Difference between revisions of "האריתמטיקה של ניקומכוס"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎Solid Numbers)
(→‎Parallelepipedon Numbers)
Line 341: Line 341:
 
|
 
|
 
|style="text-align:right;"|ואחר שהיו שני אלו המינים ר"ל המעוקב והמתחלף הצלעות יוקבלו בהקבלת שני הקצוות אחר שהמעוקב שוה הצלעות השלשה והאחר מתחלף הצלעות השלשה הנה האמצעי בין שני אלו הם המספרים הגרמיים אשר יקראו הזולתיים האורך ר"ל אשר פשוטיהם זולתיי האורך הנה המספר הזולתי האורך כבר יאמר שהוא המספר אשר ירשם שעורו בפשוט רושם מרובע נצב הזויות ורחבו פחות מארכו אחד כמו ב' וי"ב כ' ל' מ"ב והדומה להם הנה כאשר שמנו לכל אחד מאלו הפשוטים הזולתיי האורך גובה באחד מצלעותיו יתילדו מזה במספרים הגרמיים הזולתיים וזה לך דמיון הנחתם שני טורים מהם הראשון והשני הם משלשת הטורים הקודמים בשער הוצאת המספרים הגרמיים הסולמיים א ב ג ד ה ו ז ח ט ב ו יב כ ל מב נו עב ב ד יב יח לו מח פ ק קנ קפ רנב רצד שצב תמח תקעו תרמח ונכה כל מדרגה ממדרגות הטור השני מהם בכל אחת מאשר עליה בטור הראשון ר"ל אשר עמדה מהכאת אחת מהן באחרת ונעמיד שני הכללים בשתי מדרגות נבדלות הקטנה מהן קודמת לגדולה ושתיהן תחת המדרגה הנעשית בהכאה מהטור השני וכאשר תשלים הלוח בזאת המלאכה הנה כבר שמת מדרגות הטור השלישי כפל מדרגות הטור השני וכבר העמדנו בו כל המספרים הגרמים הזולתיים כפי המשכם בסדר הטבע לא יבצר מהם אחד ואמנם אם יוסיפו קצת הצלעות על קצת ביותר מאחד ר"ל שנים או שלשה או ארבעה כמו שנים בארבעה וארבעה בששה או חמשה בשבעה או מה שלמעלה מזה לא יקרא מה שהוא כן זולתיי האורך אבל יקרא המוסיף האורך ודע שהמספרים הגרמיים הזולתיים יהיו לעולם שני שטחים משטחיהם מרובעים מקבילים ושאר שטחיהם ר"ל הארבעה שטחים הנשארי' בכל מספר גרמיי מהם הנה כל אחד מהם יהיה זולתיי האורך ויהיו ארבעת צלעותיו א ב ג ד ה ו ז ח ט י שוים על שעור ב ו יב כ ל מב נו עב צ אחד ושמנה מצלעותיו שוים על שעור אחד מתחלף לשעור הארבעה באחד אם מוסיף ואם חסר  
 
|style="text-align:right;"|ואחר שהיו שני אלו המינים ר"ל המעוקב והמתחלף הצלעות יוקבלו בהקבלת שני הקצוות אחר שהמעוקב שוה הצלעות השלשה והאחר מתחלף הצלעות השלשה הנה האמצעי בין שני אלו הם המספרים הגרמיים אשר יקראו הזולתיים האורך ר"ל אשר פשוטיהם זולתיי האורך הנה המספר הזולתי האורך כבר יאמר שהוא המספר אשר ירשם שעורו בפשוט רושם מרובע נצב הזויות ורחבו פחות מארכו אחד כמו ב' וי"ב כ' ל' מ"ב והדומה להם הנה כאשר שמנו לכל אחד מאלו הפשוטים הזולתיי האורך גובה באחד מצלעותיו יתילדו מזה במספרים הגרמיים הזולתיים וזה לך דמיון הנחתם שני טורים מהם הראשון והשני הם משלשת הטורים הקודמים בשער הוצאת המספרים הגרמיים הסולמיים א ב ג ד ה ו ז ח ט ב ו יב כ ל מב נו עב ב ד יב יח לו מח פ ק קנ קפ רנב רצד שצב תמח תקעו תרמח ונכה כל מדרגה ממדרגות הטור השני מהם בכל אחת מאשר עליה בטור הראשון ר"ל אשר עמדה מהכאת אחת מהן באחרת ונעמיד שני הכללים בשתי מדרגות נבדלות הקטנה מהן קודמת לגדולה ושתיהן תחת המדרגה הנעשית בהכאה מהטור השני וכאשר תשלים הלוח בזאת המלאכה הנה כבר שמת מדרגות הטור השלישי כפל מדרגות הטור השני וכבר העמדנו בו כל המספרים הגרמים הזולתיים כפי המשכם בסדר הטבע לא יבצר מהם אחד ואמנם אם יוסיפו קצת הצלעות על קצת ביותר מאחד ר"ל שנים או שלשה או ארבעה כמו שנים בארבעה וארבעה בששה או חמשה בשבעה או מה שלמעלה מזה לא יקרא מה שהוא כן זולתיי האורך אבל יקרא המוסיף האורך ודע שהמספרים הגרמיים הזולתיים יהיו לעולם שני שטחים משטחיהם מרובעים מקבילים ושאר שטחיהם ר"ל הארבעה שטחים הנשארי' בכל מספר גרמיי מהם הנה כל אחד מהם יהיה זולתיי האורך ויהיו ארבעת צלעותיו א ב ג ד ה ו ז ח ט י שוים על שעור ב ו יב כ ל מב נו עב צ אחד ושמנה מצלעותיו שוים על שעור אחד מתחלף לשעור הארבעה באחד אם מוסיף ואם חסר  
 +
|-
 +
|
 +
====== Numerical “Sameness” and Numerical “Otherness” ======
 +
 +
!style="text-align:right;"|הדבור בשורש הטבעיי להוא הוא והזולתיות המספריים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|אמנם ההוא הוא הנה הוא המספר אשר רחבו הוא ארכו בהגעה ואמנם היה שרש ההוא הוא אצל הקדמונים מכת פתאגורוש האחד לפי שהוא כאשר יוכה באחד היה האורך הוא הרחב והמתקבץ הוא כל אחד מהם לא יצא מעצמו כלל עוד נקראו המספרים המרובעים הוה והים ללקחם הדמיו מזה לפי א ב ג ד ה ו ז ח ט י ב ו יב כ ל מב נו עב צ ב ד יב יח לו מח פ ק קנ קף רנב רצד שצב תמח תקעו תרנב תתי תתק שארכם שארכם הוא רחבם והיה היותר ראוי מהמספרים להיות שרש לזולתיי הוא אשר לא ישתנה מה הוא הוא האמתי השרשיי הנזכר לפנים אלא באחד הנה בראוי אם יהיה שרש המספרים הזולתיים הוא המספר השניי הנה כפי זה היו מקישים ההוא הוא והזולת וכבר היה שתבאר ממה שהקדמנו ובארנו שכל נפרד הנה האחד מיוחד לו אחר שבין שני חלקיו האחד לעולם בהכרח הם יעדיף אחד משני חלקיו לאחד ושכל זוג הנה השניות מיוחד לו אחר שיחלק בשני חלקים דומים נמשלים ובראוי נאמר כי הנפרד מיוחד אחר שזאת שהוא שורש ההוא הוא מיוחד לו לטבע ההוא הוא והזוג מיוחד לטבע הזולת כי בתוספת הנפרדים קצתם על קצת ובהקדים האחד בהנחה ראשונה להם יצמחו מספרי ההוא הוא ר"ל המרובעים השוים במרחק האורך והרחב כמו שבארנו זה פעמים ומסגולת המספרים הזולתיים אשר הם חבורי הטבעיים אשר הם יולידו המספרים ההוהויים וצלעותיהם ובתוספת הזוגות הטבעיים קצתם על קצת ובהקדים השנים ראשונה להם בהנחה יתילדו הזולתיים ואמנם קראנו אלו המספרי' השוים באורך וברחב מספרי הוא הוא ללקחם דמוי הוא ^ האחד הוא וקראנו המתחלפים באורך וברחב באחד זולתיים ללקחם דמוי השניות היוצא מטבע ההוא הוא האמיתי באחד וכאשר תקביל בשני טורים א ד ט יו כה בין מדרגות המספרים ההוא קויים ב ב ו יב כ ומדרגות המספרים הזולתיים כל מדרגה במקביליה תמצא מותר המדרגה הזולתיית על הנכחיית לה ההוא הויית הוא המניין אשר ממנו נגזר שם המדרגה
 +
|-
 +
|
 +
!style="text-align:right;"|הדבור על המספרים הלבניים והמגודרים
 +
|-
 +
|
 +
|style="text-align:right;"|ואמנ' המספרי' הדומים ללבנים הוא המין מהמספרים הגרמיים הזולתיים אשר יהיה שעור צלעותיו הארבעה השוים פחות אחד משעור צלעותיו השמנה השוים והם המדרגות הנרשם עליהם באורם בטור המספרים הגרמיים והזולתיים והם אשר ארכם ורחבם שוה ויחסר הגובה מכל אחד מהם אחד ואמנם אם יוסיף בגובה על האורך והרחב השוים תוספת הזולתיי ר"ל אחד או תוספת המוסיף באורך ר"ל יותר מאחד היו מה שהיה המספר הנוסף באחד מהמרחקים השלשה הנה כל אלו יקראו מוגשמים אריחיים כמו ג' בג' או בד' או ה' בה' בו' או במה שתרצה אחר שיהיה הגובה יותר ארוך מכל אחד מהאורך והרחב
 +
|-
 +
|
 +
!style="text-align:right;"|הדבור במספרים הסבוביים והכדוריים
 +
|-
 +
|
 +
ואחר שכבר הבאנו תאר הגרמים בעלי השטחים הישרי הקוים הנה נאמ' כמו שאמרנו שהמספר המעוקב הוא השוה המרחקים ר"ל האורך והרחב והעומק וזה יחלק לשני חלקים אם שיהיה המספר אשר הוא שרש כל אחד משטחיו נזכר בכלל השטח עוד נזכר בכלל הגרם חוזר על עצמו עוד נזכר גם כן בכלל הגרם כאשר הוכה בו פעם או שני פעמים או יותר מזה ואם שלא יהיה כן הנה אשר שרשיהם נזכרים בכללם כמבטא הגעתם מאלו המספרים המעוקבים הם אשר יקראו המספרים הכדומיים אחר שיסבבו מתהפכים כמו הכדור אל המספר אשר ממנו התחלתם כמו המספר המעוקב אשר הצלע מצלעותיו חמשה או ששה כי כל מה שתכה אחד משני אלו בכמהו עוד מה שיתקבץ בשרשו יהיה נמצא כמו שתארנו וזה שאנו אם נכה חמשה בחמשה היה המתקבץ כ"ה וישוב החמשה מבוטא בו בכלל וישוב אליו עוד נכה החמשה גם כן בכ"ה ותמצא החמשה גם כן מבוטא בו בכללם וכן אם תכה הקכ"ה בחמשה ומה שהתקבץ גם כן בחמשה תמצאהו בזה התאר לעולם וכן גם כן הששה בזה הענין משפטם משפט החמשה וכן תמצא זה באחד כי האחד בכמהו עוד בכמוהו עוד בכמהו עוד כן תמיד בלתי יוצא מעצמו אבל סובב על עצמו ואחר שכבר התבאר מה שתארנו נאמ' שהמספר הסבוביי מזה שתכה המספר פעם אחת בעצמו כמו א' בא' וה' בה' וו' בו' ואם הוכה יותר מפעם הנה הוא מספר כדורי אחר שהעגולים פשוטים והכדורים כרמים וזה סוף המאמר על המספרים הגרמיים
  
  

Revision as of 06:11, 23 August 2017


Book One

 המאמר הראשון מספר הארתמאיטי

Prologue of the translator/commentator
ימלא הבורא משאלותיך ויפיק זממיך ויוסיף חסדו ונעמו אצלך הבינותי יתמיד האל כבודך מה שזכרת עיינת בספר הארתמאיטיקא הידוע אשר בינינו אשר הניחו וחברו ניקומאכוש אלגהר שיני הפיתאגורי בנסחה אשר תקננו זה הספר ממנה על דעת מלמדנו המעולה יעקב בן אסחק אלצבאה אלכנדי משבט מחשבות חביב בן בהריז אלנסטורי אשר תרגמו מהסריאני אל הערבי לבעל שני הימינים טאהר בן אלחסין ואתה ראית לתקנו במאמ' הראשון ממקום המספרים והלאה לפי שהוא אמנם תקון מזה המקום נשען למי שכבר קדם לו בחכמת ההגיון מה שיעזרהו להבין פתיחתו הקודמת לפני זכירת המספר ושזאת הפתיחה לא נפלה אליך ולא ידעת כוונתה ולא מה זכר בה מניחה ואשר שאלת מזה הנו מפורש לך כמו שפירשתי בשאר פירושינו הנשארים בספר וקצרינו לעניניו במאמ' קצר מבלתי אריכות והכפלה ואתה חושב שבזה תועלת יקרה והערה נפלאה ואני מודיעך יכבדך האל אולי ארצה הרבה פעמים לתאר דבר בהפלגה ואריכות כדי להגיע בו אל כוונת מניח הספר ויזדמן לי מאמ' קצר שמעתיו ממלמדנו אבו יוסף לבאר מה ששאלת לבארו ולפרש מה שכוונת לפרשו כבר הגיע ממנו עם קצורו באשר לא יגיעהו מאמ' מאריך ולא יעברהו תאר מפליג ואעזוב מה שראיתי לגלותו בדברים מרובים בעבור מאמרו הקצר ובעבור זה אמנע אני מליפות הספר ולקשטו ביותר: וממה ששמעתיו ממלמדנו יותר מפעם אחת כשיאמר שהיותר ראוי ממה שתתבאר בו פילוסופות שני אלו האנשים ר"ל בטלמיוס וניקומאכוש הוא בפתיחת נושאיהם אם בטלמיוס בפתיחתו לספר המגסטי ואם ניקומאכוש בפתיחת ספר הארתמאיטיקא כי פתיחות שני אלו הספרים מעוררות על מקומות עליונים בפילוסופייא ומדרגתם יקרה בידיעה ולא כזבה מחשבתך בזה ואמנם אחשוב אותה חי השם שהיא אמתי למה שהתאמת אצלך גודל מעלת פתיחת זה הספר ומעלת שעור תועלתו וטובו : ואני השיבותיך יפארך השם למה ששאלת נמשך להפיס דעתך בכל מה שאוכל להועילך וכתבתי אליך פתיחת זה הספר בספרי זה וכל מה שאיפשר לבארו ממנו בהשלמת המאמר המספיק ולהשליך ההכפלה והמותר ואפשר בו מלותיו והסירותי ממנו עמקו וקשיו וכבר עשיתי זה והקרבתיו לך ממלת המעתיק אותו מבלתי שיהיה בין העינינים חלוף ואמנם מה שהיה עליון במדרגה רחוק מהמנהג הנני לא אסור מלספר סדר מניח הספר אבל אני ממשיך לכל פרק שיהיה בזה התאר מאמ' סמוך לאותו הפרק מגיד אמתת הדרוש ולא אעבור בדבר ממה שאביא בו דעת מלמדנו אבו יוסף ובכאן עת להתחיל במה ששאלת והיה בו מצליח יישירך השם יתע' למה שתושע בו נפשך

