Sums
|
|
|
|
|
- 17) Question: if you want to add from 1 to 14, i.e. 1 with 2, with 3, and so on until 14
|
יז) שאלה אם תרצה לקבץ מא' עד י"ד ר"ל א' עם ב' ועם ג' וכן עד י"ד
|
 
|
ראוי להוסיף א' על י"ד ויהיו ט"ו אח"כ כפול ט"ו על י"ד והם ר"י תחלקם על ב' ויצא לך ק"ה והוא המבוקש
|
- even number of terms \ last term is even
|
|
- 18) Question: if the number [of terms] is even take half this number and multiply it by the whole number, then add the result to half the number
![\scriptstyle\sum_{i=1}^{2m} i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2m\right)\sdot2m\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot2m\right)](/mediawiki/images/math/1/8/b/18bd1a03b4210da19a2a238a1343388b.png)
|
יח) שאלה הנה תוכל לעשותה באופן אחר והוא אם המספר הוא זוג ראוי לקחת מחצית אותו המספר ולכפול אותו על כל המספר ולחבר על סך העולה מחצית המספר
|
- Example: we want to know [the sum] from 1 to 16
|
דמיון זה נרצה לדעת מא' עד י"ו
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{16} i=1+\ldots+16&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot16\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\\&\scriptstyle=\left(8\sdot16\right)+8=128+8=136\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/c/a/1/ca13a39414ddf9050d2932990be6a0ae.png)
|
ראוי לקחת מחצית י"ו שהם ח' ותכפלם על י"ו ויהיה העולה קכ"ח עו' תוסיף על זה מחצית י"ו שהם ח' ויהיו קל"ו והוא המבוקש
|
- odd number of terms \ last term is odd
|
|
- 19) Question: if [the number of terms] is odd the larger part should be taken and multiplied by the whole number and the result is the required
|
יט) שאלה אולם אם הוא נפרד ראוי לקחת החלק היותר גדול ולכפול אותו על כל המספר והעולה הוא המבוקש
|
- Example: we want to know the sum from 1 to 25
|
דמיון זה נרצה לדעת המחובר מא' עד כ"ה
|
|
הנה ראוי לקחת מכ"ה החלק היותר גדול שהוא י"ג ותכפול י"ג על כ"ה והעולה הוא שכ"ה והוא המבוקש
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot25\right)\sdot25\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot25\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(12+\frac{1}{2}\right)\sdot25\right]+\left(12+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(312+\frac{1}{2}\right)+\left(12+\frac{1}{2}\right)=325\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/8/1/f/81f147723e725c0385cd9dd0496fa0ed.png)
|
או אם תרצה תחלק כ"ה על ב' ויהיו י"ב וחצי וכפול אותם על כ"ה ויהיו ג' מאות וי"ב וחצי
אח"כ תוסיף על זה מחצית כ"ה שהם י"ב וחצי ויהיו שכ"ה
|
|
|
|
- 20) Question: add from 1 to 10 without the [first] three
|
כ) שאלה קבץ מא' עד י' ולא יהיו הג' בכלל
|
|
הנה ראוי לקבץ מא' עד י' שהם נ"ה כאשר ידעת אח"כ קבץ מא' עד ג' שהם ו' ותפיל ו' מנ"ה הנשאר מ"ט והוא המבוקש
|
- the number of terms \ the last term is unknown
|
|
- 21) Question: we summed up all the numbers until an unknown number and the sum is 120
|
כא) שאלה חברנו כל המספרים עד מספר נעלם ועלה המחובר ק"כ
|
 
|
ראוי לחלק זה המספר על ב' ויהיו ס' ולכפול אותו על ד' ויהיו ר"מ והנה יש לך עתה לקחת השרש שעבר ר"ל שהוא קרוב אל ר"מ ותמצא ט"ו והוא המבוקש
|
|
ר"ל כי כשתקבץ מא' עד ט"ו יעלה ק"כ
|
|
|
|
- 22) Question: add all the odds from 1 to 9
|
כב) שאלה קבץ מא' עד ט' כל הנפרדים
|
|
הנה ראוי לשים א' על אותו המספר שהזכיר ולחלק סך העולה על ב' אח"כ ראוי לקחת מרובע העולה מהחלוקה והוא המבוקש
|
|
והנה נשים על ט' א ויהיו י' אח"כ נחלק אותו על ב' ויהיו ה' נקח מרובעו והוא כ"ה והוא חבור כל נפרדים מא' עד ט'
|
|
|
|
- 23) Question: if you want to know the sum of all the evens from 2 to 12
|
כג) שאלה אם תרצה לדעת חבור כל הזוגות אשר הם מב' עד י"ב
|
 
|
הנה ראוי לקחת מחצית י"ב [והוא ו'] ולקחת מרובעם שהם ל"ו ויהיו מ"ב
|
- sum of odds: number of terms \ last term is unknown
|
|
- 24) Question: we summed up all the odds until an unknown numbers and the sum is 25
|
כד) שאלה חברנו כל הנפרדים עד מספר נעלם ועלה כ"ה
|
 
|
ראוי לקחת שרש כ"ה ואח"כ כפול אותו על ב' ותפיל א' מהמקובץ והנה שרש כ"ה הוא ה' וכפול אותו והוא י' ותפיל ממנו א' ונשאר ט' והוא המבוקש
|
- sum of evens: number of terms \ last term is unknown
|
|
- 25) Question: we summed up all the evens from 1 to an unknown number and the sum is 42
|
כה) שאלה חברנו כל הזוגות מא' עד מספר בלתי ידוע ועלה המחובר מ"ב
|
 
|
הנה ראוי לקחת השרש שעבר וידוע כי השרש שעבר היה ו' כפול אותו על ב' ויהיו י"ב והוא המבוקש
|
|
|
|
- 26) Question: if you want to sum up all the squares from 1 to 4
|
כו) שאלה אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' ועד ד'
|
![\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^2=\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]](/mediawiki/images/math/f/3/8/f383bed5b67ee7c245135a7fb57622d9.png) ![\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{4} i^2=1^2+\ldots+4^2=\left(\sum_{i=1}^{4} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]=10\sdot3=30}}](/mediawiki/images/math/4/0/f/40f49ed8fd7dae5cd48ba297c4c97372.png)
|
הנה ראוי לחבר כל המספרים אשר מא' עד ד' שהם עשרה אח"כ קח ב' שלישיות ד' עם תוספת שליש שהם ג' כפול ג' על י' ויהיו ל
|
- 27) Question: if you want to sum up all the square from 1 to 25
|
כז) שאלה אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' עד כ"ה
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} i^2=1+\ldots+25=\left(\sum_{i=1}^{5} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot5\right)+\frac{1}{3}\right]=15\sdot\left(3+\frac{2}{3}\right)=55}}](/mediawiki/images/math/8/5/6/8569a9e5344d62c805e1fe2b4fafd0b5.png)
|
תחבר כל המספרי' והנם ט"ו וקח ב' שלישיות ה' עם תוספת שלישית ויהיו ג' וב' שלישיות וכפול אותם על ט"ו ויעלה נ"ה
|
- sum of squares: first term is not 1
|
|
- 28) Question: sum up from the square of 4 to the square of 8
|
כח) שאלה ואלו אמר קבץ ממרובע ג' עד מרובע ח'
|
|
ראוי לקבץ כל המרובעים אשר הם מא' עד ח' שהם ר"ד אח"כ תקבץ המרובעים מא' עד ג' ותפיל י"ד מן ר"ד הנשאר ק"ץ והוא המבוקש
|
- sum of the squares of even numbers
|
|
- 29) Question: if you want to sum up all the squares of the even numbers from 2 to 8
|
כט) שאלה אם תרצה לקבץ כל המרובעים אשר הם מב' עד ח' על המשך הזוגות
|
![\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{n} 2i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot2n\right)+\frac{2}{3}\right]](/mediawiki/images/math/2/d/e/2de18a9dd87582f0b515376d40b5033c.png) ![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i\right)^2&\scriptstyle=2^2+\ldots+8^2\\&\scriptstyle=\left(\sum_{i=1}^{4} 2i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot2\sdot4\right)+\frac{2}{3}\right]\\&\scriptstyle=\left(2+\ldots+8\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot8\right)+\frac{2}{3}\right]=20\sdot6=120\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/2/7/0/270ff6e8ecc1f13c2bc78d851a2bd983.png)
|
הנה ראוי לחבר כל הזוגות אשר הם מב' עד ח' שהם עשרים
אח"כ קח שני שלישי ח' עם תוספת ב' שלישיות א' ויהיו ו' שלמים
כפול אותם על כ' ויהיו ק"כ והוא המבוקש
|
- sum of the squares of odd numbers
|
|
- 30) Question: sum up the squares of the odd numbers from 1 to 7
|
ל) שאלה קבץ ממרובע א' עד מרובע ז' על המשך הנפרדים
|
![\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^2=\left[\left[\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)\right]\right]+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]](/mediawiki/images/math/4/4/8/44823089caa95d12f6b3cacec55ef4ad.png) ![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i-1\right)^2&\scriptstyle=1^2+\ldots+7^2\\&\scriptstyle=\left[\left[\sum_{i=1}^4 \left(2i-1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{i=1}^4 \left(2i-1\right)\right]\right]+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot\left(7+1\right)\\&\scriptstyle=\left[16-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot16\right)+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot8\\&\scriptstyle=\left[\left[15-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)\right]+\left[\left(16-15\right)-\frac{1}{2}\sdot\left(16-15\right)\right]\right]\sdot8\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot15\right)+\left[1-\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]\right]\sdot8\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{1}{2}\right)\sdot8=84\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/7/6/a/76af8644a2ddace074216268b7852b05.png)
|
תחבר כל הנפרדים אשר הם עד ז' והנם י"ו
אח"כ תפיל שלישית י"ו עם תוספת ב' חלקים מי"ב
או תפיל מט"ו שלישיתם וישאר עד י"ו א' אח"כ תפיל מזה הא' מחציתו וחבר אותו עם ב' שלישיות ט"ו ויהיו י' וחצי
אח"כ תוסיף א' על ז' ויהיו ח' והכם בי' וחצי ויצא לך פ"ד
|
|
|
|
- 31) Question: sum up from the cube of 1 to the cube of 7
|
לא) שאלה קבץ לי ממעוקב א עד מעוקב ז'
|
|
ודע כי מעוקב ר"ל א' פעם א' א' פעם ב' א' פעם ג' א' פעם ד' וכן עד ז'
ואח"כ תקח הב' ותכה אותו עם כל המספרים מא' עד ז'
ואח"כ תכה הג' מא' עד ז'
וכן הד' וכן עד כלות כל המספרים
|
|
אם תרצה לדעת סך העולה ראוי לחבר כל הנפרדים אשר הם מא' עד ז' והם כ"ח אח"כ קח מרובע כ"ח שהם תשפ"ד וכן הוא חבור כל המעוקבים מא' עד ז'
|
- square of sum of natural numbers: number of terms \ last term is unknown
|
|
- 32) Question: sum up from the cube of 5 to the cube of 12
|
לב) שאלה קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב י"ב
|
|
תקבץ כל המעוקבים מא' עד י"ב שהם ו' אלפים ופ"ד אח"כ תקבץ כל המעוקבים אשר הם מא' עד ד' שהם ק' תפילם מו' אלפים ופ"ד הנשאר ה' אלפים וט' מאות ופ"ד והוא המבוקש
|
- sum of cubes: number of terms \ last term is unknown
|
|
- 33) Question: we summed up all the cubes from 1 to an unknown number and the sum is 225.
- How much is the unknown number?
|
לג) שאלה אם אמר קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם ועלה המחובר רכ"ה
כמה הוא המספר הנעלם
|
 
|
ראוי הוא לקחת שרש סך החשבון ר"ל שרש רכ"ה והנה שרשו ט"ו
|
|
אח"כ תקיש זאת השאלה אל קבוץ המספרים ולומר קבצנו כל המספרים אשר הם מא' עד מספר נעלם ועלה המחובר ט"ו יצא לך ה' והוא המבוקש
|
| If the root is not an integer the calculation is incorrect
|
ודע שאם לא תמצא שרש שלם כמספר שהזכיר דע כי טעית בחשבון
|
- square of sum of odd numbers
- [though the question points to the sum of cubes of odd numbers, the solution actually indicates the square of the sum of odd numbers]
|
|
- 34) Question: sum up the cubes of the odd numbers from 1 to 13
|
לד) שאלה אם נשאל לך קבץ לי ממעוקב א' עד מעוקב י"ג כדרך הנפרדים
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)\right]^2=49^2=2401}}](/mediawiki/images/math/0/1/3/013882711f64cd23a9a29ba34329471b.png)
|
ראוי לחבר כל הנפרדים מא' עד י"ג ויהיו מ"ט וראוי לקחת מרובע מ"ט ויהיו ב' אלפים וד' מאות וא' והוא המבוקש
|
- square of sum of odd numbers: first term is not 1
- [again the question points to the sum of cubes of odd numbers, the solution actually indicates the square of the sum of odd numbers]
|
|
- 35) Question: sum up the cubes of the odd numbers from 5 to 9
|
לה) שאלה אם ישאל לך אדם קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב ט' על המשך הנפרדים
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=3}^{5} \left(2i-1\right)\right]^2=21^2=441}}](/mediawiki/images/math/6/f/2/6f2f83b35e76e1797aa4e47b4651a36c.png)
|
ראוי לך לקבץ כל המספרים הנפרדים שהם מה' עד ט' והנם כ"א וקח מרובעם ויעלה תמ"א
|
- square of sum of odd numbers: number of terms \ last term is unknown
- [the question deals with the sum of cubes of odd numbers, while the solution implies the square of the sum of odd numbers]
|
|
- 36) Question: we summed up all the cubes of the odds from 1 until an unknown number and the result is 256
|
לו) שאלה קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם על דרך הנפרדים ועלה רנ"ו
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)\right]^2=256}}](/mediawiki/images/math/0/e/1/0e1caa8351b73ce20939906c077d5700.png) 
|
לקחת שרש רנ"ו ויעלו י"ו
|
|
אח"כ ראוי להקיש ולומ' חברנו כל הנפרדים מא' עד מספר נעלם ועלה י"ו
הנה הדרך שתכפול י"ו ד' פעמים ויהיו ס"ד וקח שרשם והנם ח' תגרע ממנו אחד הנשאר ז' והוא המבוקש
|
- square of sum of even numbers
- [the question deals with the sum of cubes of even numbers, the solution indicates to the square of the sum of even numbers]
|
|
- 37) Question: sum up the cubes of the even numbers from 2 to 12
|
לז) שאלה קבץ ממעוקב ב' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)\right]^2=42^2=1764}}](/mediawiki/images/math/0/7/a/07ac1922099a48a968d68a6e3c1ad21a.png)
|
והנה יש לך לחבר כל המספרים מב' עד י"ב ויהיו מ"ב אח"כ תקח מרובעם שהם אלף תשס"ד
|
- square of sum of even numbers: first term is not 1
- [the question points to the sum of cubes of even numbers, the solution deals with the square of the sum of even numbers]
|
|
- 38) Question: sum up the cubes of the even numbers from 4 to 12
|
לח) שאלה קבץ ממעוקב ד' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=2}^{6} \left(2i\right)\right]^2=40^2=1600}}](/mediawiki/images/math/0/5/5/055e0f4ff0ce6fa791acaab1bf31f08f.png)
|
ראוי לקבץ כל המספרים מהזוגות שהם מד' עד י"ב שהם מ' וקח מרובע מ' שהוא אלף ות"ר והוא המבוקש
|
- square of sum of even numbers: number of terms \ last term is unknown
- [the question deals with the sum of cubes of even numbers, while the solution concerns the square of the sum of even numbers]
|
|
- 39) Question: we summed up all the cubes of the evens from 2 until an unknown number and the sum is 400
|
לט) שאלה אם יאמר לך קבצנו כל המעוקבים מב' עד מספר נעלם על דרך הזוגות ועלה המחובר ד' מאות
|
 
|
הנה הדרך בזה שתקח שרש ד' מאות והוא עשרים
|
|
ואח"כ תאמר חברנו כל הזוגות שהם מב' עד מספר נעלם ועלה המחובר עשרי' כמה הוא המספר הנעלם ראוי לכפול עשרים על ד' ולהוסיף על המחובר א' ויהיה בין הכל פ"א וקח שרשו והוא ט' ולעולם תפיל מן השרש א' וישאר ח'
|
- sum of even-times-even numbers
|
|
- 40) Question: if you want to know the sum of 1, 2, 4, 8, 16, and so on, each consecutive number is double the preceding number, and the last number is 128
|
מ) שאלה אם תרצה לדעת המחובר מא' עם ב' עם ד' עם ח' ועם י"ו וכן לעולם מוסיף המספר הבא על המספר העבר ב' פעמים כמוהו והמספר האחרון עולה קכ"ח
|
|
ראוי לכפול קכ"ח על ב' ויעלה רנ"ו ותגרע ממנו לעולם א' והנשאר רנ"ה והוא המבוקש
|
- If you want to sum 1 with 2, 4, 8, 16, and so on double 12 times
|
[1]ואם תרצה לחבר א' עם ב' ועם ד' ועם ח' ועם י"ו וכן תמיד תכפול עד י"ב פעמים
|
|
ראוי לחבר עד ד' ר"ל א' עם ב' ועם ד' ועם ח' והנם ט"ו
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_{12}=\sum_{i=1}^{12} 2^{i-1}&\scriptstyle=1+2+4+8+16+\ldots\\&\scriptstyle=\left[\left(15+1\right)^2\sdot\left(15+1\right)\right]-1\\&\scriptstyle=\left(16^2\sdot16\right)-1\\&\scriptstyle=\left(256\sdot16\right)=4096-1=4095\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/6/7/f/67fafe9596b2517d47b3127a4e69fdf1.png)
|
תוסיף על ט"ו א' ויהיו י"ו אח"כ כפול י"ו על עצמם ויהיו רנ"ו
אח"כ כפול י"ו על רנ"ו ויצא ד' אלפים וצ"ו והוא מה שבכל הבתים עד י"ב ותגרע א' לעולם וישארו ד' אלפים וצ"ה
|
|
וכן תוכל לדעת לעולם אם תכפול מה שיצא לך על י"ו שהוא ד' אלפים וצ"ו עלה פ"ה אלפים ותקל"ו תגרע מהם א' וישארו ס"ה האלפים ותקל"ה והוא מה שבבית הי"ו
|
- If you want to know the twofold consecutive sum
|
ואם תרצה לדעת מכל ב' בתים תכפול מה שיצא לך על ד' ויצא לך מה שבבית השני
|
|
דמיון עתה שידעת מה שבבית הי"ו שהוא ס"ה אלפים ותקל"ו עם תוספת א' תכפול אותו המספר על ד' ויצא לך רס"ב אלפים וקמ"ד והוא מה שבבית הי"ח
|
- the threefold consecutive sum
|
וכן תמיד גם מה שבבית הג' תוכל לדעת אם תכפול המספר על ח'
|
- the five-fold consecutive sum
|
ואם תכפול המספר על ל"ב יצא לך מה שבבית הה'
|
|
ר"ל שאם תכפול רס"ב אלפים וקמ"ד שהוא מה שבבית הי"ח על ל"ב יצא ח' אלפי אלפים וג' מאות ופ"ח אלף וו' מאות וח' והוא מה שבבית הכ"ג מאחר שתוסיף על הבית הי"ח ה' ותגרע א' לעולם מן הסך העולה
|
| these sums of the even-times-even numbers signify the 64 squares of the chessboard
|
ועל זה הדרך תוכל לדעת בתי האשקאקי שהם ס"ד
|
If you give me
|
|
- 42) Question: three men wanted to buy a fish for a price of 17 pešuṭim.
- The first said: I will give all of what I have and you will give a half of what you have.
- The second said: I will give all of what I have and you will give a third of what you have.
- The third said: I will give mine and you will give a quarter of your money.
- I ask: how much did each have?
|
מב) שאלה ג' אנשים רצו לקנות דג אחד במחיר י"ז פשוטים
אמר הא' אני אתן כל מה שבידי ואתם תנו חצי מה שבידכם
אמר השני אני אתן כל מה שבידי ואתם תנו שליש שלכם
אמר השלישי אני אתן את שלי ואתם תנו רביעית ממונכם
אשאל כמה היה לכל א' וא'
|
- the total amount of money:
|
התשובה נבקש מספר שנוכל להוסיף עליו עד שיהיה המספר ההוא אחר התוספת חציו ושני שלישיותיו וג' רביעיותיו והוא המורה ובעבור שמחיר הדג י"ז פשוטים והוא יותר מי"ב הנה המספר המבוקש פחות מי"ב וכאשר חברנו י"ב והוא המורה עם מחיר הדג והוא י"ז יעלו כ"ט והוא ממון כלם
|
|
וכאשר נקנה הדג הנה ביד שנים מהם י"ב פשוטים ר"ל אחר שתסיר י"ז פשוטים מכ"ט
|
|
וכאשר נוסיף על י"ב חצי הכפל הנשאר בידו יהיו כ"ד ויש להשלים עד כ"ט ה' וככה ממון הראשון
|
|
וכאשר הוספנו על י"ב ו' ויהיו י"ב שתי שלישיותיו ויהיו י"ח הנה יש להשלים עד כ"ט י"א והוא ממון השני
|
|
וכאשר הוספנו על י"ב ד' בלבד יהיו י"ו עד שיהיו שלש רביעיותיו ממונו עד כ"ט יג והוא ממון השלישי
|
Find a Number
|
|
- 43) Question: find a number such that when multiplied by 3 then divided by 4 the ratio of the remainder to 4 is the same as the ratio of 4 to 6.
|
מג) שאלה תמצא לי מספר אשר כשתכפול על ג' ותחלק על ד' ומה שישאר יהיה יחסו אל ד' כיחס ד אל ו'
|
|
התשובה נבקש איזה מספר שתרצה והנה נבקש מספר ו' נכפול אותו על ג' ויהיו י"ח ותחלק י"ח על ד' ויצאו ד' וחצי
|
|
וידוע כי יחס ד' אל ו' ב' שלישיות
|
- Rule of Four:
|
ואנו מבקשים מספר שיהיה ב' שלישיותיו מד' והנה נאמר ככה אם בעד ו' ששמנו המספר שנתן לנו ד' וחצי איזה מספר יתן לי באופן שיבא ב' וב' שלישיות שהם ב' שלישיות ד'
|
|
כפול ב' וב' שלישיות על ו' ויעלו י"ו והעולה תחלק על ד' וחצי הנה א"כ העולה ג' וה' חלקים מט'
|
Check:
|
הנה א"כ כשתכפול ג' פעמים ג' וה' חלקים מט' והעולה תחלק על ד' יצא לך ב' וב' שלישיות
ויחסו אל ד' כיחס ד' אל ו'
|
If you give me
|
|
- 43) Question: three men wanted to buy a fish for 20 minyanim.
- The first said: I will give all of my money and you will give a half of what you have.
- The second said: I will give all of my money and you will give a third of you money.
- The third said: I will give all of my money and you will give a quarter of your money.
- How much did each have?
|
מד) שאלה ג' אנשים רוצים לקנות דג אחד כ' מנינים
אמר הא' אני אתן כל ממוני ותנו אתם חצי כל אשר לכם
אמר השני אני אתן כל ממוני ותנו אתם שליש ממונכם
אמר השלישי אני אתן כל ממוני ותנו אתם רביעית ממונכם
כמה לכל אחד ואחד
|
- Rule of Four:
|
התשובה ראוי לדמות זאת השאלה לאותה של מעלה אבל אותה של מעלה הנה היה הערך י"ז וזאת הוא כ' לכן נאמר אם י"ז יתנו לו ה' שהוא סך מאותו שיבקש שיתנו חבריו חצי ממונם כמה ישוו עשרים
|
|
ויצא לך ה' שלמים וט"ו חלקים מי"ז
|
- Rule of Four:
|
אח"כ תאמר אם י"ז יתנו י"א וזה הוא חלק מאותו שרוצה שיתנו חביריו שליש ממונם כמה ישוו עשרים
|
|
ויצא לך י"ב וי"ו חלקים מי"ז
|
- Rule of Four:
|
אח"כ תאמר אם י"ז יתנו לי י"ג והוא חלק מאותו שמבקש שיתנו חבריו הרביעית כמה יתן לי עשרים
|
|
ויצא לך ט"ו וה' חלקים מי"ז והוא ממון השלישי
|
|
|
ותוכל לבחון אותו ותמצאהו נכון
|
Motion Problems
|
|
- 45) Question: a man sent three messengers to walk a distance of 300 miles, then return and walk again back and forth.
- End to end there are 300 miles.
- He sent them one the same day, same hour, same minute.
- The first walks 20 miles, the second 25, and the third 32.
- We wish to know: when will they reach each other?
|
מה) שאלה אדם שלח ג' רצים שילכו מהלך ג' מאות מילין ואח"כ ישובו לאחור וכשיגיעו לאדניהם ילכו גם כן לדרכם וכן תמיד הלוך ושוב
ומקצה ועד קצה הם ש' מילין
ושלחם ביום אחד בשעה אחת וברגע אחד
ומהלך א' מהם הוא כ' מילין והשני כ"ה והשלישי ל"ב
נרצה לדעת מתי ישיגו זה את זה
|
- the first walks 300 miles in:
 days
|
התשובה יש לנו לחלק אלו הג' מאות על כ' שהוא מהלך הראשון ויצא ט"ו א"כ בט"ו ימים ילך ג' מאות מילין
|
- the second walks 300 miles in:
 days
|
עוד נחלק ש' על כ"ה ויצא י"ב א"כ בי"ב ימים ילך
|
- the first and the second will meet each other in
 days
|
וכפול י"ב על ט"ו ויעלו ק"פ א"כ בק"פ ימים יהיו אלו הב' זה אצל זה
|
- the three will meet each other in
 days
|
והנה ראוי למצא חשבון שכשתחלקהו על ל"ב יהיו מצומצם ר"ל שיש לנו למצא מספר ולכפלו נגד ג' מאות ולחלק העולה על ל"ב ויצא מצומצם על כן נכפול ק"פ על ג' מאות ויעלה נ"ד אלפים א"כ בנ"ד אלפי' ימים יהיו מחוברים
|
Check:
|
ולבחון אותו כפול נ"ד אלפים על כ' שהוא מהלך הראשון ותחלק העולה על ש' ויצא בצימצום
|
|
עוד תכפול נ"ד אלפים נגד כ"ה ותחלק העולה על ש' ויצא בצימצום
|
|
ג"כ עוד כפול נ"ד אלפים על ל"ב וחלק העולה על ש' ויצא ג"כ מצומצם
|
|
|
שאלות מר'ל[וי] בן גרשו[ם]
|
- 46) Question: three sevenths and four fifths of the unknown number exceed two thirds and a quarter of the unknown number by twenty.
- We wish to know: how much is the number?
|
מו) שאלה ג' שביעיות וד' חמישיות המספר הנעלם מוסיפים על ב' שלישיות ורביעית המספר הנעלם כ'
רצינו לדעת כמה המספר הנעלם
|
|
התשובה הנה המורה הוא ת"כ וג' שביעיותיו עם ד' חמישיותיו הוא תקי"ו
|
|
וב' שלישיותיו הוא ת"ק ורביעיתו הוא שפ"ה
|
|
הנה החלקים הראשנים מוסיפים על השניים מספר קל"א
|
- Rule of Four:
|
ערכנו המורה על עשרים וחלקנו העולה על קל"א ועלה ס"ד שלמים וי"ו חלקים מקל"א והוא המבוקש
|
- 47) Question: the mover walks 7 parts, 36 minutes and 57 seconds of the road in 13 days.
- We wish to know how far will he walk on the road in 3 days, 17 hours, 52 minutes and 16 seconds?
![\scriptstyle\left(13\sdot24\right):\left({\color{red}{7}}+36'+57''\right)=\left[\left(3\sdot24\right)+17+52'+16''\right]:a](/mediawiki/images/math/f/0/3/f0373864dda0383525e4129ec22331aa.png)
|
מז) שאלה המתנועע מתנועע בי"ג ימים י"ז שעורים מן הדרך ול"ו ראשנים ונ"ז שניים ורצינו לדעת כמה מן הדרך ילך בג' ימים וי"ז שעות ונ"ב ראשנים וי"ו שניים
|
- first time converted into hours:
|
התשובה הנה נשיב הימים שעות ויהיה הזמן הראשון שי"ב
|
- second time converted into hours:
|
והזמן השני בפ"ט ונ"ב ראשנים וי"ו שניים
|
- Rule of Four:
|
ערכנו ז' שלמים ל"ו ראשנים נ"ז שניים על פ"ט שלמים נ"ב ראשנים י"ו וחלקנו העולה על שי"ב ועלה ב' שלמים י' ראשנים נ"ו שניים והוא מספר השעורים שהלך מן הדרך בזמן המונח השני
|
- 48) Question: the mover walks 7 parts, 36 minutes and 57 seconds of the road in 13 days.
- We wish to know in how much time will he walk 3 parts of the road?
|
מח) שאלה המתנועע הולך ז' שעורים מן הדרך ול"ו ראשנים נ"ז שניים בי"ג ימים ורצינו לדעת בכמה מן הזמן ילך ג' שעורים מן הדרך
|
- Rule of Four:
|
ערכנו ג' שעורים על שי"ב שלמים וחלקנו העולה על ז' שלמים ול"ו ראשנים ונ"ז שניים ועלה קכ"ב שעות ונ"ד ראשנים וי"ז שניים והוא המבוקש ר"ל הזמן הנעלם
|
- 49) Question: the faster walks 2 measures and 37 seconds in one hour, the slower walks 30 minutes and 24 seconds in one hour, and the distance between the slower, who is in front, and the slower is 29 measures and 45 minutes
|
מט) שאלה מהלך אדם מהיר בשעה א' ב' שעורים ול"ז שניים ויהיה מהלך המתוני לשעה א' ל' ראשנים כ"ד שניים והיה מרחק המתוני מהמהיר לפניו כ"ט שעורים ומ"ה ראשנים
|
|
והיה יתרון מהלך המהיר על מהלך המתוני לשעה הוא שעור א' ול' ראשנים וי"ג חלקנו עליו המרחק המונח ועלה י"ט שעות מ"ז ראשנים מ"ט שניים והוא המבוקש
|
Purchase Problems
|
|
- 50) Question: the merchant is selling four drugs -
- the price of the first drug is 7 pašuṭ for a liṭra,
- the price of the second drug is 8 pašuṭ for a liṭra,
- the price of the third drug is 10 pašuṭ for a liṭra,
- and the price of the fourth drug is 15 pašuṭ for a liṭra.
- The buyer comes to buy the same weight of each for 3 dinar
|
נ) שאלה הסוחר מוכר מד' סמים
ערך הסם הראשון ז' פשוטים הליט'
וערך הסם השני ח' פשוטים הליט'
וערך הסם השלישי י' פשוטים הליט'
וערך הסם הרביעי ט"ו פשוטים הליט'
ובא הקונה לקנות בג' דינרין משקל שוה מכל א' מהסמים
|
- one liṭra from each for
|
והנה בג' דינרין וד' פשוטים יקח ליט' מכל א'
|
- from each:
 of a liṭra
|
והנה יחס ג' דינרין אל ג' דינרין וד' פשוטים הוא ט' עשיריות וככה יקח מכל סם וסם ר"ל ט' עשיריות ליט' ויהיה ערך הכל ג' דינרין ותוכל לבחון אותו
|
- 51) Question: the merchant is selling four drugs -
- the price of the first drug is 2 dinar for a liṭra,
- the price of the other drug is 3 dinar for a liṭra,
- the price of the another drug is 12 dinar for a liṭra,
- and the price of the other drug is 20 dinar for a liṭra.
- We wish to know how many liṭra should be taken from each of the drugs so that the price of what is taken from this one is the same as the price of what is taken from that one
|
נא) שאלה הסוחר מוכר מד' סמים
ערך הא' ב' דינרין הליט'
וערך האחר ג' דינרין הליט'
ומהאחר י"ב דינרין הליט'
והאחרת כ' דינרין הליט'
ורצינו לדעת כמה מן הליט' יילקח מאחד אחד מהסמים ויהיה ערך מה שילקח מזה כמו ערך מה שילקח מזה
|
|
|
והנה תכתוב בטור א' ערכי הליט' והוא א'ג'י"ב כ'
|
|
|
ובטור תחתיו תמיד הענין על זה הסדור הנז' רצוני שתכתוב בג' ותחת ג' ב'
|
|
|
וגם כן הנה תכתוב תחת י"ב ב' ותחת ב' י"ב
|
|
|
ואחר תקח קטני המספרים המתיחסים בכמה זה היחס ר"ל מיחס ב' אל ג' ומיחס י"ב אל ג' ומיחס כ' אל י"ב
|
|
וזה שיחס כ' אל ל' כיחס ג' אל ב'
|
|
ויחס כ' אל ה' כיחס י"ב אל ג'
|
|
ויחס ה' אל ג' כיחס כ' אל י"ב
|
- 30 liṭra from the drug of 2 dinar
|
ולזה תקח מן הסם אשר ערכו ב' דינרין ל' ליט' והוא המספר הנכחי לו
|
- 20 liṭra from the drug of 3 dinar
|
ומהסם אשר ערכו ג' דינרין הליט' תקח כ' ליט'
|
- 3 liṭra from the drug of 20 dinar
|
ומהסם אשר ערכו כ' דינרין תקח ג' ליט'
|
|
|
ויהיה ערך מה שתקח מכל א' מהם שוה
|
|
|
וראוי שתשמור בזה הדרך הנזכר אם היה ערך אחד הסמים מספר הפשוטים שתשיב ערך הסמים הנשארים לפשוטים
|
- 52) Question: the merchant is selling three drugs -
- the price of the first drug is 7 pašuṭ for a liṭra,
- the price of the second drug is 10 pašuṭ for a liṭra,
- and the price of the third drug is 20 pašuṭ for a liṭra.
- The buyer comes to buy one liṭra from all so that the price of what he takes from one of them is the same as the price of what he takes from each of the others
|
נב) שאלה הסוחר מוכר מג' סמים
ערך הא' ז' פשוטים הליט'
וערך הב' י' פשוטים הליט'
וערך הג' כ' פשוטים הליט'
ובא הקונה לקנות ליט' מכלם ויהיה ערך מה שיקח מא' מהם כמו ערך מה שיקח מכל א' מהאחרים
|
|
והנה קטני המספרים שילקחו מאחד אחד מהם ויהיה הערך שוה הם מספרי כ' י"ד ז' והנה מקובצם הוא מ"א והם חלקי הליט'
|
 from the drug of 7 pašuṭ for a liṭra
|
וילקחו מאלו החלקים מהסם אשר ערכו ז' פשוטים הליט' כ' חלקים
|
 from the drug of 10 pašuṭ for a liṭra
|
ומהסם אשר ערך הליט' ממנו י' פשוטים ילקחו י"ד חלקים
|
 from the drug of 20 pašuṭ for a liṭra
|
ומהסם אשר ערך הליט' ממנו ב' פשוטים ילקחו ז' חלקים
|
|
|
והנה הכל מ"א חלקים שהוא ה' ליט'
|
|
ואולם ערך הליט' הנה תקח ערך מספרי כ' י"ד ז' כל אחד מהנכחי לו ותקבץ הכל והנה הכל ל"ה דינרין
|
|
חלק ל"ה על מ"א ועלה י' פשוטים וי' חלקים ממ"א בפשוט והוא המבוקש
|
- 53) Question: the merchant sells two drugs: the price of one drug is 17 pašuṭ for a liṭra and the price of the second drug is 24 pašuṭ for a liṭra.
- The buyer comes to buy one measure of both so that its price is 19 pašuṭ.
|
נג) שאלה הסוחר מוכר משני סמים
ערך הסם הא' י"ז פשוטים הליט'
וערך האחר כ"ד פשוטים הליט'
ובא הקונה לקנות מדה משניהם ויהיה ערכה י"ט פשוטים
|
|
והנה יתרון המוסיף על המחסיר הוא ז' והם חלקי המדה
|
|
והנה חסרון המחסיר מי"ט הוא שנים והם החלקים מחלקי המדה שיקח מהסם אשר ערכו מוסיף
|
|
והנה יתרון המוסיף הוא ה' והם חלקים שיקח מהסם אשר ערכו מחסיר
|
|
|
ויהיה ערך המדה י"ט פשוטים
|
- 54) Question: the merchant sells 7 drugs:
- the price of the first drug is 3 pašuṭ for a liṭra
- the price of the second drug is 5 pašuṭ
- the price of the third drug is 8 pašuṭ
- the price of the fourth drug is 11 pašuṭ
- the price of the fifth drug is 15 pašuṭ
- the price of the sixth drug is 19 pašuṭ
- the price of the seventh drug is 28 pašuṭ.
- The buyer wants to buy one liṭra from all of them for 15 pašuṭ
|
נד) שאלה הסוחר מוכר מז' סמים
ערך הא' ג' פשוטים הליט'
וערך הב' ה' פשוטים
וערך הג' ח' פשוטים
וערך הד' י"א פשוטים
וערך הה' ט"ו פשוטים
וערך הו' י"ט פשוטים
וערך הז' כ"ח פשוטים
ורצה אדם לקנות ליט' א' מכלם בט"ו פשוטים
|
- two prices are higher than 15 = 19 and [28]
|
והנה המוסיפים הם ב'
הסם אשר ערכו י"ט פשוטי'
והסם אשר ערכו כ"ד פשוטים
|
- four prices are lower than 15 = 3; 5; 8; 11
|
והמחסירים הם ד'
אותה אשר ערכה ג'
ואשר ערכה ה'
ואשר ערכה ח'
ואשר ערכה י"א
|
|
|
הנה נשים ג' פשוטים גליי לי"ט פשוטים
וה' פשוטים גליי לכ"ח פשוטים
ומפני שנשארו עוד סמים במחסירים ולא נשארו במוסיפים נקח מהמוסיפים היותר קרוב אל ט"ו שהוא הערך המבוקש והוא י"ט ונזווג י"ט עם כל א' הנשארים מהמחסירים כמו שתראה בזאת הצורה
|
|
|
וכבר ידענו דרך נקח ליט' מכל זוג וזוג מאלו יהיה ערכה ט"ו פשוטים
|
|
ולזה נקח מסם ג' ד' חלקים מי"ו בליט' ומסם י"ט ב' חלקים מי"ו בליט'
|
|
ונקח ג"כ מסם ה' י"ג חלקים מכ"ג בליט' ומסם כ"ח י' חלקים מכ"ג בליט'
|
|
ונקח ג"כ מסם ח' ד' חלקים מי"א בליט' ומסם י"ט ז' חלקים מי"א בליט'
|
|
ונקח ג"כ מסם י"א ד' חלקים מכ"ח בליט' ומסם י"ט ד' חלקים מכ"ח בליט'
|
|
והנה מספר כל אלו החלקים הוא נ"ח
|
|
ונוסיף שני חלקים בעבור ט"ו שאין לו גלוי והנם ס' והם חלקי הליט'
|
- 4 parts from drug 3
|
נקח מהם מסם ג' פשוטים ד' חלקים
|
- 13 parts from drug 5
|
ומסם ה' י"ג חלקים
|
- 4 parts from drug 8
|
ומסם ח' ד' חלקים
|
- 4 parts from drug 11
|
ומסם י"א ד' חלקים
|
- 2 parts from drug 15
|
ומסם ט"ו ב' חלקים
|
- 23 parts from drug 19
|
ומסם ט"ו כ"ג חלקים
|
- 10 parts from drug 28
|
ומסם י"ח י' חלקים
|
|
|
ויהיה ערך הליט' ט"ו פשוטים והוא המבוקש
|
- 55) Question: Reuven hired Shimon to do his work 9 days for 10 liṭra. The work is to hire for him each day 13 men, each of whom should lead seven beasts, each of which should carry 15 measure and walk 6 parsa. He hired for him for 8 days 17 men, each of whom led 6 beasts, each of which carried 11 measures and walked 7 parsa.
|
נה) שאלה ראובן שכר שמעון י' ליט' שיעשה מלאכתו ט' ימים ובזאת המלאכה ישכור לו בכל יום י"ג מן האנשים ינהוג כל אחד מהם ז' בהמות תשא כל בהמה ט"ו מדות ותלך ו' פרסאות והוא שכר לו ח' ימים י"ז מן האנשים והנהיג כל אחד מהם ו' בהמות ונשאה כל א' מהם י"א מדות והלכה ז' פרסאות
|
|
והנה המספר המורכב מהמספרים שהתנה הם ט' י"ג ז' ט"ו ו' והוא ע"ג אלפים ותש"י והוא השמור
|
|
והמספר המורכב מהמספרים שהשלים ח' י"ז ו' י"א ז' והוא ס"ב אלפים ותתל"ב
|
|
והנה יחס י' ליט' אל מה שהוא חייב לו כיחס השמור אל ס"ב אלפים ותתל"ב
|
|
ואם תערוך י' ליט' שהוא הא' על הד' שהוא ס"ב אלפים ותתל"ב והעולה תחלק על השמור יצא לך ח' ליט' וחצי ואלף וז' מאות ופ"ה חלקים מס"ב אלפים ותתל"ב בליט' שהם ה' פשוטים וכ"ה אלפים תת"נ חלקים מע"ג אלפים תש"י בפשוט
|
Buy and Sell Problems
|
|
- 56) Question: Reuven bought ⅖ and [²]/₇ of a measure for 2 dinar.
- He sold ⁴/₉ of a measure for 2 dinar.
- He earned a hundred dinar.
- We wish to know: how much was the amount of money?
|
נו) שאלה ראובן קנה ב' חמישיות המדה וג' שביעיות ב' דינרין ומכר ד' תשיעיותיה ה' דינרין והרויח ק' דינרין נרצה לדעת כמה הממון
|
- False position = the measure =
|
הדרך בזה שתקח המורה לכל אלו החלקים הן מהמדה הן מהדינרין ואם קרה שיהיו בהם חלקים והנה המורה לכל אלו החלקים כמשלינו הוא שט"ו והוא המדה
|
|
קח ממנו ב' חמישיותיו וג' שביעיותיו ויעלה רי"ו
|
- buying parts of the measure for one dinar =
|
הנה א"כ בדינר יקנה מאלו החלקים ק"ח
|
|
גם קח ממנו ד' תשיעיות ויעלה ק"מ
|
- selling parts of the measure for one dinar =
|
הנה א"כ בדינר יתן ע' מאלו החלקים
|
- earning parts of the measure for one dinar =
|
ולזה ירויח בדינר ל"ג חלקים
|
- true earning parts of the measure =
|
וכבר היה הריוח ק' דינרין שהוא ז' אלפים מאלו החלקים
|
- Rule of Four:
|
הנה ראוי שנקח מספר יהיה יחסו אל ק"ח כיחס ז' אלפים מאלו החלקים אל ל"ח אלפים וכבר התבאר דרך לקיחתו
|
- the amount of money + the profit =
|
ואם חלקת העולה על ע' הנה תמצא מספר הממון עם מה שהרויח יחד
|
- the amount of money =
|
ואם חלקת העולה על ק"ח שהוא סך ערכי הדינר לפי מה שקנה תמצא מספר הממון וזה מבואר
|
- Reverse problem: he lost 100 dinar by buying ⁴/₉ of a measure for 2 dinar and selling ⅖ and [²]/₇ of a measure for 2 dinar.
|
ואם היתה השאלה בהפך ר"ל שהפסיד ק' דינרין כשקנה ד' תשיעיות המדה ב' דינרין ומכר ב' חמישיותיה עם ג' שביעיותיה ב' דינרין
|
- the amount of money =
|
הדרך אחד אלא שכאשר תחלק העולה על ע' יהיה לך מספר הממון
|
- what remains after the loss =
|
ואם תחלקהו על ק"ח יהיה לך הנשאר לו אחר ההפסד
|
- buying measure =
|
ואם שאל כמה המקח חלק העולה על שפה והם חלקי המדה והנה מדות המקח
|
Barter Problems
|
|
- 57) Question: a man bartered a certain merchandise for another merchandise.
- The price of some parts of the measure that he offered is so and so.
- The price of other parts of the merchandise that he received is so and so.
- He gave a certain number of measures.
- How much should he receive?
|
נז) שאלה איש אחד מחליף מסחר מה במסחר אחר
וערך חלקים מה מן המדה ממה שנתן ככה
וערך חלקים ממה שקבל ככה
ונתן מספר ככה מן המדות
כמה ראוי שיקבל
|
- Example: the merchandise that he offered is worth 2 dinar for ⅗ plus ²/₉ of a measure.
- The merchandise that he received is worth 3 dinar for ³/₁₁ plus ²/₇ of a measure.
- He gave 20 measures.
- We wish to know: how much should he receive?
|
והמשל שהמסחר שנתן ישוו ג' חמישיות המדה עם ב' תשיעיותיה ב' דינרין
והמסחר שקבל ישוו ג' דינרין מי"א במדה עם ב' שביעיותיה ג' דינרין
ונתן לו כ' מדות
ורצינו לדעת כמה ראוי שיקבל
|
- finding the common denominator of all the parts (of the measure and of the dinar)
|
הדרך בזה שתקח המורה לכל אלו החלקים הן מהמדה הן מהדינרין אם קרה שיהיו שם חלקים
|
- for each price - finding the parts that are taken for one dinar
|
וממנו תקח החלקים שילקחו בדינר לכל א' מאלו הערכין
|
- Rule of Four: (the parts offered for a dinar) : (the parts received for a dinar) = (what he offered) : (what he received)
|
וכמו ערכי הדינר ממה שנתן אל חלקי הדינר ממה שקבל כן יחס מה שנתן אל מה שקבל
|
- common denominator =
|
והנה המורה לכל אלו החלקים הם ג' אלפים ותס"ה
|
- parts offered for two dinar =
|
לקחנו ג' שביעיותיו וב' תשיעיותיו והם אלפים תס"ד
|
- parts offered for one dinar =
|
ולזה יהיו החלקים שילקחו בדינר ממה שנתן אלף רל"ב
|
- parts received for three dinar =
|
לקחנו ב' שביעיותיו וג' חלקים מי"א במדה בו ועלה אלף תתקל"ה
|
- parts received for one dinar =
|
ולזה יהיו החלקים שילקחו בדינר ממה שקבל תרמ"ה
|
- Rule of Four:
|
והנה כיחס אלף רל"ה אל תרמ"ה כן יחס מה שקבל אל ב' מדות
|
|
|
וכבר ידעת דרך לקיחת זה המספר הנעלם
|
Give and Take Problem
|
|
- Reuven made an agreement with Shimon to do his work and he will give him his payment 20 dinar for 7⅕ days and Shimon will give Reuaven ⁴/₁₁ of a dinar for each day he did not work.
- Shimon worked 2³/₇ days and stopped working and he lost more than he gained.
- We wish to know: how long was the duration of unemployment?
|
ומזה התבאר אם התנה ראובן עם שמעון לעשות מלאכתו ויתן לו בשכירותו בז' ימים וחומש יום כ' דינרין ושמעון יתן לראובן בכל יום שיבטל ד' חלקים מי"א בדינר
ועשה שמעון ב' ימים וג' שביעיות יום ובטל ויצא שכרו בהפסדו
רצינו לדעת כמה בטל
|
- parts of the day = common denominator =
|
לקחנו המורה לכל אלו החלקים בכללם ועלה שפ"ה והוא חלקי היום
|
- Rule of Four: (parts of the day earning one dinar) : (parts of the day losing one dinar) = (2³/₇ days) : (time off)
|
הנה נראה בכמה חלקים מאלו ירויח דינר ובכמה חלקים מאלו יפסידהו וכיחס מספר הריוח אל יחס ההפסד כן יחס ג' ימים וג' חמישיות אל הזמן שבטל
|
- parts of the day earning one dinar =
|
והנה בקל"ה חלקי' וי"ב חלקים מעשרים בחלק ירויח דינר
|
- parts of the day losing one dinar =
|
ובאלף ונ"ח חלקים ובג' מד' בחלק יפסיד דינר
|
|
|
וככה יחס ב' ימים וג' חמישיות אל הזמן שבטל
|
|
|
נח) שאלה שיהיה מספר ראשון כשחובר אל מספר שני היה יחסו אל הג' ג' שלמים וב' חמישיות ושביעיות וכשחובר הראשון אל הג' היה יחסו הראשון ז' שלמים וב' שלישיות ורביעיות והמספר הב' ל' רצינו לדעת כמה כל א' מהנשארים
|
|
|
הנה תוציא תחלה ג' מספרים יונהגו זה המנהג על הדרך שהתבאר במאמר הראשון מספרינו ולזה תדע משטח מג' שלמים וב' חמישיות ושביעית ויהיו בידך ד' שלמים וב' חמישיות ושביעית והוא המספר השני גם תוסיף א על ז' שלמים וב' שלישיות ורביעית והעולה בידך הוא המספר השלישי והוא ח' שלמים וב' שלישיות ורביעית וכבר ידעת שהמספר הגלוי לשניים הוא ל ולזה יהיה המספר הגלוי לראשון ראשון שני שלישי כא שלמים ושלישית שביעית ד שלמים וב חמישיות ושביעית ח שלמים וב' השלישיות ורביעית שלשים שלישיות קע"ח שלמים וצ"ח חלקים נ"ח שלמים רפ"א חלקים מקט"ו באחד משי"א באחד קע"ח שלמים וצ"ח שלמים ק' חלקים מקנ"ז באחד והמספר השלישי נ"ח שלמים ורפא חלקים משי"א באחד ואלו המספרים הם המבוקשים ואלו תחקור תמצא
|
|
|
נט) שאלה יהיה יחס הראשון עם השני מקובצים אל השלישי ג' חמישיות ושישית ויחס הראשון והג' מקובצים אל השני ב' שלמים ושלישית והמספר הראשון עשרים נרצה לדעת כמה כל א מהמספרים הנשארים
|
|
|
הנה לפי מה שהתבאר נוציא המספרים אשר מנהגם זה המנהג ויהיה המספר הראשון לפי מה שקדם ב' חמישיות ושלישית ושליש שישית ויהיה השני אחד ול' שלם וג' חמישיות ושישית ולפי שהיה המספר הגלוי לראשון עשרים יהיה המספר הגלוי לשני מ"ד שלמים וכ"ו חלקים מע"א בא' שלם והמספר הגלוי לשלישי פ"ד שלמים ול"ו חלקים מע"א בא' שלם והם המספרים המבוקשים
|
|
|
ס) שאלה שיהיה יחס הב' אל הנשאר מהג' כשחוסר ממנו הא' ג' שלמים ושליש ויחס הג' אל הנשאר מהב' כשחוסר ממנו הא' מספר ו'
|
|
|
והנה נוציא ג' מספרים על הדרך הקודמת באלו היחסים הנזכרים הנה ר"ל שיהיה יחס מקובץ הראשון והשני אל השלישי ג' שלמים ושליש ויחס מקובץ הראשון והג' מקובצים אל הב' ו' שלמים והנה הראשון י"ט והשני ד' ושליש והג' ז' ולזה יהיה הראשון י"ט ותחבר עם השני יט ויהיו כ"ג שלמים ושליש והוא המספר השני ותחבר עם השלישי י"ט ויהיו כ"ו והוא המספר השלישי ותקיש על זה
|
|
|
סא) שאלה שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל הנשאר מהג' כשחוסר ממנו הראשון ד' שלמים וחצי ויחס הראשון והג' מקובצים אל הנשאר מהב' כשחוסר ממנו הראשון הוא ה' שלמים ונרצה לדעת כמה כל המספרים שינהגו זה המנהג
|
|
|
הנה נוציא המספרים הג' על הדרך הקודמת לפי אלו היחסים רצוני שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל הג' ד' וחצי ויהיה יחס הא' והג' מקובצים אל הב' מספר ה' ולזה יהיה הראשון נ"א וחצי והשני ו' וחצי והג' ו' והנה חצי הא' הוא י' וג' שביעיות והוא הראשון הנה חברנו י' וג' שביעיות אל השני ועלה י"ו ורביע והוא השני הנה חברנו י' וג' שביעיות עם השלישי ועלה י"ו וג' רביעיות והוא הג'
|
|
|
סב) שאלה שיהיה הראשון עם רביעית הנשארים שוה אל השני עם שישית הנשארי' והוא ג"כ שוה אל השלישי עם תשיעית הנשארים
|
|
|
כבר התבאר לך במאמ' הראשון מזה הספר שסדור אלו המספרים הג' הוא על זה הסדר אשר סדרוה רצוני שהראשון הוא אשר יתחבר המתחלק יותר גדול מן הנשארים והל' הוא אשר יתחבר עמו יותר קטן והנשארים והזכרתי זה לך למען לא תבלבל בביאורים והנה יהיה המספר השני מהם כ' ורצינו לדעת כמה כל א' מהנשארים
|
|
|
וכבר ידענו שהמספרים שינהגו כמו זה המנהג הראשון מהם קי"ט והשני קנ"א והג' קס"ט מזה הגליים ונוציא שאר הגליים על היחס ולזה יהיה הגליים לראשון ט"ו שלמים וקט"ו חלקים מק"א בא' שלם והוא הראשון הנה ויהיה הגליי לג' כ"ב שלמים ונ"ח חלקים מקנ"א בא' והוא השלישי הנה והם המספרים המבוקשי' ואם תרצה תוכל לבחון אותו
|
- 63) Question: three men formed a partnership.
