Difference between revisions of "קצור המספר"

Revision as of 20:56, 15 April 2018

	קצור המספר מהרב ר' יהודה ן' בירגה
Contents 1 Prologue 1.1 Discussion on the nature of one 1.2 Definition of Number 1.3 Numeration 1.4 The arithmetical opperations 2 Notes 3 Chapter One - Addition 3.1 Written Addition 3.1.1 Methods of checking 4 Chapter Two - Subtraction 4.1 Written Subtraction 4.1.1 Method of checking 5 Chapter Three - Multiplication 5.1 Written Multiplication 5.1.1 Method of checking 5.1.2 Calculating the number of ranks in a product of two numbers 6 Chapter Four - Division 6.1 Dividing a large number by a smaller one 6.1.1 Written Division 6.1.1.1 Method of checking 6.2 Dividing a small number by a larger one 6.3 Dividing a number to unequal parts 7 Chapter Five - Proportions 8 Chapter Six - Roots 8.1 Extracting roots - written procedure 8.2 Extracting roots of non-square numbers 9 Chapter Seven - Fractions 9.1 Conversion of fractions 9.2 Addition of fractions 9.3 Subtraction of fractions 9.4 Multiplication of fractions 9.5 Division of fractions 9.6 Proportions of fractions 9.7 Roots of fractions 10 Word Problems 11 Appendix: Bibliography Prologue
Commercial and social needs of arithmetic – calculations of years after the jubilee for selling land [Leviticus, 25, 14-16] and the redemption of a Hebrew maid at the beginning of the seventh year of her work [Maimonides, Mishneh Torah, Sefer Qinyan, Hilḵot ʽAvadim, 4, 6]	אחר אשר מכירת הקרקעות בארץ תלויה במספר שנים אחר היובל^[1] וכן אמה העבריה בפריון במספר שנים קודם השביעי^[2] הנה ראוי לאדם להתחבר בחכמת המספר לבל יובן איש את עמיתו
The author states that he writes on the subject in outline form	אכתוב לך בו הראשי פרקים
Discussion on the nature of one
One without a soul - equivalent to the being - belong in actu to the ten categories and its meaning is in the nature of each category	ואומר כי האחד אשר הוא חוץ לנפש הנה הוא נרדף לנמצא ולזה ימצא בפעל במאמרות העשרה ויהיה הוראתו בטבע מאמר
One in soul - belong to the category of quantity	ואשר הוא בנפש הוא מאמר הכמות
What is in the soul exist in actu and what is without a soul is in potentia	והנה בהכרח שמה שימצא בנפש בפעל שיהיה מציאות וחוץ לנפש בכח
The possibility of acting: every act of the soul, which does not exist without the soul, is a fictitious act - this is the potentiality	והאפשרות לפעול כי כל פעל נפשי אשר לא ימצא חוץ לנפש כלל הנה הוא פעל בדוי וזה הכח
The possibility in things: their potentiality to be separated in thought, due to their diversity; and their potentiality to be summed in thought, due to their similarity	והאפשרות בדברים הוא הכח אשר בהם להתפרד במחשבה מפני חלוף ענין נמצא בו וכן כח בהם להתחבר במחשבה מפני דמיון מה שימצא בדברים
The soul as a separate unit - it is one in comparison with others apart of it	אמנם כאשר תפרד הנפש הנה יהיה האחד נאמר בהקש אל אשר הוא חוץ ממנו כלומ' זה הדבר מוגבל ונפרד בפני עצמו בדבר מה משאר הנמצאות בענין שנאמ' אחת היא יונתי תמתי‫^[3]
The soul as a sum of units - it is one in comparison with its parts	וכאשר תחבר הנפש הנה יהיה האחד נאמ' בהקש אל חלקיו כלומ' אלה החלקים כלם הם אחד ושלם בצד מה בענין שנאמ' והיה המשכן אחד‫^[4]
The commentators: made an analogy between the unity of God and the one that is compared to others apart of it	והנה המפרשים הבינו פי' פסוק הייחוד^[5] כפי העניין הראשון לפי שהם הבינו כי אותם השמות רומזים לסבת הסבות כלם
The Kabbalists: made an analogy between the unity of God and the one that is compared to its parts	אמנם המקובלים שקבלו שהם רומזים לשפע מושפע מאתו ית' בספירות ותוארי מדות פרשו אותו כפי הענין השני
According to the author: the unity of God cannot be divided or multiplied - it is not compound, therefore has no possibility of being divided to various thing, and it has no similar to be summed with, and therefor it cannot be summed	ואמנם אחד וסבת הסבות כלם הנה למה שאין בו אפשרות להתחלק לדברים שונים כי אינו מורכב ולא להתחבר כי אין דומה לו להיותו מחובר עמו הנה אותו האחדות אינו מתחלק ואינו מתרבה ואין כח בנפש לפעול בו זה
Zohar: God is one, but not in number	ולזה נאמר עליו בזוהר אנת הוא אחד ולא בחשבון‫^[6]
The unity of the existences is by God	ואמנם אחדות הנמצאות מאתו ית‫'
Since every existence is somewhat similar to at least one other, they have the potentiality to be multiplied through their unity	הנה לפי שכל נמצא מהם יש לו דמיון מה עם נמצא אחד לפחות בהיותם נמצאים אפי' שיהיה זה בהם בקדימה ואיחור הנה באחדותם כח להתרבות ולהכפל
Since in their essential form they are separate and diverse from each other, they have the potentiality to be divided and separated despite their unity	ולהיותם למספר אחד אע"פ שבצורתם העצמית יהיו נפרדים ונבדלים וגם לפי שבהם חלוף מה יש בהם כח להתחלק ולהפרד אע"פ שהם אחדים בצורה בו
Definition of Number
Therefore the number counts all things - the number ten counts 10 people, but also 10 horses	לזה המספר מונה כל הדברים כי העשרה מן המספר ד"מ ימנה לי' מהאנשים וכן ימנה לי' מן הסוסים
The number is a sum of undetermined units	והנה המספר הוא קבוץ אחדים בלתי רמוזים
The soul is its agent and the units are its subject	והיה הנפש כפועל לו והאחדות כנושא
Numeration
Sometimes the measurement becomes measured and the number numbered, therefore people are counting with their fingers, whose number is ten as the number of the countings	ולפי שלפעמים תשוב הממד מדוד והמספר ספור ויקרה לאנשים שימנו באצבעותיהם והיו האצבעות עשרה כמספר הספירות
The ranks as products of ten	הנה כל האנשים הסכימו לעשות עד עשרה כלל אחד ועשרה פעמים זה כלל שני ועשרה פעמים הכלל השני כלל שלישי וכן תמיד מהרכבת העשרה מהכלל הקודם יולד כלל אחד
The names of the ranks	וסדר הכללים הוא זה: אחדים עשרות מאות אלפים עשרת אלפים מאת אלפים אלף אלפים עשרת אלפי אלפים מאת אלפי אלפים אלף אלפי אלפים וכזה עד אין קץ
Arranging the ranks in triples	והנה עשו מכל ג' כללים סדר אחד לפי שבג' נמצא התחלה ואמצע ותכלית
The arithmetical opperations
The soul's act of summing the separates is the first arithmetical [operations] called addition	ואמנם מפעל הנפש בחבר הנפרדים היה מין אחד מהמספר שנקרא הקיבוץ
The soul's act of separating is the second of the arithmetical [operations] called subtraction	ומפעל הנפש בהפרדה היה מין שני מהמספר שיקרא המגרעת
The soul's act of multiplying is the third of the arithmetical [operations] called multiplication	ומפעל הנפש בהכפילה הדברים היה מין שלישי מהמספר שיקרא הכפילה
The soul's act of separating the multiples is the fourth of the arithmetical [operations] called division	ומפעל הנפש בהפריש הכפלים נמצא מין ד' והוא החלוקה
The soul's act of multiplying multiples or their parts by a certain number as multiplying by another number is a fifth type which is proportions	ומפעל הנפש בהכפל כפלים או חלקיהם על מספר מה כאשר תכפול על מספר אחר היה מין חמישי והוא הערכים
The soul's act of separating multiples as the number of units in each multiple is a sixth type which is roots	ומפעל הנפש בהפריש הכפלים במספר האחדים אשר בכל כפל נמצא מין ששי שנקרא השרשים
Those are the types [of arithmetical operations]	ואלה המינים
They either deal with integers which from this aspect all numbers are of one types called integers	אם שיהיה עסקם במספרים שלמים ומזה הצד כלם סוג אחד ויקרא השלמים
Or deal with fractions of numbers, which are all of one type called fractions	ואם שיעסקו בשברי מספרים ויהיו כלם סוג אחד ונקרא שברים
The [fractions] are called a type of [operation] by itself - so there are seven types [of operations]	וכבר קראו לזה מין בפני עצמו ושלמו בו במספר ז' מינים
Notes
	↑ ויקרא כה, יד-טז ↑ רמב"ם, משנה תורה, ספר קנין, הלכות עבדים ד, ו ↑ שיר השירים ו, ט ↑ שמות כו, ו ↑ דברים ו, ד: שמע ישראל ה' אלוהינו ה' אחד ↑ פתיחת אליהו

Chapter One - Addition

המין הא' בקיבוץ

Summing two or three numbers or more and calculate their sum

הכוונה בו לקבץ שני מספרים או שלשה או יותר לידע סכום מניינם

Written Addition

Description of the procedure:

והנה ראוי שיסודרו כל כלל מהם תחת הכלל הדומה לו כיצד אחדים תחת אחדים ועשרות תחת עשרות וכן השאר

The procedure starts from the rank of units

ואחר תתחיל לקבץ מהאחדים כלם ותכתבם במקומם

The sum are tens

ואם יעלו מהם עשרות תקבצם עם העשרות אם היו שם עשרות

The sum are tens and hundreds

ואם יעלו מהם עשרות ומאות תקבץ העשרות עם העשרות והמאות עם המאות

The sum are units alone

ואם אין שם עשרות או מאות תכתבם בפני עצמם

Summing the numerals in each rank as units

וכל זה בשערך העשרות שעלו מן האחדים כאלו הם אחדים בתוך מדרגת העשרות כמו שאתה משער העשרות לאחדים במדרגתם וכן המאות שעלו מהם בתוך מדרגת המאות

$\scriptstyle1098+9067$

ויהיה המשל בזה רצינו לקבץ אלף ותשעים ושמונה עם תשעת אלפים ושישים ושבעה

1098
9067
10165

1098	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8+7}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{5}}}$	1098	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{green}{1}}{\color{red}{+9+6}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}}$	1098	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{green}{1}}{\color{red}{+0+0}}={\color{blue}{1}}}$	1098	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1+9}}={\color{blue}{10}}}$	1098
9067		9067		9067		9067		9067
		5		65		165		10165

והנה החלונו באחדים ואמרנו שמונה ושבעה הרי הם ט"ו נכתוב הה' אחדים תחת האחדים והעשרה נחשוב אותו כאלו הוא אחד בתוך העשרות ונקבץ אותו עם התשעה והששה עשרות ויעלו י"ו נכתוב הו' במדרגת העשרות. והעשר שהוא עשר עשרות נכתוב אותו בפני עצמו במדרגת המאות. ונחשוב אותו כאלו הוא אחד ר"ל מאה אחת. עוד נקבץ האלפים והיו עשרה והנה לפי שאין שם אחדי אלפים נכתוב במדרגתם ספרא. ונכתוב העשר במדרגתם. עוד נקבץ האלפים והיו עשרה ונכתוב עשרה במדרגתם והיו שם לאחר הכל כמו שהוא בצורה הזאת

Methods of checking

1) Subtraction

ואם עשית אמת בזה הנה כשתגרע אחד מהמספרים הראשונים מהמקובץ יצא המספר האחר

Explanation based on physics: for every thing that is compound of simples - finding the one of the simples in itself necessarily leads to finding the other simple in itself

כי כן דרך כל מורכב מפשוטים כי כשתמצא הפשוט האחד בפני עצמו הנה בהכרח שימצא השני בעצמו כמו שנתבאר בפילוסופיא [בחכמה הטבעית]

2) Casting out by 9

ויש מי שבקש מופת לדעת אם טעה בקבץ המספרים בהשליך אותיות הנקבצים ט'ט' והחזיק בנשאר וככה ישאר בכלל העולה אחרי השליך אותיותיו ט'ט' כיצד מן השטה העליונה לא נשאר דבר כי הלכו להם ט'ט' ומן השטה התחתונה נשארו ד' והנה ג"כ נשארו ד' מהכלל העולה

The reason: summing two digits of the sum is similar to casting nines from the addends

והטעם בזה הוא כי אין קבוץ שני המספרים יחד דבר אחר זולתי השליך הם תשיעיות שהם ממין אחד

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+7\right)-9=15-9=6=1+5}}$

כיצד כשקבצנו הח' והז' מהאחדים והיו ט"ו הנה כתבנו באחדים חמשה ועם העשרות אחד הרי ו' והפלנו מהט"ו ט' וכן כשקבצנו העשרות ועליו י"ו הנה כתבנו בעשרות ששה ובמאות אחד והפלנו ט' וכן כשקבצנו האלפים העלנו תשעה וכתבנו א'

\scriptstyle a=b\longrightarrow a-c=b-c

והנה א"כ אין הפרש בין המספרים הנקבצים [ו]הכלל העולה זולתי אלה התשיעיות וא"כ והפיל אותם ישארו שוים לפי שמהשוים כשנפיל שוים ישארו שוים הנה כשנפיל עוד התשיעיות הנקבצים מהאחדים והעשרות והמאות וכו' מהמספרים הנקבצי' וכן נפיל אותם הכלל העולה כמו כן הנה ראוי שיהיה השאר בהם שוים

\scriptstyle a-b=c\longrightarrow b+c=a

ומזה המשפט תבין הטעם ג"כ בגרעון כי המספר הנגרע והמספר הנשאר מקובצים ישתוו למספר אשר גרעת ממנו

Subtraction is inverse operation to addition

וא"כ הנה הגרעון מתהפך לקבוץ בכח

The reason for casting out by 9 as a check of a multiplication procedure: a product of nine is casted off by nines - therefore

\scriptstyle r_a\times r_b\equiv r_{a\times b}

ובכפילה הנה הטעם הוא כי התשיעיות בכל מספר שיוכפלו יעלה מהם תשיעיות וא"כ לא ישאר במספרים הנכפלים אלא מה שיעלה מכפילת העודף על תשיעיות בזה המספר בעודף במספר השני וזהו מה שראוי שישאר בכלל העולה מהכפילה אחר הפלת תשעיותיו

