Difference between revisions of "תחבולות המספר"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎Squares and Roots equal Numbers)
(→‎Squares and Roots equal Numbers)
Line 167: Line 167:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+5x=24}}</math>
 
|style="text-align:right;"|ותשוב להיות השאלה כאלו שאל מרובע אחד עם חמשה משרשיו ישוו כ"ד דרהמי
 
|style="text-align:right;"|ותשוב להיות השאלה כאלו שאל מרובע אחד עם חמשה משרשיו ישוו כ"ד דרהמי
 
|-
 
|-
Line 173: Line 174:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
*<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x^2+5x=28</math>
 
|style="text-align:right;"|וכמו כן אם שאל השואל חצי מרובע וחמשה משרשיו ישוו לכ"ח דרהמי
 
|style="text-align:right;"|וכמו כן אם שאל השואל חצי מרובע וחמשה משרשיו ישוו לכ"ח דרהמי
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
|style="text-align:right;"|אז תשיב המרובע שלך שלם והוא שתכפלהו ותכפול כמו השרשי' והמספרי' ותשוב השאלה מרובע ועשרה משרשיו ישוו נ"ו דרהמי וכבר הראית לדעת מה לעשות לך עמהם
+
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot x^2+\left(2sdot5\right)\sdot x=2\sdot28}}</math>
 +
|style="text-align:right;"|אז תשיב המרובע שלך שלם והוא שתכפלהו ותכפול כמו השרשי' והמספרי'
 +
|-
 +
|
 +
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x=56}}</math>
 +
|style="text-align:right;"|ותשוב השאלה מרובע ועשרה משרשיו ישוו נ"ו דרהמי וכבר הראית לדעת מה לעשות לך עמהם
 
|-
 
|-
 
|
 
|

Revision as of 15:07, 16 February 2018

ספר אבו כאמל בתחבולות המספר
אמר תחלת מה שצריך לדעת הקורא בזה הספר הוא שלשה ענינים אשר אמרם כבר מהומר אלכוארזמי בספרו
והם שרשים מרובעים מספרים
השרש הוא המנין שהוא מוכה על עצמו כאלו תאמר אחד על אחד ושנים על שנים וכן לאין תכלית
וכמו כן שברי האחד כאשר הוכו על עצמם כמו חצי על חצי ושלישית על שלישית וכן שברי שבריו עד אין סוף
המרובע הוא המתקבץ מהכאת השרש על עצמו שלם יהיה או נשבר
המספר הוא המנין שלא יוב[א] בו שיהיה לא שרש ולא מרובע אבל הוא נערך לעצמו במה שבו מן האחדים לבד
אמר וכבר יצאו מהרכבת אלו השלשה ששה חלקי' והם אלו
שרשים שיהיו שוי' למרובעים
ושרשים שישוו למספרים
ומרובעי' שישוו למספרים
ושרשים ומרובעי' שישוו למספרים
ושרשי' ומספרים שישוו למרובעים
ומרובעי' ומספרי' שישוו לשרשים
אמ"פ הנה לא הביא בעל הספר כאשר ישוו שלשתם יחד לאחד מהם
והיה נראה שזה יהיה הכרחי בחלוקה וזה כמו שתאמ' שרשים ומרובעי' ומספרים ישוו לשרשים או ישוו למרובעי' או ישוו למספרים
אמ' כאשר השרשים ישוו למרובעי' תכה השרשי' על עצמם ומה שיתקבץ הוא המרובע
אמ"פ והדבר הוא שוה לאחד המרובעים ישוו לשרשי' מפני כי צריך שיובנו השרשי' שיהיו שוים למרובעים הנזכרים עמהם
וכמו כן המרובעים יהיו מרובעי' מכח הכאת השרשים ההם על עצמם
דמיון זה אם אמרו לך חמשה שרשי' ישוו למרובע אחד כמה הוא המרובע אמור לו הוא עשרים וחמשה המתקבץ מהכאת חמשה על חמשה
והיה זה כן מפני כי המרובע ימנהו השרש במספר הפעמים שימנה האחד לשרש והאחד ימנה לשרש במספר הפעמים אשר יקרא בו השרש
והנה בזה המשל השרש יקרא בשם חמשה
והוא מורכב מחמשה אחדיו כמו שהוא מורכב עשרים וחמשה שהוא המרובע מחמשה דמיוני חמשה שהוא השרש הנה שהמרובע יצמח וישלם מדמיוני השרש במספר מה שישלם השרש מדמיוני האחד
ולמען הראותך זה לעין נרשום מרובע עליו אבג"ד על משל מרובע עשרים וחמש' הנה אי זה מצלעיו שיוכה באחד מאחדיו יהיה המתקבץ הוא שרש המרובע
ולכן ונשים ב"ז שוה לב"ה שהוא אחד מאחדי צלע א"ב ונוציא מנקודת ז' קו ז"ח נכחי לקו א"ב

ויצא שטח א"ז והוא שרש זה המרובע

ונחלק מרובע אבג"ד לדמיוני שטח א"ז והם שטחי א"ז ח"ט כ"ל מ"נ ס"ד והם חמשה שרשים למרובע עשרים וחמשה וכמו כן כל אחד מהם מורכב מחמשה אחדים כמו שרשום ב[…] בשטח א"ז שהוא אחד מהחמשה שרשי' ודי בזה באור
אמ' וראוי שתדע שאם בא השואל להרבות המרובעי' בשאלתי או לשברם כי אז אתה צריך להשיב השאלה לעולם אל מרובע אחד שלם
דמיון זה אם ישאל חמשה מרובעי' ישוו לעשרים שרשים ואתה תחלק עשרים על חמשה ויהיה המרובע האחד ישוה לארבעה שרשים והמרובע יהיה מספרו ששה עשר
וכן אם יאמ' חצי מרובע ישוה לעשרה שרשים הנה כל המרובע ישוה לעשרים שרשים ומספרו ארבע מאות
אמ' כאשר המרובעי' ישוו למספרי' הנה המספרים הם המרובעים
כמו אם יאמרו לך המרובע ישוה לששה עשר הנה ששה עשר הוא המרובע ושרשו ארבעה
וכמו כן תשיב השאלה אל מרובע אחד כי אם אמ' חמשה מרובעי' ישוו לחמשה וארבעי' הנה המרובע האחד הוא חמישיתם שהוא תשעה
ואם אמ' שלישית המרובע ישוה לשבעה ועשרים הנה כל המרובע הוא שמנים ואחד
אמ' כאשר השרשים ישוו למספרי' הנה כמנין המספרי' יהיו אחדי השרשי' כי אם יאמרו לך שרשי המרובע ישוו לארבע' מספרי' הנה השרש הוא ארבעה והמרובע ששה עשר
וכן גם בזה תשיב השאלה למרובע אחד כמו אם אמ' חמשה שרשים ישוו לשלשים תחלק שלשים על חמשה ויהיה השרש האחד ישוה לששה והמרובע ששה ושלשים
ואם אמ' חמשה ושלשים חצי שרש ישוה לעשרה יהיה השרש האחד ישוה לעשרים והמרובע ארבע מאות
עד הנה דבר בשלשה החלקים הראשונים אשר יקראו הפשוטים

Squares and Roots equal Numbers

 פרק: אמ' כאשר יהיו המרובעים והשרשים שוים למספרי'
ax^2+bx=c
  • \scriptstyle x^2+10x=39
 כאלו תאמ' המקובץ ממרובע מהאחד ועשרה משרשיו יחד ישוה לשלשים ותשעה דרהמי הנה תשובת זאת השאלה יהיה בשני פנים
האופן האחד יראך שרש המרובע והשני יראך המרובע
וראשונה אבאר לך דרכי אלו האופני' וההתעסקות בהם
עוד אחר זה אבאר משפטיהן במופתים ובתמונות ג'ימטריאות יבינום חכמי הגי'מטריאה אשר ישכילו בספר אקלידס
\scriptstyle x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2+c}-\left(\frac{1}{2}\sdot b\right) אמ' האופן אשר יראך שרש המרובע כבר אמרו מהומר אלכוארזמי בספרו והוא שתקח לעולם מחצית השרשים ותכם על עצמם והעולה מההכאה תקבץ עם המספרים ותוציא שרש המקובץ ותגרע ממנו מחצית השרשים ומה שישאר הוא שרש המרובע
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{5^2+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{25+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{64}-5=8-5=3\\\end{align}}}
 והנה לקחנו בשאלה הנזכרת מחצית השרשים והוא חמשה הכינום על עצמם ועלה עשרי' וחמשה קבצנום עם הל"ט אדרהמי ויצא ששים וארבעה הוצאנו שרשו והוא שמנה גרענו ממנו חמשה ונשאר שלשה והוא השרש
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}
 והמרובע יהיה תשעה
\scriptstyle x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)+c-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot b^2\right)^2+\left(b^2\sdot c\right)} אמ' והאופן אשר יראך המרובע הוא שתכה השרשים על עצמם והעולה תכה על המספרים ומה שיתקבץ שמור

עוד תקח מחצית מה שעלה מהכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו ומה שיעלה תקבצהו עם השמור ותוציא שרש המקובץ ותגרעהו ממקובץ מחצית הכאת השרשים על עצמם עם המספרי' השוי' למרובע עם שרשיו ונשאר הוא המרובע

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2+\left(10^2\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2+\left(100\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=50+39-\sqrt{50^2+3900}\\&\scriptstyle=89-\sqrt{2500+3900}\\&\scriptstyle=89-\sqrt{6400}=89-80=9\\\end{align}}}

והנה בשאלה הנזכרת הכינו עשרה השרשים על עצמם ועלה מאה והכינו מאה על הל"ט ויצא שלשת אלפים תת"ק ושמרנום ולקחנו מחצית מאה שהוא חמשים והכינום על עצמם ויצא אלפים ות"ק וקבצנום עם השמור והיה המקובץ ששת אלפים ות' הוצאנו שרש זה המקובץ ויצא שמנים גרענום ממקובץ חמשים עם ל"ט שהוא פ"ט וישארו תשעה והם המרובע
Normalization אמ' ואם יעדיפו המרובעי' בשאלה על אחד או יחסרו מאחד שלם הנה אז תצטרך להשיב כל השאלה אל מרובע אחד וכן תשיב עמו השרשים והמספרי' בדרך ההוא [...] שהשיבות המרובעי'
  • \scriptstyle3x^2+15x=72
 דמיון זה ששאל שלשה מרובעי' וט"ו שרשי' ישוו לע"ב דרהמי

