Revision as of 08:53, 12 January 2020

תהלה לאל הנעלה הנפלא
אשר אין לו תחלה ותכלה
ויצר עולמו חוזר חלילה
יומם ולילה
ושם בלב האדם חכמה ודעה
לחשב מספר מאחד ועד תשעה

1 Introduction
2 Chapter One: Addition
- 2.1 Addition of Integers
  - 2.1.1 Sums
- 2.2 Addition of Fractions
  - 2.2.1 sexagesimal fractions
  - 2.2.2 simple fractions
3 Chapter Two: Subtraction
- 3.1 Subtraction of Integers
- 3.2 Subtraction of Fractions
  - 3.2.1 sexagesimal fractions
  - 3.2.2 simple fractions
4 Chapter Three: Multiplication
5 Chapter Four: Division
6 Chapter Five: Ratios
- 6.1 sexagesimal fractions
- 6.2 simple fractions
7 Chapter Six: Deducing One from Another
- 7.1 in Astrology
- 7.2 in Mathematics
  - 7.2.1 Word Problems
8 Chapter Seven: Conversion of One to the Other
- 8.1 simple fractions to simple fractions
- 8.2 simple fractions to sexagesimal fractions
9 Chapter Eight: Roots
10 Appendix: Bibliography

Introduction
presentation of the products of units by nine through the arrangement of the nine digits in a circle	גם הוא כאשר תכתבנו בעגולה תמצאנו חוזר חלילה

9×9; 9×8; 9×7; 9×6: the units of the product - on the right the tens of the product - on the left	כי כאשר תערוך תשעה על תשעה יהיה מספר העולה בין שני צדיו האחדים מצד שמאל והעשרות מצד ימין וכן על ח' ועל ז' ועל ו‫'
9×5; 9×4; 9×3; 9×2: the units of the product - on the left the tens of the product - on the right	אך כאשר תגיע לחמשה יתהפכו העשרות לשמאל והאחדים לימין ועל זה הדרך על ד' ועל ג' ועל ב‫'
	ואם תערכנו על א' יצא לך ט' בעצמו, כי כל חשבון הנערך על אין א' אין לו תוספת
	ואם תכתוב תשעה בתחלת העגול תוציאם על זה הדרך רק שיתהפך הדבר לימין ולשמאל
One is not a number
if the number is like a circle - the one is like a point	ואם המספר כעגלה האחד כנקדה
one is not a number - it is the foundation and the cause of all numbers	כי הוא יסוד וסבת כל מספר ואיננו מספר והוא עצם דבר
same as the cause of a language (the words) is not a language	והדומה לזה תבות הלשון שהם סוד כל מדבר ומוצא כל דבר ואינם משמיעים דבר מעניני הדבר
one is not a number - every number is either even or odd, but one is neither	וממחלקות המספר יתבאר כי האחד איננו מספר כי כל מספר יתחלק לזוג ולנפרד ולא כן האחד
One is a number	ומפאה אחרת גם הוא מספר
general properties of numbers that apply to one
every number, even or odd, is a sum of units	ובו נתחבר כל זוג וכל נפרד
the squares are generated from the sums of the odd numbers $\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left(2k-1\right)=n^2$	ואם חברנו הנפרדים כאשר הם במערכת זה אחר זה יולדו המרובעים והנה האחד עמהם
every number is half the sum of its two sides $\scriptstyle n=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n-1\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n+1\right)\right]$	וכל מספר מחצית שתי פאותיו
one is half its one side $\scriptstyle1=\frac{1}{2}\sdot2$	והאחד יעשה בפאה אחת מעשה כל מספר בשתים והנו בדרך כל המספר
three fundamental types for all number:	יסוד כל מספר על שלש דרכים‫:
1) its addition to itself is greater than its product by itself $\scriptstyle1\sdot1<1+1$	האחת באחד להיות הנחבר יותר מהנערך
2) its addition to itself is equal to its product by itself $\scriptstyle2\sdot2=2+2$	והשנית בשנים להיותם שוים
3) its product by itself is greater than its addition to itself $\scriptstyle3\sdot3>3+3$	והשלישית בשלשה להיות הנערך רב מהמחובר
every number greater than three belongs to the third type $\scriptstyle\forall n>3: n\sdot n>n+n$	ומשפט כל מספר אחר השלשה בדרך השלשה והנה האחד עם כל מספר
properties of the numbers 2-10 that pertain to one
the number two
The beginning of the numbers	ושנים תחלת המספר
The root of four: $\scriptstyle\sqrt{4}=2$	והוא שורש ארבעה
As the first root of a square number, it represents the properties of the roots: $\scriptstyle\frac{a\sdot b}{a^2}=\frac{b^2}{a\sdot b}$	וערך הנחבר מעריכת אחד השרשים על האחר אל המרובע הראשון כערך המרובע השני אל הנחבר הנזכר וככה האחד והנו שרש ומרובע
$\scriptstyle a+a^2=a\sdot\left(a+1\right)$	וכל חשבון אם חברנו השרש עם מרובעו יהיה בעריכת השורש על המספר שהוא שני וככה האחד והנו שרש ומרובע
$\scriptstyle2a^2+\frac{1}{4}a^2=\left(a+\frac{1}{2}a\right)^2$	כל שרש שתכפול מרובעו ותוסיף עליו רביעיתו יהיה מרובע ושרשו כמו השרש הראשון מחובר עם חציו וככה האחד
the number three
Represents the Rule of Three: $\scriptstyle\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2$	שלשה מספרים ערך התיכון אל הראשון כערך האחרון אל התיכון אם ערכנו הראשון על האחרון יהיה כמרובע התיכון
	‫[ו]‫אם הראשון כן יהיה האחרון וככה האחד
the number four
The [first] square number	וארבעה מרובע
As the first square number, it represents the properties of the square numbers: $\scriptstyle\forall n\in N, \exists b\neq n^2:a^2<b<\left(2a\right)^2$	ובין כל מרובע לכפל כפל המרובע אחד שאיננו מרובע וככה האחד
$\scriptstyle\left(n+1\right)^2-n^2=\left(n+1\right)+n$	אם חסרנו מרובע ממרובע הקרוב אליו יהיה הנשאר כשנים השרשים הנחברים וככה האחד
$\scriptstyle\left[\left(n-1\right)\sdot\left(n+1\right)\right]+1=n^2$	כל חשבון אם ערכנו החשבון שהוא לפניו על החשבון שהוא לאחריו ונוסיף אחד יהיה כמרובע החשבון
$\scriptstyle n^2-n-\left(n-1\right)=a^2$	כל מרובע שתקח שרשו והחשבון שלפניו ותחסרם ממנו ישאר מרובע
$\scriptstyle n^2+n+\left(n+1\right)=b^2$	ואם תוסיף עליו שרשו והחשבון שלאחריו יהיה מרובע וככה האחד
the number five
A "round" number = every power of five contains its square	החמשה חשבון עגול כי ימצא בכל חשבונו המרובע הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{n>1;a\in N: 5^n=a25}}$ ${\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle5^2=\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^3=1\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^4=6\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^5=31\color{Red}{25}\\\scriptstyle\ldots\end{cases}}}$
the number six
A "round" number = every power of six contains six itself	גם כן ששה רק ששה ימצא בכל חשבונו ולא מרובעו הראשון והנה האחד ככה
$\scriptstyle{\color{blue}{a\in N: 6^n=a6}}$ ${\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle6^2=3\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^3=21\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^4=129\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^5=777\color{Red}{6}\\\ldots\end{cases}}}$
the number seven
Holds the following property: $\scriptstyle\left(1+2+3+4+5+6+7\right)\sdot7=\left(2\sdot7\right)^2$	אם ערכנו שבעה על עצמו ועל כל מספר שלפניו יהיה הנחבר כמרובע כפלו והנה האחד עמהם
the number eight
The [first] cube number [guf šaveh]	השמונה גוף שוה
As the first cube number, it represents the properties of the cube numbers: $\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^3=a^2$	ואם חברנו כל חשבון שהוא גוף שוה כאשר הם בתולדת זה אחר זה יהיה מרובע והנה אחד עמהם
$\scriptstyle\forall a<b; \exists n: a^2<n^3<b^2$	ולעולם ימצא גוף שוה בין שנים מרובעים
$\scriptstyle a=\left[\left(\frac{1}{2}n\right)-\frac{1}{2}\right]\sdot n$	כשנחסר מחצי קו הגוף חצי אחד ונערוך הנשאר על הקו נמצא שרש המרובע הקטן
$\scriptstyle b=\left[\left(\frac{1}{2}n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot n$	וכאשר נוסיף חצי אחד על חצי הקו ונעריכנו על הקו נמצא שרש המרובע הגדול
$\scriptstyle b^2-a^2=n^3$	ואם תחסר מרובע הקטן ממרובע הגדול נמצא הגוף השוה וככה האחד שהוא גוף שוה
$\scriptstyle\left(n+1\right)^3-n^3=\left(n+1\right)^2+n^2+\left[\left(n+1\right)\sdot n\right]$	ואם תרצה להוציא המרחק שיש בין שני הגופות שהם זה אחר זה קח מרובע קו הגוף הראשון גם מרובע הקו השני וערוך הקו הראשון על השני וחבר הכל אז תמצא המרחק שיש בין שני הגופות וככה האחד
the number nine
The [second] square number	התשעה חשבון מרובע
Represents the following properties of square numbers: $\scriptstyle a^2-b^2=2n-1$	והיתרון שיש בין מרובע אחד ובין מרבע אחר לעולם נפרד
$\scriptstyle\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot a\right]+\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot b\right]$	ואם תערוך היתרון שיש בין שני המרובעים על שני השרשים כל אחד בפני עצמו
$\scriptstyle a=b+1\longrightarrow\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot a\right]+\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot b\right]=\left(a^2-b^2\right)^2$	אם הגדול שני לראשון יהיה כמרובע היתרון
$\scriptstyle a=b+2\longrightarrow2\sdot\left[\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot a\right]+\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot b\right]\right]=\left(a^2-b^2\right)^2$	אם היה שלישי לו תערוך היוצא מעריכת היתרון על שני השרשים על שנים
$\scriptstyle a=b+3\longrightarrow3\sdot\left[\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot a\right]+\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot b\right]\right]=\left(a^2-b^2\right)^2$	ואם רביעי לו על שלשה וככה האחד
$\scriptstyle a<b\longrightarrow\frac{b^2}{a^2}=\left(\frac{b}{a}\right)^2$ $\scriptstyle a<b\longrightarrow\frac{a^2}{b^2}=\left(\frac{a}{b}\right)^2$	אם חלקנו מרובע על מרובע הקטן על הגדול או הגדול על הקטן לעולם יהיה כמרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{9}{7^2}}=\sqrt{\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}=\frac{3}{7}}}$	וכאשר תחלק תשעה על מרובע שבעה יצא בחלוק שביעית ושתי שביעיות שביעית ושרשו ג' שביעיות
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{12}{70}+\frac{60}{70^2}=\frac{900}{70^2}=\left(\frac{30}{70}\right)^2=\left(\frac{3}{7}\right)^2}}$	והבחינה שתחשב חלקי האחד שבעים יהיה השביעית ושתי שביעיות י"ב ראשונים ס' שניים תשיב הראשונים לשניים ותחבר השניים עמהם יעלה תשע מאות שניים תחלקם על שבעים יצא בחלוק שלשים ראשונים והם ג' שביעיות וככה האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{7^2}{9}}=\sqrt{5+\frac{4}{9}}=2+\frac{1}{3}}}$	אם חלקנו מרובע שבעה על תשעה יצא בחלק חמשה וארבע תשיעיות ושרשם שנים ושלישית כי תשעה שחלקנו עליו קם משרש שלשה וככה האחד
$\scriptstyle a>b\longrightarrow a^2=\left[\left(a-b\right)\sdot a\right]+\left[\left(a-b\right)\sdot b\right]+b^2$	אם תרצה לדעת מרובע שרשו ידוע ממרובע ידוע גם שרשו ידוע ערוך המרחק שהוא בין שני השרשים על כל אחד מהשרשים ואשר יהיה תחברם למרובע הידוע אם היה פחות מהמבוקש
$\scriptstyle a<b\longrightarrow a^2=b^2-\left[\left(b-a\right)\sdot a\right]-\left[\left(b-a\right)\sdot b\right]$	או תחסרם אם היה יתר עליו וככה האחד
Approximation method for finding a root of a square number	אם תרצה לדעת שרש ממרובע שלם או נשבר מהמרובע שלפניו
$\scriptstyle\sqrt{9}$	כמו שרש תשעה* ממרובע שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\approx\sqrt{2^2}+\frac{9-2^2}{2\sdot\sqrt{2^2}}=2+\left(1+\frac{15}{60}\right)=3+\frac{15}{60}}}$	חלק המרובע על כפל השרש יצא בחלוק א' ט"ו חברנום עם השרש ויהיה השורש המיוחד ג' ט"ו וחלקנו כחלקי חכמי המזלות
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{9}&\scriptstyle=\left(3+\frac{15}{60}\right)-\frac{2\sdot\left[1^2+\left(2\sdot\frac{15}{60}\right)+\left[2\sdot\left(\frac{15}{60}\right)^2\right]\right]}{2\sdot\left[2\sdot\left(3+\frac{15}{60}\right)\right]}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{15}{60}\right)-\frac{2\sdot\left[1+\frac{30}{60}+\left(\frac{7}{60}+\frac{30}{60^2}\right)\right]}{13}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{15}{60}\right)-\frac{2\sdot\left(1+\frac{37}{60}+\frac{30}{60^2}\right)}{13}=\left(3+\frac{15}{60}\right)-\frac{2\sdot\left(\frac{97}{60}+\frac{30}{60^2}\right)}{13}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{15}{60}\right)-\frac{\frac{195}{60}}{13}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{15}{60}\right)-\frac{15}{60}=3\\\end{align}}}$	רצינו לתקנו ערכנו א' על עצמו ועם ט"ו והנה א"ל וט"ו על ט"ו וכפלנו העולה כי לעולם נכפול השברים וחלקנו הנחבר על ששים והנה ז"ל חברנום עם א"ל עלה א'ל"זל' החזרנום לראשונים עלה צ"ז ל' וכפלנום בעבור החצי והנה קצ"ה חלקנום על י"ג שהוא כפל הכפל השרש המיושר בחלקיו יצא בחלק ט"ו חסרנום מהשרש המיושר והנה ג' הוא השרש
First approximation: $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}$	וככה תעשה לכל מרובע שתחלוק היתרון שבין שני המרובעים על כפל השרש הראשון ותשמור היוצא הוסיפנו על השרש ויהיה מיושר
Second approximation: $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx \left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{1^2+2\sdot\left(\frac{b}{2a}-1\right)+2\sdot\left(\frac{b}{2a}-1\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	ואחר כן קח היוצא בחלוק וערוך אותו על עצמו ותכפול מרובע השבר ותחלק הכל על כפל השרש המיושר והיוצא תגרע מהשורש המיושר ישאר השרש מהמרובע הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}\approx\sqrt{1}+\frac{4-1}{2\sdot\sqrt{1}}=1+\frac{3}{2}=1+\left(1+\frac{1}{2}\right)=2+\frac{1}{2}}}$	וכן משפט האחד כי המרחק בינו ובין ארבעה שלשה חלקנום על כפל השרש יצא אחד וחצי הוספנום על השרש ויהיה השרש המיושר שנים וחצי
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{4}&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{1^2+\left(2\sdot\frac{1}{2}\right)+\left[2\sdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]}{2\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{2+\frac{1}{2}}{2\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}=2\\\end{align}}}$	לקחנו מרובע היוצא בחלוק עלה שנים ורביע כפלנו הרביע שהם השברים והנה שנים וחצי חלקנום על כפל השרש המיושר יצא חצי תגרענו מהמיושר ישארו שנים והם שרש ארבעה
$\scriptstyle a^2-\left[a+\left(a-1\right)\right]=b^2$	כל מרובע שתקח שרשו והחשבון שלפני השרש ותחסרם ממנו ישאר מרובע
$\scriptstyle a^2+\left[a+\left(a+1\right)\right]=c^2$	ואם תוסיף עליו שרשו והחשבון שלאח' אחריו יהיה מרובע וככה האחד
the number ten
Ten is similar to one [= as a unit in the rank of tens]	ומספר עשרה דומה לאחד
As such it represents the following properties: $\scriptstyle a^2=10a-\left[\left(10-a\right)\sdot a\right]$ $\scriptstyle{\color{blue}{9^2=\left(9\sdot10\right)-\left[\left(10-9\right)\sdot9\right]=90-\left(1\sdot9\right)=81}}$	וכאשר תרצה לדעת מרובע תשעה תערכנו על אחד שהוא המרחק ותחסרנו מתשעים הדומה לתשעה והנה שמונים ואחד וכן כל המספר לפי המרחק וככה האחד
$\scriptstyle a^2=\left(\frac{a}{10}\sdot a\right)\sdot10$ $\scriptstyle a^2=\left(\frac{a}{100}\sdot a\right)\sdot100$	ובעבור היות עשרה דומה לאחד נוכל להוציא המרובעים התמימים והנשברים מהערך שיש לו אל עשרה או אל מאה או אל אלף
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle75^2&\scriptstyle=\left(\frac{75}{100}\sdot75\right)\sdot100\\&\scriptstyle=\left(\frac{3}{4}\sdot75\right)\sdot100\\&\scriptstyle=\left[75-\left(18+\frac{3}{4}\right)\right]\sdot100\\&\scriptstyle=\left(56+\frac{1}{4}\right)\sdot100=5625\\\end{align}}}$	כמו ע"ה כמה מרובעו: קח ערכו אל מאה והוא ג' רביעיותיו וכמו כן קח ג' רביעיות ע"ה והם י"ח ושלש רביעיות חסרם מע"ה נשארו חמשים וששה ורביעית והם חמשת אלפים ות"ר מאות וחמשה ועשרים וככה משפט הנשברים עם האחד
$\scriptstyle\forall{b^2>10},\exists{a^2<10}: \frac{b^2}{10}=\frac{10}{a^2}$	וכל מרובע שהוא אחר העשרה יש מערכת המרובע אליו כערך מרובע אחר טרם העשרה אליו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{10}=1+\frac{3}{5}=\frac{\left(6+\frac{1}{4}\right)+\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]}{6+\frac{1}{4}}=\frac{10}{6+\frac{1}{4}}}}$	כמו ששה עשר עם ששה ורביע שערך י"ו אל עשרה כמוהו וג' חמישיותיו וכאשר תוסיף על ששה ורביע שלש חמישיותיו שהם ג' מה' יעלה עשרה
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{10}{\sqrt{16}}\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)^2=6+\frac{1}{4}}}$	והשרשים יוכיחו כי זה יתחלק על זה כי כשתחלק עשרה על שרש י"ו יעלה שנים וחצי תערכם על עצמם יעלה ו' ורביע וערך עשרה אליו כערך י"ו אל עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{16}=\frac{a}{10}}}$	וכן אם תקח מהערך עשרה אל י"ו והוא חמש שמניותיו רצינו להוציא חשבון טרם העשרה שיהיה ה' שמיניות עשרה וככה תמצאנו:
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{16}\sdot10=\frac{5}{8}\sdot10=\frac{10\sdot5}{8}=\frac{50}{8}=6+\frac{2}{8}=6+\frac{1}{4}}}$	ערוך י' על ה' יעלה חמשים חלק על שמונה יצא בחלוק ששה נשארו שנים שהם רביע אחד והם חמש שמיניות עשרה
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{10}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)=\left(1+\frac{3}{5}\right)\sdot\left(16+\frac{1}{4}\right)=\left(16+\frac{1}{4}\right)+\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]=10}}$	וכאשר נקח ערך י"ו אל י' והוא כמוהו ושלש חמישיותיו ונוסיף על ששה ורביע שלש חמישיותיו יעלה עשרה וכן תמצא לכל חשבון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7^2}{10}=\frac{10}{\left(1+\frac{3}{7}\right)^2}}}$	וכן שרש שבעה על שבעה עם אחד ושלש שביעיות
This property is also applicable to one: $\scriptstyle\forall{b^2>1},\exists{a^2<1}: \frac{b^2}{1}=\frac{1}{a^2}$	וככה כלם גם כן משרש האחד עם המרובעים לפניו ואחריו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2^2}{1}=4=\frac{1}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}}}$	וזה יתברר כרביע אחד ששרשו חצי והנה הם כארבעה ושנים וכן משפט שברי השברים עד אין קץ
the uniqueness of one – as mean between the proper fractions and the improper fractions
The proper fractions before one are the inverses to the improper fractions after one	ובעבור היות השרשים בנשברים שהם טרם האחד הפך הנמצאים אחרי האחד
Therefore one has the following properties: It is a root, a square number, and a cubic number: $\scriptstyle1=\sqrt{1}=1^2=1^3$	על כן האחד שורש ומרובע וגוף שוה
It is the beginning and the end of all	ידו בכל ויד כל בו והוא ראשית הכל ואחרית הכל
It has no addition [ $\scriptstyle1\times1=1$ ; $\scriptstyle1\times a=a$ ] and no subtraction [ $\scriptstyle1\div1=1$ ; $\scriptstyle a\div1=a$ ]	ולא יקבל תוספת ומגרעת
No number resembles to one	ואין לו דמות במספר
The Twelve Names that Form Every Number
The names of all numbers are formed by twelve words:	יסוד כל מספר נכלל בשנים עשר שמות
the names of the nine units one-nine	תשעה מהם חוזרים חלילה והם האחדים מאחד ועד תשעה
the names of the three ranks - tens, hundreds, and thousands	והשלשה שמות בונים מעלותיו והם העשרות והמאות והאלפים
all higher ranks reiterate these three names	כי כל חשבון אשר על האלפים חוזרים חלילה על אלו השמות כמו עשרת אלפים ומאת אלף ואלף אלפי אלפים
table of contents
the chapters representing the eight arithmetical operations applied to all numbers - integers and fractions:	וכל מספר השלם והנשבר נחלק לשמנה שערים והם‫:
addition; subtraction; multiplication; division; ratio; deducing; conversion; root	מחברת זה עם זה, מגרעת זה מזה, מערכת זה על זה, מחלוקת זה על זה, ערך זה אל זה, הוצאת זה מזה, השבת זה לזה, שורש זה וזה

interpolated excerpt

שהיה י"ו ישאר ד‫'

ואלו היה מאזני הנשאר שיש לנו לחסר מהחשבון הגדול יותר ממאזני החשבון הגדול היינו מוסיפים על מאזני החשבון הגדול ט' ואחר כן היינו מחסרים

דמיון אחר בנפרדים‫:

\scriptstyle\sqrt{87654}

נאמר החשבון שמנים אלף ושבעת אלפים ושש מאות וחמשים וארבעה והוא מן הנפרדים

87654	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8}}-{\color{blue}{2^2}}=8-4={\color{blue}{4}}}$	47654	$\scriptstyle\xrightarrow{2\sdot200={\color{blue}{4}}00}$	47654
		2	$\scriptstyle\xrightarrow{2\sdot200={\color{blue}{4}}00}$	4

והדומה לשמנים אלף הוא שמונה באחדים והמרובע הקרוב שעבר הוא ארבעה ושרשו שנים ובעבור היותו במערכת חמישית הנה השרש מאתים ונסיר המרובע שהוא ד' משמונה שהם שמונים אלף אז ישארו לנו [מ"ז] אלף גם תרנ"ד ונכפול השרש ויהיו ת‫'

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{47}}000-\left(400\sdot{\color{blue}{9}}0\right)=47000-36000={\color{blue}{11}}000}$	11654	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{116}}00-90^2=11600-8100={\color{blue}{35}}00}$	3554	$\scriptstyle\xrightarrow{2\sdot290={\color{blue}{58}}0}$	3554
	49		49		58

ונחלק מ"ז עליו ולא נוכל לתת לו עשרה ובעבור שיהיו מאה ויש לנו להסיר מרובעו שהוא עשרת אלפים והנה נתן לו ט' שהם צ' ועלה המספר ל"ו אלפים ונשארו לנו י"א אלף גם תרנ"ד והשרש ר"צ ויש לנו להסיר מרובע צ' שהוא ח' אלפים ומאה ונשארו ג' אלפים גם תרנ"ד נכפול השרש והנו חמש מאות ושמנים

missing stages of calculation:

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{35}}00-\left(500\sdot{\color{blue}{6}}\right)=3500-3000={\color{blue}{5}}00}$	554	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{55}}0-\left(80\sdot{\color{blue}{6}}\right)=550-480={\color{blue}{7}}0}$	74
	586		586

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{74}}-6^2=74-36={\color{blue}{38}}}$	38
	586

נחלק החשבון הנשאר עליו ויצא ו' הסר מרובע ששה מהנשאר שהיה ע"ד ונשאר ל"ח

→ root=296; remainder=38

\scriptstyle{\color{blue}{296^2=87616}}

והנה השרש רצ"ו ומרובעו פ"ז אלפים תרי"ו

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(296^2=87616\equiv_91\right)+\left(38\equiv_92\right)=3}}

ומשקל השרש א' חברנו אותו עם משקל ל"ח שהוא הנשאר יותר מהמרובע שהוא שנים עליו שלשה

\scriptstyle{\color{blue}{87654\equiv_93}}

והנה הסתכל משקל החשבון הראשון שהוא הגדול היה שלשה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(87654\equiv_93\right)-\left(38\equiv_92\right)=1}}

ועוד בקשנו כמה ל"ח שהוא לחסר והנו שנים, חסרנוהו ממשקל החשבון הגדול שהיה ג' ונשאר א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(296\equiv_91\right)=\left(296^2=87616\equiv_91\right)}}

וככה ראוי להיות משקל המרובע גם משקל שרשו ערוך על עצמו וככה הוא

The three algebraic species: root, square, and number

וכל המספרים הם נפרדים לשלשה ענינים והם שרש ומרובע ומספר שלא יעשה לא שרש ולא מרובע

one specie may be derived from another

ואתה יכול להוציאם זה מזה

$\scriptstyle x^2=5x$

כאמרך מרובע שוה לחמשת שרשיו

\scriptstyle{\color{blue}{x=5;\ x^2=25}}

דע כי שרשו ה' ומרובעו כ"ה

$\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=5x$

וכן שלישית מרובע שוה לחמשת שרשיו

דע כי שרשו ה' ומרובעו כ"ה

$\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=4x$

וכן שלישית מרובע שוה לד' שרשיו

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=12x}}

דע כי המרובע יהיה בו י"ב שרשים והמרובע ד‫'

The six canonical equations

Three simple types of equations

$\scriptstyle ax^2=bx$

והנה ענין אחד הוא מרובע שוה לשרשים

$\scriptstyle ax^2=c$

והענין השני מרובע שוה למספר

\scriptstyle5x^2=80

כאמרך ה' מרובעים שוים לפ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot80=16}}

דע לך כי המרובע האחד הוא חמישית פ' שהוא י"ו

\scriptstyle\frac{1}{2}x^2=18

וכן חצי מרובע שוה לי"ח

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}

דע כי המרובע הוא ל"ו

$\scriptstyle bx=c$

והענין השלישי שרשים שוים למספר

\scriptstyle9x=81

כאמרך ט' שרשים שוים פ"א

\scriptstyle{\color{blue}{x=9;\ x^2=81}}

דע המספר הוא המרובע ושרשו ט‫'

\scriptstyle\frac{1}{2}x=10

וכן חצי שרש שוה לי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{x=20;\ x^2=200}}

השני עשרים והמרובע מאתים

Three composite types of equations

וגם תוכל להוציא מזה שלשה ענינים אחרים מורכבים והם‫:

$\scriptstyle ax^2+bx=c$

מרובע ושרש שניהם שוים למספר

$\scriptstyle ax^2+c=bx$

או מרובע ומספר שוים לשרשים

$\scriptstyle bx+c=ax^2$

או שרשים ומספר שוים למרובע

1)

\scriptstyle ax^2+bx=c

\scriptstyle x^2+10x=39

הענין הראשון כאמרך מרובע עם עשרת שרשיו מחוברים עלו ל"ט, כמה המרובע וכמה השרש

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{5^2+39}-5=\sqrt{25+39}-5=\sqrt{64}-5=8-5=3\\\end{align}}}

קח חצי השרשים וערכם על עצמם יעלה כ"ה, הוסיפם על ל"ט יעלה ס"ד, הוצא השרש והוא ח' וחסר מהם חצי השרשים שהוא ה' ישאר ג' והוא השרש המבוקש ומרובע ט‫'

Normalization:

וכן אם יאמר ב' מרובעים או ג' או יותר עם שרשיו כך וכך שוין למספר כך וכך, ככה תעשה‫:

$\scriptstyle ax^2+bx=c$

\scriptstyle ax^2+bx=c\longrightarrow x^2+\frac{b}{a}x=\frac{c}{a}

קח מרובע אחד וכערכו מן המרובעים קח מן השרשים ומן המספר ועשה כמשפט לחצות ולערוך ולהוסיף ולהוציא השרש ולחסר והנשאר יהיה שרש המרובע האחד

$\scriptstyle\frac{1}{a}x^2+bx=c$

וכן אם יאמר חצי מרובע או שלישיתו עם גדריו כך שוים למספר כך ככה תעשה‫:

\scriptstyle\frac{1}{a}x^2+bx=c\longrightarrow x^2+a\sdot bx=a\sdot c

השלם המרובע וכערך שהוספת עליו הוסף על השרשים ועל המספר ועשה כמשפט יצא לך שרש המרובע השלם

2)

\scriptstyle ax^2+c=bx

\scriptstyle x^2+21=10x

הענין השני מרובע עם כ"א שוים לעשרת שרשי המרובע

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x=&\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-21}=5-\sqrt{4}=5-2=3\\&\end{align}}}

קח חצי השרשים וערכם על עצמם יהיה כ"ה, הוצא מהם המספר שהוא כ"א ישאר ד' ושרשם ב' אם תגרעהו מחצי השרשים שהוא ה' ישאר ג' והוא שרש המרובע

\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5+2=7}}

ואם תוסיפהו על חצי השרשים יעלה ח' והוא כמו כן שרש המרובע

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{3^2+21=10\sdot3}}

\scriptstyle{\color{blue}{7^2+21=10\sdot7}}

כשתחברהו עם כ"א ההם יחד יהיו שוים לי' שרשי המרובע

ופעמים שאינו יוצא לשני הפנים האלה

$\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<c\longrightarrow\varnothing$

ודע שאם יהיה היוצא מערך חצי השרשים פחות מן המספר שהשאלה משובשת

$\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c\longrightarrow x=\frac{1}{2}\sdot b$

ואם יהיה היוצא שוה למספר דע כי שרש המרובע הוא חצי השרשים הנזכרים בשאלה

3)

\scriptstyle bx+c=ax^2

\scriptstyle3x+4=x^2

הענין השלישי כאמרך ג' שרשים וארבעה שוים למרובע

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}+\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}+\left(1+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{6+\frac{1}{4}}+\left(1+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}

קח חצי השרשים וערכם על עצמם יעלה ב' ורביע הוסיפם על המספר שהוא ד' יהיה ו' ורביע ושרשי ב' וחצי, הוסף על חצי השרשים שהם אחד וחצי יעלה ד' והוא שרש המרובע

ודע כי לעולם כפל כפל המרובע

Chapter One: Addition	השער הראשון במחברת
Two types of addition: addition of integers and addition of fractions	והוא נחלק לשני ענינים חבור שלמים עם שלמים וחבור שברי שברים עם שברים
Addition of Integers	הענין הראשון בשלמים
Sums
sum of arithmetic progression of consecutive numbers
When you want to sum numbers increasing by progression as much as you wish	שתרצה לחבר חשבון הולך וגדל על דרך המספר עד כמה שתרצה
If the number of terms is odd	אם החשבון מן הנפרדים
Multiply the [last] number by its half plus one half and the result is the sum $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n-1} i=\left(2n-1\right)\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot \left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]$	ערוך החשבון שהגיע עדיו על חציו בתוספת חצי אחד והעולה הוא המחובר
Example: question: we summed the units by progression up to 11, how much are they? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} i$	והמשל שאלה חברנו האחדים על דרך המספר עד י"א כמה הם
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)+\frac{1}{2}\right]=11\sdot6=66}}$	התשובה קח חצי המספר האחרון והוסף עליו חצי אחד והנה ו' ערכם על המספר עלה ס"ו וככה המבוקש
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{2n-1} i=\left[\left(2n-1\right)+1\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i=\left(11+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)}}$	ותדענו שתוסיף על י"א אחד ותערוך העולה על חצי י"א וככה המבוקש
If the number of terms is even	ואם החשבון מן הזוגות
Multiply the last [number] by its half and add to it half the number $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n} i=\left[2n\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)$	ערוך האחרון על חציו והוסף עליו חצי החשבון
Example: we summed from 1 to 10 $\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i$	והמשל חברנו מא' עד י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left[10\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\left(10\sdot5\right)+5=55}}$	לקחנו חציו והוא ה' ערכנו אותו על י' והוספנו חמשה שהוא חצי י' ועלה נ"ה וככה המבוקש
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{2n} i=\left(2n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left(10+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)}}$	ותדענו שתוסיף אחד על י' והעולה תערוך במחצית הי‫'
sum of arithmetic progression of consecutive even integers
If you add the numbers [two by two]	ואם תוסיף החשבון בב‫'
Start from two to 10 $\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} 2i$	ותתחיל בשנים עד י' פעם
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} 2i=\left(2n+2\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 2i=\left(20+2\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=110}}$	ידוע הוא כי האחרון הוא כ' הוסף עליהם ב' והעולה תערוך על חצי הי' והעולה הוא המבוקש והוא ק"י
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{k=1}^{n} 2k=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} 2i&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)\\&\scriptstyle=\left[10+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]\sdot10=11\sdot10\\\end{align}}}$	או קח חצי המספר האחרון והוא י' הוסף חצי ב' והוא י"א ערכם על י' והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} 2i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot2n}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 2i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot20=\left(5+\frac{1}{2}\right)\sdot20}}$	או קח חצי האחרון והוא ה' הוסיף עליהם חצי אחד והערך על האחרון
sum of arithmetic progression of consecutive triples
If you add three by three	ואם תוסיף ג"ג
Start from 3 to 10 $\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} 3k$	ותתחיל בג' עד י' פעם
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} 3i=\left(3n+3\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 3i=\left(30+3\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=165}}$	ידוע הוא כי החשבון האחרון הוא ל' הוסף עליהם ג' והעולה תערוך על חצי הי' יעלה קס"ה והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} 3i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3n\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)\right]\sdot n}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} 3i&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot30\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot30\right)\\&\scriptstyle=\left[15+\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)\right]\sdot10\\&\scriptstyle=\left(16+\frac{1}{2}\right)\sdot10\\\end{align}}}$	או קח חצי מספר האחרון והוא ט"ו הוסף עליהם חצי ג' והוא י"ו וחצי ערכם על י' והעולה הוא המבוקש
sum of arithmetic progression of consecutive quadruples
If [you] add four by four	ואם מוסיף ד"ד
$\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 4i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot an\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot 4n$	קח חצי רביעיתו
sum of arithmetic progression of consecutive quintuples
If five by five	ואם ה"ה
$\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 5i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\sdot 5n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot 5n$	קח חצי חמישיתו
Always add one half and multiply by the last [term] - the way is one [and the same] for all excesses. $\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} ai=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{a}\sdot an\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot an}}$	ולעולם תוסיף חצי אחד והערך על האחרון ודרך אחד לכל התוספות
This sum of progression is true when adding one by one, starting from 1, or for all excesses, [when the first number is the excess itself] $\scriptstyle a_1=d$	וזה חבור המוספים הוא הנכון כשתוסיף א"א תתחיל בא' וכן לכל התוספות תתחיל בחשבונם
sum of arithmetic progression of consecutive integers when the first number is not equal to the excess $\scriptstyle{\color{red}{a_1\ne d}}$
If you start from 10 and add one by one, or two by two, or three by three, as much as you want, do like this: Extract the [total] sum up to the last, as instructed above for the odds and for the evens, and save it. $\scriptstyle\sum_{k=m}^{n} ak=\left(\sum_{i=1}^{n} ai\right)-\left(\sum_{i=1}^{m-1} ai\right)$	אך אם תתחיל מי' ותוסיף א"א או ב"ב או ג"ג עד שתרצה ככה תעשה שתוציא לעולם חשבונך מהאחרון כמו שהורתיך למעלה משפט הנפרדים המשפט הזוגות ושמרהו
sum of consecutive natural numbers
Then is you added one by one until reaching 19, which is of the odds $\scriptstyle\sum_{i=10}^{19} i$	ואחר כן אם א"א הוספת עד שהגעת לי"ט והוא מן הנפרדים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=10}^{19} i&\scriptstyle=\left(\sum_{i=1}^{19} i\right)-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-1\right)\right]\sdot10\right]\\&\scriptstyle=190-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-1\right)\right]\sdot10\right]\\\end{align}}}$	וכבר עשית בו משפט הנפרדים אחר כן תפחות א' מן י' וקח מחצית הנשאר וערכם על הי' והעולה תחסר מן השמור שהיה ק"צ והנשאר הוא חשבונך
sum of consecutive even numbers
If you added two by two and the last number is 20 $\scriptstyle\sum_{i=5}^{10} 2i$	ואם ב"ב הוספת והיה החשבון האחרון כ‫'
I have already demonstrated how much is [the total sum], which is 110 and it is the reserved $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 2i=110}}$	וכבר הורתיך כמה יעלה והוא ק"י והוא השמור
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^{10} 2i=110-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]}}$	עכשו חסר ב' מן י' וקח מחצית הנשאר ערכם על מחצית י' והעולה חסר מהשמור והנשאר הוא המחובר מי' עד כ‫'
sum of consecutive triples
If you added three by three, started your sum from 12 and the last [term] is 30 (as it is impossible to start from 10) $\scriptstyle\sum_{i=4}^{10} 3i$	ואם ג"ג הוספת והתחלת בחשבונך מי"ב והיה האחרון ל' אך לא יתכן להתחיל בי‫'
Extract your sum from 3 to the last [number], which is 465 and save it. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 3i=465}}$	הוצא חשבונך מן ג' עד האחרון והוא תס"ה ושמרהו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=4}^{10} 3i=465-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(12-3\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\right]}}$	ושוב חסר ג' מי"ב וקח מחצית הנשאר וערכם על שלישית י"ב וחסר העולה מן השמור והנשאר הוא המבוקש
Apply this for all the excesses.	וככה תעשה לכל התוספות שתשמר השמות
Finding the number of terms in a given sum of multiples
If you want to sum a known number multiplied by the units successively, their [number] is unknown and their sum is so and so, by how many numbers it was multiplied? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} ai=m$	ואם תרצה לחבר מספר ידוע הספור במספר האחדים על הסדר ואינם ידועים ועלו ככה על כמה מספרים ספר אותו
Divide the result [= the given sum] by the said number, then observe from how many units the quotient is summed and as the number of the units so is the number of terms $\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=\frac{m}{a}$	חלק המספר העולה על המספר שאמר ומה שיצא בחלוק ראה מכמה אחדים יעלה וכמספר האחדים כך מספרים תפש
Example: 15 multiplied by the numbers successively and the sum is 315, by how many numbers it was multiplied? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 15i=315$	והמשל ט"ו ערוכים על החשבון על הסדר ועלה המחבר שט"ו על כמה מספרים ספר אותו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} i=\frac{315}{15}=21}}$	חלק שט"ו על ט"ו יצא כ"א
We know that $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} i=21}}$	וידענו מהאחדים הספורים מא' ועד ו' הם כ"א
Hence, it was multiplied by six numbers $\scriptstyle{\color{blue}{n=6}}$ and the sum is 315.	והנה על ששה מספרים ספר אותו והיה המחובר שט"ו
If you want to know the sum of 15 multiplied successively by 1 to 6 $\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} 15i$	ואם תרצה לדעת כמה המחובר מט"ו ספורים על סדר חשבון מא' ועד ו‫'
We know that $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} i=21}}$	ידענו כי עד ששה יעלה כ"א
Thus, $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} 15i=15\sdot21=315}}$	וערוך ט"ו על כ"א יעלה שט"ו
sum of geometrical progressions of even-times-even numbers
If you want to sum the even-times-even numbers from one to however you wish successively $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 2^{i-1}$	ואם תרצה לחבר חשבון כפל הכפל מאחד ועד כמה שתרצה על סדר החשבון
odd number of even-times-even terms
Take the square of the mean even-times-even term, which is the last even-times-even term if the number of the even-times-even terms is odd, double the number, subtract from it one, which is the first term, and the remainder is the sum $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n+1} 2^{i-1}=\left[2\sdot\left(2^{\frac{\left(2n+1\right)-1}{2}}\right)^2\right]-1=\left[2\sdot2^{2n}\right]-1$	קח מרובע הכפל האמצעי והוא הכפל האחרון אם הכפולים נפרדים וכפול החשבון וחסר ממנו אחד שהוא החלק הראשון והנשאר הוא המחובר
Example: 1, 2, 4	והמשל א' ב' ד'
The square of the 2 is 4 and it is the last even-times-even term $\scriptstyle{\color{blue}{a_n=2^2=4}}$	מרובע הב' הוא ד' והוא הכפל האחרון לעולם
even number of even-times-even terms	ואם הכפולים זוגות
Take the square of the greater mean, subtract one from it and the remainder is the sum. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n} 2^{i-1}=\left(2^{n}\right)^2-1$	קח מרובע הכפל האמצעי הגדול וחסר ממנו אחד והנשאר הוא המחובר
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n+1} 2^{k-1}=2^{n+1}-1$ ${\color{blue}{\scriptstyle1+2+2^2+\ldots+2^{64}=2^{64+1}-1}}$ repetitive process of squaring:	וכי ירבה ממך דרך החשבון שתרצה לדעת מאחד ועד ס"ד כפל הכפל על סדר החשבון ויתקשה עליך להוציא הכפל האמצעי ומרובעו
$\scriptstyle{\color{blue}{2^{2}=4\longrightarrow1+2=2^2-1}}$	ככה תדענו שתתחיל מן השנים וערכם על עצמם והעולה שהוא ד' הוא חשבון שבמדרגה השניה לה וכל החשבון שלפניה כמוה פחות אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{2^{4}=4^2=16\longrightarrow1+2+2^2+2^3=2^4-1}}$	ושוב וערוך הד' על עצמם יעלה י"ו והוא חשבון שבמדרגה הרביעית לשנית וכל חשבון שלפניה כמוה פחות אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{2^{8}=16^2=256\longrightarrow1+2+\ldots+2^7=2^8-1}}$	ושוב וערוך הי"ו על עצמם יעלה רנ"ו והוא חשבון שבמדרגה השמינית לשניה והחשבון שלפניה כמוה פחות אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{2^{16}=256^2=65536\longrightarrow1+2+\ldots+2^{15}=2^{16}-1}}$	ושוב וערוך רנ"ו על עצמם יעלה ס"ה אלפים וחמש מאות ושלשים וששה והוא מדרגת י"ו לשניה והחשבון שלפניה כמוה פחות אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{2^{32}=\left(2^{16}\right)^2\longrightarrow1+2+\ldots+2^{31}=2^{32}-1}}$	ושוב וערוך העולה במדרגת י"ו על עצמם ומה שעלה הוא חשבון שבמדרגת ל"ב לשניה והחשבון שלפניה כמוה פחות אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{2^{64}=\left(2^{32}\right)^2\longrightarrow1+2+\ldots+2^{63}=2^{64}-1}}$	ושוב וערוך העולה במדרגת ל"ב ומה שיעלה הוא חשבון שבמדרגת ס"ד והחשבון שלפניה כמוה פחות אחד
sum of squares
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} k^2$	ואם תרצה לחבר מרובע אחד ומרובע שנים על דרך החשבון עד מרובע עשרה
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\left[\left(n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{10} k^2=\left[\left(10+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot10\right)+\frac{1}{3}\right]=55\sdot7}}$	ככה תעשה הוסף אחד על עשרה והמחובר תערוך בחצי העשרה יהיו נ"ה ושמרם ואחר כן קח שני שלישי העשרה ותוסיף עליהם שליש אחד יהיה שבעה, ערכם על נ"ה ששמרת והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=4}^{10} k^2$	ואם רצית לחבר מארבעה ואילך עד עשרה
$\scriptstyle\sum_{k=m}^{n} k^2=\sum_{k=1}^{n} k^2-\left[\left[\left[\left(m-1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]\sdot m\right]\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(m-1\right)\right]+\frac{1}{3}\right]\right]$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=4}^{10} k^2=\sum_{k=1}^{10} k^2-\left[\left[\left[\left(4-1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]\sdot4\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot3\right)+\frac{1}{3}\right]\right]}}$	הוצא כל החשבון מאחד ועד עשרה אחר כך חסר האחד מן הארבעה וקח חצי הנשאר וערכהו בארבעה והעולה תערוך בשני שלישי שלשה בתוספת שליש אחד והעולה חסר מהחשבון שעלה בידך והנשאר הוא שאלתך
$\scriptstyle\sum_{k=m}^{n} k^2=\sum_{k=1}^{n} k^2-\sum_{k=1}^{m-1} k^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=4}^{10} k^2=\sum_{k=1}^{10} k^2-\sum_{k=1}^{3} k^2}}$	ותדענו שתוציא כל החשבון מא' עד י' ואחר כך הוצא החשבון מא' ועד ג' כל על הדרך שראית והעולה חסר מכל הח' החשבון והנשאר הוא שאלתך
$\scriptstyle\sum_{k=5}^{10} k^2$	ואם מחמשה ועד עשרה רצית לחבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=5}^{10} k^2=\sum_{k=1}^{10} k^2-\left[\left[\left[\left(5-1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]\sdot5\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\right]}}$	הוצא לעולם כל החשבון ואחר כך חסר האחד מן החמשה ומהנשאר קח מחציתם וערכם על החמשה ותערוך העולה בשני שלישי ד' בתוספת שליש אחד לעולם והעולה חסר מן החשבון והנשאר הוא שאלתך
	ועל זה הדרך לכלם שתשמר השמות והמדרגות

