|
[1]קצת מענייני חכמת המספר
|
Sums
|
|
Sums of Natural Numbers
|
|
- To know the numbers that are set in succession.
|
לידע מספרים מונחים על סדר המספר
|
- Such as: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
|
כגון אבג"ד ה"ו זחט"י
|
|
|
- Multiply the last number, which is ten, by its half plus one half.
|
תכה מהמספר האחרון שהוא העשרה בחציו וחצי א'
|
|
|
- Or add to it one, then multiply it by its half without the addition - they are 55 and so is their sum.
|
או הוסיף עליו אח' והכהו בחציו בלי תוספ' ויהיו נ"ה וככה קבוצם
|
|
|
- If you wish, multiply the last number, which is 10, by itself, the result is 100, add to it the root, which is 10, they are 110, take their half and it is the required.
|
ואם תרצה הכה המספר האחרון בעצמו שהוא י' יעלה ק' הוסיף עליו מספר השרש שהוא הי' יהיו ק"י קח חציים והוא המבוקש
|
- Numbers that are summed successively and the result is a known number.
|
חשבון שחובר על הסדר ועלה מספר ידוע
|
- Such as the number 55, how much is the last number?
|
כגון מספר נ"ה כמה הוא מספר האחרון
|
|
|
- Multiply it by 2, they are 110, you will find it contains a square and its root together, then the question is true and its root is the last number.
|
תכפלהו בב' יהיו ק"י תמצא בו מרובע וגדרו באחת ואז השאלה אמתית וגדרו הוא סוף המספר
|
- If you wish, add a quarter to its double, then extract the root of the total, subtract the root of the quarter, which is a half, and the remainder is the required.
|
ואם תרצה הוסיף רביע אחד על כפלו וקח גדר הכל ותפיל גדר הרביע והוא החצי והנשאר הוא המבוקש
|
- If the numbers that are given in succession do not start from 1.
|
ואם המספרים המונחים על סדר המספר לא יתחילו מהא'
|
|
|
- As saying: from 5 to 10.
|
כאמרך מה' עד י'
|
- Know their sum from 1 to ten - it is 55; know their sum for 1 to 4 that precedes 5 - it is 10. Subtract it from 55, 45 remains and this is their sum.
|
דע קבוצם מא' עד עשרה הוא נ"ה ודע קבוצם מא' עד ד' שהוא קודם ה' יהיו י' הפלים מהנ"ה ישארו מ"ה וככה קבוצם
|
- Numbers that are summed from a known number.
|
חשבון שחובר מתחלת מספר ידוע
|
- As saying: from 5 and the sum is 45, how much is the last number?
|
כאמרך מה' ועלה מ"ה כמה הוא סוף המספר
|
- Know their sum of the units from 1 to the number that precedes 5, which is 4 - it is 10. Add it to 45, they are 55. Know [up to] which number it is summed according to the previous way, it is 10 and it is the last number.
|
דע קבוץ האחדים שמא' עד המספר הקודם לה' שהוא הד' יהיו י' הוסיפם על המ"ה יהיו נ"ה דע מאיזה מספר נתחברו ע"ד הקודם והוא י' וזהו סוף המספר
|
- We know the 10, which is [the last] summed number, and that the sum is 45, but the 5 is unknown.
|
ידענו הי' שהוא המספר שהנקבץ עד מ"ה ונעלם הה'
|
- Know [the sum] from 1 to 10, which is 55.
|
תדע מהא' עד י' שהוא נ"ה
|
- Know up to what number the sum is the excess of this sum over 45, which is 10, according to the previous way; it is 4 and this is the number that precedes the required.
|
ותדע עד איזה מספר נקבץ קבוץ היתרון על המ"ה שהוא י' ע"ד הקודם והוא ד' והמספר שלאחריו הוא המבוקש
|
|
Addition of Fractions
|
קבוץ השברים
|
|
|
The second species is the addition of fractions, which is that if you wish to sum up known fractions, multiply the numerator of the first by all the denominators, except that which beneath it, then relate it to the product of the denominators one by the other, or divide it by it; reduce it, meaning examine by which of them it is divided first and divide it by it. Likewise for the second [numerator and so on] until they are complete.
|
המין הב' הוא קבוץ השברים והוא שאם תרצה לקבץ שברים ידועים תכה כמות האח' עם כל האכיות זולת מה שתחתיו ותיחסהו אל הכאת האיכיות זה בזה או תחלקהו עליהם ותעשה אותם כלילת יופי רצוני שתראה לאיזה מהם מתחלק ראשונה ותחלקהו עליו ואח"כ על הב' עד תומם
|
- Example: we wish to sum two-quarters, 4-eighths, and 3-ninths.
|
דמיו' רצינו לקבץ שני רביעיות וד' שמניות וג' תשיעיות
|
- We arrange them like this:
|
נסדרם ככה
|
|
|
- Cross-multiply 2, which is the numerator of the first, by 8, and the product by 9, which is the denominator of the third; the result is 144. Keep it.
|
תכה הב' שהוא הכמות הא' עם הח' שבאלכסונות ומה שיתקבץ עם הט' שהוא איכות הג' יעלה קמ"ד ושמרם
|
- Then, cross-multiply the numerator of the second, which is 4, by 4, which is the denominator of the first, and the product by 9, which is the denominator of the third; the result is 144. Keep it.
|
אח"כ תכה כמות השני והוא הד' עם הד' שבאלכסונות שהוא איכות הראשו' ומה שיתקבץ עם הט' שהוא איכות הג' יעלה קמ"ד ושמרם
|
- Multiply also the numerator of 9, which is 3, by the denominator of 4, which is 8, and the product by the denominator of the second, which is 4; the result is 96.
|
ג"כ תכה כמות הט' והוא הג' עם איכות הד' והוא הח' ומה שיתקבץ עם איכות הב' והוא הד' יעלה [.] צ"ו
|
- Sum it with the two reserved number; the result is 384.
|
חברם עם הב' המספרים השמורים יעלה שפ"ד
|
- Then, we multiply all the denominators be each other; the result is 288.
|
אח"כ נכה כל האכיות זה בזה יעלה רפ"ח
|
- 384 of them are 1 integer and 96 parts of 288.
|
והם השפ"ד מהם א' שלם [5]וצ"ו חלקים מרפ"ח
|
- If you wish to divide 384 by the denominators, divide it first by 8, then by 4, then by 9, so that you will get reduced fractions; the result of division is 1 integer and 3-ninths, which are 96 parts of 288.
|
ואם תרצה לחלק השפ"ד על המורים כשתחלקהו תחלה על הח' אח"כ לד' אח"כ לט' כדי שיצאו לך החלקים נאותים ויעלה בחלוקה א' שלם וג' תשיעיות והם הצ"ו חלקים מרפ"ח
|
The proof is that you arrange them like this:
|
והמופת שתסדרם ככה
|
|
|
- Cross-multiply and [the products] are equal. This is the first method.
|
ותכה האלכסונו' ויהיו שוים זהו הדרך הא'
|
|
|
The second method: take the complement of the first fraction for a whole unit. We subtract from it the other fraction that is summed with it, if the complement is greater than it. Then, take the complement for the whole unit and this is the sum of the two fractions.
|
והדרך הב' שתקח החסרון אשר יחסר מהשבר הא' עד תשלומו לא' שלם ונחסר ממנו השבר הא' הנקבץ עמו אם היה החסרון גדול ממנו והיוצא קח החסר ממנו עד תשלום הא' שלם והוא סך הב' שברים
|
- Example: you wish to sum two-quarters with 2-ninths.
|
דמיון רצית לקבץ שני רביעיות עם ב' תשיעיו'
|
- Arrange them like this:
|
תסדרם ככה
|
|
|
- Take the complement of 2-quarters for a whole unit; it is the other two-quarters.
|
ותקח החסר מהב' רביעיות עד תשלום א' שלם והם שני רביעיות אחרים
|
- Subtract the 2-ninths from it; 10 parts of 36 remain.
|
ותחסר מהם הב' תסיעיות ישארו י' חלקים מל"ו
|
- Take their complement for a whole unit; it is 26 parts of 36 and this is their sum.
|
וקח החסר מהם עד תשלום האחד שלם והם כ"ו חלקים מל"ו וככה קבוצם
|
|
|
If the complement from a whole unit is smaller than the second fraction, so you cannot subtract the other fraction from it.
|
ואם מה שחסר לא' שלם הוא יותר קטן מהשבר הב' באופן שלא תוכל מחסר ממנו השבר הא'
|
|
|
- Such as 4-ninths with 5-sixths.
|
כגו' ד' תשיעיו' עם ה' ששיות
|
|
|
- The complement of 4-ninths for a whole unit is 5-ninths, which is less than 5-sixths.
|
שחסר לד' תשיעיות לתשלום אח' שלם הוא ה' תשיעיו' והם פחות מה' ששיות
|
- We subtract 5-ninths from 5-sixths; 15 parts of 54 remain and this is the excess over the one integer. So, their sum is 1 integer and 15 parts of 54.
|
הנה נחסר הה' תשיעיות מהה' ששיות ישאר ט"ו חלקים מנ"ד והם התוספת על הא' השלם וקבוצם הוא א' שלם וט"ו חלקים מנ"ד
|
If you wish to add a third fraction.
|
ואם תרצה לקבץ עוד שב' ג'
|
|
|
- As for example 6-sevenths.
|
כאלו משל ו' שביעיות
|
- Apply carefully the previous method, that you complete the 15 parts to a whole unit; it is 39 parts of 54.
|
הנה תעשה הדרך הקודם בעיון שתשלים הט"ו חלקים מנ"ד לא' שלם והוא ל"ט חלקים מנ"ד
|
- The six-sevenths are more than 39 parts of 54.
|
ובעבור שהשש שביעיות יותר מל"ט חלקים מנ"ד
|
- Hence, we subtract 39 parts of 54 from them; 51 parts of 378 remain and it is the excess over 1 integer, plus the 1 that is kept in our hand, they are 2; which is 2 and 58 parts of 378.
|
הנה נחסר מהם ל"ט חלקים מנ"ד ישאר נ"א חלקים משע"ח והם התוספת על הא' השלם והא' השמור שבידינו הם ב' והם ב' ונ"[א] חלקים משע"ח
|
If the result is an excess over one integer, we keep the one and look for the complement of the result for one unit.
