קצור המספר

	‫קצור המספר מהרב ר' יהודה ן' בירגה
Prologue
Commercial and social needs of arithmetic:
Since the selling of lands in the land of Israel depends on the number of the years after Jubilee [Leviticus 25, 14-16] and the redemption of the Hebrew maid [depends] on the number of years before the seventh [year] [Maimonides, Mishneh Torah, Sefer Qinyan, Hilḵot ʽAvadim 4, 6], so a person should study arithmetic lest a person would [cheat] his fellowman.	אחר אשר מכירת הקרקעות בארץ תלויה במספר שנים אחר היובל וכן אמה העבריה בפריון במספר שנים קודם השביעי הנה ראוי לאדם להתחבר בחכמת המספר לבל יונו איש את עמיתו
I write it for you in outline form:	אכתוב לך בו ראשי פרקים
Discussion on the nature of one
I say that the one that is without essence is equivalent to the being; hence, it belongs in actu to the ten categories and its meaning is in the nature of each category.	ואומר כי האחד אשר הוא חוץ לנפש הנה הוא נרדף לנמצא ולזה ימצא בפועל במאמרות העשרה ויהיה הוראתו בטבע מאמ' מאמ‫'
The [one] that is in essence belongs to the category of quantity.	ואשר הוא בנפש הוא מאמ' הכמות
It follows necessarily that that which is in essence exists in actu and that which is without essence is in potentia.	והנה בהכרח שמה שימצא בנפש בפועל שיהיה מציאותו חוץ לנפש בכח
The possibility of acting [exists] since every essential act, which does not exist without essence at all, is a fictitious act, and this is the potentiality.	והאפשרות לפחות כי כל פועל נפשי אשר לא ימצא חוץ לנפש כלל הנה הוא פועל בדוי וזה הכח
The possibility in things is their potentiality to be separated in thought, due to their diversity, and their potentiality to be summed in thought, due to the similarity of things.	והאפשרות בדברים הוא הכח אשר בהם להתפרד במחשבה מפני חלוף ענין נמצא בו וכן כח בהם להתחבר במחשבה מפני דמיון מה שימצא בדברים
Indeed, when the essence is separated, the one is compared to what is apart of it, i.e. this thing is limited individual in itself within something of the rest of the beings, as it is said: My dove, my undefiled, is but one [Song of Songs 6, 9].	אמנם כאשר תפריד הנפש הנה יהיה האחד נאמ' בהקש אל אשר הוא חוץ ממנו כלומ' זה דבר מוגבל ונפרד בפני עצמו בדבר מה משאר הנמצאות בענין שנאמ' אחת היא יונתי תמתי‫
When the essence is summed, the one is with regard to its parts, i.e. all these parts are one and a whole in some sense, as it is said: the tabernacle may be one [Exodus 26, 6].	וכאשר תחבר הנפש הנה יהיה האחד נאמ' בהקש אל חלקיו כלומ' אלה החלקים כלם הם אחד ושלם בצד מה כענין שנאמ' והיה המשכן אחד‫
The commentators understood the meaning of the verse about the unity ["Hear, O Israel: the LORD our God, the LORD is one", Deuteronomy 6, 4] according to the first case, because they understood that these names indicate the Cause of all causes.	והנה המפרשים הבינו פי' הפסוק הייחוד כפי העניין הראשון לפי שהם הבינו כי אותם השמות רומזים לסבת הסבות כלם
The Kabbalists, who agreed that they allude to the abundance emanated from Him, the Exalted, by the Sefirot and the attributes, explained it according to the second case.	אמנם המקובלים שקבלו כי הם רומזים לשפע מושפע מאתו ית' בספירות ותארי מדות פירשו אותו כפי הענין השני
Indeed, the unity of the Cause of all causes, as it has no possibility of being divided to various things, for it is not compound, nor being summed, for it has no similar to be summed with, thus, this unity is indivisible and cannot be increased.	ואמנם אחדות סבת הסבות כלם הנה למה שאין בו אפשרות להתחלק לדברים שונים כי אינו מורכב ולא להתחבר כי אין דומה לו להיותו מתחבר עמו הנה אותו האחדות אינו מתחלק ואינו מתרבה ואין כח בנפש לפעול בו זה
Therefore, it is said about Him in the Zohar: Thou are one, but not in number.	ולזה נאמ' עליו בזוהר אנת הוא אחד ולא בחשבון‫
However, the unity of the existences is by Him, the Exalted.	ואמנם אחדות הנמצאות מאתו ית‫'
Since every existence of them is somewhat similar to at least one other existence, as they exist […] they have the potentiality to increase and be multiplied through their unity.	לפי שכל נמצא מהם יש לו דמיון מה עם נמצא אחד לפחות בהיותם נמצאים אפי' שיהיה זה בהם בקדימה ואיחור הנה באחדותם כח להתרבות ולהכפל
Since they are one, although in their essential form they are separate and distinct from each other, and because they have some diversity, they have the potentiality to be divided and separated, even though they are one in form.	ולהיותם למספר אחד אע"ף שבצורתם העצמית יהיו נפרדים ונבדלי' וגם לפי שבהם חילוף מה יש בהם כח להתחלק ולהפרד אע"ף שהם אחדים בצורה בו
Definition of Number
Therefore, the number counts all things, as the number ten, for example counts 10 people but also 10 horses.	לזה המספר מונה כל הדברים כי הי' מהמספר ד"מ ימנה לי' מהאנשים וכן ימנה לי' מהסוסים
Hence, the number is a sum of undetermined units;	והנה המספר הוא קבוץ אחדים בלתי רמוזים
the essence is its agent and the units are its subject.	והיה הנפש כפועל לו והאחדות כנושא
Numeration
Since sometimes the measurement becomes measured and the number numbered, people count with their fingers, and the fingers are ten as the number of the countings.	ולפי שלפעמים תשוב הממד‫ מדוד והמספר ספור ויקרה לאנשים שימנו באצבעותיהם והיה האצבעות עשרה כמספר הספירות
The ranks as multiples of ten: Thus, All people have agreed to make from ten one rank [kelal = a multiple of ten], ten times is the second rank, ten times the second rank is the third rank, and so on summing ten [times] of the preceding rank always generates [the succeeding] rank.	הנה כל האנשים הסכימו לעשות עד עשרה כלל אחד ועשרה פעמים זה כלל שני ‫ועשרה פעמים הכלל השני כלל שלישי וכן תמיד מהרכבת העשרה מהכלל הקודם יולד כלל אחד
This is the order of the ranks: units, tens, hundreds, thousands, tens of thousands, hundreds of thousands, thousands of thousands, tens thousands of thousands, hundreds thousands of thousands, thousands thousands of thousands, and so on endlessly.	וסדר הכללים הוא זה אחדים עשרות מאות אלפים עשרת אלפים מאת אלפים אלף אלפים עשרת אלפי אלפים מאת אלפי אלפים אלף אלפי אלפים וכזה עד אין קץ
Arranging the ranks in triples: They formed from every three ranks [kelalim = products of ten] one order [= seder], for in three we find a beginning, a middle, and an end.	והנה עשו מכל ג' כללים סדר אחד לפי שבשלשה נמצא התחלה ואמצע ותכלית
The arithmetical opperations
Definition of the addition operation: The essential act of summing the separates is the first arithmetical [operations] called addition	ואמנם [מפעל]‫ הנפש בהחבר הנפרדים היה מין אחד מהמספר שנקרא הקיבוץ
Definition of the subtraction operation: The essential act of separating is the second of the arithmetical [operations] called subtraction	ומפועל הנפש בהפרדה היה מין שני מהמספר שיקרא המגרעת
Definition of the multiplication operation: The essential act of multiplying is the third of the arithmetical [operations] called multiplication	ומפועל הנפש בהכפיל הדברים היה מין שלישי מהמספר שיקרא הכפילה
Definition of the division operation: The essential act of separating the multiples is the fourth of the arithmetical [operations] called division	ומפועל הנפש בהפריש הכפלים נמצא מין ד' והוא החלוקה
The essential act of multiplying multiples or their parts by a certain number as multiplying by another number is a fifth type which is proportions	ומפועל הנפש בהכפל כפלים או חלקיהם על מספר מה כאשר תכפול על מספר אחר היה מין ה' והוא הערכין
The essential act of separating multiples as the number of units in each multiple is a sixth type which is roots	ומפועל הנפש בהפריש הכפלים במספר האחדים אשר בכל כפל נמצא מין ששי שנקרא השרשים
Those are the types [of arithmetical operations]	ואלה המינים
They either deal with integers which from this aspect all numbers are of one types called integers	אם שיהיה עסקם במספרים שלמים ומזה הצד כלם סוג אחד ויקרא השלמים
Or deal with fractions of numbers, which are all of one type called fractions	ואם שיעסקו בשברי מספרים ויהיו כלם סוג אחד ונקרא שברים
The [fractions] are called a type of [operation] by itself - so there are seven types [of operations]	וכבר קראו לזה מין בפני עצמו ושלמו בו במספר ז' מינים

Chapter One - Addition
The first type is addition - the meaning is to sum two or three numbers or more and calculate their sum.	המין הא' בקיבוץ הכוונה בו לקבץ ב' מספרים או ג' או יותר לידע סכום מניינם
Written Addition
Description of the procedure:
Every rank of them should be arranged beneath its similar: units beneath units, tens beneath tens and so on for the rest.	והנה ראוי שיסודרו כל כלל מהם תחת הכלל הדומה לו כיצד אחדים תחת אחדים ועשרות תחת עשרות וכן השאר
Then, you start to sum all units and write [their sum] at their place.	ואחר תתחיל לקבץ האחדים כלם ותכתבם במקומם
If [their sum] yields tens: sum them with the tens, if there are any.	ואם יעלו מהם עשרות תקבצם עם העשרות אם היו שם עשרות
If [their sum] yields tens and hundreds: sum the tens with the tens and the hundreds with the hundreds.	ואם יעלו מהם עשרות ומאות תקבץ העשרות עם העשרות והמאות עם המאות
If there are neither tens nor hundreds, write [the units] alone.	ואם אין שם עשרות ומאות תכתבם בפני עצמן
This while considering the tens that resulted from the units as if they were units in the rank of the tens, as you consider the tens as units in their rank and the hundreds that resulted [as units] in the rank of the hundreds.	וכל זה בשערך העשרות שעלו מהאחדים כאלו הם אחדים בתוך מדרגת העשרות כמו שאתה משער העשרות לאחדים במדרגתם וכן המאות שעלו מהם בתוך מדרגת המאות
Example: we wish to sum up one thousand ninety-nine with nine thousand sixty-seven. $\scriptstyle1098+9067$	ויהיה המשל בזה רצינו לקבץ אלף ותשעים ושמונה עם תשע אלפים ושישים ושבעה
[Illustration of the procedure:] 1098 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8+7}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{5}}}$ 1098 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{green}{1}}{\color{red}{+9+6}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}}$ 1098 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{green}{1}}{\color{red}{+0+0}}={\color{blue}{1}}}$ 1098 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1+9}}={\color{blue}{10}}}$  1098 9067 9067 9067 9067  9067    5   65  165 10165
We start from the units and say: eight plus seven are fifteen. $\scriptstyle{\color{blue}{8+7=15}}$	והנה החלונו באחדים ואמרנו שמונה ושבעה הרי הם חמשה עשר
We write the five units beneath the units and consider the ten as if its is one in the tens.	נכתוב החמשה אחדים תחת האחדים והעשרה נחשוב אותו כאלו הוא אחת בתוך העשרות
We sum it with the nine and the six tens, the result is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{1+9+6=16}}$	ונקבץ אותו עם התשעה והששה עשרות ויעלו ששה עשר
We write the six in the rank of the tens and we write the ten tens by themselves in the rank of the hundreds, considering them as if they are one. i.e. one hundred.	נכתוב הששה במדרגת העשרות והעשר שהוא עשר עשרות נכתוב אותו בפני עצמו במדרגת המאות ונחשוב אותו כאלו הוא אחת ר"ל מאה אחת
We further sum the thousands, they are ten.	עוד נקבץ האלפים והיו עשרה
Since there are no units of thousands, we write a zero in their rank and the ten in their rank.	והנה לפי שאין שם אחדי אלפים נכתוב במדרגתם סיפרא ונכתוב העשר במדרגתם עוד נקבץ האלפים יהיו עשרה תכתוב עשרה במדרגתם
Eventually [the final result is] as in this diagram	והיו שם לאחר הכל כמו שהוא בצורה הזאת
	1 0 9 8  9 0 6 7 1 0 1 6 5
Methods of checking
Subtraction: If you did it correctly, when you subtract one of the original numbers from the sum, the result will be the other number.	ואם עשית ‫אמת בזה הנה כשתגרע אחד מהמספרים הראשונים מהמקובץ יצא המספר האחר
For the way of any thing that is compound of simples is that when you find one of the simples by itself, the other will necessarily be found by itself as explained in philosophy [in physics].	כי כן דרך כל מורכב מפשוטים כי כשתמצא הפשוט האחד בעצמו הנה בהכרח שימצא השני בפני עצמו כמו שנתבאר בפילוסופיא [בחכמה הטבעית]‫
Casting out by 9: There are those who seek for a proof if they were wrong in summing the numbers, by casting out the summed numbers 9 by 9 and keeping the remainder and so will remain from the resulting sum after casting out its numerals 9 by 9.	‫[ויש מי שבקש מופת לדעת אם טעה בקבץ המספרים בהשליך אותיות הנקבצים ט'ט' והחזיק בנשאר וככה ישאר בכלל העולה אחרי השליך אותיותיו ט'ט‫'
From the upper line nothing is left, for it was casted out by 9. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1098\equiv_90}}$	כיצד מן השטה העליונה לא נשאר דבר כי הלכו להם ט'ט‫'
From the bottom line 4 remain. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{9067\equiv_94}}$	ומן השטה התחתונה נשארו ד‫'
From the total sum 4 remain as well. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10165\equiv_94}}$	והנה ג"כ נשארו ד' מהכלל העולה
The reason for this is that the sum of two digits is the same as casting out nines from each rank.	והטעם בזה הוא כי אין קבוץ שני המספרים יחד דבר אחר זולתי השליך הם תשיעיות שהם ממין אחד
When we sum 8 and 7 of the units, they are 15. We write five in the units and with the one of the tens they are 6. Thus, we subtract 9 from the 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+7\right)-9=15-9=6=5+1}}$	כיצד כשקבצנו הח' והז' מהאחדים והיו ט"ו הנה כתבנו באחדים חמשה ועם העשרות אחד הרי ו' והפלנו מהט"ו ט‫'
Likewise, when we sum the tens, the result is 16. We write six in the tens and one in the hundreds. Thus, we subtract 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+9+6\right)-9=16-9=6+1}}$	וכן כשקבצנו העשרות ועלו י"ו הנה כתבנו בעשרות ששה ובמאות אחד והפלנו ט‫'
	וכן כשקבצנו האלפים העלנו תשעה וכתבנו א‫'
Therefore, the difference between the summed numbers and the resulting rank are these nines alone and when they are subtracted the same remains.	והנה א"כ אין הפרש בין המספרים הנקבצים [ו]הכלל העולה זולתי אלה התשיעיות וא"כ והפיל אותם ישארו שוים
For, when equals are subtracted from equals, equals remain. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=b\longrightarrow a-c=b-c}}$	לפי שמהשוים כשנפיל שוים ישארו שוים
Hence, when we subtract the nines from the units, tens and hundreds an so on of the summed numbers, then we subtract [the nines] from the resulting sum, the remainders should be equal.	הנה כשנפיל עוד התשיעיות הנקבצים מהאחדים והעשרות והמאות וכו' מהמספרים הנקבצי' וכן נפיל אותם הכלל העולה כמו כן הנה ראוי שיהיה השאר בהם שוים
From this rule you also understand the reason of the subtraction.	ומזה המשפט תבין הטעם ג"כ בגרעון
For, when the subtracted number and remainder are summed, the resulting sum is equal to the subtrahend. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a-b=c\longrightarrow b+c=a}}$	כי המספר הנגרע והמספר הנשאר מקובצים ישתוו למספר אשר גרעת ממנו
Thus, the subtraction is potentially inverse operation to addition.	וא"כ הנה הגרעון מתהפך לקבוץ בכח
The reason for casting out by 9 as a check of a multiplication procedure: In the multiplication the reason is that any product of nines is a sum of nines.	ובכפילה הנה הטעם הוא כי התשיעיות בכל מספר שיוכפלו יעלה מהם תשיעיות
Therefore, what remains from the multiplied numbers is exactly the resulting product of the excess of one of the numbers over nine by the excess of the other number [over nine] and this is what should remain from the total product after casting out the nines. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{r_a\times r_b\equiv r_{a\times b}}}$	וא"כ לא ישאר במספרים הנכפלים אלא מה שיעלה מכפילת העודף על תשיעיות בזה המספר בעודף במספר השני וזהו מה שראוי שישאר בכלל העולה מהכפילה אחר הפלת תשעיותיו
From the multiplication rule you understand the reason of division, for they are inverse operations, like the addition and subtraction.	וממשפט הכפילה תבין הטעם בחלוקה כי שניהם מתהפכים בענין הקבוץ והגרעון]‫

Chapter Two - Subtraction
The second type is subtraction - when we wish to subtract a number from a greater number.	המין הב' במגרעת הנה כשנרצה לגרוע מספר ממספר יותר ממנו
Written Subtraction
Description of the procedure:
First, we arrange each rank beneath its similar.	נסדרם תחלה כל מדרגה תחת הדומה לה
Then, we start to subtract from the rank of units.	ונתחיל לגרוע ממדרגת האחדים
If the units of the greater number [= the subtracted] are more than the units of the smaller number [= the subtrahend], we subtract the units of the smaller numbe from them and write the remainder beneath their rank.	והנה אם האחדים אשר במספר הגדול היו יותר מהאחדים אשר במספר הקטן נגרע מהם אחדי המספר הקטן והשאר נכתוב אותו תחת מדרגתם
If vice versa, we take one from the units of the tens of the greater number [= the subtracted] and dissolve it into units, so they are ten plus the units of the greater number, then we subtract from them the units of the smaller number. We write the remainder beneath their rank, and the remaining tens of the greater number are lacking the one that we took from them.	ואם היו להפך הנה אז נקח אחד מאחדי העשרות מהמספר הגדול ונתיכהו לאחדיו ויהיה לעשרה עם אחדי המספר הגדול ואז נגרע מהם אחדי המספר הקטן ונכתוב השאר תחת מדרגתם והנה אז ישארו עשרות המספר הגדול חסרים האחד אשר לקחנו מהם
If there is no ten in the rank of tens to take as one ten in the units and there is a hundred in the rank of hundreds, we take one hundred and dissolve it into tens, which are ten in the rank of tens, then we take from them one ten, so that nine remain there. We write them there and place the ten that we took as units, then we subtract from them the units of the smaller number.	ואם אין במדרגת העשרות שום עשר לקחת ממנו עשר אחד לשום על אחדיו ויש במדרגת המאות שום מאה הנה נקח משם מאה ונתיך אותו לעשרותיו שהם עשרה במדרגת העשרות ונקח מהם עשר אחד ונשארו שם תשעה ונכתוב אותם שם והעשר שלקחנו מהם נשים אותו על אחדיו ואז נגרע מהם האחדים של מספר הקטן
Example: we wish to subtract fifty-nine from one hundred and seven. $\scriptstyle107-59$	ויהיה המשל בזה רצינו לגרוע ממאה ושבעה חמישים ותשעה
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{10-1=}}{\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{17-9}}{\color{blue}{8}}\\\end{align}}$  9  $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{9-5=}}{\color{blue}{4}}}$  9  107 107 107  59  59  59   8  48
Since the seven is not enough to subtract the nine from it, and we do not find any ten in the rank of tens of the greater number, we take its hundred, so they are ten in the rank of tens, then we take one of them to the rank of units and nine remain there. We subtract nine from the seven plus ten and eight remain.	הנה לפי שאין בו בשבעה לגרוע ממנו התשעה וגם לא מצינו במדרגת העשרות של מספר גדול שום עשר הנה נקח המאה אשר לו ויהיה לעשרה במדרגת העשרות ונקח מהם אחד לשום על האחדים ונשארו שם תשעה ואחר גרענו מהשבעה עם העשרה תשעה ונשארו שמונה
We subtract the five tens of the smaller number from the 9 that are left in the rank of tens and four remain beneath them.	עוד נגרע מהט' שנשארו במדרגת העשרות החמשה עשרות של מספר הקטן ונשארו תחתיהם ארבעה
From the hundred there is nothing left, as we have already converted it into tens.	ואמנם המאה לא נשאר מהם דבר כי כבר עשינו אותו עשרות
So the total remainder is forty eight.	א"כ הנשאר מן הכל הוא ח' וארבעים
Method of checking
Addition: If you calculate correctly, when you turn to sum the two bottom numbers, i.e. the subtrahend and the remainder, the result is the third number, which is the greater number from which we have subtracted [= the subtracted].	ואם עשית חשבון אמיתי בזה הנה כשתשוב לקבץ שני המספרים התחתונים ר"ל המספר אשר גרענו והמספר הנשאר יעלה המספר השלישי והוא הגדול אשר גרענו ממנו

