Book One
|
המאמר הראשון מספר הארתמאיטי
|
[Prologue by al-Kindī's Student]
|
|
May God fulfill your wishes, carry out your wishes and increase His grace and His pleasantness upon you.
|
ימלא הבורא משאלותיך ויפיק זממיך ויוסיף חסדו ונעמו אצלך
|
[The history of the successive translations of the text:]
|
|
I have understood - may God perpetuate your glory - what you have mentioned: that you had studied the famous arithmetic book that is among us,
|
הבינותי יתמיד האל כבודך מה שזכרת כי עיינת בספר הארתמאיטיקא הידוע אשר בינינו
|
- which has been written and composed by the Pythagorean Nicomachus al-Gehrasīnī [= of Gerasa],
|
אשר הניחו וחברו ניקומאכוש אלגהר שיני הפיתאגורי
|
- in a version, according to which we have revised this book, on the authority of our noble master, the Revised by Ya‛qūb b. Isḥaq al-Ṣabbāḥ al-Kindī,
|
בנסחא אשר תקננו זה הספר ממנה על דעת מלמדנו המעולה יעקב בן אסחק אלצבאה אלכנדי
|
- who doubted the thoughts of the Nestorian Ḥabīb Ibn Bahrīz, who translated it from Syrian into Arabic for Ṭāhir b. al-Ḥusayn the ambidextrous.
|
משבש מחשבות חביב בן בהריז אלנסטורי אשר תרגמו מהסריאני אל הערבי לבעל שני הימינים טאהר בן אלחסין
|
You have wished to revise it in the first section, from the place of the numbers and onwards, for it was indeed revised from this place, since it has already been preceded by that which in the science of logic could help him to understand the previous introduction, before the mentioning of the number, and this introduction did not reach you and you did not know its purpose nor what its author has mentioned in it.
|
ואתה ראית לתקנו במאמר הראשון ממקום המספרים והלאה לפי שהוא אמנם תוקן מזה המקום לפי שכבר קדם לו בחכמת ההגיון מה שיעזרהו להבין פתיחתו הקודמת לפני זכירת המספר ושזאת הפתיחה לא נפלה אליך ולא ידעת כוונתה ולא מה זכר בה מניחה
|
What you have asked for in this respect, is explained to you, as I explained it in our other explanations on the book.
|
ואשר שאלת מזה הנו מפורש לך כמו שפירשתי בשאר פירושינו הנשארים בספר
|
We have summarized his remarks in a concise discussion, without lengthiness or repetitions.
|
וקצרינו לעניניו במאמר קצר מבלתי אריכות והכפלה
|
You think it a precious benefit and a wonderful guidance.
|
ואתה חושב שבזה תועלת יקרה והערה נפלאה
|
But I inform you, may God grant you honor, that many times I perhaps wished to describe something in detail and at length, in order to reach the intention of the author of the book.
|
ואני מודיעך יכבדך האל אולי ארצה הרבה פעמים לתאר דבר בהפלגה ואריכות כדי להגיע בו אל כוונת מניח הספר
|
Then, I came across a concise statement I heard from our master, Abū Yusūf, who already succeeded in explaining what you had requested to explain and in interpreting what you had intended to interpret, in spite of his brevity, as a long speech would not have achieved and a detailed description would not have surpassed.
|
ויזדמן לי מאמר קצר שמעתיו ממלמדנו אבו יוסף לבאר מה ששאלת לבארו ולפרש מה שכוונת לפרשו כבר הגיע ממנו עם קצורו כאשר לא יגיעהו מאמר מאריך ולא יעברהו תאר מפליג
|
So, I have abandoned what I wanted to reveal through long words, in favor of his concise speech, and because of this, I will refrain from embellishing the book and decorating it more.
|
ואעזוב מה שראיתי לגלותו בדברים מרובים בעבור מאמרו הקצר ובעבור זה אמנע אני מליפות הספר ולקשטו ביותר
|
More than once I have heard our master saying that the philosophy of these two men, i.e. Ptolemy and Nicomachus, is best clarified in the introduction to their works - Ptolemy in his introduction to the Almagest and Nicomachus in the introduction to the arithmetic book - for the introductions of these two works stimulate elevated regions of philosophy and they are of valuable virtue in knowledge.
|
וממה ששמעתיו ממלמדנו יותר מפעם אחת כשיאמר שהיותר ראוי ממה שתתבאר בו פילוסופית שני אלו האנשים ר"ל בטלמיוס וניקומאכוש הוא בפתיחת נושאיהם אם בטלמיוס בפתיחתו לספר המגסטי ואם ניקומאכוש בפתיחת ספר הארתמאיטיקא כי פתיחות שני אלו הספרים מעוררות על מקומות עליונים בפילוסופייא ומדרגתם יקרה בידיעה
|
Your thought concerning this was not erroneous. Indeed, I thought, by God, that it is true, because the considerable scope of the introduction of this book and the virtue of the quantity of its benefit and goodness are truly comprehended by you.
|
ולא כזבה מחשבתך בזה ואמנם אחשוב אותה חי השם שהיא אמתית למה שהתאמת אצלך גודל מעלת פתיחת זה הספר ומעלת שעור תועלתו וטובו
|
In answer to your request, may God glorify you, drawn to appease your mind with anything I can avail for you.
|
ואני השיבותיך יפארך השם למה ששאלת נמשך להפיס דעתך בכל מה שאוכל להועילך
|
I wrote to you the introduction of this book in my own work, here, with all that can be explained of it, completing the sufficient speech and omitting any repetition and redundancy.
|
וכתבתי אליך פתיחת זה הספר בספרי זה וכל מה שאפשר לבארו ממנו בהשלמת המאמר המספיק ולהשליך ההכפלה והמותר
|
I explained its terms and removed from it its obscurity and difficulty.
|
ואפרש בו מלותיו והסירותי ממנו עמקו וקשיו
|
In doing so, I made it more accessible to you than the words of the translator, so that there will be no difference between the meanings.
|
וכבר עשיתי זה והקרבתיו לך ממלת המעתיק אותו מבלתי שיהיה בין הענינים חלוף
|
Indeed, what is of a high virtue is far from the custom.
|
ואמנם מה שהיה עליון במדרגה רחוק מהמנהג
|
I will not depart from the order of the author of this book.
|
הנני לא אסור מלספר סדר מניח הספר
|
But I append to each chapter in this description a discussion attached to that chapter that states the true meaning of the thesis.
|
אבל אני ממשיך לכל פרק שיהיה בזה התאר מאמר סמוך לאותו הפרק מגיד אמתת הדרוש
|
I shall not pass beyond the opinion of our master, Abū Yusūf, concerning any thing, to which I will refer.
|
ולא אעבור בדבר ממה שאביא בו דעת מלמדנו אבו יוסף
|
Now it is the time to begin with what you asked for.
|
ובכאן עת להתחיל במה ששאלת
|
May you succeed in that.
|
והיה בו מצליח
|
May God, the exalted, lead you to what will save your soul.
|
יישירך השם יתע' למה שתושע בו נפשך
|
Introduction
|
|
Nicomachus said: The first among the ancients who scrutinized the science and deepened in it - the first of them was Pythagoras - defined philosophy by saying that philosophy is the the love of science, as its name indicates this, for its translation is "the love of science".
|
אמר ניקומאכוש שהקדמונים הראשונים אשר דקדקו בחכמה והעמיקו בה והיה הראשון להם פיתאגורש גדרו הפילוסופייא כשאמרו שהפילוסופיאה אהבת החכמה כמו ששמה מורה על זה ממנה כי העתקתו אהבת החכמה
|
By saying "as its name indicates this", he meant that the term philosophy is composed of two words "filo" and "sofia" - "filo" is loving and "sofia" is science - so the term is composed from "loving science".
|
ירצה באומרו שמה מורה על זה ממנה לפי ששם הפילוסופיאה מורכב משתי מלות פילו וסופיה ופילו אוהב וסופיה חכמה הנה שמה מורכב מאוהב החכמה
|
He [= Nicomachus] said: Before Pythagoras, whoever was skilled in any craft or medicine was called "wise", in a general term, without investigating the principle by which something should be named by the term "science"
|
אמר וכבר היה אשר היו קודם פיתאגוריש וקראו כל מי שהיה פקח בדבר מהמלאכות או הרפואה חכם בשם משולח מבלתי שיחקרו על השורש אשר בו ראוי להקרא בשם החכמה
|
Pythagoras, reserving this name to its meaning and to the root from which it is derived, has called "science" specifically - excluding the sciences that derived from it - the true knowledge of permanent things, i.e. the species and genera.
|
אמנם פיתאגוריש למה שייחד זה השם לעיניינו והשרש אשר ממנו נגזר קרא אמתת הידיעה בדברים המתמידים ר"ל המינים והסוגים החכמה בפרט מבלתי מה שיצא מזה מן החכמות
|
He [= Nicomachus] said: it is appropriate to call the science "sofia" and the love of it "philosophy", i.e. the love of science.
|
אמר והראוי מה שיקרא החכמה סופיה והאהבה לה הפילוסופיה ר"ל אהבת החכמה
|
He said: The statement about its definition is the more accurate and it should be accepted, rather than [the one of] those who defined it by a different definition, since it was already shown that its definition is derived from its name.
|
אמר הנה יותר ראשון שיצדק המאמר בגדרה ויותר ראוי בשנקבל ממנו בלתי מי שגדרה בזולת זה הגדר אחרי שכבר הורנו על שגדרה נגזר משמה
|
Abū Yusūf said: The ancients defined philosophy by several definitions
- [A list of definitions of philosophy given by the ancients:]
|
אמר אבו יוסף כי הקדמונים גדרו הפילוסופיה במספר גדרים
|
- Derivation of its name, as loving science, since 'filosof' is composed of filo, which is loving, and sofia, which is the science.
|
אם מגזרת שמה כמו אוהב החכמה לפי שפילוסוף הוא מורכב מפילו והוא אוהב וסופיה והוא החכמה
|
- It has also been defined from its effect: it has been said that philosophy is the imitation of the Creator, the exalted, according to the human capacity, meaning that man must be of perfect virtue.
|
ואם שגדרוה מפעולתה ואמרו שהפילוסופיאה ההתדמות בבורא ית' כפי יכולת האדם ירצה בזה שיהיה האדם שלם בחשיבות
|
- It has been further defined from its effect: it has been said that it is the attention paid to death. The death is twofold: natural death, which is when the soul leaves the usage of the body; and a voluntary death, which is the abolition of desires by the sword of the virtuous choices - this is the death aimed for here, for the abolition of desires is the path leading to the excellence. Because of this many of the most eminent philosophers have said that pleasure is necessarily bad. For, when the soul engages in two activities - one of them is sensual and the other of the intellectual - and what is called "pleasure" is what happens when it indulges in the sensual pleasures - the soul then ceases to engage in the intellect.
|
וגדרוה עוד מצד פעולתה ואמרו שהיא ההשגחה במות
והמות אצלם שתי מיתות
מות טבעי והוא עזיבת הנפש שמוש הגוף
ומות רצוניי והוא הריגת התאות בחרב הבחירות החשובות וזהו המות אשר בו כוונו הנה לפי שבמיתת התאוות הדרך להגיע אל החשיבות
ולזה אמרו רבים מחשובי הפילוסופים שהתענוג רע בהכרח שכאשר יהיו לנפש שני עסקים אחד מהם חושיי והאחר שכליי והיה מה שיקרא תענוג הוא מה שיקרה בהרגשה עם העסק בתענוגיה החושיים תעזוב הנפש עם זה העסק בשכל
|
- Philosophy has been also defined by its cause: saying that philosophy is the art of the arts and the science of the sciences.
|
וגדרו גם כן הפילוסופיא מצד העלה כשאמרו הפילוסופיא היא מלאכת המלאכות וחכמת החכמות
|
- Philosophy has been also defined by saying that it is the knowledge that man has of himself.
|
וגדרו גם כן הפילוסופיה כשאמרו כי היא ידיעת האדם עצמו
|
- This saying is very noble, very profound.
|
וזה מאמר נכבד ורחוק מהעול מאד
|
- As an example, it is said that since things are either bodies or non-bodies - and the bodies are substances, while the non-bodies are either substances or accidents - but, man is endowed with a soul, a body and an accident - and the soul is a substance, non-body - thus, when the man knows himself, he knows the body with its accidents, the first accident, and the substance that is a non-body; and when he knows all of this together, he knows all. This is the cause for which the wise men have called the man a microcosm.
|
ודרך משל אומר שהדברים אחר שהיו גשמים ולא גשמים והיו הגשמים עצמים והיו לא גשמים אם עצמים ואם מקרים והיה האדם הוא בעל הנפש והגשם והמקרה והיתה הנפש עצם לא גשם הנה כשידע האדם עצמו ידע הגשם במקריו והמקרה הראשון והעצם אשר הוא לא גשם וכאשר ידע זה יחד הנה כבר ידע הכל ולזאת העלה קראו החכמים האדם עולם קטן
|
[Al-Kindī] defines philosophy as the eternal universal things - their essences, their beings, their causes, and their whys, according to the human comprehension capacity.
|
ואמנם מה שנגדור בו אנחנו הפילוסופיה הוא שהפילוסופיה היא ידיעת הדברי' הנצחיים הכוללים ישתויותיהם ומהיותיהם ועלותיהם ולמויותיהם כפי יכולת האדם להשיגו
|
The words of Abū Yusūf are completed.
|
שלמו דברי אבו יוסף
|
The author of this book [= Nicomachus] said: he [Pythagoras] further defined science by saying that science is the veracious knowledge of permanent things.
|
אמר מניח הספר ועוד שהוא גדר החכמה בשאמר שהחכמה אמיתת הידיעה בדברים התמידים
|
He has also defined knowledge by saying that knowledge is the apprehension of the purpose of things that are ascribed to knowledge, i.e. those that are permanent, whose existence does not change, whose being does not change, and who never depart from their quality. These are the primary natural species and genera, which - when the individuals are associated and described by them - deserve the name of existing, since their species give them names and definitions.
|
עוד גדר הידיעה כשאמר שהידיעה היא השגת תכלית הדברים המיוחסים לידיעה ר"ל אותם התמידיים אשר לא יעתקו מעניין מציאותם ולא ישיגם שינוי בישותם ולא יותרו מתכונתם והם המינים והסוגים הראשונים בטבע אשר בהשתתפות האישים להם וכשהם מתוארים בם היו ראויים לשם הנמצא אחר שיתנו מיניהם שמותיהם וגדריהם
|
The bodily perceptible individuals are in perpetual disintegration and in continuous change. They are similar, however, by nature and property, to the first property of the primeval matter from which they were formed. By property, the intention is to the element, because the whole element was a single sphere, which has been transformed and modified.
|
ואמנם האישים המוחשים הגשמיים הנה הם בהתוך מתמיד ובשנוי מדובק והנה עם זה מתדמי הטבע והסגולה אל הסגולה הראשונה מן ההיולי אשר בו התוו ורצוני בסגלה היסוד כי היסוד כלו היה גלגל אחד השתנה והותר
|
Abū Yusūf said: He means that the exalted Creator has made certain qualities as certain causes.
|
אמר אבו יוסף ירצה בזה שהבורא ית' שם קצת תכונה לקצת עלות
|
As an example, the sight, which he made as the cause of visible colors, and the hearing, which he made as the cause of the existence of the audibles.
|
ודרך משל אומר כראות אשר שמו עלה לנראים מהגוונים והשמע אשר שמו עלה למציאות הנשמעים
|
Likewise, he has made the faculty, which is called the nature, as the cause of the movement of the moving bodies that are resting after the movement.
|
וכן שם הכח אשר יקרא הטבע עלה לתנועות המתנועעים הנחים אחר התנועה
|
The moving bodies are the bodies, and because of this the bodies are called nature, since those that receive their movement and their rest by nature are therefore always deficient and changing.
|
והמתנועעים הם הגשמים ולזה יקראו הגשמים טבע לפי שאשר יקבלו מהתנועה והמנוחה אמנם יקבלוהו מן הטבע הנה הם בזה בחסרון לעולם ובתמורה
|
Also the perceptible bodies, i.e. the individuals, are always affected by shifting and change.
|
וכן הגשמים המוחשים ר"ל האישים יקרה להם ההעתק והתמורה תמיד
|
Those of them that exist are affected by change in substance and in nature.
|
ואמנם אשר תחת ההויה מהם הנה התמורה תקרה להם בעצם ובטבע
|
- The sphere and what it contains are affected by the movement in the place.
|
ואמנם הגלגל ומה שבו הנה תקרה להם ההעתקה במקום
|
- The fire, the air, the water and the earth are affected by the shifting and the change in part, not in totality.
|
ואמנם האש והאויר והמים והארץ יקרה להם ההעתק והתמורה בקצת בלתי הכל
|
Each one of those, whose change was described, is affected by it during its whole existence.
|
וכל אחד מאלו אשר תארנום במה שיקרה להם מהתמורה הנה הם בו כל ימי היותם
|
By his saying "the first property of the primeval matter", he meant the individuation of the individuals, who are transformed from a non-being into a being, and "the element" is the potentiality.
|
ואמרו הסגלה הראשונה מן ההיולי ירצה בו איוש המתאיישים שהם יומרו מה שהיו מלא אל יש והיסוד הוא האפשרות
|
The author of this book [= Nicomachus] said: Those that are non-bodies, which are what exists, i.e. the nine categories of accidents, due to their defined separation, do not deviate from their quality, and do not change their essence, meaning, the secondary accidents, for they are apprehended together.
|
אמר מניח הספר ואמנם אשר אינם גשמים והם מה שימצא ר"ל מאמרות התשעה המקרים הנה הם בגדר הפרדתם בלתי סרים מתכונתם ולא משתנים מענינם ירצה המקרים השיניים כי הם מושכלים יחד
|
Yet, the change and transformation that occur in these individual perceptible accidents - such as the whiteness of such, the movement of such - they are due to their participation in the substance that carries them, i.e. when they subsist, they are affected by the change and transformation of it.
|
אבל מה שישיג אישי אלו המקרים המוחשים כמו לובן פלני ותנועת פלני מהשנוי והתמורה הנה הם להשתתפם לעצם הנושא אותם ר"ל כשהם עומדים ישיגם השינוי והתמורה בתמורתו ושינויו
|
Because of this, the knowledge of them is not called science.
|
ולזה ידיעתם לא תקרא חכמה
|
On the other hand, the secondary substances and the secondary accidents are those whose particular knowledge is the science.
|
אבל העצמים השניים והמקרים השניים הנה הם אשר ידיעתם בפרט היא החכמה
|
Although, the knowledge of the individuals is called science metaphorically, since it is the path towards the knowledge of those permanent, eternal and primary things, which are not subject to change nor to removal of their nature, and which are said to exist truly and distinctly.
|
ואמנם על ההעברה הנה תקרא ידיעת האישים חכמה אחר שהיא הדרך אל ידיעת אותם הדברים המתמדיים הנצחיים הראשונים אשר לא ישיגם שנוי ולא הסרה מטבעם אשר יאמר שהם נימצאים באמת ובברור
|
But, the individuals that are subject to the six movements, which are the generation and corruption, the growth and decline, and the change and displacement, they are said to exist because of the existence of their species, since, as explained, they give them their names and definitions.
|
אבל האישים הנופלים תחת התנועות השש אשר הן ההויה וההפסד והגדול והחסרון וההשתנות וההעתק הנה אמנם יאמרו שהם נימצאים מפני מציאות מיניהם אחר שמיניהם כמו שבארנו יתנו להם שמותיהם וגדריהם
|
Indeed, when we aim at one of their individuals, there is no being having its nature, since it does not exist, even for a single moment, in one and the same property, for the individuals, at any time, are in motion and in transformation.
|
ואמנם כאשר נכוון אל אחד מאישיהם לא ימצא בטבעו נמצא לפי שלא יתקיים כהרף עין אל עניין אחד אחר שהאישים בכל עת להם תנועה ותמורה
|
Because of this, Plato said in Timaeus: What is the thing that always exists, without ever becoming? And what is the thing that always becomes without ever being?
|
ולזה אמר אפלטון בספר טימאוש מה הדבר אשר הוא נמצא לעולם ואין לו התהוות כלל ומה הדבר אשר יתהווה לעולם ואין לו מציאות כלל
|
By the first, he meant the species and genera that are homogeneous eternally, which are not subject to generation, and which are indeed apprehended by the intellect, i.e. by guidance from what is perceptible.
|
ירצה בראשון הסוגים והמינים המתדמים לנצח אשר לא תשיגם הויה אמנם יושגו בשכל ר"ל בהדרכה מהמוחשות
|
By the second, he meant the individuals that are thought to exist at one time, but which are not really so, because they are subject to generation and transformation, without being of the same property at two different times.
|
ואמנם השני ירצה בו האישים אשר יחשב שהם נימצאים בעת אחד ואינם כן באמת אחר שיתהוו ויומרו מבלתי שימצאו בשני עיתים בענין אחד
|
He [= Nicomachus] said: It is appropriate for us and necessary to us, if we desire the perfection of man - as far as it is possible - and the permanent survival, that it will be achieved by philosophy alone not by anything else.
|
אמר הנה כבר ראוי לנו ויחוייב עלינו אם היינו נכספים לשלמות האדם כפי יכלתו וההשארות המתמיד והיה זה אמנם יהיה בפילוסופיה לבדה לא בדבר זולתה
|
Philosophy is, as we have mentioned, the love of science.
|
והפילוסופיה כמו שזכרנו אהבת החכמה
|
Science is the veracious knowledge of existing things.
|
והחכמה אמיתות הידיעה בדברים הנימצאים
|
Among the existing things, some are said to truly exist, and some are called such by homonymy.
|
והדברים הנימצאים מהם מה שיאמר לו נמצא באמת ומהם מה שיאמר זה בשתוף השם
|
It is necessary to examine the existing things and explain them according to the truth.
|
מחוייב שנחקור מהדברים הנמצאים ונבארם באמתות
|
We say that among the perceptible existences, there are those whose parts are unified, their members are integrated - this is as the rank of the animal, whose parts are unified in it, or the tree, and their like - those are called magnitudes truthfully.
|
ונאמר שהנמצאות המוחשות מה שהם מתאחדי החלקים מחוברי האיברים וזה כמדרגת החי אשר חלקיו מתאחדים בו וכמו כן האילן והדומה להם ואילו יאמר להם גדלים באמתות
|
And among them are those that are dissociated, so that when they are close in places and when they gather, they are called sums and multitudes - even though their parts are not unified - like the herds of goats and the rows of people.
|
ומהם מה שהם מפורדים והם בהתקרב מקומותיהם ובהתקבצם יקראו כללים ורבויים ואם לא יהיו מתאחדי החלקים כמו עדרי הצאן ושורות האנשים
|
It has thus been clarified that, of the perceptible things, some are subject to magnitudes and some of them are subject to plurality.
|
הנה כבר התבאר שמהמוחשים מהם מה שהוא נופל תחת הגודל ומהם מה שהוא נופל תחת הרבוי
|
Yet, these two species are infinite by nature, generally speaking.