|
ואם היוצא מאשר נצטרך להוסיף על השלם האחד הנה נשמור השלם ונבקש החסרון אשר יחסר מהיוצא עד תשלום הא' השלם
|
|
|
If this complement is smaller than the third fraction that is summed with the others, we subtract it from it, then add one to the result, and with the one that is kept in our hand it is the total sum.
|
ואם היה החסרון ההוא קטן מהשבר הג' הנקבץ עם האחרים הנה נחסרהו ממנו היוצא נוסיף עליו אחד ועם הא' השמור בידינו והוא סך השבר
|
|
|
If [the complement] is greater than the third summed fraction, subtract the fraction from it, and take the complement of the remainder for a whole unit, then add to it the one that is kept in our hand and it is the sum of the three fractions.
|
ואם היה החשבון גדול מהשבר הג' הנקבץ הנה תחסר השבר ממנו והיוצא תשלימהו לא' שלם והוסיף עליו הא' השמור אשר בידנו והוא סך הג' שברים
|
Understand this.
|
והבן
|
The third addition method
|
והדרך הג' לקבוץ
|
One should know one proposition, which is that there are two types of numbers: relatively prime and relatively composite.
|
צריך לידע הקדמה א' והוא שהמספרים ב' מנים נבדלים משותפים
|
The relatively prime numbers are those that are not counted by any number [= not share a common divisor] other than 1.
|
הנבדלים הם שלא ימנה לשנים מספר זולת הא'
|
The relatively composite numbers are of two types: either one counts [= is a divisor of] the other, or not, but there is another number that counts both [= a common divisor of both].
|
והמשותפים שני מינים או ימנה האח' את חברו או לא ימנהו אלא שיש מספר אח' ימנה את שניהם
|
The way to identify these types is that you divide the greater by the smaller and the quotient resulting from the division indicates the reduced ratio.
|
והדרך אל ידיעת אלו המנים בשתחלק הגדול על הקטן והחלק היוצא בחלוק מורה על קטן היחס
|
- For, if the two proportional numbers are ten and 100, divide 100 by 10 and the quotient is 10, and this 10 indicates that 100 is 10 times 10.
|
כי אם היו שני המספרים המתיחסים עשרה וק' תחלק הק' על הי' ויצא בחלוקה י' ואלה הם הי' מורים שק' י' פעמים כפל הי'
|
If something remains, divide the smaller number by the remainder, then the first remainder by the second remainder and so on do not cease from dividing the remainder by the remainder until the number ends, so that no remainder is left, and [the last remainder] is the greatest number that counts both of them [= their greatest common divisor].
|
ואם ישאר כלום תחלק המספר הקטן על המותר אח"כ המותר האח' על המותר הב' ולא תסור מחלוק המותר על המותר עד שיכלה המספר שלא ישאר בו מותר והוא גדול המספר אשר ימנם יחד
|
Afterwards, divide the smaller number by it and keep the result.
|
אח"כ חלק המספר הקטן עליו והעולה שמרהו
|
Look also for the number of times that it counts the greater, by dividing it by it, and keep the result.
|
גם בקש מספר הפעמים אשר ימנהו הגדול וזה כשתחלקהו עליו והעולה שמרהו
|
The two reserved [numbers] are the smallest proportional numbers of this ratio.
|
והב' שמורים הם קטני היחס ההוא
|
- Example for relatively composite numbers: 12 and [the greater] number 27.
|
המשל השות' י"ב והמספר הקטן כ"ז
|
- Divide 27 by 12; 3 remain.
|
חלקהו הכ"ז על הי"ב נשארו ג'
|
- We divide 12 be it; nothing remains. So we find that the greatest number that counts both together [= their greatest common divisor] is 3.
|
חלקנו עליהם הי"ב ולא נשאר כלום ולכן מצינו שגדול המספר אשר ימנם יחד הוא ג'
|
- We look for the number of times that it counts the 12, by dividing 12 by 3; the result is 4. We keep it.
|
בקשנו מספר הפעמים אשר ימנה הי"ב הוא בשחלקנו הי"ב על הג' ועלה ד' ושמרנום
|
- We divide 27 by 3; the result is 9. We keep it.
|
חלקנו הכ"ז על הג' ועלה ט' ושמרנום
|
- We know that 4 and 9 are the smallest proportional numbers of this ratio, so we know that the ratio of 12 to 27 is 4-ninths.
|
וידענו שהד' והט' הם קטני היחס ההוא ולכן ידענו שהי"ב יחסו אל הכ"ז ד' תשיעיות
|
Therefore, when you want to find the smallest number in which given fractions are found, whichever they are, if their denominators are relatively prime, they are multiplied by each other and the product is the smallest number, in which these given fractions are found.
|
ולכן כשתרצה לדעת קטן המספרים אשר ימצאו בו השברים המונחים איזה שברים שיהיו עם איכיותיהם נבדלים זה מזה יוכו זה עם זה והעולה הוא קטן המספר אשר מצאו בו אלו החלקים ההם המונחים
|
If they are relatively composite and one counts the other, the greater number is the lowest common multiple, in which these given fractions are found.
|
אם יהיו משותפים והאח' מונה אחר המספר הגדול [6]הוא קטן היחס אשר ימצאו השברי' המונחים
|
If it does not count it, but there is a number that counts them together, we look for their lowest common multiple according to the previous way.
|
ואם לא ימנהו אלא שיש מספר ימנם יחד נבקש קטן יחסם ע"ד הקודם
|
Then, we multiply the greater number among the two given denominators by the smaller number of their ratio in the lowest term.
|
ונכה המספר הגדול מב' האיכות המונחים עם המספר הקטון מב' איכות קטן היחס
|
Or, We multiply the smaller number among the two given denominators by the greater number of their ratio in the lowest term.
|
או נכה המספר הקטן מב' איכיות המונחים עם המספר הגדול מב' איכיות קטן היחס
|
The result is the smallest number, in which the two given fractions are found [= LCM].
|
והעולה הוא קטן המספר אשר ימצאו בו ב' שברים ההם
|
If there are numerous fractions apply this same method: find the lowest common multiple, in which these two fractions are found, according to what preceded.
|
ואם היו השברים רבים תעש' בזה הדרך עצמו תמצא קטן היחס אשר ימצאו בו ב' שברים ההם לפי מה שקדם
|
If the third fraction counts it, the lowest common multiple, in which the former fractions are found, is also the lowest common multiple of the three fractions.
|
עם השבר הג' מונהו הנה קטן היחס אשר ימצאו בו השברים הקודמים בו ג"כ ימצא קטון היחס של הג' שברים
|
If they are relatively composite, we multiply it by it.
|
ואם הם נבדלים נכהו עמו
|
If another number counts both of them, we multiply [the smaller number of] their ratio in the lowest term by the greater number, which is the lowest common multiple, in which the two former fractions are found.
|
ואם מספר אחר ימנם יחד נכה המספר הקטון יחסם עם המספר הגדול שהוא המספר קטן היחס אשר נמצא בו הב' שברים הקודמים
|
The same way for more fractions
|
וכן ע"ז הדרך ירבו השברי'
|
|
|
Therefore, if you wish to sum up some fractions, we take their lowest common multiple according to the said way, divide it by all the denominators as the number of their numerators and keep each separately, then we sum up [the reserved numbers] and divide [the sum] by their lowest common multiple and this is the result.
|
ולכן אם תרצה לקבץ שברים מה הנה ניקח קטון היחסם ע"ד האמור ונחלקהו על כל האיכיות כפי מנין כמותם ונשמור כל אחד בפני עצמו אח"כ נקבצם ונחלקם על מספר קטון יחסם וזהו העולה
|
- For example: we wish to sum 2-quarters, 4-sixths, 8-ninths and 5-eighths.
|
ד"מ בזה רצינו לקבץ ב' רביעיות וד' ששיות וח' תשיעיות וה' שמניות
|
- Arrange them like this:
|
סדרם ככה
|
|
|
- 4 and 6 are counted by 2.
|
והד' והו' ימנם מספר הב'
|
- Apply the said procedure: we divide 6 by 4; 2 remains.
|
כשתעשה הדרך האמור שנחלק הו' על הד' וישאר ב'
|
- Then, divide 4 by 2; there is no remainder, so we know that two is the number that counts both of them [= their greatest common divisor]
|
אח"כ תחלק הד' על הב' ולא ישא' כלום ידענו שהשנים הוא מספר ימנם יחד
|
- Hence, we multiply it by 6, or 3, which is the number of times that 2 counts 6, by 4; the result is 12 and this is the lowest common multiple that has a quarter and a sixth.
|
ולכן נכהו עם הו' או נכה הג' שהוא מספר הפעמים שישנה הו' הב' עם ד' יעלה י"ב וזהו קטון היחס אשר יש בו רביעית וששית
|
- Thereupon, we know that 9 is relatively prime to 12 [sic], so we multiply it by 9; the result is 108.
|
אח"כ ידענו שהט' הוא מספר נבדל מהי"ב ולכן הכנו אותו עם הט' יעלה ק"ח
|
- According to the previous method, we find that 4 counts both 8 and 108, so we multiply 4 by 108; the result is 432 and this is the smallest number [sic] that has a quarter, a sixth, a ninth, and an eighth.
|
וע"ד הקודם מצאנו שהד' ימנה לח' ולק"ח והכנו הד' עם הק"ח ועלה תל"ב וזהו קטון המספר אשר ימצא בו רביעית וששית ותשיעית ושמנית
|
- Then, we divide 432 by 6 four times as its numerator; the result is 288.
|
ואח"כ חלקנו התל"ב על הו' ד' פעמים כמנין כמותם ועלה רפ"ח
|
- Then, we divide 432 by 9 eight times as its numerator; the result is 384. We keep it.
|
אח"כ חלקנו התל"ב על הט' ח' פעמים כמנין כמותם ועלה שפ"ד ושמרנום
|
- Then, we divide 432 by 8 five times as its numerator; the result is 270.
|
אח"כ חלקנו התל"ב על הח' ה' פעמים כמנין כמותם ועלה ר"ע
|
- We sum up the four reserved [numbers]; the result is 1158.
|
חברנו הד' שמורים יעלה אלף וקנ"ח
|
- Its ratio to 432 is two integers and 294 parts of 432.
|
יחסם אל תל"ב יהיו שנים שלמים ורצ"ד חלקים מתל"ב
|
Q.E.D.
|
וזה מה שרצינו לבאר
|
Subtraction of Fractions
|
דרך החסור
|
Now we start to explain the method of subtraction by the help of God.
