Difference between revisions of "האנציקלופדיה של אבו אלצלת"

Revision as of 07:56, 21 November 2019

	ספר ניקומאכוש בסגלות המספריות
	העתיקו בסרגוסא דארגו' השר דון בנבשת בן לביא נ"ע מלשון הגרי ללשון הקדש שנת קצ"ה ליצירה
	ובכל מקום הכתוב בגיליון א"ב ר"ל אמר בן בנשתי‫'
Book One
Introduction - Basic Definitions
Arithmetic - definition	חכמת המספר חכמה עיונית נושאה המספר המשולח אליו ומיניו והכונה בה העמידה על משיגיו ועל המתחייב אליו וסגלותיו ובכלל מקריו העצמיים
Number - definition	ומהות המספר הנה תאמר המספר קבוץ אחדים וגדרו שהוא כמות מתחלק מתקיים מאחדים
Unit - definition	ויש לוקחין האחדותיות תמורת האחדים לפי שהוא יותר מורה על טבע המספר, לפי שקבוץ האחדים אינו המספר עצמו המכוון הנה תאמו וגדרו ובכלל הודעת מהותו אבל הנספרים אשר הם נושאי המספר בקבוץ מהאנשים או מהסוסי' או זולת זה
Sum of Units - definition	וקבוץ האחדותיות הוא המספר עצמו המקובץ מהכפלת האחדות אשר בה יאמ' לכל דבר מהנספרים אחד
Absolute Number - First categorization: even number and odd number	והמספר המשולח יתחלק ראשנה לשני מינים זוג ונפרד
Even Number - any number that is divisible into two equal parts, such as 2 and 4	והזוג הוא כל מספר שיתחלק לשני חלקים שוים כשנים וארבע
Odd Number - definition	והנפרד הוא כל מספר שא"א שיחלק לשני חלקים שוים
The Book of Elements as the fundamental source for the science of arithmetic	כונתינו שנחבר אל מה שהקדמנו מהחכמות הלמודיות האופן הידוע בארתימטיקי ומה שפשט המנהג להביאו בו כפי האופן אשר פשט על ספר היסודות כבר נתן שרשים רבים בחכמת המספר והנחת זה האופן אצל ההגעה באותם השרשים
	וכבר אפשר שתתחברנה הרבה מהתמונות התשברתיות אשר להם התלות בהכאה והחלוק ובענייני היחס אל המספר ושתישבו ממנו משפטי המספר זה הספר והנה זה אליך
	אמנם מהות המספר הנה כבר ידעת בספר קאטיגוריאש ממנו דבר מה ונרמז לך בספר היסודות אליו רמז עוד יבא אליך בחכמה העליונה ממנו אמתות וכמו כן הענין בשני חלקיו אשר הם הזוג והנפרד וכבר ידעת מספר היסודות הראשון והמורכב מוחלטים והמורכב בצרוף וידעת הזוג והנפרד וזוג וזוג הנפרד וזוג הזוג וזוג הזוג והנפרד וידעת המספר החסר והשלם והנוסף ואיננו מחוייב אלינו הפשת זכרון אלה העניינים לך אבל שנשתדל להביא הסגלות אליך
Properties of the Absolute Number	ונזכור סגלות המספר המשולח
Every number is half the sum of its two sides: $\scriptstyle n=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(n-m\right)+\left(n+m\right)\right]$	והנה ראשנה שבהם והיותר מפורסמת: שכל מספר הנה הוא חצי שתי פאותיו והם שני המספרים הנלוים אליו מצד המעוט והרבוי במרחק שוה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(6+4\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(7+3\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(8+2\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(9+1\right)}}$	המשל בזה החמשה הנה הוא חצי ששה וארבעה וחצי שבעה ושלשה וחצי שמנה ושנים וחצי תשעה ואחד
$\scriptstyle2n=\left(n-m\right)+\left(n+m\right)$	והנה יהיה כפלו שוה לשתי פאותיו
$\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot n=\frac{1}{4}\sdot\left[\left(n-m\right)+\left(n+m\right)\right]$	וחציו לרביעית שתי פאותיו
$\scriptstyle n^2=\left[\left(n-1\right)\sdot\left(n+1\right)\right]+1$	וכל מספר יהיה מרובעו שוה להכאת שתי פאותיו הקרובות אחת מהם באחרת עם תוספת אחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2^2=\left(1\sdot3\right)+1}}$	כמו מרובע שנים אשר הוא מהכאת שלשה באחד ותוספת אחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3^2=\left(2\sdot4\right)+1}}$	וכמו מרובע שלשה אשר הוא מהכאת ארבעה בשנים ותוספת אחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{4^2=\left(3\sdot5\right)+1}}$	וכמו מרובע ארבעה אשר הוא מהכאת ג' בחמשה ותוספת אחד
$\scriptstyle n^2=\left[\left(n-m\right)\sdot\left(n+m\right)\right]+m^2$	וגם נאמר שכל מספר הנה מרובעו יוסיף על מושטח שתי פאותיו הרחוקות מרחק שוה תהיינה מה שתהיינה אחת מהם באחרת כמרובע מספר המדרגות אשר ביניהם
?	והנה אם תהיינה השתי פאות הקרובות והנה המדרגה היא הראשונה יוסיף כמרובע שלשה
For every number, its distance from its double in terms: If one takes it as the first of the terms - it is the same as the number plus one: $\scriptstyle2n-\left(n-1\right)=n+1$	וכל מספר הנה מרחקו במדרגות מכפלו אם כשתקח אותו ראשון למדרגות הנה הוא כמו מספרו ותוספת אחד
If one takes the number that follows as the beginning of the terms, it is as the number of units the are in it: $\scriptstyle2n-n=n$	ואם כשתקח ראשית המדרגות המספר הנלוה אחריו הנה הוא כמספר מה שבו מן האחדים
The example for this: what is between four and eight -	המשל בזה שבין ארבעה ושמנה
sometime 4, 5, 6, 7, 8 - which are five [terms]	לפעמים ד' ה' ו' ז' ח' והנה זה חמשה
and sometimes 5, 6, 7, 8, which is as the units that are in [four].	ולפעמים ה' ו' ז' ח' וזה כמו מספר מה שבו מן האחדים
For every number, its distance from its thrice is the same as the measure of its units multiplied by two:	וכל מספר מרחקו משלשה כפליו הנה הוא בכמו שיעור אחדיו מוכים בשנים
either plus one: $\scriptstyle3n-\left(n-1\right)=2n+1$	אם בתוספת אחד
or without the addition of the one, as is known: $\scriptstyle3n-n=2n$	אם בזולת תוספת אחד כפי מה שידעת אותו
Such as the two, whose distance from 6, which is its thrice, is as its multiplication by two plus one: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot2\right)-1=\left(2\sdot2\right)+1}}$ or without the addition: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot2\right)-2=2\sdot2}}$	כמו השנים אשר מרחקם מו' שהוא ג' דמיוניו הוא כמספר הכאתו בשנים בתוספת ובזולת תוספת
For every number, its distance from its fourfold is the same as its multiplication by three plus [one]: $\scriptstyle4n-\left(n-1\right)=3n+1$	וכל מספר מרחקו מד' כפליו הוא כהכאתו בג' מהמספר בתוספת
or without the addition [of the one] $\scriptstyle4n-n=3n$	ובזולת תוספת
$\scriptstyle\left(m\sdot n\right)-\left(n-1\right)=\left[\left(m-1\right)\sdot n\right]+1$ $\scriptstyle\left(m\sdot n\right)-n=\left(m-1\right)\sdot n$	ובכלל הנה המרחק בכל מקום הוא שנגרע מקריאת הכפלים אחד ונכה המספר במה שנשאר ואח"כ נוסיף או לא נוסיף
$\scriptstyle n^2-\left(n-1\right)=\left[n\sdot\left(n-1\right)\right]+1$ $\scriptstyle n^2-n=n\sdot\left(n-1\right)$	וכל מספר הנה מרחקו במרובעו בשעור הכאתו במספר אשר לפניו בתוספת אחד או בזולת תוספת
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2^2-2=2\sdot1}}$	כמו הכאת השנים באחד אשר הוא מרחקו ממרובעו כשלא נוסיף
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3^2-3=3\sdot2}}$	והכאת השלשה בשנים אשר הוא מרחק השלשה ממרובעו בשלא נוסיף
$\scriptstyle n^2=\left[\left(n+1\right)\sdot\left(n-1\right)\right]+1$	וכמו כן כל מספר הנה מרובעו שוה להכאתו בתוספת אחד במספר אשר לפניו ותוספת אחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2^2=\left(3\sdot1\right)+1}}$	כמו מרובע השנים אשר הוא שוה להכאת השלשה באחד ותוספת אחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3^2=\left(4\sdot2\right)+1}}$	ומרובע השלשה אשר הוא שוה להכאת הארבעה בשנים ותוספת אחד
$\scriptstyle\left[n\sdot\left(n-1\right)\right]-\left(n-1\right)=\left(n-1\right)^2$	וכל מספר הנה מרחקו מהכאתו במספר אשר לפניו הוא כמו מרבע המספר אשר לפניו כשלא יתוסף
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot2\right)-2=2^2}}$	המשל בזה שמרחק השלשה מהכאתו בשלשה הוא כמו מספר מרבע השנים
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot3\right)-3=3^2}}$	ומרחק הארבעה מהכאתו בשלשה הוא כמו מספר מרבע שלשה רצוני בזה כשלא יתוסף
$\scriptstyle\left[n\sdot\left(n+1\right)\right]-n=n^2$	וכל מספר הנה מרחקו מהכאתו במספר אשר אחריו כמו מספר מרובעו
$\scriptstyle n^3-n$ ?	וכל מספר הנה מרחקו ממעוקבו הוא כמו הנשאר ממעקבו אחר שיהיה בגרע ממנו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2^3-2=6}}$	כי בין השנים ומעקבו ששה וכמו בין מאלו והלאה עד אין תכלית
$\scriptstyle n^3-n=\left[n\sdot\left(n+1\right)\right]\sdot\left(n-1\right)$	וכל מספר הנה בינו ובין מעקבו מהמדרגות כמו הכאתו באשר ימשך אליו אחר כן הכאת זה כלו באשר לפניו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2^3-2=\left(2\sdot3\right)\sdot1}}$	כמו שנים בג' אחר כן באחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3^3-3=\left(3\sdot4\right)\sdot2}}$	ושלשה בארבעה אחר כן בשנים
$\scriptstyle n^4-n=\left[n^2+\left(n+1\right)\right]\sdot\left[n\sdot\left(n-1\right)\right]$	וכל מספר הנה בינו ובין העולה מהכאתו הנקרא בערבי מאל מאלה כמו הכאת מרבעו מחובר אל המספר הנמשך לזה המספר במה שעלה מהכאתו עם המספר אשר לפניו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2^4-2=14=7\sdot2=\left(2^2+3\right)\sdot\left(2\sdot1\right)}}$	כמו שבין מאל מאלה של שנים ושנים הוא י"ד ויתחדש מהכאת מרבע שנים מחובר עם שלשה שהוא ז' בהכאת שנים באחד
	וכמו כן מה שימשך והנה מה שנתקבץ בזה ונשוב אל בחינת סגלות המספרים הנמשכים
$\scriptstyle2n^2+2=\left(n-1\right)^2+\left(n+1\right)^2$	וכל מספר מרבעו כאשר נכפל ונוסף עליו שנים הנה הוא שוה למקובץ שני מרובעי פאותיו הקרובות
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10^2+2=202=81+121=9^2+11^2}}$	המשל בזה פי' הכאת עשרה בעצמו בתוספת שנים והוא מאתים ושנים הנה הוא שוה להכאת תשעה בעצמו והוא שמנים ואחד ולהכאת אחד עשר בעצמו והוא מאה ועשרים ואחד
$\scriptstyle2n^2+8=\left(n-2\right)^2+\left(n+2\right)^2$	וכל מספר הנה מרובעו כאשר יכפל ויתוסף עליו שמנה הוא שוה למקובץ שני מרובעי שתי פאותיו השניות
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10^2+8=208=8^2+12^2}}$	המשל בזה עשרה אשר מרובעו כשיעשה בו זה יהיה מאתים ושמנה והוא שוה להכאת שמנה בעצמו
$\scriptstyle2n^2+18=\left(n-3\right)^2+\left(n+3\right)^2$	וכל מספר אשר יכפל מרובעו ויתוסף עליו שמנה עשר הנה יהיה שוה לשני מרבעי פאותיו השלישיות
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10^2+18=218=7^2+13^2}}$	המשל בזה מאתים ושמנה עשר אשר הוא שוה להכאת שבעה בעצמו ושלשה עשר בעצמו
$\scriptstyle2n^2+32=\left(n-4\right)^2+\left(n+4\right)^2$	ואמנם בשתי פאות הרביעיות הנה התוספת שנים ושלשי‫'
$\scriptstyle2n^2+50=\left(n-5\right)^2+\left(n+5\right)^2$	ובשתי פאות החמישיות חמשים
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot1=2}}$	והסדר בזה שהתוספת הראשון הוא הכאת הזוג הראשון והוא שנים בנפרד הראשון והוא האחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot1\right)+\left(2\sdot3\right)=2+6=8}}$	והתוספת השני על זה התוספת הוא הכאת הזוג הראשון בנפרד אשר ימשך אל האחד והוא שלשה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot1\right)+\left(2\sdot3\right)+\left(2\sdot5\right)=2+6+10=18}}$	והתוספת השלישית על אלו התוספות המקובצות הוא הכאת שנים בנפרד השלישי אחר האחד
$\scriptstyle2n^2+4=\left[\left(n-2\right)\sdot\left(n-1\right)\right]+\left[\left(n+1\right)\sdot\left(n+2\right)\right]$	וכמו כן כל מספר הנה מרובעו כאשר יכפל ויתוסף עליו ד' שוה לשני שטחי פאותיו היורדות ושתי פאותיו העולות כאשר יקובצו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10^2+4=204=\left(9\sdot8\right)+\left(11\sdot12\right)}}$	המשל בזה מאתים וארבעה אשר הוא שוה להכאת תשעה בשמנה ואחד עשר בשנים עשר
$\scriptstyle2n^2+12=\left[\left(n-2\right)\sdot\left(n-3\right)\right]+\left[\left(n+2\right)\sdot\left(n+3\right)\right]$	ואמנם המושטחים הנמשכים לשני אלו מהכאת הפאה היורדת השנית ביורדת השלישית והעולה שנית בעולה שלישית הנה יוסיפו על כפל זה בשנים עשר
$\scriptstyle2n^2+24=\left[\left(n-3\right)\sdot\left(n-4\right)\right]+\left[\left(n+3\right)\sdot\left(n+4\right)\right]$	ואשר ימשכו להם בעשרים וארבעה
$\scriptstyle2n^2+40=\left[\left(n-4\right)\sdot\left(n-5\right)\right]+\left[\left(n+4\right)\sdot\left(n+5\right)\right]$	ואשר ימשכו להם בארבעים
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{4+\left(2\sdot4\right)=4+8=12}}$	והסדר בזה שנכה התוספת הראשון בזוג הראשון ויהיה שמנה ותוסיפם
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{4+\left(2\sdot4\right)+\left(3\sdot4\right)=4+8+12=24}}$	אח"כ [ת]כה אותו במספר אשר ימשך אליו והוא שלשה ויהיה שנים עשר ותוסיף אותם
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{4+\left(2\sdot4\right)+\left(3\sdot4\right)+\left(4\sdot4\right)=4+8+12+16=40}}$	אח"כ נכה אותו במספר אשר ימשך אליו והוא ארבעה והנה יהיה ששה עשר ותוסיף אותם
$\scriptstyle2n^2+6=\left[\left(n-1\right)\sdot\left(n-3\right)\right]+\left[\left(n+1\right)\sdot\left(n+3\right)\right]$	וכל מספר הנה כפל מרבעו כאשר יתוסף עליו ששה הוא שוה למושטח פאתו היורדת הקרובה בפאתו היורדת השלישית ולמושטח פאתו העולה הקרובה בפאתו העולה השלישית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10^2+6=206=\left(9\sdot7\right)+\left(11\sdot13\right)}}$	המשל בזה מאתים וששה אשר הוא שוה להכאת תשעה בשבעה ואחד עשר בשלשה עשר
$\scriptstyle2n^2+8=\left[\left(n-1\right)\sdot\left(n-4\right)\right]+\left[\left(n+1\right)\sdot\left(n+4\right)\right]$	וכאשר תכה הקרובה אשר בשני צדדיו ברביעית יהיה התוספת שמנה ולא יסורו התוספות להשתנות בשנים שנים
$\scriptstyle2n^2+16=\left[\left(n-2\right)\sdot\left(n-4\right)\right]+\left[\left(n+2\right)\sdot\left(n+4\right)\right]$	‫^[1]כל מספר הנה כפל מרובעו כאשר יתוסף עליו ששה עשר יהיה שוה למשטח הפאה השנית היורדת ברביעית היורדת והשנית העולה ברביעית העולה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10^2+16=216=\left(8\sdot6\right)+\left(12\sdot14\right)}}$	המשל בזה מקובץ מושטחי שמנה בששה ושנים עשר בארבעה עשריו הנה זה מאתים וששה עשר
$\scriptstyle2n^2+20=\left[\left(n-2\right)\sdot\left(n-5\right)\right]+\left[\left(n+2\right)\sdot\left(n+5\right)\right]$	וכאשר תכה השניות בחמישיות יהיה התוספת עשרים
$\scriptstyle2n^2+24=\left[\left(n-2\right)\sdot\left(n-6\right)\right]+\left[\left(n+2\right)\sdot\left(n+6\right)\right]$	ואם תכה אותם בששיות יהיה התוספת עשרים וארבעה וכזה ילכו בהדרגה בהעדפת ארבעה ארבעה
$\scriptstyle2n^2+30=\left[\left(n-3\right)\sdot\left(n-5\right)\right]+\left[\left(n+3\right)\sdot\left(n+5\right)\right]$	ואם תהיינה השתי פאות השלישיות הכאה ראשונה בחמישיות יהיה התוספת שלשים שלשים
$\scriptstyle2n^2+36=\left[\left(n-3\right)\sdot\left(n-6\right)\right]+\left[\left(n+3\right)\sdot\left(n+6\right)\right]$	וכאשר תכה אותם בששיות יהיה התוספות שלשים וששה
$\scriptstyle2n^2+42=\left[\left(n-3\right)\sdot\left(n-7\right)\right]+\left[\left(n+3\right)\sdot\left(n+7\right)\right]$	ואם תכה אותם בשביעיות יהיה התוספות שנים וארבעים ולא יסורו התוספות מלכת בהדרגה ששה ששה ועל זה הסדר במה שאחר זה מהפאות

Arithmetic Progression
	ונתחיל אליך בסגלות המספרים הנמשכים המשכם הטבעי
[The number of] their terms is necessarily either odd or even.	ונאמר שמדרגותיהם הם לא ימלט אם שתהיינה נפרד ואם שתהיינה זוג
If their number is an odd number they have undoubtedly a mean.	ואם תהיינה נפרד ימצא להם אמצעי בלי ספק
This mean is always half the two summed sides $\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)$	וזה האמצעי יהיה תמיד חצי שתי הפיאות מקובצות
The meaning of the two sides is two numbers, or one number, whose interval from the mean, by the order, is an equal interval, one of them on the deficit side and the other on the surplus side.	ורצוני בשתי פאות שני מספרים או מספר אחד מרחקם בסדר מהאמצעי מרחק שוה אחד מהם מצד החסרון והאחר מצד התוספת
Such as: 9 and 1 that are the two sides of 5 and 5 is half their sum $\scriptstyle{\color{blue}{5=\frac{1}{2}\sdot\left(9+1\right)}}$	כמו התשעה והאחד אשר הם שתי פאות החמשה וחמשה חצי מקובצם
and it is also half [the sum of] 8 and 2 that are also its two sides $\scriptstyle{\color{blue}{5=\frac{1}{2}\sdot\left(8+2\right)}}$	והוא ג"כ חצי השמנה והשנים אשר הם ג"כ שתי פאותיו
and half [the sum of] 7 and 3 $\scriptstyle{\color{blue}{5=\frac{1}{2}\sdot\left(7+3\right)}}$	וחצי השבעה והשלשה
and of 6 and 4 $\scriptstyle{\color{blue}{5=\frac{1}{2}\sdot\left(6+4\right)}}$	והששה והארבעה
and the most remote extremes are 9 and 1.	והיותר הרחוקות התשעה והאחד
Every mean number is their half [= half its sides]	וכל מספר הוא אמצעי הנה הוא חצים
If the number of the terms is even, there are two means together, instead of one mean.	ואם תהיינה המדרגות זוג עד שיהיו תמורת האמצעי האחד שני אמצעיים יחד
The sum of the two means is as the sum of the two sides whichever they are $\scriptstyle a_1+a_n=a_{1+m}+a_{n-m}$	הנה יהיו שני האמצעיים מקובצים כמו השתי פאות מקובצות תהיינה מה שתהיינה
For example: 4 and 5 that are between 1 and 8, when they are summed they are equal to 1 and 8, to 2 and 7, and to 3 and 6 $\scriptstyle{\color{blue}{4+5=1+8=2+7=3+6}}$	המשל בזה הארבעה והחמשה בין האחד והשמנה הנה הם מקובצים שוים לאחד ושמנה ולשנים ושבעה ולשלשה וששה
It follows necessary from this rule that the [sum of] every two sides of a number is equal to the [sum of] the other corresponding [sides]. $\scriptstyle a_{1+i}+a_{n-i}=a_{1+j}+a_{n-j}$	ויתחיב מכלל זה שתהיינה כל שתי פאות למספר מה שוות אל האחרות אשר בגילם
Sums
Among the properties relating to the sum of progressions: when one is added to the value of the last term, starting from one, then multiplied by half the last term, the result is equal to the total sum. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n k=\left(n+1\right)\sdot\frac{1}{2}n$	ומהמסגלות הנתלות בקבוץ בעלי המדרגות שאנחנו כאשר נוסיף על הגעת המספר האחרון המתחיל מן האחד אחד ונכה אותו בחצי מספר האחרון המדרגות יהיה העולה שוה לכלל כלם
Example: 4 is the last term	המשל בזה שיהיה ארבעה הוא האחרונה שבמדרגות
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^4 k=\left(4+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)=5\sdot2=10}}$	והנה אתה כשתוסיף אחד על הארבעה ויהיו חמשה ותכה בחצי מספר המדרגות שהם ארבעה וחציו שנים יהיה העולה עשרה מקובץ מה שבין האחד עד הארבעה
[The sum] from 1 to five:	ואם תרצה מן האחד עד החמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^5 k=\left(5+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)=6\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=15}}$	תוסיף על החמשה אחד ויהיו ששה בחצי מספר המדרגו' שהוא שנים וחצי ויהיה העולה חמשה עשר
Also, the sum of every two extremes of succesive terms, either [starting] from the 1 or from other, when multiplied by half [the number of] the terms, or its half is multiplied by the whole [number of] the terms, the product is as the total sum of these terms. $\scriptstyle\sum_{k=m}^n k=\left(n+m\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n-m+1\right)\right]$ $\scriptstyle\sum_{k=m}^n k=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n+m\right)\right]\sdot\left(n-m+1\right)$	וגם כן הנה מקובץ כל שתי קצוות מבעלי הדרגה וסדר הן שתהיינה מן האחד או מן זולתו כאשר הוכה בחצי המדרגות או הוכה חציו בכל המדרגות הנה יהיה מה שיתקבץ כמו כלל מקובץ אותם המדרגות
If the first term is 2 and the last term is 6:	והנה תהיינה הראשונה שבמדרגות שנים והאחרונה ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=2}^6 k=\left(2+6\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)=8\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=20}}$	ונקבץ אותם ויהיו שמנה ונכה אותם בחצי מספר המדרגו' והוא שנים וחצי והנה הוא עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=2}^6 k=2+3+4+5+6&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+6\right)\right]\sdot5\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\sdot5=4\sdot5=20\\\end{align}}}$	או נכה חצים במספר המדרגות על השלמות ויהיה ארבעה בחמשה וזה עשרים והוא שוה למקובץ שנים ושלשה ארבעה חמשה ששה
Among the properties relating to the sum of successive numbers, such that do not exceed by one, but by two, or three, or other than this, as long as they follow the same rule, whichever is their beginning, the product of the number of the terms minus one by the number of the excess, such as two, or three, or any other excess, plus the first term is equal to the last term. $\scriptstyle a_n=\left[\left(n-1\right)\sdot d\right]+a_1$	ומהסגלות הנתלות בקבוץ שכל מספרים נמשכים ולא ימשך התוספת באחדים אבל על דרך השניות או השלישיות או זולת זה כל עוד שיהיו הולכים על הדרגה ומנהג אחד ותהיה תחילתם איך שתהיה הנה הכאת מספר המדרגות מחוסר ממנו אחד במספר אשר יפול בו ההעדף כמו השניות או השלישיות או זולת זה ממה שיעדיפו בו המדרגות מוסף עליו אשר ממנו ההתחלה הוא שוה למספר האחרון
And if [the excess] is added once more and multiplied by the number of the terms as it is, it is as double the sum. $\scriptstyle2\sdot\sum_{i=1}^n \left(d\sdot i\right)=\left(a_n+d\right)\sdot n$	ואם יתוסף פעם אחרת והוכה במספר המדרגות כמות שהוא הנה יהיה כמו כפל כלל המקובץ
Example: five succesive numbers $\scriptstyle{\color{blue}{n=5}}$ , starting from 4 $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=4}}$ , between every two numbers there are three, so that the excess is four $\scriptstyle{\color{blue}{d=4}}$ , which is the last of them and how much is their sum?	המשל בזה אלו אמר לך אומר חמשה מספרים נמשכים מתחילים מן הארבעה ובין כל שני מספרים שלשה בענין שיהיה ההעדף בארבעה ארבעה מה הוא האחרון שבהם וכמה מקובצם
$\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\left[\left(5-1\right)\sdot4\right]+4=\left(4\sdot4\right)+4=16+4=20}}$	הנה כשתגרע אחד מן החמשה עד שיגיע לך ארבעה ותכה אותו במספר ההעדף והוא ארבעה יהיה ששה עשר וכאשר תוסיף עליו הראשון שבהם יהיה עשרים והנה כבר יצא לך המספר האחרון
so the terms are: $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=4;\;a_2=8;\;a_3=12;\;a_4=16;\;a_5=20}}$	לפי שמדרגות המספרי' תהיינה ארבעה אח"כ שמנה אח"כ שנים עשר אח"כ ששה עשר אח"כ עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^5 4i=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(20+4\right)\sdot5\right]=\frac{1}{2}\sdot\left(24\sdot5\right)=\frac{1}{2}\sdot120}}$	והנה כאשר תוסיף על עשרים ארבעה ג"כ יהיה ארבעה ועשרים ואם תרצה תכה אותו בחמשה ויהיה מאה ועשרים והנה תקח חציו והוא מקובץ המדרגות
multiplying its half by [the number of] the terms, or the whole by half [the number of] the terms, so that it yields the answer of the question.	ואם תרצה תכה חציו במדרגות או כלו בחצי המדרגות שיעשה הנה הוא תשובת השאלה
Among the properties relating to the sum: all successive numbers, beginning from one, when they are summed from the first to the last, then backwards from the last to the first, such as 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, their sum is equal to the square of the last number. $\scriptstyle\sum_{i=1}^n i+\sum_{i=n-1}^1 i=n^2$	ומהסגלות הנתלות בקבוץ שכל מספרים נמשכים מתחילים מן האחד כאשר קובצו מתחילים מן האחד עד האחרון שבהם ואחרי כן דרך חזרה מן האחרון שבהם אל האחד כמו אחד שנים שלשה ארבעה שלשה שנים אחד הנה מקובצם שוה למרובע המספר האחרון
For the sum of the given example is 16: $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4+3+2+1=\sum_{k=1}^4 k+\sum_{k=3}^1 k=16=4^2}}$	כי מקובץ מה שהמשלנו בו ששה עשר
This is because the sum of double the terms that precede the last successive term plus the last term is equal the square of the last term. $\scriptstyle\left(2\sdot\sum_{i=1}^{n-1} i\right)+n=n^2$	והנה יגיע זה לפי שמקובץ כפל המספרים אשר תחת הנמשכים האחרונים עם אשר במדרגה האחרונה שוה למרובע המספר האחרון
Among the properties relating to the sum: when summing the successive numbers from one, the first sum is one and a half times the last term, the second sum is twice the last term, the third sum is two and a half times the last term, the fourth sum is three times the last term, the fifth sum is three and a half times the last term and so on endlessly. $\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=\left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)\sdot n$	ומהסגלות הנתלות בקבוץ שאתה כאשר תקבץ מספרים נמשכים מן האחד הנה המקובץ הראשון דמיון וחצי המספר האחרון והמקובץ השני כפל המספר האחרון והמקובץ השלישי כפל וחצי המספר האחרון והמקובץ הרביעי שלשה כפלי המספר האחרון והמקובץ החמישי שלשה כפלים וחצי המספר האחרון וכן לבלתי תכלית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{1+2=\sum_{k=1}^2 i=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot2}}$	המשל בזה אחד ושנים הנה הוא דמיון וחצי השנים
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3=\sum_{k=1}^3 i=2\sdot3}}$	ואחד ושנים ושלשה הנה הוא כפל השלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4=\sum_{k=1}^4 i=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot4}}$	ואחד ושנים ושלשה וארבעה הנה הוא כפל וחצי הארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4+5+6=\sum_{k=1}^6 i=\left(3+\frac{1}{2}\right)\sdot6}}$	ואחד ושנים ושלשה וארבעה וחמשה וששה הנה הוא שלשה כפלים וחצי ששה
Also, all the successive numbers, when they are summed together, the first sum is as the consecutive term, the second sum is one and a half times the consecutive term, the third sum is twice the consecutive term and so on endlessly. $\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=\frac{n}{2}\sdot\left(n+1\right)$	וגם כן הנה כל המספרים הנמשכים יקובצו זה הקבוץ הנה המקובץ הראשון יהיה כמו המספר הנמשך אליו והמקובץ השני דמיון וחצי מהמספר הנמשך אליו והמקובץ השלישי כפל המספר הנמשך אליו וכמו כן אל בלתי תכלית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{1+2=\sum_{k=1}^2 i=2+1=3}}$	והמשל בזה בהאחד והשנים כמו השלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3=\sum_{k=1}^3 i=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot4}}$	והאחד והשנים והשלשה כמו דמיון וחצי מן הארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4=\sum_{k=1}^4 i=2\sdot5}}$	וכאשר תוסיף הארבעה יהיה כפל חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4+5=\sum_{k=1}^5 i=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot6}}$	וכאשר תוסיף חמשה יהיה כפל וחצי ששה וכן אל בלתי תכלית
Among the properties relating to the sum: when summing the successive odds, beginning from one, then summing the successive evens, [beginning] from two, by their numbers, the first sum of the evens is one and a half times the first sum of the odds, the second sum is one and a third times, the third sum is one and a quarter times - each sum exceeds by a part that is denominated by the number of terms. $\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=\left(1+\frac{1}{n}\right)\sdot\left[\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)\right]$	ומהסגלות הנתלות בקבוץ שאתה כאשר תקבץ נפרדים נמשכים מתחילים מן האחד ותקבץ אחריהם זוגות נמשכים מן השנים כמספרם הנה המקובץ הראשון מהזוגות יהיה דמיון וחצי המקובץ הראשון מהנפרדים והמקובץ השני דמיון ושלישיתו והמקובץ השלישי דמיון ורביעיתו ויהיה כל מקובץ יוסיף בחלק נקרא על שם מספר מדרגתו ויהיה מספרו מספר מדרגתו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2+4=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(1+3\right)}}$	המשל בזה השנים והארבעה הנה יוסיף על האחד והשלשה החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{2+4+6=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(1+3+5\right)}}$	וכאשר תוסיף בזה ששה ובזה חמשה יהיה זה דמיון ושליש זה

Types of Numbers

Returning to the presentation of the properties of the first categorization of the number from the aspect of the quality of its divisibility to equals and unequals, which are the even and the odd.

