Difference between revisions of "משנת המדות"

Revision as of 04:39, 16 September 2019

Contents 1 [Chapter One] 2 Chapter Two 3 Chapter Three 4 Chapter Four 5 Chapter Five [Chapter One]
[1)] Geometry is determined by four ways: quadrangular, triangular, circle, and a segment of a circle.	בארבעה דרכים המדידה נקצבת ואלו הן המרבעת והמשלשת והעגלה והקשותה
This is the rule:	זה הכלל
the second [= the triangle] is half the first [= the quadrangular]	השנייה חצי הראשון
the fourth [= the segment of a circle] is half the third [= the third]	והרביעית חצי השלישית
and the rest [= the other geometrical shapes] interwoven with each other as an apron upon people	ושאר האחרות משלבות זו בזו כסינר בבריות
2) The quadrangle [is recognized] by three ways: by the side, by the diagonal, and by the surface.	ב' המרובעת בג' פנים בצלע בחוט ובגג
What is the side? it is the holder of the surface's walls, as it is said: the altar shall be square.	אי זו היא הצלע זה המחזיק דופנותיו של גג שנ' רבוע יהיה המזבח‫^[1]
The diagonal is the cutting from an angle to an angle, end to end, and it is the greater length of the surface.	והחוט זה המפסיק מזוית לזוית מן הקצה אל הקצה והוא היותר בארכו של גג
The surface itself is the area.	והגג עצמו היא המשיחה
3) The triangle [is recognized] by four ways: by the side, by the base, by the height, and by the surface.	ג' והמשלשת בד' פנים בשני בצלע בקבע בעמוד בגג
The two sides are the two that are drawn on the right and on the left, as it is said: for right and left shall you prevail [Isaiah 54, 3].	אלו הן שני צלע זה השנ' משוכים ימין ויכין שנ' כי ימין ושמאל תפרוצי‫^[2]
The base is that upon which two sides are fixed, upon which the temple is founded.	והקבע זה ששני צלעים קבועים עליו שני אשר הבית נכון עליהם
The height a perpendicular line descending from between the two sides until the base, and it is angled to the walls of the temple.	והעמוד זה חוט הכולל היורד מבין שני הצלעים לקבע והוא בזוית למקצעות המשכן
The surface itself is the area.	והגג עצמו היא המשיחה
4) The circle [is recognized] by three ways: by the perimeter, by the diameter, and by the surface.	ד' העגול בג' פנים בסביבה בחוט ובגג
What is the perimeter? it is the line that circumscribes the circle, as it is said: and a line of thirty cubits did compass it round about [Chronicles 2, 4, 2].	איזו היא סביבה הוא הקו המקיף את העגול שנ' וקו שלשים באמה יסב אותו סביב ‫^[3]
The diameter is the drawn from edge to edge, as it is said: from brim to brim [Chronicles 2, 4, 2].	והחוט זה המשוך משפה אל שפה שנ' משפתו אל שפתו‫^[4]
The surface itself is the area.	והגג עצמו היא המשיחה
5) The segment of a circle [is recognized] by four ways: by the arc, by the chord, by the sagitta, and by the surface.	ה' והקשותה בד' פנים בקשת וביתר ובחץ ובגג
What is the arc? it is the part of the circle, as it is said: like the appearance of the rainbow that is in the cloud [Ezekiel 1, 28].	איזו היא קשת החלק מן העגול שנ' כמראה הקשת אשר יהיה בענן‫^[5]
The chord is the holder of the arc, as it is said: bent bow [Isaiah 21, 15].	והיתר זה המחזיק בפי הקשת שנ' קשת דרוכה‫^[6]
The sagitta is the drawn from the middle of the arc until the middle of the chord, as it is said: they set their arrow on the bowstring [Psalms 11, 2].	והחץ הוא המשוך מאמצע הקשת לאמצע היתר שנ' כוננו חצם על יתר‫^[7]
The surface itself is the area.	והגג עצמו היא המשיחה
6) How is the area measured by number?	ו' כיצד מודדין את המשיחה במניין
Multiply one by one - it is the area, which is a cubit by a cubit.	אתה מחשב אחד על אחד זהו המשיחה והיא אמה על אמה
We find that the surface whose sides and angles are equal [= square] is measured side by side.	נמצא הגג השוה בצלעים ובזויותיו הרי אתה מונה אותם מכל צד
The rectangle that stands upon two of each side and its angles [are equal] - its measure holds 4 measures by the measure of 1, which is a cubit by a cubit.	והטבלא העומדת שנים מכל צד והזויות שנים והמדידה מחזקת ד' מונים במדת הא' שהיא אמה בתוך אמה
When it is 3 of each side - it is of [9] measures by the measure of 1	וכשהוא ג' מכל צד הרי היא בו' מינים במדת הא‫'
The same for 4 by 4.	וכן ד' על ד‫'
And 5 by 5.	וה' על ה‫'
From here on, multiply by this measure and up.	מכאן ואילך צא וחשוב במדה זאת ולמעלה
7) For those that are less than 1 - this is how you divide them:	ז' והפחותין מן הא' כך אתה מחלקן
One cubit into two diagonals, intersecting each other in the middle, from the right side to the [left] side, and from top to bottom.	אמה אחת לשני חוטין והמספיק את זה באמצע מצלע ימין לצלע ימין וכן מרום לתחת
Thus, we find the surface is divided into four sections.	נמצא הגג חלוק בד' פסקאות
You find half the cubit by half the cubit - the area itself is a part of [4] of the cubit, which is a quarter of each side.	ואתה מוצא חצי אמה על חצי אמה ומשיחה עצמה מחלק מ' אמה שהוא רבע מכל צד
The same for a third by a third, and a fifth by a fifth, for regulars or for irregulars	וכן שליש על שליש וחומש בתוך חומש בשוים ובחלופים
From here on, multiply the fractions by this measure and below.	מכאן ואילך צא וחשוב בשבורים במדה הזאת ולמטה
8) It has already been said:	ח' כבר אמרו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}}$	מחצה על מחצה הוא מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}}}$	וכן שליש על שליש הוא מתשע
For these and for similar, whether they are equal or unequal.	בהן ובדומין להן אלא בשוין ובחלופים
How do they know that this is how it is?	מנים להם אב אהוא כך
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	אתה מונה עשרה על עשרה הרי הן עולין ק‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot10=5}}$	וחצי העשר הוא ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{5\times5=25=\frac{1}{4}\sdot100}}$	ה' פעמים ה' הם כ"ה והוא רבע ק‫'
The foundation of 10 is 1, the foundation of 100 is 10, and [the foundation of] 1000 is 100.	ומעמד הי' בא' ומעמד הק' בי' ואלף בק‫'
From here on, multiply the fractions by the measure of the integers.	מכאן ואילך צא וחשוב בשבורים במדה האחדים
For integers it adds, and for fractions it subtracts.	אבל באחדים הוא מוסיף ובפחותים הוא גורע
9) This is the rule:	ט' זה הכלל
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}}}$ a half of a half	מחצה על מחצה חצי המחצה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}}}$ [a third] of a third	ושליש על שליש חצי השליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}}$ half a third	וכן מחצה על השליש חצי השליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}}}$ a quarter of a third	וכן רביע על השליש רביע השליש
For these and for similar, whether they are equal or unequal.	בהן ובדומין להן בשוים ובחלופים

