Difference between revisions of "Excerpts Attributed to Immanuel Bonfils"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎Division of integers)
(→‎Division of integers)
Line 268: Line 268:
 
|style="text-align:right;"|שהאחרון שבטור השפל הוא<ref>הוא: MS L om.</ref> ט' והאחרון שבטור העליון<ref>הוא ט' ... העליון: MS P1081 om.</ref> הוא<ref>הוא: MS L om.</ref> ח' או פחות כמו בדמיוננו זה
 
|style="text-align:right;"|שהאחרון שבטור השפל הוא<ref>הוא: MS L om.</ref> ט' והאחרון שבטור העליון<ref>הוא ט' ... העליון: MS P1081 om.</ref> הוא<ref>הוא: MS L om.</ref> ח' או פחות כמו בדמיוננו זה
 
|-
 
|-
−
|MS F
+
|Table in MS Firenze
 
|
 
|
 
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
 
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
Line 328: Line 328:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|תשיב מספר ח' על הט' שלפניו ותקח לכל אחד עשרה ר"ל שנים הט' אשר לפני הח' יהיה פ"ט וראה כמה פעמים יהיה ט' שהוא המספר האחרון שבטור השפל בפ"ט ותחשוב כל כך שיהיה מספרו ד שהוא לפני הט' שבטור השפל כמספר הפעמים ההם באות הד' אשר לפני הט' שבטור הח' כאלו תאמר הנה תוכל לקחת ט' פעמים במספר פ"ט שהם פ"א ונשאר שם ח' חסרנו עם הד' שלפניו יהיו פ"ד אם תוכל לקחת ט' פעמים לזה תקח ט' ותכתבינו בטור האמצעי רחוק מן האות שלקחת החלוק ממנו שהוא ד' ט' בכמו זה המספר אשר רחק האות האחרון שבטור השפל שהוא ט' ממדרגות האחדים והם ארבע מדרגות לכן תכתוב הט' אשר יצא לך בחלוק במדרגות העשרות שהוא תחת הב' שבטור העליון אחר תשים קו תחת טור ה[שפל] אחר זה כפול אשר יצא בחלוק ר"ל ט' עם כל הטור השפל כאשר ידעת דרך הכפל ר"ל ט על ב על ג על ד על ט והיוצא מהכפל גרע מטור העליון כל מין ממינו  ותתחיל מן המדרגה הקרובה אל האחדים אם יש שם אחדים והנשאר מן הגרעון כתוב אותו על טור העליון אחר זה ישוב לחלק הנשאר בטור העליון על הטור השפל כאשר בתחלה ואחר גרע העולה מהנשאר בטור העליון וישאר הנשאר עליו אחר כן תשוב לחלק עוד אם יש שם כדי לחלק לכפול ולגרוע כדבר האמור  והסמן ח'כ'ם' ר"ל  ת'  חלוק כפל מגרעת וכן תעשה תמיד עד שישאר בטור העליון פחות ממה שהוא בטור השפל וכאשר עשיתה זה ונשאר בטור העליון פחות ממה שעומד בטור השפל ותרצה לבחון אם מלאכתך נעשית מבלי נפילת שום טעות תחבר כל טורי הכפל אשר יצאו לך מין עם מינו גם הנשאר לך בטור העליון ותנהוג החבור אשר ואם המחובר יהיה שוה למספר שיהיה לך ראשונה בטור העליון חשבונך אמיתי ואם תמצא ביניהם טעות ודוק ותשכח
+
|style="text-align:right;"|אם<ref>אם: MS L om.</ref> תשיב כל המספר ההוא אחורנית ר"ל<ref>כל המספר ... ר"ל: MS L om.</ref> מספר הח'<ref>הח': MS L ח'</ref> על הט' שלפניו ותקח לכל אחד עשרה ר"ל שעם הט' אשר לפני הח' יהיו<ref>יהיו: MS L יהיה</ref> פ"ט ותראה<ref>ותראה: MS L וראה</ref> כמה פעמים יהיה<ref>יהיה: MS P1081 הוא</ref> ט' שהוא המספר האחרון שבטור השפל בפ"ט ותחשוב כל כך שיהיה מספרו ד' שהוא לפני הט' שבטור השפל כמספר הפעמים ההם באות הד' אשר לפני הט' שבטור הח' כאלו תאמר הנה תוכל לקחת ט' פעמים במספר פ"ט שהם פ"א ונשאר שם ח' חסרנו עם הד' שלפניו יהיו פ"ד אם תוכל לקחת ט' פעמים לזה תקח ט' ותכתבינו בטור האמצעי רחוק מן האות שלקחת החלוק ממנו שהוא ד' ט' בכמו זה המספר אשר רחק האות האחרון שבטור השפל שהוא ט' ממדרגות האחדים והם ארבע מדרגות לכן תכתוב הט' אשר יצא לך בחלוק במדרגות העשרות שהוא תחת הב' שבטור העליון אחר תשים קו תחת טור ה[שפל] אחר זה כפול אשר יצא בחלוק ר"ל ט' עם כל הטור השפל כאשר ידעת דרך הכפל ר"ל ט על ב על ג על ד על ט והיוצא מהכפל גרע מטור העליון כל מין ממינו  ותתחיל מן המדרגה הקרובה אל האחדים אם יש שם אחדים והנשאר מן הגרעון כתוב אותו על טור העליון אחר זה ישוב לחלק הנשאר בטור העליון על הטור השפל כאשר בתחלה ואחר גרע העולה מהנשאר בטור העליון וישאר הנשאר עליו אחר כן תשוב לחלק עוד אם יש שם כדי לחלק לכפול ולגרוע כדבר האמור  והסמן ח'כ'ם' ר"ל  ת'  חלוק כפל מגרעת וכן תעשה תמיד עד שישאר בטור העליון פחות ממה שהוא בטור השפל וכאשר עשיתה זה ונשאר בטור העליון פחות ממה שעומד בטור השפל ותרצה לבחון אם מלאכתך נעשית מבלי נפילת שום טעות תחבר כל טורי הכפל אשר יצאו לך מין עם מינו גם הנשאר לך בטור העליון ותנהוג החבור אשר ואם המחובר יהיה שוה למספר שיהיה לך ראשונה בטור העליון חשבונך אמיתי ואם תמצא ביניהם טעות ודוק ותשכח
 
|-
 
|-
 
|
 
|

Revision as of 07:34, 28 April 2018

Table – multiplication of sexagesimal fractions (Firenze)

 לוח כפילת המעלות ושבריהם
חמישיים רביעיים שלישיים שניים שברים מעלות  
חמישיים רביעיים שלישיים שניים שברים מעלות מעלות
ששיים חמישיים רביעיים שלישיים שניים שברים שברים
שבעיים ששיים חמישיים רביעיים שלישיים שניים שניים
שמיניים שביעיים ששיים חמישיים רביעיים שלישיים שלישיים
תשיעיים שמיניים שביעיים ששיים חמישיים רביעיים רביעיים
עשיריים תשיעיים שמיניים שביעיים ששיים חמשיים חמישיים

Table – division of sexagesimal fractions (Firenze)

 לוח חילוק השברים האחד על השני
ששיים חמישיים רביעיים שלישיים שניים שברים מעלות
חמישיים רביעיים שלישיים שניים שברים מעלות שברים
רביעיים שלישיים שניים שברים מעלות שברים שניים
שלישיים שניים שברים מעלות שברים שניים שלישיים
שניים שברים מעלות שברים שניים שלישיים רביעיים
שברים מעלות שברים שניים שלישיים רביעיים חמישיים
מעלות שברים שניים שלישיים רביעיים חמישיים ששיים
דע כי האחד נחלק לי' חלקים יקראו שלמי' (שברי') ראשוני' וכל אחד מהראשוני' לי' חלקי' יקראו שלמי' (שברי') שניים וכל שניי' לי' שלישיי' וכל שלישיי' לי' רביעיי' וכן עד אין קץ
וכן אני קורא מעלת העשרו' שלמים ראשונים ולמאות שלמי' שניי' ולאלפי' שלמי' שלשיי' ולרבואות שלמים רביעיי' ולרבבות חמשיי' וכן עד אין קץ
אך האחדי' אני קור' בשמם אחדי' כי הם כאמצעיים בין השלמי' והשברי' על כן בכפל אחדי' באחדי' יצאו אחדי' מש"כ בשום מעל' אחרת
וכן אני קורא לשניי' גדולי השם מראשוני' וכן שלישיים משניי' וכן כלם בי' בשלמי' בי' בשברי' וכן באמ' חבר שם שניי' עם שם שלישיי' יצא חמשיי' וכן כלם
וכן באמ' גרע שם ראשוני' משם שניים ישאר ראשוני'
ואם משם ראשונים לא ישאר דבר ויכפול במעל' האחדי' בי' בשלמי' בי' בשברי'
ואם הנגרע גדול השם מאשר גרעון ממנו כגון שתגרע רביעיי' משניי' אם הם בשברי' יצאו שניי' שלמי'
ואם הם בשלמי' יצאו שברי' שניים וכשתכפל שלמי' בשלמי' או שברי' בשברי' חבר שם המדרגו' ושם יפול הנכפל וכשתכפל שלמי' בשברי' אם הם שוים בשם יפול הנכפל באחדי'
ואם לאו גרע שם הקטן מן שם הגדול ושם יפול הנכפל [..] בצד הגדול בשם הנשאר אחר הגרעון
כאלו תכפול ג' שלמי' שניי' בב' שברי' שביעיי' תגרע ב' מז' וישאר ה נמצ' יעלה הכפל ו' שברי' חמשיים
ואם ג' שברי' שניי' בב' שלמי' שביעיי' יהיה הנכפל ו' שלמי' חמשיים
וזו לך צורה לזה כשתחלק מספר על מספר ושניהם שלמי' או שניה' שברי' אם שם מדרגותיה' שוה תפול החלוק באחדי' לעולם
ואם שם העליון גדול מהתחתון גרע שם התחתון ממנו וכמספר הנשאר תפול החלוקה בצד ההו' ר"ל אם הם שלמי' שלמי' ואם שברי' שברי'
ואם שם התחתון גדול גרע העליון ממנו וכמספר הנשאר תפול החלוק בהפך הצד ר"ל בשברי' אם החולק והנחלק שלמי' ובשלמי' אם הם שברים
ואם האחד שלם והשני שברי' יהיה שם מדרגותיהם שוה או בלתי שוה חבר שמות המדרגו' יחד וכמספר המחובר יהיה שם הנופל בחלוק לצד שבו היה המספר העליון ר"ל המתחלק אם שלמי' בשלמי' ושברי' בשברי'

Multiplication of integers (Firenze)