ונשוב עתה אל הבאת סגלות החלוקה הראשונה מהמספר מצד איכות החלקו אל שוים ובלתי שוים והוא הזוג והנפרד

What was discussed concerning it in the book of the Elements will also be presented.

ועוד נביא מה שדובר בו בספר היסודות

The natural successive odds and evens are subject to association acquired from their type:

וכבר יפול ביניהם שתוף נקנה מסוגם במה שימשך מהנפרדים והזוגו' המשכות טבעי המשכות מיני המספר

The terms exceed by one excess

וזה כלו שתהיינה המדרגות עודפות בהעדף אחד

Either by the excess of the natural succession of the types of number, which is one by one.

אם העדף ההמשכות הטבעי למיני המספר הנה באחד אחד

Or by the excess of the natural succession of the odds and the evens, which is two by two.

ואם העדף הנפרדים והזוגות הנמשכים בטבע הנה בשנים שנים

for every odd number, when one is added to it, it becomes even.

[

\scriptstyle\left(2n-1\right)+1=2n

]

לפי שכל נפרד כאשר יתוסף עליו אחד יהיה זוג

When one is further added to it, it becomes odd.

[

\scriptstyle\left[\left(2n-1\right)+1\right]+1=2n+1=\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1

]

אחר כן כשיתוסף עליו אחד אחד יהיה נפרד

Then, when one is added to it, it becomes even.

\scriptstyle\left[\left[\left(2n-1\right)+1\right]+1\right]+1=2\sdot\left(n+1\right)

אח"כ כשיתוסף עליו אחד יהיה זוג

Between the odd and the following odd there are two.

\scriptstyle\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]-\left(2n-1\right)=2

ויהיה בין הנפרד והנפרד אשר ילוה אליו שנים

Between the even and the following even there are two.

\scriptstyle\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-2n=2

ובין הזוג והזוג אשר ילוה אליו שנים

It follows necessarily that every mean of the odd terms in the natural succession and the even terms in this succession is half the sum of the two sides, whichever they are.

\scriptstyle n=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(n-m\right)+\left(n+m\right)\right]

ויחויב שיהיה כל אמצעי במדרגות הנפרדים אשר על ההמשך הטבעי ומדרגות הזוגות אשר על זה ההמשך כמו חצי מקובץ איזה שתי פאות שתהיינה

Since they are the sides of this mean itself in the natural succession of the numbers.

לפי שהן פאות זה האמצעי בעצמו בסדור הטבעי למספר

The sum of every two means is as the sum of every two sides.

\scriptstyle n+\left(n+1\right)=\left(n-m\right)+\left[\left(n+1\right)+m\right]

וכל שני אמצעיים מקובצים כמו כל שתי פאות מקובצות

Since these two means have two sides of the number that falls between them in the succession of the natural numbers, it follows necessarily that their sum is equal to the sum of these two other sides, as explained above.

לפי שבאלה השני אמצעיים תהיינה שתי פאות למספר הנופל בסדר המספרים הטבעיים ביניהם והנה יחויב שיהיה שוה מקובצם למקובץ אלה שתי הפאות האחרות כפי מה שקדם באורו

This property does not applied between the successive odds and the successive evens alone, but between all the numbers that are exceeding by equality.

ואין זה הענין נוהג בין הנפרדים הנמשכים והזוגות הנמשכי' לבד אבל בין כל המספרים העודפים על השווי

Hence, this property is found also in the succession of the terms of the types of the odd numbers

ולזה תמצא זאת הסגלה ג"כ בסדר מדרגות מני הנפרד

Thus, this association should be stated before all the properties.

והנה זה ההשתתפות ראוי שנאמר אותו קודם הסגלות

Now, we will concentrate in mentioning the properties

ונתבודד עתה בזכרון הסגלות

Odd Number

Starting with the properties of the odd number

ונתחיל בסגלות הנפרד

The known and mentioned properties are that it does not consist of evens at all and not from an even number of odd numbers.

[odd ≠ even × even]

[odd ≠ even × odd]

ונאמר אמנם הסגלות הידועות והנזכרות מאשר הוא לא יתרכב מזוגות כלל ולא מנפרדים במספר זוג

There is no number of its type in it, whose remainder is of its type

[odd − odd ≠ odd]

ושלא ימצא בו מסוגו מספר ישאיר מה שאחריו מסוגו

There is no number of its parallel type in it, whose remainder is of its parallel type

[odd − even ≠ even]

ושלא ימצא בו מסוג מקבילו מספר ישאיר מה שאחריו מסוג מקבילו

What is said about whatever is applied to these properties in the book of the Elements is sufficient.

ומה שירוץ מרוצת אלו הסגלות הנה נסתפק במה שנאמר בספר היסודות

Its properties that will be discussed are the properties related to the sequence, their being successive by the way of succession

ונדבר מסגלותיו סגלות נתלות בסדור היותם נמשכים על דרך ההמשך

Among its properties: its sum by the way of succession, [starting] from the one, is always a square.

\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=m^2

ומסגלותיו שמקובציו על דרך ההמשך מן האחד יהיה מרובע לעולם

Such as:

$\scriptstyle{\color{blue}{1+3}}$

כמו האחד והשלשה

$\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5}}$

ואח"כ האחד והשלשה והחמשה

$\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7}}$

ואח"כ האחד והשלשה והחמשה והשבעה

Among its properties: the side of each of these squares is the number of the terms

\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=n^2

ומסגלותיו שכל מרבע מאלו הנה צלעו מספר המדרגות

Such as:

the four, which is the sum of two terms and its root is two

\scriptstyle{\color{blue}{1+3=\sum_{i=1}^2 \left(2i-1\right)=4=2^2}}

כמו הארבעה והוא מקובץ שתי המדרגות והנה גדרו שנים

the nine, which is the sum of three terms and its root is three

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5=\sum_{i=1}^3 \left(2i-1\right)=9=3^2}}

והתשעה והוא מקובץ שלשה מדרגות והנה גדרו שלשה

Among its properties: when wishing to know the value of a number whose position is known, starting from the one - multiplying the number of the term by two, then subtracting one.

\scriptstyle a_n=2n-1

For example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=\left(2\sdot10\right)-1=20-1=19}}

ומסגלותיו שאתה כשתרצה לדעת הגעת מספר יפול במדרגה ידועה מן האחד כמו העשירית והאחת עשרה דרך משל וזולת זה הנה תכה מספר המדרגה ותהיה העשירית ומספרה שני עשרה בשנים ויהיו עשרים והנה תגרע מהם אחד ויהיו תשעה עשר והנה הוא מספר המדרגה העשירית

The property of the mean and the two means, with the two sides, is as known.

ואמנם ענין האמצעי והשני אמצעיים עם השתי פאות הנה הוא ממה שידעת אותו

Among its properties: each of the units returns every sixth term.

ומסגלותיו שכל אחד מן האחדים ישוב בששי ממנו אליו

For example:

\scriptstyle a_{1+5n}=10m+1

$\scriptstyle{\color{blue}{a_{1+5}=a_6=1}}{\color{red}{\mathbf{1}}}$

המשל בזה שהאחד ישוב בששי והוא האחד עשר

$\scriptstyle{\color{blue}{a_{1+5+5}=a_{11}=2}}{\color{red}{\mathbf{1}}}$

ועוד בששי אחר הששי והוא האחד ועשרים

\scriptstyle a_{2+5n}=10m+3

$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=}}{\color{red}{\mathbf{3}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{2+5}=a_7=1}}{\color{red}{\mathbf{3}}}$

והשלשה ישוב לששי והוא השלשה עשר וכן על הדרך הזה

Among its properties: for every prime odd $\scriptstyle a_n=p$ , when extracting from it the interval, whose value is that number, its end $\scriptstyle a_{n+p}=$ is a composite number that consists of deficient primes.

ומסגלותיו שכל נפרד ראשון כאשר תוציא קוו על מספרו יכלה אל מורכב ימשכו אליו ראשונים הם חסרי‫'

Such as:

three, for the third from it is nine $\scriptstyle{\color{blue}{a_i=3\longrightarrow a_{i+3}=9}}$ , which is composite.

כמו השלשה כי הנה השלישי ממנו והוא תשעה מורכב

five, for the fifth from it, which is 15 $\scriptstyle{\color{blue}{a_i=5\longrightarrow a_{i+5}=15}}$ , is composite.

והחמשה כי הנה החמישי ממנו והוא חמשה עשר מורכב

Another property: the first of the incomposite numbers, which is three, when extracting from it the first interval of its value, it yields a number that has a root $\scriptstyle{\color{blue}{a_i=3\longrightarrow a_{i+3}=n^2}}$ , but afterwards not $\scriptstyle{\color{blue}{a_{i+3+3}\ne m^2}}$

וסגלה אחרת שהראשון שבמספרים הבלתי מורכבים והוא שלשה יביא כשתוציא קוו הראשון אל נגדר אחר כן לא יביא‫^[2]

And the second [incomposite number], which is five, yields, by the second interval of that value, a number that has a root

\scriptstyle{\color{blue}{a_i=5\longrightarrow a_{i+5+5}=25}}

, but afterwards not

\scriptstyle{\color{blue}{a_{i+5+5+5}\ne n^2}}

והשני והוא החמשה יביא בהקוות השני אל נגדר אצל עשרים וחמשה אח"כ לא יבוא

And so on.

ועל הדרך הזה

Another property: the fourth after the first that has a root, which is one $\scriptstyle a_1=1=m^2$ , has a root, which is nine $\scriptstyle a_{1+4}=m_1^2$ , then the eighth after the first that has a root $\scriptstyle a_{1+4+8}=m_2^2$ , then the twelfth after the second that has a root $\scriptstyle a_{1+4+8+12}=m_3^2$ , then the sixteenth after the third that has a root $\scriptstyle a_{1+4+8+12+16}=m_4^2$ , and so on by adding four $\scriptstyle1+4\sdot\sum_{i=1}^n 2i=\left(1+2n\right)^2$

וסגלה אחרת שהרביעי אחר הנגדר הראשון והוא אחד נגדר והוא תשעה והשמיני אחר הנגדר הראשון והשנים עשר אחר הנגדר השני והששה עשר אחר הנגדר השלישי וכן בתוספת ארבעה ארבעה‫^[3]

For every term and rank, whose value has a root, the product of the root [by itself] is equal to double the number of the rank plus one.

\scriptstyle a_{1+4n}=m^2=\left(2\sdot4n\right)+1

וכל בית ומדרגה שתפול בו נגדר הנה תהיה הכאת זה הנגדר שוה לכפל מספר המדרגה מוסף עליו אחד

Because, the first square number is nine, which is in the fourth term of the odd numbers:

\scriptstyle{\color{blue}{a_{1+4}=9=\left(2\sdot4\right)+1}}

כי המספר המרובע הראשון הוא תשעה והוא במדרגה הרביעי' מן המספרים הנפרדים וכפל הארבעה שמנה והנה תוסיף עליו אחד

And 25 is in the twelfth term from 3:

\scriptstyle{\color{blue}{a_{1+12}=25=\left(2\sdot12\right)+1}}

והבית השנים עשר מהשלשה יפול בו חמשה ועשרים והוא שוה לכפל שנים עשר כשתוסיף עליו אחד

When the natural successive odds are set in a square table, properties are seen from the aspect of the shape.

וכאשר נניח מהנפרדים הנמשכים בטבע לוח מרובע יראו בו סגלות מצד התמונה

Also, when a triangle table is set.

וכן כאשר נניח לוח משלש

Starting with a square [table] of five by five:

ונתחיל במרובע ונשים אותו חמשה על חמשה

9	7	5	3	1
19	17	15	13	11
29	27	25	23	21
39	37	35	33	31
49	47	45	43	41

ט	ז	ה	ג	א
יט	יז	טו	יג	יא
כט	כז	כה	כג	כא
לט	לז	לה	לג	לא
מט	מז	מה	מג	מא

For every two symmetric diagonals, whether they are the principal diagonals of the diagram or not, the sums of both diagonals are equal.

ונאמר שכל שתי וערב ממנו יהיה קטר התמונה או לא יהיה הנה מקובץ שני קטריו הם שוים

For the principal diagonals: the sum of each diagonal in this diagram is 125.

[

\scriptstyle{\color{blue}{1+13+25+37+49=125=9+17+25+33+41}}

]

אם אשר על הקטר הנה מקובץ כל אחד מהשני קטרים אשר בזאת התמונה קכ"ה

If they are not the principal diagonals, as these two symmetric diagonals:

\scriptstyle{\color{blue}{3+15+27=45=7+15+23}}

ואם אשר אינם על הקטר הנה כמו השתי וערב אשר בשתי שורות שאחת מהן ג' ט"ו כ"ז והשנית ז' ט"ו כ"ג כי כל אחד משני אלו הקטרים ארבעים וחמשה

The sum of the two extremes of each diagonal is equal to the sum of the two extremes of the corresponding symmetric diagonal.

ונמצא מקובץ שתי קצוות שורה כל שתי וערב שוה למקובץ שתי קצוות השורה האחרת

the sum of all the cells in every square equals the 4th power of the number of cells on the side of the square.

ונמצא מקובץ בתי כל מרובע בנוי מאלה המספרים על המשכם שוה למרבע מרבע מספר בתי הצלע

For, when one builds a square, whose side is two cells, and these are its numbers:

כי אתה כשתבנה מרבע צלעו שני בתים ויהיו מספריו כזה

3	1
7	5

ג	א
ז	ה

The sum is [

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7=16=2^4}}

]

יהיה מקובץ זה ששה עשר והוא מרבע מרבע שנים

And when its sides are of three cells, such as:

וכאשר תהיינה צלעותיו משלשה בתים כזה

5	3	1
11	9	7
17	15	13

ה	ג	א
יא	ט	ז
יז	טו	יג

Their sum is: [

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7+9+11+13+15+17=81=3^4}}

]

עד שיהיו מספריו א' ג' ה' ז' ט' י"א י"ג ט"ו י"ז הנה יגיע מקובץ זה לשמנים ואחד והוא מרבע מרבע השלשה

The sum [of the numbers] on the principal diagonal is equal to the cube of the number [of cells on the side of the square]:

ונמצא הקטר בכל אלו שוה למעקב זה המספר

For example, in the greater table, whose [side is] five cells, its principal diagonal is: [ $\scriptstyle{\color{blue}{1+13+25+37+49=9+17+25+33+41=125=5^3}}$ ]

המשל בזה בלוח הגדול אשר בתיו חמשה הנה קטרו קכ"ה

On the second [table], the principal diagonal is: [ $\scriptstyle{\color{blue}{1+7=3+5=8=2^3}}$ ]

ובשני קטרו שמנה

On the third [table], the principal diagonal is: [ $\scriptstyle{\color{blue}{1+9+17=5+9+13=27=3^3}}$ ]

ובשלישי קטרו כ"ז

And so on.

ועל הדרך הזה

When one builds a triangular table, as this diagram:

והנה כאשר תבנה מהם תמונה משלשת על זאת הצורה

                  1
               5     3
            11    9      7
         19    17    15    13
      29    27    25    23    21
   41    39    37    35    33    31
55    53    51    49    47    45    43

                  א
               ג      ה
            ז      ט    יא
         יג    טו    יז    יט
      כא    כג    כה    כז    כט
   לא    לג    לה    לז    לט    מא
מג    מה    מז    מט    נא    נה    נט

the numbers on the altitude of the triangle from top to bottom are the successive square numbers	תמצא כל המספרים היורדים מן האחד אל נפילת העמוד מרבעים על הסדר
the sum of the numbers in each row breadthwise is a cubic number	ותמצא מקובץ מה שבטור אחד ברחב מעקב
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{3+5}}$ ; and: $\scriptstyle{\color{blue}{7+9+11}}$	כמו מקובץ ג' וה' ומקובץ ז' ט' וי"א
Even Number	ואמנם מספר הזוג
Whatever is known concerning to it, is known in the book of the Elements.	כבר ידעת בספר היסודות ממנו מה שידעת
Properties that are necessary to its terms will be referred to:	ונרמוז לך אל סגלות יתחיבו למדרגותיו
Among them: the sum of its terms is equal to the square of the number of the terms plus its side. $\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=n^2+n$	מהן שאתה תמצא מקובץ מדרגותיו שוה למרבע מספר המדרגות מצורף אליו צלעו
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{2+4=\sum_{i=1}^2 2i=6=2^2+2}}$	כמו שאתה כאשר תתחיל מהשנים ותצרף אליהם הארבעה יהיו ששה והוא כמו מרבע מספר המדרגות שהם שנים וכמו צלעו
And as: $\scriptstyle{\color{blue}{2+4+6=\sum_{i=1}^3 2i=12=3^2+3}}$	וכמו שאתה כאשר תתחיל מהשנים ותצרף אליהם הארבעה והששה יהיו שנים עשר והוא כמו מרבע השלשה וכמו צלעו
Every even number that exceeds a prime odd number by one, is equal to the sum of the divisors of the square of this prime number. $\scriptstyle2m=p+1=\left(\frac{1}{p}\sdot p^2\right)+\left(\frac{1}{p^2}\sdot p^2\right)$	ומסגלותיו שכל זוג יוסיף על הראשון מהנפרדים באחד הנה זה הזוג שוה למקובץ חלקי מרבע זה הראשון
Such as 4: $\scriptstyle{\color{blue}{4=3+1=\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot9\right)=\left(\frac{1}{3}\sdot3^2\right)+\left(\frac{1}{3^2}\sdot3^2\right)}}$	כמו הארבעה אשר הוא מוסיף על השלשה שהוא ראשון באחד ומרבע השלשה תשעה ולהם מהחלקים שני חלקים תשיעית ושלישית ומקובצם שוה אל הארבעה
And also 6: $\scriptstyle{\color{blue}{6=5+1=\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)+\left(\frac{1}{25}\sdot25\right)=\left(\frac{1}{5}\sdot5^2\right)+\left(\frac{1}{5^2}\sdot5^2\right)}}$	וג"כ הששה יוסיף באחד על החמשה שהוא נפרד ראשון ומרבע זה הראשון עשרים וחמשה ולו מן החלקים חומש וחומש החומש לא זולתם והגעתם ששה
For an even number, such that when 3 is subtracted from it, the remainder is a prime odd number, this even number consists of the divisors of double this odd number. $\scriptstyle2m=p+3=\left(\frac{1}{2}\sdot2p\right)+\left(\frac{1}{p}\sdot2p\right)+\left(\frac{1}{2p}\sdot2p\right)$	ואמנם אם יהיה הזוג באופן שכאשר נגרע ממנו שלשה ישאר נפרד ראשון הנה זה הזוג מורכב מחלקי כפל זה הנפרד
Such as: 8	כמו השמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(8-3\right)=2\sdot5=10}}$	שהם כאשר נגרע מהם שלשה נשארו חמשה וכפלם עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot10\right)=5+2+1=8}}$	ולהם חצי וחומש ועשירית ומקובץ זה שמנה רצוני מקובץ החמשה והשנים והאחד

Types of Even and Odd Numbers

ונדבר עתה בסגלות מיני הזוג ומיני הנפרד

Starting from the properties of the even number, as their categorization to types is more reasonable than the categorization of the odd numbers.

ונתחיל בסגלות הזוג לפי שחלוקתם אל מינים יותר קרובה מחלוקת הנפרדים

Types of Even Numbers

Starting from the properties of the even-times-even number, since it is simpler.

ונתחיל בסגלות הזוג הזוג לפי שהוא יותר פשוט

Even-Times Even

The quality of its production by way of doubling and other of its properties that are in the book of the Elements, are already known.

וכבר ידעת איכות התילדותו על דרך ההכפלה וסגלות אחרות מהסגלות אשר לו בספר היסודות‫^[4]

Of the properties of the even-times-even number there are parts of properties that were mentioned in the Elements.

^[5] מסגלות זוג הזוג מה שהם סעיפים מסגלות נזכרו ביסודות

It has no part that is denominated by [= it is not divisible by] an odd number, or an even number that is not an even-times-even-number

שהוא אין חלק לו נקרא בשם מספר נפרד ולא זוג בלתי זוג הזוג‫^[6]

There is no smaller even-times-even number that does not divide it.

ואין זוג הזוג שהוא פחות ממנו שלא ימנה אותו

For every even-times-even number, its square is and even-times-even number.

וכל זוג זוג הנה מרבעו זוג הזוג

When the first even number, which is two, is subtracted from it, the result is an even-times-odd number.

\scriptstyle2^n-2=2\sdot\left(2^{n-1}-1\right)

→ even-times-odd number

וכאשר חוסר ממנו הזוג הראשון והוא שנים יצא זוג הנפרד‫^[7]

Such as 8:

\scriptstyle{\color{blue}{8-2=2^3-2=2\sdot3=6}}

כמו השמנה שנחסר מהם שנים ויצא זוג הנפרד והוא ששה

Every even-times-even is deficient, and its deficiency is one [= the sum of its parts is the number minus 1.

\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2^{i-1}=2^n-1

]

וכל זוג הזוג הנה הוא חסר וחסרונו באחד‫^[8]

Among the properties of the even-times-even number: its terms follow by the geometric proportion.

\scriptstyle2^n:2^{n-1}=2^{n+1}:2^{n}

ומסגלות זוג הזוג שמדרגותיו נמשכות על יחס מתדמה תשברתיי‫^[9]

Since they follow by the doubling way.

לפי שהם נמשכות על דרך ההכפל

And their excesses are unequal.

\scriptstyle2^n-2^{n-1}\ne2^{n+1}-2^n

והנה לא תהיינה העדפותיהם שוות

But, each excess is equal to that over which it exceeds.

\scriptstyle2^n-2^{n-1}=2^{n-1}

אבל יהיה כל העדף שוה למועדף עליו

The difference between the excesses is the excess itself.

\scriptstyle\left(2^{n+1}-2^n\right)-\left(2^n-2^{n-1}\right)=2^n-2^{n-1}

ותהיינה ההעדפות עודפות בזה שביניהם זה ההעדף בעצמו

It follows necessarily from its terms being in one ratio, that they are proportional when they are divided and when they are multiplied equally.

ויתחיב מהיות מדרגותיו על היחס האחד שתהיינה מתיחסות כשנחתוך אותם ומתיחסות כשנוסיף עליהם על השווי‫^[10]

It follows necessarily that the product of whichever mean by itself is as the product of one of the two sides by the other.

\scriptstyle\left(2^n\right)^2=2^{n-m}\sdot2^{n+m}

ויתחיב שיהיה הכאת אי זה אמצעי שנקח בעצמו כהכאת אחת מהשתי פאות באחרת

As the ratio of the smaller side to the mean is as the ratio of the mean to the greater side.

\scriptstyle2^{n-m}:2^n=2^n:2^{n+m}

לפי שיחס הפאה הקטנה אל האמצעי כיחס האמצעי אל הפאה הגדולה

It follows necessarily that the product of one of the two means by the other is as the product of one of the two sides by the other.

\scriptstyle2^n\sdot2^{n+1}=2^{n-m}\sdot2^{n+1+m}

ויתחיב שתהיה הכאת אחד מהשני אמצעיים באחר כהכאת אחת מהשתי פאות באחרת

As the ratio of the smaller side to the smaller mean is as the ratio of the greater mean to the greater side.

\scriptstyle2^{n-m}:2^n=2^{n+1}:2^{n+1+m}

לפי שיחס הפאה הקטנה אל האמצעי הקטן כיחס האמצעי הגדול אל הפאה הגדולה

Such as the terms: 4; 8; 16; 32; 64

והנה תהיינה המדרגות ב' ד' ח' י"ו ל"ב ס"ד

\scriptstyle{\color{blue}{4^2=2\sdot8}}

ונמצא ד' בעצמו כמו ב' בח‫'

\scriptstyle{\color{blue}{8^2=2\sdot32=4\sdot16}}

וח' בעצמו כמו ב' בל"ב וד' בי"ו

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=2\sdot16}}

ונמצא ד' בח' כמו ב' בי"ו

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot16=4\sdot32=2\sdot64}}

וח' בי"ו כמו ד' בל"ב וב' בס"ד

Since the even-times-even numbers are arranged by a continuous ratio, it follows necessarily that the squares and the cubes among them have sequences, as the third from a square is a square, and the fourth from a cube is a cube.

\scriptstyle a_n=2^{2m}\longrightarrow a_{n+2}=2^{2\sdot\left(m+1\right)}

\scriptstyle a_n=2^{3m}\longrightarrow a_{n+3}=2^{3\sdot\left(m+1\right)}

ולפי שהיו מספרי זוג הזוג מסודרים על יחס מתדבק יחויב שיהיה למרבעים ולמעקבים מהם סדר באשר המרבע יהיה השלישי אליו מרבע והמעקב הרביעי אליו מעקב וילך על הדרך הזה

Among its properties: the perfect numbers are generated from it.

ומסגלותיו שהמספרים השלמים יתילדו ממנו‫^[11]

The amicable numbers are the numbers that are compounded each from the parts of its amicable number, as the amicable number is compounded from its own parts.

אמנם המספרים הנאהבים הנה הם המספרים אשר יתרכבו כל אחד מחלקי חברו כמו שיתרכב חברו מחלקיו

Such as: 220; 284

כמו מאתים ועשרים ממאתים ושמנים וארבעה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot284=142}}

כי למאתים ושמנים וארבעה חצי והוא קמ"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot284=71}}

להם רביעית והוא ע"א

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{71}\sdot284=4}}

ולהם חלק מאחד ושבעים והוא ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{142}\sdot284=2}}

ולהם חלק ממאה וארבעים ושנים והוא ב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{284}\sdot284=1}}

ולהם חלק ממאתים ושמנים וארבעה והוא א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{142+71+4+2+1=220}}

ואומר נקבץ אלה החלקים יהיו ר"כ

142

71

4

2

1

220

ב ד א

א ז

ד

ב

א

‫0 ב ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot220=110}}

ואמנם חלקי ר"כ הנה להם החצי והוא ק"י

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot220=55}}

ורביעית והוא נ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot220=44}}

וחמישית והוא מ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot220=22}}

ועשירית והוא כ"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{11}\sdot220=20}}

וחלק מאחד עשר והוא עשרים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{20}\sdot220=11}}

וחלק מעשרים והוא י"א

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{22}\sdot220=10}}

וחלק מכ"ב והוא עשרה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{44}\sdot220=5}}

וחלק ממ"ד והוא ה‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{55}\sdot220=4}}

וחלק מנ"ה והוא ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{110}\sdot220=2}}

וחלק מק"י והוא ב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{220}\sdot220=1}}

וחלק מר"כ והוא א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{110+55+44+22+20+11+10+5+4+2+1=284}}

וכאשר תקבץ אלה החלקים יהיו רפ"ד

None of them has parts other than those that were mentioned.

ואין לאחד מהם מן החלקים זולת מה שזכרנו

Their production technique:

ואופן התילדותם

Summing the even-times-even numbers together with 1, so that the sum is a prime number, and when the last term is added to it or subtracted from it, the result of the addition [ $\scriptstyle\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+2^{n-1}$ ] and the result of the subtraction [ $\scriptstyle\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-2^{n-1}$ ] are prime numbers.

הוא כאשר תקבץ זוג הזוג והאחד עמהם ויקובץ מספר ראשון בתנאי שיהיה כאשר יתוסף עליו האחרון שבהם או יחוסר ממנו אשר לפניו יהיה המגיע אחר התוספת והמגיע אחר החסרון מספר ראשון

The product of the result of addition by the result of subtraction, multiplied by the last added term, is a number that has an amicable number:

\scriptstyle a=\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+2^{n-1}\right]\sdot\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-2^{n-1}\right]\sdot2^{n-1}

הנה הכאת המגיע הנוסף עליו במגיע המחוסר אחר כן הכאת העולה באחרון שבמקובצים הוא מספר אשר לו אוהב

Its amicable number is the number that resulted from adding the product of the sum of the mentioned result of addition and the result of subtraction, multiplied by the last of the summed terms, to the number that was found first, which is the amicable number, and they are amicable numbers.

\begin{align}\scriptstyle b&\scriptstyle=\left[\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+2^{n-1}\right]\sdot\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-2^{n-1}\right]\sdot2^{n-1}\right]\\&\scriptstyle+\left[\left[\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+2^{n-1}\right]+\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-2^{n-1}\right]\right]\sdot2^{n-1}\right]\\\end{align}

ואוהבו הוא המספר אשר יהיה מתוספת הכאת מקובץ הנוסף והמחוסר הנזכרים באחרון שבמקובצים על המספר הנמצא ראשונה אשר הוא אוהב והם נאהבים‫^[12]

Even-Times Odd

ואמנם סגלות זוג הנפרד

Whatever is known concerning to it, is known in the book of the Elements.

הנה כבר נודע בספר היסודות ממנו מה שנודע

It is clear from their rule:

ונתבאר מכללם

It is divided by an even number only with an odd number, and by an odd number only with an even number.

[even-times-odd ÷ even = odd; even-times-odd ÷ odd = even]

שהוא לא ימנהו זוג אלא במספר נפרד ולא נפרד אלא במספר זוג

Its even part is denominated by a name of an odd number.

וחלקו הזוג נקרא בשם הנפרד

Such as:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot6=2}}

כמו השנים שהם שלישית הששה

Its odd part is denominated by a name of an even number.

וחלקו הנפרד נקרא בשם הזוג

Such as:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot6=3}}

כמו השלשה שהוא חצי הששה

When the first even number, which is 2, is added to it, it yields an even-times-even[-times-odd] number.

\scriptstyle\left[2\sdot\left(2n-1\right)\right]+2=2\sdot2n

ושתוספת הזוג הראשון והוא השנים עליו יוציא זוג הזוג‫^[13]

Know that its production is from the products of the successive odd numbers by 2.

ודע שהתילדותו מכפל הנפרדים הנמשכים בשנים

The difference between each term and the successive term is double the difference between the natural odd numbers.

\scriptstyle\left[2\sdot\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]\right]-\left[2\sdot\left(2n-1\right)\right]=2\sdot\left[\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]-\left(2n-1\right)\right]

והנה תדע מזה שהנופל בין מדרגה ובין המדרגה הנמשכת אליה כפל הנופל אשר היה בנפרדים הטבעיים

The excess of its terms is four.

