Difference between revisions of "ספר ציפרא"

Revision as of 07:52, 24 October 2021

1 Prologue
2 Introduction
- 2.1 The Positional Decimal System
3 Chapter One: Multiplication of Units - Shortcuts
4 Chapter Two: Addition
- 4.1 Checking Methods
5 Chapter Three: Subtraction
- 5.1 Checking Methods
6 Chapter Four: Multiplication
- 6.1 Checking Methods
7 Chapter Five: Gelosia
- 7.1 Multiplication - Check
8 Chapter Six: Division
- 8.1 Checking Methods
9 Chapter Seven: Proportions
- 9.1 Word Problems
- 9.2 Additional Word Problems
  - 9.2.1 Mantova, Comunità Ebraica MS ebr. 8/16
  - 9.2.2 Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 714/4
10 Chapter On Cubic Roots [P1088 2r-v]
11 Chapter on Square Roots [P1088 6v-7v]
12 Notes
13 Appendix I: Glossary of Terms
14 Appendix II: Bibliography

Prologue

[MS Paris, Séminaire Israélite de France (École Rabbinique) 158/1 (IMHM 4102) f. 197r, lines 1-16]

This is a book on mathematics [called] Ṭeshifra.

זה ספר חכמת התשבורת [הנקרא] טשיפרא

Its cause: I myself, already from youth, my soul desired to acquire wisdom and to seek for arithmetic, if only I will find them in a book engraved by a pen of a skilled writer. For the reason that this is an external science, which is not found before us in Israel and the very least that is available is gathered inside the house in utmost discretion, my thoughts therefore aroused me to collect the sayings from any one that has them […] for recollection.

סיבתו אני את לבי גם מנעורי גרסה נפשי לדעת חכמה ובקש חשבון ומי יתן ואמצאם בספר ויחקו בעט סופר מהיר ‫^[1] ולסבה שזאת היא חכמת החיצוניות לא נמצאת לפנינו בישראל והמיעוט שבמיעוט הנמצא נאסף אל תוך הבית בחדרי חדרים לכן העירוני רעיוני ללקט האמרים מיד כל אשר ימצא אתו ולכל[...] לזכרון

Before I start, I ask all its readers not to condemn me and say: what is it with you? Go study havayot d'Abbaye ve-Rabba! God forbid […]. Since I did not undertake it for any cause or purpose, but sharpening the mind and obtaining arithmetic by accident and learning and by the wittiness of Abbaye ve-Rabba primarily. On that said those who speak in parables: come to Ḥeshbon [Numbers 21, 27]. As is written in Maimonides, chapter five of the introduction to Tractate Avot:

וקודם שאתחיל אבקש מיד כל רואיו לבל יכרעני לכף חובה ולומר מה לך פה כלך בהוייות דאביי ורבא חלילה וחס [לי'] לזרעא דאבא כי לא לקחתי זאת לשום עיקר ותכלית רק לחדד השכל ולבא בחשבון במקרה ושנייה ובחידוד דאביי ורבא בעצם וראשונה ועל זאת אמרו המושלים באו חשבון ‫^[2] כמו שכתוב הרמבם ז"ל פרק חמישי מה[קדמת] ה פרקי אבות ‫^[3] וז"ל

What has no benefit in it for that purpose – as the arithmetic problems, the Book of Conics, the numerous techniques for questions on geometry, the measuring of weights, and many like those – the intention in them is to sharpen the mind and train the rational faculty through methods of proof, until a person acquires the knowledge of demonstrative reasoning from other, and this will be his way whereby he will reach the knowledge of the truth of His existence, The Exalted.

ומה שאין בו תועלת לו בתכלית ההוא כשאלות החשבון וספר החר[וט]ים והתחבולות הרבות משאלות אל ההנד[ס]ה ומשיכת המשקלים והרבה כיוצא בא[ילו] יהיה הכוונה בהם לחדד השכל ולהרגיל כח השכלי בדרכי המופת עד שיגיע לו לאדם קניין ידיעת ההיקש המופתי מזולתו ויהיה לו זה הדרך שיגיע בה לידעת אמיתות מציאתו ית' עכל‫'

So, for my part it will not be inaccessible.

גם מצדי לא יבצר

Introduction

With good luck

בטוב גדא

I shall start this

אתחיל דא

Sefer Ṣifra

ספר ציפרא

To know and explain the book of number that has 9 chapters.

לידע ולפרש ספר המספר שיש בו ט' שערים

First I shall explain the teachings that the one who calculates should know, so that he can know all the calculations [practice].

ואפרש תחילה הקבלות אשר צריך לידע המחשב הוא המפתח ויכול אחר כך לידע כל החשבונות

The Positional Decimal System

The numerals

Know that you do not have any number [= numeral] smaller than one and you do not have any number [= numeral] greater than nine.

דע כי אין לך חשבון קטן מן א' שהוא אחד

ואין לך חשבון גדול מן ט‫'

By these nine numerals from א to ט [the nine first Hebrew letters] all numbers in the world [are formed] infinitely. How?:

ובאלו ט' אותיות מן א' ועד ט' יש בו כל החשבונות שבעולם עד אין מספר כיצד

The written ranks [= decimal places]

Units: the first rank is called the rank of units, for as the digit is named so is its numerical value, meaning: 1 is one; 2 is two; 3 is three; and so on until 9, which is nine.

מעלה הראשונה היא נקראת מעלת היחידים כי כאשר יקראו האות כך מניינם פי' א' אחד ב' שנים ג’ שלש וכן עד ט' שהיא תשע

Tens:

Zero – placeholder digit: when you calculate ten you should write two ranks - 1 in the second rank

וכשתחשוב עשרה אז צריך אתה לכתוב ב' מעלות א' במעלה שנייה

and before it a numeral, which is a zero [lit. wheel], like this 0, that has no substance but is a place holder and a remnant of a thing like a wheel, [like stubble] before the wind [Psalms 83, 14].

ולפניו ציפרא שהוא גלגל כזה 0 שאין בו ממש אלא שומר המעלות וזכר לדבר כגלגל לפני רוח ‫^[4]

א‎0 is 10.

הוא י‫'

א

‫0

אא is 11.

הוא י"א

א

For the first א of the units is in the first rank and the second א is of the tens, hence 11.

כי הא' הראשונה מן היחידים שהיא במעלה ראשונה וא' שנייה היא מן העשיריות הרי י"א

בא is 12.

הרי י"ב

א

ב

גא is 13.

הרי י"ג

א

ג

and so on until טא which is 19.

שהוא י"ט

א

ט

וככה עד

ב‎0 is twenty.

הוא עשרים

ב

‫0

אב is twenty-one.

הוא אחד ועשרים

ב

א

בב is twenty-two.

הוא שנים ועשרים

ב

and so on until twenty-nine, which is טב.

ב

ט

וככה עד תשע ועשרים שהוא

Hundreds: the third rank is the rank of the hundreds, like this:

ומעלה השלישית היא מעלת המאות כזה

א‎00 which is 100.

שהוא ק‫’

א

‫0

0

ב‎00 which is 200.

הוא ר‫’

ב

‫0

0

ג‎00 which is 300.

הוא ש‫’

ג

‫0

0

and so on until 9 hundred, which is ט‎00.

ט

‫0

0

וככה עד ט' מאות שהוא

אאא is 111.

הוא קי"א

א

א‎0א is 101.

הוא ק"א

א

0

א

Thousands: the fourth rank is the rank of thousands.

ומעלה הרביעית היא מעלת האלפים

א‎000 is one thousand.

הוא אלף

א

‫0

0

ב‎000 is two thousand.

הוא ב' אלפים

ב

‫0

0

ג‎000 is three thousand.

הוא ג' אלפים

ג

‫0

0

and so on until 9 thousand, which is ט‎000.

וככה עד ט' אלפים שהוא 000"ט

Tens of thousands: the fifth rank is the rank of tens of thousands.

ומעלה החמישית היא מעלת הרבבות שהוא י' אלפים

Hundreds of thousands: the sixth rank is the rank of hundreds of thousands.

ומעלה ששית היא מעלת מאה אלפים

Thousands of thousands: the seventh rank is the rank of thousands of thousands [= millions].

ומעלה שביעית היא מעלת אלף אלפים

And so you can write endlessly.

וככה עד אין מספר תוכל לכתוב

Every rank is ten times the preceding rank.

וכל מעלה היא עשרה פעמים יותר מן המעלה שלפניה

Example: if one asks you: how much is 3020?

כמה הן

ג

0

ב

0

ואם ישאלך השואל

Note that the zero has no numerical value but is a place holder, so the number is three thousand and twenty.

תשיב אל לבך כי הגלגל אין לו מניין רק שומר המעלות והנה החשבון עשרים וג' אלפים

Thus, I have explained to you the number and the meaning of the writing.

והנה ביארתי לך מניין ועניין הכתיבה

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 20 30

‫0ג

‫0ב

‫0א

0

ט

ח

ז

ו

ה

ד

ג

ב

א

Chapter One: Multiplication of Units - Shortcuts

שער הכפל הקטן

$\scriptstyle{\color{red}{x,y<10\quad x\sdot y=\left[10\sdot\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]+\left[\left[x-\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]\sdot\left[y-\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]\right]}}$

If you wish to know how much is the result of 9 times 9, or 9 times 8, or 5 times 9, or 6 times 9 and so on for all that is less than ten, I will teach you:

אם תרצה לידע כמה עולה ט' פעמים ט' או ט' פעמים ח' או ה' פעמים ט' או ו' פעמים ט' וכן כל כיוצא בזה שכל אחד פחות מעשרה אשכילך

If you wish to know how much is 9 times 9

\scriptstyle9\times9

אם תחפוץ לידע כמה ט’ פעמים ט‫’

Write like this:

אז כתוב כזה

9

ט

[Illustration of the procedure:]

9	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(9+9\right)-10}}={\color{blue}{8}}}$	89	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{9-8}}={\color{blue}{1}}\\\scriptstyle{\color{red}{9-8}}={\color{blue}{1}}\end{cases}}$	89	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\sdot1}}={\color{blue}{1}}}$	81
9		9		9		9
				11		11

Think by how much it exceeds over ten, it is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+9\right)-10=8}}$

ואחר כך חשוב כמה יותר על עשרה ויהיה ח' ואותה ח‫'

Write [it] next to the upper 9 to the left, like this:

כתוב אצל הט' העליונה בצד שמאל כזה

8	9
	9

ח	ט
	ט

Then, think by how much the upper 9 exceeds over the 8, you will find only 1. $\scriptstyle{\color{blue}{9-8=1}}$

ואחר כך חשוב כמה ט' העליונה יותר על ח' ותמצא רק אחד

Write this 1 next to the bottom 9:

אותו א’ כתוב בצד ט’ התחתונה

8	9
	9
	1

ח	ט
	ט
	א

Then, think by how much the bottom 9 exceeds over the 8, it is 1. $\scriptstyle{\color{blue}{9-8=1}}$

ואחר כך חשוב כמה ט’ התחתונה יותר על הח’ ויהיה א‫’

Write this 1 also next to the bottom 9, like this:

כתוב אותה א’ ג”כ בצד ט’ תחתונה כזה

8	9
	9
1	1

ח	ט
	ט
א	א

Think how much is 1 times 1, it is 1. $\scriptstyle{\color{blue}{1\times1=1}}$

ותחשוב א' פעמים א' היינו אחד

Write 1 before the 8, like this:

כתוב א' לפני הח' כזה

8	1
	9
1	1

ח	א
	ט
א	א

Erase the bottom and the upper 9, so they are eighty-one.

ומחוק הט' למטה ולמעלה ויהיו אחד ושמונים

Also if you want to know how much is 9 times 8

\scriptstyle9\times8

וכן אם תרצה לידע כמה ט' פעמים ח‫'

Write like this:

כתוב כזה

9

8

ט

ח

[Illustration of the procedure:]

9	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(9+8\right)-10}}={\color{blue}{7}}}$	79	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{9-7}}={\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{8-7}}={\color{blue}{1}}\end{cases}}$	79	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\sdot2}}={\color{blue}{2}}}$	72
8		8		8		8
				12		12

Think by how much 9+8 exceeds over ten, it is 7. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+8\right)-10=7}}$

וחשוב כמה ח'ט' יותר על עשרה דהיינו ז‫'

Write the 7 next to the 9, like this:

כתוב הז' אצל הט' כזה

7	9
	8

ז	ט
	ח

Think by how much the 9 exceeds over the 7, it is 2. $\scriptstyle{\color{blue}{9-7=2}}$

וחשוב כמה הט' עודף על הז' דהיינו ב‫'

By how much the 8 exceeds over the 7, [it is] 1. $\scriptstyle{\color{blue}{8-7=1}}$

וכמה הח' עודף על ז' א‫'

Write like this:

וכתוב כזה

7	9
	8
1	2

ז	ט
	ח
א	ב

Multiply 1 by 2, it is 2. $\scriptstyle{\color{blue}{1\times2=2}}$

תכפול א' על ב' היינו ב‫'

Write this 2 before the 7, like this:

אותה ב' כתוב קודם הז’ כזה

7	2
	8
1	2

ז	ב
	ח
א	ב

We find that 9 times 8 is 72.

נמצא ט' פעמים ח' יהיה ע"ב

Example: if you wish to know how much is 6 times 6 [MS Paris 1088, 4v]

\scriptstyle6\times6

דומיון אם תחפוץ לידע כמה ו' פעם ו‫'

Write the 6 beneath the 6, like this:

אז כתו' הו' תחת הו' כזה

6

ו

[Illustration of the procedure:]

6	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6+6\right)-10}}={\color{blue}{2}}}$	26	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{6-2}}={\color{blue}{4}}\\\scriptstyle{\color{red}{6-2}}={\color{blue}{4}}\end{cases}}$	[26]	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20+\left(4\sdot4\right)}}={\color{blue}{36}}}$	36
6		6		[6]		6
				[44]

Say: by how much the two 6 exceed over 10, it is 2. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+6\right)-10=2}}$

ואז תאמר כמה השני ו' למעלה מי' זהו ב‫'

Write this 2 after the 6, like this:

ואותו ב' תכתו' לאחר הו' כזה

2	6
	6

ב	ו
	ו

Then, say: by how much the 6 exceeds over 2, it is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{6-2=4}}$

ואז תאמ' כמה הו' יתיר על הב' זהו ד‫'

The second 6 also exceeds over 2 by 4. $\scriptstyle{\color{blue}{6-2=4}}$

והו' השנייה נמי למעל' מב' זהו ד‫'

Multiply 4 times 4, it is 16, meaning sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{4\times4=16}}$

ואז תכפול ד' פעמי' ד' זהו ו"א פי' י"ו

Add the 1 to the 2, because the 2 is in the second rank, it is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{2+1=3}}

ואז תכתוב שים הא' על הב' כי הב' מעלה שניי' ויהיה ג‫'

There is also 6, write the 6 before the 3, like this:

ועוד הוה ו' ואות' ו' תכתו' לפני הג' כזה

3	6
	6

ג	ו
	ו

We find that 6 times 6 is 36.

נמצא שו' פעמ' ו' עולה ו"ג פי' ל"ו

Always do as this.

וכן עשה לעולם

Multiply always the excess of this by the excess of this and write the result before the excess [of the sum of the multipliers over ten], then you will become wise in all that you do.

וכן לעולם תכפול המותר מזה ומזה והעולה כתוב קודם העודף עליו ואז תשכיל בכל אשר תעשה

Another example that I translated from a Latin book [MS Paris 158, 198r]:

דמיון אחר שהעתקתי מספר גלחות

Sum together the two numerals, subtract a ten, then write the small number.

Multiply together the differences of each from ten and write [the product] before the small number that you have.

If this product is of two ranks, add the second rank to the number that you have.

\scriptstyle{\color{red}{x,y<10\quad x\sdot y=\left[10\sdot\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]+\left[\left(10-y\right)\sdot\left(10-x\right)\right]}}

חברם יחד הב' אותיות והשליך עשרה והמניין הקטון כתוב

ואח"כ תכפול יחד החשבון שיש מכל אחד עד עשרה וכתוב זה לפני המנין הקטן שבידך
ואם בא לידך מהכפל הזה ב' מעלות אז תחבר המעלה שנייה אל המניין שבידך

As these calculations that are written in front of you, from which you will become wiser:

כגון אילו החשבונות החרו[ת]ים לפניך ממנו תשכיל ותחכם עוד

$\scriptstyle{\color{blue}{8\times9}}$		$\scriptstyle{\color{blue}{7\times8}}$		$\scriptstyle{\color{blue}{6\times7}}$
8	2	7	3	6	4
9	1	8	2	7	3
72		56		42

8	2	7	3	6	4
9	1	8	2	7	3
72		56		42

Or in this way: write zero 0 before the smaller of the two numerals [MS Paris 158, 198r]:

\scriptstyle{\color{red}{x<y<10\quad x\sdot y=\left(x\sdot10\right)-\left[x\sdot\left(10-y\right)\right]}}

או כלך לדרך זו כתוב לפני המניין קטון שבשני אותיות גלגל כזה 0

Example: if you wish to know [how much is] 7 times 8.

\scriptstyle7\times8

כגון את"ל ז'פ'ח‫'

Write like this: 70

כתוב כזה 0ז

Subtract from it the product of the difference of the greater numeral from ten by the smaller numeral.

וקח ממנו מה שבא מן הכפל שתכפול המניין מאות הגדול עד עשרה עם האות הקטן

As what is infront of you: say 7 times 2 are 14.

Subtract 14 from 70, the remainder is 56.

\scriptstyle{\color{blue}{7\times8=\left(7\sdot10\right)-\left[7\sdot\left(10-8\right)\right]=70-\left(7\sdot2\right)=70-14=56}}

כגון מה שלפניך אמור ז'פ'ב' הם ד"א

ותקח ד"א מן 0"ז ונשאר ו"ה

Such as these:

וכגון אילו

$\scriptstyle{\color{blue}{8\times8}}$		$\scriptstyle{\color{blue}{6\times7}}$		$\scriptstyle{\color{blue}{4\times9}}$		$\scriptstyle{\color{blue}{5\times8}}$
8	0	6	0	4	0	5	0
8	2	7	3	9	1	8	2
64		42		36		40

ח	‫0	‫ו	0	ד	‫0	‫ה	0
ח	ב	ז	ג	ט	א	ח	ב
דו		בד		וג		‫0ד

If you want to know and calculate how much is 3 times 3, or 4 times 4, et cetera, which even their sum does not reach ten, I will teach you how to do so:

\scriptstyle{\color{red}{x+y<10\quad x\sdot y=10+\left[\left(x-1\right)\sdot\left(y-1\right)\right]-\left[11\left(x+y\right)\right]}}

ואם תרצה לידע ולחשוב כמה ג' פעמים ג' או ד' פעמים ד' וכן כל כיוצא בזה שאפילו צירופו אינו מגיע לעשרה אשכילך לעשות

Lend to it as much as needed so that it will be one more than ten.

שתלוה לו כמה שצריך שיהיה בכל פעם אחד יותר מעשרה

When your calculation is complete, subtract what you have lent to it and the required remains.

וככלות חשבונך קח מה שהלוית לו וישאר מתכונך

Example: we want 4 times 4.

\scriptstyle4\times4

דמיון בקשנו ד' פעמים ד‫'

Like this:

כזה

4

ד

[Illustration of the procedure:]

4	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left[4+4+\left[11-\left(4+4\right)\right]\right]-10}}={\color{blue}{1}}}$	14	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{4-1}}={\color{blue}{3}}\\\scriptstyle{\color{red}{4-1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}$	14	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\sdot3}}={\color{blue}{9}}}$	19	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-\left[11-\left(4+4\right)\right]}}={\color{blue}{6}}}$	16
4		4		4		4		4
				33

Lend to it 3, so that it becomes 11. $\scriptstyle{\color{blue}{4+4+\left[11-\left(4+4\right)\right]=4+4+3=11}}$

והנה תלוה לו ג' שיעלה י"א

Subtract ten, 1 remains in your hand. $\scriptstyle{\color{blue}{11-10=1}}$

והשלך עשרה וישאר בידך א‫'

Write it like this:

ורשום כזה

1	4
	4

א	ד
	ד

Think by how much the first 4 exceeds over the 1, that is to say 3. $\scriptstyle{\color{blue}{4-1=3}}$

ואחר כך חשוב כמה ד' הראשונה יותר על הא' הוי אומר ג‫'

So, the second 4 also exceeds by 3.

\scriptstyle{\color{blue}{4-1=3}}

וכן ד' השנייה גם כן יותר ג‫'

1	4
	4
3	3

א	ד
	ד
ג	ג

Multiply 3 by 3, it is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{3\times3=9}}$

כפול ג' על ג' הרי ט‫'

Write the 9 before the 1, like this:

כתוב הט' לפני הא’ כזה

1	9
	4

א	ט
	ד

Subtract 3 that you have lent to it and 16 remain, which are sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{19-3=16}}$

והנה קח ג' שהלוית לו וישאר ו"א והם י"ו

You will find that your calculation is correct.

ותמצא חשבונך מכוון

1	6
	4

א	ו
	ד

Another property: if you want to know how much is 3 times 3, or 4 times 4, et cetera, which even their sum does not reach ten, I will teach:

\scriptstyle{\color{red}{x+y<10\quad x\sdot y=\left[\left(10-y\right)\sdot\left(10-x\right)\right]-\left[10\sdot\left[10-\left(x+y\right)\right]\right]}}

עניין אחר אם תרצה לידע כמה ג’ פעמים ג’ או ד’ פעמים ד’ וכן כל כיוצא בזה שאפילו צירופו אינו מגיע לעשרה אשכילך

I will teach you an example: if you want to multiply 4 times 4.

\scriptstyle4\times4

דמיון אם תרצה לחשוב ד’ פעמים ד‫’

Write it like this:

אז תכתוב אותו כזה

4

ד

[Illustration of the procedure:]

4	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{10-4}}={\color{blue}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{10-4}}={\color{blue}{6}}\end{cases}}$	[4]	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6\sdot6}}={\color{blue}{36}}}$	[36]	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{10-\left(4+4\right)=2}}\\\scriptstyle{\color{red}{3-2}}={\color{blue}{1}}\end{cases}}$	16
4		[4]		[4]
		[66]		[66]

Think by how much the first 4 is less than 10, it is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{10-4=6}}$

וחשוב כמה ד’ ראשונה פחות מי’ ויהיה ו‫’

Think also by how much the second [4] is less than 10, you find it is also 6.

\scriptstyle{\color{blue}{10-4=6}}

וחשוב גם השנייה כמה השנייה פחות מי’ ותמצא ג”כ ו‫’

Multiply 6 by 6, the result is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{6\times6=36}}$

ואז תכפול ו’ על ו’ ויעלה בידך ו”ג

Think by how much the two 4 are less than ten, it is 2. $\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(4+4\right)=2}}$

אז חשוב כמה השני ד’ פחותים מעשרה ויהיה ב‫’

Subtract 2 in the second rank from 3, you are left with 16

השלך ב’ ממעלה שנייה מהג’ וישאר לך ו”א

We find that 4 times 4 is 16.

\scriptstyle{\color{blue}{4\times4=16}}

נמצא ד’ פעמים ד’ הוא ו”א

The same for all.

וכן כולם ודוק

If the numbers that you want to multiply one by the other are less than 10, when you sum them together:

\scriptstyle{\color{red}{x+y<10\quad x\sdot y=\left[\left(10-y\right)\sdot\left(10-x\right)\right]+\left[10\sdot\left(x+y\right)\right]-\left(10\sdot10\right)}}

[MS Oxford 60, 151v, 161r]

ואם יהיה המספר אשר תרצה לכפול זע"ז פחות מי' כשתצרף שני המספרים יחד

Example: if you want to multiply 4 by 3.

\scriptstyle4\times3

דימיון אם בקשת לכפול ד' על ג‫'

[Illustration of the procedure:]

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(10-4\right)\sdot\left(10-3\right)=6\sdot7}}={\color{blue}{42}}}

42

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4+3}}={\color{blue}{7}}}

742

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(7+4\right)-10}}={\color{blue}{1}}}

12

Take the difference of each from 10, i.e. from 4 to 10, it is 6 and from 3 to 10, it is 7

6 times 7 is 42.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-4\right)\times\left(10-3\right)=6\times7=42}}

אז תקח המרחק מן י' מכל אחד דהיינו מד' עד י' ו' ומג' עד י' ז‫'

ופ"ז ב"ד

Write this 42 for remembrance.

אותו ב"ד כתו' לזכרון

[בד]

Sum 4 and 3 together, it is 7. $\scriptstyle{\color{blue}{4+3=7}}$

ואח"כ צרוף ד' ג' יחד ויהיה ז‫'

Write this 7 next to 42 to the left, like this:

אות ז' כתוב לצד שמאל אצל ב"ד כזה

[בדז]

Subtract 10 from [the sum of] the numerals on the left, 12 remains, which is the number that you want to know. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+4\right)-10=1}}$

\scriptstyle{\color{blue}{4\times3=12}}

ואח"כ השלך י' מצד אותיות של שמאל וישאר ב'א' היינו החשבון אשר בקשת לידע

Deduce from this.

וכפי זה תקיש

I wrote this even though it is an axiom for the calculation that you wanted, in order to inform you that in this way [...]

והנה כתבתי זה אף כי הוא מושכל ראשון החשבון אשר בקשת להודיעך שאין בדרך הזה [...]

I have found another method for the multiplication of units in another book [MS New York, 94r-v; MS Oxford 60, 161r; MS Oxford 440, 115r, 124r]:

דרך אחרת לכפל קטן בספר אחר מצאתי

Or in this way:

Take the difference from 10 of each [of the units] that you want to multiply, multiply the two differences by each other and write the result for remembrance.

Then, sum [the multipliers] together according to the chapter of addition, subtract 10 from the result, and write [the remainder] below to the left of what you have already wrote.

Your calculation will be correct.

\scriptstyle{\color{red}{x,y<10\quad x\sdot y=\left[\left(10-y\right)\sdot\left(10-x\right)\right]+\left[10\sdot\left[\left(x+y\right)-10\right]\right]}}

או כלך בדרך זו

קח המרחק עד י’ מן כל אחד ואחד שתרצה לכפול יחד וחשוב אותו ב’ מרחקים זה על זה ומה שיעלה בידך כתוב לזכרון
אחר כך צורפם יחד בשער החיבור והעולה בידך קח מה שלמטה מן י’ וי’ השלך מידך וכתוב אותו למטה בצד שמאל למה שכתבת כבר
ויהיה חשבונך מכוון

Example: you wish to multiply 7 times 9.

\scriptstyle7\times9

דמיון הנה רצונך לכפול ז’ פעמים ט‫’

[Illustration of the procedure:]

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(10-7\right)\sdot\left(10-9\right)=3\sdot1}}={\color{blue}{3}}}

3

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(7+9\right)-10=16-10}}={\color{blue}{6}}}

63

Take the difference from 7 to 10, i.e. 3, and the difference from 9 to 10, i.e. 1, and say: 3 times 1 are 3. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-7\right)\times\left(10-9\right)=3\times1=3}}$

קח המרחק מן הז' עד י' דהיינו ג' והמרחק מן ט’ עד י’ דהיינו א’ ואמור ג’ פעמים א’ היינו ג‫’

Write this 3 for remembrance as this:

אותו ג’ כתוב לזכרון כזה

ג

Then, add 7 to 9, the result is 16, meaning sixteen, subtract the 10 and take the 6. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+9\right)-10=16-10=6}}$

אחר כך חבור ז' על ט' ויעלה ו"א פי' י"ו השלך הי’ והו’ קח בידך

Write it to the left, next to the remaining 3, so it will be sixty three, like this:

\scriptstyle{\color{blue}{7\times9=63}}

וכתוב אותה בצד שמאל אצל הג’ הנשארת ויהיה כזה

גו
ששי' ושלש

Look carefully.

ועיין

Another example: you wish to multiply 6 times 8.

\scriptstyle6\times8

דמיון אחר הנה רצונך לכפול ו’ פעמים ח‫’

[Illustration of the procedure:]

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(10-6\right)\sdot\left(10-8\right)=4\sdot2}}={\color{blue}{8}}}

[8]

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6+8\right)-10=14-10}}={\color{blue}{4}}}

[48]

Take the difference from 6 to 10, i.e. 4, and the difference from 8 [to 10], i.e. 2, and say: 2 times 4 are 8. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-6\right)\times\left(10-8\right)=4\times2=8}}$

קח המרחק מן ו’ עד י’ דהיינו ד’ והמרחק מן ח’ היינו ב’ ואמור ב’ פעמים ד’ היינו ח‫’

Write this 8 for remembrance as this:

אותו ח’ כתוב לזכרון

[ח]

Then, add 6 to 8, the result is 14, subtract 10 and take 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+8\right)-10=14-10=4}}$

אחר כך חבור ו’ על ח’ ויעלה י”ד השלך י’ וקח ד’ בידך

Write 4 to the left, next to the 8 that you have already wrote, the result is 48, i.e. 8 times 6.

\scriptstyle{\color{blue}{6\times8=48}}

וכתוב ד’ בצד שמאל אל ח’ אשר כתבת כבר ויעלה מ”ח היינו חשבון ח’פ’ו‫’

[חד]

Look carefully.

עיין ודוק

Another example: if you want to know 5 times 6 [MS Oxford 440, 115r].

\scriptstyle5\times6

דמיון אחר אם תרצה לידע הפ"ו

[Illustration of the procedure:]

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(10-5\right)\sdot\left(10-6\right)=5\sdot4}}={\color{blue}{20}}}

[20]

\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{\left(5+6\right)-10=1}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}

[30]

Take the difference from 5 to 10, it is 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-5\right){\color{red}{\times\left(10-6\right)}}=5{\color{red}{\times4=20}}}}$

קח המרחק מן ה' עד י' ויהיה ה‫'

Sum 5 and 6 together, it is 1[1], subtract ten and you are left with 1. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+6\right)-10=1{\color{red}{1}}-10=1}}$

צרפם יחד הה’ והו’ ויהיה א' השלך עשרה ונשאר לך א‫'

Add it to the [2] and it is 3, so we find it 30.

\scriptstyle{\color{blue}{5\times6=30}}

צרפם 0"ב ויהיה ג' נמצא ל' ודוק

Multiplication Table

multiplication table of 1 to 9

I will write to you a precise table of multiplication of units, in order that you will be able to observe easily all that you want without any calculation, from 1 times 1 to 9 times 9.

והנה ארשום לך לוח מתוקנת על שער הכפל קטן כדי שתוכל לראות בקלות כל מה שתרצה בלא שום חשבון מן א' פעמים א' עד ט' פעמים ט' ודוק

half multiplication table [MS Oxford 440, 115r; Oxford 60, 175r]

I made a half table in order to find every number, since you do not need that much.

והחצי לוח עשיתי למצוא כל חשבון ואינך צריך הרבה כל כך

The chapter on the multiplication of units is completed.

סליק שער כפל קטן

You shall become wise in all that you do.

ואז תשכיל כל אשר תעשה

Chapter Two: Addition

שער החיבור

If you wish to sum three thousand three hundred and seventy-two with three thousand three hundred ninety-two.

\scriptstyle3372+3392

אם תרצה לחבר שנים ושבעים וג' מאות וג' אלפים עם שנים ותשעים וג' מאות וג' אלפים

Write as follows:

תכתוב כזה

3	3	7	2
3	3	9	2

ג	ג	ז	ב
ג	ג	ט	ב

[Illustration of the procedure:]

3372	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2+2}}={\color{blue}{4}}}$	[3372]	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7+9}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}}$	[3372]	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{{\color{green}{1}}+3+3}}={\color{blue}{7}}}$	[3372]	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3+3}}={\color{blue}{6}}}$	[3372]
3392		[3392]		[3392]		[3392]		[3392]
		4		64		764		6764

Add the bottom 2 to the upper 2 and it is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{2+2=4}}$

תחבר ב' תחתונה על ב' עליונה ויהי ד‫'

3	3	7	2
3	3	9	2
			4

ג	ג	ז	ב
ג	ג	ט	ב
			ד

Add the bottom 9 to the upper 7 and it is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{9+7=16}}$

Write the 6 in the second rank, after the 4 that you wrote, like this:

תחבר ט' תחתונה על ז' עליונה ויהיה ו"א הו' כתוב במעלה שניה אחר ד' שכתבת כזה

6

4

ו

ד

Add the remaining 1 to the threes that follow it in the third rank, like this:

והא' הנשארת חבור אל הג'ג' שלאחריו שהם למעלה מזו כזה במעלה השלישי

3

ג

So, the total is 7

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+3=7}}

:

ויהיה הכל ז' כזה

7

6

4

ז

ו

ד

Then, add the two last threes in the fourth rank, their sum is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{3+3=6}}$

Write this 6 in the fourth rank, after 764 that you wrote, like this:

ואחר כך תחבר שני הג'ג' האחרונים במעלה הרביעי' ויהיה חבורם ו' אות' ו' כתוב במעלה הרביעי' אחר דוז שכתבת כזה

6

7

6

4

ו

ז

ו

ד

The procedure is complete and the sum is six thousand seven hundred and sixty-four, i.e. as follows:

ותשלם המלאכה ויהיה חבורו ארבע וששי' ז' מאות ו' אלפי' דהיינו כזה

6

7

6

4

ו

ז

ו

ד

The highest rank of the sum exceeds the addend by one rank to the left at most, sometimes it does not exceed [its ranks] at all.

לעולם לא תמצא הטור מן החיבור אשר בעליונה שעברת על המחובר רק מעלה לשמאל לכל היותר ולפעמים לא תעבור כלל

[MS Paris 1088, 7v:] Here follows a chapter on addition, to add every thing and to establish its methods

הילך שער חיבור לחבר כל דבר [..] ולישב על אופניו

Such as, if you wish to sum some numbers together.

כגון אם תרצה לחבר כמה חשבונות יחד

Now, I sum one number and according to this you shall apply for others:

ועתה אחבר חשבון אחד ומהם תבין אחר

Write numeral by numeral [lit. letter by letter], but not as is written in the multiplication chapter, but write as I will demonstrate, with God's help.

ותכתו' אות תחת אות ולא תכתו' כאשר כותבין בשער כפל אלא תכתו' כזה שאראך בע"ה

Example: we want to sum 3372 with 9892.

\scriptstyle3372+9892

דומיון בקשנו לחבר ע"ב וג' מאות וג' אלפי' עם צ"ב וח' מאות וט' אלפים

Here is how you write it and its diagram is as follows:

הילך היאך תכתוב אותו וצורתו כזה

3	3	7	2
9	8	9	2

ג	ג	ז	ב
ט	ח	ט	ב

[Illustration of the procedure:]

3372	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2+2}}={\color{blue}{4}}}$	3372	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{7+9}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{3+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{4}}\end{cases}}$	3472	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{4+8}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{3+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{4}}\end{cases}}$	4472	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4+9}}={\color{blue}{13}}}$	3372
9892		9892		9892		9892		9892
		4		64		264		13264

נחבר ב' תחתונ' עם ב' עליונ' הרי ד' אות' ד' נכתוב נגד ב' תחתונ‫'

נחבר כמו כן ט' תחתונ' עם ז' עליונ' ויעלה ו"א נכתוב ו' תחת הט‫'

ונוסיף א' על אות שבשיט' עליונ' הסמוכ' לה ושם יש ג' ונוסיף א' עליה ויהיה כאילו נכתו' ד' במקום ג‫'

ונחבר ד' עליונ' עם ח' תחתונ' ויעלה ב"א נכתו' ב' למטה תחת הח‫'

ונוסיף א' על אות הסמוך לד' עליונ' ושם יש ג' ונוסיף א' עליה ויהא ד‫'

נחבר ד' עליונ' על ט' שלמטה ויעלה ג"א נכתוב ג' למט' תחת הט' וא' נכתוב לאחריה ויהיה כזה

	3	3	7	2
	9	8	9	2
1	3	2	6	4

	ג	ג	ז	ב
	ט	ח	ט	ב
א	ג	ב	ו	ד

זה הכלל לא ימוש מפיך כשמותר הא' משיט' ראשונ' אני מוסיף אות' על שיט' שלאחריה

כי הא' הנותרת לי היא כמו כן מן העשיריות נגד שיט' ראשונ' לכך אני מוסיף אות' תדיר עליה
נמצא החיבור שחברנו לעיל הוא עולה ס"ד ומאתים וי"ג אלפים ודוק

[MS Paris158, 198v]

ציור זה בגלחת ונקרא אדירין

\scriptstyle{\color{blue}{78312+87547}}

\scriptstyle{\color{blue}{68975+87496}}

\scriptstyle{\color{blue}{37064+52056}}

	7	8	3	1	2
	8	7	5	4	7

	6	8	9	7	5
	8	7	4	9	6

3	7	0	6	4
5	2	0	5	6

1

6

5

8

5

9

1

5

6

4

7

1

8

9

1

2

0

	ז	ח	ג	א	ב
	ח	ז	ה	ד	ז

	ו	ח	ט	ז	ה
	ח	ז	ד	ט	ו

ג	ז	0	ו	ד
ה	ב	0	ה	ו

א

ו

ה

ח

ה

ט

א

ה

ו

ד

ז

א

ח

ט

א

ב

0

Checking Methods

Now, know that I shall write you two checking method [lit. scales]:

ועתה תדע שאכתוב לך שני משקלים

[MS Paris158, 198v]

1) Casting out 9 by 9:

The first: cast out the nines as many as you can from the two upper lines and take what remains that is less that 9 as the weights of the scales.

