Revision as of 18:29, 25 December 2021

קצת מענייני חכמת המספר

Qeṣat mi-ʽInyanei Ḥoḵmat ha-Mispar

(Some Issues of Arithmetic)

1 Sums
2 Multiplication of Fractions
- 2.1 Methods of checking
3 Addition of Fractions
- 3.1 Methods of checking
4 Subtraction of Fractions
- 4.1 Methods of checking
- 4.2 Combined Subtraction
5 Division
- 5.1 Dividing a large number by a smaller number
- 5.2 Dividing a small number by a greater number
6 Division of Fractions
- 6.1 Methods of checking
- 6.2 Combined Division
7 Roots
- 7.1 The Roots of Integers
  - 7.1.1 Approximating the root of a non-square number
- 7.2 The Roots of Fractions
8 Cubic Roots
- 8.1 Cubic Roots of Integers
  - 8.1.1 Approximating the root of a non-cubic number
- 8.2 Cubic Roots of Fractions
9 Divisibility of a Number
10 Square Numbers
11 Completion
12 Conversion
13 Geometric Shapes
14 Euclidean Propositions
- 14.1 Euclid's Elements, Book II, Propositions 2-8 - [Arithmetical Version]
- 14.2 Other Propositions
15 Notes
16 Appendix: Bibliography

	‫^[1]קצת מענייני חכמת המספר
Sums
Sums of Natural Numbers
To know the numbers that are set in succession. $\scriptstyle\sum_{i=1}^n i$	לידע מספרים מונחים על סדר המספר
Such as: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 $\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i$	כגון אבג"ד ה"ו זחט"י
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]}}$
Multiply the last number, which is ten, by its half plus one half. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=10\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\frac{1}{2}\right]}}$	תכה מהמספר האחרון שהוא העשרה בחציו וחצי א‫'
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=\left(n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}$
Or add to it one, then multiply it by its half without the addition - they are 55 and so is their sum. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left(10+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=55}}$	או הוסיף עליו אח' והכהו בחציו בלי תוספ' ויהיו נ"ה וככה קבוצם
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=\frac{1}{2}\sdot\left(n^2+n\right)}}$
If you wish, multiply the last number, which is 10, by itself, the result is 100, add to it the root, which is 10, they are 110, take their half and it is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\frac{1}{2}\sdot\left(10^2+10\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(100+10\right)=\frac{1}{2}\sdot110}}$	ואם תרצה הכה המספר האחרון בעצמו שהוא י' יעלה ק' הוסיף עליו מספר השרש שהוא הי' יהיו ק"י קח חציים והוא המבוקש
Numbers that are summed successively and the result is a known number. $\scriptstyle\sum_{i=1}^n i =a$	חשבון שחובר על הסדר ועלה מספר ידוע
Such as the number 55, how much is the last number? $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^n i =55}}$	כגון מספר נ"ה כמה הוא מספר האחרון
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2a=n^2+n}}$
Multiply it by 2, they are 110, you will find it contains a square and its root together, then the question is true and its root is the last number. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot55=110=n^2+n}}$	תכפלהו בב' יהיו ק"י תמצא בו מרובע וגדרו באחת ואז השאלה אמתית וגדרו הוא סוף המספר
If you wish, add a quarter to its double, then extract the root of the total, subtract the root of the quarter, which is a half, and the remainder is the required. $\scriptstyle n=\sqrt{2a+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}$	ואם תרצה הוסיף רביע אחד על כפלו וקח גדר הכל ותפיל גדר הרביע והוא החצי והנשאר הוא המבוקש
If the numbers that are given in succession do not start from 1.	ואם המספרים המונחים על סדר המספר לא יתחילו מהא‫'
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=m}^{n} i=\sum_{i=1}^{n} i-\sum_{i=1}^{m-1} i}}$
As saying: from 5 to 10. $\scriptstyle\sum_{i=5}^{10} i$	כאמרך מה' עד י‫'
Know their sum from 1 to ten - it is 55; know their sum for 1 to 4 that precedes 5 - it is 10. Subtract it from 55, 45 remains and this is their sum. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^{10} i=\sum_{i=1}^{10} i-\sum_{i=1}^4 i=55-10=45}}$	דע קבוצם מא' עד עשרה הוא נ"ה ודע קבוצם מא' עד ד' שהוא קודם ה' יהיו י' הפלים מהנ"ה ישארו מ"ה וככה קבוצם
Numbers that are summed from a known number. $\scriptstyle\sum_{i=m}^n i=a$	חשבון שחובר מתחלת מספר ידוע
As saying: from 5 and the sum is 45, how much is the last number? $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^n i=45}}$	כאמרך מה' ועלה מ"ה כמה הוא סוף המספר
Know their sum of the units from 1 to the number that precedes 5, which is 4 - it is 10. Add it to 45, they are 55. Know [up to] which number it is summed according to the previous way, it is 10 and it is the last number. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^4 i+45=10+45=55=\sum_{i=1}^{10} i}}$	דע קבוץ האחדים שמא' עד המספר הקודם לה' שהוא הד' יהיו י' הוסיפם על המ"ה יהיו נ"ה דע מאיזה מספר נתחברו ע"ד הקודם והוא י' וזהו סוף המספר
We know the 10, which is [the last] summed number, and that the sum is 45, but the 5 is unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=m}^{10} i=45}}$	ידענו הי' שהוא המספר שהנקבץ עד מ"ה ונעלם הה‫'
Know [the sum] from 1 to 10, which is 55.	תדע מהא' עד י' שהוא נ"ה
Know up to what number the sum is the excess of this sum over 45, which is 10, according to the previous way; it is 4 and this is the number that precedes the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i-45=55-45=10=\sum_{i=1}^{4} i=\sum_{i=1}^{5-1} i}}$	ותדע עד איזה מספר נקבץ קבוץ היתרון על המ"ה שהוא י' ע"ד הקודם והוא ד' והמספר שלאחריו הוא המבוקש

Sums of Squares
To know the squares of the natural numbers [that are set] in succession until whichever number you wish. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^2$	לידע מרובעי המספרים הטבעיי' על הסדר עד איזה מספר שתרצה
Such as from 1 to 10. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i^2$	כגון מהא' עד י‫'
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i^2=\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]}}$
Know their sum according to the previous way; it is 55.	תדע קבוצם ע"ד הקודם והוא נ"ה
Take 2-thirds of 10 plus one third; it is 7.	ותקח ב' שלישיות הי' בתוספת שליש א' יהיו ז‫'
Multiply it by 55; it is 385 and so is their sum. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i^2=\left(\sum_{i=1}^{10} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot10\right)+\frac{1}{3}\right]=55\sdot7=385}}$	ותכם עם הנ"ה יהיו שפ"ה וככה קבוצם
If the number does not have a third but it exceeds over [a number that has a third] by one.	ואם אין למספר שליש שלם אם בתוספת א‫'
Such as 10.	כמו הי‫'
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n i^2=\left(\sum_{i=1}^n i\right)\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(n-1\right)\right]+1\right]}}$
Subtract 1; take 2-thirds of the remainder; add to it one integer; then multiply it by the sum of its units. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{10} k^2=\left(\sum_{k=1}^{10} k\right)\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(10-1\right)\right]+1\right]}}$	חסר א' וקח ב' שלישיות הנשאר והוסף עליו אח' שלם והכם בקבוץ אחדיו
If it is less than [a number that has a third] by one.	ואם בחסרון אחד
Such as 11.	כמו הי"א
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{11} i^2 =\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot \left(n+1\right)\right]-\frac{1}{3}\right]}}$
Add one; take 2-thirds; subtract one third from the result; then multiply it by the sum of its units and it is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i^2 =\left(\sum_{i=1}^{11} i\right)\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot \left(11+1\right)\right]-\frac{1}{3}\right]}}$	הוסיף אח' וקח ב' שלישיות ותחסר מהמקובץ שליש א' ותכהו בקבוץ אחדיו והוא המבוקש
If [the numbers] do not start from 1.	ואם לא יתחילו מהא‫'
As saying: from 5 to 10.	כאמרך מה' עד י‫'
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=m}^{n} i^2=\sum_{i=1}^{n} i^2-\sum_{i=1}^{m-1} i^2}}$
Know the sum of the squares from 1 to 10 according to the previous way, then know the sum of the squares from 1 to 4, which precedes 5, subtract one from the other and the remainder is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^{10} i^2 =\sum_{i=1}^{10} i^2-\sum_{i=1}^{4} i^2}}$	דע חבור המרובעים שמהא' עד י' ע"ד הנקדם ואח"כ דע קבוץ המרובעים שמהא' עד ד' שקודם הה' והפיל זה מזה והנשאר הוא המבוקש
The ancients did not talk about the opposite questions.	בהפך שאלות אלו לא דברו הראשונים

Sums of Cubes
To know the sum of the cube numbers [that are set] in succession until whichever number you wish. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^3$	לידע מעוקב המספרים על הסדר ר"ל קבוצם על הסדר עד איזה מספר שתרצה
Multiply the sum of their units by itself and this is the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n k^3=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2}}$	תכה קבוץ אחדיהם בעצמו והוא המבוקש
[The sum of] unknown [number of] cube numbers is a known number and you wish to know how much is the last root. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^3=a$	מעוקבי' מספרים נעלמים שעלה סך ידוע ותרצה לדעת איזהו היסוד האחרון
Take the root of the total sum, then know up to which number it is the sum, and this is the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n k=\sqrt{a}}}$	קח גדר הכל ודע עד איזה מספר חובר והוא המבוקש
If they do not start from 1. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=m}^n k^3=\sum_{k=1}^n k^3-\sum_{k=1}^{m-1} k^3}}$	ואם לא יתחילו מהא‫'
As if you wish to know [the sum of] the cube numbers from 5 to 10.	כגון שרצית לידע מעוקבי מספרים מה' עד הי‫'
Know how much are the cubes from 1 to 10 according to the previous way, then know [how much] are the cubes from 1 to 4, which precedes 5, subtract one from the other and the remainder is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=5}^{10} k^3=\sum_{k=1}^{10} k^3-\sum_{k=1}^{5-1} k^3}}$	תדע כמה מעוקבי' שמא' עד י' ע"ד הקודם ותדע המעוקבים שמא' עד הד' שהוא הקודם לה' והפיל זה מזה והנשאר הוא המבוקש
We sum from the cube of a known number to an unknown number and the result is a known amount. You wish to know up to which number is the sum. $\scriptstyle\sum_{k=m}^n k^3=a$	קבצנו ממעוקב מספר ידוע עד מספר נעלם ועלה סך ידוע ורצית לידע עד איזה מספר נקבץ
As saying: from 5 to an unknown number the sum is 2[0]25. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=5}^n k^3=2{\color{red}{0}}25}}$	כאמרך מה' עד מספר נעלם עלה 2925
Know the cubes from 1 to 4; they are 100. Add them to 2[0]25; they are [3025]. Know its root; it is 55. Know up to which number it is the sum according to the previous way; it is 10 and this is the required.	תדע המעוקבים שמהא' עד ד' והם 100 ותוסיפם על 2925 יהיו [3025] תדע גדרם בנ"ה ותדע עד איזה מספר נקבץ על דרך הקודם והוא י' והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^n k=\sqrt{2{\color{red}{0}}25+\sum_{k=1}^4 k^3}=\sqrt{2{\color{red}{0}}25+100}=\sqrt{3025}=55=\sum_{k=1}^{10}}}

We know the 10, the 5 is unknown, and the sum is 2[0]25 $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=m}^{10} k^3=2{\color{red}{0}}25}}$	ידענו הי' ונעלם הה' ועלה 2925
Know [the sum] from 1 to 10; it is 3025. Subtract the number that you know, which is 2[0]25; 100 remains. Extract its root; it is ten. Know up to which number it is the sum according to the previous way; it is 4 and the number that follows it, which is 5, is the required.	תדע מא' עד י' והם 3025 ותגרע מהם המספר הידוע לך והוא 2925 וישארו ק' קח גדרם בעשר ודע עד איזה מספר חובר ע"ד הקודם והוא הד' והמספר שלאחריו שהוא ה' הוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\sum_{k=1}^{m-1} k=\sqrt{\sum_{k=1}^{10} k^3-2{\color{red}{0}}25}=\sqrt{3025-2{\color{red}{0}}25}=\sqrt{100}=10=\sum_{k=1}^4 k=\sum_{k=1}^{5-1} k}}

Sums of Odd Numbers
To know the sum of the odd numbers [that are set] in succession. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)$	לידע קבוץ הנפרדים על הסדר
Take half the last odd number plus one half and multiply it by itself. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n \left(2k-1\right)=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]^2}}$	קח חצי הנפרד האחרון בתוספת חצי והכהו בעצמו
Or, add one to the last odd number and take half the total without addition and multiply it by itself. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n \left(2k-1\right)=\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]\right]^2}}$	או הוסיף אחד על הנפרד האחרון וקח חצי הכל בלא תוספת והכהו בעצמו
Numbers that are summed by the succession of the odd numbers and their sum is a known number. You wish to know up to which odd number they are summed. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)=a$	חשבון שחובר על סדר הנפרדים ועלה קבוצם חשבון ידוע ותרצה לידע עד איזה נפרד חובר
Take the root of the number, for if the question is true, it necessarily has a whole root, double it, then subtract 1 from the result; the remainder is the sought. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2n-1=2\sqrt{a}-1}}$	קח גדר המספר כי בהכרח יהיה לו גדר שלם אם השאלה אמתית וכפלהו והפיל א' מהנקבץ והנשאר הוא המבוקש
If you want, multiply the known number by 4, then subtract 1 from the root of the product. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2n-1=\sqrt{4a}-1}}$	ואם תרצה הכה חשבון הידוע בד' והפיל א' מגדר הכל
If the given odd numbers, whose sum we wish to know, do not start from 1.	ואם הנפרדים המונחים אשר רצינו לדעת קבוצם לא יתחילו מהא‫'
Know their sum from 1 up to the last odd number according to the previous way, subtract from it the sum from 1 up to the odd number that precedes the first odd number and the remainder is the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=m}^{n}\left(2k-1\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)-\sum_{k=1}^{m-1} \left(2k-1\right)}}$	דע קבוצם מהא' עד נפרד האחרון ע"ד הקודם וחסר מהמבוקש העולה מא' עד הנפרד שקודם הנפרד הא' והנשאר הוא המבוקש
Numbers that are summed from a known odd number by the succession of the odd numbers and the sum is a known number, how much is the last odd number? $\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k-1\right)=a$	חשבון שחובר מנפרד ידוע על סדר הנפרדים ועלה סך ידוע כמה הוא הנפרד האחרון
Sum up from 1 to the odd number that precedes the known odd number, then add it to the known sum; you will know up to which odd number the sum is and it is the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k-1\right)+a=\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)}}$	חבר מהא' עד הנפרד הא' שקודם הנפרד הידוע והוספיהו על הסך הידוע ותדע עד איזה נפרדים הגיע הכל והוא המבוקש
We know the last odd number and the sum, but the [first] odd number is unknown. $\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k-1\right)=a$	ידענו הנפרד האחרון והסך ונעלם הנפרד האח‫'
Sum up the odd numbers from 1 to the last odd number, then look at the difference between it and the known sum; know up to which number this sum is and the odd number that follows it is the first odd number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)-a=\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k-1\right)}}$	חבר קבוץ הנפרדים שמהא' עד הנפרד האחרון וראה היתרון שבינו ובין הסך ידוע ודע עד איזה מספר חובר והנפרד שאחריו הוא הנפרד הראשון

Sums of Squares of Odd Numbers
To know [the sum of] the squares of the odd numbers [that are set] in succession. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left (2k-1\right)^2$	לידע מרובעי הנפרדים על הסדר
As if you say: 1; 3; 5; 7; 9. $\scriptstyle\sum_{k=1}^5\left(2k-1\right)^2$	כאלו תאמר א' ג' ה' ז' ט‫'
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^5\left(2k-1\right)^2=\left[\left[\sum_{k=1}^5\left(2k-1\right)\right]\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(2k - 1\right)\right]+\frac{2}{3}\right]\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot{n}\right)}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left[25\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot9\right)+\frac{2}{3}\right]\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot5\right)\\&\scriptstyle=\left[25\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)\right]-\frac{5}{3}\\&\scriptstyle=\left(166+\frac{2}{3}\right)-\left(1+\frac{2}{3}\right)\\\end{align}}}$	דע חבור הנפרדי' ע"ד הקודם והם כ"ה וקח ב' שלישי התשעה שהוא מספר האחרון בתוספת שני שלישיות אחד יהיו ששה וב' שלישיות אחד הכם עם כ"ה יעלה קס"ו וב' שלישיות א' ודע כמה הנפרדים שמאחד עד תשעה שהוא המספר האחרון הם ה' קח לכל שלם שליש אחד יעלה חמשה שלישים שהם א' וב' שלישיות חסרם מהקס"ו וב' שלישי אח' ישאר קס"ה וככה קבוצם
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\frac{2}{3}\sdot\left(2n-1\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{2n}\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n+1\right)\right]\right]$	ואם תרצה קח שני שלישי הנפרד האחרון והכהו בשטח ההווה מהכאת חצי הזוג שאחריו בחצי נפרד שלאחריו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left(\frac{2}{3}\sdot{9}\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{10}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=6\sdot\left[5\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]\\&\scriptstyle=6\sdot\left(27+\frac{1}{2}\right)\\\end{align}}}$	והמשל בזה שני שלישי הט' הם ו' הזוג שלאחריו הוא י' קח חציים בה' ושמרם והנפרד שלאחריו הוא י"א קח חציים בה' וחצי והכם בה' השמורים יעלו כ"ז וחצי הכם בששה יהיו קס"ה וככה קבוצם
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{3}\right]\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]\sdot\left(2n+1\right)\right]$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{3}\sdot{9}\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{9}\right)\sdot{11}\right]\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot\left[\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot{11}\right]\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(49+\frac{1}{2}\right)\\\end{align}}}$	ואם תרצה תקח שליש הנפרד האחרון בתוספת שליש אחד והוא ‫^[2]ג' ושליש ושמרם אח"כ הכה חצי הנפרד האחרון והוא הט' שהוא ד' וחצי בנפרד שלאחריו שהוא הי"א יעלו מ"ט וחצי הכם בג' ושליש השמורים יעלו קס"ה

$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]\right]+\frac{1}{6}\right]\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]$

	ואם תרצה חסר מקבוץ נפרדיו שלישיתו וששית אח' ושמור הנשאר והוסיף על הנפרד האחרון אח' והכה הכל בשמור
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left[25-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot25\right)+\frac{1}{6}\right]\right]\sdot\left(9+1\right)\\&\scriptstyle=\left(16+\frac{1}{2}\right)\sdot10\\\end{align}}}$	במשלינו זה קבצינו נפרדיו ועלו כ"ה חסרנו מהם שלישיתו וששית אחד נשאר י"ו וחצי ושמרנום הוספנו על הט' אחד יהיו י' הכם בחצי הט' שהוא ד' וחצי עם י"ו וחצי השמורים יעלה קס"ה
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{2}{3}\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)+\frac{2}{3}\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\right]\sdot\left(9+1\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(3+\frac{2}{3}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot{10}\\&\scriptstyle=\left(16+\frac{1}{2}\right)\sdot10\\\end{align}}}$	ואם תרצה קח שליש הט' בתוספת ב' ג' א' אח' יהיו ג' וב' ג' אח' הכם בחצי הט' שהוא ד' וחצי יעלה י"ו וחצי הוסיף א' על הט' יהיו י' הכם בי"ו וחצי יעלה קס"ה
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2n-1\right)\right]\sdot\left[\left[\left(2n-1\right)+1\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+2\right]\right]$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{6}\sdot9\right)\sdot\left[\left(9+1\right)\sdot\left(9+2\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10\sdot11\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot110\\\end{align}}}$	ואם תרצה בדרך יותר נקל, קח ששית הט' באח' וחצי ושמרהו אח"כ הכה המספרים הנמשכים אחריו זה בזה והם י' והי"א יעלה ק"י הכם באחד וחצי יעלה קס"ה
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left (2k-1\right)^2$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{5^2+\cdots+9^2=\left(1^2+\cdots+9^2\right)-\left(1^2+\cdots+3^2\right)}}$	לידע מרובעי הנפרדים שיש ממספ' ה' עד ט' תדע חבור מרובעי הנפרדים שיש מא' עד ט' ותדע חבור מרובעי הנפרדים שמאח' עד המספר הנפרד שקודם הה' והוא ג' והפיל זה מזה והנשאר הוא המבוקש
The ancients did not talk about the opposite questions.	בהפך שאלות אלו לא דברו הראשונים

Sums of Cubes of Odd Numbers
To sum the cubes of the odd numbers until a known odd number. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3$	לקבץ מעוקבי הנפרדים על הסדר עד נפרד ידוע
Multiply the sum of the odd numbers by its double minus one. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3=\left[2\sdot\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]^2\right]-\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]}}$	הכה קבוץ נפרדיו בכפל וחסר אחת
Or, subtract one half from the sum of the odd numbers, then multiply the remainder by double the sum of the odd numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3=\left[\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]-\frac{1}{2}\right]\sdot\left[2\sdot\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]\right]}}$	או חסר חצי אחת מקבוץ נפרדיו והנשאר הכהו בכפל קבוץ נפרדיו
Numbers that are summed by the succession of the cubes of odd numbers and you wish to know [how much] is the last odd number. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3=a$	חשבון שנתקבץ ממעוקבי הנפרדים על הסדר ורצית לידע נפרד האחרון
Take half the sum; add to it a half of an eighth; extract the root of the total; add to the result one quarter, which is the root of a half of an eighth; multiply all by 4; extract the root of the result; subtract one from it and the remainder is the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2n-1=\sqrt{4\sdot\left[\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot{a}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}+\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}\right]}-1}}$	קח חצי החשבו' הנתקב' והוסיף עליו חצי שמנית וקח גדר הכל והוסיף על היוצא רביע אחד שהוא שורש חצי שמנית והכה הכל בד' וקח השרש מהעולה וחסר אחת ממנו והנשאר הוא המבוקש
We know the last odd number and the sum, but the first odd number is unknown. $\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k-1\right)^3=a$	ידענו נפרד האחרון והסך ונעלם הנפרד האחד
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3\right]-a=\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k-1\right)^3}}$	דע מהא' עד הנפרד האחרון וקח היתרון שבין זה הסך ובין הסך הידוע לך ודע הנפרד האחרון ממנו ע"ד הקודם והנפרד שלאחריו הוא המבוקש

Sums of Even Numbers
To know the sum of the even numbers [that are set] in succession. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2k$	לידע קבוץ הזוגות על הסדר
Take half the last even number plus one; or add to it 2 and then take half the total. Multiply it by half the last even number and this is the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2k =\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{2n}\right)+1\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot{2n}\right)}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2k =\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n+2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot{2n}\right)}}$	קח חצי הזוג האחרון בתוספת אח' או הוסיף עליו ב' וקח חצי הכל והכהו בחצי הזוג האחרון והוא המבוקש
If you wish, take a quarter of the last even number and multiply it by the even number that follows it; or take a quarter of the even number that follows it and multiply it by the last even number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2k=\left(\frac{1}{4}\sdot{2n}\right)\sdot\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2k=\left[\frac{1}{4}\sdot\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]\right]\sdot{2n}}}$	ואם תרצה קח רביע הזוג האחרו' והכהו בזוג שלאחריו או קח רביע הזוג שלאחריו והכהו בזוג האחרון
Numbers that are summed by the succession of the even numbers and the result is a known sum, how much is the last even number? $\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2k=a$	חשבון שחובר על הסדר הזוגות ועלה סך ידוע איזה הוא הזוג האחרון
Multiply the known sum by 4 and add 1 to the result; the root of the total minus one is the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2n=\sqrt{4a+1}-1}}$	הכה הסך הידוע בד' והוסף על העולה א' ושרש הכל בחסרון אח' הוא המבוקש
If the even numbers, whose sum we wish to know, do not start from 2.	ואם הזוגות אשר רצינו לידע קבוצם ולא יתחילו מב‫'
Sum up from 2 to the last even number, then subtract from the result the sum from 2 up to the even number that precedes the first even number and the remainder is the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=m}^{n}2k=\sum_{k=1}^{n}2k-\sum_{k=1}^{m-1}2k}}$	קבץ מב' עד הזוג האחרון וחסר מהמקובץ העולה מב' עד הזוג שלפני הזוג האח' והנשאר הוא המבוקש
We sum up from a known even number and the result is a known amount, how much is the last even number? $\scriptstyle\sum_{k=m}^n 2k=a$	חברנו מזוג ידוע ועלה סך ידוע איזה הוא הזוג האחרון
Know the sum of the even numbers successively up to the even number that precedes the first even number, add it to the known amount, then know up to what even number the sum is according to the previous way. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^{m-1}2k+a=\sum_{k=1}^{n}2k}}$	דע חבור הזוגות על הסדר עד הזוגות שקודם הראשון הידוע והוסיפהו על הסך הידוע ותדע עד איזה זוגות נתחבר ע"ד הקודם
We know the last even number and the sum, but the first even number is unknown. $\scriptstyle\sum_{k=m}^n 2k=a$	ידענו הזוג האחרון והסך הנעלם הזוג הא‫'
Know the sum of the even numbers from 2 up to the last known [number] and take the difference between it and the sum that is known to you; know up to which even number it is summed and the even number that follows it is the first unknown number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2k-a=\sum_{k=1}^{m-1}2k}}$	דע חבור הזוגות שמב' עד האחרון הידוע וקח יתרון שבינם ובין הסך הידוע לך ודע עד איזה זוג נתחבר והזוג שלאחריו הוא הזוג הא' הנעלם

