ספר המספר / אברהם אבן עזרא

	ראה ספר מחוקק באמונה
	ותמצא בו לכל מספר תכונה
	אשר חבר בנו מאיר למאיר
	קטן שנים וחכם בתבונה‫
	ספר המספר‫
Prologue
Numeration
Since the sublime God alone has created in the upper world nine large heavenly spheres revolving around the earth, which is the lower world.	בעבור‫ כי השם הנשגב לבדו ברא בעולם העליון תשע עגולות גדולות סובבות את הארץ שהוא העולם השפל‫
Reference to the triple repetition of the word sefer in Sefer Yezira [the Book of Creation] – interpretation of one of them as representing the concept of the nine numbers:
And the author of the Sefer Yezira has said that the paths of the wisdom are by Sefar and Sefer and Sipur and the Sefar is nine numbers.	ובעל ספר יצירה‫ אמר כי נתיבות החכמה הם בִּסְפָר‫ וְסֵפֶר‫ וְסִפּוּר‫ והנה הַסְּפָר תשעה מספרים‫
The resemblance of the ranks to the rank of units units – as foundations of all numbers
For nine is the end of every number and these are called units that are the first rank.	כי תשעה סוף כל חשבון ואלה יקראו האחדים שהם במעלה הראשונה‫
tens and their resemblance to the units
Because ten resembles to one and twenty resembles to two.	כי עשרה דומה לאחד ועשרים דומים לשנים שהם שני עשרות‫
The exceptional pronunciation of the number twenty
It would be appropriate to call it "‛esrayim", as "matayim" [= two hundred] is called from "meah" [= one hundred] and "alpayim" [= two thousand] from "eleph" [one thousand], but for the following numbers that are šelošim [thirty] to tiš‛im [ninty] it has been treated in their usage.	והיה ראוי שיקראוהו עֶשְׂרַיִם כאשר יקראו ממאה מאתים ומאלף אַלְפַּים רק בעבור חבריו הבאים אחריו שהם שלשים עד תשעים נהגו כמנהגם‫
So šelošim is derived from šaloš [= three] and so all of them.	והנה שלשים מגזרת שלש וככה כלם‫
hundreds and their resemblance to the units One hundred resembles to one as well as to ten; two hundred resembles to two as well as to twenty.	והנה מאה דומה לאחד גם לעשרה ומאתים דומה לשנים גם לעשרים‫
thousand and upwards likewise the thousand and the ten thousand, because they are the beginning of decades of the numbers that follow them, which are 1, 10, 100; 2, 20, 200.	וככה אלף ורבבה שהם ראשי כללים למספרים הבאים אחריהם שהם א'י'ק' ב'כ'ר‫'
The sign that the nine units are building all numbers – the presentation of the multiplication of units by nine through the arrangement of the nine units in a circle
The sign for this: when you draw a circle and write nine digits around it.	והאות על זה‫‫ כשתעשה עגול‫ ותכתוב סביבו תשעה מספרים‫
You multiply nine by itself; the reason is its being a square whose length is as its width; see it and so it is:	ותכפול תשעה על עצמו והטעם להיותו מרובע ארכו כרחבו תראה זה וככה הוא‫
The square is eighty-one, so the one is on the left of the nine, which is the beginning of the units; and the 8, which corresponds to eighty in the decade, is on the right of the nine. $\scriptstyle9\times9={\color{blue}{8}}{\color{green}{1}}$	והנה המרובע אחד ושמונים והנה האחד לשמאלו של תשעה שהוא ראש האחדים וח' שהוא כנגד שמונים בכלל לימין תשעה‫
If you multiply 9 by 8, the product is 72; 2 is on its left and 7, which corresponds to 70, is on its right. $\scriptstyle9\times8={\color{blue}{7}}{\color{green}{2}}$	ואם תכפול ט' על ח' יהיה המחובר ע"ב והנה ב' לשמאלו וז' שהוא כנגד ע' לימינו‫
If you multiply 9 by 7, the product is 63; 3 is on its left and 6, which corresponds to 60, is on its right. $\scriptstyle9\times7={\color{blue}{6}}{\color{green}{3}}$	ואם תכפול ט' על ז' יהיה המחובר ס"ג והנה ג' לשמאלו וו' לימינו שהוא כנגד ס‫'‫
If you multiply 9 by 6, the product is 54, 4 is on its left and 5, which corresponds to 50, is on its right. $\scriptstyle9\times6={\color{blue}{5}}{\color{green}{4}}$	ואם תכפול ט' על ו' יהיה המחובר נ"ד והנה ד' לשמאלו וה' שהוא כנגד נ' לימינו‫
Since the number five is mean between the 9 digits, therefore it is called round number, for it circles around itself as its square contains five.	ובעבור כי חשבון חמשה הוא אמצעי בט' מספרים על כן נקרא חשבון עגול כי הוא מתגלגל על עצמו‫ כי מרובעו יש בו חמשה‫
When you multiply 9 by 5, the matter rotates in a circle, for the units are to the right of 9 and the decades to its left; because the product is 45; 5 is on the right side of 9 and the decades are on its left, which is 4 for the 40. $\scriptstyle9\times5={\color{green}{4}}{\color{blue}{5}}$	וכאשר תכפול ט' על ה' יתגלגל הדבר בעגול כי האחדים יהיו לימין ט' והכללים לשמאלו כי המחובר הוא מ"ה והנה הה' מפאת ימין ט' והכללים לשמאלו שהוא ד' במקום המ‫'‫
When you multiply 9 by 4, the product is 36; 3 corresponds to thirty. $\scriptstyle9\times4={\color{green}{3}}{\color{blue}{6}}$	וכאשר תכפול ט' על ד' יהיה המחובר ל"ו והנה ג' כנגד שלשים‫
When you multiply 9 by 3, the product is 27; 2 corresponds to twenty. $\scriptstyle9\times3={\color{green}{2}}{\color{blue}{7}}$	וכאשר תכפול ט' על ג' יהיה המחובר כ"ז והנה ב' כנגד עשרים‫
When you multiply 9 by 2, the product is 18; 1 corresponds to ten. $\scriptstyle9\times2={\color{green}{1}}{\color{blue}{8}}$	וכאשר תכפול ט' על ב' יהיה המחובר י"ח והנה א' כנגד עשרה‫
Hence the checking scales are based on modulo 9
Therefore, the scales of a number that is multiplied by itself or by another is 9.	על כן מאזני מספר שהוא כפול על עצמו או על אחר הם ט‫'‫
The Positional Decimal System
The written numerals
Therefore, the wise men of India have denoted all their numbers by nine and they make forms for the 9 digits. I wrote instead of them: א ב ג ד ה ו ז ח ט [the first nine Hebrew letters]	על כן עשו חכמי הודו כל מספרם על תשעה ועשו צורות לט' מספרים ואני כתבתי במקומם א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט‫'‫
The written ranks and their writing order tens units and tens
If you have a number of units and the beginning of the decades, which are tens, always write first the number of the units, then the number of the decades.	והנה לעולם אם יש בידך מספר אחדים ותחלת הכללים שהם עשרות יכתוב בתחלה מספר האחדים ואחר כך מספר הכלל‫
tens
If there is no number in the units, but it has a number in the second rank, which is the tens, one puts a shape of a wheel first to indicate that there is no number in the first rank and then write the number that he has in the tens afterwards.	ואם אין לו מספר האחדים ויש לו מספר במעלה השנית שהם העשרות ישים כדמות גלגל בראשונה להורות כי אין במעלה הראשונה מספר ויכתוב המספר שיש לו בעשרות אחריו‫
hundreds tens and hundreds
If his decade consists of the hundreds and the tens, one writes a wheel in the first [rank], then the number of the tens in the second [rank] and the number of hundreds in third [rank].	ואם הכלל שלו מהמאות ומהעשרות יכתוב גלגל בראשונה ואחר כך מספר העשרות בשנית ומספר המאות בשלישית‫
thousands and upwards
If one has a number of thousands [he writes it] in the fourth [rank], the number of tens of thousands in the fifth and the number of the hundreds of thousands in the sixth.	ואם יש לו מספר אלפים ברביעית ומספר עשרת אלפים בחמישית ומספר מאות אלפים בששית‫
Threefold cycle of the decimal ranks – units, tens, hundreds
For 1, 10, 100 repeat as thousands in the fourth, as thousands of thousands in the seventh and as thousands of thousands of thousands in the tenth and so on endlessly.	כי א'י'ק' יחזור ברביעית לאלפים ‫ ובשביעית לאלף אלפים ובעשירית לאלף אלפי אלפים וככה עד אין קץ‫
units and hundreds
If there is a number of units and hundreds, but no tens, one writes the number of the units in the first [rank], a wheel in the second [rank] and the number of hundreds in third [rank].	ואם יש לו מספר אחדים ומאות ואין לו עשרות‫ יכתוב מספר האחדים בראשונה וגלגל בשנית ומספר המאה בשלישית‫
zero – a placeholder digit
In this way one puts at first or in the middle two wheels or as much as needed endlessly.	ועל זה הדרך ישים שנים גלגלים בראשונה או כפי מה שיצטרך עד אין חקר או באמצע‫
Table of Contents
	ואחר שהזכרתי זה אזכיר שערי זה הספר ונאמר שהם שבעה‫
Chapter One: multiplication of a number by itself or by other; multiplication of one number by two numbers or more; multiplication of multiple numbers by multiple [numbers]	השער הא'‫ לכפול חשבון על עצמו‫ או על אחר‫ או כפל חשבון אחד על שנים חשבונות‫ או יותר או כפל חשבונות רבים על רבים‫
Chapter Two: division of decades by units; two decades by units; large decades by small decades; decades and units by units; including a discussion on the checking of multiplication and division	השער הב'‫ לחלק חשבון כלל על פרט או שנים כללים על פרט אחד או כללים גבוהים על כללים שפלים או כללים ופרטים על פרטים גם אדבר על המאזנים‫ של שער הכפל והחלוק‫
Chapter Three: addition of a number to a number; units to decades or decades to decades	השער הג'‫ בחבור מספר על מספר‫ פרט עם כלל או כלל עם כלל‫
Chapter Four: subtraction of a number from a number; units from decades or decades from decades; including a discussion on the checking of addition and subtraction	השער הד'‫ לחסר מספר ממספר‫ פרט מכלל או כלל מכלל גם אדבר על מאזני שער החבור והמגרעת‫
	השער הה' על השברים והם על דרכים רבים שלמים על שלמים ונשברים עמהם או שלמים ונשברים עם שלמים ונשברים למיניהם או שברים עם שברים או שברים על שברי שברים או שברי שברים על שברי שברים בין לכפול בין לחלק בין לחבר בין לגרוע ומאזניהם‫
	השער הו' בערכים והוא שער נכבד מאד כי ממנו יוכל להוציא רובי השאלות הקשות ורוב הראיות מחכמת המזלות יצאו מזה הערך‫
	השער הז' על שרשי המרובעים והמאזנים שלהם כי הם רבים וחכמת המדות תלויה בשער הזה וזה השער חמור מכל השערים ואין כח במשכיל לדעת קדרות המאורות אם לא ילמד זה השער ויתרי קשתי העגול יצאו מהשער הזה‫
Chapter One – [Multiplication]	השער הראשון
Shortcuts
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a\sdot10^n\right)\times\left(b\sdot10^m\right)=\left(a\sdot b\right)\sdot10^{n+m}}}$
I have already mentioned what the ranks of the number are. When you have two numbers to multiply a decade by a decade, be it by itself, or by another, look for their analogous in the first rank, see how much is the product of the multiplication of one by the other and keep it. Then, see how many ranks the two numbers are, whether they are in the same rank or two [different] ranks, and know what the sum of the numbers of the two ranks is. Always subtract one for the foundation and put the reserved number in the remaining number of the ranks.	כבר הזכרתי איך הם מעלות המספר והנה כשיבואו לך שנים מספרים לכפול כלל על כלל בין שיהיה על עצמו או על אחר בקש דמיונו במעלה הראשונה וראה כמה המחובר מכפל זה על זה ושמור אותו ואחר כך ראה כמה מעלות שני החשבונות בין שיהיה במעלה אחת או בשתים מעלות ודע כמה המחובר ממספר שתים מעלות וגרע לעולם אחד למוסד ובקש במספר המעלה הנשאר במספר השמור‫
I will discuss the meaning of the foundation in my discussion about the secret of the one, with the help of God.	ועוד אדבר על טעם המוסד בדברי על סוד האחד בע"ה‫
Example: we wish to multiply thirty by two hundred. $\scriptstyle30\times200$	דמיון רצינו לכפול שלשים על מאתים‫
The number that is analogous to thirty is three and the number that is analogous to two hundred is two. We multiply 2 by 3, the result is six and this is the reserved number. We seek the ranks: thirty is of the second rank, which are the tens; we take two for it. Since the two hundred is of the third rank, for they are the hundreds, we take three for it and add the two to them; they are five. We subtract one to the foundation; four remain. As we already know that the fourth rank is for the thousand and the reserved number is six, the result is six thousand.	והנה דמיון שלשים שלשה ודמיון מאתים שנים כפלנו ב' על ג' והנה עלו ששה וזהו החשבון השמור ונשוב לבקש המעלות והנה שלשים מהמעלה השנית שהם עשרות והנה נקח לו שנים ובעבור כי המאתים מהמעלה השלישית כי הם מאות נקח לו שלשה ונחבר עליו השנים ויהיה חמשה נחסר אחד למוסד ישארו ארבעה וכבר ידענו כי המעלה הרביעית היא לאלף והמספר השמור היה ששה והנה העולה ששת אלפים‫
Another example: we wish to multiply two hundred by seven hundred. $\scriptstyle200\times700$	דמיון אחר בקשנו לכפול מאתים על שבע מאות‫
We multiply two by seven; it is 14 and this is the reserved. two hundred is of the third rank and 7 hundred is also of to the third rank; we take for them 6 and subtract one, it is 5. The beginning of the fifth rank is ten thousand and the reserved number is 14, so we take ten thousand of this number, the result is one hundred thousand and forty thousand.	והנה כפלנו שנים על שבעה והנה י"ד והוא השמור והנה מאתים מהמעלה השלישית וז' מאות גם כן מהמעלה השלישית נקח להם ששה ונחסר אחד הנה חמשה וראש המעלה החמישית עשרת אלפים והשמור היה י"ד הנה נקח במספר הזה עשרת אלפים ויהיה העולה מאה אלף וארבעים אלף‫
You can proceed endlessly according to this procedure.	ועל זה הסדר תוכל לעשות עד אין קץ‫
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\times\left[\left(a\sdot10^n\right)+b\right]=\left(a\sdot10^n\right)^2-b^2}}$
If there are two numbers whose distance from a decade is as much as the distance of two other numbers, only that the one is deficient and the other exceeding, know how much the square of the decade, always subtract from it the square of the excess and the deficit and the remainder is the sought number.	ואם היו שנים מספרים מרחקם מחשבון כלל כמרחק שנים מספרים אחרים רק האחד במגרעת והשני בתוספת דע כמה מרובע מספר הכלל וגרע ממנו לעולם מרובע החשבון היתר והחסר והנשאר הוא החשבון המבוקש‫
Example: we wish to multiply 29 by 31. $\scriptstyle29\times31$	דמיון רצינו לכפול כ"ט על ל"א‫
The decade is thirty, its square is 9 hundred, because three by three are nine; the excess and the deficit is one, its square one; we subtract it from the square of the decade, the remainder is the sought after, which is 899.	והנה חשבון הכלל הוא שלשים ומרובעו ט' מאות כי שלשה על שלשה הם תשעה ‫והיתרון והחסרון הוא אחד ומרובעו אחד חסרנום ממרובע הכלל והנשאר הוא המבוקש והוא תתצ"ט‫
$\scriptstyle{\color{blue}{29\times31=\left(30-1\right)\sdot\left(30+1\right)=30^2-1^2=900-1=899}}$
Another example: we wish to multiply 66 by 54. $\scriptstyle66\times54$	דמיון אחר רצינו לכפול ס"ו על נ"ד‫
The decade is 60, the deficit and the excess is 6, the square of the decade is 3 thousand and 600. We subtract from it 36, which is the square of the deficit and the excess, the remainder is the sought after.	והנה חשבון הכלל ס' והחסרון והיתרון הוא ששה והנה מרובע הכלל ג' אלפים ות"ר נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע החסרון והיתרון והנשאר הוא המבוקש‫
$\scriptstyle{\color{blue}{66\times54=\left(60+6\right)\sdot\left(60-6\right)=60^2-6^2=3600-36=3564}}$
Another example: one number is 250 and the other number 350. $\scriptstyle250\times350$	דמיון אחר המספר האחד ר"נ והמספר האחר ש"נ‫
The decade is 300, its square is 90 thousand. We subtract from it the square of 50, which is the deficit and the excess, and it is 2500. The remainder is the sought after.	והנה הכלל הוא ש' ומרובעו צ' אלף נחסר ממנו מרובע נ' שהוא החסרון והיתרון ומספרו אלפים ות"ק והנשאר הוא המבוקש‫
$\scriptstyle{\color{blue}{250\times350=\left(300-50\right)\sdot\left(300+50\right)=300^2-50^2=90000-2500=87500}}$
According to this procedure we can proceed with other numbers that are similar to these, such that the deficit is the same as the excess.	ועל זה הסדר נוכל לעשות שאר המספרים הדומים לאלה שהחסרון כמו היתרון‫
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}a\right)^2}}$
Another important method that I have found is with thirds: We take one-third of the number and we know how much its square is. We take its closest higher decade and subtract from it the square of the third; the remainder is the sought after.	‫דרך אחרת נכבדת שהוצאתי בדרך השלישית שנקח שלישית החשבון ונדע כמה מרובעו ונקח כמוהו בכלל הגבוה‫ ממנו ונחסר מרובע השלישית ממנו והנשאר הוא המבוקש‫
Example: we wish to know how much is the square number of 3. $\scriptstyle3^2$	דמיון בקשנו לדעת כמה מספר מרובע ג‫'‫
We take its third, which is one; its square is one; ten is its closest decade. We subtract from it the square of one, which is the third; 9 remain and this is the sought after.	נקח שלישיתו שהוא אחד ומרובעו אחד ועשרה שהוא הכלל הקרוב אליו נחסר ממנו מרובע אחד שהוא השלישית וישאר ט' והוא המבוקש‫
$\scriptstyle{\color{blue}{3^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)^2=\left(10\sdot1^2\right)-1^2=\left(10\sdot1\right)-1=10-1=9}}$
Another example: we wish to know the square of 15. $\scriptstyle15^2$	דמיון אחר בקשנו לדעת מרובע ט"ו‫
Its one-third is 5, the square of which is 25, the analogous number in the closest decade is 250. Subtract from it the square of 5, which is the third; 225 remain.	ושלישיתו ה' ומרובעו כ"ה והדומה בכלל הקרוב אליו ר"נ חסר ממנו מרובע ה' שהוא השלישית ישאר רכ"ה‫
$\scriptstyle{\color{blue}{15^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)^2=\left(10\sdot5^2\right)-5^2=\left(10\sdot25\right)-25=250-25=225}}$
Another example: we wish to know how much is the square of 24. $\scriptstyle24^2$	דמיון אחר בקשנו לדעת כמה מרובע כ"ד‫
Its one-third is 8, the square of which is 64 and its analogous number in the closest higher rank is 640. We subtract from it the square of the third, which is 64; 576 remain and this is the sought after.	הנה שלישיתו ח' ומרובעו ס"ד ודמיונו במעלה הגבוהה ממנו תר"מ נחסר ממנו מרובע השלישית שהוא ס"ד ישאר תקע"ו והוא המבוקש‫
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2=\left(10\sdot8^2\right)-8^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot64\right)-64=640-64=576\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a-1\right)\right]^2+\left[a+\left(a-1\right)\right]}}$
If the number does not have a whole third and there is an excess of one, subtract the one from the number and calculate the sought number in the procedure that I have shown you. Add to the result the number that has a [whole] third and the [original] number itself, so the sum is the sought after.	ואם לא היה למספר שלישית שלמה ויהיה בו תוספת אחד חסר האחד מהמספר והוצא המספר המבוקש כמשפט שהראיתיך ומה שיעלה הוסף עליו המספר שיש לו שלישית והמספר בעצמו והמחובר הוא המבוקש‫
Example: we wish to know the square of 7. $\scriptstyle7^2$	דמיון בקשנו לדעת מרובע ז‫'
It has no third, so we subtract from it one, which is the excess, one-third of the remainder is two, the square of which is four and the closest analogous decade is 40. We subtract from it 4, which is the square of the third; 36 remain; which is the square of 6. We add to it the 6, which has a third, and the 7 that was our number originally, both together are 13, the sum is 49, and this is the square of 7.	והנה אין לו שלישית חסרנו ממנו אחד שהוא נוסף והנה שלישית הנשאר שנים ומרובעו ארבעה והנה בכלל הקרוב הדומה אליו מ' נחסר ממנו ד' שהוא מרובע השלישית וישאר ל"ו שהוא מרובע ו' נחבר אליו הו' שיש לו שלישית והז' שהיה מספרנו בראשונה ושניהם י"ג יהיה המחובר מ"ט והוא מרובע ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(7-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(7-1\right)\right]^2+\left[7+\left(7-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2+\left(7+6\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot2^2\right)-2^2+13=\left(10\sdot4\right)-4+13\\&\scriptstyle=40-4+13=36+13=49\\\end{align}}}$
Another example: we wish to know how much is the square of 22. $\scriptstyle22^2$	דמיון אחר רצינו לדעת כמה מרובע כ"ב‫
We subtract one; 21 remain, its third is 7, the square of which is 49 and its closest decade is 490. We subtract from it 49, which is the square of the third; 441 remain, which is the square of 21. We add 21 as well as 22 together, which are 43; the sum is 484 and this is the square of 22.	והנה חסרנו אחד ונשאר כ"א ושלישיתו ז' ומרובעו מ"ט והנה בכלל הקרוב אליו ת"צ נחסר ממנו מ"ט שהוא מרובע השלישית נשארו תמ"א שהוא מרובע כ"א נוסיף כ"א גם כ"ב מחוברים שהם מ"ג יעלה המחובר תפ"ד וזהו מרובע כ"ב‫
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle22^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(22-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(22-1\right)\right]^2+\left[22+\left(22-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)^2+\left(22+21\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot7^2\right)-7^2+43=\left(10\sdot49\right)-49+43\\&\scriptstyle=490-49+43=441+43=484\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+1\right)\right]^2-\left[a+\left(a+1\right)\right]}}$
If there are 2 between our number and the number that has a third, we do the opposite by adding one to our number and know how much is the square of the number that has a third. We subtract from it the number that has a third and the number that we had, and the remainder is the sought after.	ואם היו שנים בין המספר שלנו ובין המספר שיש לו שלישית נעשה להפך שנוסיף על המספר שלנו אחד ונדע כמה מרובע מספר שיש לו שלישית ונחסר ממנו כמספר שיש לו שלישית וכמספר שהיה לנו והנשאר הוא המבוקש‫
Example: we wish to know how much is the square of 23. $\scriptstyle23^2$	דמיון בקשנו לדעת כמה מרובע כ"ג‫
Since it does not have a whole third, we add one; it is 24, its third is 8, the square of which is 64 and the analogous number is 640. We subtract from it 64, which is the square of the third; 576 remain, which is the square of 24. We subtract from this number 47, which is the sum of 24 with 23; 529 remain and this is the sought after.	והנה בעבור שאין לו שלישית שלמה נוסיף אחד יהיו כ"ד ושלישיתו ח' ומרובעו ס"ד והדומה לו תר"מ נחסר ממנו ס"ד שהוא מרובע השלישית ישאר תקע"ו והוא מרובע כ"ד גם נחסר מזה המספר מ"ז שהוא כ"ד עם כ"ג מחוברים ויהיה הנשאר תקכ"ט והוא המבוקש‫
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle23^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(23+1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(23+1\right)\right]^2-\left[23+\left(23+1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2-\left(23+24\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot8^2\right)-8^2-47=\left(10\sdot64\right)-64-47\\&\scriptstyle=640-64-47=576-47=529\\\end{align}}}$
The number of steps required for receiving the product:
units by units - one step
Know that if there are two digits to multiply by one another, once will be enough for you.	ודע כי אם יהיו שנים מספרים לכפול זה על זה יספיק לך פעם אחת‫
units by two-digit number - two steps
If one digit by two digits, you have to do this twice.	ואם היה מספר אחד על שנים מספרים אתה צריך לעשות זה פעמים‫
units by three-digit number - three steps
If by three [digits], three times.	ואם על שלשה שלשה‫
And so on according to this rule.	ועל זה המשפט הכל‫
two-digit number by two-digit number - four steps
If they are two numbers by two numbers, you have to do this 4 times.	ואם הם שני מספרים על שני מספרים אתה צריך לעשות זה ד' פעמים‫
Example: we wish to multiply 13 by 28. $\scriptstyle13\times28$	דמיון רצינו לכפול י"ג על כ"ח
We multiply 10 by 20, which is a decade, also 10 by 8; the result is 280. Then we multiply 3 by 20 and by 8; the result is 84. So the total is 364.	והנה כפלנו י' על כ' שהוא כלל גם י' על ח' עלו ר"פ ואחר כפלנו ג' על כ' גם על ח' עלו פ"ד והנה הכל שס"ד‫
$\scriptstyle{\color{blue}{13\times28=\left(10\sdot20\right)+\left(10\sdot8\right)+\left(3\sdot20\right)+\left(3\sdot8\right)=200+80+60+24=280+84=364}}$
two-digit number by two-digit number with the same digit of tens - three steps
If there is one decade shared by the two numbers, three times are enough for you.	ואם היה כלל אחד כולל שני המספרים די לך בג' פעמים‫
Example: we wish to multiply 13 by 16. $\scriptstyle13\times16$	דמיון בקשנו לכפול י"ג על י"ו‫
10 is shared by the two numbers. We add 3 with 6 and with 10, so our number is 19. We multiply it by ten; the result is 190. We multiply the two small numbers, which are 3 by 6; the result is 18. So the total is 208.	והנה י' כולל שני המספרים והנה נחבר ג' עם ו' עם י' והנה יהיה מספרינו י"ט נכפול אותו בעשרה עלו ק"צ נכפול שני המספרים הקטנים שהם ג' על ו' יעלו י"ח והנה הכל ר"ח‫
$\scriptstyle{\color{blue}{13\times16=\left[10\sdot\left(3+16\right)\right]+\left(3\sdot6\right)=\left(10\sdot19\right)+18=190+18=208}}$
Sometimes twice alone are enough for you.	ויש שיספיק לך שני פעמים לבדם‫
Example: we wish to multiply 24 by 26. $\scriptstyle24\times26$	דמיון בקשנו לכפול כ"ד על כ"ו‫
20 is shared by the two numbers. We add 4 with 26, which is the greater number; the sum is 30. We multiply 20 by 30; the result is 600. We multiply the smaller [numbers] by each other; the result is 24. So the sought for is 624.	הנה כ' כולל שני המספרים חברנו ד' עם כ"ו שהוא הגדול עלה המספר ל' כפלנו כ' על ל' עלו ת"ר וכפלנו הקטנים זה על זה עלו כ"ד והנה המבוקש תרכ"ד‫
$\scriptstyle{\color{blue}{24\times26=\left[20\sdot\left(4+26\right)\right]+\left(4\sdot6\right)=\left(20\sdot30\right)+24=600+24=624}}$
three-digit number by three-digit number - nine steps
If you multiply 3 digits by 3 [digits], you have to do this nine times.	ואם תכפול ג' מספרים על ג' אתה צריך לעשות זה ט' פעמים‫
According to this procedure for every number.	ועל זה הסדר כל החשבון‫
See, whether the number consists of one or many [digits].	וראה אם המספר אחד או רבים‫
Multiplication of evens and odds
If it is an even number, the product is also an even number. $\scriptstyle2a\times2b$	אם הוא מספר זוג גם המחובר יהיה זוג‫
The digit of the units indicates if the number is even:
The essence of the even number is in the units.	וטעם הזוג הוא באחדים‫
Because every decade is an even number.	כי כל כלל הוא זוג‫
If one number is even and the other is odd, meaning that it is not even, whichever one of them is, the product is also an even number. $\scriptstyle2a\times\left(2b-1\right)$	ואם המספר האחד זוג והשני נפרד והטעם שאינו זוג איזה מהם שיהיה גם המחובר יהיה זוג‫
If the one number is odd and the other is also, the product is also odd. $\scriptstyle\left(2a-1\right)\times\left(2b-1\right)$	ואם המספר האחד נפרד וגם כן האחר גם המחובר יהיה נפרד‫
Written calculations
Know that if the numbers to be multiplied by each other are many, you have to multiply them by writing the 9 characters that I have showed you.	ודע כי אם היו המספרים הנכפלים אלה על אלה רבים אתה צריך לכפול אותם במכתב ט' אותיות שהראיתיך‫
The multiplicand of which the highest rank is smaller is written on the top line:
The paved way is that you put the smaller number in the top row; the meaning of the smaller number is the one whose decade is smaller; do not consider the units.	והדרך הסלולה שתשים טורי המספר המעט עליונים ופירוש המעט בחשבון הכלל ולא תחוש מן הפרטים‫
the multiplicand of which the highest rank is larger is written on the lower line:
Put the number whose decade is greater in another lower row below.	ותשים בטור אחר שפל למטה החשבון שהוא כללו גדול
the number that consists of a greater number of ranks is written on the top line:
If, however, the number, whose decade is smaller, consists of more digits than the number whose decade is greater, then put this in the top row without consideration.	ואם החשבון שכללו קטן הם יותר מספרים מחשבון שכללו גדול שים אותם עליונים ולא תחוש‫
If you would do the other way around, it does no harm, just confuses the student a little.	ואלו היית עושה להפך לא יזיק רק יתבלבל מעט על התלמיד‫
After you put the digits, as many as they are, in the top row and the others in the bottom row, multiply the first from the top row by the first from the bottom row, and write the result corresponding to the first [that in the] top row.	ואחר שתשים המספרים כמה שיהיו בטור העליון והאחרים בטור השפל כפול הראשון של הטור העליון על הראשון שבטור השפל והעולה כתוב אותו כנגד הטור הראשון העליון‫
Then, multiply the first top digit by the second bottom digit and write [the result] in the third row corresponding to the second top digit.	ואחר כן כפול המספר הראשון העליון על המספר השני השפל וכתוב בטור השלישי כנגד המספר השני העליון‫
So on for all bottom digits with the first upper digit.	וככה לכל המספרים השפלים עם המספר העליון הראשון‫
The product of two digits is equal to units and tens:
If, when you multiply the first upper digit by its corresponding one in the bottom [row] there is a decade and units in the product, write the units in the place to which it belongs and write the number of the decade as the following digit.	ואם כאשר תכפול הראשון העליון על שכנגדו בשפל ויתחבר במספר כלל ופרט תכתוב הפרט במקום הראוי לו והכלל במספרו תכתבנו בחשבון שהוא אחריו‫
After you have finished multiplying the first digit of the top row by all the digits of the bottom row, start to multiply the second digit of the top row by the first digit of the bottom row and write the result in the third row corresponding to the second upper [digit].	ואחר שתשלים לכפול החשבון הראשון של הטור העליון על כל מספרי הטור השפל תחל לכפול המספר השני של הטור העליון על מספר הראשון של הטור השפל והעולה כתבהו בטור השלישי כנגד השני העליון‫
Then, multiply the second [of the] top by the second that is in the bottom row and write it in the third row as the third digit, which is second to the digit from with which you have now started.	ואחר כן תכפול השני העליון על שני שבטור השפל ותכתבהו בטור השלישי במספר השלישי שהוא שני למספר שהחלות עתה ממנו‫
Then, start with the third upper digit, multiply it by the first of the bottom row, and write the result corresponding to the third [digit] with which you have started.	ואחר כן תחל במספר השלישי העליון לכפול אותו על הראשון שבטור השפל והעולה תכתבהו כנגד טור השלישי שהחילות ממנו‫
This is the procedure for all endlessly with the rule that the units are into the lower rank and the decade following it in the next rank.	וככה המשפט לכלם עד אין קץ עם משפט הפרט להיות התחתון והכלל שיבא אחריו בטור השני לו‫
If there is zero, whether in the top row or in the bottom row, the rule is to write it in its appropriate position, as is the rule for all numbers next to it.	ואם היה גלגל בין בטור העליון בין בטור השפל משפטו לכתבו במקום הראוי לו כמשפט כל המספרים שעליו‫
Then, start adding up the interim products of the top row with the bottom:	ואחר כן תחל לחבר מה שעלה בטור העליון עם השפל‫‫
If there are no tens there, write down the sum.	אם אין בו עשרות תכתוב מה שהוא בחבור‫
If there is ten, write one after it.	ואם יש בו עשרה כתוב אחד אחריו
If there is more, write the excess aside from the sum you have and instead of the ten write one next to it.	ואם יש בו יותר כתוב היותר מבחוץ בחבור שיש לך ובמקום העשרה כתוב אחד שני לו נוסף‫
Proceed so with all the interim products of the top and bottom rows and take out the excesses aside from the tens.	וכן תעשה לכל היוצאים מהטור העליון והשפל והוצא הנותר מעשרות מבחוץ‫
After you know how much the sum in the third row is, count its ranks and see: if they are as much as the number of the ranks of the two upper rows minus one, know that your calculation is correct.	ואחר שידעת כמה הוא המחובר בטור השלישי ספור מעלותיו וראה אם היו כמספר מעלות השנים טורים העליונים ממנו בחסרון אחד תדע כי חשבונך אמת‫‫
If the product of last digit in the top row multiplied by the last digit in the bottom row is a decade, the number of ranks in the third row is the same as to the number of [ranks of] the two upper rows without the subtraction of one.	ואם המספר האחרון בטור העליון הנכפל במספר האחרון בטור השפל ממנו יוצא אל כלל יהיה מספר מעלות הטור השלישי כמספר שני טורים העליונים בלי מגרעת אחד‫
Check: casting out by 9
Finally, check it through the scales.	ובחן באחרונה במאזנים‫
You proceed as follows:	וככה תעשה‫
Consider every digit in the top row in any rank as if it were units, sum them and cast out the nines from the sum if it is more than 9, or less than it write alone, and this is the scale of the top row.	חשוב כל חשבון שתמצא בטור העליון באיזו מעלה שיהיה כאילו הם אחדים וחברם והוצא המחובר ט' ט' אם יותר ט' או פחות ממנו כתוב אותו לבדו והוא מאזני הטור העליון‫
Do the same with the scale of the bottom row until you know how much its scale is.	ככה תעשה למאזני הטור השפל עד שתדע כמה המאזנים שלו‫
Multiply the scale of the top row by the scale of the other row, then cast out the nines from the product and keep the remainder with you.	וכפול מאזני הטור העליון על מאזני הטור השני והנכפל הוציאהו ט' ט' והנשאר יהיה עמך שמור‫
If the scale of one of the rows is 9, do not weary yourself to find the scale of the other row, because it will always be casted out by 9.	ואם מאזני אחד מהטורים יהיה ט' אל תיגע עצמך לבקש מאזני הטור האחר כי ט' יצא לעולם‫
Then, examine the scale of the third row and see: if it is the same as the reserved, then your calculation is true, but if not, you were wrong.	ואחר בדוק מאזני הטור השלישי וראה אם היה שוה לשמור חשבונך אמת ואם לאו הנה טעית‫
Example: we wish to multiply 127 by 355. $\scriptstyle127\times355$	דמיון זה רצינו לכפול קכ"ז על שנ"ה‫
We write 127 in the top row and the number 355 beneath it, each characters in its place, like this.	וכתבנו קכ"ז בטור העליון כזה ומספר שנ"ה תחתיו אות אות במקומו כזה‫
1 2 7     3 5 5   2 3 3 5   1 1 5     6 1     3 5 5     the product 4 5 0 8 5	א ב ז     ג ה ה   ב ג ג ה   א א ה     ו א     ג ה ה     המחובר ד ה 0 ח ה
[Illustration of the procedure:] 127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times5}}={\color{blue}{35}}}$ 127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times5}}={\color{blue}{35}}}$ 127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times3}}={\color{blue}{21}}}$  127 355 355 355  355  35 335 2335    5   15
We multiply 7 by 5; the result is 35. We write 5 in the first rank and 3, which is 30, in the second rank.	כפלנו ז' על ה' עלו ל"ה כתבנו ה' במעלה הראשונה וג' שהוא ל' במעלה השניה‫
We also multiply 7 by the second bottom 5; the result is 35. We write 5 in the second rank beneath the 3 and 3 in the third [rank].	עוד כפלנו ז' על ה' השני התחתון עלו ל"ה כתבנו ה' במעלה השנית תחת ג' וג' בשלישית‫
We also multiply the first 7 by the bottom 3; the result is 21. We write 1 in the third [rank] beneath 3 and 2 in the fourth [rank].	עוד כפלנו ז' הראשון על ג' התחתון עלו כ"א כתבנו א' בשלישית תחת ג' וב' ברביעית‫
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}$  127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}$  127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times3}}={\color{blue}{6}}}$  127  355  355  355 2335 2335 2335  15  115  115   1    1   61
We also multiply the middle upper 2 by the first 5 from the bottom [row]; the result is 10. We write 1 in the third ]rank] beneath the 1.	עוד כפלנו ב' האמצעי העליון על ה' הראשון מן התחתון עלו י' כתבנו א' בשלישית תחת הא‫'‫
We also multiply the upper 2 by the second lower 5; the result is also 10. We write 1 beneath 2 in the fourth [rank].	עוד כפלנו ב' העליון על ה' השנית התחתון היו גם כן י' כתבנו א' תחת ב' ברביעית‫
We also multiply the top 2 by the bottom 3; the result is 6. We write it under 1 in the fourth [rank].	עוד כפלנו ב' העליון על ג' התחתון והיו ו' כתבנו אותו תחת א' ברביעית‫
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}}$  127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}}$  127 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times3}}={\color{blue}{3}}}$   127  355  355   355 2335 2335  2335  15  115   115  61   61    61    5   55   355
We also multiply the last upper 1 by the first lower 5; the result is 5. We write it in the third [rank].	עוד כפלנו א' העליון האחרון על ה' הראשון התחתון עלו ה' כתבנוהו בשלישית‫
We also multiply 1 by the second lower 5; the result is 5. We write it in the fourth [rank].	עוד כפלנו א' על ה' השני התחתון עלו ה' כתבנוהו ברביעית‫
We also multiply the upper 1 by the bottom 3; the result is 3. We write it in the fifth [rank] after 2.	עוד כפלנו א' העליון על ג' התחתון היו ג' כתבנוהו בחמישית אחר ב'‫
Thus, the multiplication is complete.	והנה נשלם הכפל‫
We add up all these numbers: all that is of the same rank together and what exceeds over ten or equal to ten, write it after that rank.	חברנו כל אלו המספרים כל מה שהוא ממעלה אחת יחד הכל ומה שיעלה יותר מעשרה או עשרה כתבהו אחר המעלה ההיא‫
The total product is 45 thousand and 85.	ויעלה המחובר מ"ה אלפים ופ"ה‫
P1050 marg. another method	דרך אחרת יותר קצרה עשויה בשליבה נק' בלשונ' ביריקוקלי ונעשית בזה הדרך שאין כותבי' רק האחדי' שבידך ושומרי' העשרו' לקבצם עם העשרו' מהמספר הבא אחריו וכן ממדרגה למדרגה עושין כן
	דמ' תרצה לכפול קכ"ז על שנ"ה תכפול ז' על ה' עלה ל"ה כתו' ה' במדרגת האחדי' ושמור בפיך ובלבבך ל' שהם ג' במדרג' השנית וכפול ז' על ה' עלו ל"ה וג' עשרו' וג' עשרו' היו בידך בין הכל עלו ל"ח כתו' ח' במדרגה השנית ושמור ג' מאות עוד כפול ז' על ג' שהם עלו כ"א וג' שהיו בידך היו כ"ד מאו' כתו' ד' במדרגת המאות והכ' שהם ב' אלפי' כתו' במדרגת האלפי' כי עתה אין עוד אות בטור השפל לכפול האות הראשון עמו
	עו' תשוב תכפול ב' עם ה' עלו י' והיה ראוי לכותבו תחת העשרות בשורה אחרת תחת הראשונה ולפי שהו' ר"ל י' עשרות שהם מאה כתו' עגול במדרגת העשרו' ושמור אחד שהוא מאה וכפול ב' על ה' השני עלו י' וא' שהיה שמור הנה י"א כתו' א' במדרגת המאות ובידך שמור א' שהוא אלף עו' כפול ב' על ג' הנה הם ו' וא' הנה ז' כתו' ו' במדרגת האלפי‫'
	עוד כפול א' על ע ה' וכתו' במדרגת המאות ה‫' וא' על ה' השני וכתו' במדרגת האלפי' ה‫' וכפול א' על ג' וכתו' במדרגת העשרת אלפי' ג‫' וראה ועשה
	ואח"כ קבץ הכל בדרך קבוץ וכתו' למטה כאשר אתה רואה
Chapter Two – Division	השער השני
Introduction - Preliminary definitions
Definition of a number: Know that that every number is a sum of units.	דע כי כל חשבון הוא חברת האחדים‫
One
One alone does not assume any change, no increase and no division.	והאחד לבדו לא יקבל שנוי ולא רבוי ולא חלוק ‫
It is the cause of every increase, change and division.	והוא סבת כל רבוי ושנוי וחלוק ‫
One is eternal.	והאחד קדמון לבדו ‫
Every number created through it.	וכל חשבון מתחדש בעבורו
Every number is half of the sum of the numbers on either side - one is half the sum of its one side
It does with one side what every [other] number does with its two sides.	והוא יעשה בפאה אחת מה שיעשה כל חשבון בשתי פאותיו‫
For two is the preceding side for the number three and four is the other following side, and the sum of the two sides is 6, which is double the number three, and so for every number.	כי שנים לחשבון שלשה הפאה האחת שהיא לפניו וארבעה הפאה האחרת שהיא אחריו ושתי הפאות המחוברות ששה שהם כפל שלשה וככה כל מספר‫
But the one has no side that precedes it and following it is one side, which is two, and it is double the one.	והנה האחד אין לפניו פאה ואחריו פאה אחת שהיא שנים והם כפל האחד‫
Now I shall talk about every number that has whole integers without fractions.	ועתה אדבר על כל חשבון שיש לו אחדים שלמים בלי שבר‫
Sexagesimal Fractions
12 zodiac signs: Know that the astrologers have divided the celestial sphere into twelve parts.	ודע כי חכמי המזלות חלקו את הגלגל על שנים עשר חלקים‫
They did this because the solar year has 12 lunar months and because there is no number, smaller than 12, that has as many parts as it, for it has whole integers in its half, its third, its quarter, its sixth and its half of one-sixth.	ועשו זה בעבור ששנת השמש י"ב חדשי הלבנה ואין חשבון קטן מי"ב שיש לו חלקים רבים כמוהו כי יש לו אחדים שלמים בחציו ושלישיתו ורביעיתו וששיתו וחצי ששיתו‫‫‫
degrees: They divided each sign to thirty degrees.	וחלקו המזל לשלשים מעלות‫
Because this number has more whole units than 12; for it has one-half, one-third, one-fifth, one-sixth and one-tenth.	כי זה המספר יש לו אחדים שלמים יותר מי"ב כי יש לו חצי ושלישית וחמישית וששית ועשירית‫‫‫
So, the number of degrees of the celestial sphere is 360.	והנה עלה מספר מעלות הגלגל ש"ס‫
This number has one-half, one-third, a quarter, one-fifth, one-sixth, one-eighth, one-ninth and one-tenth only the seventh is missing.	וזה המספר יש לו חצי ושלישית ורביעית וחמישית וששית ושמינית ותשיעית ועשירית והנה לא יחסר לו רק השביעית‫‫
When you multiply this number by 7, the result is two thousand and 520, and this number includes all fractions up to tenths.	וכאשר תכפול זה המספר על ז' יהיה העולה אלפים ותק"כ וזה החשבון כולל כל החלקים עד עשרה‫
When the astrologers multiply degrees by degrees, the product is degrees, which are whole units.	והנה חכמי המזלות כאשר יכפלו מעלות על מעלות יהיה המחובר מעלות שהם אחדים שלמים‫
Similarly, when they divide degrees by degrees, the quotient is degrees, which are whole units.	וככה כאשר יחלקו מעלות על מעלות יהיה העולה בחלוק מעלות שהם אחדים שלמים‫
Written calculations
Now I shall give you a rule how to divide every number, whether it consists of one, two or many digits:	ועתה אתן לך כלל איך תחלק כל חשבון בין שיהיה אחד או שנים או מספרים רבים‫
Write them in one row, each according to its rank.	כתוב אותם בטור אחד כל אחד כפי מעלתו ‫‫
Then, write the number by which you divide in another row, whether it consists of one or many digits, each according to its rank corresponding to each digit according to its rank in the top row, and leave a space between the upper row and the bottom row so that you can write a middle row in between them; whether the quotient consists of one or many digits, you place each one according to its rank.	ואחר כך כתוב החשבון שתחלק עליו בטור אחר בין שיהיה מספר אחד או רבים כל אחד כפי מעלתו ויהיה כל חשבון לפי מעלתו כנגד כל חשבון כפי מעלתו בטור העליון וריוח תשים בין הטור העליון והטור השפל כדי שתוכל לכתוב טור אמצעי ביניהם בין שיהיה העולה מספר אחד או מספרים רבים כל אחד תשים כפי מעלתו‫
The number by which you divide should be less than the number that you divide by it.	וראוי להיות המספר שתחלק עליו פחות מהמספר המחולק ממנו וזה הדבר הוא בחלוק השלמים‫‫
But this is only for the division of integers, not for fractions, as I will explain with the help of God.	ולא כן בשברים כאשר אפרש בעזרת האל‫
When you set up the rows, as I said, you start dividing by the last digit in the top row.	ובתקנך הטורים כאשר אמרתי תחל לחלק מהמספר האחרון שהוא בטור העליון‫
Divide it by the last number in the bottom row.	ותחלק אותו על המספר האחרון שהוא בטור השפל‫
Consider the two numbers, even though they are decades, consider them as units.	וחשוב שנים המספרים אע"פ שהם כללים חשוב אותם כמו אחדים‫‫
The quotient: see how far the last digit of the bottom row is from the first digit, whether it is units or a zero, and as the number of the distance, return back.	והעולה בחלוק ראה כמה מרחק המספר האחרון מהטור השפל מהמספר הראשון בין שיהיו בו אחדים או גלגל וכפי מספר המרחק תשיב אחורנית ‫‫
Write the quotient there above the bottom row, which is beneath the top row.	ושם תכתוב העולה בחלוק למעלה מהטור השפל שהוא למטה מהטור העליון
If a number that cannot be divided remains from the last digit, and [the division] has not yet reached the ranks of the units, return the remaining number back to the preceding rank, which is lower than it.	ואם ישאר במספר האחרון חשבון שלא נתחלק ‫ ולא הגיע למעלת האחדים ‫ השב אחורנית המספר הנשאר למעלה הראשונה שהיא פחותה ממנו ‫‫
Consider each unit as ten.	וחשוב כל אחד עשרה‫
Then, divide by the number by which you divide, and write the quotient back from the first rank you wrote, before the first quotient.	ואחר כך חלק על המספר שחלקת עליו והעולה בחלוק תכתוב אותו אחורנית מהמעלה הראשונה שכתבת לפני מה שעלה בחלוק בראשונה‫
Proceed always like this until you reach a number that is smaller than the divisor.	ככה תעשה תמיד עד שתגיע אל המספר שהוא פחות מהמחולק עליו‫
Write the remainder above the top row according to its rank.	ואותו הנשאר תכתבנו למעלה מהטור העליון כפי מעלתו ‫‫
In the fifth chapter I will explain what you should do with it.	ובשער החמישי אפרש לך מה שתעשה ממנו‫‫
Example: we wish to divide 9 thousands by 70. $\scriptstyle9000\div70$	דמיון בקשנו לחלק ט' אלפים על ע‫'‫
According to the following diagram.	בזאת הצורה‫
0 0     2 6 4   9 0 0 0   1 2 8     7 0	0 0     ב ו ד   ט 0 0 0   א ב ח     ז 0
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\div7={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{2}}}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20\div7={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{6}}}}}$ 0    $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{60\div7={\color{blue}{8}}+r{\color{green}{4}}}}}$ 00   2    26   264  9000 9000 9000 9000  1    12   128   70   70   70   70 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle128\ the\ result\\&\scriptstyle40\ the\ remainder\\\end{align}}}$
We put 70 in the bottom row according to its ranks and consider all as units. We give it 1.	הנה נשים ע' בטור השפל כפי מעלתו ונחשוב כי הכל אחדים והנה נתן לו א‫' ‫‫
We write it in the second rank back from the last digit of the first row, because the 70 is in the second rank in the lower row and we write it in the middle. We are left with two.	ונכתבנו במעלה השנית אחורנית מהמספר האחרון שהוא בטור הראשון כי ע' הוא שני לטור השפל‫ ונכתבנו באמצע ונשארו לנו שנים‫
We return it back, so it is twenty. We divide [them] by 7, we give it 2 and write it back before what was written first; we are left with 6.	נשיבם אחורנית והם עשרים נחלק על ז' והנה נתן לו ב' ונכתוב אותו אחורנית לפני הנכתב בראשונה‫ ונשארו לנו ו‫'‫
We return it back, so it is sixty. We divide them by 7, we give it 8. Write it back.	נשיבהו אחורנית יהיו ששים נחלקנו על ז' נתן לו ח' תכתבהו אחורנית‫‫
We are left with 4, which is in the second rank, so it is 40 and the divisor is greater than it.	ונשארו לנו ד' והם במעלה השנית והם מ' והמספר המחולק עליו גדול ממנו‫
If the divisor as units is greater than the last digit in the top row, return it back and calculate from this position.	ואם היה המספר באחדים המחולק עליו גדול מהמספר האחרון בטור העליון תשיבהו אחורנית ותחשוב מאותו מקום ‫‫
Return it back according to the distance of the divisor.	וכפי מרחק המספר המחולק עליו תשיב אחורנית ‫‫
Proceed according to the rule.	ועשה כמשפט‫
Example: we wish to divide 20 thousands by 90. $\scriptstyle20000\div90$	דמיון בקשנו לחלק כ' אלף על צ‫'‫
According to the following diagram.	בזאת הצורה‫
