עיר סיחון

	‫אישים באו קרית ספר
	בה כל מספר תוכלו לבחון
	את שם העיר אגיד לכם
	על כי חשבון היא עיר סיחון
Introduction
Said Yoseph b. rabi Moshe ha-Ṣarfati [= the French] Ish Ḥay:	‫אמר יוסף בר משה הצרפתי איש חי
Arithmetic contains signs for the unity of God: Since I have seen that arithmetic is a magnificent and extremely lovable science and the Creator, blessed be He, has placed the secret of His unity in the property of number [lit. calculation],	מאשר ראיתי כי חכמת החשבון היא חכמה מפארה ונחמדת עד מאד והיוצר ב"ה שם בתכונת החשבון סוד אחדותו
my heart and kidneys urged me to write a book about it, as I extracted from studies of the ancient scholars in a clear language, clarified for every thinker, for its way is hidden and concealed and requires a broad knowledge as the entrance of a hall.	יעצוני לבי וכליותי לחבר ממנה ספר אחד כאשר אוציא ממחקרי החכמים הקדומים בלשון גלוי ומבואר לכל משכיל למען אשר דרכה נסתר ונעלם וצריכה דעת רחבה בפתחו של אולם
The people who are interested in the words of wisdom of this book will benefit much from its additional interpretation.	וירוחו בני אדם אשר נדב לבם אותם אל דברי החכמות בזה הספר מאד בתוספת הביאור
I myself will also benefit that the science will be preserved within me properly, when actualizing it by the phrasing of my language, and so I will gain learning as well as teaching.	וארויח אנכי גם כן שתשמר החכמה בקרבי היטב בהוציאי אותה במלת לשוני ואזכה ללמוד וללמד
A short rhyme of praise to God – asking him for a shelter and for turning a good thought into act	ויוצרי יהיה לי למעוז ולמחסה ומחשבתי הטובה יצרף אותה לי למעשה למען רחמיו וחסדו אשר נפלאו ועצמו מספר כל מעבריו יהי שמו משובח לעד ומפואר לנצח
The name of the work ʽIr Siḥon refers to biblical phrase in which Siḥon is associated with the Hebrew word ḥeshbon = arithmetic Numbers 21, 27: בֹּאוּ חֶשְׁבּוֹן; תִּבָּנֶה וְתִכּוֹנֵן, עִיר סִיחוֹן = "Come to Ḥeshbon, may it be built and established as the city of Siḥon"	וקראתי שם זה הספר עיר סיחון על שם כי חשבון עיר סיחון
Table of Contents
	ונחלק הספר הזה לאחד עשר שערים
	השער הראשון ביסוד המספר ותולדות האחד
	השער השני במדרגות ‫המספר וסכום האותיות אשר ישתמשו בהם החכמים בזאת המלאכה
	השער השלישי במחברת חשבונות רבים זה עם זה
	השער הרביעי במגרעת חשבון קטן מחשבון גדול
	השער החמישי בכפילת הכאת האחדים על עצמן או על אחרים זולתם או בכפול כל חשבון על עצמו או על חשבון אחר
	השער הששי בחלוקת חשבון גדול על חשבון קטן ממנו ובזה השער אדבר על מאזני הכפל והחלוק [והחבור]‫ והמגרעת
	השער השביעי בלקיחת גדר המספר השלם היותר קרוב אליו
	השער השמיני במערכת חשבון אחד מחשבון אחר
	השער התשיעי בידיעת חלקי השבר מן השלם בין בכפל בין בחלוק בחבור או במגרעת
	השער העשירי בידיעת צלעות המרובעים מחשבון החרש והאלם על דרך קרוב
	השער האחד עשר בכללים נחמדים והם פרפראות ‫החכמה הזאת וקצת מהשאלות העמוקות והקשות ואזכיר בשער הזה בעזרת אלהי ישראל

Chapter One – The Nature of the One and the Foundation of All Numbers	השער הראשון בתולדות האחד ויסוד כל המספרים
Numeration
It is a known, clear and true thing that the one is not affected by change nor by multiplicity, but is the cause of any change and multiplicity.	דבר ידוע ברור ואמתי הוא כי האחד אננו מקבל לא שנוי ולא ריבוי אבל הוא מקבל [סבת] כל ריבוי ושינוי
It is eternal and the origin of all numbers, by which all numbers are generated, for it is their root and foundation and all numbers are growing from it.	והוא קדמון ואב לכל המספרים וכלם מתחדשים בעבורו כי הוא להם שורש ויסוד וממנו צומחים כל החשבונות
Thereof every learned person may understand some hints regarding the secret of the unity of God the Glorious and Awful.	ומזה יוכל להבין כל משכיל קצת רמיזות מסוד אחדות הש' הנכבד והנורא
The names of the numbers:
Units
Two	והנה כאשר נחבר אחד עם אחד והיא ההרכבה הראשונ' נקרא זה שנים
Three	וכש נוסיף על השנים אחד נקרא זה שלשה
Four	וכשנוסיף על השלשה אחד נקרא זה ארבעה
Five	וכן בתוספת אחד על הארבעה יקרא חמש'
Six	ובתוספת אחד על חמשה יקרא ששה
Seven	ובתוספת אחד על ששה יקרא שבעה
Nine	ובתוספת אחד על שמונה יקרא תשעה ואלה המספרים התשעה נקראים אחדים
Tens
When one is added to nine it is called ten, which is the beginning of the [rank of] tens.	וכאשר נוסף אחד על תשעה נקרא זה עשרה והוא ראשית כל חשבון עשרות
Ten ten in the rank of tens is like one in the rank of units	והנה חשבון העשרה בחשבון העשרות כמו האחד באחדים
Twenty	וכשיהיו לו שני עשרות נקרא אותם עשרים
Thirty	ונקרא לשלש עשרות שלשים
Forty	ולארבע עשרות ארבעים
Fifty	ולחמש חמשים
Sixty	ולשש ששים
Seventy	ולשבע שבעים
Eighty	ולשמנ' שמנים
Ninety	ולתשע עשרות תשעים
all the names of the tens are borrowed from the units	וכל השמות האלה הם מושאלים משמות האחדים והנה תשעים בעשרות כמו תשעה באחדים
Hundreds
When we have ten tens we designate them by an inclusive name a hundred, which is the beginning of the [rank of] hundreds, as one is the beginning of the units and ten is the beginning of the tens.	וכאשר יהיה לנו עשר עשרות נקרא להם בשם כולל מאה והוא ראשית חשבון המאות כמו האחד ראשית האחדים והעשרה ראשית העשרות
Thousands
When ten hundred are summed we call them with an inclusive name a thousand, which is the beginning of the thousands, as hundred, which is the beginning of the hundreds.	וכשיתקבצו עשרה מאו' נקרא להם בשם כולל אלף והוא ראשית האלפים כמו מאה שהוא ראשית המאות
	אמנם למאות אין להם שם כולל עד שנגיע לעשר מאות שיקראו אלף כאמור
But the thousands have no inclusive name.	וכן האלפים אי להם שם כולל כלל
The twelve names of numbers
For all the names of the numbers that are varied from one another are twelve no less and no more.	כי כל שמות המספרים החלוקים זה מזה הם שנים עשר לא פחות ולא יותר
Those are the nine names of the units;	ואלה הם תשעה שמות האחדים
The name ten;	ושם העשרה
The name hundred;	ושם המאה
And the name thousand.	ושם האלף
	והנה כל המספרים ילקחו מאלו השנים עשר שמות
	כי עשרי' ומאתים ואלפים הם כמו שני אחדים כל אחד ואחד כפי מעלתו
	וכן כאשר נאמר אחד עשר או שנים עשר הנה הם שמות מורכבים מאחדי' ומעשרות
	ועל הדרך הזה יתיילדו וילוו כל המספרים מאלו השמות השנים עשר המפורשים

Chapter Two – the Decimal Ranks and the Ten Digits	השער השני במדרגות המספר וסכום האותיות אשר ישתמשו בהם החכמים בזאת המלאכה
The names of the ranks
It was clarified in the previous chapter that all the names of numbers are borrowed from the nine names of the units until comes the tenth number which is called by one inclusive name.	הנה התבאר בשער הקודם לזה כי כל א' שמות המספרים הם מושאלי' מתשעה שמות האחדי' עד אשר יבא החשבון העשירי ונקרא לו בשם אחד כולל
	ומפני זה נחלקו המספרים למדרגות מדרגות
	ויקראו האחדי' מדרגה ראשונה והעשרות מדרגה שניה והמאות מדרגה שלישית והאלפי' מדרגה רביעית וככה אי' קץ כי כל מדרגה היא עישור מדרגה הבאה אחריה ולפי זה נקרא לעשרת אלפים מדרגה חמישית ולמאה אלף מדרגת ששית וזהו דרך מדרגות המספר
The Positional Decimal System
Since all the numbers are circulating by nine, for we find nine numbers in the rank of units, nine numbers in the rank of tens, and so on, in each rank there are nine numbers, it is sufficient to write any small or large number with nine letters, each of which we consider as the units, that are up to nine.	ובעבור כי כל החשבונות מתגלגלים על תשעה באשר נמצא חשבונו' תשעה ממדרגת האחדים ותשעה חשבונות ממדרגות העשרות וכן בכל המדרגות יש תשעה חשבונו' בכל אחד מהם יספיק לכתוב כל חשבון קטן או גדול בתשעה אותיות שנחשוב כל אחד מהם כמו האחדים שהם עד תשעה
The numerals	ואלה הם האותיות המשמשות בחכמה הזאת
1 2 3 4 5 6 7 8 9	ט ח ז ו ה ד ג ב א
tens	וכשנצטרך לכתוב חשבון העשרה נעשה על דרך הזה בידוע כי העשרות הם המדרגה השנית וכבר התבאר כי יחס העשרה אל העשרות כיחס האחד אל האחדים על כן אי אנו צריכי' כי אם לכתוב אות הא' המורה אחד לעשות הכר וסימן שהאות הזאת היא מדרגת שנית
Zero = sifra	והסכימו חשבו חכמי החשבון לעשות סימן הכר המדרגות בצורת עגול כדמות זה וקורי' לצורה הזאת סיפרא
Writing numbers with numerals, including zeroes or without them
twenty: 20	וכשנרצה לכתוב עשרים נכתוב סיפרא מתחילה ואחריה אות הב' במדרגה השנית ויורה זה שני עשרות
hundred: 100	וכאשר נבקש לכתוב מאה נכתוב שתי סיפראש ואות א' במדרגת שלישית ויורה זה מאה
units and tens	ולעולם כשיהיו לנו אחדים ועשרות נכתוב במדרגה הראשונה האחדים ואחריה במדרגת השנית העשרות
units and hundreds	ואם אי' לנו עשרות כי אם אחדים ומאות נכתוב האחדים במדרגה ראשונה וסיפרא אחת בשנית והמאות בשלישית
And so on for three of more zeros	וכן נשים שנים או שלשה סיפראש כאשר נצטרך לפי החשבון עד אין חקר ונכתוב לעולם כל חשבון וחשבון במדרגתו

Chapter Three – Addition	השער השלישי במחברת רבים זה עם זה
Written Addition
Description of the procedure:
The procedure of the addition of numbers is as follows:	דרך מחברת חשבונות כך היא
We write each number of the addition request one beneath the other, each in a row of its own, rank by rank, then we draw a line.	נכתוב כל מספר ומספר מבקשת החיבור זה תחת זה כל אחד ואחד בטור בפני עצמו מדרגה אחר מדרגה הדומה לה ואחר נעביר קו הדיו
We start from the rank of units and sum all the units.	ונתחיל במדרגה הראשונה ונקבץ כל האחדים
We write the sum under [the] line, if it is less than ten.	והמקובץ נכתבנו תחת קו דיו אם לא יספיק לעשר
If [the sum] is tens, we write a digit in the column of the second rank, as the number of the tens of the sum and we write a zero alone under the line.	אמנם אם ילך בעשרות נכתוב אות בטורי המספר במדרגה השנייה כפי מספר עשרות המקובץ ונכתוב סיפרא בלבד תחת קו הדיו
If the sum is [units] and tens, we should write [the units] under the line and in the second rank we write the number of the tens as is stated.	ואם יעדיף המקובץ על עשרות אין אנחנו צריכים כי אם לכתוב תחת הקו העודף ההוא ובמדרגה השנית נכתוב כפי מספר העשרות כאמור
We proceed this way and do with the rest of the ranks as we did with the rank of units, writing the sums of the ranks successively by the order beneath the line.	ובדרך הזה נלך ונעשה גם כן כאשר עשינו במדרגת האחדים מכל שאר המדרגות ונכתוב כל קיבוץ המדרגות בזה אחר זה בסידור תחת קו הדיו
The [total] sum is what comes out from the sum of the ranks arranged under the line.	ומה שיצא מקיבוץ המדרגות מסודר תחת הקו הוא המחובר
When we sum a digit with a digit, we always consider each of them, in whichever rank they are, as if they are units, then we find their true meaning in their own rank.	ולעולם כשנחבר אות עם אות נחשוב כל אחת ואחת מהן באזה מדרגה שתהיינה כאילו הן אחדים ואחר תמצא אמתתם במדרגתם
Any thinker will understand that the reason for writing the number of tens of the sum of a certain rank in the following rank, is that every digit in the ranks is tenth of the next rank.	וכל משכיל יבין כי טעם כתיבת מספר העשרות מהמתחבר באותיות המדרגה ההיא במדרגה הבאה אחריה הוא לפי שכל אות ואות מן המדרגות היא עישור מהמדרגה הבאה אחריה
If there is one or two ranks in the lines of the addend numbers, of which the whole column are zeros, zeros should be written correspondingly beneath the line as the number of these ranks.	ואם יהיה בטורי מספר חשבונות החבור מדרגה אחת או שתים שכל טוריה סיפראש צריך לכתוב תחת קו הדיו סיפראש כאשר יבאו במקומן כפי מספר המדרגות ההם
In order that this mentioned addition operation will be better clarified to every person I shall discuss it by the experience way in the following calculations:	ולמען אשר יתבאר הטב אצל כל אדם מלאכת החיבור הזאת הנזכרת אדבר ממנה בדרך הנסיון בחשבונות אלו
We wish to know how much is the sum of nine thousand, two hundred and eight, with three thousand, eight hundred and one. $\scriptstyle9208+3801$	בקשנו לידע כמה מחובר תשע אלפים ומאתים ושמנה עם שלשת אלפים ושמנה מאות ואחד
We write these two numbers in two lines, according to this diagram:	והנה נכתוב אלו השני חשבונות בשני טורים על זאת הצורה
the two lines of the numbers  9 2 0 8  3 8 0 1 the ranks of the sum  1 3 0 0 9	שני טורי החשבונות  ח 0 ב ט  א 0 ח ג סדור קבוץ המדרגות  ט 0 0 ג א

[Illustration of the procedure:]

9208	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8+1}}={\color{blue}{9}}}$	9208	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{0+0}}={\color{blue}{0}}}$	9208	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2+8}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{0}}}$	9208	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{green}{1}}{\color{red}{+9+3}}={\color{blue}{13}}}$	9208
3801		3801		3801		3801		3801
		9		09		1009		13009

first rank: 9 The sum of the first rank is smaller than ten, hence we write the result beneath the line, so it is 9.	והנה מקובץ המדרגה הראשונה אינו מספיק לעשר ועל כן נכתוב העולה תחת קו הדיו והנה הוא ט‫'
second rank: 0 Since there is no digit but zeros in the second rank, we write one zero beneath the line, after the 9 that we wrote for the digits of the first rank.	וכאשר אין במדרגה השנית אות כלל כי אם סיפראש לבדנה נכתוב תחת הקו סיפרא אחת אחרי הט' שכתבנו בעבור האותיות המדרגה הראשונה
third rank: 0 Since the sum of the third rank is ten, we write 1 beneath the lines of the numbers in the following fourth rank and another zero in the third [rank] beneath the line, next to the zero that we wrote after the 9.	ובעבור שמקובץ המדרגה השלישית הוא עשר נכתוב תחת טורי חשבונות המספרים במדרגה הרביעית הבאה אחריה א' ותחת קו הדיו סיפרא אחרת בשלישית אצל הסיפרא שכתבנו אחר הט‫'
fourth-fifth ranks: 13 The sum of the fourth rank is thirteen, therefore we write 1 for the ten in the fifth rank; we place the rest, which is three, beneath the line next to the last zero and after the three we write the 1, from which we have formed the fifth rank.	והנה מקובץ המדרגה הרביעית הוא שלשה עשר ומפני זה נכתוב א' במדרגה חמישית בעבור העשרה ונשים העודף שהוא שלשה תחת הקו סמוך לסיפרא האחרונה ואחרי אלו השלשה נכתוב הא' אשר חדשנו ממנה מדרגה חמישית
The sum: 13009 We find that the [total] sum is thirteen thousand and nine.	ונמצא שהמחובר הוא שלשה עשר אלף ותשעה

