Difference between revisions of "ספר החשבון והמדות"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎The Second Chapter on the Division of the Quadrangular and the Circle)
(→‎[The Second Section on the Division of Plane Shapes])
Line 3,548: Line 3,548:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|וידוע שהמשלש הגדול והוא המשולש אב"ג דומה אל המשולש הקטן והוא משולש אד"ה כי הזוית אשר אצל ח' משותפת לשני המשולשי' וזוית אד"ה שוה לזוית אב"ג כי הם שתי זויות המומרות אשר על קוים נכוחיים כשנפל עליהם קו ישר והחיצונה <ref>56v</ref>שוה לשכנגדה גם ככה זוית אה"ד שוה לזוית אג"ב לזה הענין עצמו אם כן מיתרי הזויות השוות מתיחסות יחס א"ב אל א"ד כיחס א"ה אל ה"ג וכיחס ד"ה אל ב"ג אם כן שני המשולשים דומים ולכן יהיה יחס משלש אב"ג אל משלש אד"ה כיחס צלע א"ב אל צלע א"ד שנוי וזה היחס מי"ו מח' בעצמו הוא יחס צלע מרובע א"ב אל מרובע צלע א"ד כי כאשר תכפול יחס הצלע אל הצלע בעצמו והוא אשר יקרא היחס שנוי יהיה הנולד יחס המרבע אל מרבע
+
|style="text-align:right;"|וידוע שהמשלש הגדול והוא המשולש אב"ג דומה אל המשולש הקטן והוא משולש אד"ה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|כי הזוית אשר אצל ח' משותפת לשני המשולשי'
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle\angle ADH=\angle ABG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית אד"ה שוה לזוית אב"ג כי הם שתי זויות המומרות אשר על קוים נכוחיים כשנפל עליהם קו ישר והחיצונה <ref>56v</ref>שוה לשכנגדה
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|גם ככה זוית אה"ד שוה לזוית אג"ב לזה הענין עצמו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן מיתרי הזויות השוות מתיחסות יחס א"ב אל א"ד כיחס א"ה אל ה"ג וכיחס ד"ה אל ב"ג אם כן שני המשולשים דומים ולכן יהיה יחס משלש אב"ג אל משלש אד"ה כיחס צלע א"ב אל צלע א"ד שנוי וזה היחס מי"ו מח' בעצמו הוא יחס צלע מרובע א"ב אל מרובע צלע א"ד כי כאשר תכפול יחס הצלע אל הצלע בעצמו והוא אשר יקרא היחס שנוי יהיה הנולד יחס המרבע אל מרבע
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 3,602: Line 3,615:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|<big>והמופת</big> על החלוקה הזאת כי שני משלשי אב"ג אג"ד שוים כי צלע א"ב שוה לצלע ד"ג וצלע ב"ג לצלע א"ד וזוית אב"ג שוה לזוית אד"ג והתושבת משותפת אם כן שני המשולשים שוים
+
|style="text-align:right;"|<big>והמופת</big> על החלוקה הזאת כי שני משלשי אב"ג אג"ד שוים
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle AB=DG</math>
 +
|style="text-align:right;"|כי צלע א"ב שוה לצלע ד"ג
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle BG=AD</math>
 +
|style="text-align:right;"|וצלע ב"ג לצלע א"ד
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle\angle ABG=\angle ADG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית אב"ג שוה לזוית אד"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|והתושבת משותפת
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אם כן שני המשולשים שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 3,617: Line 3,648:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנה תושבת א"ז ה"ג מחצית תושבת משולש גב"ז וראוי שיהיו שוים ועוד כי שטח א"ז ה"ג שוה לשטח ב"ט ה"ג הנכחי הצלעות ונצב הזויות כי הם תושבת אחת ובמה שבין קוים הנכוחיים ושטח א"ז ה"ג שלישית מרובע אבג"ד כי כן יחס תושבתו אל תושבתו א"כ שטח א"ז ה"ג שלישית כל המרובע ושני המשולשים שוים כי צלע א"ד כמו צלע ב"ג וצלע ד"ה כמו צלע ב"ז וזוית אד"ה שוה לזוית גב"ז הנה אם כן מרובע אבג"ד נחלק לג' חלקים שוים
+
|style="text-align:right;"|והנה תושבת א"ז ה"ג מחצית תושבת משולש גב"ז וראוי שיהיו שוים ועוד כי שטח א"ז ה"ג שוה לשטח ב"ט ה"ג הנכחי הצלעות ונצב הזויות כי הם תושבת אחת ובמה שבין קוים הנכוחיים ושטח א"ז ה"ג שלישית מרובע אבג"ד כי כן יחס תושבתו אל תושבתו א"כ שטח א"ז ה"ג שלישית כל המרובע ושני המשולשים שוים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|כי צלע א"ד כמו צלע ב"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וצלע ד"ה כמו צלע ב"ז
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle\angle ADH=\angle GBZ</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית אד"ה שוה לזוית גב"ז
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|הנה אם כן מרובע אבג"ד נחלק לג' חלקים שוים
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 3,647: Line 3,691:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|והנה משולש אה"ב שוה למשולש דה"ג כי זוית אה"ב לזוית דה"ג וזוית אב"ה שוה לזוית הד"ג וצלע א"ב שוה לצלע ד"ג בעצמו ולזה ישוה משולש אה"ד אל משולש בה"ג
+
|style="text-align:right;"|והנה משולש אה"ב שוה למשולש דה"ג
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle\angle AHB=\angle DHG</math>
 +
|style="text-align:right;"|כי זוית אה"ב לזוית דה"ג
 +
|-
 +
|
 +
:*<math>\scriptstyle\angle ABH=\angle HDG</math>
 +
|style="text-align:right;"|וזוית אב"ה שוה לזוית הד"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וצלע א"ב שוה לצלע ד"ג בעצמו
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ולזה ישוה משולש אה"ד אל משולש בה"ג
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ומשולש אה"ד ישוה למשולש אה"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|כי צלע א"ד ישוה לצלע א"ב
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|וצלע א"ב משותף
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|ומשולש אה"ד ישוה למשולש אה"ב כי צלע א"ד ישוה לצלע א"ב וצלע א"ב משותף וזוית אה"ב שוה לזוית אה"ד כי שתיהן נצבות
+
:*<math>\scriptstyle\angle AHB=\angle AHD</math> as both are right angles.
 +
|style="text-align:right;"|וזוית אה"ב שוה לזוית אה"ד כי שתיהן נצבות
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 3,784: Line 3,852:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*<math>\scriptstyle AB=AD</math>
 
|style="text-align:right;"|צלע א"ב שוה לצלע א"ד
 
|style="text-align:right;"|צלע א"ב שוה לצלע א"ד
 
|-
 
|-
Line 3,790: Line 3,859:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*<math>\scriptstyle\angle DAH=\angle HAB</math>
 
|style="text-align:right;"|וזוית דא"ה שוה לזוית הא"ב
 
|style="text-align:right;"|וזוית דא"ה שוה לזוית הא"ב
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
::Because <math>\scriptstyle\angle AB=AD</math>
 
|style="text-align:right;"|לפי שצלע א"ב שוה לצלע א"ד
 
|style="text-align:right;"|לפי שצלע א"ב שוה לצלע א"ד
 
|-
 
|-
Line 3,799: Line 3,870:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*<math>\scriptstyle BG=DG</math>
 
|style="text-align:right;"|ותושבת ב"ג שוה לתושבת ד"ג
 
|style="text-align:right;"|ותושבת ב"ג שוה לתושבת ד"ג
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*<math>\scriptstyle\angle DAG=\angle GAB</math>
 
|style="text-align:right;"|תהיה זוית דא"ג שוה לזוית גא"ב
 
|style="text-align:right;"|תהיה זוית דא"ג שוה לזוית גא"ב
 
|-
 
|-
Line 3,816: Line 3,889:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*<math>\scriptstyle AD=GD</math>
 
|style="text-align:right;"|לפי שצלע א"ד שוה לצלע ג"ד
 
|style="text-align:right;"|לפי שצלע א"ד שוה לצלע ג"ד
 
|-
 
|-
Line 3,822: Line 3,896:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:*<math>\scriptstyle\angle ADH=\angle HDG</math>
 
|style="text-align:right;"|וזוית אד"ה שוה לזוית הד"ג
 
|style="text-align:right;"|וזוית אד"ה שוה לזוית הד"ג
 
|-
 
|-
Line 3,834: Line 3,909:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:Therefore <math>\scriptstyle\angle ADB=\angle BDG</math>
 
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אד"ב שוה לזוית בד"ג
 
|style="text-align:right;"|אם כן זוית אד"ב שוה לזוית בד"ג
 
|-
 
|-

Revision as of 10:00, 3 October 2021


Introduction
אמר מרדכי בכ"ר אליעזר כומטיינו יעמ"ש הקושטנדיני
להיות שההתחלה הראשונה לכל הושפעו ממנה שאר הנמצאות במדרגה ובסדר מדרגה אחר מדרגה ובזה נמצא כל אחד לפי שלמותו הראוי לו עד תכליתו ונמצא לכל דבר חקו
והשלמות הזה רודף לבעליו על התמידות בלתי סר ממנו וזה בדברים אשר אין מציאותם בפעולותינו
והדברים אם מציאותם בפעולותנו כאשר רצינו להיותם שלמים נמשילם אל הדברים אשר אין מציאותם בפעולותינו כפי היכולת ראוי לנו ג"כ אם רצינו השלימות והסדור לדמות הדברים אשר מציאותם בפעולותינו
והדברים אשר מציאותם בפעולותנו יחלקו לשני סוגים
האחד הדברים שבין האדם לעצמו
והשני הדברים שבין האדם לזולתו
והסוג הראשון בלתי נכנס בזה החבור ואף על פי שגם בזה חברו הפילוסופים ספרים הרבה
כי כונת זה החבור הוא במה שיפול ממנו אל זולתו
ואם השלמות הנופלת בדברים אשר אין מציאותם בפעולותינו מהעצם האחד לזולתו בלתי חוזרת אליו אבל הולכת על יושר
והשלמות אשר תפול בדברים אשר מציאותם בפעולותינו תלך על דרך הסבוב
הדמיון יהיה במה שממנו לאליו מצד מה שהוא ממנו ואליו וזה הסוג יחלק לשלשה חלקים
האחד הדברים אשר יגיעו מהאיש לזולתו על דרך החמלה והחנינה
והשני הדברים אשר יגיעו לו על צד הצדק והיושר
והשלישי הוא מהדברים אשר יגיעו מהאדם לזולתו על צד העול והחמס
והחלק הראשון הוא הדבר המוסיף על השווי
והחלק השלישי הוא דבר גורע מהשווי
והשני הוא השווי בעצמו
אם כן יהיה החלק השני שרש ויסוד לשאר החלקים ולכן ראוי שתהיה החקירה בו
ובראותי שזה החלק משתמש לשני סוגים
הסוג האחד במקח וממכר וזהו הנקרא בלשון חכמינו זכרונם לברכה אונאה
אם היה שם שתות הפרש בין הצדק ובין המכר וזה הדבר הוא בלתי מוגבל ולכן לא תקיף בו ידיעה כי ישתנו מחירי הדברים בכל זמן מפני זה לא נדבר בו
והסוג השני הוא בחשבון ובמדות כי אחר שנתפשרו שני הצדדים בקנין א' כלל אחד בכך וכך מחיר בחלקו המונה אותו אחר כשיבואו לכפול המחיר כמנין החלקים אשר נמנה בהם הכלל ולא יצא החשבון שוה להעדר ידיעתם בחשבון או במדידת הקרקעות יהיה מזה עול וחמס ויוסר הצדק משם ותחת אשר נרצה להדמות אל הדברים אשר אין מציאותם בפעולותינו נתרחק מהם הרבה ואוי על הקנין הרע הזה אשר נקנה לנפשנו
לכן ראיתי לחבר זה הספר כדי שאסיר העול מבני אדם ויהיה הצדק נמצא ביניהם
וחלקתי אותו אל שני ספרים
הספר הראשון מדבר בעניני החשבון
והספר השני מדבר בעניני המדות
והקדמתי ספר החשבון לספר המדות כי חכמת החשבון קודמת בטבע לשאר מיני ההרגליות השלש כאשר ביאר זה ניקומאכוש הגהרשני בהצעת מאמרו מספר האירתימיטיקא
והספר הראשון חלקתי אותו אל ארבעה חלקים
הראשון לקבץ מספר עם מספר ולחסר מספר ממספר
והשני לכפול מספר על מספר
והשלישי לחלק מספר על מספר ולהוסיף מספר על מספר
והרביעי לערך מספר על מספר
עוד שמתי חלק אחד אחריהם לדבר על הנשברים
ודרכתי בזה הדרך דרך הנוצרים לדבר בקיצור כדי שלא יתבלבל התלמיד
עוד הספר השני חלקתי אותו לארבעה חלקים
האחד במדידת התמונות השטחיות כגון העגולות והמשולשים והמרובעים וזולתם
והשני בחלוקתם
והשלישי במדידת התמונות הגופניות
והרביעי בחלוקתם
ומהנה אתחיל בעזרת המלמד לאדם דעת

Part One: Addition & Subtraction

Chapter One: Introduction

 הפרק הראשון מהחלק הראשון מהספר הראשון
ראוי שנודיע למה הקדמנו קבוץ מספר על מספר משאר החלקים
ואומר לפי שהוא יותר פשוט מהם וקודם בטבע מהם עם היותו יותר פשוט מהם להיות שכל אחד מהם מורכב מזה ומהענין המיוחד לו
והדבר אשר יורכב מדבר הדבר אשר יורכב ממנו הוא יותר פשוט מהמורכב ההוא
ואומר שכל אחד מהם מורכב מזה ארצה מאחד משני חלקיו או משניהם יחד
כי זה יחלק לשני מינים
אם שיהיה הקבוץ הזה בלתי משתנה ממדרגת נקבציו וזה באחד עד תשעה פעמים ובשנים עד ארבעה פעמים ובשלשה עד שלשה פעמים
ואם יורכב מאלה יהיה לפי חשבונו המיוחד לו או שיהיה הקבוץ הזה משתנה ממדרגת נקבציו וזה יחלק לשני חלקים
אם שישתנה ממדרגת נקבציו ולא יהיה שם רושם כלל מהמדרגה ההיא
או שישתנה וישאר גם רושם מדרגת נקבציו שם ולכן הוא קודם מהמורכבים ממנו
ואין לאומר שיאמר כי להיותו פשוט ראוי לאחרו מן המורכב ממה שביאר אריסטו בתחלת ספר השמע שראוי להקדים הכולל מהמיוחד לשלש סבות
האחת שהכולל יותר ידוע מהמיוחד וראוי ללכת מהיותר ידוע אל היותר מוסכל
והשנית שלא נשיב המאמר האחד פעמים הרבה
והשלישית שתהיינה ההקדמות מיוחדות כי יצדק הכולל שגדרו נשוא על המיוחד כאשר ינשא גדר המין על אישיו וכן המספר נשוא על חלקיו
אולם גדר העשרה מצד מה שהם עשרה לא ינשאו על מספר אחר לא על תשעה ולא על זולתו
ולכן בכזה ראוי להקדים המיוחד על הכולל כי מקבוצו יודע הכולל
ואם היותו קודם בטבע מהם מפני שכאשר נעלה הוא יעלו גם הם ולא יתהפך וכשימצאו הם ימצא גם הוא ומפני אלו הסבות היה ראוי להקדימו מהם
וראוי שנקדים להזכיר קודם שכל המספרים נכללים בתשעה
כי מאחד עד תשעה ישלמו האחדים ובהגיעך אל העשרה הגעת אל עשירית אחת עד שתשלים כל העשרות עד תשעים
עוד ממאה התחלת באחד ובהגיעך אל תשע מאות השלמת כל המאות עד שתתחיל עוד מאלף אחד וכן ללא תכלית
ולהיות זה בטבע כאשר חשבו רבים או בבחירה כאשר נחשב אנחנו אין עת להכריע עתה בזה כי אינו מכונתינו
ולכן תקנו אנשי הודו תשעה אותיות להיותן מורין על תשעה מספרים והתחלפות מדרגותם יורו על התחלפות מדרגות התשיעיות כאשר נבאר וזה צורתם
1 2 3 4 5 6 7 8 9
ולא הסתפקו באותיות האלפבית כי לכל אחד מהם צורה מיוחדת הנחיית מה שאין כן לאלו האותיות כי הן מופשטות מכל הנחה ומשותפות לכל צורה שתחול עליהן והן כדמות ההיולי הראשון
ומדרגת הנחתן הוא כמו הצורה להן
וכן יוכל כל אדם לחדש אותיות אחרות זולת אלה
ואמרי אותיות לא ארצה מן אותיות האלפביתא אבל סימנים מופשטים מכל חשבון כאלה
אבל כבר נהגו כל בעלי החשבון להשתמש באלה

Chapter Two: Addition

 הפרק השני
ראוי להודיע כי המספרים אשר הם מאחד ועד תשעה יקראו פרטים
ומן העשרות ומעלה יקראו כללים ר"ל העשרות והמאות והאלפים והרבבות והשאר
ואע"פ שיקראו בשם הכלל אבל אין מדרגתם אחת רק יש כלל כולל כלל אחד וכן זה אחד עד שיגיע אל האחדות
לכן ראוי לבעלי החשבון לכתוב מדרגות חשבונם כסדר שיכתבו הכלל היותר כולל ראשונה ואחריו הכלל השפל ממנו וכן על הסדר עד שיגיעו אל האחדים
עוד כשיבואו לכתוב מספר אחר תחת אלה שישמרו הסדר הזה ויכתבו כל כלל תחת הדומה לו ר"ל הרבבה תחת הרבבה והאלף תחת האלפים והמאה תחת המאות והאחדים תחת האחדים
ונקרא א"כ האחדים מדרגה ראשונה והעשרות מדרגה שניה והמאות מדרגה שלישית והאלפים מדרגה רביעית וכן ללא תכלית
ואם יהיה בידך מספר שאינו מסודר בכל מדרגותיו כגון שהיו בידך אלפים ועשרות ואחדים והנה המאות הם חסרים משם השמר לך שלא תכתוב העשרות בצד האלפים אבל תכתוב האלפים ובמקום המאות תכתוב גלגל אחד 0 הנקרא בלשון ישמעאל סיפרא ובלשון יון אודין ובלשון לעז נולא
כלומר כי בכאן הוא מקום המאות ואין שם דבר
ואחר הגלגל תכתוב העשרות במקומו ובזה יהיו המדרגות כל אחת עם חברתה על קו ישר
וכשתרצה לקבץ כל הטורים לעשות אותם סך אחד תעשה ותתחיל מן האחדים לעולם ותרד על קו ישר באחדים אשר תחתיהם בכל הטורים
ואם לא יעלו עד עשר כתוב מה שתמצא תחת הכל כנגד האחדים למטה
ואם יעלו יותר מעשר בכל עשירית ועשירית כתוב נקדה אחת בעשרות ר"ל כמספר העשרות יהיו הנקודות שתכתוב והנשארים אשר לא הגיעו לכלל עשר כתוב אותם תחת האחדים
עוד תרד במדרגת העשרות ועם הנקודות שכתבת וקבצם ותעשה כמשפט הזה כי אם לא תגיע לעשר כתוב מה שתמצא תחת העשרות ואם הגעת לעשרות בכמות העשרות שעלו תעשה נקודות במאות והשאר אשר לא הגיעו לעשרות כתבם תחת מדרגת העשרות וכן אל בלתי תכלית
ואם כן יהיה הסך למטה בכל אחת מהמדרגות פחות מעשר והנמצאים בסך במדרגת האחדים הם אחדים ובמדרגות העשרות הם עשרות וכן בכל מדרגה כפי מדרגתה
ואם היו הטורים אשר רצית לעשות אותם סך הרבה מאד תחלקם לשלשה חלקים או לארבעה או לפחות או ליתר לפי רוב הטורים ומיעוטם ותעשה סך לכל חלק וחלק בפני עצמו כאשר הראית אחר כן תחבר שני החלקים ותעשה אותם סך כזה המשפט בעצמו והמקובץ יהיה סך כל החלקים יחד
וזאת צורת הקבוץ הנקרא סך
  • We wish to sum one thousand two hundred and fifteen with two thousand three hundred and twenty-two.
\scriptstyle1215+2322
 רצינו לקבץ אלף ומאתים וחמש עשרה ואלפים ושלש מאות ועשרים ושנים
כתבנו אותם סך כך
1 2 1 5
2 3 2 2
3 5 3 7
אחר חברנו אותם והיה קבוצם למטה שבע אחדים ושלש עשרות וחמש מאות ושלשת אלפים וידענו שהם שלשת אלפים וחמש מאות ושלשים ושבעה
ואלה המספרים בסכום היורד לא הגיעו לכלל עשר בשום מדרגה
ונצייר עוד צורה אחרת המגעת במדרגותיה לכלל העשרות והיא שנחבר עוד תחת אלה השני טורים שני טורים אחרים האחד תשעת אלפי' ושש מאות וחמשים ושבעה והשנית שמנת אלפים וחמש מאות וששים ושלש וזאת היא הצורה
  1 2 1 5
  2 3 2 2
  9 6 5 7
  8 5 6 3
2 1 7 5 7
קבצנו אותם ויצא הסך למטה שבעה אחדים וחמש עשרות ושבע מאות ואלף אחת ושתי רבבות
והנה קבוץ האחדים כאשר תרד במדרגותם על קו היושר תמצאם שבעה עשר הוצאנו העשרה מהם וכתבנו נקודה אחת במדרגת העשרות ונשארו שבעה וכתבנו אותם תחת האחדים
עוד כאשר קבצנו מדרגת העשרות על קו היורד ביושר יחד עם הנקודה שכתבנו שם כנגד העשירית שהוצאנו מהאחדים מצאנום חמש עשרה הוצאנו עוד העשרה מהם וכתבנו נקדה בעבורם במדרגת המאות והחמשה הנשארים כתבנום למטה במדרגת העשרות וכן כשקבצנו המאות בירידתנו על קו היושר יחד עם הנקדה שכתבנו כנגד העשירית שהוצאנו מהעשרות מצאנום שבעה עשר הוצאנו מהם העשרה וכתבנו בעדם נקדה במדרגת האלפים והשבעה הנשארים כתבנו אותם במדרגת המאות
וכן כשקבצנו את האלפים בירידתנו על קו היושר עם הנקדה שכתבנו עמם בעד העשירית שהוצאנו מהמאות מצאנו אותם עשרים ואחד הוצאנו העשרים שהם ב' עשרות וכתבנו בעבורם שתי נקודות במדרגת הרבבות והאחד הנשאר כתבנוהו תחת האלפים וידענו מזה שהם שתי רבבות ואלף אחד ושבע מאות וחמשים ושבעה
מאזנים לדעת אם הסכום שלך אפשר להיותו אמת על דרך התשעה תחשוב כל המדרגות כאילו הם אחדים ותקבצם ותשליכם תשעה תשעה ומה שישאר שמרהו ואם לא ישאר דבר תחשוב בליבך סיפרא
עוד קבץ מדרגות הסך גם הוא כאילו הם אחדים והשליכם ט' ט' ואם ישארו בידך כהשארות הראשון אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לא ישארו כראשונים דע בודאי שטעית ותחזור ותחשוב בטוב
מאזנים אחרים על דרך השבעה תחשוב כל המדרגות כאשר הם ר"ל האלפים אלפים והמאות מאות והעשרות עשרות והאחדים אחדים לא שתחשבם כאילו הם אחדים הכל כאשר עשית בדרך התשעה ואחר שתחשבם השליכם ז' ז' והשאר שמרהו ואם לא ישאר דבר שמור בלבך סיפרא
אחר תבוא אל מדרגות הסך ותתחיל מהכלל היותר גדול עם מה שבצדו ותחשוב כאילו הכלל הם עשרות ומה שבצדו אחדים והשליכם ז' ז' ומה שישאר תחשבהו עשרות וחברהו עם מה שבצדו ותחשוב מה שבצדו לאחדים והשליכם ז' ז' וכן תעשה עד שתגיע אל האחדים וכשתגיע אליהם והשלכתם ז' ז' ראה הנותר ואם הוא שוה עם מה ששמרת אפשר שחשבונך יהיה אמתי ואם הוא בלתי שוה דע בודאי שטעית ותחזור ותחשוב בטוב
וכן אם חלקת הטורים לחלקים מצד ריבויים כאשר הזכרתי ועשית הסך חלקים חלקים תעשה גם המאזנים שלהם ככה אחר חבר גם המאזנים כמו שתחבר הסכום על הדרך אשר ידעת

Chapter Three: Subtraction

 הפרק השלישי
אם רצית לחסר מספר ממספר ראוי שיהיה כלל המספר אשר תחסר ממנו יותר גדול מהמספר אשר תחסרנו וזה בשלמים אך לא בשברים ובשאר המדרגות אין צורך
ולעולם תכתוב המספר אשר תחסר ממנו ראשונה אחר תכתוב תחתיו המספר אשר תחסר כל מדרגה תחת הדומה לה
ואם יש לשם חסרון מדרגה תכתוב סיפרא במקומה והזהר לעולם אל הסיפרא שלא תשכחנה אך בכל מקום שתחסר מדרגה תשימנה אחר כן תתחיל לחסר מהאחדים
ואם האחדים אשר תחסר מהם הם יותר מאלה אשר תחסר חסרם מהם והנשאר תכתוב למטה במדרגת האחדים
ואם הם פחותים מהם תחזור אל העשרות אשר בצדם וקח עשירית אחת וחסרה מן העשרות וחברה עם האחדים אחר גרע מהם מה שתגרע והשאר תכתבם למטה במדרגת האחדים
עוד תבוא לחסר העשרות מהעשרות ואם הם יותר העשרות אשר תחסר מהם חסר מהם והשאר כתבם תחת העשרות
ואם הם מעטים שוב אל המאות ועשה כמשפט עד שתגיע אל הכלל היותר גדול
אמנם אם יש לשם סיפרא ותרצה לחסר ממנה מה שלמטה ממנה מהפרטים תקח מהכלל אשר למעלה ממנה ותשיבהו אל הספרא אחר תקח אחד מהמספ' ותשיבהו אל מה שלמטה ממנה ולא תשיב מהכלל אשר למעלה ממנה אל מה שלמטה ממנה כי זה הוא טעות גדולה
וזאת היא הצורה
  • We wish to subtract four thousand two hundred and twenty-five from five thousands one hundred and fourteen.
\scriptstyle5114-4225
 נרצה לחסר ד' אלפים ומאתים ועשרים וחמשה מה' אלפים ומאה וארבעה עשר
5 1 1 4
4 2 2 5
0 8 8 9
הוצאנו החמשה מן הארבעה ומפני שהארבעה פחותים מהם חזרנו אל העשרות אשר למעלה מהם ומצאנו עשירית אחת ולקחנוה ועשינוה עשרה וחברנוה עם הארבעה ונהיו ארבעה עשר הוצאנו מהם החמשה ונשארו תשעה וכתבנום במדרגת האחדים
עוד רצינו לגרוע העשרים מן הסיפרא כי לא נשאר דבר מהעשרות וחזרנו אל המאות והיה מאה אחת ולקחנוה והחזרנוה אל עשר עשרות והוצאנו ממנה העשרים ונשארו שמנים וכתבנום למטה
עוד רצינו לגרוע המאתים מהסיפרא כי לא נשאר לנו במאות דבר וחזרנו אל האלפים ולקחנו אלף אחת מן האלפים ונשארו האלפים ד' והאלף אשר לקחנו החזרנוה עשר מאות וגרענו מהם המאתים ונשארו שמנה מאות וכתבנום במדרגת המאות
עוד גרענו הד' אלפים מד' אלפים ונשאר 0'
אם כן ידענו שכשחסרנו ד' אלפים ורכ"ה מה' אלפים וקי"ד נשארו סך סיפרא אלפים ושמנה מאות ושמנים ותשעה
מאזנים על דרך התשעה תחשוב כל מדרגות המספרי' אשר גרעת מהם כאילו הם אחדים והשליכם ט' ט' ומה שישאר שמרהו ויקרא השמור הראשון
וכן תעשה במספרים אשר גרעת אותם שתשמור מהם הנשאר מהט' ט' וזה יקרא השמור השני
אחר תגרע השמור השני מהשמור הראשון ומה שישאר שמרהו וזה יקרא השמור השלישי
עוד תעיין אל הסך שנשאר אחר שגרעת המספרים מהמספרים ותחשבם כאילו הם אחדים והשליכם ט' ט' והנשאר אם יהיה שוה לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם אינו שוה דע בודאי שטעית
ואם השמור הראשון פחות מהשמור השני תוסיף עליו ט' אחר תגרע השמור השני ממנו ותעשה כמשפט
מאזנים אחרים על דרך השבעה תחשוב כללי המספרים אשר גרעת מהם עשרות ואשר בצדם אחדים והשליכם ז' ז' ומה שישאר תחשבהו עשרות והמספר הבא אחריו אחדים והשליכם ז' ז' ועו' כמה שישאר חשב ככה עד שתגיע אל האחדים והשליכם ז' ז' ומה שישאר שמרהו וזה יקרא השמור הראשון
עוד תעשה ככה במספרים אשר גרעת אותם והנשאר שמרהו ויקרא השמור השני
גרע השמור השני מהשמור הראשון ואשר ישאר יקרא השמור השלישי
אחר כן תעיין אל המספרים אשר נשארו כשגרעת המספרים מהמספרים וחשבם ככה כאשר אמרנו בטורים הראשונים כלומר כשתחשוב הכללים עשרות ואשר בצדם אחדים והשליכם ז' ז' והנשאר תחשבהו עשרות ואשר בצידו לאחדים עוד ותשליכם ז' ז' עד שתגיע אל האחדים ואחר שהשלכתם ז' ז' עיין בנשארים ואם הם שוים לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע כי בודאי טעית
מאזנים אחרים על דרך הקבוץ והם מאזני צדק
חבר המספרים שגרעת אותם עם המספרים שנשארו אחר הגרעון וראה ואם יהיו שוים עם המספרים אשר גרעת מהם תדע בודאי כי חשבונך אמת ואם לאו בודאי טעית
תם החלק הראשון