Chapter Three - Multiplication
The third type is multiplication - the meaning is to multiply a number by units, or by units and tens, or by units, tens and hundreds of another number and so on endlessly.	המין הג' בכפילה הנה הכוונה בזה לכפול מספר מה במספר אחדי מספר אחד או אחדים ועשרות או אחדים ועשרות ומאות וכן אפשר שתוסיף עד אין תכלית
Written Multiplication
Description of the procedure:
When you wish to multiply them, arrange them according to their ranks.	והנה כשתרצה לכפול אותם תסדרם במדרגתם [כמשפט]‫
Start multiplying the number that you wish to multiply, rank by rank, by the number of the units that are in the other number.	ותתחיל לכפול המספר ההוא שרצית לכפול אותו כל מדרגה ומדרגה ממנו כמספר האחדים אשר במספר האחר
If tens are also resulted from the multiplication of its units, write the units in their rank and the tens with the tens, considering them as units in the rank [of tens].	ואם מכפילת אחדיו יעלו גם עשרות אז תכתוב האחדים במדרגתם והעשרות עם העשרות אחר שתחשבם לאחדים בתוכם
If hundreds are also resulted from the multiplication of the units by tens, write the tens in their place and the hundreds in the rank of hundreds, considering them as units among them.	וכן תעשה אם מכפילת האחדים [בעשרות]‫ יעלו גם מאות תכתוב העשרות ‫במקומם והמאה בתוך המאות בחשבך אותו לאחדים בתוכם
Multiplying by units
Example: we wish to multiply eight hundred sixty-nine by the six units of another number. $\scriptstyle869\times6$	והנה המשל בזה רצינו לכפול שמונה מאות וששים ותשעה במספר אחדי ששה שיש במספר אחר
[Illustration of the procedure:]   6 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6\times9}}=5{\color{blue}{4}}}$   6 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times6\right)+5}}=4{\color{blue}{1}}}$  6 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times8\right)+4}}={\color{blue}{52}}}$    6 869 869 869  869   4  14 5214
We start multiplying from its units and say: six times nine are 54. $\scriptstyle{\color{blue}{6\times9=54}}$	ונתחיל לכפול מאחדיו ונאמר ששה פעמים תשעה הם נ"ד
We write the 4 and keep the 5 [tens], considering them as 5.	נכתוב הד' ונשמור הה' ונחשוב אותם לה‫'
Then, we multiply the six by sixty that are considered as six in their rank, the result is 36. We add to them the five that we got from the fifty, the result is 41. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\times6\right)+5=36+5=41}}$	ואחר נכפול הששה בששים שהם במדרגתם נחשבים לששה יעלו ל"ו נחבר אליהם החמשה שחשבנו אותם מהחמישי' ויעלו מ"א
We write the one in the rank of tens and keep the 40, considering them as 4.	נכתוב האחד במדרגת העשרות ונשמור המ' ונחשוב אותם לד‫'
Then, you multiply the 6 by 8 hundred that are considered as eight in their rank, the result is 48. We add to them the 4 that we kept, the result is 52. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\times8\right)+4=48+4=52}}$	ואחר תכפול הו' בח' מאות אשר במדרגתם הם נחשבים לשמונה ויעלו מ"ח נחבר אליהם הד' ששמרנו ויעלו נ"ב
We write the two in the rank of hundreds followed by the fifty in the rank of thousands, considering them as five there, as it is in this diagram:	נכתוב השנים במדרגת המאות והחמישים אחריהם במדרגת אלפים בחשבנו אותם שם לחמשה כמו שהוא בזאת הצורה
If multiplying by units and tens of a certain number:	ואמנם אם היה הכפילה במספר אחדים ועשרות של מספר מה
As if you say: we multiply these eight hundred sixty-nine by the units and the tens of forty-six. $\scriptstyle869\times46$	כאלו תאמ' שרצינו לכפול הח' מאות וששים ותשעה במספר אחדים ועשרות של ארבעים וששה
[Illustration of the procedure:]  46 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6\times869}}={\color{blue}{5214}}}$   46 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times9\right)}}=3{\color{blue}{6}}}$   46 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times6\right)+3}}=2{\color{blue}{7}}}$   46 $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times8\right)+2}}={\color{blue}{34}}}$    46 869  869  869  869   869 5214 5214 5214  5214     6   76  3476
First we multiply them by the 6 units, as we did above, and write the result - each rank in its place.	הנה נכפול אותם בתחלה בכמו הו' האחדים כאשר עשינו בתחלה ונכתוב העולה כל מדרגה ומדרגה במקומה
Then, we multiply them again by forty, considering them as 4 in their rank.	ואחר נשוב לכפול אותם בארבעים אחר חושבנו אותם לד' במקומם
We start from the nine units, the result is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{4\times9=36}}$	ונתחיל מהט' אחדים ויעלו ל"ו
We write the 6 beneath the one that was obtained at first from the multiplication by the six.	ונכתו' הו' תחת האחד שהיה בכפילת הששה בתחלה
Since the product of units by tens, when multiplying the 6 of 46 by the sixty of 869, equals the product of tens by units, when multiplying the 40 by 9.	וזה לפי ששוה הוא כפילת אחדים בעשרות שהיה כפילת הו' מהמ"ו בשישים מהתתס"ט לכפילת עשרות באחדים שזהו כפילת המ' בתשעה
But, in this multiplication you do not find units, because the product of tens by any number are tens and upward.	ובכפילה הזאת לא תמצא אחדים לפי שכפילת עשרות בכל דבר יעלו עשרות או יותר
We keep the 30 of the 36.	ונשמור הל' מהל"ו
Again, we multiply the 40 by 60, considering them as units in their rank, the result is 24. We add the 3 of the 30, the result is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times6\right)+3=24+3=27}}$	ונשוב לכפול המ' בס' ובחשבנו אותם אחדים במקומם יעלו כ"ד נחבר ג' מהשלשים יעלו כ"ז
We write the 7 that are hundreds beneath the two that was in this rank at first.	נכתוב הז' שהם מאות תחת הב' שהיו באותה מדרגה בתחלה
Twenty remain, which are two, we keep them.	וישאר עשרים שהם שנים ונשמור אותו
We further multiply the forty by 6 hundred, considering them as units, the result is 32. We add to them the two of the twenty that we kept, the result is 34. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times8\right)+2=32+2=34}}$	נכפול עוד הארבעים בח' מאות בחשבנו אותם לאחדים ויעלו ל"ב ונחבר אליהם שנים מהעשרים ששמרנו ויעלו ל"ד
We write the 4 beneath the 5 in the rank of thousands followed by the thirty that are considered as 3.	תכתוב הד' תחת הה' מהאלפים והשלשים אחריהם חשובים לג‫'
Then, sum all according to the rule; the result is 39 thousand, nine hundred and seventy-four.	ואחר תקבץ הכל כמשפט ויעלו ל"ט אלף ותשע מאות ושבעים וד‫'
Do the same if the ranks are multiple.	וכזה תעשה אם המדרגות יהיו רבות
Method of checking
Division: If you it calculate correctly, when you divide the resulting product by whichever of the numbers that were multiplied by each other, the resulting quotient is the second [multiplied] number.	ואם עשית אמת בזה הנה כשתחלוק היוצא על כל אחד מהמספרים הנכפלים זה על זה יצא השני
Calculating the number of ranks in a product of two numbers
And if you wish to know up how many ranks will the ranks of the product rise, count the ranks of both multiplied numbers and sum them together, then subtract one rank.	ואם תרצה לדעת עד כמה מדרגות יעלו מדרגות הכפילה הנה מנה מדרגות שני המספרים הנכפלים זה עם זה ותקבצם יחד והסר מדרגה אחת
Since the [rank of] units does not raise [the count of the ranks in the product]	לפי שהאחדות אינו מרבה דבר
The remainder are the ranks of the number resulted from the multiplication.	והנשאר הם יהיו מדרגות המספר היוצא מהכפילה
Special case: If the result of the multiplication of the last ranks of the multiplied numbers and the ranks that are next to them is greater than ten, then the total number of the ranks in the product equals the sum of the numbers of ranks of both multiplied numbers without subtracting any rank from it.	ואמנם אם יתחבר מהמדרגות האחרונות מהנכפלים בהכאתם ומהמדרגות הסמוכות להם עד עשרה הנה אז המדרגות העולות מהכפילה יהיו כמספר מדרגות ‫שני המספרים הנכפלים זה על זה מבלי הסר מהם שום מדרגה

Chapter Four - Division
The fourth type is division	המין הד' בחלוקה
Dividing a large number by a smaller one
The first meaning of dividing integers is to divide a large number by a number smaller than it, in such a way that each [digit] of the small number is given an equal part.	הכוונה הראשונה בו בחלוקה בשלמים לחלק מספר גדול על מספר יותר קטן ממנו בענין שיגיע לכל אחד מהמספר הקטן חלק שוה לאחר
Written Division
Description of the procedure:
The procedure is as follows:	והמעשה בזה יהיה כן
Arrange both numbers by their ranks successively as the rule.	סדר שני המספרים במדרגתם זה תחת זה כמשפט
If the last digit of the greater number [= the dividend] is greater than the last digit of the smaller number [= the divisor]:	והנה אם האות האחרונה שבמספר הגדול יותר כוללת מהאות האחרונה של מספר הקטן
Start the division from it, i.e. from the last digit of the greater number by the last digit of the smaller number and give to it as many times as you can.	תתחיל בחלוק ממנה ועליה ר"ל מהאות האחרונה של מספר גדול על האות האחרונה של מספר הקטן ותן לה ממנה היותר פעמים שתוכל
But, leave spare, to complete the preceding digit [of the great number], if needed for the digit that precedes the last of the smaller number.	ובלבד שתשאיר בה להשלים עמו מהאות הסמוכה לה לאות הסמוכה לאחרונה מהמספר הקטן אם יצטרך לו
Also, if there are more digits, [spare should be] left in it, or in the second to it, if needed for the third to the last of the smaller number.	וכן אם יהיה שם יותר [אותיות]‫ שישאר בה או בשנית לה להשלים עמו באות השלישית ממנה לאחרונה אשר מהמספר הקטן אם יצטרך אליו
Example: we wish to divide eight hundred and twenty-two by two hundred and seventy-eight. $\scriptstyle823\div278$	והנה המשל בזה רצינו לחלק שמונה מאות ועשרים ושלשה למאתים ושבעי' ושמונה
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{8-\left({\color{blue}{2}}\times2\right)=4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-2=}}{\color{green}{2}}\\\end{align}}$ 2   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{22-\left(2\times7\right)=8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-2=}}{\color{green}{6}}\\\end{align}}$ 26  $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{23-\left(2\times8\right)=}}{\color{green}{7}}}$ 267 823 823 823 823   2   2   2   2 278 278 278 278 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle2\ the\ result\\&\scriptstyle267\ the\ remainder\\\end{align}}}$
We start from the last digit of the greater number, which is 8, to divide it by the last digit of the smaller number, which is two.	והתחלנו מהאות האחרונה של מספר הרב שהוא ח' לחלקו על האות האחרונה מהמספר המעט שהוא שנים
We should have given it four, but when we give it so, there is not enough in the digit preceding the last [digit] of the larger number, which is two, for the digit preceding the last [digit] of the smaller number, which is seven.	והנה מן הדין היה שיתן לו ארבעה אלא כשנתן לו ככה מהאות הסמוכה לאחרונה מהרב שהוא שנים לאות הסמוכה לאחרונה מהמעט שהוא שבעה הנה לא יהיה בו די
The intention is that all will receive equal parts, therefore we do not give the two a four from the 8, nor do we give it three.	והכוונה היתה שיקבלו כלם חלקים שוים על כן לא נתן מהח' לשנים ארבעה ולא ג"כ נתן לו שלשה
Because even though the two, with what is left of the eight, which is two units, which are considered twenty-two, is enough to give each of the sevens a three, and there will be one left there: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20+2\right)-\left(3\sdot7\right)=22-21=1}}$	לפי שאע"ף שיספיק השנים עם מה שישאר מהשמונה שהם שנים אחדים שיהיו נחשבים לעשרים ושנים לתת לשבעה לשלש לכל אחד וגם ישאר שם אחד
The three in the larger number will not be enough to give the 8 of the smaller number a three for each of them.	הנה לא יהיה די בשלש מהמספר הרב לתת לח' מהמספר המעט שלש לכ"א מהם
Even if the one that is left above the two will be lowered to it, so they will become 13, because three times eight, which is 24, is greater. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+3\right)=13<24=\left(3\sdot8\right)}}$	ואפי' שיוריד אליו האחד הנשאר על השנים ויהיו י"ג לפי שיותר שלשה פעמים שמונה שהוא כ"ד
Therefore, we give the two only two from the 8 and we write them in the first rank.	על כן לא נתן מהח' לשנים אלא שנים ונכתוב אותם במדריגה הראשונה
One should count the ranks of the divisor backwards from the last rank of the dividend.	לפי שראוי למנות מדרגות המספר אשר נחלק [עליו מהמדרגה האחרונה מהמספר אשר נחלק]‫ ממנו למפרע
If there is enough to divide it by the last digit of the smaller number, as 8 is enough to be divided by the two:	אם היה בה מספר די לחלק ממנו על המספר האות האחרונה מהמספר המעט כמו שיש בכאן בח' די לחלק על השנים
You write the result of division where [the count of the ranks] ends.	ובמקום שיכלה שם תכתוב מה שיעלה בחלוקה
If what is written on that last rank is not enough to be divided by the number in the bottom rank, so that you have to shift it from its place and consider it as tens in the rank next to it, in order to divide it, then you count from the rank that is second to it, i.e. from the digit next to it backwards, and you write the result of division where [the count] ends.	ואם אין די במה שכתוב במדרגה האחרונה ההיא לתת למספר אשר הוא במדרגה התחתונה ותצטרך להעתיק אותה ממקומה ולחשבה לעשרות במדרגה הסמוכה לה כדי לחלק ממנה הנה אז תמנה מהמדרגה השנית לה ר"ל מהאות הסמוכה לה למפרע ובמקום שיכלה שם תכתוב היוצא בחלוק
This way you know number of ranks of the result of division from the beginning of the division.	ומדרך זה תדע מתחלת החלוקה לכמה מדרגות יעלה היוצא בחלוק
Now, we complete the division procedure of the example we gave: we say that the result is already two. When we count the ranks of the divisor, from the last rank of the dividend backwards, they end in the first rank, which is the rank of units. So, we write the two there, beneath the 3 and above the 8, between them.	ועתה נשלים דרך החלוקה במשל ‫שהמשלנו ונאמר כי כבר יצא לנו בחלוק שנים וכשנמנה מדרגות הנחלק עליו מהמדרגה האחרונה מהמחולק למפרע הנה יכלו במדרגה הראשונה שהיא מדרגת האחדים על כן נכתוב שם השנים תחת הג' ועל הח' במה שביניהם
When we give two to each of the last two, the result is 4. We subtract it from 8; 4 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(2\sdot2\right)=8-4=4}}$	והנה כשנתן לשנים האחרונים שנים לכל אחד יעלו ד' נגרע אותם מהח' ישארו ד‫'
We give the same to the seven; the result is 14.	נתן כך לשבעה יעלו י"ד
Since the two next to the 8 is not enough for this, we take two from the 4 that remains from the 8 and we write the remaining two above the 8. $\scriptstyle{\color{blue}{4-2=2}}$	ולפי שאין בשנים הסמוכים לח' די לזה נקח מהד' שנשארו מהח' שנים והשנים הנשארים נכתבם על הח‫'
The two we take are considered as two above the two; the total is 22.	והנה השנים שלקחנו יהיו נחשבים לשנים על השנים ויהיו הכל כ"ב
We subtract 14 from it; 8 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20+2\right)-\left(2\sdot7\right)=22-14=8}}$	נגרע מהם הי"ד וישארו ח‫'
Again, we need to take two from this eight, to add to the 3; 6 remains. We write it above the two. $\scriptstyle{\color{blue}{8-2=6}}$	עוד נצטרך לקחת שנים מאלו השמונה לשום על הג' וישארו ו' ונכתבם על השנים
We lower the two we take to the 3; the total there is 23.	והשנים שלקחנו נורידם על הג' ויהיו שם הכל כ"ג
We subtract eight twice from it; seven remains. We write it above the three. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20+3\right)-\left(2\sdot8\right)=7}}$	נגרע מהם שנים פעמים שמונה וישארו שם שבעה נכתבם על השלשה
According to this you find that each gets two in the division and 267 is left to divide.	והנה תמצא בזה כי יצא לכל אחד בחלוקה שנים ונשארו לחלק רס"ז
Do the same, even if the ranks of the greater number [= the dividend] are numerous and the ranks of the smaller number are few, so there are two or three ranks in the result of division.	וכן תעשה גם שיהיו המספר הרב רבות ומדרגות המספר המעט מעטות עד שיצא בחלוקה שתים או שלש [מדרגות]‫
Yet, you should know that if you already divided a rank of the greater number, or even if you did not divide, but there is not enough in that rank to give, only by shifting it from its place, then write a zero in the [result of the] division, to indicate that there is nothing to divide in the rank of the dividend.	אלא שראוי שתדע שאם כבר חלקת משום מדרגה מהמספר הרב או אפי' שלא חלקת אלא שאין במדרגה ההיא כדי לתת ממנה אלא בהעתיק אותה ממקומה הנה תשים בחלוקה סיפרא לומ' שאין נמצא דבר במתחלק לחלק לאותה מדרגה
To train you, we give another example of this:	ולהרגילך בזה נמשיל עוד משל אחד בזה
Let the dividend be two hundred and four thousand six hundred and twelve, and the divisor be two hundred and eighty-nine. $\scriptstyle204612\div289$	ויהיה המספר המתחלק מאתים וארבעת אלפים ושש מאות ושתים עשרה והנחלק עליו מאתים ושמונים ותשעה
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{20-\left({\color{blue}{7}}\times2\right)=6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-6=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$ 00     $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{64-\left(7\times8\right)=8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-6=}}{\color{green}{2}}\\\end{align}}$ 002    $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{66-\left(7\times9\right)=}}{\color{green}{3}}}$ 0023   204612 204612 204612 204612    7      7      7      7      289    289    289    289
We could have given one from the upper two to the bottom two, but there will be nothing in the zero next to it to give to the 8 next to the bottom two.	והנה כבר היינו יכולין לתת משנים העליונים לשנים התחתונים אחד אלא שלא יהיה דבר בסיפרא [הסמוכה לו]‫ לתת לח' הסמוכה לשנים התחתונים
Hence, we should shift the two from their rank to the zero, so they are twenty.	וא"כ צריכין אנחנו להעתיק השנים ממקומם על הספרא ויהיו עשרים
We divide it by two, but we cannot give it ten, for the quotient should not exceed the units. Furthermore, we cannot give this number a nine nor eight, for there would not be enough in four to be divided by eight. So, we shoild give it seven.	ונחלק ממנו על השנים ולא נוכל לתת עשרה כי אין בחלוק יותר מאחדים ולא גם כן נוכל לתת בזה המספר לתת תשעה ולא עוד אלא ח' כי לא יהיה די בארבעה לחלק ככה לשמונה אבל ראוי שיתן שבעה
Since the number of the ranks of the divisor are three and when we count by their number backwards from the zero, to which the upper two was shifted, we reach the third rank, which is the rank of hundreds, the 7 that resulted from the division should be written there.	ולפי שמדרגות המספר אשר נחלק עליו הם שלשה וכשנמנה כמספרם למפרע מהסיפרא שהועתק אליו השנים העליונים יכלה אל המדרגה השלישית שהוא מדרגת המאות הנה ראוי לכתוב שם אלו הז' היוצאים בחלוקה
Then, we say that seven times two is 14. We subtract it from the twenty; six remains. $\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(7\sdot2\right)=20-14=6}}$	ואז נשוב ונאמר כי שבעה פעמים שנים הם י"ד נגרע אותם מהעשרים ישארו ששה
Since seven times eight is 56, the 6 that remains above the zero should be lowered to the 4 that is next to the zero.	ולפי ששבעה פעמים שמונה הם נ"ו ויצטרך הד' אשר אצל הסיפרא להוריד אליה הו' הנשארים על הסיפרא
We write zero above the zero, so there are 64 above the 4. We subtract the 56 from it and eight remains above the 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(60+4\right)-\left(7\sdot8\right)=64-56=8}}$	נכתוב סיפרא על הסיפרא ויהיו על הד' ס"ד נגרע מהם הנ"ו ישארו שמונה על הד‫'
Again, since 7 times 9 is 63, the 6 should be lowered from the 8 to the 6. Two remains there, we write it above the 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(60+6\right)-\left(7\sdot9\right)=66-63=3}}$	ועוד לפי שז' פעמים ט' הם ס"ג ‫ויצטרך הו' להוריד אליהם מהח' ו' הנה נשארו שם שנים ונכתבם על הד‫'
The 6 we lowered to the 6 are 66 there. We subtract 63 from it; 3 remains there. We write it above the 6.	והנה הו' שהורדנו על הו' יעלו לשם ס"ו נגרע מהם הס"ג ישארו שם ג' ונכתבם על הו‫'
We make a mark in the rank of the zero, to indicate that we have already divided there.	ונעשה סימן במדרגת הסיפר' לומ' שכבר חלקנו ממנה
Even though there is enough left there to divide, it is not appropriate to do so, except by lowering from that rank to the one that precedes it, especially when there is something left that is not enough to divide, or [when] nothing [is left] as it is here.	ואע"ף שהיה נשאר לשם די לחלק אין ראוי לעשותו אלא בהורידו מאותה מדרגה לסמוכה התחתונה ממנה כ"ש כשישאר דבר שאין בו די לחלק או לא דבר כמו שהוא בכאן
We divide again the 2 remaining above the 4 by the two below:	ונשוב לחלק מהב' שנשארו על הד' על השנים התחתונים
It would have been enough to give it one, but it would not be enough for the 3 next to it, to give the same to the 8 next to the two below.	ודי היה בהם לתת להם אחד אלא שלא יהיה די בג' הסמוכים להם לתת כמו זה לח' הסמוכים לשנים התחתונים
So, we should lower the upper two from its rank to the 3 next to it; they are 23 there.	ונצטרך להוריד השנים העליונים ממדרגתם על הג' הסמוכים להם והיו שם כ"ג
We write a zero next to the 7, to indicate that we did not find in the rank of the upper two anything to divide there.	ונכתוב סיפרא סמוך לז' לומ' לא מצאנו במדרגת השנים העליונים דבר לחלק משם
We make a mark beneath the 4 to indicate that we have already divided by the zero there, because we could not find more.	ונרשום סימן תחת הד' לומ' כבר חלקנו משם סיפרא כי לא מצאנו דבר יותר
We divide the 23 again by two: we cannot give it nine, let alone more, because there will not be anything left from the 23 to give with one to the eight.	‫[ונשוב לחלק הכ"ג לשנים והנה לא נוכל לתת תשעה וכ"ש יותר]‫ לפי שלא ישאר מהכ"ג להשלים עם האחד לשמונה
So, we give it eight; the result is 16. We subtract it from 23; 7 remains there. $\scriptstyle{\color{blue}{23-\left(8\sdot2\right)=23-16=7}}$	לכן נתן להם שמונה ויעלו י"ו נגרע אותם מכ"ג ישארו שם ז‫'
Since 8 times 8 is 64, we should lower the whole 7 to the one; a zero remains there above the 23.	ולפי שח' פעמים ח' הוא ס"ד נצטרך להוריד על האחד כל אותם השבעה וישאר שם סיפרא על הכ"ג
It becomes 71 above the one. We subtract 64 from it; seven remains there also. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(70+1\right)-\left(8\sdot8\right)=71-64=7}}$	ויהיו ע"א על האחד נגרע ס"ד מהם ישארו ג"כ שם שבעה
Since we have to lower it to the 2 for the 8 times 9, which is 72, we write zero above the 1 also.	ולפי שנצטרך להורידם על הב' לספק לח' פעמים ט' שהם ע"ב נכתוב סיפרא על הא' גם כן
After we have lowered it to the two and they become 72, we subtract 72 from it, which is the product of 8 times 9; nothing remains there. We write a zero above the two. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(70+2\right)-\left(8\sdot9\right)=72-72=0}}$	ואחר שהורדנו אותם על השנים והיו ע"ב נגרע מהם ע"ב מכפילת ח' פעמים ט' ולא ישאר גם כן שם דבר ונכתוב סיפרא על השנים
We have already divided the whole number and there is not even one left.	והנה כבר חלקנו כל המספר ולא נשאר עד אחד
We know it, since the ranks of the [result of] division reached the rank of units, and also because we have already divided the number of the six ranks into the number [of ranks] of the two [numbers] below and they are equal in [the number of] their ranks.	ונאמין זה לפי שהגיעו מדרגות החלוקה עד מדרגות האחדים וג"כ לפי שכבר חלקנו ממדרגו' מספר הששה למספר השנים התחתונים והם שוים במדרגתם
	ואין מקום לחלק עוד ממדרגה פחותה ממנה לשנים לפי שהם ממדרגה גדולה
	וזה כפי המכוון הראשון בחלוקה שאמרנו
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{23-\left({\color{blue}{8}}\times2\right)=7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7-7=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$   00   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{71-\left(8\times8\right)=7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7-7=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$   00   $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{72-\left(8\times9\right)=}}{\color{green}{0}}}$   00   0023   00230  002300 204612 204612 204612    708    708    708    289    289    289 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle708\ the\ result}}$
Method of checking
Multiplication: If you carry out the division correctly, when you multiply the 708 resulted in division by 2[8]9, the result is equal to two hundred and four thousand and 612 that you divided. $\scriptstyle708\times289=204612$	ואם עשית באמת החלוקה הנה כשתכפול התש"ח היוצאים בחלוקה על הרס"ט אשר חלקת עליהם יהיה העולה שוה למאתים וארבעת אלפים ותרי"ב שחלקת אותם
This is how you check every division you make. But, you should know that if there are any numbers left to divide in the divided number, you should sum them with the result from multiplication and then it will be equal to the divided number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{c\div a=b+r\longrightarrow c=\left(a\times b\right)+r}}$	ובזה תבחין כל חלוקה שתעשה אלא שראוי שתדע שאם נשארו לחלק שום מספרים על המספר הנחלק שראוי שתקבצם עם העולה מהכפילה ואז ישתוה למספר הנחלק
Casting out the nines: There are those who ask for proof to know if they made a mistake in summing the numbers by casting out the digits by nines and keeping the remainder, so that the same will remain from the total result after casting out its digits by nines.	ויש מי שבקש מופת לדעת אם תעה בקבוץ המספרים בהשליך אותיות [הנקבצים]‫ ט'ט' ואחזיק בנשאר וככה ישאר בכלל העולה אחרי השליך אותיותיו ט'ט‫'
So, there is nothing left from the first line, because they are cast out by nines.	כיצד מהשטה הראשונה לא נשאר דבר כי אם הלכו להם ט'ט‫'
From the bottom line there is 4 left.	ומהשטה התחתונה נשארו ד‫'
Then, 4 remains from the total result.	הנה א"כ נשארו ד' מהכלל העולה
The reason is that the sum of two numbers together is nothing but them without the nines, when they are of the same type:	והטעם בזה הוא כי אין קבוץ שני המספרים יחד דבר אחר זולתם השליך התשיעיות שהם ממין אחד
When we sum up 8 and 7 of the units, they are 15. We write five in the units and one in the tens, so we cast out 9 from 15. $\scriptstyle{\color{blue}{8+7=15\longrightarrow1+5=6=15mod9}}$	כיצד כשקבצנו הח' והז' מהאחדים והיו ט"ו ‫הנה כתבנו באחדים חמשה ועם העשרות אחד והפלנו מהט"ו ט‫'
Also, when we sum up the tens, the result is 16. We write 6 in the tens and 1 in the hundreds, so we cast out 9. $\scriptstyle{\color{blue}{1+6=7=16mod9}}$	וכן כשקבצנו העשרות ועלו י"ו הנה כתבנו בעשרות ו' ובמאות א' והפלנו ט‫'
Also, when we sum up the thousands, we cast out 9 and write 1.	וכן כשקבצנו האלפי' הפלנו ט' וכתבנו א‫'
The only difference between the summed numbers and the total sum is these nines.	והנה א"כ אין הפרש בין המספרים הנקבצים [לכלל]‫ העולה זולתי אלה התשיעיות
So, when the same is cast out, they stay equal. Because, when we cast out the same from equal ones, they stay equal.	וא"כ בהפיל אותם ישארו שוים שמהשוים כשנפיל שוים ישארו שוים
When we cast out the nines that are summed from the units, the tens, the hundreds etc. of the summed numbers, and we also cast them out from the total result, their remainders should be equal.	כשנפיל עוד התשיעיות הנקבצים מהאחדים והעשרות והמאות מהמספרים הנקבצים וכן נפיל אותם מהכלל העולה כמו כן הנה ראוי שיהיה הנשאר בהם שוים
From this rule you can understand the reason of subtraction also, because the sum of the subtrahend and the remainder is equal to the subtracted number.	ומזה המשפט תבין הטעם ג"כ בגרעון כי המספר הנגרע והמספר הנשאר מקובצים ישתוו למספר אשר גרעת ממנו
Therefore, subtraction is inverse of addition in potentia.	וא"כ יהיה הגרעון מתהפך לקבוץ בכח
The reason of multiplication is that the product of nines by any number is nines.	ובכפילה הנה הטעם הוא כי התשיעיות בכל מספר שיוכפלו יעלה מהם תשיעיות
So, the remainder from the multiplied numbers is only the product of the excess over the nines in one number by the excess over the nines in the second number and this is what should remain from the total result of multiplication after casting out its nines.	וא"כ לא נשאר במספרים הנכפלים אלא מה שעלה מכפילת העודף על תשיעיות בזה המספר בעודף מתשיעיות במספר השני וזהו מה שראוי שישאר בכלל העולה מהכפילה אחר הפלת תשיעיותיו
From the rule of multiplication you can understand the reason of division, because they are inverses, as matter of addition and subtraction.	וממשפט הכפילה תבין הטעם בחלוקה כי שניהם מתהפכים כענין הקיבוץ והגרעון
Dividing a small number by a larger one
The second meaning of division is to divide a small number by a number greater than it	הכוונה השנית בחלוקה לחלק מספר קטן על מספר גדול ממנו
Since it is [a division] of integers it is included in the [discussion of] integers, even though the resulting quotient is fractions.	כיון שזה בשלמים אע"ף שהחלוקה יצא בשברים נמצא זה בתוך השלמי‫'
We say that the people got used in this [kind of] division to multiply the smaller number by ten, then they divide the result by the larger number, if the product is greater than it, and the result of the division is tenths. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a<b\longrightarrow a\div b=\frac{1}{10}\sdot\left(10a\div b\right)}}$	ונאמ' כי האנשים הרגילו בחלוקה זאת לכפול המספר הקטן בעשרה והיוצא יחלקו על המספר הרב אם היוצא יותר ממנו והיוצא בחלוקה יהיו עשיריות
If multiplying by ten is not enough to divide by the greater number, or if there is something left to divide after multiplying by ten, then multiply it by ten again and the result is tenths of tenths and so on. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a<b\longrightarrow a\div b=\frac{1}{10}\sdot\left[\frac{1}{10}\sdot\left(10a\div b\right)\right]}}$	ואם אין די בכפול בעשרה לחלק על מספר הרב או אם ישאר דבר לחלק אחר הכפילה בעשרה הנה תכפול אותם עוד בעשרה ויהיה היוצא עשיריות של עשיריות וכן תמיד
The first example: we wish to divide 4 by fifty. $\scriptstyle4\div50$	ומשל לאחד רצינו לחלק ד' על חמישים
We convert it into tenths, but they are not enough. We decompose them to tenths again; they are 4 hundred. We divide them by fifty; each gets eight and they are tenths of tenths.	הנה עשינו אותם עשיריות עדין אין די נעשה אותם עוד עשיריות יהיו ד' מאות נחלקם על החמישים יצא לכל אחד שמונה והם עשיריות של עשיריות
$\scriptstyle{\color{blue}{4\div50=\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\sdot\left(4\sdot10\sdot10\div50\right)=\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\sdot\left(400\div50\right)=\frac{8}{10}\sdot\frac{1}{10}}}$
The second example: we wish to divide six by fifty. $\scriptstyle6\div50$	ומשל לשני רצינו לחלק ששה על חמישים
We convert it into tenths; they are sixty. We divide them by fifty; each gets 1 and ten remains.	עשינו אותם עשיריות היו ששים חלקנו אותם על החמישים יצא לכל אחד [א' וישארו שם עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{6\div50=\frac{1}{10}\sdot\left(6\sdot10\div50\right)=\frac{1}{10}\sdot\left(60\div50\right)=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\sdot\left(10\div50\right)}}$
We convert them into tenths again; they are one hundred. We divide them by fifty; each gets two and they are tenths of tenths.	נעשם עוד עשיריות ויהיו מאה נחלקם על חמישים יצא לכל אחד]‫ שנים והם עשיריות של עשיריות
$\scriptstyle{\color{blue}{6\div50=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\sdot\left(10\div50\right)=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\sdot\left(10\sdot10\div50\right)=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\sdot\left(100\div50\right)=\frac{1}{10}+\frac{2}{10}\sdot\frac{1}{10}}}$
Since this division is unnatural, I say that we divide the larger number by the smaller one and the resulting number is the name of the fraction resulting from the division. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a<b\longrightarrow a\div b=\frac{1}{b\div a}}}$	ואמנם לפי שהחלוק הזה בלתי טבעי אני אומר כי נחלוק המספר הגדול על הקטן והמספר היוצא יהיה שם השבר אשר יצא בחלוקה
Example: we wish to divide 4 by 12. $\scriptstyle4\div12$	המשל בזה נרצה לחלק ד' על י"ב
We reverse the rule and divide 12 by 4; the result of division is three. I say that the name of the fraction resulting from the division is a third.	הנה נהפך המשפט ונחלוק י"ב על הד' ויצא בחלוקה שלשה ואומ' כי שם שם השבר אשר יצא בחלוקה הוא שליש
Because, when we convert 4 into thirds, they are 12 thirds. When we divide them by 12, each gets a third. $\scriptstyle{\color{blue}{4\div12=\frac{12}{3}\div12=\frac{1}{3}}}$	וכן הוא כי כאשר נעשה הד' שלישים כלם יהיו י"ב שלישים וכשנחלקם לי"ב יעלו לכל אחד שליש
	וכזה בכל מה שיביאך אליו החלוקה
Dividing a number to unequal parts
The third meaning of division is to divide a certain number by another number of unequal parts	הכוונה הג' בחלוקה לחלק מספר מה על מספר אחר לחלקים בלתי שוים
For example: we wish to divide six hundred by three, so that the first gets double, the second triple, and the third quintuple. $\scriptstyle600=2a+3a+5a$	ויהיה ‫המשל בזה רצינו לחלק שש מאות על שלשה בענין שיצא לא' ביחס השנים ולשני ביחס השלשה ולשלישי ביחס הה‫'
We should sum up the ratios together; they are ten. We divide the six hundred by them; each gets sixty. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{600}{2+3+5}=\frac{600}{10}=60}}$	ואז ראוי שנקבץ היחסים כלם ויגיע מהם עשרה נחלוק עליהם השש מאות יצא לכל אחד ששים
We multiply it by two; the result is 120 and this is what is owed to the first. $\scriptstyle{\color{blue}{2a=2\sdot60=120}}$	נכפול זה ביחס השנים ויעלו ק"ך וזה מה שראוי לראשון
We multiply it by 3; the result is 180 and this is what is owed to the second. $\scriptstyle{\color{blue}{3a=3\sdot60=180}}$	עוד נכפול זה בג' ויעלו ק"פ וזה מה שראוי לשני
We multiply it by 5; the result is 300 and this is what is owed to the third. $\scriptstyle{\color{blue}{5a=5\sdot60=300}}$	עוד נכפול זה בה' יעלו ש' וזה מה שראוי לג‫'
Similarly, if we wish to divide them by 3, so that the first gets a half, the second a third, and the third a quarter. $\scriptstyle600=\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}a$	וכן אם אמרנו לחלקם על ג' ויהיה לראשון יחס החצי ולשני יחס השליש ולשלישי יחס הרביע
We look for a number that has all these fractions: we find it by multiplying [the denominator of] a half by [the denominator of] a third; it is 6; then this by 4; the result is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4=6\sdot4=24}}$	הנה נדרוש מספר ימצאו בו היחסי' כלם ונמצאהו כשנכפול החצי בשליש ויהיה ו' וזה בד' ויגיע כ"ד
We sum its half, its third, and its quarter; the result is 26.	ונקבץ החצי והשליש [והרביע]‫ ויעלו כ"ו
Then, we divide 6 hundred by it; each gets 23 and one part of 13. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{600}{\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)}=\frac{600}{26}=23+\frac{1}{13}}}$	ואחר נחלוק הו' מאות עליהם יצא לכל אחד כ"ג וחלק מי"ג
We take a half of 24, which is 12, and multiply it by 23 and one part of 23; the result is 276 and 12 parts of 13 and this is what is owed to the first.	ונקח חצי הכ"ד שהוא י"ב ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו רע"ו וי"ב חלקים מי"ג וזהו מה שראוי לראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}a=\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)\sdot\left(23+\frac{1}{13}\right)=12\sdot\left(23+\frac{1}{13}\right)=276+\frac{12}{13}}}$
We take also a third of 24, which is eight, and multiply it by 23 and one part of 23; the result is 184 and 8 parts of 13 and this is what is owed to the second.	עוד נקח שליש הכ"ד והם שמונה ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו קפ"ד וח' חלקים מי"ג וזהו מה שראוי לשני
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}a=\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)\sdot\left(23+\frac{1}{13}\right)=8\sdot\left(23+\frac{1}{13}\right)=184+\frac{8}{13}}}$
We take also a quarter of 24, which is 6, and multiply it by 23 and one part of 23; the result is 138 and 6 parts of 13.	עוד נקח רביע הכ"ד והם ו' ונכפול אותו בכ"ג וחלק מי"ג ויעלו קל"ח וו' חלקים מי"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}a=\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)\sdot\left(23+\frac{1}{13}\right)=6\sdot\left(23+\frac{1}{13}\right)=138+\frac{6}{13}}}$
When you sum up all, the result is 6 hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(276+\frac{12}{13}\right)+\left(184+\frac{8}{13}\right)+\left(138+\frac{6}{13}\right)=600}}$	וכשתקבץ הכל יעלו הו' מאות