Chapter Two	פרק שני
[1)] The one who wants to measure the regular or irregular quadrangular fields:	הרוצה למוד השדות המרבעות בשוים ובחלופים
Multiplies the length by the breadth, and the result is the area.	מצרף הארך על הרחב והעולה משניהם הוא הרחב המשיחה
2) For the triangle - whether regular or irregular:	ב' ובמשלשת בין בשוים בין בחלופים
Multiply the height by half the base, and the result is the area.	מצרף העומד בחצי הקבע והעולה משניהם היא המשיחה
	והרבה מבואותה בה
3) The circle how?	ג' העגולה כיצד
Multiply the diameter by itself, then subtract from it its seventh and its half of a seventh, and the remainder is the area. $\scriptstyle\left(2r\right)^2-\left[\frac{1}{7}\sdot\left(2r\right)^2\right]-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\sdot\left(2r\right)^2\right]$	מצרף החוט בתוך עצמו ומשליך ממנו שביעו וחצי שביעו והיתר היא המשיחה
as the diameter that is drawn to 7	כמו חוט שהוא משוך לז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{7^2=49}}$	וצרופו מ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{7}\sdot49\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\sdot49\right]={\color{red}{10+\frac{1}{2}}}}}$	ושביע וחצי שביע הוא
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{38+\frac{1}{2}}}$	נמצאת המשיחה ל"ח ומחצה
4) The segment how?	ד' הקשותה כיצד
Sum the sagitta and the chord together, and multiply it by half the sagitta, put them aside; then tak half the chord and multiply it by itself, divide by 14, and add the result to the reserved; the outcome is the area. $\scriptstyle\left(\rm{sagitta+chord}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{sagitta}\right)+\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{chord}\right)^2}{14}$	נותן החץ על היתר שניהם בבת אחת ומצרף אותה בתוך חצי החץ ומעמידן לצד וחוזר ולוקח חצי היתר וצורפו בתוך עצמו ומחלק על י"ד והעולה מוסיפו על העומד והעולה היא המשיחה
It has other ways.	ויש בה פנים אחרים
5) The one who wants to measure the quadrangular [body], whether regular or irregular, which has surface lengthwise, and breadthwise, six faces by number, six wings to each one [Isaiah 6, 2]:	ה' הרוצה למוד את הגג המרובע אפי' שהוא שוה אפי' הוא מחלף שהוא ארך ורחב הגג במניין שש פנים שש כנפים לאחד‫^[8]
Multiplies the length by the breadth by the height and the result is the area of the surface, which is the body.	מצרף ארך בתוך רחב בתוך העמק והעלה משלשתן היא משיחת הגג והוא הגוף
6) If it were circular, or triangular, or any other shapes, as long as its height is straight and equal:	ו' ואם היה עגול או משולש או לכל מיני צדדין מלבד שיהיה עמקו ישר ושוה
Measure its size by the said measure, to know its area, then multiply the known by the height, and this is the volume of the body.	ממה מודד הגג במדד שלו במדה שאמרו ותדע המשיחה והמודע אותה מצרפו בתוך העומק הוא משיחת הגוף
7) The conical, whose apex is sharp and base is planar, whether quadrangular, or circular, or triangular:	ז' והמשוך ראשו חד וסופו ממוצע ואפי' מרובע או שיהיה עגול או משולש
You measure the area of the [base], subtract two thirds of the area, take the other third multiply it by the height, and the result is the volume of the body, from the apex to the base.	אתה מודד משיחת הגוף והשלך שני שלישי המשיחה ואחוז השליש אחר ואתה מצרפו בתוך הקומה והעולה הוא משיחת הגוף וראש ועד סוף
8) The one who needs to measure the hill, or a spherical thing, as long as its walls are even from each side, as the hemisphere or its similar:	ח' הצריך למוד התל או דבר מקובה ובלבד שיהיו דופנותיו שוות מכל צד כחצי כדור או כדומה לו