Introduction
אמר ניקומאכוש שהקדמונים הראשונים אשר דקדקו בחכמה והעמיקו בה והיה הראשון להם פיתאגורש גדרו הפילוסופייא כשאמרו שהפילוסופיאה אהבת החכמה כמו ששמה מורה על זה ממנה כי העתקתו אהבת החכמה ירצה באומרו שמה מורה על זה ממנה לפי ששם הפילוסופיאה מורכב משתי מלות פילו וסופיה ופילו אוהב וסופיה חכמה הנה שמה מורכב מאוהב החכמה : אמר וכבר היה אשר היו קודם פיתאגוריש וקראו כל מי שהיה פקח בדבר מהמלאכות או הרפואה חכם בשם משולח מבלתי שיחקרו על השורש אשר בו ראוי להקרא בשם החכמה אמנם פיתאגוריש למה שייחד זה השני לעיניינו והשרש אשר ממנו נגזר קרא אמתת הידיעה בדברים המתמידים ר"ל המינים והסוגים החכמה בפרט מבלתי מה שיצא מזה מן החכמות :/ אמר ובודאי^ מי שקרא והראוי סופייא והאהבה לה הפילו סופיה ר"ל אהבת החכמה אמר הנה יותר ראשון שיצדק המאמר בגדרה ויותר ראוי בשנקבל ממנו בלתי מי שגדרה נגזר משמה
אמר אבו יוסף כי הקדמונים גדרו הפילוסופיה במספר גדרים אם מגזרת שמה כמו אוהב החכמה לפי שפילוסוף הוא מורכב מפילו והוא אוהב וסופיה והוא החכמה ואם שגדרוה מפעולתה ואמרו שהפילוסופיאה ההתדמות בבורא ית' כפי יכולת האדם ירצה בזה שיהיה האדם שלם בחשיבות וגדרוה עוד מצד פעולתה ואמרו שהיא ההשגחה במות והמות אצלם שתי מיתות מות טבעי והוא עזיבת הנפש שמוש הגוף ומות רצוניי והוא הריגת התאות והיא בחרה הבחירות החשובות וזהו המות אשר בו כוונו הנה לפי שבמיתת התאוות הדרך להגיע אל החשיבות ולזה אמרו רבים מחשובי הפילוסופים שהתענוג רע בהכרח שכאשר יהיו לנפש שני עסקים אחד מהם חושיי והאחר שכליי והיה מה שיקרא תענוג הוא מה שיקרה בהרגשה עם העסק בתענוגיה החושיים תעזוב הנפש עם זה העסק בשכל וגדרו גם כן הפילוסופיאה היא מלאכת המלאכות וחכמת החכמות וגדרו גם כן הפילוסופיה כשאמרו כי היא ידיעת האדם עצמו וזה מאמ' נכבד ורחוק מהעול מאד ודרך משל אומ' שבדברים אחר שהיו גשמים ולא גשמים והיו הגשמים עצמים והיו לא גשמים אם עצמים ואם מקרים והיה האדם הוא בעל הנפש והגשם והמקרה והיתה הנפש עצם לא גשם הנה כשידע האדם עצמו ידע הגשם במקריו והמקרה בראשון והעצם אשר הוא לא גשם וכאשר ידע זה יחד הנה כבר ידע הכל ולזאת העלה קראו החכמים האדם עולם קטן ואמנם מה שנגדור בו אנחנו הפילוסופיה הוא שהפילוסופיה היא ידיעת הדברי' הנצחיים הכוללים ישתויותיהם ומהיותיהם ועלותיהם ולמויותיהם כפי יכולת האדם להשיגו שלמו דברי אבו יוסף
אמר מניח הספר ועוד שהוא גדר החכמה בשאמר שהחכמה אמיתת הידיעה בדברים התמידים עוד גדר הידיעה כשאמר שהידיעה היא השגת תכלית הדברים המיוחסים לידיעה ר"ל אותם התמידיים אשר לא יעתקו מעניין מציאותם ולא ישיגם שינוי בישותם ולא יותרו מתכונתם והם המינים והסוגים הראשונים בטבע אשר בהשתתפות האישים להם וכשהם מתוארים בם היו ראויים לשם הנמצא אחר שיתנו מיניהם שמותיהם וגדריהם ואמנם האישים המוחשים הגשמיי' הנה הם בהתוך מתמיד ובשנוי מדובק והנה עם זה מתדמי הטבע והסגולה אל הסגולה הראשונה מן ההיולי אשר בו התוו ורצוני בסגלה היסוד כי היסוד כלו היה גלגל אחד השתנה והותר
אמר אבו יוסף ירצה בזה שהבורא ית' שם קצת תכונה לקצת עלות ודרך משל אומ' כראות אשר שמו עלה לנראים מהגוונים והשמע אשר שמו עלה למציאות הנשמעים וכן שם הכח אשר יקרא הטבע עלה לתנועות המתנועעים הנחים אחר התנועה והמתנועעים הם הגשמים ולזה יקראו הגשמים טבע לפי שאשר יקבלו מהתנועה והמנוחה אמנם יקבלוהו מן הטבע הנה הם בזה בחסרון לעולם ובתמורה וכן הגשמים המוחשים ר"ל האישים יקרה להם ההעתק והתמורה תמיד ואמנם אשר תחת ההויה מהם הנה התמורה תקרה להם בעצם ובטבע ואמנם הגלגל ומה שבו הנה תקרה להם ההעתקה במקום ואמנם האש והאויר והמים והארץ יקרה להם ההעתק והתמורה בקצת בלתי הכל וכל אחד מאלו אשר תארנום במה שיקרה להם מהתמורה הנה הם בו כל ימי היותם ואמרו הסגלה הראשונה מן ההיולי ירצה בו אויש המתייאשים שהם יומרו מה שהיו מלא אל יש והיסוד הוא האפשרות אמר מניח הספר ואמנ' אשר אינם גשמים והם מה שימצא ר"ל מאמרות התשעה המקרים הנה הם בגדר הפרדתם בלתי סרים מתכונתם ולא משתנים מענינם ירצה המקרים השיניים כי הם מושכלים יחד אבל מה שישיג אישי אלו המקרים המוחשים כמו לובן פלני ותנועת פלני מהשנוי והתמורה הנה הם להשתתפם לעצם הנושא אותם ר"ל כשהם עומדים ישיגם השינוי והתמורה בתוסדתו ושינויו ולזה ידיעתם לא תקרא חכמה אבל העצמים השניים והמקרים השניים הנה הם אשר ידיעתם בפרט היא החכמה ואמנ' על ההעברה הנה תקרא ידיעת האישים חכמה אחר שהיא הדרך אל ידיעת אותם הדברים המתמדיים הנצחיים הראשונים אשר לא ישיגם שנוי ולא הסרה מטבעם אשר יאמ' שהם נימצאים באמת ובברור אבל האישים הנופלים תחת התנועות השש אשר הן ההויה וההפסד והגדול והחסרון וההשתנות וההעתק הנה אמנם יאמרו שהם נימצאים מפני מציאות מיניהם אחר שמיניהם כמו שבארנו יתנו להם שמותיהם וגדריהם ואמנם כאשר נכוון אל אחד מאישיהם לא ימצא בטבעו נמצא לפי שלא יתקיים כהרף עין אל עניין אחד אחר שהאישים בכל עת להם תנועה ותמורה ולזה אמ' אפלטון בספר טימאוש מה הדבר אשר הוא נמצא לעולם ואין לו התהוות כלל ומה הדבר אשר יתהווה לעולם ואין לו מציאות כלל ירצה בראשון הסוגים והמינים המתדמים לנצח אשר לא תשיגם הויה אמנם יושגו בשכל ר"ל בהדרכה מהמוחשות ואמנם השני ירצה בו האישים אשר יחשב שהם נימצאים בעת אחד ואינם כן באמת אחר שיתהוו ויומרו מבלתי שימצאו בשני עיתים בענין אחד אמר הנה כבר ראוי לנו ויחוייב עלינו אם היינו נכספים לשלמות האדם אשר כפי יכלתו וההשארות המתמיד והיה זה אמנם יהיה בפילוסופיה לבדה לא בדבר זולתה והפילוסופיה כמו שזכרנו אהבת החכמה והחכמה אמיתות הידיעה בדברים הנימצאים והדברים הנימצאים מהם מה שיאמ' לא נמצא באמת ומהם מה שיאמ' זה בשתוף השם נוכל שנחקור מהדברים הנמצאים ונבארם באמתות ונאמ' שהנמצאות המוחשות מה שהם מתאחדי החלקים מחוברי האיברים במדרגת החי אשר חלקיו מתאחדים בו וכמו כן האילן והדומה להם ואילו יאמ' להם גדלים באמתות ומהם מה שהם מפורדים והם בהתקרב מקומותיהם ובהתקבצם יקראו כללים ורבויים ואם לא יהיו מתאחדי החלקים כמו עדרי הצאן ושורות האנשים הנה כבר התבאר שמהמוחשים מהם מה שהוא נופל תחת הרבוי אלא ששני הגודל ומהם מה שהוא נופל תחת הרבוי אלא ששני אלו המינים אין תכלית להם בטבע כאשר יאמרו מאמ' משולח כי הרבוי כאשר יתחיל משרש מוגבל ויכפיל לא יהיה לו תכלית בטבע יעמד אצלו ולא יהיה לו כפל אחר אבל יוסיף ויצמח תמיד וכמו כן הגודל כאשר יתחיל בחלוקתו מכללות מוגבל לא תכלה החלוקה אל חלק אין חלק לו אבל יסבול החלוקה תמיד הנה אין ידיעת שני אלו נמצאות על האמת אחר שידיעת מה שאין תכלית לו בלתי נמצאת ואמנ' הידיעה על אמיתתו ידיעת הדברים הניכללים המוגבלים הנה כבר התבאר שהידיעה לא תעמד אצל הרבוי המשולח לפי שהוא בלתי ב"ת ומה שהוא בב"ת הוא בלתי מוגבל אין דרך אל הידיעה בו כלל ואמנם אם נאמ' הרבוי בהצטרף אל המיעוט ונקרא שני המצטרפים בשמותם המיוחדים היו אז ידועים לפי שהרב אמנם יהיה רב אצל מה שהוא פחות ממנו וכמו כן המעט אמנם הוא מעט אצל מה שהוא יותר ממנו (והמעט אצל מה שהוא יותר ממנו) והמעט אצל מה שהוא יותר ממנו ממעט אצל מה שהוא יתר ממנו הוא הרב אצל מה שהוא פחות ממנו כמו העשרה שהוא הרבה אצל מה שהוקש אל מה שתחתיו ומעט כשהוקש אל מה שעליו וכן הגדול אמנם הוא גדול כשהוקש אל מה שהוא יותר קטן ממנו ואם הוקש אל מה שהוא יותר גדול ממנו היה קטן הנה כבר התבאר משני אלו הצדדים שאפלו היו בלתי מוגבלים בעצמם הנה הם עם ההצטרף אליהם מוגבלים : ונאמ' עתה שהכמה המספרי יחלק לשני חלקים אחד מהם הוא אחד מה שחוייב לו יחוייב לו לבדו ובטבעו והאחד הוא שמה שיחוייב לו יחוייב לו לבד בהצטרף אמנ' המחוייב לו בטבע כמו הזוג והנפרד וזוג הזוג וזוג הנפרד והנפרד הראשון בלתי המורכב והשני המורכב כי אלו אמנם יחוייבו לכמה המספרי בטבעו לא מפני הצטרפו אל זולתו כי אין הזוג מתחלק לשני חלקים מתמשלי האחדים מפני הצטרפו אל דבר אחר ואמנם אשר יחוייב לו מה שיחויב בהצטרף כמו הכפל והחצי והשליש כי החצי לדבר מה חצי והכפל לדבר מה כפל הנה אם כן התבאר שהכמה חכמה יחקרוה שתי מלאכות הם הארתמאיתיקא והיא תחקור מהכמה הניפרד והמוסיקא והיא תחקור מהכמה המצורף : ואמנם איכות הדברים הטבעיים יחלק לשני חלקים אם איכות מתנועע ואם איכות נח והמתנועע הוא מה שיחקור במלאכת האסטרונומייא ר"ל התכונה והנח הוא מה שיחקר במלאכת הגאומטר' ר"ל ההנדסה אמר הנה אין דרך אל ידיעת מיני מה שנאמר שהם נימצאים באמת רק באלו האומניות הד' אשר הם הארתמאיטיקא וההנדסה והתכונה וחבור הנגונים ולא ימצא דרך אל הפילוסופיה אלא בם וכמו שכל מלאכה מן המלאכות יצטרך עושה אל בקיאות במלאכתו ודמיון יתישר ממנו בהוצאת דרושו כן אלו החכמות במלאכת הפילוסופיה אשר היא מלאכת המלאכות וכבר יאמ' זה המאמ' אנדרוקודיס הפיתאגוריי וכן יאמר גם כן ארגוטאלס אל אטראנטיני כאשר התחיל במלאכת חבור הליחנים שהוא אמ' הביטו הראשונים במה שראו מענין אלו החכמות כי אינו בלתי אפשר כלל שיהיה להם דבר סברה אחת אמיתית הנה כמו שהם כבר הביטו במה שראו מענין טבע הכל כן היו מוכל מוכנים לסבור בכל א' מן החלקים סברא אמיתית כי הם הקנו לה בשערי ה[ ]ות והתכונה חכמה גלויה ומבוארת ולא קצרו גם כן מזה במה שהועילונו מעלות מלאכת הליחני וכבר ידומה שאלו החכמות הארבעה אחים ואם היו כבר ישובו אל שני המינים הראשונים אשר הם הכמות והאיכות כמו שביארנו לפנים עם שאפלטון בסוף האופן השלשה עשר מהספר אשר הניח בנימוסים והוא הספר אשר יקראוהו האנשים הפילוסופיא בחקרו וגדרו איך ראוי שיהיה אשר הוא פילוסוף באמת כן בידיעת אלו הארבעה אחר כן שב ואמ' בקצרה אחר שהפליג בזה והקדים שכל תמונה וקיבוץ מספר והסכמת חבור ומה שיורו בו ממרוצות הכוכבים אמנם ראוי שיורגל ידיעתו כפי שעור חבורם אחד אחד וכבר יתבאר עלה מה שזכרנוהו כי כאשר היה האדם אמנם יתלמד הרבה להשיג בם ידוע אחד הוא כונתו מהם הנה אמנם הם דבר אחד ואם רבו ואמנ' אם יחליף האדם זה הדרך בחכמת הפילוסופיא אין דרך לו אליה לפי שזה האופן אשר ממנו יבא הדרך אשר ממנו המציאות אין דרך לו זולת כלל ר"ל החכמות הארבעה אשר זכרנו קשות היו או קלות רבות היו או מועטות אין ראוי להתרשל בקניניהם כי מי שקיבץ אלו החכמות על צד שתארתי הוא אשר אקראהו אני חכם אמתי ואתארהו שש בחכמתו כי לא יעלם שאלו החכמות הם כמו גשרים בם יעברו מחשבותינו מאלו הדברים המוחשים המחושבים אל הדברים הנימצאים המושכלים ויעבירו דעותנו מאלו הדברים הגשמיים אשר גדלנו בם והרגלנום אל הדברים תורים אצלנו אשר לא הרגילום ראשנו ואשר הם בדקותם דומים לנפשותינו והיותר ראוי ממה שבחרנוהו בהקדמת העיון בחכמות וקנינם מה שזכרו אפלאטון בספר הנימוסים שסקראט אמ' לו והוא יתחכם כשיביא עלות אמיתיות מועילות בענין אלו החכמות מתחייבות מצד החוכמות מועילות בתיקון חיי בני אדם אמ' שיאמ' אמנם מלאכת החשבון אמנם נצטרך אליה בחשבונות א[] בחלוקות ובתבואות ובהוצאות ופרעון החובות והשותפיות אמנם המדות בהשואת המחנות ובניין המדינות וההיכלות ומדידת השדות : אמנ' חכמת הכוכבים בידיעת עיתות עבודת הקרקעות ורכיבת הים וזולת זה מבחירות עיתות התחלות המלאכות ופרק הזמנים אמנם חכמת הניגונים להודות בם הבורא ית' או לשמוח במקהלות או בצניעה ולזה יאמ' אפלאטון משיב לו והוא יוכיחהו כתחשבני כי תראה שאחמול עליך שלא תחלק עמך הנני אומ' שאלו החכמות אין לדקדק בם שזה אחלוק יקשה מאד מכל צד אבל אוסיפך חזוק שאין דרך לאחד לומ' זה כי עין הנפש ר"ל כאשר יעצומוהו ויסתמוהו שאר הפעולות הגופיות וישימו עליך מסך הנה הוא יפקח ויעור באלו החכמות ואמתת עין הנפש יותר משובח מאמתת עשרת אלפים עינים מהעינים הגופים כי בו לבדו יראו אמתויות הדברים : אמר והיותר ראשונה מאלו סדר המדעים המתמטיים החכמות הארבעה והיותר קודמת על הנשארות בטבע והיותר חזקת האמונה והיא להם כמדרגת המולידה אשר ממנה התחלה היותן ושרש צמיחתן הוא מלאכת החשבון אין זה לפי ש[ ] היא אשר התקיים בהצעת הבורא אבל לפי שהיא במדרגת ההמשל היתה ראשונה במחשבת האל והדמיון אשר ממנו יקחו תכונת הדברים אשר הצמיחם ית' מהיסוד והשלימם על הענינים המיוחדים אשר עליהם כל אחד מהם
אמר מניח הספר ויורה על מלאכת החשבון ג"כ יותר קודמת בטבע מזולתה שהיא תשים זולתה מאלו החכמות אובד באבדה מבלתי שתאבד היא באבדן דבר מהן כי אם יסתלק המספר קודמת מבחינה טבעית יעדרו הספורים ולא אם יעדרו הספורים יאבד המספר כאמרנו בחי שהוא יותר קודם מן האדם קדימה טבעית שכאשר יעלה החי יעלה האדם בהעלותו ולא כשיעלה האדם יעלה החי וכן כל דבר יותר קודם מדבר אחר קדימה טבעית כשיעלה הקודם יעלה בהעלותו זולתו ולא יעלה הוא בהעלות דבר ממה שהוא יותר קודם ממנו וכן כאשר תהפך המאמ' תמצא הענין כפי זה כשיחויב דבר יחויב בחיובו מה שהוא יותר קודם ממנו קדימה טבעית ולא כשיחויב הקודם יהיה הכרח שיחויב בחיובו מה שהוא תחתיו בקדימה כמו האדם והמשורר כי האדם יותר קודם מהמשורר וכשיחויב משורר יחויב שיהיה אדם ואין הכרח כשיחויב אדם שיהיה בלי ספק משורר הנה כפי זה הסדר אלו החכמות הארבעה אשר זכרנו כאשר תהיה המדידה אין ספק שיהיה החשבון האריתמטיקה הכרחית לגיאומטריה עמה כי כשיחויב במדות משולש ומרובע ובעל שמנה תושבות או חמש עשרה תושבות הנה כבר השתמשת בזה ממלאכת החשבון לפי שהארבעה והשלשה והשמנה והט"ו מן החשבון ולא תמצא מלאכת המדות ריקה מן החשבון והמספרים אשר יחויבו בחיובה בהכרח כי אין דרך לומר בהכרח בכפל שלשה פעמים וארבעה פעמים מבלתי ידיעת השלשה והארבעה קודם בהנחה ואמנם אם תהפך המאמ' תמצא השלשה והארבעה וזולתה מהמספרים כבר נתקיימו בטבע והמחשבה ואם לא היו הגדולים הניגודי השמות מהם ידועים או נמצאים הנה כבר התבאר אם כן שהמספר יותר קודם מן המדות קדימה טבעית אחר שבסור החשבון תסור המדידה ולא יסור החשבון בסורה וכן גם כן בכמו זה הבאור יתבאר הגיאומטריה לא הכרחית לאריתמטיקה שמלאכת החשבון יותר קודמת ממלאכת הלחנים לפי שהעצם יותר האריתמטיקה הכרחית למוסיקה קודם מההצטרפות כמו שהממון יותר קודם מגודל העצם והאדם יותר קודם מהכלים וזה לפי שחבור הנגונים והאותותם והסכימם אמנם הוא כשיהיה תכלית הקול אחד מהם אצל האחר וזה בהסכמה אשר בארבעה ואשר בחומש ואשר בכל שלשה פעמים ואשר בכל והארבעה ואשר בכל והחומש ר"ל אשר בכל שלשה פעמים ואשר בכל ארבעה פעמים וכל קבוץ יחסים אמנם נרצה ממנו מספר הנעימות אשר בו ואשר בארבעה אחד מתכליותיו אצל האחר כמוהו וכמו שלישיתו ואשר בחמשה אחד מתכליותיו אצל האחד כמהו וכמו חציו ומאשר במרבע ואשר בחמש יהיו שני התכליות ביחס אשר בכל ואשר אחד מתכליותיו אצל האחר שלשה דמיוניו לפי שתכלית אשר בכל וחמש אצל אשר בכל ביחס כל וחצי כל ואשר בארבעה ובכל אחד מתכליותיו אצל האחד בשמנה אצל השלשה ואשר בכל ארבעה פעמים הוא אשר אחד מתכליותיו אצל האחר ארבעה דמיוניו ואלו כל קבוצי החבור אין דרך לחברם והחשבון בלתי נמצא וכשימצא החשבון לא יחוייב שיהיו המוסיקה לא הכרחית לאריתמטיקה החבורים ולא הלחנים נמצאים וכמו כן גם כן מלאכת החשבון בזה הבאור יתבאר שהיא קודמת ממלאכת התכונה וזה גלוי אחר שבחשבון והמדות יושגו כל דרושיה וכבר יתבאר גם כן שהמדה יותר האריתמטיקה והגיאומטריה הכרחיות לאסטרונומיה קודמת מהתכונה מצד שהתנועה אמנם תהיה אחר המנוחה ועוד שכבר יאמ' שתנועות הכוכבים הם נגונים נערכים ר"ל הן בייחס דבוריי פשוט ר"ל בפשיטות יחס בעל הכפלים ויחס המוסיף חלק וכאשר היה זה כן הנה החבור הנגוני יותר הקודם מהתכונה ואמנ' המוסיקה הכרחית לאסטרונומיה זריחות הכוכבים ועריבותיהם וקדריותיהם והסתרתם והראותם לא יעלם שכבר יושב במדה וכאשר היתה מלאכת החשבון יותר קודמת מזולתה בראוי אם כן ממנה מה שהקדמנו לפנים שהמאמ' עליה ומשפטי הדבור בה יותר ראשונים בקדימה ואנחנו בזה מכאן הנה לך אחי שלמות פתיחת זה הספר כאשר שאלת עד מקום המספר ממנו והיה בו ובכל מה שהשיב הבורא עליך מצליח והוא בחסדו יישירך לרצונו אמן

Absolute Quantity - Arithmetic

The Nature of Number

 הדבור בטבע המספר
כל הדברים שתיקן הטבע חבורם ימצאו נופלים תחת סדר המספר כמו היסודות והזמנים ותנועות השמים ושאר התקונים הטבעיים הנה בזה ראוי שיהיה המספר במדרגת ההמשל והדמיון אשר ממנו יוקח הדבר וחדשו הבורא ית' ראשון בטבע ואמנם חבור המספר עצמו אין סדר לו זולתו לפי שהוא בתכונתו נצחי בעצמו לא עומד בזולתו אבל לפי שכל מחובר אמנם הוא מחובר מדברים מתחלפים בלי ספק ומדברים הם גם כן נימצאים אחר שאשר אינם נימצאים אין לשער חבורם ולא אשר הם ואפי' היו נמצאים אלא לפי שהם בלתי דומים אי אפשר חבורם הנה נמשיך לזה שהדברים המחוברים אמנם יחוברו מדברים נמצאים מתחלפים נאותים לפי שאם לא יהיו מתחלפים הנה הם אחד לא יצטרכו אל חבור ואם לא יהיו נאותים לא יהיו מתדמים ואם לא יהיו מתדמים אלא שהם הפכיים לא יפול בם החבור הנה המספר יהיה גם כן מתחלף ונאות כך אחר שהוא מחובר וזה אמת אחר שבו שתי מינים ראשונים מתחלפים נאותים דומים ר"ל הזוג והנפרד כי הבורא ית' חברם עם חלופם חבור מסתבך אין הפרדה בו כמו שיתבאר זה במה שיבא אחר זה