Chapter Five - Proportions
The fifth type is on ratios.	המין הה' בערכים
The intention in it is to know the ratio of what is partly unknown, relying on our knowledge of another ratio the is similar to it.	הכוונה בו לדעת ערך מה שנעלם קצתו מפני ידיעתנו ערך אחר דומה לו בכללו
The Rule of Three
The ratio is found in actu between four terms. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_3:a_4}}$	והנה הערך ימצא בפועל בין ד‫' גבולים
As if you say that the ratio of 4 to 6 is as the ratio of 8 to 12. $\scriptstyle{\color{blue}{4:6=8:12}}$	כאלו תאמר ערך הד' אל הו' הוא כערך הח' אל הי"ב
Proportional Triad
It is found in potentia by three terms, when the two of them that are means are the same in actu. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_2:a_3}}$	וימצא [בכח]‫ בג' גבולים כאשר השנים מהם האמצעיים אחדים בפועל
As if you say that the ratio of 4 to 6 is as the ratio of 6 to 9. $\scriptstyle{\color{blue}{4:6=6:9}}$	כאלו תאמר כי ערך הד' אל הו' הוא כערך הו' אל הט‫'
The proportional triad as a special case of the rule of three, in which the two means are equal:
Thus, the mean is one name in actu, i.e. in form, but is numerous in potentia, i.e. as the number of the proportional numbers.	והנה האמצעי שם א' בפועל ר"ל בצורה רבים בכח ר"ל כמספר הנערכים
Therefore, the rule is applied on four proportional numbers, and the three proportional numbers are considered as four, as we have said.	לכן המשפט נעשה בד' נערכים ומשם יובן הג' נערכים שהם ד' כמו שאמרנו
The Rule of Three
When we know one ratio, as is you say: the ratio of 4 to 6; and from the other ratio we know one term and the other term is unknown, as is you say the 12 is unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{4:6=8:x}}$	והנה כשנודע לנו הערך האחד כאלו תאמר ערך הד' אל הו' ומהערך האחר נודע גבול אחד ונעלם גבול אחר ממנו כאלו תאמר שנעלם הי"ב
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}}}$
We multiply the second term of the first ratio, which is six, by the first term of the second ratio, which is 8; the result is 48.	הנה אז נכפול הגבול השני מהערך הראשון שהוא ששה בגבול הראשון מהערך השני שהוא ח' ויעלו מ"ח
We divide it by the first term, which is 4; the result of division is 12 and this is the sought after. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{6\sdot8}{4}=\frac{48}{4}=12}}$	נחלוק אותו על הגבול הא' שהיה ד' ויצא בחלוקה י"ב והוא המבוקש בו
We set 8 as the unknown from the second ratio. $\scriptstyle{\color{blue}{4:6=x:12}}$	נשים הנעלם מהערך השני הוא ח‫'
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}}}$
We multiply the first term of the first [ratio], which is 4, by the second term of the second ratio, which is 12; the result is 48.	הנה אז נכפול הגבול הראשון מהראשון שהוא הד' בגבול השני מהערך השני שהוא הי"ב ויעלו מ"ח
We divide it by 6; the result is 8 and this is the unknown sought after. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{4\sdot12}{6}=\frac{48}{6}=8}}$	נחלוק אותו על הו' ויצאו ח' והוא הנעלם המבוקש
Argumentation
The reason for that is:	והסבה בזה הוא
For every four proportional numbers, the product that is generated from the multiplication of the first by the fourth is equal to the product that is generated from the multiplication of the second by the third. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3}}$	כל ד' מספרים נערכים הנה המשוטח הבא מכפילת הראשון ברביעי שוה למשוטח הבא מכפילת השני בשלישי
Also, the area of every quadrilateral is the product of its sides one by the other.	ועוד כי תשבורת כל מושטח הוא בא מכפילת הצלעות זה בזה
Furthermore, for every quadrilateral that we know its area and one of its sides, its other side can be deduced by dividing the area by the known [side] and the result is the size of the unknown side as was explained in Euclid's [Elements, Book VII, definitions]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a\sdot b}{a}=b}}$	ועוד כל מושטח אשר ידענו התשבורת שלו וידענו צלע אחד מצלעיו הנה יודע הצלע האחר בחלקנו התשבורת ההיא על השטח הנודע ויצא מספר הצלע הנעלם כמו שיתבאר כל זה מהאוקלידיס
[= a composite number is the product of its divisors one by the other. If the composite number and one of its divisors are known, then the other divisor can be deduced]
Now, when we multiply the first, which is 4, by the fourth, which is 12, and the result is 48, we have a product that is equal to the other product that is generated from the second, which is 6, by the third, which is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot12=48=6\sdot8}}$	‫ועתה כאשר כפלנו הראשון שהיה ד' ברביעי שהיה י"ב ועלה מ"ח הנה לנו מושטח מה שהוא שוה למושטח הנעשה מהשני שהוא ו' בשלישי שהוא ח‫'
Therefore, the product of 6 by 8 is 48 and since the product of the first factor, which is 6, is known to us from this, we divide the product, which is 48, by it; the result is 8 and this is the second factor. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot12}{6}=\frac{48}{6}=8}}$	א"כ מושטח ו' בח' הוא מ"ח ולפי שנודע לנו מזה המושטח הצלע האחד שהוא הו' נחלוק עליו המושטח שהיה מ"ח ויצא ח' והוא הצלע השני ממנו נודע
Proportional Triad
Likewise in the other example of the three proportional numbers, for we know that the product that is generated from the first by the third is equal to the product of the second by itself. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=\left(a_2\right)^2}}$	וכן במשל האחר מן הג' מספרים הנערכים כי ידענו שהמושטח הבא מן הראשון בשלישי שוה למושטח השני בעצמו
For, if the first number, or the third, is unknown, we multiply the second by itself and we know the product of the first by the third. Then, we we divide the product by the first, if it is known, or by the third, if it is known, and we get the unknown. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_3}}}$; $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}}}$	כי הנה אם נעלם המספר הראשון או השלישי הנה נכפול השני בעצמו ונדע תשבורת הראשון בשלישי ונחלק התשבורת על הראשו' אם היה הוא נודע או על הג' אם הוא הנודע ויצא לנו הנעלם
If the second is unknown, we multiply the first by the third and we get the product of the second by itself. We look for the root of this product and this is the second number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}}}$	ואמנם אם נעלם השני הנה נכפול הראשון על השלישי ויצא לנו תשבורת השני על עצמו נבקש שורש אותו התשבורת והוא יהיה המספר השני