Multiplies one of the diameters from the edge to the edge by half the other, [then multiplies the result by three and a seventh] and the result is the volume.	מצרף א' מן החוטין מן הקצה אל הקצה בתוך חצי האחד והעולה משניהם היא המשיחה
9) [The text is unclear] Prism - the prism is either drawn to its upper base, and its upper base is sharp, or drawn to half its truncated base, or any that measures its bottom base and its truncated base, which is the truncated upper base.	ט' עמוד ובעמוד אם היה משוך לראשו וראשו חד או משוך לחציו הקובה או לכל שהוא מכין בסופו ובקטועו שהוא הקטוע הראש
They are separeted from each other, as the measure of the bottom base, so one measures according to the cone calculation, subtractes the smaller from the [greater], and the remainder is the volume of the prism.	מוחלק זה מזה כשיעור הסוף ומורדו בחשבון האתרוג ומשליך הקטן מן החבל והנשאר הוא משיחת העמוד
10) How it is measured?	י' כיצד משער
For example: a quadrangular prism, its bottom base is four cubits by four cubits, rising and becoming smaller, its upper base is two cubits by two cubits, you should know: how much is its volume and how much is its height?	כגון עמוד מרבע וסופו ד' אמות בתוך ד' אמות חסר ועולה חסר ועולה וראשו שתי אמות על שתי אמות רבוע וצריך אתה לידע כמה משיחתו וכמה קומתו
It has already been said about the cone, but this one is truncated.	וכבר נאמ' באתרוג אלא שזו קטוע
Still, you do not know how much is the prism until one ends at the top.	ועדין אי אתה יודע כמה הוא העמוד עד שיכלה אחד מלמעלה
11) In number you measure: as the measure of two from four so is the height of the prism, which is half the height.	י"א במניין אתה משערת מדת שתים מארבעה כן ארך העמוד שהוא חצי המעלה
We find the whole prism until the top ends, twenty cubits, and until the section, 10 cubits.	נמצא כל העמוד עד שיכלה הראש עשרים אמה ועד הקטופה י' אמות
Thus, you have learned that the measure of two from four is as the measure of ten from twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{2:4=10:20}}$	הא למדת שמדת שנים מן הארבעה כמדת הי' מן העשרים
12) The one who needs to measure: takes a third of the sharp upper base and multiplies it by the bottom base, they are 5 and a third, multiplies it by 20, the result is 106 cubits and two thirds of a cubit, and puts them aside. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{3}\sdot4\right)\times4\right]\times20=\left(5+\frac{1}{3}\right)\times20=106+\frac{2}{3}}}$	י"ב הצריך למוד אוחז שליש ראשו חד צורף בסוף והם ה' ושליש ומצרפו בתוך כ' אז הם עולים ק"ו אמות ושני שלישי אמה ומעמידן לצד אחד
Then, he takes a third of the product of the section, 2 by 2, which is a cubit and a third, and multiplies it by the ten upper cubits, the result is 13 cubits and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{3}\sdot\left(2\times2\right)\right]\times10=\left(1+\frac{1}{3}\right)\times10=13+\frac{1}{3}}}$	וחוזר ואוחז שליש צרוף הקטופה ב' על ב' והוא אמה ושליש ומצרפו בתוך עשר אמות עליונות והם עולים י"ג אמה ושליש
Subtract them from the 106 and two thirds, [93] and a third remain, which is the [volume] of the truncated prism. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(106+\frac{2}{3}\right)-\left(13+\frac{1}{3}\right)={\color{red}{93}}+\frac{1}{3}}}$	והשלך מן ר"ו ושלישים נשתיירו שם ע"ט ושליש והוא מ"ב ומשליך אותם מן ק"ו ושלישים נשתיירו שם ש"ט ושליש והוא באת העמוד גוו הקטוע
If it were a circle: [multiply the diameter by itself], then subtract from it the seventh and half the seventh, and the remainder is the area.	ואם היה עגול השלך ממנו השביע וחצי השביע זה נשאר בו הוא