0 0     0 2 2 2   2 0 0 0 0     2 2 2       9 0	0 0     0 ב ב ב   ב 0 0 0 0     ב ב ב       ט 0
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20\div9={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{2}}}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20\div9={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{2}}}}}$  0    $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20\div9={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{2}}}}}$  00   02    022   0222  20000 20000 20000 20000   2     22    222    90    90    90    90 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle222\ the\ result\\&\scriptstyle20\ the\ remainder\\\end{align}}}$
Since the number 9 is greater than 2, we return it back, so it is 20. We divide it by 9; the result is 2. We write it back in the third rank, which is the second to the digit that we divided; 2 remain.	והנה בעבור כי מספר ט' גדול מב' נשיבהו אחורנית והם כ' נחלקם על ט' והנה ב' נכתבנו במעלה השלישית אחורנית שהיא שנית לחשבון שחלקנו ממנו ונשארו ב‫'‫
We return them back to the third rank, so they are 20. We divide them by 9; the result is 2, and 2 remain.	נשיבם אחורנית במעלה השלישית והם כ' נחלקם על ט' והנה ב' ונשארו ב‫'‫
We return them back to the second rank, they are twenty. We divide them by 9; the result is and 2 remain, which are twenty, because they are in the second rank in the top row. This number is smaller than our number, so we write back a zero, because no units resulted, and it cannot be taken out completely.	נשיבם אחורנית במעלה השנית והם עשרים נחלק על ט' והנם ב' ונשארו ב' שהם עשרים כי הם במעלה השנית בטור העליון וזה המספר פחות ממספרנו על כן נכתוב גלגל אחורנית כי לא עלו אחדים כי לא יצא לחוץ ‫
If there is a zero in one of the positions and you cannot divide by the divisor, return it back from the higher [rank].	ואם היה גלגל באחד המקומות ולא תוכל לחלק על המספר המחולק השב אחורנית מהגבוה ממנו‫‫
Example: we wish to divide 4 thousands and 32 by 30. $\scriptstyle4032\div30$	דמיון בקשנו לחלק ד' אלפים ול"ב על שלשים‫
0 0     1 1 1   4 0 3 2   1 3 4     3 0	0 0     א א א   ד 0 ג ב   א ג ד     ג 0
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4\div3={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{1}}}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10\div3={\color{blue}{3}}+r{\color{green}{1}}}}}$ 0    $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{13\div3={\color{blue}{4}}+r{\color{green}{1}}}}}$ 00   1    11   111  4032 4032 4032 4032  1    13   134   30   30   30   30 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle134\ the\ result\\&\scriptstyle12\ the\ remainder\\\end{align}}}$
We divide 4 by 3; we get 1. We write it back in the rank of the hundreds, because it is second to it; we are still left with 1.	חלקנו ד' על ג' ועלה בידינו א' וכתבנוהו אחורנית במעלת המאות כי הוא שני לו נשאר לנו עוד א‫'‫‫
We return it back to the rank of the hundreds; so, they are 10. We divide them by 3; the quotient is 3, 1 is left to us.	נשיבהו אחורנית במעלת המאות‫ והיו י' נחלקנו על ג' ועלה בחלוק ג' נשאר לנו א‫'‫
We return it back to the rank of the tens; so, they are 10. We add them to what is written in the second rank; they are 13. We divide them by 3 and give it 4; so, we are left with 1.	השבנוהו אחורנית במעלת העשרות ויהיו י' חברנו אותו עם הכתוב במעלה השנית היו י"ג חלקנו אותו על ג' ונתנו לו ד' נשאר לנו א‫'‫
We return it back to the first rank; they are 12 that cannot be divided, because the remainder is less than the divisor, and everything is already taken out.	השיבונוהו אחורנית במעלה הראשונה היו י"ב שלא יתחלקו כי הנשאר פחות מאותו המחולק עליו וכבר יצא לחוץ‫
If we want to divide one digit or two digits or many digits by one digit or two digits or three or many, provided that they are less than the digits in the top row, you proceed as follows:	וכאשר נרצה לחלק מספר אחד או שני מספרים או מספרים רבים על מספר אחד או על שני מספרים או על שלשה או על רבים על מנת שיהיו פחותים ממספרי הטור העליון ככה תעשה‫
Give the last in the bottom row of the top row, as much as you can give it from the last digit in the top row.	תן לאחרון שבטור השפל מן הטור העליון מה שתוכל לתת לו מהמספר האחרון שבטור העליון‫‫
Give the preceding in the bottom row, which is first to the last, as much as the product of the number you gave the last multiplied by the digit in the bottom row that precedes the last digit.	ותן לראשון מן הטור השפל שהוא ראשון לאחרון ככפל המספר שנתת לאחרון על מספר הטור השפל שהוא לפני האחרון‫‫
If you cannot do this, reduce the number that you gave it first.	ואם לא תוכל לעשות ככה שוב וגרע ממספרך שנתת לו בתחלה‫‫
When you have to take any digit from the digit that precedes the last, return it back as tens.	וכשאתה צריך לקחת מהטור שהוא לפני האחרון שום מספר השיבהו אחורנית לעשרות‫‫
This is how you proceed with all the ranks.	ככה תעשה לכל המעלות
If there is a zero in one of the ranks of the upper row, return back from the higher rank next to it as tens and take from them as much as is necessary.	ואם היה באחת ממעלות הטור העליון גלגל השב מן הגבוה ממנו אחורנית בעשרות וקח ממנו מה שצריך לו‫‫
If there are two zeros in the ranks of the upper row and in the ranks of the lower row there are numbers, you return back the higher [number] that corresponds to the digit that follows the last zero and take what you need from it. Then you return the remainder back as tens, and take what you need for the multiple of the number that is in the bottom row from the rank from which it should be taken.	ואם היו שני גלגלים במעלות הטור העליון ובמעלות הטור השפל מספרים תשיב אחורנית הגבוה שהוא כנגד החשבון שהוא אחר הגלגל האחרון ותקח מהם מה שתצטרך ומהנשאר תשיב אחורנית בעשרות ותקח ממנו מה שתצטרך בכפל המספר שהוא בטור השפל מן המעלה שהיא ראויה לקחת ממנה‫
Example: we wish to divide 8213 by 353. $\scriptstyle8213\div353$	דמיון זה‫
0     0 1 9   1 2 0   2 1 5 4 8 2 1 3     2 3   3 5 3	0     0 א ט   א ב 0   ב א ה ד ח ב א ג     ב ג   ג ה ג
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8\div3={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{2}}}}}$   $\xrightarrow{\scriptstyle^{2-1={\color{green}{1}}}_{12-\left({\color{red}{2\times5}}\right)=12-10=2}}$ 1    $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{2-1={\color{green}{1}}}_{11-\left({\color{red}{2\times3}}\right)=11-6={\color{green}{5}}}}$ 1    2    2    215  8213 8213 8213 8213   2    2    2   353  353  353  353
The 94 that we wrote is the remainder of the number that cannot be divided.	ד'ט' שכתבנו הוא הנשאר מן החשבון שלא יתחלק‫
When we divide 8, which is the last [digit] of the upper row, by 3, which is the last [digit] of the lower row, we give it two, and because the 3 of the lower row is third, we return it back to the third [digit] from there, and it reaches the rank of tens. We are left with two on the digit 8.	והנה כאשר חלקנו ח' שהוא אחרון בטור העליון על ג' שהוא אחרון בטור השפל והנה נתנו לו שנים ובעבור שהיה הג' שבטור השפל שלישי החזרנו לשלישי ממנו אחורנית והגיע למעלת העשרות ונשאר לנו במספר הח' שנים‫
We leave there one, because one is enough for us, and return the one back to the two; they are 12. We subtract from them 10, which is double five, which is the middle in the bottom row, so 2 are left on the 2.	והנה הנחנו שם אחד כי אחד יספיק לנו והחזרנו האחד אצל השנים והיו י"ב וחסרנו ממנו י' שהוא כפל חמשה האמצעי שבטור השפל והנה נשארו ב' על הב‫'‫
We leave there one and return one back on the one, which is third; they are 11. We subtract from them 6 for 3, which is first in the bottom row; so, 5 remain.	נניח שם אחד ונחזיר אחד אחורנית על אחד שהוא שלישי ויהיו י"א נסיר ממנו ו' לג' שהוא ראשון שבטור השפל נשארו ה‫'‫
Thus, all 3 lower [digits] have what they are entitled to.	והנה לכל הג' השפלים מה שראוי להם‫
We divide again, because are left with 1 on the 8, 1 on the 2 and 5 on the 1.	נשוב לחלק כי נשאר לנו א' על ח' וא' על ב' וה' על א‫'‫
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{11\div3={\color{blue}{3}}+r{\color{green}{2}}}}}$   $\xrightarrow{25-\left({\color{red}{3\times5}}\right)=25-15={\color{green}{10}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{10-1={\color{green}{9}}}_{13-\left({\color{red}{3\times3}}\right)=13-9={\color{green}{4}}}}$  0   0    01   019  12   120  120  215  215  2154 8213 8213 8213   23   23   23  353  353  353 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle23\ the\ result\\&\scriptstyle94\ the\ remainder\\\end{align}}}$
We return the 1, which is on the 8 back on the 1 above the 2; they are 11. We divide them by the 3, which is in the bottom row; they are 3. We write it corresponding to the first digit, which precedes the two; so, we are left with 2.	נשיב הא' שהוא על הח' אחורנית על א' אשר על הב' יהיו י"א נחלק אותם על ג' שהוא בטור השפל יהיו ג' ונכתבנו כנגד הטור הראשון שהוא לפני השנים ונשארו לנו ב‫'‫
We return them back on the 5; they are 25. We give 15 to the 5 that is middle in the lower row; 10 remain.	נשיבם על הה' אחורנית יהיו כ"ה נתן לחמשה האמצעי שבטור השפל ט"ו ונשארו עשרה‫
We return one back on the 3; 9 remain. The 1 with the 3 are 13; we take from them 9 and 4 remain.	נשיב אחד אחורנית על הג‫'‫ וישארו ט' והא' עם הג' י"ג ונקח מהם ט' וישארו ד‫'‫
The 9 on the 5, because we cannot take the 3 out of the 10 first, although it was enough for it, for it is not the same rank now; although it was taken first, it was first third to it, since the last of the bottom row took from the 8, but now it took from the 2, and since it is third, it must take from the same rank. So, the remainder is 94.	וט' על הה' כי לא יכולנו לקחת בראשונה הג' מהי' אע"פ שיספיק לו כי אינו מעלתו עכשיו אע"פ שלקח ממנו בראשונה כי בראשונה היה שלישי לו כי האחרון שבטור השפל לקח מן הח' אבל עתה לקח מן הב' א' ואחר שהוא שלישי צריך הוא שיקח ממעלתו השלישית והנה הנשאר ד' ט‫'‫
Another example. $\scriptstyle9381\div296$	דמיון אחר‫
2       3 0   0 5 1   3 6 0 5 9 3 8 1     3 1   2 9 6	ב       ג 0   0 ה א   ג ו 0 ה ט ג ח א     ג א   ב ט ו
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\div3={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{3}}}}}$   $\xrightarrow{\scriptstyle33-\left({\color{red}{3\times9}}\right)=33-27={\color{green}{6}}}$ 0    $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{6-1={\color{green}{5}}}_{18-\left({\color{red}{3\times6}}\right)=18-18={\color{green}{0}}}}$ 05   3    36   360  9381 9381 9381 9381   3    3    3   296  296  296  296
We want to divide 9 by two, but we cannot give it 4, because then only 1 remains, and when you return it back, with the 3 they are 13, but 4 times 9 is 36. So, we give it 3; 3 remain.	באנו לחלק ט' על שנים והנה לא יכולנו לתת לו ד' כי לא ישאר אלא א' וכאשר תשיבהו אחורנית הנה עם הג' י"ג וט' ד' פעמים ל"ו על כן נתן לו ג' נשארו ג‫'‫
We return all back to the second to it, which is 3; they are 33 there. We give 3 to the 9; they are 27; 6 remain on the 3.	נשיבם כלם אחורנית לשני לו שהוא ג' ויהיו שם ל"ג נתן לט' ג' יהיו כ"ז נשארו ו' על הג‫'‫
We take one from them and leave 5. We return it back on the 8, which is the third from the last of the top row; with the 8 they are 18. We give all to the 6, which is the third of the bottom row. We write a zero on the 8, because there is nothing left on the 8.	נקח מהם א' ונניח ה' נשיבהו על הח' שהוא שלישי לאחרון שבטור העליון ועם הח' יהיו י"ח נתן אותם כלם לו' שהוא שלישי שבטור השפל נכתוב על הח' גלגל לפי שלא נשאר על הח' מאומה‫
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\div2={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{3}}}}}$   $\xrightarrow{\scriptstyle^{3-1={\color{green}{2}}}_{10-\left({\color{red}{1\times9}}\right)=10-9={\color{green}{1}}}}$  2   $\scriptstyle\xrightarrow{11-\left({\color{red}{1\times6}}\right)=11-6={\color{green}{5}}}$  2    3    3    30  05   051  051  360  360  3605 9381 9381 9381   31   31   31  296  296  296 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle31\ the\ result\\&\scriptstyle205\ the\ remainder\\\end{align}}}$
We divide again, because not everything has been taken out yet. We take two, from the 5 that we left on the 3, which is the second in the top row; [the multiple] is one. We write this one on the 6 after the 3, which we put on the 9 in the first division, which is the third in the bottom row, then everything has already been removed.	נשוב לחלק שעדין לא יצא לחוץ נקח מן הה' שהנחנו על הג' שהוא שני בטור העליון שנים שהוא אחד נכתוב זה האחד על הו' אחרי הג' ששמנו על הט' בחלוק הראשון והוא שלישי בטור השפל וכבר יצא לחוץ‫
We take one from the 3 that is above the 3; two remain. We give the one to the zero; they are 10. We give 9 to the 9 that is in the bottom row; 1 remains on the zero.	נקח מן הג' שעל הג' אחד וישארו שנים נתן האחד על הגלגל והם י' נתן לט' שבטור השפל ט' נשאר על הגלגל א‫'‫
We return it back on the 1, which is the fourth foremost in the top row; they are 11. We give it 6; 5 remain on the 1.	נשיבהו אחורנית על הא' שהוא רביעי וראשון בטור העליון והם י"א נתן לו ו' נשארו ה' על הא‫'‫
There remainders on the top row are: 5, zero and 2, which are 205. These cannot be divided further, because the 3 [digits] in the bottom row are 296. So, the taken for each [= the quotient] is 31.	הנה הנשארים על הטור העליון ה' וגלגל וב' שהם ר"ה ולא יתחלקו יותר שהג' שבטור השפל הם רצ"ו והנלקח לכל אחד ל"א‫
Another example. $\scriptstyle54093\div2945$	דמיון אחר
1 0     0 8 1 8   2 4 4 2   3 5 6 4   5 4 0 9 3       1 8   2 9 4 5	א 0     0 ח א ח   ב ד ד ב   ג ה ו ד   ה ד 0 ט ג       א ח   ב ט ד ה
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\div2={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{3}}}}}$   $\xrightarrow{\scriptstyle^{3-1={\color{green}{2}}}_{14-\left({\color{red}{1\times9}}\right)=14-9={\color{green}{5}}}}$ 2     $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{5-1={\color{green}{4}}}_{10-\left({\color{red}{1\times4}}\right)=10-4={\color{green}{6}}}}$ 24    3     35    356   54093 54093 54093 54093    1     1     1   2945  2945  2945  2945 $\scriptstyle\xrightarrow{9-\left({\color{red}{1\times5}}\right)=9-5={\color{green}{4}}}$ 24    3564  54093    1   2945
We want to divide the top row by the bottom row. We cannot give it 2, because then only 1 remains and with 4 they are 14, but we have to divide it by 9 twice. So, we only give it 1 and write it corresponding to the 9 that is in the top row, which is fourth to the 5 back, as the two of the lower row, which is fourth to the first 5 in the bottom row. 3 remain on the 5.	בקשנו לחלק הטור העליון על הטור השפל לתת לו ב' לא נוכל שלא ישאר כי אם א' וד' והם י"ד ויש לנו לחלק על ט' ב' פעמים אך נתן לו א' ונשים אותו כנגד ט' שהם בטור העליון שהוא רביעי לה' אחורנית כשנים בטור השפל שהוא רביעי לה' ראש שבטור השפל נשארו ג' על הה‫'‫
We take one from them; 2 remain on the 5. We return it back on the 4; they are 14. 9 are taken; 5 remain.	נקח מהם אחד ישארו ב' על הה' נשיבהו אחורנית על הד' יהיו י"ד יקח ט' ישארו ה‫'‫
The 4 in the bottom row must take from the third in the top row, because it is third, but we cannot, because the third in the top row is a zero. So, we return one from the 5 that we left on the 4 back on the zero; they are 10. 4 are taken; 6 remain on the zero.	יש לד' שבטור השפל לקחת מן השלישי שבטור העליון למען כי שלישי הוא ולא נוכל כי השלישי שבטור העליון גלגל הוא נשיב מן הה' שהנחנו על הד' אחד על הגלגל יהיו י' יקח ד' ישארו ו' על הגלגל‫
The 5 that is the beginning of the bottom row, which is fourth, takes from the fourth in the upper row, which is 9; 4 remain on the 9.	יקח הה' שהוא ראש בטור השפל והוא רביעי יקח מהרביעי שבטור העליון שהוא ט' ישארו על ט' ד‫'‫
We divide again, because not everything has been taken out yet. The remainders from the top row are the 3, which is the first and fifth, 4 on the 9, 6 on the zero, 4 on the 4, and 2 on the 5.	נשוב לחלק כי עדין לא יצא והנשארים ג' מן הטור העליון שהוא ראשון וחמישי ועל הט' ד' ועל הגלגל ו' ועל הד' ד' ועל הה' ב‫'‫‫
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{24\div2={\color{blue}{8}}+r{\color{green}{8}}}}}$   $\xrightarrow{\scriptstyle^{8-7={\color{green}{1}}}_{76-\left({\color{red}{8\times9}}\right)=76-72={\color{green}{4}}}}$  1    08    08    24    244   3516  3516  54093 54093    18    18  2945  2945 $\scriptstyle\xrightarrow{44-\left({\color{red}{8\times4}}\right)=44-32={\color{green}{12}}}$  1    $\xrightarrow{\scriptstyle^{12-4={\color{green}{8}}}_{43-\left({\color{red}{8\times5}}\right)=43-40={\color{green}{3}}}}$  10   081   0818  2442  2442  3516  3516  54093 54093    18    18  2945  2945 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle18\ the\ result\\&\scriptstyle1083\ the\ remainder\\\end{align}}}$
We return the 2 back on the 4; they are 24. We give 8 to the 2, which is the fourth in the lower row; 8 remain on the 4.	נשיב הב' על הד' והם כ"ד נתן לב' שהוא רביעי שבטור השפל ח' נשארו ח' על הד‫'‫
We return 7 of them back on the 6, and 1 remains on the 4; they are 76. We take 72 for the 9; 4 remain instead of the 6.	נשיב מהם ז' על הו' אחורנית וא' נשאר על הד' ויהיו ע"ו נקח לט' ע"ב נשארו ד' במקום הו‫'‫
If we return 3 of them, the 4 in the lower row indeed can take from the 3 together with the 4 that follows it, which are 34, but only two will remain, and when we return it to the 3, they are only 23, whereas the 5 have to take 40.	אם נשיב מהם ג' ואמת כי הד' שבטור השפל יוכלו לקחת מהג' עם הד' שאחריהם שהם ל"ד אך לא ישאר כי אם שנים וכשנשיב אותו על הג' יהיו כ"ג לבד ויש לה' שיקחו מ‫'‫
Therefore, we return the whole 4 back to the 4 and write a zero instead of the 4 corresponding to the zero in the upper row; they are 44. The 4 take 32; 12 remain.	לפיכך נשיב כל הד' אחורנית על הד' ונכתוב גלגל במקום הו' כנגד הגלגל שבטור העליון והם מ"ד יקחו הד' ל"ב נשארו י"ב‫
We take 4 from them, because less is not enough for us; 8 remain on the 4 that are on the 9. With the 3 they are 43. The 5 take from 40.	נקח מהם ד' כי לא יהיה די לנו בפחות וישארו ח' על הד' שהם על הט' ועם הג' הם מ"ג יקחו הה' מ‫'‫
3 remain on the 3, 8 on the 9, which are 80, a zero, which takes the number out of the hundreds and into the thousands, and 1 on the fourth that is on the 4, which is one thousand. These cannot be divided, because the divisor is greater than it; this is 2 thousand 9 hundred and 45.	ישארו ג' על הג' וח' על הט' שהם פ' וגלגל להוציאו ממאות ולהכניסו לאלפים וא' על הרביעי שהוא על הד' שהוא אלף ואלה לא יתחלקו כי המחולק גדול מזה שהוא אלפים וט' מאות ומ"ה‫
Another example: we wish to divide 68 thousands, 9 hundred and 21 by 7 thousands and 53. $\scriptstyle68921\div7053$	דמיון אחר בקשנו לחלק ס"ח אלפים וט' מאות וכ"א על ז' אלפים ונ"ג‫
This is the diagram:	וזהו הדמיון‫
4   0 5 4 7 4 6 8 9 2 1         9   7 0 5 3	ד   0 ה ד ז ד ו ח ט ב א         ט   ז 0 ה ג
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{68\div7={\color{blue}{9}}+r{\color{green}{5}}}}}$   $\xrightarrow{\scriptstyle^{9-5={\color{green}{4}}}_{52-\left({\color{red}{9\times5}}\right)=52-45={\color{green}{7}}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{7-3={\color{green}{4}}}_{31-\left({\color{red}{9\times3}}\right)=31-27={\color{green}{4}}}}$    4  05    0547  05474 68921 68921 68921 68921     9     9     9  7053  7053  7053  7053
The 7, which is fourth in the bottom row, cannot take from the 6, which is the fifth in the top row, since we cannot give the 7 what it needs.	ז' שהוא רביעי בטור השפל לא יוכל לקחת מו' שהוא חמישי בטור העליון ומאחר שלא נוכל לתת לז' כל הצורך‫
We return all of it back on the 8; they are 68. So, from the 8, which is the fourth in the top row, we give 9 to the 7; we take it out on the 3, which is the fourth in the bottom row; so, 5 remain on the 8.	נשיב אותו כלו אחורנית על הח' ויהיו ס"ח הנה חלקנו מן הח' שהוא רביעי לטור העליון נתן לז' ט' נוציאנו לחוץ על הג' שהוא רביעי בטור השפל נשארו ה' על הח‫'‫
The second to the 7 does not take anything because it is a zero.	הנה השני לז' לא יקח מאומה כי הוא גלגל‫
The 5 must take from the 2, the fourth in the top row, which is the third in the division, but cannot take it.	יש לה' שיקח מן ב' הרביעי בטור העליון שהוא שלישי לחלוק לא יוכל לקחת‫
So, we take 5 from the 9 that follows it. We return it back on the 2; they are 52, and 4 remain on the 9. The 5 take 45 out of 52; 7 remain on the 2.	נקח מן הט' שאחריו ה' נשיבם על הב' יהיו נ"ב וד' נשאר על הט' והה' מנ"ב יקחו מ"ה ישארו ז' על הב‫'‫
We take 3 from the 7 and return them back on the 1; they are 31. The 3 take 27; 4 remain on the 1.	מן הז' נקח ג' ונשיבם אחורנית על א' והם ל"א יקחו ג' כ"ז נשאר ד' על א‫'‫
Another example: we wish to divide 680402 by 2009. $\scriptstyle680402\div2009$	דמיון אחר נרצה לחלק תר"פ אלפים ות"ב על אלפים וט‫'‫
0   3       1 1 4 6   0 7 7 7 3 0 6 8 0 4 0 2       3 3 8     2 0 0 9	0   ג       א א ד ו   0 ז ז ז ג 0 ו ח 0 ד 0 ב       ג ג ח     ב 0 0 ט
Digits by digits so that there are 2 zeros in the top row and in the bottom row.	מספרים על מספרים שיהיה בטור העליון ב' גלגלים וכן בטור השפל‫
We give the 2 that is the fourth in the bottom row, 3 from the 6 that is the sixth in the top row.	נתן לב' הרביעי בטור השפל ג' מהו' הששי בטור העליון‫
The zero that is the second in the bottom row has to take from the 8, but it takes nothing.	הנה הגלגל שני בטור השפל יש לו שיקח מן הח' ולא יקח כלום‫
The zero that is the third in the bottom row has to take from the zero that is the third in the top row, but cannot take.	והגלגל השלישי שבטור השפל יש לו שיקח מן הגלגל השלישי בטור העליון ולא יוכל לקחת‫
The 9 that is the first in the bottom row must take from the 4 in the top row but cannot. Therefore, we have to return from the 8 that is the second in the top row, what is enough for it. We return 1 back, because it is enough for us. We write 7 on the 8, and the 1 that we have returned back on zero; it is taken as tens for us. That is still not enough. We take from them 3, return them back; 7 remain on the zero, and with the 3 they are 30 on the 4.	יש לט' הראשון בטור השפל לקחת מד' שבטור העליון לא יוכל צריכין אנו שנשיב מן הח' השני בטור העליון מה שיספיק לו נשיב א' אחורנית כי די לנו בא' ונכתוב על הח' ז' והא' שהשיבונו אחורנית על הגלגל יצא לנו בעשרות ועוד לא יספיק נקח מהם ג' ונשיבם אחורנית ונשארו ז' על הגלגל והג' הם ל' על הד‫'‫
So, 7 remain instead of 4, as well as zero and two that are the first in the top row, 7 on the zero, and 7 on the 8.	נשארו ז' במקום ד' וגלגל ושנים הראשונים שבטור העליון וז' שעל הגלגל וז' שעל הח‫'‫
We divide again, because not everything has been taken. We take 3 from the 7 that is on the 8 and put them beneath the first zero, which is fourth from the 8.	עוד נשוב לחלק שהרי לא יצא נקח לו ג' מן הז' שעל הח' ונשימהו תחת הגלגל הראשון שהוא רביעי לח‫'‫
1 remains on the 8.	ונשאר א' על הח‫'
The zero has to take the from the zero but cannot.	יש לגלגל שיקח מן הגלגל לא יוכל‫
The zero that follows is has to take from its rank, which is the 7 on the 4 but cannot.	ויש לגלגל שאחריו שיקח ממעלתו שהיא הז' שעל הד' לא יוכל‫
The 9 must take from the zero that is in its rank, because it is the fourth in the division, but cannot, since there is nothing on the zero and it is impossible to return it back on the two, because the two is not in its rank. So, we return 3 from the 7 that is on the preceding 4 back to zero; they are 30.	יש לט' שיקח מן הגלגל שהוא מעלתו לפי שהוא רביעי לחלוק ולא יוכל לפי שאין על הגלגל כלום וגם לא יוכל להשיב אותו אחורנית על השנים כי השנים אינם מעלתו נשיב מן הז' שעל הד' שלפניו ג' נשימם על הגלגל והם ל‫'‫
3 remain on the zero, as well as 4 on the preceding 4, 7 on the zero that precedes the 8 and 1 on the 8.	נשארו ג' על הגלגל וד' על הד' לפניו וז' על הגלגל שהוא לפני הח' וא' על הח‫'‫
We divide again because it is not all taken yet. The last in the lower row cannot take from the 1, so we return it back on the 7 that is on the zero; they are 17. We give it 8, take it out after the 3 that is the fourth in the division, because we divided from 7 that is on the zero.	נשוב לחלק שעדין לא יצא לחוץ הנה מן הא' לא יוכל לקחת האחרון שבטור השפל נשיב אותו אחורנית על הז' שהוא על הגלגל והם י"ז נתן לו ח' נוציאם לחוץ אחרי הג' כי הוא רביעי לחלוק כי מן הז' שעל הגלגל חלקנו‫
1 remains there.	ושם נשאר א‫'‫
The zero has to take from the 4, but cannot take.	הנה יש לגלגל שיקח מן הד' ולא יקח‫
Also the other zero has to take from the 3 that is on the zero that is in the top row but cannot take.	גם יש לגלגל האחר שיקח מן הג' שעל הגלגל שבטור העליון ולא יקח‫
The 9 has to take from the 2, but cannot, so we return back. If we say to the 3 that is on the zero that to give to the 2 that is first to the zero, it does not have enough, because it only has 3. So, we take one from the 4, which replaces the 4, it is on the zero, with the 3 they are 13. We take 7 from them and return them back on the 2; they are 72. All is taken out by the 9.	ויש לט' שיקח מן הב' ולא יוכל נשיב אחורנית אם נאמר לג' שעל הגלגל שיתן לב' הראשון לגלגל אין לו מה שיספיק לו כי אין לו אלא ג' נקח מן הד' שבמקום הד' אחד ויהיה על הגלגל עם הג' י"ג נקח מהם ז' ונשיבם על הב' והם ע"ב יצאו הכל בט‫'‫
We write a zero on the 2, because there is nothing left on it; 6 are left on the zero that is second to the 2, 3 on the 4 and 1 on the zero that is second to the 8. These remain as they cannot be divided, because the divisor is greater from them. The remainder is one thousand 3 hundred and 60 and the divisor two thousand and 9.	ונכתוב גלגל על הב' שלא נשאר עליו כלום ועל הגלגל שהוא שני לב' נשארו ו' וג' על ד' וא' על הגלגל שהוא שני לח' ואלה נשארו שלא יתחלקו כי המחולק גדול מזה כי המספר הנשאר אלף וג' מאות וס' והמחולק עליו הוא אלפים וט‫'‫
Another example, which is more valuable and difficult than all previous calculations without zero.	דמיון אחר נכבד וקשה מכל החשבונים שתחתיו מאין גלגל‫
First, I shall explain that whenever a digit is separated from a digit, meaning that a zero is written in between, as for example, 203, we do not say: we return the 2 or, as much is needed according to the digit in the lower row, back to the 3, because the zero is in the middle, so we return the 2 or the one back to the zero and then divide according to the rule.	ובראשונה אפרש כי לעולם כשיתרחק חשבון מחשבון והטעם שיכתב גלגל באמצע כדמיון זה ג0ב ‫לא נאמר נשיב הב' אל הג' או כמה שיצטרך לפי החשבון שבטור השפל לפי שגלגל באמצע אך נשיב הב' או האחד אל הגלגל ואז נחלק כמשפט‫
I shall tell you one rule for all the numbers you divide, whether they are many or a few: You always have to divide the upper number by the lower one, until the end of the digits when it has come to its end. If there is a zero above, it can no longer be divided.	ואומר לך כלל אחד מכל החשבונות שתחלק בין רבים בין מעטים לעולם יש לך לחלק חשבון העליון על התחתון עד שיצא לסוף החשבונות בא על סופו אם יש גלגל עליו לא יתחלק עוד‫
Like the following and this is the diagram of the valuable and difficult:	כמו זה וזה צורת הנכבד והקשה‫
Example: we wish to divide 9 sevens by 4 nines. $\scriptstyle777777777\div9999$	דמיון בקשנו לחלק חשבון ט' שביעיות על ד' תשיעיות‫‫
0               0 1               2 5 5           0 8 6 6           1 9 3 0           7 5 5 5 5       0 8 8 6 6 6       1 4 9 2 3 0       7 7 5 5 5 5 6   0 8 8 8 1 1 2 0   1 4 4 4 4 4 4 5 2 7 7 7 7 7 7 7 7 7         7 7 7 8 5           9 9 9 9	0               0 א               א ה ה           0 ח ו ו           א ט ג 0           ז ה ה ה ה       0 ח ח ו ו ו       א ד ט ב ג 0       ז ז ה ה ה ה ו   0 ח ח ח א א ב 0   א ד ד ד ד ד ד ה ב ז ז ז ז ז ז ז ז ז         ז ז ז ח ה           ט ט ט ט
First, I shall teach you how to divide after you see that the 7 is less than the 9.	הנה ראש כל דבר אוֹרְךָ איכה תחלק אחר שתראה שהז' פחות מהט‫'‫
First version
You have to return it back. This is the diagram. First, when you start dividing, give 7 to the 9 and write it back in the rank of the 4, which you are dividing, that is second to the 9.	תצטרך להשיבו אחורנית וזהו הדמיון ותחלה כשתחל לחלק תתן לט' ז' ותכתבנה אחורנית במעלת הד' שתחלק ממנו שהוא שני לט‫'‫
The remainder is 14. Proceed so, until 7 remain in the first rank of the division, likewise 7 in the second [rank] of the division, 8 in the third of the division and 4 in the fourth of the division.	והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר במעלת א' לחלוק ז' וכן בשני לחלוק ז' ובשלישי לחלוק ח' וברביעי לחלוק ד‫'‫
We divide again: we return the 7 that is in the second [rank] back to the third. We divide from there and write 7 beneath the sixth 7, which is fourth of the division; the remainder is 14. Proceed so, until 7 remain, after it we write 8, then 5 and then 4.	נשוב לחלק נשיב הז' שהוא בשני אל השלישי אחורנית ונחלק ממנו ונכתוב ז' תחת ז' ששי שהוא ד' לחלוק והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר ז' ואחריו נכתוב ח' ואחריו ה' ואחריו ד‫'‫
We divide again: we return the 7 that on the 8 and put it in the fourth rank; the remainder is 15 and what you leave is: 8, then 5, then 5 and then 4. Write 7 beneath the third that is the fourth of the division.	נשוב לחלק נשיב ז' על הח' ונשים אותה במערכת ד' והנותר ט"ו ומה שתשאיר ח' ואחריו ה' ואחריו ה' ואחריו ד' ותכתוב ז' תחת השלישי שהוא הרביעי לחלוק‫
We divide again: we return the 8 back to the 5 and put 8 beneath the eighth, which is 7 that is the fourth of the division. 5 remain on 5, then 5, then 5 and then 5.	נשוב לחלק נשיב ח' על ה' ונתן ח' תחת השמיני שהוא ז' רביעי לחלוק ישאר ה' על ה' ואחריו ה' ואחריו ה' ואחריו ה‫'‫
We divide again: we return the 5 back to the 5 and put 5 beneath 7 that is the ninth, which is the fourth of the division; the remainder is 10 and what you leave is: 5, then 5, then 6 and then 2.	נשוב לחלק נתן ה' על ה' אחורנית ונתן ה' תחת ז' התשיעי והוא רביעי לחלוק והנשאר י' ומה שתשאיר ה' ואחריו ה' ואחריו ו' ואחריו ב‫'‫
It cannot be divided further, because everything has already been removed with the 5 and because the remainder is 5 thousand 5 hundred and 62 and the divisor is 9 thousand 9 hundred and 99. The received number is 77 thousand 7 hundred and 85.	ועוד לא יתחלק כי כבר יצא לחוץ בה' וכי הנותר הוא ה' אלפים וה' מאות וס"ב והמחולק עליו ט' אלפים וט' מאות וצ"ט והמקובל ע"ז אלף וז' מאות ופ"ה‫
In total of the division of the number occurred: three 7, three 8, three 4, nine 5, one 6 and one 2.	וכלל חלוק החשבון ג' זיינין וג' חיתין וג' דלתין וט' ההין וו' אחת וב' אחת‫
The rule is that in all the divisions there were 4 [digits in the dividends] except the last one, where it decreased to 3 [digits].	והכלל כי עם כל החלוקים ד' חוץ מן האחרון שנתמעט עד ג‫'‫
Second version
	לכן שימהו לאחור לז' ויהיו ע"ז וחלקם על ט' ולא תוכל ליתן לו יותר מז' לצורך שאר המספר וישארו י"ד תניח מהם ז' לחלוק השני וז' תשימהו לאחור על הז' השלישי ויהיו ע"ז וחלקם על ט' השני וישארו י"ד תניח מהם ז' לחלוק שני והז' תשימהו לאחור אל הרביעי יהיו ע"ז וחלקם על הט' השלישי וישארו י"ד תניח מהם ח' לחלוק שני והו' תשימהו לאחור אל הז' החמישי ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד‫'‫
	נמצא שנשארו לחלוק השני ז' ז' ז' ז' ז' ח' ז' ז‫'‫
	החלוק השני תשלח ז' לאחור ויהיו ע"ז וחלקם על הט' הראשון וישארו י"ד תניח מהם ז' לחלוק שלישי והז' שלחהו לח' שלפניו ויהיו ע"ח וחלקם על הט' השני ותן לו ז' כמו כן וישארו ט"ו תניח מהם ח' לחלוק שלישי וז' תשלחהו לאחור אל הד' ויהיו ע"ד וחלקם על הט' השלישי וישארו י"א תניח מהם ה' לחלוק שלישי והו' שלחהו אל הז' ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד‫'‫
	נמצא שנשארו לחלוק שלישי ז' ז' ז' ד' ה' ח' ז‫'
	החלוק השלישי תשיב ז' לאחור ויהיו ע"ח חלקם על ט' הראשון ותוכל לתת לו ז' ולא יותר וישארו ט"ו תניח מהם ח' לחלוק הרביעי והז' שימהו לאחור אל הה' ויהיו ע"ה וחלקם על ט' השני ותן לו ז' כמו כן וישארו י"ב תניח מהם ה' לחלוק רביעי והז' שימהו לאחור אל ד' ויהיו ע"ד וחלקם על ט' שלישי וישארו י"א תניח מהם ה' לחלוק הרביעי והו' שימהו אחורנית אל הז' ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד‫'‫
	ונמצא שנשארו לחלוק רביעי ז' ז' ד' ה' ה' ח‫'
	חלוק הרביעי שים ח' אחורנית על הה' ויהיו פ"ה תוכל לחלקם על הט' הראשון וליתן לו ח' וישארו י"ג תניח מהם ה' לחלוק חמישי והח' שלחהו אחורנית אל הה' ויהיו פ"ה וחלקם על הט' השני וישארו י"ג תניח מהם ה' לחלוק חמישי והח' שלחהו אחורנית אל הד' ויהיו פ"ד וחלקם על הט' השלישי ח' כמו כן וישארו י"ב תניח מהם ה' לחלוק חמישי והז' שלחהו לאחור אל הז' ויהיו ע"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ה‫'‫
	ונמצא הנשאר לחלוק חמישי ז' ה' ה' ה' ה‫'
	חלוק חמישי שים ה' אחורנית ויהיו נ"ה תן מהם ה' על הט' הראשון וישארו י' תניח מהם ה' בלתי מחולקים והה' תשלח אחורנית אל הה' השלישי ויהיו נ"ה ותן על הט' השני ה' כמו כן וישארו י' תניח מהם ה' בלתי מחולקים והה' שלחהו אל ה' הרביעי ויהיו נ"ה ותן על הט' השלישי ה' כמו כן וישארו י' תניח מהם ו' בלתי מחולקים והד' שלחהו אל הז' ויהיו מ"ז וחלקם על הט' הרביעי ה' כמו כן‫
	וישארו בלתי מחולקים ב' ו' ה' ה‫'
Check
We complete by knowing the test for whether you divided correctly.	והנה נשלים לדעת המאזנים אם חלקת נכונה‫
casting out by 9
Know the scale of the number by which you have divided [= the divisor], whether it consists of one or more digits.	דע מאזני המספר שחלקת עליו בין שיהיה אחד או רבים‫
Know also the scale of the quotient that you wrote between the two rows, whether it consists of one or more digits.	גם דע מאזני המספר שעלה בחלוק שכתבת בין שני הטורים בין שיהיה אחד או רבים‫
Multiply them by each other, the middle one by the lower one and know how much remains [after subtracting] the nines; this is the reserved, if you have no remainder that remains, because it is smaller than the divisor.	וכפול זה על זה האמצעי על התחתון ודע כמה נשאר על ט' ט' והוא השמור אם לא נשאר לך מספר שנשאר שהוא פחות מהמספר שחלקת עליו‫
For, if there is a remainder, take its scale and add it to the reserved that you have; the sum is the actual reserved.	כי אם נשאר קח המאזנים שלו וחבר אותו עם השמור שהיה לך והמחובר הוא השמור באמת‫
Look at the scale of the number that you have divided [= the dividend] that was in the top row, if it is equal to the scale of the reserved, you know that your calculation is correct.	וראה מאזני המספר הגדול שחלקת אותו שהיה בטור העליון אם היה שוה למאזני השמור תדע כי חשבונך אמת‫
inverse operation - multiplication:
If you multiply the quotient by the divisor, then add to them the remainder from the division, then the sum is equal to the digits of the top row and the division is correct.	ואם תכפול מה שיעלה בחלוק על המספר שחלקת עליו אחר שתחבר אליהם מה שנשאר לחלק אז יהיה המחובר שוה למספרי הטור העליון וחלוק נכון‫
Additional excerpts‫
The rule of Division	כלל החלוק
If the number you by which you divide [= the divisor] is two digits or more, divide the last of the top row by the last of the bottom row, if the digit of the top row is greater than that of the bottom [row].	אם המספר שתחלק עליו שני מספרים או יותר חלק סוף הטור העליון על סוף הטור השפל אם מספר העליון גדול מהשפל‫
But if the lower one is greater than the upper one, return the last of the upper one back as tens to the preceding rank and add it to what is written there.	ואם השפל גדול מהעליון השב סוף העליון לעשרות אחורנית על המעלה הקודמת לה ותצרפם עם הנכתב בה
If there is a zero in the preceding rank, count the tens.	ואם במעלה הקודמת לה גלגל ספור העשרות
Take from there what you can give the last lower digit. Write down what you can give to all the other bottom digits, as what you give to the last, and write the quotient in the middle between the two rows, far from the rank you divided as the distance from the last bottom digit from the starting digit.	וקח ממנו מה שתוכל לתת למספר השפל האחרון וכתוב מה שתוכל לתת לכל מספרי השפל האחרים מה שתתן לאחרון והיוצא כתבהו באמצע שני הטורים רחוק מן המעלה שחלקת ממנה כמרחק סוף השפל מראשו‫
Proceed like this for all the divisions, doing the same for them as for this division: count from the rank which you divided as the distance of the last bottom digit from its starting digit, and write the quotient there. Then, from the digit that is second to the last bottom digit take the digit that is next to the rank from which you divided, as much times as the number that is written between the rows.	וכן תעשה לכל החלוקים שתשוב עליהם בזה החלוק שתמנה מן המעלה שחלקת ממנה כמספר סוף השפל מראשו ושם תכתוב היוצא בחלוק ומהמספר השני לסוף השפל תקחנו מן הסמוך למעלה שחלקת ממנו כמספר הכתוב באמצע הטורים‫
If it is not enough for you, return what is left of the rank that you first divided back to the preceding rank and add it to what is written in it, then take your number from it. Do this with all.	ואם לא יספיק לך תשיב מה שנשאר מן המעלה שחלקת תחלה אחורנית אל המעלה הקודמת לה ותצרף עם מה שנכתב בה וקח ממנה מספרך וכן תעשה לכלם‫
Example: we wish to divide 83521 by 903. $\scriptstyle83521\div903$	דמיון רצינו לחלק פ"ג אלפים ותקכ"א על תתק"ג
The 9 in the bottom row is greater than 8 that is the end of the top [row], so you return the 8 back to the 3; they are 83. We give 9 of the 83 to the 9; they are 81 and 2 are left on the 3.	הנה הט' שבטור השפל יותר מח' שהוא סוף העליון על כן תשיב הח' אחורנית על הג' יהיו פ"ג ונתן לט' מהפ"ג ט' יהיו פ"א ונשארו ב' על הג‫'‫
The zero cannot take from the top 5.	והגלגל לא יוכל לקחת מן הה' העליון
The bottom 3 cannot take from the top 5, because it is not of the same rank, so return three from 5 back to 2; they are 32. We subtract 27 from them, which are 9 times 3, which is the first of the lower [row]; 5 remain on the 2 and 2 on the 5.	והג' התחתון לא יוכל לקחת מן הה' העליון כי אינו מעלתו לכן השיב מן הה' שלשה על הב' יהיו ל"ב נסיר מהם כ"ז שהם ט' פעמים ג' שהוא ראשון השפל ונשארו ה' על הב' וב' על הה‫'‫
Since the lower 9 is in the third rank and 9 has already resulted in the division, we write it in the second rank, which is the third to the top 3 which you divided.	ובעבור שהט' התחתון הוא במעלה השלישית וכבר יצא בחלוק ט' נכתבנו במעלה השנית שהוא שלישי לג' העליון שחלקת ממנו‫
We divide again and return the 2 that is on the 3 back to the 2 that is on the 5; they are 22. We subtract 9 twice from them, because 9 is the lower [digit]; 4 remain on the 5. We write the 2 in the first rank, which is the third to the top 5, which you divided in this division.	נשוב לחלק ונשיב ב' אשר על הג' אל הב' אשר על הה' יהיו כ"ב נסיר מהם ב' פעמים ט' כי ט' הוא השפל ונשארו ד' על הה' ונכתוב ב' במעלה הראשונה שהיא שלישית לה' העליון שחלקת ממנו בזה החלוק‫
The zero cannot take anything from the 5 that is on the 2.	הנה הגלגל לא יוכל לקחת מאומה מן הה' אשר על הב‫'‫
The lower 3 cannot take from the upper 1, because there is only one in it, so we return one from the 5 that is on the 2 back to the 1; they are 11. We take from them 6 for the lower 3, which are 2 times 3.	והג' השפל לא יוכל לקחת מן הא' העליון ב' כי אין בו רק אחד על כן נשיב אחד מן הה' שעל הב' אל הא' יהיו י"א ונקח מהם לג' התחתון ו' שהם ב' פעמים ג‫'
4 remain on the 5, 4 on the 2 and 5 on the 1, which cannot be divided.	ונשארו ד' על הה' וד' על הב' וה' על א' שלא יתחלקו‫
Another example: we wish to divide 11350 by 110. $\scriptstyle11350\div110$	דמיון אחר רצינו לחלק י"א אלף וש"נ על ק"י‫
We take 1 from the last top 1 and write it in the third rank beneath the top 3; because the last lower 1 is in the third rank, so we remove the result from the last digit from which you started dividing.	לקחנו א' מן הא' האחרון העליון וכתבנוהו במעלה השלישית תחת הג' העליון לפי שא' האחרון השפל הוא במעלה השלישית וככה נרחיק היוצא מסוף המספר שהחלות לחלק ממנו‫
Take also the second bottom 1 from the fourth upper 1.	וכן קח מא' הרביעי העליון א' השני התחתון
Since nothing remains in the fourth rank, we have to divide again from the top 3. We take from it 3 for the last bottom 1.	ובעבור שלא נשאר במעלה הרביעית מאומה ונצטרך לשוב לחלק מהג' העליון נקח מהם ג' לא' האחרון מהשפל
We write 3 in the first rank, which is the third for the upper 3 from which we started now to divide. Hence, we put a zero in the second rank.	ונכתוב ג' במעלה הראשונה שהיא שלישית לג' העליון שהחלנו עתה לחלק ממנו ולכן שמנו גלגל במעלה השנית
This is because in the first division we started from the last [digit] of the upper [row], therefore we write the quotient at a distance of 3 ranks backwards, as much as the number of ranks of the last bottom [digit].	וזה כי בחלוק הראשון החלונו מסוף העליון ולכן כתבנו היוצא בחלוק ברחוק ג' מעלות ממנו אחורנית כמספר מעלות סוף השפל
However, in this second division we started dividing from the top 3, so we write the result 3 ranks backwards and it arrives to the first rank.	אבל בחלוק השני הזה החלונו לחלק מהג' העליון ולכן נכתוב היוצא רחוק ג' מעלות אחורנית והגיע זה אל המעלה הראשונה
For the second 1 in the bottom row, we take from the top 5; 2 are left on the 5 and these are twenty that cannot be divided.	וא' השני בטור השפל נקח מה' העליון ישארו ב' על הה' והם עשרים שלא יתחלקו‫
So, the quotient is 103.	והנה היוצא בחלוק ק"ג
from here proceeds to the check
Chapter Three – Addition	השער השלישי‫
Sums
It is written in the books of the arithmeticians that he who wants to know how much is the sum of the numbers that proceed successively up to a known number, multiplies it by its half plus one half and the result is the sum. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]$	כתוב בספרי חכמי החשבון כי הרוצה לדעת כמה המחובר מן המספרים שיעברו על הסדר עד סוף מספר ידוע יכפול אותו על חציו בתוספת חצי אחד והעולה הוא המחובר‫
Example: we wish to know how much are the numbers that are summed from 1 to 11? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} i$	דמיון רצינו לדעת כמה הם המספרים המחוברים מא' עד סוף י"א‫
We know that the half of 11 is 5 and a half, we add to it one half, it is 6, then we multiply 11 by 6, they are 66 and this is the sum.	הנה ידענו כי חצי י"א ה' וחצי נוסיף חצי אחד הנה יהיו ו' והנה נכפול י"א על ו' יעלו ס"ו והוא המחובר‫
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i=11\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)+\frac{1}{2}\right]=11\sdot\left[\left(5+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\right]=11\sdot6=6}}$
Another example for an even number [of terms]: how much is the sum up to 18? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{18} i$	דמיון אחר בזוגות כמה המחובר עד סוף י"ח‫
We take its half, which is 9, multiply 18 by it and the result is 162, then we have to multiply 18 again by one half, the result is 9, add it to 162, the result is 171 and it is the sum.	והנה לקחנו חציו והוא ט' כפלנו י"ח עליו ועלו קס"ב ועוד יש לכפול חשבון י"ח על חצי אחד יעלו ט' חבר אותו עם קס"ב יעלו קע"א והוא המחובר‫
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{18} i=\left[18\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)=\left(18\sdot9\right)+9=162+9=171}}$
Every number is in accordance with these two ways.	ועל אלו שני הדרכים הולך כל חשבון‫
Another way: add one to the last number, multiply by half the number and the result is the sum. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=\left(n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)$	דרך אחרת הוסף על סוף המספר אחד שלם וכפול על החצי מהמספר והעולה הוא המחובר
Example for an odd number [of terms]: how much is the sum up to 11? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} i$	דמיון בנפרדים כמה המחובר עד סוף י"א
We add 1 and they are 12, half 11 is 5 and a half, we multiply 12 by 5 and a half, the result is 66 and so is the sum. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i=\left(11+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)=12\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)=66}}$	הוספנו אחד והיו י"ב והנה חצי י"א ה' וחצי כפלנו י"ב על ה' וחצי עלו ס"ו וככה המחובר
For an even number [of terms]: to 18. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{18} i$	ובזוגות עד סוף י"ח
Its half is 9, we add one to 18, they are 19, we multiply 19 by 9, the result is 171. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{18} i=\left(18+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)=19\sdot9=171}}$	הנה חציו הוא ט' הוספנו אחד על י"ח היו י"ט כפלנו י"ט על ט' עלו קע"א‫
Abraham the author said:	אמר אברהם המחבר‫
I have found another way: add to the square of the last number the root that is the last number itself, then see how much is the sum and half the sum is the required. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=\frac{1}{2}\sdot\left(n^2+n\right)$	מצאתי דרך אחרת תוסיף על מרובע סוף החשבון השרש שהוא בעצמו וראה כמה המחובר וחצי המחובר הוא המבוקש‫
Example: we know that the square of 11 is 121, then we add to it 11, which is the root and it is the last number, the result is 132 and its half is 66. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i=\frac{1}{2}\sdot\left(11^2+11\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(121+11\right)=\frac{1}{2}\sdot132=66}}$	דמיון ידענו כי מרובע י"א קכ"א ואחר נוסיף על י"א שהוא השרש והוא סוף החשבון יעלו קל"ב וחציו ס"ו‫
From this way you can derive all the questions that are concerning this matter.	ומזה הדרך תוכל להוציא כל השאלות שהם בענין הזה‫
Example: one asks: I sum all the numbers until they reach a known number and the sum is 465. How much is the last number? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=465$	דמיון שאל שואל חברתי מספרים עד שהגיעו למספר ידוע ועלה המחובר תס"ה כמה הוא סוף החשבון‫
Always double the sum, then take the root of the preceding square and check it: if between the square and the double remains the root no more and no less, know that the calculation is correct and the [last] number is itself the root. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=a\longrightarrow n=2a-n^2$	כפול לעולם החשבון המחובר וקח שרש הנכפל שעבר ובחון אותו כי אם נשאר בין המרובע ובין הנכפל כמו השרש בלי תוספת ומגרעת תדע כי החשבון נכון והחשבון בעצמו השרש‫