Chapter Four – Subtraction of a Small Number from a Greater Number	השער הרביעי במגרעת חשבון קטן מחשבון הגדול
Written Addition
Description of the procedure:
When we wish to do so, we write the greater number in one line and the smaller beneath it in a second line, rank beneath rank.	כשנבקש לעשות זה נכתוב חשבון הגדול בטור אחד והתחתון הקטן תחתיו בטור שני מדרגה תחת מדרגה
We consider all the digits, in whichever rank they are, as if they are units.	והנה נחשוב כל האותיות כאלו הם אחדים באזו מדרגה שיהיו
We start from the digit in the last [= highest] rank of the number that is in the bottom line and subtract it from the corresponding digit of the number that is in the upper line.	ונתחיל בראשונה באות המדרגה האחרונה אשר בחשבון הטור השפל ונגרוע אותה מהאות שכנגדה בטור מספר החשבון העליון
We write the remainder above it, if something remains.	ונכתוב עליו הנשאר אם ישאר ממנה כלום
If there is no [remainder], we subtract it by writing a zero above it.	ואם אין נמחקנה והוא שנרשום על ראשה סיפרא
Then, we proceed with all the other ranks as the procedure in this rank, moving back from rank to rank until they are complete.	ואחרי כן נעשה מכל המדרגות האחרות כמעשה המדרגה הזאת ונלך אחור אחורנית ממדרג' למדרגה עד תומם
If there is a digit in one of the ranks of the number in the bottom line [= subtrahend] that is greater than the corresponding digit in the upper line [= minuend], there is necessarily one digit in the number of the upper line that follows the [digit] that is in the rank in which we stand.	ואם תהיה אות באחת מהמדרגות מחשבון הטור השפל גדולה מהאות שכנגדה בטור העליון אמנם בהכרח יש אות אחת בטור החשבון העליון סמוכה לזו אשר אנחנו עומדים במדרגתה מלאחריה
We do it in this way: we subtract 1 from the digit that follows this rank and write above it what remains from the digit from which we took the 1. If nothing remains from it, as there was only 1 there, we erase it.	נעשה על הדרך הזה נסיר א' מהאות שאחרי זאת המדרגה ונכתוב הנשאר מהאות ההיא אשר לקחנו הא' ממנה עליה ואם לא ישאר ממנה כלום כגון שלא היה שם כי אם א' נמחקנה
It is known that the 1 that we have is worth ten in relation to the preceding rank, hence, we consider the 1 as ten and add to this ten the number of the digit in the rank of the upper number, on which we stand. Now we have enough reserve to subtract the bottom digit from all this and we write the remainder above the corresponding upper digit.	ובידוע כי הא' הזאת שיש לנו היא שוה עשר בהקש אל המדרגה שלפניה לכן נחשב זאת הא' עשרה ונחבר אל העשרה הזאת החשבון מהאות מהמדרגה העליונה אשר אנחנו עומדים עליה ויהיה לחשבון העשרה הנזכר כמו אחדים ועתה יספיק לנו בריוח להסיר מכל זה האות התחתונה ונכתוב הנשאר על האות העליונה שכנגדה
We proceed like this until we reach the first rank and what remains above the line of the upper number is the remainder of the subtraction.	וכן נעשה תמיד עד שנגיע אל המדרגה הראשונה ומה שישאר על טור המספר העליון הוא הנשאר מהמגרעת
Whenever we cannot subtract the bottom digit from the upper [digit], we give it supplement from the next rank by the aforesaid way, even if there are zeros separating between it and the following digit, or if we have to subtract the bottom digit from one zero that corresponds it in the upper line.	והנה בכל עת אשר לא נוכל להסיר האות התחתונה מהעליונה נסייע לה מהמדרגה הבאה אחריה על הדרך האמור ואפילו היו סיפראש מפסקות בינה ובין האות שאחריה או שיש לנו להסיר האות התחתונה מסיפרא אחת אשר תהיה כנגדה בטור העליון
We shift back by this way: we subtract 1 from the closest digit and write the remainder above it, if something remains from it, then we place this 1 above the preceding zero, so it becomes ten, we subtract 1 from it and 9 remains there above the zero. We place the 1 above the further preceding zero, so it is ten, we subtract 1 from it and nine remains above the zero. So on, we proceed until reaching the digit or the zero of the rank on which we stand, then we do as the aforementioned rule.	נשיב אחורנית על הדרך הזה שנסיר מהאות הקרובה א' ונכתוב עליה הנשאר אם ישאר ממנה כלום ונשי' זאת הא' על הסיפרא שלפניה ותהיה עשרה ונסיר מהם א' וישאר שמה על הסיפרא ט' ונשים זאת הא' על הסיפרא הקודמת לזה ויהיו עשרה ונסיר מהם א' וישאר תשעה על הסיפרא וכן נעשה לעולם עד שתגיע אל האות או אל הסיפרא מהמדרגה אשר אנחנו עומדים עליה ואז נעשה כמשפט האמור למעלה
Example: we wish to subtract ninety-nine from five thousand eighty-three. $\scriptstyle5083-92$	המשל בזה בקשנו לגרוע מחמשת אלפים ושמונים ושלש ותשעים ושנים
We write the two lines of the numbers according to this diagram: the greater number in the upper line and the smaller number in the bottom line correspondingly.	הנה נכתוב שני טורי החשבונות על זאת הצורה החשבון הגדול בטור העליון והחשבון הקטן בטור שפל כנגדו
4 9 9 1  5 0 8 3 9 2	א ט ט ד  ג ח 0 ה ב ט

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-1}}={\color{blue}{4}}}$	4	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-1}}={\color{blue}{9}}}$	49	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{18-9}}={\color{blue}{9}}}$	499	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3-2}}={\color{blue}{1}}}$	4991
5083		1083		183		3
92		92		92		2

Since the digit in the [highest] rank of the bottom line is greater that the corresponding digit in the upper line, we do as the aforesaid way: we subtract 1 from the last digit of the upper line, which is 5 that is next to the digit in the upper rank, on which we stand, after the zero, and 4 remains instead of the 5. $\scriptstyle{\color{blue}{5-1=4}}$	ומאשר חשבון האות מהמדרגה התחתונה שבטור השפל גדול מחשבון האות אשר היא כנגדה בטור העליון נעשה על הדרך האמור ונסיר א' מהאות האחרונה מהטור העליון שהיא ה' הסמוכה לאות המדרגה העליונה שאנחנו עומדים עליה מאחריה אחר הסיפרא והנה ישאר ד' במקום הה‫'
The digit becomes ten when we place it above the zero; we subtract one from the ten and nine remains. $\scriptstyle{\color{blue}{10-1=9}}$	ותהיה האות הזאת עשרה כשנשים אותה על הסיפרא ונסיר מהעשרה אחד וישאר תשעה
We place this one above the rank, on which we stand, which is 8, the total is eighteen. We subtract from it the last digit of the bottom line, which is 9; nine remains. We write it in its position above the 8. $\scriptstyle{\color{blue}{18-9=9}}$	ונשים האחד הזה על המדרגה אשר עמדנו בה שהיא ח' ויהיה בין הכל שמונה עשר נסיר מהם האות האחרונה מהטור השפל שהיא ט' וישאר תשעה ונכתוב במקומם על הח' ט‫'
Then, we subtract the 2 of the bottom line from the corresponding 3 in the upper line and 1 remains. We write it above it. $\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}$	אחרי כן נסיר הב' שהיא מהטור השפל מהג' שכנגדה בטור העליון וישאר א' ונכתבנה עליה
We find that the remainder is four thousand nine hundred and ninety-one.	ונמצא הנשאר ארבעת אלפים ותשע מאות ותשעים ואחד

Chapter Five – Multiplication of Units by Themselves or by Other Units and Multiplication of any Number by Itself or by Other	השער החמשי בכפילת [הכאת] האחדים על עצמם או על אחדים אחרים ובכפול כל חשבון על עצמו או על אחר
The meaning of this multiplication is to multiply one number by another:	כוונת הכפילה הזאת היא לכפול החשבון האחד על חבירו
For example: three times four $\scriptstyle{\color{blue}{3\times4}}$	על דרך משל שלשה פעמים ארבעה
Or by itself:	או על עצמו
When we say three times three $\scriptstyle{\color{blue}{3\times3}}$	כאשר נאמר שלשה פעמי' שלשה
We say also: ten times twenty $\scriptstyle{\color{blue}{10\times20}}$	וכן נאמר עשר פעמי' עשרים
Or ten times ten $\scriptstyle{\color{blue}{10\times10}}$	או עשר פעמים עשר
Multiplication of Units by Units
It is true that regarding the multiplication of units alone there is no way in this science to find the result, therefore, one should memorize all the products of the units by themselves or by other units.	ובאמת כי בכפילת האחדים לבדם לא נמצא דרך בחכמה הזאת למצוא ההווה ולפיכך צריך להזכיר ולהסדיר כל כפולות האחדים הן על עצמם או על אחדים אחרים והוויתן
And these are:	ואלה הם
Two times one is two	האחד שני פעמים שנים
Three times [one] is three	ושלשה פעמים שלשה
Likewise, all the other numbers that are multiplied by one do not change or duplicated.	וכן כל המספרים האחרים שיכפלו באחד לא יקבלו שום שינוי וריבוי
Two by two is four	השנים בשנים ארבעה
Two by three is six	שנים בשלשה ששה
Two by four is eight	שנים בארבעה שמנה
Two by five is ten	שנים בחמשה עשרה
Two by six is twelve	שנים בששה שנים עשר
Two by seven is fourteen	שנים בשבעה ארבעה עשר
Two by eight is sixteen	שנים בשמנה ששה עשר
Two by nine is eighteen	שנים בתשעה שמנה עשר
Three by three is nine	השלשה בשלשה תשעה
Three by four is twelve	שלשה בארבעה שנים עשר
Three by five is fifteen	שלשה בחמשה חמשה עשר
Three by six is eighteen	שלשה בששה שמנה עשר
Three by seven is twenty-one	שלשה בשבעה עשרים ואחד
Three by eight is twenty-four	שלשה בשמנה עשרים וארבעה
Three by nine is twenty-seven	שלשה בתשעה עשרים ושבעה
Four by four is sixteen	הארבעה בארבעה ששה עשר
Four by five is twenty	הארבעה בחמשה עשרים
Four by six is twenty-four	ארבעה בשש' עשרים וארבע
Four by eight is twenty-eight	ארבעה בשמנה עשרים ושמנה
Four by eight is thirty-two	ארבעה בשמנה שלשים ושנים
Four by nine is thirty-six	ארבעה בתשעה ששה ושלשים
Five by five is twenty-five	החמשה בחמשה עשרים וחמשה
Five by six is thirty	חמשה בששה שלשים
Five by seven is thirty-five	חמשה בשבעה שלשים וחמשה
Five by eight is forty	חמשה בשמנה ארבעים
Five by nine is forty-five	חמשה בתשעה ארבעים וחמש
Six by six is thirty-six	הששה בששה ששה ושלשים
Six by seven is forty-two	ששה בשבעה שנים וארבעים
Six by eight is forty-eight	ששה בשמנ' שמנה וארבעים
Six by nine is fifty-four	ששה בתשעה ארבעה וחמשים
Seven by seven is forty-nine	השבעה בשבעה תשעה וארבעים
Seven by eight is fifty-six	שבעה בשמנה ששה וחמשים
Seven by nine is sixty-three	שבעה בתשעה שלשה וששים
Eight by eight is sixty-four	השמנה בשמנה ארבעה וששים
Eight by nine is seventy-two	שמנה בתשעה שנים ושבעים
Nine by nine is eighty-one	התשעה בתשעה אחד ושמנים
Thus, the whole method of multiplying the units is clear and nothing is missing.	ובזה התבאר כל סדר כפילת האחדים ולא נפסד מהם דבר
Written Multiplication
Description of the procedure:
When we wish [to multiply] a number by a number of other ranks we do it this way:	וכאשר נבקש חשבון על חשבון מהמדרגות האחרות נעשה על הדרך הזה
We write the two number that we wish to multiply by each other, line beneath line, rank beneath rank and draw a line under the two lines of the numbers.	נכתוב שני החשבונות אשר נרצה לכפול אלה על אלה טור תחת טור ומדרגה תחת חברתה ונעביר תחת שני טורי החשבונות קו דיו
We start from the first digit of the upper line and multiply all the upper digits by all the bottom digits successively.	והנה נתחיל באות הראשונה מהטור העליון ונכפיל כל האותיות העליונות על כל האותיות התחתונות הטור השפל זו אחר זו
We write all the products beneath the line in the appropriate ranks, digit by digit, as required.	וכל הכפלים נכתוב תחת הקו במדרגות הראויות להם אות תחת האות כאשר יצטרך
We always count how many ranks there are from the digit we multiply on the upper line to the multiplied digit of the bottom line, including these two digits:	כי לעולם נמנה כמה מדרגות מהאות אשר נכפיל מהטור העליון עד הטור האות הנכפלת שבטור השפל ושתי האותיות בכלל המניין
If the product of a digit by another is equal to tens, we write a digit [that mark] the number of the tens according to the counted number of the ranks.	ואם יספיק כפל האות על חברתה לעשרות נכתוב אות כמספר העשרות כמספר מניין המדרגות
If it does not reach ten, we write the product on the rank that is one less than the [counted] number [of the ranks].	ואם לא יספיק לעשר נכתוב הנכפל מדרגה אחת פחותה מהמספר
If it is equal to units and tens, we write the number of the tens according to the number of the ranks between the multiplied digits and the units one rank before that.	ואם יעלה המספר להיות בו אחדי' ועשרות נכתוב העשרות כמספרם כמספר המדרגות שבין אות לאות והאחדי' מדרגה אחת אחורנית
Summing the interim multiples	וכשיכפלו כל אותיות הטור השפל בכל אותיות הטור העליון כמשפטן נעביר קו דיו תחת מדרגות הכפלה ונחבר ונקבץ כל האותיות מכל מדרגה ומדרגה בדרך עשיית החיבור כאשר
	התבאר במקומו במה שקדם והעולה הוא נכפל ועתה אדבר ממלאכת השער הזה על דרך הדמיון
$\scriptstyle902\times246$	בקשנו לכפול ולהכות שנים ותשע מאות על ששה וארבעים ושנים ומאתים ונכתבם על זאת הצורה
the lines of the numbers 9 0 2 2 4 6 the interim products 1 3 5 4 1 2   8 6 4 8   the total product 2 2 1 8 9 2	טורי המספרים ט 0 ב ב ד ו הכפילה א ג ה ד א ב   ח ו ד ח   המחובר ב ב א ח ט ב

[Illustration of the procedure:]

902	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times6}}={\color{blue}{12}}}$	902	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times4}}={\color{blue}{8}}}$	902	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times2}}={\color{blue}{4}}}$	902	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\times6}}={\color{blue}{54}}}$	902	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\times4}}={\color{blue}{36}}}$	902	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\times2}}={\color{blue}{18}}}$	902
246		246		246		246		246		246		246
		12		12		412		5412		35412		135412
				8		8		48		648		8648

$\scriptstyle{\color{blue}{2\times6=12}}$	וכאשר נכפיל אות הב' על אות הו' אשר תחתיה בטור השפל יהיו שנים עשר והנה מספר המדרגות שתים לכן נכתוב אות ב' במדרגה ראשונה כנגד שני האחדים ואחריה במדרגה שנית נכתוב א' כנגד העשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{2\times4=8}}$	וכאשר נכפיל אות הב' הנזכרת על הד' מהטור השפל יהיו שמונה ומספר המדרגות שלש ואולם באשר אין הכפילה הזאת מגעת לעשר נשים אותה מדרגה אחת אחורנית ונכתוב כנגדן במדרגה השנייה ח' תחת הא‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\times2=4}}$	וכאשר נכפיל את האות הנזכרת על הב' מהטור השפל יהיו ארבעה וכאשר אין הכפילה הזאת מגעת לעשר נכתוב כנגד אלו הארבעה ד' במדרגה השלישית אשר נחדש עתה כשנכתבנה אחרי הא' שהיא במדרגה השנייה
	ובזה נשלם סדר כפילת האות מהמדרגה הראשונה שבטור העליון על כל אותיות הטור השפל
	ועתה אנחנו צריכים גם כן להכפיל אות הט' שהיא המדרגה האחרונה מהטור העליון על כל אותיות הטור השפל
$\scriptstyle{\color{blue}{9\times6=54}}$	והנה כשנכפול האות ההיא על אות המדרגה הראשונה מהטור השפל שהיא ו' יעלה ארבעה וחמשים ומספר המדרגות הם ארבעה ולכן נכתוב במדרגה הרביעית ה' כנגד החמשים וכנגד הארבעה נכתוב תחת הד' הכתובה במדרגה השלישית ד' אחרת
$\scriptstyle{\color{blue}{9\times4=36}}$	וכאשר נכפיל האות ההיא על הד' שבטור השפל יעלה ששה ושלשים ומספר המדרגות חמש ולכן נכתוב כנגד השלשים אחרי הה' הכתובה במדרגה הרביעית ג' ונחדש עתה מדרגה חמשית וכנגד הששה נכתוב אחורנית תחת הה' הקדומה ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{9\times2=18}}$	וכשנכפול אות הט' הנזכרת על המדרגה האחרונה שבטור השפל שהיא ב' יעלה שמנה עשר ומספר המדרגות שש ולכן נכתוב במדרגה ששית אשר נחדש א' כנגד העשרה וכנגד השמנה נכתוב ח' אחורנית תחת הג' הקדומה שהיא במדרגה החמישית
	ועם כל זה הוכפלו כל אותיות הטור העליון על אותיות הטור השפל כלנה אחת מהנה לא נעדרה
	ועתה נחל לקבץ כל האותיות שבכל מדרגה ומדרגה כמשפט מלאכת החיבור אחר אשר נעביר קו הדיו תחת הכפילה ונכתוב תחת הקו מה שיצא מן החיבור
first rank: 2	וידוע כי מה שיוצא מן המדרגה הראשונה מן הכפילה הזאת תצא ב‫'
second rank: 9	ומהשנייה ט‫'
third rank: 8	ומהשלישית תצא ח‫'
fourth rank: 1	ומהרביעית תשאר א' אחרי כתבנו העשרה בכפילה במדרגה הבאה אחרי זאת
fifth rank: 2	ומהמדרגה החמשית תשאר ב' אחרי כתבנו העשרה במדרגה הבאה אחרי זאת שהיא ששית
sixth rank: 2	ומהמדרגה הששית יצאו לנו ב' מאשר החברנו לה העשרה שנותר לנו מהמדרגה החמישית הקדומה אליה
The result: 221892	ונמצא העולה מאתים ועשרים ואחד אלף ושמונה מאות ותשעים ושנים
	וככה הוא דרך וסדר כפילת כל החשבונות מערכה לקראת מערכה