The Definition of Number and its Types

 הדבור בגדר המספר וחלוקתו
המספר בהעברה הגדרת המספר מן המאמ' הוא קבוץ האחדים או כלל הכמות המורכב מהאחדים והמספר יחלק חלוקה ראשונה אל שני חלקים אחד מהם הזוג והאחר הנפרד והזוג הגדרת המספר הזוגי יחלק לשני חלקים שוים אין ביניהם אחדות אמצעי יעדיף בו אחד מהם על האחר והנפרד הוא אשר אין דרך אל שיחלק בשני חלקים שוים הגדרת המספר האי-זוגי אבל בהכרח כשיחלק בשני חלקים בתכלית הקירוב מן השווי היה בין חלקיו אחדות יעדיף בו אחד משני חלקיו על האחר וזה הוא הגדר כפי מה שיראו ההמון ואמנם כפי מאמ' פיתאגוריש הנה המספר הזוג הוא אשר יחלק חלוקה יראה בה היחס המקיף בתחלת המיעוט הגדרת פיתגורס למספר הזוגי ותחלת הרבוי ירצה ביחס המקיף בתחלת המיעוט ותחלת הרבוי יחס הכפל והחצי אחר שלא יראה אלא בחלוקת המספר הזוג ר"ל המתחלק בשני חלקים שוים : אמר ואמנם הנפרד הנה הגדרת פיתגורס למספר אי-זוגי הוא אשר לא יקבל זה אבל הוא יחלק בשני חלקים בלתי שוים לעולם וכפי צד מאמר הראשונים גם כן הנה המספר הזוג הוא אשר יחלק בשני חלקים שוים ויחלק גם כן בשני חלקים בלתי שוים בתוספת והחסרון מלבד השנים מהמספר הזוג שהם כאשר נחלקו יותכו אל האחדים ולא יסבלו חלקיהם התוספת והחסרון ולא יעבור הזוג בהחלקו בשני חלקים שוים מן אחד מן המספר ר"ל אם היה אחד משני חלקיו זוג היה האחר זוג ואם היה אחד מהם נפרד היה האחר נפרד והמספר הנפרד הוא אשר איך שתחלקהו לא ישתוו חלקיו ולא ימנעו מחלקיו הזוג והנפרד יחד ר"ל שאם היה אחד מחלקיו נפרד היה האחר זוג אם כן הוא מבואר שהיותר קרוב מה שיהיו חלקי הנפרד מן השווי כאשר היה בין שני חלקיו אחדות יעדיף בו אחד מהם לאחד ואמנם בגדר אשר יקרא דיאלילש וענינו ידיעת אחד משני המוסכלים באחד כי המספר הנפרד הוא המתחלף משני צדדיו לזוג באחדות אם בתוספת עליו ואם בחסרון ממנו הנה אם כן בזה הגדר לא יודע הנפרד אשר הוא מוסכל עד שיודע הזוג אשר הוא מוסכל ולא יודע הזוג אשר הוא מוסכל עד שיודע הנפרד אשר הוא מוסכל
The Units
 הדבור באחדים ושררת האחדות
כל מספר הוא חצי שתי פאותיו כאשר יקובצו ר"ל מה שהוא מוסיף מאותו המספר באחד ופוחת ממנו באחד כאשר יקובצו וכמו כן הוא חצי שתי פאות פאותיו וחצי גם כן מה שאחר זה כאשר היה מה שיחסר מאחת משתי הפיאות כשעור מה שיוסיף באחרת וכן יהיה תמיד עד שיגיע החסרון מהפאה הקטנה אל האחדות אשר לא יוכל לעברו ואמנם האחדות הנה לא ילוה לו רק הפחות במספרים אשר הוא שנים ולפי שאינו מספר שיהיו לו שתי פיאות היה חצי פאתו האחת ר"ל חצי השנים אחר שתולדת השנים מכפלו הנה כבר התבאר מה שהאחדות עלת המספר בצמיחתו
Even Number
 הדבור בחלקי הזוג וסגולתו
Even-Times Even
 זוג הזוג
המספר הזוג יחלק לשלשה חלקים אחד מהם זוג הזוג והשני זוג הנפרד והשלישי זוג הזוג והנפרד הנה אם כן שני החלקים הראשונים אשר הם מיני המספר הזוגי זוג הזוג וזוג הנפרד נבדלים להבדל הזוג והנפרד בגדר והחלק השלישי אשר הוא זוג הזוג והנפרד כאמצעי משני הקצוות ללקחו השם מורכב משמות שני החלקים הנה זוג הזוג הוא מורכב מהכפלת האחד אם כן הוא אשר איפשר שיחלק בשני חלקים שוים הם חצאיו וכל חצי הגדרת זוג הזוג מהם לשני חצאים וכן חצאי חצאיו עד שיגיע אל האחד לפי שהוא מהכפלתו כמו שבארנו לפנים הנה אם כן כבר התבאר שכל אחד מחצי זוג הזוג זוג הזוג וכן חצי חצייו לפי שכל אלו להם חציים ולחצייהם חציים עד שיגיעו אל האחדות ועוד כי חלקי זוג הזוג נמצאים לעולם נגזרי השם מזוג הוא זוג הזוג והגעתם ג"כ זוג הזוג כמו שמינית ס"ד אשר הוא נגזר משמנה אשר הוא זוג הזוג והגעתו שמנה והוא זוג הזוג גם כן כמו רביעיתם הנגזר בארבעה והוא זוג הזוג והגעתו י"ו וכן חצים והוא נגזר משנים והוא זוג הזוג והגעתו ל"ב והוא זוג הזוג ולא ימצא לזוג הזוג חלק נגזר השם ממספר נפרד כמו התשיעית הנגזר מתשעה והשלישית הנגזר מג' וכבר יחשב שזה המספר אמנם נקרא זוג הזוג לפי שחלקיו נגזרי השמות ממספרים זוגות והגעתם זוגות גם כן ונמצא מסגולת זוג הזוג שחלקיו אחר שהם נגזרי השמות ממספרי זוג הזוגות שאותם הזוגות גם כן הם הגעות חלקי זוגות זוגות מן המספר אשר הם לו חלקי' כמו החצי הנגזר מב' והגעתו ל"ב מס"ד אשר החלק מל"ב מהם ב' וכאשר הנחנו מדרגות מספרי זוג הזוג בהכפלה מהאחד כפי זה הסדר א"ב ד"ח י"ו ל"ב ס"ד קכ"ח היו שמנה מדרגות הראשונה א' והשמינית קכ"ח סדרת זוג הזוג: והיו להם שני אמצעיים והם ח' וי"ו והיה החלק מי"ו מקכ"ח ח' ושמינית קכ"ח י"ו וכמו כן החלק מל"ב מהם ד' ורביע קכ"ח ל"ב וכמו החלק מס"ד מהם ב' וחציים ס"ד וכמו כן וכמו כן הם באחדות פעם אחת קכ"ח כמו שהאחד בם קכ"ח פעם הנה כבר התבאר במספרי זוג הזוג חלקיהם נגזרי השמות ממה שבתוכם מהגעתם כפי ההכפלה אשר תארנוה לפנים וכמו כן גם כן אם יושלך ממדרגותיהם מדרגה עד שיהיה מספר מדרגותיהם נפרד ויהיה הקצה הגדול מהם ס"ד תמצא שלא סדרת זוג הזוג: יבצר דבר ממה שתארנו ויהיה שמיניתו ח' אשר הוא האמצעי וחלק מי"ו מהם ד' ורביעיתם י"ו והחלק מל"ב מהם ב' וחציים ל"ב וס"ד באחד ס"ד פעם כמו שהאחד בו ס"ד פעם ועוד יתחייב למדרגות זוג הזוג כאשר יונחו על הסדר אשר המשלנו והיו המדרגות זוג ויחויב שיהיו להם שני אמצע[יי]ם * יהיה מה שיתקבץ מהכאת אחד משני האמצעיים אמצעיים באחד שוה למה שיתקבץ מהכאת שני הקצוות אחד מהם באחר שוה למה שיתקבץ וכן מה שילווה לשני הקצוות אחד מהם באחד ומה שילוה לו נלוה עד שיגיע לנלוים לשני האמצעיים ותבחן הקש בזה במדרגת אשר ספרנום שיהיה מספרם זוג והם אשר תחלתם אחד וסופם קכ"ח ותמצא כמו שאמרנו וכאשר היה מספר המדרגות נפרד היה להם אמצעי אחד ויהיה כח מוכה האמצעי בעצמו כהכאת שני הקצוות אחד מהם באחר וכן מה שימשך להם כמו שבארנו וכבר יתחייב למדרגת זוג הזוג שיהיו כאשר נכללו מן האחד היה הגעת כלם פחות מהקצה הגדול באחד ואם לוקח עמם הקצה הגדול היה כל זה פחות מכפל הקצה הגדול באחד וזה יתחייב למדרגות ימעטו או ירבו ומבואר מזה שמדרגות זוג הזוג כשנכללו מן האחד היה הגעתם נפרד לפי שהם פחות מהקצה הגדול אשר הוא לעולם זוג באחד והחסר מהזוג אחד הוא הנפרד
Even-Times Odd
 הדבור בזוג הנפרד
המספר אשר הוא זוג הנפרד Iיחלק לשני חלקים דומי האחדים למה שהקנהו מטבע סוגו אחר שהוא זוג ושם יעמוד ולא יתחלק פעם שנית אחד מחלקיו בשני חצאים הנה אם כן זוג הנפרד הוא הכפלת הנפרד פעם אחת כמו ששה ועשרה וארבעה עשר וי"ח וכ"ב וכ"ו דוגמאות: כי ששה מכפל ג' ועשרה מכפל ה' וי"ד מכפל ז' וי"ח מכפל ט' הנה אם כן כשיסודרו הנפרדים הטבעיים ר"ל על משך סדר הטבע ויתחילו מתחלת הנפרדים אשר הוא ג' כמו ג' ה' ז' ט' י"א י"ג והיה תוספת הנפרד על הנפרד אשר לפניו מהם שנים שנים עוד תכפול אלו הנפרדים על המשכם ותסדרם כמו ו"י י"ד י"ח תוסיף כל פעם על אשר לפניו ד"ד לפי שהנפרדים הטבעיים אשר חדשו אלו הזוגות מכפלם היו נוספים שנים שנים וכאשר נכפלו יכפלו התוספת והיו ד"ד כמו שהמשלנוהו ממדרגותיהם ומבואר שהם אמנם יתחדשו על משך טבעם מהכפלת הנפרדים הטבעיים פעם אחת וכבר יתחייב לזוג הנפרד שיהיה כל אחד מחלקיו מתחלף ההגעת לשמות גזרתו בסוג ר"ל שאם היה החלק נגזר השם ממספר נפרד היה הגעתו זוג ואם היה החלק נגזר השם ממספר זוג היה הגעתו נפרד כמו ששה מזוג הנפרד כי שלישיתו הנגזר מג' והוא נפרד ב' וחציו הנגזר ב' והוא זוג ג' והוא נפרד אם כן כבר התבאר שזוג הזוג מתחלף לזוג הנפרד לפי שזוג הזוג חלקיו נגזרי השמות מסוג הגעתם כמו ח' אשר רביעיתם ב' וחציים ד' וכבר יחשב שלזה נקרא זה המין זוג הנפרד אחר שהיו חלקיו מתחלפים בשם ובהגעה בסוג וכבר יתחייב לזוג הנפרד שלא יהיה לדבר ממנו שליש אלא למה שאתאר וזה שתניח מדרגות זוג הנפרד אשר התחלתם ו' על הדמיון המתואר קודם זה והם ו' י' י"ח כ"ב כ"ו ל' ל"ד ל"ח מ"ב מ"ו נ' נ"ד עוד נעבור שלשה מדרגות מתחלת המדרגות הנה הרביעית יש לה שליש והיא י"ח ושלישיתה ו' עוד תתרחק מי"ח שלשה מדרגות והרביעית יש שליש והיא ל' ושלישיתה י' וכן תמיד ולא ימלטו ממך מזוג הנפרד מה שיש לו שליש אמר אבו יוסף ואתה כאשר תקח הזוגות אשר להם שליש מתחלתם ותסדרם ימשכו קצתם לקצת כמו י"ח ל' ומ"ב ונ"ד וס"ו ותקח שליש כל אחד מהם על המשך ותסדרם ימשכו קצתם לקצת כמו ו' י' י"ד י"ח כ"ב תמצא שלשיותיהם על משך סדרם הם מדרגות זוג הנפרד מתחלתם על סדרם לא יבצר מהם דבר וכבר ישיג לסוג הנפרד שמדרגותיו כאשר היה מספרם זוג והיו להם שני אמצעיים כמו שני הקצוות מקובצים וכמו אשר ילוה לשני הקצוות ואשר ילוה לנלוה כמו שבארנו לפנים במדרגות זוג הזוג אלו שהענין יהיה שם בהכאה ובכאן יהיה בחבור ואם היו מספר המדרגות נפרד היה להם אמצעי אחד לבד ותהיה הכפלה האמצעי האחד ממדרגות זוג הנפרד כמו מקובץ שני הקצוות וכן מה שימשך לשני הקצוות ומה שימשך לנמשך אליהם הנה כבר התבאר הנה חלוף זוג הזוג וזוג הנפרד בהתחלף ענין ההכאה וענין החבור בשני הקצוות והאמצעי ושני האמצעיים וכבר יתחלף זוג הזוג לזוג הנפרד גם כן כאשר המתחלק מזוג הנפרד קצהו הגדול לבד ושהבלתי מתחלק מזוג הזוג קצהו הקטן לבד אשר הוא האחד
Even-Times-Even-Times Odd
 הדבור בתאר זוג הזוג והנפרד
אמנ' המספר אשר הוא זוג הזוג והנפרד והוא המין השלישי ממיני הזוג באמצעי להם ומורכב מהם ללוקחו מכל אחד כמו סגלתו אמנם מה שלקח מדמיון זוג הזוג שהוא יחלק לשני חלקים מתמשלי האחדים בטבע אשר הקנהו סוגו עוד יחלק כל אחד משני חלקיו שנית בשני חלקים מתמשלי האחדים בטבע אשר הקנהו בהכרח ואולי יחלקו חלקיו וחלקי חלקיו פעמים רבות אלא שלא תגיע בו החלוקה אל האחד הנה במה שיחלק לשני חלקים מתמשלי האחדים יותר מפעם אחת ידמה לזוג הזוג ויתחלף לזוג הנפרד ובאשר לא יכלה בחצוי אל האחד ידמה לזוג הנפרד ויתחלף לזוג הזוג הנה כל מה שידמה בו אחד משני המינים יתחלף באותו הענין למין האחר ותבחן זה במספרי זוג הזוג והנפרד כמו י"ב וכ' וכ"ד ותמצאהו דוגמאות: כן וכבר ישיג מספר זוג הזוג והנפרד שימצאו לו הסגלות אשר נאמרו שלא ימצאו לזוג הזוג ולא לזוג הנפרד ושימצאו לו ג"כ אותם הסגלות אשר ימצאו אליהם אמנם אשר ישיגהו ממה שלא ישיגם מזה שהמתחלק מזוג הנפרד קצהו הגדול לבד והבלתי מתחלק מזוג הזוג קצהו הקטן לבד אבל זוג הזוג והנפרד אין המתחלק לבד קצהו הגדול ולא הבלתי מתחלק ממנו קצהו הקטן לבד אבל כבר ימצאו לו בלתי קצהו הגדול חלקים יקבלו ההחלק גם כן וימצאו לו בהכרח קודם שיכלה בו ההחלק אל האחד חלק לא יקבל חלוקה ואמנם מה שישיגהו ממה שישיגם הוא שבו חלקים נגודי השמות ממספר מין הגעתם דומה בזה לזוג הזוג ובו חלקים מתחלפים הגזרה במין להגעתם ידמה בזה לזוג הנפרד ותבחן זה ותמצאהו כן ואמנם איך יתילד זה המין ואיך יצמח הנה למה שהיה לוקח הדמוי לזוג הזוג ולזוג הנפרד יודע שהוא יורכב ממה שהורכבו ממנו יחד הנה המספר אשר הוא זוג הנפרד אמנם יתילד מהכפלת הנפרדים הטבעיים והמספר אשר הוא זוג הזוג אמנם יתילד מהכפלת האחדים הנה כאשר תרצה להוליד זה המין השלישי אשר הוא זוג הזוג והנפרד תסדר הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם שלשה ימשכו קצתם לקצת בטור הארוך עוד תסדר מדרגות זוג הזוג אשר הכפלתם מד' ר"ל בזה הצד לפי שאחר הנפרד הראשון מהנפרדים הטבעיים התחלת זוג הזוג ימשכו קצתם לקצת בטור הרחב עוד תתחיל ותכה המדרגה הראשונה מאי זה משני הטורים שתרצה בכל מדרגות הטור האחר אחד אחד עוד תעמיד כל מה שיצא לך על מדרגותיו בטור שלישי עוד אחר זה תשוב אל המדרגה הנמשכת למדרגה אשר הכית בכל מדרגות הטור האחד ותעשה בם גם כן כמו שעשית באשר לפניה ותכה אותה בכל מדרגות הטור האחד ותעמיד מה שיצא לך גם כן א א ד ח יו ל"ב ס"ד קכח ג"כ מסודר בטור ו ג יב כד מח צו קצב שפד רביעי וכן תעשה י ה כ מ פ קס שך תרמ במדרגה השלישית י"ד ז כח נו קיב רכד תמח תתצו והרביעית או מה יח ט לו עב קמד רפח תקעו אלף קנב שהנחת מהמדרגות כב יא מד פח קעו שנב תשד אלף תח ותסדר זה כלו כמו כו יג נב קד רח תיו תתלב אלף תרסד שאתה מראה ל טו ס קכ רמ תף תתקס אלף תתקך בזאת הצורה וכבר הוספנו ברחב לוח הולך באורך ילוה ללוח אשר בו הנפרד הטבעי העמדנו בו זוג הנפרד על סדר מדרגותיו אשר התחלתם ששה כדי להראות בזה כל מה שזכרנו מהסגולות למיני הזוג השלשה אחר שזאת הצורה תקיף עליהם יחד כי אתה כאשר תשים הקצה הקטן מזוג הנפרד ששה והקצה הגדול ממנו י"ד תמצאם מקובצים כ' ותמצא האמצעי אשר הוא י' כאשר תכפלהו כמו זה וכן אם שמת הקצה הגדול י"ח תמצא שני הקצוות מקובצים כ"ד שני האמצעיים והם י' וי"ד וכ"ד ואמנם זוג הזוג הנה אתה אם שמת הקצה הקטן ממנו ד' והגדול י"ו תמצא מה שיתקבץ מהכאת ד' בי"ו שוה למה שיתקבץ ממוכה האמצעי והוא בעצמו והוא ס"ד ואם שמת הקצה הגדול ל"ב תמצא כלל הכאת ד' בל"ב קכ"ח והוא שוה למה שיהיה מהכאת שני האמצעיים אחד מהם באחד והם ח' וי"ו הנה כבר התבאר ממה שבארנו לפנים מסגולות זוג הזוג וזוג הנפרד וממה שנמצאהו משיג לזאת הצורה אחרי השלמה שאתה כשתכה תחלת מדרגה ממדרגות הנפרד הטבעי במדרגה הראשונה הנפרד זוג הזוג והנפרד מאי זה מן הטורים ההולכים באורך המתחילים מן הרחב שתרצה תמצא ההגעה כבר תתרחק מאותה המדרגה שני אמצעיים והיה הוא המדרגה הרביעית מאותה המדרגה המוכה בה ממדרגות זוג הזוג והנפרד באורך ואם תכה המדרגה השנית ממדרגות הנפרד באותה המדרגה הראשונה ממדרגות זוג הזוג והנפרד תמצא ההגעה מתרחקת מאותה המדרגה הראשונה ממדרגת זוג הזוג והנפרד חמש אמצעיים והיא מתרחקת מההגעה הראשונה שני אמצעיים ותהיה ההגעה השנית היא המדרגה הרביעית מההגעה הראשונה באורך : וכמו כן ישיג כל מדרגות הנפרד שכל מה שתרד בה מדרגה תעבור הגעת אשר לפניה בשני אמצעיים באורך כאשר היתה המדרגה המוכה בה מדרגות הנפרד ממדרגות זוג הזוג והנפרד לבדו ואמנ' אם תכה המדרגה הראשונה מזוג הזוג במדרגה הראשונה מזוג הזוג והנפרד מאי זה הטורים ההולכים ברחב שתרצה תעבור אמצעי מהמדרגה המוכה בה מזוגות הזוגות והנפרד והיית בעברך האמצעי לוקח ברחב מכוין למה שהיית עושה בהכאת מדרגות הנפרד הנה נפלת על ההגעה אשר תהיה מהכאת המדרגה הראשונה מזוג הזוג במדרגה הא' מאי זה מטורי זוג הזוג והנפרד שתרצה ההולכים ברחב המתחילים בארך ואם תכה המדרגה השנית ממדרגות זוג הזוג במה שהכית בו ממדרגות זוג הזוג והנפרד ר"ל המדרגה הראשונה מזוג הזוג והנפרד תמצא ההגעה כבר נתרחקה מן המדרגה המוכה בה מזוג הזוג והנפרד שני אמצעיים והיית המדרגה הרביעית ממנה ברחב וגם כן אם תכה המדרגה השנית מזוג הזוג והיא ח' במדרגה השנית ברחב מזוג הזוג והנפרד והיא כ"ד תמצא ההגעה מתרחקת מכ"ד שני אמצעיים גם כן ולא תתרחק מההגעה הראשונה שני אמצעיים אבל מהמוכה בה הנה אם כן כבר התבאר שמוכה המדרגה הראשונה ממדרגות זוג הזוג כשהוכה במדרגות טור מטורי זוג הזוג והנפרד ההולכים ברחב כל מה שירד מדרגה ירד אחרת מההגעה הראשונה לוקח ברחב ושהמדרגה הראשונה ממדרגות טורי זוג הזוג והנפרד כאשר תוכה בכל מדרגות זוג הזוג ויצאו ההגעות ימשכו קצתם לקצת בלא אמצעי בטור אשר התחלתו היא המדרגה מזוג הזוג והנפרד הנה זה סוף המאמר בחלקי הזוג השלשה הנראים בחלוקה אשר זכרנו לפנים אמנם זכירת הזוג השוה והנוסף והחסר הוא בזולת זה המקום יותר ראוי באשר זכרו מניח הספר ושם נדבר עליו ברצון הש' ית'
Odd Number
 בזכירת המספר הנפרד ובאור חלוקותיו
המספר הנפרד כמו שאמרנו לפנים הוא אשר איך שחולק חלק בשני חלקים מתחלקים בתוספת וחסרון וכשיקרבו חלוקותיו מהשווי תכלית מה שאיפשר היה ביניהם אחד יעדיף אחד מהם על האחר והוא יחלק בטבע לשני חלקים ויקרה לו שיהיה לו חלק שלישי ואמנם האחד מהשנים אשר בטבע יאמ' לו ראשון בלתי מורכב ואמנם האחר יאמר לו שני מורכב ואמנם השלישי הנה יקרה משני אלו החלקים בהצטרף והוא שיהיה נפרד ש[ני] מורכב יצורף אל נפרד שני מורכב ויהיה כל אחד מהם אצל חבירו ראשון בלתי מורכב וכבר ישיג הנפרד הטבעי שכל מספר מדרגותיו כמו הכאת מספרי המדרגות בעצמם ותבחן זה בצורה הזאת
Prime Incomposite Number
 בזכירת הנפרד הראשון הבלתי מורכב
המספר הנפרד הראשון שהוא בלתי מורכב אשר אין לו חלק ימנהו בלתי האחד כמו גה"ז י"א י"ג י"ז אלו המספרים ומה שימצא כמותם לא דוגמאות: ימצא להם מספר ימנם ואין להם חלק כלל ימנם בלתי האחדים שנגזר להם חלק מכלל המספר כמו השלישי מג' והשביעית מז' אשר הוא האחד הנה בראוי אם כן נאמ' שהוא ראשון אחר שלא ימנהו בלתי האחדות ושהוא בלתי מורכב אחר שאי אפשר שיחלק בחלקי מספרים שוים לפי שהוא אמנם התילד מסדר האחדים והמשכם ואמנם יהיה למספר הנפרד חלק ימנהו כאשר היה נכפל מזה המין מהנפרד ר"ל הנפרד הראשון הבלתי מורכב כי אם נכפל פעמים מספרם זוג יתילד מהם מספר הזוג לו מספר ימנהו בהכרח לפי שאפילו ימעטו חלקיו המונים אותו מאד הנה השנים ימנהו וימנהו גם כן כלל אחדי הפעמים אשר בם ימנוהו השנים ואם היו הפעמים הזוג אשר נכפל בם הנפרד שנים לבד יתחדש מכל נפרד מהם זוג הנפרד ואם נכפל הנפרד מספר פעמים והיה מספר הפעמים זוג והיה הזוג יותר משנים הנה המתחדש מהם זוג הזוג והנפרד ואם נכפל פעמים מספרם נפרד יחודש ממנו נפרד ימנהו אותו המספר הנפרד הנכפל בשעור אחדי הפעמים אשר נכפל בם וימנהו ג"כ כלל אחדי הפעמים אשר נכפל בו וימנהו אותו המספר הנפרד הראשון הבלתי מורכב רצוני לומר בשעור אחדי אותו הנפרד הנכפל
Composite Odd Number
 בזכר המספר הנפרד השני המורכב
המספר הנפרד המורכב הוא אשר לו עם האחד מספר ימנהו וזה המספר הוא חלק לו וכבר אמרנו שהמספר הנפרד הראשון אמנם התילד מהמשך האחדים לבד ואמנם אם יהיה המספר נפרד יכפל הנה לא יהיה ואמנם זה הנה אמנם יצמח ויתילד מהכפלת הנפרדים הראשונים כשנכפלו פעמים מספרם נפרד הנה זה הנפרד אם כן מורכב מהנפרד הראשון הנה הוא אם כן שני לפי שהוא אמנם חודש מהראשון והוא מורכב לפי שהנפרד הראשון חלק לו וזה כמו ט' וט"ו דוגמאות: וכ"ה וכ"ז כי ט' מורכב מהכפלת ג' שלשה פעמים וט"ו מורכב מהכפלת ה' שלשה פעמים או מהכפלת ג' חמשה פעמים וכמו כן כ"א מהכפלת ז' שלשה פעמים או מכפל ג' שבעה פעמים הנה אם כן כבר יכלול זה המין מהנפרד והמין הראשון שיש לו חלק נגזר השם משמו אינו מספר והוא האחדות כי זה סגולת סוג הסוגים אשר הוא המספר ר"ל שהוא מורכב מהאחדים ואמנם מה שנתיחד בו השני המורכב הנה הוא שיש לו חלק אינו נגזר משמו ימנהו כמו ט' כי הוא ואם היה לו חלק נגזר משמו הוא האחד אשר הוא תשיעית התשעה יש לו שליש גם כן הוא השלשה וכמו כן טו יש לו חומש והוא ג' ושליש ה' עם החלק מט"ו אשר הוא האחד
Relatively Prime
 תאר המין השלישי מהמספר הנפרד
שזה המין יתחדש לנפרד במקרה לפי שהוא אמנם יהיה עם ההקשה בין שני המספרים המורכבים אין להם מספר משותף ימנה אותם ולכל אחד מהם כאשר הושב אל טבעו מספר ימנהו הוא חלק לו וזה כמו ט' אשר הם מורכבים כמו שאמרנו מהכפלת ג' שלשה פעמים הנה כאשר הוקשו אל כ"ה אשר הם מורכבים מה' חמשה פעמים הנה כל אחד משני אלו המספרים אצל חבירו ראשון בלתי מורכב לפי שאין להם מספר משותף ימנם ואמנם היה שיהיה להם מספר משותף אלו היה החלק לאחד מהם חלק לאחד אחר שהחלק הוא המונה לכל ואין השלשה אשר הם חלק לתשעה חלק לחמשה ועשרים שימנום ולא החמשה אשר הם חלק לחמשה ועשרים חלק לתשעה שימנום ואמנם ישתתפו באחד אשר אינו מספר ואמנ' הוא עלה למספר אמנם איך יוכרו אלו המינים אשר הם מיני הנפרד ואיך יברר מין מין מהם מהנפרד הטבעי עד שיודע הראשון הבלתי מורכב מהשני המורכב הנה זה בתחבולה יקראה ארסטשאש המכבר והיא שתקח הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם ג' על סדרם הטבעי ימשכו קצתם לקצת כפי מה שבלוח אשר למעלה וכשתרצה השני המורכב מאלו הנפרדים תתחיל ותעזוב שני אמצעיים אחר המדרגה הראשונה והמדרגה הרביעית מספר שיני מורכב והמדרגה הראשונה ג' והרביעית ט' והיא שיני מורכב לפי שהיא מורכבת מג' שלשה פעמים עוד עזוב ממנו שני אמצעיים והמדרגה הרביעית גם כן ממנה נפרד מורכב והיא ט"ו מורכב מה' שלשה פעמים או מג' חמשה פעמים וכן תעשה תמיד ותעזוב שני אמצעיים והרביעי מספר נפרד שני מורכב עד שתגיע אל סוף מה שהנחת מהנפרדים הטבעיים אחר תשוב תתחיל מחמשה והיא המדרגה השנית מהנפרדים הטבעיים ותעזוב אחריה ארבע אמצעיים והמדרגה הששית ממנה נפרד שני מורכב והיא ט"ו עוד המדרגה השנית מט"ו והיא כ"ה וכ"ה מורכב מהכפלת ה' חמשה פעמים עוד תעזוב ארבע אמצעיים גם כן אחר כ"ה והמדרגה הששית ממנה היא מספר נפרד שני מורכב עד שיכלה לאשר הנחת מהמספרים הנפרדים וכן תעשה כל מה שתרד מן ההתחלה מדרגה תוסיף בה שיותירו ש[ ] האמצעיים שנים לכל מדרגה כי כשתעשה זה ורשמת על מדרגת הנפרד השני המורכב אשר תעמד עליהם בזאת התחבולה לא יבצר ממך דבר והיה מה שישאר אחר כלותך מזה ולקיחתו כפי זה הרושם אשר תארתי לך מאשר לא יפל בם סימן הם נפרדים ראשונים בלתי מורכבים ודע שכאשר החלות במדרגה הראשונה ותעזוב שני אמצעים בין כל שני מורכב ושני מורכב תהיה המדרגה המורכבת הראשונה תצא מורכבת מן המדרגה אשר ממנה התחילה נכפלת בעצמה ר"ל בשיעור אחדיה והמדרגה השנית המורכבת מורכבת מהמדרגה הראשונה נכפלת במדרגה השנית והמדרגה השלישית המורכבת היא מורכבת מהמדרגה הראשונה נכפלת במדרגה השלישית ואם תתחיל מן המדרגה השנית ותדלג ארבע אמצעיים בין כל מורכב ומורכב יהיו המורכבים היוצאים מורכבים מהמדרגה השנית אשר החלות ממנה נכפלת בכל א' מהאחדים וכל מדרגה ראשונה מורכבת שתצא היא מן המדרגה אשר ממנה הוחל נכפלת במדרגה הראשונה והמורכב השני מורכב מהמדרגה השנית נכפלת בעצמה והמורכב השלישי מורכב מהמדרגה השנית אשר ממנה הוחל נכפלת במדרגה השלישית מראש המדרגות והיא המדרגה השלישית מאשר ממנה הוחל וכבר ציירתי לך המכבר לבחון בו כל אלו הענינים ואחר שכבר התבאר לך איך תברור בזה המכבר המספרים השניים המורכבים מהנפרדים הראשונים הבלתי מורכבים עד שיוכרו שני המינים הטבעיים ממיני הנפרד כל אחד מהם לבדו נמשיך לזה הכרת המין השלישי המקרי ונגלה איך יודע כשנקיש בין שני מספרים כל אחד מהם בעצמו שני מורכב אם הם עם ההקשה כל אחד מהם אצל חברו ראשון ר"ל שאין להם מספר משותף ימנם ואם היה להם מספר משותף ימנם איך נמצאהו כי אנו כשנרצה לידע זה בשני מספרים הנה אנו נשליך מגדול המספרי' המונחים מה שבו מדמיוני הקטן וכאשר ישאר מהגדול פחות מן הקטן נשליך מן הקטן מה שהוא מדמיוני הנשאר מהגדול עוד נשליך מה נשאר מן הגדול מה שבו מדמיוני הנשאר מהקטן עוד כן לא נסור מחסר מה שביתר מדמיוני הפחות עד שנגיע אם אל האחדות או אל שני מספרים הקטן מהם ימנה הגדול ואם יגיעו אל האחדות הנה כל אחד מהם אצל האחר ראשון בלתי מורכב ואם הגענו אל שני מספרים הקטן מהם ימנה הרב הנה הקטן הוא המספר המשותף אשר ימנה שני המספרים אשר הוקש אחד מהם אל האחר משל זה במספרים אשר כל אחד מהם בעצמו שני מורכב ובהקש אל האחר ראשון בלתי דוגמא: 9 ו-25 מורכב מספר ט' וכ"ה שאנו נשליך בכ"ה מדמיוני ט' וישאר ז' נשליך מה שבט' מדמיוני ז' ישאר ב' נשליך מה שבז' מדמיוני ב' ישאר אחד והאחד ימנה השנים ואין האחד מספר הנה ט' וכ"ה כל אחד מהם אצל חברו ראשון בלתי מורכב ואמנם דמיון המספרים אשר כל אחד מהם שני מורכב ובהקשה ביניהם להם מספר משותף ימנם והם בו שניים דוגמא: מורכבים הם כמו מספר כ"א ^ וישאר י"ד עוד נשליך מה שבכ"א מדמיוני ול"ה כי [אם] נשליך מס[פר] י"ד וישאר ז' וז' ימנה י"ד הנה כ"א ול"ה להם מספר משותף ימנה אותם מדמיוני כ"א וישא[ר] והוא ז' והם בו עם ההקשה שניים מורכבים אם כן כבר התבאר איך יוצא המין השלישי המקרי מחלקי הנפרד והנה נשלם המאמר על מיני המספר יחד וזה צורת חלוקת מה שדברנו עליו מתחלת ספרנו עד זה המקום זוג הזוג הוא המתחלק בשני חצאים וכל חצי לחצאים עד האחד ודימיונו ס"ד הזוג זוג הזוג הנפרד הוא הנחלק פעם אחת לשני חצאים ויעמד בנפרד י"ד הנפרד זוג זוג הזוג והנפרד הוא החלק יותר מפעם אחת ולא יכלה לאחד הנפרד הזוג ודמיונם כ"ד והנפרד נפרד הנפרד הראשון הבלתי מורכב הוא אשר לא ימנהו מספר כלל אין ראשון ראשון חלק לו אלא האחת י"א נפרד הנפרד השני המורכב הוא אשר לו מספר ימנהו ולא יהיה המספר לו שני אלא נפרד ודמיונו ט"ו מורכב המין המניין המקרי הוא מהקשת שני נפרדים מורכבים אין להם מספר ט' הג' להם בהצטרף משותף כלל כ"ה
Second Categorization of Even Numbers
 חלוקה שנית למספר הזוג
המספר והזוג יחלק לשלשה חלקים אם נוסף ר"ל מוסיף על כלו ואם חסר ר"ל שהגעת כלל חלקיו יחסרו מכלו ואם שוה ר"ל שהגעת כלל חלקיו שוה לכלו וזה המין השלישי כאמצעי בין שני המינים הראשונים אשר הם בדמות קצוות נבדלים אחר שהם בתכלית ההבדל לעברם השווי בתוספת ובחסרון ונאמ' במספר הנוסף שהוא כמו הבעל חיים שאיבריו הם נוספים במקרה על האיברים הטבעיים לו ולכל אישי צורתו וזה כמו י"ב וכ"ד והדומה להם כי לי"ב חצי ושליש ורובע ושתות וחלק מי"ב ואלו החלקים מי"ב הם ששה וארבעה ושנים ואחד וכלל זה י"ו והנה י"ו יותר מי"ב והם חלקיו אמנם המספר החסר הנה הוא המתחלף בתאר למספר הנוסף והוא אשר הגעת חלקיו פחות מכלו וידמה לזה המספר הבעל חיים שאיבריו הטבעיים חסרים משוויים הנמצא בכל אחדי צורתו בטבע וזה כמו מספר ח' וי"ד והדומה להם כי לשמנה מן החלקים חצי ורביעית ושמינית והם ד' ב' א' וכלם ז' וז' פחות מח' אשר ז' כלל חלקיו וכמו שהיציאה מהשווי בתוספת אי אפשר לעמד על תכליתו בטבע כמו שנאמ' בפתיחת הספר כן החסרון בכמות בעל הגודל בלתי מוגבל התכלית אחר שהוא בהצטרף אלא במאמר כולל והשווי אחד אמצעי בין שני דברים אי אפשר לעמד על תכליתם כן רבוי שני המינים אשר זכרנום מהנוסף והחסר בטבע המספר הזוג ואמנ' השוה אמנם ימצא מעט לא הרבה כמו שיתרבו שני המינים הראשונים וזה שאנו אמנם נמצא מהמספר הזוג השוה מה שנגיע אליו לבד בתחבולה אשר נזכרה עתה בג"ה
Perfect Number
 הדבור בתאר המספר השוה
והוציאו כבר אמרנו שהמספר השוה הוא אשר הגעת כלל חלקיו שוה לכלו וזה המספר ידמה בעל חיים שוה האיברים ממוצע הצורה וזה כמו מספר ו' ומספר כ"ח כי ששה יש לו חצי ושליש ושתות והם גב"א וכלם ששה הנה אלו הששה שוים לששה אשר הם חלקיו לא יוסיפו ולא יחסרו וכמו כן גם כן כ"ח יש לו מהחלקים חצי ורביעית ושביעית וחלק מי"ד וחלק מכ"ח והם י"ד ז' ד' ב'א' ואלו כלם שוים למספר כ"ח אשר הם כלל חלקיו לא יוסיפו ולא יחסרו מהם ואמנם איך יתילדו אל המספרים השווים ואיך נעמוד על המספר הנמצא מהם וכמה מספרים ימצאו מהם בכל מספר מונח הנה הוא במה שאתאר וזה שנניח מדרגות מספרי זוג הזוג אשר התחלתם מהאחד בטור ותהיה המדרגה הראשונה א' והשנית ב' ונעזוב המדרגה הראשונה עוד נתחיל מב' ונניח תחתיה כלל מה שיתקבץ ממנה וממה שלפניה וזה ג' וכן תעשה במה שילוה לה מן המדרגות זוג הזוג תניח תחת כל מדרגה כלל מה שיתקבץ ממנה וממה שלפניה הנה בהכרח שיהיו המספרים המונחים תחת מדרגות זוג הזוג נפרדים לפי שהמדרגה הראשונה האחד והמדרגות אשר אחריה זוגות והזוג כאשר יוסף עליו האחד ישוב נפרד הנה יוכרו מאלו המספרים הנפרדים כל מספר ראשון בלתי מורכב ונרשום עליו רושם ונעזוב מה שזולתו עוד נכה כל מספר שרשמנו עליו במה שלמעלה ממנו עליו ר"ל במספר הזוג אשר תחתיו אותו הנפרד הראשון הבלתי מורכב ונעמיד מה שיצא מן ההכאה תחת אותו הנפרד הראשון הבלתי מורכב כדי שיסודרו גם כן הגעות המוכים כפי מדרגותיהם בטור שלישי וכאשר תחפש בזאת התחבולה כל מה שהנחת ממדרגות מספרי זוג הזוג הנה כבר הוצאת כל המספרים השלמים אשר הם נכללים תוך מספר המדרגה האחרונה ממה שהוצאת מהם ואותם המספרים הם אשר העמדתם בטור השלישי תחת הנפרדים הראשונים הבלתי מורכבים והם נלוים על משך סדרם בטבע לא ידולג ביניהם מספר שלם כלל וכבר יתחייב לאלו המספרים השלמים שיהיה הפרט העודף הם על עשרה פעם ו' פעם ח' וכן תמיד ימצאו אלו המספרים בזה התאר ובחן כל מה שזכרתי לך מתארם ודרך הוצאתם בזאת הצורה בג"ה