רצה בזה ששלשה דמיוני מרובע אחד עם ט"ו משרשיו מקובצי' יחד יהיו ע"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\sdot x^2+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)\sdot x=\frac{1}{3}\sdot72}}
 ובזה אתה צריך לקחת מהמרובעי' אחד מהם והוא שלישיתם וכן תקח מהשרשי' שלישיתם והוא חמשה ומהמספרי' כמו כן שלישיתם והוא כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+5x=24}}
 ותשוב להיות השאלה כאלו שאל מרובע אחד עם חמשה משרשיו ישוו כ"ד דרהמי
וכבר הראיתיך האופן שיראך השרש והאופן שיראך המרובע
  • \scriptstyle\frac{1}{2}x^2+5x=28
 וכמו כן אם שאל השואל חצי מרובע וחמשה משרשיו ישוו לכ"ח דרהמי
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot x^2+\left(2sdot5\right)\sdot x=2\sdot28}}
 אז תשיב המרובע שלך שלם והוא שתכפלהו ותכפול כמו השרשי' והמספרי'
\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x=56}}
 ותשוב השאלה מרובע ועשרה משרשיו ישוו נ"ו דרהמי וכבר הראית לדעת מה לעשות לך עמהם
אמ' ועתה אראך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע והוא שנניח שרש [שטח] מרובע עליו א"בג"ד הוא על דמיון המרובע אשר עליו השאלה ונחבר אליו שטח א"בה"ו יהיה על דמיון עשרת השרשים אשר קבצת עם המרובע והנחנו שכל שטח ו"הד"ג יהיה שלשים ותשעה דרהמי
ורצינו שנודיע שיעור קוי האורך והרחב מזה השטח שהם קוי ה"ג ד"ג ועם זה יהיה ידוע לנו שיעור קו ב"ג השוה לד"ג שכל אחד מהם הוא שוה לשרש זה המרובע
והוא ידוע כי קו ב"ה עשרה מפני כי היה צלע ב"א ממרובע אבג"ד כשהוכה באחד מאחדיו יהיה השטח העולה הוא שרש מרובע אבג"ד כמבואר בתמונה הראשונה מזה הספר וזה השטח כשהוכה בעשרה יהיה העולה עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד והוא שטח אבה"ו הנה כי קו ב"ה עשרה ונחלק אותו לחצאין על נקודת ח' ונוסף בארכו קו ב"ג ולכן יהיה השטח העולה מהכאת קו ה"ג בקו ב"ג עם המרובע ההוה מהכאת ח"ב על עצמו כמו המרובע ההוה מהכאת ה"ג על עצמו כמו שאמר אקלידס במאמ' שני מספרו
אבל הכאת קו ה"ג בקו ב"ג כבר הונחה שלשים ותשעה מפני כי קו ד"ג הוא כמו קו ב"ג והכאת קו ח"ב על עצמו היא עשרים וחמשה ומקובצם ששים וארבע' ולכן יהיה הכאת קו ח"ג על עצמו ששים וארבעה והנה שרשו הוא שמנה ולכן קו ח"ג הוא שמנה ונבדיל ממנו קו ח"ב הידוע שהוא חמשה וישאר קו ב"ג שלשה והוא שרש המרובע והמרובע תשעה
ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי עשה על קו ח"ג מרובע ח"כ נ"ג ותוציא קו ב"א ביושר עד נקדת ע'
הנה קו ח"ג כמו קו ג"נ וקו ב"ג כמו קו ב ד"ג ישאר קו ב"ח כמו קו מ"כ ושטח ח"א כמו שטח א"נ אבל שטח ח"א כמו שטח מ"ה לכן שטח מ"ה כמו שטח א"נ ושטחי א"ח א"נ ד"ב השלשה הם שלשים ותשעה אבל שטח א"כ עשרים וחמשה בעבור כי הוא שוה להכאת ח"ב על עצמו הנה שטח כ"ג כלו ששים וארבעה וקו ח"ג שרשיו והוא שמנה
וקו ב"ח היה חמשה וישאר קו ג"ב שלשה וזה מש"ל
אמ' והסבה באופן אשר הראנו בו המרובע היא שנניח קו אב"ג יהיה שיעורו כמו מקובץ המרובע ועשרה משרשיו שהוא שלשים ותשעה ויהיה קו א"ב ממנו הוא שיעור המרובע ואנו נרצה שנודיע שיעור א"ב הנה נעשה על קו ב"ג מרובע ד והוא מרובע ד"ה ב"ג והנה הוא כמו מאה פעמים השטח היוצא בהכאת קו א"ב באחד מא[חד]יו בעבור כי קו ב"ג הוא עשרה שרשים מקו א"ב ועשרה שרשים מהדבר כשהוכו על עצמם יהיה המתקבץ כמו מאה דמיוני אותו הדבר ונשים קו א"מ מקיף עם קו א"ג בזוית נצבה ונשימהו בשיעור מאה מאשר בם קו א"ג שלשים ותשעה
ונשלים שטח א"נ והנה שעורו ידוע כי הוא שלשת אלפים תת"ק בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שלשים ותשעה בקו א"מ שהוא מאה ונמשיך קו ב"ח נכחי לקו א"מ והנה יהיה שטח א"ח שוה למרובע ב"ה כי הוא גם כן מאה דמיוני הכאת קו א"ב באחד מאחדיו בעבור כי אורך קו א"מ מאה
ויהיה מפני זה שטח ד"ה ח"נ גם כן שלשת אלפים משל תת"ק
והוא מהכאת קו ג"ה בקו ה"נ כי ג"ה כמו ה"ד והנה קו ג"נ מאה מפני שהוא שוה לא"מ ונחלקהו לחציין על נקודת ל'
וכבר נוסף עליו קו נ"ה ויהיה מפני זה שטח הכאת א"נ בג"ה ומרובע קו ג"ל יחד שוה למרובע קו ל"ה כמו שביאר אקלידס במאמ' שני מספרו אבל שטח ה"נ בג"ה ומרובע ג"ל מקובצים הוא ידוע שהם ששת אלפים ות' כי שטח ה"נ בג"ה הוא שלשת אלפים תת"ק ומרובע ג"ל הוא אלפים ת"ק
ומפני זה יהיה מרובע קו ל"ה ששת אלפים ות' וקו ל"ה יהיה שמנים אבל קו ג"ה כמו מרובע קו ב"ג הנה כי קוי ב"ג ל"ג מקובצים הם שמנים וכאשר נגרעם מקוי א"ג ג"ל שהם שמנים ותשעה ישאר קו א"ב שהוא שיעור מרובע תשעה והוא מש"ל
[זכור כי מצאתי אחר זה בספר הזה פרק בהכפלת השרשי' יתבאר בו זה ולכן [..] דברי אלה בכתוב אין בו [...] ואם לא יועיל]
אמ"פ המעתיק מאי לנו שנבונן ואין הוציא בעל הספר שעשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו שטח שיעורו מאה דמיוני הדבר
ונאמ' כי הוא מבואר מהתמונה הראשונה מזה הספר ששרש אחד מהדבר הוא באורך כמו צלע הדבר
וכשהוכה על עצמו הוא שוה לדבר
ומהתמונ' הרביעית ממאמר שני לאקלידס באמרו כל קו אשר יחלק לשני חלקים איך שהזדמן הנה מרובע הקו כלו שוה לשני מרובעי החלקים ולכפל שטח נצב הזויות שיקיפו בו שני החלקים
הנה התבא' משם כי כאשר השני חלקים מהקו שוים יהיה מרובע הקו כלו שוה לארבעה מרובעים מחלק אחד מהם
ומזה ישכיל המבין בנקלה כי שני שרשים מהדבר מוכים על עצמם יחדשו מרובע ישוה לארבעה דמיוני הדבר כי הנה שני שרשי' מהדבר כאשר סודרו מדובקים על קו ישר יחדשו קו הוא כפל שני שרשים מהדבר כאשר סודרו מדובקים קו צלע מהדבר
והנה על זה ההקש ומהתמונה ההיא בעינה יתכן לבאר כי כל אשר יתרבו השרשים מהדבר להאסף יחד יהיה מרובעם יוסיף להחזיק מדמיוני הדבר על יחס מרובעי מספרי פעמי השרשים
דמיון זה אספנו יחד שלשה שרשים ממרובע מה כאלו תאמ' מאה יהיו שלשים ומרובעם תת"ק הנה תת"ק הוא תשעה דמיוני מאה כמו שתשעה הוא מרובע שלשה שהוא פעמי השרשים והקש על זה
וכבר יתבא' זה אם כן מתמונת א' משמיני לאקלידס כי הנה התבא' שם כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו שנוי בכפל
והוא מבואר ממה שאמרנו תחלה כי יחס צלע הדבר אל עשרה משרשיו מדובקים יחד הוא כיחס אחד אל עשרה
ויחס אחד אל עשרה שנוי הוא עשירית העשירית שהוא אחד ממאה
ולכן יהיה יחס הדבר שהוא מרובע צלע הדבר אל מרובע עשרת שרשיו הוא יחס אחד אל מאה
אם כן יהיה מרובע עשרת שרשי הדבר מאה דמיוני הדבר והוא מש"ל ונשלם זה החלק