Sums of Squares of Even Numbers
To know the sum of the squares of the even numbers [that are set] in succession. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^2$	לדעת מרובעי הזוגות על הסדר
Take two thirds of the last even number plus 2-thirds of 1 and multiply it by the sum of the even numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^2=\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(2n\right)\right]+\frac{2}{3}\right]\sdot\left[\sum_{k=1}^n 2k\right]}}$	קח שני שלישי הזוג האחרון בתוספת ב' שלישי א' והכהו בעולה מחבור הזוגות
If you wish, take 2-thirds of the sum of the even numbers and multiply it by the last even number, to which you add 1. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^2=\left[\frac{2}{3}\sdot\left[\sum_{k=1}^n 2k\right]\right]\sdot\left(2n+1\right)}}$	ואם תרצה קח מחבור זוגותיהם ב' שלישיות והכהו בזוג האחרון שתוסיף עליו א‫'
If you wish, take one-sixth of the last even number and multiply it by the product of the two numbers that follows it. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^2=\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2k\right)\right]\sdot\left[\left(2n+1\right)\sdot\left(2n+2\right)\right]}}$	ואם תרצה קח ששית הזוג האחרון והכהו בשטח ההווה מב' המספרים הנמשכים אחריו
If they do not start from 2.	ואם לא יתחילו מהב‫'
Know [the sum of] the squares from 2 up to the last even number and subtract from it the sum [of the squares] from 2 up to the even number that precedes the first. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=m}^{n}\left(2k\right)^2=\sum_{k=1}^{n}\left(2k\right)^2-\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k\right)^2}}$	תדע מרובעים מהב' עד הזוג האחרון ותחסר מהמקובץ העולה מב' עד הזוג שלפני הראשון
Understand this.	והבן
The ancients did not talk about the opposite questions.	בהפך שאלו אלו לא דברו הראשונים

Sums of Cubes of Even Numbers
To know [the sum of] the cubes of the even numbers [that are set] in succession. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3$	לידע מעוקבי הזוגות על הסדר
Multiply the sum of the even numbers by their double and this is the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3=2\sdot\left[\sum_{k=1}^n 2k\right]^2}}$	תכה העולה מקבוץ זוגי אחדיו בכפלם והוא המבוקש
[The sum of] the cubes of the even numbers is a known amount, and you wish to know [how much is] the last even number? $\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3=a$	מעוקבי זוגות שעלה סך ידוע ותרצה לידע הזוג האחרון
Take the root of half the amount and know up to what even number it is summed. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2k=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot{a}}}}$	תקח גדר חצי הסך ותדע עד איזה זוג חובר
To know [the sum of] the cubes of the even numbers that do not start from 2.	לידע מעוקבי זוגות שלא יתחילו מב‫'
Know [the sum of] the cubes up to the last even number and subtract from it the sum [of the cubes] from 2 up to the even number that precedes the first. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=m}^{n}\left(2k\right)^3=\sum_{k=1}^{n}\left(2k\right)^3-\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k\right)^3}}$	דע מעוקבם עד הזוג האחרון וחסר מהמקובץ העולה מב' עד הזוג שלפני הראשון
We know the first even number and the sum, but the last even number is unknown. $\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k\right)^3=a$	ידענו הזוג האחד והסך ונעלם הזוג האחרון
Sum up [the cubes] from 2 to the even number that precedes the first and add it to the known sum; know up to which even number it is summed. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k\right)^3\right]+a=\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3}}$	תקבץ מהב' עד הזוג שקודם הא' ותוסיפהו על הסך הידוע ותדע עד איזה זוג חובר
We know the last [even number] and the sum, but the first [even number] is unknown. $\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k\right)^3=a$	ידענו האחרון והסך ונעלם הא‫'
Sum up [the cubes] from 2 to the last odd number and take the difference between it and the known sum; know up to which even number it is summed according to the previous way and the even number that follows it is the unknown. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3\right]-a=\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k\right)^3}}$	תקבץ מהב' עד הזוג האחרון ותקח היתרון שבינו ובין הסך הידוע ותדע עד איזה זוג חובר ע"ד הקודם והזוג שלאחריו הוא הנעלם

Progression
The sum of numbers that exceed each other by a known increment.	קבוץ מספרים נוספים אלו על אלו בתוספת ידוע
Geometric progression
Whether by geometric progression and it is of two types: $\scriptstyle\sum_{k=1}^n q^k$	אם על יחס הנדסי וזה על שני מיני‫'
Either by the power of 2, starting from one or not. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2^k$ $\scriptstyle\sum_{k=m}^n 2^k$	אם על יחס הכפל יתחילו מהאח' או לא יתחילו
Such as the numbers 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^7 2^k}}$	כגון מספרי ב'ד'ח' י"ו ל"ב ס"ד קכ"ח
The way to know their sum is by doubling 128, which is the last number; the result is 256. Subtract from it the first number, which is 2; 254 remains and this is their sum. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2^k=\left(2\sdot{2^n}\right)-2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2+4+8+16+32+64+128=\left(2\sdot{128}\right)-2=256-2}}$	הדרך לדעת קבוצם שתכפול הקכ"ח שהוא המספר האחרון יעלה רנ"ו וגרע ממנו המספר הראשון שהוא הב' ישאר רנ"ד וככה קבוצם
Or by another power, even if it is two or three.	ואם הוא יחס אחר וגם אם יהיה יחס הכפל או השליש
Such as the numbers 3; 9; 27; 81; 243; 729; that are powers of three. $\scriptstyle\sum_{k=1}^6 3^k$	כגון מספרי ג' ט' כ"ז פ"א רמ"ג תשכ"ט שהם הולכים על יחס השליש
It has two ways:	יש בזה ב' דרכים
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n q^k=q^n+\left[\frac{1}{q-1}\sdot\left(q^n-q\right)\right]}}$
The first way is that you know the number from which the name of the progression is derived: two for a half, 3 for a third, 4 for a quarter; then we subtract one from it. As our number for instance, for which the increment of one over the other is three; we subtract one from it; two remains. The fraction that is derived from two is half. We take half the last number, after we subtract the first from it; it is 363. We add it to the last number, which is 729; the result is 1089 and this is their sum.	הדרך הראשון שתדע המספר אשר יגזור שם היחס שנים לחצי ג' לשליש ד' לרביע ונגרע ממנו אחד כגון מספרינו זה שתוספת קצת על קצת הוא שליש נגרע ממנו האחד ישארו שנים והשבר הנגזר משנים הוא החצי ונקח החצי מהמספר האחרון אחר שנגרע ממנו הראשון יהיה שס"ג הוספנום על המספר האחרון שהוא תשכ"ט יעלה אלף ופ"ט וככה קבוצם

\scriptstyle{\color{blue}{3+9+27+81+243+729=729+\left[\frac{1}{3-1}\sdot\left(729-3\right)\right]=729+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(729-3\right)\right]=729+363}}

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n q^k=q^n+\frac{q\sdot\left(q^n-q\right)}{q^2-q}}}$
The second way is that you multiply the first number, which is 3, by 729, which is the last number, after you subtract the first from it; the result is 2178. We divide it by the difference between the second and the first, which is six; the quotient is 363. We add it to the last number, which is 729; the result is 1089 and this is their sum.	הדרך הב' שתכה המספר הראשון שהוא הג' עם התשכ"ט שהוא המספר האחרון אחר שתגרע ממנו הראשון יעלה שני אלפים וקע"ח חלקנום על המותר שבין הב' לראשון שהוא ששה יעלה שס"ג הוספנום על המספר האחרון שהוא התשכ"ט יעלה אלף ופ"ט וככה קבוצם

\scriptstyle{\color{blue}{3+9+27+81+243+729=729+\frac{3\sdot\left(729-3\right)}{9-3}=729+\frac{2178}{6}=729+363}}

$\scriptstyle2^n=\left(2^\frac{n}{2}\right)^2$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{64=8^2}}$	ואם התחלתם מהאחד והם מיוחסים יחס הכפל כגון מספרי א"ב ד"ח י"ו ל"ב ס"ד ורצית לדעת מספר המדרגה האחרונה או איזו מדרגה שתהיה תכה האמצעית בעצמה כגון הח' במשלינו זה יעלה ס"ד
$\scriptstyle2^n=2^\left(\frac{n}{2}-a\right)\sdot{2^\left(\frac{n}{2}+a\right)}$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{64=4\sdot{16}=2\sdot{32}}}$	או שני המדרגות הרחוקות מהאמצעית ריחוק שוה כגון הד' עם הי"ו או השנים עם הל"ב
$\scriptstyle2^n=2^\left(\frac{2m}{2}-1\right)\sdot{2^\frac{2m}{2}}$	ואם היה מספר המדרגות זוג תכה השני אמצעים
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{32=4\sdot{8}}}$	כגון שרצית לדעת מספר המדרגה הו' תכה המדרגה השלישית עם הרביעית שהוא הד' עם הח' ויעלה ל"ב
$\scriptstyle2^n=2^\left(\frac{2m}{2}-1-a\right)\sdot{2^\left(\frac{2m}{2}+1\right)}$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{32=2\sdot{16}}}$	או ב' המדרגות הרחוקות שהם ריחוק שוה כגון הב' עם הי"ו ויעלה ל"ב וזהו מספר המדרגה הששית

Arithmetic progression
Or they are in an arithmetic progression and it is in three types: either their beginning is equal to their increment, or less, or more.	ואם הם על יחס מספרי וזה על ג' מינים או התחלתם שוה לתוספתם או פחות או יותר
If their beginning is equal to their increment, they either start from one, or not. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=d}}$	ואם התחלתם שוה לתוספתם יתחילו מהאח' או לא יתחילו
Such as the numbers 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; whose increment one over the other is equal to the first number, which is 3. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^7 3k}}$	כגון מספרי ג' ו' ט' י"ב ט"ו י"ח כ"א שתוספת אלו על אלו שוה למספר הראשון והוא הג‫'
It has two ways:	יש בזה ב' דרכים
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{S_n=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot a_n}}$
The first is that you take half the number of the terms, plus a half of 7, which is 4 in our example, and multiply it by the last number, which is 21; the result is 84. $\scriptstyle{\color{blue}{3+6+9+12+15+18+21=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot7\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot21=4\sdot21=84}}$	הראשון שתקח חצי כמות המדרגות בתוספת חצי ז' שהוא במשלינו זה ד' ותכהו במספר האחרון שהוא הכ"א יעלה פ"ד
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{S_n=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]\sdot n}}$
The second is that you sum the first with the last; it is 24. Take its half, which is 12, and multiply it by the number of the terms, which is 7; the result is 84. $\scriptstyle{\color{blue}{3+6+9+12+15+18+21=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(3+21\right)\right]\sdot7=\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)\sdot7=12\sdot7=84}}$	והב' שתחבר הראשון עם האחרון יהיו כ"ד ותקח חצים והוא י"ב ותכם במנין המדרגות והוא ז' יעלה פ"ד
If their beginning is less than their increment. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1<d}}$	ואם התחלתם פחות מתוספתם
Such as the numbers 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; whose increment is two and their beginning is one. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^8 \left[\left[2\sdot\left(k-1\right)\right]+1\right]}}$	כגון א' ג' ה' ז' ט' י"א י"ג ט"ו שתוספתם שנים והתחלתם מהאחד
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{S_n=\left[\left[\left(d-a_1\right)+a_n\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot n\right]}}$
We add the deficit, which is one, to the last number, which is 15; it is 16.	נוסיף המגרעת שהוא אחד על המספר האחרון שהוא ט"ו יהיו י"ו
We multiply it by half the [number of the] terms plus one half, which is 4½; the result is 72.	ונכם בחצי המדרגות בתוספת חצי שהם ד' וחצי יעלה ע"ב
We subtract from it the product of the deficit by the [number of the] terms, which is the product of one by 8 that is the number of the terms; the product is 8.	נגרע מהם הכאת המגרעת עם כל המדרגות שהוא הכאת האח' בח' שהם מנין המדרגות יעלה ח‫'
We subtract it from 72; 64 remains and this is their sum.	נגרעם מהע"ב ישארו ס"ד וככה קבוצם

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+3+5+7+9+11+13+15&\scriptstyle=\left[\left[\left(2-1\right)+15\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\left(2-1\right)\sdot8\right]=\left[\left(1+15\right)\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]-\left(1\sdot8\right)\\&\scriptstyle=\left[16\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]-8=72-8=64\\\end{align}}}

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{S_n=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]\sdot n}}$
If you want to use the second way: we sum 1 with 15; it is 16. We take its half, which is 8, and multiply it by the number of the terms, which are 8; it is 64 and this is their sum. $\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7+9+11+13+15=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+15\right)\right]\sdot8=\left(\frac{1}{2}\sdot{16}\right)\sdot8=8\sdot8}}$	ואם תרצה להשתמש בדרך הב' שנחבר הא' עם הט"ו יהיו י"ו ונקח חציים שהוא ח' ותכם במנין המדרגות שהם ח' יהיו ז' ס"ד וככה קבוצם
If their beginning is greater than their increment. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1>d}}$	ואם יותר מתוספתם
Such as the numbers 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^7 \left(3k+2\right)}}$	כגון מספרי ה' ח' י"א י"ד י"ז כ' כ"ג
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{S_n=\left[\left[\left(a_1-d\right)+a_n\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{n}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left(a_1-d\right)}}$
Add the excess over the increment, which is 2, to the last number, which is 23; it is 25.	תוסיף היתר על התוספת שהוא ב' על המספר האחרון שהוא כ"ג יהיו כ"ה
Multiply it by half the number of the terms plus one-half; it is 100.	הכם בחצי המדרגות בתוספת חצי יהיו ק‫'
Subtract the excess, which is 2; 96 remains and it is their sum.	גרע התוספת שהוא ב' ישאר צ"ח וככה קבוצם

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5+8+11+14+17+20+23&\scriptstyle=\left[\left[\left(5-3\right)+23\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{7}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left(5-3\right)=\left[\left(2+23\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{7}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-2\\&\scriptstyle=\left[25\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{7}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-2=100-2\\\end{align}}}

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{S_n=\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\frac{a_n-a_1}{d}+1\right]\right]\sdot\left(a_1+a_n\right)}}$
Example:	ואם תרצה חסר הראשון שהו' הה' מן האחרון שהוא כ"ג ישארו י"ח תחלקהו על מספר תוספתם שהוא ג' והיוצא תוסיף עליו א' יהיו שבעה ושמרם אח"כ חבר הראשון והאחרון והכם בחצי השבעה

\scriptstyle{\color{blue}{5+8+11+14+17+20+23=\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\frac{23-5}{3}+1\right]\right]\sdot\left(5+23\right)=\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\frac{18}{3}+1\right]\right]\sdot\left(5+23\right)=\left(\frac{1}{2}\sdot{7}\right)\sdot\left(5+23\right)}}

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{S_n=\left[\frac{a_n-a_1}{d}+1\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]}}$
Or, take its half and multiply it by seven and so is their sum.	או תקח חציים ותכם עם השבעה וככה קבוצם

\scriptstyle{\color{blue}{5+8+11+14+17+20+23=\left(\frac{23-5}{3}+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+23\right)\right]=\left(\frac{18}{3}+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+23\right)\right]=7\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+23\right)\right]}}

If you wish to know [their sum] when the first number is equal to the increment. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=d}}$	ואם תרצה תדע אם המספר שממנו צמיחתם שוה לתוספתם
As the numbers: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=3}^{10} 2k}}$	כגון מספרי ו' ח' י' י"ב י"ד י"ו י"ח כ‫'
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n a_k=\sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=1}^{m-1} a_k$	תדע מנין המדרגות שממספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון ותדע קבוץ המספרים על דרך הקודם ושמרהו ואח"כ תדע מנין המדרגות שהם מהמספר שממנו צמיחתם עד המספר הקודם לראשון מדרגה אחת ותדע קבוצם על דרך הקודם ותגרע זה מהשמור
If the first number is smaller than the increment. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1<d}}$	ואם המספר שממנו צמיחתם פחות מתוספתם
As the numbers: 5, 8, 11, 14, 17. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^5 \left(3k+2\right)}}$	כגון מספרי ה'ח' י"א י"ד י"ז

{\color{OliveGreen}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=m}^n a_k&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{n}\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot{n}\right]\right]\\&\scriptstyle-\left[\left[\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(m-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_{m-1}+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot\left(m-1\right)\right]\right]\\\end{align}}}

Know the number of terms from the first number to the last number.	תדע מנין המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון
Add the deficit to the last number and know their sum according to the previous method.	ותוסיף המגרעת על המספר האחרון ותדע מנין קבוצם ע"ד הקודם
Multiply it by half the number of the terms plus one-half.	תכה חצי כמות המדרגות בתוספת חצי עמו
Subtract from the result the product of the deficit by the number of the terms from the first number to the last number and keep the remainder.	ותגרע מהעולה הכאת המגרע' עם מנין המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון ושמור הנשאר
Then, know the number of terms from the first number to the number that precedes the first number.	אח"כ תדע מנין המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המדרגה הקודמת למספר המדרגה הראשונה
Add the deficit to [the number that precedes the first number].	ותחבר עמו מספר המגרעת ~~עם כל המדרגות~~
Multiply it by half the number of the terms plus one-half.	ותכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי
Subtract from the result the product of the deficit by the number of the terms from the first number to the number that precedes the first number.	ותגרע מהעולה הכאת המגרעת עם כל המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המדרגה הקודמת למספר הראשון
Subtract the remainder from the reserved and it is the required.	והנשאר תגרעהו מהשמור והוא המבוקש
	ולידע מנין המדרגות וגם לידע אם המספר הא' שממנו צמיחתם שוה לתוספתם תחלק המספר האחרון על מספר תוספתם
$\scriptstyle a_1=d\longrightarrow\frac{a_n}{d}=n$	ואם יצא בחילוק שוה מה שיצא בחילוק הוא מספר המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון והתחלתם שוה לתוספתם
$\scriptstyle a_1\neq{d}\longrightarrow\frac{a_n-a_1}{d}+1=n$	ואם נותר שום מספר מה שיצא בחילוק בתוספת אחת הוא מספר המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון והנותר הוא המספר שממנו צמיחתם והבן
$\scriptstyle a_n=d\sdot\left(n-1\right)+a_1$	ואם המספר האחרון הוא אשר רצית לידע הכה המותר עם מספר המדרגות חסר אחת והוסיף על העולה מספר הראשון והבן
	ויש דרכים אחרים מיוחדים בנושא מיוחד וג"כ עניינים אחרים לידע שאלות החשבון וכו‫'

Multiplication of Fractions

הכאת השברים

Multiply the numerator by the numerator, then relate [the product] to the product of the denominator by the denominator.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}}}

שתכה הכמות עם הכמות וניחסהו אל הכאת האיכות עם האיכות

Or we multiply the product of the denominators by itself, then we relate to it the result of multiplication of the products of the numerator of one by the denominator of the other.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)\sdot\left(c\sdot b\right)}{\left(b\sdot d\right)^2}}}

או נכה העולה מהכאת האיכות בפני עצמו ונייחס אליו הכאת העולה מהכאת כמות האח' עם איכות חבירו זה בזה

Likewise, if fractions of fractions, and fractions of fractions of fractions and so on endlessly are related to integers: we multiply all the numerators by each other, then the product by the integers, whether they are integers or fractions of fractions of integers, then multiply the denominators by their order and relate the product to the product of the numerators by each other.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_1}{b_1}\sdot\frac{a_2}{b_2}\cdots\frac{a_n}{b_n}\sdot{n}=\frac{a_1\sdot{a_2}\cdots{a_n}\sdot{n}}{b_1\sdot{b_2}\cdots{b_n}}}}

וכן אם היו מיוחסים אל שלמים שברי שברים ושברי שברי שברים וכן עד אין תכלית נכה כל האיכיות זה בזה ומה שיתקבץ עם השלימים ואם היו שלמים אחדים או שברי שברים של שלמים תחזור ותכה כל הכמיות על הסדר ותיחס ~~ואם תרצה~~ המקובץ אל הכאת האיכות זה בזה

If you want to sum products of numbers:

ואם תרצה לקבץ מספרים מוכים

For instance: you wish to know the sum of the product of two quarters by 2-sixths with the product of 4-fifths by 5-sixths, without having to multiply first then to sum, and still the total result is exact.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)}}

כגון שרצית לידע קבוץ הכאת שני רביעיות עם ב' ששיות עם קבוץ הכאת ד' חומשיות עם ה' ששיות מבלתי שתצטרך תחלה להכות ואח"כ לקבץ אבל יצא הכל מתוקן ביחד

$\scriptstyle\frac{5}{6}\;\frac{4}{5}$	$\scriptstyle\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}$

Multiply all the denominators by each other; the result is 720, keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot6\sdot5\sdot6=720}}

תכה האיכיות כלם זה בזה יעלה תש"כ ותשמרם

Multiply the numerator of the first by the denominator of the second; it is 120.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2\sdot5\sdot6=120}}

אח"כ תכה כמות הראשונים עם איכות השניים יהיו ק"ך

[Multiply] the numerator of the second by the denominator of the first; the result is 480.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5\sdot4\sdot6=480}}

וכמות השניים עם איכות הראשונים יעלה ת"ף

Add it to 120; it is 600.

\scriptstyle{\color{blue}{120+480=600}}

חברם אל ק"ך יהיו ת"ר

Relate it to 720; it is 600 parts of 720, which is 5-sixths and so is the sum of the product of these with the product of these.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)=600:720=\frac{600}{720}=\frac{5}{6}}}

יחסם אל תש"כ יהיו ת"ר חלקים מתש"כ והם ה' שישיות וככה העולה מקבוץ הכאת אלו עם קבוץ הכאת אלו

In this way, as many as the numbers are, you multiply the numerators of the whole number by all the denominators.

וכן על דרך זה ירבו המספרים מה שירבו תכה כמיות כל המספר עם כל האיכיות

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{a_2}{b_2}\right)+\left(\frac{a_3}{b_3}\times\frac{a_4}{b_4}\right)+\cdots+\left(\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\times\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\left(a_1\sdot{a_2}\sdot{b_3}\cdots{b_n}\right)+\left(a_3\sdot{a_4}\sdot{b_1}\sdot{b_2}\sdot{b_5}\cdots{b_n}\right)+\cdots+\left(a_{n-1}\sdot{a_n}\sdot{b_1}\cdots{b_{n-2}}\right)}{\prod_{k=1}^n b_k}}}

If you want by way of addition, i.e. you wish to multiply this sum by that sum.

ואם תרצה ע"ד הקיבוץ שרצית להכות קבוץ זה עם קבוץ זה

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}\right)\times\left(\frac{a_3}{b_3}+\frac{a_4}{b_4}\right)=\frac{\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)}{\prod_{k=1}^4 b_k}}}

For instance: you wish to know the product of [the sum of] two quarters with two sixths by the sum of 4-fifths with 5-sixths, without having to sum them, then to multiply them, and still the total result is exact.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)\times\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}\right)}}

כגון שרצית לידע כמה העולה מהכאת הב' רביעיות עם שני ששיות עם קבוץ ד' חומשיות עם ה' ששיות בזול' שתקבצם ואח"כ להכותם אבל יצא הכל מתוקן בפעם אחת

Arrange them as follows:

תסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{5}{6}\;\frac{4}{5}$	$\scriptstyle\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}$

Multiply the numerator of the first by the denominator of the second, the denominator of the third, and the numerator of the fourth; it is 300, keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot5\sdot5=300}}

תכה כמות הראשון עם אכות הב' ואיכות הג' וכמות הד' יהיו ש' ושמרם

Multiply the numerator of the first by the denominator of the second, the numerator of the third, and the denominator of the fourth; it is 288, keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot4\sdot6=288}}

אח"כ תכה כמות הראשון עם איכות הב' וכמות הג' ואיכות הד' יהיו רפ"ח ושמרם

Multiply the numerator of the second by the denominator of the first, the denominator of the third, and the numerator of the fourth; it is 200, keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot5\sdot5=200}}

אח"כ תכה כמות הב' עם איכות הראשון ועם איכות הג' וכמות הד' יהיו ק"ק ושמרם

Multiply the numerator of the second by the denominator of the first, the numerator of the third, and the denominator of the fourth; it is 192.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot4\sdot6=192}}

אח"כ תכה כמות הב' עם איכות הראשון וכמות הג' ואיכות הד' יהיו קצ"ב

Sum the four reserved; the result is 980.