Chapter Six - Roots
The sixth type is on roots.	המין הו' בשרשים
Know that it is said that a number is a root of another number, if when you multiply it by itself, the result is the same as the other number no more and no less.	דע כי מספר שרשי למספר אחר יאמר כאשר תכפול אותו בעצמו ויעלה לכמו אותו המספר האחר בלא תוספת ומגרעת
It is said to be a square number if such a root number is found for it.	ויאמר מספר מרובע על מי שימצא לו מספר שרשי כזה
Know that every number is a root, but not every number is a square.	ודע כי כל מספר הוא שורש ואין כל מספר מרובע
The number of pairs of numbers between any two [consecutive] square numbers is equal to the number of squares before the last square of them.	אבל כל מספרים מרובעים זוגי מספר במספר כמספר המרובעים שעברו עד המרובע האחרון מהם
1 is a root of itself and a square of itself [$\scriptstyle{\color{blue}{1=1^2}}$] and 4 is a square number - between them there is one pair of numbers, which are [2] and 3 - as the number of the squares before [4], which is one.	כיצד הא' הוא שורש עצמו ומרובע בעצמו והד' הוא מספר מרובע הנה ביניהם זוגי מספרים שהם הא' והשלש כמספר המרובעי' שעברו שהיה הוא האחד
9 is a square number - between 4 and 9 there are two pairs of numbers, which are 5 and 6, 7 and 8 - as the number of squares before 9 that are two: 1 and 4.	עוד הט' הוא מספר מרובע והנה בין הד' והט' זוגי מספרים שנים והם הה' והו' והז' והח' כמספר המרובעים שעברו עד הט' שהם שנים והם הא' והד‫'
16 is a square number - between 9 and 16 there are three pairs of numbers, which are 10 and 11, 12 and 13, 14 and 15 - as the number of squares before 16 that are 3: 1, 4, 9.	עוד הי"ו הוא מספר מרובע הנה בין הט' והי"ו זוגי מספרים שלשה והם הי' והי"א והי"ב והי"ג והי"ד והט"ו כמספר המרובעים שעברו עד הי"ו והם ג' הא' והד' והט‫'
And so on.	וכן לעולם
Know also that the first square is an odd number; the second is an even number; the third is an odd number; the fourth is an even number; and so on.	ועוד דע כי המרובע הראשון הוא נפרד והשני זוג והשלישי נפרד והרביעי זוג וכן לעולם
This is as the property of their roots, because the root of an odd square is odd and the root of an even square is even.	וזה כענין שרשיהם כי שורש המרובע הנפרד הוא נפרד ושורש המרובע הזוג הוא זוג
When you multiply an odd number by an odd number the result is an odd number; and an even number by an even number the product is an even number.	וכשתכפול הנפרד בנפרד יעלה נפרד והזוג בזוג יעלה זוג
So, the order of the roots is always one odd number, one even number:	והנה סדר השרשים אחד נפרד ואחד זוג תמיד
For, the first is the root of one, which is an odd number; the second is the root of 4, which is an even number; the third is the root of 9, which is an odd number; and so on.	כי האחד שורש האחד והוא נפרד והשני שורש הד' והוא זוג והג' שורש הט' והוא נפרד וכן תמיד
Know also that the number of ranks of the root is half the number of ranks of its square plus half a rank.	עוד דע כי מדרגות השורש ראוי להיות בחצי מדרגות המרובע ועוד חצי מדרגה
For, we have already said regarding multiplication that we know number of ranks of the product of any number by a number by summing [the numbers of] their ranks minus one.	וזה כי כבר אמרנו בהכפלה כי נדע המדרגות העולות מכפילת כל מספר במספר בקבץ מדרגתם והסר מהם אחד
Since in [squares] the ranks of both multiplicands are the same, as it is the multiplicand [= the root] by itself, so the number of ranks of the root should be half the number of ranks of the square plus one rank of both [multiplicands], which is half a rank for each.	ולפי שבשרשים מדרגות הנכפלים שוים ‫לפי שהוא נכפל בעצמו ראוי א"כ להיות מדריגות השורש חצי מדרגות המרובע ועוד מדריגה אחת בשניהם שהוא חצי מדרגה לכל אחד
Therefore, it is impossible to seek for a root of a square with an even number of ranks, because there can be half a rank only for roots with an odd number of ranks, so that when we add the other [half] a rank, it will become a whole rank.	על כן לא יתכן לבקש שורש למדרגות שום מרובע כשיהיו זוגות כי לא יתכן להיות חצי מדרגה אלא בשרשים שמדרגתם נכפלים נפרדים שבחציים ימצא חצי מדרגה וכשנוסיף מדרגה אחרת ימצא בהם מדרגה שלימה
Hence, for any number whose number of ranks is even, the last digit of which should be lowered to the one that is next to it, so that the number of ranks will become odd; then [the sum of] half [the number of] the ranks, plus half a rank, will become a whole [number of] ranks, which are the ranks of the root.	וא"כ בכל מספר שמדרגתם זוגות ראוי להוריד האות האחרונה מהם לסמוכה לה ואז יהיו מדרגתם נפרדות ויהיו חצי מדרגתם עם החצי מדרגה שנוסיף מדריגות שלימות והם יהיו מדריגות השורש
We start counting from the highest rank [of the given number] back to the middle rank and there we write the highest rank of the root, which reaches up there.	והנה נתחיל למנות מהמדרגה העליונה עד חצי המדריגות למפרע ושם נכתוב המדריגה העליונה מהשורש ועד שם יגיע
Know also that when we calculate calculations of numbers, as closer we get to the simple numbers and the units, the more we know, compared to those that are farther away from them.	עוד דע כי כשנחשב חשבונות במספרים הנה כל מה שנקרב אל הפשוטים ואל האחדים יהיה יותר ידוע לנו מהמתרחקים מהם
Therefore, the addition of units to units is almost self-explanatory axiom.	ולזה חבור אחדים מה עם אחדים כמעט שהוא מושכל ראשון
However, this is not the case with the higher complex numbers because we need a technique to calculate them.	ואינו כן במספרים הרחוקים המורכבים כי נצטרך למלאכה לדעתו
So, when we seek to find the root of any square number, we should not look for the root of the whole, but of part by part until they are complete.	ולזה כשנתור לדעת [שורש]‫ כל מספר מרובע אין ראוי לנו לבקש השורש כלו ביחד אבל חלק אחר חלק עד תומם
Extracting roots - written procedure
Description of the procedure:
Therefore, first we start looking for the root of the digit in the highest rank, if their number is odd, and if their number is even, lower it to the preceding [rank] and it becomes tens there.	ולכן נתחיל לבקש תחלה השורש מהאות אשר במדרגה העליונה אם הם נפרדות ואם הם זוגות תורידה אל הסמוכה לה ותעשה שם עשרות
Look for a root number, such that when you multiply it by itself, the product is the same as [the number in the said rank], or as [close] as possible, and write it in its rank according to the rule I told you.	ובקש מספר שרשי שכשתכפלהו על עצמו יעלה כמוהו או כל מה שאפשר ממנו ותכתבהו במדריגתה כמשפט שאמרתי לך
Write the remainder above that rank and make a mark there to indicate that we have already divided there.	ותכתוב הנשאר באותה מדריגה עליה ורשום שם סימן לומר כבר חלקנו משם
Know that the product of any number by itself is the same as [the sum of] the products of each of its ranks by itself and by the others.	עוד דע כי כפילת כל מספר בעצמו הוא כמו כפילת מדריגותיו כל אחת בעצמה ובאחרת
For example: we wish to multiply twelve by twelve: they are 144:	ומשל לזה רצינו לכפול שנים עשר על שנים עשר והוא קמ"ד
It is the same as [the sum of] the product of ten in the upper rank by the other ten, which is 100; with the product of two by two, which is 4; and the product of the top ten by the bottom two, which is 20; plus the product of the top two by the bottom ten, which are another 20. So, when you sum up all, the total is 144.	הרי הוא כמו כפילת העשר שבמדרגה העליונה עם העשר האחר והוא ק' וכמו [כן]‫ כפילת שנים על השנים והם ד' וכמו כפילת העשר העליונים בשנים התחתונים שהם כ' ועוד כפילת [השנים]‫ העליונים [בעשר]‫ התחתונים שהם כ' אחרים והנה כשתקבץ הכל יעלו קמ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{12^2=144=100+4+20+20=\left(10\sdot10\right)+\left(2\sdot2\right)+\left(10\sdot2\right)+\left(2\sdot10\right)}}$
The way to extract the root of 144: $\scriptstyle\sqrt{144}$	והנה דרך בקשת שורש קמ"ד
Since [the number of] it ranks is odd, we seek the root of one hundred; it is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{100}=10}}$	ראוי א"כ להיות בזה הנה אחר שמדרגותיו נפרדות נבקש שורש המאה והוא עשר
We write 1 in the second rank, because it is half the ranks plus half a rank. Nothing remains from 100. $\scriptstyle{\color{blue}{100-10^2=0}}$	ונכתוב א' במדרגה השנית כי היא חצי המדרגות ועוד חצי מדריגה ולא נשאר דבר בק‫'
Then, we say: what is the number that when we multiply it by ten and the ten by it, [the sum of the products] includes 40 or as close as possible to it and when we multiply it by itself, [the product] includes 4 with what is left of the 40, if there is anything left there, because by this the multiplication of all its ranks is completed, as we have said. We say that it is two. We write it next to one.	ואחר נאמר אי זה מספר הוא אשר כשנכפול אותו בעשרה והעשרה בו יכלול המ' או קרוב שאפשר ממנו וכשנכפול אותו על עצמו יכלול הד' עם מה שישאר מהמ' אם יהיה שם נשאר כי בזה ישלם כפילת כל מדריגותיו כמו שאמרנו ונאמר כי הוא השנים נכתוב אותו סמוך לאחד
This is because when we multiply it by ten, it is twenty.	‫וזה כי כשנכפול בו העשרה יהיו עשרים
When we multiply it by ten, it is another twenty.	וכשנכפול אותו בעשרה יהיו עשרים אחרים
Together they are 40.	הרי המ' נכללים
When we multiply it by itself, the result is 4	וכשנכפול אותו בעצמו יעלו ד‫'
When we sum up all, the result is 144; its root is 12.	וכשנקבץ הכל יעלו קמ"ד הרי ששרשם הוא י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{10^2+\left(2\sdot10\right)+\left(2\sdot10\right)+2^2=100+20+20+4=100+40+4=144}}$
From this you know how to proceed even if there are many ranks.	ומזה תשכיל ותדע לעשות אפי' שיהיו המדרגות רבות
Extracting roots of non-square numbers $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}}}$
Since not every number is a square, a remainder may be left [at the end of the extraction procedure] above the dividend number after we have subtracted the square from it.	ולפי שאין כל מספר הוא מרובע הנה כבר ישאר מספר מה על המספר הנחלק אחר שהוצאנו ממנו המרובע
Although [this case] should be investigated [in the section] on fractions [because the remainder is a fraction], as [the given number to be extracted] is an integer, it is discussed here.	והנה אע"ף שזה ראוי לעיין בו בשברים הנה לפי שהוא בשלמים נדבר בו בכאן
I say that the remainder is necessarily less than double the [approximate] root. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\longrightarrow b<2a}}$	ואומר כי בהכרח שישאר שם פחות מכפל השורש
Since if the remainder were greater [$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b<2a}}$], we could have given one more than what we have extracted in the first [approximate] root.	ועוד אחר כי אלו היה נשאר שם יותר היינו יכולין לתת אחד יותר ממה שהוצאנו בשורש הראשון
For it would have increased the product of the second [approximate] root only by the [product of] one by the first [approximate] root, and [the product of] the first [approximate] root by one, and the [product of] one by itself, so there is enough in the remainder for that. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\left(a^2+2a+1\right)+c}=\sqrt{\left(a+1\right)^2+c}}}$	כי לא יתרבה בזה מכפילת השורש השני השני אלא האחד בשורש הראשון והשורש הראשון באחד והאחד בעצמו והנה די לנשאר בזה
Now, when we want to include this remainder by adding a certain fraction to the [approximate] root, we look for a fraction, such that when we multiply it by the [approximate] root and the [approximate] root by it, and it by itself, it includes the remainder, and this is the [new approximate] root. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+\left(r\sdot a\right)+\left(a\sdot r\right)+r^2}=a+r}}$	והנה כשנבקש לכלול הנותר הזה בהוסיפנו שבר מה על השורש הנה נראה איזה שבר הוא אשר כשנכפול אותו בשורש והשורש בו והוא בעצמו יכלול הנשאר והוא יהיה השורש
If you do not find such fraction, look for an approximate [fraction].	ואם לא תמצא שבר כזה בקש הקרוב אליו
One example for this: we wish to know the root of nine hundred and seventy-three thousand, one hundred and eighty-two. $\scriptstyle\sqrt{973182}$	ויהיה משל אחד לזה רצינו לדעת שורש תשע מאות ושבעים ושלשה אלפים ומאה ושמונים ושנים
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{97>9^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{97-{\color{blue}{9}}^2=}}{\color{green}{16}}\\\end{align}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{163-\left[\left(9\times8\right)+\left(8\times9\right)\right]=19}}\\&\scriptstyle{\color{red}{19-7=}}{\color{green}{12}}\\&\scriptstyle{\color{red}{71-{\color{blue}{8}}^2=}}{\color{green}{7}}\\\end{align}}$   01     16     1627   973182 973182 973182    9      98  $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{127-\left[\left(9\times6\right)+\left(6\times9\right)\right]=19}}\\&\scriptstyle{\color{red}{19-10=}}{\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{108-\left[\left(6\times8\right)+\left(8\times6\right)\right]=12}}\\&\scriptstyle{\color{red}{12-4=}}{\color{green}{8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{42-{\color{blue}{6}}^2=}}{\color{green}{6}}\\\end{align}}$  0     0109   162786 973182    986 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle986\ the\ root\\&\scriptstyle986\ the\ remainder\\\end{align}}}$
Since [the number of] its ranks is even, we lower the 9 to the 7; the result is 97.	ולפי שמדרגותיו זוגות נוריד הט' על הז' ויעלו צ"ז
We look for a root, such that its product [by itself] reaches it or as close to it as possible; it is 9.	נבקש שורש שבהכפלו יגיע לזה או היותר שאפשר ממנו והוא יהיה תשעה
We take half the [number of the] ranks, which are up to the number 7, for the rank of 9 should not be counted as we have already lowered it from its rank; they are two and a half. We add another half of a rank; they are three ranks.	נקח חצי המדריגות שהם עד מספר הז' כי מדרגת הט' אין למנות אותה שכבר הורדנו אותו ממדרגתו והם שתים וחצי ונוסיף חצי מדריגה עוד ויהיו שלשה מדרגות
Thus, we write the 9 we get as a root beneath the digit 1.	אם כן תחת המספר הא' נכתוב החט' שיצא לנו לשורש
We multiply it by itself; the result is 81.	נכפול אותו בעצמו יגיע פ"א
We subtract it from 97; 16 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{97-9^2=97-81=16}}$	נגרע אותו מצ"ז ישארו שם י"ו
We write the 1, which is the ten, above the 9, and the 6 above the 7.	נכתוב הא' שהוא העשרה על הט' והו' על הז‫'
We write a mark above the 7, as we have already extract a root from it and another root should not be extracted from it.	ונרשום סימן על הז' שכבר שרשנו משם ואין לבקש משם עוד שורש
We return to extract a root from the three: we lower to it the 6 that remains above the 7 and the one that remains above the 9; they are considered as 163.	עוד נשוב לשרש מהשלשה ונוריד עליו הו' שנשארו על הז' וגם האחד שנשאר על הט' ויחשבו עליו לקס"ג
We say: what number, when we multiply it by 9 and 9 by it, [the sum of the products] is included in the 163, and when we multiply it by itself, [the product] is included in the one that is above it with all that remains in the higher ranks? We say that it is 8, for if we will give 9 it would not be enough for all.	ונאמר אי זהו המספר שכשנכפול אותו בט' והט' בו יכלול הקס"ג וכשנכפול אותו בעצמו יכלול האחד אשר אצלו עם מה שישאר מהעליונים ממנו ונאמ' כי הוא הח' כי אם נתן ט' לא יספיק לכל
8 multiplied by 9 is 72; 9 multiplied by 8 is 72; [their sum] is 144.	והנה הח' נכפול בט' הם ע"ב והט' בח' ע"ב שהם קמ"ד
We subtract is from 163; 19 remains.	נגרע אותם מהקס"ג ישארו י"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{163-\left[\left(8\sdot9\right)+\left(9\sdot8\right)\right]=163-\left(72+72\right)=163-144=19}}$
We take 7 from it, to lower it to the one, to satisfy the 8 when we multiply it by itself; 12 remains there. $\scriptstyle{\color{blue}{19-7=12}}$	נקח מהם ז' להוריד על האחד לכלכל משם לח' כשנכפלם בעצמם וישארו שם י"ב
We write two above the 3, and the ten, which is 1, above the 6.	נכתוב השנים על הג' והעשר שהוא א' על הו‫'
We write zero above the 1 that remains above the upper 9.	ונכתוב סיפרא על הא' שנשאר על הט' העליונה
So, we have 71 above the one that is considered with the 7 we have lowered to it. We subtract from it 8 times 8, which is 64; seven remains there. We write it above it. $\scriptstyle{\color{blue}{71-8^2=71-64=7}}$	והנה לנו על האחד אשר בחשבון עם הז' שהורדנו עליו ע"א נגרע ממנו ח' פעמים ח' שהוא ס"ד ישארו שם שבעה ונכתבם עליו
We put a mark above the three, to indicate the we have already extract a root from it.	ונשים סימן על השלשה לומר כבר ‫שרשנו משם
We return to extract a root from the one, i.e. from what remains above it, which is 7, with all that remains higher than it when it is lowered to it; they are 127.	ונשוב עוד לשרש ממדרגות האחד ר"ל ממה שנשאר עליו והוא ז' עם כל הנשאר למעלה ממנו שכשהורדנו עליו יהיו קכ"ז
We say: what number, when we multiply it by 9 and 9 by it, [the sum of the products] is included in these 127 or as close as possible, and when we multiply it by 8 and 8 by it, [the sum of the products] is included in the eight that is next to it with all that remains in the higher ranks or as close as possible, and when we multiply it by itself, [the product] is included in the two with all that remains in the higher ranks or as close as possible to it? We say that it is six.	ונאמר איזהו מספר אשר כשנכפול אותו בט' והט' בו יכלול הקכ"ז האלה או היותר ממנו שאפשר וכשנכפול אותו בח' והח' בו יכלול השמונה הסמוכים לו עם מה שנשאר למעלה או היותר שאפשר [וכשנכפול]‫ אותו על עצמו יכלול השנים עם מה שנשאר במדרגות אשר למעלה או כל מה שאפשר מהם ונאמ' כי הוא מספר הששה
We write it in the rank of units, so there is no other root after it.	ונכתבם במדרגת האחדים והנה אין עוד שורש אחר זה
We say the six times 9 and 9 times six is 108.	ונאמר כי כ ששה פעמים ט' וט' פעמים ששה הם ק"ח
We subtract is from 127; 19 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{127-\left[\left(6\sdot9\right)+\left(9\sdot6\right)\right]=127-108=19}}$	נגרע אותם מקכ"ז ישארו י"ט
We subtract 10 from it, to lower it to the next 9, to satisfy the bottom 8 when we multiply it by six and six by it; 9 remains there. $\scriptstyle{\color{blue}{19-10=9}}$	נגרע מהם עשרה להוריד על הט' הסמוכים לכלכל לח' התחתונים כשנכפלם בששה והששה בהם ישארו שם ט‫'
We write it above the 7 and we write zero above the upper digit that remains above the six.	נכתבם על הז' ונכתוב סיפרא על האותיות העליונות שנשארו על הששה
The ten that we have lowered to the 8 becomes 108 with the 8. We subtract from it 96, which is [the sum of] the products of six by 8 and 8 by 6; 12 remains there. $\scriptstyle{\color{blue}{108-\left[\left(6\sdot8\right)+\left(8\sdot6\right)\right]=108-96=12}}$	והנה העשרה שהורדנו על הח' יעלה לשם עם השמונה לק"ח נגרע מהם צ"ו מכפילת ו' על הח' והח' על הו' ישארו שם י"ב
Since we have to lower 4 to the 2, to satisfy the 6 when we multiply it by itself; 8 remains there.	ולפי שנצטרך להוריד ד' על הב' לכלכל לו' כשנכפלם בעצמם ישארו לשם ח‫'
We write it above the 8.	ונכתבם על הח‫'
The 4 that we have lowered to the two becomes 42 with the 2. We subtract from it six times six, which is 36; six remains there that we write above the 2. $\scriptstyle{\color{blue}{42-6^2=42-36=6}}$	עוד הנה הד' שהורדנו על השנים עם השנים עלו למ"ב נגרע מהם ששה פעמים ששה שהם ל"ו ישארו שם ששה שנכתבם על הב‫'
The result is 986, and there is 986 more left, for which we have not found an integer root that would include it, so we ask for it in fractions and say: what is the number that when we multiply it by 986 and 986 by it and multiply it by itself, it includes this. We say that it is approximately half, but we lack a quarter to include the product of the half by itself.	והנה יצא תתקפ"ו ונשארו עוד תתקפ"ו אחרים שלא מצאנו שורש בשלמים שיכללם על כן נבקש אותו בשברים ונאמ' איזהו מספר אשר כשנכפול אותו בתתקפ"ו והתתקפ"ו בו ונכפול אותו בעצמו יכלול זה ונאמר כי הוא החצי בקרוב אלא שחסר לנו רביע לכלכל לכפילת החצי על עצמו
Check: the procedure is tested when you multiply the root by itself and [the product] should be equal to the number whose root you were looking for, after you add to the product the remainder [remaining] above the number whose root you sought.	ויבחן המעשה הנה כאשר [תכפול]‫ השורש היוצא על עצמו שראוי להשתוות למספר אשר בקשת שורשו כשתחבר אל הכפילה הנשאר על המספר שבקשת שורשו