Multiplication is inverse operation to division

וממשפט הכפילה תבין הטעם בחלוקה כי שניהם מתהפכים בענין הקבוץ והגרעון

Chapter Two - Subtraction

המין הב' במגרעת

Subtracting a number from a larger number

הנה כשנרצה לגרוע מספר ממספר יותר ממנו

Written Subtraction

Description of the procedure:

נסדרם תחלה כל מדרגה תחת הדומה לה

The procedure starts from the rank of units

ונתחיל לגרוע ממדרגת האחדים

The digit of the subtracted is larger than the digit of the subtrahend

והנה אם האחדים אשר במספר הגדול היו יותר מהאחדים אשר במספר הקטן נגרע מהם אחדי המספר הקטן והשאר נכתוב אותו תחת מדרגותם

The digit of the subtracted is smaller than the digit of the subtrahend - loaning one unit from the next rank of the subtracted

ואם היו להפך הנה אז נקח אחד מאחדי העשרות מהמספר הגדול ונתיכהו לאחדים ויהיה לעשרה עם אחדי המספר הגדול ואז נגרע מהם אחדי המספר הקטן ונכתוב השאר תחת מדרגתם והנה אז ישארו עשרות המספר הגדול חסרים האחד אשר לקחנו מהם

No digit in the next rank of the subtracted - loaning one unit from the subsequent rank after the next rank

ואם אין במדריגת העשרות שום עשר לקחת ממנו עשר אחד לשום על אחדיו ויש במדריגת המאות שום מאה הנה נקח משם שום מאה אחד ונתיך אותו לעשרותיו שהם עשרה במדרגת העשרות ונקח מהם עשר אחד ונשארו שם תשעה ונכתוב אותם שם והעשר שלקחנו משם נשים אותו על אחדיו ואז נגרע מהם האחדים של המספר הקטן

$\scriptstyle107-59$

ויהיה המשל לזה רצינו לגרוע ממאה ושבעה חמישים ותשעה

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{10-1=}}{\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{17-9}}{\color{blue}{8}}\\\end{align}}$	9	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{9-5=}}{\color{blue}{4}}}$	9
107		107		107
59		59		59
		8		48

הנה לפי שאין בו בשבעה לגרוע ממנו התשעה וגם לא מצינו במדרגת העשרות של מספר גדול שום עשר הנה נקח המאה אשר לו ויהיה לעשרה במדרגת העשרות ונקח מהם אחד לשום על האחדים ונשארו שם תשעה ואחר גרענו מהשבעה עם העשרה תשעה ונשארו שמונה. עוד נגרע מאשר מהתשעה שנשארו במדרגת העשרות החמשה עשרות של המספר הקטן וישארו תחתיהם ארבעה. ואמנם המאה לא נשאר מהם דבר כבר עשינו אותו עשרות אם כן הנשאר מן הכל הוא ח' וארבעים

Method of checking

Addition

ואם עשית חשבון אמיתי בזה הנה כשתשוב לקבץ שני המספרים התחתונים ר"ל המספר אשר גרענו והמספר הנשאר יעלה המספר הג' והוא הגדול אשר גרענו ממנו

Chapter Three - Multiplication

המין הג' בכפילה

Multiplication of a number by units, or by units and tens, or by units, tens and hundreds and so on

הנה הכוונה בזה לכפול מספר מה במספר אחדי מספר אחד או אחדים ועשרות או אחדים ועשרות או אחדים ועשרות ומאות וכן אפשר שתוסיף עד אין תכלית

Written Multiplication

Description of the procedure:

והנה כשתרצה לכפול אותם תסדרם במדרגתם כמשפט

Multiplying rank by rank as units

ותתחיל לכפול המספר ההוא שרצית לכפול אותו כל מדרגה ומדרגה ממנו כמספר האחדים אשר במספר האחר

The product of units by units is equal to units and tens

והנה אם מכפילת אחדיו יעלו גם עשרות אז תכתוב האחדים במדריגתם והעשרות עם העשרות אחר שתחשבם לאחדים בתוכם

The product of units by tens is equal to hundreds and tens

וכן תעשה אם מכפילת האחדים בעשרות יעלו גם מאות תכתוב העשרות במקומם והמאה בתוך המאות בחשבך אותו לאחדים בתוכם

Multiplying by units

$\scriptstyle869\times6$

והנה המשל בזה רצינו לכפול שמונה מאות ושישים ותשעה במספר אחדי ששה שיש במספר אחר

6	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6\times9}}=5{\color{blue}{4}}}$	6	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times6\right)+5}}=4{\color{blue}{1}}}$	6	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times8\right)+4}}={\color{blue}{52}}}$	6
869		869		869		869
		4		14		5214

ונתחיל לכפול מאחדיו ונאמ' ששה פעמים תשעה הם נ"ד נכתוב הד' ונשמור הה' ונחשוב אותם לה' ואחר נכפול הששה בשישים שהם במדרגתם נחשבים לששה יעלו ל"ו נחבר אליהם החמשה שחשבנו אותם מהחמישים ויעלו מ"א. נכתוב האחד במדרגת העשרות ונשמור המ' ונחשוב אותם לד'. ואחר תכפול הו' שמנה בשש מאות אשר במדרגתם הם נחשבים לשמונה ויעלו מ"ח נחבר אליהם הד' ששמרנו ויעלו נ"ב נכתוב השנים במדרגת המאות והחמישים אחריהם במדרגת אלפים בחשבנו אותם שם לחמשה כמו שהוא בזאת הצורה

Multiplying by units and tens

ואמנם אם היה הכפילה במספר אחדים ועשרות של מספר מה

$\scriptstyle869\times46$

כאלו תאמר שרצינו לכפול אותם הח' מאות ושישים ותשעה במספר אחדים ועשרות של ארבעים וששה

46	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6\times869}}={\color{blue}{5214}}}$	46
869		869
		5214

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times9\right)}}=3{\color{blue}{6}}}$	46	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times6\right)+3}}=2{\color{blue}{7}}}$	46	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times8\right)+2}}={\color{blue}{34}}}$	46
	869		869		869
	5214		5214		5214
	6		76		3476

הנה נכפול אותם בתחלה בכמו ו' האחדים אשר עשינו בתחלה ונכתוב העולה כל מדרגה ומדרגה במקומה. ואחר נשוב לכפול אותם בארבעים אחר חשבנו אותם לד' במקומם ונתחיל מהתשעה אחדים ויעלו ל"ו ונכתוב הו' תחת האחד שהיה בכפילת הששה בתחלה לפי ששוה הוא כפילת אחדים בעשרות שהיה כפילת הו' מהמ"ו ב[...]בשישים מהתתס"ט לכפילת עשרות באחדים שזהו כפילת המ' בט' ובכפילה הזאת לא תמצא אחדים לפי שכפילת עשרות בכל דבר יעלו עשרות או יותר ונשמור הל' מהל"ו ונשוב לכפול המ' בס' ובחשבנו אם אותם אחדים במקומם יעלו כ"ד נחבר ג' מהל' יעלו כ"ז נכתוב הז' שהם מאות תחת השנים שהיו באותה מדרגה בתחלה וישאר עשרים שהם שנים ונשמור אותו נכפול עוד הארבעים בח' מאות בחשבנו אותם לאחדים ויעלו ל"ב ונחבר אליהם שנים מהעשרים ששמרנו ויעלו ל"ד תכתוב הד' תחת הה' מהאלפים והשלשים אחריהם חשובים לג' ואחר תקבץ סך הכל כמשפט ויעלו ל"ט אלף ותשע מאות ושבעים

So on for multiple ranks

וכזה תעשה אם המדרגות יהיו רבות

Method of checking

Division

ואם עשית אמת הנה כשתחלוק היוצא על כל אחד מהמספרים הנכפלים זה על זה יצא השני

Calculating the number of ranks in a product of two numbers

The number of ranks of the product = the sum of the numbers of ranks of both multiplicands minus 1

ואם תרצה לדעת עד כמה מדרגות יעלו מדריגות הכפילה הנה מנה מדריגות שני המספרים הנכפלים זה עם זה ותקבצם יחד והסר מדריגה אחת

The reason for subtracting 1: rank of units does not raise the count of the ranks in the product

לפי שהאחדות אינו מרבה דבר והנשאר הם יהיו מדריגות המספר היוצא מהכפילה

Special case: the total number of the ranks in the product equals the sum of the numbers of ranks of both multiplicand without subtracting 1

ואמנם אם יתחברו מהמדרגות האחרונות מהנכפלים בהכאתם ומהמדריגות הסמוכות להם עד עשרה הנה אז המדרגות העולות מהכפילה יהיו כמספר מדריגות שני המספרים הנכפלים זה על זה מבלי הסר מהם שום מדרגה

Chapter Four - Division

המין הד' בחלוקה

Dividing a large number by a smaller one

הכוונה הראשונה בו בחלוקה בשלמים לחלק מספר גדול על מספר יותר קטן ממנו בענין שיגיע לכל אחד מהמספר הקטן חלק שוה לאחר

Written Division

Description of the procedure:

והמעשה בזה יהיה כן סדר ב' המספרים במדריגתם זה תחת זה כמשפט

The procedure starts from the highest rank of the dividend in which the digit is larger than the digit in the highest rank of the divisor

והנה אם האות האחרונה שבמספר הגדול יותר כוללת מהאות האחרונה של מספר הקטן תתחיל החלוק ממנה ועליה ר"ל מהאות האחרונה של מספר גדול על האות האחרונה של המספר הקטן ותן לי ממנה היותר פעמים שתוכל

Leaving spare for the division of the preceding rank

ובלבד שתשאיר בה להשלים עמו מהאות הסמוכה לה לאות הסמוכה לאחרונה מהמספר הקטן אם יצטרך לו

Loaning from subsequent ranks

וכן אם יהיה שם יותר אותיות שישאר בה או בשנית לה להשלים עמו באות השלישית ממנה לאחרונה אשר מהמספר הקטן אם יצטרך אליו

$\scriptstyle823\div278$

והנה המשל בזה רצינו לחלק שמונה מאות ועשרים ושלשה למאתים ושבעים ושמונה

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{8-\left({\color{blue}{2}}\times2\right)=4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-2=}}{\color{green}{2}}\\\end{align}}$	2	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{22-\left(2\times7\right)=8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-2=}}{\color{green}{6}}\\\end{align}}$	26	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{23-\left(2\times8\right)=}}{\color{green}{7}}}$	267
823		823		823		823
2		2		2		2
278		278		278		278

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle2\ the\ result\\&\scriptstyle267\ the\ remainder\\\end{align}}}

והתחלנו מהאות האחרונה מהמספר הרב שהוא שמונה לחלקו על האות האחרונה מהמספר המעט שהיה שנים והנה מן הדין היה שנתן לו ד' אלא כשנתן לו ככה מהאות הסמוכה לאחרונה מהרב שהוא שנים לאות הסמוכה לאחרונה מהמעט שהוא שבעה הנה לא יהיה בו די. והכוונה היתה שיקבלו כלם חלקים שוים על כן לא נתן מהח' לשנים ארבעה ולא גם כן נתן לו ג' לפי שאע"ף שיספיק השנים עם מה שישאר מהשמונה שהם ב' אחדים שיהיו נחשבים לעשרים ושנים לתת לשבעה לשלש לכ"א וגם ישאר שם אחד הנה לא יהיה די בשלש מהמספר הרב לתת לשמנה מהמספר המעט שלש לכל אחד מהם ואפילו שיוריד אליו האחד שנשאר על השנים ויהיו י"ג לפי שיותר הוא ג' פעמים שמנה שהוא כ"ד על כן לא נתן מהשמנה לשנים אלא שנים ונכתוב אותם במדרגה הראשונה

The position of the result of division

לפי שראוי למנות מדרגות המספר אשר נחלק עליו מהמדרגה האחרונה מהמספר אשר נחלק ממנו למפרע אם היה בה מספר די לחלק ממנו על המספר האות האחרונה מהמספר המעט כמו שיש בכאן בשמונה די לחלק על השנים ובמקום שיכלה שם תכתוב מה שיעלה בחלוקה

The digit in the highest rank of the dividend is smaller than the digit in the highest rank of the divisor - the division starts from the preceding rank of the dividend - considering the two highest ranks of the dividend as units and tens

ואם אין די במה שכתו' במדרגה האחרונה ההיא לתת למספר אשר הוא למדרגה התחתונה ותצטרך להעתיק אותה ממקומה ולחושבה לעשרות במדרגה הסמוכה לה כדי לחלק ממנה הנה אז תמנה מהמדרגה השנית לה ר"ל מהאות הסמוכה לה למפרע ובמקום שיכלה שם תכתוב היוצא בחלוק

The number of ranks of the result of division

ומדרך זה תדע מתחלת החלוקה לכמה מדרגות יעלה היוצא בחלוק

ועתה נשלם דרך החלוקה במשל שהמשלנו ונאמר כי כבר יצא לה בחלוק שנים וכשנמנה מדריגות הנחלק עליו מהמדריגה האחרונה מהמחולק למפרע הנה יכלו במדרגה הראשונה שהיא מדרגת האחדים על כן נכתוב שם השנים תחת הג' ועל הח' במה שביניהם. והנה כשנתן לשנים האחרונים שנים לכל אחד יעלו ד' נגרע אותם מהח' ישארו ד' נתן כך וכך לז' ישארו [..] יעלו י"ד ולפי שאין בשנים הסמוכים לח' די לזה נקח מד' שנשארו מהח' שנים והשנים הנשארים נכתבם על הח'. והנה השנים שחלקנו יהיו נחשבים לכ' על השנים ויהיו הכל כ"ב נגרע מהם הי"ד וישארו ח'. עוד נצטרך לקחת שנים מאלה השמונה לשום לשום על הג' וישארו ו'. ונכתבם על הב' והב' שלקחנו נורידם על הג' ויהיו שם הכל כ"ג נגרע מהם שני פעמים שמונה וישארו שם שבעה נכתבם על הג' והנה תמצא בזה כי יצא לכל אחד בחלוקה שנים ונשארו לחלק רס"ז

Similarly for a dividend with numerous ranks and a divisor with a few ranks - two or three ranks in the result

וכן תעשה גם שיהיו המספר הרב רבות ומדרגות המספר המעט מעטות עד שיצא בחלוקה שתים או שלש מדרגות

Zero in one of the ranks of the result of division

אלא שראוי שתדע שאם כבר חלקת משום מדרגה מהמספר הרב או אפי' שלא חלקת אלא שאין במדרגה ההיא כדי לתת ממנה אלא בהעתיק אותה ממקומה הנה תשים בחלוקה סיפרא לומר שאין נמצא דבר במתחלק לחלק באותה מדריגה