|
ועתה נתחיל לבאר דרך החסור בע"ה
|
|
|
I say that the most common method is that you multiply the numerator of the one by the denominator of the other and the numerator of the other by the denominator of the one, then subtract one from the other and relate the remainder to the product of the denominators.
|
ואו' שהדרך היותר כולל הוא שתכה כמות האחד עם איכות חבירו וכמות האחר עם איכות חבירו וחסר זה מזה והנשאר [תיחס][7] אל הכאת האיכות
|
|
|
Or, divide by the denominators according to the previous way, by reducing them and this is the required.
|
או תחלקהו על המורים ע"ד הקודם בשתעשה להם כלילת יופי והוא המבוקש
|
- Example: we wish to subtract 3-eighths from 4-sixths.
|
דרך משל רצינו לחסר ג' שמניות מד' ששיות
|
- As this diagram:
|
כזה הצורה
|
|
|
- Multiply the numerator of 3 by the denominator of 4; it is 18.
|
תכה כמות הג' עם איכות הד' יהיו י"ח
|
- Multiply the numerator of the other by the denominator of the first; it is 32.
|
ותכה הכמות האחר עם איכות חבירו יהיו ל"ב
|
- Subtract 18 from it; 14 remain.
|
תחסר מהם י"ח ישאר י"ד
|
- Multiply the denominators, which are 8 by 6; it is 48.
|
ותכה האיכיות והם הח' בו' יהיו מ"ח
|
- It is 14 parts of 48.
|
והם י"ד חלקים ממ"ח
|
- Or, divide 14 by 6; the result is 2 and 2 remain, which are two-eighths and 2-sixths and this is their diagram:
|
או תחלק הי"ד על הו' יעלה ב' וישארו ב' והם שני שמניות וב' ששיות וככה צורתם
|
|
|
- This is the remainder of the subtraction of 3-eighths from 4-sixths.
|
והוא הנשאר מחסור הג' שמניות מד' ששיות
|
|
|
- Another way is that you complete the greater fraction, which is 4-sixths, into one integer. We complete it by two-sixths.
|
דרך אחרת שתשלים השבר הגדול שהוא ד' ששיות לא' שלם והנה השלמנום בשני ששיות
|
- We sum it up with the smaller fraction, which is 3-eighths; the result is 34 parts of 48.
|
קבצנום עם השבר הקטן והוא הג' שמניות יעלה ל"ד חלקים ממ"ח
|
- We complete it into one integer by 14 parts of 48 and this is the required.
|
השלמנום לאח' שלם בי"ד חלקי' ממ"ח והוא המבוקש
|
|
|
- If you wish, sum up the complement of the smaller fraction, which is 3-eighths.
|
ואם תרצה קבץ החסר מהשבר הקטן והוא הג' שמניות
|
- We complete it into one integer by 5-eighths.
|
השלמנום לאח' שלם בה' שמניות
|
- We sum it up with 4-sixths; the result is 1 integer and 14 parts of 48.
|
נקבצו עם הד' ששיות ועלה א' שלם וי"ד חלקים ממ"ח
|
- We subtract one integer and the remainder is the required.
|
והשלכנו האחד השלם ומה שישאר הוא המבוקש
|
Methods of checking
|
מאזנים
|
|
|
Sum up the remainder from the subtraction of the fraction from the fraction with the greater fraction, then subtract the smaller [fraction] from the sum, and if the remainder is double the remainder from the [original] subtraction, you were right.
|
שתקבץ הנשאר מחיסור השבר מהשבר עם השבר הגדול והעולה מקבוצם חסר ממנו הקטן והנשאר ממנו אם היה כפל הנשאר מהחסור צדקת
|
- In our example: we sum up the 14 parts of 48 with the 4-sixths; the result is 276 parts of 288.
|
במשלינו זה קבצנו הי"ד חלקים ממ"ח עם הד' ששיות ועלה רע"ו חלקי' מרפ"ח
|
- We subtract 3-eighth from them; the remainder is 1344 parts of 2304 and it is double the 14 parts of 48.
|
חסרנו מהם הג' שמניות ונשאר אלף ושמ"ד חלקים מהאלפים וש"ד והם כפל הי"ד חלקים ממ"ח
|
- This is their diagram:
|
וזו צורתם
|
|
|
The proof is by changing the denominator.
|
והמופת שנעשם פריטה
|
- Multiply 1 by 5 and add what is above it. Then multiply the sum by 29 and add what is above it. Divide the total by all the denominators except for 29; you get a whole 7 no more and no less.
|
שתכה הא' בה' ותשא מה שעל ראש' ותכה הכל עם הכ"ט ותשא מה שעל ראשם ותחלק הכל לכל המורים זולת הכ"ט ויצא לך מספ' הז' שלם בלי תוספת ומגרעת
|
|
ואם לא יהיה במורים המספר אשר תרצה לחלק עליו המספר האחד
|
- the last sentence is unclear
|
כגון אם רצית לחלק ו' לכ"ז שיבא לו חמישי' אח' בכ"ז ותחלקהו על כל המורי' זולתו ויצא לך בשוה המספר
|
Division of Fractions
|
מין החלוק מן השברים
|
|
|
- When you wish to divide 3-quarters by two-fifths.
|
רצית לחלק ג' רביעיות על שני חמישיות
|
|
|
- Multiply 2 by 4; it is 8.
|
הכה הב' עם הד' יהיו ח'
|
- Then multiply 3 by 5; it is 15.
|
אח"כ הכה הג' עם הה' יהיו ט"ו
|
- Divide 15 by 8; the result is 1 integer, which is two-fifths, and 7 remain.
|
חלק הט"ו על הח' יצא א' שלם הרי יצא לנו שני חמישיות ונשארו ז'
|
- Relate it to 20, which is the product of the denominator by the denominator; the result is 7 parts of 20.
|
יחסם על הכ' שהו' הכאת האיכות עם האיכות יעלה ז' מכ'
|
|
|
- Then, divide it into fifths; the result is one fifth and 3-quarters of a fifth.
|
אח"כ חלקם על החומש ויצא חומש אח' וג' רביעיות חומש
|
- Add it to 2-fifths and the result is the required, which is 3-fifths and 3-quarters of one fifth.
|
חברהו עם הב' חמישיות והיוצא הוא המבוקש והוא ג' חמישיות וג' רביעיות החומש האח'
|
|
|
- Another way: we multiply 3 by 5, the numerator of the divisor by the denominator of the divisor; the result is 15.
|
דרך אחר נכה הג' עם הה' כמות המחלק עם איכות המחלק יעלה ט"ו
|
- Multiply 15 by the denominator of the divisor, which is 5; the result is 75 and this is the divisor.
|
והכה הט"ו עם איכות המחלק שהוא הה' יעלה ע"ה וזהו המחולק
|
- Then we multiply the denominators; it is 20.
|
אח"כ נכה האיכיות והם כ'
|
- We divide 75 by it; the result is 3 and 3-quarters.
|
נחלק עליהם הע"ה יצאו ג' וג' רביעיות
|
- Since the dividend is fifths, we know that the 3 and 3-quarters [are 3-fifths] and 3-quarters of a fifth.
|
ולהיות שהמחולק הוא חמישיות ידענו שהג' וג' רביעיות חמשיות וג' רביעיות החומש
|
|
|
- Another way: we multiply the numerator of the dividend by the denominator of the divisor; it is 15.
|
דרך אחר נכה כמות המחולק עם איכות המחלק יהיו ט"ו
|
- We divide it by the denominator of the dividend; the result is 3 and 3-quarters.
|
נחלקם על איכות המחולק יצאו ג' וג' רביעיות
|
- Since the dividend is fifths, we know that the 3 and 3-quarters are 3-fifths and 3-quarters of a fifth.
|
ולהיות שהמחול' הוא חמישי' ידענו שהג' וג' רביעיות הם ג' חמשיות וג' רביעיות החומש
|
Methods of checking
|
מאזנים
|
- Multiply the quotient by the divisor, if [the result] is equal to the dividend, you were right.
|
תכה החלק עם המחלק אם הוא שוה למחולק צדקת
|
- In our example: we multiply 3 and 3-quarters by one-fifth; the result is 3-quarters and it is the dividend itself.
|
במשלינו זה הכינו הג' וג' רביעיו' עם החמישי' ועלה ג' רביעיות והוא הוא בעצמו המחולק
|
- Or, we multiply 1 and 7-eighths by 2-fifths; the result is 3-quarters itself.
|
או נכה א' וז' שמיניות עם ב' חמישיות ויעלה בעצמו הג' רביעיות
|
- Because, when 1 and 7-eighths are related to 2-fifths, which is 1 and 7-eighths as its amount, i.e. 1 is 2-fifths, and 7-eighths are 7-eighths of 2-fifths, which is one-fifth and 3-quarters of one-fifth; with the 2-fifths in our hand it is 3-[fifths] and 3-quarters of the fifth.
|
וזה שא' וז' שמיניות כשיוחס אל הב' חמישיות שהם א' וז' שמיניות כמותם ר"ל הא' הוא ב' חמישיות וז' שמיניו' הם ז' שמיניות של ב' חמישיו' שהוא חומש א' וג' רביעיו' החומש עם הב' חומשים שבידינו הם ג' רביעיות וג' רביעיו' החומש
|
- Therefore, our saying: "we relate 3 and 3-quarters to one-fifth", or "we relate 1 and 7-eighths to 2-fifths" is the same [sic?].
|
וא"כ הכל שוה לאמרנו ג' וג' רביעיות ויחסנו אותם לחומש או א' וז' שמיניות ויחסנו אותם לב' חמישיו'
|
It is clear to the intellect. Understand this.
|
וזה מבואר בעין השכל והבן
|
- Another scale: find a number, such that numerator of the [dividend] is related to it by the ratio of the numerator of the divisor to its denominator. If that number is related to the denominator of the dividend by the ratio of the numerator of the quotient to its denominator, know that you were right.
|
מאזנים אחרים שתמצא המספ' המתיחס כמות המחלק אליו יחס כמות המחלק אל איכותו ואם המספר ההוא מתיחס אל איכות המחולק יחס כמו' החלק אל איכותו דע שצדקת
|
- In our example: we divide 3-quarters by 2-fifths; the result is 1 and 7-eighths, which is 15-eighths.
|
במשלינו זה חלקנו הג' רביעיות על הב' חמשיות ויצא א' וז' שמיניות שהם ט"ו שמיניות
|
- We look for a number, such that when you relate to it the numerator of the dividend, which is 3, it is as the ratio of the numerator of the divisor to its denominator, which is 2 to 5. We find that it is 7 and a half.