Chapter Six – Division of a Great Number by a Smaller Number	השער הששי בחלוקת חשבון גדול על חשבון קטן ממנו
Written Division
Description of the procedure:
The one who wants to do this, writes the line of the greater number first, then he leaves a space of a whole line and write the smaller number in another line, corresponding to the first column of the greater number, each rank corresponds to its similar.	הרוצה לעשות זה יכתוב טור החשבון הגדול בתחלה ואחר יניח ריוח וחלק כמלא טור אחד ויכתוב בחשבון הקטן בטור אחר כנגד הטור הראשון מהחשבון הגדול מדרגה אחר מדרגה הדומה לה
Thereafter, he looks and sees how many times he can subtract the number of the digit on the last rank in the line of the smaller number [= the divisor] from the digit on the last rank of the greater number [= the dividend] and he subtracts them from it.	ואחר יביט ויראה כמה פעמים יוכל להוציא מספר האות מהמדרגה האחרונה מטור החשבון הקטן מהאות מהמדרגה האחרונה שבטור החשבון הגדול ויוציאם ממנה
However, he should be wise and see if there is a number left, from which he can subtract all the other ranks in the line of the smaller number that precede the last one as the number of times he subtracts this last rank from the last digit in the line of the greater number. If he sees that there will be no number left that will be enough for it, he does not subtract it so many times, but as he sees that is enough to do what is said.	ואולם צריך שיחכם ויראה אם ישאר שם חשבון שיוכל להסיר ממנו כל המדרגות האחרות מטור החשבון הקטן הקדומות לזו האחרונה כמספר הפעמים אשר הסיר המדרגה הזאת האחרונה מהאות האחרונה מטור החשבון הגדול ואם ראה שלא ישאר שם חשבון שיספיק לזה לא יסירנה כל כך פעמים אלא כאשר יראה שיספיק לעשות מה שאמור
As the number of times of subtraction he writes a digit corresponding them in the middle between the two lines of the smaller and greater numbers.	וכמספר הפעמים אשר תהיה ההסרה יכתוב אות כנגדן באמצע שני טורי החשבונות הקטן והגדול
He counts from the last rank in the line of the greater number backwards according to the number of the ranks in the line of the smaller number and beneath the rank where the count ends he writes the number of times of subtraction.	וימנה מהמדרגה האחרונה מטור החשבון הגדול כפי מניין המדרגות שבטור החשבון הקטן אחורנית ובמדרגה אשר יכלה החשבון שם יכתוב תחתיה המספר פעמי ההסרה
If there is anything left of the digit from the subtraction of the smaller number after he subtracted from it, he writes the remainder above it.	ואם ישאר מהאות מההסרה מהחשבון הקטן כלום אחרי מה שהסיר ממנה יכתוב עליה הנשאר
If nothing is left of it, he writes a zero above its.	ואם לא נשאר ממנה כלום יכתוב עליה סיפרא
Then, he subtracts all the other digits in the line of the smaller number that precede the digit of the last rank, one by one, from the digits that he finds written in the line of the greater number, as much as the times of subtraction from the last digit.	ואחר יסיר כל שאר האותיות המדרגות שבטור החשבון הקטן הקדומות לאות המדרגה האחרונ' זו אחר זו מהאותיות אשר ימצא עתה כתובות בטור החשבון הגדול כמספר פעמי ההסרה מהאות האחרונה
He should be careful throughout to write what remains after the subtraction in its place	ובכל מקום יהיה זהיר לכתוב אחר ההסרה מה שישאר במקומו
If nothing is left of it, he writes a zero above its.	ואם לא ישאר עליו כלום יכתוב עליו סיפרא
If he happens to have a digit in one rank of the line of the [smaller] number that he can not subtract properly from the digit written in the line of the greater number, but there are still digits after the rank, on which he stands, he assists it from digits of those ranks, since it is known that each rank is ten times greater than the preceding rank, as is known in the previous chapters. Hence, he takes from their number as needed and writes what remains in its place and zeros in places where nothing remains.	ואם יזדמן לו אות במדרגה אחת מטור החשבון שלא יוכל להסיר אותה מהאות הכתובה בטור החשבון הגדול כראוי אבל יש עדיין אותיות אחרי המדרגה שהוא עומד בה יעזור לה מאותיות מאותן המדרגות לפי שידוע שכל מדרגה ומדרגה הי' כפולה גדולה עשר פעמים מהמדרגה הקדומה לו כאשר נודע בשערים הקודמי' לזה ויקח ממספרם כאשר יצטרך ויכתוב מה שישאר במקומו' ההשארות וסיפראש במקומות אשר לא נשאר שם כלום
After he completes the subtraction of all the digits in the line of the smaller number from the line of the greater number the same number of times, if that which is not divided yet is greater than the number of the line of the small number, he looks again, sees and measures how many times he can subtract the digit in the last rank of the line of the smaller number from the last digit of what is left in the line of the greater number and as the number of times he subtracts it from it so are the times he has to subtract the rest of the ranks in the line of the smaller number from what remains then in the line of the greater number.	ואחרי אשר ישלים פעמי ההסרה מטור החשבון הגדול כל אותיות מטור החשבון הקטן במספר שוה זו כזו שלא נתחלק מספרו רב ממספר טור החשבון הקטן ואם כן יחזור ויביט ויראה וישום וישער כמה פעמים יוכל להסיר האות שבמדרגה האחרונה מטור החשבון הקטן מהאות האחרונה ממה שנשאר בטור החשבון הגדול וכמספר הפעמים אשר יסיר אותה ממנה כך פעמים יצטרך להסיר שאר המדרגות שבטור הקטן ממה שישאר אחרי כן בטור החשבון הגדול
Therefore, he should be careful first when looking for the value and evaluation to maintain his practice according to the rule and justice.	לכן ישמור בתחלת הבטת השיעור והשומא שיכלכל מעשיו כמשפט וצדק
As the number of times he subtract the digits that are in the line of the smaller number from the digits of the greater number, he writes a digit corresponding them in the middle between the two lines of the smaller and greater numbers.	וכמספר הפעמים אשר יוציא את האותיות שבטור החשבון הקטן מטור אותיות החשבון הגדול יכתוב אות אחת כנגדן באמצע שני טורי החשבונות הקטן והגדול
He starts to count from the line of the greater number, from the digit at which he began to look in the second time, according to the number of the ranks in the line of the smaller number and beneath the rank where the count ends he writes the number of times of subtraction.	ויתחיל למנות מטור החשבון הגדול מהאות אשר התחיל להביט בה שנית כפי מניין המדרגות שבטור החשבון הקטן ובאותה מדרגה אשר תכלה מספרן שם יכתוב תחתיה מספר פעמי הסרת ההוצאה
He should be careful throughout not to forget to write what remains from the line of the greater number.	ויזהר שלא ישכח לכתוב בכל מקום מהטור מהחשבון הגדול מה שישאר בו
Or to write a zero above the empty place, where nothing is left.	או לכתוב סיפרא על מקום הכליון אשר לא נשאר שם כלום
Afterwards, he examine if what is left in the line of the greater number is still greater than the number of the line of the smaller number. If it is so, he returns again and sees as we have done twice.	ואחרי זה יעיין אם רבה עדיין מה שנשאר בטור החשבון הגדול על מספר טור החשבון הקטן ואם הוא כן יחזור עוד ויביט כאשר עשינו זה פעמים
He does it as many times until the number of what is left in the line of the greater number is smaller than the number in the line of the smaller number.	ויעשה ככה הרבה פעמים עד שיהיה מה שישאר בטור החשבון הגדול מספרו קטן ממספר הטור מהחשבון הקטן
If it happens in the beginning of the examination that the number of the last digit of the ranks in the line of the smaller number is greater than the last digit in the line of the greater number, so that we cannot subtract it from it even once, he should shift this whole digit one rank backwards and it becomes a number of tens in this rank, whereupon it will be enough to subtract the digit of the smaller number as many times from it.	ואם יזדמן לו בתחלת הבטה שיגדל מספר אות האחרונה ממדרגות טור החשבון הקטן מהאות האחרונה שבטור החשבון הגדול עד שלא נוכל להוציאה ממנו אפילו פעם אחת ישים את כל האות ההיא מדרגה אחת אחורנית ותהיה היא מספר עשרות לאותה מדרגה ואז יספיק להוציא ממנה את האות מהחשבון הקטן הרבה פעמים
He thinks, looks and measures how many times he can subtract it from there, so that the remainder will be enough to subtract from it the other digits in the line of the smaller number the same number of times.	ויחשוב ויביט וישום וישער כמה פעמים יוכל להוציאנ' משם שיספיק הנשאר גם כן להסיר ממנו ככה פעמי האותיות האחרות שבטור החשבון הקטן
He always writes the number of times of subtraction in the middle between the two lines of the smaller and greater numbers as the number of the ranks of the smaller number.	ולעולם יכתוב פעמי מספר ההסרה באמצע שני טורי החשבונות מהקטן והגדול כמספר המדרגות מהחשבון הקטן
He starts to count their number from the digit that is in the rank at which he began to look for the subtraction in the line of the greater number.	ויתחיל מניית מספרן מהאות שבמדרגה אשר התחיל בה הבטת הסרת ההוצאה שבטור החשבון הגדול
The line that is formed between the two lines is the number of times that the line of the smaller number is in the line of the greater number.	והנה הטור המתהוה בין שני הטורים הוא מספר הפעמים אשר טור החשבון הקטן בטור החשבון הגדול
What remains above the line of the greater number is the excess of the line of the greater number over the line of the smaller number after you have multiplied it by this number of times.	ומה שנשאר על טור החשבון הגדול הוא מה שעודף עדיין מספר הטור מהחשבון העליון על מספר הטור מהחשבון השפל אחרי כפלת אותן פעמי' עליו
This is the procedure of the skill of dividing a greater number by a smaller number.	וכן הוא דרך מלאכת חלוקת המספר הגדול על חשבון קטן ממנו
Since the skill of this chapter is very honorable and nice and it is very deep, I shall write in this chapter itself many calculations as an explanation of the method of this skill of division in order to guide and lead the student to understand all the aforementioned matters.	וכאשר מלאכת השער הזה היא נכבדת ונחמדת עד מאד והיא עמוקה הרבה לרוב אכתוב בשער הזה עצמו בביאור דרך מלאכת החלוקה הזאת מהרבה חשבונות כדי להדריך ולהיישיר אל המתלמד שיבין כל העניינים הנזכרי' מלמעלה
We wish to divide one hundred and twenty-five by eleven. $\scriptstyle125\div11$	בקשנו לחלק חמשה ועשרים ומאה על אחד עשר
We write the two lines of the numbers according to this diagram:	והנה נכתוב שני טורי החשבו' על זאת הצורה
We write first the greater number, then we leave a space and write the smaller number in another line correspondingly.	נכתוב החשבון הגדול בראשונה בטור אחד ואחר כך נניח ריוח ונכתוב כנגדו החשבון הקטן בטור אחר
0   0 1 4 1 2 5   1 1   1 1	0   0 א ד א ב ה   א א   א א

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1-\left({\color{blue}{1}}\times1\right)}}={\color{green}{0}}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2-\left(1\times1\right)}}={\color{green}{1}}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1-\left({\color{blue}{1}}\times1\right)}}={\color{green}{0}}}$	0	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-\left(1\times1\right)}}={\color{blue}{4}}}$	0
		0		01		01		014
125		125		125		125		125
		1		1		11		11
11		11		11		11		11

$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle11\ the\ result\\&\scriptstyle4\ the\ remainder\\\end{align}}}$

When we look and take the 1 that is in the last rank of the line of the smaller number and the 1 that is in the last rank of the line of the greater number, we know clearly that we can subtract one from the other only once.	וכאשר נביט וניקח א' שבמדרגה אחרונה מטור החשבון הקטן וגם הא' שבמדרגה אחרונה מטור החשבון הגדול הנה ידענו בבירור שלא נוכל להסיר האחת מחברתה כי אם פעם
Since the ranks of the line of the smaller number are two, we write 1 for this one time beneath the 2 that is in the line of the greater number, because it is second rank to the digit 1 of this same line, from which we start looking.	וכנגד הפעם הזאת כאשר מדרגות הטור מהחשבון הקטן הם שנים נכתוב א' תחת הב' שבטור החשבון הגדול באשר היא מדרגת שנית גם כן לאות הא' מהטור ההוא עצמו אשר התחלנו ההבטה ממנה
As nothing remains from this 1, we write a zero above it.	וכאשר לא נשאר כלום מהא' הזאת נכתוב עליה סיפרא
Then, we take the 1 that in the first rank of the line of the smaller number that precedes the other, with which we have started, in writing and we subtract it once also from the 2 that is in the line of the greater number; 1 remains above it.	אחר כך נקח הא' שבמדרגה ראשונה מטור החשבון הקטן הקדומה במכתב אל האחרת אשר התחלנו בה ונסיר אותה גם כן פעם אחת מהב' שהיא בטור החשבון הגדול וישאר עליה א'
By that we have completed the subtraction of the digits in the line of the smaller number from the line of the greater number once of each equally.	ובזה השלמנו הסרת האותיות שבטור החשבון הקטן מטור החשבון החשבון הגדול בשוה פעם האחת כפעם חברתה
When we look at the remainder in the line of the greater number, we see that it is fourteen and this number is more than the number of the line of the digits of the smaller number, which is only eleven.	וכאשר נעיין הנותר בטור החשבון הגדול ראינו שהוא ארבעה עשר והנה המספר הזה מרובה ממספר טור אותיות החשבון הקטן שאינו עולה כי אם אחד עשר
Because of this, we take again the last 1 from the ranks in the line of the smaller number and subtract it once from the 1 that remains above the 2 in the line of the greater number. Then we write zero above it.	ובעבור זה נחזור וניקח הא' אחרונה ממדרגות שבטור החשבון הקטן ונסיר אותה פעם אחת מהא' שנשארה על הב' שבטור החשבון הגדול ואחר נכתוב עליה סיפרא
For this subtraction one time, we write 1 beneath the 5, which is the first rank in the line of the greater number, since it is second to the digit, from which we started looking at the subtraction.	וכנגד פעם ההסרה הזאת נכתוב א' תחת הה' שהיא המדרגה הראשונה מטור החשבון הגדול באשר היא שניה אל האות אשר התחלנו ממנה הבטת ההסרה
Then, we subtract the first 1 that is in the line of the smaller number once also from the 5, which is the first rank in the line of the greater number; 4 remains above the 5.	ואחר נסיר גם כן הא' שבטור החשבון הקטן הראשונה פעם אחת מהה' שהיא המדרגה הראשונה מטור החשבון הגדול וישאר ד' על הה‫'
Now it is visible and clear to the eye that what remains in the line of the greater number is much smaller than the number in the line of the smaller number.	ועתה נראה וניכר לעין שמה שנשאר בטור החשבון הגדול מספרו קטן מאד ממספר טור החשבון הקטן
The number of the middle line that we have formed from the number of the times of subtraction is eleven.	והנה מספר הטור האמצעית אשר חדשנו ממספר פעמי ההסרות עולה אחד עשר
What remains in the line of the greater number is four.	ומה שנשאר בטור החשבון הגדול הוא ארבעה
Therefore, we can say that we have found that the smaller number is eleven times in the greater number plus a remainder of four.	אם כן נוכל לומר זאת מצינו שהמספר הקטן הוא אחד עשר פעם במספר הגדול ועוד זולת זה עודף ארבעה
We wish to divide one hundred by nine. $\scriptstyle100\div9$	עוד בקשנו לחלק מאה על תשעה
We write them according to this diagram:	הנה נכתבם על זאת הצורה
0   0 1 1 1 0 0   1 1     9	0   0 א א א 0 0   א א     ט
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-\left({\color{blue}{1}}\times9\right)}}={\color{green}{1}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-\left({\color{blue}{1}}\times9\right)}}={\color{green}{1}}}$  0  01  011 100 100 100  1   11   9   9   9 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle11\ the\ result\\&\scriptstyle1\ the\ remainder\\\end{align}}}$
When we take the 9, which is the smaller number, we see that we cannot subtract it from the 1 that is in the third rank of the greater number.	וכאשר נקח הט' שהיא החשבון הקטן נראה שלא נוכל להסיר אותה מהא' שבמדרגה שלישית שהיא החשבון הגדול
Therefore, we shift the 1 to the zero that precedes it in writing, so it equals ten and from this ten we subtract 9; 1 remains above this zero.	ועל כן נשים הא' על הסיפרא הקדומה לה במכתב ותהיה שוה עשר ומאלה העשר נסיר ט' וישאר א' על הסיפרא ההיא
We write 1 beneath it, for the one time that we have subtracted the 9 from the ten, as it is the first rank of the beginning of looking at the subtraction and the smaller number has only one rank.	ונכתוב א' תחתיה כנגד פעם אחת שהסירונו הט' מהעשר כאשר היא המדרגה הראשונה להתחלת הבטת ההסרה ובחשבון הקטן גם כן אין בו כי אם מדרגה אחת
We write a zero above the 1 that we have shifted from its position.	ונכתוב סיפרא מעל הא' אשר העתקנוה ממקומה
We look again to subtract the 9, which is the smaller number, from the 1 that is left above the zero in the line of the greater number. We should shift it to the other similar zero, so it equals ten.	ואחר נשוב עוד ונביט להסיר הט' שהיא החשבון הקטן מהא' שנשארה על הסיפרא בטור החשבון הגדול והנה צריכי' אנחנו גם כן לשים אותה על הסיפרא האחרת הדומה לה ותהיה שוה עשר
When we subtract from it 9 once, 1 remains above the first zero in the line if the greater number.	וכשנסיר מהם ט' פעם אחת ישאר א' על הסיפרא הראשונה שבטור החשבון הגדול
For this one time that we have subtracted the 9 from the ten, we write 1 beneath the first zero, as it is first to the looking at the subtraction.	וכנגד הפעם הזאת שהסירונו הט' מהעשר נכתוב תחת הסיפרא הראשונה א' באשר היא ראשונה להבטת ההסרה
By this the division is complete and we have found that there are eleven times nine in one hundred and one is added to them.	ובזה נגמרה החלוקה הזאת ומצאנו שיש במאה אחד עשר פעמים תשעה ועוד אחד מוסף עליהם
We wish to divide one hundred by twelve. $\scriptstyle100\div12$	עוד בקשנו לחלק מאה על שנים עשר
We write them according to this diagram:	ונכתבם על זאת הצורה
0   0 2 4 1 0 0     8   1 2	0   0 ב ד א 0 0     ח   א ב
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-\left({\color{blue}{8}}\times1\right)}}={\color{green}{2}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20-\left(8\times2\right)}}={\color{green}{4}}}$  0  02  024 100 100 100   8   8  12  12  12 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle8\ the\ result\\&\scriptstyle4\ the\ remainder\\\end{align}}}$
When we take 1, which is the last rank in the line of the smaller number and look to subtract it from the 1 that is in the third rank of the line of the greater number, we will not be able to subtract the 2 that precedes the 1 of the smaller number in writing from the zeros that remain there.	והנה כאשר נקח א' שהיא המדרגה האחרונה מטור החשבון הקטן ונביט להסיר אותה מהא' שבמדרגה השלישית בטור החשבון הגדול הנה אחרי כן לא נוכל להסיר הב' הקדומה במכתב לפני הא' מהחשבון הקטן מהסיפראש אשר ישארו שם
Therefore we need to understand the end of the thing from its beginning.	ולפיכך צריך לנו להבין אחרית דבר מראשיתו
First of all we shift the 1, which is the upper number, above the zero that precedes it in writing, so it equals ten.	ובתחלת כל דבר נשים הא' שהיא החשבון העליון על הסיפרא הקדומה לה במכתב ותהיה שוה עשר
Then, we look how many times we subtract the 1 of the smaller number from this ten:	ואחר כך נביט כמה פעמים נסיר הא' מהחשבון הקטן מהעשר האלו
If we subtract it nine times, only 1 remains from the whole ten, but then we will not have enough to subtract the 2 that is in the line of the smaller number also nine times from what remains in the line of the greater number, because the remainder is only ten, since the 1 is in the second rank, whereas nine times 2 is eighteen.	והנה אם נסיר אותה תשע פעמים לא ישאר מכל העשר כי אם א' ולא יספיק לנו אחרי כן להסיר הב' שבטור החשבון הקטן גם כן תשע פעמים ממה שנשאר בטור החשבון העליון לפי שהנשאר אינו שוה כי אם עשר באשר הא' היא במדרגת שנית ותשע פעמים ב' עולה שמנה עשר
Therefore we subtract the 1 from the ten that is above the zero in the second rank of the line of the greater number only eight times and 2 remains above that zero.	ומפני זה לא נסיר הא' מהעשר אשר על הסיפרא שבמדרגה שנית מטור החשבון הגדול כי אם שמנה פעמים וישאר ב' על הסיפרא הזאת
We write a zero above the 1 that is in the third rank, since we have shift it to the zero and nothing remains there.	ונכתוב סיפרא על הא' שהייתה במדרגה השלישית שהרי שמנו אותה על הסיפרא ולא נשאר שם כלום
For the eight times of subtraction, we write 8 beneath the first zero, since the ranks of the smaller number are two and their counting starts from the second rank in the line of the greater number, as we have started the looking of this subtraction from there.	וכנגד שמנה פעמים ההסרה נכתוב ח' תחת הסיפרא הראשונה באשר מדרגת החשבון הקטן הם שתים ומניינם מתחיל מהסיפרא מהמדרגה השניה שבטור החשבון הגדול לפי שמשם התחלנו הבטת ההסרה הזאת
Afterwards we subtract also the 2 of the smaller number eight times from what is left in the line of the greater number and we do it in this way:	ואחר זה נסיר גם כן הב' מהחשבון הקטן שמנה פעמי' ממה שנשאר בטור החשבון הגדול ונעשה על הדרך הזה
We shift the 2 that we have left in the place of the second zero to the first zero, so it is equal to two tens, which are twenty.	נשים הב' שנשארה לנו במקום הסיפרא השנית על הסיפרא הראשונה ותהיה שוה שני עשרות שהם עשרים
We subtract sixteen from them, which is the product of the times of the subtraction by 2; 4 remains from them above the zero that is in the first rank.	נסיר מהם ששה עשר שהוא העולה מכפל פעמי ההסרה על הב' וישאר מהם ד' על ראש הסיפרא שבמדרגה הראשונה
We write one zero in the place where the 2 that we have shifted to the first zero was written, since nothing remains there.	ונכתוב במקום שהייתה כתובה הב' אשר שמנו אותה על הסיפרא הראשונה סיפרא אחת לפי שלא נשאר ממנה שם כלל כלום
The result of the division is that there are eight times twelve in one hundred and an excess of four.	והנה יצא לנו החלוקה שיש שמנה פעמים שנים עשר במאה ועודף עליהם עדנה ארבעה
We wish to divide nine hundred and one by thirty-two. $\scriptstyle901\div32$	עוד בקשנו לחלק אחד ותשע מאות על שלשים ושתים
We write them according to this diagram:	ונכתב' על זאת הצורה
0 0   2 2   3 6 5 9 0 1   2 8   3 2	0 0   ב ב   ג ו ה ט 0 א   ב ח   ג ב