Part Two: Multiplication

 החלק השני מהספר הראשון
הפרק הראשון לכפול מספר על מספר
הרוצה לכפול מספר על מספר ראוי שיהיה הלוח הזה שגור בפיו כי בזה יהיה זריז לכפול מספר פלוני על מספר פלוני מא' עד ט'
ואם יהיה המספר אשר ירצה לכפול על מספר אחר כל אחד ממדרגה אחת או מאיזו מדרגה שיורה יקח דמיון לכל אחד ממדרגת האחדים ויכפול זה על זה כאלו הם אחדים ויראה העולה ואח"כ יקח לכל האחד מספר במדרגתו שאם היה האחד עשרות והאחר מאות נקח בעד העשרות שנים ובעד המאות שלשה ונחברם ויהיו חמשה אח"כ נשליך לעולם אחד והשאר יורה לנו העולה מאיזה מדרגה הוא
  • Example: we wish to multiply eighty by five hundred.
\scriptstyle80\times500
 דמיון זה רצינו לכפול שמנים על חמש מאות
לקחנו דמיונם מהאחדים בעד השמני' שמנה ובעד החמש מאות חמשה וכפלנו חמשה על שמנה ויצא לנו הסכום ארבעים
עוד לקחנו בעד המאות שלשה ובעד השמנים שנים כי הם מהמדרגה השנית חברנום ונהיו חמשה השלכנו אחד ונשארו ארבעה ואלה הארבעה הם מדרגת האלפים
וידענו מזה שהארבעים אשר יצאו כשכפלנו השמנים על החמש מאות הם ארבעים אלף
אולם כשתרצה לכפול שני מספרים על שני מספרים צריך שנכתוב אותן כל אחד במדרגתו ושנכפול אותן ארבעה פעמים כל אחד מהטור שלמטה עם כל אחד מהטור שלמעלה ונכתוב המספר המונח בטור הראשון והמספר אשר נרצה לכפול עליו בטור התחתון ונתחיל לכפול אחדי התחתון על אחדי העליון וההוה נכתוב אותו למטה במדרגת האחדים וזה אם לא הגיע לעשרות
אבל אם הגיע לעשרות נוציא העשרות מהם ונשמרם והנשארים אשר לא הגיעו לכלל העשרה נכתוב במדרגת האחדים
עוד נכפול האחדים שלמטה עם מדרגת העשרות שלמעלה ואשר יהיה נחבר גם מספר העשרות ששמרנו עם אחדי זה הכפל כי אע"פ שהם עשרות אבל מה שיצא מהם יהיה כאלו הם עשרות ואחדים כי על דמיון האחדים אנו כופלים הכל והאחדים אשר יתקבצו מזה הכפל נכתבם במדרגת העשרות והעשרות אם יהיו נכתבם במדרגה השלישית
אחר נראה העולה והוא חשבון כפל המספר ההוא
  • Example: we wish to multiply twenty-five by forty-three.
\scriptstyle25\times43
 דמיון רצינו לכפול עשרים וחמשה על ארבעים ושלשה
כזה
    2 5
    4 3
  2 1 5
  8 6  
1 0 7 5
    2 5
    4 3
1 0 7 5
כפלנו הה' על הג' ונהיו ט"ו גרענו העשירית ושמרנוה נשארו ה' וכתבנום במדרגת האחדים
עוד כפלנו הה' על הד' ונהיו עשרים ומפני שלא יצאו מזה אחדים כתבנו העשירית האחת לבד ששמרנו במקום העשרות והעשרים כתבנום במדרגה השלישית
עוד כפלנו הב' על הג' ונהיו ששה ומפני שלא יצאו גם בכאן אחדים כתבנו במקום האחדים סיפרא והששה כתבנום במקום העשרות
עוד כפלנו העשרים על הארבעי' ונהיו שמנה מאות וכתבנום במדרגה השלישית כי כל אחד מהכפולים היו ממדרגה שנית ובהשלכת האחד נשארו שלשה
אחר כן קבצנום ונהיו אלף ושבעים וחמשה
ואם נרצה לכפול שלשה מספרים על שלשה מספרים אז ראוי שנכפלם תשעה פעמים בזה הסדר
  • Example: we wish to multiply three hundred forty-eight by two hundred thirty-five.
\scriptstyle348\times235
 דמיון רצינו לכפול שלש מאות וארבעים ושמנה על מאתים ושלשים וחמשה
כתבנו אותם בצורה הזאת
    3 4 8
    2 3 5
  1 8 8 0
  9 4 0  
7 0 5    
8 1 7 8 0
    3 4 8
    2 3 5
8 1 7 8 0
כפלנו הח' על הה' ונהיו ארבעים ומפני שאין כאן אחדים כתבנו סיפרא במדרגת האחדים ושמרנו העשרות הארבעה
עוד כפלנו הג' על הח' ונהיו כ"ד שמרנו שתי עשרות ועם הארבעה שהם אחדיו חברנו הארבעה אשר שמרנו ונהיו שמנה וכתבנום במדרגת העשרות
עוד כפלנו הב' על הח' ונהיו י"ו שמרנו העשירית האחת וחברנו עם אחדיו שהם הששה את השתי עשרות שהיו שמורות לנו ונהיו ח' וכתבנום במדרגת המאות והעשירית האחת אשר שמרנו עתה כתבנוה במדרגת האלפים
הנה כבר כפלנו הח' על כל אחד ואחד מהמספרים שבטור הראשון השלשה
עוד שבנו לכפול הד' עם כל אחד ואחד מהם וכפלנוה תחלה עם הה' ונהיו עשרים ומפני שלא יצאו אחדים כתבנו ספרא במדרגת העשרות שהיא מדרגת אחדיו כי המספרים שכפלנו הם ממדרגה הראשונה והשנית והעשרים שהם שני עשרות שמרנום
עוד כפלנו הד' עם הג' ונהיו י"ב שמרנו העשירית האחת וחברנו עם השנים שהם אחדיו השני עשרות שהיו שמורות לנו ונהיו ד' כתבנום במדרגת המאות לפי שהמספרים שכפלנו הם במדרגה השניה
עוד כפלנו הארבעה עם הב' ונהיו ח' חברנו גם העשירית השמורה לנו עמם ונהיו ט' כתבנום במדרגת האלפים לפי שהמספרים אשר כפלנו היו ממדרגה השנית והשלישית
הנה כבר כפלנו גם הד' שבטור השפל עם כל אחד ואחד מהשלש מספרים שבטור העליון
עוד נשוב לכפול הג' עם כל אחד ואחד מן שלשת המספרים העליונים כפלנו אותו עם ה' והיה ט"ו הוצאנו העשירית ושמרנוה והה' כתבנום למטה במדרגת המאות כי שני המספרים האלה מדרגותם הם הראשונה והשלישית
עוד כפלנו אותם עם ג' ונהיו ט' חברנו גם העשירית השמורה ונהיו י' ולא היו לשם אחדים ולכן כתבנו במדרגת האלפים ספרא והעשירית אנו שומרים אותה
עוד הכינו אותם עם שנים ונהיו ו' חברנו גם העשירית השמורה עמם ונהיו ז' וכתבנום במדרגת הרבבות כי שני המספרים האלה הם במדרגה השלישית
אחרי כן קבצנו שלשה הסכום כמשפט ונהיו פ"א אלף ושבע מאות ושמנים
דמיון אחר במספר שיש לו ספרא
  • We wish to multiply a hundred and five by two hundred and twenty-four.
\scriptstyle105\times224
 רצינו לכפול מאה וחמשה על מאתים ועשרים וארבעה
כתבנו אותם ככה בזאת הצורה
    2 2 4
    1 0 5
  1 1 2 0
  0 0 0  
2 2 4    
2 3 5 2 0
    ב ב ד
    א 0 ה
  א א ב 0
  0 0 0  
ב ב ד    
ב ג ה ב 0
כפלנו הה' על הד' ונהיו כ' ומפני שאין שם אחדים כתבנו סיפרא במדרגת האחדים והשתי עשרות שמרנום
עוד כפלנו הה' עם הב' ונהיו י' ומפני שאין שם אחדים כתבנו הב' עשרות השמורות במדרגת העשרות וזאת העשירית שמרנוה
עוד כפלנו הה' עם ב הב' ונהיו י' ומפני שאין שם אחדים כתבנו למטה העשירית אשר שמרנו במדרגת המאות וזאת העשירית במדרגת האלפים
עוד שבנו להכות כל אחד משלשה המספרים העליונים עם הסיפרא וכתבנו סיפרא במדרגת העשרות וכן במדרגת המאות וכן במדרגת האלפים
עוד שבנו לכפול הא' עם הד' ונהיה ד' וכתבנוהו במדרגת המאות כי שני המספרים הנכפלים היו מהמדרגה הראשונה והשלישית
עוד כפלנו הא' עם הב' ונהיו ב' וכתבנום במדרגת האלפים כי שני המספרים הכפולים היה האחד מהמדרגה השנית והאחר מהמדרגה השלישית
עוד כפלנו הא' עם השנים ונהיו ב' וכתבנום במדרגת הרבבות כי שני המספרים הכפולים היה כל אחד מהמדרגה השלישית
אחר כן קבצנו העולה מהם והם כ"ג אלף וחמש מאות ועשרים
אמר מרדכי ראיתי להודיעך הכפל הזה בדרך אחרת נקלה מצאתיה אצל חכמי הישמעלים והוא שתעשה כל סך הנכפלים בשטה אחת מבלתי שתצטרך אל יותר מזה
וככה תעשה תשים המספר אשר תרצה לכפול עליו בשטה העליונה כמנהג
עוד שים המספר אשר תרצה לכפול אותו עליו בשטה השפלה כל מדרגה כנגד הדומה לה
ואחר כן החל לכפול האחדים על האחדים ותכתוב העולה למטה
ואם יעלו עשרות תפוש אותם בלבך ותכתוב האחדים לבדם למטה
עוד תכפול האחדים שבשטה השפלה עם העשרות שבשטה העליונה כאלו הם אחדים על אחדים והעשרות אשר תפשת בלבך מהחשבון הראשון חשוב אותם אחדים וחברם עם אלה
גם תכפול האחדים שהם בשטה העליונה עם העשרות שהם בשטה השניה וחבר הכל ותכתוב העולה למטה
ואם עלו עשרות והטעם מדרגה עליונה מזאת תפוס בלבך
גם תכפול האחדים שבשטה השפלה עם המאות שבשטה העליונה
וכן האחדים שבשטה העליונה עם המאות שבשטה השפלה
גם העשרות שבשטה השפלה עם העשרות שבשטה העליונה
והכלל המדרגות אשר בקבוצן תהיינה שוות הסך
כי הראשונה עם השלשה יעשו ד' וככה השלישית עם הראשונה והשנית עם השנית
גם הראשונה עם הרביעית יעשו חמשה וככה השנית עם השלישית
וככה תעשה עד אין קץ ואשר יהיה תחבר המספר שהיה במדרגה שחשבנוה עשרות שתפשת בלבך עמם וכתבם למטה והוא הסך המבוקש
  • Example: we wish to multiply three hundred and forty-eight by two hundred and thirty-five.
\scriptstyle348\times235
 דמיון רצינו לכפול שלש מאות וארבעים ושמנה על מאתים ושלשים וחמשה
כזה
    3 4 8
    2 3 5
8 1 7 8 0
    ג ד ח
    ב ג ה
ח א ז ח 0
כפלנו הח' על הה' ונהיו מ' ובעבור שלא נשארו אחדים כתבנו גלגל במדרגה הראשונה והמ' תפשנום בלבנו ארבע
עוד כפלנו ח' עם ג' והיו כ"ד גם ד' עם ה' כי הם שוה המדרגות והיו כ' חברנום עם הכ"ד והיו מ"ד גם חברנו עמהם הד' שתפשנו בלבנו היו מ"ח וכתבנו למטה במדרגת העשרות ח' והמ' תפשנו בלבנו ד'
עוד כפלנו ח' עם ב' והיו י"ו גם ג' עם ה' והיו ט"ו גם ד' עם ג' והיו י"ב כי כל אלה שוה המדרגות והם מ"ג חברנו עמהם הד' שתפשנו בלבנו והם מ"ז כתבנו הז' במדרגת המאות והד' שהם המ' תפשנו בלבנו
עוד כפלנו ד' עם ב' והיו ח' גם כפלנו ג' עם ג' והיו ט' גם חברנו הד' שתפשנו בלבנו עמם והיו כ"א כתבנו הא' במדרגת האלפים והכ' תפשנו אותם בלבנו שנים
עוד כפלנו ג' עם ב' והיו ו' חברנו עמהם הב' שתפשנו בלבנו והיו ח' כתבנו הח' במדרגת הרבבות
וידענו מזה שהסך העולה מכפל השטה השפלה על השטה העליונה הם שמנים ואחת אלפים ושבע מאות ושמנים
וכבר נהגו בעלי החשבון לכפול בדרך שלישית
והוא שתקח שלישית המספר ותכפלהו על עצמו וההוה הוא מרובעו ותקח כדומה לו ממדרגה הבאה אשר היא יותר עליונה ממנה ותוציא מזאת המדרגה מרובע השלישית והנשאר הוא המבוקש
  • Example: we wish to know the square of 9.
\scriptstyle9^2
 דמיון רצינו לדעת מרובע ט'
ולקחנו שלישיתו וכפלנו אותו על עצמו ונהיה ט' לקחנו דמיונו ממדרגה הבאה העליונה ממנה והיה צ' הוצאנו ממנו הט' שהוא מרובע השלישית ונשארו פ"א והוא המבוקש
ואם רצית לכפול מספר שאין לו שלישית אתה לוקח שלישית המספר היותר קרוב אליו ותרבע אותו ותעשה כמשפט אחר תעיין ואם המספר אשר לקחת שלישיתו הוא יותר פחות מהמספר המבוקש קבץ שני המספרים והוסיפם על הסך וההוה הוא המבוקש
  • Example: we wish to know the square of ten.
\scriptstyle10^2
 דמיון רצינו לדעת מרובע עשרה
וזה אין לו שלישית והמספר הקרוב אליו אשר יש לו השלישית הוא התשעה והוא פחות ממנו לקחנו מרובע שלישיתם והוא ט' ולקחנו דמיונם מהמדרגה הבאה והוא צ' גרענו ממנו הט' ונשארו פ"א ומפני שהמספר אשר לקחנו השלישית ממנו הוא פחות מהמספר המבוקש קבצנו שני המספרים הט' עם הי' ונהיו י"ט הוספנום על הפ"א ונהיו ק' והוא מרובע העשרה
אבל אם היה המספר אשר לקחנו השלישית ממנו יותר מהמספר המבוקש אנו מקבצים שני המספרים וגורעים אותם מהסך והנשאר הוא המבוקש
  • Example: we wish to know the square of 11.
\scriptstyle11^2
 דמיון רצינו לדעת מרובע י"א
ומפני שאין לו שלישית והמספר הקרוב אליו שיש לו שלישית הוא הי"ב והוא יותר ממנו לקחנו שלישיתו וכפלנוהו במספר המרובע ולקחנו דמיונו במדרגה הבאה והוא ק"ס גרענו ממנו הי"ו שהוא מרובע השלישית ונשארו קמ"ד ומפני שהמספר אשר לקחנו השלישית ממנו שהוא י"ב הוא יותר מהמספר המבוקש מרובעו שהוא י"א קבצנו שתיהן ונהיו כ"ג וגרענו אותם מן קמ"ד ונשארו קכ"א וזהו המבוקש שהוא מרובע י"א
אמר מרדכי מצאתי דרך נכבד בענין הכפל בדרך החמישיות והוא כי כאשר תרצה לכפול מספר על עצמו תקח חמישיתו ותכפלהו על עצמו ותעלהו במעלה הבאה הסמוכה לה אחר תכפול אותה על שנים וחצי והוא המבוקש
  • Example: we wish to multiply sixty by sixty.
\scriptstyle60^2
 דמיון רצינו לכפול ששים על ששים
וחמישיתו י"ב כפלנום על עצמם נהיו קמ"ד העלנו אותם במדרגה הבאה הסמוכה להם ונהיו אלף וארבע מאות וארבעים כפלנום על ב' וחצי ונהיו ג' אלפים ת"ר וזהו המבוקש
  • Another example: we wish to multiply fifty by fifty.
\scriptstyle50^2
 דמיון אחר רצינו לכפול חמשים על חמשים
וחמישיתו עשרה כפלנוהו על עצמו ונהיה מאה העלינוהו אל המדרגה הסמוכה לה ונהיו אלף כפלנום על ב' וחצי ונהיו ב' אלפים וחצי וזהו המבוקש
ואם רצית לכפול מספר על עצמו ואין לו חמישית תעיין המספר הקרוב אליו שיש לו חמישית אם מלפניו אם מלאחריו ולא יעבור ההפרש לעולם על שנים
ואם היה המספר אשר יש לו חמישית הקרוב אל מספרך קודם ממספרך באחד תחשבהו בדרך שהזכרתי ראשונה על המספר שיש לו חמישית אחר תחבר מספרך עם המספר שיש לו החמשית ותוסיפהו על הסך והוא המבוקש
ואם היה ההפרש שנים תכפול מספרך אחר שתחברהו עם המספר שיש לו חמישית עם שנים ואחר תוסיפנו על הסך והוא המבוקש
אמנם אם המספר שיש לו החמשית הוא אחר מספרך תחשוב חשבונך על המספר שיש לו החמישית אחר תחבר מספרך עם המספר פעם אחת אם ההפרש אחד או תכפול אותו עם ב' אחר שחברתו אם ההפרש שנים ותגרעהו מהסך והנשאר הוא המבוקש
  • Example: we wish to multiply 11 by 11.
\scriptstyle11^2
 דמיון רצינו לכפול י"א על י"א
והנה זה המספר אין לו חמשית והמספר הקרוב אליו אשר יש לו חמישית הוא העשרה וכפלנו אותו בדרך החמישיות ועלו ק' אחר חברנו הי' שיש לו החמישית עם הי"א שהוא מספרינו פעם אחת מפני שההפרש בין שמספרנו ובין י' הוא אחד ונהיו כ"א חברנו עם הק' ונהיו קכ"א וזהו המבוקש
דמיון אחר במספר שההפרש שנים
  • We wish to multiply 12 by 12.
\scriptstyle12^2
 רצינו לכפול י"ב על י"ב
והנה זה המספר אין לו חמישית והמספר הקרוב לו בעל החמשית הוא העשירי' כפלנוהו בדרך החמישיות ונהיו ק' אחר חברנו הי' שיש לו החמישית עם הי"ב שהוא מספרנו ונהיו כ"ב ומפני שההפרש שנים כפלנום ב' פעמים ונהיו מ"ד וחברנום עם הק' והיו קמ"ד וזהו המבוקש
דמיון אחר במספרים אשר המספר שיש לו חמשית הקרוב אליו הוא אחריהם כי הדמיונים אשר עשינו היה בהיותו לפניהם
  • We wish to multiply 14 by 14.
\scriptstyle14^2
 רצינו לכפול י"ד על י"ד
והנה זה המספר אין לו חמישית ראינו המספר אשר יש לו חמישית הקרוב אליו והוא ט"ו כפלנום בדרך החמישיות ועלה רכ"ה אחר חברנו את המספר הזה שיש לו חמישית עם מספרינו שהוא י"ד פעם אחת מפני שההפרש אחד והיה כ"ט גרענום מן הסך מפני כי המספר אשר יש לו החמישית היה אחרי מספרנו ונשארו קצ"ו וזהו המבוקש
דמיון במספר כזה שההפרש אשר בינו ובין אשר יש לו החמישית שנים
  • We wish to multiply 13 by 13.
\scriptstyle13^2
 רצינו לכפול י"ג על י"ג
וזה המספר אין לו חמישית והמספר הקרוב אליו שיש לו החמישית הוא החמשה עשר כפלנוהו בדרך החמישיות והיה רכ"ה אחר חברנו זה המספר שיש לו החמישית עם י"ג שהוא מספרנו ונהיו כ"ח כפלנום על ב' מפני שההפרש אשר בין שני המספרים ב' ונהיו נ"ו גרענום מן רכ"ה מפני שהמספר שיש לו החמישית הוא אחרי מספרנו ונשארו קס"ט וזהו המבוקש
ואם תרצה לכפול מספר על מספר שהם רחוקים מהכלל בשווי האחד חסר ממנו והאחר מוסיף עליו אתה יכול לכפול הכלל על עצמו אחר תרבע המספר היתר והחסר ותגרעהו מחשבון הכלל וההוה הוא המבוקש
  • Example: we wish to multiply twenty-five by thirty-five.
\scriptstyle25\times35
 דמיון רצינו לכפול כ"ה על ל"ה
והכלל ל' והה' בתוספת וחסרון כפלנו הכלל ונהיו תת"ק אחר כפלנו הה' ונהיה כ"ה גרענום מהתת"ק ונשארו תתע"ה והוא המבוקש
אמר מרדכי עם היות שאמרנו שאם היו המספרים שתים על שתים אתה צריך לכפלם ארבעה על ארבעה ר"ל ארבעה פעמים צריך אתה לדעת שאם היה כללם אחד יספיק לכפלם שלש פעמים
כגון הרוצה לכפול י"ג על י"ד והנה כלל שניהם עשרה תחבר שני הפרטים ויהיו ז' ותכפול ז' פעמים י' נהיו ע' וי' פעמים י' הרי ק' וג' פעמים ד' הרי י"ב והעולה קפ"ב וזהו המבוקש
מאזנים על הכפל בדרך הט'
תחשוב הטור העליון כולו כאלו הם אחדים והשליכם ט' ט' והשאר שמרהו וזה יקרא השמור הראשון
עוד תעשה כן בטור השפל והשאר יקרא השמור השני
תכפול השמור הראשון על השמור השני ואשר יהיה השליכהו ט' ט' והשאר שמרהו וזה יקרא השמור השלישי
אחר תעיין הטור השלישי השפל אשר יקרא הסך ותחשבהו כאלו הם אחדים והשליכם ט' ט' והשאר עיין ואם הוא שוה לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע בודאי שטעית
מאזנים בדרך השבעה
עיין מספרי הטור הראשון ותתחיל מהיותר כולל ותחשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם ז' ז' ואשר ישאר חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם עוד ז' ז' ואשר ישאר עוד חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם עוד ז' ז' ואשר ישאר עוד חשבהו עשרות ואשר בצדו אחדים והשליכם ז' ז' וכן תעשה עד שתגיע למעלת האחדים ואשר ישאר שמרהו וזה יקרא השמור הראשון
עוד תקח מספרי הטור השני ועשה כמשפט הזה ואשר ישאר יקרא השמור השני
אחר תכפול השמור השני על השמור הראשון ואשר יהיה השליכהו ז' ז' והשאר יקרא השמור השלישי
אחר כן תעיין מספרי הטור השפל השלישי אשר יקרא הסך ועשהו כמשפטי הטורים העליונים ועיין הנשאר ואם הוא שוה לשמור השלישי אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע בודאי שטעית

Euclidean Propositions
אמר מרדכי ראיתי לכתוב לך דברים מעניני המספר להרגילך בהם כדי שתהיה זרִיז בענינים אלו
Euclid, Elements, Book II, propositions 2: If you divide any number into parts as you wish, [the sum of] the products of each of the parts by the whole number is equal to the square of the whole number

\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left[\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\sdot a_k\right]=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2

ואומר כל מספר שחלקת אותו לחלקים איך שרצית הנה כפל כל אחד מהחלקים על כל המספר מקובץ שוה למרובע כל המספר
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot12\right)+\left(4\sdot12\right)+\left(5\sdot12\right)=36+48+60=144=12^2}}
 דמיון המספר י"ב וחלקנוהו על שלשה וארבעה וחמשה כפלנו הג' על הי"ב והיו ל"ו עוד כפלנו הד' על הי"ב והיו מ"ח עוד כפלנו הה' על הי"ב והיו ס' חברנו אותם והיו הכל קמ"ד והם שוים למרובע י"ב
Euclid, Elements, Book II, proposition 2:
\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]=\left(a+b\right)^2
 עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה כפל כל אחד משני החלקים על כל המספר מקובץ שוה למרובע כל המספר
\scriptstyle{\color{blue}{\left(10\sdot7\right)+\left(10\sdot3\right)=70+30=100=10^2}}
 דמיון המספר עשרה וחלקנוהו על ז' וג' כפלנו הז' על הי' והיו שבעים גם ככה כפלנו החלק האחר שהם השלשה עליו והיו ל' ושניהם ק' והוא מרובע העשרה
  • Euclid, Elements, Book II, proposition 3: For any number divided into two parts as you wish, the product of the whole number by any of its two parts is equal to the product of the one part by the other plus the square of the part by which you multiplied the whole number.
\scriptstyle\left(a+b\right)\sdot b= \left(a\sdot b\right)+b^2
 עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה כפל המספר כולו על אחד משני חלקיו איזה שיהיה שוה לכפל החלק האחד על השני ולמרובע החלק משניהם אשר כפלת על כל המספר
  • Example: the number ten, we divide it into two parts - three and seven.
 דמיון המספר עשרה חלקנוהו לשני חלקים על שלשה ושבעה
\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+3\right)\sdot3=10\sdot3=30=21+9=\left(7\sdot3\right)+3^2}}
 כפלנו השלשה עמו והיו ל' וזה שוה לכפל הג' על השבעה שהם כ"א ולמרובע הג' שהם ט' שהוא החלק אשר כפלנו
\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+3\right)\sdot7=10\sdot7=70=21+49=\left(3\sdot7\right)+7^2}}
 גם ככה אם היינו כופלים הז' שהוא החלק האחד על העשרה היו שבעים וזה שוה לכפל הג' על הז' שהם כ"א ולמרובע הז' שהם מ"ט שהוא החלק אשר כפלנו ושניהם שבעים
  • Euclid, Elements, Book II, proposition 4: For any number divided into two parts as you wish, the square of the whole number is equal to [the sum of] the squares of the two parts and twice the product of the one part by the other.
\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]
 עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה מרובע כל המספר שוה לשני המרובעים ההוים משני החלקים ולכפל החלק האחד על חברו פעמים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle 3^2+7^2+\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]&\scriptstyle=9+49+\left(2\sdot21\right)=9+49+42\\&\scriptstyle=100=10^2\\&\scriptstyle=\left(3+7\right)^2\\\end{align}}}
 דמיון המספר עשרה חלקנוהו על שלשה ושבעה ומרובע הג' ט' ומרובע הז' מ"ט וכפל הג' על הז' כ"א וחשבהו פעמים הם מ"ב והכל ק' וזה שוה למרובע העשרה
  • Euclid, Elements, Book II, proposition 5: For any number divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the product of one of the unequal parts by the other and the square of the difference between the two parts, i.e. between the equal part [= the half of the whole number] and the unequal [part] is equal to the square of half the [whole] number.
\scriptstyle\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left(a\sdot b\right)+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2
 עוד כל מספר כאשר תחלקהו לשני חלקים שוים ולשני חלקים בלתי שוים הנה כפל החלק האחד אל חברו מהחלקים הבלתי שוים ומרובע מה שבין שני החלקים ר"ל בין החלק השוה ובלתי שוה שוה למרובע חצי המספר
\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left(3\sdot7\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-3\right]^2=\left(3\sdot7\right)+\left(5-3\right)^2}}
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3\sdot7\right)+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+\left(7-5\right)^2\\&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+2^2\\&\scriptstyle=21+4=25=5^2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2\\\end{align}}}
 דמיון המספר עשרה חלקנוהו לחמשה וחמשה שהם חלקים שוים גם חלקנוהו לז' וג' שהם חלקים בלתי שוים כפלנו הג' על הז' והיו כ"א עוד לקחנו מרובע השנים שהם בין הה' שהם החלק השוה לשלשה או לז' שהם החלק הבלתי שוה והיו ד' והכל כ"ה והם שוים למרובע ה' שהוא מרובע חצי המספר
  • Euclid, Elements, Book II, proposition 6: If you divide any number into half and add to it another number, [the sum of] the product of the whole number plus the additional [number] by the additional [number] and the square of half the number is equal to the square of half the number and the additional [number] together.
\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2
 עוד כל מספר כאשר חלקת אותו לחצאים והוספת עליו מספר אחר הנה כפל המספר כלו מקובץ עם התוספת בתוספת והמרובע ההוה מחצי המספר שוה למרובע חצי המספר והתוספת ביחד
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[2\sdot\left(10+2\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2&\scriptstyle=\left(2\sdot12\right)+5^2\\&\scriptstyle=24+25\\&\scriptstyle=49=7^2=\left(5+2\right)^2\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2\\\end{align}}}
 דמיון המספר עשרה וחלקנוהו לשני חצאים שהם כל חצי חמשה הוספנו על העשרה שנים והיו י"ב כפלנו כל הי"ב שהוא המספר עם התוספת ביחד עם השנים שהם התוספת והיו כ"ד חברנו עמהם כ"ה שהם מרובע ה' שהוא חצי המספר והיו מ"ט וזה שוה למרובע ז' שהוא חצי המספר עם התוספת ביחד
Euclid, Elements, Book II, proposition 7: For any number divided into two parts, the sum of the square of the whole number and the square of one of the parts is equal to twice the product of this part by the whole number plus the product of the other part by itself

\scriptstyle\left(a+b\right)^2+a^2=2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2

עוד כל מספר כאשר תחלקהו בשני חלקים איך שיקרה הנה המרובע ההוה מן המספר כלו והמרובע ההוה מאחד משני חלקים כאשר התקבצו שוים לכפל המספר כלו עם החלק הנזכר פעמים והמרובע ההוה מן החלק השני
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle10^2+7^2&\scriptstyle=100+49=149\\&\scriptstyle=140+9\\&\scriptstyle=\left[2\sdot\left(7\sdot10\right)\right]+3^2\\\end{align}}}
 דמיון המספר עשרה וחלקנוהו איך שקרה על שבעה ועל שלשה והמרובע ההוה מעשרה הם ק' וההוה מז' הם מ"ט ומקובצים קמ"ט והם שוים לכפל העשרה על ז' פעמים שהם מאה וארבעים ולמרובע ג' שהם ט' שהוא החלק השני והכל קמ"ט
Euclid, Elements, Book II, proposition 8: For any number divided into two parts as you wish, if you multiply the whole number by one of the parts four times, the sum of the product with the square of the other part is equal to the [square] of the whole number plus the one part

\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2

עוד כל מספר כאשר חלקת אותו בשני חלקים איך שיקרה וכפלת המספר כלו עם אחד משני חלקיו ארבעה פעמים ועם מרובע החלק הנשאר שוה למרובע ההוה מן המספר כלו והחלק הנזכר כאשר תחברם ביחד ותקח מרובעם
\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left[4\sdot\left(10\sdot7\right)\right]+3^2=280+9=289=17^2=\left(10+7\right)^2}}
 דמיון יש לנו מספר מניינו העשרה וחלקנוהו איך שהזדמן על ג' ועל ז' הנה כאשר כפלנו הז' עם הי' ד' פעמי' היו ר"פ וכאשר חברנו עמהם מרובע הג' שהוא ט' והוא החלק השני נהיו רפ"ט והם שוים למרובע י"ז שהוא המספר כלו יחד עם החלק אשר כפלנוהו עם המספר כולו והם גם אלה רפ"ט
Euclid, Elements, Book II, proposition 9: For any number divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the squares of the unequal parts is equal to twice [the sum of] the square of half the [whole] number and the square of the difference between the large part and the half [of the whole number]

\scriptstyle a^2+b^2=2\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2+\left[a-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2\right]

עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים אשר יהיו מהחלקים הבלתי שוים הם כפל שני המרובעים אשר יהיו מחצי המספר ומהתוספת אשר לחלק הגדול על המחצית
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7^2+3^2&\scriptstyle=58=2\sdot\left(25+4\right)=2\sdot\left(5^2+2^2\right)\\&\scriptstyle=2\sdot\left[5^2+\left(7-5\right)^2\right]\\&\scriptstyle=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2\right]\\\end{align}}}
 דמיון יש לנו מספר מנינו עשרה וחלקנוהו לשני חלקים שוים על ה' ושני חלקים בלתי שוים על ג' וז' הנה מרובע ג' שהוא ט' ומרובע ז' שהוא מ"ט שניהם נ"ח הם כפל מרובע ה' שהוא כ"ה והוא מחצית המספר וכפל מרובע ב' שהוא

ד' ושניהם כ"ט שהוא התוספת שיש לז' שהוא החלק הגדול על הה' שהוא המחצית

Euclid, Elements, Book II, proposition 10: If you divide any number into half and add to it another number, [the sum of] the square of the whole number plus the additional [number] and the square of the additional [number] is equal to twice [the sum of] the square of half the number and the square of half the number plus the additional [number] together

\scriptstyle\left(a+b\right)^2+b^2=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2\right]

עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חציים והוספת עליו מספר אחר הנה מרובע המספר עם התוספת יחד ומרובע התוספת בעצמו הם כפל שני המרובעים שהם מרובע חצי המספר ומרובע חצי המספר עם התוספת יחד כאשר יחוברו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+2\right)^2+2^2&\scriptstyle=12^2+2^2\\&\scriptstyle=144+4=148=2\sdot74=2\sdot\left(25+49\right)\\&\scriptstyle=2\sdot\left(5^2+7^2\right)=2\sdot\left[5^2+\left(5+2\right)^2\right]\\&\scriptstyle=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2\right]\\\end{align}}}
 דמיון יש לנו מספר מניינו עשרה וחלקנוהו לשני חצאים על הה' והוספנו עליו מספר אחר ב' ונהיה י"ב הנה מרובע י"ב שהוא המספר עם התוספת יחד קמ"ד ומרובע ב' שהוא התוספת ד' ושניהם קמ"ח והוא כפל מרובע ה' שהוא כ"ה ומרובע ז' שהוא מ"ט ושניהם ע"ד אשר הוא מרובע חצי המספר והתוספת ביחד
הנה הודעתיך דרכים נאותים במספרים מועילים כי כאשר יהיו דרכים מתחלפים מוציאים אל חשבון אחד כאשר יטעה מהדרך האחד יתיישר מהדרך האחר ותרגיל עצמך בהם

Part Three: Division & Sum

 החלק השלישי לחלק מספר על מספר ולהוסיף מספר על מספר

Chapter One: Division

 הפרק האחד
אמר מרדכי הקדמנו זה השער משאר הערכי' להיותו קודם בטבע מן הערכי' ופשוט ממנו אם קודם בטבע כי לא נוכל למצוא בערכים הגבול האחד מהשנים או מהשלשה אם לא בדרך הכפל והחלוקה כאשר יתבאר בשער אשר נזכירם ואם פשוט ממנו להיות השער ההוא מורכב מזה ומהמיוחד לו וזה השער מיוחד בזה משניהם והנה החלוקה הזאת עושים אותה בעלי החשבון על שני דרכים
הדרך האחת כאשר הזכירה החכם ר' אברהם ן' עזרא ז"ל
והדרך השנית היא אשר קורים אותה הלועזים גליאה בלשונם ופירושו דוגית
ואני אזכיר הנה גם שתי הדרכים
הדרך הראשונה היא כאשר תרצה לחלק מספר על מספר בין שיהיה אחד על רבים או רבים על אחד או רבים על רבים כתוב המספר אשר רצית לחלקו ראשונה
וראוי שיהיה לעולם המספר המתחלק יותר מהמחולק עליו בשלימים
אחר תכתוב המספר אשר תרצה לחלק עליו בטור השפל וריוח תשים בין העליון והשפל כדי שתשים ביניהם העולה בחלוק
והשמר שתכתוב המספר השפל במדרגותיו כנגד מדרגות הטור העליון כל אחד כנגד הנכחי לו
אחר תתחיל לחלק מהכלל היותר גדול ותחשבהו כאלו הם אחדי' ותחלקהו על הכלל היותר גדול שבטור השפל ואם הכלל היותר גדול שבטור העליון כשתחשבהו במספר אחדים יהיה יותר מעט מהטור מהכלל שבטור השפל החזירהו אחורנית ואז יהיה יותר גדול מהכלל שבטור השפל ותחלק עליו וראה ואם המספר אשר תחלק עליו הוא מהמדרגה הראשונה כתו' העולה בחלוק במדרגה האחרונה ואם הוא במדרגה השנית כתוב העולה בחלוק במדרגה השנית אחורנית ר"ל השנית לאחרונה וכן על זה הסדר
ואם ישאר שום מספר אשר בכללי הטור הראשון אשר לא יכול להתחלק במדרגתו השיבהו אחורנית וחשבהו עשרה ר"ל כל אחד מהנשארי' אשר לא יכול להתחלק וחברהו עם המדרגה הקרובה לו השפלה ממנו וחלקהו וכן אם ישאר גם מזאת המדרגה ככה תעשה עד שתגיע למדרגת האחדים
וכן ראוי שתדע שאם היו המספרים אשר תחלק עליהם רבים וכשחלקת הכלל שבטור הראשון על הכלל שבטור השני לא נשאר דבר אין ראוי שתתן לו כל החלקים אבל תשאיר חלק אחד כדי שתשיבהו אחורנית ותחלקהו גם על שאר המספרים שבטור השפל וכן בכל מדרגה ומדרגה
  • Example: we wish to divide 4215 by 14.
\scriptstyle4215\div14
 דמיון רצינו לחלק ד' אלפים ורט"ו על י"ד
כזו הצורה
0      
1 0 0 1
4 2 1 5
  3 0 1
1 4    
4 2 1 5
  3 0 1
1 4    
חלקנו הד' שבטור העליון שהוא במדרגת האלפים על האחד שבטור השפל שהוא במדרגת העשרות ונתננו לו ג' כדי שנוכל לחלק גם על הד' האחדים ואלה הג' כתבנום במדרגה השנית אחורנית תחלתה מהכללים לפי שהאחד אשר חלקנו עליו היה במדרגה השנית מהאחדים
עוד הא' הנשאר השיבונוהו אחורנית לעשרה וחברנוהו עם הב' אשר במדרגת המאות ונהיו י"ב חסרנו מהם הד' אחדים ג' פעמים ולא נשאר דבר ומפני שלא נשאר דבר להיותו מקושר וכן עדיין לא יצא בחוץ כתבנו ספרא אחרי הג' במדרגת העשרות
עוד שבנו לחלק הט"ו שבטור העליון על הי"ד שבטור השפל ונתננו לו אחד וכתבנוהו במדרגה הראשונה ממדרגת האחדים מפני שגם המחולקים הם במדרגה הד' ממדרגת האלפי' ונשאר אחד בלתי מתחלק ומזה ידענו שהחלק הוא ג' מאות וא' ונשאר גם חלק אחד אשר לא נחלק
  • Another example: we wish to divide 104034 by 114.
\scriptstyle104034\div114
 דמיון אחר רצינו לחלק ק' אלפי' וסיפ' וד' אלפי' וסיפ' ול' וד' על קי"ד
כזה
1 0 4 0 3 4
      9 1 2
      1 1 4
השיבונו האחד שבטור העליון שהוא במדרגת העשר רבבות אל י' אחורנית במדרגת הרבבות ונתננו לחלק ט' הוצאנו ט' פעמי' אחד ממנו נשאר אחד ואלף הט' כתבנום במדרגה הג' אחורנית מן הכלל המתחלק כי חלקנום על אחד שהוא במדרגה השלישית מן האחדים והאחד אשר נשאר במדרגת הרבבות השיבונוהו נ אחורנית י' במדרגת האלפים וחברנוהו עם הד' אשר שם ונהיו י"ד גרענו עוד מהם ט' פעמי' אחד שהוא במדרגת העשרו' ונשארו ה' במדרגת האלפי' . עוד גרענו מהם ד' פעמי' ט' שהם האחדים שבטור השפל והם ל"ו ולא הספיקו השיבונו הד' אחורנית לעשרות במדרגת המאות ונהיו מ' גרענו מהם הל"ו נשארו ד' במדרגת המאות וא' במדרגת האלפי'
עוד שבנו לחלק הא' שבמדרגת האלפים והד' שבמדרגת המאות על הקי"ד שבטור השפל ונתננו אחד לחלק וכתבנוהו במדרגה השנית אחרי הט' . גרענו א' מהא' אשר במדרגת האלפי' ולא נשאר דבר במדרגת האלפים . עוד גרענו הא' אשר במדרגת העשרות מהד' אשר במדרגת המאות נשארו ג' במדרגת המאות עוד גרענו הד' האחדים שבטור השפל מהג' שבמדרגת המאות ולא הספיקו ולכן החזרנו הא' אחורנית לעשרה וחברנום עם הג' הג' א אשר במדרגת העשרות ונהיו י"ג ובמדרגת המאות נשארו ב' גרענו הד' מהי"ג נשארו ט' במדרגת העשרות עוד שבנו לחלק הב' אשר נשארו במדרגת המאות והט' אשר נשארו במדרגת העשרות על הקי"ד ונתננו ב' לחלק וכתבנוהו במעלת האחדים והוצאנו ב' פעמי' א' מהט' מהט' ונשארו במדרגת העשרות ז' עוד הוצאנו ב' פעמי' ד' מהד' שבטור העליון ולא הספיק ולכן החזרנו א' מהז' שהיו על מדרגת העשרות אחורנית לעשר וחברנום עם הד' שבטור העליון ונהיו י"ד וגרענו מהם הח' ונשארו במדרגת האחדים ו' וו' במדרגת העשרות וידענו מזה שנחלק מספרינו לתשע מאות וי"ב חלקים ונשארו גם ס"ו אשר לא נחלקו
וראוי לך לדעת שכאשר תחלק המספרים שבטור העליון על כל המספרים שבטור השפל וקודם שתצא לחוץ הותרו ולא היה לשם השארות שיקשרו עם הבאים אחריהם אז ראוי לך להשים בצד החלקים שחלקת סיפ' ואחר כשתתחיל לחלק הבאים תכתבם בצד הסיפ' כאשר עשינו בדמיון הראשון אשר למעלה מזה
  • Another example: we wish to divide 5214 by 108.
\scriptstyle5214\div108
 דמיון אחר רצינו לחלק ה' אלפי' ורי"ד על ק' וסיפ' וח'
כזה
5 2 1 4
    4 8
  1 0 8
נתננו לחלק ד' כדי שיספיק וכתבנוהו במדרגה השלישית אחורנית כי האחד אשר חלקנום עליו היה במדרגה השלישית ממדרגת האחדים גרענו ד' פעמים אחד ממנו ונשאר א' במדרגת האלפים עוד גרענו ד' פעמים ח' שהם ל"ב מהא' ולא הספיק והשיבונו אחורנית לעשרות ונהיו י"ב כי חברנום עם הב' שבמדרגת המאות ועדיין אינו מספיק להוציא מהם ל"ב השיבונו אחורנית הד' מהי"ב לעשרות וחברנום עם הא' אשר במדרגת העשרות ונהיו מ"א ונשארו במדרגת המאות ח' וגרענו הל"ב ממ"א ונשארו ט' במדרגת העשרות עוד שבנו לחלק הח הח' על הא' ונתננו לו ח' וכתבנום במדרגה הראשונה מהאחדי' גרענו ח' מהח' עוד נשארו ח' גרענו ח' פעמי' ח' שהם ס"ד מהט' שהם במדרגת העשרות ולא הספיקו ולכן השיבונו אחורנית הו' אל האחדים ונהיו ס' ונהיו וחברנום עם הד' שבטור העליון ונהיו ס"ד וגרענו מהם הס"ד ונשארו ג' במדרגת העשרות וידענו מזה שהחלק הוא מ"ח ונשארו גם ס' אשר לא חלקנום . זאת היא הדרך האחת מהשתי דרכים מדרכי החלוקה
הדרך השנית והיא אשר תקרא בלשנם גליאה היא דרך שרוב הסוחרים משתמשים בה והיא שתכתו' המספרי' אשר תרצה לחלק אותם בטור העליון . והמספרים אשר תרצה לחלק עליהם בטור השפל ולא תכתבם במדרגתם כנגד העליונים אבל אי זו מדרגה שיהיו כתוב הכולל שלהם תחת הכולל שבטור הראשון והמספר הבא אחריו כנגד המספר אשר בצד הכולל אחר תתחיל לחלק הכולל שבטור העליון על הכולל שבטור השפל ולא תתן לו מה שתמצא ואם אין המספרים אשר בצדו מספיקים לחלקם על המספרים אשר תחלק עליהם תשאיר אחד או יותר לפי מה שתצטרך ותעיין כמה פעמי' הוא נכנס בו ר"ל הכולל בכולל או הכולל בכולל אחר שהשארת ממנו אם השארת וכמספר הפעמי' אשר יכנס בו כתוב במקום מיוחד המספר ההוא ותכה עם המספר הזה הכתוב במקום המיוחד את הכולל מהמספרים אשר תחלק עליהם ותגרעהו מכולל המספר הנחלק והנשאר אם ישאר כתו' אותו למעלה ממנו ותמחוק האחר עוד תכה עם המספר הכתו' במקום המיוחד את המספר הבא אחר הכולל מהמספר אשר תחלק עליו ותגרעהו מהמספר הבא אחדר הכולל מהמספרים הנחלקים ותעשה כמשפט וכן תעשה עד שתחלק על כל המספרי' אשר תחלק עליהם ואם לא הספיק המספר הנחלק לגרוע ממנו תחזיר את האחד הנשאר או היותר אם היו אחורנית לעשרות ותחלקם על המספר אשר תחלק עליהם וכן תעשה עד שתוציא כל המספרי' הנחלק עליהם בחלוקה עוד תשוב לכתו' המספרים אשר תחלק עליהם ותרד מדרגה אחת ותתחיל משם ותכתוב כסדר ותראה כמה פעמי' הוא נכנס הכולל מהמספרי' אשר תחלק עליהם במספר השני הבא אחר הכולל במספרי' הנחלקי' והמספר ההוא ר"ל כמות הפעמי' כתבהו בצד המספר אשר כתבת במקום המיוחד והכה עמו כל המספרי' אשר תחלק עליהם ועשה כמשפט ותוציא הנכפל מהמספרי' אשר תחלק עליהם מהראשון שבמספרי' המוחלקי' הנשארים ותמחוק המספר הכתו' ואשר ישאר כתבהו עליו וכן תעשה עד שתצא בחוץ ואם בתוך המספר קודם שתצא בחוץ הוצאת כל המספרי' אשר חלקת עליהם מהמספרי' ההם ולא נשאר דבר כתו' סיפ' בחוץ לשם שאתה כותב החלקים בצד החלק אשר אתה בו עוד תשוב לחלק המספרי' הבאים עד שתצא בחוץ והחלקי' כתבם בצד הסיפ'
  • Example: we wish to divide 4215 by 14.
\scriptstyle4215\div14
 דמיון רצינו לחלק ד' אלפי' ורט"ו על י"ד
כזאת הצורה
1     1
4 2 1 5
 