$\scriptstyle204612\div289$

ולהרגילך בזה נמשיל עוד משל אחד בזה ויהיה המספר המתחלק מאתים וארבעת אלפים ושש מאות ושתים עשרה והנחלק עליו מאתים ושמונים ותשעה

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{20-\left({\color{blue}{7}}\times2\right)=6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-6=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	00	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{64-\left(7\times8\right)=8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-6=}}{\color{green}{2}}\\\end{align}}$	002	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{66-\left(7\times9\right)=}}{\color{green}{3}}}$	0023
204612		204612		204612		204612
7		7		7		7
289		289		289		289

והנה כבר היינו יכולים לתת משנים העליונים לשנים התחתונים אחד אלא שלא יהיה דבר בסיפרא הסמוכה לו לתת לח' הסמוכה לשנים התחתונים והנה צריכין אנחנו להעתיק השנים ממקומם על הסיפרא ויהיו עשרים ונחלק ממנו על השנים ולא נוכל לתת עשרה כי אין בחלוק יותר מאחדים ולא גם כן נוכל לתת בזה המספר לתת תשעה ולא עוד אלא שמונה כי לא יהיה די בארבעה לחלק ככה לשמונה אבל ראוי שנתן שבעה ולפי שמדרגות המספר אשר נחלק עליו הם שלשה. וכשנמנה כמספרם למפרע מהספרא שהועתק אליו השנים העליונים יכלה אל המדרגה השלישית שהוא מדרגת המאות הנה ראוי לכתו' שם אלו הז' היוצאים בחלוקה ואז נשוב ונאמר כי שבע[.]ה פעמים שנים הם י"ד נגרע אותם מהעשרים ישארו ששה. ולפי ששבעה פעמים שמונה הם נ"ו ויצטרך הד' אשר אצל הספרא להוריד אליה הו' הנשארים על הספרא נכתוב סיפרא על הסיפרא ויהיו על הד' ס"ד נגרע מהם הנ"ו ישארו שמונה על הד'. ועוד לפי שז' פעמים ט' הם ס"ג ויצטרך הששה להוריד אליהם מהשמונה ששה הנה נשארו שם שנים ונכתבם על הד' והנה הו' שהורדנו על הו' יעלו לשם ס"ו נגרע מהם הס"ג ישארו שם שלשה ונכתבם על הששה ונעשה סימן במדרגת הסיפרא לומר שכבר חלקנו ממנה ואע"ף שהיה נשאר לשם די לחלק אין ראוי לעשותו אלא בהורידו מאותה מדרגה לסמוכה התחתונה ממנה כ"ש כשישאר דבר שאין בו די לחלק או לא דבר כמו שהוא בכאן

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{23-\left({\color{blue}{8}}\times2\right)=7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7-7=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	00	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{71-\left(8\times8\right)=7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7-7=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	00	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{72-\left(8\times9\right)=}}{\color{green}{0}}}$	00
	0023		00230		002300
	204612		204612		204612
	708		708		708
	289		289		289

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle708\ the\ result}}

ונשוב לחלק מהשנים שנשארו על הד' על השנים התחתונים. ודי היה בזה לתת להם אחד אלא שלא יהיה די בג' הסמוכים להם לתת כמו זה לח' הסמוכי' לשנים התחתונים ונצטרך להוריד השנים העליונים ממדרגתם על הג' הסמוכים להם והיו שם כ"ג ונכתוב ספרא סמוך לז' לומ' לא מצאנו במדרגת השנים העליוני' דבר לחלק משם ונרשום סימן תחת הד' לומ' כבר חלקנו משם ספרא כי לא מצאנו דבר יותר. ונשוב לחלק הכ"ג לשנים והנה לא נוכל לתת תשעה וכ"ש יותר לפי שלא ישאר מהכ"ג להשלים עם האחד לשמונה לכן נתן להם שמונה ויעלו י"ו נגרע אותם מכ"ג ישארו שם ז'. ולפי שח' פעמים ח' הוא ס"ד נצטרך להוריד על האחד כל אותם השבעה וישאר שם ספרא על הכ"ג ויהיו א ע"א על הא' נגרע ס"ד מהם ישאר גם כן שם שבעה. ולפי שנצטרך להורידם על השנים לספק לח' פעמים ט' שהם ע"ב נכתוב ספרא על האחד גם כן. ואחר שהורדנו אותם על השנים והיו ע"ב נגרע מהם ע"ב מכפילת ח' פעמים ט' ולא ישאר גם לשם דבר ונכתוב ספרא על השנים והנה כבר חלקנו כל המספר ולא נותר עד אחד. ונאמין זה לפי שהגיע מדרגות החלוקה עד מדרגות האחדי' וגם כן לפי שכבר חלקנו מדרגות מספר הששה למספר השנים התחתוני' והם שוים במדרגתם. ואין מקום לחלק עוד ממדרגה פחותה ממנה לשנים לפי שהם ממדרגה גדולה. וזה כפי המכוון הראשון בחלוקה שאמרנו

Method of checking

Multiplication

$\scriptstyle708\times289=204612$

ואם עשית באמת החלוקה הנה כשתכפול התש"ח היוצאים בחלוקה על הרס"ט אשר חלקת עליהם יהיה העולה שוה למאתים וארבעת אלפים ותרי"ב שחלקת אותם

\scriptstyle c\div a=b+remainder\longrightarrow c=\left(a\times b\right)+remainder

ובזה תבחין כל חלוקה שתעשה אלא שראוי שתדע שאם נשארו לחלק שום מספרים על המספר הנחלק שראוי שתקבצם עם העולה מהכפילה ואז ישתוה למספר הנחלק. ויש מי שבקש מופת לדעת אם טעה בקבוץ המספרים בהשליך אותיות הנקבצים ט'ט' ואחזיק בנשאר וככה ישאר בכלל העולה אחרי השליך אותיותיו ט'ט'. כיצד מהשטה הראשונה לא נשאר דבר כי אם הלכו להם ט'ט'. ומן השטה התחתונה נשארו ד'. והנה אם כן נשארו ד' מהכלל העולה. והטעם בזה הוא כי אין קבוץ שני המספרים יחד דבר אחר זולתם השליך התשיעיות שהם ממין אחד כיצד כשקבצנו הח' והז' מהאחדים והיו ט"ו הנה כתבנו באחדים חמשה ועם העשרות אחד. והפלנו מהט"ו ט' וכן כשקבצנו העשרות ועלו י"ו הנה כתבנו בעשרות ששה ובמאות א' והפלנו והפלנו ט' וכן כשקבצנו האלפים הפלנו ט' וכתבנו א'. והנה אין הפרש בין המספרים הנקבצים לכלל העולה זולתי אלה התשיעיות. ואם כן בהפיל אותם ישארו שוים [.....]ים שמהשוים כשנפיל שוים ישארו שוים. כשנפיל עוד התשיעיות הנקבצים מהאחדים והעשרות והמאות וכו' מהמספרים הנקבצים וכן נפיל אותם מהכלל העולה כמו כן הנה ראוי שיהיה הנשאר בהם שוים ומזה המשפט תבין הטעם גם כן בגרעון כי המספר הנגרע והמספר הנשאר מקובצים ישתוו למספר אשר גרעת ממנו ואם כן יהיה הגרעון מתהפך לקבוץ בכח ובכפילה הנה הטעם הוא כי התשיעיות בכל מספר שיוכפלו יעלה מהם תשיעיות. ואם כן לא נשאר במספרים הנכפלים אלא מה שעלה [מכ]פילת העודף על תשיעיות בזה המספר בעודף מתשיעיות במספר ה[שני] וזהו מה שראוי שישאר בכלל העולה מהכפילה אחר הפלת תשעיותיו. [מ]מספר הכפילה תבין הטעם בחלוקה כי שניהם מתהפכים כענין הקבוץ והגרעון

Dividing a small number by a larger one

הכוונה השנית בחלוקה לחלק מספר קטן על מספר גדול ממנו

Division of integers - result: fractions

כיון שזה בשלמים אע"פ שהחלוקה יצא בשברים נמצא זה בתוך השלמים

\scriptstyle a<b\longrightarrow a\div b=\frac{1}{10}\sdot\left(10a\div b\right)

ונאמר כי האנשים הרגילו בחלוקה זאת לכפול המספר הקטן בעשרה והיוצא יחלקו על המספר הרב אם היוצא יותר ממנו והיוצא בחלוקה יהיו עשיריות

\scriptstyle a<b\longrightarrow a\div b=\frac{1}{10}\sdot\left[\frac{1}{10}\sdot\left(10a\div b\right)\right]

ואם אין די בכפול בעשרה לחלק על מספר הרב או אם ישאר דבר לחלק אחר הכפילה בעשרה הנה תכפול אותם עוד בעשרה ויהיה היוצא עשיריות של עשיריות וכן תמיד

$\scriptstyle4\div50$

ומשל לאחד רצינו לחלק ד' על חמישים

הנה עשינו אותם עשיריות עדין אין די נעשה אותם עוד עשיריות יהיו ד' מאות נחלקים על החמישים יצא לכל אחד שמונה והם עשיריות של עשיריות

$\scriptstyle6\div50$

[ומ]של לשני רצינו לחלק ששה על חמישים

עשינו אותם עשיריות היו ששים חלקנו אותם על החמישים יצא לכל אחד א' וישארו שם עשרה נעשם עוד עשיריות ויהיו מאה נחלקם על חמישים יצא לכל אחד שנים והם עשיריות של עשיריות

\scriptstyle a<b\longrightarrow a\div b=\frac{1}{b\div a}

ואמנם לפי שהחלוק הזה בלתי טבעי אני אומר כי נחלוק המספר הגדול על הקטן והמספר היוצא יהיה שם השבר היוצא בחלוק

$\scriptstyle4\div12$

המשל בזה נרצה לחלק ד' על י"ב

הנה נהפך המשפט ונחלק הי"ב על הד' ויצא בחלוקה שלשה ואומר כי שם השבר אשר יצא בחלוקה הוא שליש

\scriptstyle{\color{blue}{4\div12=\frac{12}{3}\div12=\frac{1}{3}}}

וכן הוא כי כשנעשה הד' שלישים כלם יהיו י"ב שלישים וכשנחלקם לי"ב יצא לכל אחד שליש וכזה כל מה שיביאך אליו החלוקה

Dividing a number to unequal parts

הכוונה הג' בחלוקה לחלק מספר מה על מספר אחר לחלקים בלתי שוים

$\scriptstyle600=2a+3a+5a$

ויהיה משל בזה רצינו לחלק שש מאות על ג' בענין שיצא לראשון ביחס השנים ולשני ביחס השלשה ולשלישי ביחס הה'

ואז ראוי שנקבץ היחסים כלם ויגיע מהם עשרה נחלוק עליהם השש מאות יצא לכל אחד שישים נכפיל זה ביחס השנים ויעלו ק"כ וזה מה שראוי לראשון. עוד נכפול זה בג' ויעלו ק"ף וזה מה שראוי לשני. עוד נכפול זה בה' יעלו ש' וזה מה שראוי לג'

$\scriptstyle600=\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}a$

וכן אם אמרנו לחלקם על ג' ויהיה לראשון יחס החצי ולשני יחס השליש ולשלישי יחס הרביע

הנה נדרוש מספר ימצאו בו היחסים כלם ונמצאהו כשנכפול החצי בשליש ויהיה ו' וזה בד' ויגיע כ"ד ונקבץ החצי והשליש והרביע ויעלו כ"ו. ואחר נחלוק הו' מאות עליהם יצא לכל אחד כ"ג וחלק מי"ג ונקח חצי הכ"ד שהוא י"ב ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו רע"ו וי"ב חלקים מי"ג וזהו מה שראוי לראשון. עוד נקח שליש הכ"ד והם שמונה ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו קפ"ד וח' חלקים מי"ג וזהו מה שראוי לשני עוד נקח רביע הכ"ד והם ו' ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו קל"ח וו' חלקים מי"ג. וכשתקבץ הכל יעלו הו' מאות

Chapter Five - Proportions	המין הה' בערכים
Finding the ratio of what is partly unknown, relying on a similar ratio that is fully known	הכוונה בו לדעת ערך מה שנעלם קצתו מפני ידיעתנו ערך אחר דומה לו בכללו
The Rule of Four
Proportion between four terms - in actu $\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4$	והנה הערך ימצא בפעל בין ד' גבולים
$\scriptstyle4:6=8:12$	כאלו תאמר כי ערך הד' אל הו' הוא כערך הח' אל הי"ב
The Rule of Three
Proportion between three terms - in potentia $\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3$	וימצא בכח בג' גבולים כאשר השנים מהם האמצעיים אחדים [בחמר] נפעל
$\scriptstyle4:6=6:9$	כאלו תאמר כי ערך הד' אל הו' הוא כערך הו' אל הט'
The rule of three as a special case of the rule of four, in which the two means are equal: The mean = one name in actu - in form; many in potentia - the number of proportional numbers	והנה האמצעי שם אחד בפעל ר"ל בצורה רבים בכח ר"ל כמספר הנערכים
The Rule of Three can be deduced from the Rule of Four	לכן המשפט נעשה בד' נערכים ומשם יובן הג' נערכים שהם ד' כמו שאמרנו
The Rule of Four $\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4$ $\scriptstyle4:6=8:x$	והנה כשנודע לנו הערך האחד כאלו תאמר ערך הד' אל הו' ומהערך האחר נדע גבול אחר ונעלם גבול אחד ממנו כאלו תאמ' שנעלם הי"ב
$\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}$ $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{6\sdot8}{4}=\frac{48}{4}=12}}$	הנה אז נכפול הגבול השני מהערך הראשון שהוא ששה בגבול הראשון מהערך השני שהוא ח' ויעלו מ"ח נחלוק אותו על הגבול הראשון שהיה ד' ויצא בחלוקה י"ב והוא המבוקש בו
$\scriptstyle4:6=x:12$	נשים הנעלם מהערך השני הוא ח'
$\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}$ $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{4\sdot12}{6}=\frac{48}{6}=8}}$	הנה אז נכפול הגבול הראשון מהראשון שהוא הד' בגבול השני מהערך השני שהוא הי"ב ויעלו מ"ח נחלוק אותו על הו' ויצאו ח' והוא הנעלם המבוקש
Argumentation:	והסבה בזה הוא
$\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3$	כל ד' מספרים נערכים הנה המשוטח הבא מכפילת הראשון ברביעי שוה למושטח הבא מכפילת השני בשלישי
Geometrical definition: the area of every surface is the product of its sides one by the other [= a composite number is the product of its divisors one by the other]	ועוד כי תשבורת כל מושטח הוא בא מכפילת הצלעות זה בזה
Based on Euclid [Elements, Book VII, definitions]: if the area of the surface and one of its sides are known, then the other side can be deduced [= if the composite number and one of its divisors are known, then the other divisor can be deduced] $\scriptstyle \frac{a\sdot b}{a}=b$	ועוד כל מושטח אשר ידענו התשבורת שלו וידענו צלע אחד מצלעיו הנה ידענו הצלע האחר בחלקנו התשבורת ההיא על השטח הנודע ויצא מספר הצלע הנעלם כמו שיתבאר כל זה באוקלידס ועליו
$\scriptstyle4:6=x:12$ $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot12=48=6\sdot8}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot12}{6}=\frac{48}{6}=8}}$	ועתה כאשר כפלנו הראשון שהיה ד' ברביעי שהיה י"ב ועלה מ"ח הנה לנו מושטח מה שהוא שוה למושטח השני הנעשה מהשני שהוא ו' בשלישי שהוא ח' אם כן מושטח ו' בח' הוא מ"ח ולפי שנודע לנו מזה המושטח הצלע הא' שהוא הו' נחלוק עליו המושטח שהיה מ"ח ויצא ח' והוא הצלע השני ממנו נודע
The Rule of Three $\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3$ $\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=\left(a_2\right)^2$	וכן במשל האחר מן הג' המספרים הנערכים כי ידענו שהמושטח הבא מן הראשון בשלישי שוה למושטח השני בעצמו
$\scriptstyle a_1=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_3}$ $\scriptstyle a_3=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}$	כי הנה אם נעלם המספר הראשון או השלישי הנה נכפול השני בעצמו ונדע תשבורת הראשון בשלישי ונחלק התשבורת על הראשון אם היה הוא נודע או על השלישי אם הוא הנודע ויצא לנו הנעלם
$\scriptstyle a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}$	ואמנם אם נעלם השני הנה נכפול הראשון על השלישי ויצא לנו תשבורת השני על עצמו נבקש שורש אותו התשבורת והוא יהיה המספר השני