Chapter Three	פרק ג‫'
[1)] There are five ways of the quadrangulars, and these are:	חמשה פנים יש במרובעות ואלו הן
1) [Square] - its sides and its angles are equal.	ישרה בצלעותיה ובזויותיה
2) [Rectangle] - its sides are unequal and its angles are equal.	ב' ויש מי שהיא משונה בצלעותיה וישרה בזויותיה
3) [Rhombus] - its sides are equal and its angles are unequal.	ג' ויש שהיא ישרה בצלעותיה ומשונה בזויותיה
4) [Parallelogram] - its sides and its angles are unequal, the two lengths are equal, and the two breadths are equal.	ד' ויש שהיא ישרה משונה בצלעותיה ובזויותיה ושני ארכן שוין לבד ושני רחבן לבד
5) [Trapezium] - its sides and its angles are completely unequal	ה' ויש מי שהיא משונה בצלעותיה ובזויותיה כל עקר
2) [Square] - the equal in sides and angles, which is it?	ב' השוה בצלעות ובזויות איזו היא
For example: ten in each side.	כגון עשרה מן צד
Multiply the length by the breadth and the result is the area, which is 100. $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10=100}}$	מצרף ארך על הרחב והעולה היא המשיחה והם ק‫'
The one side is its one root.	והצלע האחד הוא עקרה האחד
Its two sides are its two roots.	ושני צלעותיה הם שני עקרה
The same for 3 and 4.	וכן ג' וכן ד‫'
3) [Rectangle] - the unequal in sides and equal in angles:	ג' והמשונה בצלעותיה וישרה בזויותיה
For example: [8] in two sides, and 6 in two sides.	כגון ז' בשני צלע וששה בשני צלע
Multiply the length by the breadth, which is 48, and this is the area of the one that is [un]equal in side and equal in [angle]. $\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{8}}\times6=48}}$	מצרף ארך על רחב שהן מ"ח והיא המשיחה ישרה בצלע וישרה בקו
4) [Rhombus] - the equal in sides and unequal in angles, which is it?	ד' הישרה בצלעותיה ומשונה בזויותיה איזו היא
For example: 5 in each side, two acute angles, two obtuse angles, and two diagonals intersect each other in the middle - one is eight, and the other is six.	כגון ה' מכל צד ושני זויות צרים וב' זויות רחבים וב' חוטין מפסיקין זה את זה באמצע הא' משמנה והב' מששה
The one who wants to measure, multiplies one of the diagonals by half the other, and the result is the area, which is 24 cubits, like this.	והרוצה למוד מצרף הא' מן החוטין בתוך חצי חברו והעולה משניהם היא המשיחה כ"ד אמה כזה
5) [Trapezium] - the unequal in sides and angles, the two lengths by themselves, the two breadths by themselves, and the angles are unequal - how it is calculated?	ה' המשונה בצלעות ובזויות ושני ארכן לבד ושני רחבן לבד והזויות עקומות כיצד ממחשבה
Cut it in two [triangles], from angle to angle, and calculate each by it self as the measure of the triangle, and this is the area.	אמה פוסקה שנים מזוית לזוית ומעמיד בשניים ומחשב אחד כל בפני עצמה כמדת המשולשת וכן היא המשיחה
In this way you measure the calculation of the completely unequal [= Trapezium] by cutting it in two [triangles].	וכן אתה מודד חשבון המשנה בכל עקר וכל פסקה לשנים
For any irregular quadrangular, cut it in two triangles, like this.	המרבעות המשונות עשה אותם משלישותיה המשונה בכל עקר כזה פסקה לשנים