Squares and Numbers equal Roots

 פרק: אמ' המרובעי' והמספרי' שישוו לשרשים
ax^2+c=bx
הוא כאלו תאמ' כאשר תקבץ עם מרובע מה עשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה משרשים מהמרובע הנה גם כן לזה החלק נמצאם שני האופני' הראשוני' רצו' האופן שיראך שרש המרובע והאופן שיראך המרובע ולכל אחד משניהם שני צדדים צד אחד לתוספת וצד אחד למגרעת
אמ' והאופן אשר יראך שרש המרובע הוא שתקח מחצית השרשים ותכם בעצמם וממה שיתקבץ תגרע המספרים ותקח שרש הנשאר ותגרעהו ממחצית השרשים והנשאר הוא שרש המרובע
והנה בדמיון הנזכר לקחנו מחצית השרשים והוא חמשה והכינו חמשה בעצמו והיה עשרים וחמשה גרענו מהם מספר האדרהמי ונשארו ארבעה ושרשם שנים גרענום מחמשה ונשארו שלשה הוא שרש המרובע והמרובע תשעה וזה צד המגרעת
ואם תרצה הוסיף השנים על מחצית השרשים ויהיו שבעה והם שרש המרובע והמרובע יהיה תשעה וארבעים
אמ' וראוי שתדע כי אם יהיה המתקבץ מהכאת מחצית השרשים על עצמו פחות מהאדרהמי אשר עם המרובע כי אז תהיה השאלה כוזבת אבל פעמים יהיה המתקבץ שוה למספר האדרהמי ואז יהיה שרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
והנני אבאר לך כל אשר אמרנו [...] עם תמונות ג'ימטריות
אמ' והאופן אשר יראה לך המרובע הוא שנכה השרשים על עצמם והעולה נכהו על המספרי' ושמור מה שיתקבץ עוד נקח מחצית הכאת השרשים ונכהו בעצמו ומה שיתקבץ נגרע ממנו השמור ותקח שרש הנשאר ותגרעהו ממחצית הכאת השרשים
עוד תגרע מהנשאר מספר האדרהמי ומה שישאר הוא המרובע
והנה בדמיון הנזכר הכינו השרשים בעצמם ועלה מאה הכינו מאה בעשרי' ואחד והיו אלפיים ומאה ושמרנום
עוד לקחנו מחצית מאה והכינום בעצמם והתקבץ אלפיים ות"ק
גרענו מהם השמור ונשאר ארבע מאות ושרשם עשרים גרענום מחמשי' ונשאר שלשים וגרענו משלשים מספר האדרהמי ונשאר תשעה והוא המרובע וזה הוא צד המגרעת
ואם תרצה צד התוספת תוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים ותגרע מהם מספר האדרהמי וישאר תשעה וארבעי' הוא המרובע
אמ' וכמו כן אם יעדיפו המרובעים בשאלה על אחד או יגרעו מאחד שלם השיבם לעולם אל מרובע אחד על הדרך שהראיתיך בחלק שעבר
אמ' ועתה אבוא להראות לך הסבה אשר בעבורה דרכנו באופן שמראה שרש המרובע
וראשונה ראוי שתדע כי סבת צדדי התוספת והמגרעת היא כפי מה שיעדיף המרובע על המספרי' או שיגרע מהם כי אם יעדיף אז הוא צריך צד התוספת
ואם יגרע אז יצטרך צד המגרעת כמו שאראה אותך בשתי תמונו' אשר ארשום לך עתה
וארשום ראשונה כאשר יגרע המרובע מהמספרי' והוא שנניח המרובע הוא מרובע א"בג"ד ושטח א"בה"ל הדבק אצלו הוא על דמיון העשרים ואחד דרהמי ומפני כי שטח א"בה"ל הנחנוהו גדול מא"בג"ד יהיה קו ב"ל גדול מקו ב"ד
ומפני כי כל שטח הלג"ד הנחנוהו עשרה שרשי' ממרובע אבג"ד יהיה קו ל"ד עשרה כמו שהתבא' למעלה ואנו מבקשים לדעת שיעור קו ב"ד
הנה נחלק קו ל"ד שהוא עשרה לחצאין על נקודת ח' וכבר נחלק גם כן לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב' ויהיה מפני זה הכאת ל"ב בב"ד עם מרובע ח"ב ישוו למרובע ח"ד כמבואר בשני מאקלידס
אבל מרובע ח"ד הוא ידוע שהוא עשרים וחמשה בעבור כי קו ח"ד חמשה והכאת ל"ב בב"ד הוא עשרים ואחד בעבור כי ב"ד הוא שוה לב"א
ולכן ישאר מרובע ח"ב ארבעה וצלעו שהוא קו ח"ב שנים גרענום מקו ח"ד שהוא חמשה וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע והמרובע תשעה והוא המבוקש
ואם תרצה שאראך לעין מה שאמרתי הנה נשים על קו ח"ד מרובע והוא מרובע ב"חג"ד והוא ידוע בשיעוריו עשרים וחמשה בעבור כי קו ח"ד חמשה ושטח ח"ג הוא כמו שטח ח"ה בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד ושטח א"ח כמו שטח א"נ
ולכן כאשר יקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה יהיה שוה למקובץ משטח א"נ עם שטח א ח"ג
אבל מקובץ שטח א"ח עם שטח ח"ה הוא ידוע שהוא עשרים ואחד
ולכן יהיה מקובץ שטח א"נ עם שטח ח"ג גם כן עשרים ואחד
וישאר שטח כ"א ממרובע ב"הג"ד שיעורו ארבעה ושטח כ"א מרובע בעבור כי קו כ"נ כמו קו כ"ח וקו ח"ס כמו קו נ"מ
וישאר קו כ"ס כמו קו כ"מ וקו כ"מ שנים והוא שוה לקו ח"ב
אם כן קו ח"ב שנים וישאר קו ב"ד שלשה והוא שרש המרובע והמרובע תשעה ו והוא שרש המבוקש
הנה כי בזאת התמונה התבאר לך במופת ובעין סבת האופן אשר יובילך אל ידיעת שרש המרובע וכן התבא' לך מפניה סבת צד המגרע' כי הוא כאשר המרובע הוא פחות מהמספרים
ולכן הוצרכנו לגרוע קו ח"ב אשר ידענו עם תחבולה מקו ח"ד הנודע בהנחה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
ועתה מזאת התמונה השנית יגלה אליך בכמו ההנהגה הקודמת סבת צד התוספת כי הנחנו בה מרובע א"בג"ד גדול משטח אבה"ל
ולכן ימשך בסוף כי כדי לדעת שיעור ב"ד נצטרך להוסיף קו ח"ב על קו ח"ד
ולא נצטרך להאריך בזה כי הוא מובן מאשר כתבנו ראשונה כי המופת אחד
אבל כדי להראותך זה לעין ישתנה מעט המופת ולכן נבארהו לך והוא שנשים על קו ח"ד מרובע ב"הג"ד ונמשיך קו ח"ב עד ס' וקו ד"נ עד ג'
ונרצה שאראה לך איך שטח אבה"ל כשיתקבץ עם מרובע אמס"ב יהיה שוה למרובע בהג"ד הידוע שהוא עשרים וחמשה
ונאמ' כי הוא ידוע כי שטח ח"ג כמו שטח ה"ח בעבור כי קו ל"ח כמו קו ח"ד ושטח מ"ח כמו שטח ס"נ וישארו שטח אבה"ל ואמס"ב שוים לבחג"ד
אבל אבה"ל הוא עשרים ואחד ולכן ישאר אמס"ב ארבעה ואמס"ב הוא מרובע ולכן יהיה קו א"ס שנים והוא שוה לח"ב הוספנוהו על ח"ד הידוע שהוא חמשה ויצא לנו שיעור קו ב"ד שהוא שבעה והוא המבוקש
אמ' וכבר התבאר ממה שאמרנו כי לעולם תעדיף הכאת מחצית השרשים על עצמם מהמספרים בשיעור מרובע א"ב בין יגרע המרובע מהמספרים או שיעדיף עליהם
ונשאר עלינו שנבאר כאשר יהיה העולה מהכאת מחצית השרשים על עצמו כמו המספרים שאז יהיה המרובע כמו המספרים ושרש המרובע כמו מחצית השרשים בלי תוספת ובלי מגרעת
דמיון זה שיאמ' מרובע מה ועשרים וחמשה שרשים ישוו לעשרה שרשים מהמרובע
ונניח המרובע שטח מרובע עליו אבג"ד ונחבר עמו שטח אבה"ו על דמיון העשרים וחמשה דרהמי
ויהיה כל שטח ג"ו עשרה שרשים ממרובע אבג"ד ולכן יהיה קו ד"ו עשרה ורצינו שנודיע כמה שיעור קו ב"ד שהוא שרש המרובע
הנה נחלק קו ד"ו לחצאין על נקוד' ח' ולא ימלט הדבר מאחד משלשה ענינים אם שתפול נקודת ח' למעלה מנקוד' ב' או למטה ממנה או שתפול עליה ממש
ונניח ראשונה שתפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב' אם יתכן זה ויהיה מפני זה קו ד"ו נחלק לחצאין על נקודת ח' ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ב' ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב על עצמו ישוו להכאת ח"ו על עצמו כמבואר בשני מאקלידס אבל הכאת ו"ח על עצמו הוא עשרים וחמשה בעבור כי הנחנוהו חצי ו"ד שהוא עשרה
ולכן יהיה הכאת ד"ב בב"ו עם מרובע ח"ב ישוו עשרים וחמשה וכבר הנחנו קודם שטח אבה"ו שהוא מהכאת ב"ו בב"א השוה לב"ד עשרים וחמשה מבלעדי מרובע ח"ב
אם כן הרב ישוה למעט זה חלוף לא יתכן אם כן לא תפול נקודת ח' למעלה מנקודת ב' וכמו זה יתבאר שלא יתכן שני שתפול למטה ממנה
אם כן יצטרך שתהיה נקודת ב' עצמה הוא הנקוד' הנחלק עליה קו ו"ד לחצאי' ולכן יהיה קו ב"ד שהוא מחצית השרשים הוא שרש המרובע והוא חמשה ומרובעו חמשה ועשרים ונשלם ביאורו
אמ"פ המעתיק הנה נשמט מהספר שהעתקתי ממנו מופת האופן שהראה לנו בו המרובע ולכן ראיתי שאבארהו וארשום בבאורו שלשה תמונות
הראשונה יתבא' בה צד התוספת
ובשנית צד המגרעת
ובשלישית צד יראה עמה כאשר השתוו המספרים להכאת מחצית השרשים על עצמם שאז לא יצטרך תוספת ולא מגרעת
ונקח לבאר זאת הראשונה והוא שהנחנו קו א"ג המקובץ מהמרובע ועשרי' ואחד דרהמי וא"ב ממנו הוא שיעור מרובע וב"ג ממנו הוא שיעור הדרהמי וא"ב גדול מב"ג כי עם זה יגיע צד התוספת והנחנו קו א"ג הוא כלו עשרה שרשים מן המרובע כי כן היתה השאלה ורצינו שנודיע שיעור קו א"ב נשים על קו א"ג מרובע עליו אגד"ה והנה הוא מאה דמיוני השטח העולה מא"ב מוכה באחד מאחדיו כמו שבארנו למעלה בעבור כי א"ג עשרה משרשים מא"ב ועשרה שרשים מהדבר מוכים על עצמם כמו מאה דמיוני מה דבר
ונמשיך קו א"ד בישר עד ו' ונשימהו מאה ממה שבו קו ב"ג עשרים ואחד ונוציא קוי בט"ז גה"ח נכחיים לקו א"ו ושוים אליו ונגיע נקדות ו"ח עם קו וז"ח הנה שטח אבו"ז שוה למרובע אגד"ה בעבור כי הוא גם כן מאה דמיוני השטח העולה מהכאת קו א"ב באחד מאחדיו כי צלע א"ו ממנו הוא מאה
ונבדיל שטח א"ט המשותף וישאר שטח ג"ט שוה לשטח ט"ו
ונבדיל שטח ג"ט משטח ב"ג ז"ח וקבצנו עם הנשאר שטח ט"ו השוה לג"ט שהבדלנו ויהיה מפני זה שטח דהו"ח שוה לשטח ב"ג ז"ח ושטח בגו"ח היה ידוע שהוא אלפיי' ומאה בעבור כי ב"ג הוא עשרים ואחד וג"ח הוא מאה ולכן יהיה שטח דהו"ח אלפיים ומאה והוא כמו הכאת ג"ד בה"ח כי קו ד"ה שוה לקו ג"ה
ונחלק ג"ח לחצאין על נקודת ל' וכבר נחלק לשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה'
ולכן יהיה הכאת קו ג"ל על עצמו שוה להכאת ג"ה בה"ח ולמרובע ה"ל יחד כמו שהוא מבואר בשני לאקלידס אבל הכאת קו ג"ל על עצמו היא אלפיים ות"ק ונגרע מהם אלפיים וק' שהם מהכאת ג"ה בה"ח ולמרובע ה"ל יחד וישאר מרובע ה"ל ארבע מאות ושרשם עשרים והם שיעור קו ה"ל
ואם המרובע יעדיף על הדרהמי כמו שהוא הענין בתמונה הראשונה נוסיף העשרים על קו ג"ל שהוא חמשי' ויהיה קו ג"ה שבעים וג"א השוה לג"ה יהיה גם כן שבעים גרענו ממנו קו ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד וישאר קו א"ב תשעה וארבעים והוא המרובע שהוא המבוקש
ואם המרובע פחות מהדרהמי כמו שהוא הענין בזאת התמונה השנית אז נגרע העשרים שהוא שעור קו ה"ל מקו ג"ל שהוא חמשים וישאר קו ג"ה שלשים
וא"ג שוה לג"ה גרענו ממנו שעור ב"ג הידוע שהוא עשרים ואחד וישאר שעור קו א"ב תשעה והוא המרובע המבוקש
ואחר שבארנו בשתי התמונות הקודמות צד התוספת וצד המגרעת הנופלים בזאת השאלה התמונה כאשר יהיה הכאת מחצית השרשים על עצמם יותר מהדרהמי הנה נבאר בזאת התמונה השלישית הצד שאין לו לא תוספת ולא מגרעת והוא כאשר תהיה הכאת המחצית שוה לדרהמי שאז יהיה המרובע כמו הדרהמי
ונניח קו א"ג מקובץ המרובע עם עשרים וחמשה דרהמי והוא גם כן שוה לעשרה שרשים מהמרובע
ונמשיך המעשה כמעשה הקודם בשתי התמונות הקודמות עד המקום שיתבאר בו ששטח דהו"ח שוה לשטח בגז"ח והוא שוה גם כן להכאת ג"ה בה"ח בעבור כי ג"ה כמו ה"ד
אבל שטח ב"ג ז"ח הוא אלפיים ת"ק כי ב"ג עשרים וחמשה וג"ח מאה אם כן הכאת ג"ה בה"ח אלפיים ת"ק ונחלק קו ג"ח לחצאי' על נקודת ל' ובהכרח תפול נקודת ל' אז למעלה מנקודת ה' או למט' ממנה או עליה
ונבאר שאי אפש' שתפול כי אם עליה שאם אפש' נניח שנפלה ממנה ויהיה אם כן קו ג"ח נחלק לחצאין על נקודת ל' ולשני חלקים בלתי שוים על נקודת ה' ויחויב שיהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל יחד שוים למרובע ג"ל
אבל מרובע ג"ל אלפיים ת"ק כי ג"ל חמשים
ולכן יהיה הכאת ג"ה בה"ח עם מרובע ה"ל אלפיים ות"ק
וקודם זה התבאר שהכאת ג"ה בה"ח לבדו הוא אלפיים ות"ק מבלעדי מרובע ה"ל אם כן יהיה הרב שוה למעט זה חלוף לא יתכן
ובכמו זה הביאור יתבא' שאינה נופלת נקדת ל' למטה מנקודת ה'
אם כן תהיה נקוד' ה' בעצמה היא אשר עליה יחצה קו ג"ח ולכן יהיה קו ג"ה חמשים וא"ג השוה לג"ה יהיה גם כן חמשים נגרע ממנו ב"ג שהוא עשרים וחמשה וישאר קו א"ב גם כן חמשה ועשרים וככה המרובע המבוקש ונשלם זה החלק

