2}
 דמיון זה נרצה לחסר מג' רביעיות חצי א'
הנה ראוי לקחת המורה שהוא כפל ד' על ב' שהוא ח' ואח"כ כפול הד' אשר הם תחת הג' על הא' אשר הוא על הב' ויעלה ד' אח"כ כפול הג' אשר הם על הד' על הב' אשר הם תחת הא' ויהיו ו' תחסר מד' ו' (ד' מו') הנשאר ב' ואלו הב' הם חלקים מהמורה שהוא ח' והוא רביעית א' הנה הנשאר הוא רביעית א'
ואם תרצה לחסר משלמים ושברים שלמים ושברים
יש לך לעשות מהשלמים שברים וכן מכל הב' חלוקות ואח"כ תבקש המורה ולכפול זה כנגד זה כמו שהראיתיך במה שעבר ותעשה כמשפט
  • \scriptstyle\left(3+\frac{3}{4}\right)-\left(2+\frac{1}{2}\right)
 דמיון זה נרצה לחסר מג' שלמים וג' רביעיות ב' שלמים וחצי
והנה יש לך להשים הג' שלמים אצל הג' רביעיות ויהיו ט"ו רביעיות ושמרם ואח"כ יש לך להשיב הב' שלמים אצל החצי ויהיו ה' חצאין אח"כ יש לך לבקש המורה שהוא כפל ד' על ב' שהם ח' אח"כ כפול הב' אשר תחת הה' נגד הט"ו אשר על הד' ויהיו ל' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר תחת הט"ו נגד הה' אשר הם על הב' ויהיו עשרים הסר כ' מל' הנשאר י' וחלק אלו הי' נגד המורה שהוא ח' ויצא לך א' שלם ורביע והוא הנשאר
ואם תרצה לגרוע מספר אחד אשר אין בו כי אם שבר ממספר אחד אשר בם שברים גם שלמים ראוי להשיב השלמים אצל השברים ואח"כ לקחת המורה ותגרע הקטן מן הגדול
  • \scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}
 דמיון זה נרצה לגרוע ג' רביעיות מב' שלמי' וחצי
הנה יש לך לעשות מהב' וחצי חצאין ויהיו ה' חצאין ותקח המורה שהוא ח' שעלה מכפל ב' על ד' ואח"כ יש לך לכפול הב' אשר הם תחת ה' על הג' אשר הם על הד' ויהיו ו' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הג' נגד הה' אשר על הב' ויעלו עשרים ותחסר מהם ו' ונשארו עדין י"ד ותחלק אלו הי"ד על ח' עלה א' שלם וג' רביעיות והוא הנשאר
ובכאן נשלם השער הו'

Chapter Seven: Multiplication of Fractions

 השער הז' ידבר על הכפל
דע כי כשתרצה לכפול מספר על מספר הנה תחלת כל דבר יש לך לקחת המורה כאשר אתה מראה בדמיוני' שעברו ואח"כ לכפול מה שלמעלה זה כנגד זה ומה שיעלה יש לחלקו על המורה והעולה הוא המבוקש
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}
 דמיון זה נרצה לכפול ב' שלישיות על ג' רביעיות
תקח המורה שהוא י"ב שעלה לנו מכפל ג' על ד' ואח"כ יש לך לכפול הב' אשר הם על השלשה נגד הג' אשר הם על הד' ויהיו ו' וחלקם על י"ב ויהיו ו' חלקים מי"ב שהוא חצי אחד
ואם תרצה לכפול ב' מספרים זה על זה עם שלמים הנה תשיב השלמים אצל השברים ה[חוני]ם לנגדם וכן המספר האחר ואח"כ יש לך לבקש המורה ומה שיעלה תחלק על המורה והעולה הוא המבוקש
  • \scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\times\left(3+\frac{1}{3}\right)
 דמיון זה נרצה לכפול ב' וחצי על ג' ושליש
הנה יש לך תחלה להעמיד המורה והוא ו' ואח"כ תעשה מהב' שלמים חצאים ויהיו ה' וכן תעשה מהג' שלמים עשה ממנו שלישיות ויהיו עשרה ותכפול (ותכפול) עשרה על הה' ויהיו נ' וחלקם על המורה שהם ו' ויעלו לך ח' שלמים ושליש
ואם תרצה לעשות אותו באופן אחר והוא כי יש לך לכפול השלמים על השלמים רצוני ע' ג' על ב' ויהיו ו' שלמים עוד תכפול החצי על שלשה ויהיו א' וחצי ונחבר הא' עם הו' ויהיו ז' וחצי עוד תכפול הב' שלמים על שליש ויהיו ב' שלישיות ונחבר אלו הב' שלישיות עם הז' וחצי שיש לנו ויהיו ח' שלמים ושתות עוד נכפול השליש על החצי ויהיו שתות אחד ועם השתות שיש לנו יהיו ב' שתותים שהם שליש א' ועם הח' הם ח' שלמים ושליש ותקיש על זה
ואם תרצה לכפול ב' מספרים אשר בא' מהם שברים ובאחר שלמים עם שלמים (שברים) הנה יש לך להשיב השלמים אצל השברי' ולכפול היוצא על מה שבמספר השני ולבקש המורה ולחלק היוצא נגד המורה והעולה הוא המבוקש
  • \scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right)\times\frac{2}{3}
 דמיון זה נרצה לכפול ד' וחצי על ב' שלישיות
הנה יש לך לעשות מהד' וחצי חצאים ויהיו ט' אח"כ ט' על ב' אשר הם על הג' ויעלו י"ח ותחלקם על המורה שהוא ו' ממה שעלה מכפל ב' על ג' ויעלה ג' שלמים בלי תוספת ומגרעת
ואם תרצה שלמים לבדם עם שברים לבדם יש לך לכפול השלמים על מה שהוא במספר השברים והעולה תחלק על השבר השפל והעולה הוא המבוקש
  • \scriptstyle4\times\frac{2}{3}
 דמיון זה נרצה לכפול ד' שלמים על ב' שלישיות
הנה תכפול ד' על ב' ויעלו ח' ותחלקם על ג' ויצא לך ב' שלמים וב' שלישיות על זאת הצורה
ובכאן נשלם השער השביעי

Chapter Eight: Division of Fractions

 השער הח' מדבר על חלוק השברים
דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון יש לך לבקש בראשנה המורה ואח"כ יש לך לכפול מה שתחת המספר הא' על מה שעל המספר האחר ומה שעל המספר הא' על מה שתחת המספר הנלוה אליו ותחלק היוצא הגדול על הקטן ומה שנשאר הוא חלק ממנו
  • \scriptstyle\frac{5}{8}\div\frac{1}{4}
 דמיון זה נרצה לחלק ה' שמיניות על רביעית א'
(תקח המורה שהוא ל"ב ושמרם אח"כ) כפול הח' אשר תחת הה' על הא' אשר על הד' ויעלו ח' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הא' על הה' אשר הם על הח' ויהיו עשרים ותחלק עשרים על ח' ויהיו ב' שלמים ונשארו עדין ד' ותחלקם על המורה שהוא ל"ב (ח') ויצא לך שמינית א' שלם (ב' שמיניות)
או אם תרצה תאמר כי הב' שיצאו לך הם ב' פעמים א' רביע ונשאר עדין חצי שהוא ש' חצי זה הרביעית שהם שמינית א' שלם
ואם תרצה לחלק שלמים עם שברים על שלמים ושברים
יש לך לבקש המורה ואח"כ תכפול השלמים נגד השברים מכל הב' מספרים ותחלק הגדול על הקטן והעולה הוא המבוקש
  • \scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right)\div\left(2+\frac{1}{4}\right)
 דמיון זה נרצה לחלק ד' וחצי על ב' ורביע
הנה יש לך לעשות מהד' וחצי חצאין ויהיו ט' חצאין אח"כ תעשה מהב' ורביע רביעיים ויהיו ט' רביעיים אח"כ תכפול הד' אשר הם תחת התשעה נגד הט' אשר הם על הב' ויהיו ל"ו אח"כ תכפול הב' אשר הם תחת הט' (נגד הט' אשר הם) על הד' ויהיו י"ח וחלק ל"ו על י"ח ויעלו ב' שלמים בלי תוספת
ואם תרצה לחלק שלמים עם שברים לבדם
  • \scriptstyle4\div\frac{3}{4}
 כאלו תאמר ד' על ג' רביעיות
הנה יש לך לכפול הד' שלמים על הד' אשר הם רביעיות ויהיו י"ו ותחלקם על הג' אשר הם על הד' ויהיו ה' שלמים ושליש על זאת הצורה

Chapter Nine: Ratios

 השער הט' ידבר על ענין הערכים והסחורות
ונחלק זה השער לג' חלקים:
החלק הא' על ערך השלמים עם השלמים
החלק הב' ערכי שברים עם שברים
החלק הג' ערכי שלמים עם שברים
החלק הא' ערכי השלמים עם שלמים
כשיאמר לך אדם קניתי ב' קנים של משי לערך ט"ו מנינים ה' קנים כמה שוים הנה תכפול הב' אשר הם הקנים מהמשי על ט"ו אשר הוא שווי דמיהם ויעלה ל' ותכפול אלו הל' על ה' ויצא לך ק"נ ותחלקם על ערך הקנים אשר ערכם ידוע שהם ב' ותכפלם ויהיו ד' ותחלק ק"נ על ד' ויצא לך ל"ז וחצי
אמנם תוכל לעשותו יותר נקלה והוא שתכפול הה' אשר הם הקנים הבלתי נודעות על ט"ו אשר הם הדמים ויעלה ע"ה ותחלקם על ב' אשר הם הקנים הנודעות
עוד בדרך אחרת והוא שתחלק הדמים אשר הם ט"ו על ב' אשר הם הקנים אשר ערכם ידוע ויצא ז' וחצי ותכפול זה על ה' אשר הם הקנים אשר ערכם נעלם ויצא לך ל"ז וחצי
עוד בדרך אחרת והוא שתחלק הקנים אשר ערכם בלתי ידוע על הב' אשר ערכם ידוע ויצא לך ב' וחצי וכפול אותם על ט"ו ויצא ל"ז וחצי
ואם יאמר לך אדם קניתי ז' מדות חטה על מנת להוליכן ח' מילין לערך ט' מנינים והוא נשא י' מדות י"א מילין כמה ראוי שיקח
הנה יש לך לכפול י"א על י' ויהיו ק"י עוד יש לך לכפול כל זה על ערך הממון שהוא ט' שהוא תתק"צ אח"כ כפול ז' על ח' ויהיו נ"ו ויש לך לחלק תתק"צ על נ"ו ויצא לך י"ז ול"ח חלקים מנ"ו הנה ראוי שינתן לו בעד משכורתו י"ז ול"ח חלקים מנ"ו כמו זאת הצורה
ולפעמים יצטרך לעשות הערך ג' פעמים אבל נמצא דרך קל כי ערך א' יספיק
כאלו תאמר אדם שכר ג' חמרים שישאו לו ד' מדות ה' מילין ויתן להם ו' דינרין והם היו ז' חמרים ונשאו ח' מדות מרחק ט' מילין כמה שכרן
הנה יש לך לכפול ז' על ח' ויהיו נ"ו עוד תכפול זה על ט' ויהיו תק"ד עוד כפול זה על מספר הדינרין שהם ו' ויהיו ג' אלפים וכ"ד חלקם על ס' ויצא לך חמישים וכ"ד חלקים מס' והוא מה שיקחו
שאל שואל ד' זהובים בב' חדשים הרויחו ו' דינרין וכפי זה הערך ח' זהובים הרויחו י"ב דינרין כמה חדשים עמדו להרויח אלו הי"ב דינרין
התשובה ראוי שתכפול הד' זהובים על ב' חדשים ויהיו ח' עוד כפול זה על הו' שהם הדינרין ויהיו מ"ח ושמרם אח"כ כפול ח' שהם הזהובים על י"ב שהם ג"כ זהובים (דינרים) ויעלה צ"ו ותחלקם על מ"ח ויצא לך שנים שלמים והוא סך החדשים שעמדו הח' זהובים להרויח י"ב דינרין ונשלם השער הראשון מהערכין
השער השני הם ערכי שברים עם שלמים
אם תרצה לדעת אם אדם אחד שכר חבירו לעבוד עבודתו בערך ו' מנינים וה' קרליני וד' גרות וג' דינרין בעד ד' ימים והוא עבד כ"ד ימים כמה ראוי שיקח
ראוי לכפול כ"ד נגד הדינרין ויהיו ע"ב עוד כפול הד' נגד הגרות ויעלו ו' עוד כפול הד' נגד הקרליני ויהיו כ' ועם א' יהיו כ"א ושים א' עוד כפול ד' נגד הו' ויהיו כ"ד ועם ב' יהיו כ"ו ושימם עוד כפול העשרות מלמטה נגד הד' ויהיו ח' עוד כפול ב' נגד ה' ויהיו עשרה עוד כפול הב' נגד הו' ויהיו י"ב אח"כ תעשה מע"ב דינרין גרות ותחברם ויעלה הכל ל"ט מנינים וב' קרליני וז' גרות אחר שנתחלק היוצא מהכפל על ד' כמו זאת הצורה
ואם תרצה לבחון אותו תחלק כ"ד על ד' ויצא לך ו' אח"כ כפול ו' על כל המטבעים של מעלה ונכפול ששה ראשנה על כל הדינרין אח"כ על הגרות ואח"כ על הקרליני ואח"כ על המנינים ויצא לך ג"כ ל"ט מנינים וב' קרליני וז' גרות בלי שום דינר
ואם תרצה לבחון אותו באופן אחר תחלק המספר של מעלה שהוא ו' מנינים וה' קרליני וד' גרות וג' דינרין על ד' והיוצא תכפול על כ"ד ויצא לך ג"כ כנז'
ואם תרצה לדעת ערך המספר אשר בו שבר למעלה יש לך לכפול כל השלמים ואח"כ כל השברים והעולה תחלקהו על המספר הרשום במספר העליון והיוצא הוא המבוקש
דמיון זה ערך ז' קנים מדוק הוא ז' מנינים ח' קרליני ה' גרות א דינר וחצי מ"ב קנים כמה ישוו
כך תעשה תכפול ראשנה המ"ב נגד הדינרין השלמים של מעלה ויהיו מ"ב עוד תכפול האחדים של מטה נגד הגרות ויעלו עשרה ושים ציפרא עוד כפול האחדים נגד הקרליני שהם ח' ויהיו י"ו ועם א יהיו י"ז ושים ז' עוד כפול הב' מלמטה נגד המנינים יהיו י"ד ועם א הנם ט"ו ושימם אחר כפול העשרות של מטה נגד הגרות ויעלו כ' ושים ציפרא עוד כפול העשרו' נגד הקרליני ויהיו ל"ב ועם ב' ויהיו ל"ד ושים ד' עוד כפול העשרות נגד המניני' ויהיו כ"ח ועם ג' יהיו ל"א אח"כ כפול ראוי לקחת חצי המספר התחתון ר"ל ממ"ב והנם כ"א ויהיו דינרין ועם מ"ב ויהיו ס"ג תעשה מהם גרות ויהיו י' גרות וג' דינרין אח"כ חבר הכל ויעלה מ"ז מנינים וא' קרליני וא' גרה וג' דינרין אחר שנתחלק על ז' וזאת צורתם
ואם תרצה לבחון אותו חלק מ"ב על ז' ויצא לך ו' וכפול ו' על המטבעים שלמעלה ויצא לך ג"כ מ"ז מנינים וכו'

ואם השבר הוא למטה ראוי לך לכפול כל השלמים מלמטה נגד כל המטבעים וגם ראוי לקחת מכל המטבעים כפי השבר אם חצי מחציתו ואם שליש שלישיתו ואם ב' שלישיות ב' שלישיות

דמיון זה אם ד' ליט' של כרכום שוות ד' מנינים וב' קרליני וא' גרה וא' דינר ל"ב ושליש כמה ישוו
בתחלה תכפול הל"ב נגד הדינרין ויהיו ל"ב אח"כ כפול האחדים על הגרות ויעלו ב' ושימם במקום הגרות עוד כפול האחדים נגד הקרליני ויהיו ד' עוד תכפלם נגד המנינים ויהיו ח' אח"כ כפול העשרות נגד הגרות ויהיו ג' (... קרליני...) עוד כפול העשרות נגד המנינים ויהיו י"ב אח"כ קח שליש מכל המטבעים של מעלה ויצא א' מגן וד' קרליני בלי גרה וב' דינרין ושליש ותקבץ הכל ויעלו קל"ו מנינים וא' קרליני וז' גרות וד' דינרין ושליש וחלק על זה ד' ויצא ל"ד מנינים בלי קרליני וד' גרות וב' דינרין וז' (א') חלקים מי"ב של דינר וזאת היא צורתם
המופת תחלק המספר התחתון שהוא ל"ב ושליש על ד' ויצא לך ח' שלמים וחלק א' מי"ב וכפול כל זה נגד כל המטבעים של מעלה ויצא לך ל"ד מנינים בלי קרליני וד' גרות וב' דינרין וז' (א') חלקים מי"ב
ואם תרצה לחלק מספר יהיה בו שבר מעלה ומטה ראוי לכפול השבר התחתון על כל המטבעים של מעלה גם על השבר העליון ואח"כ כפול השלמי' התחתונים על כל המטבעים של מעלה ולחבר הכל והיוצא הוא המבוקש
דמיון זה נרצה לדעת אם ו' קנים של משי שוות ו' מנינים וג' קרליני וג' גרות וב' דינרין וחצי כ"ד וחצי כמה ישוו
ראוי לקחת חצי המטבעים העליונים ויהיה ג' מנינים א' קרליני (וחצי) ו(א)' (וחצי) גרות ד' (וא') דינרין ורביע אח"כ תקח חצי המספר התחתון ויהיו י"ב אח"כ תכפול כ"ד על הדינרין ויהיו מ"ח ונחברם עם י"ב ויהיו ס' אח"כ נכפול הכ"ד שלמים נגד המאיות של מעלה ותעשה כנז' אח"כ תקבץ הכל ויעלה כ"ה מנינים ה' קרליני ו' גרות ב' דינרין וי"ז חלקים מכ"ד אחר שנתחלק העולה על ששה וזאת היא צורתם
המופת תחלק המטבעי' מלמעלה על ו' ואח"כ כפול היוצא על כ"ד (וחצי) וישוב כמו מה שיצא לנו
או אם תרצה חלק כ"ד וחצי על ו' והיוצא תכפול על כל המטבעים והדבר יצא שוה
ואם תרצה לדעת אם ב' קנים וחצי שוות ג' מנינים וב' קרליני וב' גרות וג' דינרין ושליש י"ב וחצי כמה שוות
ראוי לכפול בתחלה השבר התחתון נגד כל המטבעי' העליונים ואח"כ ראוי לך לכפול הי"ב שלמים נגד השבר מלמעלה שהוא שליש ואח"כ נכפול כל השלמים התחתונים נגד כל המטבעים אשר למעלה ואח"כ קבץ הכל והעולה תחלק על ב' וחצי
ואופן החלוק נעשה ככה והוא שנעשה מהב' וחצי חצאין ויהיו ה' ואח"כ לכפול העולה על ב' והעולה תחלק על ה' והיוצא הוא המבוקש ויצא לך י"ו מנינים א קרליני ב' גרות וד' דינרין וב' שלישיות דינר כמו זאת הצורה
המופת נחלק י"ב וחצי על ב' וחצי ויצא לך ה' שלמים ותכפלם על כל המטבעים העליונים ויצא לך הדבר שוה
או אם תחלק כל המטבעים שלמעלה על ב' וחצי והעולה תכפול על י"ב וחצי יצא לך מספר שוה
אם יאמר לך אדם ב' שלישיות קנה שוות מגן וחצי ג' רביעיות קנה כמה שוות
הנה יש לך לכפול ג' רביעיות על א וחצי ויצא לך א' ושמינית וראוי עתה לחלק א' ושמין על ב' שלישיות ויצא לך א' שלם וי"א חלקים מי"ו והוא המבוקש
ואם יאמר לך קנה אחת וחצי שוה ג' זהובים ד' קנים וחצי כמה שוים
הנה יש לך לכפול ד' וחצי על ג' (וחצי) ותחלקם על א' (וחצי) ויצא לך ט' שלמים והוא שווי ד' קנים וחצי
ואם יאמר לך ב' קנים וחצי שוות ה' מנינים ושליש ז' קנים וחצי כמה שוות
הנה ראוי לכפול ז' וחצי על ה' ושליש ויצא לך מ' שלמים וראוי לחלק על ב' וחצי ויצא לך י"ו שלמים והוא ערך הז' קנים וחצי
החלק השלישי הם ערכי שברים עם שברים
אם יאמר לך אדם חצי מגן קנה של משי שוה שליש מנין ב' שלישיות של קנה כמה ישוו
הנה יש לך לכפול ב' שלישיות שהם המשי על שליש שהוא הממון ויצא ב' תשיעיות ויש לך לחלק אלו הב' תשיעיות על חצי ויצא לך ד' תשיעיות והוא ערך ב' שלישיות קנה
ואם חצי ליט' של כסף שוה מחצית מגן ב' שלישיות כמה ישוו
הנה ראוי לכפול מחצית על ב' שלישיות ויצא לך שליש א וראוי לחלק זה השליש על חצי ויצא ב' שלישיות והוא המבוקש
ואם יאמר בעד רביעית זהוב קניתי ב' שלישיות קנה כמה אקנה בעד שלישית (שמינית) אחד
הנה יש לך לכפול השמינית על ב' שלישיות ויהיו חלק אחד מי"ב וראוי לחלק זה על רביעית ויצא לך שליש והוא מה שיקנה בעד שמינית
ואם יאמר לך הרוחתי ב' שלישיות מגן בג' רביעיות מחדש עם חצי מגן אחד כמה ארויח בחצי חדש עם שליש מגן
הנה יש לך לכפול החצי על שליש ויצא לך שתות אחד גם ראוי לכפול זה על ב' שלישיות ויצא תשיעית ושמרם עוד כפול ג' רביעיות על מחצית א ויצא לך ג' שמיניות והנה עתה יש לך לחלק תשיעית אחד על ג' שמיניות ויצא לך ח' חלקים מכ"ז והוא מה שירויח שליש מגן בחצי חדש ונשלם השער התשיעי

Chapter Ten: Discusses the Extraction of Roots

 השער העשירי ידבר על הוצאת השרשים
This chapter is divided into three parts: וגם נחלק זה השער לג' חלקים
  • The first part is the extraction of roots of integers
 החלק הראשון הוא הוצאת שרש השלמים
  • The second part is the extraction of roots of fractions
 והחלק הב' הוצאת שרש השברים
  • The third part is the extraction of roots of integers and fractions
 והחלק הג' הוצאת שרש שלמים עם שברים

Part One: Extracting the Roots of Integers
Know that when you wish to extract the root of integers, one should examine first the rank of the number whose root is required. דע כי כשתרצה להוציא שרש השלמים ראוי להסתכל תחלה באיזה מדרגה הוא המספר אשר אתה מבקש שרשו
Know that all the squares are analogous to the squares that are in the first and the second ranks ודע כי כל המרובעים הם נמשלים למרובעים אשר הם במדרגה הראשנה והשניה
The squares that are in the first rank are three, which are 1, 4, 9. ואולם המרובעים אשר הם במדרגה הראשנה הם ג' והם אד"ט
Know that 1 is a compound root and square.
 ודע כי א' הוא שרש מורכב ומרובע
The squares that are in the second rank are 16, 25, 36, 49, 64, 81. והמרובעים אשר הם במדרגה השניה הם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א
The roots of the first rank are three: 1, 2, 3. ואולם שרשי המעלה הראשנה הם ג' אב"ג
The roots of the second rank are 6: 4, 5, 6, 7, 8, 9. ושרשי המעלה השניה הם ו' ד'ה'ו'ז'ח'ט'
Know that all the ranks that succeed the first and second ranks are analogous to the preceding two, i.e. every rank that is even is analogous to the second rank and every odd rank is analogous to the first rank. ודע כי כל המדרגות הנמשכות אחר הראשנה והשניה הם הנמשלות אחר הב' הקודמות ר"ל כי כל מדרגה שהיא זוג נמשלת למדרגה שניה וכל מדרגה נפרדת נמשלת לראשנה
  • Know that the squares that are in third rank are analogous to the first rank and so are their roots, only that their roots should be raised by one rank, i.e. their roots are tens.
 ודע כי המדרגה השלישית המרובעים שבם נמשלים למדרגה הראשנה

גם שרשיהם אבל צריך שתעלה שרשיהם מדרגה אחת ר"ל כי שרשיהם יהיו עשרות

  • The roots and the squares of the fourth rank are analogous to the second rank, but there is no need to raise their roots by one rank, they stay in their rank.
 ומספרי המדרגה הרביעית נמשלים השרשים והמרובעים למדרגה השנית

ואין צורך להעלות שרשיהם מדרגה אחת אלא יעמדו במקומם

  • The roots and the squares of the fifth rank are analogous to the first rank, but the root should be raised to the third rank, so their roots are hundreds.
 והמדרגה החמישית שרשיהם ומרובעיהם נמשלים למדרגה הראשנה

אלא שצריך שתעלה השרש עד המדרגה השלישית ושרשיהם יהיו מאיות

  • The roots and the squares of the sixth rank are analogous to the second rank, but the analogous root should be raised to the hundreds.
 והמדרגה השישית שרשיהם ומרובעיהם נמשלים למדרגה שניה

וצריך שתעלה השרש הנמשל אל המאיות

  • The squares and the roots of the seventh rank are analogous to the first rank, but the root should be thousands.
 והמדרגה השביעית מרובעהם גם שרשיהם נמשלים למדרגה הראשנה

אלא צריך שיהיה השרש אלפים

  • The eighth rank is analogous to the second [rank], but the root should be also thousands.
 והמדרגה שמינית נמשלת לשניה

וצריך שיהיה השרש ג"כ אלפים

  • The ninth rank is analogous to the first rank, but the root is tens of thousands.
 והמדרגה התשיעית נמשלת למדרגה הא'

אלא השרש יהיה עשרות אלפים

  • The tenth rank is analogous to the second [rank] and the roots are tens of thousands.
 והמדרגה העשירית נמשלת לשניה והשרשים יהיו עשרות אלפים
ודע כי כשתרצה להוציא שום שרש צריך לך תחלה להוציא השרש הנמשל כוונתי אם הוא בעשרות אלפים שתוציא תחלה אותם המאות אשר הם השרש ואם נשאר לך איזה דבר צריך שתכפול אותם המאיות על ב' ותחלק הנשאר על אותו הסך ואח"כ אם נשאר לך איזה דבר כי עכ"פ יצטרך שישאר לך באופן שתוכל לקחת מהנשאר מרובע ממה שעלה בחלוק כפל השרש ומה שנשאר עדין אחר לקיחת כפל השרש תפיל מן הסך הגדול רצוני מן המספר אשר בקשת למצא שרשו ומה שנשאר הנה הוא מרובע השרש ומה שיצא לך תחלקהו על ב' זולת מה שעלה לך מכפל השרש והעולה הוא המבוקש
  • Example: we wish to know the root of 980.
\scriptstyle\sqrt{980}
 דמיון רצינו לדעת שרש תתק"פ
כבר אמרנו כי המדרגה הג' נמשלת למדרגה הא' והשרשים שהם במדרגה הא' הם אב"ג והמרובעים הם אד"ט א"כ הט' מאות הם כמו הט' אחדים וידענו כי שרש ט' הם ג' כי ג' פעמים ג' הם ט' אחדים וידענו כי שרש ט' הוא ג' וכבר אמרנו כי יש לנו להעלות אותם ממעלה א' א"כ נעלה אלו הג' שהם שרש ט' ממדרגה א' ויהיו ל' א"כ ל' הם שרש מט' מאות ונשארו פ' כי מספרינו היה ט' מאות ופ' והנה יש לנו לכפול השרש שהוא ל' ויהיו ס' ויש לנו לחלק פ' על ס' ונתן לו א' ונשארו כ' ונקח מהם מרובע זה הא' שעלה בחלוק ונשארו עדין י"ט וכפול (הסר) אותם מן המספר שהוא תתק"פ ונשארו תתקס"א הנה א"כ שרש תתקס"א הוא ל"א
ואם תרצה לדעת שרש המספר בדיוק יותר גדול הנה ראוי לכפול הל"א שהוא השרש ויהיו ס"ב ויש לך לחלק י"ט שנשארו עדין על ס"ב ומה שיעלה יהיה השרש יותר קרוב והוא ל"א וי"ט חלקים מס"ב
  • Another example: we wish to know the root of 49[3]2.
\scriptstyle\sqrt{4932}
 דמיון אחר נרצה לדעת שרש מ"ט אלפים וס"ב (ל"ב)
הנה כבר ידעת כי עשרות אלפים נמשלות למאיות והנה מ' אלפים דומים כמו ד' במעלה הראשנה ושרשו ב' ויהיו ב' מאות א"כ שרש מ' אלף הם ב' מאות ונשארו עדין ט' אלפים ול"ב נכפול ב' מאות ויהיו ד' מאות נחלק ט' אלפים ול"ב על ד' מאות ויעלו עשרים נשארו עדין אלף ול"ב נסיר ממנו מרובע עשרים שהוא ד' מאות וישארו ו' מאות ול"ב ונכפול עשרים ויהיו מ' ושים אותם על ד' מאות ויהיו ת"מ ותחלק ו' מאות ול"ב עליהם ויעלה אחד שלם ונשארו עדין (מאה ו)צ"ב ותסיר מהם מרובע א' ונשאר קצ"א תסירם מל' (ממ"ט) אלפים ול"ב הנשאר מ"ח אלפים וח' מאות ומ"א והוא מרובע הקרוב ממספרינו ושרשו רכ"א
  • Another example: we wish to know the root of one hundred and fifty thousand.
\scriptstyle\sqrt{150000}
 דמיון אחר נרצה לדעת שרש מאה וחמישים אלף
כבר ידעת כי ק' אלף היא המדרגה הו' ודומה למדרגה הב' והנה המרובע שעבר הוא ג' והם ג' מאות ונכפול אותו ויהיו ו' מאות ונשארו עדין ס' אלפים נחלקם על כפל השרש שהוא ת"ר יעלו פ' ונשארו עדין י"ב אלפים ונחסר מהם מרובע פ' שהוא ו' אלפים וד' מאות נשארו ה' אלפים ות"ר ונכפול פ' ויהיו ק"ס ונחברם אל ו' מאות ויהיו תש"ס נחלק ה' אלפים ות"ר עליהם ויצא לך ז' ונשארו עדין רל"א אחר לקיחת מרובע ז' ותפילם מק"נ אלף הנשאר קמט אלפים ותשס"ט והוא מרובע שעבר ושרשו שפ"ז ודוק ותשכח
ובכאן נשלם החלק הראשון מהוצאת שרשי השלמים בלי דיוק אבל אם תרצה לעשות אותו יותר מדוקדק
ולדעת איך הוא הדרך ולאמתו ולהגיע יותר אל הקרוב עדין נבאר זה בחלק הבא מן הוצאת שרשי השברים גם בחלק הג' מן הוצאת שרשי השברים והשלמים

Part Two: Extracting the Roots of Fractions
ודע כי כשתרצה לדעת שרש מאיזה שבר הנה יש לך לבקש מספר שיהיה דומה לאותו השבר
  • I.e. if you are told: how much is the root of a quarter?
\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{4}}
 ר"ל אם אמר לך כמה שרש רביעית
יש לך לבקש מספר ד' כי רביעית יצא מד' ויש לך לקחת מרובע אותו המספר ולקחת שרש הרביעית (של המרובע)
וגם יש לך לקחת שרש המרובע ולחלק שרש (רביעית) המרובע על שרש הרביעית (המרובע) ומה שיעלה בחלוק הוא שרש אותו השבר וכן תעשה תמיד
  • Example: we wish to know the root of one quarter.
\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{4}}
 דמיון זה נרצה לדעת שרש רביעית א'
הנה יש לך לבקש מספר יהיה לו רביעית וגם אותו המספר יהיה מרובע ר"ל שיהיה לו שרש והנה נקח מספר י"ו שהוא מספר מרובע והולך לרביעיות בלי תוספת ומגרעת וקח הרביעית שהוא ד' וקח שרשו של ד' והוא ב' אח"כ קח שרש י"ו שהוא ד' ג"כ וחלק(הו) על(יו) שרש רביעית י"ו שהוא ד' ושרשו היה ב' ויצא לך חצי רביעית א' והוא שרש רביעית א'
  • Another example: we wish to know the root of one third.
\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{3}}
 דמיון אחר נרצה לדעת שרש שלישית א'
הנה יש לך לבקש מספר יהיה לו שלישית ויהיה מרובע וכאלו תכה אותו במספר פ"א שהוא מספר מרובע והולך לשלישיות וקח שלישית פ"א והוא כ"ז אח"כ קח שרש כ"ז שהוא ה' וחומש אח"כ קח שרש פ"א שהוא ט' וחלק ה' וחומש על ט' ויצא לך כ"ו חלקים ממ"ה והוא שרש שליש בקרוב גדול
  • Another example: we wish to know the root of 3 fifths.
\scriptstyle\sqrt{\frac{3}{5}}
 ואם תרצה לדעת שרש ג' חומשים
הנה יש לך לבקש מספר שיהיה לו חומש ותקח ג' חמישיותיו והנה נקח מספר כ"ה כי הוא מספר מרובע ויש לו חומש וקח ג' חמישיותיו והם ט"ו וקח שרשם שהוא ג' וז' שמיניות אח"כ קח שרש כ"ה שהוא ה' וחלק ג' וז' שמיניות על ה' ויצא לך ל"א חלקים ממ' והוא שרש ג' חמישיות
  • Another example: we wish to know how much is the root of 5 eighths.
\scriptstyle\sqrt{\frac{5}{8}}
 דמיון אחר נרצה לדעת כמה שרש ה' שמיניות
הנה יש לך לבקש מספר ששרשו יהיה שמונה והוא ס"ד וקח ה' שמיניותיו והוא מ' וקח שרשם והוא ו' ושליש אח"כ תחלק ו' ושליש על שרש ס"ד שהוא ח' ויצא לך י"ט חלקים מכ"ד וזה יהיה שרש ה' שמיניות
ואם תרצה לדעת שרש השלמים בדקדוק יותר גדול יש לך לקחת מעוקב אותו המספר שתרצה לדעת שרשו וקח שרש מעוקבו שהוא כ"ז כי ג פעמים ג' הם ט' וג' פעמים ט' הם כ"ז וקח שרש כ"ז שהוא ה' וחומש וחלקם על ג' שהוא המספר שתבקש למצא שרשו ויצא לך א' וי"א חלקים מט"ו והוא שרש ג'
  • Another example: we wish to know the root of five.
\scriptstyle\sqrt{5}
 דמיון אחר נרצה לדעת שרש חמשה
תקח מעוקבו והוא שתכפול ה' פעמי' ה' והם כ"ה ותכפול כ"ה פעמים ה' והם קכ"ה וקח שרש קכ"ה שהוא י"א וב' חלקים מי"א ותחלקם על ה' שהוא המספר שתרצה לדעת שרשו ויצא לך ב' שלמים וי"ג חלקים מכ"ה (מנ"ה) ותקיש על זה
ואם תרצה לדעת השרש באופן אחר יש לך לקחת שרש המרובע שעבר ולכפול השרש ולחלק מה שנשאר (על מרובע השרש) על כפל השרש (והיוצא חברו על הנשאר) והעולה הוא הנשאל
  • Another example: we wish to know the root of six.
\scriptstyle\sqrt{6}
 דמיון אחר נרצה לדעת שרש ששה
הנה יש לך לקחת שרש המרובע שעבר שהוא ד' ושרשו ב' ויש לך לכפול השרש ויהיו ד' ותחלק מה שנשאר שהוא ב' על ד' ויצא לך חצי אחד ועם הב' שיש לנו הם ב' וחצי והוא שרש חמשה בקרוב
ואם תרצה לבחון אותו תקח מרובע ב' וחצי ויעלה ו' ורביע הנה לא מצאת כי אם רביעית נוסף על הו' ואם תרצה לדקדק החשבון יותר הנה יש לך לכפול ב' וחצי שיצא לנו ויהיו ה' ויש לך לחלק הרביעית הנוסף על ה' ויצא לך חלק א' מעשרים ותפיל זה מן ב' וחצי ונשארו ב' וט' חלקים מעשרים והוא שרש ו'
  • Another example: we wish to know the root of 8.
\scriptstyle\sqrt{8}
 דמיון אחר נרצה לדעת שרש ח'
הנה בעבור כי הוא יותר קרוב אל ט' ממה שהוא קרוב אל ד' שהוא מרובע שעבר נחשוב כאלו מספרינו היה ט' ונקח שרשו והוא ט' (ג') וכפול אותו ויהיו ו' והוא מצד כי חשבונינו לא היה כי אם ח' המרחק אשר בין ח' לט' הוא א' ונחלק זה הא' על כפל השרש שהוא ו' ויצא לך שתות אחד וזה השתות יש לנו להפילו מן הג' ונשארו ב' וה' שישיות והוא שרש ח' בקרוב ואין צריך לדקדקו יותר
אכן אם תרצה לקרבו יותר אל האמת הנה אתה תקח מרובע(ו) ב' וה' שישיות ותמצא כי הוא עולה ח' שלמים ותמצא בו מתוספת חלק מל"ו ותחלק זה החלק מל"ו על כפל ב' וה' שישיות שהיה שרשינו הראשון שיהיו ה' שלמים וב' שלישיות ומה שיעלה שהוא ג' חלקים מו' מאות וי"ג (י"ב) תפיל מן ב' וה' שישיות והנשאר הוא השרש היותר קרוב אל האמת
ואם תרצה למצא השרש באופן אחר
  • Example: we wish to know the root of 7.
\scriptstyle\sqrt{7}
 דמיון נרצה לדעת שרש ז'
הנה יש לך לכפול אלו הז' על איזה מספר יהיה לו שרש והנה נכפול אותו עם ד' כי ב' הם שרש ד' ויהיו כ"ח נקח שרש כ"ח שהוא ה' וג' עשרות וחלקם על שרש ד' שהם ב' ויצא לך ב' שלמים וי"ג חלקים מכ'
  • Another example: we wish to know the root of 12.
\scriptstyle\sqrt{12}
 דמיון אחר נרצה לדעת שרש י"ב
הנה יש לך לכפול אותם עם מספר שיש לו שרש והנה נכפול אותו עם ט' כי ט' הוא מספר מרובע כי שרשו ג' ויעלו ק"ח וקח שרשם שהם י' וב' חמישיות וחלקם על שרש ט' שהם ג' ויצא לך שלשה וז' חלקים מט"ו וזה יספיק לך בידיעת הוצאת שרשי השלמים גם שרשי השברים

Part Three: Extracting the Roots of Fractions and integers

 החלק הג' הוא להוציא שרשי השברים עם השלמים
דע כי כשתרצה להוציא שרש שום מספר שלם ושבר יש לך לבקש מספר מספר שיהיה לו אותו חלק אשר הוא בשבר אשר אתה מבקש שרשו ותכפול אותו על המספר שמצאת נגד השלמים שלך גם תקח חצי המספר שמצאת אם השבר הוא חצי או שלישיתו אם השבר הוא שליש סוף דבר תקח מן המספר חלק השבר ותוסיף הכל וקח שרש העולה ושמרהו אח"כ קח שרש המספר שמצאת ותחלק השרש מהמספר הגדול על שרש המספר הקטן ומה שיעלה הוא המבוקש
  • Example: we wish to know the root of 3 and a half.
\scriptstyle\sqrt{3+\frac{1}{2}}
 דמיון זה נרצה לדעת שרש ג' וחצי
הנה מאחר שיש במספרינו חצי יש לך למצא איזה מספר מרובע אשר תוכל לחלקו על ב' ונכפול אותו על ג' מצד כי יש לנו ג' שלמים יעלו י"ב כי במספרינו יש בו חצי נקח חצי ד' שהם ב' ונוסיפם על י"ב ויהיו י"ד ונקח שרשם ויהיו ג' וג' רביעיות ותחלקם על שרש מספרינו שהוא ד' שהשרש הוא ב' ויעלה א' שלם וז' שמיניות והוא המבוקש
  • Another example: we wish to know the root of 4 and a fifth.
\scriptstyle\sqrt{4+\frac{1}{5}}
 דמיון אחר נרצה לדעת שרש ד' וחומש
תבקש מספר מרובע שיהיה לו חומש ותמצא כ"ה ותכפול ( ) אותו על ד' מצד כי יש לנו ד' שלמים כי עלו ק' וקח חומש כ"ה שהוא ה' ותוסיפם על ק' ויהיו ק"ה וקח שרשם ויצא לך י' וחומש וחלקם על שרש כ"ה שהוא ה' ויצא לך ב' שלמים וחלק א' מכ"ה והוא שרש ד' וחומש
  • Another way: we wish to know the root of 6 and a fifth.
\scriptstyle\sqrt{6+\frac{1}{5}}
 דרך אחרת נרצה לדעת שרש ו' וחומש
הנה יש לך לקחת שרש השבר ר"ל מהחומש והנה ידענו כי הוא ב' ורביע בקרוב וא"כ יש לך לעשות מהו' שלמי' חומשים ויהיו ל"א עם החומש וקח שרשם שהוא ה' וג' חומשים בקרוב וחלקנו על שרשינו הראשון שהוא ב ורביע ויצא לך ב' שלמים וכ"ב חלקים מכ"ה (ממ"ה)
  • Another example: we wish to know the root of 9 and 3 quarters and a quarter of a quarter.
\scriptstyle\sqrt{9+\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}
 דמיון אחר נרצה לדעת שרש ט' וג' רביעיות ורביעית רביעית
הנה ראוי לקחת רביעית הרביעית והוא יהיה חלק מי"ו וקח שרש י"ו והוא ד' ושמרם אח"כ חבר ג' רביעיות עם רביעית רביעית ויהיו י"ג חלקים מי"ו אח"כ כפול הט' שלמים על י"ו ויעלו קמ"ד ותחבר אליהם י"ג שהם חלקי הג' רביעיות גם חלק רביעית הרביעית ויעלה הכל (מ"ג) קנ"ז וקח שרשם (וקח שרשם) ויצא לך י"ב וי"ג חלקים מכ"ד וחלקם על השרש השמור שהוא ד' ויצא לך ג' שלמים וי"ג חלקים מצ"ו והוא שרש י"ו וג' רביעיות ורביעית הרביעית
ובכאן נשלם השער העשירי וזה יספיק לך בהוצאת השרשים

Chapter Eleven: Checking Methods

 השער הי"א ידבר על המאזנים הן מהכפל הן מהחלוק וכן לשאר המלאכות הן בשלמים הן בשברים הן בשברים ושלמים
ותחלה נדבר על מאזני חבור השלמים
דע כי כשתרצה לדעת חבור השלמים אם הוא עשו(י) כהוגן וכשורה תמנה כל המספרים המחוברים ותוציאם ט"ט אח"כ שוב אל המחובר ותוציאם ט"ט ואם הנשאר על התשיעיות הוא שוה למה שנשאר אחר הוצאת התשיעיות מן כל המספרים המחוברים דע כי חשבונך הוא אמת וכן תוכל לעשות אם תוציא כל הש(י)לישיות
דמיון זה חברנו קי"א על רכ"ב ועם של"ג הנה העולה הוא תרצו (תרס"ו) הוציא כל התשיעיות מהג' מספרים המחוברים ותמצא כי הולך מצומצם כוונתי כי לא ישאר מאומה ולכן שים גלגל אח"כ שוב אל המחובר והוצא התשיעיות גם הוא הולך בצימצום ולכן שים גלגל והוא שוה אל הגלגל השמור
וכן תוכל לעשות אם תוציא השלישיות וכן מן השביעיות
וכן תוכל לבחון אותו עם כל מספר שתרצה ואין צורך להאריך
ואם תרצה לדעת מאזני חבור המטבעים
הנה ראוי למנות כל התשיעיות מכל המספרים המחוברים ולשמור היוצא אח"כ שוב אל היוצא ובעד כל גרה שעשית מחבור הדינרין תקח ה' כי הו' דינרין הוא גרה א' א"כ מה שהוא למטה (א' ש"מ שהוא) גרה א' הוא למעלה ו' שהם ו' דינרין לכן קח ה' על כל גרה ועל כל טרי שעלה לך מחבור הגרות קח (א) כי הכ' גרות הם טרי א' א"כ היה ראוי לקחת י"ט ולכן נעזוב י"ח שהולך לתשיעיות וישאר א' ועל כל מגן שעשית מן הטרי קח ד' כי הה' טרי של מעלה שוה א' למטה לכן נקח ד' ג"כ תקח על כל אוק' שעלה לך מחבור המנינים ה' כי הו' מנינים הם אוק' והשליך כל התשיעיות ויהיה שוה אל השמור
דמיון זה חברנו ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ח גרות וב' דינרין עם ג' אוק' וד' מנינים וג' טרי וי"ט גרות וג' דינרין עם ד' אוק' וא מגן וד' טרי וי"ז גרות וד' דינרין ועלה המחובר עשרה אוק' וד' מנינים וג' טרי וט"ו גרות וג' דינרין השליך כל התשיעיות מהג' מספרים המחוברים הנשאר א' אח"כ שוב אל העולה ותקח ה' בעד גרה אחת שעשינו מחבור הדינרין ותקח בעד ב' טרי שעלה לך מחבור הגרות ב' ויהיו ז' גם תקח ח' בעד הב' מנינים שעלו לך מחבור הטרי ויהיו ט"ו השלך מהם ט' וישארו ו' עוד קח ה' בעד אוק' אחת שעלה לך מחבור המנינים ועם הו' שיש לך יהיו י"א השלך מהם ט' נשארו ב' וחברם עם העולה והשלך כל התשיעיות וישאר עדין א' והוא שוה אל הא' השמור
ואם תרצה לדעת מאזני המגרעת
הנה ראוי לחבר מה שהוצאת מן המספר הגדול עם מה שנשאר עדין וישוב כמו המספר הגדול או אם תשליך כל התשיעיות ממה שהוצאת ותחבר עם (הנשאר כל התשיעיות) מה שנשאר מן המספר אחר הגרעון ותוציא גם מזה התשיעיות והנשאר שמור אח"כ שוב אל המספר הגדול והשלך כל התשיעיות ואם מה שנשאר הוא שוה אל השמור דע כי חשבונך אמת
דמיון זה נרצה לגרוע מן ר"נ ק"ל והנה נשאר עדין ק"כ הנה יש לך לחבר ק"כ על ק"ל וישוב ר"נ או אם תשליך כל התשיעיות מן ק"ל ישאר עדין ד' ותחברם אל ק"כ והוציא התשיעיות ונשאר ז' ושמרם אח"כ הוצא כל התשיעיות מן ר"נ הנשאר ז' והם שוים אל הז' השמורים
ואם תרצה לדעת מאזני מגרעת המטבעים
תעשה הפך החבור והוא שתוסיף על המספר העליון על כל דינר גרה שלקחת מהמספר הקטן ה' ועל כל טרי תוסיף א' ועל כל מגן תוסיף ד' ועל כל אוק' תוסיף ה' ותשליך מכל זה התשיעיות ומהמספר הגדול ושמור היוצא אח"כ תשליך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר וישוה אל השמור
דמיון זה גרענו מב' טרי אוק' וג' מנינים וג' טרי וי"ב גרות וג' דינרין א אוק וד' מנינים וד' טרי וט"ו גרות וה' דינרין ונשארו עדין ד' מנינים וג' טרי וי"ו גרות וד' טרי (דינרין)
ואם תרצה לדעת אותו תקח ה' בעד הגרה שלקחנו מהמספר התחתון עוד תקח א' בעד הטרי ויהיו ו' עוד תקח ד' ויהיו י' השלך מהם ט' נשאר א' עו' קח ה' בעד האוק' ויהיו ו' ותשליך כל התשיעיות מהמספר הגדול ותחבר אליהם הו' וישארו ב' אח"כ השלך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר וישארו ג"כ ב' והם שוים אל הב' השמורים
ומאזני הכפל
נעשים ככה והוא שתחלק היוצא מן הכפל על א מהמספרים המוכים זה על (זה) וישוב כמו האחר
דמיון זה נרצה לדעת מאזני כפל י"ז על י"ג הנה היוצא הוא רכ"א תחלק רכ"א על י"ג ויצא לך י"ז או חלק רכ"א על י"ז ויצא י"ג
ותוכל לדעתם באופן אחר והוא שתשליך כל התשיעיו' מי"ג וגם מי"ז והנה נשאר מי"ג ד' ומי"ז נשארו ח' כפול ח' על ד' ויצא ל"ב השלך התשיעיות ונשאר ה' אח"כ שוב אל סך העולה שהוא רכ"א והשלך התשיעיות ונשאר עדין ה' והם שוים אל הה' השמורי'
וכן תוכל לעשות מהשלישיות ומהשביעיות ומכל המספרים אך המאזנים הנהוגים היום על הרוב הם מאזני הט' והז'
ואם תרצה לדעת מאזני כפל מהמטבעים
יש לך לקחת על כל גרה שעלה לך מכפל הדינרין ה' ועל כל טרי שיצא מן הגרות א' ועל כל מגן שיצא לך מהטרי ד' ועל כל אוק' שיצא לך מן המגן ה' ולחבר הכל עם הסך העולה ויצטרך שמה שישאר יהיה שוה אל המספרים המוכים זה על זה
דמיון זה אם ככר הצמר שוה ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ח גרות וג' (ב') דינרין י"ב ככרים ישוו ל"א אוק' וה' מנינים וד' טרי בלי גרה ובלי דינר המאזנים נעשים ככה השלך כל התשיעיות מהמספר העליון הנשאר ב' גם תשליך התשיעיות מי"ב הנשאר ג' כפול ג' על ב' ויהיו ו' אח"כ שוב אל היוצא והשלך כל התשיעיות וקח עשרים בעד ד' גרות שיצאו מכפל הדינרין ותקח י"א בעבור יא טרין שעלו מכפל הגרות ותקח מ"ד בעבור יא מנינים שעלו מכפל הטרי ותקח ל"ה בעבור ז' אוק' שעשית מהמנינים והשלך כל התשיעיות מכל זה וגם מהסך העולה ר"ל שווי הי"ב ככרים וישארו ג"כ ו' וזאת היא צורתם
ואולם מאזני חלוק של מטבעים
נעשה ככה והוא שתשליך כל התשיעיות מהיוצא מן החלוק ושמור הנשאר וגם תשליך כל התשיעיות מן המספר המחלק ושמור הנשאר ומה שישאר מהמחלק כפול על מה שנשאר מהיוצא ותוסיף עליהם אם נשאר מאומה שלא נתחלק ושמור היוצא על התשיעיות אח"כ שוב אל המספר המחולק והשלך כל התשיעיות ותקח בעד כל גרה (אוק') שהשיבות אחורנית ה' ועל כל מגן שהשיבות אחור ד' ועל כל טרי א' ועל כל גרה ה' ותחבר הכל ותשליך התשיעיות ומה שישאר יהיה שוה אל השמור מלמטה
דמיון זה נרצה לחלק לז' בני אדם ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ז גרות וב' דינרין ועלה לכל א' וא' ב' מנינים וא' טרי וח' גרות וא' דינר ונשאר עדין דינר א' הנה תשליך כל התשיעיות ומהיוצא הנשאר ג' ושמרם עוד תשליך התשיעיות מהמחלק הנשאר ז' כפול ג' על ז' ויהיו כ"א תשליכם ט"ט נשאר ג' וקח דינר א' שנשאר לחלק ויהיו ד' ושמרם אח"כ שוב אל המספר המחולק והשלך כל התשיעיות ותקח בעד כל הב' אוק' ששבו אחור י' וקח ד' בעד המגן ששב אחור וקח ב' בעד הב' טרי ששבו אחור וקח ה' בעד הגרה ששבה אחור והשלך כל התשיעיות וישארו ג"כ ד' וזאת היא צורתם
אולם מאזני החלוק
נעשה ככה והוא שאם תכפול מה שיצא מן החלוקה על המספר המחלק ואם נשאר מאומה תחלק (תחבר) על מה שיצא מהכפל והעולה צריך שיהיה כמו המספר המחולק
דמיון זה חלקנו ד' מאות על י"ד והנה יצא לך כ"ח ונשארו עדין ח' לחלקם על י"ד הנה ראוי לכפול כ"ח על י"ד ותחבר על העולה ח' ויצא לך ח' (ד') מאות כמו המספר המחולק או תעשה ככה והוא שתשליך כל התשיעיות מהמספר המחלק שהוא י"ד הנשאר ה' גם תסיר כל התשיעיות מהיוצא שהוא כ"ח הנשאר א' וכפול אותם על ה' השמורים והנם ה' ותחברם אל הח' הנשארים לחלק והנם י"ג תסיר מהם הט' ונשארו ד' ושמרם אח"כ שוב אל המספר המחולק שהוא ד' מאות ותוציא התשיעיות ונשארו ד' והם שוים אל הד' השמורים וכן תוכל לעשות מהז' ומכל שאר המספרים
ואולם מאזני חבור השברים
נעשה כך והוא שתסיר מהמחובר המספר השני וישוב כמו המספר הראשון או תסיר המספר הא' וישוב כמו המספר הב' או אם חברת א או ב או ג' או ד' תסיר א' משלשתן או מארבעתן [וי]שוב כמו חבור שני המספרים הנשארים זולת אותו שחסרת מהמחובר
דמיון זה חברנו שליש עם רביע ועלה ז' חלקים מי"ב הוצא מהז' חלקים מי"ב שלישית אחד ונשאר עדין רביעי' אחד או הוצא מז' חלקים מי"ב רביעית אחד הנשאר שליש אחד
דמיון מג' מספרים חברנו מחצית ושליש ורביע ועלה א' (ו)חלק (א') מי"ב הנה אם תסיר מהם החצי שהוא אחד מהג' מספרים ונשאר עדין ז' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור השליש והרביעית או אם תסיר מן העולה שהוא אחד שלם וחלק אחד מי"ב השליש שהוא א מג' מספרי' הנשאר ט' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור החצי והרביעית ואם תחסר הרביעית הנשאר י' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור החצי והשליש ותקיש על זה
ואולם מאזני המגרעת מהשברים
נעשה ככה והוא שתחבר מה שנשאר אחר הגרעון עם המספר הקטון וישוב כמו הגדול
דמיון זה נרצה לגרוע מן שליש אחד רביעית אחד הנה נשאר עדין חלק מי"ב הנה יש לך לחבר חלק אחד מי"ב עם רביעית אחד וישוב שליש אחד בלי תוספת ומגרעת
ואולם מאזני כפל השברים
נעשה באופן זה שתחלק מה שעלה מכפל שני המספרים על א' משניהם וישוב כמו האחר
דמיון זה נרצה לכפול רביעית על חומש הנה העולה חלק מכ' תחלק זה החלק מכ' על רביעית ויצא לך חמישית כמו המספר האחר או תחלקהו על חמישית ויצא לך רביעית בלי תוספת
וגם אמנם מאזני חלוק השברים נעשה ככה והוא שתכפול מה שיצא מן החלוקה על המספר החולק וישוב כמו המחולק
דמיון זה נרצה לחלק רביעית על חומש הנה יצא לך אחד ורביע ותכפלם על המספר המחלק שהוא חומש וישוב רביעית כמו המספר המחולק
ואולם מאזני הערכים
הדרך הוא כך והוא שתחלק המספר אשר ערכו נעלם על הידוע והעולה תכפול על ממון המספר הידוע וישוב כמו המספר הנעלם
דמיון זה ג' קנים ממשי שוות ד' מנינים ו' קנים ישוו ח' מנינים והנה יש לך לחלקים אשר הם הקנים אשר ערכם נעלם על הג' אשר ערכם ידוע ויצא לך ב' ותכפלם על ממון הג' קנים שהיה ד' מנינים ויעלה ח' והוא שוה אל הח' השמורים שהוא ערך הקנים
ואם יש בו שברים עם שלמים תעשה על זה האופן או אם אין בו כי אם שברים לבדם כי הכל הולך בדרך אחד
ואולם מאזני שרשי המרובעים
הוא נעשה ככה והוא שתקח מרובע השרש אשר מצאת במספר המונח ומה שיעלה יצטרך שישוב כמו המספר אשר מצאת שרשו
דמיון לקחנו שרש מספר קמ"ד שהוא י"ב נש' נקח מרובע י"ב ויעלה קמ"ד אב' אין בו טעות כי שב להיות על משפטו הראשון שהוא קמ"ד
ואולם אם אין לאותו המספר המונח שרש אמיתי כי אם בקרוב ראוי לקחת מרובע אותו השרש אשר מצאת שהיה בקרוב וצריך שיעדיף על המספר המונח א' רצוני על המספר אשר לקחת שרשו
דמיון נרצה לדעת שרש ה' ומצאנו שהוא ה' (ב') ורביע ונרצה לדעת עם המאזנים אם הוא כן והנה נקח מרובע ב' ורביע שהוא עולה פא תמצא בו ה' פעמים י"ו ונשאר א' וכן לעולם
ואולם אמרי ה' פעמים י"ו כי מספר ה' הוא מספרינו המונח וי"ו הוא מרובע הרביעית המיותרים על הב' אשר הוא השרש והבן זה
וכן תוכל לדעת מן השברים מעורבים עם שלמים או מן שברים זולת שברים

Chapter Twelve: Word Problems

 השער הי"ב ידבר על שאלות אשר קצתן הן מהערכין וקצתן מהחבורות ומהן מקשירת הכסף ומהם מחלופים ומהם משרשים וכן כל כיוצא בזה

Purchase Problems – Unequal Amount
1) Question: a man wants to buy a canna from four kinds of clothes, one canna from each types - red, green, black and white, and the total amount is 17 peraḥim.
He said that the canna of the black [cloth] costs 12 carlini and two parts of 15 more than [the canna of] the white [cloth].
The canna of the green [cloth] costs 15 carlini and two sevenths more than the canna of the black [cloth].
The canna of the red [cloth] costs 23 carlini and two fifths more than [the canna of] the green [cloth].
We wish to know how much is the price of each, so that when all the prices are summed together the sum is 17 peraḥim.
 א) שאלה אדם רוצה לקנות קנה אחד מד' מיני בגד א' קנה מכל מין ומין אדום וירוק ושחור ולבן וסך הכל עולה י"ז פרחים

ואמר כי הקנה מהשחור שוה יותר מהלבן י"ב קרליני וב' חלקים מט"ו
והקנה מהירוק שוה יותר מקנה השחור ט"ו קרליני וב' חלקים מז‫'
ואמר שהקנה מהאדום שוה יותר מהירוק כ"ג קרליני וב' חמישיות
נרצה לדעת כמה ערך כל א' וא' באופן שכשנחבר ערך כלם יעלו י"ז פרחים

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c+d=17\\\scriptstyle c=d+12+\frac{2}{15}\\\scriptstyle b=c+15+\frac{2}{7}\\\scriptstyle a=b+23+\frac{2}{5}\end{cases}
The answer: Take 12 and 2 parts of 15, sum them with 15 and 2-sevenths and with 23 and 2-fifths, then add once more 12 and 2 parts of 15, with 15 and 2-sevenths and with 23 and 2-fifths; the result is 9 peraḥim, 44 cavalli and 4-sevenths.
 תשובה תקח י"ב וב' חלקים מט"ו ותחבר אותם עם ט"ו וב' שלישיות שביעיות ועם כ"ג וב' חמישיות עוד שוב לחבר פעם שניה י"ב וב' חלקים מט"ו וט"ו וב' שביעיות וכ"ג וב' חמישיות ויעלה ט' פרחים ומ"ד קאוואלי וד' שביעיות
Subtract all this from 17 peraḥim; the remainder is 7 peraḥim, 9 carlini, 75 cavalli and 3-sevenths.
 תסיר כל זה מי"ז פרחים וישארו ז' פרחים וט' קרליני וע"ה קאוואלי וג' שביעיות
Divide it into 4 parts; the result is 17 carlini, 102 cavalli and 6-sevenths and this is the price of the white cloth that is the cheapest.
 ותחלקם לד' חלקים ויצא לך י"ז קרליני וק"ב קאוואלי וו' שביעיות וזה יהיה ערך הבגד הלבן שהיה יותר גרוע
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle d&\scriptstyle=\frac{\left(17\sdot10\right)-\left[\left[{\color{red}{3}}\sdot\left(12+\frac{2}{15}\right)\right]+\left[2\sdot\left(15+\frac{2}{7}\right)\right]+\left(23+\frac{2}{5}\right)\right]}{4}=\frac{\left(17\sdot10\right)-\left[\left(9\sdot10\right)+\frac{44+\frac{4}{7}}{120}\right]}{4}\\&\scriptstyle=\frac{\left(7\sdot10\right)+9+\frac{75+\frac{3}{7}}{120}}{4}=1{\color{red}{9}}+\frac{10{\color{red}{8}}+\frac{6}{7}}{120}\\\end{align}}}
Then, add it to 12 carlini and 2 parts of 15; the result is 31 carlini, 118 cavalli and 6-sevenths and this is the price of the black [cloth].
 אח"כ תוסיף על זה י"ב קרליני וב' חלקים מט"ו ויצא לך ל"א קרליני וקי"ח קאוולי ג' ו' שביעיות וזה היה ערך השחור
\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(1{\color{red}{9}}+\frac{10{\color{red}{8}}+\frac{6}{7}}{120}\right)+\left(12+\frac{2}{15}\right)=31+\frac{1{\color{red}{24}}+\frac{6}{7}}{120}}}
Add 15 cavalli and 2-sevenths to the price of the black [cloth]; the result is 47 carlini, 39 cavalli and one-seventh and this is [the price] of the green [cloth].
 עוד תוסיף על סך השחור ט"ו קאוואלי וב' שביעיות ויצא לך מ"ז קרליני ול"ט קאוואלי ושביעית אחד וזה יהיה חלק הירוק
\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(31+\frac{1{\color{red}{24}}+\frac{6}{7}}{120}\right)+\left(15+\frac{2}{7}\right)=47+\frac{39+\frac{1}{7}}{120}}}
Add 23 carlini and 2-fifths to the price of the green [cloth]; the total result is 70 carlini, 87 cavalli and one-seventh. We define it as is the price of the red [cloth].
 עוד תוסיף על סך הירוק כ"ג קרליני וב' חמישיות ויעלה הכל ע' קרליני ופ"ז קואלי ושביעית וזה נשים ערך האדום
\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(47+\frac{39+\frac{1}{7}}{120}\right)+\left(23+\frac{2}{5}\right)=70+\frac{87+\frac{1}{7}}{120}}}
When we sum up all, the result is 17 peraḥim no more and no less.
\scriptstyle{\color{blue}{a+b+c+d=17}}
 וכשנחבר הכל יעלה י"ז פרחים בלי פחות ויתר

Partnership Problems - for different times
2) Question: two men formed a partnership.
One contributed 100 minyanim, stayed in the partnership for 6 months, and earned 40 minyanim.
The other contributed unknown amount of money, stayed in the partnership for 7 months, and earned 90 minyanim.
How much was his money?
 ב) שאלה ב' אנשים עושים שותפות

הא' שם ק' מנינים ועמדו בשותפות ו' חדשים והרויחו מ' מנינים
והאחר שם ממון נעלם ועמדו בשותפות ז' חדשים והרויחו צ' מנינים
כמה היה ממונו

Answer: you should multiply the amount of money that the second earned, which is 90, by 10; the result is 9 thousand.
 התשובה הנה ראוי לך לכפול הממון שעשה השני שהוא צ' ולכפול על ק' ויעלה ט' אלפים
Divide it by the profit of the first, which is 40; the result is 225.
 ותחלקם על ריוח הראשון שהוא מ' ויעלה רכ"ה
So, the amount of money of the second for 6 months was 225 and he stayed in the partnership for 7 months.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90\sdot100}{40}=\frac{9000}{40}=225}}
 הנה א"כ השני היה ממונו רכ"ה לערך ו' חדשים ועמדו בשותפות ז' חדשים
Rule of Three: We say: if 7 is equal to 225, how much is 6 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{7:225=6:x}}
 ונאמר אם ז' שוים רכ"ה ו' כמה שוים
The result is 192 and 6-sevenths and it is the amount of money of the second.
\scriptstyle{\color{blue}{x=192+\frac{6}{7}}}
 ויצא לך קצ"ב וו' שביעיות והוא ממון השני

Interest and Discount Problems - Find the time
3) Question: a man earned 5 pešuṭim for 4 minyanim in 3 months. In how many months would 6 minyanim yield 7 [pešuṭim]?
 ג) שאלה אדם הרויח עם ד' מנינים בג' חדשים ה' פשוטים

ו' מנינים בכמה חדשים ירויחו ז‫'

Answer: multiply 3 by 4; it is 12.
 התשובה כפול ג' על ד' ויהיו י"ב
Then, divide 12 by 6; the result is two.
 אח"כ תחלק י"ב על ו' ויצאו שנים
Hence, 6 minyanim yield 5 [pešuṭim] in 2 months.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot4}{6}=\frac{12}{6}=2}}
הנה א"כ ו' מנינים בב' חדשים הרויחו ה‫'
Rule of Three: Our profit was 7, so we do as follows: if 5 minyanim are equal to 2 months, how many months are 7 minyanim equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{5:2=7:x}}
 והריוח שלנו היה ז' ולכן נעשה כך ונאמר אם ה' מנינים שוים ב' חדשים ז' מניני' כמה חדשים שוים
Multiply two by 7; the result is 14.
 כפול שנים על ז' ויצאו י"ד
Divide 14 by 5; the result is 2 months and 4-fifths of a month.
 ותחלק י"ד על ה' ויצא ב' חדשים וד' חומשי חדש
So, they yield 7 minyanim in 2 months and 4-fifths of a month.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2\sdot7}{5}=\frac{14}{5}=2+\frac{4}{5}}}
הנה א"כ בב' חדשים וד' חומשי חדש ירויחו ז' מנינים

Find a Quantity

How Much - Money
4) Question: we summed the third and the quarter of an unknown amount of money and the result is 24.
How much is the amount of money?
\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=24
 ד) שאלה מסך ממון בלתי נודע קבצנו השליש והרובע ועלה כ"ד

כמה הממון

False Position: Answer: take the common denominator, which is 12, from the multiplication of 3 by 4.
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}
 התשובה תקח המורה שהוא י"ב מכפל ג' על ד‫'
Then, take its third and quarter; they are 7.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7}}
 אח"כ קח מהם השליש והרובע והם ז‫'
Rule of Three: As the ratio of 7 to 12, so is the ratio of 24 to our unknown number.
\scriptstyle{\color{blue}{7:12=24:X}}
 הנה א"כ ערך אלו הז' אל י"ב כערך כ"ד אל מספרינו הנעלם
We multiply 12 by 24; the result is 288.
 לכן נכפול י"ב על כ"ד ויעלה רפ"ח
We divide it by 7; you get 41 and a seventh and this is the amount of the money.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot24}{7}=\frac{288}{7}=41+\frac{1}{7}}}
 נחלקם על ז' ויצא לך מ"א ושביעית והוא סכום כל הממון
Check: You can check it by taking a third of 41 and a seventh; it is 13 integers and 5-sevenths.
 ותוכל לבחון אותו והוא שתקח שליש מ"א ושביעית ויהיו י"ג שלמים וה' שביעיות
Take also a quarter of 41 and a seventh; you get 10 and 2-sevenths.
 עוד קח הרביעית ממ"א ושביעית ויצא לך י' וב' שביעיות
Sum them with the 13; they are 24 no more and no less.
 ותחברם אל י"ג ויהיו כ"ד בלי תוספת ומגרעת
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{3}\sdot\left(41+\frac{1}{7}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(41+\frac{1}{7}\right)\right]=\left(13+\frac{5}{7}\right)+\left(10+\frac{2}{7}\right)=24}}
5) Question: we took the third and the fifth of an amount of money plus a third of what remains and they are 12.
How much is the total amount of money?
\scriptstyle\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{3}X-\frac{1}{5}X\right)\right]=12
 ה) שאלה מסך ממון לקחנו שלישיתו וחמישיתו ושליש מה שנשאר והיו י"ב

כמה היה כל הממון

False Position: The answer: take 1 as an example and extract its third and fifth; they are 8 parts and 15.
 התשובה תקח המשל על א' ותוציא ממנו השליש והחומש ויהיו ח' חלקים מט"ו
Take the remaining third, i.e. the third of 8 parts of 15 and sum them; the total sum is 62 parts of 90.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{8}{15}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{7}{15}\right)=\frac{62}{90}}}
 עוד קח שליש הנשאר רצוני שליש הח' חלקים מט"ו ותחברם ויעלה הכל ס"ב חלקים מצ‫'
Rule of Three: Then, you should multiply 12 by 62 and divide the product by 90; you get 17 integers and 13 parts of 31 and this is the whole amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot{\color{red}{90}}}{{\color{red}{62}}}=17+\frac{13}{31}}}
 אח"כ יש לך לכפול י"ב על ס"ב ותחלק העולה על צ' ויצא לך י"ז שלמים וי"ג חלקים מל"א וככה היה כל הממון
Check: To check it, take a third of this number; it is 5 integers and 25 parts of 31.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(17+\frac{13}{31}\right)=5+\frac{25}{31}}}
 ולבחון אותו קח שליש זה המספר ויהיו ה' שלמים וכ"ה חלקים מל"א
Take also a fifth of the number; it is 3 integers and 15 parts of 31.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(17+\frac{13}{31}\right)=3+\frac{15}{31}}}
 עוד תקח חומש המספר ויהיו ג' שלמים וט"ו חלקים מל"א
Sum them together; the result is 9 integers and 9 parts of 31.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{25}{31}\right)+\left(3+\frac{15}{31}\right)=9+\frac{9}{31}}}
 אחר כן תחברם יחד ויעלו ט' שלמים וט' חלקים מל"א
Subtract this number from 17 integers and 13 parts of 31; the remainder is 8 integers and 4 parts of 31.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(17+\frac{13}{31}\right)-\left(9+\frac{9}{31}\right)=8+\frac{4}{31}}}
 ותוציא זה המספר מי"ז שלמים וי"ג חלקים מל"א הנשאר ח' שלמים וד' חלקים מל"א
Divide it by 3 and add the quotient to 9 integers and 9 parts of 31; the total result is 12.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{9}{31}\right)+\frac{8+\frac{4}{31}}{3}=12}}
 ותחלקם על ג' ותחבר היוצא עם ט' שלמים וט' חלקים מל"א ויעלה בין הכל י"ב

First from Last - Money
6) Question: if a man says to you: we took a third and a quarter from an amount of money and 14 still remain, how much was the total amount of money?
\scriptstyle X-\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X\right)=14
 ו) שאלה אם יאמ' לך אדם מסך ממון לקחנו שלישיתו ורביעיתו ונשאר עדין י"ד כמה היה כל הממון
False Position: The answer: one should multiply 3 by 4; it is 12.
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}
 התשובה ראוי לכפול ג' על ד' ויהיו י"ב
Then, subtract the third and the quarter from it; 5 still remains.
\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=5}}
 אח"כ תוציא מהם השליש והרביעית ונשאר עדין ה‫'
Rule of Three: The ratio of this 5 to 12 is as the ratio of 14 to the whole amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{5:12=14:X}}
 הנה אלו הה' ערכם אל י"ב כערך י"ד אל כל הממון
We relate as follows: if 5 is equal to 12, how much is 14 equal to?
 ונעשה הערך כך אם ה' שוים י"ב י"ד כמה שוים
You get 33 and three-fifths.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot14}{5}=33+\frac{3}{5}}}
 ויצא לך ל"ג ושלש חומשים
Check: To check it, take a third of 33 and three-fifths; it is 11 and a fifth.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(33+\frac{3}{5}\right)=11+\frac{1}{5}}}
 ולבחון אותו תקח שליש ל"ג ושלש חומשים והנם י"א וחומש אחד
Then, take a quarter of 33 and 3-fifths; it is 8 and 2-fifths.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(33+\frac{3}{5}\right)=8+\frac{2}{5}}}
 אח"כ נקח רביעית ל"ג וג' חומשים ויהיו ח' וב' חומשים
Add it to 11 and a fifth; the sum is 19 and three-fifths.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{1}{5}\right)+\left(8+\frac{2}{5}\right)=19+\frac{3}{5}}}
 חברם אל י"א וחומש ויהיו י"ט ושלשה חומשים
Subtract it from 33 and 3-fifths; 14 remains no more and no less.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(33+\frac{3}{5}\right)-\left(19+\frac{3}{5}\right)=14}}
 הפילם מהל"ג ושלש חומשים וישארו י"ד בלי תוספת ומגרעת

How Much - Money
7) Question: we added to an amount of money its quarter and its fifth and they are 12.
How much was the amount of money in the beginning?
\scriptstyle X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{4}X=12
 ז) שאלה על סך ממון הוספנו רביעיתו וחמישיתו והיו י"ב

כמה היה הממון בתחלה

False Position: The answer: seek the common denominator, which is 20, from the multiplication of [five by four].
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot4=20}}
 התשובה תבקש המורה שהוא כף שהוא מכפל חמישיתו על רביעיתו
Take its quarter, which is 5, and its fifth, which is 4, and add them to the denominator; it is 29.
\scriptstyle{\color{blue}{20+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)=20+4+5=29}}
 וקח רביעיתו שהוא ה' וחמישיתו שהוא ד' ותוסיפם על המורה ויהיו כ"ט
Rule of Three: Then, take the denominator, which is 20, multiply it by 12 and divide the product by 29; you get 8 and 8 parts and so was the amount of money originally.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20\sdot12}{29}=8+\frac{8}{29}}}
 אח"כ קח המורה שהוא כ' וכפול אותו על י"ב והעולה חלק על כ"ט ויצא לך ח' וח' חלקי' וכך היה הממון בתחלה
Check: To check it, take a quarter of the amount of money, which is 8 [and 8 parts]; the result is 2 integers and 2 parts of 29.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)=2+\frac{2}{29}}}
 ולבחון אותו קח רביעית הממון שהם ח' שלמים ויעלו ב' שלמים גם ב' חלקים מכ"ט
Take a fifth of the amount of money; the result is one integer and 3 remain.
 אח"כ קח חומש הממון ויעלה א' שלם וישארו ג‫'
We convert each of them into 29 parts and add the 8 parts to them; they are 95.
 נעשה מכל אחד מהם כ"ט חלקים וחבר אליהם הח' חלקים ויהיו צ"ה
Divide them by 5; it is 19.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)=1+\frac{\frac{\left(3\sdot29\right)+8}{5}}{29}=1+\frac{\frac{95}{5}}{29}=1+\frac{19}{29}}}
 חלקם על ה' ויהיו י"ט
Sum up all the numbers; they are 12.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{8}{29}\right)+\left[\left(2+\frac{2}{29}\right)+\left(1+\frac{19}{29}\right)\right]=12}}
 אח"כ חבר כל המספרים ויהיו י"ב
8) Question: if a man says to you: you took a fifth and a sixth of an amount of money plus 4 pešuṭim and the result is 24, how much is the total amount of money?
\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+4=24
 ח) שאלה אם יאמר לך אדם ממון לקחת חמישיתו ושישיתו וד' פשוטים ועלה כ"ד כמה הממון
False Position: The answer: multiply 5 by 6; it is 30.
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}
 התשובה כפול ה' על ו' ויהיו ל‫'
Take its fifth and its sixth and sum them up; it is 11.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot30\right)=11}}
 ותוציא מהם החומש והשישית וחברם ויהיו י"א
Then, subtract 4, which is the addition, from 24; twenty remains.
\scriptstyle{\color{blue}{24-4=20}}
 אח"כ תוציא מכ"ד הד' אשר הם מתוספת ונשאר עשרים
Rule of Three: the ratio of 11 to 30 is the same as the ratio of twenty to the total amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{11:30=20:X}}
 הנה ערך אלו הי"א אל הל' כערך עשרים אל כל הממון
Multiply 20 by 30; the result is 600
 וכפול כ' על ל' ויעלה ת"ר
Divide it by 11; the result is 54 integers and 6 parts of 11.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20\sdot30}{11}=\frac{600}{11}=54+\frac{6}{11}}}
 תחלקם על י"א ויעלו נ"ד שלמים וו' חלקים מי"א
Check: To check it, take a fifth of 54; it is ten integers and ten parts of 11.
 ולבחון אותו תקח החומש מן נ"ד והם עשרה שלמים גם עשרה חלקים מי"א
Then, take a sixth of 54; it is 9 integers and one part of 11.
 אח"כ קח שישית נ"ד והם ט' שלמים וחלק א' מי"א
Sum them up; they are twenty integers.
 ותחברם ויהיו עשרים שלמים
Add 4 to them; they are 24 integers.
 תוסיף עליהם ד' ויהיו כ"ד שלמים
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{5}\sdot\left(54+\frac{6}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(54+\frac{6}{54}\right)\right]+4=\left(10+\frac{10}{11}\right)+\left(9+\frac{1}{11}\right)+4=20+4=24}}

First from Last - Money
9) Question: we subtracted from an amount of money its third and its fifth, then we take 2 from what remained and 4 still remain.
\scriptstyle X-\frac{1}{3}X-\frac{1}{5}X-2=4
 ט) שאלה חסרנו ממון שלישיתו וחמישיתו וממה שנשאר נקח ג"כ שנים ונשאר עדין ד‫'
False Position: The answer: look for the common denominator by multiplying 3 by 5; it is 15.
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}
 התשובה תבקש המורה והוא שתכפול ג' על ה' ויהיו ט"ו
Then, we subtract the third and the fifth; 7 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{15-\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)=7}}
 אח"כ נקח השליש והחומש הנשאר ז‫'
Since it is said that after the third and the fifth are subtracted, 2 is also subtracted from the remaining amount, we add it to 4; it is 6.
\scriptstyle{\color{blue}{4+2=6}}
 והנה מצד כי אמר אחר שנלקח מסך המעות השליש והחומש לקח עוד מסך הנשאר ב' נוסיפם על ד' ויהיו ו‫'
Rule of Three: we take the 7 that remains from the 15, after the third and the fifth are subtracted, and say: if 7 is equal to 19, how much is 6 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{7:15=6:X}}
 והנה נקח הז' שנשארו מהט"ו אחר לקיחת השליש והחומש ונאמר אם ז' שוים ט"ו ו' כמה שוים
You receive 12 and 6-sevenths.
\scriptstyle{\color{blue}{X=12+\frac{6}{7}}}
 יצא לך י"ב וו' שביעיות
Check: To check it, take a third of 12 [and 6-sevenths]; it is 4 and 2-sevenths.
 ולבחון אותו והוא שתקח שליש י"ב שהם ד' וב' שביעיות
Take a fifth of 12 and 6-sevenths; it is 2 and 4-sevenths.
 וקח חומש י"ב וו' שביעיות ויהיו ב' וד' שביעיות
Subtract all this from 12 and 6-sevenths; the remainder is 6.
 תסיר כל זה מי"ב וו' שביעיות הנשאר ו‫'
Subtract 2 from this 6; 4 remains.
 תסיר מאלו הו' ב' נשאר ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{6}{7}\right)-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+\frac{6}{7}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(12+\frac{6}{7}\right)\right]\right]-2=\left(12+\frac{6}{7}\right)+\left[\left(4+\frac{2}{7}\right)+\left(2+\frac{4}{7}\right)\right]-2=6-2=4}}

How Much - Money
10) Question: we took a third of an amount of money plus 5 pešuṭim and its quarter minus 2 pešuṭim and the result is 8 pešuṭim.
\scriptstyle\left(\frac{1}{3}X+5\right)+\left(\frac{1}{4}X-2\right)=8
 י) שאלה מממון חסרנו שלישיתו וחמשה פשוטים ורביעיתו פחות ב' פשוטים ועולה ח' פשוטים
The answer: you should know that 5 is additive and 2 is subtractive, so you should subtract 2 from 5; 3 remains. Then, subtract these 3 from 8 pešuṭim.
\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(5-2\right)=8-3=5}}
 התשובה ראוי לך לדעת כי ה' הם מתוספת וב' הם של גרעון ועל כן יש לך לקחת ב' מה' נשארו ג' תפיל אלו הג' מח' פשוטים
It is as if one says: We took a third and a quarter of an amount of money and the result is 5 pešuṭim.
\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=5
 ויהיה כאלו אמר מממון חסרנו שלישיתו ורביעיתו ועולה ה' פשוטים
Rule of Three: you should multiply 5 by 12 and divide it by 7; the result is 8 integers and 4-sevenths.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot12}{7}=8+\frac{4}{7}}}
 והנה יש לך לכפול ה' על י"ב ולחלקנו על ז' ויעלה ח' שלמים וד' שביעיות
Check: You can check it by that you take a third of 8 [and 4-sevenths]; it is 2 and 6-sevenths.
 ותוכל לבחון אותו והוא שתקח שלישית ח' ויהיו ב' וו' שביעיות
Add 5 to it, as it is said "its third plus 5"; it is 7 integers and 6-sevenths.
 עוד תוסיף על זה ה' מצד כי אמר שלישיתו עם תוספת ה' ויהיו ז' שלמים וו' שביעיות
Take a quarter of the total amount, which is 8 and 4-sevenths; the result is 2 integers and one part of 7.
 עוד תקח רביעית סך הממון שהוא ח' וד' שביעיות ויעלו ב' שלמים וחלק א' מז‫'
Subtract 2 from it, as it is said "its quarter minus two"; one seventh remains.
 תסיר מהם ב' כי אמר אל רביעיתו פחות שנים וישאר שביעית אחד
Add it to 7 integers and 6-sevenths; it is 8 integers no more and no less.
 תוסיף אותו אל ז' שלמים וו' שביעיות ויהיו ח' שלמים בלי תוספת ומגרעת
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(8+\frac{4}{7}\right)\right]+5\right]+\left[\left[\frac{1}{4}\sdot\left(8+\frac{4}{7}\right)\right]-2\right]=\left[\left(2+\frac{6}{7}\right)+5\right]+\left[\left(2+\frac{1}{7}\right)-2\right]=\left(7+\frac{6}{7}\right)+\frac{1}{7}=8}}
11) Question: if an inquirer says: we summed a quarter of a munber plus 2 with its fifth minus 3 and the result is 6.
\scriptstyle\left(\frac{1}{4}X+2\right)+\left(\frac{1}{5}X-3\right)=6
 יא) שאלה אם אמור יאמר השואל חברנו רביעית מספר מה עם תוספת שנים לחמישיתו פחות ג' ועולה ו‫'
The answer: you already know that the addition is 2 and the subtraction is 3 and this is the opposite of the previous question. So, we do the opposite, that is instead of subtracting we add: we subtract 2 from 3; the remainder is 1. Then, we add the 1 to 6; it is 7.
\scriptstyle{\color{blue}{6+\left(3-2\right)=6+1=7}}
 התשובה כבר ידעת כי התוספת הוא ב' והחסרון הוא ג' והוא הפך השאלה הקודמת ולכן נעשה בהפך והוא שבמקום הגרעון נוסיף והנה נקח ב' מג' הנשאר א' נוסיף זה הא' אל ו' ויהיו ז‫'
It is as if it is said: we take a quarter and a fifth of an amount of money and the result is 7, how much is the amount of money?
\scriptstyle\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X=7
 והוא כאלו אמר מסך ממון לקחנו רביעיתו וחמישיתו ועלה ז' כמה הממון
Rule of Three: we relate as follows: we multiply 7 by 20; it is 140.
 נעשה הערך ככה והוא שנכפול ז' על כ' ויהיו ק"מ
We divide it by 9; we receive 15 integers and 5 parts of 9 and this is the amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{7\sdot20}{9}=\frac{140}{9}=15+\frac{5}{9}}}
 נחלקם על ט' ויצא לנו ט"ו שלמים וה' חלקים מט' וכן היה סך הממון
Check: You can know it by that you take a quarter of 15 [and 5-ninths]; it is 3 integers and 8 parts of 9.
 ותוכל לדעת זה והוא שתקח רביעית ט"ו ויהיו ג' שלמים וח' חלקים מט‫'
Then, take a fifth of 15 [and 5-ninths]; it is 3 and one part of 9.
 אח"כ העמד החומש מט"ו והם ג' וחלק א' מט‫'
Add 2 to it and subtract 2; 6 remains.
 תוסיף על זה ב' ותגרע עמהם ג' וישארו ו‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{4}\sdot\left(15+\frac{5}{9}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(15+\frac{5}{9}\right)\right]+2-3=\left(3+\frac{8}{9}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)+2-3=6}}
12) Question: we took a half and a third of an amount of money then we took the square of the result and it is the initial amount.
How much is the amount of money?
\scriptstyle\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)^2=X
 יב) שאלה לקחנו מסך ממון מחציתו ושלישיתו ומהעולה לקחנו מרובעו ושב כמו שהיה בתחלה כמה היה הממון
False Position: The answer: take the half and the third from 6.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}
 התשובה העמד החצי והשליש מו‫'
It is said "from 6" because it has a half and a third; they are 5.
 אולם אמרו מו' כי בו נמצא חצי ושליש והנם ה‫'
Take its square; it is 25.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)\right]^2=5^2=25}}
 וקח מרובעם ויהיו כ"ה
Take also the square of the common denominator, which is 6; it is 36.
\scriptstyle{\color{blue}{6^2=36}}
 אח"כ תקח מרובע המורה ג"כ שהוא ו' ויהיו ל"ו
Divide 36 by 25; you receive 1 integer and [1]1 parts of 25 and this is the amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{36}{25}=1+\frac{{\color{red}{1}}1}{25}}}
 תחלק ל"ו על כ"ה ויצא לך א' שלם וכ"א חלקים מכ"ה וכן היה הממון
Check: Check it: take a half of 1 and 11 parts of 25; it is 18 parts of 25.
 ותבחון אותו קח חצי א' וי"א חלקים מכ"ה ויהיו י"ח חלקים מכ"ה
Then, take a third of 1 and 11 parts of 25; it is 12 [parts of 25].
 אח"כ קח שליש א' וי"א חלקים מכ"ה ויהיו י"ב
Add it to 18 [parts of 25]; it is 1 and a fifth.
 ותחברם אל י"ח ויהיה א' וחומש
Take its square; the result is 1 integer and 11 parts of 25, as it was at first.
 וקח מרובעם ויצא א' שלם וי"א חלקים מכ"ה ושב כאשר בתחלה
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{11}{25}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{11}{25}\right)\right]\right]^2=\left(\frac{18}{25}+\frac{12}{25}\right)^2=\left(1+\frac{1}{5}\right)^2=1+\frac{11}{25}}}
13) Question: we took a half and a third of an amount of money then we took a square of the result and it is equal to the amount of money plus its third.
\scriptstyle\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)^2=X+\frac{1}{3}X
 יג) שאלה מממון לקחנו מחציתו ושלישיתו ולקחנו מרובע מהעולה ושב כמו הממון וכמו שלישיתו
False Position: The answer: do as follows: take the common denominator, i.e. the number that consists of a half and a third; it is 6.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}
 התשובה תעשה ככה תקח המורה ר"ל המספר הכולל החצי והשליש והוא ו‫'
Then, take the half and the third; it is 5.
 אח"כ קח החצי והשליש והנם ה‫'
Take its square; it is 25.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)\right]^2=5^2=25}}
 וקח מרובעם שהם כ"ה
Take the square of the common denominator, which is 36, and add its third to it; it is 48.
\scriptstyle{\color{blue}{6^2+\left(\frac{1}{3}\sdot6^2\right)=36+\left(\frac{1}{3}\sdot36\right)=48}}
 אח"כ קח מרובע המורה שהוא ל"ו ותחבר אליהם שלישיתם ויהיו מ"ח
Divide 48 by 25; you receive 1 and 23 parts of 25 and this is the amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{48}{25}=1+\frac{23}{25}}}
 אח"כ תחלק מ"ח על כ"ה ויצא לך א' וכ"ג חלקים מכ"ה וכך הוא הממון
Check: To check it, take a half of this number, which is 24 parts of 25.
 ולבחון אותו תקח מחצית זה המספר שהם כ"ד חלקים מכ"ה
Then, take its third, which is 16.
 ואח"כ קח שלישיתם שהם י"ו
Sum them up; it is 1 and 3-fifths.
 ותחברם ויהיו א' וג' חומשים
Take its square; it is 2 integers and 14 parts of 25, which is the same as the amount of money plus its third.
 ותקח מרובעם ויהיו ב' שלמים וי"ד חלקים מכ"ה שהם כמו סך הממון עם תוספת שלישיתו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]\right]^2&\scriptstyle=\left(\frac{24}{25}+\frac{16}{25}\right)^2=\left(1+\frac{3}{5}\right)^2=2+\frac{14}{25}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{23}{25}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]\\\end{align}}}
14) Question: we took a half and a third of an amount of money, then from their sum we took its quarter plus a fifth of the remainder from the half and the third and it is equal to 12.
How much is the amount of money?
\scriptstyle\left[\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)\right]\right]=12
 יד) שאלה מסך ממון לקחנו שלישיתו ומחציתו ומהמחובר ר"ל ממה שיעלה השליש והחצי לקחנו רביעיתו וחומש מה שנשאר מסך כל אחר שילקח החצי והשליש ושוה י"ב כמה כל הממון
False Position: The answer: find a number that has a half, a third, a quarter, and a fifth; it is 60.
 התשובה תמצא מספר יהיה לו חצי ושליש ורביעית וחומש יהיה זה ס‫'
We take from 60 its third and its half; it is 50.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=50}}
 והנה נקח מס' שלישיתו ומחציתו ויהיו נ‫'
10 still remains. We take a fifth of the remaining 10; it is 2 integers.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(60-50\right)=\frac{1}{5}\sdot10=2}}
 ונשארו עדין י' אח"כ נקח חומש אלו הי' הנשארים ויהיו ב' שלמים
We take a quarter of fifty; it is 12 and a half.
 אח"כ נקח רביעית חמישים והנם י"ב וחצי
We add it to the 2 we have; it is 14 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot50\right)+2=\left(12+\frac{1}{2}\right)+2=14+\frac{1}{2}}}
 נחברם אל הב' שהיו לנו ויהיו י"ד וחצי
Rule of Three: we multiply 12, which is the known number, by the common denominator, which is 60; the result is 720.
 אח"כ נכפול י"ב אשר הוא המספר הנודע על המורה אשר הוא ס' ויעלה תש"כ
Divide it by 14 and a half; you receive 49 and 19 parts of 29.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot60}{14+\frac{1}{2}}=\frac{720}{14+\frac{1}{2}}=49+\frac{19}{29}}}
 וחלקם על י"ד וחצי ויצא לך מ"ט וי"ט חלקים מכ"ט
Check: To check it, take a half of the 49 integers and their parts; you get 24 and 24 parts of 29.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(49+\frac{19}{29}\right)=24+\frac{24}{29}}}
 ולבחון אותו תקח מחצית מ"ט שלמים ומחלקיהם ויצא לך כ"ד וכ"ד חלקים מכ"ט
Then, take a third of the 49 and its parts; you get 16 and 16 parts of 29.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(49+\frac{19}{29}\right)=16+\frac{16}{29}}}
 אח"כ קח שליש מ"ט ומחלקיהם ויצא לך י"ו וי"ו חלקים מכ"ט
Sum them up; it is 41 and 11 parts of 29.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(24+\frac{24}{29}\right)+\left(16+\frac{16}{29}\right)=41+\frac{11}{29}}}
 וחברם ויהיו מ"א וי"א חלקים מכ"ט
Then, take a quarter of this number, as it is said "and a quarter of the sum of a half and a third"; it is 10 integers and 10 parts of 29.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(41+\frac{11}{29}\right)=10+\frac{10}{29}}}
 אח"כ תקח רביעית זה המספר מצד כי אמר ורביעית מהמחובר מהחצי והשלישית ויהיו י' שלמים גם י' חלקים מכ"ט
We subtract 41 integers and 11 parts, which is a half and a third, from the amount of money, which is 49 integers and 19 parts of 29; the remainder is 8 and 8 parts of 29.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(49+\frac{19}{29}\right)-\left(41+\frac{11}{29}\right)=8+\frac{8}{29}}}
 אח"כ נסיר מ"א שלמים וי"א חלקים שהם החצי והשליש מסך הממון שהוא מ"ט שלמים וי"ט חלקים מכ"ט הנשאר ח' וח' חלקים מכ"ט
Take its fifth, as it is said "plus a fifth of the remainder"; it is 1 integer and 19 parts of 29.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)=1+\frac{19}{29}}}
 קח מהם החומש מצד שאמר עם חומש הנשאר ויהיה א' שלם עם י"ט חלקים מכ"ט
Add it to the 10 integers and 10 parts of 29; it is 12.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{10}{29}\right)+\left(1+\frac{19}{29}\right)=12}}
 וחברם אל הי' שלמים עם הי' חלקים מכ"ט ויהיו י"ב
15) Question: we summed half of an amount of money with a third of what remained and a quarter of the remainder after subtracting the third and the total sum is equal to 14.
How much is the amount of money?
 טו) שאלה מממון חברנו מחציתו ושליש מה שנשאר ורביעית מה שנשאר אחר שנלקח השלישית ושוה הכל י"ד

כמה הממון

\scriptstyle\frac{1}{2}X+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{2}X\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[X-\left[\frac{1}{2}X+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{2}X\right)\right]\right]\right]\right]=14
The answer: a number should be found that has a half, a third, and a quarter; you find it is 12.
 התשובה ראוי למצא מספר יכלול חצי ושליש ורביע ותמצא י"ב
Subtract its half from it, which is 6; the remainder is 6.
\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=12-6=6}}
 הוצא ממנו החצי שהם ו' הנשאר ו‫'
Take from the remaining 6 its third, which is 2; the remainder is 4.
\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=6-2=4}}
 וקח מהו' הנשארים שלישיתם שהם ב' הנשאר עדין ד‫'
Take a quarter of the 4, which is 1; the remainder is 3.
\scriptstyle{\color{blue}{4-\left(\frac{1}{4}\sdot4\right)=4-1=3}}
 וקח רביעית הד' שהוא א' הנשאר עדין ג‫'
False Position: all the fractions are 9.
\scriptstyle{\color{blue}{6+2+1=9}}
 והנה כל חלקי המספרים הם ט‫'
Rule of Three: multiply 14, which is the known number, by the common denominator, which is 12, then divide the product by 9; you receive 18 and 2-thirds and this is the [required] number.
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{14\sdot12}{9}=18+\frac{2}{3}}}
 אח"כ תכפול י"ד שהוא סך הידוע על המורה שהוא י"ב ותחלק העולה על ט' ויצא לך י"ח וב' שלישיות וככה היה המספר
Check: To check it, take a half of 18 and 2-thirds, which is 9 and a third.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{2}{3}\right)=9+\frac{1}{3}}}
 ולבחון אותו תקח מחצית י"ח וב' שלישיות שהם ט' ושליש
Take a third of the remainder; it is 3 and a ninth.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left[\left(18+\frac{2}{3}\right)-\left(9+\frac{1}{3}\right)\right]=3+\frac{1}{9}}}
 וקח שליש הנשאר והם ג' ותשיעית
Take a quarter of the remainder; it is 1 and 5-ninths.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left[\left(18+\frac{2}{3}\right)-\left[\left(9+\frac{1}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)\right]\right]=1+\frac{5}{9}}}
 וקח רביעית הנשאר שהם א' וה' תשיעיות
Sum up all; it is 14 integers.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{1}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)+\left(1+\frac{5}{9}\right)=14}}
 ותחבר הכל ויהיו י"ד שלמים

Multiple Quantities Problem - Two Amounts of Money
16) Question: we summed a quarter of an amount of money with a fifth of another different amount of money and the sum is 8.
How much is each amount?
\scriptstyle\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}Y=8
 יו) שאלה חברנו שני סכומות של ממון מתחלפים זה מזה רביעית א' מן הסכומות וחומש הסכום האחד והיו ח‫'

כמה סך כל א' וא‫'