Chapter Four	פרק ד‫'
[1)] There are three types of triangles: the right-angled, the acute-angled, and the obtuse-angled.	שלש מדות במשלשת ואלו הן הנצבה החדה הפסוחה
Which is the right-angled triangle?	איזו היא נצבה
[Pythagorean Theorem:] [the sum of] its two short sides, each multiplied by itself, is equal to the first [side multiplied by itself].	שני צדיה הקצורים מצורפים כל אחד בפני עצמו והוא שוה לראשון
For example: six on one side, and eight on the other side	כגון ששה מצד זה ושמנה מצד זה
The [sum of the] products of each of them by itself is one hundred, and the product of this by itself is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{6^2+8^2=100=10^2}}$	והעולה מאלו בפני עצמן מאה ומזה בפני עצמן מאה
The one who needs to measure: [multiplies one of] the short sides by half the other - 8 by 3, or 6 by 5 - and the result is the area. $\scriptstyle{\color{blue}{8\times\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)=8\times3=6\times\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=6\times5}}$	והצריך למוד מן הקצורים בתוך חצי חברו או ח' בתוך ג' או ו' בתוך ה' והעולה היא המשיחה
2) The angle that stands between the short sides is the right angle.	ב' והזוית שהיא עומדת בין הקצורים היא הנצבה
The [right-angled triangle] is half the unequal in sides and equal in angles [= Rectangle]	והיא חצייה של מרובעת שהיא משונה בצלעים וישרה בזויות
	המבקש לחשבה בעמוד יחשוב כדרכו והוא ששני צלעותיה הקצורים כן הם שני צלעותיה עמודיה והם דומים סמוכים ישרים
3)	ג' והעמוד המשך מהם אל צד הארוך נופל והוא מקבע
The one who wants to measure:	והרוצה למוד
Multiplies the height by half the base, and the result of the calculation is the area.	מצרף העמוד בתוך החצי הקבע והעולה מן החשבון היא המשיחה
4) The acute-angled triangle how?	ד' החדה כיצד
Each of its two short or equal sides is multiplied by itself, then both [products] are summed together.	שני צלעותיה קצורים או השוים כל אחד ואחד מצורף בפני עצמה קבועים זה עם זה
The third side, which is the hypotenuse, is multiplied by itself, and the first [sum] is greater than the last [product]. $\scriptstyle a^2+b^2>c^2$	והצלע השני שהוא הקבוע מצורף בפני עצמו הצרוף הראשון ויותר מן האחרון
	ויש מן החדה שצלעותיה ישרות
The one who wants to measure:	והרוצה למוד
	מחשב אותה כנגד הקבע
	נמצא הזויות חדות כמדת הראשון כן מדת האחרון מן החדים צלעי
5) The one who wants to know the measure of the height in an equilateral triangle:	ה' הרוצה לדעת במדת העמוד בצלעות השוות
Multiplies one of the sides by itself, [and half the other side by itself], then subtracts the smaller from the greater - the remainder is the radicand and the found is the height.	מצרף את האחד מן הצלעות בתוך עצמו ומשליך המיעוט מן המרובה והנשאר הוא היסוד והנמצא הוא העמוד
6) How it is measured?	ו' כיצד מונים
$\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100}}$	עשרה על עשרה ק‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2=5^2=25}}$	וחצי הצלע השני שהוא ה' מצורף בפני עצמו כ"ה
subtracting the smaller from the greater, the remainder is: $\scriptstyle{\color{blue}{100-25=75}}$ which is the radicand.	ומשליך הקטן מן הרב נשאר שם ע"ה והוא היסוד
Its root is 5 and a remainder.	ועקרו ה' ושירים
The one who needs to measure:	והצריך למוד
Multiplies the root by half the bottom side, and the result is the area, which is 43 and a remainder.	מצרף העקר בתוך החצי הצלע התחתון והעולה מן המשיחה שהיא מ"ג ושירים