\scriptstyle\left[2\sdot\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]\right]-\left[2\sdot\left(2n-1\right)\right]=4

ויהיה העדף מדרגותיו בארבעה ארבעה

There is none that has a square root among them, nor a cube.

ושהוא אין נגדר בו ולא מעקב

Since, for every one that has a square root and every cube: if it is an odd number, it is divided by an odd number with an odd number; if it is an even number, it is divided by an even number with an even number.

כי כל נגדר וכל מעקב אם נפרד ימנה בנפרד במספר נפרד ואם זוג ימנה בזוג במספר זוג

This is already known, as the excess is four.

וכבר ידעת זה לפי שהיה ההעדף בארבעה ארבעה

The beginning either from 2, or from 6, as the property will be explained.

וההתחלה אם מהשנים ואם מהששה כפי מה שיתבאר הענין בו

\scriptstyle{\color{blue}{2+4=6}}

והשנים כאשר נוסיף עליהם ארבעה יהיו ששה

\scriptstyle{\color{blue}{6+4=10}}

וכאשר נוסיף על הששה ארבעה יהיו עשרה

\scriptstyle{\color{blue}{10+4=14}}

וכאשר נוסיף עליהם ארבעה יהיו ארבעה עשר

\scriptstyle{\color{blue}{14+4=18}}

וכאשר נוסיף עליהם ארבעה יהיו שמנה עשר

\scriptstyle{\color{blue}{18+4=22}}

וכאשר נוסיף עליהם ארבעה יהיו שנים ועשרים

Hence, returning to 2, recurring cyclically.

והנה שבנו אל השנים חוזרים בסבוב

It follows necessarily that there is one cycle that repeats in the others and their units are similar to the units of the first cycle [i.e. 2, 6, 0, 4, 8]

יחויב שיהיה סבוב אחד האחרים זולת אלו ויחויב שיהיה כל דומה אל הראשון באחדים או גלגל הנקרא ציפרי

When starting from 6, which has a third [= divisible by 3] that is denominated by three, the third successive term after it, which is 18, has a third [= divisible by 3], and the third successive term after 18, which is 30, has a third, and so on endlessly.

[→

\scriptstyle6+\left(3\sdot4n\right)

are even-times-odd numbers divisible by 3]

וכאשר תשים התחלת המדרגות מהששה והששה להם שליש והם הנקראים על שם שלשה הנה כאשר תתחיל אחר הששה תמצא לשלישי אחריו והוא שמנה עשר שליש אמתי ולשלישי כאשר תתחיל אחר השמנה עשר והוא השלשים שליש אמתי ועל הדרך הזה אל בלתי תכלית

The successive term after 6 is 10 and its part is denominated by the successive odd after 3, which is 5, for 10 has a fifth [= divisible by 5], hence, when starting from 10, the fifth successive term after it has a fifth [= divisible by 5], and so on as much as one wishes.

[→

\scriptstyle10+\left(5\sdot4n\right)

are even-times-odd numbers divisible by 5]

ואחר הששה העשרה והחלק שלהם נקרא בשם הנפרד אשר אחר השלשה והוא החמשה כי לעשרה חומש אמתי והנה כאשר תתחיל אחר העשרה תמצא הנגזר לו השם מזה המספר והוא החמישי לו חומש אמתי ועל הדרך הזה עד מה שתרצה

The successive term after 10 is 14 and its part is denominated by the successive odd after 5, for it has a seventh [= divisible by 7], hence, the seventh successive term after it is found [divisible by 7], and so on.

[→

\scriptstyle14+\left(7\sdot4n\right)

are even-times-odd numbers divisible by 7]

והמספר אשר אחר העשרה הוא הארבעה עשר וחלקו נקרא בשם הנפרד הנמשך אל החמשה כי הנה לו שביעית והנה נמצא השביעי כאשר תתחיל אחריו על הדרך הזה

Among the properties of these terms: the sum of two, which is the first even-times-odd number, with every term that is denominated by a square number, yields a square number.

\scriptstyle a_1+a_{n^2}=2+a_{n^2}=m^2

ומסגלת אלו המדרגו' שמקובץ השנים והוא הראשון שבזוג הנפרד עם כל מדרגה תהיה נקראת על שם מספר מרובע יוציא מספר מרבע

Such as:

$\scriptstyle{\color{blue}{2+a_4=2+14}}$

כמו קבוצם עם הרביעי מהם והוא ארבעה עשר

$\scriptstyle{\color{blue}{2+a_9=2+34}}$

ועם התשיעי מהם והוא ארבעה ושלשים

Also, the successive term after two, which is six, and it is the second even-times-odd number, when it is summed with every term, beginning from one, that is denominated by a square number, the sum is a square number.

\scriptstyle a_2+a_{n^2}=6+a_{n^2-1}=m^2

והנמשך אל שנים והוא הששה והוא זוג הנפרד השני כאשר יקובץ אל מספר כל מדרגה מתחלת מן האחד שתהיה נקראת על שם מספר מרבע הנה יהיה המקובץ מרבע

Such as:

$\scriptstyle{\color{blue}{6+a_{4-1}=6+10}}$

כמו הששה עם הרביעי והוא עשרה

$\scriptstyle{\color{blue}{6+a_{9-1}=6+30}}$

ועם התשיעי והוא שלשים

The product of the name of every term by four, when the first number is subtracted from it, is the value of that term.

\scriptstyle2\sdot\left(2n-1\right)=a_n=4n-2

ומזה שהכאת הנקרא בשם כל מדרגה בארבעה יהיה כאשר תגרע ממנו המספר הראשון יהיה מספר אותה המדרגה

For instance:

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\left(4\sdot4\right)-2=16-2=14}}

המשל בזה שהבית הרביעי נקרא בשם ארבעה וכאשר נכפל בארבעה יהיה ששה עשר תפיל מהם המספר הראשון והוא שנים הנה יהיה ארבעה עשר

It can be reversed by saying that every term of them, when two is added to it, then divided by four, the result is the number of its term from the first.

\scriptstyle n=\frac{\left[2\sdot\left(2n-1\right)\right]+2}{4}=\frac{a_n+2}{4}

וכבר אפשר לך שתהפך זה ותאמר שכל מספר מהם כאשר תוסיף עליו שנים ותחלק על ארבעה הנה מה שיצא הוא מספר מדרגתו מן הראשון

Double the product of the number of the terms by itself is equal to the sum of the terms.

\scriptstyle2n^2=\sum_{i=1}^n \left[2\sdot\left(2i-1\right)\right]

ומזה שכפל הכאת מספר המדרגות בעצמם שוה למקובץ מספרם

For four terms:

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4^2=32=2+6+10+14}}

והנה תהיינה המדרגות ארבעה וכפל הכאתם בעצמם שנים ושלשים והנה זה מקובץ שנים ששה עשרה ארבעה עשר

The sum of the first and the second is a cube, 8, [ $\scriptstyle{\color{blue}{2+6=8}}$ ], and its term is already known, also the cube of the cube and so on [??]

ומזה שמקובץ הראשון והשני מעקב ח' ואתה תדענו ותדע מדרגתו ממה שכבר ידעת ועוד מעקב מעקבו ועל הדרך הזה‫^[14]

Constructing a square [table] of six by six from the even-times-odd numbers

והנה נבנה מזוג הנפרד הנמשכים מרבע ששה בששה

22	18	14	10	6	2
46	42	38	34	30	26
70	66	62	58	54	50
94	90	86	82	78	74
118	114	110	106	102	98
142	138	134	130	126	122

כב	יח	יד	י	ו	ב
מו	מב	לח	לד	ל	כו
ע	סו	סב	נח	נד	נ
צד	צ	פו	פב	עח	עד
קיח	קיד	קי	קו	קב	צח
קמב	קלח	קלד	קל	קכו	קכב

Among the properties of this square table: the units of the beginning of each row breadthwise are the same as the units of its end.

ומסגלות זה הלוח המרבע שאחדי ראשית התחלת כל שורה ברוחב כמו אחדי הסוף

If there is a zero in one of [the extremes], there is a zero in the other [extreme] as well.

ואם יהיה באחד מהם גלגל הנקרא ספרא הנה באחר גלגל גם כן

the sum of the two extremes on the principal diagonal is equal to the sum of the two extremes on the other principal diagonal.

ומהם שמקובץ שני קצוות הקטר האחר שוה למקובץ שני קצות הקטר האחר

Such as:

\scriptstyle{\color{blue}{2+142=22+122}}

כמו ב' עם קמ"ב שהם שני קצות הקטר וכ"ב עם קכ"ב והם קצות הקטר האחר

The sum of the extremes on the principal diagonal always has a root.

ומהם שמקובץ קצות הקטר נגדר לעולם

The sum of two numbers at the same distance from the two extremes on the principal diagonal is equal to the sum of the two extremes on the principal diagonal, and therefore it also has a root.

ומהם שכל שני מספרים מרחקם משני קצות הקטר מרחק אחד הנה מקובצם שוה למקובץ שתי קצות הקטר והוא לזה נגדר גם כן

The excess of each [consecutive] line over the beginning of the [preceding] line is the same.

ומזה שתוספת כל שורה על התחלת זאת השורה אחד

For the excess of [46 over 22] is as the excess of [70 over 46]:

\scriptstyle{\color{blue}{46-22=70-46}}

כי תוספת כ"ב על מ"ו כתוספת מ"ו על ע‫'

Even-Times-Even-Times Odd	ואמנם עניני זוג הזוג והנפרד הנה נדבר בהם
It is said to be similar to the even-times-odd, since it does not admit the repeated halving until reaching 1, except by a fraction [= not divisible by 2 repeatedly].	ונאמר שהוא דומה לזוג הנפרד באשר הוא איננו מקבל ההחצות ההולך בהדרגה בהתמדה עד האחד מזולת שבר
It is similar to the even-times-even, since its first halving does not yield two odds, and its halving does not cease by another division [= divisible by 2 more than once]	וידמה לזוג הזוג באשר הוא לא יחצה החצותו הראשון אל שני נפרדים ולא יעמד החצותו אצל חלוקה אחרת
Its production is by multiplying the even-times-even numbers, beginning from four, by the successive odd numbers. $\scriptstyle2^m\sdot\left(2n-1\right)$	ואמנם התילדותו הנה הוא מהכאת זוג הזוג המתחילים מן הארבע בנפרדים הנמשכים
The greater this even number is, the more it admits halving.	וכל מה שהיה זה הזוג יותר רב יהיה קבלתו להחצות יותר
[Among the even-times-even-times-odd numbers] there are superabundant, deficient, and perfect numbers:	וכבר יהיו בו הנוסף והחסר והשלם
68 is deficient number, and it is [an even-times-even-times-odd number]	כי השמנה וששים מספר חסר והוא מכללו
The perfect number, such as: 28.	ואמנם השלם הנה כמו השמנה ועשרים
The superabundant number, such as: 12	והנוסף בו הרבה כמו השנים עשר
[Among the even-times-even-times-odd numbers] there are also squares:	וכבר יפלו בו המרבעים ג"כ
The production of these squares that are [even-times-even-times-odd numbers] $\scriptstyle\left[2\sdot\left(2n-1\right)\right]^2$ :	והתילדות אלו המרבעים אשר יפלו במספריהם
Multiplying the first even number by the first odd number, until they are six $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$ , which is the root of the first square.	הוא שנכה הזוג הראשון בנפרד הראשון עד שיהיה ששה והנה הוא גדר המרבע הראשון
Multiplying it by the second odd number, until it is ten $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot5=10}}$ , which is the root of the second square.	אח"כ נכה אותו בנפרד השני עד שיהיה עשרה והנה הוא גדר המרבע השני
And so on.	ועל הדרך הזה
When an [even-times-even-times-odd] term is subtracted from its successive term, the result is an even-times-even number. $\scriptstyle\left[2^m\sdot\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]\right]-\left[2^m\sdot\left(2n-1\right)\right]=2^{m+1}$	וכאשר תגרע הבית מאשר ימשך אליו יצא לך זוג הזוג
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{20-12}}$	כמו השנים עשר מהעשרים
This is for what is produced from the products of four by odd numbers. $\scriptstyle\left[4\sdot\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]\right]-\left[4\sdot\left(2n-1\right)\right]$	וזה במה שהתילדותו מהכאת הארבעה בנפרדים
And such as: $\scriptstyle{\color{blue}{40-24}}$	וכמו הארבעה ועשרים מן הארבעים
This is for what is produced from the products of eight by odd numbers. $\scriptstyle\left[8\sdot\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]\right]-\left[8\sdot\left(2n-1\right)\right]$	וזה במה שהתילדותו מהכאת השמנה בנפרדים
This is what is said on the properties of the types of the even-times-even numbers that are affected by the properties of the odd number.	והנה זה מה שנאמר אותו בסגלות מיני זוג הזוג ונעתק אל מיני סגלות הנפרד

The Two - is it an even-times-even number or an even-times-odd number?
The discussion on the first of the numbers, which is two, still remains: is it an even-times-even number, or an even-times-odd number?	וכבר נשאר עלינו הדבור בראשון שבמספרים והוא השנים האם הוא זוג הזוג או זוג הנפרד
It is considered as an even-times-odd number from the aspect that its halving does not end in an even number.	וכבר יחשב מצד שהוא לא יכלה בו ההחצות אל זוג שהוא זוג הנפרד
Some considered it as an even-times-even number as well as an even-times-odd number,and as the beginning of both [types].	והעבירו קצתם שיהיה זוג הזוג וזוג הנפרד יחד ושיהיה התחלה לשניהם
[According to the author]: a true even is the number that is divided into the odd number by halving.	והנראה אלי שזוג באמת הוא המספר המתחלק אל הנפרד אצל ההחצות
The true even-times-odd number is the divided into the odd number by halving.	וזוג הנפרד באמת הוא המתחלק אל הנפרד אצל ההחצות
The even-times-even number is that whose half is an even number, and each half is halved by an even number, except the one.	והנה הזוג הזוג הוא אשר חציו זוג וכל חצי יחצה אותו זוג זולת האחד
The even number is necessarily halved.	ולא ימלט מהחצות זוג
The even-times-odd number is that whose half is an odd number, and cannot be halved.	וזוג הנפרד הוא אשר חציו נפרד ולא יחצה
The odd is either a number, or one, from the aspect of its being indivisible into two parts	והנפרד יהיה מספר או יהיה אחד מצד שלא יחלק בשני חלקים
?	והזוג לא יהיה ולא מספר
	אחר זה הנה ראוי שלא נקפיד בקריאת השמות
If one wants to define the two as matching the two names together:	ואם ירצה אחד שנשים השנים ראויים לשני השמות יחד
The definition of the even-times-even number should be stated as that which cannot be halved into an odd number.	הנה ראוי שנשים גדר זוג הזוג שהוא אשר לא יחצה אל מספר נפרד
But, the two are so, hence the categorization is not by adequacy.	וכן הם השנים אמנם החלוקה לא תהיה על דרך היושר
If one wants to extract the two from both names together:	ואם רצה שנוציא השנים משני השמות יחד
The definition of the even-times-even number should be stated as that which is halved into an even number.	הנה ראוי שנשים גדר זוג הזוג שהוא הנחצה אל מספר זוג
The definition of the even-times-odd number should be stated as that which is halved into an odd number.	וגדר זוג הנפרד שהוא אשר יחצה אל מספר נפרד
But, the two do not match one of the two names according to the adequacy of the categorization.	ולא יהיו השנים ראויים אל אחד משני השמות עם יושר החלוקה

Types of Odd Numbers
Now the properties of the types of odd numbers will be discussed:	ונדבר עתה בעניני מיני הנפרד
Some of the odd numbers are prime and some are composite.	והנפרד ממנו ראשון וממנו מורכב
The composite may be relatively prime.	והמורכב כבר יהיה ראשון בהקש אל זולתו
All this is already known.	וכבר ידעת כל זה
Composite Numbers
When wishing to extract the terms of the composite numbers, one should return to the tables of the successive odd numbers:	וכאשר תרצה שתוציא מדרגות המורכבים בעצמם הנה תשוב אל לוחות המספרים הנפרדים הנמשכים
After three, every third number is a composite number $\scriptstyle3\sdot\left(2n-1\right)$	והנה תמצא כל שלשה אחר השלשה מורכב
After five, every fifth number is a composite number $\scriptstyle5\sdot\left(2n-1\right)$	וכל חמשה אחר החמשה מורכב
And so on endlessly.	וכן אל בלתי תכלית
Example for the first [case]: 9; 15; 21	דמיון הראשון הט' והט"ו והכ"א
Example for the second [case]: 15; 25; 3[5]	דמיון השני הט"ו והכ"ה והל'
Likewise when starting from seven and nine according to this way.	וכמו כן כאשר תתחיל מן השבעה והתשעה על הדרך הזה
One finds that three counts:	ותמצא שם דבר והוא שהשלשה מהם ימנה
The first composite of their terms by the first number of the odds, as nine $\scriptstyle{\color{blue}{9=3\sdot3}}$	המורכב הראשון אשר במדרגותיהם במספר ראשון הנפרדים והוא בעצמו כמו התשעה
The second by the consecutive odd number, which is five $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5}}$	והשני בנפרד אשר ימשך אליו כמו החמשה
The third by the third odd number, which is seven $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot7}}$	והשלישי בנפרד השלישי כמו השבעה‫^[15]
Five also counts:	והחמשה ג"כ ימנה
The its consecutive by the first number of the odds, which is three, as fifteen $\scriptstyle{\color{blue}{15=5\sdot3}}$	אשר ימשך אליו בראשון בנפרדים והוא השלשה כמו החמשה עשר
The second by itself, as twenty five $\scriptstyle{\color{blue}{25=5\sdot5}}$	והשני בעצמו כמו החמשה ועשרים
The third by its consecutive [odd], which is seven, as thirty five $\scriptstyle{\color{blue}{35=5\sdot7}}$	והשלישי במה שאחריו כמו החמשה ושלשים כי הוא ימנה אותם בשבעה‫^[16]

Relatively Prime Numbers
As for the composite in relation to itself that is prime in relation to the other:	ואמנם המורכב בעצמו וראשון אצל זולתו
It is every square of a prime number in relation to another square of a prime number among these successive odd numbers. [= if p and q are prime numbers, then $\scriptstyle p^2$ and $\scriptstyle q^2$ are relatively prime]	הנה הוא כל מרבע ראשון בהקש אל מרבע ראשון אחר מאלו הנפרדים הנמשכים‫^[17]
This is what is said about the properties of the even and the odd numbers.	והנה זה מה שנאמר אותו בעניני הזוג והנפרד
Superabundant / Deficient / Perfect Numbers
Another categorization of the number: some number are superabundant, some are deficient, and some are perfect.	והמספר חלוקה אחרת ממנו נוסף וממנו חסר וממנו שלם
All this is already known, as well as the quality of the production of the perfect number from the even-times-even numbers.	וכבר ידעת כל זה וידעת איכות התילד המספר השלם מזוגי הזוגות‫^[18]
The perfect number is an even number only, because it is produced from the multiplication of an odd number by an even number.	ודע שהמספר השלם לא יהיה אלא זוג לפי שהוא אמנם נתילד מהכאת נפרד בזוג
There is one [perfect number] in the units: 6	ונזדמן שהנופל ממנו באחדים אחד והוא ששה
One in the tens: 28	ובעשרות אחד והוא שמנה ועשרים
One in the hundreds: 496	ובמאות אחד והוא תצ"ו
One in the thousands: 8128	ובאלפים אחד והוא שמנה אלפים וקכ"ח
And so on, in each rank there is one [perfect number]	וכמו כן בכל מין אחד
The units [of a perfect number] are necessarily 6 or 8, even if it does not determined by the experience that they are recurring repeatedly.	לא ימלט מאחדים הם ששה ושמנה ואם לא יתחיב אצל הנסיון בהם שיהיו חוזרים חלילה
Among the properties of the perfect number: when it is multiplied by eight and one is added to [the product], [the result] has a root. [If a is a perfect number → 8a+1 is a square number]	ומסגלות המספר השלם שכאשר הוכה בשמנה ונוסף עליו אחד יהיה נגדר
When its root is divided by four and a quarter is added to the quotient, it is an even-times-even number, such that when multiplied by its double minus one the product is the perfect number. [If a is a perfect number → $\scriptstyle\frac{\sqrt{8a+1}}{4}+\frac{1}{4}$ is an even-times-even number; and $\scriptstyle\left(\frac{\sqrt{8a+1}}{4}+\frac{1}{4}\right)\sdot\left[\left[2\sdot\left(\frac{\sqrt{8a+1}}{4}+\frac{1}{4}\right)\right]-1\right]=a$ ]	וכאשר יחלק גדרו על ארבעה ויתוסף על מה שיתקבץ רביע יהיה זוג הזוג אשר הוכה בכפלו זולת אחד עד שיצא זה המספר השלם
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8\sdot6\right)+1=49}}$	המשל בזה ששה בשמנה נוסף עליו אחד הוא מ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{49}}{4}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}+\frac{1}{4}\left(1+\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{4}=2}}$ is an even-times-even number	וגדרו שבעה ורביעיתו אחד ושלשה רביעיו' וכאשר יתוסף עליו רביע יהיה שנים והוא זוג הזוג
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(2\sdot2\right)-1\right]=6}}$	אשר נפלה ההכאה בכפלו זולת אחד כאשר יצא ששה‫^[19]
The superabundant and the deficient numbers are as explained in every chapter [?]	אמנם המספר הנוסף והחסר הנה יהיו כמו שכבר נתבאר בכל שער
Some people applied an examination for the extraction of the perfect, superabundant and the deficient numbers:	והנה בהוצאת השלם והחסר והנוסף בחינה נפלה לקצת האנשים
For every even-times-even number, when it is multiplied by a prime number, whichever it may be:	והיא שכל זוג הזוג כאשר הוכה במספר ראשון איך שיהיה
If the even-times-even number is greater than half this prime number by one half, the product is always a perfect number. [If $\scriptstyle2^n-\left(\frac{1}{2}p\right)=\frac{1}{2}$ → $\scriptstyle2^n\sdot p$ is a perfect number]	אחר שיהיה זוג הזוג יותר מחצי זה הראשון בחצי אחד הנה המתקבץ ממנו לעולם מספר שלם
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3}}$	כמו השנים בשלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot7}}$	והארבעה בשבעה
If it is greater than its half by more than one half, the product is always a superabundant number. [If $\scriptstyle2^n-\left(\frac{1}{2}p\right)>\frac{1}{2}$ → $\scriptstyle2^n\sdot p$ is a superabundant number]	ואם יהיה יותר מחציו ביותר מחצי אחד הנה המתקבץ ממנו לעולם מספר נוסף
If less than its half, whichever the deficiency is, [the product is always] a deficient number. [If $\scriptstyle2^n<\frac{1}{2}p$ → $\scriptstyle2^n\sdot p$ is a deficient number]	ואם יהיה פחות מחציו איך שיהיה הפחת הנה המספר חסר
The example for the first [case]: $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5}}$ [superabundant]	משל הראשון הנה ארבעה בחמשה
The example for the second [case]: $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot11}}$ [deficient]	ומשל השני הארבעה באחד עשר
For every number of the perfect numbers that is multiplied by a prime number, such that this prime number is not a divisor of the perfect number:	וכל מספר מהמספרים השלמים הוכה במספר ראשון ולא ימנה זה המספר הראשון זה המספר השלם
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot7=42}}$	כמו הששה כאשר הוכה בשבעה ונתחדש מ"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot42=21}}$	ולו מן החלקים החצי והוא כ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot42=14}}$	ושליש והוא י"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot42=7}}$	והששית והוא ז'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot42=6}}$	והשביעית והוא ו'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{14}\sdot42=3}}$	וחלק מי"ד והוא ג'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{21}\sdot42=2}}$	וחלק מכ"א והוא ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{42}\sdot42=1}}$	וחלק ממ"ב והוא א'
The total sum: $\scriptstyle{\color{blue}{21+14+7+6+3+2+1=54}}$	וכלל זה נ"ד
It exceeds the 43 by 12, which is double the 6 $\scriptstyle{\color{blue}{54-42=12=2\sdot6}}$	הנה מוסיף על מ"ב בי"ב והוא כפל ששה
Every number divisible by 2 is always deficient.	וכל מספר ימנהו שנים הנה הוא חסר לעולם
All the prime numbers are undoubtedly deficient.	וכל המספרים הראשוני' חסרי' בלי ספק
All the even-times-even numbers are deficient by 1.	וכל זוגי הזוג חסרים באחד
Every number divisible by 2 and 3 is always superabundant, except for the number 6.	וכל מספר זולת הששה ימנוהו השנים והשלשה הנה הוא נוסף לעולם
every number divisible by two and two other numbers whose sum is divisible by three is superabundant	וכל מספר ימנה אותו השנים ושני מספרים יהיה קריאת מקובצם עומדת מקום השליש רצוני שיהיה אחריתם כמו השליש רצוני שיהיה החבור משני יחסי חלקיהם בנכח המוסיף שליש כמו מקובץ שני יחסי המוסיף חומש והמוסיף שביעית אשר הוא לנכח המוסיף שלישית הנה הוא נוסף לעולם
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot5\sdot7=70}}$ is superabundant	כמו השבעים כי הוא לפי שהוא נמנה עם השנים והחמשה והשבעה יהיה נוסף לעולם
every even-times-odd number divisible by 2, 5, and 7 is superabundant	וכל זוג נפרד נמנה עם השנים והחמשה והשבעה יהיה נוסף
every even-times-odd number that consists of a composite odd number $\scriptstyle2\sdot\left(2n-1\right)\sdot\left(2m-1\right)$ is superabundant Example: 18 and 30 are superabundant	וכל זוג נפרד מורכב מנפרד מורכב כמו השמנה עשר והשלשים הנה הוא נוסף תמיד
an even-times-odd number that consists of a prime number is deficient	ואם יהיה מורכב מנפרד ראשון הנה הוא חסר
among the even-times-even-times-odd numbers there are deficient, superabundant and perfect numbers	וכבר ימצאו בזוג הזוג והנפרד חסר ונוסף ושלם
superabundant number: 36	דמיון הנוסף ששה ושלשים
deficient number: 44	ודמיון החסר ארבעים וארבעה
perfect number: 28	ודמיון השלם שמנה ועשרים
there is no perfect number among the odd numbers most of the odd numbers are deficient	המספר הנפרד לא יהיה שלם כמו שידעת אבל יהיה חסר
an odd number is superabundant only if it is a product of four consecutive odd numbers	ולא יהיה נוסף אלא שיהיה מורכב מארבעה נפרדים נמשכים על הסדר הטבעי
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5\sdot7\sdot9=945}}$ is superabundant	כמו מה שראשיתו שלשה אח"כ חמשה אח"כ שבעה אח"כ תשעה ומורכבם הוא תשע מאות וארבעים וחמשה והוא המספר הראשון שבנפרדים נוסף בשלישית ואם יניח זה ההמשך לא יתחיב שיהיה נוסף
	ונחתום הנה הדבור בזה האופן מחכמת המספר ונעתק אל האופן אשר יבחן ממנו בצרוף מספר אל מספר

Book Two	המאמר הב‫'
Ratios
	כבר יעויין במספר עיון מצד ההשגחה בעצמו ובעניינים המתחייבי' לו במה שהוא מספר ומה שהוא מין מספר
	וכבר יעויין בו מצדדים אחדים מהם מצד היותו מצטרף אל מספר אחר
	וזה המספר האחר, אם יהיה אחר ממנו במספר לא במין או חלק המין, יהיה הצרוף צרוף השנוי
the ratio consists of two terms: greater and less	וכל שני משתנים הנה אחד מהם מוסיף והאחר חסר
	וכאשר תדע עניני המוסיף אצל החסר תדע עניני החסר אצל המוסיף כפי מה שיחיבהו היושר בהצטרפות
	והמוסיף אם פשוט ואם בלתי פשוט
Simple Ratio: multiple ratio; superparticular ratio; superpartient ratio	והפשוט אם כפל ואם כפלים ואם מוסיף בחלק או חלקים
Compounded Ratio: multiple superparticular ratio; multiple superpartient ratio	והמורכב הוא המוסיף בכפל והחלק או המוסיף בכפל והחלקים או המוסיף בכפלים והחלק או המוסיף בכפלים והחלקים
	והחלקים כונתנו בהם מה שהוא יותר מכפל אחד או חלק אחד ואם היה שני כפלים או שני חלקים
	והחסר הנה כבר פשט המנהג שיורו עליו באשר הוא אשר תחת ככה כאמרם אשר תחת המוסיף חלק ולפעמים יהיה נגזר לו שם משם מספר הכפלים כמו השליש והרביע והחלק משנים עשר ולפעמים יקרא בשני יחסים כאמרם חצי הששית חומש עשירית
Simple Ratios
Multiple Ratio
The first multiple is the double ratio, in which the addition is one time the other.	והנה הנכפל הראשון הוא הנכפל השניי והוא אשר התוספת בו בדמיון האחר
Its beginning is from the numbers one and two $\scriptstyle{\color{blue}{2:1}}$	והתחלתו במספרים מן האחד והשנים
The smaller are added by the sequence of the successive numbers	ויתוסף החסר על סדר המספרים הנמשכים
The greater, which are the doubles, by the sequence of the successive even numbers, exceeding two by two	והמוסיף והוא הכפל על סדר הזוגות הנמשכים בהעדף שנים שנים
Then the triple ratio, in which the addition is two times.	אח"כ הנכפל השלישיי והוא אשר התוספת בו בשני דמיונים
Its beginning is from three and one $\scriptstyle{\color{blue}{3:1}}$	והתחלתו מהשלשה והאחד
The smaller are added by the sequence of the successive numbers	ויתוסף החסר על סדר המספרים הנמשכים
The greater [are added] three by three	והנוסף בשלשה שלשה
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{3;\ 6;\ 9;\ 12}}$	כמו שלשה וששה ותשעה ושנים עשר
According to this way the less are added one by one in all the multiple ratios and the greater by the number of the multiples.	ועל הדרך הזה יתוסף החסר בכל היחסים בעלי הכפל באחד אחד והנוסף במספר הכפלים
The beginning of the less is from 1.	ותהיה התחלת החסר מן האחד
The beginning of the greater from the number by which the number of the multiple is denominated [= the multiplier].	והתחלת הנוסף מהמספר אשר על שמו יקרא מספר הכפלים

Superparticular Ratio
The first of the superparticular ratio is that which adds to the other its half [= sesquialter].	והראשון אשר במוסיף חלק הוא המוסיף על האחר בכמו חציו
Its beginning is from three and two $\scriptstyle{\color{blue}{3:2}}$	והתחלתו מהשלשה והשנים
The less are added by the sequence of the successive even numbers, since they have a half [= divisible by 2].	ויתוסף החסר על סדר הזוגות הנמשכים לפי שיש להם חצי
The greater [are added] three by three.	והמוסיף בשלשה שלשה
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{3:2;\quad6:4;\quad9:6}}$	כמו השנים עם השלשה אח"כ הארבעה עם הששה אח"כ הששה עם התשעה
After the sesquialter is the sesquitertian ratio	ואחר המוסיף חצי הוא המוסיף שליש
Its beginning is from four and three $\scriptstyle{\color{blue}{4:3}}$	והתחלתו מן הארבעה והשלשה
The less are added three by three.	ויתוסף החסר בשלשה שלשה
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{3;\ 6;\ 9}}$	כמו השלשה והששה והתשעה
The greater [are added] four by four.	והמוסיף בארבעה ארבעה
According to this way the matter proceeds always by this order.	ועל הדרך הזה ילך הענין תמיד על זה הסדר

Table of Multiple and Superparticular Ratios

Setting a square table with lines, starting from one, the beginnings of its lines are added lengthwise and breadthwise by the sequence of the natural numbers

והנה כאשר נרשום לוח בעל טורים מרובע יתחיל מן האחד ויתוספו ראשי שורותיו בארך וברחב על סדר המספרים הטבעיים

By this way these ratios are established in it, as well as other propositions that are derived from them.