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-\left({\color{blue}{2}}\times3\right)}}={\color{green}{3}}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-\left({\color{blue}{2}}\times2\right)}}={\color{green}{6}}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{26-\left({\color{blue}{8}}\times3\right)}}={\color{green}{2}}}$	0	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{21-\left({\color{blue}{8}}\times2\right)}}={\color{green}{5}}}$	00
				2		22		22
		3		36		36		365
901		901		901		901		901
		2		2		28		28
32		32		32		32		32

$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle28\ the\ result\\&\scriptstyle5\ the\ remainder\\\end{align}}}$

We see that if we subtract three times the 3 that is in the bottom line, which is the smaller number, from the 9 that is in the upper line, which is the greater number, we will not be able afterwards to compensate the other digit in the bottom line in order to subtract it from the zero, since nothing remains from the 9.	הנה אנחנו רואים שאם נסיר הג' שבטור השפל שהוא החשבון הקטן מהט' אשר בטור העליון שהוא החשבון הגדול שלשה פעמים לא נוכל אחרי כן לעשות תשלום לאות האחרת שבטור השפל להסיר אותה מהסיפרא לפי שלא ישאר מאומה מן הט'
Therefore we subtract it only twice and we write the 3 that remains from the 9 above it.	לכן לא נסירנה כי אם שני פעמים ונכתוב הג' הנותרת מהט' עליה
For these two times of subtraction, we write 2 beneath the zero, since the ranks of the bottom line are two and the zero is also second to the digit, from which we have started the subtraction.	וכנגד שני פעמים ההסרה האלה נכתוב ב' תחת הסיפרא באשר מדרגות הטור השפל הם שתים והסיפרא גם כן היא שנית אל האות אשר התחלנו בה ההסרה
Then we subtract the digit 2, which is the first rank in the bottom line, also twice from the zero that is in the upper line and we do it in this way:	אחרי כן נסיר אות הב' שהיא המדרגה הראשונה שבטור השפל ג"כ ב' פעמי' מהסיפרא שבטור העליון והנה נעשה על הדרך הזה
We take 1 from the 3 that remained above the 9 and 2 remains above it.	נקח א' מן הג' הנותרת על הט' וישאר עליה ב'
We put the 1 that we took above the zero, so it equals ten. We subtract two times two from it; their product is four and 6 remains above the zero.	והא' אשר לקחנו נשי' אותה על הסיפרא ותהיה שוה עשר נסיר מהם ב' פעמים ב' העולה כפלתם ארבעה וישאר ו' על הסיפרא
Now we have made a compensation by subtracting all the digits of the bottom line from the upper line an equal number of times for each.	ועתה עשינו תשלום שהסירונו כל האותיות הטור השפל מהטור העליון במספר פעמים שוה זו כזו
Indeed, when we look at what is left in the upper line, we see that it is greater than the number of the bottom line, and because of this we should look again to subtract the 3, which is the last rank in the bottom line, from the 2 that is left in the last rank of the upper line. We do it in this way:	אכן כאשר נעיין הנותר בטור העליון נראה שהוא רב יותר ממספר הטור השפל ומפני זה אנחנו צריכים לחזור ולהביט להסיר הג' שהיא המדרגה האחרונה שבטור השפל מהב' שנשארה לנו במדרגה האחרונה מהטור העליון ונעשה על דרך זה
We shift the whole 2 to the 6 above the zero; they are twenty-six.	נשים הב' ההיא כלה על הו' אשר בראש הסיפרא יהיו עשרים וששה
Now, we measure how many times we can subtract the 3 from the twenty-six: we can subtract it eight times, which are twenty-four.	ועתה נשום ונשער כמה פעמי' נוכל להסיר הג' מהששה ועשרים והנה נוכל להסיר אותה שמנה פעמים העולים עשרים וארבעה
When we subtract them from twenty-six, 2 remains above the 6.	כשנסיר אותם מששה ועשרים ישאר על הו' ב'
We write zero above the last rank of the upper line, since nothing remains there.	ונכתוב סיפרא על המדרגה האחרונה מהטור העליון שהרי לא נשאר שם כלום
For the eight times of subtraction, we write 8 beneath the 1 that is the first rank of the upper line, since it is second to the rank, from which we have started looking at the subtraction.	וכנגד שמנה פעמים ההסרה נכתוב ח' תחת הא' שהיא המדרגה הראשון מהטור העליון באשר היא שניה אל המדרגה אשר התחלנו הבטת ההסרה ממנה
Now, we subtract also the digit 2 of the bottom line eight times from what is left in the upper line. We do it in this way:	ועתה נסיר גם כן אות הב' מהטור השפל שמנה פעמים ממה שנשאר בטור העליון ונעשה על הדרך הזה
We shift the 2 that is left in the second rank of the upper line to the 1 that is in the first rank; they are twenty-one.	נשים הב' שנשארה לנו במדרגה השניה מהטור העליון על הא' שבמדרגה ראשונה ממנה יהיו עשרים ואחד
We subtract from them the product of 8 by 2, which is sixteen; 5 remains above the 1, which is the first rank of the upper line.	נסיר מהם כפל ח' על ב' שהוא ששה עשר וישאר מהם ה' על ראש הא' שהיא המדרגה הראשונה מהטור העליון
We write a zero above the 2 that is written in the second rank, since we have shifted the whole of it to the first rank.	ונכתוב סיפרא על הב' הכתובה על המדרגה השנית שהרי שמנו את כלה במדרגה הראשונה
This division is complete and we have found that the middle line is twenty-eight and what remains above the upper line is five.	ונשלמה החלוקה הזאת ומצאנו שהטור האמצעי עולה שמנים שמנה ועשרים והנותר על הטור העליון חמשה
We wish to divide eight hundred and ninety-one by forty. $\scriptstyle891\div40$	ועוד בקשנו לחלק שמנה מאות ותשעי' ואחד על ארבעים
We write them according to this diagram:	הנה נכתבם על זאת הצורה
0 1   8 9 1   2 2   4 0	0 א   ח ט א   ב ב   ד 0
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8-\left({\color{blue}{2}}\times4\right)}}={\color{green}{0}}}$ 0   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-\left(2\times4\right)}}={\color{green}{1}}}$ 01  891 891 891  2   22  40  40  40 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle22\ the\ result\\&\scriptstyle11\ the\ remainder\\\end{align}}}$
We subtract the 4 that is in the bottom line twice from the 8 that is in the upper line.	ונסיר הד' שבטור השפל שתי פעמים מהח' אשר בטור העליון
We write above it a zero, since nothing is left of it.	ונכתוב עליה סיפרא באשר לא נשאר ממנה כלום
For the two times of subtraction, we write 2 beneath the 9 that is in the upper line, since it is second rank to the digit, from which we have started the subtraction and in the bottom line there are also two ranks.	וכנגד שני פעמים ההוצאה נכתוב ב' תחת הט' שבטור העליון באשר הוא מדרגה שנית אל האות אשר התחלנו ממנה ההסרה ובטור השפל יש גם כן שתי מדרגות
Again, we subtract the known 4 twice from the corresponding 9 in the upper line; 1 remains above it.	עוד נשוב ונסיר הד' הנודעת מן הט' שכנגדה בטור העליון שתי פעמים וישאר עליה א'
For the two times of subtraction, we write 2 beneath the 1 that is the first rank of the upper line, since it is second to the digit 9, from which we have now started the subtraction.	וכנגד שני פעמי ההסרה נכתוב ב' תחת הא' שהיא המדרגה הראשונה מהטור העליון באשר היא שנית אל אות הט' אשר התחלנו עתה ההסרה ממנה
The result of the division is that in eight hundred and ninety-one there are twenty-two times forty and an excess of eleven.	והנה יצאת אלינו החלוקה שיש בשמנה מאות ותשעים ואחד שתים ועשרים פעמי ארבעים ועוד נוסף עליהם אחד עשר
We wish to divide three hundred and twenty-one by nine. $\scriptstyle321\div9$	ועוד בקשנו לחלק שלש מאות ועשרים ואחד על תשעה
We write them according to this diagram:	ונכתו' אותם על זאת הצורה
0   0 5 6 3 2 1   3 5     9	0   0 ה ו ג ב א   ג ה     ט
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{32-\left({\color{blue}{3}}\times9\right)}}={\color{green}{5}}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{51-\left({\color{blue}{5}}\times9\right)}}={\color{green}{6}}}$  0  05  056 321 321 321  3   35   9   9   9 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle35\ the\ result\\&\scriptstyle6\ the\ remainder\\\end{align}}}$
When we try to subtract the 9, which is the smaller number, from the 3 that is in the last rank of the upper line, we have to shift the whole 3 to the 2 that precedes it in writing; they are thirty-two.	וכאשר נסינו להסיר הט' שהיא החשבון הקטן מהג' שבמדרגה אחרונה מהטור העליון יצטרך לנו לשום את הג' כלה על הב' הקדומה לה במכתב ויהיו שלשי' ושתים
We subtract the 9 from them three times, which are twenty-seven, five is left from them above the 2.	ונסיר מהם הט' שלש פעמים שעולים עשרים ושבעה וישאר מהם חמשה על הב'
For these three times of subtraction, we write 3 beneath the 2 that is in the upper line, since we start the subtraction from this rank and in the bottom line there is only one rank.	וכנגד שלשה פעמים ההסרה אלה נכתוב ג' תחת הב' שבטור העליון לפי שמאותה מדרגה אנו מתחילים ההסרה ואין בטור השפל כי אם מדרגה אחת
We write a zero above the rank of the 3, since nothing is left of it.	ונכתוב סיפרא על מדרגת הג' כאשר לא נשאר ממנה כלום
Again, we subtract the 9 from the 5 that is left above the 2 in the upper line, but since we cannot subtract the 9 from the 5, we shift the whole 5 to the 1, which is the first rank preceding in writing; they are fifty-one.	ונשוב עוד להסיר הט' מהה' הנשארת על הב' בטור העליון וכאשר לא נוכל להסיר הט' מה' נשים כל הה' על הא' שהיא המדרגה הראשונה הקדומה במכתב ויהיו חמשים ואחד
We subtract the 9 from them five times, 6 is left from them above the first rank.	והנה נסיר מהם הט' חמש פעמים וישאר מהם ו' על המדרגה הראשונה
We write a zero above the 5, since nothing is left of it.	ונכתוב סיפרא על הה' כאשר לא נשאר ממנה כלום
For the five times of subtraction, we write 5 beneath the first rank, from which we have started the subtraction, since in the bottom line there is only one rank.	וכנגד חמש פעמי ההסרה נכתוב ה' תחת המדרגה הראשונה שהתחלנו ההסרה ממנה כאשר אין בטור השפל כי אם מדרגה אחת
This division is complete and the middle line is thirty-five and what remains above the upper line is six.	והנה נשלמה החלוקה והטור האמצעי עולה שלשים וחמש והנותר על הטור העליון ששה
We wish to divide five hundred and eighty-three thousand, six hundred and ninety-six by seven hundred and sixty-four. $\scriptstyle583696\div764$	ועוד בקשנו לחלק חמש מאות ושמנים ושלשת אלפים ושש מאות ותשעים וששה על שבע מאות וששי' וארבעה
0 0       0 3 2       4 6 0 0     5 8 2 1   0 9 1 8 5 0 5 8 3 6 9 6       7 6 4       7 6 4	0 0       0 ג ב       ד ו 0 0     ה ח ב א   0 ט א ח ה 0 ה ח ג ו ט ו       ז ו ד       ז ו ד

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{58-\left({\color{blue}{7}}\times7\right)=58-49=}}{\color{green}{9}}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9-4=}}{\color{green}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{43-\left({\color{blue}{7}}\times6\right)=43-42=}}{\color{green}{1}}\\\end{align}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{5-1=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{11-3=}}{\color{green}{8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{36-\left({\color{blue}{7}}\times4\right)=36-28=}}{\color{green}{8}}\\\end{align}}$	4
				5		58
		09		091		0918
583696		583696		583696		583696
		7		7		7
764		764		764		764

The skill of what is required is much greater and deep than all we have mentioned and this is its description:	והנה המבוקש הזה מלאכתו רבה ועמוקה מכל שזכרנו וזה תארו
When we look to subtract the 7 that is in the bottom line from the 5 that is in the upper line, we cannot do so.	הנה כשנביט להסיר הז' שבטור התחתון מהה' שבטור העליון לא נוכל
Therefore, we shift it to the 8, which is the rank that precedes it in writing, and write a zero in its place, since nothing is left there.	ועל כן נשים אותה על הח' שהיא המדרגה הקדומה לה כמכתב ונכתוב במקומה סיפרא כאשר לא נשאר שם כלום
The result is fifty-eight and when we measure how many times we shall subtract the 7 from it, we find that we can subtract only 7 times, so that we will be able to do the necessary rule with the remainder.	והנה יעלו חמשים ושמונה וכאשר נשים ונשער כמה פעמים נסיר מהם הז' נמצא שלא נוכל להוציאה כי אם ז' פעמים כדי שנוכל לעשות מהנשאר המשפט הצריך
Seven times 7 is forty-nine and when we subtract it from fifty-eight, 9 remains above the 8.	והנה שבע פעמי' ז' עולה תשע וארבעים וכשנסיר אותם משמנה וחמשים תשאר ט' על הח‫'
We start counting three ranks of the bottom line back from this rank and the counting ends at 6 that is the third rank; we write 7 beneath it, for the seven times of subtraction.	ומהמדרגה הזאת נתחיל למנות שלש מדרגות שבטור השפל אחורנית ויכלה מספרן בו' שהיא מדרגה שלישית ושם נכתוב תחתיה ז' כנגד שבע פעמי ההסרה
Then, we subtract the 6 that is in the bottom line also 7 times from the 9; the result of the multiplication is forty-two. We do it in this way:	אחרי כן נסיר הו' שבטור השפל גם כן ז' פעמים מהט' והעולה מכפל זה על זה הם ארבעים ושנים ונעשה על הדרך הזה
We subtract 4 from that 9 and write the remainder, which is 5, above it.	נסיר מהט' ההיא ד' ונכתוב עליה הנשאר שהוא ה'
We shift the 4 to the 3, which is the rank that precedes in writing the rank above which the 9 is; they are forty-three. We find that 1 remains from them above the 3.	ונשים הד' על הג' שהיא מדרגה קדומה במכתב למדרגה שהייתה הט' עליה והנה יהיו ארבעים ושלש נמצא שישאר מהם א' על הג‫'
Then, we subtract the 4 that is in the bottom line, which is the first rank of it, also 7 times; the result of the multiplication is twenty-eight. We do it in this way:	אחרי כן נסיר הד' שבטור השפל שהיא המדרגה הראשונה ממנה גם כן ז' פעמים שעולה כפלתן שמונה ועשרים ונעשה על הדרך הזה
We take 1 from the 5 that is left in the upper line, in the fifth rank, and shift it to the 1 that is left above the 3 that precedes this rank; they are eleven. We subtract 3 from them; 8 remains above the 1.	נקח א' מן הה' שנשארה לנו בטור העליון במדרגה חמישית ונשים אותה על הא' שנשארה על הג' הקדומה למדרגה הזאת ויהיו אחד עשר נסיר מהם ג' ישאר על הא' ח'
We shift the 3 to the rank that precedes its rank in writing, which is 6; they are thirty-six. We subtract from them the product of 4 by 7, which is twenty-eight; 8 remains above the 6.	נשים הג' על המדרגה הקדומה למדרגתה במכתב שהיא ו' ויהיו ששה ושלשים נסיר מהם כפל הד' על הז' שהם שמונה ועשרים וישאר על הו' ח‫'
Now, we have completed the subtraction of all the digits of the bottom line from the upper line equally, each as many times as the other.	ועתה השלמנו להסיר כל אותיות הטור השפל מהטור העליון בשוה זו כזו האחת כפעם חברתה

$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{48-\left({\color{blue}{6}}\times7\right)=48-42=}}{\color{green}{6}}}$	0	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{6-3=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{38-\left({\color{blue}{6}}\times6\right)=38-36=}}{\color{green}{2}}\\\end{align}}$	03	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{29-\left({\color{blue}{6}}\times4\right)=29-24=}}{\color{green}{5}}}$	03
	46		46		460
	58		582		582
	0918		0918		09185
	583696		583696		583696
	76		76		76
	764		764		764