Addition of Fractions	הענין השני בחבור השברים
sexagesimal fractions
	אם היו בידך שברים כשברי חכמי המזלות
1 sign = 30 degrees	שמחלקים המזל אל שלשים מעלות
1 degree = 60 minutes	והמעלה לששים ראשונים
1 minute = 60 seconds	והראשון לששים שניים
$\scriptstyle\left(8+\frac{24}{30}+\frac{24}{30\sdot60}+\frac{44}{30\sdot60^2}\right)+\left(7+\frac{18}{30}+\frac{48}{30\sdot60}+\frac{28}{30\sdot60^2}\right)$	ויהיו ח' מזלות כ"ד מעלה כ"ד ראשונים מ"ד שניים ותרצה לחברם עם ז' מזלות י"ח מעלה מ"ח ראשונים כ"ח שניים
Seconds: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{44}{30\sdot60^2}+\frac{28}{30\sdot60^2}=\frac{44+28}{30\sdot60^2}=\frac{72}{30\sdot60^2}=\frac{1}{30\sdot60}+\frac{12}{30\sdot60^2}}}$	חבר בתחלה השניים והם ע"ב הוסף אחד על הראשונים ישארו י"ב
Minutes: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{24}{30\sdot60}+\frac{48}{30\sdot60}+\frac{1}{30\sdot60}=\frac{24+48+1}{30\sdot60}=\frac{73}{60}=\frac{1}{30}+\frac{13}{30\sdot60}}}$	ושוב חבר הראשונים והם ע"ג הוסף אחד על המעלות ישארו י"ג
Degrees: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{24}{30}+\frac{18}{30}+\frac{1}{30}=\frac{24+18+1}{30}=\frac{43}{30}=1+\frac{13}{30}}}$	ושוב וחבר המעלות והם מ"ג הוסף על אחד על המזלות ישארו י"ג מעלה
Signs: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+7+1\right)-12=16-12=4}}$	ושוב וחבר המזלות והם י"ו הוצא מהם י"ב מזלות שהם חוזרים חלילה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{24}{30}+\frac{24}{30\sdot60}+\frac{44}{30\sdot60^2}\right)+\left(7+\frac{18}{30}+\frac{48}{30\sdot60}+\frac{28}{30\sdot60^2}\right)=4+\frac{13}{30}+\frac{13}{30\sdot60}+\frac{12}{30\sdot60^2}}}$	ישארו ד' מזלות י"ג מעלות י"ג ראשונים י"ב שניים

simple fractions
	אך חכמי המדות הם מחלקים אחד לחצי ולשליש ולרביע ולחומש ולששית ולשביעית ולשמינית ולתשיעית ולעשירית
$\scriptstyle\frac{4}{6}+\frac{3}{9}$	ואם תחבר ד' שתותין אל שלשה תשיעיות
Seek a number that has a sixth and a ninth, this is by multiplying six by nine, the result is 54 and this is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot9=54}}$	בקש חשבון שיהיה לו שתות ותשיעית והוא שתערוך ששה על תשעה יעלה נ"ד והוא המורה
Take 4 sixths of the denominator, which is 36, add it to its three ninths, which are 18, the result is 54, and it is one integer. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}+\frac{3}{9}=\frac{\left(\frac{4}{6}\sdot54\right)+\left(\frac{3}{9}\sdot54\right)}{54}=\frac{36+18}{54}=\frac{54}{54}=1}}$	קח ד' שתותין מן המורה והוא ל"ו וחברם אל שלשת תשיעיותיו שהם י"ח יעלה נ"ד והוא אחד שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}+\frac{3}{9}=\frac{\left(\frac{4}{6}\sdot6\right)+\left(\frac{3}{9}\sdot6\right)}{6}=\frac{4+2}{6}=\frac{6}{6}=1}}$	ותדענו שתדע מאי זה חשבון יצא השתות והוא מששה קח ד' ששיותיו והוא ד' וקח ג' תשיעיותיו והוא ב' חברם וחלקם עליו על ו' יצא אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}+\frac{3}{9}=\frac{\left(\frac{3}{9}\sdot9\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot9\right)}{9}=\frac{3+6}{9}=\frac{9}{9}=1}}$	ותדענו שתדע מאיזה חשבון התשיעית והוא מתשעה קח ג' תשיעיותיו והוא ג' וקח ד' ששיותיו והוא ו' חברם וחלקם על ט' יצא אחד
$\scriptstyle\frac{3}{8}+\frac{7}{10}$	ואם תחבר ג' שמיניות אל ז' עשיריות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}+\frac{7}{10}=\frac{\left(\frac{3}{8}\sdot80\right)+\left(\frac{7}{10}\sdot80\right)}{80}=\frac{30+56}{80}=\frac{86}{80}=1+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	קח המורה והוא שמנים וג' שמיניותיו הם שלשים חברם אל נ"ו שהם ז' עשיריותיו יעלה ששה ושמונים והוא אחד וששה שמיניות העשירית
$\scriptstyle\left(\frac{4}{8}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{3}{6}+\frac{1}{5}\right)$	ואם תחבר ד' שמיניות ושביעית אל ג' ששיות וחמישית
Seek for a number that is divisible by the four fractions, this is by multiplying them one by the other, the result is 1680 and it is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot7\sdot6\sdot5=1680}}$	בקש חשבון שיחלק על ארבעת השברים והוא שתערכם זה על זה ויעלה אלף ושש מאות ושמונים והוא המורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot1680=210}}$	ושמיניתו והוא ר"י
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot1680=240}}$	ושביעיתו והוא ר"מ
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot1680=280}}$	וששיתו ר"פ
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot1680=336}}$	וחמישיתו של"ו
Add its four eighths and a seventh, which are 1080, to its three sixths and a fifth, which are 1176, the result is 2256, which is one and 2 sevenths, a quarter of a seventh, half the quarter of a seventh, and a tenth of a quarter of a seventh. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{4}{8}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{3}{6}+\frac{1}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(\frac{4}{8}\sdot1680\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot1680\right)\right]+\left[\left(\frac{3}{6}\sdot1680\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot1680\right)\right]}{1680}\\&\scriptstyle=\frac{1080+1176}{1680}\\&\scriptstyle=\frac{2256}{1680}\\&\scriptstyle=1+\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	חבר ארבעת שמיניותיו ושביעית שהם אלף ושמנים אל שלשת ששיותיו וחמישית שהם אלף וקע"ו יעלו אלפים רנ"ו והוא אחד וב' שביעיות ורביעית שביעית וחצי רביעית השביעית ועשירית רביעית השביעית
$\scriptstyle\sum_{k=2}^{10} \frac{1}{k}$	ואם תחבר השברים מחצי עד עשירית
Seek for a number that has all these fractions, it is 2520	בקש חשבון שיהיו לו כל השברים והוא אלפים וחמש מאות ועשרים
When you sum all the fractions the result is 4861, which is one and 7 eighths, half a tenth, ?, and a fifth of a seventh of an eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=2}^{10} \frac{1}{k}&\scriptstyle=\frac{\sum_{k=2}^{10} \left(\frac{1}{k}\sdot\prod_{i=2}^{10} i\right)}{\prod_{i=2}^{10} i}\\&\scriptstyle=\frac{\sum_{k=2}^{10} \left(\frac{1}{k}\sdot2520\right)}{2520}\\&\scriptstyle=\frac{4861}{2520}\\&\scriptstyle=1+\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)+?+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}$	וכשתחבר כל השברים יעלה ד' אלפים תתס"א שהם אחד וז' שמיניות וחצי עשירית ושמינית שלישית וחמישית שביעית שמינית
$\scriptstyle\frac{1}{6}a+\frac{1}{4}a=5$	ואם תרצה לדעת חשבון שתיתו ורביעיתו היו ה' כמה סך החשבון
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5\sdot\frac{24}{\left(\frac{1}{6}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)}=5\sdot\frac{24}{10}=5\sdot\left(2+\frac{4}{10}\right)=12}}$	הנה המורה הוא כ"ד, קח שתותו ורביעיתו והיו י' חלק עליו המורה יצא שנים וד' עשיריות ערוך היוצא על חמשה יעלה שנים עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{24\sdot5}{\left(\frac{1}{6}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)}=\frac{24\sdot5}{10}=12}}$	או ערוך המורה על חמשה והעולה חלק על עשרה עלה שנים עשר
	גם תוכל להוציא מאחד
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=5\sdot\frac{1}{\left(\frac{1}{6}\sdot1\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot1\right)}\\&\scriptstyle=5\sdot\frac{1}{\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}\\&\scriptstyle=5\sdot\frac{\frac{6}{6}}{\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}\\&\scriptstyle=5\sdot\left(2+\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}\right)\\&\scriptstyle=10+\frac{\frac{5}{6}}{\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}=10+2=12\\\end{align}}}$	שתקח שתיתו ורביעיתו והוא ב' ששיות וחצי ששית והוא המורה, נחלק עליו אחד יצא שנים ונשאר ששית, כלו' נעשה ממנו ששיות ונחלקם בלא שבר על כל ששית וששית יצא שני ששיות לכל ששית וששית ונשאר ממנו ששית שלא נתחלק, ערוך על ה' יעלה עשרה וה' ששיות, חלק ה' ששיות על המורה יצא בחלוק שנים חברם עם העשרה והנה שנים עשר
$\scriptstyle\frac{1}{5}a+\frac{1}{7}a=2$	ואם תחבר חמישיתו עם שביעיתו ויהיו שנים כמה כל החשבון
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{35\sdot2}{\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot35\right)}=\frac{2\sdot35}{12}=5+\frac{5}{6}}}$	ערוך המורה על השנים וחלק על השנים עשר שהם חמשית ושביעית המורה יצא חמשה שלמים וחמש ששיות אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a=2\sdot\frac{35}{\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot35\right)}=2\sdot\frac{35}{12}=2\sdot\left[3-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=5+\frac{5}{6}}}$	או חלק המורה כלו' ל"ה על שנים עשר והיוצא שהוא ג' פחות חצי שתות תערוך על שנים יעלה חמשה וחמש ששיות אחד
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=2\sdot\frac{1}{\left(\frac{1}{5}\sdot1\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot1\right)}\\&\scriptstyle=2\sdot\frac{1}{\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}\\&\scriptstyle=2\sdot\frac{\frac{7}{7}}{\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}\\&\scriptstyle=2\sdot\left[2+\frac{\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}{\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}\right]\\&\scriptstyle=4+\frac{\frac{4}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}{\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}\\&\scriptstyle=4+\left[1+\frac{\frac{10}{5}\sdot\frac{1}{7}}{\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}\right]=5+\frac{10}{12}\\\end{align}}}$	גם תוציאנו מאחד והוא שתקח חמישיתו ושביעיתו ויהיו ב' שביעיות וב' חמישיות השביעית והוא המורה, נחלק עליו אחד יצא בחלוק שנים וישאר שתי שביעיות וחומש שביעית נערכם על שנים והם ארבעה שלמים וד' שביעיות וב' חמישיות השביעית חלק הארבעה שביעיות והב' חמישיות שביעית על המורה יצא אחד וחברהן עם הארבעה ונשארו עשרה חמישיות שביעית שהם ב' שביעיות והשביעית הוא חמשה והנה נשארו עשרה חלקים שהם י' חלקים משנים עשר
$\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot a\right]+\left[\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot a\right]=2$	ואם תחבר שלישית רביעית חמישיתו עם שביעית שמינית תשיעיתו ויהיו שנים ותרצה לדעת כמה כל החשבון
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=2\sdot\frac{2520}{\left[\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot2520\right]+\left[\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot2520\right]}\\&\scriptstyle=2\sdot\frac{2520}{42+5}\\&\scriptstyle=2\sdot\frac{2520}{47}\\&\scriptstyle=2\sdot\left(53+\frac{29}{47}\right)\\&\scriptstyle=106+\frac{58}{47}\\&\scriptstyle=106+1+\frac{11}{47}=107+\frac{11}{47}\\\end{align}}}$	בקש חשבון שיהיו לו כל השברים האלה והוא החשבון שיש לו כל החלקים אלפים וחמש מאות ועשרים והוא המורה ואחר כן קח שלישית רביעית חמישיתו והוא מ"ב וחברהו עם שביעית שמינית תשיעיתו שהוא ה' יהיה הכל מ"ז וחלק עליו המורה יצא חמשים ושלשה וישאר כ"ט ערוך אותם בשנים יעלה ק"ו נ"ח חלק הנ"ח על מ"ז יהיה אחד חברהו עם הק"ו יעלה ק"ז שלמים וישאר אחד עשר חלקים ממ"ז באחד וכן היה כל החשבון
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{2\sdot2520}{\left[\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot2520\right]+\left[\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot2520\right]}=\frac{2\sdot2520}{47}=107+\frac{11}{47}}}$	או כפול המורה וחלק על מ"ז יצא ק"ז וישאר י"א כמו הענין האחר
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(107\sdot47\right)+11=5040}}$	ובחינתו שתערוך ק"ז על מ"ז ותחבר עם העולה הי"א יהיה הכל חמשת אלפים וארבעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot5040}{47}=\frac{84}{47}=\left(1+\frac{37}{47}\right)}}$	וכשתקח שלישית רביעית חמישיתו יהיה פ"ד והוא אחד שלם ול"ז חלקים ממ"ז באחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot5040}{47}=\frac{10}{47}}}$	וכשתקח שביעית שמינית תשיעיתו יהיה עשרה חלקים ממ"ז באחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{37}{47}+\frac{10}{47}=1}}$	חברם עם הל"ח והנה אחד שלם

Chapter Two: Subtraction	השער השני במגרעת
Two types of subtraction:	והוא נחלק לשני ענינים‫:
subtraction of integers	מגרעת שלמים משלמים
subtraction of fractions	ומגרעת שברים משברים
Subtraction of Integers	הענין הראשון בשלמים
	שתרצה לדעת חשבון הולך הלוך וחסור על דרך המספר אחד אחד, או שנים שנים, או שלשה שלשה, מעשרה ועד אחד הדרך להוציאו שוה כמו שפרשתי בחבור ואין צורך להאריך בו
Subtraction of Fractions	הענין השני מגרעת שברים משברים
sexagesimal fractions	ואם שברי חכמי המזלות יהיו בידך
$\scriptstyle\left(2+\frac{20}{30}+\frac{40}{30\sdot60}+\frac{40}{30\sdot60^2}\right)-\left(1+\frac{10}{30}+\frac{45}{30\sdot60}+\frac{30}{30\sdot60^2}\right)$	כמו ב' מזלות כ' מעלות מ' ראשונים ומ' שניים ותרצה לגרוע מהם חשבון אחד ולדעת הנשאר, כמו א' מזלות י' מעלה מ"ה ראשונים ל' שניים
Seconds: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{40}{30\sdot60^2}-\frac{30}{30\sdot60^2}=\frac{40-30}{30\sdot60^2}=\frac{10}{30\sdot60^2}}}$	אתה מתחיל בשניים וישארו י' שניים
Minutes: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{30}+\frac{40}{30\sdot60}\right)-\frac{45}{30\sdot60}=\left(\frac{60}{30\sdot60}+\frac{40}{30\sdot60}\right)-\frac{45}{30\sdot60}=\frac{\left(60+40\right)-45}{30\sdot60}=\frac{55}{30\sdot60}}}$	ושוב הראשונים מהראשונים ולא תוכל לגרוע הרב מהמעט [..] ומפני זה קח מהמעלות מעלה אחת תהיה ס' ראשונים ותחברם עם הראשונים וגרע מהם מ"ה ראשונים ישארו נ"ה ראשונים
Degrees: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{20}{30}-\frac{1}{30}\right)-\frac{10}{30}=\frac{9}{30}}}$	ושוב וגרע המעלות מהמעלות וישארו ט' מעלות
Signs: $\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{20}{30}+\frac{40}{30\sdot60}+\frac{40}{30\sdot60^2}\right)-\left(1+\frac{10}{30}+\frac{45}{30\sdot60}+\frac{30}{30\sdot60^2}\right)=1+\frac{9}{30}+\frac{55}{30\sdot60}+\frac{10}{30\sdot60^2}}}$	ושוב וגרע מזל אחד מהב' מזלות ישאר א' ט' נ"ה י‫'
	ואם מזלות חשבון הנגרעים עודפים על המזלות שאתה גורע ממנו ולא לגרוע אתה מוסיף עליהם י"ב מזלות שהם מזלות הגלגל שהם חוזרים חלילה ומן הנאסף תגרע ותשמור הנשאר בידך מזלות מעלות ראשונים ושניים
simple fractions	ואם שברי חכמי המדות יהיו בידך‫:
$\scriptstyle10-\left[\left(\frac{1}{6}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)\right]$	כמו שתרצה לגרוע מעשרה ששיתו ורביעיתו ולדעת הנשאר
$\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\left(\frac{1}{6}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)\right]=\frac{12-\left[\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]}{12}\sdot10=\frac{7}{12}\sdot10=5+\frac{5}{6}}}$	בקש חשבון שיהיה לו ששית ורביעית והוא י"ב והוא המורה גרע ממנו ששיתו ורביעיתו ישאר ז' ודע ערכם והוא חציו וכזה הערך קח מן העשרה והוא חמשה שתותין
$\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\left(\frac{1}{6}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)\right]=\frac{10}{12}\sdot\left[12-\left[\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]\right]=\frac{5}{6}\sdot7=5+\frac{5}{6}}}$	או קח מהערך עשרה אל י"ב והוא ה' ששיותיו וקח כזה הערך מן השבעה והוא ה' וה' שתותין
$\scriptstyle\frac{4}{5}-\frac{3}{4}$	ואם תרצה לגרוע ג' רביעיות אחד מן ד' חומשין ולדעת כמה הנשאר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}-\frac{3}{4}=\frac{\left(\frac{4}{5}\sdot5\right)-\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)}{5}=\frac{4-\left(3+\frac{3}{4}\right)}{5}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}}}$	דע מאיזה חשבון החומש והוא מחמשה קח ד' חומשין והוא ד' ואחר כך ג' רביעיות החמשה והוא ג' וג' רביעיות תחסרם מן הד' ישאר רביע חומש ודע מה ערך הרובע מן הה' והוא חצי עשירית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}-\frac{3}{4}=\frac{\left(\frac{4}{5}\sdot20\right)-\left(\frac{3}{4}\sdot20\right)}{20}=\frac{16-15}{20}=\frac{1}{20}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}}}$	או נקח מן המורה שהוא עשרים ג' רביעיותיו והם ט"ו וגרעם מד' חומשיו שהם י"ו ישאר אחד שהוא חצי עשירית וככה השאר
$\scriptstyle\left(\frac{5}{6}+\frac{3}{4}\right)-\frac{4}{5}$	ואם תרצה לגרוע ארבע חומשיו מן ה' שתותין וג' רביעיות ולדעת הנשאר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{5}{6}+\frac{3}{4}\right)-\frac{4}{5}=\frac{\left[\left(\frac{5}{6}\sdot30\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot30\right)\right]-\left(\frac{4}{5}\sdot30\right)}{30}=\frac{\left(47+\frac{1}{2}\right)-24}{30}=\frac{23+\frac{1}{2}}{30}=\frac{7}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	בקש חשבון שיהיה לו חומש ושתות והוא שלשים קח ארבע חמישיות והם כ"ד ותגרעם מחמשה שתותיו ומשלש רביעיותיו שהם מ"ז וחצי יהיה הנשאר כ"ג וחצי ודע ערכם משלשים והוא ז' עשיריות וחצי השתות
$\scriptstyle a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}a=8$	ואם תגרע שלישיתו וריביעיתו ונשאר שמונה ותרצה לדעת כמה היה כל החשבון
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{12}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}\sdot8=\frac{12}{5}\sdot8=\left(2+\frac{2}{5}\right)\sdot8=19+\frac{1}{5}}}$	קח המורה והוא י"ב וגרע ממנו שלישיתו ורביעיתו ישאר חמשה חלק עליו המורה יצא ב' וב' חומשין ערכם בשמונה יעלה י"ט וחומש
$\scriptstyle a-\left(\frac{1}{n}\sdot a\right)-\left(\frac{1}{m}\sdot a\right)=b$ $\scriptstyle a=\frac{n\sdot m}{\left(n\sdot m\right)-\left[\left[\frac{1}{n}\sdot\left(n\sdot m\right)\right]+\left[\frac{1}{m}\sdot\left(n\sdot m\right)\right]\right]}\sdot b$	ועל זה הדרך לכל חשבון שישאר שנים או שלשה או איזה חשבון שישאר שתוציא המורה ותגרע ממנו הערכים שגרע הן שתותין או חמישיות או רביעיות או כל מה שגרע ועל הנשאר תחלק המורה והיוצא תערוך בנשאר שאמר
$\scriptstyle a=\frac{b}{\left(n\sdot m\right)-\left[\left[\frac{1}{n}\sdot\left(n\sdot m\right)\right]+\left[\frac{1}{m}\sdot\left(n\sdot m\right)\right]\right]}\sdot\left(n\sdot m\right)$	או חלק הנשאר שאמר על מה שישאר מן המורה כשתוציא ממנו מה שגרע והיוצא תערוך על המורה והדבר שוה
$\scriptstyle\left(a-\frac{1}{5}a\right)-\left[\frac{1}{7}\sdot\left(a-\frac{1}{5}a\right)\right]=24$	ואם תגרע חמישיתו ומהנותר שביעיתו ונשאר כ"ד כמה היה הכל
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{35\sdot24}{24}=35}}$	דע המורה והוא ל"ה וערכהו על הנשאר, כלומ' כמשפט אשר הזכיר למעלה, יצא ל"ה והוא המבוקש
$\scriptstyle\left[a-\left(\frac{1}{n}\sdot a\right)\right]-\left[\frac{1}{m}\sdot\left[a-\left(\frac{1}{n}\sdot a\right)\right]\right]=b$ $\scriptstyle a=n\sdot m \longrightarrow a=\frac{\left(n\sdot m\right)\sdot b}{b}$	וזה הדרך הוא נכון כשיהיו סך החשבון והמורה שוים כמו זה
$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30\longrightarrow\left[30-\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)\right]-\left[\frac{1}{6}\sdot\left[30-\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)\right]\right]=20}}$	וכמו אם יקח ל' ויחסר חמישיתו ומן הנותר ששית וישאר עשרים שהחשבון והמורה שוים
	ובכל חשבון כאלו יוציאך המורה אל האמת
$\scriptstyle\left(a-\frac{1}{5}a\right)-\left[\frac{1}{7}\sdot\left(a-\frac{1}{5}a\right)\right]=17+\frac{1}{7}$ $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\ne25\longrightarrow\left[25-\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)\right]-\left[\frac{1}{7}\sdot\left[25-\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)\right]\right]=17+\frac{1}{7}}}$	אך אם יקח כ"ה ויגרע חמישיתו ומן הנשאר שביעיתו וישאר י"ז ושביעית שהמורה והחשבון אינם שוים
	ובכל חשבון כיוצא בו אם יהיו עיניך רואות את מוריך אזניך תשמענה דבר מאחריך זה הדרך תלכו בה
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=\left(17+\frac{1}{7}\right)+\left[\left(17+\frac{1}{7}\right)\sdot\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)+\left[\frac{1}{7}\sdot\left[35-\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)\right]\right]}{35-\left[\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)+\left[\frac{1}{7}\sdot\left[35-\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)\right]\right]\right]}\right]\\&\scriptstyle=\left(17+\frac{1}{7}\right)+\left[\left(17+\frac{1}{7}\right)\sdot\frac{7+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(35-7\right)\right]}{35-\left[7+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(35-7\right)\right]\right]}\right]\\&\scriptstyle=\left(17+\frac{1}{7}\right)+\left[\left(17+\frac{1}{7}\right)\sdot\frac{7+\left(\frac{1}{7}\sdot28\right)}{35-\left[7+\left(\frac{1}{7}\sdot28\right)\right]}\right]\\&\scriptstyle=\left(17+\frac{1}{7}\right)+\left[\left(17+\frac{1}{7}\right)\sdot\frac{7+4}{35-\left(7+4\right)}\right]\\&\scriptstyle=\left(17+\frac{1}{7}\right)+\left[\left(17+\frac{1}{7}\right)\sdot\frac{11}{35-11}\right]\\&\scriptstyle=\left(17+\frac{1}{7}\right)+\left[\left(17+\frac{1}{7}\right)\sdot\frac{11}{24}\right]\\&\scriptstyle=\left(17+\frac{1}{7}\right)+\left[\left(17+\frac{1}{7}\right)\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(17+\frac{1}{7}\right)+\left(7+\frac{6}{7}\right)=25\\\end{align}}}$	והדרך לכל חשבון שתבקש חשבון שיהיה לו שביעיות אחרי שתגרע ממנו חמישית כגון ל"ה שחומשו ז' וישאר כ"ח ששביעיתו ד' ונחברם יעלה י"א וישאר כ"ד ודע מה ערך י"א אל והוא רביעית וה' ששיות רביעית וכזה הערך קח מי"ז ושביעית שהוא הנשאר והיוצא שהוא ז' ועוד ו' שביעיות הוסף על י"ז ושביעית יעלה כ"ה והוא מה ששאלת
$\scriptstyle a=b+\left(\frac{1}{n-1}\sdot b\right)+\left[\frac{1}{m-1}\sdot\left[b+\left(\frac{1}{n-1}\sdot b\right)\right]\right]$	ותדענו שתשמור מדרגות השברים ותוסיף על כל שבר ושבר מדרגה אחת
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(17+\frac{1}{7}\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(17+\frac{1}{7}\right)\right]+\frac{1}{4}\sdot\left[17+\left(\frac{1}{7}\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(17+\frac{1}{7}\right)\right]\right]}}$	וכן תעשה קח הנשאר והוסף ששיתו שהוא נוסף מדרגה אחת מן השביעית שאמר באחרונה ועל המחובר תוסיף רביעית המחובר שהוא עודף מדרגה אחת על החמישית שאמ' בתחלה והמחובר הוא המבוקש
$\scriptstyle\frac{1}{3}a-\frac{1}{5}b=6$	ואם תקח שני חשבונות שאין האחד שוה לחברו ותגרע חמישית האחד משלישית האחר וישארו ששה ותרצה לדעת כמה היה כל אחד ואחד מהחשבונות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=\left[\left[\left(3\sdot5\right)\sdot\frac{1}{5}\right]+6\right]\sdot3=\left[\left(15\sdot\frac{1}{5}\right)+6\right]\sdot3=\left(3+6\right)\sdot3=9\sdot3=27\\\scriptstyle \frac{1}{5}b=3\longrightarrow b=15\end{cases}}}$	בקש חשבון שיהיה לו חמישית ושלישית והוא ט"ו והוא המורה וקח חמישיתו והוא שלשה והוסף על הששה ויהיה ט' ותערכם על השלשה ויעלה כ"ז וזה הוא החשבון שגרעת ממנו ואחר שידעת זה תוכל להוציא החשבון הנגרע שהוא ט"ו אחרי שחמישיתו שלשה
	וזה הדרך אינו דרך כלל לכל חשבון ולא יכנף עוד מוריך זולתי כשיהיה החשבון האחד שוה למורה כגון זה וכיוצא בו אך אם לא ישוו המורה אל יורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot10\right)=6}}$	כגון שהיה האחד י' והשני כ"ד וכשתגרע חמישית עשרה משלישית כ"ד ישאר ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot27\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)=6}}$	ואם תביט אל המורה יוציאך אל כ"ז ואל ט"ו וזה החשבון יודיע אם החשבון האחד ידוע
$\scriptstyle\frac{1}{3}a-\left(\frac{1}{5}\sdot10\right)=6$	כמו שיאמר האחד עשרה גרעונו חמישיתו משלישית חשבון שאינו ידוע ונשאר ששה כמה החשבון שאינו ידוע
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\left[6+\left(\frac{1}{5}\sdot10\right)\right]\sdot3}}$	הדרך בו ולכל חשבון שתוסיף חמישית הידוע על הנשאר והמחובר תערך על שלשה בעבור כי שלישית יוצאת משלשה והעולה הוא החשבון שאינו ידוע
	וגם תוכל להוציא שני החשבונות
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{3}a-\frac{1}{5}b=6\\\scriptstyle\frac{1}{3}a+\frac{1}{5}b=10\end{cases}$	אם יאמר כאשר גרענו חמישית האחד משלישית האחד נשאר ו' חברנום יעלו עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{3}a-\frac{1}{5}b=6\\\scriptstyle\frac{1}{3}a+\frac{1}{5}b=10\end{cases}\scriptstyle\longrightarrow\frac{1}{5}b=\frac{1}{2}\sdot\left(10-6\right)}}$	הדרך בזה שתחסר הנשאר מהמחובר ומן הנותר קח המחצית וככה מספר החמישית שגרע ואחר שידעת חמישיתו ידעת כלו ומן האחד תוציא השני
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{5}a-\frac{1}{4}b=1\\\scriptstyle\frac{1}{5}a+\frac{1}{4}b=11\end{cases}$	ועל זה הדרך לכל חשבון שאם יאמר אם גרענו רביעית האחד מחמישיתו האחד נשאר אחד ואם חברנום יעלו י"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{5}a-\frac{1}{4}b=1\\\scriptstyle\frac{1}{5}a+\frac{1}{4}b=11\end{cases}\scriptstyle\longrightarrow\frac{1}{4}b=\frac{1}{2}\sdot\left(11-1\right)=\frac{1}{2}\sdot10\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle b=20\\\scriptstyle a=30\end{cases}}}$	ככה תעשה גרע אחד מי"א ונשאר עשרה קח מחציתם והוא מספר הרביעית שגרע מתברר שהחשבון האחד הוא עשרים וממנו תוכל להוציא השני והוא שלשים וזה הדרך ידריכך אל האמת ואל הנכון

Chapter Three: Multiplication

השער השלישי במערכת

Three types of multiplication:

ונחלק לשלשה ענינים‫:

multiplication of integers by integers

מערכת שלמים על שלמים

multiplication of integers by fractions

ומערכת שלמים על שברים

multiplication of fractions by fractions

ומערכת שברים על שברים

Integers by Integers

הענין הראשון בשלמים על שלמים

The ranks of integers:

יש לך לדעת כי כל חשבון יבנה ויכונן בעשרה מדרגות‫:

1) units

והמדרגה הראשונה הם האחדים

2) tens

והשניה העשרות

3) hundreds

והשלישית המאות

4) thousands

והרביעית האלפים

5) tens of thousands

והחמישית העשרות אלפים

6) hundreds of thousands

והששית במאות אלף

7) thousands of thousands

והשביעית באלף אלפים

8) tens thousands of thousands

והשמינית עשרת אלפי אלפים

9) hundreds thousands of thousands

והתשיעית במאת אלף אלפים

10) thousands thousands of thousands

והעשירית באלף אלפי אלפים וכן עד אין קץ

definition of multiplication

ומערכת מספר על מספר הוא שתהיה מונה המספר האחד במנין המספר השני

multiplication of a number by one

וכל מספר שאתה עורך אותו באחד הוא עומד ואינו נוסף

ואכן אם תערוך אחד על אחד הוא אחד ושנים על אחד הם שנים וכן כל מספר שתערכנו על אחד אינו נוסף

multiplication of units by units

ואם תערוך שנים על שנים אתה כופל אותו ואם בשלשה תערכנו תמצאנו שלשה מן המספר וכן עד עשרה שאם תערכנו על עצמו יהיו מאה

the need to master the multiplication of units in order to be able to multiply numbers larger than ten

ואם תרצה לערוך מספר על מספר למעלה מעשרה אתה צריך שיהיה חשבון האחדים סדורים על פיך כי כל חשבון מתחשב על זה הדרך

full multiplication table

ולהקל על הקורא ציירתי לך זה המכבר מא' ועד י' שתברור לך בו כל חשבון

10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
20	18	16	14	12	10	8	6	4	2
30	27	24	21	18	15	12	9	6	3
40	36	32	28	24	20	16	12	8	4
50	45	40	35	30	25	20	15	10	5
60	54	48	42	36	30	24	18	12	6
70	63	56	49	42	35	28	21	14	7
80	72	64	56	48	40	32	24	16	8
90	81	72	63	54	45	36	27	18	9
100	90	80	70	60	50	40	30	20	10

י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
כ	יח	יו	יד	יב	י	ח	ו	ד	ב
ל	כז	כד	כא	יח	טו	יב	ט	ו	ג
מ	לו	לב	כח	כד	כ	יו	יב	ח	ד
נ	מה	מ	לה	ל	כה	כ	טו	י	ה
ס	נד	מח	מב	לו	ל	כד	יח	יב	ו
ע	סג	נו	מט	מב	לה	כח	כא	יד	ז
פ	עב	סד	נו	מח	מ	לב	כד	יו	ח
צ	פא	עב	סג	נד	מה	לו	כז	יח	ט
ק	צ	פ	ע	ס	נ	מ	ל	כ	י

instructions for using the multiplication table:

units by units

וכאשר תרצה לערוך חשבון על חשבון מא' ועד י‫'