 
1 4 1 4
3 0 1
כתבנו אותם בטור העליון והי"ד בטור השפל והתחלנו מהמדרגה היותר כוללת ושמנו גם קו אחד יורד בצד המספרים וראינו כמה פעמי' נכנס א' בד' ומצאנו שנכנס ד' פעמי' ולא נתננו לו כל הד' אבל נתננו לו ג' כדי שיספיק לחלק גם על השאר והג' כתבנום בחוץ בצד הקו היורד וגרענו הא' ג' פעמי' מהד' ונשאר אחד ומחקנו הד' וכתבנו למעלה במדרגתו אחד עוד מצאנו הוצאנו הד' ג' פעמי' שהם י"ב מזה האחד הנותר אחר שהשיבונוהו אחורנית לי' וחברנוהו עם הב' ונהיו י"ב ולא נשאר דבר ומפני שלא נשאר דבר קודם שנצא בחוץ כתבנו בצד הג' סיפ' עוד שבנו לחלק הט"ו שלמעלה על הי"ד ומחקנו הי"ד ממקומם וכתבנום תחת הט"ו ^ כי הותרו הי"א ואינם קשורים אחר שיצאנו בצמצום ונתננו חלק אחד לאחד וכתבנוהו בצד הסיפ' ונשאר חלק אחד בלתי מתחלק כי הוצאנו האחד מן האחר ומחקנו את שתיהם והוצאנו הד' מן הה' ונשאר א' ומחקנו את שתיהם וכתבנו האחד למעלה וידענו מזה שנחלק לש' וסיפ' וא' חלק ונשאר גם אחד בלתי מתחלק
  • Another example: we wish to divide 104034 by 114.
\scriptstyle104034\div114
 דמיון אחר רצינו לחלק ק' אלף וסיפ' וד' אלפי' וסיפ' ול"ד על קי"ד
כזה
      0    
      2    
    1 3 6  
  1 5 4 9 6
1 0 4 0 3 4
  1 1 4    
    1 1 4  
      1 1 4
9 1 2
השיבונו הא' שבמספרי הטור העליון הכולל לעשרות וכתבנוהו במדרגת העשרות הרבבות ולכן כתבנו הקי"ד ממנו כי הוא לא הספיק וראינו שהמספר אשר נחלק עליו נכנס בו ט' פעמי' וכתבנו הט' בחוץ בצד הקו היורד בחוץ כפלנו הא' עם הט' ונהיו ט' גרענום מן הי' שבמדרגת הרבבות נשאר א' במדרגת הרבבות ומחקנו הא' שבטור השפל עו' כפלנו הט' עם הא' השני שבטור השפל ונהיו ט' החזרנו אחורנית את הא' שבמדרגת הרבבות לי' וחברנוהו עם הד' שיש שם במדרגת האלפי' ונהיו י"ד גרענו מהם הט' ונשארו ה' במדרגת האלפי' עוד כפלנו הד' שבטור השפל על הט' ונהיו ל"ו והחזרנו הד' מהה' שבמדרגת האלפי' לעשרות על מדרגת המאות ונשאר אחד במדרגת האלפי' ומחקנו הה' וכתבנו במקומו א' והנשאר והד' אשר החזרנו נהיו מ' וגרענו מהם הל"ו ונשארו ד' במדרגת המאות וכתבנום ומחקנו גם הד' שבטור השפל ומפני שהחשבון לא יצא בחוץ עדין שבנו עוד וכתבנו הקי"ד כל אחד מהם קודם מדרגה אחת ממה שכתבנום בפעם הראשונה ורצינו לחלק האחד אשר בטור העליון במדרגת האלפי' עם המספרי' אשר בצדו עליהם וראינו שהם נכנסי' בו פעם אחת וכתבנו אחד בחוץ בצד המספר אשר בצד הקו היורד בחוץ כפלנוהו עם הא' שבטור השפל ונהיה א' גרענוהו מן האחד שבמדרגת האלפי' ומחקנוהו וגם מחקנו גם זה האחד עוד כפלנו הא' שבחוץ עם האחד השני שבטור השפל וגרענוהו מהד' שבמדרגת המאות ונשארו ג' ומחקנו הד' וכתבנו במקומם ג' וכן מחקנו גם האחד . עוד כפלנו האחד שבחוץ עם הד' שבטור השפל ונהיו ד' רצינו לגרעם מן הג' הכתובי' במדרגת העשרות ולא הספיקו ולכן השיבונו מן הג' שבמדרגת המאות אחד אחור אחורנית לעשרות ומחקנום וכתבנו במקומם ב' והי' חברנום עם הג' שבמדרגת העשרות ונהיו י"ג גרענו מהם הד' נשארו ט' במדרגת העשרות ומחקנו הג' וכתבנו ט' במקומם וכן מחקנו גם הד' שבטור השפל עוד מפני שעדיין לא יצא החשבון בחוץ שבנו וכתבנו הקי"ד מדרגה אחת קודם המדרגה שכתבנום בפעם השניה וראינו כמה פעמי' הם נכנסי' בחשבון הנשאר אשר לא נתחלק עדין ומצאנו שנכנסי' ב' פעמי' ולכן כתבנו בחוץ בצדי צד הקו היורד מחוץ ב' כפלנו אותם עם הא' שבטור השפל ונהיו ב' גרענום מהב' אשר במדרגת האלפי' ולא נשאר דבר ומחקנו אותם וגם הא' שבטור השפל . עוד כפלנו הב' עם הא' השני שבטור השפל ונהיו ב' גרענום מהט' שבטור העליון הכתו' במדרגת העשרות ונשארו ז' מחקנו הט' וכתבנו ז' במקומם וכן מחקנו גם הא' השני שבטור השפל עוד כפלנו הב' עם הד' שבטור השפל ונהיו ח' ומפני שלא הספיקו לגרעם מן הד' שבטור העליון במדרגת האחדים השיבונו מן הז' אחד אחורנית לי' ומחקנו הז' וכתבנו במקומם ו' והי' חברנום עם הד' ונהיו י"ד וגרענו מהם ח' ונשארו ו' ומחקנו את הד' וכתבנו במקומם ו' וכן מחקנו גם הד' שבטור השפל ומזה ידענו שנחלקו לתתקי"ב חלק ונשארו גם ס"ו אשר לא נתחלקו
מאזנים על דרך הט' תכפול מאזני המספר אשר חלקת עליו עם מאזני החלקי' אשר כתבת אותם באמצע לפי הדרך הראשון ולפי הדרך השנית הם אשר כתבת אותם בצד הקו היורד בחוץ ואחר שתכפלם השליכם ט' ט' ואשר שישאר תשמור אותו . וזה אם לא נשאר מהמספר אשר חלקת אותו שום דבר אשר לא נתחלק אבל אם נשאר קח גם המאזנים שלו וחבר אותם עם המספר אשר שמרת ואם יעדיפו מהט' תשליך הט' והנשאר הוא השמור האמתי אחר תעיין גם אל מאזני המספרים שחלקת אותם ואם הם שוים עם השמור אפשר שחשבונך אמת ואם לאו דע בודאי שטעית
מאזנים אחרים ע"ד הז' תחשב כללי המספר אשר חלקת עליהם עם אשר בצדם כאלו הם עשרות ואחדים והשליכם ז' ז' ואשר נשאר תחשבהו עוד לעשרות והמספר הבא אשר בצדו לאחדי' והשליכם ז' ז' עד שתגיע למדרגת האחדים ואשר ישאר יקרא מאזני המספר אשר חלקת עליו עוד כן תעשה במאזני החלקים והם אשר כתבתם באמצע בדרך הראשונה ובחוץ בצד הקו היורד בדרך השנית והשליכם ז' ז' ואשר ישאר יקרא מאזני החלקים אחר תכפול מאזני המספר אשר חלקת עליו על מאזני החלקים ואשר יהיה השליכהו ז' ז' ואשר ישאר שמרהו ויקרא השמור וזה אם לא נשאר במספרי' אשר חלקת אותם מספר אשר לא נתחלק אכן אם נשאר מספר אשר לא נתחלק קח גם מאזני המספר ההוא אשר לא נתחלק בכזה הדרך והשליכהו ז' ז' והנשאר חברהו עם השמור ואז יקרא השמור באמת אחר תעיין אל מאזני המספרי' אשר חלקת אותם וזה כשתוציאם בכזה הדרך ותשליכם ז' ז' ואשר ישאר אם הוא שוה לשמור באמת אפשר שחשבונך יהיה אמת ואם לאו דע בודאי שטעית
מאזנים אחרים שהם מאזני צדק תכפול החלקי' אשר באמצע בדרך הראשונה או בצד הקו היורד בחוץ בדרך השנית עם המספר אשר חלקת עליו ואשר יהיה אם הוא שוה עם המספרי' אשר חלקת אותם אם נחלקו הכל או אם לא נחלקו הכל אם הוא שוה להם אחר אשר תגרע מהם המספרים אשר לא נחלקו אז תדע בודאי כי חשבונך אמת ואם אין דע בודאי שטעית

Chapter Two: Progression

 הפרק השני להוסיף מספר על מספר כסדרו או על סדר אחר
הרוצה להוסיף מספר על מספר כסדרו יכפל אותו על חציו בתוספת חצי אחר והעולה הוא המבוקש
  • Example: we wish to add the numbers that are from 1 up to 10 one by the one.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i
 דמיון רצינו להוסיף המספרי' שהם מא' עד י' זה על זה
כפלנו הי' בה' ונהיו נ' עוד הוספנו ה' שהוא חצי הי' ונהיו נ"ה וזהו המבוקש
  • Another example for an odd [number of terms]: we wish to know how much is the sum of the numbers from 1 up to 9.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{9} i
 דמיון אחר לנפרדי' רצינו לדעת כמה תוספת המספרי' זה על זה מא' עד ט'
והנה חציו ד' וחצי הוספנו על זה עוד חצי האחר ונהיו ה' כפלנו הט' בה' ונהיו מ"ה וזהו המבוקש
ועל אלו שתי הדמיונים כל המספרי'
ואם תרבע כל המספר ותוסיף עליו שרשו וקח מחציתו והוא המבוקש
דמיון כפלנו הי' על עצמו ונהיו ק' הוספנו עליו השרש שהוא י' ונהיה ק"י וחצים נ"ה וזהו המבוקש
אמר מרדכי מצאתי דרך אחרת נכבדת מאד והוא שתכה תכלית המספר המבוקש עם המספר הבא אחריו וחצי ההווה הוא המבוקש
  • Example: we wish to know how much is the sum of the numbers that are from 1 up to 10.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i
 דמיון רצינו לדעת כמה תוספת המספרי' שהם מא' עד י'
הכינו הי' עם הי"א שהוא המספר הבא אחריו ונהיו ק"י וחציו נ"ה והוא המבוקש
  • Question: if a person asks you: I summed numbers and they are 55, how much are the numbers?
\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=55
 שאלה אם ישאלך אדם חברתי מספרי' והיו נ"ה כמה היו המספרי'
תשובה כפול הנ"ה על ב' וקח השרש המרובע שעבר וראה ואם הוא שוה למספר הנשאר מהמרובע שעבר כמו הם היו מספרי'
המשל כפלנו הנ"ה והיו ק"י והמרובע שעבר ק' ושרשו י' והמספר הנשאר

מהמרובע שעבר שהוא ק' עוד כפל הנ"ה שהם ק"י י' וא"כ המספרי' שחברת והיו נ"ה הם י'

  • Question: I summed from 4 up to 10. How much are they?
\scriptstyle\sum_{i=4}^{10} i
 שאלה חברתי מד' עד י' כמה יהיו
תשובה תעשה כמשפט הראשון ותמצא נ"ה אחר תחבר מא' עד ג' ותמצא ו' גרע אותם מנ"ה ונשארו מ"ט וזהו המבוקש
ואם ישאלך אדם כמה הם מרובעי המספרים עד מספר פלו' על הסדר
תשיב שימצאם חבורם בפשוטיהם ואחר יכה אותה בשני שלישי תכלית המספר המבוקש עם תוספת שליש אחד ואשר יהיה הוא המבוקש
  • Example: how much are the squares that are summed from 1 up to 4?
\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} i^2
 דמיון כמה הם המרובעים המחוברים מא' עד ד'
כפלנו אותם בחציים עם תוספת חצי אחר ונהיו י' עוד לקחנו ב' שלישי ד' עם תוספת שליש אחר והם ג' הכינו אותם עם הי' ונהיו ל' וזהו המבוקש

Part Four: Proportions & Fractions

 החלק הד' לערך מספר על מספר
זה השער נדבר בו על השלימי' כי לנשברי' יש דרך אחרת נבאר אותה בפרק הבא ונאמר שעם

היות שהאמצעיים הם י' אבל הקדמוני' לא בחרו רק ג' מיני הערכים והם ערכי החשבון וערכי המדות וערכי הנגוני' . ואנחנו לא נזכיר הנה רק ערכי המדות כי הם צורך לרוב השאלות הנעשות בחשבון .. וכבר התבאר בחכמת השיעור כי ההתיחסות לא תתכן בפחות מג' גבולים ואם הגבול האמצעי הוא בעד שני גבולין ולכן ההתיחסות תפול בד גבולי' מפני זה כל מספרי' ארבעה אשר יחס הראשון אל השני כיחס הג' אל הד' אם תחבר מרובע ארבעתם יהיה שוה למרובע הראשון והד' מחוברי' ומרובע ההפרש שיש בין השני והשלישי . וכן אם תחבר מרובע השני והשלישי יחד עם מרובע ההפרש שיש בין הראשון לרביעי יהיה שוה בחשבון וכן כאשר הומרו היו מתיחסי' כיחס הב' אל הג' יהיה כיחס הב' אל הד' ומפני זה מהג' הידועים נדע הרביעי המוסכל וכבר נהגו בעלי החשבון לכתו' המוסכל בקצה האחרון לעולם בין שיהיה מהאמצעיים ובין שיהיה הקצה הראשון ובלבד שידע איך יסדר האחדים

  • Example: if one asks: if the 8 yield 4, how much will the 6 yield?
 דמיון שאם שאל שואל שאם הח' ירויחו ד' הו' מה ירויחו
ובשאלה המה ישים הגלגל כזה
0 6 4 8
הנה נקראו האמצעיים הד' והו' ושתי הקצוות הח' והגלגל
כפלנו ב' האמצעיים ונהיו כ"ד חלקנום על הקצה הידוע שהם ח' ונהיה החלק ג' ומזה ידענו שבמקום הגלגל צריך ג' והוא המבוקש
וכן אם הפך הסדר ושאל אם הד' הרויחו אותם הח' מהו שירויחו הו'
ועתה נהיו הב' אמצעיים הח' והגלגל כזה
6 0 8 4
והנה כשנפל שני הקצוות ונחלקהו על האמצעי הידוע נמצא האמצעי המוסכל כפלנו ד' על הו' ונהיו כ"ד חלקנום על ח' ונהיה החלק ג' וזהו המבוקש
וכן אם הפך השאלה ושם הגלגל ראשונה ואמר מה ירויחו הו' אם הח' ירויחו ד'
כזה
4 8 6 0
נכפול הקצה הידוע עם האמצעי אשר בצד המוסכל ונחלקהו על האמצעי אשר בצד הקצה הידוע ונמצא המוסכל . ואע"פ שכל אלה הם דרך נכונה אבל לעולם בעלי החשבון יהפכו הגלגל אל הקצה האחרון בלבד שישמרו הסדר עד שיהיו המרויחים במקומם והריוח במקומו וכן אם היו מדות ודינרים שיהיו המדות במקומם והדינרי' במקומם ויזהר שלא יחליף ויטעה
דמיון אם שאל שואל שאדם אחד מוכר חטה ז' מדות בי"ב פשוטי' כמה מדות יתן בי"ד פשוטי'
ראוי להפך השטה לבד שישמר הסדר ושיכתוב הסדר כך אם י"ב פשוטי' נתנו ז' מדות הי"ד פשוטים מה יתנו ואז נופל הגלגל בתכלית האחד ולעולם כזה הסדר
0 14 7 12
הוא כופל האמצעיים ומחלק אותם על הקצה הראשון ולומד הקצה האחרון וכאשר תחלק הכפול על הנחלק עליו ולא יצא בצמצום אבל נשאר חשבון אשר לא נתחלק תעיין ואם זה החשבון אשר לא נתחלק הוא תחת כפלי החשבון אשר נתחלק עליו דע כי הוא חלק ממנו לפי הפעמי' אשר ישערהו כי אם ישערוהו ב פעמים הוא מחציתו ואם בג' פעמי' הוא שלישיתו וכיוצא בם ואם לא יהיה תחת כפליו אם תרצה תוציא ממנו חלק אשר יהיה תחת כפליו והשאר השיבהו אל הפרטי' או אם תרצה השב הכל אל פרטים וחלקהו ואם ישאר עוד השיבהו אל פרטי פרטים עד שיצא בצמצום או עד שיצא דבר שאין חשש בו
דמיון שאלנו אם הי"ב דינרי' נתנו ז' דינ' ריוח הי"ד דינ' כמה יתנו
וכתבנוהו כך
0 14 7 12
כפלנו האמצעיים ונהיו צח צ"ח חלקנום על הקצה האחד שהם י"ב ונהיה החלק האחד ח' ונשארו גם ב' אשר לא נתחלקו ומפני שאלה הב' הם תחת כפלי הי"ב וישערום בו' פעמי' ידענו מזה שהמבוקש הוא ח' וששית
אבל אם שאל אם הי"א דינ' נתנו ז' דינ' ריוח הי"ד מה יתנו
כתבנוהו כך
0 14 7 11
כפלנו האמצעיים ונהיו צ"ח חלקנום על הי"א ונהיה החלק ח' ונשארו גם י' אשר לא נתחלקו השיבונו אותם אל פרטי' שהם י"ב בדינר ונהיו ק"כ חלקנום על י"א ונהיה החלק י' י' פשוטי' ונשארו עוד י' בלתי מתחלקים השיבונום אל פרטי פרטים שהם גם הם י"ב בפרוטה ונהיו ק"כ חלקנום על י"א ונהיה החלק האחד י' ונשארו הי' בלתי מתחלקי' ומפני שאין בם חששא הנחנום וידענו מזה שהחלק הא' הוא ח' דינ' וי' פרוטו' מי"ב בדינ' וי' פרטי פרוטו' מי"ב בפרוטה ודבר שאין בו חששא וזהו הריוח אשר יתנו הי"ד דינ' ואלה הם אשר יקראו אותם בעלי ג' הצורות
אולם יש שאלות אחרות אשר יקראו אותם בעלי ה' צורות והם אשר ישתף השואל דבר אחד עם כל אחד מהיחסי' כגון זמן וכיוצא ואז הם נכתבי' ככה
דמיון אם אדם שכר ו' אנשי' לעבוד עמו ג' ימי' בח' דינ' ועבדו עמו הד' בשני ימי' כמה יקחו
אע"פ שאין ספק שזה מחובר מב' ערכים אל ג' צורות אבל בעלי החשבון נתנו דרך למצוא הכל בתשובה אחת להקל על המחשב כאלו הוא ערך אחד וקראו אותו בעלי ה' צורות ונעשה ככה
0 2 4 8 3 6
אנו כופלי' את הקצה הראשון עם הימים אשר בצדו ומה שיהיה הוא היסוד אשר אנו חולקי' עליו את השאר כאשר נראה כפלנו הו' בג' ונהיו י"ח והוא היסוד אחר כפלנו הח' בד' ונהיו ל"ב עוד הל"ב בב' ונהיו ס"ד חלקנו הס"ד על הי"ח ונהיה החלק האחד ג' ונשארו גם י' בלתי מתחלקי' השיבונו הי' אל הפרוטות אשר הם י"ב באחד ונהיו ק"כ חלקנום על הי"ח ונהיה החלק האחד ו' פרוטות ונשארו גם י"ב בלתי מתחלקי' השיבונו הי"ב אל פרוטי פרוטות אשר הם י"ב באחד ונהיו קמ"ד חלקנום אל הי"ח ונהיה החלק באחד ח' וידענו מזה שהד' האנשי' בב' הימי' אשר עברו יקחו ג' דינ' וו' פרוטות וח' פרוטי פרוטות לפי חשבון התנאי אשר התנה לעבד עמו הו' אנשים בג' ימים ולקחת ח' דינ'
החלק הנפרד המדבר על הנשברים
אמר מרדכי להיות שהחשבון הוא מהכמה המתחלק והשברי' הם שברי הכמה המתדבק . והמתחלק עם המתדבק הם ב' הפכי' כי זה יקבל התוספת אל בלתי תכלית ולא יקבל החלוקה אל בלתי תכלית כי יעמוד באחד וזה יקבל החלוקה אל בלתי תכלית כי אי אפשר להיות הגודל מחובר מחלקי' אשר לא יתחלקו לכן היה משפט השברי' הפך משפט השלימי' כי כפל השלימי' הוא יותר מהמספרי' אשר יכפלו וכפל השברי' הוא פחות מהממספרי' אשר יכפלו ומפני שהאחד הוא אמצעי בין השלימי' ובין השברי' לכן היה כפלו כמוהו כי ימשך אל שתי צדדיו בשווי . ומפני שהשברים בגודל יסכימו עם החלקים שהם בכלל אחד מקובץ לקחו השם מהם כי השם החצי נגזר משנים והשלישית משלשה והרביעית מארבעה ולכן יהיה המורה מהם כאשר נבאר אחר יחלקו על מרובע המדה ויצא המבוקש
  • Example: one asks: how much is the product of a third by a third?
\scriptstyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}
 דמיון שאל השואל כפל שלישית על שלישית כמה יהיה
והנה המורה ט' כי כפלנו ג' על ג'
ומרובעו פ"א חלקנו המורה על מרובעו ועלה תשיעית אחת ומזה ידענו שכפל שלישית על שלישית יהיה תשיעית
  • Also if they are two thirds by two thirds
\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}
 וכן אם היו ב' שלישיות על ב' שלישיות
המורה ט' כי כפל שלישית על שלישית המורה שלו ט'
ומרובעו פ"א ומפני שהשלישיות היו ב' על ב' לקחנו בעד הב' שלישיות ו' וכן ו' בעד הב' שלישיות האחרי' כפלנו ו' על ו' ונהיו ל"ו חלקנום על פ"א ונהיה החלק האחד שלישית ותשיעית וזהו המבוקש
  • Another example: one asks: how much are 3 quarters multiplied by 4 ninths?
\scriptstyle\frac{3}{4}\times\frac{4}{9}
 דמיון אחר שאל שואל כמה ג' רביעיות הכפולות על ד' תשיעיות
הנה המורה ל"ו כי כפל ד' על ט' ככה
ומרובעו אלף רצ"ו ומפני שהרביעיות היו ג' לקחנו י"ב בעדם כי ג' פעמי' ד' הם י"ב ומפני שהתשיעיות הם ד' לקחנו ל"ו בעדם הכינו הי"ב עם הל"ו ונהיו תל"ב חלקנום על מרובע המורה שהם אלף רצ"ו ונהיה החלק האחד שלישית אחד ומזה ידענו שהמבוקש הוא שלישית אחד
אבל בעלי החשבון לוקחי' החשבון המורה באופן יותר נקל כי זה המורה הוא רב החשבון ועושי' ככה כשישאלו על כפל שלישית אחד על שלישית אחד כותבי' האחד למעלה ואחר הם מתויכים עם קו וכותבי' השלישית למטה וככה יעשו בשלישית האחרת כזו הצורה
וכופלים האחד על האחד ונהיה אחד אח"כ יכפלו הג' על הג' ונהיו ט' אחר רואים מה ערך האחד אל הט' והוא המבוקש
  • Another example: how much are 2 thirds multiplied by 4 quarters?
\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{4}{4}
 דמיון אחר כמה ב' שלישיות הכפולות על ד' רביעיות
כתבנו הב' למעלה והשלישיות למטה והתיכנו עם קו אחד וכן עשינו בד' רביעיות כזה
כפלנו הב' עם הד' ונהיו ח' עוד כפלנו הג' שלמטה עם הי הד' אשר למטה ונהיו י"ב אחר עייננו מה ערך הח' אל הי"ב והם שני שלישיים וידענו מזה שהמבוקש הם שני שלישיות אחד
ואם רצינו לכפול שלימי' ונשברי' עם שלימי' ונשברי' אנו כותבים אותם ככה השלימי' ובצדם הנשברים וכן אם נרצה לכפול עליהם אחר אנו משברי' השלימי' בכזה האופן . אנו מכים חלקי המתדבק עם השלימי' כמו שאם היו גם הם שלימי' ואנו מחברי' גם מספר החלקי' עמהם ואז שבו כלם נשברים כזה
  • How much are 5 integers and 3 quarters multiplied by 4 integers and 2 thirds?
\scriptstyle\left(5+\frac{3}{4}\right)\times\left(4+\frac{2}{3}\right)
 כמה הם ה' שלימי' וג' רביעיות הכפולי' על ד' שלימי' וב' שלשיות
והנה הצורה
הכינו הד' שהם חלקי מורה המתדבק עם הה' שלימי' ושבו כ' חברנו גם הג' שהם מספר הרביעיות ונהיו כ' וג' רביעיות עוד הכינו הג' שהם מורה חלקי המתדבק עם הד' השלימי' ונהיו י"ב חברנו גם הב' עמהם ונהיו י"ד שלישיות והנה הראשוני' כ"ג רביעיות ואלה י"ד שלישיות הכינו אלה עם אלה והיו שכ"ב עוד הכינו הד' עם הג' שהם מורה השלישיות והרביעיות ונהיו י"ב ראינו מה ערך השכ"ב אל הי"ב והם כ"ז פחות ששית וידענו מזה שכפל ה' שלימי' וג' רביעיות על ד' שלימי' וב' שלישיות הם כ"ז פחות ששית
זאת היא הדרך אשר נהגו בעלי החשבון להתנהג בהיות שם שברי' עם שלימי' בין שהיו שלימי' לבד עם שלימים ושברי' ובין שהיו שלימי' ושברי' עם שלימי' ושברי' ובין שהיו שלימי' לבד עם שברי' לבד
אמנם בהיות שלימים לבד עם שברי' לבד יש ג"כ דרך אחרת והיא שנקח בעבור השלימי' מורה במספרי' ונכה אותו עם מספר חלקי השברי' ונחלקהו על המורה שנקח מהשברי' והעולה הוא המבוקש
  • Example: how much are 2 integers multiplied by 3 quarters?
\scriptstyle2\times\frac{3}{4}
 דמיון כמה ב' שלימי' הכפולים על ג' רביעיות
לקחנו בעד הב' שלימי' ב' והוא המורה שלהם כפלנום עם ג' שהוא מספר חלקי השברי' נהיו ו' חלקנום על ד' שהוא המורה שלקחנו מהשברי' ונהיו אחד וחצי וזהו המבוקש
ואם רצית לערך שברי' על שברי' בין שיהיו שלימי' עם כל אחד מהם או עם האחד לבד ראוי בתחלה לשבור השלימי' ולעשותם שברי' כפי המין אשר היו השברי' הדביקים עמהם וככה תכתבם 2 2 3 4 4 3 תכה בתחלה הב' שלימי' עם הג' שהוא מורה השלישיות ונהיו ו' 3 4 6 0 אחר תחבר גם הב' עמהם שהוא מספר השלישיות ונהיו ח ח' שלישיות עוד הכינו הג' שלימי' עם הה' שהוא מורה החמשיות ונהיו ט"ו חברנו גם הד' עמהם שהם מספר החמשיות ונהיו י"ט חמשיות עוד הכינו הד' שלימי' עם הו' שהם מורה הששיות ונהיו כ"ד חברנו גם הג' שהם מספר הששיות עמהם ונהיו כ"ז ששיות כי השאלה היתה אם הב' מדות וב' שלישיות יתנו לנו ג' דינרי' וד' חמשיות הד' מדות וג' ששיות כמה יתנו ושבה השאלה עתה אם הח' שלישיות יתנו לנו י"ט חמשיות הכ"ז ששיות כמה יתנו ואחר שהשיבונו השאלה אל השברי' אנו כותבי' אותם כך 5 7 אלף תקל"ט אחר אנו מכים אותם כדמות מספריי' ואנו מכי' הח' עם הה' ונהיו 1 9 מ' ואנו כותבי' אותם תחת הה' עוד אנו מכי' המ' עם הו' ונהיו ר"ם 8 2 7 ואנו כותבי' תחת הו' וזהו המספר אשר נחלוק עליו עוד אנו מתחילי' 3 5 6 להכות הג' עם הי"ט ונהיו נ"ז ואנו כותבי' אותם על הי"ט עוד אנו מכים 0 4 0 4 2 הנ"ז עם הכ"ז ונהיו אלף תקל"ט אח"כ אנו מחלקי' אותם על הר"מ ונהיו ו' שלימי' וב' חמשיות וחלק אחד מפ' וזהו המבוקש אשר יתן לנו החשבון הדרוש . אבל אם החשבון יהיה בעל חמש צורות כגון שישתף השואל דבר אחר עם שאלתו כגון זמן וכדומה לו כאשר בארנו בשלימי' אז נכתו' אותו ככה
דמיון שאל השואל אם ב' רביעיות דינר בד' שמיניות היום שהם י"ב שעות כי שמינית היום ג' שעות הרויחו ג' רביעיות דינר הד' רביעיות בד' שמיניות היום כמה ירויחו
וזה צורתו אז נכפול הב' עם הד' שהם בטור העליון והם מספר הרביעיות והשמיניות ונהיו ח' אחר הכינו הח' עם הד' שבטור השפל שהוא תחת הג' ונהיו ל"ב וכתבנום תחתיהם עוד הכינו הל"ב עם הד' אשר בצדם שהם תחת הד' שבטור העליון ונהיו קכ"ח וכתבנום תחתיהם עוד הכינו הקכ"ח עם הח' אשר בצדם ונהיו אלף כ"ד וכתבנום תחתיהם ואלה הם היסוד אשר נחלוק עליהם עוד אנו מכים הד' עם הח' שבטור השפל ונהיו ל"ב ואנו כותבים אותם תחתיהם עוד אנו מכים הד' הל"ב עם הג' שבטור העליון ונהיו צ"ו ואנו כותבים אותם תחתיהם עליהם עוד אנו מכים (...) השפ"ד עם הד' אשר בצדם ונהיו אלף תקל"ו ואנו כותבי' אותם עליהם אח"כ אנו מחלקי' אותם על האלף וכ"ד ויצא החלק אחד וחצי וידענו מזה שזהו החשבון המבוקש אשר ירויחו הד' רביעיות בד' שמיניות היום כי ירויחו דינר אחד וחצי
דמיון אחר לזה רצינו לדעת אם הב' שלישיות דינר בד' חמשיות היום ירויחו ו' שביעיו' הח' תשיעיות בז' עשיריות כמה יתנו
וכתבנום ככה כפלנו הב' עם הד' שבטור העליון ונהיו ח' וכתבנום עליהם עוד הכינו הח' עם הז' שהוא שלישי לטור השפל ונהיו נ"ו וכתבנום תחת הז' שבטור השפל עוד הכנו הכינו הנ"ו עם הט' ונהיו תק"ד וכתבנום תחת הט' . עוד הכינו התק"ד עם הי' ונהיו ה' אלפי' ומ' וכתבנום תחת הי' ואלה הם היסוד אשר נחלוק עליהם עוד חזרנו והכינו את הג' עם הה' שבטור השפל ונהיו ט"ו וכתבנום למטה תחת הה' אחר הכינו את הט"ו עם הו' שבטור העליון שהוא השלישי ונהיו צ' וכתבנום על הו' עוד הכינו הצ' עם הח' ונהיו תש"כ וכתבנום על הח' עוד הכינו התש"כ עם הי' ונהיו ז' אלפי' ור' חלקנו אותם על היסוד שהם ה' אלפי' מ' ונהיה ח החלק אחד ושליש וחלק אחד מי' וידענו שזהו אשר ירויחו הח' תשיעיות דינר בז' עשיריות היום אם הב' שלישיות דינר הרויחו ו' שביעיות בד' חמשיות היום
זו הדרך אשר ישתמשו בה הסוחרי' וכל בעלי החשבון באלה שתי מיני הצורות לשברים . ר"ל בבעלי הג' צורות ובעלי הה' מיני צורות לשברי' הה' צורות
אולם יש דרך אחרת גם היא נכונה אבל יצטרך לחלק ג' פעמי' והיא זאת
דמיון בבעלת הג' צורות הראשונה שהשאלה היא אם הח' שלישיות יתנו לנו י"ט חמשיות הכ"ז ששיות כמה יתנו
אנו כותבים אותם כמשפט הראשון עם הקו המתויך כך 8 1 9 2 7 אחר אנו מכים מספר החלקים שבטור העליון השני עם השלישי ואנו מחלקים 3 5 6 0 אותם על הראשון וכן נעשה גם בטור השפל אחר כן אנו מחלקי' מה שיצא מן החלק בטור העליון על מה שיצא מן החלק בטור השפל והיוצא הוא המבוקש
דמיון הכינו הכ"ט הי"ט עם הכ"ז ונהיו תקי"ג חלקנו אותם על הח' ונהיה החלק האחד ס"ד ושמינית ושמרנום עוד הכינו הה' עם הו' שבטור השפל ונהיו ל' חלקנו אותם על הג' ונהיה החלק האחד י' אחר כן חלקנו הס"ד ושמינית השמורים על הי' ונהיה החלק האחד ו' שלימי' וב' חמשיות וחלק אחד מפ'
דמיון אחר על בעלת ה' צורות הראשונה שהשאלה היא אם ב' רביעיות דינר בד' שמיניות היום הרויחו ג' רביעיות דינר הד' רביעיות בד' שמיניות היום כמה ירויחו
וכתבנום כמשפט הראשון ככה כפלנו הב' על הד' שבטור העליון ונהיו ח' 2 4 3 4 4 ושמרנום כי על אלה הח' נחלוק כפל המספרי' הנשארים אשר בטור העליון 9 8 4 4 4 0 אח"כ כפלנו הג' שבטור העליון על הד' שבטור העליון אשר בצדו ונהיו י"ב עוד כפלנו הי"ב עם הד' אשר בצדם ונהיו מ"ח חלקנו אותם על הח' השמורים ונהיה החלק האחד ו' ושמרנום עוד כפלנו הד' על הח' שבטור השפל ונהיו ל"ב ושמרנום כי על אלה הל"ב נחלוק כפל המספרים הנשארים אשר בטור השפל אח"כ כפלנו הד' על הד' אשר בטור השפל בצדם ונהיו י"ו עוד כפלנו הי"ו עם הח' אשר בצדם ונהיו קכ"ח ח' חלקנו אותם על הל"ב השמורים ונהיה החלק האחד ד' אח"כ חלקנו הו' אשר שמרנום על אלה הד' ונהיה החלק אחד וחצי ומזה ידענו שהריוח אשר ירויחו הד' רביעיות דינר בד' שמניות היום הוא אחד וחצי דינר גם הב' רביעיות בד' שמיניות הרויחו ג' רביעיות דינר
ואם רצית לקבץ שברים עם עם שברים אתה צריך לעשות מורה מהם ולהביט השברים ההם על אותו המורה ולערך אותם על המורה ואז תדע כמה יהיה הסך
  • Example: if one asks: we summed 2 thirds with 3 quarters. How much are they?
\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}
 דמיון אם שאל שואל קבצנו ב' שלישיות עם ג' רביעיות כמה יהיו
הכינו הג' עם הד' ונהיו י"ב והוא המורה
וב' שלישיותיו ח'
וג' רביעיותיו ט'
ושניהם מקובצים י"ז תערכם אל הי"ב שהוא האחד השלם יהיו אחד שלם ושליש וחלק אחד מי"ב
וכן אם היו מיני השברי' יותר ככה תעשה
  • Example: we summed 2 thirds, 3 quarters and 4 fifths. How much is the sum?
\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}
 דמיון קבצנו ב' שלישיות וג' רביעיות וד' חמשיות כמה יהיה המקובץ
כפלנו ג' על ד' ונהיו י"ב עוד כפלנו הי"ב על הה' ונהיו ס' והוא המורה
וב' שלישיותיו מ'
וג' רביעיותיו מ"ה
וד' חמשיותיו מ"ח
והכל מקובצי' קל"ג ערכנו אותם על ס' שהוא המורה והוא האחד השלם ונהיו שנים שלימי' וחמשית אחת וחלק אחד מס'
וכן אם תרצה לקבץ יותר מאלה כך תעשה כמשפט הזה
ואם תרצה לחלק נשברי' על נשברים בקש מורה אחד לשניהם וקח ממנו כמספר החלקים הדרושים וחלק זה על זה והעולה הוא המבוקש
דמיון רצינו לחלק ד' תשיעיות על ה' שביעיות
והמורה הוא ס"ג כי ט' פעמי' ז' הם ס"ג
וד' תשיעיות הם כ"ח
וה' שביעיותיו הם מ"ה
חלקנו הכ"ח על המ"ה ונהיו חצי אחד ותשיעית אחד וחלק א' מס' וזהו המבוקש
ואם היו שלימי' שם עם שברי' תעשה ככה בקש השלם המורה והוא האחד השלם ועליו תביט את מספר החלקים ותכפלם כמספרו ותחבר גם השברים עמהם וכן תעשה גם במספר אשר תחלוק עליו אח"כ חלק זה על זה והעולה הוא המבוקש
דמיון רצינו לחלק ג' שלימי' וב' חמשיות על ב' שלימי' וד' שביעיות אחד
והמורה ל"ה כי ה' פעמי' ל"ה הם ז' הם ל"ה והוא האחד השלם והג' שלימי' הם ק"ה כי ג' פעמי' ל"ה הם ק"ה והב' חמשיות הם י"ד כי חמשית הל"ה הם ז' חברנום עם הק"ה ונהיו קי"ט עוד שמנו הב' שלימי' האחרי' ע' והד' שביעיות כ' כי שביעית הל"ה הם ה' חברנום עם הע' ונהיו צ' חלקנו עליהם הקי"ט ונהיה אחד שלם ונשארו כ"ט חלקי' שהם ב' תשיעיות מן הצ' ועשירית אחד
וכן אם רצית לחסר שברי' משברי' ככה תעשה בקש המורה בתחלה וראה חלקיו וחסר אלה מאלה
דמיון רצינו לחסר ב' שביעיות מד' תשיעיות
והמורה הוא ס"ג . (וב' שביעיותיו י"ח) וד' תשיעיותיו כ"ח תחסר י"ח מכ"ח ונשארו י' שהם פחות מששית מעט
ועתה ארגילך בענין השאלות כדי שתהיה זריז בחשבונך