 דמיון על דרכי הכפל
רצינו לכפול קכ"ז על שנ"ה וכתבנו בטור העליון קכ"ז ובשני השפל שנ"ה וזה צורתו
א ב ז
ג ה ה
  ב ד ח ה
  ז א 0  
ג ה ה    
המחובר
ד ה 0 ח ה
כפלנו ז' על ה' והוא ל"ה כתבנו ה' במעלה הראשונה כנגד ז' ושמרנו הג' כדי לצרף אותה אל המעלה השנייה
עוד כפלנו ז' על ה' השני התחתון עלו ל"ה חברנו הה' עם הג' ששמרנו ועלו ח' ושמנו ח' במעלה השנית תחת ב' מטור העליון והג' שמנו במעלה השלישית תחת הא' מטור העליון עם היוצא מכפל אותה המעלה
עוד כפלנו ז' הראשון על הג' התחתון עלו כ"א חברנו א' עם הג' ששמרנו והיו ד' וכתבנו ד' תחת הא' במעלה השלישית וב' במעלה רביעית
עוד כפלנו ב' האמצעי העליון על ה' הראשון מן הטור השפל עלו עשר כתבנו ציפרא בשינית וא' בשלישית תחת הג' שבטור השפל
עוד כפלנו ב' העליון על הה' השני התחתון עלו עשר חברנו י' עם הא' ששמרנו והיא י"א שמנו א' בשלישית וא' שמרנו ברביעית
עוד כפלנו ב' על ג' והיו ששה חברנו הו' עם הא' והיו ז' וכתבנוהו ברביעית
עוד כפלנו א' על ה' הראשונ שבטור השפל וכתבנו ה' בשלישית
עוד כפלנו א' על ה' הראשון שבטור השפל וכתבנו ה' בשלישית
עוד כפלנו א' על ה' השני וכתבנו ה' ברביעית
עוד כפלנו א' על ג' וכתבנו ג' במעלה החמישית נשלם כפל החבור
נבוא לחבר היוצא מכפל שני הטורים ונכתוב ה' לכח במעלה הראשונה וח' בשנית וד' וא' וה' עולים עשרה נעשה 0' בשלישית ונשים נקודה ברביעית להיות לזיכר בעבו' העשרה
ואחר נחבר ב'ז'ה' והם י"ד ואחר השמור הרי ט"ו נשים ה' במעלה הרביעית ונקודה בחמישית
נחבר אחד עם הג' ויהיו ד' ונכתוב ד' במעלה החמשית נשלם החבור
המאזניים מן הכפל על חש' ט' ט'
הנה חשבנו חשבון הטור העליון כאילו הם אחדים והיו עשרה כזה הדרך השלכנו התשעה ונשאר א' וכתבנוהו בצד הטור העליון
א
א ב ז
ג ה ה
ד
אחר כן חשבנו הטור השפל ומצאנוהו עולה י"ג הפלנו הט' ונשארו ד' וכתבנום בצדו אחד
ואחר כפלנו א' על ד' והיה ד' ושמרנום
ואחר חשבנו המחובר והיה זה ה ח 0 ה ד ועלה כ"ב השלכנו י"ח שהולך לתשיעיות ונשארו ד' והוא שווה לכפל מאזני שני הטורים ואז ידענו שחשבונינו אמתי
והכלל הוא כי כשאחד ממדרגות הכפל הולך לתשיעיות הן העליון הן השפל היוצא מחבור הכפל ראוי ללכת בתשיעיות ואם לאו אינו צורך
ואם אינו הולך לתשיעיות כל אחד משניהם תכפול העודף משני טורי הכפל זה על זה וראה מה שיעדיף על תשיעיות אם ה' אם ו' אם ז'
ר"ל תראה מה שיעלה הטור העליון ותכפלהו על מה שיעלה הטור השפל כאלו יהיה בעליון ד' ג' שעולה ז' ובתחתון ג' ב' שעולה ה' תכפול ז' על ה' עולה ל"ה נשאר על תשיעיות שהשלכת ח' וכן יהיה בחבור בלי פחות ויתר כאשר תעיין כמה חבור הכפל וכמה יעדיף על תשעה
ואם בין הטור העליון והשפל לא יעלה הכל ט' תפיל העליון על השפל וראה מה שיעדיף על תשיעיות וככה יהיה החבור אם הכפל יצדק ואם לא יצדק תם

Division of integers

 ביאור החלוק עשאו ה'ה'ר' עמנואל בן יעקב ע"ב בעל הכנפיים
כלל שעשה החכם הגדול ר עמנואל בן יעקב למצוא דרך קל לכל חשבון קראו חכם
אמר[1] כשתרצה לחלק מספרים רבים על מספרים רבים כמה שיהיו[2] תשים המספר שתרצה לחלקו והוא היותר גדול בטור אחד כל אחד כפי מעלתו והוא[3] יקרא הטור העליון
והמספר השני שתרצה לחלק עליו והוא היותר קטן תשים בטור[4] אחר תחת טור[5] העליון כל מין תחת מינו ר"ל אחדים תחת אחדים עשרות תחת עשרות ומאיות תחת מאיות[6] וזה הטור[7] יקרא הטור השפל[8]
וריוח תשים בין שני הטורים שהזכרנו כדי שתוכל לכתוב ביניהם העולה בחלוק וזה הטור[9] יקרא הטור האמצעי[10]
וכאשר תחל לחלק חשבונך ותחשוב כל המספרים כאלו הם אחדים תראה כמה פעמים יהיה המספר האחרון שבטור השפל כמספר האחרון שבטור העליון
ובאופן שיהיה מספר הפעמים ההם השיני לאחרון שבטור השפל[11] ר"ל לפניו בשני לאחרון שבטור העליון לפניו
וכן בשלישי[12] לאחרון שבטור השפל לפניו כשלישי לאחרון שבטור העליון לפניו[13] וכן כלם כסדר הזה
ואותו מספר[14] שיעלה[15] עם האופן הקודם ר"ל מספר[16] הפעמים[17] אשר[18] יהיה המספר האחרון שבטור השפל במספר האחרון שבטור העליון תכתוב בטור האמצעי[19] ר"ל בין הטור העליון והשפל ותכתוב המספר ההוא[20] רחוק מן המספר[21] האחרון שבטור העליון אשר תקח[22] ממנו החלוק כמו המדרגות אשר רחק המספר האחרון שבטור[23] השפל ממדרגות[24] האחדים
ודע לך[25] שאם לא[26] תוכל לקחת[27] שום פעם[28] המספר[29] האחרון שבטור השפל כמספר האחרון[30] שבטור[31] העליון כאלו תאמר דרך משל
ח ט ד ג ב א
        ט  
    ט ד ג ב
שהאחרון שבטור השפל הוא[32] ט' והאחרון שבטור העליון[33] הוא[34] ח' או פחות כמו בדמיוננו זה
Table in MS Firenze
הנשאר לחלק
0 ו ה ו ד ה
המחולק השני
ג ה 0 ד ד א
מגיע לכל חלק לפי ערך החילוק
ח ט ד ג ב א
        ט ג
  ט ד ט ג ב
הטור העליון ורק הוא המחולק ראשון
הטור האמצעי והוא החילוק
הטור השפל והוא המחלק
הכפל מאות ראשונה מן החלוק עם המחלק
הכפל מאות שנייה מן החלוק עם המחלק
הנשאר לחלק כדי לצרפו עם כל טורי הכפל לעשות המאזניים
ח ה ד ג ח ח  
0 ב ח ד ז ט ו
0 0 ו ה ו ד ה
אם[35] תשיב כל המספר ההוא אחורנית ר"ל[36] מספר הח'[37] על הט' שלפניו ותקח לכל אחד עשרה ר"ל שעם הט' אשר לפני הח' יהיו[38] פ"ט ותראה[39] כמה פעמים יהיה[40] ט' שהוא המספר האחרון שבטור השפל בפ"ט ותחשוב כל כך שיהיה מספרו ד' שהוא לפני הט' שבטור השפל כמספר הפעמים ההם באות הד' אשר לפני הט' שבטור הח' כאלו תאמר הנה תוכל לקחת ט' פעמים במספר פ"ט שהם פ"א ונשאר שם ח' חסרנו עם הד' שלפניו יהיו פ"ד אם תוכל לקחת ט' פעמים לזה תקח ט' ותכתבינו בטור האמצעי רחוק מן האות שלקחת החלוק ממנו שהוא ד' ט' בכמו זה המספר אשר רחק האות האחרון שבטור השפל שהוא ט' ממדרגות האחדים והם ארבע מדרגות לכן תכתוב הט' אשר יצא לך בחלוק במדרגות העשרות שהוא תחת הב' שבטור העליון אחר תשים קו תחת טור ה[שפל] אחר זה כפול אשר יצא בחלוק ר"ל ט' עם כל הטור השפל כאשר ידעת דרך הכפל ר"ל ט על ב על ג על ד על ט והיוצא מהכפל גרע מטור העליון כל מין ממינו ותתחיל מן המדרגה הקרובה אל האחדים אם יש שם אחדים והנשאר מן הגרעון כתוב אותו על טור העליון אחר זה ישוב לחלק הנשאר בטור העליון על הטור השפל כאשר בתחלה ואחר גרע העולה מהנשאר בטור העליון וישאר הנשאר עליו אחר כן תשוב לחלק עוד אם יש שם כדי לחלק לכפול ולגרוע כדבר האמור והסמן ח'כ'ם' ר"ל ת' חלוק כפל מגרעת וכן תעשה תמיד עד שישאר בטור העליון פחות ממה שהוא בטור השפל וכאשר עשיתה זה ונשאר בטור העליון פחות ממה שעומד בטור השפל ותרצה לבחון אם מלאכתך נעשית מבלי נפילת שום טעות תחבר כל טורי הכפל אשר יצאו לך מין עם מינו גם הנשאר לך בטור העליון ותנהוג החבור אשר ואם המחובר יהיה שוה למספר שיהיה לך ראשונה בטור העליון חשבונך אמיתי ואם תמצא ביניהם טעות ודוק ותשכח

Extracting roots
אמר החכם הנז': אחר שבארתי דרך החלוק על הדרך היותר קל שיאפשר מצורף מה הזכרה מרוב דרכי המספר כמו חלוק כפל מגרעת גם החבור בבחינה אמרתי לבאר ולהודיע דרך קל למצא שרשי המרובעי' מהמספרי' שיש להם שורש אמיתי או היותר קרוב מהמספרים שאין להם שורש אמיתי הן מהמספרים שלמים לבדם הן מהמספרים שיש להם שברים עם השברים הן מנשברים הם וכלליהם ודקדוקיהם ויהיה גם בזה מהזכרה בשאר דרכי החשבון ומזה אתחיל ואומר
דע כי במעלות האחדים יש שלשה מספרים מרובעים ר"ל ששורשיהם שלימים וידועים והם אחד ששורשו אחד ארבעה ששורשו ב' ותשעה ששורשו ג
ובמעלה שינית אין בו מספר מרובע רק חבור אחדים כי עשרה אינו מספר מרובע לא כ' ולא ל' מ' נ' ס' ע' פ' צ' אין בהם שום מספר מרובע רק עם חבור האחדים יש בו ו' מרובעי' ר"ל שנשיב מספר העשרות ונחברם עם אחדים כמו י"ו ששורשו ד' כ"ה ששורשו ה' לו ששורשו ו' מ"ט ששרשו ז' ס"ד ששורשו ח' פ"א שרשו ט'
וכל מעלה ממעלות המספר שמספר מדרגתה נפרד כמו שלישי' חמישי' שביעי' תשיעי' וכן לאין תכלית דומה למעלו' האחדים
כאלו תאמר דרך משל במעלות האחדי' המאיות שהיא שלישית יש בה ג' מרובעי' מאה שדומה לאחד ששורשו עשרה ד' מאות שדומה לד' ט' ט' שרשו עשרי' הדומה לשני' ט' מאות שדומה לט' ששורשו שלשי' שדומה לג'
וכן כל מעלה שמספר מדרגתה נפרד כמו חמישי' ושביעי' ותשיעי' וכן לאין קץ וכל מעלה מדרגתה זוג כגון רביעית שישית שמיני' עשירית וכן לאין תכלית והיא אשר תקרא מעלת זוגות רצה כמעלת העשרות שיש ששה מרובעים עם חבור עשרות מאיות ר"ל שנשיב כל אלף אלף אחורנית לעשר מאות ותחבר כל מה שנמצא במאיות כמו אלף ושש מאות הדומה לשש עשר ששרשו ארבעי' הדומה לארבע ואלפי' וחמש מאות הדומה לעשרים וחמישה שורשו חמישים הדומה לחמשה וג' אלפי' וו' מאות הדומה לל"ו ושרשו ו' וד' אלפי' וט' מאות הדומה למ"ט ששרשו ע' הדומה לז' וו' אלפי' וד' מאות הדומה לס"ד ששרשו שמונים הדומה לח' וח' אלפים ומאה הדומה לפ"א שורשו צ' הדומה לט' וכן כל מעלה שמספר מדרגתה זוג כמו רביעית שישית שמינית עשירית עד אין קץ