The answer: you can solve it in different ways [→ it is an indeterminate problem].
 התשובה תוכל להשיבה בפנים מתחלפים
It is that you define any number to be a quarter of the first amount and you subtract this number from 8; then; you define what remains from the 8 as the fifth of the second amount. This way you find them.
\scriptstyle{\color{blue}{8-\frac{1}{4}X=\frac{1}{5}Y}}
 והוא כי תשים איזה מספר שיהיה רביעית הסך הראשון ואותו המספר תפיל מח' ומה שישאר מהח' תשים אותו חומש הסכום השני ועל זה האופן תמצאנו
  • Suppose, for example that 3 is a quarter of the first amount.
\scriptstyle\frac{1}{4}X=3
 והנה נניח דרך משל כי ג' היה רביע הסכום הראשון
Then, the first amount is 12, because 3 is a quarter of 12.
\scriptstyle{\color{blue}{3=\frac{1}{4}\sdot12\longrightarrow X=12}}
 א"כ הסכום הראשון היה י"ב כי ג' הוא רביעית י"ב
Subtract 3 from 8; the remainder is 5. Define the 5 as a fifth of the second number.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}Y=8-3=5}}
 תפיל ג' מח' הנשאר ה' ושים אלו הה' חומש המספר השני
So, the second amount is 25.
\scriptstyle{\color{blue}{Y=25}}
 א"כ הסכום הב' היה כ"ה
  • Or, if you wish, define 2 as the quarter of the first amount.
\scriptstyle\frac{1}{4}X=2
 או אם תרצה שים ב' סכום רביע הסך הראשון
Then, the first amount is 8.
\scriptstyle{\color{blue}{X=8}}
 א"כ הסך הראשון הוא ח‫'
Subtract 2 from 8; the remainder is 6. Define the 6 as a fifth of the second amount.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}Y=8-2=6}}
 ותפיל ב' מח' הנשאר ו' ושים אלו הו' חומש הסכום הב‫'
So, the second amount is 30.
\scriptstyle{\color{blue}{Y=30}}
 א"כ הסך השני יהיה ל‫'
  • Or, if you wish, define 4 as the quarter of the first number.
\scriptstyle\frac{1}{4}X=4
 או אם תרצה שים ד' רביע המספר הראשון
Then, the first number is 16.
\scriptstyle{\color{blue}{X=16}}
 א"כ המספר הא' היה י"ו
Subtract 4 from 8; the remainder is 4. Define it as a fifth of the second number.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}Y=8-4=4}}
 תפיל ד' מח' הנשאר ד' ושים אותם חומש המספר הב‫'
So, the second number is 20.
\scriptstyle{\color{blue}{Y=20}}
 א"כ המספר הב' היה כ‫'
And so on endlessly - define any number you wish as a quarter of the first amount, subtract it from 8, and define what remains as a fifth of the second number.
 וכן עד אין קץ שתשים איזה מספר שתרצה רביע הסכום הראשון ותפיל זה מהח' ומה שישאר תשים חומש המספר הב‫'

Sums
  • sum of natural numbers
17) Question: if you want to sum from 1 to 14, i.e. 1 with 2, with 3, and so on until 14.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{14} i=1+2+3+\ldots+14
 יז) שאלה אם תרצה לקבץ מא' עד י"ד ר"ל א' עם ב' ועם ג' וכן עד י"ד
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=\frac{\left(1+n\right)\sdot n}{2}}}
1 should be added to 14; it is 15.
 ראוי להוסיף א' על י"ד ויהיו ט"ו
Then, multiply 15 by 14; it is 210.
 אח"כ כפול ט"ו על י"ד והם ר"י
Divide it by 2; you receive 105 and this is the required.
 תחלקם על ב' ויצא לך ק"ה והוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{14} i=1+2+3+\ldots+14=\frac{\left(1+14\right)\sdot14}{2}=\frac{15\sdot14}{2}=\frac{210}{2}=105}}
  • even number of terms \ last term is even
18) Question: if the number [of terms] is even take half this number and multiply it by the whole number, then add the result to half the number.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{2m} i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2m\right)\sdot2m\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot2m\right)
 יח) שאלה הנה תוכל לעשותה באופן אחר והוא אם המספר הוא זוג ראוי לקחת מחצית אותו המספר ולכפול אותו על כל המספר ולחבר על סך העולה מחצית המספר
  • Example: we want to know [the sum] from 1 to 16.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{16} i=1+\ldots+16
 דמיון זה נרצה לדעת מא' עד י"ו
A half of 16 should be taken, which is 8.
 ראוי לקחת מחצית י"ו שהם ח‫'
Multiply it by 16; the result is 128.
 ותכפלם על י"ו ויהיה העולה קכ"ח
Add a half of 16 to it also, which is 8; it is 136 and this is the required.
 עו' תוסיף על זה מחצית י"ו שהם ח' ויהיו קל"ו והוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{16} i=1+\ldots+16=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot16\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=\left(8\sdot16\right)+8=128+8=136}}
  • odd number of terms \ last term is odd
19) Question: if [the number of terms] is odd the larger part should be taken and multiplied by the whole number and the result is the required.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{2m-1} i=m\sdot\left(2m-1\right)
 יט) שאלה אולם אם הוא נפרד ראוי לקחת החלק היותר גדול ולכפול אותו על כל המספר והעולה הוא המבוקש
  • Example: we want to know the sum from 1 to 25.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25
 דמיון זה נרצה לדעת המחובר מא' עד כ"ה
The greater part should be taken from 25, which is 13.
 הנה ראוי לקחת מכ"ה החלק היותר גדול שהוא י"ג
Multiply 13 by 25; the result is 325 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25=13\sdot25=325}}
 ותכפול י"ג על כ"ה והעולה הוא שכ"ה והוא המבוקש
Or, if you wish, divide 25 by 2; it is 12 and a half.
 או אם תרצה תחלק כ"ה על ב' ויהיו י"ב וחצי
Multiply it by 25; it is 312 and a half.
 וכפול אותם על כ"ה ויהיו ג' מאות וי"ב וחצי
Then, add a half of 25 to it, which is 12 and a half; it is 325.
אח"כ תוסיף על זה מחצית כ"ה שהם י"ב וחצי ויהיו שכ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot25\right)\sdot25\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot25\right)=\left[\left(12+\frac{1}{2}\right)\sdot25\right]+\left(12+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(312+\frac{1}{2}\right)+\left(12+\frac{1}{2}\right)=325\\\end{align}}}
  • the first term is not 1
20) Question: sum from 1 to 10 without the [first] three.
\scriptstyle\sum_{i=3+1}^{10} i=\left(3+1\right)+\ldots+10=\sum_{i=1}^{10}-\sum_{i=1}^{3}
 כ) שאלה קבץ מא' עד י' ולא יהיו הג' בכלל
1 to 10 should be summed, which is 55 as you know.
 הנה ראוי לקבץ מא' עד י' שהם נ"ה כאשר ידעת
Then, sum from 1 to 3; which is 6.
 אח"כ קבץ מא' עד ג' שהם ו‫'
Subtract 6 from 55; the remainder is 49 and this is the required.
 ותפיל ו' מנ"ה הנשאר מ"ט והוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=3+1}^{10} i=\left(3+1\right)+\ldots+10=\sum_{i=1}^{10}-\sum_{i=1}^{3}=55-6=49}}
  • the number of terms \ the last term is unknown
21) Question: we sum up all the numbers until an unknown number and the sum is 120.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=120
 כא) שאלה חברנו כל המספרים עד מספר נעלם ועלה המחובר ק"כ
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=a\longrightarrow 4\sdot\frac{a}{2}=n^2+n}}
This number should be divided by 2; it is 60; then, multiplied by 4; it is 240.
 ראוי לחלק זה המספר על ב' ויהיו ס' ולכפול אותו על ד' ויהיו ר"מ
Now, you should extract the preceding root, i.e. that is closest to 240; you find it is 15 and this is the required.
 והנה יש לך עתה לקחת השרש שעבר ר"ל שהוא קרוב אל ר"מ ותמצא ט"ו והוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} i=120\longrightarrow 4\sdot\frac{120}{2}=4\sdot60=240=n^2+n\longrightarrow n=15}}
I.e., when you sum from 1 to 15, the result is 120.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{15} i=120}}
 ר"ל כי כשתקבץ מא' עד ט"ו יעלה ק"כ
  • sum of odds
22) Question: sum all the odds from 1 to 9.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)=1+\ldots+9
 כב) שאלה קבץ מא' עד ט' כל הנפרדים
1 should be added to the number mentioned, the resulting sum should be divided by 2, then the square of the quotient should be taken and this is the required.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=\left(\frac{\left(2n-1\right)+1}{2}\right)^2}}
 הנה ראוי לשים א' על אותו המספר שהזכיר ולחלק סך העולה על ב' אח"כ ראוי לקחת מרובע העולה מהחלוקה והוא המבוקש
We add 1 to 9; it is 10.
 והנה נשים על ט' א' ויהיו י‫'
Then, we divide it by 2; it is 5.
 אח"כ נחלק אותו על ב' ויהיו ה‫'
We take its square; it is 25 and this is the sum of all the odd numbers from 1 to 9.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)=1+\ldots+9=\left(\frac{9+1}{2}\right)^2=\left(\frac{10}{2}\right)^2=5^2=25}}
 נקח מרובעו והוא כ"ה והוא חבור כל נפרדים מא' עד ט‫'
  • sum of evens
23) Question: if you want to know the sum of all the evens from 2 to 12.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)=2+\ldots+12
 כג) שאלה אם תרצה לדעת חבור כל הזוגות אשר הם מב' עד י"ב
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)}}
The half of 12 should be taken; it is 6; then its square, which is 36 should be [added]; it is 42.
 הנה ראוי לקחת מחצית י"ב [והוא ו'] ולקחת מרובעם שהם ל"ו ויהיו מ"ב
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)=2+\ldots+12=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=6^2+6=36+6=42}}
  • sum of odds: number of terms \ last term is unknown
24) Question: we sum up all the odds until an unknown numbers and the sum is 25.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=25
 כד) שאלה חברנו כל הנפרדים עד מספר נעלם ועלה כ"ה
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=a\longrightarrow 2n-1=\left(2\sdot\sqrt{a}\right)-1}}
The root of 25 should be extracted, then multiply it by 2, and subtract 1 from the product.
 ראוי לקחת שרש כ"ה ואח"כ כפול אותו על ב' ותפיל א' מהמקובץ
The root of 25 is 5. Double it; it is 10. Subtract 1 from it; 9 remains and this is the required.
 והנה שרש כ"ה הוא ה' וכפול אותו והוא י' ותפיל ממנו א' ונשאר ט' והוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=25\longrightarrow 2n-1=\left(2\sdot\sqrt{25}\right)-1=\left(2\sdot5\right)-1=10-1=9}}
  • sum of evens: number of terms \ last term is unknown
25) Question: we summed up all the evens from 1 to an unknown number and the sum is 42.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)=42
 כה) שאלה חברנו כל הזוגות מא' עד מספר בלתי ידוע ועלה המחובר מ"ב
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} 2i=a\longrightarrow a=n^2+n}}
The preceding root should be extracted. It is known that the preceding root is 6. Multiply it by 2; it is 12 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)=42\longrightarrow 42=6^2+6\longrightarrow2n=2\sdot6=12}}
 הנה ראוי לקחת השרש שעבר וידוע כי השרש שעבר היה ו' כפול אותו על ב' ויהיו י"ב והוא המבוקש
  • sum of squares
26) Question: if you want to sum up all the squares [of the numbers] from 1 to 4.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} i^2=1^2+\ldots+4^2
 כו) שאלה אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' ועד ד‫'
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i^2=\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]}}
All the numbers from 1 to 4 should be summed; they are ten
 הנה ראוי לחבר כל המספרים אשר מא' עד ד' שהם עשרה
Then, take 2-thirds of 4 plus a third; it is 3.
 אח"כ קח ב' שלישיות ד' עם תוספת שליש שהם ג‫'
Multiply 3 by 10; it is 30.
 כפול ג' על י' ויהיו ל‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{4} i^2=1^2+\ldots+4^2=\left(\sum_{i=1}^{4} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]=10\sdot3=30}}
27) Question: if you want to sum up all the squares [of the numbers] from 1 to 25
\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} i^2=1+\ldots+25
 כז) שאלה אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' עד כ"ה
Sum up all the numbers; they are 15.
 תחבר כל המספרי' והנם ט"ו
Take 2-thirds of 5 plus a third; it is 3 and 2-thirds.
 וקח ב' שלישיות ה' עם תוספת שלישית ויהיו ג' וב' שלישיות
Multiply it by 15; it is 55.
 וכפול אותם על ט"ו ויעלה נ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} i^2=1+\ldots+25=\left(\sum_{i=1}^{5} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot5\right)+\frac{1}{3}\right]=15\sdot\left(3+\frac{2}{3}\right)=55}}
  • sum of squares: first term is not 1
28) Question: sum up [the squares] from the square of 4 to the square of 8.
\scriptstyle\sum_{i=4}^{8} i^2=4^2+\ldots+8^2
 כח) שאלה ואלו אמר קבץ ממרובע ג' עד מרובע ח‫'
All the squares [of the numbers] from 1 to 8 should be summed; they are 204.
 ראוי לקבץ כל המרובעים אשר הם מא' עד ח' שהם ר"ד
Then, sum up the squares [of the numbers] from 1 to 3
 אח"כ תקבץ המרובעים מא' עד ג‫'
Subtract 14 from 204; the remainder is 190 and this is the required.
 ותפיל י"ד מן ר"ד הנשאר ק"ץ והוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=4}^{8} i^2=4^2+\ldots+8^2=\left(\sum_{i=1}^{8} i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^{3} i^2\right)=204-14=190}}
  • sum of the squares of even numbers
29) Question: if you want to sum up all the squares of the even numbers from 2 to 8.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i\right)^2=2^2+\ldots+8^2
 כט) שאלה אם תרצה לקבץ כל המרובעים אשר הם מב' עד ח' על המשך הזוגות
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{n} 2i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot2n\right)+\frac{2}{3}\right]}}
All the even numbers from 2 to 8 should be summed; they are twenty.
 הנה ראוי לחבר כל הזוגות אשר הם מב' עד ח' שהם עשרים
Then, take 2-thirds of 8 plus 2-thirds; it is 6 integers.
 אח"כ קח שני שלישי ח' עם תוספת ב' שלישיות א' ויהיו ו' שלמים
Multiply it by 20; it is 120 and this is the required.
 כפול אותם על כ' ויהיו ק"כ והוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{4} \left(2i\right)^2=2^2+\ldots+8^2=\left(\sum_{i=1}^{4} 2i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot2\sdot4\right)+\frac{2}{3}\right]=\left(2+\ldots+8\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot8\right)+\frac{2}{3}\right]=20\sdot6=120}}
  • sum of the squares of odd numbers
30) Question: sum up the squares of the odd numbers from 1 to 7
\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i-1\right)^2=1^2+\ldots+7^2
 ל) שאלה קבץ ממרובע א' עד מרובע ז' על המשך הנפרדים
Sum up all the odd numbers until 7; they are 16.
 תחבר כל הנפרדים אשר הם עד ז' והנם י"ו
Subtract a third of 16 plus 2 parts of 12; or subtract from 15 it third.
אח"כ תפיל שלישית י"ו עם תוספת ב' חלקים מי"ב

או תפיל מט"ו שלישיתם

[Subtract 15 from] 16; 1 remains.
 וישאר עד י"ו א‫'
Then, subtract from this 1 its half and add it to 2-thirds of 15; it is 10 and a half.
 אח"כ תפיל מזה הא' מחציתו וחבר אותו עם ב' שלישיות ט"ו ויהיו י' וחצי
Add 1 to 7; it is 8.
 אח"כ תוסיף א' על ז' ויהיו ח‫'
Multiply is by 10 and a half; you receive 84.
 והכם בי' וחצי ויצא לך פ"ד
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^2=\left[\left[\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)\right]\right]+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]}}
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i-1\right)^2&\scriptstyle=1^2+\ldots+7^2=\left[\left[\sum_{i=1}^4 \left(2i-1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{i=1}^4 \left(2i-1\right)\right]\right]+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot\left(7+1\right)\\&\scriptstyle=\left[16-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot16\right)+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot8=\left[\left[15-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)\right]+\left[\left(16-15\right)-\frac{1}{2}\sdot\left(16-15\right)\right]\right]\sdot8\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot15\right)+\left[1-\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]\right]\sdot8=\left(10+\frac{1}{2}\right)\sdot8=84\\\end{align}}}
  • sum of cubes
31) Question: sum up from the cube of 1 to the cube of 7
\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^3=1^3+\ldots+7^3
 לא) שאלה קבץ לי ממעוקב א עד מעוקב ז‫'
Know that the cubes are 1 time 1, 1 time 2, 1 time 3, 1 time 4, and so on until 7; then take 2 and multiply it by all the numbers from 1 to 7; then multiply 3 by 1 to 7; then 4, and so on until the end of the numbers.
 ודע כי מעוקב ר"ל א' פעם א' א' פעם ב' א' פעם ג' א' פעם ד' וכן עד ז‫'

ואח"כ תקח הב' ותכה אותו עם כל המספרים מא' עד ז‫'
ואח"כ תכה הג' מא' עד ז‫'
וכן הד' וכן עד כלות כל המספרים

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^3&\scriptstyle=1^3+\ldots+7^3=\left(\sum_{i=1}^{7} i\right)^2=\sum_{i=1}^{7} \left(i\sdot\sum_{j=1}^{7} j\right)\\&\scriptstyle=\left(1\sdot1\right)+\left(1\sdot2\right)+\left(1\sdot3\right)+\left(1\sdot4\right)+\ldots+\left(1\sdot7\right)+\left(2\sdot1\right)+\ldots+\left(2\sdot7\right)+\left(3\sdot1\right)+\ldots+\left(3\sdot7\right)\\&\scriptstyle+\left(4\sdot1\right)+\ldots+\left(4\sdot7\right)+\ldots\\\end{align}}}
If you want to know the total sum, you should sum up all the [numbers] from 1 to 7; they are 28.
 אם תרצה לדעת סך העולה ראוי לחבר כל הנפרדים אשר הם מא' עד ז' והם כ"ח
Then, take the square of 28, which is 784, and this is the sum of all the cubes from 1 to 7.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} i^3=1^3+\ldots+7^3=\left(\sum_{i=1}^{7} i\right)^2=28^2=784}}
 אח"כ קח מרובע כ"ח שהם תשפ"ד וכן הוא חבור כל המעוקבים מא' עד ז‫'
  • square of sum of natural numbers: number of terms \ last term is unknown
32) Question: sum up from the cube of 5 to the cube of 12.
\scriptstyle\sum_{i=5}^{12} i^3=5^3+\ldots+12^3
 לב) שאלה קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב י"ב
Sum up all the cube numbers from 1 to 12; they are 6084.
 תקבץ כל המעוקבים מא' עד י"ב שהם ו' אלפים ופ"ד
Then, sum up all the cube numbers from 1 to 4; they are 100.
 אח"כ תקבץ כל המעוקבים אשר הם מא' עד ד' שהם ק‫'
Subtract it from 6084; the remainder is 5984 and this is the required.
 תפילם מו' אלפים ופ"ד הנשאר ה' אלפים וט' מאות ופ"ד והוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^{12} i^3=5^3+\ldots+12^3=\left(\sum_{i=1}^{12} i^3\right)-\left(\sum_{i=1}^{4} i^3\right)=6084-100=5984}}
  • sum of cubes: number of terms \ last term is unknown
33) Question: we summed up all the cubes from 1 to an unknown number and the sum is 225.
How much is the unknown number?
\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^3=225
 לג) שאלה אם אמר קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם ועלה המחובר רכ"ה

כמה הוא המספר הנעלם

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i^3=a\longrightarrow\sum_{i=1}^{n} i=\sqrt{a}}}
The root of the total sum should be extracted, i.e. the root of 225; its root of 15.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{225}=15}}
 ראוי הוא לקחת שרש סך החשבון ר"ל שרש רכ"ה והנה שרשו ט"ו
Then, deduce this question from the sum of the numbers, meaning: we sum up all the numbers from 1 to an unknown number and the resulting sum is 15; you receive 5 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} i=15\longrightarrow n=5}}
 אח"כ תקיש זאת השאלה אל קבוץ המספרים ולומר קבצנו כל המספרים אשר הם מא' עד מספר נעלם ועלה המחובר ט"ו יצא לך ה' והוא המבוקש
Know that if you do not find an integer root for the mentioned number, your calculation is incorrect.
 ודע שאם לא תמצא שרש שלם כמספר שהזכיר דע כי טעית בחשבון
  • square of sum of odd numbers
[though the question points to the sum of cubes of odd numbers, the solution actually indicates the square of the sum of odd numbers]
34) Question: sum up the cubes of the odd numbers from 1 to 13.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)^3=1^3+\ldots+13^3
 לד) שאלה אם נשאל לך קבץ לי ממעוקב א' עד מעוקב י"ג כדרך הנפרדים
All the odd numbers from 1 to 13 should be sum up; they are 49.
ראוי לחבר כל הנפרדים מא' עד י"ג ויהיו מ"ט
Then, the square of 49 should be taken; it is 2401 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)\right]^2=49^2=2401}}
 וראוי לקחת מרובע מ"ט ויהיו ב' אלפים וד' מאות וא' והוא המבוקש
  • square of sum of odd numbers: first term is not 1
[again the question points to the sum of cubes of odd numbers, the solution actually indicates the square of the sum of odd numbers]
35) Question: sum up the cubes of the odd numbers from 5 to 9.
\scriptstyle\sum_{i=3}^{5} \left(2i-1\right)^3=5^3+\ldots+9^3
 לה) שאלה אם ישאל לך אדם קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב ט' על המשך הנפרדים
You should sum all the odd numbers from 5 to 9; they are 21.
 ראוי לך לקבץ כל המספרים הנפרדים שהם מה' עד ט' והנם כ"א
Take its square; the result is 441.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=3}^{5} \left(2i-1\right)\right]^2=21^2=441}}
 וקח מרובעם ויעלה תמ"א
  • square of sum of odd numbers: number of terms \ last term is unknown
[the question deals with the sum of cubes of odd numbers, while the solution implies the square of the sum of odd numbers]
36) Question: we sum up all the cubes of the odds from 1 until an unknown number and the result is 256.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^3=256
 לו) שאלה קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם על דרך הנפרדים ועלה רנ"ו
Extract the root of 256; the result is 16.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)\right]^2=256}}
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{256}=16}}
 לקחת שרש רנ"ו ויעלו י"ו
Then, one should deduce and say: we sum up all the odd numbers from 1 to an unknown number; the result is 16.
 אח"כ ראוי להקיש ולומ' חברנו כל הנפרדים מא' עד מספר נעלם ועלה י"ו
The way is that you multiply 16 four times; it is 64.
הנה הדרך שתכפול י"ו ד' פעמים ויהיו ס"ד
Extract its root; it is 8.
 וקח שרשם והנם ח‫'
Subtract one from it; the remainder is 7 and this is the required.
 תגרע ממנו אחד הנשאר ז' והוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=16\longrightarrow 2n-1=\sqrt{4\sdot16}-1=\sqrt{64}-1=8-1=7}}
  • square of sum of even numbers
[the question deals with the sum of cubes of even numbers, the solution indicates to the square of the sum of even numbers]
37) Question: sum up the cubes of the even numbers from 2 to 12.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)^3=2^3+\ldots+12^3
 לז) שאלה קבץ ממעוקב ב' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות
You should sum up all the [even] numbers from 2 to 12; they are 42.
 והנה יש לך לחבר כל המספרים מב' עד י"ב ויהיו מ"ב
Then, take its square; it is 1764.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)\right]^2=42^2=1764}}
 אח"כ תקח מרובעם שהם אלף תשס"ד
  • square of sum of even numbers: first term is not 1
[the question points to the sum of cubes of even numbers, the solution deals with the square of the sum of even numbers]
38) Question: sum up the cubes of the even numbers from 4 to 12.
\scriptstyle\sum_{i=2}^{6} \left(2i\right)^3=4^3+\ldots+12^3
 לח) שאלה קבץ ממעוקב ד' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות
All the even numbers from 4 to 12 should be summed; they are 40.
ראוי לקבץ כל המספרים מהזוגות שהם מד' עד י"ב שהם מ‫'
Take the square of 40; it is 1600 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=2}^{6} \left(2i\right)\right]^2=40^2=1600}}
 וקח מרובע מ' שהוא אלף ות"ר והוא המבוקש
  • square of sum of even numbers: number of terms \ last term is unknown
[the question deals with the sum of cubes of even numbers, while the solution concerns the square of the sum of even numbers]
39) Question: we sum up all the cubes of the evens from 2 until an unknown number and the sum is 400.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^3=400
 לט) שאלה אם יאמר לך קבצנו כל המעוקבים מב' עד מספר נעלם על דרך הזוגות ועלה המחובר ד' מאות
The way is that you extract the root of 400; it is twenty.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sum_{i=1}^{n} 2i\right)^2=400}}
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{400}=20}}
 הנה הדרך בזה שתקח שרש ד' מאות והוא עשרים
Then, say: we sum up all the even numbers from 2 to an unknown number and the resulting sum is twenty. How much is the unknown number?
 ואח"כ תאמר חברנו כל הזוגות שהם מב' עד מספר נעלם ועלה המחובר עשרי‫'

כמה הוא המספר הנעלם

Twenty should be multiplied by 4; then 1 should be added to the product; the total is 81.
 ראוי לכפול עשרים על ד' ולהוסיף על המחובר א' ויהיה בין הכל פ"א
Extract its root; it is 9.
 וקח שרשו והוא ט‫'
Always subtract 1 from the root; 8 remains.
 ולעולם תפיל מן השרש א' וישאר ח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} 2i=20\longrightarrow 2n=\sqrt{\left(4\sdot20\right)+1}-1=\sqrt{80+1}-1=\sqrt{81}-1=9-1=8}}
  • sum of even-times-even numbers
40) Question: if you want to know the sum of 1, 2, 4, 8, 16, and so on, each consecutive number is double the preceding number, and the last number is 128.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots+128
 מ) שאלה אם תרצה לדעת המחובר מא' עם ב' עם ד' עם ח' ועם י"ו וכן לעולם מוסיף המספר הבא על המספר העבר ב' פעמים כמוהו והמספר האחרון עולה קכ"ח
128 should be multiplied by 2; the result is 256.
 ראוי לכפול קכ"ח על ב' ויעלה רנ"ו
Always subtract 1 from it; the remainder is 255 and this is the sought-after.
 ותגרע ממנו לעולם א' והנשאר רנ"ה והוא המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots+128=\left(2\sdot128\right)-1=256-1=255}}
[41)] If you want to sum 1 with 2, 4, 8, 16, and so on double 12 times.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots
 ‫[1]ואם תרצה לחבר א' עם ב' ועם ד' ועם ח' ועם י"ו וכן תמיד תכפול עד י"ב פעמים
Sum up until the fourth, i.e. 1, 2, 4, 8; they are 15.
\scriptstyle{\color{blue}{S_4=\sum_{i=1}^{4} 2^{i-1}=1+2+4+8=15}}
 ראוי לחבר עד ד' ר"ל א' עם ב' ועם ד' ועם ח' והנם ט"ו
Add 1 to 15; they are 16.
 תוסיף על ט"ו א' ויהיו י"ו
Then, multiply 16 by itself; it is 256.
 אח"כ כפול י"ו על עצמם ויהיו רנ"ו
Multiply 16 by 256; the result is 4096 and this is the sum of all the terms until the twelfth.
 אח"כ כפול י"ו על רנ"ו ויצא ד' אלפים וצ"ו והוא מה שבכל הבתים עד י"ב
Always subtract 1; 4095 remains.
 ותגרע א' לעולם וישארו ד' אלפים וצ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_{12}=\sum_{i=1}^{12} 2^{i-1}&\scriptstyle=1+2+4+8+16+\ldots=\left[\left(15+1\right)^2\sdot\left(15+1\right)\right]-1=\left(16^2\sdot16\right)-1\\&\scriptstyle=\left(256\sdot16\right)=4096-1=4095\\\end{align}}}
You can always know it also, if you multiply what you receive, which is 4096, by 16; the result is 65536.
 וכן תוכל לדעת לעולם אם תכפול מה שיצא לך על י"ו שהוא ד' אלפים וצ"ו עלה ס"ה אלפים ותקל"ו
Subtract 1 from it; 65535 remains and this is what is in the sixteenth term.
 תגרע מהם א' וישארו ס"ה האלפים ותקל"ה והוא מה שבבית הי"ו
\scriptstyle{\color{blue}{S_{16}=\sum_{i=1}^{16} 2^{i-1}=\left(4096\sdot16\right)-1={\color{red}{6}}5536-1=65535}}
If you want to know the second consecutive term:
 ואם תרצה לדעת מכל ב' בתים
Multiply what you receive by 4; you receive the second consecutive term.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_{n+2}=4\sdot a_n}}
תכפול מה שיצא לך על ד' ויצא לך מה שבבית השני
  • Example: now that you know the 16th term, which is 65536 with the addition of 1, multiply this number by 4; you receive 262144 and this is the 18th term.
 דמיון עתה שידעת מה שבבית הי"ו שהוא ס"ה אלפים ותקל"ו עם תוספת א' תכפול אותו המספר על ד' ויצא לך רס"ב אלפים וקמ"ד והוא מה שבבית הי"ח
\scriptstyle{\color{blue}{a_{18}=\sum_{i=1}^{18} 2^{i-1}+1=4\sdot a_{16}=4\sdot65536=262144}}
Likewise you can always know also the third consecutive term:
 וכן תמיד גם מה שבבית הג' תוכל לדעת
If you multiply the number by 8.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_{n+3}=8\sdot a_n}}
 אם תכפול המספר על ח‫'
Also if you multiply the number by 32 you receive the fifth consecutive term.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_{n+5}=32\sdot a_n}}
 ואם תכפול המספר על ל"ב יצא לך מה שבבית הה‫'
I.e. if you multiply 262144, which is the 18th term, by 32, the result is 8388608 and this is the 23rd term, since you add five [terms] to the 18th term [?].
 ר"ל שאם תכפול רס"ב אלפים וקמ"ד שהוא מה שבבית הי"ח על ל"ב יצא ח' אלפי אלפים וג' מאות ופ"ח אלף וו' מאות וח' והוא מה שבבית הכ"ג מאחר שתוסיף על הבית הי"ח ה' ותגרע א' לעולם מן הסך העולה
\scriptstyle{\color{blue}{a_{18+5}=a_{23}=32\sdot a_{18}=32\sdot262144=8388608}}
This way you can known the squares of the chessboard, which are 64.
[= the sums of the powers of two, i.e. the even-eimes-even numbers, signify the squares of the chessboard].
 ועל זה הדרך תוכל לדעת בתי האשקאקי שהם ס"ד

Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish
42) Question: three men wanted to buy a fish for a price of 17 pešuṭim.
The first said: I will give all of what I have and you will give a half of what you have.
The second said: I will give all of what I have and you will give a third of what you have.
The third said: I will give mine and you will give a quarter of your money.
I ask: how much did each have?
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)=17\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)=17\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)=17\end{cases}
 מב) שאלה ג' אנשים רצו לקנות דג אחד במחיר י"ז פשוטים

אמר הא' אני אתן כל מה שבידי ואתם תנו חצי מה שבידכם
אמר השני אני אתן כל מה שבידי ואתם תנו שליש שלכם
אמר השלישי אני אתן את שלי ואתם תנו רביעית ממונכם
אשאל כמה היה לכל א' וא‫'

The answer: we look for a number, such that we can add to it and it will be a half, two-thirds and 3-quarters of the number resulting from the addition.
 התשובה נבקש מספר שנוכל להוסיף עליו עד שיהיה המספר ההוא אחר התוספת חציו ושני שלישיותיו וג' רביעיותיו והוא המורה
Since the price of the fish is 17 pešuṭim, which is greater than 12, the required number is less than 12. When we add 12, which is the denominator, to the price of the fish, which is 17, the result is 29 and this is the total amount of money of all.
\scriptstyle{\color{blue}{a+b+c=17+12=29}}
 ובעבור שמחיר הדג י"ז פשוטים והוא יותר מי"ב הנה המספר המבוקש פחות מי"ב וכאשר חברנו י"ב והוא המורה עם מחיר הדג והוא י"ז יעלו כ"ט והוא ממון כלם
When the fish is bought, two have 12 pešuṭim, i.e. after you subtract 17 pešuṭim from 29.
\scriptstyle{\color{blue}{29-17=12}}
 וכאשר נקנה הדג הנה ביד שנים מהם י"ב פשוטים ר"ל אחר שתסיר י"ז פשוטים מכ"ט
When we add to 12 a half of twice what is left in his hand, it is 24. Its complement to 29 is 5 and this is the amount of money of the first.
\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}\sdot\left(12+12\right)\longrightarrow a+24=29\longrightarrow a=5}}
 וכאשר נוסיף על י"ב חצי הכפל הנשאר בידו יהיו כ"ד ויש להשלים עד כ"ט ה' וככה ממון הראשון
When we add 6 to 12, it is 18, so that 12 is its two-thirds. Its complement to 29 is 11 and this is the amount of money of the second.
\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}\sdot\left(12+6\right)\longrightarrow b+18=29\longrightarrow b=11}}
 וכאשר הוספנו על י"ב ו' ויהיו י"ב שתי שלישיותיו ויהיו י"ח הנה יש להשלים עד כ"ט י"א והוא ממון השני
When we add only 4 to 12, it is 16, so that [12] is its three-quarters. Its complement to 29 is 13 and this is the amount of money of the third.
\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}\sdot\left(12+4\right)\longrightarrow c+16=29\longrightarrow c=13}}
 וכאשר הוספנו על י"ב ד' בלבד יהיו י"ו עד שיהיו שלש רביעיותיו ממונו עד כ"ט י"ג והוא ממון השלישי

Find a Number
43) Question: find me a number such that when multiplied by 3 then divided by 4 the ratio of the remainder to 4 is the same as the ratio of 4 to 6.
\scriptstyle\frac{3a}{4}:4=4:6
 מג) שאלה תמצא לי מספר אשר כשתכפול על ג' ותחלק על ד' ומה שישאר יהיה יחסו אל ד' כיחס ד אל ו‫'
The answer: we take any number you want: [for instance], we take 6. We multiply it by 3; it is 18. Divide 18 by 4; the result is 4 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot6}{4}=\frac{18}{4}=4+\frac{1}{2}}}
 התשובה נבקש איזה מספר שתרצה והנה נבקש מספר ו' נכפול אותו על ג' ויהיו י"ח ותחלק י"ח על ד' ויצאו ד' וחצי
It is known that the ratio of 4 to 6 is 2-thirds.
\scriptstyle{\color{blue}{4:6=\frac{2}{3}}}
 וידוע כי יחס ד' אל ו' ב' שלישיות
Rule of Three: we look for a number that is 2-thirds of 4, then we say: if the 6 we assumed to be the number gives us 4 and a half, which number gives me 2 and 2-thirds that are 2-thirds of 4?
\scriptstyle{\color{blue}{6:\left(4+\frac{1}{2}\right)=a:\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)=a:\left(2+\frac{2}{3}\right)}}
 ואנו מבקשים מספר שיהיה ב' שלישיותיו מד' והנה נאמר ככה אם בעד ו' ששמנו המספר שנתן לנו ד' וחצי איזה מספר יתן לי באופן שיבא ב' וב' שלישיות שהם ב' שלישיות ד‫'
Multiply 2 and 2-thirds by 6; the result is 16.
 כפול ב' וב' שלישיות על ו' ויעלו י"ו
Divide the product by 4 and a half; the result is 3 and 5 parts of 9.
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{6\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)}{4+\frac{1}{2}}=\frac{16}{4+\frac{1}{2}}=3+\frac{5}{9}}}
 והעולה תחלק על ד' וחצי הנה א"כ העולה ג' וה' חלקים מט‫'
Check: So, when you multiply 3 times 3 and 5 parts of 9, then divide the product by 4, you receive 2 and 2-thirds and its ratio to 4 is as the ratio of 4 to 6.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot\left(3+\frac{5}{9}\right)}{4}:4=\left(2+\frac{2}{3}\right):4=4:6}}
 הנה א"כ כשתכפול ג' פעמים ג' וה' חלקים מט' והעולה תחלק על ד' יצא לך ב' וב' שלישיות

ויחסו אל ד' כיחס ד' אל ו‫'

Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish
44) Question: three men wanted to buy a fish for 20 minyanim.
The first said: I will give all of my money and you will give a half of what you have.
The second said: I will give all of my money and you will give a third of you money.
The third said: I will give all of my money and you will give a quarter of your money.
How much did each have?
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)=20\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)=20\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)=20\end{cases}
 מד) שאלה ג' אנשים רוצים לקנות דג אחד כ' מנינים

אמר הא' אני אתן כל ממוני ותנו אתם חצי כל אשר לכם
אמר השני אני אתן כל ממוני ותנו אתם שליש ממונכם
אמר השלישי אני אתן כל ממוני ותנו אתם רביעית ממונכם
כמה לכל אחד ואחד

The answer: this question should be deduce from the question above, only that in the one above the price was 17 and in the present it is 20.
 התשובה ראוי לדמות זאת השאלה לאותה של מעלה אבל אותה של מעלה הנה היה הערך י"ז וזאת הוא כ‫'
Rule of Three: So, we say: if 17 yields 5, which is the amount of the one that asks his friends to give him a half of their money, how much is twenty equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{17:5=20:a}}
 לכן נאמר אם י"ז יתנו לו ה' שהוא סך מאותו שיבקש שיתנו חבריו חצי ממונם כמה ישוו עשרים
You receive 5 integers and 15 parts of 17.
\scriptstyle{\color{blue}{a=5+\frac{15}{17}}}
 ויצא לך ה' שלמים וט"ו חלקים מי"ז
Rule of Three: Then, say: if 17 yields 11, which is the share of the one that wants his friends to give him a third of their money, how much is twenty equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{17:11=20:b}}
 אח"כ תאמר אם י"ז יתנו י"א וזה הוא חלק מאותו שרוצה שיתנו חביריו שליש ממונם כמה ישוו עשרים
You receive 12 and 16 parts of 17.
\scriptstyle{\color{blue}{b=12+\frac{16}{17}}}
 ויצא לך י"ב וי"ו חלקים מי"ז
Rule of Three: Then, say: if 17 gives me 13, which is the share of the one that asks his friends to give him a quarter [of their money], how much twenty gives me?
\scriptstyle{\color{blue}{17:13=20:c}}
 אח"כ תאמר אם י"ז יתנו לי י"ג והוא חלק מאותו שמבקש שיתנו חבריו הרביעית כמה יתן לי עשרים
You receive 15 and 5 parts of 17 and this is the amount of money of the third.
\scriptstyle{\color{blue}{c=15+\frac{5}{17}}}
 ויצא לך ט"ו וה' חלקים מי"ז והוא ממון השלישי
You can check it and you will find it is correct.
 ותוכל לבחון אותו ותמצאהו נכון

Pursuit Problem
45) Question: a man sent three messengers to walk a distance of 300 miles, then return and walk again back and forth.
End to end there are 300 miles.
He sent them one the same day, same hour, same minute.
The first walks 20 miles, the second 25, and the third 32.
We wish to know: when will they reach each other?
 מה) שאלה אדם שלח ג' רצים שילכו מהלך ג' מאות מילין ואח"כ ישובו לאחור וכשיגיעו לאדניהם ילכו גם כן לדרכם וכן תמיד הלוך ושוב

ומקצה ועד קצה הם ש' מילין
ושלחם ביום אחד בשעה אחת וברגע אחד
ומהלך א' מהם הוא כ' מילין והשני כ"ה והשלישי ל"ב
נרצה לדעת מתי ישיגו זה את זה

The answer: we have to divide the 300 by 20, which is what the first walks [a day]; the result is 15. So, he walks 300 miles in 15 days.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300}{20}=15}}
 התשובה יש לנו לחלק אלו הג' מאות על כ' שהוא מהלך הראשון ויצא ט"ו א"כ בט"ו ימים ילך ג' מאות מילין
We also divide 300 by 25; the result is 12. So [the second] walks [300 miles] in 12 days.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300}{25}=12}}
 עוד נחלק ש' על כ"ה ויצא י"ב א"כ בי"ב ימים ילך
Multiply 12 by 15; the result is 180. So, the two will meet each other in 180 days.
\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot15=180}}
 וכפול י"ב על ט"ו ויעלו ק"פ א"כ בק"פ ימים יהיו אלו הב' זה אצל זה
One should find a number such that when you divide it by 32 it will be reduced, i.e. we must find a number and multiply it by 300, then divide the result by 32 and the result will be reduced.
So, we multiply 180 by 300 and the result is 54000.
Therefore, the three will meet each other in 54000 days.
\scriptstyle{\color{blue}{180\sdot300=54000}}
 והנה ראוי למצא חשבון שכשתחלקהו על ל"ב יהיו מצומצם ר"ל שיש לנו למצא מספר ולכפלו נגד ג' מאות ולחלק העולה על ל"ב ויצא מצומצם

על כן נכפול ק"פ על ג' מאות ויעלה נ"ד אלפים א"כ בנ"ד אלפי' ימים יהיו מחוברים

Check: to check it, multiply 54000 by 20, which is what the first walks [a day], then divide the result by 300 and it is reduced.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54000\sdot20}{300}}}
 ולבחון אותו כפול נ"ד אלפים על כ' שהוא מהלך הראשון ותחלק העולה על ש' ויצא בצימצום
Multiply also 54000 by 25, then divide the result by 300 and it is reduced.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54000\sdot25}{300}}}
 עוד תכפול נ"ד אלפים נגד כ"ה ותחלק העולה על ש' ויצא בצימצום
Multiply also 54000 by 32, then divide the result by 300 and it is reduced.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54000\sdot32}{300}}}
 ג"כ עוד כפול נ"ד אלפים על ל"ב וחלק העולה על ש' ויצא ג"כ מצומצם

Questions of R. Levi Ben Gershon

 שאלות מר' ל[וי] בן גרשו[ם]

Find a Number Problem
46) Question: three sevenths and four fifths of the unknown number exceed two thirds and a quarter of the unknown number by twenty.
We wish to know: how much is the number?
\scriptstyle\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a=\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}a+20
 מו) שאלה ג' שביעיות וד' חמישיות המספר הנעלם מוסיפים על ב' שלישיות ורביעית המספר הנעלם כ‫'

רצינו לדעת כמה המספר הנעלם

The answer: the denominator is 420; its 3-sevenths plus its 4-fifths is 516.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)=516}}
 התשובה הנה המורה הוא ת"כ וג' שביעיותיו עם ד' חמישיותיו הוא תקי"ו
Its 2-thirds plus its quarter is 385.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot420\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot420\right)=385}}
 וב' שלישיותיו הוא ת"ק ורביעיתו הוא שפ"ה
The former parts exceed over the later [parts] by 131.
\scriptstyle{\color{blue}{516-385=131}}
 הנה החלקים הראשנים מוסיפים על השניים מספר קל"א
Rule of Three: we multiply the denominator by twenty, then divide the product by 131; the result is 64 integers and 16 parts of 131 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{420\sdot20}{131}=64+\frac{16}{131}}}
 ערכנו המורה על עשרים וחלקנו העולה על קל"א ועלה ס"ד שלמים וי"ו חלקים מקל"א והוא המבוקש

Pursuit Problem
47) Question: the mover walks 7 parts, 36 minutes and 57 seconds of the road in 13 days.
We wish to know how far will he walk on the road in 3 days, 17 hours, 52 minutes and 16 seconds?
\scriptstyle\left(13\sdot24\right):\left({\color{red}{7}}+36'+57''\right)=\left[\left(3\sdot24\right)+17+52'+16''\right]:a
 מז) שאלה המתנועע מתנועע בי"ג ימים י"ז שעורים מן הדרך ול"ו ראשנים ונ"ז שניים ורצינו לדעת כמה מן הדרך ילך בג' ימים וי"ז שעות ונ"ב ראשנים וי"ו שניים
The answer: we convert the days into hours.
 התשובה הנה נשיב הימים שעות
The first time is 312.
\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot24=312}}
 ויהיה הזמן הראשון שי"ב
The second time is 89, 52 primes and 16 seconds.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot24\right)+17+52'+16''=89+52'+16''}}
 והזמן השני בפ"ט ונ"ב ראשנים וי"ו שניים
Rule of Three: we multiply 7 integer, 36 primes and 57 seconds by 89 integer, 52 primes and 16 seconds, then divide the product by 312; the result is 2 integer, 10 primes and 56 seconds and this is length of the path he walks in the second given time.
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(7+36'+57''\right)\sdot\left(89+52'+16''\right)}{312}=2+10'+56''}}
 ערכנו ז' שלמים ל"ו ראשנים נ"ז שניים על פ"ט שלמים נ"ב ראשנים י"ו וחלקנו העולה על שי"ב ועלה ב' שלמים י' ראשנים נ"ו שניים והוא מספר השעורים שהלך מן הדרך בזמן המונח השני
48) Question: the mover walks 7 parts, 36 minutes and 57 seconds of the road in 13 days.
We wish to know in how much time will he walk 3 parts of the road?
\scriptstyle\left(7+36'+57''\right):\left(13\sdot24\right)=3:a
 מח) שאלה המתנועע הולך ז' שעורים מן הדרך ול"ו ראשנים נ"ז שניים בי"ג ימים ורצינו לדעת בכמה מן הזמן ילך ג' שעורים מן הדרך
Rule of Three: we multiply 3 measures by 312 integers, then divide the product by 7 integers, 36 minutes and 57 seconds; the result is 122 hours, 54 minutes and 17 seconds and this is the required, i.e. the unknown time.
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{3\sdot312}{7+36'+57''}=122+54'+17''}}
 ערכנו ג' שעורים על שי"ב שלמים וחלקנו העולה על ז' שלמים ול"ו ראשנים ונ"ז שניים ועלה קכ"ב שעות ונ"ד ראשנים וי"ז שניים והוא המבוקש ר"ל הזמן הנעלם
49) Question: the faster walks 2 measures and 37 seconds in one hour, the slower walks 30 minutes and 24 seconds in one hour, and the distance between the slower, who is in front, and the slower is 29 measures and 45 minutes.
 מט) שאלה מהלך אדם מהיר בשעה א' ב' שעורים ול"ז שניים ויהיה מהלך המתוני לשעה א' ל' ראשנים כ"ד שניים והיה מרחק המתוני מהמהיר לפניו כ"ט שעורים ומ"ה ראשנים
The excess of the faster walker over the slower walker in one hour is 1 measure, 30 primes and 13 [seconds]. We divide the given distance by it; the result is 19 hours, 47 minutes and 49 seconds and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{29+45'}{\left(2+37''\right)-\left(30'+24''\right)}=\frac{29+45'}{1+30'+13''}=19+47'+49''}}
 והיה יתרון מהלך המהיר על מהלך המתוני לשעה הוא שעור א' ול' ראשנים וי"ג חלקנו עליו המרחק המונח ועלה י"ט שעות מ"ז ראשנים מ"ט שניים והוא המבוקש

Purchase Problems
Equal Amount
50) Question: the merchant is selling four drugs.
The price of the first drug is 7 pešuṭim for a liṭra.
The price of the second drug is 8 pešuṭim for a liṭra.
The price of the third drug is 10 pešuṭim for a liṭra.
The price of the fourth drug is 15 pešuṭim for a liṭra.
The buyer comes to buy the same weight of each for 3 dinar
\scriptstyle\frac{7}{12}x+\frac{8}{12}x+\frac{10}{12}x+\frac{15}{12}x=3
 נ) שאלה הסוחר מוכר מד' סמים

ערך הסם הראשון ז' פשוטים הליט‫'
וערך הסם השני ח' פשוטים הליט‫'
וערך הסם השלישי י' פשוטים הליט‫'
וערך הסם הרביעי ט"ו פשוטים הליט‫'
ובא הקונה לקנות בג' דינרין משקל שוה מכל א' מהסמים

He buys one liṭra from each for 3 dinar and 4 pešuṭim.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{12}+\frac{8}{12}+\frac{10}{12}+\frac{15}{12}=3+\frac{4}{12}}}
 והנה בג' דינרין וד' פשוטים יקח ליט' מכל א‫'
The ratio of 3 dinar to 3 dinar and 4 pešuṭim is 9-tenths and so he buys from each [type of] drug, i.e. 9-tenths of a liṭra.
\scriptstyle{\color{blue}{x=3:\left(3+\frac{4}{12}\right)=\frac{9}{10}}}
 והנה יחס ג' דינרין אל ג' דינרין וד' פשוטים הוא ט' עשיריות וככה יקח מכל סם וסם ר"ל ט' עשיריות ליט‫'
The total price is 3 dinar and you can check it.
 ויהיה ערך הכל ג' דינרין ותוכל לבחון אותו
51) Question: the merchant is selling four drugs -
the price of the first drug is 2 dinar for a liṭra,
the price of the other drug is 3 dinar for a liṭra,
the price of the another drug is 12 dinar for a liṭra,
and the price of the other drug is 20 dinar for a liṭra.
We wish to know how many liṭra should be taken from each of the drugs so that the price of what is taken from this one is the same as the price of what is taken from that one
\scriptstyle2a=3b=12c=20d
 נא) שאלה הסוחר מוכר מד' סמים

ערך הא' ב' דינרין הליט‫'
וערך האחר ג' דינרין הליט‫'
ומהאחר י"ב דינרין הליט‫'
והאחרת כ' דינרין הליט‫'
ורצינו לדעת כמה מן הליט' יילקח מאחד אחד מהסמים ויהיה ערך מה שילקח מזה כמו ערך מה שילקח מזה

Write the prices of the 3 liṭra in the first line, it is: [2], 2, 12, 20.
 והנה תכתוב בטור א' ערכי הליט' והוא א'ג'י"ב כ‫'
In the line below it, it is always according to the mentioned order, meaning write [3 beneath] 2 and 2 beneath 3, also 20 beneath 12 and 12 beneath 20.
ובטור תחתיו תמיד הענין על זה הסדור הנז' רצוני שתכתוב ב' ג' ותחת ג' ב‫' וגם כן הנה תכתוב תחת י"ב כ' ותחת כ' י"ב
Then take the smallest numbers of these ratios, i.e. the ratio of 2 to 3, the ratio of 12 to 3, and the ratio of 20 to 12.
 ואחר תקח קטני המספרים המתיחסים בכמה זה היחס ר"ל מיחס ב' אל ג' ומיחס י"ב אל ג' ומיחס כ' אל י"ב
The ratio of 20 to 30 is the same as the ratio of 3 to 2.
\scriptstyle{\color{blue}{30:20=3:2}}
 וזה שיחס כ' אל ל' כיחס ג' אל ב‫'
The ratio of 20 to 5 is the same as the ratio of 12 to 3.
\scriptstyle{\color{blue}{20:5=12:3}}
 ויחס כ' אל ה' כיחס י"ב אל ג‫'
The ratio of 5 to 3 is the same as the ratio of 20 to 12.
\scriptstyle{\color{blue}{5:3=20:12}}
 ויחס ה' אל ג' כיחס כ' אל י"ב
So, take 30 livre from the drug whose price is 2 dinar, and this is the number opposite to it.
 ולזה תקח מן הסם אשר ערכו ב' דינרין ל' ליט' והוא המספר הנכחי לו
From the drug whose price is 3 dinar take 20 liṭra.
 ומהסם אשר ערכו ג' דינרין הליט' תקח כ' ליט‫'
From the drug whose price is 20 dinar take 3 liṭra.
 ומהסם אשר ערכו כ' דינרין תקח ג' ליט‫'
The total price of what you take from each is the same.
 ויהיה ערך מה שתקח מכל א' מהם שוה
If the price of one of the drugs is a number of pešuṭim, you should make sure in this mentioned way to convert the price of the remaining drugs into pešuṭim.
 וראוי שתשמור בזה הדרך הנזכר אם היה ערך אחד הסמים מספר הפשוטים שתשיב ערך הסמים הנשארים לפשוטים
52) Question: the merchant is selling three drugs -
the price of the first drug is 7 pešuṭim for a liṭra,
the price of the second drug is 10 pešuṭim for a liṭra,
and the price of the third drug is 20 pešuṭim for a liṭra.
The buyer comes to buy one liṭra from all so that the price of what he takes from one of them is the same as the price of what he takes from each of the others.
\scriptstyle2a=3b=12c=20d
 נב) שאלה הסוחר מוכר מג' סמים

ערך הא' ז' פשוטים הליט‫'
וערך הב' י' פשוטים הליט‫'
וערך הג' כ' פשוטים הליט‫'
ובא הקונה לקנות ליט' מכלם ויהיה ערך מה שיקח מא' מהם כמו ערך מה שיקח מכל א' מהאחרים

The smallest numbers taken of each, so that their prices are the same, are 20, 14, and 7. Their sum is 41 and these are the parts of the liṭra.
\scriptstyle{\color{blue}{20+14+7=41}}
 והנה קטני המספרים שילקחו מאחד אחד מהם ויהיה הערך שוה הם מספרי כ' י"ד ז' והנה מקובצם הוא מ"א והם חלקי הליט‫'
Of these parts, 20 parts are taken of the drug whose price is 7 pešuṭim for a liṭra.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{41}}}
וילקחו מאלו החלקים מהסם אשר ערכו ז' פשוטים הליט' כ' חלקים
14 parts are taken of the drug whose price is 10 pešuṭim for a liṭra.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14}{41}}}
 ומהסם אשר ערך הליט' ממנו י' פשוטים ילקחו י"ד חלקים
7 parts are taken of the drug whose price is 2 pešuṭim for a liṭra.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{41}}}
 ומהסם אשר ערך הליט' ממנו ב' פשוטים ילקחו ז' חלקים
The total is 41 parts that are 5 liṭra.
 והנה הכל מ"א חלקים שהוא ה' ליט‫'
As for the price of the liṭra: take the ratios of the numbers 20, 14, and 7, each to its corresponding. Sum them up; the total is 35 dinar.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot20}{12}+\frac{10\sdot14}{12}+\frac{20\sdot7}{12}=35}}
 ואולם ערך הליט' הנה תקח ערך מספרי כ' י"ד ז' כל אחד מהנכחי לו ותקבץ הכל והנה הכל ל"ה דינרין
Divide 35 by 41; the result is 10 pešuṭim and 10 parts of 41 of a pašuṭ and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35}{41}=\frac{10+\frac{10}{41}}{12}}}
 חלק ל"ה על מ"א ועלה י' פשוטים וי' חלקים ממ"א בפשוט והוא המבוקש
Unequal Amount
53) Question: the merchant sells two drugs: the price of one drug is 17 pešuṭim for a liṭra and the price of the second drug is 24 pešuṭim for a liṭra.
The buyer comes to buy one measure of both so that its price is 19 pešuṭim.
\scriptstyle 17x+24y=19
 נג) שאלה הסוחר מוכר משני סמים

ערך הסם הא' י"ז פשוטים הליט‫'
וערך האחר כ"ד פשוטים הליט‫'
ובא הקונה לקנות מדה משניהם ויהיה ערכה י"ט פשוטים

The excess of the expensive over the cheaper is 7 and these are the parts of the measure.
\scriptstyle{\color{blue}{24-17=7}}
 והנה יתרון המוסיף על המחסיר הוא ז' והם חלקי המדה
The deficit of the cheaper from 19 is two and these are the parts of the measure he takes from the drug whose price is higher [than 19].
\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{19-17}{7}=\frac{2}{7}}}
 והנה חסרון המחסיר מי"ט הוא שנים והם החלקים מחלקי המדה שיקח מהסם אשר ערכו מוסיף
The excess of the expensive is 5, which are the parts he takes from the drug whose price is lower [than 19].
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{24-19}{7}=\frac{5}{7}}}
 והנה יתרון המוסיף הוא ה' והם חלקים שיקח מהסם אשר ערכו מחסיר
The price of the measure is 19 pešuṭim.
 ויהיה ערך המדה י"ט פשוטים
54) Question: the merchant sells 7 drugs:
the price of the first drug is 3 pešuṭim for a liṭra.
the price of the second drug is 5 pešuṭim.
the price of the third drug is 8 pešuṭim.
the price of the fourth drug is 11 pešuṭim.
the price of the fifth drug is 15 pešuṭim.
the price of the sixth drug is 19 pešuṭim.
the price of the seventh drug is 28 pešuṭim.
The buyer wants to buy one liṭra from all of them for 15 pešuṭim.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle \sum_{i=1}^n x_i=1\\\scriptstyle3x_1+5x_2+8x_3+11x_4+15x_5+19x_6+28x_7=15\end{cases}
 נד) שאלה הסוחר מוכר מז' סמים

ערך הא' ג' פשוטים הליט‫'
וערך הב' ה' פשוטים
וערך הג' ח' פשוטים
וערך הד' י"א פשוטים
וערך הה' ט"ו פשוטים
וערך הו' י"ט פשוטים
וערך הז' כ"ח פשוטים
ורצה אדם לקנות ליט' א' מכלם בט"ו פשוטים

[The drugs whose prices] are higher [than 15] are two: the drug whose price is 19 pešuṭim and the drug whose price is 2[8] pešuṭim.
 והנה המוסיפים הם ב‫'

הסם אשר ערכו י"ט פשוטי‫'
והסם אשר ערכו כ"ד פשוטים

[The drugs whose prices] are lower [than 15] are four: the one whose price is 3; the one whose price is 5; the one whose price is 8; and the one whose price is 11.
 והמחסירים הם ד‫'

אותה אשר ערכה ג‫'
ואשר ערכה ה‫'
ואשר ערכה ח‫'
ואשר ערכה י"א

We put the 3 pešuṭim corresponding to the 19 pešuṭim; the 5 pešuṭim corresponding to the 28 pešuṭim; and since there are still cheaper drugs left and no expensive left, we take the closest to 15, which is the required price, among the expensive, which is 19, and we attach 19 to each of the remaining cheaper [drugs] as you see in this diagram:
 הנה נשים ג' פשוטים גליי לי"ט פשוטים

וה' פשוטים גליי לכ"ח פשוטים
ומפני שנשארו עוד סמים במחסירים ולא נשארו במוסיפים נקח מהמוסיפים היותר קרוב אל ט"ו שהוא הערך המבוקש והוא י"ט ונזווג י"ט עם כל א' הנשארים מהמחסירים כמו שתראה בזאת הצורה

We already know the way to take liṭra from each of these pairs, so that its price will be 15 pešuṭim.
 וכבר ידענו דרך נקח ליט' מכל זוג וזוג מאלו יהיה ערכה ט"ו פשוטים
So, we take 4 parts of 16 of a liṭra from the drug [whose price is] 3 and [1]2 parts of 16 of a liṭra from the drug [whose price is] 19.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{16}\sdot3\right)+\left(\frac{{\color{red}{1}}2}{16}\sdot19\right)}}
 ולזה נקח מסם ג' ד' חלקים מי"ו בליט' ומסם י"ט ב' חלקים מי"ו בליט‫'
We also take 13 parts of 23 of a liṭra from the drug [whose price is] 5 and 10 parts of 23 of a liṭra from the drug [whose price is] 28.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{13}{23}\sdot5\right)+\left(\frac{10}{23}\sdot28\right)}}
 ונקח ג"כ מסם ה' י"ג חלקים מכ"ג בליט' ומסם כ"ח י' חלקים מכ"ג בליט‫'
We take also 4 parts of 11 of a liṭra from the drug [whose price is] 8 and 7 parts of 11 of a liṭra from the drug [whose price is] 19.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{11}\sdot8\right)+\left(\frac{7}{11}\sdot19\right)}}
 ונקח ג"כ מסם ח' ד' חלקים מי"א בליט' ומסם י"ט ז' חלקים מי"א בליט‫'
We take also 4 parts of [8] of a liṭra from the drug [whose price is] 11 and 4 parts of [8] of a liṭra from the drug [whose price is] 19.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{{\color{red}{8}}}\sdot11\right)+\left(\frac{4}{{\color{red}{8}}}\sdot19\right)}}
 ונקח ג"כ מסם י"א ד' חלקים מכ"ח בליט' ומסם י"ט ד' חלקים מכ"ח בליט‫'
The number of all these parts is 58.
\scriptstyle{\color{blue}{16+23+11+8=58}}
 והנה מספר כל אלו החלקים הוא נ"ח
We add two parts for the 15 that has no corresponding; they are 60 and these are the parts of the liṭra.
\scriptstyle{\color{blue}{58+2=60}}
 ונוסיף שני חלקים בעבור ט"ו שאין לו גלוי והנם ס' והם חלקי הליט‫'
We take 4 parts from the drug [whose price is] 3 pešuṭim.
 נקח מהם מסם ג' פשוטים ד' חלקים
13 parts from the drug [whose price is] 5.
 ומסם ה' י"ג חלקים
4 parts from the drug [whose price is] 8.
 ומסם ח' ד' חלקים
4 parts from the drug [whose price is] 11.
 ומסם י"א ד' חלקים
2 parts from the drug [whose price is] 15.
 ומסם ט"ו ב' חלקים
23 parts from the drug [whose price is] [19].
 ומסם ט"ו כ"ג חלקים
10 parts from the drug [whose price is] [2]8.
 ומסם י"ח י' חלקים
The price of the liṭra is 15 pešuṭim and this is the required.
 ויהיה ערך הליט' ט"ו פשוטים והוא המבוקש

Payment Problem - Men and Beasts
55) Question: Reuven hired Shimon to do his work 9 days for 10 liṭra. The work is to hire for him each day 13 men, each of whom should lead seven beasts, each of which should carry 15 measure and walk 6 parsa. He hired for him for 8 days 17 men, each of whom led 6 beasts, each of which carried 11 measures and walked 7 parsa.
נה) שאלה ראובן שכר שמעון י' ליט' שיעשה מלאכתו ט' ימים ובזאת המלאכה ישכור לו בכל יום י"ג מן האנשים ינהוג כל אחד מהם ז' בהמות תשא כל בהמה ט"ו מדות ותלך ו' פרסאות והוא שכר לו ח' ימים י"ז מן האנשים והנהיג כל אחד מהם ו' בהמות ונשאה כל א' מהם י"א מדות והלכה ז' פרסאות
The number that consists of the numbers he agreed on, which are 9, 13, 7, 15, 6, is 73710 and it is the reserved.
\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot13\sdot7\sdot15\sdot6=73710}}
 והנה המספר המורכב מהמספרים שהתנה הם ט' י"ג ז' ט"ו ו' והוא ע"ג אלפים ותש"י והוא השמור
The number that consists of the numbers in practice, which are 8, 17, 6, 11, 7, is 62832.
\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot17\sdot6\sdot11\sdot7=62832}}
 והמספר המורכב מהמספרים שהשלים ח' י"ז ו' י"א ז' והוא ס"ב אלפים ותתל"ב
The ratio of 10 liṭra to what he owes to him is the same as the ratio of the reserved to 62832.
\scriptstyle{\color{blue}{10:X=73710:62832}}
 והנה יחס י' ליט' אל מה שהוא חייב לו כיחס השמור אל ס"ב אלפים ותתל"ב
If you multiply 10 liṭra, which is the first, by the fourth, which is 62832, then divide the product by the reserved, you receive 8 liṭra and a half plus 1785 parts of 62832 of a liṭra, which are 5 pešuṭim and 25850 parts of 73710 of a pašuṭ.
 ואם תערוך י' ליט' שהוא הא' על הד' שהוא ס"ב אלפים ותתל"ב והעולה תחלק על השמור יצא לך ח' ליט' וחצי ואלף וז' מאות ופ"ה חלקים מס"ב אלפים ותתל"ב בליט' שהם ה' פשוטים וכ"ה אלפים תת"נ חלקים מע"ג אלפים תש"י בפשוט
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot62832}{73710}=8+\frac{1}{2}+\frac{1785}{{\color{red}{73710}}}=8+\frac{1}{2}+\frac{5}{12\sdot20}+\frac{\frac{59850}{73710}}{12\sdot20}}}

Buy and Sell Problems
56) Question: Reuven bought 2-fifths and [2]-sevenths of a measure for 2 dinar.
He sold 4-ninths of it for 5 dinar.
He earned 100 dinar.
We wish to know: how much was the amount of money?
 נו) שאלה ראובן קנה ב' חמישיות המדה וג' שביעיות ב' דינרין ומכר ד' תשיעיותיה ה' דינרין והרויח ק' דינרין נרצה לדעת כמה הממון
False position: The way is that you take the common denominator for all these fractions of the dinar as well as of the measure, if there are fractions in them. The common denominator for all the fractions in our example is 315 and this is the measure.
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=315}}
 הדרך בזה שתקח המורה לכל אלו החלקים הן מהמדה הן מהדינרין ואם קרה שיהיו בהם חלקים והנה המורה לכל אלו החלקים במשלינו הוא שט"ו והוא המדה
Take its 2-fifths and its 2-sevenths; the result is 216.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{{\color{red}{2}}}{7}\sdot315\right)=216}}
 קח ממנו ב' חמישיותיו וג' שביעיותיו ויעלה רי"ו
So, he buys 108 parts [of the measure] for a dinar.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{216}{2}=108}}
 הנה א"כ בדינר יקנה מאלו החלקים ק"ח
Take also its 4-ninths; the result is 140.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}\sdot315=140}}
 גם קח ממנו ד' תשיעיות ויעלה ק"מ
So, he sells 70 parts [of the measure] for a dinar.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{140}{2}=70}}
 הנה א"כ בדינר יתן ע' מאלו החלקים
Therefore, he earns 33 parts [of the measure].
\scriptstyle{\color{blue}{108-70=38}}
 ולזה ירויח בדינר ל"ג חלקים
But, the profit is 100 dinar, which is 7000 parts [of the measure].
\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot70=7000}}
 וכבר היה הריוח ק' דינרין שהוא ז' אלפים מאלו החלקים
Rule of Three: we should find the number whose ratio to 108 is the same as the ratio of 7000 parts to 38 [parts]. The way to find it is already explained.
\scriptstyle{\color{blue}{X:108=7000:38}}
 הנה ראוי שנקח מספר יהיה יחסו אל ק"ח כיחס ז' אלפים מאלו החלקים אל ל"ח אלפים וכבר התבאר דרך לקיחתו
If you divide the result by 70, you find the amount of money plus the profit together.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{70}}}
 ואם חלקת העולה על ע' הנה תמצא מספר הממון עם מה שהרויח יחד
If you divide the result by 108, which is the total dinar of the acquisition, you find the amount of money and this is clear.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{108}}}
 ואם חלקת העולה על ק"ח שהוא סך ערכי הדינר לפי מה שקנה תמצא מספר הממון וזה מבואר
  • Reverse problem: he lost 100 dinar by buying 4-ninths of a measure for 2 dinar and selling 2-fifths and [2]-sevenths of it for 2 dinar.
 ואם היתה השאלה בהפך ר"ל שהפסיד ק' דינרין כשקנה ד' תשיעיות המדה ב' דינרין ומכר ב' חמישיותיה עם ג' שביעיותיה ב' דינרין
The way is the same, only that when you divide the result by 70, you receive the amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{70}}}
 הדרך אחד אלא שכאשר תחלק העולה על ע' יהיה לך מספר הממון
And if you divide it by 108, you receive what remains after the loss.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{108}}}
 ואם תחלקהו על ק"ח יהיה לך הנשאר לו אחר ההפסד
If he asks how much is the commodity, divide the result by 385, which are the parts of the measure; [the result] is the measures of the commodity.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{385}}}
 ואם שאל כמה המקח חלק העולה על שפ"ה והם חלקי המדה והנה מדות המקח

Barter Problems
57) Question: a man bartered a certain merchandise for another merchandise.
The price of some parts of the measure that he offered is so and so.
The price of other parts of the merchandise that he received is so and so.
He gave a certain number of measures.
How much should he receive?
 נז) שאלה איש אחד מחליף מסחר מה במסחר אחר

וערך חלקים מה מן המדה ממה שנתן ככה
וערך חלקים ממה שקבל ככה
ונתן מספר ככה מן המדות
כמה ראוי שיקבל

  • Example: the merchandise that he offered is worth 2 dinar for 3-fifths plus 2-ninths of a measure.
The merchandise that he received is worth 3 dinar for 3 parts of 11 plus 2-sevenths of a measure.
He gave 20 measures.
We wish to know: how much should he receive?
 והמשל שהמסחר שנתן ישוו ג' חמישיות המדה עם ב' תשיעיותיה ב' דינרין

והמסחר שקבל ישוו ג' דינרין מי"א במדה עם ב' שביעיותיה ג' דינרין
ונתן לו כ' מדות
ורצינו לדעת כמה ראוי שיקבל

The way is that you take the common denominator for all these fractions of the measure and of the dinar, if there are fractions there.
 הדרך בזה שתקח המורה לכל אלו החלקים הן מהמדה הן מהדינרין אם קרה שיהיו שם חלקים
Take from it the fractions that are taken for one dinar for each of these prices.
וממנו תקח החלקים שילקחו בדינר לכל א' מאלו הערכין
Rule of Three: as [ratio of] the parts offered for a dinar to the parts received for a dinar, so is [the ratio of] what he offered to what he received.
 וכמו ערכי הדינר ממה שנתן אל חלקי הדינר ממה שקבל כן יחס מה שנתן אל מה שקבל
The common denominator of these fractions is 3465.
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9\sdot11\sdot7=3465}}
 והנה המורה לכל אלו החלקים הם ג' אלפים ותס"ה
We take its 3-sevenths and [a ninth] [= parts offered for two dinar]; it is 2464.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{5}\sdot3465\right)+\left(\frac{{\color{red}{1}}}{9}\sdot3465\right)=2464}}
 לקחנו ג' שביעיותיו וב' תשיעיותיו והם אלפים תס"ד
So, the parts offered for one dinar are 1232.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2464}{2}=1232}}
 ולזה יהיו החלקים שילקחו בדינר ממה שנתן אלף רל"ב
We take its 2-sevenths and 3 parts of 11 [= parts received for three dinar]; the result is 1935.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}\sdot3465\right)+\left(\frac{3}{11}\sdot3465\right)=1935}}
 לקחנו ב' שביעיותיו וג' חלקים מי"א במדה בו ועלה אלף תתקל"ה
So, the parts received for one dinar are 645.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1935}{3}=645}}
 ולזה יהיו החלקים שילקחו בדינר ממה שקבל תרמ"ה
Rule of Three: As the ratio of 1232 to 645, so is the ratio of what he receive to two measures.
\scriptstyle{\color{blue}{1232:645=x:20}}
 והנה כיחס אלף רל"ה אל תרמ"ב כן יחס מה שקבל אל ב' מדות
You already know the way to extract this unknown number.
 וכבר ידעת דרך לקיחת זה המספר הנעלם

Give and Take Problem
It is clear from this that is Reuven made an agreement with Shimon to do his work and he will give him his payment 20 dinar for 7 days and a seventh of a day and Shimon will give Reuaven 4 parts of 11 of a dinar for each day he did not work.
Shimon worked 2 days and 3-sevenths of a day and stopped working and he lost more than he gained.
We wish to know: how long was the duration of unemployment?
ומזה התבאר אם התנה ראובן עם שמעון לעשות מלאכתו ויתן לו בשכירותו בז' ימים וחומש יום כ' דינרין ושמעון יתן לראובן בכל יום שיבטל ד' חלקים מי"א בדינר

ועשה שמעון ב' ימים וג' שביעיות יום ובטל ויצא שכרו בהפסדו
רצינו לדעת כמה בטל

We take the common denominator for all these fractions; the result is 385 and it is the parts of the day.
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot11\sdot7=385}}
 לקחנו המורה לכל אלו החלקים בכללם ועלה שפ"ה והוא חלקי היום
Rule of Three: we look in how many of these parts [of the day] he earns one dinar and in how many of these parts [of the day] loses it; as the ratio of the time of gain to the time of loss so is the ratio of [2] days and 3-fifths to the time he rests.
 הנה נראה בכמה חלקים מאלו ירויח דינר ובכמה חלקים מאלו יפסידהו וכיחס מספר הריוח אל יחס ההפסד כן יחס ג' ימים וג' חמישיות אל הזמן שבטל
He earns a dinar in 135 parts and 12 parts of twenty of a part [of the day].
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(7+\frac{1}{5}\right)\sdot385}{20}=138+\frac{12}{20}}}
 והנה בקל"ה חלקי' וי"ב חלקים מעשרים בחלק ירויח דינר
He loses a dinar in 1058 parts and 3 of 4 of a part [of the day].
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{385}{\frac{4}{11}}=1058+\frac{3}{4}}}
 ובאלף ונ"ח חלקים ובג' מד' בחלק יפסיד דינר
So is the ratio of 2 days and 3-fifths to the time he rests.
 וככה יחס ב' ימים וג' חמישיות אל הזמן שבטל

Find a Number Problem
58) Question: when one number is added to a second number, their ratio to the third is 3 integers, 2-fifths and a seventh.
When the first is added to the third, their ratio to the [second] is 7 integers, 2-thirds and a quarter.
The second number is 30.
We wish to know: how much is each of the rest?
 נח) שאלה שיהיה מספר ראשון כשחובר אל מספר שני היה יחסו אל הג' ג' שלמים וב' חמישיות ושביעיות

וכשחובר הראשון אל הג' היה יחסו הראשון ז' שלמים וב' שלישיות ורביעיות
והמספר הב' ל‫'
רצינו לדעת כמה כל א' מהנשארים

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):c=3+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}\\\scriptstyle\left(a+c\right):b=7+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\\\scriptstyle b=30\end{cases}
First, you extract three numbers that meet this condition in the way that was explained in the first section of our book:
 הנה תוציא תחלה ג' מספרים יונהגו זה המנהג על הדרך שהתבאר במאמר הראשון מספרינו
So, [add 1 to] 3 integers, 2-fifths and a seventh; you have 4 integers, 2-fifths and a seventh and this is the second number.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}\right)+1=4+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}}}
 ולזה תדע משטח מג' שלמים וב' חמישיות ושביעית ויהיו בידך ד' שלמים וב' חמישיות ושביעית והוא המספר השני
Add also 1 to 7 integers, 2-thirds and a quarter; the result is the third number, which is 8 integers, 2-thirds and a quarter.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right)+1=8+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}}
 גם תוסיף א' על ז' שלמים וב' שלישיות ורביעית והעולה בידך הוא המספר השלישי והוא ח' שלמים וב' שלישיות ורביעית
You already know that the number that is proportional to the second is 30.
 וכבר ידעת שהמספר הגלוי לשניים הוא ל‫'
Hence, the number that is proportional to the first is 178 integers and 98 parts of 157 of a units.
\scriptstyle{\color{blue}{a=178+\frac{98}{157}}}
 ולזה יהיה המספר הגלוי לראשון קע"ח שלמים וצ"ח שלמים ק' חלקים מקנ"ז באחד
The third number is 58 integers and 281 parts of 31[8] of a unit.
\scriptstyle{\color{blue}{c=58+\frac{281}{31{\color{red}{8}}}}}
 והמספר השלישי נ"ח שלמים ורפ"א חלקים משי"א באחד
These three numbers are the sought-after; investigate this and you will find.
 ואלו המספרים הם המבוקשים ואלו תחקור תמצא
59) Question: the ratio of the first and the second summed together to the third is 3-fifths plus a sixth.
The ratio of the first and the third summed together to the second is 2 integers and a third.
The first number is 20.
We wish to know: how much is each of the remaining numbers?
 נט) שאלה יהיה יחס הראשון עם השני מקובצים אל השלישי ג' חמישיות ושישית

ויחס הראשון והג' מקובצים אל השני ב' שלמים ושלישית
והמספר הראשון עשרים
נרצה לדעת כמה כל א' מהמספרים הנשארים

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):c=\frac{3}{5}+\frac{1}{6}\\\scriptstyle\left(a+c\right):b=2+\frac{1}{3}\\\scriptstyle a=20\end{cases}
According to what was explained, we extract the numbers that meet this condition: the first number according to what preceded is 2-fifths, a third, and a third of a sixth, the second is 1 integer, 3-fifths and a sixth.
 הנה לפי מה שהתבאר נוציא המספרים אשר מנהגם זה המנהג ויהיה המספר הראשון לפי מה שקדם ב' חמישיות ושלישית ושליש שישית ויהיה השני אחד ול' שלם וג' חמישיות ושישית
Since the number that corresponds to the first is twenty, the number that corresponds to the second is 44 integers and 56 parts of 71 of a unit.
\scriptstyle{\color{blue}{a=44+\frac{56}{71}}}
 ולפי שהיה המספר הגלוי לראשון עשרים יהיה המספר הגלוי לשני מ"ד שלמים ונ"ו חלקים מע"א בא' שלם
The number that corresponds to the third is 84 integers and 36 parts of 71 of a unit.
\scriptstyle{\color{blue}{c=84+\frac{36}{71}}}
 והמספר הגלוי לשלישי פ"ד שלמים ול"ו חלקים מע"א בא' שלם
These are the required numbers.
 והם המספרים המבוקשים
60) Question: the ratio of the second to what remains from the third when the first is subtracted from it is 3 integers and a third.
The ratio of the third to what remains from the second when the first is subtracted from it is the number 6.
 ס) שאלה שיהיה יחס הב' אל הנשאר מהג' כשחוסר ממנו הא' ג' שלמים ושליש

ויחס הג' אל הנשאר מהב' כשחוסר ממנו הא' מספר ו‫'

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b:\left(c-a\right)=3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle c:\left(b-a\right)=6\end{cases}
We extract the three numbers by the preceding way in these mentioned relations, i.e. that the ratio of the first and the second summed together to the third is 3 integers and a third; and the ratio of the first and the third summed together to the second is 6 integers.
 והנה נוציא ג' מספרים על הדרך הקודמת באלו היחסים הנזכרים הנה ר"ל שיהיה יחס מקובץ הראשון והשני אל השלישי ג' שלמים ושליש ויחס מקובץ הראשון והג' מקובצים אל הב' ו' שלמים
So, the first is 19, the second is 4 and a third, and the third is 7.
 והנה הראשון י"ט והשני ד' ושליש והג' ז‫'
Hence, the first is 19.
 ולזה יהיה הראשון י"ט
Add 19 to the second; it is 23 integers and a third and this is the second number.
\scriptstyle{\color{blue}{b=19+\left(4+\frac{1}{3}\right)=23+\frac{1}{3}}}
 ותחבר עם השני י"ט ויהיו כ"ג שלמים ושליש והוא המספר השני
Add 19 to the third; it is 26 and this is the third number.
\scriptstyle{\color{blue}{c=19+7=26}}
 ותחבר עם השלישי י"ט ויהיו כ"ו והוא המספר השלישי
Deduce from this.
 ותקיש על זה
61) Question: the ratio of the first and the second summed together to what remains from the third when the first is subtracted from it is 4 integers and a half.
The ratio of the first and the third summed together to what remains from the second when the first is subtracted from it is 5 integers.
We wish to know: how much is each of the numbers that meet this condition?
 סא) שאלה שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל הנשאר מהג' כשחוסר ממנו הראשון ד' שלמים וחצי

ויחס הראשון והג' מקובצים אל הנשאר מהב' כשחוסר ממנו הראשון הוא ה' שלמים
ונרצה לדעת כמה כל המספרים שינהגו זה המנהג

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):\left(c-a\right)=4+\frac{1}{2}\\\scriptstyle\left(a+c\right):\left(b-a\right)=5\end{cases}
We extract the three numbers by the preceding way in these relations, meaning that the ratio of the first and the second summed together to the third is 4 and a half; and the ratio of the first and the third summed together to the second is 5.
 הנה נוציא המספרים הג' על הדרך הקודמת לפי אלו היחסים רצוני שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל הג' ד' וחצי ויהיה יחס הא' והג' מקובצים אל הב' מספר ה‫'
So, the first is 21 and a half, the second is [5] and a half, and the third is 6.
 ולזה יהיה הראשון כ"א וחצי והשני ו' וחצי והג' ו‫'
A half of the first is 10 and 3-[quarters] and this is the first.
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{2}\sdot\left(21+\frac{1}{2}\right)=10+\frac{3}{4}}}
 והנה חצי הא' הוא י' וג' שביעיות והוא הראשון
We add 10 and 3-[quarters] to the second; the result is 16 and a quarter and this is the second.
\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(5+\frac{1}{2}\right)+\left(10+\frac{3}{4}\right)=16+\frac{1}{4}}}
 הנה חברנו י' וג' שביעיות אל השני ועלה י"ו ורביע והוא השני
We add 10 and 3-[quarters] to the third; the result is 16 and 3-quarters and this is the third.
\scriptstyle{\color{blue}{c=6+\left(10+\frac{3}{4}\right)=16+\frac{3}{4}}}
 הנה חברנו י' וג' שביעיות עם השלישי ועלה י"ו וג' רביעיות והוא הג‫'
62) Question: the first with a quarter of the rest is equal to the second with a sixth of the rest and is also equal to the third with a ninth of the rest.
It has already been explained to you in the first section of this book that the order of these three numbers is according to this arrangement, meaning that the first is added to the greatest part of the rest and the [third] is added to the smallest part of the rest. I remind you this so that you will not be confused by the explanations.
The second number is 20.
We wish to know: how much is each of the rest?
 סב) שאלה שיהיה הראשון עם רביעית הנשארים שוה אל השני עם שישית הנשארי' והוא ג"כ שוה אל השלישי עם תשיעית הנשארים

כבר התבאר לך במאמ' הראשון מזה הספר שסדור אלו המספרים הג' הוא על זה הסדר אשר סדרוה רצוני שהראשון הוא אשר יתחבר המתחלק יותר גדול מן הנשארים והל' הוא אשר יתחבר עמו יותר קטן והנשארים והזכרתי זה לך למען לא תבלבל בביאורים
והנה יהיה המספר השני מהם כ‫'
ורצינו לדעת כמה כל א' מהנשארים

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{4}\sdot\left(b+c\right)=b+\frac{1}{6}\sdot\left(a+c\right)=c+\frac{1}{9}\sdot\left(a+b\right)\\\scriptstyle b=20\end{cases}
We already know that the numbers that meet this condition: the first is 119, the second is 151, and the third is 169. From these we extract the corresponding numbers of this ratio:
 וכבר ידענו שהמספרים שינהגו כמו זה המנהג הראשון מהם קי"ט והשני קנ"א והג' קס"ט מזה הגליים ונוציא שאר הגליים על היחס
The one that corresponds to the first is 15 integers and 115 parts of 1[5]1 of a unit.
\scriptstyle{\color{blue}{a=15+\frac{115}{151}}}
 ולזה יהיה הגליים לראשון ט"ו שלמים וקט"ו חלקים מק"א בא' שלם והוא הראשון הנה
The one that corresponds to the third is 22 integers and 58 parts of 151 of a unit.
\scriptstyle{\color{blue}{c=22+\frac{58}{151}}}
 ויהיה הגליי לג' כ"ב שלמים ונ"ח חלקים מקנ"א בא' והוא השלישי הנה
These are the required numbers.
 והם המספרים המבוקשי‫'
If you wish, you can check it.
 ואם תרצה תוכל לבחון אותו

Partnership Problem - Three Partners - Same Time
63) Question: three men formed a partnership.
The money of all three together is 25 minyanim.
The share owed to the first from the profit they earned is 16 minyanim.
The share owed to the second from the profit is equal to the root of the money earned by the first.
The share owed to the third from the profit is equal to the root of the money [earned by] the second.
How much did each contribute to the partnership?
 סג) שאלה ג' אנשים עושים שותפות

והנה ממון שלשתן עולה כ"ה מניינים
והנה לראשון מגיע לחלקו מהריוח שעשו י"ו מנינים
ולשני מגיע לחלקו מהריוח הממון שרש ריוח ממון הראשון
והשלישי ראוי לו ליקח מהריוח כמו שרש ממון השני
כמה שם כל אחד ואחד בשותפות

The answer: you already know that the profit of the first amount is 16.
\scriptstyle{\color{blue}{b_1=16}}
 התשובה כבר ידעת כי ריוח ממון הראשון הוא י"ו
Hence, you should extract the root of 16; it is 4 and this is the profit of the second amount.
\scriptstyle{\color{blue}{b_2=\sqrt{16}=4}}
 על כן יש לך לקחת שרש י"ו והם ד' וזה יהיה ריוח ממון מהשני
You should also extract the root of 4; it is 2 and this is the profit of the third amount.
\scriptstyle{\color{blue}{b_3=\sqrt{4}=2}}
 עוד יש לך לקחת שרש ד' והם ב' וזה סך ריוח ממון השלישי
We do it as follows: three formed a partnership - one contributed 2 minyanim, the second [contributed] 4 [minyanim], and the third [contributed] 25 [minyanim]. They earned 25. How much should each have?
 ונעשה ככה בכאן ג' עושים שותפות הא' שם ב' מנינים והב' ד' והג' י"ו והרויחו כ"ה כמה היה לכל אחד ואחד
Sum up the amounts of money of all three; it is 22.
\scriptstyle{\color{blue}{2+4+16=22}}
 תחבר ממון שלשתן והם כ"ב
Multiply the share of the first, which is 16, by 25 and divide the product by 22; you receive 18 and 2 parts of 11 and this is the amount of money the first contributed to the partnership, whose share of the profit is 16 minyanim.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{16\sdot25}{22}=18+\frac{2}{11}}}
 וכפול חלק הראשון שהוא י"ו על כ"ה ותחלק מה שיעלה על כ"ב ויצא לך י"ח וב' חלקים מי"א והוא סך ממון מה ששם הראשון בחבורה שהגיע לחלקו מהריוח י"ו מנינים
Multiply also 6 by 25; you get 100. Divide it by 22; you receive 4 and 6 parts of 11 and this is the share of the second.
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{4\sdot25}{22}=\frac{100}{22}=4+\frac{6}{11}}}
 עוד תכפול ד' על כ"ה ויצא לך ק' וחלקם על כ"ב ויצא לך ד' וו' חלקים מי"א והוא חלק השני
Multiply also 2 by 25; you get 50. Divide it by 22; you receive 2 integers and 3 parts of 11 and this is the share of the third, i.e. what the one whose share of the profit is 2 contributed to the partnership.
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{2\sdot25}{22}=\frac{50}{22}=2+\frac{3}{11}}}
 עוד כפול ב' על כ"ה ויצא לך נ' וחלקם על כ"ב ויצא לך ב' שלמים וג' חלקים מי"א והוא חלק הג' ר"ל מה ששם בחבורה מי שהגיע לו מריוח הממון ב‫'
Deduce from this.
 ותקיש על זה

Guessing Problem - Four Coins
64) Question: there are here a known number of men, each has a different number of coins of different kinds.
We wish to know: which kind of coins does each of them have and who are the holders of the coins among all [the men]?
 סד) שאלה יש כאן אנשים ידועים לכל אחד יש סכום מטבעים מתחלפים מהסכום גם מהמטבעים ונרצה לדעת איזה מטבע יש לכל א' וא' וכמה מטבעים יש לו ומי מכלם הם ד' בעלי המטבעים ר"ל מחזיקי המטבעים
The answer: [the number of] the holder of the greatest coin should be doubled, then 6 is added to it, and the result is multiplied by 5.
[The number of] the holder of the second coin, which is the middle coin, is added to this, the result is multiplied by 5, then 150 is subtracted from the product and the remainder is multiplied by 2.
[The number of] the holder of the third coin is added to this, [the result] is multiplied by 5, then multiplied also by 2.
[The number of] the holder of the fourth coin is added to this.
 התשובה ראוי לכפול בעל המטבע הגדול ולהוסיף על זה ו' ולכפול העולה על ה‫'

ולהוסיף על הסכום בעל המטבע הב' שהוא המטבע התיכונה ולכפול העולה על ה' ולחסר מהסך ק"נ ולכפול הנשאר על ב‫'
ולהוסיף על זה בעל מטבע הג' ולכפול אותו על ה' והעולה יכפול ג"כ על ב‫'
ולהוסיף על זה בעל מטבע הד‫'

\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2a_1+6\right)\sdot5\right]+a_2\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+a_3\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+a_4
Now, you can know, for example, who holds the gold coin, which is the greatest; who holds of the silver coin, which is the second largest; who holds the copper [coin]; and who holds the iron coin. But, you do not know the number of coins each one holds.
 ועתה תוכל לדעת מי הוא מחזיק מטבע הזהב על דרך משל שהוא היותר גדול ומי הוא מחזיק הכסף הבא אחריו ומי מחזיק הנחושת ומי מחזיק הברזל אך לא תדע סכום המטבעים המחזיקים כל א‫'
Know that the thousands [of the result] is the [position of the owner] of the gold [coins] [\scriptstyle{\color{blue}{a_1}}].
 ודע כי האלפים הוא מספר הזהב
The hundreds [of the result] is the [position of the owner of the] silver [coins] [\scriptstyle{\color{blue}{a_2}}].
 והמאיות מספר הכסף
The tens [of the result] is the [position of the owner of the] copper [coins] [\scriptstyle{\color{blue}{a_3}}].
 והעשרות הנחושת
The units [of the result] is the [position of the owner of the] iron [coins] [\scriptstyle{\color{blue}{a_4}}].
 והאחדים הברזל
Now, you return to the mentioned number again and you can know the amount of the coins each one holds, because the thousands are the amount of the gold, the hundreds are the amount of the silver, the tens of the copper and the units of the iron.
 ועתה תשוב לעשות המספר הנזכר פעם אחרת ותוכל לדעת סכום המטבעים המחזיק כל א וא' כי האלפים סכום הזהב והמאיות סכום הכסף והעשרות הנחושת והאחדים הברזל
  • I give you an example: I gave 3 minyanim of gold to the fourth man; 5 silver carlini to the sixth man; 7 copper cavalli to the eighth man; and 9 iron piccoli to the ninth man.
You want to know: who has the gold coins and how many coins does he have; who are the holders of the silver, the copper, and the iron and how many coins do they have?
 ואתן לך דמיון

דמיון נתתי ג' מניני זהב לאיש רביעי
וה' קרליני מכסף לאיש ו‫'
וז' קאוואלי מנחושת לאיש ח‫'
וט' פיצולי מברזל לאיש ט‫'
ותרצה לדעת למי הם מטבעי הזהב וכמה מטבעים לו ומי מחזיק הכסף והנחושת והברזל וכמה מטבעים יש לו

Tell them that the man holding the gold should double [his position]; it is 8. Add 6 to it; it is 14. Multiply it by 5; it is 70.
Add to this [the position of] the one holding the silver, which is 6; it is 76. Multiply it by 5; it is 380. Subtract 150 from it; 330 remains. Multiply it by 2; it is 460.
Add to this [the position of] the one holding the copper, which is 8; it is 468. Multiply it by 5; it is 2340. Multiply it by 2; it is 4680.
Add to this [the position of] the one holding the iron; it is 4689.
 תאמר לו שיכפול האיש מחזיק הזהב ויהיו ח' ותוסיף עליו ו' ויהיו י"ד כפול אותם על ה' ויהיו ע‫'

תוסיף על זה בעל מטבע הכסף שהוא הו' ויהיו ע"ו תכפלם על ה' ויהיו ש"פ תסיר מהם ק"נ נשארו ר"ל תכפלם על ב' ויהיו ת"ס
תוסיף על זה בעל מטבע הנחושת שהוא הח' ויהיו תס"ח תכפלם על ה' ויהיו ב' אלפים וג' מאות ומ' וכפול זה על ב' ויהיו ד' אלפים וו' מאות ופ‫'
ותוסיף על זה בעל מטבע הברזל ויהיו ד' אלפים וו' מאות ופ"ט

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle \left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot4\right)+6\right]\sdot5\right]+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(8+6\right)\sdot5\right]+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(14\sdot5\right)+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(70+6\right)\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left(76\sdot5\right)-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left(380-150\right)\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(230\sdot2\right)+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(460+8\right)\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left(468\sdot5\right)\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left(2340\sdot2\right)+9=4680+9=4689\\\end{align}}}
Hence, 4000 are 4 men, i.e. the fourth man, which is the one holding the gold, but you still do not know the number of the coins.
 הנה ד' אלפים הם ד' אנשים ר"ל איש רביעי והוא מחזיק הזהב אך לא תדע סך המטבעים עדין
600 is the sixth man, who holds the silver.
 וו' מאות הם איש שישי מחזיק הכסף
80 is the eighth man, who holds the copper.
 והפ' איש שמיני בעל הנחושת
9 is the ninth man, who holds the iron coins.
 והט' איש תשיעי בעל מטבע הברזל
You still only know the men, i.e. who holds the gold and the silver, but not their amount.
 ועדין לא תדע כי אם האנשים ר"ל מי מחזיק הזהב וכן הכסף אך לא תדע סך מנינם
If you want to know the amount of each [kind of] coin, tell him to double the 3 minyanim; it is 6. Add 6 to it; it is 12. Multiply it by 5; [it is 60].
[Add 5 to this, which is the amount of silver coins; it is 65]. Multiply it by 5; it is 325. Subtract 150 from it; 175 remains. Multiply it by 2; it is 350.
Add 7 to this, which is the amount of copper coins; it is 357. Multiply it by 5; it is 1785. Multiply it by 2; it is 3570.
Add the amount of iron coins to this, which is 9; the total result is 3579.
 ואם תרצה לדעת סך כל מטבע ומטבע תאמר לו שיכפול הג' מנינים ויהיו ו' תוסיף עליו ו' ויהיו י"ב

ותכפלם על ה' ויהיו שכ"ה תסיר מהם ק"נ נשארו קע"ה תכפלם על ב' ויהיו ש"נ
תוסיף על זה ז' שהוא סך מטבעי הנחושת ויהיו שנ"ז תכפלם על ה' ויהיו אלף ותשפ"ה ותכפלם על ב' ויהיו ג' אלפים ותק"ע
ותוסיף על זה סכום מטבעי הברזל שהם ט' ויעלה הכל ג' אלפים ותקע"ט

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle \left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot3\right)+6\right]\sdot5\right]+{\color{red}{5}}\right]{\color{red}{\sdot5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(6+6\right)\sdot5\right]+{\color{red}{5}}\right]{\color{red}{\sdot5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(12\sdot5\right)+{\color{red}{5}}\right]\sdot{\color{red}{5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left(325-150\right)\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(175\sdot2\right)+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(350+7\right)\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left(357\sdot5\right)\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left(1785\sdot2\right)+9=3570+9=3579\\\end{align}}}
Hence, 3000 are the 3 gold coins.
 הנה א"כ הג' אלפים הם ג' מטבעי זהב
500 are the 5 silver coins.
 והה' מאות הם ה' מטבעי כסף
70 are the 7 copper coins.
 והע' הם ז' מטבעי נחושת
9 are the 9 iron coins.
 והט' הם ט' מטבעי ברזל
Therefore, the fourth man holds 3 minyanim of gold.
 הנה א"כ האיש הד' מחזיק ג' מניני זהב
The sixth man holds 5 silver coins.
 והאיש הו' מחזיק ה' מטבעי כסף
The eighth man holds 7 copper coins.
 והאיש הח' מחזיק ז' מטבעי נחושת
The ninth man holds 9 iron coins, which are piccoli.
 והאיש הט' מחזיק ט' מטבעי ברזל שהם פיצולי

Find a Number Problem
65) Question: if number 4 is a third of number 15 what is the fifth of 25?
 סה) שאלה אם מספר ד' הוא שליש מספר ט"ו מהו חומש כ"ה
The answer is in two ways:
 התשובה היא על ב' פנים
  • One: a third should be taken from 15; it is 5.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot15=5}}
 הא' ראוי להעמיד שליש ט"ו שהוא ה‫'
Rule of Three: Say: if 5 becomes 4, as it is said that 4 is a third of 15, how much is the number 5, which is a fifth of 25?
\scriptstyle{\color{blue}{5:4=\left(\frac{1}{5}\sdot25\right):a=5:a}}
 ותאמר אם ה' שבו ד' מצד כי אמר כי ד' הם שליש ט"ו מספר ה' שהוא חומש כ"ה כמה שוים
Multiply 4 by 5, then divide by 5; you receive 4 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{4\sdot5}{5}=4}}
 תכפול ד' על ה' וחלק על ה' ויצא לך ד' והוא המבוקש
  • The second way is as follows: we should multiply 4 by 3; the result is 12.
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=12}}
 והדרך הב' הוא כן והוא כי יש לנו לכפול מספר ד' על ג' ויעלו י"ב
So, the number 4 is a third of 12.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}}
 א"כ מספר ד' הוא שליש י"ב
Rule of Three: We want it to be a third of 15. You should relate and say: if 15 becomes 12, how much is 25?
\scriptstyle{\color{blue}{15:12=25:a}}
 ונרצה שיהיה שליש ממספר ט"ו ויש לך לעשות הערך כך ולומ' אם ט"ו שבו י"ב כ"ה כמה ישוו
Multiply 25 by 12, then divide by 15; you receive twenty. Take its fifth; the result is 4.
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{5}\sdot\frac{25\sdot12}{15}=\frac{1}{5}\sdot20=4}}
 כפול כ"ה על י"ב וחלקם על ט"ו ויצא לך עשרים תקח חמישיתם ויצא ד‫'

Guessing Problem - Chosen Number
66) Question: if you want to know the number of which a man thought.
Tell him to divide it by 2.
Ask him if the result of division includes a half, [tell him to] consider the result as integer, and take 1 for the half.
Tell him to add half the number to the whole number and divide the result by 2.
If there is a half in the result take 2 for the second half and tell him to consider the result as integer.
Tell him to add this to what he had before the second division.
Ask him how many ninths there are in the sum and take 4 for each 9.
Add the result to what you have from the two divisions and the sum is the required.
\scriptstyle\frac{x+\frac{x}{2}+\frac{x+\frac{x}{2}}{2}}{9}\sdot4=x
 סו) שאלה אם תרצה לדעת מה שחשב אדם בלבו

תאמר לו שיחלקהו על ב‫'
אח"כ שאל לו אם יש בחלוקה חצי ותעשהו שלם ותקח אתה בעד החצי א‫'
אח"כ תאמר לו שיוסיף מחצית המספר על המספר כלו
ואח"כ תאמר לו שיחלק העולה על ב‫'
ואם יש בו חצי ג"כ תקח שנים בעבור החצי הב' ותאמ' לו שיעשהו שלם
ותאמ' לו שיוסיף זה על מה שהיה לו קודם החלוקה השניה
ותשאל לו כמה תשיעיות יש בו וקח בעד כל ט' ד‫'
ותוסיף העולה על מה שיש לך מהב' חלוקות והיוצא הוא המבוקש