הא' השלך ט"ט כל כמה שתוכל מב' שיטות עליונות ומה שנשמר לך למטה מט' קח בידך לאבני המשקל

Then, cast out the nines in the bottom line also, and if the scales of what remains is as the first scales, know that your calculation is correct.

ואח"כ השלך ג"כ השיטה התחתונה בט"ט ומה שנשאר לך אם משקלו כאבן הראשון דע שכוינת חשבונך

2) Subtraction

The second scale is that one subtracts the two upper lines from the bottom line, and if all is gone as required no more and no less, then your calculation is correct.

משקל השני יקח השני שיטות העליונות מהשיטה התחתונה אם יצא במבוקש בלי חסרון ויתרון אז חשבונך מכוון

ודוק ותמצא

Chapter Three: Subtraction

שער החיסור

If you want to subtract and deduct a number from a number, here is how you do that:

אם תרצה לחסור ולנכות חשבון מן חשבון הילך איך תעשה

Write the number from which you wish to subtract and deduct above, according to its ranks, and write the number you subtract from it beneath, according to its ranks.

תכתוב החשבון שאתה רוצה לנכות ולחסר ממנו אותו חשבון כתוב למעלה כפי מעלותיו והחשבון שאתה מנכה הימנו כתוב למטה כפי מעלותיו

Then subtract it from the number above.

ואחר כך תנכה מן החשבון שלמעלה

Now, I shall write you an example to teach you:

ועתה אכתוב לך הדמיון להשכילך

We wish to subtract 9 hundred and ninety-nine from one thousand

\scriptstyle1000-999

הנה בקשנו לחסור ט' מאות ותשעים ותשע מאלף

Here is how you write it:

הילך היאך תכתוב אותו כזה

1	0	0	0
	9	9	9

א	0	0	0
	ט	ט	ט

1000	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-9}}={\color{blue}{1}}}$	100	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-9}}={\color{blue}{1}}}$	10	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-9}}={\color{blue}{1}}}$	1
999		99		9

We find that the 1 that is in the upper line, in the fourth rank, is ten for the 9 that is third in the bottom line.

נמצא הא' שבשיטה העליונה במעלה רביעי' עולה עשרה לגבי ט' שלישית שבתחתונה

Now, we subtract 9 from this ten; you are left with 1.

עתה נחסר מאותו עשרה ט' וישאר לך א'

Write the 1 in the place of the third zero corresponding to the 9 that you have subtracted and erase the 9, like this:

אותו א' כתוב במקום גלגל השלישי נגד הט' שחסרת ואותו ט' מחוק כזה

1	0	0
	9	9

א	0	0
	ט	ט

Now, the 1 in the third rank of the upper line is also ten for the 9 in the bottom line.

ועכשיו כמו כן הא' שבמעלה שלישית שבשיטה העליונה עולה עשרה לגבי ט' שבשיטה תחתונה

We subtract the second 9; 1 remains.

נחסר ט' שנייה ונשאר א'

Write the 1 in the place of the second zero and erase the second 9; erase also the upper 1 that is in the third rank, from which we subtracted. It will be as follows:

ואותו א' כתוב במקום הגלגל השני ותמחוק ט' שנייה שחסרנו וגם תמחוק הא' העליונה שבמעלה שלישית שחסרנו ממנו ויהיה כזה

1	0
	9

א	0
	ט

Again, we subtract 9 that is beneath the zero from 1 that is above in the second rank, since it is also ten for the nine as above.

שוב נחסר ט' תחת הגלגל מן א' שלמעלה במעלה השנייה כי גם היא עולה עשרה לגבי ט' כדלעיל

So, when we subtract 9 from 10, 1 remains.

והנה כשנחסר ט' מן י' וישאר א'

Write the 1 in the place of the zero and erase the upper 1 that is in the second rank; erase also the 9.

אותו א' כתוב במקום הגלגל ומחק הא' העליונה אשר במעלה שנייה וגם הט' מחק

Then only one remains.

ואז נשאר רק א‫'

We find that when we subtract 999 from one thousand, 1 remains.

נמצא כשחסרנו ט' מאות וצ"ט מאלף נשאר א‫'

Another example: if we wish to subtract 321 from 654.

\scriptstyle654-321

דמיון אחר אם בקשנו לחסור אב"ג מן דה"ו

Write as follows:

כתוב כזה

6	5	4
3	2	1

ו	ה	ד
ג	ב	א

654	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6-3}}={\color{blue}{3}}}$	354	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-2}}={\color{blue}{3}}}$	334	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4-1}}={\color{blue}{3}}}$	333
321		21		1

We subtract the bottom 3 from the corresponding upper 6; 3 remain.

נחסר ג' התחתונה מן ו' העליונה שכנגדה וישאר ג'

Erase the 6 and write the remaining 3 instead; erase also the 3 that is left beneath.

מחק הו' וכתוב במקומה הג' שנשאר ומחק גם כן הג' שנשאר שלמטה

It is like this:

ויהיה כזה

3	5	4
	2	1

ג	ה	ד
	ב	א

Again, we subtract the bottom 2 from the corresponding upper 5; 3 remain.

שוב נחסר ב' התחתונה מן ה' עליונה שכנגדה וישאר ג'

Write the 3 instead of the 5 and erase the bottom 3 as well as the upper 5.

אותו ג' כתוב במקום הה' ומחק הב' שלמטה וגם ה' שלמעלה

It is like this:

ויהיה כזה

3	3	4
		1

ג	ג	ד
		א

Again, we subtract the bottom 1 from the corresponding upper 4; 3 remain.

שוב נחסר א' התחתונה מן ד' עליונה שכנגדה וישאר ג'

Erase the upper 4 as well as the bottom 1 and write 3 instead of the upper 4.

ומחוק ד' שלמעלה וגם א' שלמטה וכתוב ג' במקום ד' שלמעלה

It is like this:

ויהיה כזה

3

ג

We find that when we subtract 321 from 654, only 333 remains.

נמצא כשחסרנו אב"ג מן דה"ו לא נשאר כי אם ג'ג'ג‫'

If the digit of the subtrahend is larger than the digit of the subtracted in the corresponding rank

וכאשר תמצא שהאות העליון אשר בקשנו לחסר ממנו פחות מן האות התחתון שתרצ' לחסר

$\scriptstyle956-867$

כגון אם תרצ' לחסר ז ו ח מן ו ה ט כזה

9	5	6
8	6	7

ט	ה	ו
ח	ו	ז

956	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{16-7}}={\color{blue}{9}}\\\scriptstyle{\color{red}{5-1}}={\color{green}{4}}\end{cases}}$	[949]	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{14-6}}={\color{blue}{8}}\\\scriptstyle{\color{red}{9-1}}={\color{green}{8}}\end{cases}}$	[889]	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8-8}}={\color{blue}{0}}}$	[89]
867		[86 ]		[8 ]

היאך תחסור מרובה ממועט כזה ז' מן ו' לא תוכל וכן ו' מן ה' בדרך זה תעשה: טול א' מן ה' אשר אצל ו' ומחוק הה' וכתוב ד' אותו א' כמה עולה לחבירו עם הו' י"ו כי היא במעלה שנייה מן הו' הרי י"ו חסר ז' אשר בטור השפל מן י"ו וישאר ט‫'

אחר כך צריך לחסר ו' מן ד' עשר ג"כ כמו שצויתיך מחוק א' מן ט' ויהיה במעלה שלפניו י"ד וחסר ממנו ו' וישאר ח' ול"ד זה שייך לשער הכפל קטון

[MS Oxford 60, 153r-v]

956	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-8}}={\color{blue}{1}}}$	156	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{15-6}}={\color{blue}{9}}\\\scriptstyle{\color{red}{1-1=0}}\end{cases}}$	96	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{16-7}}={\color{blue}{9}}\\\scriptstyle{\color{red}{9-1}}={\color{blue}{8}}\end{cases}}$	89
867		67		7

אשכילך היאך תעשה כי לא תוכל לחסר ז' מן ו' וכן ו' מה' בדרך זה תעשה: בתחילה חסר ח' תחתונה מט' עליונ' וישאר א' מחוק הט' וכתוב א' במקומ' גם ח' תחתונ' מחוק ויהיה כזה

1	5	6
	6	7

א	ה	ו
	ו	ז

עתה צריכין אנו לחסר ו' תחתונ' מה' עליונ' ולא יכולנ' לכן לך לך אל הא' אשר לשמאל ה' עליונ' וצרפ' יחד א' וה' ויהיה ט"ו ונחסור הו' ממנו וישאר ט' מחוק הא' העליונ' גם ה' העליונ' וכתוב במקומם ט' גם ו' תחתונ' תמחוק וישאר כזה

9	6
	7

ט	ו
	ז

שוב צריכין אנו לחסר ז' תחתונ' מו' ולא יכולנ' עתה לך לך וקח אחד מן הט' שבצד הו' בשיט' עליונ' וצרפ' יחד הו' גם הא' והיא עשרה אצל הו' ויהיה י"ו ועתה חסר ז' מן י"ו וישאר ט' מחק ו' ט' עליונ' וכתוב ט' ח' במקומם כאשר ציויתיך ומחוק ג"כ הז' התחתונ' ויהיה כזה

8

9

ח

ט

ותשלם המלאכה עיין היטב

Checking Methods

Addition

$\scriptstyle333+321=654$

ואם תרצה לידע אם אמת חשבת אז תחבר בשער החיבור אב"ג עם גג"ג אז תמצא דה"ו אז החיסור מכוון

$\scriptstyle867+89=956$

[MS Oxford 60, 153v]

ואם תרצ' לידע אם אמת חשבת אז חבר בשער החיבור ז ו ח עם ט ח הנשארי' ואם תמצא ו ה ט אז כיוונת

The checking method of addition is subtraction and the checking method of subtraction is addition

זה הכלל שער החיסור מאזני צדק לשער החיבור ושער החיבור מאזני צדק לשער החיסור

Chapter Four: Multiplication

שער הכפל

If you wish to multiply 1234 by 4321.

\scriptstyle1234\times4321

אם תרצה לכפול רל"ד ואלף על ד' אלפים ושכ"א

[Illustration of the procedure:]

4321	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4\times1}}={\color{blue}{4}}}$	4 4321	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4\times2}}={\color{blue}{8}}}$	48 4321	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{4\times3}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{8+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{9}}\end{cases}}$	4924321	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{4\times4}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}$	4936321
1234		234		34		4

הילך צורתו כאשר תכתבנו חשבון האחד בצד השני ומכוון אות ראשון בחשבון התחתון תחת אות האחרון שבחשבון העליון כזה

			4	3	2	1
1	2	3	4

			ד	ג	ב	א
א	ב	ג	ד

וכפול א' תחתונה על ד' עליונה פי' חשוב א' פעמים ד' זה ד' אות ד' כתוב נגד א' התחתונה ומחוק א' תחתונה כזה

4			4	3	2	1
	2	3	4

ד			ד	ג	ב	א
	ב	ג	ד

עוד כפול ב' תחתונה על ד' עליונה ויעלה ח' אותו ח' כתוב נגד ב' התחתונה ומחק ב' התחתונה כזה

4	8		4	3	2	1
		3	4

ד	ח		ד	ג	ב	א
		ג	ד

עוד נכפל ג' תחתונה על ד' עליונה ויעלה ב"א פי' י"ב עתה כתוב ב' נגד ג' תחתונה וא' על ח' אחריה ויעלה ט' כי הוא מעלה אחת שהיא עשרה אחר ב' שלפניה ומחוק ג' תחתונה כזה

4	9	2	4	3	2	1
			4

ד	ט	ב	ד	ג	ב	א
			ד

עוד נכפל ד' תחתונה על ד' עליונה ויעלה ו"א פי' י"ו עתה נכתב ו' נגד ד' תחתונה במקום ד' עליונה כי עתה חשבנו ד' עליונה בכל חלקים וכתוב א' על ב' שלאחריה ויהיה ג' כזה

4

9

3

6

3

2

1

ד

ט

ג

ו

ג

ב

א

[Illustration of the procedure:]

4936321	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{3\times1}}={\color{green}{3}}\\\scriptstyle{\color{red}{9+}}{\color{green}{3}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{4+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{5}}\end{cases}}$	5236321	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{3\times2}}={\color{green}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{3+}}{\color{green}{6}}={\color{blue}{9}}\end{cases}}$	5296321	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{3\times3}}={\color{green}{9}}\\\scriptstyle{\color{red}{6+}}{\color{green}{9}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{5}}\\\scriptstyle{\color{red}{9+}}{\color{green}{1}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}$	5305321
1234		234		34		4

\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{3\times4}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{5+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{6}}\end{cases}}

5306221

ועתה נמשך ד"ג ב"א מעלה לאחורית תחת ג' עליונה כדי לחשוב ג' עליונה כדי לחשוב ג' גם בכל תוצאותיה ד"גב"א כזה

4	9	3	6	3	2	1
	1	2	3	4

ד	ט	ג	ו	ג	ב	א
	א	ב	ג	ד

כפול א' תחתונה על ג' עליונה פי' ג' פעמים א' זהו ג' ושים אותו ג' על ט' שעל א' התחתונה ויעל ב"א פי' י"ב עתה כתוב ב' במקום ט' א' שהיא עשרה שים אותו במעלה שנייה דהיינו ד' ועשה ד' אחרונה ה' ומחוק א' תחתונה כזה

5	2	3	6	3	2	1
		2	3	4

ה	ב	ג	ו	ג	ב	א
		ב	ג	ד

עוד כפול ב' תחתונה על ג' עליונה ויעלה ב' פעמים ג' דהיינו ו' ושים אותו ו' על ג' שעליה ויהיה ט' ומחוק ב' תחתונה כזה

5	2	9	6	3	2	1
			3	4

ה	ב	ט	ו	ג	ב	א
			ג	ד

עוד כפול ג' תחתונה על ג' עליונה ג' פעמים יעלה ט' ושים אותו ט' על ו' שעליה ויעלה ה"א ה' כתוב במקום ו' א' כתוב במעלה שנייה דהיינו אל ט' שלאחריה ויהיה עשרה אך אין ראוי לכתוב עשרה כי אין כותבין בחשבונות הציפרא עשרה רק ט' לכן כתוב גלגל כזה במקום ט' וכת' א' במעלה שלאחריה דהיינו אל ב‫'

5	3	0	5	3	2	1
				4

ה	ג	0	ה	ג	ב	א
				ד

ועתה יהיה ג' מחוק ג' תחתונה כזה עוד כפול ד' תחתונה על ג' עליונה ויעלה ב"א עתה כתב ב' במקום ג' עליונה כי חשבונו גם כן ג' בכל חילוקה א' כתוב במעלה שנייה אל ה' ויהיה ו' ומחוק ד' תחתונה כזה

5

3

0

6

2

1

ה

ג

0

ו

ב

א

[Illustration of the procedure:]

5306221	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times1=}}{\color{blue}{2}}}$	5326221	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{2\times2}}={\color{green}{4}}\\\scriptstyle{\color{red}{6+}}{\color{green}{4}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}$	5330221	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{2\times3}}={\color{green}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{6}}={\color{blue}{8}}\end{cases}}$	5330821	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{2\times4}}={\color{blue}{8}}}$	5330881
1234		234		34		4

ועתה נמשך ד"ג ב"א מעלה אחת לאחורית תחת ב' עליונה כזה

5	3	0	6	2	2	1
		1	2	3	4

ה	ג	0	ו	ב	ב	א
		א	ב	ג	ד

עוד כפול א' תחתונה על ב' עליונ' א' פעמים ב' דהיינו ב' כתוב אותו ב' נגד א' תחתונה במקום גלגל ומחוק א' תחתונה כזה

5	3	2	6	2	2	1
			2	3	4

ה	ג	ב	ו	ב	ב	א
			ב	ג	ד

שוב כפול תחתונה על ב' עליונה ב' פעמים ב' היינו ד' אותו ד' כתוב למעלה נגד ב' תחתונה דהיינו אל ו' הרי י' כתוב במקום ו' גלגל ואחר הגלגל תוסיף א' היינו אל ב' ויהיה כזה

5	3	3	0	2	2	1
				3	4

ה	ג	ג	0	ב	ב	א
				ג	ד

שוב כפול ג' תחתונה על ב' עליונה ג' פעמים ב' היינו ו' אותה ו' כתו' נגד ג' תחתונה דהיינו אל ב' עליונה ויהיה ח' ומחוק ג' תחתונה כזה

5	3	3	0	8	2	1
					4

ה	ג	ג	0	ח	ב	א
					ד

שוב כפול ד' תחתונה על ב' עליונה ד' פעמים ב' ויעלה ח' כתוב ח' במקום ב' עליונה כי חשבנו ב' בכל חילוקיה ומחוק ד' תחתונה כזה

5

3

0

8

1

ה

ג

0

ח

א

[Illustration of the procedure:]

5330881	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{1\times1}}={\color{green}{1}}\\\scriptstyle{\color{red}{0+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{1}}\end{cases}}$	5331881	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{1\times2}}={\color{green}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{8+}}{\color{green}{2}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{1+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{2}}\end{cases}}$	5332081	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{1\times3}}={\color{green}{3}}\\\scriptstyle{\color{red}{8+}}{\color{green}{3}}={\color{blue}{11}}\end{cases}}$	5332111	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{1\times4}}={\color{blue}{4}}}$	5332114
1234		234		34		4

ועתה נמשך דגב"א מעלה לאחורית כדי לכפול אותו על א' ראשונה ויהיה כזה

5	3	3	0	8	8	1
			1	2	3	4

ה	ג	ג	0	ח	ח	א
			א	ב	ג	ד

כפול א' תחתונה על א' עליונה א' פעמים א' זה א' אותו א' כתוב נגד א' תחתונה במקום גלגל ומחק א' תחתונה כזה

5	3	3	1	8	8	1
				2	3	4

ה	ג	ג	א	ח	ח	א
				ב	ג	ד

שוב כפול ב' תחתונה על א' עליונה ב' פעמים א' היינו ב' אותו ב' כתוב על התחתונה דהיינו אל ח' ויהיה עשרה כתוב במקום ח' גלגל אחר גלגל תוסיף א' על א' ויהיה ב' ומחוק ב' תחתונה כזה

5	3	3	2	0	8	1
					3	4

ה	ג	ג	ב	0	ח	א
					ג	ד

שוב כפול ג' תחתונה על א' עליונה ג' פעמים א' זה ג' אותו ג' כתוב נגד ג' תחתונה דהיינו אל ח' הרי י"א מחוק ח' וכתוב במקומה א' ואחריה במקום גלגל א' ומחוק ג' תחתונה כזה

5	3	3	2	1	1	1
						4

ה	ג	ג	ב	א	א	א
						ד

שוב כפול ד' תחתונה אל א' עליונה ד' פעמים א' היינו ד' אותו ד' כתוב במקום א' שכנגדה אבל לא תצרף אותו א' עם ד' כמו שצויתיך כבר כי על אותו א' כפלנו עכשיו דגב"א ולא היתה א' רק לסימן לכן לא חיידיא לצירוף ומחוק ד' תחתונה כזה

5

3

2

1

4

ה

ג

ב

א

ד

נמצא כי א"בג"ד פעמים דגב"א עולה בחשבון דא"אב"ג ג"ה היינו י"ד ומאה וגם ב' אלפים גם ל' אלפים וגם מאה אלפים וגם ה' מאות רבבות וד"ל

Another example: we wish to multiply 209 by 3030.

\scriptstyle209\times3030

דמיון אחר הנה בקשנו לכפול ט' ומאתים על ג' אלפים ושלשים

[Illustration of the procedure:]

3030	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times2}}={\color{blue}{6}}}$	603030	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times9}}={\color{blue}{27}}}$	627030
209		9

הילך היאך תכתוב צורתו כזה

		3	0	3	0
2	0	9

		ג	0	ג	0
ב	0	ט

כפול ב' תחתונה על ג' עליונה ב' פעמים ג' היינו ו' אותו ו' כתוב נגד ב' תחתונה ומחוק ב' תחתונה וגם הגלגל שלפני ב' מחוק וכתוב גלגל לפניו כזה כי נכפול גלגל ג' פעמים ויהיה גלגל

6	0	3	0	3	0
		9

ו	0	ג	0	ג	0
		ט

שוב כפול ט' על ג' שעליה ט' פעמים ג' היינו ז"ב אותו ז' כתוב למעלה במקום ג' אחרונה ויהיה ז' במקום וגם ב' כתוב במקום גלגל ומחק ט' תחתונה כזה

6

2

7

0

3

0

ו

ב

ז

0

ג

0

[Illustration of the procedure:]

627030	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{3\times2}}={\color{green}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{7+}}{\color{green}{6}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{3}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{3}}\end{cases}}$	633030	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times9}}={\color{blue}{27}}}$	633270
209		9

ועתה משוך 0ט"ב לאחוריו ב' מעלות כדי שתהא ט' תחתונה שהיא אות ראשונה שבשיטה תחתונה נגד ג' עליונה כזה

6	2	7	0	3	0
		2	0	9

ו	ב	ז	0	ג	0
		ב	0	ט

ואת"ל למה לא כתבנו ט0"ב תחת גלגל עליון ודאי עשינו כך אבל מ"מ לא עלה יותר מגלגל כי כאשר תמצא אותיות כתובים ואת' צריך לצרף עמהם גלגל אין צירופין עמהם ול"ד כמו שפי' לקמן

כפול ב' תחתונה על ג' עליונה ב' פעמים ג' היינו ו' אותו ו' כתוב נגד ב' תחתונה דהיינו אל ז' ויהיה י"ג מחוק ז' וכתוב במקומה ג' ואחריה תוסיף א' על ב' כי הוא עשרה כמו שכתבתי לעיל ויהיה ג"כ ג' ומחוק ב' תחתונה וגם גלגל שלפניה

Zero cannot replace a non-zero digit in the upper line (the result line) in this erasing and shifting procedure -as this will decrease the numerical value of the rank, and there is no need for the zero as a place holder, since the current non-zero digit is already holding the place

ואין אתה צריך לצייר אותו הגלגל למעלה כמו שעשית כבר כי בלאו הכי יש גלגל כנגדו וכ"ש אם היה אות נגד הגלגל שלא היינו מוחקים האות לצייר שם גלגל שאם היינו מוחק' האות כדי לצייר שם גלגל אז היינו ממעטים החשבון ואם לעשות כדי להרחיק המעלה זה אינו כי בלאו הכי האות מרחיק המעלה

כללא דמילתא לעולם אין אנו מציירין גלגל התחתון למעלה אלא אם אין כנגדו שום דבר

Zero does not need to replace a zero in the upper line as it is only a place holder, and the rank is already held by the current zero

אבל אם יש שום גלגל או אות נגד אותו גלגל התחתון אז אין אנו צריכין לצייר שום גלגל כי ציורו אינו אלא שומר המעלה כמו שכתבתי לעיל כי הגלגל מודיע שאות אחריו עולה מעלה אחת יותר ממה שהיית עושה אם לא היית שם שום ציור גלגל

ועתה נחזור לחשבון דלעיל כמו שפרטתי אז יהיה כזה

6	3	3	0	3	0
				9

ו	ג	ג	0	ג	0
				ט

שוב כפול ט' תחתונה על ג' עליונה ט' פעמים ג' היינו ז"ב כתוב במקום ג' עליונה ז' ואחריה במקום גלגל כתוב ב' ומחק ט' תחתונה כזה וגם ג' עליונה מחק

6

3

2

7

0

ו

ג

ב

ז

0

תמצא שמאתים וט' פעמים ג' אלפים ול' יש ס"ג רבבות וג' אלפים ומאתים ושבעים

הנה אראך בדרך אחר לכפול

If you wish to know how much are 15 times 1080.

\scriptstyle15\times1080

אם תרצה לידע כמה ט"ו פעמים תתר"ף

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times1}}={\color{blue}{1}}}$	1	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times0}}={\color{blue}{0}}}$	10	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times8}}={\color{blue}{8}}}$	108	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times0}}={\color{blue}{0}}}$	1080
1080		1080		1080		1080		1080
15		15		15		15		15

עשה טור ראשון מתתר"ף ושים תחתיו ט"ו ה' תחת הא' וא' לשמאלו כזה

	1	0	8	0
1	5

	א	0	ח	0
א	ה

אז תכפול הא' על כל הטור העליון ואחר כך ה' על כל הטור העליון וכה תאמר א' פעם א' הרי א' שים א' כנגד א' השפל מן הכפלות כל כך גבוה שיהא הוא למעלה מן התתר"ף מכוון כנגד הא' התחתונ' ויהיה צורת' כזה

1
	1	0	8	0
1	5

א
	א	0	ח	0
א	ה

ואחר כך כפול א' פעמי' גלגל הרי גלגל שים אותו גלגל לפני הא' אשר כתבתי למעלה מן התתר"ף מכוונ' נגד הא' בשיט' ראשונ' ויהיה כזה

1	0
	1	0	8	0
1	5

א	0
	א	0	ח	0
א	ה

ואחר כך כפול א' פעמי' ח' יעלה ח' כתוב ח' לפני ה0' שכתבת בשיט' עליונ' מכוונת נגד הציפר' שבשיט' אמצעי' ויהיה כזה

1	0	8
	1	0	8	0
1	5

א	0	ח
	א	0	ח	0
א	ה

ואחר כך כפול א' פעם 0' ויעלה 0' שימהו לפני הח' אשר כתבת בשיט' עליונ' מכוון נגד 0' שבשיט' אמצעי' גם תמחוק הא' כי נכפל על כל התתר"ף ויהיה כזה דמיונו

1	0	8	0
	1	0	8	0
	5

א	0	ח	0
	א	0	ח	0
	ה

והנה כפלת הא' על כל התתר"ף

[Illustration of the procedure:]

1080	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\times1}}={\color{blue}{5}}}$	1580	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{5\times0}}={\color{green}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{8+}}{\color{green}{0}}={\color{blue}{8}}\\\end{cases}}$	1580	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{5\times8}}={\color{green}{4}}{\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{8+}}{\color{green}{4}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{2}}\\\scriptstyle{\color{red}{5+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{6}}\\\end{cases}}$	1620	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\times0}}={\color{blue}{0}}}$	16200
1080		1080		1080		1080
15		15		15		15

ואחר כך כפול הה' על כל התתרף ותתחיל לכופלו כנגדו ממש למעלה כאשר התחלת לכפול הא' כנגד א' כן תכפול הה' ועלה כך ה' פעמים א' היינו ה' שים אות ה' נגד הא' למעלה הימנו דהיינו במקום גלגל כזה

1	5	8	0
	1	0	8	0
	5

א	ה	ח	0
	א	0	ח	0
	ה

ואחר כך אמור ה' פעמים 0' אם לא היה נכתב מאומה על הגלגל היית נותן שם גלגל עכשיו שרשום עליו ח' לא תעשה מהגלגל כלום כי אוחז מקומו ואחר כך אמור ה' פעמים ח' יעלה ארבעים ולא תשימהו במקום הגלגל כי תצטרך לגלגל אלא כתוב ד' על הח' לשמאל אז תמצא ד"ח זה על זה תמחוק שניהם ותכתוב במקומו ב' ועל הה' אשר כתבת לשמאל כתוב א' הרי ו' כזה

1	6	2	0
	1	0	8	0
	5

א	ו	ב	0
	א	0	ח	0
	ה

ואחר כך אמור ה' פעמים גלגל היינו גלגל שים גלגל על גלגל ויהא דמיונו כזה

1

6

2

0

א

ו

ב

0

תבין שלא נשלם הטור העליון נגד הטור השפל עד אשר תכפול כל האותיות מן הכפולות על כל החשבון ולמבין די ודו"ק

Checking Methods	ואם לבך מפקפק לומר מאן יאמר שכך הוא הילך מאזני צדק היאך תשקול ותבחין אם טעות אם לאו
Casting out 9 by 9	בראשונה קח חשבון שבשיטה העליונה אשר בקשת לכפול והשלך אותו ט"ט והמותר קח בידך
	ואם לא תמצא אפילו פעם אחת ט' אז תקח הכל
	ואחר כך קח החשבון התחתון והשלך גם כן בט"ט
	ומה שנשאר בידך קח נא והשלך אותו בשער הכפל על מה שנשאר לך בשיטה עליונה אחר שהשלכת ממנו ט"ט ומה שיעלה בידך השלך אותו ג"כ בט"ט ומה שנשאר שלא הגיע לכלל ט' קח נא בידך
	ואחר כך קח החשבון היוצא לך כבר כשכפלת הב' חשבונות יחד והשלך ג"כ אותו בט"ט
	ומה שנשאר בידך אם הוא מכוון כנגד מה שנשאר לך כבר ידוע תדע שאמת חשבת ואם לאו בודאי טעית
$\scriptstyle209\times3030$	ועתה שקול חשבון דלעיל למען יבין המבין ויוסיף לקח הדמיון היה 0"ג0"ג פעמים ט0"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{3+0+3+0=3+3=6\equiv_96}}$	בתחילה נחבר ב' פעמים ג' היינו ו' ואין כאן אפילו פעם אחת ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2+0+9=2+9=11\equiv_92}}$	ואחר כך חבר חשבון התחתון דהיינו ט0"ב חיבור ט"ב היינו י"א השלך ט' וישאר ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{6\times2=12\equiv_93}}$	כפול ב' על ו' ב' פעמים ו' היינו י"ב השלך ט' וישאר ג' וזה יהיה לך לזכרון
$\scriptstyle{\color{blue}{6\times2=12\longrightarrow1+2=3}}$	זה הכלל ראה בכפל מה שנשאר לך כגון עתה הוצרכת לכפול ב' פעמים ו' ויהיה י"ב כתוב י"ב בציפור ויהיה ב"א היינו יתיר על ט' ג' וכן לעולם
$\scriptstyle{\color{blue}{3030\times209=633270\longrightarrow6+3+3+2+7+0=21\equiv_93}}$	ואחר כך ראה מה שיעלה בידך כשכפלתה 0"ג0"ג על ט0"ב דהיינו 0'ז'ב'ג'ג'ו' חבור אותו יחד ויהיה כ"א השלך אותו ט"ט וישאר ג' כמו שנשאר לך כבר ואם כן החשבון מכוון

Chapter Five: Gelosia	שער הכפל בסולם
	ציור נקרא סולם ויפה לשער הכפל גדול
The number of cells corresponds to the number of ranks of the multiplicands	וכמה שתרצה לכפול חשבון על חשבון כן עשה מניין הבתים
Number with three ranks by number with three ranks - three cells horizontally by three cells vertically	אם תכפול חשבון בן ג' מעלות על ג' מעלות כמו כן תצייר שליבות הסולם ג' בתים לארכה ולרחבה
Number with three ranks by number with two ranks - three cells horizontally by two cells vertically	ואם תכפל סך בן ג' אותיות על ב' אותיות עשה ג' בתים לרחבה וב' בתים לארכה
	וכן להיפך מלמעלה למטה אחד המרבה ואחד הממעיט ובלבד שיכווין לבו כל אות במקומו לפי הציור
$\scriptstyle321\times654$	דמיון אם תרצה לידע כמה כ"א וג' מאות פעמים נ"ד וגם ת"ר שרשימתו א'ב'ג' ד'ה'ו‫'

The multiplier is written in the top line and the multiplicand in the rightmost column	רשום למעלה על הבתים כאשר תראה בסולם שרשמתי והנכפול כתוב בצדו זה תחת זה כמצוייר
first line $\scriptstyle{\color{blue}{4\times1}}$	ובראשונה חשוב כמה ד' פעמים א' ויעלה ד' וכתוב אות בחצי הבית ראשון שמכוון תחת הא' וגם נגד הד‫'
Every cell is divided to two: the upper part is for the units of the interim product and the bottom part is for the tens	כי כל בית נחלק מחציתו העליון אחדים והתחתוני' עשיריים
$\scriptstyle{\color{blue}{4\times2}}$	ואחר כך חשוב כמה ד' פעמים ב' ויעלה ח' רשומיהו בחצי בית העליון שתחת ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\times3}}$	ואחר כך חשוב כמה ד' פעמים ג' ויעלה ב"א רשומיהו באותו בית שתחת הג' וכתוב ב' בחצי' בית העליון וא' בחצי השניי‫'
	ומעתה מחוק הד' כי היא נחשבת בכל חילוקים
second line $\scriptstyle{\color{blue}{5\times1}}$	מעתה תצטרך לחשוב ה' פעמים א' ויעלה ה' רשומיהו בבית שבצד הה' מכוון תחת הא‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{5\times2}}$	ואחר כך חשוב ה' פעמים ב' ויעלה 0"א רשומיהו בחצי בית התחתון בבית חמישי
$\scriptstyle{\color{blue}{5\times3}}$	ואחר כך חשוב ה' פעמים ג' ויעלה ה"א רשומיהו בבית ששי ה' בחצי העליון א' בחצי תחתון
	ומעתה מחוק ה‫'
third line $\scriptstyle{\color{blue}{6\times1}}$	והנה חשוב ו' פעמים א' ויעלה ו' רשומיהו בצדו מכוון בטור שתחת הא‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{6\times2}}$	ו' פעמים ב' כ"א רשומיהו בבית השמיני
$\scriptstyle{\color{blue}{6\times3}}$	ו' פעמים ג' היינו ח"א רשומיהו בבית האחרון
	והנה כפלנו כולה
	ואשכילך כמה יעלה סכום שלה קח אות ראשון שבבית ראשון שהיא ד' וכתביהו במקום מיוחד
	ואחר כך חשוב בשליבה שנייה בכל השיפוע מאות ח' עד אות ה' וצירוף אות הה' עם הח' ויעלה ג'א' הג' כתוב בצד הד' הנרשמת כבר כזה ד ג
	וגם הא' שהיא עשרה צרוף לשליבה שתחתיו וחבריהו אל הב' בתחילת שליבה שלישית ויעלה ג' וחבור אחר כך גם הו' שבסוף השיפוע ויהיה ט' רשומיהו אצל ד"ג כזה ד ג ט
	ואחר כך חשוב וצרוף אותיות שבשליבה רביעי' מראש ועד סוף ויעלה ט' כתוב ט' אצל דג"ט כזה ד ג ט ט
	והנה חשוב אותיות שבשליבה חמישית בשיפוע ויעלה צירופו עשרה
The tens in the sum of the interim products are added to the subsequent sum of interim products	וכבר אמרתי שלעולם העשירי מצטרף לשליבה שתחתיו ואין רושמין אותה בצד המיוחדין
If there are no units left in the sum - zero should be written in order to hold the rank	אבל תצטרך להשיב גלגל במקום העשרה לשמור המעלה הואיל ולא נשאר אפילו אחד לשמור המורה המעלה
	והנה כשתצטרף העשרה לא' שבשליבה אחרונה יעלה ב' וכתביהו בצד ד'ג'ט'ט' המיוחדים ויהיה כזה ד ג ט ט 0 ב
	זה מכוון חשבון של כפולת אב"ג על דה"ו
The checking method of the result is the same method as in the previous chapter on multiplication	ומאזנים שלו כמו שכתבתי לעיל בשער הכפל הגדול
$\scriptstyle464\times464$	ד'ו'ד' פעמים ד'ו'ד' עולה חשבונו ו'ט'ב'ה'א'ב' ודוק