Relative Quantity

 הדבור בתאר הכמה הצירופיי והחלקו אל השוה ובלתי שוה
ואחר אשר הרחבנו המאמ' על הכמה הנפרד והשלמנו תאריו ובאור פירושיו אנו נקח עתה לדבר בכמה המצטרף ונתארהו תאר נאות ומסכים למה שתארנו בו מה שקדם לפניו והכמה המצטרף יחלק חלוקה ראשונה לשני חלקים אחד מהם השווי והאחר לא שווי כי כל מספר יחובר אל מספר אם שיהיה שוה לו ואם שיהיה מבלתי שוה מבלתי שיהיה בזאת החלוקה מן שלישי כלל הנה השווי אין תוספת בו ולא חסרון אבל יהיה בין אחד משני המצטרפים שוה לאחד כמו המראה כאשר הוקשו אל המאה והעשרה אל העשרה והדומה לזה ממה שהוא שוה למה שהוקש אליו ממה שהקשו אליו בענין הכמה אשר סגלתו שוה ולא שוה והישר לא יחלק למינים כלל לפי שאמנם ענין הישר השוה והשוה שוה לשוה והישר ישר למתישר לו ואמנם המספרים המונחים המתחלפים עם הצטרף קצתם אל קצת ביציאה מהשווי כי מינם יחלק בחלוקה השנית לשני חלקים אחד מהם גדול והאחר קטון והם מתחלפים בשם ונבדלים בענין זה וההצטרפות הגדול יחלק בחלקה שלישית לחמשה חלקים מהם בעל הכפלים למה שהוקש אליו ומהם המוסיף חלק למה שהוקש אליו ומהם המוסיף חלקים למה שהוקש אליו ומהם בעל הכפלים המוסיף חלק למה שהוקש אליו ומהם בעל הכפלים המוסיף חלקים למה שהוקש אליו / ואמנם הקטן יחלק כמו הגדול ההקש בו לחמשה מינים יקביל כל מין מהם מין מהגדול ייוחס ויקרא בהקבלתו ר"ל שיקראו מיני הקטן כשיאמר מין תחת בעל הכפלים ומין תחת המוסיף חלק ומין תחת בעל הכפלים המוסיף חלקים