	ז' שבעה פנים אחרות ממשולשות
equilateral triangle	השוה בצלעותיה כל צלע וצלע
	ראיה בפני עצמו את האמור של בזה ואת האמור של זה בזה
	והמבין בתפוח מצרף אחד מהם בפני עצמו שהם ק' ומשליך את הרבע שהוא כ"ה ונשאר ע"ה
	והצריך למוד מצרף ע"ה בתוך כ"ה שהם ג' רבעים ברבע כ"ה אחד והם עולים אלף ות"ת וע"ה ותופש את העיקר והוא המשיחה והוא מ"ג ושירים
	מכאן אתה מוצא שהעמוד של חצי הקבע ס"א נופל לעולם
	ח' הרי שהוצאת השוה וכן הדומה לו אבל חשבון חלופים אין לך קשת מהם בחשבון המשיחה והמדקדק בהם ישפיל ב' צלעים בין בעמוד עם הקבע
9) How it is measured?	ט' כיצד משער
For example: a scalene acute-angled triangle - 15 on one side, 14 on second side, 13 on third side.	כגון משלשת חלופים שהיא חדה בזויות ט"ו מצד ראשון י"ד מצד שני י"ג מצד שלישי
[Heron's Formula] The one who needs to measure, sums the three of them together, the sum is 42. $\scriptstyle{\color{blue}{15+14+13=42}}$	והצריך למוד מחזיק שלשתן בבת אחת עולים מ"ב
He takes its half and looks by how much it exceeds the first side, then multiplies the half by the excess, which is 21 by 6, the result is 126; he puts it aside. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)\times\left[\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)-15\right]=21\times6=126}}$	ולוקח את המחצה ורואהו כמה הוא יתר על צד ראשון ומצרף המחצה על היתר שהוא כ"א בתוך ו' והם נעשים קכ"ו ומעמידו לצד
He takes its half and looks by how much it exceeds the second side, then multiplies the excess, which is 7, by the former 126, the result is 882; he puts it aside. $\scriptstyle{\color{blue}{126\times\left[\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)-14\right]=126\times7=882}}$	וחוזר שנית ולוקח את המחצה ורואה כמה הוא יתר על צד שני ומצרף את היתר שהוא ז' בתוך קכ"ו הם הראשונים והם עולים ת"ת ופ"ב ומעמידו לצד
He takes its half and looks by how much it exceeds the third side, then multiplies the excess, which is 8, by the other 8[8]2, the result is 7056. $\scriptstyle{\color{blue}{882\times\left[\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)-13\right]=882\times8=7056}}$	וחוזר שלישית ולוקח המחצה ורואה כמה הוא יתר על צד שלישי ומצרף את היתר שהוא ח' בתוך ת"ת וכ"ב האחרים והם עולים ז' אלפים ונ"ו
Its root is 84, which is the measure of the area. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7056}=84}}$	ועקרם פ"ד והם הם שיעור המשיחה
10) The obtuse-angled triangle how?	י' הפסוחה כיצד
Each of its short sides is multiplied by itself, then they are summed together.	צלעותיה הקצרים כל אחד מהם מצורף בפני עצמו ומוסיפין זה על זה
The third side, which is the hypotenuse, is multiplied by itself.	והצלע הג' שהוא הקבע מצורף בפני עצמו
The last product is greater than the first [sum]. $\scriptstyle a^2+b^2<c^2$	הצירוף האחרון יתר מן הראשון
For example: 5 on this side, 6 on that side, 9 on the [third] side.	כמו ה' מצד ו' מצד זה ט' מצד ז‫'
One of the angles is obtuse angle.	נמצאת א' מן הזויות כסוחה ורחבה
We find the first 61: $\scriptstyle{\color{blue}{5^2+6^2=61}}$	נמצא הראשון ס"א
and the last 81: $\scriptstyle{\color{blue}{9^2=81}}$	והאחרון פ"א
The one who needs to measure:	והצריך למוד
Multiplies the height by the base.	מחשבה ברורה בעמוד עם הקבע
Or, if he wishes, he calculates according to the calculation of the sides and the half [Heron's Formula]	ואם חפץ הוא בחשבון הצלעים והמחצה מחשבה
Always one [and the same] measure.	מדה אחת לעולם