	סליק שער הכפל

Multiplication - Check MS Mantova f. 69r	כשתרצה לידע משקל אם אתא שפיר כשיש לפניך הכפל
$\scriptstyle464\times464=215296$	כגו' א דוד פעם דוד כגו' ו'ט'ב'ה'א'ב' או כל כפלים אם הן שפיר או לאו
$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle4+6+4=14\equiv_95\\\scriptstyle4+6+4=14\equiv_95\end{cases}\scriptstyle\longrightarrow5\times5=25\equiv_97}}$	אז קח לפניך דוד במניין נמצא י"ד ואמ' כמה הוא יותר מט' נמצא ה' ותשליך הט' ממך ואמ' כמה ה' פעמי' ה' נמצא כ"ה ותשליך ממך כל הט' שבתוך כ"ה ויתר לך ז'
$\scriptstyle{\color{blue}{215296\equiv_97}}$	אז תשליך נמי ו'ט'ב'ה'א'ב' בט' אז ישאר לך ז' וכן תעשה לכל הכפולים שבעולם ודו"ק

Chapter Six: Division

שער החילוק

Dividing a large number into a few smaller numbers

והוא טוב לחלק חשבון גדול לכמה חשבונות קטנים

ועתה ידוע תדע שאין כותבין בשער זה כמו בשער הכפל אות ראשונה משורה תחתונה נגד אות אחרונה משורה עליונה אלא כותבין שורה עליונה כפי מעלותיה ושורה תחתונה כמו כן כפי מעלותיה ויכוון אות אחרונה שבשורה תחתונה נגד אות אחרונה שבשורה עליונה

The digit in the highest rank of the dividend is smaller than the digit of the highest rank of the divisor - shifting the divisor to the lower rank to the right

ואם אות אחרונה שבשורה תחתונה יותר מאות אחרונה שבשורה עליונה אז יסיג שורה תחתונה מעלה אחת לאחוריה אלא א"כ דאותו שורה תחתונה יש בה יותר מאות אחת

The digit in the highest rank of the dividend is the same as the digit of the highest rank of the divisor and the divisor consists of one digit only - no need to shift the divisor to the lower rank to the right

אבל אם עלו שוות לא יסוג לאחריה אלא אם כן דאותו שורה יש בה יותר מאות אחת

Shifting the divisor to the lower rank to the right and dividing the dividend by it

וכשיש בה יותר מאות אחת יסיג כל השורה מעלה אחת לאחוריה ואז יכול לחלק אותיות עליונה על אותיות תחתונות

The place of the result of division

והחילוק שחילקו יכתוב נגד מעלה ראשונה שבשורה תחתונה הן אם אותו מעלה אות או גלגל

All the digits of the divisor should be subtracted from the dividend the same number of times as the digit in the highest rank is subtracted

וכשתחלוק ב' אותיו' פי' שהיו בשורה תחתונה ב' אותיות אז אין חילוק של שתיהם רק מנין אחד יהיה ג' אותיות או ד' וכן עד סוף כל הדורות וכל כך כמה פעמים שחלקת האות האחרונה מן החשבון כן תקח כל שאר אותיות ול"ד

Examples

ועתה אכתוב דמיונים למען יבין המבין ותן לחכם ויחכם עוד ויוסיף לקח

$\scriptstyle218\div7$

ועתה אתחיל בחילוק קטן אם ישאל השואל כמה פעמים ז' יש במאתים וי"ח

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{21\div7}}={\color{blue}{3}}}$	3	$\scriptstyle\longrightarrow$	3	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8\div7}}={\color{blue}{1}}+\frac{{\color{blue}{1}}}{7}}$	31
218		218		8		1
7		7		7		7

הילך היאך תעשה כתוב המאתים וי"ח כזה

2

1

8

ב

א

ח

והז' היה מן הדין לכתוב תחת הב' כדי לחלק הב' לז' ז' פי' למנה כמה פעמים ז' יש בב' אלא שאין הב' מגיע לחילוק של ז' לכן נסוג הז' לאחור כדי שתהא הב' במעלה שנייה לה ותעלה לנגדה עשרים ואחת כזה

2	1	8
	7

ב	א	ח
	ז

ואותו עשרים ואחת תחלוק לז'ז' פי' מנה כמה פעמים ז' יש באחת ועשרים ונמצא שיש בהם ג' פעמים ז' אותו ג' כתוב למעלה על הא' שבשורה עליונה נגד ז' שבשורה התחתונה כזה

	3
2	1	8
	7

	ג
ב	א	ח
	ז

ואחר כך מחוק הא"ב שמצאת בהם ג' פעמי' ז' ואחר כך סוג הז' מעלה אחת לאחוריה ויהיה תחת הח' כזה

3
	8
	7

ג
	ח
	ז

ומנה כמה פעמי' ז' יש בח' ולא מצאת בה רק פעם אחת ז' ועוד יש א' יותר אז כתוב א' נגד הז' על הח' כזה והאחד העודפת כתוב במקום הח' כזה

3	1
	1
	7

ג	א
	א
	ז

נמצא ברי"ח יש ל"א פעמים ז' וישאר אחת וכן לעולם ועיין

Word problem: I have 10127 pazan(?) and I want to know how many zehuvim are they, if each [zahuv] is 15 pazan

\scriptstyle10127\div15

דמיון אחר הנה יש לי עשרת אלפים פצין ומאה ועשרים ושבע פצין ואבקש לידע כמה זהובי' יש בתוכם שכל אחד יש ט"ו פצין

והנה רשומיהו כזה

1

0

1

2

7

א

0

א

ב

ז

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-\left({\color{blue}{6}}\sdot1\right)}}={\color{blue}{4}}}$	6	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{40-\left(6\sdot5\right)}}={\color{blue}{1}}{\color{red}{0}}}$	6
10127		4127		1127
15		5

והנה רשום תחת זה הז'ב'א'0'א' החשבון ה'א' ואם תכתבהו תחת הסופיים כמחוייב נמצא א' תחת א' ולא ישאר לך דבר וא"כ מאין תקח ה'פעמים א' כי כמה פעמים שתקח אות אחת כמו כן תקח חבירתה כמו שכתבתי לעיל וא"כ סוג ה'א' אחור וכתו' א' תחת גלגל וכתו' ה' תחת א' שלפני גלגל ויהיה כזה

1	0	1	2	7
	1	5

א	0	א	ב	ז
	א	ה

והנה צריכין אנו לשער באם נקח הא' מהאותיות שעליו שגם יעדיף למצא הה' בעודף בחשבון הזה ואם תרצה לומר ליקח ט' פעמים מן י' א"כ לא ישאר רק אחד ותבא א' במקום גלגל ויהיה א"א ומעתה לא תוכל ליקח ט' פעמים ה' מן א"א וכן אם תקח ח' פעמים א' לא ישאר רק ב' ולא תוכל ליקח ח' פעמים ה' מן ב"א וכן אם תיקח ז' לא ישאר רק ג' ולא תוכל ליקח ז' פעמים ה' מן ג"א אלא קח ו' וישאר ד' כתוב ו' על הא' ויהיה כזה

	6
4	1	2	7
	5

	ו
ד	א	ב	ז
	ה

ואז תוכל ליקח ו' פעמים ה' מן א"ד וישאר לך מן הד' שהיא א' עשרה ואם כן כתוב א' במקום הד' ומחק ה' ויהיה כזה

	6
1	1	2	7

	ו
א	א	ב	ז

[Illustration of the procedure:]

6	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{11-\left({\color{blue}{7}}\sdot1\right)}}={\color{blue}{4}}}$	67	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{40-\left(7\sdot5\right)}}={\color{green}{5}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{5}}={\color{blue}{7}}\end{cases}}$	67
1127		427		77
15		5

ואחר כך בקשנו ליקח הא' מן החשבון הזה י' פעמים לא תוכל ליקח כמו שפירשתי וגם זה הכלל נקוט בידך לעולם לא תוכל ליקח י' רק ט' או ח' או ז' ולמטה לכן עשה כך: כתוב ה'א' תחת ב'א' כזה

	6
1	1	2	7
	1	5

	ו
א	א	ב	ז
	א	ה

וקח ז' פעמים וישאר ד' שעודף י"א על ז' ד' וכתוב ז' למעלה נגד הה' תחתונה ומחק הא' תחתונה ומחק ג"כ הא'א' עליונה וכתב תחתיהן ד' כזה

6	7
4	2	7
	5

ו	ז
ד	ב	ז
	ה

[Illustration of the procedure:]

67	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7-\left({\color{blue}{5}}\sdot1\right)}}={\color{blue}{2}}}$	675	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{27-\left(5\sdot5\right)}}={\color{blue}{2}}}$	675
77		27		2
15		5		15

והנה קח ז' פעמים ה' מן ד' שבצידה דהיינו ל"ה וישאר ה' כי הד' היא במעלה שנייה מן הה' עולה ארבעים ועתה קח ממנה ל"ה וישאר ה' צרוף הה' אל הב' שלפניה ויהיה ז' כזה

6	7
	7	7
	1	5

ו	ז
	ז	ז
	א	ה

וקח ה' פעמים א' מן ז' כי ז' פעמים לא נוכל ליקח כמו שפי' לעיל שאז לא נוכל ליקח ז' פעמים או ו' פעמים ה' ודו"ק לכן קח ה' פעמי' וכתוב למעלה ה' בצד הז' נגד ה' תחתונה ויעדיף ב' אותו ב' כתוב במקום ז' כזה

6	7	5
	2	7
		5

ו	ז	ה
	ב	ז
		ה

והנה קח ה' פעמי' ה' מן ז"ב וישאר ב' שאינו מגיע לחשבון הא' וצורתו כזה

6	7	5
		2

ו	ז	ה
		ב

נמצא מכוון שעשרת אלפים ומאה וכ"ז פצין עולה ה' זהו' וגם ת"ר זהו' ושני פצין

Checking Methods

ואם לבך מגמגם כפול העודף האחרון על ה'א' ויצא לך חשבון הראשון ששאלת

The checking method of division is multiplication and the checking method of multiplication is division

וזהו מאזני צדק על שער החילוק נמצא כפל מברר החילוק והחילוק מברר הכפל

$\scriptstyle10127\div15$ → Check: $\scriptstyle15\times\left(675+\frac{2}{15}\right)$

[Illustration of the procedure:]

15	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{1\times6}}={\color{blue}{6}}\\\scriptstyle{\color{red}{1\times7}}={\color{blue}{7}}\\\scriptstyle{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}\end{cases}}$	6755	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{5\times6}}={\color{green}{3}}{\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{6+}}{\color{green}{3}}={\color{blue}{9}}\end{cases}}$	9755	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{5\times7}}={\color{green}{35}}\\\scriptstyle{\color{red}{5+}}{\color{green}{35}}={\color{green}{4}}{\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{7+}}{\color{green}{4}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{1}}\\\scriptstyle{\color{red}{9+}}{\color{green}{1}}={\color{blue}{10}}\end{cases}}$	10105	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{5\times5}}={\color{blue}{25}}}$	10125	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{5+2}}={\color{blue}{7}}}$	10127
675		675		75		5

דמיון למאזנים כתוב ה'א' וכתוב תחתיו ה'ז'ו' הנשאר באחרונה חוץ מן הב' שלא הגיע לחשבון ט"ו אל תצטרף עמהן עד סופו חיבורו לאות ראשונה כזה

		1	5
6	7	5

		א	ה
ו	ז	ה

כפול ו' על א' יעלה ו' כפול ז' על א' יעלה ז' כפול ה' על א' ויעלה ה' כזה

6

7

5

ו

ז

ה

והנה כתוב ה'ז'ו' תחת ה' של ה'א' כזה

6	7	5	5
	6	7	5

ו	ז	ה	ה
	ו	ז	ה

כפול ו' על ה' ויעלה ל' חבור על ז' שעליו כמו שצויתיך בשער הכפול אם כן צריך אתה ליתן הג' אל הו' ויהיה ט' כזה

9	7	5	5
		7	5

ט	ז	ה	ה
		ז	ה

ואחר כך כפול ז' על ה' ויעלה ה"ג ועליו ה' דהיינו 0"ד עשה גלגל במקום ה' ותן ד' לז' ויהיה א"א כתוב במקום ז"א ותן א' על הט' ויהיה י' אז צריך אתה לעשות גלגל במקום הט' ואחריו א' כזה

1	0	1	0	5
				5

א	0	א	0	ה
				ה

ואחר כך כפול ה' על ה' ויעלה ה"ב כתוב ה' במקום ה' העליונה ואל תצטרף ה' ראשונה עליה כמו שצויתיך בשער הכפל ואחר כך כתוב ב' במקום גלגל כזה

1

0

1

2

5

א

0

א

ב

ה

והנה חבר ב' שלא הגיע לכלל ט"ו אל הה' הראשונה ויהיה ז' ואז יהיה החשבון כזה

1

0

1

2

7

א

0

א

ב

ז

והיינו כיון השאלה

סליק שער החילוק

$\scriptstyle568\times568$ → Check: $\scriptstyle322624\div568$

[MS Paris1088, 5r-v]

ועוד אראה לך דומיון חושבתי מן חו"ה פעמי' חו"ה הכי

3

2

6

2

4

ג

ב

ו

ב

ד

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{32-\left({\color{blue}{5}}\sdot5\right)}}={\color{blue}{7}}}$	5	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{72-\left(5\sdot6\right)}}={\color{blue}{42}}}$	5	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{400-100}}={\color{blue}{3}}{\color{red}{00}}\\\scriptstyle{\color{red}{100-\left(5\sdot8\right)}}={\color{green}{6}}{\color{red}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{6}}={\color{blue}{8}}\end{cases}}$	5
322624		72624		42624		38624
568		68		8

ורציתי לחלק אם חושבתי שפיר וכה תעשה תכתוב לפניך החשבון שעולה ממנה ותכתוב תחתיו חו"ה וצורתו כזה

3	2	2	6	2	4
	5	6	8

ג	ב	ב	ו	ב	ד
	ה	ו	ח

כי לא אתה יכול לחלק ה' מן ג' כי ג' לא מגיע אפי' פעם אחת לה' לפיכך סוג הה' לאחרי' ואז תאמר כמה פעמים ה' בב"ג זהו ה' פעמים אע"ג שיש לי לקח עוד פעם אחת ה' אלא מטעם זה אני לקח נוטל אות' ה' פעמים ולא יותר כי אם אני נוטל ו' פעמי' אז לא היה נשאר מן הב"ג אלא ב' ואז לא היה יכול לקח הו' מן חו"ה נמי ו' פעמי' מן ב"ב פי' מן כ"ב והדין בזה השער כי כמה פעמי' שתחלק האות ראשו' אז אתה עושה לכל האותיות לפי זה אני נוטל ה' פעמי' ואז נשאר ז' ואז אני יכול לנטול גם הו' ה' פעמים ואות' ה' תכתוב למעלה על הו' נגד הח' התחתונ' ונמחוק הב"ג ותכתוב במקומ' הז' וצורתו כזה

		5
7	2	6	2	4
	6	8

		ה
ז	ב	ו	ב	ד
	ו	ח

ושוב תחלוק הו' מן חו"ה נמי ה' פעמים מן ב"ז ואז נשאר לך ב"ד ותמחוק הז' ותכתוב במקו' ד' וצורתו כזה

		5
4	2	6	2	4
		8

		ה
ד	ב	ו	ב	ד
		ח

ואז תחלוק הח' נמי ה' פעמי' מן ו'ב"ד פי' כ"ו ד' מאות אז תקח מאה מן הד' מאו' ועוד נשאר ג' מאות ואז קח מן המאה הח' פעם ה' וזהו 0"ד פי' מ' ועוד נשאר 0"ו ואותו ו' תשים על הב' ויהיה ח' וצורתו כזה

		5
3	8	6	2	4

		ה
ג	ח	ו	ב	ד

[Illustration of the procedure:]

5	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{38-\left({\color{blue}{6}}\sdot5\right)}}={\color{blue}{8}}}$	56	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{86-\left(6\sdot6\right)}}={\color{blue}{50}}}$	56	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{500-100}}={\color{blue}{4}}{\color{red}{00}}\\\scriptstyle{\color{red}{100-}}{\color{green}{50}}={\color{blue}{5}}{\color{red}{0}}\\\scriptstyle{\color{green}{50-}}{\color{red}{\left(6\sdot8\right)}}={\color{green}{2}}{\color{red}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{2+}}{\color{green}{2}}={\color{blue}{4}}\end{cases}}$	56
38624		8624		5024		4544
568		68		8

נמשוך חו"ה לאחריה תחת הב' וצורתו כזה

		5
3	8	6	2	4
	5	6	8

		ה
ג	ח	ו	ב	ד
	ה	ו	ח

ואז תאמר כמה פעמי' ה' בח"ג ויעלה ו' ועוד נשאר ח' ותמחוק הג' שאחר הח' והו' העולה מן הח"ג תכתו' על הב' בשור' עליונ' נגד הח' שלמטה וצורתו כזה

	5	6
8	6	2	4
	6	8

	ה	ו
ח	ו	ב	ד
	ו	ח

ואז תקח הו' נמי ו' פעמי' מן ו"ח פי' מן פ"ו ועשה הכי תקח ה"ג פי' ה"ל מן ה"ח ואז נשאר נ' וקח הו' שלפני הח' ושים במקומ' גלגל כי ו' פעמי' ו' זהו ו"ג וצורתו כזה

	5	6
5	0	2	4
		8

	ה	ו
ה	0	ב	ד
		ח

ותמחוק הו' של חו"ה כמו שציירתי ושוב קח הח' נמי ו' פעמים מן ה' מאות ואז שוב עשה הכי קח מאה מן הה' מאות ועוד נשאר ד' מאות וקח מן המאה ח' פעמי' ו' וזהו ח"ד פי' מ"ח ואז קח מן המאה נ' ואז נשאר נ' ואות' נ' תכתו' במקו' הגלגל שלפני הד' ועוד יש ב' יותר שאני צריך אלא מ"ח ואני לקחתי נ' ואות' ב' תשים על הב' של אחר הד' הראשונ' ונמחוק הח' מן חו"ה וצורתו כזה

	5	6
4	5	4	4

	ה	ו
ד	ה	ד	ד

[Illustration of the procedure:]

56	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{45-\left({\color{blue}{8}}\sdot5\right)}}={\color{blue}{5}}}$	568	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{54-\left(8\sdot6\right)}}={\color{blue}{6}}}$	568	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{64-\left(8\sdot8\right)}}={\color{blue}{0}}}$	568
4544		544		64
568		68		8

נמשוך חו"ה לאחריה תח הח' תחת הד' והו' תחת הד' השניי' והה' תחת הה' וצורתו כזה

	5	6
4	5	4	4
	5	6	8

	ה	ו
ד	ה	ד	ד
	ה	ו	ח

ואז תאמר כמה פעמי' ה' בה"ד פי' מ"ה ויעלה ח' פעמי' ואות' ח' תכתו' למעלה על הד' נגד ח' התחתונ' ועוד נשאר ה' ותמחוק הד' שאחר הה' ותמחוק הה' של חו"ה וצורתו כזה

5	6	8
5	4	4
	6	8

ה	ו	ח
ה	ד	ד
	ו	ח

ושוב נחלק הו' נמי ח' פעמים מן ד"ה פי' מן נ"ה וע ועשה הכי קח מן הנ' ח' פעמי' ו' ועוד נשאר ב' כי ח' פעמי' ו' זהו ח"ד פי' מ"ח ועוד נשאר ב' ואות' ב' תשים על הד' שלפני הה' והוה ו' וצור ונמחק ו' של חו"ה והה' אחר הד' וצורת' כזה

5	6	8
	6	4
		8

ה	ו	ח
	ו	ד
		ח

ואז תאמר ח' פעמי' ח' וזהו ד"ו פי' ס"ד

סליק דומיון של שער החילוק

נמצא כשחלקתי חו"ה מן ד'ב'ו'ב'ב'ג' אז לא נשאר מאומה

וכן בכל מקום אשר אתה מחשב דבר השוה כגו' ח'ו'ה' פעמי' ח'ו'ה' או דו"ד פעמי' דו"ד וכשתחלק ממנ' אות' שחשבת ולא נשאר לך מאומה אז החשבון אמת ודו"ק ותמצא

ועוד אראה לך דומיון שאינ' חשבון שוה כגו' א"ב פעמי' ה"ד

ואז אתה לא עושה כדרך זה קח חד מן הפרטות הא"ב או הה"ד ותחלק מן החשבון ואז עולה הפרט השיני ודו"ק

$\scriptstyle45\times21$ → Check: $\scriptstyle945\div45$

[MS Paris1088, 6r]

דומיון חשבנו ה"ד פעמים א"ב ועולה ממנ' כזה

9

4

5

ט

ד

ה

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-\left({\color{blue}{2}}\sdot4\right)}}={\color{blue}{1}}}$	2	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{14-\left(2\sdot5\right)}}={\color{blue}{4}}}$	2
945		145		45
45		5

ואז נחלק אם חשבנו אמת אז קח הכלל העולה ותכתוב תחתיו חד פרט ותאמר כמה פעם זה הפרט בזה הכלל אז עולה הפרט השני' והילך צורתו אשר תכתביהו הכלל ותחתיו הד פרט איזה שתרצה ועת' נרא' קח הכלל ה' ד' ט' ותכתוב תחתיו הפרט ה"ד וצורתו כזה

9	4	5
4	5

ט	ד	ה
ד	ה

ותאמר כמה פעמים ד' בט' נמצא ב' פעמי' ולא יותר אות' ב' תכתוב על הד' נגד הה' שלמט' ותמחוק הט' ותכתוב במקומ' א' ואז קח ותמחוק ד' תחתונ' וצורת' כזה

	2
1	4	5
	5

	ב
א	ד	ה
	ה

ואז קח הה' נמי ב' פעמי' מן ד"א ונשאר הד' ונמחוק הא' והה' שלמט' וצורתו כזה

2
4	5

ב
ד	ה

[Illustration of the procedure:]

2	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4-\left({\color{blue}{1}}\sdot4\right)}}={\color{blue}{0}}}$	21	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-\left(1\sdot5\right)}}={\color{blue}{0}}}$	21
45		5
45		5

ואז תמשוך הה"ד מעלה אחת לאחריה הה' תחת הה' והד' תחת הד' וצורתו כזה

2
4	5
4	5

ב
ד	ה
ד	ה

ואז תאמר כמה פעמי' ד' בד' נמצא רק א' ואות' א' תכתו' על השני ה' קודם הב' וצורתו כזה ונמחק השני ד' כזה

2	1
	5
	5

ב	א
	ה
	ה

ואז תאמר תקח הה' נמי א' פעם אז לא נשאר לך מאומה נמצא כשחלקתי חד פרט אז עולה הפרט השיני וכן תמצא בכל פעם אשר אתה מחלק

$\scriptstyle218\div7$ → Check: $\scriptstyle\left(31+\frac{1}{7}\right)\times7$

[MS Paris1088, 6r]

והילך שער טוב לראות אם חלקתי אמת וטוב מאד מאד ואראה לך דומיון רציתי לחלק כמה פעם ז' בב' מאות וי"ח כאשר נחלק כבר בתחילת שער החילוק והוה עולה [א"ג] ונשאר א' ואז ראה אם חלקתי אמת

[Illustration of the procedure:]

31	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\sdot7}}={\color{blue}{21}}}$	211	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\sdot7}}={\color{blue}{7}}}$	217	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7+1}}={\color{blue}{8}}}$	218
7		7

קח הז' שחלקתי ושים אותה תחת הג' [‫כזה‫]

3	1
7

ג	א
ז

ותאמר כמה ז' פעמים ג' זהו כ"א א"ב פי' כ"א

2	1	1
		7

ב	א	א
		ז

ואז קח הז' ושים אות' תחת הא' ותאמ' ז' פעמי' א' זהו ז' ואות' ז' תכתו' קודם הא"ב שעולין מן ג' פעמי' ז' כזה

2

1

7

ב

א

ז

ואז קח הא' שלא חלקת לז' ושים עתה על ה ז' שעולה השת' מן א"ג פעם ז' ויהיה ויהיה ח' וצורתו כזה

2

1

8

ב

א

ח

נמצא כשלקחתי הח'א'ב' וחלקתי ממנ' כמה פעמי' ז' ועולה א"ג ונשאר א' ואז לקחתי הא"ג וזרקתי ג' ל[...] הז' וחשבתי כמה פ' ז' פעמים א"ג ועולה ממנ' זא"ב ואז לקחתי הא' שנשאר כבר וזרקתי על זה הז' והוה ח' כמו נמצא ח'א'ב' כמו בראשון

Chapter Seven: Proportions	שער הערכין
The purpose of this chapter - deducing and estimating a thing from another thing	הילך שער נכבד הנקרא שער הערך אשר לכולא עלמא צריך למנות ולחשוב ולהחכים ולהשכיל ולדעת ולהבין דבר מתוך דבר ולהעריך דבר אחר דבר ולעמוד על יסודו ועל בוריו
Estimating the price of a small amount of goods based on the given price of a larger amount of the same goods	כיצד אם לקחת מקח גדול בדמים מרובים ואתה רוצה להעריך מקח קטון לפי אותן דמים פי’ כמה מגיע מן הדמים למקח הקטון שקנית
Estimating the price of a large amount of goods based on the given price of a smaller amount of the same goods	או להפך שקנית מקח קטון בדמים מועטים ואתה תרצה להעריך מקח גדול אחריו
The procedure:	הילך היאך תעשה ותמנה ותעריך
Calculating the price of a small amount of goods based on a given price of a larger amount of the goods:	תכתוב המקח הגדול וסכום הדמים מן הגדול תכתוב תחת המקח הגדול ואחר כך כתוב המקח קטון תחת הסכום
$\scriptstyle\frac{\left(price\ of\ large\ amount\ of\ goods\right)\times\left(small\ amount\ of\ goods\right)}{large\ amount\ of\ goods}$	וכפול דמי המקח הגדול אשר כתבת למעלה אחר המקח הגדול על מניין המקח הקטון והעולה קח בידך ותחלוק אותו בשער החילוק על המקח הגדול ומה שיעלה בידך כך ערך המקח הקטן
If there is a remainder - the price is represented by [an integer and] fractions	ואם יותר לך חלקים שלא יעלה לחלק המבוקש אז תאמר עוד נשאר לי חלקים כך וכך שסכום כך וכך עולה לחלק א' המבוקש
Calculating the price of a large amount of goods based on a given price of a smaller amount of the goods:	ואם להיפך שאתה רוצה להעריך חשבון מקח גדול אחר חשבון מקח קטן אז כתוב חשבון הקטן למעלה ואחריו כתוב דמים הידועים לאותו מקח לחשבון הגדול כתו' למטה תחת דמיו של חשבון הקטון
$\scriptstyle\frac{\left(price\ of\ small\ amount\ of\ goods\right)\times\left(large\ amount\ of\ goods\right)}{small\ amount\ of\ goods}$	וכפול חשבון הגדול על דמים הידועים של מקח הקטון והעולה תחלק בשער החילוק על המקח הקטון כדלעיל
The writing rule of the calculation procedure: the given amount of goods its price the amount of goods of which the price is unknown	זה הכלל: המקח אשר ידעת כתוב תחילה ואחר כך כתוב דמיו ואחר כך המקח אשר בקשת לידע ולהעריך ותכפול ואחר כך תעריך כמו שצויתיך

Word Problems

Now I will write two or three examples so you may understand and become wise.

ועתה אכתוב לך ב' או ג' דמיונות כדי שתוכל להבין ולהשכיל

Pricing Problems - Find the Price

A man who asks you: I bought 70 cubits of cloth for 40 dinar, how much will 55 cubits cost?

\scriptstyle\frac{70}{40}=\frac{55}{X}

איש אשר ישאלך הנה קניתי ע' אמות בגד בעד מ' דינרין כמה מגיע לנ"ה אמות

First write 70 cubits, then the price of the bargain, and then the 55 cubits, whose price you wish to know, as this:

אז תכתוב תחילה ע' אמות ואחר כך דמי המקח ואחר נ"ה אמות אשר בקשת לידע עירוכיהן כזה

70

40

55

‫0ז

‫0ד

הה

Rule of Four

Multiply 55 by 40 and the result is 2200, as this:

וכפול נ"ה על מ' ועולה הוא ב' אלפים וב' מאות כזה

2

0

ב

‫0

Then, divide 2200 by 70, meaning, divide according to the chapter of division: how many times 70 is in it? The division is 31 times 70 and 30 smaller parts of which 70 are a whole unit, i.e. a dinar.

ואחר כך תחלק ב' אלפים וב' מאות לע'ע' פי' חלוק בשער החילוק כמה פעמים ע' יש בהן והחילוק הוא ל"א פעמים ע' ועוד ל' חלקים קטנים שע' מהם הם חלוק שלם דהיינו דינר

We find the question that you were asked: when 70 cubits were bought for 40 dinar, how much will 55 cubits cost? [is solved by:] 31 dinar and 30 parts of which 70 are one dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{55\sdot40}{70}=\frac{2200}{70}=31+\frac{30}{70}}}

dinar

נמצא השאלה ששואל לך כשקנה ע' אמות עבור מ' דינרין כמה מגיע לנ"ה אמות ל"א דינרין ועוד ל' חלקים שע' עושין חלק שלם שהוא דינר

Check:

If you think: where it is proven and where we are told it is so? Lest the ratio is not as you had calculated.

ואם תעלה על דעתך מאן מוכח ומאן לימא לן שכך הוא שמא הערך אינו כמו שחשבת

Think about the 15 cubits that exceed the 55, for from 55 to 70 there are 15.

\scriptstyle{\color{blue}{70-55=15}}

אז צא וחשוב ט"ו אמות העודפים על נ"ה כי מן נ"ה עד ע' יש ט"ו

Evaluate: how much will 15 cubits cost, when 70 cubits are bought for 40 dinar?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{70}{40}=\frac{15}{y}}}

ותעריך כמה מגיע לט"ו אמות כשע' אמות באו עבור מ' דינרין

Here is how you do it:

והילך היאך תעשה

Write 70 cubits, then 15 cubits, as this:

כתוב ע' אמות ואחר כך ט"ו אמות כזה

70

40

15

‫0ז

‫0ד

הא

Rule of Four

Multiply 15 by 40, meaning: think how much is 15 times 40? The result is 600

וכפול ט"ו על מ' פי' חשוב כמה ט"ו פעמים מ' ועולה ו' מאות

Divide 600 to 70, meaning: count how many times 70 is in 600? The result is eight times 70 and 40 parts remain, of which 70 are a whole unit, meaning one dinar.

ואחר חלוק ו' מאות לע"ע פי' מנה כמה פעמים ע' יש בו' מאות ויעלה שמונה פעמים ע' ועוד ישארו מ' חלקים שע' מהם עושין חלק שלם פי' דינר אחד

We find that when you buy 70 cubits for 40 dinar, 15 cubits are cost 8 dinar and 40 parts of which 70 are one dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{15\sdot40}{70}=\frac{600}{70}=8+\frac{40}{70}}}

dinar

נמצא כשקנית ע' אמות בעד מ' דינרין מגיע לט"ו אמות ח' דינרין ומ' חלקים שע' מהם עושין דינר שלם

Above we calculated that 55 cost 31 dinar and 30 parts of which 70 are one dinar. Now sum the prices together: 31 dinar and 8 dinar are 39 dinar; sum the 40 parts that remain for the 15 cubits with the 30 parts that remain for the 55, they are 70, i.e. a whole dinar. Add this dinar to the 39 and they are 40. We find that 55 cubits and 15 cubits cost 40 dinar.

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(31\frac{30}{70}\right)+\left(8+\frac{40}{70}\right)&\scriptstyle=\left(31+8\right)+\left(\frac{30}{70}+\frac{40}{70}\right)\\&\scriptstyle=39+\frac{70}{70}\\&\scriptstyle=39+1=40\\\end{align}}}

ולמעלה חשבנו שמגיע לנ"ה אמות ל"א דינרין ול' חלקים שע' מהם עושין דינר שלם

עתה חבור הערך יחד ל"א דינרין וח' דינרין הרי ל"ט דינרין
ומ' חלקים הנותרים בט"ו אמות ול' חלקים הנותרים בנ"ה
צרפם יחד ויהיה ע' דהיינו דינר שלם
תן אותו דינר עם הל"ט ויהיה מ‫'
נמצא שנ"ה אמות וט"ו אמות באו בעד מ' דינרין

Sum 55 and 15, it is 70.

\scriptstyle{\color{blue}{55+15=70}}

צרוף נ"ה וט"ו ויהיה ע‫'

We find that now you know and understand that you calculated rightly and correctly.

נמצא שעכשיו אתה יודע ומבין שחשבת כדין וביושר ול"ד ע"א

Another example: If a person asks you: I bought 100 barrels for 90 liṭra, how much will one barrel cost?

\scriptstyle\frac{100}{90}=\frac{1}{X}

דמיון אחר אם ישאלך אדם הנה קניתי ק' חבית בעד צ' ליטרות כמה מגיע לחבית אחת

First write 100 barrels, then their price, i.e. 90 liṭra and beneath the 90 liṭra write one barrel, like this:

אז כתוב תחילה ק' חבית ואחר כך דמיהם דהיינו צ' ליטרות ותחת צ' ליטרו' כתוב החבית האחד כזה

100

90

1

‫00א

‫0ט

א

Rule of Four

Multiply the bottom 1 by 90 that is above it, 1 times 90, the result is 90.

וכפול א' התחתונה על צ' שלמעלה הימנה א' פעמים צ' יעלה צ‫'

Then divide the 90 by 100, meaning: how many times 100 is in 90? You will not get even one time 100. On the contrary, you are missing ten and this is the price of one barrel: 90 parts of which 100 are one liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot90}{100}=\frac{90}{100}}}

ואחר כך תחלק אותו צדיק לק"ק פי' כמה פעמים ק' יש בצ' ולא תשיג ידך אפי' פעם אחת ק' אדרבה חסר לך עשרה וזה הערך המגיע לחבית אחד צדיק חלקי' שק' מהן עולין ליטרו‫'

This our teacher R. Wiesel found in another book, in these words.

זה מוצא מהר"ר וייזל בספר אחר וזה לשונו

In my opinion there is no need for this premise, as a person does not think of dividing 90 parts of which 100 are a whole unit.

ולפי דעתי שאין צריך לטעם זה כי אין מחשבתו של אדם לחלק צ' חלקים שק' מהן חלק א‫'

The premise that is more appropriate, in my opinion, in the Gentile calculations also, is as I will write below concerning the question "100 barrels for 90 liṭra, how much will one [barrel] cost?"

וזה הטעם ראוי יותר בעיני גם חשבונות של גוים נמי כזה שאכתוב הנה שאלת ק' חבית בעד צ' ליטרו' כמה מגיע לאחד

Write like this:

כתוב כזה

100

90

1

‫00א

‫0ט

א

Think in your mind: how many pešuṭim there are in 90 liṭra, if in one liṭra there are 20 pešuṭim?

חשוב בדעתך כמה פשוטים יש בצ' ליטרו' אם היה בליטר' כ' פשוטים

Rule of Four

Multiply 20 times 90, the result is 1800, as this:

חשוב כ' פעמים צ' ויעלה ח' מאות ואלף כזה

1

8

0

א

ח

‫0

Think according to the chapter of division: how many times 100 is in 1800? You will find 18 times exactly and so is the price: 18 pešuṭim for one barrel.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot\left(90\sdot20\right)}{100}=\frac{1800}{100}=18}}

חשוב בשער החילוק כמה פעמים מאה יש באלף וח' מאות ותמצא י"ח פעמים מכוון כך היא החשבון י"ח פשיטי' לחבית אחד

And if you have small parts remaining, say: such and such parts, of which so and so are a whole unit, meaning one pašuṭ.

ואם ישארו לך חלקי' קטנים אמור כך וכך חלקים שכך וכך עולה לחלק שלם פי' פשי' ודוק ע"א

We wish to evaluate:

הנה בקשנו להעריך

If a person asks: I bought 19 cubits of cloth for 13 dinar, how much will 13 cubits cost?