Chapter Six - Roots

המין הו' בשרשים

A number is a root of another number if its product by itself is equal to the other number exactly

דע כי מספר שרשי למספר אחר יאמר כאשר תכפול אותו בעצמו ויעלה לכמו אותו המספר האחר בלא תוספת ומגרעת

A number is a square if it has such root

ויאמר מספר מרובע על מי שימצא לו מספר שרשי כזה

Every number is a root, but not every number is a square

ודע כי כל מספר הוא שורש ואין כל מספר הוא מרובע

The number of pairs of numbers between two consecutive squares $\scriptstyle n^2$ and $\scriptstyle \left(n+1\right)^2$ is equal to the number of squares preceding $\scriptstyle \left(n+1\right)^2$ [i.e. n]

אבל כל המספרים מרובעים זוגי מספר במספר כמספר המרובעים שעברו עד המרובע האחרון מהם

$\scriptstyle1=1^2$

כיצד הא' הוא שורש עצמו ומרובע בעצמו

Between 1 and 4 - one pair of numbers: 2, 3. One square preceding 4: 1

והד' הוא מספר מרובע הנה ביניהם זוגי מספרים שהם הא' והשלש כמספר המרובעים שעברו שהיה הוא האחד

Between 4 and 9 - two pairs of numbers: 5, 6; 7, 8. Two squares preceding 9: 1, 4

עוד הט' הוא מספר מרובע והנה בין הד' והט' זוגי מספרים שנים והם הה' והו' והז' והח' כמספר המרובעים שעברו עד הט' שהם שנים והם הא' והד'

Between 9 and 16 - three pairs of numbers: 10, 11; 12, 13; 14, 15. Three squares preceding 16: 1, 4, 9

עוד הי"ו הוא מספר מרובע הנה בין הט' והי"ו זוגי מספרים ג' והם הי' והי"א והי"ב והי"ג והי"ד והט"ו כמספר המרובעים שעברו עד הי"ו והם ג' הא' והד' והט' וכן לעולם

The first square is an odd number; the second square is an even number; the third square is an odd number; the fourth square is an even number - and so on

ועוד דע כי המרובע הראשון הוא נפרד והשני זוג והשלישי נפרד והרביעי זוג וכן לעולם

The root of an odd square is odd and the root of an even square is even

וזה כענין שרשיהם כי שורש המרובע הנפרד הוא נפרד ושורש המרובע הזוג הוא זוג

The product of an odd number by an odd number is an odd number; the product of an even number by an even number is an even number

וכשתכפול הנפרד בנפרד יעלה נפרד והזוג בזוג יעלה זוג

The order of the roots is similar to the order of the squares: one odd number, one even number and so on

והנה סדר השרשים אחד נפרד ואחד זוג תמיד

1 - the root of 1, is an odd number; 2 - the root of 4, is an even number; 3 - the root of 9, is an odd number

כי הא' שורש הא' והוא נפרד והב' שורש הד' והוא זוג והג' שורש הט' והוא נפרד וכן תמיד

[When the number of ranks of the square is odd] the number of ranks of the root is half the number of ranks of its square plus one half

עוד דע כי מדרגות השורש ראוי להיות בחצי מדרגות המרובע ועוד חצי מדרגה

The number of ranks of a product of two numbers is equal to the sum of the numbers of ranks of both numbers minus 1

וזה כי כבר אמרנו בהכפלה כי נדע המדרגות העולות מכפילת כל מספר במספר בקבץ מדרגתם והסר מהם אחד

The squares are products of the roots by themselves - so, numbers of the ranks of both multiplicands (= the same root) are equal, therefore the number of ranks of the root should be half the number of ranks of the square plus one rank of both multiplicands (= the root), i.e. one half for each

ולפי שבשרשים מדרגות הנכפלים שוים לפי שהוא נכפל בעצמו ראוי אם כן להיות מדרגות השורש חצי מדרגות המרובע ועוד מדרגה אחת בשניהם שהוא חצי מדרגה לכל אחד

Thus, there can be no root for an even number of ranks - the square must have an odd number of ranks, so that half of that number plus one half will give an odd integer as the number of ranks of its root

על כן לא יתכן לבקש שורש למדרגות שום מרובע כשיהיו זוגות כי לא יתכן להיות חצי מדרגה אלא בשרשים שמדרגתם נפרדים שבהם כי ימצא חצי מדרגה וכשנוסיף מדרגה אחרת ימצא בהם מדרגה שלמה

Hence, when there is an even number of ranks, the calculation of the root should start from the second highest rank, so that the number of ranks will be odd, and half of this number of ranks plus one half will be the integer number of ranks of the root - the highest rank of the root will thus be exactly half the number of ranks of the given number

ואם כן בכל מספר שמדרגתם זוגות ראוי להוריד האות האחרונה מהם לסמוכה לה ואז יהיו מדרגתם נפרדות ויהיה חצי מדרגתם עם החצי מדרגה שנוסיף מדרגות שלמות והם יהיו מדרגות השורש והנה נתחיל למנות מהמדרגה העליונה עד חצי המדרגות למפרע ושם נכתוב המדרגה העליונה מהשורש ועד שם יגיע

Calculations with units and simple numbers are better known and easier than calculations of higher and more complex numbers

עוד דע כי כשנחשב חשבונות במספרים הנה כל מה שנקרב אל הפשוטים ואל האחדים יהיה יותר ידוע לנו מהמתרחקים מהם

Addition of units is almost self-explanatory axiom

ולזה חבור אחדים מה עם אחדים כמעט שהוא מושכל ראשון

Higher and complex numbers require calculation technique

ואינו כן במספרים הרחוקים המורכבים כי נצטרך למלאכה לדעתו

Thus, when wishing to find the root of a square number, the extraction of the root should be executed one part after the other instead of seeking the whole root at once

ולזה כשנתור לדעת שורש כל מספר מרובע אין ראוי לנו לבקש השורש כלו ביחד אבל חלק אחר חלק עד תומם

Extracting roots - written procedure

Description of the procedure:

The highest rank is odd

ולכן נתחיל לבקש תחלה שורש האות אשר במדרגה העליונה אם הם נפרדות

The highest rank is even

ואם הם זוגות תורידה אל הסמוכה לה ותעשה שם עשרות

The interim result

ובקש מספר שרשי שכשתכפלהו על עצמו יעלה כמוהו או כל מה שאפשר ממנו ותכתבהו במדרגתה כמשפט שאמרתי לך

The interim remainder

ותכתוב הנשאר באותה מדרגה עליה ורשום שם סימן לומר כבר חלקנו משם

Product of a number by itself = products of each of its ranks by itself and by the others

עוד דע כי כפולת כל מספר בעצמו הוא כמו כפולת מדרגותיו כל אחת בעצמה ובאחרת

$\scriptstyle{\color{blue}{12^2=144=100+4+20+20=\left(10\sdot10\right)+\left(2\sdot2\right)+\left(10\sdot2\right)+\left(2\sdot10\right)}}$

ומשל לזה רצינו לכפול י"ב על י"ב והם קמ"ד הרי הוא כמו כפילת העשר שבמדרגה העליונה עם העשר האחר והוא ק' וכמו כן כפילת השנים על השנים והם ד' וכמו כפילת העשר העליונים בשנים התחתונים שהם כ' ועוד כפילת השנים העליונים בעשר התחתונים שהם כ' אחרים והנה כשתקבץ הכל יעלו קמ"ד

$\scriptstyle\sqrt{144}$

והנה דרך בקשת שורש קמ"ד

ראוי אם כן להיות בזה אחר שמדרגותיו נפרדים נבקש שורש המאה והוא עשר ונכתוב א' במדרגה השנית כי היא חצי המדרגות ועוד חצי מדרגה ולא נשאר דבר בק'. ואחר נאמ' אי זה מספר הוא אשר כשנכפול אותו בעשרה והעשרה בו יכלול המ' או קרוב שאפשר ממנו וכשנכפול אותו על עצמו יכלול הד' עם מה שישאר מהמ' אם יהיה שם נשאר כי בזה ישלם כפילת כל מדרגותיו כמו שאמרנו ונמצא כי הוא השנים נכתוב אותו סמוך לאחד וזה כי כשנכפול בו העשרה יהיו עשרים. וכשנכפול אותו בעשרה יהיו עשרים אחרים הרי המ' נכללים וכשנכפול אותו בעצמו יעלו ד' וכשנקבץ הכל יעלו קמ"ד הרי ששרשם הוא י"ב

The same way for a large number, with numerous ranks

ומזה תשכיל ותדע לעשות אפי' שיהיו המדרגות רבות

Extracting roots of non-square numbers $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}$

Since not every number is a square - a remainder may be left at the end of the extraction procedure

ולפי שאין כל מספר הוא מרובע הנה כבר ישאר מספר מה על המספר הנחלק אחר שהוצאנו ממנו המרובע

This case should be discussed in the section on fractions (because the remainder is a fraction), but as the given number to be extracted is integer - it is discussed here

והנה אע"פ שזה ראוי לעיין בו בשברים הנה לפי שהוא בשלמים נדבר בו בכאן

The remainder must be less than double the [approximate] root $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\longrightarrow b<2a$

ואומר כי בהכרח שישאר שם פחות מכפל השורש

$\scriptstyle b>2a\longrightarrow b=2a+1+c\longrightarrow\sqrt{a^2+b}=\sqrt{\left(a^2+2a+1\right)+c}=\sqrt{\left(a+1\right)^2+c}$

\scriptstyle\longrightarrow a^2

is not the closest square to

\scriptstyle\left(a^2+b\right)

ועוד אחר שאלו היה נשאר שם יותר היינו יכולין לתת אחד יותר ממה שהוצאנו בשורש הראשון כי לא יתרבה בזה מכפילת השורש השני הזה אלא האחר בשורש הראשון והשורש הראשון באחר והאחר בעצמו והנה די בנשאר לזה

$\scriptstyle b<2a\longrightarrow finding\, r<1\, so\, that:\, b=\left(r\sdot a\right)+\left(a\sdot r\right)+r^2\longrightarrow\sqrt{a^2+b}=a+r$

ועתה כשנבקש לכלול הנותר הזה בהוסיפנו חלק מה על השרש הנה נראה איזה שבר הוא אשר כשנכפול אותו בשורש והשורש בו והוא בעצמו יכלול הנשאר והוא יהיה השורש

If there is no such r<1: finding an approximate r

ואם לא תמצא שבר כזה בקש הקרוב אליו

$\scriptstyle\sqrt{973182}$

ויהיה משל אחר לזה רצינו לדעת שורש תשע מאות ושבעים ושלשה אלפים ומאה ושמונים ושנים

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{97>9^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{97-{\color{blue}{9}}^2=}}{\color{green}{16}}\\\end{align}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{163-\left[\left(9\times8\right)+\left(8\times9\right)\right]=19}}\\&\scriptstyle{\color{red}{19-7=}}{\color{green}{12}}\\&\scriptstyle{\color{red}{71-{\color{blue}{8}}^2=}}{\color{green}{7}}\\\end{align}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{127-\left[\left(9\times6\right)+\left(6\times9\right)\right]=19}}\\&\scriptstyle{\color{red}{19-10=}}{\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{108-\left[\left(6\times8\right)+\left(8\times6\right)\right]=12}}\\&\scriptstyle{\color{red}{12-4=}}{\color{green}{8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{42-{\color{blue}{6}}^2=}}{\color{green}{6}}\\\end{align}}$	0
				01		0109
		16		1627		162786
973182		973182		973182		973182
		9		98		986

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle986\ the\ root\\&\scriptstyle986\ the\ remainder\\\end{align}}}