  • Example: a man thought of the number 33.
 דמיון אדם חשב מספר ל"ג
Tell him to divide it by 2; you receive 16 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{33}{2}=16+\frac{1}{2}}}
 תאמר לו שיחלקהו על ב' ויצא לך י"ו וחצי
Tell him to turn it into an integer; it is 17. Reserve 1 [for the half].
 ותאמ' לו שיעשהו שלם ויהיו י"ז ותקח א‫'
Then, add the 17 to 33; it is 50. Divide it by 2; you receive 25. Add the 25 to 50; the result is 75.
\scriptstyle{\color{blue}{33+17+\frac{33+17}{2}=50+\frac{50}{2}=50+25=75}}
 אח"כ תוסיף אלו הי"ז על ל"ג ויהיו נ' ותחלקם על ב' ויצא לך כ"ה

תוסיף אלו הכ"ה על נ' ויעלה ע"ה

Take 4 for each 9 [in 75]; the result is 32, because there are 8-ninths in it.
 תקח בעד כל ט' ד' ויעלו ל"ב כי ח' תשיעיות שלמות יש בו
Add the 1 that was in the first division; it is 33.
\scriptstyle{\color{blue}{32+1=33}}
 ותוסיף עליו א' שהיה מן החלוקה הראשנה ויהיו ל"ג
The signs are: 1; 2; 3; 4
 וסימניך אבג"ד
I.e. take 1 for the first division, if there is a half in [the result].
 ר"ל תקח א' בעד החלוקה הראשנה אם יש בו חצי
Take 2 for the second division, if there is a half [in the result].
 ותקח ב' בעד החלוקה השניה אם יש בו חצי
Take 3, if there is a half in both the first and second [division].
 ותקח ג' אם יש חצי בראשנה גם בשניה
Take 4 for each 9.
 ותקח ד' בעד כל ט‫'

Gaging Problems
67) Question: if you want to know how many small measures will a large container contain:
Know how many thumbs of the hand are in its length from the inside, in the depth of its center and in the depth of its top because it is narrow.
Take half the number of the thumbs you found in the depth of its center and its top and multiply it by itself.
Then multiply the result also by the measure of the length.
Divide the product by 144 and the result are the measures that the container contains
 סז) שאלה אם תרצה לדעת כמה מדות קטנות יכיל כלי גדול

דע כמה אצבעות מבוהן היד יש בארכו מבפנים ובעמקו באמצע ג"כ בעומק ראשו מפני שהוא צנה
וקח שעור חצי האצבעות שמצאת בעמקו באמצעו ובראשו ותכפלם בעצמם
והעולה תכפלם ג"כ בשעור מספר האורך
והעולה תחלקהו על קמ"ד והיוצא הוא המדות שיכיל הכלי

  • Example: we want to know: how much will be contained in a container in which there are 50 thumbs of the size of my thumb from the inside, there are 28 thumbs in the depth of its center and 20 in the depth of its top which is narrower
 דמיון זה רצינו לדעת כמה יכיל כלי שהיה בארכו מבפנים נ' אצבעות באצבע הגודל שלי שהוא בזה השעור ויש בעמקו באמצע כ"ח אצבעות ובעומק הראש שהוא יותר צרה כ‫'
Take their half, which is 24, and multiply it by itself; the result is 576.
 קח מחציתם שהם כ"ד ותכפלם על עצמם ויעלו ה' מאות וע"ו
Multiply it also by the measure of the length, which is 50; the result is 28800.
 תכפלם ג"כ על שעור האורך שהם נ' ויעלו כ"ח אלפים וח' מאות
Divide it by 144; the result is two hundred and these are the measures that the container contains, according to the measure that it is now customary to measure the wine here, in the city of Caronia.
 חלקם על קמ"ד ויצאו מאתים ואלו הם המדות שיכיל הכלי במדה שנוהגים עכשו למדוד היין פה עיר קורוניאה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(28+20\right)\right]^2\sdot50}{144}=\frac{24^2\sdot50}{144}=\frac{576\sdot50}{144}=\frac{28800}{144}=200}}
68) Question: if you wish to know the volume of a container that has wine in it and it is not full and you would like to know how much the empty space will contain, know the number of thumbs that are in the depth of the container in its middle.
Take its half and multiply it by itself, then divide by it half the [number of the] measures that the container will hold when it is full
The result is the [number of the] measures that are missing in the container.
 סח) שאלה אם תרצה לדעת מכלי שיש בו יין ואינו מלא ותרצה לדעת כמה יכיל החסרון דע שעור האצבעות שיש בעומק הכלי באמצעו וקח מחציתם ותכפלהו בעצמו וחלק עליו חצי המדות שיכיל הכלי בהיותו מלא והיוצא הם המדות שיחסר מהכלי
??
 ובאצבע הראשון ובשנית כמות הראשון ובכפלו ובשלישית כמות השנית וכפל הראשון וברביעית כמות השלישי וכפל הראשון וכן כלם בין רב למעט
To know how many measures will be contained in the empty space, multiply the empty space by itself and multiply it by the first and the result are the measures that are in the empty space.
 ולדעת כמה מדות יכיל בחסרון כלי תכפול החסרון כלי בעצמו ותכפלהו בראשון והעולה הם המדות שיש בחסרון
  • For example: we have a container that contains 200 small measures and in its depth in the middle there are 28 thumbs.
 דמיון יש לנו כלי שיכיל ר' מדות קטנות ויש בעמקו באמצע כ"ח אצבעות
Take their half, which is 14, and multiply it by itself; the result is 196.
 קח חצים שהם י"ד ותכפלם בעצמם ויעלו קצ"ו
Divide by it half the two hundred measures that the container contains, which is 100; you receive a little less than half, no matter the excess, and this is what is missing [?].
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)^2}{\frac{1}{2}\sdot200}=\frac{14^2}{100}=\frac{196}{100}<\frac{1}{2}}}
 חלק עליהם חצי מאתים מדות שיכיל הכלי שהם ק' ויצא לך חצי יותר מעט ואין לחוש על השאר והוא מה שיחסר בשעור האצבע הראשנה
If 6 thumbs are missing, multiply them by themselves; it is 36.
 ואם יחסר ו' אצבעות תכפלם בעצמם ויהיו ל"ו
Multiply it by the half; the result is 18 and these are the measures contained in the 6 thumbs that are missing from the container.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot6^2=\frac{1}{2}\sdot36=18}}
 תכפלם על החצי ויעלו לי"ח והם המדות שיכיל שעור הו' אצבעות שיחסר הכלי
69) Question: If you want to make a container that will contain a known [number of] measures no less and no more, first, know the length of the boards from which you want to make it.
Take out of them what is needed to make a space for the base of the container.
Take what is left of the length of the board and keep it.
Divide by it the number of the measures that you want the container to contain multiplied by 144.
Extract the root of the result and this is the volume that should be in the depth of the container, in its quarter which is between the middle and the top.
 סט) שאלה אם תרצה לעשות כלי שיכיל מדה ידועה לא פחות לא יתר

דע תחלה אורך הלוחות שתרצה לעשותו והוצא מהם הנצרך לשייר לעשות מקום לישיבת תחתיות הכלי וקח הנשאר מאורך הלוח ושמרהו וחלק עליהם שעור המדות שרצונך שיכיל הכלי מוכפלים על קמ"ד ומהיוצא קח שרשו והוא השעור שצריך להיות בעומק הכלי ברביעיתו שהוא בין האמצע ובין הראש

  • For example: we want to make a container that would hold two hundred measures and we have to make them out of boards that are 54 thumbs long.
 דמיון רצינו לעשות כלי שיכיל מאתים מדות ויש לנו לעשותן מלוחות שיש בארכן נ"ד אצבעות
Subtract 4 from them for the lower base of the container; 50 remain.
 חסר מהם ד' למושב תחתית הכלי וישארו נ‫'
Multiply two hundred by 144; the result is [28]800.
 תכפול מאתים על קמ"ד ויעלו י"ד וח' מאות
Divide it by the 50 of the length; you receive 576.
 חלקם על נ' שבאורך ויצא לך תקע"ו
Extract its root; it is 24 and this is the measure that should be in the depth between the middle and the top, which is a quarter of the length of the board, because the depth of the middle should be greater than the depth of the top.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{200\sdot144}{54-4}}=\sqrt{\frac{{\color{red}{28}}800}{50}}=\sqrt{576}=24}}
 קח גדרם שהוא כ"ד וזה השעור צריך להיות בעומק שבין האמצע ובין הראש שהוא ברביעית אורך הלוח מפני שצריך להיות עומק האמצע גדול מעומק הראש
Or if you want, make the boards as they are in such a way that only their joint remains at the end of the whole container and make it so that the width of all of them is a quarter of the root multiplied by 3 and a seventh.
 או אם תרצה עשה הלוחות כתקנן באופן שלא ישאר לגמר מלא כל הכלי אלא חבורם ותעשה בענין שיהיה רוחב כלם ברביעיתן הגדר מוכפל על ג' ושביעית
In this example, the resulting root is 24. Multiply it by 3 and a seventh; it is 75 and 3-sevenths. So, make the the width of all the boards at the quarter of the length of the board equal to the 75 and 3-sevenths mentioned and make the container as you wish.
\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=75+\frac{3}{7}}}
 דמיון זה יצא בגדר כ"ד תכפלהו בג' ושביעית ויהיו ע"ה וג' שביעיות תעשה רוחב כל הלוחות ברביעית אורך הלוח שתהיו שוות לע"ה וג' שביעיות הנז' ותעשה כלי כרצונך

"If You Give Me" Problems
70) Question: four men.
The first said to the second: if you give me half of your money with my [money] the result will be ten.
The second said to the third: if you give me a third of your money with half of the money I had before I gave to my friend its half, i.e. with what I have left, the result will be ten.
The third said to the fourth: if you give me a quarter of your money with what I have left after giving the third the result will be ten and you will be left with ten.
How much was the money?
 ע) שאלה ד' אנשים

אמר הא' לב' אם תתן לי חצי ממונך עם שלי יעלה עשרה
אמר הב' לג' אם תתן לי שליש ממונך עם חצי הממון שהיה לי קודם שנתתי לחבירי מחציתו יעלה עשרה ר"ל עם מה שנשאר לי
השיב הג' לד' אם תתן לי רביעית ממונך עם מה שנשאר לי אחר נתינת השליש יעלה עשרה גם נשארו לך עשרה
כמה היה הממון

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}b=10\\\scriptstyle\frac{1}{2}b+\frac{1}{3}c=10\\\scriptstyle\frac{2}{3}c+\frac{1}{4}d=10\\\scriptstyle\frac{3}{4}d=10\end{cases}
Take the denominator of the last amount, meaning the 4, because it is known that after giving a quarter of the money, he is left with ten.
 הנה תקח המורה על ממון האחרון רצוני הד' כי ידוע הוא כי אחר שנתן רביעית הממון נשארו לו עשרה
So, we say: ten is 3-quarters of which number? You find it is 13 and a third. Hence, the money of the last was 13 and a third.
\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{3}{4}d\longrightarrow d=13+\frac{1}{3}}}
 א"כ נאמר עשרה מאיזה מספר הוא ג' רביעיותיו תמצא י"ג ושליש א"כ ממון האחרון היה י"ג ושליש
He gives a quarter and is left with 10. Hence, he gave 3 and a third to the third in order to complete his amount to ten.
So, he had 6 and 2-thirds after he gave a third of his money to the second.
\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\left(13+\frac{1}{3}\right)-10\right]=10-\left(3+\frac{1}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}
 ונתן הרובע ונשארו לו י' א"כ אלו הג' ושליש נתן לשלישי כדי שישלים לו מנין עשרה

א"כ היה לו ו' וב' שלישיות אחר שנתן שליש ממונו לשני

We say: 6 and 2-thirds is 2-thirds of which number? You find it is 10. Hence, the third had 10.
\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}c\longrightarrow c=10}}
 ונאמר ו' וב' שלישיות מאיזה מספר הוא ב' שלישיות תמצא י' א"כ לג' היה לו י‫'
He gave 3 and a third of it, which is its third, and received also 3 and a third, so he gained the same as he lost. Hence, he had ten, because what one took the other gave back.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot10=3+\frac{1}{3}}}
 ונתן מהם ג' ושליש שהם שלישיתם וקבל ג"כ ג' ושליש ויצא שכרו בהפסדו הנה א"כ היה לו עשרה כי מה שחסר זה מלא זה
We return, then, to the second. It is known that after he gave a half to his freind, the money he is left with is 6 and 2-thirds, since he should receive 3 and a third, in order that the total would be 10.
\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(3+\frac{1}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}
 וא"כ נשוב לשני וידוע כי ממון שנשאר לו אחר שנתן החצי לחבירו הוא ו' וב' שלישיות בעבור כי יש לו לקבל ג' ושליש ויעלה י‫'
So, we say: 6 and 2-thirds is a half of which number? You find it is 13 and a third. Hence, his money was 13 and a third.
\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{2}{3}=\frac{1}{2}b\longrightarrow b=13+\frac{1}{3}}}
 א"כ נאמר ו' וב' שלישיות מאיזה מספר הוא חציו נמצא י"ג ושליש א"כ ממונו היה י"ג ושליש
He gave its half, which is 6 and 2-thirds, and was left with the same, then he received 3 and a third and his money was also ten.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}b+\left(3+\frac{1}{3}\right)=\left(6+\frac{2}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{3}\right)=10}}
 ונתן מהם מחציתם שהם ו' וב' שלישיות וככה נשאר לו וקבל ג' ושליש וממונו ג"כ עשרה
We return, then, to the second. We already know that he received 6 and 2-thirds from his friend. So, he needs 3 and a third to complete the amount.
\scriptstyle{\color{blue}{a=10-\left(6+\frac{2}{3}\right)=3+\frac{1}{3}}}
 א"כ נשוב אל הא' וכבר ידענו כי קבל מחבירו ו' וב' שלישיות א"כ יחסר לו להשלים המנין ג' ושליש
Hence, his money was 3 and a third; the money of the second was 3 and a third before he gave anything; the money of the third was 10 before he gave anything; and the money of the fourth was 13 and a quarter.
 א"כ ממונו היה ג' ושליש וממון הב' ג' ושליש קודם שיתן מאומה וממון הג' י' קודם שנתן דבר וממון הד' י"ג ורביע
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle b={\color{red}{1}}3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle c=10\\\scriptstyle d=13+\frac{1}{{\color{red}{3}}}\end{cases}}}
  • If the first said to the second: give me half of your money with my [money] the result will be ten.
The second said to the third: give me a third of your money with what I have left, the result will be 12.
The third said to the fourth: give me a quarter of your money with what I have left, the result will be 15 and 20 will remain.
 ואם אמר הראשון לשני תן לי חצי ממונך ועם שלי ויעלה י‫'

והב' אמר לג' תן לי שליש ממונך עם מה שנשאר לו יעלה י"ב
והג' אמר לד' תן לי רביעית ממונך עם מה שיש לי ויהיו ט"ו וישארו עדין עשרים

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}b=10\\\scriptstyle\frac{1}{2}b+\frac{1}{3}c=12\\\scriptstyle\frac{2}{3}c+\frac{1}{4}d=15\\\scriptstyle\frac{3}{4}d=20\end{cases}
The way is exactly as mentioned above and the reason for this is explained.
 הדרך הוא ממש כנז' לעיל וסבת זה מבוארת
71) Question: three men want to buy a property for a price of 100 minyanim.
The first said to the second and the third: if you give me a third of your money with all of my money the result will be 100.
The second said to the third and the first: if you give me a quarter of your money with all of my money the result will be 100.
The third said to the first and the second: if you give me a fifth of your money with all of my money the result will be 100.
How much did each have?
 עא) שאלה הנה ג' אנשים רוצים לקנות קנין בערך ק' מנינים

אמ' הא' לב' ולג' אם תתנו לי שליש ממונכם עם כל ממוני יעלה ק‫'
השיב הב' לג' ולא' אם תתנו לי רביעית ממונכם עם כל ממוני יעלו ק‫'
אמר הג' לא' ולב' אם תתנו לי חומש ממונכם עם כל ממוני יעלה ק‫'
כמה לכל א' וא‫'

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(b+c\right)\right]=100\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+c\right)\right]=100\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a+b\right)\right]=100\end{cases}
The answer: do as follows: take a number that has a third, a quarter, and a fifth; it is 60.
 התשובה עשה כך והוא שתקח איזה מספר יהיה לו שליש ורביע וחומש והוא ס‫'
Then say: 60 is 2-thirds of which [number]? You find it is 90.
\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{2}{3}a_2\longrightarrow a_2=90}}
 אח"כ תאמר ס' מאיזה דבר הוא ב' שלישיות תמצא צ‫'
Say also: 60 is 3-quarters of which [number]? You find it is 80.
\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{3}{4}b_2\longrightarrow b_2=80}}
 עוד תאמר ס' מאיזה דבר הוא ג' רביעיות תמצא פ‫'
Say also: 60 is 4-fifths of which number? You find it is 75.
\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{4}{5}c_2\longrightarrow c_2=75}}
 עו' תאמר ס' מאיזה מספר ד' חומשים תמצא ע"ה
Then, sum up these three numbers; the result is 245.
 אח"כ תחבר אלו הג' מספרים ויעלו רמ"ה
Divide it by 2, because they are always doubled, i.e. the first says to the two others to give him a third, and so on; you receive 122 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90+80+75}{2}=\frac{245}{2}=122+\frac{1}{2}}}
 תחלקם על ב' מצד כי לעולם הם ב' מחוברים ר"ל כי הא' אומ' לב' הנשארים שיתנו לו שליש וכן כלם ויצא לך קכ"ב וחצי
Subtract 30 from it, because it is the first fraction; 32 and a half remains and this is the share of the first.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-90=32+\frac{1}{2}}}
 הוצא מהם צ' כי הוא חלק הראשון נשארו ל"ב וחצי והוא חלק הא‫'
Subtract also 80 from 122 and a half; 42 and a half remains and this is the share of the second.
\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-80=42+\frac{1}{2}}}
 עו' הוצא מקכ"ב וחצי פ' ישארו מ"ב וחצי והוא חלק השני
Subtract also 75 from 122 and a half; 47 and a half remains and this is the share of the third.
\scriptstyle{\color{blue}{c_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-75=47+\frac{1}{2}}}
 עוד הוצא מקכ"ב וחצי ע"ה נשארו מ"ז וחצי והוא חלק הג‫'
Check: Then, to check the question, take a third of 42 and a half and of 47 and a half, and add them to 32 and a half; the result is 62 and a half.
 אח"כ קח שליש ממ"ב וחצי לבחון השאלה וממ"ז וחצי ותחברם אל ל"ב וחצי ויעלה ס"ב וחצי
\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(b_1+c_1\right)\right]=\left(32+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(42+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(47+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}
Take also a quarter of 47 and a half and of 32 and a half, and add them to 42 and a half; it is 62 and a half.
 עו' קח רביעית מ"ז וחצי ול"ב וחצי ותחברם אל מ"ב וחצי ויהיו ס"ב וחצי
\scriptstyle{\color{blue}{b_1+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a_1+c_1\right)\right]=\left(42+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(32+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(47+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}
Then, take a fifth of 32 and a half and of 42 and a half, and add them to 47 and a half; it is also 62 and a half.
 אח"כ קח חומש ל"ב וחצי וממ"ב וחצי וחברם אל מ"ז וחצי ויהיו ג"כ ס"ב וחצי
\scriptstyle{\color{blue}{c_1+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a_1+b_1\right)\right]=\left(47+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(32+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(42+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}
Therefore, if the price of the property was 62 and a half, we would have already solved the question, because the money of the first was 32 and a half, the money of the second was 42 and a half, and the money of the third was 47 and a half.
 הנה א"כ אלו היה ערך הקנין ס"ב וחצי כבר עשינו השאלה כי ממון הא' היה ל"ב וחצי וממון הב' מ"ב וחצי וממון הג' מ"ז וחצי
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=32+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b_1=42+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c_2=47+\frac{1}{2}\\\scriptstyle d=13+\frac{1}{{\color{red}{3}}}\end{cases}}}
Rule of Three: Since the price of the property is 100, we relate and say: if 62 and a half equals 32 and a half, how much is 100 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right):\left(32+\frac{1}{2}\right)=100:a}}
 הנה ערך הקנין הוא ק' על כן נעשה הערך כך ונאמר אלו ס"ב וחצי שוים ל"ב וחצי ק' כמה שוים
You receive 52 and this is the share of the first.
\scriptstyle{\color{blue}{a=52}}
 יצא לך נ"ב והוא חלק הא‫'
Rule of Three: say also: if 62 and a half equals 42 and a half, how much is 100 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right):\left(42+\frac{1}{2}\right)=100:b}}
 עוד תאמר אלו ס"ב וחצי שוים מ"ב וחצי כמה שוים ק‫'
You receive 68 and this is the share of the second.
\scriptstyle{\color{blue}{b=68}}
 ויצא לך ס"ח והוא החלק מהב‫'
Rule of Three: say also: if 62 and a half equals 4[7 and a half], how much is 100 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right):\left(4{\color{red}{7}}+{\color{red}{\frac{1}{2}}}\right)=100:c}}
 עו' תאמר אלו ס"ב וחצי שוים מ"א ק' כמה שוים
You receive 76 and this is the share of the third etc.
\scriptstyle{\color{blue}{c=76}}
 ויצא לך ע"ו והוא החלק מהג' וכו‫'
If there were four men, do as mentioned, but the result should be divided by 3, because they are always duplicated, as we divided them above by 2, because they are duplicated.
 ואלו היו ד' אנשים תעשה כנז' אך ראוי לחלק העולה על ג' מצד כי הם קשורים לעולם ביחד כמו שחלקנו אותם שלמעלה על ב' כי הם קשורים ביחד
Understand this well so that you do not make a mistake in your calculation and the reason for this is explained.
 והבן זה מאד כדי שלא תטעה בחשבונך וסבת זה מבוארת
I will give you an example of four:
 ואתן לך דמיון מד‫'
72) Question: there are four.
The first said: I will give all my money and you will give half of your money and the result will be 100.
The second said to the three: I will give all my money and you will give a third of your money and the result will be 100.
The third said to the remaining three: I will give all my money and you will give a quarter of your money and the result will be 100.
The fourth said: give a fifth of your money with all my money and the result will be 100.
How much did each have?
 עב) שאלה בכאן ד‫'

אמר א' אני אתן כל ממוני ותנו אתם חצי ממונכם ויהיו ק‫'
השיב הב' לג' אני אתן כל ממוני ותנו אתם שליש ממונכם ויעלה ק‫'
השיב הג' לג' הנשארים אני אתן כל ממוני ותנו אתם רביעית ממונכם ויעלה ק‫'
אמר הד' תנו חומש ממונכם עם כל ממוני ויעלה ק‫'
כמה לכל א' וא‫'

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c+d\right)\right]=100\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c+d\right)\right]=100\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b+d\right)\right]=100\\\scriptstyle d+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a+b+c\right)\right]=100\end{cases}
You should find a number that includes a half, a third, a quarter, and a fifth; you find it is 60.
 הנה יש לך למצא חשבון יכלול חצי ושליש ורביע וחומש ותמצא ס‫'
Say: 60 is a half of which [number]? You find it is 120.
\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{1}{2}a_2\longrightarrow a_2=120}}
 ותאמר ס' מאיזה דבר הוא מחציתו תמצא ק"כ
Say also: 60 is 2-thirds of which number? You find it is 90.
\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{2}{3}b_2\longrightarrow b_2=90}}
 עו' תאמ' ס' מאיזה מספר הוא ב' שלישיותיו תמצא צ‫'
Say also: 60 is 3-quarters of which number? You find it is 80.
\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{3}{4}c_2\longrightarrow c_2=80}}
 עוד תאמר ס' מאיזה מספר הוא ג' רביעיותיו תמצא פ‫'
And 4-fifths of which [number]? You find it is 75.
\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{4}{5}d_2\longrightarrow d_2=75}}
 ומאיזה דבר ד' חמישיותיו תמצא ע"ה
Then, sum them up; it is 365.
 אח"כ חברם ויהיו שס"ה
Divide it by 3, because they are always triplicated when asking for a third, a half, a quarter, and a fifth of the money; you receive 121 and 2-thirds and this is the amount of all four.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{120+90+80+75}{3}=\frac{365}{3}=121+\frac{2}{3}}}
 חלקם על ג' כי לעולם הם דבוקי ביחד בבקשת שליש הממון וחצי ורביעית וחומש יצא לך קכ"א וב' שלישיות והוא ממון ארבעתן
Then, subtract 120 from 121 and 2-thirds; 1 and 2-thirds remains and this is the share of the first.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(121+\frac{2}{3}\right)-120=1+\frac{2}{3}}}
 אח"כ תוציא מקכ"א וב' שלישיות ק"כ נשאר א' וב' שלישיות והוא חלק הא‫'
Subtract also 90 from it; 31 and 2-thirds remains and this is the money of the second.
\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(121+\frac{2}{3}\right)-90=31+\frac{2}{3}}}
 עוד תוציא ממנו צ' ונשארו ל"א וב' שלישיות והוא ממון הב‫'
Subtract also 80 from it; 41 and 2-thirds remains and this is the money of the third.
\scriptstyle{\color{blue}{c_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-80=41+\frac{2}{3}}}
 עוד תוציא ממנו פ' וישארו מ"א וב' שלישיות והוא ממון הג‫'
Subtract also 75 from it; 46 and 2-thirds remains and this is the money of the fourth.
\scriptstyle{\color{blue}{d_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-75=46+\frac{2}{3}}}
 עוד תוציא ממנו ע"ה ונשארו ממנו מ"ו וב' שלישיות והוא ממון הד‫'
The first says the the three others to give him half of their money; the result is 100.
 ואמר בעל הא' לג' הנשארים שיתנו לו חצי ממונם ויעלה ק‫'
Sum up all their money and divide it by 2; the result is only 61 and 2-thirds.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b_1+c_1+d_1\right)\right]=61+\frac{2}{3}}}
 והנה כשתחבר כל ממונם ותחלקהו על ב' לא יצא כי אם ס"א וב' שלישיות
Rule of Three: So, we say: if 61 and 2-thirds gives me 1 and 2-thirds, how much will 100 give you?
\scriptstyle{\color{blue}{\left(61+\frac{2}{3}\right):\left(1+\frac{2}{3}\right)=100:a}}
 על כן נאמר אם ס"א וב' שלישיות יתנו לי א' וב' שלישיות מה יתן לך ומה יוסיף לך ק‫'
Do as mentioned and the reason is clear, no need to [explain].
 ותעשה כנז' והטעם מבואר ואין צריך לפנים

Guessing Problems - Cards
73) Question: If you want to know which [card] in a square of cards your friend touched, put five in length and five in width
Tell five people that each one touches one [card of one] row, i.e. the row that one touched the other will not touch
Take them in your hand one by one, from the right side to the left side, then from the left side to the right side, and from the right to the left and so on until all five rows are completed.
Then place them on the table one by one, from top to bottom and from bottom to top, and so on, until you have placed all five rows on the table.
Then ask each them in which row is the card he touched.
 עג) שאלה אם תרצה לדעת מרובע משטרות איזה מהם נגע חבירך תשים ה' באורך וה' ברוחב

ואמור לה' בני אדם שכל א' יגע א' בשורה א' ר"ל שבשורה שיגע הא' לא יגע הב‫'
ותקחם בידך א'א' בצד ימין ותלך בצד שמאל ומצד שמאל לצד ימין ומן ימין לשמאל וכן עד כלות כל הה' שורות
אח"כ הניחם על השלחן אחת אחת ממעלה למטה וממטה למעלה וכן עד שהנחת כל הה' שורות על השלחן
ואח"כ שאל להם באיזו שורה השטר שנגע וכן לכל א' וא‫'

You find that the first one touched the first card in front of you in the same row that he told you and the second touched the second downwards and the third touched the third downwards and so on always.
 ותמצא שהראשון שנגע בראשנה היא השטר שלפניך באותה שורה שאמ' לך והשניה ר"ל אותה שנגע השני היא השניה דרך ירידה ואותה שנגע הג' היא הג' דרך ירידה וכן לעולם
You can do the same with 6 or 7 if you make a square of 6 or 7.
 וכן תוכל לעשות מו' או מז' אם תעשה מרובע מו' או מז‫'
74) Question: If you would like to know which card your friend took from an entire deck of cards, you must do it this way: you know well that all the points of an entire deck of cards summed up to 312, so the horseman is worth ten, the knight 11 and the king 12.
You count all the points and you are 245 short to 312.
Turn over the cards a second time and count the missing five of whichever kind they are i.e. whether of horses or cups or sticks or swords and you will receive the required.
 עד) שאלה אם תרצה לדעת איזה שטר לקח חבירך מצחוק שלם משטרות יש לך לעשות ככה

ידוע תדע כי כל הנקדות מצחוק שלם משטרות עולים שי"ב וכל כך שישוה הפרש עשרה ורוכב הסוס י"א והמלך י"ב
ותמנה כל הנקדות ויחסר לך עד תשלום שי"ב רמ'ה‫'
תשוב להפך השטרות פעם שניה ותמנה הה' החסרים מאיזה מין הוא ר"ל אם מסוסים או מכוסות או ממקלות או מסייפים ותשיג המבוקש

"If You Give Me" Problems
75) Question: three men want to buy three horses - the price of one is 60 minyanim, the second 80, and the third 100.
The first said to the second: give me half of your money with all of my money and we will buy the horse for 60.
The second said to the third: if you give me a third of your money with all of my [money] we will buy the horse for 80.
The third said to the first: if you give me a quarter of your money plus 20 with all of my money we will buy the horse that is worth 100.
How much did each have?
 עה) שאלה ג' בני אדם רוצים לקנות ג' סוסים ערך הא' ס' מנינים והב' פ' והג' ק‫'

ואמר הא' לב' תן לי חצי ממונך עם כל ממוני ונקנה סוס הס‫'
אמר הב' לג' אם תתן לי שליש ממונך עם כל שלי נקנה סוס הפ‫'
אמר הג' לא' אם תתן לי רביעית ממונך עם תוספת עשרים ועם כל ממוני נקנה הסוס השוה ק‫'
כמה היה לכל א' וא‫'

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}b=60\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}c=60\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}a+20=100\end{cases}
The answer is as follows:
 התשובה היא ככה
False Position (1): We suppose the first had 48 minyanim.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=48}}
 נניח שלראשון היה לו מ"ח מנינים
There are 12 minyanim missing until 60.
\scriptstyle{\color{blue}{60-48=12}}
 ויחסר עד ס' י"ב מנינים
So, the second had 24 and he gave him 12; it is 60.
\scriptstyle{\color{blue}{b_1=24}}
 א"כ לשני היה לו כ"ד ונתן לו י"ב והם ס‫'
The third had 168, because a third of his money is 58 and with 24, it is 80.
\scriptstyle{\color{blue}{c_1=168}}
\scriptstyle{\color{blue}{24+\left(\frac{1}{3}\sdot168\right)=24+5{\color{red}{6}}=80}}
 ולג' היה לו קס"ח כי שליש ממונו הוא נ"ח ועם כ"ד הם פ‫'
Then, the third says to the first to give him a quarter of his money plus twenty and he gives him 32; with 166, it is two hundred.
\scriptstyle{\color{blue}{16{\color{red}{8}}+\left(\frac{1}{4}\sdot48\right)+20=16{\color{red}{8}}+32=200}}
 אח"כ אמר הג' לא' שיתן לו רביעית ממונו עם תוספת עשרים ויתן לו ל"ב ועם קס"ו ויהיו מאתים
But, we are only asking for 100 to buy the horse, so there is a hundred left. Keep it and say: for 48 remains a hundred.
\scriptstyle{\color{blue}{200-100=100}}
 ואין אנו מבקשים כי אם ק' כדי לקנות הסוס א"כ יותירו מאה ושמרם ותאמר בעד מ"ח נשארו מאה
False Position (2): Then, we make a second relation and we assume the first had 40 minyanim.
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=40}}
 אח"כ נעשה ערך ב' ונניח שלראשון היו לו מ' מנינים
So, the second should have 40.
\scriptstyle{\color{blue}{b_2=40}}
 א"כ יצטרך שיהיה לשני מ‫'
The third also should have 120.
\scriptstyle{\color{blue}{c_2=120}}
 ג"כ גם יצטרך שיהיה לג' ק"כ
With the one who asks the first for a quarter of his money plus twenty, which is 30, it is 150.
\scriptstyle{\color{blue}{120+\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)+20=120+30=150}}
 ועם שואל לראשון רביעית ממונו עם תוספת עשרים שהם ל' ויהיו ק"נ
Then, say: for 40 remains 50.
\scriptstyle{\color{blue}{150-100=50}}
 אח"כ תאמר בעד מ' נשארו נ‫'
Double False Position: Subtract 50 from 100; 50 remains.
 אח"כ הוצא נ' מק' נשארו נ‫'
Multiply 48 by 50; it is 2400.
 אח"כ כפול מ"ח על נ' ויהיו אלפים וד' מאות
Multiply 100 by 40; it is 4000.
 אח"כ כפול ק' על מ' ויהיו ד' אלפים
Subtract 2400 from it; 1600 remains.
 הוצא מהם אלפים וד' מאות הנשאר אלף ת"ר
Divide it by the difference between excess of one relation and the excess of the other relation, which is 50; the result is 32 and this is what the first had.
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(100\sdot40\right)-\left(50\sdot48\right)}{100-50}=\frac{4000-2400}{50}=\frac{1600}{50}=32}}
 וחלקם על תוספת ערך האחד על תוספת ערך האחד שהוא נ' ויעלו ל"ב וכן היה לראשון
76) Question: three men are buying a property for a price of 11 minyanim and a half.
The first asks from the other two for half of their money minus 2.
The second asks for a third of their money minus 3.
The third asks for a quarter of their money minus 4.
How much did each have?
 עו) שאלה ג' אנשים קונים דבר ערך י"א מנינים וחצי

א' שואל לב' הנשארים מחצית ממונם פחות ב‫'
והאחר שואל שליש ממונם פחות ג‫'
והאחר שואל רביעית ממונם פחות ד‫'
כמה לכל א' וא‫'

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)\right]-2=11+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)\right]-3=11+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)\right]-4=11+\frac{1}{2}\end{cases}
The answer: find a number that includes a half, a third, and a quarter; it is 12.
 התשובה תמצא מספר יכלול חצי ושליש ורביע והוא י"ב
12 is a half of 24.
\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}a_1\longrightarrow a_1=24}}
 וי"ב הוא מחצית כ"ד
2-thirds of 18.
\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}b_1\longrightarrow b_1=18}}
 וב' שלישיות י"ח
3-quarters of 16.
\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}c_1\longrightarrow c_1=16}}
 וג' רביעיות י"ו
Subtract 2 from 24; 22 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1-2=24-2=22}}
 קח מכ"ד ב' ישארו כ"ב
Subtract 3 from 18; 15 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{b_1-3=18-3=15}}
 קח מי"ח ג' ישארו ט"ו
Subtract 4 from 16; 12 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{c_1-4=16-4=12}}
 קח מי"ו ד' ישארו י"ב
Sum them up; the result is 49.
 ותחברם ויעלו מ"ט
Divide it by 2; the result is 24 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22+15+12}{2}=\frac{49}{2}=24+\frac{1}{2}}}
 ותחלקם על ב' ויעלו כ"ד וחצי
Subtract 22 from it; 2 and a half remains and this is the share of the one who asks for half the money of his friends.
\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(24+\frac{1}{2}\right)-22=2+\frac{1}{2}}}
 הסר מהם כ"ב ישארו ב' וחצי והוא חלק משואל לחבירו מחצית הממון
Subtract also 15; 9 and a half remains and this is the share of the one who asks for a third of the money of his friends minus 3.
\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(24+\frac{1}{2}\right)-15=9+\frac{1}{2}}}
 גם הסר ט"ו ישארו ט' וחצי והוא חלק משואל שליש ממון חבירו פחות ג‫'
Subtract 12 from 24 [and a half]; 12 and a half remains and this is the share of the one who asks for a quarter of the money of his friends minus 4.
\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(24+{\color{red}{\frac{1}{2}}}\right)-12=12+\frac{1}{2}}}
 קח י"ב מכ"ד ישארו י"ב וחצי והוא חלק משואל רביעית הממון פחות ד‫'
The rule is that if you add 2 to the one who asks for half the money of his friends, you should add 3 to the one who asks for a third and 4 to the one who asks for a quarter.
 והכלל בזה כי אם תוסיף לשואל חצי ממון חביריו ב' יצטרך שתוסיף לשואל השליש ג' ולשואל הרובע ד‫'
If the one who [asks for] a half says "minus two", the one who [asks for] a third should say "minus 3", and the one who [asks for] a quarter should say "minus 4".
 ואם בעל החצי אמר פחות שנים צריך שבעל השליש יאמר פחות ג' ובעל הרובע יאמר פחות ד‫'
ודוק ותשכח
77) Question: three men want to buy a property for 22 and a half minyanim.
The first said to the [other] two: if you give me half of your money plus 2 with mine the result will be 22 and a half.
The second said to the first and the third: if you give me a third of your money plus 3 with mine the result will be 22 and a half.
The third said to the second and the first: if you give me a quarter of your money plus 4 with mine the result will be 22 and a half.
How much did each have?
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)\right]+2=22+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)\right]+3=22+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)\right]+4=22+\frac{1}{2}\end{cases}
 עז) שאלה ג' אנשים רוצים לקנות קנין כ"ב מנינים וחצי

אמר הא' לב' אם תתנו לי חצי ממונכם עם תוספת שנים ועם שלי יהיו כ"ב וחצי
אמר הב' לא' ולג' אם תתנו שליש ממונכם עם תוספת ג' ועם שלי יהיו כ"ב וחצי
אמר הג' לב' ולא' אם תתנו רביעית ממונכם עם תוספת ד' ועם שלי יהיו כ"ב וחצי
כמה לכל א' וא‫'

The answer: look for a number that includes a half, a third, and a quarter; it is 12.
 התשובה בקש מספר יכלול חצי ושליש ורביע והוא י"ב
Say: 12 is half of which number? You find it is 24.
\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}a_1\longrightarrow a_1=24}}
 ותאמר י"ב מאיזה מספר חציו תמצא כ"ד
Say also: 12 is 2-thirds of which [number]? You find it is 18.
\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}b_1\longrightarrow b_1=18}}
 עוד תאמר י"ב מאיזה דבר ב' שלישיות תמצא י"ח
Say also: 12 is 3-quarters of which [number]? You find it is 16.
\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}c_1\longrightarrow c_1=16}}
 עוד תאמר י"ב מאיזה דבר ג' רביעיות תמצא י"ו
Then, add to each one the addition he asks for, i.e. add 2 to 24; it is 26.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1+2=24+2=26}}
 אח"כ תוסיף לכל א' מה ששואל מהתוספת ר"ל שתוסיף על כ"ד ב' ויהיו כ"ו
3 to 18; it is 21.
\scriptstyle{\color{blue}{b_1+3=18+3=21}}
 ועל י"ח ג' ויהיו כ"א
4 to 16; it is 20.
\scriptstyle{\color{blue}{c_1+4=16+4=20}}
 ועל י"ו ד' ויהיו כ‫'
Sum them up; the result is 67.
 ותחבר הכל ויעלה ס"ז
Divide it by 2; you receive 33 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{26+21+20}{2}=\frac{67}{2}=33+\frac{1}{2}}}
 ותחלקם על ב' ויצא לך ל"ג וחצי
Subtract 27 from it; 7 and a half remains and this is the share of the one who asks for half the money of his friends plus 2.
\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(33+\frac{1}{2}\right)-2{\color{red}{6}}=7+\frac{1}{2}}}
 תסיר מהם כ"ז וישארו ז' וחצי והוא חלק משואל חצי ממון חביריו עם תוספת ב‫'
Subtract also 21 from it; 12 and a half remains and this is the share of the one who asks for a third of the money of his friends plus 3.
\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(33+\frac{1}{2}\right)-21=12+\frac{1}{2}}}
 עוד תסיר מהם כ"א וישארו י"ב וחצי והוא ממון שואל לחביריו שליש ממונם עם תוספת ג‫'
Subtract also 20 from it; 13 and a half remains and this is the share of the one who asks for a quarter of the money of his friends plus 4.
\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(33+\frac{1}{2}\right)-20=13+\frac{1}{2}}}
 עוד תסיר מהם כ' וישארו י"ג וחצי והוא ממון משואל לחביריו רביעית ממונם עם תוספת ד‫'
Know that if you add 2 to the one who asks for half the money of his friends, you should add 3 to the one who asks for a third of the money of his friends and 4 to the one who asks for a quarter of the money.
 ודע כי אם תוסיף על שואל חצי ממון חביריו ב' יצטרך שתוסיף לשואל שליש ממון חביריו ג' ולשואל רביעית ממון ד‫'
If you add 4 to the one who asks for half the money, you should add 6 to the one who asks for a third of the money and 8 to the one who asks for a quarter; and so on.
 ואם תוסיף ד' לשואל חצי הממון תוסיף לשואל שליש ממון ו' ולשואל הרביעית ח' וכן תמיד

Geometrical Problems

Triangulation Problem
78) Question: here is a wall 50 cubits tall.
At the foot of the wall there is a large hole 30 wide.
We ask: if we want to drop a rope from the top of the wall to the hole which is 30 cubits far from the bottom of the wall.
How long should it be?
עח) שאלה הנה בכאן חומה אחת גבוהה חמישים אמות וברגל החומה יש גומה רחבה ל‫'

נשאל אם נרצה להוריד חבל אחד מראש החומה עד סוף הגומא הרחוקה מרגל החומה ל' אמות
כמה יהיה ארכה

The answer: we should multiply the [height of the] wall, which is 50, by itself; it is 2500.
 התשובה יש לנו לכפול החומה שהוא נ' על עצמם ויהיו אלפים וה' מאות
Then, we multiply the width of the hole, which is 30, by itself; it is 900.
 אח"כ נכפול רוחב הגומה על עצמם שהם ל' ויהיו ט' מאות
We add it to 2500; it is 3400.
 ונחברם עם אלפים וה' מאות ויהיו ג' אלפים וד' מאות
Extract its root; it is 58 and 26 parts of 116 and this is the length of the rope.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{50^2+30^2}=\sqrt{2500+900}=\sqrt{3400}=58+\frac{26}{116}}}
 וקח שרשם ויהיו נ"ח וכ"ו חלקים מקי"ו והוא אורך החבל

Equilateral Triangle
79) Question: a triangle such as this - if the length of the height is 30, how much is the length of each side of the triangle?
עט) שאלה אם משולש כזה אם אורך העמוד הוא ל' כמה אורך כל צלע מהמשולש
עט.png
The answer: you should multiply the length of the line [= the height], which is 30, by 30; it is 900.
 התשובה יש לך לכפול אורך הקו על עצמו שהוא ל' על ל' ויהיו ט' מאות
Take its third, which is 300, and add it to 900; it is 1200.
 וקח שלישיתם שהם ג' מאות ותוסיפם על ט' מאות ויהיו י"ב מאות
Extract its root; it is 34 and 70 parts of 75 and this is the length of each side of the triangle.
 וקח שרשם שהוא ל"ד וע' חלקים מע"ה וזה יהיה אורך כל קו מהמשולש
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{30^2+\left(\frac{1}{3}\sdot30^2\right)}=\sqrt{900+\left(\frac{1}{3}\sdot900\right)}=\sqrt{900+300}=\sqrt{1200}=34+\frac{70}{75}}}

Triangulation Problem
80) Question: there are here two towers - the length of one is 50 cubits and the other one is 30 cubits.
The distance between them is 20 cubits.
We wish to build a bridge from the top of one tower to the other.
How long would it be?
 פ) שאלה בכאן שני מגדלים אורך האחד נ' אמות והאחרת ל' אמות ומרחק שבין שניהם עשרים אמות ונרצה לעשות גשר מראש המגדל האחד על האחר

כמה יהיה ארכו

פ.png
The answer: we should multiply the distance between the two towers, which is 20, by itself; it is 400.
 התשובה יש לנו לכפול המרחק שבין שני המגדלים שהוא כ' על עצמם ויעלו ד' מאות
Then, 400 should be multiplied by 2; it is 800.
 אח"כ ראוי לכפול ד' מאות על ב' ויהיו ח' מאות כ אמות
We extract its root; it is 28 integers and 16 parts of 56 and this should be the length of the bridge.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot20^2}=\sqrt{2\sdot400}=\sqrt{800}=28+\frac{16}{56}}}
 ונקח שרשם ויהיו כ"ח שלמים וי"ו חלקים מנ"ו וכן יצטרך שיהיה אורך הגשר
Deduce from this.
 ודוק ותשכח

Find the Perimeter - Tower
81) Question: here is a squared tower such as this, whose perimeter, i.e. its thickness is 50 cubits from the outside.
The thickness of the wall from each of its corners is 2 cubits and a quarter.
We wish to know: how much is the perimeter of the tower?
 פא) שאלה בכאן מגדל מרובע כזה שכל הקפו ר"ל עביו נ' אמות מבחוץ והעובי מהקיר מכל ד' זויותיו ב' אמות ורביע

נרצה כמה הקף המגדל

פא.png
The answer: you should multiply 4, since there are four walls, by 2 and a quarter; the result is 9.
 התשובה הנה יש לך לכפול ד' מצד כי הם ד' קירות על ב' ורביע ויעלו ט‫'
Multiply it by 2; it is 18.
 וכפול אותם על ב' ויהיו י"ח
Subtract it from 50; 32 remains and this is the inside perimeter of the tower.
\scriptstyle{\color{blue}{50-\left[2\sdot\left[4\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=50-\left(2\sdot9\right)=50-18=32}}
 ותחסרם מנ' וישארו ל"ב וכן יהיה הקף המגדל מבפנים

Find the Side - Square
82) Question: here is a square such as this, whose inner line is 10 cubits long, i.e. its diagonal.
How much is the length of each side of the square?
פב) שאלה הנה בכאן מרובע כזה שהקו שהוא מבפנים ארכה עשרה אמות ר"ל הקו ההולך באלכסון

כמה אורך כל קו וקו מהמרובע

פב.png
The answer: you should multiply ten by itself; it is one hundred.
 התשובה יש לך לכפול עשרה על עצמם ויהיו מאה
Divide it by 2; the result is fifty.
 וחלקם על ב' ויצאו חמישים
Extract its root; it is 7 and one part of 14 and this is the length of each side of the square.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10^2}{2}}=\sqrt{\frac{100}{2}}=\sqrt{50}=7+\frac{1}{14}}}
 וקח שרשם והוא ז' וחלק מי"ד והוא יהיה אורך כל קו וקו מהמרובע

Find the Diagonal - Square
83) Question: a square whose four sides are 10 long.
We wish to know: how much is the length of its diagonal?
 פג) שאלה אם תרצה לדעת ממרובע שכל ד' קוים ארכם עשרה

נרצה לדעת כמה אורך הקו ההולכת באלכסון

פג.png
Ten should be multiplied by itself; it is a hundred.
 יש לכפול עשרה על עצמם ויהיו מאה
Multiply it by 2; it is 200.
 וכפול אותם על ב' ויהיו ב' מאות
Extract its root; it is 14 and 4 parts of 28 and this is the length of the diagonal.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10^2}=\sqrt{2\sdot100}=\sqrt{200}=14+\frac{4}{28}}}
 וקח שרשם ויהיו י"ד וד' חלקים מכ"ח וזה יהיה אורך האלכסון

Triangulation Problem - Broken Tree
84) Question: here is a tree 20 cubits tall.
At the foot of the tree there is a stream 10 cubits wide
The tree was broken and its top touched the edge of the stream, i.e. 10 cubits far from the foot of the tree.
We ask: at what point did the tree break?
 פד) שאלה הנה בכאן אילן גבוה עשרים אמות וברגל האילן יש נהר רחבו עשרה אמות ונשבר האילן ונגע הראש בסוף רוחב הנהר ר"ל רחוק מרגל האילן עשרה אמות

נשאל באיזה מקום נשבר האילן

The answer: you should multiply the length of the tree by itself, i.e. 20 by 20; it is 400.
 התשובה הנה יש לך לכפול אורך האילן על עצמם ר"ל כ' על כ' ויהיו ד' מאות
Then, multiply the width of the stream by itself, i.e. ten by ten; it is 100.
 אח"כ כפול רוחב הנהר על עצמם ר"ל עשרה על עשרה ויהיו ק‫'
Subtract it from 400; 300 remains.
 תוציאם מד' מאות וישארו ג' מאות
Divide it by 2; it is 150.
 ותחלקם על ב' ויהיו ק"נ
Then, divide 150 by 20; it is 7 and a half; this is what is left of the tree and the broken part is 12 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{20^2-10^2}{2}}{20}=\frac{\frac{400-100}{2}}{20}=\frac{\frac{300}{2}}{20}=\frac{150}{20}=7+\frac{1}{2}}}
 אח"כ תחלק ק"נ על כ' ויהיו ז' וחצי והוא הקיים מהאילן והנשבר י"ב וחצי

Find the Perimeter - Quadrangular
85) Question: here is is a quadrangular.
We want to create a triangle inside it, so that the length of each of its three sides will be 20.
How much is the perimeter of the quadrangular?
 פה) שאלה הנה בכאן מרובע ונרצה לעשות משולש בתוכו שכל א' מג' קוים ארכה עשרים

כמה יקיף כל המרובע

This is its shape:
 וזה הוא צורתו
פה.png
Take half the length of [each side of] the triangle, which is ten, multiply it by twenty; it is 200 and this is the perimeter of the quadrangular.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot20=10\sdot20=200}}
 קח חצי אורך המשולש שהוא עשרה וכפול אותם על עשרים ויהיו ב' מאות וככה יקיף כל המרובע

Find the Height - Equilateral Triangle
86) Question: here is a triangle, the length of each of its sides is 35.
How long is its height?
 פו) שאלה הנה בכאן משולש כל א' מהג' קוים ארכה ל"ה כמה אורך הקו הנמשכת כזה
פו.png
You should multiply the length of each side, which is 35, by itself; the result is 1225.
 הנה יש לך לכפול אורך כל קו על עצמם שהם ל"ה ויעלו אלף ורכ"ה
Divide the result by 4; you receive 30[6] and a quarter.
 ותחלק העולה על ד' ויצא לך ג' מאות ורביע
Subtract this from the total, i.e. from 1225; 9[1]8 and 3-quarters still remains.
 ותחסר זה מכל הסך ר"ל מאלף ורכ"ה וישאר עדין ט' מאות וח' וג' רביעיות
Extract its root; it is 30 integers and 18 parts of 60 plus one part of 16 and this is the length of the height.
 וקח שרשם שהוא ל' שלמים וי"ח חלקים מס' וחלק מי"ו וככה יהיה אורך הקו הנמשכת
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{35^2-\frac{35^2}{4}}=\sqrt{1225-\frac{1225}{4}}=\sqrt{1225-\left(30{\color{red}{6}}+\frac{1}{4}\right)}=\sqrt{9{\color{red}{1}}8+\frac{3}{4}}=30+\frac{18}{60}+\frac{1}{16}}}

Transformation Problem - Square to Circle
87) Question: if you want to create a square from a circle
 פז) שאלה אם תרצה לעשות ממרובע א' עגול א' כזה
פז.png
You should know the length of one of the sides of the square, then multiply it by 3 and one seventh and this is the perimeter of the circle.
 הנה יש לך לדעת אורך מקוי אחד המרובע ותכפול העולה על ג' ושביעית אחד וכן יהיה הקף כל העגול

Find the Side Problem - Right-Angled Triangle
88) Question: here are two intersecting lines, one is 30 long and the second is 40 long.
If we wish to create a triangle from these two lines, how long should the third line be?
 פח)[2] שאלה הנה בכאן שני קוים מחוברים אורך הא' ל' ואורך הב' מ' אם נרצה לעשות מאלו הב' קוים משולש כמה אורך הקו הג‫'
פח.png
You should multiply each line by itself, i.e. 30 by 30; it is 900.
 הנה יש לך לכפול כל קו על עצמו ר"ל ל' על ל' ויהיו ט' מאות
Multiplu also 40 by 40; it is 1600.
 גם כפול מ' על מ' ויהיו אלף וו' מאות
Sum 1600 with 900; the result is 2500.
 ותחבר אלף וו' מאות עם ט' מאות ויעלו אלפים וה' מאות
Extract its root; it is 50, which is the length of the third line that completes the triangle and this is its shape:
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50}}
 וקח שרשם שהוא נ' וזה יהיה אורך הקו הג' כדי להשלים המשולש וזאת היא צורתו

Encounter Problem - Two Men
89) Question: A man walks from Naples to Rome in 5 days and on the same day and at the same time another man walks from Rome to Naples in 7 days.
We would like to know in how many days they will meet each other?
 פט)[3] שאלה אדם נוסע מנאפולי ללכת עד רומא בה' ימים ובאותו יום ובאותה שעה נוסע איש אחר מרומא ללכת בנאפולי בז' ימים

נרצה לדעת בכמה ימים יפגשו זה את זה

You should add the walk of one to the other; it is 12.
 יש לך לחבר מהלך האחד עם האחר ויהיו י"ב
Then, multiply 5 by 7; it is 35.
 אח"כ כפול ה' על ז' ויהיו ל"ה
Divide it by 12; the result is 2 integers and 11 parts of 12.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot7}{5+7}=\frac{35}{12}=2+\frac{11}{12}}}
 ותחלקם על י"ב ויעלה ב' שלמים וי"א חלקים מי"ב

Gaging Problem - Barrel
90) Question: one barrel of twenty boards contains twenty measures of water.
If we remove two boards, how much will it contain?
 צ)[4] שאלה חבית א' מעשרים קרשים מכילה עשרים מדות מים

אם נחסר ב' קרשים כמה יכיל

Multiply 20 by itself; it is 400.
 תכפול כ' על עצמם ויהיו ד' מאות
Then, multiply the boards, i.e. 18 by 18; it is 324.
 אח"כ כפול הקרשים ר"ל י"ח על י"ח ויהיו ג' מאות וכ"ד
Multiply 324 by 20; the result is 6480.
 תכפול ג' מאות וכ"ד על כ' ויעלה ו' אלפים וד' מאות ופ‫'
Divide it by 400; you receive 16 and 80 parts of 400 and so the barrel of 18 boards will contain.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20\sdot18^2}{20^2}=\frac{20\sdot324}{400}=\frac{6480}{400}=16+\frac{80}{400}}}
 ותחלקם על ד' מאות ויצא לך י"ו ופ' חלקים מד' מאות וכך יכיל החבית מי"ח קרשים

Joint Purchase Problem

Found Purse Problem - Three Men
91) Question: three men found a purse with some dinar.
The first said to the two: if you give me the purse I will have as much dinar as both of you.
The second answered: if you give me the purse I will have two times as much dinar as both of you.
The third said: if you give it to me I will have three times as much money as both of you.
How much money was in the purse and how much did each have?
 צא) שאלה ג' אנשים מצאו כיס אחד עם סך דינרין

אמר הראשון נגד הב' אם תתנו לי הכיס יהיה לי דינרין כל כך כמו שיש בין שניכם
השיב השני אם תתנו לי הכיס יהיה לי דינרין ב' פעמים כמו שיש לכם
אמר הג' אם תתנו אותה יהיה לי מעות ג' פעמים כמו בין שניכם
כמה ממון היה בכיס וכמה דינרין היה לכל א וא‫'

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+N=a_2+a_3 \\\scriptstyle a_2+N=2\sdot\left(a_1+a_3\right)\\\scriptstyle a_3+N=3\sdot\left(a_1+a_2\right)\end{cases}
The answer: look for a number that has a half and a third; it is 12.
 התשובה תבקש מספר יהיה לו חצי ושליש והוא י"ב
Take 6, which is a half of 12, for the first; 8, which is 2-thirds of 12, for the second; and 9, which is 3-quarters of 12, for the third.
 ותקח בעד הראשון ו' שהוא חצי י"ב ובעד השני ח' שהוא ב' שלישיות י"ב ובעד השלישי ט' שהוא ג' רביעיות י"ב
Sum them; it is 23.
 ותחברם ויהיו כ"ג
Subtract 12 from it; 11 remains and this is the amount of money in the purse.
 ותחסר מהם י"ב ישארו י"א והוא סך דינרי הכיס
\scriptstyle{\color{blue}{N=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot12\right)\right]-12=\left(6+8+9\right)-12=23-12=11}}
To know how many dinar the first has, multiply 2 times 6; it is 12.
 ולדעת כמה דינרין היה לראשון כפול ב' פעמים ו' ויהיו י"ב
Subtract 11 from it; 1 remains and this is what he has.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(2\sdot6\right)-11=12-11=1}}
 תוציא מהם י"א וישאר א' וכן היה לו
To know how much the second has, multiply 2 by 8; it is 16.
 ולדעת מה שיש לשני כפול ח' על ב' ויהיו י"ו
Subtract 11 from it; 5 remains and this is what the second has.
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(2\sdot8\right)-11=16-11=5}}
 תחסר מהם י"א ונשארו ה' והוא מה שיש לשני
To know how much the third has, multiply 9 by 2; it is 18.
 ולדעת מה שיש לג' כפול ט' על ב' ויהיו י"ח
Subtract 11 from it; 7 remains and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(2\sdot9\right)-11=18-11=7}}
 תוציא מהם י"א וישארו ז' והוא המבוקש

"If You Give Me" Problem - Two Men, Horse
92) Question: two men want to buy a horse whose price is unknown.
The first said to the second: if you give me a third and a quarter of your money, with my money I will buy the horse.
The second said to the first: if you give me a quarter and a fifth of your money, with my money I will buy the horse.
I ask: how much did each have and how much is the price of the horse?
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+\left(\frac{1}{3}a_2+\frac{1}{4}a_2\right)=N \\\scriptstyle a_2+\left(\frac{1}{4}a_1+\frac{1}{5}a_1\right)=N\end{cases}
 צב) שאלה ב' בני אדם רוצים לקנות סוס אחד ערכו נעלם

אמר הא' לב' אם תתן לי שליש ממונך ורביעיתו עם כל ממוני אקנה הסוס
אמר הב' לא' אם תתן לי רביעית ממונך וחמישיתו עם כל ממוני אקנה הסוס
אשאל כמה היה לכל א' וא' וכמה ערך הסוס

The answer: find a number that has a third and a quarter for the first; you find it is 12.
 התשובה תמצא מספר יהיה לו שלישית ורביעית בעד הראשון ותמצא י"ב
Subtract a third and a quarter from it; 5 remains. Its third and its quarter are 7.
\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}
 תחסר מהם השליש והרביעית וישארו ה' ושלישיתו ורביעיתו הוא ז‫'
Then, look for a number that has a quarter and a fifth for the second; you find it is 20.
 אח"כ תבקש מספר יהיה לו רביעית וחומש בעד השני ותמצא כ‫'
Subtract a quarter and a fifth; 11 remains. The quarter and the fifth are 9.
\scriptstyle{\color{blue}{20-\left[\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)\right]=20-9=11}}
 תחסר הרביעית והחומש וישארו י"א והרביעית והחומש הם ט‫'
Multiply the 5 remaining from 12 by 20; it is a hundred and this is the money of the first, i.e. the one who asks for a third and a quarter.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=5\sdot20=100}}
 אח"כ כפול הה' שנשארו מי"ב על הכ' ויהיו מאה והוא סך הממון מהראשון ר"ל ממבקש השליש והרביעית
Multiply the 11 remaining from 20 by 12; it is 132 and this is the share of the one who asks for a quarter and a fifth.
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=11\sdot12=132}}
 אח"כ תכפול הי"א שנשארו מהכ' על י"ב ויהיו קל"ב והוא חלק מהשואל הרביעית והחומש
If you wish to know the price of the horse, take a quarter and a fifth of a hundred, which is 45, and add it to 132; the result is 177.
\scriptstyle{\color{blue}{N=132+\left[\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot100\right)\right]=132+45=177}}
 ואם תרצה לדעת ערך הסוס הוצא הרביעית והחומש ממאה שהם מ"ה ותוסיפם על קל"ב ויעלו קע"ז
Or, take a quarter and a third of 132, which is 77, and add it to 100; it is 177.
 או תקח הרביעית והשלישית מקל"ב שהם ע"ז ותוסיפם על ק' ויהיו קע"ז
\scriptstyle{\color{blue}{N=100+\left[\left(\frac{1}{3}\sdot132\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot132\right)\right]=100+77=177}}

Geometrical Problems

Find the Area Problem - City
93) Question: Here is a city, the walls surrounding the whole city are 3 miles [long].
We wish to know how much a city with ten walls is greater than the other.
 צג) שאלה הנה בכאן עיר שהחומות הסובבות כל העיר ג' מילין

נרצה לדעת עיר שחומותיה עשרה כמה היא יותר גדולה מהאחרת

One should multiply 3 by itself; it is 9.
 ראוי לכפול ג' על עצמם ויהיו ט‫'
Then, multiply ten by itself; it is one hundred.
 אח"כ כפול עשרה על עצמם ויהיו מאה
Divide one hundred by 9; you receive 11 and a ninth and this is the number of times, by which the one of ten [miles] is greater than the one of 3 [miles].
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10^2}{3^2}=\frac{100}{9}=11+\frac{1}{9}}}
 תחלק מאה על ט' ויצא לך י"א ותשיעית והוא סך הפעמים שהיא יותר גדולה אותה של עשרה מאותה של ג‫'

Find the Perimeter - Circle
94) Question: here is a circle whose diameter is 7.
We wish to know how much is the perimeter of the circle?
 צד) שאלה הנה בכאן עגול אחד כזה שהבריח האלכסונית הוא ז‫'

נרצה לדעת כמה הקף העגול

Multiply it by 3 and a seventh; you receive 22 and this is the perimeter of the circle.
\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=22}}
 כפולם על ג' ושביעית ויצא לך כ"ב וכך הוא סבוב העגול

Find the Side - Cyclic Square
Question: here is a square and a circumscribed circle.
The diameter of the circle is 7.
How much is the length of each side of the square?
 שאלה בכאן מרובע ועגול חוצה לו שאלכסון העגול הוא ז‫'

כמה אורך כל קו וקו מהמרובע

צד.png
You should multiply 7 by itself; it is 49.
 יש לך לכפול ז' על עצמם והם מ"ט
Divide it by 2; it is 24 and a half.
 חלקם על ב' והם כ"ד וחצי
Extract its root; it is approximately 5 and this is the length of each side of the square.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{7^2}{2}}=\sqrt{\frac{49}{2}}=\sqrt{24+\frac{1}{2}}\approx5}}
 וקח שרשם שהם ה' בקרוב וכן יהיה אורך כל קו מהמרובע

Find the Side - Inscribed Triangle
95) Question: here is a circle whose diameter is 16.
If you want to create a triangle inside it, how much will be its perimeter and how much will be the length of each side of the triangle?
צה)‫[5] שאלה בכאן עגול שהבריח האלכסונית י"ו

אם תרצה לעשות משולש בתוכו כמה יהיה הקפו וכמה יהיה אורך כל קו וקו מהמשולש

צה.png
Do as follows: subtract a quarter of 16 [from 16], which is 4; 12 remains.
 תעשה ככה תעשה תסיר רביעית י"ו שהוא ד' וישארו י"ב
Multiply 12 by itself; it is 144.
 כפול י"ב על עצמם שהם קמ"ד
Then, add to it a third of 144; it is 192.
 אח"כ תוסיף בו שליש קמ"ד ויהיו קצ"ב
Extract its root; it is 13 and 23 parts of 26.
 וקח שרשם שהם י"ג וכ"ג חלקים מכ"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[16-\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\right]^2+\frac{1}{3}\sdot\left[16-\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\right]^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(16-4\right)^2+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(16-4\right)^2\right]}=\sqrt{12^2+\left(\frac{1}{3}\sdot12^2\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{144+\left(\frac{1}{3}\sdot144\right)}=\sqrt{192}=13+\frac{23}{26}\\\end{align}}}

Find the Diagonal - Diameter of a Circle
96) Question: here is a circle whose perimeter is 30.
How much is the length of the diameter?
צו) שאלה אם תרצה לדעת מעגול שמקיפו ל‫'

כמה אורך הבריח המחלקת

Take a third of 30, which is ten, and this is the length of the diameter.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot30=10}}
 קח שליש ל' שהם עשרה וכן יהיה אורך הבריח
Similarly for anything round you can know it this way.
 ובכל דבר עגול תוכל לדעת בזה האופן

Find the Diagonal - Rectangle
97) Question: here is a quadrangular - the length of its two long sides is 40 and the breadth of its two short sides is 30.
We wish to know: how long is the diagonal and how much is the area of the whole quadrangular?
 צז) שאלה בכאן מרובע אורך השני קוים הארוכים מ' ורוחב השני קוים הקצרים ל‫'

נרצה לדעת כמה אורך הבריח האלכסונית וריקות כל המרובע

Multiply its wide side, which is 30, by its long side, which is 40; the result is 1200 and this is the measure of the area.
\scriptstyle{\color{blue}{30\sdot40=1200}}
 תכפול הבריח הרחבה שהוא ל' על הבריח הארוכה שהוא מ' ויעלה אלף וב' מאות וכן הוא שעור הריקות
If you want to know the length of the diagonal: multiply 30 by 30, which is 900; multiply 40 by 40, which is 1600; sum them up; it is 2500.
 ואם תרצה לדעת אורך הבריח האלכסונית כפול ל' על ל' שהם ט' מאות וכפול מ' על מ' שהם אלף וו' מאות ותחברם ויהיו אלפים וה' מאות
Extract its root; its is 50 and so is the length of the line.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50}}
 וקח שרשם שהם נ' וכן אורך הקו

Find the Height - Wall
98) Question: Here is a city whose walls are of unknown height.
If you would like to know their height
 צח) שאלה הנה בכאן עיר שחומותיה גובה נעלם

אם תרצה לדעת גבהם

Take a stick and stand it, i.e. so that its length is from the ground, i.e., from your feet, until its top reaches between your eyes.
 קח מקל וזקוף אותו ר"ל שיהיה ארכו מהארץ ר"ל מרגליך עד שיגיע ראשו בין עיניך
Lie with your face up, i.e., stretch your hands and feet, and tell your friend to put the stick upright between your feet.
 ותשכב על פניך למעלה ר"ל פשוט ידים ורגלים ותאמר לחבירך שישים המקל זקוף בין כפות רגליך
See if, according to your sight, the top of the stick is exactly as high as the wall.
 וראה אם לפי ראות עיניך ראש המקל הוא כל כך גבוה כמו החומה שוה בשוה
If it is not as high, move away or get closer, while lying on the ground, until it seems to you that it is of the same height.
 ואם אינו שוה התרחק או התקרב בעודך שוכב בארץ עד שיהיה נראה לך שהוא שוה
Then measure how much is it from [your] place to the foot of the wall and so is the height of the wall.
 ואח"כ תמדוד ממקום המקום עד רגל החומה (עד רגל החומה) כמה הוא וכן יהיה גובה החומה

Find the Price - Barrel
99) Question: there is a barrel full of oil here that is 7 cubits wide from the foot below and gets shorter and shorter until the upper base that is a cubit, which is worth 8 minyanim.
How much is a barrel that is 7 cubits wide at the bottom and the top base is also 7 cubits wide?
 צט) שאלה יש בכאן חבית מלאה שמן שהיא רחבה מהרגל שלמטה ז' אמות והולכת ומקצרת עד שהראש העליון עומד על אמה ושוה ח' מנינים

כמה ישוה חבית שרחבה למטה ז' אמות גם הראש העליון רחבו ז' אמות

You should sum up all the numbers from 1 to 7, because it gets shorter and shorter; the result is 28.
\scriptstyle{\color{blue}{1+\ldots+7=28}}
 הנה יש לך לחבר כל המספרים שהם מא' עד ז' מצד כי הולכת ומקצרת ויעלו כ"ח
Then, multiply 7 by 7, because its two bases are 7; it is 49.
\scriptstyle{\color{blue}{7\times7=49}}
 אח"כ כפול ז' על ז' מצד כי כל שני ראשיה הם ז' ויהיו מ"ט
Say: if 28 is worth 8 minyanim, how much is 49 worth? etc.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{28:8=49:X}}
 ותאמר אם כ"ח שוים ח' מנינים כמה ישוו מ"ט וכו‫'

Find the Side - Rectangle Formed by Walls
100) Question: We have two equal walls, far from each other by an unknown number.
We know the product of the one by its corresponding, i.e. the product of the wall by the distance between the walls, which is 48.
The distance plus the height of one of the walls is 11.
How high is the wall and how far are they from each other?
 ק) שאלה יש לנו שני כותלים שווים רחוקים זה מזה מספר נעלם וידענו הכאת הא' בגילו ר"ל הכאת הכותל במרחק שבין הכותלים והוא מ"ח והנה המרחק עם גובה א' הכותלים הוא י"א כמה הוא גובה הכותל וכמה מרחק זה מזה
Take its half, which is 7, and its square is 49.
 קח חציו והוא ז' ומרובעו מ"ט
Subtract 48; 1 remains and its root is 1.
 תחסר מ"ח ישאר א' ושרשו א‫'
We add it to 7, which is a half of 14, and this is the height of the tower.
 נוסיפהו על ז' שהוא חצי י"ד והוא גובה המגדל
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}=7+\sqrt{7^2-48}=7+\sqrt{49-48}=7+\sqrt{1}=7+1}}
We subtract it from it; the distance between them remains.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}=7-1}}
 נחסרנו ממנו וישאר המרחק שביניהם
And so on
 וכן כל כיוצא בזה
101) Question: We have two equal walls, one of which is for example line AB and the other is line GD, and their height is the same.
We know that the diagonal, which is AD, is 10 cubits.
We know that the height of the wall exceeds the distance between the two walls by 2 cubits.
We would like to know how high each one of the walls is and how far apart they are.
 קא) שאלה יש לנו שני כותלים שוים שהאחד הוא עד"מ קו א"ב והשני הוא קו ג"ד וגבהם אחד וידענו שהאלכסון הוא א"ד י' אמות וידענו שגובה הכותל הוא מוסיף על המרחק שיש בין שני הכותלים ב' אמות ונרצה לדעת כמה הוא גובה כל א' מהכותלים וכמה מרחקם
The way is as follows:
דרך זה הוא כך
We square the diameter, which is 10; it is 100.
 נרבע האלכסון שהוא י' והנה הוא ק‫'
We subtract from it the square of 2, by which the height exceeds the distance, which is 4; 96 remains.
 נחסר ממנו מרובע ב' שהוא ד' שבו יעדיף הגובה על המרחק וישאר צ"ו
Take its half; it is 48.
 וקח חציו והוא מ"ח
We add to it the square of half the excess, which is 1; it is 49.
 נוסיף עליו מרובע חצי העודף שהוא א' ויהיו מ"ט
Extract its root; it is 7 and this is the height, i.e. the height of each of the walls.
 וקח גדרו והוא ז' וככה הוא הגובה ר"ל גובה כל א' מהכותלים
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10^2-2^2\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2}=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(100-4\right)\right]+1^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot96\right)+1^2}=\sqrt{48+1}=\sqrt{49}=7}}
We subtract 2 from it; the remainder is 5 and third is the distance between them from wall to wall.
\scriptstyle{\color{blue}{7-2=5}}
 נחסר ממנו ב' והנשאר ה' והוא המרחק שביניהם מכותל לכותל

Triangulation Problem - Broken Tree
102) Question: we have a tree fifty cubits tall.
It was broken and its top touched ground.
We know that the distance between its two ends is 25, for example.
We ask: by how much did it break?
 קב) שאלה יש לנו אילן גבוה חמישים אמה ונשבר ונגע הראש בקרקע וידענו שמרחק שבין שני קצותיו שהם על דרך משל כ"ה נשאלה בכמה נשבר
The way is that we take a quarter of 25, and subtract it from it; 18 and 3-quarters remains and this is where the tree broke.
\scriptstyle{\color{blue}{25-\left(\frac{1}{4}\sdot25\right)=18+\frac{3}{4}}}
 דרך זה נקח רביעית כ"ה ונחסרנו ממנו ונשאר י"ח וג' רביעיות ובזה המספר נשבר האילן
We add its quarter to it; the result is 31 and a quarter and this is the part that falls to the ground.
\scriptstyle{\color{blue}{25+\left(\frac{1}{4}\sdot25\right)=31+\frac{1}{4}}}
 נוסיף עליו רביעו ויצא ל"א ורביע והוא החלק הנופל בארץ

Multiple Quantities - Selling Apples

103) Question: a man gives his three sons apples.

He gives to one 10, to the other 30 and to another 50.
He said: the money I receive from each will be the same no more and no less and the each will sell at the same price.
At what price did they sell?
\scriptstyle10a_1=30a_2=50a_3
 קג) שאלה אדם נתן תפוחים לג' בניו

לא' נתן י' ולאחר נתן ל' ולאחר נתן נ‫'
ואמר כל כך ישא לי ממון הא' כמו האחר לא פחות ולא יתר ובערך שימכור הא' ימכרו האחרים
באיזה ערך מכרו

You should know that the one who had 10 [apples] sold 7 [apples] for one pašuṭ.
 ראוי לך לדעת כי בעל הי' מכר ז' לפשוט
3 [apples] remain and he sold each at one [apple] for 3 [pešuṭim]
\scriptstyle{\color{blue}{10-7=3}}
 ונשארו עד ג' ומכר כל א' מהם ג' דינרין
We find that they worth 9 and with the 1 they are 10 [pešuṭim].
\scriptstyle{\color{blue}{1+9=10}}
 נמצא ששוים ט' ועם א' הם י‫'
The one who had 30 [apples] sold also like this, because he sold 28 [apples] for 4 pešuṭim.
 ובעל הל' מכר ג"כ ככה כי הכ"ח מכר ד' פשוטים
He sold the remaining 2 for 6 [pešuṭim].
\scriptstyle{\color{blue}{30-28=2}}
 והב' הנשארים מכר ו‫'
So, they are 10.
\scriptstyle{\color{blue}{4+6=10}}
 ויהיו י‫'
The one who had 50 [apples] sold 49 [apples] for 7 [pešuṭim].
 ובעל הנ' מכר מ"ט ז‫'
He sold [the remaining] 1 for 3 [pešuṭim].
\scriptstyle{\color{blue}{50-49=1}}
 וא' מכר ג‫'
They are also 10.
\scriptstyle{\color{blue}{7+3=10}}
 והם י' ג"כ

Gaging Problem - Wine and Water
104) Question: Here is a barrel that contains [10] kabin, half water and half wine.
We take out one kab, and pour one kab of water in it.
We take another kab out a second time, and fill it with water.
We take another kab out a third time, and fill it with water.
We take another kab out a fourth time, and fill it with water.
We would like to know how many kabim of wine are left in the barrel after the fourth time.
 קד) שאלה הנה בכאן חבית מכילה ק' קבין חציה מים וחציה יין

ונוציא קב אחד ואח"כ נשים בו קב מים
עוד נוציא קו (קב) פעם שניה ונמלאנה מים
עוד נוציא קב פעם ג' ונמלאנה מים
עוד נוציא קב פעם ד' ונמלאנה מים
נרצה לדעת כמה קבים של יין נשארו בחבית אחר הפעם הד‫'

The way is as follows:
 הדרך הוא כך
It is known that there are 5 kabin of wine and 5 of water in the barrel.
 ידוע הוא כי ה' קבין יין וה' של מים הם בחבית
We take out one kab; 4 and a half [kabin] of water and 4 and a half [kabin] of wine remain.
 ונוציא קב וישארו ד' וחצי מים וד' וחצי יין
We pour one kab of water in the barrel; there are 5 and a half [kabin] of water and 4 and a half [kabin] of wine.
 ונשים קב של מים בחבית ויהיו ה' וחצי מים וד' וחצי יין
We take 9-tenths of these 4 and a half; 4 and 1 part of twenty remains and this is the wine that is left in barrel [after] the second time.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=4+\frac{1}{20}}}
 ומאלו הד' וחצי נקח ט' עשיריות וישארו ד' וא' חלק מעשרים והוא היין שנשאר בחבית בפעם הב‫'
We take again 9-tenths of it; 3 and 129 part of two hundred remains and this is [the wine] that is left [after] the third time.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(4+\frac{1}{20}\right)=3+\frac{129}{200}}}
 עוד נקח מזה ט' עשיריות וישארו ג' וקכ"ט חלקים ממאתים והוא מה שנשאר בפעם הג‫'
We take again 9-tenths of it; 3 and 561 part of 2000 remains and this is [the wine] that is left [after] the fourth time.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(3+\frac{129}{200}\right)=3+\frac{561}{2000}}}
 עו' נקח מזה ט' עשיריות וישארו ג' ותקס"א חלקים מב' אלפים והוא מה שנשאר בפעם הד‫'
If you take 9-tenths from 3 and 561 part of 2000 what remains is [the wine that is left after] the fifth time.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(3+\frac{561}{2000}\right)}}
 ואם תקח מג' ותקס"א חלקים מב' אלפים ט' עשיריות מה שישאר הוא הפעם הה‫'
And so on.
 וכן תמיד

Find the Height - Tower
105) Question: Here is a big high tower, we do not know how much.
Its shadow is 100 cubits and this shadow reaches another smaller tower that is ten cubits high and its [shadow] is 25.
We would like to know how much is the unknown height of the tower.
 קה) שאלה בכאן מגדל גדול גבוה ולא ידענו כמה וצלו ק' אמות וצלו מגיע אצל מגדל אחר קטן גבהו עשרה אמות וגבהו כ"ה

נרצה לדעת כמה גובה המגדל הנעלם

Say: if 25 gives me ten, how much will 100 give?
\scriptstyle{\color{blue}{25:10=100:X}}
 תאמר אם כ"ה נתנו לי עשרה ק' כמה יתנו
Multiply ten by 100; it is 1000.
 כפול עשרה על ק' ויעלו אלף
Divide it by 25; the result is 40 and this is the height of the greater tower as in this figure:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10\sdot100}{25}=\frac{1000}{25}=40}}
 וחלקם על כ"ה ויצאו מ' והוא גובה המגדל הגדול כמו זאת הצורה

Find the Height - Wall
106) Question: Here is a high wall, its height is unknown.
We drop a rope from the top of the wall to the ground.
The end of the rope is 2 cubits away from the foot of the wall.
The length of the rope is 120 cubits.
We would like to know how high the wall is.
 קו) שאלה הנה בכאן חומה גבוהה והגובה נעלם והורדנו חבל חבל מראש החומה עד הארץ וראש החבל רחוק מרגל החומה ב' אמות ואורך החבל הוא ק"כ אמות נרצה לדעת כמה גובה החומה
We measure ten cubits from the lower end of the rope and draw a line of 40 from it that reaches the wall.
 הנה נמדוד עשרה אמות מראש החבל התחתון ונבריח מ' בריח כנגדו יגיע אל החומה
We measure how many cubits of the wall correspond to those 10 cubits of rope.
 ונמדוד כמה אמות נבלעו מהחומה באותם הי' אמות של חבל
We suppose that the 10 cubits of rope correspond to 8 of the wall.
 ונניח כי באותם הי' מדות מהחבל נכנסו ח' מהחומה
We divide the length of the rope, which is 120, by 10; the result is 12.
 ונחלק אורך החבל שהוא ק"כ על י' ויצאו י"ב
We multiply 12 by 8; it is 96 and this is the height of the wall, as in this figure:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{120}{10}\sdot8=12\sdot8=96}}
 ונכפול י"ב על ח' ויהיו צ"ו והוא גובה החומה כמו זאת הצורה

Find a Number Problems
107) Question: if you want to extract the cubic root of ten.
\scriptstyle\sqrt[3]{10}
 קז) שאלה אם תרצה להוציא שרש מעוקב עשרה
First, take the preceding cube, which is 8, because 2 times 2 is 4 and 2 times 4 is 8.
 תוציא תחלה המעוקב שעבר שהוא ח' כי ב' פעמי' ב' הם ד' וב' פעמים ד' הם ח‫'
We take also the following cube, which is 27, because 3 times 3 is 9 and 3 times 9 is 27.
 גם נקח המעוקב הבא שהוא כ"ז כי ג' פעמים ג' הם ט' וג' פעמים ט' הם כ"ז
See the difference between the preceding and the following, i.e. between 8 and 27; it is 19.
 וראה ההפרש שיש בין המוקדם והבא ר"ל בין ח' וכ"ז והוא י"ט
Divide [by it] the exceeding 2, which is from 8 to 10; it is approximately 2 and 2 parts of 19.
 ותחלק הב' המיותרים אשר הם מח' עד י' ויהיו ב' וב' חלקים מי"ט וזהו על ידי קרוב
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{10}=2+\frac{10-2^3}{3^3-2^3}=2+\frac{10-\left(2\sdot2\sdot2\right)}{\left(3\sdot3\sdot3\right)-\left(2\sdot2\sdot2\right)}=2+\frac{10-\left(2\sdot4\right)}{\left(3\sdot9\right)-\left(2\sdot4\right)}=2+\frac{10-8}{27-8}=2+\frac{2}{19}=2+\frac{2}{19}}}
108) Question: if you want to find a perfect number
 קח) שאלה אם תרצה למצא מספר שלם נקרא בלשונם נומירו פירפיטו
Definition of a perfect number: Know that a [number] is called a perfect number when you sum up all the parts and they are equal to the given number.
 דע כי מספר שלם נקרא כי כשתקבץ כל החלקים ויהיו שוים אל המספר המונח
Do as follows: take 2 for the first perfect number and multiply it by 2; it is 4.
 תעשה ככה תקח בעד המספר השלם הראשון ב' ותכפלם על ב' ויהיו ד‫'
Subtract 1 from it; 3 remains.
 תחסר מהם א' נשאר ג‫'
Multiply it by 2; it is 6 and it is a perfect number.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(2\sdot2\right)-1\right]=2\sdot\left(4-1\right)=2\sdot3=6}}
 כפלם על ב' ויהיו ו' והוא המספר השלם
Check: check it by taking all the parts in it, which are a half, a third, and a sixth; it is 6 and this is the given number.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)=6}}
 ותבחון אותו תקח כל החלקים אשר בו שהוא חצי ושליש ושישית ויהיו ו' והוא המספר המונח
109) If you want to find the second [perfect number]
 קט)‫[6] ואם תרצה למצא השני
Take 4 and multiply it by 2; it is 8.
 תקח ד' וכפול אותו על ב' ויהיו ח‫'
Subtract 1 from it; it is 7.
 תסיר ממנו א ויהיו ז‫'
Multiply it by 4; it is 28 and it is also a perfect number.
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left[\left(2\sdot4\right)-1\right]=4\sdot\left(8-1\right)=4\sdot7=28}}
 וכפול אותם על ד' ויהיו כ"ח והוא ג"כ מספר שלם
You can check it.
 ותוכל לבחון אותו
110) If you want to find the third [perfect number]
 קי)‫[7] ואם תרצה למצא השלישי
Take 8 and multiply it by 2; it is 16.
 תקח ח' וכפול אותו על ב' ויהיו י"ו
Subtract 1; it is 15.
 תסיר א' ויהיו ט"ו
Multiply 8 by 15; it is 120, but it is not a perfect number.
\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\left[\left(2\sdot8\right)-1\right]=8\sdot\left(16-1\right)=8\sdot15=120}}
 כפול ח' על ט"ו ויהיו ק"כ ואיננו מספר שלם
So, we take 16 instead of 8 and double it; it is 32.
 לכן נקח מספר י"ו תחת ח' ונכפלם ויהיו ל"ב
Subtract 1; it is 31.
 תסיר א' ויהיו ל"א
Multiply it by 16; it is 496 and it is a perfect number.
\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left[\left(2\sdot16\right)-1\right]=16\sdot\left(32-1\right)=16\sdot31=496}}
 ותכפלם על י"ו ויהיו ד' מאות וצ"ו והוא מספר שלם
Proceed according to this way.
 ועל הדרך הזה תעשה
To find the fourth, double 16; it is 32.
 ולמצא הד' תכפול י"ו ויהיו ל"ב
To find the fifth, take 64 and do as mentioned.
 ולמצא הה' תקח ס"ד ויעשה כנז‫'
If it is not a perfect number, do as mentioned concerning the third number.
 ואם אינו שלם תעשה כנז' במספר השלישי
111) Question: if you want to find a proportional number:
For example: we have six proportional numbers, i.e. the ratio of the sixth to the fifth is the same as the ratio of the fifth to the fourth, and the same as the ratio of the fourth to the third, and the same as the ratio of the third to the second, and the same as the ratio of the second to the first.
The first number is 2.
The sixth is 2048.
We wish to know how much is the second?
 קיא)‫[8] שאלה אם תרצה למצא מספר יחסיי הנקרא בלשונם נומירו פרופורציאונלי

דמיון זה יש לנו ו' מספרים יחסיים ר"ל שיחס הו' אל הה' כיחס הה' אל הד' וכיחס הד' אל הג' וכיחס הג' אל הב' וכיחס הב' אל הא‫'
והמספר הא' ב‫'
והו' ב' אלפים ומ"ח
ונרצה לדעת מהו השני

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_6:a_5=a_5:a_4=a_4:a_3=a_3:a_2=a_2:a_1\\\scriptstyle a_1=2\\\scriptstyle a_6=2048\end{cases}
Multiply the first, which is 2, by the last, which is the sixth; the result is 4096.
 כפול הראשון שהוא ב' על האחרון שהוא ו' ויעלו ד' אלפים וצ"ו
Extract its square root, "radice quadra" in their language; it is 64.
 וקח שרשם המרובע בלשונם ראדיצי קואדרא ויהיו ס"ד
Extract the root of 64; it is 8 and this is the second [number].
 עוד קח שרש ס"ד שהוא ח' והוא השני
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{\sqrt{a_1\sdot a_6}}=\sqrt{\sqrt{2\sdot2048}}=\sqrt{\sqrt{4096}}=\sqrt{64}=8}}
Check: Check it: the first is 2; the second is 8; the third is 32; the fourth is 128; the fifth is 512; and the sixth is 2048.
ותבחון אותו כי הראשון ב' והב' ח' והג' ל"ב והד' קכ"ח והה' תקי"ב והו' ב' אלפים ומ"ח
They are all proportional.
 והנה כלם מתיחסים
When you multiply the first by the sixth, [if] the product does not have an [integer] root, or if it has an [integer] root, but its root does not have an [integer] root, multiply the last by the first again, and see if it has an [integer] root and its root has an [integer] root, then the root of the root is the second.
 ואחר שכפלת הראשון על הו' אין לסך העולה שרש או אם יש לו שרש ואין לשרשו שרש תשוב לכפול פעם ב' האחרון על הראשון ותבקש אם יש לו שרש ולשרשו שרש ושרש השרש הוא השני
If it does not have an [integer] root after you multiply it a second time, do the opposite: divide the last by the first, then extract its root and the root of its root and it is the second.
 ואם אחר שכפלת אותו פעם שניה אין לו שרש תעשה בהפך תחלק האחרון על הראשון וקח שרשו ושרש שרשו והוא השני
  • For example: we have six proportional numbers, the first is 2 and the sixth is 64.
We wish to know which is the second.
 דמיון זה יש לנו ו' מספרים מתיחסים הראשון ב' והו' ס"ד

נרצה לדעת מהו השני

Multiply the first by the last; it is 128 and it does not have an [integer] root.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1\sdot a_6=128}}
 כפול הראשון על האחרון ויהיו קכ"ח ואין לו שרש
So, we double it once again; it is 256; its root is 16; the root of 16 is 4 and this is the second; the third is 8; the fourth is 16; the fifth is 32; and the sixth is 64.
 לכן נכפול אותו פעם ב' ויהיו רנ"ו ושרשם י"ו ושרש י"ו ד' והוא השני והג' ח' והד' י"ו והה' ל"ב והו' ס"ד
\scriptstyle{\color{blue}{a+2=\sqrt{\sqrt{a_1\sdot a_1\sdot a_6}}=\sqrt{\sqrt{2\sdot128}}=\sqrt{\sqrt{256}}=\sqrt{16}=4}}
112) Question: find a number such that when you multiply it by itself the result is 40 and 41 parts of a fraction.
\scriptstyle a^2=40+\frac{41}{b}
 קיב)‫[9] שאלה תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על עצמו יעלו מ' ומ"א חלקים מאיזה שבר שיזדמן
Take the square numbers, i.e. those that have an [integer] root, which are 4, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
 תקח המספרים המרובעים ר"ל אותם שיש להם שרש שהם ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א ק‫'
Start from 4: multiply it by 40 and add 41; the result is [20]1, which has no [integer] root.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot40\right)+41={\color{red}{20}}1}}
 ותתחיל מד' וכפול אותו על מ' ותוסיף בהם מ"א ויעלו קי"א ואין לו שרש
So, take 9: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root also.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(9\sdot40\right)+41}}
 לכן תקח ט' ותכפלם על מ' ותוסיף בם מ"א גם אין לו שרש
So, take 16: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(16\sdot40\right)+41}}
 לכן קח י"ו וכפלם על מ' ותוסיף מ"א ואין להם שרש
So, take 25: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(25\sdot40\right)+41}}
 לכן קח כ"ה ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א ואין לו שרש
So, take 36: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root also.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(36\sdot40\right)+41}}
 לכן קח ל"ו וכפול אותו על מ' ותוסיף מ"א גם אין לו שרש
So, take 49: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root also.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(49\sdot40\right)+41}}
 לכן תקח מ"ט ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א גם אין לו שרש
So, take 64: multiply it by 40 and add 41; the result is 2601 and its root is 51.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(64\sdot40\right)+41=2601=51^2}}
 לכן תקח ס"ד ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א ויעלו ב' אלפים וו' מאות וא' ושרשם נ"א
Divide it by the root of 64, which is 8; you receive 6 and 3-eighths and this is the sought-after.
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{51}{8}=6+\frac{3}{8}}}
 וחלקם על שרש ס"ד שהוא ח' ויצא לך ו' וג' שמיניות והוא המבוקש
Check: because, if you multiply 6 and 3-eighths by 6 and 3-eighths, it is 40 integers and 41 parts of 64.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{3}{8}\right)^2=40+\frac{41}{64}}}
 כי אם תכפול ו' וג' שמיניות על ו' וג' שמיניות ויהיו מ' שלמים ומ"א חלקים מס"ד

Find the Diagonal - Rectangle
113) Question: A quadrilateral, the length of its two lines of longitude is 8 and the length of its two lines of latitude is 6.
We would like to know the length of the diagonals of the quadrilateral from end to end, i.e. the ones that go diagonally.
 קיג) שאלה אם תרצה לדעת ממרובע אשר אורך השני קוים ההולכים באורך ח' ואורך הב' קוים ההולכים ברוחב ו‫'

נרצה לדעת כמה אורך כל קו וקו מהמרובע המבריחות מן הקצה אל הקצה ר"ל ההולכות באלכסון

Multiply the two widths by each other; it is 36.
 כפול הב' ההולכות ברוחב זו על זו ויהיו ל"ו
Multiply also the two lengths by each other; it is 64.
 עוד כפול הב' ההולכות באורך זו על זו ויהיו ס"ד
Sum them; it is 100.
 ותחברם ויהיו ק‫'
Extract its root; it is ten and this is the diagonal.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10}}
 וקח שרשם ויהיו עשרה והוא הבריח האלכסונית
If you wish to know how much is the area of each of the four quadrilaterals:
 ואם תרצה לדעת כמה שטח כל אחד מהד' מרובעים
Take half the length, which is 4, and half [the width], which is 3, and multiply them by each other; it is 12 and this is the area of each of the four quadrilaterals. This is its figure:
 קח חצי האורך שהוא ד' וחצי (הרוחב) שהוא ג' וכפול זה על זה ויהיו י"ב והוא שטח כל מרובע מד' מרובעים וזאת היא צורתו

Find the Height - Well
114) Question: A man wants to know the depth of a well that has 12 measures of water in it; each of the four sides of the well is 5 cubits long, and if he throws a stone into the well, each of its four sides is 4 cubits long and its height is twenty, the water reaches the surface of the well
We would like to know how deep the well is.
 קיד) שאלה אדם רוצה לדעת עומק בור אחד אשר יש בו י"ב מדות מים ובכל א' מד' זויות הבור ארכם ה' אמות ואם השליך בתוך הבור אבן כל א' מד' זויותיה ד' אמות וארכה עשרים ואז הגיעו המים על פי הבאר

נרצה לדעת כמה עמקו של בור

Do as follows: take a volume of the stone, i.e. multiply 4 by 4, then multiply the result, which is 16, by the height; it is 320.
כך תעשה תקח מרובע האבן ר"ל שתכפול ד' על ד' והעולה שהוא י"ו כפול על האורך ויהיו ש"כ
Divide it by the volume of the well, which is 25; you receive 12 integers and 4-fifths.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot4\sdot20}{25}=\frac{16\sdot20}{25}=\frac{320}{25}=12+\frac{4}{5}}}
 ותחלקם על מרובעי הבור שהוא כ"ה ויצאו לך י"ב שלמים וד' חמישיות
Add it to the 12 measures that are in the well; it is 24 and 4-fifths and this is the depth of the whole well.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{4}{5}\right)+12=24+\frac{4}{5}}}
 ותוסיפם על י"ב מדות שהיו בבור ויהיו כ"ד וד' חמישיות והוא עומק כל הבור ותן יש על זה

Transformation of Figures
115) Question: what square can be made from a circle whose diameter is 7?
 קטו) שאלה מה מרובע יוכל להעשות מעגול שאלכסונו ז‫'
We take the square of 7; it is 49.
 נקח מרובע ז' והוא מ"ט
Take its half; it is 24 and a half.
 קח חציים והוא כ"ד וחצי
Extract its root; it is approximately 4 integers and 16 parts of 17 and so is the [area of the] square that is made from this circle.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot7^2}=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot49}=\sqrt{24+\frac{1}{2}}\approx4+\frac{16}{17}}}
 קח שרשם והוא בקרוב ד' שלמים וי"ו חלקים מי"ז וכן יהיה המרובע הנעשה מזה העגול
117) Question: How many squares of [one cubit] can be made from a circle whose circumference is 22.
 קיז) שאלה כמה מרובעים ממאה כל אחד יעשה עגול שמקיפו כ"ב
Take half this circumference; it is 11.
 קח חצי זה המקיף והוא י"א
It is clear that half the diameter of this circle is 3 and a half.
 והוא מבואר שחצי אלכסון זה העגול הוא ג' וחצי
Multiply it by 11; the result is 38 and a half and this is the number of squares that are made of it.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot22\right)\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=11\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=38+\frac{1}{2}}}
 וכפול אותם בי"א ועלה ל"ח וחצי וככה מרובעים יהיו ממנו
118) Question: A tree whose length is 10 and its perimeter is six.
We want to make its length 12.
How much will its perimeter be?
 קיח) שאלה עץ שהוא ארכו י' והקפו ששה ונרצה לעשות ארכו י"ב כמה יהיה הקפו
We take the square of the perimeter; it is 36.
 נקח מרובע ההקף והוא ל"ו
Say: If [10 is equal to 6], how much is 12 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{10:6=12:X}}
 ואמור אם י"ב כמה יהיו ל"ו
Multiply 10 by 36, then divide the product by 12; the result is 30.
 וכפול י' בל"ו ונחלק העולה על י"ב ויעלה ל‫'
Extract its root; it is 5 and a half and this will be its perimeter.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10\sdot36}{12}}=\sqrt{30}=5+\frac{1}{2}}}
 וקח שרשו והוא ה וחצי וככה יהיה הקפו

Joint Purchase Problems – If You Give Me
119) Question: three men.
The first said: if I had 1 I would have as much as the both of you.
The second said: if I had 1 I would have half as much as the both of you.
The third said: if I had 1 I would have third as much as the both of you.
 קיט)‫[10] שאלה ג' אנשים

אמר הא' אם היה לי א' היה לי כמו שניכם
אמר השני אם היה לי אחד היה לי חצי שלכם
אמר הג' אם היה לי א' היה לי שליש שלכם

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+1=a_2+a_3 \\\scriptstyle a_2+1=\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_3\right)\\\scriptstyle a_3+1=\frac{1}{3}\sdot\left(a_1+a_2\right)\end{cases}
The answer: look for the common denominator; it is 6.
 התשובה בקש המורה והוא ו‫'
Subtract 1; it is 5.
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=6-1=5}}
 חסר א' ויהיו ה‫'
Add 1 to 6; it is 7.
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=6+1=7}}
 הוסף על ו' א' ויהיו ז‫'
Multiply 2 by 5; it is 10.
 וכפול ב' בה' ויהיו י‫'
Add 1; it is 11.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(2\sdot5\right)+1=10+1=11}}
 תוסיף א' ויהיו י"א
So, the first had 5; the second 7; and the third 11.
 א"כ לראשון היה לו ה' ולשני ז' ולג' י"א
120) Question: three men want to buy a fish.
The first said: I will give a half of what I have and you will give all you have.
The second said: I will give a third of what I have and you will give all you have.
The third said: I will give a quarter of what I have and you will give all you have and we will buy the fish.
We ask: how much did each have and how much is the price of the fish?
 קכ)‫[11] שאלה ג' בני אדם רוצים לקנות דג אחד

אמר הראשון אני אתן החצי ממה שיש לי ממעות ואתם תתנו כל מה שיש לכם
אמר השני אני אתן השליש ממה שיש לי ואתם תתנו כל מה שלכם
השיב השלישי ואמר אני אתן הרובע ממה שיש לי ואתם תנו כל אשר לכם ונקנה הדג
נשאל כמה היה לכל אחד ואחד וכמה הוא ערך הדג