\scriptstyle{\color{blue}{300+288+200+192=980}}

חבר הד' השמורים יעלה תתק"ף

Multiply the denominators by each other; the result is 720.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot6\sdot5\sdot6=720}}

ותכה המורים זה בזה עד כלותם יעלה תש"כ

Relate the 980 to it and this is the product of the sum of 2-quarters with two sixths by the sum of 4-fifths with five sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)\times\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}\right)=980:720}}

יחס התתק"ף אליהם הוא העולה מהכאת קבוץ ב' רביעיות עם שני ששיות עם קבוץ ד' חומשיות עם חמשה ששיות

Methods of checking	מאזנים
Divide the result of the multiplication by one of the multiplied fractions, whichever you want, and the result of division is the other fraction. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)\div\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}}$	שתחלק העולה מההכאה על השב' אחד מהמוכים איזה שתרצה ויעלה השבר האחר בחלוקה
Like this: we multiply 2-quarters by 2-sixths; the result is 4 parts of 24.	כיצד הכינו ב' רביעיות עם ב' ששיות ועלה ד' חלקים מכ"ד
We divide them by the 2-quarters; the result of division is two sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}\right)\div\frac{2}{4}=\frac{4}{24}\div\frac{2}{4}=\frac{2}{6}}}$	נחלקם על הב' רביעיות יצא בחילוק שני ששיות
The division procedure will be explained in its place with God's help.	ודרך החלוק יתבאר במקומו בעה"ו
Another scale: multiply the difference between the smaller fraction and 1 by the other. We sum the result with the primary product and [the sum] is equal to the greater fraction. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(1-\frac{c}{d}\right)\times\frac{a}{b}\right]+\left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)=\frac{a}{b}}}$	מאזנים אחרים שתכה ההב' שבין השבר הקטן עד תשלום הא' שלם עם חבירו ונקבץ העולה עם העולה מהכאה ראשונה וישוה לשבר הגדול
In this example, we multiply 2-quarters by 2-sixths; the result is 4 parts of 24.	במשל זה הכינו ב' רביעיות עם ב' ששיות ועלה ד' חלקים מכ"ד
We take the smaller fraction, which is 2-sixths, the difference between it and the unit is 4-sixths.	לקחנו השבר הקטן והוא הב' ששיות וההבדל שבינו ובין השלם ד' ששיות
We multiply it by 2-quarters, which is the greater fraction; the result is 8 parts of 24.	הכינום עם ב' רביעיות שהוא השבר הגדול ועלה ח' חלקים מכ"ד
We sum it with the 4 parts of 24, which is the primary product; [the sum] is 12 parts of 24 that are 2-quarters.	קבצנו אותם עם הד' חלקים מכ"ד שהיא ההכאה הראשונה והם י"ב חלקים מכ"ד והם הב' רביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1-\frac{2}{6}\right)\times\frac{2}{4}\right]+\left(\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}\right)=\left(\frac{4}{6}\times\frac{2}{4}\right)+\frac{4}{24}=\frac{8}{24}+\frac{4}{24}=\frac{12}{24}=\frac{2}{4}}}

If you want to verify that they are indeed 2-quarters, arrange them as follows:

ואם תרצה לאמת אם הם בעצמם הב' רביעיות סדרם ככה

$\scriptstyle\frac{2}{4}$	$\scriptstyle\frac{1}{2}\;\frac{2}{4}$

Cross-multiply the numerator of the one by the denominator of the other and [the result] is equal to the product of the denominator of the one by the numerator of the other. Understand [this].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\longleftrightarrow b\times{c}=d\times{a}}}

ותכה אלכסונות כמות הא' עם איכות חבירו וישו' העולה מהכאת כמות האחד עם איכות חבירו והבן

Another scale: we take the numerator of the fraction resulting from the multiplication of the fractions. We look for a number whose ratio to it is the ratio of whichever fraction you wish of the multiplied fractions. If the ratio of the required number to the numerator of the fraction resulting from the multiplication of the fractions is equal to the ratio of the remaining fraction, you were right.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot{c}}{b\sdot{d}}\longrightarrow\left(a\sdot{c}\right):x=\frac{a}{b}\longleftrightarrow x:\left(b\sdot{d}\right)=\frac{c}{d}}}

מאזנים אחרים נקח כמות השבר היוצא מהכאת השברים המוכים ונבקש מספר שיהי' יחסו אליו יחס השבר האח' מהשברים המוכים איזה שתרצה ואם היחס מספר המבוקש אל איכות השבר היוצא מהכאת השברים המוכים שוה אל יחס השבר הנשאר צדקת

In our example: we multiply the 2-quarters by 2-sixths; the result is 4 parts of 24.

במשלינו זה הכינו הב' רביעיות עם הב' ששיות ועלה ד' חלקים מכ"ד

We look for a number, to which the 4 that is the numerator resulting from the product of the multiplied fractions is related by the ratio of 2-quarters or 2-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}=\frac{4}{24}\longrightarrow 4:x=\frac{2}{4}\longleftrightarrow x:24=\frac{2}{6}}}

נבקש מספר שיהיה מיוחס אליו הד' שהוא הכמות היוצא מהכאת השברים המוכי' יחס ב' רביעיות או ב' ששיות

The way to know it is that we arrange them like this:

ודרך ידיעת זה הוא שנסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{4}{8}\;\frac{2}{4}$

We cross-multiply 4 by 4; the result is 16.

ונכה האלכסונות שהם ד' עם ד' יעלה י"ו

We divide it by two, which is the [numerator] of 2-quarters; the result is 8.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot{4}}{2}=\frac{16}{2}=8}}

נחלקם על השנים שהוא איכות הב' רביעיות יעלה ח‫'

We place it beneath the second 4; we find that for to 8 is the ratio of 2-quarters.

\scriptstyle{\color{blue}{4:8=\frac{2}{4}}}

ונשים אותו תחת הד' הב' נמצא שארבעה מח' הוא יחס הב' רביעיות

We relate the required number, which is 8, to the denominator of the fraction resulting from the multiplication, which is 24; we find that it is 2-sixths of it and this is the other remaining fraction.

\scriptstyle{\color{blue}{8:24=\frac{2}{6}}}

וניחס מספר המבוק' שהוא הח' אל איכות השבר היוצא מההכאה שהוא כ"ד ונמצא שהם ב' ששיות ממנו וזהו השבר האחד הנשאר

If you wish to apply the second scale, look for a number, to which the ratio of 4 is as the ratio of 2-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}=\frac{4}{24}\longrightarrow 4:x=\frac{2}{6}\longleftrightarrow x:24=\frac{2}{4}}}

ואם תרצה לעשות המאזנים בהב' שתבקש מספר שיהיה יחסו הד' אליו כיחס הב' שישיות

This is by that we arrange them like this:

וזה בשנסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{4}{12}\;\frac{2}{6}$

Cross-multiply the 6 by the 4; the result is 24.

ותכה האלכסון שהוא הו' עם הד' יעלה כ"ד

Divide it by 2; the quotient is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6\sdot{4}}{2}=\frac{24}{2}=12}}

חלקם על הב' יעלה י"ב בחלוקה

Write it beneath the 4. Take the 12 and relate it to the 24, of which it is 2-quarter, and this is the other fraction itself.

\scriptstyle{\color{blue}{12:24=\frac{2}{4}}}

ותשימים תחת הד' ותקח הי"ב ותיחסם אל הכ"ד והם ב' רביעיו' ממנו והוא בעצמו השבר האחר

Addition of Fractions

קבוץ השברים

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq{k}}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k}}}$

The second species is the addition of fractions, which is that if you wish to sum up known fractions, multiply the numerator of the first by all the denominators, except that which beneath it, then relate it to the product of the denominators one by the other, or divide it by it; reduce it, meaning examine by which of them it is divided first and divide it by it. Likewise for the second [numerator and so on] until they are complete.

המין הב' הוא קבוץ השברים והוא שאם תרצה לקבץ שברים ידועים תכה כמות האח' עם כל האכיות זולת מה שתחתיו ותיחסהו אל הכאת האיכיות זה בזה או תחלקהו עליהם ותעשה אותם כלילת יופי רצוני שתראה לאיזה מהם מתחלק ראשונה ותחלקהו עליו ואח"כ על הב' עד תומם

Example: we wish to sum two-quarters, 4-eighths, and 3-ninths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+\frac{3}{9}}}

דמיו' רצינו לקבץ שני רביעיות וד' שמניות וג' תשיעיות

We arrange them like this:

נסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{3}{9}\;\frac{4}{8}\;\frac{2}{4}$

Cross-multiply 2, which is the numerator of the first, by 8, and the product by 9, which is the denominator of the third; the result is 144. Keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot8\sdot9=144}}

תכה הב' שהוא הכמות הא' עם הח' שבאלכסונות ומה שיתקבץ עם הט' שהוא איכות הג' יעלה קמ"ד ושמרם

Then, cross-multiply the numerator of the second, which is 4, by 4, which is the denominator of the first, and the product by 9, which is the denominator of the third; the result is 144. Keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4\sdot9=144}}

אח"כ תכה כמות השני והוא הד' עם הד' שבאלכסונות שהוא איכות הראשו' ומה שיתקבץ עם הט' שהוא איכות הג' יעלה קמ"ד ושמרם

Multiply also the numerator of 9, which is 3, by the denominator of 4, which is 8, and the product by the denominator of the second, which is 4; the result is 96.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot8\sdot4=96}}

ג"כ תכה כמות הט' והוא הג' עם איכות הד' והוא הח' ומה שיתקבץ עם איכות הב' והוא הד' יעלה [.] צ"ו

Sum it with the two reserved number; the result is 384.

\scriptstyle{\color{blue}{144+144+96=384}}

חברם עם הב' המספרים השמורים יעלה שפ"ד

Then, we multiply all the denominators be each other; the result is 288.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8\sdot9=288}}

אח"כ נכה כל האכיות זה בזה יעלה רפ"ח

384 of them are 1 integer and 96 parts of 288.

והם השפ"ד מהם א' שלם וצ"ו חלקים מרפ"ח

If you wish to divide 384 by the denominators, divide it first by 8, then by 4, then by 9, so that you will get reduced fractions; the result of division is 1 integer and 3-ninths, which are 96 parts of 288.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+\frac{3}{9}=\frac{384}{288}=1+\frac{96}{288}=1+\frac{3}{9}}}

ואם תרצה לחלק השפ"ד על המורים כשתחלקהו תחלה על הח' אח"כ לד' אח"כ לט' כדי שיצאו לך החלקים נאותים ויעלה בחלוקה א' שלם וג' תשיעיות והם הצ"ו חלקים מרפ"ח

The proof is that you arrange them like this:

והמופת שתסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{96}{288}\;\frac{3}{9}$

Cross-multiply and [the products] are equal. This is the first method.

\scriptstyle{\color{blue}{96\sdot{9}=288\sdot{3}}}

ותכה האלכסונו' ויהיו שוים זהו הדרך הא‫'

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(1-\frac{a}{b}\right)>\frac{c}{d}}}$

The second method: take the complement of the first fraction for a whole unit. We subtract from it the other fraction that is summed with it, if the complement is greater than it. Then, take the complement for the whole unit and this is the sum of the two fractions.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]}}

והדרך הב' שתקח החסרון אשר יחסר מהשבר הא' עד תשלומו לא' שלם ונחסר ממנו השבר הא' הנקבץ עמו אם היה החסרון גדול ממנו והיוצא קח החסר ממנו עד תשלום הא' שלם והוא סך הב' שברים

Example: you wish to sum two-quarters with 2-ninths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{9}}}

דמיון רצית לקבץ שני רביעיות עם ב' תשיעיו‫'

Arrange them like this:

תסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{2}{9}\;\frac{2}{4}$

Take the complement of 2-quarters for a whole unit; it is the other two-quarters.

ותקח החסר מהב' רביעיות עד תשלום א' שלם והם שני רביעיות אחרים

Subtract the 2-ninths from it; 10 parts of 36 remain.

ותחסר מהם הב' תסיעיות ישארו י' חלקים מל"ו

Take their complement for a whole unit; it is 26 parts of 36 and this is their sum.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{9}=1-\left[\left(1-\frac{2}{4}\right)-\frac{2}{9}\right]=1-\left(\frac{2}{4}-\frac{2}{9}\right)=1-\frac{10}{36}=\frac{26}{36}}}

וקח החסר מהם עד תשלום האחד שלם והם כ"ו חלקים מל"ו וככה קבוצם

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(1-\frac{a}{b}\right)<\frac{c}{d}}}$

If the complement from a whole unit is smaller than the second fraction, so you cannot subtract the other fraction from it.

ואם מה שחסר לא' שלם הוא יותר קטן מהשבר הב' באופן שלא תוכל מחסר ממנו השבר הא‫'

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]+1}}

Such as 4-ninths with 5-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}+\frac{5}{6}}}

כגו' ד' תשיעיו' עם ה' ששיות

$\scriptstyle\frac{5}{6}\;\frac{4}{9}$

The complement of 4-ninths for a whole unit is 5-ninths, which is less than 5-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1-\frac{4}{9}\right)=\frac{5}{9}<\frac{5}{6}}}

שחסר לד' תשיעיות לתשלום אח' שלם הוא ה' תשיעיו' והם פחות מה' ששיות

We subtract 5-ninths from 5-sixths; 15 parts of 54 remain and this is the excess over the one integer. So, their sum is 1 integer and 15 parts of 54.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}+\frac{5}{6}=\left[\frac{5}{6}-\left(1-\frac{4}{9}\right)\right]+1=\left(\frac{5}{6}-\frac{5}{9}\right)+1=\frac{15}{54}+1}}

הנה נחסר הה' תשיעיות מהה' ששיות ישאר ט"ו חלקים מנ"ד והם התוספת על הא' השלם וקבוצם הוא א' שלם וט"ו חלקים מנ"ד

If you wish to add a third fraction.

ואם תרצה לקבץ עוד שב' ג‫'

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[1-\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-1\right]\right]<\frac{e}{f}}}$

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-1\right]\right]\right]+1+1}}

As for example 6-sevenths.

{\color{blue}{\scriptstyle\frac{4}{9}+\frac{5}{6}+\frac{6}{7}}}

כאלו משל ו' שביעיות

Apply carefully the previous method, that you complete the 15 parts to a whole unit; it is 39 parts of 54.

הנה תעשה הדרך הקודם בעיון שתשלים הט"ו חלקים מנ"ד לא' שלם והוא ל"ט חלקים מנ"ד

The six-sevenths are more than 39 parts of 54.

\scriptstyle{\color{blue}{1-\left[\left(\frac{4}{9}+\frac{5}{6}\right)-1\right]=1-\frac{15}{54}=\frac{39}{54}<\frac{6}{7}}}

ובעבור שהשש שביעיות יותר מל"ט חלקים מנ"ד

Hence, we subtract 39 parts of 54 from them; 51 parts of 378 remain and it is the excess over 1 integer, plus the 1 that is kept in our hand, they are 2; which is 2 and 58 parts of 378.

הנה נחסר מהם ל"ט חלקים מנ"ד ישאר נ"א חלקים משע"ח והם התוספת על הא' השלם והא' השמור שבידינו הם ב' והם ב' ונ"[א] חלקים משע"ח

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}+\frac{5}{6}+\frac{6}{7}=\left[\frac{6}{7}-\left[1-\left[\left(\frac{4}{9}+\frac{5}{6}\right)-1\right]\right]\right]+1+1=\left[\frac{6}{7}-\left(1-\frac{15}{54}\right)\right]+1+1=\left(\frac{6}{7}-\frac{39}{54}\right)+1+1=\frac{51}{378}+1+1=2+\frac{51}{378}}}

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[1-\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-1\right]\right]>\frac{e}{f}}}$

Likewise, if you have to subtract the fraction from it, for instance, when the complement of the result is greater than [the third fraction], take the complement of what remains and it is the sum of the three fractions.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[1-\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-1\right]\right]-\frac{e}{f}\right]+1}}

וכן אם היית צריך לחסר השבר האחד ממנו כגון שהיה אשר יחסר ליוצא גדול ממנו הנה ממה שישאר תשלימהו לא' והוא סך הג' שברים הנקבצים

In this way you can sum endlessly.

וכן בזה הדרך תוכל לקבץ עד אין תכלית

If you want to use another method, take the result before you subtract or add it.

ואם תרצה להשתמש בדרך אחרת והוא שתקח היוצא טרם שתחסרהו או תוסיפהו

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]<\frac{e}{f}}}$

If the result is an excess over one and it is smaller than the third [fraction] that you want to sum with the two others, subtract it from that fraction and the result is the excess over the one integer.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\frac{e}{f}-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]\right]+1}}

ואם היה היוצא מאשר יצטרך להשלים לאחד וג"כ היה קטן מהג' אשר תרצה לקבץ עם הב' האחרים הנה תחסרהו מהשבר ההוא והיוצא הוא התוספת על השלם הא‫'

For example: if you wish to sum 2-quarters with 2-sixths and 4-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+\frac{4}{7}}}

ד"מ ואם רצית לקבץ ב' רביעיות עם ב' שישיות וד' שביעיו‫'

Arrange them like this:

סדרם ככה

$\scriptstyle\frac{4}{7}\;\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}$

Take the complement of 2-quarters for one unit and subtract two-sixths from it; 4 parts of 24 remain.

הנה תקח החסר מב' רביעיות עד הא' השלם ונחסר ממנו שני ששיות נשאר ד' חלקים מכ"ד

We have to take the complement for one and by that the sum of the three fractions is known, but do not take the complement, take it as it is and subtract it from the third fraction, which is 4-sevenths; 68 parts of 168 remain and this is the excess over one integer. You find that their total sum is 1 and 68 parts of 198.

ונצטרך להשלים לאחד ובזה יודע סך הג' שברים הנה לא תשלימהו לאחד אלא תקחם כמות שהם ונחסרם מהשבר הג' שהוא ד' שביעיו' ישאר ס"ח חלקים מקס"ח והם התוספת על אח' שלם תמצא סך קבצם עולה א' ס"ח חלקים מקצ"ח

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+\frac{4}{7}=\left[\frac{4}{7}-\left[\left(1-\frac{2}{4}\right)-\frac{2}{6}\right]\right]+1=\left(\frac{4}{7}-\frac{4}{24}\right)+1=\frac{68}{168}+1}}

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]>\frac{e}{f}}}$

If the result is greater than the fraction that you want to add.

ואם היוצא גדול מהשבר אשר תרצה לקבצו

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]-\frac{e}{f}\right]}}

As when we add one-tenth instead of the 4-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+\frac{1}{10}}}

כגון שהוספנו במקום הד' שביעיות עשירית

According to this diagram:

כזה הצורה

$\scriptstyle\frac{1}{10}\;\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}$

The 4 parts of 24 are more than one-tenth.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1-\frac{2}{4}\right)-\frac{2}{6}\right]=\frac{4}{24}>\frac{1}{10}}}

שהנה הד' חלקים מכ"ד הם יותר גדול מעשירית

We subtract the one-tenth from them; 16 parts of 240 remain.

הנה נחסר העשירית מהם ישארו י"ו חלקים מר"ם

We take their complement for one units; it is 224 parts of 240 and this is the sum of the three fractions.

הם נשלימם לא' שלם רכ"ד חלקים מר"ם וככה קבוצם של ג' השברים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+\frac{1}{10}=1-\left[\left[\left(1-\frac{2}{4}\right)-\frac{2}{6}\right]-\frac{1}{10}\right]=1-\left(\frac{4}{24}-\frac{1}{10}\right)=1-\frac{16}{240}=\frac{224}{240}}}

If the result is an excess over one integer, we keep the one and look for the complement of the result for one unit.

ואם היוצא מאשר נצטרך להוסיף על השלם האחד הנה נשמור השלם ונבקש החסרון אשר יחסר מהיוצא עד תשלום הא' השלם

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]<\frac{e}{f}}}$

If this complement is smaller than the third fraction that is summed with the others, we subtract it from it, then add one to the result, and with the one that is kept in our hand it is the total sum.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]\right]+1\right]+1}}

ואם היה החסרון ההוא קטן מהשבר הג' הנקבץ עם האחרים הנה נחסרהו ממנו היוצא נוסיף עליו אחד ועם הא' השמור בידינו והוא סך השבר

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]>\frac{e}{f}}}$

If [the complement] is greater than the third summed fraction, subtract the fraction from it, and take the complement of the remainder for a whole unit, then add to it the one that is kept in our hand and it is the sum of the three fractions.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[1-\left[\left[1-\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-\frac{e}{f}\right]\right]+1}}

ואם היה החשבון גדול מהשבר הג' הנקבץ הנה תחסר השבר ממנו והיוצא תשלימהו לא' שלם והוסיף עליו הא' השמור אשר בידנו והוא סך הג' שברים

Understand this.

והבן

The third addition method

והדרך הג' לקבוץ

One should know one proposition, which is that there are two types of numbers: relatively prime and relatively composite.

צריך לידע הקדמה א' והוא שהמספרים ב' מנים נבדלים משותפים

The relatively prime numbers are those that are not counted by any number [= not share a common divisor] other than 1.

הנבדלים הם שלא ימנה לשנים מספר זולת הא‫'

The relatively composite numbers are of two types: either one counts [= is a divisor of] the other, or not, but there is another number that counts both [= a common divisor of both].

והמשותפים שני מינים או ימנה האח' את חברו או לא ימנהו אלא שיש מספר אח' ימנה את שניהם

The way to identify these types is that you divide the greater by the smaller and the quotient resulting from the division indicates the reduced ratio.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\sdot{b}\div{a}=b}}

והדרך אל ידיעת אלו המנים בשתחלק הגדול על הקטן והחלק היוצא בחלוק מורה על קטן היחס

For, if the two proportional numbers are ten and 100, divide 100 by 10 and the quotient is 10, and this 10 indicates that 100 is 10 times 10.

\scriptstyle{\color{blue}{100\div{10}=10\longleftrightarrow 100=10\times{10}}}

כי אם היו שני המספרים המתיחסים עשרה וק' תחלק הק' על הי' ויצא בחלוקה י' ואלה הם הי' מורים שק' י' פעמים כפל הי‫'

If something remains, divide the smaller number by the remainder, then the first remainder by the second remainder and so on do not cease from dividing the remainder by the remainder until the number ends, so that no remainder is left, and [the last remainder] is the greatest number that counts both of them [= their greatest common divisor].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a\sdot b\right)\div\left(c\sdot b\right)=\left[\left(a\sdot b\right)\div b\right]\div\left[\left(c\sdot b\right)\div b\right]=a\div c}}

ואם ישאר כלום תחלק המספר הקטן על המותר אח"כ המותר האח' על המותר הב' ולא תסור מחלוק המותר על המותר עד שיכלה המספר שלא ישאר בו מותר והוא גדול המספר אשר ימנם יחד

Afterwards, divide the smaller number by it and keep the result.

אח"כ חלק המספר הקטן עליו והעולה שמרהו

Look also for the number of times that it counts the greater, by dividing it by it, and keep the result.

גם בקש מספר הפעמים אשר ימנהו הגדול וזה כשתחלקהו עליו והעולה שמרהו

The two reserved [numbers] are the smallest proportional numbers of this ratio.

והב' שמורים הם קטני היחס ההוא

Example for relatively composite numbers: 12 and [the greater] number 27.

המשל השות' י"ב והמספר הקטן כ"ז

Divide 27 by 12; 3 remain.

חלקהו הכ"ז על הי"ב נשארו ג‫'

We divide 12 be it; nothing remains. So we find that the greatest number that counts both together [= their greatest common divisor] is 3.

חלקנו עליהם הי"ב ולא נשאר כלום ולכן מצינו שגדול המספר אשר ימנם יחד הוא ג‫'

We look for the number of times that it counts the 12, by dividing 12 by 3; the result is 4. We keep it.

בקשנו מספר הפעמים אשר ימנה הי"ב הוא בשחלקנו הי"ב על הג' ועלה ד' ושמרנום

We divide 27 by 3; the result is 9. We keep it.

חלקנו הכ"ז על הג' ועלה ט' ושמרנום

We know that 4 and 9 are the smallest proportional numbers of this ratio, so we know that the ratio of 12 to 27 is 4-ninths.