- The money of all three together is 25 minyanim.
- The share owed to the first from the profit they earned is 16 minyanim.
- The share owed to the second from the profit is equal to the root of the money earned by the first.
- The share owed to the third from the profit is equal to the root of the money [earned by] the second.
- How much did each contribute to the partnership?
|
סג) שאלה ג' אנשים עושים שותפות
והנה ממון שלשתן עולה כ"ה מניינים
והנה לראשון מגיע לחלקו מהריוח שעשו י"ו מנינים
ולשני מגיע לחלקו מהריוח הממון שרש ריוח ממון הראשון
והשלישי ראוי לו ליקח מהריוח כמו שרש ממון השני
כמה שם כל אחד ואחד בשותפות
|
|
התשובה כבר ידעת כי ריוח ממון הראשון הוא י"ו
|
|
על כן יש לך לקחת שרש י"ו והם ד' וזה יהיה ריוח ממון מהשני
|
|
עוד יש לך לקחת שרש ד' והם ב' וזה סך ריוח ממון השלישי
|
- Three formed a partnership - one contributed 2 minyanim, the second [contributed] 4 [minyanim], and the third [contributed] 25 [minyanim]. They earned 25. How much should each have?
|
ונעשה ככה בכאן ג' עושים שותפות הא' שם ב' מנינים והב' ד' והג' י"ו והרויחו כ"ה כמה היה לכל אחד ואחד
|
|
תחבר ממון שלשתן והם כ"ב
|
|
וכפול חלק הראשון שהוא י"ו על כ"ה ותחלק מה שיעלה על כ"ב ויצא לך י"ח וב' חלקים מי"א והוא סך ממון מה ששם הראשון בחבורה שהגיע לחלקו מהריוח י"ו מנינים
|
|
עוד תכפול ד' על כ"ה ויצא לך ק' וחלקם על כ"ב ויצא לך ד' וו' חלקים מי"א והוא חלק השני
|
|
עוד כפול ב' על כ"ה ויצא לך נ' וחלקם על כ"ב ויצא לך ב' שלמים וג' חלקים מי"א והוא חלק הג' ר"ל מה ששם בחבורה מי שהגיע לו מריוח הממון ב' ותקיש על זה
|
- 64) Question: there are here a known number of men, each has a different number of coins of different kinds
- We wish to know: which kind of coins does each of them have and who are the holders of the coins among all [the men]?
|
סד) שאלה יש כאן אנשים ידועים לכל אחד יש סכום מטבעים מתחלפים מהסכום גם מהמטבעים ונרצה לדעת איזה מטבע יש לכל א' וא' וכמה מטבעים יש לו ומי מכלם הם ד' בעלי המטבעים ר"ל מחזיקי המטבעים
|
![\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2a_1+6\right)\sdot5\right]+a_2\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+a_3\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+a_4](/mediawiki/images/math/4/c/a/4caa720283817b386ace07d3329377a6.png)
|
התשובה ראוי לכפול בעל המטבע הגדול ולהוסיף על זה ו' ולכפול העולה על ה'
ולהוסיף על הסכום בעל המטבע הב' שהוא המטבע התיכונה ולכפול העולה על ה' ולחסר מהסך ק"נ ולכפול הנשאר על ב'
ולהוסיף על זה בעל מטבע הג' ולכפול אותו על ה' והעולה יכפול ג"כ על ב'
ולהוסיף על זה בעל מטבע הד'
|
|
|
ועתה תוכל לדעת מי הוא מחזיק מטבע הזהב על דרך משל שהוא היותר גדול ומי הוא מחזיק הכסף הבא אחריו ומי מחזיק הנחושת ומי מחזיק הברזל אך לא תדע סכום המטבעים המחזיקים כל א'
|
- a1 = the position of the owner of the gold coins = thousands of the result
|
ודע כי האלפים הוא מספר הזהב
|
- a2 = the position of the owner of the silver coins = hundreds of the result
|
והמאיות מספר הכסף
|
- a3 = the position of the owner of the copper coins = tens of the result
|
והעשרות הנחושת
|
- a4 = the position of the owner of the iron coins = units of the result
|
והאחדים הברזל
|
|
|
ועתה תשוב לעשות המספר הנזכר פעם אחרת ותוכל לדעת סכום המטבעים המחזיק כל א וא' כי האלפים סכום הזהב והמאיות סכום הכסף והעשרות הנחושת והאחדים הברזל
|
- Example: I gave 3 gold minyanim to the fourth man; 5 silver carlini to the sixth man; 7 copper cavalli to the eighth man; and 9 iron piccoli to the ninth man.
- You want to know: who has the gold coins and how many coins does he have and who are the holders of the silver, the copper, and the iron and how many coins do they have?
|
ואתן לך דמיון
דמיון נתתי ג' מניני זהב לאיש רביעי
וה' קרליני מכסף לאיש ו'
וז' קאוואלי מנחושת לאיש ח'
וט' פיצולי מברזל לאיש ט'
ותרצה לדעת למי הם מטבעי הזהב וכמה מטבעים לו ומי מחזיק הכסף והנחושת והברזל וכמה מטבעים יש לו
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle
\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot4\right)+6\right]\sdot5\right]+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(8+6\right)\sdot5\right]+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(14\sdot5\right)+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(70+6\right)\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left(76\sdot5\right)-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left(380-150\right)\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(230\sdot2\right)+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(460+8\right)\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left(468\sdot5\right)\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left(2340\sdot2\right)+9=4680+9=4689\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/3/2/4/32464b29b07571cc4e1cbc9fbf580169.png)
|
תאמר לו שיכפול האיש מחזיק הזהב ויהיו ח' ותוסיף עליו ו' ויהיו י"ד כפול אותם על ה' ויהיו ע'
תוסיף על זה בעל מטבע הכסף שהוא הו' ויהיו ע"ו תכפלם על ה' ויהיו ש"פ תסיר מהם ק"נ נשארו ר"ל תכפלם על ב' ויהיו ת"ס
תוסיף על זה בעל מטבע הנחושת שהוא הח' ויהיו תס"ח תכפלם על ה' ויהיו ב' אלפים וג' מאות ומ' וכפול זה על ב' ויהיו ד' אלפים וו' מאות ופ'
ותוסיף על זה בעל מטבע הברזל ויהיו ד' אלפים וו' מאות ופ"ט
|
- 4000: the position of the owner of the gold coins = 4
|
הנה ד' אלפים הם ד' אנשים ר"ל איש רביעי והוא מחזיק הזהב אך לא תדע סך המטבעים עדין
|
- 600: the position of the owner of the silver coins = 6
|
וו' מאות הם איש שישי מחזיק הכסף
|
- 80: the position of the owner of the copper coins = 8
|
והפ' איש שמיני בעל הנחושת
|
- 9: the position of the owner of the iron coins = 9
|
והט' איש תשיעי בעל מטבע הברזל
|
|
|
ועדין לא תדע כי אם האנשים ר"ל מי מחזיק הזהב וכן הכסף אך לא תדע סך מנינם
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle
\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot3\right)+6\right]\sdot5\right]+{\color{red}{5}}\right]{\color{red}{\sdot5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(6+6\right)\sdot5\right]+{\color{red}{5}}\right]{\color{red}{\sdot5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(12\sdot5\right)+{\color{red}{5}}\right]\sdot{\color{red}{5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left(325-150\right)\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(175\sdot2\right)+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(350+7\right)\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left(357\sdot5\right)\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left(1785\sdot2\right)+9=3570+9=3579\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/4/5/2/452c85a5ce1b997097edaa382cdfeeb4.png)
|
ואם תרצה לדעת סך כל מטבע ומטבע תאמר לו שיכפול הג' מנינים ויהיו ו' תוסיף עליו ו' ויהיו י"ב ותכפלם על ה' ויהיו שכ"ה תסיר מהם ק"נ נשארו קע"ה תכפלם על ב' ויהיו ש"נ
תוסיף על זה ז' שהוא סך מטבעי הנחושת ויהיו שנ"ז תכפלם על ה' ויהיו אלף ותשפ"ה ותכפלם על ב' ויהיו ג' אלפים ותק"ע
ותוסיף על זה סכום מטבעי הברזל שהם ט' ויעלה הכל ג' אלפים ותקע"ט
|
- 3000: the number of gold coins = 3
|
הנה א"כ הג' אלפים הם ג' מטבעי זהב
|
- 500: the number of silver coins = 5
|
והה' מאות הם ה' מטבעי כסף
|
- 70: the number of copper coins = 7
|
והע' הם ז' מטבעי נחושת
|
- 9: the number of iron coins = 9
|
והט' הם ט' מטבעי ברזל
|
|
|
הנה א"כ האיש הד' מחזיק ג' מניני זהב
והאיש הו' מחזיק ה' מטבעי כסף
והאיש הח' מחזיק ז' מטבעי נחושת
והאיש הט' מחזיק ט' מטבעי ברזל שהם פיצולי
|
- 65) Question: if number 4 is a third of number 15 what is the fifth of 25?
|
סה) שאלה אם מספר ד' הוא שליש מספר ט"ו מהו חומש כ"ה
|
- (1)
|
התשובה היא על ב' פנים הא' ראוי להעמיד שליש ט"ו שהוא ה'
|
- Rule of Four:
|
ותאמר אם ה' שבו ד' מצד כי אמר כי ד' הם שליש ט"ו מספר ה' שהוא חומש כ"ה כמה שוים
|
|
תכפול ד' על ה' וחלק על ה' ויצא לך ד' והוא המבוקש
|
- (2)
|
והדרך הב' הוא כן והוא כי יש לנו לכפול מספר ד' על ג' ויעלו י"ב
|
|
א"כ מספר ד' הוא שליש י"ב
|
- Rule of Four:
|
ונרצה שיהיה שליש ממספר ט"ו ויש לך לעשות הערך כך ולומ' אם ט"ו שבו י"ב כ"ה כמה ישוו
|
|
כפול כ"ה על י"ב וחלקם על ט"ו ויצא לך עשרים תקח חמישיתם ויצא ד'
|
- 66) Question: if you want to know the number of which a man thought
|
סו) שאלה אם תרצה לדעת מה שחשב אדם בלבו
|
- Tell him to divide it by 2.
- Ask him if the result of division includes a half, [tell him to] consider the result as integer, and take 1 for the half.
- Tell him to add half the number to the whole number and divide the result by 2.
- If there is a half in the result take 2 for the second half and tell him to consider the result as integer.
- Tell him to add this to what he had before the second division.
- Ask him how many ninths there are in the sum and take 4 for each 9.
- Add the result to what you have from the two divisions and the sum is the required.
|
תאמר לו שיחלקהו על ב'
אח"כ שאל לו אם יש בחלוקה חצי ותעשהו שלם ותקח אתה בעד החצי א'
אח"כ תאמר לו שיוסיף מחצית המספר על המספר כלו
ואח"כ תאמר לו שיחלק העולה על ב'
ואם יש בו חצי ג"כ תקח שנים בעבור החצי הב' ותאמ' לו שיעשהו שלם
ותאמ' לו שיוסיף זה על מה שהיה לו קודם החלוקה השניה
ותשאל לו כמה תשיעיות יש בו וקח בעד כל ט' ד'
ותוסיף העולה על מה שיש לך מהב' חלוקות והיוצא הוא המבוקש
|
- Example: a man thought of the number 33
|
דמיון אדם חשב מספר ל"ג
|
|
תאמר לו שיחלקהו על ב' ויצא לך י"ו וחצי
|
- consider the 16½ as 17 and reserve 1 for the ½
|
ותאמ' לו שיעשהו שלם ויהיו י"ז ותקח א'
|
|
אח"כ תוסיף אלו הי"ז על ל"ג ויהיו נ' ותחלקם על ב' ויצא לך כ"ה
תוסיף אלו הכ"ה על נ' ויעלה ע"ה
|
- take 4 for each 9 in 75: there are 8 ninths in 75 → 32
|
תקח בעד כל ט' ד' ויעלו ל"ב כי ח' תשיעיות שלמות יש בו
|
- add the reserved 1:
|
ותוסיף עליו א' שהיה מן החלוקה הראשנה ויהיו ל"ג
|
- the signs: 1; 2; 3; 4
|
וסימניך אבג"ד
|
- 1: for a half in the result of the first division
|
ר"ל תקח א' בעד החלוקה הראשנה אם יש בו חצי
|
- 2: for a half in the result of the second division
|
ותקח ב' בעד החלוקה השניה אם יש בו חצי
|
- 3: for a half in both the first and second division
|
ותקח ג' אם יש חצי בראשנה גם בשניה
|
|
ותקח ד' בעד כל ט'
|
Gaging Problems
|
|
- 67) Question: if you want to know how many small measures will a large container contain:
- Know how many thumbs of the hand are in its length from the inside, in the depth of its center and in the depth of its top because it is narrow.
- Take half the number of the thumbs you found in the depth of its center and its top and multiply it by itself.
- Then multiply the result also by the measure of the length.
- Divide the product by 144 and the result are the measures that the container contains
|
סז) שאלה אם תרצה לדעת כמה מדות קטנות יכיל כלי גדול
דע כמה אצבעות מבוהן היד יש בארכו מבפנים ובעמקו באמצע ג"כ בעומק ראשו מפני שהוא צנה
וקח שעור חצי האצבעות שמצאת בעמקו באמצעו ובראשו ותכפלם בעצמם
והעולה תכפלם ג"כ בשעור מספר האורך
והעולה תחלקהו על קמ"ד והיוצא הוא המדות שיכיל הכלי
|
- Example: we want to know: how much will be contained in a container in which there are 50 thumbs of the size of my thumb from the inside, there are 28 thumbs in the depth of its center and 20 in the depth of its top which is narrower
|
דמיון זה רצינו לדעת כמה יכיל כלי שהיה בארכו מבפנים נ' אצבעות באצבע הגודל שלי שהוא בזה השעור ויש בעמקו באמצע כ"ח אצבעות ובעומק הראש שהוא יותר צרה כ'
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(28+20\right)\right]^2\sdot50}{144}=\frac{24^2\sdot50}{144}=\frac{576\sdot50}{144}=\frac{28800}{144}=200}}](/mediawiki/images/math/1/7/6/176570b2fcb848f20c4df10b442c1bc7.png)
|
קח מחציתם שהם כ"ד ותכפלם על עצמם ויעלו ה' מאות וע"ו
תכפלם ג"כ על שעור האורך שהם נ' ויעלו כ"ח אלפים וח' מאות
חלקם על קמ"ד ויצאו מאתים
ואלו הם המדות שיכיל הכלי במדה שנוהגים עכשו למדוד היין פה עיר קורוניאה
|
|
|
סח) שאלה אם תרצה לדעת מכלי שיש בו יין ואינו מלא ותרצה לדעת כמה יכיל החסרון דע שעור האצבעות שיש בעומק הכלי באמצעו וקח מחציתם ותכפלהו בעצמו וחלק עליו חצי המדות שיכיל הכלי בהיותו מלא והיוצא הם המדות שיחסר מהכלי ובאצבע הראשון ובשנית כמות הראשון ובכפלו ובשלישית כמות השנית וכפל הראשון וברביעית כמות השלישי וכפל הראשון וכן כלם בין רב למעט
|
|
|
ולדעת כמה מדות יכיל בחסרון כלי תכפול החסרון כלי בעצמו ותכפלהו בראשון והעולה הם המדות שיש בחסרון
|
|
|
דמיון יש לנו כלי שיכיל ר' מדות קטנות ויש בעמקו באמצע כ"ח אצבעות
|
|
קח חצים שהם י"ד ותכפלם בעצמם ויעלו קצ"ו
חלק עליהם חצי מאתים מדות שיכיל הכלי שהם ק' ויצא לך חצי יותר מעט ואין לחוש על השאר והוא מה שיחסר בשעור האצבע הראשנה
|
|
ואם יחסר ו' אצבעות תכפלם בעצמם ויהיו ל"ו תכפלם על החצי ויעלו לי"ח והם המדות שיכיל שעור הו' אצבעות שיחסר הכלי
|
|
|
סט) שאלה אם תרצה לעשות כלי שיכיל מדה ידועה לא פחות לא יתר דע תחלה אורך הלוחות שתרצה לעשותו והוצא מהם הנצרך לשייר לעשות מקום לישיבת תחתיות הכלי וקח הנשאר מאורך הלוח ושמרהו וחלק עליהם שעור המדות שרצונך שיכיל הכלי מוכפלים על קמ"ד ומהיוצא קח שרשו והוא השעור שצריך להיות בעומק הכלי ברביעיתו שהוא בין האמצע ובין הראש
|
|
|
דמיון רצינו לעשות כלי שיכיל מאתים מדות ויש לנו לעשותן מלוחות שיש בארכן נ"ד אצבעות
|
|
חסר מהם ד' למושב תחתית הכלי וישארו נ'
תכפול מאתים על קמ"ד ויעלו י"ד וח' מאות
חלקם על נ' שבאורך ויצא לך תקע"ו
קח גדרם שהוא כ"ד
|
|
|
וזה השעור צריך להיות בעומק שבין האמצע ובין הראש שהוא ברביעית אורך הלוח מפני שצריך להיות עומק האמצע גדול מעומק הראש
|
|
|
או אם תרצה עשה הלוחות כתקנן באופן שלא ישאר לגמר מלא כל הכלי אלא חבורם ותעשה בענין שיהיה רוחב כלם ברביעיתן הגדר מוכפל על ג' ושביעית
|
|
דמיון זה יצא בגדר כ"ד תכפלהו בג' ושביעית ויהיו ע"ה וג' שביעיות תעשה רוחב כל הלוחות ברביעית אורך הלוח שתהיו שוות לע"ה וג' שביעיות הנז' ותעשה כלי כרצונך
|
If you give me
|
|
- 70) Question: four men.
- The first said to the second: if you give me half of your money with my [money] the result will be ten.
- The second said to the third: if you give me a third of your money with half of the money I had before I gave to my friend its half, i.e. with what I have left, the result will be ten.
- The third said to the fourth: if you give me a quarter of your money with what I have left after giving the third the result will be ten and you will be left with ten.
- How much was the money?
|
ע) שאלה ד' אנשים
אמר הא' לב' אם תתן לי חצי ממונך עם שלי יעלה עשרה
אמר הב' לג' אם תתן לי שליש ממונך עם חצי הממון שהיה לי קודם שנתתי לחבירי מחציתו יעלה עשרה ר"ל עם מה שנשאר לי
השיב הג' לד' אם תתן לי רביעית ממונך עם מה שנשאר לי אחר נתינת השליש יעלה עשרה גם נשארו לך עשרה
כמה היה הממון
|
|
הנה תקח המורה על ממון האחרון רצוני הד' כי ידוע הוא כי אחר שנתן רביעית הממון נשארו לו עשרה א"כ נאמר עשרה מאיזה מספר הוא ג' רביעיותיו תמצא י"ג ושליש א"כ ממון האחרון היה י"ג ושליש
|
![\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\left(13+\frac{1}{3}\right)-10\right]=10-\left(3+\frac{1}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}](/mediawiki/images/math/4/7/a/47a5263a9e0c9496c10645de653ec5c4.png)
|
ונתן הרובע ונשארו לו י' א"כ אלו הג' ושליש נתן לשלישי כדי שישלים לו מנין עשרה א"כ היה לו ו' וב' שלישיות אחר שנתן שליש ממונו לשני
|
|
ונאמר ו' וב' שלישיות מאיזה מספר הוא ב' שלישיות תמצא י' א"כ לג' היה לו י'
|
|
ונתן מהם ג' ושליש שהם שלישיתם וקבל ג"כ ג' ושליש ויצא שכרו בהפסדו הנה א"כ היה לו עשרה כי מה שחסר זה מלא זה
|
|
וא"כ נשוב לשני וידוע כי ממון שנשאר לו אחר שנתן החצי לחבירו הוא ו' וב' שלישיות בעבור כי יש לו לקבל ג' ושליש ויעלה י'
|
|
א"כ נאמר ו' וב' שלישיות מאיזה מספר הוא חציו נמצא י"ג ושליש א"כ ממונו היה י"ג ושליש
|
|
ונתן מהם מחציתם שהם ו' וב' שלישיות וככה נשאר לו וקבל ג' ושליש וממונו ג"כ עשרה
|
|
א"כ נשוב אל הא' וכבר ידענו כי קבל מחבירו ו' וב' שלישיות א"כ יחסר לו להשלים המנין ג' ושליש
|
|
א"כ ממונו היה ג' ושליש וממון הב' ג' ושליש קודם שיתן מאומה וממון הג' י' קודם שנתן דבר וממון הד' י"ג ורביע
|
- The first said to the second: give me half of your money with my [money] the result will be ten.
- The second said to the third: give me a third of your money with what I have left, the result will be 12.
- The third said to the fourth: give me a quarter of your money with what I have left, the result will be 15 and 20 will remain.
|
ואם אמר הראשון לשני תן לי חצי ממונך ועם שלי ויעלה י'
והב' אמר לג' תן לי שליש ממונך עם מה שנשאר לו יעלה י"ב
והג' אמר לד' תן לי רביעית ממונך עם מה שיש לי ויהיו ט"ו וישארו עדין עשרים
|
|
|
הדרך הוא ממש כנז' לעיל וסבת זה מבוארת
|
- 71) Question: three men want to buy a property for a price of 100 minyanim.
- The first said to the second and the third: if you give me a third of your money with all of my money the result will be 100.
- The second said to the third and the first: if you give me a quarter of your money with all of my money the result will be 100.
- The third said to the first and the second: if you give me a fifth of your money with all of my money the result will be 100.
- How much did each have?
![\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(b+c\right)\right]=100\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+c\right)\right]=100\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a+b\right)\right]=100\end{cases}](/mediawiki/images/math/0/0/6/006a70aaf6443facfc26b98f2e14485b.png)
|
עא) שאלה הנה ג' אנשים רוצים לקנות קנין בערך ק' מנינים
אמ' הא' לב' ולג' אם תתנו לי שליש ממונכם עם כל ממוני יעלה ק'
השיב הב' לג' ולא' אם תתנו לי רביעית ממונכם עם כל ממוני יעלו ק'
אמר הג' לא' ולב' אם תתנו לי חומש ממונכם עם כל ממוני יעלה ק'
כמה לכל א' וא'
|
|
|
התשובה עשה כך והוא שתקח איזה מספר יהיה לו שליש ורביע וחומש והוא ס'
|
|
אח"כ תאמר ס' מאיזה דבר הוא ב' שלישיות תמצא צ'
|
|
עוד תאמר ס' מאיזה דבר הוא ג' רביעיות תמצא פ'
|
|
עו' תאמר ס' מאיזה מספר ד' חומשים תמצא ע"ה
|
|
אח"כ תחבר אלו הג' מספרים ויעלו רמ"ה תחלקם על ב' מצד כי לעולם הם ב' מחוברים ר"ל כי הא' אומ' לב' הנשארים שיתנו לו שליש וכן כלם ויצא לך קכ"ב וחצי
|
|
הוצא מהם צ' כי הוא חלק הראשון נשארו ל"ב וחצי והוא חלק הא'
|
|
עו' הוצא מקכ"ב וחצי פ' ישארו מ"ב וחצי והוא חלק השני
|
|
עוד הוצא מקכ"ב וחצי ע"ה נשארו מ"ז וחצי והוא חלק הג'
|
![\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(b_1+c_1\right)\right]=\left(32+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(42+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(47+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}](/mediawiki/images/math/8/4/8/848008a14f171bd5d8cafcc7b6e1e056.png)
|
אח"כ קח שליש ממ"ב וחצי לבחון השאלה וממ"ז וחצי ותחברם אל ל"ב וחצי ויעלה ס"ב וחצי
|
![\scriptstyle{\color{blue}{b_1+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a_1+c_1\right)\right]=\left(42+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(32+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(47+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}](/mediawiki/images/math/0/b/b/0bbcd0f3d145fa0dde09c782c6cd6622.png)
|
עו' קח רביעית מ"ז וחצי ול"ב וחצי ותחברם אל מ"ב וחצי ויהיו ס"ב וחצי
|
![\scriptstyle{\color{blue}{c_1+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a_1+b_1\right)\right]=\left(47+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(32+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(42+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}](/mediawiki/images/math/2/1/6/216b1e31f316e3c3c7ffc9e1d999b827.png)
|
אח"כ קח חומש ל"ב וחצי וממ"ב וחצי וחברם אל מ"ז וחצי ויהיו ג"כ ס"ב וחצי
|
|
הנה א"כ אלו היה ערך הקנין ס"ב וחצי כבר עשינו השאלה כי ממון הא' היה ל"ב וחצי וממון הב' מ"ב וחצי וממון הג' מ"ז וחצי
|
- Rule of Four:
|
הנה ערך הקנין הוא ק' על כן נעשה הערך כך ונאמר אלו ס"ב וחצי שוים ל"ב וחצי ק' כמה שוים
|
|
יצא לך נ"ב והוא חלק הא'
|
- Rule of Four:
|
עוד תאמר אלו ס"ב וחצי שוים מ"ב וחצי כמה שוים ק'
|
|
ויצא לך ס"ח והוא החלק מהב'
|
- Rule of Four:
|
עו' תאמר אלו ס"ב וחצי שוים מ"א ק' כמה שוים
|
|
ויצא לך ע"ו והוא החלק מהג' וכו'
|
|
|
ואלו היו ד' אנשים תעשה כנז' אך ראוי לחלק העולה על ג' מצד כי הם קשורים לעולם ביחד כמו שחלקנו אותם שלמעלה על ב' כי הם קשורים ביחד והבן זה מאד כדי שלא תטעה בחשבונך וסבת זה מבוארת ואתן לך דמיון מד'
|
- 72) Question: there are four.
- The first said: I will give all my money and you will give half of your money and the result will be 100.
- The second said to the three: I will give all my money and you will give a third of your money and the result will be 100.
- The third said to the remaining three: I will give all my money and you will give a quarter of your money and the result will be 100.
- The fourth said: give a fifth of your money with all my money and the result will be 100.
- How much did each have?
![\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c+d\right)\right]=100\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c+d\right)\right]=100\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b+d\right)\right]=100\\\scriptstyle d+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a+b+c\right)\right]=100\end{cases}](/mediawiki/images/math/8/d/9/8d9cbc5645ea1faa16b3276dee229e28.png)
|
עב) שאלה בכאן ד'
אמר א' אני אתן כל ממוני ותנו אתם חצי ממונכם ויהיו ק'
השיב הב' לג' אני אתן כל ממוני ותנו אתם שליש ממונכם ויעלה ק'
השיב הג' לג' הנשארים אני אתן כל ממוני ותנו אתם רביעית ממונכם ויעלה ק'
אמר הד' תנו חומש ממונכם עם כל ממוני ויעלה ק'
כמה לכל א' וא'
|
|
|
הנה יש לך למצא חשבון יכלול חצי ושליש ורביע וחומש ותמצא ס'
|
|
ותאמר ס' מאיזה דבר הוא מחציתו תמצא ק"כ
|
|
עו' תאמ' ס' מאיזה מספר הוא ב' שלישיותיו תמצא צ'
|
|
עוד תאמר ס' מאיזה מספר הוא ג' רביעיותיו תמצא פ'
|
|
ומאיזה דבר ד' חמישיותיו תמצא ע"ה
|
|
אח"כ חברם ויהיו שס"ה חלקם על ג' כי לעולם הם דבוקי ביחד בבקשת שליש הממון וחצי ורביעית וחומש יצא לך קכ"א וב' שלישיות והוא ממון ארבעתן
|
|
אח"כ תוציא מקכ"א וב' שלישיות ק"כ נשאר א' וב' שלישיות והוא חלק הא'
|
|
עוד תוציא ממנו צ' ונשארו ל"א וב' שלישיות והוא ממון הב'
|
|
עוד תוציא ממנו פ' וישארו מ"א וב' שלישיות והוא ממון הג'
|
|
עוד תוציא ממנו ע"ה ונשארו ממנו מ"ו וב' שלישיות והוא ממון הד'
|
![\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b_1+c_1+d_1\right)\right]=61+\frac{2}{3}}}](/mediawiki/images/math/4/6/2/462e46c4f8cb6f72f4cf90d7146e9798.png)
|
ואמר בעל הא' לג' הנשארים שיתנו לו חצי ממונם ויעלה ק' והנה כשתחבר כל ממונם ותחלקהו על ב' לא יצא כי אם ס"א וב' שלישיות
|
- Rule of Four:
|
על כן נאמר אם ס"א וב' שלישיות יתנו לי א' וב' שלישיות מה יתן לך ומה יוסיף לך ק'
|
|
|
ותעשה כנז' והטעם מבואר ואין צריך לפנים
|
|
|
עג) שאלה אם תרצה לדעת מרובע משטרות איזה מהם נגע חבירך תשים ה' באורך וה' ברוחב ואמור לה' בני אדם שכל א יגע א' בשורה א' ר"ל שבשורה שיגע הא' לא יגע הב' ותקחם בידך אא' בצד ימין ותלך בצד שמאל ומצד שמאל לצד ימין ומן ימין לשמאל וכן עד כלות כל הה' שורות אח"כ הניחם על השלחן אחת אחת ממעלה למטה וממטה למעלה וכן עד שהנחת כל הה' שורות על השלחן ואח"כ שאל להם באיזו שורה השטר שנגע וכן לכל א' וא'
|
|
|
ותמצא שהראשון שנגע בראשנה היא השטר שלפניך באותה שורה שאמ' לך והשניה ר"ל אותה שנגע השני היא השניה דרך ירידה ואותה שנגע הג' היא הג' דרך ירידה וכן לעולם וכן תוכל לעשות מו' או מז' אם תעשה מרובע מו' או מז'
|
|
|
עד) שאלה אם תרצה לדעת איזה שטר לקח חבירך מצחוק שלם משטרות יש לך לעשות ככה ידוע תדע כי כל הנקדות מצחוק שלם משטרות עולים שיב וכל כך שישוה הפרש עשרה ורוכב הסוס י"א והמלך י"ב ותמנה כל הנקדות ויחסר לך עד תשלום שי"ב רמ'ה' תשוב להפך השטרות פעם שניה ותמנה הה' החסרים מאיזה מין הוא ר"ל אם מסוסים או מכוסות או ממקלות או מסייפים ותשיג המבוקש
|
- 75) Question: three men want to buy three horses - the price of one is 60 minyanim, the second 80, and the third 100.
- The first said to the second: give me half of your money with all of my money and we will buy the horse for 60.
- The second said to the third: if you give me a third of your money with all of my [money] we will buy the horse for 80.
- The third said to the first: if you give me a quarter of your money plus 20 with all of my money we will buy the horse that is worth 100.
- How much did each have?
|
עה) שאלה ג' בני אדם רוצים לקנות ג' סוסים ערך הא' ס' מנינים והב' פ' והג' ק'
ואמר הא' לב' תן לי חצי ממונך עם כל ממוני ונקנה סוס הס'
אמר הב' לג' אם תתן לי שליש ממונך עם כל שלי נקנה סוס הפ'
אמר הג' לא' אם תתן לי רביעית ממונך עם תוספת עשרים ועם כל ממוני נקנה הסוס השוה ק'
כמה היה לכל א' וא'
|
- False Position (1):
|
התשובה היא ככה נניח שלראשון היה לו מ"ח מנינים
|
|
ויחסר עד ס' י"ב מנינים
|
|
א"כ לשני היה לו כ"ד ונתן לו י"ב והם ס'
|
|
ולג' היה לו קס"ח
|
|
כי שליש ממונו הוא נ"ח ועם כ"ד הם פ'
|
|
אח"כ אמר הג' לא' שיתן לו רביעית ממונו עם תוספת עשרים ויתן לו ל"ב ועם קס"ו ויהיו מאתים
|
|
ואין אנו מבקשים כי אם ק' כדי לקנות הסוס א"כ יותירו מאה ושמרם ותאמר בעד מ"ח נשארו מאה
|
- False Position (2):
|
אח"כ נעשה ערך ב' ונניח שלראשון היו לו מ' מנינים
|
|
א"כ יצטרך שיהיה לשני מ'
|
|
ג"כ גם יצטרך שיהיה לג' ק"כ
|
|
ועם שואל לראשון רביעית ממונו עם תוספת עשרים שהם ל' ויהיו ק"נ
|
|
אח"כ תאמר בעד מ' נשארו נ'
|
- Double False Position:
|
אח"כ הוצא נ' מק' נשארו נ'
אח"כ כפול מ"ח על נ' ויהיו אלפים וד' מאות
אח"כ כפול ק' על מ' ויהיו ד' אלפים
הוצא מהם אלפים וד' מאות הנשאר אלף ת"ר
וחלקם על תוספת ערך האחד על תוספת ערך האחד שהוא נ' ויעלו ל"ב וכן היה לראשון
|
- 76) Question: three men are buying a property for a price of 11½ minyanim.
- The first asks from the other two for half of their money minus 2.
- The second asks for a third of their money minus 3.
- The third asks for a quarter of their money minus 4.
- How much did each have?
![\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)\right]-2=11+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)\right]-3=11+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)\right]-4=11+\frac{1}{2}\end{cases}](/mediawiki/images/math/5/a/c/5acc2f267a69299fb15f1a0f12f3995f.png)
|
עו) שאלה ג' אנשים קונים דבר ערך י"א מנינים וחצי
א' שואל לב' הנשארים מחצית ממונם פחות ב'
והאחר שואל שליש ממונם פחות ג'
והאחר שואל רביעית ממונם פחות ד'
כמה לכל א' וא'
|
|
|
התשובה תמצא מספר יכלול חצי ושליש ורביע והוא י"ב
|
|
וי"ב הוא מחצית כ"ד
|
|
וב' שלישיות י"ח
|
|
וג' רביעיות י"ו
|
|
קח מכ"ד ב' ישארו כ"ב
|
|
קח מי"ח ג' ישארו ט"ו
|
|
קח מי"ו ד' ישארו י"ב
|
|
ותחברם ויעלו מ"ט ותחלקם על ב' ויעלו כ"ד וחצי
|
|
הסר מהם כ"ב ישארו ב' וחצי והוא חלק משואל לחבירו מחצית הממון
|
|
גם הסר ט"ו ישארו ט' וחצי והוא חלק משואל שליש ממון חבירו פחות ג'
|
|
קח י"ב מכ"ד ישארו י"ב וחצי והוא חלק משואל רביעית הממון פחות ד'
|
|
|
והכלל בזה כי אם תוסיף לשואל חצי ממון חביריו ב' יצטרך שתוסיף לשואל השליש ג' ולשואל הרובע ד'
|
|
|
ואם בעל החצי אמר פחות שנים צריך שבעל השליש יאמר פחות ג' ובעל הרובע יאמר פחות ד' ודוק ותשכח
|
- 77) Question: three men want to buy a property for 22½ minyanim.
- The first said to the [other] two: if you give me half of your money plus 2 with mine the result will be 22½.
- The second said to the first and the third: if you give me a third of your money plus 3 with mine the result will be 22½.
- The third said to the second and the first: if you give me a quarter of your money plus 4 with mine the result will be 22½.
- How much did each have?
![\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)\right]+2=22+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)\right]+3=22+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)\right]+4=22+\frac{1}{2}\end{cases}](/mediawiki/images/math/9/8/2/98215374dbb23b6a6fcc8428fa0f5f23.png)
|
עז) שאלה ג' אנשים רוצים לקנות קנין כ"ב מנינים וחצי
אמר הא' לב' אם תתנו לי חצי ממונכם עם תוספת שנים ועם שלי יהיו כ"ב וחצי
אמר הב' לא' ולג' אם תתנו שליש ממונכם עם תוספת ג' ועם שלי יהיו כ"ב וחצי
אמר הג' לב' ולא' אם תתנו רביעית ממונכם עם תוספת ד' ועם שלי יהיו כ"ב וחצי
כמה לכל א' וא'
|
|
|
התשובה בקש מספר יכלול חצי ושליש ורביע והוא י"ב
|
|
ותאמר י"ב מאיזה מספר חציו תמצא כ"ד
|
|
עוד תאמר י"ב מאיזה דבר ב' שלישיות תמצא י"ח
|
|
עוד תאמר י"ב מאיזה דבר ג' רביעיות תמצא י"ו
|
|
אח"כ תוסיף לכל א' מה ששואל מהתוספת ר"ל שתוסיף על כ"ד ב' ויהיו כ"ו
|
|
ועל י"ח ג' ויהיו כ"א
|
|
ועל י"ו ד' ויהיו כ'
|
|
ותחבר הכל ויעלה ס"ז ותחלקם על ב' ויצא לך ל"ג וחצי
|
|
תסיר מהם כ"ז וישארו ז' וחצי והוא חלק משואל חצי ממון חביריו עם תוספת ב'
|
|
עוד תסיר מהם כ"א וישארו י"ב וחצי והוא ממון שואל לחביריו שליש ממונם עם תוספת ג'
|
|
עוד תסיר מהם כ' וישארו י"ג וחצי והוא ממון משואל לחביריו רביעית ממונם עם תוספת ד'
|
|
|
ודע כי אם תוסיף על שואל חצי ממון חביריו ב' יצטרך שתוסיף לשואל שליש ממון חביריו ג' ולשואל רביעית ממון ד'
|
|
|
ואם תוסיף ד' לשואל חצי הממון תוסיף לשואל שליש ממון ו' ולשואל הרביעית ח' וכן תמיד
|
Geometrical Problems
|
|
- 78) Question: here is a wall 50 cubits tall.
- At the foot of the wall there is a large hole 30 wide.
- We ask: if we want to drop a rope from the top of the wall to the hole which is 30 cubits far from the bottom of the wall.
- How long should it be?
|
עח) שאלה הנה בכאן חומה אחת גבוהה חמישים אמות וברגל החומה יש גומה רחבה ל'
נשאל אם נרצה להוריד חבל אחד מראש החומה עד סוף הגומא הרחוקה מרגל החומה ל' אמות
כמה יהיה ארכה
|
|
התשובה יש לנו לכפול החומה שהוא נ' על עצמם ויהיו אלפים וה' מאות
אח"כ נכפול רוחב הגומה על עצמם שהם ל' ויהיו ט' מאות
ונחברם עם אלפים וה' מאות ויהיו ג' אלפים וד' מאות וקח שרשם ויהיו נ"ח וכ"ו חלקים מקי"ו והוא אורך החבל
|
- 79) Question: a triangle such as this - if the length of the height is 30, how much is the length of each side of the triangle?
|
עט) שאלה אם משולש כזה אם אורך העמוד הוא ל' כמה אורך כל צלע מהמשולש
|
|
|
|
|
התשובה יש לך לכפול אורך הקו על עצמו שהוא ל' על ל' ויהיו ט' מאות
וקח שלישיתם שהם ג' מאות ותוסיפם על ט' מאות ויהיו י"ב מאות וקח שרשם שהוא ל"ד וע' חלקים מע"ה וזה יהיה אורך כל קו מהמשולש
|
- 80) Question: there are here two towers - the length of one is 50 cubits and the other one is 30 cubits.
- The distance between them is 20 cubits.
- We wish to build a bridge from the top of one tower to the other.
- How long would it be?
|
פ) שאלה בכאן שני מגדלים אורך האחד נ' אמות והאחרת ל' אמות ומרחק שבין שניהם עשרים אמות ונרצה לעשות גשר מראש המגדל האחד על האחר
כמה יהיה ארכו
|
|
|
|
|
התשובה יש לנו לכפול המרחק שבין שני המגדלים שהוא כ' על עצמם ויעלו ד' מאות
אח"כ ראוי לכפול ד' מאות על ב' ויהיו ח' מאות כ אמות ונקח שרשם ויהיו כ"ח שלמים וי"ו חלקים מנ"ו וכן יצטרך שיהיה אורך הגשר ודוק ותשכח
|
- 81) Question: here is a square tower such as this, whose perimeter, i.e. its thickness is 50 cubits from the outside.
- The thickness of the wall from each of its corners is 2¼ cubits.
- We wish to know: how much is the perimeter of the tower?
|
פא) שאלה בכאן מגדל מרובע כזה שכל הקפו ר"ל עביו נ' אמות מבחוץ והעובי מהקיר מכל ד' זויותיו ב' אמות ורביע
נרצה כמה הקף המגדל
|
|
|
|
![\scriptstyle{\color{blue}{50-\left[2\sdot\left[4\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=50-\left(2\sdot9\right)=50-18=32}}](/mediawiki/images/math/7/9/9/799311e5e1bf3dd4d7c5ff4b0602149b.png)
|
התשובה הנה יש לך לכפול ד' מצד כי הם ד' קירות על ב' ורביע ויעלו ט' וכפול אותם על ב' ויהיו י"ח ותחסרם מנ' וישארו ל"ב וכן יהיה הקף המגדל מבפנים
|
- 82) Question: here is a square such as this, whose inner line is 10 cubits long, i.e. its diagonal.
- How much is the length of each side of the square?
|
פב) שאלה הנה בכאן מרובע כזה שהקו שהוא מבפנים ארכה עשרה אמות ר"ל הקו ההולך באלכסון
כמה אורך כל קו וקו מהמרובע
|
|
|
|
|
התשובה יש לך לכפול עשרה על עצמם ויהיו מאה וחלקם על ב' ויצאו חמישים וקח שרשם והוא ז' וחלק מי"ד והוא יהיה אורך כל קו וקו מהמרובע
|
- 83) Question: a square whose four sides are 10 long.
- We wish to know: how much is the length of its diagonal?
|
פג) שאלה אם תרצה לדעת ממרובע שכל ד' קוים ארכם עשרה
נרצה לדעת כמה אורך הקו ההולכת באלכסון
|
|
|
|
|
יש לכפול עשרה על עצמם ויהיו מאה וכפול אותם על ב' ויהיו ב' מאות וקח שרשם ויהיו י"ד וד' חלקים מכ"ח וזה יהיה אורך האלכסון
|
- 84) Question: here is a tree 20 cubits tall.
- At the foot of the tree there is a stream 10 cubits wide
- The tree was broken and its top touched the edge of the stream, i.e. 10 cubits far from the foot of the tree.
- We ask: at what point did the tree break?
|
פד) שאלה הנה בכאן אילן גבוה עשרים אמות וברגל האילן יש נהר רחבו עשרה אמות ונשבר האילן ונגע הראש בסוף רוחב הנהר ר"ל רחוק מרגל האילן עשרה אמות
נשאל באיזה מקום נשבר האילן
|
|
התשובה הנה יש לך לכפול אורך האילן על עצמם ר"ל כ' על כ' ויהיו ד מאות
אח"כ כפול רוחב הנהר על עצמם ר"ל עשרה על עשרה ויהיו ק'
תוציאם מד' מאות וישארו ג' מאות ותחלקם על ב' ויהיו ק"נ
אח"כ תחלק ק"נ על כ' ויהיו ז' וחצי והוא הקיים מהאילן והנשבר י"ב וחצי
|
- 85) Question: here is is a quadrangular
- We want to create a triangle inside it, so that the length of each of its three sides will be 20.
- How much is the perimeter of the quadrangular?
|
פה) שאלה הנה בכאן מרובע ונרצה לעשות משולש בתוכו שכל א' מג' קוים ארכה עשרים
כמה יקיף כל המרובע
|
|
|
וזה הוא צורתו
|
|
קח חצי אורך המשולש שהוא עשרה וכפול אותם על עשרים ויהיו ב' מאות וככה יקיף כל המרובע
|
- 86) Question: here is a triangle, the length of each of its sides is 35.
- How long is its height?
|
פו) שאלה הנה בכאן משולש כל א' מהג' קוים ארכה ל"ה כמה אורך הקו הנמשכת כזה
|
|
|
|
|
הנה יש לך לכפול אורך כל קו על עצמם שהם ל"ה ויעלו אלף ורכ"ה ותחלק העולה על ד' ויצא לך ג' מאות ורביע
ותחסר זה מכל הסך ר"ל מאלף ורכ"ה וישאר עדין ט' מאות וח' וג' רביעיות
וקח שרשם שהוא ל' שלמים וי"ח חלקים מס' וחלק מי"ו וככה יהיה אורך הקו הנמשכת
|
- 87) Question: if you want to create a square from a circle
|
פז) שאלה אם תרצה לעשות ממרובע א' עגול א' כזה
|
|
|
|
|
|
הנה יש לך לדעת אורך מקוי אחד המרובע ותכפול העולה על ג' ושביעית אחד וכן יהיה הקף כל העגול
|
- 88) Question: here are two intersecting lines, one is 30 long and the second is 40 long.
- If we wish to create a triangle from these two lines, how long should the third line be?
|
פח)[2] שאלה הנה בכאן שני קוים מחוברים אורך הא' ל' ואורך הב' מ' אם נרצה לעשות מאלו הב' קוים משולש כמה אורך הקו הג'
|
|
|
|
|
הנה יש לך לכפול כל קו על עצמו ר"ל ל' על ל' ויהיו ט' מאות
גם כפול מ' על מ' ויהיו אלף וו' מאות
ותחבר אלף וו' מאות עם ט' מאות ויעלו אלפים וה' מאות וקח שרשם שהוא נ' וזה יהיה אורך הקו הנ' כדי להשלים המשולש וזאת היא צורתו
|
|
|
פט)[3] שאלה אדם נוסע מנאפולי ללכת עד רומא בה' ימים ובאותו יום ובאותה שעה נוסע איש אחר מרומא ללכת בנאפולי בז' ימים נרצה לדעת בכמה ימים יפגשו זה את זה
|
|
|
יש לך לחבר מהלך האחד עם האחר ויהיו י"ב אח"כ כפול ה' על ז' ויהיו ל"ה ותחלקם על י"ב ויעלה ב' שלמים וי"א חלקים מי"ב
|
|
|
צ)[4] שאלה חבית א' מעשרים קרשים מכילה עשרים מדות מים אם נחסר ב' קרשים כמה יכיל
|
|
תכפול כ' על עצמם ויהיו ד' מאות
אח"כ כפול הקרשים ר"ל י"ח על י"ח ויהיו ג' מאות וכ"ד
תכפול ג' מאות וכ"ד על כ' ויעלה ו' אלפים וד' מאות ופ'
ותחלקם על ד' מאות ויצא לך י"ו ופ' חלקים מד' מאות וכך יכיל החבית מי"ח קרשים
|
- 91) Question: three men found a purse with some dinar.
- The first said to the two: if you give me the purse I will have as much dinar as both of you.
- The second answered: if you give me the purse I will have two times as much dinar as both of you.
- The third said: if you give it to me I will have three times as much money as both of you.
- How much money was in the purse and how much did each have?
|
צא) שאלה ג' אנשים מצאו כיס אחד עם סך דינרין
אמר הראשון נגד הב' אם תתנו לי הכיס יהיה לי דינרין כל כך כמו שיש בין שניכם
השיב השני אם תתנו לי הכיס יהיה לי דינרין ב' פעמים כמו שיש לכם
אמר הג' אם תתנו אותה יהיה לי מעות ג' פעמים כמו בין שניכם
כמה ממון היה בכיס וכמה דינרין היה לכל א וא'
|
- Money in the purse:
![\scriptstyle{\color{blue}{N=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot12\right)\right]-12=\left(6+8+9\right)-12=23-12=11}}](/mediawiki/images/math/f/0/3/f03e46121cbbf95d6e3b2685d2d09227.png)
|
התשובה תבקש מספר יהיה לו חצי ושליש והוא י"ב ותקח בעד הראשון ו' שהוא חצי י"ב ובעד השני ח' שהוא ב' שלישיות י"ב ובעד השלישי ט' שהוא ג' רביעיות י"ב ותחברם ויהיו כ"ג ותחסר מהם י"ב ישארו י"א והוא סך דינרי הכיס
|
- The first had:
|
ולדעת כמה דינרין היה לראשון כפול ב' פעמים ו' ויהיו י"ב תוציא מהם י"א וישאר א' וכן היה לו
|
- The second had:
|
ולדעת מה שיש לשני כפול ח' על ב' ויהיו י"ו תחסר מהם י"א ונשארו ה' והוא מה שיש לשני
|
- The third had:
|
ולדעת מה שיש לג' כפול ט' על ב' ויהיו י"ח תוציא מהם י"א וישארו ז' והוא המבוקש
|
- 92) Question: two men want to buy a horse whose price is unknown.
- The first said to the second: if you give me a third and a quarter of your money, with my money I will buy the horse.
- The second said to the first: if you give me a quarter and a fifth of your money, with my money I will buy the horse.
- I ask: how much did each have and how much is the price of the horse?
|
צב) שאלה ב' בני אדם רוצים לקנות סוס אחד ערכו נעלם
אמר הא' לב' אם תתן לי שליש ממונך ורביעיתו עם כל ממוני אקנה הסוס
אמר הב' לא' אם תתן לי רביעית ממונך וחמישיתו עם כל ממוני אקנה הסוס
אשאל כמה היה לכל א' וא' וכמה ערך הסוס
|
![\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}](/mediawiki/images/math/9/9/4/994410b776b40d19b554ba92d759d4ae.png)
|
התשובה תמצא מספר יהיה לו שלישית ורביעית בעד הראשון ותמצא י"ב תחסר מהם השליש והרביעית וישארו ה' ושלישיתו ורביעיתו הוא ז'
|
![\scriptstyle{\color{blue}{20-\left[\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)\right]=20-9=11}}](/mediawiki/images/math/f/f/8/ff8cbb7d14317cac82e03ace86d629d4.png)
|
אח"כ תבקש מספר יהיה לו רביעית וחומש בעד השני ותמצא כ' תחסר הרביעית והחומש וישארו י"א והרביעית והחומש הם ט'
|
- The first had:
|
אח"כ כפול הה' שנשארו מי"ב על הכ' ויהיו מאה והוא סך הממון מהראשון ר"ל ממבקש השליש והרביעית
|
- The second had:
|
אח"כ תכפול הי"א שנשארו מהכ' על י"ב ויהיו קל"ב והוא חלק מהשואל הרביעית והחומש
|
- The price of the horse:
![\scriptstyle{\color{blue}{N=132+\left[\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot100\right)\right]=132+45=177}}](/mediawiki/images/math/0/c/7/0c7db4cfa0209cf9b9f5ad813aa9161a.png)
|
ואם תרצה לדעת ערך הסוס הוצא הרביעית והחומש ממאה שהם מ"ה ותוסיפם על קל"ב ויעלו קע"ז
|
![\scriptstyle{\color{blue}{N=100+\left[\left(\frac{1}{3}\sdot132\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot132\right)\right]=100+77=177}}](/mediawiki/images/math/2/c/d/2cd0cf9d142ec7df7fa2ad8a2c868d00.png)
|
או תקח הרביעית והשלישית מקל"ב שהם ע"ז ותוסיפם על ק' ויהיו קע"ז
|
|
|
צג) שאלה הנה בכאן עיר שהחומות הסובבות כל העיר ג' מילין נרצה לדעת עיר שחומותיה עשרה כמה היא יותר גדולה מהאחרת
|
|
ראוי לכפול ג' על עצמם ויהיו ט'
אח"כ כפול עשרה על עצמם ויהיו מאה
תחלק מאה על ט' ויצא לך י"א ותשיעית והוא סך הפעמים שהיא יותר גדולה אותה של עשרה מאותה של ג'
|
- 94) Question: here is a circle whose diameter is 7.