$\scriptstyle8\times7$

כמו שתרצה לערוך ח' על ז' אתה נותן אצבעותיך בשני הטורים הראשונים אשר כתוב בהם מא' ועד י' על הסדר האצבע האחד על ח' ואצבעך השני על ז' הולך אותם ובמקום אשר יפגשו האצבעות שם תמצא העולה והוא נ"ו

וכן לכל החשבון

other ranks: $\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)\times\left(b\sdot10^m\right)$

ואם תרצה לחשוב משאר המדרגות אחת על אחת יחשוב אותם כאלו הם אחדים

$\scriptstyle600\times4000$

כמו שתרצה שש מאות על ארבעת אלפים

$\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot4=24}}$

מאיזה חשבון הם המאות מששה והאלפים מארבעה ערוך ששה על ארבעה כאלו הם אחדים והם כ"ד ושמרם

determining the place of 6·4 in the product 600×4000

(rank of hundreds)+[(rank of thousands)-1]=3+(4-1)=6

ואחר כך קח מדרגת המאות והוא שלשה ומנה מהאלפים ולמעלה ג' מדרגות והוא מדרגה הששית

(rank of thousands)+[(rank of hundreds)-1]=4+(3-1)=6

וכן אם תקח מדרגת האלפים והוא ארבעה ותמנה אתו מן המאות ולמעלה אתה מגיע אל המדרגה הששית

ושים שם חשבון האחדים ששמרת והעשרות במדרגה אשר אחריה והיא השביעית

\scriptstyle{\color{blue}{600\times4000=2400000}}

ומפני זה אתה אומר כי הכ"ד ששמרת הם ב' אלפי אלפים וארבע מאות אלף

[(rank of hundreds)+(rank of thousands)]-1=(3+4)-1=7-1=6

דרך אחרת שתהיה חושב מדרגות בב' חשבונות ותפחות אחד מהם והנשאר יהיה מדרגת המספר

כמו שתקח מדרגת המאות והוא שלשה ומדרגת האלפים ארבעה תחברם יהיו שבעה תחסר מהם אחד לעולם וישארו בידך ששה, זה דבר שוה לחשבון הראשון

the reason for subtracting 1 from the total number of ranks of the product: the rank of the units is counted twice

והטעם שאתה מחסר משתי המדרגות בהתקבצם מפני שמדרגת האחד עולה לכאן ולכאן

units and tens by units and tens

ואם תערוך אחדים ועשרות על אחדים ועשרות

$\scriptstyle25\times28$

כמו כ"ה על כ"ח

\scriptstyle{\color{blue}{25\times28=\left(\frac{25}{100}\sdot28\right)\sdot100=\left(\frac{1}{4}\sdot28\right)\sdot100=7\sdot100}}

דע מה ערך כ"ה ממאה והוא רובע קח רובע כ"ח והוא ז' יהיו האחדים מאות

$\scriptstyle54\times66$

ואם תערוך נ"ד בס"ו

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle54\times66&\scriptstyle=\left[\left(\frac{50}{100}\sdot66\right)\sdot100\right]+\left(4\sdot66\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot66\right)\sdot100\right]+264\\&\scriptstyle=\left(33\sdot100\right)+264\\&\scriptstyle=3300+264=3564\\\end{align}}}

דע מה ערך החמשים ממאה והוא חצי קח חצי מספר ששה וששים יהיו ל"ג העשרות הם האלפים והאחדים הם מאות ואחר כך תערוך הארבעה הנותרים על החמשים בששה וששים יעלה רס"ד חברם על הל"ג יעלה ג' אלפים וה' מאות וארבע וששים

units, tens, and hundreds by units, tens, and hundreds

$\scriptstyle125\times125$

ואם תערוך קכ"ה על עצמו

\scriptstyle{\color{blue}{125\times125=\left(\frac{125}{1000}\sdot125\right)\sdot1000=\left(\frac{1}{8}\sdot125\right)\sdot1000=\left(15+\frac{5}{8}\right)\sdot1000=15625}}

דע מה ערכו מאלף והיא שמינית קח שמינית קכ"ה והוא ט"ו וחמשה שמיניות ערוך אותם באלף יעלה ט"ו אלפים ותרכ"ה

units by tens

ואם תערוך אחדים על עשרות

$\scriptstyle5\times70$

כמו חמשה על שבעים

\scriptstyle{\color{blue}{5\times70=\left(5\sdot7\right)\sdot10=35\sdot10=350}}

ערוך חמשה על שבעה יעלה ל"ה יהיו העשרות מאות והאחדים עשרות והוא ג' מאות וחמשים

\scriptstyle{\color{blue}{5\times70=\left(\frac{5}{10}\sdot70\right)\sdot10=\left(\frac{1}{2}\sdot70\right)\sdot10=35\sdot10}}

גם תדענו שתחשוב מהו חמשה מעשרה והוא חציו קח מחצית השבעים והוא ל"ה

\scriptstyle{\color{blue}{5\times70=\left(5\sdot\frac{70}{100}\right)\sdot100=\left(5\sdot\frac{7}{10}\right)\sdot100=\left(3+\frac{1}{2}\right)\sdot100=350}}

או תדענו שתחשוב מהו השבעים ממאה והוא שבע עשיריות קח שבע עשיריות מחמשה והוא ג' וחצי תערכם על מאה יהיו ג' מאות וחמשים

units by hundreds

ואם תערוך אחדים על מאות

$\scriptstyle5\times300$

כמו חמשה על שלש מאות

\scriptstyle{\color{blue}{5\times300=\left(5\sdot3\right)\sdot100=15\sdot100}}

ערוך חמשה על ג' יעלה ט"ו יהיו העשרות אלפים והאחדים מאות

\scriptstyle{\color{blue}{5\times300=\left(\frac{5}{100}\sdot300\right)\sdot100=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\sdot300\right]\sdot100=15\sdot100}}

ותדענו שתחשב מהו חמשה ממאה והוא חצי עשיריות קח חצי עשירית של ג' מאות והוא ט"ו

\scriptstyle{\color{blue}{5\times300=\left(5\sdot\frac{300}{100}\right)\sdot100=15\sdot100}}

ותדענו שתחלק הג' מאות על מאה ותערוך היוצא על חמשה יעלה ט"ו

tens by tens

ואם תערוך עשרות על עשרות

$\scriptstyle20\times30$

כמו כ' על ל‫'

\scriptstyle{\color{blue}{20\times30=\left(2\sdot3\right)\sdot100=6\sdot100}}

ערוך שנים על שלשה יהיו ששה האחדים יהיו מאות

\scriptstyle{\color{blue}{20\times30=\left(\frac{20}{100}\sdot30\right)\sdot100}}

ותדענו שתחשוב מהו כ' ממאה וקח ערכנו ערכו מל' ומה שיהיה תערכנו במאה

\scriptstyle{\color{blue}{20\times30=\left(20\sdot\frac{30}{100}\right)\sdot100}}

או תדע מה שהם הל' ממאה וקח ערכו מן עשרים והדבר שוה

tens by hundreds

ואם תערוך עשרות על מאות

$\scriptstyle40\times600$

כמו מ' בשש מאות

\scriptstyle{\color{blue}{40\times600=\left(4\sdot6\right)\sdot1000=24\sdot1000}}

ערוך ד' על ששה יעלה כ"ד יהיו האחדים אלפים והעשרות עשרות אלפים

\scriptstyle{\color{blue}{40\times600=\left(40\sdot\frac{600}{1000}\right)\sdot1000=\left(40\sdot\frac{6}{10}\right)\sdot1000=24\sdot1000}}

ותדענו שתחשב מהן ו' מאות מאלף והוא ו' עשיריות קח זה הערך ממ' יעלה כ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{40\times600=\left(\frac{40}{1000}\sdot600\right)\sdot1000=\left(\frac{1}{25}\sdot600\right)\sdot1000}}

או תדע מהן הארבעים מאלף חלק אחד מן כ"ה וכערכו קח משש מאות והדבר שוה

tens by thousands

ואם תערוך עשרות על אלפים

$\scriptstyle50\times7000$

כמו נ' בז' אלפים

\scriptstyle{\color{blue}{50\times7000=\left(5\sdot7\right)\sdot10000=35\sdot10000}}

וערוך ה' על זה שבעה יעלה ל"ה יהיו האחדים עשרות אלפים והעשרות מאות אלפים

\scriptstyle{\color{blue}{50\times7000=\left(50\sdot\frac{7000}{10000}\right)\sdot10000}}

ותדענו שתחשב מהן ז' אלפים מי' אלפים וקח אותו הערוך מחמשים והוא ל"ה

\scriptstyle{\color{blue}{50\times7000=\left(\frac{50}{10000}\sdot7000\right)\sdot10000}}

או תדע מהם הנ' מי' אלפים וכערכו קח מן הז' אלפים והדבר שוה

ועל אלו הדרכים תוכל לדעת כל חשבון עד אין קץ שתשמר השמות והמדרגות

Integers by Fractions	הענין השני מערכת שלמים על שברים
sexagesimal fractions	אם יהיו בידך שברי חכמי המזלות מעלות ראשונים ושניים
degrees × degrees = degrees	אם אתה עורך מעלות על מעל[ו]ת יהיה הנקבץ מעלות
$\scriptstyle a\times\frac{b}{60^n}=\frac{a\sdot b}{60^n}$	ואם אתה עורך מעלות על שברים יהיה הנקבץ שברים‫:
degrees × minutes = minutes	אם ערכת על ראשונים הם ראשונים
degrees × seconds = seconds	ואם על שניים הם שניים
degrees × thirds = thirds	ואם על שלישיים הם שלישיים
	וכן למעלה מהם לכל השברים הנערכים על מעלות
$\scriptstyle20\times\frac{50}{60}$	כמו שתרצה לערוך כ' מעלות על נ' ראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{20\times\frac{50}{60}=\frac{1000}{60}=16+\frac{40}{60}=16+\frac{5}{6}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{20\times\frac{50}{60}=20\sdot\frac{5}{6}=16+\frac{5}{6}}}$	יעלו אלף והם ראשונים, תחלקם על ששים יצא בחלוק י"ו וישאר מ' ראשונים והוא ה' ששיותיו וכאותו הערך קח מן הב' יהיו י"ו מעלות מ' ראשונים
	ועל זה תחשב לשניים ולשלישיים ולכל השברים עד אין קץ
the product of integer by fraction is smaller than the integer	כי כל חשבון השלמים הנערכים בשברים הוא פחות פוחת והולך
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times\frac{1}{3}=10\sdot\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{10\times\frac{1}{4}=10\sdot\frac{1}{4}}}$	והאומר חשוב עשרה בשליש או ברביע דומה כמי שאומר כמה חלק שליש או רביע מהעשרה וכן לכל השברים
integers by integers and fractions
simple fractions	ואם יהיו בידך שברי חכמי המדות ותרצה לערוך שלמים על שלמים ושברים
Such as two by three and a quarter. $\scriptstyle2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)$	כגון שנים על שלשה ורביע
common denominator: We seek a number that has a third and a quarter, which is twelve and it is the denominator.	נבקש חשבון שיש לו שלישית ורביעית והוא שנים עשר והוא המורה
Take for each integer 12:	ותקח לכל אחד שלם י"ב
They are 24 in the first number $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot12=24}}$	והם כ"ד בחשבון האחד
In the second number the result is 36, add to them 3 for the quarter, the result is 39 $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot12\right)+3=36+3=39}}$ .	והחשבון השני השלשה יעלו ל"ו הוסף עליהם ג' בעבור הרביע יעלו ל"ט
We multiply 24 by 39, the result is 936 $\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot39=936}}$	ונערוך כ"ד על ל"ט יעלו תתקל"ו חלקים
Divide them by 144, which is the square of the denominator, the result is six and 72 remain, which are half of 144, thus six and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)=\frac{936}{12^2}=\frac{936}{144}=6+\frac{72}{144}=6+\frac{1}{2}}}$	חלקם על קמ"ד שהוא מרובע המורה יצא ששה ונשארו ע"ב שהוא חצי קמ"ד והנה ששה וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)=\frac{2\sdot\left[\left(3\sdot4\right)+1\right]}{4}=\frac{2\sdot\left(12+1\right)}{4}=\frac{2\sdot13}{4}=\frac{26}{4}=6+\frac{1}{2}}}$	ותדענו שתעזב השניים כמו שהם שנים ובעבור שבר הרביעית וקח לכל אחד מן השלשה ארבעה יעלו י"ב נוסיף אחד בעבור הרביעית הנה י"ג ערכנום על שנים שהיה לנו עלה כ"ו נחלק על ארבעה יצא ששה וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)=\frac{2\sdot4}{4}\sdot\frac{\left(3\sdot4\right)+1}{4}=\frac{8\sdot\left(12+1\right)}{4^2}=\frac{8\sdot13}{16}=\frac{104}{16}=6+\frac{8}{16}=6+\frac{1}{2}}}$	ותדענו שתקח מה שיצא ממנו הרביע והוא ארבעה והוא המורה נערוך שנים על ד' יעלו שמונה ושלשה על ד' יעלו י"ב ועם הרביעית י"ג ערכם זה על זה יצא ק"ד וחלק על מרובע המורה שהוא י"ו יצא ששה וישאר שמונה שהוא חצי אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)=\left(2\sdot3\right)+\left(2\sdot\frac{1}{4}\right)=6+\frac{2}{4}=6+\frac{1}{2}}}$	ותדענו שתערך שנים על שלשה עלה ששה וישוב ו' וערוך על שנים על רביעית עלה שנים רביעיות שהוא חצי וזה יהיה שמור בידך
$\scriptstyle1\sdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$	כי האחד הנערך על שבר הרי הוא כמוהו
	ודומה כמי שאומר אחד באורך על חצי ברוחב וזה באמת אינו כי אם חציו וכן על שליש ועל כל השברים

integers by fractions fractions	ואם תערוך שלמים על שברים
simple fractions
Such as three quarters by nine. $\scriptstyle\frac{3}{4}\times9$	כגון שלשה רביעיות בתשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times9=3\sdot\frac{9}{4}=3\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)=6+\frac{3}{4}}}$	דע מאיזה מספר הרביעיות והוא מארבעה חלק התשעה עליהם יצא לכל אחד שנים ורובע ערוך היוצא על שלשה יהיה ששה וג' רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times9=\frac{3}{4}\sdot\frac{9\sdot4}{4}=\frac{3\sdot36}{4^2}=\frac{108}{16}=6+\frac{12}{16}=6+\frac{3}{4}}}$	ותדענו מאיזה מספר הרביעית והוא מארבעה והוא המורה נערוך התשעה על ארבעה יעלה ל"ו ונערכם על שלשה בעבור הרביעיות שהם שלשה יעלה ק"ח חלקם על י"ו שהוא מרובע המורה יצא ששה שלמים וישארו י"ב שהם ג' רביעיות אחד
integers and fractions by integers and fractions	ואם תערוך שלמים ושברים על שלמים ושברים
simple fractions
Such as three and a seventh by five and an eighth. $\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)$	כגון שלשה ושביעית על חמשה ושמינית
common denominator: Seek for a number that has the two fractions, i.e. a seventh and an eighth, it is 56 and it is the denominator.	בקש חשבון שיש לו שני השברים כלומ' שביעית ושמינית והוא נ"ו והוא המורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot56\right)+8=168+8=176}}$	ונערוך החשבון האחד שהוא שלשה על המורה ויעלה קס"ח ונוסיף עליו ח' בעבור השביעית ועלה קע"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot56\right)+7=280+7=287}}$	ועוד נערוך החשבון האחד שהוא חמשה על המורה יעלה ר"פ ובעבור השמינית נוסיף שבעה והנה רפ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{176\times287=50512}}$	נערוך קע"ו על רפ"ז עלה חמשים אלף וחמש מאות ושנים עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{50512}{56^2}\\&\scriptstyle=\frac{50512}{3136}\\&\scriptstyle=16+\frac{336}{3136}\\&\scriptstyle=16+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	חלקנום על שלשת אלפים ומאה ושלשים ושש שהוא מרובע המורה יצא בחלוק ששה עשר ונשארו של"ו והם שלש רביעיות שביעית אחד שהאחד הוא מרובע המורה שהם ושביעיתו הם באותיות הודו ובאותיותנו הם ת'מ'ח‫'
$\scriptstyle{\color{red}{\left(3\sdot7\right)+1=21+1=22}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot8\right)+1=40+1=41}}$	ותדענו שתקח לשלשה שיש עמהם שמינית ארבעים והוסף אחד הנה מ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{22\times41=902}}$	ערכנום זה על זה עלו תשע מאות ושנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{902}{7\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{902}{56}\\&\scriptstyle=16+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=16+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	חלקנום על נ"ו שהוא ערך שבעה על שמונה ויצא י"ו ונשארו ו' שהם שלש רביעיות שביעית אחד כי שביעית נ"ו הם ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{3\times5=15}}$	ותדענו שתערוך שלשה על חמשה עלה ט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{3\times\frac{1}{8}=\frac{3}{8}}}$	ועוד תערוך ג' על שמינית עלה ג' שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{5\times\frac{1}{7}=\frac{5}{7}}}$	וחמשה על שביעית הנה חמש שביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}+\frac{5}{7}=1+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	ונחשוב שהם שמיניות ונחברם עם השלש עלה אחד שלם ונשאר מיתרון השביעית על השמינית חמש שמיניות שביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\times\frac{1}{8}=\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}}}$	ועוד יש לך לערוך שביעית על שמינית והוא שביעית שמינית
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=15+1+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=16+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	תחברם עם החמש שיש לך והנה שש שמיניות שביעית
The results of all the methods are equal.	וכל הדרכים יצאו שוה
sexagesimal fractions
	ולדרך חכמי המזלות שלא יחלקו ששים על שבעה ולא על שמונה ככה תעשה‫:
1 degree = 56 minutes 1 minute = 56 seconds	שתעשה מן מעלה אחת נ"ו ראשונים ומראשון נ"ו שניים בעבור שנ"ו יש להם שביעית ושמינית
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\left(3+\frac{\frac{1}{7}\sdot56}{56}\right)\sdot\left(5+\frac{\frac{1}{8}\sdot56}{56}\right)\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{8}{56}\right)\times\left(5+\frac{7}{56}\right)\\&\scriptstyle=\left(3+8'\right)\times\left(5+7'\right)\\\end{align}}}$	והנה יש לך לערוך שלשה מעלות וח' ראשונים שהם שביעית נ"ו על חמשה מעלות ז' ראשונים שהם שמינית נ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{3\times5=15}}$	תערוך ג' על ה' שהם מעלות עלה ט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{3\times7'=21'}}$	ותערוך השלשה שלמים על שבעה ראשונים ועלה כ"א ראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{8'\times5=40'}}$	ואחר כן תערוך ח' על ה' שלמים יעלה מ' ראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{8'\times7'=56''}}$	ונערוך ח' ראשונים על ז' ראשונים יעלה נ"ו שניים
$\scriptstyle{\color{blue}{21'+40'+56''=21'+40'+1'=62'}}$	נחלק השניים על נ"ו עלה ראשון אשר חברנו עם הראשונים והנה ס"ב
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=15+62'\\&\scriptstyle=15+1+6'\\&\scriptstyle=16+\frac{6}{56}=16+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	נעשה מהם מעלה אחת מנ"ו והם עלה שש עשרה מעלות ונשארו ו' ראשונים שהם ג' רביעיות משביעית נ"ו במעלה אחת

integers and fractions by integers and fractions of fractionsn	ואם תערוך שלמים ושברים על שלמים ושברי שברים
simple fractions
Such as three and a quarter by five and a sixth of a seventh. $\scriptstyle\left(3+\frac{1}{4}\right)\times\left[5+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]$	כמו שלשה ורביעית על חמשה וששית שביעית
common denominator: Take a number that has a sixth and a seventh, which is 42, multiply it by four, for the quarter, the result is 168 and it is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot7\sdot4=42\sdot4=168}}$	קח חשבון שיש לו ששית ושביעית והוא מ"ב גם נערכנו על הארבעה בעבור הרביעית יעלו קס"ח והוא המורה
Convert all the integers to the denominator, sum the fractions [= numerators] with each of the numbers, multiply the sums one by the other, then divide by the square of the denominator - the result of division are the integers and the remainder are the parts of the denominator.	והשב כל השלמים על המורה ותחבר השברים עם כל אחד מהחשבונות והעולה תערוך זה על זה ותחלק על מרובע המורה והיוצא בחלוק הם שלמים והנשאר הם חלקים מהמורה
$\scriptstyle{\color{blue}{3\times5=15}}$	ותדענו שתערך ג' על ה' והוא ט"ו שלמים
$\scriptstyle{\color{blue}{3\times\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{7}}}$	ותערוך שלשה על ששית שביעית והוא ג' ששיות שביעית
common denominator: Since you find all the fractions that are needed for this calculation, take 84, that has a sixth, a seventh and a quarter, and it is the denominator.	ובעבור שתמצא כל השברים שצריכים לזה החשבון קח פ"ד שיש לו ששית ושביעית ורביעית והוא המורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot84=21}}$	ורביעיתו כ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot84=12}}$	ושביעיתו י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot84=14}}$	וששיתו י"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{7}=\frac{6}{84}}}$	והנה ג' ששיות שביעית שיצאו בערך הם ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times5=\frac{105}{84}}}$	ושוב וערוך רביעית על ה' והם רביעיות שהם ק"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{\frac{1}{2}}{84}}}$	ושוב וערוך רביעית על ששית שביעית והוא חצי אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{84}+\frac{105}{84}+\frac{\frac{1}{2}}{56}=\frac{111+\frac{1}{2}}{84}}}$	וכאשר תחברם יעלה קי"א וחצי
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{4}\right)\times\left[5+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]&\scriptstyle=15+\frac{111+\frac{1}{2}}{84}\\&\scriptstyle=15+\frac{84+27+\frac{1}{2}}{84}\\&\scriptstyle=15+1+\frac{27+\frac{1}{2}}{84}\\&\scriptstyle=16+\frac{21+6+\frac{1}{2}}{84}\\&\scriptstyle=16+\frac{1}{4}+\frac{6+\frac{1}{2}}{84}\\&\scriptstyle=16+\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}$	קח מהם אחד שלם שהוא פ"ד וחברהו עם הט"ו שלמים יעלו י"ו שלמים ונשארו עדין כ"ז וחצי ועשרים ואחד הוא רביעית נשאר ו' וחצי והששה הם ב' שביעיות רביעית והחצי שנשאר הוא ששית שביעית רביעית ונתברר שעלה י"ו שלמים ורביעית וב' שביעיות רביעית וששית שביעית הרביעית
	ובכל הדרכים תוכל להוציאו
Fractions by Fractions	הענין השלישי מערכת שברים על שברים
sexagesimal fractions	אם יהיו בידך שברי חכמי המזלות כגון ראשונים ושניים ותרצה להעריכם על ראשונים ושניים
minutes × minutes = seconds $\scriptstyle\frac{1}{60}\sdot\frac{1}{60}=\frac{1}{60^2}$	כשאתה עורך ראשונים על ראשונים יעלה מן הערך שניים
minutes × seconds = thirds $\scriptstyle\frac{1}{60}\sdot\frac{1}{60^2}=\frac{1}{60^3}$	ואם ראשונים בשניים יעלה שלישיים
minutes × thirds = fourths $\scriptstyle\frac{1}{60}\sdot\frac{1}{60^3}=\frac{1}{60^4}$	ואם ראשונים בשלישים יעלה רביעים
thirds × thirds = sixths $\scriptstyle\frac{1}{60^3}\sdot\frac{1}{60^3}=\frac{1}{60^6}$	ואם שלישים בשלישים אתה עורך יעלה ששיים
thirds × fourths = sevenths $\scriptstyle\frac{1}{60^3}\sdot\frac{1}{60^4}=\frac{1}{60^7}$	ואם ברביעים יעלה שביעים
every product of a fraction by a fraction reduces the rank of the first fraction by the rank of the fraction by which it is multiplied $\scriptstyle\frac{1}{60^n}\sdot\frac{1}{60^m}=\frac{1}{60^{n+m}}$	כי כל מספר שאתה עורך אותו בשברים שברים בשברים הוא פוחת ומתרחק מחשבונו כמרחק השבר אשר נערוך בו
multiplication table of sexagesimal fractions	ולהקל על הקורא ציירתי לוח להבין העולה משברים על שברים

חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	_רוחב/^אורך
חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	מעלות
ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	ראשונים
שביעיים	ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	שניים
שמיניים	שביעיים	ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שלישיים
תשיעיים	שמיניים	שביעיים	ששיים	חמישיים	רביעיים	רביעיים
עשיריים	תשיעיים	שמיניים	שביעיים	ששיים	חמשיים	חמשיים

fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	degrees	^length/_width
fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	degrees	degrees
sixths	fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	minutes
sevenths	sixths	fifths	fourths	thirds	seconds	seconds
eighths	sevenths	sixths	fifths	fourths	thirds	thirds
ninths	eighths	sevenths	sixths	fourths	fourths	fourths
tenths	ninths	eighths	sevenths	sixths	fifths	fifths

instructions for using the multiplication table	וכאשר תרצה לדעת העולה מאחד ממיני השברים שהם כתובים בטור הרוחב הסתכל במקום אשר ייפגשו שני הטורים זה בזה ושם העולה משניהם
	וכאשר תערוך שברים על שברים
$\scriptstyle ab<60\longrightarrow\frac{a}{60^n}\sdot\frac{b}{60^m}=\frac{a\sdot b}{60^{n+m}}$	אם יהיה העולה פחות מששים אתה מחזיק בו ומונה אותו מאותו המין היוצא מהערך ההוא
$\scriptstyle ab>60\longrightarrow\frac{a}{60^n}\sdot\frac{b}{60^m}=\frac{\frac{a\sdot b}{60}}{60^{n+m-1}}$	ואם יהיה מוסיף על ששים אתה מחלק אותו על ששים והיוצא בחלוק הוא מן המין אשר למעלה מאותו המין אשר חלקת אותו
$\scriptstyle\frac{50}{60^2}\times\frac{50}{60^2}$	כאלו היית עורך נ' שניים בנ' שניים‫:
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50}{60^2}\times\frac{50}{60^2}=\frac{2500}{60^4}=\frac{\frac{2500}{60}}{60^3}=\frac{41}{60^3}+\frac{40}{60^4}}}$	יהיה העולה אלפים ות'ק' מאות רביעיים חלקם על ששים יצא בחלוק מ"א והם שלישים ונשארו מ' רביעיים שלא נתחלקו
	ועל זה הדרך לכל השברים
simple fractions	ואם שברי חכמי המדות תערוך זה על זה‫:
fraction by fraction Such as two thirds by two fifths. $\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}$	כגון שני שלישיים על שני חמישיים
This is the sign that you keep the names of the fractions:	זה לך האות שתשמור שמות השברים
Know that the thirds are derived from three and the fifths from five.	ודע כי השלישים הם חצובים משלשה והחמישיים מהחמשה
common denominator: Multiply 3 by five, they are 15 and it is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}$	וערוך ג' על חמשה והם ט"ו והוא המורה
Then multiply two by two, they are four $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4}}$	ואחר כן תערוך שנים על שנים והם ארבעה
As the ratio of four to 15 so is the ratio of this number to one, which is a fifth and a third of a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}=4:15=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	וכערך ארבעה מט"ו כן ערך חשבון זה מאחד והוא חמישית ושליש חמישית
The reason is that saying a third by a fifth is as saying a third of a fifth, which is one part of 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}}}$	והטעם כי האומר שלישי על חמישי דומה כמי שאומר שלישית מחמישית שהוא חלק אחד מט"ו
Or it is as saying a third lengthwise by a fifth breadthwise and it is clear that it is one part of 15.	או דומה כמי שאומר שלישי באורך על חמישי ברוחב וידוע וברור שהוא חלק אחד מט"ו
fraction by fraction of fraction If you multiply 2 parts of five by a tenth by 2 thirds. $\scriptstyle\frac{2}{5}\times\frac{1}{10}\times\frac{2}{3}$	ואם תערוך ב' חלקים מחמשה בעשירית האחד בב' שלישי אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\times\frac{1}{10}\right)\times\frac{2}{3}=\frac{2}{5\sdot10}\sdot\frac{2}{3}=\frac{2}{50}\sdot\frac{2}{3}=\frac{2\sdot2}{50\sdot3}=\frac{4}{150}=\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	דע כי שם החלק האחד הוא חמשים כמספר חמשה בעשרה ותערוך הנ' בג' שהוא שם החלק השני ויעלה ק"נ והוא המורה וכערך ד' שהם שני החשבונות מן ק"נ כן ערך ערכו מן האחד והוא שני שלישי חמישית החמישית
fraction of integer and fraction by fraction of integer If you multiply three quarters of three and a third by six sevenths of five. $\scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left(\frac{6}{7}\sdot5\right)$	ואם תערוך שלשה רביעיות [ש]ל שלשה ושליש על ששה שביעיות חמשה
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left(\frac{6}{7}\sdot5\right)&\scriptstyle=\frac{4\sdot\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)}{4}\sdot\left(4+\frac{2}{7}\right)\\&\scriptstyle=\frac{3\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)}{4}\sdot\left(4+\frac{2}{7}\right)\\&\scriptstyle=\frac{10\sdot\left(4+\frac{2}{7}\right)}{4}\\&\scriptstyle=\frac{42+\frac{6}{7}}{4}\\&\scriptstyle=10+\frac{5}{7}\\\end{align}}}$	דע מאיזה מספר יצא הרביע והוא מארבעה, קח שלשת רביעיותיו יהיו שלשה, ערכם בשלשה ושליש יעלה עשרה ושמרם ואחר כך תקח ששה שביעיות חמשה והא ארבעה וב' שביעיות, ערכם על השמור יעלה מ"ב וששה שביעיות, תחלקם על ארבעה יצא בחלוק עשרה שלמים וה' שביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left(\frac{6}{7}\sdot5\right)=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\frac{7\sdot\frac{6}{7}\sdot5}{7}=\frac{\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot30}{7}= \frac{75}{7}=10+\frac{5}{7}}}$	ותדענו דע מאיזה מספר הוא השביעית והוא משבעה קח ששה שביעיותיו ותערכם בחמשה יעלה שלשים ושמרם ואחר כך תקח שלשה רביעיות משלשה ושליש והוא שנים וחצי ערכם על השמור שהם ל' יעלה ע"ה חלקם על ז' יצא בחלוק עשרה וחמשה שביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left(\frac{6}{7}\sdot5\right)=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(4+\frac{2}{7}\right)=10+\frac{5}{7}}}$	ותדענו שתערוך שנים וחצי שהוא החשבון האחד על ארבעה וב' שביעיות שהוא החשבון יעלה עשרה וה' שביעיות
fraction of integer and fraction by fraction of integer and fraction If you multiply seven eighths of 5 and a third by 3 fifths of 6 and a quarter. $\scriptstyle\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]$	ואם תערוך שבעה שמיניות של ה' ושליש בג' חמישיות של ו' ורובע
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{8\sdot\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)}{8}\sdot\frac{5\sdot\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)}{5}\\&\scriptstyle=\frac{7\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)}{8}\sdot\frac{3\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)}{5}\\&\scriptstyle=\frac{37+\frac{1}{3}}{8}\sdot\frac{18+\frac{3}{4}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{139+\frac{4}{4}}{8}=17+\frac{1}{2}\\\end{align}}}$	דע מאיזה מספר השמינית והוא משמנה קח ז' שמיניות והוא ז' ערכם בה' ושליש יעלה ל"ז ושליש ושמרם ואחר כך דע מאיזה מספר החומש והוא מחמשה קח ג' חמישיותיו והם ג' ערכם בששה ורביע יעלה [י"ח] וג' רביעיות תערכם על השמור יעלה ק"ל'ט וד' רביעיות תחלקם על שמונה יצא בחלוק שבעה עשר וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{37+\frac{1}{3}}{8}\sdot\frac{18+\frac{3}{4}}{5}=\left(4+\frac{2}{3}\right)\sdot\frac{18+\frac{3}{4}}{5}=\frac{87+\frac{1}{2}}{5}=17+\frac{1}{2}}}$	או אם תרצה תחלק השמור שהוא ל"ז ושליש על שמונה והעולה שהוא ד' וב' שלישים תערוך על י"ח ושלשה רביעיות והעולה שהוא פ"ז וחצי תחלק על חמשה יצא י"ז וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]=\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{16}{3}\right)\sdot\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{25}{4}\right)=\frac{14}{3}\sdot\frac{15}{4}=\frac{14\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)}{3}=17+\frac{1}{2}}}$	ותדענו שתשיב החמשה ושליש כלם שלישים יהיו י"ו שלישים קח ז' שמיניותיו והעולה שהוא י"ד ושמרם ושוב אל הששה ורביע תשיבם כלם רביעיות ויהיו כ"ה, קח שלשת חמישיותיו והעולה שהוא ט"ו תחלק על ארבעה והיוצא בחלוק שהוא שלשה ושלשה רביעיות תערכם על השמור והעולה תחלק על שלשה יצא י"ז וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{14}{3}\sdot\frac{15}{4}=\frac{15\sdot\left(4+\frac{2}{3}\right)}{4}=\frac{70}{4}=17+\frac{1}{2}}}$	או אם תרצה תחלק השמור שהם י"ד על שלשה והיוצא שהוא ארבעה ושני שלישיים תערוך בט"ו והעולה שהוא ע' תחלק על ד' יצא י"ז וחצי
fraction of fraction by fraction of fraction If you multiply 3 quarters of 3 fifths by 5 sixths of 3 sevenths. $\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}\right)$	ואם תערוך ג' רביעיות של ג' חומשין בה' שתותין של ג' רביעיות
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}\right)&\scriptstyle=\frac{\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\sdot20}{20}\sdot\frac{\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}\sdot42}{42}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{3}{4}\sdot12}{20}\sdot\frac{15}{42}\\&\scriptstyle=\frac{9}{20}\sdot\frac{15}{42}\\&\scriptstyle=\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{140\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]}{140}\\&\scriptstyle=\frac{22+\frac{1}{2}}{140}\\&\scriptstyle=\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	דע מאיזה מספר הרובע והחומש והוא מעשרים וג' חומשיו הוא י"ב קח שלשה רביעיותיו והוא ט' שהם ב' חמישיות ורביעית חמישית ושמרם ואחר תקח החשבון השני ודע מאיזה מספר השתות והשביעית והוא מ"ב וכאשר תקח חמשה שתותין של שלשה שביעיות יעלה ט"ו שהם שתי שביעיות וחצי שביעית וכאשר תערוך הב' חמישיות ורביעית חמישית השמורים על שתי שביעיות וחצי שביעית, בקש לך חשבון שיהיה לו רביעית וחמישית ושביעית והוא ק"מ והוא המורה ועלה בידך ממערכת זה על זה כ"ב וחצי והם חלקים מהמורה והם שביעית ושמינית שביעית
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}\right)&\scriptstyle=\frac{\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\sdot20}{20}\sdot\frac{5\sdot3}{6\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{9}{20}\sdot\left[\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{9\sdot\left[\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]}{20}\\&\scriptstyle=\frac{3+\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}{20}\\&\scriptstyle=\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	ותדענו שתדע השלשה רביעיות של שלשה חומשין שהוא ט' כאשר אמרנו ואחר כך תקח חמשה שתותין של שלשה שביעיות שהם שני שביעיות וחצי שביעית ותקח מן התשעה כערכם שתי שביעיות וחצי שביעית יעלה שלשה ושביעית וחצי שביעית וכערך העולה קח מן העשרים אשר יצאו הרביע והחומש ממנו וכן החשבון מן האחד והוא שביעית ושמינית שביעית
If you multiply two parts of a five by a tenth by two parts of an eight by a third. $\scriptstyle\frac{2}{5}\times\frac{1}{10}\times\frac{2}{8}\times\frac{1}{3}$	ואם תערוך שני חלקים מחמשה בעשירית האחד בשני חלקים משמונה בשלישית האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\times\frac{1}{10}\right)\times\left(\frac{2}{8}\times\frac{1}{3}\right)=\frac{2\sdot2}{\left(5\sdot10\right)\sdot\left(8\sdot3\right)}=\frac{2\sdot2}{50\sdot24}=\frac{2\sdot2}{1200}=\frac{1}{300}}}$	דע שמות החלקים חלקי החשבון השני והם שמונה ושלשה, ערכם זה בזה יעלה כ"ד ותערוך נ' בכ"ד ויעלה אלף ומאתים וכערך שמות שני החשבונות שהם שנים שנים מן אלף ומאתים כן ערכם מן האחד והוא חלק אחד משלש מאות
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{5}\times\frac{1}{10}\right)\times\left(\frac{2}{8}\times\frac{1}{3}\right)&\scriptstyle=\frac{2}{5\sdot10}\sdot\frac{2}{8\sdot3}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot300}{300}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\sdot100}{300}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot25}{300}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{5}\sdot5}{300}\\&\scriptstyle=\frac{1}{300}\\\end{align}}}$	ותדענו שתקח מן הנ' שני חלקים מחמשה בעשירית והם שנים והוא חומש החומש על רביעית השליש הוא כמי שיאמר חומש החומש מרביעית השליש ועתה בקש חשבון שליש ורביע וחומש וחומש החומש והוא שלש מאות קח שלישיתו והוא ק' ומן הק' רביעיתו והוא כ"ה ומן כ"ה חמישיתו והוא ה' ומן ה' חמישיתו והוא אחד ונתברר שהוא חלק אחד משלש מאות
	ומן הדמיונות והדרכים האלה תוכל להבין בשברי השברים וכולם נכוחים למבין