Chapter Seven - Fractions	המין הז' בשברים
Which includes all the types [of arithmetical operations]	והוא דמות כל המינים כלם
Conversion of fractions
I say first that it requires the knowledge to convert fractions to fractions or to convert two fractions or more to one fraction.	ואומר בראשונה כי צורך גדול לזה הוא ידיעת המרת שברים בשברים או הפך שני שברים או יותר לשבר אחד
Converting fractions to fractions
Fractions to fractions:	אמנם שברים בשברים
As if you say: we convert quarters to sixths.	כאלו תאמר נמיר רביעיות לשישיות
Divide the 6 of the sixths by the 4 of the quarters; the result is one and a half. So, the quarter is one-sixth and a half [of a sixth]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}=\frac{\frac{6}{4}}{6}=\frac{1+\frac{1}{2}}{6}=\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	הנה אז תחלוק הו' של שישיות על הד' מהרביעיות ויצא אחד וחצי והנה שישית וחצי הוא הרביע
Or, we say: we convert quarters to thirds of quarters.	או נאמר נמיר רביעיות לשלישי רביעיות
We multiply 3 by 4 of the 3-quarters; it is 12. We divide it by 4 of the quarters; the result is three. So, the quarter is 3 of three-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}=\frac{\frac{\frac{3\sdot4}{4}}{3}}{4}=\frac{\frac{\frac{12}{4}}{3}}{4}=3\sdot\frac{3}{4}}}$	נכפול ג' בד' של ג' רביעיות ויהיו י"ב נחלקם על ד' של רביעיות ויצאו שלשה והנה הרביעית הוא ג' שלישי רביעיות
Or, we say: we convert the quarters to thirds of fifths.	או שנאמר נמיר הרביעיות בשלישי חמישיות
We multiply 3 by 5; the result is 15. We divide it by 4; the result is 3 and 3-quarters. So, the quarter is 3-fifths and 3-quarters of a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{{\color{red}{3}}}{4}=\frac{\frac{3\sdot5}{4}}{5}=\frac{\frac{15}{4}}{5}=\frac{3+\frac{3}{4}}{5}=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	נכפול הג' בה' ויעלו ט"ו נחלקם על ד' ויצאו ג' וג' הרביעיות והנה הרביע הוא ג' חמישיות ועוד ג' רביעיות חמישיות
Converting two fractions to one fraction
Or, if we wish to convert two fractions to one fraction as close as possible.	או שנרצה להפך שני שברים לשבר אחד יותר קרוב שאפשר
Example: we wish to know the fraction that is the least common multiple shared by tenths and eighteenths.	והנה המשל רצינו לדעת שבר ראשון שבו ישתתפו עשיריות בשמונה עשיריות
First, one should look for their least common multiple, as follows:	והנה בתחלה ראוי לבקש ‫המספר הראשון שבו ישתתפו ויהיה כזה
First, we should know is they share a common factor that counts both and look for it.	בתחלה נדע אם הם משתתפים למספר ימנה אותו נבקש אותו
If they share two common factors, we look for the greater.	ואם משתתפים בשני מספרים נבקש היותר גדול
Ten and 18 share two as a common factor that counts both. We know that it counts ten by 5 and 18 by 9.	והנה העשרה והי"ח משתתפים בשנים אשר ימנה אותם ונדע במה ימנה לעשרה בה' ולי"ח בט‫'
We multiply 10 by 9 [or 18 by 5]; it is ninety and this is the least common multiple shared by ten and 18. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot9=18\sdot5=90}}$	ואחר נכפול הי' בט' ויהיו תשעים ולי"ח בה' והוא יהיה המספר הראשון שבו ישתתפו העשרה או הי"ח
The tenth is 9 [parts of] ninety, by which two counts 18. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}=\frac{18\div2}{90}=\frac{9}{90}}}$	ועתה הנה העשירית יהיה הט' מתשעים שבו מנה השנים לי"ח
The eighteenth is [5] [parts of] ninety, by which 2 counts ten. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{18}=\frac{10\div2}{90}=\frac{5}{90}}}$	והח' עשיריות יהיה הט' מתשעים שבו מנה הב' לעשרה
Converting three fractions to one fraction
If there are three types of fractions.	ואם היו ג' מיני שברים
As if you say: the tenth, the twelfth, and the eighteenth.	כאלו תאמר העשירית והשתים עשיריות והח' עשירית
First, we look for the least common multiple shared by the tenth and the twelfth.	הנה בתחלה נבקש מספר ראשון שישתתפו בו העשירית והשתים עשירית
We find it by looking for their greatest common divisor; it is two, because it counts 10 by 5 and 12 by 6.	ונמצא אותו בבקש המספר הגדול שימנה אותם והנה הוא השנים בכאן כי ימנה לעשרה בה' ולי"ב בשש
Thus, 5 and 6 are the least numbers of the ratio 10:12.	והנה הה' והו' אלה יהיו השני מספרים אשר הם הפחות מספרים אשר על היחס הי' והי"ב
So, if you multiply 10 by 6, or 12 by 5, the result is 60 and it is the least common multiple shared by 10 and 12. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot6=12\sdot5=60}}$	ולכן אם תכפול העשר בו' או הי"ב בה' יעלו ס' והוא יהיה המספר הקרוב שישתתפו בו הי' והי"ב
Look also for the greatest common divisor of 60 and 18; it is 6, because it counts 60 by 10 and 18 by 3.	עוד ראה המספר הגדול שימנה לס' האלו ולי"ח והוא הו' כי ימנה לס' בי' ולי"ח בג‫'
Multiply 60 by 3; the result is 180 and it is the least common multiple shared by the three of them. $\scriptstyle{\color{blue}{60\sdot3=180}}$	תכפול הס' בג' ויעלו ק"ף והוא המספר הראשון שישתתפו בו שלשתם
If you want to know how much is the tenth, [multiply] 6 that counts 12 by 3 that counts 18; the result is 18 and it is the tenth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}=\frac{6\sdot3}{180}=\frac{18}{180}}}$	ואם תרצה לדעת כמה הוא העשירית ממנו הו' המונה לי"ב בג' המונה לי"ח ויעלו י"ח והוא העשירית
For the twelfth, multiply 5 that counts 10 by 3 that counts 18; the result is 15 and it is the twelfth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}=\frac{5\sdot3}{180}=\frac{15}{180}}}$	ואמנם השתים עשירית כפול הה' המונה לעשרה בג' המונה לי"ח ויעלו ט"ו והוא יהיה השתים עשירית
The eighteenth is 10 that counts 60. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{18}=\frac{10}{180}}}$	ואמנם הח' עשירית הוא יהיה הי' המונה לס‫'
As the sixtieth is 3 that counts 18, if we wish to know it, although the intention here is only for the three former fractions that are the tenth, the twelfth, and the eighteenth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{60}=\frac{3}{180}}}$	כמו שהשישימית יהיו הג' המונים לי"ח אם רצינו לדעת אותו אלא שאין המכוון בכאן אלא בשלשת השברים הראשונים שהם הי' והי"ב והי"ח
Know that if they do not share a common divisor, then the least common multiple of the fractions is found by multiplying one by the other.	ודע כי אם לא ישתתפו המספרים במספר ימנה אותם הנה אז ימצא המספר שישתתפו בו השברים בכפול הא' על האחר
As if you say: fifths and sixths - nothing counts them except for 1.	כאלו תאמר חמישיות ושישיות שאין דבר שימנם אלא האחד
The least common multiple of these [fractions] is 30 that is generated from the product of 5 by 6. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}$	הנה המספר הראשון שימצאו בו אלה השרשים הוא השלשים הבא מכפילת הה' בו‫'
The fifth is the denominator that is the six. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}=\frac{6}{30}}}$	ואז החמישית הוא שם השבר ר"ל הששה
The sixth is the denominator of the other fraction, i.e. the five. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}=\frac{5}{30}}}$	והשישית הוא בא משם השבר האחר ר"ל החמשה
If there are three numbers that do not share a common divisor:	ואם היו ג' מספרים בלתי משתתפים במונה
As if you say: 3, 4, 5. Their least common multiple is found by multiplying 3 by 4; it is 12, then 5 by 12; it is 60 and this is the number in which these fractions are found.	כאלו תאמר הג' והארבעה והחמשה הנה המספר שישתתפו בו ימצא בכפול הג' בד' ויהיו י"ב ואחר הה' בי"ב ויהיו ס' והנה המספר שמצאו השברים האלו
The third [is found] by multiplying 4 [by 5]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}=\frac{4\sdot5}{60}}}$	והנה השלישית בכפול הד‫'
The quarter is found by multiplying 3 by 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}=\frac{3\sdot5}{60}}}$	וימצא הרביע בכפול הג' בה‫'
The fifth is found by multiplying 3 by 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}=\frac{3\sdot4}{60}}}$	וימצא החומש בכפול הג' בד‫'
Now, we will discuss the mentioned operations with fractions.	ועתה נדבר במינים הנאמרים ה בשברים
We will start with the addition operation as usual.	ונתחיל בקיבוץ כמנהג
The First Type: Addition of fractions	המין הא' בקיבוץ השברים
Two fractions with no common denominator
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]+\left[c\sdot\left[\frac{1}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]}{b\sdot d}}}$
We start with addition of two fractions, such that there is no number that counts both.	ונתחיל בקיבוץ שני שברים שלא ימצא להם מספר שימנם
We give an example: we wish to sum two thirds with 3 quarters. $\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}$	ונשים משל לזה רצינו לקבץ ב' שלישיות בג' רביעיות
common denominator:
We seek the least common multiple of 3 and 4. Since no number counts them other than one, it is found only by multiplying one of them by the other; it is 12.	הנה נבקש מספר ראשון שישתתפו בו הג' והד' ‫ולפי שאין דבר שימנם אלא האחד לא ימצא אלא בכפול אחד מהם באחר ויהיו י"ב
The third is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}}$	והנה השליש הוא ד‫'
As we said, we multiply the two that is the number of the thirds by 4; it is 8 and this is the two-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot12=2\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)=2\sdot4=8}}$	כמו שאמרנו נכפול השנים ממספר השלישיות בד' ויהיו ח' והם השני שלישיות
The quarter is 3. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot12=3}}$	עוד הרביע הוא ג‫'
We multiply the 3 that is the number of the quarter by 4 it; it is 9 and this is the 3-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot12=3\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=3\sdot3=9}}$	נכפול בהם הג' ממספר הרביעיות ויהיו ט' והנה הג' רביעיות
We sum up 8 and 9; it is 17 parts of 12. We divide it by 12; the result is one integer and 5 parts of 12 remain and this is the sum. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{8+9}{12}=\frac{17}{12}=1+\frac{5}{12}}}$	נקבץ הח' והט' ויהיו י"ז חלקים מי"ב נחלקים על י"ב ויצא אחד שלם וישארו עוד ה' חלקים מי"ב וזהו העולה
Three fractions with no common denominator
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{g}{h}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\sdot h\right)\right]\right]+\left[c\sdot\left[\frac{1}{d}\sdot\left(b\sdot d\sdot h\right)\right]\right]+\left[g\sdot\left[\frac{1}{h}\sdot\left(b\sdot d\sdot h\right)\right]\right]}{b\sdot d\sdot h}}}$
If we want to sum three fractions.	ואם נרצה לקבץ ג' שברים
As if you say: 2-thirds, 3-quarters and 4-fifths. $\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}$	כאלו תאמר שני שלישיות וג' רביעיות וד' חמישיות
Since no [number] counts these fractions, except for one, their least common multiple is found only by multiplying 3 by 4; it is 12, and this by 5; it is sixty and this is the whole whose fractions we seek for. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5=12\sdot5=60}}$	הנה לפי שלא ימנה לשברים הללו אלא האחד הנה לא ימצא מספר ראשון שישתתפו בו אלא בכפול הג' בד' והיו י"ב וזה בה' והיו שישים וזה יהיה דמות השלם אשר נבקש שבריו
The third is found by multiplying 4 by 5, which is twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot60=4\sdot5=20}}$	והנה השל[י]ש ימצא בכפול הד' בה' שהוא עשרים
The two-thirds are found by multiplying two by twenty; it is 40. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot60=2\sdot20=40}}$	ושני השלישים ימצא בכפול השנים בעשרים ויהיו מ‫'
The quarter is found by multiplying 3 by 5; it is 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot60=3\sdot5=15}}$	והרביעי יהיה בכפול הג' בה' ויהיו ט"ו
The 3-quarters are [found] by multiplying 3 by 15; the result is 45. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot60=3\sdot15=45}}$	וג' הרביעיות יהיו בכפול ‫[הג' בט"ו ויעלו מ"ה
The fifth is found by multiplying 3 by 4; it is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot60=3\sdot4=12}}$	והחמשי ימצא בכפול הג' בד' ויהיו י"ב
The 4-fifths are [found] by multiplying 4 by 12; it is 48. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot60=4\sdot12=48}}$	וד' החמשיות בכפול‫]‫ הד' בי"ב ויהיו מ"ח
Now, we sum up 40, 45, and 48; the result is 133. $\scriptstyle{\color{blue}{40+45+48=133}}$	ועתה נקבץ המ' והמ"ה והמ"ח ויעלו קלח"ג
We divide it by 60, which is the whole; the result is two integers and 13 parts of 60. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}=\frac{40}{60}+\frac{45}{60}+\frac{48}{60}=\frac{133}{60}=2+\frac{13}{60}}}$	ונחלק אותו על הס' שהוא דמות השלם ויצא שנים שלמים ועוד י"ג חלקים מס‫'
From this you deduce for four [fractions] and more.	ומזה תבין לד' שרשים או יותר
If there is a number that counts both, or if one counts the other, you can do as said above.	ואמנם אם ימצא לשברים מספר שימנם בו שימנה האחד לאחר הנה יכול היית לעשות כדין הנאמרים למעלה
Yet, then their multiple will not be the least common multiple of these fractions, which is more appropriate, since it is the smallest and the intellect comprehend it quickly as well as its fractions. Therefore, it is better to look for their least common multiple.	אלא שלא יהיה השלם ההוא המספר הראשון שישתתפו בו אותם השברים שהוא היותר נאות לפי שהוא ראשון ומספר יותר קטן והשכל יקיף בו ובשבריו יותר מהרה ולזה ראוי לבקש להם המספר הראשון שישתתפו לשלם
Two fractions, the denominator of one of them is a divisor of the other
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d\sdot b}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]+c}{b\sdot d}}}$
First, the example for this is of two fractions, such that one counts the other:	ויהיה המשל בתחלה לזה בשני שברים שימנה האחד לאחר
As if you say: we wish to sum up two-thirds with 4-ninths. $\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{4}{9}$	כאלו תאמר רצינו לקבץ שני שלישיות בד' תשיעיות
Since 3 counts 9 by 3, we define the whole as 9.	ולפי שהג' מונה לט' בג' נשים השלם הט‫'
The third is 3, as the number by which it counts the 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot9=3}}$	ויהיה השליש ג' כמספר אשר הוא מונה בו לט‫'
We multiply it by 2, which is the number of the thirds; the result is 6, which are the 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}=\frac{2\sdot3}{9}=\frac{6}{9}}}$	נכפול אותו בשני ממספר השלישיות יעלו ו' והם הב' שלישיות
We add it to 4-ninths; the result is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{4}{9}=\frac{6}{9}+\frac{4}{9}=\frac{10}{9}}}$	ונקבץ אותם לד' מהתשיעיות יעלו עשרה
We divide it by 9; the result is one integer and one-ninth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{4}{9}=\frac{10}{9}=1+\frac{1}{9}}}$	נחלק אותם על הט' יצא אחד שלם ועוד תשיעית אחד
Two fractions with common divisor
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b\sdot g}+\frac{c}{d\sdot g}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b\sdot g}\sdot\left(b\sdot d\sdot g\right)\right]\right]+\left[c\sdot\left[\frac{1}{d\sdot g}\sdot\left(b\sdot d\sdot g\right)\right]\right]}{b\sdot d\sdot g}}}$
If one does not count the other, but there is another number that counts both:	ואם לא ימנה הא' לאחר אבל ימצא מספר אחר שימנה אותם
As if you say: we wish to sum up 3-quarters with 4-sixths. $\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{4}{6}$	כאלו תאמר רצינו לקבץ ג' רביעיות בד' שישיות
2 counts both and it is their greatest common divisor - [it counts] 4 by 2 and 6 by 3.	שימנה אותם הב' והוא היותר גדול שימנם אמנם לד' בב' ולו' בג‫'
We find their least common multiple by multiplying 4, the denominator of the quarter, by the divisor of 6, which is 3; the result is 12.	הנה אז נמצא המספר הראשון שישתתפו בו בכפול הד' משם הרביע במספר המונה לששיות שהיה ג' ויעלו י"ב
Or, by multiplying 6, the denominator of the sixths, by the divisor of 4, which is 2.	או בכפול הו' משם השישיות במספר המונה לד' שהיה ב‫'
This is the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=6\sdot2=12}}$	והוא יהיה דמות השלם
Then, we find the quarter in 3, by which 2 counts 6. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot12=6\div2=3}}$	ואחר נמצא הרביע משם הג' שמנה בו הב' לו‫'
The 3-quarters by multiplying 3 by 3; the result is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot12=3\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=3\sdot3=9}}$	וג' רביעיות בכפול הג' בג' ויעלו ט‫'
We find also the sixth in 2, by which 2 counts 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot12=4\div2=2}}$	וכן נמצא השישית משם השנים שמנה בו השנים לד‫'
The 4-[sixths] by multiplying 2 by 4; it is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}\sdot12=4\sdot\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=4\sdot2=8}}$	וד' חמישיות בכפול הב' בד' ויהיו ח‫'
We sum up 8 and 9; it is 17. We divide it by 12; the result is one integer and 5 parts of 12 of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}+\frac{4}{6}=\frac{\left(\frac{3}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot12\right)}{12}=\frac{9+8}{12}=\frac{17}{12}=1+\frac{5}{12}}}$	ונקבץ הח' והט' ויהיו י"ז ונחלק אותו על הי"ב ויצא אחד שלם ועוד ה' חלקים מי"ב בשלם
From this and from what we have said at first concerning the foundations of the discussion on fractions you may learn and know how to proceed if there are three types of fractions or more.	ומזה וממה שאמרנו בתחלה ביסודות לדבר בשברים תשכיל ותדע איך תעשה אם יהיה השברים ג' מינים או יותר
The Second Type: Subtraction of fractions	המין הב' במגרעת השברים
The intention in this is to subtract fractions from integers or fractions from fractions that are larger than them.	הכוונה בו לגרוע שברים משלמים או שברים משברים גדולים מהם
Fractions from integers
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{c-\frac{a}{b}=\frac{\left(c\sdot d\right)-a}{b}}}$
The first example: we subtract five-eighths from one integer. $\scriptstyle1-\frac{5}{8}$	ויהיה ‫המשל תחלה נגרע חמש שמיניות מאחד שלם
It is clear when we convert the whole integer to eighths; they are eight. We subtract from them 5; 3 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{5}{8}=\frac{8-5}{8}=\frac{3}{8}}}$	הנה אז מבואר בעשותינו השלם כלו שמיניות ויהיו שמונה נגרע מהם הה' וישארו ג‫'
Fractions with the same denominator
It is also clear when subtracting fractions from similar fractions. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}}}$	ואמנם בגרוע שברים משברים דומים גם הוא מבואר
For, if we wish to subtract 3-eighths from 5-eighths: $\scriptstyle\frac{5}{8}-\frac{3}{8}$	כי אם נרצה לגרוע ג' שמיניות מה' שמיניות
2-eighths remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{2}{8}}}$	ונשאר ב' שמיניות
Fractions with different denominators
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]-\left[c\sdot\left[\frac{1}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]}{b\sdot d}}}$
What requires a study is when the fractions are different.	אמנם מה שיש בו עיון הוא בשהם שברים מתחלפים
We wish to subtract two-quarters from 6-eighths. $\scriptstyle\frac{6}{8}-\frac{2}{4}$	כיצד רצינו לדו לגרוע שני שמיניות רביעיות מו' שמיניות
We must look for their common multiple and this is found by multiplying one denominator by the other, which are 4 and 8; it is 32. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot4=32}}$	הנה אז נצטרך לבקש המספר שישתתפו בו שמות השברים וזה ימצא בכפול שם השבר באחר שהם ד' וח' והוא ל"ב
The quarter is the name of the one fraction; it is 8. 2-quarters are 16. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot32\right)}{32}=\frac{2\sdot8}{32}=\frac{16}{32}}}$	ולפי שהרביע הוא שם השבר האחד והוא ח' וב' הרביעיות הוא י"ו
The eighth is the name of the other fraction; it is 4. 6-eighths are 24. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot\left(\frac{1}{8}\sdot32\right)}{32}=\frac{6\sdot4}{32}=\frac{24}{32}}}$	והשמינית הוא שם השבר האחר והוא ד' וו' שמיניות הם כ"ד
When we subtract 16 from 24, 8 remain; they are parts of 32 of the whole, and this is its quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}-\frac{2}{4}=\frac{24}{32}-\frac{16}{32}=\frac{24-16}{32}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}}}$	הנה בגרענו הי"ו מהכ"ד ישארו ח' והם חלקים מל"ב בשלם שהם רביעיותיו
If the denominators of the fractions are numerous, their common multiple is very large and the calculation with it is more difficult.	אמנם אם רבו שמות המספרים השברים והנה המספר שישתתפו בו יהיה גדול מאד ויכבד העיון בו
The denominator of one fraction is a divisor of the other
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b\sdot d}-\frac{c}{b}=\frac{a-\left[c\sdot\left[\frac{1}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]}{b\sdot d}}}$
When one fraction counts the other fraction:	וימנה השבר האחד לשבר האחר
As if you say: we wish [to subtract] 4-eighths from 12-sixteenths. $\scriptstyle\frac{12}{16}-\frac{4}{8}$	כאלו תאמר רצינו ל[.] לגרוע ד' שמיניות מי"ב שש עשיריות
The number that is a common multiple of them, by multiplication of the denominator of one fraction by the other, is 128, but this is a great number that contains the divisor. $\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot8=128}}$	והנה המספר שישתתפו בו על דרך כפילת שם השבר באחר יהיה קכ"ח והוא מספר גדול להקיפו שכל המונה
So, we should know by which number 8 counts 16; it is by two.	הנה אז ראוי שנדע באי זה מספר ימנה הח']‫ לי"ו והוא בשנים
We multiply the 4-eighths by the two, which is the divisor; they are 8.	ונכפול הד' מהשמיניו' בשנים המונים ויהיו ח‫'
We subtract them from 12; 4 remain and they are parts of 16, which is a quarter.	ונגרע אותם מי"ב ונשארו ד' והם חלקים מי"ו שהם רביעיתם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{16}-\frac{4}{8}=\frac{12}{16}-\frac{4\sdot\left(\frac{1}{8}\sdot16\right)}{16}=\frac{12}{16}-\frac{4\sdot2}{16}=\frac{12}{16}-\frac{8}{16}=\frac{12-8}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}}}$
Two fractions with common divisor
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b\sdot g}-\frac{c}{d\sdot g}=\frac{\left[a\sdot\left[\frac{1}{b\sdot g}\sdot\left(b\sdot d\sdot g\right)\right]\right]-\left[c\sdot\left[\frac{1}{d\sdot g}\sdot\left(b\sdot d\sdot g\right)\right]\right]}{b\sdot d\sdot g}}}$
If one fraction does not count the whole of the other fraction, but it counts its divisors, i.e. there is one number that counts both.	ואם אמנם לא ימנה השבר האחד לאחר בכללו אבל ימנהו בחלקיו ר"ל שימצא מספר אחד שימנה לשניהם
As if you say: we wish to subtract 4-twelfths from 14-sixteenths. $\scriptstyle\frac{14}{16}-\frac{8}{12}$	כאלו תאמר רצינו לגרוע ח' שנים עשיריות מי"ד שש עשיריות
We look for their greatest [common] divisor, which is 4; it divides 12 by 3 and 16 by 4.	הנה אז נבקש המספר היותר גדול שימנם והוא הד' והוא ימנה לי"ב בג' [ולי"ו]‫ בד‫'
We multiply 12 by 4, or 16 by 3; the result is 48. $\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot4=16\sdot3=48}}$	ונכפיל הי"ב בד' או הי"ו בג' ויעלו מ"ח
Its [twelfth] is [4] and its 4-twelfths are 32. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8\sdot\left(\frac{1}{12}\sdot48\right)}{48}=\frac{8\sdot4}{48}=\frac{32}{48}}}$	והנה השש עשיריות הוא וח' שנים עשיריות הוא ל"ב
Its sixteenths is 3 and its 14-sixteenths are 42. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14\sdot\left(\frac{1}{16}\sdot48\right)}{48}=\frac{14\sdot3}{48}=\frac{42}{48}}}$	ואמנם הו' עשיריות הוא הג' וי"ד שש עשיריות הוא מ"ב
When we subtract 32 from 42, ten remain and they are parts of 48. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14}{16}-\frac{8}{12}=\frac{42}{48}-\frac{32}{48}=\frac{42-32}{48}=\frac{10}{48}}}$	ועתה כשנגרע הל"ב מהמ"ב ישארו שם עשרה והם חלקים [ממ"ח]‫
If you want to reduce the resulting fraction, look for the greatest number that divides it. Divide the numerator and the denominator by its and the result is the reduced number related to the former. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a\sdot c}{b\sdot c}=\frac{\frac{a\sdot c}{c}}{\frac{b\sdot c}{c}}=\frac{a}{b}}}$	ואם תרצה עוד להקטין שם היוצא הנה בקש עוד המספר הגדול שימנם ותחלוק עליו שם המספר היוצא ושם מספר השבר ויצא מספר יותר קטן מיוחס לראשון
The example: we find the greatest number that divides ten and 48; it is two. We divide ten by it; the result is 5. We also divide 48 by it; the result is 24. So, the ten parts of 48 are the same as the 5 parts of 24 we have just received. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{48}=\frac{\frac{10}{2}}{\frac{48}{2}}=\frac{5}{24}}}$	והמשל בזה עוד הנה נדע אי זהו המספר הגדול שימנה לעשרה ולמ"ח והנה בכאן הוא השנים ונחלוק עליו העשרה ויצאו ה' וכן נחלוק עליו המ"ח ויצאו כ"ד והנה העשרה חלקים ממ"ח הם כמו ה' חלקים מכ"ד שיצאו לא לנו באחרונה
Check: the correctness of this type is checked by adding what we subtracted to the result and it should be equal to the greater number from which we subtracted, as is the case with integers.	ואמנם אמיתת זה המין יבחן בשוב לקבץ מה שגרענו עם היוצא ויהיה שוה למספר הגדול שגרענו ממנו כמו הענין בשלמים
The Third Type: Multiplication of fractions	המין הג' בכפילת השברים
Multiplying a fraction by a fraction of an integer
The meaning is that you multiply a fraction by the ratio of a fraction to the whole. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}}}$	הנה הכוונה שתכפול שבר מה ביחס שבר מה אל השלם
As if you say: we multiply once a quarter of 1 by a quarter. $\scriptstyle\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}$	כאלו תאמ' נכפול רביע א' ברביע פעם
The procedure is that you multiply a quarter by a quarter, i.e. 4 by 4; it is 16. Multiply 1 by 1; the product is 1. So, the result is one part of 16, which is equal to a quarter of a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1\sdot1}{4\sdot4}=\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$	והמעשה בו שתכפול הרביע ברביע ר"ל ד' על ד' ויהיו י"ו ותכפול הא' בא' ויעלה א' והנה העולה יהיה אחד מי"ו שוה רביע ‫מרביע
Therefore, if you want, say that the result of multiplication of a quarter by a quarter is a quarter of a quarter.	לכן אם תרצה תאמר בכפילת רביע ברביע שהעולה הוא רביע מרביע
You say the same about the product of a quarter by a third, which is quarter of a third. $\scriptstyle\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}$	וכן תאמר בכפילת רביע בשליש שהעולה הוא רביע משליש
Many have wondered how it is that the multiplication of integers increases, while the multiplication of fractions decreases. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n,m>1\longrightarrow n\times m>n;\,m}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{0<n,m<1\longrightarrow n\times m<n;\,m}}$	ורבים תמהו איך הכפילה בשלמים מרבה ומוסיף והכפילה בשברים גורע ופוחת
The truth is that the decreasing and the deficit do not happen due to the multiplication as it increases.	והאמת כי הפחת והגרעון לא קרה לה מפני הכפילה כי מסבת זה מוסיף
If you wish to multiply two-thirds by 4-fifths. $\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}$	כיצד אם רצית לכפול שני שלישיות בד' חמישיות
From the multiplication side it increases.	הנה מצד הכפילה הולך ומוסיף
Because we multiply 2 by 4; the result is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8>2;\,4}}$	הוא כי נכפול הב' בד' ויעלו ח‫'
But, the decreasing occurs from the aspect of the fractions, because we decompose this product into parts.	אבל החסרון קרה מצד מצד השברים כי נשבור העולה הזה פעמים
Once when we mention the thirds and second when we mention the fifths, so from this side the 8 that we increased are necessarily parts of 15 that we got from multiplying three by five, i.e. by decomposing both. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{3\sdot5}=\frac{8}{15}}}$	אחד בזוכרנו שלישיות והשנית בזוכרנו חמישיות עד שמזה הצד יתחייב כי הח' שנתרבו לנו יהיו חלקים מט"ו שיצא לנו מכפילת השלש בחמש ר"ל [משבירת]‫ שניהם
I should show you this in the first example we gave, which is the multiplication of a quarter by a quarter: $\scriptstyle\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}$	ומן הדין הוא זה כמו שאראך במשל הראשון שהמשלנו שהוא כפילת רביע ברביע
Because the result is a quarter of a quarter and that is because if we were to multiply one by a quarter the result would be a quarter and since we only multiplied it by a quarter, the result is necessarily a quarter of a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}}}$	כי העולה הוא רביע מרביע וזה כאלו כי לו אנחנו שכפלנו אחד ברביע מה יהיה העולה רביע אחד ולפי שאנחנו לא כפלנו בו אלא רביע בהכרח שיהיה העולה רביע מרביע
From this you can understand that in the multiplication of numbers there is a mean and two extremes: because the multiplication of integers by integers increases, the multiplication of fractions by fractions decreases, and the multiplication of 1 by itself neither increases nor decreases.	ומזה תבין כי יש בכפילת המספרים דמות אמצע ושתי קצוות וזה כי כפילת הרבים השלמים בשלמים מוסיף וכפילת שברים בשברים גורע וכפילת הא' בעצמו לא יוסיף ולא יגרע
Hence, one is the beginning of the integers and the end of the fractions.	והנה האחד ראשית השלמים וסוף השברים
Metaphor This is similar to what happens in nature, because when a man stands in deep water, he sees his image upside down in the water, i.e. his head down and his feet up - the feet are the beginning of the man on dry land and the end of man's reflection in the water. The higher the man's head on land, the lower the reflection of the man's head in the water.	והנה ידמה זה למה שהיה בטבע כי כשיעמוד אדם על מים עמוקי' הנה יראה צורתו במים הפוכה ר"ל ראשו למטה ורגליו למעלה והרגל ראשית האדם אשר בחרבה וסוף צורת האדם אשר במים וכמו שכל מה שיגאה ראש האדם אשר בחרבה כן ישפל ראש כל צורת האדם אשר במים
Similarly, as the integers are increasing their inverse fractions are decreasing.	כן כל מה שיתרבה המספרים השלמים יחסרו השברים הנגדים לו
As when we take the two, it increases the one to its double, so when we take the half, which is its inverse, since it is one of two, it decreases the one by half. $\scriptstyle{\color{blue}{2=2\sdot1\longrightarrow\frac{1}{2}=1\div2}}$	כיצד אם לקחנו השנים שנתרבה על האחדות בכדי כפלו כן כשלקחנו החצי שהוא נגדי לו לפי שהוא אחד משנים גרע מהאחדות החצי
Also, as when we take the three, we find that it increases the one three times, so when we take the third, it decreases the 1 by three times, until it becomes its third. $\scriptstyle{\color{blue}{3=3\sdot1\longrightarrow\frac{1}{3}=1\div3}}$	וכן כשנקח השלשה הנה נמצא כי הוסיף על האחד שלשה כפלים כן כשנקח הג' גרע מהא' ג' חסרונות עד ששב לשלישיותו
And so on for the others.	וכן בשאר
Therefore, you find that the ratio of integer multiples to one is the same as the ratio of one to the fractions that are the inverse of those integers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n:1=1:\frac{1}{n}}}$	והנה תמצא לזה כי יחס הכפלים השלמים אל האחד כיחס האחד אל השברים הנגדים [לשלמים ההם]‫
This is because the ratio of two to one is the same as the ratio of one to a half. $\scriptstyle{\color{blue}{2:1=1:\frac{1}{2}}}$	וזה כי יחס השנים אל האחד הוא כיחס האחד אל החצי
Also, the ratio of 3 to 1 is the same as the ratio of 1 to a third. $\scriptstyle{\color{blue}{3:1=1:\frac{1}{3}}}$	וכן יחס הג' אל הא' הוא כיחס הא' אל השליש
And so on endlessly.	וכן לאין סוף
Therefore, [one] is mean from the aspect of ratio.	א"כ הוא אמצעי ביחס
Multiplication of fractions by integers
The multiplication of fractions by integers is easy to know.	ואמנם כפילת השברים בשלמים נקל לדעתו
You find it by multiplying the number of integers by the numerator, then divide the product by the denominator and this is the result. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times c=\frac{a\sdot c}{b}}}$	ותמצאהו בכפול מספר השלמי' במספר השברים והעולה תחלקהו על שם השבר והוא יהיה העולה
We wish to multiply 2-thirds by 4 integers. $\scriptstyle\frac{2}{3}\times4$	כיצד רצינו לכפול ב' שלישיות בד' שלמים
We multiply 4 by two; the result is 8. We divide it by the denominator, which is three; we receive two integers and two-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times4=\frac{2\sdot4}{3}=\frac{8}{3}=2+\frac{2}{3}}}$	הנה נכפול הד' על השנים ויעלו ח' נחלקהו על שם השבר שהוא שלוש ויצא לנו שנים שלמים ושני שלישיות
Multiplication of fractions by fractions of fractions
The multiplication of fractions by fractions of fractions is also easy.	וכן כפילת ‫שברים בשברי שברים יהיה נקל
Since you convert the fractions of fractions into one fraction. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}\sdot\frac{1}{b}\right)=\frac{a}{b}\times\frac{c}{b\sdot d}}}$	אחרי אשר תשיב השברי שברים לשם שבר אחד
We wish to multiply 2-thirds by 3-quarters of one-third. $\scriptstyle\frac{2}{3}\times\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)$	כיצד רצינו לכפול ב' שלישיות בג' רביעיות שליש אחד
First, we convert 3-quarters of one-third into one fraction: we find it by multiplying 4 of the quarters by 3 of the thirds; the result is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\times\frac{3}{4\sdot3}=\frac{2}{3}\times\frac{3}{12}}}$	הנה בהתחלה נשיב הג' רביעיות שליש אחד לשבר אחד ונמצאהו בכפול ד' של רביעיות בג' של שליש ויעלו י"ב
Its third is 4, as we said, and its 3-quarters are 3. So, they are 3 parts of 12.	והנה השליש הוא ד' כמו שאמרנו וג' רביעיות הם ג' א"כ הם ג' חלקים מי"ב
Now, multiply 2-thirds by 3 parts of 12 as we said and this is the result of multiplication of the fraction of fraction that we demonstrated.	ועתה תכפול הב' שלישיות בג' חלקים מי"ב כפי מה שאמרנו והוא יהיה העולה מכפילת השבר בשבר השבר שהמשלנו
Check: the check of this type is by division as in the case of integers and the result is the [multiplicand].	ומופת זה המין הוא החלוקה כענין בשלמים ויצא היוצא
The Fourth Type: Division of fractions	המין הד' בחלוקת השברים
Division of fractions by fractions
When we want this, we divide the numerator by the numerator as well as the denominator by the denominator and the result is the denominator of the resulting fraction. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\div c}{b\div d}}}$	הנה כשרצינו זה נחלוק מספר השברים על מספר השברים וכן שם השבר על השבר ויצא שם השבר היוצא
We wish to divide six-eighths by two-quarters. $\scriptstyle\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}$	כיצד רצינו לחלק ששה שמיניות בשני רביעיות
We divide 6 by 2; the result is 3. We also divide 8 by 4; the result is two. Therefore, the result of division is 3 parts of two of the whole, which is one and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}=\frac{6\div2}{8\div4}=\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}}}$	והנה נחלק הו' לב' ויצאו ג' וכן נחלק הח' על הד' ויצאו שנים ויהיה היוצא בחלוקה ג' חלקים משנים בשלם שהוא אחד וחצי
Check: multiplication The proof for this is that when we multiply one and a half by two quarters, the result is 3-quarters, which is the same as 6-eighths. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\times\frac{2}{4}=\frac{3}{4}=\frac{6}{8}}}$	והמופת על זה כי כשנכפול אחד וחצי בשני רביעיות יצאו ג' רביעיות שהוא כמו הו' שמיניות
Man should be more puzzled by this and say: how do we say that the thing can give what it does not have?	והנה בזה יתמה האדם יותר ואומר איך נאמר שיוכל לתת הדבר מה שאין לו
How can we say that 3-eighths give one integer and a half that it does not have? $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}=1+\frac{1}{2}}}$	ואיך נאמר שיתן הו' שמיניות אחד שלם וחצי והוא אין לו
The contentment of the mind is that we said: If we were to divide 8-eighths, which is one integer, into 4-quarters, which is also one, what would be the result? Eight-eighths, which is 1, because when dividing 1 by 1 the result is 1. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div\frac{4}{4}=1\div1=1=\frac{8}{8}}}$	אמנם התישבות הנפש בזה הוא שנאמר לו אלו חלקנו ח' שמיניות שהוא אחד שלם לד' רביעיות שהוא אחד ג"כ מה היה היוצא שמונה שמיניות שהוא א' כי [בחלוקת]‫ א' על א' יצא א‫'
Now, if we divide 8-eighths by half the 4-quarters, which are 2-quarters, the result of the division should be twice the result [of division] by 4-quarters; so it is two. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{4}{4}\right)=\frac{8}{8}\div\frac{2}{4}=2}}$	ועתה אם חלקנו הח' שמיניות על חצי הד' רביעיות שהוא ב' רביעיות אינו דין שיצא בחלוקה כפלים מאשר היה יוצא לד' רביעיות ויהיו שנים
As if you were to divide them by double the 4-quarters, which are two, the result of the division would be one half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div\left(2\sdot\frac{4}{4}\right)=\frac{8}{8}\div2=\frac{1}{2}}}$	כמו שאלו חלקת אותם על כפל הד' רביעיות שהם שנים היוצא בחלוקה חצי אחד
Since we do not divide 8-eighths here, but 3-quarters, which is 6-eighths, we have to subtract from the result of division, which is two, a quarter of it, so 1 and a half remain, as we have done. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{8}{8}\right)\div\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{4}{4}\right)=2-\left(2\sdot\frac{1}{4}\right)=1+\frac{1}{2}}}$	והנה לפי שלא חלקנו בכאן ח' שמיניות אבל ג' רביעיותיו שהם ו' שמיניות אינו דין שנגרע מהיוצא בחלוקה שהיו שנים הרביע מהם וישארו א' וחצי כמו שעשינו
We return to the refutation of this doubt that we mentioned: how can a thing give what it does not have and I say that the thing does not give by division what it does not have, because the division is by the numerators, not by denominators as we have said concerning the multiplication of fractions.	ונשוב להתיר הספק שאמרנו שאיך יתן הדבר מה שאין לו ואומר כי בחלוקה לא נתן [דבר]‫ מה שאין לו כי החלוקה הוא במספרים לא בשמות המספרים השברים כמו שאמרנו בכפילת השברים
So, when we divide 6-eighths by two-quarters, the 6 gives the two only what it has, which is two to each. $\scriptstyle\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}$	והנה כשחלקנו הו' שמיניות על השני רביעיות הנה לא נתן הו' לשנים אלא מה שיש לו והוא שנים לכל אחד
But, because the receiving fractions, which are the two-quarters, fall short by half of what the whole receives, the result gives them twice of what the whole receives [from division].	אבל מפני שהשברים המקבלים שהם שני הרביעיות קצרה ידם במחצה מהכיל מה שיקבל השלם הושב להם היוצא כפל מהיוצא לשלם
Metaphor: It happens to them as it happens to a man who feeds his animals each day one portion of barley for each, yet one of the animals is sick and can eat one portion only every two days instead of every day. It seems as if [this animal] is given more than the other animals, but in fact this is not true, it is only in relation to what it eats.	ויקרה להם כמו שקרה לאיש אחד שהיה מחלק מדה אחת של שעורים לכל אחד מבהמותיו ליום אחד והנה בהמה אחת מהן היתה חולה ושבורה ולא הכילה לאכלה מדת אחת ביום אחד אבל בשני ימים והיה לה כאלו ‫נתנו לה לחם משנה מאשר לשאר הבהמות אע"ף שבאמת אינו כן אלא היה בהתיי'חסו אכלה
That is the case here: if we were to divide the 8-eighths by a whole 1, it would receive all those 8-eighths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div1=\frac{8}{8}}}$	וכזה הענין כאן אלו חלקנו הח' שמיניות לא' שלם היה יוצא לו כל אותם הח' שמיניות
Now, when we divide them by two-quarters, which is one half, they necessarily need twice as much as a whole one needs. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{8}\div\frac{2}{4}=\frac{8}{8}\div\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)=2=2\sdot1=2\sdot\left(\frac{8}{8}\div1\right)}}$	ועתה כשחלקנו [אותם]‫ על שני רביעיות שהוא חצי אחד בהכרח שיספיקו להם כפל ממה שיספיקו לאחד השלם
It is as if they receive twelve-eighths, which is one and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}\div\frac{2}{4}=\frac{12}{8}=1+\frac{1}{2}}}$	ויהיה כאלו כאלו נפל להם שנים עשרה שמיניות שהוא אחד וחצי
It is in relation to their deficiency compared to one, but not in actu.	וזהו בהתייחסות אל חסרונם הא' אבל לא בשלוח
The Fifth Type: Proportions [of fractions]	המין הה' בערכין
This is clear from what we said about it for integers, as well as from that we know that this type consists of multiplication and division and as their verification, so is the verification here.	הנה זה מבואר ממה שדברנו בו בשלמים וממה שידענו שזה המין מורכב מכפילה וחלוקה וכפי האימות בהם ככה ימצא האימות בזה
The Sixth Type: Roots of fractions	המין הו' בשרשי השברים
Know that the issue of roots of fractions is similar to the issue of roots of integers.	דע כי ענין השרשים בשברים דומה לעניינים בשלמים
I have already said that the one is the beginning of the integers and the end of the fractions.	וכבר אמרתי כי האחד הוא ראש השלמים וסוף השברים
As one is a square number [$\scriptstyle{\color{blue}{1=1^2}}$] and if you wish to find the next integer square, you should find a pair, or pairs, of numbers between them - [the number of the pairs between $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n^2}}$ and $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+1\right)^2}}$ is] as the number of the preceding squares, so is the case of the fractions.	והנה כמו שהאחד מספר מרובע ואם תרצה לדעת המרובע הסמוך בשלמים תצטרך לשום ביניהם [זוג]‫ מספרים או זוגי מספרים כמספר המרובעים שעברו כן הענין בשברים
[= the number of pairs of fractions between two consecutive squares $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{n+1}\right)^2}}$ and $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{n}\right)^2}}$ is equal to the number of the preceding squares]
Because, between 1, which is the first square and the first square fraction there is one pair of fractions: between one and a quarter that are squares, there is one pair of fraction, which is a half and a third.	כי בין האחד שהוא המרובע הראשון להם ובין השבר המרובע הראשון זוג שברים אחד וזה כי בין האחד והרביע שהם מרובעי' הנה יש ביניהם זוג שברים והוא החצי והשליש
Between a quarter and a ninth there are two pairs of [fractions] as the number of the preceding [squares], which are a fifth, a sixth, a seventh, and an eighth.	וכן בין הרביע והתשיעית שני זוגי מספרים כמספרים שעברו והם החמישית והשישית והשביעית והשמינית
As two, which is next to one, is the root of four, which is the square that is follows the first, so the half, which is one of two, is the root of a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{1+1=2=\sqrt{4}\longrightarrow1\div2=\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}}}}$	וכמו שהשנים הסמוכים אל האחד הוא שורש הארבעה שהוא המרובע הסמוך לראשון כן החצי שהוא אחד מהשנים הוא שורש הרביע
As two squares [$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2a^2}}$] and three [$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{3a^2}}$] do not have a root, because two and three do not have a root, also there is no root for two times 4 [$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4}}$], nor to 3 times 4 [$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4}}$], so there is no root for two-quarters [$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}}}$] nor to 3-quarters [$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$].	וכמו שאין לשני מרובעי' ולא לשלשה שורש כי [אין]‫ לשנים ולא לשלשה שורש וכן אין לשני פעמים ד' ולא לג' פעמים ד' שורש כן [אין]‫ לשני רביעיות ולא לג' רביעיות שורש
Because the multiplication of a non-square number by a square number generates a non-square [number], just as [the multiplication of] a square number by a square generates a square.	‫[כי]‫ מכפילת מספר בלתי מרובע במספר מרובע יולד בלתי מרובע כמו שממספר מרובע במרובע יולד מרובע
The product of 4 by 9 is 36 and it is a square number. $\scriptstyle{\color{blue}{{\color{OliveGreen}{2^2\times3^2}}=4\times9=36={\color{OliveGreen}{6^2}}}}$	וזה כי מכפילת הד' בט' יעלו ל"ו והוא מספר מרובע
The product of 4 by 16 is 64, which is also a square number. $\scriptstyle{\color{blue}{{\color{OliveGreen}{2^2\times4^2}}=4\times16=64={\color{OliveGreen}{8^2}}}}$	וכן מכפילת הד' בי"ו יעלו ס"ד והוא גם כן מספר מרובע
And so on.	וכן תמיד
In general, I say that if you want to know the fractions that have a root, look at the integers that have a root and derive their name for the fractions and they will [have a root]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{n^2}=n\longrightarrow\sqrt{\frac{1}{n^2}=\frac{1}{n}}}}$	ובכלל אומר כי אם תרצה לדעת השברים אשר יהיה להם שורש הנה ראה השלמים אשר להם שורש וגזור מהם שם לשברים והם יהיו
4 has a root and a quarter has also a root.	כיצד הד' יש לו שורש וכן הרביע יש לו שורש
9 has a root and so does the ninth.	ועוד הט' יש לו שורש וכן התשיעית
16 has a root and one part of 16 has a root also.	ועוד הי"ו יש לו שורש וכן אחד מי"ו יש לו שורש
I further say that just as two is the root of 4, so the half, which is one of two, is the root of a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2\longrightarrow\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}}$	ועוד אומר כי כמו שהשנים הוא שורש הד' כן החצי שהוא אחד משנים שורש הרביע
Also, just as three is the root of 9, so the third is the root of a ninth. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=3\longrightarrow\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}}}$	וכן כמו שהשלש הוא שורש הט' כן השליש הוא שורש התשיעית
And so on endlessly.	וכן לעולם
Know that what I said, that there is no square between a square and a square - as if you say between 1 and 4, or between 4 and 9, as well as between 1 and a quarter, or between a quarter and a ninth - must be understood for integers, or fractions - each type by itself.	ודע כי זה שאמרתי כי לא ימצא מרובע בין מרובע למרובע כאלו תאמר בין הא' והד' או בין הד' לט' וכן בין הא' והרביע או בין הרביע ‫והתשיעית צריך שיובן בשלמים או בשברים כל אחד בפני עצמו
[= between $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n^2}}$ and $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+1\right)^2}}$ or between $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{n+1}\right)^2}}$ and $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{n}\right)^2}}$]
But, in [the type of] integers [and] fractions they are found infinitely:	אבל בשברים שלמים כבר ימצאו לבלתי תכלית
When you multiply one and a half by one and a half, the result is two and a quarter, so [it has] a root. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2+\frac{1}{4}\longrightarrow\sqrt{2+\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{2}}}$	כיצד כשתכפול האחד והחצי באחד והחצי יעלו שנים ורביע והנה אין לו שורש
When you multiply one and a third by one and a third, the result is one and 7-ninths, so it also has a root. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{3}\right)^2=1+\frac{7}{9}\longrightarrow\sqrt{1+\frac{7}{9}}=1+\frac{1}{3}}}$	והנה כשנכפול אחד ושליש באחד ושליש יעלו [אחד שלם]‫ וז' תשיעיות יש לו גם כן שורש
Likewise for one and a quarter, or one and a fifth and so on endlessly.	וכן באחד ורביע או אחד וחמישית ולאין תכלית
Why there are no roots for non-square numbers
If you want to say: these numbers are next to each other and since one and a third is missing two-ninths from the root of two and one and a half exceeds by a quarter over it, then whether two-ninths are subtracted, or a quarter is added, it is possible to find a number whose product is equal to two and will be its root.	וא"ת והלא המספר סמוך זה לזה וכיון שהאחד ושליש [חסר]‫ תחת שני תשיעיות משורש השנים והאחד והחצי הוסיף ממנו רביע והנה בין יחסר ב' תשיעיות או יוסיף רביע אפש אפשר שנמצא מספר שישתוה כפילתו למספר השנים ויהיה שורש לו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}=\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}}=\sqrt{\left(1+\frac{7}{9}\right)+\frac{2}{9}}\longrightarrow1+\frac{1}{3}<\sqrt{2}<1+\frac{1}{2}}}$
We say that the truth is that it is found in potentia, but not in actu:	נשוב ונאמר כי האמת כי ימצא בכח אבל לא בפועל
It exists in potentia, since it is continuous, but it does not exists in actu, since it is separated into numbers.	ואמנם נמצא בכח מצד שהוא מדובק ולא ימצא בפעל מצד שנפרד והיה למספר
It is as Ibn Rushd [middle commentary on the Physics VI.12 ?] said: every line is divisible at any of its point, but if it is divided in actu at one [point], it is indivisible at the [point] next to it.	והיה זה כענין שיאמר ן' רשד כי כל קו אפשר שיתחלק בכל נקודה ממנו ואמנם כשנתחלק בפועל באחד נמנע בסמוכה לה
It is possible from the aspect that it is continuous, because it is possible to construct a quadrilateral whose area is two, hence it has to have sides, and [these sides] can be formed as equal - thus, [they represent] the root [of 2].	ואמנם אפשר מצד שהוא מדובק לפי שאפשר שנעשה מרובע שיהיה תשבורת שנים ובהכרח שימצא לו צלעות ואפשר לעשותן שוות והוא השורש
It is impossible from the aspect of the numbers, because it is impossible that the root of three, for instance, will be an integer, for one is missing and the other exceeds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3}=\sqrt{4-1}=\sqrt{1+2}\longrightarrow1<\sqrt{3}<2}}$	ואמנם נמנע השורש מצד המספר לפי ששורש השלשה במשל אפ אי אפשר שיהיה שלם כי האחד יגרע והשני יוסיף
It is also not possible for [the root of 3] to be an integer and fraction, since when we multiply the integer by the integer, as well as the integer by the fraction [$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n^2+\left(n\sdot\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}\sdot n\right)}}$], the result can be an integer, but when we multiply the fraction by the fraction, the result is a fraction of a fraction [$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a}{b}\right)^2}}$] and this cannot be added to the fraction, and even more so to the integer, so that the total [$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n^2+\left(n\sdot\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}\sdot n\right)+\left(\frac{a}{b}\right)^2}}$] will be an integer.	וגם א"א שימצא בשלם [.] ושבר לפי שכ[ש]נכפול השלם בשלם וגם השלם בשבר אפשר שיצא מזה שלם אבל כשנכפול השבר בשבר היוצא יהיה שבר השבר והוא לא יתחבר עם השבר וכ"ש עם השלם לשיצא מכלם שורש שלם
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{3\ne n^2+\left(n\sdot\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}\sdot n\right)+\left(\frac{a}{b}\right)^2\longrightarrow\sqrt{3}\ne=n+\frac{a}{b}}}$
All the types [of arithmetical operations] are enough for [solving] simple problems, but for [solving] complex problems they should be combined by the mentioned techniques.	הנה אלה המינים יספיקו באשר הם בשאלות הפשוטות ואמנם במורכבות צריך להרכיב בהם בדרכים הנאמרים