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{2}a_1+a_2+a_3=N\\\scriptstyle \frac{1}{3}a_2+a_1+a_3=N\\\scriptstyle\frac{1}{4}a_3+a_1+a_2=N\end{cases}
The answer: look for a number that has a half, a third, and a quarter; you find it is 12.
 התשובה תבקש מספר יהיה לו חצי ושליש ורובע ותמצא י"ב
Say: 12 is a half of which [number]? You find it is 24 and this is the amount of money of the one who [offers] a half.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}a_1=12\longrightarrow a_1=24}}
 ותאמר י"ב מאיזה דבר הוא חצי תמצא כ"ד וזה היה סך הממון מבעל החצי
Then, say: 12 is 2-thirds of which [number]? Since he kept 2-thirds for himself. You find it is 18. So, the amount of money of the one who offers a third is 18.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}a_2=12\longrightarrow a_2=18}}
 אח"כ תאמר י"ב מאיזה דבר הוא ב' שלישיות וזה בעבור שעכב לעצמו ב' שלישיות תמצא י"ח הנותן שליש ממונו היה י"ח
Then, say: 12 is 3-quarters of which number? Since he kept 3-quarters for himself. You find it is 16. So, [the amount of money of] the one who offers a quarter is 16.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}a_3=12\longrightarrow a_3=16}}
 אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ג' רביעיות בעבור שעכב לעצמו ג' רביעיות תמצא י"ו הנה הנותן הרביעית היה י"ו
Check: You can check it: because the one who has 24 gives 12, which is half the money. We add it to 16 and 18; it is 46.
 ותוכל לבחון כי בעל כ"ד נתן י"ב שהוא חצי הממון נחבר אותו אל י"ו וי"ח יהיו מ"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}a_1+a_2+a_3=\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)+18+16=12+18+16=46}}
Then, say: the one who has 18 gives 6, which is a third. Add it to 24 and 16; it is also 46.
 אח"כ תאמ' בעל י"ח נותן ו' שהוא השליש וחבר אותם אל כ"ד וי"ו ויהיו מ"ו ג"כ
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}a_2+a_1+a_3=\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)+24+16=6+24+16=46}}
Say also: the one who has 16 gives 4, which is a quarter. Add it to 18 and 24; it is also 46.
 עוד תאמר כי בעל י"ו נותן ד' שהוא הרביעית וחבר אותם אל י"ח ואל כ"ד ויהיו מ"ו ג"כ
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}a_3+a_1+a_2=\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)+24+18=4+24+18=46}}
The price of the fish is 46 dinar.
 וערך הדג מ"ו דינרין
121) Question: there are three men who want to buy a rooster for 11 dinar.
The first said: I will give half of my money and you will give all of what you have.
The second said: I will give a third of my money and you will give all of what you have.
The third said: I will give a quarter of my money and you will give all of what you have.
We wish to know how much did each have?
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{2}a_1+a_2+a_3=11\\\scriptstyle \frac{1}{3}a_2+a_1+a_3=11\\\scriptstyle\frac{1}{4}a_3+a_1+a_2=11\end{cases}
 קכא)[12] שאלה יש כאן ג' בני אדם רוצים לקנות תרנגול י"א דינרין

אמר הא' אני אתן חצי ממוני ותנו אתם כל אשר לכם
אמר השני אני אתן שליש ממוני ותנו אתם כל אשר לכם
השיב השלישי אני אתן רביעית ממוני ותנו אתם כל אשר לכם
נרצה לדעת כמה לכל א' וא‫'

התשובה הנה ראוי לבקש מספר שיהיה לו חצי ושליש ורביעית ותמצא כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}b_1=12\longrightarrow b_1=24}}
 אח"כ תאמר י"ב מאיזה דבר הוא חצי ותמצא כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}b_2=12\longrightarrow b_2=18}}
 אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ב' שלישיות תמצא י"ח
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}b_3=12\longrightarrow b_3=16}}
 אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ג רביעיות תמצא י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{46:24=11:a_1}}
 וכבר ידעת כי אלו היה סך הדג נעלם כבר מצאנו מענה לשאלה כי היה ערך התרנגול מ"ו כנז' לעיל ועתה שהוא נודע נאמ' אם מ"ו שוים כ"ד וזה בעבור אותו שנותן חצי ממונו י"א שהוא סך הדג כמה שוים
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=5+\frac{{\color{red}{17}}}{23}}}
 ויצא לך ה' שלמים וה' חלקים מכ"ד והנה הנותן חצי ממונו כל ממונו ה' שלמים וה' חלקי' מכ"ג
\scriptstyle{\color{blue}{46:18=11:a_2}}
 אח"כ תאמר אם מ"ו שוים י"ח י"א כמה שוים
\scriptstyle{\color{blue}{a_2={\color{red}{4}}+\frac{{\color{red}{7}}}{23}}}
 יצא לך ג' שלמים וכ"א חלקים מכ"ג וכך היה סך ממונו מבעל השליש
\scriptstyle{\color{blue}{46:16=11:a_3}}
 אח"כ תאמר אם מ"ו שוים י"ו י"א כמה שוים
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=3+\frac{{\color{red}{19}}}{23}}}
 ויצא לך ג' שלמים וי"א חלקים מכ"ג וזה סך כל ממון בעל הרביעית
122) Question: there are three men who formed a partnership.
The first contributed 16 minyanim and he ought to take 25 dinar from the profit.
The second contributed some dinar so that he ought to take 17 dinar from the profit.
The third contributed 10 canna of cloth and he ought to take 32 dinar from the profit.
We ask how much are the 10 canna worth and how much did the one who earned 17 dinar contribute?
 קכב)‫[13] שאלה יש כאן ג' בני אדם עושים שותפות

הא' שם י"ו מנינים וראוי לו לקחת מהריוח כ"ה דינרין
והשני שם כל כך דינרין באופן שראוי לו לקחת מן הריוח י"ז דינרין
והג' שם עשרה קנים מבגד וראוי לו לקחת מריוח ל"ב דינרין
נשאל כמה היו שוות הי' קנים וכמה שם אותו שהרויח י"ז דינרין

\scriptstyle{\color{blue}{25:16=17:x}}
 תשובה כבר ידעת כי אותו ששם י"ו דינרין ראוי לקחת כ"ה לכן תאמר אם כ"ה שוים י"ו י"ז כמה שוים
\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{22}{25}}}
 יצא לך עשרה שלמים וכ"ב חלקים מכ"ה הנה בעל הי"ז שם עשרה דינרין גם כ"ב חלקים מכ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{25:16=32:x}}
 עוד תאמר אם כ"ה שוים י"ו ל"ב כמה שוים
\scriptstyle{\color{blue}{x=20+\frac{12}{25}}}
 יצא לך עשרים וי"ב חלקים מכ"ה וזה הוא שווי הקנים
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20+\frac{12}{25}}{10}=2+{\color{red}{\frac{6}{125}}}}}
 אח"כ תחלק זה המספר על י' ויצא לך ב' שלמים וי"ב חלקים מכ"ה וזה יהיה שווי הקנה בלי תוספת ומגרעת

Guess
123) Question: if you want to know to which person your friend has given a ring, on which finger is it, and on which finger joint
 קכג) שאלה אם תרצה לדעת לאיזה אדם נתן חבירך הטבעת ובאיזה אצבע ובאיזה פרק
\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left(2a+6\right)\sdot5\right]+b\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+c
 תחלה תאמר לו שיכפול אותו ואחר שישים עליו ו'

ואחר שיכפול כל זה ה' פעמים ואחר שיוסיף על זה המספר האצבעות
ואח"כ שיכפול כל זה ה' פעמים ואחר שיסיר מזה ק"נ
ואח"כ יכפול על שנים מה שנשאר ואחר זה יוסיף על זה מספר הפרקים

  • hundreds = a = man number
 והנה המאיות הם האנשים
  • tens = b = finger number
 והעשרות האצבעות
  • units = c = joint number
 והאחדים הפרקים
  • Example: I gave the ring to the fourth man on the third finger on the second joint
 דמיון נתתי הטבעת לאיש רביעי באצבע הג' ובפרק ב'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot4\right)+6\right]\sdot5\right]+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left(8+6\right)\sdot5\right]+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left(14\sdot5\right)+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left[\left[\left(70+3\right)\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left[\left(73\sdot5\right)-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left(365-150\right)\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left(215\sdot2\right)+2=430+2=432\\\end{align}}}
 תאמר לו שיכפול ד' ויהיו ח'

ואמור שיוסיף על זה ו' ויהיו י"ד
וכפול אותו על ה' ויהיו ע'
תוסיף על זה ג' שהוא מספר האצבעות ויהיו ע"ג
כפול אותם על ה' ויהיו שס"ה
תסיר מהם ק"נ הנשאר רט"ו
כפול אותם על ב' ויהיו ד' מאות ול'
תוסיף על זה ב' שהם הפרקים ויהיו תל"ב

four hundreds = 400 = fourth man
 הנה הד' מאות יהיו ד' אנשים
three tens = 30 = third finger
 והג' עשרות יהיו ג' אצבעות
two units = 2 = second joint
 והב' יהיו ב' פרקים
Guessing a chosen number
124) Question: if you want to know the number a man thought of in his heart -
Ask him if it has a remainder after casting out threes - if it has no remainder, do not take a thing, and if there is a remainder take 70 for each one that remains.
For [the remainder from casting out] the fives take 21.
For [the remainder from casting out] the sevens [take] 15.
Then sum up all [the results] and cast out all the hundreds and for each hundred subtract 5.
The remainder will be the requested [number].
 קכד) שאלה אם תרצה לדעת מה שחשב אדם בלבו

תאמר לו אם הולך ג"ג ואם הולך לא תקח כלום ואם אינו הולך קח בעד כל א' שישאר ע'
ומן החמישיות יש לך לקחת כ"א
ומהשביעיות ט'
אח"כ תחבר כל זה ותסיר כל המאות ובעד כל מאה תסיר ה'
ומה שישאר הוא המבוקש

\scriptstyle\left[\left[\left(x\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(x\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(x\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105=x
  • Example: I choose the number 4
 דמיון הנה לקחתי מספר ד'
הנה ישאר על השלישיות א' וקח ע'

ועל ה' ישאר ד' וקח ד' פעמים כ"א ויהיו פ"ד
וקח בעד השביעיות ס' כי ישאר ד' וד' פעמים ט"ו הם ס'
אח"כ חבר הכל ויהיו רי"ד
תסיר מזה המאות וישאר י"ד ותסיר בעד הב' מאות עשרה וישאר ד' והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left[\left[\left(4\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(4\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(4\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105\\&\scriptstyle=\left[\left(1\sdot70\right)+\left(4\sdot21\right)+\left(4\sdot15\right)\right]mod105\\&\scriptstyle=\left(70+84+60\right)mod105\\&\scriptstyle=214mod105=4\\\end{align}}}
קכה) שאלה ואם תרצה לדעת באופן אחר מה שחשב אדם בלבו תאמר לו שיכפלהו ואח"כ תאמר לו שיכפלהו פעם ב' ואח"כ תאמר לו שיקח ממנו ד' וזה לך הכלל כי בעד כל ד' שתסיר מהסך תקח א' והוא המבוקש
קכו) שאלה אם תרצה לדעתו באופן אחר תאמר לו שיכפלהו ואחכ יוסיף עליו ה' ואחר יכפול אותו ה' פעמי' ואחר יוסיף בו עשרה ותחסר ממה שיעלה כל זה ל"ה וקח בעד כל עשרה הנשאר א' והוא המבוקש

Ordering Problem - People on a Ship
127) Question: If you wish to know the number - once Jews and Ishmaelites were going on a ship, and a storm came upon the ship.
One Jew said: come all of you here.
He seated the Jews and the Ishmaelites in such a way that when he counted them he gave all the nines to the Ishmaelites and so he proved that the sorrow came upon the sea because of them.
This way he threw the 15 Ishmaelites to the sea and the Jews remained.
This is the procedure to do it: I cast the Ishmaelites out by nines, I cast the lots, I throw to sea, through the strength of the waves I throw them to it by tricks.
Indeed, it is appropriate to start with the Jews and count them by initials.
 קכז) שאלה ואם תרצה לדעת המספר והוא כי פעם א' היו הולכים בספינה יהודים וישמעאלים ובא סער בספינה

אמר יהודי אחד בואו כלכם בכאן והושיבם היהודים וההגרים באופן כי כשהיה מונה אותם לעולם היה כלה כל התשיעיות אל ההגרים והוכיח כי בעבורם בא הצער בים
ובזה האופן השליך ט"ו הגרים בים והיהודים נשארו
וזהו אופן עשייתו בם הגרים כל ט' אשפוך גורל אפיל אטיל בים בגאון גליו אשליכמו בתחבולות בדרוש אים
אכן ראוי להתחיל מהיהודים ותתקנם בראשי תיבות

קכח) שאלה אם תרצה לדעת איזה אבן נגע חבירך קח י"ו אבנים ועשה ב' שורות מח' אבנים ותאמר לאיש שיגע אבן אחת מאלו השורות אח"כ שאל לו באיזו שורה היא האבן ואם היא בשמאל תהפך כל השורות בשמאל ואם בימין כן תעשה אח"כ שאל באיזו שורה וכן תהפך ג' פעמים ואחר ההפוך הג' תשאל לו באיזו שורה היא וזה הכלל יהיה בידך כי לעולם האות הג' היא אותה שאתה מבקש
קכט) שאלה איש מוכר קופה של ביצות וכאשר מכר אותם הביט בידו ואמר לא עשיתי בטוב כי אלו הייתי נותן א פחות בדינר היה לי ד' פעמים יותר ממעות תאמ' לו כמה היו הביצות הנמכרות וכמה הוא הממון שיצאו מהביצות
תשובה תעשה ככה לפי שאמר שהיו לו ד' פעמים ממעות יותר לכן תכפול ד' לעצמו ויעלו י"ו תחסר ממנו א' וישארו ט"ו ואח"כ תחסר מהד' א' וישארו ג' ותכפול אותם על ט"ו הנזכרים ויעלו מ"ה וככה דינרין יצאו מן הביצות
ולדעת כמה היו הביצות כפול ט"ו על ד' ויעלו ס' וס' ביצות היו הביצות הנמכרות
קל) שאלה אחד היו לו מעות ואינו יודע כמה הם ונתן אותם קל לאנשים רבים ואינו יודע כמה אבל ידע שאם נתן י"ב לכל איש יהיו יותר מהכ' ואם יתן י"ו לאיש יחסר מס' הנה היתי רוצה לדעת כמה ממון היה לזה וכמה אנשים היו
התשובה ראוי לחבר המעות שהיו חסרים עם המעות שהיו יתרים ר"ל נ"ב עם ס' ויעלו קי"ב וראוי לחלק אותם עם ההפרש מהמעות החסרים עם היתרים ר"ל עם ההפרש שיש מנ"ב לס' שהוא ח' אשר אם תעשהו יצא כ"ח והאנשים היו כ"ח
ואחר זה כדי שתדע כמה היו המעות ואחר שתחזיק כמה שתרצה אם אל י"ב ואם אל י"ו אם אל י"ב ראוי שתכפול י"ב פעמים כ"ח ויעלו של"ו ובאלו ראוי שתוסיף מה שיתוסף נ"ב ובאלו יעלו שפ"ח ואם אתה כפלת י"ח פעמים י"ו יעלו שמ"ח ומאלו ראוי שתחסר מה שחסר ר"ל פ' וישארו שפ"ח כאשר נאמר ובזה הדרך תוכל לעשות הדומות לזו
קלא) שאלה הנה בכאן ג' אנשים שיש להם מעות אשר הב' מבלי הא' יש להם י"ט והב' מבלי הב' יש להם כ"ג והב' מבלי הג' יש להם ל' נאמר כמה ממון יש לכל א' וא'
ראוי לך לחבר ממון שלשתן ולחלק העולה על ב' ומה שיעלה הוא ממון שלשתן והדרך הוא נודע

Twins
132) Question: Reuven reached his deathbed and made a will this way: from a hundred ducat that I would leave - if my wife, who is pregnant, gives birth to a male, she will have one-third of it and the rest will be for her son, and if she gives birth to a female, the third will be for her daughter and the rest for her.
When he died, his wife gave birth to twins, a male and female.
 קלב) שאלה הנה במקרה ראובן הגיע אל המות ועשה צוואה בזה האופן ממאה דוקטי שאניח אם אשתי אשר היא הרה תלד זכר תהיה לה השליש והשאר תהיה לבנה ואם נקבה תלד שהשליש מבתה והשאר ממנה וכאשר מת ילדה אשתו תאומים זכר ונקבה
תשובה הנה יראה שהבן ראוי לו כפל מהאם והאם הכפל מהבת ולכן ראוי לנו לעשות ככה שהבת שהיא הפחותה שם א' והאם ב' והבן ד' ותעשה ככה הנה בכאן ג' הא' שם א' והב' ב' והג' ד' והרויחו ק' כמה יגיע לכל א' וזה מבואר

Find a Number Problems
133) Question: find me a number such that if you multiply it by 7 and divide by 9 your result will be 45
\scriptstyle \frac{a\sdot7}{9}=45
 קלג)[14] שאלה תמצא לי מספר אשר אם תכה אותו בז' ותחלק אותו על ט' שיצא לך מ"ה
False Position: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot18}{9}=\frac{126}{9}=14}}
 תעשה ככה תסכים שאותו המספר יהיה מה שתרצה ולהקל מעליך עשה שבאותו מספר לא יהיה בו שבר ונניח שאותו המספר יהיה י"ח א"כ כאשר תכה ז' פעמים י"ח יעלו קכ"ו ואם תחלקהו בט' יצא י"ד
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{18\sdot45}{14}=\frac{810}{14}=57+\frac{6}{7}}}
 וכבר אמרנו שיצא מ"ה לכן ראוי לעשות ככה שתכה המספר אשר שמת אותו כבר שתכפול י"ח על מ"ה אשר יצא תת"י וזה תחלק עם אותו שיצא עם י"ד ויצא נ"ז וו' שביעיות והוא הנשאל
Check: \scriptstyle \frac{\left(57+\frac{6}{7}\right)\sdot7}{9}=\frac{405}{9}=45 ולבחון אותו ראוי שתכה נ"ז וו' שביעיות עם ז' ויצא ת"ה ותחלק עם ט' ויצא מ"ה
134) Question: find a number such that if you divide it by 5 and multiply by 8 the result will be 23
\scriptstyle \frac{a}{5}\sdot8=23
 קלד)‫[15] שאלה תמצא מספר אשר אם תחלק אותו עם ה' ותכה אותו עם ח' יעלה כ"ג
False Position: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}\sdot8=4\sdot8=32}}
 שים שאותו המספר יהיה עשרים ונחלק אותו עם ה' ויצא ד' ותכה אותו עם ח' ויצא ל"ב
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{20\sdot23}{32}=\frac{460}{32}=14+\frac{3}{8}}}
 ואנו מבקשים כ"ג ראוי שתכה לפי הדרך הנאמר עשרים פעמים כ"ג ויצא לך ת"ס תחלק עם ל"ב ויצא י"ד וג' שמיניות והוא המבוקש
135) Question: find me a number such that if you subtract its third and its quarter from it the remainder is 29
\scriptstyle a-\left(\frac{1}{3}a\right)-\left(\frac{1}{4}a\right)=29
 קלה)‫[16] שאלה תמצא לי מספר אשר אם תוציא ממנו שלישיתו ורביעיתו הנשאר כ"ט
False Position: \scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=12-7=5}}
 תשמור הדרך ותאמר ככה נניח שאותו המספר הוא י"ב תוציא ממנו שלישיתו ורביעיתו שהם ז' וישאר ה‫'
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot29}{5}=\frac{348}{5}=69+\frac{3}{5}}}
 ואנו מבקשים כ"ט א"כ תכה י"ב פעמים כ"ט ויצא שמ"ח וחלק אותו על ה' ויצא ס"ט וג' חמישיות
136) Question: find me a number such that if you add to it its third and its two fifths it makes 18
\scriptstyle a+\left(\frac{1}{3}a\right)+\left(\frac{2}{5}a\right)=18
 קלו)‫[17] שאלה תמצא לי מספר אשר אם תוסיף עליו שלישיתו ושני חמישיותיו יעשה י"ח
False Position: \scriptstyle{\color{blue}{15+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot15\right)=15+5+6=26}}
 תשמור הדרך נניח שאותו המספר יהיה ט"ו והשליש מט"ו הוא ה' ושני חמישיותיו הם ו' שים אותם על ט"ו ויעלו כ"ו
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{15:26=18:x}}
 ואנו נרצה י"ח א"כ נאמר אם ט"ו יתנו לי כ"ו מה יתן לנו י"ח
\scriptstyle{\color{red}{\frac{15\sdot81}{26}=\frac{1215}{26}=46+\frac{19}{26}}}
 ולכן ראוי שתשמור הדרך שתכה הו' ששמת עם י"ח ויצא לך אלף ומאתים וט"ו וזה תחלק על מה שייצא עם כ"ו ויצא מ"ו וי"ט חלקים מכ"ו
137) Question: if you want to divide 30 into two parts such that if you multiply the one by 4 it becomes the same as the other part if you multiply it by 3
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=30 \\\scriptstyle 4a=3b\end{cases}
 קלז)‫[18] שאלה אם תרצה לעשות מל' ב' חלקים אשר אם תכה הא' בד' יעשה כמו החלק האחר אם תכה אותו בג'
False Position: \scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1 \\\scriptstyle \frac{b_1}{3}=4\sdot1=4\longrightarrow b_1=12\end{cases}}}
 תעשה ככה תשים שאותו החלק יהיה אחד ואם תכה אותו בד' יהיה ד' והחלק השני תעשה שיהיה מספר שאם תחלק אותו בג' יצא ד' והוא מספר י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{a_1+b_1=1+12=13}}
 הנה כבר היינו יכולין לומ' שנעשינו הדרך אבל אינו אמת כי אנחנו לא חלקנו ל‫'

אבל היה החלק הראשון א' והשנית י"ב אשר יעלה הכל י"ג אשר כדי להביא החשבון אל מקומו מהאחר אשר שם בא לנו י"ג ואנו מבקשים ל‫'

Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1\sdot30}{13}=\frac{30}{13}=2+\frac{4}{13}}}
 לכן ראוי שתכה א' עם ל' ויצא ל' וזה תחלק ויצא ב וד' חלקים מי"ג וככה ראוי להיות החלק הא‫'
\scriptstyle{\color{blue}{b=30-\left(2+\frac{4}{13}\right)=27+\frac{9}{13}}}
 א"כ בהכרח החלק השני ראוי להיות עד הל' אשר יהיה כ"ז וט' חלקים מי"ג
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{27+\frac{9}{13}}{3}=9+\frac{3}{19}}}
 אשר תחלק כ"ז וט' חלקים מי"ג עם ג' ויצא לך ט' וג' חלקים מי"ג א"כ עשינו השאלה
138) Question: if you want to produce three parts from 18 so that when you subtract a fifth from one part and add to the second [part] its third and multiply the third [part] by 2½ all will be the same.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c=18\\\scriptstyle a-\frac{1}{5}a=b+\frac{1}{3}b=c\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)\end{cases}
 קלח)‫[19] שאלה אם תרצה לעשות מי"ח ג' חלקים בזה האופן אשר אחר שהוצאת החומש מהחלק הראשון וחברת אל השני שלישיתו והג' מוכה עם ב' וחצי כל א' יהיה שוה
  • \scriptstyle{\color{blue}{a_1=5}}
 תשים שהחלק הא' יהיה ה‫'
\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(\frac{1}{5}\sdot5\right)=4}}
 ואם תוציא ממנו החומש שהוא א' ישאר ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{b_1+\frac{1}{3}b_1=4\longrightarrow b_1=3}}
 ועתה ראוי לראות אל החלק השני כמה ראוי להיות כדי שאם תוסיף עליו שלישיתו יהיה ד' ויהיה ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{c_1\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\longrightarrow c_1=1+\frac{{\color{red}{3}}}{5}}}
 עוד ראוי לראות כמה ראוי להיות החלק הג' אשר כאשר תכה אותו בב' וחצי ראוי להיות א' ושני חומשים
\scriptstyle{\color{blue}{a_1+b_1+c_1=5+3+\left(1+\frac{{\color{red}{3}}}{5}\right)=9+\frac{{\color{red}{3}}}{5}}}
 א"כ עתה ראוי לך להוסיף החלק הראשון שהוא ה' והשני שהוא ג' והשלישי שהוא א' ושני חומשים ויעלו כלם ט' וב' חומשים
ואנו נרצה שיהיו י"ח והנה נאמר אם בעד ה' ששם אלו יצא ט' וג' חומשים ממה יצא לי י"ח שהיינו רוצים לחלוק ראוי שתכה כפי הדרך ה' ששמנו כנגד י"ח שרצינו ויצא צ' וזה ראוי לחלק עם ט' וג' חומשים ויצא ט' וג' שמיניות וככה היה החלק הראשון
ותאמר ככה בעד השנית נתן לי ט' וג' של חמישיות ובא אלי ג' מה שיצא אלי מיח ראוי שתכה ג' עם י"ח ויעלה נ"ד ותחלק אותם על ט' וג' חמישיות ויצא ה' וה' שמיניות וכך היה החלק השני
ובעד הג' ראוי שתאמר אם מט' וג' חמישיות שהיה לנו א וג' חמישיות מה יצא לנו מי"ח ראוי שתכה א' וג' חמישיות עם י"ח ויעלו כ"ח וד' חמישיות ותחלק על ט' וג' חמישיות ויצא לנו ג' וכך היה החלק הג‫'
וכדי לאמת זה תוציא החומש מהראשון שהוא ט' וג' שמיניות וישארו ז' וחצי ובעד הב' תקח השנית מה' (ו)ה' שמיניות שהוא א' וה' שמיניות וזה תוסיף עליו ויעלה ז' וחצי וכדי לאמת הג' תכה ג' על ב' וחצי ויעלה ז' וחצי
139) Question: if you want to produce two parts from 20 so that one part will be 4 times of the other part.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=20\\\scriptstyle b=4a\end{cases}
 קלט) שאלה אם תרצה לעשות מכ' ב' חלקים שהחלק הא' יהיה ד' פעמים מהחלק האחר
כך תעשה תשים שהחלק הא' היה א' א"כ החלק הב' ראוי שיהיה ד' והנה א' עם ד' הם ה' ואנו נרצה כ' לכן תאמר אם ה' נתנו א' כ' מה יתנו ויצא י"ו
140) Question: if you want to produce two parts from 10 so that when you divide the greater part by the smaller the result will by a hundred.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}=100\end{cases}
 קמ) שאלה אם תרצה לעשות מי' ב' חלקים אשר אם תחלק החלק יותר גדול על הקטן יצאו מאה
תעשה ככה תשים שהחלק הראשון יהיה א' כמה ראוי שתהיה השנית ראוי שיהיה מאה והנה א וק' הם ק"א ואנו רוצים י' א"כ תאמ' אם ק"א נתן לי א' מה יתן לי עשרה ויצא לך עשרה חלקים מק"א וזה מבואר
קמא) שאלה הנה בכאן אנשים שלקחו לעשות בגד א' הא' לקחו לעשות בג' שביעיות והב' בד' שביעיות ואם שניהם יעשו מלאכתם בכמה זמן יעשוהו
תעשה ככה נניח שבי"ב שביעית יעשוהו וכבר אמרנו שהא' יעשהו בג' שביעיות א"כ מעצמו היה עושה ד' מלאכות והשני יעשהו בג' שביעיות א"כ עושים ז' מלאכות ואנו מבקשים מלאכה א א"כ ראוי שתאמ' אם י"ב יתנו ז' מה יתן לי א' תחלק י"ב על ז' ויצא א' וה' חלקים מי"ב מז‫'
142) Question: if you want to produce three parts from 30 so that when you multiply one [part] by 7 and divide the second [part] by 5 and the third [part] by 10 all the quotients and products will be the same amount.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c=18\\\scriptstyle7a=\frac{b}{5}=\frac{c}{10}\end{cases}
 קמב) שאלה אם תרצה לעשות מל' ג' חלקים שאם תכה הא' בז' ותחלק הב' בה' והג' בי' והחלקים וההכאות יהיו מאותו הכמות עצמו
ואם תרצה לעשות זה נניח שהחלק הא' היה א' ואם תכפול אותו בז' יעשה ז' ולדעת הב' ראוי שתמצא מספר שאם נחלק אותו בה' יצא ז' ראוי שאותו המספר יהיה ל"ה והג' ראוי שיהיה ע' א"כ החלק הא' הוא א' והב' ל"ה והג' ע' אשר הם ק"ו ואנו מבקשים ל' ראוי שתאמר אל הא' אם מן ו' יבא א' מה יבא מל' וכו‫'
143) Question: if you want to produce two parts from 11 such that a half and a quarter of one part will be the same as a third and a fifth of the other part.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=11\\\scriptstyle\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}a=\frac{1}{3}b+\frac{1}{5}b\end{cases}
 קמג) שאלה אם תרצה לעשות מי"א ב' חלקים אשר החצי והרובע מהחלק הא' יהיה כמו השליש והחומש מהחלק האחר
תעשה ככה תשים שהחלק הא' יהיה ד' והחצי הוא ב' והרובע הוא א ויהיו ג' וגם ראוי למצא מהב' מספר שאם תחסר ממנו השליש והחומש שיהיה ג' תשים שאותו המספר יהיה ט"ו והשליש והחומש מט"ו הוא ח' ואנו רוצים ג' א"כ נכה ג' על ט"ו ויעלו מ"ה ותחלק אותו בה' ויצא ה' וה' שמיניות וככה היה המספר השני א"כ נאמר ככה החלק ראשון היה ד' והב' היה ה' וה' שמיניות אשר יעלו ט' וה' שמיניות ואנו מבקשים י"א א"כ ראוי שתאמר אם ט' וה' שמיניות נותן לנו החלק הראשון ד' מה יתן לנו י"א וכן תעשה מהשנית ובחלק הא' יבא ד' מד' חלקים מע"ז והב' יהיה ג' ול"ג חלקים מע"ז
קמד) שאלה אם תרצה לחלק מספר עם שרש או שרש עם מספר ראשנה תביא המספר אל מרובעו
ר"ל אם תחלק י"ב עם שרש ד' תביא י"ב למרובעו שהוא קמ"ד ואח"כ תחלק שרש מקמ"ד עם שרש ד' ויבא לך שרש מל"ו
145) Question: if you want to add the square of 9 to [the square] of 4.
\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}
 קמה)‫[20] שאלה אם תרצה להוסיף שרש מט' עם מד'
תחבר תחלה ט' עם ד' ויצא לך י"ג

א"כ תכפול ט' פעמים ד' ויעלו ל"ו אח"כ תכפול הל"ו הנז' עם ד' ויעלו קמ"ד וקח שרש מזה המספר שהם י"ב
ותחבר עם י"ג הראשנים ויהיו כ"ה וקח השרש מכ"ה והם ה‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{\left(9+4\right)+\sqrt{4\sdot\left(9\sdot4\right)}}=\sqrt{13+\sqrt{4\sdot36}}=\sqrt{13+\sqrt{144}}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}
146) another method
 קמו)‫[21] שאלה דרך אחרת
תחבר ט' עם ד' ויעלו י"ג

אח"כ תכפול ט' על ד' ויעלו ל"ו וקח השרש שהם ו' ותכפול אותם והם י"ב
ותחברם עם י"ג ויהיו כ"ה וקח השרש והם חמשה

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{\left(9+4\right)+\left(2\sdot\sqrt{9\sdot4}\right)}=\sqrt{13+\left(\sdot2\sqrt{36}\right)}=\sqrt{13+\left(2\sdot6\right)}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}
145) Question: if you want to subtract the square of 9 from the square of 16.
\scriptstyle\sqrt{16}-\sqrt{9}
 קמז)‫[22] שאלה אם תרצה להוציא שרש ט' משרש י"ו
ראשנה תחבר ט' עם י"ו ויהיו כ"ה

אח"כ כפול ט' על י"ו ויעלו קמ"ד אשר אלו תכפול ד' יעלו תקע"ו ומהם תוציא השרש והם כ"ד
אח"כ תחסר הכ"ד מהכ"ה הנשאר א' א"כ אם תחסר משרש י"ו שרש ט' ישאר א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}-\sqrt{9}=\sqrt{\left(16+9\right)-\sqrt{4\sdot\left(16\sdot9\right)}}=\sqrt{25-\sqrt{4\sdot144}}=\sqrt{25-\sqrt{576}}=\sqrt{25-24}=\sqrt{1}=1}}
148) another method
 קמח)‫[23] שאלה דרך אחרת
כפול ט' על י"ו ויעלו קמ"ד ומזה תוציא השרש שהוא י"ב וכפלם ויהיו כ"ד

אח"כ תוציא כ"ד מהכ"ה הנז' וישאר השרש מא ותקיש על זה

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}-\sqrt{9}=\sqrt{\left(16+9\right)-\left(2\sdot\sqrt{16\sdot9}\right)}=\sqrt{25-\left(\sdot2\sqrt{144}\right)}=\sqrt{25-\left(2\sdot12\right)}=\sqrt{25-24}=\sqrt{1}=1}}
149) Question: if you want to find a square number such that if you add to it 19 it will be a square.
\scriptstyle a^2+19=b^2
 קמט)[24] שאלה אם תרצה למצא מספר מרובע אשר אם תשים עליו י"ט יהיה מרובע
תעשה ככה תוציא א' מי"ט וישאר י"ח וקח חצי מזה המספר וישארו ט' ותכפלם על עצמם ויהיו פ"א ותוסיף עליו י"ט והוא מרובע כאשר אמרנו
\scriptstyle{\color{blue}{b^2=19+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(19-1\right)\right]^2=19+\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)^2=19+9^2=19+81}}
150) Question: if you want to find a square number such that if you subtract 15 from it it remains a square.
\scriptstyle a^2-15=b^2
 קנ)‫[25] שאלה אם תרצה למצא מרובע שאם תוציא ממנו ט"ו ישאר מרובע
\scriptstyle{\color{blue}{a^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(15+1\right)\right]^2=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2=8^2=64}}
 תעשה ככה תוסיף א' על ט"ו ויהיו י"ו תקח החצי מי"ו שהם ח' ותכפול אותם על עצמם ויהיו ס"ד וזהו המספר
\scriptstyle{\color{blue}{b^2=64-15}}
 ואם תוציא ט"ו מס"ד ישאר מרובע והוא מ"ט
151) Question: if you want to find a number such that if you add to it 4 it will be a square and if you subtract [from it 4] it will also be a square.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+4=n^2\\\scriptstyle a-4=m^2\end{cases}
 קנא)‫[26] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר אם תוסיף עליו ד' יהיה מרובע ואם תחסר ג"כ יהיה מרובע
\scriptstyle{\color{blue}{4+4=8}}
 תעשה ככה תחבר ד' עם ד' ויהיו ח‫'
  • find a square number such that if you add to it 8 it will be a square
 אח"כ תאמר תמצא לי מספר מרובע אשר אם תוסיף עליו ח' יהיה מרובע
לכן תעשה כנז' תוציא א' מח' ישארו ז' וקח מהם חציים והם ג' וחצי ותכפלם על עצמם ויעלו י"ב ורביע תוסיף עליהם ד' יהיו י"ו ורביע וזהו המספר
\scriptstyle{\color{blue}{a=4+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8-1\right)\right]^2=4+\left(\frac{1}{2}\sdot7\right)^2=4+\left(3+\frac{1}{2}\right)^2=4+\left(12+\frac{1}{4}\right)=16+\frac{1}{4}}}
152) quicker method
 קנב)‫[27] שאלה עוד תוכל למצא אותה יותר מהרה
\scriptstyle{\color{blue}{a=1+\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2=1+2^2=1+4}}
 תקח החצי מד' שהם ב' ותכפול אותם על עצמם ויהיו ד' תוסיף א על ד' ויהיו ה' וזה המספר ג"כ הוא כמו המספר הט' לעיל
153) Question: multiplication of roots - if you want to multiply the root of 7 by the root of 8.
\scriptstyle\sqrt{7}\sdot\sqrt{8}
 קנג)‫[28] שאלה לכפול בשרשים אם תרצה לכפול שרש ז' על שרש מח'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\sdot\sqrt{8}=\sqrt{7\sdot8}=\sqrt{56}}}
 ראוי שתכפול ז' עם ח' ויהיו נ"ו והשרש מנ"ו הוא מה שיעלה השרש מז' עם מח‫'
154) Question: if you want to multiply the root of 7 by 8.
\scriptstyle\sqrt{7}\sdot8
 קנד)‫[29] שאלה אם תרצה לכפול השרש מכפילת ז' עם ח'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\sdot8=\sqrt{7}\sdot\sqrt{8^2}=\sqrt{7}\sdot\sqrt{64}=\sqrt{448}}}
 בראשנה ראוי להביא ח' אל מרובעו שהם ס"ד אח"כ שרש ז' עם שרש ס"ד כאשר נאמר למעלה ויעלה שרש ד' מאות ומ"ח
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\sdot\sqrt{7}=7}}
 ודע שאם תכפול שרש מז' עם שרש מז' ויעשה ז‫'
155) Question: if you want to find a number such that if you divide 3 by it the result is 5 and 7 remain.
\scriptstyle\frac{3}{a}=5+\frac{7}{b}
 קנה)[30] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר אם תחלק ג' מאותו המספר יבא ה' וישאר ז‫'
תדע תחלה שאם ישאר ז' מהמחלק היה יותר גדול מז' א"כ תשים מז' ולמעלה

ואח"כ ראוי לנו למצא מספר שיהיה מז' ומעלה אשר אם תכפלהו עם ה' מה יצא וכשנוסיף עליו ז' מה יתוסף ושיתחלק בג' חלקים שלמים מבלי שברים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(8\sdot5\right)+7}{3}=\frac{40+7}{3}=\frac{47}{3}}}
 א"כ בתחלה תשים שאותו המספר היה ח' ואם תכפלהו בה' יעלו מ' יתוסף עליו ז' ויעלו מ"ז תחלקם בג' ולא תוכל
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot5\right)+7}{3}=\frac{45+7}{3}=\frac{52}{3}}}
 א"כ תוסיף עליו א' יותר ויהיו ט' תכפלהו על ה' ויעלו מ"ה תוסיף עליו ז' יעלו נ"ב תחלקם על ג' ולא תוכל
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(10\sdot5\right)+7}{3}=\frac{50+7}{3}=\frac{57}{3}=19}}
 א"כ תוסיף עליו א' יותר ויהיו עשרה ותכפלם בה' ויעלו נ' תוסיף עליו ז' ויעלו נ"ז ותחלקם בג' ויעלו י"ט מבלי שום שבר א"כ בזה המספר תמצא הנאמר
ולעולם תוסיף א' יותר
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{\frac{1}{3}\sdot57}=\frac{10}{19}}}
 אח"כ תחלק העשרה אשר מצאת עם שליש מנ"ז שהוא י"ט ויצא לך עשרה חלקים מי"ט וזהו המספר הנשאל אשר אם תחלק ג' עם המספר הנאמר יצא ה' וישאר ז‫'
וככה יעשו השאלות הדומות לזו
156) Question: if you want to find a number such that if you extract its root and add it to the root of the remainder it makes 3.
\scriptstyle\sqrt{a}+\sqrt{a-\sqrt{a}}=3
 קנו)‫[31] שאלה ואם תרצה למצא מספר אשר אם תוציא ממנו השרש ותחבר אותו עם השרש מהנשאר יעשה ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a}=\frac{3^2}{\left(2\sdot3\right)-1}=\frac{9}{6-1}=\frac{9}{5}=1+\frac{4}{5}}}
 תעשה ככה תכפול ב' פעמים ג' ויעלו ו' תוציא ממנו לעולם א' וישארו ה' וזה יהיה לך המחלק

אח"כ תכפול אותו המספר אשר תרצה שיבא לך ר"ל ג' על עצמו ויהיו ט‫'
ואותו תחלק על ה' ויעלה א' וד' חומשים אשר זה המספר הוא השרש מהמספר הנשאל אשר ראוי להוציא ממנו שרש ולהוסיף עם השרש מהנשאר ויעשה ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(1+\frac{4}{5}\right)^2=3+\frac{6}{25}}}
 א"כ לדעת המספר ראוי לכפול א' וד' חמישיות בעצמו ויעלה ג' שלמים וו' חלקים מכ"ה וזהו המספר הנאמר
Check:
 ולאמתה תקח שרש מג' וו' חלקים מכ"ה אשר נאמר שהוא א' וד' חמישיות

ומהנשאר עד ג' וו' חלקים מכ"ה ישאר א' וי"א חלקים מכ"ה
ושרש מהמרובע הוא א' וחמישית
ואם תוסיף אותו עם א' וד' חמישיות יהיו ג' והוא שרש ג' וו' חלקים מכ"ה שהוא המספר הנשאל ועשה ג' כאשר נאמר

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{3+\frac{6}{25}}+\sqrt{\left(3+\frac{6}{25}\right)-\sqrt{3+\frac{6}{25}}}&\scriptstyle=\left(1+\frac{4}{5}\right)+\sqrt{\left(3+\frac{6}{25}\right)-\left(1+\frac{4}{5}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{4}{5}\right)+\sqrt{1+\frac{11}{25}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{4}{5}\right)+\left(1+\frac{1}{5}\right)=3\\\end{align}}}
ובזה האופן תוכל לעשות הדומות לאלו ומאיזה מספר שיהיה לך לעולם שתכפול המספר שתרצה שיבא עם ב' וממנו יבא להוציא אחד כאשר כבר עשינו אח"כ יש לך לעשות כאשר נאמר למעלה ואם המספר השאל היה פחות מב' אז זאת הדרך לא יהיה נאותה ומסכמת ואז ראוי שיעשה על דרך הפוזיציאוני דלאלזיברא
המספר הנאמר פרוביקו בלשונם
\scriptstyle{\color{blue}{9^2+\sqrt{9}=81+3=84}}
 הוא כאלו תאמר ט' פעמים ט' הם פ"א ואח"כ תקח שרש ט' שהוא ג' ותוסיף אותו על פ"א ויעלו פ"ד ומספר פרוביקו מפ"ד הוא ט‫'
המספר הרולטו בלשונם
\scriptstyle{\color{blue}{9^2\sdot\sqrt{9}=81\sdot3=243}}
 הוא כאלו תאמר ט' פעמים ט' יעלו פ"א אח"כ תקח השרש מט' שהם ג' ותכפלם על פ"א ויעלו רמ"ג א"כ מספר רמ"ג הוא מספר אשר שרשו הרולטו הוא ט‫'
157) Question: if you want to produce three parts from 27 so that each of the parts has a cubic root
\scriptstyle a^3+b^3+c^3=27
 קנז)‫[32] שאלה אם תרצה לעשות לי מכ"ז ג' חלקים שכל חלק ממנו יהיה לו שרש מעוקב
דרך הוא שיש לך למצא ג' מספרים מעוקבים מקובצים יחד יעשו מעוקב וכל אחד מהם שיחולק במספר אחד מעוקב קטן מכלם וכאשר יחולק הסכום מאותם המספרים הנזכרים עם אותו המספר הקטן יעשה מהם מספר כ"ז כנזכר
\scriptstyle{\color{blue}{27+64+125=216}}
 ובזה המספר הא' הוא כ"ז והב' ס"ד והג' קכ"ה וכאשר יקובצו יחד הם רי"ו והוא מספר מעוקב
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{216}{8}=27}}
 וכשיקובצו שלשתן בשמונה שהוא מעוקב קטן מכל א' מהג' יבא כ"ז
\scriptstyle{\color{blue}{a^3=\frac{27}{8}=3+\frac{3}{8}}}
 ולכן החלק הא' יהיה אם תחלק כ"ז בשמונה ג' וג' שמיניות
\scriptstyle{\color{blue}{b^3=\frac{64}{8}=8}}
 והב' אם תחלק ס"ד בח' שיבא ח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{c^3=\frac{125}{8}=15+\frac{5}{8}}}
 והג' אם תחלק קכ"ה בח' שיבא ט"ו וה' שמיניות
\scriptstyle{\color{blue}{a^3+b^3+c^3=27}}
 אשר שלשתן יחד מקובצים יעלה כ"ז
not correct for every number ותדע כי לא בכל מספר יצדק זה
158) Question: if you want to find a square number such that if you subtract its five roots from it the remainder is a square and if you add it to its seven roots it will be a square.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2-5a=n^2\\\scriptstyle7a+a^2=m^2\end{cases}
 קנח)‫[33] שאלה אם תרצה לדעת מספר אחד מרובע אשר אם תוציא אותו מז' שרשיו וישאר מרובע ואם תוסיף עליו שבעה שורשיו יהיה מרובע
\scriptstyle{\color{blue}{a={\color{red}{81}}}}
 הנה המספר הזה הוא י"ח
\scriptstyle{\color{blue}{a^2-5a=81-{\color{red}{45}}=36}}
 כי חמשה שרשיו הם נ"ו תוציא ממנו י"ח ישארו ל"ו והוא מספר מרובע
\scriptstyle{\color{blue}{a^2+7a={\color{red}{81}}+63={\color{red}{144}}}}
 ושבעה שרשיו הם ס"ג ותחברם עם י"ח יעשה פ"א והוא מספר מרובע
159) Quaestion: if you want to find a number such that its two fifths are its root.
\scriptstyle\frac{2}{5}a^2=a
 קנט)‫[34] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר ב' חמישיות שלו יהיה שרשו
תעשה ככה תהפך השאלה זאת לדעת תשים ה' למעלה וב' למטה ככה ותכפול אותו ויעשה וזהו המספר אשר תשאל
ואם תרצה לבחון אותו תקח שני חמישיות מ שהם א"כ והוא השרש וכן יעשה
קס) שאלה ג' נמצאו באכסניא א' פרש והב' סוחר והג' אורח הפרש אמר שרוצה לפרוע ב' פעמים יותר מהסוחר ויותר דינר א' והסוחר אמר שרוצה לפרוע ג' רביעיות יותר מהאורח ויותר ב' דינרין ועולה [.....] מאכלם י"א פשוטים כמה ראוי לפרוע לכל א' מהם
תשובה תקח א' בעד האורח שהוא הפחות מכלם וא' וג' רביעיות בעד הסוחר עם תוספת שנים ויהיה א"כ חלק הסוחר ג' וג' רביעיות ונכפול זה ויעלה ז' וחצי ועם תוספת א ויהיו ח' וחצי וזה יהיה חלק הפרש א"כ תקח א' בעד האורח ומעות הסוחר והפרש ובין הכל הם י"ג ורביע אח"כ תקח א' בעד העני וא' וג' רביעיות בעד הסוחר בזולת השנים וג' וחצי בעד הפרש שהוא כפל ממון הסוחר ויעלה הכל ו' ורביע ומספרינו הראשון היה י"ג ורביע נסיר הקטון מהגדול וישארו ז' הנה נסיר עתה ז' מסך המעות ר"ל מיא שיש לפרוע וישארו ד' ויש לך עתה לקחת חלק העני שהוא א' וכפול אותו על ד' ויהיו ד' חלקם על ו' ורביע ויצא לך י"ו חלקים מכ"ה וזה חלק העני אח"כ כפול א וג' רביעיות שהוא ממון הסוחר על ד' ויהיו ז' חלקם על ו' ורביע ויצא לך א וג' חלקים מכ"ה והוא ממון הסוחר
תוסיף עליו ב' ויהיו ג' וג' חלקים מכ"ה אח"כ כפול ג' וחצי שהוא ממון הפרש על ד' ויעלה י"ד חלקם על ו' ורביע ויצא לך ב' וו' חלקים מכ"ה ותוסיף על זה ד' שהוא כפל ב' שנותן הסוחר על העני ותוסיף עליו א' ויהיה חלקו של פרש ז' שלמים וו' חלקים מכ"ה וכן כלם
קסא) שאלה אם תרצה לחלק מספר לב' חלקים אשר החלק או החלקים מהאחד מקובץ עם החלק או החלקים מהאחר ישוה (יהיה) שוה לאחד
המשל תחלק כ"ד לב' חלקים אשר ב' שלישיות מהחלק הראשון וגם ג' רביעיות מהשני מקובצים יחד יהיו שוים אל החלק הראשון דרך בו התשלום מהחלק הראשון אם יהיה א' שליש אשר יהיה שוה אל ג' רביעיות מהשני אם כן תוכל לומר אם שליש מהראשון הם ג' רביעיות מהב' ג' שלישיות מן הראשון זה לדעת הכל כמה רביעיות יהיו מהשני אשר אם תעשה יצא לך ט' רביעיות וכל השני הוא אשר יהיו וכל שני החלקים אשר הם כ"ד במספר א"כ לדעת החלק הראשון מהשנים ראוי שתאמר אם ראוי שיהיה כ"ד מה ראוי להיות אשר הוא הראשון ויתן לך י"ו והשנית יתן לך הנשאר שהם הבחינה מהראשון אשר הם י"ו הם יא וג' רביעי מן השנית אשר הם ז' הם ה אשר הם בכלל י"ו אשר הם החלק הראשון

Pursuit Problems
162) Question: there are two who want to walk a certain distance.
The first walks 30 miles every day.
The second walks a mile on the first day, on the second 2, on the third 3 miles and so on every day he adds one mile.
In how many days will he reach the first one, so that they both arrive together in one place?
 קסב) שאלה הנה בכאן ב' רוצים ללכת מרחק הא' הולך בכל יום ל' מילין והאחר הולך מיל ביום הא' ובב' ב' ובג' ג' מילים וכן בכל יום מוסיף מיל א‫'

א"כ בכמה ימים יגיע אל הראשון כדי שיגיעו שניהם יחד במקום אחד

The way: you should double the [number of] miles of the one who walks at a constant speed, i.e. the one who walks 30 miles; it is 60.
 הדרך ראוי לך לכפול המילין מאותו שמתמיד ללכת מהלך שוה ר"ל אותו מהל' מילין ויהיו ס‫'
Subtract 1 from it; 59 remains, so he reaches him in 59 days.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot30\right)-1=60-1=59}}
 ומאלו תגרע א וישארו נ"ט א"כ בנ"ט ימים ישיגנו
163) Question: a man walks 30 miles and the other 14 miles on the first day, and every day he adds a mile.
When will he catch up with the first one?
 קסג) שאלה איש הולך ל' מילין והאחר ביום א י"ד מילין ובכל יום מוסיף מיל

מתי ישיג הראשון

It should be known that you should subtract the miles [that the second walks] on the first day from twice the miles [that the first walks] on the first day, i.e. we subtract 14 from 60; 46 remains, so he reaches him in 46 days.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot30\right)-14=60-14=46}}
 ראוי לדעת כי מכפילת המילים מהיום הראשון ראוי לך לגרוע לעולם המילים מהיום הראשון ר"ל מס' נקח י"ד וישארו מ"ו ובמ"ו ימים ישיגנו
164) Question: if you are told: on the first day he walks 2, on the second 4, on the third 6, and so on, every day he adds two miles?
קסד) שאלה ואם אמר לך היום הא' הולך ב' והב' הולך ד' והג' ו' וכן בכל יום מוסיף ב' מילין
1 mile should be subtract from the [number of miles of the one who walks at a constant speed] and the remainder is the number of days in which the one reaches the other.
ראוי לחסר מיל א' בכל יום מאותו ההולך תחלה ואותו הנשאר בכמה ימים יגיעו הא' לאחר

Encounter Problem - Two Couriers
165) Question: courier one is in Avignon and he wants to walk to Milan within 8 days.
Another courier is in Milan and he wants to walk to Avignon within 5 days.
Both of them will start moving together at the same time.
Within how many days will they meet?
 קסה) שאלה רץ א' הוא באוינייון ורוצה ללכת במילנו בח' ימים ורץ אחר הוא במילנו ורוצה ללכת באוינייון בה' ימים ושניהם יחד בעת א' יתחילו להתנועע

בכמה ימים יפגעו זה את זה

You should [sum] the days each walks, i.e. 5 with 8; it is 13 and this is the divisor.
 ראוי לך שתחסר הימים הראוים לכל א' במהלכם ר"ל ה' עם ח' והנם י"ג וזהו המחלק
Then, multiply the days of the one by the days of the other, i.e. 5 by 8; it is 40 and this is the dividend. The product is the number of days they walk along the way.
 אח"כ תכה הימים מהא' עם הימים מהאחר ר"ל ה' עם ח' ויהיו מ' וזהו הנחלק ומה שיצא הוא בכמה ימים יתנועעו בדרך
Divide 40 by 13; the result is 3 and [one part of 13], so in 3 days and [one part of 13] they reach each other.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot8}{5+8}=\frac{40}{13}=3+\frac{1}{13}}}
 אח"כ תחלק מ' על י"ג ויעלו ג' ושליש ובאלו הג' ימים ושליש יגיעו הא' לאחר

Find the Height Problem - Two Towers
166) Question: Two towers have the same height and their [sides] are also the same.
We know that a man subtracted double the sum of the two sides from the product of one height by the other.
I ask how high is each of them?
 קסו) שאלה שני מגדלים גבהם שוה והמרחק שבין שניהם ג"כ הוא שוה לכל אחד מהם

והנה ידענו שאדם חסר מהכאת האחת בחבירו כפל מקובץ שני הצלעים
אשאל כמה היה גובה כל א' מהם

The answer: suppose the remainder is 21, for instance, i.e. what remains from the product of the height of one tower by the other, when double the sum of the [sides of] the two towers is subtracted from it.
התשובה נניח שהנשאר על דמ' הוא כ"א ר"ל הנשאר מהכאת גובה המגדל הא' בחבירו כשחוסר ממנו כפל מקובץ שני המגדלים שהם שנים
We want to know the height of the towers:
 ונרצה לדעת כמה היה גבהות המגדלים
We know that the towers are two, so 2 [multiplied] by itself is 4.
הנה ידענו שהמגדלים הם ב' ולזה ב' בעצמו יעלו ד‫'
We add it to 21; the result is 25 and its root is 5.
 ונוסיפם על כ"א ויעלו כ"ה ושרשם ה‫'
We add to it 2, which is the number of the towers; the result is 7, which is the height of each one of the towers.
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2^2+21}+2=\sqrt{4+21}+2=\sqrt{25}+2=5+2}}
 והנה נוסיף עליו ב' שהוא מנין המגדלים העולה שהוא ז' הוא גבהות כל א' מהמגדלים
The proof of this is explained in the first section of Abū Bakr [al-Haṣṣār].
 ומופת זה נתבאר במאמר הראשון מאבו בכר

Whole from Parts Problem - Two Purses
167) Question: we have two purses, but we do not know how much money is in them, we only know that in the greater purse there is a half and a third of what is in the two purses summed together and in the smaller purse there is 13.
I ask how much money is in both purses [together]?
\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+13=X
 קסז) שאלה הנה בידינו ב' כיסים ולא ידענו כמה מעות היו בהם רק ידענו שבכיס הגדול היה החצי והשליש ממה שהיה בב' הכיסים מקובצים ובכיס הקטנה היה י"ג

אשאל כמה ממון היו בב' הכיסים

The answer: take the common denominator, which is 6; its third and its half is 5, which is 1 less than 6, by which you divide.
 תשובה קח המורה שהוא ו' ושלישיתו ומחציתו הם ה' והנה עד ו' יחסר א' ועליו תחלק
Multiply 6 by 13; it is 78.
 ו' כפול על י"ג הם ע"ח
Divide it by 1; it is 78 and this is the amount of money in each purse, which is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot13}{\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)}=\frac{78}{5}}}
 חלק על א' והוא ע"ח וכך מעות היו בכל כיס והוא המבוקש

Find a Number Problems
168) Question: find me a number, such that if you divide it by 3, by 5, and by 7, 1 remains.
 קסח) שאלה בקש לי מספר שאם תחלקהו על ג' ועל ה ועל ז' ישאר א‫'
The answer: take 70 for the 1 that remains above 3, when we divide it by 3; take 21 for the 1 that remains when we divide by 5; take 15 for the 1 that remains when we divide by 7. Sum them; it is [...] 106.
\scriptstyle{\color{blue}{70+21+15=106}}
 תשובה קח א' שנשאר על הג' בחלקנו אותו על הג' קח ע' ועל א' שנשאר בחלקנו על ה' קח כ"א ועל א' שנשאר בחלקנו על ז' קח ט"ו וקבצם ויהיו ק"ה תוסיף אחד ויהיו ק"ו וכן תעשה
169) Question: if you are told that the remainder after casting out the threes is 2 etc.
Do it this way:
For instance, if it is said that when we divide it by 3, 2 remains; if its is divided by 5, 4 remains; and if it is divided by 7, 6 remains.
 קסט) שאלה ואם אמר לך שנשאר בהשליכך ג"ג ב' או ג‫'

עשה בדרך הזה
עד"מ ואם אמר כשנחלקהו על ג' ישאר ב' ואם יחולק על ה' ישאר ד' ואם יחולק על ז' ישאר ו‫'

Take [70 for the 1 that remains above 3].
 קח על כל א' מהב' והנשאר ע‫'
Multiply 70 by 2; it is 140.
 וכפול ע' על ב' ויהיו ק"מ
Multiply 4 by 21; it is 84.
 אח"כ כפול ד' על כ"א ויהיו פ"ד
Multiply 6 by 15; it is 90.
 אח"כ כפול ו' על ט"ו ויהיו צ‫'
Sum them up; it is 314 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(70\sdot2\right)+\left(21\sdot4\right)+\left(15\sdot6\right)=140+84+90=314}}
 קבצם ויהיו שי"ד והוא המבוקש

Multiple Quantities Problem - Three Purses
170) Question: a man found three purses.
He know that in the first purse there is an unknown amount [of money], in the second purse there is twice of [what is] in the first, and in the third there is as much as in the both.
The total is 100 minyanim.
We ask how much is in each?
 קע) שאלה אדם מצא ג' כיסות וידע שבכיס הראשון יש בו מספר נעלם ובכיס הב' יש בו ב' כפלים מהא' ובג' יש בו כמו שיש בשנים ובין כלם ק' מנינים נשאל כמה לכל א' וא‫'
The answer: we suppose that in the first purse there is 1 dinar, in the second 2, and in the third 3. The total is 6.
 תשובה נניח שבכיס הא' היה שם דינר א' ובב' ב' ובג' ג' ובין כלם ו‫'
Divide 100 by 6; you get 16 and 2-thirds and this is what is in the small purse.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{1+2+3}=\frac{100}{6}=16+\frac{2}{3}}}
 וחלק ק' על ו' ויצא לך י"ו וב' שלישיות והוא מה שבכיס הקטן

If You Give Me Problem - Two Men, Horse
171) Question: two want to buy a horse.
The first said to the second: If you give me a half and a third of your money, with what I have, we will buy the horse.
The second said: If you give me a third and a quarter of your money, with what I have, we will buy the horse.
I ask: how much does each have and how much is the horse worth?
 קעא) שאלה ב' רוצים לקנות סוס אחד

אמר הראשון לשני אם תתן לי החצי ושליש ממעותיך עם מה שיש לי נקנה הסוס
אמר הב' אם תתן לי שלישית ורביעית ממעותיך עם מה שיש לי נקנה הסוס
אשאל כמה לכל א' וכמה שוה הסוס

Answer: look for the common denominator; it is 12.
 תשובה בקש המורה הוא י"ב
Take its half and its third; it is 10.
 וקח החצי והשליש והוא י‫'
Subtract it from 12; 2 remains, so the first has 2.
\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\right]=12-10=2}}
 נחסרם מי"ב נשארו ב' א"כ הראשון היה לו ב‫'
Take a third and a quarter of the denominator; it is 7.
 אח"כ קח שליש ורביעית המורה שהוא ז‫'
Subtract 7 from 12; the remainder is 5, and so has the second.
\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}
 חסר ז' מי"ב הנשאר ה' וכך היה לשני
If you want to know the price of the horse, take a half and a third of 5; it is [4] and a sixth.
 ואם תרצה לדעת ערך הסוס קח חצי ושליש ה' יהיו ב' ושתות
Add 2 and this is the required, i.e. [6] and a sixth.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot5\right)\right]+2=\left(4+\frac{1}{6}\right)+2=6+\frac{1}{6}}}
 ושים בו ב' שהוא ו' מעות והוא המבוקש ר"ל ח' ושתות

How Much Problem - Tree
172) Question: We have a tree whose height is unknown, we just know that if we take 4 times as much as it and added it to its square, we receive a given number.
How tall is the tree?
\scriptstyle4a+a^2=b
Suppose we receive 128 and a quarter after adding to the square of the tree its four times and we wish to know the height of the tree.
\scriptstyle4a+a^2=128+\frac{1}{4}
 קעב) שאלה יש לנו אילן גבהותו נעלם רק ידענו שאם נקח ד' פעמים כמוהו ונוסיפנו על מרובעינו יצא לנו מספר מונח

כמה גבהות האילן
תשובה נניח שעלה בידינו אחר שהוספנו על מרובע האילן ד' פעמים כמוהו קכ"ח ורביע א' שלם
ונרצה לדעת גבהות האילן

Do as follows: always add 4 integers to the resulting number; the result in our example is 132 and a quarter.
 הנה תעשה כן הוסף לעולם על המספר העולה ד' שלמים ויהיה העולה במשלינו קל"ב ורביע
We extract its square root; it is 11 and a half.
 ונוציא שרשו הרביעי והוא י"א וחצי
We always subtract 2 integers; the remainder is 9 and a [half] and this is the height of the tree etc.
 נחסר ממנו לעולם ב' שלמים והנשאר הוא ט' ורביע והוא גבהות האילן וכן כל היוצא בזה
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(128+\frac{1}{4}\right)+4}-2=\sqrt{132+\frac{1}{4}}-2=11+\frac{1}{2}-2=9+\frac{1}{2}}}

Too Much and Too Little Problem - Workers - House
174) Question: a man built his house. He came to pay wages to the workers and said to them: I have an amount of money such that if I give 3 dinar to each one, I will have 15 dinar left and if I give 3 dinar and a half to each one, I will be short of ten dinar.
I ask: how many are the workers and how much is his money?
 קעד) שאלה אדם בנה ביתו ובא לתת שכר לפועלים ואמ' להם אני יש לי מעות שאם אתן ג' דינרין לכל א' ישאר בידי ט"ו דינרין ואם אתן ג' דינרין וחצי לכל אחד יחסר לי עשרה דינרין

אשאל כמה היו הפועלים וכמה הם מעותיו

The answer: subtract 3 dinar from 3 and a half; half a dinar remains, by which you divide.
 תשובה חסר ג' דינרין מג' וחצי וישאר חצי דינר ועליו תחלק
Add 15 dinar to 10 dinar; it is 25.
 חבר ט"ו דינרין עם י' דינרין ויהיו כ"ה
Divide it by half; it is 50 and so are the workers.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15+10}{\left(3+\frac{1}{2}\right)-3}=\frac{25}{\frac{1}{2}}=50}}
 חלקם על חצי ויהיו נ' וככה היו הפועלים
If you want to know [how much is] the money: multiply 50 by 3; it is 150.
 ואם תרצה לדעת המעות כפול נ' בג' ויהיו ק"נ
Add 15 to it; it is 165 and this is the money.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(50\sdot3\right)+15=150+15=165}}
 הוסף עליהם ט"ו ויהיו קס"ה והוא המעות
If you multiply 50 by 3 and a half, the result is 175 and he loses 10 dinar.
\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=175}}
 ואם תכפול נ' בג' וחצי יהיה העולה קע"ה ויפסיד י' דינרין

Multiple Quantities Problem - Three Men - Money
175) three men have money, we do not know how much, only that the first has half the second, the second has half the third and together they all have 12.
We ask: how much does each have?
 קעה) שאלה ג' אנשים יש להם ממון ולא ידענו כמה רק הראשון יש לו חצי השני והב' יש לו חצי הג' ובין כלם י"ב

נשאל כמה לכל א' וא‫'

The answer: the first has 1 pašuṭ, the second has 2 pešuṭim, and the third has 4.
 תשובה הא' היה לו פשוט א' והב' היו לו ב' פשוטים והג' ד‫'
Sum them up; they are 7 pešuṭim.
 קבצם והם ז' פשוטים
Divide 12 by 7; you receive 1 and 5-sevenths and this is the money of the first.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{1+2+4}=\frac{12}{7}=1+\frac{5}{7}}}
 וחלק י"ב על ז' ויצא לך א' וה' שביעיות והוא סך הראשון
The second has double this and the third [has] double the second.
 וכפל זה היה לשני וכפל השני לג‫'

Give and Take Problems
176) Question: A man hired his friend to build him a house every day, and agreed with him that he would pay him 5 dinar every day, and every day that he does not work, the hired man would pay 9 dinar to the owner of the house.
He worked for a known [number of] days, and finally the owner of the house gave him 1 dinar.
We would like to know how many days did he work.
 קעו) שאלה אדם שכר חבירו לבנות לו בית כל יום והתנה עמו שיתן לו בכל יום ה' דינרין ובכל יום שלא יעשה מלאכה יתן הנשכר אל בעל הבית ט' דינרין והוא עבד ימים ידועים ולבסוף הבעל הבית נתן לו דינר א‫'

נרצה לדעת כמה ימים עבד

You should add 5 to 9; it is 14.
 הנה יש לך לחבר ה' עם ט' ויהיו י"ד
We multiply 9 by 30; it is 270.
 אח"כ נכפול ט' על ל' ויהיו ר"ע
We add 1 to it; it is 271.
 נוסיף עליו א' ויהיו רע"א
We divide it by 14; you receive 19 and 5 parts of 14.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot30\right)+1}{5+9}=\frac{270+1}{14}=\frac{271}{14}=19+\frac{5}{14}}}
 נחלקם על י"ד ויצא לך י"ט וה' חלקים מי"ד
We multiply 30 by 5; it is 150.
 אח"כ נכפול ל' על ה' ויהיו ק"נ
We subtract 1 from it; it is 149.
 נסיר מהם א' ויהיו קמ"ט
We divide it by 14; you receive ten and 9 parts of 14.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(5\sdot30\right)-1}{5+9}=\frac{150-1}{14}=\frac{149}{14}=10+\frac{9}{14}}}
 נחלקם על י"ד יצא לך עשרה וט' חלקים מי"ד
So, he worked 19 days and 5 parts of 14 and he rested from his work 10 days and 9 parts of 14.
 הנה א"כ הוא עבד י"ט ימים וה' חלקים מי"ד ושבת מכל מלאכתו י' ימים וט' חלקים מי"ד
177) Question: A man goes to trade.
He vows that if God doubles his money every day, he will give 3 dinars to charity and within 3 days all his money is gone.
 קעז) שאלה אדם הולך לסחורה נדר אם המקום יכפול ממונו בכל יום יתן ג' דינרין לצדקה ובתוך ג' ימים הלך ממונו
You should do this: you already know that on the third day all his money was gone, after he gave 3 dinar, therefore what he had on the third day was 3.
 יש לך לעשות ככה והוא שכבר ידעת כי ביום ג' הלך כל ממונו אחר שנתן ג' דינרין א"כ מה שהיה לו ביום הג' היה ג‫'
Divide it by 2; you receive 1 and a half.
 תחלקהו על ב' יצא לך א' וחצי
Add 3 to it; it is 4 and a half and this is what he had on the second day, before giving his money.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{2}+3=\left(1+\frac{1}{2}\right)+3=4+\frac{1}{2}}}
 תוסיף על זה ג' ויהיו ד' וחצי והוא מה שהיה לו ביום השני קודם נתינת ממונו
Divide it by 2; you receive 2 and a quarter.
 וחלק זה על ב' ויצא לך ב' ורביע
Add 3 to it; it is 5 and a quarter and this is what he had on the first day, before giving the money.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\frac{1}{2}}{2}+3=\left(2+\frac{1}{4}\right)+3=5+\frac{1}{4}}}
 תוסיף על זה ג' ויהיו ה' ורביע וזה היה לו ביום הראשון קודם נתינת הממון
If you want to divide it by 2, you receive 2 and 5-eighths and this is the amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5+\frac{1}{4}}{2}=2+\frac{5}{8}}}
 ואם תרצה לחלק זה על ב' יצא לך ב' וה' שמיניות והוא המעות
Deduce from this.
 ותקיש על זה
178) Question: A man has money and said that if God will add 2 dinar to his money every day, he will donate 3 dinar every day.
At the end of 4 days, all his money is gone.
We ask how much money did he have on the first day?
 קעח) שאלה אדם יש לו מעות ואמר אם השם יוסיף על ממונו ב' דינרין בכל יום יתן ג' דינרין בכל יום ובסוף ד' ימים הלך כל ממונו

נשאל כמה ממון היה לו ביום הראשון

We solve this question this way: you already know that what he gave on the fourth day was 3, then he has nothing left in his hand and the profit he makes each day is 2.
 נעשה זאת השאלה על זה הדרך והוא כי כבר ידעת כי מה שנתן ביום הד' היה ג' ולא נשאר מאומה בידו והריוח שהיה עושה בכל יום היה ב‫'
We subtract 2, which is the profit, from 3; 1 remains and this is what he had on the fourth day, before the profit he made that day.
\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}
 נסיר מג' ב' שהם הריוח ישאר א' והוא מה שהיה לו ביום הרביעי קודם הריוח שעשה באותו יום
We add 3 to 1; it is 4.
 אח"כ נוסיף על א' ג' ויהיו ד‫'
We subtract from it the 2 of the profit; 2 remains and this is what he had on the third day, before the profit.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+3\right)-2=4-2=2}}
 נסיר מהם הב' מהריוח וישארו ב' וזה היה לו ביום הג' קודם הריוח
We add 3 to it; it is 5.
 אח"כ נשים על זה ג' ויהיו ה‫'
We subtract from it the profit, which is 2; the remainder is 3 and this is what he had on the second day, before the profit.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+3\right)-2=5-2=3}}
 נסיר מהם הריוח שהוא ב' הנשאר ג' וזה היה לו ביום השני קודם הריוח
We add 3 to it; it is 6.
 א"כ נוסיף על זה ג' ויהיו ו‫'
We subtract 2 from it for the profit; the remainder is 4 and this is what he had on the first day, before made any profit, which is the amount of money he had at the beginning.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+3\right)-2=6-2=4}}
 נסיר מהם ב' בעד הריוח הנשאר ד' וזה היה לו ביום הראשון קודם שהרויח מאומה והוא סך הממון הנמצא עמו בתחלה

Multiple Quantities Problem - Men, Women, Children
179) Question: Men and women and children go to a guesthouse to eat.
The men pay 2 pešuṭim, the women half a pešuṭ and the children a quarter.
They pay 12 pešuṭim and they are 12 also.
How many are the men, the women and the children?
 קעט) שאלה אנשים ונשים וטף הולכין לאושפיזה לאכול

האנשים נותנים ב' פשוטי' והנשים חצי פשוט והטף רביעית ופרעו י"ב פשוטים ובין כלם י"ב ג"כ
כמה הם האנשים והנשים והטף

Answer: assume the men are as many as you wish, and so are the women and the children.
 תשובה תשים האנשים כפי מה שתרצה וכן הנשים והטף
We suppose the men are 4; their cost is 8 pešuṭim.
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2=8}}
 ונניח שהאנשים היו ד' ששוים ח' פשוטים
The women are 4; [their cost is] 2 pešuṭim.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot4=2}}
 וד' נשים מב' פשוטים
[Together] their number is 8 and the number of coins is 10.
\scriptstyle{\color{blue}{4+4=8\quad8+2=10}}
 והנה מספרם ח' ומספר המעות י‫'
The children are 4; so they are 12 and the number of coins is 11, which is 12 minus 1.
\scriptstyle{\color{blue}{8+4=12\quad10+1=11\quad12-1=11}}
 והנערים ד' והנם י"ב והמעות י"א ויחסר א' עד י"ב
Hence, we should find a number that will raise [the number of coins] by one: we turn [2] of the 4 [women] into [1] man, so there are [5 men] and we turn [one woman] into 2 children; then the numbers are the same.
 לכן יש לנו למצא מספר שיעלהו אחד ונעשה ג' מהד' אנשים ויהיו ו' נשים ומהאנשים נעשה מהם ב' נערים והמספר יצא שוה
The answer is: 5 men, one woman, and 6 children; the total is 12, and the total money is 12.
\scriptstyle{\color{blue}{5+1+6=12=\left(5\sdot2\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot6\right)}}
 והתשובה היא ה' אנשים ואשה אחת ובו' נערים ובין כלם י"ב גם כל הממון עולה י"ב

Give and Take Problem - Earning and Spending
180) Question: A man travels from Naples with a known [number of] dinar and wants to go to Rome.
For every dinar he earns 1, meaning, 1 returns 2; and he spends 4 minyanim there.
Then, he goes from Rome to Florence. As long as he has 2 dinar, they return 3 and he spends 6 dinar there.
Then, he goes from Florence to Venice. As long as he has 1 dinar it returns 3 and he spends in Venice 14 minyanim.
After spending, there are in his hand 4 hundreds minyanim.
We would like to know how many dinar he had when he left Naples.
 קפ) שאלה אדם נוסע מנפולי עם דינרין ידועים ורוצה ללכת עד רומא ובעד כל דינר ירויח א' רצוני א' ישוב ב' ופזר לשם ד' מנינים

ואח"כ הולך מרומא עד פלורינצא וכל עוד שיש לו ב' דינרין ישובו ג' ופזר לשם ו' דינרין
אח"כ הולך מפלורינציאה עד וינישיאה וכל עוד שיש לו דינר א' ישוב ג' ופזר ו' בויניציאה י"ד מנינים
ואחר הפזור נמצא בידו ד' מאות מנינים
נרצה לדעת כשנסע מנאפולי כמה דינרין היה לו

It should be done as follows [?]: it is known that he had 414 in Venice with the 14 he spent.
 ראוי לעשות ככה תהפך כל המספר וידוע כי ד' מאות וי"ד היו לו בוינישיאה עם הי"ד שפזר
You should say: if 3 is equal to 1, how much is 414 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{3:1=414:X}}
 ויש לך לומר ככה אם ג' שוים א' ד' מאות וי"ד כמה שוים
You receive 138 and this is the money he had in Florence.
 יצא לך קל"ח וזה המעות היה לו בפלורינציאה
Add to it what he spent, which is 6; it is 144.
\scriptstyle{\color{blue}{138+6=144}}
 ותוסיף עליו מה שפזר שהוא ו' יהיו קמ"ד
Say: if 3 is equal to 2, how much is 144 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{3:2=144:X}}
 ותאמר אם ג' שוים ב' קמ"ד מה ישוו
You receive 96 and this is the number of dinar he had in Rome.
 ויצא לך צ"ו והוא סך הדינרין שהיו לו ברומא
[Add to it what he spent, which is 4]; it is a hundred.
\scriptstyle{\color{blue}{96+4=100}}
 יהיו מאה
Say: if 2 is equal to 1, how much is 100 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{2:1=100:X}}
 ותאמר אם ב' שוים א' ק' כמה שוים
You find it is 50 and this is what he had when he went to Naples.
 תמצא נ' והוא מה שהיה לו כשנסע מנפולי
So, when he arrives in Venice, he has 414 minyanim in his hand, minus the 14 he spent on the way.
 ובהגיעו בוינישיאה נמצא בידו י"ד ד' מאות מנינים זולת י"ד שפזר בדרך

Buy and Sell Problem - Silk
181) Question: A man bought in Florence 1 cane of silk for 3 minyanim and a half of a Florentine currency and the cane is also a Florentine cane.
He spends on the way to Naples 2-thirds of the Florentine money.
In what way will he sell in Naples, so that he will earn 25 minyanim for every hundred?
 קפא) שאלה אדם קנה בפלורינציאה קנה א' ממשי ג' מנינים וחצי ממטבע של פלורינצא והקנה ג"כ הוא קנה של פלורינצא ופזר בדרך בלכתו בנאפולי ב' שלישיות ממון של פלורינצא

באיזה אופן ימכור לנאפולי באופן שירויח כ"ה מנינים בעד כל מאה ומאה

We have two conversions from Florence to Naples, because the 8 canes in Florence are 8 canes of Naples and the 100 minyanim of Florence are 111 from Naples.
 ויש לנו ב' הפרשות מפלורינצא לנאפולי כי הח' קנים מפלורינצא הם ט' קנים של נאפולי והק' מנינים של פלורינציני הם קי"א מנאפוליטאני
It should be done as follows: add the 2-thirds he spent to 3 and a half; it is 4 and a sixth and these are the minyanim of Florence.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\left(3+\frac{1}{2}\right)=4+\frac{1}{6}}}
 וראוי לעשות ככה שתוסיף הב' שלישיות שפזר על ג' וחצי ויהיו ד' ושתות והם מנינים של פלורינציאה
Say: if 100 is equal to 111, how much is 4 and a sixth equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{100:111=\left(4+\frac{1}{6}\right):X}}
 ותאמר אם ק' שוים קי"א הד' ושתות מה ישוו
You find it is 4 and 4-fifths [should be 5-eighths]. So, the Florentine cane is worth in Naples 4 minyanim and 4-fifths of Naples currency.
 תמצא ד' וד' חומשים הנה א"כ הקנה של פלורינצא שוה בנפולי ד' מנינים וד' חומשים ממטבע של נאפולי
[Say:] if 8 cane are worth 9, how much is 1 worth?
\scriptstyle{\color{blue}{8:9=1:X}}
 אם ח' קנים שוות הט' א' כמה
You receive 1 and an eighth. So, the Florentine cane is equal to 1 and an eighth of Naples.
 יצא לך א' ושמין הנה הקנה של פלורינצא שוה של נאפולי א' ושמין
[Say:] if 1 cane and an eighth of Naples are worth 4 and 4-fifths, how much is 1 worth?
\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{8}\right):\left(4+\frac{4}{5}\right)=1:X}}
 וא' ושמין מקנה של נאפולי שוה ד' וד' חומשים מה ישוה הא‫'
You find it is worth 4 minyanim and 4 parts of 15. So, as long as the Florentine cane is worth 4 minyanim and a sixth of Florence, the cane of Naples is worth 4 minyanim and 4 parts of 15 of a minyan of Naples.
תמצא ששוה ד' מנינים וד' חלקים מט"ו הנה א"כ כל עוד שהקנה של פלורינצא שוה ד' מנינים ושתות משל פלורינצא הקנה מנאפולי שוה ד' מנינים וד' חלקים מט"ו ממניני נאפולי
It is said that he wants to earn 25 for every 100.
 נאמר שרוצה להרויח בעד כל ק' כ"ה
Say as follows: if one hundred is equal to 4 and 4 parts of 15, how much is 125 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{100:\left(4+\frac{4}{15}\right)=125:X}}
 ותאמר ככה אם מאה שוים ד' וד' חלקים מט"ו קכ"ה כמה שוים
You receive 5 minyanim and 23 parts of 100 and this is the price of the cane.
 יצא לך ה' מנינים וכ"ג חלקים מק' והוא שווי הקנה
So, he should sell the cane for 5 minyanim and 23 parts of 100 and in this way he will earn 25 for every hundred minyanim.
 הנה ראוי למכור הקנה ה' מנינים וכ"ג חלקים מק' ובזה האופן ירויח כ"ה בעד כל מאה מנינים ודוק ותשכח

Mixture and Alligation Problem - Silver and Lead
182) Question: a man has 17 ՚oqya of silver, each ՚oqya is worth 7 carlini.
How much lead should be added to these 17 ՚oqya, so that each ՚oqya will be worth only 5 carlini and a half?
 קפב) שאלה אדם יש לו י"ז אוק' מכסף שוה כל אוק' ז' קרליני

לכלול בו עופרת באופן לא ישוה כל אוק' כי אם ה' קרליני וחצי כמה עופרת יכלול באלו הי"ז אוק‫'

7 should be divided by 5 and a half; the result is one and 3 parts of 11, so he should add to each ՚oqya 3 parts of 11 of lead.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{5+\frac{1}{2}}=1+\frac{3}{11}}}
 הנה ראוי לחלק ז' על ה' וחצי ויצא אחד וג' חלקים מי"א הנה יש לו לשים בכל אוק' ג' חלקים מי"א מעופרת
In all 17 ՚oqya he should add 4 ՚oqya and 7 parts of 11 of lead.
\scriptstyle{\color{blue}{17\sdot\frac{3}{11}=4+\frac{7}{11}}}
 ובין כל הי"ז אוק' יש לו לשים ד' אוק' וז' חלקים מי"א מעופרת
Check: If you want to check it, multiply 17 by 7; it is 119, keep it.
\scriptstyle{\color{blue}{17\sdot7=119}}
 ואם תרצה לבחון אותו כפול י"ז על ז' יהיה קי"ט ושמור אותם
Now, multiply 5 and a half by 21 and 7 parts of 11, because first there were 17 ՚oqya and then we had to add 4 ՚oqya and 7 parts of 11 to this amount, so it is 21 and 7 parts of 11; the result is 119 no more and no less.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[17+\left(4+\frac{7}{11}\right)\right]=\left(5+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(21+\frac{7}{11}\right)=119}}
 ועתה כפול ה' וחצי על כ"א וז' חלקים מי"א כי בראשנה היו י"ז אוק' ויש לנו להוסיף הד' אוק' וז' חלקי' מי"א על אותו הסך ויהיה כ"א וז' חלקים מי"א ויעלה קי"ט בלי תוספת ומגרעת

Find the Price Problem - Silver
183) Question: a man has 3 liter, plus 3 ՚oqya and 3-quarters of silver containing 222 pure esterlini [sterling ?] per liter that are worth 8 minyanim.
How much are 1 liter plus 1 ՚oqya and 7-eighths of silver containing only 111 esterlini worth?
 קפג) שאלה יש לו לאדם ג' ליט' וג' אוק' וג' רביעיות מכסף שמכיל רכ"ב איצטרליני מטוב לליט' ושוה ח' מנינים

א' ליט' וא' אוק' וז' שמיניות אוק' מכסף שאינו מכיל הליט' כי אם קי"א איצטרליני כמה שוה

The liter should be converted into ՚oqya: the first number is 2 liter plus 3 ՚oqya and 3-quarters; it is [2]7 ՚oqya and 3-quarters.
 הנה ראוי לעשות מהליט' אוק' והמספר הראשון הוא ב' ליט' וג' אוק' וג' רביעיות יהיה י"ז אוק' וג' רביעיות
Multiply them by 222; the result is 6160 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(27+\frac{3}{4}\right)\sdot222=6160+\frac{1}{2}}}
 כפול אותם על רכ"ב יעלה ו' אלפים וק"ס וחצי
Then, take the second number, which is 1 ՚oqya, 1 liter and 7-eighths, convert the liter into ՚oqya and with the ՚oqya, they are 13 and 7-eighths.
 אח"כ קח המספר השני שהוא א' אוק' וא' ליט' וז' שמיניות ותעשה מהליט' אוק' ועם האוק' יהיו י"ג וז' שמיניות
Multiply them by what they contain, meaning multiply 13 and 7-eighths by 111, which is what each liter contains; the result is 1540 and one eighth and this will be the second number.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(13+\frac{7}{8}\right)\sdot111=1540+\frac{1}{8}}}
 כפול אותם על מה שמכיל רצוני שתכפול י"ג וז' שמניות על קי"א שהוא מה שמכיל כל ליט' ועלה אלף וה' מאות ומ' ושמין א' וזה יהיה המספר השני
Say: if 6160 and a half are equal to 8 minyanim, how much is the second number, which is 1540 and an eighth, equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{\left(6160+\frac{1}{2}\right):8=\left(1540+\frac{1}{8}\right):X}}
 ותאמר אם ו' אלפים וק"ס וחצי שוה ח' מנינים המספר השני שהוא אלף וה' מאות ומ' ושמין כמה שוה
It is equal to two integers no more and no less.
 הנה יהיה שווי שנים שלמים בלי תוספת ומגרעת

Payment Problem - 100 minyanim
184) Question: There are people here who work with a master, and the master pays each of them for a whole year twenty minyanim.
Some of them worked 6 months, some 6 and a half, some 7 months, etc.
You find that all they earned according to the ratio of the time they worked is 109 minyanim and 7 pešuṭim.
The master wants to pay them, but he has only 100 minyanim.
We would like to know how much will each be paid.
 קפד) שאלה יש בכאן אנשים שעומדי שעומדים עם אדון והאדון נותן לכל א' וא' בעד שנה תמימה עשרים מנינים

ויש מהם שעבדו ו' חדשים ויש ו' וחצי ויש ז' חדשים וכו‫'
הנה תמצא שכל מה שהרויחו בין כלם לפי יחס הזמן שעבדו עולה ק"ט מנינים וז' פשוטים
והאדון רוצה לפרוע אותם ואין לו כי אם ק' מנינים
נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא‫'

100 should be divided by 109 minyanim and 7 pešuṭim.
It is known that one pašuṭ is a tenth of one minyan, so each of the two numbers should be converted into tenths: the first is 1000 and the other is 1091.
Divide 1000 by 1091; you receive 1000 parts of 1091.
 הנה ראוי לחלק ק' על ק"ט מנינים וז' פשוטים

וידוע כי הפשוט עשור המנ(י)ן על כן ראוי לעשות מכל הב' מספרים עשיריות הא' אלף והאחר אלף וצ"א
חלק אלף על אלף וצ"א ויצא לך אלף חלקים מאלף וצ"א

Rent Problem
185) Question: A man rents a house to his friend for three years at 40 minyanim a year:
When he enters the house he gives him half the payment for that year and at the end of the year he gives him 40 minyanim - twenty to pay the payment of that year and twenty to pay for the next year and so on until the end of the three years.
The householder said to the one who rents the house: please pay me now for all three years and I will give you twenty for every hundred of the profit for a whole year.
He did the so, and gave him all the money.
We would like to know how much money is required to be given to him in such a way that for every hundred of the profit he receives twenty.
 קפה) שאלה אדם שכר בית לחבירו בעד ג' שנים לערך מ' מנינים לשנה

ובכניסתו לבית נותן לו חצי השכר מאותה השנה ובסוף השנה נותן לו מ' מנינים עשרים בעד תשלום פרעון אותה שנה ועשרים בעד תשלום השנה האחרת וכן עד כלות הג' שנים
והנה הבעל הבית אמר לאותו ששוכר הבית בבקשה ממך תפרע לי עתה מכל הג' שנים ואתן לך עשרים מריוח על כל מאה לשנה תמימה
וכן עשה נתן לו כל הממון
נרצה לדעת כמה ממון מחוייב לתת לו באופן שיבא עשרים על כל מאה מריוח

The answer: say: if a hundred and twenty is equal to 100, how much is 20 equal to? and this is the twenty that he is obliged to pay him at the end of the year.
\scriptstyle{\color{blue}{120:100=20:X}}
 התשובה תאמר אם מאה ועשרים שוים ק' כ' כמה שוים והם העשרים שהוא מחוייב לו לתת בסוף השנה
You find it is 16 and 2-thirds.
 ותמצא י"ו וב' שלישיות
Add to it the twenty that he is obliged to pay him now, when he is entering the house; it is 36 and 2-thirds and this is for the first year.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{2}{3}\right)+20=36+\frac{2}{3}}}
 תוסיף עליו העשרים שהוא מחוייב לתת לו עתה בכניסתו בבית יהיו ל"ו וב' שלישיות וזה יהיה בעד שנה ראשנה
Say also: [if] 120 is equal to 100, how much is 36 and 2-thirds equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{120:100=\left(36+\frac{2}{3}\right):X}}
 עוד תאמר ק"כ שוים ק' ל"ו וב' שלישיות כמה שוה
You receive 30 and 5 parts of 9 and this is for the rental of the second year.
 יצא לך ל' וה' חלקים מט' וזה בעד שכירת שנה שניה
Say also: if 120 is equal to 100, how much is 30 and 5 parts of 9 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{120:100=\left(30+\frac{5}{9}\right):X}}
 עוד תוסיף ותאמר אם ק"כ שוים ק' ל' וה' חלקים מט' כמה שוה
You receive 25 and 25 parts of 54 and this is for the rental of the [third] year.
 יצא לך כ"ה וכ"ה חלקים מנ"ד וזה הוא בעד שכירות שנה שניה
Sum up all these numbers, meaning 36 and 2-thirds, 30 and 5 parts of 9, and 25 and 25 parts of 54; the total sum is 92 and 37 parts of 54 and so he should pay him all at once, no more and no less.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(36+\frac{2}{3}\right)+\left(30+\frac{5}{9}\right)+\left(25+\frac{25}{54}\right)=92+\frac{37}{54}}}
 אח"כ תחבר כל אלו הג' מספרים רצוני ל"ו וב' שלישיות ול' וה' חלקים מט' וכ"ה וכ"ה חלקים מנ"ד ויעלה בין הכל צ"ב ול"ז חלקים מנ"ד וכן ראוי לתת לו בבת אחת בלי תוספת ומגרעת

Ordering Problem - Stones
186) Question: In what way will we weigh with four stones 40 liters or ՚oqya?
 קפו) שאלה באיזה אופן באיזה אופן נשקול עם ד' אבנים מ' ליט' או אוק‫'
You should take 1, multiply it by 3; it is 3.
\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3=3}}
 הנה יש לך לקחת א' כפול אותם על ג' ויהיו ג‫'
Multiply 3 by 3; it is 9, because the ratio of 1 to 3 is the same as the ratio of 3 to 9, and this is the third [stone].
\scriptstyle{\color{blue}{1:3=3:9\longrightarrow3\sdot3=9}}
 כפול ג' על ג' ויהיו ט' כי כיחס א' א' ג' כן יחס ג' אל ט' והוא השלישית
Multiply 9 by 3; it is 27, because the ratio of 9 to 27 is the same as the ratio of 3 to 9, which is the fourth [stone].
\scriptstyle{\color{blue}{9:27=3:9\longrightarrow9\sdot3=27}}
 כפול ט' על ג' ויהיו כ"ז כי יחס ט' אל כ"ז כיחס ג' אל ט' והוא הד‫'
Hence, the first weighs one liter, the second 3 liter, the third 9, and the fourth 27; the total is 40.
\scriptstyle{\color{blue}{1+3+9+27=40}}
 הנה ראשנה ישקול ליט' אחת והשניה ג' ליט' והשלישית ט' והרביעית כ"ז ובין הכל מ‫'
If you want to weigh five [liter], put that of 3 liter and that of 1 [liter] on one scale. Then, put that of 9 [liter] on the second scale. Put the 5 you want to weigh on the first scale, where the two stones weighing 4 [liter] are. So, there are 9 on both the first and the second scales.
 ואם תרצה לשקול ה' הנה תשים אותה של ג' ליטראות ואותה של א' בכף אחת

אח"כ תשים בכף שניה אותה של ט‫'
אח"כ תשים בכף ראשנה ששם הב' אבנים ששוקלות ד' ושים ה' שתרצה לשקול ויהיו ט' בכף ראשנה גם בשניה

If you want to weigh 8 [liter], put the stone that weighs 1 [liter] and the 8 [liter] on one scale; they are 9 [liter]. Then, put the one that weighs 9 [liter] on the second [scale] and they [weigh] equally.
 ואם תרצה לשקול ח' הנה תשים בכף הראשנה האבן ששוקלת א' ועם הח' יהיו ט‫'

אח"כ תשים בשניה השוקלת ט' ויהיה שוה בשוה

This number is called "proportional number".
 וזה המספר נקרא מספר יחסיי וכו‫'

Partial Payment Problem - Guesthouse, Goblets
186) Question: A man goes to a guesthouse and stays there for 31 days.
He carries 5 goblets of silver that weigh a total of 31 ՚oqya.
They agreed that he will pay the host an ՚oqya of silver every day.
In what way will he pay him every night and night, so that he does not give away the goblets and he pays him a whole ՚oqya each day.
 קפו) שאלה אדם הולך לאושפיזא ועמד לשם ל"א יום ונושא ה' גביעים של כסף ששוקלים בין כלם ל"א אוק' והתנו שיתן לאושפיז בכל יום אוק' של כסף

באיזה אופן יפרענו בכל לילה ולילה שלא יתן הגביעים ויתן לו אוק' שלימה בכל יום

Take 1 and double it; it is 2.
\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2=2}}
 הנה ראוי לקחת א' ואח"כ לכפול אותו ויהיו ב‫'
Multiply it by 2; it is 4, because the ratio of 1 to 2 is the same as the ratio of 2 to 4.
\scriptstyle{\color{blue}{1:2=2:4\longrightarrow2\sdot2=4}}
 ואח"כ כפול על ב' ויהיו ד' כי יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ד‫'
Multiply 4 by 2; it is 8, because the ratio of 4 to 8 is the same as the ratio of 2 to 4.
\scriptstyle{\color{blue}{4:8=2:4\longrightarrow4\sdot2=8}}
 אח"כ כפול ד' על ב' ויהיו ח' כי יחס ד' אל ח' כיחס ב' אל ד‫'
Multiply 8 by 2; it is 16, because the ratio of 4 to 8 is the same as the ratio of 8 to 16.
\scriptstyle{\color{blue}{4:8=8:16\longrightarrow8\sdot2=16}}
 אח"כ כפול ח' על ב' ויהיו י"ו כי יחס ד' אל ח' כיחס ח' אל י"ו
So, the first weighs one, the second 2, the third 4, the fourth 8, and the fifth 16; the total is 31.
\scriptstyle{\color{blue}{1+2+4+8+16=31}}
 א"כ הנה הא' שוקל אוק' והב' ב' והג' ד' והד' ח' והה' י"ו וכן עולה ל"א
With [6] goblets you can pay him for 63 [days]: multiply 16 by 2; it is 32 and this is the sixth goblet; with the 31 it is 63.
\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot2=32\longrightarrow31+32=63}}
 עם ב' כוסות תוכל לפרעו עד ס"ג והוא שתכפול י"ו על ב' ויהיו ל"ב והוא הגביע הו' ועם הל"א הם ס"ג
With 7 goblets you can pay him for 127 days: multiply 32 by two; it is 64; with 63 it is 127.
\scriptstyle{\color{blue}{32\sdot2=64\longrightarrow63+64=127}}
 ועם ז' כוסות תוכל לפרעו עד קכ"ז ימים והוא שתכפול ל"ב על שנים ויהיו ס"ד ועם ס"ג והם קכ"ז
And so on endlessly.
 וכן עד אין קץ

Find the Price Problems - Three Types of Wool
187) Question: A man sells three types of wool.
He sells the first one at one kikkar, which is 100 liters, for ten minyanim.
He sells the second one at one kikkar for ten and a half minyanim.
He sells the third one at one kikkar for 12 minyanim and a third.
When you wash the first one, the kikkar becomes 80 liter of clean wool.
When you wash the second one, the kikkar becomes 90 liter of clean wool.
When you wash the third one, the kikkar becomes 99 liter of clean wool.
We would like to know which of the three is better to buy.
 קפז) שאלה אדם מוכר מג' מיני צמר

הראשנה מוכרה ככר שהם ק' ליט' עשרה מנינים
והב' מוכר הככר עשרה מנינים וחצי
והג' מוכר הככר י"ב מנינים ושליש
והנה כשתרחץ הראשנה הנה הככר ישוב פ' ליט' מצמר נקי
וכשתרחץ השניה ישוב הככר צ' ליט' מצמר נקי
וכשתרחץ השלישית ישוב הככר צ"ט ליט' מצמר נקי
נרצה לדעת איזה מהם יותר טוב לקחת משלשתן

It is known that 80 liter of the first are worth 10 minyanim.
 ידוע כי הראשנה הפ' ליט' שוות י' מנינים
It is known that 90 liter of the second are worth ten minyanim and a half.
 וידוע כי השניה הצ' ליט' שוות עשרה מנינים וחצי
It is known that 99 liter of the third are worth 12 minyanim and a third.
 וידוע כי השלישית הצ"ט ליט' שוות י"ב מנינים ושליש
We do the proportion as follows: if 80 is equal to ten, how much is 1 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{80:10=1:X}}
 ונעשה הערך ככה אם הפ' שוה עשרה א' כמה שוה
You receive one eighth and this is the price of one liter of the first.
 הנה יצא לך שמין א' והוא שווי הליט' מהראשנה
Turn to the second and say: if 90 is equal to ten and a half, how much is 1 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{90:\left(10+\frac{1}{2}\right)=1:X}}
 עוד שוב אל הב' ותאמר אם צ' שוות עשרה וחצי א' כמה שוה
You receive one eighth and 4-sevenths of an eighth [this calculation is wrong - the result should be less than one eighth]; so this is one is better than the first.
 יצא לך שמין א' וד' שביעיות השמין הנה הנה זאת יותר טובה מהראשנה
We do the same with the third and say: if 9[9] is equal to 12 and a third, how much is 1 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{99:\left(10+\frac{1}{3}\right)=1:X}}
 ונעשה כן מהג' ונאמר אלו צ' שוות י"ב ושליש א' כמה שוה
You receive less than one eighth, so it should not be bought, because it is worse than the others.
 יצא לך פחות משמין ואין ראוי לקחת ממנה כי היא יותר גרועה מהאחרות