When we examine what is left in the upper line, we see that it is much more than the number of the bottom line.	וכשנעיין במה שנשאר בטור העליון נראה שהוא רב מאד על מספר הטור השפל
Therefore we look again to subtract the 7 that is in the bottom line from the 4 that is left in the upper line, in the fifth rank.	ועל כן נחזור ונביט להסיר הז' שבטור השפל מהד' שנשארה בטור העליון במדרגה החמישית
We have to shift it to the 8 that is left above the preceding rank; they are forty-eight.	והנה צריכים אנחנו לשים אותה על הח' שנשארה על המדרגה הקדומה לזו יהיו שמונה וארבעים
When we measure, we find that we can subtract the 7 six times from them, the product of which is forty-two, and when we subtract it from them, 6 remains above the 8.	וכאשר נשום ונשער נמצא שנוכל להסיר הז' מהם שש פעמים שעולה כפלתם שנים וארבעים ונמצא כשנסיר אותם מהם ישארו על הח' ו'
We write a zero above the 4, since nothing is left of it.	ונכתוב סיפרא על הד' כאשר לא נשאר ממנה כלום
We start counting from the rank, above which we have wrote the 6, back by the three ranks of the bottom line, ending at the 9, which is the second rank of the upper line, and there we write 1 beneath it, for the six times of subtraction.	ומהמדרגה אשר כתבנו הו' עליה נחל לספור אחורנית השלש מדרגות שבטור השפל ויכלו בט' שהיא המדרגה השנית מהטור העליון ושם נכתוב תחתיה ו' כנגד שש פעמי ההסרה
Then we have to subtract the 6 that in the bottom line also six times; their product is thirty-six. We do it in this way:	אחרי כן יש לנו להסיר הו' שבטור השפל גם כן ששה פעמים שעולה כפלתם ששה ושלשים ונעשה על הדרך הזה
We subtract three from the 6 that is left in the fourth rank; 3 remains above the 6.	נסיר מהו' שנשארה לנו במדרגה רביעית שלשה וישאר על הו' ההיא ג'
We shift the 3 that we have subtracted to the 8 that is left in the rank that precedes this rank; they are thirty-eight. When we subtract thirty-six from them, 2 remains above the 8.	ונשים הג' אשר הסירונו מהם על הח' הנשארת לנו במדרגה הקדומה למדרגה הזאת ויהיו שמונה ושלשים כשנסיר מהם ששה ושלשים ישארו מהם ב' על הח‫'
We have to further subtract the 4 that is in the bottom line also six times; their product is twenty-four. We do it in this way:	עוד יש לנו להוסיף להסיר הד' מהטור השפל גם כן שש פעמים והנה עולה כפלתם ארבעה ועשרים ונעשה על הדרך הזה
We take the 2 that is left above the 8 and shift it to the 9 that is the rank that precedes this rank in writing; they are twenty-nine. We subtract twenty-four from them; 5 remains above the 9.	נקח הב' שנשארה על הח' ונשים אותה על הט' שהיא המדרגה הקדומה במכתב לזאת המדרגה שהייתה הב' כתובה עליה ויהיו תשעה ועשרים נמצא כשנסיר מהם ארבע ועשרים ישאר על הט' ה'
We write a zero above the rank, in which the 2 is written, since nothing is left of it.	ונכתוב סיפרא על המדרגה אשר הב' כתובה עליה באשר לא נשאר ממנה כלום
By this, we have completed again the subtraction of the digits of the bottom line from the upper line equally, each the same number of times.	ובזה השלמנו להסיר שנית אותיות הטור השפל מהטור העליון במספר שוה פעמים זו כזו

$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{30-\left({\color{blue}{4}}\times7\right)=30-28=}}{\color{green}{2}}}$	0	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{25-\left({\color{blue}{4}}\times6\right)=25-24=}}{\color{green}{1}}}$	00	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{16-\left({\color{blue}{4}}\times4\right)=16-16=}}{\color{green}{0}}}$	00
	032		032		032
	460		460		4600
	582		5821		5821
	09185		09185		091850
	583696		583696		583696
	764		764		764
	764		764		764

$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle764\ the\ result}}$

When we examine what is left in the upper line, we find that it is still more than the number of the bottom line.	וכאשר נעיין בנשאר בטור העליון נמצא שמספרו מרובה עדיין ממספר הטור השפל
Therefore we should look again to subtract the 7 that is the last rank of the bottom line from the 3 that is left in the fourth rank.	ועל כן אנחנו צריכים עוד לחזור ולהביט ולהסיר הז' שהיא המדרגה האחרונה מהטור השפל מהג' שנשארה לנו במדרגה רביעית
It is necessary to shift this 3 to the third rank that precedes it in writing, in which a zero is written; so the 3 equals thirty.	והנה מוכרח לשום את הג' הזאת על המדרגה השלישית הקדומה לה במכתב הכתוב עליה סיפרא ותהיה שוה הג' שלשים
We subtract the 7 4 times, for it will be enough for us to apply the necessary rule upon the remainder.	ונסיר הז' ד' פעמים כי כן יספיק לנו לעשות בנשאר המשפט הצריך
We write a zero above the 3, since nothing is left there.	ונכתוב סיפרא על הג' באשר לא נשאר שם מאומה
When we subtract twenty-eight from thirty, 2 remains above the zero that is in the third rank.	והנה כאשר נסיר שמנה ועשרים משלשים ישאר ב' על הסיפרא שהיא במדרגה השלישית
We count from this rank back by the three ranks of the bottom line, ending at the first rank; we write beneath it the 4 times of subtraction.	ומהמדרגה הזאת נמנה אחורנית מספר הג' מדרגות שבטור השפל ויכלה מספרן במדרגה הראשונה והנה נכתוב תחתיה ד' פעמי ההוצאה
Then we have to subtract the 6 that in the bottom line also 4 times; their product is twenty-four. We do it in this way:	אחרי זאת צריך גם כן שנסיר הו' שבטור השפל ד' פעמים שעולה כפלתם ארבעה ועשרים ונעשה על הדרך הזה
We shift the 2 that is left in the third rank to the digit 5 that is left in the rank that precedes it in writing; they are twenty-five.	נשים הב' אשר נשארה במדרגה השלישית על אות הה' הנשארת במדרגה הקדומה לה במכתב ויעלו חמשה ועשרים
When we subtract twenty-four from them, 1 remains instead of the 5.	וכשנסיר מהם עשרים וארבע ישאר א' במקום הה'
Above the 2 we write a zero, since nothing is left of it.	ועל הב' נכתוב סיפרא באשר לא נשאר ממנה כלום
We have to further subtract the 4 that is the first rank of the bottom line also 4 times; their product is sixteen. We do it in this way:	עוד אנחנו צריכים להסיר הד' שהיא המדרגה הראשונה מהטור השפל גם כן ד' פעמים ועולה כפלתם ששה עשר ונעשה על זה הדרך
We take the 1 that is left in the second rank, write above it a zero and shift it to the 6 that precedes this rank; they are sixteen. We subtract the product of 4 by 4 from them.	נקח הא' הנשארת במדרגה השנית ונכתוב עליה סיפרא ונשים אותה על הו' הקדומה לזאת המדרגה יהיו ששה עשר ומזה נסיר כפלת הד' על הד'
We write a zero above the 6, since nothing is left there.	ונכתוב על הו' סיפרא באשר לא נשאר שם כלום
We find that the upper line is all gone in the divisions we made and the middle line that is created is the same as the line of the smaller number, no more and no less.	ונמצא שכל הטור העליון הוא כלה בחלוקות אשר עשינו והטור האמצעי אשר נתחדש הוא כטור החשבון הקטן לא פחות ולא יתר
We wish to divide five hundred and eighty-three thousand, six hundred and ninety-six by one thousand and eighty. $\scriptstyle583696\div1080$	ועוד בקשנו לחלק חמש מאות ושמנים ושלשת אלפים ושש מאות ותשעים וששה על אלף ושמנים
We write them according to this diagram:	ונכתבנו על זאת הצורה
0         0 4 0 4     5 8 3 6 9 6       5 4 0     1 0 8 0	0         0 ד 0 ד     ה ח ג ו ט ו       ה ד 0     א 0 ח 0

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-\left({\color{blue}{5}}\times1\right)=5-5=}}{\color{green}{0}}}$	0	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{8-4=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{43-\left({\color{blue}{5}}\times8\right)=43-40=}}{\color{green}{3}}\\\end{align}}$	04
583696		583696		583696
		5		5
1080		1080		1080

$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{4-\left({\color{blue}{4}}\times1\right)=4-4=}}{\color{green}{0}}}$	0	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{36-\left({\color{blue}{4}}\times8\right)=36-32=}}{\color{green}{4}}}$	0
	04		0404
	583696		583696
	54		540
	1080		1080

$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle540\ the\ result\\&\scriptstyle496\ the\ remainder\\\end{align}}}$

We see that we are able to subtract the 1 that is in the bottom line five times from the 5 that is in the upper line.	הנה אנחנו רואים שיש בידינו רשות להסיר הא' שבטור השפל חמש פעמים מהה' שבטור העליון
We do as we said and we write above it a zero, since nothing is left of it.	ונעשה כדברינו ונכתוב עליה סיפרא באשר לא נשאר ממנה כלום
We count four ranks back from this rank that is in the upper line, for the four ranks that are in the bottom line; their count ends in 6, which is in the same line. We write there 5, beneath it, for the five times of subtraction.	ונמנה מהמדרגה הזאת שבטור העליון ארבע מדרגות אחורנית כנגד הארבע מדרגות שבטור השפל ויכלה מניינם בו' שבאותו טור ושם נכתוב תחתיה ה' כנגד חמש פעמי ההסרה
Then, we have to subtract the 8 that is in the bottom line also 5 times; their product is forty. We do it in this way:	ואחרי זאת יש לנו להסיר הח' שבטור השפל גם כן ה' פעמי' שכפלתם עולה ארבעים ונעשה על הדרך הזה
We subtract 4 from the 8 that is in the upper line and shift the 4 to the rank that precedes the 8 in writing, which is 3; they are forty-three. The forty are all gone and the 3 remains at place.	נסיר ד' מהח' שבטור העליון ונשים הד' על המדרגה הקדומה במכתב אל הח' שהיא ג' והעולה ארבעים ושלש והארבעים יכלו ויתמו והג' תשאר במקומה
By this, all the digits of the bottom line were subtracted from the upper line equally, each the same number of times.	ובזה הוסרו כל אותיות הטור השפל מהטור העליון כל אחת ואחת מהן פעמים שוות
When we examine what is left in the upper line, we see that its number is more than the number of the bottom line.	וכשנעיין הנותר בטור העליון נראה שמספרו מרובה עדנה ממספר הטור השפל
Therefore we look again to subtract the 1 that is in the bottom line 4 times from the 4 that is left in the fifth rank.	ובעבור זה נחזור ונביט ונסיר הא' שבטור השפל ד' פעמי' מהד' שנשארה לנו במדרגה החמשית
It is all gone, so we write a zero in its place.	ותכלה כלה ונכתוב במקומה סיפרא
We count four ranks back; it ends in the second rank. We write there 4, beneath it, for the four times of subtraction.	וממנה נמנה ארבע מדרגות אחורנית ויכלו במדרגה השנייה ושם נכתוב תחתיה ד' כנגד ארבע פעמי ההסרה
We have to further subtract the 8 of the bottom line also 4 times; the product of 4 by 8 is thirty-two. We do it in this way:	ועוד יש לנו להסיר גם כן הח' מהטור השפל ד' פעמים וכפל ד' על ח' עולה שנים ושלשים והנה נעשה על הדרך הזה
We take the 3 that is left in its place, in the fourth rank of the upper line, and shift it to the digit of the third rank, which is 6 that precedes it in writing; they are thirty-six. When we subtract thirty-two from them, 4 remains above the 6.	נקח הג' אשר נשארה במקומה בטור העליון במדרגה רביעית ונשים אותה על אות המדרגה השלישית שהוא ו' הקדומה לה במכתב ויעלה ששה ושלשים וכשנסיר מהם השנים ושלשים ישאר על הו' ד'
We write a zero above the 3, since nothing is left from it.	ונכתוב סיפרא על הג' באשר לא נשאר ממנה כלום
By this, all the digits of the bottom line were subtracted from the upper line again.	ובזה הוסרו כל אותיות הטור השפל מהטור העליון פעם שנייה
When we examine what is left in the upper line, we see that its number is less than the number of the bottom line, and this is the sign that the division is complete.	והנה כאשר נעיין הנשאר בטור העליון נראה שהוא מועט במספרו ממספר הטור השפל וזהו אות שנגמרה החלוקה
The middle line generated from the number of the times of subtraction of the digits in the ranks is five hundred and forty.	והטור האמצעי המתהוה ממספר פעמי הסרת אותיות המדרגות עולה חמש מאות וארבעים
The remainder above the digits of the upper line is four hundred and ninety-six.	והנשאר על אותיות הטור העליון עולה ארבע מאות ותשעים ושש
Through all these many calculations I have mentioned the method of their division, every intelligent and wise man will be able to understand and learn the truths of doing this skill accurately.	ומתוך כל אלו החשבונות הרבים שהזכרתי דרך חלוקתן בארוכה יוכל כל נבון וחכם להבין ולהשכיל אמיתות עשיית המלאכה הזאת בדקדוק

Methods of Checking - Multiplication, Division, Addition, Subtraction
Now, I should discuss in this chapter about the checking methods [lit. scales] of this division operation, as well as the checking methods [lit. scales] of the multiplication, addition and subtraction operations, as I promised at the beginning of this book, when mentioning the contents of its chapters.	ועתה צריך אני לדבר בשער הזה ממאזני מלאכת החלוקה הזאת וממאזני מלאכת הכפל והחבור והמגרעת כאשר התנאתי בהתחילי בספר הזה בהזכרת פרטי כללי שעריו
Checking the result of division: multiplication
I say that the most truthful and right checking method is that whoever does the division operation multiplies the middle line that is generated from the number of the times of subtraction, according to the procedure of the multiplication operation, by the bottom line, which is the smaller number; then he takes all that remains above the upper line, if something remains there; adds it beneath the product, each digit beneath its corresponding rank; and sums it with the whole product. The line of the sum must be the same as the line of the greater number that he divided, each digit the same as its corresponding digit, if his deed is pure or upright [Proverbs 20, 11].	והנני אומר כי אין בכל המאזנים יותר צודקים וישרים כי אם מי שעשה מלאכת חלוקתו שיכפול ויכה במלאכת מעשה הכפילה הטור האמצעי המתהוה ממספר פעמי ההסרות על הטור השפל שהוא החשבון הקטן ואחר יקח כל מה שנותר למעלה בטור העליון אם נשאר שם כלום ויוסיף אותו תחת הכפילה כל אות ואות תחת מדרגה הראויה לה ואחרי כן יחבר ויקבץ כל הכפילה ובהכרח צריך שתצא טור הקבוץ והחיבור כטור החשבון הגדול אשר חלק דומה כדומה מספר הטור האחת כמספר חברתה אם זך ואם ישר פעלו [משלי 2, יא]
Checking the result of multiplication: division
Likewise, the checking method of the multiplication operation is that he divides the result of multiplication by one of the two lines of the multiplied numbers and the result of division is the second line, if he goes the right way.	וגם מאזני מלאכת הכפל הנה הם שיחלק העולה מהכפילה על האחד משני טורי החשבונות הנכפלים ויצא לו בחלוקה הטור השני אם בדרך ישר הולך
Checking the result of addition: subtraction
	וכן כל מי שחיבר שני טורי חשבונות יחד זה עם זה יתעסק במלאכת המגרעת ויגרע מהמחובר אחד מן שני הטורים וישאר לו הטור השני אם היה מעשהו באמונה
Checking the result of subtraction: addition
	ולפי דרכינו נבין ונלמוד שגם כן הגורע חשבון קטן מחשבון גדול שאם יחבר מה שנותר לו עם טור החשבון הקטן שבהכרח יצא לו המחובר טור אחת כטור החשבון הגדול במספר שוה זו לזו
	ועם זה התבארה כוונת כל מה שהתנאתי לבאר בזה השער והגיע העת לפסוק בו ולהתחיל באחר