Word Problems

 מקום השאלות
1) \scriptstyle\frac{9}{13}\times\frac{17}{19}
 א כמה ט' חלקים מי"ג הכפולים על י"ז חלקים מי"ט
כי אלה אין להם ערך מדובר לכן ראוי שתדע איך תכפול ומה תעשה
common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{13\sdot19=247}}
 ראוי שנדע בתחלה המורה והנה נכפל י"ג על י"ט יהיו רמ"ז והוא המורה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{13}\sdot19=\frac{171}{13}}}
 אח"כ נקח לכל אחד מט' חלקים י"ט נהיו קע"א והוא המספר האחד
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{17}{19}\sdot13=\frac{221}{19}}}
 עוד נקח לכל אחד מי"ז חלקי' י"ג נהיו רכ"א
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{171}{13}\sdot\frac{221}{19}=\frac{37791}{247}=153}}
 נכפול זה על זה נהיו ל"ז אלפים תשצ"א חלקנו אותם על רמ"ז ועלו קנ"ג
\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot17=153}}
 והנה העולה מכפל ט' בי"ז גם כן קנ"ג
\scriptstyle{\color{blue}{153:247=37791:247^2}}
 וערך זה אל רמ"ז כערך המספר הראשון [ר"ל מספר ל"ז אלפים תשצ"א] אל מרובע רמ"ז והוא המבוקש
ואם תרצה לדקדקו חלק קנ"ג על י"ט יהיה העולה ח' חלקים מי"ג וישאר שבר א' שהוא שבר חלק מי"ט
או אם תרצה חלקנו זה קנ"ג על י"ג ויהיו י"א חלקים שלימים מי"ט וי' נשברים שי"ג מהם עושה חלק אחד מי"ט
How Much Problem - road
2) Question: a road, we add to it its quarter and its fifth and the sum is 10 miles.
How long is the road?
\scriptstyle X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X=10
 ב שאלה דרך חברנו אליה רביעיתה וחמשיתה והיתה י' מילין

כמה היתה הדרך

False Position - common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}
 נשים המורה כ' כי ד' פעמי' ה' הם כ'
\scriptstyle{\color{blue}{20+\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)=29}}
 ורביעיתו וחמשיתו הם ט' נחברם עם המורה נהיו כ"ט
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20\sdot10}{29}=\frac{200}{29}\approx6+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}}}
 נכפול הכ' עם הי' ונהיו ר' נחלקם על כ"ט ונהיו ו' מילין וחצי מיל ושליש מיל וחלק אחד מט"ו בקרוב וככה היא הדרך
ג שאלה לקחנו תשיעית ממון ועשיריתו וחלק אחד מי"א ממנו

כמה הוא כל זה מערך הממון

והנה זה נקל הוא מי שידע לחבר השברים כאשר כתבנו בחבורם

וכן נעשה נבקש מורה והוא שנכפול ט' על י' ונהיו צ' עוד צ' על י"א ונהיו תתק"ץ וזהו המורה
ותשיעיתו ק"י ועשיריתו צ"ט וחלק אחד י' ממנו צ' והכל מחוברי' רצ"ט
וערך רצ"ט אל תתק"צ ככה אלה מערך הממון חלקנו אותם אל צ' שהוא חלק אחד מאחת מי"א ונהיו ג' חלקי' מי"א וכ"ט חלקי' מצ' שהם שלישית חלק מי"א פחות משהו

How Much Problem - Money
4) Question: an amount of money, we add to it its half, its third, its fifth, and its sixth and the sum is 60.
How much is the amount of money?
\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X=60
 ד שאלה ממון הוספנו עליו מחציתו שלישיתו חמשיתו וששיתו ובין הכל היו ס'

כמה היה הממון

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1}}
 ידענו שהחצי והשלישית והששית הוא אחד שלם
False Position: \scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=1+1+\frac{1}{5}=2+\frac{1}{5}}}
 ונחשב שהיה לו אחד והיה לו עתה שנים וחמשית
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{60}{2+\frac{1}{5}}=\frac{60}{\frac{11}{5}}=\frac{60\sdot5}{11}=\frac{300}{11}=27+\frac{3}{11}}}
 נחלק הס' על הב' וחמשית וכך היה הממון

והנה תשיב הב' שלימי' אל חמשיות מפני שיש לנו חמשית ונחבר גם החמשית שיש לנו עמם ונהיו י"א חמשיות
נכפול ה' על ס' ונהיו ש' והוא המורה
נחלקם על י"א והיה החלק כ"ז וג' חלקי' מי"א וככה היה הממון

How Many Problem - horses
5) Question: a riding man saw a man pulling horses and said to him: where are you leading these 100 horses?
He answered him: these and other like them and a half of them and a quarter of them with the horse you ride are 100.
How much were the horses?
\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100
 ה שאלה אדם רוכב ראה איש מושך סוסים וא"ל אנה אתה מוליך אלה הק' סוסים

והשיב לו אלה ואחרים כמותם ומחציתם ורביעיתם ועם הסוס שאתה רוכב הם ק'
כמה היו הסוסים

subtracting the rider's horse: \scriptstyle{\color{blue}{100-1=99}}
 הנה נוציא הסוס שרוכב זה ונשארו צ"ט
converting to fourths - False Position: \scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{8}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{11}{4}}}
 יש לנו שנים ומחצית ורביעית ומפני שיש לנו רביעית נשיב הכל לרביעיות והנה הב' שלימי' הם ח' רביעיות והמחצית ב' הרי י' נחבר גם הרביעיות שיש לנו עמם נהיו י"א רביעיות
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{4}:99=\frac{4}{4}:x}}
 אחר נשיב אותם אל הערכים ונכתוב אם הי"א רביעיות נתנו צ"ט הד' רביעיות שהוא האחד השלם כמה יתנו'
the number of horses: \scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{4\sdot99}{11}=36}}
 נכפל האמצעיים שהם הד' על הצ"ט ונחלקם על י"א שהוא הקצה נהיו ל"ו וככה מספר הסוסים
Buy and Sell Problem
6) Question: a man bought 24 liṭra for 24 dinar. He sold 12 [of them] at 1¼ liṭra for one dinar, and the [other] 12 liṭra at (1‒¼) liṭra for one dinar.
We want to know: did he earn or lose?
\scriptstyle\left(\frac{12}{1+\frac{1}{4}}+\frac{12}{1-\frac{1}{4}}\right)-24
 ו שאלה אדם קנה כ"ד ליט' בכ"ד דינ' ומכר הי"ב ליט' ורביע ליט' בדינר והי"ב ליט' מכר ליט' פחות רביע ליט' בדינר

נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{12}{1+\frac{1}{4}}+\frac{12}{1-\frac{1}{4}}\right)-24&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot12}{5}+\frac{4\sdot12}{3}\right)-24\\&\scriptstyle=\left(\frac{48}{5}+\frac{48}{3}\right)-24\\&\scriptstyle=\left[\left(9+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\right)+16\right]-24\\&\scriptstyle=\left(25+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\right)-24=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\\\end{align}}}
 נשיב הי"ב ליט' הראשוני' לרביעיות ונהיו מ"ח

נחלקם על ה' כי ה' רביעיות מכר בדינר ונהיו ט' וחצי ועשירית ואלה הם הדינ' שלקח מהי"ב ליט' הראשונים
עוד נכה הי"ב ליט' האחרוני' בד' כי ליט' פחות רביע מכר בדינ' ונהיו מ"ח נחלקם על ג' מפני שהליט' פחות רביע הם ג' רביעיות ונהיו י"ו ואלה הם הדינ' שלקח מהי"ב ליט' האחרונים
נחבר שני הממונות נהיו כ"ה וחצי ועשירית נוציא כ"ד דינ' של הקרן נשאר דינר וחצי ועשירית וזהו הריוח

Buy and Sell Problem
7) Question: a man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
How much money did he have originally?
\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1
 ז שאלה אדם קנה ג' חמשיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט

כמה היה ממונו

common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}
 נבקש המורה והוא ל"ה
\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}
 וג' חמשיותיו כ"א
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}
 וד' שביעיותיו כ'
  • Check: the profit is one pašuṭ
 והממון היה כ' פשוטי' כי בכל פשוט ירויח חלק אחד מכ' בפשוט וכשימכור של כ' פשוטי' ירויח פשוט אחד
Buy and Sell Problem
Question: a man bought 9/17 parts of a liṭra for one pašuṭ, then he sold 10/19 parts [of a liṭra] for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
How much was the money?
\scriptstyle\frac{\frac{9}{17}X}{\frac{10}{19}}=X+1
 שאלה אדם קנה ט' חלקים מי"ז חלקי' ליטר' בפשוט ומכר י' חלקי' מי"ט בפשוט והרויח פשוט

כמה היה הממון

common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{17\sdot19=323}}
 נבקש המורה והוא שנכפול י"ז על י"ט ונהיו שכ"ג
\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{9}{17}\sdot323=171}}
 וידוע כי ט' חלקי' מי"ז הם קע"א וככה היה הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{19}\sdot323=170}}
 וי' חלקי' מי"ט הם ק"ע
  • Check: the profit is one pašuṭ
 והנה הרויח הפשוט
How Much Problem - Money
8) Question: an amount of money, we sum its third, its quarter, and its fifth and the sum is 30.
How much is the amount of money?
\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X=30
 ח שאלה ממון חברנו שלישיתו רביעיתו חמשיתו והיו ל'

כמה הוא כל הממון

False Position - common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{60}}
 נבקש המורה והוא ס'
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=20+15+12=47}}
 ושלישיתו כ' ורביעיתו ט"ו וחמשיתו י"ב וכלם מ"ז
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{47:60=30:X}}
 הנה כערך מ"ז אל ס' כן ערך ל' אל כל הממון
ונכתו' ככה אם המ"ז יתנו ס' הל' כמה יתנו
0 30 60 47
0 03 06 74
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30\sdot60}{47}=\frac{1800}{47}=38+\frac{1}{4}+\frac{2+\frac{1}{4}}{47}}}
 נכפול האמצעיים כך ונהיו אלף ת"ת נחלקם על הקצה שהוא המ"ז נהיה החלק ל"ח ורביעית וב' חלקי' ורביע חלק ממ"ז
Partnership Problem - For the Same Time
9) Question: five people - the first gave 6 dinar, the second 7 dinar, the third 8 [dinar], the fourth 9 dinar, and the fifth 10 dinar.
They earned a total of 11 dinar.
How much should each of them take [from the profit]?
 ט שאלה אם אנשים ה' נתן האחד ו' דינ' והשני ז' דינ' והשלישי ח' והרביעי ט' דינ' והחמשי י' דינ'

והרויחו בין הכל י"א דינ'
כמה יקח כל אחד מהם

הנה אלה הי"א דינ' הרויחו אותם כל הדינ' מקובצי' ונראה אותם כמה הם

אח"כ נשיב אותם אל הערך של כל אחד ואחד וכפי ערך ממונו ככה יקח

the sum of the given dinar: \scriptstyle{\color{blue}{6+7+8+9+10=40}}
 והנה הדינרי' מקובצי' הם מ' דינ'
ונכתו' הערך של הראשון ככה
0 6 11 40
0 6 11 04
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{40:11=6:a_1}}
 אם המ' דינ' הרויחו י"א הו' כמה ירויחו
the owner of the 6 dinar \scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{11\sdot6}{40}=\frac{66}{40}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{40}}}
 נכפול האמצעיים ונהיו ס"ו ונחלקם על מ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד אחד וחצי ושמינית וחלק אחד ממ' וככה יקח בעל הו' דינר
עוד נכתו' הערך של השני ככה
0 7 11 40
0 7 11 04
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{40:11=7:a_2}}
 אם המ' דינ' הרויחו י"א הז' דינ' כמה ירויחו
the owner of the 7 dinar \scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{11\sdot7}{40}=\frac{77}{40}=1+\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{20}}}
 נכפל האמצעיים ונהיו ע"ז נחלקם על הקצה שהוא המ' ונהיה החלק האחד אחד וג' רביעיות ושמינית וחלק א' מכ' וככה יקח בעל הי' הז' דינ'
עוד נכתו' הערך של השלישי ככה
0 8 11 40
0 8 11 04
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{40:11=8:a_3}}
 אם המ' דינ' הרויחו י"א דינ' הח' דינ' כמה ירויחו
the owner of the 8 dinar \scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{11\sdot8}{40}=\frac{88}{40}=2+\frac{1}{5}}}
 נכפל האמצעיים ונהיו פ"ח נחלקם על המ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד ב' וחמשית וככה יקח בעל הח' דינ'
עוד נכתו' הערך של הרביעי ככה
0 9 11 40
0 9 11 04
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{40:11=9:a_4}}
 אם המ' דינ' הרויחו י"א הט' דינ' כמה ירויחו
the owner of the 9 dinar \scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{11\sdot9}{40}=\frac{99}{40}=2+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{40}}}
 נכפול האמצעיים ונהיו צ"ט נחלקם על המ' שהוא הקצה ונהיה החלק האחד ב' ורביעית וחמשית וחלק אחד ממ' וככה יקח בעל הט' דינ'
עוד נכתו' הערך של החמשי ככה
0 10 11 40
0 01 11 04
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{40:11=10:a_5}}
 אם המ' דינ' הרויחו י"א הי' כמה ירויחו
the owner of the 10 dinar \scriptstyle{\color{blue}{a_5=\frac{11\sdot10}{40}=\frac{110}{40}=2+\frac{3}{4}}}
 נכפול האמצעיים ונהיו ק"י נחלקם על מ' שהוא הקצה ונהיה החלק הא' ב' וג' רביעיות וככה יקח בעל הי' דינ'
  • Check:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{40}\right)\\&\scriptstyle+\left(1+\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{20}\right)\\&\scriptstyle+\left(2+\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle+\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{40}\right)\\&\scriptstyle+\left(2+\frac{3}{4}\right)=11\\\end{align}}}
 וכשתקבץ כל החלקי' שיקחו הכל תמצאם י"א לא פחות ולא יתר
  • another method
 דרך אחרת למצוא זה
converting the profit of 11 dinar into pešuṭim, then dividing by 40 and multiplying by the number of dinar given by each
 תעשה הי"א דינ' שהם הריוח כלם פשוטי' ותחלקם על מ' ותראה כמה ריוח יגיע לכל דינר מהמ'
  • multiplying by 6 = the share of the owner of the 6 dinar
 והריוח ההוא תכפול אותו עם הו' ואשר יהיה ככה יגיע לבעל הו'
  • multiplying by 7 = the share of the owner of the 7 dinar
 עוד תכפול אותו עם הז' ואשר יהיה ככה יגיע לבעל הז'
  • and so on
 וכן תעשה עם הח' והט' והי'
10) Question: the buyer had three [kinds of] coins.
He went to the seller to buy one liṭra of silk.
The first coin was worth 3 dinar.
The second coin was worth 4 dinar.
The third coin was worth 6 dinar.
The buyer said: give me one liṭra of silk and take from my three coins equally so that you will take the value of the liṭra
How much should he take from each coin?
י שאלה יש אצל הקונה שלשה מטבעים

והלך אצל המוכר לקנות ליט' אחת משי
והמטבע האחת היתה שווה ג' דינ'
והמטבע השנית היתה שוה ד' דינ'
והמטבע השלישי' היתה שוה ו' דינ'
ואמ' הקונה תן לי ליט' משי וקח מג' מטבעותי בשווי עד שתקח מה ששוה הליט'
כמה יקח מכל מטבע ומטבע

common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot6=12\sdot6=72}}
 נבקש המורה והוא ע"ב כי כפל ג' על ד' י"ב וכפל י"ב על ו' ע"ב
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot72\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot72\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot72\right)=24+18+12=54}}
 ושלישיתו כ"ד ורביעיתו י"ח וששיתו י"ב והכל נ"ד וזהו הדינ'
he will take from each coin: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{72}{54}=1+\frac{1}{3}}}
 נחלק המורה שהוא ע"ב על נ"ד ונהיה החלק האחד אחד ושליש וככה יקח מכל מטבע
  • Converting the dinar into 12 perutot
he will take from each coin: \scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=16}} perutot
 והנה נעשה הדינ' י"ב פרוטו' ויקח י"ו פרוטות מכל מטבע
3 dinar from the coin of 3 dinar = \scriptstyle{\color{blue}{12\sdot3=36}} perutot
 ואם תרצה לדעת איך הוא כך תחשוב שרוצה לקחת ל"ו פרוטות ממטבע ששוה ג' דינ'
  • 16 perutot from the coin of 3 dinar
 ולקח ממנו י"ו פרוטות
\scriptstyle{\color{blue}{4:3=16:12\longrightarrow}}
  • + 16 perutot from the coin of 4 dinar = \scriptstyle{\color{blue}{16+12=28}} perutot from the coin of 3 dinar
 וכשלקח עוד י"ו פרוטות ממטבע ששוה ד' דינ' כאלו לקח י"ב פרוטו' ממטבע ששוה ג' דינ' כערך הד' אל הג' נחבר הי"ב עם הי"ו ונהיו כ"ח
\scriptstyle{\color{blue}{6:3=16:8\longrightarrow}}
  • + 16 perutot from the coin of 4 dinar = \scriptstyle{\color{blue}{28+8=36}} perutot from the coin of 3 dinar
 עוד כשלקח י"ו פרוטות ממטבע ששוה ו' דינ' הוא כאלו לקח ח' פרוטו' ממטבע ששוה ג' דינ' כערך הג' אל הו' נחבר הח' עם הכ"ח ונהיו ל"ו וזהו המבוקש
Payment Problem - constructing a shelf
11) Question: a man agreed with a craftsman to construct for him a shelf of 6 in length and 6 in width and he will pay him 8 dinar.
He constructed for him [a shelf of] 3 in length and 3 in width.
How much should he pay him?
 יא שאלה אדם התנה עם אומן לבנות לו אצטבא ו' באורך ו' וו' ברוחב ויתן לו ח' דינ'

והוא בנה לו ג' בארך וג' ברחב
כמה יתן לו

He will be paid a quarter
\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\frac{8\sdot3\sdot3}{6\sdot6}=8\sdot}}\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}={\color{red}{8\sdot}}\frac{1}{4}}}
 אין ספק כי יתן לו הרביעית שהוא ב' דינ' כי כפל חצי על חצי הוא רביעית אחד
If he had constructed a half of the length by the whole width or half of the width by the whole length, he would have been paid a half of the payment
 שאלו היה בונה כל האורך עם חצי הרוחב או ההפך היה נותן לו המחצית
  • If he agreed with him to construct for him [a shelf of] 5 in length, 6 in width, and 7 in height and he will pay him 8 dinar.
He constructed for him [a shelf of] 4 in length, 5 in width, and 6 in height.
How much should he pay him?
\scriptstyle\frac{5\sdot6\sdot7}{8}=\frac{4\sdot5\sdot6}{X}
 אבל אם התנה עמו שיבנה לו ה' בארך ו' ברוחב ז' בגובה ויתן לו ח' דינ'

והוא בנה ד' בארך וה' ברחב וו' בגובה
כמה יתן לו

אז ראוי שנחבר כל מספרי התנאי ונשיבם אל הערכים וכן מספרי הבניין
\scriptstyle{\color{blue}{5+6+7=18}}
 חברנו תחלה מספרי התנאי ונהיו י"ח
\scriptstyle{\color{blue}{4+5+6=15}}
 עוד חברנו מספרי הבניין ונהיו ט"ו
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{18:8=15:X}}
 ועשינו הערך ככה אם אם הי"ח יתנו ח' דינ' הט"ו כמה יתנו
0 15 8 18
0 51 8 81
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{8\sdot15}{18}=\frac{120}{18}=6+\frac{2}{3}}}
 כפלנו האמצעיים ונהיו ק"כ חלקנום על הי"ח שהוא הקצה ונהיה החלק ו' וב' שלישיות וככה יקח
Payment Problem - three workers, three different daily wages, the same actual payment
12) Question: a man hired three brothers - Reuven, Shimon and Levi - for two days so that one of them will work with him.
If Reuven will work with him the whole two days he will pay him 6 dinar.
If Shimon will work alone he will pay him 4 dinar.
If Levi will work alone he will pay him 3 dinar.
They worked a total of two days together.
Finally, he paid each of them an equal share.
How much is the share of each of them and how many hours did each of them work?
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle 6a_1=4a_2=3a_3\\\scriptstyle a_1+a_2+a_3=2\end{cases}
 יב שאלה אדם אחד שכר ג' אחים ראובן שמעון לוי לעבוד אחד מהם עמו ב' ימי'

ואם יעבוד ראובן עמו כל הב' ימי' יתן לו ו' דינ'
ואם יעבוד שמעון לבדו יתן לו ד' דינ'
ואם יעבוד לוי לבדו יתן לו ג' דינ'
עתה בין הכל עבדו ב' ימי'
ובאחרונה פרע לכל חלק שוה
כמה פרע כל אחד ואחד וכמה שעות עבד כל אחד ואחד

common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{6\sdot4\sdot3=24\sdot3=72}}
 נבקש המורה והוא ע"ב כי כפל ו' על ד' הם כ"ד ואלה על ג' הם ע"ב
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{6}\sdot72\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot72\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot72\right)=54}}
 וששיתו ושלישיתו ורביעיתו הם נ"ד
each of them will be paid \scriptstyle{\color{blue}{72:54=1+\frac{1}{3}}} dinar
 הנה כערך ע"ב אל נ"ד ככה יקח מהדינרי' וערך ע"ב אל נ"ד הוא אחד ושליש וככה יקח כל אחד ואחד
calculating the working hours of each:
 נבקש לדעת כמה שעות עבד כל אחד ואחד
the dinar should be converted into thirds
 ונשיבהו אל הערכים ונשיב הדינ' שלישיות מפני השליש שעודף על הדינר
1 day = 12 hours
 והיום י"ב שעות
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{3}:24=\frac{4}{3}:a_1}}
 ונעשה ערך ראובן כך אם הי"ח שלישיות כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
Reuven worked: \scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{24\sdot4}{18}=\frac{96}{18}=5+\frac{1}{3}}} hours
 נכפול האמצעיים ונהיו צ"ו נחלקם על י"ח ונהיה החלק ה' שעות ושליש וככה עבד ראובן
0 4 24 18
0 4 42 81
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{3}:24=\frac{4}{3}:a_2}}
 ונעשה ערך שמעון כך אם הי"ב שלישיות כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
0 4 24 12
0 4 42 21
Shimon worked: \scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{24\sdot4}{12}=\frac{96}{12}=8}} hours
 כפלנו האמצעיים והם צ"ו חלקנום על י"ב ונהיה החלק ח' שעות וככה עבד ראובן שמעון
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{3}:24=\frac{4}{3}:a_3}}
 ונעשה ערך לוי כך אם הט' שלישיות יתנו כ"ד שעות הד' שלישיות כמה יתנו
0 4 24 9
0 4 42 9
Shimon worked: \scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{24\sdot4}{9}=\frac{96}{9}=10+\frac{2}{3}}} hours
 כפלנו האמצעים ונהיו צ"ו חלקנום על ט' ונהיה החלק י' שעות וב' שלישיים וככה עבד לוי
  • Check:
\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3=\left(5+\frac{1}{3}\right)+8+\left(10+\frac{2}{3}\right)=24}} hours = 2 days
 חבר כל השעות שעבדו שלשתם ותמצאם כ"ד שעות שהם ב' ימים
הזה בסוף השאלה הט' עיין הטב
Boiling Problem
13) Question: a man was boiling 6 measures of a beverage and he wanted that one third will remain. One measure was evaporated while cooking, then one measure overflow and four measures remained.
He wants to [reduce] them [as planned for the original amount]
\scriptstyle\frac{6-1}{\frac{1}{3}\sdot6}=\frac{4}{X}
 יג שאלה אדם אחד היה מבשל משקה ו' מדות ורצה שישאר השליש ונחסרה המדה האחת בבשול אחר נשפכה מדה אחת ונשארו הד' מדות

ורוצה להשיבם להשאירם כמשפט הראשון

Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{5:2=4:X}}
 נשיבם אל הערכים ככה אם הה' מדות יתנו ב' הד' כמה יתנו
0 4 2 5
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2\sdot4}{5}=\frac{8}{5}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}}}
 נכפל האמצעיים ונהיו ח' נחלקם על הקצה שהוא הה' ונהיה החלק אחד וחצי ועשירית וככה ראוי שישאר
14) Question: a sheet of 100 cubits long.
Reuven began to measure it from one end and Shimon from the other end.
Reuven measures 10 cubit in one hour and Shimon [measures] 12 [cubit in one hour]
When will they meet?
 יד שאלה יריעה ק' אמות

והתחיל למנותה ראובן מן הקצה האחד ושמעון מן הקצה האחר
וראובן מונה י' אמות בשעה ושמעון י"ב
מתי יפגשו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{10+12}=\frac{100}{22}=4+\frac{1}{2}+\frac{1}{22}}} hours
 נחבר שני המניינים אשר הם כ"ב אמות בשעה ונחלק הק' אמות עליהם ונהיה החלק ד' וחצי וחלק אחד מכ"ב

וידענו שבד' שעות וחצי וחלק מכ"ב בשעה יפגשו שניהם על המניין

the number of cubits measured by Reuven \scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(4+\frac{1}{2}+\frac{1}{22}\right)}}
 ואם תרצה לדעת כמה אמות מנה ראובן תכפול י' בד' וחצי וחלק א' מכ"ב ואשר יעלה כן מספר האמות אשר מנה ראובן
the number of cubits measured by Shimon \scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(4+\frac{1}{2}+\frac{1}{22}\right)}}
 וכן אם תרצה לדעת כמה מנה שמעון תכפול תכפול הד' שעות וחצי וחלק מכ"ב על י"ב ואשר יעלה כך מספר האמות אשר מנה שמעון
Shared Work Problem - Draining a Vessel - Barrel
15) Question: a full barrel has three taps
If the first is opened the barrel is drained in half a day.
If the second is opened it is drained in a third of a day.
If the third is opened it is drained in a quarter of a day.
If you opened all three taps together, in how many hours will the barrel to be drained?
\scriptstyle\frac{1}{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{\frac{1}{3}}x+\frac{1}{\frac{1}{4}}x=1
 טו שאלה חבית מליאה יש בה ג' נקבים