Hence, we double 465 and the result is 930. It is known that the preceding square is 900 and its root is 30, so it is the last summed number, for between the square and the double there is none but 30, thus it is the last number. $\scriptstyle{\color{blue}{n=\left(2\sdot465\right)-30^2=930-900=30}}$	והנה כפלנו תס"ה ועלה תתק"ל וידוע כי המרובע שעבר היה תת"ק ושרשו ל' והוא סוף המספרים המחוברים והנה אין בין המרובע והנכפל כי אם ל' והוא סוף החשבון‫
Another general way for an even and an odd number [of terms]: double the square of half the [last] number, then add to it the root of this square, which is half the number and the result is the required. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=\left[2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)^2\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)$	דרך אחרת כוללת לזוגות ולנפרדים תכפול מרובע חצי המספר ותוסיף עליו שורש זה המרובע שהוא חצי החשבון והעולה הוא המבוקש
Example: we wish to know how much is the sum up to 12? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i$	דמיון רצינו לדעת כמה המחברים עד י"ב
Half the number is 6, the square is 36, double it, they are 72, add to it 6, which is the root, the result is 78 and it is the required.	והנה חצי המספר ו' והמרובע ל"ו כפלהו יהיו ע"ב הוסיף על זה ו' שהוא השורש עלו ע"ח והוא המבוקש‫
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i&\scriptstyle=\left[2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\\&\scriptstyle=\left(2\sdot6^2\right)+6\\&\scriptstyle=\left(2\sdot36\right)+6=72+6=78\\\end{align}}}$
Another question: we sum the squares up to a known number, how much is the sum? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^2$	שאלה אחרת חברנו כל המרובעים שהם עד סוף החשבון שהוא ידוע כמה המחובר‫
You should know the sum of the numbers preceding the [last] mentioned number including [the last number] and we name it and call it a sum, then we take two thirds of the [last] mentioned number plus one third, multiply it by the sum and the result is the required, which is the sum of the squares up to the mentioned number. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^2=\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]$	יש לך לדעת אותו החשבון שהזכיר כמה יעלה המחובר מהמספרים שלפניו ועמו נשים שם לאותו המספר הידוע ונקראנו סכום והנה נקח שתי שלישיות המספר שהזכיר עם תוספת שלישית אחד ונכפול זה המחובר על סכום המספר והעולה הוא המבוקש והוא המחובר מהמרובעים עד סוף המספר הנזכר‫
Example: we wish to know how much are the squares up to seven? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^2$	דמיון רצינו לדעת כמה המרובעים שהם עד סוף שבעה‫
We already know that the sum is 28, thus we turn to know how much are two thirds of a seven plus one third - they are five, for two thirds of a six are four and we have two thirds more plus one third, so we multiply the sum by 5 and the result is 140 which is the required.	וכבר ידענו שהמחובר כ"ח ונשוב לדעת כמה שתי שלישיות שבעה עם תוספת שלישית אחד והם חמשה כי שתי שלישיות ששה הם ארבעה ויש לנו עוד שתי שלישיות ועם תוספת שלישית אחד והנה נכפול על הסכום ה' ועלו ק"מ והוא המבוקש‫
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^2&\scriptstyle=\left(\sum_{i=1}^{7} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot7\right)+\frac{1}{3}\right]\\&\scriptstyle=28\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot6\right)+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right]\\&\scriptstyle=28\sdot\left(4+1\right)\\&\scriptstyle=28\sdot5=140\\\end{align}}}$
Another example: how much is the sum of the squares up to 12? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i^2$	דמיון אחר כמה המחובר מהמרובעים שהם עד סוף י"ב‫
It is known that its sum is 78 and its two thirds are 8, we multiply it by 78, the result is 624, we add to it a third of the sum, which is 26, the result is 650 and it is the required.	וידוע כי הסכום שלו ע"ח ושתי שלישיותיו ח' נכפלנו על ע"ח יעלו תרכ"ד נחבר אליו שלישית הסכום שהוא כ"ו יעלו תר"נ והוא המבוקש‫
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i^2&\scriptstyle=\left(\sum_{i=1}^{12} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot12\right)+\frac{1}{3}\right]\\&\scriptstyle=78\sdot\left(8+\frac{1}{3}\right)\\&\scriptstyle=\left(78\sdot8\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot78\right)=624+26=650\\\end{align}}}$
From this way you can derive all the questions that are concerning this matter.	ועל זה הדרך תוכל להוציא כל השאלות שהם מזה הענין‫
Additional excerpts
I have found an easy way to sum the cubes:	ואני מצאתי דרך נקלה לחבור המעוקבים‫
If you want to know the [sum of the] cubes up to a known number, know the sum of the numbers up to that last number and take its square - it is the sum of the cubes up to the last number. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^3=\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)^2$	שאם תרצה לידע המעוקבים שהם עד מספר ידוע דע המספר המחובר עד סוף המספר ההוא וקח מרובעו והוא יהיה חבור המעוקבים עד סוף החשבון ההוא‫
Example: we wish to know how much is the sum of the cubes up to 5? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} i^3$	דמיון רצינו לידע כמה מספר המעוקבים המחוברים עד ה‫'
The sum up to 5 is 15, take its square, it is 225 and it is the [sum] of the cubes up to 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} i^3=\left(\sum_{i=1}^{5} i\right)^2=15^2=225}}$	והנה מספר המחובר עד סוף ה' הוא ט"ו קח מרובעו יהיו רכ"ה והוא יהיה מספר המעוקבים עד ה‫'
Another matter: to know the sum of all the doubles. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(a_1\sdot2^{i-1}\right)$	ענין אחר לדעת כמה המחובר מכל הנכפל‫
It is [equal to] double the last minus the first. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} a_1\sdot2^{i-1}=2\sdot\left(a_1\sdot2^{n-1}\right)-a_1$	והוא כפל האחרון במגרעת הראשון
Example: the sum of 3, 6, 12 $\scriptstyle\sum_{i=1}^{3} \left(3\sdot2^{i-1}\right)$	דמיון כי המחובר מן ג' ו' י"ב
They are 24 minus 3, thus 21 is the sum. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{3} \left(3\sdot2^{i-1}\right)=24-3=21}}$	הם כ"ד בחסרון ג' הרי כ"א והוא המחובר
Another example: 1, 2, 4 $\scriptstyle\sum_{i=1}^{3} \left(1\sdot2^{i-1}\right)$	דמיון אחר א' ב' ד‫'
They are 8 minus 1, thus 7 and this is the sum. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{3} \left(1\sdot2^{i-1}\right)=8-1=7}}$	הם ח' במגרע א' הרי ז' והוא המחובר
Likewise, if one says only the last number.	וכן אם לא יגיד כי אם סכום אחרון
Such as, if one asks: how much are the doubles up to 32?	כמו אם ישאל כמה הם הכפולים זה על זה עד ל"ב
Double 32; it is 64, subtract one, which is the first; 63 remain and this is the required.	כפול ל"ב יהיה ס"ד תחסר אחד שהוא ראשון ישאר ס"ג והוא המבוקש
	תמצא חבורו מראשו כמ' שהראיתיך עתה ויהיו כ"ח ושמרהו ועוד תקח מן הז' שני שלישיתיו ושליש והם ה' וכפול ה' בכ"ח ששמרת ויעלו
	אז תדע חבורו מראשו ועד י"ב והם כמ' שידעת ע"ח ושמרהו וחזור ותקח שני שלישי י"ב והם ח' ותכפלם על ע"ח יהיו תרכ"ד ועוד חבר לאלו שליש ע"ח והם
	ודע כי החבור הוא שתחל לחבר האחדים תחלה ואחר כן העשרות וכן בסדר וזה הפך החלוק שהוא יעשה אחורנית
	דרך אחרת קח המחובר מן י"ב והם ע"ח ותקח שני שלישי י"ג והם ח' וב' שלישים והסר מהם שליש אחד וישארו ח' ושליש ותכפלם על ע"ח תדע כי הם יעלו כמו כן תר"נ
If it is said: how much is the sum of the squares up to 8? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{8} i^2$	ואם יאמר כמה המחובר מהמרובעים עד ח‫'
	קח חבורו של ח' והם ל"ו ובקש שני שלישי ט' והם ו' ותכפלם בל"ו ויעלו רי"ו הסר מהם שליש ל"ו והם י"ב וישאר ר"ד והוא המבוקש
Question: how much is the sum from 4 to 9? $\scriptstyle\sum_{i=4}^{9} i$	שאלה כמה הוא המחובר מד' עד ט‫'
	אז תעשה כמ' שלמדתיך למטה לכפול ה' בט' ויעלו מ"ה והסר מהם ב' פעמים ג' והם ו' וישארו ל"ט והוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=4}^{9} k^2$	ואם עוד ישאל כמה היא המחובר מהמרובעים כסדר מד' ועד ט‫'
	אז תעשה כמ' שצויתיך למעלה למצוא מחוברם מראשם והם מ"ה ושמרם וקח שני שלישי ט' והם ו' וכפלם במ"ה ויעלו ר"ע ועוד שליש מ"ה והם ט"ו ויעלו רפ"ה ותסיר מזה מרובע א' ב' ג' והם י"ד וישארו רע"א והוא המבוקש
	ועל הדרך הזה תוכל להוציא כל השאלות מזה הענין‫
There is no need to mention all of this, but I shall only mention the method of the scales.	ואין צורך להזכיר כל זה רק אזכיר דרך המאזנים‫
Written calculations
When you add a number to a number, even if they [consist of] many [digits], put one number in the upper row according to its ranks, put also the other number according to its ranks in the lower row.	כשתחבר מספר אל מספר בין שיהיו רבים אלו ואלו שים המספר האחד בטור העליון כפי מעלותיו גם שים המספר השני כפי מעלותיו בטור השפל‫
Then add each [digit] in its rank and write the sum in a third row.	אחר כן חבר כל אחד אל מעלתו והמחובר כתוב אותו בטור שלישי
Then add the scale of the top row to the scale of the bottom row.	אחר כן חבר מאזני הטור העליון אל מאזני הטור התחתון‫
If the sum of the two is equal to the scale of the third row, know that your calculation is correct.	ואם היה העולה בין שניהם כמאזני הטור השלישי אז תדע כי חשבונך אמת‫
Now I shall explain how to approach the tables of astrology and how to take add seconds to minutes and minutes to degrees and degrees to signs.	ועתה אפרש היאך יכנס בלוחות חכמת המזלות והיאך יצרף שניים לראשונים וראשונים למעלות ומעלות למזלות‫
Addition of Sexagesimal Fractions
Now I shall give you a general method of astrology.	ועתה אתן לך דרך כוללת בחכמת המזלות
The celestial sphere was divided into 12 signs and the sign into 30 degrees.	חלקו הגלגל על י"ב מזלות והמזל על ל' מעלות
The degrees are as units in the number; each degree is divided into sixtieths, which are called minutes.	והמעלות הם כמו אחדים במספר וכל מעלה מתחלקת על ששים יקראו ראשונים
Each minute is also divided into sixtieths, which are called seconds.	גם כל ראשון יתחלק לששים עוד ויקראו שניים‫
There are no more fractions than these in the tables of the planets.	ואין בלוחות המשרתים שברים יותר מאלה
Know that the tables of the planets of the mean motion are according to two ways:	ודע כי לוחות המשרתים במהלך האמצעי על שני דרכים
One according to the solar years, in which the years of the decades are summed twenty by twenty.	האחד על שנות השמש והם שנות הכלל מחוברים עשרים עשרים‫
The second way according to the lunar years, in which the years of the decades are summed thirty by thirty.	והדרך השנית על שנות הלבנה ושנות הכלל מחוברים שלשים שלשים
I will explain this in the book	ובספר טעמי הלוחות אפרש זה‫
When they want to know the position of any planet required at any hour required, they approach the years of the decades that have passed and write down the number of the signs they find written there, and they write this at the beginning of a row.	והנה ברצותם לדעת מקום איזה משרת שיבקשו באיזו שעה שירצו יכנסו בשנות הכלל שעברו ויכתבו מה שימצאו כתוב שם ממספר המזלות ויכתבו זה בתחלת הטור‫
Then, they write the degrees they find, after the first number in the same row and they do a long dividing line between the two numbers.	ואחר יכתבו מה שימצאו במעלות אחרי המספר הראשון באותו הטור בעצמו וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך
Then, they write the minutes they want find after the degrees and the signs and make a separation between the two numbers with a long line in the same row.	אחר כן יכתבו מה שימצאו מן הראשונים אחרי המעלות והמזלות וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך באותו הטור בעצמו‫
Then, they write the seconds after the minutes in the same row and separate between them with a long line.	אחר כן ישימו השניים אחרי הראשונים באותו הטור בעצמו ויפרישו ביניהם בקו ארוך
Then, they approach the single years that have passed and write what they find, the signs under the signs, the degrees under the degrees, the minutes under the minutes and the seconds under the seconds.	ואחר כן יכנסו בשנות הפרט שעברו ויכתבו מה שימצאו במזלות תחת המזלות והמעלות תחת המעלות והראשונים תחת הראשונים והשניים תחת השניים‫
Then, they approach the months that have passed and write everything they find there, each type under its type.	ואחר כן יכנסו כנגד החדשים שעברו ויכתבו כל מה שימצאו שם כל מין תחת מינו
Then, they approach the days of the month that have passed of a month that has not been completed and write everything they find there each type under its type.	ואחר כן יכנסו בימות החדש שעברו אל החדש שלא נשלם ויכתבו כל מה שימצאו כנגדם כל מין תחת מינו
The same is done with the whole hours that have passed after the middle of the day and the same with the parts of an hour that has not been completed.	וככה יעשו בשעות השלמות שעברו אחר חצי היום וככה בחלקי השעה שלא נשלמה
Then, one starts to add up all the sixtieths: takes one minute for every sixty seconds and write how many minutes come out of the seconds with the minutes that precede the seconds, and write the remainder of the seconds that are less than sixty alone in another place.	ואחר כן יחל לחבר כל הששים ויקח לכל ששים שניים חלק ראשון ויכתוב כמה ראשונים יעלו מן השניים עם הראשונים שהם לפני השניים והנשאר מן השניים שהם פחותים מן הששים יכתבם לבדד במקום אחר‫
Then, one adds again all the minutes: takes one degree for every sixty minutes and write the degrees that are summed with the degrees that precede the minutes and the remaining minutes that are less than sixty, write them in the row where you wrote the seconds, only that they are written before the seconds.	ואחר כן ישוב לחבר כל הראשונים ויקח לכל ששים ראשונים מעלה אחת ומה שיתחבר מן המעלות כתוב אותם עם המעלות שהיו לפני הראשונים והראשונים הנשארים שהם פחותים מששים כתוב אותם בטור שכתבת שם השניים רק יהיו נכתבים לפני השניים‫
Then, add again the degrees: take one sign for every thirty degrees and write the [signs] that come out with all the [signs] that you had and what remains of the degrees that are less than thirty, write them alone before the minutes that you wrote before the seconds.	ואחר כן שוב לחבר המעלות וקח לכל שלשים מעלות מזל אחד וכתוב המעלות העולים עם כל המעלות שהיו לך ומה שישארו מן המעלות שהם פחותים משלשים כתוב אותם לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד‫
Then, take out every twelve signs you find, and write the remainder alone before the degrees you wrote before the minutes preceding the seconds.	ואחר כן הוצא כל שנים עשר מזלות שתמצא והנשאר כתוב אותם לפני המעלות שכתבת לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד‫
So, you have the position of the planet on the celestial sphere along with its degrees, minutes and seconds.	אז יהיה לך מקום המשרת בגלגל המזלות עם מעלותיו וחלקיו ושנייו‫
You always start to count the signs from the sign of Aries.	ולעולם תחל לספור המזלות מראש מזל טלה
If the number of signs is twelve, write a zero in the place where the signs must be written to indicate that the planet is still in the sign of Aries, for this is not yet complete, but that it has only moved away from the sign in accordance with the degrees that have been written there and the minutes belong to the following degree.	ואם היה מספר המזלות שנים עשר כתוב אותם במקום הראוי להכתב שם מזלות גלגל להודיע כי המשרת עודנו במזל טלה כי לא נשלם רק עבר מן המזל כפי המעלות שתמצא כתובות ויהיו הראשונים מן המעלה הבאה‫
For, if the degrees are 17, the minutes are those that have passed from the 18th degree. Suppose the whole minutes are 15 and say the seconds are 45, so they are three-quarters of one minute of sixteen minutes.	כי אם היו המעלות י"ז יהיו הראשונים הם שעברו ממעלת י"ח ונחשוב כי הראשונים השלמים היו ט"ו שלמים ונאמר כי השניים היו מ"ה והנה הם שלש רביעיות החלק הראשון של ששה עשר ראשונים‫
Chapter Four – Subtraction	השער הרביעי
Written calculations
Subtracting one number from the another is easy.	לגרוע חשבון אחד מחשבון אחר קל הוא
I shall give you only a general method of subtracting many digits from many digits, using the method of the arithmeticians as well as the method of the astrologers, for they have a different method.	רק אתן לך דרך כוללת לגרוע חשבונים רבים מחשבונים רבים על דרך חכמי החשבון גם על דרך חכמי המזלות כי דרך אחרת יש להם‫
Do as follows:	וככה תעשה
Write the number from which you want to subtract [= the minuend] in the upper row and write the digits you want to subtract [= the subtrahend] in the lower row.	כתוב החשבון שתרצה לגרוע ממנו בטור העליון וכתוב המספרים שתחפוץ לגרעם בטור השפל‫
The last digit in the top row must always be greater than the last digit in the bottom row. Do not consider the other digits.	ולעולם יהיה המספר האחרון בטור העליון גדול מהמספר האחרון שהוא בטור השפל ואל תחוש מן המספרים האחרים
If you find in one of the ranks that the digit in the lower row is greater than the corresponding digit in the upper row, return one alone from the digit that follows, for that is enough for you and consider it as ten, as the way we do in the division.	והנה אם מצאת באחת מן המעלות‫ מספר הטור השפל גדול מהמספר שבטור העליון שהוא כנגדו השב אחורנית מהמספר שאחריו אחד לבדו כי יספיק לך וחשוב אותו עשרה על הדרך שאנו עושין בחלוק‫
Example: The top row is 5432 and the bottom row is 2379. $\scriptstyle5432-2379$	דמיון הטור העליון ב'ג'ד'ה' והטור השפל ט'ז'ג'ב‫'
Each [digit] of the bottom should be subtracted from the top [digits], each one from its rank: 2 from 5 and 3 from 4.	וראוי לגרוע כל אחד מהשפלים מן העליונים כל אחד ממעלתו ב' מה' וג' מד‫'‫
But we cannot subtract 7 from 3, nor 9 from 2.	ולא נוכל לחסר ז' מג' ולא ט' מב‫'
We always start to subtract backwards, as with the way of division, and write the remainder in the third row corresponding to the same rank in the lower row.	ולעולם נחל לחסר אחורנית כדרך החלוק והנשאר נכתבנו בטור השלישי כנגד אותה המעלה שבטור השפל‫
So, we subtract 2 from 5; we are left with 3; we write it beneath the fourth rank.	והנה גרענו ב' מה' נשאר לנו ג' כתבנו אותו תחת מעלה הרביעית‫
We subtract 3 from 4; we are left with one, but we do not write it down, we only put a zero instead, because we have to return one back, for the preceding digit that is in the lower row is greater than the corresponding upper one. So, they are 13. We subtract 7 from it; 6 remain. However, because the first digit in the bottom row is greater than the [first digit] in the top row, we have to return one back and write 5 in the third row. So, there are 12 above; we subtract 9, 3 remain.	חסרנו ג' מד' נשאר לנו אחד ולא כתבנוהו רק שמנו גלגל במקומו כי הוצרכנו להשיב אחד אחורנית כי המספר שבטור השפל לפניו גדול משכנגדו העליון והנה היו י"ג חסרנו ממנו ז' ונשארו ו' רק בעבור כי החשבון הראשון שבטור השפל גדול מן העליון שבטור העליון על כן הוצרכנו להשיב אחורנית אחד ונכתוב ה' בטור השלישי והנה היו למעלה י"ב נחסר ט' ונשארו ג‫'‫
This is the diagram:	וזו היא הצורה‫
When you want to know the scales:	וכאשר תרצה לדעת המאזנים‫
Subtract the scale of the lower row from the scales of the upper row and keep the remainder.	תגרע מאזני הטור השפל ממאזני הטור העליון ותשמור הנשאר‫
See: if the scale of the third row is the same, then you know that your calculation is correct.	ותראה אם היו מאזני הטור השלישי כמוהו דע כי חשבונך אמת‫
If the scale of the bottom row is greater than the scale of the top row, always add 9 to the scale of the top, subtract the scale of the bottom from the sum and proceed according to the instructions.	ואם היו מאזני הטור השפל גדול ממאזני הטור העליון הוסף לעולם על מאזני העליון ט' וגרע מהמחובר מאזני השפל ותעשה כמשפט‫
Example. We subtract 1 from 2; 1 remains. We return it back to the zero; they are 10. We subtract 7; 3 remain.	דמיון החסרנו א' מב' נשאר א' השיבונו אחורנית על הגלגל והיו י' חסרנו ז' נשארו ג‫'‫
The scale of the lower [row] is 8 and the scale of the upper [row] is 2. We add 9 to it; they are 11. We subtract 8; 3 remain and so is the bottom scale.	והנה מאזני השפל ח' ומאזני העליון ב' הוספנו עליו ט' והיו י"א החסרנו ח' נשארו ג' וככה מאזני השפל‫
Now, we shall speak about the method of the astrologers, because they need this chapter more than the arithmeticians.	עתה נדבר על דרך חכמי‫ המזלות כי יותר צורך יש להם לשער הזה מחכמי החשבון‫
We already mentioned that you should set up the signs in the first rank, degrees in the second, the minutes in the third and seconds in the fourth.	וכבר הזכרנו כי כן תכון המזלות במעלה הראשונה והמעלות בשנית והראשונים בשלישית והשניים ברביעית‫
One always starts to subtract backwards: the seconds in the bottom row from the seconds in the top row. The remainder is written in the third row corresponding to the upper seconds.	ולעולם יחלו לגרוע אחורנית השניים בטור השפל מהשניים בטור העליון והנשאר יכתבהו בטור השלישי כנגד השניים העליונים‫
If the lower seconds are more than the upper ones, he takes one from the upper minutes, considers it as 60 seconds, adds to them the seconds that are in the upper row, and then subtracts the lower seconds according to the instructions.	ואם היו השניים השפלים רבים מהעליונים יקח מהראשונים העליונים אחד יחשבהו ס' שניים ויחבר אליהם השניים הנמצאים בטור העליון ואחר כן יגרע השניים השפלים כמשפט‫
If he has taken one from the upper [minutes], he subtracts it from the number of minutes that are there.	ואם לקח אחד מהעליונים יגרענו מהמספרים הראשונים שהיו שם
Then, he subtracts the lower minutes from the upper minutes that are there and writes the remainder corresponding to them in the third row.	ואחר כן יחסר הראשונים השפלים מהראשונים העליונים הנמצאים שם ויכתוב הנשארים כנגדם בטור השלישי
Then, he subtracts the degrees from the degrees and write the [remainder] corresponding to them in the third row.	ואחר כן יחסר מעלות ממעלות והנשארים יכתבם בטור השלישי כנגדם
If the degrees in the lower row are more than the degrees in the upper row, he takes one from the signs, considers it as 30, adds them to the degrees that are written there, then subtracts, but makes sure that he subtracts one from the number of the signs that are written in the first [rank].	ואם היו המעלות בטור השפל רבות ממעלות הטור העליון יקח מהמזלות אחד ויחשבנו ל' ויחברם אל המעלות הכתובות שם ואחר כך יגרע וישמר שיגרע אחד ממספר המזלות הכתובים בראשונה‫
Then, he subtracts the signs from the signs and write the remainder in the third row corresponding to them.	ואחר כך יגרע מזלות ממזלות ויכתוב הנשארים בטור השלישי כנגדם‫
If the lower signs are more than the upper ones, he always adds 12 to the upper ones, then subtracts and proceeds according to the instructions.	ואם היו המזלות השפלים גדולים מהעליונים יוסיף לעולם על העליונים י"ב ואחר כן יגרע ויעשה כמשפט‫
To know the scales:	לדעת המאזנים
One starts with the seconds, subtracts the scale of the lower seconds from the scale of the upper ones, keeps the remainder and see if the scale of seconds in the third row is just as much, then his calculation is correct.	יחל מהשניים ויגרע מאזני השניים השפלים ממאזני השניים העליונים וישמור הנשאר ויראה אם היה כמוהו מאזני השניים בטור השלישי חשבונו אמת‫
If he sees that he has taken one minute from the minutes and added to the seconds, he adds 6 to the scale of the upper seconds and then subtracts according to the instructions.	ואם ראה שלקח ראשון אחד מן הראשונים ושם עם השניים יוסיף על מאזני השניים העליונים ו‫'‫ ואחר כך יגרע כמשפט‫
He does with the scales of the minutes as he has done with the seconds.	ויעשה למאזני הראשונים כאשר עשה לשניים‫
If he had to take a degree and convert it to 60 minutes to add them to those that are written there, add 6 to the scale of the minutes that are there, then subtract and proceed according to the instructions.	ואם הוצרך לקחת מעלה והשיבה לס' ראשונים לחברם עם הכתובים שם הוסף על מאזני הראשונים שהיו שם ו' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט‫
Do with the scales of the degrees the same as with the minutes and seconds.	גם כן תעשה במאזני המעלות כמשפט הראשונים והשניים
If you have taken from the signs one that you have set with the degrees, add 3 to the scale of the degrees that are written, then subtract and proceed according to the instructions.	ואם לקחת מן המזלות אחד ששמת אותו עם המעלות הוסף על מאזני המעלות הכתובים בראשונה ג' ואחר כן תגרע ותעשה כמשפט‫
Do with the scales of signs the same as you did with all of them.	ועשה במאזני המזלות כמשפט שעשית בכל אלה‫
If you added 12 to the original signs, add 3 to the scale of the signs that were first written, then subtract and proceed according to the instructions.	ואם הוספת על המזלות הראשונים י"ב הוסף על מאזני המזלות הכתובים בראשונה ג' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט
I shall tell you a rule, one thing that is necessary when subtracting:	כלל אומר לך דבר שהוא צורך למגרעת‫
The last [digit] at the end of the upper row must always be greater than the last [digit] in the lower row, when the rows are the same, the upper [has] the same [number of ranks] as the lower one.	לעולם האחרון שבסוף הטור העליון יהיה גדול מהאחרון שבטור השפל כשהטורים שוים שהעליון כמו התחתון‫
If the rows are not the same, as the upper one is greater than the lower one in respect of the number of digits, as here [igure is missing], return one back and that is enough.	ואם אין הטורים שוים שהעליון גדול מן התחתון במספר אותיות כזה ישיב האחד אחורנית ודי לו‫
	דרך אחרת לגרוע חשבון מחשבון בהפך שכתוב למעלה שיחל לגרוע מן האחדים‫
	דמיון רצינו לגרוע ט' מב' והנו כזו הצורה
	נקח מג' שלפניו ויחזירנה לאחור ויהיו י"ב נשארו ג' ויכתבם בטור השלישי
	ועתה נרצה לגרוע ז' מג' ולא נוכל כי לא נשאר במקום הג' כי אם ב' נקח מן הד' א' ונחזירהו לאחור על הג' שהוא ב' ויהיו י"ב גרע מהם ז' וישארו ה' ונכתבנו בטור השלישי כנגד הז‫'
	ואחר כן נגרע ג' מד' שהוא ג' שכבר חסרנו ממנו א' ויצא זה כנגד זה לכן נכתוב גלגל בטור השלישי תחת הג‫'
	ואחר כן נגרע מה' וישארו ג' ונכתבנה בטור השלישי תחת הב‫'
Chapter Five - Fractions	השער הה' הוא שער השברים
It is known that the one is as a point in a circle; therefore one cannot be a fraction.	ידוע כי האחד כמו נקודה בתוך עגולה ‫ על כן לא יתכן להיות האחד נשבר
The whole is named with one name, as the shape represents the entire body.	רק בעבור שיקרא הכלל בשם אחד כמו הצורה שהיא כוללת כל הגוף
The body is composed of surfaces.	והגוף מורכב משטחים
Therefore man considers the one in thought as fractions and fraction of fractions .	ובעבור זה יעשה האדם מן האחד שברים במחשבה ושברי שברים
The arithmeticians take all their fractions from a great number so that its fractions are whole units.	וחכמי החשבון יקחו כל שבריהם מחשבון גדול שיהיו שבריו אחדים שלמים
Thus, they take the half from two.	על כן יוציאו החצי משנים
The third from three.	והשליש משלשה
And so on to the end of the first rank of the number.	וככה עד סוף המערכת הראשונה בחשבון
The analogous number from which they derive is called the "denominator".	והדמיון שיקחו ממנו יקראוהו המורה
For the product is divided by its square.	כי על מרובעו יחלקו העולה בחשבון
The remainder that cannot be divided is one part of it or a number of parts that can be named by the name of the units, such as one-quarter, one-third and their similar.	והנשאר שלא יתחלק יהיה חלק ממנו או חלקים שיוכל להזכירו בשם האחדים כמו רביעית שלישית והדומה להם
Sometimes the denominator is a number that has no parts that man can express, because it is a prime number that is not composed, such as 11 or 13, and their like.	ויש פעמים שיהיה המורה חשבון שאין לו חלקים שיוכל האדם לבטא בהם כי הוא חשבון ראשון איננו מורכב כמו י"א או י"ג והדומים להם
I have already mentioned that the first rank consists of 9 numbers.	וכבר הזכרתי כי המערכת הראשונה ט' מספרים
The one, on the one hand, is not a number, and on the other hand, it is a number.	והנה האחד מפאה אחד איננו מספר ומפאה אחרת הוא מספר
It is similar to an odd number:	והוא דומה לנפרד
Because when you sum all the odd numbers together successively the squares are generated.	כי בחברך כל הנפרדים זה על זה על הסדר יולדו המרובעים
As well as many other matters, which there is no need to mention.	ודברים רבים אין צורך להזכירם
So, eight numbers remain in the first rank, half of which are prime numbers, and the other half are composite numbers.	והנה נשארו במערכת הראשונה שמנה מספרים והנה חציים ראשונים וחציים מורכבים
The prime numbers are two, three, five and seven.	הראשונים הם שנים שלשה חמשה ושבעה
The composite numbers are four, six, eight and nine.	והמורכבים ארבעה ששה שמנה ותשעה
When there is a need for two fractions that are not of one kind, which are not similar to each other, one looks for each of the fractions: from which number each of them is derived and multiplies one number by the other; the product is the denominator.	וכאשר יצטרכו לשנים שברים שאינם ממין אחד שלם שלא ידמה זה לזה יבקשו כל אחד מהשברים מאיזה חשבון יצא כל אחד מהם ויכפלו חשבון האחד על האחר והעולה בחבור הוא המורה
If there are 3 types, one multiplies the number from which the [first] fraction is derived by the second number from which the second fraction is derived and multiply the product by the number from which the third fraction is derived.	ואם היה ג' מינים יכפול החשבון שיצאו ממנו השברים על החשבון השני שיצאו ממנו שברי השני והמחובר יכפלהו על המספר שיצאו ממנו שברי השלישי
The same is done if there are 4 types or more: one looks for a common denominator for all.	וככה יעשה אם היו ד' מינים או יותר כי יבקשו מורה אחד לכלם
It is called by this name [moreh, lit. indicator], because it indicates the straight path; if you want, name it by a different name, it does no harm.	ונקרא בשם הזה בעבור כי הוא יורה הדרך הישר ואם תרצה קרא לו שם אחר כי לא יזיק
After I have told you the methods of the denominator, I will tell you how you can calculate two fractions of two denominators, for it is in a shorter way.	ואחר שאומר לך דרכי זה המורה אומר לך איך תוכל להוציא שני שברים משני מורים כי הם יותר דרך קצרה
After I will finish talking about the fractions in the method of the arithmeticians and their argumentations, I will explain you the fractions of the astrologers, for they have a different method.	ואחר שאשלים לדבר על שברי דרך חכמי החשבון ומחלוקותיהם אפרש לך שברי חכמי המזלות כי דרך אחרת להם
I will start giving you examples from the easy ones, then I will mention the difficult ones.	ואחל לתת לך דמיונות מן הקלים ואח"כ אזכיר הכבדים
First, I shall tell you a rule: that the multiplication of fractions is opposite to the multiplication of integers.	ואומר לך כלל בתחלה כי כפלי השברים הפך כפלי השלמים
Because when it is said: multiply one-half by one-half it is as if it is said: take one-half of one-half; the result is one-quarter.	כי האומר כפול חצי על חצי כאלו אומר קח חצי החצי והנה העולה רביעית אחד
We know that the half is derived from two; its half is 1 and the other half is also one; one multiplied by one is one; the square of the denominator is 4, so this one is one-quarter, that is the half of one-half.	ידענו כי החצי יצא משנים והנה חציו אחד וחצי האחר גם הוא אחד והנה אחד על אחד אחד והנה מרובע המורה ד' והנה זה האחד הוא רביעי והוא חצי החצי
We proceed oppositely to our practice with the integers, because we are always looking for the ratio of the product to the square of the denominator.	והנה נעשה להפך מנהגנו בשלמים כי נבקש לעולם מהו ערך הנכפל ממרובע המורה
The multiplication of one-third by one-third is one-ninth.	וכפל שלישית על שלישית יהיה העולה תשיעית
The multiplication of one-quarter by one-quarter is 16 and the numerator is one, which is one-half of one-eighth.	וכפל רביעית על רביעית יהיה העולה י"ו והנכפל אחד והנה הוא חצי שמינית
In this way up to ten and beyond.	ועל זה הדרך עד עשרה וככה למעלה ממנו
Such as one part of 11 multiplied by one part of 11; it is one part of 121, which is the square.	כמו חלק אחד מי"א כפול על חלק אחד מי"א והנה חלק אחד מקכ"א שהוא המרובע
In this way you multiply fractions of one type by fractions of the same type, whether they are the equal or one of them is greater than the other, then you divide the product by the square of the denominator.	ועל זה הדרך תכפול שברי מין האחד על שברי המין בעצמו בין שיהיו שוים או שיהיה אחד מהם גדול מהאחר ואח"כ תחלק על מרובע המורה הנכפל
Example: we wish to multiply 3 quarters by 3 quarters. $\scriptstyle\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}$	דמיון רצינו לכפול ג' רביעיות על ג' רביעיות
common denominator: The denominator is 4.	והנה המורה ד'
We take 3 for each of the 3 quarters, so the product is 9 $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot4\right)\times\left(\frac{3}{4}\sdot4\right)=3\times3=9}}$	לקחנו לכל אחד מג' רביעיות ג' והנה הנכפל ט‫'
We divide it by 16, which is the square of the denominator; it is one-half and half the eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}=9\div4^2=9\div16=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	חלקנו אותם על י"ו שהוא מרובע המורה הנה הוא חציו וחצי שמיניתו
If you want, divide 9 by 4, the result is the same, because one-quarter of the quarter is half the eighth.	ואם תרצה חלק ט' על ד' והדבר יצא שוה כי רביעית הרביעית חצי השמינית
Example: we want to multiply 3 fifths by 4 fifths. $\scriptstyle\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}$	דמיון בקשנו לכפול ג' חמישיות על ד' חמישיות
common denominator: The denominator is 5.	והנה המורה ה‫'
We take 3 for the 3 fifths and 4 for the 4 fifths, we multiply 4 by 3, the result is 12 and this is the product $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{5}\sdot5\right)\times\left(\frac{4}{5}\sdot5\right)=3\times4=12}}$	לקחנו בעבור הג' חמישיות ג' ובעבור הד' חמישיות ד' כפלנו ד' על ג' עלו י"ב והוא הנכפל
This is 2 fifths of the square and two-fifths of one-fifth.	והנה ב' חמישיות המרובע וב' חמישיות חמישית
If one says fractions of two kinds:	ואם אמר שברים מב' מינים
One says: multiply 2 thirds by 3 quarters. $\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}$	שיאמר כפול לי ב' שלישיות אחד על ג' רביעיותיו
common denominator: We are looking for a denominator for both: we multiply 3 by 4 and this is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{3\times4}}$	נבקש המורה לשניהם ונכפול ג' על ד' והוא המורה
We take 8 for the 2 thirds and 9 for the 3 quarters, we multiply 8 by 9, the result is 72 and this is a half of 144, which is the square of the denominator.	והנה נקח בעבור ב' השלישיות ח' וג' רביעיות ט' נכפול ח' על ט' יעלו ע"ב והוא חצי קמ"ד שהוא מרובע המורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{2}{3}\sdot\left(3\times4\right)\right]\times\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3\times4\right)\right]=8\times9=72=\frac{1}{2}\sdot144=\frac{1}{2}\sdot\left(3\times4\right)^2}}$
The result of multiplication is one half $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{2}}}$	ועלה בחשבון מחצית אחד שוה
If you multiply 2 by 3, it is also half the denominator, which is 12.	ואם תכפול ב' על ג' יהיה כמו כן מחצית המורה שהוא י"ב
If you do it with 2 denominators it is easier and there is no need for the square of the denominator, you only look at the product that resulted by multiplying one denominator by the other, consider it as the square, and divide by it.	ואם עשית זה מב' מורים יהיה הדבר יותר קל ואין צורך למרובע המורה רק הסתכל לעולם אל הנכפל העולה מכפל המורה האחד על האחר וחשבהו כמו המרובע ועליו תחלק
Example. We have taken the one denominator 3, because it was said thirds, and the other denominator 4, because it was said quarters. We multiply the one denominator, which is 3, by the other denominator, which is 4, the result is 12 and it is the required, because we take the ratio of the product to it. We take two for the 2 thirds, because we have taken it from the 3, and three for the 3 quarter, because we have taken it from the 4. We multiply 2 by 3, the result is 6, which is half the product of the denominators.	דמיון לקחנו המורה האחד ג' בעבור כי אמר שלישיות והמורה האחר ד' בעבור כי אמר רביעיות נכפול המורה האחד שהוא ג' על המורה האחר שהוא ד' ועלו י"ב והוא המבוקש כי העולה נקח ערכו אליו ונקח בעבור הב' שלישיות שנים כי מג' לקחנוהו ומג' רביעיות שלשה כי מד' לקחנוהו ונכפול ב' על ג' עלו ו' והוא חצי מספר הנכפל מהמורים
Question: how much are 4 sevenths multiplied by 7 ninths? $\scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{7}{9}$	שאלה כמה ד' שביעיות כפולים על ז' תשיעיות
common denominator: We seek for a common denominator: it is 63 by the multiplication of 7 by 9 $\scriptstyle{\color{blue}{7\times9=63}}$	נבקש מורה אחד לשניהם והנו ס"ג בכפל ז' על ט‫'
Its 4 sevenths are 36, for the seventh is 9 and its 7 ninths are 49, since the ninth is 7, we multiply 36 by 49, the result is 1764.	וד' שביעיותיו הם ל"ו כי השביעית ט' וז' תשיעיות מ"ט כי התשיעית ז' ונכפול ל"ו על מ"ט עלו אלף ותשס"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{7}\sdot63\right)\times\left(\frac{7}{9}\sdot63\right)=\left(4\sdot9\right)\times\left(7\sdot7\right)=36\times49=1764}}$
The square of the denominator is 3969 $\scriptstyle{\color{blue}{63^2=3969}}$	ומרובע המורה ג' אלפים וט' מאות וס"ט
When we divide our first number by 63, the result is 28, which are 4 by7, and they are 4 ninths of 63, or if you want to say that they are 3 sevenths and one-ninth of a seventh.	וכאשר חלקנו חשבוננו הראשון על ס"ג עלו כ"ח שהם ד' על ז' והם מן ס"ג ד' תשיעיות שלמות או אם תרצה לומר שהם ג' שביעיות ותשיעית שביעית
If we calculate with 2 denominators, the product is 63 and our result from the multiplication is 28, so it is the same thing.	ואם לקחנו בב' מורים יהיה הנכפל ס"ג והעולה בידנו בכפל כ"ח והנה הדבר שוה
If there are fractions of three types:	ואם היו שברים מג' מינים
Such as 2 thirds and 5 sixths and 4 sevenths. $\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}$	כמו ב' שלישיות וה' ששיות וד' שביעיות
common denominator: Take one denominator for them: it is by multiplying 3 by 6; the result is 18. We multiply 18 by 7; the result is 126 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{3\times6\times7=18\times7=126}}$	קח להם מורה אחד והוא שנכפול ג' על ו' עלו י"ח עוד נכפול י"ח על ז' עלה קכ"ו והוא המורה
2 thirds of 126 are 84. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot126=84}}$	הנה ב' שלישיות קכ"ו פ"ד
5 sixths are 105. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot126=105}}$	וה' ששיות ק"ה
4 sevenths are 72. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}\sdot126=72}}$	וד' שביעיות ע"ב
We multiply 84 by 105 and the product by 72. The result of their division is a part of the square of 126; the quotient is 40. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}=\frac{84\times105\times72}{126^2}=40}}$	כפלנו פ"ד על ק"ה והמחובר על ע"ב והעולה מהם בחלוק הוא חלק ממרובע קכ"ו והחלוק יהיה מ‫'
If we take 3 denominators for them, since they are three types, you do not need the square of the denominator, but take the denominator and divide the product of the numbers by it.	ואם נקח להם ג' מורים מפני היותם ג' מינים לא תצטרך למרובע המורה אבל תקח המורה עליו תחלק הנכפל מהמספרים
Example: We multiply 2 by 5, the product is 10. We multiply 10 by 4; the result is 40 and it is a part of 126, which are 2 sevenths and 2 ninths of the seventh.	דמיון כפלנו ב' על ה' עלו י' כפלנו י' על ד' עלו מ' והוא חלק מקכ"ו שהם ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית
Or you proceed like this: Multiply 3 by 6; it is 18 and this is the denominator. Multiply 2 by 5; they are 10. We take 4 sevenths from 10; they are 2 sevenths and 2 ninths of the seventh.	או תעשה כן כפול ג' על ו' והוא י"ח והוא המורה וכפול ב' על ה' יהיו י' נקח ד' שביעיות מי' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית
Or multiply 6 by 7; they are 42 and this is the denominator. Multiply 5 by 4; they are 20. We take 2 thirds from 20; they are 2 sevenths and 2 ninths of the seventh.	או כפול ו' על ז' והיו מ"ב והוא המורה וכפול ה' על ד' יהיו כ' נקח ב' שלישיות מכ' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית
Or multiply 3 by 7; they 21 and this is the denominator. Then we multiply 2 by 4; the result is 8. We take 5 sixths and the result is a part of 21.	או כפול ג' על ז' עלו כ"א והוא המורה ואח"כ כפלנו ב' על ד' עלו ח' לקחנו ה' ששיות והעולה הוא חלק מכ"א
If we have integers together with a number that contains no integer but only fractions:	ואם היה לנו שלמים עם מספר שאין שם שלמים כי אם שברים
We take the fractions from the denominator and give the whole denominator for each integer according to the number of the whole denominator and finally divide by the denominator.	נקח השברים מהמורה ולכל שלם נתן לו מורה שלם כמספר המורה השלם ונחלק באחרונה על המורה
Example: we wish to multiply 4 integers by 3 fifths. $\scriptstyle4\times\frac{3}{5}$	דמיון רצינו לכפול ד' שלמים על ג' חמישיות אחד
common denominator: The denominator is 5.	והמורה ה‫'
Since we have 4 integers, we take 20 for them. We multiply 4 by 3 and divide by 5; the result is 2 integers and 2 fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{4\times\frac{3}{5}=\frac{4\times3}{5}=2+\frac{2}{5}}}$	ובעבור שיש לנו ד' שלמים נקח להם כ' ונכפול ד' על ג' ונחלק בה' יעלו ב' שלמים וב' חמישיות
If we want to multiply integers and fractions by integers and fractions that are of the same kind.	ואם רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שהם ממין אחד
We first multiply the integers by the integers, then the fractions by the integers of the one number, likewise the integers of the other number by the fractions of the one number and then the fractions by the fractions.	נכפול בתחלה השלמים על השלמים ואח"כ הנשברים על השלמים של חשבון האחד גם השלמים של חשבון האחר על הנשברים של החשבון האחד ואח"כ הנשברים על הנשברים
Or we convert all into fractions and multiply these by those and divide the product by the square of the denominator.	או נשיב הכל נשברים ונכפול אלה על אלה והעולה נחלקנו על מרובע המורה
Example: we wish to multiply 4 integers and 2 fifths by 5 integers and 3 fifths. $\scriptstyle\left(4+\frac{2}{5}\right)\times\left(5+\frac{3}{5}\right)$	דמיון רצינו לכפול ד' שלמים וב' חמישיות על ה' שלמים וג' חמישיות
As follows:	כזה
First, we multiply the integers by the integers; the result is 20.	נכפול תחלה השלמים על השלמים עלו כ‫'
Then we multiply 4 by 3; they are 12 fifths $\scriptstyle{\color{blue}{4\times\frac{3}{5}=\frac{4\times3}{5}=\frac{12}{5}}}$	אח"כ נכפול ד' על ג' יהיו י"ב חמישיות שברים
Also 2 by 5; they are 10 fractions of the same kind. $\scriptstyle{\color{blue}{5\times\frac{2}{5}=\frac{5\times2}{5}=\frac{10}{5}}}$	גם ב' על ה' יהיו י' שברים במיניהם
So, 22 fractions. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{12}{5}+\frac{10}{5}}}{\color{blue}{=\frac{22}{5}}}$	והנה כ"ב שברים
Then, we multiply the fractions by fractions: 2 by 3; the result is 6 and they are fractions of fractions, in the third rank. We divide the integers by 5, which is the denominator; the result is one fraction and one remains in the third stage, which is a fraction of a fraction. We add the fraction we received to the 22 we had; it is 23. We divide it by 5; the result is 4 integers, and 3 remain. So, the integers are 24 and the fractions are 3, which are 3 fifths that are 15 of 25, which is the square and the fraction of the fraction, which is one-fifth of a fifth and these are 16 of 25.	ואח"כ נכפול השברים על השברים ב' על ג' יעלו ו' והם שברי שברים במעלה השלישית השלמים נחלקם על ה' שהוא המורה עלה שבר אחד ונשאר לנו במעלה השלישית אחד שהוא שבר השבר והשבר שעלה בידנו נחברנו אל כ"ב שהיה לנו הנה כ"ג נחלקם על ה' עלו ד' שלמים ונשארו ג' והנה השלמים כ"ד והשברים ג' שהם ג' חמישיות שהם ט"ו מכ"ה שהוא המרובע ושבר השבר שהוא חומש החומש שהוא והם י"ו מכ"ה
The other method is:	והדרך האחרת
We take 20 for the 4 integers, add to them 2, which are the fractions; the result is 22 fifths, and this is the one number.	לקחנו לד' השלמים כ' הוספנו עליו ב' שהם השברים עלו כ"ב חומשין והוא החשבון האחד
The second in this way also is 28.	גם השני על הדרך הזאת כ"ח
We multiply one by the other and divide the product by the square, which is 25; the result is 24 and remain 16, which cannot be divided.	נכפול זה על זה ונחלק העולה על המרובע שהוא כ"ה יעלו כ"ד וישארו י"ו שלא יתחלקו
Another example: we wish to multiply 3 integers and 4 fifths by 2 integers and 3 fifths. $\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\left(2+\frac{3}{5}\right)$	דמיון אחר רצינו לכפול ג' שלמים וד' חומשין על ב' שלמים וג' חומשין
as follows:	כזה
First, we multiply integers by integers; they are 6.	נכפול תחלה שלמים על שלמים והם ו‫'
Then we multiply integers by the opposite fractions:	ואח"כ נכפול שלמים על שברים האלכסונין
3 by 3 are 9	ג' על ג' והם ט‫'
2 by 4 are 8	וב' על ד' והם ח‫'
The total is 17 fractions of the upper rank.	ובין הכל י"ז שברים ממעלה העליונה
We multiply fractions by fractions, 4 by 3; they are 12 fractions of fractions of the second rank.	ונכפול שברים על שברים ד' על ג' והם י"ב שברי שברים מהמעלה השנית
We divide them by 5; we get 2 fractions, and 2 fractions of fractions remain that cannot be divided. We add the quotient to the fractions, which are 17; they are 19. We divide by 5; the result is 3 integers. We add them to the integers that are 6; they are 9 and 4 remain, which are 20 fractions of fractions, and with the two we had, they are 22.	נחלקם על ה' עלו בידנו ב' שברים והנשאר ב' שברי שברים שלא עלה בחלוק נחבר מה שעלה בחלוק עם השברים שהוא י"ז והם י"ט נחלק על ה' עלו ג' שלמים נחברם אל השלמים שהיו ו' והם ט' נשארו ד' שהם כ' שברי שברים ועם שנים שהיו לנו הם כ"ב
So, the total is 9 integers and 22 fractions of 25.	והנה סך הכל ט' שלמים וכ"ב שברים מכ"ה השלם
Example. We want to multiply integers and fractions by integers and fractions where the fractions are not of the same kind.	דמיון רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שאין השברים ממין אחד