Word Problems
Give and Take Problem - filling/draining a cistern
A man asks a question: a cistern - I only know its height, which is 12 cubits. Every night it fills up to a third, and on the next day, its quarter drains. In how many days and nights will it be completely filled? $\scriptstyle\frac{1}{3}X-\frac{1}{4}X=1$	כיצד אדם שאל שאלה אחת בור רק יש לי גובהו י"ב אמות ובכל לילה מתמלא שלישיתו וביום הסמוך יחסר רביעיתו בכמה ימים עם לילותיהם ימתמלא כלו
This problem consists of subtraction and multiplication:	והנה זאת [השאלה]‫ מורכבת מהמגרעת והכפילה
First, we should subtract a quarter from a third; one part of twelve remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}}$	וזה כי בתחלה צריך שנגרע הרביע מהשליש וישאר אחד משנים עשר
Then, we multiply it by 12; it is 12 so the cistern is filled within that number of days. $\scriptstyle{\color{blue}{X=1\sdot12=12}}$	ואחר נכפול זה בי"ב ויהיו י"ב ובאותן הימים ימתל יתמלא הבור
First From Last Problem - Money
Another one: I had money in my purse. I took its third and its quarter, and 12 remained. How much was the money? $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X\right)=12$	עוד שנית ממון היה לי בכיס ולקחתי שלישיתו ורביעיתו ונשארו י"ב כמה היה הימים הממון
This problem consists of addition, subtraction and proportions.	הנה זאת השאלה תשוב אל הקיבוץ ואל המגרעת ואל הערכים
Addition: we sum the third and the quarter; they are 7 [parts] of 12 of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}}}$	אל הקיבוץ כיצד נקבץ השלישית והרביעית והיו ז' מי"ב בשלם
We subtract them from 12; 5 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}}}$	נשאר נגרע אותם מי"ב ונשארו ה‫'
Proportion - Rule of Three: we relate and say: if all the parts except the third and the quarter, which are 5, are equal to 12, how much are the third and the quarter, which are 7? $\scriptstyle{\color{blue}{5:12=7:a}}$	נעריך ונאמר אם כל שאר החלקים חוץ מהשליש והרביע שהם ה' שוים י"ב השליש והרביע שהם ז' כמה יהיו שוים
We multiply 7 by 12; the result is 84. We divide it by 5; the result is 16 and 4-fifths and this is the value of the third and the quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=\frac{7\sdot12}{5}=\frac{84}{5}=16+\frac{4}{5}}}$	נכפול ז' בי"ב ויעלו פ"ד נחלקם על הה' ויצאו י"ו וד' חמישיות והוא מספר השליש והרביע
We add it to 12; it is 28 and 4-fifths and this is the amount of money the purse. $\scriptstyle{\color{blue}{X=12+\left(16+\frac{4}{5}\right)=28+\frac{4}{5}}}$	נקבצם עם הי"ב והיו כ"ח וד' חמישיות והוא היה הממון ‫אשר בכיס
There are [problems] that consist of two sciences and two types [of arithmetical operations]:	ויש מורכבת משני חכמות ומשני מינים
Triangulation Problem
One asks: I have a wall that is eight cubits tall. Around it a river or ditch six cubits width. How high should be the ladder to be placed near the ditch enough to climb to the top of the wall? $\scriptstyle x=\sqrt{d^2+h^2}$	כיצד שאל אחד כותל יש לי שגובהו ח' אמות וסביבותיה נהר או חפירה יש ברחבה ו' אמות כמה צריך להיות גובה הסולם להניחו סמוך לחפירה ויספיק לעלות לגבהה של כותל
This problem requires [knowledge of] geometry, which teaches us that the square of the ladder, which is the hypotenuse, is equal to [the sum of] the two squares - one formed by the ditch and the other by the wall [= Pythagorean theorem]	זאת השאלה תצטרך לחכמת ההנדסה‫ שתודיע לנו כי המרובע הסולם שהוא יתר הזוית הנצבה שוה לשני מרובעים הנעשים האחד מהחפירה והשני מהכותל
After we know that, we multiply 6, which is [the width of] the ditch, by itself; the result is 36.	ואחר שהודיענו זה נכפול הו' בעצמו שהוא החפירה ויעלו ל"ו
We also multiply the wall, which is 8, by itself; the result is 64.	וכן נכפול הכותל בעצמו שהוא ח' ויעלו ס"ד
We add 35 to 64; the result is a hundred.	ונקבץ הל"ו אל הס"ד ועלו מאה
We extract its root; it is ten and this is the height of the ladder. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10}}$	ונקח שרשם והוא עשרה והוא יהיה גובה הסולם
Another [problem] consists of a certain number and proportional numbers.	עוד מורכבת ממספר מה וממספרים מתייחסים
Find a Number Problem
As when one asks: what is the number such that when we subtract its half and one half more, then [we subtract] from the remainder its half and one half more, then [again we subtract] from the [second] remainder its half and one half more, we are left with one.	כמו ששאל אחד איזהו מספר אשר כשנשליך חציו ועוד חצי אחד ומן הנשאר חציו ועוד חצי אחד וישאר אחד ב[ע]ינו

$\scriptstyle\left[\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)\right]\right]+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)\right]\right]+\frac{1}{2}\right]\right]+\frac{1}{2}\right]=1$