ולפי שמדרגותיו זוגות נוריד הט' על הז' ויעלו צ"ז נבקש שורש שבהכפלו יגיע לזה או היותר שאפשר ממנו והוא יהיה הט' נקח חצי המדרגות שהם שהם עד מספר הז' כי המדרגת הט' אין למנות אותה שכבר הורדנו אותו ממדרגתו והם שתים וחצי ונוסיף חצי מדרגה עוד ויהיו שלשה מדרגות אם כן תחת מספר האחד נכתוב הט' שיצא לנו לשורש נכפול אותו בעצמו יגיע פ"א נגרע אותו מצ"ז ישארו שם י"ו. נכתוב האחד שהוא העשרה על הט' והששה על הז'. ונרשום סימן על הז' שכבר שרשנו משם ואין לבקש משם עוד שורש עוד נשוב לשרש מהשלשה ונוריד עליו הששה שנשארו על השבעה וגם האחד שנשאר על הט' ויחשבו עליו לקס"ג. ונאמר אי זהו המספר שכשנכפול אותו בט' והט' בו יכלול הקס"ג. וכשנכפול אותו בעצמו יכלול האחד אשר אצלו. עם מה שישאר מהעליונים ממנו. ונאמר כי הוא השמונה כי אם נתן ט' לא יספיק לכל והנה הח' כפול בט' הם ע"ב והט' בח' ע"ב הם קמ"ד נגרע אותם מהקס"ג ישארו י"ט נקח מהם ז' להוריד על האחד לכלכל משם לח' כשנכפלם בעצמם וישארו שם י"ב נכתוב השנים על השלשה והעשר שהוא אחד על הששה ונכתוב סיפרא על האחד שנשאר על הט' העליונה והנה לנו על האחד אשר בחשבון עם הז' שהורדנו עליו ע"א נגרע ממנו ח' פעמים ח' שהוא ס"ד ישארו שם שבעה ונכתבם עליו. ונשים סימן על השלשה לומ' כבר שרשנו משם. ונשוב עוד לשרש ממדרגות האחד ר"ל ממה שנשאר עליו והוא ז' עם כל הנשאר למעלה ממנו שכשהורדנו עליו יהיו קכ"ז. ונאמ' אי זהו מספר אשר כשנכפול אותו בט' והט' בו יכלול הקכ"ז האלה או היותר ממנו שאפשר וכשנכפול אותו בח' והח' בו יכלול השמונה הסמוכים לו עם מה שנשאר למעלה או היותר שאפשר וכשנכפול אותו על עצמו יכלול השנים עם מה שנשאר במדרגות אשר למעלה או כל מה שאפשר מהם ונאמר כי הוא מספר הששה ונכתבם במדרגת האחדים והנה אין עוד שורש אחר זה. ונאמר כי ששה פעמים ט' וט' פעמים ששה הוא ק"ח נגרע אותם מקכ"ז ישארו י"ט נקח מהם עשרה להוריד על הח' הסמוכים לכלכל לח' התחתונים כשנכפלם בששה והששה בהם ישארו שם ט' נכתבם על הז' ונכתוב ספרא על האותיות העליונות שנשארו על הששה ועל הששה והנה העשרה שהורדנו על הח' יעלה לשם עם הח' לק"ח נגרע מהם צ"ו מכפילת ששה על הח' והח' על הו' ישארו שם י"ב. ולפי שנצטרך להוריד ד' על הב' לכלכל לו' כשנכפלם בעצמם ישארו לשם ח'. ונכתבם על הח' עוד הנה הד' שהורדנו על השנים עם השנים עלו למ"ב נגרע מהם ששה פעמים ששה שהם ל"ו ישארו שם ששה שנכתבם על הב' והנה יצא תתקפ"ו ונשארו עוד תתקפ"ו אחרים שלא מצאנו שורש בשלמים שיכלול גם אותם על כן נבקש אותו בשברים ונאמ' אי זהו מספר אשר כשנכפול אותו בתתקפ"ו והתתקפ"ו בו ונכפול אותו בעצמו יכלול זה ונאמר כי הוא החצי בקרוב אלא שחסר לנו רביע לכלכל לכפילת החצי על עצמו

Check: multiplying the root by itself - and adding the remainder to the product

ויבחן המעשה הזה כאשר תכפול השורש היוצא על עצמו שראוי להשתוות למספר אשר בקשת שורשו כשתחבר אל הכפילה הנשאר על המספר שבקשת שורשו