Chapter Seven – Extracting the Closest Root of Integer	השער השביעי בלקיחת גדר המספר השלם היותר קרוב אליו
Definition of a square number: Know that the product of every number by itself is called a number that has a root, whereas its root is the number that is multiplied by itself.	תדע כי בכל הכאת חשבון על עצמו הוא הנקרא חשבון נגדר או נשרש באשר גדרו אשר שרשו הוא החשבון הנכפל על עצמו
One versus the integers
For all integers - the product of an integer by itself is greater than the integer itself	ובכל המספרים אשר יהיו שלמים תמצא לעולם כשתכפול המספר על עצמו שיתרבה פ' העולה מאשר היה המספר מתחלה
Except for one - one is not affected or changing when multiplied by itself	חוץ מן המספר האחד כי כשתכה האחד על עצמו לא יקבל שום תמורה וחלוף אך יעלה אחד כאשר היה בתחלה בלתי ריבוי ושינוי
Therefore it is a square as well as the root of itself	ועל כן נאמר שמספר האחד הוא נגדר וגם כן הוא גדר עצמו
Another advantage of one over all other numbers	עוד יש למספר האחד יתרון על שאר המספרים
For all other numbers - the sum of the preceding number and the succeeding number is equal to twice the middle number $\scriptstyle\left(n-1\right)+\left(n+1\right)=2n$	שהנה כל המספרים זולתו שתקח שני קצוותיהם ר"ל המספר שלפניהם והמספר שלאחריהם יהיה המחובר מן שני הקצוות כפל המספר האמצעי
One does not have a preceding extreme, only subsequent extreme - its single extreme is equal to its double $\scriptstyle2=2\sdot1$	ולמספ' האחד הנה אין לו קצה האחד לפניו ועם הקצה שלאחריו בלבד שהוא שנים יספיק לכפלו
These properties are presented as a virtue and superiority of one over all the other numbers	וזהו מעלת ורוממות מעלת האחד על שאר המספרים
There are other virtues of one - but they are not the main issue of the present chapter	ועוד דברים אחרים שאין מקומן להזכירם בזה והנה יצאתי מכוונת השער הזה כאשר הוצרכתי לדבר במעלות מספר האחד ועתה אשוב אל אשר הייתי בתחלה
square numbers
The product of a square by a square is a square	ואומר בענייני הגדרים שאם תכפול ותכה מספר נגדר על מספר נגדר יהיה המספר גם כן מספר נגדר
$\scriptstyle a^2\times b^2=\left(a\times b\right)^2$	וכאשר תרצה לדעת גדרו אינך צריך כי אם לקחת גדרי המספרים אשר הכית וכפלת זה על זה ותכה ותכפול גדר האחד על חבירו וההווה הוא גדר המספר השלישי
$\scriptstyle{\color{blue}{4\times9=2^2\times3^2=\left(2\times3\right)^2=6^2=36}}$	דמיון הנה ארבעה הוא מספר נגדר וגם תשעה והעולה מכפל האחד על חבירו הוא ששה ושלשים והנה הוא גם כן מספר נגדר ואם נבקש לדעת גדרו נקח גדר הארבעה שהוא שנים וכן גדר התשעה שהוא שלשה ונכה אותם זה על זה יעלו ששה והוא המבוקש כי כאשר נכפול ששה על עצמו יהיו ששה ושלשים
Square ranks and non-square ranks
The odd ranks have roots; the even ranks have no root	ותדע כי לעולם מדרגות החשבון הולכות על הסדר הזה זו אחר זו כעניין זה שהראשונה נגדרת והשניה לה אינה נגדרת והשלישית נגדרת והרביעית אינה נגדרת וככה אין קץ
The first number of the units - the number one - is a square number	ורצוני לומר בגדר המדרגות הזה כי כשסתכל המדרגה הראשונה שהיא מדרגת האחדים מספרם הראשון שהוא האחד הוא נגדר כמו שהתבאר במה שקדם
The first number of the tens - the number ten - is not a square number	והמדרגה השנית שהיא מדרגת העשרות מספרם הראשון שהוא עשר בלתי נגדר
The first number of the hundreds - the number one hundred - is a square number	וכן המדרגה השלישית מספרה הראשון שהוא מאה נגדר
The first number of the thousands - the number one thousand - is not a square number	והמדרגה הרביעית מספר הראשון שהוא אלף הוא בלתי נגדר
And so on	ובדרך הזו הולכות המדרגות כלנה
Extracting roots - written procedure
The procedure of extracting root is very complicated, with many aspects, and it cannot be explained through one inclusive rule for all numbers	ודרך מציאת הגדר הנעלם מהמספר הידוע היא עמוקה עד מאד ויש בה צדדים רבים ומדות נחלקות זו מזו ולא אוכל לפרש אותם דרך כלל אחד לכל המספרים
Therefore the author offers various elaborate examples from which an intelligent person is expected to deduce the extraction procedure in other cases	ועל כן אכתוב חשבונות הרבה בלתי דומים זה לזה ואבאר בארוכה בכל אחת מהם דרך להוציא גדרו ומהם יבין כל משכיל ונבון אשר תנוח חכמה בלבו לעשות ככה במספרים אחרים זולתם
$\scriptstyle\sqrt{225}$	הנה שבקשנו לדעת גדר מאתים ועשרי' וחמשה נכתבם על זאת הצורה
0     1 0 0 2 2 5   2 5	0     א 0 0 ב ב ה   ב ה
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{2>1^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2-{\color{blue}{1}}^2=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times1=}}{\color{blue}{2}}\\\end{align}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{12-\left(2\times{\color{blue}{5}}\right)=}}{\color{Orange}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{{\color{Orange}{2}}5-{\color{blue}{5}}^2=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$ 0   $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot2=}}{\color{blue}{1}}}$ 0   1   100 100 225 225 225 225 12   25  15 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle15\ the\ root}}$
	ואחר נמנה מספר המדרגות וראינו שהאחרונה יש לה גדר באשר היא מדרגת שלישית ובעבור זה נתחיל ממנה והנה היא ב' נבקש הגדר היותר קרוב אל ב' ומצאנו א' ונכתבנו תחת הב' ההי' ונסיר הכאתו על עצמו ממנה וישאר עליה א' נכפול הב' שכתבנו תחת הב' פעמים ונכתוב העולה אחורנית תחת המדרגה הקדומה לזו ועל כן נכתוב ב' תחת הב' מהמדרגה האחרונה או נעביר עליה קולמוס לסימן שתהיה נמחקת משם כאלו לא נכתבה
	ואחרי זאת נשים א' הנשארת במדרגה הראשונה להתחלתינו על ב' הקדומ' לה במכתב יהיו שנים עשר נעיין כמה פעמים נוכל להסיר מהם הב' עד שישאר מהם מספר שנוכל להסיר ממנו אחרי כן כמספר העולה מהכאת מספר הפעמי' ההם על עצמו והנה נמצא שיספיק לזה המבוקש אם נסירנה מהם חמש פעמים ותשאר הב' במקומה ונכתוב סיפרא על הא' באשר לא ישאר ממנה כלום ונכתוב תחת המדרגה הראשונה ה' כנגד חמש פעמי ההסרה
	ואחר נכה ונכפול פעמי ההסרה על עצמו ויעלה חמשה ועשרים נסיר אותם מחמשה ועשרים שבטור החשבון הנחקר ונמצא שכלה הכל ולכן נכתוב סיפרא על הה' ועל הב' והנה חדשנו טור אחר תחתיו שהוא ה' ב' נסיר מהב' חציה וישאר ה' א' והוא גדר המספר המבוקש כי אם תכפול ותכה ה' א' על עצמו תמצא שיצא לך ה' ב' ב'
$\scriptstyle\sqrt{925}$	ועוד בקשנו לדעת הגדר היותר קרוב אל המספר הזה שהוא
0     9 2 5   6 0	0     ט ב ה   ו 0
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{\sqrt{9}=3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9-{\color{blue}{3}}^2=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times3=}}{\color{blue}{6}}\\\end{align}}$ 0   $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{2<6}}}$ 0   $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot6=}}{\color{blue}{3}}}$ 0   925 925 925 925 36   60  30 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle30\ the\ root\\&\scriptstyle25\ the\ remainder\\\end{align}}}$
Its last rank has a root, therefore we start from it.	הנה יש למדרגתו אחרונה גדר ולכן נתחיל ממנה
Its root is 3; we write it beneath it.	וגדרה הוא ג' נכתבנה תחתיה
We subtract the 3 it; it is all gone, and nothing is left of it. Therefore we write a zero above it.	ונסיר הכאת הג' ממנה ותכלה ולא תשאר ממנה כלום ולכן נכתוב עליה סיפרא
We multiply the 3 twice, cross it out with a pen and write 6 one rank back.	נכפול הג' פעמים ונעביר עליה קולמוס ונכתוב ו' במדרגה אחת אחורנית
We get the closest root, because now we cannot subtract further 6 from 2 that is above it, and since it is beneath the first rank, we find that the line created is 60.	והנה יצא אלינו הגדר הקרוב כי עתה לא נוכל עוד להסיר ו' מב' אשר על ראשה ומפני זה תחת המדרגה הראשונה ונמצא שהטור שנתחדש הוא סיפרא ו'
We subtract from the 6 its half; 30 remains and it is the required approximate root.	נסיר מהו' חציה וישאר 0' ג' והוא הגדר הקרוב המבוקש
For, if you multiply 30 by itself and put the remainder, which is 25, beneath it in the first line, you get 925.	כי אם תכפול ותכה סיפרא ג' על עצמו ותשים תחתיו הנשאר בטור הראשון שהוא ה'ב' יצא לך ה'ב'ט'
$\scriptstyle\sqrt{7056}$	ועוד בקשנו לדעת גדר שבעת אלפים וחמשים וששה ונכתבם על זו הצורה
0       2 0     6 1 0 7 0 5 6   1 6 4     8	0       ב 0     ו א 0 ז 0 ה ו   א ו ד     ח
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{70>8^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{70-{\color{blue}{8}}^2=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times8=}}{\color{blue}{16}}\\\end{align}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{6-\left(4\times{\color{blue}{1}}\right)=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{25-\left(4\times{\color{blue}{6}}\right)=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{16-{\color{blue}{4}}^2=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$  0   $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot16=}}{\color{blue}{8}}}$  0      20   20  06   0610 0610 7056 7056 7056 7056  86   164  164  1       8  $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle84\ the\ root}}$
The last rank of this number has no root, since it is fourth, therefore we shift it to the zero that precedes it in writing, so it is seventy.	והנה מדרג' המספר הזה האחרונה בלתי נגדרת היא באשר היא רביעית ועל כן נשי' אותה על הסיפרא הקדומה לה במכתב ותהיה שבעים
The root [whose square] is the closest to seventy is 8, whose product by itself is sixty-four.	והגדר הקרוב אל שבעים הוא ח' שעולה הכאתו על עצמו ששים וארבעה
We subtract it from seventy; 6 remains above the zero.	נסיר אותם משבעים ישארו ו' על הסיפרא
We write a zero above the last rank, as nothing is left of it.	ונכתוב סיפרא על המדרגה האחרונה באשר לא נשאר ממנה כלום
For the approximation of seventy, we write 8 beneath the zero that is in the third rank.	וכנגד הקרוב אל שבעים נכתוב ח' תחת הסיפרא שבמדרגת השלישית
Then we multiply the 8 twice; it is sixteen. We write it this way:	אחרי זאת נכפול הח' פעמים תהיה ששה עשר נכתוב אותם על דרך זה
6 for the six beneath the rank that precedes the zero.	ו' כנגד הששה תחת המדרגה הקדומה לסיפרא
1 for the ten beneath the 8, which we cross it out with a pen.	וא' כנגד העשרה תחת הח' ונעביר עליה קולמוס
Afterwards we examine how many times we can subtract the 1 and the 6 from the 6 and the 5 that are above them, so that enough is left of them for the product of the times of subtraction by themselves.	אחרי כן נעיין כמה פעמים נוכל להסיר הא' והו' מהו' והה' אשר על ראשם בכדי שישאר מהם מספר שיספיק למה שיעלה מספר הכאת פעמי ההסרה על עצמם
We find that we can subtract the 1 4 times from the 6 that above it and 2 remains above it.	והנה נמצא שנוכל להסיר הא' ד' פעמים מהו' אשר על ראשה וישאר עליה ב'
Then we subtract the 6 also 4 times that are twenty-four, when we shift the 2 to the 5 that precedes it, so they are twenty-five and 1 remains above the 5.	ואחר נסיר גם כן הו' ד' פעמי' שעולי' עשרים וארבעה כשנשים הב' על הה' שלפניה שיהיו עשרים וחמשה וישאר א' על הה'
We write a zero above the 2, as nothing is left of it.	ונכתוב על הב' סיפרא כאשר לא נשאר ממנה כלום
For the four times of subtraction we write 4 beneath the first rank.	וכנגד ארבע פעמי ההסרה נכתוב ד' תחת המדרגה הראשונה
Then we multiply the 4 by itself; the result is sixteen. We subtract it from the sixteen that is in the line of the examined number and we find that it is all gone.	ואחר נכה הד' על עצמו ויהיה ההווה ששה עשר ונסיר אותם מששה עשר שבטור החשבון הנחקר ונמצא שתכלה הכל
	ולכן נכתוב על הו' ועל הב' סיפראש
	והטור שנתחדש אצלינו הוא ד' ו' א'
	נקח חצי מו' הו' והא' על הדרך הזה
	שנשים א' על הו' ויהיה ששה עשר ויהיה חציין ח' ונכתוב אותה תחת הו' ונמצא שהנשאר הוא ד' ח' והוא גדר המספר המבוקש שהנה אם תכנו ותכפלנו על עצמו יצא לך טור אחד שמספרו שבעת אלפים וחמשים וששה
$\scriptstyle\sqrt{76543}$	ועוד בקשנו לדעת הגדר היותר קרוב אל המספר הזה הנה שהוא
0 3       3 8 6     7 6 5 4 3   4         1 4	0 ג       ג ח ו     ז ו ה ד ג   ד         א ד
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{7>2^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7-{\color{blue}{2}}^2=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times2=}}{\color{blue}{4}}\\\end{align}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{36-\left(7\times{\color{blue}{4}}\right)=}}{\color{green}{8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{8-5=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{55-{\color{blue}{7}}^2=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times7=}}{\color{blue}{14}}\\\end{align}}$ 03    3     386   76543 76543 76543 24     47      14
	הנה המדרגה האחרונה מהמספר הזה היא נגדרת באשר היא חמשית ועל כן נתחיל ממנה והנ' הגדר הקרוב אל ו' הוא ב' נכתבנה תחתיה ונסיר ממנה הכאת הב' על עצמה וישאר על הו' ג' נכפול הב' פעמים ונעביר עליה קולמוס ונכתוב עליה העולה שהוא ד' במדרגה אחת אחורנית תחת הו' שהיא המדרגה הרביעית ואחר כך נשים הג' הנשארת לנו על הז' על המדרגה קדומה לה במכתב יהיו ששה ושלשים נעיין כמה פעמים נוכל להסיר מהם הד' שכתבנו תחת המדרגה הרביעית בכדי שיספיק מה שישאר להסיר ממנו מספר פעמי הכאת ההסרה על עצמו והנה נמצא שלא נוכל להסיר אותה כי אם ו' פעמי העולים עשרים ושמנה נסיר אותם משלשים וששה ישאר על הו' ח' ונכתוב סיפרא על הג' כאשר נעתקה ממקומה וכנגד שבע פעמי ההסרה נכתוב ז' תחת המדרגה השלישית אחרי כן נכה ונכפול ז' על עצמה ויהיה העולה תשע וארבעים נסירם על הדרך הזה ממה שנשאר בטור המספר והנה נקח מהח' הנשארת על המדרגה הרביעית ה' וישאר עליה ג' ונשים הה' על הה' הקדומה לה במכתב שהיא המדרגה השלישית ויהיו חמשים וששה נסיר מהם תשע וארבעים ישארו על הה' ו' אחרי זאת נכפול השבע פעמי ההסרה פעמים ויהיה ארבעה עשר ונעביר הקולמוס על הז' ונכתבם על הדרך הזה ד' כנגד הארבעה תחת הז' אשר העברנו עליה קולמוס וא' כנגד העשר תחת הד' שהיא תחת המדרגה הרביעית ואחר כן נעתיק ממקום אחר מה שנשאר בטור המספר ונעשה ממנו טור אחר לבדו ואחר נכתוב תחתיו מה שנתחדש והנה יהיה טור מה שנותר ג' ד' ו' ג' ונכתוב תחתיו בטור אחר ד' תחת הד' שהיא במדרגה השנית וה' תחת הו' וכל זה הוא מה שנתחדש למעלה והיה יהיה מועתק על זאת הצורה
3 6   0 4 0 7 3 6 4 3   5 4 6	ג ו   0 ד 0 ז ג ו ד ג   ה ד ו
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4+1=}}{\color{blue}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{36-\left(6\times5\right)=6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-2=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{24-\left(6\times4\right)=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-1=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{10-4=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{43-{\color{blue}{6}}^2=}}{\color{green}{7}}\\\end{align}}$  36  $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot54=}}{\color{blue}{27}}}$  36  0407 0407 3643 3643  546  276 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle276\ the\ root\\&\scriptstyle367\ the\ remainder\\\end{align}}}$
	ועתה נשים הג' שבטו' העליון במדרגה האחרונה על הו' הקדומה לה יהיו ששה ושלשים ונכתוב סיפרא על הג' כאשר נעתקה ממקומה ונעיין כמה פ פעמים נוכל להסיר האותיות הטור השפל מהטור העליון בכדי שישאר ממנו אחרי כן מספר שנוכל לומר להסיר ממנו המספר שיעלה מפ מהכאת פעמי ההסרות על עצמם והנה נראה שיספיק לכל זה אם נסיר אותם ששה פעמים בלבד וכשנסיר מהששה ושלשים הה' שש פעמים העולים שלשים תשאר הו' במקומה וגם אחרי זה נסיר הד' הכתובה תחת המדרגה השנית גם כן שש פעמים העולי' ארבעה ועשרים נעשה על הדרך הזה נקח ב' מן הו' וישאר עליה ד' ונשים הב' על הד' הקדומה למדרגה הזאת במכתב ויעלו עשרים וארבע ויסופו ויכלו ונכתוב על הד' סיפרא באשר לא נשאר שם וכנגד שש פעמי ההסרה נכתוב ו' תחת המדרגה הראשונה ונכה הו' על עצמה תעלה ששה ושלשים נסירם ממה שנשאר בטור העליון על דרך זה נסיר מן הד' הנשארת על המדרגה השלישית א' וישאר שמה ג' נשים הא' על הסיפרא אשר על המדרגה השנית הקדומה לה ותהיה שוה עשר נסיר מהם ארבעה וישאר על הסיפרא ו' נשים הארבעה על המדרגה הראשונה יעלו ארבעי' ושלש נסיר מהם הששה ושלשים ישארו ז' על הג' שבמדרגה הראשונה והנה הטור השפל אשר נתחדש הוא ו' ד' ה' נקח חצי הד' והה' ישאר מהם ז' ב' נמצא מה שנשאר אחר כל זה ו' ז' ב' והוא הגדר היותר קרוב אל המספר המבוקש ואם תכפול [ ] ו' ז' ב' על עצמו ותוסיף על כפילתו מה שנשאר בטור העליון שהוא ז' ו' ג' יצא לך טור המספר אשר דרשת גדרו
$\scriptstyle\sqrt{583696}$	ועוד בקשנו לדעת גדר חמש מאות ושמנים ושלשת אלפי' ושש מאו' ותשעים וששה ונכתבנו על זאת הצורה
0           3 6       0 9 9 0     5 8 3 6 9 6     4         1 1 2	0           ג ו       0 ט ט 0     ה ח ג ו ט ו     ד         א א ב
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{58>7^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{58-{\color{blue}{7}}^2=}}{\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times7=}}{\color{blue}{14}}\\\end{align}}$   $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9-\left(6\times{\color{blue}{1}}\right)=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{33-\left(6\times{\color{blue}{4}}\right)=}}{\color{green}{9}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9-3=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{36-{\color{blue}{6}}^2=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times6=}}{\color{blue}{12}}\\\end{align}}$  0        36    09     0990   583696 583696 583696  74     746    1      112
	באשר המדרגה מן המספר הזה הי' בלתי מוגדרת נגדרת צריך לשים את הה' על הח' הקדומה לה במכתב במדרגה חמשית ויעלו חמשים ושמנה והגדר הקרוב אל המספר הזה הוא שבעה שעולה הכאתו על עצמו תשעה וארבעים וכשנסיר אותה מחמשים יעלו [ ] על הח' ט' ונכתוב סיפרא על הה' באשר נעתקה ממקומה וכנגד הגדר הקרוב נכתוב ז' תחת הח' ונכפול הז' הזאת פעמי' ונעביר עליה קולמוס והנה יהיה העולה ארבעה עשר ונכתוב ד' תחת הארבעה תחת הג' שהיא המדרגה הרביעית וא' כנגד העשר תחת הז' אשר העברנו עליה הקולמוס ועתה אנחנו צריכי' לעיין כמה פעמים אנו צ נוכל להסיר הא' והד' ממה שנשאר בטור המספר בכדי שיספיק לנו אחרי כן מהוא להסיר מהמספר מהנשאר מספר הכאת פעמי ההסרה על עצמו והנה נמצא שיספיק לנו אם נסיר אותם ששה פעמים והנה כשנסיר הא' ששה פעמים מהט' הנשארת במדרגה החמשית ישאר עליה ג' וגם יש לנו להסיר הד' ששה פעמים שעולה כפלתם ארבעה ועשרים ונעשה על הדרך הזה נקח הג' הנשארת לנו על הט' ונכתוב סיפרא במקומה ונשים אותה על הג' הקדומה לה במדרגה רביעית ויעלו שלש ושלשים כשנסיר מהם הארבעה ועשרים ישארו על ה' ג' ט' וכנגד שש פעמי' ההסרה נכתוב תחת המדרג' השלישית ו' וכשנכפול ונכה אותם על עצמם יעלו ששה ושלשים וכשנסיר אותם מטור המשפט על הדרך הזה נקח מן הט' הנשארת לנו במדרג' רביעית ג' וישארו עליה ו' נשים זאת הג' על הו' הקדומה לה במדרג' שלישית יעלו ששה ושלשים ויסופו ויתמו כנגד הששה ושלשים שהם כפלת הכאת הו' על עצמה והנה נכתוב סיפרא על הו' באשר לא נשארה ממנה כלום אחרי זאת נכפול הששת פעמי ההסרה פעמים ויהיו שנים עשר ונכתבם על הדרך הזה ב' תחת הו' כנגד השנים ונעביר עליה הקולמוס וא' תחת הד' שאחריה כנגד העשר ואחר כל זה נעתיק במקום אחר מה שנשאר בטור המספר ונעשה ממנו טור אחד לבדו ואחר נכתוב תחתיו מה שנתחדש והנ' יהיה טור מה שנותר ו' ט' 0 ו' ונכתוב תחתיו בטור אחר ב' תחת הט' וה' תחת הסיפרא וא' תחת הו' וכל זה הוא מה שנתחדש למעלה והנ' יהי' המועתק על זו הצורה
0       2   1 0 6 0 9 6 1 5 2 4	0       ב   א 0 ו 0 ט ו א ה ב ד
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4+1=}}{\color{blue}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-\left(4\times1\right)=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{20-\left(4\times5\right)=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9-\left(4\times2\right)=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{16-{\color{blue}{4}}^2=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$ 0 0  $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot152=}}{\color{blue}{76}}}$  36  2 10 2 10 6096 6096 1524  764 $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle764\ the\ root}}$
	ועתה יש לנו לעיין כמה פעמים נוכל להסיר האותיות שכתבנו תחת הטור הראשון ממנו בכדי שיספיק לנו אחרי כן להסי מהנשאר כפל הכאת מספר ההסרות על עצמו והנה נמצא שיספיק לכל זה אם נסירם ארבע פעמים והנה כשנסיר הא' שהיא המדרג' האחרונה מהטור השפל מהו' אשר בטור העליון על ראשה ארבעה פעמי' ישאר עליה ב' וגם כן יש לנו להסיר ארבעה פעמים אשר בטור השפל שעולה כפלתם עשרים מהטור העליון ונעשה על דרך זה נקח ב' הנשארת לנו במדרגה האחרונה מהטור העליון ונשים אותה על הסיפרא הקדומה למדרג' ההיא ויהיו עשרים ויסופו ויכלו בעד העשרים מהכפלה ונכתוב על הב' אשר לקחנו סיפרא באשר נעתקה ממקומה ואחרי זאת נסיר גם כן ארבעה פעמי' הב' שבטור השפל מהט' אשר על ראשה וישאר עליה א' והנה כנגד ארבעה פעמי ההסרה נכתוב תחת המדרגה מהטור העליון ד' וכאשר נכפול ונכה הד' על עצמה יהיה ההוה ששה עשר נסירם מהששה עשר שבטור העליון שהרי נותרה א' על הט' במדרגה השניה והו' שבראשונ' ונמצא שכלה כל הטור העליון ועל כן נכתוב סיפראש על הו' ועל הא' שבראש הט' והטור התחתון אשר נתחדש הוא ד' ב' ה' א' נקח חצי הב' והה' והא' ותהיה ד' ו' ז' והוא הגדר מהמספר המבוקש ואם תכפול ד' ו' ז' על עצמו אני מבטיח לך שיצא מקיבוץ הכפילה ו' ט' ו' ג' ח' ה'
$\scriptstyle\sqrt{824464}$	ועוד בקשנו לדעת גדר המספר הזה שהוא שמנה מאות ועשרים וארבעה אלף וארבעה מאות וששים וארבע ונכתוב אותו על זאת הצורה
0 0       0 1 6 0 0 0 8 2 4 4 6 4   9 1 8 0 8	0 0       0 א ו 0 0 0 ח ב ד ד ו ד   ט א ח 0 ח