Chapter Five	פרק ה‫'
	שלש מדות בעגולה ואלו הן התלויה התלולה והשפלה
1) sphere	אי זו היא התלויה זו היא העומדת עקר ד' עגולה מכל צד כדור או שהיתה המשיחה באבטיח שהיא העגולה לסביבותיה ובלבד עגולתה בשוה ארך ורחב ועמק במדה
	כיצד מודד מצרף את החוטין
	הא' בתוך חצי עצמו והעולה היא המשיחה והכפל אותה שהן קירותיה
2) hemisphere	ב' התלולה אי זו היא זו שעומדת בחצי התלויה כתל או כמו נקובה ובלבד שתהא שוה
	והצריך למוד מצרף אחד מן החוטין מן הקצה אל הקצה בתוך חצי האחד או בתוך חצי עצמו והעולה היא המשיחה
3) circle	ג' השפלה אי זו היא זו הנתונה על הארץ כשדה עגולה או צורה עגולה
	הצריך למוד מצרף החוט בתוך עצמו ומשליך ממנו שביעו וחצי שביעו והנשאר הוא המשיחה הוא גגה
	ואם אתה חפץ לידע את הסיבוב חלילה חלילה הוא מצרף את החוט בתוך ג' ושביע ועולה כ"ב
	ואם אתה חפץ לשער את המשיחה אחוז חצי הסביבה שהיא י"א וצרף אותה בחצי החוט שהוא ג' וחצי ועולין ל'ה' ומחצה. כן בראשונה כן באחרונה הרי הוא אומר ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו אל שפתו עגל סביב ושלשים אמה קומתו שנ' וקו שלשים באמה סב. אתה סביב מה תלמוד וקו שלשים באמה וגומ' לפי שאמרו בני ארץ בעגולה שהסביבה מחזקת שלש פעמים ושבע כחוט יצא מהם שבוע אחד בעביו של ים לשתי שפתות ונותר ל' שם אמה יסוב אותו סביב ובשעור הזה אחד שוים הימים והמקואות והבורות בארך וברחב ועמק הא למדת מדה העגולה
5)	ה' ג' דברים נאמרו בקשותה ואלו הן הישרה החסרה והיתרה
semicircle	איזו היא ישרה כל שהיא עומדת בחצי העגולה לא חסר ולא יתר
segment smaller than a semicircle	החסרה כל שהיא פחותה מחצי העגולה
segment larger than a semicircle	והיתרה כל שהיא עודפת על חצי העגולה
	זה הכלל כל שחצייה עומד פחות מחצי היתר שהיא חסרה
	וכל שחצייה יותר מחצי היתר בידוע שהיא יתרה
6)	ו' הרוצה למוד את היתר הישרה מצרף את היתר בתוך עצמו כולו ומשליך ממנו שביעו והנותר משליך חציו והנמצא הוא המשיחה
7)	ז' והאחרות צריך אתה לידע כמה שיעור עגלתה
	כיצד מצרף את חצי היתר בתוך עצמו והעולה מחלקו על החץ והנמצא מן החלוק מוסיפו מן החץ והעולה הוא חוט העגולה ואוחז חצי החוט הזה ומצרף אותו בתוך חצי החץ והעולה מעמידו על צד ורואה אם היתה הקשותה חסרה משליך חצה מחצי חוט העגולה ומצרף הנותר בתוך חצי היתר ופוחת אותו מן הצד והנשאר מן המשיחה י"ח ומשליך
	ואם היתה הקשותה יתרה משליך העגולה מחצה עצמה ומצרף את הנשאר בתוך חצי היתר ומוסיף אותו על הצד והעולה היא המשיחה כמדת הראשון כן מדת האחרון
	נשלם הפרק ובהשלמתו תמה משנת המדות בעזר יודע חידות
	כלל גדול אמ' במדות מרבע ב' קוים כמרבע אלכסונה שורה נתונה נחלקת לב'. ניהוג כל השורה נצבת מחלקיה במרבע הנשאר מתוך המשלש אשר בתוך העגול אתה למד שברי העגול שבסביביו כשתעשה