Roots and Numbers equal Squares

 פרק: אמ' שרשים ומספרים שישוו למרובע
bx+c=ax^2
הוא כמו שיאמ' שלשה שרשים וארבעה דרהמי יהיו שוים למרובע גם לזה החלק שני האופנים האחד יראך שרש המרובע והשני יראך המרובע
ועוד אבארם בתמונות ג'ימטריות
אמ' והאופן אשר יראך השרש הוא כי תחצה השרשים ותכם על עצמם ותקבץ העולה עם המספרים
עוד תקח שרש המקובץ ותקבצהו עם מחצית השרשים ומה שיגיע הוא השרש
והנה לקחנו מחצית שלשה והוא אחד וחצי הכינוהו על עצמו ועלה ב' ורביע וקבצנום עם הארבעה והיה ששה ורביע ושרשם הוא שנים וחצי
וקבצנוהו עם אחד וחצי והגיע ארבעה והוא שרש המרובע והמרובע ששה עשר
אמ' והאופן אשר יראך המרובע הוא שתכה השרשים על עצמם ומה שיעלה תכהו במספרים והעולה שמור
עוד תקח מחצית הכאת השרשים על עצמם ותכה זה המחצית על עצמו והעולה תקבץ עם השמור וקח שרש המקובץ ותקבצהו יחד עם מחצית הכאת השרשי' ועם המספרים ומה שיתקבץ מהכל הוא המרובע
והנה הכינו השלשה בעצמם ועלה תשעה הכינו תשעה בארבעה ועלה שלשים ושש ושמרנום
עוד לקחנו מחצית תשעה והוא ארבעה וחצי והכינום על עצמם והיה עשרים ורביע קבצנום עם השמור והיה הכל ששה וחמשים ורביע
לקחנו שרשם והוא שבעה וחצי קבצנום יחד עם הארבעה וחצי ועם הארבעה דרהמי שהיו עם השרשים והתקבץ מהכל ששה עשר והוא המרובע
אמ' וזכור גם כן לעולם להשיב המרובעים אל מרובע אחד אם היה שהונחו מהם בשאלה יותר מאחד או פחות כאשר הראיתי בראשונה
אמ' ולמופת האופן אשר הרא[נו] בו השרש נניח המרובע אבג"ד והוא המחובר משלשה שרשיו וארבעה מספרים
ונניח שיהיה שטח אהג"נ ממנו הוא שלשת השרשים ושטח ה"ד הנשאר ארבעת המספרים
והוא ידוע ממה שאמרנו בראש הספר כי שלשת השרשים יחזיקו שלשה מספרים מהצלע ולכן יהיה ידוע שקו א"ה שלשה
ורצוננו להודיע שיעור ה"ב הנשאר
נחלק קו א"ה לחצאי' על נקודת ח' וכבר נוסף בארכו קו הב
ולכן יהיה הכאת א"ב בב"ה עם מרובע ה"ח ישוו להכאת ח"ב על עצמו כמבואר בשני לאקלידס אבל שטח הכאת ח"ב בב"ה הוא ידוע שהוא ארבעה
כי הוא שוה לשטח ה"ד בעבור כי א"ב שוה לב"ד ומרובע ה"ח הוא שנים ורביע ומקובצם ששה ורביע
אם כן הכאת ח"ב על עצמו הוא ששה ורביע ולכן קו ח"ב שהוא שרשו הוא שנים וחצי נקבץ עמו קו א"ח שהוא אחד וחצי ויהיה כל קו א"ב ארבעה וככה שרש המרובע והמרובע ששה עשר
אמ' וכדי לבאר הדבר יותר הנחנו על קו ח"ב שטח מרובע עליו ח"כ ע"ב והוא ידוע שקו מ"ע כמו קו כ"ד בעבור כי א"ב כמו ב"ד וב"ח כמו כ"ב ונשאר כ"ד כמו א"ח וא"ח שוה לח"ה וח"ה כמו מ"ע אם כן מ"ע כמו כ"ד ונשים מ"ט כמו נ"ד ולכן יהיה שטח ע"ט כמו שטח מ"ד ונשים שטח ה"כ משותף ויהיה שני שטחי ע"ט ה"ב שוים לשטח ה"ד כלו שהוא ארבעה והוא ידוע כי שטח ח"ט מרובע בעבור כי קו ח"ב כמו קו מ"ע מ"ה ומ"ט כמו ה"ב השוה לנ"ד וישאר ה"ח כמו ה"ט וקו ה"ח הנחנוהו אחד וחצי ולכן שטח ח"ט שנים ורביע וכל שטח מרובע ח"כ ששה ורביע וקו ב"ח שנים וחצי ועם קו א"ח שהוא אחד וחצי יהיה כל קו א"ב ארבעה והוא השרש והמרובע שש עשרה
אמ' ולמופת זה האופן דרך אחרת והוא שנניח מרובע אבג"ד הוא המקובץ משלשה שרשי' וארבעה דרהמי ונניח קו א"ח מקו א"ג מחצית השרשים שהוא אחד וחצי ונוציא קו ח"מ על נכוחות קו א"ב ויהיה מפני זה שטח א"מ הוא שרש וחצי וכן נניח קו ע"ד אחד וחצי ונוציא ע"ט על נכוחות ב"ד ושטח ע"ב גם כן הוא שרש וחצי ולכן יהיה שטח א"מ ושטח נ"ד וכמו שטח נ"ב יהיו יחד כמו שלשה שרשים וישאר שטח ע"ח ארבעה מספרים וכמו שטח נ"ב אבל שטח נ"ב שנים ורביע ולכן יהיה שטח [.]ע"ח ששה ורביע וע"ח מרובע לכן יהיה ג"ח שנים וחצי וקו א"ח הנחנוהו אחד וחצי ולכן קו א"ג כלו ארבעה והוא שרש המרובע והמרובע ששה עשר
אמר ועלת האופן אשר הראנו בו המרובע הוא שנשים קו א"ב הוא שעור המרובע המקובץ משלשה שרשיו וארבעה דרהמי וא"ג ממנו הוא שעור השלשה השרשים וג"ב הנשאר הוא שיעור הארבעה מספרים ורצוננו להודיע שיעור א"ב כלו כמה שבו ג"ב ארבעה נעשה על קו א"ג מרובע אגד"ה והוא ידוע ממה שעבר כי הוא כמו תשעה דמיוני השטח העולה מהכאת א"ב באחד ונשים קו א"נ תשעה במה שבו קו ג"ב ארבעה ונשלים שטח א"ח והוא ידוע גם כן ממה שעבר שהוא ישוה למרובע א"ה ונבדיל שטח א"ט המשותף וישאר שטח ד"ט שוה לשטח ט"ב אבל שטח ט"ב ידוע שהוא שלשים ושש כי צלע ג"ב ארבעה וצלע כ"ח תשעה ולכן שטח ד"ט גם כן שלשים וששה וחלקנו קו א"נ לחצאין על נקודת ל' וכבר נוסף עליו קו נ"ד ולכן יהיה מרובע קו ל"ד שוה לשטח העולה מהכאת א"ד בד"ג ולמרובע ל"נ אבל הכאת א"ד בד"נ כמו שטח ד"ט בעבור כי א"ד כמו ד"ה
אם כן שטח הכאת א"ד בד"נ שלשים וששה ומרובע ל"נ הוא עשרים ורביע ומקובצם הוא חמשים ושש ורביע

אבל שרשם שבעה וחצי וככה יהיה קו ל"ד

ונקבץ עמו קו א"ל שהוא ארבעה וחצי ויהיה קו א"ד כלו שנים עשר וא"ג השוה לא"ד יהיה אם כן שנים עשר ונקבץ עמו קו ג"ב שהוא ארבעה ויהיה קו א"ב כלו ששה עשר וככה המרובע והוא מש"ל
אמ' ונשלם זה החלק ובהשלמו נשלם באור הששה חלקים אשר יעדנו באורם באופני השתמשותם והמופתים עליהם
והרבה מסופרים אלג'בר ואלמקאבלא לא יתכן שלא ייראוך קצת מהם
ולכל חלק מאלו הששה חלקים שאלות מההפקדה והכוון קובראמיינטו איקונפרונטאמיינטו בלעז אשר יורוך אותם בעלי המספר
אמ"פ לקחתי הפקדה מלשון פקדון וכוון מלשון כוון חשבון אשר בדברי רז"ל ותבין ענינם מתוך השאלות אשר יביא אחר הציעו המצעות האלו אשר יניח עתה

Multiplication of Roots

 פרק
אמ' וראשונה אתחיל מהכאת הדברים אחד באחר והדברים במספרים
והדברי' והמספרים בדברי' ובמספרים ומלבד אלו אשר אמרנו ובענינים אחרי' אשר אינו נמלט מידיעתם הרוצה לקרות בזה הספר
ואבאר לך באי זה צד יוכו הדברי' והם השרשים אחד באחד
כאשר יהיו נפרדים או כאשר יהיו עם מספרים בין שיהיו נגרעים מהמספרי' בין שיהיו המספרים נגרעים מהם
ובאי זה צד יתקבצו אלו עם אלו וכיצד יגרע האחד מהאחר
אמ' וכאשר יהיו הדברים נוספים על המספרים יהיה החלק הרביעי נוסף והחלק הרביעי אז הוא הכאת הדברים זה עם זה כי כל שני מספרים שיוכו בשני מספרים אי אפש' שתהיה מבלעדי בם ההכאה ארבעה פעמים והוא שיוכו כל אחד משני המספרים הראשונים בכל אחד מהשני מספרי' האחרים ולכן תהיה ההכאה ארבעה פעמים
אמ' וכאשר היו הדברים נגרעים מהמספרי' יהיה החלק הרביעי נוסף והוא והוא הכאת הדברים האחד באחר
וכאשר היו האחד נוסף והאחר נגרע היה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת הדברים האחד באחר
וכאשר היו המספרי' נגרעים מהדברים יהיה החלק הרביעי נוסף והחלק הרביעי אז הוא הכאת אחד המספרי' באחר
וכאשר יהיו אחד משני המספרים נוסף על הדברי' והאחר נגרע מהדברי' אז יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת אחד משני המספרי' באחר
וכאשר היו הדברים נוספים על המספרים והיה מספר אחד נגרע מהדברים יהיה החלק הרביעי נגרע והוא הכאת הדברים הנוספי' במספר הנגרע
אמ' וכבר ספרנו מה הוא הראוי עם החלק הרביעי כפי מה שראיתי שבעלי המספר מתחילי' עמו בהכאה
ואפשר שיהיה החלק הרביעי זולת אשר ספרנו אלא כי כלל הדבר שהכאת הנשנים האחד באחר הוא תוספת והנשנה בנוסף גורע והנוסף בנוסף יוסיף
אמ' ודע כי מהכאת הדברים בדברים יגיע מרובע ומהדברי' במספרי' יבאו דברים והם שרשים ר"ל כי הדבר הוא השרש והשרש הוא הדבר והם שני שמות נופלים על ענין אחד
אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת דבר אחד בעשרה דרהמי תאמ' עשרה דברי'
ובאור זה שתשים הדבר בדמיון האחד ותכה אחד בעשרה ויהיה עשרה והם עשרה דברים
אמ' ואם יאמרו כמה יבא מהכאת שני דברים בעשרה דרהמי תאמר עשרה דברים
ובאור זה שתשים שני הדברים בדמיון שנים מהמספר ותכה שנים בעשרה ויהיו עשרים דברים
וכן כמה שתניח מהדברים תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה כל אחדי הדברי' במספר האדרהמי והעולה יהיה דברים בעבור כי כל מספר מהמספרי' שיוכה במין מה מהמינים יהיה כל אחד מאחדי המין בדמיון האחד אם היה דבר אחד תשים אחד ואם היו שנים תשים שנים
וכן אם היו מרובעים או ענין אחר אי זה שתרצה ותכהו במספרים יהיה העולה הוא מאותו המין
ואניח לך תמונה על זה לבאר לך לעין מה שאמרתי
אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה העולה מהכאת דבר בדבר תאמ' מרובע ואופנו שתשי' הדבר בדמיון האחד ותכהו באחר והוא אחד והוא מרובע
ואם יאמרו כמה יעלה מהכאת שני דברים בשני דברי' תאמ' ארבעה מרובעי' כמו שבארתי לך
וכן שלשה דברי' בשני דברים תכה שלשה בשנים ויהיו ששה מרובעים וכמו כן חצי דבר בחצי דבר יהיה העולה רביע מרובע
וכן כמה שתוסיף מהדברים או תגרע תשים לעולם כל דבר בדמיון האחד ותכה אלו האחדים באחדי' האחרי' והעולה מהם יהיה מרובעים
אמ' ואשים לך על זה תמונה אשר בה תבין משפט המרובע והדבר ונעמיד זה הענין בהכאת שני דברי' בשני דברים והוא שנניח קו א"ג שני דברי' וקו ג"ה שני דברים והכינו קו א"ג בקו ג"ה והיה שטח א"ה ונאמ' ששטח א"ה ארבעה מרובעי'
מופת זה שנחלק קו א"ג על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו א"ב ב"ג
עוד נחלק קו ג"ה על מספר מה שבו מהדברי' ויהיו חלקיו ג"ד ד"ה
ונוציא מנקודת ב' קו ישר על ע' עד נכוחות קו ג"ה ונוציא מנקודת ד' קו נכחי לקו א"ג והוא קו ד"ח
והנה נתחדשו עם זה בשטח א"ה ארבעה דברים שוים שטחים והם שטחי ח"ב ב"ד ד"ע ח"ע וכל אחד מהם מרובע וכל אחד מקוי א"ב ב"ג ג"ד ד"ה מוכה באחר הוא מרובע וזה הוא משפט המרובע והדבר ושטח א"ה ארבעה מרובעי' והוא מש"ל
אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת שלשה דברי' בששה דרהמי תשים שלשת הדברי' בדמיון שלשה ותכה שלשה בששה ויהיה שמנה עשר והם שמנה עשר דברים
המשל שנניח קו א"ב ששה מהמספרים וקו ב"ד שלש' דברי' ונכה קו א"ב בב"ד והוי והיה שטח א"ד ונאמ' ששטח א"ד הוא שמנה עשר דברים
ומופת זה שנחלק קו א"ב על מה שבו מהאחדים ויצאו ששה חלקים והם א"ג ג"ה ה"ו ו"ז ז"ח ח"ב ונחלק קו ד"ב על מספר מה שבו מהדברים ויהיו חלקיו ב"ט ט"כ כ"ד ונוציא מנקוד' גהוז"ח קוים נכחיים לקו ב"ד והם קוי ח"ל ז"ח ו"נ ה"פ ג"ע ונוציא מנקודות ט"כ שני קוים נכחיי' לקו א"ב והם קוי ט"ק כ"ס ועם זה יצאו בשטח א"ד שמנה עשר שטחים שוים כמו שנגלה בתמונה כל שטח מהם שוה לשטח ח"ט אבל שטח ח"ט הוא מהכאת קו ב"ט שהוא דבר בקו ב"ח ולכן יהיה שטח ח"ט דבר ושטח א"ד כלו יהיה שמנה עשר דברים וזהו משפט הכאת הדברים במספרים
אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר אחד תאמ' שהם עשרה דברים ומרובע והמעשה בזה שתכה דבר בעשרה אדרהמי ויהיו עשרה דברים עוד תכה דבר בדבר ויהיה מרובע ותקבצם ויהיו עשרה דברים ואלגו ומרובע אחד
ואבאר לך בזאת התמונה והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי וקו ב"ג דבר אחד ונשים ג"ד שוה לב"ג ונכה א"ג בב"ג ויצא שטח א"ד ונאמר ששטח א"ד עשרה דברים ומרובע אחד
מופת זה שנוציא מנקודת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד ומפני זה יהיה [.....] וגם לב"ג השוה לג"ד אבל קו ב"ג דבר אחד
אם כן קו ב"ה דבר אחד ושטח א"ה יהיה עשרה דברים מפני כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי בקו ב"ה שהוא דבר ושטח ב"ד הוא מרובע כי הוא מהכאת ב ב"ג שהוא דבר בעצמו
אם כן שטח א"ד כלו הוא עשרה [..] דברים ומרובע אחד והוא מה שרצינו לבאר
אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי פחות דבר אחד בדבר אחד תאמ' עשרה דברים פחות מרובע אחד
[והמעשה בזה שתכה עשרה דרהמי בדבר ויהיו עשרה דברי' ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע תגרעהו מעשרה הדברי' וישאר ארבעה דברים פחות מרובע ואבאר זה בזאת התמונה והוא שנניח קו א"ג הוא עשרה דרהמי ונניח קו ב"ג ממנו הוא דבר א' וישאר קו א"ב עשרה דרהמי פחות דבר