וזה הכלל כל מרובע של מעלה נפרדת הו' א' . ד' . ט' ושרשם א' ב' ג' וכל מעל' זוגיי' שרש מרובעיה ו"א . ה"ב . ו"ג ט"ד . ד"ו . א"ח . ושרשם ד' . ה' . ו' . ז' . ח' . ט' ואבל אי' מעלת השרשי' לעול' הסמוכה לה וכה תדע מעלת מקו' השרש לעולם ראה במספרי' מעל' נפרדת להשיב השרש רחוק מהמרובע אחורני' מספר מעלו' כמספר מעלו' שירחק מהאחדי' והמשל מצאנו ד' במעל' תשיעי' כזה 0 0 0 0 0 0 0 0 ד הנה ידענו כי זה המספר מרובע כי הו' מעלה נפרד' ודומ' לאחדי' ובאחדי' ד' הו' מרובע . ושרשו הו' ב' א"כ גם זה שרשו ב' . ומקומה של הב' ראויה להיות ממוצעת בין מעלת האחדי' ומעלת המרובע והיינו בחמשית וכן מספרי' הזוגו' מאחר שצריך לך לעול' לחבר עם המרובע אחדי' מהמעלה שלפניו וצריך להשיב מעלת הזוג אחורנית לחשבה בעשרו' ויהיו שם במעלה נפרדת . עשה ג"כ כנ"ל ושים השרש באמצע . 0 0 0 0 0 0 ו ג כאלו תאמ' מצאנו ו' ג' . במעל' ח' והי' זוגיי' ודומה לל"ו שבעשרו' שהו' מרובע ושרשו ו ו' א"כ גם זה שרשו ו' . וצרי' להשים הו' בין תחלת המספר המרובע ובין האחדי' באמצע דהיינו במעל' ד' שהו' רחוק מהאחדי' ג' מעלו' וכן הו' רחוק מהמעל' הה' אשר שם החל מספר המרובע והילך מעשה ידיע' השרש הקדו' או האמתי . כתו' המספר הדרוש שרשו בטור אחד כפי מעלותיו המשל בזה שמטהו ה' מעלו' כזה והנה ידעת מהנ"ל שזה המספר נפרד ודומ' לאחדי' ר"ל הה' ושרש היותר קרו' בה הו' ב' שהו' שרש ד' הקרוב לה לפניו ומקו' הב' כנ"ל הו' במעל' ג' תחת הג' . ראה מעתה כמה מעלו' עברו מהאחדי' עד מקו' הב' שהי' שרשך ושם החל לכתו' גלגלי' כמספר המעלו' ההם כאלו תאמ' מהאחדי' עד הב' יש ב' מעלו' לכן נכתו' תחת הקו ב' גלגלי' מתחילי' תחת הב' בעצמ' והולכי' לשמאל אח"כ נכתו' העול' מכפל ב' על ב' שם והו' ד' . אח"כ גרע הד' מהה' של מספר הדרוש וישאר א' וכן כתו' א' ממעל לה' והעבר קו סביב הה' כי אי' בה צורך עוד . ומעתה נשאר לדעת השרש היותר קרוב מהב' . וזה יצטרך לקחת לכל מה מספר שתוסיף על השרש כפל אותו מספר על פעמים זה השרש שהו' הב' במשלינו במעל' המאות . וגם כפל המספר ההו' על עצמו . ומופת זה כי אנחנו הנחנו מספר מרובע של ד' רבואו' א"כ שרשו ב' מאו' כמ' שראית . ושרשו הוא מספר הצלע האחת מהמרובע בעצמ' כי ב' מאו' אמ' ארך על ב' מאו' אמ' רחב ימצא בם ד' רבואו' אמו' של אמה על אמ' ונניח שנוסיף על שרש זה המרובע ג שלשי' ויהיה צלע אחד של המרובע ר"ל נמצא שתשים ל' רצועו' כל אחת של מאתים אמ' ארך וא אמ' רחב דהיינו רצועה אחת של מאתים על ל' ותחברנה בצלע אחד מהמרובע כאלו תאמ' למזרחו ויהיה המרובע אז ארכו יתר על רחבו ארכו ר"ל ורחבו ר' . אח"כ הוספת עוד רצוע' ל של ד' על ל' אז לדרומו של המרובע ויהיה רחבו ג"כ ר"ל . וא"כ כבר הוספת על זה השרש כפל ל' על ד' פעמי' פעם א' המזרח ופעם א' הדרום . ופי והו' הו' כפל ל' על ת' . ועדיין חסרה קרן זוית בזה המרובע והי' הקרן דרומי' מזרחי' אשר לא תתמלא רק אחר שומך שם מרובע ל' על ל' ואז ישוב מרובע שוה הצלעו' שרשו [.]ל' [...] והיוצא מזה שתכפול מה שתרצה להוסיף עליו [..] אח"כ על ב' פעמי [.............................................] [....................] צריך להוסיף עליו [.............................................................] ל"ד שהו' ב' פעמי' י"ז . ונשוב לכונתינו ונאמ' אחרי שמצאת [...................................] על מקומ' גם חסרונ' מרובעה של הב' מה"ה ונשאר א' שוב מעתה הוסיף על השרש מהמספר הנשאר והו' א' ב' ג' ד' א' ככל מה שתוכל וזה הדרך תלך בו . קח השרש שמצאת [ב'] פעמים ר"ל כפול אותו עם ב' אם הו' ג' כתו' ו' ואם [.] ו'א' ובדמיוננו הו' ב' לכן כת'[...] במעלתו ד' . וחלק מעתה המספר העליון על הד' וראה כמ' פעמי' ימצא [.] בא' הא[.....] עם הד' שלפניה כשתשיבנה אחורני' ויהיו י"ד . הוי או' ג' פעמי' ימצא . וצריך לראו' אם ימצא ג"כ למלאת הקרן [..] והו' ט' וו שהו' כפל 0"ג על 0"ג כי אם לא היה אפשר . לא הייתי לוקח רק ב' והנה בדמיוננו נוכל לקח[ת] ג' ונכתו' מעת' ג' קדם הב' לימינ' . וז ושוב לעשו' כנ"ל והו' זה . ראה כמ' מעלו' מהאחדי' עד ה[ג'] והנה הי' אחת לכן כתו' תחת הקו במעלה ב' דהיינו תחת הג' ההי' גלגל אחד . אח"כ כפול ג' על עצמו ויצא ט' כתבהו במקומו תחת הקו לשמאל הגלגל היחיד שעשית תחת הג' [...] כפול הג' על הב' הד' שיהי' ב' פעמי' השרש ויעלה ב"א וכתבם במקומ' אחרי הט' תחת הקו כי הג' הי' ממעל' העשרו' והד' מהמאו' וכפל עשרו' במאו' יעלו אלפי' לכן תחל לכתו' הב' תחת [מעלת] האלפי' והא' תחת הרבואו' . אח"כ גרע זה מהמספר העליון כל מין ממינו דהיינו הא' מן ה[.......] ישאר והב' מהד' ישאר ב' ולפי שלא נוכל לקחת אז הט' מהג' לכן נשיב א' אחורני' ונכתו' א' ונקח הט' מהא' המושבת אחורני' על הג' שהם י"ג וישארו ד' וכן נכתו' ד' . ונכתו' זה למעלה מהטור העליון איש איש על מעלתו כמו שתראה בדמיונינו זה והעבר קו על ג"ד ועל א' כי אי' בם צרך והנה מצאת שרש הקרו' ר"ל עו' תרצה להגדיל המרובע והשרש כי יש עוד מספר רב מן המספר הראשון הדרוש כי נשאר לך עדיין א' ב' ד' א' . לכן חלקהו על הג' ותראה כמה פעמי' ימצא ג' ב . ושוב מעתה לכפול גם הג' בב' ויהיה ו' . כתבה תחת הג' . ומעתה חלק המספר הנותר מהדרוש על כפל כל השרש והו' ו' ד' . דהיינו ת"ס כי השרש הו' ר"ל . וראה כמה פעמי' ימצא ד' בי"ד והנהו ג' פעמי' . כתו' ג' לפני הג' ב' של השרש ותחת הא' . וכפול מעתה ג' על עצמו ויהיה ט' כתבה תחת הקו ותחת הג' האחדית * ולפי שהג' אינ' רחוקה * ויהי[ה] דבר ממעלת האחדי' ע"כ אין צרי' לשים שום גלגל . עוד כפול הג' בשרש ב' פעמי' שהם ו' ד' ותמצא ח' ג' א' . כתבם על מקומ' דהיינו שתתחיל אצל הט' למטה . ויהיה המספר היוצא מכפל ג' על עצמו ועל השרש פעמים . ט ח ג א . וזה המספר גרע מאשר נשאר לך מהמספר הדרוש והו' והנה חסר א' מא' לא ישאר כלום עוד חסר ג' מד' ישאר א' ולפי שלא נוכל לקחת ח' מב צריך להשיב זו הא' אחורנית ולא ישאר כלו' בזאת המעל' ג"כ חסר ח מב'א' ר"ל מי"ב ישאר ד' ועו' צרי' להשי' אחורני' א' מהד' נשאר ג' וכן תכתו' עו' חסר ט' מא"א והו' י"א וישאר ב' וכתבה במקומ' והעבר קו על א"ב ד"א כי אי' בם צורך עוד