- We wish to know how much is the perimeter of the circle?
|
צד) שאלה הנה בכאן עגול אחד כזה שהבריח האלכסונית הוא ז' נרצה לדעת כמה הקף העגול
|
|
כפולם על ג' ושביעית ויצא לך כ"ב וכך הוא סבוב העגול
|
- Question: here is a square and a circumscribed circle.
- The diameter of the circle is 7.
- How much is the length of each side of the square?
|
שאלה בכאן מרובע ועגול חוצה לו שאלכסון העגול הוא ז' כמה אורך כל קו וקו מהמרובע
|
|
|
|
|
יש לך לכפול ז' על עצמם והם מ"ט חלקם על ב' והם כ"ד וחצי וקח שרשם שהם ה' בקרוב וכן יהיה אורך כל קו מהמרובע
|
- 95) Question: here is a circle whose diameter is 16.
- If you want to create a triangle inside it, how much will be its perimeter and how much will be the length of each side of the triangle?
|
צה)[5] שאלה בכאן עגול שהבריח האלכסונית י"ו
אם תרצה לעשות משולש בתוכו כמה יהיה הקפו וכמה יהיה אורך כל קו וקו מהמשולש
|
|
|
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[16-\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\right]^2+\frac{1}{3}\sdot\left[16-\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\right]^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(16-4\right)^2+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(16-4\right)^2\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{12^2+\left(\frac{1}{3}\sdot12^2\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{144+\left(\frac{1}{3}\sdot144\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{192}=13+\frac{23}{26}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/3/5/0/350d4258b5f6812794764fc05d1e9a68.png)
|
תעשה ככה תעשה תסיר רביעית י"ו שהוא ד' וישארו י"ב
כפול י"ב על עצמם שהם קמ"ד
אח"כ תוסיף בו שליש קמ"ד ויהיו קצ"ב וקח שרשם שהם י"ג וכ"ג חלקים מכ"ו
|
- 96) Question: here is a circle whose perimeter is 30.
- How much is the length of the diameter?
|
צו) שאלה אם תרצה לדעת מעגול שמקיפו ל'
כמה אורך הבריח המחלקת
|
|
קח שליש ל' שהם עשרה וכן יהיה אורך הבריח
|
|
|
ובכל דבר עגול תוכל לדעת בזה האופן
|
- 97) Question: here is a quadrangular - the length of its two long sides is 40 and the breadth of its two short sides is 30.
- We wish to know: how long is the diagonal and how much is the area of the whole quadrangular?
|
צז) שאלה בכאן מרובע אורך השני קוים הארוכים מ' ורוחב השני קוים הקצרים ל'
נרצה לדעת כמה אורך הבריח האלכסונית וריקות כל המרובע
|
|
תכפול הבריח הרחבה שהוא ל' על הבריח הארוכה שהוא מ' ויעלה אלף וב' מאות וכן הוא שעור הריקות
|
|
ואם תרצה לדעת אורך הבריח האלכסונית כפול ל' על ל' שהם ט' מאות
וכפול מ' על מ' שהם אלף וו' מאות
ותחברם ויהיו אלפים וה' מאות וקח שרשם שהם נ' וכן אורך הקו
|
|
|
צח) שאלה הנה בכאן עיר שחומותיה גובה נעלם אם תרצה לדעת גבהם
|
|
|
קח מקל וזקוף אותו ר"ל שיהיה ארכו מהארץ ר"ל מרגליך עד שיגיע ראשו בין עיניך ותשכב על פניך למעלה ר"ל פשוט ידים ורגלים ותאמר לחבירך שישים המקל זקוף בין כפות רגליך וראה אם לפי ראות עיניך ראש המקל הוא כל כך גבוה כמו החומה שוה בשוה ואם אינו שוה התרחק או התקרב בעודך שוכב בארץ עד שיהיה נראה לך שהוא שוה ואח"כ תמדוד ממקום המקום עד רגל החומה (עד רגל החומה) כמה הוא וכן יהיה גובה החומה
|
|
|
צט) שאלה יש בכאן חבית מלאה שמן שהיא רחבה מהרגל שלמטה ז' אמות והולכת ומקצרת עד שהראש העליון עומד על אמה ושוה ח' מנינים כמה ישוה חבית שרחבה למטה ז' אמות גם הראש העליון רחבו ז' אמות
|
|
|
הנה יש לך לחבר כל המספרים שהם מא' עד ז' מצד כי הולכת ומקצרת ויעלו כ"ח
אח"כ כפול ז' על ז' מצד כי כל שני ראשיה הם ז' ויהיו מ"ט ותאמר אם כ"ח שוים ח' מנינים כמה ישוו מ"ט וכו'
|
|
|
ק) שאלה יש לנו שני כותלים שווים רחוקים זה מזה מספר נעלם וידענו הכאת הא' בגילו ר"ל הכאת הכותל במרחק שבין הכותלים והוא מ"ח והנה המרחק עם גובה א' הכותלים הוא י"א כמה הוא גובה הכותל וכמה מרחק זה מזה
|
|
קח חציו והוא ז' ומרובעו מ"ט תחסר מ"ח ישאר א' ושרשו א' נוסיפהו על ז' שהוא חצי י"ד והוא גובה המגדל
|
|
נחסרנו ממנו וישאר המרחק שביניהם וכן כל כיוצא בזה
|
|
|
קא) שאלה יש לנו שני כותלים שוים שהאחד הוא עד"מ קו א"ב והשני הוא קו ג"ד וגבהם אחד וידענו שהאלכסון הוא א"ד י' אמות וידענו שגובה הכותל הוא מוסיף על המרחק שיש בין שני הכותלים ב' אמות ונרצה לדעת כמה הוא גובה כל א' מהכותלים וכמה מרחקם
|
|
|
דרך זה הוא כך נרבע האלכסון שהוא י' והנה הוא ק' נחסר ממנו מרובע ב' שהוא ד' שבו יעדיף הגובה על המרחק וישאר צ"ו וקח חציו והוא מ"ח נוסיף עליו מרובע חצי העודף שהוא א ויהיו מ"ט וקח גדרו והוא ז' וככה הוא הגובה ר"ל גובה כל א' מהכותלים נחסר ממנו ב' והנשאר ה' והוא המרחק שביניהם מכותל לכותל
|
|
|
קב) שאלה יש לנו אילן גבוה חמישים אמה ונשבר ונגע הראש בקרקע וידענו שמרחק שבין שני קצותיו שהם על דרך משל כ"ה נשאלה בכמה נשבר
|
|
|
דרך זה נקח רביעית כ"ה ונחסרנו ממנו ונשאר י"ח וג' רביעיות ובזה המספר נשבר האילן נוסיף עליו רביעו ויצא ל"א ורביע והוא החלק הנופל בארץ
|
|
103) Question: a man gives his three sons apples.
- He gives to one 10, to the other 30 and to another 50.
- He said: the money I receive from each will be the same no more and no less and the each will sell at the same price.
- At what price did they sell?
|
קג) שאלה אדם נתן תפוחים לג' בניו
לא' נתן י' ולאחר נתן ל' ולאחר נתן נ'
ואמר כל כך ישא לי ממון הא' כמו האחר לא פחות ולא יתר ובערך שימכור הא' ימכרו האחרים
באיזה ערך מכרו
|
- The one who had 10 apples: 7 apples for one pašuṭ
|
ראוי לך לדעת כי בעל הי' מכר ז' לפשוט
|
 apples remain
|
ונשארו עד ג'
|
- he sold the remaining at one apple for 3 [pešuṭim]
|
ומכר כל א' מהם ג' דינרין
|
- the total price:
 pešuṭim
|
נמצא ששוים ט' ועם א' הם י'
|
|
|
ובעל הל' מכר ג"כ ככה כי הכ"ח מכר ד' פשוטים
|
|
|
והב' הנשארים מכר ו'
|
|
|
ויהיו י'
|
|
|
ובעל הג' מכר מ"ט ז'
|
|
|
וא' מכר ג'
|
|
|
והם י' ג"כ
|
|
|
קד) שאלה הנה בכאן חבית מכילה ק' קבין חציה מים וחציה יין ונוציא קב אחד ואח"כ נשים בו קב מים עוד נוציא קו (קב) פעם שניה ונמלאנה מים עוד נוציא קב פעם ג' ונמלאנה מים עוד נוציא קב פעם ד' ונמלאנה מים נרצה לדעת כמה קבים של יין נשארו בחבית אחר הפעם הד'
|
|
|
הדרך הוא כך ידוע הוא כי ה' קבין יין וה' של מים הם בחבית ונוציא קב וישארו ד' וחצי מים וד' וחצי יין ונשים קב של מים בחבית ויהיו ה' וחצי מים וד' וחצי יין ומאלו הד' וחצי נקח ט' עשיריות וישארו ד' וא' חלק מעשרים והוא היין שנשאר בחבית בפעם הב' עוד נקח מזה ט' עשיריות וישארו ג' וקכ"ט חלקים ממאתים והוא מה שנשאר בפעם הג' עו' נקח מזה ט' עשיריות וישארו ג' ותקס"א חלקים מב' אלפים והוא מה שנשאר בפעם הד' ואם תקח מג' ותקס"א חלקים מב' אלפים ט' עשיריות מה שישאר הוא הפעם הה' וכן תמיד
|
|
|
קה) שאלה בכאן מגדל גדול גבוה ולא ידענו כמה וצלו ק' אמות וצלו מגיע אצל מגדל אחר קטן גבהו עשרה אמות וגבהו כ"ה נרצה לדעת כמה גובה המגדל הנעלם
|
|
|
תאמר אם כ"ה נתנו לי עשרה ק' כמה יתנו כפול עשרה על ק' ויעלו אלף וחלקם על כ"ה ויצאו מ' והוא גובה המגדל הגדול כמו זאת הצורה
|
|
|
קו) שאלה הנה בכאן חומה גבוהה והגובה נעלם והורדנו חבל חבל מראש החומה עד הארץ וראש החבל רחוק מרגל החומה ב' אמות ואורך החבל הוא ק"ב אמות נרצה לדעת כמה גובה החומה
|
|
|
הנה נמדוד עשרה אמות מראש החבל התחתון ונבריח מ' בריח כנגדו יגיע אל החומה ונמדוד כמה אמות נבלעו מהחומה באותם הי' אמות של חבל ונניח כי באותם הי' מדות מהחבל נכנסו ח' מהחומה ונחלק אורך החבל שהוא ק"ב על י' ויצאו י"ב ונכפול י"ב על ח' ויהיו צ"ו והוא גובה החומה כמו זאת הצורה
|
Guess
|
|
- 123) Question: if you want to know to which person your friend has given a ring, on which finger is it, and on which finger joint
|
קכג) שאלה אם תרצה לדעת לאיזה אדם נתן חבירך הטבעת ובאיזה אצבע ובאיזה פרק
|
![\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left(2a+6\right)\sdot5\right]+b\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+c](/mediawiki/images/math/c/3/e/c3e1ce6b11d26dcc1bb18005064f9b63.png)
|
תחלה תאמר לו שיכפול אותו ואחר שישים עליו ו'
ואחר שיכפול כל זה ה' פעמים ואחר שיוסיף על זה המספר האצבעות
ואח"כ שיכפול כל זה ה' פעמים ואחר שיסיר מזה ק"נ
ואח"כ יכפול על שנים מה שנשאר ואחר זה יוסיף על זה מספר הפרקים
|
- hundreds = a = man number
|
והנה המאיות הם האנשים
|
|
והעשרות האצבעות
|
|
והאחדים הפרקים
|
- Example: I gave the ring to the fourth man on the third finger on the second joint
|
דמיון נתתי הטבעת לאיש רביעי באצבע הג' ובפרק ב'
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot4\right)+6\right]\sdot5\right]+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left(8+6\right)\sdot5\right]+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left(14\sdot5\right)+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left[\left[\left(70+3\right)\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left[\left(73\sdot5\right)-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left(365-150\right)\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left(215\sdot2\right)+2=430+2=432\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/9/b/0/9b0f9b8a1a2f248515b2bd2440a752f3.png)
|
תאמר לו שיכפול ד' ויהיו ח'
ואמור שיוסיף על זה ו' ויהיו י"ד
וכפול אותו על ה' ויהיו ע'
תוסיף על זה ג' שהוא מספר האצבעות ויהיו ע"ג
כפול אותם על ה' ויהיו שס"ה
תסיר מהם ק"נ הנשאר רט"ו
כפול אותם על ב' ויהיו ד' מאות ול'
תוסיף על זה ב' שהם הפרקים ויהיו תל"ב
|
- four hundreds = 400 = fourth man
|
הנה הד' מאות יהיו ד' אנשים
|
- three tens = 30 = third finger
|
והג' עשרות יהיו ג' אצבעות
|
- two units = 2 = second joint
|
והב' יהיו ב' פרקים
|
| Guessing a chosen number
|
|
- 124) Question: if you want to know the number a man thought of in his heart -
- Ask him if it has a remainder after casting out threes - if it has no remainder, do not take a thing, and if there is a remainder take 70 for each one that remains.
- For [the remainder from casting out] the fives take 21.
- For [the remainder from casting out] the sevens [take] 15.
- Then sum up all [the results] and cast out all the hundreds and for each hundred subtract 5.
- The remainder will be the requested [number].
![\scriptstyle\left[\left[\left(x\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(x\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(x\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105=x](/mediawiki/images/math/6/e/d/6ed986b78c38e68ce735d1213629da15.png)
|
קכד) שאלה אם תרצה לדעת מה שחשב אדם בלבו
תאמר לו אם הולך ג"ג ואם הולך לא תקח כלום ואם אינו הולך קח בעד כל א' שישאר ע'
ומן החמישיות יש לך לקחת כ"א
ומהשביעיות ט'
אח"כ תחבר כל זה ותסיר כל המאות ובעד כל מאה תסיר ה'
ומה שישאר הוא המבוקש
|
- Example: I choose the number 4
|
דמיון הנה לקחתי מספר ד'
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left[\left[\left(4\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(4\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(4\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105\\&\scriptstyle=\left[\left(1\sdot70\right)+\left(4\sdot21\right)+\left(4\sdot15\right)\right]mod105\\&\scriptstyle=\left(70+84+60\right)mod105\\&\scriptstyle=214mod105=4\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/f/b/9/fb9355c7d18ed3212cc0ff17dab6ae7c.png)
|
הנה ישאר על השלישיות א' וקח ע'
ועל ה' ישאר ד' וקח ד' פעמים כ"א ויהיו פ"ד
וקח בעד השביעיות ס' כי ישאר ד' וד' פעמים ט"ו הם ס'
אח"כ חבר הכל ויהיו רי"ד
תסיר מזה המאות וישאר י"ד ותסיר בעד הב' מאות עשרה וישאר ד' והוא המבוקש
|
|
|
קכה) שאלה ואם תרצה לדעת באופן אחר מה שחשב אדם בלבו תאמר לו שיכפלהו ואח"כ תאמר לו שיכפלהו פעם ב' ואח"כ תאמר לו שיקח ממנו ד' וזה לך הכלל כי בעד כל ד' שתסיר מהסך תקח א' והוא המבוקש
|
|
|
קכו) שאלה אם תרצה לדעתו באופן אחר תאמר לו שיכפלהו ואחכ יוסיף עליו ה' ואחר יכפול אותו ה' פעמי' ואחר יוסיף בו עשרה ותחסר ממה שיעלה כל זה ל"ה וקח בעד כל עשרה הנשאר א' והוא המבוקש
|
|
|
קכז) שאלה ואם תרצה לדעת המספר והוא כי פעם א' היו הולכים בספינה יהודים וישמעאלים ובא סער בספינה אמר יהודי אחד בואו כלכם בכאן והושיבם היהודים וההגרים באופן כי כשהיה מונה אותם לעולם היה כלה כל התשיעיות אל ההגרים והוכיח כי בעבורם בא הצער בים ובזה האופן השליך ט"ו הגרים בים והיהודים נשארו וזהו אופן עשייתו בם הגרים כל ט' אשפוך גורל אפיל אטיל בים בגאון גליו אשליכמו בתחבולות בדרוש אים אכן ראוי להתחיל מהיהודים ותתקנם בראשי תיבות
|
|
|
קכח) שאלה אם תרצה לדעת איזה אבן נגע חבירך קח י"ו אבנים ועשה ב' שורות מח' אבנים ותאמר לאיש שיגע אבן אחת מאלו השורות אח"כ שאל לו באיזו שורה היא האבן ואם היא בשמאל תהפך כל השורות בשמאל ואם בימין כן תעשה אח"כ שאל באיזו שורה וכן תהפך ג' פעמים ואחר ההפוך הג' תשאל לו באיזו שורה היא וזה הכלל יהיה בידך כי לעולם האות הג' היא אותה שאתה מבקש
|
|
|
קכט) שאלה איש מוכר קופה של ביצות וכאשר מכר אותם הביט בידו ואמר לא עשיתי בטוב כי אלו הייתי נותן א פחות בדינר היה לי ד' פעמים יותר ממעות תאמ' לו כמה היו הביצות הנמכרות וכמה הוא הממון שיצאו מהביצות
|
|
|
תשובה תעשה ככה לפי שאמר שהיו לו ד' פעמים ממעות יותר לכן תכפול ד' לעצמו ויעלו י"ו תחסר ממנו א' וישארו ט"ו ואח"כ תחסר מהד' א' וישארו ג' ותכפול אותם על ט"ו הנזכרים ויעלו מ"ה וככה דינרין יצאו מן הביצות
|
|
|
ולדעת כמה היו הביצות כפול ט"ו על ד' ויעלו ס' וס' ביצות היו הביצות הנמכרות
|
|
|
קל) שאלה אחד היו לו מעות ואינו יודע כמה הם ונתן אותם קל לאנשים רבים ואינו יודע כמה אבל ידע שאם נתן י"ב לכל איש יהיו יותר מהכ' ואם יתן י"ו לאיש יחסר מס' הנה היתי רוצה לדעת כמה ממון היה לזה וכמה אנשים היו
|
|
|
התשובה ראוי לחבר המעות שהיו חסרים עם המעות שהיו יתרים ר"ל נ"ב עם ס' ויעלו קי"ב וראוי לחלק אותם עם ההפרש מהמעות החסרים עם היתרים ר"ל עם ההפרש שיש מנ"ב לס' שהוא ח' אשר אם תעשהו יצא כ"ח והאנשים היו כ"ח
|
|
|
ואחר זה כדי שתדע כמה היו המעות ואחר שתחזיק כמה שתרצה אם אל י"ב ואם אל י"ו אם אל י"ב ראוי שתכפול י"ב פעמים כ"ח ויעלו של"ו ובאלו ראוי שתוסיף מה שיתוסף נ"ב ובאלו יעלו שפ"ח ואם אתה כפלת י"ח פעמים י"ו יעלו שמ"ח ומאלו ראוי שתחסר מה שחסר ר"ל פ' וישארו שפ"ח כאשר נאמר ובזה הדרך תוכל לעשות הדומות לזו
|
|
|
קלא) שאלה הנה בכאן ג' אנשים שיש להם מעות אשר הב' מבלי הא' יש להם י"ט והב' מבלי הב' יש להם כ"ג והב' מבלי הג' יש להם ל' נאמר כמה ממון יש לכל א' וא'
|
|
|
ראוי לך לחבר ממון שלשתן ולחלק העולה על ב' ומה שיעלה הוא ממון שלשתן והדרך הוא נודע
|
|
|
קלב) שאלה הנה במקרה ראובן הגיע אל המות ועשה צוואה בזה האופן ממאה דוקטי שאניח אם אשתי אשר היא הרה תלד זכר תהיה לה השליש והשאר תהיה לבנה ואם נקבה תלד שהשליש מבתה והשאר ממנה וכאשר מת ילדה אשתו תאומים זכר ונקבה
|
|
|
תשובה הנה יראה שהבן ראוי לו כפל מהאם והאם הכפל מהבת ולכן ראוי לנו לעשות ככה שהבת שהיא הפחותה שם א' והאם ב' והבן ד' ותעשה ככה הנה בכאן ג' הא' שם א' והב' ב' והג' ד' והרויחו ק' כמה יגיע לכל א' וזה מבואר
|
Find a Number Problems
|
|
- 133) Question: find me a number such that if you multiply it by 7 and divide by 9 your result will be 45
|
קלג)[14] שאלה תמצא לי מספר אשר אם תכה אותו בז' ותחלק אותו על ט' שיצא לך מ"ה
|
- False Position:
|
תעשה ככה תסכים שאותו המספר יהיה מה שתרצה ולהקל מעליך עשה שבאותו מספר לא יהיה בו שבר ונניח שאותו המספר יהיה י"ח א"כ כאשר תכה ז' פעמים י"ח יעלו קכ"ו ואם תחלקהו בט' יצא י"ד
|
- Rule of Four:
|
וכבר אמרנו שיצא מ"ה לכן ראוי לעשות ככה שתכה המספר אשר שמת אותו כבר שתכפול י"ח על מ"ה אשר יצא תת"י וזה תחלק עם אותו שיצא עם י"ד ויצא נ"ז וו' שביעיות והוא הנשאל
|
Check: 
|
ולבחון אותו ראוי שתכה נ"ז וו' שביעיות עם ז' ויצא ת"ה ותחלק עם ט' ויצא מ"ה
|
- 134) Question: find a number such that if you divide it by 5 and multiply by 8 the result will be 23
|
קלד)[15] שאלה תמצא מספר אשר אם תחלק אותו עם ה' ותכה אותו עם ח' יעלה כ"ג
|
- False Position:
|
שים שאותו המספר יהיה עשרים ונחלק אותו עם ה' ויצא ד' ותכה אותו עם ח' ויצא ל"ב
|
- Rule of Four:
|
ואנו מבקשים כ"ג ראוי שתכה לפי הדרך הנאמר עשרים פעמים כ"ג ויצא לך ת"ס תחלק עם ל"ב ויצא י"ד וג' שמיניות והוא המבוקש
|
- 135) Question: find me a number such that if you subtract its third and its quarter from it the remainder is 29
|
קלה)[16] שאלה תמצא לי מספר אשר אם תוציא ממנו שלישיתו ורביעיתו הנשאר כ"ט
|
- False Position:
|
תשמור הדרך ותאמר ככה נניח שאותו המספר הוא י"ב תוציא ממנו שלישיתו ורביעיתו שהם ז' וישאר ה'
|
- Rule of Four:
|
ואנו מבקשים כ"ט א"כ תכה י"ב פעמים כ"ט ויצא שמ"ח וחלק אותו על ה' ויצא ס"ט וג' חמישיות
|
- 136) Question: find me a number such that if you add to it its third and its two fifths it makes 18
|
קלו)[17] שאלה תמצא לי מספר אשר אם תוסיף עליו שלישיתו ושני חמישיותיו יעשה י"ח
|
- False Position:
|
תשמור הדרך נניח שאותו המספר יהיה ט"ו והשליש מט"ו הוא ה' ושני חמישיותיו הם ו' שים אותם על ט"ו ויעלו כ"ו
|
- Rule of Four:
|
ואנו נרצה י"ח א"כ נאמר אם ט"ו יתנו לי כ"ו מה יתן לנו י"ח
|
|
ולכן ראוי שתשמור הדרך שתכה הו' ששמת עם י"ח ויצא לך אלף ומאתים וט"ו וזה תחלק על מה שייצא עם כ"ו ויצא מ"ו וי"ט חלקים מכ"ו
|
- 137) Question: if you want to divide 30 into two parts such that if you multiply the one by 4 it becomes the same as the other part if you multiply it by 3
|
קלז)[18] שאלה אם תרצה לעשות מל' ב' חלקים אשר אם תכה הא' בד' יעשה כמו החלק האחר אם תכה אותו בג'
|
- False Position:
|
תעשה ככה תשים שאותו החלק יהיה אחד ואם תכה אותו בד' יהיה ד' והחלק השני תעשה שיהיה מספר שאם תחלק אותו בג' יצא ד' והוא מספר י"ב
|
|
הנה כבר היינו יכולין לומ' שנעשינו הדרך אבל אינו אמת כי אנחנו לא חלקנו ל'
אבל היה החלק הראשון א' והשנית י"ב אשר יעלה הכל י"ג אשר כדי להביא החשבון אל מקומו מהאחר אשר שם בא לנו י"ג ואנו מבקשים ל'
|
- Rule of Four:
|
לכן ראוי שתכה א' עם ל' ויצא ל' וזה תחלק ויצא ב וד' חלקים מי"ג וככה ראוי להיות החלק הא'
|
|
א"כ בהכרח החלק השני ראוי להיות עד הל' אשר יהיה כ"ז וט' חלקים מי"ג
|
|
אשר תחלק כ"ז וט' חלקים מי"ג עם ג' ויצא לך ט' וג' חלקים מי"ג א"כ עשינו השאלה
|
- 138) Question: if you want to produce three parts from 18 so that when you subtract a fifth from one part and add to the second [part] its third and multiply the third [part] by 2½ all will be the same.
|
קלח)[19] שאלה אם תרצה לעשות מי"ח ג' חלקים בזה האופן אשר אחר שהוצאת החומש מהחלק הראשון וחברת אל השני שלישיתו והג' מוכה עם ב' וחצי כל א' יהיה שוה
|
|
תשים שהחלק הא' יהיה ה'
|
|
ואם תוציא ממנו החומש שהוא א' ישאר ד'
|
|
ועתה ראוי לראות אל החלק השני כמה ראוי להיות כדי שאם תוסיף עליו שלישיתו יהיה ד' ויהיה ג'
|
|
עוד ראוי לראות כמה ראוי להיות החלק הג' אשר כאשר תכה אותו בב' וחצי ראוי להיות א' ושני חומשים
|
|
א"כ עתה ראוי לך להוסיף החלק הראשון שהוא ה' והשני שהוא ג' והשלישי שהוא א' ושני חומשים ויעלו כלם ט' וב' חומשים
|
|
|
ואנו נרצה שיהיו י"ח והנה נאמר אם בעד ה' ששם אלו יצא ט' וג' חומשים ממה יצא לי י"ח שהיינו רוצים לחלוק ראוי שתכה כפי הדרך ה' ששמנו כנגד י"ח שרצינו ויצא צ' וזה ראוי לחלק עם ט' וג' חומשים ויצא ט' וג' שמיניות וככה היה החלק הראשון
|
|
|
ותאמר ככה בעד השנית נתן לי ט' וג' של חמישיות ובא אלי ג' מה שיצא אלי מיח ראוי שתכה ג' עם י"ח ויעלה נ"ד ותחלק אותם על ט' וג' חמישיות ויצא ה' וה' שמיניות וכך היה החלק השני
|
|
|
ובעד הג' ראוי שתאמר אם מט' וג' חמישיות שהיה לנו א וג' חמישיות מה יצא לנו מי"ח ראוי שתכה א' וג' חמישיות עם י"ח ויעלו כ"ח וד' חמישיות ותחלק על ט' וג' חמישיות ויצא לנו ג' וכך היה החלק הג'
|
|
|
וכדי לאמת זה תוציא החומש מהראשון שהוא ט' וג' שמיניות וישארו ז' וחצי ובעד הב' תקח השנית מה' (ו)ה' שמיניות שהוא א' וה' שמיניות וזה תוסיף עליו ויעלה ז' וחצי וכדי לאמת הג' תכה ג' על ב' וחצי ויעלה ז' וחצי
|
- 139) Question: if you want to produce two parts from 20 so that one part will be 4 times of the other part.
|
קלט) שאלה אם תרצה לעשות מכ' ב' חלקים שהחלק הא' יהיה ד' פעמים מהחלק האחר
|
|
|
כך תעשה תשים שהחלק הא' היה א' א"כ החלק הב' ראוי שיהיה ד' והנה א' עם ד' הם ה' ואנו נרצה כ' לכן תאמר אם ה' נתנו א' כ' מה יתנו ויצא י"ו
|
- 140) Question: if you want to produce two parts from 10 so that when you divide the greater part by the smaller the result will by a hundred.
|
קמ) שאלה אם תרצה לעשות מי' ב' חלקים אשר אם תחלק החלק יותר גדול על הקטן יצאו מאה
|
|
|
תעשה ככה תשים שהחלק הראשון יהיה א' כמה ראוי שתהיה השנית ראוי שיהיה מאה והנה א וק' הם ק"א ואנו רוצים י' א"כ תאמ' אם ק"א נתן לי א' מה יתן לי עשרה ויצא לך עשרה חלקים מק"א וזה מבואר
|
|
|
קמא) שאלה הנה בכאן אנשים שלקחו לעשות בגד א' הא' לקחו לעשות בג' שביעיות והב' בד' שביעיות ואם שניהם יעשו מלאכתם בכמה זמן יעשוהו
|
|
|
תעשה ככה נניח שבי"ב שביעית יעשוהו וכבר אמרנו שהא' יעשהו בג' שביעיות א"כ מעצמו היה עושה ד' מלאכות והשני יעשהו בג' שביעיות א"כ עושים ז' מלאכות ואנו מבקשים מלאכה א א"כ ראוי שתאמ' אם י"ב יתנו ז' מה יתן לי א' תחלק י"ב על ז' ויצא א' וה' חלקים מי"ב מז'
|
- 142) Question: if you want to produce three parts from 30 so that when you multiply one [part] by 7 and divide the second [part] by 5 and the third [part] by 10 all the quotients and products will be the same amount.
|
קמב) שאלה אם תרצה לעשות מל' ג' חלקים שאם תכה הא' בז' ותחלק הב' בה' והג' בי' והחלקים וההכאות יהיו מאותו הכמות עצמו
|
|
|
ואם תרצה לעשות זה נניח שהחלק הא' היה א' ואם תכפול אותו בז' יעשה ז' ולדעת הב' ראוי שתמצא מספר שאם נחלק אותו בה' יצא ז' ראוי שאותו המספר יהיה ל"ה והג' ראוי שיהיה ע' א"כ החלק הא' הוא א' והב' ל"ה והג' ע' אשר הם ק"ו ואנו מבקשים ל' ראוי שתאמר אל הא' אם מן ו' יבא א' מה יבא מל' וכו'
|
- 143) Question: if you want to produce two parts from 11 such that a half and a quarter of one part will be the same as a third and a fifth of the other part.
|
קמג) שאלה אם תרצה לעשות מי"א ב' חלקים אשר החצי והרובע מהחלק הא' יהיה כמו השליש והחומש מהחלק האחר
|
|
|
תעשה ככה תשים שהחלק הא' יהיה ד' והחצי הוא ב' והרובע הוא א ויהיו ג' וגם ראוי למצא מהב' מספר שאם תחסר ממנו השליש והחומש שיהיה ג' תשים שאותו המספר יהיה ט"ו והשליש והחומש מט"ו הוא ח' ואנו רוצים ג' א"כ נכה ג' על ט"ו ויעלו מ"ה ותחלק אותו בה' ויצא ה' וה' שמיניות וככה היה המספר השני א"כ נאמר ככה החלק ראשון היה ד' והב' היה ה' וה' שמיניות אשר יעלו ט' וה' שמיניות ואנו מבקשים י"א א"כ ראוי שתאמר אם ט' וה' שמיניות נותן לנו החלק הראשון ד' מה יתן לנו י"א וכן תעשה מהשנית ובחלק הא' יבא ד' מד' חלקים מע"ז והב' יהיה ג' ול"ג חלקים מע"ז
|
|
|
קמד) שאלה אם תרצה לחלק מספר עם שרש או שרש עם מספר ראשנה תביא המספר אל מרובעו
|
|
|
ר"ל אם תחלק י"ב עם שרש ד' תביא י"ב למרובעו שהוא קמ"ד ואח"כ תחלק שרש מקמ"ד עם שרש ד' ויבא לך שרש מל"ו
|
- 145) Question: if you want to add the square of 9 to [the square] of 4.
|
קמה)[20] שאלה אם תרצה להוסיף שרש מט' עם מד'
|
|
תחבר תחלה ט' עם ד' ויצא לך י"ג
א"כ תכפול ט' פעמים ד' ויעלו ל"ו אח"כ תכפול הל"ו הנז' עם ד' ויעלו קמ"ד וקח שרש מזה המספר שהם י"ב
ותחבר עם י"ג הראשנים ויהיו כ"ה וקח השרש מכ"ה והם ה'
|
- 146) another method
|
קמו)[21] שאלה דרך אחרת
|
|
תחבר ט' עם ד' ויעלו י"ג
אח"כ תכפול ט' על ד' ויעלו ל"ו וקח השרש שהם ו' ותכפול אותם והם י"ב
ותחברם עם י"ג ויהיו כ"ה וקח השרש והם חמשה
|
- 145) Question: if you want to subtract the square of 9 from the square of 16.
|
קמז)[22] שאלה אם תרצה להוציא שרש ט' משרש י"ו
|
|
ראשנה תחבר ט' עם י"ו ויהיו כ"ה
אח"כ כפול ט' על י"ו ויעלו קמ"ד אשר אלו תכפול ד' יעלו תקע"ו ומהם תוציא השרש והם כ"ד
אח"כ תחסר הכ"ד מהכ"ה הנשאר א' א"כ אם תחסר משרש י"ו שרש ט' ישאר א'
|
- 148) another method
|
קמח)[23] שאלה דרך אחרת
|
|
כפול ט' על י"ו ויעלו קמ"ד ומזה תוציא השרש שהוא י"ב וכפלם ויהיו כ"ד
אח"כ תוציא כ"ד מהכ"ה הנז' וישאר השרש מא ותקיש על זה
|
- 149) Question: if you want to find a square number such that if you add to it 19 it will be a square.
|
קמט)[24] שאלה אם תרצה למצא מספר מרובע אשר אם תשים עליו י"ט יהיה מרובע
|
![\scriptstyle{\color{blue}{b^2=19+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(19-1\right)\right]^2=19+\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)^2=19+9^2=19+81}}](/mediawiki/images/math/b/f/0/bf07e97864677a68ceb8c9bbbf620d94.png)
|
תעשה ככה תוציא א' מי"ט וישאר י"ח וקח חצי מזה המספר וישארו ט' ותכפלם על עצמם ויהיו פ"א ותוסיף עליו י"ט והוא מרובע כאשר אמרנו
|
- 150) Question: if you want to find a square number such that if you subtract 15 from it it remains a square.
|
קנ)[25] שאלה אם תרצה למצא מרובע שאם תוציא ממנו ט"ו ישאר מרובע
|
![\scriptstyle{\color{blue}{a^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(15+1\right)\right]^2=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2=8^2=64}}](/mediawiki/images/math/f/4/d/f4de824bad7a931f49fdaa8621144af0.png)
|
תעשה ככה תוסיף א' על ט"ו ויהיו י"ו תקח החצי מי"ו שהם ח' ותכפול אותם על עצמם ויהיו ס"ד וזהו המספר
|
|
ואם תוציא ט"ו מס"ד ישאר מרובע והוא מ"ט
|
- 151) Question: if you want to find a number such that if you add to it 4 it will be a square and if you subtract [from it 4] it will also be a square.
|
קנא)[26] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר אם תוסיף עליו ד' יהיה מרובע ואם תחסר ג"כ יהיה מרובע
|
|
תעשה ככה תחבר ד' עם ד' ויהיו ח'
|
- find a square number such that if you add to it 8 it will be a square
|
אח"כ תאמר תמצא לי מספר מרובע אשר אם תוסיף עליו ח' יהיה מרובע
|
![\scriptstyle{\color{blue}{a=4+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8-1\right)\right]^2=4+\left(\frac{1}{2}\sdot7\right)^2=4+\left(3+\frac{1}{2}\right)^2=4+\left(12+\frac{1}{4}\right)=16+\frac{1}{4}}}](/mediawiki/images/math/5/1/6/516e475addc2838d6ffe8b35fb49d974.png)
|
לכן תעשה כנז' תוציא א' מח' ישארו ז' וקח מהם חציים והם ג' וחצי ותכפלם על עצמם ויעלו י"ב ורביע תוסיף עליהם ד' יהיו י"ו ורביע וזהו המספר
|
- 152) quicker method
|
קנב)[27] שאלה עוד תוכל למצא אותה יותר מהרה
|
|
תקח החצי מד' שהם ב' ותכפול אותם על עצמם ויהיו ד' תוסיף א על ד' ויהיו ה' וזה המספר ג"כ הוא כמו המספר הט' לעיל
|
- 153) Question: multiplication of roots - if you want to multiply the root of 7 by the root of 8.
|
קנג)[28] שאלה לכפול בשרשים אם תרצה לכפול שרש ז' על שרש מח'
|
|
ראוי שתכפול ז' עם ח' ויהיו נ"ו והשרש מנ"ו הוא מה שיעלה השרש מז' עם מח'
|
- 154) Question: if you want to multiply the root of 7 by 8.
|
קנד)[29] שאלה אם תרצה לכפול השרש מכפילת ז' עם ח'
|
|
בראשנה ראוי להביא ח' אל מרובעו שהם ס"ד אח"כ שרש ז' עם שרש ס"ד כאשר נאמר למעלה ויעלה שרש ד' מאות ומ"ח
|
|
ודע שאם תכפול שרש מז' עם שרש מז' ויעשה ז'
|
- 155) Question: if you want to find a number such that if you divide 3 by it the result is 5 and 7 remain.
|
קנה)[30] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר אם תחלק ג' מאותו המספר יבא ה' וישאר ז'
|
|
|
תדע תחלה שאם ישאר ז' מהמחלק היה יותר גדול מז' א"כ תשים מז' ולמעלה
ואח"כ ראוי לנו למצא מספר שיהיה מז' ומעלה אשר אם תכפלהו עם ה' מה יצא וכשנוסיף עליו ז' מה יתוסף ושיתחלק בג' חלקים שלמים מבלי שברים
|
|
א"כ בתחלה תשים שאותו המספר היה ח' ואם תכפלהו בה' יעלו מ' יתוסף עליו ז' ויעלו מ"ז תחלקם בג' ולא תוכל
|
|
א"כ תוסיף עליו א' יותר ויהיו ט' תכפלהו על ה' ויעלו מ"ה תוסיף עליו ז' יעלו נ"ב תחלקם על ג' ולא תוכל
|
|
א"כ תוסיף עליו א' יותר ויהיו עשרה ותכפלם בה' ויעלו נ' תוסיף עליו ז' ויעלו נ"ז ותחלקם בג' ויעלו י"ט מבלי שום שבר א"כ בזה המספר תמצא הנאמר
|
|
|
ולעולם תוסיף א' יותר
|
|
אח"כ תחלק העשרה אשר מצאת עם שליש מנ"ז שהוא י"ט ויצא לך עשרה חלקים מי"ט וזהו המספר הנשאל אשר אם תחלק ג' עם המספר הנאמר יצא ה' וישאר ז'
|
|
|
וככה יעשו השאלות הדומות לזו
|
- 156) Question: if you want to find a number such that if you extract its root and add it to the root of the remainder it makes 3.
|
קנו)[31] שאלה ואם תרצה למצא מספר אשר אם תוציא ממנו השרש ותחבר אותו עם השרש מהנשאר יעשה ג'
|
|
תעשה ככה תכפול ב' פעמים ג' ויעלו ו' תוציא ממנו לעולם א' וישארו ה' וזה יהיה לך המחלק
אח"כ תכפול אותו המספר אשר תרצה שיבא לך ר"ל ג' על עצמו ויהיו ט'
ואותו תחלק על ה' ויעלה א' וד' חומשים אשר זה המספר הוא השרש מהמספר הנשאל אשר ראוי להוציא ממנו שרש ולהוסיף עם השרש מהנשאר ויעשה ג'
|
|
א"כ לדעת המספר ראוי לכפול א' וד' חמישיות בעצמו ויעלה ג' שלמים וו' חלקים מכ"ה וזהו המספר הנאמר
|
Check:
|
ולאמתה תקח שרש מג' וו' חלקים מכ"ה אשר נאמר שהוא א' וד' חמישיות
ומהנשאר עד ג' וו' חלקים מכ"ה ישאר א' וי"א חלקים מכ"ה
ושרש מהמרובע הוא א' וחמישית
ואם תוסיף אותו עם א' וד' חמישיות יהיו ג' והוא שרש ג' וו' חלקים מכ"ה שהוא המספר הנשאל ועשה ג' כאשר נאמר
|
|
|
ובזה האופן תוכל לעשות הדומות לאלו ומאיזה מספר שיהיה לך לעולם שתכפול המספר שתרצה שיבא עם ב' וממנו יבא להוציא אחד כאשר כבר עשינו אח"כ יש לך לעשות כאשר נאמר למעלה ואם המספר השאל היה פחות מב' אז זאת הדרך לא יהיה נאותה ומסכמת ואז ראוי שיעשה על דרך הפוזיציאוני דלאלזיברא
|
|
|
המספר הנאמר פרוביקו בלשונם
|
|
הוא כאלו תאמר ט' פעמים ט' הם פ"א ואח"כ תקח שרש ט' שהוא ג' ותוסיף אותו על פ"א ויעלו פ"ד ומספר פרוביקו מפ"ד הוא ט'
|
|
|
המספר הרולטו בלשונם
|
|
הוא כאלו תאמר ט' פעמים ט' יעלו פ"א אח"כ תקח השרש מט' שהם ג' ותכפלם על פ"א ויעלו רמ"ג א"כ מספר רמ"ג הוא מספר אשר שרשו הרולטו הוא ט'
|
- 157) Question: if you want to produce three parts from 27 so that each of the parts has a cubic root
|
קנז)[32] שאלה אם תרצה לעשות לי מכ"ז ג' חלקים שכל חלק ממנו יהיה לו שרש מעוקב
|
|
|
דרך הוא שיש לך למצא ג' מספרים מעוקבים מקובצים יחד יעשו מעוקב וכל אחד מהם שיחולק במספר אחד מעוקב קטן מכלם וכאשר יחולק הסכום מאותם המספרים הנזכרים עם אותו המספר הקטן יעשה מהם מספר כ"ז כנזכר
|
|
ובזה המספר הא' הוא כ"ז והב' ס"ד והג' קכ"ה וכאשר יקובצו יחד הם רי"ו והוא מספר מעוקב
|
|
וכשיקובצו שלשתן בשמונה שהוא מעוקב קטן מכל א' מהג' יבא כ"ז
|
|
ולכן החלק הא' יהיה אם תחלק כ"ז בשמונה ג' וג' שמיניות
|
|
והב' אם תחלק ס"ד בח' שיבא ח'
|
|
והג' אם תחלק קכ"ה בח' שיבא ט"ו וה' שמיניות
|
|
אשר שלשתן יחד מקובצים יעלה כ"ז
|
| not correct for every number
|
ותדע כי לא בכל מספר יצדק זה
|
- 158) Question: if you want to find a square number such that if you subtract its five roots from it the remainder is a square and if you add it to its seven roots it will be a square.
|
קנח)[33] שאלה אם תרצה לדעת מספר אחד מרובע אשר אם תוציא אותו מז' שרשיו וישאר מרובע ואם תוסיף עליו שבעה שורשיו יהיה מרובע
|
|
הנה המספר הזה הוא י"ח
|
|
כי חמשה שרשיו הם נ"ו תוציא ממנו י"ח ישארו ל"ו והוא מספר מרובע
|
|
ושבעה שרשיו הם ס"ג ותחברם עם י"ח יעשה פ"א והוא מספר מרובע
|
- 159) Quaestion: if you want to find a number such that its two fifths are its root.
|
קנט)[34] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר ב' חמישיות שלו יהיה שרשו
|
|
|
תעשה ככה תהפך השאלה זאת לדעת תשים ה' למעלה וב' למטה ככה ותכפול אותו ויעשה וזהו המספר אשר תשאל
|
|
|
ואם תרצה לבחון אותו תקח שני חמישיות מ שהם א"כ והוא השרש וכן יעשה
|
|
|
קס) שאלה ג' נמצאו באכסניא א' פרש והב' סוחר והג' אורח הפרש אמר שרוצה לפרוע ב' פעמים יותר מהסוחר ויותר דינר א' והסוחר אמר שרוצה לפרוע ג' רביעיות יותר מהאורח ויותר ב' דינרין ועולה [.....] מאכלם י"א פשוטים כמה ראוי לפרוע לכל א' מהם
|
|
|
תשובה תקח א' בעד האורח שהוא הפחות מכלם וא' וג' רביעיות בעד הסוחר עם תוספת שנים ויהיה א"כ חלק הסוחר ג' וג' רביעיות ונכפול זה ויעלה ז' וחצי ועם תוספת א ויהיו ח' וחצי וזה יהיה חלק הפרש א"כ תקח א' בעד האורח ומעות הסוחר והפרש ובין הכל הם י"ג ורביע אח"כ תקח א' בעד העני וא' וג' רביעיות בעד הסוחר בזולת השנים וג' וחצי בעד הפרש שהוא כפל ממון הסוחר ויעלה הכל ו' ורביע ומספרינו הראשון היה י"ג ורביע נסיר הקטון מהגדול וישארו ז' הנה נסיר עתה ז' מסך המעות ר"ל מיא שיש לפרוע וישארו ד' ויש לך עתה לקחת חלק העני שהוא א' וכפול אותו על ד' ויהיו ד' חלקם על ו' ורביע ויצא לך י"ו חלקים מכ"ה וזה חלק העני אח"כ כפול א וג' רביעיות שהוא ממון הסוחר על ד' ויהיו ז' חלקם על ו' ורביע ויצא לך א וג' חלקים מכ"ה והוא ממון הסוחר
|
|
|
תוסיף עליו ב' ויהיו ג' וג' חלקים מכ"ה אח"כ כפול ג' וחצי שהוא ממון הפרש על ד' ויעלה י"ד חלקם על ו' ורביע ויצא לך ב' וו' חלקים מכ"ה ותוסיף על זה ד' שהוא כפל ב' שנותן הסוחר על העני ותוסיף עליו א' ויהיה חלקו של פרש ז' שלמים וו' חלקים מכ"ה וכן כלם
|
|
|
קסא) שאלה אם תרצה לחלק מספר לב' חלקים אשר החלק או החלקים מהאחד מקובץ עם החלק או החלקים מהאחר ישוה (יהיה) שוה לאחד
|
|
|
המשל תחלק כ"ד לב' חלקים אשר ב' שלישיות מהחלק הראשון וגם ג' רביעיות מהשני מקובצים יחד יהיו שוים אל החלק הראשון דרך בו התשלום מהחלק הראשון אם יהיה א' שליש אשר יהיה שוה אל ג' רביעיות מהשני אם כן תוכל לומר אם שליש מהראשון הם ג' רביעיות מהב' ג' שלישיות מן הראשון זה לדעת הכל כמה רביעיות יהיו מהשני אשר אם תעשה יצא לך ט' רביעיות וכל השני הוא אשר יהיו וכל שני החלקים אשר הם כ"ד במספר א"כ לדעת החלק הראשון מהשנים ראוי שתאמר אם ראוי שיהיה כ"ד מה ראוי להיות אשר הוא הראשון ויתן לך י"ו והשנית יתן לך הנשאר שהם הבחינה מהראשון אשר הם י"ו הם יא וג' רביעי מן השנית אשר הם ז' הם ה אשר הם בכלל י"ו אשר הם החלק הראשון
|
|
|
קסב) שאלה הנה בכאן ב' רוצים ללכת מרחק הא' הולך בכל יום ל' מילין והאחר הולך מיל ביום הא' ובב' ב' ובג' ג' מילים וכן בכל יום מוסיף מיל א' א"כ בכמה ימים יגיע אל הראשון כדי שיגיעו שניהם יחד במקום אחד
|
|
|
הדרך ראוי לך לכפול המילין מאותו שמתמיד ללכת מהלך שוה ר"ל אותו מהל' מילין ויהיו ס' ומאלו תגרע א וישארו נ"ט א"כ בנ"ט ימים ישיגנו
|
|
|
קסג) שאלה איש הולך ל' מילין והאחר ביום א י"ד מילין ובכל יום מוסיף מיל מתי ישיג הראשון
|
|
|
ראוי לדעת כי מכפילת המילים מהיום הראשון ראוי לך לגרוע לעולם המילים מהיום הראשון ר"ל מס' נקח י"ד וישארו מ"ו ובמ"ו ימים ישיגנו
|
|
|
קסד) שאלה ואם אמר לך היום הא' הולך ב' והב' הולך ד' והג' ו' וכן בכל יום מוסיף ב' מילין
|
|
|
ראוי לחסר מיל א' בכל יום מאותו ההולך תחלה ואותו הנשאר בכמה ימים יגיעו הא' לאחר
|
- 165) Question: courier one is in Avignon and he wants to walk to Milan within 8 days.
- Another courier is in Milan and he wants to walk to Avignon within 5 days.
- Both of them will start moving together at the same time.