- Magnitude – begins with a finite whole and is divided endlessly
|
אלא ששני אלו המינים אין תכלית להם בטבע כאשר יאמרו מאמר משולח
|
For, the plurality, starting from a limited origin and multiplied, does not have by nature an end at which it would stop, and it does not multiply a single time, but it always continues to grow.
|
כי הרבוי כאשר יתחיל משרש מוגבל ויכפיל לא יהיה לו תכלית בטבע יעמד אצלו ולא יהיה לו כפל אחד אבל יוסיף ויצמח תמיד
|
Likewise, the magnitude, beginning its division from a limited totality, the division does not stop at an indivisible part, but always admitting division.
|
וכמו כן הגודל כאשר יתחיל בחלוקתו מכללות מוגבל לא תכלה החלוקה אל חלק אין חלק לו אבל יסבול החלוקה תמיד
|
Therefore, the knowledge of these two does not really exist, because the knowledge of the infinite does not exist.
|
הנה אין ידיעת שני אלו נמצאת על האמת אחר שידיעת מה שאין תכלית לו בלתי נמצאת
|
Indeed, true knowledge is the knowledge of circumscribed limited things.
|
ואמנם הידיעה על אמיתתו ידיעת הדברים הנכללים המוגבלים
|
It has thus been clarified that the knowledge does not recognize the absolute plurality, because it is infinite, and what is infinite is unlimited, and what is unlimited there is no way whatsoever to its knowledge.
|
הנה כבר התבאר שהידיעה לא תעמד אצל הרבוי המשולח לפי שהוא בלתי בעל תכלית ומה שהוא בלתי בעל תכלית הוא בלתי מוגבל ומה שהוא בלתי מוגבל אין דרך אל הידיעה בו כלל
|
However, if we speak of the plurality in relation to the less and we call the two related terms by their specific names, then they are knowable:
|
ואמנם אם נאמר הרבוי בהצטרף אל המיעוט ונקרא שני המצטרפים בשמותם המיוחדים היו אז ידועים
|
- The many is many compared to what is less than it, and the few is few compared to what is more than it.
|
לפי שהרב אמנם יהיה רב אצל מה שהוא פחות ממנו וכמו כן המעט אמנם הוא מעט אצל מה שהוא יותר ממנו
|
- The few, compared to what is more than it, is more compared to what is less than it.
|
והמעט אצל מה שהוא יותר ממנו הוא הרב אצל מה שהוא פחות ממנו
|
- For example, the ten is more compared to what less than it, and few compared to what is more than it.
|
כמו העשרה שהוא הרבה כשהוקש אל מה שתחתיו ומעט כשהוקש אל מה שעליו
|
- Likewise, the great is great, when it is compared to what is smaller than it, but, when it is compared to what is greater than it, it is small.
|
וכן הגדול אמנם הוא גדול כשהוקש אל מה שהוא יותר קטן ממנו ואם הוקש אל מה שהוא יותר גדול ממנו היה קטן
|
It has thus been clarified from these two aspects that, although they are unlimited by themselves, they are nevertheless limited when they are in relation.
|
הנה כבר התבאר משני אלו הצדדים שאפלו היו בלתי מוגבלים בעצמם הנה הם עם ההצטרף אליהם מוגבלים
|
Let us now say that the numerical quantity is divided into two categories:
|
ונאמר עתה שהכמה המספרי יחלק לשני חלקים
|
- 1) One is that, of which what is ascribed to it, is ascribed to it in itself and by nature.
|
אחד מהם הוא אשר מה שחוייב לו יחוייב לו לבדו ובטבעו
|
- 2) The other is that, of which what is ascribed to it, is ascribed to it relatively.
|
והאחר הוא שמה שיחוייב לו יחוייב לו בהצטרף
|
- The ascribed to it by nature, such as: the even and the odd, the even-times-even, the even-times-odd; the first incomposite odd, and the second composite.
|
אמנם המחוייב לו בטבע כמו הזוג והנפרד וזוג הזוג וזוג הנפרד והנפרד הראשון בלתי המורכב והשני המורכב
|
- As these are ascribed to the numerical quantity by its nature, not by its relation to another.
|
כי אלו אמנם יחוייבו לכמה המספרי בטבעו לא מפני הצטרפו אל זולתו
|
- For, the even is not divisible into two parts of equal units due to its relation to another thing.
|
כי אין הזוג מתחלק לשני חלקים מתמשלי האחדים מפני הצטרפו אל דבר אחר
|
- The ascribed to it, that is ascribed to it by relation, such as: the double, the half and the third.
|
ואמנם אשר יחוייב לו מה שיחויב בהצטרף כמו הכפל והחצי והשליש
|
- For the half is a half of something, and the double is double of something.
|
כי החצי לדבר מה חצי והכפל לדבר מה כפל
|
It has, therefore, been clarified that the quantity is a science investigated by two arts:
|
הנה אם כן התבאר שהכמה חכמה יחקרוה שתי מלאכות הם
|
- [1. Arithmetic – investigation of the absolute quantity]
- Arithmetic, which investigates the absolute quantity.
|
הארתמאיתיקא והיא תחקור מהכמה הניפרד
|
- [2. Music – investigation of the relative quantity]
- Music, which investigates the relative quantity.
|
והמוסיקא והיא תחקור מהכמה המצורף
|
[The science of quality is investigated by two arts:]
The quality of natural things is divided into two categories: quality of the moving and quality the resting.
|
ואמנם איכות הדברים הטבעיים יחלק לשני חלקים אם איכות מתנועע ואם איכות נח
|
- [1. Astronomy – investigation of what is moving]
- The moving is what is investigated in the art of astronomy.
|
והמתנועע הוא מה שיחקור במלאכת האסטרונומייא ר"ל התכונה
|
- [2. Geometry – investigation of what is resting]
- The resting is what is investigated in the art of geometry.
|
והנח הוא מה שיחקר במלאכת הגימטריא ר"ל ההנדסה
|
He [= Nicomachus] said: There is no other way to arrive at the knowledge of the species that have been said to truly exist, except through these four arts which are: arithmetic, geometry, astronomy and music.
|
אמר הנה אין דרך אל ידיעת מיני מה שנאמר שהם נימצאים באמת רק באלו האומניות הד' אשר הם הארתמאיטיקא וההנדסה והתכונה וחבור הנגונים
|
There is no path leading to philosophy except through them.
|
ולא ימצא דרך אל הפילוסופיה אלא בם
|
As, in every art, the practitioner must have the expertise in his art and needs a model which directs him in the execution of his plan, so are these sciences for the art of the philosophy, which is the art of the arts.
|
וכמו שכל מלאכה מן המלאכות יצטרך עושה אל בקיאות במלאכתו ודמיון יתישר ממנו בהוצאת דרושו כן אלו החכמות במלאכת הפילוסופיה אשר היא מלאכת המלאכות
|
This has already been said by Androcydes the Pythagorean.
|
וכבר יאמר זה המאמר אנדרוקודיס הפיתאגוריי
|
Archytas of Taranto, too, at the beginning of his Art of the Composition of Melodies, also said: The ancients did well to see from these sciences, that it is by no means impossible that they will have for everything a unique and true opinion.
|
וכן יאמר גם כן ארגוטאלס אל אטראנטיני כאשר התחיל במלאכת חבור הליחנים שהוא אמר הטיבו הראשונים במה שראו מענין אלו החכמות כי אינו בלתי אפשר כלל שיהיה להם בכל דבר סברה אחת אמיתית
|
Just as they excel in the nature of the whole, they were willing to have a true opinion on each of the parts.
|
הנה כמו שהם כבר הטיבו במה שראו מענין טבע הכל כן היו מוכנים לסבור בכל אחד מן החלקים סברא אמיתית
|
For they offered us in the sections of geometry and astronomy a clear and obvious science, and they were no less useful in giving us the virtues of the art of music.
|
כי הם הקנו לנו בשערי המדות והתכונה חכמה גלויה ומבוארת ולא קצרו גם כן מזה במה שהועילונו מעלות מלאכת הלחנים
|
These sciences can be imagined as four brothers.
|
וכבר ידומה שאלו החכמות הארבעה אחים
|
Yet, they are reducible to the first two species, namely the quantity and the quality, as explained previously.
|
ואם היו כבר ישובו אל שני המינים הראשונים אשר הם הכמות והאיכות כמו שביארנו לפנים
|
Similarly, Plato, at the end of the thirteenth treatise of the book he wrote on laws, which is the book that people call the "Philosophy", examining and defining what is proper for a true philosopher to be in the knowledge of these four, summarized it, after having explained it at long, saying that any shape, sum of numbers, harmonic music, and what is indicated by the movements of the planets, its knowledge should necessary be practice individually by the measure of their harmony.
|
עם שאפלטון בסוף האופן השלשה עשר מהספר אשר הניח בנימוסים והוא הספר אשר יקראוהו האנשים הפילוסופיא בחקרו וגדרו איך ראוי שיהיה אשר הוא פילוסוף באמת כן בידיעת אלו הארבעה אחר כן שב ואמר בקצרה אחר שהפליג בזה והקדים שכל תמונה וקיבוץ מספר והסכמת חבור ומה שיורו בו ממרוצות הכוכבים אמנם ראוי שיורגל ידיעתו כפי שעור חבורם אחד אחד
|
The cause of what is mentioned is clear: when man intensively learns to apprehend through them one known, which he expects of them, they aim at one thing, even though they are several.
|
וכבר יתבאר עלת מה שזכרנוהו כי כאשר היה האדם אמנם יתלמד הרבה להשיג בם ידוע אחד הוא כונתו מהם הנה אמנם הם דבר אחד ואם רבו
|
However, if man exchange this path by the science of philosophy, he will not reach it, since it is the way in which the path leading to the existence is reached, there is no other way at all, i.e. the four mentioned sciences, whether difficult or easy, numerous or few.
|
ואמנם אם יחליף האדם זה הדרך בחכמת הפילוסופיא אין דרך לו אליה לפי שזה האופן אשר ממנו יבא הדרך אשר ממנו המציאות אין דרך לו זולת כלל ר"ל החכמות הארבעה אשר זכרנו קשות היו או קלות רבות היו או מועטות
|
Their acquisition should not be neglectful, for who has united these sciences in the described mode, is the one whom I call a true scholar and describe as indulging in his science.
|
אין ראוי להתרשל בקניניהם כי מי שקיבץ אלו החכמות על צד שתארתי הוא אשר אקראהו אני חכם אמתי ואתארהו שש בחכמתו
|
It is not hidden that these sciences are like bridges through which our thoughts pass from those perceptible apprehended things to the existing intelligible things, they transfer our thoughts from those corporeal things, with which we have grown and which are familiar to us, to things which are foreign to us, which are not familiar to our senses, and which, by their subtlety, are similar to our souls.
|
כי לא יעלם שאלו החכמות הם כמו גשרים בם יעברו מחשבותינו מאלו הדברים המוחשים המחושבים אל הדברים הנימצאים המושכלים ויעבירו דעותנו מאלו הדברים הגשמיים אשר גדלנו בם והרגלנום אל הדברים הזרים אצלנו אשר לא הרגילום חושינו ואשר הם בדקותם דומים לנפשותינו
|
The best suited of what was chosen in the introduction to the investigation of the sciences and their acquisition is what Plato mentioned in the Book of Laws that Socrates told him, and he tries to be clever by putting forward true and useful reasons for these sciences that are necessary for the sciences that are useful for the improvement of human lives, for he said:
|
והיותר ראוי ממה שבחרנוהו בהקדמת העיון בחכמות וקנינם מה שזכרו אפלאטון בספר הנימוסים שסקראט אמר לו והוא יתחכם כשיביא עלות אמיתיות מועילות בענין אלו החכמות מתחייבות מצד החוכמות מועילות בתיקון חיי בני אדם אחר שיאמר
|
- Arithmetic is needed for calculations, sharing, harvesting, spending, repayment of loans, and for partnerships.
|
אמנם מלאכת החשבון אמנם נצטרך אליה בחשבונות או בחלוקות ובתבואות ובהוצאות ופרעון החובות והשותפיות
|
- Geometry - for erecting encampments, building cities and palaces, and measuring fields.
|
אמנם המדות בהשואת המחנות ובניין המדינות וההיכלות ומדידת השדות
|
- Astronomy - knowing the times for the cultivation of lands, for the navigation at sea, and for other choices concerning the times favorable to the implementation of certain arts and the seasons.
|
אמנם חכמת הכוכבים בידיעת עיתות עבודת הקרקעות ורכיבת הים וזולת זה מבחירות עיתות התחלות המלאכות ופרק הזמנים
|
- Music - thanking the exalted Creator, or rejoicing in choruses or privately.
|
אמנם חכמת הניגונים להודות בם הבורא ית' או לשמוח במקהלות או בצניעה
|
To this Plato replied, rebuking him: do you think, seeing that I am indulgent towards you, that I will not dispute you?
|
ולזה יאמר אפלאטון משיב לו והוא יוכיחהו התחשבני כי תראה שאחמול עליך שלא אחלק עמך
|
I say that these sciences can not be doubted; for this dispute would be quite difficult from every side.
|
הנני אומר שאלו החכמות אין לדקדק בם שזה החלוק יקשה מאד מכל צד
|
But, I will add support: there is no way to say that the eye of the soul, i.e. when you are blinded and other corporeal activities are closed off, spreading a veil over you, it is opened and awakened in these sciences.
|
אבל אוסיפך חזוק שאין דרך לאחד לומר זה כי עין הנפש ר"ל כאשר יעצומוהו ויסתמוהו שאר הפעולות הגופיות וישימו עליך מסך הנה הוא יפקח ויעור באלו החכמות
|
The truth of the eye of the soul is more excellent than the truth of ten thousand bodily eyes, for it is only through it that the truth of things can be seen.
|
ואמתת עין הנפש יותר משובח מאמתת עשרת אלפים עינים מהעינים הגופים כי בו לבדו יראו אמתויות הדברים
|
The order of the natural sciences
He [= Nicomachus] said: The first of these four sciences, the one which is anterior to the others by nature, the one that is best established, that is for them in the rank of the generative, from which the beginning of their existence and the root of their growth, is the art of arithmetic.
|
אמר והיותר ראשונה מאלו החכמות הארבעה והיותר קודמת על הנשארות בטבע והיותר חזקת האמונה והיא להם כמדרגת המולידה אשר ממנה התחלה היותן ושרש צמיחתן הוא מלאכת החשבון
|
It is not because that it is that which will exist in the government of the Creator, but because it was, in a rank of an allegory, first in the thought of God, and the metaphor, from which are derived the properties of the things which the exalted produced from the foundation and which he has completed according to the specific properties of each.
|
אין זה לפי שהיא היא אשר תתקיים בהנהגת הבורא אבל לפי שהיא במדרגת ההמשל היתה ראשונה במחשבת האל והדמיון אשר ממנו יקחו תכונת הדברים אשר הצמיחם ית' מהיסוד והשלימם על הענינים המיוחדים אשר עליהם כל אחד מהם
|
The author of this book [= Nicomachus] said: what indicates that the art of arithmetic is, by nature, anterior to others, is that its disappearance would lead to the disappearance of others, while the disappearance of one of these would not lead to its disappearance.
|
אמר מניח הספר ויורה על מלאכת החשבון ג"כ יותר קודמת בטבע מזולתה שהיא תשים זולתה מאלו החכמות אובד באבדה מבלתי שתאבד היא באבדן דבר מהן
|
For, if the number disappears, the counted disappear; but, if they the counted disappear, the number does not disappear.
|
כי אם יסתלק המספר יעדרו הספורים ולא אם יעדרו הספורים יאבד המספר
|
- As we say about the animal that it is anterior to the man by natural precedence, because when the animal disappears, the man disappears with its disappearance, but not that when the man disappears, the animal disappears.
|
כאמרנו בחי שהוא יותר קודם מן האדם קדימה טבעית שכאשר יעלה החי יעלה האדם בהעלותו ולא כשיעלה האדם יעלה החי
|
- So for any thing that is anterior by natural precedence to another thing, when the anterior disappears, the other disappears with its disappearance, but it does not disappear with the disappearance of what is posterior to it.
|
וכן כל דבר יותר קודם מדבר אחר קדימה טבעית כשיעלה הקודם יעלה בהעלותו זולתו ולא יעלה הוא בהעלות דבר ממה שהוא יותר קודם ממנו
|
- Also when reversing the statement, the same meaning is found: when a thing is necessary, its necessity implies the necessity of what is anterior to it by natural precedence; but, when the anterior is necessary, its necessity does not imply the necessity of what is below it in precedence.
|
וכן כאשר תהפך המאמר תמצא הענין כפי זה כשיחויב דבר יחויב בחיובו מה שהוא יותר קודם ממנו קדימה טבעית ולא כשיחויב הקודם יהיה הכרח שיחויב בחיובו מה שהוא תחתיו בקדימה
|
- As the man and the poet, for the man is anterior to the poet, and when the poet is necessary, the man is necessary; but if the man is necessary it is not necessary that the poet is forcibly.
|
כמו האדם והמשורר כי האדם יותר קודם מהמשורר וכשיחויב משורר יחויב שיהיה אדם ואין הכרח כשיחויב אדם שיהיה בלי ספק משורר
|
- Thus, according to this order of these four aforementioned sciences, when geometry exists, no doubt arithmetic exists with it.
|
הנה כפי זה הסדר אלו החכמות הארבעה אשר זכרנו כאשר תהיה המדידה אין ספק שיהיה החשבון עמה
|
- Indeed, when, a triangle, a quadrilateral, an octahedron, or a pentadecagon are necessary in geometry, the art of arithmetic is already used, since the four, the three, the eight and the fifteen come from arithmetic.
|
כי כשיחויב במדות משולש ומרובע ובעל שמנה תושבות או חמש עשרה תושבות הנה כבר השתמשת בזה ממלאכת החשבון לפי שהארבעה והשלשה והשמנה והט"ו מן החשבון
|
- Arithmetic is not absent from geometry, nor are numbers that are necessarily required when it is required.
|
ולא תמצא מלאכת המדות ריקה מן החשבון והמספרים אשר יחויבו בחיובה בהכרח
|
- For, there is no way to say multiplied three times and four times without the knowledge of the three and the four before by assumption.
|
כי אין דרך לומר בכפל שלשה פעמים וארבעה פעמים מבלתי ידיעת השלשה והארבעה קודם בהנחה
|
- On the other hand, reversing the statement, one finds that the three, the four, and the other numbers already exist in nature and in thought, even if the magnitudes, whose names are derived from them, are not known or do not exist.
|
ואמנם אם תהפך המאמר תמצא השלשה והארבעה וזולתה מהמספרים כבר נתקיימו בטבע והמחשבה ואם לא היו הגדלים הנגזרי השמות מהם ידועים או נמצאים
|
- It has thus been proved that the number is anterior to the measures by a natural precedence.
|
הנה כבר התבאר אם כן שהמספר יותר קודם מן המדות קדימה טבעית
|
- Since when the arithmetic disappear, the geometry also disappears, but the arithmetic does not disappear with its disappearance.
|
אחר שבסור החשבון תסור המדידה ולא יסור החשבון בסורה
|
- Likewise, by a similar explanation it is clear that the art of arithmetic is anterior to music.
|
וכן גם כן בכמו זה הבאור יתבאר שמלאכת החשבון יותר קודמת ממלאכת הלחנים
|
- Since the substance is anterior to the relation:
|
לפי שהעצם יותר קודם מההצטרפות
|
- As the money is anterior to the abundance of the money and the substance is anterior to the magnitude of the substance.
|
כמו שהממון יותר קודם מרבוי הממון והעצם יותר קודם מגודל העצם
|
- And the man is anterior to the instruments.
|
והאדם יותר קודם מהכלים
|
- This is because the composition of the melodies, their affinity and their harmony, are when the term of one sound of them is in accordance with the other.
|
וזה לפי שחבור הנגונים והאותותם והסכימם אמנם הוא כשיהיה תכלית הקול אחד מהם אצל האחר
|
- This by the harmony of the quarter, of the fifth, of each three times [= triple ratio], and of each four times [= quadruple ratio].
|
וזה בהסכמה אשר בארבעה ואשר בחומש ואשר בכל שלשה פעמים ואשר בכל הארבעה פעמים
|
- By each combination of ratios [= proportion] we mean the number of sounds it contains.
|
וכל קבוץ יחסים אמנם נרצה ממנו מספר הנעימות אשר בו
|
- What is in the four [quarta]: one of its terms is to the other as its whole and its third. [diatessaron ]
|
ואשר בארבעה אחד מתכליותיו אצל האחר כמוהו וכמו שלישיתו
|
- What is in the five [quinta]: one of its terms is to the other as its whole and its half. [diapente ]
|
ואשר בחמשה אחד מתכליותיו אצל האחד כמהו וכמו חציו
|
- What is in the four and in the five: the ratio of both terms is that of the whole, one term being to the other in the double ratio; and one of the terms is to the other in the triple ratio.
|
ומאשר בארבעה ואשר בחמש יהיו שני התכליות ביחס אשר בכל ואשר אחד מתכליותיו אצל האחר כפלו ואשר בכל ואשר אחד מתכליותיו אצל האחר שלשה דמיוניו
|
- for the term of the whole and five is to the other as the ratio of the whole and half of the whole. [diapente ]
|
לפי שתכלית אשר בכל וחמש אצל אשר בכל ביחס כל וחצי כל
|
- and in four and in each one of its terms is to the other as [four] is to three. [diatessaron ]
|
ואשר בארבעה ובכל אחד מתכליותיו אצל האחר כשמנה אצל השלשה
|
- In every four times is such that one of its terms is to the other its four times.
|
ואשר בכל ארבעה פעמים הוא אשר אחד מתכליותיו אצל האחר ארבעה דמיוניו
|
- These are all the combinations of music - they could not be combined without the existence of arithmetic.
|
ואלו כל קבוצי החבור אין דרך לחברם והחשבון בלתי נמצא
|
- Yet, when arithmetic exists, the combinations and melodies do not necessarily exist.
|
וכשימצא החשבון לא יחוייב שיהיו החבורים ולא הלחנים נמצאים
|
- By this explanation, it is also clear that the art of arithmetic is anterior to the art of astronomy.
|
וכמו כן גם כן מלאכת החשבון בזה הבאור יתבאר שהיא קודמת ממלאכת התכונה
|
- This is obvious because all its suppositions are obtained from arithmetic and geometry.
|
וזה גלוי אחר שבחשבון והמדות יושגו כל דרושיה
|
- It is also clear that geometry is anterior to astronomy, since movement follows rest.
|
וכבר יתבאר גם כן שהמדה יותר קודמת מהתכונה מצד שהתנועה אמנם תהיה אחר המנוחה
|
- Moreover, it is said that the motions of the planets are harmonious melodies, i.e. they are in a simple harmonic relation, i.e. they are in the simplicity of the multiple ratio and the superparticular ratio; and since it is so, the musical harmony is anterior to astronomy.
|
ועוד שכבר יאמר שתנועות הכוכבים הם נגונים נערכים ר"ל הן בייחס חבוריי פשוט ר"ל בפשיטות יחס בעל הכפלים ויחס המוסיף חלק וכאשר היה זה כן הנה החבור הנגוני יותר הקודם מהתכונה
|
- Indeed, it is not hidden that the risings of the planets, their declines, their eclipses, their occultation, and their visibility, are apprehended from the geometry.
|
ואמנם זריחות הכוכבים ועריבותיהם וקדריותיהם והסתרתם והראותם לא יעלם שכבר יושב במדה
|
Since the art of arithmetic is anterior to the others, what is said before is applied to it, that the discussion about it and the statements concerning it are the first in order of priority, and that is what will be done from here.
|
וכאשר היתה מלאכת החשבון יותר קודמת מזולתה בראוי אם כן ממנה מה שהקדמנו לפנים שהמאמר עליה ומשפטי הדבור בה יותר ראשונים בקדימה ואנחנו בזה מכאן
|
Here is my brother the completion of the introduction of this book, up to the number, as you had requested, so it is.
|
הנה לך אחי שלמות פתיחת זה הספר כאשר שאלת עד מקום המספר ממנו והיה כן
|
May you succeed by all that the Creator has lavished upon you, and may He, by His grace, lead you to His will. Amen.
|
ובכל מה שהטיב הבורא עליך מצליח והוא בחסדו יישירך לרצונו אמן
|
|
The Discussion on the Even-Times-Odd
|
הדבור בזוג הנפרד
|
The number that is an even-times-odd number is divided into two parts of similar units, by the nature of its type, as it is an even number, but it stops there and none of its halves can be divided again into halves.
|
המספר אשר הוא זוג הנפרד יחלק לשני חלקים דומי האחדים למה שתקנהו מטבע סוגו אחר שהוא זוג ושם יעמוד ולא יתחלק פעם שנית אחד מחלקיו בשני חצאים
|
- Hence, the even-times-odd number is doubling the odd number once.
|
הנה אם כן זוג הנפרד הוא הכפלת הנפרד פעם אחת
|
- examples: 6; 10; 14; 18; 22; 26
|
כמו ששה ועשרה וארבעה עשר וי"ח וכ"ב וכ"ו
|
|
כי ששה מכפל ג'
|
|
ועשרה מכפל ה'
|
|
וי"ד מכפל ז'
|
|
וי"ח מכפל ט'
|
[The production of the even-times-odd numbers:]
|
|
- When the natural odd numbers are ordered, i.e. by the natural successive order, starting from the beginning of the odd numbers, which is 3.
|
הנה אם כן כשיסודרו הנפרדים הטבעיים ר"ל על משך סדר הטבע ויתחילו מתחלת הנפרדים אשר הוא ג'
|
- Such as: 3; 5; 7; 9; 11; 13
|
כמו ג' ה' ז' ט' י"א י"ג
|
- The excess of each odd number over the preceding odd number is 2.
|
והיה תוספת הנפרד על הנפרד אשר לפניו מהם שנים שנים
|
- Then these odd numbers are doubled and arranged according to their succession.
|
עוד תכפול אלו הנפרדים על המשכם ותסדרם
|
- Such as: 6; 10; 14; 18
|
כמו ו' י' י"ד י"ח
|
- Each exceeds the preceding number by 4.
|
תוסיף כל פעם על אשר לפניו ד"ד
|
- Since the natural odd numbers, which form these even numbers by their doubling, are added two by two,
|
לפי שהנפרדים הטבעיים אשר חדשו אלו הזוגות מכפלם היו נוספים שנים שנים
|
- and when they are doubled, the excess is doubled, so it is 4 by 4, [], as illustrated in their terms.
|
וכאשר נכפלו יכפל התוספת והיו ד"ד כמו שהמשלנוהו ממדרגותיהם
|
- It is clear that they are formed in their natural succession by doubling once the natural odd numbers.
|
ומבואר שהם אמנם יתחדשו על משך טבעם מהכפלת הנפרדים הטבעיים פעם אחת
|
- It is necessary for the even-times-odd number that the genus of the value of each of its parts differs from the genus of the names of their derivation.
|
וכבר יתחייב לזוג הנפרד שיהיה כל אחד מחלקיו מתחלף ההגעה לשמות גזרתו בסוג
|
- I.e., if the name of the part is derived from an odd number - its value is an even number,
|
ר"ל שאם היה החלק נגזר השם ממספר נפרד היה הגעתו זוג
|
- and if the name of the part is derived from an even number - its value is an odd number.
|
ואם היה החלק נגזר השם ממספר זוג היה הגעתו נפרד
|
- Such as six of the even-times-odd [type]
|
כמו ששה מזוג הנפרד
|
- for its third, which is derived from 3 that is odd, is 2:
|
כי שלישיתו הנגזר מג' והוא נפרד ב'
|
- and its half, which is derived from 2 that is even, is 3 that is odd:
|
וחציו הנגזר מב' והוא זוג ג' והוא נפרד
|
- Thus, it is clear that the even-times-even number differs from the even-times-odd number, since the parts of the even-times-even number are named after numbers of the same genus as their values.
|
אם כן כבר התבאר שזוג הזוג מתחלף לזוג הנפרד לפי שזוג הזוג חלקיו נגזרי השמות מסוג הגעתם
|
- Such as 8, whose quarter is 2: , and whose half is 4:
|
כמו ח' אשר רביעיתם ב' וחציים ד'
|
- It is thought that because of this, this type is called even-times-odd, since the genus of the names of their parts differs from the genus of their value.