Payment Problem - 12 Harvesters
188) Question: 12 harvesters work in a field.
If one of them works a whole year, he should take 1 ՚oqya and 2 tarini.
One who worked for a year straight, asks for 1 ՚oqya and 2 tarini.
The second worked a little more, so he asks for 1 ՚oqya and 3 tarini.
The third worked more, so he asks for 1 ՚oqya and 1 tari.
The fourth asks for one ՚oqya and 4 tarini.
The fifth asks for an ՚oqya and 6 tarini.
The sixth - 2 ՚oqya and 4 tari.
The eighth - one ՚oqya.
The tenth - 1 ՚oqya and 9 tarini.
The eleventh - 1 ՚oqya and 19 tarini.
The twelveth - 1 ՚oqya and 22 tarini.
Now, the lord, who pays, has only 10 ՚oqya and 5 tarini, and from this money he wants to pay the harvesters according to their work.
How much should he pay each?
 קפח) שאלה הנה בכמה עומדים י"ב גלחים והנה אם יעבוד א' מהם שנה תמימה ראוי לקחת אוק' א' וב' טריניריש

אחר שעבד שנה רצופה בצימצום ושואל אוק' וב' טריני
והב' עבד יותר מעט עד ששואל אוק' א' וג' טריני
והג' עבד יותר עד ששואל אוק' א' וא' טרי
והרביעי שואל אוק' אחת וד' טריני
והה' שואל אוק' וו' טריני
והו' ב' אוק' וד' טרי
והח' אוק' אחת
והעשירי אוק' א' וט' טריני
והי"א אוק' א' וי"ט טריני
והי"ב אוק' א' וכ"ב טריני
והנה האדון העושה הפרעון אין לו כי אם י' אוק' וה' טריני ומזה הממון רוצה לחלק לגלחים כפי עבודתו
כמה ראוי שיתן לכל א' וא‫'

The money of all 12 harvesters should be summed up; you find it is 15 ՚oqya and 18 tarini.
 הנה ראוי לחבר כל הסך מאלו הי"ב גלחים ותמצא שעולה ט"ו אוק' וי"ח טרי
The ten ՚oqya should be divided by 15 ՚oqya and 18 tarini:
והנה ראוי לחלק העשרה אוק' על ט"ו אוק' וי"ח טרי
The 10 ՚oqya should be converted into tarini, and the 5 tarini should be added to them; the result is 305.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(10\sdot30\right)+5=305}}
 והנה ראוי לעשות מהי' אוק' טרי ולחבר עמהם הה' טרי ויעלה ש"ה
Convert also the 15 ՚oqya and 18 tarini into tarini; the result is 468.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(15\sdot30\right)+18=468}}
 עוד תעשה מהט"ו אוק וי"ח טרי טרי ויעלה ד' מאות וס"ח
Multiply 305 by 30; the result is [9]150.
 עוד שוב וכפול ש"ה על ל' ויעלה ק"נ
Divide it by 4 hundred; you receive the tarini, which are 19 plus 15 grani and 2 dinar and so each is paid for every ՚oqya.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{305\sdot30}{400}=\frac{9150}{400}}}
 וחלקם על ד' מאות ויצא לך טרי והם י"ט וט"ו גרות וב' דינרין וככה יקח בעד כל אוק' ואוק‫'
If you want to know how much he is paid for every tarini: you already know that for one ՚oqya he should be paid 1[9] plus 15 grani and 2 dinar, so multiply 19 by 2, meaning convert the 19 tarini into grani. Then, divide the result by 30, since 30 tarini are equal to one ՚oqya and you receive the required.
 ואם תרצה לדעת כמה יקח בעד כל טרי הנה כבר ידעת כי בעד אוק' ראוי לקחת י"ח וט"ו גרות וב' דינרין כפול י"ט על ב' רצוני שתעשה מהי"ט טרי גרות והעולה חלק על ל' בעבור כי הל' טרי שוים אוק' ויצא לך המבוקש
You can do so for any coin.
 וכן תוכל לעשו' מכל מטבע

Simple Barter Problem - Silver and Cloth
189) Question: A man gave liter of silver to his friend in barter and agreed with him that for 3 liters he would give him ten clothes.
2 canna of the cloth are worth 3 barrels of wine.
2 barrels of wine are worth 8 dinars.
We wish to know how much 4 liter of silver are worth according to this ratio and how much 5 canna of the cloth are worth.
 קפט) שאלה אדם נתן ליט' של כסף לחבירו לחלופי' והתנה עמו שיתן לו מהג' ליט' עשרה מבגד

וב' קנים מהבגד שוה ג' חביות של יין
וב' חביות מיין שוה ח' דינרין
נרצה לדעת כמה היו שוות הד' ליט' של כסף לפי זה היחס גם כמה שוות הה' קנים מהבגד

The answer: you know that 2 barrels are worth 8 dinar, so say: if 2 is equal to 8, how much is 3 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{2:8=3:X}}
 התשובה ראוי לך לדעת כי הב' חביות הם שוות ח' דינרין ותאמר אם ב' שוות ח' ג' כמה שוות
You receive 12. Hence, three barrels of [wine] are worth 12 dinar.
 ויצא לך י"ב הנה הג' חביות של (יין) שוות י"ב דינרין
It is known that 2 canna are worth 3 barrels, so do as follows:
Say: if 2 canna are equal to 12 dinar, how much are 10 canna equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{2:12=10:X}}
 וידוע הוא כי ב' קנים היו שוות אלו הג' חביות הנה יש לך לעשות ככה והוא שתאמר אלו ב' קנים שוות י"ב דינרין הי' קנים כמה שווים
You receive 60.
 ויצא לך ס‫'
It is known that 10 canna are worth 3 liter of silver, so say: if 3 is equal to 60, how much is 4 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{3:60=4:X}}
 וידוע כי הי' קנים היה שווי ג' ליט' של כסף ותאמר אלו ג' שוות ס' ד' כמה שוות
You receive 80, no more and no less.
 ויצא לך פ' בלי תוספת ומגרעת

Simple Division Problem
190) Question: A man said to his friend: If you want to carry all my wheat on your ship, I will give you half.
A second came and said to him: If you carry mine, I will give you a third.
Another came and said: If you carry mine, I will give you a quarter.
This one was still speaking when another came and said [Job 1, 16]: If you carry mine I will give you a fifth.
Then, he had 300 measures in his hand.
I ask: how many measurements he carried [for each equally]?
 קצ) שאלה אדם אמר לחבירו אם תרצה לשאת על ספינתך כל החטה שלי אתן לך החצי

בא שני ואמר לו אם תשא את שלי אתן לך השליש
בא אחר ואמר אם תשא את שלי אתן לך רביעית
עוד זה מדבר וזה בא ויאמר‫[35] אם תשא את שלי אתן לך החומש
ואח"כ נמצא בידו ש' מדות
אשאל כמה מדות נשא

The answer: look for a number that has a half, a third, a quarter, and a fifth; you find it is 60.
 תשובה בקש מספר יהיה לו חצי ושליש ורביעית וחומש ותמצא ס‫'
Take its half, which is 30; its third, which is 20; its quarter, which is 15; and its fifth, which is 12; the total is 77.
 קח חציו והוא ל' ושלישיתו והוא כ' ורביעיתו והוא ט"ו והחומש והוא י"ב ובין הכל ע"ז
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=30+20+15+12=77}}
Say: if 77 is equal to 60, how much is 3 hundred equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{77:60=300:X}}
 ותאמר אם ע"ז שוים ס' ג' מאות כמה ישוו
Multiply 60 by 3 hundred and divide it by 77; you receive 233 and 59 parts of 77 and this is the amount he carried for each.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot300}{77}=233+\frac{59}{77}}}
 כפול ס' על ג' מאות וחלקם על ע"ז ויצא לך ב' מאות ול"ג ונ"ט חלק מע"ז והוא סך מה שנשא לכל א' וא‫'
Check: If you want to check it, take half this amount, add to it also its third, its quarter, and its fifth; the result is 3 hundred.
 ואם תרצה לבחון אותו קח חצי זה הסכום גם שלישיתו ורביעיתו וחמישיתו יוסף עליו ויעלה ג' מאות
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]=300}}

Mixture and Alligation Problem
191) Question: here is a man who has 6 liter of silver, in each liter there are 7 ՚oqya of pure silver.
He also has 5 liter of silver, in each liter of which there are 6 ՚oqya of pure silver.
He also has an unknown number of liter in each liter of which there are 11 ՚oqya of silver.
He wants to melt all of them and produce goblets from them, such that each liter contains 9 ՚oqya of pure silver.
We wish to know how many liter will he take of the silver that contains 11 ՚oqya per a liter.
 קצא) שאלה בכאן אדם שיש לו ו' ליט' של כסף ובכל ליט' יש ז' אוק' מכסף מזוקק

עוד יש לו ה' ליט' מכסף שיש לו בכל ליט' ו' אוק' מכסף טוב
ועוד יש לו ליט' בלתי נודעות שבכל ליט' יש כסף י"א אוק‫'
ורוצה לשרוף כל זה ולעשות ממנו גביעים שיכיל כל ליט' ט' אוק' מכסף מזוקק
ונרצה לדעת כמה ליט' יקח מהכסף המכיל י"א אוק' הליט‫'

Answer: you should know how many ՚oqya are included in the first number, which is 6 liter that contain 7 ՚oqya per liter; they are 42 and this is the number of pure ՚oqya.
\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot7=42}}
 תשובה ראוי שתדע כמה אוק' יכיל המספר הראשון שהוא ו' ליט' המכיל ז' אוק' לליט' יהיו מ"ב והוא מספר אוקי' הטובות
Take also the second number, which is 5 liter that contain 6 ՚oqya per liter; they are 30 and this is the number of pure ՚oqya.
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}
 ועוד קח המספר השני שהוא ה' ליט' המכיל ו' אוק' לליט' ויהיו ל' והוא מספר אוק' הטובות
Add the 30 to 42; it is 72.
\scriptstyle{\color{blue}{42+30=72}}
 וחבר אלו הל' אל מ"ב ויהיו ע"ב
Then sum up the [numbers of] liter that are 5 and 6; they are 11.
\scriptstyle{\color{blue}{5+6}}
 אח"כ חבר הליט' שהם ה'ו' ויהיו י"א
Hence, 11 liter contain 72 ՚oqya of pure silver.
 א"כ י"א ליט' יכיל ע"ב אוק' מכסף טוב
Multiply 9, which is the number you want to produce, by the [number of] liter, which is 11; it is 99.
 אח"כ כפול ט' שהוא הסך שתרצה לעשות על הליט' שהם י"א יהיה זה צ"ט
Subtract 72 from 99; the remainder is 27.
 הוצא ע"ב מצ"ט הנשאר כ"ז
Divide the 27 by the difference between 9 and 11, which you find to be 2. Divide 27 by 2; you find it is 13 and a half, which is [the number of] liter and so he takes of the silver that contains 11 [՚oqya per a liter].
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot11\right)-72}{11-9}=\frac{99-72}{2}=\frac{27}{2}=13+\frac{1}{2}}}
 וחלק אלו הכ"ז על היתרון שיש בין ט' לי"א ותמצא ב‫'

חלק כ"ז על ב' ותמצא י"ג וחצי שהם ליט' וככה יקח מן הכסף המכיל י"א

Check: If you want to check it, sum up all the liter, which are 13 and a half, 6, and 5; it is 24 and a half.
 ואם תרצה לבחון אותו חבר כל הליט' שהם י"ג וחצי וו' וה' ויהיו כ"ד וחצי
Multiply each by what it contains; the result is 220 and a half and this is the reserved.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot7\right)+\left(5\sdot6\right)+\left[\left(13+\frac{1}{2}\right)\sdot11\right]=220+\frac{1}{2}}}
 וכפול כל אחד על מה שמכיל ויעלה ר"כ וחצי והוא השמור
Then, multiply 9 by 24 and a half; the result is also 220.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[6+5+\left(13+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot9=\left(24+\frac{1}{2}\right)\sdot9=220+\frac{1}{2}}}
 אח"כ כפול ט' על כ"ד וחצי ויעלו ר"כ ג"כ

Proportional Division Problems
192) Question: There are three men here who earned 12 minyanim.
One asks for half the amount plus 2, the other asks for a third of the amount plus 3, and another asks for a quarter of the amount plus 4.
We ask: how much will each take?
 קצב) שאלה יש כאן ג' בני אדם כי הרויחו י"ב מנינים

הא' שואל חצי הממון עם תוספת ב' והאחר שואל שלישית הממון עם תוספת ג' והאחר שואל רביעית הממון עם תוספת ד‫'
נשאל כמה יקח כל א' וא‫'

The answer: all the additions they ask for, which are 2, 3, and 4, should be summed; it is 9.
 תשובה ראוי לחבר כל מה ששואלים מתוספת והם ב'ג'ד' והם ט‫'
Subtract it from 12; 3 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(2+3+4\right)=12-9=3}}
 תחסרם מי"ב ישארו ג‫'
Take a half of 12; it is 6; the third is 4; the quarter is 3; the total is 13.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=6+4+3=13}}
 אח"כ קח חצי י"ב יהיו ו' והשליש ד' והרביעית ג' וכלם י"ג
Multiply half the number by 3; it is 18.
 אח"כ כפול חצי המספר על ג' והנם י"ח
Divide it by 13; the result is 1 and 5 parts of 13 and this is the share of the one who asks for half the money.
 חלקם על י"ג ועלה א' וה' חלקים מי"ג וזה חלק משואל חצי הממון
Since he said "plus 2", he takes 3 and 5 parts of 13.
 ובעבור שאמר יותר ב' וקח ג' וה' חלקים מי"ג
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot3}{13}+2=\frac{6\sdot3}{13}+2=\frac{18}{13}+2=\left(1+\frac{5}{13}\right)+2=3+\frac{5}{13}}}
Take the third and multiply it by 3; the result is 12.
 אח"כ קח השליש וכפול אותם על ג' ויעלו י"ב
Divide it by 13; the result is 12 parts of 13 and this is the share of the one who asks for a third of the money.
 וחלקם על י"ג ויעלו י"ב חלקים מי"ג וזה חלק ממבקש שליש הממון
Since he said "plus 3", he takes 3 and 12 parts of 13.
 ובעבור שאמר ג' מתוספת וקח ג' וי"ב חלקים מי"ג
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\sdot3}{13}+3=\frac{4\sdot3}{13}+3=\frac{12}{13}+3=3+\frac{12}{13}}}
Take a quarter of the number and multiply it by 3; the result is 9.
 אח"כ קח רביעית המספר וכפול אותם על ג' ויעלו ט‫'
Divide it by [1]3; the result is 9 parts of 13.
 וחלקם על (י)"ג ויעלו ט' חלקים מי"ג
Since he said "plus 4", he takes 4 and 9 parts of 13.
 ובעבור שאמר עם תוספת ד' וקח ד' וט' חלקים מי"ג
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\sdot3}{13}+4=\frac{3\sdot3}{13}+4=\frac{9}{13}+4=4+\frac{9}{13}}}
Check: Sum up all; the result is 12 integers.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{5}{13}\right)+\left(3+\frac{12}{13}\right)+\left(4+\frac{9}{13}\right)=12}}
 ותחבר הכל ויעלה י"ב שלמים
193) Question: There are three men here who want to divide 16 minyanim.
One asks for half the amount minus 3, the other asks for a quarter plus 4, and another asks for a fifth plus 5.
We wish to know how much will each take.
 קצג) שאלה ג' אנשים רוצים לחלק י"ו מנינים

הא' שואל חצי הממון פחות ג' והאחר שואל הרביעית עם תוספת ד' והאחר שואל החומש עם תוספת ה‫'
נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא‫'

The answer: first, sum the additions that two of them ask for; it is 9.
 תשובה ראשנה תחבר התוספת ששואלים הב' מהם והוא ט‫'
Subtract 3 from 9, because one of them said "minus 3"; 6 remains.
 חסר מהט' ג' כי א' מהם אמר פחות ג' וישארו ו‫'
Subtract 6 from the amount of money; 10 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{16-\left[\left(4+5\right)-3\right]=16-\left(9-3\right)=16-6=10}}
 הסר מסך הממון ו' הנשאר י‫'
Take a half of the money; it is 8.
אח"כ קח חצי הממון שהוא ח‫'
Take its fifth; it is 3 and a fifth.
 אח"כ קח חמישיתו שהוא ג' וחומש
Its quarter is 4.
 ורביעיתו שהוא ד‫'
Sum all; the result is 15 and a fifth.
 ותחבר הכל ויעלו ט"ו וחומש
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot16\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)=8+\left(3+\frac{1}{5}\right)+4=15+\frac{1}{5}}}
Multiply its half, which is 8, by the 10 remaining after subtracting the addition of each; it is 80.
 אח"כ כפול מחציתו שהם ח' על הי' שנשארו אחר לקיחת התוספת של כל אחד והיו פ‫'
Divide it by 15 and a fifth; the result is 5 [and 20 parts of 76].
 חלקם על ט"ו וחומש ויעלו ה‫'
Subtract 3 from it, since he said "minus 3"; his share is 2 integers and 20 parts of 76.
 הסר מהם ג' מצד שאמר פחות ג' יהיה חלקו ב' שלמים וכ' חלקים מע"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot10}{15+\frac{1}{5}}-3=\frac{8\sdot10}{15+\frac{1}{5}}-3=\frac{80}{15+\frac{1}{5}}-3=\left(5+\frac{20}{76}\right)-3=2+\frac{20}{76}}}
Take a quarter of the money, multiply it by 10, then divide the product; you receive 2 integers and 48 parts of 76 and this is the share of the one who asks for a quarter of the money. We add to it 4, since he said "plus 4".
 עוד קח רביעית הממון וכפול אותם על י' והעולה תחלק ויצא לך ב' שלמים ומ"ח חלקים מע"ו וזה יהיה חלקו משואל רביעית הממון ונתן לו ד' מצד שאמר ד' מתוספת
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\sdot10}{15+\frac{1}{5}}+4=\left(2+\frac{48}{76}\right)+4}}
Take a fifth of the number, multiply it by 10, then divide the product by 15 and a fifth; you receive 2 integers and 8 parts of 76; and since he said "plus 5", he takes 7 integers and 8 parts of 76.
 אח"כ קח חומש המספר וכפול אותם על עשרה וחלק העולה על ט"ו

וחומש ויצא לך שנים שלמים וח' חלקים מע"ו ובעבור שאמ' ה' מתוספת יקח ז' שלמים וח' חלקים מע"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot16\right)\sdot10}{15+\frac{1}{5}}+5=\left(2+\frac{8}{76}\right)+5=7+\frac{8}{76}}}
Check: the sum of the three is 16 integers.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{20}{76}\right)+\left(6+\frac{48}{76}\right)+\left(7+\frac{8}{76}\right)=16}}
 ובין שלשתן י"ו שלמים
194) Question: There are two here who want to divide twenty minyanim.
One asks for a third minus 4 and the other asks for a fifth minus 3.
 קצד) שאלה יש כאן ב' שרוצים לחלק עשרים מנינים

הא' שואל השליש פחות ד' והאחר שואל החומש פחות ג‫'

First, 3 and 4 should be summed; it is 7.
 הנה ראשנה ראוי לחבר ג וד' והנם ז‫'
Add it to the money, which is 20; it is 27.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+4\right)+20=7+20=27}}
 תוסיפם על הממון שהוא כ' יהיו כ"ז
Take a third of 20; it is 6 and 2-thirds.
 אח"כ קח שלישית כ' יהיו ו' וב' שלישיות
Take a fifth; it is 4.
 אח"כ קח החומש יהיה זה ד‫'
Sum them together; it is ten [and 2-thirds].
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)=\left(6+\frac{2}{3}\right)+4=10+\frac{2}{3}}}
 חברם יחד יהיו עשרה
Multiply 6 and 2-thirds by 27; it is 180.
 אח"כ כפול ו' וב' שלישיות על כ"ז יהיה זה ק"פ
Divide it by 10 and 2-thirds; the result is 16 and 28 parts of 32.
 חלקם על י' וב' שלישיות ויהיה העולה י"ו וכ"ח חלקים מל"ב
Since he said "minus 4", we subtract 4; 12 and 28 parts of 32 remains and this is the share of the one who asks for a third of the money.
 ובעבור שאמר פחות ד' נחסר ד' וישאר י"ב וכ"ח חלקים מל"ב וזה חלק השואל שלישית הממון
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(6+\frac{2}{3}\right)\sdot27}{10+\frac{2}{3}}-4=\frac{180}{10+\frac{2}{3}}-4=\left(16+\frac{28}{32}\right)-4=12+\frac{28}{32}}}
We also multiply 4 by 27; it is 108.
 עוד נכפול ד' על כ"ז יהיה זה מאה וח‫'
Divide it by ten and 2-thirds; the result is ten and 4 parts of 32.
 חלקם על עשרה וב' שלישיות יעלו עשרה וד' חלקים מל"ב
Since he said "minus three", we subtract 3 from ten; the remainder is 7 and 4 parts of 32.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot27}{10+\frac{2}{3}}-3=\frac{108}{10+\frac{2}{3}}-3=\left(10+\frac{4}{32}\right)-3=7+\frac{4}{32}}}
 מצד שאמר פחות שלשה נקח מעשרה ג' הנשאר ז' וד' חלקים מל"ב

Multiple Quantities Problem - three men playing with a cube
195) Question: three people are playing with a cube.
The two put all of their money against the third and the third plays, loses and pays each one all the money gambled against him.
Now, the third plays, the remaining two put all their money, and he loses and pays each of them.
We find each has 100 minyanim in his hand.
How much did each has when they started playing?
 קצה) שאלה ג' אנשים מצחקים בקוביא

הב' משימים כל ממונם נגד הג' והג' המצחק הפסיד ופרע לכל א' סך כל ממונם נגדו והוא הפסיד ופרע לכל א' ממונו
עתה מצחק הג' והב' הנשארים שמו כל ממונם והוא הפסיד ופרע לכל א' וא‫'
ונמצא עתה ביד כל א' וא' ק' מנינים
כשהתחילו לצחק כמה לכל א' וא‫'

Answer: take the number of the people, which is 3, add 1 to it, for the first duplication; it is 4.
\scriptstyle{\color{blue}{3+1=4}}
 תשובה תקח סך האנשים שהם ג' תוסיף עליו א' בעבור הכפל הראשון ויהיו ד‫'
Double 3; it is 6. Add 1 to it; it is 7.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)+1=6+1=7}}
 עוד כפול ג' ויהיו ו' תוסיף עליו א' ויהיו ז‫'
Double 7; it is 14. Subtract 1 from it; it is 13.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot7\right)-1=14-1=13}}
 עוד כפול ז' ויהיו י"ד תסיר ממנו א' ויהיו י"ג
It is known that the amount of money is 3 hundred, so we do as follows and say: here are three people - one carried 13 dinar, the other 7, and the other 4. They earned 3 hundred. How much will each take?
 וידוע כי הממון היה ג' מאות על כן נעשה ככה ונאמ' בכאן ג' אנשים הא' נשא י"ג דינרין והאחר ז' והאחר ד' והרויחו ג' מאות

כמה יקח כל א' וא‫'

Sum up all their amounts of money, which are 4, 7, and 13; it is 24.
\scriptstyle{\color{blue}{4+7+13=24}}
 תחבר כל ממונם שהם ד' ז' וי"ג הנם כ"ד
Multiply 13 by 3 hundred; it is 3 thousand and 9 hundred.
 כפול י"ג על ג' מאות יהיה זה ג' אלפים וט' מאות
Divide it by the reserved, which is 24; you receive 162 and a half and this is the money of the first.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13\sdot300}{24}=\frac{3900}{24}=162+\frac{1}{2}}}
 וחלקם על השמור שהוא כ"ד ויצא לך קס"ב וחצי והוא ממון הראשון
Multiply also 7, which is the [assumed] money of the second, by 3 hundred; the result is 2 thousand and a hundred.
 עוד כפול ז' שהוא ממון השני עם ג' מאות ויעלו ב' אלפים ומאה
Divide it by 24; you receive 87 and a half and this is the money of the second.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot300}{24}=\frac{2100}{24}=87+\frac{1}{2}}}
 וחלקם על כ"ד ויצא לך פ"ז וחצי והוא ממון השני
You also have to multiply the [assumed] money of the third, which is 4, by 3 [hundred]; the result is 12 hundred.
 עוד יש לך לכפול ממון השלישי שהוא ד' על ג' ויעלו י"ב מאות
Divide it by 24; you receive fifty and this is the money of the third.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot300}{24}=\frac{2100}{24}=87+\frac{1}{2}}}
 וחלקם על כ"ד ויצא לך חמישים שלמים והוא ממון הג‫'
The total is 3 hundred.
 ובין הכל ג' מאות

Shared Work Problem
196) Question: There is a barrel here that has 3 openings. From the first opening, all the wine comes out in 4 hours. From the second opening, without the first, all the wine comes out in 3 hours. From the third opening, without the others, all the wine comes out in 2 hours. If we open all three of them, how long will it take for all the wine to come out?
 קצו) שאלה יש כאן חבית שיש לה ג' פתחים מהפתח הראשון יצא כל היין בד' שעות ומהפתח השני בלתי הראשון יצא כל היין בג' שעות ומהפתח הג' זולת האחרים יצא כל היין בב' שעות ואם נפתחם שלשתם בכמה יצא כל היין
The answer can be done in two ways:
 תשובה תוכל לעשותה בב' פנים
One is that you take the greatest number, which is 4, and divide it by itself and also by the others.
 א' והוא שתקח החשבון היותר גדול מכלם שהוא ד' ותחלק אותו על עצמו גם על האחרים
First, divide it by itself; the result is 1.
 ראשנה תחלקהו על עצמו יצא א‫'
Then, divide 4 by 3; you receive 1 and a third.
 אח"כ חלק ד' על ג' ויצא לך א' ושליש
Divide 4 by 2; you receive 2.
 אח"כ חלק ד' על ב' ויצא לך ב‫'
Sum all of them; it is 4 and a third.
 חברם כלם ויהיו ד' ושליש
Divide 4 by it; you receive 12 parts of 13 and this is [how long it takes for all] the wine to come out.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{\frac{4}{4}+\frac{4}{3}+\frac{4}{2}}=\frac{4}{1+\left(1+\frac{1}{3}\right)+2}=\frac{4}{4+\frac{1}{3}}=\frac{12}{13}}}
 חלק ד' עליהם ויצא לך י"ב חלקים מי"ג והוא השעור מיציאת היין
Check: if you want to check it, do as follows: we suppose there are 12 log in the barrel and we say: if 12 log come out in 4 hours, how much comes out in 12 parts of 13?
\scriptstyle{\color{blue}{4:12=\frac{12}{13}:X}}
 ואם תרצה לבחון אותו תעשה ככה

נניח שהיו י"ב לוגים יין בחבית ונאמ' אלו הד' שעות יצאו י"ב לוגים כמה יצאו בי"ב חלקים מי"ג

You find that 2 log and ten parts of 13 come out.
\scriptstyle{\color{blue}{X=2+\frac{10}{13}}}
 תמצא שיצאו ב' לוגים ועשרה חלקים מי"ג
We say again: if 12 [log] come out in 2 hours, how much comes out in 12 parts of 13?
\scriptstyle{\color{blue}{2:12=\frac{12}{13}:X}}
 עוד נשוב ונאמר אלו בב' שעות יוצאים י"ב כמה יצאו בי"ב חלקים מי"ג (חלקים מי"ג)
You find that 5 log and [7] parts of 13 come out.
\scriptstyle{\color{blue}{X=5+\frac{7}{13}}}
 תמצא שיצא ה' לוגים וח' (ז) חלקים מי"ג
We [say] again: if 12 [log] come out in 3 hours, how much comes out in 12 parts of 13?
\scriptstyle{\color{blue}{3:12=\frac{12}{13}:X}}
 עוד נשוב ונכפול אלו הג' שעות יצאו י"ב כמה יצא בי"ב חלקים מי"ג
You find 3 [log] and 9 parts of 13.
\scriptstyle{\color{blue}{X=3+\frac{9}{13}}}
 תמצא ג' וט' חלקים מי"ג
Sum all; you find 12 integers.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{10}{13}\right)+\left(5+\frac{7}{13}\right)+\left(3+\frac{9}{13}\right)=12}}
 חבר הכל ותמצא שהם י"ב שלמים
The other way is that we look for a common denominator that has all the mentioned parts, meaning, a third as he said 3 hours, a quarter for the 4 hours, and a half for the 2 hours; you find 12.
 והדרך האחר הוא שנבקש המורה יהיו בו כל החלקים הנז' רצוני שלישית בעבור שאמר ג' שעות ורביעית בעבור ד' שעות ומחצית בעבו' ב' שעות תמצא י"ב
Its half is 6, its quarter is 3, its third is 4. Sum up all; it is 13.
 ומחציתו ו' ורביעיתו ג' ושלישיתו ד‫'

חבר הכל יהיו י"ג

Divide the common denominator, which is 12, by 13; it is 12 parts of 13.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}=\frac{12}{6+4+3}=\frac{12}{13}}}
 חלק המורה שהוא י"ב על י"ג יהיו י"ב חלקים מי"ג
All leads to the same solution
 והכל הולך אל מקום אחד

Compound Barter Problem - Cloth and Wool
197) Question: [Two] men want to barter goods with each other, one sells cloth and the other sells wool.
The one selling the cloth sells it at one cane for [4] minyanim in cash, and since he wants to barter it, he rises its price by 1 minyan for a cane and offers 5 minyanim.
He wants to be given 2-fifths in cash, and for the [3]-fifths he wants the other to give him wool.
The woolen cloth is worth [7] minyanim for a cloth.
We wish to know by how much will the price of wool increase, as the price of cloth increases?
 קצז) שאלה ג' בני אדם רוצים להחליף סחורה זה עם זה הא' מוכר בגד והאחר מוכר צמר

מי שמוכר הבגד מוכר אותה הקנה שוה ג' מנינים במעות מנויים ומצד שהוא רוצה להחליף העלה אותו מנין א' לקנה ושם אותו ה' מנינים
ומזה רוצה שינתן לו ב' חמישיות במעות מנויים והב' חמישיות רוצה שיתן לו האחר מצמר
והבגד מן הצמר שוה ג' מנינים הבגד
נרצה לדעת כמה יעלה לו סך הצמר כאשר העלה לו סך הבגד

It should be done as follows: take 2-fifths of the money he requires, meaning of the 5 minyanim; [3] remains.
\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(\frac{2}{5}\sdot5\right)=3}}
 ראוי לעשות ככה והוא שתקח ב' חמישיות מהממון שהוא שואל רצוני מהה' מנינים ישארו ה‫'
Then, subtract 2 from the 4, which is the price of the cane in cash; 2 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{4-\left(\frac{2}{5}\sdot5\right)=4-2=2}}
 אח"כ קח ב' מהד' שהיה שווי הקנה במעות מנויים ישאר ב‫'
Now, say: if 2 is worth 3, how much is 7 worth?
\scriptstyle{\color{blue}{2:3=7:X}}
 אח"כ תאמר אם ב' שוים ג' כמה שוים ז‫'
You receive 10 and a half and this is what he should offer from the wool.
\scriptstyle{\color{blue}{X=10+\frac{1}{2}}}
 יצא לך י' וחצי וככה ישים הצמר
Check: if you want to check it: we suppose he bought 2 cane that were worth 80 minyanim in cash and now are worth 100 in their barter.
 ואם תרצה לבחון נניח שקנה ב' קנה שהיו שוות פ' מנינים במעות מנויים ועתה שוות ק' נחליף שעושים
He asks for 2-fifths of the 100 in cash, which is 40 minyanim.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot100=40}}
 ומהק' הוא שואל ב' חמישיות במעות מנויים שהם מ' מנינים
Subtract 40 from 80; 40 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{80-40=40}}
 הסר מפ' מ' הנשאר מ‫'
He rises the 40 to 60. How much will he take from the wool?
 ומאלו המ' העלה אותם עד ס‫'

כמה יקח מהצמר

The 40 should be divided by 7, which is the initial price of the wool; you receive 5 and 5-sevenths.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{40}{7}=5+\frac{5}{7}}}
 ראוי לחלק מ' על ז' שהוא שווי הצמר התחלה יעלה לך ה' וה' שביעיות
Say: how much are the 5 and 5 sevenths worth at the price of ten and a half minyanim?
 ואמר אלו הה' וה' שביעיות כמה שוים לערך עשרה מנינים וחצי
You find that they are worth 60 minyanim, because he rises [the price] from 40 to 60.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{5}{7}\right)\sdot\left(10+\frac{1}{2}\right)=60}}
 תמצא שישוו ס' מנינים כי העלה אותם ממ' עד ס‫'

Partnership Problems
198) Question: there are four [men] who formed a partnership.
Three of them, without the fourth, contributed 600 minyanim.
Three of them, without the third, contributed 700 minyanim.
Three of them, without the first, contributed 800 minyanim.
Three of them, without the second, contributed 900 minyanim.
We wish to know how much did each contribute?
 קצח)‫[36] שאלה יש כאן ד' עושים שותפות

הג' בלתי הרביעי שמו ו' מאות מנינים
והג' האחרים בלתי הג' שמו ז' מאות
והג' בלתי הא' שמו ח' מאות
והג' בלתי השני שמו ט' מאות
נרצה לדעת כמה שם כל א‫'

It should be solved this way: sum up all their money together; it is a thousand, after we divide [the total] by 3, and this is all the money they contributed together.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{600+700+800+900}{3}=1000}}
 ראוי לעשות כן תחבר כל ממונם יהיה זה אלף אחר שנחלקם על ג' והוא כל הממון ששמו בין כלם
We subtract 600 from it; 400 remains and this is the share of the fourth.
\scriptstyle{\color{blue}{a_4=1000-600=400}}
 ונסיר מזה ת"ר ישאר ת' והוא חלק הרביעי
We subtract 700 from it; 300 remains and this is what the third contributed.
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=1000-700=300}}
 עו' נסיר מזה ז' מאות וישארו ג' מאות והוא מה ששם השלישי
We subtract 800 from it; 200 remains and this is what the second contributed.
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=1000-800=200}}
 עוד נסיר מזה ח' מאות ישארו ב' מאות והוא מה ששם השני
We subtract 900 from it; one hundred remains and this is what the first contributed.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1000-900=100}}
 עוד נסיר מזה ט' מאות ישארו מאה והוא מה ששם הראשון
The total is one thousand.
\scriptstyle{\color{blue}{100+200+300+400=1000}}
 ובין כלם אלף
  • 196)[L] Question: there are four [men] who formed a partnership.
Three of them, without the first, contributed 18 [minyanim].
Three of them, without the [second], contributed 20 minyanim.
Three of them, without the [third], contributed 22 [minyanim].
Three of them, without the fourth, contributed 24 [minyanim].
We wish to know how much did each contribute?
 קצו)‫[37] שאלה ד' עושים שותפות

הג' בלתי הראשון שמו י"ח
והג' מהם בלתי האחד שמו כ' מנינים
והג' האחרים זולת האחר שמו כ"ב
והג' בלתי הרביעי שמו כ"ד
כמה שם כל אחד ואחד

Sum up all their money together; the result is 84.
 תחבר כל ממונם ויעלה פ"ד
Divide it by 3; you receive 28 and this is all their money.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18+20+22+24}{3}=\frac{84}{3}=28}}
 תחלקם על ג' ויצא לך כ"ח וכן כל ממונם
We divide 84 by 3 because they are always triplicated.
 והנה חלקנו פ"ד על ג' כי לעולם הם מחוברים
We subtract from it the 18 that the first three contributed; ten remains and this is the share of the first.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=28-18=10}}
 ונסיר מהם י"ח ששמו הג' הראשנים וישארו עשרה והוא חלק הראשון
We subtract 20; 8 remains and this is the share of the second.
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=28-20=10}}
 עוד נסיר כ' וישארו ח' והוא חלק השני
We subtract 22; 6 remains and this is the share of the third.
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=28-22=6}}
 עוד נסיר כ"ב וישארו ו' והוא חלק השלישי
We subtract 24; 4 remains and this is the share of the fourth.
\scriptstyle{\color{blue}{a_4=28-24=4}}
 עוד נסיר כ"ד ונשאר ד' והוא חלק הרביעי
197)[L] Question: there are five - four of them contributed 22, four of them contributed 24, four of them contributed 26, four of them contributed 28, and four of them contributed 30.
How much did each have?
 קצז)‫[38] שאלה בכאן חמשה שד' שמו כ"ב וד' מהם שמו כ"ד וד' מהם שמו כ"ו וד' מהם שמו כ"ח וד' מהם שמו ל‫'

כמה לכל אחד ואחד

Sum up all their money together; the result is 130.
 תחבר כל ממונם ויעלה ק"ל
Divide it by 4 [...]; you receive 32 and a half, which is all their money.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22+24+26+28+30}{4}=\frac{130}{4}=32+\frac{1}{2}}}
 חלקם על ד' שהם קשורים לעולם ויצא לך ל"ב וחצי והוא כל ממונם
Subtract 22 from it; ten and a half remains and this is the amount of money of the fifth.
\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\left(32+\frac{1}{2}\right)-22=10+\frac{1}{2}}}
 תסיר מהם כ"ב הנשאר עשרה וחצי והוא ממון החמישי
Subtract 24 from it; 8 and a half remains and this is the amount of money of the fourth.
\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\left(32+\frac{1}{2}\right)-24=8+\frac{1}{2}}}
 תסיר מהם כ"ד הנשאר ח' וחצי והוא ממון הרביעי
Subtract 26 from it; 6 and a half remains and this is the amount of money of the third.
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(32+\frac{1}{2}\right)-26=6+\frac{1}{2}}}
 תסיר מהם כ"ו וישארו ו' וחצי והוא ממון השלישי
Subtract 28 from it; 4 and a half remains and this is the amount of money of the second.
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(32+\frac{1}{2}\right)-28=4+\frac{1}{2}}}
 תסיר מהם כ"ח וישארו ד' וחצי והוא ממון השני
Subtract 30 from it; 2 and a half remains and this is the amount of money of the first.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(32+\frac{1}{2}\right)-30=2+\frac{1}{2}}}
 תסיר מהם ל' וישארו ב' וחצי הוא ממון הראשון

Purchase - Unequal Amount Problem - Two Types of Wheat
199) Question: There is a man here who sells a measure of wheat for 10 minyanim and he has another better kind of wheat that he sells a measure for 16 minyanim.
A man comes and says to him: sell to me of the two kinds of wheat for a price of 14 minyanim and I will buy 20 measures.
How much will he sell to him from each [kind of] wheat, so that the wheat will be worth 14 minyanim?
 קצט) שאלה יש כאן אדם שמוכר מדת החטה י' מנינים ויש לו חטה אחרת יותר טובה שמוכר המדה י"ו מנינים ובא אדם ואמר לו מכור לי מ[ב'] מיני חטה לערך י"ד מנינים ואקנה כ' מדות

כמה יתן לו מכל חטה וחטה באופן שיבא י"ד מנינים החטה

The answer: do as follows: see how much is the difference between 14 and 10; you find it 4. Place it above 14 that is its counter.
 תשובה כך תעשה ראה איזה הפרש יש בין י"ד לי' תמצא ד' ותשימם על י"ו שהוא הפכו
See also the difference between 14 and 16, which is the second price; you find it is 2. Place it above 10.
 עוד תראה איזה תוספת יש בין י"ד לי"ו שהוא הערך השני תמצא ב' ותשים אותם על י‫'
Then, sum 2 and 4, which are the excesses; it is 6. Keep it.
 אח"כ חבר ב' וד' שהם הנוספים ויהיו ו' ושמרם
Take the 4 and multiply it by the amount he wants to buy, which is 20 measures; the result is 80.
 אח"כ קח הד' וכפול אותם על הסך שהוא רוצה לקחת שהם כ' מדות יעלה פ‫'
Divide it by 6; you receive 13 integers and a third. Relate it to the measures that are worth 16 minyanim.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(14-10\right)\sdot20}{\left(14-10\right)+\left(16-14\right)}=\frac{4\sdot20}{4+2}=\frac{80}{6}=13+\frac{1}{3}}}
 חלקם על ו' יעלה לך י"ג שלמים ושליש ושים אותם אצל המדות ששוות י"ו מנינים
Then, multiply 2, which is the second number, by 20, which is the number of the measures; the result is 40.
 אח"כ כפול הב' שהוא המספר השני על כ' שהוא סך המדות יעלה מ‫'
Divide it by 6; you receive 6 integers and 2-thirds and so he will buy of the wheat that is worth 10 minyanim for one measure.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(16-14\right)\sdot20}{\left(14-10\right)+\left(16-14\right)}=\frac{2\sdot20}{4+2}=\frac{40}{6}=6+\frac{2}{3}}}
 חלקם על ו' יצא לך ו' שלמים וב' שלישיות וככה יקח מהחטה ששוה י' מנינים המדה
So, he should buy 13 measures and a third of the wheat that is worth 16 minyanim and 6 and 2-thirds [measures] of the wheat that is worth 10 [minyanim]; the total is 20 measures.
 הנה א"כ יש לו לקחת מהחטה ששוה י"ו מנינים י"ג מדות ושליש ומהחטה ששוה י' יקח ו' וב' שלישיות ובין הכל כ' מדות
Check: if you want to check it: it is known that he asks for 20 measures for a price of 14 minyanim for one measure. Multiply 14 by 20; you receive 280. Hence, the 20 measures are worth 180 minyanim.
\scriptstyle{\color{blue}{14\sdot20=280}}
 ואם תרצה לבחון אותו ידוע הוא כי הוא שאל כ' מדות לערך י"ד מנינים במדה

כפול י"ד על כ' יצא לך ר"פ
הנה א"כ הכ' מדות שוות ר"פ מנינים

But, you say that he should buy 13 measures and a third of the kind that is worth 16 minyanim. So, multiply 16 by 13 and a third; you receive 213 and a third. Keep it.
\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left(13+\frac{1}{3}\right)=213+\frac{1}{3}}}
 ואתה אמרת שראוי לקחת י"ג מדות ושליש מאותו ששוה י"ו מנינים

כפול י"ו על י"ג ושליש ויצא לך רי"ג ושליש ושמור אותם

Then, go back to the wheat that is worth 10 minyanim. You say that [he] should buy 6 measures and 2-thirds of [this kind]. Multiply 6 and 2-thirds by ten; you receive [6]6 and 2-thirds.
\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)=66+\frac{2}{3}}}
 אח"כ שוב אל החטה ששוה י' מנינים המדה ואתה אמרת שראוי לקחת ממנה ו' מדות וב' שלישיות כפול ו' וב' שלישיות על עשרה יצא לך צ"ו (ס"ו) וב' שלישיות
Add 66 and 2-thirds to 213 and a third; you receive 180 integers and it is equal to the reserved 180.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(66+\frac{2}{3}\right)+\left(213+\frac{1}{3}\right)=280}}
 חבר ס"ו וב' שלישיות אל רי"ג ושליש ויצא לך ר"פ שלמים והוא שוה אל הר"פ השמורים

Purchase - Equal Amount Problem - Five Coins
200) Question: there is one here who has one magen and he wants to be given carlini, grani, tornesi, dinar, and cavalli for this magen equally, so that he will take of the one the same as of the others.
 ר) שאלה יש כאן א' שיש לו מגן א' ורוצה שינתן לו בעד זה מגן קרליני וגרני וטורנישי ודינר וקאוואלי שוה בשוה שיקח מהא' כמו מהנשארים
It should be done as follows: know how many cavalli there are in a magen; you find 12 hundred.
 ראוי לעשות ככה והוא שתדע כמה קאוואלי יש במגן תמצא י"ב מאות
Then, say: how many dinar there are in a magen? You find 6 hundred.
 אח"כ תאמר כמה דינרין יש במגן תמצא ו' מאות
Then, say: how many tornesi there are in a magen; you find 2 hundred; 100 grani; and 10 carlini.
 אח"כ תאמ' כמה טורני יש במגן תמצא ב' מאות וק' גרות וי' קרליני
Take the greater number of all of them, which is 12 hundred, and divide it by itself; the result is 1.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{1200}=1}}
 קח המספר הגדול שבכלם והוא י"ב מאות וחלקהו על עצמו יצא א‫'
By the dinar; the result is 2.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{600}=2}}
 ועל הדינרין יצא ב‫'
By the tornesi - 6.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{200}=6}}
 ועל הטורני ו‫'
By the grani - 12.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{100}=12}}
 ועל הגרות י"ב
By the carlini - 120.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{10}=120}}
 ועל הקרליני ק"כ
Add up all of them; it is 141.
\scriptstyle{\color{blue}{1+2+6+12+120=141}}
 חברם כלם ויהיו קמ"א
Divide 12 [hundred] by it; it is 8 and 72 parts of 141 and so he takes of each coin.
חלק י"ב עליהם ויהיו ח' וע"ב חלקים קמ"א וכך יקח מכל מטבע
Check: if you wish to check it, convert all the coins, including the fractions, into the smallest [kind] of them, which is cavalli; the result is 12 hundred.
 ואם תרצה לבחון השב כל המטבעים אל המטבע היותר דקה שהם קאוואלי וגם החלקים ויעלה י"ב מאות

Payment Problem - Herdsman
201) Question: there is someone here who has bulls and he told the herdsman that if he will graze his bulls 5 years, he will give him half of all the profit and also half the bulls after paying for the 5 years, but the herdsman died at the end of 31 and a half months and the bulls are 3 hundred and 50.
We want to know how much the herdsman should have been paid, given that if he had not died by the end of the 5 years he would have taken half the bulls.
 רא) שאלה יש כאן מי שיש לו שורים ואמר לרועה אלו ירעה שוריו ה' שנים יתן לו חצי כל הריוח וגם חצי השורים אחר תשלום הה' שנים והרועה מת לסוף ל"א חדשים וחצי והשורים הם ג' מאות ונ‫'

נרצה לדעת כמה יקח הרועה שאלו לא מת עד סוף ה' שנים לקח חצי השורים

It should be done as follows: convert the years into months; they are 60.
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot12=60}}
 ראוי לעשות ככה והוא שתשיב ה' שנים חדשים ויהיו ס‫'
Say: if 60 is equal to 350, how much is 31 and a half?
\scriptstyle{\color{blue}{60:350=\left(31+\frac{1}{2}\right):X}}
 ותאמר אם ס' שוים ש"נ ל"א וחצי כמה שוים
The result is 183 and 45 parts of 60.
\scriptstyle{\color{blue}{X=183+\frac{45}{60}}}
 ומה שיבא הוא קפ"ג ומ"ה חלקים מס‫'

Proportional Division Problems
202) Question: a man wants to go to war and takes 2 hundred horse riders and 4 hundred infantrymen.
He tells them that everything they loot would be theirs and they agree that each horse rider will take 5 minyanim and the infantryman 3 minyanim and the loot is a thousand minyanim.
We wish to know how much will the horse riders take and how much will the infantrymen take?
 רב) שאלה אדם רוצה לעשות מלחמה ועשה ב' מאות אנשים רוכבים על סוסים וד' מאות רגליים

אמר להם כל מה שיבוזו יהיה שלהם והתנו ביניהם כי רוכב הסוס יקח כל א' ה' מנינים והרגליים ג' מנינים והשלל הוא אלף מנינים
נרצה לדעת כמה יקחו רוכבי על סוסים וכמה יקחו הרוגליים

It should be done as follows: multiply the [number of] minyanim the infantrymen should take by 4 hundred, because they are 4 hundred. Multiply it by 3; you receive 12 hundred.
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot400=1200}}
 ראוי לעשות ככה והוא שתכפול המנינים הראוים לקחת הרגליים על ד' מאות מצד כי הם ד' מאות תכפלם על ג' ויצא לך י"ב מאות
Multiply also 5, which is what the horse riders should take, by 2 hundred, because they are 2 hundred; the result is one thousand.
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot200=1000}}
 עוד כפול ה' שהוא מה שראוי לקחת רוכבי הסוסים על ב' מאות מצד שהם ב' מאות ויצא אלף
Then, sum a thousand with 12 hundred; it is 22 hundred.
\scriptstyle{\color{blue}{1000+1200=2200}}
 אח"כ חבר אלף עם י"ב מאות ויהיו כ"ב מאות
Take one of the numbers, meaning a thousand or 12 hundred, multiply it by a thousand, which is the [loot], and divide it by 2 thousand and 2 hundred; you receive the share of each.
 אח"כ קח א' מהמספרים רצוני או אלף או י"ב מאות ותכפלם על אלף שהוא הכזה ותחלקם על ב' אלפים וב' מאות ויצא לך חלק כל א וא‫'
So, multiply a thousand by a thousand and divide it by 22 hundred; you receive 454 and 6 parts of 11.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1000\sdot1000}{2200}=454+\frac{6}{11}}}
 אח"כ כפול אלף על אלף וחלקם על כ"ב מאות יצא לך תנ"ד וו' חלקים מי"א
Multiply 12 hundred by a thousand and divide it by 22 hundred; you receive 545 and 5 parts of 11 and this is the share of the infantryman.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200\sdot1000}{2200}=545+\frac{5}{11}}}
 אח"כ כפול י"ב מאות על אלף וחלקם על כ"ב מאות ויצא לך תקמ"ה וה' חלקים מי"א והוא חלק הרגליים
203) Question: there are here three grinders: one grinds 12 measures a day, the second 9, and the third 6.
One comes with 100 [measures]. He wants to grind them quickly and he wants that the measures will be divided among the three grinders, so that it will be done at once.
How many measures should we assign to each?
 רג) שאלה יש כאן ג' טוחנות הא' טוחנת י"ב מדות ביום והב' ט' והג' ו' ובא א' עם ק' ורוצה לטחנם מהרה ורוצה שיחלקו המדה לג' טוחנות ויהיה עשוי הכל בבת אחת

כמה מדות נשים בכל א' וא‫'

All the numbers should be summed together, meaning 12, 9, and 6; the result is 27.
\scriptstyle{\color{blue}{12+9+6=27}}
 הנה ראוי לחבר מספר כלם רצוני י"ב וט' וו' יעלה כ"ז
Then, multiply [12 by] 100 and divide by 27; you receive 44 and [1]2 parts of 27 and this is [the number of] the measures assigned to [the first].
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot100}{27}=44+\frac{{\color{red}{2}}}{27}}}
 אח"כ כפול ק' וחלקם על כ"ז יצא לך מ"ד וכ"ב חלקים מכ"ז והוא המדות שנתן לו
We multiply 9 by 100 and divide by 27; the result is 33 and 9 parts of 27.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\sdot100}{27}=33+\frac{9}{27}}}
 עוד נכפול ט' על ק' וחלק על כ"ז ויצא ל"ג וט' חלקים מכ"ז
Multiply 6 by 100 and divide by 27; the result is 22 and 6 parts of 27.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot100}{27}=22+\frac{6}{27}}}
 עוד כפול ו' על ק וחלק על כ"ז ויצא כ"ב וו' חלקים מכ"ז
The total is [100].
\scriptstyle{\color{blue}{\left(44+\frac{12}{27}\right)+\left(33+\frac{9}{27}\right)+\left(22+\frac{6}{27}\right)}}
 ובין הכל מ‫'
To know how long the wheat stays in the grinder, say: these 12 measures are grind in 12 hours, in how many hours will I grind 14 measures and 12 parts of 27?
 ולדעת כמה זמן תעמוד החטה על הטוחנת תאמר אלו י"ב מדות נעשות י"ב שעות בכמה שעות אעשה מ"ד מדות וי"ב חלקים מכ"ז
This is clear.
 וזה נודע

Ordering Problem - Eggs
204) Question: A woman was carrying eggs and a man dropped them.
She asked that he would pay for them and said: when I counted them by two - 1 was left; by three - 1; by four - 1; by five - 1; by six - 1; and by 7 - [all gone].
How many were they?
 רד) שאלה אשה נושאת ביצות והפילם אדם ואמרה שיפרעם ואמרה כשמניתים ב"ב נשאר א' ג"ג א' ד"ד א' ה"ה א' ו"ו א' ז"ז שוה כמה היו
Look for a number that has a half, a third, a quarter, a fifth, and a sixth; you find it is 60.
 בקש מספר אשר לו חצי ושליש ורביעית וחומש ושתות ותמצא ס‫'
[erroneous sentence]
 תוסיף א' בעבור התוספת על בב' גג' וכו' יהיו ס"א
Multiply 5 by 6[0]; the result is 300.
 אח"כ כפול ה' על ס"א ויעלה ש‫'
Add 1 to it [for the addition of 2 by 2, 3 by 3, etc.; it is 61]; it is 301.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot60\right)+1=300+1=301}}
 תוסיף בו א' ויהיו ש"א
Question: A man was carrying eggs and another dropped them.
He asked that he would pay for them and said: when I counted them by two - 1 was left; by three - 2; by five - 4; by six - 5; by seven - [all gone].
How many were they?
 שאלה אדם נושא ביצות ואחר הפילם ואמר שיפרעם ואמר כשמניתים א' בב' נשאר א' גג' ב' הה' ד' וו' ה' זז' שוה כמה היו
Look for a number that has a third, a quarter, a fifth, and a sixth; it is 60.
 בקש מספר לו שליש ורביע וחומש ושתות והוא ס‫'
Subtract 1; 59 remains.
 תסיר א' נשאר נ"ט
Add 60; it is 119 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(60-1\right)+60=59+60=119}}
 תוסיף ס' ויהיו קי"ט והוא המבוקש

Mixture and Alligation Problems
205) Question: a man has liter of two kinds of silver, one of them is 7 ՚oqya of pure silver per liter and the other is one ՚oqya [per liter].
He wants to melt the two kinds of silver, and mixture them, so that each liter will contain 9 ՚oqya of pure silver.
We ask: how much should he take of each?
 רה) שאלה אדם יש לו ליט' מב' מיני כספים שא' מהם יש לליט' ז' אוק' מכסף טוב ובאחר אוק' ורוצה להתיך מהב' כספים ולהשיבם שיכיל כל ליט' ט' אוק' מכסף טוב

נשאל כמה יקח מכל א' וא‫'

See how much is the difference between 9 and 7; you find it is 2. Put it above the 11.
 ראה איזה הפרש מט' לז' תמצא ב' ושימם על י"א
Then, see how much is the difference between 9 and 11; it is 2. Put it above the 7.
 ואח"כ ראה ההפרש מט' לי"א והוא ב' ושימם על ז‫'
Hence, the same should be taken from each.
 הנה ראוי לקחת מזה כמו מזה
207) Question: a man has three kinds of silver, one is 5 ՚oqya of pure [silver] per liter, another is 7 [՚oqya per liter], and another is 11 [՚oqya per liter].
He wants to mixture the three, so that each liter will contain 8 ՚oqya [of pure silver].
 רז) שאלה לאדם מג' מיני כסף בא' ה' אוק' לליט' מטוב ובאחר ז' ובאחר י"א ורוצה לקחת משלשתן באופן שיכיל לליט' ח' אוק‫'
Do as follows: see how much is the difference between 7 and 8; you find it is 1. Put it above the 5.
 כך תעשה ראה איזה הפרש יש בין ז' לח' תמצא א' ושים אותו על ה‫'
Say also: how much is the difference between 5 and 8? You find it is 3. Put it above the 7.
 עוד תאמר איזה הפרש מה' לח' תמצא ג' ושימם על ז‫'
Then, multiply 1 by 5; the result is 5.
 אח"כ כפול א' על ה' ויצא ה‫'
Multiply also 7 by 3; the result is 21.
 עוד כפול ז' על ג' ויצא כ"א
Add it to 5; it is 26.
 חברם אל ה' ויהיו כ"ו
Take the liter that are 1 and 3; it is 4.
 אח"כ קח הליט' שהם א' וג' יהיו ד‫'
Multiply it by 8; it is 32.
 וכפלם על ח' ויהיו ל"ב
Subtract 26 from 32; 6 remains. We keep it.
 הוצא מל"ב כ"ו נשארו ו' ושמרם
Divide the 6 by the difference between 8 and 11; you find it is 3. Divide 6 by 3; the result is 2.
 אח"כ חלק אלו הו' בין ההפרש שיש בין ח' לי"א תמצא ג‫'

חלק ו' על ג' יצא ב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\left(1+3\right)\sdot8\right]-\left[\left[\left(8-7\right)\sdot5\right]+\left[\left(8-5\right)\sdot7\right]\right]}{11-8}=\frac{\left(4\sdot8\right)-\left[\left(1\sdot5\right)+\left(3\sdot7\right)\right]}{3}=\frac{32-\left(5+21\right)}{3}=\frac{32-26}{3}=\frac{6}{3}=2}}
Therefore, 1 liter should be taken from the silver of 5 [՚oqya per liter], 3 [liter] from the silver of 7 [՚oqya per liter], and 2 [liter] from the silver of 11 [՚oqya per liter].
 הנה א"כ ראוי לקחת א' ליט' מכסף ה' וג' מכסף ז' וב' מכסף י"א
Check: If you want to check it, sum up all the liter and take the value of the three kind of silver that each contains; the result is 48.
 ואם תרצה לבחון אותו חבר כל הליט' וקח שוויים מהג' כספים ממה שמכיל ויעלו מ"ח
Multiply the sum of liter, which is 6, by 8; the result is 48 and it is the same.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot5\right)+\left(3\sdot7\right)+\left(2\sdot11\right)=48=6\sdot8}}
 עוד כפול סך הליט' שהם ו' על ח' ויעלו מ"ח והם שוים
208) Question: if you have 3 liter of silver that contain 7 ՚oqya of pure [silver] in each liter, and you wish to mixture them, so that each liter will contain 9 ՚oqya.
רח) שאלה אם יש לך ג' ליט' מכסף שמכיל ז' אוק' מטוב בכל ליט' ותרצה להשיב באופן שיכיל ט' אוק' כל ליט‫'
7 should be divided by 9; the result is 7-ninths.
 ראוי לחלק ז' על ט' יצא ז' תשיעיות
Then, multiply 7-ninths by 3; the product is 21.
 אח"כ כפול הז' תשיעיות על ג' ויצא כ"א
Divide it by 8; the result is 2 and a third.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}\sdot3=\frac{7\sdot3}{9}=\frac{21}{9}=2+\frac{1}{3}}}
 וחלקם על ט' יצא ב' ושליש
Check: Check it and you will find it is correct, because the 3 liter of 7 [՚oqya] are worth 21 and the 2 and a third [liter] of 9 [՚oqya] are worth 21.
 ותבחון אותו ותמצאנו נכון כי הג' ליט' מז' שוות כ"א והב' ושליש מט' שוות כ"א
209) Question: a man has 6 liter of silver that contain 8 [՚oqya] of pure [silver in each liter], and we wish to mixture them, so that each liter will contain only 4 ՚oqya of pure [silver].
 רט) שאלה לאדם ו' ליט' מכסף שמכיל ח' מטוב ונרצה להשיבם באופן שלא יכילו כי אם ד אוק' מטוב לליט
Divide 8 by 4; the result is 2.
 חלק ח' על ד' יצא ב‫'
Multiply 2 by 6; the result is 12.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{4}\sdot6=2\sdot6=12}}
 כפול ב' על ו' ויצאו י"ב
So, 6 liter that contain 8 [՚oqya] make 12 that contain 4 [՚oqya].
 הנה הו' ליט' המכילות ח' יעשו י"ב מכילות ד‫'

How Many Problem - Group of People
210) A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us plus one will make 100.
\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100
 רי) שאלה אדם עבר על אנשים אמר שלום עליכם מאה איש אמרו אין אנחנו ק' רק אנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעתנו ועמך נהיה מאה שאל שואל כמה היו אל
We take 1 as their number, and 1 like it; they are 2.
 הנה נקח למספרם א' וא' כמוהו והם ב‫'
Half and a quarter are 3-quarters.
 וחצי ורביע הם ג' רבעיו‫'
We convert the 2 and 3-quarters into [quarters]; they are 11.
 ונעשה מב' ג' רביעיות ויהיו י"א
\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{\left(4\sdot2\right)+3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}}}
Since they said that with him they are a hundred; their number is 99.
 ויען כי אמרנו עמו היו מאה מספרם צ"ט
Multiply them by 4 and divide by 11; the result is 36.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot\left(100-1\right)}{11}=\frac{4\sdot99}{11}=\frac{396}{11}=36}}
 כפלם על ד' וחלק על י"א ויצאו ל"ו

Buy and Sell Problems
211) Question: a man bought 100 liṭra for 100 zehuvim. He sold 50 [of them] at a liṭra and a quarter for one zahuv, and the other 50 at 3-quarters of a liṭra for one zahuv.
We want to know: did he earn or lose?
\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{\frac{3}{4}}\right)-100
 ריא) שאלה אדם קנה בק' זהובים ק' ליטרי' ומכר החמישים ראשנים ליט' ורביעית ליט' בזהוב והנ' אחרונים ג' רביעיות בזהוב

נשאל אם הרויח או הפסיד

We convert the first 50 into 200.
 נשיב הנ' ראשנים ר‫'
Divide it by 5, for the 5-quarters he sold for one pašuṭ; the result is 40.
 נחלקם על ה' בעבור ה' רביעיות שנתן בפשוט יעלה מ‫'
We convert also the other 50 into two hundred.
 גם נשיב הנ' אחרונים מאתים
Divide it by 3; the result is 66 and 2-thirds.
 נחלקם על ג' ויעלו ס"ו וב' שלישיות
Add it to 40; it is 106 and 2-thirds.
 חברם אל מ' ויהיו ק"ו וב' שלישיות
Hence, he earned 6 and 2-thirds.
 הנה הרויח ו' וב' שלישיות
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot50}{5}+\frac{4\sdot50}{3}\right)-100=\left(\frac{200}{5}+\frac{200}{3}\right)-100=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100\\&\scriptstyle=6+\frac{2}{3}\\\end{align}}}
212) Question: a man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
How much money did he have originally?
\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1
 ריב) שאלה אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות בפשוט והרויח פשוט

כמה ממונו

Common Denominator: Look for a common denominator; it is 35, which is the product of 7 by 5.
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}
 בקש המורה שהוא ל"ה שהוא כפל ז' על ה‫'
Its 3-fifths is 21.
\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}
 והנה ג' חמישיות כ"א
Its 4-sevenths is 20.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}
 וד' שביעיות כ‫'
Hence, the money is 20 and it became 21, so he earned one pašuṭ and he bought 12 liṭra for 20 dinar.
 והממון היה כ' ושב כ"א והרויח פשוט ומהכ' דינרין קנה י"ב ליט‫'
213) Question: a man bought four sevenths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold five ninths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+1
 ריג) שאלה אדם קנה ד' שביעיות בפשוט ומכר ה' תשיעיות בפשוט והרויח פשוט
The method is already known.
 הדרך נודע

Purchase Problem – Moneychanger
214) Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind].
A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive.
\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{6}X=1
 ריד) שאלה יש אצל המחליף מג' מטבעים שוה בזהוב מהא' ג' בזהוב ומהאחרת ד' ומהאחרת ו' ובא אדם אמר למחליף יחליף לו זהוב יתן לו מג' המטבעי' מספר שוה
Look for a number that has a third, a quarter, and a sixth; you find it is 12. [The sum of] all the fractions is 9 and it is a dinar.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=9}}
 בקש מספר לו שליש ורביע ושישית תמצא י"ב וכל החלקים הם ט' והוא דינר
We examine the ratio of 12 to 9; it is 1 and a third and so he will take from each [type of] coin.
\scriptstyle{\color{blue}{x=12:9=1+\frac{1}{3}}}
 ונבקש מה ערך י"ב אל ט' והוא א' ושליש וככה יקח מכל מטבע

Payment Problem - Digging a Hole
215) Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 7 in length, [6 in width], 5 in depth, and he will pay him 11, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth.
How much should he be paid?
רטו) שאלה ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקעו ז' באורך ובאורך (ו' ברוחב) וה' בעומק ויתן לו י"א והוא חפר ו' באורך וה' בעומק וד' ברוחב כמה ראוי שיקח
This question has double proportion which is called "rule of three".
 זאת השאלה הוא מערכים כפולים נקר' ריגולא דיטרי דנפיצה
You receive 6 and 2-sevenths and so he should be paid.
 ויצא לך ו' וב' שביעיות וכך ראוי שיקח

Motion Problem – Pursuit
216) Question: A man sent a messenger to walk 29 miles a day. After 10 days of walking, he sent another messenger to walk after him 37 miles a day.
When will he catch up with him?
\scriptstyle29X=37\sdot\left(X-10\right)
 ריו) שאלה איש שלח רץ ילך בכל יום כ"ט מילין ובסוף י' ימים שלח אחר ילך בכל יום ל"ז

מתי ישיגנו

Rule of Three: we multiply the [number of] miles the first walked by 10 days; it is 290.
 נכפול המילין שהלך הראשון בי' ימים והם ר"ץ
We divide it by the difference between [the speeds of] the two walkers, which is 8; you receive 36 [days] and a quarter of a day.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{29\sdot10}{37-29}=\frac{290}{8}=36+\frac{1}{4}}}
 נחלקם על היתרון שהוא בין ב' המהלכים שהוא ח' ויצא לך ל"ו ורביעית יום

Boiling Problems
217) Question: a man had 10 measures of must and he wanted to boil them so that only one third will remain.
He started to cook [them] until eight measures remained of them.
Then two measures overflow.
Now he wants to boil [the remainder] until it will be reduced [as planned for] the original [amount] of must.
\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}
 ריז) שאלה אדם היו לו י' מדות מתירוש ורצה לבשלם עד לא ישאר כי אם שליש והחל לבשל עד שנשארו ח' ונשפכו ב' ורוצה לבשלם כמשפט הראשון
You have three known numbers:
 יש לך ג' מספרים ידועים
One is a third of ten, which is 3 and a third.
 א' כמה שליש עשרה והוא ג' ושליש
It is known that 8 measures were boiled.
 וידוע כי ח' היו המדות שנתבשלו
It is known the 6 remain.
 וידוע כי ו' נשארו
Rule of Three: we do as follows: we multiply 6 by 3 [and a third], then divide by 2; the result is 2 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\sdot\left(8-2\right)}{8}=\frac{\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot6}{8}=\frac{20}{8}=2+\frac{1}{2}}}
 ונעשה כך נכפול ו' על ג' וחלק על ב' ויצא ב' וחצי
218) Question: a man had 9 measures and he wanted to boil them so that one third will remain.
They were cooked until 6 measures remained.
Then 4 [measures] overflow and 2 remained.
How much should they be boiled?
\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}
 ריח) אדם יש לו ט' מדות ורצה לבשלם עד ישובו לשליש ונתבשל עד נשארו ו' מדות ונשפך ד' נשארו ב‫'

כמה ראוי לבשל

Rule of Three: Multiply 2 by 3; the result is 6. Divide it by 6; the result is 1 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)\sdot\left(6-4\right)}{6}=\frac{3\sdot2}{6}=\frac{6}{6}=1}}
 כפול ב' על ג' יעלו ו' חלקם על ו' יעלה א' והוא הנדרש

Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree
219) Question: a tree, a seventh of it is in the water, a ninth of it is [ingrained] in the soil, and up above the water it is 8 cubits long.
How many cubits long is the whole tree?
\scriptstyle\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x+8=x
 ריט) שאלה אילן שביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה ח' כמה ארכו
False Position: the common denominator is 63.
 המורה הוא ס"ג
We subtract 16 from it, which is its seventh and its ninth; 47 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{63-\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)-\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=63-16=47}}
 נחסר ממנו י"ו שהוא השביעית והתשיעית ישארו מ"ז
Rule of Three: we relate: we multiply 8 by 63; the result is 504. We divide it by 47; the result is 10 integers and 34 parts of 47.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{8\sdot63}{47}=\frac{504}{47}=10+\frac{34}{47}}}
 ונעשה הערך כפלנו ח' על ס"ג עלו תק"ד

חלקנום על מ"ז עלו י' שלמים גם ל"ד חלקים ממ"ז

Check: A seventh of this number is 1 integer and 25 parts of 47; its ninth is 1 integer and 9 parts [of 47].
We sum up all the parts; they are 34 and the integers are 2.
We subtract is from ten; 8 remains.
ושביעית זה המספר א' שלם גם כ"ה חלקים ממ"ז

ותשיעיתו א' שלם גם ט' חלקים
חברנו כל החלקים והם ל"ד והשלמים ב‫'
חסרנו זה מן עשרה נשארו ח‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left[\left[\frac{1}{7}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]\right]&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left[\left(1+\frac{25}{47}\right)+\left(1+\frac{9}{47}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left(2+\frac{34}{47}\right)=8\\\end{align}}}

Triangulation Problem
220) Question: we placed a ladder on a wall that is 10 cubits high and so is the height of the ladder.
We lowered the top of the ladder by 2 cubits from the top.
We would like to know: how far is the ladder from the base of the wall?
 רכ) שאלה הצבנו סולם אל קיר עשר אמות גבהותו וככה גובה הסולם

הורדנו ראש הסולם מלמעלה ב' אמות
נרצה לדעת כמה רחוק ראש הסולם מיסוד הקיר

I give you a rule for this matter: the square of what remains from the top of the ladder to the base [of the wall] plus the square of the distance between the foot [of the ladder] and the base [of the wall] is always equal the square of the ladder.
 אתן לך כלל בדבר זה

לעולם יהיה מרובע הנשאר מראש הסולם אל היסוד עם מרובע מרחק הרגל מן היסוד שוים למרובע הסולם

We subtract the 2 cubits by which the top [of the ladder] was lowered from the top of the wall; 8 remain. Its square is 64.
 והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ויהיה מרובעו ס"ד
We subtract it from 100, which is the square of the ladder; 36 remains. Its root is 6 and this is the distance of the bottom of the ladder from the base [of the wall].
 נחסרם מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה מרחק הסולם למטה מן היסוד
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-\left(10-2\right)^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6}}
221) Question: a well is fourteen, its width is 8 and its height is 5. It contains a thousand liter of water some of which spilled out.
How much water was spilled?
 רכא) שאלה באר ארבע עשרה ורחבו ח' גבהו ה' יכיל אלף ליט' מים ונשפכו

כמה חסרו המים

?? ערוך המאה על הגובה והעולה חלק על אלף והוא חצי א' וחצי אמה [....]

Payment Problem - Two Workers
222) Question: Reuven hired Shimon at 10 coins for 30 days and [...] but Shimon fell ill, so he hired another in his place at 12 coins [for 30] day[s].
The worker worked [a] known [number of] days and the other likewise.
He paid him ten coins.
 רכב) שאלה ראובן שכר שמעון בי' כספים לל' יום ונתנ[.]לו ושמעון חלה והשכיר אחר במקומו י"ב כספים ביום ועשה השכיר ימים ידועים והאחר כמו כן ונתן לו עשרה כספים
Rule of Three: It is known that for 30 days his payment is 12 coins, so we say: if these 12 are equal to 30, how much are 10 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{12:30=10:X}}
 ידוע כי לל' יום היה שכרו י"ב כספים ונאמר אלו י"ב שוים ל' י' כמה שוים
Multiply 30 by 10; the result is 300.
Divide it by 12; the result is 25.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot10}{12}=\frac{300}{12}=25}}
 כפול ל' על י' ועלה ר"ק

חלקם על י"ב יעלו כ"ה

223) Question: If I lent you 150 minyanim for 6 months, but then I need [them] and [someone] told me that he would lend me money for 2 months that would be equal to the 150 I lent you for 6 months.
 רכג) שאלה אם הלויתי לך ק"נ מנינים בעד ו' חדשים ואח"כ אני מצטרך ואמר לי הלוה לי מעות בעד ב' חדשים שיהיה שוה לק"נ שהלויתי לך בעד ו' חדשים
Rule of Three: 6 should be multiplied by 150; the result is 900.
 ראוי לכפול ו' על ק"נ ויעלו ט' מאות
Divide it by 2; you receive 450 and this is the amount he would lend him for 2 months.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot150}{2}=\frac{900}{2}=450}}
 חלקם על ב' ויצא ד' מאות ונ' וכן ילוה לו בעד ב' חדשים

Purchase Problem - Moneychanger
224) Question: the moneychanger has four [kinds of] coins. Of the first [kind] - 6 are worth one zahuv; of the second - 4; of another - 3; and of another - 2. [Someone] wants to be given from each [kind] for a quarter of a zahuv.
How much will he take from each?
 רכד) שאלה אצל המחליף מד' מטבעים הא' ו' שוות זהוב והב' ד' והאחר ג' ואחר ב' ורוצה שיתן לו מכל א' רביעית זהוב

כמה יקח מכל אחת

The first [kind of] coin, which is 6, should be divided by 4; the result is 1 and a half and so he will take from it.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{4}=1+\frac{1}{2}}}
 ראוי לחלק המטבע הא' שהוא ו' על ד' ויצא א' וחצי וכן יקח ממנה
Divide also 4 by 4; the result is 1 and so he will take [of the second kind].
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{4}=1}}
 עוד חלק ד' על ד' ויצא א' וכן יקח
Divide also by 3; the result is 3-quarters.
 עוד חלק על ג' ויצא ג' רביעיות
Divide also 2 by 4; the result is a half and so he will take [of the fourth kind].
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}=\frac{1}{2}}}
 עוד חלק ב' על ד' ויצא חצי וכן יקח ממנה

Multiple Quantities Problems
225) Question: A man left an unknown amount of money to his sons.
He said to the first: take from my money 7 dinar and a tenth of the remainder.
He said to another: take 14 of what remains and a tenth [of the remainder].
He said to another: take 21 and a tenth of the remainder.
And so on, he always adds 7 for each.
After this was done we find that everyone has an equal share.
We would like to know how many sons he had and how much was the share of each.
 רכה) שאלה אדם עזב ממון לבניו בלתי נודע

ואמר לראשון אתה תקח מממוני ז' דינרין ועשור הנשאר
ואמ' לאחר ואתה קח לך י"ד מהנשאר והעשור
ואמ' לאחר אתה תקח כ"א ועשור הנשאר
וכן כלם לעולם מוסיף לו ז‫'
ואחר העשות זה נמצא לכלם חלק שוה
נרצה לדעת כמה בנים היו לו וכמה חלק כל א' וא' וכמה בנים היו לו

The common number should be taken; it is [ten], because he said a tenth for all.
 ראוי לקחת המספר השוה והוא העשור כי לכלם אמר עשור
Subtract 1; 9 remains.
 חסר א' ישארו ט‫'
Multiply 9 by [7], which is the share of the first without the tenth; the result is 63.
 כפול ט' על זה שהוא חלק הראשון זולת העשור יעלה ס"ג
Hence, the sons are 9 and the money of each is 63.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-1\right)\sdot7=9\sdot7=63}}
 א"כ הבנים היו ט' וממונו היה ס"ג
Now, multiply 63 by 9; the result is 567 and this is the total amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{63\sdot9=567}}
 ועתה כפול ס"ג על ט' ויעלה תקס"ז והוא כל הממון ודוק ותשכח
226) Question: There are here three who want to divide 120 minyanim.
There was a fight and each took what he could take, then they quarreled between them.
A man came and said do not get angry.
He said to one: give me half of your money; to another: a third; to another: a quarter.
He divided this money into 3 equal parts, then we find that each one has 40 minyanim in his hand.
We would like to know how much each one took.
 רכו) שאלה יש כאן ג' שרוצים לחלק ק"כ מנינים

ויהי ריב וה[.]לו ממונם וכל א' וא' לקח מה שיכול לקחת ויתקוטטו ביניהם
בא אדם ואמ' אל תרגזו
ואמר לא' תן לי חצי ממונך ולאחר שליש ולאחר רביעית
וחלק זה הממון לג' חלקים שווים ונמצא ביד כל אחד מ' מנינים
נבקש לדעת כמה לקח כל א' וא‫'

Look for a number that has a half, a third, and a quarter; you find it is 12.
 בקש מספר לו חצי ושליש ורביע תמצא י"ב
Say: 12 is a half of what number? You find it is 24.
\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}\sdot24}}
 ותאמר י"ב מאיזה מספר חציו תמצא כ"ד
Then, say: 12 is 2-thirds of what number? Since he kept 2-thirds for himself. You find it is 18.
\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}\sdot18}}
 אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ב' שלישיות בעבור שעכב לעצמו ב' שלישיות תמצא י"ח
Say also: 12 is 3-quarters of what number? You find it is 16.
\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}\sdot16}}
 עוד תאמר י"ב מאיזה מספר ג' רביעיות תמצא י"ו
Sum up all; it is 58. Keep it.
\scriptstyle{\color{blue}{24+18+16=58}}
 קבץ הכל ויהיו נ"ח ושמרם
Multiply the first number, which is 24, by 120, then divide the product by 58; the result is 49 and 38 parts of 58.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{24\sdot120}{58}=49+\frac{38}{58}}}
 אח"כ כפול המספר הראשון שהוא כ"ד על ק"כ והעולה חלק על נ"ח ויצא מ"ט ול"ח חלקים מנ"ח
Multiply also 18 by 120, then divide by 58; the result is 37 and 14 parts of 58.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18\sdot120}{58}=37+\frac{14}{58}}}
 עוד כפול י"ח על ק"כ וחלק על נ"ח יצא ל"ז וי"ד חלקים מנ"ח
Multiply also 16 by 120, then divide by 58; the result is 33 and 6 parts of 58.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16\sdot120}{58}=33+\frac{6}{58}}}
 עוד כפול י"ו על ק"כ וחלק על נ"ח ויצא ל"ג וו' חלקים מנ"ח
Check: to check it, take half the first, a third of the second, and a quarter of the third. Divide into three equal parts and give each one part; the result is 40 for each.
 ולבחון אותו קח חצי הראשון ושליש השני ורביעית הג' ועשה ג' חלקים שוים ותן לכל א' חלק א' ויעלה מ' לכל א‫'

Proportional Division - Three Men Sharing Food
227) Question: there are here two who bought 5 loafs of bread.
One bought two for two pešiṭim and the other one [bought] three for three pešiṭim.
One came and said: if you want me to eat with you I will pay each his share.
They ate together and he gave 4 to the owner of the three and 1 to the owner of the 2.
I ask: why is this?
 רכז)‫[39] שאלה יש כאן ב' קנו ה' לחמים א' קנה ב' ב' פשוטים ואחר ג' ג' פשוטים

בא א' ואמר אם תרצו שאוכל עמכם אפרע כלם שווים
ואכלו ביחד ונתן לבעל הג' ד' ובעל הב' א‫'
אשאל לדעת מה זה ועל מה זה

5 should be divided by 3; the result is 1 and 2-thirds and so each one ate.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}}}
 ראוי לחלק ה' לג' יעלה א' וב' שלישיות וכך אכל כל א' וא‫'
Hence, the first ate all his bread minus a third, so he gave him 1, and the other ate all his bread minus 4-[thirds], so he gave him 4.
\scriptstyle{\color{blue}{2-\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}}}
\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}}}
 א"כ הראשון אכל כל לחמו פחות שליש לכן נתן לו א' והאחר אכל כל לחמו פחות ד' רביעיות לכן נתן לו ד‫'

Give and Take Problem - Gatekeeper
228) Question: A man goes to the garden to pick roses and when he returns he has to go through three gates:
At the first he must give half of them plus 3.
At the second he must give a third of what is left plus 2.
At the third he must give a quarter plus 1.
He is left with 2.
How much did he pick?
רכח) שאלה אדם הולך לגן ללקוט שושנים ובבואו יש לו לעבור בג' פתחים

ראשון יש לו לתת חצים עם תוספת ג‫'
ובב' יש לתת השליש מהנשאר עם תוספת ב‫'
ובג' יש לתת רביעית עם תוספת א‫'
ונשארו לו ב' כמה לקט

Add 1 to 2, for the added 1; it is 3 and it is known that they are 3-quarters of the whole unit, which is 4.
\scriptstyle{\color{blue}{1+2=3=\frac{3}{4}\sdot4}}
 שים על ב' א' בעבור א' מתוספת ויהיו ג' וידוע כי ג' הם ג' רביעיות והשלם הוא ד‫'
Add also 2 to 4; 6 remains and it is known that 6 is 2-thirds of the whole unit, which is 9.
\scriptstyle{\color{blue}{2+4=6=\frac{2}{3}\sdot9}}
 עוד תוסיף על ד' ב' נשארו ו' וידוע הוא כי ו' ב' שלישיות והשלם ט‫'
Add 3 to it; it is 12 and this is half the number, which is 24 and so he picked.
\scriptstyle{\color{blue}{3+9=12=\frac{1}{2}\sdot24}}
 ושים עליו ג' והנם י"ב והוא חצי המספר ויהיו כ"ד וכך לקט

Find the Fund Problem, Find the Interest Problem
229) Question: a man lends a thousand minyanim to his friend for a year and is obligated to give him 25 for every 100.
At the end of 6 [months], the owner of the money needed money, he told the debtor: give me 100 minyanim; and he did so.
At the end of 4 months he gave him 4 hundred and at the end of 3 [months] he gave him 2 hundred.
We would like to know how much the owner of the money should receive at the end of the year and how much the interest was.
 רכט)‫[40] שאלה אדם מלוה לחבירו אלף מנינים בעד שנה ומחוייב לתת לו על כל ק' כ"ה

ובסוף ו' בעל הממון נצטרך למעות ואמר למחוייב לו תן לי ק' מנינים
וכן עשה ובסוף ד' חדשים נתן לו ד' מאות עוד לסוף ג' נתן לו ב' מאות
נרצה לדעת כמה ראוי שיקבל בעל הממון לסוף השנה וכמה הוא הרבית

Do as follows: say: if 100 yields 25, how much does 1000 yield? You find it is 2[50].
\scriptstyle{\color{blue}{100:25=1000:X}}
 כך תעשה תאמר אם ק' מרויחים כ"ה אלף כמה ירויחו תמצא רכ"ה
Then say: the first repayment at the end of 6 [months]. Multiply 100 by 6; it is 600.
\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot6=600}}
 אח"כ תאמר הפרעון הראשון שהוא ק' בסוף ו' כפול ק' על ו' ויהיו ת"ר
Say: if 100 minyanim in 12 [months] yield 25, how much do 100 yield in 6 months? You find it is 12 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{12:25=6:X}}
 ותאמר אם ק' מנינים בי"ב מרויחים כ"ה ק' בו' חדשים מה ירויחו תמצא י"ב וחצי
Take also the second repayment, which is 400, at the end of 4 [months]. Multiply by the months; the result is 1600.
\scriptstyle{\color{blue}{400\sdot4=1600}}
 עוד קח הפרעון הב' שהוא ת' לסוף ד' וכפול על החדשים ויעלו אלף ות"ר
Say: if 100 [minyanim] in 12 [months] yield 25, 400 give you in 4 [months] 33 and a third.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(100\sdot12\right):25=\left(400\sdot4\right):X}}
 ותאמר אם ק' בי"ב מרויחים כ"ה ת' בד' יתנו לך ל"ג ושליש
Take also the third repayment, which is 200, at the end of 3 [months]. Say: if 100 [minyanim] in 12 [months] yield 25, how much do 200 yield in 3 [months]? The result is 12 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(100\sdot12\right):25=\left(200\sdot3\right):X}}
 עוד קח הפרעון הג' שהוא ר' בתוך ג' ותאמר אם ק' בי"ב יתנו כ"ה ב' מאות בג' מה יתנו ויצא י"ב וחצי
Then, sum up [12] and a half with 33 and a third and with 12 and a half; subtract [the sum] from 250; 1[9]1 and 2-thirds remains and this is the interest he should get at the end of the year.
 אח"כ חבר (י"ב) וחצי עם ל"ג ושליש ועם י"ב וחצי ותוציאם מר"נ וישאר קמ"א (קצ"א ?) וב' שלישיות והוא הרבית שראוי שיקבל בסוף השנה
\scriptstyle{\color{blue}{250-\left[\left(12+\frac{1}{2}\right)+\left(33+\frac{1}{3}\right)+\left(12+\frac{1}{2}\right)\right]=191+\frac{2}{3}}}
He should receive 300 of the fund; so, the fund plus the profit is 4[9]1 and 2-thirds
 ויש לו לקבל מהקרן ג' מאות ויעלה עם הקרן והריוח תמ"א וב' שלישיות

Find the Price Problem - Oil and Wine - Double False Position
230) Question: A man bought 5 barrels of oil and 10 barrels of wine, for a total of 100 minyanim.
Then, he bought 9 barrels of oil and 2 barrels of wine for 100 minyanim.
At the same price he bought the first time, he bought the second time.
I would like to know for how much did he buy the oil and for how much did he buy the wine.
 רל)‫[41] שאלה אדם קנה ה' חביות שמן וי' חביות יין ובין הכל שוה ק' מנינים

אח"כ קנה ט' חביות שמן וב' חביות יין ק' מנינים
ובאותו ערך שקנה בראשנה קנה בשניה
אבקש לדעת כמה קנה השמן וכמה קנה היין

Do as follows: take whichever number you want and define it as the price of the oil or the wine.
 כך תעשה קח איזה מספר שתרצה ושימהו ערך השמן או היין
False Position 1: We define the price of [a barrel of] oil as 8 minyanim.
 ונשים ערך השמן ח' מנינים
Hence, 5 [barrels of oil] are worth 40 minyanim.
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot8=40}}
 הנה הה' שוות מ' מנינים
60 [minyanim] remain, so the price of a barrel [of wine] is worth 6 minyanim.
\scriptstyle{\color{blue}{100-40=60=10\sdot6}}
 ונשארו ס' א"כ ערך החבית ישווה ו' מנינים
We turn to the second [purchase] and say that the 9 barrels [of oil] are worth 72 and the 2 [barrels of wine] are worth 12; the sum is 84.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(9\sdot8\right)+\left(2\sdot6\right)=72+12=84}}
 ונשוב אל השני ונאמר שהט' חביות שוות ע"ב והב' שוות י"ב ויעלה פ"ד
So, 16 is missing until 100; say: 16 is missing for the price of 8.
\scriptstyle{\color{blue}{100-84=16}}
 ויחסר עד ק' י"ו ותאמר בעד הערך שהוא ח' יחסר י"ו
False Position 2: Then, look for another number. We say that a barrel of oil is worth 9 minyanim.
 אח"כ בקש מספר אחר ונאמר כי חבית השמן שוה ט‫'
Hence, 5 [barrels of oil] are worth 45 [minyanim].
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9=45}}
 והה' שוות מ"ה
A barrel of wine [is worth] 5 and a half [minyanim]; so they are 100 [minyanim].
\scriptstyle{\color{blue}{45+\left[10\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]=100}}
 וחבית היין ה' וחצי ויהיו ק‫'
Turn to the second [purchase]: the 9 barrels [of oil] are worth 81 and the 2 [barrels] of wine are worth 11; [the sum] is 92.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(9\sdot9\right)+\left[2\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]=81+11=92}}
 שוב אל הב' והט' חביות שוות פ"א והב' יין י"א ויהיו צ"ב
So, 8 is missing until 100.
\scriptstyle{\color{blue}{100-92=8}}
 ויחסר ח' עד ק‫'
Subtract 8 from 16; 8 remains.
 הוצא ח' מי"ו נשארו ח‫'
Multiply 9, which is the [second] price, by 16, which is the remainder of the first price; it is 144.
 אח"כ כפול ט' שהוא הערך על י"ו שהוא השיור מהערך הא' ויהיו קמ"ד
Multiply 8, which is the first price, by 8; the result is 64.
 אח"כ כפול ח' שהוא הערך הראשון על ח' יעלה ס"ד
Subtract 64 from 144; 80 remains.
 הוצא ס"ד מקנ"ד נשארו פ‫'
Divide it by 8; the result is 10 and so he bought.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot16\right)-\left(8\sdot8\right)}{16-8}=\frac{144-64}{8}=\frac{80}{8}=10}}
 חלקם על ח' ויצא י' וכן קנה

Pursuit Problem Problem - Dog and Rabbit
231) Question: here is a dog and a rabbit.
The rabbit is 100 steps away from the dog.
Each step of the dog is equal to 5 [steps] of the rabbit.
Each walks the same as the other.
I would like to know in how many steps they will catch up?
 רלא)[42] שאלה בכאן כלב וארנבת

והארנבת רחוקה מהכלב ק' פסיעות
וכל פסיעה מהכלב שוה ה' מהארנבת
וכך יפסיע הא' כמו זה
אתאב לדעת בכמה פסיעות ישיגנו

The way is to divide 100 by the difference, which is from 1 to 5, which is 4; the result is 25 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{5-4}=\frac{100}{4}=25}}
 הדרך ראוי לחלק ק' על היתרון שהוא מא' עד ה' שהוא ד' ויעלה כ"ה והוא המבוקש

Divide a Number Problem - 30 into 4 parts
232) Question: make me four parts out of 30, such that the ratio of the fourth to the third is as the third to the second and as the second to the first.
 רלב) שאלה תעשה לי מל' ד' חלקים שיהיה יחס הד' אל הג' כג' לב' וכב' לא‫'
False Position: We suppose the first is 1, the second is 2, the third is 4, the fourth is 8.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1;\quad a_2=2;\quad a_3=4;\quad a_4=8}}
 נניח שהא' א' והב' ב' והג' ד' והד' ח‫'
The total is 15.
\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4=1+2+4+8=15}}
 ובין כלם ט"ו
Rule of Three:
Multiply 1 by [30] and divide by 15; the result is 2 and this is the first [part].
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{1\sdot30}{15}=2}}
 לכן כפול א' על (ל') וחלק על ט"ו ויצא ב' והוא הראשון
Multiply also 2 by 30 and divide by 15; the result is 4 and this is the second [part].
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{2\sdot30}{15}=4}}
 עוד כפול ב' על ל' וחלק על ט"ו ויצא ד' והוא הב‫'
Likewise for the thirds; the result is 8.
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=8}}
 וכן מהג' ויצא ח‫'
Likewise for the fourth; the result is 16.
\scriptstyle{\color{blue}{a_4=16}}
 וכן מהד' ויצא י"ו
All of them are proportional.
 וכלם מתיחסים

How Many Problem - Hours
233) Question: a man asks his friend how many hours have passed.
He replied: 2-thirds of those that passed are equal to 3-quarters of those that will pass.
We ask: how many hours have passed?
 רלג)‫[43] שאלה אדם שואל לחבירו כמה שעות הקישו

השיב הב' שלישיות מהמוקשות שוות לג' שרביעיות לאותם שראוי להקיש
נשאל כמה שעות הקישו

You already know that the hours of the day are 24.
 כבר ידעת כי שעות היום הם כ"ד
False Position: We suppose that three [hours] have passed.
 ונניח כי הקישו ג‫'
It is known that its 2-thirds are 2.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot3=2}}
 וידוע כי ב' שלישיותיו הם ב‫'
We look for a number whose 3-quarters are 2; we find it is 2 and 2-thirds.
\scriptstyle{\color{blue}{2=\frac{3}{4}\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)}}
 ונבקש מספר אשר ב' יהיו ג' רביעיותיו ונמצא ב' וב' שלישיות
The total is 5 and 2-thirds.
\scriptstyle{\color{blue}{3+\left(2+\frac{2}{3}\right)=5+\frac{2}{3}}}
 ובין הכל עולה ה' וב' שלישיות
Rule of Three: Therefore, we multiply 3 by 24, then divide by 5 and 2-thirds; the result is 12 and 12 parts of 17 and these are the hours the have passed.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot24}{5+\frac{2}{3}}=12+\frac{12}{17}}}
 לכן נכפול ג' על כ"ד וחלק על ה' וב' שלישיות ויצא י"ב וי"ב חלקים מי"ז והם השעות שהקישו
The remainder of 24 is 11 and 5 parts of 17.
\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(12+\frac{12}{17}\right)=11+\frac{5}{17}}}
 והנשאר עד כ"ד שהם י"א וה' חלקים מי"ז
Check: this should be checked.
Take 2-thirds of 12 and 12 parts of 17; the result is 8 and 8 parts of 17.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\left(12+\frac{12}{17}\right)=8+\frac{8}{17}}}
 ראוי להקיש ולבחון אותו קח ב' שלישיות מי"ב ומי"ב חלקים מי"ז ויעלה ח' וח' חלקים מי"ז
Take also 3-quarters of 11 and 5 parts of 17; the result is also 8 and 8 parts of 17.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\left(11+\frac{5}{17}\right)=8+\frac{8}{17}}}
 עוד קח ג' רביעיות י"א וה' חלקים מי"ז ויעלה ג"כ ח' וח' חלקים מי"ז

Multiple Quantities - Boys Selling Eggs
234) Question: a man gives his seven sons eggs to sell and he gives the one half the other, i.e. if he gives the first 1, he gives the second 3, the forth 4, the fifth 5, the sixth 6 and the seventh 7.
All of them will sell the same way the first one sells, and each will receive the same amount of money.
I wish to know: how much money will each of them receive and how will they sell [the eggs]?
\scriptstyle a_1=2a_2=3a_3=4a_4=5a_5=6a_6=7a_7
 רלד)‫[44] שאלה אדם נותן ביצות לז' בניו למכור ונותן לא' מחצית השני ר"ל שאם יתן א' לראשון יתן ב' לשני וג' לג' וד' לד' וה' לה' וו' לו' וז' לז‫'

ובאופן שימכור הא' ימכרו כלם וכל כך ממון ישא הא' כמו האחר
ארצה לדעת כמה ממון נתן לכל א' וא' ובאיזה אופן מכרו

The way is that you multiply 7 by 2; it is 14. Add 1; it is 15 and this is the number of eggs of the first.
\scriptstyle{\color{blue}{1+\left(7\sdot2\right)=1+14=15}}
 הדרך בזה שתכפול ז' על ב' הנם י"ד תוסיף א' ויהיו ט"ו והוא סך הביצות מהראשון
Add 15 to it; it is 30 and this is the share of the second.
\scriptstyle{\color{blue}{15+15=30}}
 שים בו ט"ו ויהיו ל' והוא חלק הב‫'
Add 15 to it; it is 45 and this is the share of the third.
\scriptstyle{\color{blue}{15+30=45}}
 שים בו ט"ו והוא מ"ה והוא חלק הג‫'
Add 15 to it; it is 60 and this is the share of the fourth.
\scriptstyle{\color{blue}{15+45=60}}
 שים בו ט"ו ויהיו ס' והוא חלק הד‫'
The other is 75.
\scriptstyle{\color{blue}{15+60=75}}
 והאחר ע"ה
The other is 90.
\scriptstyle{\color{blue}{15+75=90}}
 והאחר צ‫'
The other is 105.
\scriptstyle{\color{blue}{15+95=105}}
 והאחר ק"ה
To know how they sold take the greater part of 15, which is 8, and this is [the number of eggs] they sold for one pašuṭ.
 ולדעת איך מכרו תחסר החלק היותר גדול מט"ו שהוא ח' והוא מה שנתנו בפשוט
The first had 7 left and he sold each for 2 pešuṭim.
\scriptstyle{\color{blue}{15-8=7}}
 והנה לראשון נשארו ז' ומכרם ב' פשוטים כל א' וא‫'
The money of one is the same as the other's, so you find that the money of each is 15.
 וכך מעות נשא הא' כמו האחר ותמצא כי ממון כל אחד ט"ו
Deduce from this.
 ותקיש על זה
235) Question: if it is said that the sons are three and he gives the one a given number, the second - the same given number plus three times of it, the third - the given number plus 6 times the given number [etc.].
The same as one sells so does the other.
How much does each have and how will he sell it?
 רלה)‫[45] שאלה ואלו אמר כי הבנים ג' ונתן לכל א' מספר מונח ולב' אותו המספר מונח וג' פעמים כמוהו ולג' המספר המונח וו' פעמים מספר מונח

ובאופן שמכר הא' ימכור האחר
כמה לכל א' ובאיזה אופן מכרו

The excess of the second over the first should be multiplied by the number of the sons.
 ראוי לכפול מה שמוסיף הב' על הא' על סך הבנים
It is known that the sons are three and the second exceeds the first by 3, plus the given number it is 4.
 וידוע כי הבנים ג' והשני מוסיף במספר עם הראשון ג' ועם המספר המונח הם ד‫'
Multiply 3 by 4; it is 12.
 כפול ג' על ד' ויהיו י"ב
Add 1 to it; it is 13.
 תוסיף בו א' ויהיו י"ג
Subtract the number of the sons from 13, because the number of the sons should always be subtracted from the sum; 10 remains. So, he sold 10 for one pašuṭ.
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot4\right)+1\right]-3=\left(12+1\right)-3=13-3=10}}
 תחסר מי"ג סכום הבנים וישאר י' כי לעולם ראוי לחסר מהמקובץ סכום הבנים הנה י' נתן בפשוט
If you want to know for what price he sold the remaining three, you already know that the second has 4 times as much as the first has plus the given number. So, he sold each of the three for 4 pešuṭim.
 ואם תרצה לדעת באיזה ערך מכר הג' שנשארו כבר ידעת כי השני מוסיף על הראשון ד' פעמים כמוהו ועם המספר המונח הנה א"כ כל א' מהג' מכר ד' פשוטים
If the second had 5 times as much as the first, he would sell each for 5 pešuṭim, and if 6, for 6.
 ואם היה מוסיף השני על הראשון ה' פעמים כמוהו היה מוכר כל א' ה' פשוטי' ואם ו' ו‫'
236) Question: a man wants to make a suit from a cloth that is 5 spans wide, which will contain 14 spans, and he wants to make another suit from a cloth that is 4 spans wide.
How many spans will he include in it?
 רלו)‫[46] שאלה אדם רוצה לעשות סרבל מבגד שרחבו ה' זרתות ונכנס בו י"ד זרתות ורוצה לעשות סרבל אחר מבגד שרחבו ד' זרתות

