Commentary on the two lines that do not meet / Shlomo ben Isaac
From mispar
| [1]ביאור אחד בקיצור על עניין יציאת שני קוים לה"ר שלמה ורבי ישרו בכ"ר יצחק ז"ל | |
| כבר התבאר בספר אקלידס שכל משולש בעל קוים ישרים יהיו שלש זוייותיו שוות לשתי זויות נצבות | |
| ויתבאר במופת מזאת הצורה | |
| עוד התבאר שם שכל משולש שוה השוקים יהיו שתי הזויות משני צידי התושבת שוות | |
| וכאשר יהיו שתי הזויות אשר משני צידי התושבת שוות יהיו גם כן שני השוקים שוות | |
| יתחייב אם כן שכל משולש בעל קוים ישרים אשר תהיה לו זוית אחת נצבת ושתי הצלעות אשר יקיפו בזוית ההיא שוות תהיה אחת משתי הזויות הנשארות חצי נצבה כזה | |
| עוד התבאר שם שכל עיגול אשר יצא מקוטרו עמוד ויכלה בקו המקיף יהיה העמוד ההוא אמצעי ביחס בין שני חלקי הקוטר | |
| ויהי אם כן מרובע העמוד שוה לשטח בעל זויות נצבות אשר יקיפו בו שני חלקי הקוטר מכח זאת הצורה | |
| עוד התבאר שם שכל קו אשר חולק לשני חלקים יהיה המרובע ההווה מכל הקו שוה לשני המרובעים ההווים משני חלקי הקו ההוא ולשני שטחים נצבי הזויות אשר יקיפו בהם שני חלקי הקו ההוא וזה יתבאר מזאת הצורה | |
| [2]עוד התבאר שם שכל קו אשר חולק לשני חלקים שוים וניתוסף עליו קו אחר הנה יהיה המרובע ההווה מחצי הקו עם תוספת שוה לשטח אשר יקיפו בו הקו כולו והתוספת עם התוספת ולמרובע חצי הקו וזה יתבאר מזאת הצורה | |
| עוד באר בהקדמת המאמר האחד עשר כי כאשר יהיה משולש נצב זויות ושתי הצלעות אשר יקיפו בזוית ההיא הם שוות הנה כאשר תעמיד אחת מאותן הצלעות ותסבב המשולש עד שובו למקום אשר התחיל לסבב ממנו התמונה ההיא נקראת מחודד האצטוונה אשר תושבתה עגולה ואם תחתוך התמונה בשטח נכחי לתושבת יהיה במקום החתוך עגול אחד קטן ממנו | |
| המשל בו משולש אב"ג מזו הצורה וזוית אג"ב נצבת וצלע א"ג שוה לצלע ג"ב וכאשר תעמיד צלע א"ג ותסבב משולש אב"ג עד שוב נקודת ב' אל מקומה חידשה תמונה אשר תושבתה עגולה וכל התמונה דומה לאצטוונה עגולה ותכלה בראשה אל נקודת א' וזאת התמונה נקראת מחודד האצטוונה וזה מה שרצינו לבאר | |
| כל מחודד האצטוונה אשר נחתך בשטח ישר עובר על חצו אשר הוא העמוד מן המשולש הראשון אשר סבבת הנה יהיה במקום החתך משולש נצב הזויות והיא הזוית אשר בראש המחודד ובתושבתו יהיה חצי עגול עם קטרו | |
| וכאשר נרכיב התמונה הזאת שהיא חצי המחודד על מקום החתך תהיה תושבתו המשולש הנזכר ויהיה ויעלה חצי העיגול למעלה בגובה והקוטר חצי העיגול הוא למטה והוא המיתר מן הזוית הנצבת מן המשולש הנזכר וכל זה יתבאר בזאת הצורה וזה מה שרצינו ביאורו | |