|
וכבר יחשב שלזה נקרא זה המין זוג הנפרד אחר שהיו חלקיו מתחלפים בשם ובהגעה בסוג
|
- It is necessary for the even-times-odd numbers that none of them will have a third [= divisible by 3], except for those that will be described:
|
וכבר יתחייב לזוג הנפרד שלא יהיה לדבר ממנו שליש אלא למה שאתאר
|
- Setting the terms of the even-times-odd numbers starting from 6, according to the example described previously, which are: 6; 10; 14; 18; 22; 26; 30; 34; 38; 42; 46; 50; 54
|
וזה שתניח מדרגות זוג הנפרד אשר התחלתם ו' על הדמיון המתואר קודם זה
והם ו' י' י"ד י"ח כ"ב כ"ו ל' ל"ד ל"ח מ"ב מ"ו נ' נ"ד
|
- Skipping over three terms from the beginning of the terms - the fourth term has a third:
|
עוד נעבור שלשה מדרגות מתחלת המדרגות הנה הרביעית יש לה שליש והיא י"ח ושלישיתה ו'
|
- Proceding three terms further from 18 - the fourth term has a third:
|
עוד תתרחק מי"ח שלשה מדרגות והרביעית יש שליש והיא ל' ושלישיתה י'
|
- And so on always, the even-times-odd numbers that have a third [= divisible by 3] will not escape from you.
|
וכן תמיד ולא ימלטו ממך מזוג הנפרד מה שיש לו שליש
|
[The production of the even-times-odd numbers from the sequence of even numbers that are divisible by 3:]
|
|
Abū Yusūf said:
|
אמר אבו יוסף
|
- When taking the even numbers that have a third [= divisible by 3] from their beginning and arranging them successively,
|
ואתה כאשר תקח הזוגות אשר להם שליש מתחלתם ותסדרם ימשכו קצתם לקצת
|
- such as: 18; 30; 42; 54; 66
|
כמו י"ח ל' ומ"ב ונ"ד וס"ו
|
- Then taking a third of each of them by succession and arranging them successively,
|
ותקח שליש כל אחד מהם על המשך ותסדרם ימשכו קצתם לקצת
|
- such as: 6; 10; 14; 18; 22
|
כמו ו' י' י"ד י"ח כ"ב
|
- You find their thirds by their successive order are the terms of the even-times-odd number from their beginning by their order, none of them is missing.
|
תמצא שלשיותיהם על משך סדרם הם מדרגות זוג הנפרד מתחלתם על סדרם לא יבצר מהם דבר
|
- It is established concerning the even-times-odd number, that when the number of its terms is even, having two means, the sum of the two means is equal to the sum of the two extremes, and to the sum of the terms that follow the extremes, and to the sum of the terms that follow the terms that follow [the extremes].
|
וכבר ישיג לזוג הנפרד שמדרגותיו כאשר היה מספרם זוג והיו להם שני אמצעיים היו האמצעים כמו שני הקצוות מקובצים וכמו אשר ילוה לשני הקצוות ואשר ילוה לנלוה
|
- As explained previously concerning the terms of the even-times-even numbers, except that the issue there was multiplication, and here it is addition.
|
כמו שבארנו לפנים במדרגות זוג הזוג אלא שהענין יהיה שם בהכאה ובכאן יהיה בחבור
|
- If the number of the terms is an odd number - they have only one mean.
|
ואם היו מספר המדרגות נפרד היה להם אמצעי אחד לבד
|
- Double the one mean of the terms of an even-times-even number is equal to the sum of the two extremes, and to the sum of the terms that follow the extremes, and to the sum of the terms that follow the terms that follow [the extremes].
|
ותהיה הכפלת האמצעי האחד ממדרגות זוג הנפרד כמו מקובץ שני הקצוות וכן מה שימשך לשני הקצוות ומה שימשך לנמשך אליהם
|
Hence, the difference of the even-times-even numbers and the even-times-odd numbers is already clear with regard to difference between the issue of the product and the issue of the sum of the two extremes, the single mean, or the two means.
|
הנה כבר התבאר הנה חלוף זוג הזוג וזוג הנפרד בהתחלף ענין ההכאה וענין החבור בשני הקצוות והאמצעי ושני האמצעיים
|
Furthermore, the even-times-even number and the even-times-odd number differ from each other also in that the even-times-odd number alone is divisible [= its other divisors are indivisible by 2], while the only indivisible part of the even-times-even number is the smallest part, i.e. 1 [= its other divisors are divisible by 2]
|
וכבר יתחלף זוג הזוג לזוג הנפרד גם כן כאשר המתחלק מזוג הנפרד קצהו הגדול לבד ושהבלתי מתחלק מזוג הזוג קצהו הקטן לבד אשר הוא האחד
|
The Discussion on the Quality of the Even-Times-Even-Times-Odd
|
הדבור בתאר זוג הזוג והנפרד
|
The even-times-even-times-odd number is the third species of even numbers
|
אמנם המספר אשר הוא זוג הזוג והנפרד והוא המין השלישי ממיני הזוג
|
It is as a mean between the [other types of even numbers] and consists of them, since it adopts from each of them its property
|
כאמצעי להם ומורכב מהם ללוקחו מכל אחד כמו סגלתו
|
- The similarity it adopts from the even-times-even number: it is divisible into two equal parts by the nature granted from its genus.
|
אמנם מה שלקח מדמיון זוג הזוג שהוא יחלק לשני חלקים מתמשלי האחדים בטבע אשר הקנהו סוגו
|
- Each of its two parts is divisible into two equal parts by the nature granted to it necessarily.
|
עוד יחלק כל אחד משני חלקיו שנית בשני חלקים מתמשלי האחדים בטבע אשר הקנהו בהכרח
|
- Its parts and the parts of its parts may be divided into two equal parts as well repeatedly, but the division does not reach the unit.
|
ואולי יחלקו חלקיו וחלקי חלקיו פעמים רבות אלא שלא תגיע בו החלוקה אל האחד
|
- Hence, as it can be divided into two equal parts more than once it is similar to the even-times-even number and differs from the even-times-odd number.
|
הנה במה שיחלק לשני חלקים מתמשלי האחדים יותר מפעם אחת ידמה לזוג הזוג ויתחלף לזוג הנפרד
|
- As its halving does not end with the unit it is similar to the even-times-odd number and differs from an even-times-even number.
|
ובאשר לא יכלה בחצוי אל האחד ידמה לזוג הנפרד ויתחלף לזוג הזוג
|
By every property, by which it is similar to one of the two species, it differs from the other species.
|
הנה כל מה שידמה בו אחד משני המינים יתחלף באותו הענין למין האחר
|
- This can be seen in the even-times-even-times-odd numbers, such as: 12; 20; 24.
|
ותבחן זה במספרי זוג הזוג והנפרד כמו י"ב וכ' וכ"ד ותמצאהו כן
|
The even-times-even-times-odd number has properties that the even-times-even and the even-times-odd numbers do not have; and it has properties that are shared by them as well.
|
וכבר ישיג מספר זוג הזוג והנפרד שימצאו לו הסגלות אשר נאמרו שלא ימצאו לזוג הזוג ולא לזוג הנפרד ושימצאו לו ג"כ אותם הסגלות אשר ימצאו אליהם
|
- [A property that the even-times-even-times-odd number] has while the other do not:
|
אמנם אשר ישיגהו ממה שלא ישיגם
|
- Only the greatest part of the even-times-odd number is divisible [= its other divisors are indivisible by 2].
|
מזה שהמתחלק מזוג הנפרד קצהו הגדול לבד
|
- The only indivisible part of the even-times-even number is the smallest part [= i.e. 1; its other divisors are divisible by 2]
|
והבלתי מתחלק מזוג הזוג קצהו הקטן לבד
|
- Yet, for the even-times-even-times-odd number, its the greatest part is not the only divisible part, and its smallest part is not the only indivisible part, but it has divisible parts other than its greatest part, and it has necessarily indivisible parts other than the one.
|
אבל זוג הזוג והנפרד אין המתחלק לבד קצהו הגדול ולא הבלתי מתחלק ממנו קצהו הקטן לבד אבל כבר ימצאו לו בלתי קצהו הגדול חלקים יקבלו ההחלק גם כן וימצאו לו בהכרח קודם שיכלה בו ההחלק אל האחד חלק לא יקבל חלוקה
|
- [A property that the even-times-even-times-odd number] shares with the others:
|
ואמנם מה שישיגהו ממה שישיגם
|
- It has parts that are denominated by a number of the same species as the species of their value - by this it is similar to the even-times-even number.
|
הוא שבו חלקים נגזרי השמות ממספר מין הגעתם דומה בזה לזוג הזוג
|
- It has parts whose derivation differs from their value in their genera - by this it is similar to the even-times-odd number.
|
ובו חלקים מתחלפים הגזרה במין להגעתם ידמה בזה לזוג הנפרד
|
Examine this and you will find it so.
|
ותבחן זה ותמצאהו כן
|
[The production of the even-times-even-times-odd numbers:]
|
|
How this species is produced and grows:
|
ואמנם איך יתילד זה המין ואיך יצמח
|
Since it shares similarities with the even-times-even number and the even-times-odd number, it consists of what they both consist of
|
הנה למה שהיה לוקח הדמוי לזוג הזוג ולזוג הנפרד יודע שהוא יורכב ממה שהורכבו ממנו יחד
|
- The even-times-odd numbers are generated from doubling the natural odd numbers.
|
הנה המספר אשר הוא זוג הנפרד אמנם יתילד מהכפלת הנפרדים הטבעיים
|
- The even-times-even numbers are generated from doubling the unit.
|
והמספר אשר הוא זוג הזוג אמנם יתילד מהכפלת האחדים
|
Generating the third type, which is the even-times-even-times-odd numbers:
|
הנה כאשר תרצה להוליד זה המין השלישי אשר הוא זוג הזוג והנפרד
|
- Arranging the natural odd numbers, starting from 3, succeeding one by one in a line lengthwise [column 2].
|
תסדר הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם שלשה ימשכו קצתם לקצת בטור הארוך
|
- Arranging the even-times-even terms, doubled from 4, succeeding one by one in a line breadthwise [row 1].
|
עוד תסדר מדרגות זוג הזוג אשר הכפלתם מד' ר"ל בזה הצד לפי שאחר הנפרד הראשון מהנפרדים הטבעיים התחלת זוג הזוג ימשכו קצתם לקצת בטור הרחב
|
- Multiplying the first term of whichever line one wishes by all the terms of the other line one by one, then placing all products correspondingly in a third line [column 3].
|
עוד תתחיל ותכה המדרגה הראשונה מאי זה משני הטורים שתרצה בכל מדרגות הטור האחר אחד אחד
עוד תעמיד כל מה שיצא לך על מדרגותיו בטור שלישי
|
- Returning to the term succeeding the term that was multiplied by all the terms of the other line, applying on it what was done with the preceeding: multiplying it by all the terms of the other line and placing the products also correspondingly in a fourth line [column 4].
|
עוד אחר זה תשוב אל המדרגה הנמשכת למדרגה אשר הכית בכל מדרגות הטור האחר ותעשה בם גם כן כמו שעשית באשר לפניה ותכה אותה בכל מדרגות הטור האחר ותעמיד מה שיצא לך גם כן מסודר בטור רביעי
|
- The same is done with the third and fourth terms or whichever of the given terms, arranging all as is seen in this diagram:
|
וכן תעשה במדרגה השלישית והרביעית או מה שהנחת מהמדרגות ותסדר זה כלו כמו שאתה מראה בזאת הצורה
|
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
|
|
384 |
192 |
96 |
48 |
24 |
12 |
3 |
6
|
640 |
320 |
160 |
80 |
40 |
20 |
5 |
10
|
896 |
448 |
224 |
112 |
56 |
28 |
7 |
14
|
1152 |
576 |
288 |
144 |
72 |
36 |
9 |
18
|
1408 |
704 |
352 |
176 |
88 |
44 |
11 |
22
|
1664 |
832 |
416 |
208 |
104 |
52 |
13 |
26
|
1920 |
960 |
480 |
240 |
120 |
60 |
15 |
30
|
|
קכח |
סד |
לב |
יו |
ח |
ד |
|
|
שפד |
קצב |
צו |
מח |
כד |
יב |
ג |
ו
|
תרמ |
שך |
קס |
פ |
מ |
כ |
ה |
י
|
תתצו |
תמח |
רכד |
קיב |
נו |
כח |
ז |
יד
|
אלף קנב |
תקעו |
רפח |
קמד |
עב |
לו |
ט |
יח
|
אלף תח |
תשד |
שנב |
קעו |
פח |
מד |
יא |
כב
|
אלף תרסד |
תתלב |
תיו |
רח |
קד |
נב |
יג |
כו
|
אלף תתקך |
תתקס |
תף |
רמ |
קכ |
ס |
טו |
ל
|
|
- A lengthwise line was added breadthwise [column 1], next to the line of the natural odds [column 2], in which the even-times-odd numbers were placed by the order of their terms, starting from 6, in order to demonstrate all the properties mentioned of the three species of even numbers, since this diagram includes them together.
|
וכבר הוספנו ברחב לוח הולך באורך ילוה ללוח אשר בו הנפרד הטבעי העמדנו בו זוג הנפרד על סדר מדרגותיו אשר התחלתם ששה כדי להראות בזה כל מה שזכרנו מהסגולות למיני הזוג השלשה אחר שזאת הצורה תקיף עליהם יחד
|
- [even-times-odd numbers:]
|
|
- [] When setting 6 as the smaller extreme of the even-times-odd numbers and 14 as the greater extreme, their sum is 20, and the mean, which is 10, when it is doubled is the same.
|
כי אתה כאשר תשים הקצה הקטן מזוג הנפרד ששה והקצה הגדול ממנו י"ד תמצאם מקובצים כ' ותמצא האמצעי אשר הוא י' כאשר תכפלהו כמו זה
|
- [] When setting 18 as the greater extreme, the sum of the two extremes is 24, and the two means, which are 10 and 14, are also 24.
|
וכן אם שמת הקצה הגדול י"ח תמצא שני הקצוות מקובצים כ"ד וכן שני האמצעיים והם י' וי"ד כ"ד
|
|
ואמנם זוג הזוג
|
- [] When setting 4 as the smaller extreme of [the even-times-even numbers] and 16 as the greater extreme, the product of 4 by 16 is equal to the product of the mean, which is 8, by itself, which is 64.
|
הנה אתה אם שמת הקצה הקטן ממנו ד' והגדול י"ו תמצא מה שיתקבץ מהכאת ד' בי"ו שוה למה שיתקבץ ממוכה האמצעי והוא ח' בעצמו והוא ס"ד
|
- [] When setting 32 as the greater extreme, the product of 4 by 32 is 128 and it is equal to the product of the two means one by the other, which are 8 and 16.
|
ואם שמת הקצה הגדול ל"ב תמצא כלל הכאת ד' בל"ב קכ"ח והוא שוה למה שיהיה מהכאת שני האמצעיים אחד מהם באחד והם ח' וי"ו
|
It has been clarified from the properties of even-times-even-times-odd numbers that were explained before and from what is perceived from this diagram after the completion that:
|
הנה כבר התבאר ממה שבארנו לפנים מסגולות זוג הזוג וזוג הנפרד וממה שנמצאהו משיג לזאת הצורה אחרי השלמה
|
[odd × even-times-even-times-odd]
|
|
- When multiplying first a term of the natural odd numbers by the first term of the even-times-even-times-odd numbers of whichever of the lengthwise lines starting breadthwise [column], the product is far from that [even-times-even-times-odd] term by two intermediary terms and it is the fourth term starting from that term by which the even-times-even-times-odd terms are multiplied lengthwise.
|
שאתה כשתכה תחלת מדרגה ממדרגות הנפרד הטבעי במדרגה הראשונה ממדרגות זוג הזוג והנפרד מאי זה מן הטורים ההולכים באורך המתחילים מן הרחב שתרצה תמצא ההגעה כבר תתרחק מאותה המדרגה שני אמצעיים והיה הוא המדרגה הרביעית מאותה המדרגה המוכה בה ממדרגות זוג הזוג והנפרד באורך
|
- When multiplying the second term of the odd numbers by the same first term of the even-times-even-times-odd numbers, the product is far from the same first even-times-even-times-odd term [of that column] by five intermediary terms, it is far from the first product [of the first even-times-even-times-odd number of that column by the first odd number] by two intermediary terms, and it is the fourth term starting from the first product [of the first even-times-even-times-odd number of that column by the first odd number] lengthwise.
|
ואם תכה המדרגה השנית ממדרגות הנפרד באותה המדרגה הראשונה ממדרגות זוג הזוג והנפרד תמצא ההגעה מתרחקת מאותה המדרגה הראשונה ממדרגת זוג הזוג והנפרד חמש אמצעיים והיא מתרחקת מההגעה הראשונה שני אמצעיים ותהיה ההגעה השנית היא המדרגה הרביעית מההגעה הראשונה באורך
|
- For each of odd terms, its product [by an even-times-even-times-odd number] is far from the preceding product of the odd number by the same even-times-even-times-odd number by two intermediary terms lengthwise.
|
וכמו כן ישיג כל מדרגות הנפרד שכל מה שתרד בם מדרגה תעבור הגעת אשר לפניה בשני אמצעיים באורך כאשר היתה המדרגה המוכה בה מדרגות הנפרד ממדרגות זוג הזוג והנפרד לבדו
|
[even-times-even × even-times-even-times-odd]
|
|
- When multiplying the first term of the even-times-even numbers by the first term of the even-times-even-times-odd numbers of whichever of the breadthwise lines, the product is far from that even-times-even-times-odd number by one intermediary term breadthwise.
|
ואמנם אם תכה המדרגה הראשונה מזוג הזוג במדרגה הראשונה מזוג הזוג והנפרד מאי זה מהטורים ההולכים ברחב שתרצה תעבור אמצעי מהמדרגה המוכה בה מזוגות הזוגות והנפרד והיית בעברך האמצעי לוקח ברחב מכוין למה שהיית עושה בהכאת מדרגות הנפרד הנה נפלת על ההגעה אשר תהיה מהכאת המדרגה הראשונה מזוג הזוג במדרגה הא' מאי זה מטורי זוג הזוג והנפרד שתרצה ההולכים ברחב המתחילים בארך
|
- When multiplying the second term of the even-times-even numbers by the same first term of the even-times-even-times-odd numbers, the product is far from the multiplied even-times-even-times-odd term [of that column] by two intermediary terms, and it is the fourth term [starting from this even-times-even-times-odd number] breadthwise.
|
ואם תכה המדרגה השנית ממדרגות זוג הזוג במה שהכית בו ממדרגות זוג הזוג והנפרד ר"ל המדרגה הראשונה מזוג הזוג והנפרד תמצא ההגעה כבר נתרחקה מן המדרגה המוכה בה מזוג הזוג והנפרד שני אמצעיים והייתה המדרגה הרביעית ממנה ברחב
|
- When multiplying the second term of the even-times-even numbers, which is 8, by the second term breadthwise of the even-times-even-times-odd numbers [the first term in the second column], which is 24, the product [] is far from 24 by two intermediary terms [breadthwise], yet it is not far by two intermediary terms from the product [of the first term of the even-times-even numbers by the first term in the second column of the even-times-even-times-odd numbers], but from the multiplied [i.e. by the first term in the second column of the even-times-even-times-odd numbers] itself.
|
וגם כן אם תכה המדרגה השנית מזוג הזוג והיא ח' במדרגה השנית ברחב מזוג הזוג והנפרד והיא כ"ד תמצא ההגעה מתרחקת מכ"ד שני אמצעיים גם כן ולא תתרחק מההגעה הראשונה שני אמצעיים אבל מהמוכה בה
|
Therefore, it is clear that when the first term of the even-times-even numbers is multiplied by the terms of any column of the even-times-even-times-odd numbers for each descending term, the product moves away by one term breadthwise from the first product.
|
הנה אם כן כבר התבאר שמוכה המדרגה הראשונה ממדרגות זוג הזוג כשהוכה במדרגות טור מטורי זוג הזוג והנפרד ההולכים ברחב כל מה שירד מדרגה ירד אחרת מההגעה הראשונה לוקח ברחב
|
Also, when the first term of the even-times-even-times-odd numbers is multiplied by the even-times-even numbers the products are arranged successively term by term breadthwise with no intermediary term in a line starting from an even-times-even-times-odd term.
|
ושהמדרגה הראשונה ממדרגות טורי זוג הזוג והנפרד כאשר תוכה בכל מדרגות זוג הזוג ויצאו ההגעות ימשכו קצתם לקצת בלא אמצעי בטור אשר התחלתו היא המדרגה מזוג הזוג והנפרד
|
This is the end of the discussion on the three categories of the even numbers that are evident in the categorization mentioned before.
|
הנה זה סוף המאמר בחלקי הזוג השלשה הנראים בחלוקה אשר זכרנו לפנים
|
The mentioning of the perfect, the superabundant, and the deficient even number is in another place that is more appropriate than where the author of the book mentioned it, and there it will be discussed, by the will of God.
|
אמנם זכירת הזוג השוה והנוסף והחסר הוא בזולת זה המקום יותר ראוי באשר זכרו מניח הספר ושם נדבר עליו ברצון השם יתע'
|
The Discussion of the Multiple Ratio - its Nature and its Production
|
הדבור ביחס בעל הכפלים וטבעו והתילדו
|
Now, we shall begin with the discussion on the multiple ratio, since it is anterior by nature to the other four remaining ratios.
|
ואמנם עתה נקדים המאמר על יחס בעל הכפלים אחר שהוא היותר קודם בטבע משאר היחסים הארבעה הנשארים
|
- When relating the beginning of the numbers, which is 2, to 1, which is the cause of the number, we find that it is double, and this is called the double ratio.
|
וזה שאנו כאשר הקשנו תחלת המספרים אשר הוא ב' אל האחד אשר הוא עלת המספר מצאנוה כפל לו וזה הוא הנקרא הכפל השניי
|
- If we then relate 1 to the second number, which is 3, the triple ratio arises.
|
ואם הקשנו האחד גם כן אל המספר השני אשר הוא ג' יתחדש הכפל השלישי
|
- If we relate it to the third number, which is 4, the quadruple ratio arises.
|
ואם הקשנוהו אל המספר השלישי והוא ד' יתחדש הכפל הרביעי
|
- Likewise when it is related to the terms of the natural numbers, the multiple ratios are created, named by the number to which the one is related.
|
עוד כן כאשר יוקש אל מדרגות המספרים הטבעיים יתחדשו כפליים יקרא בשם המספר אשר אליו יוקש האחד
|
It is clarified that the first ratio that subsists in number is the double ratio, when the beginning of the numbers, which is 2, relates to the one, whose duplication generates the number.
|
הנה התבאר שהיחס הראשון שיפל במספר הוא יחס הכפלים בהצטרף תחלת המספרים אשר הוא ב' אל האחד אשר מהכפלו יהיה המספר
|
It is clarified also that the double ratio is the first of the multiple ratios by nature, as it arises by relating the one to the beginning of the numbers.
|
והתבאר שהכפל השניי ראשון למיני הרב הכפליים בטבע לפי שהוא מהקשת האחד אל תחלת המספרים
|
The species of the multiple ratios are endless in potentia, as they abound with the abundence of the natural numbers.
|
ואין למיני הכפלים תכלית בכח להתרבותם עם התרבות המספרים הטבעיים
|
We will start first with the description of the production of the multiples, setting aside the other of the ratios
|
ונתחיל ראשונה בספור התילד בעל הכפלים בלתי שאר היחסים
|
- We begin with the first by nature:
|
ונקדים ממנו הראשון מהם בטבע
|
- The double ratio is that which is generated by relating the double of any number to that number:
|
ונאמר שהכפל השניי הוא אשר יתחדש מיחס כפל כל מספר אליו
|
- Such as: and
|
כמו ד' אצל ב' וכמו ח' אצל ד'
|
- Hence, it is already clarified how the double ratio grows:
|
הנה אם כן כבר התבאר איך יצמח הכפל השניי
|
- The natural numbers are lined up by the succession of the natural order.
|
וזה כשיסודרו המספרים על משך סדר הטבע
|
- Such as: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; as much as one wishes to set.
|
כמו א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' עד מה שנרצה להניח
|
- The natural even numbers are lined up by the succession of the natural order in a line parallel to the first line.
|
עוד נסדר הזוגות הטבעיים על משך סדר הטבע בטור נכחיי לטור הראשון
|
- Such as: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14
|
כמו ב' ד' ו' ח' י' י"ב י"ד
|
- Its terms are as the number of the terms that were set in the line of the sequence of the natural numbers.
|
ויהיו מדרגותיו כמספר המדרגות אשר סדרת אותם בטור סדר המספרים הטבעיים
|
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1
|
20 |
18 |
16 |
14 |
12 |
10 |
8 |
6 |
4 |
2
|
|
י |
ט |
ח |
ז |
ו |
ה |
ד |
ג |
ב |
א
|
כ |
יח |
יו |
יד |
יב |
י |
ח |
ו |
ד |
ב
|
|
- Then, the first of the terms of the natural evens is related to the first of the terms of the natural numbers; the second to the second; the third to the third; and so on in what follows - we find all of them together in the double ratio.
|
עוד תקיש הראשון ממדרגות הזוג הטבעי בראשון ממדרגות המספר הטבעי והשני בשני והשלישי בשלישי וכן במה שאחר זה שאנו נמצאם יחד ביחס הכפל השני
|
- Such as: ; ; ; and so on.
|
כמו ד' אצל ב' וו' אצל ג' וח' אצל ד' וכן כלם
|
- The triple ratio is that in which the greater among the two given numbers is thrice the smaller number.