According to this way: the one is 3 integers and 4 fifths and the other is 6 integers and 7 eighths. $\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\left(6+\frac{7}{8}\right)$	הנה על הדרך הזה האחד ג' שלמים וד' חמישיות והשני ו' שלמים וז' שמיניות
as follows:	כזה
Multiply the units by the units that are in the first number.	כפול האחדים על האחדים שהם במספר הראשון
Multiply also the fractions by the fractions according to the rule, because the product of the fractions by the fractions is parts of the denominator.	גם כפול השברים על השברים כמשפט כי כפל השברים על השברים הם חלקי המורה
But, when multiplying the integers by the fractions, we have to remember that their parts are not the same.	רק יש לנו לשמור כשנכפול השלמים על השברים כי אין מחלקותם שוה
We multiply integers by integers, 3by 6; the result is 18.	והנה נכפול שלמים על שלמים ג' על ו' עלו י"ח
We also multiply these 3 by the fractions of the number that are 7; the result is 21. We divide it by 8, because there are eighths; the result is 2 integers. So, 20 integers, and 5 eighths remain. We know that the denominator is 40, because you multiply 5 by 8, and these 5 eighths are 25 parts, for you multiply 5 by fifths, which are 5.	ונכפול עוד אלו ג' על שברי החשבון שהם ז' יעלו כ"א נחלקם על ח' כי שמיניות הם יעלו ב' שלמים והנה ב' שלמים ונשארו ה' שמיניות ידענו כי המורה הוא מ' כי תכפול ה' על ח' ואלה הה' שמיניות כ"ה חלקים כי תכפול ה' על חמישיות שהם ה‫'
We multiply again the 6 by 4 fifths; the result is 24. We divide it by 5; the result is 4 integers. So, the integers are 24, and 4 fifths remain that are 32 parts. When you multiply 4 by 8, we add to them the 25 parts that we had, the result is 57 parts. We make one integer of forty; they are 25 integers and 17 remain. Then, we multiply 4 by 7; the result is 28 parts. We add 17 to them; they are 45. We give a integer from the 40; the integers are 26 and the remainder is 5 parts that are one-eighth.	ונשוב לכפול הו' על ד' חמישיות יעלו כ"ד נחלקם על ה' יעלו ד' שלמים והנה יהיו השלמים כ"ד וישארו ד' חמישיות והם ל"ב חלקים כשתכפול ד' על ח' נחבר אליהם הכ"ה חלקים שהיו לנו יעלו נ"ז חלקים נעשה מהם אחד שלם מארבעים ויהיו כ"ה שלמים ונשארו י"ז אח"כ נכפול ד' על ז' יעלו כ"ח חלקים נחבר אליהם י"ז יהיו מ"ה והנה נתן אחד שלם ממ' ויהיו השלמים כ"ו והנשאר ה' חלקים שהם שמינית אחד
The method of the arithmeticians is that they look for one common denominator for fractions that are not of one kind and the number of the denominator is one integer.	ודרך חכמי החשבון שיבקשו לשברים שאינם ממין אחד מורה אחד כולל שניהם ומספר המורה הוא אחד שלם
Since the fractions are fifths and eighths, the denominator is forty. We take 120 for the number 3 and 32 for the 4 fifths, so the number is 152. Here is the diagram of the digits. We take 240 for the 6 integers, add to them 35; which are 7 eighths, so the second number is 275. We multiply one by the other; the result is 41 thousand and 8 hundreds; this is the figure.	ובעבור כי השברים הם חמישיות ושמיניות יהיה המורה ארבעים והנה נקח לחשבון שהוא ג' ק"כ ולד' חמישיות ל"ב הנה המספר קנ"ב וזה צורת האותיות ונקח לו' השלמים ר"מ ונחבר אליהם ל"ה שהם ז' שמיניות יהיה המספר השני רע"ה והנה נכפול זה על זה והנה עלה מ"א אלף וח' מאות וז' הצורה
We divide it by one thousand and six hundred, which is the square of the denominator; the result is 26 integers and 200 remain that cannot be divided.	חלקנום על אלף ושש מאות שהוא מרובע המורה עלו כ"ו שלמים נשארו ר' שלא עלו בחשבון
Seek how much is 200 of the square, which is one thousand and six hundred; it is its eighth.	ובקש מהו ר' מן המרובע שהוא אלף ושש מאות והנה הוא שמיניתו
We can know the remainder in another way:	ונוכל לדעת זה הנשאר בדרך אחרת
We always divide the remainder of the square by the denominator itself, so the quotient is parts of it.	שנחלק לעולם הנשאר מהמרובע על המורה בעצמו והעולה הם חלקים ממנו
So, we divide 200 by 40; the result is 5, which is its eighth.	והנה נחלק ר' על מ' עלו ה' שהוא שמיניתו
Another method with 2 denominators:	דרך אחרת מב' מורים
We set the one number, which is 3, as 15; add 4 to it; so, the first number is 19. We take 48 for the six; add 7 to it; the result is 55 and this is the second number. We multiply one by the other; the result is one thousand and 45. We divide it by the product, which is 5 by 8 that is 40; the result is 26 integers and 5 remain, which are one-eighth.	הנה נשים החשבון האחד שהוא ג' ט"ו ונחבר אליהם ד' יהיה החשבון הראשון י"ט נקח לששה מ"ח נחבר אליהם ז' יעלו נ"ה והוא החשבון השני נכפול זה על זה יעלו אלף ומ"ה נחלק אותו על הנכפל שהוא כפל ה' על ח' והוא מ' ויעלו כ"ו שלמים נשארו ה' שהוא שמינית
Now, we should speak of integers and fractions that man cannot express.	ועתה יש לנו לדבר על שלמים ונשברים שלא יוכל האדם לבטא בהם
If one of the fractions is one that can be expressed and the other is one that cannot be expressed, then proceed as follows:	והנה אם היה אחד מהשברים שיוכל לבטא בהם והאחרים שלא יוכל לבטא בהם יעשה ככה
Example. How much is three-sevenths by 5 parts of 11? For if is the integer that man cannot express.	דמיון כמה שלש שביעיות אחד על ה' חלקים מי"א כי הוא השלם ולא יוכל אדם לבטא בו
We multiply the fractions by the fractions; the denominator is 77.	והנה נכפול השברים על השברים והנה יהיה המורה ע"ז
We now have to beware that the fractions are reversed, because each of the 7 become 11 and each of the 11 become 7.	והנה יש לנו להשמר כי השברים יהיו להפך כי כל אחד מהז' יהיו י"א וכל אחד מהי"א יהיו ז‫'
We take 33 for the 3 sevenths, and we take 35 for the 5 parts of 11. We multiply these by the others; the result is one thousand and 155. We divide them by 77, so that we know how much are the fractions resulting from this product in ratio to 77, which are the integer that is 15; that is a little less than one-fifth out of 77.	והנה נקח בעבור ג' שביעיות ל"ג ובעבור ה' חלקים מי"א נקח ל"ה והנה נכפול אלה על אלה עלו אלף קנ"ה נחלקם על ע"ז עד שנדע כמה הם השברים העולים מזה הכפל אל ערך ע"ז שהוא השלם והם ט"ו והנה מן ע"ז פחות מעט מחמישית אחד
In a very precise way: we divide these 15 by 11, which is the seventh; the result is one-seventh and 4 parts of 11.	ועל דרך דקדוק יפה נחלק אלה ט"ו על י"א שהוא השביעית יעלה שביעית אחד שלם וד' חלקים מי"א
If we divide by 7, the result is 2 parts of 11 and one-seventh of the part.	ואם נחלק על ז' יעלו ב' חלקים מי"א ושביעית חלק
Another example for 2 fractions that the man cannot express.	דמיון אחר לב' שברים שלא יוכל האדם לבטא בהם
We take the one number 13 and the other 19	נשים החשבון האחד י"ג והשני י"ט
We want to multiply 9 parts of 13 by 17 parts of 19.	והנה בקשנו לכפול ט' חלקים מי"ג על י"ז חלקים מי"ט
common denominator: First, we look for the denominator by multiplying 13 by 19; the result is the number 247 and it is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{13\times19=247}}$	נבקש בתחלה המורה בזה הדרך שנכפול י"ג על י"ט ועלה המספר רמ"ז והוא המורה
Then, we multiply 9 by 19; the product is 171. $\scriptstyle{\color{blue}{9\times19=171}}$	אח"כ כפלנו ט' בי"ט ועלה קע"א
We multiply 17 by 13; the product is 221. $\scriptstyle{\color{blue}{17\times13=221}}$	וכפלנו י"ז בי"ג ועלה רכ"א
We multiply one by another; the product is 37 thousand and 791. $\scriptstyle{\color{blue}{171\times221=37791}}$	והנה כפלנו זה על זה והיה העולה ל"ז אלפים ותשצ"א
We divide it by 247; it is 153. The product of 9 by 17 is also 153; the ratio of it to 247 is as the ratio of the first number to the square of 247 and this is the required.	חלקנום על רמ"ז והיה קנ"ג והנה העולה מכפלנו ט' בי"ז הוא ג"כ קנ"ג וערך זה אל רמ"ז כערך המספר הראשון אל המרובע רמ"ז והוא המבוקש
If you want to make it more precise, divide 153 by 19; they are 8 parts of 13 and one part of 19 of 13.	ואם תרצה לדקדקנו חלק קנ"ג על י"ט ויהיו ח' חלקי' מי"ג וחלק אחד מי"ט בי"ג
Or if you want, divide it by 13; they are 11 parts of 19 and 10 part of 13 of 19.	או אם תרצה חלקהו על י"ג ויהיו י"א חלקי' מי"ט וי' חלקים מי"ג בי"ט
If you have integers and fractions that are like this, proceed in the way that I have shown you when you have integers and fractions that you can express.	ואם היו לך שלמים עם שברים שהם בדרך זה עשה כדרך שהראיתיך כשיהיו לך שלמים עם שברים שתוכל לבטא בהם
I mentioned this method because it is very necessary for most problems and for the matters of the square numbers to know their roots, when they are fractions that man cannot express, as I will explain in chapter seven.	והזכרתי זה הדרך כי צורך גדול יש אליו ברובי השאלות ובדברי המרובעים לדעת שרשיהם כשהם נשברים ולא יוכל האדם לבטא בהם כמו שאפרש בשער השביעי
I shall tell you a general method for a fraction of fractions of fractions and give you one example that is enough for you, because it is not needed for proportions, neither for roots, nor for problems.	ואומר לך דרך כוללת לשבר שברי הנשברים ואתן דמיון אחד ויספיק לך כי אין צורך לדבר הזה בערכים ולא בשרשים ולא בשאלות
Example. We multiply 2 thirds of one-quarter of one-fifth by [4] sevenths of one-eighth. $\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\times\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)$	דמיון כפלנו ב' שלישיות רביעית חמישית על שש (ד') שביעיות שמינית
The fractions are numerous; but I shall teach you a short method how to proceed:	והנה השברים רבים אך אלמד לך דרך קצרה איך תעשה
Know that since you have sixths and an eighth, there is no need for a third and a quarter. So, we are looking for a number that has a fifth, a sixth, a seventh and an eighth.	דע כי מאחר שיש לך ששיות ושמינית אין צורך לשלישית ורביעית והנה נבקש חשבון שיש לו חמישית וששית ושביעית ושמינית
We multiply 5 by 6; they are 30; also 30 by 7; they are 210; also 210 by 8; the result is one thousand 6 hundred and 80.	נכפול ה' על ו' יעלו ל' גם ל' על ז' יהיו ר"י גם ר"י על ח' יעלו אלף ו' מאות ופ‫'
We look for the first number. One-fifth of the denominator is 336; its quarter is 84; its 2 thirds are 56 and this is the one number.	והנה נבקש המספר הראשון והנה חמישית המורה של"ו ורביעיתו פ"ד וב' שלישיותיו נ"ו וזהו החשבון האחד
We already know that the eighth is 210; its seventh is 30; since they are 4 sevenths the second number is 120.	וכבר ידענו כי השמינית ר"י ושביעיתו ל' ובעבור שהם ד' שביעיות יהיה המספר השני ק"כ
We multiply one by the other; the number is 10 thousand and 80. We divide this by one thousand 6 hundred and 80; the result is 6 and these 6 are one-fifth of one-eighth of one-seventh, for the seventh is 240, the eighth is 30 and the fifth is 6.	נכפול זה על זה יהיה המספר י' (ו') אלפים ופ' (תש"כ) חלקנו זה על אלף ו' מאות ופ' עלו ו' (ד') ואלה הו' (ד') הם חמישית שמינית (חצי ששית) השביעית שהשביעית ר"מ והשמינית ל' והחמישית ו‫'
Now we talk again about the division of the fractions. Do as I have shown you, by turning the fractions into whole units.	ועתה נשוב לדבר על חלוק השברים עשה כדרך שהראיתיך שתשיב הנשברים אחדים שלמי‫'
If there are integers with the fractions, proceed according to the instructions.	ואם היו שלמים עם השברי' עשה כמשפט
Example: We wish to divide 3 integers and two-fifths by 2 integers and 4 sevenths. $\scriptstyle\left(3+\frac{2}{5}\right)\div\left(2+\frac{4}{7}\right)$	דמיון בקשנו לחלק ג' שלמים ושתי חמישיות על ב' שלמי' וד' שביעיות אחד
common denominator: The denominator is 35.	והנה המורה ל"ה
The 3 integers are 105 and the 2 fifths are 14; so, the number is 119. We turn the 2 integers into 70 and the 4 sevenths into 20; they are 90. We divide 119 by it; the quotient is one integer and 29 remain, which are two-ninths and one-tenth.	והג' שלמים ק"ה וב' חמישיות י"ד והנה החשבון קי"ט ונשיב הב' השלמים האחדים ע' והד' שביעיות כ' הנה צ' חלקנו קי"ט עליו עלה אחד שלם ונשארו כ"ט שהם שתי תשיעיות ועשירית אחד
Example of fractions alone: divide 7 ninths by 2 sevenths. $\scriptstyle\frac{7}{9}\div\frac{2}{7}$	דמיון לנשברים לבדם חלק ז' תשיעיות על ב' שביעיות
common denominator: The denominator is 63.	והנה המורה ס"ג
Its seven-ninths are 49. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}\sdot63=49}}$	ושבע תשיעיותיו מ"ט
Its 2 sevenths are 18. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}\sdot63=18}}$	וב' שביעיותיו י"ח
We divide one by the other; the result is 2 and 6 ninths and one-half of one-ninth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}\div\frac{2}{7}=\frac{49}{18}=2+\frac{6}{9}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$	חלקנו זה על זה עלו ב' וו' תשיעיות וחצי תשיעית
You proceed in this way, because there is no great need to divide fractions.	ועל זה הדרך תעשה כי אין צורך גדול לחלק הנשברים
We talk again about their addition.	ונשוב לדבר על חבורם
We add 2 fifths to 5 sevenths. How much is the sum? $\scriptstyle\frac{2}{5}+\frac{5}{7}$	חברנו ב' חמישיות אחד על ה' שביעיות אחד כמה העולה
common denominator: The denominator is 35.	הנה המורה ל"ה
Its 2 fifths are 14. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot35=14}}$	וב' חמישיותיו י"ד
Its 5 sevenths are 25. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\sdot35=25}}$	וה' שביעיותיו כ"ה
We sum them; the sum is 39. $\scriptstyle{\color{blue}{14+25=39}}$	נחברם והנה ל"ט
We take one integer for the 35; 4 remain, which are 4 fifths of one-seventh that are one of 35. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}+\frac{5}{7}=\frac{39}{35}=1+\frac{4}{35}=1+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	נקח בעבור ל"ה אחד שלם ונשארו ד' שהם ד' חמישיות מהשביעית שהם אחד מל"ה
How Much Problem - Money
Question: we add to an amount its ninth and its tenth and they are 50. $\scriptstyle X+\frac{1}{9}X+\frac{1}{10}X=50$	שאלה חברנו אל ממון תשיעיתו ועשירתו והיו נ'
common denominator: We set the denominator as 90.	נשים המורה צ‫'
It is known that its ninth and its tenth are 19, we add them to 90; they are 109. $\scriptstyle{\color{blue}{90+\left(\frac{1}{9}\sdot90\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot90\right)=90+19=109}}$	וידוע כי תשיעיתו ועשיריתו י"ט נוסיפם על צ' יהיו ק"ט
We also convert the 50 into ninths; they are 4 hundred and 50. We convert the 4 hundred and 50 into tenths; they are 4 thousand and 500. $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot9\sdot10=450\sdot10=4500}}$	והנה גם נשיב הנ' מערך התשיעית יהיו ד' מאות ונ' נשיב הד' מאות ונ' מערך העשירית יהיו ד' אלפים ות"ק
We divide this by 109; the result is 41 integers and 31 parts of the divisor. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{4500}{109}=41+\frac{31}{109}}}$	נחלק זה על ק"ט ויעלו מ"א שלמים גם ל"א חלקים מזה שחלקנו עליו
Check: We check whether it is correct.	והנה נבחן אם זה אמת
We know that one- tithe of 40 are 4 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot40=4}}$	ידענו כי עשירית מ' ד' שלמים
We take 109 for the remaining one, add to it 31 that exceed over the integers; the result is 140. Its tenth is 14 and these are the parts of the tenth that exceed over the integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot\left(1+\frac{31}{109}\right)=\frac{1}{10}\sdot\frac{109+31}{109}=\frac{1}{10}\sdot\frac{140}{109}=\frac{14}{109}}}$	ונקח לאחד שנשאר ק"ט נחבר אליו ל"א שהם יתרים על השלמים הנה ק"מ ועשיריתם י"ד ואלה הם חלקי העשירית הנוספים על השלמים
We take also the ninth of 36; they are 4 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot36=4}}$	ונשוב לקחת התשיעית והנה מל"ו ד' שלמים
5 integers remain. We consider each of them as 109; they are 545. We add to them the 31 that exceed over the integers; they are 576. Its ninth is 64.	ונשארו ה' שלמים נשים כל אחד ק"ט יהיו תקמ"ה נחבר אליהם ל"א היתרים על השלמים יהיו תקע"ו ותשיעיתם ס"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot\left(5+\frac{31}{109}\right)=\frac{1}{9}\sdot\frac{\left(5\sdot109\right)+31}{109}=\frac{1}{9}\sdot\frac{545+31}{109}=\frac{1}{9}\sdot\frac{576}{109}=\frac{64}{109}}}$
We add to them the 14 that resulted from the tenth; they are 78. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{109}+\frac{14}{109}=\frac{78}{109}}}$	נחבר אליהם י"ד שעלו מן העשירית יהיו ע"ח
We also add to them the exceeding 31; they are 109, which is 1 integer. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{78}{109}+\frac{31}{109}=\frac{109}{109}=1}}$	גם נחבר אליהם ל"א היתרים יהיו ק"ט והנה אחד שלם
The total is 50 integers.	והנה הכל נ' שלמים
Another question: we take one-fifth of an amount, plus its seventh and its. How much is it from the value of the amount?	שאלה אחרת לקחנו חמישית ממון גם שביעיתו ותשיעיתו כמה הוא מערך הממון
You can solve this problem in two ways.	תוכל להוציא שאלה זו על שני דרכים
The first: the ninth is smaller than the other fractions; we consider them as 3 ninths. The difference between the fifth and ninth is 4 and the difference between the fifth and the seventh is 2. We now multiply 2 by 4; the product is 8. We convert the 7 into one-ninth; they are 4 ninths and one remains. The difference between the seventh and the ninth is 2. So, the amount is 4 ninths and 3 parts that are 3 fifths of one-seventh of one-ninth.	האחד שהתשיעית פחותה משאר השברים האחרים הנה נחשוב כי הם ג' תשיעיות והיתרון שיש בין החמישית והתשיעית ד' והיתרון שיש בין החמישית והשביעית ב' נכפול ב' על ד' יעלו ח' נעשה מן הז' תשיעית אחת יהיו ד' תשיעיות שלמות ונשאר אחד והיתרון בין השביעית (?) והתשיעית (?) ב' והנה הממון הוא ד' תשיעיות וג' חלקים שהם ג' חמישיות שביעית תשיעית
The other way: we look for the denominator by multiplying 5 by 7; they are 35, and multiplying this by 9; the product is 315 and this is the denominator.	והדרך האחרת שנבקש מורה שנכפול ה' על ז' יהיו ל"ה גם נכפול זה על ט' יעלו שט"ו והוא המורה
Then we add one-fifth of this denominator, its seventh and its ninth; they are 143. We divide them by 35; the result is 4 ninths and 3 parts of 35 remain, because 35 is the ninth and the 5 is one-seventh of one-ninth, therefore 3 parts are 3 fifths of one-seventh of one-ninth.	ואח"כ נחבר חמישית זה המורה ושביעיתו ותשיעיתו יהיו קמ"ג נחלקם על ל"ה והנה הם ד' תשיעיות ונשארו ג' חלקים מל"ה כי ל"ה הוא התשיעית וה' הוא שביעית התשיעית ולכן ג' חלקים הם ג' חמישיות שביעית התשיעית
Another question: an amount, we add to it its half, its third, its fifth and its sixth. The total sum is 40, how much is the amount? $\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X=40$	שאלה אחרת ממון הוספנו עליו מחציתו ושלישיתו וחמישיתו וששיתו ובין הכל היו מ' כמה היה הממון
We know that the half, the third and the sixth are one integer. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1}}$	ידענו כי החצי והשלישית והששית הוא אחד שלם
We think as if it was one, so it is two and we have the addition of the fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=1+1+\frac{1}{5}=2+\frac{1}{5}}}$	ונחשוב כי היה לו אחד והנה שנים ויש לנו תוספת החמישית
We have to divide 40 by 2 and one-fifth, so the quotient is the amount. We take 5 for each of the integers, add to them 1, which is the fifth; they are 11. We also multiply 40 by 5, so that all is of one kind; they are 200. We divide them by 11; the result is 18 integers and 2 parts of 11. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{40}{2+\frac{1}{5}}=\frac{40\sdot5}{\left(2\sdot5\right)+1}=\frac{200}{11}=18+\frac{2}{11}}}$	הנה יש לנו לחלק מ' על ב' וחמישית והעולה הוא הממון והנה נקח לכל אחד מהשלמים ה' ונשים עמהם א' שהוא החמישית יהיו י"א גם נכפול מ' על ה' עד שיהיו דרך אחד יהיו ר' נחלקם על י"א יעלו י"ח שלמים ועוד ב' חלקים מי"א
Check: We check this.	נבחן זה
We take its half, which is 9 integers and one part of 11. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)=9+\frac{1}{11}}}$	נקח חציו שהוא ט' שלמים וחלק אחד מי"א
We have 27 integers and 3 parts of 11. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(18+\frac{2}{11}\right)+\left(9+\frac{1}{11}\right)=27+\frac{3}{11}}}$	והנה יהיה לנו כ"ז שלמים וג' חלקים מי"א
The third is 6 integers and 2 thirds of one. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)=6+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)}}$	והשלישית ו' שלמים וב' שלישיות אחד
So, we have 33 and 3 parts and 2 thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(27+\frac{3}{11}\right)+\left[6+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]=33+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)}}$	והנה יהיו לנו ל"ג וג' חלקים וב' שלישיות
We take the fifth of 15, 3 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)=3}}$	והחמישית מט"ו נקח ג' שלמים
So we have 36 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{33+3=36}}$	היו לנו ל"ו שלמים
We still have to take one-fifth of 3 integers, so we take for each 11 and add to them the additional 2 parts; they are 35 and their fifth is 7. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(3+\frac{2}{11}\right)=\frac{1}{5}\sdot\frac{\left(3\sdot11\right)+2}{11}=\frac{1}{5}\sdot\frac{35}{11}=\frac{7}{11}}}$	ונשאר לנו לקחת חמישית ג' שלמים והנה נקח לכל אחד י"א ונחבר אליהם הב' חלקים היתרים יהיו ל"ה וחמישיתם ז‫'
We add to them the 3 parts and 2 thirds that we had. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{11}+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)}}$	נחבר אליהם הג' חלקים שהיו לנו וב' שלישיות
We take one-sixth of 18; they are 3 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot18=3}}$	ונקח ששית י"ח יהיו ג' שלמים
We add them to 36; they are 39 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{36+3=39}}$	נחברם אל ל"ו יהיו ל"ט שלמים
Two-sixths are one-third $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}}}$	ושתי ששיות הם שליש אחד
We add it to 10 parts and 2 thirds of a part that we had; they are 11 parts and it is one integer.	נחברנו אל י' חלקים וב' שלישיות חלק שהיו לנו יהיו י"א חלקים והוא אחד שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{11}+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)=\frac{10}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)=1}}$
The total is 40.	והכל מ‫'
How Many Problem - Group of People
A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us together with you would be one hundred. $\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100$	שאלה אדם עבר על אנשים אמר להם שלום עליכם מאה איש ענו לו אין אנחנו מאה רק אנחנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעיתנו ועמך נהיה מאה
We take one for their number and one for him; it is two; and a half of us; it is two and a half. We add a quarter of us; they are two and 3 quarters. Since we have quarters, we take 4 for each integer; they are 8. We add to them the 3 quarters, they are 11.	והנה נקח למספרם אחד ואחד כמוהו הנה שנים וחצינו חצי אחד הנה שנים וחצי נוסיף רביעיתנו הנה יהיו שנים וג' רביעית ובעבור שיש לנו רביעיות נקח לכל אחד שלם ד' יהיו ח' ונחבר אליהם הג' רביעים יהיו י"א
$\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{\left(4\sdot2\right)+3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}}}$
Since they said that they are one hundred with him, their number together with the addition is 99. We convert it into quarters; they are 396, divide them by 11; they are 36 and this is their number. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot\left(100-1\right)}{11}=\frac{4\sdot99}{11}=\frac{396}{11}=36}}$	ובעבור שאמרו כי עמו יהיו מאה יהיה מספרם עם התוספת (ת)צ"ט נשיבם מדרך הד' יהיו שצ"ו נחלקם על י"א יהיו ל"ו וככה מספרם
Buy and Sell Problem
Question: A man buys 100 liṭra for 100 zehuvim. He sells 50 [of them] at 1¼ liṭra for one zahuv, and the other 50 at (1‒¼) liṭra for one zahuv. We want to know: did he earn or lose? $\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100$	שאלה אדם קנה בק' זהובים ק' ליט' ואח"כ מכר הנ' ליט' ורביע בזהוב והנ' האחרים מכר ליט' פחות רביע בזהוב נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד
We convert the first 50 into 200, because they are quarters, divide them by 5, because he sells one liṭra and one-quarter of a liṭra for one zahuv; they are 40 zehuvim. We also multiply the other 50 by 4; they are 200, divide them by 3, because he sells 3 quarters for one zahuv; they are 66 zehuvim and two thirds of one zahuv. We add the 40 to them; the profit is 6 zehuvim and two thirds.	נשיב הנ' ראשונים ר' כי רביעיים הם נחלקם על ה' כי ליט' ורבי' ליט' מכר בזהוב ויהיו מ' זהובים גם נכפול הנ' האחרי' על ד' יהיו ר' נחלקם על ג' כי ג' רביעיי' מכר בזהוב והנה יהיו ס"ו זהובים ושתי שלישיות זהוב נחבר אליהם המ' יהיה הריוח ו' זהובים ושתי שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot50}{5}+\frac{4\sdot50}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left(\frac{200}{5}+\frac{200}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100\\&\scriptstyle=6+\frac{2}{3}\\\end{align}}}$
Another question: A man buys three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sells four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earns one pašuṭ. How much money did he have originally? $\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1$	שאלה אחרת אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה ממונו
common denominator: Find the denominator, it is 35, which is the product of 5 by 7. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}$	בקש המורה והוא ל"ה שהוא כפל ה' על ז‫'
Its 3 fifths are 21. $\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}$	והנה ג' חמישיותיו כ"א
Its 4 sevenths are 20. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}$	וד' שביעיותיו כ‫'
The amount was 20 and the number of liṭra was 12.	והממון היה כ' והליט' י"ב
Question: a man buys four sevenths of a liṭra for one pašuṭ, then he sells five ninths of a liṭra for one pašuṭ and he earns one pašuṭ. How much money did he have originally? $\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+1$	שאלה אדם קנה ד' שביעיות ליט' בפשוט ומכר אותם ה' תשיעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון
It is known that 4 sevenths are more than 5 ninths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}>\frac{5}{9}}}$	ידוע כי ד' שביעיות אחד יותר מה' תשיעיות אחד
common denominator: The denominator is $\scriptstyle{\color{blue}{63}}$	והנה המורה ס"ג
Its 5 ninths are 35 $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5}{9}\sdot63=35}}$	וה' תשיעיותיו ל"ה
Its 4 sevenths are 36. $\scriptstyle{\color{blue}{x+1\frac{4}{7}\sdot63=36}}$	וד' שביעיותיו ל"ו
Check: You can check it out. Since he bought 4 sevenths of a liṭra for one pašuṭ and his money is 35, he has 20 liṭra. Convert them to ninths; they are 180, divide this number by 5, because he sold 5 ninths for one pašuṭ; you get 36. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{4}{7}\sdot35}{\frac{5}{9}}=\frac{20}{\frac{5}{9}}=\frac{20\sdot9}{5}=\frac{180}{5}=36=35+1}}$	ותוכל לבחון זה כי אחר שקנה ד' שביעיות ליט' בפשוט וממונו ל"ה הנה יש לו כ' ליט' עשה מהם תשיעיות יהיו ק"פ חלק זה המספר על ה' כי ה' תשיעיות מכר בפשוט יעלה בידך ל"ו
If he said that he had earned 2 pešuṭim. $\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+2$	ואלו אמר כי הרויח ב' פשוטים
Multiply them by 35; they are 70. $\scriptstyle{\color{blue}{x=2\sdot35=70}}$	כפלם על ל"ה יהיו ע‫'
If he said 3 pešuṭim. $\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+3$	ואם אמר ג' פשוטים
Multiply 35 by 3. $\scriptstyle{\color{blue}{x=3\sdot35}}$	יכפול על ל"ה ג' פעמים
And so on to the end of all numbers	וככה עד סוף החשבון
Question: a man buys 9 parts of 17 of a liṭra for one pašuṭ, then he sold 10 parts of 19 parts of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally? $\scriptstyle\frac{\frac{9}{17}X}{\frac{10}{19}}=X+1$	שאלה אדם קנה ט' חלקים מי"ז חלקי ליט' בפשוט ומכרם י' חלקים מי"ט חלקי ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון
common denominator: Search the denominator; it is 323. $\scriptstyle{\color{blue}{323}}$	בקש המורה והוא שכ"ג
It is known that 9 parts of 17 are 171. $\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{9}{17}\sdot323=171}}$	ידוע כי ט' חלקים מי"ז הם קע"א
10 parts of 19 are 170 and so was the amount. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{19}\sdot323=170}}$	וי' חלקים מי"ט הם ק"ע וכך היה הממון
The number of liṭra is 90.	והליט' צ‫'
The following reason of subtraction is easy:	וזה דבר המגרעת קל הוא
For you set one denominator for two fractions, then consider the denominator as one integer.	כי תשים מורה אחד לב' שברים והמורה תשימנו אחד שלם
Example: we wish to subtract 4 ninths from 5 sevenths. $\scriptstyle\frac{5}{7}-\frac{4}{9}$	דמיון רצינו לגרוע ד' תשיעיות מה' שביעיות
common denominator: The denominator is 63	המורה ס"ג
Its 5 sevenths are 45: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\sdot63=45}}$	וה' שביעיותיו מ"ה
Its 4 ninths are 28: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}\sdot63=28}}$	וד' תשיעיותיו כ"ח
We subtract 28 from 45, 17 remain: $\scriptstyle{\color{blue}{45-28=17}}$	חסרנו כ"ח ממ"ה ישארו י"ז
Now, we shall discuss the method of astrology again	עתה נשוב לדבר על דרך חכמת המזלות
Make sure you understand their ways; because Ptolemy and his colleagues found the way to the roots of square numbers only according to them.	ושים לבך להבין דרכיהם כי תלמי וחביריו לא מצאו דרך שרשי המרובעים אלא על פיהם
Know that man can divide every circle and what is non-circular into as many parts as he wants, depending on his need and desire.	ודע כי כל עגול ומה שאיננו עגול יכול האדם לחלקו על כמה חלקים שירצה כפי חפצו וצרכו
The arithmeticians found no smaller number that has many parts that are integers, only 12, because it has a half, a third, a quarter, a sixth and a half of a sixth.	והנה חכמי החשבון לא מצאו חשבון קטן שיש לו חלקים רבים שהם אחדים שלמים רק י"ב כי יש לו חצי ושלישית ורביעית וששית וחצי ששית
This is because there is no number smaller than it, whose factors add up to more than itself, only it alone, because its factors exceeds by one-third over itself.	והיה כן בעבור שאין חשבון פחות ממנו שיהיו חלקיו רבים ממנו רק הוא לבדו כי חלקיו יוסיפו עליו שלישית
120 is its analogous number in the tens; therefore, its factors are twice the number, no more nor less.	וק"כ דומה לו בעשרות על כן חלקיו כפל המספר בלי תוספת ומגרעת
That is why the astrologers divided the sphere into 12 parts.	ע"כ חלקו חכמי המזלות הגלגל לי"ב
They named each sign after the shape of the constellation of the highest stars, which are close to the line of the celestial circle.	וקראו כל מזל בשם צורת הכוכבים העליונים שהם קרובים לקו גלגל המזלות
Also because they found that in the solar year the moon reappears 12 times.	ועוד כי מצאו בשנת השמש שתתחדש הלבנה י"ב פעמים
They divided the celestial sphere into 360 degrees, because this number is close to the number of the days of the solar year.	וחלקו הגלגל על ש"ס מעלות שזה המספר קרוב למספר ימי שנת החמה
There is no number smaller than it that has all the parts that man can express except the seventh.	ואין מספר פחות ממנו שכל החלקים שיבטא אדם בהם יש לו חוץ מהשביעית
Therefore, when this number is multiplied by 7, the result is 2520 and this is the number that has all parts.	ע"כ כשיכפול זה החשבון על ז' יעלה אלפַים וה' מאות וכ' וזהו המספר שיש לו כל החלקים
Often the arithmeticians need it.	ופעמים רבות שיצטרכו בעלי החשבון אליו
As saying: A number, We have added to it all of its parts from half to tenth; what is the ratio of the sum to it?	כאומר חשבון חברנו אליו כל החלקים מחצי עד עשירית מה ערך המספר אליו
This whole number is considered as one integer.	כי יחשוב זה החשבון הכולל כי הוא אחד שלם
When we divide the celestial sphere into 12 parts, each sign has 30 degrees and there is no number smaller than it that has so many parts as it, because it has a half, a third, a fifth, a sixth and a tenth.	וכאשר חלקנו הגלגל על י"ב עלה לכל מזל ל' מעלות ואין מספר פחות ממנו שיש לו חלקים רבים כמוהו כי יש לו חצי שלישית חמישית ששית ועשירית
Since it does not have a quarter, this number has been doubled, so it become 60.	ובעבור שאין לו רביעית כפלו זה החשבון והיה ס'
Therefore, they divide each degree by it, which is as a sixtieth, and they called them "primes".	על כן חלקו כל מעלה ממנו שהיא כמו אחד על ששים חלקים וקראו אותם חלקים ראשונים
They divided each prime to 60 and called them "seconds".	וחלקו כל ראשון לששים וקראום שניים
Likewise, they divide each second into 60 and called the result "thirds".	גם ככה עשו על כל שני על ששים והעולה יקראו שלישיים
They proceed so to ten, each [is divided] in sixtieths, and even further if necessary.	וככה יעשו עד עשרה כל אחד לששים ויותר אם יצטרכו
Now, it should be discussed about how they are multiplied one by the other.	ועתה יש לדבר איך יכפלו זה על זה
Always consider the degrees as if they are units of integers.	ולעולם חשוב כי המעלות הם כמו אחדים שלמים
So, if you multiply degrees by degrees, the product is degrees. The product of degrees by minutes is minutes, and by seconds is seconds.	והנה אם כפלת מעלות על מעלות יהיה הנכפל מעלות וכפל מעלות על ראשונים ראשונים ועל שניים שניים
The rule: the product of degrees by any type is the same type itself.	והכלל כפל מעלות על איזה מין שיהיה יעמוד אותו המין בעצמו
The product of minutes multiplied by minutes is seconds, and the product of minutes by seconds is thirds and in this way for all types.	וכפל ראשונים על ראשונים יהיה העולה שניים וראשונים על שניים יהיה העולה שלישיים ועל זה הדרך כל המינין
The product of seconds multiplied by seconds is fourths, and by thirds is fifths.	וכפל שניים על שניים יהיה הנכפל רביעיים ועל שלישיים חמישיים
The product of thirds by thirds is sixths, and so is the product of thirds by fourths sevenths.	וכפל שלישיים על ששיים ששיים עד שיהיה כפל שלישיים על רביעיים שביעיים
Fifths by fifths or thirds by sevenths is tenths.	וחמישיים על חמישיים או שלישיים על שביעיים עשיריים
Now I shall give you two correct methods:	והנה אתן לך שנים דרכים נכונים
The first method by writing:	הדרך האחד במכתב
Set the degrees in the first rank, the minutes in the second rank and so on, all fractions successively.	שתשים המעלות במעלה הראשונה והראשונים במעלה השנית וככה כל השברים זה אחר זה
This writing is opposite to what we do in the multiplication of integers, because the smallest number is in the first [rank].	וזה המכתב בהפך מה שאנו עושים בכפל השלמים כי החשבון המעט הוא בראשונה
If you have no degrees, write a zero in the first [rank]; if you have no minutes, write a zero in its place, and so you do it at the place of each fraction, if there is a smaller fraction after it.	ואם אין לך מעלות כתוב גלגל בראשונה ואם אין לך ראשונים כתוב גלגל במקומו וככה תעשה במקום כל שבר אם יש שבר אחריו פחות ממנו
With this method you can know in which rank of the fractions any fraction will stand.	ובזה הדרך תוכל לדעת באיזו מעלה מן השברים יעמד איזה שבר שתרצה
Proceed as with integers, but you have to make sure that you put a vertical line between all types of fractions.	ועשה כדרך השלמי' רק יש לך להשמר שתשים קו באורך בין מיני השברים כלם
If there are 2 digits of whichever type of fractions, such as 22, when you write them down, you have to do like this: set them breadthwise between the two lines according to their rank, as you do it with integers.	ואם היו ב' חשבונים באיזה מין שיהיה מן השברים כגון כ"ב יש לך לעשות כשתכתבם שים אותם ברוחב שבין שני הקוים במעלתם על הדרך שאתה עושה בשלמים כזה
We have already drawn lines between the fractions and arrived to thirds for the upper rows and also for the lower rows.	הנה כבר שמנו קוים בין השברים והגענום עד שלישיים ככה הטורים העליונים וככה השפלים
When we multiply the upper rows by the lower rows, their product is the number that is written in the bottom.	וכאשר כפלנו הטורים העליונים על השפלים עלה מספרם המספר הכתוב למטה
We divide each rank by 60, then add the quotient to what is in the preceding rank, and write the remainder alone. We do this with each rank until we arrived to the degrees that are as the integers.	חלקנו כל מעלה על ששים וחברנו העולה על ההוה במעלה הראשונה והנשאר כתבנו לבדד וככה עשינו מכל מעלה ומעלה עד שהגענו למעלות שהם כמו השלמים
So, of sixths remain 33, of the fifths 56, of the fourths 31, of the thirds 24, of the seconds 30, of the minutes 7 and of the degrees also 7.	והנה נשארו מן הששיים ג'ג' ומן החמישיים ו'ה' ומהרביעיים א'ג' ומהשלישיים ד'ב' ומהשניים 0ג' ומהראשונים ז' ומהמעלות גם כן ז‫'
The second method is by expression:	והדרך השנית במבטא
You sum the two fractions by adding the ranks of the fractions.	שתחבר השנים השברים ובמחברתם מעלות השברים
When we do according to the method of the arithmeticians that we convert the upper rows into thirds, the resulting number is: 464643.	וכאשר עשינו על דרך חכמי החשבון שהשיבונו הטורים העליונים אל שלישיים עלה החשבון כך ג' ד' ו' ד' ו' ד‫'
Likewise, we do it with the lower [rows], the resulting number is: 715451.	ככה עשינו בשפלים עלה החשבון כך א' ה' ד' ה' א' ז‫'
We multiply one by the other, the resulting number is: 332429298993; it has 12 rows.	והנה כפלנו זה על זה ועלה המספר כזה ג'ט' ט'ח' ט'ב' ט'ב' ד'ב' ג'ג' והם י"ב טורים
All these are sixths; we divide them by 60 and the result are fifths: 5540488316, and 35 sixths remain in the first number.	והנה כל אלה ששיים חלקנום על ס' ועלו חמישיים כזה ו' א' ג' ח'ח' ד'0 ד'ה'ה' ונשארו ל"ה ששיים במספר הראשון
We proceed so successively; the number resulting last and what is left of each rant will be as the number in the first method.	וככה עשינו על זה הסדר והיה המספר שעלה באחרונה גם הנשאר מכל מעלה ומעלה כמספר הדרך הראשונה
I had to show the method of these parts, which are minutes to thirds, because with this method King Ptolemy calculated the chords of the arcs until reaching to fifths, which are by multiplying tenths.	והוצרכתי להראות דרך אלה החלקים שהם הראשוני' עד שלישיים כי על זה הדרך הוציא תלמי המלך יתרי הקשתות עד שהגיעם אל חמישיים והם בכפל עשיריים
He also did all of this to extract the roots of the square numbers that do not have a real root truly, but it is only approximated to the truth, because there are no minutes or seconds left in dividing the product, not even thirds, as I will explain in the seventh chapter.	וכל זה עשה להוציא שרשי המרובעים שאין להם שורש נכון באמת רק יוציאוהו קרוב אל האמת כי לא ישארו בחלוק הכפל ראשונים ולא שניים ואפילו שלישיים כאשר אפרש בשער השביעי
Know that in every science there are things that are hidden from the eyes of all the ancient sages and also those that follow them.	ודע כי יש בכל חכמה דברים נעלמו מעיני כל החכמים הקדמונים וגם מכל הבאים אחריהם
Such as: the roots of the numbers that are not square numbers, in arithmetic.	כמו שרשי המספרים שאינם מרובעים בחכמת החשבון
As well as in geometry, to know the the perimeter from a known diameter.	וככה בחכמת המדות לדעת הקו הסובב מאלכסון ידוע
Archimedes the wise could not approximate it to the truth, but only gave evidences from geometry that the perimeter should be three times the diameter plus an excess of 10 parts of 70 of the first rank, and he brought evidences that they had to be less than one part of the seconds, but did not know how many they are, only proved that the excess had to be more than 10 parts of 70 parts and one-half of the part.	ולא יכול ארישמדס החכם לקרבו אל האמת רק שנתן ראיות מחכמת המדות כי הקו הסובב ראוי להיותו שלשה מהאלכסון ותוספת י' חלקים מע' במעלה אחת והביא ראיות שיפחתו מחלק אחד מאלו החלקים שניים ולא ידע כמה הם רק הביא ראיה כי התוספת ראויה להיות יותר י' חלקים מע' חלקים וחצי חלק
King Ptolemy took the middle path and therefore said that the excess is 8 parts of 63, and 30 seconds. We shall discuss it at the end of the seventh chapter.	ותלמי המלך תפס הדרך האמצעית על כן אמר כי התוספת היא ח' חלקים מס"ג גם ל' שניים ובסוף השער השביעי נדבר על זה
So also in astrology sages found, by experiment on herbs, stones and the joints of the human body that are true, but none of them knows why this is so, only the sublime God alone.	וככה בחכמת התולדת מצאו חכמים בדרך נסיון בעשבים ובאבנים ובבתי אברי הגוף האדם והם אמת ואין אחד מהם יודע למה היה ככה רק השם ית' הנשגב לבדו
Chapter Six - Proportions	השער הו' הוא שער הערך
The types of the proportions are according to three ways:	מיני הערכי' על ג' דרכים
The first is the arithmetic proportions, which are in succession.	האחד ערכי החשבון והם על הסדר
Such as: 1, 2, 3	כמו א' ב' ג‫'
For, no proportion can consist of less than 3 numbers.	כי לא יתכן להיות הערך פחות מג' מספרים
Or: 2, 4, 6	או ב' ד' ו‫'
Or: 3, 6, 9.	או ג' ו' ט‫'
The reason is that the ratio of all of them is the same.	והטעם כי הערך בכלם שוה
Meaning: as the excess of 4 over 2, so is the excess of 6 over 4.	פי' כי כיתרון ד' על ב' כן יתרון ו' על ד‫'
The second proportion is the geometric proportions.	והערך השני ערכי המדות
Such as: 4, 6, 9,	כמו ד' ו' ט‫'
Because the ratio of 4 to 6 is as the ratio of 6 to 9.	כי ערך ד' אל ו' כמו ערך ו' אל ט‫'
Likewise, the product of the small number by the greater number is as to the product of the mean by itself, which is its square.	כן כפל הקטן אל הגדול ככפל התיכון על עצמו שהוא מרובעו
Know that these 3 numbers are like 4 [numbers], because the means are regarded as one number.	ודע כי אלה הג' מספרים הם כמו ד' כי האמצעי יחשב כאלו הוא מספר אחד
Therefore, for every 4 numbers, with which the ratio of the first to the second is as the ratio of the third to the fourth, if you sum the squares of all four and you know how much it is; then you add the first to the fourth, take the square of the sum and add to it the square of the difference between the second and third, it is equal to the first result.	על כן כל ד' מספרי' שערך הראשון אל השני כערך השלישי אל הרביעי אם תחבר מרובעי ארבעתן ותדע כמה יעלה ותחבר הראשון עם הרביעי ותקח מרובע המחובר ותוסיף עליו מרובע היתרון שיש בין השני ובין השלישי יהיה שוה כעולה בראשונה
Likewise, if you sum the second and third, take the square of the sum and add to it the square of the difference between the first and fourth, the result is the same as the first [result].	וככה אם תחבר השני והשלישי ותקח מרובע המחובר ותוסיף עליו מרובע היתרון שיש בין הראשון ובין הרביעי ימצא העולה שוה לראשון
Example: The ratio of 4 to 6 is as the ratio of 8 to 12.	דמיון ערך ד' על ו' כערך ח' אל י"ב
[The sum of] their squares is 260; the sum of the first and the fourth is 10 and its square is 256; the difference between 6 and 8 is 2 and its square is 4, so the number is the same.	והנה מרובעיהם ר"ס והמחובר מן הראשון והרביעי י"ו ומרובעו רנ"ו והיתרון בין ו' וח' הוא ב' ומרובעו ד' והנה המספר שוה
Likewise, the sum of the second and the third is 14 and its square is 196; the difference between the first and the fourth is 8 and its square is 64, so the number is the same.	וככה המחובר מן השני והשלישי י"ד ומרובעו קצ"ו והיתרון בין הראשון והרביעי ח' ומרובעו ס"ד והנה המספר שוה
Know that most of the astrology and the determination of the position of the planets depend on the knowledge of the geometric proportions, as do most of the rules of the arithmetic problems.	ודע כי רוב חכמת המזלות ותקוני מקום המשרתים תלויים בחכמת ערכי המדות וככה רובי דיני השאלות בחשבון
The third type is the proportions of the science of music.	והדרך השלישי ערכי חכמת הנגינות
This is a very wonderful science, because its proportions are composed of the arithmetic and the geometric proportions.	והיא חכמה מפוארת מאד כי ערכיה מורכבים מערכי החשבון וערכי המדות
Since, the ratio between the first and the mean to the ratio between mean and last is always as the ratio of the first number to the last number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a_2-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)=a_1:a_3}}$	כי לעולם יהיה הערך שבין הראשון לתיכון אל ערך שיהיה בין התיכון לאחרון כערך המספר הראשון למספר האחרון
Example: 2, 3, 6.	דמיון ב' ג' ו‫'
We know, that the ratio between 2 and 3 is 1 and the ratio between 3 and 6 is three; and so is the ratio of 2 to 6.	ידענו כי הערך שבין ב' וג' אחד והערך שבין ג' ובין ו' שלשה וככה ערך ב' אל ו‫'
Another example: 3, 4, 6; or, if you wish, 20, 30, 60.	דמיון אחר ג' ד' ו' או אם תרצה כ' ל' ס‫'
The ratio between 3 and 4 is one and the ratio between 4 and 6 is two; hence it is its double and so is 6 to 3. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4-3\right):\left(6-4\right)=3:6}}$	והנה הערך שבין ג' וד' אחד והערך שבין ד' וו' שנים והנה הוא כפלו וככה ו' אל ג‫'
If you know two numbers, you can extract the third.	והנה אם ידעת השנים מספרי' תוכל להוציא השלישי
For, if you know the first and second and you do not know the third, multiply the first by the second, then divide the product by the first after you have subtracted from it, meaning from the first, the difference between it and the second.	כי אם ידעת הראשון והשני ולא תדע השלישי כפול הראשון על השני והעולה חלקנו על הראשון אחר שתגרע ממנו פי' מהראשון היתרון שיש בינו ובין השני
First example: We multiply 2 by 3 and divide the product by the first, after we subtract from it the difference between the first and second, which is 1; they are 6 and it is the third.	דמיון הראשון כפלנו ב' על ג' וחלקנו העולה על הראשון אחר שגרענו ממנו היתרון שבין הראשון והשני והוא אחד והנה היו ו' והוא השלישי
In the second example: the product of 3 by 4 is 12 and the difference between 3 and 4 is 1. We subtract it from 3, which is the first; 2 remain. We divide 12 by this; they are 6 for each and it is the third.	ובדמיון השני כפל ג' על ד' היו י"ב והיתרון בין ג' וד' אחד גרענוהו מג' שהוא הראשון ונשארו ב‫' חלקנו עליו י"ב והם ו' לכל אחד והוא השלישי
We say that if we know the second and third, but we do not know the first: we multiply these known, which are the second and the third, then divide the product by the sum of the third number and the difference between the second and the third; the quotient is the first.	ונאמ' כי אם ידענו השני והשלישי ולא ידענו הראשון נכפול אלה הידועי' שהם השני והשלישי ונחלק העולה על המחובר מהמספר השלישי עם היתרון שיש בין השני והשלישי והעולה הוא הראשון