| [3]כל חצי מחודד אשר יצא מנקודת מרכז חצי עגולו עמוד מגיע ד עד הקו המקיף ויחותך חצי המחודד בשטח ישר עובר על העמוד אשר על נקודת המרכז ועל חץ התמונה יהיה במקום החתך משולש נצב הזוית שוה ודומה למשולש הראשון אשר סבבנו | |
| ואם יחותך במקום אחר שלא יעבור השטח החותך על העמוד ועל נקודת ראש החץ אלא נכחי להם יהיה במקום החתך משולש עם שני קוים ישרים והם אשר יקיפו בזוית נצבת אמנם הקו השלישי הוא מעוקם מפני שהוא עובר על שטח עיגול המחודד וזה מבואר בעצמו נראה לעין | |
| כאשר יצא צלע אחד מצלעי חצי המחודד המקיפים בזוית הנצבת ונוציא מנקודה אחת ממנו קו נכחי לקץ לחץ התמונה והוא נכנס במשולש אשר הוא תושבת חצי המחודד ומגיע עד קוטר חצי העיגול אש הוא מיתר הזוית הנצבת מן המשולש אשר על התושבת ותוציא מנקודת הקוטר אשר יגיע בו הקו הנזכר עמוד מגיע אל הקו המקיף ותחתוך המחודד בשטח ישר עובר על העמוד הנזכר ועל הקו הנזכר הנה השטח ההוא יחדש על שטח חצי המחודד קו מעוקם | |
| ויהיה תושבת חצי המחודד משולש עליו אב"ג וחצי העיגול אשר הוא בגובה עליו בהט"ג וקוטרו ברז"ג וכבר יצא צלע ב"א מן המשולש על יושר עד נקודת ו' והוצאנו מנקודת ו' קו ישר נכחי לקו א"ד שהוא חץ התמונה והוא קו וח"ז והוצאנו מנקודת ז' ממנו במקום שתגיעה לקוטר עמוד מגיע לקו המקיף והוא קו ז"ט וכאשר חתכנו חצי המחודד בשטח ישר עובר על עמוד ז"ט ועל קו ז"ח הנה השטח ההוא חידש על שטח חצי המחודד קו מעוקם | |
| וכדי לקרבו אל הדעת אחדש צורה מכל קו וח"ז ועמוד ז"ט עם השטח החותך ממנ התמונה עם מה שנוסיף בו ונחלק קו ו"ח לשני חציים על נקודת י' ונעמיד על נקודת ח' עמוד שוה לקו י"ח שהוא חצי הקו שיחילקנו והוא עמוד ח"כ ונוציא קו ישר מנקודת י' לנקודת כ' ונאריכהו עד מ' גם נאריך עמוד ז"ט עד זה הקו על נקודת ל' | |
| ונדבר על הראשונה משתי התמונות [4]האילו ונאמר כי קו ב"ז מן הקוטר שוה לקו ז"ו ממשולש בז"ו וכמו כן קו ז"ג הנשאר מן הקוטר שוה לקו ז"ח ממשולש חז"ג ועמוד ז"ט אמצעי ביחס בין שני חלקי הקוטר שהם ב"ז וז"ג ושני קוי ב"ז וז"ג שוים לשני קוי ז"ו וז"ח כל אחד לגילו | |
| יהיה אם כן מרובע עמוד ז"ט שוה לשטח אשר יקיפו בו שני קווי ז"ו וז"ח וכבר חולק קו ו"ח בתמונה השנית לשני חלקים שוים על נקודת י' ונתוסף עליו קו ז"ח | |
| יהיה אם כן מרובע י"ז שוה לשטח אשר יקיפו בו שני קוי ז"ו וז"ח ולמרובע י"ח וקו עמוד ז"ל שוה [לקו] י"ז יהיה אם כן מרובע ז"ל שוה לשטח אשר יקיפו בו שני קוי ז"ו וז"ח ולמרובע י"ח וכבר היה מרובע עמוד ז"ט שוה לשטח אשר יקיפו בו שני קוי ז"ו וז"ח | |
| הנה מרובע ז"ל מוסיף על מרובע ז"ט כדי מרובע י"ח | |