ועל הדרך הזה תניח בו אלה היחסים ומשפטים אחרים יוצאים מהם

Let there be a table of ten by ten lines:

והנה יהיה זה הלוח הבעל טורים עשרה על עשרה

10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
20	18	16	14	12	10	8	6	4	2
30	27	24	21	18	15	12	9	6	3
40	36	32	28	24	20	16	12	8	4
50	45	40	35	30	25	20	15	10	5
60	54	48	42	36	30	24	18	12	6
70	63	56	49	42	35	28	21	14	7
80	72	64	56	48	40	32	24	16	8
90	81	72	63	54	45	36	27	18	9
100	90	80	70	60	50	40	30	20	10

י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
כ	יח	יו	יד	יב	י	ח	ו	ד	ב
ל	כז	כד	כא	יח	טו	יב	ט	ו	ג
מ	לו	לב	כח	כד	כ	יו	יב	ח	ד
נ	מה	מ	לה	ל	כה	כ	טו	י	ה
ס	נד	מח	מב	לו	ל	כד	יח	יב	ו
ע	סג	נו	מז	מב	לה	כח	כא	יד	ז
פ	עב	סד	נו	מח	מ	לב	כד	יו	ח
צ	פא	עב	סג	נד	מה	לו	כז	יח	ט
ק	צ	פ	ע	ס	נ	מ	ל	כ	י

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_2:R_1}}$ ]: The second line is in the double ratio to the first line.

והנה נמצא השורה השנית על יחס הכפל לשורה הראשונה

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_3:R_1}}$ ]: The third [line] is in the triple ratio.

והשלישית על יחס השלשה כפלים

By this way the excess is found as is said.

ועל הדרך הזה נמצא ההעדף כפי מה שנאמר לך

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_3:R_2}}$ ]: The third line is in the sesquialter ratio to the second line.

ונמצא השורה השלישית אל השנית על יחס המוסיף חצי

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_4:R_3}}$ ]: The fourth [line] is in the sesquitertian ratio to the third [line].

והרביעית אל השלישית על יחס המוסיף שליש

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_5:R_4}}$ ]: The fifth [line] is in the sesquiquartan ratio to the fourth [line].

והחמישית אל הרביעית על יחס המוסי' רביע

According to this way the matter proceeds always.

ועל הדרך הזה הולך הענין תמיד

The excess is found as is said:

ונמצא ההעדף כפי מה שנאמר לך

[ $\scriptstyle R_2-R_1$ ]: The excesses of the second line over the first line differ by number, but not differ by ratio.

ונמצא תוספת השורה השנית על השורה הראשונה יתחלף במספר ואם לא יתחלף ביחס

The excess of the first rubric of [the second line] over the first rubric of the first line is one. $\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}$

ונמצא תוספת הבית הראשון ממנו על הבית הראשון מהשורה הראשונה באחד

The excess of the second rubric of [the second line] over the second rubric of the first [line] is two. $\scriptstyle{\color{blue}{4-2=2}}$

ותוספת הבית השני ממנו על הבית השני מהראשון בשנים

According to this way by the order of the successive numbers.

ועל הדרך הזה על סדר המספרים הנמשכים

According to this way the property of each rubric to its preceding [

\scriptstyle C_mR_{n+1}-C_mR_n=m

]

ועל הדרך הזה ענין כל בית אצל הקודם אליו‫^[20]

[ $\scriptstyle C_mR_{n+2}-C_mR_n=2m$ ]: When the third is related to the first in every sequence they are found by the order of the even numbers.

ונמצא זה כאשר יוקש בין השלישי והראשון בכל סדור על סדר הזוגות

The first [rubric] of each third [line] exceeds by two over the first [rubric] of each first [line].

\scriptstyle{\color{blue}{C_1R_{n+2}-C_1R_n=2}}

כי הנה נמצא הראשון מכל שלישי יוסיף על ראשון מכל ראשון בשנים

The second by four.

\scriptstyle{\color{blue}{C_2R_{n+2}-C_2R_n=4}}

והשני בארבעה

The third by six.

\scriptstyle{\color{blue}{C_3R_{n+2}-C_3R_n=6}}

והשלישי בששה

And so on according to this way.

ועל הדרך הזה‫^[21]

The excess of the first rubric of the fourth [line] over the first rubric of each first [line] is three by three.

\scriptstyle{\color{blue}{C_1R_{n+3}-C_1R_n=3}}

ואמנם תוספת הבית הראשו' מ[הר]ביעי על הבית הראשון מכל ראשון הנה הוא בשלשה שלשה

The excess of the second [rubric] of the fourth [line] over the second [rubric] of the first [line] is six by six.

\scriptstyle{\color{blue}{C_2R_{n+3}-C_2R_n=6}}

ותוספת השני מן הרביעי על השני מן הראשון בששה ששה

According to this way the excess of each rubric over the [other] rubric on both directions is three by three [ $\scriptstyle C_mR_{n+3}-C_mR_n=3m$ ]

ועל הדרך הזה תוספת כל בית יוסיף על תוספת הבית בשני צדדין בשלשה שלשה

The excess of the fourth over the second, between them one line, as the excess of the second over the first in ratio [?]

\scriptstyle R_4-R_2=2\sdot\left(R_2-R_1\right)

[?]

תוספת רביעי על השני וביניהם שורה אחת כתוספת השני על הראשון ביחס

The excess of the sixth over the third, between them two lines, as the excess of the third over the secnd in ratio [?]

\scriptstyle R_6-R_3=3\sdot\left(R_2-R_1\right)

[?]

ותוספת הששי על השלישי וביניהם שתי שורות כתוספת השלישי על השני ביחס ועל הדרך הזה‫^[22]

Every number on the principal diagonal is a square.

והנה תמצא כל מספר ממספרי הקטר מרבע

Such as:

\scriptstyle{\color{blue}{4;\ 9;\ 16}}

כמו הד' והט' והי"ו

The sum of every two consecutive square numbers plus the numbers on their inverse diagonal is a square number.

ונמצא מקבץ כל שני מרבעים נמשכים ומקבץ השני שטחים אשר יפלו ביניהם על האלכסוניות מרבע

Such as:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+9\right)+\left(6+6\right)=25}}

כמו מקבץ הד' והט' עם הו' וו' שעולה כ"ה

The sum of every two consecutive square numbers exceeds the sum of the numbers on their inverse diagonal by one.

ונמצא מקבץ כל שני מרבעים נמשכים על מקבץ השני שטחים מוסיף באחד

Double the sum of every two consecutive square numbers minus one is necessarily a square number.

\scriptstyle\left[2\sdot\left[n^2+\left(n+1\right)^2\right]\right]-1=m^2

והנה יחויב שיהיה כפל מקובץ כל שני מרבעים נמשכים מחוסר ממנו אחד מרבע‫^[23]^[24]

The product of every number in a line by a number in another line is equal to the product of the corresponding by the corresponding.

\scriptstyle R_nC_m\times R_aC_b=R_aC_m\times R_nC_b

ונמצא הכאת כל מספר משורה במספר משורה אחרת שוה להכאת בן גילו בבן גילו

Such as: 2, which is the second in the first [line], by 20, which is the last of the second [line], that is the same as 4, which is the second in the second [line], by 10, which is the last of the first [line]

\scriptstyle{\color{blue}{R_1C_2\times R_2C_{10}=2\sdot20=4\sdot10=R_2C_2\times R_1C_{10}}}

כמו הב' והוא השני מן הראשונה בכ' והוא האחרון מן השנית אשר הוא כמו הד' אשר הוא השני מן השנית בי' אשר הוא האחרון מן הראשונה

The product of every number on the principal diagonal by its inverse number on the other side of the principal diagonal is equal to the product of the corresponding numbers by each other, meaning on the inverse diagonal.

ונמצא הכאת כל מספר ממספרי הקטר בבן גילו מהצד האחר מזה הקטר כמו בני גילם אחד מהם באחר רצוני מן הקטר האחר

Such as:

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot100=10\sdot10}}

כמו הכאת הא' בק' אשר הוא כמו הכאת הי' בי‫'

Also:

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot81=18\sdot18}}

וג"כ הכאת ד' בפ"א אשר הוא כמו הכאת י"ח בי"ח

And so on by this way.

ועל הדרך הזה

As for the other ratios, before examining them in this table, the quality of rule of investigating their first numbers will be referred to.

ואמנם היחסים האחרים הנה אנחנו קודם שנבחין אותם מזה הלוח הבעל טורים נרמוז אל איכות ההנהגה בדרישת מספריהם הראשונים

Their properties will be determined, then their examination in this table will be alluded to.

ונרמוז אל ענינים מסגלים להם אח"כ נרמוז אל בחינתם מזה הלוח

Superpartient Ratio
The superbipartient ratio or the superpartient ratio is sometimes absolute and sometimes not absolute.	ונאמר אם יחס המוסיף בשני חלקים או המוסיף בחלקים הנה לפעמים יהיה גמור ולפעמים לא יהיה גמור
The absolute, meaning that which is not reduced to the superparticular ratio.	והגמור רצוני מה שאיננו חוזר אל יחס דמיון וחלק
Such as: The superbisextan ratio which is reduced to the sesquitertian ratio. $\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{2}{6}\right)=1:\left(1+\frac{1}{3}\right)}}$	כמו חזרת המוסיף בשני ששיות אל המוסיף שליש
The superbiquartan ratio which is reduced to the sesquialter ratio. $\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{2}{4}\right)=1:\left(1+\frac{1}{2}\right)}}$	והמוסיף בשני רביעיות אל המוסיף חצי
Every superbipartient ratio that is denominated by an even number [is reducible]. [ $\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{2n}\right)=1:\left(1+\frac{1}{n}\right)$ ]	כל מוסיף בשני חלקים נקראים בשם זוג
The supertrisextan ratio is reduced to the sesquialter ratio. $\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{3}{6}\right)=1:\left(1+\frac{1}{2}\right)}}$	וחזרת המוסיף בשלשה ששיות אל החצי אחר כן
Such as the superbiquintan ratio $\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{2}{5}\right)}}$ and the supertriquartan ratio $\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{3}{4}\right)}}$ are the [absolute ratios].	ואבל כמו המוסיף בשני חמישיות והמוסיף בשלש רביעיות הוא הבלתי גמור
There is no common order for the absolute ratios, thus any one who measures should examine the sequence.	ולא ימצא לגמור סדור משותף בו אבל יצטרך כל שוער להבחין הסדור
When it is taken in actu, the order of the realization of its first number is such that the first is that by which the part of the numbers is denominated, so that two is added to it if there are two parts or three if there are three parts. [ $\scriptstyle1:\left(1+\frac{m}{n}\right)=n:\left(n+m\right)$ ]	ואמנם כאשר ילקח בשלוח‫^[25] הנה הסדר בהגעת מספרו הראשון הוא שיגיע הראשון אשר בשמו יקרא זה החלק מן המספרי' כדי שנוסיף עליו אם הוא שני חלקים הנה שנים ואם היה שלשה חלקים הנה השלשה
For example: If the addition is of two thirds [superbitertian ratio], the three are set, then two are added to them, which are five, so their beginning is three and five. [ $\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{2}{3}\right)=3:\left(3+2\right)=3:5}}$ ]	המשל בזה אם היה התוספת בשני שלישיות נניח שלשה ונוסיף עליהם שנים ויהיו חמשה ותהיה התחלתם משלשה וחמשה
If the addition is of three quarters [supertriquartan ratio], the four are set, then three are added to them, and they are four and seven that are their beginning. [ $\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{3}{4}\right)=4:\left(4+3\right)=4:7}}$ ]	ואם יהיה התוספת בשלשה רביעיות נניח ארבעה ונוסיף עליהם שלשה ויהיו ארבעה ושבעה והיא מתחלתם
Finding the smaller numbers in the superbipartient ratios $\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{n}\right)$ :	והנה תמצא המספרים החסרים ביחס הדמיון ושני חלקים
Superbitertian ratio $\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{3}\right)$	אם ביחס הדמיון ושני שלישיות
the less are added three by three	הנה החסרים מוסיפים בשלשה
the greater [are added] five by five	והנוספים בחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{3:5;\quad 6:10;\quad 9:15}}$	עד שיהיו שלשה וחמשה אח"כ ששה ועשרה אח"כ תשעה וחמשה עשר
Superbiquartan ratio $\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{4}\right)$ , which is not absolute	ואמנם ביחס הדמיון ושתי רביעיות והוא בלתי גמור
the less are added four by four	הנה תמצא החסרים יוסיפו בארבעה ארבעה
the greater [are added] six by six	והנוספים בששה ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{4:6;\quad 8:12}}$	באלו מספרם על הקש ארבעה וששה ושמנה ושנים עשר
According to this way the less are by themselves and the greater are by themselves.	ועל הדרך הזה החסר כמו עצמו והנוסף כמו עצמו
By this order, the superbiquintan ratio $\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{5}\right)$	וכפי זה הוא הסדר במוסיף שתי חמישיות
Comparing [the superbipartient ratios] to each other [ $\scriptstyle\left[1:\left(1+\frac{2}{n}\right)\right]:\left[1:\left(1+\frac{2}{n+1}\right)\right]$ ]:	ואמנם הקש קצתם אל קצת
i.e. comparing the superbitertian ratio to the superbiquartan ratio, then to the superbiquintan ratio $\scriptstyle\left[1:\left(1+\frac{2}{3}\right)\right];\quad\left[1:\left(1+\frac{2}{4}\right)\right];\quad\left[1:\left(1+\frac{2}{5}\right)\right]$	רצוני הקש המוסיף שתי שלישיות אל המוסיף שתי רביעיות אח"כ המוסיף שתי חמישיות
the less are added one by one.	הנה החסרים יוסיפו באחד אחד
the greater are also added one by one.	והנוספים ג"כ יוסיפו באחד אחד‫^[26]
When examine the absolute [superbipartient] ratios, they are by the sequence of the successive odd numbers. [ $\scriptstyle\left[1:\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)\right]:\left[1:\left(1+\frac{2}{2n+1}\right)\right]$ ]	וכאשר תבחין הגמורים בזה היחס יהיו על סדר הנפרדים הנמשכים
Such as: five to three, which is the superbitertian ratio $\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{3}\right)\longrightarrow{\color{blue}{3:5}}$	כמו החמשה אל השלשה והוא המוסיף בשתי שלישיות
seven to five, which is the superbiquintan ratio $\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{5}\right)\longrightarrow{\color{blue}{5:7}}$	והשבעה אל החמשה והוא המוסיף בשתי חמישיות
nine to seven, which is the superbiseptian ratio $\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{7}\right)\longrightarrow{\color{blue}{7:9}}$	והתשעה אל השבעה והוא המוסיף בשתי שביעיות
Comparing between the supermultiplepartient ratios [ $\scriptstyle1:\left(1+\frac{m}{n}\right)$ ]:	ואמנם ההקש בין רבי החלקים
Such as: the supertriquartan ratio $\scriptstyle1:\left(1+\frac{3}{4}\right)$	כמו המוסיף בדמיונו ושלשה רביעיות
Their less and their greater are added by the mentioned rule.	הנה יוסיפו החסרים מהם והמוסיפים מהם על ההקש הנזכר
$\scriptstyle{\color{blue}{4:7;\quad 8:14}}$	עד שיהיו ארבעה ושבעה אח"כ שמנה וארבעה עשר
By this way the addition of three fifthes [supertriquintan ratio] $\scriptstyle1:\left(1+\frac{3}{5}\right)$	ועל הדרך הזה תוספת שלש חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{5:8;\quad 10:16}}$	יהיה חמשה ושמנה ועשרה וששה עשר
The relation between the [supertripartient ratios] is as said for the former [= the superbipartient ratios] [ $\scriptstyle\left[1:\left(1+\frac{3}{4}\right)\right];\quad\left[1:\left(1+\frac{3}{5}\right)\right];\quad\left[1:\left(1+\frac{3}{6}\right)\right]$ ]	ויהיה התיחסות מה שביניהם כפי מה שנאמר בראשונים
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{4:7;\quad 5:8;\quad 6:9}}$	כמו ארבעה ושבעה אח"כ חמשה ושמנה אח"כ ששה ותשעה
The absolute ratios have unordered properties that should be drawn by examination for each category.	וימצאו לגמורי' סגלות בלתי מסודרות אלא בשער שער יש להוציא אותם עם הבחינה

Compounded Ratios
Multiple Superparticular Ratio
When wishing to find the first number in the [multiple] superparticular ratio:	וכאשר נרצה שנמצא ראשון המספרים ליחס הדמיון והחלק‫^[27]
Taking that by which the parts are denominated, as two for a half, three for a third, then multiplying this number by two and adding one to it. $\scriptstyle1:\left(2+\frac{1}{n}\right)=n:\left(2n+1\right)$	הנה נקח אשר על שמו יקראו החלקים כמו השנים לחצי והשלשה לשליש ונכפול זה המספר בשנים ונוסיף עליו אחד
Such as: The double sesquialter ratio, for its production is by multiplying the two by two and adding one to it, so they are two and five. [ $\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(2+\frac{1}{2}\right)=2:\left[\left(2\sdot2\right)+1\right]=2:5}}$ ]	כמו הכפל וחצי כי התילדותו מכפל השנים בשנים והתוספת אחד עליו ויהיו שנים וחמשה
The double sesquitertian ratio, whose production is by multiplying the three by two and adding one to it, so they are three and seven. [ $\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(2+\frac{1}{3}\right)=3:\left[\left(2\sdot3\right)+1\right]=3:7}}$ ]	והכפל ושליש שהתילדותו מכפילת השלשה בשנים והתוספת אחד עליו ויהיו שלשה ושבעה
The double sesquiquartan ratio - they are four and nine [ $\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(2+\frac{1}{4}\right)=4:\left[\left(2\sdot4\right)+1\right]=4:9}}$ ]	והכפל ורביע שיהיו ארבעה ותשעה
Finding the numbers of the first [= the double sesquialter ratio $\scriptstyle1:\left(2+\frac{1}{2}\right)$ ]:	ונמצאו המספרים בראשון‫^[28]
The less are added two by two, by the sequence of the successive even numbers	יתוסף החסר בשנים שנים על סדר הזוגות הנמשכים
The greater are added five by five.	ויתוסף המוסיף בחמשה חמשה
So they are in the double sesquialter ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{2:5;\quad 4:10;\quad 6:15}}$	עד שיהיה במוסיף כפל וחצי שנים וחמשה אח"כ ארבעה ועשרה אח"כ ששה וחמשה עשר
Finding the numbers of the second, which is the double sesquitertian ratio $\scriptstyle1:\left(2+\frac{1}{3}\right)$ :	ונמצא המספרים בשני והוא יחס הכפל והשליש
The less are added three by three.	יתוספו החסרים בהם בשלשה שלשה
The greater [are added] seven by seven.	והמוסיפים בשבעה שבעה
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{3:7;\quad 6:14;\quad 9:21}}$	כמו שלשה ושבעה אח"כ ששה וארבעה עשר ותשעה ואחד ועשרים
Finding the numbers of the third, which is the double sesquiquartan ratio $\scriptstyle1:\left(2+\frac{1}{4}\right)$ :	ונמצאו המספרים בשלישי והוא יחס הכפל ורביע
The less are four by four	יתוסף החסר בהם בארבעה ארבעה
The greater [are] nine by nine	והמוסיף בתשעה תשעה
So they are according to the succession of: $\scriptstyle{\color{blue}{4:9;\quad 8:18;\quad 12:27}}$	עד שיהיו על משך ארבעה ותשעה אח"כ שמנה ושמנה עשר אח"כ שנים עשר ושבעה ועשרים
As a rule: the addition of the less and the greater is according to their first number.	ובכלל הנה תוספת החסר והנוסף יהיה על מספרם הראשון
The relation between their terms, meaning between the double sesquialter ratio and the double sesquitertian ratio [and the double sesquiquartan ratio] [ $\scriptstyle\left[1:\left(2+\frac{1}{n}\right)\right]:\left[1:\left(2+\frac{1}{n+1}\right)\right]$ ] [ $\scriptstyle\left[1:\left(2+\frac{1}{2}\right)\right];\quad\left[1:\left(2+\frac{1}{3}\right)\right];\quad\left[1:\left(2+\frac{1}{4}\right)\right]$ ]	ואמנם ההתיחסות במה שבין מדרגותיהם רצוני התיחסות מה שבין הכפל והחצי ובין הכפל והשליש
The less are added one by one.	הנה החסרים יתוספו באחד אחד
The greater are added two by two, according to the multiple [n+2]	והמוסיפים בשנים שנים כפי ההכפלה
So they are: $\scriptstyle{\color{blue}{2:5;\quad 3:7;\quad 4:9}}$ and so on in this way.	עד שיהיו שנים וחמשה שלשה ושבעה ארבעה ותשעה ועל הדרך הזה
Thus, the rule of the addition follows the successive odd numbers.	וילך מנהג התוספת על הנפרדים הנמשכים

Multiple Superpartient Ratio
The double [superbipartient] ratios - their production should be done as was already done [in the multiple superparticular ratios], except adding two instead of one.	ואמנם יחסי הכפל והשני שלישיות הנה ראוי שנעשה בתולדתם מה שכבר עשינו אותו אלא שאנחנו נוסיף תמורת האחד שנים
The double superbitertian ratio - starting from three and eight. $\scriptstyle1:\left(2+\frac{2}{3}\right)\longrightarrow{\color{blue}{3:8}}$	ונתחיל אם ביחס הכפל והשתי שלישיות מן השלשה והשמנה
The double superbiquartan ratio, which is not absolute - from four and ten. $\scriptstyle1:\left(2+\frac{2}{4}\right)\longrightarrow{\color{blue}{4:10}}$	וביחס הכפל והשתי רביעיות והוא בלתי גמור בארבעה והעשרה
The double superbiquintan ratio - from five and twelve. $\scriptstyle1:\left(2+\frac{2}{5}\right)\longrightarrow{\color{blue}{5:12}}$	וביחס הכפל והשתי חמישיות מן החמשה והשנים עשר
The greater are also added two by two, and the less [are added] one by one.	והנה נמצא המוסיפים ג"כ יוסיפו בשנים שנים והחסרים באחד אחד
The sequence and the order [of the additions] are found in one category as the sequence of the numbers given in the double [superparticular] ratio - the less and the greater are added by their number, yet the numbers of the less are as in the [double superbitertian] ratio, double superbiquartan ratio, the double superbiquintan ratio, and the rest of them.	ונמצא הסדר והמנהג בשער אחד כמו סדר המספרים המונחים לשני דמיונים ושתי שלישיות ונמצא החסרים והמוסיפים יוסיפו על מספרם אלא שאנחנו נמצא מספר החסרים כמו שהיה בדמיון ושליש וכפל ושתי רביעיות וכפל ושתי חמישיות ושאר אלו‫^[29]
The double supertripartient ratios	וכאשר נרצה הכפל והשלשה חלקים
The first of them is the three quarters [the double supertriquartan ratio].	והראשון שבהם שלשה רביעיות
The production is by the same way, except that for the three parts [the supertripartient] three are added, and for the four parts [the superquadripartient] four [are added].	הנה ההולדה על זה הדרך בעצמו אלא שאנחנו נוסיף למוסיף שלשה חלקים שלשה ולמוסיף ארבעה חלקים ארבעה
The beginning of the double supertripartient ratios is the double supertriquartan ratio - starting from four and eleven. $\scriptstyle1:\left(2+\frac{3}{4}\right)\longrightarrow{\color{blue}{4:11}}$	והנה הראשון שבכפל ושלשה חלקים הכפל ושלשה רביעיות והתחלתו מן הארבעה והאחד עשר
The double supertriquintan ratio - starting from five and thirteen. $\scriptstyle1:\left(2+\frac{3}{5}\right)\longrightarrow{\color{blue}{5:13}}$	אח"כ הכפל ושלשה חמישיות והתחלתו מן החמשה ושלשה עשר
So on in this way.	ועל הדרך הזה
The excesses of the terms are as before.	והנה נמצא תוספת מדרגות המספרים כמו שהיה
When referring to one category, the less and the greater are added as themselves also.	וכאשר נתנהג במה שבשער אחד נמצא החסרים והמוסיפים ג"כ יתוספו כמו עצמם
The number of the less is as it is and the number of the greater is [another?] number.	ואמנם מספר החסרים יהיה כמו שהיה ומספר המוסיפים מספר אחד
The triple superparticular ratios, the triple superbitertian ratios, or the triple superpartient ratios	וכאשר נרצה יחס שלשה כפלים וחלק או שני חלקים אחרים
The production of these is as already done, except for not doubling once, but multiplying by the number of the multiples, then the part or the parts are treated as before.	נעשה בהולדת אלו מה שכבר עשינו אלא שאנחנו לא נכפול פעם אחת לבד אבל במספר אותם הכפלים אח"כ נעשה בחלק והחלקים מה שכבר עשינו
The triple superparticular ratios
The beginning of the triple sesquitertian ratio is three and ten. $\scriptstyle1:\left(3+\frac{1}{3}\right)\longrightarrow{\color{blue}{3:10}}$	ונמצא ראשית השלשה כפלים ושליש משלשה ועשרה
The beginning of the triple sesquiquartan ratio is four and thirteen. $\scriptstyle1:\left(3+\frac{1}{4}\right)\longrightarrow{\color{blue}{4:13}}$	וראשית שלשה כפלים ורובע מארבעה ושלשה עשר
The less are added one by one and the greater three by three.	ונמצא החסרים יוסיפו באחד אחד והמוסיפים בשלשה שלשה
When taken breadthwise:	וכאשר נקח ברחב
The triple sesquialter ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{2:7;\quad 4:14}}$	נמצא ראשית שלשה כפלים וחצי משנים ושבעה ושנית מארבעה וארבעה עשר
All are also added by their number.	ונמצא ג"כ כלם יתוספו במספרם
The less follow the addition of the successive even numbers.	והחסר ירוץ על תוספת הזוגות הנמשכים
The triple sesquitertian ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{3:10;\quad 6:20}}$	ונמצא ראשית שלשה כפלים ושליש מהשלשה והעשרה ושנית מהששה ועשרים
The rule is kept.	ונמצא השרש שמור
The triple superbipartient ratios	וכאשר יבחנו השלשה כפלים והשני חלקים
Their beginning is the triple superbitertian ratio - starting from three and eleven. $\scriptstyle1:\left(3+\frac{2}{3}\right)\longrightarrow{\color{blue}{3:11}}$	יהיה ראשיתם שלשה כפלים ושני שלישיות והראשון משלשה ואחד עשר
The beginning of the triple superbiquartan ratio from four and fourteen. $\scriptstyle1:\left(3+\frac{2}{4}\right)\longrightarrow{\color{blue}{4:14}}$	וראשית שלשה כפלים ושני רביעיות מארבעה וארבעה עשר
The beginning of the triple superbiquintan ratio from five and seventeen. $\scriptstyle1:\left(3+\frac{2}{5}\right)\longrightarrow{\color{blue}{5:17}}$	וראשית שלשה כפלים ושתי חמישיות מחמשה ושבעה עשר
The excesses of the less are by the sequence of the natural numbers and the greater [are added] three by three.	ונמצא ההעדף בחסרים על משך המספרים הטבעיים והמוסיפים בשלשה שלשה
When taken breadthwise:	וכאשר נקח ברוחב
The triple superbitertian ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{3:11;\quad 6:22}}$	נמצא ראשית שלשה כפלים ושתי שלישיות משלשה ואחד עשר ושנית מששה ושנים ועשרים
The order is kept.	והנה שמרו הסדר
The triple supertripartient ratios	וכאשר נבחין השלשה כפלים ושלשה חלקים
The beginning is the triple supertriquartan ratio - starting from four and fifteen. $\scriptstyle1:\left(3+\frac{3}{4}\right)\longrightarrow{\color{blue}{4:15}}$	היה ראשית זה שלשה כפלים ושלשה רביעיות וראשיתם מארבעה וחמשה עשר
The triple supertriquintan ratio - starting from five and eighteen. $\scriptstyle1:\left(3+\frac{3}{5}\right)\longrightarrow{\color{blue}{5:18}}$	אח"כ שלשה כפלים ושלשה חמישיות וראשיתם מחמשה ושמנה עשר
The property is in this way.	ונמצא הענין על הדרך הזה
When examined breadthwise:	וכאשר נבחין ברוחב
The triple supertriquartan ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{4:15;\quad 8:30}}$	נמצא ראשית שלשה ושלשה רביעיות מארבעה וחמשה עשר ושנית משמנה ושלשים
The order is kept.	ונמצא זה הסדור שמור

Tables of Ratios

ולנו שנוסיף בזה ונישב ג"כ התיחסות הכלל בכלל ונוציא אותו אבל אנחנו נסתפק על זה ונזכור רמזים על צד הלוחות ישתתפו בהם אלו

והנה מזה שאנחנו כאשר נעשה לוח משתי שורות אחת מהן ימשכו בה הנפרדים הנמשכים מתחילים מן החמשה ויעמדו אצל אחד ועשרים והשנית ימשכו בה מספרים מתחילים משלשה ויעמדו אצל אחד עשר ויתבאר לנו שבמה שבין אלו יחסים

3	5
4	7
5	9
6	11
7	13
8	15
9	17
10	19
11	21

ג	ה
ד	ז
ה	ט
ו	יא
ז	יג
ח	טו
ט	יז
י	יט
יא	כא

וכאשר נבחין מה שבכל בית מהלוח הראשון מצורף לבן גילו מהלוח האחר הנה יהיה על יחס הדמיון ושתי שלישיות

אח"כ הדמיון ושלשה רביעיות

אח"כ הדמיון וארבעה חמישיות ועל הדרך הזה

וכאשר נבחין סדור מה שבלוח הראשון יהיו על יחס הדמיון ושני חלקים הגמור‫^[30]

וכאשר נבחין סדור מה שבלוח השני יהיו על יחס המוסיף חלק‫^[31]

וכאשר נניח תמורת הבית השני המתחיל מן הג' בית אחר מתחיל מן הב' וילך על משך המספרים אשר בטבע יהיה יחס הבית הראשון מהשורה הראשונה לבן גילו מן השנית על יחס שני דמיונים והחלק

ולנו שנוציא מזה הלוחות נשאר היחסים הנשארים עם היות שהלוח הראשון^[32] ישתתף לכל היחסי‫'

2	5
3	7
4	9
5	11
6	13
7	15
8	17
9	19
10	21

ב	ה
ג	ז
ד	ט
ה	יא
ו	יג
ז	טו
ח	יז
ט	יט
י	כא

ויצא אלינו יחס הדמיון והחלק ממה שכבר ידעת מהטור השלישי והשני

The superbipartient ratios:

ויחס הדמיון ושני חלקים

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_5:R_3}}$ ]: The fifth and the third lines are in the superbitertian ratio.