|
בקשנו מספר שתיחס כמות המחולק שהוא הג' אליו יחס כמות המחלק אל איכותו שהוא הב' אל הה' ומצאנו שהוא ז' וחצי
|
- The ratio of 7 and a half to 4, which is the denominator of the dividend, is as the ratio of the numerator of the quotient, which is 15, to its denominator, which is 8.
|
והנה יחס הז' וחצי אל הד' שהוא איכות המחולק כיחס כמות החלק שהוא הט"ו אל איכותו שהוא ח'
|
It is clear to the intellect.
|
וזה מבואר בעין השכל
|
- Also if you want to apply this method on 3 and 3-quarters, look for the ratio of one-fifth alone. You shall do, and you shall prevail [Samuel I 26, 25], for it is all the same thing as we have explained and revealed.
|
וג"כ אם תרצה לעשותו בזה הדרך בג' וג' רביעיות ותבקש ביחס החמישית לבד גם עשה תעשה ויכול תוכל[note 1] כי הכל דבר א' כמו שביארנו וגלינו
|
- If you want you can apply the opposite scale: look for a number, such that the ratio of the numerator of the dividend to it is as the ratio of the numerator of the [quotient] to its denominator. If that number is related to the denominator of the dividend by the ratio of the numerator of the divisor to its denominator, we know that we were right.
|
ואם תרצה לעשות המאזנים בהפך והוא שתראה המסופר שיהיה יחס כמות המחולק אליו כיחס כמות המחלק אל איכותו [10]ואם המספר ההוא מת[ייחס] אל איכות המחולק כיחס כמות המחלק אל איכותו ידענו שצדקנו
|
- In our example: we look for a number, such that the ratio of the numerator of the dividend, which is 3, to it is as the ratio of the numerator of the quotient to its denominator, which is 15 to 8. We find that it is 1 and 3-fifths, which is 8-[fifths].
|
במשלינו זה בקשנו מספר שיהיה יחס כמות מחולק אליו שהוא ג' כיחס כמות החלק אל איכותו שהוא הט"ו עם הח' ומצאנו שהוא א' וג' חמישיות שהם ח' שמיניות
|
- Its ratio to 4 is as the ratio of 2 to 5, which is as [the ratio] of the numerator of the divisor to its denominator.
|
ויחסם אל הד' הוא כיחס הב' אל הה' שהוא כמות המחלק אל אכותו
|
Understand this, for it is absolutely clear.
|
והבן זה מאד כי הובן בתכלית
|
Combined Division
|
|
|
|
- If you wish to divide the sum of 2-thirds and 3-quarters by the sum of two-sevenths and one-sixth, without having to sum up first, then to divide.
|
ואולם אם רצית לחלק קבוץ הב' שלישיות וג' רביעיו' על קבוץ שני שביעיות וששית מבלתי שתצטרך לקבץ תחלה ואח"כ לחל'
|
- They are arranged this way:
|
הנה יסודרו על זה הדרך
|
|
|
- We multiply the denominator of the first fraction by the denominator of the second fraction, then the product by the denominator of the third, then the product by the numerator of the fourth; it is 84.
|
ונכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר הב' והעולה עם איכות הג' והעולה עם כמו' הד' והם פ"ד
|
- We also multiply the denominator of the first fraction by the denominator of the second fraction, then the product by the numerator of the third, then the product by the denominator of the fourth; it is 144. We keep it.
|
גם נכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר הב' והעול' עם כמות הג' והעול' עם איכות הד' והם קמ"ד ונשמרם
|
- We add it to 84; it is 228. We keep it.
|
נחברם אל הפ"ד והם רכ"ח ונשמרם
|
- We multiply the denominator of the fourth by the denominator of the third, then the product by the denominator of the second, then the product by the numerator of the first; it is 336.
|
אח"ז נכה איכות הד' עם איכות הג' והעולה עם אכות הב' והעולה עם כמות הראשון והם של"ו
|
- We also multiply the denominator of the fourth by the denominator of the third, then the product by the numerator of the second, then the product by the denominator of the first; it is 378.
|
גם נכה איכות הרביעי עם איכות הג' והעולה עם כמות הב' והעולה עם איכות הראשו' והם שע"ח
|
- Add it to 336; it is 714.
|
חברם אל השל"ו הם תשי"ד
|
- We divide it by the reserved 228; the quotient is the result of division of [the sum of] 2-thirds and 3-quarters by [the sum of] 2-sevenths and one-sixth
|
נחלקם על הרכ"ח השמורים והיוצא הוא ההווה מחלוק הב' שלישיו' וג' רביעיו' על הב' שביעיות וששית
|
|
|
- If you wish to sum up the result of division of 3-quarters by 2-thirds with the result of division of 2-sevenths by [one-sixth], without having to divide first, then sum up.
|
ואולם אם רצית לקבץ היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעיו' על הו' מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ לקבץ
|
- We multiply the numerator of the first fraction by the denominator of the second, then by the denominator of the third, then by the numerator of the fourth; it is 56. We keep it.
|
נכה כמות השבר הראשון עם איכות הב' ועם איכות הג' ועם כמות הד' והם נ"ו ונשמרם
|
- We multiply the numerator of the first fraction by the denominator of the second, then by the numerator of the third, then by the denominator of the fourth; it is 96.
|
אח"ז נכה כמות השבר הראשון עם איכות הב' וכמות הג' ואיכות הד' והם צ"ו
|
- We also multiply the numerator of the fourth by the denominator of the third, then by the numerator of the second, then by the denominator of the first; it is 63.
|
גם נכה כמות השבר הד' עם איכות הג' וכמות הב' ואיכות הראשו' והם ס"ג
|
- We add it to 96; it is 159.
|
נחברם אל הצ"ו והם קנ"ט
|
- We divide it by the reserved 56; the result is 2 integers and 4[7] parts of 56 and this is the required sum of the result of division of 3-quarters by 2-thirds with the result of division of 2-sevenths by [one-sixth].
|
נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ב' שלמים ומ"ה חלקים מנ"ו והוא המבוקש מקבוץ היוצאים מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיו' ומחלוק הב' שביעיו' על הו'
|
|
|
- If you wish to divide the product of 2-thirds by 3-quarters by the product of 2-sevenths by one-sixth, without having to multiply first, then divide.
|
ואולם אם רצית לחלק העולה מהכאת הב' שלישיו' עם הג' רביעי' על העולה מהכאת הב' שביעיו' עם הששי' מבלתי שתצטר' להכות תחלה ואח"כ לחלק
|
- We multiply the numerator of the first by [the numerator of] the second, then the product by the denominator of the third, then by the denominator of the fourth; it is 2[5]2. We keep it.
|
נכה כמות הראשו' עם הב' והעול' עם איכות הג' ואיכות הד' והם רל"ב ונשמרם
|
- We multiply the numerator of the fourth fraction by the numerator of the third fraction, then the product by the denominator of the first, then by [the denominator of] the second; it is 24.
|
אח"ז נכה כמות השבר הד' עם כמו' השבר הג' והעולה עם איכות הראשו' והב' והם כ"ד
|
- Divide 2[5]2 by it; the quotient is the result of division of the product of 2-thirds by 3-quarters by the product of 2-sevenths by [one-sixth].
|
תחלק עליהם הרל"ב והיוצא הוא ההווה מחלוק העולה מהכאת הב' שלישיו' עם הג' רביעיו' על העולה מהכאת הב' שביעי' על הו'
|
|
|
- If you wish to multiply the result of division of 3-quarters by 2-thirds by the result of division of 2-sevenths by [one-sixth], without having to divide first, then multiply.
|
ואולם אם רצית להכות היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעית על הו' מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ להכות
|
- We multiply the numerator of the first by the denominator of the second, then by the denominator of the third, then by the numerator of the fourth; it is 56. We keep it.
|
נכה כמות הראשון עם איכות הב' ואיכות הג' וכמות הד' והם נ"ו ונשמרם
|
- We multiply the denominator of the first by the numerator of the second, then by the numerator of the third, then by the denominator of the fourth; it is 108.
|
אח"ז נכה האכות הראשון עם כמות הב' ועם כמות הג' ועם איכות הד' והם ק"ח
|
- We divide it by the reserved 56; the result is the product of the result of division of 3-quarters by 2-thirds by the result of division of 2-sevenths by one-sixth.
|
נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ההווה מהכאת היוצא מחלוק הג' רביעיו' על הב' שלישיו' עם היוצא מחלוק הב' שביעיו' על הששית
|
|
|
- If you wish to divide the remainder from subtraction of 2-thirds from 3-quarters by the remainder from subtraction of one-sixth from 2-sevenths, without having to subtract first then divide.
|
ואולם אם רצית לחלק הנשאר מחצור הב' שלישיות מג' רביעיות על הנשאר מחסור הששית מהב' שביעיות מבלתי שתצטרך לחסר ראשונה ואח"כ לחלק
|
- We multiply the numerator of the first by the denominator of the second, then we subtract the product from the product of the numerator of the second by the denominator of the first, and multiply the remainder by the denominator of the third, then by the denominator of the fourth; it is 42.
|
נכה כמות הראשון עם איכות הב' והעולה נחסרהו מהכאת כמות השני עם איכות הראשון והנשאר נכהו עם איכות הג' ואיכות הד' והם מ"ב
|
- We multiply the numerator of the fourth by the denominator of the third, then we subtract the product from the product of the numerator of the third by the denominator of the fourth, and multiply the remainder by the denominator of the second, then by the denominator of the first; it is 60.
|
אח"ז נכה כמות הד' עם איכות הג' והעולה נחסרהו מהעולה מהכאת כמות הג' עם איכות הד' והנשאר נכהו עם איכות הב' ועם איכות הראשון והם ס'
|
- We divide it by the reserved 42; the quotient is the result of division of the remainder from subtraction of 2-thirds from 3-quarters by the remainder from subtraction of [one-sixth] from 2-sevenths.
|
נחלקם על המ"ב השמורים והיוצא הוא ההווה מחלוק הנשאר מחסור הב' שלישיו' מהג' רביעיות על הנשאר מחיסור הו' מהב' שביעיות
|
|
|
- If you wish to subtract the result of division of 3-quarters by 2-thirds from the result of division of 2-sevenths by [one-sixth], without having to divide first, then subtract.