- Within how many days will they meet?
|
קסה) שאלה רץ א' הוא באוינייון ורוצה ללכת במילנו בח' ימים ורץ אחר הוא במילנו ורוצה ללכת באוינייון בה' ימים ושניהם יחד בעת א יתחילו להתנועע בכמה ימים יפגעו זה את זה
|
|
|
ראוי לך שתחסר הימים הראוים לכל א' במהלכם ר"ל ה' עם ח' והנם י"ג וזהו המחלק אח"כ תכה הימים מהא' עם הימים מהאחר ר"ל ה' עם ח' ויהיו מ' וזהו הנחלק ומה שיצא הוא בכמה ימים יתנועעו בדרך אח"כ תחלק מ' על י"ג ויעלו ג' ושליש ובאלו הג' ימים ושליש יגיעו הא' לאחר
|
|
|
קסו) שאלה שני מגדלים גבהם שוה והמרחק שבין שניהם ג"כ הוא שוה לכל אחד מהם והנה ידענו שאדם חסר מהכאת האחת בחבירו כפל מקובץ שני הצלעים אשאל כמה היה גובה כל א' מהם
|
|
|
התשובה נניח שהנשאר על דמ' הוא כ"א ר"ל הנשאר מהכאת גובה המגדל הא' בחבירו כשחוסר ממנו כפל מקובץ שני המגדלים שהם שנים
|
|
|
ונרצה לדעת כמה היה גבהות המגדלים הנה ידענו שהמגדלים הם ב' ולזה ב' בעצמו יעלו ד' ונוסיפם על כ"א ויעלו כ"ה ושרשם ה' והנה נוסיף עליו ב' שהוא מנין המגדלים העולה שהוא ז' הוא גבהות כל א' מהמגדלים
|
|
|
ומופת זה נתבאר במאמר הראשון מאבו בכר
|
|
|
קסז) שאלה הנה בידינו ב' כיסים ולא ידענו כמה מעות היו בהם רק ידענו שבכיס הגדול היה החצי והשליש ממה שהיה בב' הכיסים מקובצים ובכיס הקטנה היה י"ג אשאל כמה ממון היו בב' הכיסים
|
|
|
תשובה קח המורה שהוא ו' ושלישיתו ומחציתו הם ה' והנה עד ו' יחסר א' ועליו תחלק ו' כפול על י"ג הם ע"ח חלק על א' והוא ע"ח וכך מעות היו בכל כיס והוא המבוקש
|
|
|
קסח) שאלה בקש לי מספר שאם תחלקהו על ג' ועל ה ועל ז' ישאר א'
|
|
|
תשובה קח א' שנשאר על הג' בחלקנו אותו על הג' קח ע' ועל א' שנשאר בחלקנו על ה' קח כ"א ועל א' שנשאר בחלקנו על ו' קח ט"ו וקבצם ויהיו ק"ה תוסיף אחד ויהיו ק"ו וכן תעשה
|
|
|
קסט) שאלה ואם אמר לך שנשאר בהשליכך ג"ג ב' או ג'
|
|
|
עשה בדרך הזה עד"מ ואם אמר כשנחלקהו על ג' ישאר ב' ואם יחולק על ה' ישאר ד' ואם יחולק על ז' ישאר ו' קח על כל א' מהב' והנשאר ע' וכפול ע' על ב' ויהיו ק"מ אח"כ כפול ד' על כ"א ויהיו פ"ד אח"כ כפול ו' על ט"ו ויהיו צ' קבצם ויהיו שי"ד והוא המבוקש
|
|
|
קע) שאלה אדם מצא ג' כיסות וידע שבכיס הראשון יש בו מספר נעלם ובכיס הב' יש בו ב' כפלים מהא' ובג' יש בו כמו שיש בשנים ובין כלם ק' מנינים נשאל כמה לכל א' וא'
|
|
|
תשובה נניח שבכיס הא' היה שם דינר א' ובב' ב' ובג' ג' ובין כלם ו' וחלק ק' על ו' ויצא לך י"ו וב' שלישיות והוא מה שבכיס הקטן
|
|
|
קעא) שאלה ב' רוצים לקנות סוס אחד אמר הראשון לשני אם תתן לי החצי ושליש ממעותיך עם מה שיש לי נקנה הסוס אמר הב' אם תתן לי שלישית ורביעית ממעותיך עם מה שיש לי נקנה הסוס אשאל כמה לכל א וכמה שוה הסוס
|
|
|
תשובה בקש המורה הוא י"ב וקח החצי והשליש והוא י' נחסרם מי"ב נשארו ב' א"כ הראשון היה לו ב' אח"כ קח שליש ורביעית המורה שהוא ז' חסר ז' מי"ב הנשאר ה' וכך היה לשני
|
|
|
ואם תרצה לדעת ערך הסוס קח חצי ושליש ה' יהיו ב' ושתות ושים בו ב' שהוא ו' מעות והוא המבוקש ר"ל ח' ושתות
|
|
|
קעב) שאלה יש לנו אילן גבהותו נעלם רק ידענו שאם נקח ד' פעמים כמוהו ונוסיפנו על מרובעינו יצא לנו מספר מונח כמה גבהות האילן
|
|
|
תשובה נניח שעלה בידינו אחר שהוספנו על מרובע האילן ד' פעמים כמוהו קכ"ח ורביע א' שלם
|
|
|
ונרצה לדעת גבהות האילן
|
|
|
הנה תעשה כן הוסף לעולם על המספר העולה ד' שלמים ויהיה העולה במשלינו קל"ב ורביע ונוציא שרשו הרביעי והוא י"א וחצי נחסר ממנו לעולם ב' שלמים והנשאר הוא ט' ורביע והוא גבהות האילן וכן כל היוצא בזה
|
|
|
קעד) שאלה אדם בנה ביתו ובא לתת שכר לפועלים ואמ' להם אני יש לי מעות שאם אתן ג' דינרין לכל א' ישאר בידי ט"ו דינרין ואם אתן ג' דינרין וחצי לכל אחד יחסר לי עשרה דינרין אשאל כמה היו הפועלים וכמה הם מעותיו
|
|
|
תשובה חסר ג' דינרין מג' וחצי וישאר חצי דינר ועליו תחלק חבר ט"ו דינרין עם י' דינרין ויהיו כ"ה חלקם על חצי ויהיו נ' וככה היו הפועלים ואם תרצה לדעת המעות כפול נ' בנ' ויהיו ק"נ הוסף עליהם ט"ו ויהיו קס"ה והוא המעות ואם תכפול נ' בנ' וחצי יהיה העולה קע"ה ויפסיד י' דינרין
|
|
|
קעה) שאלה ג' אנשים יש להם ממון ולא ידענו כמה רק הראשון יש לו חצי השני והב' יש לו חצי הג' ובין כלם י"ב נשאל כמה לכל א' וא
|
|
|
תשובה הא' היה לו פשוט א' והב' היו לו ב' פשוטים והג' ד' קבצם והם ז' פשוטים וחלק י"ב על ז' ויצא לך א וה' שביעיות והוא סך הראשון וכפל זה היה לשני וכפל השני לג'
|
|
|
קעו) שאלה אדם שכר חבירו לבנות לו בית כל יום והתנה עמו שיתן לו בכל יום ה דינרין ובכל יום שלא יעשה מלאכה יתן הנשכר אל בעל הבית ט' דינרין והוא עבד ימים ידועים ולבסוף הבעל הבית נתן לו דינר א' נרצה לדעת כמה ימים עבד
|
|
|
הנה יש לך לחבר ה' עם ט' ויהיו י"ד אח"כ נכפול ט' על ל ויהיו ר"ע נוסיף עליו א' ויהיו רעא נחלקם על י"ד ויצא לך י"ט וה' חלקים מי"ד אח"כ נכפול ל' על ה' ויהיו ק"נ נסיר מהם א' ויהיו קמ"ט נחלקם על י"ד יצא לך עשרה וט' חלקים מי"ד הנה א"כ הוא עבד י"ט ימים וה' חלקים מי"ד ושבת מכל מלאכתו י' ימים וט' חלקים מי"ד
|
|
|
קעז) שאלה אדם הולך לסחורה נדר אם המקום יכפול ממונו בכל יום יתן ג דינרין לצדקה ובתוך ג' ימים הלך ממונו
|
|
|
יש לך לעשות ככה והוא שכבר ידעת כי ביום ג' הלך כל ממונו אחר שנתן ג' דינרין א"כ מה שהיה לו ביום הג' היה ג' תחלקהו על ב' יצא לך א וחצי תוסיף על זה ג' ויהיו ד' וחצי והוא מה שהיה לו ביום השני קודם נתינת ממונו
|
|
|
וחלק זה על ב' ויצא לך ב' ורביע תוסיף על זה ג' ויהיו ה' ורביע וזה היה לו ביום הראשון קודם נתינת הממון
|
|
|
ואם תרצה לחלק זה על ב' יצא לך ב' וה' שמיניות והוא המעות ותקיש על זה
|
|
|
קעח) שאלה אדם יש לו מעות ואמר אם השם יוסיף על ממונו ב' דינרין בכל יום יתן ג' דינרין בכל יום ובסוף ד' ימים הלך כל ממונו נשאל כמה ממון היה לו ביום הראשון
|
|
|
נעשה זאת השאלה על זה הדרך והוא כי כבר ידעת כי מה שנתן ביום הד' היה ג' ולא נשאר מאומה בידו והריוח שהיה עושה בכל יום היה ב' נסיר מג' ב' שהם הריוח ישאר א' והוא מה שהיה לו ביום הרביעי קודם הריוח שעשה באותו יום אח"כ נוסיף על א' ג' ויהיו ד' נסיר מהם הב' מהריוח וישארו ב' וזה היה לו ביום הג' קודם הריוח אח"כ נשים על זה ג' ויהיו ה' נסיר מהם הריוח שהוא ב' הנשאר ג' וזה היה לו ביום השני קודם הריוח א"כ נוסיף על זה ג' ויהיו ו' נסיר מהם ב' בעד הריוח הנשאר ד' וזה היה לו ביום הראשון קודם שהרויח מאומה והוא סך הממון הנמצא עמו בתחלה
|
|
|
קעט) שאלה אנשים ונשים וטף הולכין לאושפיזה לאכול האנשים נותנים ב' פשוטי' והנשים חצי פשוט והטף רביעית ופרעו י"ב פשוטים ובין כלם י"ב ג"כ כמה הם האנשים והנשים והטף
|
|
|
תשובה תשים האנשים כפי מה שתרצה וכן הנשים והטף ונניח שהאנשים היו ד' ששוים ח' פשוטים וד' נשים מב' פשוטים והנה מספרם ח' ומספר המעות י' והנערים ד' והנם י"ב והמעות י"א ויחסר א' עד י"ב לכן יש לנו למצא מספר שיעלה אחד ונעשה ג' מהד' אנשים ויהיו ו' נשים ומהאנשים נעשה מהם ב' נערים והמספר יצא שוה
|
|
|
והתשובה היא ה' אנשים ואשה אחת ובו' נערים ובין כלם י"ב גם כל הממון עולה י"ב
|
|
|
קפ) שאלה אדם נוסע מנפולי עם דינרין ידועים ורוצה ללכת עד רומא ובעד כל דינר ירויח א רצוני א' ישוב ב' ופזר לשם ד' מנינים ואח"כ הולך מרומא עד פלורינצא וכל עוד שיש לו ב' דינרין ישובו ג' ופזר לשם ו' דינרין אח"כ הולך מפלורינציאה עד וינישיאה וכל עוד שיש לו דינר א ישוב ג' ופזר ו' בויניציאה י"ד מנינים ואחר הפזור נמצא בידו ד' מאות מנינים נרצה לדעת כשנסע מנאפולי כמה דינרין היה לו
|
|
|
ראוי לעשות ככה תהפך כל המספר וידוע כי ד' מאות וי"ד היו לו בוינישיאה עם הי"ד שפזר ויש לך לומר ככה אם ג' שוים א' ד' מאות וי"ד כמה שוים יצא לך קל"ח וזה המעות היה לו בפלורינציאה ותוסיף עליו מה שפזר שהוא ו' יהיו קמ"ד ותאמר אם ג' שוים ב' קמ"ד מה ישוו ויצא לך צ"ו והוא סך הדינרין שהיו לו ברומא יהיו מאה ותאמר אם ב' שוים א' ק' כמה שוים תמצא נ' והוא מה שהיה לו כשנסע מנפולי ובהגיעו בוינישיאה נמצא בידו י"ד ד' מאות מנינים זולת י"ד שפזר בדרך
|
|
|
קפא) שאלה אדם קנה בפלורינציאה קנה א' ממשי ג' מנינים וחצי ממטבע של פלורינצא והקנה ג"כ הוא קנה של פלורינצא ופזר בדרך בלכתו בנאפולי ב' שלישיות ממון של פלורינצא באיזה אופן ימכור לנאפולי באופן שירויח כ"ה מנינים בעד כל מאה ומאה ויש לנו ב' הפרשות מפלורינצא לנאפולי כי הח' קנים מפלורינצא הם ט' קנים של נאפולי והק' מנינים של פלורינציני הם קי"א מנאפוליטאני
|
|
|
וראוי לעשות ככה שתוסיף הב' שלישיות שפזר על ג' וחצי ויהיו ד' ושתות והם מנינים של פלורינציאה ותאמר אם ק' שוים קי"א הד' ושתות מה ישוו תמצא ד' וד' חומשים הנה א"כ הקנה של פלורינצא שוה בנפולי ד' מנינים וד' חומשים ממטבע של נאפולי אם ח' קנים שוות הט' א כמה יצא לך א' ושמין הנה הקנה של פלורינצא שוה של נאפולי א' ושמין וא ושמין מקנה של נאפולי שוה ד' וד' חומשים מה ישוה הא' תמצא ששוה ד' מנינים וד' חלקים מט"ו הנה א"כ כל עוד שהקנה של פלורינצא שוה ד' מנינים ושתות משל פלורינצא הקנה מנאפולי שוה ד' מנינים וד' חלקים מט"ו ממניני נאפולי נאמר שרוצה להרויח בעד כל קכ"ה ותאמר ככה אם מאה שוים ד' וד' חלקים מט"ו קכ"ה כמה שוים יצא לך ה' מנינים וכ"ג חלקים מק' והוא שווי הקנה הנה ראוי למכור הקנה ה' מנינים וכ"ג חלקים מק' ובזה האופן ירויח כ"ה בעד כל מאה מנינים ודוק ותשכח
|
|
|
קפב) שאלה אדם יש לו י"ז אוק' מכסף שוה כל אוק' ז' קרליני לכלול בו עופרת באופן לא ישוה כל אוק' כי אם ה' קרליני וחצי כמה עופרת יכלול באלו הי"ז אוק'
|
|
|
הנה ראוי לחלק ז' על ה' וחצי ויצא אחד וג' חלקים מי"א הנה יש לו לשים בכל אוק' ג' חלקים מי"א מעופרת ובין כל הי"ז אוק' יש לו לשים ד' אוק' וז' חלקים מי"א מעופרת
|
|
|
ואם תרצה לבחון אותו כפול י"ז על ז' יהיה קי"ט ושמור אותם ועתה כפול ז' וחצי על כ"א וז' חלקים מי"א כי בראשנה היו י"ז אוק' ויש לנו להוסיף הד' אוק' וז' חלקי' מי"א על אותו הסך ויהיה כ"א וז' חלקים מי"א ויעלה קי"ט בלי תוספת ומגרעת
|
|
|
קפג) שאלה יש לו לאדם ג' ליט' וג' אוק' וג' רביעיות מכסף שמכיל רכ"ב איצטרליני מטוב לליט' ושוה ח' מנינים א ליט' וא אוק' וז' שמיניות אוק' מכסף שאינו מכיל הליט' כי אם קי"א איצטרליני כמה שוה
|
|
|
הנה ראוי לעשות מהליט' אוק' והמספר הראשון הוא ב' ליט' וג' אוק' וג' רביעיות יהיה י"ז אוק' וג' רביעיות כפול אותם על רכ"ב יעלה ק אלפים וק"ס וחצי אח"כ קח המספר השני שהוא א' אוק וא' ליט' וז' שמיניות ותעשה מהליט' אוק ועם האוק' יהיו י"ג וז' שמיניות כפול אותם על מה שמכיל רצוני שתכפול י"ג וז' שמניות על קי"א שהוא מה שמכיל כל ליט' ועלה אלף וה' מאות ומ' ושמין א' וזה יהיה המספר השני ותאמר אם ו' אלפים וק"ס וחצי שוה ח' מנינים המספר השני שהוא אלף וה מאות ומ' ושמין כמה שוה הנה יהיה שווי שנים שלמים בלי תוספת ומגרעת
|
|
|
קפד) שאלה יש בכאן אנשים שעומדי שעומדים עם אדון והאדון נותן לכל א' וא' בעד שנה תמימה עשרים מנינים ויש מהם שעבדו ו' חדשים ויש ו' וחצי ויש ז' חדשים וכו' הנה תמצא שכל מה שהרויחו בין כלם לפי יחס הזמן שעבדו עולה ק"ט מנינים וז' פשוטים והאדון רוצה לפרוע אותם ואין לו כי אם ק' מנינים נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא'
|
|
|
הנה ראוי לחלק ק' על ק"ט מנינים וז' פשוטים וידוע כי הפשוט עשור המנ(י)ן על כן ראוי לעשות מכל הב' מספרים עשיריות הא' אלף והאחר אלף וצ"א חלק אלף על אלף וצ"א ויצא לך אלף חלקים מאלף וצ"א
|
|
|
קפה) שאלה אדם שכר בית לחבירו בעד ג' שנים לערך מ' מנינים לשנה ובכניסתו לבית נותן לו חצי השכר מאותה השנה ובסוף השנה נותן לו מ' מנינים עשרים בעד תשלום פרעון אותה שנה ועשרים בעד תשלום השנה האחרת וכן עד כלות הג' שנים והנה הבעל הבית אמר לאותו ששוכר הבית בבקשה ממך תפרע לי עתה מכל הג' שנים ואתן לך עשרים מריוח על כל מאה לשנה תמימה וכן עשה נתן לו כל הממון נרצה לדעת כמה ממון מחוייב לתת לו באופן שיבא עשרים על כל מאה מריוח
|
|
|
התשובה תאמר אם מאה ועשרים שוים ק"כ כמה שוים והם העשרים שהוא מחוייב לו לתת בסוף השנה ותמצא י"ו וב' שלישיות תוסיף עליו העשרים שהוא מחוייב לתת לו עתה בכניסתו בבית יהיו ל"ו וב' שלישיות וזה יהיה בעד שנה ראשנה עוד תאמר ק"כ שוים ק' ל"ו וב' שלישיות כמה שוה יצא לך ל' וה' חלקים מט' וזה בעד שכירת שנה שניה עוד תוסיף ותאמר אם ק"כ שוים ק' ל' וה' חלקים מט' כמה שוה יצא לך כ"ה וכ"ה חלקים מנ"ד וזה הוא בעד שכירות שנה שניה אח"כ תחבר כל אלו הג' מספרים רצוני ל"ו וב' שלישיות ול' וה' חלקים מט' וכ"ה וכ"ה חלקים מנ"ד ויעלה בין הכל צ"ב ול"ז חלקים מנ"ד וכן ראוי לתת לו בבת אחת בלי תוספת ומגרעת
|
|
|
קפו) שאלה באיזה אופן באיזה אופן נשקול עם ד' אבנים מ' ליט' או אוק'
|
|
|
הנה יש לך לקחת א' כפול אותם על ג' ויהיו ג' כפול ג' על ג' ויהיו ט' כי כיחס א' א' ג' כן יחס ג' אל ט' והוא השלישית כפול ט' על ג' ויהיו כ"ז כי יחס ט' אל כ"ז כיחס ג' אל ט' והוא הד' הנה ראשנה ישקול ליט' אחת והשניה ג' ליט' והשלישית ט' והרביעית כ"ז ובין הכל מ'
|
|
|
ואם תרצה לשקול ה' הנה תשים אותה של ג' ליטראות ואותה של א' בכף אחת אח"כ תשים בכף שניה אותה של ט' אח"כ תשים בכף ראשנה ששם הב' אבנים ששוקלות ד' ושים ה' שתרצה לשקול ויהיו ט' בכף ראשנה גם בשניה
|
|
|
ואם תרצה לשקול ח' הנה תשים בכף הראשנה האבן ששוקלת א' ועם הח' יהיו ט' אח"כ תשים בשניה השוקלת ט' ויהיה שוה בשוה וזה המספר נקרא מספר יחסיי וכו'
|
|
|
קפו) שאלה אדם הולך לאושפיזא ועמד לשם ל"א יום ונושא ה' גביעים של כסף ששוקלים בין כלם ל"א אוק' והתנו שיתן לאושפיז בכל יום אוק' של כסף באיזה אופן יפרענו בכל לילה ולילה שלא יתן הגביעים ויתן לו אוק' שלימה בכל יום
|
|
|
הנה ראוי לקחת א' ואח"כ לכפול אותו ויהיו ב' ואח"כ כפול על ב' ויהיו ד' כי יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ד' אח"כ כפול ד' על ב' ויהיו ח' כי יחס ד' אל ח' כיחס ב' אל ד' אח"כ כפול ח' על ב' ויהיו י"ו כי יחס ד' אל ח' כיחס ח' אל י"ו א"כ הנה הא' שוקל אוק' והב' ב' והג' ד' והד' ח' והה' י"ו וכן עולה ל"א עם ב' כוסות תוכל לפרעו עד ס"ג והוא שתכפול י"ו על ב' ויהיו ל"ב והוא הגביע הו' ועם הל"א הם ס"ג ועם ז' כוסות תוכל לפרעו עד קכ"ז ימים והוא שתכפול ל"ב על שנים ויהיו ס"ד ועם ס"ג והם קכ"ז וכן עד אין קץ
|
|
|
קפז) שאלה אדם מוכר מג' מיני צמר הראשנה מוכרה ככר שהם ק' ליט' עשרה מנינים והב' מוכר הככר עשרה מנינים וחצי והג' מוכר הככר י"ב מנינים ושליש והנה כשתרחץ הראשנה הנה הככר ישוב פ' ליט' מצמר נקי וכשתרחץ השניה ישוב הככר צ' ליט' מצמר נקי וכשתרחץ השלישית ישוב הככר צ"ט ליט' מצמר נקי נרצה לדעת איזה מהם יותר טוב לקחת משלשתן
|
|
|
ידוע כי הראשנה הפ' ליט' שוות י' מנינים וידוע כי השניה הצ' ליט' שוות עשרה מנינים וחצי וידוע כי השלישית הצ"ט ליט' שוות י"ב מנינים ושליש ונעשה הערך ככה אם הפ' שוה עשרה א' כמה שוה הנה יצא לך שמין א' והוא שווי הליט' מהראשנה עוד שוב אל הב' ותאמר אם צ' שוות עשרה וחצי א' כמה שוה יצא לך שמין א' וד' שביעיות השמין הנה הנה זאת יותר טובה מהראשנה ונעשה כן מהג' ונאמר אלו צ' שוות י"ב ושליש א' כמה שוה יצא לך פחות משמין ואין ראוי לקחת ממנה כי היא יותר גרועה מהאחרות
|
|
|
קפח) שאלה הנה בכמה עומדים י"ב גלחים והנה אם יעבוד א' מהם שנה תמימה ראוי לקחת אוק א' וב' טריניריש אחר שעבד שנה רצופה בצימצום ושואל אוק' וב' טריני והב' עבד יותר מעט עד ששואל אוק' א' וג' טריני והג' עבד יותר עד ששואל אוק' א' וא טרי והרביעי שואל אוק אחת וד' טריני והה' שואל אוק' וו' טריני והו' ב' אוק' וד' טרי והח' אוק' אחת והעשירי אוק' א' וט' טריני והוא אוק' א' וי"ט טריני והי"ב אוק' א וכ"ב טריני והנה האדון העושה הפרעון אין לו כי אם י' אוק' וה' טריני ומזה הממון רוצה לחלק לגלחים כפי עבודתו כמה ראוי שיתן לכל א' וא'
|
|
|
הנה ראוי לחבר כל הסך מאלו הי"ב גלחים ותמצא שעולה ט"ו אוק' וי"ח טרי והנה ראוי לחלק העשרה אוק' על ט"ו אוק' וי"ח טרי והנה ראוי לעשות מהי' אוק' טרי ולחבר עמהם הה' טרי ויעלה ש"ה עוד תעשה מהט"ו אוק וי"ח טרי טרי ויעלה ד' מאות וס"ח עוד שוב וכפול ש"ה על ל' ויעלה ק"נ וחלקם על ד' מאות ויצא לך טרי והם י"ט וט"ו נרות וב' דינרין וככה יקח בעד כל אוק' ואוק'
|
|
|
ואם תרצה לדעת כמה יקח בעד כל טרי הנה כבר ידעת כי בעד אוק ראוי לקחת י"ח וט"ו נרות וב דינרין כפול י"ט על ב' רצוני שתעשה מהי"ט טרי נרות והעולה חלק על ל' בעבור כי הל' טרי שוים אוק' ויצא לך המבוקש וכן תוכל לעשו' מכל מטבע
|
|
|
קפט) שאלה אדם נתן ליט' של כסף לחבירו לחלופי' והתנה עמו שיתן לו מהג' ליט' עשרה מבגד וב' קנים מהבגד שוה ג' חביות של יין וב' חביות מיין שוה ח' דינרין נרצה לדעת כמה היו שוות הד' ליט' של כסף לפי זה היחס גם כמה שוות הה' קנים מהבגד
|
|
|
התשובה ראוי לך לדעת כי הב' חביות הם שוות ח' דינרין ותאמר אם ב' שוות ח' ג' כמה שוות ויצא לך י"ב הנה הג' חביות של (יין) שוות י"ב דינרין וידוע הוא כי ב' קנים היו שוות אלו הג' חביות הנה יש לך לעשות ככה והוא שתאמר אלו ב' קנים שוות י"ב דינרין הי' קנים כמה שווים ויצא לך ס' וידוע כי הי' קנים היה שווי ג' ליט' של כסף ותאמר אלו ג' שוות ס ד' כמה שוות ויצא לך פ' בלי תוספת ומגרעת
|
|
|
קצ) שאלה אדם אמר לחבירו אם תרצה לשאת על ספינתך כל החטה שלי אתן לך החצי בא שני ואמר לו אם תשא את שלי אתן לך השליש בא אחר ואמר אם תשא את שלי אתן לך רביעית עוד זה מדבר וזה בא ויאמר אם תשא את שלי אתן לך החומש ואח"כ נמצא בידו ש' מדות אשאל כמה מדות נשא
|
|
|
תשובה בקש מספר יהיה לו חצי ושליש ורביעית וחומש ותמצא ס' קח חציו והוא ל' ושלישיתו והוא כ' ורביעיתו והוא ט"ו והחומש והוא י"ב ובין הכל ע"ז ותאמר אם ע"ז שוים ס' ג' מאות כמה ישוו כפול ס' על ג' מאות וחלקם על ע"ז ויצא לך ב מאות ול"ג ונ"ט חלק מע"ז והוא סך מה שנשא לכל א' וא'
|
|
|
ואם תרצה לבחון אותו קח חצי זה הסכום גם שלישיתו ורביעיתו וחמישיתו יוסף עליו ויעלה ג' מאות
|
|
|
קצא) שאלה בכאן אדם שיש לו ו' ליט' של כסף ובכל ליט' יש ז' אוק' מכסף מזוקק עוד יש לו ה' ליט' מכסף שיש לו בכל ליט' ו' אוק' מכסף טוב ועוד יש לו ליט' בלתי נודעות שבכל ליט' יש כסף י"א אוק' ורוצה לשרוף כל זה ולעשות ממנו גביעים שיכיל כל ליט' א' אוק' מכסף מזוקק ונרצה לדעת כמה ליט' יקח מהכסף המכיל י"א אוק' הליט'
|
|
|
תשובה ראוי שתדע כמה אוק' יכיל המספר הראשון שהוא ו' ליט' המכיל ז' אוק' לליט' יהיו מ"ב והוא מספר אוקי' הטובות ועוד קח המספר השני שהוא ה' ליט' המכיל ו' אוק' לליט' ויהיו ל' והוא מספר אוק' הטובות וחבר אלו הל' אל מ"ב ויהיו ע"ב אח"כ חבר הליט' שהם הו' ויהיו י"א א"כ י"א ליט' יכיל ע"ב אוק' מכסף טוב אח"כ כפול ט' שהוא הסך שתרצה לעשות על הליט' שהם י"א יהיה זה צ"ט הוצא ע"ב מצ"ט הנשאר כ"ז וחלק אלו הכ"ז על היתרון שיש בין ט' לי"א ותמצא ב' חלק כ"ז על ב' ותמצא י"ג וחצי שהם ליט' וככה יקח מן הכסף המכיל י"א
|
|
|
ואם תרצה לבחון אותו חבר כל הליט' שהם י"ג וחצי וו' וה' ויהיו כ"ד וחצי וכפול כל אחד על מה שמכיל ויעלה ר"כ וחצי והוא השמור אח"כ כפול ט' על כ"ד וחצי ויעלו ר"כ ג"כ
|
|
|
קצב) שאלה יש כאן ג' בני אדם כי הרויחו י"ב מנינים הא שואל חצי הממון עם תוספת ב' והאחר שואל שלישית הממון עם תוספת ג' והאחר שואל רביעית הממון עם תוספת ד' נשאל כמה יקח כל א' וא'
|
|
|
תשובה ראוי לחבר כל מה ששואלים מתוספת והם בגד והם ט' תחסרם מי"ב ישארו ג' אח"כ קח חצי י"ב יהיו ו' והשליש ד' והרביעית ג' וכלם י"ג אח"כ כפול חצי המספר על ג' והנם י"ח חלקם על י"ג ועלה א וה' חלקים מי"ג וזה חלק משואל חצי הממון ובעבור שאמר יותר ב' וקח ג' וה' חלקים מי"ג אח"כ קח השליש וכפול אותם על ג' ויעלו י"ב וחלקם על י"ג ויעלו י"ב חלקים מי"ג וזה חלק ממבקש שליש הממון ובעבור שאמר ג' מתוספת וקח ג' וי"ב חלקים מי"ג אח"כ קח רביעית המספר וכפול אותם על ג' ויעלו ט' וחלקם על (י)"ג ויעלו ט' חלקים מי"ג ובעבור שאמר עם תוספת ד' וקח ד' וט' חלקים מי"ג ותחבר הכל ויעלה י"ב שלמים
|
|
|
קצג) שאלה ג' אנשים רוצים לחלק י"ו מנינים הא' שואל חצי הממון פחות ג' והאחר שואל הרביעית עם תוספת ד' והאחר שואל החומש עם תוספת ה' נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא'
|
|
|
תשובה ראשנה תחבר התוספת ששואלים הב' מהם והוא ט' חסר מהט' ג' כי א' מהם אמר פחות ג' וישארו ו' הסר מסך הממון ו' הנשאר י' אח"כ קח חצי הממון שהוא ח' אח"כ קח חמישיתו שהוא ג וחומש ורביעיתו שהוא ד' ותחבר הכל ויעלו ט"ו וחומש אח"כ כפול מחציתו שהם ח' על הי' שנשארו אחר לקיחת התוספת של כל אחד והיו פ' חלקם על ט"ו וחומש ויעלו ה' הסר מהם ג' מצד שאמר פחות ג' יהיה חלקו ב' שלמים וב' חלקים מט"ו עוד קח רביעית הממון וכפול אותם על י' והעולה תחלק ויצא לך ב' שלמים ומ"ח חלקים מע"ו וזה יהיה חלקו משואל רביעית הממון ונתן לו ד' מצד שאמר ד' מתוספת אח"כ קח חומש המספר וכפול אותם על עשרה וחלק העולה על ט"ו וחומש ויצא לך שנים שלמים וח' חלקים מע"ו ובעבור שאמ' ה' מתוספת יקח ז' שלמים וח' חלקים מע"ו ובין שלשתן י"ו שלמים
|
|
|
קצד) שאלה יש כאן ב' שרוצים לחלק עשרים מנינים הא' שואל השליש פחות ד' והאחר שואל החומש פחות ג'
|
|
|
הנה ראשנה ראוי לחבר ג וד' והנם ז' תוסיפם על הממון שהוא כ' יהיו כ"ז אח"כ קח שלישית כ' יהיו ו' וב' שלישיות אח"כ קח החומש יהיה זה ד' חברם יחד יהיו עשרה אח"כ כפול ו' וב' שלישיות על כ"ז יהיה זה ק"פ חלקם על ו' וב' שלישיות ויהיה העולה י"ו וכ"ח חלקים מל"ב ובעבור שאמר פחות ד' נחסר ד' וישאר י"ב וכ"ח חלקים מל"ב וזה חלק השואל שלישית הממון עוד נכפול ד' על כ"ז יהיה זה מאה וח' חלקם על עשרה וב' שלישיות יעלו עשרה וד' חלקים מל"ב ומצד שאמר פחות שלשה נקח מעשרה ג' הנשאר ז' וד' חלקים מל"ב
|
|
|
קצה) שאלה ג' אנשים מצחקים בקוביא הב' משימים כל ממונם נגד הג' והג' המצחק הפסיד ופרע לכל א' סך כל ממונם נגדו והוא הפסיד ופרע לכל א' ממונו עתה מצחק הג' והב' הנשארים שמו כל ממונם והוא הפסיד ופרע לכל א וא' ונמצא עתה ביד כל א' וא' ק' מנינים כשהתחילו לצחק כמה לכל א' וא'
|
|
|
תשובה תקח סך האנשים שהם ג' תוסיף עליו א' בעבור הכפל הראשון ויהיו ד' עוד כפול ג' ויהיו ו' תוסיף עליו א' ויהיו ז' עוד כפול ז' ויהיו י"ד תסיר ממנו א' ויהיו י"ג וידוע כי הממון היה ג' מאות על כן נעשה ככה ונאמ' בכאן ג' אנשים הא' נשא י"ג דינרין והאחר ז' והאחר ד' והרויחו ג' מאות כמה יקח כל א' וא' תחבר כל ממונם שהם ד' ז' וי"ג הנם כ"ד כפול י"ג על ג' מאות יהיה זה ג' אלפים וט' מאות וחלקם על השמור שהוא כ"ד ויצא לך קס"ב וחצי והוא ממון הראשון
|
|
|
עוד כפול ז' שהוא ממון השני עם ג' מאות ויעלו ב' אלפים ומאה וחלקם על כ"ד ויצא לך פ"ז וחצי והוא ממון השני
|
|
|
עוד יש לך לכפול ממון השלישי שהוא ד' על ג' ויעלו י"ב מאות וחלקם על כ"ד ויצא לך חמישים שלמים והוא ממון הג'
|
|
|
ובין הכל ג' מאות
|
|
|
קצו) שאלה יש כאן חבית שיש לה ג' פתחים מהפתח הראשון יצא כל היין בד' שעות ומהפתח השני בלתי הראשון יצא כל היין בג' שעות ומהפתח הג' זולת האחרים יצא כל היין בב' שעות ואם נפתחם שלשתם בכמה יצא כל היין
|
|
|
תשובה תוכל לעשותה בב' פנים א והוא שתקח החשבון היותר גדול מכלם שהוא ד' ותחלק אותו על עצמו גם על האחרים ראשנה תחלקהו על עצמו יצא א' אח"כ חלק ד' על ג' ויצא לך א' ושליש אח"כ חלק ד' על ב' ויצא לך ב' חברם כלם ויהיו ד' ושליש חלק ד' עליהם ויצא לך י"ב חלקים מי"ג והוא השעור מיציאת היין
|
|
|
ואם תרצה לבחון אותו תעשה ככה נניח שהיו י"ב לוגים יין בחבית ונאמ' אלו הד' שעות יצאו י"ב לוגים כמה יצאו בי"ב חלקים מי"ג תמצא שיצאו ב' לוגים ועשרה חלקים מי"ג עוד נשוב ונאמר אלו בב' שעות יוצאים י"ב כמה יצאו בי"ב חלקים מי"ג (חלקים מי"ג) תמצא שיצא ה' לוגים וח' (ז) חלקים מי"ג עוד נשוב ונכפול אלו הג' שעות יצאו י"ב כמה יצא בי"ב חלקים מי"ג תמצא ג' וט' חלקים מי"ג חבר הכל ותמצא שהם י"ב שלמים
|
|
|
והדרך האחר הוא שנבקש המורה יהיו בו כל החלקים הנז' רצוני שלישית בעבור שאמר ג' שעות ורביעית בעבור ד' שעות ומחצית בעבו' ב' שעות תמצא י"ב ומחציתו ו' ורביעיתו ג' ושלישיתו ד' חבר הכל יהיו י"ג חלק המורה שהוא י"ב על י"ג יהיו י"ב חלקים מי"ג והכל הולך אל מקום אחד
|
|
|
קצז) שאלה ג' בני אדם רוצים להחליף סחורה זה עם זה הא' מוכר בגד והאחר מוכר צמר מי שמוכר הבגד מוכר אותה הקנה שוה ג' מנינים במעות מנויים ומצד שהוא רוצה להחליף העלה אותו מנין א' לקנה ושם אותו ה' מנינים ומזה רוצה שינתן לו ב' חמישיות במעות מנויים והב' חמישיות רוצה שיתן לו האחר מצמר והבגד מן הצמר שוה ג' מנינים הבגד נרצה לדעת כמה יעלה לו סך הצמר כאשר העלה לו סך הבגד
|
|
|
ראוי לעשות ככה והוא שתקח ב' חמישיות מהממון שהוא שואל רצוני מהה' מנינים ישארו ה' אח"כ קח ב' מהד' שהיה שווי הקנה במעות מנויים ישאר ב' אח"כ תאמר אם ב' שוים ג' כמה שוים ז' יצא לך י' וחצי וככה ישים הצמר
|
|
|
ואם תרצה לבחון נניח שקנה ב' קנה שהיו שוות פ' מנינים במעות מנויים ועתה שוות ק' נחליף שעושים ומהק' הוא שואל ב' חמישיות במעות מנויים שהם מ' מנינים הסר מפ' מ' הנשאר מ' ומאלו המ' העלה אותם עד ס' כמה יקח מהצמר ראוי לחלק מ' על ז' שהוא שווי הצמר התחלה יעלה לך ה' וה' שביעיות ואמר אלו הה' וה' שביעיות כמה שוים לערך עשרה מנינים וחצי תמצא שישוו ס' מנינים כי העלה אותם ממ' עד ס'
|
- 198) Question: there are four [men] who formed a partnership.
- Three of them, without the fourth, contributed 600 minyanim.
- Three of them, without the third, contributed 700 minyanim.
- Three of them, without the first, contributed 800 minyanim.
- Three of them, without the second, contributed 900 minyanim.
- We wish to know how much did each contribute?
|
קצח)[35] שאלה יש כאן ד' עושים שותפות
הג' בלתי הרביעי שמו ו' מאות מנינים
והג' האחרים בלתי הג' שמו ז' מאות
והג' בלתי הא' שמו ח' מאות
והג' בלתי השני שמו ט' מאות
נרצה לדעת כמה שם כל א
|
|
ראוי לעשות כן תחבר כל ממונם יהיה זה אלף אחר שנחלקם על ג' והוא כל הממון ששמו בין כלם
|
|
ונסיר מזה ת"ר ישאר ת' והוא חלק הרביעי
|
|
עו' נסיר מזה ז' מאות וישארו ג' מאות והוא מה ששם השלישי
|
|
עוד נסיר מזה ח' מאות ישארו ב' מאות והוא מה ששם השני
|
|
עוד נסיר מזה ט' מאות ישארו מאה והוא מה ששם הראשון
|
|
ובין כלם אלף
|
- [L] Question: there are four [men] who formed a partnership.
- Three of them, without the first, contributed 18 [minyanim].
- Three of them, without the [second], contributed 20 minyanim.
- Three of them, without the [third], contributed 22 [minyanim].
- Three of them, without the fourth, contributed 24 [minyanim].
- We wish to know how much did each contribute?
|
קצו)[36] שאלה ד' עושים שותפות
הג' בלתי הראשון שמו י"ח
והג' מהם בלתי האחד שמו כ' מנינים
והג' האחרים זולת האחר שמו כ"ב
והג' בלתי הרביעי שמו כ"ד
כמה שם כל אחד ואחד
|
|
תחבר כל ממונם ויעלה פ"ד תחלקם על ג' ויצא לך כ"ח וכן כל ממונם
|
|
|
והנה חלקנו פ"ד על ג' כי לעולם הם מחוברים
|
|
ונסיר מהם י"ח ששמו הג' הראשנים וישארו עשרה והוא חלק הראשון
|
|
עוד נסיר כ' וישארו ח' והוא חלק השני
|
|
עוד נסיר כ"ב וישארו ו' והוא חלק השלישי
|
|
עוד נסיר כ"ד ונשאר ד' והוא חלק הרביעי
|
- [L] Question: there are five - four of them contributed 22, four of them contributed 24, four of them contributed 26, four of them contributed 28, and four of them contributed 30
- How much did each have?
|
קצז)[37] שאלה בכאן חמשה שד' שמו כ"ב וד' מהם שמו כ"ד וד' מהם שמו כ"ו וד' מהם שמו כ"ח וד' מהם שמו ל'
כמה לכל אחד ואחד
|
|
תחבר כל ממונם ויעלה ק"ל חלקם על ד' שהם קשורים לעולם ויצא לך ל"ב וחצי והוא כל ממונם
|
|
תסיר מהם כ"ב הנשאר עשרה וחצי והוא ממון החמישי
|
|
תסיר מהם כ"ד הנשאר ח' וחצי והוא ממון הרביעי
|
|
תסיר מהם כ"ו וישארו ו' וחצי והוא ממון השלישי
|
|
תסיר מהם כ"ח וישארו ד' וחצי והוא ממון השני
|
|
תסיר מהם ל' וישארו ב' וחצי הוא ממון הראשון
|
|
|
קצט) שאלה יש כאן אדם שמוכר מדת החטה י' מנינים ויש לו חטה אחרת יותר טובה שמוכר המדה י"ו מנינים ובא אדם ואמר לו מכור לי מ[ב'] מיני חטה לערך י"ד מנינים ואקנה כ' מדות כמה יתן לו מכל חטה וחטה באופן שיבא י"ד מנינים החטה
|
|
|
תשובה כך תעשה ראה איזה הפרש יש בין י"ד לי' תמצא ד' ותשימם על י"ו שהוא הפכו עוד תראה איזה תוספת יש בין י"ד לי"ו שהוא הערך השני תמצא ב' ותשים אותם על י' אח"כ חבר ב' וד' שהם הנוספים ויהיו ו' ושמרם אח"כ קח הד' וכפול אותם על הסך שהוא רוצה לקחת שהם כ' מדות יעלה פ' חלקם על ו' יעלה לך י"ג שלמים ושליש ושים אותם אצל המדות ששוות י"ו מנינים אח"כ כפול הב' שהוא המספר השני על כ' שהוא סך המדות יעלה מ' חלקם על ו' יצא לך ו' שלמים וב' שלישיות וככה יקח מהחטה ששוה י' מנינים המדה הנה א"כ יש לו לקחת מהחטה ששוה י"ו מנינים י"ג מדות ושליש ומהחטה ששוה י' יקח ו' וב' שלישיות ובין הכל כ' מדות
|
|
|
ואם תרצה לבחון אותו ידוע הוא כי הוא שאל כ' מדות לערך י"ד מנינים במדה כפול י"ד על כ' יצא לך ר"פ הנה א"כ הכ' מדות שוות ר"פ מנינים ואתה אמרת שראוי לקחת י"ג מדות ושליש מאותו ששוה י"ו מנינים כפול י"ו על י"ג ושליש ויצא לך רי"ג ושליש ושמור אותם אח"כ שוב אל החטה ששוה י' מנינים המדה ואתה אמרת שראוי לקחת ממנה ו' מדות וב' שלישיות כפול ו' וב' שלישיות על עשרה יצא לך צ"ו (ס"ו) וב' שלישיות חבר ס"ו וב' שלישיות אל רי"ג ושליש ויצא לך ר"פ שלמים והוא שוה אל הר"פ השמורים
|
|
|
ר) שאלה יש כאן א שיש לו מגן א' ורוצה שינתן לו בעד זה מגן קרליני וגרני וטורנישי ודינר וקאוואלי שוה בשוה שיקח מהא' כמו מהנשארים
|
|
|
ראוי לעשות ככה והוא שתדע כמה קאוואלי יש במגן תמצא י"ב מאות אח"כ תאמר כמה דינרין יש במגן תמצא ו' מאות אח"כ תאמ' כמה טורני יש במגן תמצא ב' מאות וק' נרות וי' קרליני קח המספר הגדול שבכלם והוא י"ב מאות וחלקהו על עצמו יצא א' ועל הדינרין יצא ב' ועל הטורני ו' ועל הנרות י"ב ועל הקרליני ק"כ חברם כלם ויהיו קמ"א חלק י"ב עליהם ויהיו ח' וע"ב חלקים קמ"א וכך יקח מכל מטבע
|
|
|
ואם תרצה לבחון השב כל המטבעים אל המטבע היותר דקה שהם קאוואלי וגם החלקים ויעלה י"ב מאות
|
|
|
רא) שאלה יש כאן מי שיש לו שורים ואמר לרועה אלו ירעה שוריו ה' שנים יתן לו חצי כל הריוח וגם חצי השורים אחר תשלום הה' שנים והרועה מת לסוף ל"א חדשים וחצי והשורים הם ג' מאות ונ' נרצה לדעת כמה יקח הרועה שאלו לא מת עד סוף ה' שנים לקח חצי השורים
|
|
|
ראוי לעשות ככה והוא שתשיב ה' שנים חדשים ויהיו ס' ותאמר אם ס' שוים ש"נ לא וחצי כמה שוים ומה שיבא הוא קפ"ג ומה חלקים מס'
|
|
|
רב) שאלה אדם רוצה לעשות מלחמה ועשה ב' מאות אנשים רוכבים על סוסים וד' מאות רגליים אמר להם כל מה שיבוזו יהיה שלהם והתנו ביניהם כי רוכב הסוס יקח כל א' ה' מנינים והרגליים ג' מנינים והשלל הוא אלף מנינים נרצה לדעת כמה יקחו רוכבי על סוסים וכמה יקחו הרוגליים
|
|
|
ראוי לעשות ככה והוא שתכפול המנינים הראוים לקחת הרגליים על ד' מאות מצד כי הם ד' מאות תכפלם על ג' ויצא לך י"ב מאות עוד כפול ה' שהוא מה שראוי לקחת רוכבי הסוסים על ב' מאות מצד שהם ב' מאות ויצא אלף אח"כ חבר אלף עם י"ב מאות ויהיו כ"ב מאות אח"כ קח א' מהמספרים רצוני או אלף או י"ב מאות ותכפלם על אלף שהוא הכזה ותחלקם על ב' אלפים וב' מאות ויצא לך חלק כל א וא' אח"כ כפול אלף על אלף וחלקם על כ"ב מאות יצא לך תנ"ד וו' חלקים מי"א אח"כ כפול י"ב מאות על אלף וחלקם על כ"ב מאות ויצא לך תקמ"ה וה' חלקים מי"א והוא חלק הרגליים
|
|
|
רג) שאלה יש כאן ג' טוחנות הא' טוחנת י"ב מדות ביום והב' ט' והג' ו' ובא א' עם ק' ורוצה לטחנם מהרה ורוצה שיחלקו המדה לג' טוחנות ויהיה עשוי הכל בבת אחת כמה מדות נשים בכל א' וא'
|
|
|
הנה ראוי לחבר מספר כלם רצוני י"ב וט' וו' יעלה כ"ז אח"כ כפול ק' וחלקם על כ"ז יצא לך מ"ד וכ"ב חלקים מכ"ז והוא המדות שנתן לו עוד נכפול ט' על ק' וחלק על כ"ז ויצא לג וט' חלקים מכ"ז עוד כפול ו' על ק וחלק על כ"ז ויצא כב וו' חלקים מכ"ז ובין הכל מ'
|
|
|
ולדעת כמה זמן תעמוד החטה על הטוחנת תאמר אלו י"ב מדות נעשות י"ב שעות בכמה שעות אעשה מ"ד מדות וי"ב חלקים מכ"ז וזה נודע
|
|
|
רד) שאלה אשה נושאת ביצות והפילם אדם ואמרה שיפרעם ואמרה כשמניתים בב נשאר א גג' א' דד' א' הה' א' וו' א' זז' שוה כמה היו
|
|
|
בקש מספר אשר לו חצי ושליש ורביעית וחומש ושתות ותמצא ס' תוסיף א' בעבור התוספת על בב' גג' וכו' יהיו ס"א אח"כ כפול ה' על ס"א ויעלה ש' תוסיף בו א' ויהיו ש"א
|
|
|
שאלה אדם נושא ביצות ואחר הפילם ואמר שיפרעם ואמר כשמניתים א' בב' נשאר א גג' ב' הה' ד' וו' ה' זז' שוה כמה היו
|
|
|
בקש מספר לו שליש ורביע וחומש ושתות והוא ס' תסיר א' נשאר נ"ט תוסיף ס' ויהיו קי"ט והוא המבוקש
|
|
|
רה) שאלה אדם יש לו ליט' מב' מיני כספים שא' מהם יש לליט' ז' אוק' מכסף טוב ובאחר אוק' ורוצה להתיך מהב' כספים ולהשיבם שיכיל כל ליט' ט' אוק' מכסף טוב נשאל כמה יקח מכל א' וא'
|
|
|
ראה איזה הפרש מט' לז' תמצא ב' ושימם על י"א ואח"כ ראה ההפרש מט' לי"א והוא ב' ושימם על ז' הנה ראוי לקחת מזה כמו מזה
|
|
|
רז) שאלה לאדם מג' מיני כסף בא' ה' אוק' לליט' מטוב ובאחר ז' ובאחר י"א ורוצה לקחת משלשתן באופן שיכיל לליט' ח' אוק'
|
|
|
כך תעשה ראה איזה הפרש יש בין ז' לח' תמצא א' ושים אותו על ה' עוד תאמר איזה הפרש מה' לח' תמצא ג' ושימם על ז' אח"כ כפול א' על ה' ויצא ה' עוד כפול ז' על ג' ויצא כ"א חברם אל ה' ויהיו כ"ו אח"כ קח הליט' שהם א' וג' יהיו ד' וכפלם על ח' ויהיו ל"ב הוצא מל"ב כ"ו נשארו ו' ושמרם אח"כ חלק אלו הו' בין ההפרש שיש בין ח' לי"א תמצא ג' חלק ו' על ג' יצא ב' הנה א"כ ראוי לקחת א ליט' מכסף ה' וג' מכסף ז' וב' מכסף י"א
|
|
|
ואם תרצה לבחון אותו חבר כל הליט' וקח שוויים מהג' כספים ממה שמכיל ויעלו מ"ח עוד כפול סך הליט' שהם ו' על ח' ויעלו מ"ח והם שוים
|
|
|
רח) שאלה אם יש לך ג' ליט' מכסף שמכיל ז' אוק' מטוב בכל ליט' ותרצה להשיב באופן שיכיל ט' אוק' כל ליט'
|
|
|
ראוי לחלק ז' על ט' יצא ז' תשיעיות אח"כ כפול הז' תשיעיות על ג' ויצא כ"א וחלקם על ט' יצא ב' ושליש
|
|
|
ותבחון אותו ותמצאנו נכון כי הג' ליט' מז' שוות כ"א והב' ושליש מט' שוות כ"א
|
|
|
רט) שאלה לאדם ו' ליט' מכסף שמכיל ח' מטוב ונרצה להשיבם באופן שלא יכילו כי אם ד אוק' מטוב לליט
|
|
|
חלק ח' על ד' יצא ב' כפול ב' על ו' ויצאו י"ב הנה הו' ליט' המכילות ח' יעשו י"ב מכילות ד'
|
| 210) How Many Problem - Group of People
|
|
A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us plus one will make 100
|
רי) שאלה אדם עבר על אנשים אמר שלום עליכם מאה איש אמרו אין אנחנו ק' רק אנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעתנו ועמך נהיה מאה שאל שואל כמה היו אל
|
|
הנה נקח למספרם א' וא' כמוהו והם ב' וחצי ורביע הם ג' רבעיו' ונעשה מב' ג' רביעיות ויהיו י"א
|
|
ויען כי אמרנו עמו היו מאה מספרם צ"ט כפלם על ד' וחלק על י"א ויצאו ל"ו
|
Buy and Sell Problems
|
|
- 211) Question: a man bought 100 liṭra for 100 zehuvim. He sold 50 [of them] at 1¼ liṭra for one zahuv, and the other 50 at ¾ liṭra for one zahuv.