כמה זרתות ישים בו

Subtract 4 from 5; 1 remains.
 תוציא ד' מה' נשאר א‫'
Divide 14 by 4; it is 3 and a half.
 תחלק י"ד על ד' ויהיו ג' וחצי
Add it to 14; it is 17 and a half.
\scriptstyle{\color{blue}{14+\frac{14}{4}=14+\left(3+\frac{1}{2}\right)=17+\frac{1}{2}}}
 תוסיפם על י"ד ויהיו י"ז וחצי
Hence, 17 spans and a half should be taken from the other cloth.
 הנה א"כ ראוי לקחת מבגד אחד י"ז זרתות וחצי
Check: to check it, multiply 14 by 5; it is 70.
 ולבחון אותו כפול י"ד על ה' ויהיו ע‫'
Multiply also 4 by 17 and a half; it is 70.
\scriptstyle{\color{blue}{14\sdot5=70=4\sdot\left(17+\frac{1}{2}\right)}}
 עוד כפול ד' על י"ז וחצי ויהיו ע‫'
237) Question: a man owes his friend 4 hundred minyanim.
Each magen is worth 33 grossi; and 12 grossi are worth 1 peraḥ.
The owner of the money demands his 4 hundred minyanim, but [his friend] replies that he has only peraḥim.
I would like to know how many peraḥim he will receive.
 רלז)‫[47] שאלה איש מחוייב לחבירו ד' מאות מנינים

וכל מגן שוה ל"ג גרושי וי"ב גרושי שוים פרח א‫'
ובעל הממון שואל ד' מאות מניניו והשיב כי אין לו כי אם פרחים
אתאב לדעת כמה פרחים יקבל

The way is that you multiply 400 by 33; it is 13200.
 הנה הדרך שתכפול ד' מאות על ל"ג ויהיו י"ג אלפים וב' מאות
Divide it by 12; you receive 1100 and this is the number of peraḥim he should receive.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{400\sdot33}{12}=\frac{13200}{12}=1100}}
 וחלקם על י"ב ויצא לך אלף ומאה והוא סך הפרחים שראוי שיקבל
238) Question: a number of people are walking along the road and find one purse with 100 minyanim.
The first borrows 4 plus one sixth of the remainder, another 8 plus one sixth of the remainder, another 12 plus one sixth and so on.
We would like to know how many boys are they, so that everyone gets the same number.
 רלח)‫[48] שאלה מספר אנשים הולכים בדרך וימצאו כיס א' עם ק' מנינים

הא' שואל ד' עם שתות הנשאר והאחר ח' עם שתות הנשאר והאחר י"ב עם שישית וכן עד תומם
נרצה לדעת כמה הם הבנים באופן שיגיע לכל א' מספר שוה

100 should be divided by 4; the result is 25.
 ראוי לחלק ק' על ד' ויצא כ"ה
Extract its root; it is 5.
 וקח שרשם והם ה‫'
Multiply it by 4; the result is 20 and this is what each should get.
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\sqrt{\frac{100}{4}}=4\sdot\sqrt{25}=4\sdot5=20}}
 כפלם על ד' ויצא כ' והוא המגיע לכל א' וא‫'
To know the number of boys, divide 100 by 20; you receive 5.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{20}=5}}
 ולדעת סכום הבנים חלק ק' על כ' ויצא לך ה‫'
Another way: subtract 1 from the number common to all, which is a sixth; 5 remains and this is the number of the boys.
\scriptstyle{\color{blue}{6-1=5}}
 דרך אחרת חסר מהסך השוה לכלם שהוא השתות א' וישאר ה' והוא סכום הבנים
To know the money of each, multiply 4 by 5, which is what the first takes without the sixth; the result is 20 and this is the amount of money.
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}
 ולדעת ממון כל א' כפול ד' על ה' שהוא מה שיקח הראשון זולת השתות ויעלה כ' והוא הממון
239) Question: two people, each found a purse.
The first said: if you give me a third of the money is your purse, I will give you a quarter of the money in my purse.
So they did and we find that each one has 12.
We ask: how much is in each purse?
 רלט)‫[49] שאלה ב' בני אדם כל א' מצא כיס

אמ' הראשון אם תתן לי שליש ממון כיסך אני אתן לך רביעית ממון כיסי
וכן עשו ונמצא לכל א' י"ב
נשאל כמה בכל כיס

False Position 1: We suppose that the one who gives a third of the money in his purse has 15.
 נניח מנותן שליש ממון כיסו היה לו ט"ו
Subtract 5, which is its third; 10 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{15-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)=15-5=10}}
 חסר ה' שהוא שלישיתו וישארו י‫'
So, the second purse should have 8, so that he gives a quarter of 8, which is 2, to complete the 12 with the 10 that his friend has.
 א"כ יצטרך בכיס השני יהיה ח' באופן כשיתן מח' רביעיתם שהם ב' ישלימו י"ב עם י' שיש לחבירו
It is known that he received 5; with the 6 it is 11, so 1 is missing for 12.
 וידוע כי קבל ה' עם ו' הנם י"א ויחסר עד י"ב א‫'
Say: 1 is missing for 15.
 ותאמר בעד ט"ו חסר א‫'
False Position 2: look for another number. We suppose that there was 16 in the purse of the one who gives a third.
עוד בקש מספר אחר נניח כי בכיס נותן שליש היה י"ו
Subtract its third, which is 5 and a third; 10 and 2-thirds remains.
\scriptstyle{\color{blue}{16-\left(\frac{1}{3}\sdot16\right)=16-\left(5+\frac{1}{3}\right)=10+\frac{2}{3}}}
 חסר שלישיתם שהוא ה' ושליש ישארו י' וב' שלישיות
1 and a third are missing for 12.
\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(10+\frac{2}{3}\right)=1+\frac{1}{3}}}
 ויחסר עד י"ב א' ושליש
So the money of the second is 5 and a third.
 א"כ ממון השני הוא ה' ושליש
Subtract the quarter, which is 1 and a third; 4 integers remain.
 חסר הרביעית שהוא א' ושליש ישארו ד' שלמים
He received 5 [and a third]; so he has 9 and a third.
 והוא קבל ה' (ושליש) א"כ יש לו ט' ושליש
2 and 2-thirds are missing for 12.
 ויחסר עד י"ב ב' וב' שלישיות
Say: 2 and 2-thirds are missing for the 16 we assumed.
 ותאמר בעד י"ו ששמנו חסר ב' וב' שלישיות
Subtract 1, which is the deficiency of the first supposition, from 2 and 2-thirds; the remainder is 1 and 2-thirds.
 א"כ הוצא א' שהוא חסרון הערך הא' מב' וב' שלישיות הנשאר א' וב' שלישיות
Multiply 16, which is the second supposition, by 1, which is the deficiency of the first supposition; it is 16.
 אח"כ כפול י"ו שהוא הערך הב' על א' שהוא חסרון הערך הא' ויהיו י"ו
Multiply also 15, which is the first supposition, by 2 and 2-thirds, which is the deficiency of the second supposition; the result is 40.
 עוד כפול ט"ו שהוא הערך הא' על ב' וב' שלישיות שהוא חסרון הערך הב' ויעלו מ‫'
Subtract 16 from 40; 24 remains.
 הוצא י"ו ממ' נשאר כ"ד
Divide 24 by 1 and 2-thirds; the result is 14 and 2-fifths and this is what is in the purse of the one who gives a third.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[15\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)\right]-\left(16\sdot1\right)}{\left(2+\frac{2}{3}\right)-1}=\frac{40-16}{1+\frac{2}{3}}=\frac{24}{1+\frac{2}{3}}=14+\frac{2}{5}}}
 חלק כ"ד על א' וב' שלישיות יצא י"ד וב' חמישיות והוא מה שבכיס מנותן השליש
In the purse of the one who gives a quarter there are 9 and 3-fifths.
 וט' וג' חמישיות יש בכיס נותן רביעית
Check it, because it is correct.
 ותבחון אותו כי הוא צודק
240) Question: here is a straight cane.
At its feet there is an ant that wants to go up and it walks 4 cubits and a fifth of the cane in one hour.
At the top of the cane there is an ant that goes down and it goes down 6 cubits and a quarter of the cane in one hour.
The length of the cane is 100 cubits.
I ask: when will the meet each other?
 רמ)‫[50] שאלה בכאן מקל זקוף

וברגל המקל התחתון יש בו נמלה ורוצה לעלות והולכת ד' אמות וחומש המקל בשעה אחת
ובראש המקל העליון נמלה יורדת והנה תרד בשעה אחת ו' אמות ורביעית המקל
ואורך המקל ק' אמות
אשאל מתי ישיגו זה את זה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{100}{5}+4\right)+\left(\frac{100}{4}+6\right)=\left(20+4\right)+\left(24+4\right)=24}}

חלק ק' על ה' ויצא עשרים תוסיף עליהם ד' ויהיו כ"ד

אח"כ תחלק ק' על ד' ויצא כ"ד תוסיף בם ו' ויהיו ל‫'
תחבר ל' עם כ"ד ויהיו נ"ד חלק ק' על נ"ד ויצא א' וכ"ג חלקים מכ"ז והוא הזמן שישיגו זה את זה

ותוכל לבחון אותו ואמור אם א' שוה ל' א' וכ"ג חלקים מכ"ז כמה ישוה
ויצא לך נ"ה וט' חלקים מכ"ז והוא מהלך מהולך ו' אמות ורביעית המקל
עוד תאמר אם א' שוה כ"ד א' וכ"ג חלקים מכ"ז כמה שוים
ויצא לך מ"ד וי"ב חלקים מכ"ז והוא השעור ממי שהולך ד' אמות וחומש המקל
ובין הכל ק‫'
241) Question: a man has four sons and he says that -
the first will take a fifth of his money plus 20 minyanim;
the second will take a fifth of what remains plus 40;
the third [will take] a fifth of what remains plus 60;
and the fourth [will take] a fifth of what remains plus 80.
Each had the same share.
We ask: how much was the amount of money of their father and how much is the share of each?
 רמא)‫[51] שאלה לאדם יש לו ד' בנים

ואמר שהא' יקח מממונו החומש ועשרים מנינים יותר
והשני יקח החומש מהנשאר ומ' יותר
והג' חומש הנשאר וס' יותר והד' חומש הנשאר ופ' יותר
ולכלם היה חלק שוה
נשאל כמה ממון אביהם וכמה חלק כל א וא' מהם

\scriptstyle\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{5}x+20=\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)+40\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}\sdot\left[\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)\right]-40\right]+60\\&\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\left[\left[\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)\right]-40\right]-\left[\frac{1}{5}\sdot\left[\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)\right]-40\right]\right]-60\right]\\&\scriptstyle+80\end{align}
[the amount of money of the father: \scriptstyle{\color{blue}{5\sdot80=400}}
 תקח תוספת האחרון שהוא פ' ותכפלם על ה' מצד כי כל א' שואל החומש ויהיו ד' מאות
the share of each: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{400}{4}=100}}
 והבנים ד' א"כ הגיע לכל א' ק' מנינים
Check: \scriptstyle{\color{blue}{100-20=80}} ותוכל לבחון אותו חסר ממאה כ' נשארו פ‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}X+20=\left(\frac{1}{5}\sdot400\right)+20=80+20=100}}
 וחומש הנשאר הם פ' והם מאה וכן לכל א' וא‫'

Partnership Problems
242) Question: three formed a partnership - the first contributed 2, the third 18, and the ratio of the money of the [first] to the money of the [second] is equal to the ratio of the money of the second to [the money of] the third.
We wish to know how much did the second contribute?
 רמב)‫[52] שאלה ג' עושים שותפות הראשון שם ב' והג' י"ח והנה יחס ממון הב' אל ממון הא' כיחס ממון הב' אל הג‫'

נרצה לדעת כמה שם הב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{2\sdot18}=6}}
 ראוי לכפול ממון הראשון נגד הג' וקח שרשם והוא ו ממון השני ותקיש על זה
243) Question: three formed a partnership.
the excess of the second over the first plus the excess of the third over the second is equal to the excess of the third over the first.
The [amount of] money of the first is 3 and the [amount of] money of the third is 8.
We wish to know how much is the [amount of] money of the second?
 רמג)‫[53] שאלה ג' עושים שותפות

ומה שמוסיף הב' אל הא' עם מה שמוסיף הג' אל הב' הוא שוה אל מה שמוסיף הג' על הא‫'
וממון הא' ג' וממון הג' ח' נרצה לדעת כמה ממון הב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=2\sdot\frac{3\sdot8}{3+8}=2\sdot\frac{24}{11}=2\sdot\left(2+\frac{2}{11}\right)=4+\frac{4}{11}}}
 כפול ג' על ח' ויעלו כ"ד חלקם על חבור ממון הא' והג' שהם י"א ויצאו ב' וב' חלקים מי"א וכפלם על ב' ויהיו ד' וד' חלקים מי"א
Check: ותוכל לבחון אותו
\scriptstyle{\color{blue}{a_2-a_1=\left(4+\frac{4}{11}\right)-3=1+\frac{4}{11}}}
 כי הפרש הא' אל הב' הוא א וד' חלקים מי"א
\scriptstyle{\color{blue}{a_3-a_2=8-\left(4+\frac{4}{11}\right)=3+\frac{7}{11}}}
 וההפרש מהב' אל הג' הוא ג' וז' חלקים מי"א
\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{4}{11}\right)+\left(3+\frac{7}{11}\right)=5=8-3=a_3-a_1}}
 וחברם ויהיו ה' וכן הוא ההפרש מהא' אל הג‫'
244) Question: three formed a partnership as aforementioned - the [amount of] money of the second is 4 and the [amount of] money of the third is 8.
We wish to know how much is the [amount of] money of the first?
 רמד)‫[54] שאלה ג' עושים שותפות כנזכר לעיל וממון השני ד' וממון השלישי ח'

נרצה לדעת מהו ממון הראשון

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_3+\left(a_3-a_2\right)}=\frac{4\sdot8}{8+\left(8-4\right)}=\frac{32}{8+4}=\frac{32}{12}=2+\frac{2}{3}}}
 כפול ממון הב' על הג' ויהיו ל"ב

ומה שמוסיף ג' על ב' תוסיף על ממון הג' והנה מוסיף ממון הב' על ממון הג' ד' ויהיו י"ב
ותחלק ל"ב על י"ב ויצא ב' וב' שלישיות והוא ממון הא‫'

245) Question: three formed a partnership as aforementioned - the [amount of] money of the first is 6 and the [amount of] money of the second is 9.
We wish to know how much is the [amount of] money of the third?
 רמה)‫[55] שאלה ג' עושים שותפות כנז' לעיל וממון הראשון ו' וממון השני ט‫'

נרצה לדעת כמה ממון הג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_1\sdot a_2}{a_1-\left(a_2-a_1\right)}=\frac{6\sdot9}{6-\left(9-6\right)}=\frac{54}{6-3}=\frac{54}{3}=18}}
 הנה נכפול ממון הראשון שהוא ו' על ממון השני שהוא ט' ויהיו נ"ד

אח"כ נסיר היתרון שיש מהמספר השני על המספר הראשון והיתרון הוא ג' ותפילם מהמספר הראשון שהוא ו' ונשארו ג‫'
ותחלק אלו הנ"ד על ג' ויצא לך י"ח והוא ממון הג‫'

Check: ותוכל לבחון אותו
\scriptstyle{\color{blue}{a_2-a_1=9-6=3}}
 כי השני מוסיף על הראשון ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{a_3-a_2=18-9=9}}
 והג' מוסיף על הב' ט‫'
\scriptstyle{\color{blue}{3+9=12=18-6=a_3-a_1}}
 ועם הג' והנם י"ב וככה מוסיף השלישי שהוא י"ח על המספר הראשון שהוא ו' ותקיש על זה
רמו) שאלה ד' אנשים מצאו ד' כיסים וכפי יחס ממון הא אל הב' כך יחס ממון הג' אל הד' וחבור מרובעו ממון מהד' כיסים עולה ב' מאות וממון הא' ב' וממון הד' י"ב נבקש לדעת מהו ממון הב' והג‫'
הנה יש לך לחבר ב' עם י"ב ויהיו י"ד ומרובעו קצ"ו ויחסר עד ב' מאות ד' נקח שרשם והוא ב' והוא מה שמוסיף אחד מהב' מספרים על חבירו
ולדעת כמה הוא כל א' מהמספרים ראה ההפרש שיש בין ב' וי"ב והוא עשרה ומרובעם ק' ותפילם מב' מאות ונשארו ק' וקח שרשם והוא י' והוא ממון כל הב' כיסים וכבר אמרנו כי א' מהכיסים מוסיף על האחר ב' על כן נעשה מי' ב' חלקים אשר א יעדיף על האחר ב' והנה החלק הא' הוא ד' והאחר ו' והנה בכיס א' ד' ובכיס אחר ו' ועדין לא נדע אם ד' הוא בכיס ג' או ד' אך מצד שאמרנו כי יחס ממון השני אל הג' כיחס ממון הא' אל הב' הנה א"כ בכיס הא' ב' ובכיס הב' ד' ובכיס הג' ו' ובכיס הד' י"ב וכפי יחס הא אל הב' כן יחס הג' אל הד‫'
247) Question: four formed a partnership.
The ratio of the [amount of] money of the first to the second is equal to the ratio of the third to the fourth.
The sum of their squares is 125.
The sum of the numbers is 21.
The [amount of] money of the second is 4 and the [amount of] money of the third is 6.
We wish to know how much are the [amounts of] money of the first and the fourth?
 רמז)‫[56] שאלה ד' אנשים עושים שותפות

ויחס ממון הראשון אל השני כיחס הג' אל הד‫'
וחבור ד' רבועיהם עולה קכ"ה
וחבור מספריהם עולה כ"א
וממון השני ד' וממון הג' ו‫'
נרצה לדעת מהו ממון הא' והד'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_4-a_1&\scriptstyle=\sqrt{125-\left(a_2+a_3\right)^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{125-\left(4+6\right)^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{125-10^2}=\sqrt{125-100}=\sqrt{25}=5\\\end{align}}}
 הנה נחבר ד' וו' ויהיו י' ומרובעם ק' ויחסר לנו עד קכ"ה כ"ה ושרשם ה' והוא מה שנשאר מממון הד' אחר שילקח ממנו סך ממון הא‫'
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{21-\left(6+4+5\right)}{2}=\frac{21-15}{2}=\frac{6}{2}=3}}
\scriptstyle{\color{blue}{a_4=5+3=8}}
 עתה תחבר ו' וד' וה' ויהיו ט"ו ועד כ"א נחסר ו' נחלקם על ב' ויצא ג‫'

ושים ג' על ה' והנם ח' והוא ממון הד‫'
והג' שנשארו הוא ממון הראשון ותקיש על זה

רמח) שאלה לנו ד' מספרים שיחס הא' אל הב' כיחס הג' אל הד' והד' מרובעים עולה ס"ה וממון הא' ב' וממון הב' ג' וממון הג' ד' אשאל כמה ממון הד‫'
הנה נקח הב' מספרים אמצעיים שהם ג' וד' ונחברם ויהיו ז' ומרובעם מ"ט ויחסר לנו עד סה י"ו נקח שרשם ויהיו ד' תוסיף עליהם ממון הראשון שהוא ב' ויהיו ו' והוא ממון הד' ודוק ותשכח
רמט) שאלה אם ד' תפוחים עם א פשוט שוות ח' פשוטים פחות תפוח א‫'

כמה ערך כל תפוח

נעשה אותו עם פלצא פוסיסיאוני ונשים ערך כל תפוח ב' פשוטים ועם א' ויהיו ט' תסיר מח' פשוטים ב' ונשארו ו' ויחסר עד ט ג' ותאמר בעד ב' חסר ג' שוב לעשות ערך אחר ושים ערך כל תפוח ב' וחצי ויהיו י' ועם א הנם י"א תסיר מח' ב' וחצי וישארו ה' וחצי ותאמר בעד ב' וחצי יחסר ה' וחצי אח"כ כפול הערך הא' שהוא ב' על מה שיחסר מהערך הב' שהוא ה' וחצי ויהיו י"א אח"כ כפול ב' וחצי שהוא הערך הב' על ג' שהוא מה שחסר מהערך הא' ויהיו ז' וחצי הוצא מיא ז' וחצי ונשארו ג' וחצי אח"כ הוצא מה שחסר הערך הא' שהוא ג' ממה שחסר הערך הב' שהוא ה' וחצי ונשארו ב וחצי אח"כ חלק ג' וחצי על ב' וחצי ויצא לך א' שלם וב' חמישיות והוא ערך כל תפוח כי הד' שוות ה' וג' חמישיות עם א' ויהיו ו' וג' חמישיות אח"כ חסר מח' פשוטים ערך א' תפוח וישאר ג"כ ו וג' חמישיות ותקיש על זה

To and From Problem
250) Question: if an ant climbs 2-thirds every day and goes down 6 parts of 12 at night, in how many days it will climb ten units?
רנ)[57] שאלה אם נמלה עולה בכל יום ב' שלישיות ובלילה יורדת ו' (ז') חלקים מי"ב בכמה ימים יעלה עשרה שלמים
דע כי רוב החשבנים טועים בזה ואומרי' כי לא תעלה כי אם לק"כ ימים מצד כי ב' שלישיות י"ב הם ח' תסיר מהם ז' ישאר א א"כ כפול א' חלק מי"ב על עשרה שלמים ויהיו ק"כ והוא טעות גדול כי ידוע הוא כי בק["כ] (קי"ח?) ימים יעלה ט' ושליש (חמש שישיות?) וביום הבא יעלה ב' שלישיות וישלים למספר י' כי כיון שעלה לא ירד והוא סוד במספר י'

Triangulation Problem - Two Birds
151) Question: Here are two walls, one is 20 cubits high and the other is 10 cubits high.
At the top of each wall a bird is standing.
They want to take a mustard seed.
The one is flying the same as the other.
The distance between this wall and this wall is 8 cubits.
I would like to know where the grain is.
 קנא)[58] שאלה הנה בכאן ב' כותלים גובה הא כ' אמות והאחרת י' אמות

ובראש כל כותל עומד עוף ורוצים לקחת גרגיר חרדל
וכ"כ מעופף הא' כמו האחר
ומרחק כותל זה מכותל זה ח' אמות
ארצה לדעת באיזה מקום הוא הגרגיר

ראוי לכפול גובה הכותל הנמוך שהוא י' על המרחק ר"ל שתכפול י' פעמי' י' אח"כ נכפול ח' פעמי' ח' ויהיו ס"ד ועם ק' ויהיו קס"ד וקח שרשם ויהיו י"ב וה' שישיות בקרוב
ולא תוכל לומ' כי הוא בקרקע כי מראש הכותל הקטן עד ראש הכותל הגדול שהוא האלכסון אין בו כי אם י"ב וה' שישיות ומרגל הגדול עד ראשו הוא כ' א"כ אין המספר שוה לכן נמשוך קו מראש הכותל העליון עד ראש הכותל הקטן ויהיו י"ב וה' שישיות באורך ונחלקם על ב' ויצא ו' וה' חלקים מי"ב ואותו המקום הוא מקום הגרגיר וזה צורתו

Find a Number Problems
קנב) שאלה אם יש לך ה' מספרים מתיחסים הא' ג' י"ב וה' והה' תשס"ח מהו השני
כפול הא' על הה' שישיות ויעלו אלפים וג' מאות וד' וקח שרשם והוא מ"ח ואלו מקום גרגיר הם המספר הג'
ולדעת הב' כפול הא' על הג' ויעלו קמ"ד ושרשם י"ב והוא הב' א"כ הא' ג' והב' י"ב והג' מ"ח והד' קצ"ב ח והה' תשס"ח
רנג) שאלה לדעת מו' מספרים שהא הוא מספר מונח והו' הוא מספר מונח לדעת הב' תחלק האחרון על ט"ו ומה שישאר הוא הב'
דמיון יש לנו ו' מספרים מתיחסים שהראשון ב' והו' ס"ד חלק ס"ד על ט"ו ישארו ד' והוא הב'
גם תוכל לדעת עם שברים והוא שתעשה מהמספר האחרון השברים שיש בראשון והעולה חלק על ט"ו והנשאר הוא הב' והוא סך מהשבר שיש בראשון
דמיון הראשון ב' שלישיות והו' רנ"ו שלמים תעשה מרנ"ו שמיניות ויהיו אלפים ומ"ד (מ"ח) חלקם על ט"ו וישארו ח' והוא השני הנה א"כ הב' הוא ח' שמיניות שהוא א שלם
רנד) שאלה אם תרצה לדעת שרש מעוקב מאיזה מספר שתרצה קח השרש שעבר גם קח השרש הבא וראה מה בין המוקדם והמאוחר אח"כ ראה מה שמן המוקדם אל המספר המונח ותוסיף לעולם א' ואז תאמר כי העולה הם חלקים מהמספר אשר בין הקודם והמתאחר
דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב ט"ו
הנה הקודם הוא ח' והמאוחר כ"ז וההפרש הוא י"ט ובין ח' שהוא הקודם הוא ט"ו ותמצא ז' תוסיף א ויהיו ח' ותאמר כי הם ח' חלקים מי"ט ר"ל כי שרש ט"ו הם ב' וח' חלקים מי"ט
וכן תוכל לעשות משלמים עם שברים והוא שתעלה אותו השלם עם השבר עד מעלת האלפים ר"ל שתכפול המספר על אלף וקח השרש המוקדם והמאוחר כמו שעשינו בשלמים והיוצא תחלק על י' שהוא השרש
דמיון זה רצינו לדעת שרש א"נ א וחצי תכפלהו על א' (א') וה' מאות והשרש שעבר הוא אלף וג' מאות ול"א ויחסר עד תשלום אלף וה' מאות קס"ט תוסיף בו א ויהיו ק"ע אח"כ ראה המאוחר שהוא מעוקב י"ב שהוא אלף וז' מאות וכ"ח והנה בין מעוקב י"א למעוקב י"ב תמצא ההפרש שצ"ז א"כ היוצא הוא י"א וק"ע חלקים משצ"ז חלק זה המספר על י' בזה האופן והוא שתכפול שצ"ז על י' ויהיו ג' אלפים וט' מאות וע' גם תכפול שצ"ז על י"א ויהיו ד' אלפים ותק"ל (שס"ז) תחלקם על ג' אלפים וט' מאות וע' ויצא לך א' ותק"ס(ז) חלקים מג' אלפים וט' מאות וע' (שהם נ"ו חלקי' מג' מאות וצ')
ואם תרצה לדעת משברים לבדם כפול אותו השבר על אלף אח"כ קח השרש המוקדם והמאוחר כנז'
דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב חצי תכפלהו על אלף ויהיו ה' מאות והשרש שעבר הוא שמ"ג ושרשו ז' והבא הוא תקי"ב ושרשם ח' וראה מה בין שמ"ג לתקי"ב ותמצא קס"ט עוד ראה מה בין שמ"ג לה' מאות ותמצא קנ"ז תוסיף בו א' ויהיו קנ"ח א"כ היוצא הוא ז' וקנ"ח חלקים מקס"ט תחלק זה המספר על י' ועשה כך כפול קסט על י' ויהיו אלף וו' מאות וצ' גם כפול (אלף) ז' פעמים קס"ט ויהיו אלף וקפ"ג תוסיף בם קנ"ח ויהיו אלף וג' מאות ומ"א א"כ תאמר כי שרש חצי הוא אלף וג' מאות ומ"א חלקים מאלף וו' מאות וצ'
רנה) שאלה אם תרצה לדעת המספר הב' מד' מספרים מתיחסים
תחלק הד' על הא' ומהיוצא קח שרש מעוקבו אח"כ כפול השרש היוצא על המספר הראשון והיוצא הוא השני
דמיון המספר הראשון ב' והד' י"ו חלק י"ו על ב' ויצא ח' קח מעוקבו והוא ב' כפול ב' על ב' והוא ד' והוא השני
כן תוכל לדעת מן השברים והוא שתעשה מהמספר האחרון שברים כמו שהם בראשון ותעשה בדרך השברים
דמיון הראשון ג' רביעיות והאחרון ו' שלמים תעשה מהו' רביעיות ויהיו כ"ד תחלקם על ג' מצד שאמר כי הראשון ג' רביעיות ויצא ו' והם רביעיות הנה א"כ השני הוא ו' רביעיות והוא א וחצי
רנו) שאלה אם תרצה לדעת המספר האמצעי מהנפרדים כפול הא' על האחרון ויצא לך האמצעי
דמיון יש לנו ג' מספרים מתיחסים הראשון ב' והג' י"ח כפול ב' על י"ח ויעלו ל"ו וקח שרשם והוא ו' שהוא הב'
רנז) דמיון מה' מספרים הראשון ג' והאחרון מ"ח כפול ג' על מ"ח ויצא קמ"ד ושרשם י"ב והוא האמצעי שהא ג' והב' ו' והג' י"ב והד' כ"ד והה' מ"ח
רנח) שאלה מז' מספרים הראשון א' והאחרון תשכ"ט כפול א על תשכ"ט ויהיו תשכ"ט ושרשם (כ"ז) ו' והוא האמצעי
והנה הראשון א והב' ג' והג' ט' והד' כ"ז והה' פ"א והו' רמ"ג והז' תשכ"ט
וכן תוכל לעשות מט' או י"א או י"ג מספרים לעולם תמצא האמצעי וכן תוכל לעשות בשברים
רנט) שאלה משברים מז' מספרים הראשון א' שמינית והז' צ"א שלמים ושמינית כפול צ"א ושמינית על ח' מצד כי הראשון הוא א שמין ר"ל תעשה מהצ"א ושמין שמינית ויצא לך תשכ"ט שמיניות כפול א' שהוא הא' על תשכ"ט ויצא תשכ"ט וקח שרשם והם כ"ז ויהיו שמיניות מצד כי עשינו שמיניות מכל התשכ"ט א"כ האמצעי הוא כ"ז שמיניות ודוק ותשכח
רס) שאלה אם תרצה לדעת רוחב נהר או ארץ או איזה מרחק שתרצה
שים על ראשך מגבעת נקרא קאפילו ראשו ולך אצל שפת הנהר או המקום שתרצה לדעת ארכו וקח המקל שיהיה ארכו מהארץ עד שיגיע ראשו האחר תחת צואריך באופן שלא תוכל להעמק שאולה או הגבה למעלה אח"כ עשה באופן שהקפילו יהיה סמוך לעיניך וכשתראה לפי הנראה לך שהקפילו יגיע עד הקצה האחר מהמרחק ר"ל כשתסתכל עד סוף הנהר ולא תוכל לראות יותר מצד כי הקפילו יעיק צלו שלא לראות יותר רחוק אז תהפוך פניך לצד אחר
המשל אם הנהר לצד מזרח תהפוך פניך לצד מערב היינו לאחוריך ותעשה שהרגלים יעמדו באותו מקום ממש שעמדו רגליו כלפי הנהר והסתכל ג"כ וראה עד המקום אשר תוכל לראות בעין ראותך ואח"כ לך למדוד ממעמדך וממצבך עד המקום שיכולת לראותו כך הוא מרחק מהנהר אך צריך שיעמוד הנהר בעמק שוה והמרחק ג"כ וזה הדרך הוא על צד התחבולה לא בדרך מספר והנדסה

Proportional Division - Promissory Note
[261]) Question: A man is indebted to four people: for one - 4 minyanim, for another - 6, for another - 8, and for another 12.
The man died and only 24 minyanim were found in all his possessions.
We would like to know how much will each take according to the money he had to receive in Venice.
 [רסא]) שאלה איש אחד מחוייב לד' בני אדם לא' ד' מנינים ולאחר ו' ולאחר ח' ולאחר י"ב

ומת האיש ההוא ולא נמצא בכל נכסיו כי אם בורגוטו כ"ד מנינים
נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא' כפי הממון שהיה לו לקבל מויניסיאה

תחבר כל ממונם והוא ל אח"כ כפול ממון הראשון שהוא ד' על כ"ד וחלק על ל' ויצא ג' שלמים וו' חלקים מל' וכן תעשה לב' ויגיע לו ד' וכ"ד חלקים מל' ולג' יגיע ו' וי"ב חלקים מל ולד' ט' וי"ח חלקים מל ולבחון אותו חבר כל ממונם ויעלה כ"ד

Partnership Problems
262) Question: 5 people made a boat and agreed that from what they would earn, one would take 3 for each hundred, the second 2, the third 4, the fourth 5 and the fifth 6; and they spent 30 to repair the ship. How much will each earn according to ratio of the profit due to each?
 רסב) שאלה ה' בני אדם עשו ספינה והתנו ביניהם כי ממה שירויחו הא' יקח עבור כל מאה ג' והאחר ב' והאחר ד' והאחר ה' והאחר ו'

ופזרו לתקן האניה ל'
כמה יפרע כל א' לפי יחס הריוח המגיע לכל א' וא'

תחבר כל ממונם ויהיו כ' אח"כ תכפול הראשון על ל' ותחלק לכ' ויגיע לחלקו לפרוע ג' וכן תעשה מהב' ויפרע ד' וחצי והג' ו' והד' ז' וחצי והה' ט'
263) Question: three people formed a partnership.
The first contributed 3 minyanim and stayed in the partnership 2 months.
The second contributed 4 minyanim and stayed in the partnership 5 months.
The third contributed 2 minyanim and stayed in the partnership 9 months.
They earned 25 minyanim.
How much is owed to each?
 רסג) שאלה ג' בני אדם עושים שותפות

הא' שם ג' מנינים ועמדו בשותפות ב' חדשים
והאחר שם ד' מנינים ועומדו בשותפות ה' חדשים
והאחר שם ב' מנינים ועמד בשותפות ט' חדשים
והרויחו כ"ה מנינים
כמה יגיע לכל א'

ראוי לכפול ממון כל א' על החדשים והנה נכפול ב' על ג' ויהיו ו' והוא הראשון כן תעשה מהב' ויהיו כ' וכן מהג' ויהיו י"ח ובין הכל מ"ד אח"כ כפול ו' על כ"ה והעולה חלק על מ"ד ויצא ג' וי"ח חלקים ממ"ד והוא חלק הראשון כן תעשה מהב' ויגיע לו י"א וי"ו חלקים (מ)מ"ד וכן תעשה מהג' ויצא י' וי' חלקים ממ"ד והוא חלק הג'
264) Question: three people formed a partnership, they contributed 20 minyanim between the three of them and earned 30.
The first is worthy of 4 minyanim from the profit and the second [is worthy of] 6.
How much is owed to the third and how much was the amount of money of each?
 רסד) שאלה ג' עושים שותפות ושמו בין שלשתן כ' מנינים והרויחו ל'

ולראשון מגיע מהריוח ד' מנינים ולשני ו'
כמה יגיע לג' וכמה היה ממון כל א' וא'

הנה ראוי לחבר ד' עם ו' ויהיו י' תחסרם מל' וישארו כ' והוא החלק מה שמגיע לחלקו ריוח הג' ולדעת כמה שם כל א' וא'
תעשה כן תאמ' אם כל הל' מנינים שהוא ריוח שלשתן נתן לי כ' שהוא ממון שלשתן מה יתן לי ד' שהוא ריוח הראשון כפול ד' על כ' וחלק על ל' ויצא ב' וב' שלישיות והוא מה ששם הא' וממון הב' היה ד' וממון הג' היה י"ג ושליש וחברם ויהיו כ' והוא סך הממון ששמו בין שלשתן
265) Question: three formed a partnership.
The first contributed 117 minyanim; the second contributed 83 [minyanim]; as for the third - I do not know how much [he contributed].
They earned 319 and the share of the third is 124 minyanim [of the profit].
I ask: how much did he contribute to the partnership.
 רסה) שאלה ג' עושים שותפות

הא' שם קי"ז מנינים והב' שם פ"ג והג' לא ידעתי כמה
והרויחו שי"ט וחלק הג' הוא קכ"ד מניני'
אשאל כמה שם בשותפות

הנה יש לך להוציא ריוח השלישי מסך כל הריוח וישארו עדין קצ"ה א"כ בין הב' לא הרויחו כי אם קצ"ה מנינים ועתה תחבר מה ששם הא עם מה ששם הב' ויהיו ר' אח"כ תאמר אם כדי להרויח קצ"ה מנינים הוצרך להיות מאתים כמה יצטרך להיות הקרן כדי להרויח קכ"ד כפול קכ"ד על מאתים והעולה תחלק על קצ"ה ויצא לך קכ"ז שלמים ול"ה חלקים מקצ"ה והוא חלק השלישי
266) Question: three formed a partnership.
The first contributed 56 minyanim and stayed in the partnership 5 months.
The second contributed an unknown amount and stayed in the partnership 8 months.
The third contributed a pearl and stayed in the partnership ten months.
They earned 86 minyanim.
The share owed to the first is 20; to the second 12; and to the third 54.
I ask: how much did the second contribute and how much is the value of pearl of the third?
 רסו) שאלה ג' עושים שותפות

הראשון שם נ"ו מנינים ועמדו בשותפות ה' חדשים
והשני שם סך נעלם ועמד בשותפות ח' חדשים
והג' שם מרגלית אחת ועמדה בשותפות עשרה חדשים
והרויחו בין כלם פ"ו מנינים
והראשון מגיע לחלקו כ' ולשני י"ב ולג' נ"ד
אשאל כמה שם השני וכמה סך מרגלית הג'

הנה ראוי לכפול ממון הראשון על החדשים ואחר כן תאמר אם כ' שהוא ריוח ממון הא' שבו ר"פ כמה ישובו י"ב שהוא ריוח הב' ויצא לך קס"ח אח"כ חלק קס"ח על החדשים שעמד ממון הראשון (השני) שהוא ח' ויצא כ"א וזהו ממון השני ולדעת כמה סך מרגלית הג' כפול נ"ד על ר"פ וחלק על כ' ויצא לך ז' מאות נ"ו וחלק זה על החדשים ויצא לך ע"ה וו' חלקים מי' והוא סך המרגלית
267) Question: three formed a partnership.
The first contributed 135 coins; the second 97; and the third 43.
They earned 734 coins and the third got 294 coins.
I wish to know how much the magen is worth?
 רסז) שאלה ג' עושים שותפות

הא' שם קל"ה מטבעים והב' צ"ז והג' מ"ג
והרויחו תשל"ד מטבעים ולג' רצ"ד מטבעים
ארצה לדעת כמה שווה המגן

הוצא ריוח הג' שהוא רצ"ד מתשל"ד הנשאר ת"מ אח"כ תחבר ממון הא' והב' ויעלה ר"מ (רל"ב) א"כ אלו הב' הרויחו ת"מ מטבעים ולכן תאמר אם רצ"ד שבו מ"ג ת"מ כמה ישובו ויצא לך ס"ד וק"ד חלקים מרצ"ד א"כ רל"ב מטבעים שיש בין הא' והב' שוים ס"ד מטבעים ולדעת כמה מטבעים שוה כל מגן תאמ' אם ס"ד וק"ד חלקים מרצ"ד שוים רל"ב א' כמה שוה ויצא לך ג' וחלקים מה
268) Question: three formed a partnership.
The first contributed 2 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year] and withdrew one magen at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year].
The second contributed 3 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year] and withdrew one magen at the first of the month of Teveth [= 4th month in Heb. year].
The third contributed 4 minyanim at the first of the month of Shevat [= 5th month in Heb. year] and withdrew 2 minyanim at the first of the month of Adar [= 6th month in Heb. year].
What remained for each was kept [in the prartnership] until the [next] first of the month of Tishri
They earned 20 minyanim.
I ask how much did each earn?
 רסח) שאלה ג עושים שותפות

הא' שם ב' מנינים ר"ח תשרי והוציא ר"ח מרחשון א' מגן
והאחר שם ג' מנינים ר"ח כסלו והוציא ר"ח טבת א' מגן
והאחר שם ד' מנינים ר"ח שבט והוציא ר"ח אדר ב' מנינים
ומה שנשאר לכל א' עמד ביחד עד ר"ח תשרי
והרויחו כ' מנינים
אשאל כמה הרויח כל א'

the share of the first: \scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot12\right)-\left(1\sdot11\right)=24-11=13}}
 הנה ראשו' ראוי שתכפול ב' מנינים מהראשון ששם אותו בר"ח תשרי עד ר"ח תשרי הבא שהם י"ב חדשים ויהיו כ"ד א"כ כפול א' שהוציא מהשותפות בר"ח מרחשון והנה מר"ח מרחשון עד ר"ח תשרי י"א הוצא מכ"ד י"א הנשאר י"ג והוא עבור הא'
the share of the second: \scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot10\right)-\left(1\sdot9\right)=30-9=21}}
 וכן כפול ממון הב' על החדשים ויהיו ל' כי החדשים הם י' והממון ג' גם כפול א' מגן שהוציא על החדשים שהם ט' הוצא מל' ט' וישארו כ"א
the share of the third: \scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot8\right)-\left(2\sdot7\right)=32-14=18}}
 גם כפול ממון הג' על החדשים ויעלו ל"ב כי הממון ד' והחדשים ח' גם כפול מה שהוציא על החדשים ויהיו י"ד והוציאם מל"ב וישארו י"ח והוא ממון הג'
  • Three formed partnership: one contributed 13, another 21, and another 18. They earned 20. How much should each take?
 א"כ תאמ' ג' עושים שותפות הא' שם י"ג והאחר כ"א והאחר י"ח והרויחו כ' כמה יקח כל א וא'
וכבר ידעת הדרך
269) Question: three formed a partnership.
The first contributed 4 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year] and added 2 minyanim at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year].
The second contributed 5 minyanim at the first of the month of Marheshvan and added 4 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year].
The third contributed 3 minyanim at the first of the month of Teveth [= 4th month in Heb. year] and withdrew 2 minyanim at the first of the month of Adar [= 6th month in Heb. year].
They stayed in the partnership from the first of the month of Tishri until the next first of the month of Tishri, i.e. a whole year, and earned 30 minyanim.
How much should each take?
 רסט)[59] שאלה ג' עושים שותפות

הא' שם ד' מנינים ר"ח תשרי והוסיף ר"ח מרחשון ב' מנינים
והב' שם ה' מנינים ר"ח מרחשון והוסיף ד' מנינים ר"ח כסלו
והאחר שם ג' מנינים ר"ח טבת והוציא ב' מנינים ר"ח אדר
ועמדו בשותפות מר"ח תשרי עד ר"ח תשרי הבא ר"ל שנה תמימה והרויחו ל' מנינים
כמה יקח כל א' וא'

the share of the first: \scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot12\right)+\left(2\sdot11\right)=48+22=70}}
 ראוי לכפול ממון הא' על החדשים והנה שם בראשנה ד' מנינים ועמדו י"ב חדשים וכפלם ויהיו מ"ח גם ראוי לכפול מה שהוסיף על החדשים והנה הוסיף בר"ח מרחשון ב' מנינים ולכן כפלם על החדשים שהם עד תשרי והנם י"א וכפלם על ב' ויהיו כ"ב הוסיפם על מ"ח ויהיו ע' והוא ממון הא'
the share of the second: \scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\left(5\sdot11\right)+\left(4\sdot10\right)}}=95}}
 וכן תעשה מהב' ויהיו צ"ה
the share of the third: \scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot9\right)-\left(2\sdot7\right)=27-14=13}}
 ומהג' כפול ממונו על החדשים ויהיו כ"ז כי ממונו ג' והחדשים ט' גם כפול מה שהוציא שהם ב' על החדשים שהם ז' ויהיו י"ד הוציאם מכ"ז וישארו י"ג והוא הג'
  • Three formed partnership: one contributed 70, another 95, and another 13. They earned 30. How much should each take?
 אח"כ תאמ' ג' עושים שותפות הא' שם ע' והאחר צ"ה והאחר י"ג והרויחו ל' כמה יקח כל א' וא' והדרך נודע
270) Question: three formed a partnership - one contributed 65 minyanim, another 53, and another 38.
They agreed to keep the partnership for 5 years and after the 5 years to divide the fund and the profit into three equal parts, so that each will take one part.
They kept the partnership only 3 years and earned 123 minyanim.
I ask how much should each take?
 רע)[60] שאלה ג' עושים שותפות הא' שם ס"ה מנינים והאחר נ"ג והאחר ל"ח

והסכימו לעשות שותפות ה' שנים ואחר הה' שנים רוצים לחלק הקרן עם הריוח לג' חלקים שוים וכל א' וא' יטול חלק אחד
והם לא עשו השותפות כי אם ג' שנים והרויחו קכ"ג מניני'
אשאל כמה יקח כל אחד ואחד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{65+53+38}{3}=\frac{156}{3}=52}}
 ראוי לעשות ככה כבר ידעת כי אלו עמדו בשותפות ולא הרויחו ולא הפסידו בה' שנים היה ראוי לחלק ממונם לג' חלקים שוים לכן נחבר ממון שלשתן ויהיו קנ"ו נחלקם על ג' ויצא לך נ"ב לכל אחד ואחד
\scriptstyle{\color{blue}{65-52=13}}
 ובזה האופן הראשון ששם בשותפות ס"ה יפסיד י"ג
\scriptstyle{\color{blue}{53-52=1}}
 והב' שם נ"ג יפסיד א'
\scriptstyle{\color{blue}{52-38=14}}
 והאחר ששם ל"ח ירויח י"ד
\scriptstyle{\color{blue}{5:13=3:x}}
 ועתה ראוי שתאמר בעבור הראשון אם ה' שנים היו ג כמה שהפסיד הראשון י"ג כמה יפסיד בעבור ג' שנים
\scriptstyle{\color{blue}{x=7+\frac{{\color{red}{4}}}{5}}}
 ויצא ז' וב' חמישיות
\scriptstyle{\color{blue}{b_1=65-\left(7+\frac{4}{5}\right)=57+\frac{1}{5}}}
 ותוציאם מס"ה שהיה ממונו ונשארו נ"ז וחומש
\scriptstyle{\color{blue}{5:1=3:x}}
 ובעבור הב' תאמר אם ה' הפסידו א' ג' כמה יפסיד
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{5}}}
 ויצא ג' חמישיות
\scriptstyle{\color{blue}{b_2=53-\frac{3}{5}=52+\frac{2}{5}}}
 תוציאם מממון הב' וישאר נ"ב וב' חמישיות
\scriptstyle{\color{blue}{5:14=3:x}}
 ובעבור הג' תאמר אם ה' הרויחו י"ד כמה ירויחו ג'
\scriptstyle{\color{blue}{x=8+\frac{2}{5}}}
 ויצא לך ח' וב' חמישיות
\scriptstyle{\color{blue}{b_3=38+\left(8+\frac{2}{5}\right)=46+\frac{2}{5}}}
 תוסיפם על ממון הג' ויצא מ"ו וב' חמישיות
\scriptstyle{\color{blue}{\left(57+\frac{1}{5}\right)+\left(52+\frac{2}{5}\right)+\left(46+\frac{2}{5}\right)=156}}
 ועתה תחבר מה שנשאר לא' ולב' ולג' ויעלה קנ"ו ועליהם תחלק
\scriptstyle{\color{blue}{156+123=279}}
 ולדעת כמה יגיע לכל אחד ואחד תחבר הריוח שעשו שהוא קכ"ג עם מה שנשאר עדין ויהיו רע"ט
\scriptstyle{\color{blue}{156:279=\left(57+\frac{1}{5}\right):a_1}}
 עתה תאמר אם קנ"ו שהוא הקרן שמשלשתן נתן לי רע"ט שהוא עם הקרן והריוח מה יתן לי נ"ז וחומש בעבור הראשון
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=120+{\color{red}{\frac{3}{10}}}}}
 ויצא לך ק"ב דוקט' וחלקים והוא מה שראוי לקחת הראשון עם הקרן והריוח
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=93+\ldots}}
 וכן תעשה מהב' ויצא לך צ"ג וחלקים בין הקרן והריוח
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=8{\color{red}{2}}+\ldots}}
 כן תעשה מהג' ויצא לך פ"א וחלקים בין הקרן והריוח
271) Question: two men formed a partnership - one contributed 80 minyanim and the other 20.
They agreed that the owner of the 80 will take two thirds of the profit and the owner of the 20 [will take] a third of the profit.
A third man came and said: if you want that I will join the partnership with you, I will contribute 120 minyanim and keep the ratio agreed by both of you.
Eventually they earned 120 minyanim.
I ask: how much will each take?
 רעא)[61] שאלה שני בני אדם עושים שותפות הא' שם פ' מנינים והאחר כ'

והסכימו ביניהם שבעל הפ' יקח ב' שלישיות מן הריוח ובעל הכ' שליש הריוח
נזדמן שלישי ואמר אם תרצו כי אעשה שותפות עמכם אשים ק"כ מנינים ואעמוד כפי היחס המוסכם ביניכם
ולבסוף הרויחו ק"כ מנינים
אשאל כמה יקח כל א' וא'

\scriptstyle{\color{blue}{80:\frac{2}{3}=20:x}}
 הדרך הוא כך כבר ידעת כי ממון הראשון היה פ' והיה ראוי לקחת ב' שלישיות הריוח ולכן תאמר אם פ' נתן לי ב' שלישיות כ' שהוא ממון השני כמה ישוו
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{6}}}
 ויצא לך שישית אחד וזה תשים בעד השני
\scriptstyle{\color{blue}{20:\frac{1}{3}=80:x}}
 גם תאמר אם כ' נתן לי שליש שהיה ראוי לקחת מה יתן לי פ'
\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{3}}}
 ויצא לך א' ושליש וזה תשים חלק הראשון
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}+\left(1+\frac{1}{3}\right)=1+\frac{1}{2}}}
 עתה תחבר א' ושליש עם שישית ויהיו א' וחצי
\scriptstyle{\color{blue}{80+20=100}}
 גם תחבר פ' עם כ' ויהיו ק'
\scriptstyle{\color{blue}{100:\left(1+\frac{1}{2}\right)=120:x}}
 אח"כ תאמר אם ק' נתן לי א' וחצי מה יתן לי ק"כ
\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{4}{5}}}
 ויצא לך א' וד' חומשים וזה תשים עבור השלישי
\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\frac{4}{3}\sdot90=120}}
 אח"כ בקש מספר יהיה לו שלישית ושישית וחומש ויצא צ' אח"כ קח ד' שלישיות מצ' עבור הראשון ויצא לך ק"כ וזה תשים עבור הראשון
\scriptstyle{\color{blue}{b_2=\frac{1}{6}\sdot90=15}}
 גם קח שישית צ' ויצא ט"ו וזה תשים עבור השני
\scriptstyle{\color{blue}{b_3=\frac{9}{5}\sdot90=162}}
 גם תקח ט' חמישיות מצ' ויצא לך קס"ב וזה תשים חלק השלישי
\scriptstyle{\color{blue}{120+15+162=297}}
 אח"כ תחבר אלו הג' מספרים ויהיו רצ"ז ועליהם תחלק
\scriptstyle{\color{blue}{297:500=120:a_1}}
 ולדעת כמה יגיע לכל אחד ואחד תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות שהוא סך הריוח מה יתן לי ק"כ עבור הראשון
\scriptstyle{\color{blue}{a_1={\color{red}{2}}02+\ldots}}
 ויצא לך ק"ב וחלקים
\scriptstyle{\color{blue}{297:500=15:a_2}}
 ובעבור השני תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות מה יתן לי ט"ו
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=25+\ldots}}
 ויצא לך כ"ה וחלקים
\scriptstyle{\color{blue}{297:500=162:a_3}}
 ובעבור הג' תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות מה יתן לי קס"ב
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=272+\ldots}}
 ויצא לך רע"ב וחלקים ודוק ותשכח
272) Question: three formed a partnership and earned a thousand golden coins - the first takes two thirds, the other takes four fifths, and the other takes five eighths.
I ask: how much should each one have?
 רעב)[62] שאלה ג' עושים שותפות והרויחו אלף זהובים הא' שואל ב' שלישיות והאחר שואל ד' חומשים והאחר שואל ה' שמיניות

אשאל כמה יגיע לכל אחד ואחד

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot120\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot120\right)+\left(\frac{5}{8}\sdot120\right)=80+96+75=251}}
 הדרך הוא כך ראוי לבקש מספר ימצאו בו שליש וחומש ושמינית ותמצא ק"כ

אח"כ קח ב' שלישיות עבור הראשון שהוא פ' וד' חמישיות שהוא צ"ו וה' שמיניות שהוא ע"ה וחברם ויעלו רנ"א

\scriptstyle{\color{blue}{251:100=80:a_1}}
 אח"כ תאמר אם רנ"א נתן לי אלף פ' מה יתן בעד השני
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=318+\ldots}}
 ויצא לך שי"ח וחלקים
\scriptstyle{\color{blue}{251:100=96:a_2}}
 גם תאמר אם רנ"א נתן לי אלף מה יתן לי צ"ו
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=382+\ldots}}
 ויצא לך שפ"ב והוא חלק השני
\scriptstyle{\color{blue}{251:100=75:a_3}}
 גם תאמר אם רנ"א נתן אלף מה יתן לי ע"ה
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=298+\ldots}}
 ויצא לך רצ"ח וחלקים והוא חלק הג'
273) Question: three formed a partnership.
The first contributed 100 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year].
The second contributed 322 minyanim at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year] and the share owed to him in the profit is the same as the first.
The third contributed 22 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year] and the share owed to him in the profit is the same as the first.
I wish to know how much did the second and the third contributed?
They kept the partnership for a whole year and earned 600
 רעג)[63] שאלה ג' עושים שותפות

הראשון שם ק' מנינים ר"ח תשרי
והאחר שם שכ"ב ממון ר"ח מרחשון שמגיע לחלקו מהריוח כמו לראשון
והשלישי שם כ"ב ממון ר"ח כסלו שמגיע לחלקו מהריוח כמו לראשון ג"כ
ארצה לדעת כמה שם הב' והג'
ועשו השותפות שנה תמימה והרויחו ו' מאות

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=100\sdot12=1200}}
 הדרך הוא כך כבר ידעת כי ממון הראשון היה ק' ועמדו בשותפות שנה תמימה ולכן כפול ק' על החדשים והם י"ב ויהיו י"ב מאות
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{1200}{11}}}
 גם ידעת כי ממון השני עמד בשותפות י"א חדשים לכן חלק י"ב מאות על י"א והיוצא יהיה ממון השני
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{1200}{10}}}
 גם ידעת כי ממון השלישי עמד בשותפות י' חדשי' לכן תחלק י"ב מאות על י' ויצא לך ממון השלישי
Check: Three formed a partnership.
The first contributed 100 minyanim at the first of the month of Tishri
The second contributed as owed to the second at the first of the month of Marheshvan.
The third contributed as owed to the third at the first of the month of Kislev.
They earned 600.
How much should each take?
 ולבחון אותו אם הוא אמת תאמר ג' עושים שותפות

הא' שם ק' מנינים ר"ח תשרי
והאחר מה שמגיע לשני ר"ח מרחשון
והאחר מה שמגיע לג' ר"ח כסלו
והרויחו ו' מאות
כמה יקח כל א' וא'

Answer: 200 each
 ותמצא כי לכל א וא' יגיע ב' מאות
274) Question: three formed a partnership - one contributed 25 ducat, the other 17, and the [contribution] of the other is unknown, but the share owed to him is a third of what they earned.
They earned 60 minyanim.
We wish to know how much did the third contribute to the partnership?
 רעד)[64] שאלה ג' עושים שותפות הא' שם כ"ה דוקטי והאחר י"ז והאחר לא ידענו אך מגיע לחלקו שליש ממה שהרויחו

והרויחו ס' מנינים
נרצה לדעת כמה שם השלישי בשותפות

\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=40}}
 הדרך הוא כך הוצא השליש מס' שהוא חלק השלישי הנשאר מ'
\scriptstyle{\color{blue}{25+{\color{red}{1}}7=42}}
 אח"כ תחבר כ"ה עם כ"ז ויהיו מ"ב א"כ מ"ב הרויחו מ'
\scriptstyle{\color{blue}{40:42=20:x}}
 א"כ תאמר אם כדי להרויח מ' הוכרח להיות הקרן מ"ב כמה ראוי להיות הקרן כדי להרויח כ'
\scriptstyle{\color{blue}{x=21}}
 ויצא לך כ"א והוא מה ששם השלישי
Check: Three formed a partnership - the first contributed 25, the second [contributed] 17, the third [contributed] 21, and they earned 60
How much should the third have?
 ולבחון אותו תאמר ג' עושים שותפות הא' שם כ"ה והב' י"ז והג' כ"א והרויחו ס'

כמה יגיע לשלישי

Answer: 20
 ויצא לך כ' שלמים
275) Question: three formed a partnership for a whole year.
The first contributed 14 minyanim at the first of the month of March.
The second contributed some money at the first of the month of June, so that the share owed to him is a third of what owed to the first.
The third contributed some money at the first of the month of August, so that the share owed to him is a quarter of what owed to the first.
I wish to know how much did the second and the third contributed?
 רעה)[65] שאלה ג' עושים שותפות עבור שנה תמימה

הראשון שם י"ד מנינים קליני ר"ח מרסו
והאחר שם ממון ר"ח יונייו כ"כ שמגיע לחלקו שליש מה שמגיע לראשון
והאחר שם ממון ר"ח אגוסטו שמגיע לחלקו כמו רביעית מה שמגיע לראשון
ארצה לדעת כמה שם הב' והג'

the share of the first: \scriptstyle{\color{blue}{14\sdot12=168}}
 כבר ידעת כי ממון הראשון היו י"ד ועמדו י"ב חדשים לכן כפול י"ד על י"ב ויהיו קס"ח
the share of the second: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{3}\sdot168}{9}=\frac{168}{3\sdot9}=\frac{168}{27}=6+\frac{2}{9}}}
 וכבר ידעת כי ממון הראשון עמדו בשותפות ט' חדשים תעשה מהם שלישיות ויהיו כ"ז אח"כ תחלק קסח על כ"ז ויצא ו' שלמים וב' תשיעיות והוא ממון השני
the share of the third: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{4}\sdot168}{7}=\frac{168}{4\sdot7}=\frac{168}{28}=6}}
 ולדעת מה ששם הג' הנה כבר ידעת כי ממונו עמד ז' חדשים תעשה מהם רביעיות מצד כי היה רביעית ריוח הראשון ויהיו כ"ח תחלק קס"ח על כ"ח ויצא ו' שלמים והוא מה ששם הג'
ולבחון אותו תאמר ג' עושים שותפות הא' שם י"ד ועמד בשותפות שנה והאחר שם ו' וב' תשיעיות ועמד בשותפות ט' חדשים והאחר שם ו' ועמד בשותפות ז' ונניח כי הרויחו ק' ותמצא כי מה שמגיע לשני אינו כי אם שליש ממה שמגיע לראשון ומה שמגיע לשלישי אינו כי אם רביעית ממה שמגיע לראשון
276) Question: three formed a partnership.
The first took 12 of the profit for every hundered he contributed to the partnership.
The second [took] 18 for every 100.
The third [took] 30 for every hundred.
They earned one thousand and 8 hundred.
I ask: how much should each take and how much did each contribute to the partnership?
 רעו) שאלה ג' עושים שותפות

הא' שואל עבור כל מאה ששם בשותפות י"ב מריוח
והשני עבור כל ק' י"ח
והג' עבור כל מאה ל'
והרויחו אלף וח' מאות
אשאל כמה ראוי שיקח כל א' א' וכמה שם כל א' וא' בשותפות

הנה ראוי לקבץ י"ב וי"ח ול' ויהיו ס' אח"כ תקח עבור י"ב ק' ועבור י"ח ק' ועבור ל' ק' ויהיו ג' מאות א"כ ראוי שתאמר כי עם ג' מאות הרויחו ס' א"כ תאמר אם כדי להרויח ס' נצטרך לג' מאות כמה נצטרך להרויח אלף וח' מאות ויצא ט' אלפי' חלקם על ג' ויצא לך ג' אלפים והוא מה שהיה לכל א וא'
ולדעת כמה הרויח כל א' וא' תאמר אם ק' הרויחו י"ב ג' אלפים כמה ירויחו יצא לך ג' מאות וס' והוא מה שהרויח הראשון
ולדעת כמה הרויח השני תאמר אם ק' הרויחו י"ח כמה ירויחו ג' אלפים ויצא לך תק"מ והוא מה שהרויח הב'
ולדעת כמה הרויח הג' תאמר אם ק' הרויחו ל' כמה ירויחו ל' ג' אלפים ויצא לך ט' מאות ובין הכל אלף וח' מאות
277) Question: two formed a partnership.
The first cuntributed 80 minyanim and earned 25 for every hundred.
The second cuntributed 60 and earned 20 for every hundred.
They earned 36.
I ask: how much should each take?
 רעז) שאלה ב' עושים שותפות

הראשון שם פ' מנינים ומרויח עבור כל מאה כ"ה
והב' שם ס' ומרויח עבור כל מאה כ'
והרויחו ל"ו
אשאל כמה ראוי שיקח כל א' וא'

כך תעשה תואמר אם ק' הרויחו כ"ה פ' כמה ירויחו ויצא לך כ' והוא עבור הראשון ועבור השני תאמר אם ק' שבו כ' ס' כמה ישובו ויצא לך י"ב * וחצי והוא מה שהרויח הראשון עוד תאמר אם ל"ב הרויחו ל"ו ויצא *[ה]נה תחבר כ' וי"ב לך י"ג וחצי והוא מה שמגיע מהריוח לשני
ולבחון אותו תחבר כ"ב וחצי וי"ג [י]היו ל"ב אח"כ תאמ' וחצי ויהיו ל"ו

Barter Problems
278) Question: Reuven has 200 liṭra of turmeric, the price of one liṭra is 9 carlini.
Shimon has pepper, the price of one ??? is 30 ducat in cash and he offer it for 35 in barter.
I ask: if Shimon wants to buy all 200 liṭra of turmeric, by how much should he [= Reuven] raise the price as Shimon raised it from 30 to 35?
 רעח)[66] שאלה ראובן יש לו כרכום מאתים ליטר' וערך הליט' ט' קרליני

ושמעון יש לו פלפל וערך המשוא ל' דוקטי במעות מנויים ובחליפים משים אותו ל"ה
אשאל אם שמעון רוצה לקחת כל המאתים ליט' כרכום כמה ראוי שיעלה לו הערך כמו שהעלה לו שמעון מל' עד ל"ה

The way is as follows: see how much is the cost of the 200 liṭra [of turmeric] at a price of 9 carlini; you find 180.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{200\sdot9}{10}=180}}
 הדרך הוא כך ראה כמה שוים מאתים ליט' לערך ט' קרליני ותמצא ק"פ
Rule of Four: Say: if 30 is equal to 35, how much is 180 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{30:35=180:x}}
 ותאמר אם ל' שוים ל"ה ק"פ כמה שוים
The result is 210; so he should raise [the price of 200 liṭra of turmeric in barter] from 180 to 210.
\scriptstyle{\color{blue}{x=210}}
 ויצא ר"י וכן ראוי שיעלה מק"פ עד ר"י
To know how many are the ??? [of pepper], I should divide 210 by 35; the result is 6 and this is the number of ??? that he should take.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{210}{35}=6}}
 ולדעת כמה משואות יש לי לחלק ר"י על ל"ה ויצא ו' וכך משואות יקח
Check: To check it, multiply 6 by 30, which is the price in cash; the result is 180, which is the cost of the 200 liṭra at the original price, which is 9 carlini.
\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot30=180=\frac{200\sdot9}{10}}}
 ולבחון אותו כפול ו' על ל' שהיה הערך במעות מנויים ויצא ק"פ כמו שהוא שווי המאתים ליט' לערך הראשון שהוא ט' קרליני
279) Question: Reuven has wool that is worth 8 carlin for a liṭra in cash and in barter he wants 12 for a liṭra.
He asks half of it in cash.
The other half he wants to barter with Shimon who has pepper and sells one liṭra for 3 carlini.
I ask: how much should be his price so that his friend will not cheat him?
Reuven has 200 liṭra of wool.
How many liṭra of pepper should he ask from Shimon?
 רעט)[67] שאלה ראובן יש לו צמר שוה הליט' ח' קרליני במעות מנויים ולחליפים רוצה י"ב בכל ליט' ומבקש החצי במעות מנויים

והחצי האחר רוצה להחליף עם שמעון שיש לו פלפל ומוכר הליט' ג' קרליני
אשאל כמה ראוי שיעלה לו הערך כדי שלא ירמהו חבירו
ולראובן יש לו מאתים ליט' צמר
כמה ליט' פלפל ראוי שיבקש משמעון

Do as follows: take a half of 12 that he asks in cash; they are 6.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot12=6}}
 תעשה כך הוצא החצי מי"ב שהוא שואל במעות מנוים ויהיו ו‫'
Subtract also 6 from 8, which is the price in cash; 2 remains.
\scriptstyle{\color{blue}{8-6=2}}
 גם הוצא ו' מח' שהוא הערך במעות מנויים ישארו ב‫'
Rule of Four: Say: if 2 is equal to 6, how much is 3, which is the price of the pepper, equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{2:6=3:x}}
 לכן תאמר אם ב' שבו ו' ג' שהוא ערך הפלפל כמה שוה
You get 9 and for this a liṭra of pepper should be sold.
\scriptstyle{\color{blue}{x=9}}
 ויצא לך ט' וכן ראוי שימכור ליט' הפלפל
Then, multiply 200 by 12 that he wants to sell in barter; the result is 2400.
\scriptstyle{\color{blue}{200\sdot12=2400}}
 אח"כ כפול מאתים על י"ב שהוא רוצה למכור לחליפים ויעלה ב' אלפים וד' מאות
Subtract a half of it, since he wants half in cash; it is 1200 and so he should receive in cash and 1200 he should receive from the pepper.
\scriptstyle{\color{blue}{2400-\left(\frac{1}{2}\sdot2400\right)=1200}}
 תסיר מהם החצי מצד כי הוא רוצה החצי במעות מנויים ויהיו אלף וב' מאות וכך יקבל במעות מנויים ואלף ומאתים יש לו לקבל מפלפל
Rule of Four: To know how many liṭra they are, say: if 9, which is the price of a liṭra, yield one liṭra, i.e. for 9 carlin I buy one liṭra, how many would I buy for 1200?
\scriptstyle{\color{blue}{9:1=1200:x}}
 ולדעת כמה ליט' הם תאמר אם ט' שהוא ערך הליט' נתן לי א' ליט' ר"ל אם עבור ט' קרליני אקנה ליט' אחת עבור אלף ומאתים כמה אקנה
You get 133⅓ liṭra. So, the one who has wool gives 200 to the one who has pepper, and the one who has pepper gives 133⅓ liṭra to the one who has wool.
\scriptstyle{\color{blue}{x=133+\frac{1}{3}}}
 ויצא לך קל"ג ליט' ושליש א"כ בעל הצמר יתן לבעל הפלפל מאתים ובעל הפלפל יתן לבעל הצמר קל"ג ליט' ושליש
Check: To check it, multiply 133⅓ by 9; you get 1200.
 ולבחון אותו כפול קל"ג ושליש על ט' ויצא לך אלף ומאתים
Multiply also 200 by 6; the result is 1200.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(133+\frac{1}{3}\right)\sdot9=1200=200\sdot6}}
 גם כפול מאתים על ו' ויצא אלף ומאתים
280) Question: Reuven and Shimon want to barter.
Reuven has silk that is worth 28 grossi for a liṭra in cash.
Shimon has cloth that is worth 15 grossi for a canna in cash and in barter he offer it for 18.
He wants to give his friend a quarter in cash.
I ask: how many liṭra of silk should Reuven offer and for 234 liṭra of silk how much cloth should he receive?
 רפ)[68] שאלה ראובן ושמעון רוצים להחליף

לראובן יש משי ששוה הליט' במעות מנויים כ"ח גרושי
ולשמעון יש בגד שוה הקנה ט"ו גרושי במנוים ובחליפים משים אותם י"ח
ורוצה לתת לחבירו הרביעית במעות מנויים
אשאל כמה ראוי שישים ראובן הליט' מהמשי ובעבור רל"ד ליט' משי כמה בגד ראוי שיקבל

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}}}
 הנה מאחר ששמעון רוצה לתת לראובן הרביע ראוי שתוסיף על ערך הקנה מהבגד מספר באופן זה

כבר ידעת כי הוא רוצה לתת לראובן הרביעית ראה כמה יש על השורה כשאתה מצייר רביע כזה \scriptstyle\frac{1}{4}
תמצא למעלה א' תסיר אותו מהמספר אשר הוא תחת הקו שהוא ד' וישארו ג' ושים ג' תחת הקו וא' על הקו ויהיה א' שליש

ואם אמר רוצה לתת א' שליש תסיר א' שהוא על הקו מהג' וישארו ב' ושים א על הקו ויהיה חצי
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{n-1}}}
 וכשתנהג זה המנהג תמצא כי כשתסיר מהערך הראשון מה שהוספת שהוא מה שרוצה לתת במעות מנויים ישאל הערך הראשון
המשל לשאלתינו כי רוצה י"ח גרושי מן הקנה ורוצה לתת הרביעית במעות מנויים
\scriptstyle{\color{blue}{18+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=18+6=24}}
 וכבר מצאת כי הרביעית ישוב שליש וקח שליש י"ח שהם ו' תוסיפם על י"ח ויהיו כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=18}}
 הוצא מהם הרביעית שהוא רוצה במעות מנויים וישארו עדין י"ח והוא שוה אל המספר המונח
  • If the price is 9 and he wants to sell a third in cash
 דמיון אחר הערך הוא ט' ורוצה לתת שליש במעות מנויים
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}}}
 וכבר מצאת כי השליש ישוב חצי
\scriptstyle{\color{blue}{9+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)=9+\left(4+\frac{1}{2}\right)=13+\frac{1}{2}}}
 הוסיף חצי על ט' שהם ד' וחצי ויעלו י"ג וחצי
\scriptstyle{\color{blue}{\left(13+\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(13+\frac{1}{2}\right)\right]=9}}
 הוצא מהם השליש שרוצה לתת וישארו עדין ט' שהוא כמו המספר המונח
  • If the price is 9 and he wants to sell two thirds in cash
 דמיון אחר המספר הוא ט' ורוצה לתת ב' שלישיות
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3-2}=\frac{2}{1}}}
 הוצא הב' שהם על הקו מהג' שהם תחת הקו ולא ישאר למטה כי אם א' ולמעלה ב‫'
\scriptstyle{\color{blue}{9+\left(2\sdot9\right)=27}}
 תוסיף על המספר המונח ב' פעמים כמוהו ויהיו כ"ז
\scriptstyle{\color{blue}{27-\left(\frac{2}{3}\sdot27\right)=9}}
 תסיר מהם ב' שלישיות וישארו ט' והוא המספר המונח
\scriptstyle{\color{blue}{15+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=15+6=21}}
 והנה ערך הקנה ממספרינו הוא ט"ו ובחלופים י"ח שהם ו' ונוסיפם על ט"ו ויהיו כ"א
\scriptstyle{\color{blue}{18+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=18+6=24}}
 גם נוסיפם על י"ח ויהיו כ"ד
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{21:24=28:x}}
 ועתה אתה רואה כי כ"א שבו כ"ד ועתה ראוי שתאמר אם כ"א שבו כ"ד ליט' כ"ח שהוא ערך המשי כמה שוה
price of 24 liṭra of silk: \scriptstyle{\color{blue}{x=32}}
 ויצא לך ל"ב והוא ערך הליט‫'
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{24:32=234:x}}
 ולדעת כמה קנים מבגד ראוי שיתן עבור רל"ד ליט' תאמר אם כ"ד שוים ל"ב רל"ד כמה שוים
cash in return for 234 liṭra of silk: \scriptstyle{\color{blue}{x=312}} ducat
 ותמצא כי ישוו ג' מאות וי"ב דוקטי
\scriptstyle{\color{blue}{312-\left(\frac{1}{4}\sdot312\right)=312-78=2{\color{red}{3}}4}}
 ומצד כי שמעון רוצה לתת רביעית במעות ראוי לקחת רביעית ג' מאות י"ב שהם ע"ח ותוציאם מג' מאות וי"ב וישארו רכ"ד
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{24}:1=234:x}}
 ועתה תאמר אם י"ח גסים שוים קנה אחת רל"ד כמה קנים שוים
canna of cloth: \scriptstyle{\color{blue}{x=312}} ducat
 ויצא לך שי"ב והם קנים מבגד וכך ראוי שיקבל ראובן משמעון
cash in return for cloth: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot312=78}}
 וע"ח מנינים בממון
Check: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{234\sdot28}{24}=273=195+78=\frac{312\sdot15}{24}+78}}
 ולבחון אותו ראה כמה שוות רל"ד ליט' של משי לערך כ"ח שהיה במעות מנויים ויעלה רע"ג מנינים

עוד ראה כמה שוות ג' מאות וי"ב קנים לערך ט"ו שהוא במעות מנוים ויצא לך קצ"ה תוסיף עליהם ע"ח שנתן ויהיו רע"ג

281) Question: two want to barter.
One has 10 pieces of cloth, each piece is worth 15 minyanim in cash and 17 in barter and he wants to receive 50 ducat in cash.
The other has barrels of oil, the price of a barrel is 60 in cash.
I ask: how much should be the price and how many barrels should be given for 10 pieces of cloth?
 רפא)[69] שאלה שנים רוצים להחליף

לאחד יש י' חתיכות בגד ששות כל חתיכה בממון ט"ו מנינים ובחליפים י"ז ורוצה שינתן לו חמישים דוק' בממון
והאחר יש לו חביות שמן ערך החבית בממון ס' דוקט‫'
אשאל כמה ראוי שיעלה הערך ובעבור הי' חתיכות בגד כמה חביות ראוי שיתן

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot15=150}}
 ראשנה ראה כמה שוות הי' חתיכות בממון ותמצא ק"נ
\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot17=170}}
 וכמה שוות בחליפים והם ק"ע
\scriptstyle{\color{blue}{170-50=120}}
 אח"כ ראוי להוציא הנ' ששואל בממון מק"ע וישארו ק"כ
\scriptstyle{\color{blue}{150-50=100}}
 גם תוציאם מק"נ הנשאר ק‫'
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{100:120=60:x}}
 א"כ ראוי שתאמ' כי ק"כ שבו ק' ולדעת כמה ראוי שישים חבית השמן תאמר אם ק' שבו ק"כ כמה ישובו ס‫'
the price of a barrel of oil: \scriptstyle{\color{blue}{x=72}}
 ויצא ע"ב והוא שווי חבית השמן
number of barrels: \scriptstyle{\color{blue}{x=170-50=120}}
 ולדעת כמה שמן יתן עבור י' חתיכות כבר ידעת כי שוים ק"ע לחילוף ומזה שואל נ' הוצא נ' מק"ע ישארו ק"כ וכ"כ שמן ראוי שיקבל שישוה ק"כ לחלופים
in each barrel there are one thousand measures
 ולדעת כמה ראוי שיהיה כבר ידעת כי בחבית יש אלף מדות
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{72:1000=120:x}}
 ולכן תאמ' אם ע"ב שוים אלף מדות ק"כ כמה שוות
the measures of oil to be given for 10 pieces of cloth: \scriptstyle{\color{blue}{x=1666+\frac{2}{3}}}
 ויצא אלף תרס"ו וב' שלישיות הנה כבר מצאת כי חבית השמן ראוי שישוה לחלופים ע"ב ובעבור הי' חתיכות ראוי שיתן אלף תרס"ו וב' שלישיות מדה והאחר יקבל השמן גם חמישי' מנינים בממון
Check: \scriptstyle{\color{blue}{10\sdot15=150=100+50=\frac{\left(1666+\frac{2}{3}\right)\sdot60}{1000}+50}}
 ולבחון אותו ראה כמה שוות הי' חתיכות בממון והנה הוא ק"נ וכך נתן לחבירו

עוד ראה מה שקבל שהוא אלף תרס"ו וב' שלישיות לערך ס' שהוא הערך הראשון והנה הוא ק' ועם הנ' שקבל בממון הנם ק"נ והם שוים אל הק"נ השמורים

282) Question: two want to barter.
One has silk and he wants to offer 10 grossi for a liṭra in barter and he wants to be given a fifth in cash.
The other has cloth that worth 13 in cash and he must offer it now for 16 as his friend raised the [price of] silk.
I ask: how much is the price of the silk in cash and in order to buy 100 liṭra of silk how much cloth should be given?
 רפב)[70] שאלה ב' רוצים להחליף

לא' יש משי שרוצה לשים הליט' י' גרושי לחלופים ורוצה שינתן לו החומש בממון
ולאחר יש בגד שוה בממון י"ג והוא מוכרח עתה לשים אותה י"ו כשם שהעלה חבירו המשי
אשאל כמה ערך המשי בממון וכדי לקחת ק' ליט' משי כמה בגד ראוי שיתן

\scriptstyle{\color{blue}{16+\left(\frac{1}{5-1}\sdot16\right)=16+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)=16+4=20}}
 הדרך הוא זה כבר ידעת כי מי שיש לו בגד ראוי שיעלה הערך מי"ג עד י"ו גם הוא מוכרח לתת חומש לחבירו לכן ראוי להוסיף רביעית י"ו על י"ו כי החמישית מצאנו שהוא רביעית על הדרך הנז' לעיל ויהיו כ‫'
\scriptstyle{\color{blue}{13+4=17}}
 גם תוסיף ד' על י"ג ויהיו י"ז ולכן תאמר כי בעל המשי עשה מי"ז כ‫'
ולדעת כמה היתה שוה ליט' המשי בממון
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{20:17=10:x}}
 תאמר אם כ' עשו י"ז כמה עשו י' שהוא ערך הליט' לחליפים
the price of a liṭra of silk in cash: \scriptstyle{\color{blue}{x=8+\frac{1}{2}}}
 ויצא ח' וחצי כך היתה שוה הליט' בממון
ולדעת כמה בגד ראוי שיקבל עבור ק' ליט‫'
כפול ק' על י' ויהיו אלף ומצד כי הוא רוצה החומש בממון הוצא החומש מאלף הנשאר ת"ת והוא מה שראוי שיקבל
\scriptstyle{\color{blue}{\left(100\sdot10\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(100\sdot10\right)\right]=1000-\left(\frac{1}{5}\sdot1000\right)=800}}
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{16:1=800:x}}
 תאמר אם י"ו גסים שוים קנה אחת ת"ת גסים כמה קנים שוות
canna of cloth for 100 liṭra of silk: \scriptstyle{\color{blue}{x=50}}
 ויצא לך נ' הנה א"כ ליט' המשי היתה שוה ח' גרושי וחצי וראוי שיקבל נ' קנים מבגד עבור ק' ליט' של משי
in cash: \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot1000\right)=200}}
 והשיור ראוי שיקבל שהוא מאתים
Check: \scriptstyle{\color{blue}{100\sdot\left(8+\frac{1}{2}\right)=850=650+200=\left(50\sdot13\right)+200}}
 ולבחון אותו ראה כמה שוות ק' ליט' במעות מנויים שהוא תת"נ גרושי

עוד ראה כמה שוות נ' קנים מבגד במעות מנויים שהוא י"ג ויצא ו' מאות ונ' תוסיף ב' מאות גרושי ויהיו ג"כ תת"נ

283) Question: two barter.
The first has cloth and he asks 8 for a canna in cash and 10 in barter.
The other has silk and he asks 20 for a liṭra in cash and 24 in barter.
I ask: who asks which part of the money and what part is he asking for?
 רפג)[71] שאלה שנים עושים חליפים

הראשון יש לו בגד ושואל מהקנה בממון ח' ובחליפים י‫'
והאחר יש לו משי ושואל מהליט' בממון כ' ובחלוף כ"ד
אשאל מי הוא זה ששואל חלק מה מממון ואיזה חלק שואל השואל

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot24=192}}
 ראוי לעשות ככה כפול ח' שהוא ממון הבגד על כ"ד שהוא חלוף המשי ויהיו קצ"ב
\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot20=200}}
 עוד כפול י' שהוא חלוף הבגד על כ' שהוא ממון המשי ויהיו ר‫'
\scriptstyle{\color{blue}{200-192=8}}
 הוצא קצב מר' הנשאר ח' ושמרם
עתה ראה למי יש יתר שאת על חבירו או זה שעושה מח' י' או מי שעושה מכ' כ"ד
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{8:10=20:x}}
 ותעשה כך ותאמר אם ח' נתן לי י' כמה יתן לי כ‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x=25}}
 ויצא לך כ"ה
א"כ מי שעשה מח' י' יש לו יתרון על חבירו כי לפי אותו היחס היה ראוי לחברו כ"ה
א"כ ראוי שתאמר כי מי ששואל מכ' כ"ד שואל חלק מה מממון יען כי יש לחבירו יתרון עליו
ולדעת איזה חלק הוא שואל ראה כמה מוסיף מי שיש לו יתרון על חבירו מהממון לחליפים
\scriptstyle{\color{blue}{10-8=2}}
 והנה בממון הוא ח' ובחליפים הוא י' לכן תמצא כי היתרון שיש מהממון לחליפים הוא ב‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{2}=4}}
 עתה תחלק מה שנשאר מהב' הכפלות שעשינו אחר שהוצאנו הקטן מהגדול הנשאר ח' ויצא לך ד‫'
the part of the cashed money of the owner of silk: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{24}=\frac{1}{6}}}
 וחלק אלו הד' על מה שהיה ערך המשי לחליפים שהיו כ"ד ויצא לך שישית אחד וכך הוא חלק הממון ששואל בעל המשי ר"ל ששואל שישית
Check: if the owner of silk has 60 liṭra the price of which is 24 grossi [for a liṭra], this is 60 ducat
 ולבחון אותו נניח כי לבעל המשי היו לו ס' ליט' לערך כ"ד גרושי ויהיו ס' דוקטי
\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=50}}
 ומצד כי הוא שואל שישית הממון הוצא השישית מס' הנשאר נ' א"כ ראוי לו לקבל נ' מנינים מבגד חבירו וראוי לו לקבל עבור אלו הנ' מנינים ק"נ קנים לערך י' גרושי הקנה
ועתה ראה כמה שוה המשי והבגד במעות מנוים והנה הס' ליט' של משי במעות שהוא כ' בכל ליט' יהיו נ' מנינים
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{120\sdot8}{24}+10=40+10=50}}
 עתה ראה כמה שוות ק"כ קנים לערך מעות מנויים שהוא ח' ויצא מ' מנינים תוסיף עליהם עשרה מנינים שיש לו לקבל במעות מנויים ויהיו נ' והם שוים אל הנ' האחרים
284) Question: two want to barter.
One has ten pieces of cloth, each piece worth 22 in cash and in barter he offer it for 30.
He also has 100 liṭra of scarlet wool, each liṭra is worth 28 in cash and 34 in barter.
He wants to pay his friend 500 ducat.
His friend has caryophyllus that is worth 7 grossi for a liṭra.
He has also pepper that is worth 15 minyanim for 100 liṭra.
He also has ginger that is worth
 רפד)[72] שאלה ב' רוצים להחליף סחורה

לא' יש עשרה חתיכות של בגד ששוה במעות כ"ב כל חתיכה ובחליפים משים אותה ל‫'
ועוד יש לו ק' ליט' מתולעת שני ששוה הליט' בממון כ"ח ובחלוף ל"ד
גם רוצה לתת לחבירו ה' מאות דוק‫'
ולחבירו יש לו גרופולי ששוה הליט' ז' גרושי
וגם יש לו פלפל ששוה ט"ו מנינים הק' ליט‫'
ועוד יש לו זנגביל ששוה המשוא במעות מ"ו מנינים
אשאל כמה ראוי שישים ערך הפלפל והגרופולי והזנגביל לחליפים למען לא ירמהו חבירו
וחבירו בעל הבגד שואל לו מהזנגביל (פלפל) שישוה ג' מאות ומהגרופולי ג"כ ג' מאות ומהפלפל (זנגביל) עד תשלום מה שהוא רוצה לתת לחבירו
אשאל כמה זנגביל וכמה פלפל וכמה גרופולי ראוי שיקבל

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot22=220}}
 ראוי לראות כמה שוות הי' חתיכות בגד בממון שהוא כ"ב ותמצא ר"כ
\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot30=300}}
 גם ראה כמה שוות החלוף ותמצא ג' מאות
גם ראה כמה שוות הק' ליט' מתולעת שני בממון וכמה שוות בחלוף
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot28}{24}=116+\frac{2}{3}}}
 והנה בממון שהיה כ"ח ישוו קי"ו מנינים וב' שלישיות כי כ"ד גסים הם דוק' אחד
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot34}{24}=141+\frac{2}{3}}}
 ובחלוף שהיה הערך ל"ד גסים ישוו קמ"א מנינים וב' שלישיות
\scriptstyle{\color{blue}{220+\left(116+\frac{2}{3}\right)=336+\frac{2}{3}}}
 עתה תחבר מה שעלה בממון הי' חתיכות עם מה שעלו הק' ליט' מתולעת ויהיו של"ו וב' שלישיות
\scriptstyle{\color{blue}{300+\left(141+\frac{2}{3}\right)=441+\frac{2}{3}}}
 עתה תחבר מה שעלו הי' חתיכות בחלוף עם מה שעלו הק' ליט' ויהיו תמ"א וב' שלישיות
והנך רואה כי מה שהיה שוה בממון של"ו וב' שלישיות שם אותו בחלוף תמ"א וב' שלישיות
\scriptstyle{\color{blue}{500+\left(336+\frac{2}{3}\right)=836+\frac{2}{3}}}
 ובעבור שהוא רוצה לתת ה' מאות בממון נחברם עם של"ו וב' שלישיות ויהיו תתל"ו וב' שלישיות
\scriptstyle{\color{blue}{500+\left(441+\frac{2}{3}\right)=941+\frac{2}{3}}}
 גם תחברם עם תמ"א ויהיו תתקמ"א וב' שלישיות
והנך רואה כי מתתל"ו וב' שלישיות הוא עושה תתקמ"א וב' שלישיות
ולדעת כמה ראוי שיהיה ערך הגרופולי בחלוף
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\left(836+\frac{2}{3}\right):\left(941+\frac{2}{3}\right)=7:x}}
 תאמ' אם תתל"ו וב' שלישיות שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו ז' שהוא ערך ליט' הגרופולי
\scriptstyle{\color{blue}{x=7+\frac{441}{502}}}
 ויצא לך ז' ותמ"א חלקים מתק"ב
ולדעת כמה ראוי שיהיה ערך הפלפל
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\left(836+{\color{red}{\frac{2}{3}}}\right):\left(941+\frac{2}{3}\right)=15:x}}
 תאמר אם תתל"ו שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו הק' ליט' מהפלפל שהיה ערכם בממון ט"ו
\scriptstyle{\color{blue}{x=16+\frac{443}{5{\color{red}{0}}2}}}
 ויצא לך י"ו ותמ"ג חלקים מתקי"ב
ולדעת כמה ראוי שישוה הזנגביל
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\left(836+\frac{2}{3}\right):\left(941+\frac{2}{3}\right)=46:x}}
 תאמ' אם תתל"ו וב' שלישיות שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו מ"ו שהיה ערך המשוא במעות
\scriptstyle{\color{blue}{x=51+\frac{388}{5{\color{red}{0}}2}}}
 ויצא לך נ"א וג' מאות ופ"ח מתקי"ב
ואם תרצה לדעת כמה גרופולי וכמה זנגביל וכמה פלפל ראוי שינתן עבור הבגד והתולעת והת"ק זהובים
כבר ידעת כי הבגד שוות ג' מאות בחלוף והתולעת קמ"א וב' שלישיות
וכבר ידעת כי הסך העולה הוא תתקמ"א וב' שלישיות עם הה' מאות
\scriptstyle{\color{blue}{\left(941+\frac{2}{3}\right)-\left(300+300\right)=\left(941+\frac{2}{3}\right)-600=341+\frac{2}{3}}}
 ומצד כי הוא רוצה גרופולי שישוו ג' מאות ופלפל שישוו ג' מאות תחברם ויהיו ו' מאות תוציאם מתתקמ"א וב' שלישיות וישארו שמ"א וב' שלישיות א"כ ראוי שיקבל מהפלפל שישוה שמ"א וב' שלישיות
ולדעת כמה גרפולי ראוי שיקבל עבור ג' מאות דוק'
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{441}{5{\color{red}{0}}2}\right):1=24\sdot300:x}}
 תאמ' אם ז' גרושי תמ"א חלקים מתקי"ב נתן לי ליט' א' כמה יתן לי ג' מאות דוקט‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x=913+\frac{697}{791}}}
 ויצא לך ט' מאות וי"ג ותרצ"ז חלקים מתשצ"א וכך ליט' ראוי שיקבל
ולדעת כמה פלפל ראוי שיקבל עבור ג' מאות מנינים
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\left(16+{\color{red}{\frac{443}{502}}}\right):100=300:x}}
 תאמר אם י"ו מנינים נתן לי מאה ליט' כמה ליט' יתן לי ג' מאות דוק‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x=1776+\frac{112}{113}}}
 ויצא לך אלף וז' מאות וע"ו וקי"ב חלקים מקי"ג וכך ליט' יקח
ולדעת כמה פלפל ראוי שיקבל עבור שמ"א וב' שלישיות
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\left(51+\frac{388}{5{\color{red}{0}}2}\right):\left(1\sdot400\right)=\left(341+\frac{2}{3}\right):x}}
 תאמ' אם נ"א מנינים וג' מאות ופ"ח חלקים מתקי"ב נתן לי משוא אחת מה יתן לי שמ"א וב' שלישיות
\scriptstyle{\color{blue}{x=2639+\frac{5717}{7797}}}
 ויצא לך אלפים ותרל"ט וה' אלפים וז' מאות וי"ז חלקים מז' אלפים ותשצ"ז וכך ראוי שיקבל מהפלפל
ולבחון אותו תעשה ככה
\scriptstyle{\color{blue}{7+\frac{441}{5{\color{red}{0}}2}}}
 כבר ידעת כי הגרופולי ראוי שישוה הליט' ז' ותמ"א מתקי"ב
\scriptstyle{\color{blue}{16+\frac{443}{5{\color{red}{0}}2}}}
 וליט' הפלפל ראוי שיהיה י"ו ותמ"ג חלקי' מתקי"ב
\scriptstyle{\color{blue}{51+\frac{{\color{red}{3}}88}{502}}}
 והק' ליט' מהפלפל ראוי שישוו נ"א וג' ופ"ח חלקים מתק"ב
ובעבור ת"ק מנינים ועשרה חתיכות בגד וק' ליט' תולעת שני
\scriptstyle{\color{blue}{913+\frac{69{\color{red}{7}}}{791}}}
 יתנו ט' מאות וי"ג ליט' וו' מאות וצ"ו חלקים מתשצ"א מהגרפולי
\scriptstyle{\color{blue}{1776+\frac{112}{113}}}
 ואלף וז' מאות וע"ו ליט' וקי"ב חלקים מקי"ג מזנגביל
\scriptstyle{\color{blue}{2639+\frac{571{\color{red}{7}}}{77{\color{red}{9}}7}}}
 וב' אלפים וו' מאות ול"ט ותקע"א חלקי' מז' אלפים וז' מאות וז' מפלפל
ולראות אם הוא אמת ראה כמה נתן מהגרופולי וראה כמה יעלו הט' מאות וי"ג והחלקים במעות מנויים ותמצא כי ישוו ב' מאות וס"ו דוק' וי"ג גרושי והחלקים
עו' ראה הליט' מהפלפל שהם אלף וז' מאות והחלקים כמו שהיה נמכר בממון ויצא לך ג"כ רס"ו דוקט' וי"ג גרושי וחלקים
עוד ראה כמה שוות הב' אלפים ותרל"ט והחלקים בממון ויצא לך ג"כ ג' מאות וג' דוקט' וא' גרושו והחלקים
אח"כ חבר אלו הג' מספרים ויצא לך תתל"ו דוקט' וי"ו גרושי ושמור זה המספר
אח"כ שוב אל השני וראה אם הוא שוה אל המספר והנה הי' חתיכות בגד היו שוות בממון כ"ב מנינים א"כ יהיו ר"כ מנינים
אח"כ ראה כמה שוות הק' ליט' מתולעת לערך הממון מחושב שהיה כ"ח גרושי הליט' ויצא לך קי"ו דוקטי וגרושי י"ו וחבר עמהם ה' מאות ויעלה כמו המספר השמור
285) Question: two barter.
One has 2000 liṭra of wax, 100 liṭra of which are worth 5 minyanim in cash.
The other has thread, 100 liṭra of which are worth 8 minyanim in cash and 10 in barter and he asks for 500 minyanim in cash.
I ask: how much should he offer for 100 liṭra of wax in barter and how much thread will he receive for the 500 minyanim and for the 2000 liṭra?
 רפה)[73] שאלה ב' עושים חלופים

לא' יש לו ב' אלפים ליט' של שעוה שהליט' הק' שוות ה' מנינים בממון
ולאחר יש לו פתיל שהק' ליט' שוות בממון ח' מנינים ובחלוף שוה עשרה ושואל ת"ק מנינים בממון
אשאל כמה ראוי שישים הק' ליט' משעוה לחלוף וכמה פתיל יקבל עבור הת"ק מנינים ובעבור האלפים ליט'

\scriptstyle{\color{blue}{500+\frac{2000\sdot6}{100}=500+120=620}}
 כך תעשה ראה כמה שוות האלפים ליט' לערך ו' מנינים המאה ותמצא ששוות ק"כ מנינים מצד כי הוא נותן ת"ק מנינים תחברם עם ק"כ ויהיו תר"כ מנינים וכך הוא קרן בעל השעוה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot620}{8}=7750}}
 עתה ראה כמה ליט' יש לו לקבל מהפתיל עבור אלו התר"כ מנינים כפי הערך שהוא שוה בממון ויצא לך ז' אלפים וז' מאות ונ' ואלו הליט' ראוי שיקבל עבור הב' אלפים ליט' שעוה וה' מאות מנינים
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7750}{10}=775}}
 ולדעת כמה ראוי שישים אותו בחלוף כבר ידעת כי אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' ששוות בממון ו' מאות וכ' עתה ראה כמה ראוי שישוו אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' לערך י' מנינים שהוא החלוף ויצא תשע"ה
\scriptstyle{\color{blue}{620-500=120}}
 ומצד כי בעל הפתיל שואל ה' מאות הוצא אותם מתר"כ וישאר ק"כ מנינים
\scriptstyle{\color{blue}{775-500=275}}
 גם הוציאם ממה ששוה בחלוף שהוא תשע"ה ויצא ב' מאות וע"ה
ולכן תאמר כי ק"כ שבו ב' מאות וע"ה
ולדעת כמה ראוי להיות ערך השעוה בחלוף
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{120:275=6:x}}
 תאמר אם ק"כ שבו רע"ה כמה ראוי שישובו ו' שהוא הערך בממונו
\scriptstyle{\color{blue}{x=13+\frac{3}{4}}}
 ויצא לך י"ג וג' רביעיות והוא שווי השעוה בחלוף שאלה
והנך רואה כי עבור אלפים ליט' שעוה וה' מאות מנינים ראוי שיקבל ז' אלפים וז' מאות ונ' ליט' מחבירו וראוי שישוה בחלוף י"ג וג' רביעיות
ולבחון אותו ראה כמה שוות אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' ליט' בממון שהיה הערך ח' ויצא לך תר"כ עתה ראה כמה שות האלפים ליט' של שעוה בממון שהיה הערך ו' ויצא לך ק"כ תחבר עמהם ה' מאות ויהיו תר"כ והנך רואה כי הכל אחד

Mixture and Alligation Problems
286) Question: a man has 100 marco, in each marco 5 ounces of silver.
We want it to contain 6 ounces [of silver] in each marco.
We wish to know: how many ounces should be added to it?
 רפו)[74] שאלה לאדם יש לו ק' מרקי שיש בכל מרקו ה' אוק' מכסף ונרצה לעשות אותו שיכיל כל מרקו ו' אוק'

נרצה לדעת כמה אוק' ראוי להוסיף בו

1 marco contains 8 ounces = 5 silver + 3 copper
 כך תעשה כבר ידעת כי בכל מרקו יש ח' אוק' והג' הם של נחושת מאחר שהיא מכילה ה' מכסף בכל מרקו
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300}{6}=50}}
 א"כ בכל הק' מרקו יש ג' מאות מאוק' נחושת חלקם על ו' שתרצה שיכיל כל מרקו מכסף ויצא לך נ'
50 marco of pure silver should be added to the 100 mixed marco
 הוסיפם על ק' ויהיו ק"נ ואלו הנ' הם כלם שוות של כסף
Check: the 150 marco contain 300 ounces of copper and \scriptstyle{\color{red}{900}} ounces of silver
 ולבחון אותו ראה כי בכל אלו הק"נ אין בם כי אם ג' מאות אוק' נחושת ויש בם ו' מאות אוק' כסף
each marco contains 6 ounces of silver
 א"כ כל מרקו מכיל ו' אוק' מכסף
287) Question: a man has 90 marco, each marco contains 6 ounces of silver.
He wants to add to it copper so that each marco will contain only 5 [ounces of silver].
I ask: how many ounces should be added to it?
 רפז)[75] שאלה לאדם יש לו צ' מרקי מכיל כל מרקו ו' אוק' של כסף ורוצה להוסיף בו נחושת שלא יכיל כל מרקו כי אם ה' בכל מרקו