In the first example: we multiply 3 by 6; the product is 18. The difference between the second and third is 3, we add it to 6; it is 9. We divide 18 by it; the result is 2 and it is the first.	והנה בדמיון הראשון כפלנו ג' על ו' והעולה י"ח והיתרון שבין השני והשלישי שלשה חברנום אל ו' והיו ט‫' חלקנו י"ח עליו עלו ב' והוא הראשון
In the second example: we multiply 4 by 6; the product is 24. We divide it by 8, which is [the sum of] the third number and the difference between the second and third; the result is 3 and it is the first.	ובדמיון השני כפלנו ד' על ו' והיו כ"ד חלקנום על ח' שהוא כמספר החשבון השלישי עם היתרון שיש בין השני והשלישי עלו ג' והוא הראשון
If we do not know the mean and we wish to know it: we multiply the first by the third, divide the product by the sum of the two numbers, then double the quotient and this is the mean number.	ואם לא ידענו האמצעי ונבקש לדעתו נכפול הראשון על השלישי ונחלק העולה על המחובר מן השנים מספרים והעולה בחלוק נכפלנו והוא המספר האמצעי
In the first example: We multiply 2 by 6; the result is 12. We divide by 8, which is the sum of both; the the quotient is 1 and a half. We double this; the result is 3 and so is the second.	דמיון הראשון כפלנו ב' על ו' עלו י"ב חלקנו על ח' שהוא המחובר משניהם עלה א' וחצי כפלנוהו עלו ג' וככה הוא השני
In the other example: we multiply 3 by 6; the result is 18. We divide by 9, which is the sum of both; the quotient is 2. We double this; the result is 4 and this is the second number that is sought.	ובדמיון האחר כפלנו ג' על ו' עלו י"ח חלקנו על ט' שהוא המחובר משניהם עלו ב‫' כפלנוהו ועלה ד' והוא המספר השני המבוקש
Likewise also for the geometric proportions: If we do not know one of the four, we can extract it from the 3:	וככה בערכי המדות אם לא ידענו האחד מן הד' נוכל להוציאו מן הג‫'
We always set the two extremes, which are the first and fourth as companions and the two means, which are the second and the third, as companions	ולעולם נשים שתי הקצוות שהם הראשון והרביעי חברים והשנים האמצעיי' שהם השני והשלישי חברים
If we do not know one of the extremes, whichever it is, we multiply one mean by the other and divide the product by the one of the extremes that is known; the quotient is the sought.	והנה אם לא ידענו אחד מן הקצוות איזה מהם שיהיה נכפול האמצעי על חבירו והעולה נחלקנו על אחד מהקצוות שהוא נודע והעולה הוא המבוקש
If we do not know one of the means, we multiply one of the extremes by the other and divide the product by the known mean; sought is found.	ואם לא ידענו אחד מהאמצעיים נכפול אחד מהקצוות על חברו ונחלק העולה על האמצעי הנודע אז ימצא המבוקש
	ועל זה הדרך תעשה בכל השאלות ויש לך להשמר באיזה מקום תשים הגלגל
Word Problems
Now I shall write a lot of problem for you to practice	ועתה אכתוב לך שאלות רבות כדי להרגילך
How Much Problem - Money
Question: a fifth, a sixth, and a seventh of an amount of money make 10, how much is the money? $\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+\frac{1}{7}X=10$	שאלה ממון חברנו חמישיתו וששיתו ושביעיתו והיו עשרה כמה הממון
Common Denominator: We seek the denominator by multiplying 5 by 6; the result is 30, then this by 7; they are 210 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6\sdot7=30\sdot7=210}}$	בקשנו המורה שכפלנו ה' על ו' עלו ל' גם‫ זה על ז' והיו ר"י והוא המורה
False Position: Its one-fifth is 42; its one-sixth 35 and its one-seventh 30; all three together are 107. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot210\right)=42+35+30=107}}$	וחמישיתו מ"ב וששיתו ל"ה ושביעיתו ל' והנה שלשתם ק"ז
Rule of Three: Thus the ratio of the amount that is summed from them, which is 10, to the whole amount, which is not known, is as the ratio of 107 to 210, meaning the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{10:X=107:210}}$	הנה ערך הממון שהוא עשרה המחובר מהם אל כל הממון שאינו נודע כערך ק"ז אל ר"י פי' שהוא המורה
We make the diagram like this:	ונעשה הדמיון כך
0 10 210 107	0 ‫0א ‫0אב ז0א
We multiply the extremes, which are 10 by 210; they are 2100. We divide them by the mean, which is 107; the result is 19 integers 67 parts of 107 remain. This is the amount. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot210}{107}=\frac{2100}{107}=19+\frac{67}{107}}}$	כפלנו הקצוות שהם י' על ר"י והיו אלפי' וק‫' חלקנום על האמצעי שהוא ק"ז עלו י"ט שלמים ונשארו ס"ז חלקי' מן ק"ז והוא כל הממון
Replacing lines: If we would do it vice versa, it would be the same, like this:	ואלו היינו עושים להפך היה הדבר שוה כזה
210 107 0 10	‫0אב ז0א 0 ‫0א
Check: We shall check it:	ונבחן זה
3 integers are one-fifth and 4 integers remain, the fifth of which we have not taken. We convert all to 107 of each and add 67 to the sum; the total is 495, a fifth of which is 99.	כי ג' שלמים חמישית ט"ו ונשארו ד' שלמי' שלא לקחנו חמישיתם נעשה מן כל אחד ק"ז ונחבר אל המחובר ס"ז יהיה הכל תצ"ה וחמישיתם צ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)&\scriptstyle=\frac{1}{5}\sdot\left(15+4+\frac{67}{107}\right)=3+\frac{1}{5}\sdot\left(4+\frac{67}{107}\right)\\&\scriptstyle=3+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{\left(4\sdot107\right)+67}{107}\right)=3+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{495}{107}\right)=3+\frac{99}{107}\\\end{align}}}$
A sixth of 18 is 3, for the remaining 1 we take 107 and add 67 to it; they are 174 and its sixth is 29.	וששית י"ח ג' ונקח לא' הנשאר ק"ז נחבר אליו ס"ז יהיו קע"ד וששיתו כ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{6}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)&\scriptstyle=\frac{1}{6}\sdot\left(18+1+\frac{67}{107}\right)=3+\frac{1}{6}\sdot\left(1+\frac{67}{107}\right)\\&\scriptstyle=3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{107+67}{107}\right)=3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{174}{107}\right)=3+\frac{29}{107}\\\end{align}}}$
A seventh is 2 integers; 5 remain that do not have a seventh. We take 107 for each; they are 535. We add 67 to them; they are 602 and its seventh is 86.	גם השביעית שנים שלמי' נשארו ה' שאין להם שביעית נקח לכל אחד ק"ז יהיו תקל"ה נחבר אליהם ס"ז יהיו תר"ב ושביעיתם פ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{7}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)&\scriptstyle=\frac{1}{7}\sdot\left(14+5+\frac{67}{107}\right)=2+\frac{1}{7}\sdot\left(5+\frac{67}{107}\right)\\&\scriptstyle=2+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{535+67}{107}\right)=2+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{602}{107}\right)=2+\frac{86}{107}\\\end{align}}}$
We sum all the parts; they are two integers. We add them to the integers; they are 10.	נחבר החלקים יהיו שנים שלמים נחברם אל השלמים והיו י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{1}{5}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{99}{107}\right)+\left(3+\frac{29}{107}\right)+\left(2+\frac{86}{107}\right)=3+3+2+2=10\\\end{align}}}$
Another example: We took its seventh and its ninth; they are 7. $\scriptstyle \frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=7$	דמיון אחר לקחנו שביעיתו ותשיעיתו והיו ז'
Common Denominator: The denominator is 63.	המורה ס"ג
False Position: The seventh and the ninth is 16 and the diagram is as follows: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=16}}$	והשביעית והתשיעית י"ו וככה הצורה
63 16 0 7	גו וא ‫0 ז
Rule of Three: The number is 27 integers and 9 parts of 16. $\scriptstyle{\color{blue}{x={\color{red}{\frac{7\sdot63}{16}}}=27+\frac{9}{16}}}$	הנה החשבון כ"ז שלמים וט' חלקי' מי"ו
First from Last Problem - Money
If one reversed the saying and says: We have subtracted from an amount of money its seventh and its ninth and 7 remain. $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X\right)=7$	ואם הפך הדבר ואמר חסרנו מהממון שביעיתו ותשיעיתו נשארו ז'
False Position: We also reverse the denominator. For, the denominator is the same, but we subtract 16, which is the seventh and the ninth of the denominator, then 47 remain. We write it like this: $\scriptstyle{\color{blue}{63-16=47}}$	גם אנו נעשה המורה להפך כי המורה הוא אחד רק נחסר י"ו שהוא השביעית והתשיעית מהמורה ונשארו מ"ז ונכתבהו ככה
63 47 0 7	גו זד ‫0 ז
Rule of Three: We multiply 7 by 63; they are 441. We divide [this] by 47; the result is 9 and 18 parts of 47 and this is it. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot63}{47}=\frac{441}{47}=9+\frac{18}{47}}}$	כפלנו ז' על ס"ג והיו תמ"א חלקנו על מ"ז עלו ט' וי"ח חלקי' ממ"ז ועתה הוא
Check: its seventh is 1 integers and 16 parts, as I have shown you. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left(9+\frac{18}{47}\right)=1+\frac{16}{47}}}$	ושביעיתם כדרך שהראיתיך עלה אחד שלם גם י"ו חלקי‫'
We take its ninth, it is one integer and 2 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot\left(9+\frac{18}{47}\right)=1+\frac{2}{47}}}$	לקחנו תשיעיתו והוא אחד שלם וב' חלקי‫'
7 integers remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{18}{47}\right)-\left[\left(1+\frac{16}{47}\right)-\left(1+\frac{2}{47}\right)\right]=7}}$	ונשארו ז' שלמים
Partnership Problem - For the Same Time
Question: 4 people - one of them have 11 dinar, the second have 13 dinar, the third have 15 dinar, and the fourth have 17 dinar. They earned 19 dinar. How much does each get?	שאלה ד' אנשים יש לאחד מהם י"א דינ' ולשני י"ג דינ' ולשלישי ט"ו דינ' ולרביעי י"ז דינ' והרויחו י"ט דינ' כמה יקח כל אחד ואחד
False Position: We sum up the components of all their money; it is 56. $\scriptstyle{\color{blue}{11+13+15+17=56}}$	נבחר ראשי כל ממונם והיו נ"ו
Rule of Three: As the ratio of each to 56, so he takes from the 19. We do like this: $\scriptstyle{\color{blue}{a_i:56=x_i:19}}$	וכערך כל אחד אל נ"ו ככה יקח מי"ט ונעשה כך
56 18 19 0	וה חא ‫טא 0
We multiply 11 by 19; the product is 209. We divide this by 56; the result is 3 integers and 41 parts remain. $\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\frac{11\sdot19}{56}=\frac{209}{56}=3+\frac{41}{56}}}$	נכפול י"א על י"ט יעלו ר"ט נחלק על נ"ו עלו ג' שלמי' ונשארו מ"א חלקי‫'
We do the same with 13:	עשינו כן בי"ג
56 13 19 0	וה גא ‫טא 0
The product is 247. We divide it by 56; the result is 4 integers and 23 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\frac{13\sdot19}{56}=\frac{247}{56}=4+\frac{23}{56}}}$	עלו רמ"ז חלקנום על נ"ו עלו ד' שלמי' וכ"ג חלקי‫'
We do the same with 15:	עשינו כך בט"ו
56 15 19 0	וה הא ‫טא 0
The product is 285. We divide it by 56; the result is 5 integers and 5 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{x_3=\frac{15\sdot19}{56}=\frac{285}{56}=5+\frac{5}{56}}}$	ועלו רפ"ה חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמי' וה' חלקי‫'
We do the same with 17:	עשינו כך בי"ז
56 17 19 0	וה זא ‫טא 0
The product is 323. We divide it by 56; the result is 5 integers and 43 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{x_4=\frac{17\sdot19}{56}=\frac{323}{56}=5+\frac{43}{56}}}$	עלו שכ"ג חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמים ומ"ג חלקים
Check: We sum the integers and these parts; the result is 19 integers, because these parts are parts of 56. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{41}{56}\right)+\left(4+\frac{23}{56}\right)+\left(5+\frac{5}{56}\right)+\left(5+\frac{43}{56}\right)=19}}$	חברנו השלמי' ואלה החלקי' ועלו י"ט שלמי' כי אלה החלקי' חלקי נ"ו הם
Another method: we convert the profit into pešuṭim	דרך אחרת השיבונו הריוח כלו פשוטים
By multiplying the 19 dinar by 12; the product is 228. We divide it by 56; the result is 4 pešuṭim and 4 parts of 56. Because each pašuṭ is divided to 56, which are one-half of one-seventh of a pašuṭ for each dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{19\sdot12}{56}=\frac{228}{56}=4+\frac{4}{56}}}$	שכפלנו הי"ט דינ' בי"ב עלו רכ"ח חלקנום על נ"ו עלו ד' פשוטי' גם ד' חלקי' מנ"ו כי כל פשוט יתחלק לנ"ו שהם חצי שביעית פשוט לכל דינ‫'
We multiply 11 by 4; the result is 44 pešuṭim, which are 3 dinar, 8 pešuṭim and 44 parts of one pašuṭ. $\scriptstyle{\color{blue}{x_1=11\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=44+\frac{44}{56}=\left(3\sdot12\right)+8+\frac{44}{56}}}$	והנה כפלנו י"א על ד' עלו מ"ד פשוטי' שהם ג' דינ' ח' פשוטי' ומ"ד חלקי פשוט
We multiply also 13 by 4; the result is 52, which are 4 dinar, 4 pešuṭim and 52 part. $\scriptstyle{\color{blue}{x_2=13\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=52+\frac{52}{56}=\left(4\sdot12\right)+4+\frac{52}{56}}}$	גם כפלנו י"ג על הד' והיו נ"ב שהם ד' דינ' וד' פשוטי' ונ"ב חלקי'
We multiply also 15 by 4; the result is 60 pešuṭim, which are 5 dinar and 60 parts. We add one pašuṭ of 56; 4 parts remain. $\scriptstyle{\color{blue}{x_3=15\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=60+\frac{60}{56}=\left(5\sdot12\right)+\frac{60}{56}}}$	גם כפלנו ט"ו על ד' והיו ס' פשוטי' שהם ה' דינ' וס' חלקי‫' חברנו פשוט מנ"ו ושארו ד' חלקים
We multiply also 17 by 4; the result is 68 pešuṭim, which are 5 dinar, 8 pešuṭim and 68 parts. We add one pašuṭ of them; 12 parts remain.	גם כפלנו י"ז על הד' והיו ס"ח פשו' שהם ה' דינ' וח' פשו' וס"ח חלקי‫' נחבר מהם פשוט ישארו י"ב חלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{x_4=17\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=68+\frac{68}{56}=\left(5\sdot12\right)+8+\frac{68}{56}=\left(5\sdot12\right)+8+1+\frac{12}{56}}}$
Check: We sum all the parts; they are 3 pešuṭim. We sum all the pešuṭim; they are 2 dinar. We add them to the greater share; the total is 19 dinar.	נחבר החלקים כלם יהיו ג' פשו' ונחבר הפשוטי' יהיו ב' דינ‫' נחברם אל החלק הגדול יהיו בין הכל י"ט דינ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot12\right)+8+\frac{44}{56}\right]+\left[\left(4\sdot12\right)+4+\frac{52}{56}\right]+\left[\left(5\sdot12\right)+\frac{60}{56}\right]+\left[\left(5\sdot12\right)+8+1+\frac{12}{56}\right]=19\sdot12}}$
Purchase Problem – Moneychanger
Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind]. A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive. $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{6}X=12$	שאלה יש אצל המחליף שלשה המטבעים שוה הזהוב ממטבע האחד ג' דינ' וממטבע השני ד' דינ' וממטבע השלישי' ו' דינ' ובא אדם אחד ובקש למחליף שיתן לו מג' המטבעי' בזהוב ויהיה המספר בשוה מן היקרים כמו משאינם יקרים
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=9}}$	בקש חשבון שיש לו שלישית ורביעית וששית והוא י"ב והוא המורה וכל החלקים הנזכרים הם ט' והוא דינר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{9}=1+\frac{1}{3}}}$	ונבקש מה ערך י"ב אל ט' והנה הוא כמוהו ושלישיתו
$\scriptstyle{\color{blue}{X=12\sdot\frac{12}{9}=12\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=12+4=16}}$	והנה נוסיף על י"ב פשו' שהוא דינר ד' פשו' שהוא שלישיתו ועלו י"ו פשו' וככה לקח מכל מטבע
Check - is easy:	ולבחון דבר זה קל הוא כי הערכי' נמצאים במהרה
	והנה נשים המטבע של שלשה עקר
16 pešuṭim of coin 6 are 8 pešuṭim of coin 3: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{6}=\frac{2\sdot8}{2\sdot3}=\frac{8}{3}}}$	וידענו כי הי"ו ממטבע ו' הם ח' פשו' ממטבע ג' כי ו' כפל ג‫'
together they are 24 $\scriptstyle{\color{blue}{16+8=24}}$ [which are two dinar]	והנה בין שניהם כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{3:4=\frac{3}{4}}}$	וידוע כי ערך ג' אל ד' ג' רביעיות
16 pešuṭim of coin 4 are 12 pešuṭim of coin 3 which are one dinar: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{4}=\frac{12}{3}}}$	על כן יהיה חילוף י"ו פשו' ממטבע ד' הם י"ב פשו' ממטבע ג' והנו דינר אחד
the total is 3 dinar	וג' דינ' ממטבע האחד
	וככה תוכל להשיב חלוף מה שלקח לאיזה מטבע שתרצה ואין צורך להאריך
Another example, which is difficult because it has difficult ratios:	דמיון אחר קשה כי אין לו ערכים כי אם בקושי
The moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth five dinar of the first [kind of coins]; or seven of the second [kind]; or nine of the third [kind]. [A man] brings one zahuv and wants to take from all [kinds of coins] for one zahuv equally. $\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=1$	וזהו מחליף יש לו ג' מטבעים האחד ה' דינ' בזהוב והשני ז' והשלישי ט' והביא זהוב ורצה לקחת בשוה מספר שוה מכלם בזהוב אחד
Common Denominator: Proceed according to the rule: multiply 5 by 7; the product is 35; then multiply it by 9; the result is 315 and this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=35\sdot9=315}}$	עשה כמשפט וכפול ה' בז' והעולה ל"ה וכפול זה על ט' יהיו שט"ו והוא המורה
False Position: Its fifth is 63, its seventh 45 and its ninth 35. When we add these three, they are 143 and this is the dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot315\right)=63+45+35=143}}$	וחמישיתו ס"ג ושביעיתו מ"ה ותשיעיתו ל"ה והנה כשנחבר אלה שלשתם יהיו קמ"ג והוא הדינ‫'
We divide the denominator by this number; the result is 2 dinar, and 29 parts of 143 remain; that much he takes from each [type of] coin. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}=2+\frac{29}{143}}}$	נחלק המורה על זה המספר יהיו ב' דינ' וישארו כ"ט חלקים מן קמ"ג וככה יקח מכל מטבע
Check: to examine this is difficult because of the parts, except in the way that I will give you.	ולבחון זה קשה הוא כי אם על הדרך שאומר לך בעבור החלקים
We start to examine by converting the mentioned number of coin 7 and coin 9 to coin 5. We do as follows:	והנה נחל לבחון להשיב המספר הנזכר ממנו ממטבע ז' וממטבע ט' אל מטבע ה' וככה נעשה
We convert the dinar to parts of 143 and set with them the parts that are 315; this is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}}}$	נשיב הדינ' חלקי' מקמ"ג ונשים עמהן החלקים שהם שט"ו והוא המורה
converting coin 7 to coin 5: We want to exchange coin 7 to coin 5. We multiply 315 by 5; the product is 1575. We divide it by 7; they are 225 parts of coin 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot5}{7}=\frac{1575}{7}=225}}$	ונבקש להחליף מטבע ז' אל ה' ונכפול שט"ו על ה' ויהיו אלף תקע"ה נחלקם על ז' יהיו רכ"ה חלקים ממטבע ה‫'
converting coin 9 to coin 5: Likewise, [we divide] 1575 by 9 to know how much of the second coin there are; the result is 175. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot5}{9}=\frac{1575}{9}=175}}$	גם אלף תקע"ה על ט' לדעת כמה יהיו מהמטבע השני והנה קע"ה
When you sum these three numbers that are of one coin: 315, 225, and 175 - the total is 715. We divide it by 143, which is the dinar; the result is 5 identical dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+225+175}{143}=\frac{715}{143}=5}}$	וכאשר תחבר אלה ג' מספרים שהם ממטבע אחד שט"ו גם רכ"ה גם קע"ה והנה הכל תשט"ו חלקנום על קמ"ג שהוא הדינ' ‫עלו ה' דינ' שוים
Or, if you want, calculate like this: There are already 2 dinar and 29 parts of coin 5. $\scriptstyle{\color{blue}{X=2+\frac{29}{143}}}$	או אם תרצה חשוב ככה כבר היו ממטבע ה' ב' דינ' וכ"ט חלקים
converting coin 7 to coin 5: When we exchange this number of coin 7, they are 225 parts, which are one dinar, and 82 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{225}{143}=1+\frac{82}{143}}}$	וכאשר החלפנו זה המספר ממטבע ז' יהיו רכ"ה חלקים שהם דינ' אחד ופ"ב חלקים
converting coin 9 to coin 5: If of coin 9, they are 175, which are one dinar, and 32 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{175}{143}=1+\frac{32}{143}}}$	ואם ממטבע ט' יהיו קע"ה שהם דינ' אחד ול"ב חלקים
We sum all the parts; they are 143, which are one dinar, so the same number results. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{29}{143}+\frac{82}{143}+\frac{32}{143}=\frac{143}{143}=1}}$	חברנו כל החלקים יהיו קמ"ג שהם דינ' אחד והנה המספר אחד
We convert all to coin 7: we already have 315 parts, which is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}}}$	ועוד נשיב הכל למטבע ז' והנה כבר היו לנו שט"ו חלקים שהוא המורה
converting coin 5 to coin 7: We want to know how many parts are of coin 5. We multiply 315 by 7; the product is 2205. We divide [it] by 5; the result is 441. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot7}{5}=\frac{2205}{5}=441}}$	ונרצה לדעת כמה חלקי' יהיו ממטבע ה' והנה נכפול שט"ו על ז' יעלו אלפים ור"ה נחלק על ה' יעלו תמ"א
converting coin 9 to coin 7: We also divide the same number by 9; the result is 245. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot7}{9}=\frac{2205}{9}=245}}$	גם נחלק עוד זה המספר על ט' יהיה העולה רמ"ה
We sum all these parts and divide the sum by 143; the result is 7 dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+441+245}{143}=7}}$	נחבר כל אלה החלקים ונחלק המחובר על קמ"ג יהיו ז' דינ‫'
We convert all to coin 9: it has 315 parts of its own coin, which is the denominator; they are 2 dinar and 29 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}=2+\frac{29}{143}}}$	ועוד נשיב הכל למטבע ט' והנה יש לו מהמטבע שלו שט"ו חלקים שהוא המורה שהם ב' דינ' גם כ"ט חלקי‫'
converting coin 5 to coin 9: We multiply 315 by 9; the product is 2835. We divide it by 5; they are 567. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot9}{5}=\frac{2835}{5}=567}}$	ונשוב לכפול שט"ו על ט' יהיו אלפים ותתל"ה נחלק זה המספר על ה' יהיו תקס"ז
converting coin 7 to coin 9: We also divide it by 7, which is the other type of coin, they are 405. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot9}{7}=\frac{2835}{7}=405}}$	גם נחלק זה על ז' שהוא המטבע האחר יהיו ת"ה
When we sum these parts of the three types of coin, they are 1287; and when we divide them by 143, they are 9 whole dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+567+405}{143}=\frac{1287}{143}=9}}$	וכאשר נחבר אלה החלקים של ג' מטבעים יהיו אלף רפ"ז וכאשר נחלק זה על קמ"ג יהיו ט' דינ' שלמים
Do the same if there are [4 types] of coins or more.	וככה תעשה אם היו מטבעים או יותר
explanation - the position of the zero [= representing the unknown]
Now I want to explain to you where to put the wheel. So we shall give an example:	עתה ארצה לבאר לך באיזה מקום תשים הגלגל והנה נעשה דמיון
Payment Problem
Question: Reuven hired Shimon to work with him for 17 days and he will pay him 11 pešuṭim, but he worked 9 days. $\scriptstyle\frac{17}{11}=\frac{9}{X}$	שאלה ראובן שכר שמעון שיעבוד עמו י"ז ימים ויתן לו י"א פשו' והנה עבד ט' ימים
Rule of Three: No doubt that as the ratio of the days that he worked to the whole [number of] days on which the condition was, the same ratio he will take of the 11, which are pešuṭim. (working days) : (total days) = (actual payment) : 11 pešuṭim	והוא אין ספק כי כערך הימים שעבד אל כל הימים שהיה התנאי שאותו הערך בעצמו יקח מי"א שהם הפשוטים
We set the wheel first, 11 the second, 9 the third and 17 the fourth, like this:	והנה נשים הגלגל הראשון והשני י"א והשלישי ט' והרביעי י"ז ככה
11 0 17 9	‫אא 0 זא ט
If we want, we set the wheel second and the fourth number 9, by writing like this:	ואם נרצה נשים הגלגל שני ומספר הרביעי ט' שנעשה ככה
0 11 9 17	‫0 אא ט זא
Because, when we set the greater number of pešuṭim first, we have to set the second number, which is the greater number of working days as the third, which is the first of the last two.	כי כאשר שמנו המספר הגדול בראשונה של פשוטים ככה נשים במספר השני המספר הגדול של ימי העבודה שלישי ראשון לשנים האחרונים
We can set the wheel as the third, like this:	ונוכל לשום הגלגל שלישי כזה
17 9 11 0	זא ט אא 0
We can set the wheel as the fourth, like this:	ונוכל לשום הגלגל רביעי ככה
9 17 0 11	ט זא ‫0 אא
all [options are] the same	והכל שוה
Payment Problem - Carrying Wheat
Question: Reuven hired Shimon to carry for him 13 measures of wheat on his beast a path of 17 miles and his payment will be 19 pešiṭim, but he carried 7 measures for a distance of 11 miles. How much should be his wages? $\scriptstyle\frac{13\sdot17}{19}=\frac{7\sdot11}{X}$	שאלה ראובן שכר שמעון שיוליך לו על בהמתו י"ג מדות חטה מהלך י"ז מילין ויהיה שכרו י"ט פשוטים והוא הוליך שבע מדות מהלך י"א מילין כמה שכרו
Do this: you should apply the proportions [= the rule of four] twice, for there is no other way to extract them.	ככה תעשה צריך אתה לעשות הערכים פעמים כי אין דרך אחרת להוציאם
Calculate as if he had carried the 7 measures the whole way, which are 17. Set the diagram like this:	וחשוב כי הז' מדות הוליך אותם כל התנאי שהם י"ז והנה תעשה ככה הדמיון
13 7 19 0	גא ז טא 0
Rule of Three: We multiply the extremes, which are 7 and 19; the product is 133. We divide it by 13; the result is 10 integers and 3 parts of 13 of one pašuṭ remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot19}{13}=\frac{133}{13}=10+\frac{3}{13}}}$	הנה נכפול הקצוות שהם ז' וי"ט יהיו קל"ג נחלקם על י"ג יעלו י' שלמים ונשארו ג' חלקים מי"ג בפשוט אחד
Since he carried only 7 measures for only 11 miles, we have to set a different proportion and a different diagram, and this is how we do it: 11 17 wheel 10 and 3 parts of 13 and this is its diagram:	ובעבור שלא הוליך אלא ז' מדות רק י"א מילין אנחנו צריכים לעשות ערך אחר ודמיון אחר ונעשה ככה י"א י"ז גלגל י' גם ג' חלקים מי"ג וזה דמיונו
17 11 10 0	זא אא ‫0א 0
Since we have to multiply the extremes, then divide the product by 17, and we have 3 parts of 13 in fourth place, we have to find a common denominator for both. This is how we find it:	ובעבור שאנו צריכין לכפול הקצוות ולחלק העולה על י"ז ויש לנו ברביעי ג' חלקים מי"ג צריכין אנו לבקש מורה אחד לשניהם וככה נמצאנו
We multiply 13 by 17; the product is 221 and it is the denominator, which is one integer. $\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot17=221}}$	שנכפול י"ג על י"ז יעלו רכ"א והוא המורה והוא אחד שלם
3 parts of 13 are 51 of 221: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{13}=\frac{51}{221}}}$	והנה ג' חלקים מי"ג יהיו נ"א מרכ"א
Rule of Three: We multiply 11 by 10; the product is 110. We multiply also 11, which are integers, by 51, which are parts; the product is 561. We divide it by 221, which is one integer; the result is 2 integers. We add them to 110; they are 112, and 119 parts of 221 remain. We divide 112 by 17 integers; the result is 6 whole pešuṭim, and 10 whole pešuṭim remain. We convert them into 221ths and add to them the 119 that remain, which are parts of one pašuṭ that consists of 221 parts; the result is 2329. We divide them by 17; the result is 137. The total is 6 whole pešuṭim and 137 parts of which one is 221.	ונשוב לכפול י"א על י' יהיו ק"י גם נכפול י"א שהם שלמים על נ"א שהם חלקים ויעלו תקס"א נחלקם על רכ"א שהוא האחד השלם יעלו ב' שלמים נחברם אל ק"י יהיו קי"ב וישארו קי"ט חלקים מרכ"א נחלק קי"ב על י"ז שלמים יעלו ו' פשוטים שלמים ונשארו י' פשוטים שלמים נשיבם על מנין רכ"א ונחבר אליהם קי"ט הנשארים שהם חלקים מפשוט אחד שהוא רכ"א חלקים ויהיו ט'ב'ג'ב' נחלקם על י"ז ויעלו ז'ג'א' וסך הכל ו' פשו' שלמים וקל"ז חלקים שהאחד רכ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{11\sdot\left(10+\frac{3}{13}\right)}{17}&\scriptstyle=\frac{11\sdot\left(10+\frac{51}{221}\right)}{17}=\frac{110+\frac{561}{221}}{17}=\frac{110+2+\frac{119}{221}}{17}\\&\scriptstyle=\frac{112+\frac{119}{221}}{17}=6+\frac{10+\frac{119}{221}}{17}=6+\frac{\frac{2329}{221}}{17}=6+\frac{137}{221}\\\end{align}}}$
Payment Problem - Digging a Hole
Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 10 in length, 10 in width, for which he would pay him 17 pešuṭim, but Shimon dug 5 in length and 5 in width	שאלה ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקע י' באורך וי' ברוחב ויתן לו י"ז פשו' ושמעון חפר ה' באורך וה' ברוחב
No doubt that he will be paid a quarter, because the product of one-half by one-half is one-quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\frac{17\sdot5\sdot5}{10\sdot10}=17\sdot}}\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}={\color{red}{17\sdot}}\frac{1}{4}}}$	אין ספק כי הרביעית יקח כי כפל חצי על חצי רביעי אחד שלם
Because, if he had dug half the length by the whole width or half the width by the whole length, he would have been paid a half of the payment.	כי אלו היה כופל חצי האורך על כל הרוחב או חצי הרוחב על כל האורך אז היה לוקח חצי הממון
If he said that he agreed with him that he should dig 7 in length, 6 in width, 5 in depth, and for this he would pay him 11 pešiṭim, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth. How much should be his payment? $\scriptstyle\frac{7\sdot6\sdot5}{11}=\frac{6\sdot5\sdot4}{X}$	רק אם אמר שהסכים עמו שיחפור ז' באורך וו' ברוחב וה' בעומק ויתן לו י"א פשו' והוא חפר ו' באורך וה' ברוחב וד' בעומק כמה שכרו
We need proportions:	הנה אנחנו צריכים לערכים
We multiply the first number, which is 7, by 6; the product is 42; multiply it by 5, which is the depth; it is 210. $\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot6\sdot5=42\sdot5=210}}$	ונכפול המספר הראשון שהוא ז' על ו' הרי מ"ב כפלה על ה' שהוא העומק ויהיו ר"י
We also multiply the second number, which is 6, by 5; the product is 30; we multiply it by 4, which is the depth; it is 120. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot5\sdot4=30\sdot4=120}}$	גם נכפול המספר השני שהוא ו' על ה' והם ל' גם נכפול זה על ד' שהוא העומק יהיו ק"כ
We set the proportion diagram as follows:	ועתה נעשה דמיון הערכים כזה
11 0 210 120	‫אא 0 ‫0אב ‫0בא
Rule of Three: We multiply the known means; the product is one thousand and 320. We divide it by 210; the result is 6 integers, and 60 remain, which are two sevenths of one pašuṭ. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11\sdot120}{210}=\frac{1320}{210}=6+\frac{60}{210}=6+\frac{2}{7}}}$	כפלנו האמצעיים הידועים והיו אלף וש"כ חלקנום על ר"י עלו ו' שלמים ונשארו ס' שהם שתי שביעיות פשוט
Pricing Problem - Find the Amount
Question: a man sells 13 measures of wheat for 23 pešuṭim. How many measures will he sell for 7 [pešuṭim]? $\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{X}{7}$	שאלה אדם מוכר חטה י"ג מדות בכ"ג פשו' כמה מדות יתן בז' פשו‫'
We set the proportion diagram as this rule:	נעשה דמיון הערך כמשפט הזה
23 7 13 0	גב ז ‫גא 0
Rule of Three: Multiply the extremes that are known; the product is 91. We divide it by 23; the result is 3 measures and 22 parts of 23 of one measure. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot13}{23}=\frac{91}{23}=3+\frac{22}{23}}}$	הנה כפול הקצוות שהם נודעים יהיו צ"א נחלקם על כ"ג יהיו ג' מדות וכ"ב חלקים מכ"ג במדה אחת
Pricing Problem - Find the Price
We reverse the question, by that we want to know how much will he get for 7 measures? $\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{7}{X}$	ועוד נהפוך הענין שנבקש לדעת בכמה יתן ז' מדות
We set the diagram as follows:	והנה נעשה הדמיון כזה
13 7 23 0	גא ז ‫גב 0
Rule of Three: We multiply the extremes; the product is 161. We divide it by 13; the result is 12 pešuṭim and 5 parts of 13 of one pašuṭ. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot23}{17}=\frac{161}{17}=12+\frac{5}{13}}}$	נכפול הקצוות יהיו קס"א נחלקם על י"ג יהיו י"ב פשו' וה' חלקים מי"ג בפשו' אחד
Motion Problem – Pursuit
Question: a man sends a messenger to walk 29 miles a day. After 10 days, he sends another messenger to walk after him 37 miles a day. When will he catch up with him? $\scriptstyle29X=37\sdot\left(X-10\right)$	שאלה אדם שלח רץ שילך בכל יום כ"ט מלין ואחר עשרה ימים שלח רץ אחר אחריו שילך בכל יום יום ל"ז מילין מתי ישיגנו
Rule of Three: We multiply the miles he walks in 10 days; the product is 290. We divide it by the difference between the two messengers, which is 8; the result is 36 days and one-quarter of a day. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{29\sdot10}{37-29}=\frac{290}{8}=36+\frac{1}{4}}}$	נכפול המילין שהלך בי' ימים יהיו ר"צ נחלקם על היתרון שבין שני המהלכים שהוא ח' והנו ל"ו ימים ורביעית יום
Give and Take Problem
Question: a man left his city and arrived to another country. He took an oath that if God will double his money he will donate two pešuṭim each day. After two days he ran out of money. How much did he bring? $\scriptstyle2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left(2X-2\right)-2\right]-2\right]=2$	שאלה אדם יצא מעירו ונכנס במדינה אחרת נדר אם יכפול המקום ממונו יתן בכל יום ב' פשו' לסוף ד' ימים הלך ממונו כמה הביא
He had in fact 2 pešuṭim minus one-eighth of a pašuṭ. $\scriptstyle{\color{blue}{2-\frac{1}{8}}}$	האמת כי היה לו ב' פשוטים פחות שמינית פשוט
Motion Problem – Encounter
Question: Reuven left his city on the morning of the first day of the month, to meet his brother Shimon in his city. On that same day Shimon left his city, to meet his brother Reuven in his city. The distance between the two cities is 100 miles. Reuven walks 19 miles a day and Shimon walks 17 miles a day. We ask: when will they meet?	שאלה ראובן יצא מעירו ללכת לקראת שמעון אחיו לעירו בקר יום ראשון של ראש החדש ובעצם היום הזה יצא גם שמעון מעירו ללכת לקראת ראובן אחיו לעירו והמרחק בין שני הערים ק' מילין ומהלך ראובן ביום אחד י"ט מילין ומהלך שמעון ביום אחד י"ז מילין נשאל מתי יתחברו
Do as follows: sum the two daily routes; they are 36. Divide the 100 miles by them; the result is two days, and 28 parts of 36 of one day remain, which are 7 ninths of a day. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{100}{19+17}=\frac{100}{36}=2+\frac{28}{36}=2+\frac{7}{9}}}$	ככה תעשה חבר שני המהלכים והם ל"ו חלק עליו המאה מילין יהיה שני ימים ישארו כ"ח חלקים מל"ו ביום אחד שהם ז' תשיעיות יום
You can convert them into hours of the day by the method of proportion:	ותוכל להושיבם לשעות היום בדרך הערכין
12 0 9 7	‫בא 0 ט ז
Rule of Three: We multiply 7 by 12; the product is 84. We divide [it] by 9; the result is 9, which are hours, and 3 remain, which are one-third of one hour. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot12}{9}=\frac{84}{9}=9+\frac{3}{9}=9+\frac{1}{3}}}$	וככה תעשה כפלנו ז' על י"ב עלו פ"ד חלקנו על ט' עלו ט' והם שעות נשארו ג' שהם שלישית שעה
Another method: we know that the ratio of 12 to 9 is the same as it plus its third. $\scriptstyle{\color{blue}{12:9=1+\frac{1}{3}}}$	ועל דרך אחרת ידענו כי ערך י"ב אל ט' כמוהו ושלישיתו
Since we had ninths, we take for the 7 ninths 7 thirds, we divide them by 3; they are 2 hours and one-third of an hour. We add them to the seven that we had and the result is the same. $\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\frac{12}{9}=7\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=7+\frac{7}{3}=7+\left(2+\frac{1}{3}\right)=9+\frac{1}{3}}}$	כי תשיעיות היו לנו והנה נקח לז' תשיעיות ז' שלישיות נחלקם על ג' יהיו ב' שעות ושלישית שעה נחברם אל השבע שהיו לנו והנה הדבר שוה
If we wish to know: how many miles did Reuven walk?	ואם בקשנו לדעת כמה מילין הלך ראובן
We already know that in two days he walked 38 miles. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot19=38}}$	כבר ידענו כי בשני ימים הלך ל"ח מילין
We already said that he walked 7 ninths of the day. We set the proportion as follows:	וכבר אמרנו כי ז' תשיעיות היום הלך והנה נעשה הערך כך
9 7 19 0	ט ז ‫טא 0
Rule of Three: We multiply 7 by 19; the product is 133. We divide it by 9; the result is 14 and seven-ninths. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot19}{9}=\frac{133}{9}=14+\frac{7}{9}}}$	כפלנו ז' על י"ט עלו קל"ג חלקנום על ט' עלו י"ד ושבע תשיעיות
Hence, the total is 52 miles and 7 ninths $\scriptstyle{\color{blue}{38+\left(14+\frac{7}{9}\right)=52+\frac{7}{9}}}$	והנה הכל נ"ב מילין וז' תשיעיות
Payment Problem - three workers, three different daily wages, the same actual payment
Question: A man hired three brothers – Reuven, Shimon, and Levi – to do his work for 20 days from morning until evening, any one of them in turns so that the work will not cease. If Reuven works all the days he will pay him 5 zehuvim; if Shimon – 4, if Levi – 3. They worked together for the 20 days and there was a a supervisor sitting with them, who wrote down how many hours and parts of hours each of them worked a day. Finally, he paid each of them an equal share. We wish to know: how much is the share of each of them? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{5}{20}X=\frac{4}{20}Y=\frac{3}{20}Z\\\scriptstyle X+Y+Z=20\end{cases}$	שאלה אדם שכר ג' אחים ראובן שמעון ולוי שיעשו עבודתו כ' ימים מן הבקר עד הערב מאיזה מהם שתהיה ולא תשבות המלאכה והנה אם עבד ראובן כל הימים יתן לו ה' זהובים ואם שמעון ד' ואם לוי ג' והנה בין כלם עבדו הכ' ימים והיה יושב עליהם שומר כותב כמה שעות ביום עבד כל אחד מהם וכמה חלקי שעה והנה באחרונה נתן לכל אחד מהם חלק שוה נרצה לדעת כמה החלק מכל אחד מהם שלקח
Know that Reuven works 4 days for one zahuv, Shimon 5 days and Levi 6 days and 2 thirds of a day. The total is 15 integers and 2 thirds of one day. $\scriptstyle{\color{blue}{4+5+6+\frac{2}{3}=15+\frac{2}{3}}}$	דע כי ראובן ישמש ד' ימים בזהוב אחד ושמעון ה' ימים ולוי ו' ימים וב' שלישיות יום והנה הכל ט"ו שלמים וב' שלישיות יום אחד
We divide 20 by this number; the result is one integer, and 4 integers and one-third remain. Because of the third, we convert all to thirds: we convert the 20 days to 60 thirds; the 15 and 2 thirds to 47 thirds; the 4 and one-third of a day to 13. So each took one zahuv and 13 pešuṭim of a coin of 47 [pešuṭim]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{15+\frac{2}{3}}=1+\frac{4+\frac{1}{3}}{15+\frac{2}{3}}=\frac{\frac{60}{3}}{\frac{47}{3}}=1+\frac{\frac{13}{3}}{\frac{47}{3}}=1+\frac{13}{47}}}$	נחלק כ' על זה המספר ועלה אחד שלם ונשארו ד' שלמים ושלישית אחד והנה בעבור השלישית נשיב הכל שלישיות והנה נשיב הכ' יום ס' שלישיות והט"ו וב' שלישיות מ"ז שלישיות והד' ושלישית יום י"ג והנה כל אחד לקח זהוב אחד וי"ג פשוטים ממטבע מ"ז בזהוב
We ask how much each had to work until completing the 20 days.	ועתה נבקש כמה חיוב כל אחד שיעבוד עד שישלימו הכ' יום
We start with Levi, who he had to work 6 days and 2 thirds of a day for the zahuv that he took. We convert them to thirds; they are 20.	והנה נחל מלוי שהוא חייב לשמש בזהוב שלקח ו' ימים וב' שלישיות יום ונעשה מאלה שלישיות ויהיו כ'
We want to know how much he had to work for the 13 pešuṭim that he took. We set the proportion as follows:	ונבקש לדעת כמה יש לו לעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח ונעשה הערך כך
47 13 20 0	זד גא ‫0ב 0
We multiply 13 by 20; the product is 260. We divide it by 47; the result is 5 and 25 parts remain. We add the 5 to the 20; they are thirds and 25 parts of 47. We divide these thirds by 3; the result is 8 integers and one remains. We take 4 hours for it, which are one-third of a day. We multiply also 25 parts by 4; the product is one hundred. We divide it by 47; the result is two hours and 6 parts remain. So Levi has worked 8 days, 6 hours and 6 parts.	כפלנו י"ג על כ' והיו ר"ס חלקנום על מ"ז עלו ה' ונשארו כ"ה חלקים נוסיף הה' על הכ' ויהיו כ"ה שלישיות גם כ"ה חלקים ממ"ז וחלקנו אלה השלישיות על ג' עלו ח' שלמים ונשאר אחד נקח לו ד' שעות שהם שלישית יום גם נכפול כ"ה חלקים על ד' יעלו מאה נחלקם על מ"ז עלו שתי שעות ונשארו ו' חלקים והנה לוי עבד ח' ימים גם ו' שעות גם ו' חלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{20}{3}=\frac{20}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{20}{3}\right)=\frac{20}{3}+\frac{\frac{13\sdot20}{47}}{3}=\frac{20}{3}+\frac{\frac{260}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{20}{3}+\frac{5}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=\frac{25}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=8+\frac{1}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot25}{47}}{12}\\&\scriptstyle=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{100}{47}}{12}=8+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}=8+\frac{6}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}\\\end{align}}}$
We want to know how long Shimon worked.	ונבקש לדעת כמה עבד שמעון
For one zahuv he had to work 5 days, which are 15 thirds.	והנה חייב לעבוד בעבור הזהוב ה' ימים שהם ט"ו שלישיות
We want to know how much did he work for the 13 pešuṭim that he took. We set the proportion as follows:	ונבקש לדעת כמה יעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח והנה נעשה הערך כך
47 13 15 0	זד גא ‫הא 0
We multiply 15 by 13; the product is 195. We divide it by 47; the result is 4, and 7 parts remain. We add the 4 to the 15, because they are thirds; the result is 19 thirds. We divide them by 3; they are 6 whole days. For the remaining one, we take 4 hours. We multiply also 7 by 4; the product is 28. So they are 6 days, 4 hours and 28 parts and that is how long Shimon worked.	נכפול ט"ו על י"ג יעלו קצ"ה נחלקם על מ"ז עלו ד' ונשארו ז' חלקים נחבר הד' אל הט"ו כי שלישיות הם יעלו י"ט שלישיות נחלקם על ג' יהיו ו' ימים שלמים ונקח לאחד הנשאר ד' שעות גם נכפול ז' על ד' יהיו כ"ח והנה הם ו' ימים ד' שעות וכ"ח חלקים וככה עבד שמעון
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot5&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{15}{3}=\frac{15}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{15}{3}\right)=\frac{15}{3}+\frac{\frac{13\sdot15}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{\frac{195}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{15}{3}+\frac{4}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=\frac{19}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=6+\frac{1}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot7}{47}}{12}=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{28}{47}}{12}\\\end{align}}}$
We want to know how long Reuven worked.	ונבקש לדעת כמה עבד ראובן
For one zahuv he worked 4 days, which are 12 thirds.	והנה עבד בשביל הזהוב ד' ימים שהם י"ב שלישיות
For the 13 pešuṭim that he took, we set the proportion as follows:	ונעשה בעבור הי"ג פשוטים שלקח הערך כך
47 13 12 0	זד גא ‫בא 0
We multiply 13 by 12; the product is 156. We divide it by 47; the result is 3, and 15 parts remain. We add these 3 to the 12 that we had; they are 15, which are thirds, so he had worked 5 days. We multiply also the 15 parts by 4; the product is 60. We divide them by 47; the result is one hour and 13 parts of an hour remain and that is how long Reuven worked.	נכפול י"ג על י"ב יעלו קנ"ו נחלקם על מ"ז עלו ג' ונשארו ט"ו חלקים חברנו אלו הג' עם הי"ב שהיו לנו היו ט"ו והם שלישיות והנה עבד ה' ימים גם נכפול הט"ו חלקים על ד' עלו ס' חלקים נחלקם על מ"ז עלתה שעה אחת ונשארו י"ג חלקים משעה וככה עבד ראובן
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot4&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{12}{3}=\frac{12}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{12}{3}\right)=\frac{12}{3}+\frac{\frac{13\sdot12}{47}}{3}=\frac{12}{3}+\frac{\frac{156}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{12}{3}+\frac{3}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}=5+\frac{\frac{15}{47}}{3}=5+\frac{\frac{4\sdot15}{47}}{12}=5+\frac{\frac{60}{47}}{12}=5+\frac{1}{12}+\frac{\frac{13}{47}}{12}\\\end{align}}}$
Check: When you sum these parts, they add up to one hour, no more nor less. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{47}+\frac{28}{47}+\frac{13}{47}=1}}$	וכאשר תחבר אלה החלקים יתחבר מהם שעה אחת בלי תוספת ומגרעת
When you add this hour to the mentioned hours, they are 12 hours, which is one day. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=1}}$	וכאשר תחבר זאת השעה אל השעות הנזכרות יהיו י"ב שעות שהוא יום אחד
When you add the one day to the mentioned days, they are twenty days, no more nor less. $\scriptstyle{\color{blue}{8+6+5+1=20}}$	וכאשר תחבר היום לימים הנזכרים יהיו עשרים יום בלי תוספת ומגרעת
Boiling Problem
Question: A man had 10 measures of must and he wants to cook them so that only one-third remains. He starts to cook [them] until eight measures are left of them. Then, two measures overflow. Now he wants to cook [the remaining 6 measures] until it is reduced [as he planned] at first. $\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}$	שאלה אדם היו לו י' מדות מתירוש ורצה לבשלם עד שלא ישאר מהם כי אם השלישית והנה החל לבשל עד שנשארו מהם ח' מדות ונשפך ב' מדות והנה ירצה לבשלם עד שיהיו כמשפט הראשון
You have 3 known numbers: firstly how much is one-third of 10; it is known to be 3 and one-third. It is also known that eight are measures that should have been cooked. It is also known that six remain.	והנה יש לך ג' מספרים ידועים הא' כמה שלישית י' ידוע כי הוא ג' ושליש וידוע כי שמנה יהיו המדות שיתבשלו וידוע כי ששה נשארו
make the diagram like this:	והנה תעשה הדמיון ככה
8 6 3 3 0	ח ו ‫ג ג 0
Rule of Three: We multiply 6 by 3 and one-third; they are 20. We divide them by 8; the result is two and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\sdot\left(8-2\right)}{8}=\frac{\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot6}{8}=\frac{20}{8}=2+\frac{1}{2}}}$	והנה נכפול ו' על ג' ושליש יהיו כ' נחלקם על ח' יהיו שנים וחצי
Another example: We have 9 measures of must, and he wants them to be cooked until the third part of it remains. It was now cooked until 6 measures were left. Then 4 measures were overflow, and 2 measures remain.	דמיון אחר היו לנו ט' מדות תירוש וירצה שיתבשלו עד שישאר השליש והוא נתבשל עד שנשארו ו' מדות ונשפכו ד' וב' נשארו
The proportion is as follows:	וככה הערך
6 2 3 0	ו ב ‫ג 0
We multiply 2 by 3; the product is 6, so it is 1. Hence, the cooked must be one measure.	כפול ב' על ג' עלו ו' יהיה אחד והנה המשפט להיות המבושל מדה אחת
How Much Problem - Money
Question: an amount of money, we sum its fifth, its seventh, and its ninth and they are 10, how much is the money? $\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=10$	שאלה ממון חברנו חמישיתו ושביעיתו ותשיעיתו והיו עשרה כמה הממון
False Position: We seek for the denominator; it is 315. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=315}}$	נבקש המורה והוא שט"ו
The mentioned parts are 143:	והחלקים הנזכרים הם קמ"ג
When you divide 315 by 5, the result is 63. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot315=63}}$	כאשר תחלק שט"ו על ה' יעלו ס"ג