ונשים קו ג"ד שוה לקו ב"ג ונכה קו א"ג בקו ג"ד ויצא שטח א"ד ונוציא מנקדת ב' קו ב"ה נכחי לקו ג"ד ונאמ' כי שטח א"ה הוא עשרה דברי' פחות מרובע

מופת זה כי הנה שטח א"ד הוא עשרה דברי' בעבור כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא עשרה בקו ג"ד השוה לב"ג שהוא דבר ושטח ב"ד הוא מרובע כי הנה הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בקו ג"ד השוה אליו ולכן ישאר שטח א"ה עשרה דברי' פחות מרובע והוא מהכאת א"ב שהוא עשרה דרהמי פחות דבר בב"ה שהוא דבר ומש"ל
אמר ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי ודבר
תאמ' מאה דרהמי ומרובע ועשרי' דברי'
והמעשה] והמעשה בזה שנכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי עוד תכה עשרה בדבר ויהיו עשרה דברים ותשוב ותכה דבר בעשרה דרהמי ויהיו עשרה דברים ותכה עוד דבר בדבר ויהיו מרובע ותקבץ הכל יחד ויהיה מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים ואבאר זה בזאת התמונה והוא שנניח קו א"ב עשרה דרהמי ודבר וא"ג ממנו עשרה וג"ב דבר
וכן נניח קו ב"ד עשרה דרהמי ודבר ב"ה ממנו דבר וה"ד עשרה
ותכה קו א"ב בקו ב"ד ויצא שטח א"ד ונאמ' כי שטח א"ד מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים
ומופת זה שנוציא מנקודת ג' קו נכחי לקו ב"ד והוא קו ג"ח ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ב
הנה שטח ג"ה מרובע וז"ח מרובע ושטח ג"ז כמו שטח ה"ח כמו שאבאר כל זה באקלידס
אבל שטח ז"ח מאה כי הוא הוה מהכאת ז"ט השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ט"ח השוה לה"ד שהוא גם כן עשרה ושטח ז"ג עשרה דברים כי הנה הוא מהכאת ג"ט השוה לב"ה שהוא דבר בקו א"ג שהוא עשרה ושטח ח"ה גם כן עשרה דברי' כי הוא מהכאת ט"ה השוה לג"ב שהוא דבר בקו ה"ד שהוא עשרה ושטח ג"ה הוא מרובע כי הוא מהכאת קו ג"ב שהוא דבר בקו ב"ה שהוא גם כן דבר ומקובץ הארבעה שטחים הוא שטח א"ד
אם כן שטח א"ד הוא מאה דרהמי ומרובע ועשרים דברים והוא מש"ל
אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה אדרהמי פחות דבר בעשרה אדרהמי פחות דבר
תאמ' מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
ואופן מעשהו שתכה עשרה דרהמי בעשרה דרהמי ויהיה מאה תכה דבר נגרע בעשרה דרהמי ויהיה עשרה דברים נגרעים
עוד תשוב להכות עשרה דרהמי בדבר הנגרע ויהיו גם כן עשרה דברים נגרעים ותכה דבר נגרע בדבר נגרע ויהיה מרובע נוסף ותקבץ כל זה ויהיה מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים ואבאר זה בזאת התמונה והוא שנשים קו א"ג עשרה דרהמי ונפחות ממנו דבר והוא קו ב"ג וישאר א"ב עשרה פחות דבר וכן נשים קו ג"ד עשרה וג"ה ממנו הוא דבר ונכה קו א"ב בקו ה"ד ויעלה מרובע ז"ח ונאמ' שמרובע ז"ח מאה אדרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
מופת זה שנשלים שטח א"ד ונוציא מנקוד' ב' קו ב"ח נכחי לקו ב"ד ונוציא מנקודת ה' קו ה"ז נכחי לקו א"ג הנה כי שטח א"ד מאה בעבור כי א"ג עשרה וג"ד עשרה ושטח ז"ג עשרה דברים בעבור כי א"ג עשרה וג"ה הוא דבר וכן שטח ב"ד עשרה דברים בעבור כי ג"ד עשרה וג"ב הוא דבר ושטח ב"ה הוא מרובע כי הוא מהכאת ב"ג שהוא דבר בג"ה שהוא גם כן דבר
וישאר שטח ה"ח עשרה דברים פחות מרובע ושטח א"ה עשרה דברים ומקובצם עשרים דברים פחות מרובע וכשנגרעם שטח א"ה ושטח ה"ח משטח א"ד שהוא מאה ישאר שטח ז"ח מאה דרהמי ומרובע פחות עשרים דברים
אמ' ואם יאמרו לך כמה יעלה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בעשרה דרהמי פחות דבר
תאמ' מאה דרהמי פחות מרובע
ואופן מעשהו שתכה עשרה בעשרה ויהיו מאה דרהמי ותכה הדבר הנוסף בעשרה ויהיו עשרה דברים נוספי' ותכה הדבר הגורע בעשרה ויהיו עשרה דברים נגרעים ותוציא הנוספים כנגד הנגרעים וישארו מאה דרהמי
עוד תכה הדבר הנוסף בדבר הגורע ויהיה מרובע נגרע ותגרעהו מהמאה דרהמי וישארו מאה פחות מרובע
ואבאר לך זה בזאת התמונה והוא שנניח קו א"ב עשרה ודבר א"ג עשרה וג"ב דבר
ונניח קו ב"ה עשרה פחות דבר ונדביק עמו קו ה"ד הוא דבר ויהיה קו ב"ד כלו עשרה דרהמי ונכה קו א"ב שהוא עשרה דרהממי ודבר בקו ב"ה שהוא עשרה פחות דבר ויהיה שטח א"ה ונאמר ששטח א"ה הוא מאה דרהמי פחות מרובע
ומופת זה שנשלם שטח א"ד והנה הוא מאה דרהמי ועשרה דברים בעבור כי שטח א"ח ממנו הוא מאה כי הנה הוא מהכאת א"ג שהוא עשרה בג"ח שהוא גם כן עשרה כי הוא שוה לב"ד שהנחנוהו עשרה ושטח ג"ד הנשאר הוא עשרה דברי' כי הנה הוא מהכאת ג"ד כי שהוא דבר בב"ד שהוא עשרה הנה כי כל שטח א"ד הוא מאה דרהמי ועשרה דברים והוא מבואר בנקלה למבין כי שטח ז"ח כמו שטח ח"ב ונבדיל משטח ז"ח כמו שטח מ"ד המרובע והוא שטח מ"[ב] ויהיה מפני זה שטח כ"ד שנים מרובעי' וישאר שטח ז"ט כמו שטח מ"ב ונשים שטח א"מ משותף ויהיה שטח א"מ ושטח מ"ב יחד והוא כל שטח א"ה יהיה שוה לשטחי א"מ ז"ט אבל שני שטחי א"מ ז"ט אתה רואה כי הם מאה דרהמי פחות מרובע בעבור כי שטח מ"ט הנחסר הוא מרובע
אם כן שטח א"ה יהיה מאה דרהמי פחות מרובע והוא מש"ל
אמ' ואם יאמרו לך כמה העולה מהכאת עשרה דרהמי ודבר בדבר פחות עשרה דרהמי תאמ' מרובע פחות מאה דרהמי
ואופן מעשהו הוא שנכה עשרה בדבר הפוחת עשרה ויהיו עשרה דברים נוספים
עוד תשוב ותכה עשרה בעשרה הפוחתים ויהיו מאה דרהמי גורעי' ותכה דבר בדבר ויהיה מרובע
עוד תכה דבר בעשרה הפוחתים ויהיו עשרה דברי' נגרעים ותשליך העשרה דברי' נוספי' כנגד העשרה הדברים הנגרעים וישאר המקובץ מההכאה מרובע פחות מאה דרהמי
ואבאר זה בזאת התמונה והוא שנשים קו א"ב עשרה דרהמי ודבר א"ג הוא עשרה וג"ב דבר ונניח קו ב"ה דבר פחות עשרה ונוסיף בו ה"ד שהוא עשרה
ונכה קו א"ב בקו ב"ה ויהיה שטח א"ה
ונאמ' ששטח א"ה הוא מרובע פחות מאה דרהמי
מופת זה שנשלים שטח א"ד ויהיה שטח א"ד עשרה דברים ומרובע בעבור כי הוא מהכאת קו א"ב שהוא עשרה דרהמי ודבר בקו ב"ד שהוא דבר ונוציא קו ג"ח נכחי לקו ב"ד והנה יהיה שטח ג"ד מרובע כי הוא מהכאת ג"ב שהוא דבר בב"ד שהוא גם כן דבר ושטח א"ח כמו שטח ח"ה בעבור כי קו ח"ג כמו קו ח"ד וקו א"ג כמו קו ה"ד ונבדיל שטח ח"ה ממרובע ג"ד ונשתף עמו שטח א"ח השוה לו ויהיה שטח ג"ה הנשאר ממרובע ג"ד ושטח א"ח יחד כמו מרובע ג"ד ונבדיל מזה שטח כ"ח שהוא מאה דרהמי בעבור כי הוא מהכאת קו כ"ל השוה לא"ג שהוא עשרה בקו ל"ח השוה לה"ד שהוא גם כן עשרה וישאר שטח א"ה מרובע פחות מאה דרהמי והוא מש"ל
אמר ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת עשרה דרהמי ושני שלישי דבר על שלשה דרהמי פחות ששה דברים תאמר שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעים ופחות חמשים ושמנה דברים
ואופן מעשהו הוא שתכה עשרה דרהמי בשלשה ויהיו שלשים דרהמי
ותכה שני שלישי דבר בשלשה דרהמי ויהיו שני דברים נוספים
עוד תכה עשרה אדרהמי בששה דברי' הפוחתים ויהיו ששים דברים נגרעים
ותכה שני שלישי דבר בששה דברים הפוחתים ויהיו ארבעה דברים נגרעים מרובעים
ונשלמה ההכאה ונבא לקבצם והנה נפיל שני הדברים הנוספים מהששים דברי' הנגרעי' וישארו שמנה וחמשי' ויהיה מקובץ הכל אחר זה שלשים דרהמי פחות ארבעה מרובעי' ופחות שמנה וחמשי' דברים
אמ' ודי לך במה שבארתי מכפל הדברים והמספרים וממנו תוכל להתחכם בתשובת כל השאלות אשר יגיעו לפניך מזה השער
פרק: יתבאר בו הכפלת שרש ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע זה
ורצוני בהכפלה הנה לקיחת שני שרשיו
אמ' וכאשר תרצה לדעת שני שרשים ממספר ידוע או ממרובע בלתי ידוע לאי זה מספר אחר או מרובע אחר הם שרש
תניח השני שרשים בדמיון שנים ותכה שנים על שנים והעולה תכהו במספר הידוע או במרובע הבלתי ידוע והעולה הוא המספר שהם שרש אליו
ואם תרצה שלשה שרשים תכה שלשה בשלשה והעולה תכה על המספר הידוע
או על המרובע בלתי ידוע ויהיו שלשת השרשים שרש למספר העולה