Simple Ratios
אמר אבי יוסף ומאלו היחסים החמש שנים מהם פשוטים והם בעל הכפלים והמוסיף חלק לא ירצה במוסיף חלק בעל הכפלים המוסיף חלק : אמנם רצה היחס אשר בין שני המספרי' אשר הגדול מהם כמו הקטן פעם אחת כמו חלק מהקטן וזה מבואר במה שביארו אליך אפלטון בספר המיוחס אל עלות הכחות המיוחסות אל האישים העליונים וזה שלמה שזכר המספרים המיוחסי' אל הכדוריים התשעה וייחס ביניהם לחבר אל כל כדור עליון הדמוי בשכל מטבעיהם מה שיוחסו מספריהם מהמספרים המונחים לכדורי היסודות הארבעה וייחס אל כדור הארץ והמים כ"ד וייחס אל כדור האויר והאש כ"ז וייחס אל כדור הירח ל"ו וייחס אל כדור כוכב ונוגה מ"ה אחר שבאר למה היו שני אלו הכוכבים כדורם אחד והמספר המיוחס אליהם אחד בשאמ' ששני אלו הכוכבים יכללם ענין אחד והוא שמרחקיהם מן השמש אמנ' הוא בגלגלי הקפותיהם לבד ואמנם מרכזיהם הנה סך תנועותיהם והשמש אחד ולזה נתייחס אליהם מספר אחד ונתייחס אל כדור השמש נ"ד ולכדור מאדים ס"ד ולכדור צדק ע"ב ולכדור שבתאי צ"ו ולכדור הכוכבים הקיימי' ק"ח ולא היתה הנחתו לאלו היחסים אל אלו הכדורים אשר חייבו זה המספר בהזדמן מבלתי טעם ראוי אבל אמנם נתחייב זה במאמ' הכרחי המאמת שזה הוא היותר ראשון במה שיתואר מהצטרפות אלו המספרים אל אלו הכדורים בזה היחס וכאשר ייחס בין אלו המספרים זכר שק'ח' מכ"ד אינו ביחס פשוט ' אמר ולזה נאמר שהכוכבים הקיימים רחוקים מהפעולות הגשמיות ככלות ההויה וק"ח כמו ארבעה דמיוני כ"ד וכמו חציים הזה הוא הכפל המוסיף חלק הנה לא יהיה זה היחס פשוט זה הוא באור שלא רצה במוסיף חלק בעל הכפלים המוסיף חלק ולא הארכתי בזה המאמר הנה לחשבי שכמו זה ממאמרי המחבר נעלם ממך עם פלפולך ושקידתך בעיון דבריו ואהבתך לזאת המלאכה וכל שכן שאתה ממי שספריו אצלו אבל רציתי להזכירך זה ולא אספק שספרנו זה יפל אצל מי שסכול מסברת המלמד מה שתדעהו אתה וכאשר לא היה בכח המאמר שיביא אל האמתת הדרוש יתבלבלו המחשבות ויפול הדמוי ויעלמו האמתיות ויעדרו הידיעות יישירך האל לאור באורו ולהשיג זיו יקרו
Multiple Ratio
 הדבור ביחס בעל הכפלים וטבעו והתילדו
ואמנם עתה נקדים המאמר על יחס בעל הכפלים אחר שהוא היותר קודם בטבע משאר היחסים הארבעה הנשארים וזה שאנו כאשר הקשנו תחלת המספרים אשר הוא ב' אל האחד אשר הוא עלת המספר מצאנוה כפל לו וזה הוא הנקרא הכפל השניי ואם הקשנו באחד גם כן אל המספר השני אשר הוא ג' יתחדש הכפל השלישי ואם הקשנוהו אל המספר השלישי והוא ד' יתחדש הכפל הרביעי עוד כן כאשר יוקש אל מדרגות המספרים הטבעיים יתחדשו כפליים יקרא בשם המספר אשר אליו יוקש האחד הנה התבאר שהיחס הראשון שיפל במספר הוא יחס הכפלים בהצטרף תחלת המספרים אשר הוא ב' אל האחד אשר מהכפלו יהיה מספר והתבאר שהכפל השניי ראשון למיני הרב הכפליים בטבע לפי שהוא מהקשת האחד אל תחלת המספרים ואין למיני הכפלים תכלית בכח להתרבותם עם התרבות המספרים הטבעיים ונתחיל ראשונה בספור התילד בעל הכפלים בלתי שאר היחסים ונקדים ממנו הראשון מהם בטבע ונאמר שהכפל השניי הוא אשר יתחדש מיחס כפל כל מספר אליו כמו ד' אצל ב' וכמו ח' אצל ד' הנה אם כן כבר התבאר איך יצמח הכפל השניי וזה כשיסודרו המספרים על משך סדר הטבע כמו א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' עד מה שנרצה להניח עוד נסדר הזוגות הטבעיים על משך סדר הטבע בטור נכחיי לטור הראשון כמו ב' ד' ו' ח' י' י"ב י"ד ויהיו מדרגותיו כמספר המדרגות אשר סדרת אותם בטור סדר המספרים הטבעיים עוד תקיש הראשון ממדרגות הזוג הטבעי בראשון ממדרגות המספר הטבעי והשני בשני והשלישי בשלישי וכן במה שאחר זה שאנו נמצאם יחד ביחס הכפל השני כמו ד' אצל ב' וו' אצל ג' וח' אצל ד' וכן כלם אמנם הכפל השלישי הוא שיהיה בגדול משני המספרים המונחים שלשה דמיוני המספר הקטן אם כן הוא מבואר לך איך יתילד הכפל השלישי וזה כשתסדר המספרים כטבעיים על משך סדר הטבע בטור כמו א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט' עוד נתחיל ונעבור שני מדרגות ונקח השלישית ונשימה ראש מדרגות טור אחד עוד נעבור גם כן שתי מדרגות אחר אותה המדרגה תקח המדרגה השלישית ונשימה ראש מדרגות השנית מהטור האחר עוד כן נדלג שתי מדרגות אחר כל מדרגה שנקח ונחשק בשלישית ממנה ונסדרם במדרגות אשר כטור האחד ואחר נקיש בין המדרגות מהטור המוצא ובין המדרגה הראשונה מטור המספר הטבעיי עוד השנית בשנית והשלישית בשלישית הנה אנו נמצאם ביחס הכפל השלישי כמו ג' כמו ג' אצל א' ו' אצל ב' וט' אצל ג' וכן תמיד עד סוף שהנחת מן המספרי' הנה אם כן כבר התבאר שאמנם יתחדש יחס הכפל השלישיי מהכאת כל מדרגה ממדרגות המספרים הטבעיים בשלשה והעמדת אלו ההגעות במדרגות טור אחד וכבר יתחייב לטור אשר בו מדרגות המספרים הגדולים מזה היחס ובכל יחס נגזר ההכפלה ממספר נפרד אל מספר שיהיה נפרד ואחר כן זוג עוד נפרד כפי מה שתראה אותך הבחינה וכבר יתחייב גם כן בזה היחס לבד שיהיה בין כל נפרד ונפרד שני אמצעיים מן הנפרד הטבעי כבר עברו כמו ה' וז' אשר כבר בין שני גדולים מאותו מין ישנם שני מספרים מאותו מין עברו מהנפרד הטבעי בין ג' וט' וכן יחוייב גם כן שיהיה בין הזוג שני שאינם נכללים ביחס – בין 6 ל-12 הגדולים חסרים 8 ו-10 אמצעיים כבר עברו מהזוג השביעי והזוג כמו ח' וי' אשר כבר עברו בין ו' וי"ב כמו י"ד וי"ו בין י"ב וי"ח אמנם הכפל הרביעיי אמנם יתחדש מהכאת כל מדרגה ממדרגות המספר הטבעי בד' עוד יוקיש מה שיצא מן ההכאה אל אותה המדרגה וכן החמשיי ומה שאחריו ממה שתרצה ממיני הכפלים אלא שכאשר היה הכפל נקרא למספר הזוג היו כל מדרגותיו זוגות כמו הכפל הרבעיי אשר תחלת מדרגותיו ארבעה עוד ח' י"ב י"ו ואם היה הכפל נקרא למספר נפרד היו מדרגותיו אחת זוג ואחרת נפרד כמו הכפל החמשיי אשר תחלת מדרגותיו ה' עוד י' עוד ט"ו עוד כ' וראוי שיקרא זה המין מן הגדול בעל הכפלים ומהקטן תחת בעל הכפלים
Superparticular Ratio
 הדבור ביחס השני הפשוט והוא יחס המוסיף חלק
ואחר שכבר הבאנו הדבור על יחס הכפלים אחר שהוא יותר פשוט ויותר קודם בטבע כמו שבארנו נאמ' על אשר ימשך לו המשכות טבעי והוא המוסיף חלק וזה שאנו כאשר הקשנו בין תחלת המספרים אשר הוא ב' ובין המספר אשר ימשך לו והוא ג' היה ג' אצל ב' כמהו וכמו חציו הנה יתחדש המוסיף חלק מההקשה בין תחלת המספרים ואשר ימשך לו והתבאר שהחלק הראשון בטבע הוא המוסיף חצי עוד המוסיף שליש בבקשת המספר השלישי אשר הוא ד' אל המספר השני אשר הוא ד' אל המספר השני אשר הוא ג' כי ד' כמו ג' וכמו שלישיתו עוד המוסיף רביע עוד המוסיף חומש בהקשת כל מספר אל אשר לפניו מהמספרים הטבעיים הנה אם כן יחוייב שנזכיר המוסיף חלק חצי ונאמ' שזה היחס יתילד בשנסדר הזוג הטבעי אשר התחלתו ב' והוא הטור אשר נעשה בכפל השניי בטור ימשך קצתו לקצת עוד נסדר המספרים אשר מהכאת מדרגות המספרים הטבעיי' כל א' בג' והוא אשר נראה בכפל השלישיי בטור ימשכו קצתם לקצת עוד יוקש בין כל מדרגה מזה הטור ובין דומה לה מהטור האחר במספר המדרגות כי יראו המדרגות יחס המוסיף חלק החציי כמו שתראה בזאת הצורה / ו ח י יב יד יו יח כ כב כד כו כח ל לב ט יב טו יח כא כד כז ל לג לו לט מב מה מח ואמנם המוסיף שליש הוא אמנם יתחדש בסדור זה הטור אשר מהכאת מדרגות המספרים הטבעיים בג' נכחיי לסדר הטור אשר יתחדש מהכאת המספרים הטבעיים בד' והוא הטור אשר חודש בכפל הרבעיי וכמו כן המוסיף רביע כי אחד מטוריו טור הכפל הרבעיי והאחר טור החמשיי וכמו כן כל מה שתרצה מהמוסיף חלק הוא כמו זה המשל אשר תארתי לך וכבר יתכן שיקרא המוקש בזה המין אם הגדול המוסיף חלק ואם הקטן תחת המוסיף חלק וכמו כן יקרא המוקש הקטן מכל מין כאשר הוא תחת מה שלמעלה ממנו מההצטרפות הגדול הנקרא בשם מיוחד וכבר רשמתי מה שזכרתי לך מהכפלים והמוסיף חלק ומה שיאות לומ' ב[] בזאת הצורה וזה שאנו נתחיל א ב ג ד ה ו ז ח ט י המספרים הטבעיים ונסדר בטור ב ד ו ח י יב יד יו יח כ הכפל השני הראשון הלוקח ג ו ט יב טו יח כא כד כז ל הכפל השלישי ברחב המספרים ד ח יב יו כ כד כח לד לו מ הכפל הרביעיי על סדר הטבע ה י טו כ כה ל לה מ מה נ הכפל החמישיי מא' עד עשרה ו יב יח כד ל לו מב מח נד ע הכפל השישיי ובטור השני ז יד [כא] כח לה מב מט נו סג [ה] הכפל השביעיי הכפל השני ח יו כד לב מ מח נו סד עב פ הכפל השמיניי נלוה לטור הראשון ט יח כו לו מה נד סג עב פא צ הכפל התשיעיי י כ ל מ נ ס ע פ צ ק הכפל העשיריי ובטור השלישי הכפל השלישי ובטור הרביעי הכפל הרביעי וכן עשרה טורים ויהיה הכפל העשריי סופם וגלוי בזאת הצורה ששני הטורים אשר יפגשו על מרובע א' ויתרחבו עד א'ק' שטח ושני הטורים אשר יפגשו על מרובע ד' ויתרחבו עד שטח א"ק ושני הטורים אשר יפגשו על מרובע ט' ויתרחבו עד שטח א' ק' יחסם א' ר"ל ששעור כל מדרגה מאשר לפניה מאחד מכל שני טורים מהם יפגשו על מרובע מן המרובעים אשר על הקוטר ר"ל קוטר הצורה הגדולה כשעור המדרגה אשר היא דומה לה מהטור האחר מאשר היא גם כן לפניה אלא ששני הטורים הראשונים תוסיף כל מדרגה מהם על אשר ילוה לה מכל אחד משני הטורים אחד ושני הטורים השניים תוסיף כל אחת ממדרגותיהם על אשר תלוה לה שנים שנים ושני הטורים השלישיים תוסיף כל אחת ממדרגותיהם על אשר תלוה שלשה שלשה והרביעיים ארבעה ארבעה ויחסי המדרגות מאלו הטורים יחס כל מדרגה אל אשר לפניה אל היחס שתרצה אחד אחר שיהיו דומים משל זה שיחס מ"ב מהטור השביעי הלוקח ברחב אל ל"ו אשר לפניה מזה הטור כיחס ז' מהטור הראשון הלוקח באורך ברחב אל ו' אשר לפניו ועוד יחס ז' מהטור הראשון הלוקח באורך אל ו' אשר לפניו מאותו בזה הטור כיחס מ"ב מהטור הז' הלוקח באורך אל ל"ו אשר לפניו מאותו הטור לפי שהטור אשר יצא מו' מהטור הראשון ההולך ברחב הולך באורך והטור אשר יצא מו' מהטור הראשון ההולך באורך הולך ברחב יפגשו על מרובע ל"ו והיה ל"ו לכל אחת משתי המדרגות אשר בכל אחת מהן מ"ב משני הטורים המתחלפים מדרגה ראשונה לפי ששני הטורים יתחתכו על מרובע ל"ו וכן כל שני טורים מתחלפים באורך וברחב יפגשו על מרובע מן המרובעים אשר על קוטר המרובע הגדול הנה ממרובע אשר יפגשו עליו משותף להם הנה אם כן כבר התבאר איך יתילד בעל הכפלים למה שיוקש אליו לפי שהטור השני מטורי אי זה משני צדי האורך והרחב שתרצה אל הטור הראשון מאותו הצד כפל שניי והשלישי אליו שלשיי והרביעי אליו רבעיי וכן תמיד כפי סדר ועל הטבע וזה הוא המאמ' על הכפלים בזאת הצורה אמנם המוסיף חלק הנה שני הטורים שלוקח אחד מהם באורך והאחר ברחב וכבר יצאו משני מרובעי ל' ל' ויפגשו על מרובע ט' כאשר יוחסו מדרגותיהם אל מדרגות שני הטורים הלוקחים באורך והרחב וכבר יצאו משני מרובעי כ' כ' ויפגשו על מרובע ד' כל מדרגה אל אשר ילוה לה תמצא זה ביחס המוסיף חלק החציי וכן יחס שאר מדרגות אלו הטורים הארבעה אל התחלותיהם ר"ל אל שני בתי ב' וג' משני הטורי' הלוקחים באורך ואל שני בתי ב' וג' משני הטורים הלוקחים ברחב ואמנם יחס המוסיף חלק השלישי הנה שני הטורים שלוקח אחד מהם באורך והאחר ברחב וכבר יצאו משני מרובעי מ' מ' ויפגשו על מרובע י"ו כאשר יוחסו מדרגותיהם אל מדרגות שני הטורים הלוקחים באורך והרחב היוצאים משני מרובעי ל' ל' ויפגשו על מרובע ט' כל מדרגה אשר לפניה מהטור האחר תמצא זה ביחס המוסיף חלק השלישי בכמו אותו הביאור אשר זכרנו כמוסיף חלק החציי וכן המוסיף חלק הרביעי וכן המוסיף חלק החמשיי ומה שאחר זה ממיני המוסיף חלק תמצאהו בזאת המלאכה נמשך בגזרת שמו ממשך המספרים הטבעיים המתילדים מהוספת האחדים הנה אם כן כבר התבאר לחוש מהיותר קודם באלו היחסים בטבע לא ברצון והנחה בעל הכפלים למה שיוחס אליו ושהקודם יותר בזה השניי עוד השלישי וכן תמיד כפי הגזר המספרים כמו שהם בסדר הטבע ושאשר ימשך לבעל הכפלים הוא המוסיף חלק ושתחלת זה הוא החציי עוד השלישי ועוד הרביעי עוד כן תמיד כפי הגזרה מהמספרים כמו שהם בסדר הטבע ממה שישיג סדר זאת הצורה שמדרגות המספרים אשר על קוטר הוצא מא' אל ק' הכתוב אדום נגדו כל אחת נגזרת ר"ל שיש לו שורש וידובר בו כשיכפל בעצמו ר"ל בשעור אחדיו היה שוה לכלם כמו א' ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ק"ד פ"א ק' כי כל אחד מאלו מספר נגזר בפעל מלבד האחד שהוא נגזר בכח וגדרו אחד לפי שהוא אחד בעצמו וגדר ד' ב' וגדר ט' ג' ואם לקחת גדרי אלו המדרגות ותסדרם בטור תמצאם כסדר מדרגותיהם על סדר משך המספרים הטבעיים כמו א"ב ג"ד ה"ו עד תכלית מה שהנחת מן המספרים הנגדרים באלכסון המרובע אמר אבו יוסף מצאנו אל המספרים הנגדרים אמנם יתחדשו ויצמחו מתוספת הנפרדים הטבעיים על משך סדרם אשר התחלתם מהאחד אשר הוא נפרד בכח על קצתם על קצת ג' כאשר נוסף על האחד יתקבץ מספר נגדר והוא ד' וגדרו ב' וכאשר נוסף על ד' הנפרד אשר ימשך לג' והוא ה' יתקבץ מספר נגדר והוא ט' וגדרו ג' וכאשר נוסף הנפרד אשר ימשך לה' והוא ז' על ט' יתקבץ ח' מספר נגדר והוא י"ו ושרשו ד' וכן תמיד הנה אם כן כבר התבאר שכאשר נוספו הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם האחד אשר הוא נפרד בכח קצתם על קצת על משך סדרם יתילדו המספרים הנגדרים הטבעיים על משך סדרם והיו שרשיהם לקוחים מהם על משך סדרם על סדר מספר הטבעי ואמנם שני הטורים אשר ימשכו וילוו לקוטר הנה מדרגותיהם זולתיות האורך ר"ל ששני המספרים אשר התקבצה מהכאת אחד מהם באחר יוסיף אחד מהם על האחר באחד ^ שקבר קברו מגדר המדרגה אשר היה להם גדר מספרי ידובר ברישומו בו והמספרים הזולתיים כמו ו' כי הוא מהכאת ב' בג' וכמו י"ב שהוא מהכאת ג' בד' עוד כן נמצאם תמיד בשני הטורים אשר משני צדי הקוטר כלם וממה שישיג זאת הצורה ששני הטורים היוצאים ממרובע א' באורך והרחב יתוספו מדרגותיהם אחד אחד עד שיגיע כל אחד מהם אל העשרה אשר הם סוף כל המדרגות בם וששני הטורים היוצאים משני מרובעי י"י ויפגשו על מרובע ק' יתוספו מדרגותיהם י' י' ואם קובץ מה שבזויות זאת הצורה הארבעה תמצא כלל זה המספר נגדר וממה שישיג זאת הצורה שכלל מדרגות כל מרובע יהיה קטרו נבדל מקוטר הצורה הוא נגדר אמר אבו יוסף וממה שישיג הקוטר האחד ? אשר תכליותיו עשרה עשרה ומספר מדרגותיו זוג שיש לו שני אמצעיים והם ל' ל' והמדרגות אשר בין אחד משני התכליות עד אחד משני האמצעיים ביחס קצתם אל קצת והגעות מספריהם כיחס מה שבין התכלית האחר והאמצעי האחד אמר הפילוסוף מניח הספר כבר נמצא המקויים בזאת המדה הצורה כאשר ידוקדק הענין ^ בה כי בה דברים מהתועלות והזכיות יותר העיון מאשר תארנו אלא שאנו לא נחקרם בזה המבוא לפי שאין כונתנו בו לחקרם וראוי שנעתק אל המאמר על מה שהוא חזק ההאותות למה שהחלונו לדבר בו מזכר היחסים החמש ונאמ' עתה שהמוסיף חלקים למה שהוקש אליו יותר ראשון להקדים המאמר עליו לפי שהוא יותר פשוט משני היחסים הנשארים וזה שבעל הכפלים המוסיף חלק הוא מורכב משני יחסים ובעל הכפלים המוסיף חלקים מורכב גם כן משני יחסים ועוד שאנו כאשר חברנו ראש הנפרדים אשר הוא ג' אל הנפרד השני אשר הוא ה' יתחדש המוסיף שני חלקים והוא תחלת מיני המוסיף חלקים ולזה יחוייב שנשים המאמר על זה היחס נמשך למה שאמרנו משני היחסים הראשונים הפשוטים ואמנם בהצטרף על סדר הטבע הנה הכפל המוסיף חלק יראה קודם מהמוסיף חלקים וזה כשנקיש תחלת שני מספרים ממדרגות המספרים יתחדש בהקשתם יחס שלישי והוא כמו צרוף ה' אל ב' כי ה' כמו כפל ב' וכמו חציו וחציו חלק ממנו וה' וב' ראשוני שני מספרים ממדרגות המספרים הטבעיים יתחדש בהצטרף אחד מהם אל האחר יחס שלישי אבל הוא מבואר נגלה שיחס המוסיף חלקים יותר פשוט מיחס הכפל המוסיף חלק והפשוט יותר קודם מהמורכב קדימה טבעית הנה אם כן יחוייב שנקדים המאמר על המוסיף חלקים אל מה שיוקש אליו ונקדים ממיניו המוסיף שני חלקים אחר שהוא ראש מיניו
Superpartient Ratio
 הדבור ביחס השלישי והוא היחס המוסיף חלקים
בפחות שלא יהיה היחס מהמוסיף שני חלקים ולזה אמנם יתילד זה חלקים בפחות היחס מסדר המספרים הטבעיים אשר התחלתם השלשה בטור לפי שהמספר אשר קודם השלשה אין לו שני חלקים יהיו פחות ממנו אחר שחלקיו שוים לו / אמר ויסודר תחת מדרגות הטור הנזכר מדרגות הנפרדים הטבעיים אשר הראשון מהם ימשך לג' והוא ה' עוד נקיש בין כל מדרגה ואשר למעלה ממנו ויראו לנו כל מיני המוסיף חלקים נמשכים כפי משפט המשכם בטבע / ואמנם כאשר תרצה שתראה איך צמיחת כל מין ממיני זה היחס הנה עתה תעמיד שני המספרים הראשונים הפועלים למין ההוא במדרגה אחת ותניח הקטן למעלה מהגודל עוד תכה כל אחד מהם בב' ותעמיד שני המספרים המגיעים אחר ההכאה במדרגה תמשך לשני המספרים הראשונים כל אחת מהן תמשך לדומה לה הגדול ימשך לגדול והקטן ימשך לקטן עוד תשוב אל שני המספרים הראשונים ותכה אותה גם כן בג' ותעמידם במדרגה שלישית על הצד אשר העמדת בו שני המספרים במדרגה השנית וכן גם כן תכה שני המספרים הראשונים בד' ותעמידם כפי הגדר הנזכר במדרגה הנגזרת השם מהמספר אשר הכית שני המספרים הראשונים בו וכן תעשה תמיד כאשר תרצה להצמיח מין ממיני המוסיף חלקי / ואמנם איך תניח המספרים הראשונים הפועלים למיני המוסיף חלקים על סדר אותם המינים הטבעיים עד שלא יפול מהם מין בפנוי מה שיונח מהמספרים הנה הוא כמו שנזכר בפתיחת זה הפרק וכמו שכבר המשלנו תחת זה המספרים הראשונים הפועלים למיני יחס המוסיף חלקים וזאת הצורה וע"כ דברי מחבר הספר / ג ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד ט יו יז יח יט ה ז ט יא יג טו יז יט כא כג כה כז כט לא לג לה לז אמנם איך יוצאו שאר המינים הדומים באי זה מין שנרצה מאלו המינים הראשונים כמו הדומה דרך משל במוסיף שני שלישים תחת המוסיף שני חלקים שני חומשים ושני שביעים ושאר מה שיפל תחת המוסיף שני חלקים או במתדמים לנפלם תחת המו[ס]י[פ]ים שלשה חלקים או בלתי שני אלו מאי זה ממיני המוסיף חלקים הנה הדרך הגלוי אל מציאות זה הוא בסדור המספרים הטבעיים בטור יהיה ראש מדרגותיו המספר אשר הוא מספר החלקים הנוספים במין המכוון להוצאת הדומים לו ותנשא המדרגה הראשונה על השנית ויונח מה שיתקבץ תחת השנית עוד נניח המדרגה הראשונה גם כן עם השלישית תחת השלישית וכן תונח הראשונה עם הרביעית תחת הרביעית ונעשה זה תמיד עד תכלית המונח מן המספרים הטבעיים עוד תקיש בין כל מדרגה ממנה והדומה לה וכבר הנחתי לזה משל מהמוסיף ארבעה כדי שיבחנהו החושב ויתישר בו בזולתו ודע שמהמוסיף חלקים מה שיכנס במין אחד מהמוסיף חלקים כמו ו' וי' כי הם בהצטרף המוסיף הארבעה שתויות והם גם כן בהצטרף המוסיף שני שלישים וממנו גם כן מה שיכנס בזולת סוגו ר"ל במוסיף חלק כמו ח' וי"ב שהם בהצטרף המוסיף הארבעה שמיניות והם גם כן בצרוף המוסיף חלק ר"ל חצי ואם תרצה במין מה להכיר הצרופים הגמורים אשר לא יכנסו בזולת מינם לא יספיק בזה מה שטרח בו אלכנדי מהניח מלאכה מיוחדת לכל מין לפי שהוא השתדל במה שלא נוכל עד תכליתו אבל המלאכה הכוללת לכל מה שהובא מזה היא שנדלג ממדרגות המספרים הטבעיים כל מדרגה שיהיה מספרה משותף למנין החלקים הנוספים ור"ל בהשתתפות שיהיה אחד משני המספרים חלק לאחר ולא יהיה זה אלא אם להם חלק משותף בלתי האחד ימנם יחד וזה כבר עבר ביאורו בזכירת המספר הזוג וזכירת המספר הנפרד המורכב ומכאן תבוקש התחבולה בהכרת המדרגות אשר נצטרך הנה לדלגם והיה כמו שאמרנו המדרגות אשר אם שיהיה מנין החלקים המוסיפים מכל אחד ממספריהם ולמנין החלקים חלק משותף להם בלתי האחד ימנה אותם יחד כי צירופי אלו ואם לא יכנסו בבלתי סוגם ר"ל במוסיף חלק הנה יכנסו במין בלתי מינם מהמוסיף חלקים הנה כאשר תדלג אלו המדרגות המשותפות למנין החלקים הנה כבר השארת המדרגות אשר לא יכנסו צרופיהם בבלתי מינם והם הגמורים ממדרגות המוסיף חלקים וכבר תארנו משל זה שאמרנו בזאת הצורה עם רושם השותפים הנזכרים בה שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד טו יו יז יח יט כ כא כב כג כד כה כו כז כח ט י א יב יג יד טו יו יז יח יט כ כא כב כג כד כה כו כז כח כט ל לא לב

Compounded Ratios
Multiple Superparticular Ratio
 הדבור ביחס הרביעי והוא יחס הכפל המוסיף חלק
אמר מניח הספר אמנם המינים הפשוטים ממיני הכמה המצטרף הנה הם מיני שלשת היחסים אשר קדם המאמר עליהם כי הם כהתחלות וכפנות לשני המינים הראשונים ר"ל מין הכפל המוסיף חלק מן הכפלים המוסיף חלקים אחר ששני אלו המינים כבר יתילדו מהמינים הראשונים ויותכו אליהם ולפשוט גם כן צד אחר ייוחד בו מין הכפל ומין המוסיף חלק בלתי מין המוסיף חלקים והוא בשיאמ' שהוא יתדמה הראשון ממנו לשני ויאמ' לו פשוט לפי שעניינו אמנם הוא של שני המספרים המצטרפים בכל אחד מאותם שני המינים התדמות בעצמם אם התדמות שני המספרים במין הכפל באשר הגדול מחובר מהקטן ואם התדמות שני המספרים במין המוסיף חלק כאשר הם יחד מחו מחוברים מפנה אחת והוא המותר אשר ביניהם ולזה הקישו הראשונים הדברים הטבעיי החבור בשני אלו המינים לבד ולא יקישו אותם במין השלישי אשר יאמ' לו שהוא פשוט גם כן ר"ל במין המוסיף חלקים ואמנם שני המינים המורכבים הנה אחד מהם מורכב מבעל הכפלים ומהמוסיף חלק ואמנם האחר מורכב מבעל הכפלים ומהמוסיף חלקים ולפי שהחלק קודם בטבע על החלקים היה הכפל המוסיף חלק קודם על הכפל המוסיף חלקים ולזה יחוייב להקדים המאמר על הכפל המוסיף חלק ונאמ' שזה היחס יראה משני מספרים אחד מהם יותר לאחד מדמיון אחד או דמיונים הרבה וכמו חלק ממנו כמו החמשה כאשר יוקשו אל שנים כי החמשה שני דמיוני שנים וכמו חציים וכבר יקח זה המין הדמוי משני המינים אשר הוא מורכב מהם אמנם מה שיקח מיחס הכפל הנה ברבות כפלו והחלק אחד בלתי מומר כמו הכפל השניי המוסיף חצי והכפל השלישיי המוסיף חצי והכפל הרביעיי המוסיף חצי וכן תמיד ברבות הכפלים והחלק אחד [ו]לא יומר ואמנם מה שנקחהו מדמיון המוסיף חלק יומרו חלקיו ולא יתרבו כפליו כמו הכפל השניי המוסיף חצי והכפל השניי המוסיף שליש והכפל השניי המוסיף רביע והכפל השניי המוסיף חומש עוד כן יומרו ח חלקיו ולא יתרבו כפליו וכבר יתחדש לו והתרכבו מהם קבוץ שני סגולותיו כאשר יתרבו כפליו ויומרו חלקיו כמו הכפל השניי המוסיף חצי והכפל השלישי המוסיף שליש והכפל הרביעיי המוסיף רביע וכן תמיד יתרבו כפליו ויומרו חלקיו ואמנם יתחדש המין האחד לדמוי מהמוסיף חלק לבד באשר תסדר המספרים הטבעיים אשר התחלתם ב' בטור ונקיש כל מדרגה עוד תסדר הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם ה' בטור ונקיש כל מדרגה אל הדומה לה כמו שתראה בזה הדמיון בזאת הצורה צורת הדמיון שנזכרנו ב ג ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד טו יו יז יח יט כ כא כב כג כד כה כו כז ה ז ט יא יג טו יו יט כא כג כה כז כט לא לג לה לז לט מא מג מה מז מט נא נג נה ותמצא המין האחר לדמוי מהכפל לבד כשתסדר טור באורך יהיה ראשיתו שני המספרים הפועלים ביחס הכפל המוסיף חלק והם ב' ותחתיו ה' עוד תסדר תחת הה' מה שימשך לו ממדרגות הנפרד הטבעי ימשכו קצתם לקצת יורדים ותשים אלו המדרגות יתחילו בטורים לוקחים ברחב יתוספו מדרגות כל טור מהם כמנין המדרגה הראשונה ממנו עוד תקיש כל אחת ממדרגות זה המרובע באשר נכח לו והוא מקבילו מהטור הראשון שאתה תמצא בזה כבר העמדת בו יחס הכפל מבלתי שיצמח החלק וזה כמו שתראה בכאן ויתחדש זה המין ב ד ו ח י יב יד יו יח כ האחד ליחס משני ה י טו כ כה ל לה מ מה נ פנותיו אשר הוא ז יד כא כח לה מב מט נו סג ע מורכב מהם ט יח כז לו מה נד סג עב פא צ והוא אשר יתרבו יא כב לג מד נה סו עז פח צט קי כפליו ויומרו חלקיו יג כו לט נב סה עח צא קד קיז קכט באשר תסדר טו ל מה ס עה צ קה קכ קלה קנ הנפרדים הטבעיים יז לד נא סח פה קב קיט קלו קנג קע יט לח נז עו צה קיד קלג קנב קעא קצ כא מב סג פד קה קכו קמז קסח קפט רי אשר התחלתם מה' בטור הנרשם באודם ולא נרצה להקיש בו אבל לשומו רושם לקחת דמיון ממנו וזה שאנו נסדר טור אחד יהיה ראש מדרגותיו גם כן ה' והמדרגה השנית כמו אשר לפניה ר"ל כמו ה' מוסף עליו מה שלמעלה ממנו ר"ל מהטור הראשון האדום אשר לפניה והמדרגה השלישית כמו אשר לפניה ר"ל כמו י' מוסף עליו מה שהוא למעלה ממנו ר"ל המדרגה השנית מהטור האדום וכן תעשה עד שיכלה אל סוף מה שהנחת מהמספרים בטור ה ז ט יא יג טו יז יט כא כג כה כז כט לא לג לה לז לט מא מג מה מז מט נא נג נה נז נט י יז כו לה נ סה פב קא קכב קיא קע קצה רכו רנז רצ שכה שסו ת תמז תפד תקכט תקטו תרכה תרפו תשט תשפו תתמו תתק ג ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד טו יו יז יח יט כ כא כב כג כד כה כו כז כח כט ל האדום וכאשר הולדנו זה הטור השני כן סדרנו נכחו טור המספרים הטבעיים והתחלתו מב' עוד נקיש בין מדרגותיו ובין מדרגות הטור אשר הולדנו ונעזוב הטור האדום ויראה בהקשתם איך יתילד המין הלוקח הדמוי משני פאותיו וזה המין השלישי ממיני הכפל המוסיף חלק ותבחנהו בצורה שעשינו והתישר בו
Multiple Superpartient Ratio
 הדבור ביחס החמישי והוא יחס הכפלים המוסיף חלקים
הוא כמו שאמרנו מורכב מיחס הכפל ומיחס המוסיף חלקים ולזה גם כן כבר תחלק המלאכה בהולדת זה היחס לשלשה חלקים אם שתשתדל בם להראות סגולת המוסיף חלקים בהמרת החלקים הכפל ברבות כפליו מבלתי השתנות החלקים הנוספים או תמורתם ואם שתתחכם בם להראות סגולת המוסיף חלקים בהמרת החלקים בלתי רבות הכפלים ואם שיראו בם שתי הסגולות יחד הראות נמשך כמו שהוא בטבע הנה המין אשר יצמחו כפליו ולא ישתנו חלקיו יתחדש כשנניח שני המספרים הראשונים הפועלים ליחס אי זה הכפל המוסיף חלקים שנרצה וכאלו נרצה ה ז ט יא יג טו כא יז כג יט כא כג כה כז כט לא לג לה לז ה י יז כו לז נ סה פב קא קכב קמה קע קצז רכו רנז רצ שכה שסב ב ג ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד טו יו יז יח יט יחס הכפל המוסיף שני שלישים הנה נניח שני המספרים הראשונים הפועלים להם והם ג' וח' וכאשר נרצה שאר הכפלים מא המוסיפים שני שלישים נעזוב הקטן על ענינו ונסדר תחתיו לז טור באורך לוקח תחת ח' יתחילו מדרגותיו מח' יתוספו במניין לה אחרי המספר הקטן ר"ל שיתוספו ג' ג' עוד נקיש כלם במדרגה לב הראשונה ר"ל במספר הקטן אשר הוא ג' כי הם יהיו אליו ביחס כט הכפל המוסיף אותם החלקים הראשונים וכבר התילדו כו הכפלים כפי המשכם בטבע מבלתי שיתוספו החלקים או כג יומרו ובזאת המלאכה יתילדו אלה^ מן הכפלים המוסיף חלקים אי זה כ שתרצה כמו הכפל המוסיף שלשה רביעיות או שלשה חמשיות יז או מה שתרצה מזה והתישר בו במשל אשר המשלתיו לך הנה יד ואמנם איך יתילד המין אשר יומרו חלקיו ויעתקו ברבות המספר יא אשר ממנו יגזרו שמותיהם העתק נמשך בטבע מבלתי שיומר ח מנין כפליו זה גם כן תחלק מלאכתו לשני חלקים לפי שאנו אם שנלך ג' בזה אל תולדת המינים הראשונים מהמוסיף חלקים כפי המשכם בטבע כמו המוסיף שלשה חלקים עוד המוסיף ארבעה חלקים עוד מה שילווה לזה ואם שנלך אל הולדת מין אחת מהם בהוצאת כל יחס יפל תחת שם אותו המין כמו המוסיף שני חלקים לבד והמוסיף שלשה חלקים לבד אבל המלאכה אשר תביא אל המינים הראשונים מהמוסיף חלקים כפי המשכם בטבע מבלתי שירבו הכפלים אמנם היא כשנסדר המספרים הטבעיים שהתחלתם ג' בטור ותניח תחת ג' המספר אשר יפעל עמם תחלת יחס המוסיף חלקים עוד נשלים הטור הגדול במדרגות יתוספו ג' ג' פעם א' אם רצינו שיהיה הכפל שניי ואם רצינו אותו שלישיי כזה שני פעמים ואם רצינו אותו רביעיי שלשה פעמים וכן מה שאחר זה עוד נקיש כל מדרגה באשר למעלה ממנה ר"ל הדומה לה מהטור הראשון הנה יראה לנו יחס הכפל המוסיף חלקים כפי התילד המינים הראשוני' מהמוסיף חלק בטבע בלתי שיתרבו הכפלים וזה כפי מה שתראה בזה המשל ותבחנהו ותמצאהו בג"ה ואמנם איך יתילדו ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד טו יו יז יח ג ח יא יד יז כ כג כו כט לב לה לח מא מד מז נ נג מיני הכפלים המוסיפים שני חלקים דרך משל או מיני הכפל המוסיף שלשה חלקים או זולת אלו מבלתי שיתרבו הכפלים ולא ישתנה מנין החלקים אבל ישתנה בצמיחת הטבעית המנין אשר הם נגזרים ממנו וזה כשנוציא המתדמים בכפלם תחת המוסיף אותם החלקים כמו שכבר גלינו בשער המוסיף חלקים עוד ינשא המספר הקטן מפל מדרגה על הגדול אשר נכחו אם תרצה שיהיה הכפל השניי ואם תרצה שיהיה שלישיי תשא כפל הקטן ואם תרצה אותו רבעיו תשא שלשה כפלי הקטן וכן מה שאחר זה ככל מדרגות הטור הגדול עוד נקיש כל מדרגה בנכחית לה שאתה תמצא המוסיף אותם החלקים בלתי שיוסיפו הכפלים או יעתקו מהמנין אשר תרצה ובחן מה שזכרתיו לך בשני הרשמים לפניך בשער המוסיף חלקים והם טור מיני המוסיף חלקים לא יומר מנינם ותתישר מהם להולדת זה המין מהכפל המוסיף חלקים כאשר תטיב להתבונן במה שזכרנוהו ואמנ' המין השלישי מהחלוקה ^ הנזכרת בפתיחת זה הספר והוא איך הראשונה יתילדו המינים אשר יצמחו כפליהם וישתנו חלקיהם הנה לפי שהשתנות החלקים אם שיהיה בקיום מנינם והתרבות הגעותיהם התרבות טבעי ואם שיהיה בהתרבות מנינם והתרבות הגעותיהם יחד יחריב שתחלק המלאכה בהוצאת זה לשני חלקים אבל יתילד המין אשר יתקיים בו מניין החלקים וישתנו הגעותיהם בהתרבות הטבעיי תהיה מלאכתו כאשר נוציא שני טורים מיחס המוסיף חלקים מנינם ר"ל מנין החלקים הנוספים אשר תרצה לחייבו ותתישר בזה בשני הטורים הנרשמים בדומה זה בשאר המוסיף חלקיים והם שני הטורים אשר הוכר בם השתוף מהבלתי שתוף עוד ינשא על כל מדרגה מן המספרים הגדולים מה שבדומה לה מן המדרגות המספרים הקטנים מוכה במנין הגעות החלקים אל האחד וכאשר עשית זה בכל מדרגות הטור הגדול הקשת בין כל מדרגה ממנו ודומה לה ממדרגות הטור הקטן ר"ל בעל המספרים הקטנים שאתה תמצא כל זה ביחס הכפל המוסיף חלקים הגעתם הוא מנין הכפלים ר"ל שמנין החלקים לא יומרו ואמנם החלק השני מזה המין והוא אשר יתרבו בו הכפלים ומנין החלקים והגעתם יחד הנה מלאכת הולדתם בהנחת המספרים הטבעיים אשר התחלתם ג' בטור עוד תניח תחת ג' [ח] ותשלים הטור השני אשר התחלתו ח' בתוספת הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם ז' ותוסיף ז' על ח' ותעמיד מה שהתקבץ במדרגה וכן תוסיף השנית וזה ט"ו עוד תוסיף על ט"ו ט' ותעמיד מה שהתקבץ ברביעית ותעשה כמו זה בשאר מדרגות הטור השני עד שתגיע לנכח סוף מה שהנחת מן המספרים הטבעיים בטור הראשון עוד נקיש כל מדרגה בדומה לה כמו שתראה בשני אלו הטורים ויראו לך בג"ה מיני הכפל המוסיף חלקים אשר התרבו כפליהם ומנין ג ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד טו ח טו כד לה מז סג פ צט קכ קמג קסא קצה רכה חלקיהם והגעות חלקיהם כמו כן התרבות טבעי נמשך הנה כבר דברנו על היחסים החמש וההקשות המספריות העשרה ואמרנו בם מאמר מופלג כפי הצורך מבלתי רבוי ואריכות