אם תפתח הא' יכלה החבית בחצי היום
ואם תפתח השנית יכלה בשלישית יום
ואם תפתח השלישית יכלה ברביעית יום
ואם פתחת השלשה נקבים ביחד בכמה שעות יכלה החבית

day = 12 hours
 אתה צריך לדעת כי היום י"ב שעות
barrel = 48 measures
 וכן החבית כמה מדות מכילה ונניח שמכילה מ"ח מדות
through the first tap it is drained in \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot12=6}} hours
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{48}{6}=8}} measures in one hour
 והנה בפתיחת הנקב האחד יכלה בו' שעות שהם ח' מדות בשעה
through the second tap it is drained in \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}} hours
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{48}{4}=12}} measures in one hour
 ובפתיחת הנקב השני יכלה בד' שעות שהם י"ב מדות בשעה
through the third tap it is drained in \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot12=3}} hours
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{48}{3}=16}} measures in one hour
 ובפתיחת הנקב הג' יכלה בג' שעות שהם י"ו מדות בשעה
through all three taps in one hour: \scriptstyle{\color{blue}{8+12+16=36}} measures
 תחבר כל המדות אשר יכלו בשעה אחת והם ל"ו
the barrel is drained through all three taps in \scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{48}{36}=1+\frac{1}{3}}} hours
 תחלק המ"ח על הל"ו יהיה אחד ושליש והנה בשעה אחת ושליש תכלה הכל
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{36:1=48:x}}
 ונעשה הערכים ככה אם הל"ו שעה אחת המ"ח על כמה יהיה
0 48 1 36
0 84 1 63
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{48\sdot1}{36}=1+\frac{1}{3}}}
 נכפול האמצעיים והם מ"ח נחלקם על הקצה שהם ל"ו ונהיה החלק אחד ושלישית
Find a Quantity Problem - Whole from Parts Problem - Lance
16) Question: a lance, a half of it is in the water, a third of it is in the soil, and up above [the water] it is 6 cubits long.
What is the length of the lance?
\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+6=X
 טז שאלה רומח חציו במים שלישיתו בעפר ולמעלה ו' אמות

כמה גבהות כל הרומח

False Position - common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{6}}
 נבקש המורה והוא ו'
\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=6-5=1}}
 וחציו ושלישיתו ה' נגרעם מן הו' ונשארו א'
the length of the lance: \scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6\sdot6}{1}=36}}
 נכפול הו' עם הו' שהם האמצעיים ונחלקם על הא' שהוא הקצה נהיה ל"ו וככה גובה הרומח
  • Check: \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot36\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot36\right)+6=18+12+6=30+6=36}}
 וחציו י"ח ושלישיתו י"ב הרי ל' ולמעלה ו'
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{1:6=6:x}}
 ונעשה הערך כך אם הא' יתנו ו' הו' כמה יתנו
0 6 6 1
Find a Quantity Problem - Whole from Parts Problem - Tree
17) Question: a tree, a fifth of it is [ingrained] in the soil, a sixth of it is in the water, and up above the water it is 7 cubits long.
What is the height of the tree?
\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+7=X
 יז שאלה אילן חמשיתו בעפר וששיתו במים ולמעלה מהמים ז' אמות כמה גבהות כל האילן
False Position - common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{30}}
 הנה המורה ל'
\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)-\left(\frac{1}{6}\sdot30\right)=30-11=19}}
 וחמשיתו וששיתו י"א נגרעם מל' שהוא המורה נשארו י"ט
the height of the tree: \scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot30}{19}=\frac{210}{19}=11+\frac{1}{19}}}
 נכפול האמצעיים שהם הז' בל' נהיו ר"י נחלקם על י"ט ונהיו י"א חלקים וחלק אחד מי"ט וככה גבהות האילן
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{19:30=7:x}}
 ונעשה הערך כך
0 7 30 19
0 7 03 91
Triangulation Problem - Two towers
18) Question: there are two towers, the height of one is 60 cubits and the height of the other is 40 cubits.
The distance between them is 50 cubits.
At the top of each tower sits a bird.
Between them a water pool.
The birds are flying at the same speed, going down and drinking at the same time, then taking off at the same time.
How far is the pool from the base of each tower?
\scriptstyle40^2+\left(50-a\right)^2=60^2+a^2
 יח שאלה אם היו שני מגדלים גובה הא' ס' אמה וגובה השני מ' אמה

והמרחק שביניהם נ' אמה
ובראש כל מגדל צפור יושב
ובין המגדלים בריכת מים
ועפים הצפרים בהתעופפות שוה ויורדים ושותים בזמן שוה ועולים בזמן שוה
כמה מרחק הבריכה מיסוד כל מגדל

denominator:
\scriptstyle{\color{blue}{40^2+50^2-60^2=1600+2500-3600=4100-3600=500}}
 נחבר מרובע מ' שהוא אלף ת"ר עם מרובע נ' שהוא אלפים ות"ק נהיו ד' אלפי' ק'

אח"כ נקח מרובע ס' שהוא ג' אלפי' ות"ר ונגרעם משתי המרובעים הנזכרים שהם ד'ק' ונשארו ת"ק והוא המורה

the distance between the pool and the tower whose height is 60 cubits:
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{40^2+50^2-60^2}{2\sdot50}=\frac{500}{100}=5}}
 נכפול גם מרחק שני המגדלים שהוא נ' על ב' ונהיו ק' נחלקם המורה עליהם ונהיו ה' וככה מרחק הבריכה מן המגדל שגובהו ס' אמו'
the distance between the pool and the other tower: \scriptstyle{\color{blue}{50-a=50-5=45}}
 ומהמגדל האחר המ"ה אמות הנשארות
Joint Purchase Problem - If You Give Me - Buying a Fish
19) Question: three men went to the market to buy a fish.
The first said: I will give all of what I have and you will give a half of what you have and we will buy the fish.
The second said: I will give all of what I have and you will give a third of what you have and we will buy the fish.
The third said: I will give all of what I have and you will give a quarter of what you have and we will buy the fish.
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+\frac{1}{2}\sdot\left(a_2+a_3\right)=N\\\scriptstyle a_2+\frac{1}{3}\sdot\left(a_1+a_3\right)=N\\\scriptstyle a_3+\frac{1}{4}\sdot\left(a_1+a_2\right)=N\end{cases}
 יט שאלה ג' אנשים אשר הלכו בשוק לקנות דג אחד

האחד אמר אני אתן כל מה שיש לי ואתם תנו החצי ממה שיש לכם ונקנה הדג
אמר השני אני אתן כל מה שיש לי ואתם תנו שליש ממה שיש לכם ונקנה הדג
אמר הג' אני אתן כל מה שיש ואתם תנו הרביע ממה שיש לכם ונקנה הדג

כתוב דבר הקונים החצי והרביע כזה
4 3 2
\scriptstyle{\color{blue}{a-\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)=3\longrightarrow a=6}}
 אח"כ תאמר מהו כאשר תקח חציו ממנו ישאר ג' כמספר הקונים והנה הוא ו' כתוב אותו תחת הב'
\scriptstyle{\color{blue}{b-\left(\frac{1}{3}\sdot b\right)=3\longrightarrow b=4+\frac{1}{2}}}
 עוד תאמר מהו כאשר תקח שלישיתו ממנו ישאר ג' כמספר הקונים והנה הוא ד' וחצי כתוב אותו תחת הג'
\scriptstyle{\color{blue}{c-\left(\frac{1}{4}\sdot c\right)=3\longrightarrow c=4}}
 עוד תאמר מהו כאשר תקח רביעיתו ממנו ישאר ג' כמספר הקונים והנה הוא ד' תכתבהו תחת הד'
4 4 6
  \scriptstyle\frac{1}{2}  
common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot6\right)+\left[2\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]+\left(2\sdot4\right)=12+9+8=29}}
 כפול הכל עם הב' ותאמר ב' פעמי' ו' הם י"ב

עוד ב' פעמי' ד' וחצי הם ט'
עוד ב' פעמי' ד' הם ח'
חבר הכל הם כ"ט וזהו המורה

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=29-\left(2\sdot12\right)=5}}
 כפול הראשון שהוא י"ב עם ב' וחסרהו מן המורה נשארו ה' וכך יש לראשון בכיסו
\scriptstyle{\color{blue}{a_2=29-\left(2\sdot9\right)=11}}
 כפול השני שהוא ט' עם הב' וחסרהו מן המורה נשארו י"א וכך יש לשני בכסו
\scriptstyle{\color{blue}{a_3=29-\left(2\sdot8\right)=13}}
 כפול השלישי שהוא ח' עם ב' וחסרהו מן המורה ונשארו י"ג וכך יש לשלישי בכסו
\scriptstyle{\color{blue}{N=17}}
 נמצא שקנו הדג בי"ז
  • Check:
 ואם תרצה לבחון זה
\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\frac{1}{2}\sdot\left(a_2+a_3\right)=5+\frac{1}{2}\sdot\left(11+13\right)=5+\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)=5+12=17}}
 תביט כי הראשון נתן כל מה שיש לו והיו ה' והם נתנו החצי שיש להם ומה שיש להם הם כ"ד כי השני יש לו י"א והג' י"ג והחצי י"ב תחברם עם הה' והוא י"ז והוא מחיר הדג
\scriptstyle{\color{blue}{a_2+\frac{1}{3}\sdot\left(a_1+a_3\right)=11+\frac{1}{3}\sdot\left(5+13\right)=11+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=11+6=17}}
 עוד השני נתן כל אשר לו והם י"א והראשון והשלישי נתנו השליש ממה שיש להם והם ו' כי לשניהם י"ח לראשון ה' ולשלישי י"ג חבר הי"א עם הו' ונהיו י"ז והוא מחיר הדג
\scriptstyle{\color{blue}{a_3+\frac{1}{4}\sdot\left(a_1+a_2\right)=13+\frac{1}{4}\sdot\left(5+11\right)=13+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)=13+4=17}}
 עוד השלישי נתן כל אשר לו והם הי"ג והראשון עם השני נתנו ד' שהוא הרביע ממה שיש להם כי לראשון ה' ולשני י"א והם י"ז והוא מחיר הדג
Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Promissory Note
20) Question: four men issued a promissory note with a man.
The first [was promised] that if he would work with him for a month, he will pay him 10 zehuvim.
The second [was promised] that if he would work with him for a month, he will pay him 5 zehuvim which are a half.
The third [was promised] that if he would work with him for a month, he will pay him 3⅓ zehuvim which are a third.
The fourth [was promised] that if he would work with him for a month, he will pay him 2½ zehuvim which are a quarter.
They all worked a whole month, but he did not pay any one and died.
All that he had were only 10 zehuvim
 כ שאלה אדם אחד הוציאו עליו שטר חוב ד' אנשים

הראשון שאם יעבוד עמו חדש ימי' יתן לו י' זהובי'
והשני שאם יעבוד עמו חדש ימים יתן לו ה' זהובים שהם מחציתם
והשלישי שאם יעבוד עמו חדש ימים יתן לו ג' זהובים ושליש שהם שלישיתם
והד' שאם יעבוד עמו חדש ימים יתן לו ב' זהובים וחצי שהוא רביעיתם
ועבדו כלם החדש בשלימות ולא פרע לשום אחד ומת
ולא נמצא לו יותר מי' זהובים בכל אשר היה לו

The division according to the arithmeticians: each one receives his proportional share
\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=10
 הנה חכמי החשבון יתנו לכל אחד כפי ערך ממונו
False Position - common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4=6\sdot4=24}}
 והנה המורה כ"ד כי תכפול הב' על הג' והם ו' עוד הו' על הד' הם כ"ד ובזה ימצאו כל החלקי' הנשארי' ונשים האחד השלם כ"ד כי הוא המורה
\scriptstyle{\color{blue}{24+\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=50}}
 וכשתחבר אליו חציו ושלישיתו ורביעיתו יהיה בין הכל נ'
converting the zehuvim into pešuṭim [1 zahuv = 12 pešuṭim]: \scriptstyle{\color{blue}{12\sdot10=120}}
 ונעשה הי' זהובים ק"כ פשוטי' מי"ב פשוטי' בזהוב
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{50:24=120:a_1}}
 ונעשה ערך הראשון כך אם הנ' יתנו לו כ"ד הק"כ מה יתנו לנו
0 120 24 50
0 021 42 05
the share of the owner of the 10 zehuvim: \scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{24\sdot120}{50}=\frac{2880}{50}=57+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}}}
 נכפול האמצעיים ונהיו ב' אלפים תת"פ נחלקם על הנ' שהוא הקצה נהיה החלק נ"ז פשוטים וחצי פשוט ועשירית פשוט וזהו חלק הראשון בעל הי' זהובים
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{50:12=120:a_2}}
 ונעשה ערך השני כך אם הנ' יתנו לנו י"ב הק"כ מה יתנו לנו
0 120 12 50
0 021 21 05
the share of the owner of the 5 zehuvim: \scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{12\sdot120}{50}=\frac{1440}{50}=28+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}}}
 נכפול האמצעיים ונהיו אלף ת"מ נחלקם על הנ' שהוא הקצה ועלו כ"ח פשוטי' וחצי פשוט וחמשית פשוט ועשרית פשוט וזהו החלק השני בעל הה' זהובים
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{50:8=120:a_3}}
 ונעשה ערך השלישי ככה אם הנ' יתנו ח' הק"כ כמה יתנו
0 120 8 50
0 021 8 05
the share of the owner of the 3⅓ zehuvim: \scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{8\sdot120}{50}=\frac{960}{50}=19+\frac{1}{5}}}
 נכפול האמצעיים ונהיו תתק"ס נחלקם על הנ' שהוא הקצה יהיו י"ט פשוטי' וחמשית פשוט וזהו חלק השלישי בעל ג' זהובים ושליש
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{50:6=120:a_4}}
 ונעשה ערך הרביעי ככה אם הנ' יתנו ו' הק"כ כמה יתנו
0 120 6 50
0 021 6 05
the share of the owner of the 2½ zehuvim: \scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{6\sdot120}{50}=\frac{720}{50}=14+\frac{2}{5}}}
 נכפול האמצעיים ונהיו תש"כ נחלקם על הנ' שהוא הקצה ונהיו י"ד פשוטי' וב' חמשיות פשוט וזהו חלק הרביעי בעל הב' זהובי' וחצי
  • Check:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4\\&\scriptstyle=\left(57+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\right)+\left(28+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}\right)+\left(19+\frac{1}{5}\right)+\left(14+\frac{2}{5}\right)=120\\\end{align}}}
 וכשתחבר כל כל אלה החלקים יעלו ק"כ פשוטי' שהם י' זהובי'
ואם לא תרצה להשיב הכל אל הערכים מפני הטורח תעשה כך אחר שידעת חלק הראשון מן הערכי' תן מחציתו לשני ושלישיתו לשלישי ורביעיתו לרביעי ושוה יהיה זה וזה
וכן תוכל אתה לעשות שאלות אחרות עד אין קץ ותוכל להשיב עליהם אם תדע ואם תדע הכללים שהקפנו בהם בזה החבור ולא הזכרתי דרך מציאות שרשי המרובעים הנה כי אינם צורך בזה החבור ואחרתים עד מקומם ושם אבארם אם יחפוץ הנותן ליעף כח
תם ונשלם שבח לבורא עולם אבגדה גם

The Second Book of this Treatise Discusses Geometry

 [1]הספר השני מזה החבור המדבר בחכמת המדות

[The First Section]

Chapter One

 הפרק הראשון מהחלק הראשון מהספר השני
אמר מרדכי קודם שנדבר על חכמת המדות ראוי לבאר שמות שנשתמשו בהם בעלי זאת המלאכה והחכמה כי לכל חכמה שמות מיוחדות נשתמשו בהם בעלי החכמה ההיא מורות בענינים באותה החכמה בלתי הענינים אשר יורו בזולת החכמה ההיא להיות שהם הסכמיים וכאשר הניחו בזולת החכמה ההיא על מה שהניחו כן יוכלו להעתיקם ממה שהניחום למה שהניחום בחכמה מיוחדת אם על דרך השאלה או על דרך הספוק או על דרך ההעתקה ולפעמים גם ע"ד השתוף הגמור ולכן ראוי למחבר ספר אם ירצה להיות דבריו מובנים לבאר תחילה השמות אשר נשתמשו בם בעלי החכמה ההיא וכן עשה גם החכם אקלידס בספר היסודות אשר ביאר בהצעת כל מאמר דברים הצריכים באותו מאמר
ונאמר שכשתשמע הנה נקדה תבין שתורה על דבר שאין לו שעור כלל לא ארך ולא רחב ולא עומק והיא נמצאת בראש הקו כי היא תכליתו וכן היא אשר תמצא באמצע הקו כשתשער רמיזה היא תכלית חצי הקו והיא בעצמה ראש חצי הקו האחר
והקו הוא אורך בי רחב נמשך בין שתי נקדות אשר הן תכליותיו
והשטח הוא הרחב המתוח בין הקוים ויש לו אורך ורחב לבד ותכליותיו הם הקוים
והזוית השטוחה היא אשר יקיפו בה שני קוי' ישרי'
והזוית ממנה נצבת וממנה נרוחת
והזוית הנצבת היא כשיפול הקו הישר על קו ישר וישים השתי זויות נצבות כזה ┴
והחדה היא אשר היא יותר קטנה מזאת
והנרוחת היא אשר היא יותר גדולה מזאת
והקו אשר יפול על הקו ויעשה שתי זויות יקרא עמוד
והקו שהוא עומד הקו יקרא תושבת
והקוים הנכחיים הם אשר כשיוצאו לכל א' משני צדדים ואפילו ללא תכלית לא יפגשו
והתמונה השטחית תחלק אל ישרת הקוים ואל בלתי ישרת הקוים
והתמונה הישרת קוים היא אשר יקיפו בה ג' קוים או יותר
ואשר יקיפו בה ג' קוים לא יותר תקרא משולש
ואשר יקיפו בה ד' קוים תקרא מרובע
ואשר יקיפו בה ה' קוים תקרא מחומש
וכן כל כיוצא בזה
והקוים אשר יקיפו בתמונה יקראו צלעות
והמשולש יחלק אל שלשה מינים
הא' יקרא שוה הצלעות והוא אשר שלש צלעותיו שוים
והשני יקרא שוה השוקים והוא אשר תהיינה שתי צלעותיו שוות והשלישית בלתי שוה אם יותר ארוכה מכל אחת מהן או יותר קצרה מכל אחת מהן
והשלישי יקרא מתחלף הצלעות והוא אשר אין אחת שוה לחברתה
עוד [2]המשולש יחלק אל נצב הזויות והוא אשר זויתו האחת נצבת כזה
ואל נרוחת הזוית והוא שזויתו האחת מרווחת כזה
ואל חד הזויות והוא אשר שלש זויותיו חדות
ובעל הד' צלעות יחלק אל מרובע שוה הצלעות ואל בלתי שוה הצלעות
עוד השוה הצלעות יחלק אל מה שהוא נצב הזויות ויקרא שוה הצלעות נצב הזויות כזה
ואל מה שהוא בלתי נצב הזויות כזה ויקרא מעויין
עוד הבלתי שוה הצלעות יחלק אל מה שהוא שתי צלעותיו הנכוחיים שוים וזויותיו נצבות ויקרא מרובע ארוך כזה
ואל כל ששתי צלעותיו שוות אבל אין זויותיו נצבות ויקרא דומה למעויין כזה
ואל זולת אלה ויקרא הנוטה
והוא ארבע תמונות יתבארו בזה החבור
והתמונה הבלתי ישרת הקוים השטוחה תחלק אל עגולה וחצי עגולה
והעגולה היא תמונה יקיף בה קו אחד בתוכה נקדה כל הקוים היוצאים ממנה אל המקיף שוים
והנקדה ההיא תקרא מרכז העגולה
והקו אשר יצא ממקיף העגולה ויעבור על המרכז יקרא מיתר
והחתיכה אשר תושבתה במיתר יקרא קשת
וחצי העגולה היא אשר יקיף בה חצי הקו המקיף והאלכסון
וחתיכת העגולה היא תמונה תקיף בה היתר והקשת ותחלק לשני מינים אם שהיא קטנה מחצי עגולה או גדולה הימנה
ותשבורת התמונה הוא החלקים המרובעים נצבי הזויות אשר ארכם כרחבם או השוים להם הממלאים את התמונה הדרושים על התמונה
וההכאה היא כפל צלע בצלע או קו ישר בקו קשתי או מספר במספר
וכבר ביאר אקלידס בספר אחד שחבר במדידת הארץ כי חכמת המדות השטוחה היא מיוסדת מארבעה דברים מהפאות ומהנקודות ומהקוים ומהזויות וגם כן היא מקבלת סוגים ומינים
והפאות הם מזרח ומערב וצפון ודרום
והנקדות הם אשר תקח אותם התחלה או סימן לדבר
והקוים הם י' קו ישר ותושבת וראש ועמוד וקו נכחי וקטר ושוקים ומקיף ואלכסון ומיתר
והקו הישר הוא הנמשך על יושר משתי תכליותיו שהם שתי נקדות
והתושבת היא קו ישר אחד עומד עליו קו ישר אחר ועושה השתי זויות אשר משני צדדיו נצבות
והראש הוא הקו העומד על התושבת
והעמוד הוא הקו היורד מהראש אל התושבת ועושה השתי זויות אשר משתי צדדיו נצבות
והקו הנכחי הוא קו עומד נכח קו אחר ומרחקי קצותיהם אשר על זויות נצבות שוים
והקטר הוא הקו הנמשך מזויות המרובעים וכיוצא בהם עם הזוית האחרת
והשוקים הם קוים ישרים יורדים מקצות הארץ עד שתי קצות התושבת
והמקיף הוא הקו הסובב במרחק שהוא המרכז עד הקו ההוא והקוים היוצאים אליו מהמרכז שוים
והאלכסון הוא [3]קו יוצא מהמקיף ועובר על מרכזו ויוצא אל המקיף מהצד האחר וחולק את המקיף בשני חלקים שוים
והמיתר הוא הקו הישר אשר תחת הזוית הנצבת
והזויות הם ג' נצבת חדה ונרוחת
הנצבת היא כאשר יעמוד קו ישר על קו ישר ויעשה הזויות אשר משני צדדיו שוות כל אחת תקרא נצבת
והזוית אשר היא קטנה מזאת תקרא חדה
ואשר היא גדולה מזאת תקרא נרוחת
סוגי המדידה הם שלש מהארבעה קוים הישרי' ומדידת התמונה ר"ל תשבורת התמונות ומדידת הגופנים
מדידת הקוים הישרים היא אשר ימדדו על יושר באורך לבד וזה יקרא מדידה מספרית
מדידת תשבורת התמונות הוא אשר יש לו אורך ורחב ועובי כי ממנו יודע מדידת הגופנים ויקרא גם כן מעוקב
ומיני המדידה הם חמשה המרובע והמשולש והמעוין והנוטה והעגולות
והתמונות י"ח
אם תמונות המרובעים ב' מרובע נכחי הצלעות ונצב הזויות
ואם תמונות המשולשים משולש שוה הצלעות ומשולש שוה השוקים ומשולש מתחלף הצלעות ומשולש נצב הזויות ומשולש נרוח הזויות ומשולש חד הזויות
ואם תמונות המעויינים ב' המעויין והדומה למעויין
ואם תמונות הנוטים הם ד' נוטה נצב הזויות נוטה שוה השוקים נוטה חד הזויות נוטה נרוח הזויות
ואם תמונות העגולות ד' העגולה וחצי העגולה וחתיכת העגולה מחציה ומעלה וחתיכת העגולה הקטנה שהיא קטנה ממנה

Chapter Two

 הפרק השני
דע כי המשולש הוא שרש ופנה לכל התמונות השטחיות ישרות הקוים כי ממנו חוברו ואליו יותכו כאשר הודיע זה ניקומאכוש הגיהרשיני במאמר השני מספר הארתימישיקא שחבר
ולכן מי שידע למדוד המשולשים ידע למדוד כל התמונות בכפל תשבורת המשולש במספר אשר יולידו התמורה אם הם שוים ואם היו בלתי שוים יהיה זה בקבוץ תשבורת כל המשולשי' אשר יולידוהו ומפני זה היה מספיק להודיע מדידת המשולש למנין לבד אבל מפני שהמדה והשעור אשר נשער בה מרובעת ארכה כרחבה
כי תשבורת התמונות הם משוערות על האמות המרובעות כאשר הודענו מן גדרה
והמשולש בעצמו לא יתאמת מנינו רק בהצטרפו אל המרובע כי המופת שיובא עליו בהקשה אל המרובע לכן ראוי שנודיע מדידת המשולשים [נ' המרובעים] תחלה אח"כ נודיע דרכי המשולשים והשאר
וקודם זה נודיע שכל מוסכל לא יגיע אלא בידוע ולכן עלו כל הדרושים אל המושכלות הראשונות או אל אחד מהמינים אשר הם ידועים בעצמם
וידוע כי כשנדרוש למצוא תשבורת תמונה איזו שתהיה קודם שנמצאנה היא מוסכלת אצלנו
ולכן ראוי להגיעה לנו בידוע והידוע אשר יגיע לנו היא ידיעת חלק ממנה אם צלעות מצלעותיה או עמוד ותושבת וזולת זה
ואם גם אלה הם מוסכלים אז תגיע לנו האמה אשר ימדדו בה ולכן ראוי להודיע [4]שהאמה הזאת ידועה אשר תגיע לנו ידיעת המוסכלים מהנמדדים היא אורך לבד בלי מרחב ואינה אמה מרובעת כאשר הם אמות התשבורת כי גם המרובעת תכליותיה הם הקוים אשר הם אורך לבד והם המגבילים אותה
ומהנה אתחיל לבאר איך ימדדו המרובעים ונתחיל ממרובע שוה הצלעות נצב הזויות כי הוא כשרש לשאר המרובעים אחרי שהמעויין ידמה לו בשווי הצלעות והארוך בהתיצבות הזויות
ועוד כי אמת התשבורת היא מרובעת הצלעות שוים והזויות
והיתה זאת אמת התשבורת כי זאת תודיע לנו השעור של התמונה והדבר אשר יודיע שעור הדבר ראוי שיהיה שוה נודע וידוע שהזויות הנצבות הם שוות לעולם מה שאין כן החדה והנרוחת כי יקבלו הפחות והיתר והדבר אשר יקבל הפחות והיתר הוא בלתי מוגבל והבלתי מוגבל הוא בלתי ידוע והבלתי ידוע בעצמו איך יהיה סבה לזולתו
הדבור על מדידת המרובע שוה הצלעות נצב הזויות
ראוי שתדע בכלל כי כל בעל ארבעה צלעות נצב הזויות הארבעה הנה הכאת צלעו האחד בצלעו האחר ככה תשברתו
והיה זה סבה להיות שמרובע צלעו האחד שוה להכאת צלעו הא' בצלעו השני
דמיון מרובע אבג"ד הוא שוה הצלעות כי נשים כל א' מצלעותיו עשר אמות והנה מרובע צלעו האחד מאה אמה וככה הוא תשברתו כי הם מאה אמות מרובעות נצבות הזויות כל אמה מהן מרובעת דומה אל המרובע הגדול
המופת על זה נחלק כל צלע ממנו על עשר אמות בעשרה נקדות ונגיע מכל נקדה מהצלע האחד קו על הצלע הנכחי לו הנה יהיו הקוים נכוחיים האחד לחברו ולצלעו המרובע הגדול כי מרחקי קצותיהם אשר הם על זויות נצבות שוים אם כן קו ה"ו נכחי אל קו א"ד וקו ב"ל נכחי אל קו א"ב
ונאמר תחלה כי קו א"ד נפל על שני קוי א"ב וב"ל הנכוחיים
הנה ישרת שתי הזויות הפנימיות אשר בצד אחד שוות לשתי נצבות וזוית א' היא נצבת אם כן גם זוית ב' היא נצבת על כל פנים [5]והתמונות הנכחיות הצלעות יהיו זויותיהם המומרות שוות א"כ גם זוית ה' נצבת וגם הזוית הנשארת מזה המרובע הקטן שהוא האמה נצבת
עוד קו ו"ה נפל על קו א"ב והקו הישר אשר יפול על קו ישר הנה ב' הזויות אשר בצדו אם נצבות או שוות לשתי נצבות וזוית ה' נצבת אם כן גם הזוית אשר בצדו נצבת ומזה יתבאר כי גם על ד' זויות האמות נצבות וכן יתבארו כל הי' אמות אשר בטור הא'
עוד קו ב"ל נחתך בקו ה"ו וב' הקוים אשר יחתכו זויותיהם המקבילות שוות א"כ גם זוית האמה הראשונה אשר בטור הב' השמאלית נצבת וכנגדה נצבת וכן יתבארו כל האמות אשר בתשבורת הזאת ולהיותם שוי הצלעות יתבאר מחלוקת כל צלע השוה לחלקים וכשתחסר מן השוים יהיה הנשאר שוים והב' דברים השוים לדברים שוים גם הם שוים
וזאת המדידה נכונה בבעלות ד' הנצבות הזויות הד' ר"ל שתכפול צלעו הא' על צלעו השני המקיפו' בזוית א' ולמצוא התשבורת
דמיון בבעלת ד' צלעות נצב הזויות הד' נכוחי הצלעות אשר צלעה הא' י' וצלעה האחרת ה' כזה הנה כפילת הה' על הי' הם נ' וזהו התשבורת של זאת התמונה ומופתה כמופת הקודם
אבל אם היתה התמונה שוה הצלעות ולא היתה נצבת הזויות ולא יתכן שימדד במדידת צלעותיה כי זה יביא לטעות גדולה
דמיון יש לנו מרובע שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות עליו אבג"ד ויהיה כל א' מצלעיו י' אמות הנה אם תכפול צלעו הא' בצלעו השני אז אם תקח מרובע צלעו הא' יעלה ק' ואין זה תשבורת המרובע הזה
המופת נוציא ב' קוטרים מזויותיו הא' קוטר א"ג והב' קטר ב"ד ויהיה קטר א"ג י"ו אמה וקטר ב"ד י"ב אמה ויחתכו על נקדת ה' הנה נעשה שטח נכוחי הצלעות נצב הזויות אשר צלעו אחת כקטר הארוך וצלעו האחרת כקטר הקצר ויהיה כל צלע נכוחי לקטר הדומה לו כי שתי הקטרים יחתכו על זויות נצבות כאשר נראה המופת במדידתו ונכתוב עליו ה' ו' ז' ח' הנה נחלק השטח הנצב הזויות לד' חלקים שוים עם קטרי המרובע הקטן אשר אין זויותיו נצבות
עוד כל חלק מהד' חלקים נחלק לשני חלקים שוים עם צלעות המרובע הקטן לא פחות ולא יתר
ותשבורת השטח הנצב הזויות הוא בכפל צלעו האחד על השני וצלעו הא' הוא י"ו אמה כי [6]הוא שוה לקטר הארוך מהמרובע וצלעו השנית הוא י"ב אמה כי הוא שוה לקטר הקצר מהמרובע וכפל י"ו על י"ב הם קצ"ב וזהו תשבורת השטח הנצב הזויות אשר הוא כפל תשבורת המרובע אשר בתוכו
ואם כן תשבורת המרובע הם צ"ו אמות אשר בתוכו ואלו היינו נשענים על כפל צלעותיו היה יוצא ק' אמה וזאת שגיאה גדולה
ולכן אמרו בעלי השעור שזה המרובע יהיה נמדד בכפילת מחצית קטרו הא' על קטרו השני והוא תשברתו
המופת על המדידה הזאת ידוע שכאשר יהיה שוה הצלעות הנה שני קטריו יחתכו על זויות נצבות כי כל קטר הוא מחלק אותו לשני משולשים שוה השוקים והקטר תושבת שני המשולשים וכאשר יצא הקטר האחד מזוית משולש שוה השוקים אשר התושבת היא מיתרה עד הזוית האחרת ממשולש שוה השוקים שזאת התושבת היא מיתר גם אותה תחלק התושבת לשני חלקי' שוים [7] ועל זויות נצבות וכפילת כל הקוטר בכל הקטר יהיה תשבורת המרובע החיצון אשר הוא כפלו לכן מרובע חציו בכולו הוא מחצית זה שהוא תשבורת המרובע הזה ולכן אמרו כשתמצא מרובע שוה הצלעות בין שיהיה נצב הזויות בין שלא יהיה לא תמנה אותו כי עם מדידת האלכסונים ולא תטעה לעולם כי להכיר האדם הזוית הנצבת מהבלתי נצבת אינו בקלות ולכן ראוי להשמר מן הטעות
ואם היה המרובע שוה הצלעות נצב הזויות ולא ידעת צלעו או רצית למדדו מקטרו האחד תקח מרובעו ותחלקהו על שני חלקים והחלק האחד הוא תשבורת המרובע ההוא ושרש החלק הוא אורך צלעו
דמיון מרובע אשר עליו אבג"ד שוה הצלעות נצב הזויות והיה מרובע קטרו ר' תחלק הר' לשני חלקים יהיה החלק הא' ק' והוא תשבורת המרובע ושרש הק' שהם י' הם אורך צלעו וכן אם אינו שוה הצלעות אבל הוא נצב הזויות יהיה הקטר ידוע אליך והצלע האחד ורצית למדדו משתי אלה תקח מרובע הקטר ותגרע ממנו מרובע הצלע הידוע והנשאר הוא מרובע הצלע הנשאר תקח שרשו והוא אורך הצלע תכה אותו עם הצלע הידוע והוא תשבורת המרובע
דמיון מרובע ארוך אשר עליו אבג"ד והיה צלע א"ב י' אמות וקטר א"ג י"ב אמות
לקחנו מרובע הקטר והוא קמ"ד אמות גרענו ממנו ק' אמה שהוא מרובע הצלע הידוע שהוא י' אמות ונשארו מ"ד אמות ושרשם ו' אמות ושני שלישי אמה פחות משהו שהוא אורך הצלע השני הכינו הו' ושני שלישי' פחות משהו עם הי' ונהיו ס"ו אמות ושני שלישים פחות משהו והוא תשבורת המרובע
המופת על שתי [8]על שתי אלו המדידות ידוע שהקטר הוא חילק את שני המרובעים האלה על שני משלשים שוים נצבי הזויות להיות שהם נכוחיי הצלעות והקטר משותף בשניהם וזוית אחת בכל משלש נצבת והקטר הוא מיתר הזוית הנצבת לכל משולש מהם וכבר התבאר בחכמת המדות שהמשולש הנצב הזוית שני המרובעים אשר יהיו מהצלעות המקיפות בזוית הנצבת שוות למרובע ההוה מהצלע שהוא מיתר לזוית הנצבת א"כ כשתגרע מהשוה לשנים האחד ישאר השני ושרשו הוא המבוקש הנולד מנפילתו בחברו אשר יקיף עמו בזוית הנצבת הוא תשבורת המרובע ההוא
ואם היתה תשבורת המרובע ידועה לך וידעת גם צלעו האחד ולא ידעת גם צלעו השני תחלק תשבורת המרובע על הצלע הידוע ויצא לך הצלע האחר הבלתי ידוע
דמיון היה מרובע תשברתו ק' אמה וצלעו האחר י' אמה תחלק תשברתו שהוא הק' אמה על י' ויצא לך החלק י' ומזה ידעת שגם צלעו האחר י' אמות והמרובע הזה שוה הצלעות
וכן אם היה תשברתו ק' אמה וצלעו הא' כ' אמה תחלק הק' על הכ' ויצא לך החלק ה' והוא צלעו האחר ומזה ידעת שהוא שטח נכחי הצלעות אשר יקרא מרובע ארוך
המופת על זה כי התשבורת הוא מספר נולד מכפילת חלקי הצלע האחד בחלקי הצלע האחר והמספר הנכפל במספר אחר ימצא באותה תולדה המספר האחר בכמות המספר האחר וכן האחר בזה וכשידעת כמות מספר האחד והתולדת אם תחלק התולדת על כמות המספר הנודע ידענו המספר אשר ימצא בכמות המספר הנודע ובהתקבצו כפעמי המספר הנודע נהיה התולדת
ולכן חלקנו תשבורת המרובע על צלעו הנודע והוא יודיע לנו צלעו הבלתי נודע
ואם היה המרובע שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות והוא אשר יקרא מעויין והיה קטרו הא' י"ו אמה וקטרו הב' י"ב אמה כמה יהיה צלעו תחלק כל קטר לשני חלקים וקח מכל אחד מרובע החלק האחר ותחבר שני המרובעי' כאלו הם מספר אחד וקח השרש והוא צלע המרובע ההוא
דמיון חלקנו קטר י"ו על ח' ח' ולקחנו מרובע ח' שהם ס"ד וכן קטר הי"ב על ו' ו' ולקחנו מרובע הו' שהם ל"ו חברנו הס"ד עם הל"ו ונהיו ק' ושרשו י' והוא צלע המרובע
המופת על זה כי כל צלע מצלעי זה המרובע יהיה קטר לשטח נכחי הצלעות נצב הזויות אשר צלעו הא' ח' וצלעו השני ו' כאשר הודענו במדידת המרובע הזה ומרובע הקטר ראוי להיותו שוה לשני מרובעי כי הוא מיתר למשלש בזויתו הנצבת ולכן ישוה זה צלע המרובע לשני ש שני מרובעי חציי קטריו
ואם שאל השואל מעויין שקטרו האחד [9]שקטרו האחד י"ו אמה וצלעו י' אמה כמה קטרו האחד תקח מרובע מחצית הקטר הידוע שהוא ח' ומרובעו ס"ד