\scriptstyle{\color{blue}{12:27=12\div27=\left(12\div 3\right)\div\left(27\div 3\right)=4\div 9=\frac{4}{9}}}

וידענו שהד' והט' הם קטני היחס ההוא ולכן ידענו שהי"ב יחסו אל הכ"ז ד' תשיעיות

Therefore, when you want to find the smallest number in which given fractions are found, whichever they are, if their denominators are relatively prime, they are multiplied by each other and the product is the smallest number, in which these given fractions are found.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{LCM\left(p,q\right)=p\sdot q}}

ולכן כשתרצה לדעת קטן המספרים אשר ימצאו בו השברים המונחים איזה שברים שיהיו עם איכיותיהם נבדלים זה מזה יוכו זה עם זה והעולה הוא קטן המספר אשר מצאו בו אלו החלקים ההם המונחים

If they are relatively composite and one counts the other, the greater number is the lowest common multiple, in which these given fractions are found.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{LCM\left[\left(a\sdot b\right),b\right]=a\sdot b}}

אם יהיו משותפים והאח' מונה אחר המספר הגדול הוא קטן היחס אשר ימצאו השברי' המונחים

If it does not count it, but there is a number that counts them together, we look for their lowest common multiple according to the previous way.

ואם לא ימנהו אלא שיש מספר ימנם יחד נבקש קטן יחסם ע"ד הקודם

Then, we multiply the greater number among the two given denominators by the smaller number of their ratio in the lowest term.

ונכה המספר הגדול מב' האיכות המונחים עם המספר הקטון מב' איכות קטן היחס

Or, We multiply the smaller number among the two given denominators by the greater number of their ratio in the lowest term.

או נכה המספר הקטן מב' איכיות המונחים עם המספר הגדול מב' איכיות קטן היחס

The result is the smallest number, in which the two given fractions are found [= LCM].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{LCM\left[\left(a\sdot b\right),\left(c\sdot b\right)\right]=\left(a\sdot b\right)\sdot c=a\sdot\left(c\sdot b\right)}}

והעולה הוא קטן המספר אשר ימצאו בו ב' שברים ההם

If there are numerous fractions apply this same method: find the lowest common multiple, in which these two fractions are found, according to what preceded.

ואם היו השברים רבים תעש' בזה הדרך עצמו תמצא קטן היחס אשר ימצאו בו ב' שברים ההם לפי מה שקדם

If the third fraction counts it, the lowest common multiple, in which the former fractions are found, is also the lowest common multiple of the three fractions.

עם השבר הג' מונהו הנה קטן היחס אשר ימצאו בו השברים הקודמים בו ג"כ ימצא קטון היחס של הג' שברים

If they are relatively composite, we multiply it by it.

ואם הם נבדלים נכהו עמו

If another number counts both of them, we multiply [the smaller number of] their ratio in the lowest term by the greater number, which is the lowest common multiple, in which the two former fractions are found.

ואם מספר אחר ימנם יחד נכה המספר הקטון יחסם עם המספר הגדול שהוא המספר קטן היחס אשר נמצא בו הב' שברים הקודמים

The same way for more fractions

וכן ע"ז הדרך ירבו השברי‫'

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[\frac{a_k}{b_k}\sdot LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)\right]}{LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)}}}

Therefore, if you wish to sum up some fractions, we take their lowest common multiple according to the said way, divide it by all the denominators as the number of their numerators and keep each separately, then we sum up [the reserved numbers] and divide [the sum] by their lowest common multiple and this is the result.

ולכן אם תרצה לקבץ שברים מה הנה ניקח קטון היחסם ע"ד האמור ונחלקהו על כל האיכיות כפי מנין כמותם ונשמור כל אחד בפני עצמו אח"כ נקבצם ונחלקם על מספר קטון יחסם וזהו העולה

For example: we wish to sum 2-quarters, 4-sixths, 8-ninths and 5-eighths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{8}{9}+\frac{5}{8}}}

ד"מ בזה רצינו לקבץ ב' רביעיות וד' ששיות וח' תשיעיות וה' שמניות

Arrange them like this:

סדרם ככה

$\scriptstyle\frac{5}{8}\;\frac{8}{9}\;\frac{4}{6}\;\frac{2}{4}$

4 and 6 are counted by 2.

והד' והו' ימנם מספר הב‫'

Apply the said procedure: we divide 6 by 4; 2 remains.

כשתעשה הדרך האמור שנחלק הו' על הד' וישאר ב‫'

Then, divide 4 by 2; there is no remainder, so we know that two is the number that counts both of them [= their greatest common divisor]

אח"כ תחלק הד' על הב' ולא ישא' כלום ידענו שהשנים הוא מספר ימנם יחד

Hence, we multiply it by 6, or 3, which is the number of times that 2 counts 6, by 4; the result is 12 and this is the lowest common multiple that has a quarter and a sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(4,6\right)=LCM\left[\left(2\sdot2\right),\left(3\sdot2\right)\right]=2\sdot6=3\sdot4=12}}

ולכן נכהו עם הו' או נכה הג' שהוא מספר הפעמים שישנה הו' הב' עם ד' יעלה י"ב וזהו קטון היחס אשר יש בו רביעית וששית

Thereupon, we know that 9 is relatively prime to 12 [sic], so we multiply it by 9; the result is 108.

אח"כ ידענו שהט' הוא מספר נבדל מהי"ב ולכן הכנו אותו עם הט' יעלה ק"ח

According to the previous method, we find that 4 counts both 8 and 108, so we multiply 4 by 108; the result is 432 and this is the smallest number [sic] that has a quarter, a sixth, a ninth, and an eighth.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(12\sdot9\right)\sdot4=108\sdot4=432}}

וע"ד הקודם מצאנו שהד' ימנה לח' ולק"ח והכנו הד' עם הק"ח ועלה תל"ב וזהו קטון המספר אשר ימצא בו רביעית וששית ותשיעית ושמנית

Then, we divide 432 by 6 four times as its numerator; the result is 288.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(432\div6\right)=288}}

ואח"כ חלקנו התל"ב על הו' ד' פעמים כמנין כמותם ועלה רפ"ח

Then, we divide 432 by 9 eight times as its numerator; the result is 384. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\left(432\div9\right)=384}}

אח"כ חלקנו התל"ב על הט' ח' פעמים כמנין כמותם ועלה שפ"ד ושמרנום

Then, we divide 432 by 8 five times as its numerator; the result is 270.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\left(432\div8\right)=270}}

אח"כ חלקנו התל"ב על הח' ה' פעמים כמנין כמותם ועלה ר"ע

We sum up the four reserved [numbers]; the result is 1158.

\scriptstyle{\color{blue}{216+288+384+270=1158}}

חברנו הד' שמורים יעלה אלף וקנ"ח

Its ratio to 432 is two integers and 294 parts of 432.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{8}{9}+\frac{5}{8}=\frac{1158}{432}=2+\frac{294}{432}}}

יחסם אל תל"ב יהיו שנים שלמים ורצ"ד חלקים מתל"ב

Q.E.D.

וזה מה שרצינו לבאר

Methods of checking

מאזנים

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}}$

We subtract whichever of the [summed] fractions you wish and the other remains.

שנחסר השבר הנשאר איזה מהם שתרצה וישאר האחר

Example: we sum up two-quarters with 2-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{6}}}

המשל קבצנו שני רביעיות עם ב' ששיות

Like this:

כזה

$\scriptstyle\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}$

The result is twenty parts of 24.

ועלה עשרים חלקים מכ"ד

Subtract 2-quarters from it; two-sixths remain.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)-\frac{2}{4}=\frac{20}{24}-\frac{2}{4}=\frac{2}{6}}}

חסר מהם הב' רביעיות ונשארו שני ששיות

Or, subtract 2-sixths; 2-quarters remain.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)-\frac{2}{6}=\frac{20}{24}-\frac{2}{6}=\frac{2}{4}}}

או חסר הב' ששיות וישארו הב' רביעיות

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-1=\frac{c}{d}}}$

Another scale: add to the sum the complement for one of whichever of the summed fractions you wish, then subtract one from the result, and if the remainder is equal to [the sum of] the remaining summed [fractions], you were right.

מאזנים אחרים שתקבץ עם המקובץ החסר משלימו איזה שבר שתרצה מהנקבצין עד האחד השלם והעולה תשליך ממנו אחד ואם הנשאר שוה לעולה מהנקבצין הנשארים צדקת

As when we take 2-quarters, which is its [own] complement for one unit, we sum it with 20 parts of 24; the result is 1 and 2-sixths. We subtract one; the remainder is 2-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)+\left(1-\frac{2}{4}\right)\right]-1=\left(\frac{20}{24}+\frac{2}{4}\right)-1=\left(1+\frac{2}{6}\right)-1=\frac{2}{6}}}

כגון שלקחנו הב' רביעיות שחסר משלמותך השלם וקבצנום עם כ' חלקים מכ"ד יעלה א' וב' ששיות השלכנו האח' נשאר הב' ששיות

Or, we sum the complement of two-sixths, which is 4-sixths, with 20 parts of 24; the result is one and 3-sixths. We subtract one; the remainder is 3-sixths, which are two-quarters.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)+\left(1-\frac{2}{6}\right)\right]-1=\left(\frac{20}{24}+\frac{4}{6}\right)-1=\left(1+\frac{3}{6}\right)-1=\frac{3}{6}=\frac{2}{4}}}

או נקבץ החסר משני ששיות שהם ד' ששיות עם כ' חלקים מכ"ד יעלה אח' וג' שישיות והשלכנו האחד ונשאר ג' ששיות והם שני רביעיות

Understand this.

והבן

Subtraction of Fractions

דרך החסור

Now we start to explain the method of subtraction by the help of God.

ועתה נתחיל לבאר דרך החסור בע"ה

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)-\left(c\sdot b\right)}{b\sdot d}}}$

I say that the most common method is that you multiply the numerator of the one by the denominator of the other and the numerator of the other by the denominator of the one, then subtract one from the other and relate the remainder to the product of the denominators.

ואו' שהדרך היותר כולל הוא שתכה כמות האחד עם איכות חבירו וכמות האחר עם איכות חבירו וחסר זה מזה והנשאר [תיחס]^[3] אל הכאת האיכות

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\frac{\left(a\sdot d\right)-\left(c\sdot b\right)}{b}}{d}}}$

Or, divide by the denominators according to the previous way, by reducing them and this is the required.

או תחלקהו על המורים ע"ד הקודם בשתעשה להם כלילת יופי והוא המבוקש

Example: we wish to subtract 3-eighths from 4-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\frac{3}{8}}}

דרך משל רצינו לחסר ג' שמניות מד' ששיות

As this diagram:

כזה הצורה

$\scriptstyle\frac{4}{6}\;\frac{3}{8}$

Multiply the numerator of 3 by the denominator of 4; it is 18.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot6=18}}

תכה כמות הג' עם איכות הד' יהיו י"ח

Multiply the numerator of the other by the denominator of the first; it is 32.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}

ותכה הכמות האחר עם איכות חבירו יהיו ל"ב

Subtract 18 from it; 14 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{32-18=14}}

תחסר מהם י"ח ישאר י"ד

Multiply the denominators, which are 8 by 6; it is 48.

\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot8=48}}

ותכה האיכיות והם הח' בו' יהיו מ"ח

It is 14 parts of 48.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\frac{3}{8}=\frac{14}{48}}}

והם י"ד חלקים ממ"ח

Or, divide 14 by 6; the result is 2 and 2 remain, which are two-eighths and 2-sixths and this is their diagram:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\frac{3}{8}=\frac{14}{48}=\frac{2}{8}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)}}

או תחלק הי"ד על הו' יעלה ב' וישארו ב' והם שני שמניות וב' ששיות וככה צורתם

$\scriptstyle\frac{2}{6}\;\frac{2}{8}$

This is the remainder of the subtraction of 3-eighths from 4-sixths.

והוא הנשאר מחסור הג' שמניות מד' ששיות

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=1-\left[\frac{c}{d}+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]}}$

Another way is that you complete the greater fraction, which is 4-sixths, into one integer. We complete it by two-sixths.

דרך אחרת שתשלים השבר הגדול שהוא ד' ששיות לא' שלם והנה השלמנום בשני ששיות

We sum it up with the smaller fraction, which is 3-eighths; the result is 34 parts of 48.

קבצנום עם השבר הקטן והוא הג' שמניות יעלה ל"ד חלקים ממ"ח

We complete it into one integer by 14 parts of 48 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\frac{3}{8}=1-\left[\frac{3}{8}+\left(1-\frac{4}{6}\right)\right]=1-\left(\frac{3}{8}+\frac{2}{6}\right)=1-\frac{34}{48}=\frac{14}{48}}}

השלמנום לאח' שלם בי"ד חלקי' ממ"ח והוא המבוקש

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\left[\frac{a}{b}+\left(1-\frac{c}{d}\right)\right]-1}}$

If you wish, sum up the complement of the smaller fraction, which is 3-eighths.

ואם תרצה קבץ החסר מהשבר הקטן והוא הג' שמניות

We complete it into one integer by 5-eighths.

השלמנום לאח' שלם בה' שמניות

We sum it up with 4-sixths; the result is 1 integer and 14 parts of 48.

נקבצו עם הד' ששיות ועלה א' שלם וי"ד חלקים ממ"ח

We subtract one integer and the remainder is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\frac{3}{8}=\left[\frac{4}{6}+\left(1-\frac{3}{8}\right)\right]-1=\left(\frac{4}{6}+\frac{5}{8}\right)-1=\left(1+\frac{14}{48}\right)-1=\frac{14}{48}}}

והשלכנו האחד השלם ומה שישאר הוא המבוקש

Methods of checking

מאזנים

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\frac{a}{b}+\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)\right]-\frac{c}{d}=2\sdot\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)}}$

Sum up the remainder from the subtraction of the fraction from the fraction with the greater fraction, then subtract the smaller [fraction] from the sum, and if the remainder is double the remainder from the [original] subtraction, you were right.

שתקבץ הנשאר מחיסור השבר מהשבר עם השבר הגדול והעולה מקבוצם חסר ממנו הקטן והנשאר ממנו אם היה כפל הנשאר מהחסור צדקת

In our example: we sum up the 14 parts of 48 with the 4-sixths; the result is 276 parts of 288.

במשלינו זה קבצנו הי"ד חלקים ממ"ח עם הד' ששיות ועלה רע"ו חלקי' מרפ"ח

We subtract 3-eighth from them; the remainder is 1344 parts of 2304 and it is double the 14 parts of 48.

חסרנו מהם הג' שמניות ונשאר אלף ושמ"ד חלקים מהאלפים וש"ד והם כפל הי"ד חלקים ממ"ח

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{4}{6}-\frac{3}{8}\right)\right]-\frac{3}{8}=\left(\frac{4}{6}+\frac{14}{48}\right)-\frac{3}{8}=\frac{276}{288}-\frac{3}{8}=\frac{1344}{2304}=2\sdot\frac{14}{48}=2\sdot\left(\frac{4}{6}-\frac{3}{8}\right)}}

The proof is that you write the [2]4 parts of 48 and the 1344 parts of 2304 in this diagram:

\scriptstyle{\color{blue}{1344\sdot48=2304\sdot28}}

והמופת שתשי' ה[כ"]ד חלקים ממ"ח והאלף ושמ"ד חלקים מאלפים וש"ד בזאת הצורה

$\scriptstyle\frac{1344}{2304}\;\frac{28}{48}$

Then, cross multiply and [the products] are equal.

ותכה האלכסונות ויהיו שוים

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}}}$

Another scale: sum up the remainder from the subtraction of the fraction from the fraction with the smaller fraction, then if [the remainder] is equal to the greater [fraction], you were right.

מאזנים אחרים שתקבץ הנשאר מחיסור השבר מהשבר עם השבר הקטן ואם ישוה לגדול צדקת

We sum 14 parts of 48 with 3-eighths; the result is 4-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{6}-\frac{3}{8}\right)+\frac{3}{8}=\frac{14}{48}+\frac{3}{8}=\frac{4}{6}}}

הרי קבצנו הי"ד חלקים ממ"ח עם הג' שמניות ועלה ד' ששיות

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}-\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}}}$

Another scale: subtract the remainder from the greater fraction, then if the remainder is equal to the smaller [fraction], know that you were right.

מאזנים אחרים חסר הנשאר מהשבר הגדול והנשאר אם ישוה לקטן דע שצדקת

In our example: we subtract fourteen parts of 48 from 4-sixths; 108 parts of 288 remain and they are the 3-eighths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\left(\frac{4}{6}-\frac{3}{8}\right)=\frac{4}{6}-\frac{14}{48}=\frac{108}{288}=\frac{3}{8}}}

במשלינו זה חסרנו הארבעה עשר חלקים ממ"ח מד' ששיות ישארו ק"ח חלקים מרפ"ח והם הם הג' שמיניות

The proof is that you arrange them as follows:

והמופת שתסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{3}{8}\;\frac{108}{288}$

Then, cross multiply and [the products] are equal.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{3\sdot288=8\sdot108}}

ותכה האלכסונות ויהיו שוים

It is enough for the one who understands.

ודי למבין

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}-\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}}}$

Another scale: subtract the remainder from the greater fraction, then if the remainder is equal to the smaller [fraction], know that you were right.

מאזנים אחרים חסר הנשאר מהשבר הגדול והנשאר אם שוה לקטן דע שצדקת

In our example: we subtract 14 parts of 48 from 4-sixths; 108 parts of 288 remain and they are the [3]-eighths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\left(\frac{4}{6}-\frac{3}{8}\right)=\frac{4}{6}-\frac{14}{48}=\frac{108}{288}=\frac{3}{8}}}

במשלינו זה חסרנו הי"ד חלקים ממ"ח מד' ששיות ישארו ק"ח חלקים מרפ"ח והם הם הו' שמיניות

Combined Subtraction

{\color{OliveGreen}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_2}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}\right)-\left(\frac{c_1}{d_2}+\frac{c_2}{d_2}+\cdots+\frac{c_m}{d_m}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n b_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^m d_i\right)\right]-\sum_{k=1}^m \left[c_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^m d_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k\sdot\prod_{i=1}^m d_i}\\\end{align}}}

If you want to subtract numerous fractions from numerous fractions without having to sum up first and then subtract, you can use the following method:

ואולם אם רצית לחסר שברים רבים משברים רבים מבלתי שתצטרך לקבץ תחלה ואח"כ לחסרם הנה תוכל להשתמש בזה הדרך

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{1}{7}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\right)}}$

$\scriptstyle\frac{1}{7}\;\frac{5}{6}\;\frac{4}{5}$	$\scriptstyle\frac{3}{4}\;\frac{1}{3}\;\frac{1}{2}$

Multiply all the denominators by each other; the result is 5040.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6\sdot7\sdot2\sdot3\sdot4=5040}}

תכה כל האיכיות זה בזה יעלה 5040

Multiply the [each] numerator of the subtrahend by all the denominators except its denominator; the result is 7980

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\right)+\left(1\sdot2\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\right)+\left(3\sdot2\sdot3\sdot5\sdot6\sdot7\right)=7980}}

ותכה כמות השבר הנחסר עם כל איכיות זולת איכותו וכן כל איכות הכמות מהנחסר יעלה 7980

Do the same with all the numerators [of the minuend]; the result is 8952

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot6\sdot7\sdot2\sdot3\sdot4\right)+\left(5\sdot5\sdot7\sdot2\sdot3\sdot4\right)+\left(1\sdot5\sdot6\sdot2\sdot3\sdot4\right)=8952}}

וכן תעשה לכל הכמיות אשר יוחסרו השברים מהם ויעלה ח' אלפים ותתקנ"ב

Subtract 7980 from it; 972 remain and they are 972 parts of 5040.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{1}{7}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\right)=\frac{8952-7980}{5040}=\frac{972}{5040}}}

ותחסר מהם הז' אלפים ותתק"ף ישארו תתקע"ב והם תתקע"ב חלקים מה' אלפים ומ‫'

{\color{OliveGreen}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)+\cdots+\left(\frac{a_n}{b_n}-\frac{c_n}{d_n}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n b_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^m d_i\right)\right]-\sum_{k=1}^n \left[c_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n d_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k\sdot\prod_{i=1}^n d_i}\\\end{align}}}

If you want to know the sum of all the remainders from the subtractions of numerous fractions from numerous fractions without having to subtract first and then sum up.

ואולם אם רצית לדעת העולה מכל הנשארים מחסרונו' שברים רבים משברים רבים מבלתי שתצטרך לחסרם תחלה ואח"כ לקבצם

To subtract a half from 2-thirds and 3-quarters from 4-fifths.

{\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)}}

לחסר החצי מב' שלישיות וג' רביעיות מד' חומשיות

$\scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{2}$

We multiply all the denominators [by each other], the result is 120.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2\sdot5\sdot4=120}}

נכה האיכיות יעלו ק"כ

We multiply the numerator of the first subtrahend by all the denominators except its denominator; it is 60.

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3\sdot5\sdot4=60}}

נכה כמות השבר הנחסר מהראשון עם כל האיכיות חוץ מאיכותו והם ס‫'

We also multiply the numerator of the second subtrahend by all the denominators except its denominator; it is 90.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5\sdot3\sdot2=90}}

גם נכה כמות השבר הנחסר מהב' עם כל האיכיות זולת אכותו והם צ‫'

We sum it with 60; it is 150.

\scriptstyle{\color{blue}{60+90=150}}

קבצם עם הס' הם ק"נ

Then, multiply [the numerator] of the greater fraction of the first type, from which the smaller is subtracted, by all the denominators except its denominator; and likewise the numerator of the greater fraction of the second type, from which the smaller is subtracted, and sum [the second product] with the first [product]; it is 176.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot2\sdot5\sdot4\right)+\left(4\sdot4\sdot3\sdot2\right)=176}}

אח"כ הכה השבר הגדול אשר ממנו יחוסר הקטן מהמין הראשון עם כל איכות זולת מאיכותו וכן כמות השבר הגדול אשר ממנו ויחוסר הקטן מהמין הב' וקבצהו עם הראשון והם קע"ו

We subtract 150 from it; 26 remain and they are 26 parts of 150.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)=\frac{176-150}{150}=\frac{26}{150}}}

נחסר מהם הק"נ וישארו כ"ו והם כ"ו חלקים מק"נ

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{a_2}{b_2}\times\cdots\times\frac{a_n}{b_n}\right)-\left(\frac{c_1}{c_1}\times\frac{c_2}{c_2}\times\cdots\times\frac{c_m}{d_m}\right)=\frac{\left[\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)\sdot\left(\prod_{j=1}^m d_j\right)\right]-\left[\left(\prod_{j=1}^m c_j\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{i=1}^n b_i\sdot\prod_{j=1}^m d_j}}}

If you want to know the remainder from the subtraction of products of fractions by fractions without having to know the products of these fractions.

ואולם אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מהכאת השברים אחדים עם שברים מבלתי שתצטרך לדעת העולה מהכאת השברים ההם

For example: you wish to know [the remainder] from the subtraction of the product of a half by 2-thirds from the product of 3-quarters by 5-fifths, without having to multiply a half by 2-thirds and 3-quarters by 5-fifths.

{\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)-\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)}}

כמו עד"מ רצית לדעת מחיסור העולה מהכאת החצי עם ב' שלישיות מהעולה מהכאת הג' רביעיות עם ד' חומשיות מבלתי שתצטרך להכות החצי עם הב' שלישיות והג' רביעיות עם הד' חומשיות

They are arranged as follows:

הנה יסודרו בזה הדרך

$\scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{2}$

We multiply all the denominators [by each other]; it is 120.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5\sdot2\sdot3=120}}

נכה כל האיכיו' והם ק"כ

We multiply the subtracted fractions, numerator by numerator, then the product by the denominators of the greater fractions, from which the smaller are subtracted; it is 40.

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot4\sdot5=40}}

ונכה השברים הנחסרים הכמות עם הכמות והעולה עם איכות השברים הגדולים אשר יוחסרו הקטנים מהם והם מ‫'

We multiply the numerators of the greater fractions, numerator by numerator, then the product by the denominators of the smaller fractions; it is 72.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot3=72}}

ונכה כמות השברים הגדולים הכמות עם הכמות והעולה עם כל איכיות השברים הקטנים והם ע"ב

We subtract 40 from it; 32 remain and they are 32 parts of 120.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)-\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)=\frac{72-40}{120}=\frac{32}{120}}}

נחסר מהם מ' ישארו ל"ב והם ל"ב חלקים מק"כ

${\color{OliveGreen}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)\times\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(a_1\sdot d_1\right)-\left(c_1\sdot b_1\right)\right]\times\left[\left(a_2\sdot d_2\right)-\left(c_2\sdot b_2\right)\right]}{b_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot d_2}\\\end{align}}}$

If you want to know the product of the remainder from the subtraction of some fractions from some fractions by the remainder from the subtraction of some fractions from some fractions without having to know the remainders from these subtractions at all.