- We want to know: did he earn or lose?
|
ריא) שאלה אדם קנה בק' זהובים ק' ליטרי' ומכר החמישים ראשנים ליט' ורביעית ליט' בזהוב והנ' אחרונים ג' רביעיות בזהוב
נשאל אם הרויח או הפסיד
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot50}{5}+\frac{4\sdot50}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left(\frac{200}{5}+\frac{200}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100\\&\scriptstyle=6+\frac{2}{3}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/f/f/e/ffec10b7402d6c289bc7ae654748b4d6.png)
|
נשיב הנ' ראשנים ר' נחלקם על ה' בעבור ה' רביעיות שנתן בפשוט יעלה מ' גם נשיב הנ' אחרונים מאתים נחלקם על ג' ויעלו ס"ו וב' שלישיות חברם אל מ' ויהיו ק"ו וב' שלישיות הנה הרויח ו' וב' שלישיות
|
- 212) Question: a man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
- How much money did he have originally?
|
ריב) שאלה אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות בפשוט והרויח פשוט
כמה ממונו
|
- common denominator:
|
בקש המורה שהוא ל"ה שהוא כפל ז' על ה'
|
|
והנה ג' חמישיות כ"א
|
|
וד' שביעיות כ' והממון היה כ' ושב כ"א והרויח פשוט ומהכ' דינרין קנה י"ב ליט'
|
- 213) Question: a man bought four sevenths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold five ninths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
|
ריג) שאלה אדם קנה ד' שביעיות בפשוט ומכר ה' תשיעיות בפשוט והרויח פשוט
|
- the method is already known
|
הדרך נודע
|
Purchase Problem – Moneychanger
|
|
- 214) Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind]. A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive
|
ריד) שאלה יש אצל המחליף מג' מטבעים שוה בזהוב מהא' ג' בזהוב ומהאחרת ד' ומהאחרת ו' ובא אדם אמר למחליף יחליף לו זהוב יתן לו מג' המטבעי' מספר שוה
|
|
בקש מספר לו שליש ורביע ושישית תמצא י"ב וכל החלקים הם ט' והוא דינר
|
|
ונבקש מה ערך י"ב אל ט' והוא א ושליש וככה יקח מכל מטבע
|
|
|
רטו) שאלה ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקעו ז' באורך ובאורך (ו' ברוחב) וה' בעומק ויתן לו י"א והוא חפר ו' באורך וה' בעומק וד' ברוחב כמה ראוי שיקח
|
|
|
זאת השאלה הוא מערכים כפולים נקר' ריגולא דיטרי דנפיצה ויצא לך ו' וב' שביעיות וכך ראוי שיקח
|
| 216) Motion Problem – Pursuit
|
|
A man sent a messenger to walk 29 miles a day. After 10 days of walking, he sent another messenger to walk after him 37 miles a day. When will he catch up with him?
|
ריו) שאלה איש שלח רץ ילך בכל יום כ"ט מילין ובסוף י' ימים שלח אחר ילך בכל יום ל"ז מתי ישיגנו
|
Rule of Four: 
|
נכפול המילין שהלך הראשון בי' ימים והם רץ נחלקם על היתרון שהוא בין ב' המהלכים שהוא ח' ויצא לך ל"ו ורביעית יום
|
Boiling Problems
|
|
- 217) Question: a man had 10 measures of must and he wanted to boil them so that only one third will remain. He started to cook [them] until eight measures remained of them. Then two measures overflow.
- Now he wants to boil [the remainder] until it will be reduced [as planned for] the original [amount] of must
|
ריז) שאלה אדם היו לו י' מדות מתירוש ורצה לבשלם עד לא ישאר כי אם שליש והחל לבשל עד שנשארו ח' ונשפכו ב' ורוצה לבשלם כמשפט הראשון
|
- Rule of Four:
|
יש לך ג' מספרים ידועים א כמה שליש עשרה והוא ג' ושליש וידוע כי ח' היו המדות שנתבשלו וידוע כי ו' נשארו ונעשה כך נכפול ו' על ג' וחלק על ב' ויצא ב' וחצי
|
- 218) Question: a man had 9 measures and he wanted to boil them so that one third will remain. They were cooked until 6 measures remained. Then 4 [measures] overflow and 2 remained.
- How much should they be boiled?
|
ריח) אדם יש לו ט' מדות ורצה לבשלם עד ישובו לשליש ונתבשל עד נשארו ו' מדות ונשפך ד' נשארו ב'
כמה ראוי לבשל
|
- Rule of Four:
|
כפול ב' על ג' יעלו ו' חלקם על ו' יעלה א' והוא הנדרש
|
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree
|
|
- 219) Question: a tree, a seventh of it is in the water, a ninth of it is [ingrained] in the soil, and up above the water it is 8 cubits long. How many cubits long is the whole tree?
|
ריט) שאלה אילן שביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה ח' כמה ארכו
|
- False Position:
|
המורה הוא ס"ג
|
|
נחסר ממנו י"ו שהוא השביעית והתשיעית ישארו מ"ז
|
- Rule of Four:
|
ונעשה הערך כפלנו ח' על ס"ג עלו תק"ד חלקנום על מ"ז עלו י' שלמים גם ל"ד חלקים ממ"ז
|
-
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left[\left[\frac{1}{7}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left[\left(1+\frac{25}{47}\right)+\left(1+\frac{9}{47}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left(2+\frac{34}{47}\right)=8\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/4/0/f/40fd673d8e59974890bccb6bf2b831f8.png)
|
ושביעית זה המספר א' שלם גם כ"ה חלקים ממ"ז
ותשיעיתו א' שלם גם ט' חלקים
חברנו כל החלקים והם ל"ד והשלמים ב' חסרנו זה מן עשרה נשארו ח'
|
|
|
רכ) שאלה הצבנו סולם אל קיר עשר אמות גבהותו וככה גובה הסולם הורדנו ראש הסולם מלמעלה ב' אמות נרצה לדעת כמה רחוק ראש הסולם מיסוד הקיר
|
|
|
אתן לך כלל בדבר זה לעולם יהיה מרובע הנשאר מראש הסולם אל היסוד עם מרובע מרחק הרגל מן היסוד שוים למרובע הסולם והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ויהיה מרובעו ס"ד נחסרם מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה מרחק הסולם למטה מן היסוד
|
|
|
רכא) שאלה באר ארבע עשרה ורחבו ח' גבהו ה' יכיל אלף ליט' מים ונשפכו כמה חסרו המים
ערוך המאה על הגובה והעולה חלק על אלף והוא חצי א' וחצי אמה [....]
|
|
|
רכב) שאלה ראובן שכר שמעון בי' כספים לל' יום ונתנ[.]לו ושמעון חלה והשכיר אחר במקומו י"ב כספים ביום ועשה השכיר ימים ידועים והאחר כמו כן ונתן לו עשרה כספים
|
|
|
ידוע כי לל' יום היה שכרו י"ב כספים ונאמר אלו י"ב שוים ל' י' כמה שוים כפול ל על י' ועלה רק חלקם על י"ב יעלו כ"ה
|
|
|
רכג) שאלה אם הלויתי לך ק"נ מנינים בעד ו' חדשים ואח"כ אני מצטרך ואמר לי הלוה לי מעות בעד ב חדשים שיהיה שוה לק"נ שהלויתי לך בעד ו' חדשים
|
|
|
ראוי לכפול ו' על ק"נ ויעלו ט' מאות חלקם על ב' ויצא ד' מאות ונ' וכן ילוה לו בעד ב' חדשים
|
|
|
רכד) שאלה אצל המחליף מד' מטבעים הא' ו' שוות זהוב והב' ד' והאחר ג' ואחר ב' ורוצה שיתן לו מכל א' רביעית זהוב כמה יקח מכל אחת
|
|
|
ראוי לחלק המטבע הא' שהוא ו' על ד' ויצא א וחצי וכן יקח ממנה עוד חלק ד' על ד' ויצא א וכן יקח עוד חלק על ג' ויצא ג' רביעיות עוד חלק ב' על ד' ויצא חצי וכן יקח ממנה
|
|
|
רכה) שאלה אדם עזב ממון לבניו בלתי נודע ואמר לראשון אתה תקח מממוני ז' דינרין ועשור הנשאר ואמ' לאחר ואתה קח לך י"ד מהנשאר והעשור ואמ' לאחר אתה תקח כ"א ועשור הנשאר וכן כלם לעולם מוסיף לו ז' ואחר העשות זה נמצא לכלם חלק שוה נרצה לדעת כמה בנים היו לו וכמה חלק כל א' וא' וכמה בנים היו לו
|
|
|
ראוי לקחת המספר השוה והוא העשור כי לכלם אמר עשור חסר א' ישארו ט' כפול ט' על זה שהוא חלק הראשון זולת העשור יעלה ס"ג א"כ הבנים היו ט' וממונו היה ס"ג ועתה כפול ס"ג על ט' ויעלה תקס"ז והוא כל הממון ודוק ותשכח
|
|
|
רכו) שאלה יש כאן ג' שרוצים לחלק ק"כ מנינים ויהי ריב וה[.]לו ממונם וכל א' וא' לקח מה שיכול לקחת ויתקוטטו ביניהם בא אדם ואמ' אל תרגזו ואמר לא' תן לי חצי ממונך ולאחר שליש ולאחר רביעית וחלק זה הממון לג' חלקים שווים ונמצא ביד כל אחד מ' מנינים נבקש לדעת כמה לקח כל א' וא'
|
|
|
בקש מספר לו חצי ושליש ורביע תמצא י"ב ותאמר י"ב מאיזה מספר חציו תמצא כ"ד אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ב' שלישיות בעבור שעכב לעצמו ב' שלישיות תמצא י"ח עוד תאמר י"ב מאיזה מספר ג' רביעיות תמצא י"ו קבץ הכל ויהיו נ"ח ושמרם אח"כ כפול המספר הראשון שהוא כ"ד על ק"כ והעולה חלק על נ"ח ויצא מ"ט ול"ח חלקים מנ"ח עוד כפול י"ח על ק"כ וחלק על נ"ח יצא לז וי"ד חלקים מנ"ח עוד כפול י"ו על ק"כ וחלק על נ"ח ויצא ל"ג וו' חלקים מנ"ח
|
|
|
ולבחון אותו קח חצי הראשון ושליש השני ורביעית הג' ועשה ג' חלקים שוים ותן לכל א חלק א' ויעלה מ' לכל א'
|
- 227) Question: there are here two who bought 5 loafs of bread.
- One bought two for two pešiṭim and the other one [bought] three for three pešiṭim.
- One came and said: if you want me to eat with you I will pay each his share.
- They ate together and he gave 4 to the owner of the three and 1 to the owner of the 2.
- I ask: why is this?
|
רכז)[38] שאלה יש כאן ב' קנו ה' לחמים א קנה ב ב פשוטים ואחר ג ג פשוטים
בא א ואמר אם תרצו שאוכל עמכם אפרע כלם שווים
ואכלו ביחד ונתן לבעל הג' ד' ובעל הב' א'
אשאל לדעת מה זה ועל מה זה
|
|
|
ראוי לחלק ה' לג' יעלה א וב' שלישיות וכך אכל כל א וא א"כ הראשון אכל כל לחמו פחות שליש לכן נתן לו א' והאחר אכל כל לחמו פחות ד' רביעיות לכן נתן לו ד'
|
|
|
רכח) שאלה אדם הולך לגן ללקוט שושנים ובבואו יש לו לעבור בג' פתחים ראשון יש לו לתת חצים עם תוספת ג' ובב' יש לתת השליש מהנשאר עם תוספת ב' ובג' יש לתת רביעית עם תוספת א' ונשארו לו ב' כמה לקט
|
|
|
שים על ב' א' בעבור א מתוספת ויהיו ג' וידוע כי ג' הם ג' רביעיות והשלם הוא ד' עוד תוסיף על ד' ב' נשארו ו' וידוע הוא כי ו' ב' שלישיות והשלם ט' ושים עליו ג' והנם י"ב והוא חצי המספר ויהיו כ"ד וכך לקט
|
|
|
רכט)[39] שאלה אדם מלוה לחבירו אלף מנינים בעד שנה ומחוייב לתת לו על כל ק' כ"ה ובסוף ו' בעל הממון נצטרך למעות ואמר למחוייב לו תן לי ק' מנינים וכן עשה ובסוף ד' חדשים נתן לו ד' מאות עוד לסוף ו' נתן לו ב' מאות נרצה לדעת כמה ראוי שיקבל בעל הממון לסוף השנה וכמה הוא הרבית
|
|
|
כך תעשה תאמר אם ק' מרויחים כ"ה אלף כמה ירויחו תמצא רכ"ה אח"כ תאמר הפרעון הראשון שהוא ק' בסוף ו' כפול ק' על ו' ויהיו ת"ר ותאמר אם ק' מנינים בי"ב מרויחים כ"ה ק' בו' חדשים מה ירויחו תמצא י"ב וחצי עוד קח הפרעון הב' שהוא ת' לסוף ד' וכפול על החדשים ויעלו אלף ות"ר ותאמר אם ק' בי"ב מרויחים כ"ה ת' בד' יתנו לך ל"ג ושליש עוד קח הפרעון הג' שהוא ד' בתוך ג' ותאמר אם ק בי"ב יתנו כ"ה ב' מאות בג' מה יתנו ויצא י"ב וחצי אח"כ חבר (י"ב) וחצי עם ל"ג ושליש ועם י"ב וחצי ותוציאם מר"נ וישאר קמ"א (קצ"א ?) וב' שלישיות והוא הרבית שראוי שיקבל בסוף השנה ויש לו לקבל מהקרן ג' מאות ויעלה עם הקרן והריוח תמ"א וב' שלישיות
|
|
|
רל)[40] שאלה אדם קנה ה' חביות שמן וי' חביות יין ובין הכל שוה ק' מנינים אח"כ קנה ט' חביות שמן וב' חביות יין ק' מנינים ובאותו ערך שקנה בראשנה קנה בשניה אבקש לדעת כמה קנה השמן וכמה קנה היין
|
|
|
כך תעשה קח איזה מספר שתרצה ושימהו ערך השמן או היין ונשים ערך השמן ח' מנינים הנה הה' שוות מ' מנינים ונשארו ס' א"כ ערך החבית ישווה ו' מנינים ונשוב אל השני ונאמר שהט' חביות שוות ע"ב והב' שוות י"ב ויעלה פ"ד ויחסר עד ק' י"ו ותאמר בעד הערך שהוא ח' יחסר י"ו אח"כ בקש מספר אחר ונאמר כי חבית השמן שוה ט' והה' שוות מ"ה וחבית היין ה' וחצי ויהיו ק' שוב אל הב' והט' חביות שוות פ"א והב' יין י"א ויהיו צ"ב ויחסר ח' עד ק' הוצא ח' מי"ו נשארו ח' אח"כ כפול ט' שהוא הערך על י"ו שהוא השיור מהערך הא' ויהיו קמ"ד אח"כ כפול ח' שהוא הערך הראשון על ח' יעלה ס"ד הוצא ס"ד מקנ"ד נשארו פ' חלקם על ח' ויצא י' וכן קנה
|
|
|
רלא)[41] שאלה בכאן כלב וארנבת והארנבת רחוקה מהכלב ק' פסיעות וכל פסיעה מהכלב שוה ה' מהארנבת וכך יפסיע הא' כמו זה אתאב לדעת בכמה פסיעות ישיגנו
|
|
|
הדרך ראוי לחלק ק' על היתרון שהוא מא' עד ה' שהוא ד' ויעלה כ"ה והוא המבוקש
|
|
|
רלב) שאלה תעשה לי מל' ד' חלקים שיהיה יחס הד' אל הג' כג' לב' וכב' לא'
|
|
|
נניח שהא' א' והב' ב' והג' ד' והד' ח' ובין כלם ט"ו לכן כפול א' על (ל) וחלק על ט"ו ויצא ב' והוא הראשון עוד כפול ב' על ל וחלק על ט"ו ויצא ד' והוא הב' וכן מהג' ויצא ח' וכן מהד' ויצא י"ו וכלם מתיחסים
|
|
|
רלג)[42] שאלה אדם שואל לחבירו כמה שעות הקישו השיב הב' שלישיות מהמוקשות שוות לג' שרביעיות לאותם שראוי להקיש נשאל כמה שעות הקישו
|
|
|
כבר ידעת כי שעות היום הם כ"ד ונניח כי הקישו ג' וידוע כי ב' שלישיותיו הם ב' ונבקש מספר אשר ב' יהיו ג' רביעיותיו ונמצא ב' וב' שלישיות ובין הכל עולה ה' וב' שלישיות לכן נכפול ג' על כ"ד וחלק על ה' וב' שלישיות ויצא י"ב וי"ב חלקים מי"ז והם השעות שהקישו והנשאר עד כ"ד שהם י"א וה' חלקים מי"ז
|
|
|
ראוי להקיש ולבחון אותו קח ב' שלישיות מי"ב ומי"ב חלקים מי"ז ויעלה ח' וח' חלקים מי"ז עוד קח ג' רביעיות י"א וה' חלקים מי"ז ויעלה גכ ח' וח' חלקים מי"ז
|
| Multiple Quantities - Boys Selling Eggs
|
|
- 234) Question: a man gives his seven sons eggs to sell and he gives the one half the other, i.e. if he gives the first 1, he gives the second 3, the forth 4, the fifth 5, the sixth 6 and the seventh 7.
- All of them will sell the same way the first one sells, and each will receive the same amount of money.
- I wish to know: how much money will each of them receive and how will they sell [the eggs]?
|
רלד)[43] שאלה אדם נותן ביצות לז' בניו למכור ונותן לא' מחצית השני ר"ל שאם יתן א' לראשון יתן ב' לשני וג' לג' וד' לד' וה' לה' וו' לו' וז' לז'
ובאופן שימכור הא' ימכרו כלם וכל כך ממון ישא הא' כמו האחר
ארצה לדעת כמה ממון נתן לכל א' וא' ובאיזה אופן מכרו
|
- The first:
|
הדרך בזה שתכפול ז' על ב' הנם י"ד תוסיף א' ויהיו ט"ו והוא סך הביצות מהראשון
|
- The second:
|
שים בו ט"ו ויהיו ל' והוא חלק הב'
|
- The third:
|
שים בו ט"ו והוא מ"ה והוא חלק הג'
|
- The fourth:
|
שים בו ט"ו ויהיו ס' והוא חלק הד'
|
- The fifth:
|
והאחר ע"ה
|
- The sixth:
|
והאחר צ'
|
- The seventh:
|
והאחר ק"ה
|
- Each will sell 8 for one pašuṭ
|
ולדעת איך מכרו תחסר החלק היותר גדול מט"ו שהוא ח' והוא מה שנתנו בפשוט
|
- The first will sell the remaining
 each one for 2 pešuṭim
|
והנה לראשון נשארו ז' ומכרם ב' פשוטים כל א' וא'
|
- Each will receive 15
|
וכך מעות נשא הא' כמו האחר ותמצא כי ממון כל אחד ט"ו ותקיש על זה
|
|
|
רלה)[44] שאלה ואלו אמר כי הבנים ג' ונתן לכל א מספר מונח ולב' אותו המספר מונח וג' פעמים כמוהו ולג' המספר המונח וו' פעמים מספר מונח ובאופן שמכר הא' ימכור האחר כמה לכל א ובאיזה אופן מכרו
|
|
|
ראוי לכפול מה שמוסיף הב' על הא' על סך הבנים וידוע כי הבנים ג' והשני מוסיף במספר עם הראשון ג' ועם המספר המונח הם ד' כפול ג' על ד' ויהיו י"ב תוסיף בו א ויהיו י"ג תחסר מי"ג סכום הבנים וישאר י' כי לעולם ראוי לחסר מהמקובץ סכום הבנים הנה י' נתן בפשוט
|
|
|
ואם תרצה לדעת באיזה ערך מכר הג' שנשארו כבר ידעת כי השני מוסיף על הראשון ד' פעמים כמוהו ועם המספר המונח הנה א"כ כל א מהג' מכר ד' פשוטים
|
|
|
ואם היה מוסיף השני על הראשון ה פעמים כמוהו היה מוכר כל א' ה' פשוטי' ואם ו' ו'
|
|
|
רלו)[45] שאלה אדם רוצה לעשות סרבל מבגד שרחבו ה' זרתות ונכנס בו י"ד זרתות ורוצה לעשות סרבל אחר מבגד שרחבו ד' זרתות כמה זרתות ישים בו
|
|
|
תוציא ד' מה' נשאר א' תחלק י"ד על ד' ויהיו ג' וחצי תוסיפם על י"ד ויהיו י"ז וחצי הנה א"כ ראוי לקחת מבגד אחד י"ז זרתות וחצי ולבחון אותו כפול י"ד על ה' ויהיו ע' עוד כפול ד' על י"ז וחצי ויהיו ע'
|
|
|
רלז)[46] שאלה איש מחוייב לחבירו ד' מאות מנינים וכל מגן שוה ל"ג גרושי וי"ב גרושי שוים פרח א' ובעל הממון שואל ד' מאות מניניו והשיב כי אין לו כי אם פרחים אתאב לדעת כמה פרחים יקבל
|
|
|
הנה הדרך שתכפול ד' מאות על ל"ג ויהיו י"ג אלפים וב' מאות וחלקם על י"ב ויצא לך אלף ומאה והוא סך הפרחים שראוי שיקבל
|
|
|
רלח)[47] שאלה מספר אנשים הולכים בדרך וימצאו כיס א' עם ק' מנינים הא שואל ד' עם שתות הנשאר והאחר ח' עם שתות הנשאר והאחר י"ב עם שישית וכן עד תומם נרצה לדעת כמה הם הבנים באופן שיגיע לכל א מספר שוה
|
|
|
ראוי לחלק ק על ד' ויצא כ"ה וקח שרשם והם ה' כפלם על ד' ויצא כ' והוא המגיע לכל א' וא'
|
|
|
ולדעת סכום הבנים חלק ק' על כ' ויצא לך ה'
|
|
|
דרך אחרת חסר מהסך השוה לכלם שהוא השתות א וישאר ה' והוא סכום הבנים
|
|
|
ולדעת ממון כל א' כפול ד' על ה' שהוא מה שיקח הראשון זולת השתות ויעלה כ' והוא הממון
|
|
|
רלט)[48] שאלה ב' בני אדם כל א מצא כיס אמ' הראשון אם תתן לי שליש ממון כיסך אני אתן לך רביעית ממון כיסי וכן עשו ונמצא לכל א י"ב נשאל כמה בכל כיס
|
|
|
נניח מנותן שליש ממון כיסו היה לו ט"ו חסר ה' שהוא שלישיתו וישארו י' א"כ יצטרך בכיס השני יהיה ח' באופן כשיתן מח' רביעיתם שהם ב' ישלימו י"ב עם י' שיש לחבירו וידוע כי קבל ה' עם ו' הנם י"א ויחסר עד י"ב א' ותאמר בעד ט"ו חסר א' עוד בקש מספר אחר נניח כי בכיס נותן שליש היה י"ו חסר שלישיתם שהוא ה' ושליש ישארו י' וב' שלישיות ויחסר עד י"ב א' ושליש א"כ ממון השני הוא ה ושליש חסר הרביעית שהוא א' ושליש ישארו ד' שלמים והוא קבל ה' (ושליש) א"כ יש לו ט' ושליש ויחסר עד י"ב ב' וב' שלישיות ותאמר בעד י"ו ששמנו חסר ב' וב' שלישיות א"כ הוצא א שהוא חסרון הערך הא' מב' וב' שלישיות הנשאר א וב' שלישיות אח"כ כפול י"ו שהוא הערך הב' על א שהוא חסרון הערך הא' ויהיו י"ו עוד כפול ט"ו שהוא הערך הא' על ב' וב' שלישיות שהוא חסרון הערך הב' ויעלו מ' הוצא י"ו ממ' נשאר כ"ד חלק כ"ד על א וב' שלישיות יצא י"ד וב' חמישיות והוא מה שבכיס מנותן השליש וט' וג' חמישיות יש בכיס נותן רביעית ותבחון אותו כי הוא צודק
|
- 240) Question: here is a straight cane.
- At its feet there is an ant that wants to go up and it walks 4⅕ cubits of the cane in one hour.
- At the top of the cane there is an ant that goes down and it goes down 6¼ cubits of the cane in one hour.
- The length of the cane is 100 cubits.
- I ask: when will the meet each other?
|
רמ)[49] שאלה בכאן מקל זקוף
וברגל המקל התחתון יש בו נמלה ורוצה לעלות והולכת ד' אמות וחומש המקל בשעה אחת
ובראש המקל העליון נמלה יורדת והנה תרד בשעה אחת ו' אמות ורביעית המקל
ואורך המקל ק' אמות
אשאל מתי ישיגו זה את זה
|
|
|
חלק ק' על ה' ויצא עשרים תוסיף עליהם ד' ויהיו כ"ד
אח"כ תחלק ק' על ד' ויצא כ"ד תוסיף בם ו' ויהיו ל'
תחבר ל' עם כ"ד ויהיו נ"ד חלק ק' על נ"ד ויצא א' וכ"ג חלקים מכ"ז והוא הזמן שישיגו זה את זה
|
|
|
ותוכל לבחון אותו ואמור אם א' שוה ל' א' וכ"ג חלקים מכ"ז כמה ישוה
|
|
|
ויצא לך נ"ה וט' חלקים מכ"ז והוא מהלך מהולך ו' אמות ורביעית המקל
|
|
|
עוד תאמר אם א' שוה כ"ד א' וכ"ג חלקים מכ"ז כמה שוים
|
|
|
ויצא לך מ"ד וי"ב חלקים מכ"ז והוא השעור ממי שהולך ד' אמות וחומש המקל
|
|
|
ובין הכל ק'
|
- 241) Question: a man has four sons and he says that -
- the first will take a fifth of his money plus 20 minyanim;
- the second will take a fifth of what remains plus 40;
- the third [will take] a fifth of what remains plus 60;
- and the fourth [will take] a fifth of what remains plus 80.
- Each had the same share.
- We ask: how much was the amount of money of their father and how much is the share of each?
|
רמא)[50] שאלה לאדם יש לו ד' בנים ואמר שהא' יקח מממונו החומש ועשרים מנינים יותר והשני יקח החומש מהנשאר ומ' יותר והג' חומש הנשאר וס' יותר והד' חומש הנשאר ופ' יותר
ולכלם היה חלק שוה
נשאל כמה ממון אביהם וכמה חלק כל א וא' מהם
|
Partnership Problems
|
|
|
|
רסב) שאלה ה' בני אדם עשו ספינה והתנו ביניהם כי ממה שירויחו הא' יקח עבור כל מאה ג' (ב') והאחר ב' (ג') והאחר ד' והאחר ה' והאחר ו' ופזרו לתקן האניה ל' כמה יפרע כל א' לפי יחס הריוח המגיע לכל א' וא'
|
|
|
תחבר כל ממונם ויהיו כ' אח"כ תכפול הראשון על ל' ותחלק לכ' ויגיע לחלקו לפרוע ג' וכן תעשה מהב' ויפרע ד' וחצי והג' ו' והד' ז' וחצי והה' ט'
|
|
|
רסג) שאלה ג' בני אדם עושים שותפות הא' שם ג' מנינים ועמדו בשותפות ב' חדשים והאחר שם ד' מנינים ועומדו בשותפות ה' חדשים והאחר שם ב' מנינים ועמד בשותפות ט' חדשים והרויחו כ"ה מנינים כמה יגיע לכל א'
|
|
|
ראוי לכפול ממון כל א' על החדשים והנה נכפול ב' על ג' ויהיו ו' והוא הראשון כן תעשה מהב' ויהיו כ' וכן מהג' ויהיו י"ח ובין הכל מ"ד אח"כ כפול ו' על כ"ה והעולה חלק על מ"ד ויצא ג' וי"ח חלקים ממ"ד והוא חלק הראשון כן תעשה מהב' ויגיע לו י"א וי"ו חלקים (מ)מ"ד וכן תעשה מהג' ויצא י' וי' חלקים ממ"ד והוא חלק הג'
|
|
|
רסד) שאלה ג' עושים שותפות ושמו בין שלשתן כ' מנינים והרויחו ל' ולראשון מגיע מהריוח ד' מנינים ולשני ו' כמה יגיע לג' וכמה היה ממון כל א' וא' הנה ראוי לחבר ד' עם ו' ויהיו י' תחסרם מל' וישארו כ' והוא החלק מה שמגיע לחלקו ריוח הג' ולדעת כמה שם כל א' וא'
|
|
|
תעשה כן תאמ' אם כל הל' מנינים שהוא ריוח שלשתן נתן לי כ' שהוא ממון שלשתן מה יתן לי ד' שהוא ריוח הראשון כפול ד' על כ' וחלק על ל' ויצא ב' וב' שלישיות והוא מה ששם הא' וממון הב' היה ד' וממון הג' היה י"ג ושליש וחברם ויהיו כ' והוא סך הממון ששמו בין שלשתן
|
|
|
רסה) שאלה ג' עושים שותפות הא' שם קי"ז מנינים והב' שם פ"ג והג' לא ידעתי כמה והרויחו שי"ט וחלק הג' הוא קכ"ד מניני' אשאל כמה שם בשותפות
|
|
|
הנה יש לך להוציא ריוח השלישי מסך כל הריוח וישארו עדין קצ"ה א"כ בין הב' לא הרויחו כי אם קצ"ה מנינים ועתה תחבר מה ששם הא עם מה ששם הב' ויהיו ר' אח"כ תאמר אם כדי להרויח קצ"ה מנינים הוצרך להיות מאתים כמה יצטרך להיות הקרן כדי להרויח קכ"ד כפול קכ"ד על מאתים והעולה תחלק על קצ"ה ויצא לך קכ"ז שלמים ול"ה חלקים מקצ"ה והוא חלק השלישי
|
|
|
רסו) שאלה ג' עושים שותפות הראשון שם נ"ו מנינים ועמדו בשותפות ה' חדשים והשני שם סך נעלם ועמד בשותפות ח' חדשים והג' שם מרגלית אחת ועמדה בשותפות עשרה חדשים והרויחו בין כלם פ"ו מנינים והראשון מגיע לחלקו כ' ולשני י"ב ולג' נ"ד אשאל כמה שם השני וכמה סך מרגלית הג'
|
|
|
הנה ראוי לכפול ממון הראשון על החדשים ואחר כן תאמר אם כ' שהוא ריוח ממון הא' שבו ר"פ כמה ישובו י"ב שהוא ריוח הב' ויצא לך קס"ח אח"כ חלק קס"ח על החדשים שעמד ממון הראשון (השני) שהוא ח' ויצא כ"א וזהו ממון השני ולדעת כמה סך מרגלית הג' כפול נ"ד על ר"פ וחלק על כ' ויצא לך ז' מאות נ"ו וחלק זה על החדשים ויצא לך ע"ה וו' חלקים מי' והוא סך המרגלית
|
|
|
רסז) שאלה ג' עושים שותפות הא' שם קלה מטבעים והב' צ"ז והג' מ"ג והרויחו תשל"ד מטבעים ולג' רצ"ד מטבעים ארצה לדעת כמה שווה המגן
|
|
|
הוצא ריוח הג' שהוא רצ"ד מתשל"ד הנשאר ת"מ אח"כ תחבר ממון הא' והב' ויעלה ר"מ (רל"ב) א"כ אלו הב' הרויחו ת"מ מטבעים ולכן תאמר אם רצ"ד שבו מ"ג ת"מ כמה ישובו ויצא לך ס"ד וק"ד חלקים מרצ"ד א"כ רל"ב מטבעים שיש בין הא' והב' שוים ס"ד מטבעים ולדעת כמה מטבעים שוה כל מגן תאמ' אם ס"ד וק"ד חלקים מרצ"ד שוים רל"ב א' כמה שוה ויצא לך ג' וחלקים מה
|
- 268) Question: three formed a partnership.
- The first contributed 2 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year] and withdrew one magen at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year].
- The second contributed 3 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year] and withdrew one magen at the first of the month of Teveth [= 4th month in Heb. year].
- The third contributed 4 minyanim at the first of the month of Shevat [= 5th month in Heb. year] and withdrew 2 minyanim at the first of the month of Adar [= 6th month in Heb. year].
- What remained for each was kept [in the prartnership] until the [next] first of the month of Tishri
- They earned 20 minyanim.
- I ask how much did each earn?
|
רסח) שאלה ג עושים שותפות
הא' שם ב' מנינים ר"ח תשרי והוציא ר"ח מרחשון א' מגן
והאחר שם ג' מנינים ר"ח כסלו והוציא ר"ח טבת א' מגן
והאחר שם ד' מנינים ר"ח שבט והוציא ר"ח אדר ב' מנינים
ומה שנשאר לכל א' עמד ביחד עד ר"ח תשרי
והרויחו כ' מנינים
אשאל כמה הרויח כל א'
|
- the share of the first:
|
הנה ראשו' ראוי שתכפול ב' מנינים מהראשון ששם אותו בר"ח תשרי עד ר"ח תשרי הבא שהם י"ב חדשים ויהיו כ"ד א"כ כפול א' שהוציא מהשותפות בר"ח מרחשון והנה מר"ח מרחשון עד ר"ח תשרי י"א הוצא מכ"ד י"א הנשאר י"ג והוא עבור הא'
|
- the share of the second:
|
וכן כפול ממון הב' על החדשים ויהיו ל' כי החדשים הם י' והממון ג' גם כפול א' מגן שהוציא על החדשים שהם ט' הוצא מל' ט' וישארו כ"א
|
- the share of the third:
|
גם כפול ממון הג' על החדשים ויעלו ל"ב כי הממון ד' והחדשים ח' גם כפול מה שהוציא על החדשים ויהיו י"ד והוציאם מל"ב וישארו י"ח והוא ממון הג'
|
- Three formed partnership: one contributed 13, another 21, and another 18. They earned 20. How much should each take?
|
א"כ תאמ' ג' עושים שותפות הא' שם י"ג והאחר כ"א והאחר י"ח והרויחו כ' כמה יקח כל א וא' וכבר ידעת הדרך
|
- 269) Question: three formed a partnership.
- The first contributed 4 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year] and added 2 minyanim at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year].
- The second contributed 5 minyanim at the first of the month of Marheshvan and added 4 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year].
- The third contributed 3 minyanim at the first of the month of Teveth [= 4th month in Heb. year] and withdrew 2 minyanim at the first of the month of Adar [= 6th month in Heb. year].
- They stayed in the partnership from the first of the month of Tishri until the next first of the month of Tishri, i.e. a whole year, and earned 30 minyanim.
- How much should each take?
|
רסט)[58] שאלה ג' עושים שותפות
הא' שם ד' מנינים ר"ח תשרי והוסיף ר"ח מרחשון ב' מנינים
והב' שם ה' מנינים ר"ח מרחשון והוסיף ד' מנינים ר"ח כסלו
והאחר שם ג' מנינים ר"ח טבת והוציא ב' מנינים ר"ח אדר
ועמדו בשותפות מר"ח תשרי עד ר"ח תשרי הבא ר"ל שנה תמימה והרויחו ל' מנינים
כמה יקח כל א' וא'
|
- the share of the first:
|
ראוי לכפול ממון הא' על החדשים והנה שם בראשנה ד' מנינים ועמדו י"ב חדשים וכפלם ויהיו מ"ח גם ראוי לכפול מה שהוסיף על החדשים והנה הוסיף בר"ח מרחשון ב' מנינים ולכן כפלם על החדשים שהם עד תשרי והנם י"א וכפלם על ב' ויהיו כ"ב הוסיפם על מ"ח ויהיו ע' והוא ממון הא'
|
- the share of the second:
|
וכן תעשה מהב' ויהיו צ"ה
|
- the share of the third:
|
ומהג' כפול ממונו על החדשים ויהיו כ"ז כי ממונו ג' והחדשים ט' גם כפול מה שהוציא שהם ב' על החדשים שהם ז' ויהיו י"ד הוציאם מכ"ז וישארו י"ג והוא הג'
|
- Three formed partnership: one contributed 70, another 95, and another 13. They earned 30. How much should each take?
|
אח"כ תאמ' ג' עושים שותפות הא' שם ע' והאחר צ"ה והאחר י"ג והרויחו ל' כמה יקח כל א' וא' והדרך נודע
|
- 270) Question: three formed a partnership - one contributed 65 minyanim, another 53, and another 38.
- They agreed to keep the partnership for 5 years and after the 5 years to divide the fund and the profit into three equal parts, so that each will take one part.
- They kept the partnership only 3 years and earned 123 minyanim.
- I ask how much should each take?
|
רע)[59] שאלה ג' עושים שותפות הא' שם ס"ה מנינים והאחר נ"ג והאחר ל"ח
והסכימו לעשות שותפות ה' שנים ואחר הה' שנים רוצים לחלק הקרן עם הריוח לג' חלקים שוים וכל א' וא' יטול חלק אחד
והם לא עשו השותפות כי אם ג' שנים והרויחו קכ"ג מניני'
אשאל כמה יקח כל אחד ואחד
|
|
ראוי לעשות ככה כבר ידעת כי אלו עמדו בשותפות ולא הרויחו ולא הפסידו בה' שנים היה ראוי לחלק ממונם לג' חלקים שוים לכן נחבר ממון שלשתן ויהיו קנ"ו נחלקם על ג' ויצא לך נ"ב לכל אחד ואחד
|
|
ובזה האופן הראשון ששם בשותפות ס"ה יפסיד י"ג
|
|
והב' שם נ"ג יפסיד א'
|
|
והאחר ששם ל"ח ירויח י"ד
|
|
ועתה ראוי שתאמר בעבור הראשון אם ה' שנים היו ג כמה שהפסיד הראשון י"ג כמה יפסיד בעבור ג' שנים
|
|
ויצא ז' וב' חמישיות
|
|
ותוציאם מס"ה שהיה ממונו ונשארו נ"ז וחומש
|
|
ובעבור הב' תאמר אם ה' הפסידו א' ג' כמה יפסיד
|
|
ויצא ג' חמישיות
|
|
תוציאם מממון הב' וישאר נ"ב וב' חמישיות
|
|
ובעבור הג' תאמר אם ה' הרויחו י"ד כמה ירויחו ג'
|
|
ויצא לך ח' וב' חמישיות
|
|
תוסיפם על ממון הג' ויצא מ"ו וב' חמישיות
|
|
ועתה תחבר מה שנשאר לא' ולב' ולג' ויעלה קנ"ו ועליהם תחלק
|
|
ולדעת כמה יגיע לכל אחד ואחד תחבר הריוח שעשו שהוא קכ"ג עם מה שנשאר עדין ויהיו רע"ט
|
|
עתה תאמר אם קנ"ו שהוא הקרן שמשלשתן נתן לי רע"ט שהוא עם הקרן והריוח מה יתן לי נ"ז וחומש בעבור הראשון
|
|
ויצא לך ק"ב דוקט' וחלקים והוא מה שראוי לקחת הראשון עם הקרן והריוח
|
|
וכן תעשה מהב' ויצא לך צ"ג וחלקים בין הקרן והריוח
|
|
כן תעשה מהג' ויצא לך פ"א וחלקים בין הקרן והריוח
|
- 271) Question: two men formed a partnership - one contributed 80 minyanim and the other 20.
- They agreed that the owner of the 80 will take two thirds of the profit and the owner of the 20 [will take] a third of the profit.
- A third man came and said: if you want that I will join the partnership with you, I will contribute 120 minyanim and keep the ratio agreed by both of you.
- Eventually they earned 120 minyanim.
- I ask: how much will each take?
|
רעא)[60] שאלה שני בני אדם עושים שותפות הא' שם פ' מנינים והאחר כ'
והסכימו ביניהם שבעל הפ' יקח ב' שלישיות מן הריוח ובעל הכ' שליש הריוח
נזדמן שלישי ואמר אם תרצו כי אעשה שותפות עמכם אשים ק"כ מנינים ואעמוד כפי היחס המוסכם ביניכם
ולבסוף הרויחו ק"כ מנינים
אשאל כמה יקח כל א' וא'
|
|
הדרך הוא כך כבר ידעת כי ממון הראשון היה פ' והיה ראוי לקחת ב' שלישיות הריוח ולכן תאמר אם פ' נתן לי ב' שלישיות כ' שהוא ממון השני כמה ישוו
|
|
ויצא לך שישית אחד וזה תשים בעד השני
|
|
גם תאמר אם כ' נתן לי שליש שהיה ראוי לקחת מה יתן לי פ'
|
|
ויצא לך א' ושליש וזה תשים חלק הראשון
|
|
עתה תחבר א' ושליש עם שישית ויהיו א' וחצי
|
|
גם תחבר פ' עם כ' ויהיו ק'
|
|
אח"כ תאמר אם ק' נתן לי א' וחצי מה יתן לי ק"כ
|
|
ויצא לך א' וד' חומשים וזה תשים עבור השלישי
|
|
אח"כ בקש מספר יהיה לו שלישית ושישית וחומש ויצא צ' אח"כ קח ד' שלישיות מצ' עבור הראשון ויצא לך ק"כ וזה תשים עבור הראשון
|
|
גם קח שישית צ' ויצא ט"ו וזה תשים עבור השני
|
|
גם תקח ט' חמישיות מצ' ויצא לך קס"ב וזה תשים חלק השלישי
|
|
אח"כ תחבר אלו הג' מספרים ויהיו רצ"ז ועליהם תחלק
|
|
ולדעת כמה יגיע לכל אחד ואחד תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות שהוא סך הריוח מה יתן לי ק"כ עבור הראשון
|
|
ויצא לך ק"ב וחלקים
|
|
ובעבור השני תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות מה יתן לי ט"ו
|
|
ויצא לך כ"ה וחלקים
|
|
ובעבור הג' תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות מה יתן לי קס"ב
|
|
ויצא לך רע"ב וחלקים ודוק ותשכח
|
- 272) Question: three formed a partnership and earned a thousand golden coins - the first takes two thirds, the other takes four fifths, and the other takes five eighths.
- I ask: how much should each one have?
|
רעב)[61] שאלה ג' עושים שותפות והרויחו אלף זהובים הא' שואל ב' שלישיות והאחר שואל ד' חומשים והאחר שואל ה' שמיניות
אשאל כמה יגיע לכל אחד ואחד
|
|
הדרך הוא כך ראוי לבקש מספר ימצאו בו שליש וחומש ושמינית ותמצא ק"כ
אח"כ קח ב' שלישיות עבור הראשון שהוא פ' וד' חמישיות שהוא צ"ו וה' שמיניות שהוא ע"ה וחברם ויעלו רנ"א
|
|
אח"כ תאמר אם רנ"א נתן לי אלף פ' מה יתן בעד השני
|
|
ויצא לך שי"ח וחלקים
|
|
גם תאמר אם רנ"א נתן לי אלף מה יתן לי צ"ו
|
|
ויצא לך שפ"ב והוא חלק השני
|
|
גם תאמר אם רנ"א נתן אלף מה יתן לי ע"ה
|
|
ויצא לך רצ"ח וחלקים והוא חלק הג'
|
- 273) Question: three formed a partnership.
- The first contributed 100 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year].
- The second contributed 322 minyanim at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year] and the share owed to him in the profit is the same as the first.
- The third contributed 22 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year] and the share owed to him in the profit is the same as the first.
- I wish to know how much did the second and the third contributed?
- They kept the partnership for a whole year and earned 600
|
רעג)[62] שאלה ג' עושים שותפות
הראשון שם ק' מנינים ר"ח תשרי
והאחר שם שכ"ב ממון ר"ח מרחשון שמגיע לחלקו מהריוח כמו לראשון
והשלישי שם כ"ב ממון ר"ח כסלו שמגיע לחלקו מהריוח כמו לראשון ג"כ
ארצה לדעת כמה שם הב' והג'
ועשו השותפות שנה תמימה והרויחו ו' מאות
|
|
הדרך הוא כך כבר ידעת כי ממון הראשון היה ק' ועמדו בשותפות שנה תמימה ולכן כפול ק' על החדשים והם י"ב ויהיו י"ב מאות
|
|
גם ידעת כי ממון השני עמד בשותפות י"א חדשים לכן חלק י"ב מאות על י"א והיוצא יהיה ממון השני
|
|
גם ידעת כי ממון השלישי עמד בשותפות י' חדשי' לכן תחלק י"ב מאות על י' ויצא לך ממון השלישי
|
Check: Three formed a partnership.
- The first contributed 100 minyanim at the first of the month of Tishri
- The second contributed as owed to the second at the first of the month of Marheshvan.
- The third contributed as owed to the third at the first of the month of Kislev.
- They earned 600.
- How much should each take?
|
ולבחון אותו אם הוא אמת תאמר ג' עושים שותפות
הא' שם ק' מנינים ר"ח תשרי
והאחר מה שמגיע לשני ר"ח מרחשון
והאחר מה שמגיע לג' ר"ח כסלו
והרויחו ו' מאות
כמה יקח כל א' וא'
|
- Answer: 200 each
|
ותמצא כי לכל א וא' יגיע ב' מאות
|
- 274) Question: three formed a partnership - one contributed 25, the other 17, and the [contribution] of the other is unknown, but the share owed to him is a third of what they earned.
- They earned 60 minyanim.
- We wish to know how much did the third contribute to the partnership?
|
רעד)[63] שאלה ג' עושים שותפות הא' שם כ"ה דוקטי והאחר י"ז והאחר לא ידענו אך מגיע לחלקו שליש ממה שהרויחו
והרויחו ס' מנינים
נרצה לדעת כמה שם השלישי בשותפות
|
|
הדרך הוא כך הוצא השליש מס' שהוא חלק השלישי הנשאר מ'
|
|
אח"כ תחבר כ"ה עם כ"ז ויהיו מ"ב א"כ מ"ב הרויחו מ'
|
|
א"כ תאמר אם כדי להרויח מ' הוכרח להיות הקרן מ"ב כמה ראוי להיות הקרן כדי להרויח כ'
|
|
ויצא לך כ"א והוא מה ששם השלישי
|
Check: Three formed a partnership - the first contributed 25, the second [contributed] 17, the third [contributed] 21, and they earned 60
- How much should the third have?
|
ולבחון אותו תאמר ג' עושים שותפות הא' שם כ"ה והב' י"ז והג' כ"א והרויחו ס'
כמה יגיע לשלישי
|
- Answer: 20
|
ויצא לך כ' שלמים
|
- 275) Question: three formed a partnership for a whole year.
- The first contributed 14 minyanim at the first of the month of March.
- The second contributed some money at the first of the month of June, so that the share owed to him is a third of what owed to the first.
- The third contributed some money at the first of the month of August, so that the share owed to him is a quarter of what owed to the first.
- I wish to know how much did the second and the third contributed?
|
רעה)[64] שאלה ג' עושים שותפות עבור שנה תמימה
הראשון שם י"ד מנינים קליני ר"ח מרסו
והאחר שם ממון ר"ח יונייו כ"כ שמגיע לחלקו שליש מה שמגיע לראשון
והאחר שם ממון ר"ח אגוסטו שמגיע לחלקו כמו רביעית מה שמגיע לראשון
ארצה לדעת כמה שם הב' והג'
|
- the share of the first:
|
כבר ידעת כי ממון הראשון היו י"ד ועמדו י"ב חדשים לכן כפול י"ד על י"ב ויהיו קס"ח
|
- the share of the second:
|
וכבר ידעת כי ממון הראשון עמדו בשותפות ט' חדשים תעשה מהם שלישיות ויהיו כ"ז אח"כ תחלק קסח על כ"ז ויצא ו' שלמים וב' תשיעיות והוא ממון השני
|
- the share of the third:
|
ולדעת מה ששם הג' הנה כבר ידעת כי ממונו עמד ז' חדשים תעשה מהם רביעיות מצד כי היה רביעית ריוח הראשון ויהיו כ"ח תחלק קס"ח על כ"ח ויצא ו' שלמים והוא מה ששם הג'
|
|
|
ולבחון אותו תאמר ג' עושים שותפות הא' שם י"ד ועמד בשותפות שנה והאחר שם ו' וב' תשיעיות ועמד בשותפות ט' חדשים והאחר שם ו' ועמד בשותפות ז' ונניח כי הרויחו ק' ותמצא כי מה שמגיע לשני אינו כי אם שליש ממה שמגיע לראשון ומה שמגיע לשלישי אינו כי אם רביעית ממה שמגיע לראשון
|
|
|
רעו) שאלה ג' עושים שותפות הא שואל עבור כל מאה ששם בשותפות י"ב מריוח והשני עבור כל ק' י"ח והג' עבור כל מאה ל' והרויחו אלף וח' מאות אשאל כמה ראוי שיקח כל א' א' וכמה שם כל א' וא' בשותפות
|
|
|
הנה ראוי לקבץ י"ב וי"ח ול' ויהיו ס' אח"כ תקח עבור י"ב ק' ועבור י"ח ק' ועבור ל' ק' ויהיו ג' מאות א"כ ראוי שתאמר כי עם ג' מאות הרויחו ס' א"כ תאמר אם כדי להרויח ס' נצטרך לג' מאות כמה נצטרך להרויח אלף וח' מאות ויצא ט' אלפי' חלקם על ג' ויצא לך ג' אלפים והוא מה שהיה לכל א וא'
|
|
|
ולדעת כמה הרויח כל א' וא' תאמר אם ק' הרויחו י"ב ג' אלפים כמה ירויחו יצא לך ג' מאות וס' והוא מה שהרויח הראשון
|
|
|
ולדעת כמה הרויח השני תאמר אם ק' הרויחו י"ח כמה ירויחו ג' אלפים ויצא לך תק"מ והוא מה שהרויח הב'
|
|
|
ולדעת כמה הרויח הג' תאמר אם ק' הרויחו ל' כמה ירויחו ל' ג' אלפים ויצא לך ט' מאות ובין הכל אלף וח' מאות
|
|
|
רעז) שאלה ב' עושים שותפות הראשון שם פ' מנינים ומרויח עבור כל מאה כ"ה והב' שם ס' ומרויח עבור כל מאה כ' והרויחו ל"ו אשאל כמה ראוי שיקח כל א' וא'
|
|
|
כך תעשה תואמר אם ק' הרויחו כ"ה פ' כמה ירויחו ויצא לך כ' והוא עבור הראשון ועבור השני תאמר אם ק' שבו כ' ס' כמה ישובו ויצא לך י"ב * וחצי והוא מה שהרויח הראשון עוד תאמר אם ל"ב הרויחו ל"ו ויצא *[ה]נה תחבר כ' וי"ב לך י"ג וחצי והוא מה שמגיע מהריוח לשני
|
|
|
ולבחון אותו תחבר כ"ב וחצי וי"ג [י]היו ל"ב אח"כ תאמ' וחצי ויהיו ל"ו
|
Barter Problems
|
|
- 278) Question: Reuven has 200 liṭra of turmeric, the price of one liṭra is 9 carlini.
- Shimon has pepper, the price of one ??? is 30 ducat in cash and he offer it for 35 in barter.
- I ask: if Shimon wants to buy all 200 liṭra of turmeric, by how much should he [= Reuven] raise the price as Shimon raised it from 30 to 35?
|
רעח)[65] שאלה ראובן יש לו כרכום מאתים ליטר' וערך הליט' ט' קרליני
ושמעון יש לו פלפל וערך המשוא ל' דוקטי במעות מנויים ובחליפים משים אותו ל"ה
אשאל אם שמעון רוצה לקחת כל המאתים ליט' כרכום כמה ראוי שיעלה לו הערך כמו שהעלה לו שמעון מל' עד ל"ה
|
- the total price of 200 liṭra of turmeric in cash:
|
הדרך הוא כך ראה כמה שוים מאתים ליט' לערך ט' קרליני ותמצא ק"פ
|
- Rule of Four:
|
ותאמר אם ל' שוים ל"ה ק"פ כמה שוים
|
- the total price of 200 liṭra of turmeric in barter:
|
ויצא ר"י וכן ראוי שיעלה מק"פ עד ר"י
|
- the number of ??? of pepper:
|
ולדעת כמה משואות יש לי לחלק ר"י על ל"ה ויצא ו' וכך משואות יקח
|
- Check:
|
ולבחון אותו כפול ו' על ל' שהיה הערך במעות מנויים ויצא ק"פ כמו שהוא שווי המאתים ליט' לערך הראשון שהוא ט' קרליני
|
- 279) Question: Reuven has wool that is worth 8 carlin for a liṭra in cash and in barter he wants 12 for a liṭra.
- He asks half of it in cash.
- The other half he wants to barter with Shimon who has pepper and sells one liṭra for 3 carlini.