ותגרעהו ממרובע הצלע שהוא ק' ונשאר שהוא ל"ו הוא מרובע חצי הקטר האחר תקח שרשו והוא ו' והוא מחצית הקטר כפלהו והוא י"ב והוא הקטר האחר

המופת על זה ידוע שמחצית כל קטר משניהם עומד על הקטר האחר על זויות נצבות ומחצית הקטר הידוע עם מחצית הקטר הבלתי ידוע וצלע המרובע יעשו משלש נצב הזויות והצלע יהיה מיתר הזוית הנצבת ומרובע הצלע שהוא מיתר לזוית הנצבת ישוה לשני מרובעי שתי הצלעות הנשארות שהם וחציי הקטרים וכאשר תגרע מרובע הצלע הא' המקיף בזוית נצבת אשר הוא בזה מחצית הקטר ממרובע צלע המרובע שהוא המיתר לזוית הנצבת ישאר מרובע חצי הקטר האחר שהוא המקיף האחר לזוית הנצבת ושרשו הוא חצי הקטר ואם תכפלהו תמצא כל הקטר
ובכאלה השאלות תוכל להוציא גם אתה שאלות אחרות ולהשיב עליהן
ומהנה נכנס בבאור מדידת המשולשי' למיניהם אחר נבאר מדידת הנוטים כי לא נוכל לבאר מדידת הנוטים ראשונה למדידת המשולשים אחר שהמשולשים הם יסוד לנוטים כי כל נוטה יחלק לשני משולשים מתחלפים או ליותר מזה וכאשר תדע מדידת המשולשים למיניהם יגיע לך בקלות ידיעת מדידת הנוטים

Chapter Three on the Measuring of the Various Triangles

 הפרק השלישי במדידת המשולשים למיניהם
כבר ידעת שהמשולשים נחלקו לשוי הצלעות ולשוי השוקים ולמתחלפי הצלעות
ונקדים לבאר תחלה דרכי המשלש השוה הצלעות כי בו יפול העמוד במחצית התושבת בכל צלע שתרצה להוציאו אחר נדבר על המשלשים האחרים
ונאמר בתחלה כי הדבר הכולל לכל המשלשים במדידתם הוא שתכפול העמוד במחצית התושבת או כל התושבת במחצית העמוד וההוה הוא תשבורת המשלש המבוקש
ומפני זה ראוי להודיע בתחלה איך יצא העמוד בכל משלש ומשלש עד שיהיה ידוע כי בו יגיע לנו תשבורת המשלש המוסכלת
ונאמר כי במשלש השוה הצלעות לעולם יפול העמוד במחצית התושבת אחר שג' זויותיה הם חדות לעולם וג' צלעותיה שוות וארצה בעמוד הקו הנופל מזוית ראש המשלש אשר יקרא גובה התמונה על תושבתה על זויות נצבות
המשל בזה משלש אב"ג שוה הצלעות ועמוד אשר יצא מראש המשלש אשר הוא נקדת א' על תושבתה יפול בנקדת ד' ואומר שנקדת ד' היא מחצית התושבת
המופת בזה העמוד חולק את המשלש לשני משלשים אשר שתי צלעות כל משולש ממנו שוות לשתי הצלעות מהאחר כל אחד [10]לגילו צלע א"ג שוה לצלע א"ב ועמוד א"ד צלע משותף לשתיהן וזוית אד"ב שוה לזוית אד"ג כי שתיהן נצבות אם כן צלע ג"ד שוה לצלע ד"ב וצלע ג"ד וד"ב הם מחוברים הם כל התושבת אם כן כל אחת מהן היא מחצית התושבת
והמופת אשר תשבורת כל משלש הוא כפילת העמוד בחצי תושבת או כל התושבת בחצי העמוד אם במשולש שוה הצלעות או במשלש שוה השוקים אשר הוצאת עמודו על צלעו המתחלפת הוא זה כי המופת אשר הורה במשלש שוה הצלעות הוא בעצמו יורה זה על שוה השוקים כאשר הוצאת עמודו על צלעו המתחלפת כי כאשר הוצאת העמוד על מחצית התושבת אח"כ הוצאת קו על קצה התושבת נכחי אל העמוד עוד הוצאת קו מראש העמוד הנכחי אל מחצית התושבת כבר נהיה שטח נכחי הצלעות אשר צלעו האחת העמוד וצלעו האחר מחצית התושבת
והשטח הזה שוה למשלש הנזכר כי צלע המשלש הנז' הוא קטר לנכחי הצלעות הנז' ומחלק אותו לשני המשלשים שוים והמשולש האחד הוא מחצית כל המשלש הנזכר אם כן כל שטח הנכחי הצלעות אשר הוא נחלק לשני משולשים הוא שוה לכל המשלש הנז' ותשבורת השטח הנכחי הצלעות הוא כפילת צלעו האחת בצלעו האחרת וצלעו האחת היא עמוד המשלש וצלעו האחרת היא מחצית תושבת המשלש אם כן תשבורת המשלש הוא כפילת העמוד בחצי תושבתו אחר שהוא שוה לשטח הנכחי הצלעות
המשל בזה משלש אב"ג הוא שוה הצלעות או השוקים ועמודו הוא קו א"ד והוצאנו על קצה מחצית תושבת המשלש הזה קו ב"ה על נקדת ב' נכחי לקו א"ד ועל נקדת ה' הוצאנו קו א"ה נכחי לקו ד"ב
הנה אומר כי שטח א"ד ה"ב הנכחיי הצלעו' שוה למשלש אב"ג
המופת בזה כי זוית אה"ב שוה לזוית אד"ב כי שתיהן נצבות והקטר שהוא צלע המשלש שהוא א"ב חלק את השטח לשני משלשים שוים אחר שהוא קו ישר ונפל על שני קוים נכוחיים שם את שתי הזויות המומרות שוות אם כן זוית ב"ד היא שוה לזוית בא"ה וקטר א"ב משותף אם כן משלש הא"ב שוה למשלש אב"ד ומשלש אב"ד הוא חצי שטח הנכחי הצלעות שהוא שטח ה"אד"ב והוא חצי משלש אב"ג אם כן שטח ה"אב"ד שוה למשולש אב"ג ושטח נכחי הצלעות הנצב הזויות כפילת צלעו האחת בצלעו האחרת היא תשברתו אם כן גם תשבורת משלש אב"ג הוא כפילת צלע נכחי הצלעות האחת שהוא עמוד המשלש בצלעו האחרת שהוא מחצית תושבת המשולש וזמש"ל
ואם המופת שבכפילת מחצית העמוד על [11]על כל התושבת נמצא התשבורת הוא זה אם תרצה מהכלל הידוע שכל חשבון כפולת חציו בחשבון אחר כלו הוא בכפולת כלו כמחצית אותו החשבון
ואם תרצה נביא מופת מחכמת המדות והוא זה משלש אב"ג שוה הצלעות ונוציא מנקדת ח' ממנו עמוד אל תושבת ב"ג והוא קו א"ד ונסמן במחציתו נקדת ה' ונוציא מנקדת ה' שני קוים דבקים על יושר נכוחיים ושוים לתושבת ב"ג והם ה"ז ה"ח ונגיע קוי ח"ב ז"ג הנה אומר כי שטח ב"ג ז"ח הנכחיי הצלעות שוה למשלש אב"ג
המופת כי נוטה ט"ב ב"ג משותף לשטח ב"ג ז"ח ולמשלש אב"ג ונשאר משלש חט"ב כמשלש אט"ה כי זוית חט"ב שוה לזוית הט"א וזוית אה"ט שוה לזוית בח"ט וצלע א"ה שוה לצלע ב"ח כי שתיהם מחצית העמוד אם כן משלש חט"ב שוה למשלש אט"ה וכן משלש בז"ג שוה למשלש אב"ה וההנהגה אחת א"כ נוטה ט"ב ב"ג עם שני משולשי חט"ב בז"ג שהם כל השטח נכחי הצלעות שוה לנוטה ט"ב ב"ג עם שני משולשי אט"ה אב"ה שהם כל משלש אב"ג אם כן משלש אב"ג שוה לשטח נכחי הצלעות ב"ג ז"ח ותשבורת השטח הנכחי הצלעות הוא הכאת צלעו האחד שהוא שוה למחצית העמוד של המשולש בצלעו האחר שהוא שוה לכל תושבת המשולש אם כן גם תשבורת המשולש שהוא שווה לו הוא הכאת מחצית העמוד בכל התושבת וזה מש"ל
וכן זה המופת בעצמו יורה על משלש שוה השוקים כאשר הוצאת העמוד על צלעו המתחלפת
הנה כבר ידעת שכשיבא בידך הן משלש שוה הצלעות הן שוה השוקים תכפול העמוד במחצי' התושבת או ההפך ותמצא התשבורת
ולדעת העמוד מהצלע הן במשלש שוה הצלעות או במשולש שוה השוקים

תעשה כן תקח מרובע חצי התושבת ותגרעהו ממרובע הצלע ואשר ישאר יקח שרשו והוא העמוד

המופת על זה כי צלע המשולש הוא מיתר הזוית הנצבת אשר יקיפו בה העמוד ומחצית התושבת והתבאר בחכמת השעור כי מרובע הצלע אשר היא מיתר הזוית הנצבת[12] ותקח שרש הנשאר תמצא את צלע האחרת
אולם בעלי השעור נתנו כללים אחרים במדידת המשולש השוה הצלעות כדי להקל על המחשב ואמרו לעולם תקח מט"ו בצלעו י"ג והוא העמוד או תהיה מרבע את הצלע והוצא ממנו הרביעית וקח שתי הרביעיות הג' והוא עמוד המשולש הזה
ואלה הכללים וכדומה להם יצאו מהמופת הנז'
ומה שאמרנו בענין משלש שוה השוקים הוא כשהוצאת עמודו על צלעו המתחלפת אבל אם הוצאת אותו על צלע אחד מצלעותיו דע שיש לו שני משפטים אחרים נבארם כשנבאר [13]משפטי המשלש שמתחלף הצלעות
אם נרצה לשער המשלש המתחלף הצלעות תחלה ראוי להוציא עמודו על צלעו המתחלפת ולדעת מרחקו מאחת הצלעות כי העמוד אשר הוצאנו במשלש השוה הצלעות ובמשולש שוה השוקים הוא נופל במחצית התושבת לעולם אבל אין העמוד הזה היוצא במשולש המתחלף הצלעות יוצא על המחצית כלל אבל הוא רחוק מהצלע האחת והוא קרוב אל הצלע השנית ומרחקו מהצלע האחת אנו קוראים אותו המרחק הקרוב ומרחקו מהצלע הרחוק אנו קוראים אותו המרחק הרחוק
ואחר שנדע גבול מעמדו באחת מהצלעות אז נביא להודיע אורך עמודו
ונאמר משלש אב"ג מתחלף הצלעות אשר צלע א"ב ממנו עשרים אמה וצלע א"ג ממנו י"ח אמה וצלע ג"ב ממנו אשר עליו נוציא את העמוד והוא התושבת י"ו אמה ונרצה לדעת גבול מעומד העמוד מצלע א"ג אשר הוא הקצר וכבר ידענו שאורך הצלע הזה י"ו אמה נקח מרובעו הוא שכ"ד ונחבר אליו מרובע התושבת שהוא רנ"ו ויהיו תק"ף אחר נגרע מן תק"ף מרובע א"ב אשר הוא הצלע הארוך וכבר ידענו שהוא כ' ומרובעו הוא ת' נגרעם מן תק"ף נשארו ק"פ נקח מחציתם והם צ' ונחלק אותם על התושבת שארכה י"ו ונהיה החלק הא' ה' וחצי ושמינית וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הקצר על התושבת
ואם רצינו לדעת גבול מעמדו מן הצלע הארוך נקח מרובעו שהוא ת' ונחבר אותו עם מרובע התושבת שהוא רנ"ו ושניהם תרנ"ו נגרע מאלה מרובע הצלע הקצר שהוא שכ"ד נשארו של"ב נקח מחציתם והם קצ"ו ונחלקם על התושבת שהם י"ו ונהיה י"ו שליש וחלק אחד מכ"ד וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הארוך על התושבת
עוד נמשיל במשלש מתחלף הצלעות משל אחד על חשבון שלם ר"ל שיצא גבול מעמד עמודו על התושבת באחדים שלמים מבלתי חלק
ונאמר משלש אב"ג אשר צלע א"ג ממנו י"ג וצלע א"ב ממנו ט"ו וצלע ב"ג ממנו אשר הוא התושבת י"ד ורצינו לדעת גבול מעמד העמוד על התושבת מהצלע הקצר שהוא א"ג ממנו
חברנו אל מרובע הצלע הזה מרובע התושבת ונהיו שס"ה גרענו מזה המרובע מהצלע הארוך אשר הוא רכ"ה ונשארו ק"מ לקחנו חצים והם ע' חלקנום על י"ד שהוא חותך התושבת והיה החלק האחד ה' וזהו גבול מעמד העמוד מן הצלע הקצר
ואם תרצה לדעת גבול מעמדו מן הצלע הארוך נחבר מרובעו עם מרובע התושבת ונהיו תכ"א הוצאנו מהם מרובע הצלע הקצר שהוא קס"ט נשארו רנ"ב לקחנו חצים והם קכ"ו וחלקנום על י"ד שהוא התושבת היה החלק הא' ט' וזהו גבול [14]מעמד העמוד מן הצלע הארוך
המופת על זה כבר התבאר בחכמת השעור שמרובע הצלע אשר הוא מיתר זוית חדה הוא פוחת מן מרובעי שתי צלעות הנשארות בכפל שטח הנצב הזויות אשר יקיף בו התושבת כלו עם מקום מעמד העמוד מאותו הצד ולכן כאשר תחבר מרובע הצלע עם מרובע התושבת ותוציא מהם מרובע הצלע הנשאר ישאר בכפל הנצב הזויות אשר יקיף בו כל התושבת והחלק אשר יצא עליו העמוד מאותו הצד ולכן נחלק אותו לשנים והחלק האחד נחלקהו על התושבת אחרי שהסך הוא כפל ואשר יצא הוא מקום מעמד העמוד על אותו הצד
המשל בזה המשלש אשר ציירנו ידענו שצלע א"ג ממנו הוא י"ג אמה ומרובעו קס"ט והתושבת י"ד אמה ומרובעה קצ"ו ושתי המרובעים שס"ה וצלע א"ב אשר הוא ט"ו אמה ומרובעו רכ"ה יהיה פוחת משני המרובעים הנזכרי' בכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו ג"ד בג"ב א"כ כאשר גרענו רכ"ה משס"ה ישאר ק"מ והוא ככפל השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו ג"ד בג"ב ומפני שהוא כפל לקחנו חציו והוא ע' והוא כשטח הנצב הזויו' אשר יקיף ג"ד בג"ב חלקנוהו על התושבת שהוא י"ד וידענו שהחלק האחד ממנו הוא מקום מעמד העמוד מאותו הצד והחלק הוא ה' ומזה ידענו שמרחק העמוד מאותו הצלע הוא ה'
ואחר שידענו גבול מעמדו נבא לדעת ארכו וכן נעשה נגרע מרובע החלק מן התושבת אשר עומד עליו העמוד ממרובע הצלע הדבק בו ואשר ישאר הוא מרובע העמוד
המשל בזה המשלש גרענו מרובע ה' שהוא כ"ה ממרובע הצלע הדבק בו ואשר ישאר הוא מרובע העמוד גרענו כ"ה ממרובע הצלע הדבק בו שהוא קס"ט ושרשו י"ב והוא אורך העמוד
וכן אם רצינו לדעת אותו מהחלק האחר מהתושבת אשר הוא ט' ומרובעו פ"א גרענו אותו ממרובע הצלע הדבק בו אשר הוא רכ"ה נשארו קמ"ד ושרשו י"ב והוא אורך העמוד
והמופת על זה כי מרובע כל צלע מהם שוה עם מרובע העמוד והחלק מן התושבת הדבק בו מפני שהוא מיתר לזוית הנצבת כל א' במשלשו כי כאשר הוצאת העמוד כבר נחלק המשלש לשני משלשים וכאשר גרעת מרובע החלק מן התושבת וממרובע הצלע הדבק בו נשאר במרובע הצלע מרובע העמוד וכשלקחת שרשו מצאת אורך העמוד
הנה בארנו מדידת כל המשלשים למיניהם והבדלם מצד הצלעות
ואעפ"י שבמדות האלה יכללו גם מתחלפי הזויות כי המשלש שוה השוקים לא ימלט מהיותו חד הזויות ואם נצב הזויות או נרוח גם ככה המתחלף הצלעות אמנם בעבור שיש להם מדות מיוחדות [15]גם מפני הזויות נבארם ואין זה צורך
ונאמר כי המשלש הנצב הזויות אין צורך להוציא עמודו על צלעו שהוא מיתר הזוית הנצבת כי כל אחת משתי צלעותיו המקיפות בזוית הנצבת הן עמודיו ולכן אם תכה אחד מהצלעות הנזכרות בצלעו האחרת המקפת עמו הזוית הנצבת תמצא תשברתו
והמופת על זה ידוע ממה שבארנו במשלשים הקודמים
עוד המשלש הנרוח הזוית אין הכרח להוציא עמודו על צלעו שהוא מיתר הזוית הנרוחת לבד
אבל אם רצית להוציאו בדרך זו אשר אורה לך
כבר התבאר בחכמת השעור שמרובע מיתר הזוית הנרוחת עודף על מרבעי שתי הצלעות המקיפות בה בכפל התושבת אשר עליה הצלע בקו היוצא חוצה מקצה התושבת הנזכרת עד מקום נפילת העמוד פעמים
המשל בזה משלש אב"ג נרוחת הזויות וזוית אג"ב ממנו היא הנרוחת אומר שמרובע א"ב שהוא מיתר הזוית הנרוחת עודף על מרובע צלע א"ג וג"ב בכפל בג"ד פעמים
ודרך הוצאת העמוד הזה במשלש הזה כך נשים הזוית הנרוחת אשר עליה ג' וצלע ג"א ד' אמות וצלע ב"ג י"ג אמה וצלע א"ב שהוא מיתר הזוית ט"ו אמה ומרובע ט"ו מוסיף על מרובע י"ג ומרובע ד' אשר הם קפ"ה אמה מ' אמה ואם תחלק מחצית התוספת על אחת מהצלעות יצא לך מרחק העמוד חוצה מן הצלע ההוא עד"מ חלקנו מחצית המ' אשר הוא התוספת והם כ' על קו ג"א אשר הוא ד' אמות ויצא החלק ה' וידענו מזה שהעמוד נפל חוצה מן צלע ג"א ה' אמות והוא קו ג"ד והעמוד עליה עמוד א"ד ואם תחלק אותו על קו ב"ג אשר ארכו י"ג אמה יצא החלק האחד שבעים ואחד חלקים מי"ג והוא מרחק העמוד היוצא חוצה מן ג"ב והעמוד עליו

Chapter Four on the Measuring of the Various trapezoids

 הפרק הרביעי במדידת הנוטים למיניהם
הנוטה הוא תמונה בעלת ד' צלעות שאינה לא מרובע ולא נכחי הצלעות ארוך ולא מעויין ולא דומה למעויין והם מינים רבים אעפ"י שכלם נכללים בד' יש מהם ג' ששתי צלעותיו המקבילות שוות והראש והתושבת בלתי שוות אבל הם נכחיות כזה ויש מהם ששתי הצלעות שוות והראש והתושבת בלתי שוות ולא נכחיות כזה ויש מהם ששתי הצלעות הדבקות מהם שוות האחת לחברתה כזה וכן השתי צלעות האחרות
ויש מהם חד הזוית כזה ויש מהם שאין צלע הא' שוה עם האחר כזה ויש מהם נצב הזויות כזה ויש מהם נצב הזוית האחת כזה ויש מהם נרוח הזוית כזה ויש מהם תמונות עקלקלות זולת אלו לכן ראוי לך שאתן דרך הצריכה לנו במדידתם
ואחל מהנוטה אשר שתי צלעותיו שוות ואינם נכוחיות והראש והתושבת בלתי שוות אבל

  הם נכוחיות ונאמר אם היה נוטה אבג"ד וצלע א"ב ח' אמות וצלע ד"ג י"ח אמות ושני צלעי א"ד ב"ג כל אחד מי"ג אמה ותרצה למצוא תשברתו תעשה כך תגרע הראש מהתושבת ומהמותר תקח מחציתו ומנה כמה הוא מזאת התושבת האחת וסמן שם נקדה . עוד מנה כמה הוא מזוית התושבת האחרת וסמן שם נקדה

  49 א"ד ב"ג ושני א"ד ב"ג ידועים כי הם כ"ב אמות א"כ גם נ"מ פעמים כ"ב ויהיה כ"מ י"א אמות אבל גם כ"ל י"ב אמות ונוטה אבג"ד שוה לשטח כ"ל מ"נ הנכחי בצלעות א"כ יהיה תשברתו קל"ב אמות כתשבורת הנכחי הצלעות . ואם רצית למדוד נוטה חד הזוית כגון נוטה אבג"ד והזוית אשר אצל ב' חדה וצלע א"ב

  ואם ד"א י"ז אמות כזה . תעשה כך תכפול הי' אמות על הכ' אמות ויהיו ר' וקח מחציתם והוא ק' . ועוד תכפול הי' על עצמם ויהיו ק' והכ' על עצמם ויהיו ת' וחברם ויהיו ת"ק והי"ג על עצמם ויהיו קס"ט חברם עם הת"ק ויהיו תרס"ט גרע מהם מרובע י"ז וישארו ש"פ קח חציים והוא

  50 ונרצה למצוא התשבורת הנז' ויהיה אם עמוד א"ה בכח צ"ו וחצי וחמש יתחלק א' מט"ו ואם ב"ה יהיה בכח ע"ב וחמש ואם ב"ד יהיה בכח ת"ק ולפי שאם צלע ג"ד היא כ' אמות ואם ג"ב היא עשר אמות א"כ מרובעם יהיה ת' אמות וק' אמות ועשה כך ראה כיחס ת' אל הק' מה היחס אל צ"ו ורביעית וחמישית ותמצא שהוא אל כ"ד

[16]אם כן גם משלש אב"ד ידוע לכך גם כל בעל ד' צלעות אבג"ד יהיה ידוע

Chapter Five on Knowing the Round Shapes

 הפרק החמישי בידיעת התמונות העגולות
דע שהעגולה היא קו אחד בתוכה נקדה שכל הקוי' היוצאים ממנה אל המקיף שוים
והנה בזה השער יכנסו מדידת העגולה השלימה אשר גדרנוה ומדידת חתיכות העגולה וחתיכות העגולה ג' מינים
הא' הוא חצי העגולה
השני יותר מחציה
השלישי פחות מחציה
ונחל במדידת העגולה השלימה אחר נדבר במדידת חתיכותיה ונאמר כי תשבורת העגולה היא בשתכה את מחצית קטרה במחצית הקו המקיף אותה והנה ערך הקו המקיף אותה ר"ל את העגולה מקטרה כערך כ"ב אל הז' נמצא שהקו המקיף הוא בערך ג' ושביעית וזה לפי דעת חכמי המדות המדקדקים בחכמה הזאת
אמנם בטלמיוס עשה כל חשבונותיו בספר המג'יסטי על חשבון שיהיה הקטר שלישית הקו המקיף כי חלק את העגולה על ש"ס מעלות והקטר על ק"כ מעלות ואעפ"י שאין יחס בין הקטר שהוא קו ישר לקו המקיף שהוא קו עגול אבל היחס יפול במספר לא בשעור
ואם רצית למצוא תשבורת העגולה מהמקיף לבד תקח מרובע הקו המקיף וזה בשתכה אותו על עצמו וההוה תכה אותם על ז' וההוה קח מהם חלק א' מפ"ח והוא תשבורת העגולה
המשל בזה הכינו כ"ב על עצמם והם תפ"ד כפלנום ז' פעמים והם ג' אלפים ושפ"ח לקחנו מהם חלק מפ"ח והם ל"ח וחצי והוא תשבורת העגולה
דמיון אחר אם רצית למצוא תשבורת העגולה מהמקיף לבד תוסיף על המקיף חציו ורביעיתו וההוה הוא תשבורת העגולה
המשל בזה הוספנו על הקו המקיף שהוא כ"ב אמות חציו ורביעיתו שהם י"ו אמות וחצי ההוה ל"ח וחצי והם תשבורת העגולה
ואם רצית תשבורת העגולה מהקטר לבד מבלתי שתביט אל הקו המקיף כפול מרובע הקטר על י"א וחלק העולה על י"ד והעולה הוא תשבורת העגולה וזה על חשבון חכמי המדות
ובטלמיוס אמר במקום אחר כי ערך הקו המקיף אל כל האלכסון והוא ג' וח' חלקי' מששים באחד
ואין הפרש בין זה החשבון ובין חשבון חכמי המדות רק דבר מועט שאינו מזיק בחשבון לכן סמכנו את חשבוננו על דעת חכמי המדות
עוד אם רצית למצוא תשבורת העגולה מהקטר לבד תקח הקטר וכפלהו על הקו המקיף וקח מההוה רביעיתו והוא תשבורת העגולה
המשל בזה הקטר ז' והקו המקיף כ"ב כפלנו זה על זה וההוה קנ"ד ורביעיתו ל"ח וחצי והוא תשבורת העגולה
הנה כבר בארנו דרך תשבורת מדידת העגולה ומעתה נחל

  51 ומעתה נחל לבאר דרך מדידת חתיכותיה ונאמר כי מקצת העגולה היא מקפת מן קצת הקו המקיף את העגולה ומקו ישר יקרא המיתר והוא המשוך מקצה הקו המקיף אותה עד קצהו האחר וכאשר יצא ממחצית המיתר קו על זוית נצבת אל המקיף יקרא החץ ועיין אל כל חתיכה ואם החצי יהיה כמחצית המיתר

  רצינו למצוא תשבורת חתיכת עגולה פחות מחציה ובזה הוא הכרח למצוא קטר כל העגולה אשר זאת החתיכה ממנה וככה נעשה כבר התבאר בספר היסודות לאקלידס כי כל עגולה יפלו בה שני מיתרים ויחתכו ויחתכו זה את זה יהיה חלק המיתר בחברו האחר ככפל חלק המיתר השני בחברו . וכאשר רצינו למצוא אלכסון העגולה

  52 על הל"ב אמות יהיה תשבורת החתיכה ל"ד אמות וחצי וחלק א' מי"ד נרצה למצוא תשבורת חתיכת העגולה אשר היא גדולה מחציה והחתיכה הזאת היא קשת אב"ג עם מיתר א"ג ותוכל לדעת התשבורת כשתמצא קטר העגולה אשר זאת

  מאגיסטי ואין מדרך חבורנו זה לכתוב בו לוחות ראיתי להמציא לך דרך לדעת הקשתות מבלי שתצטרך אל הלוחות ההם ואומר אם חתכת העגולה תהיה פחות מחציה ותרצה לדעת כמות הקשת המקיף אותה תעשה כך לעולם . תחבר המיתר על החץ ותגרע מהם רביעיתם וקח מהנשארים רביעיתם והוסף עליהם וההוה

  53 כי מהם התהוו ואליהם יותכו וכבר ידעת מדידת המשולשים למיניהם . וכאשר תרצה למדוד תמונה רבת הזויות תוציא קו ישר מכל זוית מזויותיו אל מרכז התמונה ואז תחלק למשלשי' בכמות הזויות . וכאשר תמדוד כל המשלשים ותקבץ מנינם המקובץ הוא תשבורת התמונה ההיא ואם

  אחד מי"ב וההוה שנ"ח ושליש והם תשבורת התמונה ואם רצית למדוד תמונה בעלת שמנה זויות תעשה כך תכפול הצלע על עצמו וההוה כפלהו על כ"ט וקח ששיתו

  54 עצמו וההוה כפלהו על מ"ה ומההוה קח רביעיתם וככה תשבורת התמונה . המשל יש לנו תמונת א'ב'ג'ד'ה'ו'ז' ח'ט'י' י"א י"ב וכל צלע מצלעותיה י' אמות כפלנו הצלע על עצמו היו ק' כפלנום על מ"ה וההוה ד' אלפים ת"ק לקחנו רביעיתם והם אלף קכ"ה וככה תשברתם

  היא זוית של בעלת ה' זויות וא"כ שוה לב"ד א"ב קו א"ד ונחלקהו על יחס אמצעי ושני קצוות והחלק הגדול הוא קו א"ב וקו א"ג הוא חצי א"ד אם כן המרובע ההוה משני קוי ב"א א"ג הוא כפלים ממרובע א"ג . ואומר אחוק מחומש אבגדה"ו אשר כל אחד מצלעותיו י' אמות וארצה למצוא תשברתו אקח מרכז העגולה המקפת את התמונה והיא ז' ואגיע

  55 לצלע בעלת ז' זויות ונגיע קוי ב"א א"ג אם כן משלש אב"ג שוה הצלעות אם כן מרובע א"ד הוא ג' כפלי מרבע ד"ב א"ב יחס ד"א אל ד"ב בכח כיחס מט' אל ח' בקירוב ובאורך יחס ד"א אל א"ב כיחס ז' אל ד' ויהיה ב"ג כפל ב"ד אם כן יחס אל ד"א כיחס ח' אל ז' . ואם תרצה למדוד תמונה בעלת ז' זויות אחוק תמונת אבגדהו"ז

  ט' זויות ידוע וכבר התבאר בקוי העגולה כי קו ז"ה הוא שלישית ה"מ בקרוב אם כן מרובע ה"מ הוא ט' כפלי מרובע ה"ז לכן מרובע מ"ז הוא ח' כפלי מרובע ה"ז ובחצי העגולה יתחייב להיות הזויות אשר אצל ז' נצבת אם כן יחס מרובע מ"ז אל מרובע ז"ה כיחס רפ"ט אל ל"ו בקרוב אם כן יחס מ"ז אל ז"ה כיחס י"ז אל ו' בקרוב לכן יחס מרובע ה"ז אל משולש

 

[17]לכן גם יחס ז"ס והוא ס"פ אל פ"ע כיחס ח' אל ז' בקרוב לכן גם יחס ה"ח אל ס"ע כיחס אל ט"ו אם כן גם יחס מרובע ז"ח אל יחס השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו ז"ח ס"ע הוא כיחס אל ט"ו ויחסו אל משולש זח"ט יהיה א"ב כיחס ה' אל ז' וחצי ואם כן יהיה יחסו אל התמונה בעלת י"ב זויות כיחס ח' אל צ' שהוא כיחס ד' אל מ"ה ומרובע ז"ח ידוע אם כן גם תמונת בעלת י"ב זויות ידועה

[The Second Section on the Division of Plane Shapes]

The First Chapter of the Second Section of the Second Book on the Division of Plane Shapes

 הפרק הראשון מהחלק השני מהספר השני בחלוקת התמונו' השטחיות
ונחל מהמשלשים
אם רצית לחלוק משולש שוה הצלעות לשני חלקים שוים אוציא עמוד מזוית אחד מזויותיו אל התושבת וזה בשתחלוק הזוית אל שני חלקים שוים ואז יהיה המשולש נחלק לשני משלשים שוים וככה תעשה אם המשולש שוה ותוציא מזויתו שהיא מיתר התושבת עמוד אל התושבת גם אם רצית לחלקו ביותר משני חלקים תחלק התושבת בשיווי לחלקים שתרצה ותוציא מכל חלק מהם קו ישר אל הזוית כלומר אל ראש המשולש ואז יחלק המשולש בשעור חלקי התושבת
ומופת זה התבאר בתמונה הא' ממאמר ו' לאקלידס
דמיון רצינו לחלק משולש אב"ג לשני חלקים שוים חלקנו התושבת שהוא ב"ג על נקדת ד' לשני חלקים שוים והוצאנו עמוד מנקדת ד' אל ראש המשולש שהוא א' ובזה נחלק לשני משולשים שוים
ואם רצינו לחלקו על ג' חלקנו התושבת על ג' חלקים שוים והם א"ד ד"ה ה"ג אחר הוצאנו ד"א ה"א ובזה נחלק על שלשה חלקים שוים
גם ככה תעשה אם רצית לחלקו יותר מזה
אמנם אם רצית לחלק המשולש הנזכר לב' חלקים שוים מהצד האחד עד שיהיה החלק משולש והאחד נוטה
כגון משולש אב"ג ונחלקהו על משולש אד"ה ועל נוטה ד"הב"ג נעשה כך נחלק הצלע האחד על נקדה שיהיה מרובע החלק האחד כפל מרובע החלק השני ונוציא מהנקודה ההיא קו נכוחי לתושבת המשולש ונגיעהו על הצלע האחד ואז נחלק המשלש לשני חלקים שוים משלש אד"ה ונוטה ד"הב"ג
והמופת על זה כבר ביאר אקלידס בתמונת י"ח ממאמר ו' שכל שני משלשים דומים יחס המשולש אל המשולש כיחס צלעו אל צלעו הנכחי לו שנוי
וידוע שהמשלש הגדול והוא המשולש אב"ג דומה אל המשולש הקטן והוא משולש אד"ה
כי הזוית אשר אצל ח' משותפת לשני המשולשי'
  • \scriptstyle\angle ADH=\angle ABG
 וזוית אד"ה שוה לזוית אב"ג כי הם שתי זויות המומרות אשר על קוים נכוחיים כשנפל עליהם קו ישר והחיצונה [18]שוה לשכנגדה
גם ככה זוית אה"ד שוה לזוית אג"ב לזה הענין עצמו
אם כן מיתרי הזויות השוות מתיחסות יחס א"ב אל א"ד כיחס א"ה אל ה"ג וכיחס ד"ה אל ב"ג אם כן שני המשולשים דומים ולכן יהיה יחס משלש אב"ג אל משלש אד"ה כיחס צלע א"ב אל צלע א"ד שנוי וזה היחס מי"ו מח' בעצמו הוא יחס צלע מרובע א"ב אל מרובע צלע א"ד כי כאשר תכפול יחס הצלע אל הצלע בעצמו והוא אשר יקרא היחס שנוי יהיה הנולד יחס המרבע אל מרבע
דמיון אם צלע א"ב ו' אמות וצלע א"ד ב' אמות יהיה יחס ב' אל ו' כיחס השלישית אל האחד וכאשר תקח יחס השלישית אל האחד שנוי וזה כשתכפול השלישית על השלישית יהיה הנולד תשיעית וזהו יחס המשלש הקטן אל המשלש הגדול
גם ככה כשתקח מרובע ו' שהוא הצלע האחד הוא ל"ו ומרובע ב' שהוא צלע המשולש האחד ד' יהיה יחס ד' אל ל"ו יחס התשיעית אל האחד והוא המשלש הקטן אל הגדול
על כן כשתרצה לחלק המשולש לשני חלקים שוים נחלק צלע א"ב על נקודה והיא ד' עד שיהיה מרובע צלע א"ב כפל מרובע א"ד וכאשר עשינו כן הוצאנו מנקדת ד' קו נכחי לקו ב"ג והוא ד"ה ובזה נחלק המשלש לשני חלקים שוים החלק האחד משלש אד"ה והשני נוטה ד"ה ב"ג
דמיון שתקח מנקדת א' אשר היא ראש המשולש ה' חלקים מז' בו פחות עשירית השביעית
המשל שקו א"ב ז' אמות ומרובעו מ"ט ונמדוד מנקדת א' ה' אמות פחות עשירית השביעית ונסמן שם נקדה ויהיה מרובע הקו אשר הוא מנקדת א' עד הנקדה אשר סמננו כ"ד אמות וחצי והוא מחצית התשבורת של המשלש הגדול
ידענו מזה שהמשולש הקטן הוא חצי המשולש הגדול ונשאר הנוטה חציו אחר
ואם רצית לחלקו לג' חלקים עד שיהיו שני נוטים ומשולש א' חלק צלע הגדול על ו' ומנה מנקדת א' שהוא ראש המשולש ה' וחמישית בקרוב וסמן שם נקדה והיא ב' והוצא מזאת הנקודה קו נכחי לתושבת המשולש הגדול והוא ב"ג והנה יחלק אל משלש קטן ואל נוטה ויהיה הקטן שלישית המשולש הגדול
עוד תחלק הנוטה בשני חצאים וזה כשנחלק תושבת המשולש הגדול לשני חלקים שוים ונסמן שם נקדה והיא ז' עוד נחלק תושבת המשולש הקטן כן ונגיע קו ישר מנקדה אל נקדה או נחלק הנוטה לשני חלקים שוים
ואם רצית לחלקו לשני משלשים שוים ולנוטה מנה מראש המשולש אשר הוא חלקים פחות מעט מט' בצלע וסמן שם נקדת ד' והוצא נקדת קו נכחי מנקדת ד' אל תושבת המשולש הגדול והוא קו ד"ה ויהיה המשלש הקטן שני חלקים מהמשולש הגדול ונשאר נוטה ד"ה ב"ג החלק השלישי ומשלש אד"ה שני חלקים תחלק תושבת ד"ה לחצאים על נקדת ז' והוצא ממנו קו אל ראש המשולש הנה נחלק המשלש הקטן לשנים ונמצא כל המשולש הגדול נחלק לג' [19]חלקים שוים לשני משלשי אד"ז אז"ה ולנוטה ד"ה ב"ה וזה במשלש שוה הצלעות או שוה השוקים שתהיה צלע המתחלפ' תושבת המשולש
ואם היה המשולש שוה הצלעות או שוה השוקים ולא תהיה הצלע המתחלפת תושבת המשולש ותרצה לחלקו בשני חלקים שוים
דמיון משלש אב"ג מתחלף הצלעות או משולש דא"ז שוה השוקים ואין התושבת צלע המתחלפת ונרצה לחלקם בשני חלקים או בג' תמצא תשבורת כל המשולש כמו שהודעתיך במדידת המשולשים אח"כ תסמן בצלעו האחת נקדה ונחלקהו אל משולש נצב הזויות ואל נוטה עד שיהיה תשבורת המשולש נצב הזויות חציו או שלישיתו כפי מה שתבקש והשאר ישארו הנוטה וכבר הודעתיך מדידת כל אלה