Chapter Four: Division	השער הרביעי במחלוקת
	והוא נחלק לשלשה ענינים‫:
Integers by Integers	חלוקת שלמים על שלמים
sexagesimal fractions
degrees ÷ degrees	אם תרצה לחלק מעלות על מעלות לחשבון חכמי המזלות‫:
larger by smaller: degrees ÷ degrees = degrees	אם תחלק חשבון רב על מעט יהיה היוצא בחלוק מעלות
$\scriptstyle a>b\longrightarrow a\div b=n+\frac{r_1\sdot60}{60}$	ואם ישאר שלא יתחלק ערוך הנשאר על ששים יהיו ראשונים ויתחלק על מה שחלקת בראשונה והיוצא בחלוק הם ראשונים
$\scriptstyle a>b\longrightarrow a\div b=n+\frac{r_1\sdot60}{60}+\frac{r_2\sdot60}{60^2}$	ואם ישאר שלא יתחלק תערכם על ששים ותחלק על מה שחלקת והיוצא הם שנים וכן עד כמה שתרצה
smaller by larger: $\scriptstyle a<b\longrightarrow a\div b=\frac{\frac{a\sdot60}{b}}{60}$	ואם רצית לחלק חשבון מועט על רב תערוך המועט על ששים יהיו ראשונים ואחר כך תחלוק והיוצא בחלוק הם ראשונים
	ואם ישאר שלא יחלק ערכם על ששים ותחלק על מה שחלקת יהיה היוצא שניים וכן לשלישיים ולרביעיים עד אין קץ
simple fractions	ואם לחשבון חכמי המדות
larger by smaller	תרצה לחלק חשבון רב על מועט‫:
$\scriptstyle100\div15$	כגון שתרצה לחלק מאה על ט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{100\div15=\frac{\frac{1}{5}\sdot100}{\frac{1}{5}\sdot15}=\frac{20}{3}=6+\frac{2}{3}}}$	בקש חשבון שהיה מונה לשניהם והוא חמשה, קח חמישית מאה והוא כ' וחלק על חמישית ט"ו והוא ג', יצא בחלוק ששה ושני שלישיות וככה מק' על ט"ו
$\scriptstyle1000\div72$	ואם תחלק אלף על שנים ושבעים
$\scriptstyle{\color{blue}{1000\div72=\frac{\frac{1}{8}\sdot1000}{\frac{1}{8}\sdot72}=\frac{125}{9}=14-\frac{1}{9}}}$	החשבון שמונה לשניהם הוא שמונה ושמינית ע"ב תשעה ושמינית אלף קכ"ה, חלק המרובה על המועט, יצא בחלוק י"ד פחות תשיעית וככה מאלף על ע"ב
	ואם יהיו שני החשבונות שלא תמצא להם חשבון שמונה לשניהם‫:
$\scriptstyle40\div7$	כגון שתרצה לחלק מ' על ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{40\div7=5+\frac{5}{7}}}$	יצא בחלוק ה' וישארו לך ה' עשה מהם שביעיות יצא בחלוק ה' שלמים וה' שביעיות
smaller by larger	ואם מספר מועט תחלק על רב‫:
$\scriptstyle15\div100$	כמו ט"ו על ק‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{15\div100=\frac{\frac{1}{5}\sdot15}{\frac{1}{5}\sdot100}=\frac{3}{20}=\frac{1}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	זה הענין יצא מהערכים וכבר ידעת כי החמשה מונה לשניהם למספר ט"ו ג' פעם ולמספר ק' פעם וכערך ג' אל כ' שהוא עשור וחצי עשור כך ערך ט"ו אל מאה
	ואם לא תמצא מספר שיהיה מונה לשניהם‫:
$\scriptstyle7\div40$	כגון ז' על מ‫'
	קח חלק אחד מהמספר הרב ותערוך המועט אליו
	ובדמיון זה תקח עשור המ' והוא ד' או חמישיתו והוא ח' או שמיניתו והוא ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{7\div40=\frac{7}{\frac{1}{10}\sdot40}\sdot\frac{1}{10}=\frac{7}{4}\sdot\frac{1}{10}=\frac{2}{10}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	אם עשיריתו לקחת כאשר תערוך הז' אליו, תמצא בו שנים עשיריות פחות רביע העשור וכן יגיע לכל אחד מן המ' שני עשיריות אחד פחות רביע העשור
$\scriptstyle{\color{blue}{7\div40=\frac{7}{\frac{1}{5}\sdot40}\sdot\frac{1}{5}=\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	או חומש פחות שמינית החומש
$\scriptstyle{\color{blue}{7\div40=\frac{7}{\frac{1}{8}\sdot40}\sdot\frac{1}{8}=\frac{7}{5}\sdot\frac{1}{8}=\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	או שמינית וב' חמישיות שמינית וככה יצא בחלוק לכל אחד
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{2}{10}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\sdot40=7}}$	ובחינתו שכשתערוך שנים עשיריות אחד פחות רביע העשור על מ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot40=7}}$	או חומש אחד פחות שמינית החומש על מ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot40=7}}$	או שמינית וב' חמישיות שמינית על מ', יעלה ז' שלמים בלי חסר ויתר
Word Problems - Divide a Quantity Problems dividing a known quantity among a known number of people in given ratios double ratio - each one receives double the previous $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_n=m\\\scriptstyle a_n=2\sdot a_{n-1}\end{cases}$	ואם תרצה לחלק מספר ידוע על אנשים ידועים ולתת לכל אחד ואחד כפל חברו ותרצה לדעת כמה תתן לראשון שיתחלק כל המספר בלא תוספת ובלא מגרעת‫:
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_4=100\\\scriptstyle a_n=2\sdot a_{n-1}\end{cases}$	כמו שתחלק מספר ק' על ד' כל אחד ואחד כפל חבירו
$\scriptstyle a_1=\frac{m}{\sum_{i=1}^{n} 2^{i-1}}$	זה תדע מאחד כמה יתחבר בתוספת הכפל לארבעה אנשים ועל המחובר תחלק המספר והיוצא הוא חלק הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{100}{\sum_{i=1}^{4} 2^{i-1}}=\frac{100}{15}=6+\frac{2}{3}}}$	וכפל הכפל לארבעה אנשים ידוע הוא שהם ט"ו חלק עליהם הק' יצא בחלוק ששה וב' שלישיים וככה חלק הראשון
the second will have [one and] a half of what the first has, the third [will have one and] a third of what the the second has, and the fourth [will have one and] a quarter of what the third has $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_4=100\\\scriptstyle a_2=a_1+\frac{1}{2}a_1\\\scriptstyle a_3=a_2+\frac{1}{3}a_2\\\scriptstyle a_4=a_3+\frac{1}{4}a_3\end{cases}$	וכן אם יאמר להוסיף לשני חצי הראשון ולשלישי שלישית השני ולרביעית רביעית השלישי

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{100}{1+\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]+\left[\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]+\frac{1}{3}\sdot\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]\right]+\left[\left[\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]+\frac{1}{3}\sdot\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]\right]+\frac{1}{4}\sdot\left[\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]+\frac{1}{3}\sdot\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]\right]\right]}=\frac{100}{7}=14+\frac{2}{7}}}

	תדע זה מאחד כמה יתחבר עד ארבעה וידוע הוא שיתחבר ז' שלמים תחלק עליהם הק' יצא בחלוק י"ד ושתי שביעיות וככה חלק הראשון
	ועל זה הדרך לכל מספר בין רב למעט
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=100\\\scriptstyle a_2=\frac{a_1}{2}\\\scriptstyle a_3=\frac{a_2}{3}\\\scriptstyle a_4=\frac{a_3}{4}\\\scriptstyle a_5=\frac{a_4}{5}\end{cases}$	ואם תחלק ק' על ב' והיוצא בחלוק האחד תחלק על ג' והיוצא על ד' והיוצא על ה' ותרצה לדעת כמה חלק החמישי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\frac{\frac{\frac{\frac{100}{2}}{3}}{4}}{5}=\frac{100}{2\sdot3\sdot4\sdot5}=\frac{100}{120}=1-\frac{1}{6}}}$	ערוך השנים בשלשה והעולה בד' והעולה בה', יעלה ק"כ וכאשר תחלק הק' על העולה שהוא ק"כ יצא אחד פחות שתות וככה חלק החמישי
If you divide 90 between 9 people, so that each one will have one more than the previous. How much will be given to the first? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_9=90\\\scriptstyle d=1\end{cases}$	ואם תחלק צ' על ט' אנשים ושיוסיף כל אחד על חברו אחד כמה יתן לראשון ויצא שוה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{90-\sum_{i=1}^{9-1} i}{9}=\frac{90-\sum_{i=1}^{8} i}{9}=\frac{90-\left[\left(8+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]}{9}=\frac{90-36}{9}=\frac{54}{9}=6}}$	זה הכלל יהיה בידך שתגרע אחד מחשבון האנשים והנשאר שהם שמונה דע כמה יתחבר מאחד ועד שמונה והוא שתוסיף אחד על שמונה והמחובר תערוך על חצי השמונה יעלה ל"ו גרע אותם מהתשעים והנשאר שהוא ארבעה וחמשים חלקם על התשעה והיוצא שהוא שוה ששה הוא חלק הראשון
this is the general rule for arithmetic progression: [ $\scriptstyle{\color{red}{a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4=\ldots}}$ ] [ $\scriptstyle{\color{red}{a_n=a_1+\left(n-1\right)\sdot d}}$ ] [ $\scriptstyle{\color{red}{a_1=\frac{S_n-\sum_{i=1}^{n-1} i}{n}=\frac{S_n-\left[n\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n-1\right)\right]\right]}{n}}}$ ]	וזה הכלל ידריכך בכל השאלות הדומות לזו שיהיו כל התוספות שוות שיהיה תוספת השלישי על השני כתוספת רביעי על השלישי והחמישי על הרביעי וכן כלם
If you divide 80 between 5 people, so that the second will have 3 more than the first, the third [will have] 1 more than the second, the fourth [will have] 4 more than the third, and the fifth [will have] 2 more than the fourth. You wish to know how much will be given to the first $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_5=80\\\scriptstyle a_2=a_1+3\\\scriptstyle a_3=a_2+1\\\scriptstyle a_4=a_3+2\\\scriptstyle a_5=a_4+6\end{cases}$	ואם תחלק שמונים על חמשה אנשים ושיוסיף השני על הראשון ג' והשלישי על השני אחד והרביעי על השלישי שנים והחמישי על הרביעי ששה ותרצה לדעת כמה יתן לראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{80-\left[3+\left(3+1\right)+\left(3+1+2\right)+\left(3+1+2+6\right)\right]}{5}=\frac{80-25}{5}=\frac{55}{5}=11}}$	חבר כל התוספות שיש על הראשון יעלו כ"ה וגרעם מהשמונים והנשאר שהוא נ"ה חלק על האנשים יצא בחלוק י"א וככה חלק הראשון
If you divide a known number between three people. You wish to know how much will be given to each $\scriptstyle S_3=a_1+a_2+a_3$	ואם תחלק מספר ידוע לשלשה אישים ותרצה לדעת כמה נתן לכל אחד
$\scriptstyle a_1=\frac{S_3^2-\left[2a_1+\left[a_2\sdot\left(S_3-1\right)\right]+\left(a_3\sdot S_3\right)\right]}{S_3-2}$	ככה תעשה שתצוה לו לכפול חלק הראשון וחלק השני כלו יערוך על המספר פחות אחד וחלק השלישי על המספר כלו ויחבר הכל ואחר כן תשאל ממנו כמה יש להשלמת מרובע החשבון אשר חילק ומה שיהיה חלק על המספר ההוא אשר חילק פחות שנים והיוצא בחלוק הוא חלק הראשון ומה שישאר ולא יוכל לחלקו עד שיעשנו ש[...]ים הוא חלק השני ו[.]ה תדע השלישי
	וזה החשבון פעמים שישתבש שיצא הכל בחלוק וכאשר יקרך זה, תדע שלא נתן לראשון כי אם אחד בלבד והנשאר כלו תן לשני ומהם תדע השלישי
Fractions by Integers or Integers by Fractions	הענין השני חלוקת שברים על שלמים או שלמים על שברים
sexagesimal fractions	אם יהיו בידך שברי חכמי המזלות
sexagesimal fractions ÷ degrees = sexagesimal fractions	ותרצה לחלקם על מעלות יהיה היוצא בחלוק ממין השבר
minutes ÷ degrees = minutes	אם ראשונים ראשונים
seconds ÷ degrees = seconds	ואם [שניים] שניים
	וכן לכל השברים, מפני שכל שבר אשר אתה עורך אותו במעלה יהיה העולה ממין השבר ההוא
$\scriptstyle\frac{b}{60^n}\div a=\frac{\frac{b}{a}}{60^n}=\frac{k}{60^n}+\frac{\frac{m\sdot60}{a}}{60^{n+1}}$	ואם ישאר שלא יתחלק תערוך הנשאר על ששים ותחלק על מה שחלקת והיוצא יהיו שברים יורדים מדרגה אחת מן המין הראשון
degrees ÷ sexagesimal fractions = degrees $\scriptstyle a\div\frac{b}{60^n}=\frac{a\sdot60^n}{60^n}\div\frac{b}{60^n}=\frac{a\sdot60^n}{b}$	ואם תחלק מעלות על שברים אתה משיב המעלות אל המין אשר אתה רוצה לחלוק עליו ותחלק מין על מינו ויהיה היוצא בחלוק מעלות
	ואתה צריך לעולם להשיב המעלות אל המין אשר תרצה לחלק עליו
(10 degrees) ÷ (5 minutes)	וגם אם יהיו המעלות רבות כגון שתרצה לחלק עשרה מעלות על חמשה ראשונים
(10 degrees) ÷ (5 minutes) ≠ 10 ÷ 5 = 2 degrees	אי איפשר לומ' שתחלק עשרה על חמשה ויצא בחלוק ב' מעלות
degrees × minutes = minutes	כי כאשר תערוך מעלות על ראשונים יהיו ראשונים כאשר אמרנו בשער המגרעת
$\scriptstyle\frac{a}{b}=c\longrightarrow c\sdot b=a$	וכל חשבון כאשר תערוך מה שיצא בחלוק על הנחלק עליו יעלה החשבון המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{10\div\frac{5}{60}=\frac{10\sdot60}{5}=\frac{600}{5}=120}}$	ומפני זה אתה עורך העשרה על ששים יעלו ת"ר ותחלק על חמשה יצא בחלוק ק"כ והם מעלות
	כי המחלק עשרה מעלות על ה' ראשונים כך הוא רוצה לעשות שיחלק הי' מעלות שלא יהיה בצד האחד שהוא הרחב כי אם ה' ראשונים ותמצא שיהיה באורך ק"כ מעלות
	ואם ישאר שלא יתחלק תערוך הנשאר על ששים ותחלק מה שחלקת והיוצא יהיו שברים יורדים מדרגה מן המין הראשון
simple fractions	ואם שברי חכמי המדות תחלק‫:
integer by integer and fraction $\scriptstyle100\div\left(2+\frac{1}{4}\right)$	כגון מי שמחלק ק' על שנים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{100\div\left(2+\frac{1}{4}\right)=100\sdot\frac{1}{2+\frac{1}{4}}=100\sdot\frac{4}{9}=44+\frac{4}{9}}}$	דע מה ערך האחד מן השנים ורביע והוא ארבע תשיעיות וקח ארבעת תשיעיות הק' שהם מ"ד שלמים וד' תשיעיות וכן יגיע לכל אחד מהשנים ורביע
integer by fraction of integer and fraction $\scriptstyle20\div\left[\frac{2}{3}\sdot\left(7+\frac{1}{5}\right)\right]$	ואם תחלק עשרים על שני שלישי שבעה וחומש
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle20\div\left[\frac{2}{3}\sdot\left(7+\frac{1}{5}\right)\right]&\scriptstyle=20\div\left(4+\frac{4}{5}\right)\\&\scriptstyle=20\div\frac{24}{5}\\&\scriptstyle=20\sdot\frac{1}{\frac{24}{5}}\\&\scriptstyle=20\sdot\left[\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\\&\scriptstyle=4+\frac{1}{6}\\\end{align}}}$	דע כמה שני שלישי ז' וחומש והוא ארבעה וארבע חומשין שהם כ"ד חומשין ודע מה ערך האחד מהם והוא שתות ורובע השתות וקח מהעשרים שתותם ורובע שתותם והם ארבעה ושתות וככה חלק כל אחד
integer and fraction by fraction $\scriptstyle\left(2+\frac{6}{7}\right)\div\frac{3}{7}$	ואם תחלק ב' על ג' שביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{6}{7}\right)\div\frac{3}{7}=\left(2+\frac{6}{7}\right)\sdot\frac{1}{\frac{3}{7}}=\frac{20}{7}\sdot\left(2+\frac{1}{3}\right)=7-\frac{1}{3}}}$	דע בכמה ישלמו הג' שביעיות עד שי' שיהיו אחד והוא שנים פעמים ושליש פעם ערכם בעשרים שביעיות, יעלה ז' פחות שליש וככה חלק כל אחד
integer and fraction by fraction and fraction of fraction $\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\div\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]$	ואם תחלק עשרים על ז' שמיניות וחצי שמיניות
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\div\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{20}{8}\sdot\frac{1}{\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}\\&\scriptstyle=\frac{20}{8}\sdot\left[1+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{5}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=3-\frac{1}{3}\\\end{align}}}$	דע בכמה ישלמו הז' שמיניות וחצי שמיניות עד שיהיו אחד והוא אחד ושליש חומש תערכם על עשרים שמיניות יעלה כ"א שמיניות ושליש שהם שנים וה' שמיניות ושלש שמינית שהם ג' פחות שליש
Completion of Fractions	ודרך לדעת תשלומי השברים עד אשר יהיו אחד ככה תדענו‫:
$\scriptstyle a\sdot\frac{3}{8}=1$	כגון שתרצה לדעת איך ג' שמיני האחד ישלמו עד שיהיו אחד שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot\frac{3}{8}=1\longrightarrow a=\frac{8}{3}=3-\frac{1}{3}}}$	דע כי שם השמיניות הוא משמונה ומספר הפעמים אשר השלשה מונים את השמונה הם ג' פעמים פחות שליש וכמספר הזה אתה חושב את שלשת השמיניות ויהיו אחד
multiplicative inverse: $\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}$	כי כמנין הפעמים אשר מספר אחד מונה את המספר המוכיח כמוהם החלק מונה את האחד
$\scriptstyle a\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=1$	כגון שתרצה להשלים ב' חמישיות ועשירית החומש עד שיהיו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=1\longrightarrow a=\frac{50}{\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot50}=\frac{50}{21}=2+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{3}\right)}}$	בקש חשבון שיהיה לו חמישית ועשירית והוא נ' והוא המוכיח אשר נקרא בספר הזה המורה וב' חמישי המספר הזה ועשירית חמישיתו הוא כ"א והמספר הזה מונה את החמשים ב' פעמים ושליש פעם ושביעית השליש וכענין הזה יהיו תשלומי ב' חמישיות ועשירית החומש ויהיה אחד
	וגם במספר השלם אתה יכול לומר על זה הדרך‫:
$\scriptstyle a\sdot7=16$	כגון שתרצה להשלים את השבעה עד שיהיו י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot7=16\longrightarrow a=\frac{16}{7}=2+\frac{2}{7}}}$	אתה יודע כי השבעה מונה את י"ו שני פעמים ושני שביעי פעם ובהם ישלמו י"ו
	ועל זה הדרך תוכל למצא לכל חשבון
$\scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left(\frac{3}{5}\sdot9\right)\right]\div24$	ואם תחלק שלשה רביעיות של שלשה חומשי תשעה על כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(\frac{3}{5}\sdot9\right)\right]\div24=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{27}{5}\right)\div24=\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}{24}}}$	וידוע כי שלשה חומשי תשעה הם כ"ז חומשין ושלשה רביעיותיהם הם ד' שלמים וחצי עשירית אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}{24}=\frac{\frac{8\sdot\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]}{24}}{8}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	ולפיכך אמ' המחבר תקח וכו', תקח חלק אחד מכ"ד שמיניתו והוא ג', או שלישיתו והוא ח', או רביעיתו והוא ו‫' אם שמיניתו לקחת כאשר תערוך הד' וחצי עשירית אחד אליו תמצא בו פעם אחת שמינית ושליש שמינית וחצי עשירית שליש שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}{24}=\frac{\frac{3\sdot\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]}{24}}{3}=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	ואם שלישיתו לקחת תמצא בו חצי שלישיתו וחצי עשירית שמינית שלישית
	ואם רביעיתו לקחת תמצא בו שני שלישי שלישית וחצי עשירית ששית רביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}{24}=\frac{\frac{4\sdot\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]}{24}}{4}=\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	וככה יצא בחלוק לכל אחד מכ"ד
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{result\times24=4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	והבחינה כשתערוך איזה שתרצה מהחלקים שהזכרנו על כ"ד יעלה ד' וחצי עשירית אחד
Fractions by Fractions	הענין השלישי חלוקת שברים על שברים
sexagesimal fractions	אם שברי חכמי המזלות תחלק זה על זה
minutes ÷ minutes = degrees	אם ראשונים על ראשונים תחלק, יהיה היוצא בחלוק מעלות
seconds ÷ seconds = degrees	וכן אם שניים על שניים תחלק, היוצא מעלות
sexagesimal fraction by sexagesimal fraction of the same rank = degrees $\scriptstyle\frac{a}{60^n}\div\frac{b}{60^n}=\frac{a}{b}$	וכן שאר השברים, אם אתה מחלק אותם על מיניהם, יהיה היוצא מעלות וזה כלל אחד בחלוק השברים
larger rank by smaller rank	וכלל שני דע שאם אתה מחלק מין אחד מן השברים על מין אחר שהוא תחתיו
minutes ÷ seconds = degrees	כגון שתרצה לחלק ראשונים על שניים או על שלישיים‫:
$\scriptstyle\frac{a}{60}\div\frac{b}{60^2}=\frac{a\sdot60}{60^2}\div\frac{b}{60^2}=\frac{a\sdot60}{b}$	אתה עורך הראשונים על ששים ויהיו שניים ותחלק שניים על שניים
minutes ÷ thirds = degrees $\scriptstyle\frac{a}{60}\div\frac{b}{60^3}=\frac{a\sdot60\sdot60}{60^3}\div\frac{b}{60^3}=\frac{a\sdot60\sdot60}{b}$	ואם על שלישיים תחלק ערכם על ששים פעם אחרת ויהיו שלישיים ותחלק שלישיים על שלישיים ויהיה היוצא מעלות וכן כל הדומה לזה
smaller rank by larger rank	וכלל שלישי אם תחלק מין אחד מן השברים על מין אחר שהוא גדול ממנו יהיה היוצא בחלוק מן המין אשר תחתיו של המין אשר אתה מחלק עליו
thirds ÷ minutes = seconds $\scriptstyle\frac{a}{60^3}\div\frac{b}{60}=\frac{\frac{a}{b}}{60^2}$	כאלו חלקת שלישיים על ראשונים יהיה היוצא בחלוק שניים
seconds ÷ minutes = minutes $\scriptstyle\frac{a}{60^2}\div\frac{b}{60}=\frac{\frac{a}{b}}{60}$	או שניים על ראשונים יהיו ראשונים
Check: $\scriptstyle\frac{a}{b}=c\longrightarrow c\sdot b=a$	מפני שכשתערוך מה שיצא בחלוק על מה שחלקת עליו צריך שיצא הראשון הנחלק
	ואם ישאר שלא יתחלק, אתה עורך הנשארים בששים ותחלק על מה שחלקת ויהיה היוצא ממין שירד מדרגה אחת ממין המספר שיצא בחלוק בראשונה
$\scriptstyle\frac{50}{60}\div\frac{7}{60}$	כאלו תחלק חמשים ראשונים על שבעה ראשונים
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{50}{60}\div\frac{7}{60}&\scriptstyle=7+\frac{1}{7}\\&\scriptstyle=7+\frac{\frac{1\sdot60}{7}}{60}\\&\scriptstyle=7+\frac{8}{60}+\frac{\frac{4}{7}}{60}\\&\scriptstyle=7+\frac{8}{60}+\frac{\frac{4\sdot60}{7}}{60^2}\\&\scriptstyle=7+\frac{8}{60}+\frac{\frac{240}{7}}{60^2}\\&\scriptstyle=7+\frac{8}{60}+\frac{34}{60^2}+\frac{\frac{2}{7}}{60^2}\\\end{align}}}$	יצא בחלוק שבע מעלות וישאר שלא יתחלק אחד, ערכהו על ששים יהיו שניים, חלקם על שבעה אשר חלקת בראשונה יצא בחלוק שמונה ראשונים וישאר שלא יתחלק ד' שניים ערכם על ששים יעלו ר"מ שלישיים חלקם על ז' יעלה ל"ד שניים וישאר שני שלישיים ערכם בששים וחלקם על מה שחלקת ויעלו שלישיים
	וכן אתה יכול לחקרן לרביעיים ולחמישיים עד כמה שתרצה
division table of sexagesimal fractions	ולהקל על הקורא ציירתי לך לוח מראשונים עד ששיים

sixths	fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	^length/_width
fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	degrees	minutes
fourths	thirds	seconds	minutes	degrees	minutes	seconds
thirds	seconds	minutes	degrees	minutes	seconds	thirds
seconds	minutes	degrees	minutes	seconds	thirds	fourths
minutes	degrees	minutes	seconds	thirds	fourths	fifths
degrees	minutes	seconds	thirds	fourths	fifths	sixths

ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	_רוחב/^אורך
חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	ראשונים
רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	ראשונים	שניים
שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	ראשונים	שניים	שלישיים
שניים	ראשונים	מעלות	ראשונים	שניים	שלישיים	רביעיים
ראשונים	מעלות	ראשונים	שניים	שלישיים	רביעיים	חמשיים
מעלות	ראשונים	שניים	שלישיים	רביעיים	חמשיים	ששים

	ואם תרצה לחלק מעלות ושברים על מעלות ושברים השב שני החשבונים למדרגה אחת ואחר תחלק
$\scriptstyle\left(8+\frac{20}{60}\right)\div\left(3+\frac{15}{60}\right)$	כגון שתרצה לחלק שמנה מעלות ועשרים ראשונים על ג' מעלות וט"ו ראשונים
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(8+\frac{20}{60}\right)\div\left(3+\frac{15}{60}\right)&\scriptstyle=\frac{500}{60}\div\frac{195}{60}\\&\scriptstyle=2+\frac{110}{195}\\&\scriptstyle=2+\frac{\frac{110\sdot60}{195}}{60}\\&\scriptstyle=2+\frac{33}{60}+\frac{\frac{165}{195}}{60}\\&\scriptstyle=2+\frac{33}{60}+\frac{\frac{165\sdot60}{195}}{60^2}\\&\scriptstyle=2+\frac{33}{60}+\frac{50}{60^2}+\frac{\frac{150}{195}}{60^2}\\\end{align}}}$	נשיבם כלם ראשונים והנה החשבון האחד ת"ק והוא המחולק והשני קצ"ה, חלקנו הגדול על הקטן יצא בחלוק שנים והם מעלות ונשארו ק"י, ערוך אותם על ששים וחלק על קצ"ה יצא בחלוק ל"ג והם ראשונים וישאר ק'ס"ה, ערכם על ס' וחלק על ק'צ"ה ראשונים וישאר יצא בחלוק נ' והם שניים
	ואם תרצה לדקדק כן לשלישיים ולרביעיים תעשה על זה הדרך
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(8+\frac{20}{60}\right)\div\left(3+\frac{15}{60}\right)&\scriptstyle=\frac{500}{60}\div\frac{195}{60}\\&\scriptstyle=2+\frac{110}{195}\\&\scriptstyle=2+\frac{\left(97+\frac{1}{2}\right)+\left(12+\frac{1}{2}\right)}{195}\\&\scriptstyle=2+\frac{\frac{1}{4}\sdot390}{195}+\frac{\left(6+\frac{1}{2}\right)+6}{195}\\&\scriptstyle=2+\frac{\frac{1}{4}\sdot390}{195}+\frac{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot390}{195}+\frac{6}{195}\\&\scriptstyle=2+\frac{\frac{1}{4}\sdot390}{195}+\frac{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot390}{195}+\frac{\frac{6}{13}\sdot\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot390}{195}\\&\scriptstyle=2+\left(\frac{1}{4}\sdot2\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot2\right)+\left(\frac{6}{13}\sdot\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot2\right)\\&\scriptstyle\approx2+\frac{30}{60}+\frac{2}{60}+\left(\frac{1}{60}+\frac{50}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{33}{60}+\frac{50}{60^2}\\\end{align}}}$	או תדע מה ערך ק"י הנשארים אל ש"צ הנחלקים והנה רביעיתם צ"ז וחצי נשארו י"ב וחצי והו' וחצי הם שלישית חמישית הרביעית ונשארו ו' שהם ו' חלקים מי"ג בשני שלישי חמישית רביעית ובעבור הרביעית הוסף רביעית ב' מעלות שיצאו בחלוק והם ל' ראשונים ובעבור ו' חלקם מי"ג בשני שלישי חמישית רביעית, הוסף ראשון אחד לשניים והנה יצא בחלוק ל"ג ראשונים נ' שניים כמו החשבון הראשון
simple fractions
integer and fraction by integer and fraction $\scriptstyle\left(3+\frac{3}{4}\right)\div\left(1+\frac{1}{5}\right)$	ואם שברי חכמי המדות תחלק כגון שלשה ושלשה רביעיות על אחד וחומש‫:
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{4}\right)\div\left(1+\frac{1}{5}\right)=\left(3+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{1}{1+\frac{1}{5}}=\left(3+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{5}{6}=3+\frac{1}{8}}}$	דע מה ערך האחד מן אחד וחומש והוא חמשה שתותיו, קח ה' שתותין מג' וג' רביעיות אחד שהם שש שמיניות יעלה שלשה ושמינית וככה חלק האחד
integer and fraction by fraction $\scriptstyle\left(7+\frac{1}{5}\right)\div\frac{3}{4}$	ואם תחלק ז' וחומש על שלש רביעיות אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{1}{5}\right)\div\frac{3}{4}=\left(7+\frac{1}{5}\right)\sdot\frac{1}{\frac{3}{4}}=\left(7+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=9+\frac{3}{5}}}$	דע בכמה ישלמו הג' רביעיות לאחד, כלו' שתוסיף על ז' וחומש שלישיתם והוא אחד ושליש תערכם על ז' וחומש יעלה תשעה וג' חומשין ורביעיתם הוא חלק כל רביע ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{1}{5}\right)\div\frac{3}{4}=\frac{36}{5}\div\frac{3}{4}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{1}{4}}=\frac{2+\frac{2}{5}}{\frac{1}{4}}=9+\frac{3}{5}}}$	או תשיב הז' וחומש לחומשין יהיו בידך ל"ו חומשין חלקם על הג' רביעיות יצא בחלוק י"ב חומשין שהם שנים וב' חומשין לכל רביע ורביע שהוא לאחד שלם ט' וג' חומשין
fraction by fraction $\scriptstyle\frac{6}{7}\div\frac{8}{10}$	ואם תחלק ששה שביעיות על שמונה עשיריות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\div\frac{8}{10}=\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{\frac{8}{10}}=\frac{6}{7}\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)=\frac{6}{7}+\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]=1+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	דע בכמה ישלים אחד והוא אחד ורביע תערכם על ששה שביעיות יעלה א' שביעיות וחצי חלקם יצא אחד וחצי שביעית וככה חלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\div\frac{8}{10}=\frac{\frac{6}{8}}{7}\div\frac{1}{10}=\frac{1-\frac{1}{4}}{7}\div\frac{1}{10}=\left[\frac{1}{7}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\div\frac{1}{10}=\frac{7}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	או אם תרצה חלק ששה על שמונה יצא אחד פחות רובע לפיכך יצא עכשו שביעית אחד פחות רובע שביעית לחלק העשירית והם י' לאחד ז' שביעיות וחצי שביעית
fraction of integer and fraction by fraction of integer and fraction $\scriptstyle\left[\frac{6}{7}\sdot\left(5+\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\frac{3}{8}\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\right]$	ואם תחלק ששה שביעיות חמשה ורובע על שלשה שמיניות מאחד וחומש
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{6}{7}\sdot\left(5+\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\frac{3}{8}\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\right]&\scriptstyle=\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{21}{4}\right)\div\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{6}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{18}{4}\div\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\frac{1}{\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\frac{1}{9\sdot\frac{1}{9}\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]}\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\frac{1}{9\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(2+\frac{2}{9}\right)=10\\\end{align}}}$	השב החמשה ורובע כלם לרביעיות יעלו כ"א וששה שביעיותיו י"ח שהם ד' שלמים וחצי ועוד השב האחד וחומש לחמישיות והם ששה חמישיות ושלשה שמיניותיו ב' חומשין ורביע חומש ותדע בכמה יהיו אחד והוא בשנים ושני תשיעיותיו כי רביעית חומש הוא תשיעית ב' חומשין ורביע חומש, תערכם בארבעה וחצי, כלו' תקח שני פעמים ד' וחצי ותקח שני תשיעיותיהם, יעלה עשרה והם ה' חומשין נמצא מגיע שנים שלמים לכל חומש וחומש ומהם תדע חלק אחד שלם

Chapter Five: Ratios

השער החמישי בערך

sexagesimal fractions

דרך חכמי המזלות לחשוב כל חשבונם על ששים, מפני שיש לו רוב החלקים

$\scriptstyle\frac{30\sdot20}{60}$

רצינו לערוך שלשים על עשרים ולחלק על ששים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot20}{60}=\frac{30}{60}\sdot20=\frac{1}{2}\sdot20=10}}

דע מה ערך החשבון האחד שהוא שלשים על עשרים אל ששים אשר עליו נחלק והוא חציו וקח חצי חשבון האחר והנה עשרה וככה יצא בחלוק

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot20}{60}=\frac{20}{60}\sdot30=\frac{1}{3}\sdot30=10}}

או דע מה ערך עשרים אל ששים והוא שלישיתו תקח שלישית החשבון האחר והנה עשרה

$\scriptstyle\frac{50\sdot40}{60}$

ואם החשבון האחד נ' והשני מ' ונחלק העולה על ששים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50\sdot40}{60}=\frac{50}{60}\sdot40=\frac{5}{6}\sdot40=\left(\frac{5}{6}\sdot36\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot4\right)=30+\frac{20}{6}=30+\left(3+\frac{1}{3}\right)=33+\frac{1}{3}}}

קח ערך נ' אל ששים והוא חמש ששיות וכזה הערך מארבעים והנה מששה ושלשים וקח חמש ששיותיו והם שלשים ונשארו ארבעה, ערכם על חמשה עלו עשרים, תחלקם על ששה יצא שלשה שלמים ושליש שהם עשרים שברים והנה המספר ל"ג ושליש

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50\sdot40}{60}=\frac{40}{60}\sdot50=\frac{2}{3}\sdot50=\left(\frac{2}{3}\sdot48\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot2\right)=32+\frac{4}{6}=32+\left(1+\frac{1}{3}\right)=33+\frac{1}{3}}}

או קח ערך מ' אל ס' והוא שני שלישיותיו, קח שני שלישיות נ' והנה מן מ"ח שנים ושלשה ונשארו שנים נערכים על שנים שהם שתי שלישיות ועלו ארבעה, נחלקם על שלשה יצא אחד ושליש

$\scriptstyle\frac{14}{60}\sdot\frac{39}{60}$

ואם שני חשבונים שאין לאחד מהם ערך אל ששים כמו י"ד ול"ט

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{14}{60}\sdot\frac{39}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{14+1}{60}\sdot\frac{39}{60}\right)-\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{39}{60}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{4}\sdot\left(39+1\right)}{60}-\left(\frac{15}{60}\sdot\frac{1}{60}\right)-\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{39}{60}\right)\\&\scriptstyle=\frac{10}{60}-\frac{15}{60^2}-\frac{39}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{10}{60}-\frac{15+39}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{9}{60}+\left(\frac{1}{60}-\frac{54}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\frac{9}{60}+\frac{6}{60^2}\\\end{align}}}

ככה נעשה נוסיף על חשבון י"ד חלק אחד והנה ערכו רביעית וככה נוסיף על ל"ט אחד ויהיה רביעיתו עשרה ויש לנו לחסר שני חסרונים כי שנים הוספנו והנה בעבור האחד שהוספנו על ל"ט יש לנו לחסר חמשה עשר שניים ונערוך האחד שהוספנו על ל"ט ויעלו ל"ט שניים, נחברם עם ט"ו שהיו לנו, עלו נ"ד נחסרם מראשון אחד ועלה החשבון ט' ראשונים גם ו' שניים

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{14}{60}\sdot\frac{39}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{14}{60}\sdot\frac{39+1}{60}\right)-\left(\frac{14}{60}\sdot\frac{1}{60}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{14}{60}\sdot\frac{2}{3}\right)-\frac{14}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{15\sdot\frac{2}{3}}{60}-\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{2}{3}\right)-\frac{14}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{10}{60}-\frac{40}{60^2}-\frac{14}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{10}{60}-\frac{40+14}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{9}{60}+\frac{6}{60^2}\\\end{align}}}

או נוסיף על ל"ט אחד ודע מה ערכו אל ששים והנו שתי שלישיות והנה נקח שתי שלישיות ארבעה עשר והנו ט"כ כי מט"ו יהיו שתי שלישיות עשרה ויש לנו לחסר שתי שלישיות ראשון אחד שהם מ' שניים והנה המספר ט"כ ובעבור שהוספנו על ל"ט אחד נערכנו על י"ד ויעלו י"ד שניים, נחסרם מעשרים נשארו לך ו' שניים

$\scriptstyle\frac{35}{60}\sdot\frac{13}{60}$

ואם רצינו לערוך ל"ה על שלשה עשר ונחלק על ששים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35}{60}\sdot\frac{13}{60}=\frac{35}{60}\sdot\left(\frac{12}{60}+\frac{1}{60}\right)=\frac{35}{60}\sdot\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{60}\right)=\frac{\frac{1}{5}\sdot35}{60}+\frac{1\sdot35}{60^2}=\frac{7}{60}+\frac{35}{60^2}}}

בקשנו מה ערך שנים עשר שהוא הקרוב אל י"ג אל ששים והוא חמישיתו לקחנו חמישית ל"ה והנה שבעה ונשאר אחד ערכנוהו על ל"ה והנם שניים

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{35}{60}\sdot\frac{13}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{35+1}{60}\sdot\frac{13}{60}\right)-\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{13}{60}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{13}{60}\right)-\frac{13}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{13+2}{60}\right)-\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{2}{60}\right)-\frac{13}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(\frac{\frac{3}{5}\sdot15}{60}\right)-\left(\frac{1}{60}+\sdot\frac{12}{60^2}\right)-\frac{13}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{9}{60}-\left(\frac{1}{60}+\sdot\frac{12}{60^2}\right)-\frac{13}{60^2}\\\end{align}}}

והבחינה ידענו כי ל"ה שלש חמישיות בתוספת אחד לקחנו ג' חמישיות חמשה עשר שהוא המספר הקרוב אל י"ג והיו ט' והוספנו שנים כי י"ג היו לנו, ערכנום על ל"ה והוא חלק אחד ועשרה שניים והוספנו בתחלה אחד כי לקחנו ששה ושלשים והיו ט"ו, חסרנו הכל מתשעה ונשאר החשבון

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{35}{60}\sdot\frac{13}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{30}{60}\sdot\frac{13}{60}\right)+\left(\frac{5}{60}\sdot\frac{13}{60}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot13}{60}+\frac{5\sdot13}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{6+\frac{1}{2}}{60}+\left(\frac{1}{60}+\frac{5}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{6}{60}+\frac{30}{60^2}\right)+\left(\frac{1}{60}+\frac{5}{60^2}\right)\\\end{align}}}

או לקחנו חצי י"ג בעבור השלשים והנם ששה וחצי שהוא שלשים שניים וערכנו חמשה על י"ג עלה חלק אחד וחמשה שניים חברנום ועלה המספר

$\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}$

ואם שני חשבונים האחד מ"ו והשני כ"ה

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{45}{60}\sdot\frac{25}{60}\right)+\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{25}{60}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\frac{3}{4}\sdot25}{60}+\frac{1\sdot25}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{3}{4}\sdot24}{60}+\frac{\frac{3}{4}\sdot1}{60}+\frac{25}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{18}{60}+\frac{45}{60^2}+\frac{25}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{18}{60}+\left(\frac{1}{60}+\frac{10}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\frac{19}{60}+\frac{10}{60^2}\\\end{align}}}

והנה לא מצאנו ערך למ"ו עם ששים נחסר אחד מהחשבון ישאר מ"ה וערכו שלש רביעיות ונקח מכ"ה כ"ד ושלש רביעיותיו י"ח נשארו ג' רביעיות אחד שהם מ"ה שניים וערכנו האחד שיש תוספת על מ"ה על כ"ה ועלה כ"ה, הוספנום על מ"ה שניים שהיו לנו ועלה ראשון אחד ונשארו עשרה שניים והנה החשבון י"ט י‫'

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}&\scriptstyle=\frac{46}{60}\sdot\left[\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{46\sdot\frac{1}{3}}{60}\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{15}{60}+\frac{20}{60^2}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{15}{60}+\frac{20}{60^2}\right)+\left(\frac{3}{60}+\frac{50}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\frac{19}{60}+\frac{10}{60^2}\\\end{align}}}