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{82>9^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{82-{\color{blue}{9}}^2=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times9=}}{\color{blue}{18}}\\\end{align}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{14-\left(8\times{\color{blue}{1}}\right)=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{64-\left(8\times{\color{blue}{8}}\right)=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{64-{\color{blue}{8}}^2=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	00	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot18=}}{\color{blue}{9}}}$	00
		01		016000		016000
824464		824464		824464		824464
		9180		91808		908

$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle908\ the\ root}}$

	על אשר המדרג' האחרונה מהמספר הזה היא בלתי נגדרת צריך לשים אותה על הב' הקדומה לה במכתב שהיא המדרגה החמשית והנה יהיו שמנים ושנים והגדר היותר קרוב אליהם הוא תשעה כי כפלת הכאתו על עצמו עולה אחד ושמנים והנה כשנסיר אותם מהם תשאר על הב' א' ונכתוב על הח' סיפרא באשר נעתקה ממקומה והנה נכתוב תחת הב' ההיא ט' כנגד תשעה שהם הגדר היותר קרוב ואחר נעביר קולמוס על הט' ונכפול אותה ויהיו שמנה עשר ונכתבם על הדרך הזה א' תחת המדרג' רביעית כנגד העשר וח' כנגד השמנה במדרגה אחת אחורנית ואחרי זאת נכתוב סיפרא תחת המדרגה השנית ואחר נעיין כמה פעמים נוכל להסיר אותיות הטור השפל [ה]מתחדש ממה שנשאר בטור העליון בכדי שישאר שם מספר אחרי זאת שנוכל להסיר ממנו כמספר העולה כפלת פעמי ההסרות על עצמם והנה נמצא שיספיק להסיר אותם שמנה פעמים ונעשה על הדרך הזה נקח הא' הנשארת בטור העליון על המדרגה החמשית ונכתוב עליה סיפרא באשר נעתיקנה ממקומה ונשים אותה על הד' הנשארת במדרגה הרביעה הקדומה לה ויהיו ארבעה עשר נסיר מהם הא' שתחת המדרגה הרביעית שמנה פעמים וישאר על הד' ו' וכן גם כן יש לנו להסיר הח' שתחת המדרגה הרביעית שמנה פעמים שעולה כפלתם ששה וארבעי' שמנה פעמים שעולה כפלתם ששים וארבעה ונעשה על הדרך הזה נקח הו' הנשארת במדרג' הרביעית ונכתוב סיפרא עליה כאשר נעתיקנה ממקומה ונשים אותה על הד' שהיא המדרגה השלישית הקדומה לה ויהיו ששים וארבעה ויכלו ויתמו בעבור הסרת פעמי הח' ונכתוב על הד' באשר לא נשאר ממנה כלום וכנגד שמנה פעמי הסרת האותיות נכתוב תחת המדרגה הראשונה ח' וכאשר נכה ח' פעמים על עצמם יעלו ששים וארבעה נסירם מהששים והארבעה אשר על ראשם בטור המספר כי הנה נשארה עד כה הד' שהיא המדרגה הראשונה והו' שהיא המדרגה השנית ובזה תכלה כל הטור העליונה ועל כן נכתוב סיפראש על הד' ועל הו' והטור שנתחדש הוא ח' 0 ח' א' הוא 0 ט' והוא גדר המספר המבוקש ובחנני בזאת ונסני לכפול ח' 0' ט' על עצמו כי בהכרח יצא לך מקיבוץ הכפלה ד' ו' ד' ד' ב' ח'
$\scriptstyle\sqrt{100}$	ועוד בקשנו לדעת שורש וגדר מאה הנה נכתבנו על זאת הצורה
0     1 0 0   1 0	0     א 0 0   א 0
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{1-{\color{blue}{1}}^2=}}{\color{green}{0}}}$ 0   100 100  1  $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle10\ the\ root}}$
	והנה המדרגה השלישית יש לה גדר ועל כן נתחיל ממנה וידוע כי גדר הא' הוא אחד ולכן נכתוב סיפרא על הא' באשר תכלה כשנסיר ממנה הכאת הגדר על עצמו וכנגד הגדר על * האחד שהוא עצמו נכתוב א' תחת הסיפרא השנית ותהיה שוה שם עשר והוא גדר המספר המבוקש
$\scriptstyle\sqrt{400}$	וכן אם רצינו שורש ארבע מאות נכתבם על זאת הצורה
0     4 0 0   2 0	0     ד 0 0   ב 0
[Illustration of the procedure:] $\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{4-{\color{blue}{2}}^2=}}{\color{green}{0}}}$ 0   400 400  2  $\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\scriptstyle20\ the\ root}}$
	וידוע כי גדר הד' הוא שנים ולכן נכתוב סיפרא על הד' באשר תכלה כלה כאשר נסיר ממנה הכאת הגדר על עצמו וכנגד השנים שהם הגדר נכתוב ב' תחת הסיפרא השנית ותהיה שוה שם עשרים והוא גדר המספר המבוקש
$\scriptstyle\sqrt{4000}$	ואם רצינו לדעת הן הקרוב אל ארבעת אלפים

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{40>6^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{40-{\color{blue}{6}}^2=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times6=}}{\color{blue}{12}}\\\end{align}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4-\left(3\times{\color{blue}{1}}\right)=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{10-\left(3\times{\color{blue}{2}}\right)=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4-1=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{10-{\color{blue}{3}}^2=}}{\color{green}{1}}\\\end{align}}$	0	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{2}\sdot12=}}{\color{blue}{6}}}$	0
				13		13
		04		0441		0441
4000		4000		4000		4000
		62		623		63
		1		1

$\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle63\ the\ root\\&\scriptstyle31\ the\ remainder\\\end{align}}}$

נעשה על זה הדרך הנה המדרגה הרביעית היא בלתי נגדרת לפיכך נשים הד' על הסיפרא הקדומה לה ותהיה ארבעים והמרובע הקרוב אליהם הוא ששה כי כפלת הכאתו על עצמו תהיה שלשים וששה והנה ישארו ד' על הסיפרא השלישית ונכתוב סיפרא על הד' שהייתה במדרגה הרביעית כאשר נעתקה ממקומה וכנגד ששה שהוא הגדר היותר קרוב נכתוב ו' תחת הסיפרא השלישית אחרי זאת נכפול הו' פעמים ונעביר עליה קולמוס והנה יהיה ההווה שנים עשר ונכתוב ב' כנגד השנים תחת הסיפרא השניה וא' כנגד העשר תחת הו' אשר העברנו עליה קולמוס וכאשר נעיין כמה פעמים נוכל להסיר הב' והא' ההמה מהנשאר למעלה מן הטור נמצא שיספיק לנו בשלשה פעמים ונעשה בדרך הזה נסיר הא' שתחת הסיפרא השלישית שלשה פעמים מהד' הנשארת על ראשה וישאר במקומה א' וכן יש לנו להסיר הב' ג' פעמי' שעולה כפלתם ששה ונעשה בדרך הזה נקח הא' הנותרת במדרגה השלישית ונשי' אותה על הסיפרא השנית ותהיה שוה עשר נסיר מהם הששה ישארו שם ארבעה ונכתוב סיפרא על הא' שהייתה על המדרגה השלישית כי נעתקה ממקומה וכנגד שלשה פעמי ההסרה נכתוב תחת הסיפרא שבמדרגה ראשונה ג' וכאשר נכפול ונכה אותה בעצמה יהיה ההווה תשעה נסיר אותם מהטור העליון בדרך זה נקח א' מן הד' הנותרים במדרגה השנית וישארו עליה ג' ונשים הא' על הסיפרא הקדומה למדרגתה ותהיה שוה עשר נסיר מהם תשעה ישאר על הסיפרא ההיא א' והטור אשר נתחדש הוא ג' ב' א' וחצי ב' א' הוא ו' ונמצא שתהיה הגדר הקרוב המבוקש ג' ו'

These examples are enough to deduce the extraction procedure for other cases in the same way

ובדרכי כל אלו החשבונות הרבים שהזכרתי והארכתי הביאור בהם בכל אחד למצוא גדרו או הקרוב אליו יספיק לך לעשות באחרים זולתם כתבניתם אשר אתה מראה אם חכם אם נבון אתה

Chapter Eight – Proportions	השער השמיני במערכת חשבון מחשבון אחר
Definition of finding the relation = method of finding a number whose relation to a given number is equal to the relation of the same given number to another given number	כוונת ההערכה הזאת היא לבאר כשיהיו לנו שני חשבונות ידועים או יותר באזה דרך נוכל לחדש חשבון אחר שיהיה ערכו אל אחד מהם כערך האחד ההוא אל חבירו
There are four kinds of relations:	ותדע כי מלאכת השער הי' נחלקת לארבעה חלקים
1) Rule of Three $\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3$	החלק האחד הוא על דרך זה כשיהיו נודעי' לנו שני חשבונות ונרצה לחדש ולמצוא חשבון שלישי שיהיה ערכו אל אחד מהם כערך אחד מהם אל חבירו
$\scriptstyle4:6=6:x$	המשל בזה כגון שנדע חשבון ארבעה וששה
$\scriptstyle{\color{blue}{6:4=\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot4\right]:4}}$	ובידוע כשנערוך חשבון ששה על חשבון ארבעה יהיה כמוהו ומחציתו
$\scriptstyle a_3=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6^2}{4}=\frac{36}{4}=9}}$	ואם נרצה לחדש חשבון שלישי שיהיה ערכו אל ששה כערך הששה אל הארבעה נעשה על הדרך הזה נקח חשבון הששה שהוא אמצעי בין החשבון הראשון הידוע ובין השלישי הנעלם ונכפול ונכה אותו על עצמו ויהיה העולה ששה ושלשים נחלק אותם על החשבון הראשון הנודע שהוא ארבעה ומצאנו בהם תשע פעמים והנה תשעה ערכם אל ששה כערך ששה אל ארבעה
$\scriptstyle a_1=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_3}$	ואם ידענו החשבון האמצעי והחשבון האחרון והנעלם ממנו החשבון הראשון נכפול גם כן האמצעי על עצמו ונכפול ונחלקנו על החשבון האחרון הנודע והיוצ' בחילוק הוא החשבון הראשון
$\scriptstyle x:6=6:9$	ולפי זה כשנדע חשבון הששה והתשעה ולא נדע הארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6^2}{9}=\frac{36}{9}=4}}$	נכפול הששה על עצמם ונחלקם על התשעה הנודעי' ונמצאנו בו ארבעה פעמים והנה הארבעה הוא החשבון המבוקש
$\scriptstyle a_2=\sqrt{a_1\sdot a_2}$	ואם ידענו החשבון הראשון והשלישי ונעלם ממנו החשבון האמצעי נכפול ונכה השני חשבונות הנודעי' זה על זה ונקח גדר העולה וכמספר הגדר הוא החשבון האמצעי המבוקש
$\scriptstyle4:x=x:9$	ועל הדרך הזה כשנדע חשבון הארבעה והתשעה ונעלם ממנו האמצעי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}=6}}$	נכפול ארבעה על תשעה ויעלו ששה ושלשים וגדרם הוא ששה והוא החשבון האמצעי הנדרש
2) Rule of Four $\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4$	החלק השני כשיהיו לנו שלשה חשבונות מספרים נודעים ונרצה לחדש חשבון רביעי שיהא ערכו אל השלישי כערך הראשון אל השני
$\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}$ $\scriptstyle6:10=3:x$	כגון שנדע החשבונות האלה השלשה ששה ועשר ושלשה ונבקש לעשו' למצוא חשבון שיהיה ערכו אל השלשה כערך עשרה אל הששה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot3}{6}=\frac{30}{6}=5}}$	ונעשה ככה נכפול העשרה וחשבון השלשה זה על זה ושניהם נקראים אמצעיים לפי שהם נתוני' בין החשבון הראשון הנודע ובין החשבון הרביעי הנעלם וההוה הוא שלשים נחלקנו על החשבון הראשון הנודע שהוא ששה ונמצאנו בו חמשה פעמים והנה חמשה הוא החשבון המבוקש כי כערך ששה אל עשרה כן ערך ששה אל חמשה
$\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}$	וכן אם נדע החשבונות האמצעיים והחשבון הרביעי ונעלם ממנו החשבון הראשון נכפול האמצעיים זה על זה ונחלק ההוה על החשבון הרביעי הנודע והיוצא בחילוק הוא המבוקש
$\scriptstyle a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}$ $\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}$	ואם יעלם ממנו אחד מהשנים האמצעיים נכפול החשבון הראשון והרביעי אלו על אלו ונחלק ההוה על האמצעי הנודע והיוצא בחילוק הוא החשבון האמצעי הנעלם
3) Arithmetic proportion $\scriptstyle a_2-a_1=a_3-a_2$	החלק השלישי כשנרצה לכתוב ולחקוק חשבונות רבים מרחק אחד שוה למרחק חבירו
1; 2; 3; 4	כגון א'ב'ג'ד‫'
2; 4; 6	או ב'ד'ו' וכיוצא באלו
This kind is clear and explained - thus, there is no need to elaborate on that	והחלק הזה דרכו גלוי ומבואר ואין צריך עוד להאריך בו
4) Harmonic proportion $\scriptstyle a_1:a_3=\left(a_2-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)$	החלק הרביעי
$\scriptstyle3;\ 4;\ 6\longrightarrow3:6=1:2=\left(4-3\right):\left(6-4\right)$	על אופן שלש אותיות אלו שהם ג'ד'ו' שערך ג' אל ו' כערך המרחק שמשלשה עד ארבעה אל המרחק שמארבעה ועד ששה שהנה מרחק ג' מד' אחד ומרחק ד' מו' שנים וכערך אחד אל השנים כן ערך הג' אל הו'
$\scriptstyle a_2=2\sdot\frac{a_1\sdot a_3}{a_1+a_3}$	וכאשר נדע האות הראשונה והאחרונה ונעלמת ממנו האות השנית נכפול האחת על חברתה ונחלק העולה על המחובר משתיהן והיוצא בחילוק נכפלנו והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\frac{3\sdot6}{3+6}=2\sdot\frac{18}{9}=2\sdot2=4}}$	ועל דרך הזאת כשנדע הג' והו' ונרצה לדעת האמצעית נכפול ג' על ו' יהיו שמנה עשר נחלקנו על המחובר משתיהן שהוא ט' נמצאנו שם שני פעמים נכפלם יהיו ארבעה וככה הוא האות האמצעי להיות ד‫'
$\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_2}{a_1-\left(a_2-a_1\right)}$	ואם נדע האות הראשונה והאמצעית ולא נדע האחרונה נכפול הראשונה על השניה שהיא אמצעית בין הראשונה הידועה ובין האחרונה הנעלמת והעולה נחלקנו על האות הראשונה הידועה אחר אשר נסיר ממנה העולה מהכאת המרחק שבין הראשונה לאמצעית על עצמו והיוצא מהחילוק הוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot4}{3-\left(4-3\right)}=\frac{12}{3-1}=\frac{12}{2}=6}}$	ולפי זה כשנדע הג' והד' ונעלמת ממנו הו' נכפול הג' על ד' יהיו שנים עשר נחלקם [ ] על הג' אחרי אשר נסיר ממנה הכאת המרחק שבינה ובין הד' על עצמו והנה הוא אחד נסיר אותו מהג' ישאר ממנה ב' ונמצא ב הב' הזאת ו' פעמים בשנים עשר וככה היא האות השלישית האחרונה ו‫'
$\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_3+\left(a_3-a_2\right)}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot6}{6+\left(6-4\right)}=\frac{24}{6+2}=\frac{24}{8}=3}}$	ואם ידענו הד' והו' ולא ידענו הג' נעשה בדרך זה נכפול הג' [הד'] על הו' ויהיו ארבע ועשרים נחלקם על המחובר מהאות השלישית עם המרחק שבין הד' ובינה יהיו שנים וכשנחברם אל הששה יהיו שמנה וכשנחלק הארבע ועשרים עליהם ‫יצא לנו החלוק ג' פעמים וכן הוא משפט האות הראשונה להיות ג‫'
From these four kinds of proportions it is possible to find all the proportions of numbers	ובאלו החלקים הארבעה המבוארים תוכל להבין ולהוציא כל ערכי החשבונות שתמצא כאשר התבאר בארוכה ענין כל חלק וחלק