The Second Chapter on the Division of the Quadrangular and the Circle

 הפרק השני בחלוקת התמונות המרובעות והעגולה
כבר ידעת מיני התמונות המרובעות ואיך יחלק אל שוה הצלעות נצב הזויות ואל שוה הצלעות ובלתי נצב הזויות ואל מרובע ארוך בלתי נצב הזויות שוה הצלעות הנכחיות ואל נוטה והנוטה מינים רבים
ואחל מהמרובע שוה הצלעות נצב הזויות כי הוא הקודם בטבע ומעלה מהם ואומר אם תרצה לחלק מרבע אבג"ד שוה הצלעות נצב הזויות לשני חלקי' תחלק צלע ד"ג לשני חצאים על נקדת ז' ותוציא מנקדת ז' צלע נכחי לכל אחת מצלעות א"ד ב"ג ובזה יחלק המרובע לשני חלקים שוים
והמופת על זה החלוק כבר התבאר בתמונת א' ממאמר ו' מאקלידס שהצלעות נכחיי הצלעות כאשר היה גבהותם בשעור אחד הנה יחס קצתם אל קצתם כיחס תושבותיהם קצתם אל קצת ויחד ד"ג אל ז"ג כפל א"ב ד"ז מחצית ד"ג גם ככה ז"ג מחצית ד"ג ובזה המופת בעצמו יחלק גם מצלע א"ד אל ב"ג וכן תעשה אם רצית לחלקו לג' חלקים ויותר
ואם רצית לחלקו מהזויות תגיע זוית א' אל זוית ג' ויחלק המרבע לשנים חלקים
והמופת על החלוקה הזאת כי שני משלשי אב"ג אג"ד שוים
  • \scriptstyle AB=DG
 כי צלע א"ב שוה לצלע ד"ג
  • \scriptstyle BG=AD
 וצלע ב"ג לצלע א"ד
  • \scriptstyle\angle ABG=\angle ADG
 וזוית אב"ג שוה לזוית אד"ג
והתושבת משותפת
אם כן שני המשולשים שוים
ואם רצית לחלקו לשלשה חלקים שוים בדרך הראשונה כבר ידעת דרכו אמנם בזאת הדרך השנית תעשה כך תקח מהצלע ב' שלישיו ותגיע הזוית עד הנקודה וככה תעשה מהצלע האחר ויחלק המרובע לג' חלקי' שוים
דמיון רצינו לחלק מרבע אבג"ד לשלשה חלקים מדרך הזויות ויהיה כל צלע מצלעותיו י' אמות
לקחנו מצלע ד"ג ו' חלקים ושני שלישי חלק עד נקדת ה' והגענו א"ה והנה משולש [20]אד"ה נצב הזויות לשלישית המרובע גם ככה עשינו מנקדת ב' חלקנוהו ו' חלקים ושני שלישי חלק עד נקדת ז' והגענו ג"ז והנה משולש גז"ב נצב הזויות השלישית האחד ונשאר א"ה ז"ג הנכחי הצלעות השלישית האחר
והמופת על זה החלוק כבר התבאר בתמונת ל"ו ממאמר א' מאיקלידס שהשטחים הנכחיי הצלעות מהמשולשים שהם על תושבות שוות ובמה שבין שני קוים נכוחיים יהיה השטח הנכחי הצלעות כפל המשולש
והנה תושבת א"ז ה"ג מחצית תושבת משולש גב"ז וראוי שיהיו שוים ועוד כי שטח א"ז ה"ג שוה לשטח ב"ט ה"ג הנכחי הצלעות ונצב הזויות כי הם תושבת אחת ובמה שבין קוים הנכוחיים ושטח א"ז ה"ג שלישית מרובע אבג"ד כי כן יחס תושבתו אל תושבתו א"כ שטח א"ז ה"ג שלישית כל המרובע ושני המשולשים שוים
כי צלע א"ד כמו צלע ב"ג
וצלע ד"ה כמו צלע ב"ז
  • \scriptstyle\angle ADH=\angle GBZ
 וזוית אד"ה שוה לזוית גב"ז
הנה אם כן מרובע אבג"ד נחלק לג' חלקים שוים
ואם רצית לחלקו לד' חלקים אם מן הדרך הראשונה תוכל לחלקו בשני אופנים האחד שתחלק צלע המרובע על ד' חלקים שוים על א"ה ועל ה"ז ועל ז"ח ועל ח"ב ותגיע ח"ט ז"כ ח"ל ויחלק המרובע לד' חלקים שוים
והמופת על החלוקה הזאת בארתיו בחלוקתו לשני חלקים
והאופן השני שתחלקהו מהאורך לשני חלקים עוד מהרחב תחלקהו ויחלק לד' חלקים שוים
דמיון רצינו לחלק מרבע אבג"ד לד' חלקים חלקנו צלע א"ב לשני חלקים על נקדת ה' והגענו ה"ז ויפול נכחי לא"ד ולב"ג ויחלק המרובע לב' חלקים
עוד חלקנו צלע א"ד לשנים על נקדת ח' והגענו ויפול נכחי לא"ב ולד"ג ויחלק המרובע על ד' חלקים
והמופת על החלוקה הזאת כי מרובע אהה"ב שוה למרובע חבד"ז כי צלע א"ה שוה לצלע א"ח כי כשתחסר מן השוה שוה יהיה הנשאר שוה ולצלע ח"ב וב"ה כי הם נכחיי הצלעות וכן לג' המרובעים הנשארים אם כן כל מרובע אבג"ד נחלק לד' מרובעים דומים למרובע אבג"ד
ואם רצית לחלקו לג' חלקים מדרך השנית כלומר מדרך הזויות תגיע ב' אלכסוניו ויחלק לד' חלקים שוים וכל חלק יהיה משולש שוה השוקים
דמיון רצינו לחלק מרבע אבג"ד לד' חלקים שוים מדרך הזויות
הוצאנו אלכסון א"ג ואלכסון ב"ד ויחלק המרובע לד' משולשים משולש אה"ב ומשולש בה"ג ומשולש גה"ד ומשולש דה"א
והנה משולש אה"ב שוה למשולש דה"ג
  • \scriptstyle\angle AHB=\angle DHG
 כי זוית אה"ב לזוית דה"ג
  • \scriptstyle\angle ABH=\angle HDG
 וזוית אב"ה שוה לזוית הד"ג
וצלע א"ב שוה לצלע ד"ג בעצמו
ולזה ישוה משולש אה"ד אל משולש בה"ג
ומשולש אה"ד ישוה למשולש אה"ב
כי צלע א"ד ישוה לצלע א"ב
וצלע א"ב משותף
  • \scriptstyle\angle AHB=\angle AHD as both are right angles.
 וזוית אה"ב שוה לזוית אה"ד כי שתיהן נצבות
ואמרי שהם שוה השוקים כי צלע המרובע הגדול מחצית הקצר וחציי הקטרים הכל שוים
[21]הנה כבר בארנו משפטי חלוקת המרובע השוה הצלעות נצב הזויות וזה המשפט בעצמו אל הנכחי הצלעות הנצב הזויות הנקרא ארוך כזה כי הוא שוה עמו בכל הדרכים ומופתיו כמופתיו
  • If you wish to divide an equilateral quadrangle that is not right-angled, like this, into two [equal] parts:
 ואם רצית לחלק המרובע שהוא שוה הצלעות אך הוא בלתי נצב הזויות כזה לשני חלקים
מדרך הראשונה תחלק צלע א"ב לשני חלקים על נקדת ה' ותוציא מנקדת ה' קו נכחי לקו א"ד ולקו ב"ג והוא קו ה"ז ובזה נחלק המרובע לשני חלקים שוים
The proof of this division:
  • \scriptstyle AH=HB
 והמופת על החלוקה הזו כי א"ה כמו ה"ב
  • \scriptstyle AD=BG
 וא"ד כמו ב"ג
  • HZ common
 וה"ז משותף
  • \scriptstyle\angle DAH=\angle ZHB
 וזוית דא"ה שוה לזוית זה"ב
  • \scriptstyle\angle ADZ=\angle HZG
 וזוית אד"ז שוה לזוית הז"ג
  • \scriptstyle\angle AHZ=\angle HBG
 וזוית אה"ז שוה לזוית הב"ג
  • \scriptstyle\angle AZD=\angle BGZ
 וזוית אז"ד שוה לזוית בג"ז
The area of one equal to [the area of] the other.
 והשטח האחד שוה לחברו
וככה תעשה אם רצית לחלקו בג' וד' חלקים
גם אם רצית לחלקו מצלע א"ד חלקהו בכזה הדרך בעצמו ומאלה המופתים בעצמם
ואם רצית לחלקו מן דרך הזויות אם רצית לחלקו בשני חלקים שוים תגיע אלכסון א"ג ויחלק על שני חלקים שוים
The proof of this division:
\scriptstyle\triangle ABG=\triangle ADG
 והמופת על החלוקה הזאת כי משולש אב"ג שוה למשולש אד"ג
  • \scriptstyle AB=DG
 צלע א"ב כמו צלע ד"ג
  • \scriptstyle AD=BG
 וצלע א"ד כמו צלע ב"ג
  • \scriptstyle\angle ABG=\angle ADG since they are sides of the same base.
וזוית אב"ג שוה לזוית אד"ג כי הם מיתרי תושבת אחת
Therefore the two triangles are equal and they are the two parts of the quadrangle.
 אם כן שני המשולשים שוים והם שני חלקי המרובע
Do likewise if you wish to divide it by using diagonal BD, relying on this same proof.
 גם ככה תעשה אם רצית לחלקו מאלכסון ב"ד בכזה המופת בעצמו
ואם רצית לחלקו לשלשה חלקים שוים אם מהדרך הראשונה חלק צלע א"ב לג' חלקים שוים על א"ה ה"ז וז"ב והוצא קו ה"ח נכוחי לא"ד וקו ז"ט נכוחי לב"ג ויחלק המרובע לג' חלקים שוים וכן אם רצית לחלקו לד' חלקים ויותר
והמופת על החלוקה הזאת כי צלע א"ד שוה לצלע ה"ח
וצלע ה"ח שוה לצלע ז"ט
וצלע ז"ט שוה לצלע ב"ג
וצלע א"ה שוה לצלע ה"ז ז"ב
וזוית הא"ד שוה לזויות זה"ח בז"ט
וזוית אד"ה שוה לזוית הח"ט זט"ח
וזוית הח"ד שוה לזויות זט"ח בג"ט
אם כן גם השטחים נכחיי הצלעות שוים והם ג' חלקי המרובע
ואם רצית לחלקו מדרך השנית עשה כך חלק צלע ד"ג ויהיה מנקדת ד' עד נקדת ה' שני שלישי הצלע ותגיע א"ה עוד חלק צלע א"ב ויהיה מנקדת ב' עד נקדת ז' שני שלישי הצלע ותגיע ג"ז ובזה נחלק המרובע לג' חלקים שוים
והמופת על החלוקה הזאת כי יחס משולש אד"ה אל שטח א"ז ה"ג נכחי הצלעות כחצי יחס תושבתו אל תושבתו כי הם בין שני קוים נכוחיים
וכן יחס משולש גב"ז אל שטח א"ז ה"ג לזאת הסבה בעצמה וחצי יחס תושבתו על תושבתו כמוהו אם כן שני המשולשים והשטח שלשה חלקים שוים והם חלקי המרובע
ואם רצית לחלקו לד' חלקי' שוים תחלק צלע א"ב לשני חלקים שוים על נקדת ה' גם ככה תחלק צלע ד"ג על נקדת ו' ותגיע א"ז וג"ה עוד תחלק א"ה לשני חלקים שוים על נקודת ח' גם תחלק ז"ג על נקדת ט' ותגיע ח"ט ובזה נחלק המרובע אל ארבעה [22]חלקים שוים
והמופת על החלוקה הזאת לפי שתושבת משולש אד"ז בתושבת שטח א"ה ז"ג נכחי הצלעות והם בין שני קוים נכחיים יהיה השטח הזה כפל כל אחד ממשולשי אד"ז גב"ה וכאשר חלקנו זה לשני

חלקים שוים לשטח א"ח ז"ט ולשטח ח"ה ט"ג יהיה כל אחד מהשטחים שהם חלקי השטח האחד שוה לכל אחד מהמשולשים ושני השטחים עם שני המשולשים הם כל חלקי המרובע הנה נחלק כל המרובע לד' חלקים שוים

עוד אם רצית לחלקו לארבעה חלקים שוים
The proof of this division:
\scriptstyle\triangle AHB=\triangle AHD
 והמופת על החלוקה הזאת כי משולש אה"ב שוה למשולש אה"ד
  • \scriptstyle AB=AD
 צלע א"ב שוה לצלע א"ד
וצלע א"ה משותף
  • \scriptstyle\angle DAH=\angle HAB
 וזוית דא"ה שוה לזוית הא"ב
Because \scriptstyle\angle AB=AD
 לפי שצלע א"ב שוה לצלע א"ד
וצלע א"ג משותף
  • \scriptstyle BG=DG
 ותושבת ב"ג שוה לתושבת ד"ג
  • \scriptstyle\angle DAG=\angle GAB
 תהיה זוית דא"ג שוה לזוית גא"ב
וזוית גא"ד וגא"ב הן זויות דא"ה והא"ב
\scriptstyle\triangle AHB=\triangle AHD
 אם כן משולש אה"ב שוה למשולש אה"ד
\scriptstyle\triangle AHD=\triangle GHD
 ומשולש אה"ד שוה למשולש גה"ד
  • \scriptstyle AD=GD
 לפי שצלע א"ד שוה לצלע ג"ד
וצלע ד"ה משותף
  • \scriptstyle\angle ADH=\angle HDG
 וזוית אד"ה שוה לזוית הד"ג
לפי שצלע א"ד ממשולש אד"ב שוה לצלע ד"ג ממשולש דב"ג
וצלע ד"ב משותף
ותושבת א"ב שוה לתושבת ב"ג
Therefore \scriptstyle\angle ADB=\angle BDG
 אם כן זוית אד"ב שוה לזוית בד"ג
וזויות אד"ב ובד"ג הן זויות אד"ה והד"ג
\scriptstyle\triangle AHD=\triangle GHD
 אם כן משולש אה"ד שוה למשולש גה"ד
ובזה הדרך בעצמו יתבאר שמשולש גד"ה שוה למשולש גה"ב אם כן המשולשים הד' שהם כל חלקי המרובע שוים
ואם רצית לחלק מדרך אחרת עשה כך
דמיון רצינו לחלק מרובע אבג"ד לד' חלקים חלקנו צלע א"ד על נקדת ה' והיא חצי הצלע גם חלקנו צלע ב"ג לשני חצאים על נקדת ז' גם חלקנו צלע א"ב לשני חציים על נקדת ה' גם חלקנו צלע ד"ג לשני חצאים על נקדת ט' אחר כך הגענו ה"ז ח"ט ויפגשו על נקדת כ' ויחלק המרובע לד' חלקים שוים
והמופת על החלוקה הזאת לפי שצלע ה"ז נכחי לצלע ד"ג כי מרחק תושבתו של כל א' מהם שוה
ותושבת ג"ט שוה לתושבת ט"ד
יהיה מרובע ג"ז כ"ט שוה למרובע ט"ב ה"ד
ולפי שצלע ח"ט נכחי לצלע א"ד
ותושבת ד"ה שוה לתושבת ה"א
יהיה מרובע ט"כ ה"ד שוה למרובע ה"כ ח"א
ובזה הדרך בעצמו ישוה להם מרובע ח"ב ז"כ ואלה ד' מרובעי' הם כל חלקי המרובע הגדול והם שוים
ודרך חלוקת זה המרובע הבלתי נצב הזויות הוא דרך חלוקת המרובע הארוך הבלתי נצב הזויות הנכחי הצלעות ומופתיו כמופתיו
ומעתה נבאר חלוקת הנוטים כי הם מינים הרבה
ונחל מן הנוטה אשר צלעיו שוים וראשו ותושבתו בלתי שוים וראשו נכח תושבתו והוא אשר יקרא משולש חתוך הראש כזה
ויש ממנו נצב הזויות אך אין ראשו נכח תושבתו
וכאשר רצינו לחלק נוטה אבג"ד שראשו נכח תושבתו ושתי צלעותיו שוים לשני חלקים שוים
נחלק צלע א"ב לשני חלקים שוים על נקדת ה' וכן [23]נחלק צלע ג"ד על נקדת ז' ונגיע ה"ז ויחלק נוטה אבג"ד לשני חלקים שוים
The proof of this division:
\scriptstyle AD=BG
 והמופת על החלוקה הזאת לפי שצלע א"ד שוה לצלע ב"ג
ותושבת ד"ז לתושבת ז"ג
וראש א"ה לראש ה"ב
וצלע ה"ז הוא משותף
אם כן נוטה א"ה ד"ז שוה לנוטה ה"ב ז"ג והם כל נוטה אבג"ד והנה נחלק לשני חלקים שוים
ואם רצית לחלקו לג' חלקים שוים והיה הראש כמו מחצית התושבת תחלק התושבת לשני חלקים שוים על נקדת ז' ותגיע א"ז ב"ז ויחלק הנוטה לג' משולשים שוים
והמופת על החלוקה הזאת ששטח א"ב ד"ז נכחי הצלעות והוא כפל משולש אד"ז כי הם על תושבת אחת ובין שני קוים נכוחיים וכפל משלש אד"ז שוה לשני משולשי אד"ז אז"ב עוד שח"ט א"ב ג"ז שוה לכפל משולש בז"ג לסבה הזאת בעצמה וכפל משולש בז"ג שוה לשני משולשי אז"ב בז"ג א"כ גם ג' המשלשים שוים כי כשתפיל אב"ז המשותף ישאר משלש אד"ז שוה למשלש בז"ג והם כל חלקי הנוטה
אמנם אם ראש הנוטה איננו במחצית התושבת אבל עודף עליו ותרצה לחלק אותו בשלשה חלקים שוים או יהיה פוחת ממנו תעשה כך
תמצא תשברתו אחר כך חלק מספר התשבורת לג' חלקים וככה יהיה חלוקתו כלומר מספר שלישית השברים הוא שלישית הנוטה וככה כל חלק וחלק וככה תחלק את הנוטה שהוא נצב הזויות ואין ראשו נכח תושבתו
גם אם רצית לחלק העגולה לשני חלקים שוים תוציא אלכסון העגולה ובעברה על המרכז תחלק לשני חלקים שוים
והמופת על החלוקה הזאת כי קשת חצי העגולה שוה לקשת חציה האחר והאלכסון משותף אם כן התמונה האחת שוה לאחרת
ואם רצית לחלקה לג' חלקים שוים או ליותר כמה חלקים שתרצה תחלק העגולה כמספר החלקי' שתרצה ותסמן נקדות כמספר החלקים על העגולה אח"כ הוצא מכל נקודה קו ישר אל המרכז והנה נחלקה העגולה על מספר החלקים שרצית
והמופת על החלוקה הזאת כי הקשתות שוות והקוים שוים כי הם יוצאים מהמקיף אל המרכז ואם כן נחלקה העגולה אל משלשים שוים אשר תושבותם קשתות שוות מהעגולה