| ואם תאריך התמונה כולה עד הגיע קו ויח"ז אל נקודת ע' והעמוד העומד על נקודת ע' עמוד עס"נ יתבאר גם כן מכח המופתים הקודמים כי מרובע ע"נ מוסיף על מרובע ע"ס כדי מרובע י"ח ואם תאריך עוד התמונה כולה עד הגיע קו ויחז"ע אל נקודת צ' והעמוד העומד על נקודת צ' הוא עמוד צפ"מ יתבאר גם כן מכח המופתים הקודמים כי מרובע צ"מ מוסיף על מרובע צ"פ כדי מרובע י"ח | |
| וכן לעולם אפילו אם תאריך התמונה לאין תכלית לעולם יוסיף מרובע האחד על חבירו כדי מרובע י"ח | |
| אם כן לא יתכן הפגשם לעולם שאם היה איפשר זה אם כן יהיו שניהם שניהם שוים ולא יעדיף מרובע אחד מהם על מרובע חבירו וכבר התבאר כי לעולם יוסיף אחד מהם על חבירו כדי מרובע י"ח | |
| אם כן מן השקר הוא שיפגשו לעולם | |
| [5]ולהוכיח שכל אחד אשר יתרחקו יתקרבו ויחסר רחוקם מן הרוחק הראשון שהוא עמוד ח"כ יתבאר מזה מפני שכבר ביארנו בתמונות הראשונות קודם שהארכנו התמונה כי מרובע ז"ל מוסיף על מרובע ז"ט כדי מרובע י"ח והנה נעשה מרובע מתומם כדי שיראה לעין | |
| הנה מרובע ז"ט הוא המרובע אשר עליו אבג"ד ושלשה השטחים המתמימים הם שוים למרובע קו י"ח יהיה אם כן קו י"ח גדול הרבה מקו ט"ל וכבר היה עמוד ח"כ שוה לקו י"ח אם כן קו ח"כ גדול הרבה מקו ט"ל והנה נתקרבו הקוים הרבה | |
| וכאשר הארכנו התמונה כולה עד הגיענו אל נקודת ע' והיה העמוד עמוד עס"נ וכבר ביארנו כי מרובע ע"נ מוסיף על מרובע ע"ס כדי מרובע י"ח הנה כאשר התממנו התמונה יהיה מרובע ע"ס הוא מרובע אשר עליו אבג"ד ושלשה השטחים המתמימים עם מרובע ע"נ הם שוים למרובע קו י"ח ומפני שמרובע ע"נ ארוך ורחב הרבה ממרובע ז"ל והשלשה השטחים המתמימים מכל אחד מהם שוים למרובע י"ח אם כן קו נ"ס קטן מאד מקו ט"ל וכבר נתקרבו הקוים | |
| ובזה הדרך גם כן יתבאר שיתקרבו יותר כאשר תאריך התמונה כולה עד הגיענו אל נקודת צ' וכן עד לאין תכלית | |
| הנה כבר יצאו שני קוים אחד מהם ישר והוא קו יכלנ"מ והאחר מעוקם והוא קו חטס"פ והיה ביניהם בתחילת יציאתם רוחק אחד וכל אשר יתרחקו יתקרבו ולא יתכן הפגשם לעולם ואפי' יוצאו עד לאין תכלית וזה מה שרצינו לבאר | |
| תם |
Notes
Appendix: Bibliography
Immanuel ben Jacob Tov-Elem / Immanuel Bonfils / Immanuel of Trascon (flourished c. 1340-1377)
Manuscripts:
- 1) London, British Library Add. 27107 (IMHM: f 5782), (cat. Margo. 1016/7), ff. 81r-83r (15th-16th century)
- Add. 27107
- 2) Moscow, Russian State Library Ms. Guenzburg 404/2 (IMHM: f 47778), ff. 19r-20v (15th century)
- PNX_MANUSCRIPTS990000692120205171-1,FL159380011 Guenzburg 404