|
ואולם אם רצית לחסר היוצא מחלוק הג' רביעיו' על הב' שלישיו' מהיוצא מחילוק הב' שביעיו' על הו' מבלתי שתצטרך לחלק ראשונה ואח"כ לחסרם
|
- We multiply the numerator of the first by the denominator of the second, then by the denominator of the third, then by the numerator of the fourth; it is 56 and this is the first reserved.
|
נכה כמות הראשון עם איכות הב' ואיכות הג' וכמו' הד' והם נ"ו וזהו השמור הראשון
|
- We multiply the denominator of the first by the [denominator] of the second, then the product by the denominator of the third, then by the [numerator] of the fourth; it is 63. We keep it and this is the second reserved.
|
אח"כ נכה איכות הראשון עם הב' והעולה עם איכות הג' ועם איכות הד' והם ס"ג ונשמרם וזהו השמור הב'
|
- We multiply the denominator of the fourth by the numerator of the third, then by the denominator of the second, then by the numerator of the first; it is 96.
|
אח"ז נכה איכות הד' עם כמות הג' ועם איכות הב' ועם כמות הראשו' והם צ"ו
|
- We subtract from it 63, which is the second reserved; the remainder is 33.
|
נחסר מהם הס"ג שהוא השמור הב' והנשאר שהוא הל"ג
|
- We relate it to the first reserved, which is 56; the result is the remainder from the subtraction of the result of division of 3-quarters by 2-thirds from the result of division of 2-sevenths by one-sixth.
|
ניחסם אל השמור הראשון שהוא הנ"ו וההווה הוא ההוה מחסור היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות מהיוצא מחלוק הב' שביעיות על הששית
|
|
וש'מ'ל'
|
Roots
|
|
The Roots of Integers
|
גדר השלמים
|
Description of the extraction procedure:
|
|
We arrange the required number in a line each [digit] according to its rank.
|
נסדר המספר הדרוש בטור אח' כל אח' לפי מדרגתו
|
If the number of ranks is odd, we start from the last rank.
|
ואם המספר המדרגות נפרדות נתחיל מהמדרגה האחרונה
|
If its is even, we start from the rank that precedes the last rank, while considering the last rank as tens and the one that precedes it as units.
|
ואם זוג נתחיל ממדרגה הקודמת למדרגה האחרונה בעוד המדרגה האחרונה שתחשוב המדרגה האחרונה לעשרות והקודמת לה לאחדים
|
We seek for the closest root and write it beneath the required rank, i.e. the last or the one that precedes it; it is called the first root.
|
ונבקש שרש הקרוב ונכתבהו תחת המדרגה הנדרשת ר"ל האחרונה או הקודמת לה ויקרא השרש הא'
|
Then, we seek for a number, such that twice its product by the first root plus once by itself is enough to be subtracted from the rank that precedes the rank of the first root and from the one that precedes it; it is called the second root.
|
אח"ז נבק' [11]מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השורש הראשון פעמים ועם עצמו אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת השרש הראשון ומהקודמת לה ויקרא השרש הב'
|
We write it in the rank that precedes the [rank] of the first root.
|
ונכתבהו במדרגה הקודמת לשרש הראשון
|
We further seek for a number, such that twice its product by the first and the second roots plus once by itself is enough to be subtracted from the rank that precedes [the rank of] the second root and from the two that precede it; it is called the third root.
|
עוד אח"ז נבקש מספר שיספיק העולה מהעולה מהכאתו עם השרש הא' והב' פעמים ועם עצמו פעם אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת לשרש הב' ומהשתים הקודמת לה ויקרא השרש הג'
|
We write it in the rank that precedes the [rank] of the second root.
|
כתבנהו במדרגה הקודמת לשרש הב'
|
We seek again for a number, such that twice its product by the first, the second, and the third roots plus once by itself is enough to be subtracted from the rank that precedes [the rank of the third root] and from the three that precede it; it is called the fourth root.
|
עוד אח"ז תבקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הא' והב' והג' פעמים ועם עצמו פעם שיחוסר מהמדרגה הקודמת ומהג' הקודמת לה ויקרא שרש ד'
|
We write it in the rank that precedes the [rank] of the third root.
|
וכתבנוהו במדרגה הקודמת לשרש הג'
|
And so on always until the subtracted rank is the first rank.
|
וכן תמיד עד אשר תגיע שיהיה המדרג' הנחסרת המדרגה הראשונה
|
The numbers that are written beneath the ranks are themselves the root.
|
והמספרים הכתובים תחת המדרגות הם השרש בעצמם
|
But, if there is a remainder from the required number that cannot be divided, know that the required number does not have a root.
|
ואולם אם נשאר מהמספר הדרוש בלתי מתחלק דע שהמספר הדרוש הוא בלתי נגדר
|
Approximating the root of a non-square number
|
|
The way of knowing the approximate root is that you add to the required number whatever even number of zeros you wish, then apply this same procedure itself, until you come to subtract from the first rank, as I write:
|
והדרך בידיעת שרש הקרו' הוא זה שתוסיף על המספר הדרוש איזה זוג תפרש שתרצה ותנהיג זה הדרך בעצמו עד שתגיע לחסר מהמדרג' הראשונה כזה שאני כותב
|
Exammple:
- the solving procedure is not given, but it seems that it is based on the following calculations:
- Hence the root is 18891 and the remainder is 119
|
0 2 3 |
0 9 04 38 92 56 |
00 17 74 40 03 87 |
21 92 69 00 |
1 29 00
|
1 |
8 |
8 |
9 |
1
|
|
Then, multiply the result by sixty and again by sixty, until the number of zeros at the beginning of the product is half the number of the zeros that were added, and the denominator of the result is the number of times that it is multiplied by 60.
|
אח"ז תכה היוצא בששים והעולה בששים עד שיהיו תפארש שבראש טור העולה בהכאת כמות חצי התפראש הנוספות והעולה יהיה איכותו במספר הפעמים שהוכה בס'
|
I.e. if it was multiplied once, they are minutes.
|
ר"ל אם הוכה פעם אחת הם ראשונים
|
If twice, they are seconds.
|
ואם ב' פעמים הם שניים
|
If three times, they are thirds.
|
ואם ג' פעמים הם שלישים
|
If four, they are fourths.
|
ואם ארבעה הם רביעים
|
Then, erase the zeros [that were added in the first step] from the resulting number and divide what remains by sixty; the result is raised by one rank.
|
אח"ז השלך מהמספר העולה מהמספר הכאת הספראש והנשאר תחלקהו על ששים והיוצא יעלה מדרגה א'
|
I.e. if they are fourths, the result is thirds and the remainder that cannot be divided are fourths. Keep them.
|
ר"ל שאם היו רביעיי' היוצא היה שלישים והנשארים בלתי נחלקם הם רביעיים ושמרם
|
Divide also the result of division, which are thirds, by 60; the result are seconds and the remainder that cannot be divided are thirds. Keep them.
|
עוד חלק היוצא מהחלוק שהם שלישים על ס' והיוצאים בחילוק הם שניים והנשארים בלתי נחלקים הם שלישיים ושמרם
|
Divide also the result of division, which are seconds, by 60; the result are minutes and the remainder that cannot be divided are seconds. Keep them.
|
עוד חלק היוצאים בחלוק שהם ב' על ס' והיוצא בחלוק הם ראשונים הנשארים בלתי נחלקי' הם שניים ושמרם
|
Then, divide the minutes by 60; the result are degrees, i.e. integers and the remainder are minutes. So, the result are degrees, minutes, seconds, thirds, and fourths.
|
אח"ז חלק הראשונים על ס' והיוצא הם מעלות ר"ל שלמים והנשארים הם ראשונים וככה הוא היוצא מהמעלות והראשונים והשניים והשלישים והרביעיים
|
The Roots of Fractions
|
שרש השברים
|
If its numerator and its denominator have a root, take the root of its numerator and relate it to the root of its denominator.
|
אם היה כמותם ואכותם נגדר תקח גדר כמותם ותיחסהו לגדר אכותם
|
-
|
כגון ד' תשעיות
|
- The root of 4 is two; the root of 9 is 3; so, the root of 4-ninths is two-thirds.
|
גדר הד' שנים וגדר הט' ג' א"כ גדר הד' תשעיות הם שני שלישיות
|
If its numerator and its denominator do not have a root, or only its denominator, multiply the denominator by itself, then multiply the numerator by the denominator and relate it to the first product.
|
ואם אכותם וכמותם בלתי נגדר או איכותם לבד תכה האיכות בעצמו ותכה הכמות עם האיכות ותיחסהו לההכאה הראשונה
|
Apply the same method: take the root of the numerator, i.e. the product of the numerator by the denominator, if it has an integer root, or approximately, if it does not have an integer root, and relate it to the root of the product of the denominator by the denominator and this is the approximate root.
|
ותעשה זה הדרך בעצמו שתקח גדר הכמות ר"ל שהוא הכאת הכמות עם האיכות שהוא כמות הכאת האיכות עם האיכות אם יש לו גדר שלם או על דרך קרוב אם אין לו גדר שלם ותיחסהו לגדר העולה מהכאת האיכות עם האיכות וזהו השרש הקרוב
|
If its numerator alone does not have a root and its denominator has a root, take the approximate root of the numerator and relate it to the denominator.
|
ואם כמותם לבד בלתי נגדר ואיכותם הוא המספר הנגדר קח שרש הקרוב לכמות ותיחסהו אל האיכות
|
If there are integers and fractions, decompose the integers to fractions, then relate [the numerator] to the denominator according the same preceding method.
|
ואם היה שלמים ושברים תתיך השלמים עד שיהו שברים ותיחסם אל האיכות על דרך בעינו שהקדמנו
|
Then, we write a third cube root at the place of the preceding line, to be multiplied by the product of the first and second [cube roots] together by 3 multiplied by the product of the first the second and the third cube roots together, so that [the result] is subtracted from the second [digit] and its preceding digits. We also cube the third cube root and subtract the product from the number that is above it and its preceding digits.
|
אח"ז נכתו' במקום הקו הקודמת יסו' ג' שיוכה עם העולה מהכאת הראשון והב' יחד עם מספר הג' והעולה עם היסוד הראשון והב' והג' ויחוס' מהמרב' הב' עם עזר המדרגות הנמשכים לו גם נכה היסוד הג' באופן מעוקב והעולה נחסרהו מן המספר שעליו עם עזר המספרים הקודמים לו
|
And so on in that order.