או נקח מה ערך כ"ה אל ס' והיו שלישיתו ורביע שלישיתו, נקח ממ"ו שלישיתו שהוא ט"ו ועשרים שניים ורביעית ט"ו ועשרים שניים הם שלשה וגם נ' שברים, חברנום עם אשר למעלה עלה י"ט י‫'

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{46}{60}\sdot\frac{24}{60}\right)+\left(\frac{46}{60}\sdot\frac{1}{60}\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{45}{60}\sdot\frac{24}{60}\right)+\left(\frac{45}{60}\sdot\frac{1}{60}\right)\right]+\left[\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{24}{60}\right)+\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{1}{60}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\frac{2}{5}\sdot45}{60}+\frac{45\sdot1}{60^2}+\frac{1\sdot24}{60^2}+\frac{1\sdot1}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{18}{60}+\frac{45+24+1}{60^2}=\frac{19}{60}+\frac{10}{60^2}\\\end{align}}}

או נחסר אחד מכ"ה ונדע מה ערך כ"ד אל ששים והנו שתי חמישיות ושתי חמישיות מ"ה הם י"ח והאחד שנשאר להשלמת כ"ה נערכנו על מ"ה יהיו שניים, גם נערוך האחד שהוא תוספת על כ"ה ונחבר כל השניים ועלה המספר

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{46+2}{60}\sdot\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{2}{60}\sdot\frac{25}{60}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{48}{60}\sdot\frac{25}{60}\right)-\frac{2\sdot25}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{4}{5}\sdot25}{60}-\frac{50}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{20}{60}-\frac{50}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{19}{60}+\frac{10}{60^2}\\\end{align}}}

או נוסיף על מ"ו שנים ועלה מ"ח וערכו אל ששים ארבע חמישיות נקח ארבע חמישיות כ"ה והנם עשרים ואנחנו הוספנו שנים נערכם על כ"ה עלו נ' שניים נחסרם מעשרים ישאר י"ט

\scriptstyle\frac{60a+n}{60}=a+\frac{n}{60}

$\scriptstyle\frac{60b-m}{60}=b-\frac{m}{60}$

וככה תעשה לעולם שהסתכל איזה חשבון יש לו ערך אל ששים או ערך קרוב אליו בין להוסיף עליו בין לגרוע ומאותו החשבון תקח הערך ואם הוספת בראשונה גרע באחרונה ואם גרעת בראשונה תוסיף באחרונה

\scriptstyle\frac{a\sdot b}{60}=\frac{a}{60}\sdot b=\frac{b}{60}\sdot a

ואם היה אחד החשבונים גדול מהמחולק עליו או שניהם גדולים ממנו הסתכל מה ערך חשבון שיחלק עליו אל אחד החשבונים וכערכו קח מן החשבון האחד

$\scriptstyle\frac{80\sdot90}{60}$

כגון שמונים על תשעים מחולקים על ששים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{80\sdot90}{60}=\frac{80}{60}\sdot90=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot90=90+30=120}}

נסתכל מה ערך ששים אל שמונים והוא כמהו ושלישיתו ונוסיף על תשעים שלישיתו יעלו מאה ועשרים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90\sdot90}{60}=\frac{90}{60}\sdot80=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot80=80+40=120}}

או הסתכל מה ערך ס' אל צ' והוא כמוהו וחציו והנה נוסיף על פ' חציו יעלו ק"כ

$\scriptstyle\frac{80\sdot88}{60}$

ואם החשבון האחד פ' והשני פ"ח

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{80\sdot88}{60}=\frac{90\sdot80}{60}-\frac{2\sdot80}{60}=120-\frac{160}{60}=120-\left(2+\frac{40}{60}\right)=117+\frac{20}{60}\\\end{align}}}

נחשוב שהוא צ' מפני שיש לו ערך אל ס' ויצא החשבון ק"כ ובעבור שהוספנו שנים נערכם על שמונים שהוא החשבון האחד יעלו מאה וששים ראשונים והם שתי מעלות מ' ראשונים חסרם מק"כ ישאר קי"ז כ' וככה החשבון

simple fractions

five kinds of ratios, derived from the units:

וחכמי המדות אמרו שחמשה ערכים הם ונלקחים מן האחדים והם‫:

1) Multiple Ratio

\scriptstyle a:\left(n\sdot a\right)

האחד ערך הכפל

\scriptstyle{\color{blue}{1:2;\ 1:3}}

כמו שנים או שלשה עם אחד

2) Superparticular Ratio

\scriptstyle a:\left[\left(1+\frac{1}{m}\right)\sdot a\right]

והשני כמוהו וחלק ממנו

\scriptstyle{\color{blue}{2:3}}

כמו שנים עם שלשה וזה הערך לא ימצא קודם זה

3) Multiple Superparticular Ratio

\scriptstyle a:\left[\left(n+\frac{1}{m}\right)\sdot a\right]

והשלישי כפלו וחלק ממנו

\scriptstyle{\color{blue}{2:5}}

כמו חמשה עם שנים גם הוא

4) Superpartient Ratio

\scriptstyle a:\left[\left(1+\frac{r}{m}\right)\sdot a\right]

הערך הרביעי שהוא כמוהו וחלקים ממנו

\scriptstyle{\color{blue}{3:5}}

והיו כמו חמשה עם שלשה

5) Multiple Superpartient Ratio

\scriptstyle a:\left[\left(n+\frac{r}{m}\right)\sdot a\right]

והחמישי שהוא הכפל וחלקים ממנו

\scriptstyle{\color{blue}{3:8}}

לא ימצא עד שמונה עם שלשה

ואין ערכים אלא אלו

all kinds of ratios are divided into three categories of progressions:

וחכמת הערכין על שלש דרכים

1) arithmetic progression

\scriptstyle a_2-a_1=a_3-a_2

\scriptstyle a_n=a_1+\left(n-1\right)\sdot d

\scriptstyle{\color{blue}{4,6,8}}

האחת כמו ארבעה וששה ושמונה, שהתוספת היא שוה והוא דרך החשבון

2) geometric progression

\scriptstyle a_2:a_1=a_3:a_2

\scriptstyle a_n=a_1\sdot q^{n-1}

\scriptstyle{\color{blue}{9:6:4\longrightarrow q=1+\frac{1}{2}\longrightarrow6:4=\left[4\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]:4=\left[6\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]:6=9:6}}

והשנית כמו ד' ו' ט' שערך ו' אל ד' כמהו וחציו וככה ערך ט' אל ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{4:6:9\longrightarrow q=\frac{2}{3}\longrightarrow4:6=\left(6\sdot\frac{2}{3}\right):6=\left(9\sdot\frac{2}{3}\right):9=6:9}}

או תוכל לומ' כי ערך ד' אל ו' שתי שלישיותיו וככה ו' עם ט‫'

Rule of Three: $\scriptstyle\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2$

ולעולם אם ערכנו קטן על גדול יהיה כמרובע התיכון

Rule of Four: $\scriptstyle\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_4}{a_3}$

וככה אם לקחנו ארבעה ומספרים שיהיה ערך הרביעי אל השלישי כערך השני אל הראשון

\scriptstyle\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_4}{a_3}\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3

אם ערכנו הראשון על הרביעי יהיה המחובר כמחובר העולה מערך השני על השלישי

3) harmonic progression

\scriptstyle\frac{a_2-a_1}{a_3-a_2}=\frac{a_1}{a_3}

\scriptstyle{\color{blue}{3:4:6\longrightarrow\frac{4-3}{6-4}=\frac{1}{2}=\frac{3}{2\sdot3}=\frac{3}{6}}}

והשלישית כמו ג' ד"ו, שהתוספת שיש בין ג' וד' הוא אחד ובין ד' וו' שנים שערך התוספת היא כפל בערך הקטן אל הגדול

$\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_2}{a_1-\left(a_2-a_1\right)}$

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot4}{3-\left(4-3\right)}=\frac{12}{2}=6}}

ואם ידענו השנים מהם נוכל להוציא השלישי: נערך ג' על ד' עלו שנים עשר ונחסר מן הקטן התוספת שיש בינו ובין השני ועל הנשאר נחלק י"ב יצא ששה

$\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_3+\left(a_3-a_2\right)}$

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot6}{6+\left(6-4\right)}=\frac{24}{8}=3}}

וכן אם ידענו שהשני והשלישי ד'ו' ורצינו להוציא הקטן נערך ד' על ו' עלו כ"ד ונוסיף על הגדול התוספת שיש לו על השני ועלו שמונה ועליו נחלק כ"ד יעלה שלשה

$\scriptstyle a_2=\frac{a_1\sdot a_3}{a_1+a_3}\sdot2$

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot6}{3+6}\sdot2=\frac{18}{9}\sdot2=2\sdot2=4}}

ואם ידענו שהקטן והגדול ג'ו' ונרצה לדעת האמצעי נערוך ג' על ו' יעלו י"ח ונחבר הקטן עם הגדול יהיו תשעה ונחלק עליו שמונה עשר יצא שנים ונכפול העולה לעולם וככה האמצעי

או נוסיף על הקטן רביעית הגדול ונחלק עליו והיוצא לאחד מהשלמים הוא האמצעי

instructions for creating a table of arithmetic progressions based on the set of the natural numbers

the first line consists of the natural numbers

\scriptstyle1,2,3,\ldots,n

ואם תרצה להוציא חשבון הכפול מן האחדים תכתוב החשבון מא' ועד כמה שתרצה על סדר החשבון

the second line consists of the even numbers

\scriptstyle2,4,6,\ldots,2n

ואחר כך תכתוב תחתיו ותתחיל בב' ואחריו ד' שתוסיף לעולם בב' וזו השטה תהיה כפל מן הראשונה על הסדר כגון שני שטין שבמכבר הראשונה והשניה

the third line consists of the products of three

\scriptstyle3,6,9,\ldots,3n

this line can be derived from the second row through a ratio of the same and a part:

\scriptstyle3n=2n+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot2n

ואם תרצה להוציא חשבון הכפל מן האחדים תכתוב החשבון כמוהו וחלק ממנו שהוא חצי היוצא משנים עם שלשה תכתוב הזוגות על הסדר ותתחיל משנים שהם ראש הזוגות ואחר כן תערך האחדים על הסדר על שלשה שתוסיף לעולם שלשה כמו הטור השלישי שבמכבר והוא יהיה כמוהו וחציו אל הטור השני

the fifth line consists of the products of five

\scriptstyle5,10,15,\ldots,5n

this line can be derived from the second row through a ratio of double and a part:

\scriptstyle5n=\left(2\sdot2n\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot2n

ואם תרצה להוציא כפלו וחלק ממנו שהוא חצי היוצא מחמשה אל שנים תכתוב ב' בתחלה והוסף בב' אחריה כמו הטור השני שבמכבר ואחר כן תערוך האחדים על ה' כמו הטור החמישי שבמכבר והוא יהיה כפלו וחלק ממנו אל הטור השני

it can be derived also from the third row through a ratio of the same and parts:

\scriptstyle5n=3n+\left(\frac{2}{3}\sdot3n\right)=\left(1+\frac{2}{3}\right)\sdot3n

ואם תרצה להוציא כמוהו וחלקים ממנו שהם שתי שלישיות היוצא מחמשה אל שלשה הוא כמו הטור החמישי שבמכבר אל הטור השלישי

the eighth line consists of the products of eight

\scriptstyle8,16,24,\ldots,8n

this line can be derived from the third row through a ratio of double and parts:

\scriptstyle8n=\left(2\sdot3n\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot3n\right)=\left(2+\frac{2}{3}\right)\sdot3n

ואם תרצה להוציא כפלו וחלקים ממנו שהוא שתי שלישיות היוצא משמונה אל שלשה כמו הטור השמיני אל הטור השלישי שבמכבר הוא

divisible number and its divisor

וכל מספר שיש לו חלק, החלק מונה אותו כמנינו או כמנין חלק אחד

square number - definition

והמספר אשר חלקו מונה אותו כמספרו נקרא מספר מרובע, מפני שצלעו האחד שוה לצלעו השני

\scriptstyle a=n^2

וכשאתה מונה את צלעו כמנינה תקבץ המספר הרבוע

\scriptstyle{\color{blue}{4;\ 9;\ 16}}

כמספר ד' וט' וי"ו וכדומה להם

plane number - definition

\scriptstyle a=n\sdot m

ואשר חלקו מונה אותו כמנין אחד מחלקיו נקרא מספר שטוח ויש לו שתי צלעות

\scriptstyle{\color{blue}{15=3\sdot5}}

כמספר ט"ו אשר צלעו האחת ג' והשנית ה' וכשאתה מונה צלעו כמנין הצלע השנית תקבץ מספרו השטוח שהוא ט"ו

prime number - definition

\scriptstyle p=1\sdot p

וכל מספר שאתה מונה אותו באחד לבדו נקרא מספר ארוך, מפני שאין לו צלע שני כי אם האחד שאינו מספר

the square numbers are created in sequence by the series of the odd numbers

\scriptstyle{\color{blue}{1=1^2}}

וכל המספרים המרובעים נמצאים על סדרם מקבוץ האחד אשר הוא המרובע הראשון עם המספרים הנפרדים על סדרם

\scriptstyle{\color{blue}{1+3=1^2+3=4=2^2}}

וענין זה אם אתה מקבץ האחד שהוא המרובע הראשון אל השלש שהוא תחלת הנפרדים, אתה מוצא הרבוע השני והוא ד' אשר צלעו ב'

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5=2^2+5=9=3^2}}

ואם אתה מוסיף על מרובע השני המספר הנפרד השני והוא ה' יהיה הכל ט' והוא המרובע השלישי אשר צלעו ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7=3^2+7=16=4^2}}

וכן אם אתה מוסיף על המרובע השלישי הנפרד השלישי והוא ז' יצא המרובע הרביעי והוא י"ו

\scriptstyle1+3+5+7+\ldots+\left(2n+1\right)=n^2+\left(2n+1\right)=\left(n+1\right)^2

וכן על הסדר הזה אתה מוסיף על המרובע המספר הנפרד אשר במעלתו יצא המרובע התלוי אליו עד אין סוף

the five kinds of ratios depend on the equivalence ratio, created from it, and return to it, as the square numbers are created from the odd numbers

וכן אתה מוצא חמשה ערכי המספר אשר הם נחלפים תלויים בערך הישר וחוזרים אליו כשאתה מתיר את קשרם כאשר המספרים הנפרדים קושרים את המרובע במספר

sample table of ratios

והנה אני מצייר לך צורה תראה בה שש הערכים אשר הם הנחלפים עם הישר סדורים בשלשה מספרים בכל ערך וערך

1	1	1	Equivalence Ratio	1
4	2	1	Multiple Ratio	2
9	6	4	Superparticular Ratio	3
21	10	4	Multiple Superparticular Ratio	4
25	15	9	Superpartient Ratio	5
64	24	9	Multiple Superpartient Ratio	6

א	א	א	ערך ישר	א
ד	ב	א	ערך כפל	ב
ט	ו	ד	ערך חלק	ג
כא	י	ד	כפל וחלק	ד
כה	טו	ט	חלקים	ה
סד	כד	ט	כפל וחלקים	ו

ואם אתה רוצה להתיר הערך הנחלף אל ישר אתה פוחת ראש מספרו מן השני וישאר בידך שלשה שהם שוים או מוערכים על שרש אחד שהוא קרוב אל השוה

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4,6,9\right)\longrightarrow\left(1,2,4\right)}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1,2,4\right)\longrightarrow\left(1,1,1\right)}}$
$\scriptstyle x_1=a_3-\left[a_2+\left(a_2-a_1\right)\right]{\color{blue}{=9-\left[6+\left(6-4\right)\right]=1}}$	$\scriptstyle x_1=a_1{\color{blue}{=1}}$
$\scriptstyle x_2=a_2-a_1{\color{blue}{=6-4=2}}$	$\scriptstyle x_2=a_2-a_1{\color{blue}{=2-1=1}}$
$\scriptstyle x_3=a_1{\color{blue}{=4}}$	$\scriptstyle x_3=a_3-\left[a_2+\left(a_2-a_1\right)\right]{\color{blue}{=4-\left[2+\left(2-1\right)\right]=1}}$

כגון ערך החלק אשר היא המעלה השלישית בצורה הזאת ומספרנו ד' ו' ט‫'

אם אתה פוחת ד' מן ו' ישארו בידך ב‫'
ואם אתה פוחת מן ב' א‫'
ואחר כך תפחות מד' שהוא המספר הגדול א' וב' ישאר לך אחד ג' פעמים והוא הערך הישר

והנה כל הערכים כאשר אתה מתיר את קשרם ואת חלופם חוזרים אל ערך הישר

analogy between the returning of the five ratios to the equivalence ration and the gradual stage of refraining from desire:

overcoming one make the next stage easier, until the level of righteousness is reached

ואמרו מכאן החכמים רמז על האדם אם ישמור נפשו במעלות הפרושים ויכבוש את עצמו מתאות העולם פעם אחת יקל עליו באחרת עד שיגיע לגדר היושר היוצא מדמות האחד אשר דמות העליון כנגדו והוא שוכן לבדו והוא הכל ומאתו הכל ראשית הכל ואחרית הכל ויודע הכל בפרט וכל ואליו תשוב רוח הכל על כן סוד התהלות וטעם התפלות יהי שם יי' מבורך לעולם ועד

Chapter Six: Deducing One from Another	השער הששי הוצאת זה מזה
in Astrology
	ידוע בחכמת המזלות לשבעת המשרתים שהם כוכבי לכת
	ומהלך השוה בכל יום בדרך קרובה לשבתי ב' ראשונים ולצדק ה' ראשונים ולמאדים ל"ב ראשונים ולחמה ונוגה כ"ט ראשונים ולכוכב חמה ג' מעלות י"א ראשונים וללבנה י"ג מעלות י"א ראשונים
Calculating the time in which a quicker planet will catch up with a slower planet, according to the specific dates when each of them enters the sign of Aries	ואם ידעת יום ידוע שנכנס אחד מן המשרתים שמהלכם במתון בראש טלה ולאחר ט"ו יום נכנס אחד מן הקלים שמהלכם במרוצה בראש ו' טלה ותרצה להוציא מתוך חשבון מהלכם בכמה ימים וכמה שעות ישיגנו ויתחבר עמו
	הערך המעלות או החלקים כפי מה שיהיו בימים שהלך וחלק על היתרון שיש בין שתי ההליכות ומה שיצא הם ימים ומה שישאר הם חלקים מהיתרון חלק חלקי היתרון על י"ב ומה שיצא חלק חלקי היתרון עליו והם שעות וחלקי שעה
	ובחינתו להעריך מהלך הראשון על הימים שעברו מחוברים עם הימים שירדף אחריו השני והערך חלקי היתרון על חשבון המעלות או החלקים שילך וחלק על היתרון והם מעלות או חלקים וישארו חלקים מחלקי היתרון
	וכן תעשה במהלך השני שתערוך חלקי היתרון על מהלכו וחלקם על היתרון תמצאם שנים
Calculating the time of conjunction of two planets moving towards each other	ואם ילך האחד והשני יבא כנגדו כגון שיהיה נזור ותרצה להוציא מתי יתחברו
	חבר מהלך שניהם והוא היום וחלק הדרך עליו
	ועל זה הדרך תוכל לחשב לרצים ולשלוחים אשר תדע מהלכם בלא תוספת ובלא מגרעת
Calculating the number of planetary conjunctions	וגם ידוע הוא שיש למשרתים מחברות, פעמים שיתחברו כלם במזל אחד ופעמים ששה מהם, או ה', או ד', או ג', או ב' מהם במזל אחד ותרצה להוציא כמה הם כל המחברות שלא ידמה זה לזה
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n k=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]$	וככה תוכל לדעתם: דע כי כל חשבון שיחובר מאחד עד איזה מספר שתרצה תוכל להוציאו מערכו אל חצי ואל חצי אחד
double conjunctions = conjunctions of two planets	ונחל לספור כמה יהיו המחברות השניות והטעם שיתחברו שני כוכבים לבדם‫:
Saturn: $\scriptstyle6\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\frac{1}{2}\right]=21$	והנה יש לשבתי עם המשרתים מחברות ששה ונערוך ששה על חציו וחצי אחד יעלה כ"א וככה מספר המחברות השניות
triple conjunctions = conjunctions of three planets	רצינו להוציא השלישיות
Saturn: $\scriptstyle5\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]=5\sdot3=15$	ושמנו צדק עם שבתי ועמהם אחד מהאחרים החמשה ויעלה מספרם חמשה ערכנום על שלשה שהוא חצי המספר וחצי אחד יעלה ט"ו וזאת מחברת שבתי
Jupiter: $\scriptstyle4\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]=4\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=10$	וראוי להיות מחברות צדק ארבעה ערכנוהו על שנים וחצי עלה עשרה
Mars: $\scriptstyle3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]=3\sdot2=6$	ומחברות מאדים שלשה ערכנוהו על שנים עלה ששה
Mercury: $\scriptstyle2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]=2\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=3$	ומחברות חמה שנים ערכנום על אחד וחצי עלה שלשה
Venus: 1	ומחברות נגה אחת
total number of triple conjunctions: $\scriptstyle15+10+6+3+1=35$	והנה מספר מחברות השלישיות חמשה ושלשים
quadruple conjunctions = conjunctions of four planets $\scriptstyle4\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]=4\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=10$	רצינו להוציא הרביעיות ונחל משבתי וצדק ומאדים עמו ובעבור שצריך לשלשה שיתחברו עמו תחלת המחברת ארבעה, ערכנו על שנים וחצי עלו עשרה
$\scriptstyle3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]=3\sdot2=6$	ואחר כן יהיה מחברת שבתי וצדק עם האחרים ויהיו בתחלה שלשה, ערכנום על שנים עלה ששה
$\scriptstyle2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]=2\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=3$	ואחר כן יחל שבתי עם מאדים ויהיו שנים ערכנום על אחד וחצי עלה שלשה
1	ואחרי כן מחברת אחת
total number of conjunctions of Saturn: $\scriptstyle10+6+3+1=20$	ועלה מספר מחברות שבתי עשרים
$\scriptstyle3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]=3\sdot2=6$	והנה יחל צדק משלשה ערכנום על שנים עלה ששה
$\scriptstyle2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]=2\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=3$	ואחר כן שנים ערכנום על אחד וחצי עלה שלשה
1	ואחר כן מחברת אחת
total number of conjunctions of Jupiter: $\scriptstyle6+3+1=10$	והנה מחברת צדק עשר
$\scriptstyle2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]=2\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=3$	ויחל מאדים משנים, ערכנום על אחד וחצי עלה שלשה
1	ואחר כן מחברת אחת
total number of conjunctions of Mars: $\scriptstyle3+1=4$	הנה ארבע מחברות למאדים
	ומחברת חמה עם השפלים אחת
total number of conjunctions of four planets: $\scriptstyle20+10+4+1=35$	והנה מספר הרביעיות חמשה ושלשים
quintuple conjunctions = conjunctions of five planets $\scriptstyle15+5+1=21$	רצינו להוציא החמישיות ומצאנו לשבתי ט"ו ולצדק ה' ולמאדים אחת והנה מספר החמישיות כ"א
sextuple conjunctions = conjunctions of six planets $\scriptstyle6+1=7$	והמחברות הששיות יש לשבתי שש ואחת לצדק והנם שבע
conjunctions of seven planets: 1	ומחברות השבעה אחת
total number of planetary conjunctions: $\scriptstyle21+35+35+21+7+1=120$	ועלה מספר כלם מאה ועשרים מחברות
	ובעינינים רבים יצטרכו חכמי המזלות להוציא הנסתר מהידוע
Calculating arcs, chords, and sagittae	כמו בחשבון הקשתות והיתרים והחצים להוציא זה מזה ועם גזור האל אפרשנו במקומו בזה הספר
Calculating the tangent, cotangent, and height	וכאשר בחשבון צללי השמש להוציא הישר מן ההפוך וההפוך מן הישר ומן כל אחד ואחד הגובה ומן הגובה כל אחד ואחד מהם, אך אין זה מקומו להאריך בו
reference to Abraham Ibn Ezra's Sefer Keli ha-Neḥošet and Sefer ha-Luḥot le-Šivʿah ha-Mešaretim	והנה מפורש בספר כלי הנחשת ובספר הלוחות לשבעה המשרתים