Producing the Ratios from Equality

 המאמר על התחבולה בהולדת היחסים מן השווי
וכבר ימשך למה שקדם מדברינו שנביא הצד בהולדת אלו היחסים החמש מן השווי בתחבולה שרשית קיימת בלתי מבולבלת תדמה הענינים הטבעיים בכללותה ואמתת פירושה והפרי במה שנזכור מזה יקר ונכבד מאד וכל שכן אצל מי שבחן מה שאעיין בו מדמיון הידיעה לטוב כי הטוב אצל הנפש מוגבל וידוע המשלו וחברו תמשכו לו הנפשות ותדע שהוא ראשון לכל מה שיתפרד מעצמו מתמיד ההרגש בכל מה שיתילד מטבעו ושהרע בגנותו בלתי בעל תכלית ולא מגיע אל גבול ולא יסתעף משרש ולא נמשך על פירוש אמנם הוא שנוי הטבע אשר הוא טוב הנה היציאה מטבעם הראשון להם יציאה מתחלפת לא תכלל בגבול ולא תתקיים בסדר ולזה לא יאחזהו כח מדבר אחיזה מושכלת אבל יכירהו בהתחלפו לטבע דרך משל אומר כחלודה במראה הספירית והעול בנפש הישרה ^ בלתי מושגים בדרך שהם הגדר וההגבלה אחר שאין עצומיות להם ואמנם יודעו בהשתנות העצם אשר נקבעו ונטבעו בו אבל אם אנחנו מצאנו לאלו היחסים החמש דרכים מוגבלים בהם יתילדו מהשווי ויותכו בהפוכם אל השווי והיה השווי בלי ספק טוב וחשיבות היו היחסים גם כן משותפים לאותו החשיבות ונקשרים באותו הטוב אחר שהיה התילדם ממנו מסודר נמשך על גבול שומר לכח שרשם אשר ממנו יתילדו כמו שישמור הגרגיר כח האילן אחר שכבר ישוב גם כן הגרגיר אילן וכן אלו היחסים יתילדו מן השווי וישובו כמו כן אל השווי אבל לא יהיה זה בהזדמן אבל כבר נצטרך בו אל מלאכה וחבור כמו שנצטרך בענין הזרע והאילן על עבודת הקרקע קודם שיצא כי אי אפשר להגיע אל תכלית דרוש מן הדרושים דרוש מדעי היה או דרוש מעשי אם לא בהעזר מדברים מחוץ יהיה להם קצת התדמות לאותו הדרוש ויחוברו על סדר מה מוגבל נגיע עם ההדרכה עליהם אל הדרוש ולזה שם אקלידס החבור אחד מהדברים אשר מהם תהיה הידיעה ובהם נגיע אל המעשה ולזה גם כן נניח אנחנו בהולדת כל אחד מאלו היחסים שלשה מספרים בשלשה מדרגות להגיע בם אל ההתיחסות כי ההתיחס בפחות מה שיהיה הוא בשלשה גבולים ואמנם נעזרנו בהתיחסות מהדברים אשר מחוץ למה שבו מהתדמות היחס ולפי שאנו כבר אמרנו שהדברים אשר נעזר בם מחוץ עם החקירה מהדרוש ראוי שיהיו מתדמים לדרוש ויקראו אלו שלשת המדרגות ראשונה ושניה ושלישית ותדבק כל מדרגה מהן בגבול לא תעברהו אם הגבול במדרגה הראשונה הוא שנניח תחתיה לעולם כמו המספר אשר בה ואמנם הגבול במדרגה השנית הוא שנניח תחתיה לעולם כמו המספר אשר בה וכמו המספר אשר במדרגה הראשונה ואמנם המדרגה השלישית הוא שנניח תחתיה כמו המספר אשר בה וכמו המספר אשר במדרגה הראשונה וכפל אשר במדרגה השנית זה הוא מה שהוא כולל במלאכה אשר בה יתילד כל אחד מאלו היחסים ואמנם מה שהוא מיוחד בם לכל אחד מאלו היחסים כי אשר תיחד המלאכה בהולדת יחס הכפל השניי שיהיו המספרים הראשוני' המונחים במדרגות הג' אשר מהם יתילד זה היחס מספרים שוים שומרים השווי בהצטרפם וכשנשמור בם התנאי הכולל הנזכר יראו אלינו מספרים ביחס הכפל השניי והיה המין הראשון ממיני זה זה היחס ואם שמנו זה המין הנראה מונח והוספנו בו התנאי הכולל אל הנזכר ר"ל העשות הגבולים השלשה במדרגות השלשה יראה לנו המין השני ממיני הכפל והוא הכפל השלישיי ואם שמנוהו גם כן מונח והשבט בו במעשה הראשון יראה לנו המין השלישי והוא הכפל הרביעיי וכפי זה הדרך לא נסור מזה המעשה יראו לנו מיני הכפל ראשון ראשון כפי המשכם בטבע ובחן שוויון כפל זה בשני טורים אלו א א א וקחם לשרש למה ראשון א ב ד שימשך להם שני א ג ט ואמנם אשר הוא ג א ד יו מיוחד בזאת המלאכה להוליד יחס המוסיף חלק הנה הוא כפל מוסיף חלק שיהיו המספרים המונחים אשר מהם תרצה להוליד המוסיף חלק מתיחס ביחס הכפל ויהיה הגדול מהם במקום הראשון והקטן מהם במקום השלישי עוד תעשה בם הסבוב הכולל אשר זכרנו כי ימשך לזה שיראו אלינו מיני המוסיף חלק כפי המשכם בטבע ר"ל שהמספרים המונחים אם היו עליהם תחלת מיני הכפל ר"ל השניי יראו מהם מיני המוסיף חלק ר"ל המוסיף חצי ואם היו על היחס השני ממיני הכפל ר"ל השלישיי יראה לנו גם כן השני מהמוסיפי חלק ר"ל המוסיף שליש וכמו כן מה שאחר זה ותבחנהו מזאת הצורה ואשר ייחד תולדת המוסיף חלקים ט טו כה הוא שיהיו המספרים המונחים ט כד סד מתיחסי' ביחס המוסיף חלק ויהיה הגדול מהם במקום הראשון והקטן מהם במקום השלישי עוד נעשה מוסיף חלק מוסיף חלקים בם הסבוב הכולל הנזכר כי הוא יראה לנו המספרים על יחס מין מהמוסיף חלקים מסודרים הקרוב מהטבע בסדור המוסיף חלק המונח וזה יהיה כן : ואשר ייחד הולדת יחס הכפל מוסיף חלק כפל מוסיף חלק המוסיף חלק הוא שיהיו המספרים המונחים מתיחסים ביחס המוסיף חלק גם כן אלא שהגדול מהם יהיה במקום השלישי והקטן מהם במקום הראשון ויראה לנו הסבוב הכולל המותנה מין מהכפל המוסיף חלק הוא בקרוב מהטבע ר"ל מהתחלת מיני הכפל המוסיף חלק בכמו מדרגת המין המוסיף חלק המונח ויהי כן ואשר ייוחס הולדת יחס הכפל המוסיף חלקים ד ו ט הוא שיהיו המספרים המונחים ; ד י כה מתיחסים יחס המוסיף חלקים ויהיה הקטן מהם במקום הראשון והגדול מהם מוסיף חלקים כפל מוסיף חלקים במקום השלישי וכאשר נסובב בהם המעשה אשר הוא כולל לכל היחסים יראה לנו מן הכפלים המוסיף חלקי' מסודרי' בסוגו כסדר המוסיף חלקים המונח כסוגו וזה כמו שתראה הנה ט טו כה הנה כבר התבאר שכל אלו היחסים ט כד סד שהמשלנו אותם יתילדו מהטור השוה המדרגות השלשה והוא טור האחדים הנכתבים באודם ואלו הנחנו כמו כן באותו הטור בלתי האחדים רק שיהיו מספרים שוים ועשינו בם מה שעשינו אותו בדרכים אשר תארנו יחוייב שימשך לזה כל מה שנראה לנו מהענינים המתחייבים בהולדת אלו היחסים אלא שאשר נראה מזה אינו עלתו אבל עלתו שווי האחדים וכבר יתכן לנו שנדע כי מיני המוסיף חלקים אשר יתילדו בזאת המלאכה אמנם הם המינים הראשונים מאלו היחסים ורצוני במיני הראשונים מאלו מהם אשר יהיו הגעות חלקיהם יותר מוסיפים ממנין חלקיהם באחד כמו המוסיף שני שלישיים והמוסיף שלשה רבעיות והמוסיף ארבעה חומשים והמוסיף חמשה שתויות ומה שיעבור זה ממה שידמהו ואמנם שאר מיני המוסיף חלקים כמו המוסיף שני חומשים והמוסיף שלשה חומשים או שלשה שבעיות או מה שהוא דומה זה הנה המלאכה בהולדתם אמנם היא כמו שהגדנו עליה בשאר המוסיף חלקים וכן גם כן ראוי לנו כשנרצה מיני הכפל המוסיף חלקים בזאת המלאכה שיהיו המינים המונחים מהמוסיף חלקים להוליד זה הם המינים הראשונים אשר זכרנו שהגעת חלקיהם תוסיף על מנין חלקיהם אחד וזה בלבד מאמר מספיק בהוראה על אי זה מיני הכפל המוסיף חלק ואי זה מיני הכפל המוסיף חלקים יתילדו בבאור הנזכר וששאר מיני סוגי אלו היחסים יתרחקו מדרך סוגיהם ולזה אולי לא יראו אלא במלאכה היא יותר רבת ההרכבה מזאת אשר השלמנו לזכרה עתה והאל היודע וזה לך ציור חלוקת הכמה המצטרף והיתרון והוא נחלק לשני חלקים השווי באחד אל אחד ומאה אל מאה הכמה המצט[רף] יחלק הקטן והוא ה' חלקי' הגדול והוא ה' חלקים א א ק ק לשני חלקים הנה זה יישירך תחת בעל הכפלים המוסיף חלקים תחת בעל הכפלים המוסיף חלק תחת המוסיף חלקים תחת המוסיף חלק תחת בעל הכפלים בעל הכפלים המוסיף חלקים בעל הכפלים המוסיף חלק המוסיף חלקים המוסיף חלק בעל הכפלים כד ח ט ד א סד פה טו ו ב השם מספיק בסוף המאמר הראשון מספר הארתמאיטיקא כפי מה שתיארו ניקמאכוש אל גהר שיני הפתאגורי ותקנו באנדלס אבו סלימאן רביע בן יחיי אסקף אלכידה והעזר בעיון וההגיה בו והאל ברחמיו יישירך להבין ולמצוא חפציך בו המועילים לאחריתך אמן נשלם המאמר הראשון מספר הארתמאטיקא והתהלה לאל יבא אחריו המאמר השני בג"ה

Book Two

 המאמר השני מספר הארתמאטיקא

Reducing the Ratios to Equality

 המאמר הראשון ממנו בהתכת היחסים אל השווי
יאמ' שהפנה והיסוד הוא הדבר אשר הורכב ממנו דבר אחד ויתך אליו דבר אחר כמו אותיות האלפא ביתא כי יאמר בם שהן פנות לכתבים המונחים המחוברים מהם הנתכים אליהם וכן הנעמות הן פנות לכל הלחנים אחר שהיו הלחנים מחוברים מהם נתכים אליהם וכן גם כן אלו היסודות הארבעה ר"ל האש והאויר והמים והארץ יאמר שהם פנות ופשוטים לכל הנופלים תחת ההויה וההפסד אחר שחבורם מהם והתכתם אליהם ואמנם הקדמנו אלו ההקדמות להראות שהשווי פנה לכמות המצטרף ושהוא ממנו צמח ואליו יותך ואמנם הכמה הנפרד הנה פנתו הראשונה וכן התילד ואיפשר להוסיף בו אל מה שאין תכלית לו הוא האחד ואמנם מה שיתילד מהשווי ויותך אליו הנה הוא כולל לכל הצרופים ונביא ראיה במופת ואמתות שהשווי יפנה לכמות המצטרף אשר ממנו היה התחלת מולדתו ובו צמח בהתוספו ואליו יכלה כאשר חוסר ונתך ומהתחבולה הכוללת לזה הוא שתדע שכאשר תניח שלשה מספרים יחס הראשון מהם אל השני כיחס השני אל השלישי באי זה מהמינים היה מהיחסים החמש אשר זכרנום במאמר הראשון הנה אלו מספרים שלשה אם הונחו כן היה יחס גם כן השלישי אל השני כיחס השני אל הראשון והראשון הוא הקטן והשני הוא האמצעי והשלישי הוא הגדול ואם רצה רוצה להשיבם אל השווי הנה ישליך מהאמצעי כמו הקטן עוד ישליך מהגדול כמו מה שישאר מהאמצעי וכמו מהאמצעי ואם השתוו המספרים השלשה הנה כבר היה מה שרצינו ואם לא הנה כבר יצאו ממין צרופם ושבו אל מין אחר הוא יותר קודם בטבע ממין היחס אשר היו ממנו ראשונה עוד תעשה בו כמו המעשה הראשון ואם השתוו הנה מצאנו מבוקשנו ואם לא הנה כבר יצאו מאותו המין גם כן אל מין יותר רחוק מן הראשון בטבע ולא תסור מעשות כן תמיד עד שישתוו ומשל זה נניח השווי בטור בעל שלשה מדרגות ונסדר אליו טור שני מתיחס ביחס הכפל עוד נסדר בם טור שלישי על יחס המוסיף חלק ונמשיך בזה טור רביעי על יחס המוסיף חלקים עוד נניח בטור החמשי מספרים א א א מתיחסים ביחס הכפל המוסיף א ב ד חלק ונחתום הצורה בטור ד ו ט ששי מתיחס המדרגות ט טו כה ביחס הכפל המוסיף חלקים ד [י] כה ט כד סד כפי מה שבצורה הנה זה הטור שנכוין אליו מאלו הטורים ועשינו בו מלאכת ההתכה אשר זכרנוה נשיבהו בזה אל יחס טור הוא יותר קרוב ממנו אל השווי ר"ל שהוא יותר קרוב אל טור הגבולים השוים עוד לא נסור מעשות זה בו כמו עד שישובו מדרגותיו אל יחס טור השווי עצמו ויספיק לך מה שאמרנו מלהרבות ההמשלים וההכפלה הארוכה אשר לא יאותו למי שידע שהשלמת המלאכות לא תהיה ברבוי ההמשלים אבל בתקון הגבולים וכבר התבאר כי המעשה אשר הקדמנוהו להולדת היחסים במאמר הראשון הוא בעצמו יתהפך הנה כאשר נשתדל להתיך אותם היחסים אל השווי