ולך לדעת כי השורש שיהיה באיזה מספר שיהיה יפול במעלה האמצעית שבמספר המדרגות
כאלו תאמר דרך משל יש לנו ד' במדרגה השביעית שהיא מעלה נפרדת כמו בזאת הצורה 0 0 0 0 0 0 ד שרשו כ כמו שבארנו וראוי לכתוב ב' במעלה רביעית כמו הע[..] הצורה שהיא למעלה האמצעי' ר"ל שיש לפניה ג' מדרגות וכהנה לאחריה וכן תבין בשאר המעלות הנפרדות וגם במעלה הזוגית כמו שבארנו אין בה שום מרובע אם לא בהשיב כל אחד מהמספר האחרון שבמע' הזוגית אחורנית ולעשות מכל אחד עשרה ולחבר הכל עם מה שבמעלה שלפניה ואז ראוי לקחת השורש ואז ישובו מספרי המעלות נפרד וכל נפרד יש לו מעלה אמצעי' וראוי לכתוב השורש היוצא במדרגה האמצעי' ר"ל רחוק ממדרגה הראשונה האחרונה שילקח מהם השורש כאשר מרחקו מן האחדים ומפני כי האחדים עומדים בעצמם ובמקומם יהיה שורש האחדים בטור האחדים
והענין אחר שהשורש רחוק מהמדרגה שלוקח ממנו כאשר ירחק השורש מן האחדים [.] לא רחקו דבר מהאחדים
ואחר שהקדמתי לך אזכירך להזכירך מספר המרובעי' אשר במדרגה הראשונה שהם [א] ד ט ושרשם א ב ג ובמדרגות העשרות יש ו' מרובעים והם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א ושרשם ד ה ו ז ח ט ויהיה זה ידוע אצלך וכבר הודעתיך [כי דינה כדין] האחדים והזוגית דינה כדין העשרות
ועתה אורה לך דרך זו תלך בידיעת שרש כל מספר שתרצה אם יש להם שורש אמיתי אם היותר קרוב לפניו אם אין לו שורש הנה תכתוב המספר שתרצה לדעת שרשו בטור אחד איזו מדרגות שתהיינה ותאמר תחלה שתהיינה ה' מדרגות דרך משל הנה המעלה האחרונה היא נפרדת ודינה כדין האחדים כזה
לכן נדמה מספר האחרון כאלו ה' אחדים הנה שורשו היותר קרוב לפניו הוא ב' שהוא ד' לכן נכתוב ב' באמצע שהוא שורש תחת אות ג' וירשום קו תחת הב' עם מעט כדי שנוכל לכפול האותיות היוצאות מן האחדים ולכן ראוי לכתוב גלגלים כמספר המדרגות לפניה ונכפול אות הב' שהוא השורש בעצמה והנה ראוי לכתוב הכפלה רחוק לאחריה כאשר היא רחוקה מן האחדי' ב' המדרגות ואחר השתי גלגלי' נכפול הב' בעצמה ויהיה ד' ובין תבין בכל התחלה הכפולה וזכור לך זה ואחר גרע העולה מהכפל המספר הראשון מן עם מינו כאשר ידעת דרך המגרעת והנשאר יהיה על הטור העליון אחר זה תכפול השורש בשנים ר"ל שאם היה ג' תכפול תחתיו ה' והמב ואם היה ד' ח' ובדמיונינו זה שאם היה ב' תכתוב ב תחתיה ד' והוא שורש הכפל תחלק הנשאר על אות הד' ותקח ממנו כל מה שתוכל לקחת מרובע המספר היוצא מן החלוקה כאלו תאמר בדמיונינו זה הנה נשיב הא' אחורנית כי לא נוכל לקחת ד' ממנו והשיבו ה עם הד' אחורנית עם הד' שלפניה ויהיה י"ד ונאמר כמה פעמי' ד' בי"ד הנה נקח ג' כי מהנשאר לפניו תוכל לקחת ג' פעמי' ג' שהוא מרובע היוצא מן החלוקה ונכתוב ג' לפני השורש הראשון ונכפול ג' על עצמה ראשונה ועל השורש הכפול כמשפט הכפל ותתחיל לכתוב זאת האות הנופלת כנגדה ותעשה ראשונה גלגלים כאשר אות הג' רחוקה מן האחדים והוא גלגל אחד ראשונה כנגד הג' ואחר נאמר ג' פעמי' ג' הם ט' ואחר נאמר ג' פעמי' ד' הם ב' א' ואחר נגרע זה הטור הנכפל מהנשאר למעלה מין מן מינו כמשפט המגרעת והנשאר ישאר למעלה בטור העליון אחר תכפול זאת האות השינית מהשורש שהוא ג' בשניים ונכתוב ו' תחתיה ונשוב לחלק כל הנשאר למעלה על כל השורש הנכפל שהוא הכפל ו' ד' ונקח כל מה שנוכל באופן שנוכל לקחת באחרונה מרובע היוצא מהחלוקה כאלו תאמר בדמיונינו זה הנה נשיב הא' אחורנית כי לא נוכל לקחת ד' ממנו ויהיה י"ד ונאמר כמה פעמי' ד' בי"ד ונקח ג כי מהנשאר נוכל לקחת ג' פעמי' ג' ומהנשאר אחר זה נוכל לקחת ג' פעמי' ג' ונכתוב ג' לפני הו' והיא במעלת האחדים ונכפול זאת הג' ראשונה על עצמה והיא ט' [לי?] ונכתבנה כנגדה שאות הג' היא במדרגת האחדים אחר נכפול ג' על ו' ואחר ג' על ד' ואחר נגרע העולה מהכפל מהנשאר למעלה והנשאר ישאר למעלה וישאר ל"ב והשורש ג ג ב ונשלם ביאורו
אך אתן לך כללים מתחלפים יש צורך בידיעתם במעשה השרשים
הכלל הראשון כאשר לקחת השורש הראשון מהמספר האחרון אשר בידך אם היא מדרגה נפרדת או מהקודם לאחרון אם היא מדרגה זוגית ראוי לכתוב השורש ההוא במדרגה האמצעי' כאשר הראיתיך ותקח כל מה שתוכל ואם לא תוכל לקחת דבר מהמקום ההוא הראשון ולקחת מהשיני לו ג"כ תכתיבנו רחוק מהמקום שתקח ממנו החלוק כאשר ראש השורש הראשון רחוק מן האחדים ולכן ראוי לכתוב גלגל במקום שלפני השורש הראשון וקודם לזה הגלגל תכתוב היוצא מן החלוקה
הכלל השיני כאשר תשוב לחלק הנשאר מהמספר אשר בידך על כפלו השורש לא תקח המספר האחרון שלקחת ממנו ראשונה ואף כי ממספר שאחריו ואף כי האפשר לקחת בו מפני שכאשר לוקח ממנו השורש הקרוב והוא א ראשונה כבר לוקח ממנו הראוי בדמיונינו זה והנה לקחנו השורש הקרוב והוא א' וכתבנוהו במדרגה האמצעי' שהיא תחת הט' השניה וגרענו א ממספר האחרון שהוא ג' והנה נשאר ב' על הג' ונכפול אות הא' והוא ב' ולא נאמר לראות כמה פעמים יהיה ב שהוא כפל השורש במספר ב הנשאר במספר הראשון והוא ב מאשר נוכל לקחת פעם אחת ב' מב' וגם נוכל לקחת מרובע א' מהנשאר זה אין ראוי לעשות ומפני זה מהראוי לכתוב זה הא' היוצא רחוק מהמספר שלקחנו ממנו החלוק כאשר אות הג' הנכתב ראשון נכתב במספר הזה וכבר לקחנו כל המצטרך במדרגה ההיא ולכן נשיב הב' אחורנית על הט' שלפניה ויהיה כ"ט ונאמר כמה פעמים יהיה ב' שהוא כפל השורש במספר באופן שנוכל לקחת מהמדרגה אשר שלפניה מרובע המספר היוצא מהחלוקה ודי בזה מזה הכלל והוא נמשך עם הכלל השלישי
הכלל השלישי כאשר שבת לחלק מספר הנשאר על השורש הכפול לא תטרח בעצמך לראות אם תוכל לקחת עשרה פעמים המספר המחלק במחולק כמו שנאמר בדמיונינו שלמעלה מזה נראה כמה פעמים יהיה ב' במספר כ"ט ונאמר [שמ] שיהיה בו עשר פעמי' זה אי אפשר כי לא נוכל לקחת מהמדרגה שלפניו עשר פעמי' עשרה ואין ראוי לטרוח בזה וכן הדין בענין החלוק
הכלל הרביעי מאשר אמרנו בכלל השיני כי כאשר נשוב לחלק הנשאר על כפל השורש שלא נשוב לקחת מן המדרגה אשר לקחנו ראשונה זהו כאשר היה שכפלנו השורש לא נוסף העליו מדרגה כמו כמו אם כפלנו ב היה ד באותה מדרגה וכן ג וכן ד אמנם אם היה השורש ה או ו או ז או ח או ט הנה כשכפלנו זה השורש נתוספה בשורש מדרגה אחת כאלו תאמר היה השורש ו עשרות הנה כפל השורש ב עשרות ומאה הנה נתוספה השורש מדרגה אחת ולפי זה כאשר תשוב תקח מהמדרגה אשר לקחת ממנו המש[..] ותכתבינה ג"כ רחוקה מהמספר האחרון כאשר [...] ה' השורש כפול רחוק מהאחדים וזה מה שרצינו לבאר

Squares

 כלל בבחינת המרובעים
הנה כאשר יהיה בידך מספר ותרצה לבחון אותו אם הוא מרובע תוכל לבחון אותו עם המרובע הקודם לו לפניו ועם המרובע הקודם לו לאחריו ראשונה עם המרובע הקודם לו לפניו תחשוב המרחק שבין המרובע שעבר ובין המרובע אשר בידך חלק המרחק ההוא על כפל שורש המרובע שעבר פחות מן האיפשר על המעט שתוכל גרע מהמרחק ההוא היוצא ואם היוצא לך מחלוק המרחק על כפל השורש שעבר עם מרובע המספר היוצא מן החלוקה שוה אל המרחק אשר בידך לא פחות ולא יתר הנה המספר מרובע ואם לא הנה טעית
ותוכל לבחון גם כן עם המרובע הקודם לו לאחריו תחשוב המרחק שבין מספרך ובין המרובע העתיד חלק המרחק ההוא על כפל שורש המרובע העתיד ותתן אלו יותר על האיפשר על המעט שנוכל נדע המרחק ומרובע המספר היוצא מהחלוקה בחלוק
ואם העולה מהחלוק עם מרובע המספר היוצא שוה למרחק עם מרובע המספר היוצא הנה המספר מרובע ואם לא הנה טעית

Division of sexagesimal fractions

 כאשר תרצה לחלק חשבון מעלות ודקים ושניים על חשבון אחר יותר קטן או יותר גדול
תקח חשבון הטור התחתון והוא החשבון אשר עליו יחלק חשבון הטור העליון ותשבר הכל אל מין השבר היותר קטן אשר בו ר"ל שאם השבר היותר קטן אשר בו הוא שנים תעשה מהכל שניים ואם שלשים תעשה מהכל שלשים וכן על זה הדרך
ואחר כן קח חשבון הטור העליון והוא החשבון אשר יחולק על חשבון הטור התחתון נשבר אותו אל מין השברים שיהיה רחוק ממין השברים ששברת בו התחתון כמו שיהיה מרחק המין שתרצה שיצא לך החלוקה מן המעלות ר"ל שאם שברת חשבון הטור העליון למין השניים ותרצה שיצא לך בחלוקה התחתון שלישיים הנה תשבר חשבון הטור העליון למין חמשיים שהוא רחוק מן השניים שלשה מדרגות כמו מרחק השלישיים מגדר המעלות ואז יצא בחלוקה שלישיים
ואם תרצה לדקדק עד שיצא בחלוקה רביעים תשבר חשבון הטור העליון לששיים שהוא רחוק מהשניים ארבע מדרגות כמו מרחק הרביעים מגדר המעלות ואז יצא בחלוקה רביעים וכן על זה הדרך
וכן אם שברת הטור התחתון לשלישיים ותרצה לדקדק עד שיצא לך בחלוקה רביעים תשבר חשבון הטור העליון לשביעים שהוא רחוק משברי הטור התחתון ארבע מדרגות כמו מרחק הרביעיים מגדר המעלות ויצא לך בחלוקה רביעיים
ואם תרצה לדקדק עד שיצא בחלוקה חמישיים תשבר חשבון הטור העליון לשמיניים שהוא רחוק משברי הטור התחתון חמש מדרגות כמו מרחק החמשיים מגדר המעלות ויצא לך בחלוקה חמשים וכן על זה הדרך