וכן אם תרצה לחצות השרש תכה חצי בחצי ויהיה רביע ותכה רביע במרובע הידוע או הבלתי ידוע ויהיה העולה מההכאה הנה חצי השרש הוא שרש לו
וכן כל מה שתוסיף או תגרע מהשרשים תעשה על הדרך שאמרנו
אמ' ונניח דמיון לזה כאשר עשינו רצינו לדעת כפל שרש ששה עשר תכה שנים בשנים והיו ארבעה ותכה ארבעה בששה עשר ויהיו ששים וארבע' ושרשו הוא שמנה והם שני שרשי ששה עשר
ונבאר זה בתמונ' זאת
והוא שנניח שטח מרובע אבג"ד בדמיון ששה עשר דרהמי
וקו ג"ד הוא שרש מרובע אבג"ד
וכאשר נרצה לכפול זה השרש נוציא קו ג"ד על יושר עד ה' ונשים ג"ה שוה לג"ד ויהיה קו ה"ד שני שרשים ממרובע א"ד
ואם נרצה לדעת לאי זה מספר הוא שרש נשים עליו שטח מרובע עליו ה"ז ונאמר ששטח ה"ז ארבעה דמיוני שטח ג"ב
מופת זה שנוציא קו ג"א על יושר עד ח' ונוציא קו א"ב עד נקודת ט'
ויהיו בשטח ה"ז ארבעה מרובעים שוים והם מרובעי ג"ב ב"ח ח"ט ט"ג
אבל ג"ב הנחנוהו שש עשרה ולכן יהיה מרובע ה"ז ששים וארבע ויהיה קו ה"ד שרש לששים וארבע והוא שמנה והוא מש"ל
אמ' וכאשר נרצה לקחת חצי שרש תשעה נכה חצי בחצי ויהיה רביע ונכה רביע בתשעה ויהיה שנים ורביע נקח שרשו והוא אחד וחצי והוא יהיה חצי שרש תשעה
ואם נרצה לקחת שני שלישי שרש תשעה נכה שני שלישים בשני שלישים ויהיו ארבע תשיעיות ותכה ארבעה תשיעיות בתשעה ויהיו ארבעה ושרשם שהוא שנים הוא יהיה שני שלישי שרש תשעה
ואבאר לך בזאת התמונה
והוא שנניח התשעה שטח מרובע עליו אבג"ד ויהיה קו ג"ד שרש תשעה
וכאשר תרצה לקחת שני שלישיו תחלק קו ג"ד לשלשה חלקים שוים והם נ"ז ז"ה ה"ד ויהיה קו ד"ז שני שלישי קו ג"ד והוא גם כן שני שלישי שרש מרובע ג"ב
וכאשר תרצה לדעת לאי זה שמספר הוא שרש נעשה על קו ז"ד שטח מרובע עליו ב"ז ל"ד ונאמ' ששטח ב"ז ל"ד ארבעה תשיעיות שטח ג"ד והם ארבעה דרהמי
מופת זה שנוציא קו ז"כ על יושר עד נקודת ט' ונוציא מנקודת ה' קו ה"ח נכחי לקו ב"ד ותוציא מע' קו ע"פ נכחי לקו א"ב ונוציא קו למ"ב עד [.]שיהיה עם זה כבר נעשו בשטח ג"ב תשעה שטחים שוים והם נ ה"ע ע"מ מ"ב מ"ט ט"ס כ"נ כ"פ פ"ז ז"נ ויהיה שטח ז"ל ארבעה מאלו התשעה שטחים
אם כן שטח ז"ל ארבע תשיעיות מרובע ג"ב וקו ז"ד שרש לארבעה והוא מש"ל
וכל מה שיפול בידך מזה המין תעשה עמו ככה
אמ' ואם תרצה לדעת כמה העולה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה תכה ארבע' בתשעה ויהיה שלשים ושש תקח שרשם והוא ששה והוא כמו הכאת שרש תשעה בשרש ארבעה
ואבאר זה בזאת התמונה
והוא שנשים קו א"ב שרש תשעה וקו ב"ג שרש ארבעה וכאשר נרצה להכות קו א"ב בקו ב"ג תשים על קו א"ג שטח מרובע עליו א"ח ותוציא מנקודת ב' קו נכחי לקוי א"ה ג"ח והוא קו ב"ז וכל אחד מקוי א"ה ג"ח שרש תשעה ושרש ארבעה ונשים קו מ"ג שרש תשעה וישאר קו מ"ח שרש ארבעה ונוציא מנקודת מ' קו מ"כ נכחי לקוי א"ה ג"ח א"ג ה"ח ויהיה שטח ע"מ תשעה וקו ב"ע שרש תשעה ושטח ע"ח ארבעה וקו ז"ע שרש ארבעה כי ז"ע שוה לע"מ וע"מ כמו ב"ג וע"ב כמו ע"כ
ויחס מ"ע אל ע"כ כיחס ז"ע אל ע"ב ויחס ז"ע אל ע"ב הוא כיחס שטח ז"ב אל שטח ע"א ולכן יהיה הכאת המספרים אשר בשטח ז"מ כמספרים אשר בשטח ע"א כמו הכאת המספרים אשר בשטח ז"כ בעצמם
כמו שבאר זה אקלידס כאשר אמ' כי כאשר היו שלשה מספרים מתיחסים יהיה הכאת המספר הראשון בתשיעי בשלישי כמו הכאת הב' המספר בעצמו
אבל הכאת מה שבשטח ע"ח מהאחדים שהם ארבעה באחדי שטח ע"א שהם שלשה תשעה יהיה שלשים ושש
ולכן שטח ז"כ הוא כמו שרש שלשים ושש והוא ששה והנה שהוא הוה מהכאת שרש תשעה בשרש ארבעה בעבור כי קו [.] כ"ע שרש תשעה וקו ע"ח כמו שרש ארבעה והוא ומש"ל
[תוספת ואם רצית לכפול שרש מספר ידוע במספר אחר ידוע כפול המספר האחר בעצמו והעולה תכהו במספר השרש והעולה קח שרשו והוא המבוקש
דמיון זה בקשנו לכפול שרש מספר ט' במספר ד' הכינו ד' בעצמו והיה י"ו והכינו י"ו בט' והיה קמ"ד ושרשו שהוא י"ב הוא המבוקש]
אמ' ואם יאמרו לך כמה יהיה מהכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה
ראה שני שרשי עשרה לאי זה מספר הם שרש על הדרך שהראיתי לך ותמצא שהם שרש לארבעי' וכמו כן ראה חצי שרש חמשה לאי זה מספר הוא שרש ותמצא שהוא שרש לאחד ורביע
ותשוב השאלה כאלו אמרו כמה יהיה מהכאת שרש ארבעים בשרש אחד ורביע ולכן תכה ארבעים באחד ורביע ויהיה חמשים
ותאמ' כי שרש חמשים הוא הוא הכאת שני שרשי עשרה בחצי שרש חמשה
אמ' ונניח לזה המעשה תמונה כוללת
ונאמ' שכל מספר שיוכה במספר אחר יהיה שרש העולה כמו הכאת שרש מספר אחד מהם לשרש המספר האחר
משל לזה שנניח ב' א' שני מספרים ושרש ב' הוא ג' ושרש א' הוא ד' ונכה ב' בא' ויהיה ז' ונכה ג' בד' ויהיה ח' ונאמ' שח' כמו ה' שהוא שרש ז'
מופת זה כי ג' הוכה בעצמו והיה ב' והוכה בב'ד' והיה ח' ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח' וכמו כן ד' הוכה בעצמו והויה א' והוכה בג' והיה ח' [מא' מ"ז לאקלידס] ולכן יהיה יחס ג' אל ד' כיחס ח' אל א'
וכבר היה יחס ג' אל ד' כיחס ב' אל ח'
אם כן יהיה יחס ב' אל ח' כיחס ח' אל א'
ויהיה מפני זה הכאת ב' בא' כמו הכאת ח' בעצמו
אבל הכאת ב' בא' הוא ז'
אם כן הכאת ח' בעצמו יהיה כמו ז' וכבר היה הכאת ה' בעצמו הוא ז' ולכן יהיה ח' כמו ה'
והוא מש"ל ובמה שבארתי מזה המין הוא מספיק

Division of Roots

 פרק בחלוק
אמ' וגם כן ראוי שתדע כי כאשר תכה המחלק במה שעלה לחלק ישוב המספר שחלקת
משל זה חלקנו עשרה על שנים ויצא לכל חלק חמשה הנה כאשר הכינו שנים בחמשה יהיה עשרה והוא המספר שנחלק
אמ' ונשים לזה המעשה גם כן תמונה כוללת
ונאמ' כי כל מספר שיהיה נחלק על מספר אחר יהיה הכאת העולה לכל חלק במספר המחלק כמו המספר הנחלק
משל זה שחלקנו מספר א' על מספר ב' ועלה לכל חלק ג' ונאמ' שהכאת ב' בג' הוא כמו א'
מופת זה כי א' כבר נחלק על ב' והיה ג' ולכן יהיו מדמיוני ג' בא' כמספר מה שבב' מן האחדים
ומפני זה יהיה יחס ג' אל א' כיחס האחד אל ב' ולכן יהיה מהכאת ב' בג' כמו הכאת האחד בא' אבל הכאת האחד בא' הוא אם כן הכאת ב' בג' הוא גם כן א' והוא מה שרצינו לבאר
אמ' ואם יאמרו לך תחלק שרש תשעה על שרש ארבעה הנה תחלק תשעה על ארבעה ויגיע לכל חלק שנים ורביע תקח שרשו והוא אחד וחצי וככה הוא שרש תשעה מחולק על שרש ארבעה
ואם אמרו תחלק שרש עשרה על שרש שנים ויגיע לחלק חמשה וקח שרשו
ואם אמר לך תחלק שנים שרשים מעשרים על שרשים שלשה מששה
תחפש שני שרשים מעשרים לאי זה מספר הם שרש וידענו ממה שבארנו שהם שרש לשמונים ותחפש כמו כן שלשה שרשים מששה לאי זה מספר הם שרש והנה הם שרש לחמשים וארבעה ויהיה כאלו שאל לחלק שרש שמנים על שרש ארבעה וחמשים והנה נחלק שמנים על ארבעה וחמשים ויעלה אל החלק אחד שלם וארבעה תשיעיות ושלישית התשיעית ושרש זה הוא העולה אל החלק מחלוקת שני שרשים מעשרים על שלשה שרשים מעשרים על שלשה שרשים מששה
וכמו כן כל אשר יגיע בידך מזה המין תעשה עמו כמעשה הזה
אמ' ונניח גם כן לזה המין תמונה כוללת ונאמ' כי כל שני מספרים שיחלק אחד מהם על האחר יהיה שרש העולה לחלק כמו העולה מחלוקת שרש המספר הנחלק בשרש המספר המחלק
משל שמספר א' נחלק על ב' מספר ב' ועלה מספר ג' ושרש א' שהוא מספר ח' נחלק על שרש ב' שהוא מספר ד' ועלה לחלק מספר ע'
ונאמ' שע' הוא כמו שרש ג'
המופת בזה שנכה ע' בעצמו והיה מ' הנה א' נחלק על ב' והיה ג' ולכן מהכאת ב' בג' ישוב ד' וכמו כן ד' הוכה בע' והיה ח' וכבר הוכה ד' בעצמו והיה ב' ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כב' אל ח' וע' הוכה בעצמו והיה מ' והוכה בד' והיה ח' ולכן יהיה יחס ד' אל ע' כיחס ח' אל מ' וכבר היה יחס ב' אל ח' גם כן כד' אל ע' ולכן יהיה יחס ב' אל ח' כח' אל מ' והכאת ב' במ' תהיה כמו הכאת ח' בעצמו אבל הכאת ח' בעצמו היא א' ולכן הכאת ב' במ' היא גם כן א' וכבר הוכה ב' גם כן בג' והיה כמו כן א' אם כן מ' הוא שוה לג' אבל ע' היה שרש למ' ולכן יהיה גם כן ע' שרש לג' והוא מש"ל