- I ask: how much should be his price so that his friend will not cheat him?
- Reuven has 200 liṭra of wool.
- How many liṭra of pepper should he ask from Shimon?
|
רעט)[66] שאלה ראובן יש לו צמר שוה הליט' ח' קרליני במעות מנויים ולחליפים רוצה י"ב בכל ליט' ומבקש החצי במעות מנויים
והחצי האחר רוצה להחליף עם שמעון שיש לו פלפל ומוכר הליט' ג' קרליני
אשאל כמה ראוי שיעלה לו הערך כדי שלא ירמהו חבירו
ולראובן יש לו מאתים ליט' צמר
כמה ליט' פלפל ראוי שיבקש משמעון
|
|
תעשה כך הוצא החצי מי"ב שהוא שואל במעות מנוים ויהיו ו'
|
|
גם הוצא ו' מח' שהוא הערך במעות מנויים ישארו ב'
|
- Rule of Four:
|
לכן תאמר אם ב' שבו ו' ג' שהוא ערך הפלפל כמה שוה
|
- liṭra of pepper for:
|
ויצא לך ט' וכן ראוי שימכור ליט' הפלפל
|
|
אח"כ כפול מאתים על י"ב שהוא רוצה למכור לחליפים ויעלה ב' אלפים וד' מאות
|
- cash in return for pepper:
|
תסיר מהם החצי מצד כי הוא רוצה החצי במעות מנויים ויהיו אלף וב' מאות וכך יקבל במעות מנויים ואלף ומאתים יש לו לקבל מפלפל
|
- Rule of Four:
|
ולדעת כמה ליט' הם תאמר אם ט' שהוא ערך הליט' נתן לי א' ליט' ר"ל אם עבור ט' קרליני אקנה ליט' אחת עבור אלף ומאתים כמה אקנה
|
- liṭra of pepper in return for wool:
|
ויצא לך קל"ג ליט' ושליש א"כ בעל הצמר יתן לבעל הפלפל מאתים ובעל הפלפל יתן לבעל הצמר קל"ג ליט' ושליש
|
- Check:
|
ולבחון אותו כפול קל"ג ושליש על ט' ויצא לך אלף ומאתים גם כפול מאתים על ו' ויצא אלף ומאתים
|
- 280) Question: Reuven and Shimon want to barter.
- Reuven has silk that is worth 28 grossi for a liṭra in cash.
- Shimon has cloth that is worth 15 grossi for a canna in cash and in barter he offer it for 18.
- He wants to give his friend a quarter in cash.
- I ask: how many liṭra of silk should Reuven offer and for 234 liṭra of silk how much cloth should he receive?
|
רפ)[67] שאלה ראובן ושמעון רוצים להחליף
לראובן יש משי ששוה הליט' במעות מנויים כ"ח גרושי
ולשמעון יש בגד שוה הקנה ט"ו גרושי במנוים ובחליפים משים אותם י"ח
ורוצה לתת לחבירו הרביעית במעות מנויים
אשאל כמה ראוי שישים ראובן הליט' מהמשי ובעבור רל"ד ליט' משי כמה בגד ראוי שיקבל
|
|
הנה מאחר ששמעון רוצה לתת לראובן הרביע ראוי שתוסיף על ערך הקנה מהבגד מספר באופן זה
כבר ידעת כי הוא רוצה לתת לראובן הרביעית ראה כמה יש על השורה כשאתה מצייר רביע כזה 
תמצא למעלה א' תסיר אותו מהמספר אשר הוא תחת הקו שהוא ד' וישארו ג' ושים ג' תחת הקו וא' על הקו ויהיה א' שליש
|
|
|
ואם אמר רוצה לתת א' שליש תסיר א' שהוא על הקו מהג' וישארו ב' ושים א על הקו ויהיה חצי
|
|
וכשתנהג זה המנהג תמצא כי כשתסיר מהערך הראשון מה שהוספת שהוא מה שרוצה לתת במעות מנויים ישאל הערך הראשון
|
|
|
המשל לשאלתינו כי רוצה י"ח גרושי מן הקנה ורוצה לתת הרביעית במעות מנויים
|
|
וכבר מצאת כי הרביעית ישוב שליש וקח שליש י"ח שהם ו' תוסיפם על י"ח ויהיו כ"ד
|
|
הוצא מהם הרביעית שהוא רוצה במעות מנויים וישארו עדין י"ח והוא שוה אל המספר המונח
|
- If the price is 9 and he wants to sell a third in cash
|
דמיון אחר הערך הוא ט' ורוצה לתת שליש במעות מנויים
|
|
וכבר מצאת כי השליש ישוב חצי
|
|
הוסיף חצי על ט' שהם ד' וחצי ויעלו י"ג וחצי
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left(13+\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(13+\frac{1}{2}\right)\right]=9}}](/mediawiki/images/math/3/a/7/3a71d1f2533431ebf19f5ba89dafe057.png)
|
הוצא מהם השליש שרוצה לתת וישארו עדין ט' שהוא כמו המספר המונח
|
- If the price is 9 and he wants to sell two thirds in cash
|
דמיון אחר המספר הוא ט' ורוצה לתת ב' שלישיות
|
|
הוצא הב' שהם על הקו מהג' שהם תחת הקו ולא ישאר למטה כי אם א' ולמעלה ב'
|
|
תוסיף על המספר המונח ב' פעמים כמוהו ויהיו כ"ז
|
|
תסיר מהם ב' שלישיות וישארו ט' והוא המספר המונח
|
|
והנה ערך הקנה ממספרינו הוא ט"ו ובחלופים י"ח שהם ו' ונוסיפם על ט"ו ויהיו כ"א
|
|
גם נוסיפם על י"ח ויהיו כ"ד
|
- Rule of Four:
|
ועתה אתה רואה כי כ"א שבו כ"ד ועתה ראוי שתאמר אם כ"א שבו כ"ד ליט' כ"ח שהוא ערך המשי כמה שוה
|
- price of 24 liṭra of silk:
|
ויצא לך ל"ב והוא ערך הליט'
|
- Rule of Four:
|
ולדעת כמה קנים מבגד ראוי שיתן עבור רל"ד ליט' תאמר אם כ"ד שוים ל"ב רל"ד כמה שוים
|
- cash in return for 234 liṭra of silk:
 ducat
|
ותמצא כי ישוו ג' מאות וי"ב דוקטי
|
|
ומצד כי שמעון רוצה לתת רביעית במעות ראוי לקחת רביעית ג' מאות י"ב שהם ע"ח ותוציאם מג' מאות וי"ב וישארו רכ"ד
|
- Rule of Four:
|
ועתה תאמר אם י"ח גסים שוים קנה אחת רל"ד כמה קנים שוים
|
- canna of cloth: ducat
|
ויצא לך שי"ב והם קנים מבגד וכך ראוי שיקבל ראובן משמעון
|
- cash in return for cloth:
|
וע"ח מנינים בממון
|
- Check:
|
ולבחון אותו ראה כמה שוות רל"ד ליט' של משי לערך כ"ח שהיה במעות מנויים ויעלה רע"ג מנינים
עוד ראה כמה שוות ג' מאות וי"ב קנים לערך ט"ו שהוא במעות מנוים ויצא לך קצ"ה תוסיף עליהם ע"ח שנתן ויהיו רע"ג
|
- 281) Question: two want to barter.
- One has 10 pieces of cloth, each piece is worth 15 minyanim in cash and 17 in barter and he wants to receive 50 ducat in cash.
- The other has barrels of oil, the price of a barrel is 60 in cash.
- I ask: how much should be the price and how many barrels should be given for 10 pieces of cloth?
|
רפא)[68] שאלה שנים רוצים להחליף
לאחד יש י' חתיכות בגד ששות כל חתיכה בממון ט"ו מנינים ובחליפים י"ז ורוצה שינתן לו חמישים דוק' בממון
והאחר יש לו חביות שמן ערך החבית בממון ס' דוקט'
אשאל כמה ראוי שיעלה הערך ובעבור הי' חתיכות בגד כמה חביות ראוי שיתן
|
|
ראשנה ראה כמה שוות הי' חתיכות בממון ותמצא ק"נ
|
|
וכמה שוות בחליפים והם ק"ע
|
|
אח"כ ראוי להוציא הנ' ששואל בממון מק"ע וישארו ק"כ
|
|
גם תוציאם מק"נ הנשאר ק'
|
- Rule of Four:
|
א"כ ראוי שתאמ' כי ק"כ שבו ק' ולדעת כמה ראוי שישים חבית השמן תאמר אם ק' שבו ק"כ כמה ישובו ס'
|
- the price of a barrel of oil:
|
ויצא ע"ב והוא שווי חבית השמן
|
- number of barrels:
|
ולדעת כמה שמן יתן עבור י' חתיכות כבר ידעת כי שוים ק"ע לחילוף ומזה שואל נ' הוצא נ' מק"ע ישארו ק"כ וכ"כ שמן ראוי שיקבל שישוה ק"כ לחלופים
|
- in each barrel there are one thousand measures
|
ולדעת כמה ראוי שיהיה כבר ידעת כי בחבית יש אלף מדות
|
- Rule of Four:
|
ולכן תאמ' אם ע"ב שוים אלף מדות ק"כ כמה שוות
|
- the measures of oil to be given for 10 pieces of cloth:
|
ויצא אלף תרס"ו וב' שלישיות הנה כבר מצאת כי חבית השמן ראוי שישוה לחלופים ע"ב ובעבור הי' חתיכות ראוי שיתן אלף תרס"ו וב' שלישיות מדה והאחר יקבל השמן גם חמישי' מנינים בממון
|
- Check:
|
ולבחון אותו ראה כמה שוות הי' חתיכות בממון והנה הוא ק"נ וכך נתן לחבירו
עוד ראה מה שקבל שהוא אלף תרס"ו וב' שלישיות לערך ס' שהוא הערך הראשון והנה הוא ק' ועם הנ' שקבל בממון הנם ק"נ והם שוים אל הק"נ השמורים
|
- 282) Question: two want to barter.
- One has silk and he wants to offer 10 grossi for a liṭra in barter and he wants to be given a fifth in cash.
- The other has cloth that worth 13 in cash and he must offer it now for 16 as his friend raised the [price of] silk.
- I ask: how much is the price of the silk in cash and in order to buy 100 liṭra of silk how much cloth should be given?
|
רפב)[69] שאלה ב' רוצים להחליף
לא' יש משי שרוצה לשים הליט' י' גרושי לחלופים ורוצה שינתן לו החומש בממון
ולאחר יש בגד שוה בממון י"ג והוא מוכרח עתה לשים אותה י"ו כשם שהעלה חבירו המשי
אשאל כמה ערך המשי בממון וכדי לקחת ק' ליט' משי כמה בגד ראוי שיתן
|
|
הדרך הוא זה כבר ידעת כי מי שיש לו בגד ראוי שיעלה הערך מי"ג עד י"ו גם הוא מוכרח לתת חומש לחבירו לכן ראוי להוסיף רביעית י"ו על י"ו כי החמישית מצאנו שהוא רביעית על הדרך הנז' לעיל ויהיו כ'
|
|
גם תוסיף ד' על י"ג ויהיו י"ז ולכן תאמר כי בעל המשי עשה מי"ז כ'
|
|
|
ולדעת כמה היתה שוה ליט' המשי בממון
|
- Rule of Four:
|
תאמר אם כ' עשו י"ז כמה עשו י' שהוא ערך הליט' לחליפים
|
- the price of a liṭra of silk in cash:
|
ויצא ח' וחצי כך היתה שוה הליט' בממון
|
|
|
ולדעת כמה בגד ראוי שיקבל עבור ק' ליט'
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\left(100\sdot10\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(100\sdot10\right)\right]=1000-\left(\frac{1}{5}\sdot1000\right)=800}}](/mediawiki/images/math/6/1/b/61b95f90b686253d0e7baec27caf6a9f.png)
|
כפול ק' על י' ויהיו אלף ומצד כי הוא רוצה החומש בממון הוצא החומש מאלף הנשאר ת"ת והוא מה שראוי שיקבל
|
- Rule of Four:
|
תאמר אם י"ו גסים שוים קנה אחת ת"ת גסים כמה קנים שוות
|
- canna of cloth for 100 liṭra of silk:
|
ויצא לך נ' הנה א"כ ליט' המשי היתה שוה ח' גרושי וחצי וראוי שיקבל נ' קנים מבגד עבור ק' ליט' של משי
|
- in cash:
|
והשיור ראוי שיקבל שהוא מאתים
|
- Check:
|
ולבחון אותו ראה כמה שוות ק' ליט' במעות מנויים שהוא תת"נ גרושי
עוד ראה כמה שוות נ' קנים מבגד במעות מנויים שהוא י"ג ויצא ו' מאות ונ' תוסיף ב' מאות גרושי ויהיו ג"כ תת"נ
|
- 283) Question: two barter.
- The first has cloth and he asks 8 for a canna in cash and 10 in barter.
- The other has silk and he asks 20 for a liṭra in cash and 24 in barter.
- I ask: who asks which part of the money and what part is he asking for?
|
רפג)[70] שאלה שנים עושים חליפים
הראשון יש לו בגד ושואל מהקנה בממון ח' ובחליפים י'
והאחר יש לו משי ושואל מהליט' בממון כ' ובחלוף כ"ד
אשאל מי הוא זה ששואל חלק מה מממון ואיזה חלק שואל השואל
|
|
ראוי לעשות ככה כפול ח' שהוא ממון הבגד על כ"ד שהוא חלוף המשי ויהיו קצ"ב
|
|
עוד כפול י' שהוא חלוף הבגד על כ' שהוא ממון המשי ויהיו ר'
|
|
הוצא קצב מר' הנשאר ח' ושמרם
|
|
|
עתה ראה למי יש יתר שאת על חבירו או זה שעושה מח' י' או מי שעושה מכ' כ"ד
|
- Rule of Four:
|
ותעשה כך ותאמר אם ח' נתן לי י' כמה יתן לי כ'
|
|
ויצא לך כ"ה
|
|
|
א"כ מי שעשה מח' י' יש לו יתרון על חבירו כי לפי אותו היחס היה ראוי לחברו כ"ה
|
|
|
א"כ ראוי שתאמר כי מי ששואל מכ' כ"ד שואל חלק מה מממון יען כי יש לחבירו יתרון עליו
|
|
|
ולדעת איזה חלק הוא שואל ראה כמה מוסיף מי שיש לו יתרון על חבירו מהממון לחליפים
|
|
והנה בממון הוא ח' ובחליפים הוא י' לכן תמצא כי היתרון שיש מהממון לחליפים הוא ב'
|
|
עתה תחלק מה שנשאר מהב' הכפלות שעשינו אחר שהוצאנו הקטן מהגדול הנשאר ח' ויצא לך ד'
|
- the part of the cashed money of the owner of silk:
|
וחלק אלו הד' על מה שהיה ערך המשי לחליפים שהיו כ"ד ויצא לך שישית אחד וכך הוא חלק הממון ששואל בעל המשי ר"ל ששואל שישית
|
- Check: if the owner of silk has 60 liṭra the price of which is 24 grossi [for a liṭra], this is 60 ducat
|
ולבחון אותו נניח כי לבעל המשי היו לו ס' ליט' לערך כ"ד גרושי ויהיו ס' דוקטי
|
|
ומצד כי הוא שואל שישית הממון הוצא השישית מס' הנשאר נ' א"כ ראוי לו לקבל נ' מנינים מבגד חבירו וראוי לו לקבל עבור אלו הנ' מנינים ק"נ קנים לערך י' גרושי הקנה
|
|
|
ועתה ראה כמה שוה המשי והבגד במעות מנוים והנה הס' ליט' של משי במעות שהוא כ' בכל ליט' יהיו נ' מנינים
|
|
עתה ראה כמה שוות ק"כ קנים לערך מעות מנויים שהוא ח' ויצא מ' מנינים תוסיף עליהם עשרה מנינים שיש לו לקבל במעות מנויים ויהיו נ' והם שוים אל הנ' האחרים
|
- 284) Question: two want to barter.
- One has ten pieces of cloth, each piece worth 22 in cash and in barter he offer it for 30.
- He also has 100 liṭra of scarlet wool, each liṭra is worth 28 in cash and 34 in barter.
- He wants to pay his friend 500 ducat.
- His friend has caryophyllus that is worth 7 grossi for a liṭra.
- He has also pepper that is worth 15 minyanim for 100 liṭra.
- He also has ginger that is worth
|
רפד)[71] שאלה ב' רוצים להחליף סחורה
לא' יש עשרה חתיכות של בגד ששוה במעות כ"ב כל חתיכה ובחליפים משים אותה ל'
ועוד יש לו ק' ליט' מתולעת שני ששוה הליט' בממון כ"ח ובחלוף ל"ד
גם רוצה לתת לחבירו ה' מאות דוק'
ולחבירו יש לו גרופולי ששוה הליט' ז' גרושי
וגם יש לו פלפל ששוה ט"ו מנינים הק' ליט'
ועוד יש לו זנגביל ששוה המשוא במעות מ"ו מנינים
אשאל כמה ראוי שישים ערך הפלפל והגרופולי והזנגביל לחליפים למען לא ירמהו חבירו
וחבירו בעל הבגד שואל לו מהזנגביל (פלפל) שישוה ג' מאות ומהגרופולי ג"כ ג' מאות ומהפלפל (זנגביל) עד תשלום מה שהוא רוצה לתת לחבירו
אשאל כמה זנגביל וכמה פלפל וכמה גרופולי ראוי שיקבל
|
|
ראוי לראות כמה שוות הי' חתיכות בגד בממון שהוא כ"ב ותמצא ר"כ
|
|
גם ראה כמה שוות החלוף ותמצא ג' מאות
|
|
|
גם ראה כמה שוות הק' ליט' מתולעת שני בממון וכמה שוות בחלוף
|
|
והנה בממון שהיה כ"ח ישוו קי"ו מנינים וב' שלישיות כי כ"ד גסים הם דוק' אחד
|
|
ובחלוף שהיה הערך ל"ד גסים ישוו קמ"א מנינים וב' שלישיות
|
|
עתה תחבר מה שעלה בממון הי' חתיכות עם מה שעלו הק' ליט' מתולעת ויהיו של"ו וב' שלישיות
|
|
עתה תחבר מה שעלו הי' חתיכות בחלוף עם מה שעלו הק' ליט' ויהיו תמ"א וב' שלישיות
|
|
|
והנך רואה כי מה שהיה שוה בממון של"ו וב' שלישיות שם אותו בחלוף תמ"א וב' שלישיות
|
|
ובעבור שהוא רוצה לתת ה' מאות בממון נחברם עם של"ו וב' שלישיות ויהיו תתל"ו וב' שלישיות
|
|
גם תחברם עם תמ"א ויהיו תתקמ"א וב' שלישיות
|
|
|
והנך רואה כי מתתל"ו וב' שלישיות הוא עושה תתקמ"א וב' שלישיות
|
|
|
ולדעת כמה ראוי שיהיה ערך הגרופולי בחלוף
|
- Rule of Four:
|
תאמ' אם תתל"ו וב' שלישיות שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו ז' שהוא ערך ליט' הגרופולי
|
|
ויצא לך ז' ותמ"א חלקים מתק"ב
|
|
|
ולדעת כמה ראוי שיהיה ערך הפלפל
|
- Rule of Four:
|
תאמר אם תתל"ו שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו הק' ליט' מהפלפל שהיה ערכם בממון ט"ו
|
|
ויצא לך י"ו ותמ"ג חלקים מתקי"ב
|
|
|
ולדעת כמה ראוי שישוה הזנגביל
|
- Rule of Four:
|
תאמ' אם תתל"ו וב' שלישיות שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו מ"ו שהיה ערך המשוא במעות
|
|
ויצא לך נ"א וג' מאות ופ"ח מתקי"ב
|
|
|
ואם תרצה לדעת כמה גרופולי וכמה זנגביל וכמה פלפל ראוי שינתן עבור הבגד והתולעת והת"ק זהובים
|
|
|
כבר ידעת כי הבגד שוות ג' מאות בחלוף והתולעת קמ"א וב' שלישיות
|
|
|
וכבר ידעת כי הסך העולה הוא תתקמ"א וב' שלישיות עם הה' מאות
|
|
ומצד כי הוא רוצה גרופולי שישוו ג' מאות ופלפל שישוו ג' מאות תחברם ויהיו ו' מאות תוציאם מתתקמ"א וב' שלישיות וישארו שמ"א וב' שלישיות א"כ ראוי שיקבל מהפלפל שישוה שמ"א וב' שלישיות
|
|
|
ולדעת כמה גרפולי ראוי שיקבל עבור ג' מאות דוק'
|
- Rule of Four:
|
תאמ' אם ז' גרושי תמ"א חלקים מתקי"ב נתן לי ליט' א' כמה יתן לי ג' מאות דוקט'
|
|
ויצא לך ט' מאות וי"ג ותרצ"ז חלקים מתשצ"א וכך ליט' ראוי שיקבל
|
|
|
ולדעת כמה פלפל ראוי שיקבל עבור ג' מאות מנינים
|
- Rule of Four:
|
תאמר אם י"ו מנינים נתן לי מאה ליט' כמה ליט' יתן לי ג' מאות דוק'
|
|
ויצא לך אלף וז' מאות וע"ו וקי"ב חלקים מקי"ג וכך ליט' יקח
|
|
|
ולדעת כמה פלפל ראוי שיקבל עבור שמ"א וב' שלישיות
|
- Rule of Four:
|
תאמ' אם נ"א מנינים וג' מאות ופ"ח חלקים מתקי"ב נתן לי משוא אחת מה יתן לי שמ"א וב' שלישיות
|
|
ויצא לך אלפים ותרל"ט וה' אלפים וז' מאות וי"ז חלקים מז' אלפים ותשצ"ז וכך ראוי שיקבל מהפלפל
|
|
|
ולבחון אותו תעשה ככה
|
|
כבר ידעת כי הגרופולי ראוי שישוה הליט' ז' ותמ"א מתקי"ב
|
|
וליט' הפלפל ראוי שיהיה י"ו ותמ"ג חלקי' מתקי"ב
|
|
והק' ליט' מהפלפל ראוי שישוו נ"א וג' ופ"ח חלקים מתק"ב
|
|
|
ובעבור ת"ק מנינים ועשרה חתיכות בגד וק' ליט' תולעת שני
|
|
יתנו ט' מאות וי"ג ליט' וו' מאות וצ"ו חלקים מתשצ"א מהגרפולי
|
|
ואלף וז' מאות וע"ו ליט' וקי"ב חלקים מקי"ג מזנגביל
|
|
וב' אלפים וו' מאות ול"ט ותקע"א חלקי' מז' אלפים וז' מאות וז' מפלפל
|
|
|
ולראות אם הוא אמת ראה כמה נתן מהגרופולי וראה כמה יעלו הט' מאות וי"ג והחלקים במעות מנויים ותמצא כי ישוו ב' מאות וס"ו דוק' וי"ג גרושי והחלקים
|
|
|
עו' ראה הליט' מהפלפל שהם אלף וז' מאות והחלקים כמו שהיה נמכר בממון ויצא לך ג"כ רס"ו דוקט' וי"ג גרושי וחלקים
|
|
|
עוד ראה כמה שוות הב' אלפים ותרל"ט והחלקים בממון ויצא לך ג"כ ג' מאות וג' דוקט' וא' גרושו והחלקים
|
|
|
אח"כ חבר אלו הג' מספרים ויצא לך תתל"ו דוקט' וי"ו גרושי ושמור זה המספר
|
|
|
אח"כ שוב אל השני וראה אם הוא שוה אל המספר והנה הי' חתיכות בגד היו שוות בממון כ"ב מנינים א"כ יהיו ר"כ מנינים
|
|
|
אח"כ ראה כמה שוות הק' ליט' מתולעת לערך הממון מחושב שהיה כ"ח גרושי הליט' ויצא לך קי"ו דוקטי וגרושי י"ו וחבר עמהם ה' מאות ויעלה כמו המספר השמור
|
- 285) Question: two barter.
- One has 2000 liṭra of wax, 100 liṭra of which are worth 5 minyanim in cash.
- The other has thread, 100 liṭra of which are worth 8 minyanim in cash and 10 in barter and he asks for 500 minyanim in cash.
- I ask: how much should he offer for 100 liṭra of wax in barter and how much thread will he receive for the 500 minyanim and for the 2000 liṭra?
|
רפה)[72] שאלה ב' עושים חלופים
לא' יש לו ב' אלפים ליט' של שעוה שהליט' הק' שוות ה' מנינים בממון
ולאחר יש לו פתיל שהק' ליט' שוות בממון ח' מנינים ובחלוף שוה עשרה ושואל ת"ק מנינים בממון
אשאל כמה ראוי שישים הק' ליט' משעוה לחלוף וכמה פתיל יקבל עבור הת"ק מנינים ובעבור האלפים ליט'
|
|
כך תעשה ראה כמה שוות האלפים ליט' לערך ו' מנינים המאה ותמצא ששוות ק"כ מנינים מצד כי הוא נותן ת"ק מנינים תחברם עם ק"כ ויהיו תר"כ מנינים וכך הוא קרן בעל השעוה
|
|
עתה ראה כמה ליט' יש לו לקבל מהפתיל עבור אלו התר"כ מנינים כפי הערך שהוא שוה בממון ויצא לך ז' אלפים וז' מאות ונ' ואלו הליט' ראוי שיקבל עבור הב' אלפים ליט' שעוה וה' מאות מנינים
|
|
ולדעת כמה ראוי שישים אותו בחלוף כבר ידעת כי אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' ששוות בממון ו' מאות וכ' עתה ראה כמה ראוי שישוו אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' לערך י' מנינים שהוא החלוף ויצא תשע"ה
|
|
ומצד כי בעל הפתיל שואל ה' מאות הוצא אותם מתר"כ וישאר ק"כ מנינים
|
|
גם הוציאם ממה ששוה בחלוף שהוא תשע"ה ויצא ב' מאות וע"ה
|
|
|
ולכן תאמר כי ק"כ שבו ב' מאות וע"ה
|
|
|
ולדעת כמה ראוי להיות ערך השעוה בחלוף
|
- Rule of Four:
|
תאמר אם ק"כ שבו רע"ה כמה ראוי שישובו ו' שהוא הערך בממונו
|
|
ויצא לך י"ג וג' רביעיות והוא שווי השעוה בחלוף שאלה
|
|
|
והנך רואה כי עבור אלפים ליט' שעוה וה' מאות מנינים ראוי שיקבל ז' אלפים וז' מאות ונ' ליט' מחבירו וראוי שישוה בחלוף י"ג וג' רביעיות
|
|
|
ולבחון אותו ראה כמה שוות אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' ליט' בממון שהיה הערך ח' ויצא לך תר"כ עתה ראה כמה שות האלפים ליט' של שעוה בממון שהיה הערך ו' ויצא לך ק"כ תחבר עמהם ה' מאות ויהיו תר"כ והנך רואה כי הכל אחד
|
Mixture and Alligation Problems
|
|
- 286) Question: a man has 100 marco, in each marco 5 ounces of silver.
- We want it to contain 6 ounces [of silver] in each marco.
- We wish to know: how many ounces should be added to it?
|
רפו)[73] שאלה לאדם יש לו ק' מרקי שיש בכל מרקו ה' אוק' מכסף ונרצה לעשות אותו שיכיל כל מרקו ו' אוק'
נרצה לדעת כמה אוק' ראוי להוסיף בו
|
- 1 marco contains 8 ounces = 5 silver + 3 copper
|
כך תעשה כבר ידעת כי בכל מרקו יש ח' אוק' והג' הם של נחושת מאחר שהיא מכילה ה' מכסף בכל מרקו
|
|
א"כ בכל הק' מרקו יש ג' מאות מאוק' נחושת חלקם על ו' שתרצה שיכיל כל מרקו מכסף ויצא לך נ'
|
- 50 marco of pure silver should be added to the 100 mixed marco
|
הוסיפם על ק' ויהיו ק"נ ואלו הנ' הם כלם שוות של כסף
|
- Check: the 150 marco contain 300 ounces of copper and
 ounces of silver
|
ולבחון אותו ראה כי בכל אלו הק"נ אין בם כי אם ג' מאות אוק' נחושת ויש בם ו' מאות אוק' כסף
|
- each marco contains 6 ounces of silver
|
א"כ כל מרקו מכיל ו' אוק' מכסף
|
- 287) Question: a man has 90 marco, each marco contains 6 ounces of silver.
- He wants to add to it copper so that each marco will contain only 5 [ounces of silver].
- I ask: how many ounces should be added to it?
|
רפז)[74] שאלה לאדם יש לו צ' מרקי מכיל כל מרקו ו' אוק' של כסף ורוצה להוסיף בו נחושת שלא יכיל כל מרקו כי אם ה' בכל מרקו
אשאל כמה אוק' ראוי להוסיף
|
- total number of ounces of silver in the 90 marco:
|
כך תעשה ראה כמה אוקי' כסף יש בין אלו הצ' מרקי ויצא לך תק"מ
|
- Rule of Four:
|
ותאמ' אם ה' אוק' עושה מרקו אחד תק"מ כמה מרקי יעשו
|
- total number of marco that should contain 5 ounces of silver in each marco:
|
ויצא לך ק"ח וכן ראוי שיהיה בין הכל
|
- Check: the 90 marco contain 540 ounces of silver, 6 ounces of silver in each
|
ולבחון אותו כבר ידעת כי הצ' היו שוים תק"מ שהיה בכל מרקי ו' אוק'
|
- the 108 marco contain 540 ounces of silver, 5 ounces of silver in each
|
גם כפול עתה ה' פעמים ק"ח ויצא ג"כ תק"מ ועתה אין בכל מרקו כי אם ה'
|
- 288) Question: a man has 20 marco, each marco contains 5 ounces [of silver].
- He also has 16 marco, each marco contains 3 ounces [of silver].
- He wants to make a mixture so that each marco will contain 6 ounces [of silver].
- I ask: how much silver should be added and how much will be the total?
|
רפח)[75] שאלה לאדם יש לו כ' מרקי מכיל כל מרקו ה' אוקיות
עוד יש לו י"ו מרקי מכיל כל מרקו ג' אוקיו'
ורוצה לעשות קשר אחד שיכיל כל מרקו ו' אוקי'
אשאל כמה כסף ראוי להוסיף וכמה יעלה בין הכל
|
|
|
הדרך הוא כך ראה כמה נחושת יש בין כל אלו הב' מיני כספים
|
- total number of ounces of copper in the 20 marco [of 5 ounces of silver]:
|
והנה בראשנה בכ' מרקי תמצא ס' אוקיו' נחושת
|
- total number of ounces of copper in the 16 marco [of 3 ounces of silver]:
|
והי"ו אחרים יש בם פ' אוקי' נחושת
|
- total number of ounces of copper in both kinds of coins:
|
וחברם והיו ק"מ א"כ באלו הב' מיני כספים יש בם ק"מ אוק' נחושת
|
- if each marco should contain 6 ounces of silver, then is should contain 2 ounces of copper
|
והוא מבקש שיכיל כל מרקו ו' אוקיו' כסף א"כ לא יכיל כי אם ב' מנחושת
|
- Rule of Four:
|
ולכן תאמר אם ב' אוקיו' מנחושת נתן לי א' מרקו ק"מ כמה מרקי יתנו
|
- total number of marco in the mixture:
|
ויצא ע' והם מרקי
|
- the number of marco of pure silver (= each contains 8 ounces of silver) that should be added:
|
תוציא מהם הכ' והי"ו וישארו ל"ד וכך ראוי שיוסיף ואלו הל"ד הם כלם של כסף ר"ל כל מרקו מכיל ח' אוקי' מכסף
|
- Check: total number of ounces of copper in both kinds of coins (the 20 marco and the 16 marco) = 140
|
ולבחון אותו כבר ידעת כי בין הכ' והי"ו לא היו מכילים מנחושת כי אם ק"מ אוקי'
|
- total number of ounces of copper in the 70 marco = 140
|
ועתה ראוי ג"כ כי בין אלו הע' מרקי לא יכילו כי אם ק"מ אוקי' ג"כ מנחושת
|
|
|
רפט)[76] שאלה לאדם יש לו כ' מרקי מכיל כל א' וא' ה' ועוד יש לו י"ו מרקי מכיל כל א' ו' אוקי' ורוצה לבלול בם עופרת באופן לא יכילו כי אם ד' עבור מרקו אחד אשאל כמה עופרת ראוי לערב בם וכמה יהיה כל הסך
|
|
|
הדרך הוא כך יש לך לראות כמה הוא כל הכסף מכל אלו הכספים והנה אותם הכ' שמכיל ה' יהיו ק' אוק' ואותם י"ו שמכיל ו' יהיו צ"ו ובין הכל קצ"ו
|
- Rule of Four:
|
ומצד שרוצה שלא יכיל כל מרקו כי אם ד' תאמר אם ד' שוים מרקו א' קצ"ו כמה שוים
|
|
|
ויצא לך מ"ט וכן הוא סך הכל
|
|
|
ולדעת כמה הוסיף הוצא ממנו כ' וי"ו וישארו י"ג וכן ראוי להוסיף מנחושת
|
|
|
ולבחון אותו כבר ידעת כי בין הב' כספים לא היה כי אם קצו אוק' כסף וכך ראוי שיהיה עתה בין אלו המ"ט מרקי והנך רואה כי ד' פעמים מ"ט הם קצ"ו
|
- 290) Question: a man has an amount of money, each marco of which contains 5½ ounces of silver.
- Another man wants to produce 20 marco, each of which contains 4½ ounces [of silver].
- I ask: how much will he take from the amount of money and how much copper should be added?
|
רצ)[77] שאלה לאדם יש לו סך כסף מכיל כל מרקו ה' אוקי' וחצי מכסף
ואחר רוצה לעשות כ' מרקי יכיל כל מרקו ד' אוקיו' וחצי
אשאל כמה יקח מאותו הכסף וכמה נחושת ראוי להוסיף
|
- total number of ounces of silver in the 20 marco each of which contains 4½ ounces [of silver]:
|
כך תעשה ראה כמה כסף יש בכ' מרקי לערך ד' אוקיו' וחצי בכל מרקו ויצא צ' וכך ראוי לקחת מאותו שמכיל ה' וחצי
|
- Rule of Four:
|
ולדעת כמה יקח תאמר אם ה' וחצי שוים מרקו אחד צ' כמה שוים
|
- the number of marco that should be taken from those containing 5½ ounces [of silver] each:
|
ויצא לך י"ו וד' חלקים מי"א וכך ראוי לקחת מאותו שמכיל ה' וחצי
|
- the copper that should be added:
|
ולדעת כמה נחושת ראוי להוסיף ראה ההפרש מי"ו וד' חלקים מי"א עד כ' ויצא לך ג' וז' חלקים מי"א וכך נחושת ראוי להוסיף
|
- Check: total number of ounces of silver in the marco containing 5½ ounces [of silver] each =
- total number of ounces of copper in the marco containing 5½ ounces [of silver] each =
|
ולבחון אותו ראה כמה נחושת וכמה כסף יש באותם י"ו וד' חלק' מי"א מאותו הכסף שמכיל ה' וחצי בכל מרקו ותמצא בם מכסף צ' אוק' ומנחושת מ' אוק' וי' חלקים מי"א
|
- number of ounces of copper with the added copper:
![\scriptstyle{\color{blue}{\left(40+\frac{10}{11}\right)+\left[\left(3+\frac{7}{11}\right)\sdot8\right]=70}}](/mediawiki/images/math/8/b/a/8ba20659dc3607abde8ac0951c811919.png)
|
תוסיף אלו המ' והחלקים על ג' מרקו וז' חלקים מי"א שהוספנו מנחושת ויצא לך ע' אוק'
|
|
|
והנה יש לך כי באלו הי"ו מרקי והחלקים יש לך צ' אוק' כסף ומ' אוק' נחושת וי' חלקים מי"א ובין הכ' מרקי יש צ' אוק' וע' מנחושת וראה כי אם כל מרקו מכיל ד' וחצי אלו הכ' יכילו צ' עוד ראה כמה אוק' נחושת יש באלו הכ' מרקי ויצא לך ע' והמספר הוא שוה
|
- 291) Question: a man has an amount of money, each marco of which contains 4¾ [ounces of silver].
- He has also another [amount of money], each marco of which contains 5 [ounces of silver].
- He wants to produce 50 marco, each marco of which contains 6 ounces of silver.
- I ask: how much how much silver should be added, so that he will take the same from both?
|
רצא)[78] שאלה לאדם יש לו כסף מכיל כל מרקו ד' וג' רביעיות
עוד יש לו אחר מכיל כל מרקו ה'
ורוצה לעשות נ' מרקי יכיל כל מרקי ו' אוק' כסף
אשאל כמה כסף ראוי להוסיף באופן שיקח כל כך מזה כמו מזה
|
|
|
כך תעשה ראה כמה נחושת מכיל המרקו
|
- the ounces of copper in the marco containing 4¾ ounces of silver =
|
והנה אותו שמכיל ד' וג' רביעיות כסף יכיל ג' ורביע נחושת
|
- the ounces of copper in the marco containing 5 ounces of silver =
|
ואותו המכיל ה' מכסף יכיל ג' מנחושת
|
|
וחברם ויהיו ו' ורביע
|
- total number of ounces of copper in the 50 marco that will contain 6 ounces [of silver] each:
|
אח"כ ראה כמה נחושת יכילו הנ' מרקי שרוצה שיכיל כל מרקו ו' מכסף ויצא לך ק'
|
- Rule of Four:
|
ועתה תאמר אם ו' אוק' ורביע נתנו לו מרקי א' ק' כמה יתנו לי
|
|
ויצא לך י"ו וכך ראוי שיקח מכל מיני הכספים
|
|
|
ולדעת כמה כסף ראוי להוסיף ראה כי אם יקח י"ו מכל מתכת לא יהיו בין הכל כי אם ל"ב והוא מבקש לעשות נ' א"כ ראה מה בין נ' לל"ח ותמצא י"ב וכך ראוי להוסיף מכסף טוב
|
|
|
ולבחון אותו ראה כמה כסף מכיל אותם הי"ו מרקי שמכיל כל מרקו ד' אוק' וג' רביעיות ויצא לך ע"ו אוק' עוד ראה כמה כסף מכילים הי"ו מרקי שמכיל כל מרקו ה' אוק' מכסף ויצא לך פ' ותחברם ויהיו קנ"ו גם תחבר עמהם י"ח מרקו שהוא כלו טוב ויצא לך ג' מאות וע' כפול נ' שהם מרקי על ו' ויעלה הכל ג' מאות
|
- 292) Question: a man has two kinds of money - one of 5 ounces [of silver] in each marco and the other one of 6 ounces [of silver] in each marco.
- He wants to produce 50 marco, each marco of which contains 7 ounces [of silver], and he wants to take the same from both [kinds of money].
- I ask: how much will he take from each and how much silver will he add?
|
רצב)[79] שאלה לאדם יש לו מב' מיני כספים הא' יש ה' אוקיו' בכל מרקו ובאחר יש ו' אוקיו' בכל מרקו
ורוצה לעשות נ' מרקו יכיל כל מרקו ז' אוקיו' ורוצה לקחת כ"כ מזה כמו מזה
אשאל כמה יקח מזה ומזה וכמה כסף יוסיף
|
- total number of ounces of copper in the 50 marco that will contain 7 ounces [of silver] each:
|
הדרך הוא כך ראוי לראות כמה נחושת יש בין הנ' מרקו שהוא רוצה לקחת כפי הערך שהוא רוצה כי הוא רוצה שלא יהיה בכל מרקו כי אם א' אוקי' נחושת ויצא לך נ' אוקי'
|
- the ounces of copper in three of the marco containing 5 ounces of silver =
|
ועתה יש לך לראות כמה נחושת יש בג' מרקו מאותו שמכיל מכסף עבור כל מרקו ה' ויצא לך ט'
|
- the ounces of copper in three of the marco containing 6 ounces of silver =
|
גם ראה כמה נחושת יש בג' מרקי מאותו שמכיל ו' אוק' מכסף כל מרקו ויצא לך ו'
|
|
|
עתה ראוי לחבר מה שמכיל מרקו אחד מאותו ששוה ו' מכסף ויצא לך ב' שמכיל מנחושת ועם הט' הם י"א
|
- Rule of Four:
|
ועתה תאמר אם י"א אוק' נחושת נתן לי א' מרקו כמה יתנו לי נ'
|
|
|
ויצא לך ד' וו' חלקים מי"א וכך ראוי שיקח מאותו שמכיל ו' אוק' מכסף עבור מרקו אחד
|
|
|
ובעבור כי הוא רוצה לקחת ג' פעמים יותר מאותו שמכיל ה' כפול ג' פ' ד' וו' חלקים מיא ויצא לך י"ג וז' חלקים מי"א וזהו מה שיקח מאותו שמכיל ה אוק' מטוב ולדעת כמה כסף טוב ראוי שיוסיף תחבר י"ג והחלקים עם ד' והחלקים ויצא י"ח וב' חלקים מי"א והוצא זה המספר מנ' וישאר ל"א וט' חלקים מי"א וכך ראוי להוסיף מכסף טוב
|
|
|
ולבחון אותו ראה כמה שווים י"ג מרקו וט' חלקים מי"א שמכיל כל מרקו ה אוק' מכסף ויצא לך ס"ח וב' חלקים מי"א עו' ראה כמה כסף מכילים ד' מרקי וה' (וו') חלקים מי"א מאותו שמכיל ו' מרקו מכסף ויצא לך כ"ז וג' חלקים מי"א ותחברם ויהיו ו' גם תוסיף עמהם מה שמכיל הל"א שעולה רצ"ד (רנ"ד) ויהיה בין הכל ג' מאות וחמישים והנך רואה כי אותם הנ' מרקי שמכיל כל אחד ז' עולה ש"נ
|
- 293) Question: one has three kinds of money - one contains 7 ounces of silver in each marco, another [contains] 5 ounces of silver in each marco, and another contains 4 ounces of silver in each marco.
- We want to take from the three [kinds], so that each marco will contain 6 ounces [of silver], and we want to take 50 marco.
- How much should be taken from each?
|
רצג)[80] שאלה לאחד יש לו מג' מיני כספים הא' מכיל ז' אוקי' כסף כל מרקו והא' ה' אוקיו' כסף כל מרקו והאחר מכיל ד' אוקיו' כסף כל מרקו
ונרצה לקחת משלשתן באופן יכיל כל מרקו ו' אונקיו' ונרצה לקחת נ' מרקו
כמה יקח מכל אחד ואחד
|
|
|
עשה כך תסדרם בזה האופן
|
|
|
אח"כ תקשרם כך והוא שתקח הערך שהוא פחות מהערך שתרצה לעשות ותקשרהו עם הערך שהוא יותר גדול מהערך שתרצה לעשות
|
|
|
ולכן תקשור ז' שהוא יותר מו' עם הד' שהם פחות מו'
|
|
|
וכך תעשה והנך רואה כי ו' מוסיף על ד' ב' ולכן שים ב' על ז'
|
|
|
גם אתה רואה כי ו' פחות מז' א' ולכן שים א על ד'
|
|
|
ועתה קשרת ד' עם ז'
|
|
|
נשאר לקשור ה' ותאמר ו' מוסיף א' על ה' ולכן שים א' על ה'
|
|
|
עוד תאמר ז' מוסיף על ו' א' ולכן תחבר הב' והא' שהם על הז' ויהיו ג' ושים ג' עליהם
|
|
|
ועתה תחבר ג' שהם על הז' וא' שהוא על ה' וא' שהוא על ד' ויהיו ה'
|
- Rule of Four:
|
ותאמר אם ה' נתנו לי נ' מרקי כמה ראוי שאקח מאותו שנתן לי ג'
|
|
|
ויצא ל' וכך יקח מאותו מכיל ז'
|
- Rule of Four:
|
ובעבור האחר תאמר אם ה' נתן נ' כמה יתן א'
|
|
|
יצא י' ושימם על ה' א"כ מאותו מכיל ה' אוקי' כסף ראוי לקחת י'
|
- Rule of Four:
|
עוד תאמר אם ה' נתן נ' א' כמה יתן
|
|
|
ויצא י' וכך ראוי לקחת מהמכיל ד'
|
|
|
ולבחון אותו ראה כמה מכילין ל מרקי מאותו ששוה ז' כל מרקו ויצא ר"י עוד ראה כמה שוים הי' שמכילים ה' ויהיו נֻ' עוד ראה כמה שוים הי' שמכיל ד' ויהיו מ' ותחברם ויהיו ש' עוד ראה כמה שוים הנ' מרקי מאותו שרצה לעשות שהוא ו' ויעלה ש' ג"כ
|
Kaufmann - Additional Excerpt
|
|
| Pricing Problem - Find the Amount
|
|
A man sells 13 measures for 23. How many measures will he sell for 7 [pešiṭim]?