Extracting roots of sexagesimal fractions

 וכן אם תרצה למצוא שורש חשבון איזה שיהיה בידך ממעלות וראשונים ושניים כפי מה שיהיה
דע לך עד כמה שברים תרצה לדקדק שיצא בשורש ר"ל אם רביעיים או חמישיים או ששיים או אי זה מין אשר תרצה לדקדק שיצא בשורש תקראהו מן השורש ואחר זה תתיך כל החשבון אשר בידך אל מין השברים אשר יהיה רחוק ממין השורש כמו מרחק מין השורש מן המעלות ר"ל שאם מן השורש רביעים תתיך החשבון לשמיניים ומה שיצא יהיה רביעיים ואם מן השורש חמשיים תתיך החשבון לעשיריים ומה שיצא בשורש זה יהיה חמשיים וכן על זה הדרך
והכלל שתכפול מן השורש בשמו המכונה לו כפלה פשוטה שאם יהיה שנים תתיך לרביעיים ואם יהיה שלישיים תתיך לששיים ואם יהיה רביעיים תתיך לשמינים ואם יהיה חמשיים תתיך לעשיריים

Multiplication of sexagesimal fractions

 אמנם בכפלת חשבון עם חשבון
תתיך הטור העליון אל המין השבר היותר קטן אשר בו וכן הטור התחתון תתיך אל מין השבר היותר קטן אשר בו והיוצא בכפלה יהיה מין השבר יקרא בשם המחובר משני הטורים ר"ל שאם תכפול שניים עם שניים יהיה היוצא רביעיים ואם שניים עם שלישיים יהיה היוצא של חמשיים
כאשר יהיה המרובע הנמשל פחות מהמספר המבוקש צריך שנקח החלוק מספר היותר גדול שנוכל שיעלה בחלוקה המרחק כאשר יחוסר ממנו מרובע מה שיעלה בחלוק
וכאשר תוסיף על המרובע הנמשל כמו הכפל עם מרובע מה שיעלה בחלוק הוא המרובע היותר קרוב על המספר המבוקש

וכאשר תוסיף על שורש המרובע הנמשל מספר מה שיעלה בחלק הוא שרשו

וכאשר היה המספר המבוקש פחות מהמרובע הנמשל צריך שנקח החלוק מספר היותר קטן שנוכל שיעלה כמו המרחק מחובר עם מרובע מה שיעלה בחלוק
וכאשר תגרע מהמרובע הנמשל כמו הכפל כאשר יחובר ממנו מרובע מה שיעלה בחלוק הוא המרובע היותר קרוב אל המספר המבוקש
וכאשר תגרע משרש הנמשל מספר מה שיעלה בחלוק הוא שרשו
המרחק הוא המרחק שבין המרובע הנמשל ובין המספר המבוקש
הנכפל הוא מה שיעלה מכפלת מספר מה שיעלה בחלוק עם כפל שורש המרובע הנמשל כי יהיו שני מרובעים מתחלפים יחס המחובר מכפלת אחד מן השרשים על האחר אל המרובע הראשון כיחס המרובע השני אל המחובר
דע כי האחד נחלק לעשרה חלקים יקראו שברים ראשונים וכן כל ראשון נחלק לעשרה חלקים יקראו שניים וכן לאין תכלית וכן אמרתי להזכירך כי הנני קורא למעלת העשרות שלמים ראשונים ולמאיות שברים שלמים שניים וכן לאין תכלית
אמנם מעלת האחדים אני קורא אותם בשמם אחדים לפי שהאחד הוא אמצעי בין השלמים והשברים ולזה כשתכפול אחדים עם אחדים יצאו אחדים
וכן אני קורא המעלות שהם גדולות השם גדול השם רצוני בזה שלישיים אני קורא יותר גדול השם משניים לפני ששלישיים נגזר משלשה ושניים נגזר משניים וכן רביעיים יותר גדול משלישיים וכן חמשיים יותר מרביעיים וזה הוא בשלמים ובשברים
וכן כשאומר חבר שם זה עם שם זה או גרע שם זה משם זה רצוני בזה חבר שניים עם שלישיים ויהיו חמשיים
ואם שם שניים עם שם שניים יהיו רביעיים
וכן באמרי גרע שם שניים משם שלישיים שלישיים ישארו ראשונים ואם שם שניים משם שניים לא ישאר דבר ויפול במעלת האחדים וזה הוא בשלמים ובשברים
וכאשר תגרע שם גדול משם קטן כאמרי גרע שם רביעיים משם שניים הן בשברים הן בשלמים יבא במעלת השניים לצד האחר שאם תגרע שם רביעיים בשברים משם שניים גם כן בשברים יפול במעלת שלמים שניים
כשתכפול מספר על מספר ושניהם שלמים או שניהם שברים חבר שם המדרגות ושם הוא הנכפל בשלמות בשלמים או שניהם שלמים ובשברים אם שניהם שברים ואם האחד שלמים והאחר שברים אם הם שוים בשם הנה יפול הנכפל במעלת האחדים
ואם שם האחד גדול משם האחר גרע השם הקטן מהגדול וכמספר השם שישאר שם יפול הנכפל בשלמים אם השלמים היותר גדול או בשברים אם שם השברים יותר גדול
כשתחלק מספר על מספר ושניהם שלמים או שניהם שברים ושם מדרגותיהם שוה הנה החלוקה יפול במעלת האחדים לפי שכאשר תגרע שם זה משם זה לא ישאר דבר ויפול במעלת האחדים
ואם העליון יותר גדול השם מהתחתון גרע שם התחתון מהשם העליון והמספר שם הנשאר יפול החלוקה בצד ההוא בשלמים אם היו שלמים או בשברים אם היו שברים
ואם התחתון יותר גדול מהעליון גרע שם העליון משם התחתון וכמספר שם הנשאר יפול החלוקה בהפך הצד ר"ל בשברים אם היו שניהם שלמים או בשלמים אם היו שניהם שברים
ואם האחד שלמים והשני שברים ושם מדרגותיהם שוה או בלתי שוה חבר שם המדרגות וכמספר שם העולה בשברים אם העליון שברים או בשלמים אם העליון שלמים שם יפול החלוקה

אמר עמנואל בן יעקב לפי שמעשה החלוק יותר קשה למתלמדים ממעשה הכפל והיא הדרך לשאר החשבנים החכמים להוציא המספר האחד הנעלם איזה שיהיה מתוך ידיעת החמשה מספרים הנשארים ויעשה בזה שני כפלים ושני חלקים בדרכים שונים ראינו לבאר להוציא הנעלם מתוך ידיעת החמשה הנשארים ויעשה בזה שלשה כפלים וחלוק אחד ואומר ראשונה לתת קצת אותות אל זה המעשה הנה יחס א' אל ב' מחובר מיחס ג' אל ד' ומיחס ה' אל ו' וכבר התבאר מתמונת כ"ג מששי אקלידיס שיחס השטח ההווה מן ג' בה' אל השטח ההוה מן ד' בו' מחובר מיחס צלע ג' אל צלע ד' ומיחס צלע ה' אל צלע ו' אם כן יחס ו' אל ב' כיחס השטח ההווה מן ג' בה' אל השטח ההווה מן ד' בו' ויהיה שטח ג' בה' מספר ז' ושטח ד' בו' מספר ט' אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ט' אם כן נכפול הקצות שהם א' בט' ויהיה ל' ונחלק ל' על האמצעי והוא ב' ויעלה הז' שהוא האמצעי האחר או נחלק ל' על האמצעי והוא ז' ויעלה ב' והוא האמצע האחר או נכפול האמצעיים שהם ב' בט' ויהיה ל' ונחלק על הקצה

ברוחב הנה [......] הזאת פחותה מחצי הכדור כגון עגולת [....] שעמקה שתי אמות ורוחב עגולת [....] שורש מ' והוא [....] ושליש [.......] ואתה יודע ש[.......................................] מפני שעמקה פח[ות] ממחצית רוח[.....] ואם אתה מוציא [..............] כאשר למדת תמצא [....] כפול שנים שהם עומק הבריכה שהוא [....] בז' שהוא קוטר הכדור יהי[ה] י"ד כפול [.....] פעמים ושביעית פעם יהיו מ"ה והוא משיח[ת] שטח הבריכה כפ[.]ל[................] והוא אחד ושתות [.....] בז' ושליש והוא תשבורת [....] הבריכה ואם היה עמק הבריכה ה' אמות ורחב[......] גדר ארבעים [....] [........] ואם אתה כופל העומק בקוטר יהיה ל"ה נכפילה בג' ושביעית יהיה ק"י והוא משיחת שטח הבריכה כפולה בש[....] הקוטר יהיה קכ"ח ושליש והוא תשבורת רבוע [....]