Converting three fractions to one fraction	ואם יהיו ג' מיני שברים
Chapter Seven - Fractions	המין הז' בשברים
Including all the types of arithmetical operations	והיא דמות כל המינים כלם
Conversion of fractions
The need of learning the conversion of fractions to fractions or to one fraction	ואומר בראשונה כי צורך גדול לזה הוא ידיעת המרת שברים בשברים או הפך שני שברים או יותר לשבר אחד
Converting fractions to fractions	אמנם שברים לשברים
quarters to sixths	כאלו תאמר נמיר רביעיות לשישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}=\frac{\frac{6}{4}}{6}=\frac{1+\frac{1}{2}}{6}=\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	הנה אז תחלוק הו' אל שישיות על הד' מהרביעיות ויצא אחד וחצי והנה שישית וחצי הוא הרביע
quarters to thirds of quarters	או נאמר נמיר רביעיות לשלישי רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}=\frac{\frac{\frac{3\sdot4}{4}}{3}}{4}=\frac{\frac{\frac{12}{4}}{3}}{4}=\frac{3}{3}\sdot\frac{1}{4}}}$	נכפול ג' בד' של ג' רביעיות ויהיו י"ב נחלקם על ד' של רביעיות ויצאו ג' והנה הרביעית הוא ג' שלישי רביעיות
quarters to thirds of fifths	או שנאמ' נמיר הרביעיות בשלישי חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{{\color{red}{3}}}{4}=\frac{\frac{3\sdot5}{4}}{5}=\frac{\frac{15}{4}}{5}=\frac{3+\frac{3}{4}}{5}=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	נכפול הג' בה' ויעלו ט"ו נחלקם על ד' ויצאו ג' וג' הרביעיות והנה הרביע הוא ג' חמישיות ועוד ג' רביעיות חמישיות
Converting two fractions to one fraction	או שנרצה להפך שני שברים לשבר אחד היותר קרוב שאפשר
	ויהיה המשל רצינו לדעת שבר ראשון שבו ישתתפו עשיריות בח' עשיריות
Finding the least common multiple (smallest common denominator)	והנה בתחלה ראוי לבקש המספר הראשון שבו ישתתפו ויהיה כזה
One common divisor	בתחלה נדע אם הם משתתפים למספר ימנה אותו
Two common divisors	ואם משתתפים בב' מספרים נבקש היותר גדול
	והנה העשרה והי"ח משתתפים בשנים אשר ימנה אותם ונדע במה ימנה לעשרה בה' ולי"ח בט'. ואחר נכפול הי' בט' ויהיו תשעים או הי"ח בה' והוא יהיה המספר הראשון שבו ישתתפו העשרה והי"ח. ועתה הנה העשירית יהיה הט' מתשעים שבו מנה השנים לי"ח. והח' עשיריות יהיה הט' מתשעים שבו מנה הב' לעשרה
	כאלו תאמר העשירית והשתים עשירית והח' עשירית הנה בתחלה נבקש מספר ראשון שישתתפו בו העשירית והשתים עשירית ונמצא אותו בבקש המספר הגדול שימנה שימנה אותם והנה הוא הב' בכאן כי ימנה לי' בה' ולי"ב בשש והנה הו' והה' יהיו הב' מספרים אשר הם על פחות מספרים אשר על יחס הי' והי"ב ולכן אם תכפול העשר בו' או הי"ב בה' יעלו ס' והוא יהיה המספר הקרוב שישתפו בו הי' והי"ב עוד ראה המספר הגדול שימנה לס' האלו ולי"ח כי הוא הוא הששה כי ימנה לס' בי' ולי"ח בג' תכפול הס' בג' ויעלו ק"פ והוא המספר הראשון שישתתפו בו שלשתם. ואם תרצה לדעת כמה הוא העשירית ממנו הו' מונה לי"ב בג' המונה לי"ח ויעלו י"ח והוא העשירית. ואמנם השתים עשירית כפול הה' המונה לי' בג' המונה לי"ח ויעלו ט"ו והוא יהיה הב' עשירית ואמנם הי"ח עשירית הוא יהיה הי' המונה לס' כמו שהששימית יהיה השלשה המונה לי"ח אם רצינו לדעת אותו אלא שאין המכוון בכאן אלא בשלשת השברים הראשונים שהם הי' והי"ב והי"ח
If a and b do not have a common divisor → their least common multiple = a·b	ודע כי אם לא ישתתפו המספרים במספר ימנה אותם הנה אז ימצא המספר שישתתפו בו השברים ההם בכפול האחד על האחר
the least common multiple of 5 and 6 = 5·6 = 30	כאלו תאמ' חמישיות ושישיות שאין דבר שימנם אלא האחד הנה המספר הראשון שימצאו בו אלה השרשים הוא השלשים הבא מכפילת הה' בו' ואז החמישית הוא שם השבר. ר"ל הששה והשישית הוא בא משם השבר האחר ר"ל החמשה
For three numbers that do not have common divisor	ואם היו שלשה מספרים בלתי משתתפים במונה
the least common multiple of 3; 4 and 5 = 3·4·5 = 60	כאלו תאמ' השלשה והארבעה והחמשה הנה המספר שישתתפו בו ימצא בכפול הג' בד' ויהיו י"ב ואחר הה' בי"ב ויהיו ס' והנה המספר שמצאו השברים האלו. והנה השלישית בכפול הד'. וימצא הרביע בכפול הג' בה'. וימצא החומש בכפול הג' בד'
After explaining the conversion of fractions first the author turns to discuss the arithmetical operations with fractions	ועתה נדבר במינים הנאמרים בשברים
Starting with the addition operation as usual	ונתחיל בקיבוץ כמנהג
Addition of fractions	המין הא' בקבוץ השברים
Two fractions with no common denominator $\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]+\left[c\sdot\left[\frac{1}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]}{b\sdot d}$	ונתחיל בקבוץ שני שברים שלא ימצא להם מספר שימנם
$\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}$	ונשים משל לזה רצינו לקבץ שני שלישיות בג' רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}&\scriptstyle=\frac{2\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3\sdot4\right)\right]}{3\sdot4}+\frac{3\sdot\left[\frac{1}{4}\sdot\left(3\sdot4\right)\right]}{3\sdot4}\\&\scriptstyle=\frac{2\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)}{12}+\frac{3\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}{12}\\&\scriptstyle=\frac{2\sdot4}{12}+\frac{3\sdot3}{12}\\&\scriptstyle=\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{8+9}{12}=\frac{17}{12}=1+\frac{5}{12}\\\end{align}}}$	הנה נבקש מספר ראשון שישתתפו בו הג' והד' ויהיו י"ב והנה השליש הוא ד' כמו שאמרנו נכפול השנים ממספר השלישיות בד' ויהיו ח' והם הב' שלישיות עוד הרביע הוא ג' נכפול בהם הג' ממספר הרביעיות ויהיו ט' והנה הג' רביעיות נקבץ הח' והט' ויהיו י"ז חלקים מי"ב נחלקים על י"ב ויצא אחד שלם וישארו עוד ה' חלקים מי"ב וזהו העולה
Three fractions with no common denominator $\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{g}{h}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\sdot h\right)\right]\right]+\left[c\sdot\left[\frac{1}{d}\sdot\left(b\sdot d\sdot h\right)\right]\right]+\left[g\sdot\left[\frac{1}{h}\sdot\left(b\sdot d\sdot h\right)\right]\right]}{b\sdot d\sdot h}$	ואם נרצה לקבץ ג' מספרים
$\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}$	כאלו תאמר ב' שלישיות וג' רביעיות וד' חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5=12\sdot5=60}}$	הנה לפי שלא ימנה לשברים הללו אלא האחד אכן הנה לא ימצא מספר ראשון שישתתפו בו אלא בכפול הג' בד' והיו י"ב וזה בה' ויהיו ס' וזה יהיה דמות השלם אשר נבקש שבריו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}&\scriptstyle=\frac{2\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)}{60}+\frac{3\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)}{60}+\frac{4\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)}{60}\\&\scriptstyle=\frac{2\sdot\left(4\sdot5\right)}{60}+\frac{3\sdot\left(3\sdot5\right)}{60}+\frac{4\sdot\left(3\sdot4\right)}{60}\\&\scriptstyle=\frac{2\sdot20}{60}+\frac{3\sdot15}{60}+\frac{4\sdot12}{60}=\frac{40}{60}+\frac{45}{60}+\frac{48}{60}\\&\scriptstyle=\frac{40+45+48}{60}=\frac{133}{60}=2+\frac{13}{60}\\\end{align}}}$	והנה השליש ימצא בכפול הד' בה' שהוא עשרים ושני השלישים ימצא בכפול השנים בעשרים ויהיו מ' והרביעי ימצא בכפול הג' בה' ויהיו ט"ו וג' הרביעיות יהיו בכפול הג' בט"ו ויעלו מ"ה והחמשי ימצא בכפול הג' בד' ויהיו י"ב וד' החמשיות בכפול הד' בי"ב ויהיו מ"ח ועתה נקבץ המ' והמ"ה והמ"ח ויעלו קל"ג ונחלק אותו על הס' שהוא דמות השלם ויצא שנים שלמים ועוד י"ג חלקים מס'
The same way for four fractions and more	ומזה תבין לד' שרשים או יותר
The method above can be used also if the denominators of the fractions have a common divisor, or if one of the denominators is a divisor of the other	ואמנם אם ימצא לשברים מספר שימנם בו שימנה האחד לאחר הנה יכול היית לעשות כדין הנאמרים למעלה
Yet, then the fraction that will be found will not be a reduced fraction	אלא שלא יהיה השלם ההוא המספר הראשון שישתתפו בו אותם השברים שהוא היותר נאות לפי שהוא ראשון ומספר יותר קטן
Reduced fraction is more comprehensible - therefore it is better to find the least common multiple of the denominators	והשכל יקיף בו ובשבריו יותר מ[קרה]. ולזה ראוי לבקש להם המספר הראשון שישתתפו לשלם
Two fractions, the denominator of one of them is a divisor of the other $\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d\sdot b}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]+c}{b\sdot d}$	ויהיה המשל בתחלה לזה בב' שברים שימנה האחד לאחר
$\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{4}{9}$	כאלו תאמר רצינו לקבץ שני שלישיות בד' תשיעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{4}{9}=\frac{2\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)}{9}+\frac{4}{9}=\frac{2\sdot3}{9}+\frac{4}{9}=\frac{6}{9}+\frac{4}{9}=\frac{6+4}{9}=\frac{10}{9}=1+\frac{1}{9}}}$	ולפי שהשלש מונה לט' בג' נשים השלם הט' ויהיה השליש ג' כמספר אשר הוא מונה בו לט' נכפול אותו בב' ממספר השלישיות יעלו ו' והם הב' שלישיות נקבץ אותם לד' מהתשיעיות יעלו עשרה נחלק אותם על הט' יצא אחד שלם ועוד תשיעית אחד
Two fractions with common divisor $\scriptstyle\frac{a}{b\sdot g}+\frac{c}{d\sdot g}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b\sdot g}\sdot\left(b\sdot d\sdot g\right)\right]\right]+\left[c\sdot\left[\frac{1}{d\sdot g}\sdot\left(b\sdot d\sdot g\right)\right]\right]}{b\sdot d\sdot g}$	ואם לא ימנה האחד לאחר אבל ימצא מספר אחר שימנה אותם
$\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{4}{6}$	כאלו תאמר רצינו לקבץ ג' רביעיות בד' שישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{4}{6}&\scriptstyle=\frac{3}{2\sdot2}+\frac{4}{2\sdot3}\\&\scriptstyle=\frac{3\sdot\left[\frac{1}{4}\sdot\left(2\sdot2\sdot3\right)\right]}{2\sdot2\sdot3}+\frac{4\sdot\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2\sdot2\sdot3\right)\right]}{2\sdot2\sdot3}\\&\scriptstyle=\frac{3\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}{12}+\frac{4\sdot\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)}{12}\\&\scriptstyle=\frac{3\sdot3}{12}+\frac{4\sdot2}{12}\\&\scriptstyle=\frac{9}{12}+\frac{8}{12}=\frac{9+8}{12}=\frac{17}{12}=1+\frac{5}{12}\\\end{align}}}$	שימנה אותם הב' והוא היותר גדול שימנם אמנם לד' בב' ולו' בג' הנה אז נמצא המספר הראשון שישתתפו בו בכפול הד' משם הרביע במספר המונה לשישיות שהיה ג' ויעלו י"ב או בכפול הו' משם השישיות במספר המונה לד' שהיה ב' והוא יהיה דמות השלם ואחר נמצא הרביע משם הג' שמנה בו הב' לו' וג' רביעיות בכפול הג' בג' ויעלו ט' וכן נמצא השישית משם השנים שמנה בו השנים לד' וד' שישיות בכפול הב' בד' ויהיו ח' ונקבץ הח' והט' ויהיו י"ז ונחלק אותו על הי"ב ויצא אחד שלם ועוד ה' חלקים מי"ב בשלם
The method for three types of fractions or more can be deduced from these cases together with the conversion of fractions	ומזה וממה שאמרנו בתחלה ביסודות לדבר בשברים תשכיל ותדע איך תעשה אם יהיו השברים ג' מינים או יותר
Subtraction of fractions	המין הב' במגרעת
Subtracting fractions from integers or fractions from larger fractions	הכונה בו לגרוע שברים משלמים או שברים משברי' גדולים מהם
Fractions from integers $\scriptstyle c-\frac{a}{b}=\frac{\left(c\sdot d\right)-a}{b}$
$\scriptstyle1-\frac{5}{8}$	ויהיה המשל תחלה תגרע חמש שמיניות מאחד שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{5}{8}=\frac{8-5}{8}=\frac{3}{8}}}$	הנה אז מבואר בעשותנו השלם כלו שמיניות ויהיו שמונה נגרע מהם הה' נשארו ג'
Fractions with the same denominator $\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$	ואמנם בגרוע שברים משברים דומים גם הוא מבואר
$\scriptstyle\frac{5}{8}-\frac{3}{8}$	כי אם נרצה לגרוע ג' שמיניות מה' שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{2}{8}}}$	ונשאר ב' שמיניות
Fractions with different denominators - requires learning $\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]-\left[c\sdot\left[\frac{1}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]}{b\sdot d}$	אמנם מה שיש בו עיון הוא בשהם שברים מתחלפים
$\scriptstyle\frac{6}{8}-\frac{2}{4}$	כיצד רצינו לגרוע ב' רביעיות מו' שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{6}{8}-\frac{2}{4}&\scriptstyle=\frac{6\sdot\left[\frac{1}{8}\sdot\left(8\sdot4\right)\right]}{8\sdot4}-\frac{2\sdot\left[\frac{1}{4}\sdot\left(8\sdot4\right)\right]}{8\sdot4}\\&\scriptstyle=\frac{6\sdot\left(\frac{1}{8}\sdot32\right)}{32}-\frac{2\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot32\right)}{32}\\&\scriptstyle=\frac{6\sdot4}{32}-\frac{2\sdot8}{32}\\&\scriptstyle=\frac{24}{32}-\frac{16}{32}=\frac{24-16}{32}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}\\\end{align}}}$	הנה אז נצטרך לבקש המספר שישתתפו בו שני השברים וזה ימצא בכפול שם השבר באחר שהם ד' וח' והוא ל"ב ולפי שהרביע הוא שם השבר האחד והוא ח' וב' זה הרביעיות והוא י"ו והשמינית הוא שם השבר האחר והוא ד' וו' שמיניו' הם כ"ד הנה בגרענו הי"ו מהכ"ד ישארו ח' והם חלקים מל"ב בשלם שהם רביעיתם
If there are numerous fractions - their common denominator will be very large and the calculation will be more difficult	אמנם אם רבו שמות המספרים השברים והנה המספר שישתתו בו יהיה גדול מאד ויכבד העיון בו
The denominator of one fraction is a divisor of the other $\scriptstyle\frac{a}{b\sdot d}-\frac{c}{b}=\frac{a-\left[c\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]}{b\sdot d}$	וימנה השבר האחד לשבר האחר
$\scriptstyle\frac{12}{16}-\frac{4}{8}$	כאלו תאמר רצינו ד' שמיניות מי"ב שש עשיריות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{16}-\frac{4}{8}=\frac{12}{16}-\frac{4\sdot\left(\frac{1}{8}\sdot16\right)}{16}=\frac{12}{16}-\frac{4\sdot2}{16}=\frac{12}{16}-\frac{8}{16}=\frac{12-8}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}}}$	והנה המספר שישתתפו בו על דרך כפילת שם השבר באחר יהיה קכ"ח והוא מספר גדול להקיפו שכל המונה הנה אז ראוי שנדע באי זה מספר ימנה השמורים לי"ו והוא בב' ונכפול הד' מהשמיניות בשנים המונים ויהיו ח' ונגרע אותם מי"ב וישארו ד' והם חלקים מי"ו שהם רביעיתם
Two fractions with common divisor $\scriptstyle\frac{a}{b\sdot g}-\frac{c}{d\sdot g}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b\sdot g}\sdot\left(b\sdot d\sdot g\right)\right]\right]-\left[c\sdot\left[\frac{1}{d\sdot g}\sdot\left(b\sdot d\sdot g\right)\right]\right]}{b\sdot d\sdot g}$	ואם אמנם לא ימנה השבר האחד לאחר בכללו אבל ימנהו בחלקיו ר"ל שימצא מספר אחד שימנה לשניהם
$\scriptstyle\frac{14}{16}-\frac{8}{12}$	כאלו תאמ' רצינו לגרוע ח' שנים עשיריות מי"ד ו' עשיריות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{14}{16}-\frac{8}{12}&\scriptstyle=\frac{14}{4\sdot4}-\frac{8}{4\sdot3}\\&\scriptstyle=\frac{14\sdot\left[\frac{1}{16}\sdot\left(4\sdot4\sdot3\right)\right]}{4\sdot4\sdot3}-\frac{8\sdot\left[\frac{1}{12}\sdot\left(4\sdot4\sdot3\right)\right]}{4\sdot4\sdot3}\\&\scriptstyle=\frac{14\sdot\left(\frac{1}{16}\sdot48\right)}{48}-\frac{8\sdot\left(\frac{1}{12}\sdot48\right)}{48}\\&\scriptstyle=\frac{14\sdot3}{48}-\frac{8\sdot4}{48}\\&\scriptstyle=\frac{42}{48}-\frac{32}{48}=\frac{42-32}{48}=\frac{10}{48}\\\end{align}}}$	הנה אז נבקש המספר היותר גדול שימנם והוא הד' והנה ימנה לי"ב בג' ולי"ו בד' ונכפול הי"ב בד' או הי"ו בג' ויעלו מ"ח והנה השש עשיריות הוא וח' שנים עשיריות הוא ל"ב ואמנם הו' עשיריות הוא הג' וי"ד ו' עשיריו' הוא מ"ב ועתה כשנגרע הל"ב מהמ"ב ישארו שם י' והם חלקים ממ"ח
Reducing the fraction $\scriptstyle\frac{a\sdot c}{b\sdot c}=\frac{\frac{a\sdot c}{c}}{\frac{b\sdot c}{c}}=\frac{a}{b}$	ואם תרצה עוד להקטין שם היוצא הנה בקש עוד המספר הגדול שימנם ותחלוק עליו שם המספר היוצא ושם מספר השבר ויצא מספר יותר קטן מיוחס לראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{48}=\frac{\frac{10}{2}}{\frac{48}{2}}=\frac{5}{24}}}$	והמשל בזה עוד הנה נדע אי זהו המספר הגדול שימנה לעשרה ולמ"ח והנה בכאן הוא השנים ונחלוק עליו העשרה ויצאו ה' וכן נחלוק המ"ח עליו ויצאו כ"ד והנה הי' חלקים ממ"ח הם כמו חמשה חלקים מכ"ד שיצאו לנו באחרונה
Check: addition	ואמנם אמיתת זה המין יבחן בשוב לקבץ מה שגרענו מן עם היוצא ויהיה שוה למספר הגדול שגרענו ממנו כענין בשלמים
Multiplication of fractions	המין הג' בכפילת השברים
Multiplying a fraction by a fraction of an integer $\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}$	הנה הכוונה שתכפול שבר מה ביחס שבר מה אל השלם
$\scriptstyle\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}$	כאלו תאמר נכפול רביע א' ברביע פעם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1\sdot1}{4\sdot4}=\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$	והמעשה בו שתכפול הרביע ברביע ר"ל ד' על ד' ויהיו י"ו ותכפול האחד באחד ויעלה א' והנה העולה יהיה אחד מי"ו שוה רביע מרביע
The product of a quarter by a quarter = quarter of a quarter	לכן אם תרצה תאמר בכפילת רביע ברביע שהעולה הוא רביע מרביע
$\scriptstyle\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}$ The product of a quarter by a third = quarter of a third	וכן תאמר בכפילת רביע בשליש שהוא רביע משליש
How come the multiplication of integers is adding while the multiplication of fractions is reducing If n and m are integers → $\scriptstyle n\times m>n;\,m$ If n and m are fractions → $\scriptstyle n\times m<n;\,m$	ורבים תמהו איך הכפילה בשלמים מרבה ומוסיף והכפילה בשברים גורע ופוחת
The multiplication [of the numerators] is not the reason why the product of the fractions is smaller than the fractions themselves	והאמת כי הפחת והגרעון לא קרה לי מפני הכפילה מסבת זה מוסיף
$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}$	כיצד אם רצית לכפול שני שלישיות בד' חמישיות
The product of the numerators is greater than the numerators	הנה מצד הכפילה הולך ומוסיף
$\scriptstyle2\sdot4=8>2;\,4$	הוא כי נכפול הב' בד' ויעלו ח'
The decreasing is from the aspect of the denominators - the product of the numerators is divided twice	אבל החסרון קרה מצד השברים כי נשבור העולה הזה פעמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{3\sdot5}=\frac{8}{15}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$	אחד בזכרנו שלישיות והב' בזכרנו חמישיות עד שמזה הצד יתחייב כי הח' שנתרבו לנו יהיו חלקים מט"ו שיצא לנו מכפילת השלש בחומש ר"ל משבירת שניהם
$\scriptstyle\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}$	ומן הדין הוא זה כמו שאראך במשל הראשון שהמשלנו שהוא כפילת רביע ברביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$	כי העולה הוא רביע מרביע וזה כי לו אנחנו שכפלנו אחד ברביע מה יהיה העולה רביע אחד ולפי שאנחנו לא כפלנו בו אלא רביע בהכרח שיהיה העולה רביע מרביע
In the multiplication of numbers there is a mean between two extremes:	ומזה תבין כי יש בכפילת המספרים דמות אמצע ושתי קצוות
Multiplication of integers by integers - increasing	וזה כי כפילת הרבים השלמים בשלמים מוסיף
Multiplication of fractions by fractions - decreasing	וכפילת שברים בשברים גורע
Multiplication of one by itself - no increase and no decrease	וכפילת הא' בעצמו לא יוסיף ולא יגרע
One - the beginning of the integers and the end of the fractions	והנה האחד ראשית השלמים וסוף השברים
Metaphor - a man looking at himself in deep water seeing his image upside down in the water - head down and feet up - the feet are the beginning of the man on dry land and the end of man in the water	והנה ידמה זה למה שהיה בטבע כי כשיעמוד אדם על מים עמוקים הנה יראה צורתו במים הפוכה. ר"ל ראשו למטה ורגליו למעלה. והרגל ראשית האדם אשר בחרבה וסוף צורת האדם אשר במים
The higher his head on land, the lower the reflection of the head of the man in the water	וכמו שכל מה שיגאה ראש האדם אשר בחרבה כן ישפל ראש כל צורת האדם אשר במים
Similarly, a the integers are rising their corresponding fractions are getting smaller	כן כל מה שיתרבו המספרים השלמים יחסרו השברים הנגדים לו
$\scriptstyle{\color{blue}{2=2\sdot1\longrightarrow\frac{1}{2}=1\div2}}$	כיצד אם לקחנו השנים שנתרבה על האחדות בכדי כפלו כן כשלקחנו החצי שהוא נגדי לו לפי שהוא אחד משנים גרע מהאחדות החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{3=3\sdot1\longrightarrow\frac{1}{3}=1\div3}}$	וכן כשנקח השלשה הנה נמצא כי הוסיף על האחד שלשה כפלים כן כשנקח השליש גרע מהאחד שלשה חסרונות עד ששב לשלישיותו וכן בשאר
$\scriptstyle n:1=1:\frac{1}{n}$	והנה תמצא לזה כי יחס הכפלים השלמים אל האחד כיחס האחד אל השברים הנגדים לשלמים ההם
$\scriptstyle{\color{blue}{2:1=1:\frac{1}{2}}}$	וזה כי יחס השנים אל האחד הוא כיחס הא' אל החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{3:1=1:\frac{1}{3}}}$	וכן יחס הג' אל הא' הוא כיחס הא' אל השליש וכן לאין סוף
Hence, one is mean from the aspect of ratio	אם כן הוא אמצעי ביחס
Multiplication of fractions by integers - is easy	ואמנם כפילת השברים בשלמים נקל לדעתו
$\scriptstyle\frac{a}{b}\times c=\frac{a\sdot c}{b}$	ותמצאהו בכפול מספר השלמים במספר השברים והעולה תחלקהו על שם השבר והוא יהיה העולה
$\scriptstyle\frac{2}{3}\times4$	כיצד רצינו לכפול ב' שלישיות בד' שלמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times4=\frac{2\sdot4}{3}=\frac{8}{3}=2+\frac{2}{3}}}$	הנה נכפול הד' על השנים ויעלו ח' נחלקהו על שם השבר שהוא שלש ויצא לנו שני שלמים ושני שלישיות
Multiplication of fractions by fractions of fractions - is easy	וכן כפילת שברים בשברי שברים יהיה נקל
Converting the fraction of fraction to one fraction $\scriptstyle\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}\sdot\frac{1}{b}\right)=\frac{a}{b}\times\frac{c}{b\sdot d}$	אחרי אשר תשיב השברי שברים לשם שבר אחד
$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)$	כיצד רצינו לכפול שני שלישיות בג' רביעיות שליש אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\times\frac{3}{4\sdot3}=\frac{2}{3}\times\frac{3}{12}}}$	הנה בהתחלה נשיב הג' רביעיו' שליש אחד לשבר אחד ונמצאהו בכפול ד' של רביעיות בג' של שליש ויעלו י"ב והנה השליש הוא ד' כמו שאמרנו וג' רביעיות הם ג' אם כן הם ג' חלקים מי"ב ועתה תכפול השני שלישיות בשלש חלקים מי"ב כפי מה שאמרנו והוא יהיה העולה מכפילת השבר בשבר השבר שהמשלנו
Check: division	ומופת זה המין הוא החלוקה כענין בשלמים ויצא היוצא
Division of fractions	המין הד' בחלוקת השברים
Division of fractions by fractions $\scriptstyle\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\div c}{b\div d}$	הנה כשרצינו זה נחלוק מספר השברים על מספר השברים. וכן שם השבר על השבר ויצא שם השבר השלם היוצא
$\scriptstyle\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}$	כיצד רצינו לחלק ששה שמיניות בשני רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}=\frac{6\div2}{8\div4}=\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}}}$	והנה נחלק הששה לשנים ויצאו ג' וכן נחלק הח' על הד' ויצאו שנים ויהיה היוצא בחלוקה ג' חלקים משנים השלם שהוא אחד וחצי
Check: multiplication	והמופת על זה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\times\frac{2}{4}=\frac{3}{4}=\frac{6}{8}}}$	כי כשנכפול אחד וחצי בשני רביעיות יצאו ג' רביעיות שהוא כמו הו' שמיניות
How could the fraction produce more than what it contains? [= how come the result of the division of fractions is greater than the dividend?]	והנה בזה יתמה האדם יותר ואומר איך נאמר שיוכל לתת הדבר מה שאין לו
Demonstration: $\scriptstyle\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}=1+\frac{1}{2}$	ואיך נאמר שיתן הו' שמיניות אחד שלם וחצי והוא אין לו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div\frac{4}{4}=1\div1=1=\frac{8}{8}}}$	אמנם התיישבות הנפש בזה הוא שנאמר לו אלו חלקנו ח' שמיניות שהוא אחד שלם לד' רביעיות שהוא אחד גם כן מה היה היוצא שמונה שמיניות שהוא אחד כי בחלוקת א' על א' יצא אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{4}{4}\right)=\frac{8}{8}\div\frac{2}{4}=2}}$	ועתה אם חלקנו הח' שמיניות על חצי הד' רביעיות שהוא שני רביעיות אינו דין שיצא בחלוקה כפלים מאשר היה יוצא לד' רביעיות ויהיו שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div\left(2\sdot\frac{4}{4}\right)=\frac{8}{8}\div2=\frac{1}{2}}}$	כמו שאלו חלקת אותם על כפל הד' רביעיות שהם שנים היוצא בחלוקה חצי אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{8}{8}\right)\div\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{4}{4}\right)=2-\left(2\sdot\frac{1}{4}\right)=1+\frac{1}{2}}}$	והנה לפי שלא חלקנו בכאן ח' שמיניות אבל ג' רביעיותיו שהם ו' שמיניות אינו דין שנגרע מהיוצא בחלוקה שהיו שנים הרביע מהם וישארו א' וחצי כמו שעשינו
Division of the numerators not a division of the denominators	ונשוב להתיר הספק שאמרנו שאיך יתן דבר מה שאין לו ואומר כי בחלוקה לא יתן דבר מה שאין לו כי החלוקה הוא במספרים לא בשמות השברים כמו שאמרנו בכפילת השברים
$\scriptstyle\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}$ → The numerator: 6÷2	והנה כשחלקנו הו' שמיניות על הב' רביעיות הנה לא נתן הו' לשנים אלא מה שיש לו והוא ב' לכל אחד
The divisor $\scriptstyle\frac{2}{4}$ is half of a whole, therefore it receives twice of what the whole receives from division	אבל מפני שהשברים המקבלים שהם שני הרביעיות קצרה ידם במחצה מהכיל מה שיקבל השלם הושב להם היוצא כפל מהיוצא לשלם
Metaphor: a man feeds his animals each day one portion of barley for each, yet one of the animals is sick and can eat one portion only every two days instead each day. It seems as if this animal was given more than the rest of the animals, but in fact this is not true, it is only because it could not eat the whole portion	ויקרה להם כמו שקרה לאיש אחד שהיה מחלק לאיש מדה אחד של שעורים לכל אחד מבהמותיו ליום אחד והנה בהמה אחת מהן היתה חולה ושבורה ולא הכילה לאכלה מדה אחת ביום אחד אבל בשני ימים והיה לה כאלו נתנו לה לחם משנה מאשר לשאר הבהמות אע"ף שבאמת אינו כן אבל היה בה בהתייחסות אכלה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div1=\frac{8}{8}}}$	וכזה הענין כאן אלו חלקנו הח' שמיניות לא' שלם היה יוצא לו כל אותם הח' שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div\frac{2}{4}=\frac{8}{8}\div\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)=2=2\sdot1=2\sdot\left(\frac{8}{8}\div1\right)}}$	ועתה כשחלקנו אותם על ב' רביעיות שהוא חצי אחד בהכרח שיספיקו להם כפל ממה שיספיקו לאחד השלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}=\frac{12}{8}=1+\frac{1}{2}}}$	ויהיה כאלו נפל להם שנים עשרה שמיניות שהוא א' וחצי
The fractions are related to the one as whole (e. g. $\scriptstyle\frac{8}{8}$ - eight parts of eight) and not as the absolute one	וזהו בהתייחסות אל חסרונם הא' אבל לא בשלוח
Proportions of fractions	המין הה' בערכים
The subject is clear from the discussion on proportions of integers	הנה זה מבואר ממה שדברנו בשלמים
This type consists of multiplication and division	וממה שידענו שזה המין מורכב מכפילה וחלוקה
Check: the same as for integers	וכפי האמות בהם ככה ימצא האימות בזה
Roots of fractions	המין הו' בשרשים
The issue of roots of fractions is similar to the issue of roots of integers	דע כי ענין השרשים בשברים דומה לעניינים בשלמים
One - the beginning of the integers and the end of the fractions	וכבר אמרתי כי האחד הוא ראש השלמים וסוף השברים
$\scriptstyle{\color{blue}{1=1^2}}$	והנה כמו שהאחד מספר מרובע
The number of pairs of numbers between two consecutive squares $\scriptstyle n^2$ and $\scriptstyle\left(n+1\right)^2$ is equal to the number of squares preceding $\scriptstyle\left(n+1\right)^2$ [i.e. n]	ואם תרצה לדעת המרובע הסמוך בשלמים תצטרך לשום ביניהם זוג מספרים או זוגי מספרים כמספר המרובעים שעברו
The same for fractions: [the number of pairs of fractions between two consecutive squares $\scriptstyle\left(\frac{1}{n+1}\right)^2$ and $\scriptstyle\left(\frac{1}{n}\right)^2$ is equal to the number of squares succeeding $\scriptstyle\left(\frac{1}{n}\right)^2$ [i.e. n]	כן הענין בשברים
Between 1 and ¼ - one pair of fractions: ½, ⅓	כי בין האחד שהוא המרובע הראשון להם ובין השבר המרובע הראשון זוג שברים אחד וזה כי בין האחד והרביע שהם מרובעים הנה יש ביניהם זוג שברים והוא החצי והשליש
Between ¼ and ⅑ - two pairs of numbers: ⅕, ⅙; ⅐, ⅛	וכן בין הרביע והתשיעית שני זוגי מספרים כמספרים שעברו והם החמישית והשישית והשביעית והשמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{1+1=2=\sqrt{4}\longrightarrow1\div2=\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}}}}$	וכמו שהשנים הסמוך אל האחד הוא שורש הארבעה שהוא המרובע הסמוך לראשון כן החצי שהוא אחד מהשנים הוא שורש הרביע
No root for 2 and for 3 → no root for $\scriptstyle2a^2$ and for $\scriptstyle3a^2$	וכמו שאין לשני מרובעים ולא לשלשה שורש כי אין לשנים ולא לשלשה שרש
No root for 2·4 and 3·4 → no root for $\scriptstyle\frac{2}{4}$ and for $\scriptstyle\frac{3}{4}$	כן אין לשני פעמים ד' ולא לג' פעמים ד' שורש כן אין לשני רביעיות ולא לג' רביעיות שורש
The product of a square by non-square = non-square	כי מכפילת מספר בלתי מרובע במספר מרובע יולד בלתי מרובע
The product of a square by a square = square	כמו שממספר מרובע במרובע יולד מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{2^2\times3^2}}=4\times9=36={\color{red}{6^2}}}}$	וזה כי מכפילת הד' בט' יעלו ל"ו והוא מספר מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{2^2\times4^2}}=4\times16=64={\color{red}{8^2}}}}$	וכן מכפילת הד' בי"ו יעלו ס"ד והוא גם כן מספר מרובע וכן תמיד
$\scriptstyle\sqrt{n^2}=n\longrightarrow\sqrt{\frac{1}{n^2}=\frac{1}{n}}$	ובכללו אומר כי אם תרצה לדעת השברים אשר יהיה להם שורש הנה ראה השלמים אשר להם שורש וגזור מהם שם לשברים והם יהיו
4 has a root → ¼ has a root	כיצד הד' יש לו שורש וכן הרביע יש לו שורש
9 has a root → ⅑ has a root	ועוד הט' יש לו שורש וכן התשיעית
16 has a root → $\scriptstyle\frac{1}{16}$ has a root	ועוד הי"ו יש לו שורש וכן אחד מי"ו יש לו שורש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2\longrightarrow\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}}$	ועוד אומר כי כמו שהשנים הוא שורש הד' כן החצי שהוא אחד משנים שורש הרביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=3\longrightarrow\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}}}$	וכן כמו שהשלש הוא שורש התשעה כן השליש הוא שורש התשיעית וכן לעולם
no integer $\scriptstyle m^2$ between $\scriptstyle n^2$ and $\scriptstyle\left(n+1\right)^2$ no fraction $\scriptstyle\left(\frac{1}{m}\right)^2$ between $\scriptstyle\left(\frac{1}{n+1}\right)^2$ and $\scriptstyle\left(\frac{1}{n}\right)^2$	ודע כי זה שאמרתי כי לא ימצא מרובע בין מרובע למרובע
no integer $\scriptstyle m^2$ between 1 and 4 or between 4 and 9	כאלו תאמ' בין הא' והד' ובין הד' והט'
no fraction $\scriptstyle\left(\frac{1}{m}\right)^2$ between $\scriptstyle\frac{1}{4}$ and 1 or between $\scriptstyle\frac{1}{9}$ and $\scriptstyle\frac{1}{4}$	וכן בין הא' והרביע או בין הרביע והתשיעית
	צריך שיובן בשלמים או בשברי' כל אחד בפני עצמו
Among the numbers of the type of integers and fractions there are infinitely many squares	אבל בשברים שלמים כבר ימצאו לבלתי תכלית
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2+\frac{1}{4}\longrightarrow\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	כיצד הנה כשתכפול הא' והחצי באחד והחצי יעלו ב' ורביע והנה לו שורש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{3}\right)^2=1+\frac{7}{9}\longrightarrow\sqrt{1+\frac{7}{9}}=1+\frac{1}{3}}}$	והנה כשנכפול אחד ושליש באחד ושליש יעלו אחד שלם וז' תשיעיות יש לו גם כן שורש
Similarly for 1+¼ and so on	וכן באחד ורביע או אחד וחמישית ולאין תכלית
Why there are no roots for non-square numbers
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}=\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}}=\sqrt{\left(1+\frac{7}{9}\right)+\frac{2}{9}}\longrightarrow1+\frac{1}{3}<\sqrt{2}<1+\frac{1}{2}}}$	וא"ת והלא המספר סמוך זה לזה וכיון שהאחד ושליש חסר תחת שני תשיעיות משורש השנים והאחד וחצי הוסיף ממנו רביע והנה בין שיחסר שני תשיעיות או יוסיף רביע אפשר שנמצא מספר שישתוה כפילתו למספר השנים ויהיה שורש לו
A number a so that $\scriptstyle a^2=2$ exists in potentia, but not in actu:	נשוב ונאמר כי האמת כי ימצא בכח אבל לא בפועל
It exists in potentia since it is continuous, but it does not exists in actu since it is separated into numbers	ואמנם נמצא בכח מצד שהוא מדובק ולא נמצא בפעל מצד שנפרד והיה למספר
Reference to Ibn Rushd [middle commentary on the Physics VI.12 ?]: every line is divisible at any of its point, but if it is divided in actu at a certain point, it is indivisible at the point next to it	והיה זה כענין שיאמר ן' רשד כי כל קו אפשר שיתחלק בכל נקודה ממש. ואמנם כשנתחלק בפעל באחר נמנע בסמוכה לה
It is possible: since it is continuous	ואמנם אפשר מצד שהוא מדובק
it is possible to construct a quadrilateral whose area is 2, hence it has to have sides, and these sides can be formed as equal - thus they represent the root of 2	לפי שאפשר שנעשה מרובע שיהיה תשבורת שנים ובהכרח שימצא לו צלעות ואפשר לעשותן שוות והוא השורש
It is impossible: from the aspect of the numbers	ואמנם נמנע השורש מצד המספר
It is impossible that the root of 3 will be an integer: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3}=\sqrt{4-1}=\sqrt{1+2}\longrightarrow1<\sqrt{3}<2}}$	לפי ששורש הג' במשל א"א ששיהיה שלם כי האחד יגרע והשני יוסיף
It is also impossible that the root of 3 will be an integer and fraction: $\scriptstyle{\color{blue}{n^2+\left(n\sdot\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}\sdot n\right)+\left(\frac{a}{b}\right)^2}}$ → $\scriptstyle{\color{blue}{n^2+\left(n\sdot\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}\sdot n\right)}}$ can be integers $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{a}{b}\right)^2}}$ cannot be an integer → $\scriptstyle{\color{blue}{3\ne n^2+\left(n\sdot\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}\sdot n\right)+\left(\frac{a}{b}\right)^2\longrightarrow\sqrt{3}\ne=n+\frac{a}{b}}}$	וגם א"א שימצא בשלם ושבר לפי שכשנכפול השלם בשלם וגם השלם בשבר אפשר שיצא מזה שלם אבל כשנכפול השבר בשבר היוצא יהיה שבר השבר והוא לא יתחבר עם השבר וכ"ש עם השלם שיצא מכלם שורש שלם
All the types of arithmetical operations are enough for solving simple problems	הנה אלה המינים יספיקו כאשר הם בשאלות הפשוטות
For solving complex problems these techniques should be combined	ואמנם במורכבות צריך להרכיב בהם בדרכים הנאמרים