|
וכן תמיד בסדר הזה
|
Approximating the root of a non-cubic number
|
|
When we reach the rank of units, but there are digits that are still left of the required number and you want to know its approximate cube root, we add to the ranks that precede the units three zeroes or six, or nine, or as many as you wish, as long as you add them in threes.
|
וכאשר הגענו אל מדרגת האחדים ממנו ונשארו מספרים על המספר הדרוש ותרצה לדעת עוד יסודו הקרוב נוסיף על המדרגו' המונחות מצד האחדים ג' סיפראש או ששה או ט' או מה שתרצה לבד שתוסיפהו ג'ג'
|
Then, we apply the preceding method for finding the cube root until reaching the first rank of the zeroes.
|
ואח"ז נעשה מה שקד' מהדרך למציאות היסוד עד שתגיע למדרגה הראשונה מהסיפראש
|
We take all the cube roots, arrange them in one line according the ranks, and erase one third of the number of zeros [added in the first step].
|
אח"ז נקח כל היסודות ונסדרם בטור אח' על סדר המדרגות ונשליך מהם במספר שליש הסיפראש
|
We take the integer cube roots; they are degrees.
|
[12]ונקח היסודות האחדות והם מעלות
|
Then, we multiply what remains by 60, erase three zeros from [the product] and take the remainder; they are minutes.
|
אח"ז נכה הנשלכים בס' והעולה נשליך מהם כמספר ג' הסיפראס ונקח הנשארים והם ראשונים
|
We proceed like this until all the zeros [added in the first step] are erased.
|
וכן נעשה תמיד עד שיכלה הסיפראש
|
Then, we sum up all and it is the approximate cubic root.
|
ואז נחבר הכל יהיה הוא היסוד הקרוב
|
Another method for a number that has no [integer] cube root
|
דרך אחר למספר שאין בו יסוד מעוקב
|
Add zeros as many as you wish, as long as they are added in threes.
|
שתוסיף סיפראש כמה שתרצה ובלבד שיהיו נוספים בתוספת ג'ג'
|
We apply the previous procedure until reaching the first zero.
|
ונשתמש עם הדרך הקודם בעינו עד שנגיע לסיפרא הראשונה
|
Afterwards, we take all the cube roots that are arranged beneath the required number, multiply them by 60, then the product by 60, and so on until the number of the zeroes that appear at the beginning of the resulting line is a third of the number of the zeroes [added in the first step].
|
אח"ז נקח כל היסודות המסודרות תחת מספר הדרוש ונכהו בס' והעולה בס' וזה עד שתהיינ' הסיפראש היוצאות בראש הטור העולה מההכאות בכמות שליש הסיפראש
|
We erase the zeros [added in the first step] and divide the result by 60. The remainder is [of the type] of the denominator of the divided fractions.
|
אח"ז נשליך הסיפראש ונחלק הנשאר על ס' והנשאר יהיה מאיכות השברים המחולקים
|
I.e. if it was multiplied only once, they are minutes.
|
ר"ל שאם הוכו פעם אחת לבד יהיו ראשונים
|
If twice, they are seconds.
|
ואם ב' שניים
|
If three [times], they are thirds.
|
ואם ג' שלישיים
|
The result is of the type that precedes the type of the dividend, i.e. if they were minutes, the result of division are degrees; if they were seconds, the result of division are minutes; and so on.
|
והיוצא הוא ממין הקודם למין ז' המחולקים ר"ל שאם היו ראשונים היוצא מהחלוקה מעלות ואם היו שניים היוצא מהחלוקה ראשונים וכן תמיד
|
Cubic Roots of Fractions
|
יסוד השברים המעוקבים
|
If the numerator and the denominator are cube numbers, take the cube [root] of the numerator and relate it to the cube [root] of the denominator.
|
אם הכמות והאיכות מעוקב תקח מעוקב הכמות ותיחסהו אל מעוקב האיכות
|
If they are not cube numbers, or the denominator alone is not a cube number, we cube the denominator and multiply the numerator by the product of the denominator by itself, then we relate the cube root of the second reserved, which is the product of the numerator by the product of the denominator by itself, to the first reserved, which is the cube of the denominator.
|
ואם אינם מעוקבים או האיכות לבד בלתי מעוקב נכה האיכות בדרך עקוב ונכה הכמות עם העולה מהכאת האיכות בעצמו אח"ז ניחס יסוד השמור הב' שהוא הכאת הכמות עם העולה מהכאת האיכות בעצמו אל השמור הראשון שהוא העולה מהכאת האיכות בדרך עקוב
|
If the denominator is a cube, we look for the approximate cube root of the numerator and relate it to the cube root of the denominator.
|
ואם איכותם נעקב נבקש יסוד הכמות הקרוב והיוצא ניחסהו אל מעוקב האיכות
|
- I.e. if its cube [root] is 3, the ratio is a third and so on.
|
ר"ל שאם היה מעוקבו ג' היה היחס הוא השליש וכן תמי'
|
If there are integers and fractions together, we decompose the integers to fractions, then proceed according to the previous method.
|
ואולם בשלמים ושברים יחד נתיך השלמים לשברים ונעשה הדרך הקודם בעינו
|
Divisibility of a Number
|
|
3; 6; 9
|
|
To know if a certain number has a third, a sixth, or a ninth without fractions [= if 3, 6, or 9 are divisors of the number]:
|
לידע אם יש שלישי' או ששי' או ט' מספר מה מבלי שברים
|
First, you should know if it has a ninth, and this is known by summing the numerals of the number as if they were units.
|
תדע ראשונה אם יש לו תשיעי' וזה יודע כשתחבר רשמי מספר החשבון כאלו הם אחדים
|
If it is cast out by nines, it is known that is has a ninth, as well as a third [= divisible by 9 and 3].
|
ואם יושלך לט"ט בידוע שיש לו תשיעיות וג"כ שלישי'
|
Also a sixth, if the number is even [= divisible by 6], but not if it is odd.
|
וג"כ ששית אם המספר זוג ואם נפרד לאו
|
If 6 or 3 remain, it has a third [= divisible by 3], and, if it is an even number, a sixth also [= divisible by 6], but not a ninth [= not divisible by 9].
|
ואם ישארו ו' או ג' יהיה לו שלישי' וג"כ ששית אם הוא זוג אבל לא תשיעית
|
2; 4; 8
|
|
If you wish to know if it has a half, a quarter, or an eighth [= if 2, 4, or 8 are divisors of a the number]:
|
ואם תרצה לידע אם יש לו מחצית או ד' או שמינית
|
If the number is odd, it does not have any of them [= not divisible by 2, 4, or 8].
|
אם חשבון נפרד אין לו שום אחד מהם
|
If it is even, it has a half [= divisible by 2].
|
ואם זוג בידוע שיש לו חצי
|
To know if [it also has] a quarter and an eighth:
|
ולידע אם לא ג"כ רביעית ושמיני'
|
- Take the number that is in the first rank to the right [= units] as it is.
|
קח המספר אשר במעלה הראשונה לצד ימין כמו שהיא
|
- Double the one that is in the second [rank] [= tens], but if there is no number there, do not take any thing.
|
ואשר בשנייה כפול ואם אין שם מספר לא תקח כלום
|
- If the one that is in the third [rank] [= hundreds] is an odd number, multiply it by 4, if it is an even number or a zero, do not take any thing.
|
ואשר בשלישית אם הוא נפרד כפלהו בד' ואם הוא זוג או סיפרא לא תקח כלום
|
- From the [fourth] rank onward leave [the digits] and do not take any thing. Sum up all that you have gathered up to the third rank according to this procedure.
|
וכן מהמעלה הג' ולמעלה תניח אותו לא תקח כלום וקבץ כל מה שקבצת עד המעלה הג' עד"ז
|
|
|
If it is cast out by eights it has an eighth [= divisible by 8], the more so a quarter [= divisible by 4].
|
אם יושלך באלו לח' יש לו שמינית וכ"ש רביעי'
|
If 4 remains, it has a quarter [= divisible by 4] alone.
|
ואם ישארו ד' יש לו ד' לבד
|
If another number remains, it does not have even a quarter [= not divisible by 4].
|
ואם נותר מספר אחר אין לו אפי' רביעית
|
7
|
|
If you wish to know if it has a seventh [= if 7 is a divisor of a given number]
|
ואם תרצה לידע אם יש לו שביעי'
|
If has a few methods:
|
יש בזה דרכים
|
- The first is that you set these numerals 1, 3, 2, 6, 4, 5 by the order of the ranks, then multiply each of these numerals by its corresponding rank, consider all as units, and cast out the sevens. If it is cast out by sevens it has a seventh [= divisible by 7], otherwise it has none.
|
הראשון שתניח אלו האותיות א'ג'ב'ו'ד'ה' על סדר המדרגות חלילה ותכה כל א' מאלו האותיות במדרגה שכנגדה וחשב כל האחדים והשלך השביעיות ואם יושלך לז' יש לו שביעית ואם לאו לאו
|
- The second is that you multiply the leftmost digit by 3, add [the product] to what you find in the rank that precedes it and cast out the sevens, then multiply the remainder from casting out the sevens by 3, add [the product] to what you find preceding it, and so on repeatedly, up to the first rank. If it is cast out by sevens, it has a seventh [= divisible by 7].
|
הב' שתכה הרושם האחרון שלצד שמאל בג' וחברהו לאשר תמצא במעלה שלפניו ותשליכה לז' והנשאר תחברהו לאשר לפניו ותכה הנשאר מהשלכת השביעיו' בג' וחברהו לאשר תמצא לפניו וכן תמיד עד המדרגה הראשונה ואם יושלך ז'ז' יש לו שביעית
|
- If you do not find there any number but a zero, for every zero, multiply the remainder by 3, until all the zeros end and so on [the procedure continues as described].
|
ואם לא תמצא שם מספר כי אם סיפרא תכה הנשאר בג' וכן בכל ספרא וספרא תכה הנשאר בג' עד שיכלו כל סיפראים וכן תמיד
|
11
|
|
To know if it has an eleventh, i.e. if it is cast out by elevens [= if 11 is a divisor of a given number]:
|
ולידע אם לו י"א ר"ל אם יושלך לי"א
|
Subtract the leftmost [numeral] from the one that precedes it, then the remainder from the one that precedes the preceding and so on repeatedly.
|
תחסר האחרון שלצד שמאל מאשר לפניו והנשאר מאשר לפני פניו וכן תמיד
|
If all is cast out, it has an eleventh [= divisible by 11], otherwise it has none.