אמר טעם החלוק הם שניים א שנכפול בדרך הכפל מה שיצא בחלוק על הטור השפל שמחלקים עליו תחבר עם העולה מה שנשאר לחלק [.....] דבר ואם המחובר שוה למספר הטור המחולק עשינו נכונה הב' שנכפול מאזני מה שעלה בחלוק עם [.....] הטור השפל ונקח ממנו העולה ואם נשאר דבר לחלק נחבריהו עמו ואם הוא שוה למאזני הטור העליון חשבונינו אמת והטעם למאזנים הראשונים כי בחשבון המחולק [....] החשבון שמחלקים עליו כשיעור אחד מה שיעלה בחלוק הוא מספר מה שימנה המספר שמחלקים עליו למספר גדול המחולק לזה הכה זה על זה ויצא המחולק

Sums (London)

 שער המחברת לדעת כמה המחובר [...] מספרי' ממספר ידוע עד [סוף] מספר
כאלו תאמר רצינו לדעת המחוברים מאחד עד עשרה כמו א עם ב הם ג ג עם ד הם ז ותרצה לדעת בקצור אם הם זוג כמו עשרה ונוסיף עליו א ותקח חצי העשר שהם חמשה וכפול החמשה על הי"א והוא המספר האחרון ואם נפרד כמו מאחד עד שבע תוסיף על ז אחד ויהיו ח' ותקח חצי המספר והם ד וכפול הד על הז והוא המכוון
וכן תעשה בכל מספר קטן או גדול [..] נפרד
אם תרצה לדעת ערך נעלם כמו שתאמר ערך ד אל ו כערך ח אל הנעלם ותרצה לדעת האמצעיים ו על ח יהיו מח ותחלק המספר הראשון שהוא ד על המח ויעלה לך חלק מ"ח והוא הנעלם
אמר אברהם מצאתי דרך אחר שהמוסיף על מרובע סוף החשבון שרשו ולוקח חצי בעולה שם ימצא המחובר והדרך הזה יורה להבין הפך השאלה
דמיון שאל שואל חברתי מספרים עלו תס"ה כמה יהיה סוף החשבון כלל זה תקח בידך היוצא מחודך כפול לעולם החשבון המחובר והשורש תקח מן המרובע כלו' [..] הנכפל שעבר ובחן אותו כ"א נשאר בין המרובע ובין הנכפל כמו שורש בלי תוספת ומגרעת תדע כי החשבון והשורש הוא המבוקש והנה כפלנו תס"ה על(ה) תתק"ל ידענו כי מרובע שעבר הוא ט מאות ושרשו ל' שהם המספרי' המרובעי' ואין בין המרובע והנכפל כ"א ל' ועל כן תבין כי נכון מה שחשב והמבוקש ל'

Word Problems
MS London
שאלה אדם עבר על מאה אנשים אמר להם שלו' לכם מאה איש ענו אין אנו מאה איש אך אנו ואחרים כמונו ומחציתינו ורביעיתינו ועמך נהיה מאה
נקח להם אחד נוסיף להם עוד אחד הנה נוסיף להם מחציתו הנה שנים וחצי נוסיף רביעיתו יהיה ג רביעי' ובעבור שהם רביעיות נוספות על השלמי' נשים גם השלמי' לרביעיות ויהיו ה וג רביעיות הנה יא ובעבו' כי אמר שיהיו יהיה מספרם עם התוספת ס"ט לבד אותו שדבר עמהם נחלק הס"ט שברים לרביעי' ויהיו שצו נחלקם על יא יהיו ל"ו וככה מספרם
שאלה ארבעה קונים חפץ אחד

אחד אמר לחבירו כל אחד יתן החצי אשר בכיסו ואני אתן כל מה שיש בכיסי ואקנה החפץ
והשיני כל אחד יתן שליש כל מה שבכיסו ואני כל מה בכיסי ואקנה החפץ
והשלישי אמר כל אחד יתן הרביע ואני כל מה שבכיסי ואקנה החפץ
והרביעי אמר כל אחד יתן חומש ואני כל מה שבכיסי ואקנה החפץ
כמה ערך החפץ וכמה לכל אחד בכיסו

ערך החפץ מ"ו דינרי' לראשון טו פשוטי' ולשיני כג דינרי' וט פשיטי' לשלישי לא דינרי' ג פשיטי' לרביעי לה דינרי'
ע"א להגיע עד חצי שליש ורביע החפץ יז פשיטי' לאחד ה לשנים יא לשלישי יג
שאלה אדם מכר יג מדות בכג פשי' כמה מדות יתן בז פש'
ערך ז אל כג כן ערך הנעלם אל יג נכפול הקצוות שהם נודעים יהיו צא נחלקם על כג יעלו ג מדות וכב חלקי' מכ"ג במדה
ועוד נהפך הענין שנרצה לדעת בכמה יתן לו ז מדות
והנה נעשה הדמיון הזה נכפול הקצוות יהיו קסא נחלקם על יא והיו יב פשיטי' וה חלקי' מיג בפשיט
אם שאל בכמה יתן ז מדות יהיה ערך הנעלם בכג אל כג כערך ז אל יג
שאלה אדם הולך בכל יום כט מילין אחר י' ימים נסע השני ההולך בכל יום לז מילין מתי ישיגהו
כפול ה' המילין שהולך בי' ימים יהיו ר"צ נחלקם על היתרון שיש בין שני המהלכים שהוא ח' והנה ל"ו ימים ורבע יום הנה כערך י' ימים אל הנעלם כן ערך היתרון שהוא ח' אל כ"ט
שאלה בכמה ימים יכלה מהלך ק על ידי שני מהלכים של יט ושל יז זה לקראת זה
וקל לדעת כי הוא כערך מחובר שניהם אל קו וחלקם עליו יהיה כ וכח מלו כמו כן בכ ימים וכח מלו ביום יכל ישהו לכלות וכח מלו הם ז תשיעיות היום
ואם תרצה לדעת כמה שעות הם ידוע הוא כי שעות היום יב והנה ז אל ט כן ערך הנעלם אל יט
שאלה אדם עם ג שיתן לראשון ה זהובים ויעבוד לו כ ימי' ולא רצה לגמור כל העבודה ואמר לשיני שיתן לו ד' ולא רצה לגמור אמר לשלישי שיתן לו ה ולא רצה ג"כ לגמור אמר לשלישי שיתן לו ה ולא רצה והלכו שלשתן ועשו הכל ביניהם והשוכר נתן לאחד אחד שוה
הנה זה דומה לשאלת המחליף אך נשים הזהובים המחולקי' לפועלי' במטבעות והעבודה הנשכרת היא הזהוב והמורה הוא ס ומחובר החלקי' מז והנה כערך מז אל ס כן ערך הזהוב אל הנעלם והנה החלק השוה זהו' אחד ויג ממז בזהוב אחר נבקש ערך כל אחד ב'
והנה בעל הג הם ו ימי' וב שלישיות היום
ובעל הד' בזהו' אחד ה ימים
ובעל הה' בזהוב אחר ד ימי'
והנה של ג' עובד בשביל ח חלק העולה לו במז כערך יג אל מז כן ערך הנעלם אל כ שהוא מספר שעות עבודתו בזהו' אחד
ושל ד כערך יג אל מז כן ערך הנעלם אל מח
ואם תחבר כל העולה בזה יעלה המחובר כ ימים
שאלה אדם אמר לבשל עשרה מדות מתירוש עד השאיר שליש לאחר שנתמעטו ב והיו ח נשפך ב והיו ו ושאל השואל כמה יהיה ראוי לישאר מן העומד לכ' לפנינו אם יבא לבשלו עד שיהיה כמשפט הראשון לפי מה שהתחיל כי ידוע שנתמעטו מג' ושליש והנה כערך ו אל ח כן ערך הנעלם אל ג ושליש
שאלה רומח מחציתו שלישיתו במים רביעיתו בעפר וגלוי ז אמות כמה גבהות כלו
הנה המורה יב נכסה ממנו חלקיו אלה יהיה הגלוי ה והנה כערך ה אל י"ב כן ערך ז אל הנעלם
שאלה אדם צוה לתת כ פשוט לכ בני אדם אנשים ונשים ובנים לאיש נתן ב פשיט ולאישה מחצה ולבנים [...] כמה לאיש
לח' אנשי' יו פשיטי' לח בני' ב פשיטי' לד נשי' ב פשי'
שאלה אדם אמר לעבדו קח ל פשיטי' וקנה לי ל עופות אווז ב פשיטי' שליו מחצה פרגיות פשיט כמה יהיו מכל מין
ו פרגיות ח אווזות יו שלוים
שאלה דג יש לו טו אצבעות בגודל גופו לבד ראשו וזנבו וראשו מחזיק שלישית כל הדג והזנב מחזיק רביעיתו כמה מחזיק כלו עם הראש והזנב
ל"ו אצבעות שלישיתו י"ב והרביעית ט כפל החשבון שלישי' ורביעי' ותמצא כך
שאלה גנב הולך סכום אחד והרודף יום ראשון א ויום שיני ב וכן ויוסיף כל הימי' ב' כאשר יגדלו הסכום כפל הגנב ובתוך כך תפל אחד ובתוך כך סכום ימים ישיג הגנב בכל סכום שילך כמה בכל יום
שאלה שמעון הרויח שביעית ממנו היום ולמחר הרויח מן הכל חמישית ויום שלישי מן הכל שלישית והתחבר י' דינרי' ונשאל כמה הממון המורה [..]
שאלה לשקול ביא אבני' ס' [..] גם בי"ח טבעות לשכירות לד שנים וב חדשי' יצא בכפל למשקל וכן תעשה בטבעות א ב ד ח י"ו וכפול עד שיעלה החשבון ובאבנים יצא בשלישות א ג ט כז

Glosses on Abraham Ibn Ezra’s Book of the number (P1026; London)
ובעל ספר יצירה
פי' בעל כוונת ספר יצירה להודיע איך נברא האדם בתחבולה אחת מין הנבראים
ואמ' שיצטרכו בו ג' עניני'
הספר הוא הכתיבה כי בכחות האותיות יורו בו באותיות יעשה היצירה
וספר הוא המנין כי ההרכבה והמזגה לא תעשה רק במספר שבאחד מהם יהיה בו מיסוד האחד כפל האחר
וספור כי חכמי חכמה זו הניחו שהם יורידו כח אשר נתן כח בהרכבה ההיא עד שיעשה פעל הכח בלתי מדבר אבל לא מדבר כי זה לא יתכן אלא לאל ית'
בעבור
מלת בעבור נמשכת עד אמרו למטה על כן כל מאזני כל מספר
ספר הוא המרוכב
וספר הוא המספר כמו אחר הספר אשר ספרם
וספור הוא הדבור באחדים
בכלל הגבוה
פי' הקרוב לו לפניו
והנשאר הוא המבוקש
פי' שהשלישית הנכפל על השלישית יצא תשיעית

אם כן בכפלנו שליש המספר על שלישו יצא לנו תשיעית מרובע הדרוש וכאשר לקחנו כמוהו בכלל הגבוה ממנו יצא לנו עשרה דמיוני תשיעית המרובע
אם כן כשחסרנו מזה מרובע השליש שהוא תשיעית המרובע ישאר שוה למרובע הדרוש