The Third Section on the Measuring of Solids

 החלק השלישי במדידת הגופנים

The First Chapter

 הפרק הראשון
דע שהגופנים הם אשר יש להם אורך ורחב וגובה
ויש מהם אשר יקרא מחודד וכל תושבותיו משולשים כזה והיא תמונה אשר תעלה בגובהה ותכלה אל נקדה אחת
ויש מהם אשר תושבתו מרובע וצדדיו משולשים כזה ויפלו בגבהם אל נקדה ויש מהם שתושבתם עולה בשטח עגול ויכלה בגבהו אל נקדה כזה
[24]ויש מהם שתושבתם רבת הזויות ותכלה אל נקדה ויש מהם שתושבתם משולש וראשם משלש וצדדיהם המרובעים עולים על צד זוית נצבת כזה
ויש שאינם עולים על נקדה אבל נפסקים קודם שיגיעו אל הנקדה כזה
ויש מהם תמונת הכדור כזה
the volume of a cube
ונחל לפרש מדידת התמונה שתושבתה מרובע וראש המרובע וצדדיה מרבעים עולים על זויות נצבות ואומר שזאת התמונה אם היא שוה ארכה ורחבה וגבהה מדידתה כן נכפול ארכה על רחבה וההוה נכפלהו על גבהה וככה מדידת זאת התמונה והיא הנקראת מעוקב
דמיון ארכה עשרה גבהה עשרה ורחבה עשרה כפלנו י' על י' ההוה ק' עוד כפלנו י' על ק' ההוה אלף והוא מדידת זאת התמונה
ואם הצד הא' מן הג' יותר מהאחרים או כל אחד לא ישוה לחברו גם כן ככה נמדדהו
דמיון האורך י' והרחב ט"ו והגובה כ' נכפול י' על ט"ו ההוה ק"נ נכפלם על כ' ההוה ג' אלפים וזאת היא מדידתה
ודע שהאמה אשר בה אנו מודדי' התמונות הגופניות היא אמה אורך ואמה רחב ואמה גובה וזאת תקרא אמה מוגשמת ואלכסון אלה התמונות יוצא מזויות אחת אשר בראשה אל נכח הזוית אשר בתושבתה
דמיון אם יצא בראשה מזויות מזרחי' צפונית יגיע בתושבתה אל זוית מערבית דרומית ומדידת אורך האלכסון כך
the diagonal of a cube
דמיון בצורת המעוקב אשר כל צלע מצלעותיו י' נקח מרובע אלכסון התושבת ונחברהו עם מרובע הגובה ונקח שרשו והוא אורך האלכסון המבוקש
וידוע שמרובע אלכסון התושבת הוא ר' ונחברהו עם מרובע הגובה שהוא ק' עלו ש' ונקח שרשם והם י"ו ורביע וחלק א' מט"ו בקרוב
גם ככה נמדוד אלכסון התמונות אשר ארכם יותר מרחבם כשנמצא אלכסון התושבת ונחבר מרובעו עם מרובע הגובה ונקח השרש והוא אורך אלכסון התמונה
וכאשר נרצה למצוא אלכסון התושבת נחבר מרובע צלע התושבת הארוך עם מרובע צלעו הקצר ונקח השרש והוא ארך אלכסון התושבת
ואם היתה התמונה צדדיה בלתי עולים על זויות נצבות אבל דומים למעויין או תהיינה מעויינות תמדוד תושבתה כמו שידעת במדידת הצורות האלה אחר כך מה שיצא כפלהו על הגובה והוא מדידת זאת התמונה כאלה
ואם היתה תושבתה משולש וראשה משולש וצדדיה מרובעים תמצא תשבורת המשולש אשר הוא תושבתה ותכפול אותו על הגובה והעולה היא מדידת זאת התמונה בלבד שיהיה משלש ראשה עם משולש תושבתה שוים
גם אם היתה תושבת התמונה וראשה מחומשים שוים או משושים שוים ויתר מאלה תמצא תשבורת [25]התושבת וכפלהו על הגובה והעולה היא התמונה המבוקשת
ואם היתה תושבת התמונה עגולה וראש עגולה שוה לה תמצא תשבורת העגולה ותכפלהו על הגובה והעולה הוא מדידת התמונה ההיא
אך אם התמונה עולה בהדרגה וכלה אל נקדה אם תושבתה משולש תמצא תשבורת התושבת וכפלהו על שלישית הגובה והעולה הוא מדידת זאת התמונה
וככה אם תושבתה מרובעת או מחומשת וכדומה להם שתכפול לעולם תשבורת התושבת עם שליש הגובה או כל הגובה עם שליש תשבורת התושבת והעולה הוא המבוקש וכן אם תושבתה עגולה תמצא תשבורת העגולה וכפלה על שלישית הגובה או על כפל אורך הגובה על שלישית התשבורת של התושבת והעולה הוא המבוקש
ולדעת איך נמצא גובה התמונה אודיעך ענינו פה
דע שהגובה הוא עמוד יוצא מתושבת התמונה אל ראשה על זויות נצבות
ואם היתה תושבת התמונה עגולה נקח חצי קטרה ונכפלה על עצמה עוד נקח גובה הצד ונכפלהו על עצמו ונוציא מרובע חצי קטרה ממרובע הצד והנשאר נקח גדרו והוא אורך הגובה
דמיון עגולה חצי קטרה ו' ומרובעו ל"ו וגובה הצד י' ומרובעו ק' גרענו ל"ו מן ק' ונשארו ס"ד לקחנו שרשם והם ח' וככה אורך הגובה
ואם היתה התושבת של התמונה משלש שוה הצלעות תוציא עמוד מראש משלש התושבת אל תושבתו ותחלקהו לשני חלקי' ובמקום שיתחלק שם הוא מחצית העמוד וסמן שם נקדה
עוד תחלק צלע משלש התושבת לשני חלקים שוים ובמקום שיתחלק הוא מחצית הצלע וסמן שם נקדה אח"כ ראה מה בין נקדת מחצית העמוד לנקדת מחצית הצלע וקח מרובעו וגרעהו ממרובע גובה צד התמונה וקח שרש הנשאר והוא גובה התמונה אך אם תושבת התמונה הוא מחומש שוה הצלעות והזויות או משושה והכלל רב הזויות
וכן מרובע שוה הצלעות והוא שתקח מחצית כל הצלעות ותקבצם יחד ותחלק על המחצית ההוא מרבע התושבת והיוצא מן החלוקה תרבעהו ותוציא את מרובעו ממרובע גובה הצד והנשאר בידך קח גדרו והוא גובה התמונה ההיא
ואם לא היו הצלעות שוות כלומר צלעות התושבת גם לא הזויות אתה צריך למצוא גובה על יד בלי מעשה ואז תמצא תשבורת כל המשלשים הבלתי שוים אשר התושבת נחלקת עליהם בהוציאך קוים מזויותיה אל מרכזה ותחברם ותכפול על שלישית הגובה וההוה הוא המבוקש אך אם התמונה אינה כלה אל נקדה אבל כלה אל שטח משלש או מרובע או זולת אלה בתמונה אשר תושבתה לבד שהראש קטן מן התושבת יש לה דרכים אחרי' יתבארו פה
וזאת התמונה תקרא חתוכת הראש לפי שאם תוציא צדדיה למעלה תכלה אל מחודד וכבר בארנו לך משפטי המחודד
והנה זאת התמונה תחלק אל שני מחודדים אל המחדד הגדול אשר כלה אל נקדה ואל [26]המחדד הקטן שראש התמונה חתוכת הראש תושבת לו ועולה אל הנקודה
ואם היתה תושבת בעלת ד' צלעות וככה הראש תוציא אורך הצדדים עד הנקודה למעלה ואתה יכול למדוד המחודד הגדול כמו שידעת
עוד תמדוד המחודד הקטן וגרעהו מהגדול והנשאר הוא מדידת התמונה חתוכת הראש
ולכן צריך להודיעך איך תמצא ארך הצדדים אשר הם מראש התמונה מחוץ עד הנקודה
דמיון תמונת אבג"ד חתוכת הראש ותושבתה קו א"ב והוא ו' אמות וראשה ג"ד והוא ד' אמות וגובה העמוד אשר באמצע והוא קו ה"ז י' אמות כפול הראש לכל הגובה יעלה מ' אמות חלק אותם על ב' אשר הם יתרון התושבת על הראש יהיו כ' והוא אורך קו ה"ט הנשאר מהגובה
רצית למצוא ארך הצדדים אשר הם למעלה מהראש עד הנקודה תקח מרובע כ' שהם ארך ה"ט והם ת' ומרובע ב' שהם אורך ג"ה והם ד' וחברם עם ת' והם ת"ד גם גדרם שהם כ' אמות ועשירית אמה בקרוב והם אורך צלע ג"ט שהוא מחוץ
ואם רצית למצוא אורך כל צלע המחודד שהוא צלע א"ט תקח מרובע קו ז"ט שארכו ל' ומרובעו תת"ק גם מרובע חצי התושבת שהוא קו א"ז והוא ג' אמות ומרובעו ט' חברם עם תת"ק יעלו תתק"ט קח גדרם והוא ל' ועשירית א' וחלק אחד מל' והוא אורך כל התשבורת של הצלע
תמצא תשבורת תושבת המחודד הגדול שהוא ו' על ו' אמות וההוה ל"ו כפלם עם שלישית הגובה שהם י' כי כל הגובה הם ל' וההוה ש"ס והוא מדידת המחודד הגדול
עוד תשוב למדוד המחודד הקטן שתושבתו ד' על ד' ותשברתה הם י"ו כפלם עם ו' וב' שלישיות שהם שליש גבהו וההוה ק"ו וב' שלישיות תגרעם מן ש"ס שהם מדידת המחודד הגדול ישארו רנ"ג ושלישית אחד והוא מדידת התמונה חתוכת הראש המבוקשת
אך מפני שהחשבון קשה מעט נתנו בעלי החשבון דרך אחרת קצרה מזאת והוא שתקח מרובע התושבת והוא ל"ו ומרובע הראש והוא י"ו ותכפול גדר הראש בגדר התושבת וההוה כ"ד תחבר הל"ו והי"ו והכ"ד והעולה ע"ו כפלם עם שלישית הגובה שהם ג' ושליש ההוה רכ"ג ושליש והוא מדידת התמונה חתוכת הראש
ואם היתה תושבת התמונה עגולה וכן ראשה
כגון תמונה אשר תושבתה עגולה וקטר העגולה ד' אמות וראש העגולה וקטרה ב' אמות המרובע ד' אשר הוא קטר התושבת והוא י"ו ומרובע ב' שהוא קטר הראש והוא ד' וכפול ב' בד' הרי ח' והכל כ"ח גרע רביעיתם וחלק אחד מי"ד נשארו כ"ב כפלם עם ד' שהוא שלישית הגובה יעלו ס"ח והוא מדידת התמונה הזאת
ולפעמים ימצא כלי אחד מחובר משתי תמונות כזאת התמונה הנזכרת שיהיו שני ראשיו עגולות קטנות ואמצעיתו רחב כזאת התמונה הנזכרת
ותמדוד כל אחת מן חלקי הכלי השנים בפני עצמו כמו שידעת וחבר שניהם וככה מדידת הכלי
ואם היה תושבת התמונה וראשה [27]משלשים שוי הצלעות אך צלעות התושבת גדולות מצלעות הראש
כגון תמונה שתושבתה משלש שוה הצלעו' כל אחת מצלעותיו ד' אמות וגבהו ו' אמות אתה יודע כי תשבורת משלש התושבת כ"ח פחות ב' שביעיו' האחד בקירוב וגדר המספר הזה ה' אמות וב' שביעיות
ואתה יכול לדעת הרביע מחלק רבוע המשלשים ותמצא רבוע משלש הראש ז' אמות פחות חצי שביעית וגדר המספר הזה שנים וד' שביעיות אמה וחצי שביעית חבר תשבורת שני המשלשים ויהיו ל"ד אמות וט' חלקים מי"ד באמה הוסף עליהם גדר משלש התושבת בגדר משלש הראש ויהיו י"ד אמה פחות שביעית על דרך קירוב יהיה הכל מ"ח וחצי מונה אותו בשליש הגובה והוא ב' יהיה הכל צ"ז והוא מדידת חתוכת הראש
ועל הדרך הזה תדע מדידת כל תמונה חתוכת הראש אשר תושבתה מחומש או תמונה אחרת והוא שתהיה יודע השני ראשים בתשברתם ותוסיף עליהם רבוע גדר תשבורת הראש בגדר תשבורת התושבת ותכלול הכל ותכפול אותו בשליש הגובה ותמצא מדידת התמונה ההיא
והנה אתן לך דמיון בתמונות הרבה כדי שתרגיל את עצמך במדידתם
the volume of a pyramid with a square base
תמונה מחודדת תושבתה מרובע נמדדה כך
יהיה כל אחד מצלעות התושבת מכ"ד אמות וצלעות המחודד מי"ח אמות תקח מרובע הכ"ד וההוה תקע"ו קח מחציתם והם רפ"ח גם קח מרובע הי"ח וההוה שכ"ד תגרע מאלה הרפ"ח נשארו ל"ו קח גדרם והם ו' וזהו שעור עמוד המחודד ולפי שהעמוד הוא ו' נקח שלישיתו הם ב' ותכהו עם התקע"ו וההוה אלף קנ"ב וזהו תשבורת המחודד
מחודד שתושבתו מרובע אשר כל אחת מצלעות תושבתו בעל י"ב אמות וצלעות גבהותו מל"ו אמות ונרצה למצוא העמוד נעשה כך
נכפול צלע התושבת כלומ' הי"ב על עצמם וההוה קמ"ד עוד נכפול הצלע האחד על עצמו וההוה קמ"ד נחברם ביחד ההוה רפ"ח נקח גדרם והם י"ו גם תוספת מעט וכך הוא קטר התושבת נקח מחצית הי"ו והם ח' וחצי ונכפלם על עצמם ההוה ע"ב ורביע עוד נכפול הל"ו שהם צלע גבהותו על עצמם ההוה אלף רצ"ו נגרע מאלה הע"ב ורביע וישארו אלף רכ"ד עם תוספת מעט שבם ונקח גדרם וההוה ל"ה עם תוספת מעט שבו וכן הוא אורך העמוד תכה אלה עם הקמ"ד שהם תשבורת התושבת ההוה ה' אלפים ומ' נקח שלישית אלה ההוה אלף תר"פ וכן הוא תשבורת המוגשם
ולמה אנו לוקחים השלישית כי כל מוגשם נחלק לג' מחודדים כשהם שוה הגובה ותושבותיהם [28]משולשים ואנו עשינו חשבוננו על מוגשם נכחי השטחים והמוגשם הנכחי נחלק לב' מגודרים וכל מגודר של עמוד של המחודד הוא ג' כפלי מחצית המחודד המונח והוא בעל תושבת מרובעת כן הראה זה במופת אקלידס במאמר השני
the volume of a truncated pyramid with a square base
מחודד מזונב כלומר חתוך הראש מרבע אשר צלעות תושבתו מעשר אמות וצלעות הראש מב' אמות וצלעות גבהותו מט' אמות נמדוד אותו כן
תגרע השני אמות של צלעות הראש מצלעות של התושבת וישארו ח' תכפלם על עצמם ויהיו ס"ד נקח מחציתם והם ל"ב גם נכפול הט' על עצמם ויהיו פ"א נגרעם מאלה הל"ב ישארו מ"ט נקח גדרם והם ז' וכן הוא העמוד
ולפי שהעמוד ז' אמות נמצא תשבורת המוגשם כן
נחבר הב' של הראש עם הי' של התושבת ויהיו י"ב ונקח חציים והם ו' נכפלם על עצמם ויהיו ל"ו אחר כך תגרע מהי' הב' של הראש וישארו ח' ונקח חציים והם ד' ונכפלם על עצמם ויהיו י"ו ונקח שלישיתם יהיו ה' ושליש הוסף אלה על הל"ו ויהיו מ"א ושליש כפלם על הז' ויהיו רפ"ט ושליש וכן הוא התשבורת
the volume of a pyramid with a right-angled triangular base
אם תרצה למדוד מחודד אשר תושבתו משולש נצב אינו הכרח לחקור על צלעות הגבהות למצוא העמוד בהיותו בעל זוית נצבת
ויהיה אם העמוד כ"ה אמות ואם הראשונה שאצל הזוית שאצל תושבת המשולש ד' אמות ואם האחרת ה' אמות תעשה כך
כפול הד' על הה' ההוה כ' קח חציים והם י' כפלם על כ"ה שהוא העמוד ההוה ר"נ קח שלישיתם והם מ"א וב' שלישים
בעבור הסבה שאזכור והיא כל מגודר אשר תושבתו משלש בחצי מרבע הוא נחלק לג' מחודדים בעלי תושבות משולשים וכן המגודר הזה
כן הראה במופת אקלידס במאמר השני
והמגודר הוא חצי מרובע ונחלק לג' מחודדים ההוה הוא ו' וחצי ושליש ובהכרח שהמחודד בעל תושבת שלה משלשי שלה ששית תושבת מהמרובע ונקח הששית
the volume of a pyramid with an isosceles triangular base
ואם המשולש שוה השוקים ויהיו השוקים מי"ב אמות והתושבת ח' אמות וצלעות הגבהות מכ"ה אמות ותרצה למדוד המחודד תעשה כך
תחלק התושבת שהוא ח' אמות לחצאין ההוה ד' כפלם על עצמם ההוה י"ו וכפול אחת הצלעות על עצמו כלומר הי"ב על עצמם ההוה קמ"ד גרע מאלה מרובע ד' שהם י"ו ישארו קכ"ח קח גדרם שהם י"א ורביע וחלק מכ"ב וחלק ממ"ד וזהו השעור של העמוד אשר על התושבת כלו' י"א ורביע וחלק מכ"ב וחלק ממ"ד על הח' ההוה צ' וחלק מכ"ב כפלם על עמוד המחודד ותמצאנו כך לפי שבכל [29]משולש אנו לוקחים חצי עמוד התושבת נקח חצי הי"א ורביע וחלק מכ"ב וחלק ממ"ד והם ה' וחצי ושמינית וחלק ממ"ד וחלק מפ"ח נכפלם על עצמם וההוה ל"ב וחלק ממ"ד גם נכפול צלעות הגבהות על עצמם שהם כ"ה ההווה תרכ"ה תגרע הל"ב ורביע ההוה תקצ"ג נקח גדרם והם כ"ד ורביע ושמיני' עם התוספת מעט וזהו שעור העמוד כפול אלה על תשבורת המשולש כלו' הב' וחלק מכ"ב ההוה אלפים וקצ"ט נקח מאלה ששית המרובע וההוה שס"ו וחצי וזהו תשבורת המחודד
the volume of a pyramid with an obtuse-angled triangular base
ואם המחודד יהיה נרוח הזויות ויהיה תושבת משולש נרוח הזויות תכפול תשבורת המשלש נרוח הזויות עם העמוד ונקח השליש וישאר לך תשבורת המחודד
וכן אם יהיה חד הזויות
the volume of a pyramid with a right-angled triangular base
מחודד שתושבתו משלש נצב הזויות ויהיה עמוד ו' אמות ותושבתו ח' אמות והמיתר לזוית הנצבת י' אמות והמחודד כל אחת מצלעותיו י"ג אמות ונרצה למצוא עמודו
נעשה כך נמצא בתחלה אלכסון העגולה המקפת המשולש שיהיה י' אמות שהוא המיתר לזוית הנצבת ואקח חצייה והם ה' ואכפלם על עצמם וההוה כ"ה גם אכפול הי"ג של צלע הגבהו' על עצמם וההוה קס"ט ואגרע מאלה הכ"ה וישארו קמ"ד ואקח גדרם והם י"ב והתשבורת נמצאה וכן בתחלה אמצא תשבורת המשולש והוא כ"ד אמות ואקח שלישית העמוד שהוא עמוד המחודד והם ד' כפלם על תשבורת התושבת ויהיו צ"ו אמות וכן הוא תשבורת המחודד
the volume of a pyramid with an equilateral triangular base
מחודד העומד על משולש שוה הצלעות נמדדהו כך
יהיה כל צלע מצלעות התושבת מל' אמות וצלעות הגבהות ב' אמות
כפול הל' על עצמם וההוה תק"ת נקח שלישיתם והם ש' גם נכפול הת' על עצמם ההוה ת' ומאלה אגרע הש' נשארו ק' וקח גדרם והם י' וזהו אורך העמוד
ולפי שהעמוד י' אמות ימצא התשבורת כן נכפול הל' על עצמם ההוה תת"ק נקח מאלה השלישית והעשירית והוא ש"צ נקח שלישית אלה והוא ק"ל נכפול אלה על י' שהוא שעור העמוד ההוה אלף וש' וזהו תשבורת המחודד
the volume of a pyramid with a pentagonal base
מחודד על תושבת בעלת ה' זויות אשר כל אחת מצלעות התושבת מי"ב אמות וצלעות הגבהות מל"ה אמות ונרצה למצוא העמוד וגם תשבורת המחודד
אחוק על הבעל ה' זויות אשר הקו המקיף ס"ג אמות ואם כן האלכסון יהיה כ' אמות קח מאלה חציים והם י' וכפלם על עצמם עלו ק' עוד [30]כפול הל"ה אמות של גבהות הצלעות על עצמם יעלו אלף רכ"ה גרע מאלה הק' ישארו אלף קכ"ה קח גדרם והם ל"ג וחצי וחלק מכ"ב עם תוספת וזהו אורך העמוד
כפול תשבורת התושבת הבעלת ה' זויות וכן תעשה מן הי"ב אמות של התוספת קח חציים והם ו' וכפלם על עצמם וההוה ל"ו עוד נכפול חצי האלכסון שהם י' על עצמם וההוה ק' גרע מאלו הל"ו ונשארו ס"ד קח גדרם והם ח' והוא שעור העמוד של המשולש כפלם עם התושבת שהם י"ב יעלה צ"ו קח חציים והם מ"ח והם תשבורת המשלש כפול אלה ה' פעמים אחרי שהם ה' משולשים ויהיו ר"מ אמות כפול אלה על העמוד שהוא ל"ג וחצי וחלק מכ"ב יעלו ח' אלפים ונ' ומאלה קח ששיתם אחרי שהם ששה מגודרים ההוה אלף שמ"א וב' שלישים וזהו תשבורת המחודד
ונוכל למצוא גם בלתי חקיקת העגולה את האלכסון לפי שצלע המחומש יש לו כח על צלע המשושה ועל צלע המעושר נקח חצי הצלע כלומר חצי הי"ב ויהיו ו' נכפלם על עצמם יעלו ל"ו גם נכפול הי"ב על עצמם יעלו קמ"ד גרע מאלה הל"ו נשארו ק"ח קח גדרם והוא י' אמות ושליש וחלק מט"ו וזהו שעור צלע בעל שש הזויות גם זהו שעור הארך מן המרכז
the volume of a pyramid with a hexagonal base
  • The measuring of a hexagonal [pyramid] is the same, without requiring the diagonal
 ויהיה גם מדידת בעל השש זויות כך בלתי שאדרוש את האלכסון
כגון שיהיה מחודד בעל שש זויות ויהיה כל א' מהצלעות מי"ב אמות וצלעות הגבהות מל"ה אמות ונרצה למצוא העמוד ותשבורת המחודד
נעשה כך נכפול הי"ב על עצמם יעלו קמ"ד והל"ה על עצמם יעלו אלף רכ"ה גרע מאלה הקמ"ד יעלו אלף פ"א נקח גדרם והוא ל"ב אמות וחצי ורביע ושמינית וחלק מס"ד וידענו שזהו שעור העמוד כפול אותו על תשבורת בעל השש וקח אותו כך לפי שבעל השש זויות יש לו ו' משולשים שוי הזויות קח תשבורת המשלש האחד וכפלהו ו' פעמים ותמצא תשבורת בעל הו' זויות
ועשה כן במשלש השוה הצלעות תכה צלעו הראשון על עצמו יעלה קמ"ד נקח השליש והם מ"ח גם העשירית יהיו י"ד ושליש וחלק מט"ו חברם יהיו ס"ב ושליש וחלק מט"ו כפול אלה ו' פעמים אחרי שהם ו' משולשים יעלו שע"ד ורביע וחלק מט"ו כפול אלה על העמוד שהם ל"ב וחצי ורביע ושמינית וחלק מס"ד יעלו י"ב אלף תי"ד ושליש קח ששיתם שהוא ששית המגודר יעלו ב' אלפים ונ"ב ושליש והם שעור המחודד
the volume of a pyramid with an octagonal base
  • A pyramid whose base is octagonal and we wish to measure it
 מחודד אשר תושבתו בעל ח' זויות ונרצה למדוד אותה
יהיה מחודד אשר כל צלע מצלעות תושבתו מי' אמות וצלעות גבהותו מט"ו אמות
ואם תרצה למצוא העמוד ותשבורת המחודד תעשה כך קח חצי צלע התושבת של בעל ח' זויות כלו' מהי' חציים [31]וההוה ה' וכפלם על עצמם וההוה כ"ה כפלם בשנים וההוה נ' קח גדרם והוא ז' אמות וחלק מי"ד הוסף על אלה חצי צלע בעל שמנה תושבות שהם ה' ויהיה הסך י"ב וחלק מי"ד כפלם על עצמם ההוה קמ"ו עם תוספת מעט וכפול חצי הצלע על עצמו ההוה כ"ה חברם עם הקמ"ו וההוה קע"א גרע קי"ז וישארו נ"ד קח גדרם והם שבע ושליש וכן הוא שעור העמוד
והתשבורת של המחודד תמצאהו ככה
קח תשבורת תושבת בעל הח' זויות וכפלה עם העמוד ושלישית ההוה הוא אלף וקפ"א וזהו שעור אמות תשבורת מחודד בעל ח' זויות
מחודד משולש בעל מגבעות על תושבת קשתות קטנות מחצי העגולה מן הקצה אל הקצה ומיתר הקשת שבתושבת כל אחת י' אמות והעמודים הנופלים רחב ב' אמות וצלעות הגבהות מב' אמות
ונעשה כך נקח חצי מיתר אחת שבתושבת ויהיו ה' נכפלם על עצמם יעלו כ"ה והמיתר האחר שהוא י' נכפלהו על עצמו וההוה ק' גרע מאלה הכ"ה וישארו ע"ה קח גדרם והם ה' וחצי ושמינית וחלק א' מי"ו וכך הוא השעור שמראש המשולש עד התושבת והוא העמוד נקח חציים והם ד' ורביע וחלק מי"ו וחלק מל"ב כפלם על עצמם ההוה י"ו וחצי ורביעית ותשיעית עם תוספת מעט וזהו שעור חצי התושבת כפול הה' על עצמם ההוה כ"ה והסך ביחד יהיו מ"ג וחצי ורביעית ותשיעית קח גדרם והוא ו' וחצי ותשיעית וכן הוא ממרכז העגולה המקפת המשלש
וכשתרצה למצוא העמוד תעשה כן כפול הו' וחצי ותשיעית על עצמם ההוה מ"ג אמות וחצי ורביעית ותשיעי' גם כפול צלעות הגבהות שהם כ' על עצמם ההוה ת' גרע מאלה המ"ג וחצי ורביעית ותשיעית ישארו שנ"ו וחלק מי"ח קח גדרם והוא י"ח וחצי ורביעית ותשיעית וכן הוא שעור העמוד כפלהו עם תושבת המשולש וכך תקחהו הה' שהם מחצית התושבת על עמוד תושבת המשולש שהם ה' וחצי ושמינית וחלק א' מי"ו ההוה מ"ג וחצי וכן הוא שעור אמות התשבורת המשולש כפלם על י"א וחצי ורביע ותשיעית ההוה תת"כ עם תוספת מעט וזהו תשבורת המשולש
ומזה ראוי להוציא המגרעות וכן תעשה תחבר התושבת והעמוד הי' והב' וההוא י"ב אמות כפלם עם עמוד המחודד שהם י"א וחצי ורביע ותשיעית ההוה רכ"ו אמות כפלם על ג' לפי ששם ג' מגרעות ההוה תרע"ט וכל התשלום הוא תת"כ אמות נגרע מאלה התרע"ט ונשארו קמ"א נקח מאלה הששית ההוה כ"ג ושלישים ב' אחרי שהם מהמגודר הם כ"ג וב' שלישים וזהו תשבורת התמונה
וכבר התבאר במאמר הי"ב מספר היסודות שכל מגודר שתושבתו משולשת יחלק לג' מחודדים שוים
[32]וידוע שכל מחודד הוא שלישית המגודר כשיהיו בעלי צלעות שוות וגובה שוה
ומבואר מזה שכל מחודד שיהיה על איזו תמונה שיהיה הוא שלישית המוגשם הנכחי שתושבתו שוה לתושבתו וגבהו הוא שוה לגבהו
התמונה הנקראת בלשון יון מישקו והיא תמונה שהיא מתחלפת הצלעות צלעות התושבת גם הראש נמדדה כך
הגובה יהיה נ' אמות
ואם תושבת התמונה צלעה האחת הגדולה בעלת כ"ד אמות והקטן בעל י"ו אמות
ואם הראש הצלע הגדולה בעלת י"ב אמות ואם הקטנה בעלת ח' אמות נחבר הצלעו' הגדולו' של הראש ושל התושבת כלומר הי"ב הכ"ד ההוה ל"ו וכן חברתי הצלעות הקטנות של הראש ושל התושבת כלומר הי"ו והח' וההוה כ"ד קח חצי הל"ו וההוה י"ח וכן חצי הכ"ד וההוה י"ב כפול אלה על י"ח וההוה רי"ו ועוד נגרע מן הצלע הגדולה הי"ב מן הכ"ד וישארו י"ב נקח חציים והם ו' נגרע צלע הראש מן התושבת כלומ' הצלע הקטן והם הח' מן הי"ו וישארו ח' נקח חציים ויהיו ד' כפלם על ו' ההוה כ"ד קח השלישית והם ה' ונוסיפם על הרי"ו ויהיו יחד רכ"ד כפלם על הגובה שהם נ' ההוה י"א אלף ר' והם שעור תשבורת זאת התמונה
וכן נמדדהו גם אם היה בעל משפטים אחרים

Chapter Two on the Measuring of the Spheres and Round Solids

 הפרק השני במדידת הכדורים והגופים העגולים
הכדור גדרו אקלידס במאמר אחד עשר מספר היסודות שהוא אשר יעבור חצי עגולה כאשר יקויים קו הקוטר בשני צירים עד שלא יסורו וסבבה הקשת אשר היא חצי הקו המקיף עד שתשוב אל מקומם והוא מוגשם העגול ומרכז הכדור ומרכז העגולה אחת
the volume and the surface of a sphere
והכדור יתכן למדוד התשבורת של השטח המקיף אותו לבד גם יתכן למדוד תשבורת כל גופו
וכאשר נרצה למצוא תשבורת השטח תרבע את קטר הכדור ותכפול את המרובע הזה ג' פעמים ושביעית פעם ויעלה בידך משיחת שטח הכדור כפלהו בשתות הקטר ויעלה בידך תשבורת גוף הכדור
כגון ז' אמות כדור בקטרו והקו המקיף כ"ב אמות ונרצה למצוא תשבורת גופו נעשה כך נכפול הקטר על עצמו ויעלו מ"ט וכשתכפול זה המרובע ג' פעמים ושביעית פעם יהיה קנ"ד והן אמות שטח הכדור כפול אותן בשתות הקטר והוא א' ושתות יהיה ק"פ פחות שלש והוא תשבורת הכדור הזה
דרך אחרת כדור אשר קטרו ז' אמות והקו המקיף כ"ב [33]אמות ונרצה למצוא תשבורת גופו נעשה כך נכפול הקטר על עצמו וההוה מ"ט עוד נכפול אלה על הקטר שהם ז' יעלו שמ"ג אמות נכפול אלה י"א פעם יהיו ג' אלפים תשע"ג אמות נחלקם על כ"א ויעלה החלק האחד קע"ט וב' שלישים וכן שעור תשבורת גוף הכדור
ואם תרצה למדוד השטח תעשה כך נמצא לעולם הקטר והם במשלינו ז' ונכפלם עם המקיף שהם כ"ב ההוה קנ"ד וכן הוא תשבורת שעור שטח הכדור
אם תרצה למדוד האויר המוקף בכדור תמדוד לפי הביאור אשר הקדמנו במדידת הכדור בלתי עובי הכתלים
כגון שיהיה אורך קטר האויר מהכדור ח' אמות ועובי שתי הכתלים ב' אמות כפול הח' אמות של קטר האויר על עצמם יעלו ס"ד כפול אלה עוד על הח' של הקטר יעלו תקי"ב אמו' כפלם על י"א יעלו ה' אלפים תרל"ב חלקם על כ"א יעלו רפ"ח אמות ושביעית וחלק מן כ"א וזהו תשבורת אויר הכדור
the volume of a hemisphere
אם תרצה למדוד חצי כדור תמדדהו לפי באור מדידת הכדור והנקבצים תחלקם על מ"ב
דמיון הקטר ז' אמות והקו המקיף כ"ב אמות ותרצה למצוא תשבורת גופני של חצי הכדור תעשה כן כפול הז' אמות של הקטר על עצמם ההוה מ"ט כפול עוד אלה על הז' אמות של הקטר ההוה שמ"ג כפול אלה על י"א וחלק העולה על מ"ב וההוה פ"ט אמות וחצי ושליש וכן הוא שעור חצי הכדור
אם תרצה למדוד אויר חצי הכדור תמדדהו לפי הביאור אשר קדם במדידת תשבורת חצי הכדור בלתי עובי הכתלים
דמיון יהיה קטר אויר חצי הכדור י' אמות ועובי שתי הכתלים ד' אמות כפל י' אמות קטר האויר לבד על עצמם וההוה ק' עוד כפול הק' על הי' הנזכרים ההוה אלף כפלם על י"א ההוה אלפים י"א חלקם על מ"ב ההוה רס"א אמות וחצי ושלישית חלק מי"ד וזהו שעור אמות אויר חצי הכדור
the volume of a quarter of a sphere
אם תרצה למדוד רביע הכדור תמדוד לפי הבאור שהקדמנו במדידת חצי הכדור והנקבצים חלקם על פ"ד
דמיון קטר הרביע עם עובי ב' כתלים ד' אמות כפלם על עצמם ההוה קצ"ו כפול אלה על י"ד של הקטר הנזכר ההוה ב' אלפים תשמ"ד כפלם על י"א ההוה ל' אלף וקפ"ד חלקם על פ"ד וקח החלק האחד וההוה הוא שנ"ט ושלישית וכן הוא שעור רביע הכדור
אם תרצה למדוד אויר הרביע הנז' ולמצוא תשברתו הגופני תמדוד לפי הביאור הנזכר [34]במדידת הרביע בלתי עובי הכתלים כלומר הי' אמות של קטר האויר ויהיו ק' עוד כפול הק' על הי' ההוה אלף כפול האלף על י"א ההוה י"א אלפים חלקם על פ"ד ההוה ק"ל אמות וחצי ושליש וחלק מי"ב וחלק מכ"ח וכן הוא שעור מדידת אויר ורביע גרעם מהשנ"ט ושליש הנחברים וישארו רכ"ח אמות ורביע ושמינית וזהו תשבורת המבוקש
אם רצית למדוד בריכה מעוגלת כדוריית והיא חצי כדור כבר הראיתיך מדידתו במדידת חצי הכדור
the volume of a spherical segment smaller than a hemisphere
אך אמנם אם היא פחותה מחצי כדור וזה תדעהו כשיהיה עמקה פחות מחצי רחב פיה תמדדה כך כגון בריכה שרוח בפיה ו' אמות ושליש ועמקה ב' אמות
תמצא את קטרה בראשונה כמו שלמדת בפרק החמישי במדידת התמונות העגולות והפחותות מחצי עגולה וכשתחשוב את קטר הבריכה הזו תמצאנו שהוא ז' אמו' כפול הב' שהם עמק הבריכה על הז' שהם קטר הכדור יהיו י"ד כפלם ג' פעמים ושביעית פעם יהיו מ"ד והוא מדידת שטח הבריכה כפול אותו בשתות הקטר והוא א' ושתות יעלו נ"א ושליש וזהו תשבורת גוף הבריכה
the volume of a spherical segment larger than a hemisphere
ואם היתה הבריכה יותר מחצי כדור וזה תדעהו כשיהיה העומק יותר ממחצית רחב פיה
כגון בריכה שרחב פיה ו' אמות ושליש ועמקה ה' אמות כשתבקש לדעת קטר הכדור הנחצבת ממנה תמצאנו ז' תכפול העומק שהם ה' אמות בז' אמות הקטר ההוה ל"ה
כפלם ג' פעמים ושביעית פעם יהיו ק"י וזהו מדידת שטח הבריכה כפול אותה בשתות הקטר יהיו קכ"ח ושליש וזהו תשבורת גוף הבריכה
the volume of a cylinder
אם רצית למדוד גוף נקרא בלשון יון קלידירו והוא גוף ארוך מעוגל שוה הרחב ראשו לתושבתו
דמיון גוף כזה אשר ארכו נ' אמות והקטר ז' אמות והמקיף כ"ב אמות ונמצא מהמקיף כמו שאנו עושים במדידת העגולה התשבורת והוא ל"ח אמות וחצי כפול אלה על האורך שהם נ' ההוה אלף תתקכ"ה והוא תשבורת הגוף הזה
the volume of a cone
אם רצית למדוד אצטוונא מחודדת תעשה כך
דמיון אצטוונא שקטר תושבתה ז' אמות והעמוד היורד מראשה ל' אמות נמדד התושבת מהקטר הו' אמות של גובה העמוד השליש והוא י' ונכפלם על הל"ח וחצי ההוה שפ"ה אמות וזהו תשבורת הגוף של האצטוונא הנזכרת
אם רצית למצוא תשבורת אצטוונ' מחודדת [35]מקשיית ויש לו תושבת העגולה אשר הקטר מ"ב אמות וצלעות גבהות האצטוונא כל אחת[36] מע"ה אמות ותרצה למצא העמוד תמצאהו כך
\scriptstyle{\color{red}{\sqrt{75^2-\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)}=\sqrt{75^2-21^2}=\sqrt{5625-441}=\sqrt{5184}=72}}
 קח גובה הצלעות אשר הם ע"ה אמות וכפלם על עצמם וההווה ה' אלפים תרכ"ה וחצי קטר התושבת אשר הם כ"א כפלם על עצמם וההווה תמ"א גרעם מה' אלפים תרכ"ה נשארו ה' אלפים קח גדרם הם ע"ב וזהו ארך העמוד של האצטוונה
ותמצא גם תשברת העגלה והם אלף פ"ו אמות
\scriptstyle{\color{red}{1086\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot72\right)=1086\sdot24=26064}}
 כפלם עם שלישית העמוד שהם כ"ד ההווה כ"ו אלף ס"ד וזהו תשברת גוף האצטוונא
ואם תרצה למצא תשברת שטחה קח חצי קטר התושבת שהם כ"א וכפלם על העמוד שהם ע"ב ההווה אלף תקי"ב כפל אלה על כ"ב ההווה ל"ג אלף רס"ד קח שביעית אלה ההווה ד' אלפים תשנ"ה בקרוב וכן הוא תשברת שטח האצטוונא
the volume of a truncated cone
אם תרצה למדד אצטוונא מזונבת כלומר חתוכת הראש שהקטר היותר גדול שלה י' אמות והקטן ד' אמות והארך ל' אמות ותרצה למצא תשברת גופה תעשה כך
\scriptstyle{\color{red}{\left(10+4\right)\sdot\frac{1}{2}=14\sdot\frac{1}{2}=7}}
 תחבר שני הקטרים הי' והד' וההווה י"ד וקח חציים והם ז' ונחשבהו קטר
ונמצא תשברת [37]העגלה אשר קטרה ז' כמו שידעת ויהיה ל"ח אמות וחצי
\scriptstyle{\color{red}{\left(38+\frac{1}{2}\right)\sdot30=1155}}
 תכפלם על הל' אמות של הארך וההווה אלף קנ"ה אמות והוא תשברת גוף האצטוונא

The Fourth Section on the Division of Solids

 החלק הרביעי בחלוקת הגופניים
זה החלק אינו כל כך צריך בענייני העולם ומקח וממכר כאשר הם החלקים העוברים כי אם מעט מזער ממנו ולכן לא נפנה לפרש חלוקת כל התמונות רק הצריכות לבד
  • Division of a cube into equal parts
ונאמר אם תרצה לחלק המעקב והוא אשר ארכו שוה לרחבו ולגבהו לשני חלקים
תוציא אלכסון תושבתו וחתכהו על האלכסון לשנים ויחלק לשני מגוררים
ואם רצית לחלקו לשלשה חלקים שוים
חלק צלע תושבתו לשלשה חלקים שוים על שתי נקדות וכן צלע הראש הנכחי לו וחתכהו מנקדה אל נקדה על זויות נצבות ויחלק לשלשה חלקים שוים
ואם רצית [38]לחלקו לארבעה חלקים שוים חלקהו בתחלה לשני מגודרים עוד הוציא עמוד מזוית התושבת אל חצי מיתרה ויחלק כל אחד משני המגוררים לשנים ובזה נחלק לארבעה חלקים שוים
ובאופן אחר חלק צלע הראש לשנים וכן צלע התושבת הנכחי לו גם ככה תעשה בצלעות הגובה וחתכם על זויות נצבות ובזה נחלק המעקב לארבעה חלקים שוים
  • Division of a prism whose base is a rectangle into equal parts
ואם היה מרבע ארוך נכחי הצלעות נצב הזויות וגבהו על זויות נצבות מתחלף לארכו ורחבו או שוה לו חלוקתו בחלוקת המעוקב
  • Division of a prism whose base is a rhombus into equal parts
ואם היה מעויין חלוקתו לשנים הוא שתחתכנו על האלכסון של תושבתו היוצאת מן הזוית אל הזוית
ואין הפרש בין אם יצא האלכסון מזוית החדה אל החדה או מן הנרחבת אל הנרחבת
ואם תחלקנו לשלשה חלקהו מהצלעות כמו שעשית במעקב
ואם לארבעה תחלקנו על ידי שני האלכסונים כמו שעשית במעקב או באופן האחר הנזכר שם
וכן משפט חלוקת הדומה למעויין
  • Division of a prism whose base is triangular into equal parts
ואם רצית לחלק המגורר שתושבתו משלשת וראשו משלש וצלעות גבהו מרבעים לשני חלקים
הוצא מן זוית תושבתו אל הצלע הנכחי לו אשר הוא מיתר לזאת הזוית עמוד וחלקהו על העמוד על זויות נצבות וכבר נחלק המגורר לשני חלקים שוים
ואם הצלע האחד מצלעות התושבת ארוך משאר הצלעות הוצא עליו העמוד מהזוית שכנגד הצלע הזה וחלקהו עליו
ובאופן אחר חלק צלעות הגבהות לשנים וחלקהו משם
ואם רצית לחלקו בשלשה חלקים חלקהו שלשה מחדדים וזה התבאר בי"ב לאקלידס
  • Division of a sphere into equal parts
[39]ואם רצית לחלק הכדור כשטחו תעשה כך סמן עליו שתי נקדות מקבילות היותר רחוקות זו מזו מכל הנקדות שאפשר ליפול בכדור והם יקראו קטבי הכדור ועשה נקדה אחת משתיהן מרכז וסבב עגלה כמרחק מחצית המרחק אשר בינה ובין הנקדה האחרת והיא העגלה היותר גדולה והאמצעית עוד חלק העגלה הזאת לפי כמות החלקים שתרצה לחלוק שטח הכדור על ידי סימנים נקודות או זולתם אחר כן תעגל חציי עגולות שתעברנה כל אחת על שתי קטבי הכדור ועל הנקדות שהם כעגלה האמצעי' ובזה יחלק שטח הכדור לפי רצונך
וככה תעשה אם תרצה לחלק חצי כדור או יותר מחציו
ואז תעברנה העגולות על הקטב ועל שפת חצי העגלה שהוא במקום העגלה האמצעית של הכדור או על שפת החתיכה הגדולה מחצי הכדור גם ככה אם החתיכה קטנה מחצי [40]הכדור
ובכל אלה החלוקות שהזכרנו יש מופתים בחכמת המדות ולא הבאנו אותם כי לא היה צרך גדול במה שכווננו לבאר
הנה הודעתיך כל מה שצריך לדעת בזאת המלאכה
ולאל לבדו התהלה והשבח לעולמים אמן
תם ונשלם[41]

Appendix I: Glossary of Terms

rank מדרגה, מעלה

Appendix II: Bibliography

Mordecai ben Eliezer Comṭino
Constantinople & Adrianople c. 1402-1482
Sefer ha-Ḥeshbon we ha-Middot
Manuscripts:

1) Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Qu. 308 (IMHM: f 1734), (15th-16th century)
[Berlin308]
2) London, British Library Add. 27107/6 (IMHM: f 5782), ff. 44r-80v (cat. Margo. 1016, 6); (15th-16th century) (Book 2)
[London27107]
3) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2616 (IMHM: f 28869), (19th century) (Book 2)
[NY2616]
4) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2632 (IMHM: f 28885), (19th-20th century)
[NY2632]
5) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2633 (IMHM: f 28886), (16th century)
[NY2633]
6) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2639 (IMHM: f 28892), (1478)
[NY2639]
7) Oxford, Bodleian Library MS Heb. d. 5/1 (IMHM: f 22729), ff. 1r-17r (Cat. Neub. 2774, 1); (1522)
8) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1031/3 (IMHM: f 15723), ff. 26r-64v (15th-16th century)
[Paris 1031]
9) St. Petersburg, Russian National Library Evr. I 320b (IMHM: f 50984) (1495)
[Evr. I 320]
10) St. Petersburg, Russian National Library Evr. I 343-344 (IMHM: f 50961, f 41596, f 41597) (Istanbul, 1485)
[Evr. I 343-344]

Bibliography:

  • Schub, Pincus. 1932. A Mathematical Text by Mordecai Comtino, Isis vol. XVII, no. 1, (1932), pp. 54–70.
  • Silberberg, Moritz. 1905–1906. Ein handschriftliches hebräisch-mathematisches Werk des Mordecai Comtino, Jahrbuch der Jüdisch-Literarischen Gesellschaft III, pp. 277–292.
  • Steinschneider, Moritz. 1893–1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, pp. 197-198 (h63-h64); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.
  • ↑ 42r
  • ↑ 42v
  • ↑ 43r
  • ↑ 43v
  • ↑ 44r
  • ↑ 44v
  • ↑ marg. וזה יתבאר לפי הנחות זה החכם מתמונת ה' ול"ד מאמר א' ולדרוש אחר שבארנו וזולת זה המקום והוא שכאשר יצא קו מזוית משלש שוה השוקים ויחלקה לשני חצאים ב"ב נז' התושבת הנה יהיה עמוד התושבת כ"א כ"ח
  • ↑ 45r
  • ↑ 45v
  • ↑ 46r
  • ↑ 46v
  • ↑ marg. שוה לב' המרבעי' ההוי' מהב' צלעו' הנשארי' הוי' מרבע הצלע האחד ממרבע' המיתר והקו
  • ↑ 47r
  • ↑ 47v
  • ↑ 48r
  • ↑ 50v
  • ↑ 56r
  • ↑ 56v
  • ↑ 57r
  • ↑ 57v
  • ↑ 58r
  • ↑ 58v
  • ↑ 59r
  • ↑ 59v
  • ↑ 60r
  • ↑ 60v
  • ↑ 61r
  • ↑ 61v
  • ↑ 62r
  • ↑ 62v
  • ↑ 63r
  • ↑ 63v
  • ↑ 64r
  • ↑ 64v
  • ↑ NY 2639 70v
  • ↑ Paris end
  • ↑ 71r
  • ↑ 71v
  • ↑ 72r
  • ↑ 72v
  • ↑ NY 2639: נשלם הספר חכמת המספר וחכמת המדות שחבר מרנו ורבנו החכם ב"ר מרדכי כומטיינו יצ"ו בהכ"ר אליעזר כומטיינו יעמ"ש ונשלם ע"י לי שבתי בכ"ר משה ז"ל מקנדייה שנת הרל"ח בכ"ד לחדש אדר שבח לאל יתעלה אשר לו התהלה והיכולת וזאת היא ההעתקה השנית וכתבתיהו לר' כלב המכונה אפדופילו י"ל בכ"ר אליהו יצ"ו בכ"ר יהודה
    • Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=ספר_החשבון_והמדות&oldid=49370"