|
ואם יושלך הכל יש לו י"א ואם לאו לאו
|
If you do not find there a number, or if the digit is smaller than [the subtrahend], so that you cannot subtract from it, add 11 to it, then subtract from the total and so on [the procedure continues as described].
|
ואם לא תמצא שם מספר או מספר קטן ממנו שלא תוכל לחס' ממנו והנשאר תוסיף עליו הי"א ותחסר מהכל זה המספר וכן תמיד
|
13
|
|
If it has a thirteenth [= if 13 is a divisor of a given number]
|
אם יש לו י"ג
|
Multiply the last numeral by 3, cast out the thirteens, subtract the remainder from what you find in the preceding rank, then multiply the remainder by 3 again, cast out the thirteens, subtract the remainder from what precedes it, and so on until their end.
|
תכה הרושם האחרון בג' והוציאוהו י"ג י"ג והנשאר הוציאוהו מאשר תמצא במעלה אשר לפניו והנשאר כפלהו שנית בג' והוציאוהו י"ג י"ג והנשאר הוציאוהו מאשר לפניו וכן תמיד עד תכליתם
|
If all is gone, it is cast out by thirteens [= divisible by 13].
|
ואם יצא הכל יושלך לי"ג
|
If there is not enough in a certain rank, so that you do not find there enough to subtract as I have instructed you, add 13, then subtract from the sum what you should subtract, multiply the remainder by 3, cast it out by thirteens [the procedure continues as described] and if it is cast out, it has a thirteenth, otherwise it has none.
|
ואם יחסר בשום מעלה שלא תמצא שם די להוציא אשר צויתיך הוסיף י"ג והוציא מהנתחבר אשר עליך להוציא והנשאר כפלהו בג' והוציאוהו י"ג י"ג ואם יצא יש לו י"ג ואם לאו לאו
|
General technique
|
דרך כולל כל
|
Adding the leftmost digit to the second leftmost digit and casting out the [potential divisor] in question from the sum, then adding the remainder to the digit in the preceding rank as tens and casting out the [potential divisor] again from the sum, and so on
|
שתחבר המספר האחרון עם אשר לפניו בשתחברהו לעשרות והב' לאחדים ותשליכהו למספר אשר תרצה להשליכו והנשאר חשבהו לעשרות וחברהו לאשר תמצא במעלה שלפניו והוציאהו למספר אשר תרצה להוציא וכן תמיד על הסדר הזה
|
Geometric Shapes
|
|
Square
|
|
- If a square whose sides are ten by ten, for instance, and you wish to know its area or it diagonal.
|
אם מרובע נכון שיש בצלעיו עשר על עשר ד"מ ורצית לידע שטחו או אלכסונו
|
- Do as follows:
|
תעשה בזה הדרך
|
- Multiply the side by the other [side] and it is its area.
|
תכה הצלע עם חבירו כאח' וזהו שטחו
|
- Multiply the two sides each by itself and the root of the sum [of their products] is the diagonal.
|
ותכה הב' צלעות כל אחת בפני עצמו וגדר של מקובצם הוא האלכסון
|
- If you know the area, its root is the side.
|
ואם ידעת השטח גדרו והוא הצלע
|
- If you know the diagonal, the root of half its product by itself is the side.
|
ואם ידעת האלכסון גדר חצי הכאתו הוא הצלע
|
Rectangle
|
|
- A rectangle, whose sides are 10 in length and 5 in width, for instance.
|
אבל במרובע ארוך שיש לצלעיו י' באורך וה' ברוחב עד"מ
|
- When knowing its two sides, multiply them by each other and [the product] is its area.
|
בידיעת ב' צלעיו תכה זה עם זה כאחת זהו שטחו
|
- When knowing its area and its one side, divide the area by the known side; the result is the unknown side.
|
ובידיעת שטחו וצלע א' תחלק השטח על הצלע הידוע ויצא הצלע הנעלם
|
- When knowing its two sides, multiply each by itself and the root of the sum of [their products] is the diagonal.
|
ובידיעת ב' צלעיו ותכה זה בפני עצמו וזה בפני עצמו וגדר מקובצם הוא האלכסון
|
- When knowing the diagonal and its one side, subtract the product of the side [by itself] from the product of the diagonal [by itself], and the root of the remainder is the other side.
|
ובידיע' האלכסון וצלע א' תוציא הכאת הצלע מהכאת האלכסון וגדר הנשאר הוא הצלע האחר
|
On Measuring the Area of the Triangle
|
בשבירת המשולש
|
There are many ways, but what seems to be more general is what is clear from the words of Euclid the Wise in one proposition and by applying this proposition we will generate the required by the help of God.
|
יש דרכים רבים אבל מה שנ"ר יותר כולל הוא מה שנתבא' בכח דברי אקדידס החכם מתוך הקדמה אח' ובקיום זאת ההקדמה נוליד המבוקש בע"ה
|
It is that it is explained there that [the square] of the diagonal of the rectangle is equal to the sum of the squares of both sides when each is multiplied by itself.
|
וזה ששם נתבאר שקוטר המרובע ר"ל אלכסונו הוא כפל מרובע ב' הצלעים כשיוכה זה בפני עצמו וזה בפני עצמו הוא שוה להכאת האלכסון בעצמו
|
From this proposition it is clear to you that when there is a triangle of this form:
|
ובזה ההקדמה יתבאר לך כשיש משולש בצורה הזאת
|
|
|
We agree that it is equilateral and each side is 10.
|
ונסכים שהוא שוה הג' הצלעות ושיש בכל צלע עשר
|
Finding its area is by that you divide the triangle in your thought into two identical triangles.
|
הנה ידיעת שבריו הוא שתחלקהו במחשבתך לב' משולשים שוים
|
This is by drawing a straight line from vertex A and this line necessarily divides the line, i.e. line GB, into two halves.
|
וזה שתרשום בזוית א' קו ישר ובהכרח יחלוק הקו ר"ל קו ג"ב לשני חצאין
|
So, we know that one side is 5 and the hypotenuse is ten as given.
|
ובזה הרי ידענו שצלע אחד יש בו ה' והאלכסון עשר כפי מה שהונח
|
The extracting the other side, following from the proposition we have presented, is by that you subtract the product of the side [by itself] from the product of the hypotenuse [by itself] and the square of the remainder is the other side.
|
ובהוצאת הצלע האח' יתחייב כפי ההקדמ' שהנחנו שתוציא הכאת הצלע מהכאת האלכסון וגדר הנשאר הוא הצלע האחר
|
The quality of the conclusion is clear since the product of the diagonal [by itself] is equal to the sum of the products of both sides, each by itself.
|
ואיכות החיוב מבואר כיון שהאלכסון בהכאתו שוה להכאת שני צלעיו כל אח' בפני עצמו
|
Therefore, it necessarily follows that when you subtract the product of one side [by itself] from [the product of] the diagonal [by itself], the root of the remainder is the [other side].
|
א"כ יתחייב בהכרח כשתוציא הכאת הצלע האח' מהאלכסון שגדר הנשאר הוא האלכסו'
|
- We do so: we multiply 5 [by itself]; it is 25.
|
ועשינו כן שהכינו הה' והיה כ"ה
|
- We multiply 10 [by itself]; it is 100.
|
והכינו הי' והיה ק'
|
- We subtract 25 from 100; 75 remains.
|
חסרנו הכ"ה מהק' ונשארו ע"ה
|
- Its root is the other side.
|
וגדרם הוא הצלע האחר
|
- We look for its root by approximation, as according the easier and more accurate method that I have presented to you in the previous chapter. We find that its root is 8 and 2-quarters and 3-quarters of one-quarter.
|
בקשנו גדרם ע"ד הקירוב כמו שהודעתיך בשער הקידום הדרך היותו נקל כזו והיותר מדוייק ומצאנו ששרשם הוא הוא ח' וב' רביעיות וג' רביעיות רביעית
|
- We multiply it by 5, which is the one side; the result is 43 integers, one-quarter, and 3-quarters of a quarter, and this is the area of the triangle.
|
הכינום עם ה' שהוא הצלע הא' ויצא מ"ג שלמים ורביעי' וג' רביעיות רביעית והוא שטח המשולש
|
- Since the diagonal divides the rectangle into two halves, their half is half the triangle and the other half is half the triangle, i.e. the parts of the triangle, whose side we have divided at one vertex.
|
לפי שהאלכסון חולק המרובע לב' חצאים וחצי זהו חצי המשולש וחציו האחר הוא חצי המשולש ר"ל החלקים מהמשולש אשר חלקנו צלעו בזוית אח'
|
This is enough for the one who understands.
|
ודי למבין
|
- Example: the number 10 is divided into 7 and 3.
|
במשל הרי הי' נחלק לז' ולג'
|
- Twice the product of 3 by 10 is as twice the product of 3 by 7 plus twice the product of 3 by itself.
|
הנה הכאת הג' בי' ב' פעמים הוא הכאת הג' בז' ב' פעמים והכאת הג' בעצמו ב' פעמים
|
- Then, we multiply 7 by itself.
|
ואח"כ אנו מכין הז' בעצמו
|
- [The sum of these products] exceeds over the square of the whole by once the product of 3 by itself, therefore, we add it to the square of the whole in order that they will become equal.
|
נותר לנו על מרובע הכלל הכאת [15]הג' בעצמו פעם אחד לכן אנו מוסיפין אותו על מרובע הכלל כדי שישוו
|
- 7) Euclid, Elements, Book II, proposition 8: For any number divided into two parts as you wish, if you multiply the whole number by one of the parts four times, the sum of the product with the square of the other part is equal to the [square] of the whole number plus the one part
|
ז כל מספר שחלקת אותו לב' חלקים איך שקרה אם הכית המספר כלו עם חלק אח' מהם ד' פעמים וקבצת הכל עם מרובע החלק הב' הנשאר היה שוה להכאת מספרו החלק הנזכר כאשר תחברם יחד
|
- Proof: it is proven through two propositions -
|
המופת יתבאר בב' הקדמות
|
- The first: for any number divided into two parts as you wish, [the sum of] the product of one part by the whole number and the [square] of the other part is equal to the sum of the product of the other part by the whole number and the [square] of the one part.
|
אחת כל מספר שחלקת אותו לב' חלקים כי איך שקרה הנה הכאת החלק עם כל הכלל והחלק הנשאר בעצמו כאשר תקבצם שוה להכאת החלק הנשאר בכלל והכאת החלק הא' בעצמו כאשר תקבצם
|
- Example: the number 10 is divided into 7 and 3.