Addition and Subtraction of Roots

 פרק בחבור השרשים האחד עם האחר ובגרעונם
אמ' כאשר תרצה לחבר שרש מספר מהמספרי' עם שרש מספר אחר עד שיקובץ מהם שרש מרובע מה הנה לא יהיה נכון לעשות זה בכל מספר אבל יתכן זה בשני מספרי' מרובעי' רצו' שיחזיקו שרש או בשני מספרים שכאשר נחלק האחד על האחר יהיה לאשר עלה אל החלק שרש
וכאשר תכה האחד באחר היה אל המקובץ שרש ובמספרי' אחרים זולת אלו אי אפש' שתחבר שני שרשיהם עד שתשיבם שרש אחד וכמו כן הענין בגרעון השרשים האחד מהאחר ואלו יהיו מאד מבוארים כאשר יהיו שני המספרים מרובעי'
כאלו תאמ' תשעה וארבעה ורצינו לחבר שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד
תחבר תשעה וארבעה ויהיו שלשה ותשמרם ותכה תשעה בארבעה ויהיו שלשים ושש ותקח שני שרשיו והם שתיים עשרה תחברם עם השמור ויהיו עשרים וחמשה והם כמו שרש תשעה ושרש ארבעה מקובצים
אמ' ואבאר זה בזאת התמונה והוא שנניח קו א"ב שרש לתשעה וקו א"ג שרש לארבעה ונרצה שנדע קו ג"ב שרש לאי זה מספר הוא נעשה על קו ג"ב שטח מרובע עליו ג"ז ונעשה על קו א"ב שטח מרובע עליו אבכ"ל ונוציא קו א"כ על יושר עד נקודת ח' וכמו כן נוציא קו ל"כ עד נקודת ע' הנה שטח כ"ב הוא תשעה בעבור כי היה קו א"ב שרש לתשעה ושטח ע"ח הוא ארבעה בעבור כי קו ע"ב שהוא צלעו הוא שוה לא"ג שהנחנוהו שרש לארבעה ושטח א"ע הוא תשע' כי הנה הוא מהכאת קו א"ב שהוא כמו שרש תשעה בקו א"ג שהוא שרש לארבעה ולכן הנה הוא ששה ממה שבארנו למעלה בפרק הכאת שרש בשרש וכמו כן יהיה שטח ל"ח גם כן ששה ומקובץ כל אלו הארבעה שטחי' הנה הוא עשרים וחמשה והם כל שטח ג"ז וקו ב"ג שהוא שרשו יהיה חמשה והוא מש"ל
אמ' וכאשר תרצה לגרוע שרש ארבעה משרש ששה תשעה עד שיהיה מה שישאר שרש למספר אחד
תחבר התשעה עם הארבעה ויהיו שלשה עשר [.]תשמרם ותכה תשעה וארבעה ויהיו שלשים ושש ותקח שני שרשיו והם שנים עשר ותגרעם מהשמור וישאר אחד ושרש האחד הוא יהיה הנשאר מהשרש תשעה בגרעך ממנו שרש ארבעה והוא אחד
ואבאר לך זה בזאת התמונ' נניח קו א"ב שרש לתשעה וקו א"ג שרש לארבעה
וכאשר נגרע קו א"ג מקו א"ב ישאר קו ג"ב ורצינו לדעת מספר קו ג"ב לאי זה מספר הוא שרש נשים על קו א"ב שטח מרובע עליו א"ז ויהיה שטח א"ז תשעה ונעשה על קו א"ג שטח מרובע עליו א"מ ויהיה שטח א"מ ארבעה ותוציא קוי ג"מ וח"מ על יושר עד שתי נקודות נ' וכ' הנה הוא ידוע כי מרובע מ"ז הוא כמו הכאת קו ג"ב בעצמו בעבור כי הכאת קו מ"ג שהוא צלעו הוא שוה לקו ג"ב ושטח ח"כ הוא שנים בעבור כי היה כל שטח א"כ ששה מפני כי הוא מהכאת קו א"ג שהוא שרש לארבעה בקו א"ה שהוא שרש לתשעה ושטח א"מ היה ארבעה ולזה ישאר שטח ח"כ שנים
וכמו כן יהיה שטח מ"ב שנים הנה כי מקובץ שלשה שטחי ח"ב מ"ב א"מ הוא שמנה
אבל כל שטח א"ז היה תשעה הנה כי ישאר שטח מ"ז אחד וקו מ"נ השוה לקו ג"ב הוא שרשו והוא אחד והוא מש"ל
אמר ואם רצינו לחבר שרש שמנה עשר עם שרש שמנה עד שיהיו שרש למספר אחד הנה ידענו כי חבורם נכון בעבור כי כאשר חלקנו שמנה עשר על שמנה יגיע לחלק שנים ורביע והם מחזיקים שרש כי שרשם הוא אחד וחצי
ואם חלקנו שמנה עשר על שמנה עשר יגיע לחלק ארבע תשיעיות והם מחזיקים שרש ושרשם הוא שני שלישים
ואם תכה שמנה עשר בשמנה יהיו קמ"ד ומחזיקים שרש ושרשם שתים עשרה
וכבר אמרנו כי כל שני מספרים יהיה משפטם זה המשפט ר"ל שיסוגלו באלו השלש סגולות הנה אז יהיה נכון לנו לקבץ שני שרשיהם עד שיהיו שרש למספר אחד
וכאשר יבצר מהם אחת מאלו השלש סגולות יהיו שלשתם נמנעות מהן וכאשם רצינו לדעת קבוץ השני שרשים אשר אמרנו לאיזה מספר הם שרש תעשה כפי המעשה שאמרנו קודם והוא שתחבר שמנה עם שמנה עשר ויהיו ששה ועשרים ותשמרם ותכה שמנה בשמנה עשר ויעלה קמ"ד ותקח שני שרשיו והוא ארבעה ועשרים ותחברם עם השמור ויהיו חמשים ושרשו הוא כמו שרש שמנה ושרש שמנה עשר מקובצים
ואם באנו לגרוע שרש שמנה משרש שמנה עשר תגרע הארבעה ועשרים מהשמור וישארו שנים ושרש שנים הוא מה שישאר משרש שמנה עשר כאשר יגרע ממנו שרש שמנה
אמ' ואם רצינו לחבר שרש עשרה עם שרש שנים זה לא יתכן לחברו גם לא יתכן להיות מקובצם שרש למספר אחד
כי הנה כאשר תחלק עשרה על שנים יגיע לחלק חמשה וחמשה אינם מחזיקים שרש וכאשר תחלק שנים על עשרה יגיע לחלק חומש ואין שרש לחומש
וכאשר תכה שנים בעשרה יהיו עשרים ואין לעשרים שרש
ואם קבצנום על הדרך האמור יהיה השרש משנים שרשים מעשרים מקובצים עם שנים עשר הוא שרש עשרה ושרש שנים מקובצים
ואם גרענו האחד מהאחר על הדרך האמור יצא לנו כי שרש הנשאר משנים עשר כאשר יגרע מהם שנים שרשים מעשרים הוא כמו שרש מה שישאר משרש עשרה כאשר יגרע ממנו שרש שנים
והשאלה בזה יותר נכונה מהתשובה וראוי לך כאשר ישאלו ממך אי זו השאלה מזה הסוג שתהיה תשובתך עליה על דמיון אשר יוציאו לפניך בשוה
כי כאשר יאמר שרש עשרה ושרש שנים מקובצי' הוא יותר נכון ממאמ' שרש שנים עשר ושני שרשים מעשרים
וכמו כן בגרעון האחד מהאחר יותר נכון הוא לאמר שרש שנים עשרה פחות שרש שנים מלאמר שרש שנים עשר פחות שני שרשים מעשרים שהוא שרש שמנים
ודי במה שבארתי מזה ובו השלמה
פרק
אמ' הנני עושה לך שאלה לכל חלק מהששה חלקים אשר הודענו ראשונה ואפש' שכבר יורוך אותם חכמי האלג'בר
אמ' והשאלה הראשונה היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שתהיה הכאת החלק הגדול בעצמו כמו פעם וחצי מהעולה מהכאת החלק האחד באחר
והמעשה בזה הוא שנניח החלק הגדול דבר אחד והחלק האחר ישאר עשרה פחות דבר ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע
ונכה החלק הגדול והוא דבר בעצמו והוא מרובע והיה זה המרובע כמו העשרה דברי' פחות מרובע וכמו חצי זה
ונכה עשרה דברים פחות מרובע באחד וחצי ויעלה חמשה עשר דברים פחות מרובע וחצי והם יהיו כמו המרובע ותאסוף המרובע וחצי עם הט"ו דברים עד שיהיו חמשה עשר דברים שלמים
וכמו כן תקבץ המרובע וחצי עם המרובע ואז יהיה שנים מרובעים וחצי יהיו שוים לחמשה עשר דברים והשיבם אל מרובע אחד ויהיה המרובע ישוה לששה דברים והדבר ישוה ששה והוא החלק הגדול וארבעה הנשאר מהעשרה הוא החלק הקטן וזאת השאלה הראיתיך לחלק הראשון מהששה חלקים והוא אמרו כאשר המרובעים יהיו שוים אל השרשים
אמ' ואבאר לך זאת השאלה בתמונ' ג'ימטרית והוא שנניח קו א"ב עשרה ונחלק בנקודת ג' לשני חלקים בלתי שוים קו א"ג הוא החלק הגדול וקו ג"ב החלק הקטן והכינו קו א"ג בקו ב"ג והיה שטח ג"ד כי שמנו ב"ד כמו א"ג והכינו א"ג בעצמו והיה מרובע א"ה
ונניח כי יהיה שטח מרובע א"ה כמו שטח ג"ד וכמו חציו ולכן יהיה קו ג"א כמו קו ג"ב וכמו חציו ויהיה קו א"ב כלו כמו קו ג"ב שני פעמים וחצי
אבל קו א"ב הוא עשרה ונחלק עשרה לשנים וחצי ויעלה לחלק ארבעה ולכן יהיה קו ב"ג הוא ארבע' וקו א"ג הוא ששה והוא מש"ל
אמ' והשאלה השנית כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת עשרה בעצמו כמו הכאת העולה מהכא' אחד החלקי' בעצמו ששה פעמים ורביע
והמעשה בזה שנניח החלק האחד דבר ונכהו בעצמו והוא מרובע ונכה העשרה בעצמם והיו מאה ואלו המאה היו כמו המרובע ששה פעם ורביע
הנה תכה המרובע בששה ורביע ויהיה ששה מרובעים ורביע ישוו מאה דרהמי והשיבם אל מרובע אחד והוא שתחלק מאה על ששה ורביע שהם כ"ה רביעיות ויעלה לכל רביע ארבעה ולכל מרובע יעלה שש עשרה ויהיה המרובע שוה ששה עשר דרהמי ושרשם ארבעה והוא החלק המבוקש
וזאת השאלה הראיתי לך לחלק השני מהששה והוא האומר כאשר המרובעים ישוו אל מספרים
אמ' ואבאר לך זאת השאלה בזאת התמונה והוא שנניח קו א"ב עשרה וקו ג"ב ממנו הוא המספר המבוקש ונכה קו א"ב בעצמו ויצא שטח א"ח והוא מאה ונכה קו ג"ב בעצמו ויהיה מרובע ג"ד והנחנו ששטח א"מ שהוא מאה יהיה כמו ששה פעמים ורביע שטח ג"ד ונחלק מרובע ג"ד לארבעה חלקים שוים כל חלק מהם יהיה כמו שטח ב"ח