ואולם אם רצית לדעת העול' מהכאת הנשאר מחיסור שברים מה משברים מה עם הנשאר מחיסור השברים מה משברים מה מבלתי שתצטרך לדעת הנשארים מהחסורים ההם כלל

For example: you wish to know the product of the remainder from the subtraction of a half from 2-thirds by the remainder from the subtraction of 3-quarters from 4-fifths.

{\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)}}

כמו עד"מ אם רצית לדעת העולה מהכאת הנשאר מחסור החצי מב' שלישיו' עם הנשאר מחיסור הג' רביעיות מהד' חמשיות

They are arranged as follows:

הנה יסודרו ע"ז הדרך

$\scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{2}$

We multiply all the denominators [by each other]; it is 120.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2\sdot5\sdot4}}

נכה האיכיות והם ק"כ

We subtract the cross product 1 by 3 from the cross product 2 by 2 and keep the remainder.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot2\right)-\left(1\sdot3\right)}}

אח"ז נחסר העולה מהכאת אלכסון א"ג מהכאת אלכסון ב"ב והנשאר נשמרהו

We also subtract the cross product 3 by 5 from the cross product 4 by 4 and keep the remainder.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot4\right)-\left(3\sdot5\right)}}

גם נחס' העול' מהכאת אלכסון ג"ה מהעולה מהכאת אלכסון ד"ד והנשאר נשמרהו

Then we multiply the remainder by the remainder and relate the product to the first reserved and the result is the product of the remainder from the subtraction of a half from 2-thirds by the remainder from the subtraction of 3-quarters from 4-fifths.

{\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)=\frac{\left[\left(2\sdot2\right)-\left(1\sdot3\right)\right]\times\left[\left(4\sdot4\right)-\left(3\sdot5\right)\right]}{3\sdot2\sdot5\sdot4}}}

ואח"ז נכה הנשאר עם הנשאר וההווה נייחסהו אל השמור הראשון וההוה הוא העולה מהכאת הנשאר מחסור החצי מהב' שלישיו' עם הנשאר מחסור הג' רביעיות מד' חמשיות

{\color{OliveGreen}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}\times\frac{c_2}{d_2}\right)+\cdots+\left(\frac{a_n}{b_n}\times\frac{c_n}{d_n}\right)\right]-\left[\left(\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\times\frac{c_{n+1}}{d_{n+1}}\right)+\left(\frac{a_{n+2}}{b_{n+2}}\times\frac{c_{n+2}}{d_{n+2}}\right)+\cdots+\left(\frac{a_{n+m}}{b_{n+m}}\times\frac{c_{n+m}}{d_{n+m}}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\sum_{k=1}^n \left[\left(a_k\sdot c_k\right)\sdot\prod_{i=1,i\neq k}^{n+m} \left(b_i\sdot d_i\right)\right]\right]-\left[\sum_{k={n+1}}^{n+m} \left[\left(a_k\sdot c_k\right)\sdot\prod_{i=1,i\neq k}^{n+m} \left(b_i\sdot d_i\right)\right]\right]}{\prod_{i=1}^{n+m} b_i\sdot\prod_{i=1}^{n+m} d_i}\\\end{align}}}

If you want to know the remainder from the subtraction of the sum of products of fractions from the sum of products of fractions without having to multiply, then sum, then subtract, but to apply all three at the same time.

ואולם אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מקבוץ העולה מהכאות שברים מהעולה מקבוץ העולים מהכאת שברים מה מבלתי שתצטרך להכות ואח"ז לקבץ ואח"ז לחסר אבל יצאו לך שלשתן בפעם אחת

For example: you wish to multiply a half by 2-thirds, 3-quaters by 4-fifths, 3-sevenths by 4-fifths, and 2-thirds by 3-quarters; then to sum up the product of a half by 2-thirds with the product of 3-quaters by 4-fifths, and the product of 3-sevenths by 4-fifths with the product of 2-thirds by 3-quarters; then to subtract the sum from the sum and know the remainder.

{\color{blue}{\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)\right]-\left[\left(\frac{3}{7}\times\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\right)\right]}}

עד"מ רצית להכות חצי עם ב' שלישיו' וג' רביעיות עם ד' חמשיות וג' שביעיות עם ד' חמשיות וב' שלישיות עם ג' רביעיות ואח"ז לקבץ העולה מהכאת החצי עם הב' שלישיות עם העולה מהכאת ג' רביעיות עם ד' חמשיו' והעולה מהכאת הג' שביעיות עם ד' חמשיות עם העולה מהכאת הב' שלישיות עם הרביע אח"ז לחסר ההוה מהקבוץ מההוה מהקבוץ לדעת הנשאר

They are arranged as follows:

הנה יסודרו על זה הסדר

$\scriptstyle\frac{1}{4}\;\frac{2}{3}$	$\scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{7}$	$\scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{2}$

We multiply all the denominators [by each other]; it is 50400.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot7\sdot5\sdot3\sdot4=50400}}

נכה כל האיכיות והם נ' אלף ות‫'

We multiply the numerators of the two first fractions by each other, then the product by all the denominators successively except their own denominators; it is 16800.

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot4\sdot5\sdot7\sdot5\sdot3\sdot4=16800}}

נכה כמות הב' שברים הראשונים זה עם זה והעולה עם כל האיכיות על הסדר הזה חוץ מאיכיותיו והם י"ו אלף ות"ת

We also multiply the numerators of the two second fractions [by each other], then the product by all the denominators successively except their own denominators; it is 30240.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot3\sdot7\sdot5\sdot3\sdot4=30240}}

גם נכה כמות הב' שברים השניי' העול' עם כל האכיות על הסדר חוץ אכיותיו והם ל' אלף ור"מ

We sum it with 16800; it is 47040. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{16800+30240=47040}}

ונקבצם עם י"ו אלפים ות"ת והם מ"ז אלף ומ' ונשמרם

We multiply [the numerators of] the two third fractions by each other, then the product by all the denominators except their own denominators; it is 17280.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot3\sdot4\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5=17280}}

אח"ז נכה הב' שברים מהשלישיי' זה עם זה והעולה עם האכיות כולם חוץ מאכיותיהם והם י"ז אלף ור"פ

We also multiply the numerators of the two fourth fractions by each other, then the product by all the denominators except their own denominators; it is 8400.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot1\sdot7\sdot5\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5=8400}}

גם נכה כמות הב' שברים הרביעיים זה עם זה והעולה עם כל האיכיות חוץ מאכיותיהן והם ח' אלפים ות‫'

We sum it with 1[7]280; it is 25680.

\scriptstyle{\color{blue}{17280+8400=25680}}

נקבצם עם הי' אלף ור"פ והם כ"ה אלף ותר"פ

We subtract it from the second reserved; 21360 remain and they are 21360 [parts] of 50800.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)\right]-\left[\left(\frac{3}{7}\times\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{47040-25680}{50400}=\frac{21360}{50400}}}

נחסרם מהשמור הב' וישארו כ"א אלף ש"ס והם כ"א אלף ש"ס מנ' אלף ות"ת

Division
Dividing a large number by a smaller number
When you wish to divide a certain amount among people, giving each one twice as much as his friend.	כאשר תרצה לחלק מספר מה אל אנשים מה ולתת לכל אח' כפל חבירו
As when you wish to divide 100 among four people, giving each one twice as much as his friend.	כגון שתרצה לחלק ק' אל ד' אנשים ולתת לכל אחד כפל חבירו
Do as follows: know the sum, that is we take the share of the first as it is - one; the share [of the second] 2, so it is 3; the share of the third is 4, so it is 7; the share of the fourth is 8, so it is 15. $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+4+8=3+4+8=7+8=15}}$	ככה תעשה דע א' כמה יתחבר וזה שחלק הא' נקחהו כמו שהוא אח' והחלק ב' הרי ג' והחלק ג' ד' הרי ז' והחלק הד' ח' הרי ט"ו
Divide 100 by 15; the result is the share of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{100\div15}}$	חלק ק' על ט"ו והיוצא הוא חלק הראשון
To know [the share of] the second, double it.	ולדעת הב' כפלהו בו
And so on.	כן לעולם
From this you understand all the questions of this type.	ומזה תבין לכל השאלות שבזה המין
Understand this.	והבן
Dividing a small number by a greater number
To divide a small number by a greater number, divide the greater by the smaller.	לחלק מספר מעט על מספר רב תחלק הרב על המעט
If it is divided into integers no more and no less, the reduced result of division is the denominator of the quotient, which are all the required fractions of the integer together. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\div\left(a\sdot b\right)=\frac{1}{\left(a\sdot b\right)\div a}}}$	אם יתחלק לו לשלמים בלתי תוספת ומגרע' הנה היוצא בחלק בצמצום הוא מורה החלק אשר הם כל השברים הנשאלים יחד מהשלם
I.e., if the result of division is 4, it is a quarter of 1. $\scriptstyle{\color{blue}{1\div4=\frac{1}{4\div1}}}$	ר"ל שאם יצא בחלוק ד' הנה יבא לו רביעית הא‫'
And the like.	ובדומה לזה
If it is not divided into integers, but a certain number remains, we add one to the [integer] resulting from the division, then subtract the remainder from the dividend and what remains are the parts of all the denominators. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\div\left[\left(a\sdot b\right)+1\right]=\frac{1}{\left[\left(a\sdot b\right)\div a\right]+1}+\left(\frac{1}{\left[\left(a\sdot b\right)\div a\right]+1}\sdot\frac{a-1}{\left(a\sdot b\right)+1}\right)}}$	ואם לא יתחלק כלו לשלמים וישאר שום מספר הנה נוסי' אח' ועלה יוצא בחלוק ונחסר הנשאר מהמספר אשר חלקו ועליו ומה שישא' הם חלקים מכל המורים
Example: we wish to divide 7 by 29. ${\color{blue}{\scriptstyle7\div29}}$	המשל רצינו לחלק ז' על כ"ט
We do the opposite: we divide 29 by 7; the result of division is 4. Since 1 remains, we add 1 to 4; it is 5. We subtract 1 from 7; 6 remain and they are 6 parts of 29 of one-fifth that are added to the fifth that we have in our hand.	נעשה ההפך נחלק הכ"ט על הז' יצא בחלוק ד' ובשביל שנשאר א' בלא נוסי' על הד' א' ויהיה ה' והוא ה' ונחסר הא' מז' ישארו ו' והם ו' חלקים מכ"ט בחמישית נוסף שהעלה חמישי' שיש בידינו

\scriptstyle{\color{blue}{7\div29=\frac{1}{\left[\left(29-1\right)\div7\right]+1}+\left(\frac{1}{\left[\left(29-1\right)\div7\right]+1}\sdot\frac{7-1}{29}\right)=\frac{1}{4+1}+\left(\frac{1}{4+1}\sdot\frac{6}{29}\right)=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{6}{29}\right)}}

If you want to have more parts.	ואם תרצה שיצאו לך חלקים יותר
Divide 29 by 6. ${\color{blue}{\scriptstyle29\div6}}$	חלק הכ"ט על הו‫'
The result of division is 4 and 5 remains. We add 1 to 4; it is 5. We subtract 5 from 6 as said; 1 remains. So, the result is one-fifth, one-fifth of one-fifth, and one part of 29 of one-fifth of one-fifth.	יצא בחלוק ד' וישארו ה' נוסי' א' על הד' ויהיו ה' ונחסר הה' אל הו' כאמור וישאר א' והעולה הוא ה' א' וחמישית ה' א' וחלק מכ"ט מחמישית חמישית אחד

\scriptstyle{\color{blue}{7\div29=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{6}{29}\right)=\frac{1}{5}+\left[\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4+1}+\left(\frac{1}{4+1}\sdot\frac{6-5}{29}\right)\right]=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

This is their diagram:

וזו צורתם

$\scriptstyle\frac{ \;1\;1\;1}{29\;5\;5}$

The proof is by changing the denominator.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{b}+\left(\frac{1}{b}\sdot\frac{1}{d}\right)=\frac{\left(1\times d\right)+1}{b\sdot d}}}

והמופת שנעשם פריטה

Multiply 1 by 5 and add what is above it. Then multiply the sum by 29 and add what is above it. Divide the total by all the denominators except for 29; you get a whole 7 no more and no less.

{\color{blue}{\scriptstyle\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{\left[\left[\left(1\times 5\right)+1\right]\sdot29\right]+1}{5\sdot5}\div29=\frac{7}{29}}}

שתכה הא' בה' ותשא מה שעל ראש' ותכה הכל עם הכ"ט ותשא מה שעל ראשם ותחלק הכל לכל המורים זולת הכ"ט ויצא לך מספ' הז' שלם בלי תוספת ומגרעת

ואם לא יהיה במורים המספר אשר תרצה לחלק עליו המספר האחד

the last sentence is unclear

כגון אם רצית לחלק ו' לכ"ז שיבא לו חמישי' אח' בכ"ז ותחלקהו על כל המורי' זולתו ויצא לך בשוה המספר

Division of Fractions

מין החלוק מן השברים

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\sdot d}{b\sdot c}}}$

When you wish to divide 3-quarters by two-fifths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}}}

רצית לחלק ג' רביעיות על שני חמישיות

$\scriptstyle\frac{2}{5}\;\frac{3}{4}$

Multiply 2 by 4; it is 8.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2=8}}

הכה הב' עם הד' יהיו ח‫'

Then multiply 3 by 5; it is 15.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}

אח"כ הכה הג' עם הה' יהיו ט"ו

Divide 15 by 8; the result is 1 integer, which is two-fifths, and 7 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{15}{8}=1+\frac{7}{8}}}

חלק הט"ו על הח' יצא א' שלם הרי יצא לנו שני חמישיות ונשארו ז‫'

Relate it to 20, which is the product of the denominator by the denominator; the result is 7 parts of 20.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{4\sdot5}=\frac{7}{20}}}

יחסם על הכ' שהו' הכאת האיכות עם האיכות יעלה ז' מכ‫'

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\sdot\frac{a\sdot d}{b\sdot c}}}$

Then, divide it into fifths; the result is one fifth and 3-quarters of a fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{20}=\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

אח"כ חלקם על החומש ויצא חומש אח' וג' רביעיות חומש

Add it to 2-fifths and the result is the required, which is 3-fifths and 3-quarters of one fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}=\frac{2}{5}+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

חברהו עם הב' חמישיות והיוצא הוא המבוקש והוא ג' חמישיות וג' רביעיות החומש האח‫'

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}=\frac{\frac{\left(a\sdot d\right)\sdot d}{b\sdot d}}{d}}}$

Another way: we multiply 3 by 5, the numerator of the divisor by the denominator of the divisor; the result is 15.

דרך אחר נכה הג' עם הה' כמות המחלק עם איכות המחלק יעלה ט"ו

Multiply 15 by the denominator of the divisor, which is 5; the result is 75 and this is the divisor.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot5\right)\sdot5=15\sdot5=75}}

והכה הט"ו עם איכות המחלק שהוא הה' יעלה ע"ה וזהו המחולק

Then we multiply the denominators; it is 20.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}

אח"כ נכה האיכיות והם כ‫'

We divide 75 by it; the result is 3 and 3-quarters.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{75}{20}=3+\frac{3}{4}}}

נחלק עליהם הע"ה יצאו ג' וג' רביעיות

Since the dividend is fifths, we know that the 3 and 3-quarters [are 3-fifths] and 3-quarters of a fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}=\frac{3+\frac{3}{4}}{5}=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

ולהיות שהמחולק הוא חמישיות ידענו שהג' וג' רביעיות חמשיות וג' רביעיות החומש

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}=\frac{\frac{a\sdot d}{b}}{d}}}$

Another way: we multiply the numerator of the dividend by the denominator of the divisor; it is 15.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}

דרך אחר נכה כמות המחולק עם איכות המחלק יהיו ט"ו

We divide it by the denominator of the dividend; the result is 3 and 3-quarters.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15}{4}=3+\frac{3}{4}}}

נחלקם על איכות המחולק יצאו ג' וג' רביעיות

Since the dividend is fifths, we know that the 3 and 3-quarters are 3-fifths and 3-quarters of a fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}=\frac{3+\frac{3}{4}}{5}=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

ולהיות שהמחול' הוא חמישי' ידענו שהג' וג' רביעיות הם ג' חמשיות וג' רביעיות החומש

Methods of checking

מאזנים

Multiply the quotient by the divisor, if [the result] is equal to the dividend, you were right.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a\div b\right)\times b=a}}

תכה החלק עם המחלק אם הוא שוה למחולק צדקת

In our example: we multiply 3 and 3-quarters by one-fifth; the result is 3-quarters and it is the dividend itself.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{1}{5}=\frac{3}{4}}}

במשלינו זה הכינו הג' וג' רביעיו' עם החמישי' ועלה ג' רביעיות והוא הוא בעצמו המחולק

Or, we multiply 1 and 7-eighths by 2-fifths; the result is 3-quarters itself.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{7}{8}\right)\sdot\frac{2}{5}=\frac{3}{4}}}

או נכה א' וז' שמיניות עם ב' חמישיות ויעלה בעצמו הג' רביעיות

Because, when 1 and 7-eighths are related to 2-fifths, which is 1 and 7-eighths as its amount, i.e. 1 is 2-fifths, and 7-eighths are 7-eighths of 2-fifths, which is one-fifth and 3-quarters of one-fifth; with the 2-fifths in our hand it is 3-[fifths] and 3-quarters of the fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{7}{8}\right)\sdot\frac{2}{5}=\frac{2}{5}+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{2}{5}\right)=\frac{2}{5}+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

וזה שא' וז' שמיניות כשיוחס אל הב' חמישיות שהם א' וז' שמיניות כמותם ר"ל הא' הוא ב' חמישיות וז' שמיניו' הם ז' שמיניות של ב' חמישיו' שהוא חומש א' וג' רביעיו' החומש עם הב' חומשים שבידינו הם ג' רביעיות וג' רביעיו' החומש

Therefore, our saying: "we relate 3 and 3-quarters to one-fifth", or "we relate 1 and 7-eighths to 2-fifths" is the same.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{4}\right):\frac{1}{5}=\left(1+\frac{7}{8}\right):\frac{2}{5}}}

וא"כ הכל שוה לאמרנו ג' וג' רביעיות ויחסנו אותם לחומש או א' וז' שמיניות ויחסנו אותם לב' חמישיו‫'

It is clear to the intellect. Understand this.

וזה מבואר בעין השכל והבן

Another scale: find a number, such that numerator of the [dividend] is related to it by the ratio of the numerator of the divisor to its denominator. If that number is related to the denominator of the dividend by the ratio of the numerator of the quotient to its denominator, know that you were right.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a:x=\frac{c}{d}\longleftrightarrow x:b=\left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)}}

מאזנים אחרים שתמצא המספ' המתיחס כמות המחלק אליו יחס כמות המחלק אל איכותו ואם המספר ההוא מתיחס אל איכות המחולק יחס כמו' החלק אל איכותו דע שצדקת

In our example: we divide 3-quarters by 2-fifths; the result is 1 and 7-eighths, which is 15-eighths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{15}{8}=1+\frac{7}{8}}}

במשלינו זה חלקנו הג' רביעיות על הב' חמשיות ויצא א' וז' שמיניות שהם ט"ו שמיניות

We look for a number, such that when you relate to it the numerator of the dividend, which is 3, it is as the ratio of the numerator of the divisor to its denominator, which is 2 to 5. We find that it is 7 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{3:\left(7+\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5}}}

בקשנו מספר שתיחס כמות המחולק שהוא הג' אליו יחס כמות המחלק אל איכותו שהוא הב' אל הה' ומצאנו שהוא ז' וחצי

The ratio of 7 and a half to 4, which is the denominator of the dividend, is as the ratio of the numerator of the quotient, which is 15, to its denominator, which is 8.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{1}{2}\right):4=\frac{15}{8}=\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}\right)}}

והנה יחס הז' וחצי אל הד' שהוא איכות המחולק כיחס כמות החלק שהוא הט"ו אל איכותו שהוא ח‫'

It is clear to the intellect.

וזה מבואר בעין השכל

וג"כ אם תרצה לעשותו בזה הדרך בג' וג' רביעיות ותבקש ביחס החמישית לבד גם עשה תעשה ויכול תוכל כי הכל דבר א' כמו שביארנו וגלינו

ואם תרצה לעשות המאזנים בהפך והוא שתראה המסופר שיהיה יחס כמות המחולק אליו כיחס כמות המחלק אל איכותו

$\scriptstyle a:x=\left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)\longleftrightarrow x:b=\frac{c}{d}$

ואם המספר ההוא מתחלק אל איכות המחולק כיחס כמות המחלק אל איכותו ידענו שצדקנו

In our example: we look for a number, such that the ratio of the numerator of the dividend, which is 3, to it is as the ratio of the numerator of the quotient to its denominator, which is 15 to 8. We find that it is 1 and 3-fifths, which is 8-[fifths].

\scriptstyle{\color{blue}{3:\left(1+\frac{3}{5}\right)=3:\frac{8}{{\color{red}{5}}}=\frac{15}{8}=\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}\right)}}

במשלינו זה בקשנו מספר שיהיה יחס כמות מחולק אליו שהוא ג' כיחס כמות החלק אל איכותו שהוא הט"ו עם הח' ומצאנו שהוא א' וג' חמישיות שהם ח' שמיניות

Its ratio to 4 is as the ratio of 2 to 5, which is as [the ratio] of the numerator of the divisor to its denominator.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{3}{5}\right):4=\frac{8}{{\color{red}{5}}}:4=\frac{2}{5}}}

ויחסם אל הד' הוא כיחס הב' אל הה' שהוא כמות המחלק אל אכותו

Understand this, for it is absolutely clear.

והבן זה מאד כי הובן בתכלית

Combined Division

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}+\frac{c_1}{d_1}\right)\div\left(\frac{a_2}{b_2}+\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left(a_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot d_2\right)+\left(b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot d_2\right)}{\left(b_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot c_2\right)+\left(b_1\sdot d_1\sdot a_2\sdot d_2\right)}}}$

If you wish to divide the sum of 2-thirds and 3-quarters by the sum of two-sevenths and one-sixth, without having to sum up first, then to divide.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\right)}}

ואולם אם רצית לחלק קבוץ הב' שלישיות וג' רביעיו' על קבוץ שני שביעיות וששית מבלתי שתצטרך לקבץ תחלה ואח"כ לחל‫'

They are arranged this way:

הנה יסודרו על זה הדרך

$\scriptstyle\frac{1}{6}\;\frac{2}{7}$	$\scriptstyle\frac{3}{4}\;\frac{2}{3}$

We multiply the denominator of the first fraction by the denominator of the second fraction, then the product by the denominator of the third, then the product by the numerator of the fourth; it is 84.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot7\sdot1=84}}

ונכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר הב' והעולה עם איכות הג' והעולה עם כמו' הד' והם פ"ד

We also multiply the denominator of the first fraction by the denominator of the second fraction, then the product by the numerator of the third, then the product by the denominator of the fourth; it is 144. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot6=144}}

גם נכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר הב' והעול' עם כמות הג' והעול' עם איכות הד' והם קמ"ד ונשמרם

We add it to 84; it is 228. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{84+144=228}}

נחברם אל הפ"ד והם רכ"ח ונשמרם

We multiply the denominator of the fourth by the denominator of the third, then the product by the denominator of the second, then the product by the numerator of the first; it is 336.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot7\sdot6=336}}

אח"ז נכה איכות הד' עם איכות הג' והעולה עם אכות הב' והעולה עם כמות הראשון והם של"ו

We also multiply the denominator of the fourth by the denominator of the third, then the product by the numerator of the second, then the product by the denominator of the first; it is 378.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot7\sdot6=378}}

גם נכה איכות הרביעי עם איכות הג' והעולה עם כמות הב' והעולה עם איכות הראשו' והם שע"ח

Add it to 336; it is 714.