מהטור החמישי והשלישי והוא הדמיון ושתי שלישיות

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_6:R_4}}$ ]: The sixth and the fourth lines are in the superbiquartan ratio.

ומן הטור הששי והרביעי והוא אל הדמיון ושני רביעיות

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_7:R_5}}$ ]: The seventh and the fifth lines are in the superbiquintan ratio.

ומהטור השביעי והחמישי והוא אל הדמיון ושתי חמישיות

ועל הדרך הזה

[The supertripartient ratios:]

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_7:R_4}}$ ]: The seventh and the fourth lines are in the supertriquartan ratio.

ויצא אלינו מן הלוח הטור השביעי והרביעי בהנחת שני טורים יחס הדמיון ושלשה רביעיות

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_8:R_5}}$ ]: The eighth and the fifth lines are in the supertriquintan ratio.

ומן הטור השמיני והחמישי בהנחת שני טורים יחס הדמיון ושלשה חמישיות

ועל הדרך הזה

[The superquadripartient ratios:]

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_9:R_5}}$ ]: The ninth and the fifth lines are in the superquadriquintan ratio.

ויצא אלינו מן הלוח התשיעי והחמישי בהנחת שלשה טורים יחס הדמיון וארבעה חמישיות

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_{10}:R_6}}$ ]: The tenth and the sixth lines are in the superquadrisextan ratio.

ומן הטור העשירי והששי יחס הדמיון וארבעה ששיות

ועל הדרך הזה יצא לנו יחס השני דמיונים וחלק מזה הלוח ג"כ

אם הראשון שבהם והנה הוא יחס השני דמיונין והחצי בהנחת שני טורים מהטור החמישי והטור השני

ואם השני והוא יחס שני דמיונים ושליש הנה מהטור השביעי והשלישי כאשר תניח שלשה

ואם השלישי והוא יחס השני דמיונים ורביע מהטור התשיעי והרביעי כאשר תניח ארבעה

ויצא לנו יחס השני דמיוני' והשני חלקים

אם השני שלישיות הנה מהשמיני והשלישי

והשני רביעיו' מהעשירי והרביעי

ויצא לנו יחס הדמיון ושלשה חלקים ושאר היחסים כאשר נתנהג בדרך אשר כוננו אליה

Producing the Ratios from Equality

וכבר רמזו הקדמוני' אל דרך התילד משווי היחסים והביא אל היחסים המתחלפים מהיחסי' הרמוז אליהם

והיא כי איזה מספרים שוים יסודרו מהם שלשה אפשר שיתילדו היחסים כלם מהם בדרך נעשה בהם

והנה יהיה לוח בו שלשה מספרים אח"כ שלשה מספרים אחרים ויהיו שלשה שלשה

4	2	1	1	1	1
8	4	2	2	2	2
9	6	3	3	3	3
16	8	4	4	4	4

ד	ב	א	א	א	א
ח	ד	ב	ב	ב	ב
ט	ו	ג	ג	ג	ג
יו	ח	ד	ד	ד	ד

ויתרבו לבחינה וההרחבה בנסיון

וימשך אליו ברוחב לוח אחר נחלק בחלקיו

Taking the first and placing it in the first rubric of each line breadthwise [ $\scriptstyle{\color{blue}{b_1=a_1}}$ ]

ונאמר שאנחנו כאשר נקח הראשון ונניחהו בבית מכל טור ברחב על שהוא ראשון

Summing the first and the second and placing the [sum] in the second rubric of the second table, so there is 2 in the line of the units [ $\scriptstyle{\color{blue}{b_2=a_2+a_1=2}}$ ]

אח"כ נחבר הראשון והשני ונסדר אותו בבית שני מהלוח השני יהיה מטור האחדים שנים

Summing the first, the third and the double second and placing the [sum] in the third rubric, so there is 4 in the line of the units [ $\scriptstyle{\color{blue}{b_3=a_1+a_3+2a_2=4}}$ ]

אח"כ נחבר הראשון והשלישי וכפל השני ונסדר אותו בבית השלישי ממנו ויהיה מטור האחדים ארבעה

אח"כ נשים הבית השני שרש ונחבר ממנו זה החבור ונעתיק אותו אל הבית השלישי זה ההעתק

וילך בהתמדה התוספת הזה באלה הבתים והנה יהיו ארבעה בארך

קרה מזה ראשונה שיהיה יחס כל שלשה מספרים בשורה אחת יחס מתדבק

ויתילדו מהם מהיחסים הדרושים

ראשונה יחסי הכפולים

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_{2}}}$ ]: what is on the second row is in the double ratio.

ונמצא מה שבבית השני על יחסי השני דמיונים

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_{3}}}$ ]: what is on the third row is in the triple ratio.

ומה שבבית השלישי על יחסי השלשה כפלים

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_{4}}}$ ]: what is on the fourth row is in the quadruple ratio.

ומה שבבית הרביעי על יחסי הארבעה כפלים

וילך זה בהתמדה עד אין תכלית

וקרה שהיה מספר מה [שבבית השלישי על יחס המוסיף חצי למה] שבבית השני

[ $\scriptstyle{\color{blue}{R_4:R_3}}$ ]: what is on the fourth row to what is on the third row are in the sesquitertian ratio.

ומה שבבית הרביעי על יחס המוסיף שליש למה שבבית השלישי

ועל הדרך הזה

[ $\scriptstyle{\color{blue}{C_2R_2:C_1R_1}}$ ]: what is in the second rubric of the second row to what is in the first rubric is in the quadruple ratio.

ומה שבבית השני מהשורה השנית על יחס ארבעה כפלים למה שבבית הראשון‫^[33]

[ $\scriptstyle{\color{blue}{C_3R_3:C_2R_2}}$ ]: what is in the third rubric to what is in the second rubric is in the double sesquiquartan ratio.

ומה שבבית השלישי על יחס שני דמיונים ורביע למה שבבית השני

[ $\scriptstyle{\color{blue}{C_3R_4:C_3R_3}}$ ]: what is in the fourth rubric to what is in the third rubric is in the superseptinona ratio.

ומה שבבית הרביעי על יחס דמיון ושבעה תשיעיות למה שבבית השלישי

לא יהיה זה סדור

וכאשר נרצה להוסיף לציור היחסים האחרים תמורת ציורנו ליחסי הכפלים נהפוך השורה השנית^[34] באורך עד שיפול הראשון השלישי בראשון והראשון בשלישי וישאר האמצעי על ענינו

וכאשר נקח לחבר החבור הנזכר מזה המקום בשנקח הראשון אח"כ נעתיקנו ראשונה בשורה השלישית ויהיה ארבעה

\scriptstyle{\color{blue}{b_2=a_2+a_1=6}}

אח"כ נחבר הראשון והשני ונעתיק אותו אל השורה השלישית ויהיה ששה

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_3+2a_2=4+1+4=9}}

אח"כ נחבר הראשון והוא ארבעה והשלישי והוא אחד וכפל השני והוא ארבעה ונעתיק אותו אל הבית השלישי והנה יהיה תשעה

וימשכו מספרי השורה על יחס המוסיף חצי וכבר התילדו מיחס הכפל והם הנקראים יחד על שם השנים

וכאשר נעשה זה המעשה בשורה אשר ברחב אשר ליחס השלשה כפלים יצאו לך שלשה מספרים על יחס המוסיף שליש כי שניהם נקראים בשם השלשה

וכן הענין בטור הרביעי כי הוא יוציא יחסי המוסיף רביעית

וכאשר תהפך הנחת מספרי המוסיף חצי יולד לך יחס הכפל וחצי

ומהמוסיף שליש יחס הכפל ושליש

וכאשר תהפך מספרי המוסיף חלק ותנהג המנהג הידוע יצאו לך שאר היחסים ולא יסורו מלצאת לך קצתם מקצת אל בלתי תכלית עד שיתגלה בתילדות כל אלו מיחס השווי

Reducing the Ratios to Equality

ובידך שתהפך ותמצא שאר היחסים כלם ישובו אל יחס השווי

המשל בזה שאתה כאשר תניח מספרים ג' על יחס נמשך ותשמור הקטן בעניינו

אח"כ נגרע אותו מן האמצעי ותשים מה שנשאר גבול אמצעי

אח"כ תשליך אותו מהגדול כמו הקטן ודמיון כפל השני האמצעי ותשים מה שנשאר גבול שלישי

תמצא יחס מתדבק

אחר כן תעשה באלה המספרים והגבולים זה הפעל ויצא לך יחס אחר

ועל הדרך הזה עד שיביא אותך אל יחס השווי

For example: the numbers are first in the double superbitertian ratio, such as

\scriptstyle{\color{blue}{9;\;24;\;64}}

דמיון זה שיהיו המספרים ראשונה על יחס שני דמיונים ושתי שלישיות כמו ט' וכ"ד וס"ד

$\scriptstyle{\color{blue}{b_1=a_1=9}}$

והנה תשמור ט'

$\scriptstyle{\color{blue}{b_2=a_2-a_1=24-9=15}}$

ותפיל אותם מכ"ד ותשים מה שנשאר והוא ט"ו גבול שני

$\scriptstyle{\color{blue}{b_3=a_3-\left[2\left(a_2-a_1\right)+a_1\right]=64-\left[\left(2\sdot15\right)+9\right]=25}}$

והנה תקח כפלו עם ט' ותפיל אותם מס"ד וישארו לך כ"ה והנה תשים אותם שלישי

The result are succesive numbers [

\scriptstyle{\color{red}{9;\;15;\;25}}

] in the superbitertian ratio.

יצאו לך מספרים נמשכים על יחס המוסיף שני שלישים

Proceeding with [these numbers

\scriptstyle{\color{red}{9;\;15;\;25}}

] by this procedure, and the result are

\scriptstyle{\color{blue}{9;\;6;\;4}}

, which are successive numbers in the sesquialter ratio.

אח"כ תעשה זה המעשה במה שאצלך ויצאו לך ט' וו' וד' והם מספרים נמשכים על יחס המוסיף חצי

Proceeding with these numbers [

\scriptstyle{\color{red}{9;\;6;\;4}}

] by this procedure, and the result are

\scriptstyle{\color{blue}{4;\;2;\;1}}

, which are in the double ratio.

אח"כ תעשה זה המעשה באלה המספרים ויצאו לד' ב' א' וזה על יחס הכפל

Proceeding with this procedure, and the result are

\scriptstyle{\color{blue}{1;\;1;\;1}}

, restored to equality.

אח"כ כשתעשה זה המעשה יצאו לך א' וא' ואחד וחזר אל יחס השווי

ובזה הוא הענין כאשר תשים יחס הג' כפלים והד' כפלים ושאר היחסים אשר לא נזכרו התכה בהפך להשיב אותם על יחס השווי מהדרך אשר ממנו הרכבו

Composing a Ratio from Two Ratios

ונעתק עתה בחבור יחס במספרים משני יחסים

ונקדים לזה הקדמה כוללת יספיק לנו ממנה בחינת הענין ביחס יחס והיא שכל משלך חלקי נביא לחבור יחס במספרים משני יחסים הנה כבר נמצא היחסים בזה החלק על תאר מה והנה זה כלל עובר בכל מספרים יהיו על אלו היחסים

For example: let

\scriptstyle{\color{blue}{AB=4;\;AG=2;\;AD=3}}

ויהיה א"ב על דרך משל ד' ויהיה א"ג ב' ויהיה א"ד ג'

AB : AD = sesquitertian ratio

ויהיה לא"ב אל א"ד יחס והוא יחס המוסיף שליש

AD : AG = sesquialter ratio

ויהיה לא"ד אל א"ג יחס והוא יחס המוסיף חצי

AB : AG = double ratio, which undoubtedly consists of both these ratio.

ולא"ב אל א"ג יחס והוא יחס הכפל והוא מחבר בלי ספק משני אלו היחסים

הנה אומר שכל יחס המוסיף חצי יצטרף אליו יחס המוסיף שליש יהיה המקובץ מה שתתקבץ הנה בעינו וכל יחס הכפל הנה יסבול שיחלק לאלו השני יחסים ויפרד אליהם שאם לא

Let

HC : HZ = sesquialter ratio

הנה יהיה יחס ה"ח לה"ז יחס המוסיף חצי

HG : HC = sesquitertian ratio

ויחס ה"ג לה"ח יחס המוסיף שליש

→ HW : HZ = double ratio

והנה אומר שיחס ה"ו לה"ז יחס הכפל

כי אתה יודיע שכאשר נחלק הנה ירצה הבדלנו יחס ב"ד ו"ח אל א"ד ה"ח א'

ובהבדל יחס א"ג ה"ז אל ג"ד ז"ח א'

BD : DG = WC : CZ

והנה בשווי יחס ב"ד ד"ג כמו יחס ו"ח ח"ז

ויהיה בהרכבה יחס כל ב"ג אל ד"ג וכל ו"ז אל ח"ז א'

DG : GA = CZ : ZH

אמנם יחס ד"ג ג"א כמו ח"ז ז"ה

BG : GA = WZ : ZH

הנה בדרך השווי יחס ב"ג ג"א כיחס ו"ז ז"ה

AB : AG = HW : ZH

הנה בדרך ההרחבה יחס א"ב א"ג הוא יחס ה"ו וז"ה

וגם כן כאשר תהיה ההנחה היחס המורכבת הנה הוא כאשר היה בזה החלק וביחסים כמו שהיה

אח"כ נביא איזה שני מספרים שיהיו

HZ : HW = double ratio

והנה יהיו ה"ז ה"ו ויהיו על יחס הכפל

הנה נאמר שיחס המוסיף חצי יפול בין ז' וח'

שאם לא יפול מחוץ כמו ז' ט' והנה כאשר נצרף אליהם היחס האחר כמו ט"ו ישוב היחס המורכב הראשון

HY : HZ = HW : HC

ויהיה אז יחס ה"י ה"ז כמו יחס ה"ו ה"ח כפי מה שבארנו

והיה מה שהוא יותר גדול מן ה"ו כמו ה"ו

והנה א"כ יפול מבפנים כמו ח'

ונאמר שיחס ה"ו ה"ח הוא היחס האחר שאם לא הנה יפול ה"ח עם ה"ב או ה"ח או עם ה"ט ויקרה הבטל הנזכר

והלא נחשוב שאנחנו הבאנו מופת חלקי לזכרנו החצי והשליש ויחס הכפל אבל ראוי שתדע שזה המופת כללי ואמנם הבאנו משל לתת המובן שאם לא הנה לך שתאמר ששני מספרי א"ב א"ג שני מספרים חלקים וביניהם יחס מה וככה חוברנו בזה המשל משני יחסים א"ב א"ד וא"ד א"ג וא"ד איזה יחס היה והנה אם נפל מספר ביניהם קטן מאחד מהם וגדול מאחר אח"כ במופת על הצד הכולל מזולת רמז אל שינוי היחס הנה זה הביאור יספיק ממנו ההשתדלות בקיום המופת על חבור יחס משני יחסים במספרים כאשר נמצא המשלים יוציאו אליו השני יחסים בלמודינו המוסיקי אחר זה האופן

ואבל אנחנו נשתדל בבאורים מיוחדים ליחס מה הם כמו ראשים לשאר היחסים

מזה שאנחנו נאמר שיחס הכפל ויחס המוסיף חצי יחובר מהם יחס הג' דימיונים א"ב

מופת זה

AG = 2AB

שא"ג יכפל א"ב

BG = AB = ½AG

הנה ב"ג כמו א"ב הנה הוא חצי א"ג

GD = ½AG

אמנם ג"ד חצי א"ג

AB = BG = GD

הנה א"ב ב"ג ג"ד שוים קצתם לקצת

→ AD = 3AB

והנה יהיה כל א"ד ג' דמיוני א"ב

GD = ⅓AG

ואם יהיה ג"ד שליש א"ג

AD = 2⅓AB

הנה א"ד כפל ושליש א"ב

והנה נחלק א"ג אל שלשה חלקים על ה' וז'

AH = GD = ⅓AG = 2AB

והנה יהיה א"ה כמו ג"ד והוא שליש א"ג אשר הוא כפל א"ב

½AH = ⅓AB

הנה חצי א"ה שליש א"ב

הנה אב"ד כמו כפל א"ב רצ"ו א"ג וכמו שלישית רצ"ו ג"ד

AG : AB = sesquitertian ratio

ואם היה יחס א"ג א"ב יחס המוסיף שליש

AD : AB = double ratio

הנה יחס א"ד א"ב יחס הכפל

והנה נחלק א"ב בשני חלקים על ה'

AH = BG

ויהיה א"ה כמו ב"ג

AH = HB = BG

ויהיו חלקי א"ה ה"ב ב"ג שוים והם ג'

וג"ד כמו א' מג' חלקי א"ג הנה החלקים הד' שוים הנה כלל ב"ד כמו כלל א"ב והנה תוספת א"ד על א"ב בדמיון

AG : AB = sesquitertian ratio

ואם היה יחס א"ג א"ב יחס המוסיף שליש

AD : AG = sesquioctavian ratio

ויחס א"ד א"ג יחס המוסיף שמינית

AD : AB = sesquialter ratio

הנה יחס א"ד א"ב יחס המוסיף חצי

והנה נחלק א"ב לשלישיותיו על ז' וה'

AZ = ZH = HB = BG

ויהיו חלקי א"ז ז"ה ה"ב ב"ג שוים והם ד' חלקים

וחצי כל אחד מהם הוא שמינית א"ג והוא שוה לג"ד

BD = 3GD

והנה יהיה ב"ד שלשה דמיוני ג"ד

AB = 6GD

וא"ב ששה דמיוני ג"ד והוא יחס דמיון וחצי

BD : DG = AB : BG

ויחס ב"ד ד"ג הוא יחס א"ב ב"ג

BD : AB = DG : BG

ובתמורה יחס ב"ד א"ב יחס ד"ג ב"ג

DG = ½BG

וד"ג חצי ב"ג

BD = ½AB

הנה ב"ד חצי א"ב

AD : AB = sesquialter ratio

הנה א"ד א"ב יחס דמיון וחצי

AG : AB = sesquiquartan ratio

וכאשר היה יחס א"ג א"ב יחס דמיון ורביע

AD : AG = sesquiquintan ratio

ויחס א"ד א"ג דמיון וחומש

AD : AB = sesquialter ratio

הנה יחס א"ד א"ב יחד דמיון וחצי

לפי שא"ב כאשר יתחלק ברביעיות היה כל חלק כמו ב"ג והיו החלקים חמשה שוים ויהיה ב"ד כמו חצי א"ב

AG : AB = sesquiquintan ratio

וכאשר היה יחס א"ג א"ב יחס דמיון וחומש

AD : AG = sesquisextan ratio

ויחס א"ד א"ג יחס דמיון וששית

AD : AB = superbiquintan ratio

הנה יחס א"ד א"ב יחס דמיון ושתי חמשיות

ויתבאר לך זה כשנחלק א"ב לה' חלקים ונעשה מה שעשינו

The composed from the sesquisextan ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{7:6}}$ ] and the sesquiseptan ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{8:7}}$ ] is the sesquitertian ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{4:3}}$ ]

ויתבאר לך מזה שיחס המחובר מדמיון וששית ודמיון ושביעית הוא יחס דמיון ושליש

The composed from the sesquiseptan ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{8:7}}$ ] and the sesquioctavian ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{9:8}}$ ] is the superbiseptan ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{9:7}}$ ]

והמחובר מדמיון ושביעית ודמיון והשמינית הוא יחס דמיון ושתי שביעיות

The composed from the sesquioctavian ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{9:8}}$ ] and the sesquinona ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{10:9}}$ ] is the sesquiquartan ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{5:4}}$ ]

והמחובר מדמיון ושמינית ודמיון ותשיעית הוא יחס דמיון ורביעית

The composed from the sesquinona ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{10:9}}$ ] and the sesquidecima ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{11:10}}$ ] is the superbinona ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{11:9}}$ ]

והמחובר מיחס דמיון ותשיעית ודמיון ועשירית הוא יחס דמיון ושתי תשיעיות

The composed from the sesquidecima ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{11:10}}$ ] and the sesquiundecima ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{12:11}}$ ] is the sesquiquintan ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{6:5}}$ ]

והמחובר מדמיון ועשירית ודמיון וחלק מי"א הוא יחס דמיון וחומש

The composed from the sesquiundecima ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{12:11}}$ ] and the sesquiduodecima ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{13:12}}$ ] is the superbiundecima ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{13:11}}$ ]

והמחובר מדמיון וחלק מי"א ודמיון וחלק מי"ב הוא יחס שני חלקים מי"א

The composed from the sesquiduodecima ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{13:12}}$ ] and the sesquitercdecima ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{14:13}}$ ] is the sesquisextan ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{7:6}}$ ]

והמחובר מדמיון וחלק מי"ב ודמיון וחלק מי"ג הוא יחס הששית

The composed from the sesquitertdecima ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{14:13}}$ ] and the sesquiquartdecima ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{15:14}}$ ] is the superbitertdecima ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{15:13}}$ ]

והמחובר מדמיון וחלק מי"ג ודמיון וחלק מי"ד הוא יחס משני חלקים מי"ג

The composed from the sesquiquartdecima ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{15:14}}$ ] and the sesquiquintdecima ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{16:15}}$ ] is the sesquiseptian ratio [ $\scriptstyle{\color{red}{8:7}}$ ]

והמחובר מיחס הדמיון וחלק מי"ד ודמיון וחלק מט"ו הוא יחס דמיון ושביעית

ועל הדרך הזה כל ההמשך

וכאשר היו א"ג א"ב על יחס דמיון וחלק מט"ו וא"ד א"ג על יחס המוסיף רביעית הנה יחס א"ד א"ב דמיון ושליש

וזה לפי שאתה כאשר תחלק א"ב בט"ו חלקים יהיה כל א"ג י"ו חלקים וג"ד רביעיות זה הנה הוא ד' חלקים הנה כל ב"ד ה' חלקים וא"ב [ט]"ו חלקים וכל א"ד ב' חלקים הנה ב"ד שליש א"ב

וכמו זאת ההנהגה הנה הוא כאשר היה א"ג א"ב על יחס המוסיף חצי

ואפשר לך כאשר תלך בזה הדרך שתביא מופת על שאר מה שבמוסיקי מהחבור לפי שהביאור הקודם יספיק לך השתדלות בזה כלו

נשלם המאמר השלישי'