Word Problems
Shared Work Problem - filling/draining a cistern - a cistern is 12 cubits deep. Every night it fills up to a third, and on the next day, its quarter drains. In how many days and nights will it be completely filled? $\scriptstyle\frac{1}{3}X-\frac{1}{4}X=1$	כיצד אדם שאל שאלה אחת בור רק יש לו גובהו י"ב אמות ובכל לילה מתמלא שלישיתו וביום הסמוך יחסר רביעיתו בכמה ימים עם לילותיהם יתמלא כלו
The solution consists of subtraction and multiplication	והנה זאת השאלה מורכבת מהמגרעת והכפילה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}}$	וזה כי בתחלה צריך שנגרע הרביע מהשליש וישאר אחד משנים עשר
	ואחר נכפול זה בי"ב ויהיו י"ב (?) ובאותן הימים ימתמלא הבור
First From Last Problem - Money - I had money in my purse. I took its third and its quarter, and 12 remained. How much was the money? $\scriptstyle X-\frac{1}{3}X-\frac{1}{4}X=12$	עוד שנית ממון היה לי בכיס ולקחתי שלישיתו ורביעיתו ונשארו י"ב כמה היה הממון
The solution consists of addition, subtraction and proportions [= rule of four]	והנה זאת השאלה תשוב אל הקבוץ ואל המגרעת ואל הכפילה הערכים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}}}$	אל הקיבוץ כיצד נקבץ השלישית והרביעית והיו ז' מי"ב בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}}}$	נגרע אותם מי"ב ונשארו ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{12}=\frac{7}{a}}}$	נעריך ונאמר אם כל שאר החלקים חוץ מהשליש והרביע שהם ה' שוים י"ב השליש והרביע שהם ז' כמה יהיו שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=\frac{7\sdot12}{5}=\frac{84}{5}=16+\frac{4}{5}}}$	נכפול ז' בי"ב ויעלו פ"ד נחלקם על ה' ויצאו י"ו וד' חמישיות והוא מספר השליש והרביע
$\scriptstyle{\color{blue}{X=12+\left(16+\frac{4}{5}\right)=28+\frac{4}{5}}}$	נקבצם עם הי"ב והיו כ"ח וד' חמישיות והוא היה הממון אשר בכיס
There are problems that consist of two wisdoms and two types of arithmetical operations	ויש מורכבת משני חכמות ומשני מינים
Triangulation Problem - a wall is eight cubits tall. Around it a river or ditch six cubits width. How high should be the ladder to be placed near the ditch enough to climb to the top of the wall? $\scriptstyle x=\sqrt{d^2+h^2}$	כיצד שאל אחד כותל יש לי שגובהו ח' אמות וסביבותיה נהר או חפירה יש ברחבה ששה אמות כמה צריך להיות גובה הסולם להניחו סמוך לחפירה ויספיק לעלות לגובהה של כותל
This problem requires knowledge of geometry [- Pythagorean theorem]	כי זאת השאלת תצטרך לחכמת ההנדסא שתודיע לנו כי המרובע הסולם שהוא יתר הזוית הנצבה שוה לשני מרובעים הנעשים הא' מהחפירה והב' מהכותל
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10}}$	ואחר שהודיענו זה נכפול הו' בעצמו שהוא החפירה ויעלו ל"ו וכן נכפול הכותל בעצמו שהוא ח' ויעלו ס"ד ונקבץ הל"ו אל הסד ועלו מאה ונקח שרשם והוא עשרה והוא יהיה גובה הסולם
Another question that consists of proportional numbers	עוד מורכבת ממספר מה ומספרים מתייחסים
Find a Number Problem - a number such that when we subtract its half and one half more, then [we subtract] from the remainder its half and one half more, then [again we subtract] from the [second] remainder its half and one half more, we are left with one	כמו ששאל א' אי זהו מספר אשר כשנשליך חציו ועוד חצי אחד ומן הנשאר חציו ועוד חצי אחד וישאר אחד בינינו