\scriptstyle{\color{blue}{336+378=714}}

חברם אל השל"ו הם תשי"ד

We divide it by the reserved 228; the quotient is the result of division of [the sum of] 2-thirds and 3-quarters by [the sum of] 2-sevenths and one-sixth

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\right)=\frac{714}{228}}}

נחלקם על הרכ"ח השמורים והיוצא הוא ההווה מחלוק הב' שלישיו' וג' רביעיו' על הב' שביעיות וששית

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\div\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}\div\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left(a_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot c_2\right)+\left(b_1\sdot c_1\sdot a_2\sdot d_2\right)}{b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot c_2}}}

If you wish to sum up the result of division of 3-quarters by 2-thirds with the result of division of 2-sevenths by [one-sixth], without having to divide first, then sum up.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)}}

ואולם אם רצית לקבץ היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעיו' על הו' מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ לקבץ

We multiply the numerator of the first fraction by the denominator of the second, then by the denominator of the third, then by the numerator of the fourth; it is 56. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2\sdot7\sdot1=56}}

נכה כמות השבר הראשון עם איכות הב' ועם איכות הג' ועם כמות הד' והם נ"ו ונשמרם

We multiply the numerator of the first fraction by the denominator of the second, then by the numerator of the third, then by the denominator of the fourth; it is 96.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot4\sdot2=96}}

אח"ז נכה כמות השבר הראשון עם איכות הב' וכמות הג' ואיכות הד' והם צ"ו

We also multiply the numerator of the fourth by the denominator of the third, then by the numerator of the second, then by the denominator of the first; it is 63.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot7\sdot1=63}}

גם נכה כמות השבר הד' עם איכות הג' וכמות הב' ואיכות הראשו' והם ס"ג

We add it to 96; it is 159.

\scriptstyle{\color{blue}{63+96=159}}

נחברם אל הצ"ו והם קנ"ט

We divide it by the reserved 56; the result is 2 integers and 4[7] parts of 56 and this is the required sum of the result of division of 3-quarters by 2-thirds with the result of division of 2-sevenths by [one-sixth].

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)=\frac{159}{56}=2+\frac{4{\color{red}{7}}}{56}}}

נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ב' שלמים ומ"ה חלקים מנ"ו והוא המבוקש מקבוץ היוצאים מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיו' ומחלוק הב' שביעיו' על הו‫'

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{c_1}{d_1}\right)\div\left(\frac{a_2}{b_2}\times\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{a_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot d_2}{b_1\sdot d_1\sdot a_2\sdot c_2}}}

If you wish to divide the product of 2-thirds by 3-quarters by the product of 2-sevenths by one-sixth, without having to multiply first, then divide.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}\times\frac{1}{6}\right)}}

ואולם אם רצית לחלק העולה מהכאת הב' שלישיו' עם הג' רביעי' על העולה מהכאת הב' שביעיו' עם הששי' מבלתי שתצטר' להכות תחלה ואח"כ לחלק

We multiply the numerator of the first by [the numerator of] the second, then the product by the denominator of the third, then by the denominator of the fourth; it is 2[5]2. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot7\sdot6=2{\color{red}{5}}2}}

נכה כמות הראשו' עם הב' והעול' עם איכות הג' ואיכות הד' והם רל"ב ונשמרם

We multiply the numerator of the fourth fraction by the numerator of the third fraction, then the product by the denominator of the first, then by [the denominator of] the second; it is 24.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot1=24}}

אח"ז נכה כמות השבר הד' עם כמו' השבר הג' והעולה עם איכות הראשו' והב' והם כ"ד

Divide 2[5]2 by it; the quotient is the result of division of the product of 2-thirds by 3-quarters by the product of 2-sevenths by [one-sixth].

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}\times\frac{1}{6}\right)=\frac{2{\color{red}{5}}2}{24}}}

תחלק עליהם הרל"ב והיוצא הוא ההווה מחלוק העולה מהכאת הב' שלישיו' עם הג' רביעיו' על העולה מהכאת הב' שביעי' על הו‫'

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\div\frac{c_1}{d_1}\right)\times\left(\frac{a_2}{b_2}\div\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{a_1\sdot d_1\sdot a_2\sdot d_2}{b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot c_2}}}

If you wish to multiply the result of division of 3-quarters by 2-thirds by the result of division of 2-sevenths by [one-sixth], without having to divide first, then multiply.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)\times\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)}}

ואולם אם רצית להכות היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעית על הו' מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ להכות

We multiply the numerator of the first by the denominator of the second, then by the denominator of the third, then by the numerator of the fourth; it is 56. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2\sdot7\sdot1=56}}

נכה כמות הראשון עם איכות הב' ואיכות הג' וכמות הד' והם נ"ו ונשמרם

We multiply the denominator of the first by the numerator of the second, then by the numerator of the third, then by the denominator of the fourth; it is 108.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot2\sdot6=108}}

אח"ז נכה האכות הראשון עם כמות הב' ועם כמות הג' ועם איכות הד' והם ק"ח

We divide it by the reserved 56; the result is the product of the result of division of 3-quarters by 2-thirds by the result of division of 2-sevenths by one-sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)\times\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)=\frac{108}{56}}}

נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ההווה מהכאת היוצא מחלוק הג' רביעיו' על הב' שלישיו' עם היוצא מחלוק הב' שביעיו' על הששית

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)\div\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left[\left(a_1\sdot d_1\right)-\left(c_1\sdot b_1\right)\right]\times\left(b_2\sdot d_2\right)}{\left[\left(a_2\sdot d_2\right)-\left(c_2\sdot b_2\right)\right]\times\left(b_1\sdot d_1\right)}}}

If you wish to divide the remainder from subtraction of 2-thirds from 3-quarters by the remainder from subtraction of one-sixth from 2-sevenths, without having to subtract first then divide.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)\div\left(\frac{2}{7}-\frac{1}{6}\right)}}

ואולם אם רצית לחלק הנשאר מחצור הב' שלישיות מג' רביעיות על הנשאר מחסור הששית מהב' שביעיות מבלתי שתצטרך לחסר ראשונה ואח"כ לחלק

We multiply the numerator of the first by the denominator of the second, then we subtract the product from the product of the numerator of the second by the denominator of the first, and multiply the remainder by the denominator of the third, then by the denominator of the fourth; it is 42.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot3\right)-\left(4\sdot2\right)\right]\times\left(7\sdot6\right)=42}}

נכה כמות הראשון עם איכות הב' והעולה נחסרהו מהכאת כמות השני עם איכות הראשון והנשאר נכהו עם איכות הג' ואיכות הד' והם מ"ב

We multiply the numerator of the fourth by the denominator of the third, then we subtract the product from the product of the numerator of the third by the denominator of the fourth, and multiply the remainder by the denominator of the second, then by the denominator of the first; it is 60.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot6\right)-\left(7\sdot1\right)\right]\times\left(4\sdot3\right)=60}}

אח"ז נכה כמות הד' עם איכות הג' והעולה נחסרהו מהעולה מהכאת כמות הג' עם איכות הד' והנשאר נכהו עם איכות הב' ועם איכות הראשון והם ס‫'

We divide it by the reserved 42; the quotient is the result of division of the remainder from subtraction of 2-thirds from 3-quarters by the remainder from subtraction of [one-sixth] from 2-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)\div\left(\frac{2}{7}-\frac{1}{6}\right)=\frac{42}{60}}}

נחלקם על המ"ב השמורים והיוצא הוא ההווה מחלוק הנשאר מחסור הב' שלישיו' מהג' רביעיות על הנשאר מחיסור הו' מהב' שביעיות

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\div\frac{c_1}{d_1}\right)-\left(\frac{a_2}{b_2}\div\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left(a_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot c_2\right)-\left(b_1\sdot c_1\sdot a_2\sdot d_2\right)}{b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot c_2}}}

If you wish to subtract the result of division of 3-quarters by 2-thirds from the result of division of 2-sevenths by [one-sixth], without having to divide first, then subtract.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)-\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)}}

ואולם אם רצית לחסר היוצא מחלוק הג' רביעיו' על הב' שלישיו' מהיוצא מחילוק הב' שביעיו' על הו' מבלתי שתצטרך לחלק ראשונה ואח"כ לחסרם

We multiply the numerator of the first by the denominator of the second, then by the denominator of the third, then by the numerator of the fourth; it is 56 and this is the first reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot1\sdot4\sdot2=56}}

נכה כמות הראשון עם איכות הב' ואיכות הג' וכמו' הד' והם נ"ו וזהו השמור הראשון

We multiply the denominator of the first by the [denominator] of the second, then the product by the denominator of the third, then by the [numerator] of the fourth; it is 63. We keep it and this is the second reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot7\sdot1=63}}

אח"כ נכה איכות הראשון עם הב' והעולה עם איכות הג' ועם איכות הד' והם ס"ג ונשמרם וזהו השמור הב‫'

We multiply the denominator of the fourth by the numerator of the third, then by the denominator of the second, then by the numerator of the first; it is 96.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot4\sdot2=96}}

אח"ז נכה איכות הד' עם כמות הג' ועם איכות הב' ועם כמות הראשו' והם צ"ו

We subtract from it 63, which is the second reserved; the remainder is 33.

\scriptstyle{\color{blue}{96-63=33}}

נחסר מהם הס"ג שהוא השמור הב' והנשאר שהוא הל"ג

We relate it to the first reserved, which is 56; the result is the remainder from the subtraction of the result of division of 3-quarters by 2-thirds from the result of division of 2-sevenths by one-sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)-\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)=\frac{33}{56}}}

ניחסם אל השמור הראשון שהוא הנ"ו וההווה הוא ההוה מחסור היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות מהיוצא מחלוק הב' שביעיות על הששית

וש'מ'ל‫'

Roots

The Roots of Integers

גדר השלמים

Description of the extraction procedure:

We arrange the required number in a line each [digit] according to its rank.

נסדר המספר הדרוש בטור אח' כל אח' לפי מדרגתו

If the number of ranks is odd, we start from the last rank.

ואם המספר המדרגות נפרדות נתחיל מהמדרגה האחרונה

If its is even, we start from the rank that precedes the last rank, while considering the last rank as tens and the one that precedes it as units.

ואם זוג נתחיל ממדרגה הקודמת למדרגה האחרונה בעוד המדרגה האחרונה שתחשוב המדרגה האחרונה לעשרות והקודמת לה לאחדים

We seek for the closest root and write it beneath the required rank, i.e. the last or the one that precedes it; it is called the first root.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+r}\approx a}}

ונבקש שרש הקרוב ונכתבהו תחת המדרגה הנדרשת ר"ל האחרונה או הקודמת לה ויקרא השרש הא‫'

Then, we seek for a number, such that twice its product by the first root plus once by itself is enough to be subtracted from the rank that precedes the rank of the first root and from the one that precedes it; it is called the second root.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{100a^2+20ab+b^2}=\sqrt{\left(10a+b\right)^2}=10a+b}}

אח"ז נבק' מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השורש הראשון פעמים ועם עצמו אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת השרש הראשון ומהקודמת לה ויקרא השרש הב‫'

We write it in the rank that precedes the [rank] of the first root.

ונכתבהו במדרגה הקודמת לשרש הראשון

We further seek for a number, such that twice its product by the first and the second roots plus once by itself is enough to be subtracted from the rank that precedes [the rank of] the second root and from the two that precede it; it is called the third root.

עוד אח"ז נבקש מספר שיספיק העולה מהעולה מהכאתו עם השרש הא' והב' פעמים ועם עצמו פעם אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת לשרש הב' ומהשתים הקודמת לה ויקרא השרש הג‫'

We write it in the rank that precedes the [rank] of the second root.

כתבנהו במדרגה הקודמת לשרש הב‫'

We seek again for a number, such that twice its product by the first, the second, and the third roots plus once by itself is enough to be subtracted from the rank that precedes [the rank of the third root] and from the three that precede it; it is called the fourth root.

עוד אח"ז תבקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הא' והב' והג' פעמים ועם עצמו פעם שיחוסר מהמדרגה הקודמת ומהג' הקודמת לה ויקרא שרש ד‫'

We write it in the rank that precedes the [rank] of the third root.

וכתבנוהו במדרגה הקודמת לשרש הג‫'

And so on always until the subtracted rank is the first rank.

וכן תמיד עד אשר תגיע שיהיה המדרג' הנחסרת המדרגה הראשונה

The numbers that are written beneath the ranks are themselves the root.

והמספרים הכתובים תחת המדרגות הם השרש בעצמם

But, if there is a remainder from the required number that cannot be divided, know that the required number does not have a root.

ואולם אם נשאר מהמספר הדרוש בלתי מתחלק דע שהמספר הדרוש הוא בלתי נגדר

Approximating the root of a non-square number

The way of knowing the approximate root is that you add to the required number whatever even number of zeros you wish, then apply this same procedure itself, until you come to subtract from the first rank, as I write:

והדרך בידיעת שרש הקרו' הוא זה שתוסיף על המספר הדרוש איזה זוג תפרש שתרצה ותנהיג זה הדרך בעצמו עד שתגיע לחסר מהמדרג' הראשונה כזה שאני כותב

Exammple:

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{356870000}}}

the solving procedure is not given, but it seems that it is based on the following calculations:

\scriptstyle{\color{blue}{1^2\longrightarrow3-1^2=3-1=2}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(10\sdot1\right)\right]+8\right]\sdot8=\left(20\sdot8\right)+8^2\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle25-\left(2\sdot8\right)=25-16=9\\\scriptstyle96-8^2=96-64=32\\\end{cases}}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(10\sdot18\right)\right]+8\right]\sdot8=\left(360\sdot8\right)+8^2\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle32-\left(3\sdot8\right)=32-24=8\\\scriptstyle88-\left(6\sdot8\right)=88-48=40\\\scriptstyle407-8^2=343\\\end{cases}}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(10\sdot188\right)\right]+9\right]\sdot9=\left(3760\sdot9\right)+9^2\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle34-\left(3\sdot9\right)=34-27=7\\\scriptstyle73-\left(7\sdot9\right)=73-63=10\\\scriptstyle100-\left(6\sdot9\right)=100-54=46\\\scriptstyle460-9^2=379\\\end{cases}}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(10\sdot1889\right)\right]+1\right]\sdot1=\left(37780\sdot1\right)+1^2\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle3-\left(3\sdot1\right)=0\\\scriptstyle7-\left(7\sdot1\right)=0\\\scriptstyle9-\left(7\sdot1\right)=9-7=2\\\scriptstyle20-\left(8\sdot1\right)=20-8=12\\\scriptstyle20-1^2=19\\\end{cases}}}

Hence the root is 18891 and the remainder is 119

0 2 3	0 9 04 38 92 56	00 17 74 40 03 87	21 92 69 00	1 29 00
1	8	8	9	1

Then, multiply the result by sixty and again by sixty, until the number of zeros at the beginning of the product is half the number of the zeros that were added, and the denominator of the result is the number of times that it is multiplied by 60.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a}=\frac{\sqrt{60^{2n}\sdot a}}{60^n}}}

אח"ז תכה היוצא בששים והעולה בששים עד שיהיו תפארש שבראש טור העולה בהכאת כמות חצי התפראש הנוספות והעולה יהיה איכותו במספר הפעמים שהוכה בס‫'

\scriptstyle\frac{a}{60}=minutes

ר"ל אם הוכה פעם אחת הם ראשונים

\scriptstyle\frac{a}{60^2}=seconds

ואם ב' פעמים הם שניים

\scriptstyle\frac{a}{60^3}=thirds

ואם ג' פעמים הם שלישים

\scriptstyle\frac{a}{60^4}=fourths

ואם ארבעה הם רביעים

Erasing the zeros added in the first step and dividing the result by 60:

אח"ז השלך מהמספר העולה מהמספר הכאת הספראש והנשאר תחלקהו על ששים והיוצא יעלה מדרגה א‫'

\scriptstyle\frac{60^4a_1+60^3a_2+60^2a_3+60a_4+a_5}{60^4}=\frac{60^3a_1+60^2a_2+60a_3+a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}

ר"ל שאם היו רביעיי' היוצא היה שלישים והנשארים בלתי נחלקם הם רביעיים ושמרם

\scriptstyle\frac{60^3a_1+60^2a_2+60a_3+a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}=\frac{60^2a_1+60a_2+a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}

עוד חלק היוצא מהחלוק שהם שלישים על ס' והיוצאים בחילוק הם שניים והנשארים בלתי נחלקים הם שלישיים ושמרם

\scriptstyle\frac{60^2a_1+60a_2+a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}=\frac{60a_1+a_2}{60}+\frac{a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}

עוד חלק היוצאים בחלוק שהם ב' על ס' והיוצא בחלוק הם ראשונים הנשארים בלתי נחלקי' הם שניים ושמרם

\scriptstyle\frac{60a_1+a_2}{60}+\frac{a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}=a_1+\frac{a_2}{60}+\frac{a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}

אח"ז חלק הראשונים על ס' והיוצא הם מעלות ר"ל שלמים והנשארים הם ראשונים וככה הוא היוצא מהמעלות והראשונים והשניים והשלישים והרביעיים

The Roots of Fractions

שרש השברים

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}=\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\frac{a}{b}}}$

אם היה כמותם ואכותם נגדר תקח גדר כמותם ותיחסהו לגדר אכותם

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{2^2}{3^2}}=\frac{\sqrt{2^2}}{\sqrt{3^2}}=\frac{2}{3}}}

כגון ד' תשעיות גדר הד' שנים וגדר הט' ג' א"כ גדר הד' תשעיות הם שני שלישיות

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\frac{a^2}{b}}=\sqrt{\frac{a^2\sdot b}{b^2}}=\frac{\sqrt{a^2\sdot b}}{\sqrt{b^2}}}}$

ואם אכותם וכמותם בלתי נגדר או איכותם לבד תכה האיכות בעצמו ותכה הכמות עם האיכות ותיחסהו לההכאה הראשונה ותעשה זה הדרך בעצמו שתקח גדר הכמות ר"ל שהוא הכאת הכמות עם האיכות שהוא כמות הכאת האיכות עם האיכות אם יש לו גדר שלם או על דרך קרוב אם אין לו גדר שלם ותיחסהו לגדר העולה מהכאת האיכות עם האיכות וזהו השרש הקרוב

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\frac{a^2+r}{b^2}}=\frac{\sqrt{a^2+r}}{\sqrt{b^2}}\approx\frac{a}{b}}}$

ואם כמותם לבד בלתי נגדר ואיכותם הוא המספר הנגדר קח שרש הקרוב לכמות ותיחסהו אל האיכות

Integers and fractions - converting the integers into an improper fraction

ואם היה שלמים ושברים תתיך השלמים עד שיהו שברים ותיחסם אל האיכות על דרך בעינו שהקדמנו

Cubic Roots
Cubic Roots of Integers	מעוקב השלמים
Description of the extraction procedure:	תסדר הטור הדרוש כל אח' כפי מדרגתו
Marking every three ranks with a dividing line	ובסוף כל ג' אותיות תשים קו
The procedure starts from the leftmost dividing line:	ותתחיל מהקו האחרון
Finding the highest digit of the root - based on the rule: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt[3]{a^3+r}\approx a}}$	ונכתוב שם מספר שיוכה בדרך עקוב ויחוסר מהמספר שעליו עם עזר המדרגות הקודמו' ויקרא היסוד הראשון
Finding the second highest digit of the root - based on the rule: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt[3]{\left(10a\right)^3+3\sdot\left[\left(10a\right)^2\sdot b\right]+3\sdot\left(10a\sdot b^2\right)+b^3}=\sqrt[3]{\left(10a+b\right)^3}=10a+b}}$	אח"ז תכתוב במקום הקו הקודמת יסוד ב' ושיוכה עם העולה מהכאת הראשון בג' והעול' עם היסוד הראשון והב' יחד והעולה שיחוסר מהמספר שני לו עם עזר הנמשכים לו גם תכה היסוד הב' באופ' מעוקב והעולה תחסרהו מהמספר שעליו עם עזר המספרים הקודמים לו
Finding the third highest digit of the root - based on the previous rule	אח"ז נכתו' במקום הקו הקודמת יסו' ג' שיוכה עם העולה מהכאת הראשון והב' יחד עם מספר הג' והעולה עם היסוד הראשון והב' והג' ויחוס' מהמרב' הב' עם עזר המדרגות הנמשכים לו גם נכה היסוד הג' באופן מעוקב והעולה נחסרהו מן המספר שעליו עם עזר המספרים הקודמים לו
So on	וכן תמיד בסדר הזה
Approximating the root of a non-cubic number
First method
Adding triplets of zeros to the right of the number	וכאשר הגענו אל מדרגת האחדים ממנו ונשארו מספרים על המספר הדרוש ותרצה לדעת עוד יסודו הקרוב נוסיף על המדרגו' המונחות מצד האחדים ג' סיפראש או ששה או ט' או מה שתרצה לבד שתוסיפהו ג'ג‫'
Applying the above procedure	ואח"ז נעשה מה שקד' מהדרך למציאות היסוד עד שתגיע למדרגה הראשונה מהסיפראש
Erasing from the result one third of the number of zeros added in the first step	אח"ז נקח כל היסודות ונסדרם בטור אח' על סדר המדרגות ונשליך מהם במספר שליש הסיפראש
Converting the result to sexagesimal fractions: Considering the result as degrees	ונקח היסודות האחדות והם מעלות
Multiplying the remainder by 60 and erasing three zeros from the product - the remainder are minutes	אח"ז נכה הנשלכים בס' והעולה נשליך מהם כמספר ג' הסיפראס ונקח הנשארים והם ראשונים
So on until all the zeros added in the first step are erased	וכן נעשה תמיד עד שיכלה הסיפראש
Summing up all the resulted sexagesimal fractions as the approximate cubic root	ואז נחבר הכל יהיה הוא היסוד הקרוב
Second method	דרך אחר למספר שאין בו יסוד מעוקב
Adding triplets of zeros to the right of the number	שתוסיף סיפראש כמה שתרצה ובלבד שיהיו נוספים בתוספת ג'ג‫'
Applying the above procedure	ונשתמש עם הדרך הקודם בעינו עד שנגיע לסיפרא הראשונה
Converting the result to sexagesimal fractions: if 3n is the number of zeros added to the right of the given number, 60ⁿ should be placed as the denominator of the result in the first step of the procedure	אח"ז נקח כל היסודות המסודרות תחת מספר הדרוש ונכהו בס' והעולה בס' וזה עד שתהיינ' הסיפראש היוצאות בראש הטור העולה מההכאות בכמות שליש הסיפראש
Erasing the zeros added in the first step and dividing the result by 60	אח"ז נשליך הסיפראש ונחלק הנשאר על ס' והנשאר יהיה מאיכות השברים המחולקים
$\scriptstyle\frac{a}{60}=minutes$	ר"ל שאם הוכו פעם אחת לבד יהיו ראשונים
$\scriptstyle\frac{a}{60^2}=seconds$	ואם ב' שניים
$\scriptstyle\frac{a}{60^3}=thirds$	ואם ג' שלישיים
	והיוצא הוא ממין הקודם למין ז' המחולקים ר"ל שאם היו ראשונים היוצא מהחלוקה מעלות ואם היו שניים היוצא מהחלוקה ראשונים וכן תמיד
Cubic Roots of Fractions	יסוד השברים המעוקבים
$\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{a^3}{b^3}}=\frac{\sqrt[3]{a^3}}{\sqrt[3]{b^3}}=\frac{a}{b}$	אם הכמות והאיכות מעוקב תקח מעוקב הכמות ותיחסהו אל מעוקב האיכות
$\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}}=\sqrt[3]{\frac{a^3\sdot b^2}{b^3}}=\frac{\sqrt[3]{a^3\sdot b^2}}{\sqrt[3]{b^3}}$	ואם אינם מעוקבים או האיכות לבד בלתי מעוקב נכה האיכות בדרך עקוב ונכה הכמות עם העולה מהכאת האיכות בעצמו אח"ז ניחס יסוד השמור הב' שהוא הכאת הכמות עם העולה מהכאת האיכות בעצמו אל השמור הראשון שהוא העולה מהכאת האיכות בדרך עקוב
$\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{a^3+r}{b^3}}=\frac{\sqrt[3]{a^3+r}}{\sqrt[3]{b^3}}\approx\frac{a}{b}$	ואם איכותם נעקב נבקש יסוד הכמות הקרוב והיוצא ניחסהו אל מעוקב האיכות
Example: $\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{a^3+r}{3^3}}=\frac{\sqrt[3]{a^3+r}}{\sqrt[3]{3^3}}\approx\frac{1}{3}a$	ר"ל שאם היה מעוקבו ג' היה היחס הוא השליש וכן תמי‫'
Integers and fractions - converting the integers into an improper fraction	ואולם בשלמים ושברים יחד נתיך השלמים לשברים ונעשה הדרך הקודם בעינו

