Editing Excerpts Attributed to Immanuel Bonfils (section)

=== Another Version - MS Paris 903 ===

|
|-
|Know that the one is divided into ten parts called primes; each prime [is divided] into ten parts called seconds, each second into ten thirds, each third into ten fourths and so on endlessly.
|style="text-align:right;"|דע כי האחד נחלק לי' חלקים יקראו שלמי'<sup>שברי'</sup> ראשוני' וכל אחד מהראשוני' לי' חלקי' יקראו שלמי' <sup>שברי'</sup> שניים וכל שניי' לי' שלישיי' וכל שלישיי' לי' רביעיי' וכן עד אין קץ
|-
|I call the rank of tens of integers "primes"; the hundreds of integers "seconds", the thousands of integers "thirds", the tens of thousands of integers "fourths", the [hundreds of thousands] "fifths" and so on endlessly.
|style="text-align:right;"|וכן אני קורא מעלת העשרו' שלמים ראשונים ולמאות שלמי' שניי' ולאלפי' שלמי' שלשיי' ולרבואות שלמים רביעיי' ולרבבות חמשיי' וכן עד אין קץ
|-
|I call the rank of units by their name "units", since they are mean between the integers and the fractions, therefore, when the units are multiplied by units the result is units, which does not happen in any other rank.
|style="text-align:right;"|אך האחדי' אני קור' בשמם אחדי' כי הם כאמצעיים בין השלמי' והשברי' על כן בכפל אחדי' באחדי' יצאו אחדי' מש"כ בשום מעל' אחרת
|-
|I call the seconds "having a greater name than" the primes, the thirds ["having a greater name than"] the seconds, and so on. This is for integers as well as for fractions.
|style="text-align:right;"|וכן אני קורא לשניי' גדולי השם מראשוני' וכן שלישיים משניי' וכן כלם בי' בשלמי' בי' בשברי&#x202B;'
|-
|When I say: add the name of the seconds to the name of the thirds, the result is fifths and so on.
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10^{2+3}=10^5}}</math>
|style="text-align:right;"|וכן באמ' חבר שם שניי' עם שם שלישיי' יצא חמשיי' וכן כלם
|-
|Also, when I say: subtract the name of the primes from the name of the seconds; primes remain.
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10^{2-1}=10^1}}</math>
|style="text-align:right;"|וכן באמ' גרע שם ראשוני' משם שניים ישאר ראשוני&#x202B;'
|-
|If from the name of the primes, nothing remains, so they are in the rank of the units, for integers as well as for fractions.
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10^{1-1}=10^0}}</math>
|style="text-align:right;"|ואם משם ראשונים לא ישאר דבר ויכפול במעל' האחדי' בי' בשלמי' בי' בשברי&#x202B;'
|-
|If the subtracted has a greater name than the minuend, as if you subtract fourths from seconds, if they are fractions, the result are seconds of integers, and if they are integers, the result are seconds of fractions.
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{10^{2-4}=\frac{1}{10^2}\quad\frac{1}{10^{2-4}}=10^2}}</math>
|style="text-align:right;"|ואם הנגרע גדול השם מאשר גרעון ממנו כגון שתגרע רביעיי' משניי' אם הם בשברי' יצאו שניי' שלמי' ואם הם בשלמי' יצאו שברי' שניים
|-
|When you multiply integers by integers or fractions by fractions:
|style="text-align:right;"|וכשתכפל שלמי' בשלמי' או שברי' בשברי&#x202B;'
|-
|Add the names of the ranks [one to the other] and the product is [in the rank whose name is their sum].
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10^n\sdot10^m=10^{n+m}}}</math>
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{10^n}\sdot\frac{1}{10^m}=\frac{1}{10^{n+m}}}}</math>
|style="text-align:right;"|חבר שם המדרגו' ושם יפול הנכפל
|-
|When you multiply integers by fractions:
|style="text-align:right;"|וכשתכפל שלמי' בשברי&#x202B;'
|-
|If their names are the same, the product is in the rank of units.
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10^n\sdot\frac{1}{10^n}=10^0}}</math>
|style="text-align:right;"|אם הם שוים בשם יפול הנכפל באחדי&#x202B;'
|-
|If not, subtract the names of the smaller from the name of the greater and the product is as the name that remains after the subtraction.