\scriptstyle\frac{19}{13}=\frac{13}{X}

אם ישאל אדם קניתי י"ט אמות בגד עבור י"ג דינרין כמה מגיע לי"ג אמות

Evaluate as follows:

אז תערוך כך

First write 19 cubits, then their price, i.e. 13 dinar, then 13 cubits, like this:

וכתוב תחילה י"ט אמות אחר כך דמיו דהיינו י"ג דינרין ואחר כך י"ג אמות כזה

19

13

טא

גא

Rule of Four

Multiply 13 above by 13 below, meaning: calculate how much is 13 times 13, you will find that the result is 169, as this:

וכפול י"ג שלמעלה על י"ג שלמטה פי' מנה כמה עולה י"ג פעמים י"ג ותמצא שיעלה קס"ט כזה

1

6

9

א

ו

ט

Then, divide 169 by 19, meaning: how many times 100 is in 1800? You will find that there are 8 times 19 in it and 17 parts remain, of which 19 are a whole unit.

ואז תחלק קס"ט לי"ט י"ט פי' כמה פעמים י"ט יש בקס"ט ותמצא שיש בו ח' פעמים י"ט ונשארו י"ז חלקים שי"ט מהן עולה חלק אחד

This is the price of 13 cubits: when 19 cubits are bought for 13 dinar, 13 cubits cost 8 dinar and 17 parts, of which 19 are a whole unit, i.e. one dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{13\sdot13}{19}=\frac{169}{19}=8+\frac{17}{19}}}

dinar

וזה הערך המגיע לי"ג אמות כשקונין י"ט אמות בעד י"ג דינרין אז מגיע לי"ג אמו' ח' דינרין וי"ז חלקים שי"ט מהן עושין חלק שלם דהיינו דינר אחד ול"ד

Likewise, if you wish to evaluate a large amount of merchandise through a small amount of merchandise, I will teach how:

וכן אם תרצה להעריך מקח גדול אחר מקח קטן אשכילך היאך

I bought 21 cubits of cloth for 43 dinar, how much will 65 cubits cost?

\scriptstyle\frac{21}{43}=\frac{65}{X}

הנה קנית כ"א אמות מ"ג דינרין כמה מגיע לס"ה אמות

First write 21 cubits, then 43 dinar, then 65 cubits that you wish to evaluate, like this:

כתוב בתחילה כ"א אמות ואח"כ מ"ג דינרין ואחר כך ס"ה אמות אשר בקשת לערוך כזה

small amount of merchandise	21
price	43
large amount of merchandise	65

מקח קטן	אב
מעות	גד
מקח גדול	הו

Rule of Four

Multiply 65 by 43, meaning how much is 43 times 65, the result is 2795.

וכפול ה"ו על ג"ד פי' כמה עולה ג"ד פעמים ה"ו ויעלה ה'ט'ז'ב‫'

Then, divide 2795 according to the chapter of division: how many times 21 is [in it]? You find that there are 133 times 21 in it and 2 parts remain, of which 21 are a whole unit, i.e. one dinar.

ואחר כך חלוק ה'ט'ז'ב' בשער החילוק כמה פעמים א"ב יש ותמצא גג"א פעמים א"ב שיש בהן ועוד נשארו ב' חלקים שא"ב מהן עושין חלק שלם דהיינו דינר

We find that if you bought 21 cubits for 43 dinar, 65 cubits cost 133 dinar and 2 parts, of which 21 are one dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{65\sdot43}{21}=\frac{2795}{21}=133+\frac{2}{21}}}

נמצא אם קנית א"ב אמות בעד ג"ד דינרין מגיע לה"ו אמות ג'ג'א' דינרין וב' חלקים שא"ב מהן דינר שלם

Check:

If you wish to know if you calculated correctly or not.

ואם תרצה לידע אם אמת חשבת אם לאו

See by how much 65 exceeds 21, i.e. by 44.

\scriptstyle{\color{blue}{65-21=44}}

ראה כמה ה'ו' עולה יותר מן א'ב' היינו ד'ד‫'

Rule of Four

[Multiply] 44 by 43, according to the chapter of division, meaning: 43 times 44, i.e. 1892.

השלך ד"ד בשער הכפל על ג"ד פי' ג"ד פעמים ד"ד דהיינו ב'ט'ח'א‫'

Then, divide it, according to the chapter of division: how many times 21 is in it? We find 90 times and 2 small parts remain, of which 21 is a whole unit.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{44\sdot43}{21}=\frac{1892}{21}=90+\frac{2}{21}}}

ואחר כך חלקהו בשער החילוק כמה פעמים שיש בהם א"ב נמצא 0"ט פעמים ועוד נשאר ב' חלקים קטנים שא"ב מהן חלק אחד

Add 90 and 2 small parts to 43, i.e. the dinar for the 21 cubits, and it is 133 and 2 small parts, like this:

\scriptstyle{\color{blue}{43+\left(90+\frac{2}{21}\right)=133+\frac{2}{21}}}

חבור 0"ט וב' חלקים קטנים על ג"ד דהיינו דינרין השייכי' לא"ב אמות ויהיה גג"א וב' חלקים קטנים כזה

133

2

43

90

גגא

ב

גד

‫0ט

So, the calculation is correct.

והיינו כוונת החשבון ול"ד ודוק

Boiling Problem

A question that is derived from this chapter on proportion:

שאלה היוצא משער הערך הזה

You have 50 se'ah [1 se'ah = ca. 22 liter], and you say: when I boil them on fire, while boiling 7 se'ah evaporate each day, if 5 se'ah overflowed, and we reduce the heat accordingly, how much will be evaporated from the remaining 45 se'ah each day?

\scriptstyle\frac{50}{7}=\frac{50-5}{X}

\scriptstyle\frac{50}{7}=\frac{45}{X}

הנה לפניך נ' סאין ועתה שואלין אם נשפכו ה' סאין ואינו ממעטי' האור לפי זה כמה יחסרו מה' סאין הנותרות ביום אחד

Here is how you do it:

הילך היאך תעשה

First write 50 se'ah, then write 7 se'ah that evaporate each day and beneath the 7 se'ah write the remaining 45 se'ah, like this:

כתוב תחילה נ' סאין ואחר כך כתוב ז' סאין הנחסרים ביום אחד ותחת ז' סאין כתוב מ"ה סאין הנותרות כזה

50

7

45

‫0ה

ז

הד

Rule of Four

Multiply what is beneath by 7 that is above it, meaning, calculate: how much is 45 times 7? The result is 315.

וכפול מה שלמטה על ז' שלמעלה הימנה פירו' חשוב כמה עולה מ"ה פעמים ז' ויעלה שט"ו

Divide it by 50, meaning, calculate: how many times 50 there are in 315? You find in it 6 times 50 and 15 parts remain, of which 50 is a whole unit.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{45\sdot7}{50}=\frac{315}{50}=6+\frac{15}{50}}}

חלק אותו לנ'נ' פי' חשוב כמה פעמים נ' יש בשט"ו ותמצא בו ו' פעמים נ' ועוד נשארו ט"ו חלקים שנ' מהן עושה חלק שלם

We find that when 50 se'ah are reduced by 7 se'ah each day, 45 se'ah are reduced by 6 se'ah and 15 parts, of which 50 are a whole unit.

נמצא כשנ' סאין יחסרו ז' סאין ביום אחד מ"ה סאין יחסרו ו' סאין וט"ו חלקים שנ' מהן עושה חלק שלם

Another question:

עוד שאלה

If one asks: there are 91 se'ah of water, when boiling on fire 9 se'ah evaporate each day, if we add to them 11 se'ah more, so there are now 102 se'ah and we increase the heat accordingly - since, if we would not increase the heat, the water would not evaporate according to this calculation, as the heat is not dominant much when the water is plentiful as when the water is low, hence when adding water, one should increase the heat, and if the water is reduced, one should reduce the heat - back to the question asked: how much will be evaporated from the 102 se'ah each day?

\scriptstyle\frac{91}{9}=\frac{91+11}{X}

\scriptstyle\frac{91}{9}=\frac{102}{X}

אם ישאל השואל הנה יש צ"א סאין מים ואם יתבשלו על האור יחסרו ביום א' ט' סאין ואם נוסיף עליהן עוד י"א סאין שיהיה הכל ק"ב סאין ואנו מרבים את האש לפי זה שאם לא היינו מרבים את האש אז לא היו המים מתמעטים וחסרים לפי חשבון זה כי האור אינו שולט כל כך כשהמים הרבה כמו שאם היו המים מעט לפיכך כשמרבים מים אז צריכי' להרבות אש או אם מתמעטים המים צריכין למעט האש נחזור לשאלה ששאלנו כמה יחסרו ק"ב סאין ביום אחד כשצ"א סאין חסירין סאין

Here is how you do it:

הילך היאך תעשה

First write 91 se'ah, then write 9 se'ah, then 102 beneath, like this:

כתוב תחילה צ"א סאין ואחר כך ט' סאין ולאחר כך ק"ב למטה כזה

91

9

102

אט

ט

ב0א

Rule of Four

Multiply 102 beneath by 9 above, meaning: how much is 9 times 102? The result is 918.

וכפול ק"ב שלמטה על ט' שלמעלה פי' כמה ט' פעמים ק"ב ויעלה תתקי"ח

Divide 918 by 91, meaning: how many times 91 there are in 918? There are 10 times 91 and 8 small parts, of which 91 is a whole unit.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{102\sdot9}{91}=\frac{918}{91}=10+\frac{8}{91}}}

תחלק תתקי"ח לצ"א פי' כמה פעמים צ"א יש בתתקי"ח והיינו י' פעמים צ"א וח' חלקים קטני' שצ"א מהן עושה חלק שלם

We find that when 91 [se'ah] are reduced by 9 se'ah each day, 102 [se'ah] are reduced by 10 se'ah and [8] parts, of which 91 are a whole unit.

נמצא כשצ"א חסרין ביום אחד ט' סאין יחסרו ק"ב י' סאין וחלקים שצ"א מהן עושה חלק שלם

The checking procedure is as written above regarding the cloth.

והמאזנים על זה כמו שכתבתי לעיל עם הבגדים

This is the rule: the [boiling] water problems are similar to the cloth [pricing] problems, therefore their checking procedure and solving method are similar.

זה הכלל זה השאלות עם המים כמו השאלות עם הבגד לכן יש להם מאזני צדק אחד וחשבון אחד ול"ד

Find a Quantity Problems - Whole from Parts

Many sciences and problems are derived from this chapter that cannot be counted.

והרבה חכמות ושאלות יוצאין משער זה אשר לא יוכל הסופר לספר

Now, a few of them will be explained

ועתה אפרש קצת מהם

I start by saying:

ובזה אתחיל ואומר

A tree - a half of it is [ingrained] in the soil, a third of it is in the water, and 5 cubits of it are up above the water, how much is the length of the whole tree?

\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+5=X

הנה לך אילן שחציו בארץ ושלישיו במים ומעל המים הוא גבוה ה' אמות כמה אורכה של כל האילן

Here is how you do and understand the matter:

הילך היאך תעשה ותבין העניין

Common denominator: think, which is the smallest number that is divisible into 2 parts and 3 parts? It is 6.

חשוב כל כך איזה חשבון הקרוב שיכולין לחלק לב' חלקים ולג' חלקים זהו ו‫'

Subtract a half from 6, the remainder is 3. Subtract also a third, the remainder is 1.

\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=3-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=1}}

חסר מן ו' החצי' וישאר ג' חסר ג"כ השליש וישאר א' אותו א‫'

Write 1 to the left of 6, and write 5 cubits beneath 1, like this:

כתוב בצד שמאל אצל א' כתוב ו' ותחת א' כתוב ה' אמות כזה

6	1
	5

ו	א
	ה

Rule of Four

Multiply 5 that is beneath 1 by 6 that is next to 1 on the top row, meaning: count how much is 5 times 6. The result is 30.

וכפול ה' שתחת א' על ו' אצל א' בשיטה עליונה פי' מנה כמה עולה ה' פעמים ו' והעולה הוא ל‫'

Divide the 30 by 1, meaning: count how many times 1 there are in 30. It is a thing that is known to all that there are 30 times 1 in 30. Thus, this is the length of the tree, about which you asked: if its half is [ingrained] in the soil, a third [of it] is in the water, and 5 cubits [of it] are up above the water, how much is its length? Its length is 30 cubits, as this:

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot6}{1}=\frac{30}{1}=30}}

אותו ל' תחלק לא'א' פי' מנה כמה פעמים א' יש בל' ודבר ידוע לכל שיש בל' ל' פעמים א' וזהו אורך האילן אשר שאלת אם חציו בארץ ושליש עומד במים ומעל לארץ הוא ה' אמות ושאלת כמה ארכו הנה ארכו ל' אמות ודמיון כזה

3

0

ג

‫0

Check:

If you fear that is not so, take a lance, whose length is 30 cubits.

ואם אתה ירא שמא אינו כך אז קח רומח שארכו ל' אמות

Subtract 15 from it, which is its half, then subtract a third from it, which is ten.

Ten and 15 are 25.

We find that the remainder is but 5 cubits.

\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(\frac{1}{2}\sdot30\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot30\right)=30-15-10=30-25=5}}

חסר ממנו ט"ו זהו חציו אחר כך חסר ממנו שליש זהו עשרה

עשרה וט"ו הרי כ"ה
נמצא שאין נשאר כי אם ה' אמות

Another example, in order that the reader will be well taught in it and understand its virtues and profit, and it is the question asked:

דמיון אחר למען ירוץ הקורא בו ויבן מעלותיו וטובו והוא שאלה ששואלין

A lance is embedded one third, a quarter, and one fifth in the earth, and it is 7 cubits above the earth, how much is the length of the whole lance?

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+7=X

והנה לך רומח שעמד השליש והרביעי והחומש בארץ ולמעלה מן הארץ ארכו ז' אמות כמה ארכו של כל הרומח

Common denominator: think of a number that has a third, a quarter and a fifth, that is divisible by 3, 4 and 5.

אז חשוב שיש בו שליש ורביעי וחומש וזהו שיכולי' לחלק לג' לד' לה‫'

Subtract from 60 a third, which is 20. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot60=20}}$

חסר מן ס' שליש זהו כ‫'

Subtract also a quarter, which is 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot60=15}}$

חסר כמו ג"כ רביעי זהו ט"ו

Subtract also a fifth, which is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot60=12}}$

חסר ג"כ החמישי והוא י"ב

The total is 47.

\scriptstyle{\color{blue}{20+15+12=47}}

סך הכל מ"ז

13 remains from the 60.

\scriptstyle{\color{blue}{60-47=13}}

עוד נשאר לך מן ס' י"ג

First write the remaining 13, write it next to 60 slightly far from it and beneath the 13 write 7 cubits, like this:

אז כתוב תחילה י"ג שנשאר לך ואת י"ג כתו' בצדו רחוק מעט ס' ותחת י"ג כתוב ז' אמות ויהיה כזה

60	13
	7

‫0ו	גא
	ז

Rule of Four

Multiply 7 that is beneath by 60 on the top row, meaning: count how much is 7 times 60. The result is 420.

כפול ז' שלמטה על ס' שבשיטה עליונה פי' חשוב ומנה כמה פעמים עולה ז' פעמים ס' ויעלה ת"ך

Divide the 420 by 13, meaning: count how many 13 there are in 420. You find that there are 32 times 13 in it and 4 remain that cannot become 13, which are 4 parts, of which 13 are a whole unit.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{7\sdot60}{13}=\frac{420}{13}=32+\frac{4}{13}}}

תחלק ת"ך לי"ג פי' חשוב כמה י"ג יש בת"ך ותמצא שיש בו ל"ב פעמים י"ג ועוד נשארו ד' שלא יכולנו לעשו' מהם י"ג והם ד' חלקים שי"ג מהן עושין חלק שלם

We find that the lance that is [embedded] one third, a quarter, and one fifth in the earth, and it is 7 cubits above the earth, about which you were asked how much is the length of the whole lance? - is 32 cubits [long] and 4 parts, of which 13 is a whole unit.

נמצא שהרומח ששאלת בשליש וברביעי ובחומש בארץ ולמעלה מן הארץ ז' אמות ארכו וששאלת כמה אורך של כל הרומח ל"ב אמות וד' חלקים שי"ג מהן חלק שלם ודוק

Another question: a wall whose base is buried 5 cubits in the ground, and it is a half, one third, and a seventh up above the ground, how much is the height of the whole wall?

\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{7}X+5=X

שאלה אחרת הנה חומה שיסודה שקוע בארץ ה' אמות ולמעלה מן הארץ היא גבוה החצי' והשליש והשביעי כמה גבהו של כל החומה

Common denominator: think, which is the number that can be easily divided by 2, 3 and 7.

Here is a way to calculate this number that is divisible by 2, 3 and7: count 7 times 3, the result is 21. 21 times two are 42. Thus, 42 is divisible by two, three and seven.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot7=2\sdot21=42}}

אז חשוב איזה חשבון שיכול לחלק לב' לג' לז' בקל לפי רגע והנה לך דרך היאך תעשה אותו חשבון המתחלק לב' לג' לז' מנה ז"פ ג' באה כ"א כ"א פעמים שנים הרי הן מ"ב הרי מ"ב מתחלק לשנים לשליש ולשביעי

Or by this way and all is the same: 2 times 3 are 6; 6 times 6 are 36; and you already have a 6, so sum 6 with 36, it is 42.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot7=\left(6\sdot6\right)+6=36+6=42}}

או כלך לדרך זו והכל אחד ב' פעמים ג' הרי ו' ו' פעמים ו' הרי ל"ו וכבר היו לך ו' צרוף ו' עם ל"ו הרי מ"ב הוא

Or by this way and all is the same: calculate 2 times 3 are 6; 6 times 7 are 42.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot7=6\sdot7=42}}

או נלך לדרך זו והכל אחד חשוב בפ"ג הרי ו' ו'פ"ז הרי מ"ב

We find that it is 42.

נמצא שמ"ב הוא

Finding the least common multiple: likewise, when you are asked for a thing that is divisible by seven, nine, ten, or any thing else that is divisible, always multiply this divisor by the other.

וכן לעולם כשישאלך דבר המתחלק לשביעי ולתשיעי ולעשירי או לכל דבר המתחלק אז כפול אותו חילוק על האחר

For instance, if one asks for a thing that is divisible by ten and nine: multiply 10 by 9, meaning: count how much is 10 times 9. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot9}}$

כגון אם שאל דבר המתחלק לעשרה ולתשעה אז כפול י' על ט' פי' מנה כמה עולה י' פעמים ט‫'

If you are asked for a thing that is divisible by five and four, or hundreds, or thousands; or any thing that is divisible by 3, 4 and 5: first multiply 3 by 4, then multiply the result by 5; or vice versa, multiply 5 by 4, then multiply the result by 3. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5}}$

ואם ישאלך דבר המתחלק לחמישי ולרביעי או למאות או לאלפים או לכל דבר המתחלק לג' לד' לה' אז כפול תחילה ג' על ד' והעולה כפול על ה' או איפכה כפול ה' על ד' והעולה בידך כפול על ג‫'

Returning to our question above: the wall that is a half, one third, and a seventh up above the ground and its base is buried 5 cubits in the ground, how much is the height of the whole wall?

ועתה נחזו' לשאילתינו דלעיל החומה אשר היא חצי' ושלישית ושביעית גבוה מן הקרקע ויסודה שקועה בקרקע ה' אמות כמה גובה של כל החומה

We find that the thing we have asked for, which is divisible by 2, 3 and 7, is 42.

נמצא ששאלנו על דבר המתחלק לב' לג' לז' זהו מ"ב

Now, subtract from 42 a half, which is 21. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot42=21}}$

ועתה סור מן מ"ב החצי' זהו כ"א

We subtract also a third, which is 14. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot42=14}}$

נסיר כמו כן השליש זהו י"ד

We subtract also a seventh, which is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot42=6}}$

נסיר כמו כן השביעי' ויהיה ו'

The total is 41.

\scriptstyle{\color{blue}{21+14+6=41}}

סך הכל מ"א

1 remains from the 42.

\scriptstyle{\color{blue}{42-41=1}}

עוד נשאר מן מ"ב א'

We find that if we would have asked for the height of a wall whose base is on the ground, the height of the whole wall would have been 42 cubits.

נמצא אם היינו שואלין גבוה החומה שיסודה בקרקע אז יהיה גבוה של כל החומה מ"ב אמות

Now, we need to learn and evaluate how much it is for 5 cubits, meaning when it is buried 5 cubits in the ground.

עכשיו צריכין אנו ללמוד ולהעריך כמה מגיע לה' אמות פי' שהוא שקוע בקרקע ה' אמות

Do the ratio as follows:

וכן עשה הערך

First write one cubit, then, slightly far from it, write 42 cubits, and beneath the one cubit write the 5 cubits we have asked for, like this:

כתוב תחילה אמה אחת ואחר רחוק ממנו מעט כתוב מ"ב אמות תחת האמה אחת כתוב ה' אמות ששאלנו ויהיה כזה

42	1
	5

בד	א
	ה

Rule of Four

Multiply 5 by 42, meaning: how much is 5 times 42. The result is 210.

כפול ה' על מ"ב פי' כמה עולה ה' פעמים מ"ב והעולה הוא ר"י

Divide 210 by 1, meaning: count how many 1 there are in 210. We find that there are 210 times 1 in it and this is the height we asked for. The image is like this:

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot42}{1}=\frac{210}{1}=210}}

חלוק ר"י לא'א' פי' מנה כמה פעמים א' יש בר"י ונמצא ר"י פעמי' א' יש בתוכה לזה גבוה ששאלנו והדמיון כזה

2

1

0

ב

א

‫0

Another short way how you can know the height of the whole wall, when is buried 5 cubits in the ground, and it is a half, one third, and a seventh up above the ground:

וזה לך דרך אחר בקיצר היאך תוכל לידע גבוה של כל החומה כשהיא משוקעת בארץ ה' אמות ולמעלה מן הארץ היא גבוה החצי' והשליש והשביעי

Take 2 times 5, it is 10; 10 times 3, it is 30; 30 times 7, it is 210.

קח ב' פעמים ה' הרי י' י' פעמים ג' הרי ל' ל' פעמים ז' הרי ר"י

Or, 2 times 5, it is 10; 10 times 3, it is 30; 30 times 7, it is 210.

\scriptstyle{\color{blue}{X=2\sdot5\sdot3\sdot7=10\sdot3\sdot7=30\sdot7=210}}

או כלך לדרך זה ב' פעמים ה' הרי י' י' פעמים ג' הרי ל' ל' פעמים ז' הרי ר"י ול"ד ודוק

Joint Purchase Problems - If You Give Me

Another question: there is a fish to sell, and 3 people want to buy it.

One of them said to his friends: I will give all that I have and each of you will give a half of his and the fish is paid.

The second said: I will give all that I have and each of you will give one third.

The third said: I will give all that I have and each of you [will give] a quarter.

Now it is asked: for how much is the fish being sold and how much does each of them have?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)=17\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)=17\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)=17\\\end{cases}

שאלה אחרת אם אדם אחד אמר לך הנה יש כאן דג אחד למכור והנה ג' בני אדם רוצים לקנות הדג

ואחד מהם אומר לחבירו אתן כל אשר לי וכל אחד מכם יתן החצי' ממה שלו ואז פרוע
והשני אמר אתן כל אשר לי ואתם יתנו שליש ואז יהיה פרוע
והשלישי אמר אתן כל אשר לי ואתם תנו כל אחד רביעי‫'
ועתה שואלין בכמה רוצין ליתן הדג או כמה מעות יש לכל אחד

Answer:

The fish is given for 17 pešuṭim

תשובה הדג רוצה ליתן בעד י"ז פשוטי‫'

The first has 5 pešuṭim $\scriptstyle{\color{blue}{a=5}}$

הראשון יש לו ה' פשוטי‫'

The second has 11 pešuṭim $\scriptstyle{\color{blue}{b=11}}$

והשני יש לו י"א פשוטי‫'

The third has 13 pešuṭim $\scriptstyle{\color{blue}{c=13}}$

והשלישי יש לו י"ג פשוטי‫'

This is for integers.

זהו בשלימים

But, for fractions: such as if one asks when the fish is bought for 8 pešuṭim, or for 9 pešuṭim , or for 30 pešuṭim , or for 1 pašuṭ, or for whichever amount of money he wish to ask, and for that amount asked:

One said: I will give all that I have and you will give a half of yours.

The second said: I will give all that I have and you will give one third of yours.

The third said: I will give all that I have and you will give a quarter of yours.

How much does each of them have, given that this is the amount?

אבל בשבורי' כגון אם ישאל השואל כשהדג נקנה בעד ח' פשוטי' או בעד ט' פשוטים או ל' פשוטי' או א' פשוטי' או איזה סכום שירצה לשאול ולאותו סכום ששאל

אמר אחד אתן כל אשר לי ואתם תנו החצי' שלכם
והשני אמר אתן כל אשר לי ואתם תנו השליש שלכם
והשלישי אמר אתן כל אשר לי ואתם תנו רביעית שלכם
כמה יהיה לכל אחד ואחד שיהיה הסכום שזה

Here I will write you two or three examples so you can understand everything such as that:

והנה אכתוב לך שנים או שלשה דמיונים כדי שתוכל להבין כל כיוצא בזה

When the fish is bought for 8 pešuṭim and the first says as above and so does the second and the third

\scriptstyle{\color{red}{\begin{cases}\scriptstyle A+\frac{1}{2}\sdot\left(B+C\right)=8\\\scriptstyle B+\frac{1}{3}\sdot\left(A+C\right)=8\\\scriptstyle C+\frac{1}{4}\sdot\left(A+B\right)=8\\\end{cases}}}

כשנקנה הדג בעד ח' פשוטי' ואמר הראשון כדלעיל וכן השיני וכן השלישי

The first should have 2 pešuṭim and six parts, of which 17 are a whole unit. $\scriptstyle{\color{blue}{A=2+\frac{6}{17}}}$

צריך שיהא לראשון ב' פשוטים וששה חלקים שי"ז עושין חלק שלם

The second should have 5 pešuṭim and 3 parts, of which 17 are a whole unit. $\scriptstyle{\color{blue}{B=5+\frac{3}{17}}}$

ולשני ה' פשיטי' וג' חלק שי"ז עושין חלק שלם

The third should have 6 pešuṭim and 2 parts, of which 17 are a whole unit. $\scriptstyle{\color{blue}{C=6+\frac{2}{17}}}$

ולשלישי ו' פשיטי' וב' חלקים שי"ז עושין חלק שלם

Now, I will show you the way, by which you will see that it is so:

ועתה אראה לך הדרך שתראה שכן הוא

Rule of Four

If it were in integers, the first would have had 5 pešuṭim, as explained above. Now that it is in fractions and it is asked when the fish is bought for 8 pešuṭim: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{17}=\frac{8}{A}}}$

הנה אם היה בשלימות אז היה לראשון ה' פשוטים כמו שפרשתי לעיל

עתה שהוא בשבורים ואתה שואל כשהדג נקנה בעד ח' פשוטים

You should multiply, according to the chapter of multiplication, 8 times 5, it is 40.

אז צריך אתה לכפול בשער הכפל ח' פעמי' ה' הרי זו מ‫'

Then, you should divide it, according to the chapter of division: how many times 17 there are in 40? There are 2 times and six remain, which are less than 17 that are a whole unit.

ואחר כך צריך אתה להטותו בשער החילוק כמה פעמים י"ז יש במ' והנה יש ב' פעמים וששה עודפת שלא הגיע לי"ז שהן חלק שלם

We find that the first has 2 pešuṭim and six parts, of which 17 are a whole unit.

\scriptstyle{\color{blue}{A=\frac{8\sdot5}{17}=\frac{40}{17}=2+\frac{6}{17}}}

נמצא שיש לראשון ב' פשיטים וששה חלקים שי"ז מהן חלק שלם

Now, I will show you the way [to find out] how much does the second have.

ועתה אראה לך הדרך כמה יש לשני

Rule of Four

If it were in integers, he would have had 11 pešuṭim. Now that it is in fractions, say as you have said for the first:

הנה אם היה בשלימות אז היה לו י"א פשוטי‫'

ועתה שהוא בשברים אז תאמר כמו שאמרת לראשון

For the first you have said: "8 times 5". So, for this one say: 8 times 11, the result is 88.

לראשון אמרת ח' פעמים ה' כן תאמר לזה ח' פעמים י"א ויעלה פ"ח

Then, divide by 17, meaning: how many times 17 there are in 88? There are 5 times 17 in it and 3 remain.

ואחר כך תחלק לי"ז פי' כמה פעמים י"ז יש בפ"ח והנה יש בו ה' פעמים י"ז וג' עודפת

We find that the second has 2 pešuṭim and 3 parts, of which 17 are a whole unit.

\scriptstyle{\color{blue}{B=\frac{8\sdot11}{17}=\frac{88}{17}=5+\frac{3}{17}}}

נמצא שיש לשני ה' פשוטי' וג' חלקים שי"ז מהן עושין חלק שלם

Do the same for the third.

וכן תעשו לשלישי

Rule of Four

Say: if it were in integers, he would have had 13 pešuṭim. Now that it is in fractions:

ותאמר אם היה בשלימו' היה לו י"ג פשוטי' עכשיו שהוא בשברים

Say: 8 times 13, it is 104.

אז תאמר לו ח' פעמי' י"ג הרי ק"ד

Then, divide by 17, meaning: how many times 17 there are in 104? You find that there are 6 times 17 in it and 2 remain.

ואחר כך תחלק לי"ז פי' כמה פעמים י"ז יש בק"ד ותמצא בו ו' פעמים י"ז וב' עודפות

We find that the third has 6 pešuṭim and 2 remain, of which 17 are a whole unit.

\scriptstyle{\color{blue}{C=\frac{8\sdot13}{17}=\frac{104}{17}=6+\frac{2}{17}}}

נמצא שיש לשלישי ו' פשיטי' וב' עודפות שי"ז מהן עושין חלק שלם

If the question concerns a fish that is bought for 30 pešuṭim.

\scriptstyle{\color{red}{\begin{cases}\scriptstyle A+\frac{1}{2}\sdot\left(B+C\right)=30\\\scriptstyle B+\frac{1}{3}\sdot\left(A+C\right)=30\\\scriptstyle C+\frac{1}{4}\sdot\left(A+B\right)=30\\\end{cases}}}

ואם בשאלה מדג שנקנה בעד ל' פשוטי‫'

Say: 30 times 5 for the first, and write the result. Then divide it by 17, as I instructed you.

\scriptstyle{\color{red}{A=\frac{30\sdot5}{17}}}

אז אמור ל' פעמים ה' לראשון והעולה כתיב ואחר כך תחלקהו לי"ז כמו שצויתיך

Likewise for the second and for the third as above.

וכן לשני וכן לשלישי כדלעיל

Now, that I wrote above that the first has 5 pešuṭim, the second 11 and the third 13 in integers, I shall show you the way by which you find that the total is indeed so, that all have 29.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=a\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+Z\right)=a\\\scriptstyle Z+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y\right)=a\\\end{cases}

\scriptstyle{\color{blue}{5+11+13=29}}

ועתה כתבתי לעיל שיש לראשון ה' פשיטים ולשני י"א ולשלישי י"ג בשלמים הנה אראך הדרך שתמצא שהכלל כן הוא שלכולם יש כ"ט

Take three numbers such that when you subtract from them a half, a third, and a quarter, you are left with 3; they are 4, 4½, 6.

קח ג' חשבונות כשתסיר מהם החצי' והשליש והרביעית וישאר בידך ג' ואלו הן ד' ד' וחצי ו‫'

Subtract the quarter from 4; 3 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{4-\left(\frac{1}{4}\sdot4\right)=3}}

תסיר הרביעי מן ד' וישאר ג‫'

The third from 4½; 3 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]=3}}

השליש מן ד' וחצי וישאר ג‫'

The half from 6; 3 remains from each.

\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)=3}}

חצי מן ו' וישאר ג' מכל אחד ואחד

This is the denominator, those of straying spirit shall come to understanding [Isaiah 29, 24]

וזה המורה תועי רוח בינה‫^[5]

Now, since this denominator [contains parts that are not] integers, for 4½ is not an integer:

ועתה יען כי אין במורה שלימי' כי אין ד' וחצי שלם

Double 4; it is 8.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}

כפול ד' ויהיה ח‫'

Double 4½; it is 9.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=9}}

כפול ד' וחצי ויהיה ט‫'

Double 6; it is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6=12}}

כפול ו' ויהיה י"ב

The total is 29.

\scriptstyle{\color{blue}{8+9+12=29}}

סך הכל כ"ט

Yet, we do not know how much is the share of each. Now I shall teach you:

ועדיין אין אנו יודעין כמה יש לכל אחד לחלקו ועתה אשכילך

Subtract 2 times 12 from 29; 5 remains and it is the share of the first.

\scriptstyle{\color{blue}{X=29-\left(2\sdot12\right)=5}}

הסר ב' פעמים י"ב מן כ"ט וישאר ה' והוא חלקו של ראשון

Subtract 2 times 9; 11 remains and it is the share of the second.

\scriptstyle{\color{blue}{Y=29-\left(2\sdot9\right)=11}}

וכן הסר ב' פעמים ט' וישאר י"א והוא חלקו של שני

Subtract 2 times 8; 13 remains and it is the share of the third.

\scriptstyle{\color{blue}{Z=29-\left(2\sdot8\right)=13}}

וכן הסר ב' פעמים ח' וישאר י"ג והוא חלוק של שלישי

We find that when the first gives all he has and each of [the others] gives a half, the total is 17.

\scriptstyle{\color{blue}{a=X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=17}}

נמצא כשראשון יתן כל אשר לו וכל אחד מהם יתן החצי' ויהיה ס"ה י"ז

We find that the fish is bought for 17 pešuṭim and so on.

נמצא שהדג נקנה בעד י"ז פשוטי' וכן כולם ודו"ק

Likewise if the buyers are four or five and so on endlessly who wish to buy the fish: take the number of them, i.e. if the buyers are three, take a number such that when you subtract a third, a quarter, and a half, 3 remain; if the buyers are four, take a number such that when you subtract a half, a third, a quarter, and a fifth, 4 remain; and so on.

וכן אם הקונים ד' או ה' עד אין קץ הרוצים לקנות הדג קח מנין השוה לכולם פי' אם קונין ג' או קח מנין כשתסיר השליש לרביעי וחצי וישאר ג' אם הקונים ד' קח מנין כשתסיר חצי' ושליש ורביעי וחומש וישאר ד' וכן לכולם

When the number is not an integer, multiply it so it becomes an integer, then as you did with the integr - if the buyers are three, subtract [the multiple] two times; and if they are four, subtract the multiple three times; and so on.

כשאין המנין בשלימות כפול אותו שיהיו חשבון שלם ואחר כך כטעית החשבון שלם אם הקונין ג' תסיר ב' פעמים ואם הן ד' תסיר ג' פעמים הכפל וכן לכולם

[MS P1088: margin]

If the buyers are four and the fourth says: I will give all that I have and you will give only a fifth.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+U+V\right)=a\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+U+V\right)=a\\\scriptstyle U+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y+V\right)=a\\\scriptstyle V+\frac{1}{5}\sdot\left(X+Y+U\right)=a\\\end{cases}

ואם הקוני' ד' והרביעי אומ' אתן כא"ל וכל אחד יתן רק החומש

Take four numbers:

אז קח ד' מנינים

Subtract its half and 4 remains; it is 8.

\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=4}}

אחר תסיר ממנו חצי וישאר ד' וזהו ח‫'

Subtract its third and 4 remains; it is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=4}}

ואחר תסיר ממנו שליש וישאר ד' זהו ו‫'

Subtract its quarter and 4 remains; it is 5⅓.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{3}\right)-\left[\frac{1}{4}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]=4}}

ואחר תסיר ממנו רביעי וישאר ד' זהו ה' ושלישי

Subtract its fifth and 4 remains; it is 5.

