Editing Excerpts Attributed to Immanuel Bonfils (section)

=== The sum is the required ===

|style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#the sum is the required|<span style=color:blue>'''והמחובר הוא הדרוש'''</span>]]
|-
|
*Explanation: although the author mentioned this method only for extracting squares, it can be applied to the product of any two numbers divisible by three.
|style="text-align:right;"|פי' אעפ"י שלא זכר המחבר דרך זו רק בהוצאת המרובעים יתכן זה בכפל כל שני מספרים בעלי שליש
|-
|
:*Such as 12 and 18.
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12\times18}}</math>
|style="text-align:right;"|כמו י"ב וי"ח
|-
|
::We multiply a third of the one, which is 4, by the third of the other, which is 6; the result is 24.
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\times\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=4\times6=24}}</math>
|style="text-align:right;"|אנו נכפול שליש האחד והוא ד' בשליש השני והוא ו' ויעלה כ"ד
|-
|
::We rise it one rank higher; it is 240.
|style="text-align:right;"|נגביההו מעלה אחת ויהיה ר"מ
|-
|
::Subtract the product of the two-thirds, which is 24; 216 remains and this is the product of 18 by 12.
|style="text-align:right;"|הסיר &#x202B;<ref>76r</ref>כפל השני שלישיות שהוא כ"ד ישארו רי"ו והוא כפל י"ח על י"ב
|-
| colspan=2|
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12\times18=10\sdot\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\times\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)\right]-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\times\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)\right]=10\sdot\left(4\times6\right)-\left(4\times6\right)=240-24=216}}</math>
|-
|
*If they [are not divisible by three], but exceed by one:
|style="text-align:right;"|ואם שהם נעדרי השליש ומוסיפין אחד
|-
|
:*As 13 and 19, we do as follows:
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{13\times19}}</math>
|style="text-align:right;"|כמו י"ג י"ט נעש[ה] כן
|-
|
::We calculate the product of 12 by 18; the result is 216.
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12\times18=216}}</math>
|style="text-align:right;"|נוציא סך החשבון לי"ב וי"ח ויעלה רי"ו
|-
|
::Since each of the numbers exceed by one over [the divisible by three], we add 12, 18, and one; the result is 247 and this is the product of 13 by 19.
|style="text-align:right;"|ולפי שכל אחד מהמספרים מוסיף אחד על השליש נוסיף י"ב וי"ח ואחד ועלה רמ"ז וזהו כפל י"ג בי"ט
|-
| colspan=2|
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{13\times19=\left(12\times18\right)+12+18+1=216+12+18+1=247}}</math>
|-
|
*If the two numbers are one less [than the divisible by three]:
|style="text-align:right;"|ואם היו שני המספרים חסרין אחד
|-
|
:*As 11 and 17:
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{11\times17}}</math>
|style="text-align:right;"|כי"א וי"ז
|-
|
::We calculate the product of 12 by 18; the result is 216.
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12\times18=216}}</math>
|style="text-align:right;"|נעשה החשבון בי"ב וי"ח ויעלה רי"ו
|-
|
::We subtract 11, 17 and 1 from 216 for the deficiency; 187 remains and this is the product of 11 by 17.
|style="text-align:right;"|ובעד חסרון האחד נגרע י"א וי"ז ואחד מן רי"ו וישאר קפ"ז והוא כפל י"א בי"ז
|-
| colspan=2|
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{11\times17=\left(12\times18\right)-11-17-1=216-11-17-1=187}}</math>
|-
|
*If one exceeds by one and the other is less by one:
|style="text-align:right;"|ואם האחד מוסיף אחד והשני חוסר אחד
|-
|
::As 11 and 19, or 13 and 17.
|style="text-align:right;"|כי"א וי"ט או י"ג וי"ז
|-
|
::We calculate the product of 12 by 18; the result is 216.
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12\times18=216}}</math>
|style="text-align:right;"|נעשה החשבון בי"ב וי"ח ויעלה רי"ו
|-
|
:*If they are 11 and 19:
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{11\times19}}</math>
|style="text-align:right;"|הנה אם היו י"א וי"ט
|-
|
::The [deficient] is 11 and the [exceeding] is 1[9], so the [exceeding] is greater than the [deficient] by [8; minus 1; it is] 7. Subtract it from 216; 209 remains and this is the required.
|style="text-align:right;"|התוספת הוא י"א והחסרון הוא י"ח אם כן החסרון רב על התוספת ז' חסרם מן רי"ו וישאר ר"ט והוא הדרוש
|-
| colspan=2|
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{11\times19=\left(12\times18\right)-\left(19-11-1\right)=216-7=209}}</math>
|-
|
:*If they are 13 and 17:
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{13\times17}}</math>
|style="text-align:right;"|ואם היו י"ג וי"ז
|-
|
::The [deficient] is 17 and the [exceeding] is 13, so the excess of the greater is [4; plus 1; it is] 5. We add it to 216; it is 221 and this is the required.
|style="text-align:right;"|הנה התוספת הוא י"ז והחסרון י"ג אם כן התוספת רב ה' נוסיפם על רי"ו והיה רכ"א והוא הדרוש
|-
| colspan=2|
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{17\times13=\left(12\times18\right)+\left(17-13+1\right)=216+5=221}}</math>
|-
|
:*If they are 18 and 13:
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{18\times13}}</math>
|style="text-align:right;"|ואם הן כמו י"ח וי"ג
|-
|
::We add 18 to 216; it is 23[4] and this is the required.
|style="text-align:right;"|נוסיף על רי"ו י"ח והיה רל"ב והוא הדרוש
|-
| colspan=2|
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{18\times13=\left(12\times18\right)+18=216+18=234}}</math>
|-
|
:*If they are 18 and 11:
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{18\times11}}</math>
|style="text-align:right;"|ואם הן י"ח וי"א
|-
|
::We subtract 18 from 216; 198 remains.
|style="text-align:right;"|נגרע י"ח מן רי"ו וישאר קצ"ח
|-
| colspan=2|
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{18\times11=\left(12\times18\right)-18=216-18=198}}</math>
|-
|