Divisibility of a Number
3; 6; 9
To know if a certain number has a third, a sixth, or a ninth without fractions [= if 3, 6, or 9 are divisors of the number]:	לידע אם יש שלישי' או ששי' או ט' מספר מה מבלי שברים
First, you should know if it has a ninth, and this is known by summing the numerals of the number as if they were units.	תדע ראשונה אם יש לו תשיעי' וזה יודע כשתחבר רשמי מספר החשבון כאלו הם אחדים
If it is cast out by nines, it is known that is has a ninth, as well as a third [= divisible by 9 and 3].	ואם יושלך לט"ט בידוע שיש לו תשיעיות וג"כ שלישי‫'
Also a sixth, if the number is even [= divisible by 6], but not if it is odd.	וג"כ ששית אם המספר זוג ואם נפרד לאו
If 6 or 3 remain, it has a third [= divisible by 3], and, if it is an even number, a sixth also [= divisible by 6], but not a ninth [= not divisible by 9].	ואם ישארו ו' או ג' יהיה לו שלישי' וג"כ ששית אם הוא זוג אבל לא תשיעית
2; 4; 8
If you wish to know if it has a half, a quarter, or an eighth [= if 2, 4, or 8 are divisors of a the number]:	ואם תרצה לידע אם יש לו מחצית או ד' או שמינית
If the number is odd, it does not have any of them [= not divisible by 2, 4, or 8].	אם חשבון נפרד אין לו שום אחד מהם
If it is even, it has a half [= divisible by 2].	ואם זוג בידוע שיש לו חצי
To know if [it also has] a quarter and an eighth:	ולידע אם לא ג"כ רביעית ושמיני‫'
Take the number that is in the first rank to the right [= units] as it is.	קח המספר אשר במעלה הראשונה לצד ימין כמו שהיא
Double the one that is in the second [rank] [= tens], but if there is no number there, do not take any thing.	ואשר בשנייה כפול ואם אין שם מספר לא תקח כלום
If the one that is in the third [rank] [= hundreds] is an odd number, multiply it by 4, if it is an even number or a zero, do not take any thing.	ואשר בשלישית אם הוא נפרד כפלהו בד' ואם הוא זוג או סיפרא לא תקח כלום
From the [fourth] rank onward leave [the digits] and do not take any thing. Sum up all that you have gathered up to the third rank according to this procedure.	וכן מהמעלה הג' ולמעלה תניח אותו לא תקח כלום וקבץ כל מה שקבצת עד המעלה הג' עד"ז
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2a+10b+\left[\left(2c-1\right)\sdot100\right]\longrightarrow 2a+2b+4\sdot\left(2c-1\right)}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2a+10b+\left(2c\sdot100\right)\longrightarrow2a+2b}}$
If it is cast out by eights it has an eighth [= divisible by 8], the more so a quarter [= divisible by 4].	אם יושלך באלו לח' יש לו שמינית וכ"ש רביעי‫'
If 4 remains, it has a quarter [= divisible by 4] alone.	ואם ישארו ד' יש לו ד' לבד
If another number remains, it does not have even a quarter [= not divisible by 4].	ואם נותר מספר אחר אין לו אפי' רביעית
7
If you wish to know if it has a seventh [= if 7 is a divisor of a given number]	ואם תרצה לידע אם יש לו שביעי‫'
If has a few methods:	יש בזה דרכים
The first is that you set these numerals 1, 3, 2, 6, 4, 5 by the order of the ranks, then multiply each of these numerals by its corresponding rank, consider all as units, and cast out the sevens. If it is cast out by sevens it has a seventh [= divisible by 7], otherwise it has none.	הראשון שתניח אלו האותיות א'ג'ב'ו'ד'ה' על סדר המדרגות חלילה ותכה כל א' מאלו האותיות במדרגה שכנגדה וחשב כל האחדים והשלך השביעיות ואם יושלך לז' יש לו שביעית ואם לאו לאו
The second is that you multiply the leftmost digit by 3, add [the product] to what you find in the rank that precedes it and cast out the sevens, then multiply the remainder from casting out the sevens by 3, add [the product] to what you find preceding it, and so on repeatedly, up to the first rank. If it is cast out by sevens, it has a seventh [= divisible by 7].	הב' שתכה הרושם האחרון שלצד שמאל בג' וחברהו לאשר תמצא במעלה שלפניו ותשליכה לז' והנשאר תחברהו לאשר לפניו ותכה הנשאר מהשלכת השביעיו' בג' וחברהו לאשר תמצא לפניו וכן תמיד עד המדרגה הראשונה ואם יושלך ז'ז' יש לו שביעית
If you do not find there any number but a zero, for every zero, multiply the remainder by 3, until all the zeros end and so on [the procedure continues as described].	ואם לא תמצא שם מספר כי אם סיפרא תכה הנשאר בג' וכן בכל ספרא וספרא תכה הנשאר בג' עד שיכלו כל סיפראים וכן תמיד
11
To know if it has an eleventh, i.e. if it is cast out by elevens [= if 11 is a divisor of a given number]:	ולידע אם לו י"א ר"ל אם יושלך לי"א
Subtract the leftmost [numeral] from the one that precedes it, then the remainder from the one that precedes the preceding and so on repeatedly.	תחסר האחרון שלצד שמאל מאשר לפניו והנשאר מאשר לפני פניו וכן תמיד
If all is cast out, it has an eleventh [= divisible by 11], otherwise it has none.	ואם יושלך הכל יש לו י"א ואם לאו לאו
If you do not find there a number, or if the digit is smaller than [the subtrahend], so that you cannot subtract from it, add 11 to it, then subtract from the total and so on [the procedure continues as described].	ואם לא תמצא שם מספר או מספר קטן ממנו שלא תוכל לחס' ממנו והנשאר תוסיף עליו הי"א ותחסר מהכל זה המספר וכן תמיד
13
If it has a thirteenth [= if 13 is a divisor of a given number]	אם יש לו י"ג
Multiply the last numeral by 3, cast out the thirteens, subtract the remainder from what you find in the preceding rank, then multiply the remainder by 3 again, cast out the thirteens, subtract the remainder from what precedes it, and so on until their end.	תכה הרושם האחרון בג' והוציאוהו י"ג י"ג והנשאר הוציאוהו מאשר תמצא במעלה אשר לפניו והנשאר כפלהו שנית בג' והוציאוהו י"ג י"ג והנשאר הוציאוהו מאשר לפניו וכן תמיד עד תכליתם
If all is gone, it is cast out by thirteens [= divisible by 13].	ואם יצא הכל יושלך לי"ג
If there is not enough in a certain rank, so that you do not find there enough to subtract as I have instructed you, add 13, then subtract from the sum what you should subtract, multiply the remainder by 3, cast it out by thirteens [the procedure continues as described] and if it is cast out, it has a thirteenth, otherwise it has none.	ואם יחסר בשום מעלה שלא תמצא שם די להוציא אשר צויתיך הוסיף י"ג והוציא מהנתחבר אשר עליך להוציא והנשאר כפלהו בג' והוציאוהו י"ג י"ג ואם יצא יש לו י"ג ואם לאו לאו
General technique	דרך כולל כל
Adding the leftmost digit to the second leftmost digit and casting out the [potential divisor] in question from the sum, then adding the remainder to the digit in the preceding rank as tens and casting out the [potential divisor] again from the sum, and so on	שתחבר המספר האחרון עם אשר לפניו בשתחברהו לעשרות והב' לאחדים ותשליכהו למספר אשר תרצה להשליכו והנשאר חשבהו לעשרות וחברהו לאשר תמצא במעלה שלפניו והוציאהו למספר אשר תרצה להוציא וכן תמיד על הסדר הזה

Square Numbers
When you want to know the square of a number in an easy way:	כשתרצה לידע מרובע שום מספר ע"ד הקל
Take its third, multiply it by itself and rise it to the next rank - if it is in the units, the next rank is the tens; if it is in the tens, the next rank is the hundreds. Subtract from it the [square] of the third and the remainder is the square you wish to know. $\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2$	קח שלישיתו והכהו בעצמו והעלהו למדרגה הקרובה אם היא אחדים המדרגה הקרובה היא העשרות ואם היא עשרות המדרגה הקרובה היא המאות וחסר מהם הכאת השליש ומה שישאר הוא המרובע שרצית לידע
Example: if you wish to know how much is the square of 9.	המשל אם תרצה לידע כמה הוא מרובע הט‫'
Take its third, which is 3; multiply it by itself; the result is 9. Rise it to the next rank; it is ninety. Subtract from it the [square] of the third, which is 9; eighty-one remains and it is the square of 9.	קח שלישיתו והוא הג' והכה אותו בעצמו ויעלה ט' עלהו למדרגה הקרובה והיא תשעים חסר מהם הכאת השליש והוא ט' ישאר א' ושמונים והוא מרובע הט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{9^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2=\left(10\sdot3^2\right)-3^2=\left(10\sdot9\right)-9=90-9=81}}

If it does not have a third, but is one less than [having] a third, add one. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(a-1\right)-a}}$	ואם יהיה חסר אחד לשליש שאין לו שליש הוסף א‫'
Example: if you wish to know the square of 8.	המשל אם תרצה לידע מרובע הח‫'
When you want to take the third, it does not have a third, so add one; it is 9 and its third is 3. Multiply it by itself, as we have said in the previous example, and rise it to the next rank; it is ninety. Subtract from it the square of 3; 81 remains. For the 1 that you add, subtract 8 and 9, which are 17, from 81; 64 remains and this is the square of eight.	וכשתרצה לקחת השליש אין לו שליש הוסף אח' ויהיו ט' ושלישים הוא ג' הכם בעצמם כמו שאמרנו בזה המשל הקודם והעלהו למדרגה הקרובה ויהיה תשעים חסר מהם מרובע הג' ישאר פ"א ובשביל הא' שהוספת חסר הח' והט' שהוא י"ז מהפ"א ישארו ס"ד וככה מרובע השמונה

\scriptstyle{\color{blue}{8^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]-8-9=\left[\left(10\sdot3^2\right)-3^2\right]-17=\left[\left(10\sdot9\right)-9\right]-17=\left(90-9\right)-17=81-17=64}}

If it exceeds, meaning that it does not have a third, but an excess remains. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]+\left(a+1\right)+a}}$	ואם היה בתוספת רצוני שאין לו שליש אלא שישאר תוספת
Such as: you wish to know the square of 7.	כגון רצית לידע מרובע ז‫'
When you want to take its third, do this way: subtract 1, six remains. Its third is two. Do the same way that we have said; the result is 36. Then, for the 1 that you subtract, add 7 and 6; they are 13 and with 36 the result is 49 and this is the square of 7.	וכשתרצה לקחת שלישיתו תעש' ע"ז הדרך שתחסר א' וישארו ששה שלישית הוא שניים עשה הדרך בעצמו שאמרנו ויעלה ל"ו אח"כ בשביל הא' שחסרת הוסיף הז' והששה הם י"ג עם ל"ו יעלה מ"ט וככה מרובע הז‫'

\scriptstyle{\color{blue}{7^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]+7+6=\left[\left(10\sdot2^2\right)-2^2\right]+13=36+13=49}}

Completion
Numerical operation called jaber in Arabic	מין מספר הנקרא בערבי ג'בר
Its Hebrew technical term is unknown	ולא ידעתי לו שם בלשוננו
In foreign language reducir	ובלע"ז רידוזיר
Finding the complement number by which a given number should be multiplied so that the product will be a required number $\scriptstyle a\sdot x=b$	וענינו שאם יש לך שום מספ' ורצית לומ' באיזה מספר נכה זה השבר או אלו השברים עד שיעלה זה השבר או אלו השברים
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\sdot x=1+\frac{4}{5}}}$	במשל ב' רביעיות באיזה מספר נכו אותם עד שישובו א' וד' חמישיו‫'
The procedure: dividing the required number by the given number $\scriptstyle x=b\div a$	והדרך בזה שתחלק זה המספר על השבר המיוחד
The complement is called [in Arabic] al-majbur	ומה שיעלה כמו שמבואר בחלוק השלמים ושברים על שברים הוא אלמגבור
Conversion
The opposite numerical operation called bāb al-ḥaṭ in Arabic	ויש מין אחר הפכי לזה והוא הנקרא באב אלחט
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{4}{5}\right)\sdot x=\frac{2}{4}}}$	והוא א' וארבע' חמישיות באיזה מספר נכה אותם עד שישובו ב' רביעיות שהוא חסרון בערך הראשון
The procedure: dividing the given number by the resulting number $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2}{4}\div\left(1+\frac{4}{5}\right)}}$	ותעשה ההפך שתחלק הב' רביעיו' על א' וד' חמישיות
Indication that the treatise relies on another work: "although the author wrote two chapters concerning these two [issues], it seems that they can be deduced in one chapter"	ואעפ"י שהמחבר חברם בב' שערים נ"ל שהם מכללו בשער אח' והבן

Geometric Shapes
Square
Example: finding the area or the diagonal of a square both sides of which are 10	אם מרובע נכון שיש בצלעיו עשר על עשר ד"מ ורצית לידע שטחו או אלכסונו
The area of a square = the product of its two sides $\scriptstyle S_{square}=side\times side$	תעשה בזה הדרך: תכה הצלע עם חבירו כאח' וזהו שטחו
The diagonal of a square: $\scriptstyle d_{square}=\sqrt{side^2+side^2}$	ותכה הב' צלעות כל אחת בפני עצמו וגדר של מקובצם הוא האלכסון
The side of a square, when its area is given: $\scriptstyle side_{square}=\sqrt{S}$	ואם ידעת השטח גדרו והוא הצלע
The side of a square, when its diagonal is given: $\scriptstyle side_{square}=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot d^2}$	ואם ידעת האלכסון גדר חצי הכאתו הוא הצלע
Rectangle
Example: finding the area of a rectangle of 10 in length and 5 in width	אבל במרובע ארוך שיש לצלעיו י' באורך וה' ברוחב עד"מ
The area of a rectangle = the product of its two sides $\scriptstyle S_{rectangle}=side_1\times side_2$	בידיעת ב' צלעיו תכה זה עם זה כאחת זהו שטחו
The side of a rectangle, when the area and one of the sides are given: $\scriptstyle side_1=S_{rectangle}\div side_2$	ובידיעת שטחו וצלע א' תחלק השטח על הצלע הידוע ויצא הצלע הנעלם
The diagonal of a rectangle: $\scriptstyle d_{rectangle}=\sqrt{side_1^2+side_2^2}$	ובידיעת ב' צלעיו ותכה זה בפני עצמו וזה בפני עצמו וגדר מקובצם הוא האלכסון
The side of a rectangle, when the diagonal and one of the sides are given: $\scriptstyle side_1=\sqrt{d_{rectangle}^2-side_2^2}$	ובידיע' האלכסון וצלע א' תוציא הכאת הצלע מהכאת האלכסון וגדר הנשאר הוא הצלע האחר
Triangle	בשבירת המשולש
Relying on Euclid	יש דרכים רבים אבל מה שנ"ר יותר כולל הוא מה שנתבא' בכח דברי אקדידס החכם מתוך הקדמה אח' ובקיום זאת ההקדמה נוליד המבוקש בע"ה
The square of the diagonal of a given rectangle is equal to sum of the squares of both its sides $\scriptstyle d_{rectangle}^2=side_1^2+side_2^2$	וזה ששם נתבאר שקוטר המרובע ר"ל אלכסונו הוא כפל מרובע ב' הצלעים כשיוכה זה בפני עצמו וזה בפני עצמו הוא שוה להכאת האלכסון בעצמו
Example: finding the area of an equilateral triangle whose sides are equal to 10	ובזה ההקדמה יתבאר לך כשיש משולש בצורה הזאת

	ונסכים שהוא שוה הג' הצלעות ושיש בכל צלע עשר
Finding the area by dividing the triangle into two identical triangles	הנה ידיעת שבריו הוא שתחלקהו במחשבתך לב' משולשים שוים וזה שתרשום בזוית א' קו ישר ובהכרח יחלוק הקו ר"ל קו ג"ב לשני חצאין ובזה הרי ידענו שצלע אחד יש בו ה' והאלכסון עשר כפי מה שהונח
$\scriptstyle side_1=\sqrt{d_{rectangle}^2-side_2^2}$	ובהוצאת הצלע האח' יתחייב כפי ההקדמ' שהנחנו שתוציא הכאת הצלע מהכאת האלכסון וגדר הנשאר הוא הצלע האחר
$\scriptstyle d_{rectangle}^2=side_1^side_2^2$	ואיכות החיוב מבואר כיון שהאלכסון בהכאתו שוה להכאת שני צלעיו כל אח' בפני עצמו א"כ יתחייב בהכרח כשתוציא הכאת הצלע האח' מהאלכסון שגדר הנשאר הוא האלכסו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{side=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}\approx8+\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	ועשינו כן שהכינו הה' והיה כ"ה והכינו הי' והיה ק' חסרנו הכ"ה מהק' ונשארו ע"ה וגדרם הוא הצלע האחר בקשנו גדרם ע"ד הקירוב כמו שהודעתיך בשער הקידום הדרך היותו נקל כזו והיותר מדוייק ומצאנו ששרשם הוא הוא ח' וב' רביעיות וג' רביעיות רביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{S_{triangle}=5\sdot\left[8+\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]=43+\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	הכינום עם ה' שהוא הצלע הא' ויצא מ"ג שלמים ורביעי' וג' רביעיות רביעית והוא שטח המשולש
	לפי שהאלכסון חולק המרובע לב' חצאים וחצי זהו חצי המשולש וחציו האחר הוא חצי המשולש ר"ל החלקים מהמשולש אשר חלקנו צלעו בזוית אח' ודי למבין

Euclidean Propositions
Euclid's Elements, Book II, Propositions 2-8 - [Arithmetical Version]
Propositions that are of great need for arithmetic from the words of Euclid the wise in Book II and they are 9 propositions	הקדמות צריכין צורך גדול למספר מדברי אקלידס החכם במא' הב' והם ט' הקדמות
1) Euclid, Elements, Book II, propositions 2: If you divide any number into parts as you wish, [the sum of] the products of each of the parts by the whole number is equal to the square of the whole number. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left[\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\sdot a_k\right]=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2$	אחת כל מספר שחלקת אותו לחלקים איך שרצית הנה הכאת כל אח' מהחלקי' בכל המספר השוה למרובע הכל
Proof: the whole contains nothing but its parts and the product of the whole by the whole is equal to the product of the whole by each of its parts	המופת שאין בכלל זולת חלקיו והכאת הכלל בכלל הוא כהכאת הכלל בכל חלקיו וזה מבואר
2) Euclid, Elements, Book II, proposition 3: For any number divided into two parts as you wish, the product of the whole number by any of its two parts is equal to the product of the one part by the other plus the square of the part by which you multiplied the whole number. $\scriptstyle\left(a+b\right)\sdot b= \left(a\sdot b\right)+b^2$	ב כל מספר שחלקת אותו לב' חלקים איך שקרה הנה הכאת המספר כלו עם כל אחד מב' חלקיו איזה שיהיה שוה להכאת החלק האחד עם האחר ולמרובע החלק אשר בו הכית כל המספר
Proof: the whole, when you multiply it by whichever of its parts it is as if you multiply this same part by itself and by the other part, since the whole consists of both of them. $\scriptstyle\left(a+b\right)\sdot b=\left(a\sdot b\right)+\left(b\sdot b\right)$	‫^[4]מופתו כי הכלל כשהכית אותו עם איזה חלק הוא כאלו הכית אותו החלק בעצמו ועם החלק האחר כיון שזה הכלל מורכב מהם
Example: the number 10 is divided into two parts - 7 and 3.	כמשל מספר הי' נחלק לב' חלקים לז' ולג‫'
The product of 10 by 7 is as if you multiply 7 by itself and by 3; since 7 and 3 are the parts of 10 and the whole contains nothing but its parts. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot7=\left(7+3\right)\sdot7=7^2+\left(3\sdot7\right)}}$	הנה הכאת הי' בז' כאלו הכית הז' בעצמו ועם ~~הכת~~ הג' אחר שהז' והג' הם חלקי' הי' ואין בכלל זולת חלקיו
Likewise, when you multiply 10 by 3 it is as if you multiply 3 by 7 and by itself; since they are, i.e. 3 and 7 summed themselves, are the number 10 and this is very clear. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot3=\left(7+3\right)\sdot3=\left(7\sdot3\right)+3^2}}$	וכן כאשר הכית הי' בג' הרי הוא כאלו הכית הג' עם הז' ועמו בעצמו כגון שהם ר"ל הג' והז' הם הם בעצמם מקובצים מספר הי' וזה מבואר מאד
3) Euclid, Elements, Book II, proposition 4: For any number divided into two parts as you wish, the square of the whole number is equal to [the sum of] the squares of the two parts and twice the product of the one part by the other. $\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]$	ג כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה מרובע כל המספר שוה לב' המרובעים ההווים מב' החלקים ולהכאת החלק האחד עם חבירו ב' פעמים
Proof: the product of the whole by the whole is as if you multiply the two parts by the whole. But, the product of the first part by the whole is as if you multiply the part by itself and by the other part. Also, the product of the other part when you multiply it by the whole is as if you multiply it by itself and by the first part. For, the whole contains nothing but its parts and these parts are the parts of this whole number.	מופתו כי הכאת הכלל עם הכלל כאלו הכית הב' חלקים עם הכלל והכאת החלק והא' עם הכלל הוא כאלו הכית החלק בעצמו ועם החלק האח' וג"כ בחלק האח' שהכית אותו בכלל כאלו הכית בעצמו ועם החלק הא' כיון שאין בכלל זולת חלקיו והרי אלו החלקים הם חלקי זה המספר הגדול

\scriptstyle\left(a+b\right)^2=\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]=\left[a^2+\left(a\sdot b\right)\right]+\left[b^2+\left(a\sdot b\right)\right]=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]

Example: the number 10 is divided into 7 and 3.	כמשל הי' נחלק לז' ולג‫'
The product of 10 by itself is as if you multiply 7 by 10 and 3 by 10.	הכאת הי' בעצמו הוא כאלו הכית הז' עם הי' והג' עם הי‫'
The product of 7 by 10 is as if you multiply 7 by itself and by 3, since 7 and 3 are the parts of 10.	הכאת הז' עם הי' כאלו הכית הז' בעצמו ועם הג' כיון שהז' והג' הם חלקי הי‫'
The product of 3 by 10 is as if you multiply 3 by 7 and by 3.	והכאת הג' בי' כאלו הכית הג' בז' ועם הג‫'
So, we multiply 3 by 7 twice, and we multiply also 7 by itself and 3 by itself, and the total is equal to the square of 10, and this is very clear to the one who observes with the intellect.	הרי ב' פעמים הכינו הג' עם הז' וג"כ הכינו הז' בעצמו והג' בעצמו ושוה הכל למרובע הי' ומבואר הוא מאד למסתכל בעין השכל

\scriptstyle{\color{blue}{10^2=\left(7\sdot10\right)+\left(3\sdot10\right)=\left[7^2+\left(7\sdot3\right)\right]+\left[3^2+\left(3\sdot7\right)\right]=3^2+7^2+\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]}}

4) Euclid, Elements, Book II, proposition 5: For any number divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the product of one of the unequal parts by the other and the square of the difference between the two parts, i.e. between the equal part [= the half of the whole number] and the unequal [part] is equal to the square of half the [whole] number. $\scriptstyle\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2$	ד כל מספר כאשר תחלקהו לב' חלקים שוים ולב' חלקים בלתי שוים הנה הכאת החלק הא' עם חבירו מהחלקים הבלתי שוים ומרוב' מה שבין ב' חלקים ר"ל בין החלק השוה ובלתי שוה שוה למרובע חצי המספר
Proof: [when] the number is divided into two unequal parts, the excess of its half over the smaller [part] is the excess of the greater [part] over the half. $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a=b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]$	מופתו המספר שנחלק לב' חלקים בלתי שוים מה שנגרע מהמספר הקטן מהחצי הוא מיותר במספר הגדול על החצי
Example: the number 10 that is divided into 7 and 3.	במש' הי' שנחלק לז' ולג‫'
The excess of 5 over 3, is 2; 7 exceeds over 5 by this same number, which is 2. $\scriptstyle{\color{blue}{5-3=2=7-5}}$	מה שנגרע הג' מהה' שהוא ב' הז' יותר מהה' זה המספר בעצמו שהם הב‫'
Hence, when we multiply the smaller number by the greater it is as if we multiply the smaller number by half the number plus the excess, since the excess and the half are the parts of the greater part. $\begin{align}\scriptstyle a\sdot b&\scriptstyle=a\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]\right]\\&\scriptstyle=a\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]\right]\\\end{align}$	וא"כ כשאנו מכים המספר הקטן בגדול הוא כאלו הכינו המספר הקטן בחצי המספר והתוספת כיון שהתוספת והחצי הם חלקי החלק הגדול
Also, the product of the half by itself is as we multiply the half by the smaller number plus the excess, since the excess and the smaller number are the parts of the half. $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\sdot\left[a+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]\right]$	והכאת החצי עצמו הוא כאלו הכינו החצי עם המספר הקטן ועם התוספת כיון שהתוספת והמספר הקטן הם חלקי החצי
It is clear that the difference between the product of the half by the excess and the product of the smaller number by the excess is the product of the excess by the excess, thus the product of the excess by itself.	והוא מבואר שההכא' בין הכאת החצי בתוספת בין הכאת המספר הקטן בתוספת הוא הכאת התוספת בתוספת וע"כ כהכאת התוספת בעצמו