\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(\frac{1}{5}\sdot5\right)=4}}

ואחר תסיר ממנו החומש וישאר ד' זהו ה‫'

One should take these numbers three times and then the third will become an integer:

וצריך לקח' זה החשבונות ג' פעמים ואז יהא השליש שלם

Now, take 3 times 8; it is 24.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot8=24}}

ועתה קח ח' ג' פעמי' זהו ד"ב

Take 3 times 6; it is 18.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot6=18}}

קח ו' ג"פ זהו ח"א

Take 3 times 5⅓; it is 16.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)=16}}

קח ה' ושלי' ג"פ זהו ו"א

Take 3 times 5; it is 15.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}

קח ה' ג"פ זהו ה"א

the total sum is 73.

\scriptstyle{\color{blue}{24+18+16+15=73}}

סך הכל ג"ז

Now, subtract 3 times 24 from 73; 1 remains. We find that Reuven [has] 1.

\scriptstyle{\color{blue}{X=73-\left(3\sdot24\right)=1}}

ועתה הסר ג"פ ד"ב מג"ז וישאר א' נמצא ש[......] ראובן א‫'

Subtract 3 times 18 from 73; 19 remains. It is Shimon's amount.

\scriptstyle{\color{blue}{Y=73-\left(3\sdot18\right)=19}}

והסר ג"פ ח"א מג"ז וישאר ט"א זה סך שמעון

Subtract 3 times 16 from 73; 25 remains. It is Levi's amount.

\scriptstyle{\color{blue}{U=73-\left(3\sdot16\right)=25}}

והסר ו"א ג"פ מג"ז וישאר ה"ב זהו סך לוי

Subtract 3 times 15 from 73; 28 remains. It is Yehuda's amount.

\scriptstyle{\color{blue}{V=73-\left(3\sdot15\right)=28}}

והסר ה"א ג"פ מג"ז וישאר ח"ב זהו סך יודא

The total sum is 73 and the fish was bought for 37.

הכל ג"ז והדג נקנה בעד ז"ג

ודוק ותמצא

Question: three people - Reuven, Shimon, and Levi – are going to the market to buy something.

Reuven said: I will give all that I have and each of you will give one third of what is in his pocket.

Shimon said: I will give all that I have and each of you will give a sixth of what is in his pocket.

Levi said: I will give all that I have and each of you will give a ninth of what is in his pocket

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{3}\sdot\left(Y+Z\right)=a\\\scriptstyle Y+\frac{1}{6}\sdot\left(X+Z\right)=a\\\scriptstyle Z+\frac{1}{9}\sdot\left(X+Y\right)=a\\\end{cases}

שאלה הנה ג' אנשים הולכים על השוק ראובן שמעון לוי ורוצים לקנות דבר

והנה ראובן אומר אתן כל אשר לי ואתם יתן כל אחד מכם שליש שבכיסו
שמעון אומר אתן כל אשר לי וכל אחד מכם יתן שישית שבכיסו
ולוי אומר אתן כל אשר לי ואתם יתן כל אחד התשיעי' שבכיסו

Now I shall teach you the way:

ועתה אשכילך הדרך

You have three people: Reuven, Shimon, and Levi. Reuven asks a third, Shimon a sixth, and Levi a ninth.

הנה יש לך ג' אנשים ראובן שמעון לוי ראובן שאל שליש שמעון שישית לוי תשיעית נגדו

Write three numerals for their demands, as follows:

כתוב ג' אותיות כנגד שאלת כזה

9

6

3

ט

ו

ג

Take the least number, such that when you subtract a third from it, 3 remains for the members of the problem; it is 4½.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]=3}}

וקח חשבון המיעוט שתקח ממנו שליש וישאר ג' נגד בני החידה וזהו ד' וחצי

Write it beneath the 3, like this:

וכתבו תחת ג' כזה

9	6	3
		4
		half

ט	ו	ג
		ד
		וחצי

Take the least number, such that when you subtract a sixth from it, 3 remains for the members of the problem; it is 3⅗.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{5}\right)-\left[\frac{1}{6}\sdot\left(3+\frac{3}{5}\right)\right]=3}}

וקח חשבון המיעוט שתקח ממנו שישית וישאר ג' נגד בני החידה וזהו ג' וג' חומשין

Write it beneath the 6, like this:

וכתבהו תחת ו' כזה

9	6	3
	3	4
	⅗	half

ט	ו	ג
	ג	ד
	ג"ה	וחצי

Take the least number, such that when you subtract a ninth from it, 3 remains for the members of the problem; it is 3⅜.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{8}\right)-\left[\frac{1}{9}\sdot\left(3+\frac{3}{8}\right)\right]=3}}

וקח חשבון המיעוט שתקח ממנו תשיעית וישאר ג' נגד בני החידה זה ג' וג' שמינית

Write it beneath the 9, like this:

וכתבו תחת ט' כזה

9	6	3
3	3	4
⅜	⅗	half

ט	ו	ג
ג	ג	ד
ג"ח	ג"ה	וחצי

Now, take the least number in which you find an integer for these fractions.

ועתה קח חשבון המיעוט שתמצא בו חשבון שלם נגד אותן חלקים שברים

Such as a half: take a number in which you find a half that is an integer; it is 2.

כגון חצי' עתה קח חשבון שתמצא בו חצי' שלם זהו ב‫'

Take the least number in which you find a fifth that is an integer; it is 5.

קח חשבון המעוט שתמצא חמשית שלם זהו ה‫'

Take the least number in which you find an eighth that is an integer; it is 8.

וגם קח חשבון המיעוט שתמצא בו שמינית שלם זהו ח‫'

Multiply 2 by 5; it is ten, like this:

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot5=10}}

כפול ב' על ה' ויהיה עשרה כזה

1

0

א

‫0

You find that both are integers in it: a half that is an integer and a fifth that is an integer.

בזה תמצא שניהם שלם חצי שלם וחמישית שלם

Now, multiply and say: 10 times 4, which is a half of 8; it is 40, like this:

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=10\sdot4=40}}

עתה כפול ותאמר י' פעמים ד' דהיינו חצי ח' זהו מ' כזה

4

0

ד

‫0

You find in it a half that is an integer, a fifth that is an integer, and an eighth that is an integer.

בזה תמצא חצי שלם וחמישית שלם ושמינית שלם

It was right to multiply 8 by ten, since the fraction is ⅜; then the product were like this:

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\sdot8=80}}

ובדין היה לכפול ח' עם עשרה נגד חלקים שערים דהן ג' שמינית ואז היה עולה כזה

8

0

ח

‫0

But, you would find more than you need, for in 40 you will find the calculation as in 80.

Least common multiple: LCM(2,5,8) = 40

אך היתה מוצא יותר מצרכיך כי במ' תמצא החשבון כמו בפ‫'

Always take the least number, If you grasped many, you did not grasp anything; if you grasped few, you grasped something [Talmud, Sukkah, 5a].

ולעולם קח חשבון המועט תפשת מרובה לא תפשת תפשת מועט תפשת‫^[6]

Now multiply what is written beneath each by 40:

ועתה כפול על מ' מה שכתוב תחת כל אחד

You find 4½ beneath Reuven. Multiply 40 by 4½; the result is like this:

\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=180}}

הנה מצאת תחת ראובן ד' וחצי כפול 0'ד' על ד' וחצי ויעלה כזה

1

8

0

א

ח

‫0

Multiply what is written beneath Levi, i.e. 3⅗, by 40; the result is like this:

\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(3+\frac{3}{5}\right)=144}}

וכפול 0"ד על שכתוב תחת לוי דהיינו ג' וג' חומשין ויעלה כזה

1

4

א

ד

Multiply what is written beneath Shimon, i.e. 3⅜, by 40; it is like this:

\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot\left(3+\frac{3}{8}\right)=135}}

וכפול 0'ד' על מה שכתוב תחת שמעון דהיינו ג' וג' שמינית ויהיה כזה

1

3

5

א

ג

ה

Sum up these three numbers; the sum is as follows:

\scriptstyle{\color{blue}{180+144+135=459}}

עתה חיבור אלו ג' חשבונות יחד ויעלה כזה

4

5

9

ד

ה

ט

This is the denominator of the problem.

והוא זה המורה את החידה

Double 180; the result is 360. Subtract it from the denominator of the problem, which is 459; you are left with 99, and so is Reuven's money.

\scriptstyle{\color{blue}{X=459-\left(2\sdot180\right)=459-360=99}}

כפול 0'ח'א' ב' פעמים ויעלה 0'ו'ג' ונכהו מן המורה את החידה שהוא ט'ה'ד' ויותר לך ט'ט' כך מעות יש לראובן

Then, double 144, which is the double of Shimon; the result is 288. Subtract it from the denominator; you are left with 171, and so is Shimon's money.

\scriptstyle{\color{blue}{Y=459-\left(2\sdot144\right)=459-288=171}}

ואחר כך כפול ב' פעמים ד'ד'א' והוא היה כפול של שמעון ועולה ח'ח'ב' תנכהו מן המורה ויותר לך א'ז'א' כך מעות יש לשמעון

Then, double 135, which is the double of Levi; the result is 270. Subtract it from the denominator; you are left with 189, and so is Levi's money.

\scriptstyle{\color{blue}{Z=459-\left(2\sdot135\right)=459-270=189}}

ואחר כך כפול ב' פעמים ה'ג'א' שהוא כפול של לוי ויעלה 0'ז'ב' תנכהו מן המורה ויותר לך ט'ח'א' כך מעות יש ללוי

Now you have found it all: Reuven has 99, Shimon has 171, Levi has 189.

עתה מצאת הכל לראובן ט'ט' לשמעון א'ז'א' ללוי ט'ח'א‫'

והמבין יבין וק"ל ודוק ול"ד

Find a Quantity Problems - Whole from Parts

Tree

Question: a tree - its third, its fifth, and its ninth are planted in the soil and 10 cubits remain up above the ground, how long is it?

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{9}X+10=X

שאלה אילן התקוע בארץ שלישיתו וחמישיתו ותשיעתו ונותר למעלה מן הארץ עשרה אמות כמה היה תחילתו

Here is the diagram that you arrange. Write like that according to the fractions you asked for:

והא לך דמות אשר תערוך כתוב כזה דהיינו נגד החלקים ששאלת

Now, put your mind to find the least number, in which the fractions you asked for are found: a third that is an integer, a fifth that is an integer, and a ninth that is an integer.

עתה שים דעתך למצא חשבון המועט שנמצא בו החלקים ששאלת שליש שלם חמישית שלם תשיעית שלם

Say as follows: 3 times 5 is 15; 9 times 15 is 135.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5\sdot9=15\sdot9=135}}

וכה תאמר ג' פעמים ה' היינו ה"א ט' פעמי' ה"א יעלה הג"א

But, you do not need that much, as you find them in 45, which is a third of 135.

Least common multiple: LCM(3,5,9) = 45

ואינך צריך כ"כ כי תמצאנה בה"ד שהוא שליש מן הג"א

Take the least and not the greater.

קח המועט ולא המרובה

Subtract all the fractions you asked for, i.e. a third, a fifth, and a ninth, from 45.

חסור מן ה"ד כל החלקים ששאלת דהיינו שלישית חמישית תשיעית

A third of 45 is 15; a fifth is 9; a ninth is 5; subtract all of them from the denominator, which is 45; 16 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{45-\left(\frac{1}{3}\sdot45\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot45\right)-\left(\frac{1}{9}\sdot45\right)=45-15-9-5=16}}

שליש מן ה"ד זהו ה"א חמישית ט' תשיעית ה' חסור כולם מן המורה שהוא ה"ד וישאר ו'א‫'

Rule of Four

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot45}{16}=\frac{450}{16}=28+\frac{2}{16}}}

עתה כפול האמות הנותרים למעלה מן הארץ והם 0"א על המורה שהוא ה"ד ויעלה 0'ה'ד'

עתה חלוק ממנו ו"א הנותרים בשער החילוק פי' כמה פעמים יש ו"א ב0'ה'ד' ויעלה החילוק ח'ב' וב' חלקים שו'א' עושין חלק שלם

וכן כל האילן ח"ב אמות וב' חלקים שו'א' מהן עושין חלק שלם

Lance

Question: a lance - one sticks a half of the whole lance in the ground, then another comes and raises a third of the whole lance, another one comes and sticks a quarter of the whole lance, and one more comes and raises a sixth of the whole lance. After lowering the high and raising the low, 11 cubits remain above the ground. How many cubits are the length of the whole lance?

\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X-\frac{1}{6}X+11=X

שאלה הנה רומח לפניך ובא אחד ותוקעו בארץ חציו של כל הרומח ובא אחד והגביה שלישיתו של כל הרומח ובא אחד ותוקעו רביעיתו של כל הרומח ובא אחד והגביה שישיתו של כל הרומח ולאחר מן הארץ הגבהה וזה הגביה הנמוך נותר למעלה מן הארץ א'א' אמות כמה אמות ארכו של כל הרומח

וזה לך הדרך כתוב נגד החלקים ששאלת נגד החצי' ב' נגד שליש ג' נגד רביעי' ד' נגד שישית ו' כתוב עליו א'א' אמות הנותרים כזה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle12-\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)&\scriptstyle=6+4-3+2\\&\scriptstyle=10-3+2=7+2=9\\\end{align}}}

וקח חשבון המעט שתמצא בו אלו דהיינו ב"א וזה המורה חסר מן ב'א' חצי' וישאר ו' הוסיף שליש מן ב"א על ו' דהיינו ד' ויהיה 0"א חסר הרביעי' מן ב"א דהיינו ג' וקח אותם מן 0"א וישאר ז' הוסיף השישית של ב"א דהיינו ב' על ז' ויהיה ט' אותו ט' כתוב בצד אחר ויהיו עיניך רואות את פני מוריך ‫^[7] שהוא ב"א

Rule of Four

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{11\sdot12}{9}=\frac{132}{9}=14+\frac{6}{9}}}

וכפול עליו א'א' הנותרים למעלה מן הארץ ויעלה כזה

א

ג

ב

חלוק ממנו בשער החילוק מה שנותר לך מן המורה לאחר שחסרת והוספת כל החלקים זהו ט' כמה פעמים ט' יש בה'ג'א' זהו ד"א פעמים ונותרים ו' שאינו מגיע לכלל ט' וכן אורך הרומח ד"א אמות ו' חלקים שט' מהן עושין חלק שלם דהיינו אמה

\scriptstyle X+\frac{1}{a}X=b\longrightarrow X=b-\left(\frac{1}{a+1}\sdot b\right)

זה כלל כשתאמר שים שליש עליו או חמישית או רביעית או כל כמה שתרצה ויהיה כך וכך כמה היה בתחילה אראה לך הדרך אשר תלך בה לעולם חסר מן החשבון המפורש חלק אחד יותר מחשבון הנעלם שדעתך לצרף עליו

\scriptstyle{\color{blue}{X+\frac{1}{3}X=5\longrightarrow X=5-\left(\frac{1}{3+1}\sdot5\right)=5-\left(\frac{1}{4}\sdot5\right)}}

כגון אם תאמר עשה שליש עליו ויהיה ה' זה המפורש כמה היה בתחילה אז חסר מן הה' המפורש רביעי' זהו חלק אחד יותר ממה שבדעתך לצרף עליו כי היה בדעתך לצרף שליש וזהו רביעי' תסיר מן ה' רביעי' אז הנשא הוא המבוקש וכשתעשה עליו שליש יהיה ה‫'

\scriptstyle{\color{blue}{X+\frac{1}{7}X=3\longrightarrow X=3-\left(\frac{1}{7+1}\sdot3\right)=3-\left(\frac{1}{8}\sdot3\right)}}

או אם תאמר עשה שביעית עליו ויהיה ג' זה המפורש אז הסר מן ג' המפורש שמינית ומה שנשאר הוא הסכום מה שיהיה בתחילה

ואם תרצה לידע אם אמת חשבת צרוף השביעית על הנשאר ויהיה ג' וכן לעולם עשה כאשר הראיתיך

\scriptstyle X-\frac{1}{a}X=b\longrightarrow X=b+\left(\frac{1}{a-1}\sdot b\right)

אבל אם ת"ל כשתקח שליש וישאר כך וכך או תקח ממנו כל מה שתרצה וישאר כך וכך כמה היה בתחילה אז תחלוק חשבון הנשאר לחלק אחת פחות ממה שחסרת ממנה וחלק אחד מן החלקים צרוף עם זה הנשאר ותמצא כמה שהיה בתחילה

Shared Work Problems - Filling/Draining a Vessel
Question: Here is a well whose water is flowing into it through 3 pipes and draining out of it through 2 pipes. Through one of the 3 pipes, from which the water flows into it, the well is filled in a sixth of a day, if the water does not drain out from it. Through the second pipe, from which [the water] flows into it, the well is filled in a fifth of a day, if the water does not drain out from it. Through the third pipe, from which [the water] flows into it, the well is filled in a quarter of a day. The two pipes that are draining the well: through one of them, the well is drained in a half of a day, if the water does not flow into it; through the second pipe, the well is drained in a third of a day. When the filling pipes are filling the well with water and the draining pipes are draining it all at once, how long will it take the well to be filled? $\scriptstyle6X+5X+4X-2X-3X=1$	שאלה הנה לך בור שמימיו נכנסין בו קנים ויוצאי' ממנה דרך ב' קנים ומהאחת מג' קנים שמימיו נכנסים בו היה הבור מתמלא מששית היום אם לא היו יוצאי' מן הבור מים כלל ומן הקנה השני שנכנס בו היה הבור מתמלא אם לא היו יוצאים מים ממנה בחמישית היום ומן הקנה השלישית שנכנס בו היה הבור מתמלא ברביעית היום אם לא היו יוצאי' ממנה מים וב' קנים המוריקי' את הבור מן האחד נתרקה הבור כשאין נכנסין בו שום מים בחצי היו' ומן הקנה השני נתרוקנה הבור בשליש היום וכשאלו הקנים מכניסין מים ממלאין את הבור יחד וב' קנים המוריקין מוריקין יחד ואלו ממלאין בכמה היו מתמלאין
Answer: it is filled in a tenth of a day.	תשובה בעשירית היום מתמלא
I will teach you the way how:	ואשכילך הדרך כיצד
The first pipe that fills the well in a sixth of a day can fill six wells in one day.	קנה האחד שממלא הבור בשישי' היום יוכל למלאות ששה בורות ביום אחד
The second [pipe] that fills [the well] in a fifth of a day can fill five wells in one day.	והשני שממלא בחמישית היום יוכל למלאות ה' בורות ביום אחד
The third [pipe] that fills [the well] in a quarter of a day can fill four wells in one day.	והשלישי שממלא ברביעית היום יכול למלאות ארבעה בורות ביום אחד
Hence, these three pipes would have filled 15 wells in one day, had the two pipes not drained. $\scriptstyle{\color{blue}{6+5+4=15}}$	הרי ט"ו בורות שג' קנים הללו ממלאים ביום אחד אם לא היו אלו ב' קנים מוריקין
How long will it take them to drain:	ובכמה הן מוריקין
The first [pipe] that drains [the well] in half a day drains two [wells] in one day.	האחד המוריקה בחצי היום מוריק ב' ליום
The second [pipe] that drains [the well] in a third of a day drains three [wells] in one day.	והשני שמוריקה בשליש היום מוריק ג' ליום אחד
Hence, these two pipes drain 5 wells in one day. $\scriptstyle{\color{blue}{2+3=5}}$	הרי ה' בורות שאלו ב' קנים ממריקין ביום אחד
Still, ten wells remain that the three are filling in one day, when the two are draining. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{15-5}=\frac{1}{10}}}$	ועדיין נשארה עשרה בורות שהג' ממלאים ביום אחד כשהב' ממריקים
We find that the well is filled in one-tenth of a day.	נמצא שהבור מתמלא בעשירית היום
By this you will be able to understand everything like that and so on.	ובזה תוכל להבין כל כזה וכיוצא בו
For instance, if one asks: there is a barrel with three taps. When flowing from it through one tap, it is drained in one day. Through the second tap, it is drained in a half of a day. Through the third tap, it [is drained] in a third of a day. If all of the [taps] are dripping together, how long will it take the barrel to be drained? $\scriptstyle X+2X+3X=1$	כגון אם ישאל השואל יש כאן חביות שלג' ברזות שהוא יוצא ממנו דרך ברזא אחד ביום אחד ודרך ברזא השני יוצא בחצי היום ובדרך ברזא השלישי יוצא בשליש היום וכשהן יוצאין כולם יחד בכמה החבית יוצא
	תשובה שבשישית היום יצא
	היאך הברזא האחד שהוא יוצא ממנו ביום שלם מוריק ביום אחד
	השני שהוא יוצא בחצי היום מוריק שני חבית ביום אחד
	והשלישי שיוצא ממנו בשליש היום מוריק ג' חביות ביום אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3=6}}$	סך הכל כשמוריקין יחד ממריקין ו' חבית ביום אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{6}}}$	נמצא שמוריקין בשישית היום
Question: If one asks: In a barrel there are three taps. When one is dripping alone, it drains it in one hour. The second drains it in 2 hours. The third drains it in 3 hours. If all of the [taps] are dripping together, how long will it take them to drain [the barrel]?	שאלה אם ישאל השואל הנה בחבית ג' ברזות האחד כשהוא יוצא לבדה מוריק בשעה והשני לבד מוריק בב' שעות ושלישי מוריק בג' שעות וביצאו כולם ביחד בכמה מוריקין
$\scriptstyle6X+3X+2X=12$	אבקש לך דמיון בחבית המחזיק י"ב הין שממרק בחצי שעה ובחלק א"א שבחצי שעה
$\scriptstyle{\color{blue}{6+3+2=11}}$	וכה תעשה אמור בתחילה הברזא שמוריקין בשעה כמה ממריק בחצי שעה ו' הין וממריק בב' שעות כמה ממריק בחצי שעה ג' הין והממריק בג' שעות ממריק בחצי שעה ב' הין שנמצא שג' ברזות מוריקין א'ב'ג' מוריקין בחביות שמחזיק י"ב הין בחצי שעה י"א הין
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12}{11}=1+\frac{1}{11}}}$	כמה נשאר עוד הין נמצא שאותו הין ממריק בחלק א"א שבחצי שעה
Another question: four rivers are flowing towards a fountain. The first fills it in a day, the second in two days, the third in 3 days, and fourth in 4 days. If all are flowing together, how long will it take [the fountain] to be filled. $\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=1$	ועוד שאלה ד' נהרות רצים אל מעיין אחד הראשון ממלא אותו ביום אחד השני ממלא אותו בב' ימים הג' ממלא אותו בג' ימים הד' ממלא אותו בד' ימים ואם רצים כולם ביחד בכמה מתמלא
$\scriptstyle{\color{blue}{12+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=12+6+4+3=25}}$	עשה על זה בדרך אומר אחד חצי שליש רביעי' אנא ימצאון ר"ל על דרך המועט כדלעיל דהיינו י"ב אחד י"ב חצי ו' שליש ד' רביעית ג' רביעית ג' צורפם יחד הרי כ"ה וזה המורה נמצא בי"ב ימים ימלא כ"ה מעיינות כיצד הראשון ממלא בי"ב ימים י"ב מעיינות והשני בי"ב ימים ו' מעיינות השלישי בי"ב ימים ד' מעיינות הרביעי ג' אם כן כ"ה מעיינות בי"ב ימים
Rule of Four $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot12}{25}=\frac{12}{25}}}$	מעיין אחד בכמה אז כפול א' על י"ב ויעלה י"ב חלקהו בשער החילוק בכ"ה פי' כמה פעמים כ"ה יש בי"ב כנ"ל אש' נמצא שמעיין אחד מתמלא בי"ב חלקים שכ"ה מהן חלק שלם
first river: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot12}{25}=\frac{12}{25}}}$	לידע כמה חלק מים של כל מעיין לראשון כפול י"ב על א' ויעלה י"ב חלקהו בשער החילוק בכ"ה נמצא שמימיו י"ב חלקים שכ"ה מהן חלק שלם
second river: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot6}{25}=\frac{6}{25}}}$	לשיני' כפול ו' על א' ויעלה ו' חלקהו בשער החילוק בכ"ה הרי ו' חלקי' מן כ"ה
third river: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot4}{25}}}$	לשלישי כפול ד' על א'
fourth river: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot3}{25}}}$	לרביעי כפול ג' על א' ודוק ותבין

Multiple Quantities Problems - Selling Eggs

Pose a riddle: three women are selling eggs. One has 10 eggs, the second has 30, and the third has 50. Each of them gives a certain amount of eggs for one ḥalish and they earns the same amount of money

\scriptstyle10X=30Y=50Z

חוד חידה ג' נשים מוכרות ביצות לאחת יש עשרה ביצת לשנייה יש ל' בצים ולשלישי יש וכל אחת תתן סך בצים בחליש אחד כמו חברתה ויפדו מעות שוות

Answer: each one will give 7 [eggs] for one ḥalish and what remains on the seventh - she will give one egg for [3] ḥalish

תשובה כל אחת תתן ז' בחליש כל מה שנותר על השביעית תתן ביצה אחת בחליש

\scriptstyle{\color{red}{\begin{cases}\scriptstyle1+\left[3\sdot\left[10-\left(1\sdot7\right)\right]\right]=1+\left[3\sdot\left(10-7\right)\right]=1+\left(3\sdot3\right)\\\scriptstyle4+\left[3\sdot\left[30-\left(4\sdot7\right)\right]\right]=4+\left[3\sdot\left(30-28\right)\right]=4+\left(3\sdot2\right)\\\scriptstyle7+\left[3\sdot\left[50-\left(7\sdot7\right)\right]\right]=7+\left[3\sdot\left(50-49\right)\right]=7+\left(3\sdot1\right)\end{cases}}}

If they are four [women]. The fourth has 70.

the calculation is the same

ואם היתה ארבע לרביעי' יש לה ע' וחשבון כמו כן

Proportional Division - Inheritance

Question: an inheritance was given to three brothers.

The first took as much as he wanted, and so did the second and the third.

Then the second and the third returned to first and complained against him: you took more than you deserved, therefore you should share with us equally.

He answered: do not judge me, I will give each of you the same amount as he has, be it is much or less; and so he did.

Later the first and the third returned to the second and he answered them the same as the first.

Afterwards the first and the second returned to the third and he too said the same as the previous.

Now the division between them became equal.

How much did each of them took at the beginning and how much is the whole amount of the money?

שאלה אם נפלה ירושה לפני ג' אנשים אחים

ראשון לוקח כל מה שרוצה וכן השני וכן השלישי
ואחר כך חזרו השני והשלישי על ראשון וטוענין אותו לא נטלת מן הראוי לך לכן חלוק עמנו שוה בשוה
והוא אומר אל תדונו עמי אתן לכל אחד מכם כמה שיש לכם כבר הן רב והן מעט וכן עשה
ואחר כך חזרו הראשון והשלישי על השני והוא משיב להם ג"כ כמו הראשון
ואחר כך חזרו הראשון והשני על השלישי והוא אומר ג"כ כמו הראשונים
ואז יהיה החלוקה שוה ביניהם
חוד כמה לקח כל אחד בתחילה או כמה סך מעות ביחד

Answer: the total is 24; the first took 13; the second 7; and the third 4.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3=24}}

תשובה הכל יהיה כ"ד הראשון לקח י"ג והשני ז' והשלישי ד‫'

Here is the instruction of the problem:

והילך המורה את החידה

If they are only three, take for the last 3 plus one more; it is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=3+1=4}}

אם הם רק ג' אז קח לאחרון ג' ואחד יותר זהו ד‫'

For the middle take twice as much as the last, which is 8, but subtract one; it is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(2\sdot a_3\right)-1=\left(2\sdot4\right)-1=8-1=7}}

ולאמצע קח כפלים כמו לאחרון זהו ח' רק אחת תסיר ויהיה ז‫'

For the first take twice as much as the middle, which is 14, and subtract one; it is 13.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(2\sdot a_2\right)-1=\left(2\sdot7\right)-1=14-1=13}}

ולראשון קח כפלים כמו לאמצע דהיינו י"ד תסיר אחד ויהיה י"ג

And so on, as many as they are, take for the last the number they are plus one more, then double the required and subtract 1.

וכן לעולם כמה הן אז קח לאחרון כמניין כולם ואחד יותר ואחר כך כפול המבוקש ותסיר א‫'

If they were four [brothers].

וכן אם הם ד‫'

Take for the last 4 plus one more; it is 5.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=4+1=5}}

קח לאחרון ד' ואחד יותר וזה ה‫'

For the third ten and subtract one; it is 9.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(2\sdot a_4\right)-1=\left(2\sdot5\right)-1=10-1=9}}

ולשלישי עשרה ואחד תסיר וזהו ט‫'

For the second 18 and subtract one; it is 17.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(2\sdot a_3\right)-1=\left(2\sdot9\right)-1=18-1=17}}

ולשני י"ח ואחד תסיר זהו י"ז

For the first 34 and subtract one; it is 33.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(2\sdot a_2\right)-1=\left(2\sdot17\right)-1=34-1=33}}

לראשון ל"ד ואחד תסיר זהו ל"ג

בין תבין את אשר לפניך‫^[8]

Payment Problem - Digging a Hole

A worker was hired to dig a hole with a length of 17 cubits and a width of 7 cubits for 33 zehuvim (golden coins), but the worker dug [a hole with a width of] 3 cubits and a length of 17 cubits. How much should be his payment?

\scriptstyle\frac{7\sdot17}{33}=\frac{3\sdot17}{X}

השוכר את הפועל לחפור בור ארוכה י"ז אמות ברוחב ז' אמות בעד ל"ג זהו' והפועל חופר ג' אמות במשוך יז' כמה שכרו של פועל זה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot17}{119}}}

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot17}{51}}}

תשובה כפול בתחלה בשער הכפל ז' פעמים י"ז ויעלה ט'א'א' נמצא שהשוכר את הפועל לחפור קי"ט אמות ברוחב אמה בעד ל"ג זהו‫'

והפועל חופר ג' אמות במשוך י"ז כפול ג' על י"ז ויעלה א"ה נמצא שלא חפר רק נ"א אמות והיה לחפור קי"ט אמות

\scriptstyle\frac{119}{33}=\frac{51}{X}

אחר כך כתוב קי"ט אמות למטה ממנו כתוב נ"א כזה

1	1	9
	3	3
	5	1

א	א	ט
	ג	ג
	ה	א

Rule of Four

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{33\sdot51}{119}=\frac{1683}{119}=14+\frac{17}{119}}}

וכפול בשער הכפל א"ה על ג'ג' ויעלה ג"חו"א חלוק ג"חו"א לקי"ט פי' כמה פעמים קי"ט יש בגחו"א ותמצא י"ד פעמים קי"ט וי"ז חלקים שקי"ט מהן עושין חלק שלם נמצא שכר הפועל י"ד זהו' וי"ז חלקים שקי"ט מהן חלק שלם דהיינו זהוב

Find a Quantity Problem - Stolen Amount of Money

A man gave his purse with some money to his friend for safekeeping and it was stolen. Both the depositor and the keeper do not know how much money was in the purse. The depositor remembers that when he counted the money by two 1 remained, by three 1 remained, by four 1 remained, by five 1 remained, by six 1 remained, and by seven nothing remained.

\scriptstyle2a_1+1=3a_2+1=4a_3+1=5a_4+1=6a_5+1=7a_6

אדם הפקיד לחבירו כיסו מלא מעות וגנבו בפשיעה והמפקיד והנפקד אינם יודעי' סכום המעות שהיה בו אלא המפקיד זכר המעות ב'ב'ב' נשאר א' ג'ג' נשאר א' ד'ד' נשאר א' ה'ה' נשאר א' ו'ו' נשאר א' ז'ז' יצא מכוון והנה חוד כמה היו המעות הללו

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\right)+1&\scriptstyle=\left(6\sdot4\sdot5\sdot6\right)+1\\&\scriptstyle=\left(24\sdot5\sdot6\right)+1\\&\scriptstyle=\left(120\sdot6\right)+1\\&\scriptstyle=720+1=721\\\end{align}}}

תשובה המעות היו אחת וג' מאות או ת'ש'כ'א' היו המעות והנה אשכילך הדרך היאך תעשה כתוב כנגד כל מניין השאלה מספר המועט שתמצא בו השאלה פי' שאילתך מניין הנמנה ב'ב' וישאר א' נגד זה כתו' ב' ושאלת מניין הנמנה ג'ג' נגדו כתו' ג' ושאלת מניין הנמנה ד'ד' נגדו כתוב ד' ושאלת מניין הנמנה ה'ה' כתוב ה' ושאלת מניין הנמנה ו'ו' כתוב ו‫'

אחר כך כפול ב' על ג' ויעלה ו‫'
כפול ו' על ד' ויעלה ד'ב‫'
כפול ד'ב' על ה' ויעלה 0'ב'א‫'
כפול 0'ב'א' על ו' ויעלה 0'ב'ז' פי' עשרים וז' מאות זהו מספר המחלק לב' לג' לד' לה' לו‫'
ובהוסיפך עוד אחד שיהיה אב"ז אז כשתחלקהו לב'ג'ד' ה"ו ישאר בכל מנין א' חלקהו לז'ז' יוצא מכוון

If the number is divided by 2-8 with a remainder of 1 and by 9 with no remainder

\scriptstyle2a_1+1=3a_2+1=4a_3+1=5a_4+1=6a_5+1=7a_6+1=8a_7+1=9a_8

וכן אם ישאלך השואל מספר המחלק לב'ג"ד ה"ו ז"ח וישאר א' ובט' יוצא מכוון

\scriptstyle{\color{blue}{\left[720\sdot\left(7\sdot8\right)\right]+1=\left(720\sdot56\right)+1}}

אזי כפול ז' על ח' ויעלה ו"ה כפול זה על 0'ב"ז והעולה הוא מתחלק לב"ג"ד ה"ו ז"ח ובהוסיפך אחת ישאר א' בכל מניין ובט' יוצא מכוון

If the remainder from division by all the numbers 2-6 is 3

\scriptstyle2a_1+3=3a_2+3=4a_3+3=5a_4+3=6a_5+3=7a_6

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\right)+3}}

ואם ישאל השואל מניין הנותר ג' בכל מניינם אזי תוסיף ג' על העולה אחר כפלך מספרם המועטים

If the remainder from division by all the numbers 2-6 is 4

\scriptstyle2a_1+4=3a_2+4=4a_3+4=5a_4+4=6a_5+4=7a_6

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\right)+4}}

וכן אם ישאלך מניין הנותר ד' אזי תוסיף ד' וכן לעולם בדרך זו ודוק

Find a Quantity Problem - How Much Problem - Amount of Money

Question: we add to an amount of money its half, its third, its quarter, its fifth, and its sixth, and the total is 40. How much was the original amount of money?

\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X=40

שאלה ממון הוספנו עליו מחציתו שלישיתו רביעיתו וחמישיתו שישיתו והכל הוא ארבעים כמה היה הממון

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle60+\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)\\&\scriptstyle=60+30+20+15+12+10=60+87=147\\\end{align}}}

בתחילה אשכילך קח מספר המועט המתחלק לחצאין לשליש לרביעי לחומש לשישית וזהו 0"ו ששים ותוסיף על ששים כל החלקים ששאלת החצי' הוא ל' והשליש כ' הרביעי ט"ו והחמישית י"ב והשישית י' וצרפם הכל יחד ויהיה פ"ז חבור פ"ז עם ששים ויעלה קמ"ז נמצא אם היו שואלין אותך ממון שהוספנו עליו מחציתו שלישיתו רביעיתו חמישיתו ששיתו ובין הכל קמ"ז כמה תחילת הממון היינו משיבין תחילתו ששים

\scriptstyle\frac{147}{60}=\frac{40}{X}

ועתה שהוא סך הכל רק א' כמה תחילתו אז כתוב אותו קמ"ז בטור העליון ורחוק ממנו קצת כתוב הששים ותחת ס' כתוב מ' שאנו שואלין ויהיה כזה

60	147
40

‫0ו	זדא
‫0ד

Rule of Four

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{40\sdot60}{147}=\frac{2400}{147}=16+\frac{48}{147}}}

כפול 0"ד על 0"ו שעליה ויעלה 0'0'ד'ב' פי' כ"ד מאות חלוק בשער החילוק כמה פעמים זד"א יש בכ"ד מאות ותמצא שיש בו י"ו פעמים זד"א ונותר מ"ח חלקים קטנים שאינן עולין לזד"א נמצא שתחילת הממון היו י"ו שלמים ומ"ח חלקים קטנים שזד"א מהן חלק שלם

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(147\sdot16\right)+48=2352+48=2400}}

\scriptstyle{\color{blue}{2400+\left(\frac{1}{2}\sdot2400\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot2400\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot2400\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot2400\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot2400\right)}}

\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot147}}

ואם תחפוץ לשקול חשבונך אם הוא מכוון אז כפול זד"א על י"ו פי' ב' אלפים ג' מאות נ"ב חבור עמהם מ"ח חלקים הנותרים למעלה שלא עולה לזד"א ויהיה 0'0'ד'ב' פי' כ"ד מאות

תוסיף עליהם החצי' השליש הרביעי החומש השישית וחיבור הכל עם כ"ד מאות
ואחר כך כפול 0ד פי' מ' עם זד"א
ואם תמצא מכוון מה שיעלה לך אחר שתכפול מ' על קמ"ז כמו חשבון שמצאת בהוסיפך בג"דה"ו על כ"ד מאות אז חשבונך מכוון ואם לאו ודאי טעית ודוק

Divide a Quantity - Loans Repayment

Reuven and Shimon lent two loans: Reuven lent 37 zehuvim with an interest of one pašuṭ for each zahuv every week for 55 weeks. Shimon lent to the same borrower 23 zehuvim for 33 weeks. Then came the borrower and said to them: I will give both of you 13 zehuvim together and you will compromise. How much should Reuven receive and how much should Shimon receive from the 13 zehuvim?