When you divide by 7, the result is 45. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot315=45}}$	וכשתחלק על ז' יעלו מ"ה
By 9, the result is 35. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot315=35}}$	ועל ט' יעלו ל"ה
Sum them together, the result is 143. $\scriptstyle{\color{blue}{63+45+35=143}}$	חברם יחד יעלו קמ"ג
We set the proportion as follows:	ונעשה הערך כך
315 143 0 10	האג גדא 0 ‫0א
Rule of Three: We multiply 315 by 10; the product is 3 thousand and 150. We divide it by 143; the result is 22 and 4 parts of 143. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315\sdot10}{143}=\frac{3150}{143}=22+\frac{4}{143}}}$	נכפול שט"ו על י' יעלו ג' אלפים וק"נ נחלקם על קמ"ג עלו כ"ב שלמים וד' חלקים מקמ"ג
First from Last Problem - Money
We do the opposite: An amount of money - we have subtracted from it its fifth, its seventh and its ninth and 10 remain. $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X\right)=10$	נעשה להפך ממון חסרנו ממנו חמישיתו שביעיתו ותשיעיתו ונשארו י'
False Position: We subtract 143, which are the fractions, from 315, which is the denominator; 172 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{315-143=172}}$	נחסר קמ"ג שהם השברים מן שט"ו שהוא המורה ישארו קע"ב
We set the proportion as follows:	ונעשה הערך כך
0 15 315 172	0 הא האג בזא
Rule of Three: We multiply 10 by 315; the product is 3 thousand and 150. We divide it by 172; The result is 18 integers and 54 parts of 172. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315\sdot10}{172}=\frac{3150}{172}=18+\frac{54}{172}}}$	כפלנו י' על שט"ו עלו ג' אלפים וק"נ חלקנום על קע"ב עלו י"ח שלמים ונ"ד חלקים מקע"ב
Check: We take away one-fifth, one-seventh and one-ninth of this number; we are left with 10 integers.	לקחנו חמישית ושביעית ותשיעית זה המספר ישארו לנו י' שלמים
According to this way.	ועל זה הדרך
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree
Question: A tree, a third of it is in the water, a quarter of it is [ingrained] in the soil, and 10 cubits of it are up above the water, how much is the length of the whole tree? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+10=X$	שאלת האילן ששלישיתו במים ורביעיתו בעפר ולמעלה מן המים י' אמות כמה גבהות כל האילן
Common Denominator: We seek for a number that has a third and a quarter; it is 12.	נבקש מנין שיש לו שלישית ורביעית והוא י"ב
False Position: The sum of its third and its quarter is 7. We subtract this from 12; 5 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=12-7=5}}$	ושלישיתו ורביעיתו מחוברים ז' נחסרם מי"ב ישארו ה'
We set the proportion as follows:	נעשה הערך כך
0 10 12 5	0 ‫0א בא ה
Rule of Three: We multiply the extremes; the product is 120. We divide it by 5; the result is 24 and this is the height of the tree. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot10}{5}=\frac{120}{5}=24}}$	הנה כפלנו הקצוות עלו ק"כ חלקנום על ה' עלו כ"ד וזהו גבהות כל האילן
Check: Because its third is 8, its quarter is 6, and their sum is 14. We subtract this from 24; 10 integers remain, no less and no more. $\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=24-8-6=24-14=10}}$	כי שלישיתו שמנה ורביעיתו ששה והמחוברים י"ד נחסרם מכ"ד ישארו י' שלמים לא פחות ולא יותר
Another example: A tree, a seventh of it is in the water, a ninth of it is [ingrained] in the soil, and 8 [cubits] of it are up above the water. $\scriptstyle\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X+8=X$	דמיון אחר אילן שביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה מן המים ח'
Common Denominator: The denominator is 63.	והנה המורה ס"ג
False Position: We subtract from it 16, which is one-seventh and one-ninth; 47 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{63-\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)-\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=63-16=47}}$	נחסר ממנו י"ו שהוא השביעית והתשיעית נשארו מ"ז
We set the proportion as follows:	ונעשה הערך כך
0 8 56 47	0 ח נו זד
Rule of Three: We multiply the extremes; they are 504. We divide them by 47; the result is 10 integers and 34 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{63\sdot8}{47}=\frac{504}{47}=10+\frac{34}{47}}}$	הנה כפלנו הקצוות והיו תק"ד חלקנום על מ"ז עלו י' שלמים גם ל"ד חלקים
Check: One-seventh of this number is one integer and 25 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)=1+\frac{25}{47}}}$	ושביעית זה המספר אחד שלם וכ"ה חלקים
One-ninth is one integer and 9 parts. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)=1+\frac{9}{47}}}$	ותשיעיתו אחד שלם וט' חלקים
We sum the parts mentioned; they are 34 and the integers are 2. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{25}{47}\right)+\left(1+\frac{9}{47}\right)=2+\frac{34}{47}}}$	חברנו החלקים הנזכרים והם ל"ד והשלמים ב'
We subtract them from the number mentioned, 8 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left(2+\frac{34}{47}\right)=8}}$	חסרנום מהמספר הנזכר נשארו ח'
Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Inheritance
Question: Jacob died. His son Reuven issued a deed with two credible witnesses, according to which his father Jacob has given him alone all the property he had and instructed so in case of death. His son Shimon issued a deed as well, according to which his father instructed that half of his property should be granted to him. Levi also issued a deed, according to which his father instructed that one-third of his property should be given to him. Yehudah too issued a deed, according to which one-quarter of his property should be granted to him. All of them wrote this in Jerusalem in the same day, the same time, the same hour	שאלה יעקב מת והוציא ראובן בנו שטר בשני עדים כשרים שנתן לו לבדו יעקב אביו כל הממון שהיה לו וצוה כן מחמת מיתה ביום מותו גם הוציא שמעון בנו שטר שאביו צוה מחמת מיתה שינתן לו חצי ממונו גם לוי הוציא שטר שאביו צוה שינתן לו שליש ממונו ג"כ הוציא יהודה שטר שינתן לו רביעית מממונו ולכלם יום אחד וזמן אחד ושעה אחת בירושלם שכותבין בו שעות
Three methods to divide the property between the four sons each according to his relative portion:
The wise men of Israel divide it according to the demand of each	והנה חכמי ישראל מחלקים אותו על דרך בקשת כל אחד
The Gentile sages - according to the ratio of share claimed by each.	וחכמי הגוים על דרך ערך הממון שלכל אחד
The arithmeticians - consider the property as if it were one. $\scriptstyle{\color{red}{X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=120}}$	וחכמי החשבון יחשבו כי הממון היה אחד
When you add to it its half, its third and its quarter, the total is two and one-half of one-sixth. $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	וכאשר תחבר אליו חציו ושלישיתו ורביעיתו יהיה הכל שנים וחצי ששית
We set the one integer as sixty, which has all the parts mentioned; the total is 125. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot60=125}}$	והנה נשים האחד שלם ששים שיש לו כל החלקים הנזכרים והנה יהיה בין הכל קכ"ה
Or we set the one integer as 12 and the mentioned fractions as 13. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot12=12+13}}$	או נשים האחד שלם י"ב והשברים הנזכרים י"ג
Whichever of the two you take, the same number results at last.	ושוה יצא המספר באחרונה איזה מהם שתקח
We seek how much Reuven takes according to his proportional share: We set the proportion at 60, because he demands the whole property. We say that the property is ten dinar, which are 120 pešuṭim.	והנה נבקש כמה יקח ראובן כפי ערך ממונו ונעשה הערך ככה על דרך ששים כי הוא מבקש כל הממון ונאמר כי הממון עשרה דינרים שהם ק"כ פשוטים
The following is the proportion of the money that Reuven takes:	וזה תורת ערך הממון שיקח ראובן
0 60 120 125	0 ‫0ו ‫0בא הבא
Rule of Three: We multiply the extremes; the product is 7 thousand and 200. We divide this by 125; the result is 57 pešuṭim and 75 parts. This is Reuven's share. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot120}{125}=\frac{7200}{125}=57+\frac{75}{125}}}$	כפלנו הקצוות ועלו ז' אלפים ור' חלקנום על קכ"ה עלו נ"ז פשו' וע"ה חלקים וזה חלק ראובן
The following is the diagram of proportion of Shimon:	וזו צורת ערך שמעון
0 30 120 125	0 ‫0ג ‫0בא הבא
Rule of Three: We multiply the extremes and divide according to the rule. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{30\sdot120}{125}}}$	נכפול הקצוות ונחלק כמשפט
The following is the diagram of Levi's share:	וזו צורת חלק לוי
0 20 120 125	0 ‫0ב ‫0בא הבא
Rule of Three: We multiply and divide according to the rule. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{20\sdot120}{125}}}$	נכפול ונחלק כמשפט
The following is the diagram of Yehudah's share:	וזו צורת חלק יהודה
Rule of Three: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{15\sdot120}{125}}}$
Another method in a shorter way [according to the Gentile sages]:	ענין אחר בדרך קצרה
Shimon takes a half of Reuven's share. Shimon = ½ Reuven	יקח שמעון חצי חלק ראובן
Levi takes the third part of Reuven's share. Levi = ⅓ Reuven	גם יקח לוי שליש חלק ראובן
Yehudah takes the fourth part of Reuven's share. Yehudah = ¼ Reuven	גם יקח יהודה רביעית חלק ראובן
When you sum all these parts and integers, they are 120 pešuṭim, which are 10 dinar. Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120	וכאשר תחבר כל אלה החלקים והשלמים יהיו ק"כ פשו' שהם י' דינ'
According to the procedure of the sages of Israel:	ועל דרך חכמי ישראל
The three older brothers say to their brother Yehudah: You only claim 30 pešuṭim and each of us has the same claim of them. Take 7 and one-half, which the quarter, and leave us. Each of the three brothers takes just as much. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot30=7+\frac{1}{2}}}$	יאמרו הג' אחים הגדולים ליהודה אחיהם אין אתה מערער רק על ל' פשוטים וערעור כל אחד ממנו שוה בהם קח ז' וחצי שהוא הרביעית ולך מעמנו וכמו כן יקח כל אחד מהג' אחים
Reuven also says to Levi: You only claim 40 pešuṭim. You have already took your share of the 30, of which all four of us have claimed. Take one-third of the 10, which is one-fourth of 40, and leave us. Thus, Lewi's share is ten and five-sixths, because the half of the 7 and a half that he had already took is 3 sixths; and the one-third of the 10 is 2 sixths; so they are 5 sixths.	ועוד יאמר ראובן ללוי אין אתה מערער רק על מ' פשו' וכבר לקחת חלקך מהל' שארבעתנו ערערנו עליהם קח אתה שלישית י' שהוא רביעית מ' ולך מעמנו והנה חלק לוי עשרה וחמש ששיות פי' כי החצי מן הז' והחצי שלקח כבר הם ג' ששיות ושליש אחד מן הי' הם ב' ששיות הרי ה' ששיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)=\left(7+\frac{3}{6}\right)+\left(3+\frac{2}{6}\right)=10+\frac{5}{6}}}$
Reuven also says to Shimon: You only claim half of the assets, which is 60, and the other half is entirely mine. You have already took your share of 40, so between you and me there is a dispute only about 20. Take half of it and leave me. Thus, Shimon's share is twenty and five-sixths of one pašuṭ. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]=20+\frac{5}{6}}}$	גם יאמר ראובן לשמעון אין אתה מערער אלא על חצי הממון שהוא ס' והחצי האחר הוא כלו שלי וכבר לקחת חלקך מהמ' והנה נשאר ביני ובינך הערעור בעשרים קח חציים ולך מעלי והנה חלק שמעון עשרים וחמש ששיות פשו'
Reuven's share if eighty and five-sixths of one pašuṭ.	וחלק ראובן שמונים גם חמש ששיות פשו' אחד
$\scriptstyle{\color{red}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot120\right)=80+\frac{5}{6}}}$
If you sum these parts they are 10 dinar. Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120	וכאשר תחבר אלו החלקים יהיו עשרה דינ'
Rule of Four in Astronomical Tables
Now, I shall explain the method of the astrologers in the tables of the determination of the planets.	ועתה אפרש דרך חכמי המזלות בספרי הלוחות בתקון המשרתים
When determining the moon and also when determining 5 planets, there is a row that is called the row of ratio and this ratio is to 60.	כי בתקון הלבנה גם בתקון ה' המשרתים טור יקרא טור הערך וזה הערך הוא אל ס'
For, if 60 is written in the row of the ratio,	כי אם היה כתוב בטור הערך ס' יהיה בטור אחריו שיקרא הטור החמשי או הכתוב בטור השביעי מה שיהיה כתוב באחד מהם ראשונים לבדם או ראשונים ומעלות הכל יקח
So it is when determining the position of the moon.	וככה בתקון מקום הלבנה
If it is less than 60, one should take the ratio from the parts that are written in the fifth or seventh row.	ואם היתה פחותה מס' יקח כפי הערך מהחלקים הכתובים בטור החמישי או השביעי
Example: There are 40 fractions exceeding over the degrees, and in the row of the ratio there is 15.	דמיון יש חלקים יתרים על המעלות מ' ובטור הערך ט"ו
You have to multiply 15 by 40 and divide the product by 60; this is the sought number. So, make the diagram of the ratio like this:	ואתה צריך לכפול ט"ו על מ' והעולה תחלקנו על ס' והוא המבוקש ועשה דמיון הערך כזה
6 15 40 0	ו הא ‫0ד 0
Multiply 15 by 40; the result is 6 hundred. Divide them by 60; the result is 10 parts.	כפול ט"ו על מ' עלו ו' מאות חלקם על ס' יעלו י' חלקים
More closer than this is that you seek how much the ratio of 40 to 60 is; it is 2 thirds. Take also this ratio from 15; it is 10.	ויותר קרוב מזה שתבקש מה ערך מ' אל ס' והם ב' שלישיות גם זה הערך קח מט"ו והנו י'
Or seek how much the ratio of 15 to 60 is; it is one-quarter of 60. Take one-quarter of 40; it is 10.	או בקש מה ערך ט"ו אל ס' והנו רביעית ס' קח רביעית מ' והוא י'
Another example: One number is 30 and the other is 45.	דמיון אחר המספר האחד ל' והשני מ"ה
The ratio of 45 to 60 is 3 quarters. We take 3 quarters from 30; they are 22 and one-half, which are 30 seconds.	והנה ערך מ"ה אל ס' ג' רביעיות נקח שלש רביעיות ל' והם כ"ב וחצי שהם ל' שניים
Or we take the ratio of 30, which is one-half of 60, then we also take half of 45; it is 22 and one-half.	או נקח הערך מן הל' שהוא חצי ס' ג"כ נקח חצי מ"ה והנו כ"ב וחצי
Example of two numbers, one of which has a ratio and the other does not have a ratio, such as: One number is 20, the other is 33.	דמיון לב' מספרי' שהאחד יש לו ערך והשני אין לו ערך כמו המספר האחד כ' והשני ל"ג
The ratio of 20 to 60 is one-third. We take one-thing of 33; they are 11 minutes.	והנה ערך כ' אל ס' שלישית והנה נקח שלישית ל"ג והם י"א ראשונים
The same result is received by multiplication: when you multiply 20 by 33 and divide the product by 60; the quotient is 11.	וככה יבא בדרך הכפל כאשר תכפול כ' על ל"ג ותחלק העולה על ס' והעולה בחלוק יהיה י"א
Since 33 is close to half of 60, we also take the ratio from it; it is 10 minutes, which is half of 20. Since we have an excess of 3 over the half, we multiply 3 by 20; they are 60. No doubt that they are seconds, because minutes times minutes are seconds, for one multiplied by one is two. So, they are 60 Seconds that are one part. We add it to the 10; it is 11.	ובעבור כי ל"ג קרוב מחצי ס' נקח גם הערך ממנו והנו י' ראשונים שהוא חצי כ' ובעבור שיש לנו תוספת ג' על החצי נכפול ג' על כ' יהיו ס' ואין ספק כי הם שניים כי כפל ראשונים על ראשונים יעלו שניים כי אחד על אחד שנים והם ס' שניים והם חלק ראשון נחברם על י' והוא י"א
Another example: One number is 20 and the other is 28.	דמיון אחר המספר האחד כ' והשני כ"ח
The ratio of 20 to 60 is one-third; one-third of 28 is 9 minutes and 20 seconds.	והנה ערך כ' אל ס' שלישית ושלישית כ"ח ט' ראשונים וב' שניים
We also consider 28 as half of 60, because it is close to it. The half of 20 is 10. Since 2 is subtracted from the half, we multiply 2 by 20; they are 40 seconds. We subtract them from one minute; 9 minutes and 20 seconds remain.	ועוד נחשוב כי כ"ח חצי ס' כי הוא קרוב ממנו והנה חצי כ' י' ובעבור כי ב' יחסרו מהחצי נכפול ב' על כ' יהיו מ' שניים נחסרם מהראשון אחד יהיו הנשארים ט' ראשונים וכ' שניים
An example of subtracting the ratio: one number is 14, the other is 29.	דמיון לחסר הערך שחשבונו האחד י"ד והשני כ"ט
We take the ratio of 29, but we consider it is half of 60 and take half of 14, which is 7 minutes. Since one is subtraced from the half, we multiply it by 14; the result is 14 seconds. We subtract them from one minute; 6 minutes and 46 seconds remain.	והנה נקח הערך מכ"ט ונחשוב כי הוא חצי ס' נקח חצי י"ד והם ז' ראשונים ובעבור כי אחד יחסר מהחצי נכפלנו על י"ד יהיו י"ד שניים נחסרם מחלק ראשון ישארו ו' ראשונים ומ"ו שניים
Another example - one number is to be subtracted and the other is to be added: We set one as 18 and the other as 42.	דמיון אחר המספר האחד לחסר והשני להוסיף והנה נשים האחד י"ח והשני מ"ב
We take the ratio from 42, but we consider it as two-thirds. We take two-thirds of 18; it is 12. Since we have an excess of 2, we multiply it by 18; they are 36 seconds and this is the result in the way of the multiplication.	והנה נקח הערך ממ"ב ונחשוב כי הוא שתי שלישיות נקח שתי שלישיות י"ח והנה י"ב ובעבור שיש לנו תוספת ב' נכפלם על י"ח יהיו ל"ו שניים וככה יהיה העולה בדרך הכפל
Likewise, we take the ratio from 18 and consider it as one-third. One-third of 42 is 14. Since we have add 2, we multiply it by 42; they are 84 seconds, which are one part and 24 seconds. We subtract it from 14; the remainder is as the first number, which is 12 and 36 seconds.	וגם נקח הערך מי"ח ונחשוב כי הוא שלישית והנה שלישית מ"ב י"ד ובעבור שהוספנו ב' נכפלם על מ"ב והיו פ"ד שניים שהם חלק ראשון וכ"ד שניים נחסרם מי"ד ישאר כמספר הראשון שהוא י"ב גם ל"ו שניים
We can take also the ratio from both by adding: We consider 18 as one-quarter of 60, and take one-quarter of 42; they are 10 minutes and 30 seconds. Since we have an excess of 3, we multiply 42 by 3; they are 126 seconds, which are 2 minutes and 6 seconds. We add it to the number mentioned; they are 12 minutes and 36 seconds.	ונוכל לקחת עוד הערך בתוספת משניהם שנחשוב י"ח שהוא רביעית ס' והנה נקח רביעית מ"ב יהיו י' ראשונים ול' שניים ובעבור שיש לנו תוספת ג' נכפול מ"ב על ג' יהיו קכ"ו שניים שהם ב' ראשונים וו' שניים נוסיף זה על המספר הנזכר יהיו י"ב ראשונים ל"ו שניים
If we had considered the 42 as 3 quarters it would have resulted correct.	ואילו היינו חושבים כי מ"ב הם ג' רביעיות היה הדבר יוצא נכון
We can take the ratio from 14 by considering it as one-quarter of 60. We take one-quarter of 29; they are 7 and one-quarter, which are seconds. Since the deficiency from one-quarter is one part, we multiply 29 by 29; they are 29 seconds. We subtract it from the number mentioned; 6 minutes remain.	ונוכל לעשות הערך מי"ד שנחשוב כי הוא רביעית ס' נקח רביעית כ"ט והם ז' ורביעית שהם שניים ובעבור כי החסרון מרביעית הוא חלק ראשון נכפול כ"ט על כ"ט יהיו כ"ט שניים נחסרנו מן המספר הנזכר ישארו ו' ראשונים
I shall tell you the rule: if the parts in the row of the ratio do not share a ratio [to 60], proceed in the way of the multiplication, as I have mentioned for the fraction.	וכלל אומר לך כי אם לא היה ערך לחלקים הנמצאים בטור הערך שוב לעשות על דרך הכפל כאשר הזכרתי בשברים
Always see: if there are any fractions added to the degrees of the determined center that are less than 30, leave them out and take the minutes that are written in the row of the ratio corresponding to the preceding degrees.	ולעולם ראה אם היו חלקים נוספים על מעלות המוצק המתוקן והם פחותים מל' הניחם וקח הראשונים הכתובים בטור הערך כנגד המעלות שעברו
If the fractions that are with the determined center are more than 30, add one degree to the preceding degrees and take the fractions you find corresponding to it in the row of the ratio, whether it is after the whole degree or higher.	ואם החלקים שהם עם המוצק המתוקן יותר מל' הוסף מעלה אחת על המעלות שעברו וקח מה שתמצא כנגדה בחלקי טור הערך בין שתהיה אחר המעלה השלמה או למעלה ממנה
If you find the determined quotient between 4 constellations to 8 constellations and you find that there is a difference between the fractions of the row of the ratio corresponding to the preceding degree and the fractions of the row of the ratio corresponding to the added degree - the difference between them will always be only one minute at most - proceed in the way of the multiplication, that you give the fractions added to the preceding degree the seconds they deserve.	ואם מצאת המנה המתוקנת שהיא בין ד' מזלות עד ח' מזלות ומצאת כי יש הפרש בין חלקי טור הערך שהם כנגד המעלה שעברה ובין חלקי טור הערך שכנגד המעלה הנוספת ולא יהיה לעולם ביניהם רק חלק ראשון עשה כדרך הכפל שתתן לחלקים הנוספים על המעלה שעברה מה שראוי מהשניים
You need this method when determining the position of Mars or Mercury, however you do not need it for the determination of the position of Saturn and Jupiter, because in the fifth row and the seventh row there are no degrees, only minutes.	וזה המעשה יש לך צורך בתקון מאדים או כוכב חמה רק בתקון שבתי וצדק אין לך צורך כי אם בטור החמישי גם בטור הז' אין מעלות כי אם ראשונים לבדם

Chapter Seven - Extraction of Roots	השער הז' בהוצאת השרשים
All the numbers are according to three ways:	כל המספרים הם על שלשה דרכים
First is roots, the second is squares and the third is neither roots nor squares.	האחד שרשים והשני מרובעים והשלישי לא שרשים ולא מרובעים
Definition of a square number: the square [number] is the product of the multiplication of a root by itself	והנה המרובע הוא המחובר מכפל שורש על עצמו
Such as 9: since it is a quadrilateral whose length is the same as its breadth and its root is 3.	כמו ט' כי הוא מרובע ארכו כרחבו ושרשו ג‫'
There are numbers that have no true [rational] root at all, and they are the majority.	ויש חשבון שאין לו שורש אמת כלל והוא הרוב
Such as 2 in the first rank, also 3, 5, 6, 7 and 8.	כמו ב' במעלה הראשונה גם ג' וה' וו' וז' וח‫'
The square of an integer is always greater than the root.	ולעולם מרובע השלמים גדול מהשורש
Vice versa for the squares of fractions.	והפך הדבר במרובעי' הנשברי‫'
This is because when multiplying a fraction by a fraction, the product is less than the multiplied fraction.	והיה כן בעבור כי כפל שבר על שבר יהיה המחובר פחות מהשבר הנכפל
The one alone is both root and square; because it is between the fractions and the integers.	והיה האחד לבדו שורש ומרובע כי הוא בין השברי' והשלמי‫'
Integers
First, we shall give scales [= test methods]:	והנה נתן בתחלה מאזנים
Observe: If the scales of the square number is not the same as the scales of the product of the root by itself the number is not a square.	הסתכל אם לא היו מאזני המרובע ככפל מאזני השרש על עצמו אין המספר מרובע
If it is the same, it can be a square.	ואם היה כמוהו יתכן להיות מרובע
Example: the square 144.	דמיון המרובע קמ"ד
Its scales are 9; the root is 12, its scales are 3 and its product by itself is 9.	והמאזנים ט' והשרש י"ב ומאזניו ג' וכפל על עצמו הוא ט‫'
	והוא מאזני השרש ת‫'
Other scales:	מאזנים אחרים
If the scales of the number are 2, 3, 5, 6 or 8, it is not a square	אם מאזני המספר ב' או ג' או ה' או ו' או ח' איננו מרובע
But, if the scales are one of the square numbers that are in the first rank, which are 1, 4, or 9, as well as 7, it can be a square.	ואם היו המאזנים אחד מהמרובעים שהם במעלה הראשונה שהם א' או ד' או ט' גם ז' עמהם יתכן להיות מרובע
Other scales:	מאזנים אחרים
If the number in the first rank of the sought number is 2, 3, 7 or 8, the number is not a square.	אם היה במספר המבוקש ממספרי המעלה הראשונה ב' או ג' או ז' או ח' אין המספר מרובע
But, if it is one of the square numbers 1, 4, 9 or of the recurring numbers 5 and 6, the number can be a square.	ואם היה אחד מן המרובעים א' או ד' או ט' או מן המתגלגלים שהם ה' ו' יתכן שיהיה המספר מרובע
Other scales that are reliable:	מאזנים אחרים שהם מאזני צדק
If you find one in the first rank of the sought number, know that there is one or 9 in the root.	אם מצאת במספר המבוקש מן המעלה הראשונה אחד דע שיש בשורש אחד או ט‫'
If there is a 4 in the [square] number, know that there is a 2 or 8 in the root.	ואם היה במספר ד' דע שיש בשורש ב' או ח‫'
If there is a 6 in the [square] number, know that there is a 4 or 6 in the root.	ואם היה במספר ו' דע שיש בשרש ד' או ו‫'
If there is a 9 in the [square] number, know that there is a 3 or 7 in the root.	ואם במספר ט' דע כי יש בשרש ג' או ז‫'
If there is a 5 in the square number, know that there is a 5 in the root.	ואם במרובע ה' דע שיש בשרש ה‫'
Now I shall give you a way by which you can know which of the two mentioned [digits] is in the root.	ועתה אתן לך דרך שתוכל לדעת איזה מן השנים הנזכרים יהיה בשרש
Now, note that the square numbers that are in the first rank are 3, which are 1, 4 9,	ועתה שים לבך כי המרובעים במעלה הראשונה הם ג' והם א' ד' ט‫'
In the second rank they are 6, which are 16, 25, 36, 49, 64, 81.	ובמעלה השנית ו' והם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א
All the ranks that follow these two have the same method:	וכל המעלות שהם אחר אלה השתים דרך אחת להן
Every odd rank is in accordance with the way of the first rank.	כי כל מעלה שאיננה זוג הולכת על דרך המעלה הראשונה
Every even rank is in accordance with the way of the second rank.	וכל מעלה שהיא זוג הולכת על דרך המעלה השנית
The square numbers that are analogous to the square numbers, which are in the first rank, are always one digit, and those that are in the second rank as well as every even [rank] are two digits and so are all the analogous.	ולעולם יהיו המרובעי' הנמשלים למרובעים שהם במעלה הראשונה מספר אחד ואשר הם במעלה השנית וכל זוג הם שני מספרים גם כל הנמשלים
From the analogous squares you can know all the square numbers that precede them or succeed them.	ומהנמשלים תוכל לדעת כל המרובעים שהם לפניהם או לאחריהם
When you know the root of the first rank or the second and you wish to find the root of the analogous number in whichever rank, proceed as follows:	וכאשר תדע שרש המעלה הראשונה או השנית ותרצה לדעת שרש הנמשל באיזו מעלה שיהיה ככה תעשה
Know that the units that are in the first rank, are tens in the third rank, hundreds in the fifth, thousands in the seventh, tens of thousands in the ninth, hundreds of thousands in the eleventh, and so on by skipping endlessly.	דע כי ההוה במעלה הראשונה מהאחדים הם במעלה השלישית עשרות ובחמישית מאות ובשביעית אלפים ובתשיעית עשרת אלפים ובאחד עשר מאת אלף וככה עד אין קץ בדלוג
Because, the skipping is from an odd number to an odd number.	כי ידלג ממספר שאיננו זוג אל מספר שאיננו זוג
The units that are in the second rank of the roots are tens for the fourth rank, hundreds for the sixth, thousand for the eighth, tens of thousands for the tenth and hundreds of thousands for the twelfth.	והאחדים שהם במעלה השנית בשרשים הם מעלה הרביעית עשרות ובששית מאות ובשמינית אלפים ובעשירית עשרת אלפים ובשנים עשר מאה אלף
Because, the skipping is always from an even number to an even number.	כי לעולם ידלג מזוג אל זוג
Now I will tell you how to proceed if you know the analogous square and you know its root:	ועתה אומר לך איך תעשה כאשר תדע המרובע הנמשל ותדע שרשו
Subtract the square from the sought number, after making sure that you take only the preceding square, which is the closest to the number, see the difference between the square [and the sought number] and divide it by double the root of the preceding square. Make it so that you do not give everything you can for it, but leave a little bit of it so that you can still take the square of the quotient of it. When you see that the difference between the preceding square [and the sought number] is as much as the quotient, then you know that the square number is true. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+b}}$: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n<\frac{b}{2a}\longrightarrow \left(a+n\right)^2=a^2+2\sdot a\sdot n+n^2}}$	חסר המרובע מהמספר המבוקש אחר שתשמור שלא תקח לעולם כי אם המרבע שעבר שהוא קרוב אל מספר וראה המרחק שבין המרבע וחלקהו על כפל שרש המרבע שעבר וככה עשה שלא תתן לו כל מה שתוכל רק הנח ממנו שתוכל לקחת מרבע מה שעלה בחלוק וכאשר תראה שיהיה המרחק בין המרובע שעבר כמספר מה שעלה בחלוק אז תדע שהמרבע אמת
If the sought number is less than the analogous square number, see how much the difference between your number and the succeeding square number is. Since you have to give it a little bit more than you can because your number precedes the analogous squares, as I will explain later, do not add the square of the quotient to your number. See if the number is as much as double the root multiplied, then you know that your number is true. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2-b}}$: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{b}{2a}<n\longrightarrow \left(a-n\right)^2=a^2-2\sdot a\sdot n+n^2}}$	ואם היה המספר המבוקש פחות מהמרבע הנמשל ראה כמה מרחק בין מספרך ובין המרבע הבא לפי שאתה צריך לתן לו מעט יותר ממה שתוכל בעבור היות מספרך לפני המרבע הנמשל כאשר אפרש ואל תכניס במספרך מרובע החלוק וראה אם היה המספר כמספר כפל השרש כפול אז תדע כי חשבונך אמת
If it is 1, subtract one from tens, then 9 remain.	כי אם היה אחד חסר מן העשרות אחד וישארו ט‫'
In this way you can know: if you find 1 or 9 in the square, then it must be in the root, as you will see from the examples.	ובדרך הזה תוכל לדעת כשתמצא א' במרבע או ט' ראוי להיות בשרש כאשר תראה בדמיונות
Example: We wish to know the preceding square that is closest to two hundred.	דמיון בקשנו לדעת מרובע שעבר קרוב אל מאתים
This is in the third rank, which is an odd [rank], so we seek it in the first rank. We have already said that the square numbers in it are 1, 4, 9; and the analogous to them are one-hundred, 4 hundred and 9 hundred. So one-hundred is the preceding square number and its root is 10; because, as we have already said, those that are units in the first rank, are tens in the third rank. We subtract the square number from our number, 100 remain. We have already said that the root is 10 and its double is 20. Hence, If we divide 100 by 20 and give it 5, nothing remains from which we could take the square of the quotient. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{200-10^2}{2\sdot10}=\frac{200-100}{20}=\frac{100}{20}=5>4\longrightarrow n=4}}$	והנה זה מהמעלה השלישית שאיננה זוג ונבקש זה מהמעלה הראשונה וכבר אמרנו כי המרבעי' שיש בה א' ד' ט' והנמשלי' אליהם מאה וד' מאות וט' מאות והנה מאה הוא המרבע שעבר ושרשו י' כי כן אמרנו מה שהם במעלה הראשונה אחדי' יהיו במעלה השלישית עשרות נחסר המרבע מחשבוננו ונשארו ק‫' וכבר אמרנו כי השרש י' וכפלו כ' והנה אם חלקנו ק' על כ' ונתן לו ה' לא ישאר כלום שנוכל לקחת ממנו מרבע מה שעלה בחלוק
Therefore we give it 4. Multiplied by 20 it is 80, so 20 remain. We subtract from it 16, which the square of the quotient; 4 remain. We subtract this from two hundred, 196 remain and this is the square number closest to 200.	והנה נתן לו ד' כפולים על כ' הם פ' נשארו כ' נחסר ממנו י"ו שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישאר ד‫' נחסרנו מהמאתים ישארו קצ"ו וזהו המרבע הקרוב אל מאתים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle14^2=\left(10+4\right)&\scriptstyle={\color{red}{200-\left[200-\left(10+4\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle=200-\left[100-\left(2\sdot10\sdot4\right)-4^2\right]\\&\scriptstyle=200-\left[100-\left(20\sdot4\right)-4^2\right]\\&\scriptstyle=200-\left(100-80-16\right)\\&\scriptstyle=200-\left(20-16\right)=200-4=196\\\end{align}}}$
We add the quotient 4 to the first root, which is 10, they are 14 and this is actually the root of the square number.	ונוסיף ד' שעלה בחלוק על השרש הראשון שהיה י' יהיו י"ד וזהו שרש המרבע באמת
We test it by modulo 9 as the rule: it is known that the modulo 9 of 14 is 5; its product by itself is 25, its modulo 9 is 7 and so is the modulo 9 of 196.	והנה נבחן אותו במאזנים כמשפט ידוע כי מאזני י"ד ה' וכפלו על עצמו כ"ה והנה המאזני' ז' וככה בדרך קצ"ו
Another test: Since there is a recurring number, it can be a square.	ובמאזני' אחרי' בעבור שיש שם חשבון מתגלגל נכון להיותו מרבע
Another test: Since there is 6 in the square, there must be 4 or 6 in the root.	ובמאזני' אחרי' בעבור שיש במרובעו ו' ראוי להיות בשרש ד' או ו'
The excess of the analogous square number is [96]. The double of the root of the analogous square number is 20; we multiply it by 4, the result is 80; we add to it the square of 4, which is 16, it is 96, hence this method is correct.	והנה המרחק מהמרבע הנמשל ק' וכפל [שורש] מרובע הנמשל כ‫' כפלנוהו על ד' עלו פ‫' נוסיף עליו מרובע ד' שהוא י"ו יהיו צ"ו והוא דרך אמת
Another example in the same rank: We wish to know the square that is closest to 3 hundred.	דמיון אחר במעלה הזאת בקשנו לדעת מרבע הקרוב אל ג' מאות
3 hundred is closer to 4 hundred, which is an analogous square number in this rank, than to the first square, which is 100.	וג' מאות יותר קרובי' אל ד' מאות שהוא מרבע הנמשל במעלה הזאת ממרובע הראשון שהוא ק‫'
We consider the excess of the succeeding square number, which is 100: We know that the root of 4 hundred is 20 and its double is 40. We divide 1OO by it and give it a little more than we can because the number precedes the square. If we give it 2, 20 remain, so we give it 3. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20^2-300}{2\sdot20}=\frac{400-300}{40}=\frac{100}{40}=2+\frac{20}{100}<3\longrightarrow n=3}}$	והנה נסתכל המרחק מהמרבע הבא והוא ק' וידענו כי שרש ד' מאות הוא כ' וכפלו מ‫' נחלוק ק' עליו ונתן לו מעט יותר ממה שנוכל בעבור היות המספר לפני המרובע והנה אם נתן לו ב' ישאר כ' על כן נתן לו ג‫'
When we multiply 3 by 40, which is double the root, the result is 120; we subtract this number from 400, it is 280; we add to it the square of 3, which is 9, because the number precedes the analogous square gives; the result is 289 and this is the square number.	וכאשר נכפול ג' על מ' שהוא כפל השרש יהיו ק"כ נחסר זה המספר מת' יהיו ר"פ נוסיף עליו מרובע ג' שהוא ט' בעבור שהחשבון הוא לפני המרבע הנמשל יהיה רפ"ט והוא המרבע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(20-3\right)^2&\scriptstyle=400-\left(2\sdot20\sdot3\right)+3^2=400-\left(40\sdot3\right)+9^2\\&\scriptstyle=400-120+9=280+9=289\\\end{align}}}$
We subtract the 3 from 20, which is the root of the analogous square number; 17 remain and this is the root of this square.	והנה נחסר הג' מכ' שהוא שרש המרובע הנמשל וישארו י"ז והוא שרש זה המרובע
Since there is 9 in its square, it becomes clear that there must be 7 in the root, and not 3, because 3 can only be in the root if the number is closer to the preceding analogous square number.	ובעבור כי יש במרובעו ט' הנה התבאר שראוי שיהיה בשרש ז' ולא ג' כי לא יתכן להיות ג' במרובע רק אם היה קרוב אל המרובע הנמשל שעבר
In this way you can know if there is 1 or 9 in the square according to the distance from the preceding and succeeding analogous squares.	ועל זה הדרך תוכל לדעת במרובע ששם א' או ט' כפי המרחק מהמרובע שעבר ומהמרובע הנמשל העתיד
Similarly, you can deduce if you find 4 in the square, whether there is 2 or 8 in the square root.	ובזה תוכל להפריש אם מצאת במרובע ד' אם יש בשרש ב' או ח‫'
likewise, if there is 6 in the square, you can know whether there must be 4 or 6 in the root.	וככה אם יש במרובע ו' תדע אם ראוי להיות בשרש ד' או ו‫'
Now I shall reveal to you the secret why this is so.	והנה אגלה לך קצת זה הסוד למה היה כך
Know that the two major orbits, one goes east and the other goes west, and that the upper force is one in both.	דע כי השתים המסיבות הגדולות אחת הולכת למזרח ואחת הולכת למערב וכח עליון הוא אחד בשתיהם
So, one is the square of one, and there is one in the square of 9.	והנה אחד מרובע אחד יש במרובע ט' אחד
As the number 2 is second to the one, so the number 8 is second to the 9 backwards, since the course of this is opposite to the course of the other.	וכאשר הוא חשבון ב' שני לאחד ככה חשבון ח' שני לט' אחרונית כי מהלך זה הפך מהלך זה
The square of 2 is 4 and there is 4 in the square of 8.	ומרובע ב' ד' וככה יש במרובע ח' ד‫'
The same applies to 3 and 7; 4 and 6.	וכן דרך ג' אל ז' וד' עם ו‫'
Thus, the number 5 is left as a mean, therefore it is recurring around itself.	והנה נשאר חשבון ה' אמצעי וע"כ הוא מתגלגל על עצמו
You can extract the mentioned square by the first method I have mentioned for the square number 196: by subtracting the square, which is 100, from the given number, which is 300; the result it 200. It is known that 10 is the root of 100 and its double is 20. We cannot give it 10, because it would leave no number from which we could subtract the square of the quotient. Neither can we give it 9, because its square is too large, not even 8, because its square is also too large. So we give it 7. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300-10^2}{2\sdot10}=\frac{300-100}{20}=\frac{200}{20}=10>7\longrightarrow n=7}}$	ותוכל להוציא המרובע הנז' על הדרך הראשונה שהזכרתי במרובע קצ"ו שתחסר המרובע שהוא ק' מהמספר הנתון שהוא ש' יהיה המספר ר' וידוע כי שרש ק' י' וכפלו כ‫' והנה לא נוכל לתת לו י' כי לא ישאר מספר שנוכל לחסר ממנו מרובע מה שיעלה בחלוק גם לא נוכל לתת לו ט' כי מרובעו גדול ואפי' ח' כי גם מרובעו גדול והנה נתן לו ז‫'
We multiply 7 by 20, which is double the root; the remainder is 140. We add to it 100, which is the square number; the sum 240. Then we add to it 49, which is the square of the quotient; the result is 289 and this is the square number.	ונכפול ז' על כ' שהוא כפל השרש יהיו ק"מ נוסיף עליהם הק' שהוא המרובע יהיו ר"מ נחבר אליהם מ"ט שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיו רפ"ט והוא המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+7\right)^2&\scriptstyle=100+\left(2\sdot10\sdot7\right)+7^2=100+\left(20\sdot7\right)+7^2\\&\scriptstyle=100+140+49=240+49=289\\\end{align}}}$
Furthermore, we add the quotient to 10, which is the root, so the root of this square is 17.	גם נוסיף שעלה בחלוק על י' שהיה השרש והנה יהיה שרש זה המרובע י"ז
Example in the fourth rank: We wish to know the square that is closest to one-thousand and two-hundred.	דמיון במעלה הרביעית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל אלף ור‫'
Since this is an even number, we seek an analogous number in the second rank; it is 12 and the preceding square is 9; so 900. As the root of 9 is 3, so the root of 900 is 30. Its double is 60. We subtract the preceding square from the given number, so the difference is 3 hundred. We divide it by 60. We cannot give it 5, because of the square of the quotient, so we give it 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200-30^2}{2\sdot30}=\frac{1200-900}{60}=\frac{300}{60}=5>4\longrightarrow n=4}}$	והנה בעבור שהוא מספר זוג נבקש במעלה השנית מספר דומה לזה והוא י"ב ומרובע שעבר הוא ט' וככה ט' מאות וכאשר שרש ט' ג' ככה שרש ט' מאות ל‫' וכפלו ס' והנה נחסר המרובע שעבר מן החשבון הנתון והנה המרחק ג' מאות נחלקם על ס' והנה לא נוכל לתת לו ה' בעבור מרובע העולה בחלוק נתן לו ד‫'
We multiply 60 by 4; it is 240. We add it to the preceding analogous square; the sum is 1140. We add to it also the square of the quotient, which is 16; the total is 1156 and this is the square, which is the closest to the given number.	נכפול ס' על ד' יהיו ר"מ נחברם אל המרובע הנמשל שעבר יהיה אלף וק"מ גם נחבר אליו מרובע מה שעלה בחלוק והוא י"ו והנה הכל אלף קנ"ו וזהו המרובע הקרוב אל המספר הנתון
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(30+4\right)^2&\scriptstyle=900+\left(2\sdot30\sdot4\right)+4^2=900+\left(60\sdot4\right)+4^2\\&\scriptstyle=900+240+16=1140+16=1156\\\end{align}}}$
Since the quotient is 4, we add it to the root of the preceding analogous square, which is 30; so the root of this square is 34.	ובעבור שעלה בחלוק ד' נוסיפנו על שרש המרובע הנמשל שעבר שהיה ל' יהיה שרש זה המרובע ל"ד
This is true in all the tests.	והוא אמת בכל המאזנים
Another example in this rank: We seek for the square that is the closest to 7500.	דמיון אחר במעלה הזאת נבקש המרבע הקרוב לז' אלפים ת"ק
This number is similar to 75, because it is of the evens. Since it is closer to 81 than to 64 and we know that the root of 81 is 9, so the root of 8100 is 90, its double is 180, and the difference is 600, we give it 4, although it is not complete, because the given number precedes the analogous square. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90^2-7500}{2\sdot90}=\frac{8100-7500}{180}=\frac{600}{180}<4\longrightarrow n=4}}$	והנה זה המספר דומה לע"ה כי הוא מן הזוגות ובעבור שהוא קרוב אל פ"א יותר מס"ד וידענו כי שרש פ"א ט' וככה יהיה שרש ח' אלפי' וק' צ' וכפלו ק"פ והנה המרחק ו' מאות נתן לו ד' אע"פ שאינו שלם בעבור שהחשבון הנתון הוא לפני המרובע הנמשל
When we multiply the double of the root by 4, the product is 720. We subtract this number from the analogous square; the remainder is 7380. We add to it the square of the quotient, which is 16; the total is 7396.	וכאשר נכפול כפל השרש על ד' יעלו תש"כ נחסר זה המספר מהמרובע הנמשל יהיה הנשאר ז' אלפים ש"פ נוסיף עליו מרובע החלוק שהוא י"ו יהיה הכל ז' אלפי' שצ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(90-4\right)^2&\scriptstyle=8100-\left(2\sdot90\sdot4\right)+4^2=8100-\left(180\sdot4\right)+4^2\\&\scriptstyle=8100-720+16=7380+16=7396\\\end{align}}}$
Its root is 86, for we subtract 4, and this is actually the square number.	ושרשו פ"ו כי נחסר ד' וזהו המרובע באמת
Even if we do it the other way that I mentioned in the previous examples, it is the same thing.	וגם אם עשינו בדרך האחרת שהזכרתי בדמיונים שעברו יהיה הדבר שוה
Example in the fifth rank: We seek the square that is the closest to 23 thousand.	דמיון במעלה החמישית נבקש המרובע הקרוב אל כ"ג אלף
This is similar to the first rank, because it is odd. 10 thousand is similar to one and we have already said that what is one in the first rank is ten in the fifth rank. The preceding square is 10 thousand. We subtract it from the given number; 13 thousand remain. We divide it by 200, which is double the root of the preceding analogous square. We give it 50. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{23000-100^2}{2\sdot100}=\frac{23000-10000}{200}=\frac{13000}{200}>50}}$	והנה זה דומה למעלה הראשונה כי איננו זוג והנה י' אלפים כמו אחד וכבר אמרנו מה שהוא במעלה הראשונה אחד יהיה במעלה החמישית מאה והנה המרובע ‫שעבר י' אלפים נחסרנו מהמספר הנתון ישארו י"ג אלף נחלקנו על ר' שהוא כפל שרש המרובע הנמשל שעבר והנה נתן לו נ‫'
We add it to the preceding root; it is 150, and we are still left with 3 thousand. We subtract from it two thousand and 500, which is the square of the quotient; 500 remain. We divide it by 300, which is double the root that we had recently, and give it one.	נוסיפנו על השרש שעבר יהיה ק"נ ונשאר לנו עוד ג' אלפים נחסר ממנו אלפים ת"ק שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישארו ת"ק נחלקם על ש' שהוא כפל השרש שהיה לנו באחרונה הנה נתן לו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{23000-150^2}{2\sdot150}&\scriptstyle=\frac{23000-10000-10000-2500}{300}\\&\scriptstyle=\frac{3000-2500}{300}=\frac{500}{300}>1\longrightarrow n=1\\\end{align}}}$
The square is 22 thousand and 801 and the root is 151.	ויהיה המרובע כ"ב אלף ותת"א והשרש קנ"א
When the number is multiplied, if the result is tens, add the tens to the tens according to the ranks, and if there are units there, place them in the position of the units that you have multiplied.	כאשר יכפול המספר אם יעלה לעשרות חבר עשרות עם עשרות לפי המעלות ואם יש שם אחדים שים במקום האחדים אשר כפלת
Another example in this rank: We seek the square that is the closest to 85 thousand.	דמיון אחר במעלה הזאת נבקש המרובע הקרוב אל פ"ה אלפים
It is close to the analogous square, which is 90 thousand and its root is 300. The difference is 5 thousand. We divide it by double the root, which is 600. We give it 9, which is the closest that we can. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300^2-85000}{2\sdot300}=\frac{90000-85000}{600}=\frac{5000}{600}<9\longrightarrow n=9}}$	והנה הוא קרוב אל המרובע הנמשל שהוא צ' אלף ושרשו ש' והנה המרחק ה' אלפים נחלקנו על כפל השרש שהוא ת"ר ונתן לו ט' הקרוב יותר ממה שנוכל
The addition is 400. We subtract it from the given number; 84600 remain and with the addition of 81, which is the square of the quotient, it is 84681, which is actually the square.	והנה יש לו תוספת ת‫' נחסרם מהמספר הנתון ישארו פ"ד אלפים ות"ר ועם תוספת פ"א שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיה פ"ד אלף תרפ"א וזה הוא המרובע באמת
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(300-9\right)^2&\scriptstyle=90000-\left(2\sdot300\sdot9\right)+9^2\\&\scriptstyle=84600+81=84681\\\end{align}}}$
Its root is 291.	ושרשו רצ"א
Example in the sixth rank: We wish to know the square that is the closest to 200 thousand.	דמיון במעלה הששית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל ר' אלף
Since this rank is even, [the given number] is similar to twenty and the preceding square is 16. We have already said that what is units in the second rank is hundreds in the sixth rank, so the root is 400 and the preceding square is 160000. The difference is 40 thousand. We divide it by double the root, which is 800. We cannot give it 5 for the square of the quotient, so we give 4, which are 40. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{200000-400^2}{2\sdot400}=\frac{200000-160000}{800}=\frac{40000}{800}>40}}$	ובעבור שזאת המעלה מן הזוגות היא דומה לעשרים והמרובע שעבר הוא י"ו וכבר אמרנו כי מה שהוא במעלה השנית אחדים יהיו במעלה הששית מאות והנה השרש ת' והמרובע שעבר ק"ס אלפים והנה המרחק מ' אלף נחלקנו על כפל השרש שהוא ת"ת והנה לא נוכל לתת לו ה' בעבור מרובע החלוק נתן לו ד' שהם מ‫'
We multiply this number by 800; the result is 32 thousand, and 8 thousand remain. We subtract from this one-thousand and 6 hundred, which is the square of 40, 6 thousand and 4 hundred remain. Now our root is 440 and its double is 880. We divide the remaining number by this double and give it 7; we are left with 240.	ונכפול זה המספר על ת"ת יעלו ל"ב אלף ונשארו ח' אלף נסיר מהם אלף וו' מאות שהוא מרובע מ' ישארו ו' אלף וד' מאות ועתה יהיה השרש שלנו ת"מ וכפלו תת"פ נחלק המספר הנשאר על זה הכפול והנה נתן לו ז' וישארו לנו ר"מ