Numbers as Geometric Shapes	כבר רמזנו לך אל ענייני המספר מצד כמותו בעצמו ורמזנו לך אל עניינים מענייני המספר מצד שיש לו איכות חבור מהאחדיות ידמה בו לתמונות השעוריות
	כבר ידמו תמונות המספר בחבורים לשעורים
Linear Numbers	ויאמר מספרים קוויים
Plane Numbers	ומספרים שטחיים ומושטחים
Solid Numbers	ומספרים גשמיים ומוגשמים
Linear Numbers	הנה המספרים הקוויים מתחילים הם מהאחד וילכו כפי מנהגם
	והמספר הקוי הראשון הוא השנים אח"כ הג' ועל הדרך הזה
Plane Numbers	ואולם המושטחי' הנה הם אשר אפשר שיחובר קצתם אל קצת חבור ידמה קצת השטים הבעל תמונה והמוגשמים
Triangular Numbers	והמושטחים ראשונים הם המספרים המשלשים
	והם המספרים אשר כשיסודרו אחדיהם סדור מה ידמו תמונה יקיפו בה שלש צלעות
	והראשון שבהם שלשה וצורתם כזה
	אח"כ הששה
	וצורתם תתחדש מצרוף קו מספריי מוסיף באחד על הקו המספריי אשר הוא כמו שראית שנים נצטרף אל האחד ונתילד המשלש הראשון והנה יהיה שלשה ותהיה הצורה בזה
	ועל הדרך הזה כל מה שתצטרף אל זה קו מספריי על סדר המספרים הנמשכים יתחדש משלש יותר גדול
	המשל בזה כשתצרף אל זה קו מספריי מארבעה אחדויות יהיה תמונה משלא אחר כזה
The first of the triangular numbers is 3 and its side is 2.	והנה הראשון שבמשלשים ג' וצלעו ב‫'
The second triangular number is 6 and its side is 3.	והמשלש השני ששה וצלעו ג‫'
The third triangular number is 10 and its side is 4.	והמשלש השלישי י' וצלעו ד‫'
The fourth triangular number is 15 and its side is 5.	והמשלש הרביעי ט"ו וצלעו ה‫'
	והנה כל משלש יוסיף על אשר ימשך תחתיו כמו צלע עצמו
	ויתחלפו צלעותיהם על סדר המספרים הנמשכים מן האחד עם הא' ואי זה מספר שיתקבץ מזה הנה הוא משלש
	וכל משלש הנה צלעו יוסיף על מדרגתו בא‫'
	וכאשר יאמר לך מה הוא צלע המשלש העשירי מראשית המספרים המשלשים יהיה מספר הצלע ומספר המדרגה אחד
	ואם יאמר אליך שתאמר שהוא מרבע או מעקב בכח הנה אינו משלש ולא מחומש והלא דבר מאלו לא בכח ולא בפועל אלא בשתוף השם ולא תשגיח למה שיאמרו
	וכל משלש הנה הוא חצי הכאת מדרגתו במוסיף ממנו באחד
	עד שאם יאמר לך מהו מספר המשלש החמשי בכח הנה תקח חמשה ותכה אותם במוסיף ממנו באחד ויהיו שלשים ותקח חציים והוא חמשה עשר והוא המשלש החמישי‫^[35]
	וכל צלע משלש הנה הוא היותר קטן שבשני מספרים נמשכים יוכה אחד מהם באחר ויהיה ממנו כפל משלשו
	עד שאם יאמר לך מה הוא צלע חמשה עשר מהמשלשים הנה אנחנו נכפול אותו ויהיה שלשים ונבקש שני מספרים נמשכים אשר מושטחם שלשים ונמצא שהם חמשה וששה ונאמר שצלעו חמשה
Square Numbers	ואחר המספרים המשלשים המספרים המרבעים
	והם אשר כבר ידעת אותם והנה הם יתחדשו מקוים מספריים שוים מספרם מספר מה שבאחד מהם מן האחדים
	וצלעותיהם על סדר המספרים מתחילים מן האחד
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{1=1^2}}$	כמו האחד שהוא מרבע האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{4=2^2}}$	והארבעה שהוא מרבע השנים
$\scriptstyle{\color{blue}{9=3^2}}$	והתשעה שהוא מרבע השלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{16=4^2}}$	והששה עשר שהוא מרבע הארבעה
As these shapes:	כפי הצורות האלו
Their production is from the sum of the successive odd numbers with the one.	והתילדותם מקבוץ הנפרדים הנמשכים עם האחד
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{3+1=4}}$ which is the first of the square numbers.	כמו השלשה והאחד שהוא ארבעה והוא ראשון המספרים המרבעים‫^[36]
$\scriptstyle{\color{blue}{3+1+5=9}}$ which is the second square number.	אח"כ האחד והשלשה והחמשה והוא תשעה והוא המספר המרבע השני
$\scriptstyle{\color{blue}{3+1+5+7=16}}$ which is the third square number.	אח"כ האחד והשלשה והחמשה והשבעה והוא ששה עשר והוא המספר המרבע השלישי
	ומסגלות המרבעים שאתה כאשר תקבץ אותם ממרבע האחד יהיה מקובצם יותר ממרבע האחרון כמו מה שלפניו מן המרבעים
The sum of the square of one with the square of two $\scriptstyle{\color{blue}{1^2+2^2}}$ exceeds the square of two $\scriptstyle{\color{blue}{2^2}}$ by the square of one $\scriptstyle{\color{blue}{1^2}}$ .	המשל בזה שמקבץ מרבע האחד והשנים יוסיף על מרבע השנים כמו מרבע האחד
The sum of the squares of one, two and three $\scriptstyle{\color{blue}{1^2+2^2+3^2}}$ exceeds the square of three $\scriptstyle{\color{blue}{3^2}}$ by the sum of the two squares of one and two $\scriptstyle{\color{blue}{1^2+2^2}}$ .	ומקובץ מרבעי האחד והשנים והשלשה יוסיף על מרבע השלשה כמו מקבץ שני מרבעי האחד והשנים
	וכבר הוציאו להולדת המרבעים דרך יקראוהו רצוא ושוב
	והוא שאתה כאשר תתחיל מן האחד ותקבץ מה שתרצה מהמדרגות אח"כ תהיה נוטה יורד ומקבץ הנה מה שיהיה מקובץ זה ההוא מרבע
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+1=3+1=4}}$ which is the first square number.	המשל בזה שיעלה מן האחד אל השנים ויהיו שלשה אח"כ נשוב אל האחד ויהיו ארבעה והוא מרבע ראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+2+1=9}}$ which is the second square number.	אחר כן כאשר תקבץ האחד והשנים והשלשה ותצרף אליו השנים והאחד יהיו תשעה והוא מרבע שני
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4+3+2+1=16}}$ which is the third square of the square numbers.	וכאשר תעלה מן האחד והשנים והשלשה והארבעה מקובץ אח"כ תרד ותקבץ השלשה והשנים והאחד יהיה מקובץ זה ששה עשר והוא המרבע השלישי מן המרבעים המספריים
	ושלמות זה הדרך שמקובץ כל המספרים הנמשכים עם מקובץ מה שהוא חסר מהם כמו המדרגה האחרונה הנה הוא מרבע
	וגם כן כפל מקובץ כל מספרים נמשכים זולת המספר האחרון הנה הוא מרבע
	וכל שני משלשים נמשכים יתקבצו מן האחד והשלשה והששה הנה הוא מרבע וזה גם כן התילדות המרבעים
	ויהיה כל מרבע ממשלש במדרגתו ומשלש חסר ממדרגתו באחד
	וכל שני מרבעים יוכה צלע אחד מהם באחר ויכפל ויקובץ אל השני מרבעים הנה הכל מרבע‫^[37]
	כמו הכאת שנים בשלשה כאשר יקובץ כפלו עם ארבעה ותשעה אשר הוא חמשה ועשרים
	וכל מרבע יתוסף עליו גדרו פעמים ואחד או יצורף אל דמיונו ודמיון רביעיתו או שלשה דמיוניו או יחוסר ממנו שלשה רביעיותיו הנה מה שיגיע מרבע‫^[38]
	ואין מרבע שיהיה חציו או כפלו מרבע
	ולא יתקבצו מהמרבעים הנמשכים המתחילים מן האחד מרבע כלל
	ואין מרבע שיהיה לו שליש מן השלמים
The units of the number that has a root are necessarily either 1, or 4, or 5, or 6, or 9:	ודע שאחדי המספר הנגדר לא ימלטו אם שיהיו אחד או ארבעה או חמשה או ששה או תשעה
If it is 1: the units of its side are 1 or 9.	ואם היה אחד הנה אחדי צלעו אם אחד ואם תשעה
If they are 4: [the units of its side] are 2 or 8.	ואם היה ארבעה הנה הם שנים או שמנה
If they are 5: [the units of its side] are 5.	ואם היה חמשה הנה הם חמשה
If they are 6: [the units of its side] are 4 or 6.	ואם היה ששה הנה הם ארבעה או ששה
If they are 9: [the units of its side] are 3 or 7.	ואם היה תשעה הנה הם שלשה או שבעה‫^[39]
	ובחינת‫^[40] המרבעים בדרך אנשי הודו הנה לא ימלט אם שיהיה אחד או ארבעה או שבעה או תשעה והנה לאחד אחד או שמנה ולארבעה שנים או שבעה
	ולשבעה ארבעה או חמשה
	ולתשעה שלשה או ששה או תשעה
Polygonal Numbers
Following the square numbers are the pentagonal numbers	וימשכו למספרים המרבעים המספרים המחמשים
[ $\scriptstyle{\color{blue}{5}}$ ]: The first of them is the five, which is composed as this:	והראשון שבהם החמשה ויתחברו כזה
It is the first pentagonal and its side is two.	והוא המחמש הראשון וצלעו שנים
[ $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$ ]: The second pentagonal is that whose side is the second number, which is three, so the pentagonal formed from it is twelve, like this:	והמחמש השני הוא אשר צלעו המספר השני והוא שלשה ויהיה המחמש המתקבץ ממנו שנים עשר כזה
[ $\scriptstyle{\color{blue}{22}}$ ]: The third number, which is four, the pentagonal that is formed from it is twenty two, like this:	והמספר השלישי והוא ארבעה הנה המחומש המתקבץ ממנו הוא שנים ועשרים כזה
Likewise the fourth, the fifth, the sixth, and the seventh - the sequence of their sides is as the sequence of the successive numbers.	והרביעי והחמשי והששי והשביעי סדור צלעותיהם על סדור המספרים הנמשכים
Their production is by summing the numbers exceeding three by three, beginning from one.	והתילדותם מקבוץ המספרים העודפים בשלשה שלשה מתחילים מן האחד
Such as the numbers: $\scriptstyle{\color{blue}{1;\;4;\;7;\;10;\;13;\;16;\;19;\;22}}$ with the one	כמו מספרי א' ד' ז' י' י"ג י"ו י"ט כ"ב עם האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{1+4=5}}$ which is the first pentagonal number.	כי האחד עם הארבעה חמשה והוא המחמש הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{1+4+7=12}}$ which is the second pentagonal number.	והאחד עם הארבעה והשבעה שנים עשר והוא המחמש השני
$\scriptstyle{\color{blue}{1+4+7+10=22}}$ which is the third pentagonal number.	והאחד עם הארבעה והשבעה והעשרה שנים ועשרים והנה זה המחמש השלישי
They are produced by summing the squares with the triangles, meaning summing the square that is in its rank with the triangle that is in the preceding rank.	וכבר יולדו מקבוץ המרבעים עם המשלשים רצוני קבוץ המרבע אשר במדרגתו עם המשלש אשר הוא למטה ממדרגתו
As finding that from the sum of the second square, which is nine, with the first triangle, which is three, the second pentagonal, twelve, is produced $\scriptstyle{\color{blue}{9+3=12}}$ .	כמו שתמצא כי מקבוץ המרבע השני שהוא תשעה עם המשלש הראשון שהוא שלשה יולד שנים עשר המחמש השני
Indeed, one finds such property in all the measured shapes:	והנה לכל התמונות השעוריות תמצא סגלה כזאת
The hexagonal is produced by summing the pentagonal that is in its rank with the triangle that is in the preceding rank:	כי הנה המשושה יתחדש מקבוץ המחמש אשר במדרגתו עם המשלש אשר הוא למטה ממנו במדרגה
The second hexagonal number = $\scriptstyle{\color{blue}{15=12+3}}$ = the second pentagonal number + the first triangular number.	כמו המששה השני שהוא חמשה עשר אשר נולד משנים עשר המחמש השני עם שלשה המשלש הראשון
The second heptagonal number = $\scriptstyle{\color{blue}{18=15+3}}$ = the second hexagonal number + the first triangular number.	וכן המשבע השני שהוא שמנה עשר יתחדש מהמששה השני שהוא חמשה עשר ומשלשה המשלש הראשון
And so on.	ועל הדרך הזה
The pentagonal numbers are produced by taking the squares that are in their rank, and adding to the squares half their sides as many times as the number of the ranks:	וכבר יולדו המחמשים בלקיחת המרבעים אשר במדרגתם וכפי מספר המדרגות כל כך פעמים נוסיף על המרבע ההוא מספר חצי צלעו
The first square number + half its side = [ $\scriptstyle{\color{blue}{4+1=5}}$ ] = the first pentagonal number.	דמיון זה לקחנו ארבעה המרבע הראשון והוספנו עליו חצי צלעו ועלה חמשה המחמש הראשון
The second square number + twice the half of its side = [ $\scriptstyle{\color{blue}{9+3=12}}$ ] = the second pentagonal number.	ולקחנו תשעה המרבע השני וקבצנו עמו שני פעמים חצי צלעו ועלה שנים עשר המחמש השני
The third square number + three times the half of its side = [ $\scriptstyle{\color{blue}{16+6=22}}$ ] = the third pentagonal number.	ולקחנו ששה עשר המרבע השלישי והוספנו עליו שלשה פעמים חצי צלעו ועלה שנים ועשרים המחמש השלישי
This property is also related to all the measured shapes:	וכן הסגלה הזאת דבקה לכל התמונות השעוריות
For the hexagonal one takes the side, instead of half the side.	אמנם למשושה תמורת חצי צלע נקח צלע
For the heptagonal the side and its half instead of this.	ולמשבע תמורת זה צלע וחצי
For the octagonal - two sides	ולמשמן שתי צלעות
So on, adding half the side by half the side, then multiplying the result by the number of the ranks.	וכן תמיד בתוספת חצי צלע חצי צלע אח"כ בהכפלת המגיע במספר המדרגות
For example: The first square number + its side = [ $\scriptstyle{\color{blue}{4+2=6}}$ ] = the first hexagonal number.	משל זה לקחנו ארבעה המרבע הראשון וקבצנו עמו צלעו פעם ועלה ששה המששה הראשון
The second square number + twice its side = [ $\scriptstyle{\color{blue}{9+6=15}}$ ] = the second hexagonal number.	לקחנו תשעה המרבע השני וקבצנו עמו צלעו שתי פעמים ועלה חמשה עשר המששה השני
The first square number + one and a half times its side = [ $\scriptstyle{\color{blue}{4+3=7}}$ ] = the first heptagonal number.	עוד לקחנו ארבע המרבע הראשון וקבצנו עמו צלעו וחצי צלעו פעם ועלה שבעה המשבע הראשון
The second square number + [three] times its side = [ $\scriptstyle{\color{red}{9+9=18}}$ ] = the first heptagonal number.	לקחנו תשעה המרבע השני ועמו קבצנו שני פעמים צלעו וחצי צלעו ועלה שנים עשר המשבע השני ועל הדרך הזה כלם
All these are composed from triangles.	וכבר התחברו אלה כלם מהמשלשי‫'
The square is composed from two triangles.	וכמו שהמרבע יתרכב משני משלשים
The pentagon is composed from two triangles.	כמו כן המחמש יתרכב משלשה
The hexagon - from four.	והמששה מארבעה
The heptagon - from five.	והמשבע מחמשה
In a way that is similar to the composition of the squares.	על דרך דומה לדרך חבור המרבעים
For example: The second pentagonal, which is 12, consists of twice the first triangle and once the second triangle.	ויהיה דרך משל המחמש השני שהוא י"ב מרכב מהמשלש הראשון שתי פעמים והמשלש השני פעם
The third pentagonal [consists of] twice the second triangle and once the third triangle.	והמחמש השלישי מהמשלש השני שתי פעמים והמשלש השלישי פעם
The second hexagonal, which is 15, consists of the second pentagonal that consists of three triangles, plus the first triangle that precedes it.	וכן המששה השני שהוא ט"ו מורכב מהמחמש השני המורכב משלשה משלשי' ומהמשלש הראשון אשר למטה ממנו
Hence, it is possible to say that one is also in the rank of a triangle.	ואפשר לומר לפי זה שיהיה האחד ג"כ כן במדרגת משלש
For the first pentagonal consists of four and one [ $\scriptstyle{\color{blue}{4+1=5}}$ ]	וזה כי המחמש הראשון הוא מורכב מארבעה ואחד
Also, every measured square is divided into two triangles, therefore, it is proper that one is instead of one triangle.	וכל מרבע שעוריי יתחלק לשני משלשים ולזה מן הנכון שיהיה האחד כמו כן במקום משלש אחד
Every hexagon is a triangle, but not vice versa.	וכל מששה משלש ולא יתהפך
$\scriptstyle{\color{blue}{6}}$ = the first hexagonal number = the second triangular number.	כי הנה הששה מששה ראשון הוא המשלש השני
$\scriptstyle{\color{blue}{15}}$ = the second hexagonal number = the fourth triangular number.	וט"ו המששה השני הוא המשלש הרביעי
$\scriptstyle{\color{blue}{28}}$ = the third hexagonal number = the sixth triangular number.	וכ"ח המששה השלישי הוא המשלש הששי
	ואין כל משלש מששה כמו ג' י' וכ"א שהם משלשים ואינם מששים
	וכל משלש מספרו זוג הנה אין שתוף בינו ובין המששה‫^[41]
	וכאשר תרצה שתמצא מדרגת המשלש מהמששה הנה תגרע האחד מכפל מספר מדרגת המששה‫^[42] והפוכו שתוסיף אחד על מספר מדרגת המשלש ותקח חציו
	וכל מספר מחמש הנה הוא חצי מה שיתקבץ מהכאת מספר חסר ממדרגתו באחד בתוספת אשר בין המספרים אשר יתילדו מהם‫^[43] והוא שלשה נוסף עליו מה שבין שני מספרים מזה והוא שנים מוכה במספר מדרגתו מהמחמשים המספריים
	המשל בזה כאשר תרצה שתדע המחמש הרביעי תכה שלשה בשלשה ויהיו תשעה ותוסיף עליהם שנים ויהיו אחד עשר תכה אותם בארבעה ויהיו ארבעים וארבעה תקח חצים ויהיו שנים ועשרים והוא המחמש הרביעי
	וגם כן כי כל מחמש הנה הוא כמו הכאת מספר מדרגתו נמנית מן האחד בעצמו נוסף עליו חצי צלעו בתוספת מדרגתו במחמשים המספריים‫^[44]
	המשל בזה בשאלה הנזכרת שנכה ארבעה בארבעה לפי שהוא במדרגה הרביעית מן האחד ויהיו ששה עשר ותוסיף עליו חצי צלעו והוא שנים ושלשה מדרגות ויהיו שנים ועשרים‫^[45]
	ואחר המחמשים המששים
	ויתחברו מקבוץ המספרים העודפים בארבעה ארבעה כמו א'ה'ט' י"ג י"ז כ"א על הקש מה שנאמר במחמשים
	אח"כ המשבעים
	ויתחברו מקבוץ המספרים העודפים בחמשה חמשה וכן תקיש בכלם
	ונאמר שכל שטח אחר המשלש כאשר יחובר עם המשלש יתחדש השטח אשר ימשך לזה השטח במספר הצלעות
	מו המשלש הראשון והוא שלשה כשיתחבר עם המרבע השני יהיה מחמש
	וכאשר יתחבר עם המחמש השני והוא שנים עשר יהיה מששה והוא החמשה עשר ועל זה הדרך
	ומותר כל שטח על אשר לפניו וכבר נזדמן זה ולא יתהפך
	וכל מספר שלם הנה הוא לפניו מששה או משלש
	ועוד יהיה מזה דרך נגיע בו אל הוצאת מדרגות המספרים השלמים גם כן
	כי כאשר יאמר לך המספר השלם הראשון מאיזה מהמשלשים או מהמששים הוא
	הנה תעיין אל הסדור אשר ידעת אותו בזה האחד בפרט ותמצא הראשון שבזוגי הזוגות יבחן בו הסדור הידוע ארבעה וכאשר תגרע ממנו אחד ישאר שלשה מספר ראשון ונכון הוא לפעלתך
	ותקח חציו והוא ב שנים ותאמר שהוא המששה השני והמשלש השלישי וימשך אל הארבעה שמנה ותמצא השבעה כמו זה מספר ראשון ויתכן למבוקשך
	ותחלק לחציים השמנה ויהיה ארבעה ותאמר שהוא המששה הרביעי והמשלש השביעי וימשך לשמנה ששה עשר וכאשר תגרע ממנו אחד ישאר מורכב והנה איננו נכון לפעלתך
	וימשך אל הששה עשר שנים ושלשים וכאשר תגרע ממנו אחד ישאר ראשון והוא נכון לפעלתך
	ותקח חציו והוא ששה עשר והנה תאמר המששה הששה עשר והמשלש האחד ושלשים ועל זה ההקש
	ראה צורה נפלאה יתבאר ממנה שכל התמונות מתילדי' מהמשלש ונתכים אליו

decagon	nonagon	octagon	heptagon	hexagon	pentagon	square	triangle
10	9	8	7	6	5	4	3
27	24	21	18	15	12	9	6
52	46	40	34	28	22	16	10
85	75	65	54	45	35	25	15
126	111	96	81	66	51	36	21
175	154	133	112	91	70	49	28
232	204	176	148	120	92	64	36
297	261	225	189	153	117	81	45
370	325	280	235	190	145	100	55

מעשרים	מתשעים	משמנים	משבעים	מששים	מחמשים	מרבעים	משלשים
י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג
כז	כד	כא	יח	טו	יב	ט	ו
נב	מו	מ	לד	כח	כב	יו	י
פה	עה	סה	נה	מה	לה	כה	טו
קכו	קיא	צו	פא	סו	נא	לו	כא
קעה	קנד	קלג	קיב	צא	ע	מט	כח
רלב	רד	קעו	קמח	קכ	צב	סד	לו
רצז	רסא	רכה	קפט	קנג	קיז	פא	מה
שע	שכה	רפ	רלה	קצ	קמה	ק	נה

	וזה שאתה כשהתחלת מן האחד ראשון המשלשים בכח וצרפת אותו אל השלשה ראשון המשלשים בפעל נתילד מהם ארבעה ראשון המרבעים בפעל
	וכאשר צרפת ג' עם ו' הנמשך לו נתילד מהם ט' המרבע השני וכן תמיד
	אח"כ כשתשב אל האחד ראשון המשלשי' בכח וצרפתהו עם ד' ישוב ה' מחמש ראשון בפעל
	ובצרוף ג' לט' יתילד י"ב מחמש שני
	ומו' וי"ו מחמש שלישי
	וכשתשוב לאחד ותצרפהו עם ה' יוליד מששה ראשון בפעל
	וג' עם י"ב יוליד מששה שני וכן תמיד

Solid Numbers	ונדבר עתה במספרים המוגשמים
Pyramids with Sharp Apex	והראשונים שבהם המחדדים
	והמחדדים והם הנודעים במתלהבים הם אשר יתחילו מתושבת מרוחת אח"כ לא יסורו מלצמוח עד שיגיעו אל קצה הגבול מן החדות אל האחד
Pyramid with a Triangular Base	והראשון שבהם אשר תושבתו משלשת
	והראשון מאלו הם הארבעה והנה הם המספר הראשון אשר הוא קויי ושטחיי ומגשם ויתילד מחבור המשלשים על המשכם
	הדרכה לחסרים מהם על המוסיף עד שיכלו אל האחד אח"כ אשר תושבתם ארבעה ויתילדו ומחבור המרבעים על זה התאר ועל הדרך הזה אשר תושבתם מחמשת ואשר תושבתם משששת
	וכל מספר מושטח יתרכבו ממנו יקרא ואשר יחסר מצדו יקרא
	והתילדותם
	אם אשר תושבתו משלש
	הנה כאשר יצורף אל האחד המשלש הראשון ויהיו ארבעה והנה הוא המחדד הראשון
	וכאשר יצורף עם אלו עוד המשלש השני ויהיו עשרה יעלה המחדד השני מזה המין
Pyramid with a Square Base	ואמנם אשר תושבתם מרבע
	הנה הראשון שבהם מן האחד והמרבע הראשון
	והשני אליו מן האחד והמרבע הראשון והמרבע השני
	ואשר תושבתם מחמש ומששה וזולת זה הנה הם על זה ההקש
	ואמנם ענין ההוויות והצלעות ומספרם הנה הוא על הקש התמונות בעלות הגודל
	והמתגורר גם כן מהתמונות המספריות המוגשמות
	והוא מהכפלת המשלשים ודבקות קצתם בקצת
	והששה המגורר הראשון שיתילד מן המשלש הראשון לו שלשה צלעות כל צלע בעל ארבעה ושתי צלעות כל צלע משלש אמנם הצלעות במספרם
	ואמנם התמונות המגשמות אשר יקיפו בהם ששה שטחים
	הנה לא ימלטו אם שיהיו ארכם ורחבם ועמקם שוים ויהיו כמו עשר בעשר אח"כ בעשר ויקרא מעקב
	ואם שיהיו שני קטרים מהם שוים וקטר מתחלף
Bricks	וכאשר יהיה הקטר המתחלף יותר קטן יקרא לבניי
Beams	וכאשר יהיה יותר גדול יקרא עמודיי
Circular Number	אם יהיה מושטחו הקטן עגלה יקרא מעגל
	כמו חמשה בחמשה אח"כ ביותר מחמשה
	באשר היה שיהיו השלשה מתחלפים הנה יקרא כפי זאת הצורה
	ודמיון הלבניי ארבעה בארבעה אח"כ בשלשה
	ודמיון העמודיי הארבעה בארבעה אח"כ בחמשה
	ודמיון שלשה בארבעה בחמשה או בשמנה
	ומנהגם שיקראו המספר אשר ישוב כשהוכה בעצמו בעצמו אח"כ מה שנתקבץ כעצמו ועל הדרך הזה מספר עגול כמו בס' החמשה והששה
	כי החמשה בעצמו חמשה ועשרים אח"כ בחמשה מאה ועשרים וחמשה
	והששה בעצמו ששה ושלשים אח"כ בששה מאתים וששה עשר
	יש מן האנשים מי שיקראו משטחו עגלה ומעוגל ומעקבו כדור וכדוריי

Cube Numbers
The properties of the cube that should be investigated and what is are already known in the book of The Elements:	ואשר ראוי שנחקור מעניני המעקב וכבר נודע ממנו כלל בספר היסודות
Among the properties of the cube: the root of every number, when multiplied by its consecutive, then by its preceding, then [the root] is added to the product, [the sum] is equal to [the cube]. $\scriptstyle\left[n\sdot\left(n+1\right)\sdot\left(n-1\right)\right]+n=n^3$	ומסגלות המעקב שעקב כל מספר כאשר הוכה באשר ימשך אליו אח"כ באשר לפניו אח"כ יתוסף אשר לפניו על מה שיתקבץ יהיה שוה לו‫^[46]
Their production is when the successive odds are arranged, beginning from the one, then summed according to the rank, thus the cubes are produced successively.	אמנם התילדותם הנה כאשר יסודרו הנפרדים הנמשכים מתחילים מן האחד ואח"כ יקובצו כפי המדרגה הנה יתילדו המעקבים על המשכם
For example: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13	המשל בזה שיסודרו אחד שלשה חמשה שבעה תשעה אחד עשר שלשה עשר
1 is a cube	הנה האחד מעקב
3 is on the second rank, hence it is necessary to sum two terms: $\scriptstyle{\color{blue}{3+5=8}}$ which is a cube.	ואחריו השלשה והוא במדרגה השנית הנה יחויב שתקבץ שתי מדרגות ותקבץ השלשה והחמשה והנה זה שמנה והוא מעקב
7 is on the third rank, hence it is necessary to sum three terms: $\scriptstyle{\color{blue}{7+9+11=27}}$ which is the third cube.	ואחריהם השבעה והוא במדרגה השלישית והנה יחויב שתקבץ שלשה מדרגות והנה יהיו שבעה תשעה אחד עשר וכלל זה שבעה ועשרים והוא המעקב השלישי
And according to this rule.	ועל זה המנהג
When wishing to know the first odd number, from which a known cube is composed, take the number of the rank of the cube from the first number of the cubes, and it is one less than the number of the terms,	וכאשר תרצה לדעת הנפרד הראשון שנתרכב ממנו המעקב הידוע הנה תקח מספר מדרגת המעקב מהמספר הראשון שבמעקבים והנה יהיה זה חסר מן הראשון באחד
For example: the third cube, if [one is] the first, there are three [cubes], and if [not] it is the second - there are two.	ויהיה דמיון שני אלו במעקב השלישי אם הראשון הנה הוא שלשה ואם השני הנה הוא שנים
Subtract the second from the square of the first,	ותגרע השני ממרבע הראשון
As subtracting 2 from 9 and it is the first odd number from which the third cube is summed, which is 7.	כמו שתגרע הנה השנים מתשעה והנה הוא הנפרד הראשון אשר ממנו חבור המעקב השלישי וזה הוא שבעה
	אח"כ תוסיף אותו עליו והנה יהיה אחד עשר והוא הנפרד האחרון אשר ממנו הרכבתו ונתרכב מהם וממה שביניהם‫^[47]
	והארבעה והחמשה והששה והתשעה חוזרים במעקביהם תמיד אחדים והנה יהיה זה הוראה על אחדי העקב כמו ארבעה בארבעה אח"כ בארבעה ויהיו ארבעה וששים והתשעה בתשעה אח"כ בתשעה והוא שבע מאות ותשעה ועשרים אמנם עקב השנים הנה הוא בשמנה תמיד
	ועקב השמנה הנה הוא בשנים תמיד
	ועקב השבעה בשלשה
	ועקב השלשה בשבעה תמיד
	והכאת המעקב במעקב וחלוקתו עליו מעקב
	והכאת מרבע שני מספרים במרבע מספר אחד יחסים יחס שני מעקבים
	החלוק בין שני מעקבים הנמשכים הנה הוא הכאת היותר קטן שבשני המעקבים במספר אשר ימשך אליו ויוסיף עליו באחד כן בשלשה אחר כן תוסיף עליו אחד‫^[48]
	וכל מעקב יוסר ממנו עקבו הנה יהיה לנשאר שתות שלם
	וכל מעקב זולת אחד הנה ימנה אותו עקבו זולת אחד
	וכל מעקב הנה חציו וכפלו בלתי מעקב
	וכל מעקב יחובר אליו האחד והכאת המשלש אשר במדרגתו בששה תמיד הנה הוא המעקב אשר ימשך אליו והנה אפשר שיתילדו מאלו המעקבים
	ומסגלות המעקבים שבחינתם אשר כפי מעשה המספר אשר לאנשי הודו יהיה אם אחד ואם שמנה ואם תשעה
	ואם היה אחד הנה אחדי הצלעות אחד או ארבעה או שבעה
	ואם היה שמנה הנה הוא שמנה או שנים או חמשה
	ואם היה תשעה הנה הוא שלשה או ששה או תשעה שבעה
	וכבר יתחלקו בעלי הצלעות מהמספר
	ויאמר שמהם מה שהוא הוא הוא הארך‫^[49]
Heteromecic Number	ומהם מה שהוא זולתיי הארך
	ומהם מה שהוא נבדל הארך והנה הוא אשר ההתחלפות בין ארכו ורחבו במה שהוא למעלה מאחד יהיה איך שיהיה
	ומנהג המדברים במלאכת המספר שיביאו בזה המקום ובמה שירוץ מרוצתו דבור יוצא ממנהג אנשי במופת ודומה הרבה למאמר ההלציים והשיריים ונברח מזה ונוכיח עליו בקריאתם הזולתיי הארך בזולתיי הארך וידמה שיהיה הזולתיות הראשון שיפול בין המספר והמספר הוא באחד ויהיה הוא שרש ההתחלפות והתחלתו כמו שהוא שרש המספר עצמו
	ויהיו המספרי' הזולתיים הארך הם המשתנים באחד
	והשטחים הזולתיים הם אשר יקיפו בהם שתי צלעות זולתיות
	וכאשר נרשום לוח יסודרו בו הנפרדים על המשכם מתחילים מן האחד בשורה אחת
	והזוגות על המשכם מתחילים מן השנים בשורה אחרת
	הנה יולדו מקבוץ הנפרדים כפי מה שידעתו אותו המספרים המרבעים
	ויולדו מקבוץ הזוגות המספרים הזולתיים הארך
	ויתילדו מן הנפרדים המרבעים ההויים
	ומן הזוגות הזולתיים כפי החיוב
	ויתחילו הפיתגוריים מזה המקום בדרך אין שלמות לו
	וכאשר תקבץ המרבעים פעם שנית בשורה יראה משכונת שתי השורות ענינים וסגלות
	ומהם שאתה תמצא ראשון הזולתיים על יחס הכפל מראשון המרבעים והוא המוסיף דמיון
	והשני אצל השני על יחס המוסיף חצי
	והשלישי אצל השלישי על יחס המוסיף שליש
	ועל הדרך הזה כלם על דרך המספרים והמדרגות
	המשל בזה שהוא לרביעי רובע
	ולחמישי חומש
	ותמצא ההעדף על יחס המספרים הטבעיים כי הנה העדף המדרגה הראשונה אחד והעדף המדרגה השנית שנים ועל הדרך הזה
	וכאשר ישמט האחד ויהיה הנכחיות בין מה שהוא מספר יבא היחס כמו זה
	ואמנם התוספת מצד מה שהיה ממנו החסרון
	יהיה הארבעה לשנים על יחס הכפל
	והתשעה לששה על יחס המוסיף חצי
	והששה עשר לשנים עשר על יחס המוסיף שליש
	ועל הדרך הזה ויהיה החלוף על יחס המספרים הטבעיים מתחילים מן השנים
	אח"כ כאשר תסדר ראשון הזולתיים אחר המרבע הראשון מתחיל מן האחד והשני להם אחר המרבע השני הנה יבא זה היחס בעצמו מחבר
	ויהיה יחס השנים אל האחד כיחס הארבעה אל השנים
	ויהיה יחס הששה אל הארבעה כיחס התשעה אל הששה והוא יחס המוסיף חצי
	וכבר יסודרו תמיד ותהיינה יונחו השתי קצוות מבלי יחס מספרי כשיקובץ עם כפל האמצעי מרבע
	אח"כ כשתקבץ השתי שורות על סדורם
	ותתחיל הנפרדים מן האחד יתילדו מהם המספרים המשלשים על סדורם
	ותמצא כל בעל צלע כאשר יחוסר ממנו צלעו יתילד הזולתי אשר הוא בשכונתו מצד החסרון
	וכאשר תוסיף עליו צלעו יתילד הזולתיי אשר הוא בשכונתו מצד התוספת
	וכאשר תגיע‫^[50] צלע המעקב ממנו ישאר צלעותיו ממנו
	וכאשר תקח מושטח בין שני מרבעים תמצא המרבע הראשון יקח ממנו יחס והמרבע השני יחס אחר אמנם ישובו אל היחסים הנמשכים מתחילים מן הכפל אח"כ הדמיון והחצי
	ועל הדרך הזה אמרו הנה הנפרדים יתנו סבת ההוא הוא ולקח ה[ההויים]
	ולכן יתילדו מהם המרבעים והמעקבים וימצאו במדרגות הנפרדי' מרבע ולא ימצאו במדרגות הזוגות כלל
	נשלם המאמר השלישי מן אלארתמיטיקי שבח לאל