|
שאלה אדם מוכר חטה י"ג מדות בכ"ג פשוטים כמה מדות יתן בז' פשוטים
|
Rule of Four: 
|
כפול ז' על י"ג יעלה צ"א חלקם על כ"ג יצא ג' וכ"ב חלקים מכ"ג
|
|
|
שאלה[116] אדם מוכר מג' מיני חטים הא' מהם המדה שוה י"ב פשוטים ומהאחרת י"ח ומהאחרת כ"ב ובא אדם ורוצה לקנות מאותם הג' מיני חטים כ"ד מדות לערך ט"ו פשוטי כמה יקח מכל חטה וחטה באופן שרע רע לא יאמר הקונה והמוכר ג"כ
|
|
|
כך תעשה תראה ההפרש שיש בין ט"ו לי"ב תמצא ג' ושימם על י"ח ואח"כ ראה ההפרש שהוא בין ט"ו לי"ח תמצא ג' ושימם על י"ב ורצוני בזה שכל ז' זמן שיקח ג' מדות מאותו של י"ח יקח ג' מדות של י"ב ויש לנו אחר ששוה כ"ב על כן נקח ממנו א אח"כ ראה ההפרש שיש בין כ"ב לט"ו תמצא ז' אח"כ חלק אלו הז' על ההפרש שיש בין ט"ו לי"ב שהוא ג' יעלה ב' ושליש אח"כ חבר הכל רצוני אלו הב' ושליש והג' והא' והג' האחרים הנה בין הכל עולה ט' שלמים ושליש אח"כ כפול ה' ושליש שהם י"ב נגד כ"ד וחלק היוצא על ז' (ט') ושליש יצא י"ג וה' שביעיות וככה יקח ממנו אח"כ כפול ג' שהם על י"ח נגד כ"ד וחלק היוצא על ט' ושליש יצא לך ז' וה' שביעיות א' אח"כ כפול א על כ"ד וחלקהו על ט' ושליש יצא לך ב' וד' שביעיות וככה יקח מאותו ששוה כ"ב
|
|
|
ואם תרצה לבחון אותו ראה כמה שוות הב' מדות וד' שביעיות לערך כ"ב במדה וקבץ הכל אח"כ ראה כמה שוות הה (ז) מדות וה' שביעיות לערך י"ח במדה וקבץ הכל אח"כ ראה כמה שוות י"ג מדות וה' שביעיות לערך י"ב דינרין המדה וקבץ הכל ותמצא שיעלה בין הכל ג' מאות וס' דינרין רצוני ערך כל הג' חטים ושמור זה אח"כ כפול כ"ד שהם המדות המבוקשות על ט"ו שהוא הערך ששואל תמצא שהוא עולה ג' מאות וס' ג"כ
|
|
|
שאלה[117] אדם מוכר חטה סך נעלם במעות מנויים ובחלופי' משים אותו ג' והאחר העושה החלוף עמו משים החטה במעות מנויים מוכר אותה יותר ובחליפים משים אותה ג' פשוטים ומהג' פשוטים שואל השליש שהוא א' במעות מנויים והב' שלישיות שואל מחטה ומדת החטה שוה ד' פשוטים במעות מנויים ובחלופים שוה עתה ח' פשוטים נרצה לדעת כמה היה שוה הקנה מהבגד במעות מנויים באופן שבעבור הב' שלישיות בעל החטה העלה אותם לו הסך מד' עד ח'
|
|
|
ראוי לעשות ככה והוא שתראה ההפרש שהוא מד' לח' והנה ד' חצי הח' אח"כ קח חצי מהב' שלישיות שהוא עושה החלופים והנה הב' שלישיות הם ב' שלמים כי ב' שלישיות מג' הוא ב' הסר ממנו החצי ישאר א' הוסף זה על שליש המעות שהוא שואל במעות מנויים והוא א' יהיו ב' הנה א"כ קודם לכן הקנה מהבגד היה שוה במעות מנויים ב' פשוטים ועתה שוה ג' בחלופים וכך תעשה לכל השאלות שהם כזאת
|
|
|
שאלה[118] אם תרצה לתקן ט' בתים אשר כל ג' בתים מהם יעלו בין באורך בין ברוחב בין באלכסון י"ו
|
|
|
כך תעשה ראוי לך לדעת כי יש לנו תמונה שעולה באורך וברוחב ובאלכסון ט"ו ותמצא בבית הראשון ב' ובב' ט' ובג' ד' ובד' ז' ובה' ה' ובו' ג' ובז' ו' ובח' א' ובט' ח' וזאת היא הצורה
|
|
|
וראוי לך לעשות הערך ככה והוא כי יש לך לקחת ב' שלישיות ט"ו והם י' גם תקח ב' שלישיות י"ו שהם י' וב' שלישיות ותאמר אם י' נתן לי ב' מה יתן לך ומה יוסיף לך ב' (י') וב' שלישיות אמנם אמרתי ב' יען כי תמצא ב' בבית הראשון ויצא לך ב' וב' חלקים מט"ו והוא מה שראוי להיות בבית הא' עוד תאמר אם י' נתן לי ט' והוא מה שבבית השני מה יתן לי י' וב' שלישיות יצא לך ט' וט' חלקים מט"ו וכך כלם וזאת היא צורתם
|
|
|
שאלה[119] אם תרצה לתת לג' בני אדם לא' זהב לאחר כסף (לאחר כסף) לאחר נחושת תעשה כן תן לא' א' ולאחר ב' ולאחר ג' מטבעים וזכור למי נתת א' ולמי נתת ב' ולמי נתת ג' אח"כ תאמ' מי שירצה לקחת הכסף יקחנו ומי שירצה לקחת הזהב יקחנו ומי שירצה לקחת הנחושת יקחנו אח"כ תאמ' מי שלקח הזהב יקח כמו מה שיש לו
|
|
|
המשל אם יש לו ב' (א') יקח אחד ואם יש לו ב' יקח א' (ב') ואם יש לו ג' יקח ג' אחד ושים על השלחן י"ח מטבעים ואמור להם שיקחו מאותם המטבעים עוד תאמ' מי שיש לו כסף יקח ב' פעמים כמוהו ומי שיש לו הנחושת יקח ד' פעמים כמוהו ודע כי יצטרך שישארו על השלחן או ז' או ו' או ה' או ג' או ב' או א' אבל ד' לא ישאר ואם נשאר ה' דע כי מי שלקח א' יש לו הזהב ומי שלקח ב' יש לו הכסף ומי שלקח ג' הנחושת והא לך הסימן כי בכל מקום שתמצא אה מורה על הזהב ובמקום או מורה על הכסף ובמקום אי על הנחושת ואם נשאר א' תעיין במלה הראשנה אם נשאר ב' תעיין במלה שניה אם ג' תעיין בג' ודע כי הנקדה שתמצא בראשה מורה על האיש שיש לו א והנקדה השניה מורה על מי שיש לו ב' והנקדה הג' מורה על מי שיש לו ג' ושמור הדרך שלא תטעה כי אה מורה על הזהב אי (או) מורה על הכסף אי מורה על הנחושת
|
|
|
שאלה[120] תמצא לי מספר אשר מחציתו ושלישיתו יוסיפו ד' שלמים על רביעיתו וחמישיתו
|
|
|
הנה נקח י"ב ומחציתו ו' ושלישיתו הוא עשרה ורביעיתו וחמישיתו הם ה' וב' שלישיות א"כ החצי והשליש מוסיף על הרביעית והחומש ד' וג' חמישיות ולכן תאמ' אם ד' ו[ג'] חמישיות נתן לי י"ב ד' מה יתנו ויצא לך עשרה וי' חלקים מכ"ג והוא [המב]וקש
|
|
|
שאלה[121] אם תרצה לתקן ד' בתים כאלו תאמר בית ראובן ושמעון ולוי ויהודה שהמרחק שיש מזה לזה יהיה שוה
|
|
|
הנה יש לך לעשות ד' משולשים ותחבר הג' חדודים מהג' משולשי' ויהיו זקופים והמשולש הד' יהיה שטוח וזה נקרא בלשונינו משולש מוגשם ובלשונם נקרא טריאנגולי אינקורפוראטו והנה בג' זויות השטוחים יהיו ד' בתים ובזוית הזקוף יהיה בית הרביעי ר"ל במקום שהג' ראשים מהמשולשים שהם זקופים
|
|
|
שאלה[122] אם תרצה למצא הנקודה האבודה ר"ל אם תתחיל לעשות עגול ולא תשלים אותו ואין המרכז נרגש אם תרצה למצא המרכז
|
|
|
הנה יש לך לחבר שני ראשי העגול שהתחלת לעשות וקח חצי הקו המחברת ותעשה בו נקודה גם קח חצי הקשת ר"ל מהעגול שהתחלת לעשות גם תעשה בו נקודה למען יהיה נראה אח"כ תחלק חצי המיתר לג' חלקים או ד' או באיזה מספר שתרצה עם מחוגה ותכפול החלקים מחצי המיתר על החלקים מהחצי האחר המשל אלו חלקת חצי המיתר לג' חלקים יצטרך גם שהחצי האחר יהיה ג' בהכרח וכפול ג' על ג' ויהיו ט' אח"כ ראה כמה חלקים יש מנקודת הקשת שעשית עד נקודת המיתר מאותם המדות שעשית כבר וכפי אותו המספר שיצא תכפלהו באיזה מספר שיעשה ט'
|
|
|
המשל אם יש מנקודת הקשת עד נקודת המיתר א' ושליש תמצא איזה מספר שכאשר תכה אותו בא' ושליש יעשו ט' חלק ט' על א' ושליש יצא ו' וג' רביעיות אח"כ תמשוך קו באשר מנקודת הקשת אל נקודת המיתר ויעבור האורך הרבה הנה יצטרך בהכרח שבאותו הקו שמשכת באשר שיהיה מרכז העגולה
|
|
|
ואם תרצה למצא המרכז תמדוד מנקודת המיתר באותו הקו ו' וג' רביעיות ועם מה שיש מנקודת המיתר עד נקודת הקשת שהוא א' ושליש יהיו ז' (ח') וחלק א מי"ב [וח]לק זה המספר עם המחוגה על חצי ויצא לך מקום המרכז כמו זאת הצורה
|
|
|
שאלה[123] אם יש לך חתיכת בגד ארכה ב' ורחבה ב' אם תרצה לעגלה
|
|
|
הנה יש לך לכפול ד' פעמים ב' ויהיו ח' אח"כ תחלק ח' על ג' ושביעית מצד כי לעולם הקף העגולה עודפת על אלכסונה ג' פעמים כמוהו ושביעית לכן נחלק ח' על ג' ושביעית ויצא לך ב' וו' חלקים מי"א והוא יהיה האלכסון מהעגול וכ"כ יהיה שטח העגול בשטח המרובע
|
|
|
שאלה[124] אם תרצה לעשות מרובע רבוע ובתוך המרובע יהיה שמונה צלעות שוות ויהיה אורך כל צלע א' וב' שלישיות אשאל כמה יהיה אורך כל קו מהמרובע
|
|
|
הדרך הוא כך יש לך לכפול א וב' שלישיות על עצמם ויעלה ב' וז' תשיעיות וחלקם על ב' ויצא לך א וז' חלקים מי"ח וקח שרשם ויצא לך א ושתות וכך יהיה כל אורך מה שישאר בכל קצה ולבחון אותו קח שרש (כפל) א ושתות ויצא לך א י"ג חלקים מל"ו כפלם על ג' (ב') ויצא לך ב' וכ"ו חלקים מל"ו ושרש א וב' שלישיות
|
|
|
שאלה[125] אם יש לך מרובע אורך כל קו מהמרובע י"ב ותרצה לעשות בו שיהיה שמונה צלעות שוות
|
|
|
הנה יש לך להקיש זאת השאלה עם אותה של מעלה בדרך הערכים ותאמ' אם ד' נתן לי א וב' שלישיות מה יתן לך ומה יוסיף לך י"ב כפול י"ב על א' וב' שלישיות ויצא כ' חלקם על ד' ויצא לך ה' וזה יהיה אורך כל צלע מהה' (ח') צלעות ולבחון אותו כפול ה' על [ה'] ויצא כ"ה תסיר ה' מי"ב שהוא אורך כל קו מהמרובע ויצא לך ז' חלקם על ב' ויצא לך ג' וחצי והוא מה שראוי שישאר בכל קצה כפול ג' וחצי על עצמם ויצא י"ב ורביע כפלם על ב' ויהיו כ"ד וחצי וקח שרשם ויהיו ה' בקרוב והוא שוה אל הצלע הה' וזאת היא צורתם
|
|
|
גם תוכל לעשות הערך באופן אחר והוא שתאמ' אם ד' שוה א' ושתות מה שוה י"ב ויצא לך ג' וחצי והוא אורך כל זוית וזה מבואר וכן תמיד תוכל לעשות ר"ל להקיש עם הדמיון מהמרובע העליון שהוא ד' על ד'
|
|
|
שאלה[126] אם תרצה למצא שרש בשלמים במהירות גדול יש לך לראות אם המדרגות הם זוג או נפרד ואם הוא זוג תסיר א וישאר נפרד וקח האות הממוצעת ויצטרך שהשרש יהיה באותה מדרגה וכפול האות הראשנה מהשרש ותסיר זה המספר מהמדרגה האחרונה אח"כ ראה הנשאר ושים בו אות באופן שתוכל להסיר כפול אותה אות על השרש המונח וכפול על ג' (ב') ואח"כ כפול מה שתמצא על [......]תסיר העולה מהאות הבאה אחריה דרך ימין וכן לעולם עד [....ת]גיע אל המדרגה הראשנה
|
|
|
דמיון זה נרצה לדעת שרש ד' מאות וחמישים אלף וו' אלפים ותשפ"ט
|
|
|
הנה מצד כי הם מדרגות זוגיות כי הם ו' נסיר א' וישארו ה' המדרגה הממוצעת הוא ג' והם מאיות ונשיב המדרגה השישית אצל החמישית ויהיו מ"ה והשרש שעבר הוא ל"ו ושרשו ו' לכן שים ו' וישארו עד מ"ה ט' אח"כ תמצא איזה מספר שכשתכפלהו על ו' והעולה תכפול על ב' שתוכל להחסירו מצ"ו ותמצא ז' כי ז' על ו' הם מ"ב וב' על מ"ב ויהיו פ"ד תסירם מצ"ו וישארו י"ב אח"כ כפול ז' על ז' ותסירם מהז' אשר במדרגה הג' ולא תוכל לכן קח הב' שנשארו במדרגה הרביעית ולא תוכל לכן קח הא' שנשאר במדרגה הה' וישאר עדין ע"ה (ע"ח) אח"כ תחפש איזה מספר כי כשתכפלהו על ו' והעולה על ב' שתוכל להחסירו מע"ח ואם תקח מספר ו' יהיה העולה ל"ו וב' על ל"ו הוא ע"ב ויהיה הנשאר ו' והיה לך לכפול אותם הו' על הז' אשר הם האות השניה מהשרש ויעלו מ"ב וב' על מ"ב הם פ"ד ולא תוכל להסיר מס"ח (ע"ח) פ"ד לכן לא נתן לו כי אם ה' וו' על ה' הם ל' וב' על ל' הם ס' הסירם מע"ח הנשאר י"ח אח"כ כפול הה' על ז' ויהיו ל"ה ול"ה על ב' ויהיו ע' תסירם מהה' (ח') שהם במדרגה השנית ולא תוכל לכן קח הח' שהם במדרגה השלישית ותביאם אצל המדרגה השנית ויהיו פ"ח תסיר מהם ע' וישארו י"ח אח"כ כפול ה' על ה' ויהיו כ"ה ותסירם מהמדרגה הראשנה ולא תוכל לכן קח הח' שהם במדרגה השניה ותביאם אצל המדרגה הראשנה ויהיו פ"ט תסיר מהם כ"ה נשארו ס"ד הנה א"כ השרש מהמספר המונח הוא תרס"ה (תרע"ה) והנשאר אלף קס"ד
|
|
|
ואם יש במספר המונח איזו ציפרא תעשה ככה ר"ל אם תרצה לדעת אם יש בשרש ציפרא תעשה בזה הדרך
|
|
|
דמיון נרצה לדעת שרש קס"ד אלפים ותתק"ס
|
|
|
תעשה ככה כבר ידעת כי זה המספר מגיע עד המעלה [....................] ה' ותשיב המדרגה הו' אצל הה' ויהיו י"ו ושרשו ד' ולא ישאר מא[.....] ד' על ד' הם י"ו אח"כ תמצא איזה מספר כי כשתכפלהו על ד' והעולה על ב' יעלה ד' ולא תוכל כי אם תקח א ותכפלהו בד' והעולה על ב' יהיו ח' ואין המספר כי אם ד' לכן נשים כי ציפרא אח"כ תאמ' איזה מספר אמצא אשר כשתכפלהו על ד' והעולה על ב' שתוכל להחסירו ממ"ט ותמצא ו' כי ו' על ד' הם כ"ד וב' על כ"ד הם מ"ח תסירם ממ"ט וישאר א על המדרגה השלישית אח"כ כפול ו' על ו' ויעלו ל"ו תסירם מס' שהם במדרגה השנית וישאר עדין כ"ד ועם הק' ויהיו קכ"ד תפילם מהמספר המונח וישאר עדין קס"ד אלפים ותתל"ו והוא המרובע שעבר מהמספר המונח והשרש הוא ד' מאות וו' ותקיש על זה
|
|
|
שאלה[127] תמצא לי מספר אשר כשתחלק חמישיתו על שרש המספר המונח שיצא ז'
|
|
|
הדרך הוא שתכפול ז' על ה' ויהיו ל"ה והוא יהיה שרש המספר המונח ואם תכה ל"ה על עצמם וקח חמישיתם ותחלקם על ל"ה יצא ז' ותקיש על זה
|
|
|
שאלה[128] אם תרצה לעשות מרובע בתוך עגולה
|
|
|
אם תרצה לדעת כמה מוסיף המרובע (העגול) על העגולה (מרובע) הנה המרובע ר"ל כל צלע המרובע ראוי שיהיה כמו אלכסון העגולה ונניח שכל צלע המרובע הוא ה' כפול ה' על עצמם ויהיו כ"ה גם ה' על עצמם ויהיו כ"ה ועם כ"ה והנם נ' ושרשם ז' וחלק אחד מי"ד וכבר ידעת כי הקף העגולה היא ג' ושביעית מהאלכסון כפול ג' ושביעית על ז' וחלק מי"ד ויעלה כ"ב שלמים וכ"ב חלקים מצ"ח וחלקם על כ' יען כי כל צלע מהמרובע הוא ה' וד' פעמים ה' הוא כ' ויצא לך א ויא חלקים מצ"ח א"כ י"א חלקים מצ"ח מוסיף העגול על המרובע
|
|
|
שאלה[129] אם תרצה לעשות עגולה בתוך מרובע אם תרצה לדעת כמה מוסיף המרובע על העגולה
|
|
|
דע כי יצטרך שאלכסון העגולה יהיה כמו אורך כל צלע המרובע
|
|
|
ואם נאמר כי אורך כל צלע המרובע הוא ה' גם אלכסון העגולה הוא ה' והקף כל המרובע הוא כ' גם כפול ג' ושביעית על ה' ויצא ט"ו וה' שביעיות אח"כ תחלק כ' על ט"ו וה' שביעיות יצא א וג' חלקים מי"א א"כ המרובע מוסיף על העגולה ג' חלקים מי"א
|
|
|
שאלה תמצא לי מספר שכשאכפלהו בד' ותחלקהו על ו' שישאר א'
|
|
|
כפול ד' על ו' ויהיו כ"ד תוסיף בו א ויהיו כ"ה חלקם על ד' ויצא לך ו' ורביע והוא המבוקש כפלהו על ד' ויהיו כ"ה וחלקם על ו' וישאר א'
|
|
|
ותקיש על זה דמיון אשר ממנו תוכל להבין כל הנזכר במולדות
|
|
|
והוא תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על ד' והעולה תחלק על ה' שישאר א'
|
|
|
הנה יש לך להוסיף א' על ה' ויהיו ו' וחלקם על ד' וישאר א וחצי הוא המבוקש אבל יש בו שבר ואנו מבקשי' שלא יהיה בו שבר ולכן ראוי שתאמר מצד פעם אחת שלקחתי המחלק שהוא ה' נתן לו א' וחצי ולכן תוסיף בו אחד ויהיו ב' כפול ב' על ה' ויהיו י' תוסיף בו אחד ויהיו י"א חלקם על ד' ויצא לך ב' וג' רביעיות ולא יצא עדין בשלמים לכן נכפול (נוסיף) עוד אחד ר"ל על הב' ויהיו ג' כפלם על המחלק ויהיו ט"ו ועם א ויהיו י"ו תחלקם על א' ד' ויצא ד' והוא המבוקש כי כשתכפול ד' על ד' יהיו י"ו וחלקם על ה' וישאר א' ואם תרצה שישאר ב' תוסיף ב' וכך לעולם
|
|
|
שאלה אחרת תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על ד' ותחלקהו על ה' שיצא ו' בחלוק וישאר ג'
|
|
|
כפול ה על ו' ותוסיף בו ג' ויהיו ל"ג וחלקם על ד' ויצא לך ח' ורביע והוא המבוקש ואם תכפול ח' ורביע על ד' והעולה חלק על ח' (ה') שיצא ו' וישארו ג' והוא בשברים ואם תרצה שלא שיצא בשלמים תעשה ככה למעלה
|
|
|
שאלה[130] אם תרצה לדעת רוחב נקראו ארץ או איזה מרחק שוה שתרצה שים על ראשך כובע הנקרא [קפולו] ראשו ולך אצל שפת הנהר או במקום שתרצה לדעת ארכו וקח מקל שיהיה ארכו מהארץ עד שיגיע ראשו האחד תחת צואריך באופן שלא תוכל לשחות ארצה ולא להגביה למעלה אח"כ עשה באופן שהקפולו יהיה סמוך לעיניך וכשתראה לעין ראותך שהקפולו מגיע עד הקצה האחר מהמרחק ר"ל כשתסתכל עד ראש הנהר ולא תוכל לראות יותר מצד כי הקפולו צלו מעכב שלא לראות יותר רחוק אז תהפוך פניך לצד אחר המשל אם הנהר הוא לצד מזרח תהפוך פניך לצד מערב היינו לאחוריך ותעשה שהרגלים יעמדו באותו מקום ממש שעמדו בהיותך כלפי הנהר ותסתכל ג"כ וראה עד המקום אשר תוכל להשיג בעין ראותך אח"כ לך למכור ממעמד רגלך עד המקום שיכולת לראות וכך הוא מרחק הנהר אבל נראה לי כי יצטרך שיעמוד הנהר או המרחק במקום שוה
|
|
|
שאלה[131] אם תחלק איזה מספר שיזדמן ותקח ממנו רביעיתו ומהנשאר שלישיתו ומהנשאר אחר לקיחת השליש מחציתו יש לכלם חלק שוה
|
|
|
המשל תקח רביעית י"ב והוא ג' וישארו ט' קח שלישית והוא ג' ונשארו ו' קח מחציתם והוא ג' ונשארו ג"כ ג' וזה יצדק בכל המספרים
|
|
|
שאלה בכאן שני מגדלים אשר ראש האחד מגיע אצל ראש האחר והמרחק מרגל לרגל הוא עשרה ואורך כל מגדל ג"כ עשרה ונרצה להוריד חבל מבין השני ראשים שיגיע אצל אמצע הרגלים כמה יהיה ארכה
|
|
|
הדרך בזה ראוי לכפול עשרה על עצמם ויעלו מאה תחסר מהם חצי המרחק שיש מרגל לרגל ששם מגיע ראש החבל והוא ה' ורבועם כ"ה תחסרם ממאה וישארו ע"ו (ע"ה) קח גדרם וישארו ח וב' שלישיות וזאת צורתם
|
|
|
ואם תרצה לדעת כמה בתים תוכל לעשות ממשולש שהוא שוה הצלעות ואורך כל צלע י'
|
|
|
הנה יש לך לכפול אורך השמור על חצי התושבת שהוא ה' ויעלו מ"ג וכ"כ בתים יוכל להעשות ממנו שכל אחד מהם יהיה אמה על אמה ר"ל מ"ג משולשים אשר כל אורך כל צלע אמה אחת
|
|
|
שאלה אם תרצה לדעת אורך העמוד באופן אחר
|
|
|
ראוי לקחת מאורך הצלע שהוא י' ב' חלקים מט"ו לכן קח ב' חלקים מט"ו מעשרה וישארו ח' וב' שלישיות והוא אורך העמוד
|
|
|
שאלה אם תדע אורך העמוד ותרצה לדעת אורך הצלע
|
|
|
תקח מרובע העמוד ותוסיף עליו שלישיתו ומהעולה תקח שרשו והוא אורך הצלע
|
|
|
דמיון אתה יודע כי אורך העמוד ח' וב' שלישיות
|
|
|
תקח מרובעם והוא ע"ה ותוסיף עליהם כ"ה שהוא שלישית ע"ה ויעלו ק' וקח גדרם והוא י' והוא אורך הצלע
|
|
|
שאלה אם תרצה לדעת מתוך אורך העמוד כמה הוא תשבורת המשולש
|
|
|
תרבע האורך ומהעולה תקח ה' תשיעיות וחומש התשיעית וכך הוא התשבורת כגון זה שעמודו הוא ח' וב' שלישיות הנה מרובעו ע"ה וה' שביעיתיו (תשיעיותיו) הוא מא וב' שלישיות וחומש התשיעית הוא א' וב' שלישיות ויעלה הכל מ"ג ושליש
|
|
|
שאלה אם תרצה לדעת ממשולש שהוא שוה השוקים אשר אורך כל שוק ט"ו ותשבורת ק"ח
|
|
|
אם תרצה לדעת אורך התושבת ואורך העמוד הנה ראוי לכפול ט"ו על ט"ו ויהיו רכ"ה גם כפול התשבורת על ב' ויהיו רי"ו הוצא רי"ו מרכ"ה וישארו ט' וגדרם ג' והוא מה שיעדיף העמוד על חצי התושבת
|
|
|
שאלה אם תרצה לדעת אורך העמוד והתושבת
|
|
|
קח מחצית ג' והם א וחצי ותרבעם יהיו ב' ורביע ותוסיפם על התשבורת ויהיו קי ורביע ושרשם י' וחצי תוסיף עליהם א וחצי ויהיו י"ב והוא אורך העמוד ואם תחסר מי' וחצי א וחצי ישארו ט' והוא חצי התושבת
|
|
|
ודע כי זה המשולש נקרא שוה שוקים כי ארכם שוה אבל התושבת אינו שוה אל השוק כי הוא פחות או יותר
|
|
|
שאלה אם תרצה לדעת ממשולש מתחלף הצלעות אורך העמוד ראוי לדעת תחלה אנה יפול העמוד
|
|
|
ואם תרצה לדעת באיזה מקום מהתושבת יפול העמוד ראוי לרבע אורך הצלע הארוך וגם לרבע אורך התושבת ולחבר זה עם זה
ונוציא מהם מרובע אורך הצלע הקצור והנותר נחלק על ב' והיוצא תחלק על התושבת והיוצא הוא מרחק העמוד מן התושבת אצל הצלע הארוך והנשאר מהתושבת אצל הצלע הקצור הוא החלק האחר ושניהם מחוברים אורך התושבת
|
|
|
דמיון זה נרצה לדעת ממשולש מתחלף הצלעו' אשר אורך אחת מצלעותיו ט"ו ואורך האחר י"ג ואורך התושבת י"ד
|
|
|
ראוי לדעת מרובע ט"ו עם מרובע התושבת ותחבר אלו הב' מרובעים ויעלו תכ"א נוציא מהם מרובע הצלע הקצור שהוא י"ג וישאר רנ"ב ונחלקם על ב' ויצא קכ"ו וחלקם על התושבת שהוא י"ד ויצא ט' והוא מרחק גבול מעמד העמוד מן הצלע האורך (הארוך)
|
|
|
ואם תרצה לדעת המעמד הקצור
|
|
|
תקח מרובע הצלע הקצור שהוא י"ג עם מרובע התושבת שהוא י"ד ויעלו שניהם שס"א (שס"ה) נוציא מהם מרובע הצלע הארוך שהוא רכ"ה וישאר ק"מ נחלק על ב' ויצא ע' חלק ע' על י"ד שהוא התושבת ויצא ה' והוא מרחק גבול העמוד מן הצלע הקצור
ועתה שנדע גבול מעמד העמוד נדע אורך העמוד ודרך ידיעתו הוא כך נרבע הצלע הקצור ויהיו קס"ט תסיר מהם מרובע גבול מעמד העמוד נדע אורך העמוד ודרך ידיעתו ר"ל המעמד הקצור שהוא ה' ומרובעו כ"ה והנשאר קמ"ד וגדרם י"ב והוא אורך העמוד או תקח מרובע הצלע הארוך שהוא רכ"ה ותסיר מהם מעמד הארוך שהוא ט' ומרובעם פ"א וישארו ג"כ קמד ושרשם יב והוא אורך העמוד וזאת היא צורתו
|
|
|
שאלה אם תרצה לדעת שרש המעוקב מאיזה מספר שתרצה
|
|
|
ראוי תחלה לדעת כי מרובע א הוא מרובע א כי הוא שרש ומרובע והנמשל לו הוא אלף אבל השרש הוא י' ומרובע ב' הוא (ח') והנמשל לו הוא ח' אלפים ושרשם כ' ומרובע ג' כ"ז והנמשל לו כ"ז אלפים ושרשם ל' ומרובע ד' ס"ד והנמשל לו ס"ד אלפי' ושרשם מ' ומרובע ה' (ק)כ"ה והנמשל קכ"ה אלפים ומרובעם ושרשם נ' ומרובע ו' רי"ו והנמשל רי"ו אלפים ושרשם ס' ומרובע ז' הוא שמ"ג והנמשל שמ"ג אלפים ושרשם ע' ומרובע ח' הוא תקי"ב והנמשל הוא תקי"ב אלפים ושרשם פ' ומרובע ט' הוא תשכ"ט והנמשל הוא תשכ"ט אלפים ומרובעם צ' וכן לעולם יחזור חלילה ר"ל כי מרובע מאה הוא אלף אלפים ומרובע ב' מאות הוא ח' אלפי אלפים ומרובע ג' מאות כ"ז אלפי אלפים
|
|
|
ואם תרצה לדעת השרש מאיזה דבר שיזדמן תוציא תחלה השרש הנמשל והנשאר תחלק על השרש שמצאת אך ראוי שתוסיף על השרש שמצאת א' והמעלה הקודמת אליו אח"כ כפול השרש על עצמו עם תוספת א' ומה שיעלה תכפול על ג' דמיוני א' שהוספת ותחלק הנשאר עליהם ואם נשאר לך עוד שוב והוסיף א' מהמעלה הקודמת אליו והעולה כפול על ג' דמיוני התוספת והנשאר תחלק עליהם אך הזהר שישאר לך כ"כ שתוכל לקחת מהנשאר מרובע היוצא וכך תמיד
|
|
|
ואתן לך דמיון נרצה לדעת שרש עשרת אלפים
|
|
|
כבר ידעת כי השרש שעבר הוא ח' אלפים ושרשם כ' ונשארו עדין ב' אלפים תוסיף א' מהמעלה הקודמת שהוא מעלת האחדים על כ' ויהיו כ"א כפול כ' על כ"א ויהיו ד' מאות וכ' כפול ד' מאות וכ' על ג' דמיוני א' שהוא התוספת ר"ל שתכפלם על ג' ויעלו י"ב מאות וס' ותחלק ב' אלפים עליהם ויעלה א' תסיר מהב' אלפים י"ב מאות וס' ונשארו ז' מאות ומ' תסיר מז' מאות ומ' א' שעלה בחלוק וישארו ז' מאות ול"ט תפילם מעשרת אלפים ויהיו ט' אלפים וב' מאות וסא והוא מרובע כ"א אח"כ תוסיף חצי על כא ויהיו כ"א וחצי תכפלם על כא ויהיו תנ"א וחצי ותכפלם על ג' דמיוני התוספת שהוא חצי ר"ל שתקח חצי ד' מאות וכ"א וחצי ויהיו ב' מאות וכ"ה וג' רביעיות תכפלם על ג' ויהיו ו' מאות וע"ז ורביעי' ותסירם מהנשאר שהם ז' מאות ול"ט וישארו ס"א וג' רביעיות תסיר מהם מעוקב חצי שהוא שמינית א' וישארו סא וה' שמיניות תפילם מהמספר המונח שהוא עשרת אלפים וישאר ט' אלפים וט' מאות ול"ח וג' שמיניות והוא מרובע כ"א וחצי ושרשם המעוקב כ"א וחצי ודוק ותשכח ואם תרצה לדקדק עוד תוסיף איזה שבר שתרצה ותעשה ככה לעיל
|
|
|
ואם תרצה לדעת שרש איזה מספר שתרצה כפול אותו המספר על אלף והוצא אח"כ שרש מהסך העולה אח"כ חלק השרש על עשרה והוא המבוקש
|
|
|
דמיון נרצה לדעת שרש ב' וחצי
|
|
|
תכפלם על אלף ויהיו ב' אלפים וה' מאות תוציא שרשם שהוא השרש הראשון שהוא י' וישארו אלף וה' מאות כפול י' על י"א שהוא א' של תוספת ויהיו ק"י כפלם על ג' דמיוני א' שהוא התוספת ויהיו ג' מאות ול' חלק אלף וה' מאות עליהם תן להם ג' וכפלם על י' ר"ל י' פעמים י"ג ויהיו ק"ל ק'(ל) כפלם על ג' דמיוני ויהיו ש"צ כפלם עוד על ג' ויהיו אלף וק"ע תפילם מאלף וה' מאות הנשאר ש"ל תפיל משל מעוקב ג' שהוא כ"ז הנשאר ש"ג תפילם מהמספר המונח וישאר ב' אלפים וקצ"ז והוא מרובע י"ג תחלק אלו הי"ג על עשרה ויצא א' שלם וג' עשיריות והוא שרש ב' וחצי בקרוב וזה כי ישאר עד תשלום ב' וחצי ש"ג חלקים מאלף שהוא פחות משליש אחד ואם תרצה לדקדק יותר כטוב בעיניך עשה
|
|
|
דרך אחר יותר מדוקדק תוציא תחלה השרש השלם שעבר מהמספר המונח ואח"כ כפול השרש על עצמו והעולה על ג' ומה שנשאר מהמספר המונח חלק עליהם
|
|
|
דמיון זה לדעת שרש עשרה
|
|
|
והנה השרש השלם שעבר הוא ב' כפלם על עצמם ויהיו ד' עוד כפול ד על ג' ויהיו י"ב חלק ב' הנשארים מהמספר המונח עליהם ויצא לך שישית אחד אך ראוי שתזהר שישאר לך איזה דבר מהמספר המונח כדי שתוכל לקחת ממנו מרובע אותו השבר ולכן לא נתן לו כי אם ב' חלקים מי"ג ותקיש על זה ודע כי דבר מעט יספיק לך שישאר לקחת מרובע השרש ודוק ותשכח
|
|
|
שאלה אם תרצה לדעת שרש מאיזה שבר שיזדמן ואף אם הוא עם שלמים ובפרט שיהיה לו שרש אמיתי תחלק שרש העליון על השרש התחתון והעולה הוא המבוקש
|
|
|
דמיון נרצה לדעת שרש מח' חלקים מכ"ז
|
|
|
קח שרש כ"ז והוא ג' וקח שרש ח' שהוא ב' חלק ח' (ב') על ג' והוא ב' שלישיות והוא השרש המבוקש
|
|
|
דמיון אחר בשברים עם שלמים נבקש לדעת שרש ב' וי' חלקים מכ"ז
|
|
|
תעשה מהב' שלמים חלקים מכ"ז ויהיו נ"ד תחבר אליהם הי' ויהיו ס"ד קח שרשם והנם ד' וקח שרש כ"ז והנם ג' חלק ג' (ד') על על ד' (ג') ויצא א' ושליש והוא המבוקש
|
|
|
ובזה תוכל להכיר אם מספר הוא מעוקב אם לא ר"ל כי כשאמ' ב' שלמים וי' חלקים מכ"ז אם אחר שעשית מהשלמים שברים וחברת עמהם השברים אם אין לו שרש מעוקב אין לו שרש אמת
|
|
|
דמיון תוציא לי שרש ג' וג' חלקים מכ"ז
|
|
|
תעשה מהם חלקים מכ"ז ויעלו פ"ד עם הג' שברים הנה אין למספר שרש מעוקב [א"כ] אין למספר המונח שרש מעוקב
|
|
|
ועוד תוכל לדעתו באופן אחר כמו האומר קח לי שרש ג' ורביע א' הנה כבר ידעת כי אין לד' הנמשל אל הרביע שרש מעוקב א"כ אין למספר המונח שרש מעוקב
|
|
|
שאלה אם תרצה למצא ב' מספרים [.....] בין ח' ובין כ"ז שיהיה יחס השני אל הראשון כיחס הג' אל הב' [וכיחס] הד' אל הג'
|
|
|
תעשה ככה תקח שרש ב' (ח') והוא ח' (ב') ותכפלם על כ"ז ויהיו נ"ד ותחלקם על שרש כ"ז שהוא ג' ויעלו י"ב ג' ויעלו י"ח והוא המספר הג' ולמצא הב' קח שרש כ"ז שהוא ג' ותכפלם על ח' ויהיו כ"ד חלקם על שרש ד' שהוא ב' ויעלו י"ב והוא המספר השני והנך רואה כי יחס י"ב אל ח' כיחס י"ב (י"ח) אל י"ח (י"ב) וכיחס יח (כ"ז) אל כ"ז (י"ח) ותקיש על זה
|
|
|
ובזה האופן תוכל לדעת השאלות שהם מהרבית
|
|
|
כגון האומר אדם הלוה ממון עשרה מנינים לחבית ואחר שנה הוסיף הריוח על הקרן ואחר השנה הב' ג"כ הוסיף הקרן על הריוח ואחר הג' ג"כ ואחר לסוף ג' שנים נמצא שהוא מחוייב לו ל"ג מנינים וג' רביעיות
|
|
|
הנה הוא הדרך כמו הקודמת והוא כי ראוי לכפול שרש י' ולכפול אותו על ל"ג וג' רביעיות והעולה תחלק על שרש ל"ג וג' רביעיות ויצא לך כ"ב וחצי והוא המספר הג' ולמצא השני כפול (שרש) ל"ג וג' רביעיות על י' והעולה תחלק על שרש י' ויצא לך ט"ו והוא השני א"כ הממון היה י' ובסוף השנה היה ט"ו נמצא שהרויח ה' מנינים עבור העשרה ואם י' שבו ט"ו ט"ו ישובו כ"ב וחצי ואם ט"ו שבו כ"ב וחצי כ"ב וחצי ישובו ל"ג וג' רביעיות
|
|
|
שאלה תחבר לי ז' מספרים על דרך ההמשך שכל אחד יוסיף על חבירו ג'
|
|
|
ראוי לחבר תחלה כל המספרים שהם מא' עד ז' ויהיו כ"ח כפול כ"ח על ג' ויהיו פ"ד והוא המבוקש כי ג' וו' וט' וי"ב וט"ו וי"ח כ"א הם פ"ד
|
|
|
שאלה דע כי אם אין למספר המונח אחר שלקחת ממנו השרש הראשון והוספת אחד מהמעלה שלפניה ולא תוכל לקחת אחד שלם הנה ראוי [...] תוסיף א' מהמעלה שהיא שלישית אל השרש היוצא וכן לעולם תשוב אחורנית [................] לדעת שרש מעוקב מאלף אלפים וע"ב אלפים אלפים [.......]שרש הראשון הוא מאה ומרובעו אלף אלפים ונשארו עדין ע"ב אלפים ואם תוסיף על השרש עשרה אחת שהיא המעלה שלפניה [....] יהיו מאה ועשר ותכפלם על מאה י"א אלפים וג' דמיוניו הוא ל"ג אלפים הנשאר ממספרינו הוא ע"ב אלפים ואתה רואה כי לא תוכל לתת לו עשרה שהוא אחד ממה שהוספת כי אם תחלק ע"ב על ל"ג לא יצא לך כי אם ב' ואותם הב' הם אחדים לא עשרות לכן ראוי להוסיף על השרש שיצא שהוא ק' א' מהמעלה השלישית אליו שהוא א' ממדרגת האחדים ויהיו ק"א כפלם על מאה ויהיו עשרת אלפים ומאה כפלם על ג' דמיוני התוספת ויהיו ל' אלפים וג' מאות חלק ע"ב על ל' אלפים וג' מאות ויצאו ב' ונשים ב' ועם מאה הוא ק"ב כפלם על מאה ויהיו עשרת אלפי' וב' מאות וג' דמיוניו הוא ל' אלפים וו' מאות כפלם על ב' ויהיו ס"א אלפים וב' מאות ומעוקב ב' שהוספת שהוא ח' ויהיו ל"א (ס"א) אלפים וב' מאות וח' ותחברם עם אלף אלפים שהוא מעוקב מאה שהיה השרש הראשון ויהיו אלף אלפים וס"א אלפים וב' מאות וח' והוא מעוקב ק"ב ושרשם ק"ב
|
|
|
שאלה אם תרצה לדעת שרש מעוקב מאיזה מספר שתרצה
|
|
|
קח השרש שעבר גם קח השרש הבא וראה בין המוקדם והמאוחר אח"כ ראה מה יש מן המוקדם אל המספר המונח ותוסיף לעולם א' ואז תאמר כי העולה הם חלקים מהמספר אשר בין הקודם והמתאחר
|
|
|
דמיון זה נרצה לדעת (שרש) מעוקב ט"ו
|
|
|
ה[נה] הקודם הוא ח' והמאוחר כ"ז וההפרש הוא י"ט ובין ח' שהוא הקודם אל מספרינו שהוא ט"ו תמצא ז' תוסיף א ויהיו ח' ותאמ' כי הם ח' חל[קים] מי"ט ר"ל כי שרש ט"ו הם ב' וחלקים מי"ט וכן תוכל לעשות משלמים עם שברים והוא שתעלה אותו השלם עם השבר עד מעלת האלפים ר"ל שתכפול המספר על אלף וקח השרש המוקדם והמאוחר כמו שעשינו בשלמים והיוצא תחלק על י' [.........]
|
|
|
דמיון זהו רצה לדעת שרש א וחצי תכפלהו על אלף ויהיו אלף [וה'] מאות והשרש שעבר הוא אלף וג' מאות ול"א ויספר על [....] אלף וה' מאות קס"ט תוסיף בו א' ויהיו ק"ע אח"כ ראה המאוחר שהוא מעוקב י"ב שהוא אלף וה' (ז') מאות וכ"ח והנה בין מעוקב י"א למעוקב י"ב תמצא ההפרש שס"ט (שצ"ז) א"כ היוצא הוא יא וק"ע פ' חלקים משצ"ט (שצ"ז) חלק זה המספר על י' בזה האופן והוא שתכפול שצ"ז על י' ויהיו ג' אלפים וט' מאות וע' גם תכפול שצ"ז על י"א ויהיו ד' אלפים ושס"ז תוסיף עליהם ק"ע ויהיו ד' אלפים ותקל("ז) תחלקם על ג' אלפים וט מאות וע' ויצא לך א ותק"ס (תקס"ז) חלקים מג' אלפים וט' מאות וע' שהם נ"ו חלקים מג' מאות וצ'(ז)
|
|
|
ואם תרצה לדעת שרש משברים לבדם כפול אותו השבר על אלף ואח"כ קח השרש המוקדם והמאוחר כנז'
|
|
|
דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב חצי תכפלהו על אלף ויהיו ה מאות והשרש שעבר הוא שמ"ג ושרשו ז' והבא הוא תקי"ב ושרשם ח' וראה מה בין שמ"ג לתקי"ב ותמצא קס"ט עוד ראה מה בין שמ"ג לה' מאות ותמצא קנ"ז תוסיף בו א ויהיו קנ"ח א"כ היוצא הוא ז' וקנ"ח חלקים מקס"ט תחלק זה המספר על י' ותעשה כך כפול קס"ט על י' ויהיו אלף וו' מאות וצ' גם כפול ז' פעמים קס"ט ויהיו אלף וקס"ח (קפ"ג) תוסיף בם קנ"ג (קנ"ח) ויהיו אלף וג' מאות ומא א"כ תאמ' כי שרש חצי הוא אלף וג' מאות ומ"א חלקים מאלף וו' מאות וצ'
|
|
|
דמיון אחר נרצה לדעת מעוקב חומש נכפול אותו על אלף ויהיו ב' מאות וקח השרש שעבר שהוא קכ"ה ושרשו ה' וקח הבא שהוא רי"ו ושרשם ו' וראה מה בין קנ"ה לרי"ו ותמצא צ"א אח"כ [ראה] מה בין קכ"ה לב' מאות ותמצא ע"ה תוסיף בו א ויהיו ע"ו חלק ע"ו על צ"א ויהיו ע"ו חלקים מצ"א הנה היוצא הוא ה' וע"ו חלקים מצ"א חלקם על י' בזה האופן כפול צ"א על י' ויהיו ט' מאות וי' כפול ה' פעמים צ"א ויהיו ד' מאות ונ"ה תוסיף בם החלקים שהם ע"ו ויהיו ה' מאות ול"א א"כ שרש החומש הוא תקל"א חלקים מתתק"י שהם נ"ג חלקים מצ"א וכל זה הוא בקרוב גדול ודוק ותשכח
|
|
|
שאלה[132] אם עשרה סוסים בח' ימים אוכלים כ' מדות שעורים אשאל ק"פ סוסים בס' ימים כמה יאכלו
|
|
|
תאמר כך עשרה סוסים בח' ימים אוכלים כ' מדות ק"פ סוסים בח' ימים כמה יאכלו ויצא לך ש"ס אח"כ תאמר אם בח' ימים אוכלים ש"ס בס' ימים כמה יאכלו ויצא לך אלפים וז' מאות וכך יאכלו
|
|
|
שאלה[133] אם גרוש אחד מרויח ד' פיצולי לחדש כמה ירויחו ק' גרושי בשנה אחת
|
|
|
ראשנה תאמ' אם א גרוש הרויחו ד' פיצולי מה ירויחו מאה ויצא ד' מאות אח"כ תאמ' אם חדש ירויח ד' מאות י"ב שהוא שנה כמה ירויח ויצא לך ד' אלפים וח' מאות פיצולי
|
|
|
שאלה[134] אם תרצה לעשות המאזנים על הריגולא דיטרי
|
|
תעשה כך כפול המספר הראשון על המספר היוצא שהוא הרביעי ראוי שיהיה כפול הג' כפול על ב'
|
|
ואם תוציא השביעיות או התשיעיות מן המספר הא' והד' ומה שישאר יהיה שוה אל המספר הג' והב' אחר שהוצאת מהם השביעיות והתשיעיות
|
|
וכן תוכל לעשות בשברים ואתן לך דמיון אם ד' שוים ו' ח שוים י"ב
|
|
לכן כפול ד' על י"ב ויהיו מ"ח תסיר מהם השביעיות וישארו ו' והנה ד' הוא המספר הא' וי"ב הוא הרביעי
|
|
אח"כ שוב אל המספר הב' שהוא ו' וכפול אותו על ח' שהוא הג' ויהיו ג"כ מ"ח תסיר מהם השביעיות וישארו ג"כ ו' והם שוים אל הו' השמורים
|
|
דמיון משברים אם ד' וחצי שוים י"ז ח' ישוו ל' וב' חלקים מט'
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_1\sdot a_4&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(30+\frac{2}{9}\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{9}{2}\sdot\left(30+\frac{2}{9}\right)\right]_7 \equiv\frac{2}{2}\sdot\left(2+\frac{2}{2}\right)\\&\scriptstyle=\frac{2}{2}\sdot\frac{\left(2\sdot2\right)+2}{2}\\&\scriptstyle=\frac{2}{2}\sdot\frac{4+2}{2}\\&\scriptstyle=\frac{2}{2}\sdot\frac{6}{2}=\frac{12}{4}=3\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/0/c/0/0c0ec4d3d4df427cf383a8480ec6921b.png)
|
לבחון אותו קח הראשון שהוא ד' וחצי ועשה מהם חציים והם ט' הנשאר ב' ושים ב' חציים ר"ל ב' למעלה וב' למטה כך
אח"כ שוב אל הרביעי שהוא ל' וב' חלקים מט' והוצא השביעיות מל' הנשאר ב' גם הוצא הז' מט' שהם התשיעיות שאמר ב' תשיעיות וישאר ב'
כפול ב' על ב' ויהיו ד' וקח הב' שהם על הט' ויהיו ו'
אח"כ כפול אלו הו' שהם על הט' על הב' שהם על הב' כזה ויהיו י"ב
חלקם על כפל אותם שהם של מטה זה על זה שהם ב' על ב' שהם ד' ויצאו ג' שלמים ושמרם
|
|
אח"כ שוב אל המספר הב' שהוא י"ז והוצא מהם השביעיות וישארו ג'
גם שוב אל השני והוצא השביעיות וישאר א'
כפול א' על ג' ויהיו ג' והם שוים אל הג' השמורים
|
|
דמיון אחר אם ה' ושליש שוים י"א ורביע ט' וג' חמישיות ישוו כ' ורביע
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_1\sdot a_4&\scriptstyle=\left(5+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(20+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{16}{3}\sdot\left(20+\frac{1}{4}\right)\right]_7 \equiv\frac{2}{3}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{2}{3}\sdot\frac{\left(6\sdot4\right)+1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{2}{3}\sdot\frac{25}{4}_7 \equiv\frac{2}{3}\sdot\frac{4}{4}=\frac{{\color{red}{8}}}{12}=\frac{2}{3}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/f/1/6/f1665e05931e7daf954f28c15f8cf746.png)
|
תבחון אותו קח הראשון שהוא ה' ושליש עשה מהם שלישיות יהיו י"ו קח השביעיות וישארו ב' שלישיות
עוד ראה הרביעי שהוא כ' ורביע הוצא מכ' השביעיות וישארו ו'
כפול ו' על ד' שהם רביעיות ויהיו כ"ה קח השביעיות ויהיו ד' ר"ל נשארו ד' רביעיות
אח"כ כפול ד' רביעיות על ב' שלישיות ויהיו ד' עוד כפול תחתונים שהם שלישיות רביעיות ויהיו י"ב א"כ הם ח' חלקים מי"ב שהם ב' שלישיות ושמור זה
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_2\sdot a_3&\scriptstyle=\left[\left(11+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(9+\frac{3}{5}\right)\right]_7 \equiv\left(4+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(2+\frac{3}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(4\sdot4\right)+1}{4}\sdot\frac{\left(2\sdot5\right)+3}{5}\\&\scriptstyle=\left(\frac{17}{4}\sdot\frac{13}{5}\right)_7 \equiv\frac{3}{4}\sdot\frac{6}{5}=\frac{18}{20}_7 \equiv\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/1/2/0/120d48fcf2a211a09387bcddc6942196.png)
|
אח"כ שוב אל המספר השני והוצא ז' מי"א הנשאר ד'
כפול ד' על ד' שהם השבר ויהיו י"ז הוצא השביעיות וישארו ג' רביעיות
אח"כ שוב אל הג' שהוא ט' הוצא השביעיות וישארו ב'
כפול ב' על ה' ויהיו י' ועם הג' חמישיות ויהיו י"ג הוצא השביעיות וישארו ו' חמישיות
אח"כ כפול ו' על ג' ויהיו י"ח הוצא השביעיות וישארו ד'
גם כפול ד' על ה' שהם השברים ר"ל רביעיות חמישיות ויהיו כ' קח השביעיות וישארו ו'
אח"כ שים על הו' ד' והם ג"כ ב' שלישיות והם שוים אל השמורים
|
|
|
ואם יש באותו הסך מטבעים מתחלפים תשיב כל המטבעים אל היותר קטנה ותקח המאזנים
|
|
|
דמיון זה אם ט' בראצי מבגד שוים י"ג ליט' וט' סולדי ל"ד קנים וב' רביעיות שוים נ"א ליט' יא סולדי) לב' (וב') פיצולי
|
|
|
תבחון אותו קח המספר הב' שהוא י"ג ליט' וט' גרושי ותעשה המאזנים בזה האופן תקח המאזנים מי"ג שהם ו' והמאזנים מהגרושי שהם כ' סולדי שהוא ו' לכן כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו תוסיף בם ט' סולדי ויהיו מ"ה והמאזנים הם ג' וכדי לבחון הפיצולי מצד כי יש לנו פיצולי כבר ידעת כי י"ב פיצולי הם סולדו א' והמאזנים מי"ב הם ה' כפול ה' על ג' ויהיו ט"ו והמאזנים הם א' עתה הוצא המאזנים מן המספר הג' שהם ל"ד קנים וב' שביעיות (רביעיות) ועשה כך המאזנים מל"ד הם ו' ולעשות מהם רביעיות מצד כי יש לנו ב' רביעיות תכפול ו' על ד' ויהיו כ"ד תוסיף בם ב' ויהיו כ"ו והמאזנים הם ה' ולכן כפול א' שנשאר מן המספר הב' על הא' (הה') שהוא שער המספר הג' ויהיו ה' ושמרם אח"כ שוב אל המספר הראשון שהוא ט' בראצי והמאזנים הם ב' תעשה מהם רביעיות מצד כי במספר השלישי שלנו רביעיות ולכן נכפול ב' על ד' ויהיו ח' והמאזני' הם א' אח"כ ראה המספר הרביעי שיש בו נ"א ליט' יא סולדי וב' פיצולי ותאמ' המאזנים מנ"א הם ב' תעשה מהם סולדי כבר ידעת כי המאזנים מכ' שהם הסולדי הם ו' ולכן תאמ' ב' פעמים ו' הם יב והמאזנים הם ה' תוסיף בם ד' שהם המאזנים ויהיו ט' והמאזנים הם ב' ולעשות מהם פיצולי כבר ידעת כי המאזנים מי"ב הם ה' ולכן כפול ב' על ה' ויהיו י והמאזנים הם שלשה תוסיף בם ב' פיצולי שיש לנו ויהיו ה' והוא המאזנים מהרביעי ולכן כפול ה' על מאזנים המספר הראשון שהיה א ויהיו ה' וכן היה המאזנים מהמספר הב' והג'
|
|
|
דמיון אחר זולת מטבעים אם ג' ושליש שוה ד' ורביעית ה' וחומש שוה ו' וס"ג חלקים מק'
|
|
|
ולבחון אותו קח המספר הראשון שהוא ג' ושליש ועשה מהם שלישיות ויהיו עשרה והמאזנים הם ג' ושים ג' למעלה וג' למטה גם עשה מאזנים מהמספר הד' בזה האופן המאזנים מן הו' הם ו' עוד תאמר מאזנים ק' הם ב' ולכן כפול ו' על ב' ויהיו י"ב והמאזנים הם ה' עוד ראה למעלה שהוא ס"ג והמאזנים הם מאומה כי הולך ז"ז א"כ שים ה' למעלה וב' למטה כך ולכן כפול ה' על ג' ויהיו ט"ו והמאזנים הם א' עוד כפול אותם שתחת הקוים שהם ב' על ג' ויהיו ו' א"כ היוצא הוא א שתות כך אח"כ ראה המספר השני שהוא ד' ורביעי ויהיו י"ז והמאזנים הם ג' רביעיות כך אח"כ ראה המספר הג' שהם ה' וחומש ויהיו כ"ו ומאזניהם הם ה' חומשים כך אח"כ כפול העליונים שהם ג' על ה' ויהיו ט"ו ומאזניהם א עוד כפול התחתונים שהם ד' על ה' שהם כ' ומאזניהם הם ו' ולכן שים ו' למטה וא למעלה והם שוים אל השתות הנשארים
|
|
|
שאלה אם תרצה למצא מרכז העגול השלם או החצי או פחות או יותר מחצי
|
|
|
תעשה באותו חלק מהעגול שתי מיתרים אח"כ עשה כמו חצי עגול מראש המיתר אצל האחר גם תעשה כן מהראש האחר וכן תעשה במיתרהשני שני חציי עגול ואח"כ תחתוך מקום פגישתן משניהם ובמקום אשר [….]שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה וכן תוכל לעשות נקודות כמו שיזדמן ולעגל עגול יפגוש הג' נקודות תעשה חצי עגול ר"ל שתשים הנקדה הא' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה לשנים וכן תשים הנקדה הג' מרכז ותעשה חצי עגול גם שים הנקדה הב' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה ג"כ לשנים ובמקום אשר יפגשו שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה ויחס העגולה אל העגולה כיחס המרובע אל המרובע ר"ל כי אם יש לך מרובע שהוא ד' על ד' ואחר שהוא ח' על ח' הנה כבר ידעת כי אותו שהוא ח' על ח' הוא ד' פעמ[…]ר גדול מאותו שהוא ד' על ד' כן אם יש לך עגול מקיף י"ב ואחר שמקיף כ"ד קנה נאמ' שאותו שמקיף כ"ד הוא כמו אותו של י"ב ד' פעמי' כמוהו דוק ותשכח ועם זה תוכל לדעת אם יש לך שק אחד שהקפו כ"ד מכייל ד' מדות חטה הנה שק אחר שמקיפו מ"[ח] ראוי שיכיל י"ו מדות חטה ודוק ותשכח
|
|
|
שאלה[135] שני בני אדם לאחד יש לו מטבעים ולאחר ג"כ אמר הא' לב' אם תתן לי א' ממטבעות[י]ך יהיה לי כמוך השיב הב' לא' אם תתן לי א' ממטבעותיך יהיה לי ב' פעמים כמוך נשאל כמה לא' וכמה לב'
והנה נעשה אותה עם הנחות שקריות ונניח כי היה לא' ג' ולאחר ה' והנה בעל הה' יתן א' לבעל הג' יהיה לו כמוהו ואם בעל הג' יתן א' לבעל הה' יהיה לו ו' ולאחר ב' ואנו נרצה שיהיה לו [ד'] למען יהיה לו ב' פעמים כמוהו לכן יחסר לו ב' ולכן נעשה הנחה אחרת נניח שלא היה לו ה' ולאחר ז' הנה אם בעל הז' יתן א לבעל הה' יהיה לו כמוהו ואם בעל הה' יתן א' לבעל הז' לא יהיה לו כי אם ח' ואנו מבקשים שיהיה לו י"ו למען יהיה לו ד' פעמים כמוהו לכן יחסר לו ח' אח"כ הוצא מה שחסר ההנחה הראשנה שהוא ב' ממה שחסר מההנחה שניה שהוא ח' הנשאר ו' ושמרם אח"כ כפול שתי וערב וכפול ג' שה[...] ההנחה הראשנה נגד ח' שהוא מה שחסר מהערך השני ויהיו כ"ד [........] ה' שהוא ההנחה הב' על הב' שהוא חסרון ההנחה הא' וישארו עשרה הוציאם מכ"ד וישארו י"ד חלקם על ו' שהוא מה שנשאר מחסרון הערך השני אחר שנלקח ממנו חסרון הערך הראשון ויצא לך ב' ושליש וכן
יש לראשון ולאחר יש ד' ושליש ודוק ותשכח
תם ונשלם [...] אמן
|
London - Additional Excerpt
|
|
- 403) Question: an equilateral triangle - each of its sides is 12.