|
אמנם הכפל השלישי הוא שיהיה בגדול משני המספרים המונחים שלשה דמיוני המספר הקטן
|
- Hence, it is clarified how the triple ratio is produced:
|
אם כן הוא מבואר לך איך יתילד הכפל השלישי
|
- The natural numbers are lined up by the succession of the natural order.
|
וזה כשתסדר המספרים כטבעיים על משך סדר הטבע בטור
|
- Such as: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
|
כמו א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט'
|
- Then, two terms are skipped and the third is taken and placed at the beginning of another line.
|
עוד נתחיל ונעבור שני מדרגות ונקח השלישית ונשימה ראש מדרגות טור אחד
|
- The two terms that follow this term are skipped and the third is kept and placed second in the other line.
|
עוד נעבור גם כן שתי מדרגות אחר אותה המדרגה תקח המדרגה השלישית ונשימה ראש מדרגות השנית מהטור האחר
|
- Likewise, the two terms that follow each taken term are skipped and the third is kept and set in order among the terms of the other line.
|
עוד כן נדלג שתי מדרגות אחר כל מדרגה שנקח ונחזיק בשלישית ממנה ונסדרם במדרגות אשר בטור האחר
|
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1
|
30 |
27 |
24 |
21 |
18 |
15 |
12 |
9 |
6 |
3
|
|
י |
ט |
ח |
ז |
ו |
ה |
ד |
ג |
ב |
א
|
ל |
כז |
כד |
כא |
יח |
טו |
יב |
ט |
ו |
ג
|
|
- Thereafter, the [first] term of the resulted line is related to the first term of the natural numbers; the second to the second; the third to the third - we find them in the triple ratio.
|
ואחר נקיש בין המדרגות מהטור המוצא ובין המדרגה הראשונה מטור המספר הטבעיי עוד השנית בשנית והשלישית בשלישית הנה אנו נמצאם ביחס הכפל השלישי
|
- Such as: ; ; ; and so on until the end of the numbers that were set.
|
כמו ג' אצל א' ו' אצל ב' וט' אצל ג' וכן תמיד עד סוף שהנחת מן המספרים
|
- Thus it is clear that the triple ratio is generated by multiplying each of the terms of the natural numbers by three and placing these products as terms of another line.
|
הנה אם כן כבר התבאר שאמנם יתחדש יחס הכפל השלישיי מהכאת כל מדרגה ממדרגות המספרים הטבעיים בשלשה והעמדת אלו ההגעות במדרגות טור אחר
|
- It is necessary for the line of the greater numbers in this ratio, and any ratio that is derived from multiplication of numbers by an odd number, that it will be [as follows:] an odd number, then an even number, then another odd number, as the observation shows.
|
וכבר יתחייב לטור אשר בו מדרגות המספרים הגדולים מזה היחס ובכל יחס נגזר ההכפלה ממספר נפרד אל מספר שיהיה נפרד ואחר כן זוג עוד נפרד כפי מה שתראה אותך הבחינה
|
- It is also necessary, in this ratio alone, that between each two odd numbers there will be two means of the natural odd numbers that were skipped.
|
וכבר יתחייב גם כן בזה היחס לבד שיהיה בין כל נפרד ונפרד שני אמצעיים מן הנפרד הטבעי כבר עברו
|
- Such as 5 and 7 of the natural odd numbers, which were skipped, between 3 and 9.
|
כמו ה' וז' אשר כבר עברו מהנפרד הטבעי בין ג' וט'
|
- Likewise it is necessary that between each two even numbers there will be two means of the natural even numbers that were skipped.
|
וכן יחוייב גם כן שיהיה בין הזוג שני אמצעיים כבר עברו מהזוג הטבעי
|
- Such as 8 and 10, which were skipped, between 6 and 12; as well as 14 and 16, which are between 12 and 18.
|
והזוג כמו ח' וי' אשר כבר עברו בין ו' וי"ב וכמו י"ד וי"ו בין י"ב וי"ח
|
- The quadruple ratio is generated by multiplying each of the terms of the natural numbers by 4 and relating the product to the same term.
|
אמנם הכפל הרביעיי אמנם יתחדש מהכאת כל מדרגה ממדרגות המספר הטבעי בד' עוד יוקיש מה שיצא מן ההכאה אל אותה המדרגה
|
- The same for the quintuple ratio
|
וכן החמשיי
|
- And for any of the species of the following multiple ratios that one wishes.
|
ומה שאחריו ממה שתרצה ממיני הכפלים
|
Yet, if the multiple is named by an even number, all of its terms are even numbers.
|
אלא שכאשר היה הכפל נקרא למספר הזוג היו כל מדרגותיו זוגות
|
- Such as the quadruple ratio, of which the beginning of the terms is 4; 8; 12; 16.
|
כמו הכפל הרבעיי אשר תחלת מדרגותיו ארבעה עוד ח' י"ב י"ו
|
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1
|
36 |
32 |
28 |
24 |
20 |
16 |
12 |
8 |
4
|
|
ט |
ח |
ז |
ו |
ה |
ד |
ג |
ב |
א
|
לו |
לב |
כח |
כד |
כ |
יו |
יב |
ח |
ד
|
|
If the multiple is named by an odd number, its terms are an even number then an odd number.
|
ואם היה הכפל נקרא למספר נפרד היו מדרגותיו אחת זוג ואחרת נפרד
|
- Such as the quintuple ratio, of which the beginning of the terms is 5; 10; 15; 20.
|
כמו הכפל החמשיי אשר תחלת מדרגותיו ה' עוד י' עוד ט"ו עוד כ'
|
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1
|
45 |
40 |
35 |
30 |
25 |
20 |
15 |
10 |
5
|
|
ט |
ח |
ז |
ו |
ה |
ד |
ג |
ב |
א
|
מה |
מ |
לה |
ל |
כה |
כ |
טו |
י |
ה
|
|
This species is named by the greater a multiple ratio and by the smaller a submultiple ratio.
|
וראוי שיקרא זה המין מן הגדול בעל הכפלים ומהקטן תחת בעל הכפלים
|
- The sesquitertian ratio is generated by setting this line of the multiplication of each of the terms of the natural numbers by three parallel to the line that is generated from the multiplication of the natural numbers by four, which is the line that is produced by the quadruple ratio.
|
ואמנם המוסיף שליש הוא אמנם יתחדש בסדור זה הטור אשר מהכאת מדרגות המספרים הטבעיים בג' נכחיי לסדר הטור אשר יתחדש מהכאת המספרים הטבעיים בד' והוא הטור אשר חודש בכפל הרבעיי
|
- Likewise the sesquiquintan ratio, for one of its lines is the line of the quadruple ratio and the other is the line of the quintuple ratio.
|
וכמו כן המוסיף רביע כי אחד מטוריו טור הכפל הרבעיי והאחר טור החמשיי
|
The same for any superparticular ratio desired, according to the example described.
|
וכמו כן כל מה שתרצה מהמוסיף חלק הוא כמו זה המשל אשר תארתי לך
|
The greater related term in this species is called superparticular and the smaller subsuperparticular.
|
וכבר יתכן שיקרא המוקש בזה המין אם הגדול המוסיף חלק ואם הקטן תחת המוסיף חלק
|
So, for any species the smaller related term is called "sub" the specific name of the greater related term above it.
|
וכמו כן יקרא המוקש הקטן מכל מין כאשר הוא תחת מה שלמעלה ממנו מההצטרפות הגדול הנקרא בשם מיוחד
|
The discussed multiple and superparticular ratios and their proper enunciation are also noted in this diagram:
|
וכבר רשמתי מה שזכרתי לך מהכפלים והמוסיף חלק ומה שיאות לומר גם בזאת הצורה
|
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1
|
20 |
18 |
16 |
14 |
12 |
10 |
8 |
6 |
4 |
2
|
30 |
27 |
24 |
21 |
18 |
15 |
12 |
9 |
6 |
3
|
40 |
36 |
32 |
28 |
24 |
20 |
16 |
12 |
8 |
4
|
50 |
45 |
40 |
35 |
30 |
25 |
20 |
15 |
10 |
5
|
60 |
54 |
48 |
42 |
36 |
30 |
24 |
18 |
12 |
6
|
70 |
63 |
56 |
47 |
42 |
35 |
28 |
21 |
14 |
7
|
80 |
72 |
64 |
56 |
48 |
40 |
32 |
24 |
16 |
8
|
90 |
81 |
72 |
63 |
54 |
45 |
36 |
27 |
18 |
9
|
100 |
90 |
80 |
70 |
60 |
50 |
40 |
30 |
20 |
10
|
|
י |
ט |
ח |
ז |
ו |
ה |
ד |
ג |
ב |
א
|
כ |
יח |
יו |
יד |
יב |
י |
ח |
ו |
ד |
ב
|
ל |
כז |
כד |
כא |
יח |
טו |
יב |
ט |
ו |
ג
|
מ |
לו |
לב |
כח |
כד |
כ |
יו |
יב |
ח |
ד
|
נ |
מה |
מ |
לה |
ל |
כה |
כ |
טו |
י |
ה
|
ס |
נד |
מח |
מב |
לו |
ל |
כד |
יח |
יב |
ו
|
ע |
סג |
נו |
מז |
מב |
לה |
כח |
כא |
יד |
ז
|
פ |
עב |
סד |
נו |
מח |
מ |
לב |
כד |
יו |
ח
|
צ |
פא |
עב |
סג |
נד |
מה |
לו |
כז |
יח |
ט
|
ק |
צ |
פ |
ע |
ס |
נ |
מ |
ל |
כ |
י
|
|
- []: Starting by arranging the numbers by natural order, from one to ten, in the first row.
|
וזה שאנו נתחיל ונסדר בטור הראשון הלוקח ברחב המספרים על סדר הטבע מא' עד עשרה
|
- []: The double ratio in the second row, adjacent to the first row.
|
ובטור השני הכפל השני נלוה לטור הראשון
|
- []: The triple ratio in the third row.
|
ובטור השלישי הכפל השלישי
|
- []: The quadruple ratio in the fourth row.
|
ובטור הרביעי הכפל הרביעי
|
- So on, in ten rows, ending with the decuple ratio. []
|
וכן עשרה טורים ויהיה הכפל העשריי סופם
|
It is clear in this figure that:
- the two lines [] that meet on the square 1 and extend to the surface 1-100
|
וגלוי בזאת הצורה ששני הטורים אשר יפגשו על מרובע א' ויתרחבו עד שטח א'ק'
|
- the two lines [] that meet on the square 4 and extend to the surface 1-100
|
ושני הטורים אשר יפגשו על מרובע ד' ויתרחבו עד שטח א'ק'
|
- the two lines [] that meet on the square 9 and extend to the surface 1-100
|
ושני הטורים אשר יפגשו על מרובע ט' ויתרחבו עד שטח א'ק'
|
Their ratio is one, i.e. the ratio of each term to its precedecessor in either of the two lines that meet on one of the squares that are on the diagonal, i.e. the main diagonal of the whole figure, is as the ratio of its corresponding term on the other line to its respective predecessor.
|
יחסם אחד ר"ל ששעור כל מדרגה מאשר לפניה מאחד מכל שני טורים מהם יפגשו על מרובע מן המרובעים אשר על הקוטר ר"ל קוטר הצורה הגדולה כשעור המדרגה אשר היא דומה לה מהטור האחר מאשר היא גם כן לפניה
|
Except that:
- Each term of the two first lines [] adds one to its neighbor.
|
אלא ששני הטורים הראשונים תוסיף כל מדרגה מהם על אשר ילוה לה מכל אחד משני הטורים אחד
|
- Each term of the two second lines [] adds two to its neighbor.
|
ושני הטורים השניים תוסיף כל אחת ממדרגותיהם על אשר תלוה לה שנים שנים
|
- Each term of the two third lines [] adds three to its neighbor.
|
ושני הטורים השלישיים תוסיף כל אחת ממדרגותיהם על אשר תלוה שלשה שלשה
|
- The fourth [] by four.
|
והרביעיים ארבעה ארבעה
|
The ratios of the terms of these lines, [namely] the ratio of any desired term to its predecessor, is one and the same, as they are similar.
|
ויחסי המדרגות מאלו הטורים יחס כל מדרגה אל אשר לפניה שתרצה אחד אחר שיהיו דומים
|
For example:
- the ratio of 42 on the seventh row [] to its precedecessor 36 on this row is as the ratio of 7 on the first row [] to its predecessor 6 []
|
משל זה שיחס מ"ב מהטור השביעי הלוקח ברחב אל ל"ו אשר לפניה מזה הטור כיחס ז' מהטור הראשון הלוקח ברחב אל ו' אשר לפניו
|
- the ratio of 7 on the first column [] to its preceding 6 on this column is as the ratio of 42 on the seventh column [] to its predecessor 36 on the same column []
|
ועוד יחס ז' מהטור הראשון הלוקח באורך אל ו' אשר לפניו בזה הטור כיחס מ"ב מהטור הז' הלוקח באורך אל ל"ו אשר לפניו מאותו הטור
|
- Since the column that goes from 6 on the first row [] and the row that goes from 6 on the first column [] meet on the square 36, and 36 is the term related to each of the terms 42 on both cross-lines, as both lines intersect on the square 36.
|
לפי שהטור אשר יצא מו' מהטור הראשון ההולך ברחב הולך באורך והטור אשר יצא מו' מהטור הראשון ההולך באורך הולך ברחב יפגשו על מרובע ל"ו והיה ל"ו לכל אחת משתי המדרגות אשר בכל אחת מהן מ"ב משני הטורים המתחלפים מדרגה ראשונה לפי ששני הטורים יתחתכו על מרובע ל"ו
|
- Likewise, each cross row and column [] meet on a square among the squares on the main diagonal of the great square, and the square on which they meet is common to both.
|
וכן כל שני טורים מתחלפים באורך וברחב יפגשו על מרובע מן המרובעים אשר על קוטר המרובע הגדול הנה המרובע אשר יפגשו עליו משותף להם
|
Hence, it is already clarified how the multiple ratio is produced from its related term:
|
הנה אם כן כבר התבאר איך יתילד בעל הכפלים למה שיוקש אליו
|
- Since the second line on whichever desired side, row or column, to the first line in the same side is a double ratio. []
|
לפי שהטור השני מטורי אי זה משני צדי האורך והרחב שתרצה אל הטור הראשון מאותו הצד כפל שניי
|
- The third to it is triple ratio. []
|
והשלישי אליו שלשיי
|
- The fourth to it is quadruple ratio []
|
והרביעי אליו רבעיי
|
So on always by oeder of the natural succession.
|
וכן תמיד כפי סדר על משך הטבע
|
This is the explanation of the multiple ratios in this diagram.
|
וזה הוא המאמר על הכפלים בזאת הצורה
|
As for the superparticular ratio:
|
אמנם המוסיף חלק
|
- The two lines, row and column, that proceed from the two squares of 30 and meet on the square of 9, when their terms are related to the terms of both lines, row and column, that proceed from the two squares of 20 and meet on the square of 4, each term to its consecutive, is in sesquialter ratio []
|
הנה שני הטורים שלוקח אחד מהם באורך והאחר ברחב וכבר יצאו משני מרובעי ל' ל' ויפגשו על מרובע ט' כאשר יוחסו מדרגותיהם אל מדרגות שני הטורים הלוקחים באורך והרחב וכבר יצאו משני מרובעי כ' כ' ויפגשו על מרובע ד' כל מדרגה אל אשר ילוה לה תמצא זה ביחס המוסיף חלק החציי
|
- So the ratio of the rest of the terms of these four lines to their beginnings, i.e. the two terms two and three in the rows and the two terms two and three in the columns.
|
וכן יחס שאר מדרגות אלו הטורים הארבעה אל התחלותיהם ר"ל אל שני בתי ב' וג' משני הטורים הלוקחים באורך ואל שני בתי ב' וג' משני הטורים הלוקחים ברחב
|
|
ואמנם יחס המוסיף חלק השלישי
|
- The two lines, row and column, that proceed from the two squares of 40 and meet on the square of 16, when their terms are related to the terms of both lines, row and column, that proceed from the two squares of 30 and meet on the square of 9, each term to its preceding in the other line. []
|
הנה שני הטורים שלוקח אחד מהם באורך והאחר ברחב וכבר יצאו משני מרובעי מ' מ' ויפגשו על מרובע י"ו כאשר יוחסו מדרגותיהם אל מדרגות שני הטורים הלוקחים באורך והרחב היוצאים משני מרובעי ל' ל' ויפגשו על מרובע ט' כל מדרגה אשר לפניה מהטור האחר
|
- This is found in sesquitertian ratio, as in the explanation mentioned for the sesquialter ratio.
|
תמצא זה ביחס המוסיף חלק השלישי בכמו אותו הביאור אשר זכרנו כמוסיף חלק החציי
|
- Likewise for the sesquiquartan ratio.
|
וכן המוסיף חלק הרביעי
|
- Likewise for sesquiquintan ratio.
|
וכן המוסיף חלק החמשיי
|
The species of the superparticular ratio that follow in this art, derive their names from the sequence of the natural numbers that produced from the addition of the units.
|
ומה שאחר זה ממיני המוסיף חלק תמצאהו בזאת המלאכה נמשך בגזרת שמו ממשך המספרים הטבעיים המתילדים מהוספת האחדים
|
Hence it is already clarified to the perception that the most anterior among these ratios, by nature rather than by will and assumption, is the multiple ratio, due to what was ascribed to it.
|
הנה אם כן כבר התבאר לחוש מהיותר קודם באלו היחסים בטבע לא ברצון והנחה בעל הכפלים למה שיוחס אליו
|
And the most anterior among [the multiple ratios] is the double ratio, then the triple ratio, and so on always according to the descript derivation of the numbers as they are in the natural order.
|
ושהקודם יותר בזה השניי עוד השלישי וכן תמיד כפי תואר הגזר המספרים כמו שהם בסדר הטבע
|
The superparticular ratio then follows the multiple ratio
|
ושאשר ימשך לבעל הכפלים הוא המוסיף חלק
|
And the beginning of the [superparticular ratios] is the sesquialter ratio, then the sesquitertian ratio, then the sesquiquartan ratio and so on always according to the derivation of the numbers as they are in the natural order.
|
ושתחלת זה הוא החציי עוד השלישי ועוד הרביעי עוד כן תמיד כפי הגזרה מהמספרים כמו שהם בסדר הטבע
|
What can be apprehended from this diagram is that the terms of the numbers on the main diagonal that goes out from 1 to its opposite, 100, each one is rooted, i.e. has an expressible root, which when multiplied by itself, i.e. by the measure of its units, it is equal to the total. []
|
וממה שישיג סדר זאת הצורה שמדרגות המספרים אשר על קוטר היוצא מא' אל ק' הכתוב נגדו כל אחת נגזרת ר"ל שיש לו שורש וידובר בו בשיכפל בעצמו ר"ל בשעור אחדיו היה שוה לכלם
|
- Such as: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100
|
כמו א' ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א ק'
|
- For each of these is a rooted number in actu.
|
כי כל אחד מאלו מספר נגזר בפעל
|
- Except for the one, which is rooted in potentia and its root is one, as it is one itself.
|
מלבד האחד שהוא נגזר בכח וגדרו אחד לפי שהוא אחד בעצמו
|
|
וגדר ד' ב'
|
|
וגדר ט' ג'
|
If the roots of these terms are taken and arranged in a line, they are found in the order of their terms, by the order of the sequence of the natural numbers, such as 1, 2, 3, 4, 5, 6, until the end of the rooted numbers that were set on the main diagonal of the square.
|
ואם לקחת גדרי אלו המדרגות ותסדרם בטור תמצאם בסדר מדרגותיהם על סדר משך המספרים הטבעיים כמו א' ב' ג' ד' ה' ו' עד תכלית מה שהנחת מן המספרים הנגדרים באלכסון המרובע
|
Abū Yusūf said: we have found these rooted numbers produced and grow from the sum of the natural odd numbers to each other by their successive order, beginning from the one, which is an odd number in potantia.
|
אמר אבו יוסף מצאנו אלו המספרים הנגדרים אמנם יתחדשו ויצמחו מתוספת הנפרדים הטבעיים על משך סדרם אשר התחלתם מהאחד אשר הוא נפרד בכח על קצתם על קצת
|
|
ג' כאשר נוסף על האחד יתקבץ מספר נגדר והוא ד' וגדרו ב'
|
|
וכאשר נוסף על ד' הנפרד אשר ימשך לג' והוא ה' יתקבץ מספר נגדר והוא ט' וגדרו ג'
|
|
וכאשר נוסף הנפרד אשר ימשך לה' והוא ז' על ט' יתקבץ מספר נגדר והוא י"ו ושרשו ד'
|
|
וכן תמיד הנה
|
Thus, it is clarified that when the natural odd numbers, beginning from the one, which is odd in potentia, are added to each other by their successive order, the natural rooted numbers are produced by their successive order.
|
אם כן כבר התבאר שכאשר נוספו הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם האחד אשר הוא נפרד בכח קצתם על קצת על משך סדרם יתילדו המספרים הנגדרים הטבעיים על משך סדרם
|
Their roots that are extracted from them are by their successive order as the natural numbers
|
והיו שרשיהם לקוחים מהם על משך סדרם על המספר הטבעי
|
The terms of the two secondary diagonals that follow the main diagonal are heteromecic, i.e. the two numbers that the term is a product of their multiplication one by the other - one of them exceeds the other by one, as they are conceived as close to the root of the term that has an expressible root.
|
ואמנם שני הטורים אשר ימשכו וילוו לקוטר הנה מדרגותיהם זולתיות האורך ר"ל ששני המספרים אשר התקבצה המדרגה מהכאת אחד מהם באחר יוסיף אחד מהם על האחר באחד בשיודמו שכבר קרבו מגדר המדרגה אשר היה להם גדר מספר ידובר בו
|
|
והמספרים הזולתיים כמו ו' כי הוא מהכאת ב' בג'
|
|
וכמו י"ב שהוא מהכאת ג' בד'
|
So they are always found in the two secondary diagonals that are on both sides of the main diagonal.
|
עוד כן נמצאם תמיד בשני הטורים אשר משני צדי הקוטר כלם
|
What can be apprehended from this diagram is that the two lines that go out from the square of 1, lengthwise and breadthwise - their terms are added one by one until each of them reaches to ten that is the end of all their terms. []
|
וממה שישיג זאת הצורה ששני הטורים היוצאים ממרובע א' באורך והרחב יתוספו מדרגותיהם אחד אחד עד שיגיע כל אחד מהם אל העשרה אשר הם סוף כל המדרגות בם
|
And that the two lines that go out from the squares [i.e. cells] of 10 and meet on the square of 100 - their terms are added ten by ten. []
|
וששני הטורים היוצאים משני מרובעי י"י ויפגשו על מרובע ק' יתוספו מדרגותיהם י' י'
|
Furthermore, if what is on the four angles of this diagram is summed, one finds this sum a rooted number.
|
ואם קובץ מה שבזויות זאת הצורה הארבעה תמצא כלל זה המספר נגדר
|
What can be apprehended from this diagram is that the sum of the terms of each square whose main diagonal differs from the main diagonal of the entire diagram, is rooted
|
וממה שישיג זאת הצורה שכלל מדרגות כל מרובע יהיה קטרו נבדל מקוטר הצורה הוא נגדר
|
Abū Yusūf said: what is apprehended concerning the other main diagonal, whose ends are ten, and the number of its terms is even, is that it has two means, which are 30.
|
אמר אבו יוסף וממה שישיג הקוטר האחר אשר תכליותיו עשרה עשרה ומספר מדרגותיו זוג שיש לו שני אמצעיים והם ל' ל'
|
The terms that are between one of the two ends and one of the two means, the ratio between them, and the values of their numbers are in the same ratio of what is between the other end and the other mean.
|
והמדרגות אשר בין אחד משני התכליות עד אחד משני האמצעיים ביחס קצתם אל קצת והגעות מספריהם כיחס מה שבין התכלית האחר והאמצעי האחר
|
The philosopher, the author of this book [= Nicomachus] said: That which takes place in this diagram is found when its investigation is precise, for it has more beneficial and pure things than was described, but they will not be investigated in this introduction, as there was no intention to investigate them here.
|
אמר הפילוסוף מניח הספר כבר נמצא המקויים בזאת הצורה כאשר ידוקדק העיון בה כי בה דברים מהתועלות והזכיות יותר מאשר תארנו אלא שאנו לא נחקרם בזה המבוא לפי שאין כונתנו בו לחקרם
|
It is necessary to move forward to the explanation of what is firmly agreed upon, concerning the account on the five ratios that we started discussing
|
וראוי שנעתק אל המאמר על מה שהוא חזק ההאותות למה שהחלונו לדבר בו מזכר היחסים החמש
|
Now, it should be said that the discussion of the superpartient should be anterior, as it is simpler than the two remaining ratios:
|
ונאמר עתה שהמוסיף חלקים למה שהוקש אליו יותר ראשון להקדים המאמר עליו לפי שהוא יותר פשוט משני היחסים הנשארים
|
- The multiple superparticular ratio consists of two ratios.
|
וזה שבעל הכפלים המוסיף חלק הוא מורכב משני יחסים
|
- The multiple superpartient ratio consists of two ratios as well.
|
ובעל הכפלים המוסיף חלקים מורכב גם כן משני יחסים
|
Furthermore, when the beginning of the odds, which is 3, is added to the second odd number, which is 5, the superbipartient is generated, which is the beginning of the species of the superpartient ratios.
|
ועוד שאנו כאשר חברנו ראש הנפרדים אשר הוא ג' אל הנפרד השני אשר הוא ה' יתחדש המוסיף שני חלקים והוא תחלת מיני המוסיף חלקים
|
Therefore, it is necessary to place the discussion of this ratio after what was said about the two first simple ratios.