\scriptstyle\left[\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)\right]\right]+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)\right]\right]+\frac{1}{2}\right]\right]+\frac{1}{2}\right]=1

\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]\right]=1}}

הנה בתחלה נבקש מספר שימצא החצי וחצי החצי וחצי חצי החצי וזה ימצא באשר נאמר כי החצי ימצא בשנים וחצי החצי בד' וחצי חצי החצי בח' והנה כשנשליך מח' החצי וחצי החצי וחצי חצי החצי ישאר אחד א"כ מכל ח' ישאר אחד בזה הדרך

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[8-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[8-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\right]+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left[8-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[8-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\right]+\frac{1}{2}\right]\right]+\frac{1}{2}\right]=\frac{1}{8}}}

	ואמנם כשנשליך מח' החצי ועוד חצי אחד ומהנשאר החצי ועוד חצי אחד ומהנשאר החצי ועוד חצי אחד ישאר בינינו שמינית אחת
$\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}}}$	ועתה צריכין אנחנו לחבר לזה המספר מספר אחר שהשליך החצי וחצי החצי וחצי חצי החצי ישארו ז' שמיניות להשלים לאחד שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{1}=\frac{a}{\frac{7}{8}}\longrightarrow a=7}}$	ונמצא אותו בערכים שנאמ' אם במספר ח' ישאר אחד באי זה מספר ישארו ז' שמיניות ויצא לנו שהוא מספר השבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=7+8=15}}$	אם כן בקבצנו מספר הז' הזה אל מספר הח' יעלו ט"ו והוא יהיה המספר המבוקש
Divide a Quantity Problem - we had 10 qabbin [dry measurement] of bread that are worth 300 zehuvim [golden coins], but these qabbin are not equal, and we do not know how much the first qav is worth. We only know that the second qav is worth 2 zehuvim more than the first [qav]. The third qav [is worth] 3 zehuvim more than the second qav. The fourth qav [is worth] 5 zehuvim more than the third qav. The fifth qav [is worth] 7 [zehuvim] more than the fourth qav. The sixth qav [is worth] 3 zehuvim more than the fifth qav. The seventh qab [is worth] 2 zehuvim more than the sixth qav. The eight qav [is worth] one zahuv more than the seventh qav. The ninth qav [is worth] 4 zehuvim more than the eight qav. And the tenth qav [is worth] 2 zehuvim more than the ninth qav. How much is each qav worth? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=300\\\scriptstyle a_2=2+a_1\\\scriptstyle a_3=3+a_2\\\scriptstyle a_4=5+a_3\\\scriptstyle a_5=7+a_4\\\scriptstyle a_6=3+a_5\\\scriptstyle a_7=2+a_6\\\scriptstyle a_8=1+a_7\\\scriptstyle a_9=4+a_8\\\scriptstyle a_{10}=2+a_9\end{cases}$	שאלה אם היו לנו עשרה קבין לחם והם שוים שלש מאות זהובים וזה הקבים אינם שוים או הלחם לא היה שוה ואין אנו יודעים כמה שוה הקב הראשון אלא ידענו שהקב הב' שוה ב' זהובי' יותר מהראשון והקב הג' ג' זהובים יותר מהקב הב‫' והקב הד' ה' זהובים יותר מהקב הג‫' והקב הה' ז' יותר מהקב הד‫' והקב הו' ג' זהובים יותר מהקב הה‫' והקב הז' ב' זהובי' יותר מהקב הו‫' והקב הח' א' זהוב יותר מהקב הז‫' והקב הט' ד' זהובי' יותר מהקב הח‫' והקב הי' ב' זהובים יותר מהקב הט‫' הנה נרצה לידע כמה שוה כל א' וא' מהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=14+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_2=16+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_3=19+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_4=24+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_5=31+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_6=34+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_7=36+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_8=37+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_9=41+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_{10}=43+\frac{1}{2}\end{cases}}}$	הנה אומ' שהקב האחד ישוה י"ד זהובי' וחצי והשני י"ו וחצי והשלישי י"ט וחצי והד' כ"ד וחצי והחמישי ל"א וחצי והששי ל"ד וחצי והשביעי ל"ו וחצי והשמיני ל"ז וחצי והתשיעי מ"א וחצי והעשירי מ"ג וחצי
$\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=300}}$	ויעלה כל זה לשלש מאות זהובים שהיו שוים כלם אבל שלא היו שוים כל קב מהם לכל קב מהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=10\\\scriptstyle a_2=12\\\scriptstyle a_3=15\\\scriptstyle a_4=20\\\scriptstyle a_5=27\\\scriptstyle a_6=30\\\scriptstyle a_7=32\\\scriptstyle a_8=33\\\scriptstyle a_9=37\\\scriptstyle a_{10}=39\end{cases}}}$	והדרך אשר בו תעשה זה הוא כי נשים במשל שישוה הקב הראשון י' זהובים וכפי הנחתינו ישוה הב' י"ב והשלישי ט"ו והרביעי כ‫' והה' [כ"ז‫] והו' ל‫' הז' ל"ב והשמיני ל"ג והתשיעי ל"ז והעשירי ל"ט
$\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=255}}$ $\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{300-255=45}}$ $\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{\frac{45}{10}=4+\frac{1}{2}}}$	תחבר כל זה תחבר רנ"ה ראה מה שחסר עד השלש מאות והוא מ"ה זהובים נחלק אלו המ"ה על הי' קבים ויפול לכל קב ד' זהובים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=10+\left(4+\frac{1}{2}\right)=14+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_2=12+\left(4+\frac{1}{2}\right)=16+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_3=15+\left(4+\frac{1}{2}\right)=19+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_4=20+\left(4+\frac{1}{2}\right)=24+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_5=27+\left(4+\frac{1}{2}\right)=31+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_6=30+\left(4+\frac{1}{2}\right)=34+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_7=32+\left(4+\frac{1}{2}\right)=36+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_8=33+\left(4+\frac{1}{2}\right)=37+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_9=37+\left(4+\frac{1}{2}\right)=41+\frac{1}{2}\\\scriptstyle a_{10}=39+\left(4+\frac{1}{2}\right)=43+\frac{1}{2}\end{cases}}}$	הנה תחבר אלו הד' זהובים וחצי מאלו המספרים הסמוכים וחצי אשר הזכרתי ויצא שישוה הקב הראשון י"ד והחצי והשני י"ו וחצי והשלישי י"ט וחצי והד' כ"ד וחצי והחמישי ל"א וחצי והששי ל"ד וחצי והשביעי ל"ו וחצי והשמיני ל"ז וחצי והתשיעי מ"א וחצי והעשירי מ"ג וחצי
$\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=300}}$	והנה תחבר כל זה ויתחבר שלש מאות
	יש מי שמבקש מופת לדעת אם טעה בקבוץ המספרים
	ת"ם של"ע ת"ם

Appendix: Bibliography

Judah Ibn Verga
Spain, c. 1450
Qiṣṣur ha-Mispar
Manuscripts:

Jerusalem, The National Library of Israel Ms. Heb. 8°2000 (IMHM: B 753 (8°2000)), ff. 1r-3v (Amsterdam, 17th century)
London, British Library Add. 27107/5 (IMHM: f 5782), ff. 32v-43v (cat. Margo. 1016, 5); (16th-17th century)

Ḳitsur sefer ha-mispar

London, British Library Add. 27107/13 (IMHM: f 5782), ff. 162r-174v (cat. Margo. 1016, 13); (16th-17th century)
Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1005/19 (IMHM: f 30347), ff. 100r-110r (15th-16th century)
Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1005/21 (IMHM: f 30347), ff. 118v-120r (15th-16th century)
Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1087/1 (IMHM: f 15039), ff. 1r-8v (16th century)

heb. 1087/1

St. Petersburg, Inst. of Oriental Studies of the Russian Academy C 76/7 (IMHM: f 69233), ff. 112v-122v (15th-16th century)

Bibliography:

Steinschneider, Moritz. 1893–1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, p. 196 (h62); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.

[1] ויקרא כה, יד-טז

[2] רמב"ם, משנה תורה, ספר קנין, הלכות עבדים ד, ו

[3] שיר השירים ו, ט

[4] שמות כו, ו

[5] דברים ו, ד: שמע ישראל ה' אלוהינו ה' אחד

[6] פתיחת אליהו

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Line 1,774: / Line 1,774: @@
 #Jerusalem, The National Library of Israel Ms. Heb. 8°2000 (IMHM: B 753 (8°2000)), ff. 1r-3v (Amsterdam, 17th century)
 #London, British Library Add. 27107/5 (IMHM: f 5782), ff. 32v-43v (cat. Margo. 1016, 5); (16th-17th century)
-::[http://www.bl.uk/manuscripts/Viewer.aspx?ref=add_ms_27107_fs001r Ḳitsur sefer ha-mispar]
+[http://www.bl.uk/manuscripts/Viewer.aspx?ref=add_ms_27107_fs001r Ḳitsur sefer ha-mispar]
 #London, British Library Add. 27107/13 (IMHM: f 5782), ff. 162r-174v (cat. Margo. 1016, 13); (16th-17th century)
 #Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1005/19 (IMHM: f 30347), ff. 100r-110r (15th-16th century)

Difference between revisions of "קצור המספר"

Revision as of 20:56, 15 April 2018

Contents

Prologue

Discussion on the nature of one

Definition of Number

Numeration

The arithmetical opperations

Notes

Chapter One - Addition

Written Addition

Methods of checking

Chapter Two - Subtraction

Written Subtraction

Method of checking

Chapter Three - Multiplication

Written Multiplication

Method of checking

Calculating the number of ranks in a product of two numbers

Chapter Four - Division

Dividing a large number by a smaller one

Written Division

Method of checking

Dividing a small number by a larger one

Dividing a number to unequal parts

Chapter Five - Proportions

Chapter Six - Roots

Extracting roots - written procedure

Extracting roots of non-square numbers

Chapter Seven - Fractions

Conversion of fractions

Addition of fractions

Subtraction of fractions

Multiplication of fractions

Division of fractions

Proportions of fractions

Roots of fractions

Word Problems

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Search

Extracting roots of non-square numbers $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}$