in Mathematics
the mathematicians deduce the unknown from the known using the arithmetic operations - addition, subtraction, multiplication, division, ratio, and roots	ולענין חכמי המדות, אתה מוציא הנסתר מן הגלוי כאשר ראית בשערים שעברו במחברת ובמגרעת ובמערכת ובמחלוקת ובערך זה אל זה וגם בענין השרשים נמצאנו ועם גוזר האל במקומו אפרשנו
	וגם בחשבוני מקח וממכר ובעסקי בני אדם אתה מוצא להוציא הנסתר מהידוע
all human affairs associated with commerce, employment of workers, and exchange are based on the "Rule of Four"	כי כל עסקי בני אדם בחשבוני מקחם וממכרם ושכירות כל מעשיהם ושעור חלופיהם הם עומדים בין ארבעה מספרים בשני סדרי הערך
the Rule of Four is built on four numbers that are in the two orders of the equivalence ratio	כי כל ארבעה מספרים בשני סדרי ערך שוה
$\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4$	והוא שיהיה חלק האחד מן השני כחלק השלישי מן הרביעי
$\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longleftrightarrow a_1\times a_4=a_2\times a_3$	אם אתה עורך הראשון ברביעי יהיה מספרו כמספר השני בשלישי
$\scriptstyle{\color{blue}{4:15=12:45}}$	והמשל כגון שני מספר ד' ט"ו עם שני מספרי י"ב מ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{4:15=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)=12:45}}$	והראשון שהוא ד' הוא חלק מן מספר ט"ו אשר הוא השני כמו י"ב שהוא המספר השלישי מן מספר מ"ה והוא הרביעי והוא חמישיתו ושליש חמישיתו
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot45=15\sdot12}}$	ואם אתה עורך ד' והוא הראשון במספר מ"ה והוא הרביעי יהיה מספרו כמספר ט"ו השני במספר י"ב השלישי
$\scriptstyle{\color{blue}{4:12=15:45}}$	ועוד אם תקח ערך ד' אל י"ב השלישי יהיה כערך ט"ו אל מ"ה הרביעי
	ואתה מוצא מספר ד' והוא הראשון נערך אל שני המספרים אל השני ואל השלישי ואינו נערך אל הרביעי
$\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1:a_4\neq a_2:a_3$	וכן השני נערך אל הראשון ואל הרביעי ואינו נערך אל השלישי
proportional numbers = “companions”	והמספרים הנערכים זה אל זה נקראים חברים
nonproportional numbers = “strangers”	ושאינם נערכים נקראים נכריים
$\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longleftrightarrow a_1\times a_4=a_2\times a_3$	ומכאן אתה למד שכל ד' מספרים שהם שוים בערך, אם אתה עורך האחד מסדרי הערך עם הנכרי לו מסדר השני, יהיה שוה לחשבון חברו בהקשה באשר הוא נכרי לו מן הערך השני
Word Problems
Trade
Trade is based on the "Rule of Four"
all human affairs are based on the two orders of the equivalence ratio:	וכל עסקי בני אדם עומדים בשני סדרי הערך הזה‫:
the first order: [the amount of goods offered in] business and trade = a₁ the corresponding price = a₂	כי העסק והמסחר הוא האחד ושני לו השער המסור לו
the second order: the taken or sold [amount of goods] = a₃ the money [paid for the amount of goods which was actually sold] = a₄	והסדר השני הוא הנלקח או הנמכר ושני לו הדמים
The [amount of goods offered in] business is proportional to the price as the sold [amount of goods] is proportional to the money [paid]	והעסק נערך אל השער כאשר הנמכר נערך אל הדמים
The ratio of the [amount of goods offered in] business to the sold merchandise is equal to the ratio of the price to the money [paid] $\scriptstyle\frac{\left[amount\ of\ goods\ offered\ in\right]\ business}{price}=\frac{sold\ \left[amount\ of\ goods\right]}{money\ \left[paid\right]}$ $\scriptstyle\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_3}{a_4}$	ועוד ערך העסק אל המכר כערך השער אל הדמים ואלו הם החברים
the [amount of goods offered in] business stranger to the money [paid] the sold merchandise stranger to the price	ותמצא לעולם העסק נכרי לדמים והמכר נכרי לשער
in all human affairs three of these values are known and the fourth is unknown but can be deduced from the three that are known:	ובכל עסקי בני אדם שלשה מאלה הארבעה ידועים והרביעי נסתר ונוציאנו מכח השלשה הידועים
multiplying one of the three by its stranger and dividing the result by the companion $\scriptstyle a_1=\frac{a_3\sdot a_2}{a_4}\quad a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}\quad a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}\quad a_4=\frac{a_3\sdot a_2}{a_1}$	שאם אתה עורך אחד מהשלשה הידועים בנכרי לו מהם ותדע המספר הנכלל בחשבון ותחלק אותו על השלישי הידוע אתה מוצא הרביעי הנסתר
Examples
10 kors of wheat for 6 dinar. How many kors could I take for 4 dinar? $\scriptstyle 10\div6=x\div4$	כגון האומר עשרה כורי החטה בו' דינ' כמה כורים אוכל לקחת בארבעה דינ‫'
the [amount of goods offered in the] business = 10 kors	והמסחר הוא הי' כורים והוא הנקרא עסק
the corresponding price = 6 dinar	והשער המסור לו הוא ו' דינ‫'
	ואלה שניהם עומדים בערך אחד
the money [paid] = 4 dinar	והערך השני הוא הד' דינ' והוא הדמים
the sold merchandise = unknown	ואתה רוצה להוציא המכר הנסתר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot4}{6}=\frac{40}{6}=6+\frac{2}{3}}}$	ובזה הענין שני הנכרים אשר בשלשה הידועים הם הדמים והעסק והם י' וד' ולפיכך תערוך י' בד' ויהיו מ' חלקם על השער הידוע שהוא ו' ויהיה ששה ושני שלישי אחד והוא מספר המכר שהיה נסתר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{6}\sdot10=\frac{2}{3}\sdot10=6+\frac{2}{3}}}$	או דע מה ערך ד' שהם הדמים מן ו' שהם השער והם החברים ויהיה ב' שלישיותיו, קח שני שלישיותיו העשרה שהוא העסק וככה הוא המכר שהיה נסתר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{6}\sdot4=6+\frac{2}{3}}}$	או חלק העשרה על הו' והיוצא תערוך על ד' והעולה הוא המכר אשר היה נסתר
in the above example a₃ = the sold merchandise = unknown	ובכאן היה המספר השלישי נסתר והוא המכר
in the following example a₄ = the money [paid] = unknown:	ואם היה המספר הרביעי נסתר
10 kors for 6 dinar. What is the price of 4 kors? $\scriptstyle10\div6=4\div x$	כגון האומר י' כורים בו' דינ' כמה הוא דמי ד' כורים
the money [paid] = unknown	ובכאן הם הדמים נסתרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6\sdot4}{10}=\frac{24}{10}=2+\frac{2}{5}}}$	ותדענו שתערוך השער שהוא ו' במכר שהוא ד' יעלה כ"ד חלקם על המסחר והוא הנקרא עסק והם הי' כורים יצא ב' דינ' וב' חומשי דינ' והוא הדמים שהיו נסתרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{10}\sdot6=\frac{2}{5}\sdot6=2+\frac{2}{5}}}$	גם תדענו שתדרוש מה ערך הד' שהם המכר מן הי' שהם העסק והם החברים והוא שני חמישיותיו קח שני חמישיות ו' והוא הדמים הנסתרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6}{10}\sdot4=\frac{3}{5}\sdot4=2+\frac{2}{5}}}$	או חלק הו' דינ' על הי' והיוצא שהם שלשה חומשין ערכם על הד' והעולה הם הדמים הנסתרים
if a₂ = the price = unknown:	ואם היה השער נסתר
I bought 3 kors for 4 dinar. For how much would I buy 10 kors? $\scriptstyle10\div x=3\div4$	כגון האומר קניתי ג' כורים בד' דינ' בכמה הייתי קונה עשרה כורים
the sold merchandise = 3 kors the money [paid] = 4 dinar	ובכאן המכר ודמיו ידועים והם ג' כורים וד' דינ‫'
the [amount of goods offered in the] business = 10 kors the corresponding price = unknown	וכן המסחר שנקרא העסק ידוע והם הי' כורים ונסתר ממך שער הי' כורים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot4}{3}=\frac{40}{3}=13+\frac{1}{3}}}$	ותדענו שתערוך המסחר שהם י' כורים בד' שהם דמי המכר ועלה מ' חלקם על ג' והם המכר ושא השער הנסתר והוא י"ג דינ' ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{3}\sdot4=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot4=13+\frac{1}{3}}}$	גם תדענו ראה מה ערך הי' מן הג' והוא כפלו ג' פעם ושליש ערכם על הד' כלו' כפול ד' ג' פעמים ושליש יעלה י"ג ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{3}\sdot10=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot10=13+\frac{1}{3}}}$	או חלק הד' על הג' יצא אחד ושליש ערכם על הי' יעלה י"ג ושליש
if a₁ = the [amount of goods offered in the] business = unknown:	ואם היה המסחר שהוא הנקרא עסק נסתר
I bought 6 kors for 4 dinar. How many kors would I buy for 7 dinar? $\scriptstyle x\div7=6\div4$	כגון האומר קניתי ו' כורים בד' דינ' כמה כורים אקנה בז' דינ‫'
the sold merchandise = 6 kors the money [paid] = 4 dinar	נמצא שאתה יודע המכר ודמיו והם ו' כורים וד' דינ' והם כערך אחד
the corresponding price = 7 dinar the [amount of goods offered in the] business = unknown	וגם אתה יודע מן הערך הראשון השער שהוא ז' דינ' ונסתר ממך העסק והוא המסחר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot6}{4}=\frac{42}{4}=10+\frac{1}{2}}}$	ותדענו שתערוך השער שהם ז' בו' שהוא המכר והם הנכריים ועלו מ"ב חלקם על ד' שהם הדמים יצא המסחר שהוא העסק והוא י' כורים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7}{4}\sdot6=\left(1+\frac{3}{4}\right)\sdot6=10+\frac{1}{2}}}$	ותדענו שתדע מה ערך ז' אל ד' והוא כמוהו וג' רביעיותיו ערכם אל הו' והוא י' וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6}{4}\sdot7=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot7=10+\frac{1}{2}}}$	או חלק הו' על הד' יצא אחד וחצי ערכם אל על הז' יעלה י' וחצי
	ועתה בארתי לך הוצאת המספר הנסתר מתוך הידועים
if both the [amount of goods offered in the] business and the corresponding price are unknown	ואם רצית להוציא הכורים והדמים
3 kors for 5 dinar. An unknown [quantity of] kors was bought, the sum of the kors and their price is 60. How many were the kors and how much was the price? $\scriptstyle x+\frac{5}{3}x=60$	כגון שישאל השואל ג' כורים בה' דינ' וקנה כורים נעלמים וכאשר תחבר הדמים עם הכורים יעלו ששים, כמה היו הכורים והדמים
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{3+5}\sdot60=\frac{3}{8}\sdot60=22+\frac{1}{2}}}$	חבר הג' והה' יעלה ח' ודע מה ערך הג' מן הח' והוא ג' שמיניות קח ג' שמיניות הששים והוא כ"ב וחצי והם הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}x=\frac{5}{8}\sdot60=37+\frac{1}{2}}}$	ולהוציא הדמים, דע מה ערך הה' מן הח' והוא ה' שמיניות קח ה' שמיניות הששים והם ל"ז וחצי והם הדמים
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{60}{8}\sdot3=\left(7+\frac{1}{2}\right)\sdot3}}$	או חלק הששים על שמונה יהיה היוצא ז' וחצי אם תערכם על הג' יעלה חשבון הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}x=\frac{60}{8}\sdot5=\left(7+\frac{1}{2}\right)\sdot5}}$	ואם תערכם על ה' יעלה חשבון הדמים
3 kors for 7 dinar. An unknown [quantity of] kors was bought, so that when you subtract their price from them 20 remain. How many were the kors and how much was the price? $\scriptstyle\frac{7}{3}x-x=20$	ואם תרצה להוציא ג' כורים בז' דינ' וקנה כורים נעלמים כשתגרע מהם הדמים ישאר כ' כמה היו הכורים והדמים
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{7-3}\sdot20=\frac{3}{4}\sdot20=15}}$	גרע הג' מן הז' ישאר ד' ודע מה ערך הג' מן הד' והוא ג' רביעיות קח ג' רביעיות הכ' והוא ט"ו והם הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{3}x=\frac{7}{4}\sdot20=\left(1+\frac{3}{4}\right)\sdot20=35}}$	ולהוציא הדמים דע מה ערך הז' מן הד' והוא כמוהו וג' רביעיותיו קח כערכם מן הכ' והוא ל"ה והם הדמים
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{20}{4}\sdot3=5\sdot3}}$	או אם תחלק הכ' על ד' יצא ה' אם תערכם על ג' יעלה חשבון הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{3}x=\frac{20}{4}\sdot7=5\sdot7}}$	ואם תערכם בז' יעלה חשבון הדמים
3 kors for 5 dinar. An unknown [quantity of] kors was bought, the product of the kors by their price is 60 $\scriptstyle x\sdot\left(\frac{5}{3}x\right)=60$	ואם תוציא ג' כורים בה' דינ' וקנה כורים נעלמים כשתערוך הכורים על הדמים יעלה ששים
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\frac{60}{3\sdot5}}\sdot3=\sqrt{\frac{60}{15}}\sdot3=2\sdot3=6}}$	ערוך הג' בה' יעלה ט"ו וחלק עליהם הששים ומהעולה קח השורש והוא ב' וערכם על ג' יהיה ששה והם הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}x=2\sdot5=10}}$	ואם תערוך הב' על הה' יעלה י' והם הדמים
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\frac{3\sdot60}{5}}=\sqrt{\frac{180}{5}}=\sqrt{36}=6}}$	או אם תערוך הג' בששים יצא ק"פ, אם תחלקם על הה' יצא ל"ו ומהיוצא תקח השרש והעולה הוא חשבון הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}x=\sqrt{\frac{180}{5}}\sdot3}}$	ואם תחלקם על הג' ומהיוצא תקח שרש והעולה הוא חשבון הדמים
4 kors for 9 dinar. An unknown [quantity of] kors was bought, the sum of the root of the kors and the root of their price is 7½ $\scriptstyle\sqrt{x}+\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=7+\frac{1}{2}$	ואם תוציא ד' כורים בט' דינ' וקנה כורים נעלמים, אם תחבר שורש הכורים עם שורש הדמים יעלה ז' וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\sqrt{4}+\sqrt{9}}\sdot\sqrt{4}=\frac{7+\frac{1}{2}}{2+3}\sdot2=\frac{7+\frac{1}{2}}{5}\sdot2=3}}$ kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=9}}$	קח שורש הד' והוא ב' וקח שורש הט' והוא ג', חבר ב' עם ג' יהיה ה', חלק עליהם הז' וחצי והיוצא תערוך בשנים יעלה ג' והם שורש הכורים ומספרם ט'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=\frac{7+\frac{1}{2}}{5}\sdot3=4+\frac{1}{2}}}$ price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{4}\sdot x=\left(4+\frac{1}{2}\right)^2=20+\frac{1}{4}}}$	ואם תערוך היוצא בחלוק בג' יהיה ד' וחצי והם שורש הדמים, תערכם על עצמם יעלה כ' דינ' ורובע דינ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{9}{4}}+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\left(1+\frac{1}{2}\right)+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{2+\frac{1}{2}}=3}}$ kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=3^2=9}}$	או אם תחלק הט' על הד' יצא ב' ורובע קח השורש והוא אחד וחצי הוסף עליו אחד לעולם יהיה שנים וחצי חלק עליהם הז' וחצי והיוצא שהם ג' תערוך על עצמם והעולה הוא חשבון הטורים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{4}{9}}+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{1+\frac{2}{3}}=4+\frac{1}{2}}}$ price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{4}\sdot x=\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}}$	ולדעת הדמים תחלק הד' על הט' יצא ד' תשיעיות, קח השרש והוא ב' שלישיות שהם שורש ד' תשיעיות, הוסף עליהם אחד יהיה אחד וב' שלישיות, חלק עליהם הז' וחצי יצא לאחד שלם ד' וחצי, ערכם על עצמם והוא חשבון הדמים
If you give 4 kors for 9 dinar and when you subtract the square [of the kors] from the square of their price, 1½ would remain $\scriptstyle\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}-\sqrt{x}=1+\frac{1}{2}$	ואם תוציא ד' כורים בט' דינ' כשתפחות שרשו משורש הדמים ישאר אחד וחצי
√kors = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x}=\frac{1+\frac{1}{2}}{\sqrt{9}-\sqrt{4}}\sdot\sqrt{4}=\frac{1+\frac{1}{2}}{3-2}\sdot2=\frac{1+\frac{1}{2}}{1}\sdot2=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot2}}$	קח שורש הד' והוא ב' וחסרם משרש הט' ישאר א' חלק עליו אחד וחצי יצא הכל, אם תערכנו עם שנים יעלה שורש הכורים
√price = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\sqrt{9}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot3}}$	ואם תערכנו על שלשה יצא שרש הדמים ותוכל להוציאו בדרך האחד
If you give 4 kors for 9 dinar and when you multiply the square of the kors by the square of their price, the result is 24 $\scriptstyle\sqrt{x}\sdot\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=24$	ואם תוציא ד' כורים בט' דינ' כשתערוך שורש הכורים על שורש הדמים יהיה כ"ד
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{24}{\sqrt{4}\sdot\sqrt{9}}\sdot4=\frac{24}{2\sdot3}\sdot4=\frac{24}{6}\sdot4=16}}$	קח שרש הד' והוא ב' ערכם בגדר הט' יעלה ששה, חלק עליהם הכ"ד והיוצא תח תערוך בד' יהיה י"ו והוא חשבון הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{4}\sdot x=\frac{24}{6}\sdot9=36}}$	ואם תערוך היוצא בחלוק על ט' יעלה ל"ו והוא חשבון הדמים
If you give an unknown [quantity of] kors for a price of 60 and the sum of the price of one kor with the kors is 16 $\scriptstyle x+\frac{60}{x}=16$	ואם תוציא כורים נעלמים ודמיהם ששים ודמי הכור כשיתחברו עם חשבון הכורים יהיה י"ו
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2-60}+8=\sqrt{8^2-60}+8=\sqrt{4}+8=2+8=10}}$	קח חצי הי"ו והוא ח' ערכם על עצמם ומהעולה חסר הששים ישאר ארבעה, קח השורש והוא ב' והוסף על הח' יהיו י' והם הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{x}=8-2=6}}$	וחסר הב' מן הח' ישאר ו' והם הדמים
If you give an unknown [quantity of] kors for a price of 60 and you subtract the price of one kor from all the kors, 4 would remain $\scriptstyle x-\frac{60}{x}=4$	ואם תוציא כורים נעלמים ודמיהם ששים אם תחסר דמי הכור מחשבון הכורים ישאר ארבעה
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+60}+2=\sqrt{4+60}+2=8+2=10}}$	קח חצי הד' ותערכנו על עצמו יהיה ד' חברם עם הששים וקח השרשים והוא ח' הוסף עליהם השנים והוא י' והם הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{x}=8-2=6}}$	או אם תחסר הב' מן הח' ישאר ששה והם דמי הכור
If you give a kor for 3 and a kor for 7 and you want to buy a kor for 6 from each of them, how much will be taken from each of them? $\scriptstyle3x+\left[7\sdot\left(1-x\right)\right]=6$	ואם תוציא כור בג' וכור בז' ורוצה לקנות משניהם כור בו' כמה יקח מכל אחד ואחד
kor for 3 = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7-6}{7-3}=\frac{1}{4}}}$	דע מה בין הג' והז' והוא ד' ואחר כך תגרע הו' מן הז' ישאר אחד ודע מה ערכו מן הד' והוא רביע וככה יקח מן הכור שהוא בג' רביע
kor for 7 = $\scriptstyle{\color{blue}{1-x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}}}$	ומותר הכור שהם ג' רביעיות יקח מן הכור שהוא בז‫'
If you give a kor for 3, a kor for 4 and a kor for 5 and you want to take for 2 dinar from each one equally, how much will be taken from each of them? $\scriptstyle\left(3+4+5\right)x=2$	ואם תוציא כור בג' וכור בד' וכור בה' ורוצה ליקח בב' דינ' מכל כור וכור בשוה, כמה יקח מכל אחד
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2}{3+4+5}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}}}$	חבר הג' והד' והה' יהיו י"ב ודע מה ערך הכור וחצי מן הג' כורים שם הב' דינ' מן הי"ב והוא שתות וככה יקח מכל מין ומין
If you give a kor for 3, a kor for 4 and a kor for 5 and 1½ kors were taken from the three of them, from each one equally, what would be the price? $\scriptstyle\frac{3x}{3+4+5}=1+\frac{1}{2}$	ואם תוציא כור בג' וכור בד' וכור בה' ולקח משלשתם כור וחצי מכל אחד בשוה כמה הם הדמים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1+\frac{1}{2}}{3}\sdot\left(3+4+5\right)=\frac{1+\frac{1}{2}}{3}\sdot12=6}}$	חבר הג' והד' והה' יהיו י"ב ודע מה ערך הכור וחצי מן הג' כורים וכערכם קח מן הי"ב והוא ו' והם הדמים
If you give a kor for 3, a kor for 7 and a kor for 12 and he wants to take a kor for 10 dinar, how much will he take from each kind? $\scriptstyle\left[\left(3+7\right)\sdot x\right]+\left[12\sdot\left(1-2x\right)\right]=10$	ואם תוציא כור בג' וכור בז' וכור בי"ב וירצה לקח כור בי' דינ' כמה יקח מכל מין ומין
kor for 3 = kor for 7 = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12-10}{\left(12\sdot2\right)-\left(3+7\right)}=\frac{2}{24-10}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}}}$	חבר הג' והז' והוא עשרה ושמרם ואחר כך כפול הי"ב יהיו כ"ד וחסר מהם הי' ששמרת, ישאר י"ד ואחר חסר הי' אשר לקח מהם הכור מן הי"ב ישאר שנים ודע מה ערכם מן הי"ד והוא שביעית וככה קח מן הכור שהוא בג' וכמו כן מן הכור שהוא בז‫'
kor for 12 = $\scriptstyle{\color{blue}{1-2x=1-\left(2\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{5}{7}}}$	והנשאר שהוא ה' שביעיות נקח מן הכור שהוא בי"ב
If you give a kor for 2 dinar, a kor for 3, a kor for 5, and a kor for 14 and he wants to take a kor for 12 dinar, how much will he take from each kind? $\scriptstyle\left[\left(2+3+5\right)\sdot x\right]+\left[14\sdot\left(1-3x\right)\right]=12$	ואם תוציא כור בב' דינ' וכור בג' וכור בה' וכור בי"ד ורוצה לקח כור בי"ב דינ' כמה יקח מכל מין ומין
kor for 2 = kor for 3 = kor for 5 = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{14-12}{\left(14\sdot3\right)-\left(2+3+5\right)}=\frac{2}{42-10}=\frac{2}{32}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}$	חבר הב' והג' וה' יעלו עשרה ואחר כך כ"כ כפול הי"ד שלשה פעמים לפי שעלו הדמים בדמי ג' המינין, אך למעלה לא כפלנוהו אלא פעם אחת לפי שלא עלו הדמים לדמי ג' המינין וכשכפלנו הי"ד ג' פעם עלה מ"ב חסר מהם הי' ישאר ל"ב ואחר חסר הי"ב מן הי"ד ישאר שנים ודע מה ערכם מן הל"ב והוא חצי שמינית וככה יקח מן הכור שהוא בב' דינ' וכן מן הג' וכן מן הה‫'
kor for 14 = $\scriptstyle{\color{blue}{1-3x=1-\left[3\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]=\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	והנשאר שהוא ו' שמיניות וחצי שמינית יקח מן הכור שהוא בי"ד
If you give 10 kors for 20, 12 for 20 and 15 kors for 20 and he wants to take for 20 an equal part from each kind, how much will be given to him? $\scriptstyle\left(\frac{20}{10}+\frac{20}{12}+\frac{20}{15}\right)\sdot x=20$	ואם תוציא עשרה כורים בעשרים ושנים עשר בעשרים וחמשה עשר כורים בעשרים וירצה לקח בעשרים חלק שוה מכל מין ומין כמה יתן לו
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{20}{\frac{20}{10}+\frac{20}{12}+\frac{20}{15}}=\frac{20}{2+\left(1+\frac{2}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}\right)}=\frac{20}{5}=4}}$	חלק העשרים על עשרה יצא שנים ועל י"ב יצא אחד ושני שלישיות ועל ט"ו, יצא אחד ושליש, חבר הכל, יהיו חמשה, חלק עליהם העשרים יצא ארבעה וכן יקח מכל מין ומין
If you give 4 kors for 8 zuz minus an unknown thing and 2 kors were taken for the unknown thing and a zuz. How much is the thing? $\scriptstyle\frac{4}{8-x}=\frac{2}{x+1}$	ואם תוציא ד' כורים בח' זוז פחות דבר שאינו ידוע ולקח שני כורים בשאינו ידוע וזוז, כמה היה מה שאינו ידוע
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\left[\left[\left(8-x\right)+\left(x+1\right)\right]\sdot\frac{2}{2+4}\right]-1=\left(9\sdot\frac{2}{6}\right)-1=\left(9\sdot\frac{1}{3}\right)-1=2}}$	הוסף הב' כורים על הד' יהיו ו' ואחר כך חבר שאינו ידוע וזוז עם הח' פחות דבר שאינו ידוע יהיו תשעה ודע מה ערך שני הכורים מן הששה והוא שליש קח שליש התשעה וחסר ממנו הזוז והנשאר שהוא שני זוזים הוא הדבר שאינו ידוע
If you give 5 kors for 10 dinar minus a thing and 3 kors were taken for the unknown thing minus a dinar. How much is the thing? $\scriptstyle\frac{5}{10-x}=\frac{3}{x-1}$	ואם תוציא חמשה כורים בעשרה דינ' פחות משהו ולקח ג' כורים במשהו שאינו ידוע פחות דינ' עם כמה זה המשהו
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left[\left[\left(x-1\right)+\left(10-x\right)\right]\sdot\frac{3}{3+5}\right]+1\\&\scriptstyle=\left(9\sdot\frac{3}{8}\right)+1\\&\scriptstyle=\left[9\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]+1\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{3}{8}\right)+1\\&\scriptstyle=4+\frac{3}{8}\\\end{align}}}$	חבר הג' עם הה' יהיו ח' ואחר כך חבר המשהו פחות דינ' עם הי' פחות משהו יהיה ט' דינ' ודע מה ערך הג' כורים מן השמונה והוא רביעית וחצי רביעית וכערכם קח מן הט' והוא ג' ושלשה שמיניות הוסף עליהם הדינר הפחות והם ד' וג' שמיניות והוא המשהו
Employment of workers	וכן אתה מוצא בענין השכירות
I hired a worker for 30 days for 10 dinar and he had worked 8 days. How much was his payment? $\scriptstyle30\div10=8\div x$	כגון האומר שכרתי פועל לשלשים יום בי' דינ' ועשה על ח' ימים כמה שכרו
days of employment = a₁ = [the amount of goods offered in] trade = 30	ובכאן אתה חושב ל' ימי השכירות למסחר
corresponding dinar = a₂ = the corresponding price = 10	והי' דינ' לשער
days of work = a₃ = the sold [amount of goods] = 8	וח' ימים שעשה מלאכתו למכר
payment = a₄ = the money paid = unknown	ויהיה המספר הנסתר דמי המכר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8\sdot10}{30}=\frac{80}{30}=3-\frac{1}{3}}}$	ותוציאנו שתערך הח' בי' יהיו פ' חלקם על הל' יצא ג' פחות שליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{30}\sdot10=\left(\frac{4}{5}\sdot{1}{3}\right)\sdot10=3-\frac{1}{3}}}$	ותדענו שתדע מה ערך ח' אל ל' והוא ד' חמשיות שלישית וכערכם קח מן הי' יצא ג' פחות שליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{30}\sdot8=\frac{1}{3}\sdot8=\frac{8}{3}=3-\frac{1}{3}}}$	ותדענו שתחלק הי' על הל' יצא שליש, ערכהו על ח' יצא והוא ח' שלישיות והדבר שוה
the same methods of solution should be used for cases of unknown sold merchandise, or price, or [amount of goods offered in the] business	ועל אלו הדרכים תוציא כשיהיו המכר או השער או המסחר נסתרים ואין צריך להאריך בזה
You hired a salaried for an unknown [number of] days for an unknown [quantity of] dinar. When you add up the days and dinar they summed up by 40. He had worked unknown days so that when multiplied by their salary the total is 12 and if you multiply the remaining days by the remaining salary the total is 192, how much are the unknown days and how much are the dinar? $\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\\\scriptstyle a_1+a_2=40\\\scriptstyle a_3\times a_4=12\\\scriptstyle\left(a_1-a_3\right)\sdot\left(a_2-a_4\right)=192\end{cases}$ $\scriptstyle x^2+12=\frac{40}{\sqrt{\frac{192}{12}}+1}\sdot x$	ואם תוציא שכיר בימים נעלמים בדינר נעלמים וכשתחבר הימים והדינ' יהיו מ' ועשה ימים נעלמים כשתערכם בשכרם יעלה י"ב ואם תערך הנשאר מן הימים בנשאר מן השכר יעלה קצ"ב, כמה הם הימים הנעלמים וכמה הדינ' וכמה עשה מן הימים
days of work = ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{192}{12}}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{192}{12}}+1}\right)^2-12}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{16}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{16}+1}\right)^2-12}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{4+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{4+1}\right)^2-12}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{5}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{5}\right)^2-12}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2-12}\\&\scriptstyle=4+\sqrt{4^2-12}\\&\scriptstyle=4+\sqrt{4}=4+2=6\\\end{align}}}$	חלק הקצ"ב על י"ב יצא י"ו קח שרשם והוא ד' והוסף עליהם אחד יהיה ה' וחלק עליהם המ' יצא ח' קח חצים והוא ד' וערכם על עצמם ומהעולה חסר הי"ב ישאר ד' קח שרשם והוא ב' הוסיפם על הד' שהם חצי הח' והעולה שהוא ו' הם הימים הנעלמים אשר עשה
$\scriptstyle y^2+192=\frac{40}{\sqrt{\frac{12}{192}}+1}\sdot y$ unemployment days = ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle y&\scriptstyle=6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{12}{192}}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{12}{192}}+1}\right)^2-192}\\&\scriptstyle=6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}+1}\right)^2-192}\\&\scriptstyle=6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\frac{1}{4}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\frac{1}{4}+1}\right)^2-192}\\&\scriptstyle=6+\left(\frac{1}{2}\sdot32\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot32\right)^2-192}\\&\scriptstyle=6+16+\sqrt{16^2-192}\\&\scriptstyle=6+16+\sqrt{256-192}\\&\scriptstyle=6+16+\sqrt{64}=6+16+8=6+24=30\\\end{align}}}$	או דע מה ערך הי"ב מן הק'צ'ב' והוא חצי שמינית קח השרש והוא רובע הוסף עליו אחד לעולם יהיה אחד ורובע חלק עליהם המ' יצא ל"ב, קח חצים והוא י"ו וערכם על עצמם יעלה רנ"ו חסר מהם הק'צ'ב' יהיה הנשאר ס"ד, קח שרשם והוא ח', הוסיפם על הי"ו יהיו כ"ד חברם עם הו' ראשונים והמחובר שהוא ל' הם הימים הנעלמים מן השכירות
money paid = $\scriptstyle{\color{blue}{40-30=10}}$	וחסרם מן המ' והנשאר שהוא י' הם הדינ' הנעלמים
You hired a salaried for a month [=30 days] for 10 dinar, and if he cancels he has to pay one-half of his salary. He had worked and canceled and his salary turned out equal to his loss $\scriptstyle x\sdot\frac{10}{30}=\left(30-x\right)\sdot\frac{\frac{1}{2}\sdot10}{30}$	ואם תוציא שכיר בחדש בי' דינ' ואם יבטל ישלם חצי שכרו ועשה ובטל ויצא שכרו בהפסדו
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}\sdot10}{\frac{1}{2}\sdot10+10}\sdot30=\frac{5}{5+10}\sdot30=\frac{5}{15}\sdot30=\frac{1}{3}\sdot30=10}}$	חבר הה' שהוא חצי השכר עם הי' יהיה ט"ו ודע מה ערך הה' מהם והוא שליש וכערכם קח ממי החדש והיוצא שהוא י' הוא הימים שעשה
unemployment days = $\scriptstyle{\color{blue}{30-10=20}}$	ובטל שאר הימים והם כ‫'
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{\frac{10}{\frac{1}{2}\sdot10}+1}=\frac{30}{\frac{10}{5}+1}=\frac{30}{2+1}=\frac{30}{3}=10}}$	או תחלק הי' דינ' על הה' דינ' יצא ב' הוסף עליהם אחד לעולם יהיה ג' וחלק עליהם ימי החדש והיוצא שהוא י' הם הימים שעשה
You hired a salaried for a month for 10 dinar, and if he cancels he has to pay 5 dinar. He had worked and canceled and his salary was unknown zuzim $\scriptstyle\left(x\sdot\frac{10}{30}\right)-\left[\left(30-x\right)\sdot\frac{5}{30}\right]=1$	ואם תוציא שכיר בחדש בי' דינ' ואם יבטל ישלם ה' דינ' בחדש ועשה ובטל והיה שכרו זוזים נעלמים
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5+1}{5+10}\sdot30=\frac{6}{15}\sdot30=12}}$	חבר הה' עם הי' יהיו ט"ו הוסף הזוזים על הה' יהיו ו' גרע ודע מה ערכם מן הט"ו וכערכם קח מימי החדש והוא י"ב והם הימים שעשה
unemployment days = $\scriptstyle{\color{blue}{30-12=18}}$	ובטל הנשאר והם י"ח ולקח בשכרו שכר ב' ימים
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)+30}{\frac{10}{5}+1}=\frac{36}{2+1}=\frac{36}{3}=12}}$	או חלק הי' על ה' והיוצא שהוא ב' הוסף עליהם אחד לעולם ויהיה ג' ודע מה ערך הזוזים מן הה' והוא חומש הוסיפם על ימי החדש חמישיתם יהיה ל"ו חלקם על הג' והיוצא הם הימים שעשה
You hired a salaried for a month for 10 dinar, and if he cancels he has to pay 5 dinar. He had worked and canceled and had to pay unknown zuzim $\scriptstyle x\sdot\frac{10}{30}+1=\left(30-x\right)\sdot\frac{5}{30}$	ואם תוציא שכיר בחדש בי' דינ' ואם יבטל ישלם ה' דינ' בחדש ועשה ובטל ונתחייב לשלם זוזים נעלמים
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5-1}{5+10}\sdot30=\frac{4}{15}\sdot30=8}}$	חבר הה' עם הי' יהיה ט"ו ואחר כן חסר דינ' מן הה' ישאר ד' ודע מה ערכם מן הט"ו וכערכם קח מימי החדש והוא ח' והם הימים שעשה
unemployment days = $\scriptstyle{\color{blue}{30-8=22}}$	ובטל כ"ב יום ונתחייב לשלם שכר ב' ימים
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{30-\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)}{\frac{10}{5}+1}=\frac{24}{2+1}=\frac{24}{3}=8}}$	או חלק הי' על הה' יצא ב', הוסף עליהם אחד יהיה ג' ושמרם ואחר דע מה ערך דינ' מן הה' דינ' והוא חמשים וקח מימי החדש חמישיתם ישאר כ"ד חלקם על הג' ששמרת והיוצא שהוא ח' הם הימים שעשה
You hired a salaried for a month for unknown [number of] dinar, and if he cancels he has to pay 5 dinar. He had worked unknown [number of] days so that when you multiply the unknown [number of] days by the unknown [number of] dinar [the result] is 80 and when he canceled he had to pay unknown dinar $\begin{cases}\scriptstyle\left(y\sdot\frac{x}{30}\right)+1=\left(30-y\right)\sdot\frac{5}{30}\\\scriptstyle x\sdot y=80\end{cases}$	ואם תוציא שכיר בחדש בדינ' נעלמים ואם יבטל ישלם ה' דינ' בחדש ועשה ימים נעלמים וכשתערוך הימים הנעלמים על הדינ' הנעלמים היה פ' וכשיצא ממלאכתו נתחייב דינ' נעלמים
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{\left[\left(5-1\right)\sdot30\right]-80}{5}=\frac{\left(4\sdot30\right)-80}{5}=\frac{40}{5}=8}}$ unknown dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{80}{8}=10}}$	חסר הדינר מן הה' ישארו ד' ערכם על הל' ומהמחובר חסר פ' ישאר מ' חלקם על ה' והיוצא שהוא הם הימים שעשה חלק עליהם הפ' והיוצא שהוא י' הם הדינ' הנעלמים ונתחייב לשלם שכר ב' ימים
unemployment days = $\scriptstyle{\color{blue}{30-x=\frac{\left(1\sdot30\right)+80}{5}=\frac{110}{5}=22}}$	ואם תערוך הדינ' בל' ותחבר העולה עם הפ' יהיה ק"י חלקם על הה' והיוצא שהוא כ"ב הם ימי הבטלה
You hired three workers — one for 3 dinar for one month, the second for 6 dinar and the third for 10 dinar. They had worked together a total of one month and each one took equally. How many [days] each one of them had worked? $\begin{cases}\scriptstyle\frac{30}{3}a=\frac{30}{6}b=\frac{30}{10}c\\\scriptstyle a=\frac{a}{a+b+c}\sdot30\end{cases}$	ואם תוציא שכר ג' פועלים אחד ג' דינ' בחדש והשני ו' דינ' והשלישי י' דינ' ועשו בין שלשתם חדש אחד ולקחו כל אחד בשוה כמה עשה כל אחד מהם
days of work of the first = $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{1+\left(\frac{3}{10}+\frac{3}{6}\right)}\sdot30=\frac{1}{1+\left(\frac{3}{10}+\frac{1}{2}\right)}\sdot30=\frac{1}{1+\frac{4}{5}}\sdot30=\frac{5}{9}\sdot30=16+\frac{2}{3}}}$	דע מה ערך הג' מן הי' והוא ג' עשיריות ודע מה ערך הג' מן הו' והוא חצי, חברהו אל הג' עשיריות יהיה ד' חומשין, הוסף עליהם אחד לעולם, יהיה אחד וד' חומשין ודע מה האחד מהם והוא חמשה תשעיות, קח חמש תשעיות ימי החדש שהם י"ו ושני שלישי יום והם הימים שעשה הראשון
days of work of the second = $\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\sdot\left(16+\frac{2}{3}\right)=8+\frac{1}{3}}}$	וקח חצי מלאכת הראשון והוא ח' ושליש והם הימים שעשה השני
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{18}=1+\frac{2}{3}}}$ days of work of the first = $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{30}{3}\sdot\left(1+\frac{2}{3}\right)}}$ days of work of the second = $\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{30}{6}\sdot\left(1+\frac{2}{3}\right)}}$	או חלק הל' על הג' ודע מה ערך הל' מי"ח והוא כמוהו ושני שלישיותיו וכערך הזה קח מכל מה שיצא בחלוק לכל אחד ואחד והם הימים שעשה כל אחד ואחד
You hired three workers — one for 30 days for an unknown thing, the second for one-half of the unknown thing and the third for one-third of the unknown thing. They had worked together 30 days. The first took 2 dinar, the second took 3 dinar and the third took 4 dinar. How much was the unknown thing and how many days each one of them had worked? $\scriptstyle\left(2\sdot\frac{30}{x}\right)+\left(3\sdot\frac{30}{\frac{1}{2}x}\right)+\left(4\sdot\frac{30}{\frac{1}{3}x}\right)=30$	ואם תוציא שכר ג' פועלים האחד ל' יום בדבר שאינו ידוע והשני בחצי הדבר שאינו ידוע והשלישי בשלישית הדבר שאינו ידוע ועשו ל' יום בין שלשתם ולקח הראשון ב' דינ' והשני ג' די' והשלישי ד' די', כמה היה הדבר שאינו ידוע וכמה עשה כל אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(2\sdot30\right)+\left[\left(3\sdot30\right)\sdot2\right]+\left[\left(4\sdot30\right)\sdot3\right]}{30}=\frac{60+180+360}{30}=\frac{600}{30}=20}}$	ערוך חלק הראשון בימי החדש יעלה ס' וערוך חלק השני בימי החדש והעולה תכפול ג' פעם יעלה ש"ס חבר הכל יהיה ת"ר חלקם על ימי החדש והיוצא שהוא כ' הוא הדבר שאינו ידוע
days of work of the first = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{600}\sdot30=\frac{1}{10}\sdot30=3}}$	ולדעת הימים שעשה הראשון, דע מה ערך ס' מת"ר והוא עשירית וכערכו קח מימי החדש והם ג' והם הימים שעשה הראשון ודע מה ערך הק"פ מת"ר וכערכם קח מימי החדש והם ג' והם הימים שעשה הראשון
days of work of the second = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{180}{600}\sdot30=9}}$	ודע מה ערך הק"פ מת"ר וכערכם קח מימי החדש והם ט' ימים שעשה השני
days of work of the third = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{360}{600}\sdot30=\frac{3}{5}\sdot30=18}}$	ודע מה ערך הש"ס מת"ר והוא ג' חמישיותיו וכערכם קח מימי החדש והם י"ח ימים שעשה השלישי
You hired a salaried for 6 dinar and an unknown thing for one month. He had worked 10 days and took the unknown thing. How much is it? $\scriptstyle\frac{30}{6+x}=\frac{30-10}{6}$	ואם תוציא שם שכיר בו' דינ' ובדבר שאינו ידוע חדש אחד ועשה עשרה ימים ולקח הדבר שאינו ידוע כמה הוא
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{30\sdot6}{30-10}-6=\frac{180}{20}-6=9-6=3}}$	ערוך ימי החדש בו' דינ' עלה ק"פ ושמרם ואחר כן חסר י' ימים שעשה מימי החדש והנשאר שהם כ' הוא המורה וחלק ק"פ ששמרת על המורה יצא ט' והוא הכל הידוע ושאינו ידוע חסר הידוע ישאר מה שאינו ידוע והוא ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot6}{30-10}=\frac{60}{20}=3}}$	דרך אחרת: חסר הימים שעשה מימי החדש והנשאר שהוא כ' הוא המורה ואחר כן ערוך הימים שעשה על הו' דינ' יעלה ס' חלקם על המורה יצא ג' והוא הדבר שאינו ידוע
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{30-10}\sdot6=\frac{10}{20}\sdot6=\frac{1}{2}\sdot6=3}}$	דרך אחרת: דע מה ערך הימים שעשה אל המורה והוא חצי וכערך זה קח מן הו' דינ' הידוע והוא ג' והם הדבר שאינו ידוע
	ואם היה חשבון שלא היה לו ערך
	ערוך הימים שעשה על הו' דינ' והעולה חלק על המורה אז תמצא הדבר שאינו ידוע
if he took the unknown thing and one dinar	ואם אמר ולקח בשכרו הדבר שאינו ידוע ונתן לו עוד דינר
add one to the unknown thing (?)	הוסף על הדבר הידוע אחד ועשה כמשפט
Partnership	וכן לענין שתוף אתה מוצא שני סדרי הערך‫:
all the parts of the capital given to the partnership = a₁ = [the amount of goods offered in] business/trade	כי כל ראשי הממון שמכניסים בשתוף הם כעין העסק שהוא המסחר
total profit = a₂ = the corresponding price	וכל הריוח הוא כעין השער המסור לו
share of each [of the partners] in the capital = a₃ = the sold [amount of goods]	וחלק כל אחד מהממון כעין המכר
part owed to each [of the partners] from the profit = a₄ = the money paid	והחלק המגיע לכל אחד מן הריוח כעין הדמים
if the money paid = [the part owed to each of the partners from the profit] = unknown	ואם הדמים הנסתרים
Three shared—one [gave] 10, the second [gave] 20, the third [gave] 30—and they earned together 30	כגון שנשתתפו האחד בי' והשני בכ' והשלישי בל' והרויחו ל‫'
$\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}=\frac{price\times sold}{business}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{30\sdot10}{10+20+30}}}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{30\sdot20}{10+20+30}}}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{30\sdot30}{10+20+30}}}$	ערוך השער על המכר וחלק על העסק יצא חלק
if the sold [amount of goods] = [share of each of the partners in the capital] = unknown	ואם המכר נסתר
[Three] shared in a total of 60 and earned 30. One took 5, the second [took] 10 and the third [took] 15	כגון שנשתתפו בין כלם בששים ורוחו ל' ולקח האחד ה' והשני י' והשלישי ט"ו
$\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}=\frac{business\times money\ paid}{price}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{60\sdot5}{30}}}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{60\sdot10}{30}}}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{60\sdot15}{30}}}$	ערוך המסחר בדמי האחד וחלק על השער יצא חלקו
if the price = [total profit] = unknown	ואם השער נסתר
[Three shared] — One [gave] 10, the second [gave] 20, the third [gave] 30 and the profit of the one [who gave] 10 was 5	כגון האחד י' והשני כ' והשלישי ל' ורוח בעל הי' חמשה
$\scriptstyle a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}=\frac{business\times money\ paid}{sold}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{\left(10+20+30\right)\sdot5}{10}}}$	ערוך העסק בדמי המכר וחלק על המכר
if the business = [all the parts of the capital given to the partnership] = unknown	ואם העסק נסתר
[Three shared] — One [gave] 10 and all earned 30 together. The one [who gave] 10 took 5 from the profit	כגון שידוע שחלק האחד היה י' ורוחו בין כלם ל' ולקח בעל הי' חמשה מן הריוח
$\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}=\frac{price\times sold}{money\ paid}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{30\sdot10}{5}}}$	ערוך השער על המכר וחלק על הדמים
	וגם בשאר כל הדרכים תוכל להוציאם כאשר הם בשכיר ובמקח וממכר
Four shared, each [gave] an amount different from what the other gave [one gave 5, the second gave 10, the third gave 15 and the fourth gave 20] and they earned	וכן אם היו ד' שותפים לכל אחד ראש ממון שאינו שוה לחברו [כלו' ה' וי' וט"ו וכ'] ויצא להם ריוח
the relative share owed to one of them from the profit = $\scriptstyle\frac{his\ own\ capital}{sum\ of\ the\ parts\ of\ the\ capital\ of\ all}=\frac{his\ own\ capital}{50}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{a_4}{a_2}=\frac{a_3}{a_1}}}$	הערך ראש ממון כל אחד בפני עצמו כריוח וחלק על המחובר מראש ממון כלם שהוא נ' והיוצא הוא בחלק חלקו המגיעו מן הריוח
convert the dinar to smaller coins = pešiṭim and then divide by the sum of all parts of the capital	ואם ישאר שלא יתחלק השב הדי' לפשיטים וחלק על מה שחלקת
$\scriptstyle part\ of\ one\ from\ the\ profit=\frac{total\ profit}{\frac{total\ capital}{his\ share\ in\ the\ capital}}$ $\scriptstyle{\color{red}{a_4=\frac{a_2}{\frac{a_1}{a_3}}}}$	או חלק המחובר שהוא נ' על החלק ועל היוצא שהוא י' תחלק הריוח
$\scriptstyle part\ of\ one\ from\ the\ profit=\frac{total\ profit}{total\ capital}\sdot his\ share\ in\ the\ capital$ $\scriptstyle{\color{red}{a_4=\frac{a_2}{a_1} \sdot a_3}}$	ובדרך אחרת תוכל לדעת כמה חלק כל אחד מן הריוח: שתחבר ראש ממונם ודע מה ערך הריוח מראש ממונם וכערכו קח מראש כל אחד והוא חלקו
(?)	ותדענו שתחלק ראש ממון הגדול על הקטן ושמור היוצא ועוד חלק ראש ממון האמצעי על הקטן והיוצא הוא חלק הראשון וראה מה ערך ראש ממון הקטן אל האמצעי וכערכו תוסיף על חלקו מן הריוח והוא חלק האמצעי וכן תוסיף לשלישי כערכו אל הקטן
Three shared — one [gave] 20, the second [gave] 30 and the third [gave] 40. The profit of the one who gave 20 was 3. What was the profit of the others? $\scriptstyle20x=3$	ואם תרצה להוציא ג' נשתתפו האחד כ' והשני ל' והשלישי מ' והריוח בעל הכ' ג' כמה הגיע לחלק האחרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{20}\sdot3=4+\frac{1}{2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{40}{20}\sdot3=6}}$	חלק הל' על הכ' והיוצא תערכנו בג' שרוח והעולה הוא חלק בעל הל' והוא ד' וחצי וכן תחלק המ' על הכ' והיוצא תערוך בג' והעולה שהוא ו' הוא חלקו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{20}\sdot30=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{20}\sdot40=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot40}}$	ותדענו שתדע מה ערך הג' אל הכ' והוא ג' רביעיות חמישית וכערכו קח מראש ממון השני והשלישי
One [gave] 20, the second [gave] 30 and the third [gave] 40. If you add the profit of the one who gave 20 to the profit of the one who gave 30, the sum is 10 $\scriptstyle20x+30x=10$	ואם תוציא האחד כ' והשני ל' והשלישי מ' וריוח בעל הכ' כשתחברנו אל ריוח בעל הל' יעלה עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{20+30}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}}}$	חבר הכ' והל' יהיו חמשים חלק עליהם הי' יצא חומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot20=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot30=6}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot40=8}}$	קח חומש ראש ממון כל אחד יקח בעל הכ' ד' ובעל הל' ו' ובעל המ' ח‫'
[Three shared] — one [gave] 10, the second [gave] 30 and the third [gave] 50. When you add the profit of the first to the profit of the second and subtract the result from the profit of the third what remains is 3 $\scriptstyle50x-\left(10x+30x\right)=3$	ואם תוציא האחד י' והשני ל' והשלישי נ' וכשתחבר ריוח הראשון והשני ותחסרם מריוח השלישי ישאר ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{50-\left(10+30\right)}=\frac{3}{50-40}=\frac{3}{10}}}$	חבר הי' והל' יהיו מ' ותגרעם מן הנ' ישאר י' ודע מה ערך ג' מי' והוא ג' עשיריות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot10=3}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot30=9}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot50=15}}$	קח ג' עשיריות ראש ממון כל אחד וככה חלקו הראשון ג' והשני ט' והשלישי ט"ו
[Three shared] — one [gave] 10, the second [gave] 20 and the third [gave] 40. When you multiply the profit of the first and the second by the profit of the third, the result is 48. What was the profit of each one? $\scriptstyle\left(10x+20x\right)\sdot40x=48$	ואם תוציא האחד י' והשני כ' והשלישי מ' וכשתערוך ריוח הראשון והשני בריוח השלישי עלה מ"ח כמה היה ריוח כל אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{48}{\left(10+20\right)\sdot40}}=\sqrt{\frac{48}{1200}}=\sqrt{\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}}}$	חבר הי' עם הכ' והעולה תערוך על המ' יעלה אלף ומאתים, דע מה ערך המ"ח מהם והוא חמישית החומש, חשוב אותם כאלו הם שברים וקח השרש והוא חומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot10=2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot20=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot40=8}}$	וקח חומש ראש ממון כל אחד מהם יקח הראשון ב' והשני ד' והשלישי ח‫'
Two shared — one [gave] 8 and the other [gave] 18 and they earned [a profit]. When you multiply the root of the profit of the one by the root of the profit of the other the result is 6. $\scriptstyle\sqrt{8x}\sdot\sqrt{18x}=6$	ואם תוציא שני שותפין האחד ח' והשני י"ח ורוחו וכשתערוך שורש ריוח האחד בשורש ריוח השני יהיה ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{6^2}{8\sdot18}}=\sqrt{\frac{36}{144}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}}$	ערוך הו' על עצמם יעלה ל"ו ואחר כן ערוך הח' על הי"ח יעלה קמ"ד חלק עליהם הל"ו והיוצא שהוא רוביע קח שרשו והוא חצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot8=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot18=9}}$	אם תערכהו על השמונה יעלה ד' והוא הריוח של בעל הח' ואם תערכהו על י"ח יעלה ט' והוא הריוח של בעל הי"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{\sqrt{\frac{18}{8}}}=\frac{6}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}}=\frac{6}{1+\frac{1}{2}}=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\frac{18}{8}=4\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)=9}}$	ותדענו שתחלק הי"ח על הח' יצא ב' ורביע קח שרשם והוא אחד וחצי חלק עליו הו' והיוצא שהוא ד' הוא ריוח הראשון ואם תערוך הד' בשנים ורובע יעלה ט' והוא ריוח השני
Two men shared — one [gave] 5 kikkar, and the other one [gave] 3 kikkar. The third [man] who did not bring anything shared with them. The three gave together the 8 kikkar. The third paid the others 8 liṭra of money. How much will each one of them take?	ואם תוציא שני אנשים נשתתפו זה בה' ככר וזה בג' ככר ונשתתף עמהם השלישי שלא הביא כלום והוציאו שלשתם אותם הח' ככר ושלם להם השלישי ח' ליטרין כסף כמה יקח כל אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5-\left(\frac{1}{3}\sdot8\right)}{\frac{1}{3}\sdot8}=\frac{5-\left(2+\frac{2}{3}\right)}{2+\frac{2}{3}}=\frac{2+\frac{1}{3}}{2+\frac{2}{3}}=\frac{7}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}\sdot8=7}}$	קח שליש הח' ככר והוא ב' וב' שלישיים, חסרם מן הה' ישארו ב' ושליש ודע מה ערכם מן הב' וב' שלישיים והוא ז' שמיניות קח ז' שמיניות הח' שהוא והוא יהיה חלק בעל הה' ככר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3-\left(2+\frac{2}{3}\right)}{2+\frac{2}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{2+\frac{2}{3}}=\frac{1}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot8=1}}$	ואם תחסר הב' וב' שלישים מן הג' ישאר שליש ותדע ערכו אל ב' ושליש והוא שמינית וקח שמינית הח' והוא אחד והוא חלק בעל הג' ככרים
Three men shared — one [gave] 9 kikkar, the second [gave] 8 kikkar and the third [gave] 7 kikkar. The fourth [man] who did not bring anything shared with them. The three gave together. The fourth paid the others 18 liṭra of money. How much will each one of them take?	ואם תרצה תוציא ג' אנשים נשתתפו האחד בט' ככר והשני בח' והשלישי בז' ונשתתף עמהם הרביעי שלא הביא כלום והוציאו בין שלשתם הכל ושלם הרביעי להם י"ח ליט' כסף כמה יקח כל אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{\left(9-\frac{9+8+7}{4}\right)+\left(8-\frac{9+8+7}{4}\right)+\left(7-\frac{9+8+7}{4}\right)}=\frac{18}{\left(9-6\right)+\left(8-6\right)+\left(7-6\right)}=\frac{18}{3+2+1}=3}}$	חלק כל הככרים על הד' אנשים יצאו ו' חסרם מן הט', ישאר ג' ומן הח' ישאר ב' ומן הז' ישאר אחד, חבר כל השיורין וחלק עליהם הי"ח יצא ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(9-6\right)=3\sdot3=9}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(8-6\right)=3\sdot2=6}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(7-6\right)=3\sdot1=3}}$	אם תערכם בג' יעלה ט' והוא חלק בעל הט' ואם תערכנו בב' יעלה ו' והוא חלק בעל הח' ואם תערכהו באחד יהיה ג' והוא חלק בעל הז‫'
Three shared — each [gave] the same amount as what the other gave. One gave ⁴/₅ of his money, the second gave ⁵/₇ of his money, and the third [gave] ⁶/₉ of his money. How much did each one has? $\scriptstyle\frac{4}{5}a=\frac{5}{7}b=\frac{6}{9}c$	ואם תוציא שלשה נשתתפו בראש ממון שוה כל אחד לחבירו ומה שהביא האחד היה ארבע חומשי ממונו והשני הביא חמש שביעיות ממונו והשלישי שש תשיעיות ממונו כמה היה לכל אחד ואחד
	הערך השנים הראשונים זה על זה באלכסון והטעם שתערוך שברי האחד על חשבון חברו ותחשבם כאלו הם שלמים
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot7=28}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot5=25}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot6=42}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9=45}}$	והנה הראשון כ"ה והשני כ"ח ועשה כן לשני גם לשלישי והנה השני מ"ב והשלישי מ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28-25}{28}=\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{a=42-\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\sdot42\right]=37+\frac{1}{2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}a=\frac{4}{5}\sdot\left(37+\frac{1}{2}\right)=30}}$	ודע כמה הוסיף השני על הראשון והוא שלש רביעיות שביעית חסר כן ממ"ב ישארו ל"ז וחצי והוא ראש ממון הראשון וד' חמשיותיו ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{b=42}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\sdot42=30}}$	וראש ממון השני מ"ב וה' שביעיותיו ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{c=45}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{9}\sdot45=30}}$	וראש ממון השלישי מ"ה ושש תשיעיותיו ל‫'
Coinage	וגם בענין קשור המטבע אתה מוצא שני סדרי ההקשה‫:
liṭra = a₁ = [the amount of goods offered in] business/trade	כי הליטרא כעין המסחר
silver [in the liṭra] = a₂ = the corresponding price	והכסף הראוי לה כעין השער
ʾoqya = a₃ = the sold [amount of goods]	והאוקיאות כעין המכר
silver belong to the ʾoqya = a₄ = the money paid	והכסף המגיע לאוקיא כעין הדמים
if the money paid = [silver belong to the ʾoqya] = unknown	ואם היו הדמים נסתרים
One liṭra of coins is 12 ʾoqya. 4 of them are ʾoqya of silver. How many [ʾoqya of] silver there are in 3 ʾoqya?	כגון האומר ליט' מטבעות שהיא י"ב אוקיאות ויש בהם ד' אוקיאות כסף כמה כסף יש בג' אוקיאות
$\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}=\frac{price\times sold}{business}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{3\sdot4}{12}}}$	ערוך השער במכר וחלק על המסחר
if the sold = ʾoqya = unknown	ואם היה המכר נסתר
In one liṭra there are 4 ʾoqya of silver. In how many [ʾoqya] there is one ʾoqya of silver?	כגון האומר ליט' בד' אוקיאות כסף בכמה יש אוקיא מכסף
$\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}=\frac{business\times money\ paid}{price}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{12\sdot1}{4}}}$	ערוך המסחר בדמים וחלק על השער
if the price = silver [in the liṭra] = unknown	ואם היה השער נסתר
I bought 3 ʾoqya; [one of them is] ʾoqya of silver. How many would I buy in one liṭra?	כגון האומר קניתי ג' אוקיאות באוקיא כסף בכמה אקנה הליטרא
$\scriptstyle a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}=\frac{business\times money\ paid}{sold}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{12\sdot1}{3}}}$	ערוך המסחר בדמים וחלק על המכר
if the trade = liṭra = unknown	ואם היה המסחר נסתר
I bought 3 ʾoqya of coins; [one of them is] ʾoqya of silver. How much would I take of the coins for 4 ʾoqya of silver?	כגון האומר קניתי ג' אוקיאות מטבעות באוקיא כסף כמה אקח מן המטבעות בד' אוקיא כסף
$\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}=\frac{price\times sold}{money\ paid}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{4\sdot3}{1}}}$	ערוך השער במכר וחלק על הדמים
If you want to produce a coin with 1 ʾoqya of silver in a liṭra, the second [coin] with 2 ʾoqya of silver in a liṭra, and the third [coin] with 6 ʾoqya [of silver] in a liṭra. You have to know how much you should take of each coin so that the sum will be 4 ʾoqya [of silver] in a liṭra $\scriptstyle\left(2x\sdot6\right)-\left[x\sdot\left(1+2\right)\right]=6-4$	ואם תרצה לקשור מטבע מא' אוקיאות כסף בליט' והשני מב' אוקיאות כסף בליט' והשלישי מו' אוקי' בליטרא, ואתה צריך לדעת כמה תקח מכל מטבע ומטבע ויהיה המחובר לד' אוק' אוקיאות בליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6-4}{\left(2\sdot6\right)-\left(1+2\right)}=\frac{2}{12-3}=\frac{2}{9}}}$	ככה תדענו: שתחבר הכסף שיש בשני המטבעות הפחותות ויעלה שלשה ואחר תכפול המטבע השלישי ויהיה הכפול י"ב וגרע מהם העולה מהמחובר משני המטבעות ישאר ט' ושמרהו ואחר תגרע הד' שהוא רוצה לקשור מן הששה שהוא סך המטבע השלישי ישאר ב' ודע מה ערך זה הנשאר אל הנשאר השמור והוא ב' תשיעיות וככה תקח מכל אחד ואחד משני המטבעות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}\sdot\left(2\sdot12\right)=5+\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}\sdot\left(1+2\right)=\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(5+\frac{1}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4-\frac{2}{3}=3+\frac{1}{3}}}$	ויעלה בין שניהם ה' אוקיאות ושליש ויש בהן כסף ב' שלישי אוקיא ומן המטבע השלישי יקח ו' אוקי' וב' שלישי אוקי‫' שיש בהן כסף ג' אוקי' ושליש אוקי‫' ותעלה בידך ליט' שיש בה ארבע אוקיאו' כסף
If you have a liṭra with 1 ʾoqya of silver, a liṭra with 5 ʾoqya [of silver], and a liṭra with 7 ʾoqya [of silver]. You want to produce [a coin] with 4 ʾoqya of silver $\scriptstyle\left[x\sdot\left(5+7\right)\right]-\left(2x\sdot1\right)=4-1$	ואם יש בידך מן המטבעות ליט' באוקי' כסף וליט' בה' אוקי' וליט' בז' אוקי' ותרצה לקשור ליט' בד' אוקי' כסף
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4-1}{\left(5+7\right)-\left(2\sdot1\right)}=\frac{3}{12-2}=\frac{3}{10}}}$	כן תעשה: חבר שני המטבעות הגדולות מן המטבעות שהוא רוצה לקשור ויעלה י"ב וכפול השלישי ויעלה ב' וגרע אותו מהעולה מהמחובר ישאר י' ושמרהו ואחר גרע האחד שהוא המטבע היחידי מן הד' שהוא רוצה לקשור ישאר ג' ודע מה ערך זה הנשאר אל הנשאר השמור והוא ג' עשיריותיו וככה יקח מכל אחד ואחד משני המטבע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot\left(2\sdot12\right)=7+\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot\left(5+7\right)=3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(7+\frac{1}{5}\right)=4+\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4-\left[3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{2}{5}}}$	ויעלה בין שניהם שבעה אוקי' וחומש אוקי‫' יש בהם כסף ג' אוקיאות וחצי וחצי חומש ומן המטבע השלישי ד' אוקיאות וד' חומשין יש בהם כסף ב' חומשין והנה מה שרצינו
If you have a liṭra with ¾ of an ʾoqya [of silver], a liṭra with 1¼ ʾoqya [of silver], and a liṭra with 6 ʾoqya [of silver]. You want to produce [a coin] with 4 ʾoqya [of silver] $\scriptstyle\left(2x\sdot6\right)-\left[x\sdot\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=6-4$	ואם יש בידך ליט' בג' רביעיות אוקי' וליטר' באוקיא ורביע וליט' בו' אוקיאו' ותרצה לקשור בד' אוקי' בליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6-4}{\left(2\sdot6\right)-\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]}=\frac{2}{12-2}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}}}$	ככה תדענו: חבר שני המטבע הפחותות יהיה ב' וכפול השלישי ויעלה י"ב וגרע ממנו המחובר ישאר י' ושמרהו ואחר גרע הד' מן הו' ישאר ב' ודע ערכם מהנשאר השמור והוא חומש וככה תקח מכל אחד ואחד משני המטבעות שחברת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(2\sdot12\right)=4+\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{2}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(4+\frac{4}{5}\right)=7+\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4-\frac{2}{5}=3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ויעלה בין שניהם ארבעה וד' חמישיות ויש בהם כסף ב' חומשין ומהמטבע השלישי ז' וחומש יש בהם כסף ג' וחצי וחצי חומש והנה מה שרצינו
If you have a liṭra with 2 ʾoqya [of silver], a liṭra with 5¼ ʾoqya [of silver], and a liṭra with 6¾ ʾoqya [of silver]. [You want] to produce [a coin] with 4 ʾoqya [of silver] $\scriptstyle\left[x\sdot\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]\right]-\left(2x\sdot2\right)=4-2$	ואם יש בידך ליט' בשני אוקי' וליט' בה' ורביע וליט' בו' וג' רביעיות וקושר בד' בליטר‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4-2}{\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]-\left(2\sdot2\right)}=\frac{2}{12-4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}}}$	ככה תדענו: חבר השנים הגדולים יעלה י"ב וכפול השלישי יעלה ד' וגרע הכפול מהמחובר ישאר ח' ושמרם ואחר כן גרע הב' מן הד' ישאר ב' וערכם אל הנשאר השמור והם רביע וככה יקח מכל אחד ואחד משני המטבע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(2\sdot12\right)=6}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]=3}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-6=6}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}$	ויעלה בין שניהם ו' אוקי‫' ויש בהם כסף ג' אוקי‫' ומן השלישי יקח ו' אוקי‫' יש בהם כסף אוקי' והנה מה שרצינו
If you have a liṭra with ¼ of an ʾoqya [of silver], a liṭra with ½ of an ʾoqya [of silver], a liṭra with 1¼ ʾoqya [of silver], and a liṭra with 5 ʾoqya [of silver]. [You want] to produce [a coin] with 4 ʾoqya [of silver] $\scriptstyle\left(3x\sdot5\right)-\left[x\sdot\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=5-4$	ואם יש בידך ליט' ברביע אוקי' וליט' בחצי אוקי' וליט' באוקי' ורביע וליט' בה' אוקי' וקושר בד' אוקי' בליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5-4}{\left(3\sdot5\right)-\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]}=\frac{1}{15-2}=\frac{1}{13}}}$	ככה תעשה חבר הג' מטבע הפחותות ויעלה ב' וכפול השלישי ג' פעמים בעבור שחברת ג' מטבעו' ויעלה ט"ו וגרע המחובר מהכפול ישאר י"ג ושמרם ואחר כך גרע הד' מן ה' ישאר אחד וערכו מהנשאר השמור חלק אחד מי"ג וככה יקח מכל אחד מהשלשה המטבעו' המחוברות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{13}\sdot\left(3\sdot12\right)=2+\frac{10}{13}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{13}\sdot\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{2}{13}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(2+\frac{10}{13}\right)=9+\frac{3}{13}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4-\frac{2}{13}=3+\frac{11}{13}}}$	ויעלה בין שלשתם ב' אוקי' ועשרה חלקים מי"ג באחד ויש בהם כסף ב' חלקים מי"ג באחד ומן השלישי יקח ט' אוקי' וג' חלקים מי"ג יש בהם כסף ג' אוקי' ואחד עשר חלקים מי"ג באחד ונתברר מה שרצינו
If you have a liṭra with 3 ʾoqya [of silver], a liṭra with 5¼ ʾoqya [of silver], a liṭra with 6½ ʾoqya [of silver], and a liṭra with 7¼ ʾoqya [of silver]. [You want] to produce [a coin] with 4 ʾoqya [of silver] $\scriptstyle\left[x\sdot\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{4}\right)\right]\right]-\left(3x\sdot3\right)=4-3$	ואם יש בידך ליט' בג' אוקי' וליט' בחמשה ורביע וליט' בששה וחצי ליט' בז' ורביע וקושר בד' בליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4-3}{\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{4}\right)\right]-\left(3\sdot3\right)}=\frac{1}{19-9}=\frac{1}{10}}}$	ככה תעשה: חבר הג' מטבעו' הגדולות ויעלו י"ט וכפול השלישי ג' פעם ויעלה ט' וגרע הכפול מהמחובר ישאר י' ושמרם ואחר גרע הג' מן הד' ישאר אחד וערכו אל הנשאר השמור עשירית וככה יקח מכל אחד ואחד מהשלשה המחוברות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot\left(3\sdot12\right)=3+\frac{3}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4-\left[\frac{1}{10}\sdot\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ויעלה בין שלשתם ג' אוקי' וג' חומשין ויש בהם כסף ב' אוקי' וחצי חומש והנה מה שרצינו
	ואם יש בידך ליט' בב' אוקי‫'
If you have a liṭra with ½ of an ʾoqya [of silver], a liṭra with ¾ [of an ʾoqya of silver], a liṭra with 2½ [ʾoqya of silver], a liṭra with 3¼ [ʾoqya of silver], and a liṭra with 5¾ [ʾoqya of silver]. [You want] to produce [a coin] with 3¾ [ʾoqya of silver] $\scriptstyle\left[4x\sdot\left(5+\frac{3}{4}\right)\right]-\left[x\sdot\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=\left(5+\frac{3}{4}\right)-\left(3+\frac{3}{4}\right)$	ואם יש בידך ליט' בחצי אוקי' וליט' בג' רביעיות וליט' בב' וחצי וליט' בג' ורביע וליט' בה' וג' רביעיות וקושר בג' וג' רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(5+\frac{3}{4}\right)-\left(3+\frac{3}{4}\right)}{\left[4\sdot\left(5+\frac{3}{4}\right)\right]-\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{4}\right)\right]}=\frac{2}{23-7}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}}}$	ככה תדענו: חבר הד' מטבעו' הפחותות ויעלה ז' וכפול החמישי ד' פעם ויעלה כ"ג וגרע המחובר מהכפול ישאר י"ו ושמרם ואחר חסר הג' וג' רביעיות מן הה' וג' רביעיות ישאר ב' וערכם אל הנשאר השמור והם שמינית וכן יקח מכל אחד מהד' מטבעו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot\left(4\sdot12\right)=6}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{7}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot\left[4\sdot\left(5+\frac{3}{4}\right)\right]=2+\frac{7}{8}}}$	ויעלה מארבעתם ו' אוקי‫' ויש בהם כסף ז' שמיניות אחד ומן החמישי יקח ו' אוקי' ויש בהם כסף ב' אוקי' וז' שמיניות וזה שרצינו
If he wants to produce [a coin] with 4 ʾoqya [of silver] in a liṭra and all the coins he has are [with] less than 4 [ʾoqya of silver], for instance if he has a liṭra with ¾ of an ʾoqya of silver, a liṭra with 1¼ ʾoqya [of silver], a liṭra with 1½ ʾoqya [of silver] and a liṭra with 2½ ʾoqya [of silver]. He wants to melt out of all equally and he has to mixture copper with them $\scriptstyle4x\sdot12-\left[x\sdot\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\right]=12-4$	ואם הוא רוצה לקשור בד' אוקי' בליט' ויש מטבעות שכלם פחותות מד' כגון שיש בידו ליט' מג' רביעיות אוקי' כסף בליט' וליט' באוקי' ורביע וליט' באוקי' וחצי וליט' בב' אוקי' וחצי ורוצה להתיך מכלם בשוה וצריך לערב בהם כסף
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12-4}{\left(4\sdot12\right)-\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]}=\frac{8}{48-6}=\frac{8}{42}=\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	ככה תדענו: חבר הד' מטבעו' ויעלה ששה וכפול ליט' של כסף ד' פעם יעלה מ"ח אוקי', חסר המחובר מהכפול ישאר מ"ב ושמרם ואחר כך חסר הד' מן הליט' כסף ישאר ח' אוקי' וערכם מהנשאר השמור שביעית ושליש שביעית וככה יקח מכל אחד מהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot\left(4\sdot12\right)=9+\frac{1}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]=1+\frac{1}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(9+\frac{1}{7}\right)=2+\frac{6}{7}}}$	ויעלה מארבעים ט' אוקי' ושביעית ויש בהם כסף אוקי' ושביעית ומן הכסף ישים ב' אוקי' וו' שביעיות והנה מה שרצינו
If he wants to produce [a coin] with 4 ʾoqya [of silver] in a liṭra and all the coins he has are [with] more than 4 [ʾoqya of silver], for instance if he has a liṭra with 5¼ ʾoqya of silver, a liṭra with 6½ [ʾoqya of silver], a liṭra with 7¾ [ʾoqya of silver] and a liṭra with 8½ [ʾoqya of silver]. He wants to melt out of all equally and he has to mixture copper [with them] $\scriptstyle4x\sdot12-\left[x\sdot\left[\left[12-\left(8+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[12-\left(7+\frac{3}{4}\right)\right]+\left[12-\left(6+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[12-\left(5+\frac{1}{4}\right)\right]\right]\right]=12-\left(12-4\right)$	ואם רוצה לקשור בד' אוקי' בליט' ויש לו מטבעות שכלם גדולות מד' כגון שיש לו ליט' מה' אוקי' ורביע כסף וליט' מו' וחצי וליט' מז' וג' רביעיות וליט' מח' וחצי ורוצה להתיך מכלם בשוה וצריך לערב נחשת
a liṭra with 3½ [ʾoqya of] copper, a liṭra with 4¼ [ʾoqya of] copper, a liṭra with 5½ [ʾoqya of] copper, a liṭra with 6¾ [ʾoqya of] copper, and a liṭra of 12 ʾoqya of copper. He wants to produce [a coin] with 4 ʾoqya of silver and 8 ʾoqya of copper $\scriptstyle4x\sdot12-\left[x\sdot\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{4}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]\right]=12-8$	ככה תדענו שתהפוך הענין ותקח חשבון הנחשת אשר במטבעו וחשבון נחשת המטבע אשר הוא רוצה לקשור וכך הוא החשבון ליט' בג' וחצי נחושת וליט' בד' ורביע נחשת וליט' בה' וחצי נחשת וליט' בו' וג' רביעיות נחשת וליט' מנחושת שהיא י"ב אוקי' ורוצה לקשור מכל זה ד' אוקי' כסף בח' מנחשת
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12-8}{\left(4\sdot12\right)-\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{4}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]}=\frac{4}{48-20}=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}}}$	כן תעשה: חבר נחשת הד' מטבעו יעלה כ' אוקי' וכפול ליט' הנחשת ד' פעם יעלה מ"ח חסר המחובר מהכפול ישאר כ"ח ושמרם ואחר כן חסר הד' מן הי' ישאר ד' וערכם מהנשאר השמור שביעיות וככה יקח מכל אחד ואחד מהמטבעו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left(4\sdot12\right)=6+\frac{6}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{4}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]=2+\frac{6}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(6+\frac{6}{7}\right)=5+\frac{1}{7}}}$	ויעלה לו מארבעתם ו' אוקי' וו' שביעיות יש בהם מנחשת ב' אוקי' וו' שביעיות ומן הנחשת ישים ה' אוקי' ושביעית ויצא מה שרצינו
to produce [a coin] with 4 ʾoqya when some of the coins are with less than 4 ʾoqya and some are more, one should sum the less and multiply one of the more or sum the more and multiply one of the less	ואם הוא קושר בד' ויש בידו פחותות ויתרות יחבר הפחותות ויכפול אחת מהיתרות או יחבר היתרות ויכפול אחת מהיתרות ויעשה כמשפט
if the more are summed - the product [of the less] should be subtracted from the sum and the 4 ʾoqya should be subtracted from the total ʾoqya of the coin	וכלל זה יהא בידך שתכפול הכפול לפי חשבון המטבעות שחברת ובחברך היתרות תגרע הכפול מהמחובר ותגרע היחידי שהוא פוחת מן הנקשר
if the less are summed - the sum should be subtracted from the product [of the more] and the remainder from the total ʾoqya of the coin minus the 4 ʾoqya should be subtracted from the total ʾoqya of the coin	והפך הדבר בחברך הפחותות שתחסר המחובר מהכפול ותחסר הנקשר מן היחידי היתר
	ומאלו הדמיונות תוכל להוציא לכל המטבעות ולכל עסקי בני אדם בין רב למע' למעט ותן לחכם ויחכם עוד