והמחובר הוא הדרוש
פי' אעפ"י שלא זכר המחבר דרך זו רק בהוצאת המרובעים יתכן זה בכפל כל שני מספרים בעלי שליש כמו י"ב וי"ח
אנו נכפול שליש האחד והוא ד' בשליש השני והוא ו' ויעלה כ"ד נגביההו מעלה אחת ויהיה ר"מ הסיר כפל השני שלישיות שהוא כ"ד ישארו רי"ו והוא כפל י"ח על י"ב
ואם שהם נעדרי השליש ומוסיפין אחד כמו י"ג י"ט נעש[ה] כן נוציא סך החשבון לי"ב וי"ח ויעלה רי"ו ולפי שכל אחד מהמספרים מוסיף אחד על השליש נוסיף י"ב וי"ח ואחד ועלה רמ"ז וזהו כפל י"ג בי"ט
ואם היו שני המספרים חסרין אחד בי"א וי"ז נעשה החשבון בי"ב וי"ח ויעלה רי"ו ובעד חסרון האחד נגרע י"א וי"ז ואחד מן רי"ו וישאר קפ"ז והוא כפל י"א בי"ז
ואם האחד מוסיף אחד והשני חוסר אחד בי"א וי"ט או י"ג וי"ז נעשה החשבון בי"ב וי"ח ויעלה רי"ו הנה אם היו י"א וי"ט התוספת הוא י"א והחסרון הוא י"ח אם כן החסרון רב על התוספת ז' חסרם מן רי"ו וישאר ר"ט והוא הדרוש
ואם היו י"ג וי"ז הנה התוספת הוא י"ז והחסרון י"ג אם כן התוספת רב ה' נוסיפם על רי"ו והיה רכ"א והוא הדרוש
ואם הן כמו י"ח וי"ג נוסיף על רי"ו י"ח והיה רל"ב והוא הדרוש ואם הן י"ח וי"א נגרע י"ח מן רי"ו וישאר קצ"ח
דמיון רצינו לכפול כ"ט על ל"א
פי' דמיון אחר ברצותנו לכפול כמשל ח' על י"ב שמרחקם מי שהוא כלל מספר שוה והוא ב' נכפול י' על עצמו והיה ק' נחסר ממנו ד' שהוא מרובע ב'
ובאור זה שכפל ח' על י"ב הוא כפל ח' על י' ועל ב' וכפל י' על י' הוא כולל כפל י' על ח' ועל ב' וכפל י' על ב' הוא כולל כפל ח' על ב' וב' על ב' נמצא יתרון י' על י' מן ח' על י"ב הוא ב' על ב'
ומזה תבין לכל המשלים האחרים וזה מתמונת ו' ממאמר ב' לאיקלידיס
וכן ההנהגה בכל שני מספרים מתחלפים אך כי לא יהיו כללים שנוסיף על המספר היותר קטן חצי יתרון שבין שני המספרים ונרבעהו ונחסר מהמרובע מרובע חצי היתרון והנשאר ישוה להכאת אחד משני המספרים באחר
אך זה החכם בא להקל ולא להחמיר ולזה לא באר במספרים שמרחקן מחשבון כלל מספר שוה
ודע כי אם יהיו שני מספרים לכפול
פי' כי אם תרצה להכות ב' על מ' אין כאן הכאה רק ממדרגה האחת על האחרת אך אם יהיה לנו מספר על שני מספרים או שנים על שנים אז צריך לכפול המעלות זו על זו כפי מנין המספרים
אתה צריך
פי' אמ' זה בשלוח אעפי שלפעמים יתכן בפחות מזה כי כן אמר למעלה ואם הם שנים על שנים צריך לעשות זה ד' פעמים ואחר כן באר שאפשר בפחות וגם בזה אפשר בפחות ובין
כאלו הם אחדים
פי' וסבת זה כי כל כלל יוסיף אחד על תשיעיות וכן שנים על שנים וכן כלן אם כן לנו שנחשב אחד לכל כלל וסבת זה היות ט' מספרים וסוד החשבון והכא אחדיהם הוא כולל והוא אמרו בראש הספר על כן היו מאזני המספר ט'
לא יקבל שנוי
פי' כי השנוי יבא מצד ההרכבה והאחד פשוט כי מהיותו אחד
לא יקבל רבוי כי א' על א' הוא א'
ולא חלוק כי אם תחלקהו יהיו שנים
והוא סבת כל שנוי כי בהרכבת שני ענינים יבא השנוי וכן במספר
כפי מעלתו
פי' אחדים כנגד אחדים ועשרות כנגד עשרות
ופחות מהמספר
פי' שהמספר המחולק ראוי להיות יותר גדול מהמספר המחלק כי זה כמו המדה עם הנמדד
וזה ביותר נכון לא מחויב כמו שיתבאר בחלוק השברים שנחלק חמש תשיעיות על שלם
ולא הגיע למעלת האחדים
פי' שהיוצא בחלוק לא הגיע למעלת האחדים שאם היה כן כבר יצא לחוץ ולא יקבל עוד החלוקה שכבר נתך המחולק אל מספר יותר קטן מהמחולק עליו
ובאמרנו לא יקבל החלוקה ר"ל בשלמים אך בשברים יקבל החלוק ובין
כי לא יצא לחוץ
פי' התכת המחולק עד שיגיע למספר יותר קטן מהמחולק עליו יקרא יציאה לחוץ
שאם נחלק [..]יצא לחוץ ממעלת האחדים ויהיו שברים אשר העשרה מהם הוא אחד שלם יקראו ראשוניים וכן כל ראשון יחלק לי' שניים והוא לא כיון רק בחלוק שלמים על שלמים
ולעולם נחזור אחורנית
צ"ע מה הביאו לזה כי יותר נכון ונקל לחסר ביושר
האחד כנקדה
פי' כי הנקדה כיסוד לעגול כי המקוה לעגול טרם הקוותו יניח מוצק עליה יכונן רחב העגול וכן האחד הוא יסוד המספר ולכן לא יתכן לחלק כמו הנקדה מצד שהוא אחד ואולם מצד ההוה כל כלל בשם אחד עם היותו מורכב מאישים רבים כמו הגוף המורכב מד' ליחות ומשאר אברים מתדמי החלקים ומהיד והזרוע ושאר אברים הכליים והנה הוא בלי ספק יתכן בו התפרקו לחלקו חוץ לשכל יתחדש בו הדבור בעבור זה החליטו החלוק הפשוט להעשותו בו בשכל כי חוץ לשכל אי אפשר בשום פנים
עוד פי' כל זה הצעה לחלוקת האחד לשברים וכמו שהנקדה היא דבר בלתי מתחלק וכל הקוים יוצאים ממנה כן האחד ולזה לא היה ראוי לחלק
מורכב משטחים
פי' אין כונתו שהגוף הרכבה מזגיית משטחים ולא מקוים ונקדות כמבואר בספרי הטבע אך כונתו באמרו שטחים התכליות המקיפות ורבים בגוף האדם כמו הגלגלת יקיפהו שטח אחד וכן אברים רבים והגוף יקרא אחד
והוא דומה לנפרד
פי' שכשתחבר הנפרדים על הסדר יולידו מרובעי מספר הנפרדים כי א' הוא מרובע א' וא' עם הוא מרובע ב' וא' עם ג' וה' הוא מרובע ג' וזה אחד מסגלת המספר
הוא חצי שמינית
אם תחלק הנכפל על מרובע המורה יהיה היוצא מהחלוקה שלמים
ואם לא יתחלק ר"ל שיהיה מרובע המורה יותר גדול מהנכפל או יתחלק וישאר שלא יתחלק יהיו שברים נקראין בשם המרובע ואם תחלק הנכפל על המורה יהיה היוצא שברים נקראין בשם המורה ומה שלא יתחלק יהיו שברי שברים נקראין בשם המורה ובין
ויהיה כלל זה מסור בידך אחר שתדע המורה ומרובעו והנכפל תחלק המרובע על הנכפל או תחלק הנכפל על המורה
רק אלמד דרך קצרה
פי' כי לפי מה שאמרנו למעלה היה צריך לעשות מורה אחד לכלן בכפל האחד על האחר כי הסבה מענין המורה הוא למצא מספר שיהיו בו כל חלקים אלו
עוד באמת לא היה צריך לקחת ששיים כי די לו בשלישיות וזה נכפול על ה' יהיו ט"ו עוד נכפול זה על ז' יהיו ק"ה עו' נכפול זה בח' יהיו תק"מ והוא המורה נבקש המספר ראשון שהוא ב' שלישית רביעית החמשית יהיו ר"ח כי החמשית הוא קס"ח ורביעיתו מ"ב ושתי שלישיותיו כ"ח וזהו החשבון הראשון וידענו ששמיניתו ק"ה ושביעיתו ט"ו והשש שביעיות הם צ' נכפול כ"ח על צ' יעלה אלפים ת"ק חלקנום על תת"מ שהוא המורה ויעלה ג' שהן חלקים מהתת"מ שלמים והן חמשית שביעית השמינית שהשמינית ק"ה ושביעיתו ט"ו וחמישיתו ג' והוא הדרוש
וצ"ע בדמיון שלקח החכם כי יותר ראוי לקחת הדמיון בקטן המספר שאפשר
גם צ"ע למה הוצרך לבאר שאחר שיש לנו ששיות אין צריך לשלישית כאלו היה צריך לחלק ששית
החמשית והתשיעית ארבע
צ"ע איך לקח דרך זה הראשון כי לא ימשך בכל המספרים וזה שנאמר לקחנו שלישית הממון וחמשיתו ושביעיתו כמה הוא מערך הממון ולפי דרכו יהיה כן נחשב כאלו הן ג' שביעיות שהוא השבר היותר פחות אחר נכפול מה שבין השביעית והשלישית שהוא ד' על מה שבין החמישית והשלישית שהוא ב' ויעלה הכפל ח' ונעשה מהחמשה שביעית אחת ויהיו ד' שביעיות וישאר ג' ונחברם עם ב' שהוא היתרון שבין שלישית לחמישית והיה ה' ולפי זה יהיה הערך ה' שביעיות ויעלה ע"ה לפי שהמורה ק"ה ולפי הדרך שני שהוא האמתי יהיו ע"ה חלקים מן ה'
עו' צ"ע איך אמ' בדמיונו שהשלשה היו ג' חמשיות שביעית התשיעית והוא אמר תחלה נעשה מן הו' תשיעית אחת
ויש בזה דרך אחרת נכונה רק שיהיה הדלוג בשברים שוה כמו ד'ה'ו' ה'ז'ט' והוא לקחת מקום הג' מינין ג' שברים ממין האמצעי ואחר יוכפל מרחק הקצוות כמרחק הדלוגים והמחובר הוא הדרוש
דמיון ערך ד' וה'
פי' וזה יתבאר כי מרובע הקו כלו שהוא י"ו שוה לשני מרובעי י"ב וד' בתמונת ד' מ"ב לאקלידיס ושטח ו' בח' שוה לשטח שיקיפו בו י"ב וד' לפי שיחס ד' אל ו' כיחס ח' אל י"ב אם כן מרובע י"ו שוה לשני מרובעי י"ב וד' ולכפל השטח שיקיפו בו ו' וח' אבל שני מרובעי ו' ח' שוין לכפל השטח שיקיפו בו ו' ח' עם מרובע מה שבין ו' ח' כמבואר בה' מ"ב אם כן מרובע י"ו עם מרובע היתרון שבין ו' לח' שוה לד' מרובעי ד' ו' ח' י"ב ובזה יתבאר מהשני והשלישי
כי ערכיה מורכבין
פי' ערכי הנגונים הן מורכבים ערכי המדות וערכי המספר כי יעשה בחלק היתרון האחד על האחר וכיחס המספר האחד אל המספר האחר
כי לעולם יהיה הערך
כי לעולם יהיה היחס מה שבין הראשון והאמצעי אל מה שבין האמצעי והאחרון כיחס המספר הראשון אל האחרון
שאלה ראובן שכר שמעון
הכלל בכל דרכים אלו שנכפול י"א על ט' ויהיו צ"ט וחלקם על י"ו ועלה ה' פשו' וי"ד חלקים מי"ו בפשו'
כלל זה יהיה בידך בערכין שאותו המספר שיהיה גיל הנעלם שהוא מקום הגלגל מן המורה שאם היה הגלגל אחד מהקצוות הקצה האחד הוא המורה ואם הגלגל הוא אחד מהאמצעיים האמצעי האחר הוא המורה
ולא תדע השלישי כפול הראשון על השני
זה יתבאר מי"ט מה' באמת כאשר היה המחובר אל המחובר כיחס הכל אל הכל הנה יחס הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל
ולכן בדמיונו השני לפי שיחס היתרון שבין ג' וד' הידוע אל היתרון שבין ד' והמספר הנעלם כיחס ג' הידוע אל ו' הנעלם והנה הנעלם גדול מיתרונו על ד' הנה אם כן ג' גדול יותר מהיתרון שבין ג' לד' מי"ד מה' אקלידיס
והיתרון שבין ג' לד' ידוע אם כן כשחסרנוהו מג' יהיה הנשאר ידוע והוא ב' וגם כן ידענו שד' הוא הנשאר כשחסרנו מו' היתרון שנוסף על ו'
ועתה יש לנו ג' מספרים ידועין האחד ב' והוא הנשאר מג' כשחוסר ממנו היתרון שבין ג' לד' השני ג' שהוא הכל ידוע השלישי ד' שהוא הנשאר מהנעלם כשחוסר ממנו היתרון שהוא נוסף על ד' וידענו שיחס המחוסר מג' אל המחוסר מהנעלם כיחס ג' שהוא הכל אל הנעלם אם כן יחס ב' הנשאר אל ד' הנשאר כיחס ג' אל הנעלם ולכן נכפול האמצעיים שהן ד' וג' והיו י"ב ונחלק י"ב על ב' והיה ו' וכו'
וכן תבין האחרים מי"ח מה' אקלידיס
צורת הי"ו מוציאין אותה בדרך זו לוקחין הראשונה והשביעית והן יתדות ומוציאין משתיהן צורה אחת ומהרביעית והעשירית והן יתדות מוציאין צורה אחרת ומשתיהן מוציאין צורה אחת והיא נקראת הי"ו והיא חזקה מכלן
ומצאתי בע"ה צורת הי"ו נקח הצורה הראשונה והשביעית ועושין משתיהן צורה אחת ונקח צורת הט"ו ומשתים אלו נעשה צורה אחרת והיא הי"ו וזה סוד
שאלה שלשה הלכו לקנות דג בשוק ערכו ה' פשו'