Proportions
It is a common practice to mention at this point the ratios, their types and their properties.	וכבר פשט המנהג לזכור בזה המקום היחסים ומיניהם וסגלותיהם
Some people established many types of relations, reaching up to twenty types and some were satisfied with ten, which were translated ancients.	ומן האנשים מי שיחדש להתיחסויות פנים רבים ויגיעו בהם אל עשרים פנים ומהם שנסתפקו על עשרה והוא המועתק מהקדמון
	ומכונתי שאסתפק בזכר אלו העשרה ועם ההסתפקות בהם לא תטה נפשי אל הבאת כל מה שהביאוהו וזכרון כל מה שאמרו אותו כי זה ממה שאין שלמות לו
	ואתה ראוי שתדע שאלו ההתיחסויות הנבחני' ורוב הגעתם במה שיש ביניהם ההתחלפות והענינים המתחלפים אשר ירוץ התחלפותם על סדר אחד
Continuous, such as: $\scriptstyle{\color{blue}{A:B=B:C}}$	אם מתדבק כמו יחס א' אל ב' כמו ב' אל ג'
Discontinuous, such as: $\scriptstyle{\color{blue}{A:B=C:D}}$	או מתחלק כמו יחס א' אל ב' כמו ג' אל ד'
	אם שיהיה התדמותם והתיחדות סדורם בכמות נפשם
	או כמותם אצל זולתם
	וזה הוא השרש והנבחן
The similarity of the diversity of the numbers by their quantity itself: as when the excess of this over that is equal to the excess of third over the fourth. $\scriptstyle a_2-a_1=a_4-a_3$	והתדמות חלוף המספרים בכמות נפשם הוא כמו שיהיה תוספת זה על זה שוה לתוספת השלישי על הרביעי
Such as: the excess of six over four, and ten over eight, or four over two. $\scriptstyle{\color{blue}{6-4=10-8=4-2}}$	כמו תוספת הששה על הארבעה והעשרה על השמנה או הארבעה על השנים
These are the arithmetic relations	ואלו הם ההתיחסויות המספריים
The similarity of the diversity of the numbers by their quantity in relation to the others: as when the added quantity of this over that is equal to the quantity of third over the fourth, or when the quantity of the different by the different from it is one. $\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4$	והדמות חלופי המספרים בכמותם אצל זולתם הרי הוא כמו שיהיה כמות תוספת זה על זה כמו כמות זה השלישי על הרביעי או יהיה כמות זה המתחלף אצל המתחלף אליו אחד
	כמו ענין הארבעה אצל השנים בהתחלפות הוא כמו ענין העשרה אצל הששה
This is the geometric relation	וזה הוא ההתיחסות התשברתיי
	ושני אלו באמתות שני שרשים אמנם כאשר יבחן אי ענין חלוף הכמות הצרופיי בחלוף הכמות המספריי בהתיחסות המספריי וענין חלוף הכמות הצרופיי נמצאו מתחלפות והנה לא ימצא הנה הסכמה כלל
	המשל בזה שנניח יחס תשברתיי כמו ארבעה ששה תשעה והנה הכמות המצטרף בהם מתדמה והכמות אשר למספר בעצמו בלתי מתדמה כי החלוף באחד מהם שנים ובאחר שלשה
	והנה נניח יחס מספריי כמו ארבעה וששה ושמנה ותמצא חלוף הכמו' בעצמו שוה וחלוף הכמות בהקש בלתי מתדמה אבל יהיה ששה לארבעה מוסיף חצי ושמנה לששה אינו מוסיף כי אם בשליש
	וימצאו שני היחסים תמיד נמשכים אבל היחס הגדול מהם בין שני המספרים היותר קטנים והקטן מהם בין שני המספרים היותר גדולים
	ויחסם מזה הענין אחד והוא שתבקש מספרים חבורם חבור ישים השני יחסים אשר ביניהם נמשכים וישים הגדול בין הגדולים והקטן בין הקטנים
	והנה ימצא יחס אחד על זה התאר כמו יחס מה שבין הששה והארבעה והשלשה ויקרא חבוריי
	לפי שהתועלת בהשגחת אמצעי זה ההתיחסות אמנם יפול במלאכת החבור והוא המוסיקי כפי מה שתדעהו במקומו
	וכבר יעבר שיהיה נקרא חבוריי לפי שיחס הקצוות מחובר מיחס המותרות כפי מה שתדע
$\scriptstyle\left(a_3-a_2\right):\left(a_2-a_1\right)=a_3:a_1$	ויתחיב לו סגלה שיחס מותר הגדול על האמצעי אל מותר האמצעי על הקטן הוא יחס הקצה הגדול אל הקטן
	כמו יחס השנים והוא מותר הששה על הארבעה אל אחד אשר הוא מותר השלשה על השנים
	אח"כ הם התבוננו מזאת הסגולה אשר נתחיבה לזה היחס לבחינת התיחסויות מותר הגבולים המתיחסים והלכו בהדרגה מהם אל התיחסויות ואמצעים אחרים אמנם יועילו מצד השלמות חלוקת היחס או רבויו
	ונתחיל בהתיחסות התיחסות ואמצעי אמצעי ונאמר בהם דבור קצר על דרך העברה
$\scriptstyle a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}$	אם האמצעי התשברתיי הנה אמנם יהיה גדר שרש הכאת הקצוות והנה יהיה גדר מה שיתקבץ משתי הקצוות אחד מהם באחר
$\scriptstyle a_2\sdot a_3=a_1\sdot a_4$	וכבר ידעת זה ממקום אחר וידעת כי כשהיה תמורת האמצעי שני אמצעיים הנה הכאת אחד מהם באחר כהכאת אחת משתי הקצוות באחרת
	וזה יורה אליך אל דרישת האמצעי
	וידעת כי בזאת החקירה שאלו ההתיחסויות התשברתיות יתחברו שלשה שלשה בהדרגת הזולתיים הנמשכים עם המרבעים הנמשכי'
	וכבר ידעת גם כן ממקומות אחרים שכל שני מרבעים אפשר שיפלו הודעת אלו הענינים
	אמנם ההתיחסות והאמצעי המספרי באחד או בעשרה והנה שם תמצא אותם מתדבקים באמצעי זה ממה שכבר קדם לך
	וידעת ענין המשך היחס וכפילת היחס שלהם והוא שילקח חצי מקבץ השתי קצוות כפי מה שידעת ממרבע האמצעי בכמו מרבע המותר
	כמו שהכאת השנים בששה הוא השנים בעצמו
	אמנם ההתיחסות והאמצעי החבוריי כבר ידעת התנגדותם למספרי במה שימצא ההתנגדות בהם
$\scriptstyle a_2=\frac{a_1\sdot\left(a_3-a_1\right)}{a_1+a_3}+a_1$	והוצאת האמצעי בשנכה החלוף אשר בין הגדול והקטן בקטן ונחלק על מקובצם ונוסיף אותו על הקטן ויצא האמצעי
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{3\sdot\left(6-3\right)}{3+6}+3=\frac{9}{3+6}+3=1+3=4}}$	כמו שיהיה תשעה ותחלק על מקובץ השלשה והששה והנה יצא אחד ותוסיף אותו על השלשה ויהיו ארבעה
	וכאשר יהיה אצלך האמצעי והגדול ותרצה שתמצא הקטן תעיין אל מותר מה שביניהם כמה הוא מן האמצעי כשנחלק עליו האמצעי פעם אחרת והנה מה שיצא נגרע אותו מן האמצעי
	וכאשר יהיו הקטן והאמצעי ידועים אצלך ותרצה הגדול תחלק האמצעי על המותר ותגרע ממנו אח"כ תחלק עליו ומה שיצא תוסיף אותו על האמצעי
$\scriptstyle\left(a_1+a_3\right)\sdot a_2=2\sdot\left(a_1\sdot a_3\right)$	ומסגלות זה ההתיחסות שהכאת מקובץ השני קצוות באמצעי כמו כפל אחת הפאות באחרת
	וג"כ הנה הכאת האמצעי בגדול כמו כפל האמצעי בקטן בשעור הכפלת אחת משתי הקצוות אל האחרת
	וכבר חשבו אנשים שזה היחס אמנם נקרא חבוריי לפי שמותרותיו שחלוקותיו אינם בגבולים לבדם ולא במותרות לבדם אבל קצת בזה וקצת בזה וכאלו נפל בזה חבור וזה טורח
	וכבר אמרו מה שהוא יותר חזק הטרח מזה
	אמנם ההתיחסויות אשר אחר אלו הנה מהם שלשה נודעו ראשונה ומהם ארבעה נודעו שנית ומהם התיחסויות אין מכונתנו שנשגיח אליהם
	ואלו הארבעה יודעו בשלישי והרביעי והחמישי והששי
	ויקרא הרביעי המתנגד לפי שהוא מנגד לחבוריי באשר הוא הושם בצד
The ratio of the excess of the mean over the smaller to the excess of the greater over the mean is as the ratio of the greater to the smaller $\scriptstyle\left(a_2-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)=a_3:a_1$	והנה יחס מותר האמצעי על הקטן ומותר הגדול על האמצעי כיחס הגדול אל הקטן
Such as: 15; 8; 6?	כמו חמשה עשר ושמנה וששה
	והוצאתם בהכאת המותר שבין שתי הקצוות הקטנו' בקטן והחלוקה על מקובצם והכפלת מה שיצא מן הגדול הנה הוא האמצעי סגלותיו שהכאת הגדול באמצעי כפל הכאת באמצעי התיחסות
The fifth proportion: the mean to the smaller is as the difference between the two smallers to the difference between the two greaters. $\scriptstyle a_2:a_1=\left(a_2-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)$	והאמצעי החמישי שיהיה האמצעי אצל הקטן כמו מותר השני קטנים אצל מותר השני גדולים
	ומספרם כאלו נגזר בזה התשברתיי
	ודרישת זה האמצעי שתוסיף הקטן על הגדול ותחלק מה שיתקבץ חלוקה תהיה הכאת אחד מהם באחר כהכאת הנשאר מהגדול אחר השלכת הקטן ממנו בקטן וזה נקל למי שידע היחס
	ואם אפשר זה זה ואם לא הנה השאלה בטלה
	ומה שיצא יחוסר הקטן מהגדול ממנו ומה שנשאר הנה הוא האמצעי
	ומסגלותיו שהכאת הגדול באמצעי כפל הכאת הגדול בקטן
	ומזה שהאמצעי מהם בהתיחסות הכפליי נגדר לעולם וגדרו הקטן
	והקצה הגדול קטן ממקבץ הנשארים באחד
The sixth: the greater to the mean is as the difference between the two smallers [to the difference between the two greaters]. $\scriptstyle a_3:a_2=\left(a_2-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)$	הששי שיהיה הגדול אצל האמצעי כמו מותר השני קטנים
	ודמיון זה
	והוצאת האמצעי כשנחסר הקטן מן הגדול כמה שיצטרך שיתוסף על הגדול והתוספת עד שיהיה הכאת זה בכל המקובץ מן השרש והשני תוספת כמו המושטח אשר שמר והנה מקובץ השני תוספות הוא האמצעי
	ואם נשבר הנה השאלה בטלה
	וג"כ הנה אתה כאשר תגרע ותכפול גדרו ותגרע ממנו המוכה ראשונה בעצמו ומה שנשאר תוסיף אותו על הקטן
	וכבר יחויב לו מן הסגלות שההתיחסות כשהיה על יחס הדמיון והחלק יהיה האמצעי נגדר
	וכאשר יצטרף אליו גדרו יהיה מקבצו הקצה הגדול והקצה הקטן קטן ממנו
The seventh: the ratio of the difference between the two extremes to the difference between the two smallers is as the ratio of the greater to the smaller. $\scriptstyle\left(a_3-a_1\right):\left(a_2-a_1\right)=a_3:a_1$	אמנם הארבעה אשר ידעת באחרונה הנה הראשון שבהם הוא השביעית שיהיה יחס המותר בין השתי קצוות אל המותר בין שני הקטנים כיחס הגדול אצל הקטן
The example for this: 6; 8; 9.	המשל בזה הששה והשמנה והתשעה
$\scriptstyle a_2=a_1+\frac{a_1\sdot\left(a_3-a_1\right)}{a_3}$	והוצאת האמצעי שלו בהכאת הקטן במותר אשר בינו ובין הגדול וחלוקת המתקבץ על הגדול ותוספת היוצא על הקטן ומה שהגיע הנה הוא האמצעי
The eighth: the ratio of the greater to the smaller is as the ratio of the difference between the two extremes to the difference between the two greaters. $\scriptstyle a_3:a_1=\left(a_3-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)$	והשמיני שיהיה יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר שתי הקצוות אל מותר השני גדולים
The example for this: 6; 7; 9.	המשל בזה ששה שבעה תשעה
	והוא הפך השביעית
	והוצאת האמצעי שלו הפך הוצאת זה האמצעי
$\scriptstyle a_2=a_3-\frac{a_1\sdot\left(a_3-a_1\right)}{a_3}$	וזה בהכאת הקטן במותר אשר בין שתי הקצוות וחלוקת היוצא על הגדול ומה שיצא נגרע אותו מהגדול ומה שישאר הנה הוא האמצעי
The ninth: the ratio of the difference between the extremes to the difference between the two smallers is the ratio of the mean to the smaller. $\scriptstyle\left(a_3-a_1\right):\left(a_2-a_1\right)=a_2:a_1$	התשיעי שיהיה יחס מותר הקצוות אל מותר השני קטנים יחס האמצעי אל הקטן
	כמו הוצאת האמצעי שלו כשנגרע הקטן מהגדול ונחלק השני חלוקה תהיה אחד החלקים אל האחר כיחס האחר אל הקטן אם אפשר ונפיל החלק הראשון מהגדול ומה שישאר הנה הוא האמצעי
	ובידך שתקבץ הכאת המותר בקטן אל מרבע חצי הקטן ותקח גדרו ותוסיפהו על חצי הקטן וזה ההתיחסות כאשר יהיה על יחס הדמיון והחלק יהיה הקצה הקטן מרבע תמיד
	והתיחסות והאמצעי העשירי שיהיה יחס מותר השתי קצוות אל מותר השני גדולים
	כמו יחס האמצעי שלו שתקח מותר מה שבין הקצוות מוכה בקטן מחוסר ממרבע חצי הגדול ותקח גדר זה תוסיפהו על חצי הגדול אלו צריכים בשתי קצוות עם התשברתיי תמיד ולא עם השביעי והשמיני ולא עם החבוריית אל שיהיה הגדול הפך הקטן כמו הרביעי אלא שיהיה הגדול גם כן הפך הקטן והתשבריית לא השמיני ימצאו עם החבוריים ולא עם הרביעי ולא עם השביעי ולא עם השמיני ולא עם התשיעי
When 80 and 20 are given as two extremes:	וכאשר הונחו לנו השמנים והעשרים שני גבולים
50 is mean between them in the arithmetic proportion	יהיו החמשים ביניהם אמצעי מספריי
40 in the geometric proportion	וארבעים אמצעי תשברתיי
32 in the harmonic proportion	ושנים ושלשים אמצעי חבוריי
68 in the fourth proportion	ושמנה וששים אמצעי רביעי
35 in the seventh proportion	וחמשה ושלשים אמצעי שביעי
65 in the eighth proportion	וחמשה וששים אמצעי שמיני
	וכבר הוצאו החמישי והששי והתשיעי והעשירי והנה נניח ראשון גבולי ההתיחסות החמישי והם
	וכאשר חוסר מהקטן אחד ונוסף על הגדול היו והוא ההתיחסות הששי
	וכאשר נוסף על כל גבול שנים עד שיהיו יצא ההתיחסות התשיעי
	וכאשר מן האמצעי אחר זה מה שאמרנוהו בחכמת הארתמיטיקי
	וכבר הנחנו ענינים היה המנהג לחברם בזה המקום יוצאים מסדר המלאכה
	וכבר אצל המעשה כמו החבור וההקבלה והקבוץ והחלוק ההוריי ומה שירוץ מרוצתם
	והראוי בכמו אלו שיזכרו בענפים והנה נסתפק הנה על ההגעה הנזכרת ונקח בחכמת המוסיקי בע"ה
	הנעשה במספר על זה ההצטרפות וההקש כשהוקש אחד משני מספרים אל האחר הנה לא ימלט מאשר יהיו שוים או מתחלפים
	ואם היו שוים היה היחס ביניהם יחס השווי והיושר
	וידמה שזה היחס הוא התחלה טבעית לשאר היחסים ושהוא אשר אליו יותך כל יחס
	ואיך יהיה זה בסדור הניחו בכלם נזכרהו עוד אחר זה
	ואם היו מתחלפים לא ימלט אם שיהיה יחס היותר רב שבהם אל היותר מעט יחס הדמיונים
	כעשרים והשלשים אצל העשרה
The superparticular ratio: as $\scriptstyle{\color{blue}{10:8}}$	או יחס הדמיון המוסיף חלק כעשרה אצל השמנה
The superpartient ratio: as $\scriptstyle{\color{blue}{10:6}}$	או יחס הדמיון המוסיף חלקים כעשרה אצל הששה
The multiple superparticular ratio: as $\scriptstyle{\color{blue}{10:3}}$	או יחס הדמיונים המוסיף חלק כעשרה אצל השלשה
The multiple superpartient ratio: as $\scriptstyle{\color{blue}{15:4}}$	או יחס הדמיוני המוסיף חלקים כחמשה עשר אצל הארבעה
	ואלו הם חלוקות היחסים היחסים המספרים כאשר הוקש בהם היותר רב אל היותר מעט
	וכאשר ידעת זה ידעת ענין המעט אצל הרב ויקרא היותר מעט המקביל ויקרא היותר מעט
	כיחס הדמיון המוסיף חצי דרך משל המקביל לדמיון המוסיף חצי
	וכיחס הדמיון המוסיף שליש המקביל לדמיון המוסיף שליש
	וכן בשאר
	וכבר יולץ ג"כ מן היותר מעט כאשר תחת פלוני ויאמר לו אשר תחת הדמיון המוסיף ככה או הדמיונים המוסיפים ככה
	והסדור בהמצאת אלו היחסים כלם כפי מה שנזכרהו
	אם הדמיונים הנה הענין בהם מבואר והראשון שבהם השניי אחר ימשך אליו השלישיי אחריו הרביעיי אחריו החמישיי וכן תמיד וזה היחס מתחיל מהשנים והולך על המשך המספר עד אין תכלית
	אולם היחס אשר זולתו זה הנה אתה תמצאהו בשתקח המספר אשר בשמו יקרא החלק המוסיף או החלקים
	ואם תרצה הדמיון המוסיף חלק תוסיף זה החלק על זה המספר אשר יקרא בשמו ויתקבץ לך מה שתרצה
	דמיון זה כשתרצה הדמיון ושמינית הנה תקח המספר אשר בשמו יקרא זה החלק והוא שמנה ותוסיף עליו שמיניתו וזה אחד ויתקבץ מהם תשעה ויהיה יחס תשעה אל שמנה יחס הדמיון המוסיף שמינית
	וכן ג"כ אם תרצה יחס הדמיון המוסיף חלקים כמו המוסיף שתי חמישיות הנה תקח חמשה כי בשמו נקראים ותוסיף שני חמישיותיו והוא שנים ויתקבץ שבעה ויחס שבעה לחמשה יחס הדמיון המוסיף שתי חמישיות
	ואולם הדמיונים המוסיפים חלק או חלקים הנה תמצאהו כשתכפול המספר אשר בשמו יקראו החלק או החלקים כמספר הדמיונים המונחים ותוסיף על מה שיתקבץ החלק המבוקש מזה המספר או החלקים ויהיה הכלל כמבוקשך
	דמיון זה אם תרצה השלשה דמיונים המוסיף חומש הנה תקח חמשה ותכפלהו במספר הדמיונים שהם שלשה ויעלה חמשה עשר ותוסיף על זה חומש החמשה שהוא אחד ויעלה ששה עשר והוא היותר רב ויחסו אל החמשה שהוא היותר מעט יחס השלשה דמיונים המוסיף חומש
	וכן תעשה ביחס הדמיונים המוסיף חלקים שתוסיף כאן שנים על החמשה עשר ויהיו שבעה עשר ויחסם אל חמשה השלשה דמיונים המוסיף שתי חמישיות
	וכאשר ישובו החלקים אל חלק אחד כמו שישובו השתי ששיות אל השליש והארבעה שמיניות אל החצי ומה שדומה לזה הנה משפטם בסדור משפט מה שישובו אליו
	וג"כ אם יהיו המוסיף על הדמיון או הדמיונים חלק חלק כמו שתות השתות וחומש החומש או כשליש העשור וחומש השביע ומה שהוא יותר דק מזה או אם היה חומש ושתות או שליש ורביע ומה שדומה לזה הנה אלה כלם ישובו אל החלק האחד או החלקים
	וזה כי חלק החלק הוא ג"כ חלק כמו שתות השתות שהוא חלק מששה ושלשים וחומש החומש שהוא חלק מחמשה ועשרים וכן שליש העשור שהוא חלק משלשים וחומש השביע שהוא חלק מחמשה ושלשים וכן השליש מהם והרביע שבעה חלקים משנים עשר והחומש והשתות אחד עשר חלקים משלשים
	ואולם הסדור אשר דברנו זכרנו בהשבת אלו היחסים אל יחס השווי
	הוא שנניח זה היחס בשלשה גבולים יהיה יחס הגדול מהם אל האמצעי הוא בעינו יחס האמצעי אל הקטן ונחסר לעולם מן הגדול כפל האמצעי מחוסר ממנו הקטן ונחסר מהאמצעי כמו הקטן ונניח הקטן כמו שהוא ואם יהיו שוים הגבולים השלשה הנה המבוקש ואם לא תשוב ותעשה כמו מה שעשינו ראשונה עד שיהיו שוים
	ודמיון זה ביחס הארבעה דמיוני שיהיה הגדול ס"ד והאמצעי י"ו והקטן ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{b_3=a_3-\left[2a_2-a_1\right]=64-\left[\left(2\sdot16\right)-4\right]=64-28=36}}$	הנה כשכפלנו האמצעי ונחסר ממנו הקטן נשארו כ"ח וכאשר נחסר זה מן הגדול נשארו ל"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{b_2=a_2-a_1=16-4=12}}$	וכשנחסר הקטן מן האמצעי נשארו י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{b_1=a_1}}$	ונשאיר הקטן בענינו
	ויהיו אלו המספרים השלשה אשר הם ל"ו י"ב ד' על יחס השלשה דמיונים
$\scriptstyle{\color{blue}{c_3=b_3-\left[2b_2-b_1\right]=36-\left[\left(2\sdot12\right)-4\right]=36-20=16}}$	וכשנשוב ונחסר ג"כ מן הל"ו כפל הי"ב מחוסר ממנו הד' וזה עשרים נשארו י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{c_2=b_2-b_1=12-4=8}}$	אחר כן נחסר מן הי"ב הד' נשארו ח'
$\scriptstyle{\color{blue}{c_1=b_1=4}}$	ונשאיר הד' כמו שהם
	ויהיו המספרים השלשה אחר זה י"ו ח' ד' על יחס הכפל
$\scriptstyle{\color{blue}{d_3=c_3-\left[2c_2-c_1\right]=16-\left[\left(2\sdot8\right)-4\right]=16-12}}$	וכשנשוב שלישית ונחסר כפל הח' מחוסר ממנו הד' וזה י"ב מן הי"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{d_2=c_2-c_1=8-4=4}}$	אח"כ נחסר הד' מן הח'
$\scriptstyle{\color{blue}{d_1=d_2=d_3=4}}$	יהיו שוים הגבולים הנשארים ויהיה כל אחד מהם ארבעה
	ואתה רואה איך שב המרבע אל המשלש אשר הוא יותר פשוט ממנו
	אח"כ המשלש אל השניי אשר הוא יותר פשוט ממנו
	ואחר הותך אל יחס השווי
	עוד נמשיל ביחס הדמיון וחלק ויהיה החצי ונשים השלשה מספרים אשר הם על זה היחס י"ח י"ב ח'
$\scriptstyle{\color{blue}{b_1=a_3-\left[2a_2-a_1\right]=18-\left[\left(2\sdot12\right)-8\right]=18-16=2}}$	כפלנו הי"ב וחסרנו ממנו ח' נשארו י"ו וחסרנו זה מי"ח ונשארו ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{b_2=a_2-a_1=12-8=4}}$	וכשנחסר ח' מן י"ב נשארו ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{b_3=a_1=8}}$	ונניח ח' כמו שהוא
	ויהיה השלשה גבולים ב'ד'ח' על יחס הכפל
$\scriptstyle{\color{blue}{c_3=b_3-\left[2b_2-b_1\right]=8-\left[\left(2\sdot4\right)-2\right]=8-6=2}}$	ונשוב ונחסר מהח' שהוא הגדול כפל האמצעי שהוא ד' מחוסר ממנו הקטן שהוא ב' וזה ו' נשארו מהגדול ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{c_2=b_2-b_1=4-2=2}}$	וכשנחסר מהאמצעי ב' נשאר גם כן ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{c_1=b_1=2}}$	ונשאיר הקטן ב' כמו שהוא וזה יחס השווי
	ואתה רואה ג"כ איך שב יחס הדמיון והחלק אל יחס השווי ואיך יותך ראשונה אל יחס הכפל השניי ואחר יותך זה יחס אל יחס השווי
	ומיני המתיחסים אם שיהיו על צד הדבקות והם אשר יהיה האמצעי משותף בין שתי הקצוות ילקח בהתיחסות פעם נמשך ופעם קודם וגבוליו תמיד שלשה לא פחות ולא יתר כאמרנו יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ד'
	ואם שיהיה על צד ההבדל ולא יהיה בזה אמצעי אחר משותף אבל אמצעיים כאמרנו יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ח' והגבולים בזה היחס תמיד יותר משלשה
	ומיני המתיחסים רבים זכר מהם ניקומכוש בספרו עשרה מינים לבד
	ויחתרו כת מן הקדמונים בדרישת מה שנוסף עליהם ומצאו עשרה אחרים והיו בהם מיני היחס עשרים מינים
	והמועילים בהם בחכמות על הרוב שלשה לבד והם המתיחסים המספריי' והתשברתיים והחבוריים
	ונתעסק בזכרון אלו ראשונה אח"כ ימשך להם זכרון הנשארים מן העשרה מינים הראשונים
	והעשרה הנוספים אשר טרחו בהם הקדמונים אין לנו עסק בזכרונם הנה למעוט מציאותם
	ואולם המתיחסים המספריים הם המתיחסים הנופלים בין גבולים אם שלשה או יותר מזה נמשכים על שווי מה שביניהם מהתוספת והיתרון בשנים והשלשה והארבעה המוסיפים אחד אחד ובחמשה והשבעה והתשעה המוסיפים שנים שנים
	ואין היחס בין אלו המספרים אחד בכמות רצוני היתרון
$\scriptstyle{\color{blue}{4:3}}$ sesquitertian ratio	כי יחס הארבעה אל השלשה יחס הדמיון המוסיף שליש
$\scriptstyle{\color{blue}{3:2}}$ sesquialter ratio	ויחס השלשה אל השנים יחס הדמיון המוסיף חצי
$\scriptstyle{\color{blue}{9:7}}$ superbiseptian ratio	ויחס התשעה אל השבעה יחס דמיון המוסיף שתי שביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{7:5}}$ superbiquintan ratio	ויחס השבעה אל החמשה יחס הדמיון המוסיף שתי חמישיות
	וכן יהיה ג"כ בנבדלים כמו השנים והחמשה והארבעה והשבעה והשמנה והאחד עשר כי היחס אשר בין אלו המספרים הששה יחס מספריי על צד ההבדל והגבולים בו מוסיפים בכמות אחת והוא השלשה
	ואולם ההתיחסות אינו אחד לפי שיחס האחד עשר אל השמנה יחס הדמיון המוסיף רביעית ושמינית
	ויחס השבעה אל הארבעה יחס הדמיון המוסיף חצי ורביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{5:2}}$ double sesquialter ratio	ויחס החמשה אל השנים יחס הכפל המוסיף חצי
	ומסגלות אלו המתיחסים וזה האמצעיות שמקובץ הקצוות במתדבקים מהם כפל האמצעי ובנבדלים שוה למקובץ האמצעיים
	ומסגלותם גם כן שהיחס שבין שני הגבולים הקטנים במדובקים מהם והנבדלים יותר גדול תמיד מהיחס אשר בין שני גבולים הגדולים
	ומהם שהכאת אחת הקצוות באחרת יותר מעט תמיד ממרובע האמצעי במדובקים כמו מרבע התוספת
	ומאלו הסגלות וממה שקדם להם מהידיעה בסגלות המספרים יודע האמצעי באלו המתיחסים מצד שתי הקצוות
	וזה במתדבקים כאשר ילקח חצי מקבצם ומה שהיה הוא האמצעי לפי שכל מספר שוה לחצי מקובץ שתי פאותיו כמו שידעת
	ואמנם בנבדלים הנה לו יוגבלו שני האמצעיים מהידיעה בשתי הקצוות לבד אבל כבר אפשר שימצאו ביניהם אמצעיים רבים
	ואם יהיו האמצעיי' נעלמים יחד והיה מקובצם ידוע או מותר מה שביניהם ידוע ויחס אחד מהם אל האחר ידוע הנה אפשר מציאות כל אחד מהם על מנינו
	ואם לא יהיה דבר מאלו הדברים ידוע יהיה דרך הוצאתם ומציאות כל אחד מהם ממה שאין דרך לזכרו הנה
	ואולם המתיחסי' התשברתיים הם אשר יהיה היחס אשר בין גבוליהם אחד והמותרות מתחלפות בחלוף המספריים
	כמו האחד והשנים והארבעה במתדבקי'
	והאחד והשנים והשלשה והששה בנבדלים
$\scriptstyle{\color{blue}{4:2=2:1}}$	וזה שיחס ד' ב' כיחס ב' א'
$\scriptstyle{\color{blue}{4-2>2-1}}$	והמותר בין ד' ב' יותר ממותר שבין ב' א'
	וכן בו' ג' וב' א' שיחסם אחד ומותרם מתחלפים
	ומסגלות אלו המתיחסים וזה האמצעיות שהכאת אחת הקצוות תמיד באחרת שוה למרבע האמצעי במתדבקי' ולהכאת אחד האמצעיים באחר בנבדלים ולזה היה מציאות האמצעי
	והוצאתו אם במתדבקים הוא כאשר ילקח שרש הכאת אחת הקצוות באחרת ומה שהיה הוא האמצעי
	ואם בנבדלים הנה יצטרך עם הידיעה בכל אחת המקצוות שיהיה אחד משני האמצעיים ידוע כדי שנדע מזה הצד האמצעי האחר וזה בחלוק הכאת אחת הקצוות באחרת עליו
	ואם היו מוסכלים יחד יהיה מקובצים ידוע או מותר מה שביניהם ידוע או יחס אחד מהם אל האחר ידוע הנה אפשר מציאות כל אחד משניהם על מנינו
	ואם לא יהיה אחד מאלו הדברים ידוע יהיה דרך הוצאותם ומציאות כל אחד מהם ממה שאין דרכו שיחובר הנה
The harmonic proportion: the ratio of the greater term to the smaller is as the ratio of the difference between the greater and the mean to the difference between the mean and the smaller. $\scriptstyle a_3:a_1=\left(a_3-a_2\right):\left(a_2-a_1\right)$	ואולם ההתיחסות החבוריי הוא אשר יהיה בו יחס גדול שבגבוליו אל הקטן כיחס מותר מה שבין הגדול והאמצעי אל מותר מה שבין האמצעי והקטן
Such as: 3; 4; 6.	כמו השלשה והארבעה והששה
$\scriptstyle{\color{blue}{6:3=2:1=\left(6-4\right):\left(4-3\right)}}$	כי יחס הששה אל השלשה כיחס מותר מה שבין הששה והארבעה והוא שנים אל מותר מה שבין הארבעה והשלשה והוא אחד
	והצורך אל זה המין ממיני המתיחסים נוגע בחכמת חבור הלחנים הנקרא המוסיקי לפי שיחס המרחקים המסכימים בו אמנם ימצאו בזה המין לבד כפי מה שתאמר עליו אחרי זה ולכן נקרא חבוריי
The extraction of the mean term in this proportion: multiplying the difference between the extremes by the smaller term, then dividing the product by the sum of the two extremes, adding the quotient to the smaller term and the result is the mean term. $\scriptstyle a_2=\frac{a_1\sdot\left(a_3-a_1\right)}{a_1+a_3}+a_1$	והוצאת הגבול האמצעי מגבולי ההתיחסות הזה הוא כשנכה לעולם מותר מה שבין הקצוות בקטן שבגבולים ונחלק מה שהתקבץ על מקובץ שתי הקצוות ונוסיף מה שיצא על גבול הקטן ומה שהתקבץ הנה הוא הגבול האמצעי
	דמיון זה אם נדע השלשה והששה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{3\sdot\left(6-3\right)}{3+6}+3=\frac{3\sdot3}{9}+3=\frac{9}{9}+3=1+3=4}}$	הנה המותר שלשה נכה שלשה בשלשה יהיה תשעה ומקובץ הקצוות ג"כ תשעה וכשנחלק תשעה על תשעה יעלה אחד לבד נוסיף האחד על השלשה שהוא גבול הקטן ויהיה ארבעה והוא האמצעי
	הנה אלו השלשה ממיני המתיחסים הם הנעשי' בחכמות והמקובל תועלת בהם
The fourth proportion: the ratio of the greater to the smaller is as the ratio of the difference between the two smaller terms to the difference between the two greater terms. $\scriptstyle a_3:a_1=\left(a_2-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)$	ואולם המין הרביעי הוא אשר יהיה בו יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר מה שבין שני הגבולים הקטנים אל מותר מה שבין שני הגבולים הגדולים
Such as: 3; 5; 6.	כמו השלשה והחמשה והששה
	וזה המין מקביל למין החבוריי
	ויסגלהו שמוכה הגדול באמצעי כפל מוכה האמצעי בקטן
	כמו שיהיה בכאן מוכה ששה בחמשה והוא שלשים כפל מוכה שלשה בחמשה והוא חמשה עשר
The fifth proportion: the ratio of the mean to the smaller is as the ratio of the difference between the two of them to the difference between the mean and the greater. $\scriptstyle a_2:a_1=\left(a_2-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)$	ואולם המין החמישי הוא אשר יהיה בו יחס האמצעי אל הקטן כיחס מותר מה שבין שניהם אל מותר מה שבין האמצעי והגדול
Such as: 2; 4; 5.	כמו השנים והארבעה והחמשה
	ויסגלהו שמוכה הגדול באמצעי כפל הכאתו בקטן
	כמו שהכאת החמשה בארבעה והוא עשרים כפל הכאת חמשה בשנים אשר הוא עשרה
The sixth proportion: the ratio of the greater to the mean is as the ratio of the difference between the mean and the smaller to the difference between the mean and the greater. $\scriptstyle a_3:a_2=\left(a_2-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)$	ואולם המין הששי הנה הוא אשר יהיה בו יחס הגדול אל האמצעי כיחס מותר מה שבין האמצעי והקטן אל מותר מה שבין האמצעי והגדול
Such as: 1; 4; 6.	כמו האחד והארבעה והששה
The seventh proportion: the ratio of the greater to the smaller is as the ratio of the difference between both of them to the difference between the mean and the smaller. $\scriptstyle a_3:a_1=\left(a_3-a_1\right):\left(a_2-a_1\right)$	ואולם המין השביעי הנה הוא אשר יהיה בו יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר מה שבין שניהם אל מותר מה שבין האמצעי והקטן
Such as: 6; 8; 9.	כמו הששה והשמנה והתשעה
The eighth proportion: the ratio of the greater to the smaller is as the ratio of the difference between the two extremes to the difference between the greater and the mean. $\scriptstyle a_3:a_1=\left(a_3-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)$	ואולם המין השמיני הנה הוא אשר יהיה יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר מה שבין הקצוות אל מותר מה שבין הגדול והאמצעי
Such as: 6; 7; 9.	כמו הששה והשבעה והתשעה
The ninth proportion: the ratio of the mean to the smaller is as the ratio of the difference between the two extremes to the difference between the mean and the smaller. $\scriptstyle a_2:a_1=\left(a_3-a_1\right):\left(a_2-a_1\right)$	ואולם המין התשיעי הנה הוא אשר יהיה בו יחס האמצעי אל הקטן כיחס מותר מה שבין הקצוות אל מותר מה שבין האמצעי והקטן
Such as: 4; 6; 7.	כמו הארבעה והששה והשבעה
The tenth proportion: the ratio of the mean to the smaller is as the ratio of the difference between the two extremes to the difference between the mean and the greater. $\scriptstyle a_2:a_1=\left(a_3-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)$	ואולם המין העשירי הנה הוא אשר יהיה בו יחס האמצעי אל הקטן כיחס מותר מה שבין שני הקצוות אל מותר מה שבין האמצעי והגדול
Such as: 3; 5; 8.	כמו השלשה והחמשה והשמנה
	הנה אלו הם המינים העשרה ממיני המתיחסים שיספיק לנו זכרונם כי אין לאחד מהם מבא בחכמה זולתי מה שזכרנום לפנים ואולם הביאונום על צד שלמות החלוקה והמשכתה וספירת מה שיגיעו אליו צדי ההתיחסות נשלם זה והתהלה לאל ית' שמו
	האופן הרביעי מן החלק השני בחכמת המוסיקי
	אמר אמיה בן עבד היקר אבו אלצלת הנה נסתם מה שקדם מאופני הלמודים באומר בחכמת המוסיקי וזה ספר כבר ספרנוהו לו כמו שעשינו בשאר אופנים וחלקנוהו חלקים שמנוהו הראשון מהם בהתחלות זה האופן ומה שירוץ מרוצת ההתחלות ויכנס בה מן ההכנות וההצעות והמשכנוהו במאמר בספירת הנעימות והמרחקים והסוגים והקבוצים מרובם והמזגתם ואיכות סדר הסוגים בקבוצים עוד בהמצאתם מוחשים בכלים המלאכותיים ובחלקי הכלים ובמיניהם עוד באומר בהעתקות וחלקי הנפילות ומיניהם והלכנו במה שהבאנוהו מזה צד הדרך אשר הלכנו בזה הספר מהבאת מה שאין די זולתו וחסר מה שאין צריך לו ובאל נעזר
	המאמר הראשון מזה האופן שני פרקי פרק ראשון בהתחלות זה האופן ומה שירוץ מרוצת ההתחלות ויכנס בה מן ההכנות למלאכת המוסיקא מלאכה נושאה הנעימות וכונתה העיון בם מצד מה שיתקרבו ויתרחקו ובאיכות חבורם כדי שיהיה מהם לחן ותתחלק אל עיונית ומעשית והעיונית היא אשר מדרכה שתחקר מהנעימות ומה המסכים מהם ובלתי מסכים ותעיין בחבור המסכים מהם עד יתכן שיהיה המחובר מהם לחן ותחקר מאי זה מהם יהיה יותר טוב ויותר שלם ומן הדברים אשר יהיו בם יותר טובות ויותר שלמות ותתן עלות זה כלו וסבותיו יתנו סבת ההוא הוא ולכן יתילדו מהם המרבעים והמעקבים וימצאו במדרגות הנפרדים מרבע ולא ימצאו במדרגות הזוגות כלל נשלם המאמר השלישי מן הארתמיטיקי ושבח לאל יתעלה שמו וכבר פשט המנהג לזכור בזה המקום היחסים ומיניהם וסגולותיהם ומן האנשים מי שיחדש להתיחסות פנים רבים ויגיעו בהם אל ב' פנים ומהם שנסתפקו על עשרה והוא המעתק מהקדמון ומכונתי שאסתפק בזכר אלו הי' ועם ההסתפקות בהם ונשלם הספר הזה ספר הארתימיטיקא לאמיה בן עבדו אבו אלצלת היקר תדרוש בסגולות המספרים קצר והוסיף על ספר ניקומאכוש הגרישיני הפיתגוריי לידי הצעיר באלפי הדל אליאו גבה בבר אליעזר יצ"ו בשנת