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{200000-440^2}{2\sdot440}&\scriptstyle=\frac{200000-\left(400+40\right)^2}{2\sdot440}=\frac{200000-160000-\left(40\sdot800\right)-40^2}{880}\\&\scriptstyle=\frac{40000-32000-1600}{880}=\frac{8000-1600}{880}=\frac{6400}{880}>7\longrightarrow n=7\\\end{align}}}$
We subtract also the square of 7; 191 remain. We subtract this number from the given number, 199809 remain; this is the square.	נחסר עוד מרובע ז' נשאר קצ"א נחסר זה המספר מהמספר הנתון ישארו קצ"ט אלף ותת"ט וזהו המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle447^2=\left(440+7\right)^2&\scriptstyle={\color{red}{200000-\left[200000-\left(440+7\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle{\color{red}{=200000-\left[200000-440^2-\left(2\sdot440\sdot7\right)-7^2\right]}}\\&\scriptstyle=200000-\left[6400-\left(2\sdot440\sdot7\right)-7^2\right]\\&\scriptstyle=200000-\left(240-7^2\right)=200000-191=199809\\\end{align}}}$
The root is 447.	והשרש תמ"ז
Another example in this rank: to know the square that is the closest to 6 hundred thousand.	דמיון אחר במעלה הזאת לדעת מרובע הקרוב אל ו' מאות אלף
Since the analogous square follows the number, we take the difference, which is 40, for 6 hundred thousand are similar to 60, and when we divide it by one-thousand and 6 hundred, we give it all we can, even if it is really a little bit less.	בעבור כי המרובע הנמשל הוא אחרי החשבון נקח המרחק שהוא מ' כי ו' מאות אלף הם כמו ס' וכאשר חלקנום על אלף וו' מאות נתננו לו כל מה שיכולנו ואם יחסר מעט מהאמת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{800^2-600000}{2\sdot800}=\frac{640000-600000}{1600}=\frac{40000}{1600}<26\longrightarrow n=26}}$
We subtract it from the root of the analogous square, which is 8 hundred that is similar to 8, so the root is 774. We already have 41 thousand and 600 and we had 40 thousand, which is the difference, so we only have to subtract one-thousand and 6 hundred from the given number and add to it the square of 26 that is the quotient, which is 676. So the result is 600 that corresponds to 600. Hence only 924 should be subtracted, because we have 76 added in the square of the quotient. The square is 599076 and this is actually the square.	חסרנו זה משרש המרובע הנמשל שהוא ח' מאות ושהם דומים לח' והנה השרש תשע"ד וכבר היה לנו מ"א אלף ות"ר והיה לנו מ' אלף שהוא המרחק והנה אין לנו לחסר כי אם אלף וו' מאות מהמספר הנתון ויש לנו להוסיף עליו מרובע כ"ו שעלה בחלוק שהוא תרע"ו והנה יצא ת"ר כנגד ת"ר והנה אין לחסר אלא תת"ק כ"ד כי ע"ו יש לנו נוספים במרובע החלוק והנה המרובע הוא ת"ק אלף וצ"ט אלפים וע"ו וזהו המרובע באמת
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle774^2=\left(800-26\right)^2&\scriptstyle=640000-\left(2\sdot800\sdot26\right)+26^2\\&\scriptstyle=600000+40000-41600+676\\&\scriptstyle=600000-1600+676\\&\scriptstyle=600000-924=599076\\\end{align}}}$
Example in the seventh rank: We wish to know the square that is the closest to 5 thousands of thousands.	דמיון במעלה השביעית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל ה' אלפי אלפים
We shall explain this example at length so that it will be a principle for the extraction of the squares in other ranks endlessly, although it is not necessary for the proofs of the science.	ונאריך לבאר זה הדמיון כהוגן עד שיהיה עקר להוציא המרובעים שהם במעלות אחרות עד אין קץ אע"פ שאין צורך להם בדברי החכמות
This rank is similar to the first, and the sought number is similar to 5. We subtract the square, which is 4; we are left with one-thousand of thousands. Our preceding root is two thousand and its double 4 thousand. We divide the remaining number by it.	והנה המעלה הזאת דומה לראשונה והחשבון המבוקש כמו ה' והנה נסיר המרובע שהוא ד' ישאר לנו אלף אלפים והשרש שלנו שעבר אלפים וכפלו ד' אלפים נחלק עליו המספר הנשאר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5000000-2000^2}{2\sdot2000}=\frac{5000000-4000000}{4000}=\frac{1000000}{4000}={\color{red}{250}>200}}}$
The result is 800 thousand and we are left with 200 thousand. We subtract from it the square of the quotient, which is 40 thousand; we are left with 160 thousand. The root of the preceding number is two thousand and 200 and its double is 4 thousand 400. We divide the remaining number by it and give it 30.	יעלו ת"ת אלף ונשאר לנו ר' אלף נחסר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק שהוא מ' אלף נשאר לנו ק"ס אלף והנה שרש המספר שעבר אלפים ור' וכפלו ד' אלפים ות' נחלק המספר הנשאר עליו נתן לו ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{5000000-2200^2}{2\sdot2200}&\scriptstyle=\frac{5000000-4000000-\left(2\sdot2000\sdot200\right)-200^2}{4400}\\&\scriptstyle=\frac{1000000-800000-40000}{4400}\\&\scriptstyle=\frac{200000-40000}{4400}=\frac{160000}{4400}>30\\\end{align}}}$
We are left with 28 thousand. We subtract from it the square of the quotient that is 30, which is 900; 27 thousand and 100 remain. The preceding root is two thousand and 230 and its double is 4 thousand and 460. We divide the remaining number by it; the result is 6.	ישאר לנו כ"ח אלף נסיר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק זה שהוא ל' והם תת"ק נשאר כ"ז אלף וק‫' והנה השרש שעבר יהיה אלפים ור"ל וכפלו ד' אלפים ות"ס נחלק עליו המספר הנשאר יעלו ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{5000000-2230^2}{2\sdot2230}&\scriptstyle=\frac{5000000-2200^2-\left(2\sdot2200\sdot30\right)-30^2}{4460}\\&\scriptstyle=\frac{160000-\left(2\sdot2200\sdot30\right)-30^2}{4460}\\&\scriptstyle=\frac{28000-900}{4460}=\frac{27100}{4460}>6\longrightarrow n=6\\\end{align}}}$
We are left with 540. We subtract from it 36, which is the square of 6; 304 remain. We subtract this from the number given at first; 4999696 remain. This is actually the square, and its root is two thousand and 236.	נשאר לנו ש"מ נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע ו' ישאר ש"ד נחסרנו מהמספר הנתון בראשונה ישאר ד' אלפי אלפים ותת"ק אלף וצ"ט אלף ותרצ"ו וזהו המרובע באמת ושרשו אלפים ורל"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2236^2=\left(2230+6\right)^2&\scriptstyle={\color{red}{5000000-\left[5000000-\left(2230+6\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle{\color{red}{=5000000-\left[5000000-2230^2-\left(2\sdot2230\sdot6\right)-6^2\right]}}\\&\scriptstyle=5000000-\left[27100-\left(2\sdot2230\sdot6\right)-6^2\right]\\&\scriptstyle=5000000-\left(340-36\right)=5000000-304=4999696\\\end{align}}}$
Test this with all the testing methods and you will find it correct.	ותבחן זה בכל המאזנים ותמצאנו נכון
So, in the method of multiplying the root by itself:	וככה בדרך כפל השרש על עצמו
For, the multiplication of two thousand by two thousand is two by two in the seventh rank, which is 4 thousands of thousands and we are left with the number mentioned. $\scriptstyle{\color{blue}{2000^2=4000000}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4999696-4000000=999696}}$	כי כפל אלפים על אלפים יהיו שנים על שנים במעלה השביעית שהם ד' אלפי אלפים ונשאר לנו המספר הנז‫'
We multiply two thousand twice by two hundred; it is 800 thousand and 199696 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2000\sdot200=800000}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{999696-800000=199696}}$	והנה נכפול אלפים במאתים פעמים יהיה ת"ת אלף ונשארו קצ"ט אלפים גם תרצ"ו
We multiply again two thousand twice by 30; the result is 120 thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2000\sdot30=120000}}$	נשוב לכפול אלפים על ל' פעמים יעלו ק"כ אלף
We subtract this from the remaining number; 79696 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{199696=120000=79696}}$	נסירם מהמספר הנשאר ישארו ע"ט אלף וגם תרצ"ו
We multiply again two thousand twice by 6; the result is 24 thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2000\sdot6=24000}}$	נשוב לכפול אלפים על ו' פעמים‫ יעלו כ"ד אלף
We subtract this from the remaining number; 55696 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{79696-24000=55696}}$	נסירם מהמספר הנשאר וישארו נ"ה אלפים גם תרצ"ו
We have already multiplied the two thousand by all the digits.	וכבר כפלנו האלפים על כל המספרים
Now we shall start to multiply two hundred by itself and by the other [digits] that follow it:	עתה נחל לכפול מאתים על עצמו ועל האחרים שהם אחריו
Its product by itself is 40 thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{200^2=40000}}$	והנה כפלו על עצמו מ' אלפים
We subtract this from the remaining number; 15,696 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{55696-40000=15696}}$	חסרנום מהמספר הנשאר ישארו ט"ו אלפים תרצ"ו
We multiply also 200 twice by 30; the result is 12 thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot200\sdot30=12000}}$	גם נכפול ר' על ל' פעמ' יעלו י"ב אלף
We subtract this from the remaining number; 3696 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{15696-12000=3696}}$	נחסרנו מהמספר הנשאר ישארו ג' אלפים תרצ"ו
We multiply also 200 twice by 6; the result is two thousand and 400. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot200\sdot6=2400}}$	ועוד נכפול ר' על ו' פעמ' יעלו אלפים ות‫'
We subtract this from the remaining number; 1296 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{3696-2400=1296}}$	נסירם מהמספר הנשאר ישארו אלף ורצ"ו
We have already finished multiplying 200 by all the digits that follow it.	וכבר השלמנו לכפול ר' על כל המספרים שהם אחריו
We start with 30.	נחל מן ל‫'
Its product by itself is 900. $\scriptstyle{\color{blue}{30^2=900}}$	והנה כפלו על עצמו תת"ק
We subtract this from the remaining number; 396 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{1296-900=396}}$	נחסרנו מהמספר הנשאר ישארו שצ"ו
We multiply also 30 twice by 6; the result is 360 and 36 remain, which is the square of 6; so the number is correct. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot30\sdot6=}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{396-360=36=6^2}}$	נכפול עוד ל' על ו' פעמים יהיו ש"ס ונשארו ל"ו שהוא מרובע ו' והנה החשבון נכון
Before I will discuss the numbers that have no root, I shall show you a method how you can know many square numbers from one square number and many roots from one root:	וקודם שאדבר על המספרים שאין להם שרש אראה לך דרך איך תוכל לדעת מרובעים רבים ממרובע אחד גם שרשים רבים משרש אחד
Know that the product of a square by a square is always a square and its root is the product of the root of one of the squares by the root of the other square. $\scriptstyle a^2\times b^2=\left(a\times b\right)^2$	ודע כי כפל מרובע על מרובע לעולם יהיה מרובע והשורש יהיה כמו העולה מכפל שרש אחד מהמרובעים על שרש מרובע האחר
Example: We multiply the square of 5 by the square of 9; the result is two thousand and 25. This number is a square; we wish to know how much its root is. We multiply 5 by 9; the result is 45 and this is actually the root. $\scriptstyle{\color{blue}{5^2\times9^2=2025=45^2=\left(5\times9\right)^2}}$	דמיון כפלנו מרובע ה' על מרובע ט' ועלה אלפים וכ"ה וזה החשבון מרובע בקשנו לדעת כמה שרשו כפלנו ה' על ט' ועלו מ"ה והוא השרש באמת
The ratio of a square to a square is also a square.	וערך מרובע אל מרובע גם הוא מרובע
If you divide the larger one by the smaller one, you will find its root.	ואם חלקת הגדול על הקטן תמצא שרשו
Example: what is the ratio of 49 to 100?	דמיון מה ערך מ"ט אל ק‫'
It is its double and 2 sevenths of one-seventh.	הנה הוא כפלו וב' שביעיות שביעית
We wish to know the root of this square.	בקשנו לדעת שרש זה המרובע
We divide 10 by 7; the result is one and 3 sevenths and this is the root.	חלקנו י' על ז' עלה אחד וג' שביעיות וזהו השרש
For one by one is one.	כי אחד על אחד אחד
Twice the product of one by 3 sevenths is 6 sevenths.	וכפל אחד על ג' שביעיות פעמי' ו' שביעיות
The product of 3 sevenths by 3 sevenths is 9 sevenths of one-seventh.	וכפל ג' שביעיות על ג' שביעיות ט' שביעיות שביעית
We convert the 7 sevenths of one-seventh to one-seventh and add it to the 6 sevenths that we had; the result is one integer.	והנה נעשה מן הז' שביעיות שביעית אחת ונחברנה אל הו' שביעיות שהיו לנו יעלו אחד שלם
Hence, we have two integers and 2 sevenths of one-seventh.	והנה יש לנו שנים שלמים וב' שביעיות שביעית
We wish to know the square of a known number from a known square of a known number: we divide the greater known number by the smaller known number, whose square we know; we take the square of [the quotient] and multiply it by the known square; the result is the square of the greater number that we knew. $\scriptstyle\left(a\div b\right)^2\times b^2=a^2$	בקשנו לדעת מרובע מספר ידוע ממרובע ידוע למספר ידוע חלקנו המספר הידוע הגדול על מספר הידוע הקטן שידענו מרובעו ונקח מרובעו ונכפלנו על המרובע הידוע והעולה הוא מרובע המספר הגדול שידענו
Example: We wish to know the square of 19 from the square of 7, which is 49.	דמיון בקשנו לדעת מרובע י"ט ממרובע ז' שהוא מ"ט
We divide 19 by 7; the result is 2 and 5 sevenths.	חלקנו י"ט על ז' עלו ב' וה' שביעיות
We calculate its square: 2 by 2 and 4 integers.	כפלנו מרובע זה והנה ב' על ב' ד' שלמי‫'
2 by 5 sevenths twice are 20 sevenths	וב' על ה' שביעיות פעמי' הם כ' שביעיו‫'
5 by 5 are 25 sevenths of one-seventh.	וה' על ה' הם כ"ה שביעיות שביעית
We convert them to 3 sevenths; 4 sevenths of one-seventh remain. We add the 3 sevenths we had to the 20, they are 23. We convert them to 3 integers.	נעשה מהם ג' שביעיות נשאר לנו ד' שביעיות שביעית נחבר הג' שביעיות שהיו לנו על הכ' יהיו כ"ג נעשה מהם ג' שלמים
So the square is 7 integers, 2 sevenths and 4 sevenths of one-seventh.	והנה המרובע ז' שלמים וב' שביעיות וד' שביעיות שביעית
We multiply 49 by 7; the result is 343. We add to them 14 that are 2 sevenths of 49; they are 357. We also add to them 4 sevenths of one-seventh that are 4 of 49; the total is 361 and this is the square of 19.	והנה נכפול מ"ט על ז' יעלו שמ"ג נחבר אליהם י"ד שהם ב' שביעיות מ"ט יהיו שנ"ז גם נחבר אליהם ד' שביעיות שביעית שהם ד' ממ"ט יהיה הכל שס"א וזהו מרובע י"ט
If we sum 2 squares, whether they are successive or far apart from each other, we double the sum, then subtract from this double the square of the difference between their two roots. The remainder is always a square, and the sum of the two roots is [its] root.	ואם חברנו ב' מרובעים בין שיהיו על הסדר או שיהיו מרוחקי' זה מזה נכפול המחובר ונחסר מזה הכפל מרובע היתרון שיש בין שני המספרי' שהם השרשים יהיה הנשאר לעולם מרובע והמחובר מהב' שרשים הוא השרש
Example: We sum 81, which is the square of 9, with 729, which is the square of 27; they are 810. Its double is 1620. We know that the root of the smaller square is 9 and the root of the greater square is 27; the difference between theem is 18 and its square is 324. We subtract it from the double; 1296 remain, which is the square and its root is 36, which is the sum of 9 with 27.	דמיון חברנו פ"א שהוא מרובע ט' עם תשכ"ט שהוא מרובע כ"ז יהיו תת"י וכפלו אלף ותר"כ וידענו כי שרש המרובע הקטן ט' ושרש המרובע הגדול כ"ז והיתרון ביניהם י"ח ומרובעו שכ"ד חסרנום מהכפול נשאר אלף ורצ"ו והוא מרובעו ושרשו ל"ו שהוא מחובר מט' עם כ"ז
If we sum 3 squares, we triple them, then subtract from the product the [sum of] squares of the 3 differences that are between the roots of the 3 numbers. The remainder is also a square. If you sum the 3 roots, the sum is the root of the remainder.	ואם חברנו ג' מרובעי' ונכפלם ג' פעמים ונחסר מהעולה באחרונה מרובעי הג' יתרונים שיש בין שרשי הג' מספרים והעולה באחרונה יהיה גם הנשאר מרובע וכאשר תחבר הג' שרשים יהיה המחובר שרש הנשאר
Example: We sum 36, which is the square of 6, with 64, which is the square of 8, and with 400, which is the square of 20, then the sum of 3 squares is 500. We triple it, the result is 1500. We keep this number. We look at the differences: the difference between 6 and 8 is 2 and its square is 4; the difference between 6 and 20 is 14 and its square is 196; the difference between 8 and 20 is 12 and its square is 144. So, the [sum of] squares of these 3 numbers is 344. We subtract it from the reserved product; 1156 remain and this is the square.	דמיון חברנו ל"ו שהוא מרובע ו' עם ס"ד שהוא מרובע ח' ועם ד' מאות שהוא מרובע כ' והנה המחובר מג' מרובעי' הוא ת"ק כפלנוהו ג' פעמים עלו אלף ות"ק שמרנו זה החשבון נשוב לחפש היתרוני' והנה היתרון בין הו' ובין הח' ב' ומרובעו ד‫' והיתרון בין הו' ובין הכ' י"ד ומרובעו קצ"ו היתרון בין הח' ובין הכ' י"ב ומרובעו קמ"ד והנה מרובעי אלה הג' הם שמ"ד נחסרם מהכפול השמור ישארו אלף וקנ"ו והוא המרובע
The sum of the 3 roots is 34 and this is the root of the remaining square.	והמחובר מן הג' שרשים הוא ל"ד והוא שרש מרובע הנשאר
Likewise, if you sum 4 or 5 numbers and multiply them a certain number of times.	ועל זה הדרך אם חברת ד' מספרים או ה' ותכפלם כך פעמ‫'
The rule is that you multiply by the number of squares that you sum, then always subtract the squares of the differences, as many as they are, from the sum; the remainder is a square. You just have to be sure to know the differences.	והכלל שתכפול כפי מספר המרובעי' שחברת ותחסר לעולם מרובעי היתרוני' כמה שיהיו מהמחובר יהיה הנשאר מרובע ויש לך להישמר לדעת היתרונים
I will tell you [a rule] according to which you can know how much the number of differences is: always subtract one from the number of squares and know how much is the sum of all numbers that precede this number, as I showed you and as the sum so is the number of differences.	ואומר לך שתוכל לדעת ממנו כמה מספר היתרונים חסר לעולם אחד ממספר המרובעי' ודע כמה מספר המחובר שלפני אותו המספר כאשר הראיתיך וכמספר המחובר יהיה המספר היתרונים
Example: We sum 6 squares and we wish to know the number of the differences.	דמיון חברנו ו' מרובעי' ונרצה לדעת מספרי היתרוני‫'
We subtract one, as we have said; 5 remain. [The sum of] the numbers that precede it is 15, and so is number of the differences.	נחסר אחד כאשר דברנו ישארו ה' והמספרי' שהם לפניו יהיו ט"ו וככה יהיו מספרי היתרוני‫'
Fractions
Now we start to discuss the square fractions that have a true root:	עתה נחל לדבר על הנשברי' המרובעי' שיש להם שרש אמת
We say a general statement about the square fractions that are alone or combined with integers:	ונאמ' דבר כולל לנשברי' המרובעי' שהם לבדם או שהם עם שלמי‫'
See if the fraction is one-half, third, fifth, sixth, seventh, or eighth, it is not a square.	הסתכל אם היה הנשבר חצי או שלישית או חמישית או ששית או שביעית או שמינית אינו מרובע
This is because these numbers as integers are not squares.	והיה כן בעבור כי אלה המספרי' בשלמי' אינם מרובעי‫'
Only if there is one-quarter, or one-fifth of one-fifth, one-sixth of one-sixth, one-seventh of one-seventh; or one-eighth of one-eighth, or one-half of one-eighth, for it is one-sixteenth.	רק אם היה בו רביעית או חמישית חמישית או ששית ששית או שביעית שביעית או שמינית שמינית או חצי שמינית כי הוא חלק מי"ו
Observe: if there is one-quarter in square, know that there is one-half in the root; if there is one-ninth there, know that there is one-third in the root; if there is one-half of one-eighth there, know that there is one-quarter in the root.	והנה הסתכל אם היה במרובע רביעית דע כי בשרש חצי ואם שם תשיעית דע כי יש בשרש שלישית ואם יש שם חצי שמינית דע כי יש בשרש רביעית
We begin to discuss the square fractions that are alone without integers:	ונחל לדבר על המרובעי' נשברי' לבדם שאין עמהם שלמי‫'
We have already said that the fractions are reversed to the integers.	וכבר אמרנו כי הנשברי' הפך השלמי‫'
When you multiply an integer by and integer whether by itself or by another, the product is greater than the [multiplied] numbers; the reverse is with fractions.	וכאשר תכפול חשבון שלם על חשבון שלם בין יהיה על עצמו או על אחר יהיה העולה גדול מהמספרי' והפך זה בנשברי‫'
Also, while the squares of the integers are greater than their roots, the opposite is for the square fractions: their roots are greater than their squares.	וכאשר המרובעי' השלמי' גדולי' משרשיהם יהיו המרובעי' הנשברי' להפך בי' שרשיהם גדולים ממרובעיהם
Extracting the squares from their roots is easy: for, the product of one-half by one-half is one-quarter and this is the square; likewise one-third by one-third is one-ninth; 2 thirds by 2 thirds are one-third; one-third of one-third is one-ninth; 4 fifths by 4 fifths are 3 fifths and one-fifth of one-fifth and this is the square.	ולהוציא המרובעי' משרשיהם דבר קל כי כפל חצי על חצי הוא רביעית אחד והוא המרובע וככה שלישית על שלישית תשיעית אחת וב' שלישיות על ב' שלישיות שלישית אחת ושלישית שלישית תשיעית וד' חומשי' על ד' חומשי ג' חומשים וחומש החומש והוא המרובע
In this way for all.	ועל זה הדרך הכל
But, it is difficult to extract the root from the square.	רק הקשה להוציא השרש מהמרובע
I shall give you a general way in the way of the astrologers that extract all their numbers from the number 60.	ואתן לך דרך כוללת על דרך חכמי המזלות שיוציאו כל חשבונם מחשבון ס‫'
If one asks: how much are 2 thirds multiplied by 2 thirds? $\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}$	אם ישאל אדם כמה הם ב' שלישיות כפולות על ב' שלישיות
Multiply 40 by 40; they are 1600. Divide them by 60; they are 26 primes and 40 second remain. The total is 4 ninths.	תכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר חלקם על ס' יהיו כ"ו חלקי' ראשוני' ונשארו מ' שניים והכל ד' תשיעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{\frac{2}{3}\sdot60}{60}\sdot\frac{\frac{2}{3}\sdot60}{60}=\frac{40}{60}\sdot\frac{40}{60}=\frac{\frac{40\sdot40}{60}}{60}=\frac{\frac{1600}{60}}{60}=\frac{26}{60}+\frac{40}{60^2}=\frac{4}{9}}}$
Because, one-ninth is 6 primes and 40 seconds, which are two-thirds of one prime. If we convert this number to thirds, they are 20. We multiply also the 60 by 3; they are 180, and all is in the same ratio. When we divide this number by 20; the result is 9, which is one-ninth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}=\frac{20}{180}=\frac{20}{3\sdot60}=\frac{20}{3}\sdot\frac{1}{60}=\frac{6}{60}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{60}\right)=\frac{6}{60}+\frac{40}{60^2}}}$	כי תשיעית ו' ראשוני' גם מ' שניים שהם שתי שלישיות ראשון ואם עשינו מזה המספר שלישיות יהיו כ‫' גם נכפול ס' על ג' יהיו ק"פ והכל יהיו ממתכונת אחת וכאשר נחלק זה המספר על כ' עלו ט' שהוא תשיעית אחת
If the one who asks reverse the question and says: The square is 4 ninths, how much is the root? $\scriptstyle\sqrt{\frac{4}{9}}$	ואם הפך השואל השאלה ואמר כי המרובע ד' תשיעיות אחד כמה השרש
You also reverse the thing around by knowing how much are 4 ninths of 60. We have already said that they are 26 primes and 40 seconds. Convert the minutes to seconds and add the seconds to them; the total is 1600. This number is of the even [ranks], similar to 16. consider it as integers; the root is 40. Consider them again as minutes and so is the root.	הפוך גם אתה הדבר שתדע כמה הם ד' תשיעיות ס' וכבר אמרנו שהם כ"ו ראשוני' ומ' שניי‫' עשה מן הראשוני' שני' ושים השניי' עמהם יהיו הכל אלף ת"ר וזה המספר בזוגות דומה לי"ו וחשוב שהם שלמי' והנה השרש מ' שוב וחשוב כי הם ראשוני' וככה הוא השרש
Example of a number that is not divisible by 60: We multiply 4 sevenths by 4 sevenths. $\scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{4}{7}$	דמיון בחשבון שלא יתחלק על ס‫' כפלנו ד' שביעיות על ד' שביעיות
In the way of arithmeticians: We multiply 4 by 4; they are 16 is. We divide them by 7; they are 2 sevenths and 2 sevenths of one-seventh.	והוא על דרך חכמי החשבון נכפול ד' על ד' יהיו י"ו נחלקם על ז' יהיו ב' שביעיות וב' שביעיות שביעית
In a way that is similar to that of the astrologers: its fractions are seventieths. 4 sevenths are 40. We multiply 40 by 40, they are 1600. We divide them by 70; the result is 22 primes and 60 seconds, and this is the square.	ועל דרך הדומה לחכמי המזלות יהיו חלקיו ע' והנה ד' שביעיות הם מ‫' נכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר נחלקם על ע' יהיו כ"ב ראשוני' גם ס' שניים והוא המרובע
If the one who asks reverse the question and says: How much is the root of this square that is so? $\scriptstyle\sqrt{\frac{22}{70}+\frac{60}{70^2}}$	ואם השואל יהפוך השאלה ויאמר כמה שרש זה המרובע שהוא ככה
We convert the 22 primes to seconds and add to them the 60 seconds that we had; they are 1600. We consider them as integers; their root is 40. We consider them as primes and this is truly the root.	גם אנחנו נהפוך הכ"ב ראשוני' ונעשה מהם שניי' ונוסיף עליהם הס' שניים שהיו לנו יהיו אלף ות"ר נחשוב כי הם שלמי' ושרשם מ' ונחשוב כי הם ראשוני' וזהו השרש באמת
If we wish to convert this from the seventieths to sixtieths:	ואם רצינו להשיב ממתכונת ע' אל מתכונת ס‫'
We multiply 40 by 60 and divide the product by 70; the result is 34 and 20 remain. We multiply this by 60 again and divide the product by 70; the result is 17 and we are left with what he called one that is ten, therefore the number is not precise. We convert it to sixtieths, and because 70 is greater than 60, we multiply it again; they are 3,600. We divide them by 70; the result is 51 and this is enough for us.	נכפול מ' על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו ל"ד וישארו כ‫' נכפלם פעם אחרת על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו י"ז וישאר לנו זה שאמר שהוא אחד הוא עשרה לכן החשבון אינו מדקדק נעשה ממנו ס' ובעבור כי ע' גדול מס' נכפלנו עוד ויהיו ג' אלפים ות"ר נחלקם על ע' עלו נ"א ויספוק לנו זה
Another example: We multiply one-third by one-third. $\scriptstyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}$	דמיון אחר כפלנו שלישית על שלישית
The result is one-ninth and this is the square. We convert it to ninetieths. Its third is 30. We multiply it by itself; the result is 900. We divide this by 90; the result is 10 parts and this is the square.	עלה תשיעית אחד והוא המרובע ונעשה חלקיו צ' ושלישיתו ל‫' כפלנו אותו על עצמו עלו תת"ק נחלקנו על צ' ועלה י' חלקים והוא המרובע
Vice versa: we wish to know the root from this square. $\scriptstyle\sqrt{\frac{10}{90}}$	והפך זה בקשנו לדעת השרש מזה המרובע
We convert the 10 parts to seconds; they are 900. We consider them as integers, and as this number so are the minutes; and that is the root.	עשינו מהי' חלקים שניים והם תת"ק חשבנו שהם שלמי' וכמספר הזה יהיו ראשוני' והוא השרש
All of this is true if there is a real square number and a real root, but not if it is said about fractions that have no real root, whether divisible by 60, or not.	וכל זה נכון אם יש מרובע אמת ושרש אמת רק אם אמר חשבון חלקים שאין להם שרש אמת בין שיהיה להם ערך אל ס' או לא יהיה
For, if he says: 12 parts are the square, how much is the root?	כי אם אמר י"ב חלקים הוא המרובע כמה השרש
We know that 12 is one-fifth of 60, and we have already said that there cannot be a fifth in a square.	ידענו כי י"ב הוא חמישית ס' וכבר אמרנו כי לא יתכן להיות במרובע חמישית
Likewise, if he says that the square is 10 parts, which is one-sixth. This is impossible.	וככה אם אמר כי המרובע י' חלקים שהוא ששית אחת לא יתכן להיות
Only if he says that the square is one part and 40 seconds, which is one-sixth of one-sixth, then it is correct.	רק אם אמר כי המרובע חלק אחד ומ' שניים שהוא ששית הששית הוא הנכון
As for the numbers that are divisible by 60, most of them are not squares.	והנה במספר שיש לו ערך אל ס' לא יתכן להיות רובי המספרים מרובעים
All the more so the numbers that are not divisible at all, such as 11, 13, (15), 17, 19 and many others that have no divisor.	אף כי המספרים שאין להם ערך כלל כמו י"א י"ג ט"ו י"ז י"ט ואחרים רבים שאין להם ערך
[Latter], I will give you a method by which you will be able to extract for every square fraction its root by approximation to the truth.	ועוד אתן לך דרך שתוכל להוציא לכל מרבע נשבר שרשו בדרך שהיא קרובה אל האמת
Integers and Fractions
Now, I shall discuss the integers with fractions that are squares.	ועתה אדבר על השלמים שיש בהם נשברים והם מרובעים
Example: One says: the square that is 11 and one-ninth - how much is the root? $\scriptstyle\sqrt{11+\frac{1}{9}}$	דמיון אמר אומר מרובע שהוא י"א ותשיעית כמה השרש
Since he says that there is a ninth in it, it can be a square and in its root a third that corresponds to the ninth. Subtract the ninth, which is a square of the [fraction]; 11 integers remain. The excess over the preceding square is 2 integers. We convert them to minutes; they are 120. We divide them by double the preceding root, which is 6; they are 20. So the root is 3 integers, 20 parts and one-third.	אחר שאמר שיש בו תשיעית נכון הוא להיותו מרובע ובשרשו שלישית נכח התשיעית חסר ממנו התשיעית שהוא מרובע שבר השבר נשארו י"א שלמים והנה המרחק מהמרובע שעבר ב' שלמים נשיבם ראשונים יהיו ק"כ נחלקם על כפל השרש שעבר שהוא ו' יהיו כ‫' והנה השרש ג' שלמים וכ' חלקים ושליש
Another example: The square that is 7 integers, 50 primes and 24 second. $\scriptstyle\sqrt{7+\frac{50}{60}+\frac{24}{60^2}}$	דמיון אחר המרובע שהוא ז' שלמים ונ' חלקים ראשונים וכ"ד שניים
Since there are 24 seconds, we know that there is in the number one-fifth of one-fifth, which is 2 parts and 24 seconds. We subtract this square of the fraction from the given number; 7 integers and 48 primes remain. The excess of the succeeding square is one integer and 12 parts, which are 72 primes. We divide them by double the succeeding root, which is 6; the result is 12. We subtract them from 3, which is the root; 2 integers and 48 parts remain.	הנה בעבור ששם כ"ד שניים ידענו שיש בחשבון חומש החומש שהוא ב' חלקים וכ"ד שניים נחסר זה מרובע השבר מהמספר הנתון ישאר ז' שלמים ומ"ח ראשונים והנה המרחק מהמרובע שהוא אחריו אחד שלם וי"ב חלקים שהם ע"ב ראשונים נחלקם על כפל השרש שהוא אחריו והוא ו' ויעלו י"ב נגרעם מג' שהוא השרש ישארו ב' שלמים ומ"ח חלקים
We check this by multiplying: for 2 by 2 are 4 integers and we know that twice 2 by 48 are 192. 48 are 4 fifths, so they are 16 fifths. We convert them to 3 integers; one-fifth remains. We still have to multiply 4 fifths by 4 fifths, which are 16 fifths of one-fifth: we convert 15 to 3 fifths and add to them the one-fifth that we had; they are 4 fifths and one-fifth of one-fifth. ​​4 fifths are 48 primes and one-fifth of one-fifth is 2 primes and 24 seconds. So the total is 50 primes, 24 seconds and 7 integers.	והנה נבחן זה בכפל כי הנה ב' על ב' ד' שלמים וידענו כי ב' על מ"ח פעמים יהיו קצ"ב ומ"ח הם ד' חמישיות יהיו י"ו חמישיות נעשה מהם ג' שלמים וישאר חמישית אחת וישארו לנו לכפול ד' חמישיות על ד' חמישיות יהיו י"ו חמשיות חמישית נעשה מט"ו ג' חומשין ונחבר אליהם החומש שהיה לנו יהיו ד' חומשין גם חומש החומש והנה ד' חומשין הם מ"ח ראשונים וחומש החומש ב' ראשונים וכ"ד שניים והנה הכל נ' ראשונים וכ"ד שניים וז' שלמים
Example: The square that is 44 and 4 ninths. $\scriptstyle\sqrt{44+\frac{4}{9}}$	דמיון מרובע שהוא מ"ד וד' תשיעיות
We know that the ninths come from thirds.	ידענו כי התשיעיות מן השלישיות יצאו
So, we subtract this square, which is fractions of fractions and see how much is the difference between the integers and the preceding square: it is 8. We convert them to minutes; they are 480. We divide them by 12, which is double the root of the preceding square; they are 40 primes, so the root is 6 integers and 40 parts, for the 40 are fractions and 40 of 60 are 2 thirds. We multiply 2 by 2; they are 4. We divide them by 3; the result is one-third, and one-third of one-third remains, which are 4 ninths.	והנה נסיר זה המרובע שהוא לשברי שברים ונבקש כמה מרחק השלמים מן המרובע שעבר והנה ח‫' נשיבם ראשונים יהיו ת"פ נחלקם על י"ב שהוא כפל שרש המרובע שעבר יהיו מ' חלקים ראשונים והנה השרש ו' שלמים ומ' חלקים כי מ' הם השברים ומ' מס' הם ב' שלישיות והנה נכפול ב' על ב' יהיו ד‫' נחלקם על ג' יעלה שלישית אחת ונשאר שלישית השלישית והנה הם ד' תשיעיות
In the way of the astrologers: we multiply 6 by 6; they are 36. We multiply 6 by 40 and 40 by 6; they are 480 primes. We divide them by 60, the result is 8 integers. We add them to the 36; they are 44. We multiply 40 by itself and divide the product by 60, and what remains is seconds, which are 26 and 40 that are 4 ninths, because their ratio to 60 is as the ratio of 4 to 9.	ובדרך חכמי המזלות נכפול ו' על ו' והם ל"ו ונכפול ו' על מ' ומ' על ו' והם ת"פ ראשונים נחלקם על ס' ועלו ח' שלמים נחברם עם הל"ו ויהיו מ"ד נכפול מ' על עצמו ונחלק העולה על ס' ומה שישאר הם שניים והם כ"ו ומ' והם ד' תשיעיות כי ערכם אל ס' כערך ד' אל ט‫'
After I have mentioned these examples, proceed in this way with all the ranks.	ואחר שהזכרתי אלה הדמיונים תעשה כדרך הזה בכל המעלות
Approximations
Now I will tell you a general way for all the numbers that have a root or do not have [a root]:	ועתה אומר לך דרך כלל לכל המספרים שיש להם שרש אמת או אין להם
Know that between two successive [square] numbers there are always [numbers] as the number of the roots of both.	דע כי לעולם יהיה בין ב' מספרים שהם על הסדר כמספר השנים שרשים
Look at the number you want: how much is its distance from the preceding square? If the difference between your number and the preceding square is as the root of the preceding square, it is the mean number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+a}}$	והנה הסתכל במספר שתרצה כמה מרחקו מהמרבע שעבר אם היה המרחק בין מספרך ובין המרובע שעבר כשרש המרובע שעבר הוא מספר האמצעי
Extract any number that is less than the mean from the preceding square number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+b}}$	וכל מספר שיהיה פחות מהאמצעי הוציאהו מהמספר המרובע שעבר
If it is greater than the root of the preceding [square], extract it backwards from the succeeding square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2-b}}$	ואם היה יותר מהשרש שעבר הוציאהו אחורנית מהמרובע שלפניו
Example: the number twenty. $\scriptstyle\sqrt{20}$	דמיון המספר עשרים
Its distance from the preceding square is 4. If you convert it to primes, then divide by double the root, they are 30, which are half of 60. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20-4^2}{2\sdot4}=\frac{4}{8}=\frac{\left(60\sdot4\right)^\prime}{8}=30^\prime=\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)^\prime}}$	והנה מרחקו מן המרובע שעבר ד‫' ואם תשיבם ראשונים ותחלקם על ח' שהוא כפל השרש יהיו ל' שהוא חצי ס‫'
If you take the distance of 20 from the succeeding square, it is as the root [of the succeeding square]. We convert them to primes, then divide them by 10, which is double the root, they are 30. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5^2-20}{2\sdot5}=\frac{5}{10}=\frac{\left(60\sdot5\right)^\prime}{10}=30^\prime}}$	ואם לקחנו מרחק הכ' מהמרובע הבא יהיה כמספר השרש נשיבם ראשונים ונחלקם על י' שהוא כפל השרש יהיו ל‫'
Therefore, I said that 20 is a mean number.	על כן אמרתי כי כ' הוא חשבון אמצעי
Now, note: if your number is close to the preceding square, look at the difference between them, convert it to primes.	ועתה שים לבך אם היה מספרך קרוב אל המרובע שעבר ראה המרחק שיש ביניהם ועשה ממנו ראשונים
If there are primes in your number, add them to the primes you got.	ואם יש בחשבונך ראשונים הוסיפם על הראשונים שעשית
If you also have seconds, convert all to seconds.	ואם יש עמך שניים השב הכל במערכת השניים
Or choose the following shorter way: if the seconds are less than 30, leave them out; if they are more, add one prime instead of them.	או קח דרך קצרה אם היו השנים פחותים מל' הניחם ואם יותר הוסף ראשון אחד עליהם
When you know of how many primes the difference is, divide it by twice the preceding root and add the quotient to the preceding root. The sum is called "the first root".	וכאשר תדע כמה הראשונים של המרחק חלקם על כפל השרש שעבר וההוה הוסיפנו על השרש שעבר והמחובר יקרא שרש ראשון
If your number is in hundreds or thousands, this root is enough for you in geometry, because it does no harm.	ואם חשבונך היה במאות ואלפים זה השרש יספיק לך במדות כי לא יזיק
However, if the number is small, you still need a second root, which is more precise.	רק אם המספר היה קטן אתה צריך לשרש שני שהוא יותר מדוייק
To calculate chords and arches, you need a third root, which is even more precise.	ולהוציא היתרים והקשתות אתה צריך לשרש שלישי שמדוייק יותר
This is how the approximation is applied: when you have the primes of the difference, know how much is their square, divide it by twice the first root, then know how much the quotient is, and in what rank it is, whether in primes or in seconds, as I have shown you in the chapter of the fractions and subtract it from the first root; the remainder is the second root.	וככה יהיה הדקדוק כשיהיו לך הראשונים של המרחק דע כמה מרובעם וחלקהו על כפל השרש הראשון ודע העולה כמה הם ובאיזה מעלה הם בראשונים או בשניים כאשר הראיתיך בשער השברים וההוה חסרהו מן השרש הראשון והנשאר הוא השרש השני
If you want to calculate it more precisely, take the square of the quotient and divide it by double the second root.	ואם תרצה לדקדקו עוד קח מרובע זה שעלה בחלוק וחלקהו על כפל השרש השני
Now I shall give you examples according to way of the arithmeticians with approximate calculation.	ועתה אתן לך דמיון על דרך חכמי החשבון בדרך קרוב
We wish to know the root of two hundred. $\scriptstyle\sqrt{200}$	בקשנו לדעת שרש מאתים
The preceding square is 196, the difference is 4 integers. When you divide them by 28, which is double the root, the result is one-seventh, so the root is 14 and one-seventh.	והנה המרובע שעבר קצ"ו והמרחק ד' שלמים כשתחלקם על כ"ח שהוא כפל השרש תעלה שביעית אחת והנה השרש י"ד ושביעית אחת
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{200}\approx14+\frac{200-14^2}{2\sdot14}=14+\frac{200-196}{28}=14+\frac{4}{28}=14+\frac{1}{7}}}$
If you wish to know the root of twenty thousand. $\scriptstyle\sqrt{20000}$	ואם רצית לדעת שרש עשרים אלף
Multiply this root by 10; the result is 141 and 3 sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}=10\sdot\sqrt{200}\approx10\sdot\left(14+\frac{1}{7}\right)=141+\frac{3}{7}}}$	כפול זה השרש על י' יעלה קמ"א וג' שביעיות
If we want to know the root of two from the root of two hundred, which is 14 and one-seventh. $\scriptstyle\sqrt{2}$	ואם בקשנו לדעת כמה שרש שנים משרש מאתים שהוא י"ד ושביעית
We take its tenth: From 10 we take one integer. One-tenth of 4 are 4 tenths and we know that 4 tenths are 2 fifths, which are 24 minutes. We have to take one-tenth of the seventh. As we said before, one-seventh of 60 is 8, 34 seconds. We convert all to seconds; they are 514 and their tenth is 52. Hence, the first root is 1° 24' 52" and it is approximated to the truth.	נקח עשיריתו והנה מי' נקח אחד שלם ועשירית ד' והם ד' עשיריות וידענו כי ד' עשיריות הם ב' חמישיות שהם כ"ד ראשונים ויש לנו לקחת עשירית השביעית והנה שביעית ס' כבר אמרנו שהוא ח' ל"ד שניים נשיב הכל שניים יהיו תקי"ד ועשיריתם נ"ב והנה יהיה השרש הראשון א' כ"ד נ"ב והוא כמעט קרוב אל האמת
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}=\frac{1}{10}\sdot\sqrt{200}&\scriptstyle\approx\frac{1}{10}\sdot\left(14+\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{10}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot4\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{4}{10}+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(8^\prime+34^{\prime\prime}\right)\right]\\&\scriptstyle=1+\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot514^{\prime\prime}\right)\approx1+24^\prime+52^{\prime\prime}\\\end{align}}}$
We turn to extract this root from 20 thousand.	נשוב להוציא זה השרש מכ' אלף
We know that this number is similar to the units and 10 thousand is similar to one, which is the analogous square.	וידענו כי זה החשבון הוא דומה לאחדים וי' אלפים כמו אחד והוא המרובע הנמשל
We subtract 10, meaning take the minutes of the difference, after you divide them by double the preceding root and they are the minutes that you have in the root.	והנה נחסר י' הפירוש שתקח הראשונים של המרחק אחר שלקחת אותם על כפל השרש שעבר והם הראשונים אשר עלו לך בשרש
Or if you wish, say that you take the first root, square it and see how close it is. Then, divide its excess over your first number by double the first root, subtract the quotient from the first root and the remainder is the second root.	או אם תרצה אמור שתקח השרש הראשון ותרבעהו ותראה כמה יהיה הקרוב והתוספת אשר בו על מספרך הראשון והתוספת ההוא תחלק על כפל השרש הראשון והיוצא בחלוקה תחסר מהשרש הראשון והנשאר הוא השורש השני
[Subtract] 406 from our number; 10,000 remain. We divide them by double the root, which is 200, yet we do not give it all that we can, but leave as much as the square of the quotient. So, we give it 40 and we have two thousand left. We subtract one thousand and 600 from this, which is the square of the quotient; 400 remain. Our root is 140, its double is 280. We divide the remainder by it. We give it one; 120 remain. We subtract 1 from it, which is the square of 1; 119 remain, and our root is 141. We convert the remainder into minutes, they are 7 thousand and 140. We divide them by 282, which is double our roots; the result is 25 minutes and 19 seconds. We divide all the integers and the seconds that we have said by 100; the result is one integer 24 51 11. This is more accurate than the first [root] that we mentioned.	ת"ו אלפים ממספרנו ישארו י' אלפים נחלקם על כפל השרש שהוא ר' ולא נתן לו כל מה שנוכל אך נניח כפי מרובע החלוק והנה נתן לו מ' וישארו לנו אלפים נסיר מהם אלף ות"ר שהוא מרובע החלוק נשאר ת' והשרש שלנו ק"מ וכפלו ר"פ נחלק הנשאר עליו נתן לו אחד נשארו ק"כ נחסר ממנו א' שהוא מרובע א' נשאר קי"ט והשרש שלנו קמ"א נעשה מהנשארים ראשונים יהיו ז' אלף וק"מ נחלקם על רפ"ב שהוא כפל השרש שלנו עלו כ"ה חלקים ראשונים וי"ט שניים נחלק כל מה שאמרנו מן השלמים והשניים על ק' יהיה העולה אחד שלם כ"ד נ"א י"א וזהו מדוקדק יותר מן הראשון שהזכרנו
If you take any number that is twice a square number and multiply the root of this square number by this root, you will get the root of the number exactly.	ואם תקח כל חשבון שהוא כפל מרובע ותכפול שרש המרובע על זה השרש יצא לך שרש החשבון מדוקדק
Example: we wish to know how much is the root of 18. $\scriptstyle\sqrt{18}$	דמיון רצינו לדעת כמה שרש י"ח
We double the root of the square, the double of which is this number; the result is 4 integers, 14 minutes, 33 seconds and 33 thirds.	והנה כפלנו שרש המרובע שזה המספר כפלו ועלה ד' שלמים י"ד ראשונים ל"ג שניים ל"ג שלישיים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{18}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot3^2}=3\sdot\sqrt{2}\\&\scriptstyle\approx3\sdot\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}+11^{\prime\prime\prime}\right)\\&\scriptstyle=4+14^\prime+33^{\prime\prime}+33^{\prime\prime\prime}\\\end{align}}}$
If we double this number, it is the root of 72, which is the double of the double of 18. $\scriptstyle2\sdot\sqrt{18}=\sqrt{2^2\sdot18}=\sqrt{72}$	ואם כפלנו זה המספר יהיה שרש ע"ב שהוא כפל כפל י"ח
If we take half of this root, it is the root of 4 and one-half, which is a quarter of 18. $\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{18}=\sqrt{\frac{1}{2}^2\sdot18}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot18}=\sqrt{4+\frac{1}{2}}$	ואם לקחנו חצי זה שרש יהיה שרש ד' וחצי שהוא רביעית י"ח
If we take the square of 7 thousand and 200, which is twice the square of 60, the root is 84 integers, 51 minutes and 11 seconds and this is the root of 2 itself, because we convert them to minutes. Consider these 84 that are integers as minutes, and the minutes as seconds, and the seconds as thirds.	ואם נקח מרובע ז' אלפים ור' שהוא כפל מרובע ס' יהיה השרש פ"ד שלמים נ"א ראשונים י"א שניים וזהו שרש שנים בעצמו כי השיבונום בדרך ראשונים והנה חשוב אלה פ"ד שהיו שלמים חשבם ראשונים והראשונים שניים והשניים שלישיים
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sqrt{7200}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot60^2}\\&\scriptstyle=84+51^\prime+11^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=60\sdot\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}\right)+11^{\prime\prime\prime}=60\sdot\sqrt{2}\\\end{align}$
If you multiply this number by itself after you have converted it into thirds and divide then as the rule to convert them to the first rank, you are not left even with one second, let alone a minute.	ואם תכפול זה המספר על עצמו אחר שתשיבם שלישיים ותחלקם במשפט שתשיבם אל המעלה הראשונה לא ישאר לך שני אחד ואף כי ראשון
We go back to extract the root of 2 as it is analogous for the units. The preceding square is one; the difference between it and our number is one. We convert is to minutes; they are 60. We divide them by double the root, which is two; they are 30 minutes. So, the first root is 1 and 30 minutes.	נשוב להוציא שרש שנים להיותו דמיון לאחדים הנה המרובע שעבר הוא אחד והמרחק בין חשבוננו ובינו הוא אחד נשיבנו ראשונים יהיו ס' נחלקם על כפל השרש שהוא שנים יהיו ל' ראשונים והנה השרש הראשון א' ול' ראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2-1^2}{2\sdot1}=1+\frac{2-1}{2}=1+\frac{1}{2}=1+\frac{\frac{60\sdot1}{2}}{60}=1+30^\prime}}$
But this is inaccurate because it is a small number; for when we extracted it from the number 200, it was closer to the truth, and from 20 thousand it was more accurate and the first root was enough for us.	ואינו נכון בעבור שהוא בחשבון קטן כי הנה כאשר הוציאנו אותו מחשבון ר' היה קרוב אל האמת ומהחשבון כ' אלף יותר מדוקדק ויספיק לנו השרש הראשון
Our quotient is 30 minutes; its square is 15 minutes, because the product of minutes by minutes is seconds, that is 9 hundred, we divide them by 60; they are 15 minutes. We divide them by double the root we had, which is 3; the result is 5. We subtract them from the root that we had, so the second root is one integer and 25 minutes, which is still inaccurate because it is a small number.	והנה עלה לנו בחלוק ל' חלקים ראשונים ומרובעו ט"ו ראשונים כי כפל ראשונים על ראשונים שניים והם ט' מאות נחלקם על ס' יהיו ט"ו ראשונים נחלקם על כפל השרש שהיה לנו הוא ג' יעלו ה‫' נחסרם מן השרש שהיה לנו יהיה השרש השני א' שלם וכ"ה ראשונים ועודנו אינו מדוקדק בעבור היותו חשבון קטן