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{m<n\;10^n\sdot\frac{1}{10^m}=10^{n-m}}}</math>
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{m>n\;10^n\sdot\frac{1}{10^m}=\frac{1}{10^{m-n}}}}</math>
|style="text-align:right;"|ואם לאו גרע שם הקטן מן שם הגדול ושם יפול הנכפל [..] בצד הגדול בשם הנשאר אחר הגרעון
|-
|As if you multiply 3 seconds of integers by 2 sevenths of fractions: subtract 2 from 7; the result is 5. We find that the result of the multiplication is 6 fifths of fractions.
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot10^{2}\right)\times\left(2\sdot\frac{1}{10^7}\right)=6\sdot\frac{1}{10^{7-2}}=6\sdot\frac{1}{10^{5}}}}</math>
|style="text-align:right;"|כאלו תכפול ג' שלמי' שניי' בב' שברי' שביעיי' תגרע ב' מז' וישאר ה נמצ' יעלה הכפל ו' שברי' חמשיים
|-
|If 3 seconds of fractions by 2 sevenths of integers, the product is 6 fifths of integers.
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot\frac{1}{10^2}\right)\times\left(2\sdot10^{7}\right)=6\sdot10^{7-2}=6\sdot10^{5}}}</math>
|style="text-align:right;"|ואם ג' שברי' שניי' בב' שלמי' שביעיי' יהיה הנכפל ו' שלמי' חמשיים
|-
|This is the rule: when you divide a number by a number and they are both integers or both fractions:
|style="text-align:right;"|וזו לך צורה לזה כשתחלק מספר על מספר ושניהם שלמי' או שניה' שברי&#x202B;'
|-
|If the names of their ranks are the same, the quotient is always in the rank of units.
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10^n\div10^n=10^{n-n}=10^0}}</math>
|style="text-align:right;"|אם שם מדרגותיה' שוה תפול החלוק באחדי' לעולם
|-
|If the name of the upper is greater than [the name of] the lower, subtract the name of the lower from [the name of the upper] and the quotient is as [the name] that remains [of the same type], i.e. integers, if [both are] integers, or fractions, if [both are] fractions.
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{m<n\;10^n\div10^m=10^{n-m}}}</math>
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{m<n\;\frac{1}{10^n}\div\frac{1}{10^m}=\frac{1}{10^{n-m}}}}</math>
|style="text-align:right;"|ואם שם העליון גדול מהתחתון גרע שם התחתון ממנו וכמספר הנשאר תפול החלוקה בצד ההו' ר"ל אם הם שלמי' שלמי' ואם שברי' שברי&#x202B;'
|-
|If the name of the lower is greater, subtract [the name of] the greater from [the name of the lower] and the quotient is as [the name] that remains of the opposite type i.e.: fractions, if both the divisor and the dividend are integers, or integers, if both are fractions.
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n<m\;10^n\div10^m=\frac{1}{10^{m-n}}}}</math>
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n<m\;\frac{1}{10^n}\div\frac{1}{10^m}=10^{m-n}}}</math>
|style="text-align:right;"|ואם שם התחתון גדול גרע העליון ממנו וכמספר הנשאר תפול החלוק בהפך הצד ר"ל בשברי' אם החולק והנחלק שלמי' ובשלמי' אם הם שברים
|-
|If one is integer and the other is fraction and the names of their ranks are the same, or not the same, add the names of their ranks and the quotient is as the name of the sum, of the type of the upper number, i.e. the dividend: integer, if [the upper] is an integer, or fraction, if [the upper is] a fraction,.
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{10^n}\div10^m=\frac{1}{10^{n+m}}}}</math>
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10^n\div\frac{1}{10^m}=10^{n+m}}}</math>
|style="text-align:right;"|ואם האחד שלם והשני שברי' יהיה שם מדרגותיהם שוה או בלתי שוה חבר שמות המדרגו' יחד וכמספר המחובר יהיה שם הנופל בחלוק לצד שבו היה המספר העליון ר"ל המתחלק אם שלמי' בשלמי' ושברי' בשברי&#x202B;'
|-
|