\scriptstyle\frac{1}{37\sdot55}X+\frac{1}{23\sdot33}X=13

שאלה אם ישאל השואל הנה ראובן ושמעון הלא שני חובות ראובן הלווה ל"ז זהו' ועולה על כל זהו' פשוט לשבועה ועומד נ"ה שבועות ושמעון הלווה לאותן חוב כ"ג זהו' ועומד ל"ג שבועות ואחר כך בא הבעל חוב ואמר להם אתן לכם י"ג זהו' רבית מן הכל ואתם התפשרו התפשרו יחד

ואשכילך הדרך אשר תמצא בו כמה מגיע לראובן וכמה מגיע לשמעון מן הי"ג זהו' כאשר קבלתי מרבי‫'

Reuven's interest:

\scriptstyle{\color{blue}{37\sdot55=2035}}

חשוב כמה רבית של ראובן שהוא ל"ז על נ"ה ויעלה ה"ג0"ב פשי' פירו' ב' אלפים ועוד ל"ה זה היה ריבית שהיה שייך מן הדין לראובן

Shimon's interest:

\scriptstyle{\color{blue}{23\sdot33=759}}

ואחר כך כפול כ"ג זהו' של שמעון על ל"ג שבועות ויעלה ט'ה'ז' שהוא ריבית שהיה שייך מן הדין לשמעון

\scriptstyle{\color{blue}{2035+759=2794}}

ואחר כך חבור ט'ה'ז' עם ה'ג'0'ב' ויעלה ד'ט'ז'ב' וזה המורה את החידה

Reuven:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13\sdot2035}{2794}=\frac{26455}{2794}=9+\frac{1309}{2794}}}

אחר כך כפול י"ג זהו' על ה"ג0"ב שהוא ריבית שהיה שייך לראובן ויעלה ה'ה'ד'ו'ב' אחר כך נכהו שהוא ד'ט'ז'ב' פי' כמה פעמים ד'ט'ז'ב' יש בה'ה'ט'ו'ב' ותמצא שיש בו ט' פעמים ונותרים עדיין ט'0'ג'א' שלא יעלה למניין ד'ט'ז'ב' נמצא שלראובן שייך מן י"ג זהו' ט' זהו' ואלף ועוד ש"ט חלקים שלא הגיע הכלל ד'ט'ז'ב‫'

Shimon:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13\sdot759}{2794}=\frac{9867}{2794}=3+\frac{1485}{2794}}}

ואת"ל כמה מגיע לשמעון על דרך שאמרנו לראובן אז כפול י"ג על ט'ה'ז' ויעלה ז'ו'ח'ט' נכהו מן המורה שהוא ד'ט'ז'ב' פי' כמה פעמים ד'ט'ז'ב' יש בז'ו'ח'ט' נמצא שיש בו ג' פעמים ונותרים ה'ח'ד'א' חלקים שד'ט'ז'ב' מהן עושין חלק שלם דהיינו זהו' נמצא ששייך לשמעון ג' זהו' ועוד ה'ח'ד"א חלקים שד"טז"ב מהן עושין חלק שלם

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{1309+1485=2794}}

חיבור ה'ח'ד'א' עם ט'0'ג'א' שנותרים לראובן ויעלה ד'ט'ז'ב‫'

ואם תחפוץ לידע חשבון בצמצום אז חלק הי"ג זהו' לפשוטים ואחר כך כפול בהם ה'ה'ד'ו'ב' ריביתו של ראובן או ד"טז"ב ריביתו של שמעון ואז חלוק ד'ט'ז'ב' לחלקי פשוטים ודו"ק

Multiple Quantities - Weights

Question: if one asks you how do you find four weights weighing together 40, or 5 weights weighing together 121, so that you can weigh with them the heavy as well as the light up to 40. How much will each of them weigh by itself?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\sum_{i=1}^4 a_i =40\ \quad \sum_{i=1}^5 a_i =121\\\scriptstyle a_i=3^{i-1}\\\scriptstyle a_i:a_{i+1}=a_{i+1}:a_{i+2}\end{cases}

שאלה אם ישאלך השואל איך תמצא ארבע משקלות שמשקל כולם רק ארבעים ליטרות ואתה תוכל לשקול בו הן רב הן מעט עד ארבעים כמה משקל כל אחד בפני עצמו או אם ה' משקלות שמשקלותם קכ"א ואתה תוכל לשקול בו הן רב הן מעט כמה משקל כל אחד בפני עצמו

כה תעשה אם תחפוץ להוסיף משקלות הראשון משקלו ליטרא, השני משקלו ג' ליטרות, השלישי משקלו ט' לטרי', הרביעי משקלו כ"ז לטרין, חמישי משקלו פ"א

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1}}

וככה עשה כתוב בתחילה א' משקלו של הראשון ואחר כך כתוב עוד אחת תחתיו כזה

1

א

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(1+1\right)+1=2+1=3}}

חברם יחד ויהיה ב' תוסיף עוד אחת עליהן ויהיה ג' ליטרי' זהו משקל השני אחר כך כתוב ג' ועוד ג תחתיו כזה

1

3

א

ג

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(1+1\right)+\left(3+3\right)+1=8+1=9}}

חברם יחד ויהיה ח' תוסיף עוד אחת ויהיה ט' ליטרו' זהו משקל השלישי אחר כך כתוב ט' ועוד ט' אחד תחתיה כזה

1

3

9

א

ג

ט

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\left(1+1\right)+\left(3+3\right)+\left(9+9\right)+1=26+1=27}}

חברם יחד ויהיה כ"ו תוסיף עוד אחת ויהיה כ"ז זהו משקל הרביעי ואם תרצה לידע משקל החמישי כתוב זב תחת זב כדלעיל כזה

1
1
3
3
9
9
27
27

א

ג

ט

זב

\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\left(1+1\right)+\left(3+3\right)+\left(9+9\right)+\left(27+27\right)+1=80+1=81}}

חברם יחד ויהיה פ' תוסיף עוד ויהיה פ"א זהו משקל חמשי

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1+3+9+27+81=121}}

סך הכל קכ"א ועל דרך זה תוכל להוסיף

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1 =1\\\scriptstyle a_2=3\sdot a_1=3\sdot1=3\\\scriptstyle a_3=3\sdot a_2=3\sdot3=9\\\scriptstyle a_4=3\sdot a_3=3\sdot9=27\\\scriptstyle a_5=3\sdot a_4=3\sdot27=81\\\scriptstyle a_i=3\sdot a_{i-1}\end{cases}}}

או כלך אצל דרך זה למשקל הראשון קח א' לשני ג' פעמי' א' לשלישי ג"פ ג' לרביעי ג' פעמים ט' לחמישי ג"פ כ"ז וכן לעולם וסימניך ושלישים על כולו פי' ג"פ וק"ל ודוק

Divide a Quantity - Money

Question: if you want to divide 5 pešiṭim to one third and one quarter so that nothing remains

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=5

שאלה אם תרצה לחלוק ה' פשוטים לשליש ולרביעי ולא ישאר מהם כלום

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=4+3=7}}

אמור תחילה שליש ורביעי בכמה ימצאון בי"ב השליש הוא ד' הרביעי הוא ג' חברם יחד הרי ז' וזהו המורה

Rule of Four

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{4\sdot5}{7}=\frac{20}{7}=2+\frac{6}{7}}}

אם ת"ל כמה מגיע לזה שיש לו שליש שהוא ד' כפול ד' על ה' הרי 0"ב חלוק אותו ז' ותמצא בו ב' פעמים ז' ועוד ששה חלקים שז' מהם עושין חלק שלם הרי שיש לזה ב' פשוטים שלימי' ו' חלקי' שבורים שז' מהן עושין חלק שלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{3\sdot5}{7}=\frac{15}{7}=2+\frac{1}{7}}}

ומי שיש לו רביעי כפול ג' על ה' ויעלה ט"ו תחלק ממנו ז' ויעלה ב' פשוטים וחלק א' שז' מהן חלק שלם דהיינו פשוט

הרי שנחלקו ה' פשוטים לג' ולד' ולא נשאר מהם כלום

Likewise, if you have 12 and you wish to divide them to a third, a half, and a quarter, so that nothing remains

\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=12

וכן אם בידך י"ב פשוטים ותרצה לחלקם לחצאין לשליש לרביעי ולא ישאר כלום

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=6+4+3=13}}

אמור חצי שליש ורביע אנא ימצאון בי"ב החצי ו' השליש ד' הרביע ג' צורפם יחד הרי י"ג וזהו המורה

Rule of Four

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X=\frac{6\sdot12}{13}=\frac{72}{13}=5+\frac{7}{13}}}

אחר כך כפול ו' שהיא החציה על י"ב ותמצא ב"ז חלוק כמה פעמים י"ג יש בו ותמצא ה' פעמים וז' שבורים שי"ג מהן פשוט שלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{4\sdot12}{13}=\frac{48}{13}=3+\frac{9}{13}}}

אחר כך כפול השליש שהוא ד' על י"ב ויעלה ח"ד חלוק ממנו י"ג ותמצא ג' ועוד ט' שבורים שי"ג מהן פשוט שלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{3\sdot12}{13}=\frac{36}{13}=2+\frac{10}{13}}}

וכן כפול ג' על י"ב ויעלה ו"ג חלוק מהן י"ג ותמצא ב' פעמים וי' שבורים שי"ג מהן חלק שלם וכן לעולם ול"ד

Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Fish

Question: you have a fish whose body weighs 10 liṭra and its tail and head weigh a third, a quarter, a fifth, and a sixth of its whole. How much is the weight of the whole [fish]?

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+10=X

שאלה הרי יש לפניך דג שמשקל גופו עשרה לטרות ומשקל זנבו וראשו שלישיתו רביעיתו חמישתו שישיתו כמה כל משקלו

\scriptstyle{\color{blue}{60-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)\right]=60-57=3}}

תשובה מנה מספר המתחלק לג"ד ה"ו וזה 0'ו' כשתסיר מן 0"ו ג"דה"ו פי' שליש רביעי' חמישית שישית וצרפם יחד ויעלה ז"ה ועודף ג' וזהו המורה

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot60}{3}=\frac{600}{3}=200}}

כפול 0"א על 0"ו ויעלה 00"ו חלוק ממנו ג' ותמצא בו מאתים פעמים ג' וכן כל משקל של דג ששאלת מאתים ליטרות

Multiple Quantities - Selling Cloth

Question: a man gave his three sons 30 cubits of cloth to sell. One sold one cubit for 4 zehuvim, the second for 5 zehuvim, and the third for 6 zehuvim. All of them earned the same amount of money. How much money did each of them get from the sale and how many cubits did each of them sell?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+Y+Z=30\\\scriptstyle4X=5Y=6Z\end{cases}

שאלה אדם נותן לג' בניו בגד למכור ל' אמות והאחד מכר אמה בעד ד' זהו' השני בעד ו' זהו' והג' עבור ו' זהו' וכולם מביאין מעות שוות זה כזה. חוד כמה מעות גובה מן המקח וכמה אמות מכר כל אחד

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=15+12+10=37}}

תשובה בתחילה אראך כמה שהיה לזה שנותן אמה בעד ד' זהו' אמור תחילה רביעית חמישית ששית בכמה ימצאון בס' רביעי' ט"ו חומש י"ב שתות י' חברם יחד ויהיה ל"ז זה המורה

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{15\sdot30}{37}=\frac{450}{37}=12+\frac{6}{37}}}

אחר כך כפול ט"ו שהוא רביעי' על ל' כמידת הבגד ותמצא 0'ה'ד' חלוק אותם על ל"ז ותמצא בו ב"א פעמים ל"ז וששה חלקים של"ז חלק שלם

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle4X &\scriptstyle=4\sdot\left(12+\frac{6}{37}\right)\\&\scriptstyle=\left(4\sdot12\right)+\left(4\sdot\frac{6}{37}\right)\\&\scriptstyle=48+\frac{\frac{28\sdot6}{37}}{7}\\&\scriptstyle=48+\frac{\frac{168}{37}}{7}=48+\frac{4+\frac{20}{37}}{7}=48+\frac{4}{7}+\frac{\frac{20}{37}}{7}\\\end{align}}}

ואת"ל כמה מעות יש לזה שנותן אמה בעד ד' זהו' י"ב אמות היה לו וששה חלקים של"ז מהן אמה שלימה הרי י"ב פעמים ד' עולה מ"ח ומן ו' חלקים הנותרים עשה כך חלוק כל זהו' על ז' תפוחים ותאמר כך אילו היו אלו ו' חלקי ל"ז דהיינו דמיהם של בגד אמה אז היה דמיהם כ"ח תפוחים עתה שהם רק ו' כמה אז כפול ו' על כ"ח ויעלה ח'ו'א' חלוק אותם לל"ז ותמצא בו ד' פעמים ל"ז ועשרים חלקים של"ז מהן תפוח שלם נמצא שזה גובה מ"ח זהו' וד' תפוחים ועשרים חלקים של"ז מהן תפוח שלם

\scriptstyle{\color{blue}{Y=\frac{12\sdot30}{37}=\frac{360}{37}=9+\frac{27}{37}}}

לדעת כמה אמות מכר זה שנתן אמה בעד ה' זהו' עשה כך כפול החומש מששים דהיינו י"ב על מנין אמות הבגד שהוא ל' ויעלה 0'ו'ג' וחלוק אותם ל"ז שהוא המורה ותמצא בו ט' פעמים דהיינו ט' אמות וכ"ז חלקים של"ז עושין אמה שלימה

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5Y &\scriptstyle=5\sdot\left(9+\frac{27}{37}\right)\\&\scriptstyle=\left(5\sdot9\right)+\left(5\sdot\frac{27}{37}\right)\\&\scriptstyle=45+\frac{\frac{35\sdot27}{37}}{7}\\&\scriptstyle=45+\frac{\frac{945}{37}}{7}\\&\scriptstyle=45+\frac{25+\frac{20}{37}}{7}\\&\scriptstyle=45+\frac{21+4+\frac{20}{37}}{7}=45+3+\frac{4}{7}+\frac{\frac{20}{37}}{7}=48+\frac{4}{7}+\frac{\frac{20}{37}}{7}\\\end{align}}}

ואת"ל כמה מעות גבה ט' אמות היינו מ"ה זהו' וכ"ז חלקים אלו היה ל"ז היו נמכרים בעד ל"ה תפוחים כשתעריך כל זהו' בעד ז' תפוחים כדלעיל עתה שהוא רק כ"ז כמה כפול כ"ז על ל"ה ויעלה הד"ט חלוק אותם ל"ז ותמצא בו כ"ה תפוחים ועשרים חלקים של"ז עושה תפוחים שלם עשה מן כ"א תפוחים ג' זהו' וחברם יחד עם מ"ה ויהיה מ"ח ויותרו לך ד' תפוחים ועשרים חלקים של"ז תפוח שלם נמצא מעות השני כראשון

\scriptstyle{\color{blue}{Z=\frac{10\sdot30}{37}=\frac{300}{37}=8+\frac{4}{37}}}

לדעת מעות ואמות המוכר אמה בעד ו' זהו' כפול חלק שישית מן ס' על מנין האמות דהיינו ל' ויעלה 0'0'ג' חלוק אותם ל"ז ותמצא בו ח' אמות וגם ד' חלקים של"ז מהן עושין חלק שלם

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle6Z &\scriptstyle=6\sdot\left(8+\frac{4}{37}\right)\\&\scriptstyle=\left(6\sdot8\right)+\left(6\sdot\frac{4}{37}\right)\\&\scriptstyle=48+\frac{\frac{42\sdot4}{37}}{7}\\&\scriptstyle=48+\frac{\frac{168}{37}}{7}=48+\frac{4+\frac{20}{37}}{7}=48+\frac{4}{7}+\frac{\frac{20}{37}}{7}\\\end{align}}}

לדעת כמה מעותיו ח' פעמים ו' דהיינו מ"ח זהו' ד' חלקים הנותרים אילו היה ל"ז היו נמכרים בעד מ"ב תפוחים עתה שהם רק ד' בכמה כפול ד' על מ"ב ויעלה חו"א חלוק אותם ל"ז ותמצא בו ד' תפוחים ועשרים חלקים של"ז מהן תפוח שלם

נמצא שאין בין זה לזה במנין המעות והראשון מכר י"ב אמו' יותר ו' חלקים ושני מכר ט' אמות וכ"ז חלקים ושלישי מכר ח' אמות וד' חלקים וזהו סימנם

Partnership Problems - for the Same Time - Three Partners

Question: three friends want to donate together as a group 40 liṭra zehuvim. The first has gold that worth 3 zehuvim per liṭra, the second [has gold that] worth 5 zehuvim [per liṭra], and the third has gold that worth 8 zehuvim per liṭra. How many liter does each of them has equally?

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{8}X=40

שאלה שלשה חברים רוצים לתת בחבורה מ' ליטרי' זהו' לראשון יש לו זהב ששוה הליטרא ג' זהו' והשני יש לו זהב ששוה הליטרא ה' זהו' ולשלישי יש לו זהב ששוה הליטרא ח' זהו' כמה יש לכל אחד ליטרין שוה בשוה

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5\sdot8=15\sdot8=120}}

תשובה עשה מספר המתחלק לג'ה'ח' כפול ג' על ה' ויעלה ט"ו כפול ח' על ט"ו ויעלה ק"כ

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot120\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot120\right)-\left(\frac{1}{8}\sdot120\right)=79}}

חסר מק"כ שליש חומש שמינית וחברם יחד ויהיה ע"ט וזה המורה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot120\right)\sdot40}{79}=\frac{40\sdot40}{79}}}

לדעת כמה ליטרן יש לשום זה שזה שוות ג' זהו' קח השליש מן ק"כ וזהו מ' כפול מ' על מ' מנין הליטרין ומן העולה חלוק ע"ט וכן לכולם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}X=\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot120\right)\sdot40}{79}}}

לשני כפול החומש מן ק"כ על מ' כבר הארכתי בעניין זה ודוק

Multiple Quantities

Four Coins

Question: you have four coins that are worth 40 pešuṭim: the first is equal to a half and a sixth of the second. What is left from the second equals two thirds of the third. The third is equal to a third, a quarter, and a sixth of the first. The fourth is equal to four fifths of the third. How much does each [of the coins] worth?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\sum_{i=1}^4 a_i =40\\\scriptstyle a_1=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\\\scriptstyle a_2-\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\right]=a_2-a_1=\frac{2}{3}a_3\\\scriptstyle a_3=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_1\\\scriptstyle a_4=\frac{4}{5}\sdot{\color{red}{a_3}}\end{cases}

שאלה הרי שיש לפניך ד' מטבעות ששוים מ' פשוטים

הראשונה שוה החצי והשתות מן השנייה
והנשאר מן השני הוא ב' שלישים מן השלישית
והשלישי שוה שליש ורביעית ושתות מן הראשונ‫'
והרביעי' שוה ד' חומשין מן השניה
לדעת כמה שוה אחד מחבירו בקיצור

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)=3+1=4\longrightarrow a_1=\frac{2}{3}a_2}}

עשה כך הראשונה ששוה חצי' ושתות מן השניי' באיזה מספר תמצא חצי ושתות שלמים בששה החציה ג' והשתות א' הרי ד' מו' הרי כאלו אמר הראשונה ב' שלישים מן השני

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=4+3+2=9\longrightarrow a_3=\frac{9}{12}a_1=\frac{3}{4}a_1}}

ושלישית ששוה שליש ורביעי ושתות מן הראשון אלו החלקים בכמה נמצאין בי"ב שליש ד' רביעית ג' שתות ב' הרי ט' מן י"ב הוי כאלו אמר השליש ג' רביעי' מן הראשון

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{4}{5}{\color{red}{a_3}}}}

והד' שוה ד' חומשין מן השני אין צריך ביאור דהא מבואר היטב

\scriptstyle{\color{blue}{b_2=60}}

לדעת איך תמצא החלקים בפירוש הבן איזה חלקי' הזכרנו בשאל' חצי ושתות ובכל מקום שתמצא שתות תמצא גם שליש גם הוזכרנו רביעי' וחומש וכל אלו החלקים נמצאים בששי' נמצא מטבע שנייה ס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot b_2=\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=30+10=40}}

החצי ל' והשתות י' כללם יחד ויהיה מ' זהו' מטבע ראשונה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}b_3=b_2-b_1=60-40=20\longrightarrow b_3=30}}

\scriptstyle{\color{blue}{b_3=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot b_1=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot40=30}}

כמה עודף ס' על מ' כ' זהו' שאמרנו בשאלה והנשאר מן השני עודף על הראשון הוא שני שליש מן השלישי כי מטבע שלישי ל' כשתסיר גד"ו פי' שליש רביעי שתות מן מ' תמצא שלישי

\scriptstyle{\color{blue}{b_4=\frac{4}{5}\sdot b_3=\frac{4}{5}\sdot30=\frac{4}{5}\sdot5\sdot6=24}}

לדעת מטבע רביעית תחלוק לה' חלקים נמצא ל' ה' פעמי' ו' ד' חומשין מל' הרי כ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{b_1+b_2+b_3+b_4=40+60+30+24=154}}

וזהו סידורן מ' ס' ל' כ"ד חבור אותם יחד קנ"ד וזה המורה את החידה

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{40\sdot40}{154}=10+\frac{60}{154}}}

לדעת כמה מטבע ראשונה למלאות מנין ארבעים כפול מ' על מ' שהוא מנין המעות ומן העולה תחלוק קנ"ד ותמצא צורתו כזה פי' י' פשוטים וששים חלקים שקנ"ד מן פשוטים שלם זהו סך מטבע ראשונה

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{60\sdot40}{154}=15+\frac{90}{154}}}

אחר כך כפול ס' על מ' ומן העולה חלוק קנ"ד ויהיה צורתו כזה פי' ט"ו פשוטי' וצ' חלקים שקנ"ד מן פשוט שלם זה סך מטבע שני‫'

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{30\sdot40}{154}=7+\frac{122}{154}}}

אחר כך כפול ל' על מ' וחלוק לקנ"ד וצורתו כזה פי' ז' פשוטי' קכ"ב חלקים שקנ"ד מהן חלק שלם זהו מטבע שלישית

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{24\sdot40}{154}=6+\frac{36}{154}}}

אחר כך כפול כ"ד על מ' ומן העולה תחלק קנ"ד וצורתו כזה פי' ו' פשוטי' ל"ו חלקים שקנ"ד מהן פשוט שלם

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4&\scriptstyle=\left(10+\frac{60}{154}\right)+\left(15+\frac{90}{154}\right)+\left(7+\frac{122}{154}\right)+\left(6+\frac{36}{154}\right)\\&\scriptstyle=\left(10+15+7+6\right)+\left(\frac{60}{154}+\frac{90}{154}+\frac{122}{154}+\frac{36}{154}\right)\\&\scriptstyle=38+\frac{308}{154}=38+\frac{2\sdot154}{154}=38+2=40\\\end{align}}}

צרוף יחד י' וט"ו וז' ועוד ו' הרי ל"ח וצרוף יחד החלקים שתחתיהן ויעלה ח' וג' מאות היינו ב' פעמים קנ"ד וזהו ב' פשוטי' ול"ד

Unknown number of sons sharing an amount

Riddle: a rich man talking to his sons, divided his assets and said to one of his sons: take from my purse one zahuv first, and then take a tithe of the remaining. To the second he said: take two zehuvim and a tithe of the remaining. To the third he said: take three zehuvim and a tithe of the remaining. And so on to all, first one zahuv more than the preceding should be taken, and then a tithe. How much is the money and how many are the sons, so that when they took according to their father's instruction each received as the other?

$\scriptstyle1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-1\right)\right]=2+\frac{1}{10}\sdot\left[X-\left[\left[1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-1\right)\right]\right]+2\right]\right]$

חידה אדם עשיר המחלק נכסיו על פיו ואמר לאחד מבניו טול מנכסי זהו' בראש ואחר כך טול המעשר מן הנותר ולשני אמר טול אתה ב' זהו' ועישור נכסי מן הנותרים ולשליש אמר טול אתה ג' ועישור נכסי' מן הנותרים וכן לכולם הוסיף ליקח זהו' יותר בראש מן הקדמון ואחר כך עישור חוד כמה המעות כמה הבני' וכשנטלו כאשר ציום אביהם הגיע לזה כזה

number of sons:

\scriptstyle{\color{blue}{10-1=9}}

תשובה אמור לפי החשבון השבור שבזה הוא עשרה תפחות א' מעשרה ויהיה ט' הרי ט' היו הבנים

number of zehuvim:

\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot9=81}}

אמור אחר זה ט' פעמים ט' ויעלה פ"א הרי פ"א היו הזהובים

number of zehuvim each one received:

\scriptstyle{\color{blue}{9}}

ולכל אחד הגיע ט' זהו‫'

וכן לעולם היאך שהיה השבור שאמר לבניו ליקח אחד קח אחת פחות ועשה כמו שצויתיך ודוק

Motion Problem - Pursuit

Question: a man is walking ten miles a day. His friend is walking one mile on the first day, two miles on the second day, and so on in each day he goes on walking one mile more. In how many days will he reach the one who walks 10 miles?

\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x i

שאלה אדם שמהלך בכל יום י' מילין וחבירו הולך ביום ראשון מיל יום שני ב' מילין וכן בכל יום מוסיף והולך מיל בכמה ימים מגיע למהלך י' מיל

Answer: sum 10 with 10, the result is 20. Subtract one and 19 remain, so he will reach his friend in 19 days.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\left(10+10\right)-1=20-1=19}}

תשובה חבר י' עם י' ויעלה כ' חסר אחד וישאר י"ט הרי בי"ט ימים מגיע לחבירו

Thus, always double the walk of the one who walks in a constant [velocity], then subtract 1 and this is [the number of] days within which he will reach him.

\scriptstyle n\sdot X=\sum_{i=1}^x i\longrightarrow X=2n-1

וכן לעולם כפול מהלכו של המהלך קביעתו והסר א' ובאלו הימים הגיעו

If the second is walking 1; 3; 5; 7.

\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x \left(2i-1\right)

ואם השני מהלך א'ג'ה'ז‫'

Subtract 10 from the walk and he will reach him in

\scriptstyle{\color{blue}{X=10}}

days.

תחוסר מן המהלך י' וישיגו בי' ימים

If he [= the second] is walking 2; 4; 6; 8.

\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x 2i

ואם הוא מהלך ב'ד'ו'ח‫'

He will reach him in

\scriptstyle{\color{blue}{X=9}}

days.

ישיגו בט' ימים

וזה לך סימן לעולם על המהלך א'ב'ג' שתדע בקיצור כמה מילין הלך

Sums - Stock of Coins - arranged in sequence: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... → finding their sum $\scriptstyle\sum_{i=1}^n i$

שאלה אם ישאלך השואל הנה צבור מעות מונחים כאן וכולן מונחים על דרך א'ב'ג'ד'ה'ו‫'

If the last is 9:

תבין בסוף השיטה אם סוף השיטה ט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^9 i={\color{red}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(9+1\right)\right]\sdot9}}=5\sdot9=45}}

אז קח אמצעית אותו שיטה שהוא חמשה ואמור ה' פעמים ט' הרי מ"ה וכך המעות מ"ה

If the last is 10:

ואם סוף השיטה י‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot10\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\left(5\sdot10\right)+5=50+5=55}}

אז קח אחת מאמצעי' השיטה ואמור ה' פעמים י' הרי זה נ' ותוסיף עוד חצי שיטה היינו ה' והיינו הכל נ"ה

The rule:

נקט האי כללא בידך

\scriptstyle n=2m\longrightarrow\sum_{k=1}^n k=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)\sdot n\right]+\frac{1}{2}n

כשסוף השיטה בזוגות אז כפול אמצעית השיטה על השיטה השלימה ותוסיף חצי השיטה

\scriptstyle n=2m+1\longrightarrow\sum_{k=1}^n k=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n+1\right)\right]\sdot n

ואם סוף השיטה בפרודות כגון ז' ט' י"א י"ג ט"ו אז כפול אמצעי השיטה על כל השיטה ואינך צריך להוסיף דבר ודוק

Proportional Division - Three Men Sharing Food

Riddle: two sat down to eat some bread. One had three loafs of bread and the second had two loafs of bread. A third came and ate with them. At the end of the meal, he went leaving five pešiṭim for the two. How should these two share the five pešiṭim?

\scriptstyle\left(2-\frac{5}{3}\right)X+\left(3-\frac{5}{3}\right)X=\frac{5}{3}

חידה שנים הסיבו לאכול לחם ואחד יש לו ג' ככרות והשני יש לו ב' ככרות ובא עוד שלישי ואכל עמהם ובגמר הסעודה הלך לו והניח לפני השנים ה' פשוטים חוד איך יחלקו אלו השנים הה' פשוטים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}}}

ודע והבין כמה מגיע לכל אחד מן הלחם צריך לומר כיכר שלם ושני שלישית

\scriptstyle{\color{blue}{2-\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}}}

כמה הפסיד בעל ב' ככרות רק שליש

\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(1+\frac{2}{3}\right)=1+\frac{1}{3}}}

וכמה הפסיד בעל ג' ככרות ככר ושליש

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}=\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}}

נמצא שנתן בעד ה' שלישיות ה' פשוטים זה נוטל ארבע פשי' וזה נוטל פשוט

Multiple Quantities

people came to eat. Among them, there were men, women, and children. All in all 20 [people]. The host came and said to them: every man should give me three pešiṭim, every woman – two pešiṭim, and every child – a half pašuṭ, and so they did. The total amount of money [paid by] all of them together was 20. How many men, women, and children were there?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle3X+2Y+\frac{1}{2}Z=20\\\scriptstyle X+Y+Z=20\end{cases}

חוד חידה הנה באו הנה נפשות לאכול ויש ביניהם אנשים ונשים וטף וסך כולם עשרים ובא להן בעל הבית ואמר להן תנו לי איש אחד מכם ג' פשוטים ואשה ב' פשוטים ותינוק חצי פשוט וכן עשו ועלה הסך של מעות כולם עשרים פשוטים חוד כמה היו האנשים וכמה הנשים וכמה הטף

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle men=X=1\\\scriptstyle women=Y=5\\\scriptstyle children=Z=14\end{cases}}}

תשובה איש אחד חמשה נשים י"ד תינוקות ודוק

Multiple Quantities - Men, Women, and Children as Guests - a hundred people came to a guesthouse and sat to eat together. Among them, there were men, women, and children. The host came and said to them: every man should give me ten pešiṭim, every woman – five pešiṭim, and every child – a half pašuṭ, and so they did. The total amount of money [paid by] all of them together was 100 pešiṭim. How many men, women, and children were there?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle10X+5Y+\frac{1}{2}Z=100\\\scriptstyle X+Y+Z=100\end{cases}

דרך אחר הנה באו מאה נפשות למלון אחד וישבו יחד לאכול והיה ג"כ ביניהם אנשים ונשים וטף ובא ג"כ להם בעל אושפיזין ואמר להם תנו לי כל איש עשרה פשוטי' ואשה ה' פשוט ותינוק חצי פשי' וכן עשו והיה הסך של מעות מאה פשוטי' חוד כמה היו אנשים וכמה הנשים וכמה טף

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle men=X=1\\\scriptstyle women=Y=9\\\scriptstyle children=Z=90\end{cases}}}

תשובה איש אחד ט' נשים צ' תינוקות

Double False Position

Question by R. Israel from Prague:

שאלה מפי הר"ר ישראל מפראג ממון שהוספנו עלינו כמה שהיה בתחלה כגון אם הוא ג' תוסיף עליו ג' וגם מחציתו ורביעתו ויהיה הכל עשרים או ל' או מ' או כפי רצונך כמה שתרצה ותכתוב שני חשבונות שקרים ותחשוב מהם האמת כמה היה בתחילה

Find a Quantity Problem - How Much Problem - Money

An amount of money, we add to it as it was at first, and its half and its quarter and the total is 20

\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X=20

והנה לך דימיון כגון ממון שהוספנו עליו כמו שהיה בתחילה ומחציתו ורביעתו ויהיה הכל עשרים

1)

\scriptstyle{\color{blue}{4+4+\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot4\right)=4+4+2+1=11}}

אז חשוב אם היה בתחלה המעות ד' זהו' והוספנו עליו עוד ד' ועוד מחציתו שהוא ב' ורביעתו שהוא א' והנה הכל ביחד א'א'

\scriptstyle{\color{blue}{20-11=9}}

והנה הוא שקר כי היה ראוי להיות הכל 0"ב כי שאילתינו כשהוספנו עליו כמו שהיה בתחילה ומחציתו ורביעתו ויהיה הכל עשרים וזה אינו רק א'א' אז חשוב כמה הוא מן א'א' עד 0"ב ויהיה ט' אותו ט' כתוב תחת ד' שאמרנו שהיו המעות בתחילה כזה

4

9

ד

ט

2)

\scriptstyle{\color{blue}{8+8+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)=8+8+4+2=22}}

ואח"כ חשוב אם היו המעו' בתחילה ח' והוספנו עליו כפי שאילתינו עוד ח' ומחציתו שהוא ד' ורביעיתו שהוא ב' והנה הכל ביחד ב'ב'

\scriptstyle{\color{blue}{22-20=2}}

א"כ זהו ג"כ שקר כי הוא ראוי להיות הכל ביחד 0"ב כמו ששאלנו כי שאלנו כשהוספנו עליו כמו שהיה בתחילה ומחציתו ורביעתו ויהיה הכל 0"ב אז תנכה 0"ב מן החשבון כפי שאילתנו ויהיה יותר ב' אותו ב' כתוב תחת ח' שאמרנו שהיה המעות בתחילה וכתוב ח' בצד שמאל של ד' וגם ב' הנשאר מן החשבון כתוב בצד שמאל על ט' כזה

8	4
2	9

ח	ד
ב	ט

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(2\sdot4\right)+\left(9\sdot8\right)}{9+2}=\frac{8+72}{11}=\frac{80}{11}=7+\frac{3}{11}}}

והנה צרוף ט"ב ביחד כי הם נשארים מן החשבונות השקרים ויהיה א'א' וזה המורה אח"כ כפל ב' שתחת על ד' ויהיה ח' אותו ח' כתוב שלא תשכח ואח"כ כפול ט' שתחת ד' על ח' ויהיה ב"ז וקח ח' שכתבת כבר ושים אותו על ב' ויהיה עשרה כתוב גלגל במקום ב' ומחוק ד' וכתוב במקומה ח' ויהיה 0"ח פי' פ' ואח"כ חלוק בשער החילוק כמה פעמים א'א' יש בשמונים כי הוא המורה ותמצא בו ז' פעמים ועוד ג' חלקים שא'א' מהן חלק שלם פי' שלם זהב שלם וכך היא המעות בתחילה ששאלנו והמבין יבין

וזה החשבון דלעיל מכוון כששני חשבונות השקרים אחד פחות ואחד יותר אבל אם שני חשבונות שקרים כל אחד יותר על חשבון היוצא או שניהם חסרים אשכילך האיך תעשה אז תנכה החשבון המועט הנשאר מן חשבון המרובע ומה שישאר לך זהו המורה וכשכפלת שני חשבונות יחד אז תנכה גם כן חשבון המועט מן המרובה

I shall write you an example, for instance, if you have an amount of money, you add to it the same amount, and its half and its quarter and the total is 20

\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X=20

והנה אכתוב לך דימיון כגון אם יש לך סך מעות וכפלת עליו סך שהיה כבר ומחציתו ורביעתו ויהיה בין הכל 0"ב

1)

\scriptstyle{\color{blue}{8+8+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)=8+8+4+2=22}}

אשכילך האיך תעשה אם תאמר שהיה סך מעות ח' זהו' והוספנו עליו עוד ח' ומחציתו שהוא ד' ורביעתו שהוא ב' ויהיה [ס]ך הכל ב'ב'

\scriptstyle{\color{blue}{22-20=2}}

וזה שקר כי היה ראוי להיות סך הכל 0"ב אז תנכה 0"ב וישאר ב' אותו ב' כתוב שלא [ת]שכח

2)

\scriptstyle{\color{blue}{16+16+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)=16+16+8+4=44}}

ואז תחשוב חשבון השני ותאמר אם היו סך המעות ו"א והוספנו עליו ו"א ומחציתו שהוא ח' ורביעיתו שהוא ד' ויהיה בין הכל ד"ד

\scriptstyle{\color{blue}{44-20=24}}

וזה שקר גמור כי היה ראוי להיות 0"ב אז תנכה 0"ב שהוא סך היוצא מן מעות מן ד"ד וישאר ד"ב

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(24\sdot8\right)+\left(2\sdot16\right)}{24-2}=\frac{192-32}{22}=\frac{160}{22}=7+\frac{6}{22}}}

ואח"כ ב' הנשאר מן חשבון הראשון מן ד"ב הנשאר מן חשבון השני וישאר ב"ב וזהו המורה ואז כפול ב' שתחת ח' על ו"א ויהיה ב"ג כתוב שלא תשכח ואח"כ כפול ד'ב' על ח' ויעלה ב'ט'א' אז תנכה החשבון הראשון אשר כפלת שהוא ב"ג מן החשבון השני שהוא ב'ט'א' כי הוא חשבון המועט וישאר 0'ו'א' אז חלוק בשער החילוק כמה פעמים ב'ב' יש בו כי הוא המורה ותמצא שיש בו ז' פעמים וגם ו' חלקים שב'ב' מהן חלק שלם דהיינו זהו' והמבין יבין סליק

Additional Word Problems

Mantova, Comunità Ebraica MS ebr. 8/16

Into how many parts you should divide a piece [of bread] so that [the parts] will be divisible by 3, 4, and 5

והנה אגלה לך שער השברים אם נשאל לך השואל על פת אחת לכמה חלקים שצריך אתה לשבר הפת שתמצא בה שלישית ורביעית וחמישית אז תכתוב כך השאלה

ה

ד

ג

ותאמ' ג' פעמים ד' ויעלה ב"א ותכפול פעם אחת הב"א תוך הה' אז יעל' לך ס"ו וזה חלוקים שתמצא שלישית ורביעית וחמישית דהא 0"ב שלישית מס"ו ורביעית ה"א וחמישית זהו ב"א סליק

12 barrels are bought for 6 zehuvim, how much are 9 barrels cost?