|
ולזה יחוייב שנשים המאמר על זה היחס נמשך למה שאמרנו משני היחסים הראשונים הפשוטים
|
In accordance with the natural order, the multiple superparticular ratio appears before the superpartient ratio.
|
ואמנם בהצטרף על סדר הטבע הנה הכפל המוסיף חלק יראה קודם מהמוסיף חלקים
|
- This occurs when we first relate two numbers of the terms of the natural numbers, the relating of which generates a third [i.e. new kind of] ratio.
|
וזה כשנקיש תחלה שני מספרים ממדרגות המספרים הטבעיים יתחדש בהקשתם יחס שלישי
|
- Such as, relating 5 to 2, for 5 is the same as double 2 plus its half, and its half is a part of it.
|
והוא כמו צרוף ה' אל ב' כי ה' כמו כפל ב' וכמו חציו וחציו חלק ממנו
|
- and 5:2 are the first two numbers of the terms of the natural numbers, which by the relation of one of them to the other a third ratio is generated.
|
וה' ב' ראשוני שני מספרים ממדרגות המספרים הטבעיים יתחדש בהצטרף אחד מהם אל האחר יחס שלישי
|
Yet, it is clear and obvious that the superpartient ratio is simpler than the multiple superparticular ratio.
|
אבל הוא מבואר נגלה שיחס המוסיף חלקים יותר פשוט מיחס הכפל המוסיף חלק
|
The simple is anterior to the compound by natural precedence.
|
והפשוט יותר קודם מהמורכב קדימה טבעית
|
Hence, it is necessary to preface the discussion on the superpartient.
|
הנה אם כן יחוייב שנקדים המאמר על המוסיף חלקים אל מה שיוקש אליו
|
And among its species, the superbipartient is first, since it is the first of its species.
|
ונקדים ממיניו המוסיף שני חלקים אחר שהוא ראש מיניו
|
The Discussion on the Technique of Producing the Ratios from Equality
|
המאמר על התחבולה בהולדת היחסים מן השווי
|
Following what was said we present the way to produce these five ratios from equality by a basic valid coherent technique, which follows natural matters in its generality and truth of interpretation.
|
וכבר ימשך למה שקדם מדברינו שנביא הצד בהולדת אלו היחסים החמש מן השווי בתחבולה שרשית קיימת בלתי מבולבלת תדמה הענינים הטבעיים בכללותה ואמתת פירושה
|
The fruit of what will be noted of this is very precious and plentiful.
|
והפרי במה שנזכור מזה יקר ונכבד מאד
|
All the more so for whoever examines my investigation of the metaphor of the knowledge of good.
|
וכל שכן אצל מי שבחן מה שאעיין בו מדמיון הידיעה לטוב
|
For the good is determinate in the soul, its likeness and relation are known, and the souls are drawn to it.
|
כי הטוב אצל הנפש מוגבל וידוע המשלו וחברו ונמשכו לו הנפשות
|
Know, that it is first for all that is uncompounded by itself, preserving its perception in all that its nature generates, and that the evil, in its disgrace, is infinite, indeterminate, does not branch out from a root, and does not follow an interpretation, indeed, it is a change of the nature, which is good.
|
ותדע שהוא ראשון לכל מה שיתפרד מעצמו מתמיד ההרגש בכל מה שיתילד מטבעו ושהרע בגנותו בלתי בעל תכלית ולא מגיע אל גבול ולא יסתעף משרש ולא נמשך על פירוש אמנם הוא שנוי הטבע אשר הוא טוב
|
Their deviation from their primary nature is a changing deviation, indeterminate, and without order.
|
הנה היציאה מטבעם הראשון להם יציאה מתחלפת לא תכלל בגבול ולא תתקיים בסדר
|
Therefore, a rational capacity does not hold them by a rational hold, but recognizes them when they deviate from nature.
|
ולזה לא יאחזהו כח מדבר אחיזה מושכלת אבל יכירהו בהתחלפו לטבע
|
For example: the rust in the transparent mirror and the injustice of the right soul that are incomprehensible by way of definition and determination, since they have no essence, but are known by the change of the substance in which they were set and embedded.
|
דרך משל אומר כחלודה במראה הספירית והעול בנפש הישרה שהם בלתי מושגים בדרך הגדר וההגבלה אחר שאין עצמיות להם ואמנם יודעו בהשתנות העצם אשר נקבעו ונטבעו בו
|
Yet, if we find determined ways for these five ratios, by which they are produced from equality and, inversely, reduced to equality, whereas equality is undoubtedly good and virtue, then the ratios also share the same virtue and joined to the same good.
|
אבל אם אנחנו מצאנו לאלו היחסים החמש דרכים מוגבלים בהם יתילדו מהשווי ויותכו בהפוכם אל השווי והיה השווי בלי ספק טוב וחשיבות היו היחסים גם כן משותפים לאותו החשיבות ונקשרים באותו הטוב
|
Since their production from it is ordered, follows a determination, and preserves the capacity of their root, from which they are produced, as the seed preserves the capacity of the tree, since the seed becomes a tree also.
|
אחר שהיה התילדם ממנו מסודר נמשך על גבול שומר לכח שרשם אשר ממנו יתילדו כמו שישמור הגרגיר כח האילן אחר שכבר ישוב גם כן הגרגיר אילן
|
So these ratios are produced from equality and return to equality, however this is not by accident, rather a technique and a correlation are needed, as the cultivation of land is needed for the seed and the tree to sprout.
|
וכן אלו היחסים יתילדו מן השווי וישובו כמו כן אל השווי אבל לא יהיה זה בהזדמן אבל כבר נצטרך בו אל מלאכה וחבור כמו שנצטרך בענין הזרע והאילן על עבודת הקרקע קודם שיצא
|
For it is impossible to reach the end of an assumption, be it a theoretical assumption or a practical assumption, except by using the assistance of external things, which have some similarity to that assumption, and are related in some determinate order, through the guidance of which we reach the assumption.
|
כי אי אפשר להגיע אל תכלית דרוש מן הדרושים דרוש מדעי היה או דרוש מעשי אם לא בהעזר מדברים מחוץ יהיה להם קצת התדמות לאותו הדרוש ויחוברו על סדר מה מוגבל נגיע עם ההדרכה עליהם אל הדרוש
|
Because of this, Euclid stated the relation as one of the things from which knowledge exists and by which practice is reached.
|
ולזה שם אקלידס החבור אחד מהדברים אשר מהם תהיה הידיעה ובהם נגיע אל המעשה
|
Therefore, in the production of each of these ratios, we also place three numbers in three terms, in order to reach the relation through them.
|
ולזה גם כן נניח אנחנו בהולדת כל אחד מאלו היחסים שלשה מספרים בשלשה מדרגות להגיע בם אל ההתיחסות
|
For the least relation possible is in three determinations.
|
כי ההתיחס בפחות מה שיהיה הוא בשלשה גבולים
|
In relation, one is assisted by things that are apart from that which has the similarity of the ratio.
|
ואמנם יעזרו בהתיחסות מהדברים אשר מחוץ למה שבו מהתדמות היחס
|
Since it was already said that the things that assist us are apart from the investigation of the assumption, they should be similar to the assumption.
|
ולפי שאנו כבר אמרנו שהדברים אשר נעזר בם מחוץ אל החקירה מהדרוש ראוי שיהיו מתדמים לדרוש
|
These three terms are called first, second and third.
|
ויקראו אלו שלשת המדרגות ראשונה ושניה ושלישית
|
Each term among them is limited by a determination which it does not surpass:
|
ותדבק כל מדרגה מהן בגבול לא תעברהו
|
- The determination of the first term is that one should always place beneath it the same as the number in it. []
|
אם הגבול במדרגה הראשונה הוא שנניח תחתיה לעולם כמו המספר אשר בה
|
- The determination of the second term is that one should always place beneath it the same as the number in it plus the same as the number in the first term. []
|
ואמנם הגבול במדרגה השנית הוא שנניח תחתיה לעולם כמו המספר אשר בה וכמו המספר אשר במדרגה הראשונה
|
- The determination of the third term is that one should always place beneath it the same as the number in it plus the same as the number in the first term and double that which is in the second term. []
|
ואמנם הגבול אשר במדרגה השלישית הוא שנניח תחתיה כמו המספר אשר בה וכמו המספר אשר במדרגה הראשונה וכפל אשר במדרגה השנית
|
This is the general technique by which each of these ratios is produced.
|
זה הוא מה שהוא כולל במלאכה אשר בה יתילד כל אחד מאלו היחסים
|
Yet, what is particular in it for each of these ratios is:
|
ואמנם מה שהוא מיוחד בה לכל אחד מאלו היחסים
|
- The particular in this technique for the production of the multiple ratio is that the first given numbers in the three terms, from which this ratio is produced, are equal numbers, preserving equality in their relation.
|
כי אשר תיחד המלאכה בהולדת יחס הכפל השווי שיהיו המספרים הראשונים המונחים במדרגות הג' אשר מהם יתילד זה היחס מספרים שוים שומרים השווי בהצטרפם
|
- When the aforementioned general condition is fulfilled, the numbers in the double ratio are revealed, and this is the first of the species of this ratio.
|
וכשנשמור בם התנאי הכולל הנזכר יראו אלינו מספרים ביחס הכפל השניי והיה המין הראשון ממיני זה זה היחס
|
- If this resulting species is placed as given, and the aforementioned general condition is added, i.e. the formation of the three determinations in the three terms, then the second species of the multiple ratio, which is the triple ratio, is revealed.
|
ואם שמנו זה המין הנראה מונח והוספנו בו התנאי הכולל הנזכר ר"ל העשות הגבולים השלשה במדרגות השלשה יראה לנו המין השני ממיני הכפל והוא הכפל השלישיי
|
- If it then placed as given, and the first procedure is repeated for it, the third species, which is the quadruple ratio, is revealed.
|
ואם שמנוהו גם כן מונח והשבנו בו במעשה הראשון יראה לנו המין השלישי והוא הכפל הרביעיי
|
- Accordingly, we do not stray from this procedure, so the species of the multiple ratio are revealed in their natural succession.
|
וכפי זה הדרך לא נסור מזה המעשה יראו לנו מיני הכפל ראשון ראשון כפי המשכם בטבע
|
- Examine this in these two lines:
|
ובחן זה בשני טורים אלו
|
1 |
1 |
1 |
|
4 |
2 |
1 |
first
|
9 |
3 |
1 |
second
|
16 |
4 |
1 |
third
|
|
א |
א |
א |
|
ד |
ב |
א |
ראשון
|
ט |
ג |
א |
שני
|
יו |
ד |
א |
ג
|
|
- Take them as a basis for what follows them.
|
וקחם לשרש למה שימשך להם
|
- The particular in this technique for the production of the superparticular ratio is that the given numbers, from which one wishes to produce the superparticular ratio, are related in the multiple ratio, the greater is in the first place, and the smaller is in the third place, then one employs the aforementioned general repetition.
|
ואמנם אשר הוא מיוחד בזאת המלאכה להוליד יחס המוסיף חלק הנה הוא שיהיו המספרים המונחים אשר מהם תרצה להוליד המוסיף חלק מתיחסים ביחס הכפל ויהיה הגדול מהם במקום הראשון והקטן מהם במקום השלישי עוד תעשה בם הסבוב הכולל אשר זכרנו
|
- For, what follows from this is that the species of the superparticular ratio are seen according to their natural succession.
|
כי ימשך לזה שיראו אלינו מיני המוסיף חלק כפי המשכם בטבע
|
- If the given numbers were of the first species of the multiple ratio, i.e. the double ratio, the [first] species of the superparticular ratio will be seen from them, i.e., the sesquialter ratio.
|
ר"ל שהמספרים המונחים אם היו עליהם תחלת מיני הכפל ר"ל השניי יראו מהם מיני המוסיף חלק ר"ל המוסיף חצי
|
- If they were of the second species of the multiple ratio, i.e. the triple ratio, the second species of the superparticular ratio will be seen from them, i.e., the sesquitertian ratio.
|
ואם היו על היחס השני ממיני הכפל ר"ל השלישיי יראה לנו גם כן השני מהמוסיפי חלק ר"ל המוסיף שליש
|
- The same for what follows.
|
וכמו כן מה שאחר זה
|
Examine it from this diagram:
|
ותבחנהו מזאת הצורה
|
|
|
- The particular for the production of the superpartient ratio is that the given numbers are related in the superparticular ratio, the greater in the first place and the smaller in the third place, then one employs the aforementioned general repetition.
|
ואשר ייחד תולדת המוסיף חלקים הוא שיהיו המספרים המונחים מתיחסי' ביחס המוסיף חלק ויהיה הגדול מהם במקום הראשון והקטן מהם במקום השלישי עוד נעשה בם הסבוב הכולל הנזכר
|
- For it reveals the numbers in a species of the superpartient ratio, arranged approximately to the natural arrangement of the given superparticular ratio, as this:
|
כי הוא יראה לנו המספרים על יחס מין מהמוסיף חלקים מסודרים בקירוב מהטבע בסדור המוסיף חלק המונח וזה יהיה כן
|
|
|
- The particular for the production of the multiple superparticular ratio is that the given numbers are related also in the superparticular ratio, but the greater is in the third place and the smaller is in the first place.
|
ואשר ייחד הולדת יחס הכפל המוסיף חלק הוא שיהיו המספרים המונחים מתיחסים ביחס המוסיף חלק גם כן אלא שהגדול מהם יהיה במקום השלישי והקטן מהם במקום הראשון
|
- The general conditional repetition reveals a species of the multiple superparticular ratio in approximation to nature, i.e. from the beginning of the species of the multiple superparticular ratio according to the terms of the given species of the superparticular ratio, and so it is:
|
ויראה לנו הסבוב הכולל המותנה מין מהכפל המוסיף חלק הוא בקרוב מהטבע ר"ל מהתחלת מיני הכפל המוסיף חלק בכמו מדרגת המין המוסיף חלק המונח ויהי כן
|
|
|
- The particular for the production of the multiple superpartient ratio is that the given numbers are related in the superpartient ratio, the smaller in the first place and the greater in the third place.
|
ואשר ייחד הולדת יחס הכפל המוסיף חלקים הוא שיהיו המספרים המונחים מתיחסים יחס המוסיף חלקים ויהיה הקטן מהם במקום הראשון והגדול מהם במקום השלישי
|
- When the procedure that is general for all ratios is repeated on them, a species of the multiple superpartient ratio is revealed, arranged in its kind, according to the arrangement of the given superpartient ratio of its kind, as can be seen here:
|
וכאשר נסובב בהם המעשה אשר הוא כולל לכל היחסים יראה לנו מין מהכפלים המוסיף חלקים מסודרים בסוגו כסדר המוסיף חלקים המונח כסוגו וזה כמו שתראה הנה
|
|
|
It has already become clear that all these ratios that were brought here as an example were produced from the line of the three equal terms, which is the line of the units written in red.
|
הנה כבר התבאר שכל אלו היחסים שהמשלנו אותם בכאן אמנם יתילדו מהטור השוה המדרגות השלשה והוא טור האחדים הנכתבים באודם
|
If non-units were placed in this line, as long as they are equal numbers, if we operated on them in the ways we described, then all that we saw of the matters required in the production of these ratios twill necessary follow, except that what will be seen from this is not its cause; rathert its cause is the equality of the units.
|
ואלו הנחנו כמו כן באותו הטור בלתי האחדים רק שיהיו מספרים שוים ועשינו בם מה שעשינו אותו בדרכים אשר תארנו יחוייב שימשך לזה כל מה שנראה לנו מהענינים המתחייבים בהולדת אלו היחסים אלא שאשר נראה מזה אינו עלתו אבל עלתו שווי האחדים
|
It can be known that the species of the superpartient ratio produced by this technique are indeed the first of these ratios.
|
וכבר יתכן לנו שנדע כי מיני המוסיף חלקים אשר יתילדו בזאת המלאכה אמנם הם המינים הראשונים מאלו היחסים
|
By "the first species" I mean those whose values of their parts exceed the number of their parts by one, as the superbitertian ratio, the supertriquartan ratio, the superquadriquintan ratio, the superquintisextan ratio, and what follows likewise.
|
ורצוני במינים הראשונים מאלו מהם אשר יהיו הגעות חלקיהם יותר מוסיפים ממנין חלקיהם באחד כמו המוסיף שני שלישים והמוסיף שלשה רביעיות והמוסיף ארבעה חומשים והמוסיף חמשה שתויות ומה שיעבור זה ממה שידמהו
|
The rest of the species of the superpartient ratio, such as the superbiquintan ratio, the supertriquintan ratio, or the supertriseptan ratio, or likewise - the technique for their production is as we stated about in the measure of superpartient ratio.
|
ואמנם שאר מיני המוסיף חלקים כמו המוסיף שני חומשים והמוסיף שלשה חומשים או המוסיף שלשה שבעיות או מה שהוא דומה זה הנה המלאכה בהולדתם אמנם היא כמו מה שהגדנו עליה בשעור המוסיף חלקים
|
When we want the species of the multiple superpartient ratio in this technique, it is necessary that the given species of the superpartient ratio that will produce it are the first species mentioned, whose value of their parts exceeds the number of their parts by one.
|
וכן גם כן ראוי לנו כשנרצה מיני הכפל המוסיף חלקים בזאת המלאכה שיהיו המינים המונחים מהמוסיף חלקים להוליד זה הם המינים הראשונים אשר זכרנו שהגעת חלקיהם תוסיף על מנין חלקיהם אחד
|
This alone is a sufficient discussion of the instruction of whichever species of the multiple superparticular ratio and whichever species of the multiple superpartient ratio that are produced in the mentioned explanation; the rest of the kinds of these ratios are more distant from the way of their kinds, and because of this they are perhaps not visible except by a more complex technique than the one that we have just completed recording.
|
וזה בלבד מאמר מספיק בהוראה על אי זה מיני הכפל המוסיף חלק ואי זה מיני הכפל המוסיף חלקים יתילדו בבאור הנזכר וששאר סוגי אלו היחסים יתרחקו מדרך סוגיהם ולזה אולי לא יראו אלא במלאכה היא יותר רבת ההרכבה מזאת אשר השלמנו לזכרה עתה
|
God is the Knower.
|
והאל היודע
|
This is for you the conception of the categorization of the relative quantity
|
וזה לך ציור חלוקת הכמה המצטרף
|
This, may God lead you straight, is enough for the end of the first section of the book of arithmetic as described by the Pythagorean Nicomachus al-Gehrasīnī.
|
הנה זה יישירך השם מספיק בסוף המאמר הראשון מספר הארתמאיטיקא כפי מה שתיארו ניקמאכוש אלגהרשיני הפתאגורי
|
Revised in al-Andalus by Abū Sulaymān Rabīʽ ben Yaḥyā usquf Elvira.
|
ותקנו באנדלס אבו סלימאן רביע בן יחיי אסקף אלבירה
|
Find help in its investigation and study
|
והעזר בעיון וההגיה בו
|
May God in His mercy lead you straight to understand and find your wishes that are useful for your end, Amen.
|
והאל ברחמיו יישירך להבין ולמצוא חפציך בו המועילים לאחריתך אמן
|
The first section of the book of arithmetic is complete.
|
נשלם המאמר הראשון מספר הארתמאטיקא
|
Praise be to God.
|
והתהלה לאל
|
The second section follows it.
|
יבא אחריו המאמר השני בג"ה
|
The Discussion on the Arrangement of the Terms of each Ratio of two Given Numbers from Superparticulars
|
הדבור בסדור גבולי כל יחס מונח שני המספרים מיחסי המוסיף חלק
|
Since we very much need to set successive proportional numbers of the sesquialter ratio, the sesquitertian ratio, the sesquiquartan ratio, or other ratios of the superparticular ratios, we should bring an artful extraction procedure for it and a technique that will verify its assumption, in order that the investigation of what we investigate will be without confusion.
|
וראוי אחר שכבר נצטרך הרבה אל שנניח מספרים נמשכים מתיחסים מהמוסיף חצי או המוסיף שליש או המוסיף רביע או זולת מה מהמוסיף חלק אחר שנביא הוצאה מלאכותית לזה ותחבולה תאמת לנו הסברא בה כדי שתהיה דרישתנו למה שנדרשנו מזה מבלתי בלבול
|
- It is said that the sesquialter ratio is the first of the superparticular ratios, as is visible above.
|
ונאמר שיחס המוסיף חצי הוא ראש יחסי המוסיף חלק כמו שנגלה במה שקדם
|
- The first two numbers that produce the sesquialter ratio are two and three.
|
ושתחלת שני מספרים פועלים יחס המוסיף חצי הם שנים ושלשה
|
- When wishing to explain how the succeeding terms of this ratio are extracted:
|
וכאשר נרצה לבאר איך נוציא הגבולים הנלוים בזה היחס
|
- Arranging the ranks of the double ratio, which are the ranks of the even-times-even numbers, in a line
|
נסדר מדרגות הכפל השניי בטור והם מדרגות זוג הזוג
|
- Leaving out the first rank, since it is one, which has no half.
|
ונשליך המדרגה הראשונה לפי שהיא האחד ואין חצי לו
|
- Placing beneath each rank the number that produces with it the sesquialter ratio, so a second line is generated that is one rank shorter than the first line, as the corresponding one was removed.
|
עוד נניח תחת כל מדרגה המספר הפועל עמה יחס הדמיון וחצי ר"ל יחס המוסיף חצי ויתחדש טור שני חסר מהטור הראשון מדרגה והיא אשר השלכנו בנוכח האחד
|
- Leaving out again the first rank of this second line, since it is three, which has no half.
|
עוד נשוב ונשליך כמו כן המדרגה הראשונה מזה הטור השני לפי שהוא שלשה ואין חצי לו
|
- Placing beneath each of its remaining ranks the number that produces with it the sesquialter ratio, so a third line is generated that is one rank shorter than the second line, which is the removed term corresponding to three.
|
ונניח תחת כל אחת ממדרגותיו הנשארות המספר הפועל עמו יחס המוסיף חצי ויתחדש טור שלישי חוסר מהטור השני מדרגה והיא המושלכת נגד השלשה
|
- Leaving out again the first rank of this third line, since it is nine, which has no half.
|
עוד נשוב גם כן ונשליך המדרגה הראשונה מזה הטור השלישי לפי שהוא תשעה ואין לו חצי
|
- Placing beneath each of its ranks the number that produces with it the sesquialter ratio, so a fourth line is generated that is one rank shorter than the third line, which is the term removed corresponding the nine.
|
ונניח תחת כל אחת ממדרגותיו המספר הפועל עמו יחס המוסיף חצי הנה יתחדש טור רביעי חוסר מהטור השלישי מדרגה והיא אשר השלכנו כנגד התשעה
|
- Generating also the fifth and the sixth lines and onwards as is seen in this diagram:
|
וכמו כן נחדש טור חמישי וששי ולמעלה מזה כמו שתראה בזאת הצורה
|
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1
|
48 |
24 |
12 |
6 |
3
|
72 |
36 |
18 |
9
|
108 |
54 |
27
|
162 |
81
|
243
|
|
לב |
יו |
ח |
ד |
ב |
א
|
מח |
כד |
יב |
ו |
ג
|
עב |
לו |
יח |
ט
|
קח |
נד |
כז
|
קסב |
פא
|
רמג
|
|
- It is clear that the beginning of the sesquialter ratio is in two terms.
|
וכבר התבאר שתחלת מה שימצא יחס המוסיף חצי בשני גבולים
|
- It is also clear from this diagram how it is found in three, four, five, or six terms.
|
עוד התבאר בזאת הצורה איך נמצאהו בשלשה גבולים עוד בארבעה עוד בחמשה עוד בששה
|
Through the technique, by which this diagram is made, terms are added in this ratio endlessly, and no term is missing in any available space in which this technique is not evident.
|
והמלאכה שנעשית בה זאת הצורה כבר יתוספו בה הגבולים בזה היחס אל מה שאין תכלית לו ולא יבצר מהם גבול בשום פנוי שלא תראה בו התחבולה
|
- If we wish to produce numbers according to this example in the sesquitertian ratio:
|
ואם רצינו להוליד מספרים כפי זה המשל ביחס המוסיף חלק השלישי
|
- Arranging what is in the line of the successive triple ratio: 1; 3; 9; 27; 81; 243.
|
נסדר מה שבטור הכפל השלישי הנמשך על יחס דמיון א' ג' ט' כ"ז פ"א רמ"ג
|
- Arranging lines beneath this line, placing under each number its likeness plus its third.
|
ונסדר טורים תחת זה הטור נעמיד תחת כל מספר כמהו וכמו שלישיתו מה שאפשר בו זה
|
- Drawing a diagram, like the first that we drew before, presenting the terms of the sesquitertian ratio without missing any of the terms, as is seen in the following diagram:
|
ונצייר צורתו כמו מה שציירנו הראשונה אשר לפניה ויראו בה מדרגות הגבולים ביחס המוסיף שליש מבלתי שיחטא בגבול מהם כמו שתראה בזאת הצורה אשר לפניך
|
243 |
81 |
27 |
9 |
3 |
1
|
324 |
108 |
36 |
12 |
4
|
432 |
144 |
48 |
16
|
576 |
192 |
64
|
768 |
256
|
1024
|
|
רמג |
פא |
כז |
ט |
ג |
א
|
שכד |
קח |
לו |
יב |
ד
|
תלב |
קמד |
מח |
יו
|
תקעו |
קצב |
סד
|
תשסח |
רנו
|
אלף כד
|
|
- Likewise when we want the sesquiquartan ratio: 1; 4; 16; 64
|
וכמו כן כאשר נרצה ביחס המוסיף חלק הרביעיי הנמשך על יחס דמיון א' ד' י"ו ס"ד
|
- Also for any species of the soecies of the superparticular ratios that follow.