Chapter Seven: Conversion of One to the Other	השער השביעי השבת זה לזה
Hipparchus: the arc of the Sun's inclination is ¹¹/₈₃ of the circle	והדמיון שאמ' אברכז כי מעלות נטיית הגלגל אשר לשמש אחד עשר חלק משמונים ושלשה בכל הגלגל
Ptolemy: the arc of the Sun's inclination is 47 degrees of the 360 degrees of the circle plus 42 minutes (47°42')	ותלמי אמ' כי מעלות הנטייה ארבעים ושבע מעלות ממעלות הגלגל, שהם ש"ס ועוד שנים וארבעים חלק ראשונים
to know if their estimations are equal:	ונרצה לדעת אם הם שוים או שונים, ככה תעשה‫:
$\scriptstyle\frac{11\sdot360}{83}=\frac{3960}{83}=47+\frac{59}{83}=47+\frac{\frac{59\sdot60}{83}}{60}=47+\frac{\frac{3540}{83}}{60}\approx47+\frac{42}{60}$	ערוך י"א שהוא חשבון אברכז הקטן על מעלות הגלגל שהוא חשבון תלמי הגדול והעולה שהוא ג' אלפים ותשע מאות וששים חלק על פ"ג שהוא חשבון הגדול של אברכז יצא בחלוק מ"ז כדברי תלמי ונשארו נ"ט שלא יתחלקו ערכנום על ששים והעולה שהוא ג' אלפים וחמש מאות וארבעים חלק על פ"ג יצא בחלוק שנים וארבעים חלק כדברי תלמי ונתברר ששני החשבונים שוים
$\scriptstyle\frac{83\sdot\left(47+\frac{42}{60}\right)}{360}=\frac{3901+\frac{3486}{60}}{360}\approx11$	והפך הדבר: ערכנו מ"ז שהם מעלות תלמי על פ"ג והעולה שהוא ג' אלפים ותשע מאות ואחד וערכנו מ"ב על פ"ג והעולה שהוא ג' אלפים וד' מאות ושמונים וששה חלקנום על ש"ס שהוא החשבון הגדול של תלמי ויצא בחלוק י"א שהוא החשבון הקטן של אברכז
both numbers are equal	והנה שני החשבונים שוים
simple fractions to simple fractions	ואם יהיו בידך שברי חכמי המדות ותרצה להשיבם לשברים אחרים
$\scriptstyle\frac{3}{4}=\frac{a}{6}$	כגון שלשה רובעים כמה שתותים הם‫:
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}=\frac{\frac{3}{4}\sdot6}{6}=\frac{4+\frac{1}{2}}{6}}}$	דע מאיזה מספר הוא השתות והוא מששה, קח שלשה רביעיותיו והם ארבעה וחצי וככה שתותים הם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}=\frac{\frac{3\sdot6}{4}}{6}}}$	ותדענו שתערוך שלשה על ששה והעולה תחלק על ארבעה והיוצא הם שתותים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}=\frac{\frac{\frac{3}{4}\sdot\left(4\sdot6\right)}{\frac{1}{6}\sdot\left(4\sdot6\right)}}{6}=\frac{\frac{\frac{3}{4}\sdot24}{\frac{1}{6}\sdot24}}{6}=\frac{\frac{18}{\frac{1}{6}\sdot24}}{6}=\frac{4+\frac{1}{2}}{6}}}$	ותדענו שתערוך ארבעה על ששה יעלה כ"ד והוא המורה קח ג' רביעיותיו והם י"ח חלקם על ששית המורה יצא בחלוק ד' וחצי וככה שתותים הם
$\scriptstyle\frac{6}{7}=\frac{a}{9}$	ואם תרצה לידע ששה שביעיות כמה תשיעיות הם‫:
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}=\frac{\frac{6}{7}\sdot9}{9}=\frac{7+\frac{5}{7}}{9}}}$	דע מאיזה מספר הוא התשיעית והוא מט' קח ששה שביעיותיו והם שבעה וה' שביעיות תשיעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}=\frac{\frac{6\sdot9}{7}}{9}}}$	או ערוך הששה על תשעה והעולה חלק על שבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}=\frac{\frac{\frac{6}{7}\sdot\left(7\sdot9\right)}{\frac{1}{9}\sdot\left(7\sdot9\right)}}{9}=\frac{\frac{\frac{6}{7}\sdot63}{\frac{1}{9}\sdot63}}{9}=\frac{\frac{54}{7}}{9}=\frac{7+\frac{5}{7}}{9}}}$	או ערוך השבעה על תשעה והעולה שהם ס"ג הוא המורה קח ששה שביעיותיו שהם נ"ד וחלקם על תשיעית המורה שהם ז' יצא שבעה וה' שביעיות, אם כן מצאנו ששה שביעיות הם שבעה תשיעיות וה' שביעיות תשיעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}=\frac{\frac{\left(\frac{6}{7}\sdot7\right)9}{7}}{9}=\frac{\frac{6\sdot9}{7}}{9}=\frac{\frac{54}{7}}{9}}}$	או דע מאיזה מספר הוא השביעית משבעה קח ששת שביעיותיו והם ששה ערכם על תשעה והעולה שהם נ"ד חלק על שבעה יצא לחשבון אחד
$\scriptstyle\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)=\frac{a}{10}$	ואם תרצה להשיב שבעה שמיניות וחצי שמינית לעשיריות‫:
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)=\frac{\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot10}{10}=\frac{9}{10}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	דע מאיזה מספר הוא העשירית מעשרה קח שבעה שמיניותיו וחצי שמיניתו יעלה תשעה עשרות ושלשה שמיניות עשירית
	ובכל הדרכים האחרים תוכל להוציאו
fractions can be converted to smaller fractions or to larger fractions	ועל אלו הדרכים כמו כן תוכל להוציא אם תרצה להשיב ששיות לרביעיות, או תשיעיות לרביעיות, בין שתשיב השברים לפחותים מהם, בין שתשיבם לגדולים מהם הדבר שוה
simple fractions to sexagesimal fractions	ואם יהיו בידיך שברי חכמי המדות ותרצה להשיבם לשברי חכמי המזלות שהם ששים
If the denominator of the fraction is a divisor of 60 – conversion to sexagesimal fraction is easy	ואם השברים שבידך הם חצי או שליש או רביע או חומש או ששית ועשירית דבר קל להשיב אל ששים מפני שיתחלקו עליו
If the denominator of the fraction is not a divisor of 60:	אך אם יש בידך שביעית ושמינית ותשיעית לא יתחלקו עליהם ששים ואתה צריך לדעת איך תוכל להשיבם אל ששים
$\scriptstyle\frac{2}{7}=\frac{a}{60}$	כגון שהיו בידך ב' שביעיות ותרצה להשיבם לחשבון ששים
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{7}&\scriptstyle=\frac{\frac{2\sdot60}{7}}{60}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{120}{7}}{60}\\&\scriptstyle=\frac{17+\frac{1}{7}}{60}\\&\scriptstyle=\frac{17}{60}+\frac{\frac{1\sdot60}{7}}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{17}{60}+\frac{8+\frac{4}{7}}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{17}{60}+\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{4\sdot60}{7}}{60^3}\\&\scriptstyle=\frac{17}{60}+\frac{8}{60^2}+\frac{34+\frac{2}{7}}{60^3}\\\end{align}}}$	ככה תעשה: ערוך מספר השביעיות על ששים והעולה שהוא ק"כ חלק על שבעה יצא י"ז וישאר אחד וערוך הנשאר על ששים וחלק על ז' יצא ח' והם שניים ישאר ד' וערכם על ששים וחלק על ז' יצא ל"ד והם שלשים
	ועל זה הדרך תוכל לדקדק אותו לרביעים או לחמישיים עד אין קץ
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}=\frac{2\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot60\right)}{60}=\frac{2\sdot\left(8+\frac{34}{60}+\frac{17}{60^2}\right)}{60}=\frac{17}{60}+\frac{8}{60^2}+\frac{34}{60^3}}}$	או אם תרצה ערוך מספר השביעיים על ח' ל"ד י"ז שהם שביעית ששים יעלה י"ז ח' ל"ד כדרך הראשון
	ובאלו הדרכים תוציא כמו כן לשמיניות ולתשיעיות
$\scriptstyle\frac{a}{70}=\frac{\frac{a\sdot60}{70}}{60}$	ואם יהיו בידך חלקים משבעים ותרצה להשיבם לחשבון ששים ערוך החלקים על ששים וחלק העולה על שבעים
If there is a remainder from division by 70 – it should be converted to seconds by multiplying again by 60, and then dividing by 70	ואם ישאר שלא יתחלק ערוך על ס' וחלק על ע' יהיו שניים מחשבון ששים
$\scriptstyle\frac{a}{7}=\frac{a\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot60\right)}{60}=\frac{a\sdot\left(8+\frac{34}{60}+\frac{17}{60^2}\right)}{60}$	או ערוך החלקים שיש בידך על ח' ראשונים ל"ד שניים י"ז שלישיים שהם שביעית ששים וחלק העולה על ששים והיוצא הוא המבוקש
(?)	או חסר שביעית החשבון והנשאר הם חלקים מששים