והנה אגלה לך שער הערך וזהוא דמיונו אם נשאל לך השואל הנה לפניך ב"א חביות שנקנין עבור ו' זהובי' ט' חביות כמה הן עולין אז תכתו' כך השאלה

ט

ו

בא

ואז תאמר ו' פעמי' ט' ויעלה לך ד"ה אז תחלוק הב"א מד"ה ותאמר כמה א' בה' והא' הוי תוך הה' ה' פעמים אבל לא תוכל ליקח ה' פעמים דאל"כ לא תוכל ליקח הב' מן הד' ה' פעמים וכמה פעמים שתקח הא' מן הה' כך הרבה פעמים צריך אתה ליקח הב' מן הד' אלא לא תוכל ליקח הא' מן הה' אלא ד' פעמים ואז נשאר לך ד"א והד' תכתו' למעלה דה"ד הוי הזהו' ואז צריך ליקח הב' מן ד"א נמי ד' פעמי' אז נשאר לך ו' וזהו ג' גדולי' שעולי' י"ב על הזהוב אחד ונמצא לכשתקנה ב"א חביות עבור ו' זהובי' שט' חביות עולים ד' זהובי' וחצי כן תעשה לכל פעם

Two lent a loan of 34 zehuvim - one had a debt of 15 zehuvim and the other had a debt of 19 zehuvim and they charged an interest of 13 zehuvim, how much will each have of the interest?

ועוד אפרש לך ערך אחר שנים שהלוו על חוב אחד ד"ג זהובי' ולאחד יש לו בחוב ה"א זהובי' ולשיני יש לו בחוב ט"א זהובי' ולקחו שנים לרבית ג"א זהובי' כמה יש לכל אחד בה ג"א זהובי' לפי הערך

והנה אפרש לך בקיצור איך תעשה שתמצא היושר אז תכתו' כל אחד לחוד וכך תכתו' הריבי' למעלה ואח"כ המעות שיש לו ב' בחוב ואח"כ הסך כולה וזה דומיונו שכתו' מבראי ותכפל המעות שלו תוך הריבית ותאמ' פ' א'פ'א' ואח"כ תאמ' א'פ'ה' שהוא ה' ואח"כ תכתו' עוד פעם אחת ה"א תחת הג' שלמעלה ויהיה כך דמיונו ותאמ' גפ"א שהוא ג' ותשים על הה' שלמעלה אז יהיה ח' ותאמ' עוד פ"א גפ"ה שהוא ה"א אז תמצא הט' א' אז תחליק הד"ג מן הט"א ותאמ' כמה יש ג' בתוך ט"א והוא הוי ביה ו'פ' אבל תוכל לקח ו' פ' כי אז אין נשאר לך אלא ה' א' ולא תוכל ליקח ו'פ'ד' מה"א אלא לא תוכל ליקח אל ה'פ' אז נשאר לך הד' והה' תכתו' למעלה כמו כן ותקח ה'פ'ד' מן ה'ד' אז תשאר לך ה"ב אז יהיה לזה בחלקו ה' זהוב' והב' גדולי' שעולים ד"ג על זהוב אחד ועשית' גם כן לצד השני ותמצא שיהיה לשני בחלקו ז' זהובי' וט' גדולי' שעולי' ד"ג על זהוב אחד סליק

Boiling Water Problem - you have 15 se'ah of water, if they are boiled on fire for one day, 7 se'ah are evaporated, if there are only 13 se'ah on fire, how much will be evaporated according to this ratio?

\scriptstyle\frac{15}{7}=\frac{13}{X}

הנה אפרש לך ערך אחר אם ישאל לך השואל כי הנה ה"א סאין מים לפניך ואם מתבשלין על האור יום אחד אז הוי מתמעטין ז' סאין הנה אם היו רק ג"א סאין על האש והאש הוי מממועט לפי זה הערך כמה הוי מתמעט מן הג"א סאין ביום אחד אז תכתו' כך השאלה כדכתי' מבדאי

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{13\times7}{15}=\frac{91}{15}=6+\frac{1}{15}}}

ותעשה כמו שפרשתי לעיל תכפול הג"א תוך הז' ותמצא א"ט אז תחלוק ה"א מן הא"ט ותמצא שהוי הג"א סאין מתמעט ביום אחד ו' סאין וחלק אחד שה"א עושין על סאה אחת סליק

השורש מערך שנים שהלוו על חוב ט' זהו' לאחד יש ה' זהו' ולאחד ד' זהו' ולקחו לרבית י"ג ונמצא דשייך לכל אחד ב' זהוב י"ג תשיעיו' לרבית ונמצא דשייך לזה שיש לו ה' זהו' ה'פ' י"ג תשיעיו' שהם וו' תשיעיו' וכשתחלוק ממנו ט' שהוא המור' פי' כל ט' תשיעיות הם רבי' זהוב וכך תעשה גם לשני סליק

והנה אפרש לך ערך מתוך ערך והנה אחד שלוה על חוב ט' זהובי' והם עומדים ד"א שבועות ואחד שלוה על חוב א"א זהובי' והם עומדי' ה"א שבועות ולקחו שניהם ליחד ריבית ז' זהובי' כמה יש לכל אחד בחלקו לפי הערך הנה אפרש לך בקיצור איך שתעשה שתמצ' האמת תכתו' לכל אחד לבדו כמה שהכתב מבדאי הריבי' לעי' ואח"כ המעות ואח"כ השובועו' ותשים צד אחד לפניך איזי שתרצה ותכפל המעות תוך השבועות ותאמ' ט'פ'א' שהוא ט' ואח"כ תאמ' טפ"ד ותמצא הוא אז תחבר וב"א ותעשה ג"כ לצד השיני ותמצא הוא אז תחבר אותם ליחד וב"א והוא ותמצא אט"ב וזה תרשום לפניך כי הוא המור' ואח"כ תכפול כל אחד ואחד וב"א והוא תוך הריבית וכשתכפול וב"א תוך הז' אז תמצא בח"ח ותחליק אט"ב הנזכרים לעיל מן בח"ח ותמצ' אט"ב תוך בח"ח ג"פ והג' הוא הזהו' שיהיו לו בחלקו וגם ט' נשאר לך מן החילק הוא הוי ט' גדולי' שעולי' אט"ב על אט"ב על אט"ב זהוב אחד ותעשה ג"כ לצד השני ותיכפול הוא תוך הז' ותמצא ה"ה א"א ותחליק ג"כ אט"ב מן ה"ה א"א ותמצא אטב תוך ה"א א"א ג"פ שהוא הזהו' שיהיו לו בחלקו וגם נשאר לך בח"ב שלא יכולים להשיג לכלל אט"ב שהוא גדולים שעולים אט"ב על זהו' אחד ונמצא שיהיו לזה בחלקו ג' זהו' ובח"ב גדולי' שעולי' אט"ב על זהוב אחד סליק דוק

ואם נשאל לך על זה העיגול כמה כי יאמר לך החץ וחצי היתור אותו אז תאמר כמה היתור חצי הוא הד' אמות אז תאמ' ד'פ'ד' והוא ו"א ותאמ' כמה אורך החץ והוא אמה אז תחלק האמ' מן הו"א ותאמר כמה א' בתוך ו"א והוא ו"א והוא ו"א פ' בתוכה אז תעשה אורך החץ שהוא א' על הו"א אז יהיה ז"א וקח הו"א אורכו העיגול וכן תעשה לכל פעם תכפול היתור תחלק החץ מן ה' הנכפל ודוק

הנה אפרש לך שאלה שנקר' הסולם אם נשאל לך על סולם אחד שהיא גבוה עשרה אמות ואם נישג הסולם למעלה ב' אמות כמה אמות השיג למטה מחומה כמה זה אז תעשה כך תאמ' כמה אורך הסול' אורכה עשרה ותאמ' י'פ'י' שהי' ק' ותאמ' כמה אורך החומה מן הארץ עד ראש הסולם והיא ח' אמות ותאמ' ח'פ'ח' והוא ד"ו ותחלק הח' מן ה0'0'א' ונשאר ו"ג ותעשה שורת בה'ו'ג' והשורת בהוג הוא ו' זה אורך הקרקע מן החומה עד הסולם. זליק

בזה הוכיח דלאכח מה שבריבוע מאה על אמה שהאלכסון שלו אמ' ותרי חומשין כי זה 0"א אמות על 0"א אמו' ודוק

Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 714/4
Question: here are many bulls one after another, meaning that every time I bought the first for a certain amount, I then bought the bull that follows it for double the first and likewise the third bull I bought also for double [the price] that I bought the one that preceded it and so the fourth bull and the fifth bull.	‫^[9]שאלה הנה שוורים הרבה בזה אחר זה ובענין זה בכל פעם כשקניתי הראשון בעד סך א' אז קניתי אותו שור של אחריו בעד כפל הראשון וכן השור השלישי קניתי ג"כ בעד כפל שקניתי אותו שלפניו וכן השור הד' וכן השור הה'
	כגון הא' קניתיו בעד א' זהוב הב' בב' זהובי' הג' בד' וכן כולם והנה השאלה כמה כל המעות הללו בסך אחת
	תשובה זאת ועוד אחרת דוגמא זה למצוא ולחשוב ולעמוד על בוריו תעשה בענין זה ואופן זה בתחלה תראה ותבין כמה הוא סך הראשון שקנית בו השור הראשון ואח"כ תראה ג"כ כמה הוא הסך האחרון ב' פעמים בשער הכפל גדול ותחסר ממנו בשער החיסור הסך הראשון שקנית בו השור הראשון ומה שישאר בידך כשחסרת ממנו הסך הא' הוא סכום כל המעות שקנית בהם כל השוורים
	והנה לך הדמיון כגון הראשון קנית בעד א' זהוב והשני בעד ב' והשלישי בעד ד' והרביעי בעד ח' והה' בעד י"ו והו' בעד ל"ב והז' בעד ס"ד . והנה תראה אתה שהסך האחרון שקנית בו השור הז' היינו השור האחרון הוא ס"ד זהובים א"כ תחשוב בשער הכפול הגדול ב' פעמים ס"ד ויהיה ‫^[10]ס"ד ויהיה קכ"ח אז תחסר מן קכ"ח הסך הראשון שקנית בו השור הא' שהוא א' זהוב וישאר בידך קכ"ז זה כל כך מעות קנית כל השוורים וכן כל פעם תחסר מן הסך האחרון סך הראשון אחרי אשר כפלת אותו ב' פעמים ולאו דוקא אם הסך הראשון א' שהוא הדין אם הסך הא' ב' או ג' או ד' או כמה שהוא בתחלה תחסר מן הסך האחרון כשכפלת אותו ב"פ ואל תשנה מעניין זה כי חשבון א' הוא ואמת
	שאלה אם תרצה לידע ולחשוב חשבון מה שתרצה בעניין זה בכל פעם אותו חשבון שלאחריו הוא ד' פעמים כמו אותו חשבון שלפניו כגון א' ד' י"ו . ס"ד . ס"ד . רנ"ו . ותרצה לידע ולחשוב כמה הוא סך אחד . אשכילך בדרך זו הילך למען תצליח שתשכיל . והנה אראך הדרך אשר תלך בה בתחלה תראה ותבין ג"כ על הסך הראשון ועל הסך האחרון כמה הם אמנם אינו צריך לכפול סך האחרון כמו שהראיתיך לעיל . רק קח בידך כמו שתמצא אותו עתה ותחסר ממנו סך הראשון מן סך האחרון אז תוכל לחלק הנשאר בידך לג' חלקים שוים וזה קל להבין לכל בר משכיל אשר הערה את נפשו למלאכה היקרה הזאת . כי אמשול לך ‫^[11]משל בדמיון קטן ואשכילך בו למען תבין ממנו ותראה בעיניך שתוכל לחלק הנשאר בידך לג' חלקים אחרי שחסרת ממנו הסך הראשון
	והנה לך הדמיון כגון אם תרצה לידע ולחשוב בסך א' א' ד' י"ו ס"ד רנ"ו [...] תראה עתה שהסך האחרון הוא רנ"ו והסך הא' הוא א' ותרצה לחשוב כל הסכומין בסך אחד אז קח הסך האחרון היינו רנ"ו ותחסר ממנו הסך הראשון היינו א' וישאר לך רנ"ה ואח"כ תחלק בשער החלוק כמה יש ברנ"ה הג' כי תמצא שיצא החשבון לג' חלקים שוים ולא ישאר לך מהם כלום . אחר אשר חסרת ממנו הסך הראשון היינו א' . ואם אתה עושה כן תמצא שיש בו פ"ה פעמים ג' ברנ"ה והיינו השליש מן הרנ"ה כי פ"ה פעמים ג' היינו רנ"ה . אם כן תראה עתה שיצא החשבון בג' חלקים שוים אחרי שחסרת ממנו הסך הראשון אח"כ קח אותו השליש מן רנ"ה דהיינו פ"ה וחבר אותו אל רנ"ו כי כן היה הסך האחרון מתחלה קודם שחסרת ממנו הסך הראשון ותמצא אחר החיבור שיצא לך תר"ל (?) והיינו כל החשבון אשר חפצת לידע כי כשתחבר ביחד א' ד' י"ו ס"ד ס"ד רנ"ו יעלה לך תר"ל (?) . ותן לבך להבין ולא לשכוח בכל ‫^[12]פעם לחסר החשבון הראשון מן סך האחרון ויצא אחר החיסור לג' חלקים שוים אח"כ תוכל ליקח החלק הג' היינו השליש ולחברו אל הסך האחרון כמו שהיה בתחלה ולאו דוקא אם הסך הראשון א' הוא הדין אם הסך הראשון ב' או ג' או ד' או ה' או כמה שתרצה . תוכל בכל פעם לחסר אותו מן הסך האחרון ויצא לך הסך בכל פעם אחר החיסור לג' חלקים שוים וחבור אותו השליש לסך האחרון כמו שהיה בתחלה וזהו חשבון ודוק תם
	‫^[13]אדם הלך לשוק וכפל מעותיו והוציא י"ב פשוטים ועוד הלך לשוק אחר וכפל הנשאר בידו והוציא י"ב פשוטים ועוד הלך לשוק אחר וכפל הנשאר בידו והוציא [י"ב פשוטים] [...] בידו כלום כמה היה הקרן שהוליך כמו בשוק הראשון עשה כך בעבור הראשון נצטרך להוציא החצי מן הי"ב שהוציא ובעבור השני נקח הרביעי ובעבור השלישי נקח השמינית מי"ב שהוא פשוט וחצי הסר א' פשוט וחצי מי"ב ישארו י' וחצי וכן היה הקרן שהוליך לשוק הראשון ועל זה הדרך תוכל לעשות ואם ילך לכמה שווקים כי בעבור השוק הרביעי נסיר מן הי"ב פ' שהיה מוציא בכל פעם חלק א' מי"ו ובעבור החמישי נסיר חלק א' מל"ב ובעבור השישי נסיר חלק א' מס"ד וכאשר תרבה השווקים כן תכפול מה שיש בידך ועל הכפול חלק מה שהוציא ומה שיעלה בחילוק הסר ממה שהוציא והוא המבוקש
A man went to the orchard to pick apples and he has to pick from them so that he will give the inner keeper of the orchard half the apples he collected and one more and to the second gatekeeper of the second gate he has to give half of the apples left in his hand and one more and so on he has [to give to all the gatekeepers] of the six gates of the orchard, that is, to give each gatekeeper a half and one more [...] apples no less and no more	אדם א' הלך לפרדס א' ללקוט תפוחים ויש לו ללקוט מהם כל כך שיתן לשוער הפנימי ‫^[14]של הפרדס חצי התפוחים שלקט וא' יותר ולשוער השני מן השער הב' יש לו ליתן החצי מן התפוחים שנשארו בידו וא' יותר וכן יש לו [...] לששה שערים שיש לפרדס דהיינו לתת לכל שוער החצי וא' יותר [...] תפוחים לא פחות ולא יותר עשה כך
	תפוש מספר הה' שהוא חייב להביא ותוסיף עליו א' הרי ו' כפול ו' ויהא י"ב הרי שער א' הוסיף עליו א' הרי י"ג כפול אותם ויהיו כ"ו הרי ב' שערים תוסיף עליו א' ויהיו כ"ז כפול אותם ויהיו נ"ד הרי ג' שערים תוסיף עליהם א' ויהיו נ"ה כפול אותם ויהיו ק"י הרי ד' שערים תוסיף עליהם א' ויהיו קי"א כפול אותם ויהיו רכ"ב הרי ה' שערים תוסיף עליהם א' ויהיו רכ"ג כפול אותם ויהיו תמ"ו הרי ו' שערים הרי שיש לו ללקט תמ"ו תפוחים בין הכל וישארו בידו ה' תפוחים להביא לא פיחות ולא יותר ואם יש לו ללקט מהם כל כך שיתן לשוער הפנימי החצי ממה שלקט וא' יותר ולשוער הב' חצי הנשאר וב' יותר ולשוער הג' חצי הנשאר וג' יותר ‫^[15]ולשוער הד' חצי הנשאר וד' יותר וד' תפוחים יש לו להביא לא פחות ולא יותר עשה כך תפוח משער הד' שיש לו להביא הוסף עליהם ד' שיש לו להוסיף לשו[ער] [...] שער א' הוסף [עליהם א' וי]היו י"ט כפלם ויהיו ל"ח . הרי ב' שערים הוסף עליהם ב' ויהיו מ' כפלם ויהיו פ' הרי ג' שערים הוסף עליהם א' יהיו פ"א כפלם ויהיו קס"ב הרי ד' שערים והתפוחים שלקט היו קס"ב והנשארים בידו ד' תפוחים
	חנית מעוכה בארץ שלישיתה ורביעיתה ולמעלה מן הארץ היא פ' אמה כמה אמות היא בין כולה עשה כך תמצא מספר שיש לו שליש ורביע והוא י"ב ושליש ורביע מי"ב הוא ז' והוא התחוב בארץ ולמעלה מן הארץ נשאר ה' אם כך אמור כך אם ה' שווה י"ב כמה ישוה כ' כפול אותם כ"פ י"ב יעלו ר"מ חלקם על ה' יעלו מ"ח בחלוק א"כ אורך החנית מ"ח אמות
Reuven hired Shimon to build him a house in 30 days - for a day working in construction he will earn 9 liṭra, and for an unemployment day he will lose 4 liṭra. At the end of 30 days he did not earn or lose. How many days did he work and how many days he did not work? $\scriptstyle3x=\left(30-x\right)\sdot4$	ראובן שכר שמעון שיבנה לו בית א' בל' יום והיום שיעבוד בבנין ירויח ג' ליט' והיום שלא יעבוד יפסיד ד' ליט' ובסוף ל' יום לא הרויח ולא הפסיד כלום כמה ימים עבד וכמה ימים לא ‫^[16]עבד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot30}{3+4}=\frac{120}{7}=17+\frac{1}{7}}}$	^[17][י"ב ימים חלקים של ז' והם הימים שלא עבד בה ואחר הכפיל ד"פ ל' ויעלו ק"כ חלקם עם ז' ויעלו י"ז יום וחלק א' מז' ביום]
	עשה כך אין ספק כי מה שירויח בד' ימים לחשבון ג' ליט' ליום יפסיד בג' ימים לחשבון ד' ליט' ליום חבר ד' עם הג' יהיו ז' כפול ג"פ ל' יהיו צ' חלקם על [...] יעלו [...] [...] וכן ימים עבד בה
If for a day working in building the house he will earn 36 pešuṭim, for an unemployment day he will lose 41 pešuṭim and at the end of 30 days he did not earn or lose $\scriptstyle36x=\left(30-x\right)\sdot41$	ואם יאמר כי היום שיעבוד בבית ירויח ל"ו פשוט והיום שלא יעבוד יפסיד מ"א פשוטים ובסוף ל' יום לא הרויח ולא הפסיד כלום
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{36\sdot30}{36+41}=\frac{1080}{77}=14+\frac{2}{77}}}$	עשה כך אין ספק כי מה שירויח במ"א יום לחשבון ל"ו פשוטים ליום יפסיד בל"ו יום לחשבון מ"א פשוטים ליום תחבר ל"ו עם מ"א יעלו ע"ז כפול ל"ו פעמים ל' יהיו לך י"ד יום שלמים יעלה לך אלף ופ' חלקם על ע"ז ויעלו בחלוק י"ד יום שלם וב' חלקים מע"ז ביום וכך ימים לא עבד בבית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{41\sdot30}{36+41}=\frac{1230}{77}=15+\frac{75}{77}}}$	ועוד כפול מ"א פעמים ל' ויעלה אלף ור"ל חלקם על ע"ז ויעלו בחלוק ט"ו ימים שלמים וע"ה חלקים מע"ז ביום
Divide a Quantity - Sharing Food Two men sat down to eat. One had two loafs of bread and the second had three loafs of bread. A third came and ate with them. [The three ate the five loafs of bread and after they ate and drank, the third who came to eat with them gave five pešiṭim for the two. How should they share the five pešiṭim]? $\scriptstyle\left[\left(2-\frac{5}{3}\right)\sdot X\right]+\left[\left(3-\frac{5}{3}\right)\sdot X\right]=5$	‫^[18]ב' אנשים היו יושבין לאכול לאחד היו ב' לחמים ולשני ג' לחמים בא אדם שלישי ואכל עמהם ואכלו בין שלשתם אלו הה' לחמים לאחר שאכלו נתן אותו השלישי שאכל עמהם לאותם השנים ה' פשוטים [...] ביניהם [...] כמה חלק מכל לחם אכל כל א' מהם א' לחם וב' שלישיות מלחם א"כ אותו שהיו לו ב' לחמים ואכל א' לחם וב' שלישיות לא הפסיד כי אם שליש לחם ואותו שהיו לו ג' לחמים ואכל א' לחם וב' שלישיות הפסיד א' לחם ושליש שהם ד' שלישיות לחם א"כ אותו שהיו לו ב' לחמים יקח א' פשוט כי הפסיד שליש לחם ואותו שהיו לו ג' לחמים יקח ד' פשוטים כי הפסיד לחם א' ושליש שהם ד' שלישי לחם
Motion Problem - To and From - an Ant Climbing a Tower A tower is 20 cubits tall. An ant wants to climb up. Every day it climbs up one third of a cubit and every night it goes down a quarter of a cubit. How much further up it moves each day and in how many days it will reach to the top? $\scriptstyle\frac{1}{3}X-\frac{1}{4}X=20$	מגדל שהוא גבוה כ' אמה ונמלה א' רוצה לעלות למעלה ובכל יום עולה שליש אמה ובכל לילה יורדה רביע אמה כמה יתרון יש לה בכל יום ובכמה ימים תעלה למעלה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}}$	אמור תחלה כמה הוא יותר השליש מן הרביע א' חלק מי"ב
	הרי שבי"ב ימים היא עולה א' אמה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=12\sdot20=240}}$	ובעבור שהמגדל היא גבוה כ' אמות אמור י"ב פעמים כ' הרי ר"מ הרי שבר"מ ימים היא עולה לראש המגדל
How Much Problem – Money You have some money. You take a third, a quarter, and a fifth of it and their sum is nine. How much remains? $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X\right)=9$	הרי שיש לך מעות והוצאת מהם השליש והרביע ‫^[19]והחומש והם ט' פשוטים כמה יהיו הנשארים
	אמור תחלה שליש ורביע וחומש ימצאו בס' השליש הוא כ' הרביע הוא ט"ו החומש הוא י"ב וכללם יהיו מ"ז הרי שהשליש והרביע והחומש שהם ט' פשוטים הם מ"ז חלקים מס' נמצא שהנשאר [...] י"ג חלקים מס' ולכן אמור אם מ"ז חלקים מס' שוים ט' פשוטים י"ג חלקים מס' כמה שוים אמור י"ג פעמים ט' הם קי"ז חלקם במ"ז יבואו כ"ג חלקים ממ"ז נמצא שהיו בכיס י"א פשוטים וכ"ג חלקים ממ"ז ומה שהוציא הוא ט' ומה שנשאר היו ב' וכ"ג חלקים ממ"ז וכן לכל חשבון שתרצה
A man has a jug with maximum capacity of 8 cups of wine and he wants to divide its content between two people, giving each 4 cups, but he has only two jars – one with a maximum capacity of 3 cups and the other [with a maximum capacity of] 5 [cups]. How will he divide it, giving each 4 [cups]?	אדם א' יש לו קנקן שמחזיק ח' כוסות של יין ורוצה לחלקו לשני אנשים וליתן לכל א' ד' כוסות ואין לו רק שני כלים שהא' מחזיק ג' כוסות וא' ה' היאך יעשה לחלק אותם וליתן ד' לכל א'
Filling the small jar [3 cups] and pouring its content to the medium jar [5 cups] 3 cups - medium jar 5 cups - large jug	תחלה ימלא הכלי שמחזיק ג' כוסות וישים אותם בתוך הכלי המחזיק ה'
Filling the small jar once more, pouring its content to the medium jar until it is full 1 cup - small jar 5 cups - medium jar [2 cups - large jug]	ואח"כ ימלא פעם אחר הכלי המחזיק ג' ויריק כמו כן באותו הכלי המחזיק ה' הרי שהכלי המחזיק ה' מלא ונשאר בכלי המחזיק ג' כוס א'
Pouring the content of the medium jar to the large jug [8 cups] 1 cup - small jar 7 cups - large jug	אח"כ יריק הכלי מלא של ה' כוסות בתוך הקנקן המחזיק ח' ונמצא ‫^[20]שבתוך הקנקן גדול יש בו ז' כוסות ובכלי המחזיק ג' יש בו כוס א'
Pouring the content of the small jar [1 cup] to the medium jar, then filling the small jar once again from the large jug and pouring the content of the small jar [3 cup] to the medium jar 4 cups - medium jar 4 cups - large jug	אח"כ יריק הכלי של ג' כוסות שיש בו כוס א' בתוך הכלי המחזיק ה' ויחזור וימלא הכלי המחזיק ג' מתוך הכלי המחזיק ח' ויריק בתוך הכלי המחזיק ה' ונמצא עכשיו ד' כוסות בתוך הכלי המחזיק ח' וד' כוסות בתוך הכלי המחזיק ה' ועם זה היין חלוק בשוה
Joint Purchase Problem - If You Give Me - Amounts of Money Three friend, one said to his two friends: know that all I have in my purse with a half of what the both of you have is 60. The second answers and says: all I have in my purse and a quarter of what the both of you have is 60. The third answers: all I have in my purse and a third of what the both of you have is 60. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)\right]=60\\\scriptstyle Y+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(X+Z\right)\right]=60\\\scriptstyle Z+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X+Y\right)\right]=60\end{cases}$	שלשה חברים היו ואמר הא' לשני חבריו דעו כי כל מה שבכיסי והחצי משניכם עולה ס' ויען השני ויאמר כל מה שבכיסי ורביע משניכם עולה ס' ויען השלישי כל מה שבכיסי ושליש משניכם עולה ס'
False Position: we found 3 numbers - 5, 11 and 13, which are a sort of [an answer to] this question. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle X_1=5\\\scriptstyle Y_1=11\\\scriptstyle Z_1=13\end{cases}}}$	מצאנו ג' מספרים והם ה' י"א וי"ג שהם כעין השאלה הזאת
For, 5 says to 11 and 13: me and a half of both of you is 17. 11 says to 5 and 13: me and a third of both of you is 17. 13 says to 5 and 11: me and a quarter of you is 17. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle X_1+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(Y_1+Z_1\right)\right]=17\\\scriptstyle Y_1+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(X_1+Z_1\right)\right]=17\\\scriptstyle Z_1+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Y_1\right)\right]=17\end{cases}}}$	כי ה' אומר לי"א ולי"ג אני וחצי שניכם י"ז וי"א אומר לה' ולי"ג אני ושליש שניכם י"ז וי"ג אומר לה' ולי"א אני ורביע שניכם י"ז
Rule of Four: you see that if they would have said: "the sum of all three of us is 17", the first would have 5, the second 11 and the third 13.	והנך רואה שאלו אמרו מחובר שלשתנו י"ז יהיה לא' ה' ולשני י"א ולשלישי י"ג
Now, that they say: "the sum of all three of us together is 60", we turn to the ratios and say:	ועכשיו שאמרו מחובר שלשתנו יחד ס' נשוב לערכים ונאמר
As the ratio of 5 to 17 so is the ratio of the smaller to 60, i.e. the one who asked a half of his friends. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{17}=\frac{X}{60}}}$	כערך ה' לי"ז כן ערך הקטן אל ס' הוא ששאל לחבריו החצי
As the ratio of 11 to 17 so is the ratio of the second to 60, i.e. the one who asked a third of his friends. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{17}=\frac{Y}{60}}}$	וכערך י"א לי"ז כן ערך השני לס' והוא ששאל ‫^[21]לחבריו השליש
As the ratio of 13 to 17 so is the ratio of the greater to 60, i.e. the one who asked a quarter of his friends. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13}{17}=\frac{Z}{60}}}$	וכערך י"ג לי"ז כן ערך הגדול אל ס' והוא ששאל לחביריו הרביע
	וכן תערוך לכל הסכומים שיאמרו שלשתם תשים המורה ה' וי"א וי"ג ודרך הערכים הוא כענין
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{17}{5}=\frac{60}{X}\longrightarrow X=\frac{60\sdot5}{17}=\frac{300}{17}=17+\frac{11}{17}}}$	אמור אם בעת שהמחובר הוא י"ז יהיה חלק הקטן ה' בהיות המחובר ס' כמה הם חלקיו אמור ספ"ה הוא ש' וחלקם בי"ז יהיו י"ז וי"א חלקים מי"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{17}{11}=\frac{60}{Y}\longrightarrow Y=\frac{60\sdot11}{17}=\frac{660}{17}=38+\frac{14}{17}}}$	ולדעת החלק האמצעי אמור אם בעת שהמחובר הוא י"ז שוה חלק האמצעי י"א בהיות המחובר ס' כמה הם חלקו אמור ס"פ י"א הם תר"ס חלקם בי"ז יהיו ל"ח וי"ד חלקים מי"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{17}{13}=\frac{60}{Z}\longrightarrow Z=\frac{60\sdot13}{17}=\frac{780}{17}=45+\frac{15}{17}}}$	ולדעת חלקי הגדול אמור אם בעת שהמחובר הוא י"ז יהיה החלק הגדול י"ג בהיות המחובר ס' כמה יהיה חלקו אמור ס"פ י"ג תש"פ חלקם בי"ז יהיו מ"ה וט"ו חלקים מי"ז
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)\right]&\scriptstyle=\left(17+\frac{11}{17}\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(38+\frac{14}{17}\right)+\left(45+\frac{15}{17}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(17+\frac{11}{17}\right)+\left(19+\frac{7}{17}\right)+\left(22+\frac{16}{17}\right)=60\\\end{align}}}$	ויהיה סדר הענין כך אומר הקטן אני שאני י"ז וי"א חלקים וחצי האמצעי שהם י"ט וז' חלקים מי"ז וחצי הגדול שהם כ"ב וי"ו חלקים מי"ז מחובר שלשתם ס'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle Y+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X+Z\right)\right]&\scriptstyle=\left(38+\frac{14}{17}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\left(17+\frac{11}{17}\right)+\left(45+\frac{15}{17}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(38+\frac{14}{17}\right)+\left(5+\frac{15}{17}\right)+\left(15+\frac{5}{17}\right)=60\\\end{align}}}$	ואומר האמצעי אני שאני ל"ח וי"ד חלקים מי"ז ושליש הקטן שהם ה' וט"ו חלקים מי"ז ושליש הגדול שהם ט"ו וה' חלקים מי"ז מחובר שלשתנו ס'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle Z+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y\right)\right]&\scriptstyle=\left(45+\frac{15}{17}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[\left(17+\frac{11}{17}\right)+\left(38+\frac{14}{17}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(45+\frac{15}{17}\right)+\left(4+\frac{7}{17}\right)+\left(9+\frac{12}{17}\right)=60\\\end{align}}}$	ואומר הגדול אני שאני מ"ה וט"ו ‫^[22]חלקים מי"ז ורביע הקטן שהוא ד' וז' חלקים מי"ז ורביע האמצעי שהוא ט' וי"ב חלקים מי"ז מחובר שלושתנו עולה ס'
Jacob divided [a certain amount] between his three sons. The share of Reuven was greater than the share of Shimon and the share of Shimon was greater than the share of Levi. Reuven gave his two brothers from his shares as much as their shares, Shimon gave his brothers also as much as their shares and Levi gave his brothers also as much as their shares, then the shares of the three were equal. How much was the [original] share of each?	שאלה יעקב חלק לבניו ג' והיה חלק ראובן גדול משל שמעון ושל שמעון גדול משל לוי נתן ראובן לשני אחיו מחלקו כפי מה שהיה חלקם ושמעון גם הוא נתן לאחיו כפי חלקם ולוי גם כן נתן לאחיו כפי חלקם ואז נמצא חלק שלשתם שוה כמה היה חלק כל א' מהם
	אמור כי חלק הראשון היה ד' וחלק השני ז' וחלק השלישי י"ג ונמצא בסוף חלקם שוה והיה ח' פשוטים לכל א' כיצד דרך משל חלק ראובן היה י"ג וחלק שמעון ז' וחלק לוי ד' והנה התחיל ראובן ונתן מחלקו לשמעון ז' כפי שהיה לו וללוי ד' ושנים נשאר בידו ואח"כ שמעון שעכשיו היה לו י"ד נתן ללוי ח' כפי מה שהיה בידו ולראובן ב' כפי מה שהיה עכשיו בידו ואח"כ לוי שעכשיו היה לו י"ו נתן מאלו לראובן ד' ונמצא שיש לו ח' וד' לשמעון ועם זה נמצא שביד כולם יש ח' פשוט' וחלקם שוה
A man said: here are two baskets of figs in each there are 100 figs, the fine are [sold at a rate of] 20 for one pašuṭ, the defective are [sold at a rate of] 30 for one pašuṭ. Their total price is 8 pešuṭim and one third.	אדם א' אמר הנה שני כלכלות של תאנים ובכל א' יש ק תאנים משל היפות כ' לפשוט והרעות ‫^[23]ל' לפשוט עולה חשבונם ח' פשוטים ושליש בא א' לקנות ואמר היאך אתה מוכר אמר מאלו אתן לך לז' ומאלו כ' השיב הקונה אם כן תן לי מאלו ומאלו ב' בב' פשוטים ונתן הכל בח' פשוטים והפסיד שליש פשוט
	אדם שכר שכיר לל' יום בשכר [...] פשוט לכל יום והיה צריך לפרוע מידי יום ביום ולא היה לו כי אם ששה מטבעות ששוויים בין הכל ל' פשוטים ועכשיו שואלים מה יהיה שווי המטבעות כדי שיוכל לפרוע מידי יום ביומו
	תשובה שיווי המטבעות צריך להיות כזה א' ב' ג' ד' ח' י"ב
Ordering Problem A man had a wolf, a goat, and a cabbage, and he had to move them across the water. He had nothing but a small boat that could contain only the person and one more thing. If he will leave the goat and the cabbage and move the wolf the goat will eat the cabbage, if he will move the cabbage and leave the wolf with the goat the wolf will eat the goat	אדם היה לו זאב ועז וכרוב והיה לו לעבור מעבר מים ולא היה כי אם ספינה קטנה מאד שאינה מחזיק כי אם האדם ודבר אחד ולא יותר ואם תניח העז והכרוב ויעביר הזאב העז אכל הכרוב ואם הכרוב יעביר הכרוב ויניח הזאב אצל העז הזאב יאכל העז וכמו כן אם יעביר הא' ויחזור ליקח השני להעביר בעוד שיבא ליקח א' יאכל א' חבירו ואם כן כיצד יעשה
He should move first the goat, leaving the wolf and the cabbage, then move the cabbage and bring the goat back with him, then he should move the wolf to the other side and go back to move the goat with him to the other side	תחלה יעביר העז ויניח הזאב והכרוב ואחר יעביר הכרוב ויחזור להעביר העז עמו ‫^[24]למקום הראשון ויעביר הזאב לעבר האחר ויחזור להעביר העז עמו לעבר הא' ויעביר הכרוב ויניח העז ואחר יחזור ליקח העז
Joint Purchase Problem - "If You Give Me" Reuven told Shimon: if you will give me one thousand zehuvim my amount will be equal to your amount of money. Shimon answered Reuven: if you will give me one thousand zehuvim my money will be double your amount of money. How much money did each of them have? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+1000=Y-1000\\\scriptstyle 2\sdot\left(X-1000\right)=Y+1000\end{cases}$	ראובן אמר לשמעון אם אתה נותן לי אלף זהובים יעלה הקרן שלי כסכום מעותיך ושמעון משיב לראובן ואם אתה נותן לי אלף זהובים אני אכפול מעותי לסכום מעותיך כמה מעות יש לכל אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle X=5000\\\scriptstyle Y=7000\end{cases}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle 5000+1000=6000=7000-1000\\\scriptstyle 2\sdot\left(5000-1000\right)=2\sdot4000=8000=7000+1000\end{cases}}}$	תשובה ראובן יש לו ה' אלפים זהובים ושמעון יש לו ז' אלפים וזה פי' ראובן שואל לשמעון אלף זהובים ואם שמעון יתן לו נשאר ביד שמעון ו' אלפים וראובן שהיה לו ה' אלפים תחלה עכשיו עם האלף שנותן לו שמעון יש לו ו' אלפים נמצא שלכל א' יש להם ו' אלפים ושמעון אומר לראובן אם אתה תתן לי אלף זהובים נמצא שישאר ביד ראובן ד' אלפים והקרן של שמעון שהיה ז' אלפים נמצא עכשיו עולה לסכום ח' אלפים והיינו הכפל ממה שנשאר ביד ראובן