|
וכמו כן מה שילוה לזה מין ממיני המוסיף חלק
|
The basis of the technique of this diagram is to place the successive terms of the first line in the multiple ratio, after which the superparticular ratio of the required terms is nameed, i.e. the multiple that yields the denominator of the part.
|
ואמנם היסוד במלאכת זאת הצורה שנשים מדרגות הטור הראשון נמשכים על יחס הכפל אשר הוא נקרא ליחס הדרוש הגבולים מיחסי המוסיף חלק ר"ל הכפל אשר ממנו מעמד אותו החלק
|
When it is produced in this diagram by the mentioned technique, it is evident and clear that the numbers that are placed in the angles [the main diagonal] of each diagram are the numbers that are in the first given line of the following diagram.
|
וכאשר עשית אותו מזאת הצורה במלאכת הנזכרת הוא גלוי מבואר שהמספרים אשר יפלו בזויות מכל צורה הם המספרים אשר בטור הראשון המונח בצורה אשר תמשך לה
|
Here are other notable and wonderful properties that you will understand through your good examination by the will of God.
|
ובכאן עניינים אחרים נכבדים ונפלאים תעמוד עליהם עם טוב בחינתך בהם ברצון השם
|
Revealing which ratio of the superparticular ratios is found in a composition, i.e. from the composition of which of the ratios follows whichever multiple ratio required.
|
על גלוי אי זה יחס מיחסי המוסיף חלק הנמצא בחבור ר"ל נמצא בחבוריהם יחס מונח ופי' איזה יחסים הם אשר יתחייב מחבורם יחס איזה כפל שתדרוש בחבור יחס מונח מיחסי בעל הכפלים
|
- The first species of the multiple ratios, which is the double ratio, is composed and produced through the first two types of the superparticular ratios, which are the sesquialter ratio and the sesquitertian ratio.
|
אמנם המין הראשון מבעל הכפלים והוא השניי הנה הוא יתחבר ויתילד באמצעות שני המינים הראשונים ממיני המוסיף חלק והם המוסיף חצי והמוסיף שליש
|
- For example:
|
משל זה שהארבעה כמו השלשה וכמו שלישיתם
|
|
והשלשה כמו השנים וכמו חציו
|
- in the double ratio, as one sees in this diagram.
|
והנה הארבעה אצל השנים ביחס הכפל השניי כמו שתראה בזאת הצורה
|
- By the converse explanation it is clear that the double ratio is dissolved to the sesquialter ratio and the sesquitertian ratio.
|
ובהפך זה המאמר יתבאר שהכפל השניי יותך אל המוסיף חצי והמוסיף שליש
|
- For example: if we take two numbers in the double ratio, such as 6 and 3, we will find a mean number between them, by which the double ratio of the two given extremes is dissolved to the two mentioned ratios of the superparticular ratios.
|
משל זה שאם לקחנו שני מספרים ביחס הכפל השניי כמו הששה והשלשה שאנו נמצא ביניהם אמצעי מן המספר יותך אצלו יחס שני הקצוות המונחים מהכפל השניי על שני היחסים הנזכרים מיחסי המוסיף ואם כן יותך אליהם חלק
|
- The mean between 6 and 3 is 4:
|
והאמצעי בין הששה והשלשה הם ארבעה
|
- sesquialter ratio
|
הנה הששה כאשר הוקשו אל הארבעה היה המוסיף חצי
|
- sesquitertian ratio
|
והארבעה אצל השלשה תוסיף שליש
|
- And when it is dissolved, it is dissolved to them.
|
וכאשר יותך אמנם יותך אליהם
|
- The second type of the multiple ratios, i.e. the triple ratio, is produced from the first type of the superparticular ratios, i.e. the sesquialter ratio, and the first type of the multiple ratios, i.e. the double ratio.
|
ואמנם המין השני מבעל הכפלים ר"ל הכפל השלישיי אמנם יולד מהמין הראשון המוסיף חלק ר"ל החצי והמין הראשון מבעל הכפלים ר"ל השניי
|
- For example:
|
משל זה שי"ח כמו י"ב וכמו חציו
|
|
וי"ב כפל ו'
|
- triple ratio
|
אבל י"ח אצל ו' כיחס הכפל השלישיי
|
- You will find the same again, except that it is not necessary to set 12, which is double 6, as the mean, but we may set 9 instead, which is like 6 plus its half.
|
וכמו כן גם כן תמצאהו אלא שלא יחוייב שנשים האמצעי י"ב אשר הוא כפל ו' אבל נשים במקומו ט' אשר הוא כמו ו' וכמו חציו
|
- Both forms are already demonstrated.
|
וכבר המשלתי לך שתי הצורות
|
- By the converse explanation it is clear that the triple ratio, when it is dissolved, dissolves into the double ratio and the sesquialter ratio.
|
ובהפך זה המאמר יתבאר שהכפל השלישי כאשר יותך אמנם יותך אל הכפל השניי והמוסיף חצי
|
- Examine it with whichever of the two numbers you wish by setting them in the triple ratio, and you will find it so.
|
ובחן זה באי זה משני מספרים תרצה אם תניחם ביחס הכפל השלישיי ותמצאהו כן
|
- If the triple ratio and the second type of the superparticular ratio are composed, the quadruple ratio is produced.
|
ואמנם אם יחובר הכפל השלישיי והמין השני מהמוסיף חלק יתילד מזה הכפל הרביעיי
|
- And if the quadruple ratio is dissolved, it dissolves into the triple ratio and to the second type of the superparticular ratio.
|
וכאשר יותך הכפל הרביעיי הנה הוא יותך אל הכפל השלישיי ואל המוסיף חלק השניי
|
The rule of the discussion is that every species of the multiple ratios, when it is composed with its corresponding species of the superparticular ratios, the closest type that follows it among the multiple ratios is composed from them.
|
וכלל המאמר שכל מין ממיני הכפל כאשר הורכב עם דומה לו במדרגה ממיני המוסיף חלק הנה יתחבר מהם המין אשר ילוה אליו בקרוב שבמדרגות אליהם ממיני הכפל
|
This is the full discussion on the relative quantity with all the aspects of its relations, while keeping as much as possible the completion of the properties by a brief discussion about that which the scholars cannot do without.
|
זהו כלל המאמר בכמה המצטרף על כל צדי צירופיו עם תכלית מה שאיפשר מהשמירה בהשלמת הענינים עם קצור המאמר במה שאי אפשר למתלמדים בלעדיו
|
The Discussion of the Triangular Numbers, their Production and their Sides
|
הדבור במשולשים המספריים וצמיחתם וצלעותיהם
|
The triangular numbers are sums of the natural numbers beginning from the one.
|
ואמנם המשולשים הם הוספות המספרים הטבעיים אשר התחלתם האחד קצתם על קצת
|
- The one, when it is written, is a triangle in potentia.
|
הנה האחד כאשר נרשם הנה הוא משולש בכח
|
- When two is added to the one, the three are the beginning of the triangles in actu.
|
וכאשר נוסיף על האחד השנים היו השלשה ראשית המשולשים בפעל
|
- When adding three, the successor of two, to the first actual triangle the result is the second actual triangle, which is 6.
|
עוד תוסיף שלשה אשר ימשכו לשנים על המשולש הראשון בפעל ויהיה המשולש השני בפעל והוא ששה
|
- When adding four the result is the third actual triangle, which is 10.
|
עוד תוסיף ארבעה ויהיה המשולש השלישי בפעל והוא עשרה
|
So on, the production of the triangles is generated from the addition of the natural numbers to each other.
|
עוד כן תתחדש תולדת המשלשים בתוספת המספרים הטבעיים קצתם אל קצתם
|
From what you observe in this diagram, the triangular numbers are produced from the addition of the natural numbers to each other.
|
וממה שתבחנהו בזאת הצורה שהמספרים המשולשים יתילדו מחבור המספרים הטבעיים קצתם על קצת
|
- Such as 3 that bears the composition of 2 and 1
|
כמו ג' שתשא חבור ב' וא'
|
- 1, 3, 6, 10, 15, 21
|
א' ג' ו' י' ט"ו כ"א
|
The production of the sides of these triangles is as the production of the natural numbers according to their succession:
|
ואמנם התילד צלעות אלו המשולשים הוא כפי התילד המספרים הטבעיים על המשכם
|
- The side of the first in potentia is 1.
|
הנה יהיה צלע הראשון בכח האחד
|
- The side of the first in actu is 2.
|
וצלע הראשון בפעל ב'
|
- The side of the second in actu is 3.
|
וצלע השני בפעל ג'
|
- The side of the third in actu is 4.
|
וצלע השלישי בפעל ד'
|
In this way, each side of the triangles is produced from the production of the natural numbers.
|
ובזה הצד מהתילד המספרים הטבעיים יתילד כל צלע מצלעות המשולשים
|
- Beginning from placing the one first.
|
וזה כאשר נתחיל להניח האחד תחלה
|
- Then, each number of the natural numbers is produced by itself in the successive lines beneath the one, as seen illustrated in this diagram:
|
עוד יתילד כל מספר מהמספרים הטבעיים בפני עצמו בטורים ימשכו קצתם לקצת תחת האחד כפי מה שתראה מצוייר בזאת הצורה
|
|
|
- The first potential triangle is 1, and its side is 1.
|
המשולש הראשון בכח אחד וצלעו אחד
|
- The first actual triangle is 3, and its side is 2.
|
והמשולש הראשון בפעל שלשה וצלעו השני'
|
- The second actual triangle is 6, and its side is 3.
|
והמשלש השני בפועל ששה וצלעו שלשה
|
- The third actual triangle is 10, and its side is 4.
|
והמשלש השלישי בפעל עשרה וצלעו ארבעה
|
- The fourth actual triangle is 15, and its side is 5.
|
והמשלש הרביעי בפעל ט"ו וצלעו חמשה
|
What should be examined concerning these triangular numbers is that each triangle among them encompasses the geometrical triangles by a number that is equal to the number of the preceding square, i.e. preceding by one rank, and so on always.
|
ומה שראוי שתבחנהו באלו המספרים המשולשים שכל משולש מהם יקיף מהמשלשים המדותיים במניין שוה למספר המרובע הקודם ר"ל במדרגה אחת וכן תמיד
|
The Discussion of the Square Numbers, their Sides and their Production
|
הדבור במרובעים המספריים וצלעותיהם והתילדם
|
The regular square shapes are not produced as the triangles are produced from the three.
|
ואמנם התמונות המרובעות הישרות לא יתילדו כמו שיתילדו המשולשות מן השלשה
|
This is because they have four sides and four angles.
|
וזה שהן בעלות ארבע צלעות וארבע זויות
|
Such as: 4; 9; 16; 25; 36
|
כמו ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו
|
The shapes of these numbers are quadruple and equilateral, according to this example, i.e. the one illustrated at the end of the chapter, which is the diagram of all regular squares.
|
ורשמי אלו המספרים על הרבוע והשווי יהיה כפי זה המשל ר"ל המצוייר בסוף זה השער והיא התמונה אשר עליה יהיו המרובעים השוים תמיד
|
It is clear from the illustrated example below that the sides of the square numbers in their succession increase according to the root of the production of the natural numbers:
|
ומבואר נגלה מהדמיון המצוייר למטה שצלעות המרובעים המספריים כפי המשכם יתוספו כפי שרש צמיחת המספרים הטבעיים
|
- The side of the first in potentia, which is 1, is 1.
|
כי צלע הראשון בכח אשר הוא האחד אחד
|
- The side of the first in actu is 2.
|
וצלע הראשון בפעל ב'
|
- The side of the second in actu is 3.
|
וצלע השני בפעל ג'
|
- The side of the third in actu is 4.
|
וצלע השלישי בפעל ד'
|
And so is their production always.
|
וכן צמיחתם תמיד
|
It is already said in the first chapter how the equilateral numbers are produced, as it was mentioned there.
|
וכבר אמרנו במאמר הראשון איך יתילדו המספרים השוי הצלעות למה שקרה שם זכרו
|
Yet, it is necessary to return to discuss it, since this is the place of its particular mention.
|
ואמנם מחוייב להשיב המאמר עליו הנה אחר שהוא מקום זכרו המיוחד בו
|
It is said that the production of the square numbers is from the successive addition of the natural odd numbers.
|
ונאמר שצמיחת אלו המרובעים מהוספת הנפרדים הטבעיים קצתם על קצת
|
- Their beginning is the one, which is an odd in potentia and a square in potentia.
|
אחר שהתחלתם האחד אשר הוא נפרד בכח ומרובע בכח
|
- The three, which are the first odd, when added to the one, the result is four, which is the first actual square.
|
כי השלשה אשר הם נפרד ראשון כאשר נוספו על האחד היה הגעת זה ארבעה והוא המרובע הראשון בפעל
|
- When the second odd number, which is five, is added to the first actual square, the result is nine, which is the second actual square.
|
וכאשר נוסף על המרובע הראשון בפעל הנפרד השני אשר הוא חמשה היה הגעת זה תשעה והוא המרובע השני בפעל
|
Since it was already mentioned once, there is no need to elaborate about it more than by saying that the production of the equilateral squares is by adding the natural odd numbers to each other.
|
ולפי שאנו כבר זכרנו זה פעם אחת אין צורך לנו להאריך ביותר מאשר נאמר שהולדת המרובעים השוי הצלעות אמנם תהיה בתוספת הנפרדים הטבעיים קצתם על קצת
|
Each side of any square among them is a root of that square, i.e. when it is counted by the measure of the units that are in it, the result is that square.
|
וכל צלע מצלעות כל מרובע מהם הוא שרש אותו המרובע ר"ל כאשר ימנה בשעורי מה שבו מהאחדים היה כללו הגעת אותו המרובע
|
When the roots of these squares are set successively, they accord with the order of the succession of the natural numbers.
|
וכאשר הונחו שרשי אלו המרובעים ילוו קצתם לקצת היו על סדר המספרים הטבעיים ימשכו קצתם לקצת
|
The rule of this discussion is in accordance with this.
|
וכלל זה המאמר על זה
|
This is the diagram of the squares, which was intended to be brought at the end of the discussion:
|
וזה צורת המרובעים אשר יעדנו להביאה בסוף הדברים
|
|
|
- The first potential square is one, which is written in black, on the right upper angle, upon which א is written.
|
המרובע הראשון בכח הוא האחד הנרשם בשחרות בזוית העליונה מצד הימין והוא הנרשם עליו א'
|
- The first actual square is the sum of this one and the three red units that follow, by the property of the geometrical shape.
|
והמרובע הראשון בפעל הוא המתקבץ מזה האחד ומשלשת האחדים האדומים אשר ילוו עליהם על תכונת תמונת הרושם
|
- The second square is the sum of this first actual square and five units.
|
והמרובע השני הוא המתקבץ מזה המרובע הראשון בפועל ומחמשת אחדים
|
- The third actual square is the sum of this second actual square and the seven red units that follow, by the property of the geometrical shape.
|
והמרובע השלישי בפעל הוא המתקבץ מזה המרובע השני בפעל ומשבעה האחדים האדומים הנלוים עליהם על תכונת תבנית הרושם
|
- The fourth actual square is the sum of this third actual square and the nine black units that follow, by the property of the geometrical shape.
|
והמרובע הרביעי בפעל הוא המתקבץ מזה המרובע השלישי בפעל ומתשעת האחדים השחורים הנלוים עליהם על תכונת תבנית הרושם
|
It should be examined that the geometrical shapes in this diagram are [the sums of] the natural odd numbers, according to their succession in the natural order.
|
וממה שראוי לך שתבחנהו שתמונות הרושם בזאת הצורה הם הנפרדים הטבעיים כפי המשכם בסדר הטבע
|
The Discussion on the Pentagonal Numbers, their Production and their Sides
|
הדבור במחומשים המספרים והתילדם וצלעותיהם
|
The pentagonal number, i.e. all pentagonal numbers, their production is not through the production of the triangle and the square, since the pentagon has five sides and five angles, such as: 1, 5, 12, 22, 35, 51, and the descriptions of these numbers by the quintuple and equality are as drawn at the end of this chapter.
|
ואמנם המספר המחומש ר"ל כלל המחומשים המספרים אין צמיחתם בצמיחת המשלש והמרובע כי המחומש לו חמשה צלעות וחמשה זויות כמו א' ה' י"ב כ"ב ל"ה נ"א ורשמי אלו המספרים על החמוש והשווי הם כפי מה שציירתי לך בסוף זה השער
|
- The side of the first actual pentagon, which is 5, is 2.
|
הנה צלע המחומש הראשון בפעל והוא ה' שנים
|
- The side of the second actual pentagon, which is 12, is 3.
|
וצלע המחומש השני בפעל והוא י"ב שלשה
|
- The side of the third actual pentagon, which is 22, is 4.
|
וצלע המחומש השלישי בפעל והוא כ"ב ארבעה
|
It is necessary that the sides of these pentagons follow each other as the sequence of the natural numbers, as clarified concerning the triangular and the square numbers.
|
וכן יחוייב שיהיו צלעות אלו המחומשים נמשכים יחד על סדר המספרים הטבעיים כפי מה שהתבאר במשולש והמרובע
|
The production of the pentagonal numbers:
|
ואמנם התילד המחומש
|
- It is already clarified that, since the first actual pentagon is 5, the second is 12, and the third is 22, what is added to the first potential pentagon, which is 1, until it becomes the first actual pentagon, is 4.
|
הנה כבר התבאר כי אחר שהיה המחומש הראשון בפעל ה' והשני י"ב והשלישי כ"ב שאשר הוספנו אותו על המחומש הראשון אשר הוא א' בכח ארבעה עד שהיה המחומש הראשון בפעל
|
- When 7 is added to the first actual, which is 5, so that it becomes 12, which is the second actual, the excess of the 7, which was added at the end, over the 4, which was added first, is 3.
|
וכאשר הוספנוהו על הראשון בפעל והוא ה' ז' עד שהיה י"ב והוא השני בפעל הנה מותר השבעה אשר הוספנום לסוף על הארבעה אשר הוספנום ראשונה שלשה
|
- The second actual pentagonal number is 12, and the third actual is 22.
|
והמחומש השני בפעל י"ב והשלישי בפועל כ"ב
|
- What is added to the second actual, so that it becomes the third actual, is 10, and 10 exceeds 7 by 3.
|
ואשר הוספנוהו על השני בפועל עד שיהיה השלישי בפעל עשרה ועשרה יותר משבעה שלשה
|
Hence, it is clear that the production of the pentagonal numbers is always by adding three to what was added to the preceding pentagonal number, and so it will be found always.
|
הנה אם כן כבר התבאר שתולדת המחומשים בתוספת שלשה לעולם על מה שהוספנוהו במחומש אשר לפניו וכן ימצא תמיד
|
- The fourth pentagonal number is 35, and 35 exceeds 22 by the addition of 13, and 13 exceeds 10 by 3.
|
כי הנה המחומש הרביעי ל"ה ול"ה יותר מכ"ב בתוספת י"ג וי"ג יותר מי' שלשה
|
Thus, it is clear how the pentagonal numbers are produced.
|
הנה אם כן כבר התבאר איך יתילדו המחומשים
|
Furthermore, it will be clear from all that is said, how the hexagonal and the heptagonal numbers and the others are composed:
|
וגם כן כבר יתבאר מכל מה שאמרנו איך יתרכבו כמו כן המשושים והמשובעים וזולתם
|
- It was explained that the triangular numbers are generated from the successive addition of the natural numbers, and the natural numbers are added one by one.
|
וזה שאנו כבר בארנו שהמשלשים יתחדשו בתוספת המספרים הטבעיים קצתם על קצת והמספרים הטבעיים יתוספו באחד אחד
|
- It was also explained that the square numbers are generated from the successive addition of the odd numbers, and the odd numbers are added two by two.
|
ובארנו גם כן כי המרובעים יתחדשו בתוספת המספרים הנפרדים קצתם על קצת והנפרדים יתוספו שנים שנים
|
- It was explained that the pentagonal numbers are generated from the addition of the numbers that are added successively three by three.
|
ובארנו שהמחומשים יתחדשו בתוספת המספרים אשר יתוספו קצתם על קצת שלשה שלשה
|
- It is said that the hexagonal numbers are generated from the addition of the numbers that are added successively four by four.
|
ונאמר שהמשושים יתחדשו בתוספת המספרים אשר יתוספו קצתם על קצת ארבעה ארבעה
|
- The heptagonal numbers are generated from the addition of the numbers that are added successively five by five.
|
והמשובעים יתחדשו בהוספת המספרים אשר יתוספו קצתם על קצת חמשה חמשה
|
So also for the octagonal and the nonagonal numbers, or whatever one wishes of these, they are generated as this drawn description.
|
וכן המשומין והמתושע או מה שתרצה מזה אמנם יתחדש בזה התאר המצוייר
|
Examples were already given for the pentagonal, hexagonal, heptagonal, and octagonal numbers.
|
הנה כבר המשלנו דמיונים למחומשים ולמשושים ולמשובעים ולמשומנים
|
- The numbers by which each plane number among them exceeds its preceding are distinguished by two colors.
|
והבדלנו בחלוק שני גוונים המספרים אשר בם יוסיף כל מספר משוטח מהם על אשר לפניו
|
These numbers were assumed as an image of geometrical shapes, in order that what was mentioned will be clear, that the shapes of each species of the plane equi-angular numbers are produced from the addition of numbers that exceed [one another] by one number that never changes forever.
|
והנחנו אותם המספרים כדמות תבניות הרושם כדי שיתבאר בם מה שזכרנו מאשר כל מין ממיני המספרים המשוטחים בעלי הזויות השוות אמנם יתילדו תמונותיו בתוספת מספרים יעדיפו במספר אחד לא ישתנה לעולם אל בלתי תכלית
|
- The squares - the numbers that are added in them, i.e. the numbers of the shapes that complete them at the ends of the geometrical shapes exceed each other two by two.
|
אמנם המרובעים המספרים אשר יתוספו בם ר"ל מספרי התמונות אשר ישלימו אותם על גבולי תמונות הרושם תהיה העדפתם שנים שנים
|
- The pentagons - the excess mentioned with regard to them is three by three.
|
ואמנם המחומשים הנה העודף הנזכר בם יהיה שלשה שלשה
|
Likewise, for any rank shifted forward in the ranks of the species of the plane numbers, the excess mentioned exceeds by one.
|
וכמו כן כל מה שתעתיק מדרגה אחת במדרגות מיני המספרים המשוטחים יוסיף היתרון הנזכר באחד
|
The Discussion on the Solid Numbers
|
הדבור במספרים הגרמיים
|
The distinction between the solid and the surface has already been explained in the previous discussion
|
כבר בארנו במה שקדם מן המאמר מה ההפרש בין הגרם והשטח
|
It was said that the solid adds a dimension of depth to the surface, since the surface has only length and breadth
|
ואמרנו שהגרם הוא אשר יוסיף משך בעומק על השטח אחר שהשטח אורך ורחב לבד
|
- Saying depth or height is the same.
|
ואמרנו עומק או גובה הכל שוה
|
People have said it all before.
|
וכבר אמרו כל זה אנשים
|
Since the discussion on triangles preceded in the section on surfaces, as it was more worthy of precedence due to the reason we indicated: that they are a principle and a root for all surfaces, the pyramids precede in the discussion on solid numbers.
|
ואחר שהיה קודם במאמרנו על השטח הדבור על משולשים לעלה אשר תארנו מהיותר ראוי לקדימה אחר שהם פנה לכל השטחים ושרש יהיה הקדימנו המאמר הזה בגרמים על המזונבים
|
By pyramids I mean those that begin in a rectilinear plane base, rising in height, until they culminate in one.
|
ורצוני במזונבים אשר יתחילו מתושבת משוטח ישר הקוים ר"ל הצלעות עוד יעלו בגובה עד שיכלו אל האחד
|
All the surfaces of this shape are triangles except its base, since the bases of the pyramid species are either triangles, or squares, or pentagons, or hexagons, or others of the mentioned surfaces, but its [other] surfaces are triangles only.
|
כי זאת התמונה אם שיהיו שטחיה כלם משלשים מלבד תושבתה כי התושבות לזה המין המזונב כבר יהיו משולשים או מרובעים או מחומשים או משושים או זולת זה מהשטחים אשר זכרנו ואמנם בשטחיו כאשר היה מזונב הם משולשים לבד
|
Since the pyramid whose bases are all triangles, i.e. the triangular pyramid is a principle and a root for all the pyramids, as they are composed from it and dissolve into it, it is necessary to begin with its description.
|
ומפני שהמזונב אשר תושבותיו יחד משולשים ר"ל הגרם המשולש פנה ושרש לכל הגרמים בעלי הזויות אחר שהרכבתם ממנו והתכתם אליו יחוייב שנתחיל בו לתארו
|
This solid is encompassed by four triangles.
|
ונאמר שזה הגרם יקיפו בו ארבעה משולשים
|
- If one imagines solid shapes from the two-dimensional shapes: an equilateral triangle of three dimensions that are lengthwise equal to its sides, going from the angles of its base, converging to one point, opposite to the center on the base of the height, then a pyramid is conceived, having four equal surfaces, one of them is the base, and the remaining three are encompassing it.
|
כי אלו ידמה מדמה מהתמונות הגרמיות מהמדתיות משולש שוה הצלעות בעל שלשה המשכים שוים באורך לצלעותיו יצאו מזויות תושבתו עוד יפגשו על נקדה נכחית למרכז בנפילת עמוד יהיה כבר ידומה גרם מזדנב לו ארבעה שטחים שוים אחד מהם התושבת והשלשה הנשארים המקיפים בו
|
- If one imagines a square, four sides are going from its angles, one from each side of its base, and all converging at one point, opposite to the center in the falling of the base of height of the square, then a pyramid is conceived, i.e. a pyramid that has five surfaces, as this figure, one of which is a square surface, which is its base, and the remaining four are triangles that encompassing it.