Chapter Eight: Roots	השער השמיני שרש זה וזה
extracting roots - integers or fractions - is difficult	השרשים הם קשים בין בשלמים בין בשברים
most of the numbers do not have a known root in the units, the tens, or the consequent ranks - therefore their roots should be approximated	ורבם אין להם שורש ידוע באחדים ובעשרות ובכל המערכות הבאות אחריהן ונלקחום בדרך קרובה אל האמת
Integers
shortcuts for finding the root of a perfect square	ונחל לפרש השלמים שיש להם שורש ידוע ונתן מפתחות ומאזנים להיות למבקשיהם עינים
the roots of perfect squares are found in two ways:	והשרשים ימצאו על שני דרכים‫:
1) units	האחד על דרך מספר האחדים
three squares: 1; 4; 9 their roots: 1; 2; 3	והמרובעים הנמצאים בשלמים במערכתם הם שלשה והם א'ד'ט' ושרשם א'ב'ג‫'
2) tens	והדרך השני על דרך מספר העשרות
six squares: 16; 25; 36; 49; 64; 81 their roots: 4; 5; 6; 7; 8; 9	והמרובעים הנמצאים במערכתם ששה והם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א ושרשם ד'ה'ו' ז'ח'ט‫'
these are the foundations of all the roots	ואלה הם מוסדי כל השרשים
every odd rank functions as the units every even rank functions as the tens	ומכאן ואילך כל מעלה שאינה זוג היא כאחדים ומה שהיה זוג היא כעשרות
hundreds - third rank, hence an odd rank - similar to the units thousands - similar to the tens tens of thousands - similar to the units hundreds of thousands - similar to the tens thousands of thousands - similar to the units tens of thousands of thousands - similar to the tens hundreds of thousands of thousands - similar to the units thousands of thousands of thousands - similar to the tens	כי המאות כמו האחדים כי הם כמערכת השלישית כמספר נפרד והאלפים כמו העשרות ועשרות אלפים כאחדים ומאות אלפים כעשרות ואלפי אלפים כאחדים ועשרות אלפי אלפים כעשרות ומאות אלפי אלפים כאחדים ואלף אלפים כעשרות, ככה עד אין קץ
1 is a root in the first rank → 10 is a root in the third rank → 100 is a root in the fifth rank → 1000 is a root in the seventh rank	ובין כזוג ובין כמה שאינה זוג האחד שהוא במערכת הראשונה ישוב עשרה במעלה השלישית שהיא דומה לה ובמעלה חמישית ממנה מאות ובשביעית ממנה אלפים
in the first rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1}=1}}$ → in the third rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{100}=10}}$	ששרש אחד הוא אחד, ישוב המעלה השלישית עשרה והוא שורש מאה, ששניהם דומים לאחד
in the first rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2}}$ → in the third rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{400}=20}}$	ושרש ארבעה שוים על כן שרש ד' מאות עשרים
in the first rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=3}}$ → in the third rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{900}=30}}$	ועל זה הדרך שרש תשע מאות ל‫'
	והמעלה הרביעית שהיא זוג דומה לשנית
in the second rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}=4}}$ → in the fourth rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1600}=40}}$	והנה אלף ושש מאות דומה לי"ו, על כן שרשו ארבעים
	כי שב האחד עשרה כמערכת השלישית מן השנית
in the fifth rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10000}=100}}$	והנה עשרת אלפים יהיה שרשו מאה, כי הוא במעלה החמישית מן הראשונה
in the seventh rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1000000}=1000}}$	ויהיה אלף אלפים, שהיא המעלה השביעית, שרשו אלף
40000 is similar to 4	והנה ארבעים אלף כדמות ארבעה
160000 is similar to 16	ומאה וששים אלף כדמות ששה עשר ועל זה הדרך לכל המרובעים
find out if a number is a perfect square 1) casting out by 9	וכאשר יהיה בידך חשבון ותרצה לדעת אם יש לו שרש שלם שקלו במאזני תשעה והוא שתחשב האחדים והעשרות והמאות וכל החשבונות כאלו הם אחדים והוציאם ט'ט‫'
if the remainder is 1; or 4; or 9; or 7 - the number may be a perfect square	ואם נשאר א' או ד' או ט' או ז' יתכן להיותו מרובע
if the remainder is 2; or 3; or 5; or 8 - the number is not a perfect square	ואם נשאר ב' או ג' או ה' או ח' דע שאיננו מרובע והנה דרך אחד
2) examing the units of the number:	ודרך שנית שתסתכל בחשבון אם יש שם ממספרי האחדים שהם במערכת הראשונה
if the units are: 1; or 4; or 5; or 6; or 9 - the number may be a perfect square	ואם מצאת שם א' או ד' או ה' או ו' או טיתין ט' יתכן להיות מרובע
3) examing the digits of the number: If one of the digits of the number is 1 — one of the digits of the root of this number is 1 or 9	ודרך שלישית שתדע כי אם יהיה בחשבון א' ראוי להיות בשרש א' או ט‫'
the first digit of the root of the number can be deduced from the square of a product of a power of ten by a unit, which is the closest to the given number $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$	ותוכל לדעת איזה יהיה בשרש החשבון לאיזה חשבון הוא קרוב אל הדומה למרובע האחדים
$\scriptstyle x^2=\left(10a\right)^2+\left[2\sdot\left(10a\right)\right]+1\longrightarrow x=10a+1$	ואם יהיה המרובע הדומה קודם החשבון ויש ביניהם כפל שרש המרובע הוסף על השרש הדומה אחד
$\scriptstyle x^2=\left(10a\right)^2-\left[2\sdot\left(10a\right)\right]+1\longrightarrow x=10a-1$	ואם היה פחות גרע משרש הדומה אחד
the given number is larger than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ → there is 1 in the root	ואם יהיה בשרש ט‫'
$\scriptstyle441=b^2$	כמו מרבע ת'מ'א‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{441mod9\equiv0}}$	שקלנוהו במאזני ט' ויצא כלו ט'ט' והנה לאות שיתכן להיותו מרבע
$\scriptstyle{\color{blue}{441=400+40+1=20^2+\left(2\sdot20\right)+1\longrightarrow\sqrt{441}=20+1=21}}$	והדומה הקרוב הוא ד' מאות ושרשו כ' ובעבור שהחשבון גדול ממנו כפל השרש נוסיף בשרש אחד והנה השרש כ"א
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{441-\left(21-20\right)^2-20^2=440-400=40=2\sdot20}}$	ובחינתו שתסיר מרבע התוספת מן החשבון ישאר ת"מ ונכפול השרש הדומה והוא מ' וככה מרחק החשבון מן הדומה
the given number is less than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ → there is 9 in the root	ולו היה החשבון פחות ממרובע הדומה‫:
$\scriptstyle361=b^2$	כגון שס"א
$\scriptstyle{\color{blue}{361=400-40+1=20^2-\left(2\sdot20\right)+1\longrightarrow\sqrt{361}=20-1=19}}$	ובעבור שהוא פחות תחסר אחד משורש מרובע הדומה הקרוב שהוא כ' וישאר בשרש ט' והוא י"ט
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{20^2-\left[361-\left(20-19\right)^2\right]=400-360=40=2\sdot20}}$	והבחינה להסיר מהחשבון מרובע החסרון וישאר ש"ס ונכפול השרש הדומה והוא מ' וככה מרחק החשבון מן הדומה
If one of the digits of the number is 4 — one of the digits of the root of this number is 2 or 8 (10–2=8) $\scriptstyle x^2=\left(10a\right)^2+\left[2\sdot2\left(10a\right)\right]+4\longrightarrow x=10a+2$ $\scriptstyle x^2=\left(10a\right)^2-\left[2\sdot2\left(10a\right)\right]+4\longrightarrow x=10a-2$	ואם במרובע ד', יהיה בשרש ב', שהוא שני לאחד, או ח', שהוא שני ליט‫'
if the given number is larger than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ → there is 2 in the root $\scriptstyle484=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{484>400\longrightarrow\sqrt{484}=20+2=22}}$	ואם חשבון הדומה לפניו כמו מרובע ת'פ'ד' יהיה בשרש ב' והשרש כ"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{484-\left(22-20\right)^2-20^2=480-400=80=2\sdot2\sdot20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{484=400+80+4=20^2+\left(2\sdot2\sdot20\right)+2^2}}$	וכשתחסר מרובע התוספת מהחשבון ישאר ת"פ והנה המרחק מן הדומה פ' וככה ראוי להיות כפל הכפל מהשרש הדומה
if the given number is less than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ → there is 8 in the root $\scriptstyle324=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{324<400\longrightarrow\sqrt{324}=20-2=18}}$	ואם חשבון הדומה אחריו כמו מרובע ש'כ'ד' שהדומה הקרוב כ' ובעבור שהחשבון פחות חסר ממנו ב' יהיה בשרש ח' והשרש י"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{20^2-\left[324-\left(20-18\right)^2\right]=400-320=80=2\sdot2\sdot20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{324=400-80+4=20^2-\left(2\sdot2\sdot20\right)+2^2}}$	וכשתסיר מרובע החסרון מהחשבון ישאר ש"כ ונכפול פעמים שרש הדומה וככה המרחק
If one of the digits of the number is 9—one of the digits of the root of this number is 3 or 7 (10–3=7) $\scriptstyle x^2=\left(10a\right)^2+\left[2\sdot3\left(10a\right)\right]+9\longrightarrow x=10a+3$ $\scriptstyle x^2=\left(10a\right)^2-\left[2\sdot3\left(10a\right)\right]+9\longrightarrow x=10a-3$	ואם יש במרובע ט' יהיה בשרש ג' או ז' שהוא רחוק מעשרה ג' לאחורי‫'
if the given number is larger than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ → there is 3 in the root $\scriptstyle529=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{529>400\longrightarrow\sqrt{529}=20+3=23}}$	ואם הדומה הקרוב הוא לפניו כגון מרובע ת'ק'כ'ט' שהדומה הקרוב הוא ד' מאות יהיה בשרש ג' והשרש כ"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{529-\left(23-20\right)^2-20^2=520-400=120=3\sdot40=3\sdot2\sdot20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{529=400+120+9=20^2+\left(3\sdot2\sdot20\right)+3^2}}$	וכשתסיר מרובע התוספת מן החשבון ישאר ת'ק' והנה המרחק ק"כ ונכפול שרש הדומה והוא מ' וראוי להיות המרחק ג' פעמים כפל השרש וכן הוא
if the given number is less than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ → there is 7 in the root $\scriptstyle729=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{729<900\longrightarrow\sqrt{729}=30-3=27}}$	ואם הדומה הקרוב לאחריו כגון מרובע ת'ש'כ'ט' שהדומה הקרוב הוא ל' ובעבור שהוא פחות חסר ממנו ג' יהיה בשרש ז' והשרש כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{30^2-\left[729-\left(30-27\right)^2\right]=900-720=180=3\sdot2\sdot30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{729=900-180+9=30^2-\left(3\sdot2\sdot30\right)+3^2}}$	ואם תסיר מרובע החסרון מהחשבון ישאר ת'ש'כ' והנה המרחק ק'פ' ונכפול שרש הדומה והוא מ' וראוי להיות המרחק ג' פעמים כפל השרש וככה הוא
If one of the digits of the number is 5—one of the digits of the root of this number is 5 $\scriptstyle\left(10a+5\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(a+1\right)\right]-5\right]^2$	ואם במרובע ה' יהיה בשרש ה' בין לפניו בין לאחריו
if the given number is larger than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ $\scriptstyle1225=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{900<1225\longrightarrow\sqrt{1225}=30+5=35}}$	ואם הוא לפניו כגון אלף ור'כ'ה' שהדומה הוא ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{1225-\left(35-30\right)^2-30^2=1200-900=300=5\sdot60=5\sdot2\sdot30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{1225=900+300+25=30^2+\left(5\sdot2\sdot30\right)+5^2}}$	וכשתסיר מרובע ה' ישאר אלף ור' ותוספת המרחק הוא ש' ונכפול השורש הדומה והוא ס' וראוי להיות המרחק ה' פעם ס' וככה הוא
if the given number is less than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ $\scriptstyle626=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{625<900\longrightarrow\sqrt{625}=30-5=25}}$	ואם הדומה הקרוב לאחריו כגון ת'ר'כ'ה' שהדומה הוא ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{30^2-\left[625-\left(30-25\right)^2\right]=900-600=300=5\sdot2\sdot30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{625=900-300+25=30^2-\left(5\sdot2\sdot30\right)+5^2}}$	וכשתסיר מרובע ה' ישאר ת'ר' וחסרון המרחק
If the units of a certain square number are 5, then the root of this square number is exactly between two numbers of the type (10a)	וכן ראוי להיות כי כל מרובע ה' בין שני מרובעים הדומים
$\scriptstyle{\color{blue}{625-5^2=625-25=600=900-300=30^2-\left(5\sdot2\sdot30\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{625-5^2=625-25=600=400+200=20^2+\left(5\sdot2\sdot20\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot10\right)+5\right]^2=\left(20+5\right)^2=625=\left(30-5\right)^2=\left[\left(3\sdot10\right)-5\right]^2}}$	כי מספר ת'ר'כ'ה' כאשר נסיר מרובעו שהוא כ"ה נשאר ת"ר והוא בין ד' מאות שהוא הדומה ובין ט' מאות שהוא הדומה האחד לפנים והאחד לאחור מן השרש
approximations
[It seems that the beginning of the discussion concerning this issue is missing though there is no indication for that in the manuscript]
$\scriptstyle\sqrt{2}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	שאינו מתוקן ישאר אחד וב' ששיות וחצי ששית והוא השרש המתוקן
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)-\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)^2}{2\sdot\left[1+\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]}}}$	ואם תרצה לתקן אותו תקנהו פעם אחרת וערוך חצי הששית שיצא בחלוק על עצמו והעולה חלק על כפל השרש המתוקן והיוצא בחלוק חסר מן השורש המתוקן והנשאר הוא השרש המדוקדק
the "corrected root" can be corrected again and again, but yields only an approximation. It allows one to get as close to the answer as one wishes but never to reach the exact answer itself	ואם תרצה תוכל לדקדק אותו כרצונך אך לא תוכל להגיע אל האמת כי לעולם יהיה בדרך קרובה
if the given number is less than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2-b}}$	ואם החשבון שתרצה להוציא שרשו יותר קרוב מהמרובע אשר לאחריו מן המרבע אשר לפניו
$\scriptstyle\sqrt{3}$ $\scriptstyle{\color{blue}{3-1^2=3-1>4-3=2^2-3}}$	כמו שלשה שהוא קרוב אל המרובע ארבעה אשר לאחריו יותר ממרובע אחד אשר לפניו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3}\approx\sqrt{4}-\frac{4-3}{2\sdot\sqrt{4}}=2-\frac{1}{4}}}$ "[un]corrected root": $\scriptstyle\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{b}{2a}$	לעולם תקח מן הקרוב וככה תעשה: קח השרש אשר לארבעה והוא שנים ואחר כן קח המרחק אשר בין חשבונך ובין המרובע שלקחת שרשו וחלקהו על כפל השרש והיוצא בחלוק תחסר מהשרש שלקחת והנשאר הוא השרש המתוקן
"corrected root": $\scriptstyle\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a-\frac{b}{2a}\right)}$	ותקנהו פעם אחרת שתקח מרובע מה שיצא בחלוק וחלקהו על כפל השרש והיוצא תחסר מהשרש המתוקן
	ותוכל לתקנו ולדקדק אותו כרצונך
[if the given number is larger than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2+b}}$ ] $\scriptstyle\sqrt{10}$ ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{1000}&\scriptstyle\approx\sqrt{961}+\frac{1000-961}{2\sdot\sqrt{961}}\\&\scriptstyle=31+\frac{39}{2\sdot31}\\&\scriptstyle=31+\frac{39}{62}\\&\scriptstyle=31+\frac{1}{2}+\frac{8}{62}\\&\scriptstyle=31+\frac{1}{2}+\frac{\frac{8\sdot7}{62}}{7}\\&\scriptstyle=31+\frac{1}{2}+\frac{\frac{56}{62}}{7}\approx31+\frac{1}{2}+\frac{1}{7}\\\end{align}}}$	ואם החשבון שתרצה להוציא שרשו הוא מן הזוגות והדומה לו במעלה הרביעית אלף והמרובע הקרוב אליו ת'ת'ק'ס'א' ושרשו ל"א ונשאר ל"ט, חלקנום על כפל השרש שהוא ס"ב ויצא חצי אחד ונשארו ח', עשינו מהם שביעיות והנם נ"ו חלקנום על כפל השרש ונתן לו בדרך קרובה אחד והנה שרש אלף ל"א וחצי ושביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}=\frac{1}{10}\sdot\sqrt{1000}\approx\frac{1}{10}\sdot\left(31+\frac{1}{2}+\frac{1}{7}\right)\approx3+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	ועשיריתם בדרך קרובה אל האמת שלשה ושביעית שביעית
"uncorrected root": $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\approx\sqrt{9}+\frac{10-9}{2\sdot\sqrt{9}}=3+\frac{1}{2\sdot3}=3+\frac{1}{6}}}$	ותדענו שתקח שורש המרובע הקרוב אליו והוא ט' ושרשו ג', חלק הנשאר שהוא אחד על כפל השרש יצא ששית וחברהו עם הג' והוא השרש שאיננו מתוקן
"corrected root": $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a-\frac{b}{2a}\right)}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\approx3+\frac{1}{6}-\frac{\left(\frac{1}{6}\right)^2}{2\sdot\left(3+\frac{1}{6}\right)}}}$	ותקן אותו שתערוך מה שיצא בחלוק על עצמו יעלה ששית הששית, חסרהו מן השרש שאינו מתוקן ישאר ג' והם ששיות הששית
	תקנהו פעם אחרת שתערוך ששית הששית על עצמו ותחסרהו מן השרש המתוקן והנשאר הוא מדוקדק
	ואם המרובע הבא לאחריו הוא יותר קרוב מהמרובע שעבר שהוא לפניו תעשה כאשר הראיתיך והדבר שוה בין בנפרדים בין בזוגות
Fractions
simple fractions
$\scriptstyle\sqrt{\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}$	ואם תרצה להוציא שרש ו' שמיניות ושמינית שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}=\frac{1}{8}\sdot\sqrt{8^2\sdot\left[\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}=\frac{1}{8}\sdot\sqrt{64\sdot\left[\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}=\frac{1}{8}\sdot\sqrt{49}=\frac{7}{8}}}$	דע מאיזה חשבון יצא שמיניתו שמינית השמינית והוא ס"ד ושרשו ח' וקח מן ס"ד ו' שמיניות ושמינית שמיניתו והוא מ"ט קח שרשם והוא ז' חלק על ח' יצא ז' שמיניות וככה השרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{2^2\sdot\left[\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{3+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}=\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{3}{4}\right)=\frac{7}{8}}}$	ותדענו שתקח כפל כפלו והוא ג' וחצי שמינית ושרשו א' וג' רביעיות, קח חציו והוא ז' שמיניות וככה השרש
$\scriptstyle\sqrt{2+\frac{1}{2}}$	ואם תרצה להוציא שרש שנים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2+\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{2\sdot5}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\approx\frac{3+\frac{1}{6}}{2}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	דע כי החצי יצא משנים ואין לשנים שרש ידוע ונעשה מהכל חציים ויעלו ה' נערכם על שנים ויעלו י' ושרשם ג' וששית בדרך קרובה ונחלק זה השרש על שנים יצא אחד וחצי וחצי ששית והוא דרך קרובה
$\scriptstyle\sqrt{1+\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{8}{5}}$	ואם תרצה להוציא שרש אחד וג' חומשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1+\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{\sqrt{5\sdot8}}{5}=\frac{\sqrt{40}}{5}\approx\frac{6+\frac{1}{3}}{5}=1+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	דע כי החומש יצא מה' נעשה מכלם חמישיות יהיו ח' נערכם על ה' יעלו מ' ושרשם בדרך קרובה ו' שליש, חלקם על ה' יצא אחד וחומש ושליש חומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1+\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{\sqrt{5\sdot8}}{5}=\frac{\sqrt{40}}{5}=\frac{\sqrt{40\sdot100}}{5\sdot\sqrt{100}}}}$	ותדענו שתערוך המ' בק' וקח שרש העולה וחלקהו על העולה מערך ה' על שרש ק' והיוצא הוא השרש
	ועל אלו הדרכים נהגו חכמי המדות להוציא השרשים בשלמים ובנשברים ובשברי השברים עד אין קץ
sexagesimal fractions
	וחכמי המזלות מוציאים אותו למעלות לראשונים ולשניים ולשלישיים ומדקדקים עד עשיריים ועד כמה שירצו
	וסוף הכל לא יגיעו אל האמת רק בדרך קרובה
extracting roots of degrees is the same as extracting roots of integers	וכאשר אתה מוציא שרש מספר מעלות, אתה מוציאו בדרך הוצאת שרשי המספר השלם ויהיה השרש מעלות כמוהו
two kinds of sexagesimal fractions:	וכאשר תוציא שרש מספר שברים יש לך לדעת כי השברים נחלקים לשני מינין‫:
1) Sexagesimal fractions with a known root:	יש מהם שיש להם שרש ידוע ומפורסם
seconds: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{60^2}}=\frac{1}{60}}}$ fourths: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{60^4}}=\frac{1}{60^2}}}$	כגון השניים והרביעים, ששורש השניים הם ראשונים ושרש רביעיים הם שניים
they are a product of fractions by themselves: minutes × minutes = secondes $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{60}\times\frac{1}{60}=\frac{1}{60^2}}}$	מפני כי כאשר תערוך ראשונים על ראשונים יעלו שניים
seconds × seconds = fourths $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{60^2}\times\frac{1}{60^2}=\frac{1}{60^4}}}$	וכאשר תערוך שניים על שניים יעלו רביעים
2) Sexagesimal fractions with an unknown root	ויש מהם שאין להם שרש ידוע ומפורסם
minutes and thirds and fifths...	כגון הראשונים והשלישיים והחמישיים וכל הדומה להם
they are not a product of fractions by themselves	כי אין אתה מוצא שברים שתהיה עריכתם על עצמם מוציאה אל השברים האלה
extracting the root of sexagesimal fractions of the first kind (with a known root) is the same as extracting the root of integers	ומיכן היה הדרך בהוצאת שרשי השברים אם יהיו השברים שתרצה להוציא שרשם מן המין ששרשם ידוע ומפורסם, אתה מוצא שרשם בדרך הוצאת שרשי מספרי השלמים
	אך שאתה קורא שם השרש ממין השברים אשר עריכתו על עצמו מוציאך אל שם השברים שאתה רוצה להוציא שרשם
$\scriptstyle\sqrt{\frac{9}{60^2}}$	כגון שהיית רוצה להוציא ט' שניים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=3\longrightarrow\sqrt{\frac{9}{60^2}}=\frac{3}{60}}}$	ואתה יודע כי שרש ט' במספר השלם הוא ג' שלמים ובכאן אתה אומר כי השרש ו' ראשונים, מפני שעריכת ראשונים על ראשונים מוציאך אל שניים, אשר הם המין שאתה מוציא שרשו
	ועל זה הדרך לכל השברים אשר שרשם ידוע ומפורסם
extracting the root of sexagesimal fractions of the second kind (with an unknown root):	ואם היו השברים שאתה מוציא שרשיהם מן השברים הסתומים והנעלמים, שאין שרשיהם מפורסמים
converting the fraction to the closest smaller fraction with a known root	אתה משיב השברים ההם אל השברים הקרובים אשר פחותים מהם ששרשיהם ידועים ויהיה שרש המספר ההוא מן המין אשר עריכתו על עצמו מוציאך אל המין אשר החזרת חשבונך אליו
$\scriptstyle\sqrt{\frac{15}{60^3}}$	כאלו רצית להוציא שרש ט"ו שלישיים והם מן השברים הסתומים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{15}{60^3}}=\sqrt{\frac{900}{60^4}}=\frac{30}{60^2}}}$	ואתה מחזיר אותם אל רביעיים אשר הוא הקרובים אליהם והם מהידועים וכשנערוך ט"ו על ששים יעלו תת"ק רביעיים ושרשם הוא שלשים והם שניים, כי שניים על שניים מוציאך אל רביעים ונמצא אתה אומ' כי ט"ו שלישיים שרשם שלשים שניים
	ועל זה הדרך לכל השברים שאין שרשם מפורסם
if there are seconds in the square - there are minutes in the root: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{a^2}{60^2}}=\frac{a}{60}}}$	ולעולם אם יהיה במרובע שניים יהיה בשרש ראשונים
if there are fourths in the square - there are seconds in the root: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{a^2}{60^4}}=\frac{a}{60^2}}}$	ואם רביעיים יהיה בשרש שניים
the rank of the fractions of the root is half the rank of the fractions of the square: $\scriptstyle\sqrt{\frac{a^2}{60^n}}=\frac{a}{60^{\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}$	והכלל כי בשרש יהיה מספר חצי השברים
sexagesimal approximations of integers
Two sexagesimal approximation methods	והנה לך שני דרכים על דרך חכמי המזלות להוציא השרשים בדרך קרובה מדוקדקים היטב‫:
first approximation method
	הדרך האחד שתוציא שרש המרובע שעבר הקרוב אליו והנשאר שהוא המרחק שיש בין חשבונך ובין המרובע תערך אל ששים יקראו ראשונים
$\scriptstyle\sqrt{a^2+\frac{\left(2\sdot a\sdot n\right)+m}{60}}=\sqrt{\left(a+\frac{n}{60}\right)^2+\left[\frac{m}{60}-\left(\frac{n}{60}\right)^2\right]}\approx a+\frac{n}{60}$	והעולה תחלק על כפל השרש, רק השמר שלא תתן לו הכל בחלוק בעבור שתוכל לחסר ממנו מרובע מה שיצא בחלוק ודע שהיוצא בחלוק הם ראשונים וכאשר תערכם על עצמם יהיה העולה שניים, תשיבם ראשונים ואז תחסרם מהנשאר ויהיה בידך בשרש מעלות וראשונים ומה שנשאר בידך אחרי שהוצאת ממנו מרובע הראשונים תערוך על ששים יהיו שניים ותשיבם גם לשלישיים בעבור שיתחלקו על כפל השרש אחר שתשיבם ראשונים והיוצא בחלוק הם שניים
	והשמר שישאר שתוכל לחסר מרובע מה שיצא בחלוק
	וככה עד שתגיע אל השלישים והוא מדוקדק
$\scriptstyle\sqrt{2}$	והדמיון רצינו להוציא שרש שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{1+\frac{60}{60}}=\sqrt{1+\frac{2\sdot25}{60}+\frac{10}{60}}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{60}-\left(\frac{25}{60}\right)^2=\frac{10}{60}-\left(\frac{10}{60}+\frac{25}{60^2}\right)<0}}$	והמרובע הקרוב שעבר הוא אחד ושרשו אחד ונשאר אחד ונשאר א' נשיבהו ראשונים והוא ששים, חלקנום על כפל השרש ולא יכולנו לתת בחלוק כ"ה כי לא ישארו זולתי ויש לנו מהם מרובע כ"ה ראשונים שהם י' ראשונים כ"ה שניים והנה יוסיפו כ"ה שניים
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle=\sqrt{1+1}\\&\scriptstyle=\sqrt{1+\frac{60}{60}}\\&\scriptstyle=\sqrt{1+\frac{2\sdot24}{60}+\frac{12}{60}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+\frac{24}{60}\right)^2+\left[\frac{12}{60}-\left(\frac{24}{60}\right)^2\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+\frac{24}{60}\right)^2+\left[\frac{12}{60}-\left(\frac{9}{60}+\frac{36}{60^2}\right)\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+\frac{24}{60}\right)^2+\left(\frac{2}{60}+\frac{24}{60^2}\right)}\\&\scriptstyle\approx1+\frac{24}{60}\\\end{align}}}$	ובעבור זה לא נתננו לו כי אם כ"ד ונשארו י"ב ומרובע כ"ד הוא ט' ראשונים ל"ו שניים חסרנום מן י"ב הנשארים וישארו ב' ראשונים כ"ד שניים והשרש א' כ"ד
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+\frac{24}{60}\right)^2+\left(\frac{2}{60}+\frac{24}{60^2}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+\frac{24}{60}\right)^2+\left(\frac{168\sdot51}{60^3}+\frac{72}{60^3}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+\frac{24}{60}\right)^2+\left[\left[2\sdot\left(1+\frac{24}{60}\right)\sdot\frac{51}{60^2}\right]+\frac{72}{60^3}\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}\right)^2+\left[\frac{72}{60^3}-\left(\frac{51}{60^2}^2\right)\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}\right)^2+\left[\frac{72}{60^3}-\left(\frac{43}{60^2}+\frac{21}{60^4}\right)\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}\right)^2+\left(\frac{28}{60^3}+\frac{39}{60^4}\right)}\approx1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}\\\end{align}}}$	השיבונו ב' ראשונים כ"ד שניים לשלישיים בעבור שנוכל לחלק על כפל השרש שהם ק'ס'ח' ראשונים יצא בחלוק נ"א שניים ונשארו לנו ע"ב שלישיים וכאשר תסיר מהם מרובע נ"א שניים שהוא מ"ג שלישיים כ"א רביעיים ישארו כ"ח שלישיים ל"ט רביעיים והשרש א'כ'ד' נ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}+\frac{8}{60^4}}}$	ועל זה הדרך תדקדקהו תמצא השרש א'כ'ד' נ"א י'ח' רביעיים והוא מדוקדק
	ואם תערוך על זה המספר שרש חשבון שתרצה שיהיה העולה שרש כפל החשבון
$\scriptstyle\sqrt{7200}$ ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{7200}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot3600}\\&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot60^2}\\&\scriptstyle=60\sdot\sqrt{2}\\&\scriptstyle\approx60\sdot\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\ldots\right)\\&\scriptstyle=60\sdot\left(\frac{60+24}{60}+\frac{51}{60^2}+\ldots\right)\\&\scriptstyle=60\sdot\left(\frac{84}{60}+\frac{51}{60^2}+\ldots\right)\\&\scriptstyle=84+\frac{51}{60}+\ldots\\\end{align}}}$	ואם תשיב האחד לס' ראשונים ותחבר עמהם הכ"ד ראשונים יהיו פ"ד ותחשבם שהם שלמים ותחשב כמו כן השניים ראשונים והשלישיים שניים והרביעיים שלישיים, אז תמצא שרש שבעת אלפים ומאתים, כי שלשת אלפים ושש מאות הוא מרובע ששים והנו חשוב כאחד והמספר הנזכר והוא כפלו
$\scriptstyle\sqrt{b^2a}=b\sqrt{a}$	ולעולם אם ידענו שרש מספר ונרצה לדעת שרש מספר שהוא כפל כפלו נכפול השרש וככה הוא
$\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{4}a}=\frac{1}{2}\sqrt{a}$	והפך הדבר אם ידענו שרש מספר ידוע ונרצה לדעת כמה שרש מספר שהוא רביעיתו נקח חצי השרש וככה הוא
second approximation method
if the given number is larger than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2+b}}$ "uncorrected root": $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}$	והדרך האחרת חלק המרחק מהמרובע הקרוב על כפל השרש ותן לו הכל והיוצא תחבר עם השרש הקרוב אשר לפניו וככה השרש שאיננו מתוקן
if the given number is less than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2-b}}$ "uncorrected root": $\scriptstyle\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{b}{2a}$	אך אם היה המרובע הבא אשר לאחריו יותר קרוב, תחלק המרחק על שרש המרובע הבא והיוצא תחסר מהשורש מן המרובע הבא והנשאר הוא השרש שאיננו מתוקן
"corrected root": $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$ $\scriptstyle\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a-\frac{b}{2a}\right)}$	ואחר כן קח מה שעלה בחלוק על איזה דרך שיהיה וערוך אותו על עצמו והעולה תחלק על כפל השרש שאיננו מתוקן והיוצא בחלוק, בין שלקחת שרש המרובע אשר עבר, בין שלקחת שרש המרובע הבא, תגרע מהשרש שאיננו מתוקן וההוה אחר הגרעון יהיה השרש מתוקן פעם אחת
	ועל זה הדרך תקנהו עד שתגיע לשלישיים והוא מדוקדק קרוב אל האמת
checking whether the given number is larger than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2+b}}$ or less than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2-b}}$	ובהוציאך השרש תוכל לדעת ולהכיר אם לקחת חשבון קרוב אל המרובע שעבר או אל הבא
$\scriptstyle\frac{b}{2a}>\frac{30}{60}\longrightarrow\left[\left(a+1\right)^2-\left(a^2+b\right)\right]<\left(a^2+b\right)-a^2$ → the given number is less than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2-b}}$	כי כאשר תחלק המרחק ממרובע הראשון על כפל השרש אם עלה יותר משלשים, אז תדע כי הוא קרוב אל המרובע הבא
$\scriptstyle\frac{b}{2a}<\frac{30}{60}\longrightarrow\left[\left(a+1\right)^2-\left(a^2+b\right)\right]>\left(a^2+b\right)-a^2$ → the given number is larger than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2+b}}$	ואם עלה שלשים או פחות, דע כי הוא קרוב אל המרובע שעבר
$\scriptstyle\sqrt{2}$	והדמיון רצינו להוציא שרש שניים
$\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2-1}{2\sdot1}=1+\frac{1}{2}=1+\frac{\frac{60}{60}}{2}=1+\frac{30}{60}}}$	יהיה המרחק אחד והוא ס' ראשונים חלקנום על כפל השרש שהוא שנים יצא ל' חלקים ראשונים, חברנום עם השרש שהוא אחד והוא השרש שאיננו מתוקן
$\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\right)-\frac{\left(\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\right)}$ ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{\left(\frac{30}{60}\right)^2}{2\sdot\left(1+\frac{30}{60}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{\frac{15}{2\sdot\left(1+\frac{30}{60}\right)}}{60}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{\frac{15}{3}}{60}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{5}{60}=1+\frac{25}{60}\\\end{align}}}$	רצינו לתקנו ערכנו ל' על עצמו וחלקנום על ס' יצא ט"ו וחלקנום על כפל השרש שאינו מתוקן שהוא ג' יצא ה' חסרנום מהשרש שאינו מתוקן ונשאר א'כ"ה והוא מתוקן פעם אחת
$\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}-\frac{\left[\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2}{2\sdot\left[a+\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]}$ ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\left(\frac{5}{60}\right)^2\sdot\frac{60}{60}}{2\sdot\left(1+\frac{25}{60}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{25}{60^2}\sdot\frac{60}{60}}{2\sdot\left(1+\frac{25}{60}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{1500}{60^3}}{2\sdot\left(1+\frac{25}{60}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{1500}{60^3}}{\frac{170}{60}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{140}{170}}{\frac{60^3}{60}}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{140\sdot60}{170}}{\frac{60^4}{60}}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{8400}{170}}{\frac{60^4}{60}}\right)\\&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{49}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\\\end{align}}}$	נתקן אותו פעם שנית ונערוך ה' ראשונים שיצאו בחלוק על עצמם עלו כ"ה והם שניים השיבונו אותם שלישיים עלו אלף וחמש מאות וחלקנום על כפל השרש המתוקן והוא ק"ע ראשונים יצא בחלוק ח' והם שניים ונשארו ק"מ השיבונום לרביעים, עלו ח' אלפים וארבע מאות חלקנום על ק"ע ויצא מ"ט ונשארו עוד לחלק, אך אין צריך להטריח יותר והנה יש לנו לחסר מהשרש המתוקן ח' שניים מ"ט שלישיים וישאר א'כ"ד כ"א י"א והוא מדוקדק
combination of a shortcut and approximation: $\scriptstyle\sqrt{a}=\frac{\sqrt{a\sdot10^{2n}}}{10^n}$
	ואם תרצה להוציא שרשו שתקח דמיונו במעלה השלישית והוא במאות והנכון במעלה החמישית ואם תקחנו במעלה השביעית יהיה יותר נכון
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}\approx141+\frac{25}{60}+\frac{16}{60^2}+\frac{58}{60^3}}}$	וכאשר תוציא שרש שנים מן המעלה החמישית, תוציא שרש עשרים אלף שהוא הדומה כמשפט, תמצאנו ק'מ'א' שלמים כ"ה ראשונים י"ו שניים נ"ח שלישיים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}=\frac{\sqrt{20000}}{100}\approx1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}+\frac{7}{60^4}+\frac{48}{60^5}}}$	ולדעת שרש שנים, חלק הכל על מאה והיוצא הוא שרש שנים והוא אחד שלם כ"ד ראשונים נ"א שניים י' שלישיים ז' רביעיים מ"ח חמישיים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}=100\sdot\sqrt{2}}}$	ואם ידעת שרש שנים, תערכנו על מאה והעולה הוא שרש כ' אלף
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}=\frac{\sqrt{200}}{10}}}$	ואם הוצאת שרש שנים מן המעלה השלישית שהיא המאות, הוציא שרש מאתים שהוא הדומה והיוצא חלק על עשרה ונמצא שרש שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}=100\sdot\sqrt{2}}}$	ואם ידעת שרש שנים תערכנו על מאה והעולה הוא שרש כ' אלף
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{200}=10\sdot\sqrt{2}}}$	ואם הוצאת שרש שנים מן עשרה והעולה הוא שורש מאתים
	ואם תרצה להוציא שרש עשרה תוציאנו בכל הדרכים כמשפטם תמצאנו ג' שלמים כ"ו ראשונים מ"ד שניים י"ב שלישיים
Shortcuts
$\scriptstyle\sqrt{10a^2}=a\sqrt{10}$	וכל מספר שנדע שרשו, אם נערכנו על עשרה ונרצה לדעת כמה שרש המחובר מהמערכות, תערוך השרש של המספר על שרש עשרה והעולה הוא המבוקש
there are tables of roots from 1 to 2½ and a range up to 6¼: $\scriptstyle1,\ldots,\left(2+\frac{1}{2}\right)\longrightarrow1,\ldots,\left(2+\frac{1}{2}\right)^2=1,\ldots,\left(6+\frac{1}{4}\right)$	והנה יש לוחות עשויות מאחד שלם עד שנים וחצי, ויעלה המרובע עד ששה שלמים ורביע, ומהם תוכל לתקן כל השרשים
guidelines for finding roots using these tables:
for fractions smaller than 1: $\scriptstyle a<1\longrightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{4\sdot a}$	ואם היו לך חלקים פחותים מאחד, ערכם על ארבעה וקח בלוח שרש העולה ומה שיהיה קח חציו
if double the number is less than 1: $\scriptstyle2a<1\longrightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{4}\sdot\sqrt{8\sdot2a}$	ואם כפלנוהו כל ככה ולא עלה עד אחד, ערכהו על שמונה וקח רביעית השרש
for numbers beteen 1 and 6¼:	ואם היה חשבונך מאחד ועד ששה ורביע ותרצה להוציא השרש, בקש מספר חשבונך
if the number does not appear in the table: $\scriptstyle1\le\left(a^2+b\right)\le\left(6+\frac{1}{4}\right)\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{60b}{2a}$ $\scriptstyle1\le\left(a^2-b\right)\le\left(6+\frac{1}{4}\right)\longrightarrow\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{60b}{2a}$	ואם לא תמצאנו קח השרש בלוח שהוא כנגד החשבון הקרוב הנמצא לפניו או לאחריו וקח הקרוב אל חשבונך בין לפניו בין לאחריו וערוך המרחק הנמצא בין החשבון ובין חשבונך על ששים וחלק העולה על המרחק הנמצא בין שני המרובעים וההוה תוסיפנו על השרש הנמצא אם היה החשבון בלוחות שלקחת פחות מחשבונך ואם יותר תגרענו אז תמצא המבוקש
for numbers greater than 6¼ and smaller than 25: $\scriptstyle\left(6+\frac{1}{4}\right)<a\le25\longrightarrow\sqrt{a}=2\sdot\sqrt{\frac{1}{4}a}$	ואם היה המספר יותר מששה ורביעית עד חמשה ועשרים שלמים קח שרש רביעיתו וההוה בשרש כפלהו תמצא השרש
for numbers greater than 25 and smaller than 100: $\scriptstyle25<a\le100\longrightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{2}\sdot\left(10\sdot\sqrt{\frac{4a}{100}}\right)$	ואם היה יותר מכ"ה עד מאה כפלהו ארבעה פעמים וקח שרש הדומה וההוה קח חציו וככה שרש המבוקש
	והנה המאות דומות לאחדים
for numbers greater than 100 [and smaller than 1000]: $\scriptstyle100\le a<1000\longrightarrow\sqrt{a}=10\sdot\sqrt{\frac{10a}{100}}$	ואם היה לך מספר יותר ממאה ערכהו על ששה וחלק העולה על עשרה וההוה קח שרשו וקח לכל מאה אחד במרובע וכאשר תדע השרש תערכנו על עשרה אז תמצא השרש המבוקש
for numbers greater than 1000 [and smaller than 10000]: $\scriptstyle1,000\le a<10,000\longrightarrow\sqrt{a}=10\sdot\sqrt{\frac{a}{100}}$	ואם היה חשבונך באלפים חשוב כי הוא בעשרות והוצא דמיונו והיוצא ערכנו על עשרה אז תמצא רצונך
for numbers greater than 10000 [and smaller than 100000]: $\scriptstyle10,000\le a<100,000\longrightarrow\sqrt{a}=100\sdot\sqrt{\frac{a}{10000}}$	ואם החשבון בעשרות אלפים הוציא הדומה וההוה תערכנו על מאה
for numbers greater than 100000 [and smaller than 1000000]: $\scriptstyle100,000\le a<1,000,000\longrightarrow\sqrt{a}=100\sdot\sqrt{\frac{a}{10000}}$	ואם במאות אלפים הוצא הדומה בעשרות וההוה תערכנו על מאה
	ועל זה הדרך תוכל להוציא שרש כל חשבון שתרצה
for numbers greater than 1000000 [and smaller than 10000000]: $\scriptstyle1,000,000\le a<10,000,000\longrightarrow\sqrt{a}=1000\sdot\sqrt{\frac{a}{1000000}}$	ואלף אלפים דומה לאחדים וההוה בשרש ערכנו על אלף
	ומשם והלאה תעשה על זה הדרך

הספר הנשלם
תהלה לאל עולם

Appendix: Bibliography

Anonymous Textbook

Manuscripts:

Budapest, Magyar tudomanyos akademia, MS Kaufmann A 507/2 (IMHM: f 15161), ff. 20-43 (15th-16th century)
Genève, Bibliothèque de Genève, MS héb. 10/1 (IMHM: f 2320), ff. 2r-38r (14th-15th century)

Ms. heb. 10

Vatican, Biblioteca Apostolica, MS ebr. 171/18 (IMHM: f 8630), f. 104r, line 3 – f. 105v, line 19 (Canea, 1493)

Vat.ebr.171

Bibliography:

Aradi, Naomi. 2013. An Unknown Medieval Hebrew Anonymous Treatise on Arithmetic, Aleph 13.2, pp. 235-309.
Lévy, Tony. 2002. A Newly Discovered Partial Hebrew Version of al-Khwārizmı̄’s Algebra, Aleph 2, pp. 225–34.

@@ Line 1,823: / Line 1,823: @@
 |-
 |
-*{{#annot:2×3¼|156|rNFH}}Such as two by three and a quarter.
+*{{#annot:2×(3+¼)|17|rNFH}}Such as two by three and a quarter.
 :<math>\scriptstyle2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)</math>
 |style="text-align:right;"|כגון שנים על שלשה ורביע{{#annotend:rNFH}}
@@ Line 1,882: / Line 1,882: @@
 |-
 |
-*{{#annot:¾×9|156|lhz8}}Such as three quarters by nine.
+*{{#annot:¾×9|17|lhz8}}Such as three quarters by nine.
 :<math>\scriptstyle\frac{3}{4}\times9</math>
 |style="text-align:right;"|כגון שלשה רביעיות בתשעה{{#annotend:lhz8}}
@@ Line 1,904: / Line 1,904: @@
 |-
 |
-*{{#annot:3⅐×5⅛|156|t8Al}}Such as three and a seventh by five and an eighth.
+*{{#annot:(3+⅐)×(5+⅛)|17|t8Al}}Such as three and a seventh by five and an eighth.
 :<math>\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)</math>
 |style="text-align:right;"|כגון שלשה ושביעית על חמשה ושמינית{{#annotend:t8Al}}
@@ Line 2,021: / Line 2,021: @@
 |-
 |
-*{{#annot:3¼×5⅙⅐|156|ubkD}}Such as three and a quarter by five and a sixth of a seventh.
+*{{#annot:(3+¼)×(5+⅙·⅐)|17|ubkD}}Such as three and a quarter by five and a sixth of a seventh.
 :<math>\scriptstyle\left(3+\frac{1}{4}\right)\times\left[5+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]</math>
 |style="text-align:right;"|כמו שלשה ורביעית על חמשה וששית שביעית{{#annotend:ubkD}}
@@ Line 2,243: / Line 2,243: @@
 ==== fraction of integer and fraction by fraction of integer ====
-*{{#annot:¾·3⅓×⁶/₇·5|156|Na7V}}If you multiply three quarters of three and a third by six sevenths of five.
+*{{#annot:(¾·(3+⅓))×(⁶/₇·5)|17|Na7V}}If you multiply three quarters of three and a third by six sevenths of five.
 :<math>\scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left(\frac{6}{7}\sdot5\right)</math>
 |style="text-align:right;"|ואם תערוך שלשה רביעיות [ש]ל שלשה ושליש על ששה שביעיות חמשה{{#annotend:Na7V}}
@@ Line 2,263: / Line 2,263: @@
 ==== fraction of integer and fraction by fraction of integer and fraction ====
-*{{#annot:⅞·5⅓×⅗·6¼|156|tInL}}If you multiply seven eighths of 5 and a third by 3 fifths of 6 and a quarter.
+*{{#annot:(⅞·(5+⅓))×(⅗·(6+¼))|17|tInL}}If you multiply seven eighths of 5 and a third by 3 fifths of 6 and a quarter.
 :<math>\scriptstyle\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]</math>
 |style="text-align:right;"|ואם תערוך שבעה שמיניות של ה' ושליש בג' חמישיות של ו' ורובע{{#annotend:tInL}}
@@ Line 2,286: / Line 2,286: @@
 ==== fraction of fraction by fraction of fraction ====
-*{{#annot:¾·⅗×⅚·³/₇|17|ySC3}}If you multiply 3 quarters of 3 fifths by 5 sixths of 3 sevenths.
+*{{#annot:(¾·⅗)×(⅚·³/₇)|17|ySC3}}If you multiply 3 quarters of 3 fifths by 5 sixths of 3 sevenths.
 :<math>\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}\right)</math>
 |style="text-align:right;"|ואם תערוך ג' רביעיות של ג' חומשין בה' שתותין של ג' רביעיות{{#annotend:ySC3}}

Difference between revisions of "Anonymous"

Revision as of 08:53, 12 January 2020

Contents

Introduction

presentation of the products of units by nine through the arrangement of the nine digits in a circle

One is not a number

One is a number

general properties of numbers that apply to one

properties of the numbers 2-10 that pertain to one

the number two

the number three

the number four

the number five

the number six

the number seven

the number eight

the number nine

the number ten

the uniqueness of one – as mean between the proper fractions and the improper fractions

The Twelve Names that Form Every Number

table of contents

interpolated excerpt

Chapter One: Addition

Addition of Integers

Sums

Addition of Fractions

sexagesimal fractions

simple fractions

Chapter Two: Subtraction

Subtraction of Integers

Subtraction of Fractions

sexagesimal fractions

simple fractions

Chapter Three: Multiplication

Integers by Integers

Integers by Fractions

sexagesimal fractions

integers by integers and fractions

simple fractions

integers by fractions fractions

simple fractions

integers and fractions by integers and fractions

simple fractions

sexagesimal fractions

integers and fractions by integers and fractions of fractionsn

simple fractions

Fractions by Fractions

sexagesimal fractions

simple fractions

fraction by fraction

fraction by fraction of fraction

fraction of integer and fraction by fraction of integer

fraction of integer and fraction by fraction of integer and fraction

fraction of fraction by fraction of fraction

Chapter Four: Division

Integers by Integers

sexagesimal fractions

simple fractions

Fractions by Integers or Integers by Fractions

sexagesimal fractions

simple fractions

integer by integer and fraction

integer by fraction of integer and fraction

integer and fraction by fraction

integer and fraction by fraction and fraction of fraction

Completion of Fractions

Fractions by Fractions

sexagesimal fractions

simple fractions

integer and fraction by integer and fraction

integer and fraction by fraction

fraction by fraction

fraction of integer and fraction by fraction of integer and fraction

Chapter Five: Ratios

sexagesimal fractions

simple fractions

Chapter Six: Deducing One from Another

in Astrology

in Mathematics

Word Problems