First, we look for a number that has a half, half the half, and half the half of the half: it is found when we say that the half is found in two; half the half in 4; and half the half of the half in 8.	הנה בתחלה נבקש מספר שימצא החצי וחצי החצי וחצי חצי החצי וזה ימצא באשר נאמר כי החצי ימצא בשנים וחצי החצי בד' וחצי חצי החצי בח‫'
When we subtract from 8 its half, the half of its half, and the half of the half of its half, one remains. So, in this way one remains from each 8. $\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]\right]=1}}$	והנה כשנשליך מח' החצי וחצי החצי וחצי חצי החצי ישאר אחד א"כ מכל ח' ישאר אחד בזה הדרך
When we subtract from 8 its half plus one half, then from the remainder its half plus one half, then from the remainder its half plus one half; one-eighth remains.	ואמנם כשנשליך מח' החצי ועוד חצי אחד ומן הנשאר החצי ועוד חצי אחד ומהנשאר החצי ועוד חצי אחד ישאר בינינו שמינית אחת

$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[8-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[8-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\right]+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left[8-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[8-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\right]+\frac{1}{2}\right]\right]+\frac{1}{2}\right]=\frac{1}{8}}}$

Now, we should add another number to this number, such that when subtracting its half plus one-half, half its half plus one-half, and half the half of its half, 7-eighths remain to complete the remainder to one unit. $\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}}}$	ועתה צריכין אנחנו לחבר לזה המספר מספר אחר שהשליך החצי וחצי החצי וחצי חצי החצי ישארו ז' שמיניות להשלים הנשאר לאחד שלם
Rule of Three: we find it by proportions, when we say: if from eight one remains, from which number will seven-eighths remain? $\scriptstyle{\color{blue}{8:1=a:\frac{7}{8}}}$	ונמצא אותו בערכים שנאמר אם במספר שמונה ישאר אחד באיזה מספר ישארו שבעה שמיניות
We find that this number is seven. $\scriptstyle{\color{blue}{a=7}}$	ויצא לנו שהוא מספר השבעה
Therefore, when we add this number 7 to the number 8, the result is 15 and this is the required number. $\scriptstyle{\color{blue}{X=7+8=15}}$	א"כ בקבצנו מספר הז' הזה אל מספר הח' יעלו ט"ו והוא יהיה המספר המבוקש
Multiple Quantities Problem
Question: we had 10 qabbin [dry measurement] of bread that are worth 300 zehuvim [golden coins], but these qabbin are not equal, and we do not know how much the first qab is worth.	‫[שאלה אם היו לנו עשרה קבין לחם והם שוים שלש מאות זהובים וזה הקבים אינם שוים או הלחם לא היה שוה
We only know that the second qab is worth 2 zehuvim more than the first [qab].	ואין אנו יודעים כמה שוה הקב הראשון אלא ידענו שהקב הב' שוה ב' זהובי' יותר מהראשון
The third qab [is worth] 3 zehuvim more than the second qab.	והקב הג' ג' זהובים יותר מהקב הב‫'
The fourth qab [is worth] 5 zehuvim more than the third qab.	והקב הד' ה' זהובים יותר מהקב הג‫'
The fifth qab [is worth] 7 [zehuvim] more than the fourth qab.	והקב הה' ז' יותר מהקב הד‫'
The sixth qab [is worth] 3 zehuvim more than the fifth qab.	והקב הו' ג' זהובים יותר מהקב הה‫'
The seventh qab [is worth] 2 zehuvim more than the sixth qab.	והקב הז' ב' זהובי' יותר מהקב הו‫'
The eight qab [is worth] one zahuv more than the seventh qab.	והקב הח' א' זהוב יותר מהקב הז‫'
The ninth qab [is worth] 4 zehuvim more than the eight qab.	והקב הט' ד' זהובי' יותר מהקב הח‫'
And the tenth qab [is worth] 2 zehuvim more than the ninth qab.	והקב הי' ב' זהובים יותר מהקב הט‫'
How much is each qab worth?	הנה נרצה לידע כמה שוה כל א' וא' מהם
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=300\\\scriptstyle a_2=2+a_1\\\scriptstyle a_3=3+a_2\\\scriptstyle a_4=5+a_3\\\scriptstyle a_5=7+a_4\\\scriptstyle a_6=3+a_5\\\scriptstyle a_7=2+a_6\\\scriptstyle a_8=1+a_7\\\scriptstyle a_9=4+a_8\\\scriptstyle a_{10}=2+a_9\end{cases}$
I say that the first qab is worth 14 zehuvim and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=14+\frac{1}{2}}}$	הנה אומ' שהקב האחד ישוה י"ד זהובי' וחצי
The second 16 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=16+\frac{1}{2}}}$	והשני י"ו וחצי
The third 19 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=19+\frac{1}{2}}}$	והשלישי י"ט וחצי
The fourth 24 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=24+\frac{1}{2}}}$	והד' כ"ד וחצי
The fifth 31 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_5=31+\frac{1}{2}}}$	והחמישי ל"א וחצי
The sixth 34 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_6=34+\frac{1}{2}}}$	והששי ל"ד וחצי
The seventh 36 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_7=36+\frac{1}{2}}}$	והשביעי ל"ו וחצי
The eighth 37 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_8=37+\frac{1}{2}}}$	והשמיני ל"ז וחצי
The ninth 41 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_9=41+\frac{1}{2}}}$	והתשיעי מ"א וחצי
The tenth 43 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=43+\frac{1}{2}}}$	והעשירי מ"ג וחצי
The total is three hundred zehuvim that are all equal, but each qab is not equal to the other qabbin. $\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=300}}$	ויעלה כל זה לשלש מאות זהובים שהיו שוים כלם אבל שלא היו שוים כל קב מהם לכל קב מהם
The way you do it is that we assume, for example, that the first qab is worth 10 zehuvim. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=10}}$	והדרך אשר בו תעשה זה הוא כי נשים במשל שישוה הקב הראשון י' זהובים
According to our assumption, the second is worth 12. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=12}}$	וכפי הנחתינו ישוה הב' י"ב
The third 15. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=15}}$	והשלישי ט"ו
The fourth 20. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=20}}$	והרביעי כ‫'
The fifth 27. $\scriptstyle{\color{blue}{a_5=27}}$	והה' [כ"ז‫]
The sixth 30. $\scriptstyle{\color{blue}{a_6=30}}$	והו' ל‫'
The seventh 32. $\scriptstyle{\color{blue}{a_7=32}}$	הז' ל"ב
The eighth 33. $\scriptstyle{\color{blue}{a_8=33}}$	והשמיני ל"ג
The ninth 37. $\scriptstyle{\color{blue}{a_9=37}}$	והתשיעי ל"ז
The tenth 39. $\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=39}}$	והעשירי ל"ט
Sum up all of them; the sum is 255. $\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=255}}$	תחבר כל זה תחבר רנ"ה
See how much is missing up to three hundred; it is 45 zehuvim. $\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{300-255=45}}$	ראה מה שחסר עד השלש מאות והוא מ"ה זהובים
We divide these 45 by the 10 qabbin; each qab receives 4 zehuvim and a half. $\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{\frac{45}{10}=4+\frac{1}{2}}}$	נחלק אלו המ"ה על הי' קבים ויפול לכל קב ד' זהובים וחצי
Add these 4 zehuvim and a half to the previous numbers I mentioned with the halves; the result is the same:	הנה תחבר אלו הד' זהובים וחצי מאלו המספרים הסמוכים וחצי אשר הזכרתי ויצא שישוה
The first qab is 14 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=10+\left(4+\frac{1}{2}\right)=14+\frac{1}{2}}}$	הקב הראשון י"ד והחצי
The second is 16 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=12+\left(4+\frac{1}{2}\right)=16+\frac{1}{2}}}$	והשני י"ו וחצי
The third is 19 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=15+\left(4+\frac{1}{2}\right)=19+\frac{1}{2}}}$	והשלישי י"ט וחצי
The fourth is 24 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=20+\left(4+\frac{1}{2}\right)=24+\frac{1}{2}}}$	והד' כ"ד וחצי
The fifth is 31 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_5=27+\left(4+\frac{1}{2}\right)=31+\frac{1}{2}}}$	והחמישי ל"א וחצי
The sixth is 34 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_6=30+\left(4+\frac{1}{2}\right)=34+\frac{1}{2}}}$	והששי ל"ד וחצי
The seventh is 36 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_7=32+\left(4+\frac{1}{2}\right)=36+\frac{1}{2}}}$	והשביעי ל"ו וחצי
The eighth is 37 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_8=33+\left(4+\frac{1}{2}\right)=37+\frac{1}{2}}}$	והשמיני ל"ז וחצי
The ninth is 41 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_9=37+\left(4+\frac{1}{2}\right)=41+\frac{1}{2}}}$	והתשיעי מ"א וחצי
The tenth is 43 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=39+\left(4+\frac{1}{2}\right)=43+\frac{1}{2}}}$	והעשירי מ"ג וחצי
Sum up all of them; the total is three hundred. $\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=300}}$	והנה תחבר כל זה ויתחבר שלש מאות
There are those who are looking for a proof to know if they made a mistake in the addition.	יש מי שמבקש מופת לדעת אם טעה בקבוץ המספרים‫]‫
	ת"ם של"ע ת"ם