|
במשל הי' נחלק לז' ולג'
|
- [The sum of] the product of 7 by 10 and the product of 3 by itself is equal to [the sum of] the product of 3 by 10 and the product of 7 by itself
|
הנה הכאת הז' בי' והכאת הג' בעצמו שוה להכאת הג' בי' והכאת הז' בעצמו
|
- This is because the product of the part by the whole is as if you multiply [the part] by itself and with the other part that remains, for the whole is nothing but its parts.
|
וזה כי הכאת החלק בכלל הוא כאלו הכית אותו בעצמו ועם החלק האחד הנשאר כי אין הכלל זולת חלקיו
|
- Then, when we multiply the part that remains by itself, we carry out three products: the product of each part by itself and the product of one part by the other.
|
ואח"כ כשאנו מכין החלק הנשא' בעצמו הרי עשינו ג' הכאות הכאת כל חלק בפני עצמו והכאת החלק הא' באחר
|
- Likewise when we reverse this matter we do the same.
|
וג"כ כאשר הפכנו הענין זה בעצמו אנו עושין
|
- Example: because, the product of 3 by 10 is as 3 by 7 and by itself.
|
המשל כי הכאת הג' בי' הוא כאלו הג' בז' ועמו בעצמו
|
- And when we multiply 7 by itself, we carry out three products: the product of 7 by itself, the product of 3 by itself, and the product of 3 by 7.
|
וכשהכינו הז' בעצמם עשינו בזה ג' הכאות הכאת הז' בעצמו והכאת הג' בעצמו והכאת הג' בז'
|
- Also, when we multiply 7 by 10, then 3 by itself, we carry out these same three products: the product of 3 by itself, the product of 7 by itself, and the product of 3 by 7 and this is clear.
|
כן ג"כ כשאנו מכין הז' בי' ואח"כ הג' בעצמו אלו הג' הכאות בעצמם אנו עושין הכאת הג' בעצמם והכאת הז' בעצמם והכאת הג' בז' וזה מבואר
|
- The second proposition: for any number whose square is known and we want to know the square of another number, we add [to the known square] twice the product of difference [between the two numbers] by the number [whose square is] known plus [the square] of the difference.
|
ההקדמה הב' כי כל מספר שנודע לנו מרובעו ונרצה לידע מרובע מספר אחר הנה נוסף עליו הכאת התוספת במספ' הנודע ב' פעמים והתוספת בעצמו פעם אחת
|
- In the example: we know the square of 10 and we wish to know the square of 17.
|
במשל נודע לנו מרובע הי' ורצינו לידע מרובע הי"ז
|
- We multiply 7 by 10 twice and once by itself, then add [the sum] to the square of 10, and this is the product of 17 by itself.
|
הנה נכה הז' בי' ב' פעמים ועם עצמו פעם אחת ונוסיפהו על מרובע הי' והוא העולה מהכאת י"ז בעצמו
|
- The reason is that when we say 17 times [17] it is as if we say 10 times 17 and 7 times 17.
|
והסב' כשאנו אומרים י"ז פעמים הוא כאמרנו י' פעמים י"ז וז' פעמים י"ז
|
- And when we say 10 times 17 it is as if we say 7 times 10 and 10 times [10].
|
וכשאנו אומרים י' פעמים י"ז כאלו אמרנו ז' פעמים י' וי' פעמים ז'
|
- And when we say 7 times 17 it is as if we say 7 times 10 and 7 times 7.
|
וכשאנו אומרי' ז' פעמים י"ז כאלו אמרנום ז' פעמים י' וז' פעמים ז'
|
- We find in that four products: the product of 10 by 10, the product of 7 by 10 twice, and the product of 7 by itself.
|
נמצאו בזה ד' הכאות הכאת הי' בי' והכאת הז' בי' ב' פעמים והכאת הז' בעצמם
|
- When we have 10 times 10, it is less by twice the product of 7, which is the addition, by 10, whose square is known, and the product of 7, which is the addition, by itself.
|
וכשיש לנו י' פעמים י' חסר לנו הכאת הז' שהוא התוספת בי' שהוא המספר אשר נודע מרובעו ב' פעמים והכאת הז' שהוא התוספת בעצמו
|
- By this, the words of the mentioned proposition are understood: when you multiply the part four times by the whole, then the remaining part by itself, [the sum of the products] is equal to the [square] of the [whole] number plus the addition.
|
בזה יובנו דברי ההקדמה הנזכ' הנה כשהכית החלק בכלל ד' פעמים ואח"כ החלק הנשאר בעצמו שוה להכאת המספר והתוספת כשיחוברו
|
- This is because [the sum of] the product of the remaining part by itself, when it is added to the product of the one part by the whole, is the same as when we switch [the parts] and proceed vice versa.
|
וזה כי הכאת החלק הנשאר בעצמו כאשר יחובר אל הכאת החלק האח' בכלל שוה כאשר המירונו שנעשה ההפך
|
- Therefore, we take one of the four times that we have multiplied by the whole; three remain. Add the product [that we took] to the product of the remaining part by itself; it is as [the product of] the other part by the whole and [as if] we multiply the [first] part, by which we multiply the whole, by itself. Thus, they are the three products of the part by the whole, the product of the other part by the whole and the product of the first part by itself.
|
וא"כ הד' פעמים שהכינו בכלל נקח אחד מהם וישארו ג' ותחבר זאת ההכאת אל הכאת החלק הנשאר בעצמו הוא כאלו החלק האח' בכלל וזה החלק שאנו מכין אותו בכלל נכה אותו בעצמו וא"כ יש לו ג' הכאות החלק בכלל והכאת אחרת של החלק האחר בכלל והכאת החלק האח' בעצמו
|
Other Propositions
|
הקדמות אחרות
|
1) For parts whose products are equal, the ratio of a [product] to a [product] is equal to the ratio of a [part] to a [apr].
|
החלקים אשר כפליהם שוים הנה ייחס קצתם אל קצתם כיחס חלק קצתם אל קצת
|
Hence, it follows from this that, for any fraction, when its numerator and its denominator are multiplied the same number of times, [the result] is the same original fraction.
|
וא"כ יתחייב מזה שכל חלק מהשברים כאשר יכפל כמותו ואיכותו שוה הפעמי' הנה הוא השבר הראשון בעינו
|
Also, if you divide its numerator and its denominator into the same parts, then relate the quotient of the numerator to the quotient of the denominator, [the result] is the same original fraction.
|
וכן אם תחלק כמותו ואכותו לחלקים שוים ותיחס חלק הכמות עם חלק האיכות הוא השבר הראשון בעינו
|
2) the product of a fraction by a fraction is as we say: we take the fraction of the fraction.
|
ב הכאת השבר עם השבר הוא כאמרנו נקח השבר השבר
|
3) For any number multiplied by any number, the ratio of the multiplied number to the product is equal to the ratio of one to the multiplier.
|
ג שכל מספר נכפל בכפלים כמ' שיהיו המספר הנכפל יחסו אל המספר העולה מכפליו כערך הא' אל הכפלים שבו נכפל
|
- Such as the number 2, when it is multiplied by 3 and the product is 6. Its ratio to 6 is as the ratio of one to three, which is a third.
|
כמו מספר הב' שהוכה בג' ועלה ו' יחסו אל הו' כיחס האחד אל שלשה שהוא שליש
|
4) When you want to take any part of some fractions, we take the required part of the numerator of the given fractions and relate it to [their] denominator.
|
ד כאשר תרצה לקחת מהשברים מה חלק מה הנה נקח מכמות השברים המונחים לפני החלק הדרוש וניחסהו אל האיכות
|
- If you wish to take a third of 9-tenths, take a third of 9, which is 3, relate it to the denominator, which is ten; it is 3-tenths.
|
אם רצית שליש הט' עשיריות קח שליש הט' והם ג' יחסים אל האיכו' והם עשיריות יהיו ג' עשיריות
|
5) When you want to multiply given fractions by any multiples, we multiply the numerator and relate it to the denominator.
|
ה שכאשר תרצה לכפול שברים מונחים באיזה כפלים שיהיו נכפול הכמו' וניחסהו אל האיכות
|
- You wish to multiply 2-ninths by 3. Multiply 2 by 3; it is 6. Relate it to the denominator; it is 6-ninths.
|
רצית להכות ב' תשיעיות בג' תכה הב' בג' הם ו' יחסם אל האיכות יהיו ו' תשיעיות
|
6) Euclid, Elements, Book VII, proposition 17: For any number multiplied by two numbers, the ratio of the two products one to the other is equal to the ratio of the two numbers one to the other.
|
[16]ו כל מספר יוכו בו ב' מספרים יחס השטח האחד אל האח' כיחס הב' מספרים בעצמם הא' מהם אל הב'
|
7) Euclid, Elements, Book VII, proposition 19: For any four proportional numbers, the product of the first by the fourth is equal to the product of the second by the third.
|
ז ד' מספרים מתיחסם הכאת הראשון בד' שוה להכאת הב' בג'
|
8) Euclid, Elements, Book II, proposition 1: For any number multiplied by any number, their product is equal to [the sum of] the products of the multiplied number by each part of the multiplier number, divided into parts as you wish.
|
ח כל מספר יוכה עם מספר מה איזה מספר היה הנה העולה מהם שוה לעולה מהכאת המספר המוכה עם כל אחד מחלקי המספר המכה על איזה חלקים שיחלק
|
A short paragraph – philosophical observation concerning the meaning of the mean term:
|
|
Reminder: the mean with regard to itself is not opposing, but with regard to its quality it is opposing to each of the extremes. It is hidden as the center of the circle for those who know geometry. It is mean in relation to us, but not in relation to the thing, therefore it is hidden. For, the mean in relation to the thing is known to the geometricians and the improvement is by removing the less from the extreme. You cannot measure it through a general way, but by the divine holy Torah that cannot be measured by the human intellect and this is true anyway.
|
זכירה האמצעי בבחינתו בעצמו אינו נגדיי ובבחינות טובו הוא נגדיי לא' מהקצוות והוא נסתר כמו מרכז העגולה אף ליודעי חכמת השיעור והוא האמצעי בערך אלינו ולא בערך הדבר ועל כן הוא נסתר כי האמצעי בערך הדבר ידוע לבעלי חכמת השיעור והתיקון בהרחיק מהקצווי הפחות ולא תשער זה ע"ד כולל זולת התורה האלהית הקדושה שאינה משוערת מהשכל האינושי וזה אמת על כל פנים
|