הנה מפני שהיה שטח א"ח ששה פעמי' ורביע שטח ג"ד יהיה עשרים וחמשה פעמים כמו שטח ב"ח שהוא רביעיתו שהוא שטח ג"ד אבל שטח א"מ הוא מאה ולכן יהיה שטח ב"ח ארבעה ושטח ג"ד ששה עשר וקו ג"ב שהוא שרשו יהיה ארבעה והוא החלק המבוקש והוא מש"ל
אמ' והשאלה השלישית היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר תחלק החלק הגדול על החלק הקטן יגיע לחלק ארבעה
המעשה בזה הוא שנניח החלק הקטן דבר והגדול עשרה פחות דבר וחלקנו עשרה פחות דבר על דבר והגיע לחלק ארבעה כבר הראיתיך כי כאשר תכה המגיע לחלק על המחלק שיעלה לידך המספר המחולק ולכן תכה ארבעה בדבר ויעלה ארבעה דברים וישוו לעשרה פחות דבר
ותאסוף הדבר עם העשרה עד שיהיו עשרה דרהמי שלמים ותוסיף דבר על הארבעה דברים ויהיה עשרה דרהמי ישוו חמשה דברים והדבר יהיה שוה שני דרהמי והוא החלק הקטן והחלק הגדול ישאר שמנה וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק השלישי מהששה חלקים והוא האומר כאשר הדברים ישוו למספרים
אמ' ונבאר זאת השאלה בזאת התמונה והוא שנניח קו א"ב הוא עשרה וקו ג"ב ממנו הוא החלק הקטן וקו א"ג החלק הגדול וכאשר חלקנו קו א"ג על קו ג"ב יעלה לחלק ארבעה הנה כי קו א"ג ארבעה דמיוני ג"ב ולכן קו א"ב כלו יהיה חמשה דמיוני ג"ב וג"ב הוא חמישית א"ב אבל א"ב הוא עשרה אם כן ג"ב הוא שנים והוא מש"ל
אמ' והשאלה הרביעית היא כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שיהיה העולה מהכאת החלק הגדול בעצמו כמו הכאת החלק הקטן בתשעה
המעשה בזה שנשים החלק הגדול דבר והקטן עשרה פחות דבר והכינו דבר בעצמו והיה מרובע והכינו עשרה פחות דבר בתשעה ועלה תשעי' דרהמי פחות תשעה דברים והיו אלו שוים אל המרובע
תאסוף התשעה דברים עם התשעים דרהמי ותוסיפם על המרובע ויהיה תשעים דרהמי ישוו למרובע ותשעה דברים
וכבר הראיתיך לזה המבוקש שני אופנים האחד ב דבר יראה לך הדבר והאחר יראך המרובע
והאופן אשר יראה לך הדבר שהוא החלק הגדול הוא שתקח מחצית הדברים והוא ארבעה וחצי ותכם בעצמם ויהיו עשרים ורביע ותקבצם עם התשעים ויהיו מאה ועשר ורביע תקח שרש זה והוא עשרה ורביע וחצי תגרע מהם מחצית השרשים וישאר ששה והוא הדבר והוא החלק הגדול
והאופן אשר יראה לך המרובע הוא שתכה התשעה דברים בעצמם ויהיו שמנים ואחד תכם בתשעים ויהיה שבעת אלפים ומאתים ותשעים ותשמרם ותקח מחצית שמנים ואחד והוא ארבעים וחצי ותכם בעצמם ויעלה אלף תר"מ ורביע ותקבצם עם השמור ויהיו שמנת אלפים תתק"ל ורביע ותקח שרשם והוא צ"ד וחצי תגרעם ממקובץ הארבעים וחצי שהוא מחצית הכאת השרשים בעצמם עם תשעים שהוא מספר הדרהמי אשר ישוו אל המרובע והשרשים ומקובצם הוא ק"ל וחצי וישאר ל"ו והם המרובע ושרשם ששה והוא החלק הגדול
וזאת השאלה הוצאתי לך לחלק הרביעי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעים ושרשים ישוו למספרים
אמ' ואבארה לך בתמונה הזאת והוא שנניח קו א"ב עשרה וקו א"ג החלק הגדול וקו ג"ב החלק הקטן והיה הכאת קו א"ג בעצמו כמו הכאת ג"ב בתשעה ורצינו להודיע כמה שיעור קו א"ג הנה אם הכינו א"ג בתשעה וג"ב בתשעה יהיה מקובץ העולה מהכאותיהם תשעים
ובעבור כי היה א"ג בעצמו כמו ג"ב בתשעה יהיה מפני זה א"ג בתשעה ובעצמו יהיה תשעים
ונניח קו א"ד תשעה
ויהיה העולה מהכאת א"ג בעצמו ובא"ד תשעים והוא כמו הכאת ד"ג בג"א וקו ד"א תשעה ונחלק אותו לחצאין על נקודת ה' ונוסף לארכו קו א"ג והיה מהכאת ד"ג בג"א תשעים ונקבץ עמהם הכאת א"ה בעצמו שהוא עשרים ורביע ועלו מאה ועשר ורביע וככה ראוי שתהיה הכאת ה"ג בעצמו ונוציא שרשם והוא עשרה וחצי וככה קו ה"ג אבל ה"א הוא ארבעה וחצי ולכן ישאר א"ג ששה והוא החלק הגדול וג"ב והוא החלק הקטן ומש"ל
אמ' והשאלה החמישית כמו אם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים באופן שכאשר נכה החלק האחד באחד יעלה עשרים ורביע ואחד
המעשה בזה שנניח החלק האחד דבר והחלק האחר יהיה עשרה פחות דבר ונכה דבר בעשרה פחות דבר ויהיה עשרה דברים פחות מרובע ויהיו שוים לעשרים ואחד דרהמי
תאסוף המרובע עם עשרת הדברים פחות מרובע ותוסיפהו על עשרים ואחד ויהיו מרובע ועשרים ואחד דרהמי יהיו שוים לעשרה שרשים וכבר הראיתיך למעלה כי לזה הענין שני אופנים ולכן אופן שני צדדים
והאופן אשר יוציא לך השרש הוא שתקח מחצית הדברים והוא חמשה ותכם בעצמם והיה עשרים וחמשה תגרע מהם העשרים ואחד וישאר ארבעה תקח שרשם והוא שנים תגרעם מן החמשה וישארו שלשה והם החלק הקטן והחלק הגדול הוא הנשאר מהעשרה והם שבעה וזה צד המגרעת
ואם תרצה צד התוספת תוסיף השנים על החמשה והיו שבעה והם החלק הגדול והחלק הקטן הוא מה שנשאר מהעשרה והוא שלשה
והאופן אשר יוציא לך המרובע הוא שתכה השרשים בעצמם והיו מאה ותכם בכ"א אשר עם המרובע ויהיו אלפים ומאה ותשמרם ותקח מחצית המאה שהוא חמשים ותכם בעצמם ויהיו אלפים וחמש מאות
תגרע מהם האלפים ומאה אשר שמרת וישארו ארבע מאות תקח שרשם והוא עשרים תגרעם מהחמישים שהם מחצית המאה וישארו שלשים ותגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה והם המרובע וזה צד המגרעת ומעשה התוספת הוא שתוסיף העשרים על החמשים ויהיו שבעים תגרע מהם העשרים ואחד וישארו תשעה וארבעים והם המרובע
וזאת השאלה הוציאתך אל החלק החמשי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המרובעי' והמספרים ישוו אל השרשים
אמ' ואבאר זה בזאת התמונה והוא שנניח קו א"ב עשרה ונחלק על ג' והיה מהכאת א"ג בג"ב עשרים ואחד ותחלק קו א"ב לחצאי' על ה' הנה א"ב נחלק לשני חלקים שוים על ה' ולשני חלקים בלתי שוים על ג' ולכן יהיה העולה מהכאת א"ג בג"ב וה"ג בעצמו כמו העולה מהכאת ה"ב בעצמו
אבל הכאת ה"ב בעצמו עשרים וחמשה וא"ג בג"ב הוא עשרים ואחד וישאר ה"ג בעצמו ארבעה ושרשם הוא שנים ולכן יהיה ה"ג שנים
אבל ה"ב היה חמשה וישאר ג"כ שלשה וא"ג יהיה שבעה והוא מש"ל
אמ' והשאלה הששית כמו אם יאמרו לך הוספנו על התמונ' מרובע מה שלשה דרהמי והכינו המקובץ בארבעה דרהמי והיה העולה כמו הכאת ה[.] בעצמו המרובע
המעשה בזה הוא שנניח המרובע דבר וקבצנו עמו שמנה דרהמי והיו דבר ושמנה דרהמי הכינום בארבעה והיה ארבעה דברים ושנים ושלשים דרהמי והכינו הדבר בעצמו והוא מרובע וישוה אל ארבעה דברים ול"ב דרהמי
והאופן אשר יוציא לך הוא הדבר הוא שתקח מחצית הדבר והוא שנים ותכם בעצמם והיו ארבעה ותקבצם עם הל"ב והיו ל"ו תקח שרשם והוא ששה תוסיפם על מחצית השרשים ויהיו שמנה וככה הוא המרובע כי הנה הנחנוהו דבר
והאופן אשר כ יוציא לך המרובע הוא שתכה הארבעה שרשים בעצמם והיו ששה עשר ותכם באדרהמי שהם ל"ב ויעלה תקי"ב ותשמרם ותקח מחצית הששה עשר והוא שמנה ותכם בעצמם והיו ששים וארבע ותקבצם עם התקי"ב ששמרת ויעלו תקע"ו תקח שרשם והוא כ"ד ותקבצם עם השמנה שהם מחצית השש עשרה ועם הל"ב ויעלו שבעים ששים וארבע והוא המרובע שישוה לשרשים ולמספרים ותקח שרשו והוא שמנה והוא המספר המבוקש
וזאת השאלה הוציאתך אל החלק הששי מהששה חלקים והוא האומר כאשר המספרים והשרשים ישוו אל המרובע
אמר ואבאר זה בזאת התמונה והוא שנניח המרובע קו א"ב והשמנה דרהמי קו א"ג ונניח קו ב"ד ארבעה ונכה קו ג"ב בקו ב"ד ויהיה שטח ג"ד ונכה המרובע שהוא קו א"ב בעצמו והיה שטח א"ה ויהיה שטח ג"ד בשעור שטח א"ה ורצינו לידע כמה שיעור קו א"ב הנה שטח א"ה כמו שטח ג"ד ונפיל שטח א"ד המשותף וישאר שטח ג"מ כמו שטח מ"ה אבל שטח ג"מ שלשים ושנים כי הוא מהכאת א"ג שהוא שמנה כאמ' השוה לב"ד שהוא ארבעה ולכן שטח מ"ה הוא שלשים ושנים ושטח מ"ה כמו הכאת א"ז השוה לז"ה כזה
וקו א"מ הוא ארבעה ונחלק אותו לחצאין על נקודת ח' וכבר נוסף עליו קו ז"מ
ולכן יהיה הכאת א"ז בז"מ שהוא שלשים ושנים עם הכא' מ"ח בעצמו שהוא ארבעה ומקובצם שלשים ושש כמו הכאת ה"ז בעצמו
ומפני זה יהיה קו ח"ז חמשה ששה אבל קו א"ח הוא שנים ולכן יהיה קו א"ז שמנה וא"ב הוא שוה לא"ז. אם כן קו א"ב שמנה והוא מה שרצינו לבאר
Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=תחבולות_המספר&oldid=10517"