Chapter On Cubic Roots [P1088 2r-v]

והילך שער על דבר מרובע על כל עבריו

$\scriptstyle{\color{blue}{568\times568}}$

כגון שתחשוב חוה פעם חוה וזהו רבוע

$\scriptstyle{\color{blue}{2\times2}}$

כמו שתאמר ב פעמים ב' זהו ד' כזה

\scriptstyle{\color{blue}{2\times2\times2}}

ואם תאמר ותחשוב הד' חתיכות גם ב' פעמים [...] ויהיו ח' זהו רבוע על כל עבריו

ב' פעם ב' זהו ד'
ב' פעמים ד' זהו ח' כו'

$\scriptstyle{\color{blue}{464\times464}}$

כשתחשוב דוד פעם דוד עולה וטבהאב

\scriptstyle{\color{blue}{464\times464\times464}}

תאמר דוד פעם וטבהאב ועולה דדגזטחטט כו'

$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{149721291}}}$

דומיון הנה הכלל העולה מן החשבון המרובע [לג'] צדדין הוא כזה

א

ד

ט

ז

ב

א

ב

ט

א

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{149-{\color{blue}{5}}^3}}=149-125={\color{blue}{24}}}$	5	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times5}}={\color{blue}{15}}}$	5
149721291		24721291		24721291
		5		15

ותמנה לעולם ברביעיות [....] [אטב]א אבזט טדא ומה שלא עולה לרבעיות מאות[...] תוכל להבין החשבון עתה בכלל הנרשם טדא ג' אותיות ותאמר [מה] הריבוע המרובע על כל עבריו אטדא באה ג' אותיות טדא ע"כ לא יותר מן ה' כי ה' פעמי' ה' זהו ה"ב ה' פעמים ה"ב זהו הבא ועתה הסר הבא מן טדא ונשאר ד"ב ויהא כזה ותכתוב ה' תחת הד' ועל הד' כזה

	5
2	4	7	2	1	2	9	1
	5

	ה
ב	ד	ז	ב	א	ב	ט	א
	ה

ומעתה תשלש האות הנמצא ר"ל ה' ונסוג שלש מעלות לאחריך דהיינו מן ה' יהיה ה"א ותכתוב ה' תחת ב' וא' תחת ז' כזה

			5
2	4	7	2	1	2	9	1
		1	5

			ה
ב	ד	ז	ב	א	ב	ט	א
		א	ה

53	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{3}}\times{\color{red}{53\times15}}={\color{blue}{2385}}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{23850+}}{\color{red}{3^3}}=23850+27=238{\color{blue}{77}}}$
24721291
15		2385		23877

ועתה תעיין מה אות מצורף לאות ה' שממנה בא זה החשבון הכלל הנרשם ואז תנסה ותצרף אליה אות שאם תחשוב כאשר אשכילך שיהא מכוון אות האחרון מן חשבון העולה לאות אחרון מן חשבון אשר אנו מתעסקים בו או בקרוב דומה לאות אחרון ועתה הילך הדרך תלך בו תקח ג' וכתוב למעלה על הא' אחד לפני הה' העומדת על הב' כזה

			5	3
2	4	7	2	1	2	9	1
		1	5

			ה	ג
ב	ד	ז	ב	א	ב	ט	א
		א	ה

ועתה נסה אם אמת הדבר תצרף ג"ה של מעלה עם ה"א של מטה ויעלה ה ט ז ועתה תאמר תצרף ג' העולה עם הט"ז ג' פעמים ז' ג' פעמי' ט' ג' פעמי' ה' כו ויעלה כזה

2

3

8

5

ב

ג

ח

ה

ואז תוסיף עליו על זה החשבון ג' פעמי' ג' על כל עבריו זהו ז"ב אותו ז"ב שים על החג"ב וככה תעשה אות ראשון מן ז"ב ר"ל הז' כתוב קו לפני החג"ב [...] דהיינו ב' שים על ה' כזה

2

3

8

7

ב

ג

ח

ז

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{24721-23877}}={\color{blue}{844}}}$
24721291		844291
23877

ו[...] ה' אות [ה] שים נגד האותיות [..]כלל הנרשם דהוא כזה

2	4	7	2	1	2	9	1
2	3	8	7	7

ב	ד	ז	ב	א	ב	ט	א
ב	ג	ח	ז	ז

ו[תחסר] כלל התחתון מן העליון ונש[אר] כזה

8

4

2

9

1

ח

ד

ב

ט

א

53	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times3}}={\color{blue}{9}}}$
844291		844291
15		159

ועתה יהיה החשבון צורתו כזה

	5	3
8	4	4	2	9	1
1	5

	ה	ג
ח	ד	ד	ב	ט	א
א	ה

ועתה [...] ג' מעלות לאחריך ונסוג ג' ג"כ לאחריך ג' מעלות ותשלש ויהיה ט' וצורתו כזה

8	4	4	2	9	1
			1	5	9

ח	ד	ד	ב	ט	א
			א	ה	ט

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{53{\color{blue}{1}}\times159}}={\color{blue}{84429}}}

84429

ועתה תאמר מה היה אות ראשון ע"כ היה א' כי לעולם כשיהיה א' אות ראשון מן הכלל העולה היה הפרט א' ואם אות ראשון ח' אז היה השרש ב' [..] ועתה תחשב אג"ה עם טה"א ויעלה טבדדח

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{844290+1}}={\color{blue}{844291}}}

844291

ועתה תצרף הא' ג"כ עם כל אות אטבדד"ח ותשים לפניו א' פעמים א' ויהיה כזה

8

4

2

9

1

ח

ד

ב

ט

א

נמצא שהם מכוונים זה העולה מן אג"ה פעמים טה"א אחד צרופך והכלל הנרשם למעלה ולעולם כשהם מכוונים אז החשבון אמת ואם יוותר לך אפי' אות אחת תוכל להבין שלא [נאות]

$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{99897344}}}$

דומיון אחר הכלל העולה ד ד ג ז ט ח ט ט

	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{99-{\color{blue}{4}}^3}}=99-64={\color{blue}{35}}\\\scriptstyle{\color{red}{3\times4=}}{\color{blue}{12}}\end{cases}}$	46
99897344		35897344
		12

נתחיל מאות ט' הראשונה כי היא אות רביעית ונקח מן ט"ט הריבוע והוא ע"כ ד' כי לא תוכל ליקח יותר והוא ד' פעמים ד' עלה ד"ו חסר ד"ו מן ט"ט ונשאר ה"ג אותו ד' תכתוב למטה תחת הט' ולמעלה נסוג ד' ג' מעלות ותשלש לאחריך ויהיה ב"א תכתוב ב' תחת הט' וא' תחת ח' כזה

		4	6
3	5	8	9	7	3	4	4
		1	2

		ד	ו
ג	ה	ח	ט	ז	ג	ד	ד
		א	ב

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{6}}\times{\color{red}{46\times12}}=6\sdot552={\color{blue}{3312}}}

3312

ואח' תצרף אל הד' ד' מנין השוה בדעתך וזהו ו' ואם תצרף אליו ה' אז אינו מכוון פרט העולה לחשבון הכלל ולפעמים לפי האמת אינו מכוון אך תדקדק על אות הסמוך לאות אחרון שהוא דומה קצת ועתה קח ו' ותצרף לד' ותאמר ו"ד פעמי' ב"א ויעלה בה"ה תצרף ו' עם בה"ה ויעלה כזה

3

1

2

ג

א

ב

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{33120+}}{\color{red}{6^3}}=33{\color{blue}{336}}}

33336

ושים עליו ו' פעמים ו' ויהיה כזה

3

6

ג

ו

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{35897-33336=}}{\color{blue}{2561}}}$	46
	2561344
	12

תחסר זה העולה מן ה' אותיות החשבון הנרשם ויהיה אחר חסרונך כזה ועתה צורתו כזה

		4	6
2	5	6	1	3	4	4
	1	2

		ד	ו
ב	ה	ו	א	ג	ד	ד
	א	ב

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{120+\left(3\times6\right)=1}}{\color{blue}{38}}}$	46
	2561344
	138

ועתה נסוג עם ו' העולה ג' מעלות לאחריך ותשלש וב"א ג"כ ג' מעלות לאחריך ויהיה כזה

				4	6
2	5	6	1	3	4	4
				1	3	8

				ד	ו
ב	ה	ו	א	ג	ד	ד
				א	ג	ח

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left[\left[4\times\left(464\times138\right)\right]\sdot10\right]+4^3}}={\color{blue}{2561344}}}

2561344

ועתה מה היה אות ראשון ע"כ ד' ותחבר [...] עם חג"א ויעלה [...] ושים עליו ד' פעמי' ד' ויעלה הפרט אות באות [...] הכלל ודוק

Chapter on Square Roots [P1088 6v-7v]

הילך שער ונקר' שער השורש ושייך על דבר כשחשבת ריבוע כגו'

$\scriptstyle{\color{blue}{568\times568}}$

חו"ה פעם חו"ה

$\scriptstyle{\color{blue}{257\times257}}$

או זה"ב פעם זה"ב

שתראה מה תחילת החשבון אע"ג שלא ידעת בתחילה הפרט

$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{215296}}}$

ועת' אכתו' דומיון חשבתי דבר ועולה ממנה כזה הוה הכלל

ב

א

ה

ב

ט

ו

וראה מה היה מתחילה הפרט שעולה ממנ' ועתה אשכילך ותן לחכם ויחכם עוד ויסף לקח ^[25] קח הכלל לפניך ואראה לך דבר לעולם תתחיל מן האו' שלא מכוון

כגו' ~~אם ו' ז' או ט'~~ אם האותיות ו' אז תתחיל באות ה'
ואם האותיו' ח' אז תתחיל באות ז'
וכן לעולם ואם האותיו' ז' אז תתחיל באות האחרון

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{21-{\color{blue}{4}}^2}}=21-16={\color{blue}{5}}}$	4	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times4}}={\color{blue}{8}}}$	4
215296		55296		55296
		4		8

ועתה אראה חשב' הכלל ו' אותיות ו"טב"הא"ב אז תתחיל באו' ה' וזהו א' ותאמ' מה הריבוע בא"ב פי' מה אות אתה יכול ליקח זה פעם זה אי אתה יכול ליקח ה' פעם ה' מן א"ב כי ה' פעם ה' זהו כ"ה והשו' אין לך אלא כ"א אלא אתה יכול [לומ'] ליקח ד' פעם ד' כי ד' פעם ד' זהו ו"א פי' י"ו ועוד נשאר לך ה' ואות' ד' העולה כי הריבוע בא"ב זהו ד' פעם ד' ואות' ד' תכתוב על הא' מן ו'ט'ב'ה'א'ב' ותחת הא' ~~וצורת~~ ותמחק הא"ב מן וטבהא"ב ותכתוב במקומ' ה' כי מן ד' פעם ד' נשאר ה' והד' תכתו' למעלה מן הה' ולמט' מן הה' והילך צורתו

4
5	5	2	9	6
4

ד
ה	ה	ב	ט	ו
ד

ואז תכפול הד' הריבוע העומד [ותמשוך] הח' לאחריה תחת ה' השנייה ויהא ח' והד' העומדת על הה' תמשוך ג"כ לאחריה על ה' השניי' אבל לא תכפול אות' וצורתו כזה

	4
5	5	2	9	6
	8

	ד
ה	ה	ב	ט	ו
	ח

46	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{55-\left({\color{blue}{6}}\times8\right)=}}{\color{blue}{7}}}$	46	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{72-6^2}}=72-36={\color{blue}{36}}}$	46
55296		7296		3696
86		86		86

ואז תאמר כמה פעם ח' בה"ה פי' בנ"ה והוה בה ו' פעמים אות' ו' תכתוב למעלה מן הב' ולמטה מן הב' כזה

	4	6
5	5	2	9	6
	8	6

	ד	ו
ה	ה	ב	ט	ו
	ח	ו

ועוד נשאר ז' וז' מן ה"ה ותמחוק השני ה' ותכתו' במקומ' הז' ויהא צורתו כזה

4	6
7	2	9	6
8	6

ד	ו
ז	ב	ט	ו
ח	ו

והו' העולה מן השני ה' העומדת על הב' ולמט' מן הב' תקח אות' נמי ו' פעמי' ו' פעם ו' זהו ו"ג פי' ל"ו וקח הו"ג מן הב"ז קח ארבעי' מן הע' כי הב"ז הוה ע"ב ועוד נשאר ב' ודע שלקחת ארבעי' ולא אתה צרך אל צריך אלא ל"ו אז קח הד' מן המ' ושים אות' על הב' שלפני הז' ויהא צורתו כזה

4	6
3	6	9	6
8	6

ד	ו
ג	ו	ט	ו
ח	ו

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{80+\left(2\times6\right)=80+12=}}{\color{blue}{92}}}$	46	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{36-\left({\color{blue}{4}}\times9\right)=36-36=0}}}$	464	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-\left(4\times2\right)=}}{\color{blue}{1}}}$	464
	3696		96		16
	92		24		4

ועתה תכפול הו' ג"כ לאחריה ויהא י"ב ואז תכתו' הכי שים הב"א לאחריה והח' נמי לאחרי' ואז תעשה הכי שים הב' תחת הט' והא' שים על הח' ויהיה ט' ותשים נמי למפריע הו' העליונ' ולא תכפול ושי' אות' על הט' והד' העליונ' תמשוך נמי לאחריה על הו' נגד הט' כזה

	4	6
3	6	9	6
	9	2

	ד	ו
ג	ו	ט	ו
	ט	ב

ואז תאמ' כמה פעמים ט' בו"ג פי' בל"ו והוה בו ד' פעמים ולא נשארי' לך מאומה ואות' ד' תכתו' על הו' הראשונ' ותחת הו' ותמחק הו"ג של מעלה והט' של מטה וצורת' כזה

4	6	4
	9	6
	2	4

ד	ו	ד
	ט	ו
	ב	ד

ואז קח הב' נמי ד' פעמים מן הט' ועוד נשאר לך א' ונמח' הט' ותכתוב במקו' א' ונמח' הב' תחתונ' כי לקחנו נמי ד' פעמי' ועוד נשאר כזה

4	6	4
	1	6
		4

ד	ו	ד
	א	ו
		ד

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{16-4^2}}=16-16={\color{blue}{0}}}

464×464=215296

ואז קח הד' נמי ד' פעמי' מן ו"א פי' מן י"ו ואז לא נשאר לך מאומה נמצא שהפרט היה בתחילה דו"ד פעם דו"ד ועולה הכלל ו"טב"הא"ב

ודע לעולם כשתעשה בדרך זה ולא נשאר לך מאומ' אז מה שעולה בידך זה היה תחילת החשבון

$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{97344}}}$

ועוד אראה לך דומיון החשבון עולה כזה

ט

ז

ג

ד

3	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{9-{\color{blue}{3}}^2=9-9-0}}\\\scriptstyle{\color{red}{2\times3}}={\color{blue}{6}}\end{cases}}$	3
97344		7344
3		6

אז תתחיל בט' כי הט' אות חמיש' ואז תאמר כמה הריבוע בט' ודע שהריבוע בט' הוה ג' כי ג' פעמי' ג' זהו ט' ולא נשאר לך מאומה והג' תכתוב תחת הט' ועל הט' כזה

3
9	7	3	4	4
3

ג
ט	ז	ג	ד	ד
ג

ואז תכפול הג' לאחריה והוה ו' ותשים לאחריה תחת הז' והג' שלמעלה תמשוך לאחריה על הז' אבל [לא] תכפול כמו שתעשה לג' תחתונ' והילך צורתו ונמחק הט' כזה

3
7	3	4	4
6

ג
ז	ג	ד	ד
ו

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7-\left({\color{blue}{1}}\times6\right)=}}{\color{blue}{1}}}$	31	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{13-{\color{blue}{1}}^2=}}{\color{blue}{12}}}$	31	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times1=}}{\color{blue}{2}}}$	31	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{12-\left({\color{blue}{2}}\times6\right)=0}}}$	312
	1344		1244		1244		44
	61		61		62		22

ואז תאמ' כמה פעמי' ו' בז' ואינ' אלא פעם א' ועוד נשאר א' ואות' א' שעולה מן הז' תכתוב על הג' שלפני הז' ותחת הג' ונמח' הז' ותכתו' במקומ' א' הנשארת מן הז' שלא מגיע נמי לז' וזה וצורת' כזה

3	1
1	3	4	4
6	1

ג	א
א	ג	ד	ד
ו	א

ואז תקח הא' נמי א' פעם מן ג"א ועדיין הוה ב"א

3	1
1	2	4	4
6	1

ג	א
א	ב	ד	ד
ו	א

ואז תכפול הא' שתחת הב' לאחריה תחת הד' ויהא ב' והו' תשים ג"כ לאחרי' אבל לא תכפול שכבר כפלת הו' ותשים אות' ו' תחת הב' שכבר עומד שם הא' והא' למעלה על הב' נמי תמשוך לאחריה על הד' ולא תכפול והג' במקו' הא' על הב' כזה

	3	1
1	2	4	4
	6	2

	ג	א
א	ב	ד	ד
	ו	ב

ואז תאמר כמה פעמים ו' בב"א פי' בי"ב והוה בו ב' פעמים אות' ב' תכתוב על הד' הראשונ' ותחת הד' ותמחוק הב"א ויהא צורתו כזה והו' של מט' נמי תמחוק ויהא כזה

3	1	2
	4	4
	2	2

ג	א	ב
	ד	ד
	ב	ב

\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{4-\left(2\times2\right)}}=4-4={\color{blue}{0}}\\\scriptstyle{\color{red}{4-2^2}}=4-4={\color{blue}{0}}\end{cases}}

312×312=97344

ואז תקח הב' נמי ב' פעמים והוה ד' ולא נשאר מאומ' והב' השנייה נמי תקח ב' פעמים מן הד' ואז לא נשאר לך מאומא נמצא הפרט הוה ב'א'ג' פעם ב'א'ג' ויוצא ממנ' כלל ד'ד'ג'ז'ט'

ודוק ותובין לעולם בדרך זה

Notes

↑ תהילים מה, ב
↑ במדבר כא, כז
↑ שמונה פרקים, פרק ה
↑ תהלים פג, יד
↑ ישעיה כט, כד
↑ בבלי, מועד, סוכה, דף ה, א גמרא
↑ ישעיהו ל, כ
↑ משלי כג, א
↑ 82r
↑ 82v
↑ 83r
↑ 83v
↑ 84r
↑ 84v
↑ 85r
↑ 85v
↑ marg.
↑ 86r
↑ 86v
↑ 87r
↑ 87v
↑ 88r
↑ 88v
↑ 89r
↑ משלי ט, ט

Appendix I: Glossary of Terms

to know	לידע, דע כי, דע שתדע ש
to explain	לפרש, ביארתי
chapter	שערים
teaching	הקבלות
one who calculates	המחשב, המפתח
calculation	החשבונות
numeral	חשבון, אותיות, ציפרא
zero	גלגל
place holder	שומר המעלות
first rank	מעלה הראשונה
units	מעלת היחידים
third rank	מעלה השלישית
hundreds	מעלת המאות
fourth rank	מעלה הרביעית
thousands	מעלת האלפים
fifth rank	מעלה החמישית
tens of thousands	מעלת הרבבות, י' אלפים
sixth rank	מעלה ששית
hundreds of thousands	מעלת מאה אלפים
seventh rank	מעלה שביעית
millions	מעלת אלף אלפים
smaller than	קטן מן
greater than	גדול מן
more than	יותר מ
to exceed by	יותר על, יתיר על, עודף על, למעלה מ
bottom numeral	התחתונה, תחתונה
upper numeral	העליונה, עליונה
infinitely, endlessly	עד אין מספר
times	פעמים
to multiply	לחשוב, לכפול זע"ז
rank	מעלות, מעלה
	המעלה שנייה
	עליונה
	שיט'
	שבשיט' עליונ', שיטות עליונות, שיטות העליונות
	שיט' ראשונ'
	השיטה התחתונה
	דומיון, דמיון
	מגיע ל
	עולה, יעלה, יעלה בידך, מה שיעלה בידך, העולה בידך
	יצא
	נקראת, נקרא
	יקראו
	אות, האות
	מניינם, מניין
	תחשוב
	חשוב
	חשוב אותו
	חשבונך
	תאמר, אמור
	ישאלך
	שואל
	תשיב אל לבך
	לכתוב, כתוב, כתוב (אותו / אותה / ב), כתבתי, כתבת, תכתוב (אותו), נכתוב, אכתוב לך, כותבין
	כתיבה
	שכתבת
	רשום, ארשום לך
	חרו[ת]ים
	העתקתי
	לראות
	שאראך
	אדירין
	חברם יחד
	לחבר, לחבר ... עם, תחבר...אל, תחבר... על, תחבר... ה, חבור... על, חבור אל ה, נחבר... עם, נחבר... על, אחבר
	לחבר כמה חשבונות יחד
	חבורם, חבורו, חיבור שחברנו
	הטור מן החיבור
	צירופו
	תצרף, צרוף (...יחד), צורפם יחד, צרפם (יחד)
	נוסיף... על, נוסיף... עליה
	מוסיף ...על, מוסיף... עליה
	בשער החיבור, שער חיבור
	המחובר
	השליך, השלך (...מ / ה), השלך מידך, קח ממנו, תקח ... מן, קח מה ש
	השלך ט"ט... מ, השלך ... בט"ט
	נשאר, ישאר, ישאר בידך, ישאר לך, הנשארת
	בלי חסרון ויתרון
	ומה שנשאר לך, ומה שנשמר לך
	הנותרת לי
	משקלו, משקל ה, משקלים
	אבני המשקל, אבן הראשון
	תכפול יחד, לכפול יחד
	תכפול
	כפל
	כפל קטן
	מה שבא מן הכפל
	בשער כפל
	לוח
	חצי לוח
	מתוקנת
	שער הכפל קטן, שער כפל קטן
	ציור
	צורתו
	עברת על ה, תעבור
	תקח ה, קח ה, קח בידך, קח בידך ל, יקח ה... מה
	ומהם תבין
	מרחק מן, המרחק עד, מרחקים
	מכל אחד, מן כל אחד ואחד
	זה על זה
	דהיינו, היינו
	הילך
	היאך
	המניין הקטון, מניין קטון, המנין הקטן, האות הקטן
	אות הגדול
tens	העשיריות
	ספר
	גלחות, בגלחת
	מחוק
	עניין
	כלל
	פי'
	המותר מ, עודף עליו
	לעשות, עשה, תעשה, עשיתי
	כאשר, כש
	עתה
	תדיר
	לעולם
	ולפעמים
	לא ... כלל
	לא ימוש מפיך
	תוכל ל
	כל כמה שתוכל
	אינך צריך
	צריך ל
	צריך ש
	תלוה לו, הלוית לו
	תרצה (ל), תחפוץ ל, בקשת ל, רצונך, בקשנו ל
	אשר בקשת, מבוקש
	מתכונך
	מכוון
	כוינת חשבונך
	אשכילך
	תשכיל, תחכם
	מושכל ראשון
	עיין
	תקיש
	ודוק
	להודיעך ש
	למצוא, תמצא (ה), נמצא, מצאתי, נמצא ה
	לזכרון
	וככלות
	תשלם
	המלאכה
	סליק
	הוי אומר
	בדרך הזה, דרך אחרת ל
	ואז, אז
	כבר
	כדי ש
	מה ש
	כל מה ש, כל אשר
	אשר ב
	אף כי
	כי
	לכך
	והנה
	נמי
	אחר כך, אח"כ
	ואם... אז
	אם
	אפילו
	רק
	כמה
	יהיה בכל פעם
	פעמים
	לכל היותר
	יותר מן
	מותר ה... מ
	פחות מ, פחותים מ, מה שלמטה מן, למטה מ
	הרבה כל כך
	ויהיה, ויהי, ויהא
	שם
	יש
	הרי
	ויהיה הכל
	הוה
	שהם
	אני
	הוא, היא
	או כלך לדרך זו, או כלך בדרך זו
	זה, זה ה
	כזה
	הזה
	אילו ה
	האחרונים
	חשבונות, חשבון
	שבידך
	בא לידך מ
	לפניך, מה שלפניך
	הסמוכ' לה, הסמוך ל
	מצד אותיות של שמאל
	לצד שמאל, בצד שמאל (ל), לשמאל
	אצל, אל
	נגד
	במקום
	אחר
	עוד
	ועוד
	וכן, ג”כ
	וכפי זה
	כגון
	כאילו
	כמו כן
	כל כיוצא בזה
	שלאחריו, לאחריה, שלאחריה
	שלפניה, לפני ה, קודם ה
	מן ה
	תחת, תחת ה
	למטה, שלמטה
	למעלה, למעלה מזו
	לעיל
	שאין בו ממש
	בקלות
	ולא ... אלא
	בלא שום
	זכר ל
	דבר
	כל דבר
	את"ל
	בע"ה
	לישב על אופניו

Appendix II: Bibliography

Anonymous
Sefer Ṣifra

Manuscripts:

1) Budapest, Magyar Tudományos Akadámia, Ms. Kaufmann A 520/10 (IMHM: f 15170), ff. 179-200; 217-218 (16th century)

Kaufmann A 520/10

2) Cincinnati, Hebrew Union College 890/1 (IMHM: f 30901), ff. 4r-18v (Hanau, 1641)

Cincinnati 890

3) Mantova, Comunità Ebraica MS ebr. 8/16 (IMHM: f 788), ff. 69r-71v (Porto, 1464-1471)‬

Mantova 8

4) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 714/4 (IMHM: f 27994), ff. 64r-83v (17th-18th century)

5) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 394/4 (IMHM: f 1223), ff. 109v-127r (1566)

München Cod. hebr. 394

6) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2634/6 (IMHM: f 28887), ff. 94r-124v

JTS 2634

7) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 60/11 (IMHM: f 22085), ff. 151r-176v (cat. Neub. 2171); (Frankfurt am Main, 1537)

8) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 440/4 (IMHM: f 19984), ff. 114v-124v (cat. Neub. 2170); (1645)

9) Paris, Bibliothèque Nationale heb. 1088/1 (IMHM: f 14921), ff. 1r-23v (15th century)

heb.1088

10) Paris, Séminaire Israélite de France (École Rabbinique) 158/1 (IMHM: f 4102), ff. 197r-211v (1604)

11) Warszaw, Żydowski Instytut Historyczny 288/1 (IMHM: f 12013), ff. 1r-5v (15th century)

12) Warszaw, Żydowski Instytut Historyczny 295/4 (IMHM: f 10129), f. 56v (16th century)

The transcript is based mainly on manuscript München 394

Bibliography:

Steinschneider, Moritz (Moshe). 1893–1901. Die Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann; repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001. pp. 216-217 [i478-i479]
———. 1905. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 49, pp. 85-86. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, pp. 8-9.

[1] תהילים מה, ב

[2] במדבר כא, כז

[3] שמונה פרקים, פרק ה

[4] תהלים פג, יד

[5] ישעיה כט, כד

[6] בבלי, מועד, סוכה, דף ה, א גמרא

[7] ישעיהו ל, כ

[8] משלי כג, א

[9] 82r

[10] 82v

[11] 83r

[12] 83v

[13] 84r

[14] 84v

[15] 85r

[16] 85v

[17] rg.

[18] 86r

[19] 86v

[20] 87r

[21] 87v

[22] 88r

[23] 88v

[24] 89r

[25] משלי ט, ט

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

@@ Line 7,314: / Line 7,314: @@
 |-
 |
+:And so on, as many as they are, take for the last the number they are plus one more, then double the required and subtract 1.
 |style="text-align:right;"|וכן לעולם כמה הן אז קח לאחרון כמניין כולם ואחד יותר ואחר כך כפול המבוקש ותסיר א&#x202B;'
 |-
 |
-:*If they were four brothers
+:*If they were four [brothers].
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_4=4+1=5\\\scriptstyle a_3=\left(2\sdot a_4\right)-1=\left(2\sdot5\right)-1=10-1=9\\\scriptstyle a_2=\left(2\sdot a_3\right)-1=\left(2\sdot9\right)-1=18-1=17\\\scriptstyle a_1=\left(2\sdot a_2\right)-1=\left(2\sdot17\right)-1=34-1=33\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן אם הם ד&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|וכן אם הם ד' קח לאחרון ד' ואחד יותר וזה ה&#x202B;'<br>
+|-
-ולשלישי עשרה ואחד תסיר וזהו ט&#x202B;'<br>
+|
-ולשני י"ח ואחד תסיר זהו י"ז<br>
+::Take for the last 4 plus one more; it is 5.
-לראשון ל"ד ואחד תסיר זהו ל"ג ''בין תבין את אשר לפניך''&#x202B;<ref>משלי כג, א</ref>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=4+1=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|קח לאחרון ד' ואחד יותר וזה ה&#x202B;'
+|-
+|
+::For the third ten and subtract one; it is 9.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(2\sdot a_4\right)-1=\left(2\sdot5\right)-1=10-1=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולשלישי עשרה ואחד תסיר וזהו ט&#x202B;'
+|-
+|
+::For the second 18 and subtract one; it is 17.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(2\sdot a_3\right)-1=\left(2\sdot9\right)-1=18-1=17}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולשני י"ח ואחד תסיר זהו י"ז
+|-
+|
+::For the first 34 and subtract one; it is 33.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(2\sdot a_2\right)-1=\left(2\sdot17\right)-1=34-1=33}}</math>
+|style="text-align:right;"|לראשון ל"ד ואחד תסיר זהו ל"ג
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|''בין תבין את אשר לפניך''&#x202B;<ref>משלי כג, א</ref>
 |-
 !

Difference between revisions of "ספר ציפרא"

Revision as of 07:52, 24 October 2021

Contents

Prologue

Introduction

The Positional Decimal System

Chapter One: Multiplication of Units - Shortcuts

Chapter Two: Addition

Checking Methods

Chapter Three: Subtraction

Checking Methods

Chapter Four: Multiplication

Checking Methods

Chapter Five: Gelosia

Multiplication - Check

Chapter Six: Division

Checking Methods

Chapter Seven: Proportions

Word Problems

Pricing Problems - Find the Price

Boiling Problem

Find a Quantity Problems - Whole from Parts

Joint Purchase Problems - If You Give Me

Find a Quantity Problems - Whole from Parts

Shared Work Problems - Filling/Draining a Vessel

Multiple Quantities Problems - Selling Eggs

Proportional Division - Inheritance

Payment Problem - Digging a Hole

Find a Quantity Problem - Stolen Amount of Money

Find a Quantity Problem - How Much Problem - Amount of Money

Divide a Quantity - Loans Repayment

Multiple Quantities - Weights

Divide a Quantity - Money

Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Fish

Multiple Quantities - Selling Cloth

Partnership Problems - for the Same Time - Three Partners

Multiple Quantities

Motion Problem - Pursuit

Proportional Division - Three Men Sharing Food

Multiple Quantities

Find a Quantity Problem - How Much Problem - Money

Additional Word Problems

Mantova, Comunità Ebraica MS ebr. 8/16

Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 714/4

Chapter On Cubic Roots [P1088 2r-v]

Chapter on Square Roots [P1088 6v-7v]

Notes

Appendix I: Glossary of Terms

Appendix II: Bibliography

Navigation menu

Search