\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]\right]-\left[a\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]\right]

If we add it to the product of the smaller by the greater, it is the square of the half. $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2+\left(a\sdot b\right)$	ואם נוסיפהו על מרובע הקטן בגדול הוא מרוב' החצי בהכאת
In the example: the product of 7 by 3 is as if we multiply 3 by 5 and by 2.	במשל הכאת הז' בג' הוא כאלו הכינו הג' בה' ובב‫'
The product of 5 by itself is as if we multiply 3 by 5 and 5 by 2, which is the excess.	והכאת הה' בעצמו הוא כאלו הכינו הג' בה' והה' בב' שהם התוספת
The difference between this product and the product of 3 by 2 is the product of 2 by itself and this is very clear.	וההבדל שבין זאת ההכאה להכאת הג' בב' הוא הכאת הב' בעצמם וזה מבואר מאד

\scriptstyle{\color{blue}{5^2=\left(5\sdot3\right)+\left(5\sdot2\right)=\left(3\sdot5\right)+\left[\left(3\sdot2\right)+2^2\right]=\left(3\sdot7\right)+2^2=\left(3\sdot7\right)+\left(5-3\right)^2}}

5) Euclid, Elements, Book II, proposition 6: If we divide any number into half and add to it another number, [the sum of] the product of the whole number plus the additional [number] by the additional [number] and the square of half the number is equal to the square of half the number and the additional [number] together. $\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2$	ה כל מספר כאשר חלקנו אותו לחצי והוספת עליו מספר אחר הנה הכאת המספר כלו מחובר עם התוספ' בתוספת ומרובע חצי המספר שוה למרובע חצי המספר והתוספת ביחד
Proof: when we add any number to the half, the product of the excess by the half and the product of the excess by the half plus the excess are added to the square of the half. $\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2=\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[b\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)\right]+\left[b\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]\right]$	מופתו כי כשהוספנו על החצי מספר מה הנה יתוסף על מרובע החצי הכאת התוספת בחצי והכאת התוס' בחצי מחובר עם התוספת
Because, we say: 5 times 5 are 25; and we say that the product of 2, which is the excess, by 5 and the product of 2 by 7, which is the sum of the excess and the half, are added to it. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+2\right)^2=5^2+\left(2\sdot5\right)+\left[2\sdot\left(5+2\right)\right]}}$	וזה כי אמרנו ה' פעמים ה' הם כ"ה ואמרנו ז' שלז' הרי נתוסף הכאת הב' שהם התוספת בה' והכאת הב' בז' שהוא מחובר עם התוספת והחצי
This itself is what we do when we add the excess to the whole number, since the number is [as] its half and the excess [is] what we add to it, and the product of the excess by the half and by the sum of the half and the excess [is the same as] its product by the whole number together with the excess. Understand this. $\scriptstyle b\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]=b\sdot\left(a+b\right)$	וזהו בעצמו מה שאנו עושין כשאנו מוסיפין התוספת במספר כלו לפי שהמספ' חציו ועם התוספת שאנו מוסיפין עליו ומה להכאת התוספת עם החצי ואע"כ עם החצי והתוספת מחובר או הכאתו עם כל המספר והתוספת ביחד והבן
6) Euclid, Elements, Book II, proposition 7: For any number divided into two parts, the sum of the square of the whole number and the square of one of the parts is equal to twice the product of this part by the whole number plus the product of the other part by itself $\scriptstyle\left(a+b\right)^2+a^2=2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2$	ו כל מספר שתחלקהו בב' חלקים איך שקרה המרובע ההווה מהמספר כלו והמרובע ההווה מא' מב' אלו החלקים כאשר התקבצו שוה להכאת החלק הנזכ' עם המספר כלו ולהכאת החלק הב' הנשאר בעצמו
Proof: it has already proven in proposition 3 that the product of the whole by itself is [as the sum of] the products of each of its parts by itself and twice the product of one part by the other. $\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a+b\right)\right]$	מופתו כבר התבאר בהקדמה ג' שהכאת הכלל בעצמו הוא הכאת חלקיו כל אחת בפני עצמו והכאת החלק הא' עם חבירו ב' פעמים
Hence, when we multiply the mentioned part, whose square we add to the square of the whole number, by twice the whole number, we multiply it twice by itself and twice by the first part.	וא"כ כשאנו מכין החלק הנז' אשר הוספנו מרובעו למרובע המספר כלו עם המספר כלו ב' פעמים הרי אנו מכין אותו בעצמו ב' פעמים ועם החלק הא' ב' פעמי‫'
Then, we add the remaining square of the second part.	ואח"כ אנו מוסיפין מרובע החלק הב' הנשאר
The product of the whole by itself is as the product of the part once by itself, and twice [the product] of each by the other.	והכאת הכלל בעצמו הוא הכאת החלק בעצמו פעם א' וכל אח' עם חבירו ב' פעמים
So, the product of one part once by itself remains. We add it the the square of the whole in order that it will be equal.	הרי נותר הנה הכאת חלק אחד בעצמו פעם אח' אנו מוסיפין זה על מרובע הכלל כדי שיהיה שוה

\scriptstyle2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=2a^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]+b^2=a^2+\left[a^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]+b^2\right]=\left(a+b\right)^2+a^2

Example: the number 10 is divided into 7 and 3.	במשל הרי הי' נחלק לז' ולג‫'
Twice the product of 3 by 10 is as twice the product of 3 by 7 plus twice the product of 3 by itself.	הנה הכאת הג' בי' ב' פעמים הוא הכאת הג' בז' ב' פעמים והכאת הג' בעצמו ב' פעמים
Then, we multiply 7 by itself.	ואח"כ אנו מכין הז' בעצמו
[The sum of these products] exceeds over the square of the whole by once the product of 3 by itself, therefore, we add it to the square of the whole in order that they will become equal. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(3\sdot10\right)\right]+7^2=\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]+\left(2\sdot3^2\right)+7^2=10^2+3^2}}$	נותר לנו על מרובע הכלל הכאת ‫^[5]הג' בעצמו פעם אחד לכן אנו מוסיפין אותו על מרובע הכלל כדי שישוו
7) Euclid, Elements, Book II, proposition 8: For any number divided into two parts as you wish, if you multiply the whole number by one of the parts four times, the sum of the product with the square of the other part is equal to the [square] of the whole number plus the one part $\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2$	ז כל מספר שחלקת אותו לב' חלקים איך שקרה אם הכית המספר כלו עם חלק אח' מהם ד' פעמים וקבצת הכל עם מרובע החלק הב' הנשאר היה שוה להכאת מספרו החלק הנזכר כאשר תחברם יחד
Proof: it is proven through two propositions -	המופת יתבאר בב' הקדמות
The first: for any number divided into two parts as you wish, [the sum of] the product of one part by the whole number and the [square] of the other part is equal to the sum of the product of the other part by the whole number and the [square] of the one part. $\scriptstyle\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+b^2=\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2$	אחת כל מספר שחלקת אותו לב' חלקים כי איך שקרה הנה הכאת החלק עם כל הכלל והחלק הנשאר בעצמו כאשר תקבצם שוה להכאת החלק הנשאר בכלל והכאת החלק הא' בעצמו כאשר תקבצם
Example: the number 10 is divided into 7 and 3.	במשל הי' נחלק לז' ולג‫'
[The sum of] the product of 7 by 10 and the product of 3 by itself is equal to [the sum of] the product of 3 by 10 and the product of 7 by itself $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\sdot10\right)+3^2=\left(3\sdot10\right)+7^2}}$	הנה הכאת הז' בי' והכאת הג' בעצמו שוה להכאת הג' בי' והכאת הז' בעצמו
This is because the product of the part by the whole is as if you multiply [the part] by itself and with the other part that remains, for the whole is nothing but its parts. $\scriptstyle a\sdot\left(a+b\right)=a^2+\left(a\sdot b\right)$	וזה כי הכאת החלק בכלל הוא כאלו הכית אותו בעצמו ועם החלק האחד הנשאר כי אין הכלל זולת חלקיו
Then, when we multiply the part that remains by itself, we carry out three products: the product of each part by itself and the product of one part by the other. $\scriptstyle\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+b^2=a^2+\left(a\sdot b\right)+b^2$	ואח"כ כשאנו מכין החלק הנשא' בעצמו הרי עשינו ג' הכאות הכאת כל חלק בפני עצמו והכאת החלק הא' באחר
Likewise when we reverse this matter we do the same. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2=b^2+\left(a\sdot b\right)+a^2}}$	וג"כ כאשר הפכנו הענין זה בעצמו אנו עושין
Example: because, the product of 3 by 10 is as 3 by 7 and by itself.	המשל כי הכאת הג' בי' הוא כאלו הג' בז' ועמו בעצמו
And when we multiply 7 by itself, we carry out three products: the product of 7 by itself, the product of 3 by itself, and the product of 3 by 7.	וכשהכינו הז' בעצמם עשינו בזה ג' הכאות הכאת הז' בעצמו והכאת הג' בעצמו והכאת הג' בז‫'
Also, when we multiply 7 by 10, then 3 by itself, we carry out these same three products: the product of 3 by itself, the product of 7 by itself, and the product of 3 by 7 and this is clear. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot10\right)+7^2=\left(3\sdot7\right)+3^2+7^2=\left(7\sdot10\right)+3^2}}$	כן ג"כ כשאנו מכין הז' בי' ואח"כ הג' בעצמו אלו הג' הכאות בעצמם אנו עושין הכאת הג' בעצמם והכאת הז' בעצמם והכאת הג' בז' וזה מבואר
The second proposition: for any number whose square is known and we want to know the square of another number, we add [to the known square] twice the product of difference [between the two numbers] by the number [whose square is] known plus [the square] of the difference. $\scriptstyle b^2=a^2+2\sdot\left[a\sdot\left(b-a\right)\right]+\left(b-a\right)^2$	ההקדמה הב' כי כל מספר שנודע לנו מרובעו ונרצה לידע מרובע מספר אחר הנה נוסף עליו הכאת התוספת במספ' הנודע ב' פעמים והתוספת בעצמו פעם אחת
In the example: we know the square of 10 and we wish to know the square of 17.	במשל נודע לנו מרובע הי' ורצינו לידע מרובע הי"ז
We multiply 7 by 10 twice and once by itself, then add [the sum] to the square of 10, and this is the product of 17 by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle17^2&\scriptstyle=10^2+2\sdot\left[10\sdot\left(17-10\right)\right]+\left(17-10\right)^2\\&\scriptstyle=10^2+2\sdot\left(10\sdot7\right)+7^2\\\end{align}}}$	הנה נכה הז' בי' ב' פעמים ועם עצמו פעם אחת ונוסיפהו על מרובע הי' והוא העולה מהכאת י"ז בעצמו
The reason is that when we say 17 times [17] it is as if we say 10 times 17 and 7 times 17.	והסב' כשאנו אומרים י"ז פעמים הוא כאמרנו י' פעמים י"ז וז' פעמים י"ז
And when we say 10 times 17 it is as if we say 7 times 10 and 10 times [10].	וכשאנו אומרים י' פעמים י"ז כאלו אמרנו ז' פעמים י' וי' פעמים ז‫'
And when we say 7 times 17 it is as if we say 7 times 10 and 7 times 7.	וכשאנו אומרי' ז' פעמים י"ז כאלו אמרנום ז' פעמים י' וז' פעמים ז‫'
We find in that four products: the product of 10 by 10, the product of 7 by 10 twice, and the product of 7 by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle17^2&\scriptstyle=\left(10\sdot17\right)+\left(7\sdot17\right)=\left(10\sdot7\right)+\left(10\sdot{\color{red}{10}}\right)+\left(7\sdot10\right)+\left(7\sdot7\right)\\&\scriptstyle=10^2+2\sdot\left(10\sdot7\right)+7^2\\\end{align}}}$	נמצאו בזה ד' הכאות הכאת הי' בי' והכאת הז' בי' ב' פעמים והכאת הז' בעצמם
When we have 10 times 10, it is less by twice the product of 7, which is the addition, by 10, whose square is known, and the product of 7, which is the addition, by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle10^2&\scriptstyle=17^2-2\sdot\left(10\sdot7\right)-7^2\\&\scriptstyle=17^2-2\sdot\left[10\sdot\left(17-10\right)\right]-\left(17-10\right)^2\\\end{align}}}$	וכשיש לנו י' פעמים י' חסר לנו הכאת הז' שהוא התוספת בי' שהוא המספר אשר נודע מרובעו ב' פעמים והכאת הז' שהוא התוספת בעצמו
By this, the words of the mentioned proposition are understood: when you multiply the part four times by the whole, then the remaining part by itself, [the sum of the products] is equal to the [square] of the [whole] number plus the addition. $\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2$	בזה יובנו דברי ההקדמה הנזכ' הנה כשהכית החלק בכלל ד' פעמים ואח"כ החלק הנשאר בעצמו שוה להכאת המספר והתוספת כשיחוברו
This is because [the sum of] the product of the remaining part by itself, when it is added to the product of the one part by the whole, is the same as when we switch [the parts] and proceed vice versa. $\scriptstyle b^2+\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]=a^2+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]$	וזה כי הכאת החלק הנשאר בעצמו כאשר יחובר אל הכאת החלק האח' בכלל שוה כאשר המירונו שנעשה ההפך
Therefore, we take one of the four times that we have multiplied by the whole; three remain. Add the product [that we took] to the product of the remaining part by itself; it is as [the product of] the other part by the whole and [as if] we multiply the [first] part, by which we multiply the whole, by itself. Thus, they are the three products of the part by the whole, the product of the other part by the whole and the product of the first part by itself.	וא"כ הד' פעמים שהכינו בכלל נקח אחד מהם וישארו ג' ותחבר זאת ההכאת אל הכאת החלק הנשאר בעצמו הוא כאלו החלק האח' בכלל וזה החלק שאנו מכין אותו בכלל נכה אותו בעצמו וא"כ יש לו ג' הכאות החלק בכלל והכאת אחרת של החלק האחר בכלל והכאת החלק האח' בעצמו

\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=3\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+b^2=3\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2

We have already explained in the first proposition [Elements, Book II, propositions 1-2] that the product of the dividend number by itself is as if we multiply it by each of its parts.

\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left[\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\sdot a_k\right]=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2

וכבר ביארנו בהקדמה הראשונה שהכאת המספר שנתחלק בעצמו כאלו הכינו אותו עם כל חלקיו

Then, we subtract one [product] from the three times that we have multiplied the part by the whole. We add to it the product of the other part by the dividend number, so we have the square of the whole dividend number and we are left with two times the product of the part by the dividend number, plus the product of this part by itself, and this is what we need to add to the square of the dividend number as we have explained.

וא"כ מהג' פעמים שהכינו החלק בכלל נחסר אחת ונחבר עמה הכאת החלק האח' במספר שנתחל' והרי יש לנו מרובע המספר שנתחלק כלו נשאר לנו ב' פעמים הכאת החלק במספר שנתחלק ב' פעמים והכאת זה החלק בעצמו וזהו מה שאנו צריכין להוסיף על מרובע המספר שנתחלק כמו שביארנו

\begin{align}\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2&\scriptstyle=3\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+b^2=3\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2\\&\scriptstyle=2\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2=2\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left(a+b\right)^2+a^2\\&\scriptstyle=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2\\\end{align}

Other Propositions	הקדמות אחרות
1) For parts whose products are equal, the ratio of a [product] to a [product] is equal to the ratio of a [part] to a [apr]. $\scriptstyle\left(a\sdot b\right):\left(a\sdot c\right)=b:c$	החלקים אשר כפליהם שוים הנה ייחס קצתם אל קצתם כיחס חלק קצתם אל קצת
Hence, it follows from this that, for any fraction, when its numerator and its denominator are multiplied the same number of times, [the result] is the same original fraction. $\scriptstyle\frac{a\times c}{b\times c}=\frac{a}{b}$	וא"כ יתחייב מזה שכל חלק מהשברים כאשר יכפל כמותו ואיכותו שוה הפעמי' הנה הוא השבר הראשון בעינו
Also, if you divide its numerator and its denominator into the same parts, then relate the quotient of the numerator to the quotient of the denominator, [the result] is the same original fraction. $\scriptstyle\frac{a\div c}{b\div c}=\frac{a}{b}$	וכן אם תחלק כמותו ואכותו לחלקים שוים ותיחס חלק הכמות עם חלק האיכות הוא השבר הראשון בעינו
2) the product of a fraction by a fraction is as we say: we take the fraction of the fraction.	ב הכאת השבר עם השבר הוא כאמרנו נקח השבר השבר
3) For any number multiplied by any number, the ratio of the multiplied number to the product is equal to the ratio of one to the multiplier. $\scriptstyle a:\left(a\sdot b\right)=1:b$	ג שכל מספר נכפל בכפלים כמ' ש^יהיו המספר הנכפל יחסו אל המספר העולה מכפליו כערך הא' אל הכפלים שבו נכפל
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2:\left(2\sdot3\right)=2:6=1:3=\frac{1}{3}}}$	כמו מספר הב' שהוכה בג' ועלה ו' יחסו אל הו' כיחס האחד אל שלשה שהוא שליש
4) $\scriptstyle\frac{1}{c}\sdot\frac{a}{b}=\frac{\frac{1}{c}\sdot a}{b}$	ד כאשר תרצה לקחת מהשברים מה חלק מה הנה נקח מכמות השברים המונחים לפני החלק הדרוש וניחסהו אל האיכות
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{9}{10}=\frac{\frac{1}{3}\sdot9}{10}=3:10=\frac{3}{10}}}$	אם רצית שליש הט' עשיריות קח שליש הט' והם ג' יחסים אל האיכו' והם עשיריות יהיו ג' עשיריות
5) $\scriptstyle c\sdot\frac{a}{b}=\frac{c\sdot a}{b}$	ה שכאשר תרצה לכפול שברים מונחים באיזה כפלים שיהיו נכפול הכמו' וניחסהו אל האיכות
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\frac{2}{9}=\frac{3\sdot2}{9}=6:9=\frac{6}{9}}}$	רצית להכות ב' תשיעיות בג' תכה הב' בג' הם ו' יחסם אל האיכות יהיו ו' תשיעיות
6) Euclid, Elements, Book VII, proposition 17: For any number multiplied by two numbers, the ratio of the two products one to the other is equal to the ratio of the two numbers one to the other. $\scriptstyle\left(a\sdot b\right):\left(a\sdot c\right)=b:c$	‫^[6]ו כל מספר יוכו בו ב' מספרים יחס השטח האחד אל האח' כיחס הב' מספרים בעצמם הא' מהם אל הב‫'
7) Euclid, Elements, Book VII, proposition 19: For any four proportional numbers, the product of the first by the fourth is equal to the product of the second by the third. $\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3$	ז ד' מספרים מתיחסם הכאת הראשון בד' שוה להכאת הב' בג‫'
8) Euclid, Elements, Book II, proposition 1: For any number multiplied by any number, their product is equal to [the sum of] the products of the multiplied number by each part of the multiplier number, divided into parts as you wish. $\scriptstyle a\sdot\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)=\sum_{k=1}^n \left(a\sdot b_k\right)$	ח כל מספר יוכה עם מספר מה איזה מספר היה הנה העולה מהם שוה לעולה מהכאת המספר המוכה עם כל אחד מחלקי המספר המכה על איזה חלקים שיחלק
A short paragraph – philosophical observation concerning the meaning of the mean term:
Reminder: the mean with regard to itself is not opposing, but with regard to its quality it is opposing to each of the extremes. It is hidden as the center of the circle for those who know geometry. It is mean in relation to us, but not in relation to the thing, therefore it is hidden. For, the mean in relation to the thing is known to the geometricians and the improvement is by removing the less from the extreme. You cannot measure it through a general way, but by the divine holy Torah that cannot be measured by the human intellect and this is true anyway.	זכירה האמצעי בבחינתו בעצמו אינו נגדיי ובבחינות טובו הוא נגדיי לא' מהקצוות והוא נסתר כמו מרכז העגולה אף ליודעי חכמת השיעור והוא האמצעי בערך אלינו ולא בערך הדבר ועל כן הוא נסתר כי האמצעי בערך הדבר ידוע לבעלי חכמת השיעור והתיקון בהרחיק מהקצווי הפחות ולא תשער זה ע"ד כולל זולת התורה האלהית הקדושה שאינה משוערת מהשכל האינושי וזה אמת על כל פנים

Notes

↑ 29r
↑ 29v
↑ marg.
↑ 35r
↑ 35v
↑ 36r

Appendix: Bibliography

Anonymous
Qeṣat mi ʽInyanei Ḥoḵmat ha-Mispar
Manuscripts:

Paris, Bibliothèque Nationale heb. 1007/2 (IMHM: f 15710), ff. 29r-36r (1572)

heb. 1007/2

Bibliography:

Steinschneider, Moritz. 1906. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 50, p. 349. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, p. 153.

[1] 29r

[2] 29v

[3] rg.

[4] 35r

[5] 35v

[6] 36r

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Line 2,437: / Line 2,437: @@
 |
 ::Because, when 1 and 7-eighths are related to 2-fifths, which is 1 and 7-eighths as its amount, i.e. 1 is 2-fifths, and 7-eighths are 7-eighths of 2-fifths, which is one-fifth and 3-quarters of one-fifth; with the 2-fifths in our hand it is 3-[fifths] and 3-quarters of the fifth.
-<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{7}{8}\right)\sdot\frac{2}{5}=\frac{2}{5}+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{2}{5}\right)=\frac{2}{5}+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=\left(3+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{1}{5}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{7}{8}\right)\sdot\frac{2}{5}=\frac{2}{5}+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{2}{5}\right)=\frac{2}{5}+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}</math>
 |style="text-align:right;"|וזה שא' וז' שמיניות כשיוחס אל הב' חמישיות שהם א' וז' שמיניות כמותם ר"ל הא' הוא ב' חמישיות וז' שמיניו' הם ז' שמיניות של ב' חמישיו' שהוא חומש א' וג' רביעיו' החומש עם הב' חומשים שבידינו הם ג' רביעיות וג' רביעיו' החומש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וא"כ הכל שוה לאמרנו ג' וג' רביעיות ויחסנו אותם לחומש או א' וז' שמיניות ויחסנו אותם לב' חמישיו' וזה מבואר בעין השכל והבן
+::Therefore, our saying: "we relate 3 and 3-quarters to one-fifth", or "we relate 1 and 7-eighths to 2-fifths" is the same.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{4}\right):\frac{1}{5}=\left(1+\frac{7}{8}\right):\frac{2}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"כ הכל שוה לאמרנו ג' וג' רביעיות ויחסנו אותם לחומש או א' וז' שמיניות ויחסנו אותם לב' חמישיו&#x202B;'
+|-
+|It is clear to the intellect. Understand this.
+|style="text-align:right;"|וזה מבואר בעין השכל והבן
 |-
 |
-*<math>\scriptstyle a:x=\frac{c}{d}\longleftrightarrow x:b=\left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)</math>
+*Another scale: find a number, such that numerator of the [dividend] is related to it by the ratio of the numerator of the divisor to its denominator. If that number is related to the denominator of the dividend by the ratio of the numerator of the quotient to its denominator, know that you were right.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a:x=\frac{c}{d}\longleftrightarrow x:b=\left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)}}</math>
 |style="text-align:right;"|מאזנים אחרים שתמצא המספ' המתיחס כמות המחלק אליו יחס כמות המחלק אל איכותו ואם המספר ההוא מתיחס אל איכות המחולק יחס כמו' החלק אל איכותו דע שצדקת
 |-

Difference between revisions of "קצת מענייני חכמת המספר"

Revision as of 18:29, 25 December 2021

Contents

Sums

Sums of Natural Numbers

Sums of Squares

Sums of Cubes

Sums of Odd Numbers

Sums of Squares of Odd Numbers

Sums of Cubes of Odd Numbers

Sums of Even Numbers

Sums of Squares of Even Numbers

Sums of Cubes of Even Numbers

Progression

Geometric progression

Arithmetic progression

Multiplication of Fractions

Methods of checking

Addition of Fractions

Methods of checking

Subtraction of Fractions

Methods of checking

Combined Subtraction

Division

Dividing a large number by a smaller number

Dividing a small number by a greater number

Division of Fractions

Methods of checking

Combined Division

Roots

The Roots of Integers

Approximating the root of a non-square number

The Roots of Fractions

Cubic Roots

Cubic Roots of Integers

Approximating the root of a non-cubic number

Cubic Roots of Fractions

Divisibility of a Number

3; 6; 9

2; 4; 8

7

11

13

General technique

Square Numbers

Completion

Conversion

Geometric Shapes

Square

Rectangle

Triangle

Euclidean Propositions

Euclid's Elements, Book II, Propositions 2-8 - [Arithmetical Version]

Other Propositions

Notes

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Search