אשאל כמה אוק' ראוי להוסיף

total number of ounces of silver in the 90 marco: \scriptstyle{\color{blue}{900\sdot6=540}}
 כך תעשה ראה כמה אוקי' כסף יש בין אלו הצ' מרקי ויצא לך תק"מ
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{5:1=540:x}}
 ותאמ' אם ה' אוק' עושה מרקו אחד תק"מ כמה מרקי יעשו
total number of marco that should contain 5 ounces of silver in each marco: \scriptstyle{\color{blue}{x=108}}
 ויצא לך ק"ח וכן ראוי שיהיה בין הכל
Check: the 90 marco contain 540 ounces of silver, 6 ounces of silver in each
 ולבחון אותו כבר ידעת כי הצ' היו שוים תק"מ שהיה בכל מרקי ו' אוק'
the 108 marco contain 540 ounces of silver, 5 ounces of silver in each \scriptstyle{\color{blue}{5\sdot108=540}}
 גם כפול עתה ה' פעמים ק"ח ויצא ג"כ תק"מ ועתה אין בכל מרקו כי אם ה'
288) Question: a man has 20 marco, each marco contains 5 ounces [of silver].
He also has 16 marco, each marco contains 3 ounces [of silver].
He wants to make a mixture so that each marco will contain 6 ounces [of silver].
I ask: how much silver should be added and how much will be the total?
 רפח)[76] שאלה לאדם יש לו כ' מרקי מכיל כל מרקו ה' אוקיות

עוד יש לו י"ו מרקי מכיל כל מרקו ג' אוקיו'
ורוצה לעשות קשר אחד שיכיל כל מרקו ו' אוקי'
אשאל כמה כסף ראוי להוסיף וכמה יעלה בין הכל

הדרך הוא כך ראה כמה נחושת יש בין כל אלו הב' מיני כספים
total number of ounces of copper in the 20 marco [of 5 ounces of silver]: \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot20=60}}
 והנה בראשנה בכ' מרקי תמצא ס' אוקיו' נחושת
total number of ounces of copper in the 16 marco [of 3 ounces of silver]: \scriptstyle{\color{blue}{5\sdot16=80}}
 והי"ו אחרים יש בם פ' אוקי' נחושת
total number of ounces of copper in both kinds of coins: \scriptstyle{\color{blue}{60+80=140}}
 וחברם והיו ק"מ א"כ באלו הב' מיני כספים יש בם ק"מ אוק' נחושת
if each marco should contain 6 ounces of silver, then is should contain 2 ounces of copper
 והוא מבקש שיכיל כל מרקו ו' אוקיו' כסף א"כ לא יכיל כי אם ב' מנחושת
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{2:1=140:x}}
 ולכן תאמר אם ב' אוקיו' מנחושת נתן לי א' מרקו ק"מ כמה מרקי יתנו
total number of marco in the mixture:\scriptstyle{\color{blue}{x=70}}
 ויצא ע' והם מרקי
the number of marco of pure silver (= each contains 8 ounces of silver) that should be added:\scriptstyle{\color{blue}{70-20-16=34}}
 תוציא מהם הכ' והי"ו וישארו ל"ד וכך ראוי שיוסיף ואלו הל"ד הם כלם של כסף ר"ל כל מרקו מכיל ח' אוקי' מכסף
Check: total number of ounces of copper in both kinds of coins (the 20 marco and the 16 marco) = 140
 ולבחון אותו כבר ידעת כי בין הכ' והי"ו לא היו מכילים מנחושת כי אם ק"מ אוקי'
total number of ounces of copper in the 70 marco = 140
 ועתה ראוי ג"כ כי בין אלו הע' מרקי לא יכילו כי אם ק"מ אוקי' ג"כ מנחושת
רפט)[77] שאלה לאדם יש לו כ' מרקי מכיל כל א' וא' ה' ועוד יש לו י"ו מרקי מכיל כל א' ו' אוקי' ורוצה לבלול בם עופרת באופן לא יכילו כי אם ד' עבור מרקו אחד אשאל כמה עופרת ראוי לערב בם וכמה יהיה כל הסך
הדרך הוא כך יש לך לראות כמה הוא כל הכסף מכל אלו הכספים והנה אותם הכ' שמכיל ה' יהיו ק' אוק' ואותם י"ו שמכיל ו' יהיו צ"ו ובין הכל קצ"ו
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{4:1=194:x}}
 ומצד שרוצה שלא יכיל כל מרקו כי אם ד' תאמר אם ד' שוים מרקו א' קצ"ו כמה שוים
ויצא לך מ"ט וכן הוא סך הכל
ולדעת כמה הוסיף הוצא ממנו כ' וי"ו וישארו י"ג וכן ראוי להוסיף מנחושת
ולבחון אותו כבר ידעת כי בין הב' כספים לא היה כי אם קצו אוק' כסף וכך ראוי שיהיה עתה בין אלו המ"ט מרקי והנך רואה כי ד' פעמים מ"ט הם קצ"ו
290) Question: a man has an amount of money, each marco of which contains 5½ ounces of silver.
Another man wants to produce 20 marco, each of which contains 4½ ounces [of silver].
I ask: how much will he take from the amount of money and how much copper should be added?
רצ)[78] שאלה לאדם יש לו סך כסף מכיל כל מרקו ה' אוקי' וחצי מכסף

ואחר רוצה לעשות כ' מרקי יכיל כל מרקו ד' אוקיו' וחצי
אשאל כמה יקח מאותו הכסף וכמה נחושת ראוי להוסיף

total number of ounces of silver in the 20 marco each of which contains 4½ ounces [of silver]: \scriptstyle{\color{blue}{20\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=90}}
 כך תעשה ראה כמה כסף יש בכ' מרקי לערך ד' אוקיו' וחצי בכל מרקו ויצא צ' וכך ראוי לקחת מאותו שמכיל ה' וחצי
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{2}\right):1=90:x}}
 ולדעת כמה יקח תאמר אם ה' וחצי שוים מרקו אחד צ' כמה שוים
the number of marco that should be taken from those containing 5½ ounces [of silver] each: \scriptstyle{\color{blue}{x=16+\frac{4}{11}}}
 ויצא לך י"ו וד' חלקים מי"א וכך ראוי לקחת מאותו שמכיל ה' וחצי
the copper that should be added: \scriptstyle{\color{blue}{20-\left(16+\frac{4}{11}\right)=3+\frac{7}{11}}}
 ולדעת כמה נחושת ראוי להוסיף ראה ההפרש מי"ו וד' חלקים מי"א עד כ' ויצא לך ג' וז' חלקים מי"א וכך נחושת ראוי להוסיף
Check: total number of ounces of silver in the marco containing 5½ ounces [of silver] each = \scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{4}{11}\right)\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)=90}}
total number of ounces of copper in the marco containing 5½ ounces [of silver] each = \scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{4}{11}\right)\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=40+\frac{10}{11}}}
 ולבחון אותו ראה כמה נחושת וכמה כסף יש באותם י"ו וד' חלק' מי"א מאותו הכסף שמכיל ה' וחצי בכל מרקו ותמצא בם מכסף צ' אוק' ומנחושת מ' אוק' וי' חלקים מי"א
number of ounces of copper with the added copper: \scriptstyle{\color{blue}{\left(40+\frac{10}{11}\right)+\left[\left(3+\frac{7}{11}\right)\sdot8\right]=70}}
 תוסיף אלו המ' והחלקים על ג' מרקו וז' חלקים מי"א שהוספנו מנחושת ויצא לך ע' אוק'
והנה יש לך כי באלו הי"ו מרקי והחלקים יש לך צ' אוק' כסף ומ' אוק' נחושת וי' חלקים מי"א ובין הכ' מרקי יש צ' אוק' וע' מנחושת וראה כי אם כל מרקו מכיל ד' וחצי אלו הכ' יכילו צ' עוד ראה כמה אוק' נחושת יש באלו הכ' מרקי ויצא לך ע' והמספר הוא שוה
291) Question: a man has an amount of money, each marco of which contains 4¾ [ounces of silver].
He has also another [amount of money], each marco of which contains 5 [ounces of silver].
He wants to produce 50 marco, each marco of which contains 6 ounces of silver.
I ask: how much how much silver should be added, so that he will take the same from both?
רצא)‫[79] שאלה לאדם יש לו כסף מכיל כל מרקו ד' וג' רביעיות

עוד יש לו אחר מכיל כל מרקו ה'
ורוצה לעשות נ' מרקי יכיל כל מרקי ו' אוק' כסף
אשאל כמה כסף ראוי להוסיף באופן שיקח כל כך מזה כמו מזה

כך תעשה ראה כמה נחושת מכיל המרקו
the ounces of copper in the marco containing 4¾ ounces of silver = \scriptstyle{\color{blue}{8-\left(4+\frac{3}{4}\right)=3+\frac{1}{4}}}
 והנה אותו שמכיל ד' וג' רביעיות כסף יכיל ג' ורביע נחושת
the ounces of copper in the marco containing 5 ounces of silver = \scriptstyle{\color{blue}{8-5=3}}
 ואותו המכיל ה' מכסף יכיל ג' מנחושת
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{4}\right)+3=6+\frac{1}{4}}}
 וחברם ויהיו ו' ורביע
total number of ounces of copper in the 50 marco that will contain 6 ounces [of silver] each: \scriptstyle{\color{blue}{50\sdot\left(8-6\right)=100}}
 אח"כ ראה כמה נחושת יכילו הנ' מרקי שרוצה שיכיל כל מרקו ו' מכסף ויצא לך ק‫'
Rule of Three: \scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right):1=100:x}}
 ועתה תאמר אם ו' אוק' ורביע נתנו לו מרקי א' ק' כמה יתנו לי
\scriptstyle{\color{blue}{x=16}}
 ויצא לך י"ו וכך ראוי שיקח מכל מיני הכספים
ולדעת כמה כסף ראוי להוסיף ראה כי אם יקח י"ו מכל מתכת לא יהיו בין הכל כי אם ל"ב והוא מבקש לעשות נ' א"כ ראה מה בין נ' לל"ח ותמצא י"ב וכך ראוי להוסיף מכסף טוב
ולבחון אותו ראה כמה כסף מכיל אותם הי"ו מרקי שמכיל כל מרקו ד' אוק' וג' רביעיות ויצא לך ע"ו אוק' עוד ראה כמה כסף מכילים הי"ו מרקי שמכיל כל מרקו ה' אוק' מכסף ויצא לך פ' ותחברם ויהיו קנ"ו גם תחבר עמהם י"ח מרקו שהוא כלו טוב ויצא לך ג' מאות וע' כפול נ' שהם מרקי על ו' ויעלה הכל ג' מאות
292) Question: a man has two kinds of money - one of 5 ounces [of silver] in each marco and the other one of 6 ounces [of silver] in each marco.
He wants to produce 50 marco, each marco of which contains 7 ounces [of silver], and he wants to take the same from both [kinds of money].
I ask: how much will he take from each and how much silver will he add?
 רצב)[80] שאלה לאדם יש לו מב' מיני כספים הא' יש ה' אוקיו' בכל מרקו ובאחר יש ו' אוקיו' בכל מרקו

ורוצה לעשות נ' מרקו יכיל כל מרקו ז' אוקיו' ורוצה לקחת כ"כ מזה כמו מזה
אשאל כמה יקח מזה ומזה וכמה כסף יוסיף

total number of ounces of copper in the 50 marco that will contain 7 ounces [of silver] each: \scriptstyle{\color{blue}{50\sdot\left(8-7\right)=50\sdot1=50}}
 הדרך הוא כך ראוי לראות כמה נחושת יש בין הנ' מרקו שהוא רוצה לקחת כפי הערך שהוא רוצה כי הוא רוצה שלא יהיה בכל מרקו כי אם א' אוקי' נחושת ויצא לך נ' אוקי‫'
the ounces of copper in three of the marco containing 5 ounces of silver = \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(8-5\right)=9}}
 ועתה יש לך לראות כמה נחושת יש בג' מרקו מאותו שמכיל מכסף עבור כל מרקו ה' ויצא לך ט‫'
the ounces of copper in three of the marco containing 6 ounces of silver = \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(8-6\right)=6}}
 גם ראה כמה נחושת יש בג' מרקי מאותו שמכיל ו' אוק' מכסף כל מרקו ויצא לך ו‫'
עתה ראוי לחבר מה שמכיל מרקו אחד מאותו ששוה ו' מכסף ויצא לך ב' שמכיל מנחושת ועם הט' הם י"א
Rule of Three: \scriptstyle{\color{blue}{11:1=50:x}}
 ועתה תאמר אם י"א אוק' נחושת נתן לי א' מרקו כמה יתנו לי נ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{x=4+\frac{6}{11}}}

ויצא לך ד' וו' חלקים מי"א וכך ראוי שיקח מאותו שמכיל ו' אוק' מכסף עבור מרקו אחד
ובעבור כי הוא רוצה לקחת ג' פעמים יותר מאותו שמכיל ה' כפול ג' פ' ד' וו' חלקים מיא ויצא לך י"ג וז' חלקים מי"א וזהו מה שיקח מאותו שמכיל ה אוק' מטוב ולדעת כמה כסף טוב ראוי שיוסיף תחבר י"ג והחלקים עם ד' והחלקים ויצא י"ח וב' חלקים מי"א והוצא זה המספר מנ' וישאר ל"א וט' חלקים מי"א וכך ראוי להוסיף מכסף טוב
ולבחון אותו ראה כמה שווים י"ג מרקו וט' חלקים מי"א שמכיל כל מרקו ה אוק' מכסף ויצא לך ס"ח וב' חלקים מי"א עו' ראה כמה כסף מכילים ד' מרקי וה' (וו') חלקים מי"א מאותו שמכיל ו' מרקו מכסף ויצא לך כ"ז וג' חלקים מי"א ותחברם ויהיו ו' גם תוסיף עמהם מה שמכיל הל"א שעולה רצ"ד (רנ"ד) ויהיה בין הכל ג' מאות וחמישים והנך רואה כי אותם הנ' מרקי שמכיל כל אחד ז' עולה ש"נ
293) Question: one has three kinds of money - one contains 7 ounces of silver in each marco, another [contains] 5 ounces of silver in each marco, and another contains 4 ounces of silver in each marco.
We want to take from the three [kinds], so that each marco will contain 6 ounces [of silver], and we want to take 50 marco.
How much should be taken from each?
 רצג)[81] שאלה לאחד יש לו מג' מיני כספים הא' מכיל ז' אוקי' כסף כל מרקו והא' ה' אוקיו' כסף כל מרקו והאחר מכיל ד' אוקיו' כסף כל מרקו

ונרצה לקחת משלשתן באופן יכיל כל מרקו ו' אונקיו' ונרצה לקחת נ' מרקו
כמה יקח מכל אחד ואחד

עשה כך תסדרם בזה האופן
אח"כ תקשרם כך והוא שתקח הערך שהוא פחות מהערך שתרצה לעשות ותקשרהו עם הערך שהוא יותר גדול מהערך שתרצה לעשות
ולכן תקשור ז' שהוא יותר מו' עם הד' שהם פחות מו‫'
וכך תעשה והנך רואה כי ו' מוסיף על ד' ב' ולכן שים ב' על ז‫'
גם אתה רואה כי ו' פחות מז' א' ולכן שים א על ד‫'
ועתה קשרת ד' עם ז‫'
נשאר לקשור ה' ותאמר ו' מוסיף א' על ה' ולכן שים א' על ה‫'
עוד תאמר ז' מוסיף על ו' א' ולכן תחבר הב' והא' שהם על הז' ויהיו ג' ושים ג' עליהם
ועתה תחבר ג' שהם על הז' וא' שהוא על ה' וא' שהוא על ד' ויהיו ה‫'
Rule of Three: \scriptstyle{\color{blue}{5:50=3:x}}
 ותאמר אם ה' נתנו לי נ' מרקי כמה ראוי שאקח מאותו שנתן לי ג‫'
ויצא ל' וכך יקח מאותו מכיל ז‫'
Rule of Three: \scriptstyle{\color{blue}{5:50=1:x}}
 ובעבור האחר תאמר אם ה' נתן נ' כמה יתן א‫'
יצא י' ושימם על ה' א"כ מאותו מכיל ה' אוקי' כסף ראוי לקחת י'
Rule of Three: \scriptstyle{\color{blue}{5:50=1:x}}
 עוד תאמר אם ה' נתן נ' א' כמה יתן
ויצא י' וכך ראוי לקחת מהמכיל ד‫'
ולבחון אותו ראה כמה מכילין ל מרקי מאותו ששוה ז' כל מרקו ויצא ר"י עוד ראה כמה שוים הי' שמכילים ה' ויהיו נֻ' עוד ראה כמה שוים הי' שמכיל ד' ויהיו מ' ותחברם ויהיו ש' עוד ראה כמה שוים הנ' מרקי מאותו שרצה לעשות שהוא ו' ויעלה ש' ג"כ

Purchase Problems
רצה)‫[82] שאלה לאדם היו לו מה' מיני חטה ערך הא' מ"ד סולדי המשוא וערך הב' מ"ח וערך הג' נ"ב וערך הד' ס' וערך הה' ס"ו ובא אדם ורוצה לקחת מכלם בין כלם נ' משואות שלא יבא כי אם נ"ו גרושי אשאל כמה יקח מכל א וא‫'
ראשנה תקשור כנז' בשאלה הקודמת ותסדרם כך
\scriptstyle{\color{blue}{44=56-12}}
 ועתה תתחיל לקשור מ"ד שהם היותר פחותים עם ס"ו שהוא היותר גדול עם הערך שתרצה לעשות ותאמר מ"ד הוא פחות מנ"ו י"ב ושים י"ב על ס"ו
\scriptstyle{\color{blue}{66=56+10}}
 עוד תאמר ס"ו מוסיפים על נ"ו י' ולכן שים י' על מד
\scriptstyle{\color{blue}{48=56-8}}
 אח"כ תקשור מ"ח שהוא פחות מנ"ו עם ס' שהוא יותר מנ"ו ותאמר מ"ח הוא נו פחות מנ"ו ח' ושים ח' על ס'
\scriptstyle{\color{blue}{60=56+4}}
 עוד תאמר ס' הם יותר מנ"ו ד' ולכן שים ד' על מ"ח
וישאר לנו לקשור נ"ב שהוא פחות מנ"ו ולכן יש לך לקשור אותו עם איזה ערך שיהיה יותר מנ"ו ונוכל לקשור אותו עם ס' או ס"ו
\scriptstyle{\color{blue}{52=56-4}}
 ונקשור אותו עם ס"ו ונאמר כי נ"ב הוא פחות מנ"ו ס' ד' ולכן שים ד' על ס"ו
\scriptstyle{\color{blue}{66=56+10}}
 עוד תאמר ס"ו הוא מוסיף י' על נ"ו ולכן שים י' על נ"ב
\scriptstyle{\color{blue}{12+4=16}}
 ועתה תחבר הי"ב והד' שהם על ס"ו ויהיו י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{10+4+10+8+16=48}}
 ועתה תחבר הי' שהם על מ"ד והד' שהם על מ"ח והי' שהם על נ"ב והח' שהם על ס' והי"ו שהם על ס"ו ויהיו מ"ח
\scriptstyle{\color{blue}{48:50=10:a_1}}
 ועתה תאמר אם מ"ח נתן לי נֻ' משואות כמה יתן לי עשרה עבור החטה הראשנה
\scriptstyle{\color{blue}{a_1=10+\frac{5}{12}}}
 ויצא לך י' וה' חלקים מי"ב וכן יקח מאותה ששוה מ"ד גרושי המשוא
כן תעשה מכל הה' ערכים
ולבחון אותו כפול מה שיצא לך על כל ערך ר"ל מה שראוי לקחת מכל ערך על ערכו ושמור העולה גם כפול נ' שהם המשואות שעשה על נ"ו והעולה יהיה שוה אל השמור
ותוכל לקשור באופן אחר והוא שתקשור מ"ד עם ס"ו ונ"ב עם ס' ויצא לך מה שראוי לקחת אשר לא היה כמוהו בפעם הראשנה אך כשתבחון אותו הוא ג"כ דרך מדוקדק וצודק
ועוד נוכל לקשור באופן אחר והוא שתקשור מ"ד עם ס' ומ"ח עם ס"ו ונ"ב עם ס"ו ויצא לך קשר של קיימה
ועוד באופן אחר תקשור מ"ד עם ס' ומ"ח עם ס' ונ"ב עם ס"ו וכל אלו הקשורים כשתבחון כל א מהם הוא נכון והוא קשר אמיץ
296) Question: a man bought a pearl for 150 minyanim and sold it for 175.
I ask: how much does he earn for every hundred?
 רצו)‫[83] שאלה אדם קנה מרגלית אחת עבור ק"נ מנינים ומכרה קע"ה

אשאל כמה מרויח על כל מאה

\scriptstyle{\color{blue}{174-150=24}}
 הדרך הוא כך ראה ההפרש שהוא מק"נ עד קע"ד ותמצא כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{150:24=100:x}}
 ועתה תאמר אם ק"נ הרויחו כ"ד ק' כמה ירויחו
\scriptstyle{\color{blue}{x=16}}
 יצא לך י"ו וכך הרויח על כל ק‫'
297) Question: a man bought something for 45 minyanim and sold it for 34.
I ask: how much did he lose for every hundred?
 רצז)‫[84] שאלה אדם קנה דבר מה עבור מ"ה מנינים ומכרה ל"ה (ל"ד)

אשאל כמה הפסיד על כל ק‫'

\scriptstyle{\color{blue}{45-34=11}}
 הוצא ממ"ה ל"ד הנשאר י"א
\scriptstyle{\color{blue}{45:11=100:x}}
 ותאמר אם עבור מ"ה הפסיד י"א עבור ק' כמה יפסיד
\scriptstyle{\color{blue}{x=24+\frac{4}{9}}}
 ויצא כ"ד וד' תשיעיות וכך הפסיד על כל ק'
298) Question: a man sold something for 80 minyanim and earned 15 for every 100.
I ask: for how much did he buy the thing?
 רצח)‫[85] שאלה אדם מוכר דבר מה עבור פ' מנינים והרויח ט"ו עבור ק'

אשאל כמה קנה הדבר

\scriptstyle{\color{blue}{100+15=115}}
 עשה כן ותוסיף ט"ו על ק‫'
\scriptstyle{\color{blue}{115:100=80:x}}
 ותאמר אם קט"ו שבו ק' פ' כמה ישובו
\scriptstyle{\color{blue}{x=69+\frac{13}{23}}}
 ויצא לך ס"ט וי"ג חלקים מכ"ג
רצט)‫[86] שאלה אדם מכר דבר מה עבור קנ"ה והפסיד י"ב עבור כל מאה אשאל כמה קנה המסחר
תחסר י"ב מק' וישארו פ"ח ותאמר אם ק' שבו פ"ח קנ"ה כמה ישובו ויצא לך קמ"ב (קל"ו) וחלק אחד מכ"ב (ב' חלקים מה')
ש)‫[87] שאלה אדם קנה דבר מה עבו' ע' מנינים אשאל כמה ראוי למכרה באופן שירויח י"ו על כל ק'
כבר ידעת כי הק' ראוי שישובו קי"ו ולכן תאמ' אם ק' שבו קי"ו כמה ישובו ע' ויצא לך פא וחומש
שא)‫[88] שאלה באיזה אופן ראוי לקנות ליט' המשי כי כשאמכור כל ליט' ל"ב סולדי שארויח על כל מאה סולדי ט"ו
כך תעשה אם קט"ו נתן לי ק' כמה יתן לי ל"ב ויצא לך כ"ז וי"ט חלקים מכ"ג
302) Question: a man sold a pearl for 150 minyanim and earned 20 for every 100.
I ask: for how much should he sell it, if he wanted to earn 25 for every 100?
 שב)‫[89] שאלה אדם מוכר מרגלית אחת ק"נ מנינים והרויח כ' עבור כל ק'

אשאל אם רצה להרויח כ"ה על כל מאה כמה ראוי שימכרנה

\scriptstyle{\color{blue}{120:100=150:x}}
 תעשה כך ראוי שתאמר אם ק"כ נתן לי ק' ק"נ כמה יתן לי
\scriptstyle{\color{blue}{x=125}}
 ויצא לך קכ"ה וכך קנה המרגלית
\scriptstyle{\color{blue}{100:125=125:x}}
 ועתה כדי לדעת כמה ימכרנה כדי שירויח כ"ה תאמר אם ק' נתן לי קכ"ה קכ"ה כמה יתנו לי
\scriptstyle{\color{blue}{x=156+\frac{1}{4}}}
 ויצא לך קנ"ו ורביע

Exchange Problems
303) Question: if 7 liṭra of Padua are 5 of Venice, how much of Venice are 140 of Padua?
 שג)‫[90] שאלה אם ז' ליט' מפדואה הם ה' מוינישיאה

ק"מ מפדואה כמה הם מוינישיאה

Rule of Three: multiply 140 by 5 and divide by 7; you receive 100.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{140\sdot5}{7}=100}}
 כפול ק"מ על ה' וחלק על ז‫'

יצא לך ק‫'

304) Question: if 100 liṭra of Meudon are 115 of Venice, and 180 of Venice are 150 of Corfu, and 240 of Corfu are 360 of Negroponte, I ask how much of Meudon are 850 of Negroponte?
 שד)‫[91] שאלה אם ק' ליט' של מודו הם מוינישיאה קט"ו וק"פ של וינישיאה הם מאותם של קורפו ק"נ ור"מ מקורפו הם בניגריפונטי ש"ס

אשאל ח' מאות ונ' מניגריפונטי כמה הם ממודו

Do as follows: how much are 850 of Negroponte in Corfu?
 כך תעשה ח' מאות ונ' מניגריפונטי כמה הם מקורפו
Rule of Three: if 360 of Negroponte are 240 of Corfu, how much are 850 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{360:240=850:x}}
 אם ג' מאות וס' מניגריפונטי הם ר"מ מקורפו כמה ישוו ח' מאות ונ‫'
You receive 566 and 2-thirds.
\scriptstyle{\color{blue}{x=566+\frac{2}{3}}}
 ויצא לך תקס"ו וב' שלישיות
Rule of Three: now say: if 150 of Corfu are 180 of Venice, how much are 566 and 2-thirds equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{150:180=\left(566+\frac{2}{3}\right):x}}
 ועתה תאמר אם ק"נ מקורפו הם מוינישיאה ק"פ תקס"ו וב' שלישיות כמה שוות
You receive 680 of Venice.
\scriptstyle{\color{blue}{x=680}}
 ויצא לך תר"פ מוינישיאה
Rule of Three: now say: if 115 of Venice are 100 of Meudon, how much are 680 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{115:100=680:x}}
 עתה תאמר אם קט"ו מוינישיאה הם ק' ממודו תר"פ כמה שוות
You receive 591 and 7 parts of 23.
\scriptstyle{\color{blue}{x=591+\frac{7}{23}}}
 ויצא לך תקצ"א וז' חלקים מכ"ג
305) Question: 8 marci are worth 13 of Bursa; 15 of Bursa are worth 9 bolognini; 12 bolognini are worth 16 of pisani; 24 pisani are worth 32 gienovini.
I ask: how many marci are 140 gienovini?
 שה)‫[92] שאלה ח' מרקיטי שוים י"ג פרושיני וט"ו מפרושא שוים ט' מבולונייני י"ב בולוניני שוה י"ו פישאני וכ"ד פישאני שוה ל"ב גינוויני אשאל ק"מ זינוויני כמה מרקיטי הם
ראה כמה שוים ק"נ (ק"מ) זינוויני מהפושאני ותאמר כן אם ל"ב שוים כ"ד ק"מ כמה שוים יצא לך ק"ה והם פישאני וכך תעשה מכלם כאשר עשית מהזינוויני עם הפישאני ויצא לך כי הק"מ זינוויני שוה מהמרקיטי פ' וי' חלקים מי"ג
שו)‫[93] שאלה אם מ"ב קנים מפריש שוות ח' (י) ליט' וו' סולדי וח' דינרין ממטבעו' של פרושי ונושא אותו בפלורינצא נמצא כי הח' קנים מפארושי שוות ט' בלורינציאה והסולדי מפרושי שוה ד' מאותם של פלורינצא גם ח' דינרין אשאל כמה שוה הקנה מפלורינציא שהם ד' אמות
כבר ידעת כי הסולדי מפרושי הם ד' וח' דינרין מפלורינצא א"כ הי"ב דינרין מפרוש שיש בכל סולדי של פריש שוה בפלורינצא נ"ו שהם ד' סולדי וח' דינרין ועתה ראוי לראות הי' ליט' והו' סולדי וח' דינרין מפארושי כמה הם מפלורינצא נעשה כן אם י"ב דינרין מפרושי הם שוים נ"ו מפיאורינצא כמה ישוו י' וו' סולדי וח' דינרין ויצא לך מ"ח ליט' וב' (ד') סולדי וה' דינרין ושליש ממטבע של פלורינצא לערך כ' סולדי בכל ליט' ועתה ראוי לראות כמה הם הי' קנים מפרוש מאותם של פלורינצא ותאמר אם ח' מפרוש שוות ט' מפלורינצא מ"ב מפרוש ישוו מ"ז ורביע א"כ מה שהוא בפלורינצא מ"ז ורביע ישוה מ"ח ליט' וד' סולדי וה' דינרין
ולדעת כמה הוא ערך הקנה שהם ד' בראצי תאמר אם מ"ז ורביע שוה ליט' מ"ח וד' סולדי וה' דינרין ושליש ד' כמה שוים ויצא לך ד' ליט' א סולדו וז' דינרין וסא חלקים מפ"א וכך ישוה הקנה בפלורינצא ממטבע של פלורינצא

Bay and Sell Problems
307) Question: a man bought braccio of silk cloth in Venice for 7 grossi, then he went to Saragosa.
The canna in Saragosa is 3⅓ in Venice.
The Venetian magen is equal to 18 carlini of Saragosa.
He sold the canna in Saragosa for 75 carlini.
I ask: how much did he earn for 100?
 שז)‫[94] שאלה אדם קנה הבראצו מבגד של משי בוינישיאה בז' גרושי והולך בצאראגוסא

והנה הקנה מצראגוסא הוא ג' בראצי ושליש מוינישיאה
והמגן ויניציאני שוה י"ח קרליני מצאראגוסא
וזה מוכר הקנה בצאראגוסא ע"ה קרלי'
אשאל כמה הוא מרויח עבור ק'

for a price of 27 grossi for each braccio: 3⅓ Venetian braccio = 1 canna of Saragosa are worth 90 grossi
ראשנה ראוי לדעת כי הג' בראצי ושליש מוינישיאה שהם קנה א מצרגוצא הם שוות צ' גרושי לערך כ"ז גרושי כל הבראצי
24 grossi = 1 Venetian ducat = 18 carlini
 גם ראוי לך לדעת כי כ"ד גרושי הם דוקט' אחד ויניציאנו והדוקאטו ויניציאנו שוה י"ח קרליני
\scriptstyle{\color{blue}{24:1=90:x}}
 ולכן תאמר אם כ"ד שוים א' דוק' צ' כמה שוים
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{67+\frac{1}{2}}{18}}} = 67½ carlini
 ויצא לך ע' ס"ז וחצי שהם קרלי' ועתה מצאת כי הקנה שוה ס"ז קרלי וחצי
\scriptstyle{\color{blue}{\left(67+\frac{1}{2}\right):75=100:x}}
 ולדעת כמה הוא מרויח עבור מאה כבר ידעת כי הוא מכר הקנה ע"ה ולכן תאמר אם מס"ז וחצי הוא עשה ע"ה כמה יעשה מק‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x=111+\frac{1}{9}}}
 ויצא לך קי"א ותשיעית הנה א"כ הוא מרויח י"א ותשיעית עבור מאה
308) Question: a man went to Patras [city in western Greece] and bought there 100 measures of wine called metreta [Greek liquid measurement] for 70 coins called
שח)‫[95] שאלה איש הולך איש הולך בפיטראש וקנה לשם עבור מטבעות ע' נקראות פפי ק' מדות יין נקראות מיטרי ונושא היין בוינישיאה ומצא כי המיטרי נ"ב הם אנפורא א מוינישיאה שהיא מדה ידועה אצלם ועשרה פפי שוים א' מגן אשאל באיזה אופן ימכור כדי שירויח על כל ק' אנפורא כ‫'
anphora [=amphora - measure of liquid] הדרך הוא זה ראה כמה שוות הנ"ב מיטרי בזה האופן ותאמר אם מיטרי ק' שוות ע' פיפי נ"ב מיטרי כמה שוה ויצא לך ל"ו וב' חומשים א"כ האנפורא שהם נ"ב פיפי (מיטרי) שוות ל"ו וב' חומשי פיפי עתה ראוי לדעת כמה שוות אלו הל"ו פיפי ממטבע של וינישיאה ותאמר אם ה' (י') שוות א ל"ו וב' חומשים כמה שוים ויצא לך ג' וי"ו חלקים מכ"ה א"כ האנפורא מוינישיאה שוה ג' מנינים וי"ו חלקים מכ"ה ולדעת באיזה אופן ימכור כדי שירויח כ' עבור ק' תאמ' אם ק' עשה [ק]כ' כמה יעשו ג' וי"ו חלקים ויצא לך ד' מנינים וחלקים
רט)‫[96] שאלה הנה הככר בשוריאה הוא ז' מאות ליט' והק' ליט' משוריאה הם קי"(א) של וינישיאה וחמישים מטבעים של שוריא נקראים כרומי שוות א דוק' וינישיאנו נשאל עבור כמה כרומי ראוי לקנות הככר משוריאה באופן כי כשאמכור הק' ליט' נ' דוק' שארויח כ' על כל מאה
\scriptstyle{\color{blue}{110:100=100:x}}
 כך תעשה מצד כי אמר כי רוצה להרויח עבור הק' ליט' של וינישיאה כ' ראה הק' משוריאה כמה הם מוינישיאה ותאמר אם ק"י מוינישיאה הם ק' מן שוריאה ק' מוינישיאה כמה הם
\scriptstyle{\color{blue}{x=90+\frac{10}{11}}}
 ויצא לך צ' ועשרה חלקים מי"א א"כ הצ' ליט' והי' חלקים מי"א ראוי למכור עבור (עבור) הו' מנינים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(90+\frac{10}{11}\right):6=700:x}}
 ולדעת כמה שווי הז' מאות ליט' של שוריא שהם ככר אחד תאמר כך אם צ' וי' חלקים מי"א שוה ו' כמה ישוה ז' מאות
\scriptstyle{\color{blue}{x=46+\frac{1}{5}}}
 ויצא לך מ"ו וחומש
\scriptstyle{\color{blue}{1:50=\left(46+\frac{1}{5}\right):x}}
 ולדעת כמה כרומי ראוי לקנות אותו תאמר אם מגן אחד שוה נ כרומי נ"ו (מ"ו) וחומש כמה שוה
\scriptstyle{\color{blue}{x=2310}}
 ויצא לך אלפים וג' מאות ועשר
\scriptstyle{\color{blue}{120:100=2310:x}}
 ומצד שאמר כי רוצה להרויח עבור כל ק' כ' תאמר אם ק"כ שבו (ק') ב' אלפים וג' מאות ועשר כמה ישובו
\scriptstyle{\color{blue}{x=1925}}
 ויצא לך אלף וט' מאות וכ"ה ובזה האופן ראוי שיקנה אותו באופן כי כשימכרהו אלפים וג' מאות ועשר ירויח ק' עבור כל מאה וראוי שימכור בוינישיאה ו' מנינים המאה
שי)‫[97] שאלה אדם קנה צמוקים בפיטראש לערך י' פיפי השק שוק לקמ"ד ליט' וקנה מהם ב' מאות ונשאם בוינישיאה ופזר בדרך כ"ד מנינים והנה הי"ב ליט' מפיטראש הם י' מוינישיאה וי"ב פפי הם א מגן אשאל באיזה אופן ימכור השק בוינישיאה שיש בו ר"ס ליט' שירויח כ' עבור ק'
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}=\frac{200}{X}\longrightarrow X=2000}}
 תעשה ראה כמה שוים המאתים שקים מפיטראש ותאמ' אם שק א' שוה י' פפי מאתים כמה שוים ויצא לך אלפים
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2000}{12}+24=\left(166+\frac{2}{3}\right)+24=190+\frac{2}{3}}}
 ועתה תחלקם על י"ב כדי שיהיו מנינים ויצא לך קסו וב' שלישיות תוסיף בם כ"ד שפזרו יהיו ק"צ וב' שלישיות
\scriptstyle{\color{blue}{200\times144=28800}}
 עתה ראה כמה ליט' של פיטראש יש בין המאתים שקים כי בכל א' יש קמ"ד ליט' ולכן כפול קמ"ד על ר' ויצא לך כ"ח אלפים וח' מאות
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{10}=\frac{28800}{Y}\longrightarrow Y=24000}}
 ולדעת כמה הם מליט' של וינישיאה כבר ידעת כי י"ב מפיטראש הם י' מוינישיאה ולכן תאמר אם י"ב הם י' כ"ח אלפים ות"ת כמה הם ויצא לך כ"ד אלפים
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{24000}{190+\frac{2}{3}}=\frac{260}{Z}\longrightarrow Z=2+\frac{59}{900}}}
 ולדעת כמה שוה השק מוינישיאה שהם ר"ס ליט' תאמ' אם כ"ד אלפים שוים ק"צ מנינים וב' שלישיות ר"ס כמה שוים ויצא לך ב' ונ"ט חלקים מט' מאות
\scriptstyle{\color{blue}{100:120=\left(2+\frac{59}{900}\right):x}}
 ולדעת באיזה אופן ימכור כדי להרויח כ' על כל ק' תאמ' אם ק' שבו ק"כ כמה ישובו ב' ונ"ט חלקים מט' מאות
\scriptstyle{\color{blue}{x=2+}}
 ויצא לך ב' דוק' וי"א גרושי פיצולי ט"ו וחלקים וכך ראוי שימכור השק מוינישיאה כדי להרויח כ' בעד ק‫'

Give and Take Problems
שיא)‫[98] שאלה אדם נוסע מנאפולי ללכת בוירונא עם סך ממון ומרויח הכ' עבור ק' ופזר רביעית כל הסך ונשארו לו ק' אשאל כמה ממון היה בנסעו מנאפולי
\scriptstyle{\color{blue}{200+\left(2\sdot20\right)=200+40=240}}
\scriptstyle{\color{blue}{240-\left(\frac{1}{4}\sdot240\right)=180}}
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{200}{180}=\frac{X}{100}\longrightarrow X=111+\frac{1}{9}}}
 נניח שהיו לו מאתים תוסיף בם מ' שהוא ריוח כ' על כל מאה ויהיו ר"מ

תוציא מהם הרביעית וישארו ק"פ
ואנו מבקשים ק' ולכן תאמר אם ר' נתן ק"פ כמה יתנו לי באופן שיצא ק' ויצא לך קי"א ותשיעית ותוכל לבחון אותו

שיב)‫[99] שאלה אדם נוסע מוינישיאה ללכת בנאפולי עם דינרין ומרויח עבו' ק' כ' ומפזר ל"ב ואח"כ מצא שהרויח כ"ח מנינים אשאל עם כמה ממון נסע מוינישיאה
\scriptstyle{\color{blue}{32+28=60}}
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{20}=\frac{X}{60}\longrightarrow X=300}}
 כך תעשה הוא אמר כי פזר ל"ב ועכ"ז נמצא עמו מריוח כ"ח אבל אם לא פזר מאומה היה עמו ס' מנינים מריוח

ולכן תאמר אם ק' הרויח כ' כמה ראוי להיות כדי להרויח ס' ויצא ג' מאות וכך היה בנסעו מוינישיא

שיג)‫[100] שאלה איש נוסע מוינישיאה ללכת בשוריאה ונושא עמו סך ממון וכפל לשם ממונו ופזר ל' דוק אח"כ הולך במודו ועבור כל י' עושה י"ב ופזר כ אח"כ הולך בקאנדיאה והפסיד עבור ק' כ' ופזר מ' ואח"כ נשארו ק"נ אשאל עם כמה ממון נסע
\scriptstyle{\color{blue}{150+40=190}}
\scriptstyle{\color{blue}{190+\left(\frac{1}{4}\sdot190\right)=237+\frac{1}{2}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\left(237+\frac{1}{2}\right)+20=257+\frac{1}{2}}}
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{10}=\frac{257+\frac{1}{2}}{X}\longrightarrow X=214+\frac{7}{12}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\left(214+\frac{7}{12}\right)+20=234+\frac{7}{12}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(234+\frac{7}{12}\right)=117+\frac{7}{24}}}
 כבר ידעת כי היו לו ק"נ בקאנדיאה ופזר מ' הוסיפם על ק"נ ויהיו ק"צ

ויצא לך רל"ז וחצי וכך היה לו קודם לכתו בקאנדיאה
ותוסיף על זה כ' שפזר ויהיו רנ"ז
ולדעת כמה היה לו קודם כבר ידעת כי הוא עשה מי' י"ב ולכן תאמר אם י"ב היו י' כמה היו רנ"ז וחצי ויצא לך רי"ד וד' (ז') חלקים מי"ב וכך נשא במודו
תוסיף עליהם כ' שפזר ויהיו רמ"ד וז' חלקים מי"ב
והנה מצד שאמר כי הוא כפל ממונו ראוי לקחת חצי מקמ"ד וז' חלקים ויצא לך קכב וז' חלקים מכ"ד וכך היה לו בנסעו מוינישיאה ותוכל לבחון אותו

Multiple Quantities - Grinders
314) Question: if 3 grinders grind 230 tomolo in 4 days, I ask in how many days will 8 grinders grind one thousand and five hundred?
 שיד)[101] שאלה אם ג' טוחנות בד' ימים טוחנים ר"ל טומולי

אשאל בכמה ימים ח' טוחנות יטחנו אלף וה' מאות

Rule of Three: say: if 3 grinders grind [230] in 4 days, how much will 8 grinders grind?
\scriptstyle{\color{blue}{3:230=8:X}}
 תאמר אם ג' טוחנות טוחני' בד' ימים (ר"ל) כמה יטחנו ח' טוחנות
You receive the 8 grinders grind 613 and a third in 4 days.
\scriptstyle{\color{blue}{X=613+\frac{1}{3}}}
 ויצא לך כי ח' טוחנות יטחנו בד' ימים ו' מאות וי"ג ושליש
Rule of Three: then, say: if 613 and a third are equal to 4, how much are 1500 equal to?
\scriptstyle{\color{blue}{\left(613+\frac{1}{3}\right):4=1500:X}}
 אח"כ תאמר אם ו' מאות וי"ג ושליש שוים ד' אלף וה' מאות כמה שוים
You receive 9 and 18 parts of 23.
\scriptstyle{\color{blue}{X=9+\frac{18}{23}}}
 ויצא לך ט' וי"ח חלקים מכ"ג
370) Question: if 250 minyanim yield 60 minyanim in 8 months, I ask in how much time will 400 minyanim yield 180?
 שטו)‫[102] שאלה אם ר"נ מנינים הרויחו בח' חדשים ס' מנינים אשאל ד' מאות מנינים בכמה זמן ירויחו ק"פ
Rule of Three: say: if [2]50 yield 60 in 8, how much will 400 yield?
\scriptstyle{\color{blue}{250:60=400:X}}
 ותאמר אם ק"נ (ר"נ) הרויחו בח' ס' כמה ירויחו ד' מאות
You receive 96. So, with 400 minyanim we earn 96 in 8 months.
 ויצא לך צ"ו הנה א"כ עם ד' מאות מנינים בח' חדשים נרויח צ"ו
Rule of Three: then, say: if 96 gives me 8, how much will 180 give?
\scriptstyle{\color{blue}{96:8=180:X}}
 א"כ תאמר אם צ"ו נתן לי ח' ק"פ כמה יתן
The result is 15. So, in 15 months with 400 minyanim we earn 180.
 ויצא ט"ו א"כ בט"ו חדשים עם ד' מאות מנינים נרויח ק"פ
316) Question: if a kikkar of chestnuts is worth 2 minyanim and a half and a man sells one liṭra for 14 piccoli, I ask: if one kikkar is worth 2 minyanim, what weight should be given for one soldi?
שיו)‫[103] שאלה אם ככר הערמונים שוה ב' מנינים וחצי ואדם מוכר הליט' י"ד פיצולי אשאל אם הככר שוה ב' מנינים איזה משקל ראוי לתת עבור א' סולדו
Rule of Three: do as follows: say: when one kikkar is worth 2 minyanim and a half I sell 14, how much will I sell when it is worth 2?
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right):14=2:x}}
 תעשה כך תאמר שהככר שוה ב' וחצי אני מוכר י"ד כשהוא שוה ב' כמה אמכור
You receive 11 and a fifth.
\scriptstyle{\color{blue}{x=11+\frac{1}{5}}}
 ויצא לך י"א וחומש
Rule of Three: to know how much weight should be given for one soldi, say if for 11 and a fifth I give 12 ՚oqya that are in a liṭra, how much will I give for 12 piccoli that are 1 soldo?
\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{1}{5}\right):12=12:x}}
 ולדעת כמה משקל ראוי לתת עבור א' סולדו תאמר אם עבור י"א וחומש אני נותן י"ב אוקיו' שיש בליט' כמה אתן עבור י"ב פיצולי שהם א' סולדו
You receive 12 and 6-sevenths and so the liṭra should be sold.
\scriptstyle{\color{blue}{x=12+\frac{6}{7}}}
 ויצא לך י"ב וו' שביעיות וכך ראוי למכור הליט‫'
317) Question: when one tomolo of wheat is worth 80 soldi, the bread that is sold for 4 piccoli weighs 6 ՚oqya.
When one tomolo is worth only 70 soldi, how much should the bread that is sold for 4 piccoli weigh?
 שיז)‫[104] שאלה כשהטומולי מהחטה שוה פ' סולדי הלחם הנמכר ד' פיצולי שוקל ו' אוק' כשהטומולי לא ישוה כי אם ע' סולדי כמה ראוי שישקול הלחם הנמכר ד' פיצולי
Rule of Three:
\scriptstyle{\color{blue}{70:6=80:x}}
 ראוי שתאמר אם ע' נתן ו' אוק' כמה יתנו פ‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x=6+\frac{6}{7}}}
 ויצא לך ו' וו' חלקים מז' וכך ראוי שישקול הלחם השוה ד' פיצולי
318) Question: when one kikkar of wheat is worth 80 soldi, the bread that is worth 6 piccoli weighs 9 ՚oqya.
When one kikkar is worth only 70, how much should the bread that is sold for 4 piccoli weigh?
 שיח)‫[105] שאלה בעוד שככר החטה שוה פ' סולדי הלחם השוה ו' פיצולי שוקל ט' אוקיו‫'

כשהככר לא ישוה כי אם ע' כמה ראוי שישקול הלחם הנמכר ד' פיצולי

Rule of Three:
\scriptstyle{\color{blue}{70:9=80:x}}
 עשה כך תאמר אם ע' נתן ט' אוק' פ' כמה יתן
\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{2}{7}}}
 ויצא לך י' וב' שביעיות וכך ראוי שישקול הלחם הנמכר ו' פיצולי
Rule of Three:
\scriptstyle{\color{blue}{6:\left(10+\frac{2}{7}\right)=4:x}}
 ולדעת כמה ישקול הנמכר ד' תאמ' אם ו' נתן י' וב' שביעיות מה יתן ד'
\scriptstyle{\color{blue}{x=6+\frac{6}{7}}}
 ויצא ו' וו' שביעיות וכן ראוי שישקול
319) Question: when one kikkar of wheat weighs 132 liṭra, and the kikkar is worth 24 grossi, the bread that is sold for 6 piccoli weighs 12 ՚oqya.
I ask: when one kikkar weighs 120 and is worth 16 grossi, how much should the bread for 4 piccoli weigh?
 שיט)‫[106] כשככר החטה שוקלת קל"ב ליט' ושוה הככר כ"ד גרושי הלחם הנמכר מו' פיצולי שוקל י"ב אוק'

אשאל כשהככר שוקל ק"כ ושוה י"ו גרושי כמה ראוי שישקול הלחם מד' פיצולי

Rule of Three:
\scriptstyle{\color{blue}{132:12=120:x}}
 תעשה כך תאמר אם קל"ב ליט' עם כ"ד גרושי נתנו לי י"ב אוק' עבור ו' פיצולי כמה יתנו ק"כ
\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{10}{11}}}
 ויצא י' וי' חלקים מי"א א"כ הלחם הנמכר ו' פיצולי אין ראוי לשקול כי אם י' וי' חלקים מי"א
Rule of three:
\scriptstyle{\color{blue}{16:\left(10+\frac{10}{11}\right)=24:x}}
 ולדעת כמה ישקול עבור ד' תאמר אם י"ו גרושי נתנו לי י' וי' חלקים מי"א כמה יתנו כ"ד
Rule of three:
\scriptstyle{\color{blue}{6:x=4:y}}
 ויצא לך איזה דבר אח"כ תאמר אם ו' פיצולי נתנו לי כך כמה יתנו ד' פיצולי
\scriptstyle{\color{blue}{y=10+\frac{10}{11}}}
 ויצא לך י' וי' חלקים מי"א וכך ראוי שישקול הלחם מד' פיצולי לערך הנז'
שכ)‫[107] שאלה ב' אחים מחוייבים לפרוע ז' מאות מנינים הראשון מרויח ב' שלישיות ומפזר ב' חמישיות האחר מרויח ג' רביעיות ומפזר חצי בכל יום אשאל בכמה זמן ירויחו כדי לפרוע חובם
כבר ידעת כי החלקים הם חצי ושליש ורביע וחומש בקש מספר כולל החלקי' והוא ס' ויען כי א מרויח ב' שלישיות הוצא ב' שלישיות ס' שהם מ' א"כ בס' ירויח מ' ומצד כי מפזר ב' חמישיות הוצא ב' חמישיות ס' שהם כ"ד הוציאם ממ' נשאר י"ו א"כ בס' ימים הרויח י"ו והשני מרויח ג' רביעיות הוציאם מס' שהם מ"ה הוצא מהם החצי שהם ל' נשארו ט'(ו) שמרויח בחדש בס' חברם ויהיו לא א"כ בס' מרויחים ל"א ותאמ' אם ל"א נתנו ס' ז' מאות מה יתנו ויצא אלף שנ"ד וכ"ו חלקים מל"א ובכך ימים ירויחו הנז‫'
שכא)‫[108] שאלה אדם קונה מב' מיני סחורה שוקלים בין שניהם י"ב ליט' ושוים י"ו שולדי הא' שוקל ה' והאחר ז' ואותו השוקל ה' שוה כל ליט' ג' פיצולי יותר מאותו השוקל ז' אשאל כמה ערך הליט' משניהם
כבר ידעת כי אותה של ה' שוה הליט' ג' פיצולי יותר מהאחר א"כ הה' ליט' שוות ט"ו פיצולי יותר הוציאם מי"ו סולדי הנשאר י"ד סולדי וט' פיצולי וחלקם על י"ב שהם הליט' משניהם ויצא א' סולדו וב' פיצולי וג' רביעיות והוא ערך מאותו השוקל ז' ר"ל ערך כל ליט' א"כ ערך מאותו ששוקל ה' הוא א' סולדו וה' פיצולי וג' רביעיו' ותוכל לבחון אותו ודע כי י"ב פיצולי יש בסולדו
שכב)‫[109] שאלה אדם קונה ביצות הג' שוים ה' פיצולי ואח"כ מכרם ד' עבור ט' פיצולי והרויח עשרים סולדי וה' פיצולי אשאל כמה ביצות קנה
הנה מצד כי קנה ג' ומכר ד' בקש מספר לו שליש ורביע והוא י"ב וכבר קנה הג' ה' פיצולי א"כ היב שוים כ' פיצולי ומצד כי מכר הד' ט' פיצולי הי"ב ישוו כ"ז פיצולי א"כ עבור יב ירויח ז' עשה פיצולי מכ' סולדי ויהיו רמ"ה עם הה' ותאמר אם כדי להרויח ז' יצטרך י"ב כדי להרויח רמ"ה כמה יצטרך ויצא לך ד' מאות וכ' וכן קנה ותוכל לבחון אותו

Give and Take Problem - Building
323) Question: A man wants to build a building and he agreed with a craftsman to do his work in 40 days and he would pay the craftsman 20 soldi every day and every day that the craftsman does not work he would pay the owner 28.
He rested [a certain number of] days and he worked [a certain number of] days and finally he lost more than he gained.
How many days did he work and how many [days] did he rest?
שכג)[110] שאלה אדם רוצה לעשות בנין ודבר לאומן לעשות מלאכתו במ' יום ויתן אל האומן בכל יום כ' סולדי ובכל יום שהאומן לא יעשה מלאכה יתן אל הבעל כ"ח ושבת מכל מלאכתו ימים ועבד ימים ולבסוף יצא שכרו בהפסדו כמה ימים עבד וכמה שבת
יש לך לשים מה שהוא מרויח בכל יום שהם הימים ששבת ומה שהוא פורע בימים שהוא פורע ממלאכתו תשים הימים שעשה מלאכה א"כ ה' ימים (הימים) שעשה מלאכה לפי זה הדרך הם כ"ח והימים ששבת הם כ' וחברם ויהיו מ"ח ואנו מבקשים מ' ולכן תאמר אם מ"ח נתן לי כ"ח והם הימים שעשה מלאכה כמה ימים יתן לי מ' ויצא לך כ"ג ושליש והם הימים שעשה מלאכה ועד תשלום מ' שבת
שכד)[111] שאלה לאדם יש לו ממון ובא לתת שכר לפועלים ואומר אם אתן לכל א' יב ליט' ישאר לי נ' ליט' ואם אתן ט"ו לכל א יחסר ע' אשאל כמה הם הפועלים וכמה הוא הממון
תחבר נ' עם ע' ויהיו ק"כ גם הוצא י"ב מט"ו נשארו ג' תחלק ק"כ על ג' ויצא לך מ' וכך הם הפועלים ולדעת כמה ממון היה לו כבר ידעת כי הוא אמר אם יתן י"ב לכל אחד ישאר נ' לכן כפול מ' על י"ב ויצא ת"פ תוסיף עליהם נ' ויהיו תק"ל או אם תרצה כפול מ' על ט"ו ומהעולה תוציא ע' וישאר ג"כ תק"ל ותוכל לבחון אותו

Double False Position

Give and Take Problem - Craftsman
325) Question: A man has money and he has to do a work.
He spoke with the craftsman and promised him that every day he works he will pay him twenty and on a day he does not work the craftsman will pay the employer 28.
At the end there is only 30 left in the craftsman's hands.
I ask: how many days he worked and how many days he rested?
 שכה)‫[112] שאלה לאדם יש לו ממון ויש לו לעשות מלאכה ודבר לאומן ונדר לו שיתן לו בכל יום שיעבוד עשרים וביום שלא יעבוד יתן האומן אל בעל המלאכה כ"ח ולבסוף לא נשאר ביד האומן כי אם ל‫'

אשאל כמה ימים עבד וכמה ימים שבת

The work should have been done in 40 days.
 והנה היה ראוי לעשות המלאכה במ' יום
The way is as follows: use false positions
 הדרך הוא כך עשה הנחות כוזבות
  • We assume a number less than 40, because the work was done within 40 [days].
We say he did the work in 24 [days], so he earned 480 in 24, and he rested from 24 to 40, which is 16.
Multiply it by 28; it is 448.
Subtract it from 480; 32 remains.
But, we ask that only 30 will remain.
Hence, we say that 2 is an excess for 24.
 ולכן נניח איזה מספר שיהיה למטה ממ' מצד כי המלאכה נעשתה תוך מ‫'

ונאמר כי הוא עשה מלאכה כ"ד
א"כ ירויח בכ"ד ד' מאות ופ‫'
והנה שבת מכ"ד עד מ' שהם י"ו
וכפלם על כ"ח ויהיו תמ"ח
הוציאם מת"פ וישארו ל"ב ואנו מבקשי' שלא ישאר לו כי אם ל‫'
לכן נאמ' עבור כ"ד נשארו ב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{24\longrightarrow\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle20\sdot24=480\\\scriptstyle40-24=16\\\scriptstyle28\sdot16=448\end{cases}\longrightarrow480-448=32\longrightarrow32-30=2}}
  • Now, we assume another false position: we suppose he worked 26 days.
So, he rested from 26 to 40, which is 14 and if he worked 26, he earned 520.
Multiply 14 also by 28; it is 392.
Subtract it from 520; it is 128. So, he earned 128 dinar.
Subtract from them the 30 dinar we want him to earn; 98 remain.
Hence, say: for 26 the excess is 98.
 ועתה נעשה הנחה אחרת ונניח שעבד כ"ו ימים

א"כ הוא שבת מכ"ו עד מ' שהם י"ד ואם עבד כ"ו ירויח תק"כ
גם כפול י"ד על כ"ח ויהיו ג' מאות וצ"ב
הוציאם מתק"כ ויהיו קכ"ח הנה א"כ ירויח קכ"ח דינרין
תוציא מהם ל' דינרין שאנו מבקשים שירויח וישארו צ"ח
לכן תאמר עבור כ"ו נשארו צ"ח

\scriptstyle{\color{blue}{26\longrightarrow\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle20\sdot26=520\\\scriptstyle40-26=14\\\scriptstyle28\sdot14=392\end{cases}\longrightarrow520-392=128\longrightarrow128-30=98}}
Know that if there are excesses in both false positions, the smaller should be subtracted from the greater.
If there are deficiencies in both false positions you assumed, the smaller deficiency should be subtracted from the greater.
What remains is called a divisor ["partitore"].
If one false position exceeds and the other is deficient, the excess should be added to the deficiency and the result is called a divisor.
 ודע כי אם נשאר בכל הב' הנחות ראוי להוציא הקטן מהגדול

ואם יחסר בכל הב' הנחות שעשית ראוי ג"כ להוציא החסרון הקטן מהגדול
ומה שנשאר נקרא פארטידוש
ואם ההנחה הא' מוסיף והאחר מחסר ראוי לחבר התוספת עם החסרון ומה שיעלה נקרא פארטידור

You see that both false positions we assumed are exceeding - the first exceeds by 2 and the second exceeds by 98.
So, subtract 2 from 98; 96 remains and this is the divisor.
 והנך רואה כי הב' הנחות שעשינו כל א' מוסיף הראשנה מוסיף ב' והב' מוסיף צ"ח

לכן הוציא ב' מצ"ח ישאר צ"ו והוא המחלק

Now, multiply crosswise, i.e. 24 by 98; it is 2352.
Multiply also 26 by 2; the result is 52.
Subtract it from 2352; the remainder is 2300.
Divide it by 96; the result is 23 and 23 parts of 24 and this is [the number of] days he worked.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(24\sdot98\right)-\left(26\sdot2\right)}{98-2}=\frac{2352-52}{96}=\frac{2300}{96}=23+\frac{23}{24}}}
 ועתה כפול בשתי וערב ר"ל כ"ד על צ"ח ויהיו ב' אלפים וג' מאות ונ"ב

גם כפול כ"ו על ב' ויצא נ"ב
הוציאם מב' אלפים וג' מאות ונ"ב הנשאר ב' אלפים וג' מאות
חלקם על צ"ו ויצא כ"ג וכ"ג חלקים מכ"ד וכך הם הימים שעבד

To know how many days he rested, see the difference from 23 and 23 parts of 24 to 40; you receive 16 and one part of 24 and this is [the number of] days he rested.
\scriptstyle{\color{blue}{40-\left(23+\frac{23}{24}\right)=16+\frac{1}{24}}}
 ולדעת כמה ימים שבת ראה המרחק מכ"ג וכ"ג חלקים מכ"ד עד מ' ויצא לך י"ו וחלק אחד מכ"ד וכן הוא הימים ששבת
You can check this.
 ותוכל לבחון אותו
326) Question: three men want to buy merchandise.
The first says to the two others: if you give me half of your money, with my money, it will be 20.
The second answers: if you give me a third of your money, with mine, it will be 20.
The third answers: if you give me a quarter of your money, with mine, it will be 20.
I ask: how much does each have?
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=20\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+Z\right)=20\\\scriptstyle Z+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y\right)=20\\\end{cases}
 שכו)‫[113] שאלה ג' בני אדם רוצים לקנות סחורה

אמר הראשון לב' הנשארים אם תתנו לי חצי מממונכם עם שלי ויהיו כ‫'
השיב השני אם תתנו לי שליש ממונכם עם שלי יהיו כ‫'
השיב הג' אם תתנו לי רביעית ממונכם עם שלי ויהיו כ' אשאל כמה לכל א' וא‫'

1)
 הדרך הוא כך נניח שהיה לראשון י"ב ויחסר לו עד כ' ח' ומצד כי אמר אם הב' הנשארים יתנו לו חצי ממונם יהיו כ' יצטרך שיהיה בין השנים הנשארים י"ו כי חציים ח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{X_1=12\longrightarrow\frac{1}{2}\sdot\left(Y_1+Z_1\right)=20-12=8=\frac{1}{2}\sdot16\longrightarrow Y_1+Z_1=16}}
I) \scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Y_I=7\\\scriptstyle Z_I=9\end{cases}}}
 ולכן ראוי לדעת כמה יש לכל א' מאלו הב' נשארים נעשה הנחה אחרת ונניח כי היה לב' ז' ולג' ט' וכבר אמרנו כי הב' אמר לב' הנשארים שיתנו לו שליש ממונם יהיו כ' לכן נחבר ממון הראשון שהוא י"ב עם ממון הג' שהוא ט' יהיו כ"א הוצא מהם שלישיתם ויהיו ז' חברם עם ממון הב' שהם ז' יהיו י"ד א"כ יחסר לנו עד כ' ו' ולכן שים לך למזכרת מה שהנחת עבור הב' שהוא ז' עם מה שהנחת עבור הג' שהוא ט' גם מה שמחסר לנו עבור זאת ההנחה שהוא ו'
\scriptstyle{\color{blue}{Y_I+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_I\right)=7+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+9\right)\right]=7+\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)=7+7=14}}
\scriptstyle{\color{blue}{20-14=6}}
II) \scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Y_{II}=10\\\scriptstyle Z_{II}=6\end{cases}}}
 וזה יהיה החלק הראשון מן ההנחה הב' ולדעת החלק האחר מן ההנחה הב' נעשה כך ונאמר נניח כי מאלו הי"ו דוקטי שראוי שיהיו בין הב והג' יהיה לב' י' ולג' ו' והנה ידעת כי הב' אמר לב' הנשארים אם יתנו לי שליש ממונם שיהיה לי כ' לכן חבר י"ב שהוא הא' עם ו' שהוא הג' ויהיו י"ח קח שלישיתם ויהיו ו' תנם לב' שיש לו י' ויהיו (י"ו) ויחסר עד כ' ד' לכן נשים החלק הב' מההנחה הב' י' ששמנו ממון הב' עם ו' ששמנו ממון הג' ועם ד' שמחסר לנו עד תשלום כ בזאת הצורה
\scriptstyle{\color{blue}{Y_{II}+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_{II}\right)=10+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+6\right)\right]=10+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=10+6=16}}
\scriptstyle{\color{blue}{20-16=4}}
\scriptstyle{\color{blue}{Y_1=\frac{\left(6\sdot10\right)-\left(4\sdot7\right)}{6-4}=\frac{60-28}{2}=\frac{32}{2}=16}}
 והנה מצד כי כל א' מאלו ההנחות מחסרות ר"ל הא' מחסרת והאחרת ד' נוציא ד' מו' וישארו ב' והוא המחלק אח"כ כפול ו' על י' ויהיו ס' גם כפול ד' על ז' ויהיו כ"ח הוציאם מס' וישארו ל"ב חלקם על ב' ויצא י"ו א"כ י"ו החלק הראשון מההנחה הראשנה ר"ל שיהיה ממון הראשון (השני) י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{Z_1=\frac{\left(6\sdot6\right)-\left(4\sdot9\right)}{6-4}=\frac{36-36}{2}=\frac{0}{2}=0}}
 גם כפול ממון הג' שאמרנו שהוא ו' ותאמר ו' פעמים ו' הם ל"ו גם כפול ד' על ט' ויהיו ל"ו הוצא ל"ו מל"ו הנשאר מאומה חלקם על ב' גם יצא מאומה הא"כ יש לך בחלק הא' מההנחה הא' שהא' יש לו י"ב ולב' י"ו ולג' מאומה
2)
 ולמצא החלק הב' מההנחה הא' נניח שהיה לראשון ט' והוא אמ' לב' הנשארים שיתנו לו חצי [מ]ממונם ויהיו כ' א"כ מט' עד כ' הם י"א ואלו הי"א הוא ממון הב' והג' א"כ בין שניהם יש כ"ב
\scriptstyle{\color{blue}{X_2=9\longrightarrow\frac{1}{2}\sdot\left(Y_1+Z_1\right)=20-9=11=\frac{1}{2}\sdot22\longrightarrow Y_2+Z_2=22}}
I) \scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Y_I=7\\\scriptstyle Z_I=15\end{cases}}}
 ועתה יש לעשות הנחה ג' לדעת כמה יש לב' מאלו הכ"ב גם כמה יש לג' ונניח שהיה לב' ז' א"כ לג' ט"ו ומצד כי הב' אמר לב' הנשארים שיתנו לו שליש ממונם נחבר ממון הא' שהוא ט' עם ט"ו ויהיו כ"ד קח שלישיתם שהם ח' ותנם לב' שיש לו ז' ויהיו ט"ו ויחסר עד כ' ה' ולכן שים לך למזכרת מה ששמת עבור הב' שהוא ז' ומה ששמת עבור הג' שהוא ט'(ו) ומה שחסר לך עד תשלום כ' שהוא ה‫'
\scriptstyle{\color{blue}{Y_I+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_I\right)=7+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(9+15\right)\right]=7+\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)=7+8=15}}
\scriptstyle{\color{blue}{20-15=5}}
II) \scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Y_{II}=10\\\scriptstyle Z_{II}=12\end{cases}}}
 וזה יהיה חלק הראשון מההנחה הג' ובעבור החלק הב' מההנחה הג' (ו)נניח כי היה לב' מאלו הכ"ב דוקטי י' א"כ ראוי להיות לג' י"ב ומצד כי הא' אמר לב' ולג' שיתנו לו שליש ממונם נחבר ממונם (ממון) הראשון שהוא ט' עם ממון הג' שהוא י"ב ויהיו כא קח שלישיתם והנם ז' תנם לשני שיש לו (י) ויהיו י"ז ויחסר עד כ' ג' ולכן נשים החלק הב' מההנחה הג' י' שנתת לב' וי"ב מן הג' וג' שחסר לנו עד כ' כמו שאתה רואה
\scriptstyle{\color{blue}{Y_{II}+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_{II}\right)=10+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(9+12\right)\right]=10+\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)=10+7=17}}
\scriptstyle{\color{blue}{20-17=3}}
\scriptstyle{\color{blue}{Y_2=\frac{\left(5\sdot10\right)-\left(3\sdot7\right)}{5-3}=\frac{50-21}{2}=\frac{29}{2}=14+\frac{1}{2}}}
 ומצד כי כל אחד מחסר ר"ל החלק הא' חסר ה' והחלק הב' חסר ג' לכן הוצא ג' מה' הנשאר ב' והוא המחלק אח"כ כפול ה' על י' ויהיו נ' עוד כפול ג' על ז' ויהיו כ"א הוציאם מנ' וישארו כ"ט חלקם על ב' ויהיו י"ד וחצי וכך תשים בחלק הב' מההנחה הא' עבור הב' ר"ל שיהיה לב' י"ד וחצי
\scriptstyle{\color{blue}{Z_2=\frac{\left(5\sdot12\right)-\left(3\sdot15\right)}{5-3}=\frac{60-45}{2}=\frac{15}{2}=7+\frac{1}{2}}}
 ובעבור הג' נכפול ב' (ה') על י"ב ויהיו ס' גם נכפול ג' על ט"ו ויהיו מ"ה הוצא מ"ה מס' נשאר ט"ו חלקם על ב' ויהיו ז' וחצי וכך תשים עבור הג‫'
וכבר מצאנו בפעם הא' כי לא' היה לו י"ב ולב' י"ו ולג' מאומה ובחלק הב' מצאנו כי לא' יש לו ט' ולב' י"ד וחצי ולג' ז' וחצי ועתה יש לראות אם נתן לכל א מה שיצא לנו אם יהיה לכל א וא' עשרים עם החלקים ששואל
כבר ידעת כי בהנחה הראשנה מצאנו שהראשון היה לו י"ב ולב' י"ו ולג' מאומה חלק חלק הב' שהוא י"ו על ב' ויהיו ח' ותנם לראשון ויהיו כ' מצד כי הוא שואל חצי ממון הב' והג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{X_1+\frac{1}{2}\sdot\left(Y_1+Z_1\right)=12+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(16+0\right)\right]=12+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=12+8=20}}
גם אם תתן לב' שליש ממון הא' והג' יהיו לו כ כי ממונו הוא י"ו ושליש ממון הא' הוא ד' תוסיפם על י"ו ויהיו כ' כי אין לג' מאומה
\scriptstyle{\color{blue}{Y_1+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_1\right)=16+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+0\right)\right]=16+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)=16+4=20}}
ולראות כמה יהיה לג' הנה הוא שואל רביעית ממון חביריו ולכן חבר י"ו עם י"ב ויהיו כ"ח קח רביעיתם ויהיו ז' ואנו מבקשים שיהיה לו כ' ולכן יחסר עד כ' י"ג לכן שים י"ג תחת החלק הא' מההנחה
\scriptstyle{\color{blue}{Z_1+\frac{1}{4}\sdot\left(X_1+Y_1\right)=0+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(12+16\right)\right]=0+\left(\frac{1}{4}\sdot28\right)=0+7=7}}
  • \scriptstyle{\color{blue}{20-7=13}}
ולראות החלק הב' כבר ידעת כי מצאנו שהיה לראשון ט' ולב' י"ד וחצי ולג' ז' וחצי והראשון שואל חצי י"ד וחצי וז' וחצי שהם יא ותנם לו שיש לו ט' ויהיו כ‫'
\scriptstyle{\color{blue}{X_2+\frac{1}{2}\sdot\left(Y_2+Z_2\right)=9+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\right]=9+11=20}}
עוד חבר ממון הא עם הג' ויהיו י"ו וחצי וקח שלישיתם שהם ה' וחצי ותנם לב' שיש לו י"ד וחצי ויהיו כ‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle Y_2+\frac{1}{3}\sdot\left(X_2+Z_2\right)&\scriptstyle=\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left[9+\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(16+\frac{1}{2}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)=20\\\end{align}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle Z_2+\frac{1}{4}\sdot\left(X_2+Y_2\right)&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[9+\left(14+\frac{1}{2}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(5+\frac{7}{8}\right)=13+\frac{3}{8}\\\end{align}}}
  • \scriptstyle{\color{blue}{20-\left(13+\frac{3}{8}\right)=6+\frac{5}{8}}}
 ולראות כמה יש לג' חבר ממון הא' עם הב' וקח רביעיתם שהם ה' וז' שמיניות ויהיו י"ג וג' שמיניות ויחסר עד כ' ו' וה' שמיניות ותשימם תחת החלק הב' מההנחה כמו זאת הצורה
והנה מצאת בחלק הראשון פחות י"ג ובחלק השני פחות ו' וה' שמיניות הוצא הקטון מהגדול הנשאר ו' וג' שמיניות ועתה כפול י"ג על ט' ויהיו קי"ז עוד כפול י"ב על ו וה' שמיניות יהיו ע"ט וחצי והוציאם מקצ"ז (קי"ז) וישארו ל"ז וחצי וחלקם על ו' וג' שמיניות ויצא לך ה' וט"ו חלקים מי"ז והוא חלק הא‫'
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{\left(13\sdot9\right)-\left[12\sdot\left(6+\frac{5}{8}\right)\right]}{13-\left(6+\frac{5}{8}\right)}=\frac{117-\left(79+\frac{1}{2}\right)}{6+\frac{3}{8}}=\frac{37+\frac{1}{2}}{6+\frac{3}{8}}=5+\frac{15}{17}}}
ולדעת כמה יש לב' כפול עוד י"ג על י"ד וחצי ויהיו קפ"ח וחצי עוד כפול ו' וה' שמיניות על י"ו ויהיו ק"ו הוציאם מקפ"ח וחצי וישארו פ"ב וחצי וחלקם על ה (ו) וג' שמיניות ויצא לך י"ב וי"ו חלקים מי"ז והוא חלק השני
\scriptstyle{\color{blue}{Y=\frac{\left[13\sdot\left(14+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[16\sdot\left(6+\frac{5}{8}\right)\right]}{13-\left(6+\frac{5}{8}\right)}=\frac{\left(188+\frac{1}{2}\right)-106}{6+\frac{3}{8}}=\frac{82+\frac{1}{2}}{6+\frac{3}{8}}=12+\frac{16}{17}}}
ולדעת חלק הג' כפול י"ג על ז' וחצי ויהיו צ"ז וחצי עוד כפול ו' וה' שמיניות על מאומה שהוא עבור הג' העולה מאומה א"כ חלק צ"ו (צ"ז) וחצי על ו' וג' שמניות ויצא לך ט"ו וה' חלקים מי"ז והוא חלק הג' ותוכל לבחון אותו
\scriptstyle{\color{blue}{Z=\frac{\left[13\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[0\sdot\left(6+\frac{5}{8}\right)\right]}{13-\left(6+\frac{5}{8}\right)}=\frac{\left(97+\frac{1}{2}\right)-0}{6+\frac{3}{8}}=\frac{97+\frac{1}{2}}{6+\frac{3}{8}}=15+\frac{5}{17}}}
שכז)[114] שאלה אם נשאל לך אם ק' ליט' משי שוות ו' דוקטי וז' גרושי וח' (י"ח) פיצולי כמה ישוה ה' אלפים וד' מאות ול"ב ליט' אבאטאנדו דיטארא ז' ליט' עבור כל מאה ר"ל שעל כל ק' ליט' יש לו לפרוע ז' ליט' ממס' ועוד יש לו לפרוע מס אחר נקרא מישיטראריאה וראוי שיפרע עבור כל ק' מנינים ב' מנינים
ראשנה יש לך לראות כמה שווי הטארא מהה' אלפים וד' מאות ול"ב ועשה כך כפול ה' (ז') פעמים ז' (ה') אלפים וד' מאות ול"ב ויעלה ל"ח אלפים וכ"ד וחלקם על ק' ויצא לך ש"פ והוא הטארא תסירם מה אלפים וד' מאות ול"ב וישארו ה' אלפים ונ"ב ויען כי יש לך דוקטי גרושי פיצולי תשיבם אצל הפיצולי שהוא המטבע הפחותה ותכפול המנינים על כ"ד ויהיו גרושי כי כ"ד שוים דוק' א' והעולה כפול על ל"ב ויהיו פיצולי ויעלה הכל ד' אלפים וח' מאות ונ' ועתה תאמר אם ק' ליט' שוים ד' אלפים וח' מאות ונ' פיצולי כמה שוים ה' אלפים ונ"ב ליט' ויצא לך ב' מאות ומ"ה אלפים וכ"ב והם פיצולי והוא השווי תעשה מהם גרושי ויהיו ז' אלפים ותרנ"ו ונשארו ל' פיצולי עשה מכל זה מנינים ויצא לך ג' מאות ויט מניני ול פיצולי והוא שווי הה' אלפים וד' מאות ול"ב נקי מטארא
ועתה יש לראות כמה ראוי שיפרע עבור המס האחר הנקרא מישיטראריאה והוא שפורע עבור כל ק' מנינים ב' מנינים ותאמר אם ק שוים ב' ג' מאות ויט מנינים ול' פיצולי כמה שיפרעו ויצא לך ו' מאות ול"ח וא' גרושו וכ"ח פיצולי אחר שכפלת אותו על ב' וחלק זה על ק' ויצא לך ו' מנינים ונשארו ל"ח דוקטי עשה מהם גרושי ומן העולה עשה מהם פיצולי וחלקם על ק' ויצא לך ט' גרושי וד' פיצולי (וחלקים) א"כ ראוי שיפרע ממישטריאה ו' דוק' וט' גרושי וד' פיצולי וחלקים ועתה הוצא זה הפרעון מג' מאות וי"ט מנינים ול' פיצולי וישאר לך שי"ב מנינים וי"ו (ט"ו) גרושי וכ"ה פיצולי והוא שווי ה' אלפים וד' מאות ול"ב ליט' נקי מטארא וממישטריריא
שכח) שאלה אם תרצה למצא מרכז העגול השלם או החצי או פחות או יתר מן חצי
תעשה באותו חלק מהעגול ב' מיתרים אח"כ תעשה כמין חצי עגול מראש המיתר אצל האחד גם תעשה כן מהראש האחר וכן תעשה במיתר הב' שני חצי עגול ואח"כ תחתוך מקום פגישתן משניהם ובמקום אשר יפגשו שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר וכן תוכל לעשות ג' נקודות באיזה מקום שיזדמן ולעגל עגול יפגוש הג' נקודות תעשה חצי עגול ר"ל שתשים הנקדה הא' מרכז ותעגל חצי עגול גם תשים הנקדה הב' מרכז ותעגל ג"כ חצי עגול ותחלקנה לב' וכן תשים הנקדה הג' מרכז ותעשה חצי עגול גם שים הנקדה הב' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה ג"כ לב' ובמקום אשר יפגשו שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה
שכט)‫[115] שאלה יעקב הניח ממון לד' בניו לזה פחות מזה והג' מתרעמים אמר הגדול אני אכפול לכל א חלקו וכן עשה ונשאר מוטעה אמר הב' אני אכפול לכל א' חלקו וכן עשה ונשאר מרומה אמר הג' אני אכפול לכל א' חלקו ונשאר מתרעם אמר הד' אני אכפול לכל א חלקו וכן עשה ונשאר לכל א' חלק שוה כמה היה לכל אחד בתחלה
תוסיף על סכום הבנים א' ויהיו ה' וזה חלק מה שלקח האחרון עוד כפול ה' וחסר א ויהיו ט' וזה חלק הג' עוד כפול ח' (ט') וחסר אחד שהם י"ז וזה חלק הב' עוד כפול י"ז וחסר א' ויהיו ל"ג וזה חלק הראשון כן תוכל לעשות אם הבנים הם ככוכבי השמים לרוב
של) שאלה אם תרצה לתקן ט"ו יהודים וט"ו ישמעאלים או י"ד וי"ד או י"ג וי"ג או איזה מספר שתרצה ותרצה למנותם ז"ז או ח"ח או ג"ג או איזה מספר שתרצה ותרצה שיצאו לחוץ כל היהודים או כל הישמעאלים
תתקנם כפי המספר שהזכיר ותתחיל למנות מא' ותמנה עד המספר שהזכיר ותרשום על אותו שהשלים וכן תעשה עד תומם
דמיון נרצה לתקן עשרה יהודים וי' ישמעאלים ולחשבם ה"ה ויכלה לעולם אל הישמעאלים
שים על דף מא' ועד כ' יען כי הם כ' בין הכל ככה ותתחיל למנות א'ב'ג' וכן עד ה' ותרשום עליו נקדה כמו שאתה רואה עוד תתחיל למנות אחריו אב"ג וכן עד ה' וכן תעשה עד שתרשום י' רשמים אח"כ תתקנם הרשומים עם הבלתי נרשמים ושים תחלה א' ישמעאל וב' יהודים וג' ישמעאלים וג' יהודים וא ישמעאל וא' יהודי וב' ישמעאלים וא יהודי וא' ישמעאל וב' יהודים וא ישמעאל וא' יהודי וא' ישמעאל וכן תוכל לעשות מכל המספרים שתרצה
386) Question: A man asked his servant to bring a liṭra of figs, a liṭra of raisins, and a liṭra of almonds.
A liṭra of raisins is worth 2 pešuṭim more than a liṭra of figs.
A liṭra of almonds is worth 3 pešuṭim more than a liṭra of raisins.
The 3 liṭra together are worth 30 pešuṭim.
I would like to know how much is the price of each liṭra.
 שלא)‫[116] שאלה אדם אמר למשרתו להביא ליט' תאנות וליט' צמוקים וליט' שקדים

והנה ליט' הצמוקים שוה ב' פשוטים יותר מליט' התאנים
וליט' השקדים שוה יותר מליט' הצמוקים ג' פשוטים
ובין הג' ליט' שוה ל' פשוטים
ארצה לדעת כמה ערך כל ליט' וליט‫'

כך תעשה כבר ידעת כי הצמוקים שוה ב' פשוטים יותר מהתאנים הסר ב' מל' ונשאר כ"ח והנה ליט' השקדים שוה יותר מליט' הצמוקים ג' א"כ ליט' השקדים שוה יותר מליט' התאנים ה' הסר ה' מכ"ח נשאר כ"ג אח"כ חלק כ"ג על ג' יען כי הם ג' מינים ויצא לך ז' וב' שלישיות א"כ ז' פשוטי' וב' שלישיות שוה ליט' התאנים שים בם ב' ויהיו ט' וב' שלישיות והוא ערך ליט' הצמוקים עוד תוסיף ג' ויהיו י"ב וב' שלישיות והוא ערך השקדים ובין הכל ל' ותקיש על זה
שלב) שאלה תמצא לי מספר אשר כשתוסיף עליו מספר מה יהיה מרובע ואם תגרע ממנו ישאר מרובע
כך תעשה קח ב' מספרים מרובעים וראה התוספת שיש בין זה לזה וחלק היתרון לב' חצאים ושים חלק א' על המרובע הקטן או תגרענו מהגדול והוא המבוקש
דמיון קח מספר ט' שהוא מרובע ומספר י"ו שהוא מרובע והיתרון הוא ז' חלק על ב' והם ג' וחצי שימם על ט' והנם י"ב וחצי או גרעם וי"ו (מי"ו) והנם ג"כ י"ב וחצי כי אם תסיר מי"ב וחצי ג' וחצי ישאר ט' שהוא מרובע ואם תוסיף בם ג' וחצי יצא י"ו והוא מרובע ג"כ
שלג) שאלה תמצא לי מספר כי כשתמנהו א"א שוה ב"ב ישאר א' ג"ג ב' ד"ד ג' ה"ה ד' ו"ו ה' ז"ז א‫'
כך תעשה תמצא מספר יכלול החלקים עד ו' והם ס' תסיר ממנו א נשאר נ"ט א"כ נ"ט נשאר על ב' א ועל ג ב' ועל ד' ג ועל ה' ד' ועל ו' ה' אח"כ ראה אם הולך ז"ז ותמצא כי נשאר ד' ואנו מבקשים שישאר א' אח"כ כפול ד' על איזה מספר באופן כי כשתחלקהו על ז' שישאר א' שישאר ב' ותמצא ד' כי ד' על ד' הם י"ו וישאר על השביעית ב' אח"כ כפול ד' על ס' ויהיו ב' מאות ומ' תסיר ממנו א ויהיו ב מאות ול"ט והוא המבוקש ואולם אמרי תסיר ממנו א כי ר"מ הולך אא בב גג דד הה ו"ו ולז"ז ישאר ב' ואם תסיר ממנו א' ישאר הדרוש
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c+d=2X\\\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot Y=X\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot Y=X\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot Y=X\\\scriptstyle d+\frac{1}{5}\sdot Y=X\\\end{cases} שלד) שאלה ד' בני אדם רוצים לקנות סוס א' ואין לא' מהם יכולת בידו

ויש לארבעתם ב' פעמים ערך הסוס
ובא אדם ואמר אם תרצו שאהיה עמכם אתן מה שיגיע לי לפרוע השיבו לו לא נרצה שתהיה עמנו
אמר לו הראשון אם תתן לי חצי ממונך עם שלי הייתי קונה הסוס לבדי
אמר הב' לחצון אם תתן לי שליש ממונך עם שלי הייתי קונה אותו
אמר הג' לחצון אם תתן לי רביעית ממונך עם שלי הייתי קונה הסוס לבדי
אמר הד' לחצון אם תתן לי חומש ממונך עם שלי הייתי קונה אותו לבדי
נשאל כמה ביד כל א' מאלו הד' וכמה ביד החצון וכמה ערכו

\scriptstyle{\color{blue}{Y=60}}
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=77}}
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{77}{4-2}=\frac{77}{2}=38+\frac{1}{2}}}
 תעשה ככה תמצא מספר יהיה לו חצי ושליש ורביע וחומש והוא ס' וכל החלקים הם ע"ז הנה א"כ החצון יש לו ס' מנינים

אח"כ תחלק ע"ז על ב' יען כי הם יכולין לקנות ב' סוסים והנם ד' אנשים הוצא ב' מד' הנשאר ב‫'
ואם לא היו יכולין לקנות כי אם בית א' היתה מוציא א' מד' הנשאר ג' והיית מחלק ע"ז על ג‫'
ואם יוכלו לקנות ג' היית מוציא ג' מד' נשאר א' והיית מחלק ע"ז על א‫'
והנה במספרינו נשארו לנו ב' לכן נחלק ע"ז על ב' ויצא ל"ח וחצי והוא ערך הבית

\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(38+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)=\left(38+\frac{1}{2}\right)-30=8+\frac{1}{2}}}
\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(38+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=\left(38+\frac{1}{2}\right)-20=18+\frac{1}{2}}}
\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(38+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)=\left(38+\frac{1}{2}\right)-15=23+\frac{1}{2}}}
\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(38+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=\left(38+\frac{1}{2}\right)-12=26+\frac{1}{2}}}
 ולדעת כמה יש ביד כל א' מארבעתם הוצא החצי מס' שהם ל' מל"ח וחצי הנשאר ח' וחצי והוא הממון מאותו ששואל חצי ממון החצון

אח"כ הוצא שליש ס' שהם עשרים מל"ח וחצי הנשאר י"ח וחצי והוא ממון מאותו ששואל שליש ממון החצון
אח"כ הוצא רביעית ס' מט"ו מל"ח וחצי נשאר כ"ג וחצי והוא חלק מאותו ששואל לחצון רביעית ממונו
אח"כ הוצא חומש ס' שהם י"ב מל"ח וחצי הנשאר כ"ו וחצי והוא חלק מאותו ששואל לחצון חומש ממונו

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a+b+c+d &\scriptstyle=\left(8+\frac{1}{2}\right)+\left(18+\frac{1}{2}\right)+\left(23+\frac{1}{2}\right)+\left(26+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=27+\left(23+\frac{1}{2}\right)+\left(26+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(50+\frac{1}{2}\right)+\left(26+\frac{1}{2}\right)=77\\\end{align}}}
 וכבר אמרנו כי ביד ארבעתם כ"כ ממון יוכלו לקנות ב' בתים לכן תחבר ממון הראשון שהוא ח' וחצי עם ממון הב' שהוא י"ח וחצי ויהיו כ"ז גם תוסיף בו ממון הג' שהוא כ"ג וחצי ויהיו נ' וחצי גם תוסיף בם ממון הרביעי שהוא כ"ו וחצי ויהיו ע"ז
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{77}{38+\frac{1}{2}}=2}}
 תחלקם על ל"ח וחצי ויצא לך ב' ודוק ותשכח וזה מה שרצינו לבאר
תם ונשלם
תהלה לאל עולם
הסופר לא ינזק לא היום ולא לעולם
עד שיעלה חמור בסולם
אשר יעקב אבינו חלם
תם
ויקיים בו מקרא דכתיב לא ימוש ספר התורה הזה מפיך והגית בו יומם ולילה למען תשמור לעשות ככל הכתוב בו כי אז תצליח את דרכיך ואז תשכיל אמן (יהושע, א, ח) ואמן סלה ועד

Kaufmann - Additional Excerpt
Pricing Problem - Find the Amount
A man sells 13 measures for 23. How many measures will he sell for 7 [pešiṭim]?