Setting Up Series of Superparticulars

 הדבור בסדור גבולי כל יחס מונח שני המספרים מיחסי המוסיף חלק
וראוי אחר שכבר נצטרך הרבה אל שנניח מספרים נמשכים מתיחסים מהמוסיף חצי או המוסיף שליש או המוסיף רביע או זולת מה מהמוסיף חלק אחר שנביא הוצאה מלאכותית לזה ותחבולה תאמת לנו ההכרה בה כדי שתהיה דרישתנו למה שנדרשנו מזה בבלתי בלבול ונאמ' שיחס המוסיף חצי הוא ראש יחסי המוסיף חלק כמו שנגלה במה שקדם ושתחלת שני מספרים פועלים יחס המוסיף חצי הם שנים ושלשה וכאשר נרצה לבאר איך נוציא הגבולים הנלוים בזה היחס נסדר מדרגות הכפל השניי בטור והם מדרגות זוג הזוג ונשליך המדרגה הראשונה לפי שהיא האחד ואין חצי לו עוד נניח תחת כל מדרגה המספר הנכפל הפועל עמה כי בהנחנו תחת כל מדרגה אותה המדרגה ושלפניה אשר היא חציה הנה שמנו יחס הדמיון וחצי ר"ל יחס המוסיף חצי ויתחדש טור שני חסר מהטור הראשון מדרגה והיא אשר השלכנו בנכח האחד עוד נשוב [] ונשליך כמו כן המדרגה הראשונה מזה הטור השני לפי שהוא שלשה ואין חצי לו ונניח תחת כל אחת ממדרגותיו הנשארות המספר הפועל עמו יחס המוסיף חצי ויתחדש טור שלישי חוסר מהטור השני מדרגה והיא נגד השלשה עוד נשוב גם כן ונשליך המדרגה הראשונה מזה הטור השלישי לפי שהוא תשעה ואין לו חצי ונניח תחת כל אחת ממדרגותיו המספר הפועל עמו יחס המוסיף ^ הנה יתחדש טור רביעי חוסר מהטור השלישי חצי מדרגה והיא אשר השלכנו כנגד התשעה וכמו כן נחדש טור חמשי וששי ולמעלה מזה כמו שתראה בזאת הצורה / א ב ד ח יו לב וכבר התבאר ג ו יב כח מה שתחלת מה ט יח ט עב שימצא יחס כז נז קח המוסיף חצי כא קסב בשני גבולים עוד התבאר בזאת הצורה איך נמצאהו בשלשה גבולים עוד בארבעה עוד בחמשה עוד בששה והמלאכה שנעשית בה זאת הצורה כבר יתוספו בה הגבולים בזה היחס אל מה שאין תכלית לו ולא יבצר מהם גבול בשום כנוי שלא תראה בו התחבולה ואם רצינו להוליד מספרים כפי זה המשל ביחס המוסיף חלק השלישי נסדר מה שבטור הכפל השלישי הנמשך על יחס דמיון אגט כז פא רמג ונסדר טורים תחת זה הטור נעמיד תעמיד ^ כל מספר כמהו וכמו שלישיתו מה שאפשר בו זה תחת ונצייר צורתו כמו מה שציירנו הראשונה אשר לפניה ויראו בה מדרגות הגבולים ביחס המוסיף שליש מבלתי שיחטא בגבול מהם כמו שתראה בזאת הצורה אשר לפניך א ג ט כז פא רמג וכמו כן כאשר נרצה ביחס ד יב לו קח שכד המוסיף חלק הרבעיי יו מח קמד תלב הנמשך על יחס דמיון א"ד סד קצב תקעו י"ו ס"ו וכמו כן מה שילוה לזה מין מיני רט תשסח המוסיף חלק ואמנם אלף כד יסוד במלאכת זאת א ג ט כז פא רמג הצורה שנשים מדרגות ד יב לו קח שכד הטור הראשון נמשכם על הכל אדום יו מה קמד תלב יחס הכפל אשר הוא נקרא ליחס סד קצב תקעו הדרוש הגבולים מיחסי המוסיף חלק ר"ל רט תשסח הכפל אשר ממנו מעמד אותו החלק וכאשר עשית אותו אלף כד מזאת הצורה במלאכת הנזכרת הוא גלוי מבואר שהמספרים אשר יפלו בזרות מכל צורה הם המספרים אשר בטור הראשון המונח בצורה אשר תמשך לה ובכאן ענינים אחרים נכבדים ונפלאים תעמד עליהם עם טוב בחינתך בהם ברצון השם על גלוי אי זה יחס מיחסי המוסיף חלק הנמצא בחבור ^ יחס מונח מיחסי בעל הכפלים יחס רצונו אמנם המין הראשון מבעל הכפלים והוא השניי הנה הוא אשר יתחייב יתחבר ויתילד באמצעות שני המינים הראשונים ממיני [ ] שתדרוש המוסיף חלק והם המוסיף חצי והמוסיף שליש משל זה מוסיף חצי + מוסיף שליש כפל שניי שהארבעה כמו השלשה וכמו שלישיתם והשלשה כמו השנים וכמו חציו והנה הארבעה אצל השנים ביחס הכפל השניי כמו שתראה בזאת הצורה ובהפך זה המאמר יתבאר שהכפל השניי יותך אל המוסיף חצי והמוסיף שליש כפל שניי מוסיף חצי מוסיף שליש משל זה שאם לקחנו שני מספרים ביחס הכפל השניי כמו הששה והשלשה שאנו נמצא ביניהם ב ג ד יחס המוסיף חצי יחס המוסיף שליש יחס הכפל השני אמצעי מן המספר יותך אצלו יחס שני הקצוות המונחים מהכפל השניי על שני היחסים הנזכרים מיחסי המוסיף ואם כן יותך אליהם חלק והאמצעי בין הששה והשלשה הם ארבעה הנה הששה כאשר הוקשו אל הארבעה היה המוסיף חצי והארבעה אצל השלשה תוסיף שליש וכאשר יותך א אמנם יותך אליהם ואמנם המין השני מבעל הכפלים ר"ל הכפל השלישיי אי[ ] יתילד מ[ ] מוסיף חצי כפל שניי כפל שלישיי השניי משל זה שי"ח כמו י"ב וכמו חציו וי"ב כפל ו' אבל המוסיף חלק ר"ל החצי [ ] י"ח אצל ו' כיחס הכפל השלישיי וכמו כן גם כן תמצאהו [ ] ר"ל השניי אלא שלא יחוייב שנשים האמצעי י"ב אשר הוא כפל ו' אבל ג ד ו יחס המוסיף חצי יחס המוסיף שליש יחס הכפל השני נשים במקומו ט' אשר הוא כמו ו' וכמו חציו וכבר המשלתי לך שתי הצורות ובהפך זה המאמר יתבאר שהכפל השלישי כאשר יותך אמנ' יותך אל הכפל השניי והמוסיף חצי / / ו ט יח יחס המוסיף חצי יחס הכפל השני יחס הכפל השלישי ו יב יח יחס הכפל השניי יחס המוסיף חצי יחס הכפל השלישי ובחן זה באי זה משני מספרים תרצה אם תניח ביחס הכפל השלישיי תמצאהו כן ואמנם אם יחובר הכפל השלישיי והוא והמין השני מהמוסיף חלק יתילד מזה הכפל הרביעיי וכאשר יותך הכפל הרבעיי הנה הוא יותך אל הכפל השלישיי ואל המוסיף חלק השניי
וכלל המאמר שכל מין ממיני הכפל כאשר הורכב עם דומה לו במדרגה ממיני המוסיף חלק הנה יתחבר מהם המין אשר ילוה אליו בקרוב שבמדרגות אליהם ^ ממיני הכפל וממיני המוסיף חלק זהו אלי[הם] כלל המאמר בכמה המצטרף על כל צדי צרופיו עם תכלית מה שאיפשר מהשמירה בהשלמת הענינים עם קצור המאמר במה שאי אפשר למתלמדים בלעדיו