|
וכמו כן גם כן אלו ידמה מדמה מרובע שוה יצאו מזויותיו ארבע צלעות כל אחד מהם לצלע מצלעות תושבתו ויפגשו כלם על נקדה נכחית למרכז בנפילת עמוד המרובע ידומה גרם המזדנב ר"ל מחודד לו חמשה שטחים כמו זאת הצורה אחד מהם שטח מרובע והוא תושבתו והארבעה הנשארים משולשים והם המקיפים בו
|
- Likewise if one imagines the same for a pentagon, or a hexagon, or a heptagon, or other than these, such that lines are going from their angles, converging at one point, opposite to their center, triangles will be generated from the lines that are going from the angles and the ends of their base, and it will be a pyramid.
|
וגם כן אלו ידמה מדמה כמו זה במחומש והמשושה והמשובע וזולתם ימצא בכל אחד מהם המשכים יצאו מזויותיהם ויפגשו על נקדה לנגד מרכזיהם יחדשו באותם הקוים היוצאים מהזויות ותכליות תושבתם משולשים ויהיה הגרם מזדנב ר"ל מחודד
|
If wishing to examine it, one can look at the examples drawn previously in the chapter of the discussion about the triangle as a principle for all the two-dimensional regular surfaces.
|
וכאשר תרצה לבחון זה עיין בדמיונים המצויירים קודם זה בשער הדבור על שהמשולש פנה לכל בעלי הזויות והקוים הישרים מהשטחים המדותיים
|
Again, it is said that the production and increase of every absolute number, as the line, is from the one, such as 1, 2, 3, 4, 5, 6, to that which is added infinitely.
|
ונשוב עתה ונאמר שכל מספר מוגבל כמו הקו הנה תולדתו וצמיחתו מהאחד וזה כמו א' ב' ג' ד' ה' ו' אל מה שיתוסף מזה תמיד
|
From the linear numbers the angled surfaces and solids are composed, except that they are not produced and composed accidentally from the construction in thought, but according to a definition and order, as revealed previously when defining the production of the surfaces.
|
ומאלו המספרים הקויים מה שיתרכבו בעלי הזויות מהשטחים והגרמים אלא שלא יתילד ויתרכב איך שיזדמן מההרכבה במחשבה אבל על גבול וסדר כמו שכבר גלינו במה שקדם בהגבילנו צמיחת השטחים
|
The production of the solid numbers and their growth
|
ואמנם התילד המוגשמים וצמיחתם
|
- The triangular pyramid, i.e. the trianlular solid, is produced by placing one on top, then placing beneath it the triangular numbers that were already mentioned, each beneath its preceeding in rank by order successively. This is done always when wishing to form the triangular pyramid.
|
הנה המשלש המזדנב ר"ל הגרם המשלש התילדו בהנחת האחד בגובה עוד תניח תחתיו המשולשים המספריים אשר כבר זכרנום כל אחד תחת אשר לפניו במדרגה וסדר כפי המשכם ונפעל זה תמיד מה שנרצה להוליד המזדנבים כי יתחדש גוף מחודד משולש
|
- The square pyramids are generated by arranging the aforementioned numerical square surfaces, placing one as their first, then placing beneath it the squares by order successively, and from this a square pyramid is generated.
|
ואמנם המרובעים המזדנבים ר"ל המחודדים הנה הם יתחדשו כאשר תסדר אותם השטחים המרובעים המספריים אשר זכרנום לפנים והנחת האחד ראשון להם עוד תשים המרובעים תחתיו ימשכו קצתם לקצת יתחדש מזה מרובע מזדנב
|
Likewise for the pentagonal pyramid, the hexagonal pyramid, the heptagonal pyramid, and what is similar to these.
|
וכן המחומש והמשושה והמשובע ומה שידמה זה
|
- The triangular pyramids - the ranks of their formation are as the sequence of these numbers: 1, 4, 10, 20, 35, 56.
|
הנה הגרמיים המזדנבי' המשולשים ר"ל המחודדים יהיו מדרגות חדושם כפי משך אלו המספרים א' ד' י' כ ל"ה נ"ו
|
- Each of these numbers is produced from the arrangement of the numbers one beneath the other from one onward as you wish.
|
הנה כל אחד מאלו המספרי' אמנם יתילד מסדר המספרים קצתם תחת קצת מאחד האחד עוד האחד עד אשר תרצה
|
- One is the potential triangular pyramid
|
ואמנם האחד הנה הוא גרם המחודד המשולש בכח
|
- Four is the second, which is a construction of two triangles - one and three
|
ואמנם הארבעה הנה הוא השיני והוא הרכבת שני משולשים האחד והשלשה
|
- ten is a construction of three triangles - one, three and six
|
ואמנם העשרה הוא מהרכבת שלשה משולשים אחד ושלשה וששה
|
- And so the rest in this order are found by this description.
|
וכן הנשארים כפי זה הסדר נמצא בזה התאר
|
- The ranks of the formation of the square pyramids in their succession are as the sequence of these numbers: 1, 5, 14, 30, 55.
|
ואמנם מדרגות התחדש הגרמים המרובעים המחודדים כפי המשכם הנה על משך אלו המספרים א' ה' י"ד ל' נ"ה
|
- Each of these numbers is produced from the construction of the simple squares introduced above, one upon the other, as said about the the triangular pyramid.
|
כי כל אחד מאלו המספרים אמנם התילד מהרכבת המרובעים הפשוטים אשר אמרנו עליהם לפנים קצתם על קצת כמו שאמרנו במשולש המחודד
|
As described in this example, so are the pentagonal pyramid, the hexagonal pyramid and others.
|
וכפי זה המשל אשר תארנו יהיה המחומש המחודד והמשושה וזולתם
|
It is clarified from all that was noted, that the units that are in each of the sides of the pyramids are equal to the number of the surfaces arranged in them, whatever they may be, from the one to the surface of the base.
|
ומבואר מכל מה שזכרנו שכל צלע מצלעות מנין המחודדים יחד שוה מה שבם מהאחדים למנין השטחים המסודרים בם היו מה שהיו מהאחד עד שיגיע אל שטח התושבת
|
It should not be left out from all that was mentioned, that the simple triangle is the principle and the root of all the surfaces.
|
ולא יעלם ממה שזכרנו שהמשולש הפשוט הוא הפנה והשרש לכל השטחים
|
The triangular pyramid is the principle of all pyramids.
|
והמשולש המוגשם המחודד הוא הפנה לכל המחודדים
|
After mentioning the pyramids among the solids, now the one that is called truncated is discussed, which is every angular solid, whose arrangement and construction are according to the arrangement of the construction of the pyramids, except that its height does not end in one, which is the apex of the pyramid, and the angles of its top base are equal in number to the angles of its bottom base, this species is called the truncated.
|
ואחר שכבר הבאנו בזכירת המזונב מהמוגשמים נדבר על אשר נקראהו מחוסר והוא כל גשם בעל זויות היה בסדורו והרכבתו על סדר הרכבת המחודדים אלא שלא יכלה בגבהו אל האחד אשר הוא עליון שבמחודד והיו זויות שטח עליונו שוות במספר לזויות שטח תושבתו הנה זה המין יקרא המחוסר
|
- If the pyramid is deficient by one alone, which is apex of the pyramid, it is called uni-truncated.
|
וזה אם היה חסר מהמחודד באחד לבד אשר הוא עליון המחודד יקרא מחוסר אחד
|
- If it is deficient by one surface [= one + the first actual polygon], it is called bi-truncated.
|
ואם היה חסר מהאחד שטח אחד יקרא מחוסר שנים
|
- If it is deficient by a third surface [= one + the first actual polygon + the second actual polygon], it is called tri-truncated.
|
ואם היה חסר שטח שלישי יקרא מחוסר שלשה
|
- If it is deficient by four surfaces [= one + the first actual polygon + the second actual polygon + the third actual polygon], it is called quadri-truncated.
|
וכן המחוסר ארבעה אם היה חסר ארבעה שטחים
|
So it is always found.
|
וכן תמצאהו תמיד
|
Since the production of this truncated solid is already clarified, as there is no difference between it and what was already explained before about the construction of the pyramid, except that a surface or surfaces are subtracted from the apex of the pyramid, which is the one, this is whole of the discussion.
|
ואחר שכבר התבאר איך צמיחת זה הגשם המחוסר אחר שאין הפרש בינו ובין מה שבארנו לפנים מהרכבת המוגשם המחודד אלא שאנו נחסרהו מעליון המחודד אשר הוא האחד שטח או שטחים הנה זה כלל המאמר על זה
|
This is the time to begin the discussion on the rest of the aforementioned solids, which are the cubes, the bricks, the wedges, the circulars, the sphericals, the scalene, and the heteromecic, while endeavoring to explain it, with the help of God.
|
ואמנם המאמר על שאר הגרמים אשר זכרנום לפנים והם המעוקבים והלבנים והאריחיים והקשתיים והכדוריים והמתחלפי הצלעות והזולתיים באורך הנה זה עת להתחיל בו ונשתדל לפרשו בג"ה
|
The property of terms of the even-times-odd numbers is that when they are arranged successively in a special line, they are in the succession of the natural numbers.
|
ואמנם זוג הנפרד הנה סגולת מדרגותיו בסדורם כפי המשכם בטור מיוחד סדור המספרים הטבעיים
|
That is, the excesses of the terms of the even-times-odd numbers one over the other are equal:
|
וזה שזוג הנפרד הגעות תוספת מדרגותיו קצתם על קצת שוים
|
- The excess of 10 over 6 is as the excess of 14 over 10.
|
כי תוספת י' על ו' כמו תוספת י"ד על י'
|
- The excess of 2 over 1 is as the excess of 3 over 2.
|
וכן תוספת ב' על א' כמו תוספת ג' על ב'
|
- From these two is understood that double the mean is as the sum of the two extremes , and this and its like were already explained in the first section.
|
וישיג שני אלו יחד שיהיה האמצעי נכפל כמו שני הקצוות מקובצים וכבר בארנו זה ודומה לו במאמר הראשון
|
The triangular numbers are generated from the combination of the "same" and the "others", each term with its counterpart, successively.
|
ונאמר שהמספרים המשולשים אמנם יתחדשו מהרכבת ההוא הויים והזולתיים כל מדרגה עם נכחה על משך מדרגותיהם
|
- The first term of the "same", which is one, when it is composed with the first term of the "others", which is two, the first actual triangle is generated, which is three.
|
כי המדרגה הראשונה מההוא הויים והוא האחד כאשר הורכבה עם המדרגה הראשונה מהזולתיים והוא ב' יחודש המשולש הראשון בפעל והוא ג'
|
- When the first term of the "others", which is two, is composed with the second term of the "same", which is four, the second actual triangle is generated, which is six.
|
וכאשר תרכיב המדרגה הראשונה מהזולתיים והיא ב' עם המדרגה השנית מהוא הויים והוא ד' יחודש המשולש השני בפעל והוא ו'
|
- So the combination of these terms is found always according to this description.
|
וכן תמצא הרכבת אלו המדרגות בזה התאר תמיד
|
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2
|
21 |
19 |
17 |
15 |
13 |
11 |
9 |
7 |
5 |
3
|
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1
|
|
יא |
י |
ט |
ח |
ז |
ו |
ה |
ד |
ג |
ב
|
כא |
יט |
יז |
טו |
יג |
יא |
ט |
ז |
ה |
ג
|
י |
ט |
ח |
ז |
ו |
ה |
ד |
ג |
ב |
א
|
|
It is visible from what was described and explained before, that when one of the dimensions of the square becomes different from the other by one, whether by addition to it or by subtraction from it, it becomes an "other".
|
ויראה ממה שתארנו ובארנו קודם שהמרובע כאשר יתחלף באחד משני מרחקיו לאחד באחד אם בתוספת עליו ואם בחסרון ממנו יצא אל הזולתיי
|
Hence, the rank of the square that is equivalent to the "other" is as the rank of equality to the aforementioned five relations, since one of the two numbers exceeds the other and the other is less than it and the equality is a foundation for them.
|
הנה אם כן מדרגת המרובע השוה לזולתיי כמדרגת השוה להקשות החמש אשר הקדמנו זכרם אחר שאחד משני המספרים נוסף על האחר והאחד חוסר ממנו והשווי פינה להם
|
It was also said that the true "same" is the one, and the true "other" is the duality.
|
וכבר אמרנו גם כן שההוא הוא האמתי הוא האחד והזולתיי האמתי הוא השניות
|
In addition, the odd is similar to the "same" and the even to the "other", therefore, the regular square is similar to the "same", since it consists of the odds, and the [heteromecic number], whose two dimensions differ by one, is similar to the "other", since it consists of the evens.
|
עוד אחר זה כבר ידמה הנפרד להוא הוא והזוג לזולת ולזה בעצמו כבר ידמה המרובע השוה ההוא הוא אחר שהוא מורכב מהנפרדים וידמה המתחלף שני המרחקים באחד הזולתיי אחר שהוא מורכב מהזוגות
|
Returning to what was mentioned about that which is evident concerning these two species, i.e. the "same" and the "other", when they are arranged successively as aforementioned, which is the succession of the two species together in one line, so that their terms are such that each term of one of the two species is between two terms of the other species successively.
|
אמנם עתה נשוב אל מה שזכרנוהו ממה שיראה משני אלו המינים ר"ל ההוא והזולתיי כאשר יסודר כפי הסדר אשר זכרנוהו לפנים והוא סדר שני המינים יחד בטור אחד בסדר שיהיו מדרגותיהם כן כל מדרגה מאחד משני המינים בין שתי מדרגות מהמין האחד על המשך
|
- Such as: 1; 2; 4; 6; 9; and so on.
|
כמו א' ב' ד' ו' ט' וכן תמיד
|
One finds that every three terms of this line, when it is arranged by this order, when they are equal in ratio, they differ in their additions to each other; and when they are equal in their additions to each other, they differ in their ratio.
|
הנה זה הטור כאשר יסודר זה הסדר תמצא כל שלשה מדרגות מהם כאשר השתוו ביחס יתחלפו בהגעות תוספותיהם קצתם על קצת וכאשר ישתוו בהגעות תוספות קצתם על קצת יתחלפו ביחס
|
- 1; 2; 4 - are in the double ratio [], but the excess of 4 over 2 is two [], and the excess of 2 over 1 is 1 [] - the ratio is one and the same, while the additions are different.
|
כי א' ב' ד' ביחס הכפל השניי אבל תוספת ד' על ב' ב' ותוספת ב' על א' א' הנה היחס אחד והתוספות מתחלפות
|
- 2; 4; 6 - the excess of 6 over 4 is the same as the excess of 4 over 2 [], but the ratio differs, as the ratio of 6 to 4 is not the ratio of 4 to 2 [].
|
אמנם שלשה המדרגות אשר הן ב' ד' ו' תוספת ו' על ד' כמו תוספת ד' על ב' אלא שהיחס יתחלף לפי שיחס ו' אל ד' בלתי יחס ד' אל ב'
|
- 4; 6; 9 - are in one ratio, but their additions are unequal.
|
וכן גם כן שלשת המדרגות אשר הן ד' ו' ט' שהן ביחס אחד ואין התוספות שוות
|
- 6; 9; 12 - their additions [are equal], but they differ in their ratio.
|
וכן גם כן שלשת מדרגות ו' ט' י"ב בהגעות התוספות מתחלפות ביחס
|
- Likewise, every three terms of this line which is compounded from the "same" and the "others", are found according to the combination described in this description above.
|
וכן תמצא כל שלשה מדרגות מזה הטור המורכב מן ההוא הויים והזולתיים כפי ההרכבה אשר תארנו לפנים בזה התאר
|
It is clarified from what was mentioned, that when the "other" and the "same" are such that the two dimensions of the "other" differ so that the length exceeds the breadth by one, for every three terms of this line that are matching in ratio, but differ in the excesses, the difference of the excesses is also one.
|
ויתבאר ממה שזכרנו שכאשר היה הזולתיי וההוא הוא אלו ששני מרחקי הזולתיי יתחלפו בתוספת אחד באורך על הרחב שיהיו כל שלשה מדרגות מזה הטור שיסכימו ביחס ויתחלפו בהגעת התוספת שיהיה חלוף התוספות גם כן באחד
|
- For, 2, which is the difference between 4 and 2 exceeds the one, which is the difference between 1 and 2, by one [], and so on.
|
כי ב' אשר הוא המותר בין ד' וב' יוסיף על האחד אשר הוא המותר אשר הוא בין א' וב' אחד וכן תמיד
|
We further say what is strengthened by what was mentioned before, that the odds verify more strongly the nature of the "same", i.e. those that have roots:
|
ונאמר עוד שממה שיחזק עם מה שזכרנוהו קודם כי הנפרדים יותר חזקי ההאמתה בטבע ההוא ר"ל הנגדרים מה שאנחנו זוכרים אותו
|
- Arranging the numbers that begin with the one, and proceeding by the double ratio, such as: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64.
|
וזה שאנו נסדר המספרים אשר התחלתם מהאחד והמשכם ביחס הכפל השניי בטור כמו א' ב' ד' ח' י"ו ל"ב ס"ד
|
- Arranging also the numbers that begin with the one, and proceeding by the triple ratio, such as: 1; 3; 9; 27; 81; 243.
|
ונסדר גם כן המספרים אשר התחלתם מהאחד והמשכם על יחס הכפל השלישיי כמו א' ג' ט' כ"ז פ"א רמ"ג
|
One finds that the odd terms in each of the two lines are of the "same", i.e. necessarily having root, i.e. the terms that are in a place whose number is odd, their values have roots; those that are in a place whose number is even, their values do not have roots.
|
ונמצא מדרגות הנפרדים מכל אחד משני הטורים מספרים הוא הויים ר"ל שרשיים בהכרח ר"ל שהמדרגות אשר תהיינה במקום נפרד ממנין המדרגות הגעותיהם נגדרות ואשר הם במקום זוג ממנין המדרגות הגעותיהם בלתי נגדרות
|
It is further said that the solid cube numbers, since they are also similar to the "same", as their dimensions are equal, they are also produced from the odd numbers.
|
ונאמר עוד שהמספרים הגרמיים המעוקבים אחר שהם גם כן דומים להוא הויים לפי שמרחקיהם שוים הנה הם יתילדו מהנפרדים גם כן
|
This is found by the natural wonderful technique that is easy to execute:
|
וימצא זה בזאת התחבולה הנפלאה בטבע הנקלה במעשה
|
- Arranging the natural odds in a line.
|
וזה שאנו נסדר הנפרדים הטבעיים בטור
|
- The first potential cube, which is one, is the first potential odd
|
וימצא המעוקב הראשון בכח אשר הוא האחד הוא הנפרד הראשון בכח אשר הוא א'
|
- The second potential cube, which is eight, is from the combination of the two terms of the odds following the one, which are 3 and 5 .
|
והמעוקב השני בכח הוא ח' מהרכבת שתי מדרגות ימשכו לאחד מהנפרדים והם ג' וה'
|
- The third cube, which is 27, is from the combination of the three terms of the odds following the the two terms, from which the second cube is compounded, and they are 7, 9, 11, for their sum is 27. .
|
והמעוקב השלישי אשר הוא כ"ז מהרכבת שלשה מדרגות ממדרגות הנפרדים ילוו לשתי המדרגות אשר הורכב מהם המעוקב השני והם ז' ט' י"א כי כל זה כ"ז
|
So, one always finds, whenever skipping to a cube, that its combination is from odd terms, whose number are the same as the number of its place among the terms of the cubes, i.e. that the second cube consists of two odds, the third consists of three odds, and so on for what follows.
|
וכן תמצא זה תמיד כל מה שתדלג אל מעוקב תמצא כי הרכבתו ממדרגות נפרדים מנינם כמו מקומו ממנין מדרגות המעוקבים ר"ל כי המעוקב השני מהרכבת שני נפרדים והשלישי מהרכבת שלשה נפרדים וכן מה שאחר זה
|
Yet, for every cube, the first of the odds, from which it is composed, follows the end of the terms, from which its preceding cube is composed, and the terms are taken successively by the order of the natural odd numbers.
|
אלא שכל מעוקב הנה ראש הנפרדים אשר מהם יורכב אחר סוף מדרגה מהמדרגות אשר הורכב מהם המעוקב אשר לפניו עוד המדרגות לקוחות על משך סדר הנפרדים הטבעיים
|
This is the rule of the discussion about it, and its diagram is as you see:
|
הנה זה כלל המאמר על זה וצורתו כמו שתראה
|
[Relative Quantity]
|
|
The Discussion on The Ten Means
|
הדבור על האמצעיים העשרה
|
It is what the author of this book in Arabic calls al-ʽIyād.
|
וזה אשר יקרא אותו בעל זה הספר בערבי אלעיאד
|
Its meaning: a determination of two proportions or more between two given terms,
|
ומשמעותו הגבלת שני יחסים או יותר מזה בין גבולים מונחים
|
- either by themselves, i.e. that the determination is actualized from the terms themselves to each other.
|
אם מעצמם ר"ל שתהיה ההגבלה מוצאת מעצמי הגבולים עצמם קצת אל קצת
|
- or by the excess of one over the other
|
ואם מיתרון קצתם על קצת
|
- or by both properties together.
|
ואם משני העניינים יחד
|
The proportion is the being of two determined terms given with respect to each other.
|
והיחס הוא ישות שני גבולים מוגבלים מונחים אחד מהם אצל האחר
|
This is at least a relation of three terms.
|
ובפחות מה שיהיה ההתיחסות בשלשה גבולים
|
- Such as: 4; 2; 1
|
כמו ד' וב' וא'
|
- For the ratio of 4 to 2 is as the ratio of 2 to 1
|
כי שעור ד' אצל ב' כשעור ב' אצל א'
|
- Also vice versa. The determination that is called al-ʽIyād, which is between 1 and 2 with respect to 4, their ratio is one []
|
וכמו כן בהפך הנה ההגבלה הנקראת אלאיעד אשר בין א' וב' אצל ד' הוא יחסם אחד
|
This al-ʽIyād is essentially the given number itself.
|
וזה אלאיעד הוא בעצם המספר המונח עצמו
|
The numbers in this ratio can always be extended by [more] units, as explained before, more than once, in this book, so that the numbers will be four, or five, or six, or more, as one wishes.
|
וזה היחס כבר אפשר שיתוספו מספריו תמיד באחדות כאשר קדם פירושינו לו יותר מפעם בספרנו זה כמו שיהיו המספרים כאשר היו ארבעה או חמשה או ששה או יותר מזה כפי מה שתרצה
|
- Such as setting 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64 - since all of them are in the ratio mentioned initially between the three terms.
|
כמו שתניח א' ב' ד' ח' י"ו ל"ב ס"ד כי אלו כלם ביחס הנזכר בין שלשת הגבולים תחלה
|
The proportion that is subject to addition:
|
ואמנם ההתיחס אשר יפול ביתרון
|
- Such as: 1; 2; 3
|
כמו א' ב' ג'
|
- For the measure of 1 to 2 is not as the measure of 2 to 3 [].
|
כי אין שעור האחד מב' כשעור ב' מג'
|
- Yet, the measure of the excess of 3 over 2 is the measure of the excess of 2 over 1 []; and vice versa.
|
אבל שעור תוספת ג' על ב' הוא השעור אשר בו יוסיף ב' על האחד וכן הוא גם כן בהפך
|
It is al-ʽIyād even if the given numbers are numerous:
|
וזה אלאיעד גם כן אם ירבו המספרים המונחים
|
- The measures of the excesses according to this example are not equal also according to this example: 2; 3; 4; 5 [].
|
הנה כפי זה המשל ימצאו שעורי התוספות בחלוף כפי זה המשל גם כן כמו ב' וג' וד' וה'
|
- Yet the excess of 5 over 3 is as the excess of 4 over 2 []; and vice versa.
|
כי תוספת ה' על ג' כמו תוספת ד' על ב' וכן ימצא גם כן בהפך
|
It is said that the proportions that are acknowledged by all the ancients - Pythagoras, Plato and others - are three:
|
ונאמר שהאמצעיים אשר יודו בם כל הקדמונים ר"ל פיתאגורש ואפלאטון וזולתם הם שלשה
|
- 1) for arithmetic
|
האחד מהם לחשבון
|
- 2) for geometry
|
והשני למדות
|
- 3) for music
|
והשלישי לחבור הנגונים
|
- The geometric and the harmonic proportions have three subcontrary proportions:
|
ולאמצעי המדות והחבור מקבילים אחרים שלשה
|
- The harmonic proportion has one contrary
|
לחבור הקבלה אחת
|
- The geometric proportion has two contraries
|
ולמדות שתי הקבלות
|
- These do not have names, they are called by their numbers: fourth, fifth, sixth.
|
אלא שהם אינם בעלות שמות כמו אלו ונקראו מהמספר ונקראו רביעית וחמישית וששית
|
Four other proportions were added to these six proportions constituting the ten proportions, as the ten was perfect for Pytagoras.
|
וכבר אמרו אחר זה המאמר הקדום שהאמצעיים עשרה והוסיפו על אלו הששה ארבעה אחרים להשלים האמצעיים העשרה להיות לעשרה שלמות אצל פיתאגורש
|
We will discuss the description of these proportions:
|
ונדבר בתאר אלו האמצעיים
|
The Arithmetic Proportion
|
וניחד המאמר תחלה במצוע המספריי
|
The discussion about the priority of the number in the four sciences is already completed.
|
ונאמר הנה כבר נשלם מאמרנו בהיות המספר ראוי בקדימה באומניות הארבעה
|
The numbers given in the arithmetic proportion are according to the natural succession, or similarly to the natural succession.