אמר אחד אני אתן כל מה שבכיסי ואתם לא תתנו רק החצי שבכיסכם
אמר האחר אני אתן כל מה שבכיסי ואתם לא תתנו רק שליש שלכם
אמר האחר אני אתן כל מה שבכיסי ואתם לא תתנו רק הרביע שבכיסכם
כמה יהיה בכיס כל אחד

נבקש המורה והוא י"ב כ"ט כי ממנו נוכל לעשות ג' מספרים שישתוו שלשתן למספר אחד והן ה' י"א י"ג בעל ה' ישאל החצי בעל י"א ישאל השליש בעל י"ג ישאל הרביע
שאלה ראובן שמעון לוי ויהודה

אמ' ראובן לשמעון כל מה שבכיסי עם חצי שבכיסך הוא ה' די'
אמ' שמעון ללוי כל מה שבכיסי עם שליש שבכיסך הוא ה' די'
אמ' לוי ליהודה כל מה שבכיסי עם רביע מה שבכיסך הוא ה' די'
אמ' יהודה הרביעי לראובן הראשון כל מה שבכיסי עם חומש מה שבכיסך הוא ה' די'
כמה בכיס כל אחד

תשובה ראובן ל"ז פשו' צ"ז חלקי' מקי"ו בפשו'

שמעון מ"ד פשי' מ"ד חלקים
לוי מ"ו פשו' ק"ו חלקים
יהודה נ"ב פשי' נב חלקים

ובזה נמצא כל ראובן עם חצי שמעון ה'

וכן שמעון עם שליש לוי
וכן לוי עם רביע יהודה אם כן ראובן שוה
וכן יהודה עם חומש ראובן

נסיר חצי שמעון המשותף וישאר ראובן שוה לחצי שמעון עם שליש לוי

ושמעון שוה לשני שלישי לוי עם רביע יהודה

אם כן ראובן שוה לשני שלישי לוי עם שמינית יהודה

אם כן לוי שוה לג' רבעי יהודה עם חומש ראובן
אם כן ראובן שוה לה' שמיניות יהודה וב' חלקי' מט"ו מראובן עצמו

א'פ'ד' ראובן ע"ה שמעון פ"ח לוי צ"ג יהודה ק"ד
או ראובן ל"ז וחצי שמעון מ"ד לוי מ"ו וחצי יהודה נ"ב וכן לחציין וכן וכן
שאלה אדם נכנס [בע]יר ונודר שאם יכפול ממונו בכל יום יוציא ממנו בכל יום סך מוגבל ולימים לא נשאר בידו מאומה כמה הוא הממון שבידו
הדרך בזה שנבקש מספר שבהכפלו פעמים כמספר הימים על יחס הכפל שאחריהם לא נשאר לו מאומה יעלה לסך שיוציא מהם בכל יום והמספר ההוא המבוקש נגרע מהסך שיוציא בכל יום והנשאר הוא הממון שבידו
המשל שיוציא בכל יום מ"ח פשי' ולסוף ג' ימים לא נשאר לו מאומה הנה המספר שבהכפלו על יחס הכפל כמספר הימים שהם ג' יעלה מ"ח הוא ו' כי כשנכפול ו' יעלה י"ב וכשנכפול י"ב עלה כ"ד וכשנכפול כ"ד עלה מ"ח נגרע מספר ו' ממ"ח וישאר מ"ב והם המעות שבידו
או שיוציא בכל יום י"ח פשי' ולסוף ה' ימים לא נשאר לו מאומה הנה המספר שבהכפלו על יחס הכפל פעמים כמספר הימים שהוא ה' יעלה י"ח הוא חצי וחלק אחד מי"ו שהן ט' חלקים מי"ו כי כשנכפול חצי וחלק אחד מי"ו יעלה א' ושמינית וכשנכפול א' ושמינית יעלה ב' ורביע וכשנכפול ב' ורביע יעלה ד' וחצי וכשנכפול ד' וחצי יעלה ט' וכשנכפול חמשית ט' יעלה י"ח נגרע מספר חצי וחלק אחד מי"ו יעלה י"ז וז' חלקים מי"ו והם המעות שבידו
טעם למה יוציא השרש אל אמצע המדרגות בין שיהיו המדרגות נפרדים כמו זה או זוגות שנשים המדרגה הזוגיית למעלה מהמדרגה שלפניה שנחבר הכל כמו שנשים [ז'] למעלה מט' ויהיה שבעים
לפי שלעולם בכל כפל המדרגות כפולות אחד שנעשה מהם מרובע מהכאתם עולה לששה מדרגות אם יש ליוצא מההכאה זוגות כמו זה שח' על ח' עולה לס"ד ולכן ס"ד הוא תחת המדרגה הששית
ואם המספר נפרד לא נקח שרש כי אם מה

Notes

  1. ↑ אמר: MS P1081 אמר עמנואל בן יעקב
  2. ↑ על מספרים רבים כמה שיהיו: MS P1081 om.
  3. ↑ והוא: MS P1081 om.
  4. ↑ בטור: MS L om.
  5. ↑ טור: MS L om.
  6. ↑ ומאיות תחת מאיות: MS P1081 וכו'
  7. ↑ הטור: MS L om.
  8. ↑ הטור השפל: MS L טור שפל
  9. ↑ הטור: MS L om.
  10. ↑ הטור האמצעי: MS L טור אמצעי
  11. ↑ כמספר האחרון שבטור... לאחרון שבטור השפל: MS P1081 om.
  12. ↑ בשלישי: MS P1081 השלישי
  13. ↑ כשלישי לאחרון שבטור העליון לפניו: MS L om.
  14. ↑ מספר: MS P1081 המספר
  15. ↑ שיעלה: MS P1081 אשר יעלה לך
  16. ↑ מספר: MS L כמה
  17. ↑ הפעמים: MS L פעמים
  18. ↑ אשר: MS L om.
  19. ↑ האמצעי: MS L אמצע
  20. ↑ ותכתוב המספר ההוא: MS L ותכתבינו
  21. ↑ מן המספר: MS P1081 מהמספר
  22. ↑ תקח: MS L יקח
  23. ↑ שבטור: MS L om.
  24. ↑ ממדרגות: MS L שבמדרגת
  25. ↑ לך: MS L om.
  26. ↑ לא: MS L om.
  27. ↑ לקחת: MS L לדעת
  28. ↑ פעם: MS L om.
  29. ↑ המספר: MS L מספר
  30. ↑ האחרון: MS P1081 אחרון
  31. ↑ שבטור: MS P1081 שבטור שבטור
  32. ↑ הוא: MS L om.
  33. ↑ הוא ט' ... העליון: MS P1081 om.
  34. ↑ הוא: MS L om.
  35. ↑ אם: MS L om.
  36. ↑ כל המספר ... ר"ל: MS L om.
  37. ↑ הח': MS L ח'
  38. ↑ יהיו: MS L יהיה
  39. ↑ ותראה: MS L וראה
  40. ↑ יהיה: MS P1081 הוא

Appendix: Bibliography

Immanuel ben Jacob Tov-Elem / Immanuel Bonfils / Immanuel of Trascon (flourished c. 1340-1377)

Manuscripts:

1) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut. 88.30/2 (IMHM: f 17853), ff. 37r-38r (15th century)
Plut. 88.30/2
2) London, British Library Or. 10878 (IMHM: f 8193), ff. 6r-7v (15th century)
Or. 10878
3) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 365/11 (IMHM: f 43035), ff. 193v-196v (15th-16th century)
4) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 903/7 (IMHM: f 26859), ff. 138r-140r (15th century)
heb. 903/7
5) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1026/6 (IMHM: f 15025), ff. 72r-80v (16th century)
heb. 1026/6
6) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1054/8 (IMHM: f 33997), ff. 31r-v (15th century)
heb. 1054/8
7) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1081/3 (IMHM: f 15037), ff. 4r-15v (16th-17th century)
heb. 1081/3


Bibliography:

  • Gandz, Solomon. 1936. The Invention of the Decimal Fractions and the Application of the Exponential Calculus by Immanuel Bonfils of Tarascon (c. 1350), Isis XXIV, pp. 16–45.
  • Lévy, Tony. 2003. Immanuel ben Jacob de Tarascon (XIVe s.): fractions décimales, puissances de 10 et opérations arithmétiques, Centaurus 45, pp. 284-304.
  • ———. 2012. Immanuel ben Jacob of Tarascon (Fourteenth Century) and Archimedean Geometry: An Alternative Proof for the Area of a Circle, Aleph. 12.1, pp. 135-159.
  • Rabinovitch, Nahum. 1974. An Archimedean Tract of Immanuel Tov-Elem (14th Cent.), Historia Mathematica 1, pp. 13–27.
  • Rashed, Roshdi. 1994. The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra. Translated by A.F.W. Armstrong. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, pp. 85-146.
  • Sarton, George. 1934. Simon Stevin of Bruges (1548-1620), Isis, vol. 21, no. 2 (Jul., 1934), pp. 241-303.
  • ———.1935. The First Explanation of Decimal Fractions and Measures (1585). Together with a History of the Decimal Idea and a Facsimile (No. XVII) of Stevin's Disme, Isis, vol. 23, no. 1 (Jun., 1935), pp. 153-244.
  • Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, pp. 155-163 (f79-f87); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.
Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=Excerpts_Attributed_to_Immanuel_Bonfils&oldid=12539"