München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 36/11 (IMHM: f 1166), ff. 138v-140r (Istanbul, 1485)

↑ שמות כז, א
↑ ישעיה נד, ג
↑ דברי הימים ב, ד, ב
↑ דברי הימים ב, ד, ב
↑ יחזקאל א, כח
↑ ישעיה כא, טו
↑ תהילים יא, ב
↑ ישעיהו ו, ב

[1] שמות כז, א

[2] ישעיה נד, ג

[3] דברי הימים ב, ד, ב

[4] דברי הימים ב, ד, ב

[5] יחזקאל א, כח

[6] ישעיה כא, טו

[7] תהילים יא, ב

[8] ישעיהו ו, ב

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

@@ Line 450: / Line 450: @@
 |style="text-align:right;"|שלש מדות במשלשת ואלו הן הנצבה החדה הפסוחה
 |-
-|
+|Which is the right-angled triangle?
-:Which is the right-angled triangle?
 |style="text-align:right;"|איזו היא נצבה
 |-
@@ Line 475: / Line 474: @@
 |style="text-align:right;"|<big>ב'</big> והזוית שהיא עומדת בין הקצורים היא הנצבה
 |-
-|
+|The [right-angled triangle] is half the unequal in sides and equal in angles [= Rectangle]
 |style="text-align:right;"|והיא חצייה של מרובעת שהיא משונה בצלעים וישרה בזויות
 |-
 |
 |style="text-align:right;"|המבקש לחשבה בעמוד יחשוב כדרכו והוא ששני צלעותיה הקצורים כן הם שני צלעותיה עמודיה והם דומים סמוכים ישרים
+|-
+|3)
+|style="text-align:right;"|<big>ג'</big> והעמוד המשך מהם אל צד הארוך נופל והוא מקבע
+|-
+|
+:The one who wants to measure:
+|style="text-align:right;"|והרוצה למוד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|<big>ג'</big> והעמוד המשך מהם אל צד הארוך נופל והוא מקבע והרוצה למוד מצרף העמוד בתוך החצי הקבע והעולה מן החשבון היא המשיחה
+:Multiplies the height by half the base, and the result of the calculation is the area.
+|style="text-align:right;"|מצרף העמוד בתוך החצי הקבע והעולה מן החשבון היא המשיחה
 |-
 |4) The acute-angled triangle how?
@@ Line 497: / Line 504: @@
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ויש מן החדה שצלעותיה ישרות והרוצה למוד מחשב אותה כנגד הקבע נמצא הזויות חדות כמדת הראשון כן מדת האחרון מן החדים צלעי
+|style="text-align:right;"|ויש מן החדה שצלעותיה ישרות
+|-
+|
+:The one who wants to measure:
+|style="text-align:right;"|והרוצה למוד
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|מחשב אותה כנגד הקבע
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|נמצא הזויות חדות כמדת הראשון כן מדת האחרון מן החדים צלעי
 |-
 |5) The one who wants to know the measure of the height in an equilateral triangle:

Difference between revisions of "משנת המדות"

Revision as of 04:39, 16 September 2019

Contents

[Chapter One]

Chapter Two

Chapter Three

Chapter Four

Chapter Five

Navigation menu

Personal tools

Namespaces

Variants

Views

More

Search

Navigation

Tools