Appendix I: Glossary of Terms

wisdom, science	חכמות
physics	חכמה הטבעית
geometry	חכמת ההנדסה
arithmetic	חכמת המספר
philosophy	פילוסופיא
Decimal Dystem
one, unit	אחד, אחדות ה, אחדי ה, אחדים
rank	כלל, הכללים
rank	מדרגה, מדרגת ה, מדרגות (ה), מדרגותיו, מדרגתה, מדרגתם, במדרגתם, במדריגתם
Numeration
units	האחדות, אחדים, מדרגת האחדים, אחדיו
tens	עשרות, מדרגת העשרות, עשרותיו, עשרות ה
hundreds	מאות, מדרגת המאות
thousands	אלפים, מדרגת האלפים
tens of thousands	עשרת אלפים, במדרגת העשר אלפים
hundreds of thousands	מאת אלפים
millions	אלף אלפים
tens of millions	עשרת אלפי אלפים
hundreds of millions	מאת אלפי אלפים
thousands of millions	אלף אלפי אלפים
Positional System
digit, numeral	אות (ה), אותיות (ה), אותיותיו
zero	ספרא, סיפרא
Arithmetic Operations
Addition
summing	חבר ה, חבור ... עם
to add, to sum	לחבר ל, נחבר (אליהם / אליהם ה / עליהם ה), תחבר (אלו ה / ה... על / כל זה), תחברם
	יתחבר (מה / עם ה)
	בהוסיפנו ... על ה, נוסיף
addition, sum	קבוץ (ה), הקיבוץ, קיבוץ, הקבוץ
	קבוץ שני המספרים יחד, קבוץ המספרים, קבץ המספרים
to sum	לקבץ (... ב / ... עם), בקבצנו ... אל
	נקבץ (אותו עם / אותם ל / ה / ה... אל ה / הכל), נקבצם עם ה, קבצנו ה תקבץ (הכל) תקבצם (יחד / עם ה)
summed	המקובץ, מקובצים, הנקבצים (מ), המספרים הנקבצים
sum	סכום מניינם
Subtraction
subtraction	מגרעת, גרעון
to subtract	לגרוע (... מ / מ / ממנו ה), לגרוע מספר ממספר, בגרוע ... מ, בגרוענו ה... מה
	גרע (מה / מהם), גרענו מה
	נגרע (אותו מ / אותם מ / ה... מה / מ / מה / מהם / מהם ה / ממנו / ... מ / ... מהם), תגרע
to subtract	הפיל אותם, הפלנו (מה), נפיל (אותם)
to subtract	הסר, הסר מהם
	השליך, נשליך (חציו / מ... ה)
minuend	אשר גרענו ממנו, שגרענו ממנו, מספר אשר גרעת ממנו
subtrahend	המספר אשר גרענו, המספר הנגרע, מה שגרענו
	בלא תוספת ומגרעת
	לא יוסיף ולא יגרע
	הפחת והגרעון
	האחד יגרע והב' יוסיף
minus	חסרים ה
Multiplication
multiplication	הכפילה (ה / ב), בכפילה, כפילת (ה / ה... ב / ה... על / ה... עם / ... ב), כפילתו
	בהכאתם, מכפלת ... על, מכפילת ... פעמים
to multiply	לכפול (... ב / ... על / אותו / אותם / אותם ה... ב / אותם ב / ה / ה... ב)
	בכפול (... ב / ה... ב / ה... על ה)
	כפול (אותו ב / ה... ב)
	כפלנו (בו / ה / ... ב)
	נכפול (... ב / אותו / אותו ב / אותם / ב / בהם ה / בו ה / ה... ב / ה... על / זה ב)
	נכפול עוד ה... ב, נכפלם ב
	נכפיל זה ב
	תכפול (... ב / ה... ב / ה... על / על), תכפיל ה... ב
	תכפול אותם עוד ב
	כפלת ... בעצמו
	נכפול (אותו בעצמו / אותו על עצמו / ה... בעצמו), נכפלם בעצמם, נכפלם בעצמם
	תכפול (אותו בעצמו / ה... על עצמו), תכפלהו על עצמו
	שהיה בכפילת ה
	בהכפלו, כפילת ה... בעצמו, כפילת ה... על עצמו, כפילת ... כל אחת בעצמה
	יוכפלו
	הנכפלים, המספרים הנכפלים זה על זה, המספרים הנכפלים זה עם זה
product	העולה מהכפילה, העולה מכפילת ה... ב, העולות מהכפילה, מה שיעלה מכפילת ה... ב, הבא מכפילת ה... ב, בא מכפילת ה... זה בזה, שיצא לנו מכפילת ה... ב, המספר היוצא מהכפילה
duplicating	הכפל... על
to duplicate	להכפל
multiple	כפל, כפלים, הכפלים, הכפלים השלמים
triple	שלשה כפלים
sub-triple	שלשה חסרונות
double	כפלו
double of	כפל ה, כפל מ, כפל ממה ש
Division
division	החלוק, חלוקה, החלוקה, בחלוקה, בחלוקת... על, בחלוקת ה, בחלוק ... על
to divide	לחלק (... ב / ... ל / ...על / ה... ל / ב / על / על ה / ממנה / ממנו על ה), לחלקו על, לחלקם על
	בחלקנו ה ... על ה
	חלקנו (... ל / אותם על / אותם על ה / ה... על / ה... על ה / ה... ל / כל ה / ממנה), חלקת
	יחלקו על ה, נחלוק (אותו על ה / ה... ל / ה... על / ה... על ה / ה... עליהם / עליהם ה / עליו / עליו ה), נחלק (אותו על ה / אותם על ה / אלו ה... על ה / ה... על ה / עליו ה), נחלקם (ל / על / על ה)
	תחלקנו על, תחלוק (ה... על ה / עליו)
	נחלק ממנו על ה
to be divided	נתחלק
divisible	אפשר שיתחלק ב
dividend	במתחלק, המספר הנחלק, המספר המתחלק, המחולק
	נחלקים על
divisor	המספר אשר נחלק עליו, הנחלק עליו
	המספר אשר נחלק ממנו
	אשר חלק עליהם, שחלקת אותם
quotient	היוצא בחלוק, היוצא בחלוקה, היוצאים בחלוקה (על), היוצא בחלוקת, היה יוצא בחלוקה, יצא בחלוקה, אשר יצא בחלוקה, יצא לנו בחלוק, יצא לכל אחד בחלוקה, מה שיעלה בחלוקה
Extraction of Roots
root	שורש (ה), שרש (ה), שרשים, שרשיהם
to have a root	לו שורש, יש לו ג"כ שורש, ויהיה שורש לו, אשר יהיה להם שורש, אשר להם שורש
	שרש המרובע
	שורש שלם
	מספר שרשי (ל)
	לדעת שרש
to extract a root	נקח שרשם
	לשרש מה, שרשנו משם
	לבקש השרש, לבקש שרש ה
	בקשת שורש
	נבקש שרש (ה / ש)
	מספר אשר בקשת שורשו, המספר שבקשת שורשו
	השורש היוצא
	יש לו שורש
	לדעת שבר, לדעת השברים
square number	מרובע ה, מרובעים, מספר מרובע
	מספר בלתי מרובע
Casting out
to cast out by 9	הפלת תשעיותיו, בהשליך ה... בהשליך ... ט'ט', השליך אותיותיו ט'ט'
to be casted out by 9	הלכו להם ט'ט'
Completion
	להשלים ה... ל, להשלים עמו מ, להשלים עמו ב, להשלים עם ה... ל
to be completed	שלמו בו, ישלם, נשלם... ב
Decomposing
to decompose	נתיך אותו ל, נתיכהו ל
Conversion
to convert	נמיר (... ב / ... ל)
conversion of	המרת ... ב
Reduction
to reduce	להקטין
Proportion
proportion	ערכים, בערכים
to relate	נעריך
ratio	יחס (... אל / ה... אל ה), יחסים, ערך, ערכים
	ערך ה... אל ... הוא כערך ה... אל, ערך ה... אל ה... הוא כערך ה... אל
	הערך ה
proportional number	מספרים מתייחסים
in relation	בהתייחסות אל, היה בהתייחסות
by the ratio of	על יחס ה
related	מיוחס ל
related, proportional	נערכים
term	גבול ה, הגבול (ה / ה... מה / ה... מהערך ה), גבול ה... מהערך ה, גבולים
rule of four	ד' נערכים, ארבעה מספרים נערכי', ד' גבולים
rule of three	הג' נערכים, הג' המספרים הנערכים, ג' גבולים
	יחס השנים
	יחס השלשה
	יחס החמשה
	יחס השליש
	יחס החצי
	יחס הרביע
Arithmetic Terms
to calculate	נחשב
calculation	חשבון, חשבונות
number	חשבון
number	מספר, מספר ה, מספרים
	כמספר ה, כמספר ה... אשר ב, כמספרם
integer	שלם, (ה)שלמים, (ה)מספרים (ה)שלמים, בשלמים
fraction	שבר, שברים, שברי מספרים, שבריו
fraction of fraction	שברי שברים, שבר השבר
to fractionalize	נשבור ה
fractionalizing	שבירת
denominator	שם השבר, שם שבר, שמות השברים, שם מספר השבר
numerator	מספרים
part	חלק (מ...), חלקיו, חלקיהם, חלקים (מ), חלקים מ... בשלם
part of	חלקים מ
part of	היו ... מ... בשלם
to share (common multiple)	שבו ישתתפו (... ב / ה), שישתתפו בו (ב / ה), שישתתפו (ב)
to share (common factor)	משתתפים ב, משתתפי' ב
	ישתתפו המספרים ב
	בלתי משתתפים ב
least common multiple	המספר הראשון שישתתפו לשלם, המספר הראשון שישתתפו בו, מספר ראשון שישתתפו בו, המספר הראשון שבו ישתתפו, המספר הקרוב שישתתפו בו ה
even	זוג, זוגות
odd	נפרד, נפרדות, נפרדים
to increase, to rise	להתרבות, מתרבה, מרבה, יתרבו ה, נתרבה על ה, יתרבה בזה מ, נתרבו לנו, רבו
increasing	מוסיף, מרבה ומוסיף, הולך ומוסיף
to exceed	הוסיף על ה, יוסיף, הוסיף ממנו
excess	עודף, העודף על
difference	הפרש בין
difference	חסר עד ה
decreasing	החסרון
to decrease	יחסרו ה, יחסר, חסר
	גורע ופוחת
	גורע
deficiency	חסרונם ה
	חסר לנו ... ל
to result	הבא מן ה... ב
to result	יגיע, יגיע לזה, יגיע מהם
to result	עלה, עלו (ל / מה / מהם / מן), יעלה (ה / ל / מהם / כל זה ל, שם עם ה... ל), יעלו, יעלו ל, יעלו מהם, יעלו לשם
result	העולה
total result	הכלל העולה, כלל העולה (מה)
	היוצא, המספר היוצא, היוצא ל
to result	יצא (ב / ה / ל / מ / מכלם / ש), יצא לנו (ה / ש), היה יוצא ל, יצא (ה), יצאו (לנו)
	יצא לכל אחד, יצא לכל א'
	היה יוצא לו
to count	למנות, למנות אותה, מנה, מונה, ימנה ל, ימנו ב, ימנם, נמנה, תמנה מה
divisor	מונה, אשר ימנה אותם, שימנם, שימנה ה...ל, שימנה אותם
	מספר שימנם, מספר ימנה אותם, מספר ימנה ה... ל, מספר המונה ל
	מספר אשר הוא מונה בו ל
greatest common divisor	המספר היותר גדול שימנם
common divisor	מספר אחד שימנה לשנהם
	שבו מנה ה... ל
	ימנה (אותם / אותם ה / ה / ה... ל / ל / ל... ב)
	שמנה בו ה... ל
	שמנה ה... ל
	ימנהו בחלקיו
	המונה
	שימנם ל... ב
	המונה ל, המונים ל
	מונה ל... ב
counted	ספור
counting	הספירות
measurement	ממד
measured	מדוד
measure	מדה (אחד / א' של)
to extract	הוצאנו ב, הוצאנו ממנו ה
to approximate	נקרב אל ה
	היותר קרוב שאפשר, קרוב שאיפשר ממנו
	הקרוב לו
approximately	בקרוב
to remain	ישאר (ב / שם / שם ... על ה / ... על / מה), ישארו (שם / לשם / תחתיה / עוד), נשארו (שם / ... מ / עוד / על ה / מה / ב), נשאר (שם)
	לא נותר עוד, לא נשאר דבר, לא ישאר ממנו דבר, ולא ישאר דבר ב, ולא ישאר גם לשם דבר
	ישאר דבר ל, ישאר דבר ש
	לא ישאר ב... אלא
	לא ישאר מ... ל
remainder	הנותר, הנשאר, הנשאר על ה, נשאר, המספר הנשאר, הנשארים, השאר (בהם)
	הנשאר מן הכל
	ישאר בידינו, וישאר ... בידינו
	ממה שנשאר עליו
	מה שישאר מ, מה שישאר מה
	מה שנשאר
to remain	שנשאר בה, שנשאר על ה
	ישאר עוד שם, ישאר לשם, יהיה נשאר שם, היה נשאר שם, היה נשאר לשם
	נשארו ל
to be equal	שוה, היה שוה, ישוה ה, שוים ... ל
to be worth	שוה, שוה ה
same	שוה, שוים
equal	שוה ל, שוים, שוות
unequal	בלתי שוים
to become equal	להשתוות ל, ישתוה ל, ישתוה ...ל, ישתוו ל
to form as equal	לעשותן שוות
to keep	נשמור ה, נשמור אותו
	ששמרנו
reserved	שמורים
Geometry
point	נקודה
line	קו
quadrilateral	מרובע
area	תשבורו, תשבורת (ה... ב), התשבורת (שלו), תשבורת ה... על עצמו
side, factor	צלע, צלעיו, צלעות
product, surface	משוטח, מושטח (ה)
hypotenuse	יתר ה
right angle	הזוית הנצבה
height	גובה ה, גובהו, גבהו, גובהה של
width	רחבה
image	צורתו, צורת ה
form	בצורה, צורתם
	א.מ.ר.
category	מאמר
ten categories	מאמרות הי'
category of quantity	מאמר הכמות
to say, to state	לומ' ש, לומר (ש), אומ' ש, אמרנו, אמרנו ל, תאמר ב, ונאמ'
	שאמרנו, כמו שאמרנו, כמו שאמרנו ב, כפי מה שאמרנו
	יאמר, יאמר... כי
	נאמר, נאמ', נאמר כי, נאמ' כי, נאמר ש, נאמר לו, נאמר עליו ב
	נאמר בהקש אל
to be said	הנאמרי', הנאמרים, הנאמרים למעלה
	כאלו תאמ', כאלו תאמר, כאלו תאמר כי, כאלו תאמר ש
	שאמר לך
	וכבר אמרתי כי
	זה שאמרתי כי
	וממה שאמרנו בתחלה ב
	שנאמ'
	אומר כי, ואומר בראשונה כי, ועוד אומר
	א.מ.ת.
correctly	אמת, באמת
in fact, in truth	באמת, האמת כי, האמת ש
truth	אמיתת זה ה
correct	אמיתי
	א.פ.ש.ר.
possibility	האפשרות (ב)
	שאיפשר ממנו
	מה שאפשר מהם
possible	אפש', אפשר (ש), איפש' (ל / ש)
impossible	א"א ש, אי אפש'
	היותר שאפשר, היותר ממנו שאפשר, היותר שאפשר ממנו
	ב.א.ר.
	כמו שנתבאר ב, כמו שנתבאר כל זה ב
	הנה זה מבואר, הנה זה מבואר ש, הוא מבואר כי
	ב.ו.א.
derived from	בא מ
to bring	יביאך אליו ה
	ב.ח.נ.
to examine	תבחין
to be examined	יבחן (ב)
	ב.י.נ.
to understand	הבינו, הבינו כי, תבין ה, תבין כי, תבין ל
to be understood	יובן (ב / ה)
	ב.ק.ש.
to seek for	בבקש ה, לבקש (ה / להם ה / משם), נבקש (אותו / ה / ל), נבקש אותו ב, נבקש אותו ה, בקש (ה), בקש עוד ה
	מבקש
sought	המבוקש, המספר המבוקש
	ג.ז.ר.
to denominate	גזור מהם שם ל
	ד.ב.ק.
continuous	מדובק
	ד.ב.ר.
to discuss	לדבר ב, דברנו ב, נדבר בו, נדבר ב
thing, any thing	דבר, דברים
	דבר מה
	ד.י.נ.
	מן הדין היה ש
	ומן הדין הוא זה
as	כדין ה
	אינו דין ש
	ד.מ.ה.
similarity	דמיון, דמיון... עם
similar, corresponding	(ה)דומה לו, הדומה לה, דומה (ל / לו)
to resemble	ידמה זה ל
form	דמות (ה / כל ה)
	ד.ר.כ.
way	דרך (ה)
technique	בדרכים
	בדרך זה, בזה הדרך
	הדרך אשר בו תעשה (זה)
	על דרך
	ה.פ.כ.
inverse	מתהפך ל, מתהפכים
to be inverted	נהפך ה
conversion	הפך
to convert	להפך
vice versa	להפך
upside down	הפוכה
	ז.כ.ר.
to mention	הזכרתי, בזכרנו
	ח.ב.ר.
to be summed	להתחבר, תחבר ה, מחובר עמו, יתחברו מה
to be composed	להתחבר ב
	ח.ל.פ.
diversity	חלוף
	ח.ל.ק.
to be divided	להתחלק (ל)
indivisible	אינו מתחלק
	ח.ש.ב.
to consider	בחשבך אותו לאחדים בתוכם, תחשבם לאחדים בתוכם
	בחשבנו אותם אחדים במקומם, בחשבנו אותם לאחדים
	לחשבה לעשרות ב
	בחשבנו אותם שם ל
	חשבנו אותם מה
	חשבנו אותם ל... במקומם
	יחשבו עליו ל
	נחשוב אותם ל
	נחשוב אותו כאלו הוא אחד, ונחשוב אותו שם לאחד
considered	חשובים ל, נחשבים ל, נחשבים ל... על ה
in thought	במחשבה
	ט.ב.ע.
nature	בטבע
	בלתי טבעי
	ט.ע.מ.
reason	טעם, הטעם ב, הטעם בזה הוא כי
	י.ד.ע.
to know	לידע (כמה), לדעת (אותו / אם / ה / כמה הוא), לדעתו, ידענו ש
	דע כי, ידענו (ה / ש), נדע (אם / במה / באי זה) , תדע (ש)
to be known	יודע (ה), נודע לנו ה, נודע לנו מזה ה, ממנו נודע
	נודע, הנודע
known	ידוע לנו
	היודע
	תשכיל ותדע איך, ומזה תשכיל ותדע לעשות
	ואין אנו יודעים כמה
	הודיענו זה, תודיע לנו כי
knowledge	ידיעת, ידיעתינו
	י.כ.ל.
to be able	היינו יכולים ל, היינו יכולין ל, יכול היית ל, נוכל ל, תוכל, יוכל ל
	י.ל.ד.
to be generated	יולד
	י.פ.ת.
proof	מופת ל, מופת זה ה, המופת על זה
	י.ר.ד.
to lower	להוריד (אליהם מה / ה / על ה / ... על ה), להורידם על ה, הורידו מ... ל, הורדנו אותם על ה
to lower, to shift to the preceding rank	הורדנו (על ה / עליו), הורדנו אותה ממדרגתו
	נוריד (אליו ה / עליו ה), נורידם על ה
	תוריד ה... על ה, תורידה אל ה
	שהורדנו על ה
	כ.ו.ח.
in potentia	בכח
potentiality	בכח, הכח, הכח... ל, כח בהם ל, כח ב... ל, כח ל
	כ.ו.ל.
to be able	הכילה ל
to contain	הכיל מה ש
	כ.ו.נ.
intention, meaning	הכוונה ב, הכוונה היתה ש, הכוונה ש
intention	המכוון
intention	הכונה בו ל
	כ.ל.ה.
to end	יכלה ב, יכלה אל ה
	במקום שיכלה
	כ.ל.כ.ל.
to provide for	לכלכל ל
	כ.ל.ל.
to include	לכלול ה, יכלול (ה / ה... עם / זה / ... אותם)
	נכללים
	כ.ת.ב.
to write	אכתוב, כתבנו (ב), נכתבם (ב / על ה / עליהם), נכתוב (אותו / אותם / ב / ה), נכתו' (... ב / ... על ה / ... סמוך ל / אותו סמוך ל / אותם / ה / ה... ב / ה... על ה / ה... תחת ה), תכתבם, תכתוב (... תחת / מה ש / ה... עליה), תכתו' (ה / ה... ב / ה... באותה), תכתבהו ב
	לכתו' שם אלו ה, נכתו' שם
written	מה שכתו' ב
	ל.ק.ח.
to take	לקחת ... מ, לקחנו (ה / מהם), לקחתי, נקח (ה / מ / מה / מהם / משם)
	מ.י.נ.
type	מין, מינים, המין ה... ב, מיני
types of arithmetical operations	מינים
	מ.ל.א.
to fill	יתמלא ה, יתמלא כלו, מתמלא
	מ.צ.א.
to find	נמצאנו, מצא (אותו ב / ה / כי), נימצא (ה), נמצאהו (ב / כש), תמצא, תמצאו ב
to find	מצינו ב
	לא נמצא דבר ב, לא מצאנו דבר יותר, לא מצאנו ב... דבר
to be found	ימצא (ב / ה / ל / לו / להם / ה... בזה), ימצאו (בו / בו ה), ימצא לו
to exist	ימצא ב, נמצא ב, נמצא בו
existence, essence	מציאות
to discover	נמצא כי, תמצא (בזה כי / לזה כי)
existence, being	נמצא, נמצאים, הנמצאות, כל נמצא מהם
	מ.ש.ל.
to demonstrate	המשלנו, נשים במשל ש, נשים משל לזה
for example	משל (ל), ד"מ, המשל (בזה / בזה ש / לזה / ... לזה ב), במשל, במשל האחר מן
	במשל שהמשלנו, במשל הראשון שהמשלנו
	נ.ג.ע.
to be given	יגיע ל
to reach	הגיע ... עד
	נ.ו.ח.
assumption, definition	הנחתינו
to place	להניחו
	נ.פ.ל.
to be given	יפול ל, נפל להם
	נ.פ.ש.
essence	נפש
essential	נפשי
	נ.ת.נ.
to give	לתת (ה / ל / להם / ממנה / מה... ל / ל... מה), יתן (ה), נתן (ל / להם / לו / כך ל / ככה מה), תן לה ממנה, נתן מה... ל, נתנו לה
	ס.ב.ב.
cause	סבת ה, סבות
reason	מסבת זה, הסבה בזה
	ס.ד.ר.
to arrange	נסדרם, סדר (ה), תסדרם (ב)
to be arranged	יסודרו
order	סדר ה
	ס.ו.ג.
type	סוג
	ס.פ.ק
to provide for	לספק ל
to be enough	יספיק (ה / ל / לכל), יספיקו (ל / להם)
	ע.י.נ.
investigation	עיון
to investigate	לעיין בו ב
	ע.ל.ה.
	העלנו
to climb	לעלות ל
	ע.נ.י.
property	ענין, הענין ב, בענין ה, עניינם ב
sense	עניין, ענין, בענין ש, כענין ש, וכזה הענין
way	כענין ב
	ע.ס.ק.
deal, engagement	עסקם ב
to deal with	יעסקו ב
	ע.ש.ה.
to make	לעשות, עשו מ, בעשותנו ה
procedure	המעשה, המעשה בזה, המעשה בו ש
to do, to proceed	לעשות, לעשותו, עשינו, עשית (ה), תעשה
	כמו שעשינו
to convert	נעשם, עשינו אותו, עשינו אותם, נעשה (אותם / ה)
to be generated	הנעשה מה... ב
applied	נעשה ב
created from	הנעשים ... מ
to construct	נעשה
	ע.ת.ק.
to shift	בהעתיק אותה ממקומה, להעתיק אותה ממקומה, להעתיק ה... ממקומם על ה
to be shifted	שהועתק אליה
	פ.ע.ל.
to act	לפעול, לפעול בו זה
act	פועל, פעל, מפעל ה... ב
agent	פועל
in actu	בפעל
	פ.ר.ד.
separating	הפרדה
separate	נפרד, נפרדים, נפרדים ונבדלים
to be separated	להתפרד, להפרד, תפרד ה, נפרד
	פ.ר.ש.
commentator	המפרשים
to interpret	פרשו אותו
meaning	פי'
separating	בהפריש ה
	צ.ר.כ.
should	צריך ל, צריך ש, צריך להיות, צריכין אנחנו ל
	נצטרך ל
to need	תצטרך ל, תצטרך ל... ש
	יצטרך ה, יצטרך אליו, יצטרך לו
need	צורך ... ל
	ק.ב.ל.
to receive	המקבלים, יקבל ה, יקבלו כלם
Kabbalists	המקובלים
to believe	קבלו ש
	ק.ר.א.
to be called	נקרא, יקרא (ה)
to call	קראו ל
	ק.ר.ה.
to happen	יקרה להם, יקרה ל, קרה לו
	ר.א.ה.
to see	יראה, ראה (ה / ש), נראה (איזה / ש)
	כמו שאראך ב
	ר.ג.ל.
to be use to	הרגילו ב
to train	ולהרגילך בזה
	ר.ד.פ.
equivalent	נרדף ל
	ר.כ.ב.
consists of	מורכב מ, מורכבת מ, מורכבת מה
compound	מורכב מ
complex	המורכבים, מורכבות
assembling	הרכבת ה
to combine	להרכיב בהם
	ר.מ.ז.
to allude	רומזים ל
undetermined	בלתי רמוזים
	ר.צ.ה.
to wish	נרצה ל, רצינו (זה / ל), רצית ל, תרצה (ל)
	ש.א.ל.
to ask	שאל
question	שאלה, שאלות
	כמו ששאל
	ש.ו.ב.
to revert	שב ל
to restore, to return	נשיב ה... ל, תשיב ה... ל
	הושב להם ה
to turn to	תשוב ל, נשוב ל
to return	נשוב ו, בשוב
to become	תשוב ה
	ש.ו.מ.
to place	נשים אותו על, לשום על ה, לשום ביניהם, תשים ב
to define	נשים ה
to set	נשים ה
	ש.כ.ל.
mind, intellect	שכל
self-explanatory axiom	מושכל ראשון
	ש.ל.ח.
in actu	בשלוח
	ש.ע.ר.
to consider	בשערך, משער ה... ל
	ש.פ.ט.
rule	משפט, משפט ה, כמשפט
	ש.פ.ע.
emanation	שפע
subject to emanation	מושפע מ... ב
	ת.ח.ל.
to begin, to start	התחלנו מ, נתחיל (ב / ל... מ / מ), נתחיל בתחלה ל, נתחיל ל... מ, תתחיל ל, תתחיל ב... ממנה
first	בתחלה, תחלה
beginning	התחלה, מתחלת ה
	כמו שהוא בצורה הזאת, כמו שהוא בזאת הצורה
	כמו שהוא בכאן, כמו שיש בכאן
position	במקומם, במקומה
in the place where	ובמקום ש
no need for	ואין מקום
by itself	בפני עצמם, בפני עצמו, בעצמו
essential	עצמית
itself	עצמו, בעצמו, הוא בעצמו
selling	מכירת
land	קרקעות
earth	ארץ
depend	תלויה ב
year	שנים
jubilee	היובל
maid	אמה
Hebrew	עבריה
redemption	פדיון
to deceive	יונה
friend, comrade	עמיתו
outline	ראשי פרקים
impossible	נמנע ה, נמנע ב
meaning	הוראתו
subject	נושא
fictitious	בדוי
corresponding	נגדי לו, הנגדים ל, הנגדים לו
in comparison	בהקש אל
to continue	תוסיף
complete	שלם
whole	שלם
aspect	בצד, מצד ה
from the aspect of	מצד (ה)
	ומזה הצד, מצד ש
verse	פסוק ה
unity	ייחוד, אחדות, אחדותם
name	שם (ה), שמות
Divine emanation	ספירות
virtue	תארי מדות
to be	להיות, להיותו, להיותם, בהיותם, היה (ה... כ... לו), היו, יהיה (ה / ה... מ / כזה / כן / ל), יהיה זה בהם, יהיו, היה (ה / זה), יהיו (ה), ויהיו הכל, ויהיו שם על הכל, ויהיו על ה, ויהיו ...על ה, היתה
	שהיו, שהיה
	היה ב, היה בה, יהיה ב
to have	היה לי ב, יש לו, יש לי, אשר לו, היו לנו
to become	היה ל, יהיה ל, יהיה ל... ב
enough	די ל, די היה בהם ל, היה די ב... ל
not enough	אין די (ב / ב... ל), אין בו די ל, לא יהיה די ב (... מ... ל / ... ל), לא יהיה בו די
	שיש ב, יש בהם, בהם, ויש, יש ב
	אין ל, שאין לו, מה שאין לו
do not	אין ל
precedence	בקדימה
lateness	איחור
time	פעם
times	פעמים
sometimes	לפעמים
as many times as	היותר פעמים ש
twice	פעמים
to agree	הסכימו ל
to begin, to start	החלונו ב
beginning	ראשית ה, ראש ה
middle	אמצע
end	תכלית
end	סוף, סוף ה
mean	אמצע (ה), אמצעי (ב), האמצעיים
extreme	קצוות
to keep	החזיק ב
line	השטה
upper	העליונה, העליונים, העליונים ממנו, העליונות
bottom	התחתונה, התחתונים, התחתונה, התחתונה ממנה
zahuv, zehuvim [golden coins]	זהוב, זהובים
qav, qabbin [dry measurement]	קב, קבים, קבין
to make a mistake	טעה ב
head	ראשו, ראש ה
feet	רגליו, הרגל
finger	אצבעות, אצבעותיהם
horse	סוסים
animal	בהמה, הבהמות, בהמותיו
sick	חולה ושבורה
to eat	לאכלה, אכלה
to give	שהיה מחלק
cubit	אמות
bread	לחם
barley	שעורים
to drain	יחסר
to refer	תשוב אל ה
night	לילה, לילותיהם
day	(ב / ל)יום (ה), ימים
money	ממון
purse	כיס
wall	כותל
river	נהר
ditch	חפירה
pit	בור
ladder	סולם
around	סביבותיה
to stand by	יעמוד ... על
man	אדם, איש, אנשים
water	מים, במים
deep	עמוקים
dry land	בחרבה
to mount	יגאה
to become low	ישפל
to wonder	יתמה ה, תמהו
provided that, so long as	ובלבד ש
to leave	תשאיר בה ל
deliberation, satisfaction	התיישבות ה
to be helpless	קצרה ידם
portion	חלקים
backwards	למפרע מה, מה... למפרע
	ונאמין זה
lower	פחותה ממנה
partly	קצתו
	[בחמר] נפעל
pair	זוג (מספרים), זוגי (מספרים)
simple number	פשוטים
simple	פשוט, פשוטים, פשוטות
unknown	הנעלם, נעלם ה, הנעלם מהערך ה
	הרחוקים, המתרחקים מהם
skill	מלאכה
to seek	נתור ל
	ונעשה סימן ב, ונרשום סימן (על), ורשום שם סימן, ונשים סימן על ה
sixtieth	הששימית
nothing	אין דבר ש
	האחר
as usual	כמנהג
to comprehend	להקיפו, יקיף בו
	ביסודות
to be difficult	ויכבד ה
whole, fully	בכללו, כלו, כלו ביחד
in general	ובכללו
twice	כפלים מאשר
necessarily	יתחייב כי
to remove the doubt	להתיר הספק
	חצי ה
	במחצה
additional	משנה
pair	זוג (מספרים / שברים), זוגי (מספר / מספרים)
God	ית'
if you wish to say	וא"ת
i.e.	ר"ל
surely	והלא
exactly	ממש
recently	באחרונה
eventually	לאחר הכל
easy	נקל, נקל ל
only	רק
if only	לו
if	אלו
if	אם, ואם
whether	אם
	שניהם
	מה ש
	כל מה ש
	כל מה ש... כן
	יש מי ש
	כיצד
	כמו ה, כמו ש, כמו זה
	כמו ש... כן ה
	הם כמו, הוא כמו (ה)
	כמוהו
	ראוי ל, ראוי ש, ראוי א"כ ל
	מה שראוי ל
	אין ראוי ל, אין ראוי לנו ל
	כזה
	אמנם
	והנה, הנה
	כן, וכן (ב / ה), וכן הוא כי
	וכן אם
	וכן לעולם, וכן תמיד, וכן לאין סוף, תמיד
	וכן השאר, וכן בשאר
	עד אין תכלית, לבלתי תכלית, ולאין תכלית
	בהכרח ש
	אלא ש
	ג"כ, גם כן
	א"כ, אם כן
so is	כן ה
not so	אינו כן
	כש
	כאשר
	ועתה (כש / ש)
last	אחרונה (מה / של), האחרון מהם, האחרונים, האחרונות (מה)
after	אחרי, אחר (ה)
following	אחריהם
then, afterwards	ואחר
because	וזה כי, כי
therefore	ולזה
therefore	לכן, על כן
since	למה ש
since	אחר, אחר אשר, אחרי אשר, אחר ש
since	לפי ש
since	וכיון ש (ה/ זה)
since	מפני ש
due to	מפני (ה)
according to	כפי, כפי ה
how many	בכמה
how much	כמה (היה ה)
up how many	עד כמה
	אני, אנחנו
	הוא (ה / היה ה / יהיה / יהיה ה / ש), והם
as follows	הוא זה
	שהיא, שהוא (ה / מ), ואשר הוא, הוא אשר, שהם, שהיו
indeed	הרי, הרי הם
	ההם
these	באותן ה, אותם ה, מאלו ה, אלו ה, אלה ה
	אותו (ה), אותה (ה), אותם (ה), ההוא, ההיא
	אלה, אלו (ה), האלה, הללו, האלו
	זאת (ה), זה ה, הזה, וזהו
	וזהו מה ש
	וזהו (ה), שזהו
all	כל, כל ה, כל זה, כלם, אשר בכל, כל ה... כלם
	כל אותם ה
each	כל א', כל אחד (מ / מה / מהם), כל א' וא' מהם
	כל ... מהם
from each	מכל
every	כל, כל דבר
	בזה (ה)
by this	בזה
	איזה, אי זה, איזהו ה... ש, אי זהו אשר, איזהו המספר ש, איזהו מספר אשר, איזה הוא מספר אשר
	באי זה
	אם ש, ואם ש
	מזה (ה)
	אבל (ש)
	כי, הוא כי
before	קודם ה
in order not to	לבל
not… at all	לא... כלל, לא... שום
	אין בו
	אין עוד
not	אין
	אין... אלא (ה), אין ה... אלא
	לא... אלא, לא... כי אם
	אין... אבל, לא... אבל
	אין ב... אלא ב
	אין ב... די לזה
	אין ב... יותר מה
no…nor	ולא... ולא עוד אלא
there is no, not	אין, אינו, אינו ... דבר, אינם, אין שם, אין ב... שום
	אין ... זולתי, אין... דבר אחר זולתי
	או ש
between	בין, בין ... ל, בין ה... ובין ה, בין ה... וה, יש בניהם, ביניהם
	במה שביניהם
whether… or	בין ש... או
	הנה הוא, הנה יהיה ה
	בהם, אשר בהם, אשר ב, הם ב
i.e.	כלומ'
without	מבלי... שום
without	אשר הוא חוץ ל, חוץ ל, ימצא חוץ ל
apart of	אשר הוא חוץ ממנו
apart from	חוץ מה
one of	אחד מ, אחד מה, אחד מהם
the rest of	שאר ה, משאר ה
somewhat, certain	מה
what	מה ש
how	איך (ה)
from	מאתו
of	מן ה, ממנו, אשר מה, מהם, הם מ
even though	אפי' ש, אע"פ ש
also	וגם, גם, גם ש
until	עד (ה / ש)
upward	יותר
more, better	יותר, היותר, יותר מה, יותר... מה, יותר ממה ש
at least	לפחות
beneath	תחת (ה), זה תחת זה
in	בתוך
down	למטה
up	למעלה
above	למעלה ממנו
above	על ה
above	אצלו
with	עם מה ש
next to	אשר אצל ה
there	שם
from there	משם
here	בכאן, כאן
as if	כאלו
so	ככה, וככה
so	כן
etc.	וכו'
also, likewise	כמו כן
then	אז, ואז, הנה אז
further, furthermore, also	ועוד, עוד
more	עוד
among	בתוך ה
	ואע"ף ש
	כדי ל
already	כבר, שכבר
	כ"ש
	הנה לנו
	אשר ב
plus	ועוד
	ועוד כי
	על מי ש
	אינו כן ב
	עד תומם
	אשר
	יש בו
	בשהם
any	שום
still	עדין
but	אלא
than	מאשר ל
very	מאד
almost	כמעט
	משום
to the extent of	בכדי
adjectives
proper	נאות
limited	מוגבל
similar	דומים
different	מתחלפים
various	שונים
numerous	רבים
many	רבים
multiple	רבות
few	מעטות
successive	הסמוכים
next	סמוך (זה לזה / אל ה / ל), סמוכה (ל / לה / לו), הסמוכים (ל / להם / לו), הסמוכות להם
near	סמוך ל
preceding	הקודם
preceding	שעברו
another, additional	אחר, אחרים, באחר
other	האחר, השני, אחרים, אחרת
initial, original	הראשונים
first	הראשון (ב), הראשון להם, הראשונה, הראשונים
second	השני, בשנית לה, השנית לה
third	השלישית ממנה ל
less than	פחות מ
smaller	יותר קטון (ממנו)
smaller	יותר קטן
	המעט, הקטון, מספר קטון, מספר הקטון, המספר הקטון, המספר הקטן, המספר המעט
greater than	יותר מ, יותר ממנו
greater	יותר כוללת מה
greater	גדול ממנו, היותר גדול, היותר גדול ש, גדולים מהם
great	גדול, גדולה
	הרב, מספר הרב, המספר הרב, מספר גדול, מספר הגדול, המספר הגדול
My dove, my perfect, is but one	אחת היא יונתי תמתי
so shall the tabernacle become one	והיה המשכן אחד
Euclid	אוקלידס
Ibn Rushd	אבן רשד
Zohar	בזוהר
you are one, but not by number	אנת הוא אחד ולא בחשבון

Appendix: Bibliography

Judah Ibn Verga
Spain, c. 1450
Qiṣṣur ha-Mispar
Manuscripts:

1) Jerusalem, The National Library of Israel Ms. Heb. 8°2000 (IMHM: B 753 (8°2000)), ff. 1r-3v (Amsterdam, 17th century)

2) London, British Library Add. 27107/5 (IMHM: f 5782), ff. 32v-43v (cat. Margo. 1016, 5); (16th-17th century)

Ḳitsur sefer ha-mispar

3) London, British Library Add. 27107/13 (IMHM: f 5782), ff. 162r-174v (cat. Margo. 1016, 13); (16th-17th century)

4) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1005/19 (IMHM: f 30347), ff. 100r-110r (15th-16th century)

5) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1005/21 (IMHM: f 30347), ff. 118v-120r (15th-16th century)

6) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1087/1 (IMHM: f 15039), ff. 1r-8v (16th century)

heb. 1087/1

7) St. Petersburg, Inst. of Oriental Studies of the Russian Academy C 76/7 (IMHM: f 69233), ff. 112v-122v (15th-16th century)

The transcript of the text is based on manuscript Paris 1005.

Bibliography:

• Steinschneider, Moritz. 1893–1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, p. 196 (h62); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.