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+30^\prime\right)-\frac{\left(30^\prime\right)^2}{2\sdot\left(1+30^\prime\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+30^\prime\right)-\frac{\frac{900}{60^2}}{3}\\&\scriptstyle=\left(1+30^\prime\right)-\frac{15^\prime}{3}\\&\scriptstyle=\left(1+30^\prime\right)-5^\prime=1+25^\prime\\\end{align}}}$
We take again the square of the quotient, which is 25 and they are seconds, and double the second root that we had, which is one integer and 25 minutes, is 2 integers and 50 minutes. We divide the seconds by it. Since we have 5 sixths, we convert all into sixths: so multiply 25 by 6; they are 150. We divide them by 17. We give it 8, and 14 remain. We convert them into sixtieths; they are 840. We divide them by 17; the result is 49 and they are thirds, and 7 remain of 17. We leave them out, because we do not need them, for now we still have to subtract the square of the quotient. When we subtract 8 seconds and 49 thirds from the second root, the remainder is one integer, 24 minutes, 51 seconds and 11 thirds.	נשוב ונקח מרובע החלוק שהוא כ"ה והם שניים והשרש השני שהיה לנו שהיה אחד שלם וכ"ה ראשונים יהיה כפלו ב' שלמים נ' ראשונים נחלק השניים על זה ובעבור שיש לנו ה' ששיות נשיב הכל מערך ו' והנה נכפול כ"ה על ו' יהיו ק"נ נחלקם על י"ז נתן לו ח' ונשארו י"ד נשיבם ממערכת ס' יהיו תת"מ נחלקם על י"ז עלו מ"ט והם שלישיים ונשארו ז' מי"ז נשליכם כי אין צורך אליהם כי יש לנו עוד לחסר מרובע שעלה בחלוק עתה והנה כאשר נחסר ח' שניים גם מ"ט שלישיים מהשרש השני יהיה הנשאר אחד שלם כ"ד ראשונים נ"א שניים י"א שלישיים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+25^\prime\right)-\frac{\left(5^\prime\right)^2}{2\sdot\left(1+25^\prime\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\frac{25^{\prime\prime}}{2+50^\prime}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\frac{25^{\prime\prime}}{2+\frac{5}{6}}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left(\frac{6\sdot25}{17}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left(\frac{150}{17}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left(8+\frac{14}{17}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left[8^{\prime\prime}+\left(\frac{60\sdot14}{17}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left[8^{\prime\prime}+\left(\frac{840}{17}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left[8^{\prime\prime}+\left(49+\frac{7}{17}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle\approx\left(1+25^\prime\right)-\left(8^{\prime\prime}+49^{\prime\prime\prime}\right)=1+24^\prime+51^{\prime\prime}+11^{\prime\prime\prime}\\\end{align}}}$
If we calculate according to the way of astrologers, it would be the same.	ואילו עשינו על דרך חכמי המזלות יהיה הדבר שוה
If we calculate even more precisely by taking the square of the 8 seconds and 49 thirds that we mentioned, the resulting root would be as precisely as possible, 1, 24 minutes, 51 seconds, 17 thirds and 54 fourths.	ואם היינו מדקדקים עוד מדרך מרובע ח' שניים מ"ט שלישיים שאמרנו היה יוצא השרש מדוייק שאין דיוק כמוהו א' כ"ד ראשונים נ"א שניים י"ז שלישיים נ"ד רביעיים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}+11^{\prime\prime\prime}\right)-\frac{\left(8^{\prime\prime}+49^{\prime\prime\prime}\right)^2}{2\sdot\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}+11^{\prime\prime\prime}\right)}\\&\scriptstyle\approx1+24^\prime+51^{\prime\prime}+17^{\prime\prime\prime}+54^{\prime\prime\prime\prime}\\\end{align}}}$
We want to extract the root of 10. $\scriptstyle\sqrt{10}$	בקשנו להוציא שרש י‫'
The distance from the preceding square is 1. We convert it to minutes, they are 60. We divide them by 6, which is double the preceding root, it is 10. Hence, the first [approximate] root is 3 integers and 10 minutes.	והנה המרחק מהמרובע שעבר אחד נשיבנו ראשונים יהיו ס‫' נחלקנו על ו' שהוא כפל השרש שעבר יהיה י‫' והנה השרש הראשון ג' שלמים י' ראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\approx3+\frac{10-3^2}{2\sdot3}=3+\frac{1}{6}=3+\frac{\frac{60\sdot1}{6}}{60}=3+\frac{60^\prime}{6}=3+10^\prime}}$
We correct it by taking 100, which is the square of the quotient, and divide it by 6 and one-third, which is double the first [approximate] root. We relate all to 3. We have to divide 300 by 19. The result is 15 and 15 remain. We convert them to thirds, by relating to 60, they are 900. We divide them by 19, the result is 47. We have to subtract it from the 10 parts: we subtract 15 seconds and 15 thirds, the remainder is 9 minutes, 44 seconds and [13] thirds. So, the second [approximate] root is 3 integers, 9 minutes, 44 seconds and [13] thirds.	נשוב לדקדקו והנה נקח הק' שהוא מרובע החלוק ונחלקנו על ו' ושלישית שהוא כפל השרש הראשון ונשיב הכל מערך ג‫' ויש לנו לחלק ש' על י"ט ועלו ט"ו ונשארו ט"ו נשיבם שלישיים מערך ס' יהיו תת"ק נחלקם על י"ט עלו מ"ז והנה יש לנו לחסר זה מי' חלקים שהיה לנו הנה נחסר ט"ו שניים גם ט"ו שלישיים יהיה הנשאר ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים והנה השרש השני הוא ג' שלמים ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{10}&\scriptstyle\approx\left(3+10^\prime\right)-\frac{\left(10^\prime\right)^2}{2\sdot\left(3+10^\prime\right)}\\&\scriptstyle=\left(3+10^\prime\right)-\frac{100^{\prime\prime}}{6+\frac{1}{3}}\\&\scriptstyle=\left(3+10^\prime\right)-\frac{3\sdot100^{\prime\prime}}{19}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{300}{19}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(3+10^\prime\right)-\left(15+\frac{15}{19}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(3+10^\prime\right)-\left[15^{\prime\prime}+\left(\frac{60\sdot15}{19}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle=\left(3+10^\prime\right)-\left[15^{\prime\prime}+\left(\frac{900}{19}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle=\left(3+10^\prime\right)-\left[15^{\prime\prime}+\left(47+\frac{7}{19}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle\approx\left(3+10^\prime\right)-\left(15^{\prime\prime}+47^{\prime\prime\prime}\right)=3+9^\prime+44^{\prime\prime}+{\color{red}{13}}^{\prime\prime\prime}\\\end{align}}}$
If we calculate it more precisely, it is 3 integers, 9 primes, 44 seconds and 12 thirds.	ואם נדקדקנו יותר יהיה ג' שלמים ט' ראשונים מ"ד שניים י"ב שלישיים
If we multiply this number by 10, the product is 31 integers, 37 primes and 22 seconds and this is the root of one thousand.	וכשנכפול זה החשבון על י' יהיה העולה ל"א שלמים ל"ז ראשונים כ"ב שניים וזהו שרש אלף
If we multiply it by one thousand, we find the root of ten thousand of thousands.	ואם נכפלנו על אלף נמצא שרש עשרת אלפי אלפים
Question: we divide the root of 18 by the root of 8. How much is the result of division? $\scriptstyle\sqrt{18}\div\sqrt{8}$	שאלה חלקנו שרש י"ח על שרש ח' כמה יעלה בחלוק
We know that 18 has no root and 8 also; so we do it in another way, which is by dividing 18 by 8; the quotient is 2 and one-quarter. This number is a square and its root is one and a half. When we add to double the root of 2 its half, we find the root of 18 exactly.	ידענו כי אין לי"ח שרש ג"כ לח' והנה נעשה דרך אחרת שנחלק י"ח על ח' ויעלה בחלוק ב' ורביע וזה החשבון מרובע ושרשו אחד וחצי והנה כאשר נוסיף על כפל שרש ב' חציו תמצא שרש י"ח מדוקדק
Question: we placed a ladder on a wall that is 10 cubits high and so is the height of the ladder. We lowered the top of the ladder by 2 cubits from the top. We would like to know: how far the ladder will be from the base of the wall?	שאלה הצבנו סולם אל קיר י' אמות גבהותו וככה גבהות הסולם הורדנו ראש הסולם מלמעלה ב' אמות נבקש לדעת כמה יהיה מרחק הסולם מיסוד הקיר
I will give you a rule concerning this matter: the square of the remainder from the top of the ladder plus the square of the distance of the foot from the base are always equal to the square of the ladder.	אתן לך כלל בדבר זה לעולם יהיה מרובע הנשאר מראש הסולם עם מרובע מרחק הרגל מן היסוד שוים אל מרובע הסולם
Thus, we subtract the 2 cubits by which the top [of the ladder] was lowered from the top of the wall, 8 remain and their square is 64. We subtract it from 100, which is the square of the ladder, 36 remain, their root is 6 and this is the distance of the ladder from the base at the bottom.	והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ומרובעו ס"ד נחסרנו מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה הוא מרחק הסולם למטה מן היסוד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-\left(10-2\right)^2}=\sqrt{10^2=8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6}}$
Another example: We lowered the top [of the ladder] by one cubit. How far is it from the basis [of the wall]?	דמיון אחר הורדנו הראש אמה כמה המרחק מן היסוד
We subtract 1 from 10; 9 remains. Its square is 81. We subtract it from 100; 19 remain and this is the square of the distance. This is how we extract its root: We know that the distance from 16 is 3; we convert them to minutes, they are 180. We divide them by 8, which is double the preceding root; the quotient is 22 primes and 30 seconds. So the first root is 4 integers, 22 primes and 30 seconds. We take the square of the quotient and divide it by 8 integers and 45 primes, which is double the first root; the result is 58 seconds. We subtract this from the first root; the result is 4 integers, 21 primes and 32 seconds and there is no need to calculate it more precisely.	חסרנו א' מי' ונשארו ט' ומרובעו פ"א נחסרנו מק' ישארו י"ט וזהו מרובע המרחק וככה נוציא שרשו ידענו כי המרחק מי"ו הוא ג' נשימם ראשונים יהיו ק"פ נחלקם על ח' שהוא כפל השרש שעבר יעלה בחלוק כ"ב ראשונים ל' שניים והנה השרש הראשון ד' שלמים כ"ב ראשונים ל' שניים נקח מרובע החלוק ונחלקנו על ח' שלמים מ"ה ראשונים שהוא כפל שרש הראשון יעלו נ"ח שניים נחסרנו מן השרש הראשון יהיה ד' שלמים כ"א ראשונים ל"ב שניים ואין צורך לדקדקו יותר מזה
The Circle
Now we shall start talking about the circle as it depends on the root:	ועתה נחל לדבר בעגול יען שהוא תלוי בשרש
Know that there are many matters in the circle: one is the perimeter, the second is the diameter, the third is the multiplier [= pi], the fourth is the chord, the fifth is the versed sine, the sixth is the area.	דע כי יש בעגול דברים רבים האחד קו העגול והשני האלכסון והשלישי הכפל והרביעי היתר והחמישי החץ והששי השברים
You can extract each of them that is unknown from two that are known and there are those among them of which one that is unknown can be known from another, as I will explain and give an example for each.	ותוכל להוציא אחד מהם שאינו ידוע מב' שהם ידועים ויש מהם שיוכל לדעת אחד מהם שאינו ידוע מאחר כאשר אפרש ואתן דמיון לכל אחד ואחד
We calculate the diameter of a circle, which is 10, half the chord is 4 and the versed sine is 2. How much is the diameter?	נחשוב עגול אלכסונו י' וחצי היתר ד' והחץ ב' כמה האלכסון
We divide the square of half the chord by the versed sine, then add the versed sine itself to the result of division, the result is the diameter. $\scriptstyle{\color{red}{\frac{4^2}{2}+2}}$	חלקנו מרובע חצי היתר על החץ והוספנו החץ בעצמו על מה שעלה בחלוק והמחובר הוא האלכסון
Another example: the diameter is 10, the versed sine is 3 and the square of half the chord is 21.	דמיון אחר באלכסון י' והחץ ג' ומרובע חצי היתר כ"א
We divide [the square of half the chord] by the versed sine, the result is 7. We add to it 3 and it is the diameter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{21}{3}+3=7+3}}$	חלקנוהו על החץ עלה ז‫' והוספנו עליו ג' והנה הוא האלכסון
A way to extract the chord from the versed sine and the diameter:	דרך להוציא היתר מן החץ ומן האלכסון
Half the diameter is 5, the versed sine is one. We subtract it from 5, 4 remains to the midpoint and its square is 16. We subtract is from 25, which is the square of half the diameter, 9 remains, its root is 3 and so is half the chord.	הנה חצי האלכסון ה' והחץ אחד נחסרנו מה' ישאר ד' אל הנקודה ומרובעו י"ו נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי אלכסון ישארו ט' ושרשו ג' וככה חצי היתר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-1\right]^2}&\scriptstyle=\sqrt{5^2-\left(5-1\right)^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{25-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\\\end{align}}}$
Thus, the whole chord is 6.	והנה כל היתר ו‫'
This matter should be a foundation for you, as the square of what remains from the versed sine to the midpoint plus the square of half the chord are equal the the square of half the diameter.	וזה הדבר יהיה לך יסוד כי לעולם מרובע מה שנשאר מן החץ אל הנקודה עם מרובע חצי היתר יהיו שוים אל מרובע חצי האלכסון
Another way to extract the chord: multiply the versed sine by the remainder from the diameter; the product is the square of half the chord. Extract its root and double it; then you will find the whole chord.	דרך אחרת להוציא היתר כפול החץ על כל הנשאר מן האלכסון והעולה הוא מרובע חצי היתר קח שרשו וכפלהו ותמצא כל היתר
Another method: See how much the ratio of the versed sine to the whole diameter is; take the same from the square of the diameter and this is the sum of the square of the versed sine and the square of half the chord. The ratio of the square of the versed sine to the [sum of] the square of the versed sine and the square of half the chord is as the ratio of the versed sine to the entire diameter.	דרך אחרת ראה כמה ערך החץ אל כל האלכסון וככה תקח ממרובע האלכסון והוא המחובר ממרובע החץ וממרובע חצי היתר וערך מרובע החץ אל מרובע החץ ומרובע חצי היתר כערך החץ אל כל האלכסון
Example for the circle mentioned: The versed sine is 2, so its ratio to the whole diameter is one-fifth. One-fifth of 100, which is the square of the whole diameter, is 20. This number contains the square of the versed sine and the square of half the chord. The square of the versed sine must be one-fifth of 20, which is 4. We subtract this from the 20; 16 remain and this is the square of half the chord.	דמיון בעגול הנזכר החץ ב' והנה ערכו אל כל האלכסון החמישית והנה חמישית ק' שהוא מרובע כל האלכסון כ' וזה המספר כולל מרובע החץ ומרובע חצי היתר וראוי להיות מרובע החץ חמישית כ' שהוא ד‫' נחסרם מהכ' ישארו י"ו והוא מרובע חצי היתר
Another example of a number that has fractions: We say that the versed sine is 3 integers and 20 parts.	דמיון אחר בחשבון שיש לו חלקים ונאמר כי החץ ג' שלמים וכ' חלקים
Its ratio to 10 is one-third, so we take one-third of 100, which is the square of the diameter; it is 33 integers, 6 primes and 40 seconds and this is the square of the versed sine. We subtract this from 33; 22 13 20 remain and this is the square of half the chord.	וזה ערכו אל י' שלישית הנה נקח שלישית ק' שהוא מרובע האלכסון והוא ל"ג שלמים וו' ראשונים ומ' חלקים שניים והוא מרובע החץ נחסרם מל"ג וישארו כ"ב י"ג כ' והוא מרובע חצי היתר
I shall give you a general way for the concepts of circle:	ואתן לך דרך כלל בדברי העגול
We know that 2 equal diameters are cutting the circle.	ידענו כי ב' אלכסונים שוים מחלקים העגול
If the versed sine is one-third of the diameter, the square of half the chord is its double; together they are three [times].	ואם החץ שלישית האלכסון יהיה מרובע חצי היתר כפלו בין שניהם הם ג'
If the versed sine is one-quarter of the diameter, the square of half the chord is triple the square of the versed sine.	ואם החץ רביעית האלכסון יהיה מרובע חצי היתר ג' כפל מרובע החץ
In this way for every number.	ועל זה הדרך כל החשבון
Question: If it is said that the versed sine is 20 parts.	שאלה אם אמר החץ כ' חלקים
You can calculate this ratio in two ways.	זה הערך תוכל לקחתו על שני דרכים
The one is that you convert the entire diameter to minutes; they are 600. Then you calculate the ratio as follows:	האחד שתשיב האלכסון כלו ראשונים יהיו ת"ר ותעשה הערך כך
600 20 100 0	‫00ו ‫0ב ‫00א 0
We multiply 2 by 100, which is the square of the diameter; they are two thousand. We divide them by 600; they are 3 integers and one-third, which are 2 parts. This number contains the two squares.	והנה נכפול ב' בק' מרובע האלכסון יהיו אלפים נחלקם על ת"ר יהיו ג' שלמים ושלישית אחד שהם ב' חלקים ומספר זה הוא הכולל שני המרובעים
If we want to separate the square of the versed sine from the square of half the chord, we take from 3 20 the ratio of 3 20 to 100; it is 6 40 and this is the square of the versed sine.	ואם שבנו עוד להפריד מרובע החץ ממרובע חצי היתר נקח מג' כ' ערך ג' כ' אל ק' והיה ו' מ' והוא מרובע החץ
Then the square of the chord, 3 13 20 remains.	וישאר מרובע היתר ג' י"ג ב‫'
In another way: We know that 20 parts of 10 integers are one-third of one-tenth. We take from 100, which is the square of the diameter, one-third of one-tenth; the result is 3 integers and 20 parts.	ובדרך אחרת ידענו כי כ' חלקים מי' שלמים הוא שליש העשירית נקח מק' שהוא מרובע האלכסון שליש העשירית יהיה ג' שלמים וכ' חלקים
A way to extract the versed sine from the chord:	דרך להוציא החץ מהיתר
Subtract the square of half the chord from the square of half the diameter, take the root of the remainder and subtract it from half the diameter; the remainder is the versed sine.	גרע מרבע חצי היתר ממרובע חצי האלכסון וקח שרש הנשאר וגרעהו מחצי האלכסון והנשאר הוא החץ
Example: It is said that the chord is 6.	דמיון אמר כי היתר ו‫'
We take the square of its half, which is 9. We subtract it from 25, which is the square of half the diameter; 16 remain, the root of which is 4. We subtract this from half the diameter, which is 5; one remains and so is the versed sine.	נקח מרובע חציו שהוא ט‫' נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי האלכסון וישארו י"ו ושרשו ד‫' נחסרנו מחצי האלכסון שהוא ה' ישאר אחד וככה הוא החץ
To extract the perimeter from the diameter	להוציא קו העגול מן קו האלכסון
The geometricians said that the perimeter is 3 times the diameter and a seventh, which is 22 sevenths.	חכמי המדות אמרו כי הקו הסובב הוא ג' מהאלכסון ויותר שביעית והנה הוא בחשבון ז' אל כ"ב
If you multiply the diameter by 3 and one-seventh, the result is the perimeter.	ואם כפלת האלכסון על ג' ושביעית יהיה העולה הקו הסובב
Or if you multiply the requested diameter by 22 and divide the result by 2, you find the perimeter.	או אם תכפול האלכסון שתרצה על כ"ב ותחלק העולה על ז' תמצא הקו הסובב
Vice versa, if you know the perimeter and you wish to know the diameter:	והפך זה אם ידעת הקו הסובב ותרצה לדעת האלכסון
Multiply the perimeter by 7, then divide the result by 22 and you will find the diameter.	כפול הקו על ז' וחלק העולה על כ"ב תמצא האלכסון
Hence, according to their opinion, if the diameter is one, the perimeter is 3 integers, 8 minutes, 34 seconds and 17 thirds. $\scriptstyle{\color{red}{\pi=3+8^\prime+34^{\prime\prime}+17^{\prime\prime\prime}}}$	והנה על דעת אלה אם היה האלכסון אחד יהיה הקו הסובב ג' שלמים ח' הראשונים ל"ד שניים י"ז שלישיים
Archimedes the wise proved that it is less than this number, as he said that the excess [over 3] is less than 10 parts of 70.	וארישמדס החכם נתן ראיה כי הוא פחות מזה המספר כי אמר שהנוסף פחות מי' חלקים מע‫'
He also proved that the addition is more than 10 parts and a half, thus the addition to the 3 integers is 8 minutes, 24 seconds and 35 thirds $\scriptstyle{\color{red}{\pi=3+8^\prime+24^{\prime\prime}+35^{\prime\prime\prime}}}$	גם הביא ראיה כי הנוסף יותר מי' חלקים מע' וחצי והנה הנוסף על השלשה שלמים ח' ראשונים כ"ד שניים ל"ה שלישיים
And he proved that it should be more than this number.	ונתן ראיה כי ראוי להיות יותר מזה המספר
Ptolemy used an average number that the addition is 8 primes and 30 seconds.	ותלמי עשה חשבונו אמצעי כי התוספת ח' ראשונים ל' שניים
The wise men of India said that if [the diameter] is 20 thousand, the perimeter is 62838.	וחכמי הודו אמרו כי אם היה כ' אלף יהיה הקו הסובב ס"ב אלף ותתל"ח
When you look closely, you will find it closer than Ptolemy's saying; between them only 3 thirds.	וכאשר תסתכל זה תמצאנו קרוב מדברי תלמי ואין ביניהם כי אם ג' שלישיים
Since 10 is similar to one and the circle is surrounded by one line, if we set the diameter as 10, the square of the chord is as one-third of the diameter by the perimeter, no more nor less.	ובעבור כי י' דומה לאחד והעגול יסובבהו קו אחד הנה אם שמנו האלכסון י' יהיה מרובע היתר כשלישית האלכסון במספר הקו בלי תוספת ומגרעת
Likewise, if you make the square between the upper third and the lower third, its area is as the perimeter.	וככה אם עשית מרובע בשלישית העליונה ובשלישית השפלה יהיו שבריו במספר הקו
We can only know the square of it, which is 987, 5 ninths and 4 eighths of one-ninth that are 53 parts of 81.	רק המרובע נוכל לדעת שהוא תת"ק פ"ז וה' תשיעיות וד' שמיניות תשיעית שהם נ"ג חלקים מן פ"א
If we set the diameter as 10, we extract the chord from its one-third and construct an [isosceles] triangle on it, so that the area of ​​the triangle is as to the perimeter.	והנה אם שמנו האלכסון י' ונוציא יתר בשלישית ונעשה עליו משולש יהיה רבוע המשלש כקו הסובב
For every number preceding 10, the ratio of the triangle on the third [of the diameter] to the perimeter is as the ratio [of the number] to 10.	וכל מספר שהוא לפני י' יהיה ערך המשלש בשלישית אל הקו המקיף בערכו אל י‫'
If it is greater than 10, the ratio of the perimeter to the triangle on the third is as the ratio of 10 to the diameter.	ואם הוא יותר מעשרה יהיה ערך הקו המקיף אל המשלש בשלישית כערך י' אל הקו
When we look for the perimeter - how much is it if the diameter is one:	וכאשר נחפש הקו הסובב כמה יהיה אם היה האלכסון אחד
The perimeter is 3 integers, 8 primes, 33 seconds, 42 thirds and 30 fourths.	יהיה הקו הסובב ג' שלמים ח' ראשונים ל"ג שניים מ"ב שלישים גם ל' רביעיים
Therefore, the area of the circle, whose diameter is 15, is the root of 5 thousand, no more nor less.	על כן שברי עגול שאלכסונו ט"ו שרש חמשת אלפים בלי תוספת ומגרעת
In geometry and astrology there is no need to make it accurate.	ובמדות ובחכמת המזלות אין צריך לדקדק זה
It is, as Archimedes said, that it is more than 10 parts of 70 and one-half, and it is very close to the words of the wise men of India, that there is only a thing that is insignificant between them.	והנה הוא כאשר אמר ארישמדס שהוא יותר מי' חלקים מע' וחצי וקרוב מאד לדברי חכמי הודו שאין ביניהם רק דבר שאין בו ממש
To know how much the arches and the chords are, according to astrologers:	ולדעת הקשתות והמיתרים על דעת חכמי המזלות
I will talk about them im the book of tables.	אדבר עליהם בספר טעמי הלוחות
For, they want to measure the perimeter from the chords.	כי הם מבקשים למוד הקו הסובב מהיתרים
The geometricians want to know how much the area of ​​the circle is.	וחכמי המדות מבקשים לדעת כמה שברים יכילו בעגול
In their opinion, if you know the diameter, multiply its square by 11 and divide the product by 14; then you will find the area of ​​the circle.	ולפי דעתם אם ידעת האלכסון כפול מרובעו על י"א וחלק העולה על י"ד אז תמצא שברי העגול
Vice versa, if you know how much the area of ​​the circle is and wich to know how much is the diameter:	והפך זה אם ידעת כמה שברי העגול ותרצה לדעת כמה האלכסון
Multiply the area by 14 and divide the product by 11; the quotient is the square of the diameter and its root is the diameter.	כפול השברים על י"ד וחלק העולה על י"א והעולה בחלוק הוא מרובע האלכסון ושרשו הוא האלכסון
Now I shall talk again about why the arithmeticians subtract one for the foundation.	ועתה אשוב לדבר למה יחסרו חכמי החשבון אחד ליסוד
Know that one to 9 are the real numbers that correspond to the 9 spheres and all numbers that follow them are similar to them. The similar numbers should be given their ranks from them: 10 in first rank, 100 in the second rank, one-thousand in the third, 10 thousand in the fourth, 100 thousands in the fifth and one-thousand of thousands in the sixth, and so on endlessly.	דע כי אחד עד ט' הם המספרים באמת שהם כנגד ט' עגולות וכל המספרים אחריהם הם נמשלים להם והנה הנמשלים הם ראויים לקחת המעלות מהם והי' ראוים אל מעלה ראשונה והק' בשנית והאלף בשלישית והי' אלף ברביעית וק' אלף בחמישית ואלף אלפים בששית וככה עד אין קץ
The arithmeticians set the first numbers in the ranks, therefore they had to subtract one to the foundation and this is clear.	וחכמי החשבון שמו המספרים הראשונים במעלות על כן הוצרכו לגרוע אחד ליסוד וברור זה
You will see it in the example: We wish to multiply 200 by 300.	ותראה בדמיון בקשנו לכפול ר' על ש‫'
The analogous numbers are 2 and 3. We multiply them by each other; they are 6. The number of ranks is also 6. We subtract one for the foundation; 5 remain. Hence, they begin from 10 thousand, so ithey are 60 thousand.	והנה הנמשלים ב' וג‫' כפלנו זה על זה והיו ו' והמעלות גם כן הם ו‫' נחסר אחד למוסד ישאר ה‫' ותחלתם י' אלפים והנה הם ששים אלף
I have already mentioned that in the true calculation the beginning of the fourth rank is 10 thousand and this is the same thing.	וכבר הזכרתי כי בחשבון האמת תחלת הארבעה לי' אלפים הוא והנה הדבר שוה
They only did so to make it easier for the students.	אך עשו כן כדי להקל על התלמידים
	תם ונשלם תהלה לאל עולם סלה

ראה ספר כליל שפר יסוד מספר שמו נקרא לאברהם בנו מאיר ספרדי אבן עזרא

Additional Excerpt

F14649 ל"ז1

	שאלה ג' אנשים רצו לקנות דג במחיר י"ז פשיטים אמר אחד מהם אני אתן כל מה שיש בידי ואתם תנו חצי מה שיש בידכם אמ' השני אני אתן מה שבידי ואתם שליש שניכם ענה השלישי אני אתן את שלי ואתם תנו רביעית שניכם כמה יש ביד כל אחד ואחד
	תשובה נבקש מאמר שנוכל להוסיף עליו עד שיהיה המספר ההוא אחר התוספת חציו ושני שלישיותיו ושלש רביעיותיו והוא המורה ובעבור כי מחיר הדג י"ז פשוטים והנה יותר מי"ב
	והנה המספר המבוקש פחות מי"ב וכאשר חברנוהו י"ב והוא המורה עם מחיר הדג שהם י"ז יעלו כ"ט
	תסיר מהם הי"ז ישארו י"ב נמצאו ביד שנים מהם י"ב פשוטים
	וכאשר נוסיף על י"ב חצי הכפל הנשאר שהם ה' מי"ב ועד י"ז וכפלם כ"ה וחציו י"ב וחצי יהיו כ"ד וחצי ויש לך עוד כ"ט ה' וככה ממון ראשונים
	וכאשר הוספת על י"ב ו' שיהיה י"ב שתי שלישיותיו היו י"ח הנה יש להשלים עד כ"ט י"ח והוא הממון השני
	וכאשר הוספנו על י"ב ד' בלבד עד שיהיו י"ב ג' רביעיותיו והנה היו י"ו וממנו עד כ"ט י"ג והוא הממון השלישי
	דבר אחר ממה שיצטרך ידיעתו בחכמה הזאת הוא שהבדל גדול יש בין אמרנו ערך מספר קטן אל הגדול ובין אמרנו ערך מספר גדול אל הקטן
	והוא המוזכר אחרון בערך יהיה הראשון הנזכר חלק ממנו ולא יתהפך זה עד שיהיה האחרון חלק מן הראשון וזה יתברר בשני מספרים שאין חלקיהם שוים
	המשל בזה כי כאשר אמרנו ערך ג' אל ה' הרצון בו שג' הוא שלשה חלקי הה' ר"ל ג' חמישיותיו
	והפך זה אמרנו ערך ה' אל ג' הרצון בו שהחמשה יש בו פעם אחת ג' ושני שלישיותיו
	וככה ערך י' אל י"ו הכונה בו שהוא חמש שמיניות של י"ו אבל אמרנו ערך י"ו אל י' הכונה בו שהוא פעם אחת מספר י' וג' חמישיותיו של י'
	דבר אחר דע כי כפל מניין על מניין הוא כפל האורך על הרוחב אם שיהיה מרובע רבוע שא' שארכו כרחבו כאמרנו ד' על ד' הם י"ו וגם שיהיה ארכו יותר מרחבו כאמרנו י"ו שהם אמות אומדות שארכם כרחבם כזה או מרובע ארוך כזה
	על כן כפל המספר שלמים על שלמים יוסיפו ובו תדע תשבורת הכל אבל כפל שברים על שברים יהיה היוצא ממין השברים
	וכשתכפול השברים על השלמים כאמרנו כפול ד' על חצי הוא כאמרנו כפול ד' על חצאים כלומ' שיהיה ארכו ד' אמות ורחבו חצי אמה כזה
	כפול שברים על שברים כאמרנו חצי על חצי ויהיה רביעית כלומ' יהיה חצי אמה אורך וחצי אמה רוחב ושברו הוא רביעית
	וכאשר נכפול שלמים על שלמים כאמרנו כפול ד' על ד' יהיה מרובעו י"ו מרובעות וכאשר תכפול ב' על ב' יהיה מרובעו ד'
	ככה הענין בשברים על כן שלישית על שלישית יהיה תשיעית וכן כל השאר
	אבל החלוק הוא שתחלק האורך על הרחב כי לעולם הגדול נחלק על הקטן כי אם חלקנו הקטן על הגדול אותו יקרא ערך ואינו חילוק כי הוא כאמרנו ערך מספר קטן אל מספר גדול
	ועל כן כשנחלק שלמים על שלמים יצא בחלוק שלמים כמו שאמרנו
	דמיון חלקנו י"ו על ב' עלה ח' הוא שתשבורת הכל השיבונו על קו שיהיה רחבו ב' אם כן יהיה ארכו ח'
	ואם חלקנו שלמים על שברים כאמרנו חלקנו י"ו על חצי אחד הנה יהיה ארכו ל"ב ורחבו חצי אחד
	ועל כן נחלקנו שברים על שברים ממינם יהיו שלמים
	כאמרנו חלקנו ג' רביעיות על ב' רביעיות הוא שנעשה קו ארכו אחד וחצי ורחבו ב' רביעיות כי מה שהיה תשברתו שלשה ו' רביעיות באורך וברוחב חלקנו על הרחב ושמנו רחבו חצי אמה וארכו אמה וחצי
	על כן כשנחלק מעלות על מעלות או על ראשונים או על שניים או על איזה חלקים שנרצה יצא בחלוק מעלות שהשיבונו התשבורת כולו אל האורך וקצרנו ברחב
	ואם חלקנו ראשונים על שניים יצא בחלוק מעלות גם כן
	כי נשיב הראשונים אל השניים ויהיו דומים וישובו מעלות באורך ושניים ברחב ומה שיהיה ישובו מעלות
	ואם תחלק הקטן על הגדול ישוב היוצא אל מין אחד גבוה על הקטן והקטן מן הגדול ומזה תבין כל מיני החלוק
	שאלה שלשה אנשים באו לקנות דג שמחירו י"ב פשיטי' ומחצה הראשון יתן כל מה שבידו והשני רביעיות והאחרים רביעיתם או השלישי כל מה שבידו והאחרים חמישיתם נרצה לדעת כמה ביד כל אחד
	תשובה שמחיר הדג למעלה מי"ב הנה י"ב הוא מספר מכוון שיהיה לנו אחר התוספת שלישית והוא י"ח ורביעית והוא י"ו וחמישית והוא ט"ו הנה כאשר חברנו י"ב על מחיר הדג יהיה כ"ד פשוטים ומחצה
	הנה מי"ח עד כ"ד ומחצה הוא ו' מחצה וככה ממון הראשון
	ומי"ו עד כ"ד ומחצה ח' ומחצה והוא ממון השני
	ומט"ו עד כ"ד ומחצה ט' ומחצה והוא ממון השלישי
	ולהוציא אל השאלות והדומות אליהן דע כי חלקי האנשים הן כפי חלקי המורה מחובר עם המחיר
	וכאשר רצינו לחדש שאלה דומה לזו הוא שיקח המורה מחובר עם המחיר
	ולכן כשנרצה להוסיף עליהם החלקים שנוכל להוסיף עליו ונחבר כל החלקים עמו ונראה כמה עולה עם החלקים וגם החלקים לבד נקח כל העולה והעולה הוא מחיר הדג או מחיר דבר קנוי
	דמיון לחלקים כשהם ב' אנשים לבד
	נקח ד' על דרך משל המורה וכאשר נכפלהו היו ח' וכאשר נוסיף על ד' שלישית מלבד יהיו ו' הנה הוספנו על זה האחרון ב' על ד'
	וכאשר נחבר ב' על ח' עלו י' והוא מחיר הדג
	והנה המורה ד' כמו שאמרנו נחברהו על המחיר שהוא י' ויהיו י"ד והנה הראשון שכפל המורה והיו ח' הנה מח' עד י"ד הם ו' והוא ממון הראשון
	והב' שליש וד' יהיו ו' והנה מו' עד י"ד ח' וככה ממון השני
	הנה בזה אמ' הראשון לשני אני אתן מה שבידי ואתה שליש מה שבידך
	וכן תעשה לעולם על הדרך הזה בשני אנשים
	ודמיון לשלשה ככה שתקח חצי העולה מן המורה כל החלקים השלשה ותדע להם המחיר והוא שתקח למשל השאלה הראשונה י"ב והוא המורה
	וכאשר חברנו אליו כפלו ושלישיתו מלבד שהוא חציו מלגיו והוא ו' ורביעיתו מלבד והוא שלישיתו מלגיו והם ד' וחמישיתו מלבד שהוא רביעיתו מלגיו והם ג' יעלו הכל כ"ה וחצאים י"ב וחצי וככה מחיר הדג
	אחר כן תוסיף חלק כל אחד מהם כפי מה שהראיתיך למעלה
	וכאשר רצינו לעשות כזה לד' אנשים נקח המורה שנרצה ונחבר אליו כל הד' שנרצה להוסיף עליו ומן המחובר קח השלישית והוא המחיר
	וכאשר תרצה לעשות זה בה' אנשים קח הרביעית ולו' קח החמישית וכן עד אין קץ
	שאלה שלשה אנשים רצו לקנות דג ואמרו שיתן כל אחד כמה שיש לו . אם כן כמה היה מחירו . וכמה היה לכל אחד ואחד
	תשובה דע כי דמי הדג דמי הדג היו י"ז פשוטים והיו לראשון ה' ולשני י"א ולשלישי י"ג
	וכיצד הוצאת החשבון נבקש תחלה המורה וככה תעשה תחשוב איזהו חשבון שאם תטול ממנו רביעיתו ישאר ג' מניין האנשים והנה הוא ד'
	אחר כן תחשוב מספר אשר תטול ממנו שלישיתו וישאר ג' תמצא שהוא ד' ומחצה
	אחר כך תחשוב מספר אשר תטול ממנו חציו וישאר ג' תמצא שהוא ו'
	וכדי שלא יהיה שברים בחשבון תכפלם ויהיה המספר הראשון ח' והשני ט' והשלישי י"ב ונמצא שעולין כ"ט
	עתה קח מספר האנשים שהוא ג' וחסר ממנו אחד ישארו ב' כפול הי"ב באלו הב' יעלו כ"ד תוציאם מכ"ט וישארו ה' וזהו ממון הראשון
	עתה כפול הט' בב' הנזכרים ויעלו י"ח תוציאם מכ"ט וישארו י"א והוא ממון השני
	עתה תכפול הח' בב' הנזכרים ויעלו י"ו תסירם מכ"ט ישארו י"ג והוא ממון השלישי
	וכולם על זה הדרך
	חשבון האצבעות הנקרא בערבי אל גבאר
	אלה שמות האצבעות גודל אצבע אמה קמיצה זרת
	פרק אמצעי של זרת קרוי א'
	אמצעי של קמיצה קרוי ב'
	אמצעי של אמה עמהם קרוי ג'
	כשתסיר הזרת קרוי ד'
	כשתסיר הקמיצה קרוי ה'
	כשתסיר האמה ותשפיל הקמיצה לבד קרוי ו'
	זרת שוכב קרוי ז'
	קמיצה עמו קרוי ח'
	אמה עמהם קרוי ט'
	הרי באלו הג' אצבעות משתמש האדם מא' ועד ט'
	גודל ואצבע משתמשין מי' ועד ק'
	כיצד יסודו של אצבע בסוף פרק אמצעי של גודל קרוי י'
	גודל ואצבע מחוברין זה עם זה קרוי כ' בשרשיהם זה עם זה קרוי ל'
	גודל על אצבע מ'
	גודל על הכף קרוי נ'
	פרק אמצעי של אצבע על פרק ראשון של גודל קרוי ס'
	גודל פשוט ופרק אמצעי של אצבע כנגד חודו קרוי ע'
	פרק אמצעי של אצבע על פרק ראשון של גודל קרוי פ'
	אצבע בתוך וגודל סביבו קרוי צ'
	עד כאן ביד ימין
	וביד שמאל משתמשין מאות ממאה ועד מאה אלף
	כיצד חודו של אצבע בסוף פרק אמצעי של גודל קרוי ק'
	גודל ואצבע מחוברין זה עם זה קרוי ר'
	שרשיהם מנשקים זה עם זה קרוי ש'
	גודל על אצבע קרוי ת'
	גודל כפוף ביד שמאל קרוי רבבה שהם י' אל אלפים
	כמו שחשבנו ביד ימין לאחדים כן נחשוב ביד שמאל למאות וסימניך יפול מצדך אלף ורבבה מימנך
	והמשכילים יזהירו כזוהר הרקיע
	שאלה חלק ס' על ג' בני אדם לאחד השליש ולאחד הרביע ולאחד החומש ולא ישאר מהס'
	תשובה נשים המורה והוא שנחבר השליש והרביע והחומש מס' הנה שליש ס' הם כ' ורביעיתם ט"ו וחמישיתם י"ב נחברם ויעלו מ"ז והוא המורה
	עתה כפול המספר הראשון המתחלק שהוא ס' על כל אחד מהשלשה חלקים שהם השלישית והרביעית והחמישית והעולה בכפל תחלקהו על המורה והיוצא מהחלוק הוא חלק כל אחד מהשלשה כפי החלק שיש לו לקחת
	וככה תעשה כפול ס' על כ' יעלו ת"ר תחלקם על מ"ז שהוא המורה ויעלו י"ג בקרוב כי הנה בדקדוק הם י"ב שלמים ול"ו שברים וזה חלק בעל השליש
	עתה נכפול ס' על ט"ו יעלו תת"ק נחלקם על מ"ז ויצא מן החלוק י"ט והוא חלק בעל הרביע
	עתה נחזור לכפול ס' על י"ב יעלו תש"כ תחלקם על מ"ז יצא בחילוק י"ח והוא חלק בעל החומש
	והבחינה בזה שתחבר הכל יחד ויעלו ס'
	וכן כל כיוצא בזה
	ושאלה זו יוצאה משאלת ד' אנשים שהרויחו י"ט דינרי' שהוא שאלה שנייה משער ו'
	שאלה ממון לקחנו ממנו שלישיתו ורביעיתו ועוד ב' ונש' ונשארו עשרה כמה הוא הממון
	תשובה נאמר כי השאלה היא כ"ד
	נקח ממנו שלישיתו ורביעיתו שהוא השליש ח' והרביע ו' עלו י"ד ונשארו י'
	נסיר ב' מי' ונשארו ח' ועדיין לא יצא אמתי
	אם כן נעשה הרביע ובתחלה נעשה המורה והוא שנכפול ג' בד' ויעלו י"ב והוא המורה
	נסיר מהם שלישיתו ורביעיתו שהם ז' וישארו ה' והנה יש לנו שלשה מספרים ידועים והם המורה שהוא י"ב ומה שנשאר ממנו אחר הסרת שלישיתו ורביעיתו שהם נשארים ה' והג' הידוע הוא הי"ב של השאלה והד' נעלם
	מעתה נשים האמצעיים חברים שהם הי"ב והי"ב ונכפול זה על זה ויעלו קמ"ד נחלקם ה' ויצא בחילוק כ"ד שלמים וד' חומשים
	ואם תבדוק תמצאנו אמתי
	שאלה היו לשר אחד עשרים משרתים בין זכרים בין נקבות ונתן להם עשרים ככרי לחם ואמר להם מאלו עשרים ככרות תקחו כל א' זכר בכם ב' ככרות וכל נקבה חצי ככר כדי שיבא ככר אחד לשתי נקבות ותשאירו לי ככר לחם אחד יש לשאול כמה היו הזכרים וכמה היו הנקבות
	תשובה האנשים היו ששה והנשים י"ד לקחו האנשים הששה י"ב ככרות והנשי' הי"ד לקחו ז' ככרות הרי י"ט ככרות נשאר אחד לאכילת השר
	שאלה היו לשר אחד עשרים בהמות בין סוסים ופרדים וחמורים ונתן לעבדו עשרים עמרים של שעורים וצוה לו שיתן לכל סוס מהם ב' עמרים ולכל פרד עמר אחד ולכל חמור חצי עמר כמה בהמות היו לו מכל מין
	תשובה הסוסים היו ד' והפרדים היו ח' והחמורים היו ח' ונתן לד' הסוסים ב' עמרים לכל אחד הנה ח' עמרים נתן לח' פרדים עמר לפרד הנה ח' עמרים הרי י"ו עמרים נתן לח' החמורים ד' עמרים הרי כ'
Question: A trader said to his servant: I give you 100 pešiṭim , buy me with them 100 fowls of 3 kinds - roosters, geese and birds; the goose is worth 5 pešiṭim, the rooster 3 pešiṭim and the birds twenty of them for one pašuṭ. How much did he take of each kind?	שאלה תגר אחד אמר למשרתו הנני נותן לך ק' פשיטים קנה לי בהם ק' עופות שיהיו מג' מינים תרנוגלין ואווזים וצפרים והיה שוה האווז ה' פשיטים והתרנגול ג' פשיטים והצפרים עשרים מהם בפשוט כמה לקח מכל מין
	תשובה מן האווזים לקח י"ח ומן התרנוגלין ב' ומן הצפרים פ' נתן בי"ח אווזים צ' פשיטים ונתן בב' תרנוגלין ו' פשיטים הנה צ"ו פשיטים וכ' עופות נתן עוד ד' פשיטים בפ' צפרים הרי ק' עופות וק' פשיטים
	שאלה אדם אחד אהב אשה ואמרה לו אם תתן לי תפוח אחד מגנת המלך אהיה נכבשת לך ואם לאו לא אכבש לך והלך לשוער הגן ושאל לו תפוח והוא השיב לו אכניסך לגן ללקוט על מנת שתתן לי מחצית התפוחים אשר תוציא וחצי תפוח יותר ולא יתחלק שום תפוח ולא ישאר בידך אלא אחד והאיש אמר לו כן דברת נכנס ומצא שוער שני ואמר לו הכניסיני בגן השיב השוער על מנת שתתן לי חצי התפוחים אשר תוציא וחצי תפוח יותר ולא יתחלק שום תפוח נכנס עוד ומצא שוער שלישי והשיב כאשר השיב השוער השני ואז נכנס בגן וליקט תפוחים ונתן לכל אחד כפי דברו ונשאר בידו תפוח אחד א"כ כמה תפוחים לקט מן הגן
	תשובה מאשר שאלו כל אחד מחצית שבידו וחצי תפוח יותר ושלא יתחלק שום תפוח מזה ידענו שליקט נפרדים
	ועתה נוציא מספרים הוא הוציא לחוץ תפוח אחד והוסיף לשוער הראשון חצי תפוח ממה שהיה בידו אם כן תפוח וחצי היה מחצית מה שנשאר לו מן השוער השני
	נכפלם ועולים ג' וחצי תפוח שהוסיף לשני הרי ג' וחצי וזהו החצי שנשאר לו מן השוער הפנימי
	נכפלם ויהיו ז' וחצי תפוח שהוסיף לשוער הפנימי הרי ז' וחצי וזהו חצי מה שליקט
	[נכפלם] ועולים ט"ו עתה נ
	כלל אם תרצה לידע תשבורת העגולה
	קח רביע הקו המקיף וכפול אותו על הקוטר ומה שיצא הוא תשבורת העגולה
	דמיון הקו המקיף שיעורו כ"ב מעלות הנה הקוטר ז'
	כפול ז' על ה' וחצי והנה המבוקש ל"ח וחצי והוא התשבורת
	וכל זה בעגולה השטחית
	אבל בכדור יצטרך לכפול כל הקוטר על כל הקו המקיף ואז ידע תשבורת כל הקף הכדור
	דמיון נכפול ז' שהוא הקוטר על כ"ב שהוא הקו המקיף ויעלה קנ"ד והוא תשבורת הכדור
	ולדעת שטח כל הכדור נכפול כל התשבורת בששית הקוטר ונשיג המבוקש
	כלל כשתרצה להוציא שורש מספר אחד ממספר אחר
	קח כפלו וכפל כפלו ותקח שרש העולה וחצי השורש ההוא הוא שרש מבוקשך
	דמיון תרצה למצוא שורש ט'
	קח כפלו והוא י"ח וכפל י"ח שהוא כפלו של ט' ויעלו ל"ו, תקח שרשם והוא ו' וחציו ג' וזהו שרש ט'
	דמיון אחר רצינו למצוא שרש י"ו
	קח כפלו והוא ל"ב וכפלם ועלו ס"ד ושרשם ח' וחציו ד' והוא שרש י"ו
	שאלה ראובן לקח משמעון בהלואה תיבה אחת מלאה חטה והיתה מכילה ח' מדות בחשבון מעוקב רוצה לומ' ח' מדות מדות באורך וח' ברוחב וח' בגובה ולקץ שנה רצה לפרוע והביא תיבה אחרת שהיתה מכילה ד' על ד' באורך וברחב ובגובה עתה נדע כמה השיב לו אם חצי החצ החטה או שלישית או רביעית
	ונעשה החשבון ככה נכפול ח' על ח' עלו ס"ד ונכפול ח' על ס"ד למצוא המעוקב ועלו תקי"ב והוא מה שלקח שמעון בהלואה
	עתה נמנה מה שהשיב לו כמה הוא נכפול ד' על ד' עלו י"ו ונכפול ד' על י"ו עלו ס"ד וזהו מה שהשיב לו
	עתה ניחס אותו לדעת אלו הס"ד כמה חלקים הם מתקי"ב מצאנו שהם שמיניתם ואם כן השיב לו שמינית החטה והשאר במעות
	ז'ל'ל ש'ל'ע'

Notes Apparatus Chapter One Chapter Two Chapter Three Chapter Four Appendix I: Glossary of Terms to add חבר (אל, עם, על), הוסיף (על) addition חבור sum סכום, מחובר to divide חלק (על) division חלוק dividend (מספר) המחולק divisor (מספר) המחולק עליו quotient היוצא בחלוק to double כפל double כפל to multiply כפל (על) multiplication כפל to subtract חסר (מן), גרע (מן) subtraction חסור, מגרעת arithmetic חכמת המספר, חכמת החשבון arithmetician חכמי המספר, חכמי החשבון astronomer חכמי המזלות astronomy חכמת המזלות music חכמת הנגינות geometry חכמת המדות question שאלה to calculate הוציא to extract הוציא example דמיון decade מספר) כלל) difference מרחק (מן) integer שלם fraction שבר fraction of fraction שבר השבר units פרטים, אחדים even number מספר זוג odd number מספר נפרד odd נפרד required מבוקש equal שוה double כפל point נקודה midpoint נקודה arc קשתות chord יתר, יתרים perimeter הקו הסובב, קו העגול versed sine חץ circle עגול, עגולה triangle משולש diameter אלכסון figure, shape צורה area שברים, (תשבורת additional) rank מעלה to result עלה, יצא million אלף אלפים denominator מורה zero סיפרא, גלגל prime number מספר ראשון proof מאזנים product המחובר proportion ערך square מרובע square root שרש מרובע to calculate חשב calculation חשבון remainder הנשאר result העולה, היוצא diagram דמיון aspect פאה degree מעלה minutes ראשונים seconds שניים thirds שלישיים fourths רביעיים fifths חמישיים sixths ששיים sevenths שביעיים eighths שמיניים tenths עשיריים part חלק excess תוספת, יתרון addition נוסף proportion ערך arithmetic proportion ערכי החשבון geometric proportion ערכי המדות harmonic proportion ערכי הנגינות square מרובע root שרש number חשבון, מספר digit אות, חשבון, מספר composite number מספר מורכב Appendix II: Bibliography Abraham ben Meir Ibn ‛Ezra b. 1089, Tudela, Spain – d. 1167 Sefer ha-Mispar (The Book of Number) Lucca, Italy, between 1142 and 1145 Manuscripts: 1) Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Oct. 244/13 (IMHM: f 1996), ff. 60r-112r (15th-16th century) [B244] 2) Cambridge, University Library Add. 670, 2 (IMHM: f 16999) (15th-16th century) 3) Cambridge, University Library Add. 1015, 2 (IMHM: f 15886; f 17024), f. 92v (14th-15th century) 4) Cambridge, University Library Add. 1527, 2 (IMHM: f 17464) (15th century) 5) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Or. 489/5 (IMHM: f 19164), ff. 137r-147v (1443) 6) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.28/1 (IMHM: f 17849), ff. 1r-48v (14th-15th century) [F88.28] 7) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.46/1 (IMHM: f 17970), ff. 1r-45v (14th century) [F88.46] 8) Halle, Universitätsbibliothek Yb Qu. 5/1 (IMHM: f 71790), ff. 88r-92v (15th century) 9) Jerusalem, Museum of Italian Jewish Art 30 (IMHM: f 5069; f 45045) (16th century) 10) Leeuwarden, Tresoar, the Frisian Historical and Literary Centre B.A. Fr. 21/1 (IMHM: f 3481), ff. 1r-51r (14th-15th century) 11) London, British Library Add. 27153/7 (IMHM: f 5826), ff. 13v-37r (cat. Margo. 1085, 7) (Siena, 1431) [Lo27153] 12) London, British Library Or. 10785 (IMHM: f 8100) (Verona, 1647) [Lo10785] 13) London, Montefiore Library 419 (IMHM: f 5352) (15th century) 14) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 30/1 (IMHM: f 6711), ff. 2r-38r (1503) [Mo30] 15) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 1383 (IMHM: f 48474) (Paris, 18th-19th century) 16) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. Hebr. 43/8 (IMHM: f 1150), ff. 103v-146r (16th century) [Mu43] 17) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. Hebr. 150/5 (IMHM: f 1168), ff. 83v-108v (15th century) [Mu150] 18) New York, Columbia University X 893 Sh 4 (IMHM: f 16483) (16th-17th century) 19) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2561, (IMHM: f 28814) (17th century) short excerpt from Chapter VI - Proportions [N2561] 20) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2624/1 (IMHM: f 28877), ff. 1r-10v (16th century) partial: mid. Chapter I - mid. Chapter IV [N2624] 21) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2627/1 (IMHM: f 28880), ff. 1r-48v (17th century) [N2627] 22) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 213/1 (IMHM: f 19304), ff. 1r-9v (cat. Neub. 2019, 1) (15th century) 23) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 213/2 (IMHM: f 19304), ff. 14r-66r (cat. Neub. 2019, 2) (16th century) 24) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 319/1 (IMHM: f 19303), ff. 1r-64v (cat. Neub. 2018, 1) (14th century) 25) Oxford, Bodleian Library MS Opp. 697/9 (IMHM: f 19364), ff. 46v-52v (cat. Neub. 2079, 9) (1428) 26) Oxford, Bodleian Library MS Poc. 187/2 (IMHM: f 19350), ff. 49r-86r (cat. Neub. 2065, 2) (1503) [O187] 27) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/3 (IMHM: f 15721), ff. 45r-71v (15th-16th century) [P1029] 28) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1049/1 (IMHM: f 27767), ff. 1r-34v (14th century) starts from Chapter IV - Subtraction [P1049] 29) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1050/2 (IMHM: f 14646), ff. 1v-29v (15th century) [P1050] 30) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1051/2 (IMHM: f 14656), ff. 2r-40v (1482) [P1051] 31) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1052/1 (IMHM: f 14649), ff. 1r-41v (15th century) [P1052-1] 32) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1052/4 (IMHM: f 14649), ff. 55r-58r (15th century) [P1052-4] 33) St. Petersburg, Inst. Of Oriental Studies of the Russian Academy B 13/5 (IMHM: f 52914), ff. 155r-163r (18th-19th century) 34) St. Petersburg, Inst. Of Oriental Studies of the Russian Academy B 454 (IMHM: f 53740) (17th -18th century) 35) St. Petersburg, Russian National Library Evr. I 374/1 (IMHM: f 50951), ff. 1r-2v (18th century) two short excerpts: (1) from Chapters III-IV; (2) from Chapter II [St.P374] 36) St. Petersburg, Russian National Library Evr. II A 569 (IMHM: f 70777) (14th-15th century) two short excerpts: (1) from Chapters II-IV (ff. 10, 2-9, 1v); (2) from Chapter II (f. 11r-v) [St. Petersburg569] 37) St. Petersburg, Russian National Library Evr. II A 1385 (IMHM: f 66722) (17th century) short excerpt from Chapter VI - Proportions [St.P1385] 38) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 171/18 (IMHM: f 8630), ff. 98r-101r (Canea, 1493) [V171] 39) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 386/3 (IMHM: f 468), ff. 137v-206v (14th century) [V386] 40) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 397/2 (IMHM: f 475), ff. 3r-49r (Murcia, 1384/1385) [V397] 41) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 398/1 (IMHM: f 476), ff. 1r-2v; 9r-30v; 118r-123v (14th century) [V398] 42) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 530/11 (IMHM: f 2707; f 18511), ff. 101r-v (26.fs.0000) (14th century) short excerpt from Chapter VII - Square Roots [V530] 43) Warszaw, Żydowski Instytut Historyczny 288/2 (IMHM: f 12013), ff. 24r-64v (15th century) 44) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 152/2 (IMHM: f 1422), ff. 4r-34v (18th-19th century) [W152] 45) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 194/7 (IMHM: f 1456), ff. 90v-99v (16th century) [W194] Edition: Ibn ‛Ezra, Abraham. Sefer ha-Mispar, Das Buch der Zahl: ein hebräisch-arithmetisches Werk. Ed. Moritz Silberberg. Frankfurt a. M.: J. Kauffmann, 1895. Bibliography: Langermann, Tzvi and Shai Simonson. 2000. The Hebrew Mathematical Tradition. In: Helaine Seline ed. Mathematics Across Cultures. Dordrecht: Kluwer, pp. 167–188. Sarfatti, Gad ben ‛Ami. 1968. Mathematical Terminology in Hebrew Scientific Literature of the Middle Ages. Jerusalem: Magnes Press, pp. 130-155. Sela, Shlomo. 2000. Encyclopedic Aspects of Abraham Ibn Ezra’s Scientific Corpus. In: Steven Harvey ed. The Medieval Hebrew Encyclopedias of Science and Philosophy. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publisher, pp.154-170 Sela, Shlomo, and Gad Freudenthal. 2006. Abraham Ibn Ezra’s scholarly writings: a chronological listing, Aleph 6, pp. 13-55. Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, pp. 87-91 (d38-d42); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001. – Commentary on Sefer ha-Mispar– Anonymous Manuscript: Genève, Bibliothèque de Genève, MS héb. 10/2 (IMHM: f 2320), ff. 39r-65r (14th-15th century)