\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{X}{7}

שאלה אדם מוכר חטה י"ג מדות בכ"ג פשוטים כמה מדות יתן בז' פשוטים
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot13}{23}=\frac{91}{23}=3+\frac{22}{23}}} כפול ז' על י"ג יעלה צ"א חלקם על כ"ג יצא ג' וכ"ב חלקים מכ"ג
שאלה[117] אדם מוכר מג' מיני חטים הא' מהם המדה שוה י"ב פשוטים ומהאחרת י"ח ומהאחרת כ"ב ובא אדם ורוצה לקנות מאותם הג' מיני חטים כ"ד מדות לערך ט"ו פשוטי כמה יקח מכל חטה וחטה באופן שרע רע לא יאמר הקונה והמוכר ג"כ
כך תעשה תראה ההפרש שיש בין ט"ו לי"ב תמצא ג' ושימם על י"ח ואח"כ ראה ההפרש שהוא בין ט"ו לי"ח תמצא ג' ושימם על י"ב ורצוני בזה שכל ז' זמן שיקח ג' מדות מאותו של י"ח יקח ג' מדות של י"ב ויש לנו אחר ששוה כ"ב על כן נקח ממנו א אח"כ ראה ההפרש שיש בין כ"ב לט"ו תמצא ז' אח"כ חלק אלו הז' על ההפרש שיש בין ט"ו לי"ב שהוא ג' יעלה ב' ושליש אח"כ חבר הכל רצוני אלו הב' ושליש והג' והא' והג' האחרים הנה בין הכל עולה ט' שלמים ושליש אח"כ כפול ה' ושליש שהם י"ב נגד כ"ד וחלק היוצא על ז' (ט') ושליש יצא י"ג וה' שביעיות וככה יקח ממנו אח"כ כפול ג' שהם על י"ח נגד כ"ד וחלק היוצא על ט' ושליש יצא לך ז' וה' שביעיות א' אח"כ כפול א על כ"ד וחלקהו על ט' ושליש יצא לך ב' וד' שביעיות וככה יקח מאותו ששוה כ"ב
ואם תרצה לבחון אותו ראה כמה שוות הב' מדות וד' שביעיות לערך כ"ב במדה וקבץ הכל אח"כ ראה כמה שוות הה (ז) מדות וה' שביעיות לערך י"ח במדה וקבץ הכל אח"כ ראה כמה שוות י"ג מדות וה' שביעיות לערך י"ב דינרין המדה וקבץ הכל ותמצא שיעלה בין הכל ג' מאות וס' דינרין רצוני ערך כל הג' חטים ושמור זה אח"כ כפול כ"ד שהם המדות המבוקשות על ט"ו שהוא הערך ששואל תמצא שהוא עולה ג' מאות וס' ג"כ
שאלה[118] אדם מוכר חטה סך נעלם במעות מנויים ובחלופי' משים אותו ג' והאחר העושה החלוף עמו משים החטה במעות מנויים מוכר אותה יותר ובחליפים משים אותה ג' פשוטים ומהג' פשוטים שואל השליש שהוא א' במעות מנויים והב' שלישיות שואל מחטה ומדת החטה שוה ד' פשוטים במעות מנויים ובחלופים שוה עתה ח' פשוטים נרצה לדעת כמה היה שוה הקנה מהבגד במעות מנויים באופן שבעבור הב' שלישיות בעל החטה העלה אותם לו הסך מד' עד ח'
ראוי לעשות ככה והוא שתראה ההפרש שהוא מד' לח' והנה ד' חצי הח' אח"כ קח חצי מהב' שלישיות שהוא עושה החלופים והנה הב' שלישיות הם ב' שלמים כי ב' שלישיות מג' הוא ב' הסר ממנו החצי ישאר א' הוסף זה על שליש המעות שהוא שואל במעות מנויים והוא א' יהיו ב' הנה א"כ קודם לכן הקנה מהבגד היה שוה במעות מנויים ב' פשוטים ועתה שוה ג' בחלופים וכך תעשה לכל השאלות שהם כזאת
שאלה[119] אם תרצה לתקן ט' בתים אשר כל ג' בתים מהם יעלו בין באורך בין ברוחב בין באלכסון י"ו
כך תעשה ראוי לך לדעת כי יש לנו תמונה שעולה באורך וברוחב ובאלכסון ט"ו ותמצא בבית הראשון ב' ובב' ט' ובג' ד' ובד' ז' ובה' ה' ובו' ג' ובז' ו' ובח' א' ובט' ח' וזאת היא הצורה
וראוי לך לעשות הערך ככה והוא כי יש לך לקחת ב' שלישיות ט"ו והם י' גם תקח ב' שלישיות י"ו שהם י' וב' שלישיות ותאמר אם י' נתן לי ב' מה יתן לך ומה יוסיף לך ב' (י') וב' שלישיות אמנם אמרתי ב' יען כי תמצא ב' בבית הראשון ויצא לך ב' וב' חלקים מט"ו והוא מה שראוי להיות בבית הא' עוד תאמר אם י' נתן לי ט' והוא מה שבבית השני מה יתן לי י' וב' שלישיות יצא לך ט' וט' חלקים מט"ו וכך כלם וזאת היא צורתם
Question: If you want to give to three people: one gold, the other silver, and another copper, do as follows: give the first one [coin], the other two [coins], and the other three coins.
Remember to who you gave one, to who you gave two and to who you gave three.
Then, say: whoever wants to take the silver, take it; whoever wants to take the gold, take it; and whoever wants to take the copper, take it.
Say: whoever took the gold should take as much as he has.
For example, if he has [one], he should take 1; if he has two, he should take 2; if he has three, he should take 3.
Put 18 coins on the table and tell them to take from these coins.
Tell them that whoever has silver should take twice as much as he has and whoever has copper should take 4 times as much as he has.
Know that either 7 or 6 or 5 or 3 or 2 or 1 should remain on the table, but 4 should not remain.
If 5 remain, know that the one who took 1 has the gold and the one who took 2 has the silver and the one who took 3 the copper.
 שאלה[120] אם תרצה לתת לג' בני אדם לא' זהב לאחר כסף (לאחר כסף) לאחר נחושת תעשה כן תן לא' א' ולאחר ב' ולאחר ג' מטבעים וזכור למי נתת א' ולמי נתת ב' ולמי נתת ג'

אח"כ תאמ' מי שירצה לקחת הכסף יקחנו ומי שירצה לקחת הזהב יקחנו ומי שירצה לקחת הנחושת יקחנו
אח"כ תאמ' מי שלקח הזהב יקח כמו מה שיש לו
המשל אם יש לו ב' (א') יקח אחד ואם יש לו ב' יקח א' (ב') ואם יש לו ג' יקח ג' אחד
ושים על השלחן י"ח מטבעים ואמור להם שיקחו מאותם המטבעים
עוד תאמ' מי שיש לו כסף יקח ב' פעמים כמוהו
ומי שיש לו הנחושת יקח ד' פעמים כמוהו
ודע כי יצטרך שישארו על השלחן או ז' או ו' או ה' או ג' או ב' או א' אבל ד' לא ישאר
ואם נשאר ה' דע כי מי שלקח א' יש לו הזהב ומי שלקח ב' יש לו הכסף ומי שלקח ג' הנחושת

והא לך הסימן כי בכל מקום שתמצא אה מורה על הזהב ובמקום או מורה על הכסף ובמקום אי על הנחושת ואם נשאר א' תעיין במלה הראשנה אם נשאר ב' תעיין במלה שניה אם ג' תעיין בג' ודע כי הנקדה שתמצא בראשה מורה על האיש שיש לו א והנקדה השניה מורה על מי שיש לו ב' והנקדה הג' מורה על מי שיש לו ג' ושמור הדרך שלא תטעה כי אה מורה על הזהב אי (או) מורה על הכסף אי מורה על הנחושת
שאלה[121] תמצא לי מספר אשר מחציתו ושלישיתו יוסיפו ד' שלמים על רביעיתו וחמישיתו
הנה נקח י"ב ומחציתו ו' ושלישיתו הוא עשרה ורביעיתו וחמישיתו הם ה' וב' שלישיות א"כ החצי והשליש מוסיף על הרביעית והחומש ד' וג' חמישיות ולכן תאמ' אם ד' ו[ג'] חמישיות נתן לי י"ב ד' מה יתנו ויצא לך עשרה וי' חלקים מכ"ג והוא [המב]וקש
שאלה[122] אם תרצה לתקן ד' בתים כאלו תאמר בית ראובן ושמעון ולוי ויהודה שהמרחק שיש מזה לזה יהיה שוה
הנה יש לך לעשות ד' משולשים ותחבר הג' חדודים מהג' משולשי' ויהיו זקופים והמשולש הד' יהיה שטוח וזה נקרא בלשונינו משולש מוגשם ובלשונם נקרא טריאנגולי אינקורפוראטו והנה בג' זויות השטוחים יהיו ד' בתים ובזוית הזקוף יהיה בית הרביעי ר"ל במקום שהג' ראשים מהמשולשים שהם זקופים
שאלה[123] אם תרצה למצא הנקודה האבודה ר"ל אם תתחיל לעשות עגול ולא תשלים אותו ואין המרכז נרגש אם תרצה למצא המרכז
הנה יש לך לחבר שני ראשי העגול שהתחלת לעשות וקח חצי הקו המחברת ותעשה בו נקודה גם קח חצי הקשת ר"ל מהעגול שהתחלת לעשות גם תעשה בו נקודה למען יהיה נראה אח"כ תחלק חצי המיתר לג' חלקים או ד' או באיזה מספר שתרצה עם מחוגה ותכפול החלקים מחצי המיתר על החלקים מהחצי האחר המשל אלו חלקת חצי המיתר לג' חלקים יצטרך גם שהחצי האחר יהיה ג' בהכרח וכפול ג' על ג' ויהיו ט' אח"כ ראה כמה חלקים יש מנקודת הקשת שעשית עד נקודת המיתר מאותם המדות שעשית כבר וכפי אותו המספר שיצא תכפלהו באיזה מספר שיעשה ט'
המשל אם יש מנקודת הקשת עד נקודת המיתר א' ושליש תמצא איזה מספר שכאשר תכה אותו בא' ושליש יעשו ט' חלק ט' על א' ושליש יצא ו' וג' רביעיות אח"כ תמשוך קו באשר מנקודת הקשת אל נקודת המיתר ויעבור האורך הרבה הנה יצטרך בהכרח שבאותו הקו שמשכת באשר שיהיה מרכז העגולה
ואם תרצה למצא המרכז תמדוד מנקודת המיתר באותו הקו ו' וג' רביעיות ועם מה שיש מנקודת המיתר עד נקודת הקשת שהוא א' ושליש יהיו ז' (ח') וחלק א מי"ב [וח]לק זה המספר עם המחוגה על חצי ויצא לך מקום המרכז כמו זאת הצורה
שאלה[124] אם יש לך חתיכת בגד ארכה ב' ורחבה ב' אם תרצה לעגלה
הנה יש לך לכפול ד' פעמים ב' ויהיו ח' אח"כ תחלק ח' על ג' ושביעית מצד כי לעולם הקף העגולה עודפת על אלכסונה ג' פעמים כמוהו ושביעית לכן נחלק ח' על ג' ושביעית ויצא לך ב' וו' חלקים מי"א והוא יהיה האלכסון מהעגול וכ"כ יהיה שטח העגול בשטח המרובע
שאלה[125] אם תרצה לעשות מרובע רבוע ובתוך המרובע יהיה שמונה צלעות שוות ויהיה אורך כל צלע א' וב' שלישיות אשאל כמה יהיה אורך כל קו מהמרובע
הדרך הוא כך יש לך לכפול א וב' שלישיות על עצמם ויעלה ב' וז' תשיעיות וחלקם על ב' ויצא לך א וז' חלקים מי"ח וקח שרשם ויצא לך א ושתות וכך יהיה כל אורך מה שישאר בכל קצה ולבחון אותו קח שרש (כפל) א ושתות ויצא לך א י"ג חלקים מל"ו כפלם על ג' (ב') ויצא לך ב' וכ"ו חלקים מל"ו ושרש א וב' שלישיות
שאלה[126] אם יש לך מרובע אורך כל קו מהמרובע י"ב ותרצה לעשות בו שיהיה שמונה צלעות שוות
הנה יש לך להקיש זאת השאלה עם אותה של מעלה בדרך הערכים ותאמ' אם ד' נתן לי א וב' שלישיות מה יתן לך ומה יוסיף לך י"ב כפול י"ב על א' וב' שלישיות ויצא כ' חלקם על ד' ויצא לך ה' וזה יהיה אורך כל צלע מהה' (ח') צלעות ולבחון אותו כפול ה' על [ה'] ויצא כ"ה תסיר ה' מי"ב שהוא אורך כל קו מהמרובע ויצא לך ז' חלקם על ב' ויצא לך ג' וחצי והוא מה שראוי שישאר בכל קצה כפול ג' וחצי על עצמם ויצא י"ב ורביע כפלם על ב' ויהיו כ"ד וחצי וקח שרשם ויהיו ה' בקרוב והוא שוה אל הצלע הה' וזאת היא צורתם
גם תוכל לעשות הערך באופן אחר והוא שתאמ' אם ד' שוה א' ושתות מה שוה י"ב ויצא לך ג' וחצי והוא אורך כל זוית וזה מבואר וכן תמיד תוכל לעשות ר"ל להקיש עם הדמיון מהמרובע העליון שהוא ד' על ד'
שאלה[127] אם תרצה למצא שרש בשלמים במהירות גדול יש לך לראות אם המדרגות הם זוג או נפרד ואם הוא זוג תסיר א וישאר נפרד וקח האות הממוצעת ויצטרך שהשרש יהיה באותה מדרגה וכפול האות הראשנה מהשרש ותסיר זה המספר מהמדרגה האחרונה אח"כ ראה הנשאר ושים בו אות באופן שתוכל להסיר כפול אותה אות על השרש המונח וכפול על ג' (ב') ואח"כ כפול מה שתמצא על [......]תסיר העולה מהאות הבאה אחריה דרך ימין וכן לעולם עד [....ת]גיע אל המדרגה הראשנה
דמיון זה נרצה לדעת שרש ד' מאות וחמישים אלף וו' אלפים ותשפ"ט
הנה מצד כי הם מדרגות זוגיות כי הם ו' נסיר א' וישארו ה' המדרגה הממוצעת הוא ג' והם מאיות ונשיב המדרגה השישית אצל החמישית ויהיו מ"ה והשרש שעבר הוא ל"ו ושרשו ו' לכן שים ו' וישארו עד מ"ה ט' אח"כ תמצא איזה מספר שכשתכפלהו על ו' והעולה תכפול על ב' שתוכל להחסירו מצ"ו ותמצא ז' כי ז' על ו' הם מ"ב וב' על מ"ב ויהיו פ"ד תסירם מצ"ו וישארו י"ב אח"כ כפול ז' על ז' ותסירם מהז' אשר במדרגה הג' ולא תוכל לכן קח הב' שנשארו במדרגה הרביעית ולא תוכל לכן קח הא' שנשאר במדרגה הה' וישאר עדין ע"ה (ע"ח) אח"כ תחפש איזה מספר כי כשתכפלהו על ו' והעולה על ב' שתוכל להחסירו מע"ח ואם תקח מספר ו' יהיה העולה ל"ו וב' על ל"ו הוא ע"ב ויהיה הנשאר ו' והיה לך לכפול אותם הו' על הז' אשר הם האות השניה מהשרש ויעלו מ"ב וב' על מ"ב הם פ"ד ולא תוכל להסיר מס"ח (ע"ח) פ"ד לכן לא נתן לו כי אם ה' וו' על ה' הם ל' וב' על ל' הם ס' הסירם מע"ח הנשאר י"ח אח"כ כפול הה' על ז' ויהיו ל"ה ול"ה על ב' ויהיו ע' תסירם מהה' (ח') שהם במדרגה השנית ולא תוכל לכן קח הח' שהם במדרגה השלישית ותביאם אצל המדרגה השנית ויהיו פ"ח תסיר מהם ע' וישארו י"ח אח"כ כפול ה' על ה' ויהיו כ"ה ותסירם מהמדרגה הראשנה ולא תוכל לכן קח הח' שהם במדרגה השניה ותביאם אצל המדרגה הראשנה ויהיו פ"ט תסיר מהם כ"ה נשארו ס"ד הנה א"כ השרש מהמספר המונח הוא תרס"ה (תרע"ה) והנשאר אלף קס"ד
ואם יש במספר המונח איזו ציפרא תעשה ככה ר"ל אם תרצה לדעת אם יש בשרש ציפרא תעשה בזה הדרך
דמיון נרצה לדעת שרש קס"ד אלפים ותתק"ס
תעשה ככה כבר ידעת כי זה המספר מגיע עד המעלה [....................] ה' ותשיב המדרגה הו' אצל הה' ויהיו י"ו ושרשו ד' ולא ישאר מא[.....] ד' על ד' הם י"ו אח"כ תמצא איזה מספר כי כשתכפלהו על ד' והעולה על ב' יעלה ד' ולא תוכל כי אם תקח א ותכפלהו בד' והעולה על ב' יהיו ח' ואין המספר כי אם ד' לכן נשים כי ציפרא אח"כ תאמ' איזה מספר אמצא אשר כשתכפלהו על ד' והעולה על ב' שתוכל להחסירו ממ"ט ותמצא ו' כי ו' על ד' הם כ"ד וב' על כ"ד הם מ"ח תסירם ממ"ט וישאר א על המדרגה השלישית אח"כ כפול ו' על ו' ויעלו ל"ו תסירם מס' שהם במדרגה השנית וישאר עדין כ"ד ועם הק' ויהיו קכ"ד תפילם מהמספר המונח וישאר עדין קס"ד אלפים ותתל"ו והוא המרובע שעבר מהמספר המונח והשרש הוא ד' מאות וו' ותקיש על זה
שאלה[128] תמצא לי מספר אשר כשתחלק חמישיתו על שרש המספר המונח שיצא ז'
הדרך הוא שתכפול ז' על ה' ויהיו ל"ה והוא יהיה שרש המספר המונח ואם תכה ל"ה על עצמם וקח חמישיתם ותחלקם על ל"ה יצא ז' ותקיש על זה
שאלה[129] אם תרצה לעשות מרובע בתוך עגולה
אם תרצה לדעת כמה מוסיף המרובע (העגול) על העגולה (מרובע) הנה המרובע ר"ל כל צלע המרובע ראוי שיהיה כמו אלכסון העגולה ונניח שכל צלע המרובע הוא ה' כפול ה' על עצמם ויהיו כ"ה גם ה' על עצמם ויהיו כ"ה ועם כ"ה והנם נ' ושרשם ז' וחלק אחד מי"ד וכבר ידעת כי הקף העגולה היא ג' ושביעית מהאלכסון כפול ג' ושביעית על ז' וחלק מי"ד ויעלה כ"ב שלמים וכ"ב חלקים מצ"ח וחלקם על כ' יען כי כל צלע מהמרובע הוא ה' וד' פעמים ה' הוא כ' ויצא לך א ויא חלקים מצ"ח א"כ י"א חלקים מצ"ח מוסיף העגול על המרובע
שאלה[130] אם תרצה לעשות עגולה בתוך מרובע אם תרצה לדעת כמה מוסיף המרובע על העגולה
דע כי יצטרך שאלכסון העגולה יהיה כמו אורך כל צלע המרובע
ואם נאמר כי אורך כל צלע המרובע הוא ה' גם אלכסון העגולה הוא ה' והקף כל המרובע הוא כ' גם כפול ג' ושביעית על ה' ויצא ט"ו וה' שביעיות אח"כ תחלק כ' על ט"ו וה' שביעיות יצא א וג' חלקים מי"א א"כ המרובע מוסיף על העגולה ג' חלקים מי"א
שאלה תמצא לי מספר שכשאכפלהו בד' ותחלקהו על ו' שישאר א'
כפול ד' על ו' ויהיו כ"ד תוסיף בו א ויהיו כ"ה חלקם על ד' ויצא לך ו' ורביע והוא המבוקש כפלהו על ד' ויהיו כ"ה וחלקם על ו' וישאר א'
ותקיש על זה דמיון אשר ממנו תוכל להבין כל הנזכר במולדות
והוא תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על ד' והעולה תחלק על ה' שישאר א'
הנה יש לך להוסיף א' על ה' ויהיו ו' וחלקם על ד' וישאר א וחצי הוא המבוקש אבל יש בו שבר ואנו מבקשי' שלא יהיה בו שבר ולכן ראוי שתאמר מצד פעם אחת שלקחתי המחלק שהוא ה' נתן לו א' וחצי ולכן תוסיף בו אחד ויהיו ב' כפול ב' על ה' ויהיו י' תוסיף בו אחד ויהיו י"א חלקם על ד' ויצא לך ב' וג' רביעיות ולא יצא עדין בשלמים לכן נכפול (נוסיף) עוד אחד ר"ל על הב' ויהיו ג' כפלם על המחלק ויהיו ט"ו ועם א ויהיו י"ו תחלקם על א' ד' ויצא ד' והוא המבוקש כי כשתכפול ד' על ד' יהיו י"ו וחלקם על ה' וישאר א' ואם תרצה שישאר ב' תוסיף ב' וכך לעולם
שאלה אחרת תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על ד' ותחלקהו על ה' שיצא ו' בחלוק וישאר ג'
כפול ה על ו' ותוסיף בו ג' ויהיו ל"ג וחלקם על ד' ויצא לך ח' ורביע והוא המבוקש ואם תכפול ח' ורביע על ד' והעולה חלק על ח' (ה') שיצא ו' וישארו ג' והוא בשברים ואם תרצה שלא שיצא בשלמים תעשה ככה למעלה
שאלה[131] אם תרצה לדעת רוחב נקראו ארץ או איזה מרחק שוה שתרצה שים על ראשך כובע הנקרא [קפולו] ראשו ולך אצל שפת הנהר או במקום שתרצה לדעת ארכו וקח מקל שיהיה ארכו מהארץ עד שיגיע ראשו האחד תחת צואריך באופן שלא תוכל לשחות ארצה ולא להגביה למעלה אח"כ עשה באופן שהקפולו יהיה סמוך לעיניך וכשתראה לעין ראותך שהקפולו מגיע עד הקצה האחר מהמרחק ר"ל כשתסתכל עד ראש הנהר ולא תוכל לראות יותר מצד כי הקפולו צלו מעכב שלא לראות יותר רחוק אז תהפוך פניך לצד אחר המשל אם הנהר הוא לצד מזרח תהפוך פניך לצד מערב היינו לאחוריך ותעשה שהרגלים יעמדו באותו מקום ממש שעמדו בהיותך כלפי הנהר ותסתכל ג"כ וראה עד המקום אשר תוכל להשיג בעין ראותך אח"כ לך למכור ממעמד רגלך עד המקום שיכולת לראות וכך הוא מרחק הנהר אבל נראה לי כי יצטרך שיעמוד הנהר או המרחק במקום שוה
שאלה[132] אם תחלק איזה מספר שיזדמן ותקח ממנו רביעיתו ומהנשאר שלישיתו ומהנשאר אחר לקיחת השליש מחציתו יש לכלם חלק שוה
המשל תקח רביעית י"ב והוא ג' וישארו ט' קח שלישית והוא ג' ונשארו ו' קח מחציתם והוא ג' ונשארו ג"כ ג' וזה יצדק בכל המספרים
שאלה בכאן שני מגדלים אשר ראש האחד מגיע אצל ראש האחר והמרחק מרגל לרגל הוא עשרה ואורך כל מגדל ג"כ עשרה ונרצה להוריד חבל מבין השני ראשים שיגיע אצל אמצע הרגלים כמה יהיה ארכה
הדרך בזה ראוי לכפול עשרה על עצמם ויעלו מאה תחסר מהם חצי המרחק שיש מרגל לרגל ששם מגיע ראש החבל והוא ה' ורבועם כ"ה תחסרם ממאה וישארו ע"ו (ע"ה) קח גדרם וישארו ח וב' שלישיות וזאת צורתם
ואם תרצה לדעת כמה בתים תוכל לעשות ממשולש שהוא שוה הצלעות ואורך כל צלע י'
הנה יש לך לכפול אורך השמור על חצי התושבת שהוא ה' ויעלו מ"ג וכ"כ בתים יוכל להעשות ממנו שכל אחד מהם יהיה אמה על אמה ר"ל מ"ג משולשים אשר כל אורך כל צלע אמה אחת
שאלה אם תרצה לדעת אורך העמוד באופן אחר
ראוי לקחת מאורך הצלע שהוא י' ב' חלקים מט"ו לכן קח ב' חלקים מט"ו מעשרה וישארו ח' וב' שלישיות והוא אורך העמוד
שאלה אם תדע אורך העמוד ותרצה לדעת אורך הצלע
תקח מרובע העמוד ותוסיף עליו שלישיתו ומהעולה תקח שרשו והוא אורך הצלע
דמיון אתה יודע כי אורך העמוד ח' וב' שלישיות
תקח מרובעם והוא ע"ה ותוסיף עליהם כ"ה שהוא שלישית ע"ה ויעלו ק' וקח גדרם והוא י' והוא אורך הצלע
שאלה אם תרצה לדעת מתוך אורך העמוד כמה הוא תשבורת המשולש
תרבע האורך ומהעולה תקח ה' תשיעיות וחומש התשיעית וכך הוא התשבורת כגון זה שעמודו הוא ח' וב' שלישיות הנה מרובעו ע"ה וה' שביעיתיו (תשיעיותיו) הוא מא וב' שלישיות וחומש התשיעית הוא א' וב' שלישיות ויעלה הכל מ"ג ושליש
שאלה אם תרצה לדעת ממשולש שהוא שוה השוקים אשר אורך כל שוק ט"ו ותשבורת ק"ח
אם תרצה לדעת אורך התושבת ואורך העמוד הנה ראוי לכפול ט"ו על ט"ו ויהיו רכ"ה גם כפול התשבורת על ב' ויהיו רי"ו הוצא רי"ו מרכ"ה וישארו ט' וגדרם ג' והוא מה שיעדיף העמוד על חצי התושבת
שאלה אם תרצה לדעת אורך העמוד והתושבת
קח מחצית ג' והם א וחצי ותרבעם יהיו ב' ורביע ותוסיפם על התשבורת ויהיו קי ורביע ושרשם י' וחצי תוסיף עליהם א וחצי ויהיו י"ב והוא אורך העמוד ואם תחסר מי' וחצי א וחצי ישארו ט' והוא חצי התושבת
ודע כי זה המשולש נקרא שוה שוקים כי ארכם שוה אבל התושבת אינו שוה אל השוק כי הוא פחות או יותר
שאלה אם תרצה לדעת ממשולש מתחלף הצלעות אורך העמוד ראוי לדעת תחלה אנה יפול העמוד
ואם תרצה לדעת באיזה מקום מהתושבת יפול העמוד ראוי לרבע אורך הצלע הארוך וגם לרבע אורך התושבת ולחבר זה עם זה

ונוציא מהם מרובע אורך הצלע הקצור והנותר נחלק על ב' והיוצא תחלק על התושבת והיוצא הוא מרחק העמוד מן התושבת אצל הצלע הארוך והנשאר מהתושבת אצל הצלע הקצור הוא החלק האחר ושניהם מחוברים אורך התושבת

דמיון זה נרצה לדעת ממשולש מתחלף הצלעו' אשר אורך אחת מצלעותיו ט"ו ואורך האחר י"ג ואורך התושבת י"ד
ראוי לדעת מרובע ט"ו עם מרובע התושבת ותחבר אלו הב' מרובעים ויעלו תכ"א נוציא מהם מרובע הצלע הקצור שהוא י"ג וישאר רנ"ב ונחלקם על ב' ויצא קכ"ו וחלקם על התושבת שהוא י"ד ויצא ט' והוא מרחק גבול מעמד העמוד מן הצלע האורך (הארוך)
ואם תרצה לדעת המעמד הקצור
תקח מרובע הצלע הקצור שהוא י"ג עם מרובע התושבת שהוא י"ד ויעלו שניהם שס"א (שס"ה) נוציא מהם מרובע הצלע הארוך שהוא רכ"ה וישאר ק"מ נחלק על ב' ויצא ע' חלק ע' על י"ד שהוא התושבת ויצא ה' והוא מרחק גבול העמוד מן הצלע הקצור

ועתה שנדע גבול מעמד העמוד נדע אורך העמוד ודרך ידיעתו הוא כך נרבע הצלע הקצור ויהיו קס"ט תסיר מהם מרובע גבול מעמד העמוד נדע אורך העמוד ודרך ידיעתו ר"ל המעמד הקצור שהוא ה' ומרובעו כ"ה והנשאר קמ"ד וגדרם י"ב והוא אורך העמוד או תקח מרובע הצלע הארוך שהוא רכ"ה ותסיר מהם מעמד הארוך שהוא ט' ומרובעם פ"א וישארו ג"כ קמד ושרשם יב והוא אורך העמוד וזאת היא צורתו

שאלה אם תרצה לדעת שרש המעוקב מאיזה מספר שתרצה
ראוי תחלה לדעת כי מרובע א הוא מרובע א כי הוא שרש ומרובע והנמשל לו הוא אלף אבל השרש הוא י' ומרובע ב' הוא (ח') והנמשל לו הוא ח' אלפים ושרשם כ' ומרובע ג' כ"ז והנמשל לו כ"ז אלפים ושרשם ל' ומרובע ד' ס"ד והנמשל לו ס"ד אלפי' ושרשם מ' ומרובע ה' (ק)כ"ה והנמשל קכ"ה אלפים ומרובעם ושרשם נ' ומרובע ו' רי"ו והנמשל רי"ו אלפים ושרשם ס' ומרובע ז' הוא שמ"ג והנמשל שמ"ג אלפים ושרשם ע' ומרובע ח' הוא תקי"ב והנמשל הוא תקי"ב אלפים ושרשם פ' ומרובע ט' הוא תשכ"ט והנמשל הוא תשכ"ט אלפים ומרובעם צ' וכן לעולם יחזור חלילה ר"ל כי מרובע מאה הוא אלף אלפים ומרובע ב' מאות הוא ח' אלפי אלפים ומרובע ג' מאות כ"ז אלפי אלפים
ואם תרצה לדעת השרש מאיזה דבר שיזדמן תוציא תחלה השרש הנמשל והנשאר תחלק על השרש שמצאת אך ראוי שתוסיף על השרש שמצאת א' והמעלה הקודמת אליו אח"כ כפול השרש על עצמו עם תוספת א' ומה שיעלה תכפול על ג' דמיוני א' שהוספת ותחלק הנשאר עליהם ואם נשאר לך עוד שוב והוסיף א' מהמעלה הקודמת אליו והעולה כפול על ג' דמיוני התוספת והנשאר תחלק עליהם אך הזהר שישאר לך כ"כ שתוכל לקחת מהנשאר מרובע היוצא וכך תמיד
ואתן לך דמיון נרצה לדעת שרש עשרת אלפים
כבר ידעת כי השרש שעבר הוא ח' אלפים ושרשם כ' ונשארו עדין ב' אלפים תוסיף א' מהמעלה הקודמת שהוא מעלת האחדים על כ' ויהיו כ"א כפול כ' על כ"א ויהיו ד' מאות וכ' כפול ד' מאות וכ' על ג' דמיוני א' שהוא התוספת ר"ל שתכפלם על ג' ויעלו י"ב מאות וס' ותחלק ב' אלפים עליהם ויעלה א' תסיר מהב' אלפים י"ב מאות וס' ונשארו ז' מאות ומ' תסיר מז' מאות ומ' א' שעלה בחלוק וישארו ז' מאות ול"ט תפילם מעשרת אלפים ויהיו ט' אלפים וב' מאות וסא והוא מרובע כ"א אח"כ תוסיף חצי על כא ויהיו כ"א וחצי תכפלם על כא ויהיו תנ"א וחצי ותכפלם על ג' דמיוני התוספת שהוא חצי ר"ל שתקח חצי ד' מאות וכ"א וחצי ויהיו ב' מאות וכ"ה וג' רביעיות תכפלם על ג' ויהיו ו' מאות וע"ז ורביעי' ותסירם מהנשאר שהם ז' מאות ול"ט וישארו ס"א וג' רביעיות תסיר מהם מעוקב חצי שהוא שמינית א' וישארו סא וה' שמיניות תפילם מהמספר המונח שהוא עשרת אלפים וישאר ט' אלפים וט' מאות ול"ח וג' שמיניות והוא מרובע כ"א וחצי ושרשם המעוקב כ"א וחצי ודוק ותשכח ואם תרצה לדקדק עוד תוסיף איזה שבר שתרצה ותעשה ככה לעיל
ואם תרצה לדעת שרש איזה מספר שתרצה כפול אותו המספר על אלף והוצא אח"כ שרש מהסך העולה אח"כ חלק השרש על עשרה והוא המבוקש
דמיון נרצה לדעת שרש ב' וחצי
תכפלם על אלף ויהיו ב' אלפים וה' מאות תוציא שרשם שהוא השרש הראשון שהוא י' וישארו אלף וה' מאות כפול י' על י"א שהוא א' של תוספת ויהיו ק"י כפלם על ג' דמיוני א' שהוא התוספת ויהיו ג' מאות ול' חלק אלף וה' מאות עליהם תן להם ג' וכפלם על י' ר"ל י' פעמים י"ג ויהיו ק"ל ק'(ל) כפלם על ג' דמיוני ויהיו ש"צ כפלם עוד על ג' ויהיו אלף וק"ע תפילם מאלף וה' מאות הנשאר ש"ל תפיל משל מעוקב ג' שהוא כ"ז הנשאר ש"ג תפילם מהמספר המונח וישאר ב' אלפים וקצ"ז והוא מרובע י"ג תחלק אלו הי"ג על עשרה ויצא א' שלם וג' עשיריות והוא שרש ב' וחצי בקרוב וזה כי ישאר עד תשלום ב' וחצי ש"ג חלקים מאלף שהוא פחות משליש אחד ואם תרצה לדקדק יותר כטוב בעיניך עשה
דרך אחר יותר מדוקדק תוציא תחלה השרש השלם שעבר מהמספר המונח ואח"כ כפול השרש על עצמו והעולה על ג' ומה שנשאר מהמספר המונח חלק עליהם
דמיון זה לדעת שרש עשרה
והנה השרש השלם שעבר הוא ב' כפלם על עצמם ויהיו ד' עוד כפול ד על ג' ויהיו י"ב חלק ב' הנשארים מהמספר המונח עליהם ויצא לך שישית אחד אך ראוי שתזהר שישאר לך איזה דבר מהמספר המונח כדי שתוכל לקחת ממנו מרובע אותו השבר ולכן לא נתן לו כי אם ב' חלקים מי"ג ותקיש על זה ודע כי דבר מעט יספיק לך שישאר לקחת מרובע השרש ודוק ותשכח
שאלה אם תרצה לדעת שרש מאיזה שבר שיזדמן ואף אם הוא עם שלמים ובפרט שיהיה לו שרש אמיתי תחלק שרש העליון על השרש התחתון והעולה הוא המבוקש
דמיון נרצה לדעת שרש מח' חלקים מכ"ז
קח שרש כ"ז והוא ג' וקח שרש ח' שהוא ב' חלק ח' (ב') על ג' והוא ב' שלישיות והוא השרש המבוקש
דמיון אחר בשברים עם שלמים נבקש לדעת שרש ב' וי' חלקים מכ"ז
תעשה מהב' שלמים חלקים מכ"ז ויהיו נ"ד תחבר אליהם הי' ויהיו ס"ד קח שרשם והנם ד' וקח שרש כ"ז והנם ג' חלק ג' (ד') על על ד' (ג') ויצא א' ושליש והוא המבוקש
ובזה תוכל להכיר אם מספר הוא מעוקב אם לא ר"ל כי כשאמ' ב' שלמים וי' חלקים מכ"ז אם אחר שעשית מהשלמים שברים וחברת עמהם השברים אם אין לו שרש מעוקב אין לו שרש אמת
דמיון תוציא לי שרש ג' וג' חלקים מכ"ז
תעשה מהם חלקים מכ"ז ויעלו פ"ד עם הג' שברים הנה אין למספר שרש מעוקב [א"כ] אין למספר המונח שרש מעוקב
ועוד תוכל לדעתו באופן אחר כמו האומר קח לי שרש ג' ורביע א' הנה כבר ידעת כי אין לד' הנמשל אל הרביע שרש מעוקב א"כ אין למספר המונח שרש מעוקב
שאלה אם תרצה למצא ב' מספרים [.....] בין ח' ובין כ"ז שיהיה יחס השני אל הראשון כיחס הג' אל הב' [וכיחס] הד' אל הג'
תעשה ככה תקח שרש ב' (ח') והוא ח' (ב') ותכפלם על כ"ז ויהיו נ"ד ותחלקם על שרש כ"ז שהוא ג' ויעלו י"ב ג' ויעלו י"ח והוא המספר הג' ולמצא הב' קח שרש כ"ז שהוא ג' ותכפלם על ח' ויהיו כ"ד חלקם על שרש ד' שהוא ב' ויעלו י"ב והוא המספר השני והנך רואה כי יחס י"ב אל ח' כיחס י"ב (י"ח) אל י"ח (י"ב) וכיחס יח (כ"ז) אל כ"ז (י"ח) ותקיש על זה
ובזה האופן תוכל לדעת השאלות שהם מהרבית
כגון האומר אדם הלוה ממון עשרה מנינים לחבית ואחר שנה הוסיף הריוח על הקרן ואחר השנה הב' ג"כ הוסיף הקרן על הריוח ואחר הג' ג"כ ואחר לסוף ג' שנים נמצא שהוא מחוייב לו ל"ג מנינים וג' רביעיות
הנה הוא הדרך כמו הקודמת והוא כי ראוי לכפול שרש י' ולכפול אותו על ל"ג וג' רביעיות והעולה תחלק על שרש ל"ג וג' רביעיות ויצא לך כ"ב וחצי והוא המספר הג' ולמצא השני כפול (שרש) ל"ג וג' רביעיות על י' והעולה תחלק על שרש י' ויצא לך ט"ו והוא השני א"כ הממון היה י' ובסוף השנה היה ט"ו נמצא שהרויח ה' מנינים עבור העשרה ואם י' שבו ט"ו ט"ו ישובו כ"ב וחצי ואם ט"ו שבו כ"ב וחצי כ"ב וחצי ישובו ל"ג וג' רביעיות
שאלה תחבר לי ז' מספרים על דרך ההמשך שכל אחד יוסיף על חבירו ג'
ראוי לחבר תחלה כל המספרים שהם מא' עד ז' ויהיו כ"ח כפול כ"ח על ג' ויהיו פ"ד והוא המבוקש כי ג' וו' וט' וי"ב וט"ו וי"ח כ"א הם פ"ד
שאלה דע כי אם אין למספר המונח אחר שלקחת ממנו השרש הראשון והוספת אחד מהמעלה שלפניה ולא תוכל לקחת אחד שלם הנה ראוי [...] תוסיף א' מהמעלה שהיא שלישית אל השרש היוצא וכן לעולם תשוב אחורנית [................] לדעת שרש מעוקב מאלף אלפים וע"ב אלפים אלפים [.......]שרש הראשון הוא מאה ומרובעו אלף אלפים ונשארו עדין ע"ב אלפים ואם תוסיף על השרש עשרה אחת שהיא המעלה שלפניה [....] יהיו מאה ועשר ותכפלם על מאה י"א אלפים וג' דמיוניו הוא ל"ג אלפים הנשאר ממספרינו הוא ע"ב אלפים ואתה רואה כי לא תוכל לתת לו עשרה שהוא אחד ממה שהוספת כי אם תחלק ע"ב על ל"ג לא יצא לך כי אם ב' ואותם הב' הם אחדים לא עשרות לכן ראוי להוסיף על השרש שיצא שהוא ק' א' מהמעלה השלישית אליו שהוא א' ממדרגת האחדים ויהיו ק"א כפלם על מאה ויהיו עשרת אלפים ומאה כפלם על ג' דמיוני התוספת ויהיו ל' אלפים וג' מאות חלק ע"ב על ל' אלפים וג' מאות ויצאו ב' ונשים ב' ועם מאה הוא ק"ב כפלם על מאה ויהיו עשרת אלפי' וב' מאות וג' דמיוניו הוא ל' אלפים וו' מאות כפלם על ב' ויהיו ס"א אלפים וב' מאות ומעוקב ב' שהוספת שהוא ח' ויהיו ל"א (ס"א) אלפים וב' מאות וח' ותחברם עם אלף אלפים שהוא מעוקב מאה שהיה השרש הראשון ויהיו אלף אלפים וס"א אלפים וב' מאות וח' והוא מעוקב ק"ב ושרשם ק"ב
שאלה אם תרצה לדעת שרש מעוקב מאיזה מספר שתרצה
קח השרש שעבר גם קח השרש הבא וראה בין המוקדם והמאוחר אח"כ ראה מה יש מן המוקדם אל המספר המונח ותוסיף לעולם א' ואז תאמר כי העולה הם חלקים מהמספר אשר בין הקודם והמתאחר
דמיון זה נרצה לדעת (שרש) מעוקב ט"ו
ה[נה] הקודם הוא ח' והמאוחר כ"ז וההפרש הוא י"ט ובין ח' שהוא הקודם אל מספרינו שהוא ט"ו תמצא ז' תוסיף א ויהיו ח' ותאמ' כי הם ח' חל[קים] מי"ט ר"ל כי שרש ט"ו הם ב' וחלקים מי"ט וכן תוכל לעשות משלמים עם שברים והוא שתעלה אותו השלם עם השבר עד מעלת האלפים ר"ל שתכפול המספר על אלף וקח השרש המוקדם והמאוחר כמו שעשינו בשלמים והיוצא תחלק על י' [.........]
דמיון זהו רצה לדעת שרש א וחצי תכפלהו על אלף ויהיו אלף [וה'] מאות והשרש שעבר הוא אלף וג' מאות ול"א ויספר על [....] אלף וה' מאות קס"ט תוסיף בו א' ויהיו ק"ע אח"כ ראה המאוחר שהוא מעוקב י"ב שהוא אלף וה' (ז') מאות וכ"ח והנה בין מעוקב י"א למעוקב י"ב תמצא ההפרש שס"ט (שצ"ז) א"כ היוצא הוא יא וק"ע פ' חלקים משצ"ט (שצ"ז) חלק זה המספר על י' בזה האופן והוא שתכפול שצ"ז על י' ויהיו ג' אלפים וט' מאות וע' גם תכפול שצ"ז על י"א ויהיו ד' אלפים ושס"ז תוסיף עליהם ק"ע ויהיו ד' אלפים ותקל("ז) תחלקם על ג' אלפים וט מאות וע' ויצא לך א ותק"ס (תקס"ז) חלקים מג' אלפים וט' מאות וע' שהם נ"ו חלקים מג' מאות וצ'(ז)
ואם תרצה לדעת שרש משברים לבדם כפול אותו השבר על אלף ואח"כ קח השרש המוקדם והמאוחר כנז'
דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב חצי תכפלהו על אלף ויהיו ה מאות והשרש שעבר הוא שמ"ג ושרשו ז' והבא הוא תקי"ב ושרשם ח' וראה מה בין שמ"ג לתקי"ב ותמצא קס"ט עוד ראה מה בין שמ"ג לה' מאות ותמצא קנ"ז תוסיף בו א ויהיו קנ"ח א"כ היוצא הוא ז' וקנ"ח חלקים מקס"ט תחלק זה המספר על י' ותעשה כך כפול קס"ט על י' ויהיו אלף וו' מאות וצ' גם כפול ז' פעמים קס"ט ויהיו אלף וקס"ח (קפ"ג) תוסיף בם קנ"ג (קנ"ח) ויהיו אלף וג' מאות ומא א"כ תאמ' כי שרש חצי הוא אלף וג' מאות ומ"א חלקים מאלף וו' מאות וצ'
דמיון אחר נרצה לדעת מעוקב חומש נכפול אותו על אלף ויהיו ב' מאות וקח השרש שעבר שהוא קכ"ה ושרשו ה' וקח הבא שהוא רי"ו ושרשם ו' וראה מה בין קנ"ה לרי"ו ותמצא צ"א אח"כ [ראה] מה בין קכ"ה לב' מאות ותמצא ע"ה תוסיף בו א ויהיו ע"ו חלק ע"ו על צ"א ויהיו ע"ו חלקים מצ"א הנה היוצא הוא ה' וע"ו חלקים מצ"א חלקם על י' בזה האופן כפול צ"א על י' ויהיו ט' מאות וי' כפול ה' פעמים צ"א ויהיו ד' מאות ונ"ה תוסיף בם החלקים שהם ע"ו ויהיו ה' מאות ול"א א"כ שרש החומש הוא תקל"א חלקים מתתק"י שהם נ"ג חלקים מצ"א וכל זה הוא בקרוב גדול ודוק ותשכח
שאלה[133] אם עשרה סוסים בח' ימים אוכלים כ' מדות שעורים אשאל ק"פ סוסים בס' ימים כמה יאכלו
תאמר כך עשרה סוסים בח' ימים אוכלים כ' מדות ק"פ סוסים בח' ימים כמה יאכלו ויצא לך ש"ס אח"כ תאמר אם בח' ימים אוכלים ש"ס בס' ימים כמה יאכלו ויצא לך אלפים וז' מאות וכך יאכלו
שאלה[134] אם גרוש אחד מרויח ד' פיצולי לחדש כמה ירויחו ק' גרושי בשנה אחת
ראשנה תאמ' אם א גרוש הרויחו ד' פיצולי מה ירויחו מאה ויצא ד' מאות אח"כ תאמ' אם חדש ירויח ד' מאות י"ב שהוא שנה כמה ירויח ויצא לך ד' אלפים וח' מאות פיצולי
שאלה[135] אם תרצה לעשות המאזנים על הריגולא דיטרי
\scriptstyle a_1\sdot a_4=a_3\sdot a_2
 תעשה כך כפול המספר הראשון על המספר היוצא שהוא הרביעי ראוי שיהיה כפול הג' כפול על ב'
\scriptstyle\left(a_1\sdot a_4\right)_7 \equiv\left(a_3\sdot a_2\right)_7
 ואם תוציא השביעיות או התשיעיות מן המספר הא' והד' ומה שישאר יהיה שוה אל המספר הג' והב' אחר שהוצאת מהם השביעיות והתשיעיות
  • \scriptstyle4:6=8:12
 וכן תוכל לעשות בשברים ואתן לך דמיון אם ד' שוים ו' ח שוים י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{a_1\sdot a_4=4\sdot12=48_7 \equiv6}}
 לכן כפול ד' על י"ב ויהיו מ"ח תסיר מהם השביעיות וישארו ו' והנה ד' הוא המספר הא' וי"ב הוא הרביעי
\scriptstyle{\color{blue}{a_2\sdot a_3=6\sdot8=48_7 \equiv6}}
 אח"כ שוב אל המספר הב' שהוא ו' וכפול אותו על ח' שהוא הג' ויהיו ג"כ מ"ח תסיר מהם השביעיות וישארו ג"כ ו' והם שוים אל הו' השמורים
  • \scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right):17=8:\left(30+\frac{2}{9}\right)
 דמיון משברים אם ד' וחצי שוים י"ז ח' ישוו ל' וב' חלקים מט'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_1\sdot a_4&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(30+\frac{2}{9}\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{9}{2}\sdot\left(30+\frac{2}{9}\right)\right]_7 \equiv\frac{2}{2}\sdot\left(2+\frac{2}{2}\right)\\&\scriptstyle=\frac{2}{2}\sdot\frac{\left(2\sdot2\right)+2}{2}\\&\scriptstyle=\frac{2}{2}\sdot\frac{4+2}{2}\\&\scriptstyle=\frac{2}{2}\sdot\frac{6}{2}=\frac{12}{4}=3\\\end{align}}}
 לבחון אותו קח הראשון שהוא ד' וחצי ועשה מהם חציים והם ט' הנשאר ב' ושים ב' חציים ר"ל ב' למעלה וב' למטה כך

אח"כ שוב אל הרביעי שהוא ל' וב' חלקים מט' והוצא השביעיות מל' הנשאר ב' גם הוצא הז' מט' שהם התשיעיות שאמר ב' תשיעיות וישאר ב'
כפול ב' על ב' ויהיו ד' וקח הב' שהם על הט' ויהיו ו'
אח"כ כפול אלו הו' שהם על הט' על הב' שהם על הב' כזה ויהיו י"ב
חלקם על כפל אותם שהם של מטה זה על זה שהם ב' על ב' שהם ד' ויצאו ג' שלמים ושמרם

\scriptstyle{\color{blue}{a_2\sdot a_3=17\sdot8_7 \equiv3\sdot1=3}}
 אח"כ שוב אל המספר הב' שהוא י"ז והוצא מהם השביעיות וישארו ג'

גם שוב אל השני והוצא השביעיות וישאר א'
כפול א' על ג' ויהיו ג' והם שוים אל הג' השמורים

  • \scriptstyle\left(5+\frac{1}{3}\right):\left(11+\frac{1}{4}\right)=\left(9+\frac{3}{5}\right):\left(20+\frac{1}{4}\right)
 דמיון אחר אם ה' ושליש שוים י"א ורביע ט' וג' חמישיות ישוו כ' ורביע
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_1\sdot a_4&\scriptstyle=\left(5+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(20+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{16}{3}\sdot\left(20+\frac{1}{4}\right)\right]_7 \equiv\frac{2}{3}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{2}{3}\sdot\frac{\left(6\sdot4\right)+1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{2}{3}\sdot\frac{25}{4}_7 \equiv\frac{2}{3}\sdot\frac{4}{4}=\frac{{\color{red}{8}}}{12}=\frac{2}{3}\\\end{align}}}
 תבחון אותו קח הראשון שהוא ה' ושליש עשה מהם שלישיות יהיו י"ו קח השביעיות וישארו ב' שלישיות

עוד ראה הרביעי שהוא כ' ורביע הוצא מכ' השביעיות וישארו ו'
כפול ו' על ד' שהם רביעיות ויהיו כ"ה קח השביעיות ויהיו ד' ר"ל נשארו ד' רביעיות
אח"כ כפול ד' רביעיות על ב' שלישיות ויהיו ד' עוד כפול תחתונים שהם שלישיות רביעיות ויהיו י"ב א"כ הם ח' חלקים מי"ב שהם ב' שלישיות ושמור זה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_2\sdot a_3&\scriptstyle=\left[\left(11+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(9+\frac{3}{5}\right)\right]_7 \equiv\left(4+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(2+\frac{3}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(4\sdot4\right)+1}{4}\sdot\frac{\left(2\sdot5\right)+3}{5}\\&\scriptstyle=\left(\frac{17}{4}\sdot\frac{13}{5}\right)_7 \equiv\frac{3}{4}\sdot\frac{6}{5}=\frac{18}{20}_7 \equiv\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\\\end{align}}}
 אח"כ שוב אל המספר השני והוצא ז' מי"א הנשאר ד'

כפול ד' על ד' שהם השבר ויהיו י"ז הוצא השביעיות וישארו ג' רביעיות
אח"כ שוב אל הג' שהוא ט' הוצא השביעיות וישארו ב'
כפול ב' על ה' ויהיו י' ועם הג' חמישיות ויהיו י"ג הוצא השביעיות וישארו ו' חמישיות
אח"כ כפול ו' על ג' ויהיו י"ח הוצא השביעיות וישארו ד'
גם כפול ד' על ה' שהם השברים ר"ל רביעיות חמישיות ויהיו כ' קח השביעיות וישארו ו'
אח"כ שים על הו' ד' והם ג"כ ב' שלישיות והם שוים אל השמורים

ואם יש באותו הסך מטבעים מתחלפים תשיב כל המטבעים אל היותר קטנה ותקח המאזנים
דמיון זה אם ט' בראצי מבגד שוים י"ג ליט' וט' סולדי ל"ד קנים וב' רביעיות שוים נ"א ליט' יא סולדי) לב' (וב') פיצולי
תבחון אותו קח המספר הב' שהוא י"ג ליט' וט' גרושי ותעשה המאזנים בזה האופן תקח המאזנים מי"ג שהם ו' והמאזנים מהגרושי שהם כ' סולדי שהוא ו' לכן כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו תוסיף בם ט' סולדי ויהיו מ"ה והמאזנים הם ג' וכדי לבחון הפיצולי מצד כי יש לנו פיצולי כבר ידעת כי י"ב פיצולי הם סולדו א' והמאזנים מי"ב הם ה' כפול ה' על ג' ויהיו ט"ו והמאזנים הם א' עתה הוצא המאזנים מן המספר הג' שהם ל"ד קנים וב' שביעיות (רביעיות) ועשה כך המאזנים מל"ד הם ו' ולעשות מהם רביעיות מצד כי יש לנו ב' רביעיות תכפול ו' על ד' ויהיו כ"ד תוסיף בם ב' ויהיו כ"ו והמאזנים הם ה' ולכן כפול א' שנשאר מן המספר הב' על הא' (הה') שהוא שער המספר הג' ויהיו ה' ושמרם אח"כ שוב אל המספר הראשון שהוא ט' בראצי והמאזנים הם ב' תעשה מהם רביעיות מצד כי במספר השלישי שלנו רביעיות ולכן נכפול ב' על ד' ויהיו ח' והמאזני' הם א' אח"כ ראה המספר הרביעי שיש בו נ"א ליט' יא סולדי וב' פיצולי ותאמ' המאזנים מנ"א הם ב' תעשה מהם סולדי כבר ידעת כי המאזנים מכ' שהם הסולדי הם ו' ולכן תאמ' ב' פעמים ו' הם יב והמאזנים הם ה' תוסיף בם ד' שהם המאזנים ויהיו ט' והמאזנים הם ב' ולעשות מהם פיצולי כבר ידעת כי המאזנים מי"ב הם ה' ולכן כפול ב' על ה' ויהיו י והמאזנים הם שלשה תוסיף בם ב' פיצולי שיש לנו ויהיו ה' והוא המאזנים מהרביעי ולכן כפול ה' על מאזנים המספר הראשון שהיה א ויהיו ה' וכן היה המאזנים מהמספר הב' והג'
דמיון אחר זולת מטבעים אם ג' ושליש שוה ד' ורביעית ה' וחומש שוה ו' וס"ג חלקים מק'
ולבחון אותו קח המספר הראשון שהוא ג' ושליש ועשה מהם שלישיות ויהיו עשרה והמאזנים הם ג' ושים ג' למעלה וג' למטה גם עשה מאזנים מהמספר הד' בזה האופן המאזנים מן הו' הם ו' עוד תאמר מאזנים ק' הם ב' ולכן כפול ו' על ב' ויהיו י"ב והמאזנים הם ה' עוד ראה למעלה שהוא ס"ג והמאזנים הם מאומה כי הולך ז"ז א"כ שים ה' למעלה וב' למטה כך ולכן כפול ה' על ג' ויהיו ט"ו והמאזנים הם א' עוד כפול אותם שתחת הקוים שהם ב' על ג' ויהיו ו' א"כ היוצא הוא א שתות כך אח"כ ראה המספר השני שהוא ד' ורביעי ויהיו י"ז והמאזנים הם ג' רביעיות כך אח"כ ראה המספר הג' שהם ה' וחומש ויהיו כ"ו ומאזניהם הם ה' חומשים כך אח"כ כפול העליונים שהם ג' על ה' ויהיו ט"ו ומאזניהם א עוד כפול התחתונים שהם ד' על ה' שהם כ' ומאזניהם הם ו' ולכן שים ו' למטה וא למעלה והם שוים אל השתות הנשארים
שאלה אם תרצה למצא מרכז העגול השלם או החצי או פחות או יותר מחצי
תעשה באותו חלק מהעגול שתי מיתרים אח"כ עשה כמו חצי עגול מראש המיתר אצל האחר גם תעשה כן מהראש האחר וכן תעשה במיתרהשני שני חציי עגול ואח"כ תחתוך מקום פגישתן משניהם ובמקום אשר [….]שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה וכן תוכל לעשות נקודות כמו שיזדמן ולעגל עגול יפגוש הג' נקודות תעשה חצי עגול ר"ל שתשים הנקדה הא' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה לשנים וכן תשים הנקדה הג' מרכז ותעשה חצי עגול גם שים הנקדה הב' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה ג"כ לשנים ובמקום אשר יפגשו שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה ויחס העגולה אל העגולה כיחס המרובע אל המרובע ר"ל כי אם יש לך מרובע שהוא ד' על ד' ואחר שהוא ח' על ח' הנה כבר ידעת כי אותו שהוא ח' על ח' הוא ד' פעמ[…]ר גדול מאותו שהוא ד' על ד' כן אם יש לך עגול מקיף י"ב ואחר שמקיף כ"ד קנה נאמ' שאותו שמקיף כ"ד הוא כמו אותו של י"ב ד' פעמי' כמוהו דוק ותשכח ועם זה תוכל לדעת אם יש לך שק אחד שהקפו כ"ד מכייל ד' מדות חטה הנה שק אחר שמקיפו מ"[ח] ראוי שיכיל י"ו מדות חטה ודוק ותשכח
שאלה[136] שני בני אדם לאחד יש לו מטבעים ולאחר ג"כ אמר הא' לב' אם תתן לי א' ממטבעות[י]ך יהיה לי כמוך השיב הב' לא' אם תתן לי א' ממטבעותיך יהיה לי ב' פעמים כמוך נשאל כמה לא' וכמה לב'

והנה נעשה אותה עם הנחות שקריות ונניח כי היה לא' ג' ולאחר ה' והנה בעל הה' יתן א' לבעל הג' יהיה לו כמוהו ואם בעל הג' יתן א' לבעל הה' יהיה לו ו' ולאחר ב' ואנו נרצה שיהיה לו [ד'] למען יהיה לו ב' פעמים כמוהו לכן יחסר לו ב' ולכן נעשה הנחה אחרת נניח שלא היה לו ה' ולאחר ז' הנה אם בעל הז' יתן א לבעל הה' יהיה לו כמוהו ואם בעל הה' יתן א' לבעל הז' לא יהיה לו כי אם ח' ואנו מבקשים שיהיה לו י"ו למען יהיה לו ד' פעמים כמוהו לכן יחסר לו ח' אח"כ הוצא מה שחסר ההנחה הראשנה שהוא ב' ממה שחסר מההנחה שניה שהוא ח' הנשאר ו' ושמרם אח"כ כפול שתי וערב וכפול ג' שה[...] ההנחה הראשנה נגד ח' שהוא מה שחסר מהערך השני ויהיו כ"ד [........] ה' שהוא ההנחה הב' על הב' שהוא חסרון ההנחה הא' וישארו עשרה הוציאם מכ"ד וישארו י"ד חלקם על ו' שהוא מה שנשאר מחסרון הערך השני אחר שנלקח ממנו חסרון הערך הראשון ויצא לך ב' ושליש וכן יש לראשון ולאחר יש ד' ושליש ודוק ותשכח תם ונשלם [...] אמן

London - Additional Excerpt
Find the Area Problem - Equilateral Triangle
403) Question: an equilateral triangle - each of its sides is 12.
I want to know: [how much is] its area?
 תג) שאלה בכאן משולש שוה הצלעות כל אחד מהצלעו' י"ב

ארצה לדעת תשברתו

altitude:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(12+12\right)\right]^2-\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)^2-6^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{12^2-6^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{144-36}\\&\scriptstyle=\sqrt{108}=10+\frac{8}{2{\color{red}{1}}}\\\end{align}}}
 כך תעשה תחבר שני הצלעות שהם כ"ד וקח מחציתם והם י"ב כפלם על עצמם ויהיו קמ"ד

אח"כ קח מחצית הצלע השני שהוא י"ב ומחציתו ו' וכפלם על עצמם ויהיו ל"ו ותפילם מקמ"ד הנשאר ק"ח אח"כ קח שרש ק"ח שהם י' וח' חלקים מכ' וכך הוא העמוד

area: \scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{8}{21}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=\left(10+\frac{8}{21}\right)\sdot6=62+\frac{2}{7}}}
 אח"כ כפול י' וח' חלקי' מכ"א על מחצית הצלע שהוא ו' ויעלה ס"ב וב' שביעיות וכך הוא תשברתו
404) Question: an equilateral triangle - each of its sides is 12.
We want to build on it a tower that is 20 cubits high.
How much is the volume of the tower?
 תד) שאלה הנה בכאן משולש שוה הצלעות אשר כל צלע י"ב

הנה נרצה לעשות מגדל על גבו גבהו עשרים אמות
כמה תשבורת המגדל

כבר ידעת כי תשבורת המשולש הוא ס"ב וב' שביעיות כי זאת השאלה דומה אל הקודמת

א"כ כפול זה המספר על גובה המגדל שהוא עשרים ויעלה אלף ומאתים ומ"ה קנים וה' שביעיות וכך הוא תשבורת המגדל

ואם תרצה לדעת כמה ישקול כל המגדל באופן ישקול כל קנה ח' אלפים ליט‫'

כפול אלפים על אלף ורמ"ה וה' חלקים מז' ויעלה 9965714 וב' שביעיות וכל ישקול כל המגדל

405) Question: a well is made as a triangular figure, whose one side is 16, the other two sides are 10 each, and the height of the well is 32.
I ask how much is the area of the triangle and how much water the well is contain, so that each cubit contains ten idot of water.
 תה) שאלה בכאן בור עשוי כדמות משולש בצלע האחת י"ו והב' צלעות אחרות כל אחת י' וגובה הבור ל"ב

אשאל כמה תשבורת המשולש וכמה מים יכיל הבור מכיל כל אמה עשרה יודות מים

altitude:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+10\right)\right]^2-\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)^2-8^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{10^2-8^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{100-64}\\&\scriptstyle=\sqrt{36}=6\\\end{align}}}
 כך תעשה תדע תחלה כמה מים יש בבור באופן זה תחלה תחבר הב' צלעות השוים שהם עשרה ועשרה הם עשרים קח מחציתם והם עשרה וכפלם על עצמם והם מאה

אח"כ קח מחצית הצלע האחר שהיה י"ו וחציו ח' כפלם על עצמם ויהיו ס"ד הפילם מק' וישארו ל"ו וקח שרשם שהם ו' והוא אורך העמוד

area: \scriptstyle{\color{blue}{6\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=6\sdot8=48}}
 אח"כ כפול העמוד על מחצית צלע י"ו שהוא ח' ויעלה מ"ח והוא תשברתו
volume: \scriptstyle{\color{blue}{48\sdot32=1536}}
 אח"כ כפול אלו המ"ח על גובה המגדל שהוא ל"ב ויעלה אלף ותקל"ו וכך יכיל כל הבור ר"ל כל כך זרתות שהם אלף ותקל"ו
ולדעת כמה יודות מים יש בבור כך תעשה תחלק אלף ותקל"ו על עשרה שהוא קנ"ג וו' חלקים מי' וכך מים יכיל הבור
406) Question: a scalene triangular prism, whose one side is 30, another is 28 and another is 26. I wish to know how much is its volume. It is 9 cubits high. I ask: how many bucali of water does the triangular prism contain, so that each square cubit contains 3 bucali?
 תו) שאלה בכאן צורה משולשת מתחלפת הצלעות הצלע האחד ל' והאחר כ"ח והאחרת כ"ו ארצה לדעת כמה תשברתו והיא גבוהה ט' אמות אשאל כמה בוקאל ממים יכיל המשולש באופן יכיל בכל אמה מרובעת ג' בוקאלי
כך תעשה קח הצלעות הארוך והקצר וכפול כל אחד על עצמו

והנה הארוך כפול על עצמו הם ט' מאות והקצר הם תרנ"ו הסר הקטן מהגדול וישארו רכ"ד חלק רכ"ד על ב' ויהיו קי"ב וחלקם על הצלע האחר שהם כ"ח ויהיו ד' אח"כ קח חצי כ"ח שהוא י"ד וחבר עמהם הד' ויהיו י"ח וכפלם על עצמם ויהיו שכ"ד ושימם במקום אחר אח"כ כפול הצלע הגדול שהם ל' על עצמם ויהיו תת"ק מאלו התת"ק תסיר מהם שכ"ד ונשאר תקע"ו תסיר מהם השרש שהם כ"ד וכך הוא אורך העמוד

וכך תוכל לעשות מכל משולש בלתי מתיחס ר"ל מתחלף הצלעות למצא העמוד
ולדעת כמה תשבורת השטח כפול העמוד על חצי הצלע מכ"ח שהוא י"ד ויעלה של"ו וכך הוא תשבורת השטח
ולדעת כמה תשבורת כל הצורה כך תעשה כפול של"ו על ט' שהוא הגובה ויעלה ג' אלפים וכ"ד וכך הוא תשבורת הצורה
ולדעת כמה בוקלי מים יש בכל הצורה תחלק כל אלו הג' וכ"ד על ג' ויצא אלף וח' וכך בוקלי מים תכיל הצורה
407) Question: a wall made as a triangle, the length of the long side is twenty, the other is 15 and the other ten, the height is 8 and at the higher end it is 12 cubits.
I ask how much is the surface, how much is the volume of the entire wall and how much does the wall weigh, so that each cubit and a half weighs 100 liters?
 תז) שאלה בכאן חומה עשויה כדמות משולש ארך הצלע הארוך עשרים והאחר ט"ו והאחר עשרה והעמוד הוא ח' והנה בקצה היותר גבוה הוא י"ב אמות

אשאל כמה תשבורת השטח וכמה תשבורת כל החומה וכמה תשקול זאת החומה באופן ישקלו כל אמה וחצי ק' ליט‫'

כך תעשה כפול העמוד על חצי הצלע הגדול והנה הצלע הגדול הם כ' קח חצים והם עשרה וכפלם על ח' שהוא העמוד ויהיו פ' וכך הוא תשבורת השטח
ולדעת כמה תשבורת כל החומה כפול פ' על גובה החומה שהם י"ב ויהיו תתק"פ וכך הוא תשבורת כל החומה
ולדעת כמה ליט' תשקול כל החומה תעשה כך על דרך ערכים ותאמר אם זרת אחד וחצי שוקל מאה ליט' כמה ישקלו תתק"פ ויצא לך ס"ד אלפים ליט' וכך ליט' תשקול כל החומה
תח) שאלה בכאן חומה עשויה כדמות משולש גבוהה ז' קנים והנה הצלע האחד י' והאחרת ח' והאחרת ו‫'

אם תרצה לדעת כמה תשברתו

כך תעשה תחבר כל הצלעות שהם י'ח'ו' ויהיו כ"ד תחסר מחציתם והם י"ב

אח"כ ראה ההפרש שהוא מי' לי"ב והוא ב' כפלם על אותם י"ב ויהיו כ"ד אח"כ ראה ההפרש שהוא מצלע ח' לי"ב והוא ד' וכפלם על כ"ד ויהיו צ"ו ותחזיקם למשמרת אח"כ ראה הפרש צלע ג' שהוא ו' עד י"ב ויהיו ו' כפלם על צ"ו ויעלה תקע"ו קח שרשם שהוא כ"ד וכך הם הקנים כפול כ"ד שהוא השטח על ז' שהוא הגובה ויעלה ק"ס קנים כזה

Triangulation Problem - Ladder
409) Question: a tower is eight in height and one wants to put a ladder, whose top reaches the top of the tower and its length is ten.
I wish to know how far is the bottom of the ladder from the foot of the tower.
 תט) שאלה מגדל גבוה שמונה ורוצה לשים סלם מגיע ראשו אל ראש המגדל וארכו עשרה

ארצה לדעת כמה יהיה רחוק רגל הסלם מיסוד המגדל

כך תעשה כפול גובה המגדל על עצמו ויהיו ס"ד הסר אותם מכפל הסלם שהם ק' ונשארו ל"ו קח שרשם שהם ו' וכך הוא המרחק שהוא מרגל הסלם עד רגל המגדל
410) Question: here is a tower. A man wants to put a ladder that is 6 cubits far from the foot of the tower. The height of the tower is 8.
How much is the length of the ladder?
 תי) שאלה בכאן מגדל אחד ואיש רוצה לעשות סלם רחוק מרגל המגדל ו' אמות ואורך המגדל הוא ח‫'

כמה יהיה ארך הסלם

כל תעשה כפול ח' על עצמם ויהיו ס"ד גם כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו וחברם ויהיו ק' וקח שרשם והם י' וכך הוא אורך הסלם ככה
411) Question: here is a ladder, whose length is ten, that is 6 cubits far from the foot of the tower. The top of the ladder reaches the top of the tower.
How much is the height of the tower?
 תיא) שאלה בכאן סלם ארכו עשרה ורחוקה מרגל המגדל ו' אמות וראש הסלם מגיע אל ראש המגדל

כמה גובה המגדל

כפול עשרה על עצמם ויהיו ק' תסיר מהם כפל ו' שהם ל"ו ונשארו ס"ד וקח שרשם והוא ח' וכך הוא גובה המגדל
תיב) שאלה בכאן חומה גבוהה הב' צלעות הנכוחיים ר"ל א' ח' והב' האחרים כל אחד ו'

כמה תשברתו וכמה מטוני יצטרכו אל כל החומה באופן יכנסו מאה בכל אמה מרובעת

כך תעשה כפול ו' על ח' והם מ"ח וכך הוא תשברתו
והנה החומה גבוהה עשרים כפול מ"ח על עשרים ויעלו תתק"ס וכך קנים מרובעות יש בבנין החומה

כפול אותם על ק' וכך הם המטוני שיהיו תוך החומה

ולדעת אלכסונה כפול ח' על עצמם ויהיו ס"ד גם כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו וחברם והם ק' וקח שרשם והם י' והוא האלכסון
תיג) שאלה בכאן חומה שהיא ארוכה כ"ה וחצי ורחבה ח' אמות ועביה ב' אמות וחצי ופרע בעד כל אמה מרובעת ב' קרלי' ושליש

אשאל כמה יפרע בעד כל החומה

תעשה כך כפול כ"ה וחצי בעד ב' וחצי ויהיו ס"ג וג' רביעיות וכך הוא שטחו

אח"כ כפול זה על הרוחב שהוא ח' ויעלה תק"י וכך קנים מרובעות יש בכל הכותל כפול כל זה על ב' ושליש ויצא לך אלף קצ"ב וכך פרע לבנות כל הכותל

תיד) שאלה בכאן תמונה מרובעת מלאה מים אשר כל צלע ו' וגבהו עשרה

אשאל כמה מים תכיל הצורה באופן תכיל כל קנה מרובעת ח' בארילי

כך תעשה כפול הב' צלעות והם ו' על ו' ויהיו ל"ו וכך הוא שטחו

אח"כ כפול זה על גבהו שהוא עשרה ויהיו ש"ס וכך הם הקנים מהתמונה

אח"כ כפול זה על ח' ויצא לך אלפים ותת"פ וכך הם הקנים הברילי ממים אשר תכיל כל התמונה
תטו) שאלה בכאן תמונה מרובעת ארך הקו האחד עשרה והאחר ד' והשנים הנכוחיים י"ב

אשאל כמה תשבורת המרובע הבלתי מתיחס

כך תעשה קח חצי עשרה שהם ה' וחצי ד' שהם ב' תסיר ב' מה' נשארו ג' כפול אותם על עצמם ויהיו ט'

אח"כ תחבר הב' קוים שהם י"ב כל אחד ויהיו כ"ד וקח חצים שהם י"ב וכפלם על עצמם ויהיו קמ"ד תסיר מהם הט' וישארו קל"ה וקח שרשם שהם י"א וי"ד חלקים מכ"ג וכך הוא תשבורת התמונה

ולמצא הרחב תחבר י' עם ד' ויהיו י"ד וקח חציים והם ז' והוא מדת הרוחב

אח"כ כפול הי"ד וי"א חלקים נגד הז' ויעלו פ"א וו' חלקים מכ"ג וכך הם הקנים מרובעות שהיא בתמונה

תיו) שאלה בכאן תמונה מרובעת בלתי מתיחסת ארך הקו האחד י' והאחר ד' והאחר י"ב והאחר י"ו

נרצה לדעת כמה תשברתו

כך תעשה עשה כמו הקודמת וכל התמונות הדומות לו והוא תשבורת זאת התמונה צ"ה וב' שלישיו'
תיז) שאלה הנה בכאן תמונה עשויה כדמות משולש ומרובע אשר גבהה ל' ורחבה מ' ובכל שני הצלעות ח' ובאמצע ו'

אם תרצה לדעת כמה תשבורת התמונה כך תעשה

ראה כמה אחד מהחלקים כי כשתדע החלק האחד תדע החלק האחר ואח"כ תקח חצי ל' שהם ט"ו וחצי האמצע שהם שלשה והסר מט"ו ג' הנשאר י"ב תכפלם על עצמם ויהיו קמ"ד שמור אותם

אח"כ קח חצי ס' מהצלע האחר שהם ל' וחצי האחר שהם ל' וחבר הכל ויהיו ס' וקח חצים שהם ל' וכפול אותם על עצמם ויהיו ט' מאות הסר מהם קמ"ד הנשאר תשנ"ו תסיר מהם השרש שהם כ"ז וכ"ז חלקים מנ"ה וכך הוא העמוד מהל' עד אמצע התמונה

אח"כ חבר הל' עם הו' מאמצע התמונה ויהיו ל"ו וקח חציים שהם י"ח וכך תהיה תשבורת חצי התמונה
אח"כ כפול הארך עם הרחב והם כ"ז עם כ"ז חלקים מנ"ח על י"ח ויהיו ד' מאות וצ"ד ומ"ו חלקים מנ"ה וכך הם המדות מחצי התמונה
ולדעת כמה המדות מהחצי האחר תעשה באופן אשר עשית בחצי הקודם ותמצא כי מכיל תק"פ תקס"ח וג' שביעיות

ואח"כ תחבר תשבורת זה עם זה ויעלה בין הכל אלף וס"ג וק"ב חלקים מג' מאות ופ"ה

תיח) שאלה בכאן שני מגדלים גובה האחד ל' והאחר נ'

נרצה לעשות גשר מראש מגדל של זה לראש של זה כמה יהיה ארכו וארך המגדלים זה מזה עשרי'

כך תעשה כפול ארך המגדלים זה מזה שהם כ' ויהיו ד' מאות

אח"כ תסיר גובה אחד מהכותלים מהאחר ותסיר ל' מנ' הנשאר כ' כפלם על עצמם ויהיו ד' מאות קח אלו הד' מאות עם הד' מאות האחרים ויהיו ת"ת קח מהם השרש והם כ"ח וי"ו חלקים מנ"ז והוא תשבורת הגשר אשר מראש המגדל לאחר

419) Question: a rhombus, one of its diagonals is 40 and the other is 30.
I wish to know: how much is its area?
 תיט) שאלה בכאן מרובע מעויין אשר אחד מאלכסונותיו מ' והאחר ל'

אשאל לדעת כמה תשברתו

כך תעשה קח אחד מאלכסוניו וכפלהו על כל האחר כאלו תכפול חצי ל' שהם ט"ו על מ' ויהיו ו' מאות וכך הוא תשבורת התמונה
תכ) שאלה בכאן מעיין מרובע כל אחד מצלעותיו עשרים קנים ובכל קנה יכנסו בה עשרה ברילי ממים

אשאל כמה תשברתו וכמה ברילי ממים יכנסו בה ואם ישליך אדם בתוך המעיין אבן אחת אשר כל אחד מד' צלעותיה ה' קנים כמה ישפכו ממי המעיין חוצה

כך תעשה כפול אורך המעיין עם הרוחב שהוא עשרים על עשרים ויהיו ד' מאות כפלם על עשרים שהוא הגובה ויהיו ח' אלפים וכך הם הקנים
ויען כי אמר כי בכל קנה מרובעת יכילו עשרה ברילי כפלם על י' ויהיו פ' אלפים וכך הם הברילי מהמים
ולדעת כמה מים יצאו מהמעיין בהשלכת האבן בתוכו
כפול האבן ארך עם רוחב ויהיו כ"ה אח"כ כפול זה על הגובה ויהיו קכ"ה וכפול זה על עשרה יען כי בכל קנה יש בה עשרה ברילי ויעלה אלף ר"נ וכך ברילי תכיל תשבורת האבן וכך הם הברילי היוצאים מהמעיין בנפילת האבן
ואם תרצה לדעת כמה אבנים תכיל כל המעיין
תחלק פ' אלפים על אלף ונ' ויצא לך ס"ד וכך אבנים תכיל כל המעיין
תכא) שאלה בכאן שני אבנים הקטנה היא ב' על ב' ברום ב' והשנית ד' על ד' ברום ד' והקטנה שוה ה' דוקט
קח תשבורת הקטנה שהם ח' וקח תשבורת הגדולה שהיא ס"ד ותאמר אם ח' שוים ה' כמה שוים ס"ד ויצא לך מ' וכך הוא ערך הגדולה
תכב) שאלה הנה בכאן תמונה מרובעת ומשולשת אשר אחד מאלכסוניו הוא פ'

אשאל כמה תשברתה

כך תעשה קח חצי אלכסון האחד שחציו מ' ומהאחר חציו כ' כפול אלו עם אלו ויעלה ח' מאות וכך הוא המשולש
כך תעשה קח חצי האלכסון שהוא עשרים וחצי התושבת שהיה עשרה וחציו ה' וחברם עם חמשה ויהיו כ"ה

אח"כ קח חצי פ' שהוא מ' ותכפלם על כ"ה ויעלה אלף וכך הוא תשבורת המרובע

אח"כ חבר קנה המרובע עם המשולש שהיה ח' מאות ויהיו אלף וח' מאות וכך הוא תשבורת התמונה
תכג) שאלה בכאן תמונה בעלת ה' צלעות ארך כל צלע מבחוץ י"ב אמות ומבפנים עשר אמות

ארצה לדעת תשברתה

כך תעשה כפול י' שהוא ארך כל צלע מבפנים ויהיו מאה

אח"כ קח חצי י"ב שהוא הצלע החצוני שהם ו' והם ל"ו תסירם ממאה והם ס"ד קח שרשם שהם ח' וכך הוא העמוד מכל אחד מהמשולשים

אח"כ קח חצי הצלע החצוני שהוא ו' וכפול אותו על ח' ויהיו מ"ח והוא תשבורת כל מרובע משולש

ויען כי הם חמשה כפול מ"ח על חמשה ויעלה ר"מ וכך הוא תשבורת התמונה

ואם היה לה גובה ראוי לכפול אותה כנגד הגובה
תכד) שאלה בכאן תמונה ו' צלעות ארך כל קו מבחוץ הן מבפנים הם י' אמות

נרצה לדעת תשבורת התמונה

כך תעשה קח אחד מהצלעו' וכפלם על עצמם ויהיו ק'

אח"כ קח חצי אחד מהצלעות מבחוץ שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה תסירם מק' וישארו ע"ה וקח שרשם מהמרובע ויהיו ח' וי"א חלקים מי"ו וכך הוא ארך העמוד

אח"כ קח מחצית הצלע שהם ה' וכפול אותו על העמוד ויעלה מ"ג וד' חלקים מי"ז וכך הוא תשבורת כל משולש
ויען כי הם ו' משולשים כפלם ו' פעמים ויעלה רנ"ט וז' חלקים מי"ז והוא תשבורת התמונה
425) Question: a circle, the length of its diameter is 7 cubits.
how much is its perimeter and how much is its area?
 תכה) שאלה בכאן עגול אורך אלכסונו ז' אמות

כמה הקפו וכמה תשברתו

Multiply 7 by 3 and a seventh; it is 22 and this is its perimeter.
\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=22}}
 כפול ז' על ג' ושביעית ויהיו כ"ב וכך הוא הקפו
Then, take half its perimeter; the half of its perimeter is 11.
 אח"כ קח חצי הקפו וחצי אלכסונו והנה חצי הקפו י"א
The half of its diameter is 3 and a half.
 וחצי אלכסונו ג' וחצי
Multiply them; the result is 38 and a half and this is the area of the circle.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot22\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot7\right)=11\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=38+\frac{1}{2}}}
 וכפלם ויעלה ל"ח וחצי וכך הוא תשבורת העגול
426) Question: a circle, the length of its perimeter is 44.
If you wish to know the area of the circle:
 תכו) שאלה בכאן עגול ארך הקפו מ"ד

אם תרצה לדעת תשבורת העגול

Do as follows: divide 44 by 3 and a seventh; the result is 14 and this is the diameter.
\scriptstyle{\color{blue}{44\div\left(3+\frac{1}{7}\right)=14}}
 כך תעשה חלק מ"ד על ג' ושביעית ויצא י"ד וכך הוא האלכסון
Then, take half its diameter, which is 7, and half its perimeter, which is 22. Multiply them; the result is 156 and this is the area of the circle.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot44\right)=7\sdot22=156}}
 אח"כ קח חצי אלכסונו שהוא ז' וחצי הקפו שהוא כ"ב וכפלם ויעלו קנ"ו וכך הוא תשבורת העגול
תכז) שאלה הנה בכאן פאואלייוני אשר ארך המקל אשר הפאואלייוני תקוע בו ה' אמות והדוק התקוע במקל שהוא מגיע לארץ עשרה אמות

אשאל כמה מקום מחזיק מהקרקע סביבו וכמה קנים מדוק באהל וכמה הוא אלכסונו

הנה לדעת אלכסונו הנה תכפול הח' קנים מהמקל על עצמם ויהיו ס"ד

ג"כ תכפול העשרה קנים שהוא ארך הדוק ויהיו ק' הסר מאלו הק' ס"ד וישארו ל"ו קח שרש ל"ו שהם ו' והוא חצי האלכסון כפול אותו והוא י"ב

ולדעת כמה סביבו כפול י"ב על ג' ושביעית וכך הוא סביבו
ואם תרצה לדעת כמה תשבורת כל האהל קח חצי סביבו וחצי ל"ו שהם י"ח וו' שביעיות וכפלם על הגובה ויעלה קי"ג ושביעית וכך הוא תשבורת התושבת
ולדעת כמה קנים מרובעות כל האהל קח מחצית ל"ז וה' שביעיות וכפלם על י"ח וו' שביעיות וכפלם על ח' קנים שהוא ארך המקל ויעלה ק"נ וו' שביעיות וכך קנים יש באהל
תכח) שאלה יש כאן כרי של חטה אשר סביבו מ"ד וגבהו ט' קנים

ארצה לדעת כמה חטה יש בכרי באופן שיהיה בכל קנה מרובעת א' קוצא מחטה

כך תעשה כך מרובע סביבו שהוא מ"ד וכפלם על עצמם ויהיו אלף ותתקל"ו וקח ז' חלקים מפ' מזה המספר ויהיו קנ"ד קנים וכך הם הקנים מן השטח
אח"כ קח שליש ט' שהם ג' וכפלם על קנ"ד ויהיו ד' מאות וס"ב קנים הוא תשבורת כל הכרי

וזה המספר ממש הם הקוצי מהחטה

תכט) שאלה בכאן בור אשר סביבו כ"ב והוא עגול וגבהו עשר אמות מלא מים

ארצה לדעת כמה ברילי ממים יש בבור באופן כי כל ג' אמות מרובעות יכילו ברילי אחד

כך תעשה כפול כ"ב שהוא הדיאמיטרו על עצמם ויהיו תפ"ד קח מהם י"א חלקים מי"ד ויהיו ש"פ וב' שביעיות וכך הם אמות משטח הבור
אח"כ כפול ש"פ על עשרה שהוא גובה הבור ויעלה ג' אלפים וח' אמות וו' שביעיות והם אמות המים אשר בבור
חלקם על ג' ויעלה אלף ורס"ז וי"ג חלקים מכ"א והם הברילי ממים אשר בבור
תל) שאלה בכאן עמוד אחד אשר אלכסונו ב' אמות וגבהו עשרה

כמה ישקול באופן כי כל אמה מרובעת תשקול חמישים ליט'

כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ד' ומהם תסיר י"א חלקים מי"ד ויהיו ג' ושביעית וזהו תשבורת סבובו ר"ל שטחו
אח"כ כפול זה על עשרה ויעלה ל"א וג' שביעיות והם אמות כל העמוד
ולדעת כמה ליט' תשקול כפול זה על נ' ויעלה אלף ותתקע"א ליט' וג' שביעיות תשקול העמוד
תלא) שאלה בכאן שק אשר אלכסונו הוא ג' זרתות וארכו ו' זרתות

אשאל כמה טומולי מחטה תכיל באופן תכיל כל ב' זרתות ג' טומולי מחטה

כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ט' וקח י"א חלקים מי"ד הנשאר ז' וא' חלק מי"ד וכך הוא שטחו
אח"כ כפול זה על הגובה ויהיו מ"ב וו' חלקים מי"ד וכך הם זרתות שמכיל השק
ולדעת כמה טומולי מחטה תכיל כל השק תאמ' אם ב' שוים ג' כמה ישוו מ"ב וו' חלקים מי"ד ויצא לך ס"ג וט' חלקים מי"ד וכך טומולי מחזיק כל השק
תלב) שאלה בכאן שק מחזיק ל"ו טומולי מחטה ונרצה לעשות ממנו ג' שקים

כמה יחזיק כל אחד

יען כי תרצה לעשות ג' שקים כפלם על עצמם ויהיו ט' וחלק ל"ו עליהם ויהיו ד' וכך תחזיק כל שק ושק
תלג) שאלה בכאן ארבעה שקים כל אחד מכיל שלשה ונרצה לעשות מארבעתם שק אחד

כמה יכיל

יען כי הם ד' שקים כפלם על עצמם ויהיו י"ו ואלו הי"ו כפלם על ג' ויהיו מ"ח וכך מחזיק השק
תלד) שאלה לאדם ד' שקים גבהם שוה ורחבם האחד ב' והאחר ד' והאחר ה' והאחר עשרה ונרצה לעשות מכלם שק אחד

כמה יכיל

כפול רוחב השקים זה על זה והנה נכפול ב' על ד' הם ח' כפול זה על ה' והם מ' גם זה על י' והם ת' וקח שרשם והם עשרים כפלם על ד' שהם השקים ויהיו פ' תוסיף בם מה שמחזיק כל שק שהם ב'ד'ה'י' ויהיו ק"י וכך תכיל השק
תלה) שאלה בכאן כדור אחד אשר אלכסונו ג' זרתות

ארצה לדעת כמה ליטר' תשקול כל הכדור באופן כי תשקול כל זרת מרובע ק' ליט'

כן תעשה כפול האלכסון על מעוקבו ויהיו כ"ז וקח י"א חלקים מכ"א שהם י"ד ושביעית וכך הם הזרתות המרובעות
אח"כ כפול זה על ק' ויצא לך אלף ותי"ד וב' שביעיות וכך תשקול הכדור
תלו) שאלה בכאן שני כדורים אשר אחד מהם הקפו כ' זרתות וא' ואלכסונו ב' זרתות והאחרת הקפו עשרה ואלכסונו ארבעה

ארצה לדעת כמה פעמים שוקלת יותר הגדולה מהקטנה

כך תעשה כפול הקף הקטנה על עצמם ויהיו כ"ה אח"כ כפלם על ב' שהוא האלכסון והם נ' וכך הם זרתות הכדור הקטן
ולדעת זרתות הגדול כך תעשה כפול הקף הגדול על עצמו שהם ק' גם זה על האלכסון ויהיו ד' מאות
חלק ד' מאות על נ' ויצא ח' וכך פעמים תשקול הגדול מהקטן
תלז) שאלה שני חביות האחת אלכסונה ב' והשנית אלכסונה ד'

אשאל כמה גדולה הגדולה מהקטנה

קח מעוקב הקטנה וקח י"א חלקים מכ"א שהם ד' וד' חלקים מכ"א וכך הוא תשבורת הקטנה
גם קח מעוקב הגדולה שהם ס"ד וקח י"א חלקים מכ"א שהם ל"ג וי"א חלקים מכ"א והוא תשבורת הגדולה
אח"כ חלק הגדולה על הקטנה ויצא ח' וכך חביות קטנות תכיל הגדולה
תלח) בכאן קשת ארך המתר י"ד ואורך החץ ז'

כמה הוא הקשת

כך תעשה כפול החץ שהוא ז' על ג' ושביעית ויצא כ"ב וכך הוא הקשת
ולדעת תשברתו קח חצי הקשת שהוא י"א וחצי המתר שהוא ז' וכפול זה על זה ויהיו ע"ז וכך הוא תשבורת זה העגול
תלט) שאלה בכאן חצי עגול הקף הקשת כ"ב

ארצה לדעת כמה המתר

כך תעשה חלק כ"ב על ג' ושביעית ויצא לך ז' וכך הוא החץ
כפול זה על י"ד והוא המיתר
440) Question: here is a circular shape that is greater than a semicircle, the length of the versine is 9, the chord is 6, and the arc is 25. I wish to know how much is its area.
 תמ) שאלה בכאן תמונה מעוגלת יותר מחצי עגול ארך החץ ט' והמתר ו' והקשת כ"ה

ארצה לדעת כמה תשברתה

Do as follows:
 כך תעשה
Take half the chord, which is 3, multiply it by itsalf; it is 9.
 קח חצי המתר שהוא ג' כפלם על עצמם ויהיו ט‫'
Divide it by the length of the versine, which is 9; the result is 1.
 חלקם על ארך החץ שהם ט' ויצא א‫'
Add it to the 9 of the chord; it is 10 and this is the length of the diameter.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2}{9}+9=\frac{3^2}{9}+9=\frac{9}{9}+9=1+9=10}}
 תוסיף אותו על הט' מהחץ ויהיו י' וכך הוא ארך אלכסון התמונה
Then, multiply half the diameter, which is 5, by half the perimeter that is 25, which is 12½; the result is 62½.
 אח"כ כפול חצי האלכסון שהוא ה' על חצי הקפו שהיה כ"ה והם י"ב וחצי ויעלה ס"ב וחצי
Take half the chord, which is 3.
 אח"כ קח חצי המתר שהם ג‫'
Take half the diameter, which is 5
 וקח חצי האלכסון שהם ה‫'
Subtract it from the 9, which is the versine; 4 remains.
 ותסירם מן הט' שהוא החץ וישארו ד‫'
Multiply it by the 3; it is 12.
 ותכפלם על הג' ויהיו י"ב
Add these 12 to the 62; it is 74½ and this is the area of the shape.
 אח"כ חבר אלו הי"ב אל הס"ב ויהיו ע"ד וחצי והוא תשבורת התמונה
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot25\right)\right]+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)\sdot\left[9-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]\right]&\scriptstyle=\left[5\sdot\left(12+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[3\sdot\left(9-5\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(62+\frac{1}{2}\right)+\left(3\sdot4\right)\\&\scriptstyle=\left(62+\frac{1}{2}\right)+12\\&\scriptstyle=74+\frac{1}{2}\end{align}}}
441) Question: here is a shape that is smaller than a semicircle, its perimeter is 9 and a half, the length of the versine is 2, and the chord is 8. To know how much is its area.
 תמא) שאלה בכאן תמונה שהיא פחותה מחצי עגול והיא מקפת ט' וחצי והחץ ב' והמתר הוא ח‫'

לדעת תשברתה

כך תעשה כך חצי ח' שהוא ארך המתר שהם ד' וכפלם על עצמם ויהיו י"ו וחלקם על החץ שהוא ב' ויצא ח' חברם עם ב' והם י' והוא האלכסון
אח"כ קח חצי האלכסון שהם ה' וחצי ההקף שהם ד' וג' רביעיות וכפלם ויהיו כ"ג וג' רביעיות עוד קח חצי האלכסון שהם ה' והסר מהם ב' הנשאר ג' כפלם על חצי אלכסון שהוא ח' ויהיו ד' ויהיו י"ב תסירם מכ"ג וג' רביעיות וישארו י"א וג' רביעיות והוא תשבורת התמונה
442) Question: here is a shape that is smaller than a semicircle, the length of the versine is 2, and its diameter is ten. I wish to know the chord.
 תמב) שאלה בכאן תמונה פחותה מחצי עגול אורך החץ ב' ואלכסונו עשרה

ארצה לדעת המתר

קח חצי האלכסון שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה

אח"כ קח הב' מהחץ ותסירם מהה' וישארו ג' ותכפלם על עצמם ויהיו ט' תסירם מכ"ה וישארו י"ו וקח שרשם שהם ד' וכפלם והם ח' וכך הוא תשבורת המתר

443) Question: here is a shape that is smaller than a semicircle, the length of the chord is 8, and its diameter is ten. If you wish to know the versine.
 תמג) שאלה בכאן תמונה פחותה מחצי עגול אשר המתר ח' והאלכסון עשרה

אם תרצה לדעת החץ

כך תעשה קח חצי האלכסון שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה

גם קח חצי המתר שהם ד' וכפלם ויהיו י"ו הסר אותם מכ"ה וישארו ט' וקח שרשם שהם ג' ותסירם מהה' שהוא חצי האלכסון וישארו ב' והוא ארך החץ

442) Question: here is a shape that is greater than a semicircle, the length of its diameter is ten and the versine is 9. I wish to know how much is the chord.
 תמד) שאלה בכאן תמונה שהיא יותר מחצי עגולה אשר אלכסונו עשרה והחץ ט'

ארצה לדעת כמה הוא המתר

כך תעשה קח חצי האלכסון שהוא ה' ותסירם מהחץ שהוא ט' וישארו ד' וכפלם על עצמם ויהיו י"ו גם כפול חצי האלכסון ויהיו כ"ה הסר י"ו מכ"ה הנשאר ט' וקח שרשם והם ג' וכפלם והם ו' והוא אורך המתר
תמה) שאלה בכאן תמונה עשויה כדמות חבילה ארכה ל' ורחבה עשרים

ארצה לדעת תשברתה

כך תעשה כפול ל' על עשרים ויהיו ו' מאות קח ג' חלקים מי"ד ויהיו קכ"ח וד' חלקים מט' וישארו ד' מאות וע"א וג' שביעיות והוא תשבורת החבילה

Transformation Problems
446) Question: a circle whose diameter is 10.
We want to transform the circle into a square.
I wish to know: how much is the length of each side of the square?
 תמו) שאלה בכאן עגול אשר אלכסונו י"ו

נרצה לעשות מזה העגול מרובע
ארצה לדעת כמה ארך כל צלע המרובע

כפול י"ו על עצמם ויהיו רנ"ו וקח חצים והם קכ"ח וקח שרשם והם י"א וז' חלקים מכ"ג וכך הוא אורך כל צלע מהמרובע
Circumscribed circle
447) a circle, its diameter is 10 long and we want to construct a triangle inside of it.
How much is the length of each side of the triangle?
 תמז) שאלה בכאן עגול ארך אלכסונו עשרה ונרצה לעשות משולש בתוכו

כמה ארך כל קו מהמשולש

כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ק' וקח ג' רביעיותיו שהם ע"ה וקח שרשם שהם ח' וי"א חלקים מי"ו והוא ארך כל קו
ולדעת העמוד קח ג' רביעיו' האלכסון שהיה ויהיו ז' וחצי והוא ארך העמוד
448) Question: a square, the length of each of its sides is ten.
We want to transform it into a circle.
how much is its perimeter?
 תמח) שאלה בכאן מרובע ארך כל צלע עשרה נרצה לעשות ממנו עגול

כמה יהיה הקפו

כך תעשה כפול הצלע ויהיו ק' והוא תשבורת המרובע
אח"כ ראה מאה מאיזה מספר הם י"א חלקים מי"ד ותמצא קכ"ז וג' חלקים מי"א אח"כ קח שרשם מקכ"ז והם י"א וב' שביעיות והוא ארך אלכסון העגול
אח"כ כפול אלו הי"א וב' שביעיות על ג' ושביעית ויעלה כ"ה וכ"ג חלקים ממ"ט וכך הוא הסבוב
449) Question: a square, each of its sides is ten.
One wants to transform it into a triangle and know how much is each of its sides.
 תמט) שאלה בכאן מרובע אשר כל צלע עשרה ורוצה לעשות ממנו משולש

לדעת כל קו מהמשולש

כפול צלע המשולש ויהיו ק' וכפלם ויהיו מאתים אח"כ קח השישית והשביעית מק' ויהיו ל"א ותוסיפם על מאתים ויהיו רל"א תסיר מהם שרש המרובע שהם ט"ו וו' חלקי' מל"א וכך הוא ארך כל צלע המשולש

Gaging Problems
450) Question: a barrel, one of its base is 8 zeratot, the other base is 7 [zeratot], and it is 10 [zeratot] high and 6 [zeratot] long.
I wish to know: how many barril of water it contains so that 9 square zeratot contain one barrilo?
 תנ) שאלה בכאן חבית אשר אחד מהקצוות ח' זרתות והקצה האחר ז' והיא גבוהה עשרה וארוכה ו'

אשאל לדעת כמה ברילי יש בה ממים באופן יכילו ט' זרתות מרובעים א' בארילו

כך תעשה חבר הקצוות שהם ח' עם ז' וחצי ותחברם אל הגובה מאמצע החבית שהם י' ויהיו י"ז וחצי וקח חצים שהם ח' וג' רביעיות ותכפלם על עצמם ויהיו ע"ו וט' חלקים מי"ו הסר י"א חלקים מי"ד שהם ס' וה' חלקים מל"ב ותכפלם על ארך החבית שהם ו' ויהיו ש"ס וט"ו חלקים מי"ו וכך הם הזרתות שהם בחבית וחלקם על ט' שיש בכל ברילי ויצא ארבעים וה' חלקים ממ"ח והם סכום הבארילי
451) Question: half a barrel, the diagonal of one of its bases is 2½ zeratot long, the diagonal of the other base is 1½ zeratot and it is 2 zeratot high.
We want to know: how much it would contain, so that 3 square zeratot contain one barril?
 תנא) שאלה בכאן חצי חבית אשר ארך האלכסון מן הקצה האחד ב' זרתות וחצי והאלכסון מהקצה האחר א' וחצי והיא ארוכה ב' זרתות

נרצה לדעת כמה תכיל באופן כי ג' זרתות מרובעים יכילו בריל אחד

כך תעשה תחבר אלכסונות הקצוות שהם בין שניהם ד' וקח חצים וכפלם על עצמם ויהיו ד' וקח י"א חלקי' מי"ד שהם ג' ושביעית ותכפלם על הארך שהם ב' ויעלה ו' וב' שביעיות
ולדעת כמה מים יכיל בתוך חצי חבית חלק הו' וב' שביעיות על ג' זרתות אשר יכילו בין שלשתן ברילי אחד ויצא ב' וב' חלקים מכ"א

Three Proportional Numbers
452) Question: we have three proportional numbers such that the ratio of the first to the second is as the ratio of the second to the third.
If we multiply the first by the second, then multiply the result by the third it will be a thousand.
How much are the proportional numbers?
 תנב) שאלה יש לנו ג' מספרים יחסיים אשר יחס הא' אל הב' כיחס הב' אל הג‫'

והנה נכפול הא' על הב' והעולה נכפול על ג' הוא אלף
כמה הם המספרים היחסיים

The way is as follows:
 הדרך הוא כך
Take the cube root of one thousand; it is ten, so the mean number is ten.
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt[3]{1000}=10}}
 קח שרש מעוקב מאלף הוא עשרה הנה א"כ המספר אמצעי הוא עשרה
Then, divide one thousand by ten; the result is one hundred.
 אח"כ חלק אלף על עשרה ויעלו מאה
Hence, seek to make two parts of one hundred, such that is you multiply one part by ten and multiply the product by the second part, the result is one thousand.
 א"כ בקש לעשות ממאה ב' חלקים אשר אם תכפול חלק אחד על עשרה ומה שיעלה כפול על החלק השני שיעלה אלף
So, when we make two parts of one hundred, the first part will be 2 and the second 50.
 הנה כשנעשה ממאה ב' חלקים יהיה החלק הא' ב' והשני חמישים
Therefore, say that the three proportional numbers are: the first is 2, the second is 10, and the third is 50.
 א"כ תאמ' כי הג' מספרים יחסיים הא' ב' והשני עשרה והשלישי חמישים
The ratio of 2 to 10 is as the ratio of 10 to 50.
\scriptstyle{\color{blue}{2:10=10:50}}
 הנה יחס ב' אל י' כיחס י' אל נ‫'
Thus, the question is solved correctly.
 הנה א"כ השאלה היא נעשת כהוגן
So, if we multiply the first number, which is 2, by the second number, which is 10, the result is twenty; and is you multiply twenty by the third number, which is 50, the result is one thousand.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10\sdot50=20\sdot50=1000}}
 והנה אם נכפול המספר הראשון שהוא ב' על המספר השני שהוא י' יעלו עשרים ואם תכפול עשרים על המספר השלישי שהוא נ' יעלו אלף
ואם תרצה לחלק אלף על שרש מעוקבו שהוא י' באופן אחר כך תעשה תחלק אלף על עשרה ויצאו מאה תחלק מאה לב' חלקים באופן כי כשתכפול החלק הראשון על עשרה והעולה כפול על החלק השני ויעלו אלף כך תעשה הנה החלק האחד יהיו חמשה והחלק האחר יהיו עשרים והאמצעי הוא עשרה והנה הראשון הוא ה' והב' י' והג' עשרים והנה יחס הא' אל הב' כיחס הב' אל הג' ואם תכפול ה' על י' יהיו חמשים כפול חמישים על עשרים והם אלף וכן כל כיוצא בזה

תם ונשלם תל"ע

Appendix I: Glossary of Terms

rank מדרגה

Appendix: Bibliography

Gad Astruk
Venice, c. 1503
Sefer Dinei Mamonot
Manuscripts:

1) Budapest, Magyar Tudományos Akadámia, MS Kaufmann A 507/1 (IMHM: f 15161), ff. 4–19; (15th-16th century)
Kaufmann A 507/1
2) London, British Library Add. 27039/1 (IMHM: f 5717), ff. 3r-116r (cat. Margo. 1014, 1) (16th century)
Add. 27039/1
3) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 30/2 (IMHM: f 6711), ff. 38r-39r (1503)
4) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 30/5-6 (IMHM: f 6711), ff. 191r-296v (1503)
Guenzburg 30

The transcript is based mainly on manuscript Guenzburg 30

Bibliography:

  • Steinschneider, Moritz. 1906. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 50, p. 198. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, p. 121.

Notes

  1. ↑ MS L: מ"א
  2. ↑ MS L: mark om.
  3. ↑ MS L: פח
  4. ↑ MS L: פח
  5. ↑ MS L: mark om.
  6. ↑ MS L: om.
  7. ↑ MS L: om.
  8. ↑ MS L: קט
  9. ↑ MS L: קי
  10. ↑ MS L: קיו
  11. ↑ MS L: קיז
  12. ↑ MS L: קיח
  13. ↑ MS L: קיט
  14. ↑ MS L: קל
  15. ↑ MS L: קלא
  16. ↑ MS L: קלב
  17. ↑ MS L: קלג
  18. ↑ MS L: קלד
  19. ↑ MS L: קלה
  20. ↑ MS L: קמב
  21. ↑ MS L: קמג
  22. ↑ MS L: קמד
  23. ↑ MS L: קמה
  24. ↑ MS L: קמו
  25. ↑ MS L: קמז
  26. ↑ MS L: קמח
  27. ↑ MS L: קמט
  28. ↑ MS L: קנ
  29. ↑ MS L: קנא
  30. ↑ MS L: קנב
  31. ↑ MS L: קנג
  32. ↑ MS L: קנד
  33. ↑ MS L: קנה
  34. ↑ MS L: קנו
  35. ↑ איוב א, ט"ז
  36. ↑ MS L: קצה
  37. ↑ MS M om.
  38. ↑ MS M om.
  39. ↑ MS L: רמב
  40. ↑ MS L: רמז
  41. ↑ MS L: רנה
  42. ↑ ‫MS L: רנו
  43. ↑ MS L: רנט
  44. ↑ MS L: רסא
  45. ↑ MS L: רסב
  46. ↑ MS L: רסג
  47. ↑ MS L: רסד
  48. ↑ MS L: רסו
  49. ↑ MS L: רסז
  50. ↑ MS L: רסח
  51. ↑ MS L: רצא
  52. ↑ MS L: רצב
  53. ↑ MS L: רצג
  54. ↑ MS L: רצד
  55. ↑ MS L: רצה
  56. ↑ MS L: רצז
  57. ↑ MS L שג
  58. ↑ MS L שח
  59. ↑ MS L: שכא
  60. ↑ MS L: שכב
  61. ↑ MS L: שכג
  62. ↑ MS L: שכד
  63. ↑ MS L: שכה
  64. ↑ MS L: שכו
  65. ↑ MS L: שכח
  66. ↑ MS L: שלא
  67. ↑ MS L: שלב
  68. ↑ MS L: שלג
  69. ↑ MS L שלד
  70. ↑ MS L שלה
  71. ↑ MS L שלו
  72. ↑ MS L שלז
  73. ↑ MS L שלח
  74. ↑ MS L שלט
  75. ↑ MS L שמ
  76. ↑ MS L שמא
  77. ↑ MS L שמב
  78. ↑ MS L שמג
  79. ↑ MS L שמד
  80. ↑ MS L שמה
  81. ↑ MS L שמו
  82. ↑ MS L: שמז
  83. ↑ MS L: שמח
  84. ↑ MS L: שמט
  85. ↑ MS L: שנ
  86. ↑ MS L: שנא
  87. ↑ MS L: שנב
  88. ↑ MS L: שנג
  89. ↑ MS L: שנד
  90. ↑ MS L: שנו
  91. ↑ MS L: שנז
  92. ↑ MS L שנח
  93. ↑ MS L שנט
  94. ↑ MS L: שס
  95. ↑ MS L שסא
  96. ↑ MS L שסב
  97. ↑ MS L שסג
  98. ↑ MS L שסד
  99. ↑ MS L שסה
  100. ↑ MS L שסו
  101. ↑ MS L שסז
  102. ↑ MS L שע
  103. ↑ MS L: שעא
  104. ↑ MS L: שעב
  105. ↑ MS L: שעג
  106. ↑ MS L: שעד
  107. ↑ MS L: שעה
  108. ↑ MS L: שעו
  109. ↑ MS L: שעז
  110. ↑ MS L: שעח
  111. ↑ MS L: שעט
  112. ↑ MS L: שפ
  113. ↑ MS L: שפב
  114. ↑ MS L: שפג
  115. ↑ MS L: שפה
  116. ↑ MS L: שפו
  117. ↑ MS L רלט
  118. ↑ MS L רנא
  119. ↑ MS L שא
  120. ↑ MS L שד
  121. ↑ MS L שו
  122. ↑ MS L שט
  123. ↑ MS L שי
  124. ↑ MS L שיא
  125. ↑ MS L שיב
  126. ↑ MS L שיג
  127. ↑ MS L שיד
  128. ↑ MS L שיו
  129. ↑ MS L שיז
  130. ↑ MS L שיח
  131. ↑ MS L שיט
  132. ↑ MS L שכ
  133. ↑ MS L שסח
  134. ↑ MS L שסט
  135. ↑ MS L: שפד
  136. ↑ MS L: שצ
Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=ספר_דיני_ממונות&oldid=57145"