Notes

↑ MS St. Petersburg beginning
↑ marg. א"ב אם רצה בזה שלא יביא אל נגדר בהקוות השני או שלא יביא אל נגדר באי זה הקוות שיהיה הוא נכון ואולם אם רצה בזה שלא יביא אל נגדר לעולם אין זה צודק כי השלשה אחר י"ג הקוויות יביא אל נגדר אצל פ"א וגם זה יצדק בחמשה ושאר המספרים כאשר תוציא קום
↑ marg.א"ב למעלה קרא נגדר ראשון האחד ובכאן קרא נגדר ראשון התשעה והוא הנכון כי האחד אינו מספר ודבר למעלה דרך העברה והסדר הוא שהראשון שבנגדרים הנפרדים תשעה והשני כ"ה והשלישי מ"ט ועל הדרך הזה
↑ marg. בל"ד מט'
↑ והנה
↑ marg. כי לפי זה יחויב שיהיו השנים נמנים במדרגות זוג הזוג
↑ marg. א"ב לפי זה יהיו השנים זוג הנפרד וזה כי הארבעה זוג הזוג וכאשר נגרע מהם הזוג הראשון שהוא שנים ישארו שנים ואם שנים זוג הנפרד המאמר צודק ולא בזולת זה ובזה תמה כי במקומות מהספר נראה שהוא לוקח השנים במספר זוג הזוג ובמקומות במספר זוג הנפרד
↑ marg. פי' כמו שמנה שהוא זוג הזוג וחלקיו שהם חצי ורביע ושמינית והם ד'ב'א' והגעתם שבעה
↑ marg. ירצה לפי שיש ג' מיני יחסי' יחס מדותיי והוא שהשעורי' מתיחסי' והמותרי' בלתי שוי' ויחס מספרי והוא שהשעורי' בלתי מתיחסי' והמותרי' שוים יחס מוסיף והוא שהשעורי' בלתי מתיחסי' והמותרי' בלתי שוי' אבל יחס השעור הא' אל הג' כיחס מותר מה שבין השעור הא' אל הב' אל מותר מה שבין השעור הב' אל השעו' השלישי כמו מספרי' ג'ד'ו' א"ב ר"ל
↑ marg. ירצה כשנקח מהם חלקי' מתיחסי' על יחס א' הן לתוספת הן למגרעת כמו עד"מ שנקח החצי או הרביע מכל א' מהם או כפל או ג' כפלי כל א' מהם ודומה לזה וישמרו תמיד יחס הכפל עצמו.. א"ב ר"ל
↑ marg. מל"ה מט'
↑ marg. א"ב כדי זה המשפט להביא בו משל והנה נקבץ זוגי הזוג מספרי ב' ד' והאחד עמהם ויהיו ז' והוא מספר ראשון ונוסיף עליו אחרון המקובצי' והוא ד' ויהיו י"א וגם הוא ראשון ונחסר ממנו ר"ל מז' המספר אשר לפני אחרון המקובצים והוא ב' וישאר ה' וגם הוא ראשון ונכה י"א והוא הנוסף בה' שהוא המחוסר ויעלה נ"ה הנה הכאת נ"ה באחרון המקובצים והוא ד' יביא ר"ך והוא המספר אשר לו אוהב והוצאת אוהבו שנוסיף הכאת מקובץ הנוסף והחסר הנזכרי' והוא י"ו בד' שהוא אחרון המקובצים שיעלה ס"ד על ר"ך שהוא האוהב הראשון ויהיה רפ"ד שהוא האוהב השני ושניהם נאהבים ועל הדרך הזה
↑ marg. ר"ל שיחלק יותר מפעם אחת לא זוג הזוג שנאמר ביחוד על המתחלק תמיד עד האחד
↑ marg. לא הבנתי זאת הסגולה ואולי ירצה שקבוץ כל מספרי זוג הנפרד על הסדר שוה לכפלי המרובעי' הטבעיים על הסדר כי קבוץ מספרי ב' ו' שוה לכפל מרובע ב' וקבוץ ב' ו' י' שוה לכפל מרובע ג' וקבוץ ב' ו' י' י"ד שוה לכפל מרובע ד' וכן תמיד על זה הסדר א"ב ד"ל
↑ marg. ר"ל ג' ימנה ט' בג' וימנה ט"ו בה' וימנה כ"א בז‫'
↑ marg. הה' ימנה ט"ו בג' וכ"ה בה' ול"ה בז‫'
↑ marg. א"ב ר"ל כל מרבע מספר ראשון בהקש אל מרבע מספר ראשון
↑ marg. מסוף ט' לאקלידס
↑ marg. א"ב ר"ל כי יציאת ששה היתה כאשר לקחנו שנים זוג הזוג והאחד ונתקבץ שלושה מספר ראשון והכינו אותו בשנים ויצא ששה מסוף ט' לאקליד‫'
↑ marg.א"ב ר"ל שהבית הראשון מהשורה השלישית על הראשון מהשנית יוסיף א' והשני על השני ב' על סדר המספרי' הנמשכים
↑ marg. ר"ל בשורה הראשונה תמצא שכל שלישי לאי זה ראשון שיהיה יוסיף בשנים כמו ג' לא' וד' לב' וה' לג' ובשורה השנית יוסיף בארבעה ובשלישי' בששה
↑ marg. א"ב צ"ע בזה שורה אחת כי יש טעות בלשון ובסברא אפשר לכוין הלשון על צדדים רבים ולכן לא תקננו כי לא יודע אל איזה כיון המחבר
↑ marg.לפי שמקובץ כפל השטחים מרבע בתוספת אחד
↑ marg.כמו כפל ד"ט שהוא כ"ו וכ"ה מרבע
↑ marg.ר"ל מבלי בחינה בין הגמור והבלתי גמור
↑ marg. א"ב לפי שמדרגתם ג"ה ד"ו ה"ז וג"ה יתוסף תמיד בג"ה וד"ו בד"ו וה"ז בה"ז הנה תוספת החסרים והנוספי' אינו רק באחד אחד
↑ marg. א"ב צ"ע כי כפי המשך המשלים נראה שהנכון שיאמר הדמיונים והחלק או הכפל והחלק
↑ marg. ר"ל ביחס הכפל וחצי
↑ marg. א"ב נראה שהרצון הוא כפל מה שהיה בדמיון ושליש כי לא יצדק זה בכפל ושליש במוסיפי' כי אם בחסרים
↑ marg. א"ב ר"ל שיחס כ"א אל י"ט וי"ט לי"ז וי"ז לט"ו הם יחסי הדמיון ושני חלקים והם גמורים וכן השאר
↑ marg.א"ב ר"ל שיחסי י"א אל י' וי' אל ט' וט' אל ח' הם יחסי הדמיון המוסיף חלק וכן השאר
↑ marg. א"ב ר"ל הלוח הגדול הנרשם למעלה בבתי עשר על עשר
↑ marg. ר"ל אם נקח הא' המדרגות החצי
↑ marg. ר"ל האמצעית
↑ marg. א"ב ר"ל בכח כי מספר החמשה עשר שהוא מספר המשלש החמישי אינו משלש בפעל עד שיסודרו סדור ידמה לתמונה המשלשת וישים התושבת ה' ועליהם ד' ועל הד' ג' ועל הג' ב' ועל הב' א'
↑ marg. א"ב ר"ל לפי שהאחד אינו מספר עם היותו מרבע כאשר נזכר למעלה אבל לפי שהאחד הוא הנפרד הראשון יצדק כמו כן אמרנו שמרבע האחד יתילד מדבקותו אל עצמו ואם לא יפול בזה מלת קבוץ
↑ marg. א"ב מופת זה המשפט מד' ממאמר שני לאקלידס
↑ marg. א"ב כמו כפל ב' וא' עם ד' ויגיע ט' או כמו י"ו יצורף לדמיונו י"ו ודמיון רביעיתו ד' ויגיע ל"ו או יצורף אל ד' שלשה דמיוניו והוא י"ב ויגיע י"ו או יחוסר מי"ו שלשה רביעיו שההוא י"ב ויגיע ד'
↑ marg. א"ב סבת זה כי לא יצאו אחדים באחרית כי אם מהכאת אחדי' באחדים כי מהכאת עשרות או מאות ושאר המדרגות לא יצאו אחדים וקרה שמהכאת האחדים עד ט' בעצמם היו האחדים הנשארים א' ד' ה' ו' ט' והנה תמצא שמהכאת האמצעי אשר במדרגת האחדי' שהוא ה' בעצמו נשאר ה' אח"כ הנשאר מהפאות הרחוקות מהאמצעי מרחק שוה הנה ישוו אחדי גדריהם כי אחדי פ"א שהוא מרבע ט' ישוה לאחד שהוא אחדי גדר א' וט' וא' רחוקים בשוה מן החמשה וכן אחדי ס"ד וד' למספרי ח' וב' ואחדי מ"ט וט' למספרי ז' וג' ואחדי ל"ו וי"ו למספרי ו' וד'
↑ marg. א"ב צ"ע בבחינה זו פי' במאזניהם
↑ marg. א"ב ר"ל מספר מדרגתו זוג בהתחיל מן האחד כמו ג' וי' שאינם מששים
↑ marg. כמו שתמצא ט"ו שהוא המששה השלישי הנה הוא המשלש החמישי וזה בהתחיל מן האחד
↑ marg.א"ב הם מספרי א'ד'ז'י' הנזכרי' למעלה שהתוספת ג' ג' ומה שבין שני מספרי א'ד' או ד'ז' או ז'י' הוא שנים על משך המספרי' הטבעיי'
↑ marg.א"ב ר"ל נוסף עליו הכאת חצי צלעו במדרגתו מן המחמשים
↑ marg. א"ב נראה שהוא בשלשה מדרגות ור"ל שנכה חצי הצלע והוא שנים בשלשה ויהיה ששה והם עם ששה עשר שנים ועשרים
↑ marg. א"ב המשל בזה שנרצה לדעת מעקב ג' הנה נכה ג' בד' ויהיה י"ב ונכה י"ב בשנים ויהיו כ"ד נוסיף עליו ג' ויהיה כ"ז יהיה שוה למעקבו וירצה באמרו אח"כ יתוסף אשר לפניו אשר לפני אשר ימשך אליו
↑ marg. א"ב משל זה נרצה לדעת המספר הנפרד הראשון שנתרכב ממנו המעקב השלישי שהוא כ"ז הנה תקח מספר מדרגת המעקב הזה מהמספר הראשון שבמעקבים ויהיה ב' וזה חסר ממספר מהמדרגות הראשון שהיה ג' באחד כי כשנתחיל למנות מן האחד יהיו שלשה וכשנתחיל מראשון המספרים המעקבים יהיו שנים וכן תמיד ונגרע ג' שהוא מספר המדרגות השני ממרבע ג' שהוא מספר המדרגות השלישי והוא ט' וישארו ז' והוא הנפרד הראשון אשר ממנו חבור מעקב כ"ז אח"כ נוסיף ב' על המרבע הנזכר ויהיו י"א והוא המספר האחרון משני אלו ממה שביניהם נתרכב כ"ז
↑ marg.א"ב ר"ל המספר אשר ימשך אליו והוא הוא המוסיף עליו באחד
↑ marg.ר"ל הוהיי הארך שמספר הצלעות שוה והם המרבעים
↑ marg. צ"ע כמו שורה אחת

Appendix: Bibliography

Abū al-Ṣalt Umayya b. ‘Abd al-‘Azīz al-Andalusī (b. Andalusia ca. 1068 – d. Tunisia ca. 1134)
– Hebrew translation –
Don Benveniste b. Lavi
Sefer Niqomachus ba-Segulot ha-Mispariyot
1395/1435, Saragossa

Manuscripts:

1) Oxford, Bodleian Library MS Heb. d. 3/4 (IMHM: f 22729), ff. 47v-59r (cat. Neub. 2774, 4) (16th century)

2) St. Petersburg, Inst. of Oriental Studies of the Russian Academy B 103/1 (IMHM: f 44256), ff. 1r-21v (15th century)

Bibliography:

Langermann, Y. Tzvi. 2001. Studies in Medieval Hebrew Pythagoreanism: Translations and Notes to Nicomachus; Arithmological Texts, Micrologus IX, pp. 219–36.
Lévy, Tony. 1996. L’histoire des nombres amiables: le témoignage des textes hébreux médiévaux, Arabic Sciences and Philosophy 6, pp. 63–87.

[1] MS St. Petersburg beginning

[2] rg. א"ב אם רצה בזה שלא יביא אל נגדר בהקוות השני או שלא יביא אל נגדר באי זה הקוות שיהיה הוא נכון ואולם אם רצה בזה שלא יביא אל נגדר לעולם אין זה צודק כי השלשה אחר י"ג הקוויות יביא אל נגדר אצל פ"א וגם זה יצדק בחמשה ושאר המספרים כאשר תוציא קום

[3] rg.א"ב למעלה קרא נגדר ראשון האחד ובכאן קרא נגדר ראשון התשעה והוא הנכון כי האחד אינו מספר ודבר למעלה דרך העברה והסדר הוא שהראשון שבנגדרים הנפרדים תשעה והשני כ"ה והשלישי מ"ט ועל הדרך הזה

[4] rg. בל"ד מט'

[5] והנה

[6] rg. כי לפי זה יחויב שיהיו השנים נמנים במדרגות זוג הזוג

[7] rg. א"ב לפי זה יהיו השנים זוג הנפרד וזה כי הארבעה זוג הזוג וכאשר נגרע מהם הזוג הראשון שהוא שנים ישארו שנים ואם שנים זוג הנפרד המאמר צודק ולא בזולת זה ובזה תמה כי במקומות מהספר נראה שהוא לוקח השנים במספר זוג הזוג ובמקומות במספר זוג הנפרד

[8] rg. פי' כמו שמנה שהוא זוג הזוג וחלקיו שהם חצי ורביע ושמינית והם ד'ב'א' והגעתם שבעה

[9] rg. ירצה לפי שיש ג' מיני יחסי' יחס מדותיי והוא שהשעורי' מתיחסי' והמותרי' בלתי שוי' ויחס מספרי והוא שהשעורי' בלתי מתיחסי' והמותרי' שוים יחס מוסיף והוא שהשעורי' בלתי מתיחסי' והמותרי' בלתי שוי' אבל יחס השעור הא' אל הג' כיחס מותר מה שבין השעור הא' אל הב' אל מותר מה שבין השעור הב' אל השעו' השלישי כמו מספרי' ג'ד'ו' א"ב ר"ל

[10] rg. ירצה כשנקח מהם חלקי' מתיחסי' על יחס א' הן לתוספת הן למגרעת כמו עד"מ שנקח החצי או הרביע מכל א' מהם או כפל או ג' כפלי כל א' מהם ודומה לזה וישמרו תמיד יחס הכפל עצמו.. א"ב ר"ל

[11] rg. מל"ה מט'

[12] rg. א"ב כדי זה המשפט להביא בו משל והנה נקבץ זוגי הזוג מספרי ב' ד' והאחד עמהם ויהיו ז' והוא מספר ראשון ונוסיף עליו אחרון המקובצי' והוא ד' ויהיו י"א וגם הוא ראשון ונחסר ממנו ר"ל מז' המספר אשר לפני אחרון המקובצים והוא ב' וישאר ה' וגם הוא ראשון ונכה י"א והוא הנוסף בה' שהוא המחוסר ויעלה נ"ה הנה הכאת נ"ה באחרון המקובצים והוא ד' יביא ר"ך והוא המספר אשר לו אוהב והוצאת אוהבו שנוסיף הכאת מקובץ הנוסף והחסר הנזכרי' והוא י"ו בד' שהוא אחרון המקובצים שיעלה ס"ד על ר"ך שהוא האוהב הראשון ויהיה רפ"ד שהוא האוהב השני ושניהם נאהבים ועל הדרך הזה

[13] rg. ר"ל שיחלק יותר מפעם אחת לא זוג הזוג שנאמר ביחוד על המתחלק תמיד עד האחד

[14] rg. לא הבנתי זאת הסגולה ואולי ירצה שקבוץ כל מספרי זוג הנפרד על הסדר שוה לכפלי המרובעי' הטבעיים על הסדר כי קבוץ מספרי ב' ו' שוה לכפל מרובע ב' וקבוץ ב' ו' י' שוה לכפל מרובע ג' וקבוץ ב' ו' י' י"ד שוה לכפל מרובע ד' וכן תמיד על זה הסדר א"ב ד"ל

[15] rg. ר"ל ג' ימנה ט' בג' וימנה ט"ו בה' וימנה כ"א בז‫'

[16] rg. הה' ימנה ט"ו בג' וכ"ה בה' ול"ה בז‫'

[17] rg. א"ב ר"ל כל מרבע מספר ראשון בהקש אל מרבע מספר ראשון

[18] rg. מסוף ט' לאקלידס

[19] rg. א"ב ר"ל כי יציאת ששה היתה כאשר לקחנו שנים זוג הזוג והאחד ונתקבץ שלושה מספר ראשון והכינו אותו בשנים ויצא ששה מסוף ט' לאקליד‫'

[20] rg.א"ב ר"ל שהבית הראשון מהשורה השלישית על הראשון מהשנית יוסיף א' והשני על השני ב' על סדר המספרי' הנמשכים

[21] rg. ר"ל בשורה הראשונה תמצא שכל שלישי לאי זה ראשון שיהיה יוסיף בשנים כמו ג' לא' וד' לב' וה' לג' ובשורה השנית יוסיף בארבעה ובשלישי' בששה

[22] rg. א"ב צ"ע בזה שורה אחת כי יש טעות בלשון ובסברא אפשר לכוין הלשון על צדדים רבים ולכן לא תקננו כי לא יודע אל איזה כיון המחבר

[23] rg.לפי שמקובץ כפל השטחים מרבע בתוספת אחד

[24] rg.כמו כפל ד"ט שהוא כ"ו וכ"ה מרבע

[25] rg.ר"ל מבלי בחינה בין הגמור והבלתי גמור

[26] rg. א"ב לפי שמדרגתם ג"ה ד"ו ה"ז וג"ה יתוסף תמיד בג"ה וד"ו בד"ו וה"ז בה"ז הנה תוספת החסרים והנוספי' אינו רק באחד אחד

[27] rg. א"ב צ"ע כי כפי המשך המשלים נראה שהנכון שיאמר הדמיונים והחלק או הכפל והחלק

[28] rg. ר"ל ביחס הכפל וחצי

[29] rg. א"ב נראה שהרצון הוא כפל מה שהיה בדמיון ושליש כי לא יצדק זה בכפל ושליש במוסיפי' כי אם בחסרים

[30] rg. א"ב ר"ל שיחס כ"א אל י"ט וי"ט לי"ז וי"ז לט"ו הם יחסי הדמיון ושני חלקים והם גמורים וכן השאר

[31] rg.א"ב ר"ל שיחסי י"א אל י' וי' אל ט' וט' אל ח' הם יחסי הדמיון המוסיף חלק וכן השאר

[32] rg. א"ב ר"ל הלוח הגדול הנרשם למעלה בבתי עשר על עשר

[33] rg. ר"ל אם נקח הא' המדרגות החצי

[34] rg. ר"ל האמצעית

[35] rg. א"ב ר"ל בכח כי מספר החמשה עשר שהוא מספר המשלש החמישי אינו משלש בפעל עד שיסודרו סדור ידמה לתמונה המשלשת וישים התושבת ה' ועליהם ד' ועל הד' ג' ועל הג' ב' ועל הב' א'

[36] rg. א"ב ר"ל לפי שהאחד אינו מספר עם היותו מרבע כאשר נזכר למעלה אבל לפי שהאחד הוא הנפרד הראשון יצדק כמו כן אמרנו שמרבע האחד יתילד מדבקותו אל עצמו ואם לא יפול בזה מלת קבוץ

[37] rg. א"ב מופת זה המשפט מד' ממאמר שני לאקלידס

[38] rg. א"ב כמו כפל ב' וא' עם ד' ויגיע ט' או כמו י"ו יצורף לדמיונו י"ו ודמיון רביעיתו ד' ויגיע ל"ו או יצורף אל ד' שלשה דמיוניו והוא י"ב ויגיע י"ו או יחוסר מי"ו שלשה רביעיו שההוא י"ב ויגיע ד'

[39] rg. א"ב סבת זה כי לא יצאו אחדים באחרית כי אם מהכאת אחדי' באחדים כי מהכאת עשרות או מאות ושאר המדרגות לא יצאו אחדים וקרה שמהכאת האחדים עד ט' בעצמם היו האחדים הנשארים א' ד' ה' ו' ט' והנה תמצא שמהכאת האמצעי אשר במדרגת האחדי' שהוא ה' בעצמו נשאר ה' אח"כ הנשאר מהפאות הרחוקות מהאמצעי מרחק שוה הנה ישוו אחדי גדריהם כי אחדי פ"א שהוא מרבע ט' ישוה לאחד שהוא אחדי גדר א' וט' וא' רחוקים בשוה מן החמשה וכן אחדי ס"ד וד' למספרי ח' וב' ואחדי מ"ט וט' למספרי ז' וג' ואחדי ל"ו וי"ו למספרי ו' וד'

[40] rg. א"ב צ"ע בבחינה זו פי' במאזניהם

[41] rg. א"ב ר"ל מספר מדרגתו זוג בהתחיל מן האחד כמו ג' וי' שאינם מששים

[42] rg. כמו שתמצא ט"ו שהוא המששה השלישי הנה הוא המשלש החמישי וזה בהתחיל מן האחד

[43] rg.א"ב הם מספרי א'ד'ז'י' הנזכרי' למעלה שהתוספת ג' ג' ומה שבין שני מספרי א'ד' או ד'ז' או ז'י' הוא שנים על משך המספרי' הטבעיי'

[44] rg.א"ב ר"ל נוסף עליו הכאת חצי צלעו במדרגתו מן המחמשים

[45] rg. א"ב נראה שהוא בשלשה מדרגות ור"ל שנכה חצי הצלע והוא שנים בשלשה ויהיה ששה והם עם ששה עשר שנים ועשרים

[46] rg. א"ב המשל בזה שנרצה לדעת מעקב ג' הנה נכה ג' בד' ויהיה י"ב ונכה י"ב בשנים ויהיו כ"ד נוסיף עליו ג' ויהיה כ"ז יהיה שוה למעקבו וירצה באמרו אח"כ יתוסף אשר לפניו אשר לפני אשר ימשך אליו

[47] rg. א"ב משל זה נרצה לדעת המספר הנפרד הראשון שנתרכב ממנו המעקב השלישי שהוא כ"ז הנה תקח מספר מדרגת המעקב הזה מהמספר הראשון שבמעקבים ויהיה ב' וזה חסר ממספר מהמדרגות הראשון שהיה ג' באחד כי כשנתחיל למנות מן האחד יהיו שלשה וכשנתחיל מראשון המספרים המעקבים יהיו שנים וכן תמיד ונגרע ג' שהוא מספר המדרגות השני ממרבע ג' שהוא מספר המדרגות השלישי והוא ט' וישארו ז' והוא הנפרד הראשון אשר ממנו חבור מעקב כ"ז אח"כ נוסיף ב' על המרבע הנזכר ויהיו י"א והוא המספר האחרון משני אלו ממה שביניהם נתרכב כ"ז

[48] rg.א"ב ר"ל המספר אשר ימשך אליו והוא הוא המוסיף עליו באחד

[49] rg.ר"ל הוהיי הארך שמספר הצלעות שוה והם המרבעים

[50] rg. צ"ע כמו שורה אחת

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

@@ Line 3,915: / Line 3,915: @@
 |-
 |
-:::Hence, it is possible to say that one is also in the rank of a triangle.
+::Hence, it is possible to say that one is also in the rank of a triangle.
 |style="text-align:right;"|ואפשר לומר לפי זה שיהיה האחד ג"כ כן במדרגת משלש
 |-
 |
+::For the first pentagonal consists of four and one [<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+1=5}}</math>]
 |style="text-align:right;"|וזה כי המחמש הראשון הוא מורכב מארבעה ואחד
 |-
 |
+::Also, every measured square is divided into two triangles, therefore, it is proper that one is instead of one triangle.
 |style="text-align:right;"|וכל מרבע שעוריי יתחלק לשני משלשים ולזה מן הנכון שיהיה האחד כמו כן במקום משלש אחד
 |-
 |
+*Every hexagon is a triangle, but not vice versa.
 |style="text-align:right;"|וכל מששה משלש ולא יתהפך
 |-

Difference between revisions of "האנציקלופדיה של אבו אלצלת"

Revision as of 07:56, 21 November 2019

Contents

Book One

Introduction - Basic Definitions

Properties of the Absolute Number

Arithmetic Progression

Sums

Types of Numbers

Odd Number

Even Number

Types of Even and Odd Numbers

Types of Even Numbers

Even-Times Even

Even-Times Odd

Even-Times-Even-Times Odd

The Two - is it an even-times-even number or an even-times-odd number?

Types of Odd Numbers

Composite Numbers

Relatively Prime Numbers

Superabundant / Deficient / Perfect Numbers

Book Two

Ratios

Simple Ratios

Multiple Ratio

Superparticular Ratio

Table of Multiple and Superparticular Ratios

Superpartient Ratio

Compounded Ratios

Multiple Superparticular Ratio

Multiple Superpartient Ratio

Tables of Ratios

Producing the Ratios from Equality

Reducing the Ratios to Equality

Composing a Ratio from Two Ratios

Numbers as Geometric Shapes

Linear Numbers

Plane Numbers

Triangular Numbers

Square Numbers

Polygonal Numbers

Solid Numbers

Pyramids with Sharp Apex

Pyramid with a Triangular Base

Pyramid with a Square Base

Cube Numbers

Proportions

Notes

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Search