Absolute Quantity

Numbers as Geometric Shapes

 הדבור בתואר המספרים הנפרדים המשותפים בכחם לתמונות המידותיות
ותחלת זה הדבור בתמוניות אמנ' עתה הנה אנחנו זוכרים מה שנשאר מהדברים המתחייבים לכמה הנפרד ממה שיצטרך לחקירה יותר חזקה מכל מה שדברנו עליו במאמ' הראשון כי כאשר אנחנו רוצים לזכרו הנה הוא דבר נצטרך אליו לקחת ממנו ראיה על זולתו והחכמים היו משבחים מאד לפרש קצת החכמות בקצת ומהדברים אשר ראוי להקדים בבאורם שנאמ' כי מהמספרים מה שהוא דומה לשטח ^ ומהם מה שהוא לקוים בסדרם דומה לשטח ומהם מה שהוא דומה למעוקב ומהם מה שהוא דומה לכדור ומהם מה שהוא דומה ללבנה בחסרון הגובה מהאורך והרחב ומהם מה שהוא דומה לעמוד בחסרון האורך והרחב מהגובה ומהם מה שהוא דומה לקשת וכמו כן לכל אחד מהדברים אשר להנדסה ר"ל המדות יש דמיון לאותם התמונות במספרים כי ההנדסה לאיכות יותר דבקה מאשר לכמות ותעיין מה שזכרנו מקדימת המספר למדות בפתיחת המספר כי שם שמנו אליו לב ודברנו בו וקודם שנדבר על דמיון אלו הגדולים אשר זכרנום מהמספרים נאמר שהוראת אותיות האלפא ביתא על מה שיורו עליו מן המספרים הנרשמים בם והם הרשמים אשר אנו רואים שיקראום האנשים חשבון הכללים אינו בטבע להם ולא בדין להם כך אבל הם מורים בהם כמה ובהנחה ממנו לא זולתו ואמנם המורים בטבעם הנה הם כמו הנראים לחוש והוא שאנו כאשר נרצה לרשום אחד נניח סימן אחד וכשנרצה לרשום שנים נניח שני סמנים וכן אם נרצה שלשה סמנים ותהיה צורת האחד וצורת השני וצורת השלשה וכן מה שאחר זה וכאשר הבאנו זה התנאי נאמ' שאנו נניח האחד בזאת המלאכה התחלה למספר כמדרגת הנקודה במלאכת המדות אשר היא התחלת הקו מבלתי שתהיה הנקודה או האחד קו או מספר הנה כמו שהנקדה כאשר נכפלה בעצמה לא יתחדש גודל אחר שמה שאין גודל לו כאשר נכפל במה שאין גודל לו לא יתחדש גודל לפי שלא יהיה יש מלא יש כמו כן האחד אשר אינו מספר כאשר נכפל בעצמו לא יתחדש מספר לפי שלא יתחדש יש מכפל אין הנה אם כן אמתת האחד כמו שאמרנו שהוא תחלת המספר ואינו מספר
Plane Numbers
Number as a Line
 הדבור בצד התדמות המספר לקו
ואמנם תחלת המשכותו אמנם ימצא בשניות עוד יתרבה ההמשכות כפי שעור הוספת המספרים הטבעיים וצמיחתם הנה כמו שהמספר יתחדש בהנחת שני אחדים נבדלים ויהיה מהבדלם המספר כן הקו אמנם יתחדש בהנחת שתי נקודות נבדלות הנה יהיה מהבדלם הקו והקו בעל משך אחד ומה שהיה בעל שני המשכים הוא שטח ומה שהיה בעל שלשה המשכים הוא גשם ולבעל השלשה המשכים מה שיחדש השש פאות אשר יאמ' שהן מתחייבות לכל גשם ר"ל מעלה ומטה וימין ושמאל ופנים ואחור ובאלו השש פאות תחלק התנועה המקומות כי בהכרח שיתחייב לכל משך שתי תכליות מקבילים אם לאחד משתי התכליות מעלה ומטה ואם לאחר פנים ואחור ואם לאחר ימין ושמאל ואולי יהיה לטוען שיאמ' הנה במאמר כולל שכל בעל אורך ורוחב ועומק הוא גשם וכל גשם בעל אורך ורחב בעל אורך ורוחב ועומק גשם ועומק וכמו כן יאמר מה שהיה לו אורך ורחב לבד והקו מה שהיה לו אורך לבד הוא שטח והשטח הוא מה שהיה לו אורך בעל אורך ורוחב בלבד שטח ורחב לבד והקו מה שהיה לו אורך לבד ומה שהיה לו אורך לבד בעל אורך בלבד קו הוא קו הנה השטח חסר מהגשם במשך אחד והקו מהשטח במשך אחד והנקודה חסרה מהקו במשך אחד הנה אם כן הנקודה אין מרחק לה כלל ואמנם היא התחלת הקו ואיננה קו וכמו כן הקו התחלת השטח ואיננו שטח והתחלת שני המשכים ואיננו שני המשכים וכמו כן השטח התחלת הגשם ואיננו גשם והתחלת שלשה המשכים הנה כן גם כן המספרים הם דומים לאלו הגבלים כפי מה שאתאר וזה שהמספרים הקויים הם כל מה שתניח התחלתו מהשנים עוד יתרבו באחד על סדר משך הטבע /
Triangle as the Foundation of All Rectilinear Shapes
 הדבור באשר המשולש יסוד לכל השטחים ישרי הקוים
ואמנם השטחי' ישרי הקוים הראשון מהם המשולש והוא בעל השלש זויות והוא כשרש וכהתחלה לכל השטחים הישרים כמו המרובע והמחומש והמשושה והדומה להם כי כלם יותכו אל המשולש זה המשולש לא יותך אל בלתי תמונתו וזה מבואר מאשר כשתוציא מאי זה מהתמונות הישרות הקוים שתרצה קוים ישרים מזויותיה אל מרכזה תחלק אי זו תמונה שתהיה אל המשולשים ותמצא המשולש יחלק גם כן עצמו אל עצמו בלתי נבדל מטבעו ולא ימצא מסוגו וכבר תראה זה בזאת הצורה לחוש שהמשולש המרובע והמחומש ומה שאחריהם מהתמונות הישרות הקוים כאשר הוצאנו בם מ ממרכזיהם אל זויותיהם הקוים אשר תארנו יותכו כלם אל משולשים הנה כבר התבאר שהמשולש שרש והתחלה לכל התמונות כלן
Triangular Numbers
 הדבור במשולשים המספריים וצמיחת' וצלעותיהם
ואמנם המשולשים הנה הוספות המספרים הטבעיים אשר התחלתם האחד קצתם על קצת הנה האחד באשר נרשם הנה הוא משולש בכח וכאשר נוסיף על האחד השנים היו השלשה ראשית המשולשים בפעל עוד תוסיף שלשה אשר ימשכו לשנים על המשולש הראשון בפעל ויהיה המשולש השני בפעל והוא ששה עוד תוסיף ארבעה ויהיה המשולש השלישי בפעל והוא עשרה עוד כן תתחדש תולדת המשלשים בתוספת המספרים הטבעיים קצתם אל קצתם וממה שתבחנהו בזאת הצורה שהמספרים המשולשים יתילדו מחבור המספרים הטבעיים קצתם על קצת כמו ג' שתשא חבור ב' וא' הוא א' ג' וי' ט"ו כ"א וכו' ואמנ' התילד צלעות אלו המשולשים הוא כפי התילד המספרים הטבעיים על צלע משולש המשכם הנה יהיה צלע הראשון כמו האחד וצלע האחרון בפעל ב' וצלע השני בפעל ג' וצלע השלישי בפעל ד' ובזה הצד מהתילד המספרים הטבעיים יתילד כל צלע מצלעות המשולשים וזה כאשר נתחיל להניח האחד תחלה עוד יתילד כל מספר מהמספרים הטבעיים בפני עצמו בטורים ימשכו קצתם לקצת תחת האחד כפי מה שתראה מצוייר בזאת הצורה: המשולש הראשון בכח אחד וצלעו אחד והמשולש הראשון בפעל שלשה וצלעו השני והמשלש השני בפועל ששה וצלעו שלשה והמשלש השלישי בפעל עשרה וצלעו ארבעה והמשלש הרביעי בפעל ט"ו וצלעו חמשה וממה שראוי שתבחנהו באלו המספרים המשולשים שכל משולש מהם יקיף מהמשלשים המדותיים במניין שוה למספר המרובע הקודם ר"ל במדרגה אחת וכן תמיד
Square Numbers
 הדבור במרובעים המספריים וצלעותיהם והתילדם
ואמנם התמונות המרובעות הישרות לא יתילדו כמו שיתילדו המשולשות מן השלשה וזה שהן בעלות ארבע צלעות וארבע זויות כמו ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו ורשמי אלו המספרים על הרבוע והשווי יהיה כפי זה המשל ר"ל המצוייר בסוף זה השער והיא התמונה אשר עליה יהיה המרובעים השוים תמיד ומבואר נגלה מהדמיון המצוייר למטה שצלעות המרובעים המספריים כפי המשכם יתוספו כפי שרש צמיחת המספרים הטבעיים כי צלע הראשון בכח אשר הוא האחד אחד וצלע הראשון בפעל ב' וצלע השני בפעל ג' וצלע השלישי בפעל ד' וכן צמיחתם תמיד וכבר אמרנו במאמר הראשון איך יתילדו המספרים השוי הצלעות למה שקרה שם זכרו ואמנם מחוייב להשיב המאמר עליו הנה אחר שהוא מקום זכרו המיוחד בו ונאמור שצמיחת אלו המרובעים מהוספת הנפרדים הטבעיי' קצתם על קצת אחר שהתחלתם האחד אשר הוא נפרד בכח ומרובע בכח כי השלשה אשר הם נפרד ראשון כאשר נוספו על האחד היה הגעת זה ארבעה והוא המרובע הראשון בפעל וכאשר נוסף על המרובע הראשון בפעל הנפרד השני אשר הוא חמשה היה הגעת זה תשעה והוא המרובע השני בפעל ולפי שאנו כבר זכרנו זה פעם אחת אין צורך בנו להאריך ביותר מאשר נאמר שהולדת המרובעים השוי הצלעות אמנם תהיה בתוספת הנפרדים הטבעיים קצתם על קצת וכל צלע מצלעות כל מרובע מהם הוא שרש אותו המרובע ר"ל כאשר ימנה בשעורי מה שבו מהאחדים היה כללו הגעת אותו המרובע וכאשר הונחו שרשי אלו המרובעים ילוו קצם לקצת היו על סדר המספרים הטבעיים ימשכו קצתם לקצת וכלל זה המאמר על זה וזה צורת המרובעים אשר יעדנו להביאה בסוף הדברים המרובע הראשון בכח הוא האחד הנרשם בשחרות בזויות העליונה מצד הימין והוא הנרשם עליו א' והמרובע הראשון בפעל הוא המתקבץ מזה האחד ומשלשת האחדים האדומים אשר ילוו עליהם על תכונת תמונת הרושם והמרובע השני הוא המתקבץ מזה המרובע הראשון בפועל ומחמשת אחדים והמרובע השלישי בפעל הוא המתקבץ מזה המרובע השני בפעל ומשבעה האחדים האדומים הנלוים עליהם על תכונת תבנית הרושם והמרובע הרביעי בפעל הוא המתקבץ מזה המרובע השלישי בפעל ומתשעת האחדים השחורים הנלוים עליהם על תכונת תבנית הרושם וממה שראוי לך שתבחנהו שתמונות הרושם בזאת הצורה הם הנפרדים הטבעיים כפי המשכם בסדר הטבע
Pentagonal Numbers
 הדבור במחומשים המספרים והתילדם וצלעותיהם
ואמנם המספר המחומש ר"ל כלל המחומשים המספרים אין צמיחתם בצמיחת המשלש והמרובע כי המחומש לו חמשה צלעות וחמשה זויות כמו א' ה' י"ב כ"ב ל"ה נ"א ורשמי אלו המספרים על החמוש והשווי הם כפי מה שציירתי לך בסוף זה השער הנה צלע המחומש הראשון בפעל והוא ה' שנים וצלע המחומש השני בפעל והוא י"ב שלשה וצלע המחומש השלישי בפעל והוא כ"ב ארבעה וכן יחוייב שיהיו צלעות אלו המחומשים נמשכים יחד על סדר המספרים הטבעיים כפי מה שהתבאר במשולש והמרובע ואמנם התילד ממחומש הנה כבר התבאר כי אחר שהיה המחומש הראשון בפעל ה' והשני י"ב והשלישי כ"ב שאשר הוספנו אותו על המחומש הראשון אשר הוא א' בכח ארבעה עד שהיה המחומש הראשון בפעל אשר הוספנוהו על הראשון בפעל והוא ה' ז' עד שהיה י"ב וקרא השני בפעל הנה מותר השבעה אשר הוספנום לסוף על הארבעה אשר הוספנום ראשונה שלשה והמחומש השני בפעל י"ב והשלישי בפועל כ"ב ואשר הוספנו על השני בפועל עד שהיה השלישי בפעל עשרה ועשרה יותר משבעה שלשה הנה אם כן כבר התבאר שתולדת המחומשי' בתוספת שלשה לעולם על מה שהוספנוהו במחומש אשר לפניו וכן ימצא תמיד כי הנה כמחומש הרביעי ל"ה ול"ה יותר מכ"ב בתוספת י"ג וי"ג יותר מי' שלשה הנה אם כן כבר התבאר איך יתילדו המחומשים וגם כן כבר יתבאר מכל מה שאמרנו איך יתרכבו כמו כן המשושים והמשובעים וזולתם וזה שאנו כבר בארנו שהמשלשים יתחדשו בהוספת המספרים הטבעיים קצתם על קצת והמספרים הטבעיים יתוספו באחד אחד ובארנו גם כן כי המרובעים יתחדשו בהוספת המספרים אשר יתוספו קצתם על קצת שלשה שלשה (?) ונאמר שהמשושים הנפרדים קצתם על קצת והנפרדים יתוספו שנים שנים ובארנו שהמחומשים יתחדשו בהוספת המספרים אשר יתוספו קצתם על קצת שלשה שלשה ונאמר שהמ[שו]שים יתחדשו בהוספת המספרים אשר יתוספו קצתם על קצת ארבעה ארבעה והמשובעים יתחדשו בהוספת המספרים אשר יתוספו קצתם על קצת חמשה חמשה וכן המשומין והמתושע או מה שתרצה מזה אמנם יתחדש בזה התאר המצוייר הנה כבר המשלנו דמיונים למחומשים ולמשושים ולמשובעים ולמשומנים והבדלנו בחלוק שני גוונים המספרים אשר בם יוסיף כל מספר משוטח מהם על אשר לפניו והנחנו אותם המספרים כדמות תבניות הרושם כדי שיתבאר בם מה שזכרנו מאשר כל מין ממיני המספרי' המשוטחים בעלי הזויות השוות אמנם יתילדו תמונותיו בתוספת מספרים יעדיפו במספר אחד לא ישתנה לעולם אל בלתי תכלית אמנם המרובעים המספרים אשר יתוספו בם ר"ל מספרי התמונו' אשר ישלימו אותם על גבולי תמונות הרושם תהיה העדפתם שנים שנים ואמנם המחומשים הנה העודף הנזכר בם יהיה שלשה שלשה וכמו כן כל מה שתעתק מדרגה אחת במדרגות מיני המספרים המשוטחים יוסיף היתרון הנזכר באחד
All Plane Polygonals Consist of and Resolved into Triangles
 הדבור באשר כל המשוטחים בעלי הזויות השוות מהמשולשים יתרכבו ואליהם יותכו
וכבר קרה מזה ביאור מה שאמרנו לפנים שבעלי המספרים הישרי הקוים השוי הזויות הם מורכבים משלש א משולש ב משולש ג משולש ד משולש ה משולש ו משולש ז משולש ח מרובע א מרובע ב מרובע ג מרובע ד מרובע ה מרובע ו מרובע ז מרובע ח מחומש א מחומש ב מחומש ג מחומש ד מחומש ה מחומש ו מחומש ז מחומש ח משושה א משושה ב משושה ג משושה ד משושה ה משושה ו משושה ז משושה ח מהמשולשים ונתכים אליהם וזה שכבר נראה לנו שהמרובעים אמנם חודשו מהרכבת המשולשים כאשר הנחנו המשולשים על סדר כמו א'ג'ו'י' ט"ו עוד חברנו המשלש הראשון בכח אל המשלש הראשון בפעל והוא ג' יחודש המרובע הראשון בפעל והוא ד' וכאשר חברנו המשולש הראשון בפעל אשר הוא ג' אל השני בפעל אשר הוא ו' יתחדש המרובע השני בפעל אשר הוא ט' וכן כאשר חברנו המשולש השני בפעל והוא י' יחודש המרובע השלישי והוא י"ו וכן תמצא זה תמיד מתרכב מכל שני משולשים מהם מרובע כפי זה הסדר אשר המשלנו ובהפך זה המאמר יותך כל מרובע מהמרובעים אל המשולשים אשר מהם הורכב כי הארבעה אשר הוא מרובע יותך אל אחד ושלשה והם שני משולשים והתשעה אל שלשה וששה הם שני משולשים הנה כבר התבאר איך יתרכבו המרובעים מן המשולשים ויתכו אליהם ואמנם המחומשים כפי מה שאתאר וזה שהם יתרכבו מהמשולשים והמרובעים כאשר סדרנו המשולשים בטור כמו א'ג'י'ו' ט"ו עוד נסדר המרובעים בטור כמו ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו עוד נחבר כל מדרגה עם נכחה הנה יתקבץ מחבור המשלש הראשון בכח אשר הוא א' עם המרובע הראשון בפעל אשר הוא ד' המחומש הראשון בפעל אשר הוא [ ] ב' וכן תמצאהו תמיד כאשר תרכיבהו כפי זה הסדר ובהפך זה המאמר יתבאר שהמחומשים יותכו אל המשולשים ואל מה שיורכב מהמשולשים ר"ל המרובעים כי החמשה יותך אל אחד וארבעה והי"ב אל שלשה ותשעה וכן מה שאחר זה הנה כבר התבאר איך יתרכבו המחומשים מהמשולשים ויותכו אליהם וכן תמצא גם כן שיתילדו המשושים מהרכבת המשולשים עם מה שיהיה נכחם בטור המחומשים כאשר הורכבו על דמיון מה שבארנו אלא שיהיה לעולם ראש הנחת המשולשים המשולש הראשון בכח אשר הוא אחד וראש מדרגות מספרי השטחים האחרים הראשון מהם בפעל והמשושה הראשון בפעל אמנם יחודש מהרכבת המשלש הראשון בכח אשר הוא האחד עם המחומש הראשון בפעל אשר הוא חמשה והמשושה השני מהרכבת המשלש הראשון בפעל אשר הוא ג' עם המחומש השני בפעל אשר הוא י"ב וכן המשובע גם כן יתחדש הראשון ממנו בפעל מהרכבת המשלש הראשון בכח אשר הוא א' עם המשושה הראשון בפעל והמשובע השני בפעל מהרכבת המשולש הראשון בפעל עם המשושה השני בפעל וכן ימצאו כלם תמיד המשומנים והמתושעים וזולתם מבעלי הזויות ותולדותם מן המשולשים והתכתם אל המשולש ולבאר זה לחוש נניח לו צורה מטורים נכחים הטור הראשון למשולשים והשני למרובעים והשלישי למחומשים והרביעי למשושים והטור החמישי למשובעים והטור השני למשומנים ומי שירצה להוסיף בזאת הצורה מספרים מבעלי השטחים ידבק בסדור אשר נשעננו וכוננו אליו / מספר מספר הצלעות השטחים ב ג ד ה ו ז ח ט י יא א המשולשים א ג א ו ג י ו טו י כא טו כח כא לו כח מה ל[ו] נה מא סו נה ב המרובעים א ד ט יו כה לו מט סד פא ק קכא ג המחומשים א ה יב כב לה נא ע צב קיז קמה קע ד המשושים א ו טו כח נה סו צא קכ קנג קץ רלה ה המשובעים א ז יח לד מה פא קיב קמח קפט רלט רפ ו המשומנים א ח כא מ סה צו קלג קעו רכה רפ ש וממה שיתבאר בזאת הצורה שהמינים הראשונים בפעל ר"ל המשוטחים המספריים יעדיפו על המשכם ברחב הצורה במשלש הראשון בכח והוא האחד והמינים השניים בפעל יעדיפו על המשכם ברחב הצורה במשולש הראשון בפעל ר"ל בשלשה והמינים השלישים בפעל יעדיפו על המשכם ברחב הצורה במשולש השני בפעל וכן המינים הרביעים בפעל יעדיפו על המשכם במשלש השלישי בפעל וכן מה שאחר זה וכבר נשלם המאמר במספרים המשוטחים בעלי הזויות
Solid Numbers
 הדבור במספרים הגרמיים
כבר בארנו במה שקדם מן המאמר מה ההפרש בין הגרם והשטח ואמרנו שהגרם הוא אשר יוסיף משך בעומק על השטח אחר שהשטח אורך ורחב לבד ואמרנו עומק או גובה הכל שוה וכבר אמרו כל זה אנשים ואחר שהיה קודם במאמרנו על השטח הדבור על משולשים לעלה אשר תארנו מהיותר ראוי לקדימה אחר שהם פנה לכל השטחים ושרש יהיה הקדימנו המאמר הזה בגרמים על המזונבים ורצוני במזונבים אשר יתחילו מתושבת משוטח ישר הקוים ר"ל הצלעות עוד יעלו בגובה עד שיכלו אל האחד כי זאת התמונה אם שיהיו שטחיה כלם משלשים והיא אשר תושבתו כי התשבות לזה המין המזונב כבר יהיו משולשים או מרובעים או משוששים או זולת זה מהשטחים אשר זכרנו ואמנם בשטחיו כאשר היה מזונב הם משולשים לבד ומפני שהמזונב אשר תושבותיו יחד משולשים ר"ל פרמידה עם בסיס משולש הגרם המשולש פנה ושרש לכל הגרמים בעלי הזויות אחר שהרכבתם ממנו והתכתם אליו יחוייב שנתחיל בו לתארו ונאמ' שזה הגרם יקיפו בו ארבעה משולשים כי אלו ידמה מדמה מהתמונות הגרמיות מהמדתיות משולש שוה הצלעות בעל שלשה המשכים שוים באורך לצלעותיו יצאו מזויות תושבתו עוד יפגשו על נקדה נכחית למרכז בנפילת עמוד יהיה כבר ידומה גרם מזדנב לו ארבעה שטחים שוים אחד מהם התושבת והשלשה הנשארים המקיפים בו וכמו כן גם כן אלו ידמה מדמה מרובע שוה יצא מזויותיו ארבע צלעות כל אחד מהם לצלע מצלעות תושבתו ויפגשו כלם על נקדה נכחית בנפילת עמוד למרכז המרובע ידומה גרם המזדנב ר"ל מחודד לו חמשה שטחים פרמידה עם בסיס מרובע כמו זאת הצורה אחד מהם שטח מרובע והוא תושבתו והארבעה הנשארים משולשים והם המקיפים וגם כן אלו ידמה מדמה כמו זה במחומש והמשושה והמשובע וזולתם ימצא בכל אחד מהם המשכים יצאו מזויותיהם ויפגשו על נקדה לנגד מרכזיהם יחדשו באותם הקוים היוצאים מהזויות ותכליות תושבתם משולשים ויהיה הגרם מזדנב ר"ל מחודד וכאשר תרצה לבחון זה ע[] עיין בדמיונים המצויירים קודם זה בשער הדבור על שהמשולש פנה לכל בעלי הזויות והקוים הישרים מהשטחים המדותיים ונשוב עתה ונאמ' שכל מספר מוגבל כמו הקו הנה תולדתו וצמיחתו מהאחד וזה כמו א"ב ג"ד ה"ו אל מה שיתוסף מזה תמיד ומאלו המספרים הקויים מה שיתרכבו בעלי הזויות מהשטחים והגרמים אלא שלא יתילד ויתרכב איך שיזדמן מההרכבה במחשבה אבל על גבול וסדר כמו שכבר גלינו במה שקדם בהגבילנו צמיחת השטחים ואמנם התילד המוגשים וצמיחתם הנה המשלש המזדנב ר"ל הגרם יצירת הפירמידה המשולשת המשלש התילדו בהנחת האחד בגובה עוד תניח תחתיו המשולשים המספריים אשר כבר זכרנום כל אחד תחת אשר לפניו במדרגה וסדר כפי המשכם ונפעל זה תמיד מה שנרצה להוליד המזדנבים כי יתחדש גוף מחודד משולש ואמנם המרובעים המזדנבים ר"ל המחודדים הנה הם יתחדשו כאשר יצירת הפירמידה המרובעת תסדר אותם השטחים המרובעים המספריים אשר זכרנום לפנים והנחת האחד ראשון להם עוד תשים המרובעים תחתיו ימשכו קצתם לקצת יתחדש מזה מרובע מזדנב וכן המחומש והמשושה והמשובע ומה שידמה זה הנה הגרמיים המזדנבי' המשולשים ר"ל המחודדים יהיו מדרגות חדושם כפי משך אלו המספרים א"ד י"כ ל"[ה] נ"ו הנח כל אחד מאלו המספרי' אמנם יתילד מסדר המספרים קצתם תחת קצת מאחד האחד עוד האחד עד אשר תרצה ואמנם האחד הנה הוא גרם המחודד המשולש בכח ואמנם הארבעה הנה הוא השיני והוא הרכבת שני משולשים האחד והשלשה ואמנם העשרה הוא מהרכבת שלשה משולשים אחד וששה ושלשה וכן הנשארים כפי זה הסדר נמצא בזה התאר ואמנם מדרגות התחדש הגרמים המרובעים המחודדים כפי המשכם הנה על משך אלו המספרים א"ה י"ד ל' נ"ה כי כל אחד מאלו המספרים אמנם התילד מהרכבת המרובעים הפשוטים אשר אמרנו עליהם לפנים קצתם על קצת כמו שאמרנו במשולש המחודד וכפי זה המשל אשר תארנו יהיה המחומש המחודד והמשושה וזולתם ומבואר מכל מה שזכרנו שכל צלע מצלעות מנין המחוברים יחד שוה מה שבם מהאחדים למנין השטחים המחודדים בם היו מה שהיו מהאחד עד שיגיע אל שטח התושבת ולא יעלם ממה שזכרנו שהמשולש הפשוט הוא הפנה והשרש לכל השטחים והמשולש המוגשם המחודד הוא הפנה לכל המחודדים ואחר שזכרנו שכבר הבאנו בזכירת המזונב מהמוגשמים נדבר על אשר נקראהו מחוסר פרמידה קטומה והוא כל גשם בעל זויות היה בסדורו והרכבתו על סדר הרכבת המחודדים אלא שלא יכלה בגבהו אל האחד אשר הוא עליון שבמחודד והיו זויות שטח עליונו שוות במספר לזויות שטח תושבתו הנה זה המין יקרא המחוסר וזה אם היה חסר מהמחודד באחד לבד אשר הוא עליון המחודד יקרא מחוסר אחד ואם היה חסר מהאחד שטח אחד יקרא מחוסר שנים ואם היה חסר שטח שלישי יקרא מחוסר שלשה וכן המחוסר ארבעה אם היה חסר ארבעה שטחים [וכן] וכן תמצאהו תמיד ואחר שכבר התבאר איך צמיחת זה הגשם המחוסר אחר שאין הפרש בינו ובין מה שבארנו לפנים מהרכבת המוגשם המחודד אלא שאנו נחסרהו מעליון המחודד אשר הוא האחד שטח או שטחים הנה זה כלל המאמר על זה ואמנ' המאמ' על שאר הגרמים אשר זכרנום לפנים והם המעוקבים והלבנים והאריחיים והקשתיים והכדוריים והמתחלפי הצלעות והזולתיים באורך הנה זה עת להתחיל בו ונשתדל לפרשו בג"ה
Cube Numbers
 הדבור במספר המעוקב
ונאמ' עתה שהמספרים המרובעים השוים המשוטחים אשר דברנו עליהם לפנים והם כמו א"ד ט' י"ו כ"ה ל"ו כאשר הרכב כל אחד מאלו השטחי' לדומה לו מהשטחים בכמות עד שיהיה מספר השטחים המורכב קצתם על קצת כמו אחדי אורך ורחב שטח התושבת יקרא מעוקב וכלל המאמר כי המעוקב הוא אשר ארכו ורחבו ועמקו שוה קצתו לקצתו כי הארבעה אשר הם מספר שוה כל צלע ממנו שנים כאשר הורכב עליהם ארבעה אחדים היה כלל שמנה ושמנה שנים בשנים עוד בשנים וזה שוה המרחקים בשלשה ר"ל האורך והרחב והעמק וכן גם כן התשעה אשר כל צלע מצלעיותיו שלשה כאשר הרכבו עליהם שני שטחים אחרים שוים להם היה הכלל כ"ז הוא הגעת מוכה ג' בג' עוד בג' וכן שאר המספרים המעוקבים כפי זה התאר והכלל הכולל בהם שכל מספר נכלל נכפל בשעור אחדיו עוד נכפל הכל בשעור אחדי המספר הראשון שנית הנה הכלל יהיה מספר מעוקב הנה כבר קרה מזה שנדע שכל מרובע פשוט הוא שטח ולו ארבע זויות וארבע צלעות וכל מעוקב לו ששה שטחים שוים ושמנה זויות שוות ושתים עשרה צלעות שוות ואמת מה שנאמר בו כי צלעות המעוקב וזויותיו ושטחיו וצלעותיו ר"ל קוויו ביחס חבוריי וזה שיחס השטחים והם ששה אל הזויות והם שמנה ביחס המוסיף שלש ויחס הזויות והם שמנה אל הצלעות והם י"ב ביחס המוסיף חצי הנה יחס השטחים והם ששה אל הצלעות והם שתים עשרה ביחס הכפל השניי ושני אלו היחסים ר"ל המוסיף חלק והכפל הם מיני היחסים הפשוטים החבורים כמו שכבר התבאר זה לפנים הנה אם כן המספר הגרמי השוה המרחקים ר"ל האורך והרחב והעומק הו המעוקב בהכרח
Scalene Numbers
 הדבור במספרים הגרמיים המתחלפי המרחקים השלשה
וממה שראוי שנדבר עתה הוא בגרם אשר יקביל המעוקב והוא המתחלף המרחקים יחד ר"ל אשר ארכו מתחלף לרחבו והם יחד מתחלפים לגבהו משל זה שיהיה הרחב ב' והאורך ג' והגובה ד' או יהיה האורך ג' והרחב ד' והעומק ה' או זולת זה מאופני החלוף בתוספת קצת הצלעות על קצת וכלל המאמר שלא יהיה דבר ממרחקיו שוה למרחק אחר ממנו וזה המספר יקרא בשמות רבים מהם שאנשים יקראוהו הסולמיי מפני שיעלה בהוספה מרחבו לארכו ומארכו לגבהו ויקראהו אחדים האח הארחיי להתדמות לאריח שהוא גוף מתחלף השטחי' בשלשת מרחקיו וזה לך דמיון תמונתם וסדורם כפי המשכם בסדר הטבע תניח לוח הולך ברחב ר"ל רחב הלוח נרשם מחולק במדרגותיו מדרגות המספרים כפי סדרם בטבע ונניח תחתיו לוח שני יותר חסר ממנו במדרגה מצד התחלת המדרגות עוד נעמיד בכל מדרגה ממנו מה שיתקבץ מהכאת אשר למעלה ממנו מהלוח הראשון עם אשר לפניו ותניח גם כן תחתיהם לוח שלישי כמו הלוח השני וכפי מנין מדרגותיו ונעמיד בה תחת כל מדרגה מהלוח מה שיתקבץ ממדרגה אשר עליה ומהכאתה במדרגה השלישית אשר עליה מהלוח הראשון עד שישלם בזה הטור השלישי ויהיו מדרגותיו כלם הם מספרי הגרמים הסולמיים כפי המשכם בטבע מבלתי שיחטא בם באחד מהם בפנוי ממדרגותיהם ותבחן זה בזאת הצורה אשר רשמנו בכאן א ב ג ד ה ו ז ח ט י
Parallelepipedon Numbers
 הדבור במספרים הגרמים הזולתיים
ואחר שהיו שני אלו המינים ר"ל המעוקב והמתחלף הצלעות יוקבלו בהקבלת שני הקצוות אחר שהמעוקב שוה הצלעות השלשה והאחר מתחלף הצלעות השלשה הנה האמצעי בין שני אלו הם המספרים הגרמיים אשר יקראו הזולתיים האורך ר"ל אשר פשוטיהם זולתיי האורך הנה המספר הזולתי האורך כבר יאמר שהוא המספר אשר ירשם שעורו בפשוט רושם מרובע נצב הזויות ורחבו פחות מארכו אחד כמו ב' וי"ב כ' ל' מ"ב והדומה להם הנה כאשר שמנו לכל אחד מאלו הפשוטים הזולתיי האורך גובה באחד מצלעותיו יתילדו מזה במספרים הגרמיים הזולתיים וזה לך דמיון הנחתם שני טורים מהם הראשון והשני הם משלשת הטורים הקודמים בשער הוצאת המספרים הגרמיים הסולמיים א ב ג ד ה ו ז ח ט ב ו יב כ ל מב נו עב ב ד יב יח לו מח פ ק קנ קפ רנב רצד שצב תמח תקעו תרמח ונכה כל מדרגה ממדרגות הטור השני מהם בכל אחת מאשר עליה בטור הראשון ר"ל אשר עמדה מהכאת אחת מהן באחרת ונעמיד שני הכללים בשתי מדרגות נבדלות הקטנה מהן קודמת לגדולה ושתיהן תחת המדרגה הנעשית בהכאה מהטור השני וכאשר תשלים הלוח בזאת המלאכה הנה כבר שמת מדרגות הטור השלישי כפל מדרגות הטור השני וכבר העמדנו בו כל המספרים הגרמים הזולתיים כפי המשכם בסדר הטבע לא יבצר מהם אחד ואמנם אם יוסיפו קצת הצלעות על קצת ביותר מאחד ר"ל שנים או שלשה או ארבעה כמו שנים בארבעה וארבעה בששה או חמשה בשבעה או מה שלמעלה מזה לא יקרא מה שהוא כן זולתיי האורך אבל יקרא המוסיף האורך ודע שהמספרים הגרמיים הזולתיים יהיו לעולם שני שטחים משטחיהם מרובעים מקבילים ושאר שטחיהם ר"ל הארבעה שטחים הנשארי' בכל מספר גרמיי מהם הנה כל אחד מהם יהיה זולתיי האורך ויהיו ארבעת צלעותיו א ב ג ד ה ו ז ח ט י שוים על שעור ב ו יב כ ל מב נו עב צ אחד ושמנה מצלעותיו שוים על שעור אחד מתחלף לשעור הארבעה באחד אם מוסיף ואם חסר
Numerical “Sameness” and Numerical “Otherness”
 הדבור בשורש הטבעיי להוא הוא והזולתיות המספריים
אמנם ההוא הוא הנה הוא המספר אשר רחבו הוא ארכו בהגעה ואמנם היה שרש ההוא הוא אצל הקדמונים מכת פתאגורוש האחד לפי שהוא כאשר יוכה באחד היה האורך הוא הרחב והמתקבץ הוא כל אחד מהם לא יצא מעצמו כלל עוד נקראו המספרים המרובעים הוה והים ללקחם הדמיו מזה לפי א ב ג ד ה ו ז ח ט י ב ו יב כ ל מב נו עב צ ב ד יב יח לו מח פ ק קנ קף רנב רצד שצב תמח תקעו תרנב תתי תתק שארכם שארכם הוא רחבם והיה היותר ראוי מהמספרים להיות שרש לזולתיי הוא אשר לא ישתנה מה הוא הוא האמתי השרשיי הנזכר לפנים אלא באחד הנה בראוי אם יהיה שרש המספרים הזולתיים הוא המספר השניי הנה כפי זה היו מקישים ההוא הוא והזולת וכבר היה שתבאר ממה שהקדמנו ובארנו שכל נפרד הנה האחד מיוחד לו אחר שבין שני חלקיו האחד לעולם בהכרח הם יעדיף אחד משני חלקיו לאחד ושכל זוג הנה השניות מיוחד לו אחר שיחלק בשני חלקים דומים נמשלים ובראוי נאמר כי הנפרד מיוחד אחר שזאת שהוא שורש ההוא הוא מיוחד לו לטבע ההוא הוא והזוג מיוחד לטבע הזולת כי בתוספת הנפרדים קצתם על קצת ובהקדים האחד בהנחה ראשונה להם יצמחו מספרי ההוא הוא ר"ל המרובעים השוים במרחק האורך והרחב כמו שבארנו זה פעמים ומסגולת המספרים הזולתיים אשר הם חבורי הטבעיים אשר הם יולידו המספרים ההוהויים וצלעותיהם ובתוספת הזוגות הטבעיים קצתם על קצת ובהקדים השנים ראשונה להם בהנחה יתילדו הזולתיים ואמנם קראנו אלו המספרי' השוים באורך וברחב מספרי הוא הוא ללקחם דמוי הוא ^ האחד הוא וקראנו המתחלפים באורך וברחב באחד זולתיים ללקחם דמוי השניות היוצא מטבע ההוא הוא האמיתי באחד וכאשר תקביל בשני טורים א ד ט יו כה בין מדרגות המספרים ההוא קויים ב ב ו יב כ ומדרגות המספרים הזולתיים כל מדרגה במקביליה תמצא מותר המדרגה הזולתיית על הנכחיית לה ההוא הויית הוא המניין אשר ממנו נגזר שם המדרגה
הדבור על המספרים הלבניים והמגודרים
ואמנ' המספרי' הדומים ללבנים הוא המין מהמספרים הגרמיים הזולתיים אשר יהיה שעור צלעותיו הארבעה השוים פחות אחד משעור צלעותיו השמנה השוים והם המדרגות הנרשם עליהם באורם בטור המספרים הגרמיים והזולתיים והם אשר ארכם ורחבם שוה ויחסר הגובה מכל אחד מהם אחד ואמנם אם יוסיף בגובה על האורך והרחב השוים תוספת הזולתיי ר"ל אחד או תוספת המוסיף באורך ר"ל יותר מאחד היו מה שהיה המספר הנוסף באחד מהמרחקים השלשה הנה כל אלו יקראו מוגשמים אריחיים כמו ג' בג' או בד' או ה' בה' בו' או במה שתרצה אחר שיהיה הגובה יותר ארוך מכל אחד מהאורך והרחב
הדבור במספרים הסבוביים והכדוריים

ואחר שכבר הבאנו תאר הגרמים בעלי השטחים הישרי הקוים הנה נאמ' כמו שאמרנו שהמספר המעוקב הוא השוה המרחקים ר"ל האורך והרחב והעומק וזה יחלק לשני חלקים אם שיהיה המספר אשר הוא שרש כל אחד משטחיו נזכר בכלל השטח עוד נזכר בכלל הגרם חוזר על עצמו עוד נזכר גם כן בכלל הגרם כאשר הוכה בו פעם או שני פעמים או יותר מזה ואם שלא יהיה כן הנה אשר שרשיהם נזכרים בכללם כמבטא הגעתם מאלו המספרים המעוקבים הם אשר יקראו המספרים הכדומיים אחר שיסבבו מתהפכים כמו הכדור אל המספר אשר ממנו התחלתם כמו המספר המעוקב אשר הצלע מצלעותיו חמשה או ששה כי כל מה שתכה אחד משני אלו בכמהו עוד מה שיתקבץ בשרשו יהיה נמצא כמו שתארנו וזה שאנו אם נכה חמשה בחמשה היה המתקבץ כ"ה וישוב החמשה מבוטא בו בכלל וישוב אליו עוד נכה החמשה גם כן בכ"ה ותמצא החמשה גם כן מבוטא בו בכללם וכן אם תכה הקכ"ה בחמשה ומה שהתקבץ גם כן בחמשה תמצאהו בזה התאר לעולם וכן גם כן הששה בזה הענין משפטם משפט החמשה וכן תמצא זה באחד כי האחד בכמהו עוד בכמוהו עוד בכמהו עוד כן תמיד בלתי יוצא מעצמו אבל סובב על עצמו ואחר שכבר התבאר מה שתארנו נאמ' שהמספר הסבוביי מזה שתכה המספר פעם אחת בעצמו כמו א' בא' וה' בה' וו' בו' ואם הוכה יותר מפעם הנה הוא מספר כדורי אחר שהעגולים פשוטים והכדורים כרמים וזה סוף המאמר על המספרים הגרמיים


Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=האריתמטיקה_של_ניקומכוס&oldid=4183"