- I want to know: [how much is] its area?
|
תג) שאלה בכאן משולש שוה הצלעות כל אחד מהצלעו' י"ב
ארצה לדעת תשברתו
|
- altitude:
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(12+12\right)\right]^2-\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)^2-6^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{12^2-6^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{144-36}\\&\scriptstyle=\sqrt{108}=10+\frac{8}{2{\color{red}{1}}}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/7/b/4/7b44c2b1b86d3e751f7088a6154f303d.png)
|
כך תעשה תחבר שני הצלעות שהם כ"ד וקח מחציתם והם י"ב כפלם על עצמם ויהיו קמ"ד
אח"כ קח מחצית הצלע השני שהוא י"ב ומחציתו ו' וכפלם על עצמם ויהיו ל"ו
ותפילם מקמ"ד הנשאר ק"ח
אח"כ קח שרש ק"ח שהם י' וח' חלקים מכ' וכך הוא העמוד
|
- area:
|
אח"כ כפול י' וח' חלקי' מכ"א על מחצית הצלע שהוא ו' ויעלה ס"ב וב' שביעיות וכך הוא תשברתו
|
- 404) Question: an equilateral triangle - each of its sides is 12.
- We want to build on it a tower that is 20 cubits high.
- How much is the volume of the tower?
|
תד) שאלה הנה בכאן משולש שוה הצלעות אשר כל צלע י"ב
הנה נרצה לעשות מגדל על גבו גבהו עשרים אמות
כמה תשבורת המגדל
|
|
|
כבר ידעת כי תשבורת המשולש הוא ס"ב וב' שביעיות כי זאת השאלה דומה אל הקודמת
א"כ כפול זה המספר על גובה המגדל שהוא עשרים ויעלה אלף ומאתים ומ"ה קנים וה' שביעיות וכך הוא תשבורת המגדל
|
|
|
ואם תרצה לדעת כמה ישקול כל המגדל באופן ישקול כל קנה ח' אלפים ליט'
כפול אלפים על אלף ורמ"ה וה' חלקים מז' ויעלה 9965714 וב' שביעיות וכל ישקול כל המגדל
|
|
|
תה) שאלה בכאן בור עשוי כדמות משולש בצלע האחת י"ו והב' צלעות אחרות כל אחת י' וגובה הבור ל"ב
אשאל כמה תשבורת המשולש וכמה מים יכיל הבור מכיל כל אמה עשרה יודות מים
|
- altitude:
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+10\right)\right]^2-\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)^2-8^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{10^2-8^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{100-64}\\&\scriptstyle=\sqrt{36}=6\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/c/f/f/cff44379d9c1fb3cabc40c8396b6249b.png)
|
כך תעשה תדע תחלה כמה מים יש בבור באופן זה תחלה תחבר הב' צלעות השוים שהם עשרה ועשרה הם עשרים קח מחציתם והם עשרה וכפלם על עצמם והם מאה
אח"כ קח מחצית הצלע האחר שהיה י"ו וחציו ח' כפלם על עצמם ויהיו ס"ד
הפילם מק' וישארו ל"ו וקח שרשם שהם ו' והוא אורך העמוד
|
- area:
|
אח"כ כפול העמוד על מחצית צלע י"ו שהוא ח' ויעלה מ"ח והוא תשברתו
|
- volume:
|
אח"כ כפול אלו המ"ח על גובה המגדל שהוא ל"ב ויעלה אלף ותקל"ו וכך יכיל כל הבור ר"ל כל כך זרתות שהם אלף ותקל"ו
|
|
|
ולדעת כמה יודות מים יש בבור כך תעשה תחלק אלף ותקל"ו על עשרה שהוא קנ"ג וו' חלקים מי' וכך מים יכיל הבור
|
|
|
תו) שאלה בכאן צורה משולשת מתחלפת הצלעות הצלע האחד ל' והאחר כ"ח והאחרת כ"ו ארצה לדעת כמה תשברתו והיא גבוהה ט' אמות אשאל כמה בוקאל ממים יכיל המשולש באופן יכיל בכל אמה מרובעת ג' בוקאלי
|
|
|
כך תעשה קח הצלעות הארוך והקצר וכפול כל אחד על עצמו
והנה הארוך כפול על עצמו הם ט' מאות
והקצר הם תרנ"ו
הסר הקטן מהגדול וישארו רכ"ד חלק רכ"ד על ב' ויהיו קי"ב וחלקם על הצלע האחר שהם כ"ח ויהיו ד'
אח"כ קח חצי כ"ח שהוא י"ד וחבר עמהם הד' ויהיו י"ח וכפלם על עצמם ויהיו שכ"ד ושימם במקום אחר
אח"כ כפול הצלע הגדול שהם ל' על עצמם ויהיו תת"ק מאלו התת"ק תסיר מהם שכ"ד ונשאר תקע"ו תסיר מהם השרש שהם כ"ד וכך הוא אורך העמוד
|
|
|
וכך תוכל לעשות מכל משולש בלתי מתיחס ר"ל מתחלף הצלעות למצא העמוד
|
|
|
ולדעת כמה תשבורת השטח כפול העמוד על חצי הצלע מכ"ח שהוא י"ד ויעלה של"ו וכך הוא תשבורת השטח
|
|
|
ולדעת כמה תשבורת כל הצורה כך תעשה כפול של"ו על ט' שהוא הגובה ויעלה ג' אלפים וכ"ד וכך הוא תשבורת הצורה
|
|
|
ולדעת כמה בוקלי מים יש בכל הצורה תחלק כל אלו הג' וכ"ד על ג' ויצא אלף וח' וכך בוקלי מים תכיל הצורה
|
|
|
תז) שאלה בכאן חומה עשויה כדמות משולש ארך הצלע הארוך עשרים והאחר ט"ו והאחר עשרה והעמוד הוא ח' והנה בקצה היותר גבוה הוא י"ב אמות
אשאל כמה תשבורת השטח וכמה תשבורת כל החומה וכמה תשקול זאת החומה באופן ישקלו כל אמה וחצי ק' ליט'
|
|
|
כך תעשה כפול העמוד על חצי הצלע הגדול והנה הצלע הגדול הם כ' קח חצים והם עשרה וכפלם על ח' שהוא העמוד ויהיו פ' וכך הוא תשבורת השטח
|
|
|
ולדעת כמה תשבורת כל החומה כפול פ' על גובה החומה שהם י"ב ויהיו תתק"פ וכך הוא תשבורת כל החומה
|
|
|
ולדעת כמה ליט' תשקול כל החומה תעשה כך על דרך ערכים ותאמר אם זרת אחד וחצי שוקל מאה ליט' כמה ישקלו תתק"פ ויצא לך ס"ד אלפים ליט' וכך ליט' תשקול כל החומה
|
|
|
תח) שאלה בכאן חומה עשויה כדמות משולש גבוהה ז' קנים והנה הצלע האחד י' והאחרת ח' והאחרת ו'
אם תרצה לדעת כמה תשברתו
|
|
|
כך תעשה תחבר כל הצלעות שהם י'ח'ו' ויהיו כ"ד תחסר מחציתם והם י"ב
אח"כ ראה ההפרש שהוא מי' לי"ב והוא ב' כפלם על אותם י"ב ויהיו כ"ד
אח"כ ראה ההפרש שהוא מצלע ח' לי"ב והוא ד' וכפלם על כ"ד ויהיו צ"ו ותחזיקם למשמרת
אח"כ ראה הפרש צלע ג' שהוא ו' עד י"ב ויהיו ו' כפלם על צ"ו ויעלה תקע"ו קח שרשם שהוא כ"ד וכך הם הקנים כפול כ"ד שהוא השטח על ז' שהוא הגובה ויעלה ק"ס קנים כזה
|
|
|
תט) שאלה מגדל גבוה שמונה ורוצה לשים סלם מגיע ראשו אל ראש המגדל וארכו עשרה
ארצה לדעת כמה יהיה רחוק רגל הסלם מיסוד המגדל
|
|
|
כך תעשה כפול גובה המגדל על עצמו ויהיו ס"ד הסר אותם מכפל הסלם שהם ק' ונשארו ל"ו קח שרשם שהם ו' וכך הוא המרחק שהוא מרגל הסלם עד רגל המגדל
|
|
|
תי) שאלה בכאן מגדל אחד ואיש רוצה לעשות סלם רחוק מרגל המגדל ו' אמות ואורך המגדל הוא ח'
כמה יהיה ארך הסלם
|
|
|
כל תעשה כפול ח' על עצמם ויהיו ס"ד גם כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו וחברם ויהיו ק' וקח שרשם והם י' וכך הוא אורך הסלם ככה
|
|
|
תיא) שאלה בכאן סלם ארכו עשרה ורחוקה מרגל המגדל ו' אמות וראש הסלם מגיע אל ראש המגדל
כמה גובה המגדל
|
|
|
כפול עשרה על עצמם ויהיו ק' תסיר מהם כפל ו' שהם ל"ו ונשארו ס"ד וקח שרשם והוא ח' וכך הוא גובה המגדל
|
|
|
תיב) שאלה בכאן חומה גבוהה הב' צלעות הנכוחיים ר"ל א' ח' והב' האחרים כל אחד ו'
כמה תשברתו וכמה מטוני יצטרכו אל כל החומה באופן יכנסו מאה בכל אמה מרובעת
|
|
|
כך תעשה כפול ו' על ח' והם מ"ח וכך הוא תשברתו
|
|
|
והנה החומה גבוהה עשרים כפול מ"ח על עשרים ויעלו תתק"ס וכך קנים מרובעות יש בבנין החומה
כפול אותם על ק' וכך הם המטוני שיהיו תוך החומה
|
|
|
ולדעת אלכסונה כפול ח' על עצמם ויהיו ס"ד גם כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו וחברם והם ק' וקח שרשם והם י' והוא האלכסון
|
|
|
תיג) שאלה בכאן חומה שהיא ארוכה כ"ה וחצי ורחבה ח' אמות ועביה ב' אמות וחצי ופרע בעד כל אמה מרובעת ב' קרלי' ושליש
אשאל כמה יפרע בעד כל החומה
|
|
|
תעשה כך כפול כ"ה וחצי בעד ב' וחצי ויהיו ס"ג וג' רביעיות וכך הוא שטחו
אח"כ כפול זה על הרוחב שהוא ח' ויעלה תק"י וכך קנים מרובעות יש בכל הכותל
כפול כל זה על ב' ושליש ויצא לך אלף קצ"ב וכך פרע לבנות כל הכותל
|
|
|
תיד) שאלה בכאן תמונה מרובעת מלאה מים אשר כל צלע ו' וגבהו עשרה
אשאל כמה מים תכיל הצורה באופן תכיל כל קנה מרובעת ח' בארילי
|
|
|
כך תעשה כפול הב' צלעות והם ו' על ו' ויהיו ל"ו וכך הוא שטחו
אח"כ כפול זה על גבהו שהוא עשרה ויהיו ש"ס וכך הם הקנים מהתמונה
|
|
|
אח"כ כפול זה על ח' ויצא לך אלפים ותת"פ וכך הם הקנים הברילי ממים אשר תכיל כל התמונה
|
|
|
תטו) שאלה בכאן תמונה מרובעת ארך הקו האחד עשרה והאחר ד' והשנים הנכוחיים י"ב
אשאל כמה תשבורת המרובע הבלתי מתיחס
|
|
|
כך תעשה קח חצי עשרה שהם ה' וחצי ד' שהם ב' תסיר ב' מה' נשארו ג' כפול אותם על עצמם ויהיו ט'
אח"כ תחבר הב' קוים שהם י"ב כל אחד ויהיו כ"ד וקח חצים שהם י"ב וכפלם על עצמם ויהיו קמ"ד
תסיר מהם הט' וישארו קל"ה וקח שרשם שהם י"א וי"ד חלקים מכ"ג וכך הוא תשבורת התמונה
|
|
|
ולמצא הרחב תחבר י' עם ד' ויהיו י"ד וקח חציים והם ז' והוא מדת הרוחב
אח"כ כפול הי"ד וי"א חלקים נגד הז' ויעלו פ"א וו' חלקים מכ"ג וכך הם הקנים מרובעות שהיא בתמונה
|
|
|
תיו) שאלה בכאן תמונה מרובעת בלתי מתיחסת ארך הקו האחד י' והאחר ד' והאחר י"ב והאחר י"ו
נרצה לדעת כמה תשברתו
|
|
|
כך תעשה עשה כמו הקודמת וכל התמונות הדומות לו והוא תשבורת זאת התמונה צ"ה וב' שלישיו'
|
|
|
תיז) שאלה הנה בכאן תמונה עשויה כדמות משולש ומרובע אשר גבהה ל' ורחבה מ' ובכל שני הצלעות ח' ובאמצע ו'
אם תרצה לדעת כמה תשבורת התמונה כך תעשה
|
|
|
ראה כמה אחד מהחלקים כי כשתדע החלק האחד תדע החלק האחר ואח"כ תקח חצי ל' שהם ט"ו וחצי האמצע שהם שלשה והסר מט"ו ג' הנשאר י"ב תכפלם על עצמם ויהיו קמ"ד שמור אותם
אח"כ קח חצי ס' מהצלע האחר שהם ל' וחצי האחר שהם ל' וחבר הכל ויהיו ס' וקח חצים שהם ל' וכפול אותם על עצמם ויהיו ט' מאות
הסר מהם קמ"ד הנשאר תשנ"ו תסיר מהם השרש שהם כ"ז וכ"ז חלקים מנ"ה וכך הוא העמוד מהל' עד אמצע התמונה
|
|
|
אח"כ חבר הל' עם הו' מאמצע התמונה ויהיו ל"ו וקח חציים שהם י"ח וכך תהיה תשבורת חצי התמונה
|
|
|
אח"כ כפול הארך עם הרחב והם כ"ז עם כ"ז חלקים מנ"ח על י"ח ויהיו ד' מאות וצ"ד ומ"ו חלקים מנ"ה וכך הם המדות מחצי התמונה
|
|
|
ולדעת כמה המדות מהחצי האחר תעשה באופן אשר עשית בחצי הקודם ותמצא כי מכיל תק"פ תקס"ח וג' שביעיות
ואח"כ תחבר תשבורת זה עם זה ויעלה בין הכל אלף וס"ג וק"ב חלקים מג' מאות ופ"ה
|
|
|
תיח) שאלה בכאן שני מגדלים גובה האחד ל' והאחר נ'
נרצה לעשות גשר מראש מגדל של זה לראש של זה
כמה יהיה ארכו וארך המגדלים זה מזה עשרי'
|
|
|
כך תעשה כפול ארך המגדלים זה מזה שהם כ' ויהיו ד' מאות
אח"כ תסיר גובה אחד מהכותלים מהאחר ותסיר ל' מנ' הנשאר כ' כפלם על עצמם ויהיו ד' מאות
קח אלו הד' מאות עם הד' מאות האחרים ויהיו ת"ת קח מהם השרש והם כ"ח וי"ו חלקים מנ"ז והוא תשבורת הגשר אשר מראש המגדל לאחר
|
- 419) Question: a rhombus, one of its diagonals is 40 and the other is 30.
- I wish to know: how much is its area?
|
תיט) שאלה בכאן מרובע מעויין אשר אחד מאלכסונותיו מ' והאחר ל'
אשאל לדעת כמה תשברתו
|
|
|
כך תעשה קח אחד מאלכסוניו וכפלהו על כל האחר כאלו תכפול חצי ל' שהם ט"ו על מ' ויהיו ו' מאות וכך הוא תשבורת התמונה
|
|
|
תכ) שאלה בכאן מעיין מרובע כל אחד מצלעותיו עשרים קנים ובכל קנה יכנסו בה עשרה ברילי ממים
אשאל כמה תשברתו וכמה ברילי ממים יכנסו בה
ואם ישליך אדם בתוך המעיין אבן אחת אשר כל אחד מד' צלעותיה ה' קנים כמה ישפכו ממי המעיין חוצה
|
|
|
כך תעשה כפול אורך המעיין עם הרוחב שהוא עשרים על עשרים ויהיו ד' מאות כפלם על עשרים שהוא הגובה ויהיו ח' אלפים וכך הם הקנים
|
|
|
ויען כי אמר כי בכל קנה מרובעת יכילו עשרה ברילי כפלם על י' ויהיו פ' אלפים וכך הם הברילי מהמים
|
|
|
ולדעת כמה מים יצאו מהמעיין בהשלכת האבן בתוכו
|
|
|
כפול האבן ארך עם רוחב ויהיו כ"ה אח"כ כפול זה על הגובה ויהיו קכ"ה וכפול זה על עשרה יען כי בכל קנה יש בה עשרה ברילי ויעלה אלף ר"נ וכך ברילי תכיל תשבורת האבן וכך הם הברילי היוצאים מהמעיין בנפילת האבן
|
|
|
ואם תרצה לדעת כמה אבנים תכיל כל המעיין
|
|
|
תחלק פ' אלפים על אלף ונ' ויצא לך ס"ד וכך אבנים תכיל כל המעיין
|
|
|
תכא) שאלה בכאן שני אבנים הקטנה היא ב' על ב' ברום ב' והשנית ד' על ד' ברום ד' והקטנה שוה ה' דוקט
|
|
|
קח תשבורת הקטנה שהם ח' וקח תשבורת הגדולה שהיא ס"ד ותאמר אם ח' שוים ה' כמה שוים ס"ד ויצא לך מ' וכך הוא ערך הגדולה
|
|
|
תכב) שאלה הנה בכאן תמונה מרובעת ומשולשת אשר אחד מאלכסוניו הוא פ'
אשאל כמה תשברתה
|
|
|
כך תעשה קח חצי אלכסון האחד שחציו מ' ומהאחר חציו כ' כפול אלו עם אלו ויעלה ח' מאות וכך הוא המשולש
|
|
|
כך תעשה קח חצי האלכסון שהוא עשרים וחצי התושבת שהיה עשרה וחציו ה' וחברם עם חמשה ויהיו כ"ה
אח"כ קח חצי פ' שהוא מ' ותכפלם על כ"ה ויעלה אלף וכך הוא תשבורת המרובע
|
|
|
אח"כ חבר קנה המרובע עם המשולש שהיה ח' מאות ויהיו אלף וח' מאות וכך הוא תשבורת התמונה
|
|
|
תכג) שאלה בכאן תמונה בעלת ה' צלעות ארך כל צלע מבחוץ י"ב אמות ומבפנים עשר אמות
ארצה לדעת תשברתה
|
|
|
כך תעשה כפול י' שהוא ארך כל צלע מבפנים ויהיו מאה
אח"כ קח חצי י"ב שהוא הצלע החצוני שהם ו' והם ל"ו
תסירם ממאה והם ס"ד קח שרשם שהם ח' וכך הוא העמוד מכל אחד מהמשולשים
|
|
|
אח"כ קח חצי הצלע החצוני שהוא ו' וכפול אותו על ח' ויהיו מ"ח והוא תשבורת כל מרובע משולש
ויען כי הם חמשה כפול מ"ח על חמשה ויעלה ר"מ וכך הוא תשבורת התמונה
|
|
|
ואם היה לה גובה ראוי לכפול אותה כנגד הגובה
|
|
|
תכד) שאלה בכאן תמונה ו' צלעות ארך כל קו מבחוץ הן מבפנים הם י' אמות
נרצה לדעת תשבורת התמונה
|
|
|
כך תעשה קח אחד מהצלעו' וכפלם על עצמם ויהיו ק'
אח"כ קח חצי אחד מהצלעות מבחוץ שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה
תסירם מק' וישארו ע"ה וקח שרשם מהמרובע ויהיו ח' וי"א חלקים מי"ו וכך הוא ארך העמוד
|
|
|
אח"כ קח מחצית הצלע שהם ה' וכפול אותו על העמוד ויעלה מ"ג וד' חלקים מי"ז וכך הוא תשבורת כל משולש
|
|
|
ויען כי הם ו' משולשים כפלם ו' פעמים ויעלה רנ"ט וז' חלקים מי"ז והוא תשבורת התמונה
|
|
|
תכה) שאלה בכאן עגול אורך אלכסונו ז' אמות
כמה הקפו וכמה תשברתו
|
|
|
כפול ז' על ג' ושביעית ויהיו כ"ב וכך הוא הקפו
|
|
|
אח"כ קח חצי הקפו וחצי אלכסונו והנה חצי הקפו י"א וחצי אלכסונו ג' וחצי וכפלם ויעלה ל"ח וחצי וכך הוא תשבורת העגול
|
|
|
תכו) שאלה בכאן עגול ארך הקפו מ"ד
אם תרצה לדעת תשבורת העגול
|
|
|
כך תעשה חלק מ"ד על ג' ושביעית ויצא י"ד וכך הוא האלכסון
|
|
|
אח"כ קח חצי אלכסונו שהוא ז' וחצי הקפו שהוא כ"ב וכפלם ויעלו קנ"ו וכך הוא תשבורת העגול
|
|
|
תכז) שאלה הנה בכאן פאואלייוני אשר ארך המקל אשר הפאואלייוני תקוע בו ה' אמות והדוק התקוע במקל שהוא מגיע לארץ עשרה אמות
אשאל כמה מקום מחזיק מהקרקע סביבו וכמה קנים מדוק באהל וכמה הוא אלכסונו
|
|
|
הנה לדעת אלכסונו הנה תכפול הח' קנים מהמקל על עצמם ויהיו ס"ד
ג"כ תכפול העשרה קנים שהוא ארך הדוק ויהיו ק'
הסר מאלו הק' ס"ד וישארו ל"ו קח שרש ל"ו שהם ו' והוא חצי האלכסון כפול אותו והוא י"ב
|
|
|
ולדעת כמה סביבו כפול י"ב על ג' ושביעית וכך הוא סביבו
|
|
|
ואם תרצה לדעת כמה תשבורת כל האהל קח חצי סביבו וחצי ל"ו שהם י"ח וו' שביעיות וכפלם על הגובה ויעלה קי"ג ושביעית וכך הוא תשבורת התושבת
|
|
|
ולדעת כמה קנים מרובעות כל האהל קח מחצית ל"ז וה' שביעיות וכפלם על י"ח וו' שביעיות וכפלם על ח' קנים שהוא ארך המקל ויעלה ק"נ וו' שביעיות וכך קנים יש באהל
|
|
|
תכח) שאלה יש כאן כרי של חטה אשר סביבו מ"ד וגבהו ט' קנים
ארצה לדעת כמה חטה יש בכרי באופן שיהיה בכל קנה מרובעת א' קוצא מחטה
|
|
|
כך תעשה כך מרובע סביבו שהוא מ"ד וכפלם על עצמם ויהיו אלף ותתקל"ו וקח ז' חלקים מפ' מזה המספר ויהיו קנ"ד קנים וכך הם הקנים מן השטח
|
|
|
אח"כ קח שליש ט' שהם ג' וכפלם על קנ"ד ויהיו ד' מאות וס"ב קנים הוא תשבורת כל הכרי
וזה המספר ממש הם הקוצי מהחטה
|
|
|
תכט) שאלה בכאן בור אשר סביבו כ"ב והוא עגול וגבהו עשר אמות מלא מים
ארצה לדעת כמה ברילי ממים יש בבור באופן כי כל ג' אמות מרובעות יכילו ברילי אחד
|
|
|
כך תעשה כפול כ"ב שהוא הדיאמיטרו על עצמם ויהיו תפ"ד קח מהם י"א חלקים מי"ד ויהיו ש"פ וב' שביעיות וכך הם אמות משטח הבור
|
|
|
אח"כ כפול ש"פ על עשרה שהוא גובה הבור ויעלה ג' אלפים וח' אמות וו' שביעיות והם אמות המים אשר בבור
|
|
|
חלקם על ג' ויעלה אלף ורס"ז וי"ג חלקים מכ"א והם הברילי ממים אשר בבור
|
|
|
תל) שאלה בכאן עמוד אחד אשר אלכסונו ב' אמות וגבהו עשרה
כמה ישקול באופן כי כל אמה מרובעת תשקול חמישים ליט'
|
|
|
כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ד' ומהם תסיר י"א חלקים מי"ד ויהיו ג' ושביעית וזהו תשבורת סבובו ר"ל שטחו
|
|
|
אח"כ כפול זה על עשרה ויעלה ל"א וג' שביעיות והם אמות כל העמוד
|
|
|
ולדעת כמה ליט' תשקול כפול זה על נ' ויעלה אלף ותתקע"א ליט' וג' שביעיות תשקול העמוד
|
|
|
תלא) שאלה בכאן שק אשר אלכסונו הוא ג' זרתות וארכו ו' זרתות
אשאל כמה טומולי מחטה תכיל באופן תכיל כל ב' זרתות ג' טומולי מחטה
|
|
|
כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ט' וקח י"א חלקים מי"ד הנשאר ז' וא' חלק מי"ד וכך הוא שטחו
|
|
|
אח"כ כפול זה על הגובה ויהיו מ"ב וו' חלקים מי"ד וכך הם זרתות שמכיל השק
|
|
|
ולדעת כמה טומולי מחטה תכיל כל השק תאמ' אם ב' שוים ג' כמה ישוו מ"ב וו' חלקים מי"ד ויצא לך ס"ג וט' חלקים מי"ד וכך טומולי מחזיק כל השק
|
|
|
תלב) שאלה בכאן שק מחזיק ל"ו טומולי מחטה ונרצה לעשות ממנו ג' שקים
כמה יחזיק כל אחד
|
|
|
יען כי תרצה לעשות ג' שקים כפלם על עצמם ויהיו ט' וחלק ל"ו עליהם ויהיו ד' וכך תחזיק כל שק ושק
|
|
|
תלג) שאלה בכאן ארבעה שקים כל אחד מכיל שלשה ונרצה לעשות מארבעתם שק אחד
כמה יכיל
|
|
|
יען כי הם ד' שקים כפלם על עצמם ויהיו י"ו ואלו הי"ו כפלם על ג' ויהיו מ"ח וכך מחזיק השק
|
|
|
תלד) שאלה לאדם ד' שקים גבהם שוה ורחבם האחד ב' והאחר ד' והאחר ה' והאחר עשרה ונרצה לעשות מכלם שק אחד
כמה יכיל
|
|
|
כפול רוחב השקים זה על זה והנה נכפול ב' על ד' הם ח' כפול זה על ה' והם מ' גם זה על י' והם ת' וקח שרשם והם עשרים כפלם על ד' שהם השקים ויהיו פ' תוסיף בם מה שמחזיק כל שק שהם ב'ד'ה'י' ויהיו ק"י וכך תכיל השק
|
|
|
תלה) שאלה בכאן כדור אחד אשר אלכסונו ג' זרתות
ארצה לדעת כמה ליטר' תשקול כל הכדור באופן כי תשקול כל זרת מרובע ק' ליט'
|
|
|
כן תעשה כפול האלכסון על מעוקבו ויהיו כ"ז וקח י"א חלקים מכ"א שהם י"ד ושביעית וכך הם הזרתות המרובעות
|
|
|
אח"כ כפול זה על ק' ויצא לך אלף ותי"ד וב' שביעיות וכך תשקול הכדור
|
|
|
תלו) שאלה בכאן שני כדורים אשר אחד מהם הקפו כ' זרתות וא' ואלכסונו ב' זרתות והאחרת הקפו עשרה ואלכסונו ארבעה
ארצה לדעת כמה פעמים שוקלת יותר הגדולה מהקטנה
|
|
|
כך תעשה כפול הקף הקטנה על עצמם ויהיו כ"ה אח"כ כפלם על ב' שהוא האלכסון והם נ' וכך הם זרתות הכדור הקטן
|
|
|
ולדעת זרתות הגדול כך תעשה כפול הקף הגדול על עצמו שהם ק' גם זה על האלכסון ויהיו ד' מאות
|
|
|
חלק ד' מאות על נ' ויצא ח' וכך פעמים תשקול הגדול מהקטן
|
|
|
תלז) שאלה שני חביות האחת אלכסונה ב' והשנית אלכסונה ד'
אשאל כמה גדולה הגדולה מהקטנה
|
|
|
קח מעוקב הקטנה וקח י"א חלקים מכ"א שהם ד' וד' חלקים מכ"א וכך הוא תשבורת הקטנה
|
|
|
גם קח מעוקב הגדולה שהם ס"ד וקח י"א חלקים מכ"א שהם ל"ג וי"א חלקים מכ"א והוא תשבורת הגדולה
|
|
|
אח"כ חלק הגדולה על הקטנה ויצא ח' וכך חביות קטנות תכיל הגדולה
|
|
|
תלח) בכאן קשת ארך המתר י"ד ואורך החץ ז'
כמה הוא הקשת
|
|
|
כך תעשה כפול החץ שהוא ז' על ג' ושביעית ויצא כ"ב וכך הוא הקשת
|
|
|
ולדעת תשברתו קח חצי הקשת שהוא י"א וחצי המתר שהוא ז' וכפול זה על זה ויהיו ע"ז וכך הוא תשבורת זה העגול
|
|
|
תלט) שאלה בכאן חצי עגול הקף הקשת כ"ב
ארצה לדעת כמה המתר
|
|
|
כך תעשה חלק כ"ב על ג' ושביעית ויצא לך ז' וכך הוא החץ
|
|
|
כפול זה על י"ד והוא המיתר
|
|
|
תמ) שאלה בכאן תמונה מעוגלת יותר מחצי עגול ארך החץ ט' והמתר ו' והקשת כ"ה
ארצה לדעת כמה תשברתה
|
|
|
כך תעשה קח חצי המתר שהוא ג' כפלם על עצמם ויהיו ט' חלקם על ארך החץ שהם ט' ויצא א' תוסיף אותו על הט' מהחץ ויהיו י' וכך הוא ארך אלכסון התמונה
|
|
|
אח"כ כפול חצי האלכסון שהוא ה' על חצי הקפו שהיה כ"ה והם י"ב וחצי ויעלה ס"ב וחצי אח"כ קח חצי המתר שהם ג' וקח חצי האלכסון שהם ה' ותסירם מן הט' שהוא החץ וישארו ד' ותכפלם על הג' ויהיו י"ב אח"כ חבר אלו הי"ב אל הס"ב ויהיו ע"ד וחצי והוא תשבורת התמונה
|
|
|
תמא) שאלה בכאן תמונה שהיא פחותה מחצי עגול והיא מקפת ט' וחצי והחץ ב' והמתר הוא ח'
לדעת תשברתה
|
|
|
כך תעשה כך חצי ח' שהוא ארך המתר שהם ד' וכפלם על עצמם ויהיו י"ו וחלקם על החץ שהוא ב' ויצא ח' חברם עם ב' והם י' והוא האלכסון
|
|
|
אח"כ קח חצי האלכסון שהם ה' וחצי ההקף שהם ד' וג' רביעיות וכפלם ויהיו כ"ג וג' רביעיות עוד קח חצי האלכסון שהם ה' והסר מהם ב' הנשאר ג' כפלם על חצי אלכסון שהוא ח' ויהיו ד' ויהיו י"ב תסירם מכ"ג וג' רביעיות וישארו י"א וג' רביעיות והוא תשבורת התמונה
|
|
|
תמב) שאלה בכאן תמונה פחותה מחצי עגול אורך החץ ב' ואלכסונו עשרה
ארצה לדעת המתר
|
|
|
קח חצי האלכסון שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה
אח"כ קח הב' מהחץ ותסירם מהה' וישארו ג' ותכפלם על עצמם ויהיו ט' תסירם מכ"ה וישארו י"ו וקח שרשם שהם ד' וכפלם והם ח' וכך הוא תשבורת המתר
|
|
|
תמג) שאלה בכאן תמונה פחותה מחצי עגול אשר המתר ח' והאלכסון עשרה
אם תרצה לדעת החץ
|
|
|
כך תעשה קח חצי האלכסון שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה
גם קח חצי המתר שהם ד' וכפלם ויהיו י"ו
הסר אותם מכ"ה וישארו ט' וקח שרשם שהם ג' ותסירם מהה' שהוא חצי האלכסון וישארו ב' והוא ארך החץ
|
|
|
תמד) שאלה בכאן תמונה שהיא יותר מחצי עגולה אשר אלכסונו עשרה והחץ ט'
ארצה לדעת כמה הוא המתר
|
|
|
כך תעשה קח חצי האלכסון שהוא ה' ותסירם מהחץ שהוא ט' וישארו ד' וכפלם על עצמם ויהיו י"ו גם כפול חצי האלכסון ויהיו כ"ה הסר י"ו מכ"ה הנשאר ט' וקח שרשם והם ג' וכפלם והם ו' והוא אורך המתר
|
|
|
תמה) שאלה בכאן תמונה עשויה כדמות חבילה ארכה ל' ורחבה עשרים
ארצה לדעת תשברתה
|
|
|
כך תעשה כפול ל' על עשרים ויהיו ו' מאות קח ג' חלקים מי"ד ויהיו קכ"ח וד' חלקים מט' וישארו ד' מאות וע"א וג' שביעיות והוא תשבורת החבילה
|
- 446) Question: a circle whose diameter is 10.
- We want to transform the circle into a square.
- I wish to know: how much is the length of each side of the square?
|
תמו) שאלה בכאן עגול אשר אלכסונו י"ו
נרצה לעשות מזה העגול מרובע
ארצה לדעת כמה ארך כל צלע המרובע
|
|
|
כפול י"ו על עצמם ויהיו רנ"ו וקח חצים והם קכ"ח וקח שרשם והם י"א וז' חלקים מכ"ג וכך הוא אורך כל צלע מהמרובע
|
| Circumscribed circle
|
|
- 448) a circle, its diameter is 10 long and we want to construct a triangle inside of it.
- How much is the length of each side of the triangle?
|
תמז) שאלה בכאן עגול ארך אלכסונו עשרה ונרצה לעשות משולש בתוכו
כמה ארך כל קו מהמשולש
|
|
|
כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ק' וקח ג' רביעיותיו שהם ע"ה וקח שרשם שהם ח' וי"א חלקים מי"ו והוא ארך כל קו
|
|
|
ולדעת העמוד קח ג' רביעיו' האלכסון שהיה ויהיו ז' וחצי והוא ארך העמוד
|
- 449) Question: a square, the length of each of its sides is ten.
- We want to transform it into a circle.
- how much is its perimeter?
|
תמח) שאלה בכאן מרובע ארך כל צלע עשרה נרצה לעשות ממנו עגול
כמה יהיה הקפו
|
|
|
כך תעשה כפול הצלע ויהיו ק' והוא תשבורת המרובע
|
|
|
אח"כ ראה מאה מאיזה מספר הם י"א חלקים מי"ד ותמצא קכ"ז וג' חלקים מי"א אח"כ קח שרשם מקכ"ז והם י"א וב' שביעיות והוא ארך אלכסון העגול
|
|
|
אח"כ כפול אלו הי"א וב' שביעיות על ג' ושביעית ויעלה כ"ה וכ"ג חלקים ממ"ט וכך הוא הסבוב
|
- 449) Question: a square, each of its sides is ten.
- One wants to transform it into a triangle and know how much is each of its sides.
|
תמט) שאלה בכאן מרובע אשר כל צלע עשרה ורוצה לעשות ממנו משולש
לדעת כל קו מהמשולש
|
|
|
כפול צלע המשולש ויהיו ק' וכפלם ויהיו מאתים אח"כ קח השישית והשביעית מק' ויהיו ל"א ותוסיפם על מאתים ויהיו רל"א תסיר מהם שרש המרובע שהם ט"ו וו' חלקי' מל"א וכך הוא ארך כל צלע המשולש
|
- 450) Question: a barrel, one of its base is 8 zeratot, the other base is 7 [zeratot], and it is 10 [zeratot] high and 6 [zeratot] long.
- I wish to know: how many barril of water it contains so that 9 square zeratot contain one barrilo?
|
תנ) שאלה בכאן חבית אשר אחד מהקצוות ח' זרתות והקצה האחר ז' והיא גבוהה עשרה וארוכה ו'
אשאל לדעת כמה ברילי יש בה ממים באופן יכילו ט' זרתות מרובעים א' בארילו
|
|
|
כך תעשה חבר הקצוות שהם ח' עם ז' וחצי ותחברם אל הגובה מאמצע החבית שהם י' ויהיו י"ז וחצי וקח חצים שהם ח' וג' רביעיות ותכפלם על עצמם ויהיו ע"ו וט' חלקים מי"ו הסר י"א חלקים מי"ד שהם ס' וה' חלקים מל"ב ותכפלם על ארך החבית שהם ו' ויהיו ש"ס וט"ו חלקים מי"ו וכך הם הזרתות שהם בחבית וחלקם על ט' שיש בכל ברילי ויצא ארבעים וה' חלקים ממ"ח והם סכום הבארילי
|
- 451) Question: half a barrel, the diagonal of one of its bases is 2½ zeratot long, the diagonal of the other base is 1½ zeratot and it is 2 zeratot high.
- We want to know: how much it would contain so that 3 square zeratot contain one barril?
|
תנא) שאלה בכאן חצי חבית אשר ארך האלכסון מן הקצה האחד ב' זרתות וחצי והאלכסון מהקצה האחר א' וחצי והיא ארוכה ב' זרתות
נרצה לדעת כמה תכיל באופן כי ג' זרתות מרובעים יכילו בריל אחד
|
|
|
כך תעשה תחבר אלכסונות הקצוות שהם בין שניהם ד' וקח חצים וכפלם על עצמם ויהיו ד' וקח י"א חלקי' מי"ד שהם ג' ושביעית ותכפלם על הארך שהם ב' ויעלה ו' וב' שביעיות
|
|
|
ולדעת כמה מים יכיל בתוך חצי חבית חלק הו' וב' שביעיות על ג' זרתות אשר יכילו בין שלשתן ברילי אחד ויצא ב' וב' חלקים מכ"א
|
- 452) Question: we have three proportional numbers such that the ratio of the first to the second is as the ratio of the second to the third.
- If we multiply the first by the second, then multiply the result by the third it will be a thousand.
- How much are the proportional numbers?
|
תנב) שאלה יש לנו ג' מספרים יחסיים אשר יחס הא' אל הב' כיחס הב' אל הג'
והנה נכפול הא' על הב' והעולה נכפול על ג' הוא אלף
כמה הם המספרים היחסיים
|
|
|
הדרך הוא כך קח שרש מעוקב מאלף הוא עשרה הנה א"כ המספר אמצעי הוא עשרה
אח"כ חלק אלף על עשרה ויעלו מאה
א"כ בקש לעשות ממאה ב' חלקים אשר אם תכפול חלק אחד על עשרה ומה שיעלה כפול על החלק השני שיעלה אלף
הנה כשנעשה ממאה ב' חלקים יהיה החלק הא' ב' והשני חמישים
|
|
|
א"כ תאמ' כי הג' מספרים יחסיים הא' ב' והשני עשרה והשלישי חמישים הנה יחס ב' אל י' כיחס י' אל נ' הנה א"כ השאלה היא נעשת כהוגן
|
|
|
והנה אם נכפול המספר הראשון שהוא ב' על המספר השני שהוא י' יעלו עשרים ואם תכפול עשרים על המספר השלישי שהוא נ' יעלו אלף
|
|
|
ואם תרצה לחלק אלף על שרש מעוקבו שהוא י' באופן אחר כך תעשה תחלק אלף על עשרה ויצאו מאה תחלק מאה לב' חלקים באופן כי כשתכפול החלק הראשון על עשרה והעולה כפול על החלק השני ויעלו אלף כך תעשה הנה החלק האחד יהיו חמשה והחלק האחר יהיו עשרים והאמצעי הוא עשרה והנה הראשון הוא ה' והב' י' והג' עשרים והנה יחס הא' אל הב' כיחס הב' אל הג' ואם תכפול ה' על י' יהיו חמשים כפול חמישים על עשרים והם אלף וכן כל כיוצא בזה
תם ונשלם תל"ע
|
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle d&\scriptstyle=\frac{\left(17\sdot10\right)-\left[\left[{\color{red}{3}}\sdot\left(12+\frac{2}{15}\right)\right]+\left[2\sdot\left(15+\frac{2}{7}\right)\right]+\left(23+\frac{2}{5}\right)\right]}{4}\\&\scriptstyle=\frac{\left(17\sdot10\right)-\left[\left(9\sdot10\right)+\frac{44+\frac{4}{7}}{120}\right]}{4}\\&\scriptstyle=\frac{\left(7\sdot10\right)+9+\frac{75+\frac{3}{7}}{120}}{4}\\&\scriptstyle=1{\color{red}{9}}+\frac{10{\color{red}{8}}+\frac{6}{7}}{120}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/4/4/e/44ed5865b7f75612e3198281884cc0bd.png)
months
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{3}\sdot\left(41+\frac{1}{7}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(41+\frac{1}{7}\right)\right]=\left(13+\frac{5}{7}\right)+\left(10+\frac{2}{7}\right)=24}}](/mediawiki/images/math/c/4/3/c430f29272e6cfe1b7dd3be5420e76c3.png)
![\scriptstyle\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{3}X-\frac{1}{5}X\right)\right]=12](/mediawiki/images/math/0/b/d/0bdc270c3b686caf42ecf09c9a1d5798.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{8}{15}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{7}{15}\right)=\frac{62}{90}}}](/mediawiki/images/math/8/1/e/81e89f769e5c3da454c012bb1ed4a1f9.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(8+\frac{8}{29}\right)+\left[\left[\frac{1}{4}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(8+\frac{8}{29}\right)+\left[\left(2+\frac{2}{29}\right)+\left(1+\frac{\frac{\left(3\sdot29\right)+8}{5}}{29}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(8+\frac{8}{29}\right)+\left[\left(2+\frac{2}{29}\right)+\left(1+\frac{\frac{95}{5}}{29}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(8+\frac{8}{29}\right)+\left[\left(2+\frac{2}{29}\right)+\left(1+\frac{19}{29}\right)\right]=12\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/f/1/7/f177fd872c7dcb79d2a1d37fefb56c30.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{1}{5}\sdot\left(54+\frac{6}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(54+\frac{6}{54}\right)\right]+4\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{10}{11}\right)+\left(9+\frac{1}{11}\right)+4\\&\scriptstyle=20+4=24\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/8/f/0/8f0ec439ce786ed5d1961aa35cecee80.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(12+\frac{6}{7}\right)-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+\frac{6}{7}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(12+\frac{6}{7}\right)\right]\right]-2\\&\scriptstyle=\left(12+\frac{6}{7}\right)+\left[\left(4+\frac{2}{7}\right)+\left(2+\frac{4}{7}\right)\right]-2\\&\scriptstyle=6-2=4\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/0/b/e/0be6ff97e55ae88512c0f4eb135e21b1.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(8+\frac{4}{7}\right)\right]+5\right]+\left[\left[\frac{1}{4}\sdot\left(8+\frac{4}{7}\right)\right]-2\right]\\&\scriptstyle=\left[\left(2+\frac{6}{7}\right)+5\right]+\left[\left(2+\frac{1}{7}\right)-2\right]\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{6}{7}\right)+\frac{1}{7}=8\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/9/2/f/92f5cc7676d51ca3b85000be40b93a4c.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{1}{4}\sdot\left(15+\frac{5}{9}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(15+\frac{5}{9}\right)\right]+2-3\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{8}{9}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)+2-3=6\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/2/f/a/2faab4af86bc64736eb4121e6d835bf8.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)\right]^2=5^2=25}}](/mediawiki/images/math/9/b/7/9b7c81bb4ccb8defbc0ffdc19ed0ebd5.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{11}{25}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{11}{25}\right)\right]\right]^2\\&\scriptstyle=\left(\frac{18}{25}+\frac{12}{25}\right)^2\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{5}\right)^2=1+\frac{11}{25}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/8/e/c/8ec30f7f08e7cb61beacae13974a828e.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]\right]^2\\&\scriptstyle=\left(\frac{24}{25}+\frac{16}{25}\right)^2\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{3}{5}\right)^2\\&\scriptstyle=2+\frac{14}{25}=\left(1+\frac{23}{25}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/2/b/0/2b074eea312c7ea29dd2668a0a3dc2e7.png)
![\scriptstyle\left[\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)\right]\right]=12](/mediawiki/images/math/9/f/b/9fb42766182ab84ca76f0ac2ea220a12.png)
![\scriptstyle\frac{1}{2}X+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{2}X\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[X-\left[\frac{1}{2}X+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{2}X\right)\right]\right]\right]\right]=14](/mediawiki/images/math/6/f/9/6f9ff55e47632097b32644bf2a91f9fe.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left[\left(18+\frac{2}{3}\right)-\left(9+\frac{1}{3}\right)\right]=3+\frac{1}{9}}}](/mediawiki/images/math/2/7/5/2753c811edc4a06121ee2c781a4a03d6.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left[\left(18+\frac{2}{3}\right)-\left[\left(9+\frac{1}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)\right]\right]=1+\frac{5}{9}}}](/mediawiki/images/math/a/e/1/ae179cb8039f07f5701c3baa29f32cd8.png)
![\scriptstyle\sqrt[3]{10}](/mediawiki/images/math/9/d/f/9df29fc2932ecfc10526c2086beee64c.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt[3]{10}&\scriptstyle=2+\frac{10-2^3}{3^3-2^3}\\&\scriptstyle=2+\frac{10-\left(2\sdot2\sdot2\right)}{\left(3\sdot3\sdot3\right)-\left(2\sdot2\sdot2\right)}\\&\scriptstyle=2+\frac{10-\left(2\sdot4\right)}{\left(3\sdot9\right)-\left(2\sdot4\right)}\\&\scriptstyle=2+\frac{10-8}{27-8}=2+\frac{2}{19}=2+\frac{2}{19}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/b/9/f/b9f48af27f74e5d18efab56edbe7d5f0.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(2\sdot2\right)-1\right]=2\sdot\left(4-1\right)=2\sdot3=6}}](/mediawiki/images/math/7/4/1/741f0367907bd9f3ad63925e1d934f09.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left[\left(2\sdot4\right)-1\right]=4\sdot\left(8-1\right)=4\sdot7=28}}](/mediawiki/images/math/e/c/b/ecb846b9b29eeaabc19e5afaf7e9de6a.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\left[\left(2\sdot8\right)-1\right]=8\sdot\left(16-1\right)=8\sdot15=120}}](/mediawiki/images/math/6/9/7/697df0018255b92afbac2f386c421c43.png)
not a perfect number![\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left[\left(2\sdot16\right)-1\right]=16\sdot\left(32-1\right)=16\sdot31=496}}](/mediawiki/images/math/7/a/1/7a1d9a89733751d93ce262b2985a04be.png)
not a perfect number
not a perfect square
not a perfect square
not a perfect square
not a perfect square
not a perfect square
not a perfect square
![\scriptstyle\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{5}X+20\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}\sdot\left(X-\frac{1}{5}X-20\right)+40\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}\sdot\left[\left(X-\frac{1}{5}X-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(X-\frac{1}{5}X-20\right)\right]-40\right]+60\\&\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\left[\left[\left(X-\frac{1}{5}X-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(X-\frac{1}{5}X-20\right)\right]-40\right]-\left[\frac{1}{5}\sdot\left[\left(X-\frac{1}{5}X-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(X-\frac{1}{5}X-20\right)\right]-40\right]\right]-60\right]+80\end{align}](/mediawiki/images/math/e/7/7/e775db382e08f72c34973b6e696db899.png)
= 67½ carlini
![\scriptstyle{\color{blue}{Y_I+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_I\right)=7+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+9\right)\right]=7+\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)=7+7=14}}](/mediawiki/images/math/a/3/8/a385ddbda665dd4ff41baa5ce7fb2d21.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{Y_{II}+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_{II}\right)=10+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+6\right)\right]=10+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=10+6=16}}](/mediawiki/images/math/6/4/b/64b362bcd1beaa81a248361e5f6ed9ef.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{Y_I+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_I\right)=7+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(9+15\right)\right]=7+\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)=7+8=15}}](/mediawiki/images/math/8/1/b/81b76c30e21100d5997ebd09dc4a9d27.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{Y_{II}+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_{II}\right)=10+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(9+12\right)\right]=10+\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)=10+7=17}}](/mediawiki/images/math/0/7/c/07c99984dad1c99febedac0f17516ae7.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{X_1+\frac{1}{2}\sdot\left(Y_1+Z_1\right)=12+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(16+0\right)\right]=12+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=12+8=20}}](/mediawiki/images/math/6/d/6/6d66fa8623f2c5c8cb8cf321dfe7dfd5.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{Y_1+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_1\right)=16+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+0\right)\right]=16+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)=16+4=20}}](/mediawiki/images/math/0/d/8/0d8dd6c8d5d3b611025a659c200c1d6b.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{Z_1+\frac{1}{4}\sdot\left(X_1+Y_1\right)=0+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(12+16\right)\right]=0+\left(\frac{1}{4}\sdot28\right)=0+7=7}}](/mediawiki/images/math/1/5/8/1588802d6f84f539655ed605ea091267.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{X_2+\frac{1}{2}\sdot\left(Y_2+Z_2\right)=9+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\right]=9+11=20}}](/mediawiki/images/math/9/d/a/9da4c8767d5abb357e66a66cdfc07b61.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle Y_2+\frac{1}{3}\sdot\left(X_2+Z_2\right)&\scriptstyle=\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left[9+\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(16+\frac{1}{2}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)=20\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/2/e/f/2ef645338f3a361a27a20c7252890003.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle Z_2+\frac{1}{4}\sdot\left(X_2+Y_2\right)&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[9+\left(14+\frac{1}{2}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(5+\frac{7}{8}\right)=13+\frac{3}{8}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/6/e/c/6ecd2e03a7a1dbfc571cb74094ef8ca8.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{\left(13\sdot9\right)-\left[12\sdot\left(6+\frac{5}{8}\right)\right]}{13-\left(6+\frac{5}{8}\right)}=\frac{117-\left(79+\frac{1}{2}\right)}{6+\frac{3}{8}}=\frac{37+\frac{1}{2}}{6+\frac{3}{8}}=5+\frac{15}{17}}}](/mediawiki/images/math/f/2/4/f24da28bae5059ba127505c04aaf67cb.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{Y=\frac{\left[13\sdot\left(14+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[16\sdot\left(6+\frac{5}{8}\right)\right]}{13-\left(6+\frac{5}{8}\right)}=\frac{\left(188+\frac{1}{2}\right)-106}{6+\frac{3}{8}}=\frac{82+\frac{1}{2}}{6+\frac{3}{8}}=12+\frac{16}{17}}}](/mediawiki/images/math/f/a/c/fac9581332c4f05b4f0022d7956778c1.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{Z=\frac{\left[13\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[0\sdot\left(6+\frac{5}{8}\right)\right]}{13-\left(6+\frac{5}{8}\right)}=\frac{\left(97+\frac{1}{2}\right)-0}{6+\frac{3}{8}}=\frac{97+\frac{1}{2}}{6+\frac{3}{8}}=15+\frac{5}{17}}}](/mediawiki/images/math/4/2/3/4231a616d7dff2262b5c61ed9d23e522.png)