|
ועם זה הנה המספרים המונחים לאמצעי החשבון הם כפי סדר הטבע או מה שהיה דומה לסדר הטבע
|
Hence it is necessary to precede this proportion to the other proportions, since it is antecedent to the other antecedent proportions and all the more so to their opposites.
|
הנה אם כן יחוייב בהכרח שנקדים זה האמצעי על שאר האמצעיים שאחר שהיה קודם על שאר האמצעיים הקודמים הנה יותר ראוי מזה שיקדם על המקבילים להם
|
- The arithmetic mean is when three numbers or more are given, set according to the natural addition successively.
|
הנה האמצעי המספריי יהיה כאשר תניח שלשה מספרים או יותר מזה והונחו כפי חבור הטבע ימשכו קצתם לקצת
|
- Such as: 1; 2; 3; 4; 5
|
כמו א' ב' ג' ד' ה'
|
- For, excess of each of these numbers over its preceding number is one.
|
כי אלו המספרים בהכרח תוספת כל אחד מהם על מה שלפניו אחד
|
If one wishes to arrange them according to this ratio, which is equality of the difference:
|
ואם תרצה לסדרם בזה היחס אשר הוא שווי היתרון
|
- Setting the natural numbers in a line.
|
אתה תסדר המספרים הטבעיים בטור
|
- Starting with the number that is wished to be set as the first term, then examining how many ranks [units], according to the natural succession, are between it and the number that is wished to be set as the mean term, so that between the mean and the third term will succeed the same number of ranks [units], and also between the third and the fourth, or whichever terms that are set in this proportion.
|
עוד תתחיל במספר אשר תרצה לשומו בגבול הראשון ותעיין כמה בינו ובין המספר אשר תרצה לשומו אמצעי מהמדרגות אשר על סדר הטבע וימשכו כמו אותו המנין מהמדרגות בין האמצעי והגבול השלישי וכן בין השלישי והרביעי או במה שתניח מהמדרגות בזה היחס
|
- Such as: setting the first term as 2 and the second term as 4.
|
כמו שתניח הגבול הראשון ב' והגבול השני ד'
|
- No doubt that the third term will be set according to the distance from 4 to 2, which is the distance from 6 to 4, i.e. a distance of two ranks [units].
|
ואין ספק שתניח הגבול השלישי על דמיון מרחק ד' מב' והוא מרחק ו' מד' ר"ל על מרחק שתי מדרגות
|
- Also, when setting a fourth term, it is the one that has distance from 6 of two ranks, which is 8.
|
וכן אם תניח גבול רביעי היה הוא אשר ירחק מו' בשתי מדרגות והוא ח'
|
According to this way the terms are set. When you wish to increase them, their excess is always by the same addition.
|
וכפי זה הדרך תניח הגבולים כאשר תרצה להרבותם הנה תהיה הוספתם לעולם בתוספת אחד
|
- The property of this proportion, i.e. the arithmetic proportion, that is necessary for it and for no other: its mean term, when it is doubled, if the given terms have one mean, equals the sum of the two extremes,
|
ובפרט זה האמצעי ר"ל אמצעי החשבון המתחייב לאלו בלתי זולתם שהגבול האמצעי מהם כשיכפל על ב' אם היו המדרגות המונחות להם אמצעי אחד ישוה שני הקצוות כאשר יקובצו
|
- and if the terms have two mean terms, the sum of the two means equals the sum of the two extremes:
|
אם היו המדרגות בעלות שני אמצעיים הנה קבוץ שני האמצעים כמו קבוץ שני הקצוות
|
- This proportion has a second property: the ratio of each term to itself is equal to the ratio of the differences of the terms to each other.
|
ולהם סגולה שנית גם כן והיא שיחס כל אחד אל עצמו כמו יחס מותרי הגבולים אלו על אלו קצתם על קצת
|
- Also a third property, which is more difficult and hidden from the understanding of many: the product of the two extremes one by the other compared to the product of the mean [by itself] is smaller by the product of the differences of the terms by each other, whether the terms are odd in number, or whichever number they are, so that when they are summed they are more than the two extremes together.
|
עוד סגולה שלישית והיא היותר קשה ונעלמת מדעת רבים והיא כי כפילת שתי הקצוות האחד על האחר כאשר נערכהו אל כפילת האמצעי הוא יותר פחות בערך כפילת מותרי הגבולים אלו על אלו בין שיהיו הגבולים נפרדים במספרם ובין שיהיו איזה מספר שיהיה כאשר יקובצו היו יותר משני הקצוות יחד
|
- This proportion has a fourth property, mentioned by the ancients: the ratio between the smaller terms is larger than the ratio between the greater terms
|
ולהם סגולה רביעית והיא ממה שזכרנוהו הראשונים מתאריהם והיא שיחס אשר בין הגבולים הקטנים מהם יותר גדול מיחס אשר בין הגבולים הגדולים
|
- Such as: 2; 3; 4 - which are in this proportion.
|
כי שנים ושלשה וארבעה אשר הם בסדר זה האמצעי
|
- The ratio of 4, which is the greater term, to 3 is as the sesquitertian ratio
|
שעור ארבעה מהם והוא הגבול הגדול אצל השלשה כיחס המוסיף חלק השלישי
|
- The measure of 3 to 2, which is the smaller term, is as the sesquialter ratio
|
ושעור שלשה אצל השנים והוא הגבול הקטן כיחס המוסיף חלק החציי
|
- This ratio [= the sesquialter] is greater than the first [= the sesquitertian] as the measure of the excess of the half over the third.
|
וזה היחס גדול מהראשון כשעור תוספת החצי על השליש
|
- The opposite is seen in the harmonic proportion, in which the ratio between the greater terms is larger than the ratio between the smaller [terms].
|
וזה יראה ביחס הניגוניי בהפך כי היחס אשר בין הגבולים הגדולים יותר גדול מהיחס אשר הקטנים
|
- Because of this, the arithmetic proportion is subcontrary to the harmonic proportion,
|
מפני זה אמצעי המספר הם הפכים לאמצעי הנגון
|
- and the geometric proportion is mean between these opposites, for [in this proportion] the ratio between the greater terms is equal to the ratio between the smaller [terms]
|
ואמצעי המדות הם אמצעיי בין אלו ההפכים כי יחס אשר בין הגבולים הגדולים הוא שוה ליחס אשר בין הקטנים
|
This is the end of the discussion of the arithmetic proportion.
|
זה הוא סוף המאמר על האמצעי המספרי
|
The Geometic Proportion
|
|
- The geometic proportion is when there are three numbers or more, such that the measure of the first of them to the second is as the measure of the second to the third and vice versa.
|
ואמנם האמצעי המדותיי הוא כאשר יהיו שלשה מספרים או יותר מזה והיה שעור הראשון מהם אצל השני כשעור השני אצל השלישי וכן בהפך
|
- Such as: 4; 8; 16 - which are by this description in the geometic proportion.
|
כמו ד' ח' י"ו שהם בזה התאר בהתיחסות המדותיי
|
These given numbers in the geometric proportion differ from the given numbers in the arithmetic proportion, since these terms themselves are proportional and their differences between each other are unequal, while the differences of the former are equal and their terms are disproportional.
|
וכבר יתחלפו אלו המספריים המונחים לאמצעי ההנדסה למספרים המונחים באמצעי המספר לפי שאלו המדרגות עצמן מתיחסות ומותרי קצתם על קצת בלתי שוה ואותן היו מותריהם שוים ומדרגותיהם בלתי מתיחסות
|
- The property of the geometric proportion is that the ratio of the excesses of the terms one over the other is the same as the ratio of the terms themselves.
|
וסגלת זה האמצעי ההנדסיי כי למותרי הגבולים קצתם על קצת מהיחס כמו מה של גבולים עצמם מהיחס
|
|
כי יחס מותרי י"ו על ח' והוא ח' אל מותרי ח' על ד' והוא ד' כמו יחס י"ו אל ח' וח' אל ד'
|
- Also if the terms are in triple ratio, such as: 3; 9; 27
|
וכן אם היו גם כן הגבולים ביחס הכפל השלישיי כמו ג' ט' כ"ז
|
- Likewise always, for any given terms in whichever of the five ratios that one wishes, since the terms following according to the ratio - understand this.
|
וכן הוא תמיד כל מה שתניח מן המדרגות באי זה מן היחסים החמש שתרצה אחר שיהיו הגבולים נמשכים ביחס והבן זה
|
- This proportion has a second property: the product of the mean term by itself is as the two extremes multiplied one of them by the other.
|
ולזה האמצעי סגולה שנית והוא שמוכה הגבול האמצעי בעצמו כמו שני הקצוות מוכה אחד מהם באחר
|
It should be noticed to what was said before, concerning the "same" and "other" numbers, that between each term of one of them there is a mean term of the other successively in the natural order.
|
וראוי שנשים לב למה שאמרנו לפנים שמספרי ההוא הוא והזולת בין כל מדרגה מאחד מהם ומדרגה מן האחר אמצעי על המשכם בסדר הטבע
|
- Such as: 4; 6; 9; 12; 16
|
כמו ד' ו' ט' י"ב י"ו
|
Since every three [subsequent] terms among them [starting with as "same" number] are proportional.
|
כי כל שלשה מספרים יוקחו מהם מתיחסים
|
If their first term is "other" the differences are equal.
|
ואם יהיה הגבול הראשון מהם זולתיי יהיה שווי היתרון
|
The rule of this statement: between every two subsequent "same" numbers there is one "other" number that follows the same ratio with them, which is less[?] than for the cube "same" numbers.
|
וכלל זה המאמר שיפל בין כל שני מספרים הוא הויים נלוים מספר אחד זולתיי ימשך עמם על יחס בפחות מההוא הויים המעוקבים
|
Since between every two subsequent cubes among them there are two numbers that follow the same ratio.
|
כי בין כל שני מעוקבים נלוים מהם שני מספרים ימשכו עמם על יחס
|
- Because the first actual cube is 8, the second cube is 27, and between these two cube numbers there are two numbers, which are 18 and 12, and these four are in the same ratio.
|
כי המעוקב הראשון בפעל ח' והמעוקב השני כ"ז ובין שני אלו המספרים המעוקבים שני מספרים והם י"ח וי"ב וכבר יתיחסו אלו הארבעה ביחס אחד
|
This is what was necessary to be said here.
|
וזה ממה שיחוייב שנאמר אותו הנה
|
|
דע שכל מספר מרובע הוכה במספר מרובע הנה המקובץ מרובע
|
|
וכל מספר מרובע יוכה במספר בלתי מרובע יהיה המתקבץ מספר מעוקב
|
- Such as:
|
כמו ח' בכ"ז שהוא רי"ו כי זה מהכאות בו' עוד בו'
|
|
ואם תכה מעוקב בזולתיי לא יתקבץ מעוקב
|
- Such as: , 48 is not a cube and not a rooted surface.
|
כמו ח' בו' שהוא מ"ח ומ"ח אינו מעוקב ולא שטח נגדר
|
- "other" × "other" = not necessarily a square or a cube
|
ואם תכה מספר זולתיי במספר אחר זולתיי לא יחוייב שיתקבץ מרובע פשוט ולא גם כן מעוקב
|
|
ואם תכה זוג בזוג יהיה המתקבץ זוג
|
|
ואם תכה נפרד בנפרד יהיה מה שיתקבץ נפרד
|
The author of this book [= Nicomachus] said: Plato has already explained it in his book that is called in Greek language politeia.
|
אמר מניח הספר וכבר באר זה אפלאטון בספרו אשר יכונה בלשון יוני בולוטיא
|
The Harmonic Proportion
|
|
The harmonic proportion is when there are three given numbers, which are not in one ratio to each other, as the terms in the geometric proportion, and the excesses of each over the other are not equal, as [those of] the terms in the arithmetic proportion, but the measure of the greater term to the measure of the smaller term is as the measure of the excess of the greater term over the mean term to the excess of the mean over the smaller.
|
ואמנם האמצעי החבוריי הנה הוא כאשר היו שלשה מספרים מונחים ולא יהיה לקצתם אל קצת יחס אחד כמו הגבולים המדותיים לא יתרוני קצתם על קצת שוים כמו הגבולים המספרים אבל יהיה השעור הגבול הגדול אצל שעור הגבול הקטן כשעור מותר הגבול הגדול על הגבול האמצעי אל מותר האמצעי על הקטן
|
- Such as: 3; 4; 6
|
כמו ג' ד' ו'
|
Also, the measure of the greater term to the greater excess is as the measure of the smaller term to the smaller excess.
|
וכן גם כן שעור הגבול הגדול אצל גדול שני המותרים כשעור הגבול הקטן אצל קטן שני המותרים
|
- The property of these terms is opposite to the terms of the arithmetic and the geometric proportion together.
|
וסגולת אלו הגבולים הפכית לגבולי אמצעי החשבון והמדות יחד
|
- Since the ratio of the smaller of these terms to the mean is greater than the ratio of the mean to the greater.
- []
|
לפי שאלו הגבולים יחס הגבול הקטן מהם אל האמצעי גדול מיחס האמצעי אל הגדול
|
- While in the terms of the arithmetic proportion, the ratio of the smaller to the mean is less than the ratio of the mean to the greater.
- []
|
וגבולי האמצעי החשבון יחס הקטן אל האמצעי פחות מיחס האמצעי אל הגדול
|
- And in the terms of the geometric proportion, if three terms of them are given according to this condition, all of them are in one ratio.
- []
|
ואמנם גבולי אמצעי המדות אם היו שלשה גבולים מהם מונחים כפי תנאם יהיו כלם ביחס אחד
|
- The harmonic proportion has another property, which is that the sum of the products of each of the two extreme terms by the mean is twice the product of the two extremes multiplied by each other.
|
ולאמצעי חבוריי סגלה אחרת והיא שהכאת כל אחד משני הקצוות מגבוליו באמצעי מקובצים כמו כפל מה שיהיה משני הקצוות מוכה אחד מהם באחר
|
[Extracting a Third Term in the Arithmetic, Geometric, and Harmonic Proportions]
|
|
Now it will be explained how the third term is extracted for each of these three proportions, when two of the terms are given:
|
ונבאר עתה איך יוצא הגבול השלישי לכל אחד מאלו השלשה אמצעיים כאשר היו שני חלקים מהם מונחים
|
- If two successive terms of the arithmetic proportion are given and the third term is required:
|
וזה שאם היו שני חלקים מאמצעי החשבון נלוים מונחים ונבקש הגבול השלישי
|
- If the required is the greater term
- It is defined as a number such that the measure of its excess over the mean is as the measure of the excess of the mean over the smaller.
|
הנה אנו נשימהו אם היה הדרוש הגבול הגדול מספר ששעור תוספתו על האמצעי כשעור תוספת האמצעי על הקטן
|
- The third term is found also, when it is the greater, by multiplying the mean, then subtracting from it the smaller term, and the remainder is the greater term.
|
ונמצא גם כן הגבול השלישי כאשר היה הגדול כאשר נכפול האמצעי עוד נשליך ממנו הגבול הקטן ומה שישאר הוא הגבול הגדול
|
- It was already said that the arithmetic proportion is that, whose terms exceed each other equally, but the terms are not proportional.
|
הנה כבר נאמר שאמצעי החשבון הוא אשר יוסיפו גבוליו קצתם על קצת בשוה ואינם מתיחסים הגבולים
|
- Furthermore, it was said that double the mean is as the two extremes together.
|
ואמרנו שכפל האמצעי מגבוליו כמו שני קצוותיו יחד
|
- If the required is the smaller term
- It is defined similarly as a number such that its subtraction from the mean is as the subtraction of the mean from the greater.
|
וכדמיון זה נוציא הגבול הקטן אם היה הדרוש וזה שאנו נשים הגבול הקטן מספר יהיה חסרונו מהאמצעי כשעור חסרון האמצעי מהגדול
|
- Or, subtracting the greater term from double the mean - the remainder is the smaller term.
|
או כפל האמצעי הנה נשליך ממנו הגבול הגדול ומה שישאר הוא הגבול הקטן
|
- If the required is the mean
|
אמנם אם היה הדרוש באמצעי
|
- Taking half the sum of the two extremes - it is the mean.
|
אנו נקח חצי שני הקצוות מקובצים והוא האמצעי
|
- Extracting the third term in the geometric proportion:
|
ואמנם איך יוצא הגבול השלישי אל אמצעי המדות
|
- If the required is the greater term
|
הנה אם היה דרושנו הגבול הגדול
|
- It is defined as a number such that the ratio of the mean to it is as the ratio of the smaller to the mean.
|
אנו נשימהו מספר יחס האמצעי אליו כיחס הקטן אל האמצעי
|
- Or, multiplying the mean by itself, then dividing the product by the smaller term - the result of division is the greater term.
|
או נכה האמצעי בעצמו ומה שיצא נחלקהו על הגבול הקטן ומה שיצא בחלוק הוא הגבול הגדול
|
- It was already explained before that the geometric proportion is that, whose terms are proportional, but their excesses are unequal.
|
וכבר בארנו לפנים שאמצעי המדות הוא אשר גבוליו מתיחסים ואין תוספתם שוה
|
- It was further explained that the product of the mean by itself is as the product of the two extremes multiplied by each the other.
|
ובארנו הכאת שהאמצעי בעצמו כמו שני הקצוות מוכה אחד מהם באחר
|
- For the number that is the quotient resulting from the division of that number [i.e. the square of the mean] by one of the two numbers that are multiplied one by the other [i.e. the upper and lower terms], is equal to the one of them, by which it is not divided.
- []
|
כי המספר אשר יצא מחלוקת אותו המספר על אחד משני המספרים המוכה אחד מהם באחר שוה לאשר לא יחלק עליו מהם
|
- If the required is the mean term
|
ואם היה הדרוש הגבול האמצעי
|
- Extracting the root of the product of one of the numbers by the other is defined as the mean.
|
הנה אנו נקח שורש המתקבץ מהכאת אחד משני המספרים באחר ונשימהו האמצעי
|
- Extracting the third term in the harmonic proportion
|
ואמנם איך נוציא הגבול השלישי מאמצעי החבור
|
- It is impossible to extract one of the two extreme terms.
|
הנה אין אחד משני גבולי הקצוות אפשרי להוציאו
|
- This is because the extraction of each of them requires knowing two unknowns of the four proportional dividends in the ratio:
|
וזה שיצטרך בהוצאת כל אחד מהם אל שתי ידיעות מוסכלות מארבעה מתיחסים חלוקים ביחס
|
- One of them is the unknown term itself.
|
אחד מהם בגבול המוסכל עצמו
|
- The other is the excess of the unknown term over the mean term, if the unknown term is the greater term.
|
והשני מותר הגבול המוסכל על הגבול האמצעי אם היה הגבול המוסכל הוא הגבול הגדול
|
- Or the excess of the mean over the smaller, if the unknown is the smaller.
|
או מותר האמצעי על הקטן אם היה המוסכל הוא הקטן
|
|
ואמנם הוצאת האמצעי
|
- It is already known that this is when the excess of the greater over the smaller is taken and divided into two parts, such that the ratio of one of them to the other is as the ratio of the greater to the smaller.
|
הנה כבר נודע שהוא כאשר לוקח מותר הגדול על הקטן וחולק בשני חלקים יחס א' מהם אל האחר יחס הגדול אל הקטון
|
- For, the smaller of the two parts of the excess, when it is added to the smaller of the two extremes, the result is the mean, and when the greater part of the two parts of the excess is subtracted from the greater term, it is also the mean.
|
כי הקטון משני חלקי המותר כאשר נוסף על הקטן משני הקצוות היה המתקבץ הוא האמצעי וכאשר חוסר החלק הגדול משני חלקי המותר מהגבול הגדול היה גם כן הוא האמצעי
|
- Another way is by multiplication: multiplying one of the two extremes by the other, doubling the product, then dividing the result by the sum of the two extremes - the quotient is the mean.
|
ואמנם אופן אחר ההכאה בם אנו נכה אחד משני הקצוות באחר ועוד נכפל מה שיתקבץ ונחלק מה שיתקבץ על שני הקצוות מקובצים ומה שיצא מהחלוקה הוא האמצעי
|
This is enough for the description of the three proportions that are recognized by the ancients.
|
וזה מספיק בתאר האמצעים השלשה המפורסמים אצל הקדמונים
|
The discussion on the remaining will be brief, as the ancients rarely used them.
|
ואמנם הנשארים נקצר המאמר עליהם למעוט השתמש הקדמונים מהם
|
The Fourth Proportion
|
האמצעי הרביעי
|
- It is the first of the seven remaining proportions.
|
הוא הראשון מהשבעה האמצעים הנשארים
|
- It is the one that is said to be opposite to the harmonic proportion.
|
והוא אשר יאמר לו מקביל האמצעי החבוריי
|
When there are three terms, the ratio of the excess of the mean over the smaller to the excess of the greater over the mean is as the ratio of the greater to the smaller.
|
והוא שיהיו שלשה גבולים יחס מותר האמצעי על הקטן אל מותר הגדול על האמצעי כיחס הגדול אל הקטן
|
- Such as: 3; 5; 6
|
כמו ג' ה' ו'
|
- Its property: the product of the greater by the mean is double the smaller by the mean.
- [the general property is incorrect]
|
וסגולת זה האמצעי הוא שהכאת הגדול באמצעי כפל הקטן באמצעי
|
The Fifth Proportion
|
והאמצעי החמשי
|
- One of the two proportions that are opposite to the geometrical proportion.
|
והוא אחד משני המקבילים לאמצעי המדותיי
|
When there are three terms, the ratio of the excess of the greater over the mean to the excess of the mean over the smaller is as the ratio of the smaller to the mean.
|
הוא כאשר יהיו שלשה גבולים יחס מותר הגדול על האמצעי אל מותר האמצעי על הקטן כיחס הקטן אל האמצעי
|
- Such as: 2; 4; 5
|
כמו ב' ד' ה'
|
- Its property: the product of the greater by the mean is double the product of the greater by the smaller.
- [the general property is incorrect]
|
וסגלת זה שמה שיתקבץ מהכאת הגדול באמצעי כפל המתקבץ מהכאת הגדול בקטן
|
- It follows necessary that the ratio of the mean to the smaller is the double ratio.
- [ is also incorrect]
|
ויתחייב מזה שיהיה לעולם יחס האמצעי אל הקטן הוא יחס הכפל
|
The Sixth Proportion
|
ואמנם האמצעי הששי
|
- The second of the two proportions that are opposite to the geometrical proportion.
|
והוא השני לשני המקבילים לאמצעי המדותי
|
When there are three terms, the ratio of the excess of the mean over the smaller to the excess of the greater over the mean is as the ratio of the greater to the mean.
|
הנה הוא כאשר היו שלשה גבולים יחס מותר האמצעי על הקטן אל מותר הגדול אל האמצעי כיחס הגדול אל האמצעי
|
- Such as: 1; 4; 6
|
כמו א' ד' ו'
|
- Its property: the product of the greater excess by the mean term is equal to the product of the smaller excess by the greater term.
|
וסגלת זה שמה שיתקבץ מהכאת המותר הגדול בגבול האמצעי שוה למה שיתקבץ מהכאת המותר הקטן בגבול הגדול
|
The proportions that were used from after Pythagoras until Plato's time are the three first proportions.
|
הנה האמצעים הנעשים מאחר פיתאגוריש עד זמן אפלאטון הם השלשה הראשונים
|
The other three are their opposites.
|
ואלו השלשה האחרים הם מקבילים
|
The four remaining were mentioned by the contemporaries and found to a small extent in the writings of the ancients.
|
ואמנם הארבעה הנשארים אשר זכרום החדשים ומעט מה שימצאו בספרי הקדמונים
|
Since they were mentioned literally, it is necessary to mention them - lest the author will be considered ignorant concerning them.
|
וכאשר נזכרו זכר פשוט כבר יחוייב שנזכירם כדי שלא יחשוב חושב שאנו עזבנום להכלותנו בם והם אלו
|
The Seventh Proportion
|
האמצעי השביעי
|
When there are three terms, the ratio of the excess of the greater over the smaller to the excess of the mean over the smaller is as the ratio of the greater to the smaller.
|
הוא כאשר היו שלשה גבולים יחס מותר הגדול על הקטן אל מותר האמצעי על הקטן כיחס הגדול אל הקטן
|
- Such as : 6; 8; 9
|
כמו ו' ח' ט'
|
The Eighth Proportion
|
והאמצעי השמיני
|
When the setting of the terms is such that the ratio of the greater to the smaller is as the ratio of the excess of the greater over the smaller to the excess of the greater over the mean.
|
הנה הוא כאשר היתה הנחת הגבולים כן יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר הגדול על הקטן אל מותר הגדול על האמצעי
|
- Such as: 6; 7; 9
|
כמו ו' ז' ט'
|
The Ninth Proportion
|
והאמצעי התשיעי
|
When there are three terms, the ratio of the excess of the greater over the smaller to the excess of the mean over the smaller is as the ratio of the mean to the smaller.
|
הוא כאשר היו שלשה גבולים יחס מותר הגדול על הקטן אל מותר האמצעי על הקטן כיחס האמצעי אל הקטן
|
- Such as: 4; 6; 7
|
כמו ד' ו' ז'
|
The Tenth Proportion
|
אמנם האמצעי הי
|
When there are three terms, the ratio of the excess of the greater over the smaller to the excess of the greater over the mean is as the ratio of the mean to the smaller.
|
כאשר היו ג' גבולים יחס מותר הגדול על הקטן אצל מותר הגדול על האמצעי כיחס האמצעי אל הקטן
|
- Such as: 3; 5; 8
|
כמו ג' ה' ח'
|
We have completed all of them in this diagram:
|
והנה השלמנו כלם בזאת הצורה
|