Chapter Nine – On Knowing the Fractions of Integer, whether in Multiplication, in Division, in Addition, or in Subtraction	השער התשיעי בידיעת חלקי השבר מן השלם בין בכפל בין בחלוק או בחבור או במגרעת
Introduction
Know that the product of fractions by themselves or by other fractions is less than their sum. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}<\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}}$	תדע באמת כי כפילת הכאת השברים על עצמם או על שברים אחרים זולתם פחותה ממחברתם
For, when we say: multiply a quarter by a quarter, it is as if we say: take a quarter of the quarter, which is one part of sixteen of the whole.	כי כאשר נאמר כפול והכה רביע על רביע הרי זה כאלו נאמר קח רביע הרביע שהוא חלק מששה עשר חלקים בשלם
And, if we say: add a quarter to a quarter, the sum is one half of a whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{16}<\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}}$	ואם נאמר חבר רביעית עם רביעית יהיה המחובר חצי שלם אחד
This rule of fractions is opposite to the rule of integers, since [the integers] increase when they are multiplied by themselves, or by others, more than they are increased by their summing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n+m<n\times m}}$	ומנהג השברים הזה הפך מנהג השלמים כי הם יתרבו כאשר יו[כ]ו ויוכפלו על עצמם או על זולתם יותר משלא תרבה אותן מחברתן
On the other hand, this [rule of fractions] is somewhat similar to the rule of the unit, that if we multiply it by itself the result is only one, while its sum with itself is two. $\scriptstyle{\color{blue}{1\times1<1+1}}$	ואולם הם דומים למנהג מעשה האחד השלם במקצת שאם נכפלנו ונכנו בעצמו לא יעלה כי אם אחד ומחברתו עם עצמו תהיה שנים
Therefore, the number two is mean between all the other [integers] and [one and the fractions], since the sum of two with itself and its product by itself are both equal to four. $\scriptstyle{\color{blue}{2+2=2\times2=4}}$	ולזאת הושמו השנים אמצעיים בין שאר כל המספרים וביניהם ‫כי מחברת השנים [עם] עצמן וכפלת הכאתן בעצמן הכל עולה בשוה ארבעה המחברת כמו הכפילה
Operations with fractions
In order that the practice in this chapter will be clear and known for all by elaborate explanation, I write various calculations of operations with fractions, from which the procedure in other cases can be known and learned.	ובעבור אשר תהיה מלאכת השער הזה גלויה ומפורסמת לכל בביאור רחב אכתוב מדרכי השברים חשבונות רבים עד שיודע וילמד [מהם לעשות] ככה באחרים זולתם
Multiplication of fractions
Introduction
I shall start with their multiplication method, after I write a short introduction that needs to be clarified for the purpose of this craft.	והנני מתחיל בדרך כפילת הכאתן אחר כי אכתוב מעט הקדמה שאני צריך לבאר אותה לצורך המלאכה הזאת
I say here that the proper method for dealing with fractions is to find their common denominator, I mean to take an integer that has whole parts that are the same as the denominators that are needed.	ואומר בזה כי הדרך הישר בשברים לקחת בהם מדומה רצוני לומר שיקח חשבון שלמים שימצאו בו חלקים שלמים כפי מספר השברים אשר יצטרך
The method of finding the common denominator:	וככה הוא לקיחת המדומה
When we want to find a number that has these fractions that are half, third, quarter, and one part of eleven:	כשנרצה למצוא בו חשבון שיהיו בו שברים אלו שהם מחצית ושלישית ורביעית וחלק אחד מאחד עשר
Every scholar understands that the smallest of all numbers, in which we can find a half that is whole, is two, therefore we take two for the half.	והנה כל משכיל יבין כי החשבון הקדום שבכל החשבונות שנוכל למצוא בו חצי שתהיה שלימה הוא שנים ועל זה נקח בעבור המחצית שנים
As the half is derived from two, the third is derived from three, therefore we take three for it.	וכמו שהמחצית יוצאת משנים כן תצא השלישית משלשה ולכן נקח בעבורה שלשה
When we multiply two by three, it is six; so six is the smallest number that has a half and a third of the integers.	וכשנכפול השנים בשלשה יהיו ששה והנה ששה הוא חשבון ‫הקרוב שיהיה בו מחצית ושלישית משלמים
When we multiply six by four, for the quarter that is derived from it, the result is twenty-four.	וכשנכפול הששה בארבעה בעבור הרביעית אשר תצא מהם יהיה העולה מהם עשרים וארבע
When we multiply it by eleven, for the other part that derived from it, the result is two hundred and sixty-four, and this is the common denominator that is required, for it has a half, third, quarter, and one part of eleven. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot11=6\sdot4\sdot11=24\sdot11=264}}$	וכשנכפול אותם באחד עשר כנגד החלק האחר שהוא מהם יהיה העולה מהם מאתים ושישים וארבעה והנה [והוא]‫ החשבון המדומה המבוקש כי יש לו מחצית ושלישית ורביעית וחלק מהאחד עשר
The same for all the others.	וכמוהו לכל האחרים זולתו
Multiplication of fractions by fractions
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\sdot\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}{\left(b\sdot d\right)^2}}}$
We wish to multiply four fifths by four fifths $\scriptstyle\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}$	בקשנו לכפול ארבע חמישיות בארבע חמישיות
It is known that the fifth is derived from five, which is the denominator, and its product by itself is twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot5=25}}$	בידוע כי החמישית תצא מחמשה והוא המדומה והכאתו בעצמו עולה עשרים וחמשה
We multiply the number of the fifths, which is four, by itself; it is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}$	ונכפול מספר החמישיות שהוא מספר ארבע בעל עצמו ויהיה ששה עשר
The ratio of sixteen to twenty-five, which is the product of the denominator by itself, is three-fifths and a fifth of a fifth, and so is the ratio of their product to the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}=\left(\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}\right):1=16:25=\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	והנה ערך ששה עשר אל חמש ועשרים שהוא העולה מהכאת המדומה בעצמו שלש חמישיותיו וחמישית חמישית וככה הוא ערך היוצא מכפלתם אל השלם
We wish to multiply two quarters by three quarters $\scriptstyle\frac{2}{4}\times\frac{3}{4}$	בקשנו לכפול ולהכות שתי רביעיות על שלש רביעיות
The denominator of the quarter is four, because it is derived from it, and its product by itself is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}$	מדומה הרביעית הנה הוא ארבעה כי ממנו תצא והכאתו על עצמו עולה ששה עשר
When we multiply the two quarters by three, the result is six. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	וכאשר נכפול השתי רביעיות בשלש ‫יהיו ששה
Its ratio to the product of the denominator is a quarter and two-quarters of a quarter, and so is the ratio of their product to the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{3}{4}=\left(\frac{2}{4}\times\frac{3}{4}\right):1=6:16=\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	ערכם אל הכאת המדומה רביעיותו בארבע חמישיות הנה המדומה ושתי רביעיות רביעת אחת וככה הוא ערכם אל השלם
We wish to multiply three quarters by four fifths. $\scriptstyle\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}$	בקשנו לכפול שלש רביעיות בארבע חמישיות
The denominator of the quarter is four and the denominator of the fifth is five; the product of the one by the other is twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}$	הנה מדומה הרביעית ארבעה ומדומה החמישית חמשה וכפלת האחד על חבירו תהיה עשרים
Now, we multiply the number of the three-quarters by the number of the four-fifths; it is twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}$	ועתה נכפול מספר השלש רביעיות במספר הארבע חמישיות יהיו שנים עשר
The ratio of twelve to twenty, which is the product of one denominator by the other, is three-fifths, and this is the product of these mentioned fractions by each other - three-fifths of the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=12:20=\frac{3}{5}}}$	וערך שנים עשר אל עשרים שהוא העולה מכפלת המדומה האחד על חבירו הוא שלש חמישיותיו וככה הוא העולה מכפילת השברים הנזכרים אלו על אלו שלש חמישיות השלם
Or, if we want, we operate in a different method:	או אם נרצה נעשה בדרך אחרת
We take one denominator for both by multiplying four by five; it is twenty and this is their common denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}$	נקח מדומה אחד לשניהם ונכפול הארבעה בחמשה יהיו עשרים והוא המדומה לשניהם
Its 3-quarters is fifteen. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot20=15}}$	והנה ג' רביעיותיו הם חמשה עשר
Its four-fifths is sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot20=16}}$	וארבע חמישיותיו הם ששה עשר
We multiply one by the other; it is two hundred and forty. $\scriptstyle{\color{blue}{15\sdot16=240}}$	נכפול אלו על אלו יהיו מאתים וארבעים
We multiply the denominator, which is twenty, by itself; it is four hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{20\sdot20=400}}$	נכה המדומה שהוא עשרים ונכפול אותו על עצמו ויהיו ארבע מאות
We take the ratio of two hundred and forty to it and we find that as the ratio of twelve to twenty so is the ratio of two hundred and forty to four hundred and this is the same. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=240:400=\frac{12}{20}}}$	נעריך המאתים וארבעים אליהם ונמצא כי כערך שנים עשר אל ארבעה עשרים כן ערך מאתים ‫וארבעים אל ארבע מאות שוה בשוה והכל אחד
$\scriptstyle\frac{5}{7}\times\frac{7}{8}$	בקשנו לכפול חמש שביעיות בשבע שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot8=56}}$	ידוע כי מדומה השמינית הוא שמונה והשביעית שבעה וכאשר נכה ונכפול אותם זה על זה יהיו חמשים וששה
$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}$	ואחר כן נכפול מספר החמש שביעיות במספר השבע שמיניות ויעלו ל"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\times\frac{7}{8}=35:56=\frac{5}{8}=\frac{4}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	וערכם אל חמישים וששה חמש שמיניניותיו או נוכל לומר שהם ארבע שביעיותיו ושלשה שמינית שביעית
	ובדרך האחרת הנה המדומה האחד לשניהם הוא ששה וחמישים
Its five-sevenths is forty. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\sdot56=40}}$	וחמש שביעיותיו הם ארבעים
Its seven-eighths is forty-nine. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}\sdot56=49}}$	ושבע שמיניותיו תשע וארבעים
Their product by each other is one thousand, nine hundred and sixty. $\scriptstyle{\color{blue}{40\sdot49=1960}}$	וכפלתים זה על זה היא עולה אלף ותשע מאות וששים
The product of the denominator by itself is three thousand, one hundred and thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{56\sdot56=3136}}$	והכאת המדומה על עצמו עולה שלשת אלפים ומאה ושלשים וששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\times\frac{7}{8}=1960:3136=\frac{35}{56}}}$	ותמצא כאשר נעריך אליהם האלף ותשע מאות ושישים שיהיה מערכתם שוה למערכת שלשים וחמש אל חמישים וששה
Both ways are proper	ושני הדרכים האלה כאחד טובים
$\scriptstyle\frac{4}{5}\times\frac{3}{13}$	בקשנו לכפול ארבע חמישיות על שלשה חלקים משלשה עשר בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot13=65}}$	הנה מדומה החמישיות ‫חמשה ומדומה החלקים משלשה עשר הוא שלשה עשר וכפלתם ששים וחמש
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=12}}$	וכאשר נכפול מספר הארבע חמישיות על מספר השלשה חלקים יהיו שנים עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{3}{13}=\frac{12}{65}=\frac{2}{13}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{13}\right)=\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	והנה שנים עשר חלקים מששים וחמש בשלם ונוכל לקחת אותם שני חלקים משלשה עשר ועוד שתי חמישיות חלק או נקראם חמישית אחת שלמה פחות ממנה חלק אחד משלשה עשר בה
	ובדרך האחרת ידוע כי המדומה לשניהם הוא שישים וחמש
Its four-fifths is fifty-two. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot65=52}}$	וארבע חמישיותיו המה חמשים ושתים
Its three parts of thirteen is fifteen. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{13}\sdot65=15}}$	ושלשת חלקי מהשלשה עשר המה חמשה עשר
Their product by each other is seven hundred and eighty. $\scriptstyle{\color{blue}{52\sdot15=780}}$	וכפילתם מזה על זה הם שבע מאות ושמנים
The product of the denominator by itself is four thousand, two hundred and twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{65\sdot65=4225}}$	והכאת המדומה על עצמו היא ארבעת אלפים ומאתים ועשרים וחמש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{3}{13}=780:4225=\frac{12}{65}}}$	וכאשר נערוך אליהם השבע מאות נמצא שיהיה ערכם שוה לערך שנים עשר אל שישים וחמש והכל אחד
$\scriptstyle\frac{9}{15}\times\frac{11}{17}$	בקשנו לכפול תשע חלקים מחמשה עשר בשלם על אחד עשר עשר חלקים משבעה עשר בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{15\sdot17=255}}$	לקחנו מדומה האחד העשר והשני שבעה עשר ‫כפלנום זה על זה עלו מאתים וחמישים וחמש
$\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot11=99}}$	כפלנו גם כן התשע חלקים על האחד עשר היו תשעים ותשע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{15}\times\frac{11}{17}=99:255=\frac{6}{17}+\left(\frac{9}{15}\sdot\frac{1}{17}\right)=\frac{5}{15}+\left(\frac{14}{17}\sdot\frac{1}{15}\right)}}$	וערכם אל מאתים וחמישים וחמש ששה חלקים משבע עשרה בשלם ועוד תשע חלקים מחמשה עשר בחלק אחד מהם וככה הם מהשלם או נוכל לקחת אותם חמשה חלקים מחמש עשרה בשלם ועוד ארבעה עשר חלקים משבע עשרה בחלק אחד מהם
	ובדרך האחרת המדומה לשניהם הוא מאתים וחמשים וחמש
Its nine parts of fifteen is one hundred and fifty-three. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{15}\sdot255=153}}$	ותשע חלקיו מחמשה עשר הם מאה וחמשים ושלשה
Its eleven parts of seventeen is one hundred and sixty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{17}\sdot255=165}}$	ואחד עשר חלקיו משבע עשרה הם מאה וששים וחמש
We multiply one by the other; the result is twenty-five thousand, two hundred and forty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{153\sdot165=25245}}$	כפלנו החשבון האחד על חבירו עלו עשרים וחמש אלף ומאתים וארבעים וחמשה
We multiply also the denominator by itself; the result is sixty-five thousand and twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{255\sdot255=65025}}$	וגם הכינו וכפלנו המדומה על עצמו עלה ששים וחמש אלף ועשרים וחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{15}\times\frac{11}{17}=25245:65025=\frac{99}{255}}}$	וכאשר נערוך אליהם העשרים וחמש אלף ומאתים וארבעים וחמשה נמצא שערכם אליהם כערך תשעים ותשע אל המדומה לא פחות ולא יותר
$\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\times\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)$	בקשנו לכפול שתי שלישיות מרביעית חמישית על שש ‫שביעיות שמינית
This example is more complicated than the others, because there are more fractions involved	המבוקש הזה הוא קשה להוציאו מכל האחרים הנזכרי' באשר נשבריהם רבים ואכין לך הדרך למצוא אותו בנקלה
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5=12\sdot5=60}}$	הנה כאשר נקח שלשה בעבור השלישית היוצא ממנו ונכפלנו בארבעה באשר תצא ממנו הרביעית יהיה שנים עשר נכפול אותם בחמשה בעבור החמישית יהיו ששים וזהו המדומה שתמצא בו שלישית ורביעית וחמשית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{\frac{2}{3}\sdot\left[\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)\right]}{60}=\frac{\frac{2}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}{60}=\frac{\frac{2}{3}\sdot3}{60}=\frac{2}{60}}}$	והנה חמשיתו שנים עשר ורביעיתם שלשה ושתי שלישיתם שתים ואנחנו רואים ויודעים בבירור כי השתי שלישיות מרביעית חמשית הם שני חלקים מששים בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot8=56}}$	נקח גם כן מדומה שיהיה בו שביעית ושמינית ויהיה זה חמשים וששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{8}=\frac{\frac{6}{7}\sdot\left(\frac{1}{8}\sdot56\right)}{56}=\frac{\frac{6}{7}\sdot7}{56}=\frac{6}{56}}}$	ושמיניתו שבעה ושש שביעיותיהם ששה והששה האלו הם חלקים מחמשים וששה בשלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\times\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)=\frac{2}{60}\times\frac{6}{56}=\frac{2\sdot6}{60\sdot56}=\frac{12}{3360}=\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}}}$	והרי מבוקשינו הוא כמו אם אמרנו לכפול שני חלקים מששים על ששה חלקי' מחמשים וששה על כן נכפול המדומה האחד על חבירו ויהיו שלשת אלפים ושלש מאות וששים וכאשר נכפול השני חלקים על הששה יהיו שנים עשר והנה ערכם אל מספר הכאת המדומה האחד על חבירו חמשית שמינית שביעיתו
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left[\frac{1}{8}\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot3360\right)\right]=\frac{1}{5}\sdot\left(\frac{1}{8}\sdot480\right)=\frac{1}{5}\sdot60=12}}$	כי שביעי מספר ההכאה הם ארבע מאות ושמנים ושמיניתם ששים והשנים עשר הם חמשית ששים [ ]
This can be solved also by using one common denominator for both products	וגם כן תוכל למצא אותו בדרך אחרת לקחת מדומה אחד לשניהם ואתה תבין לעשות בחכמתך כאשר אתה רואה במבוקשים הקדומים
	עד הנה בארתי וכללתי דרך הכאת כפלת השברים על עצמם או על שברים אחרי' זולתם
	ועתה אבאר דרך כפלת שברים על שלמים או שלמים ושברים על שברם לבדם בין שיהיו השברים ממין אחד או משני מינין או כפלת שברים שלמים ושברים על שלמים ושברים בין שהשברים הם ממין אחד או משני מינין וזה לך ביאורם

Multiplication of integers by fractions	דמיון לכפלת שלמים על שברים
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n\times\frac{a}{b}=\frac{n\sdot a}{b}}}$
$\scriptstyle5\times\frac{4}{6}$	רצינו לכפול חמשה שלמים בארבע ששיות
$\scriptstyle{\color{blue}{5\times\frac{4}{6}=\frac{5\sdot4}{6}=\frac{20}{6}=3+\frac{2}{6}=3+\frac{1}{3}}}$	הנה מדומה הששיו' הוא ששה נכפול מספר החמשה שלמים במספר הארבע הששיות יהיה עשרים נחלקם על המדומה יעלו שלשה שלמים ושתי ששיו' אחד שהם שלישיתו
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n\times\frac{a}{b}=\frac{\left(n\sdot b\right)\sdot a}{b^2}}}$	ונוכל למצוא זה בדרך אחרת
$\scriptstyle{\color{blue}{5\times\frac{4}{6}=\frac{\left(5\sdot6\right)\sdot4}{6\sdot6}=\frac{30\sdot4}{6\sdot6}=\frac{120}{6}\sdot\frac{1}{6}=\frac{108+12}{6}\sdot\frac{1}{6}=3+\frac{2}{6}}}$	נכפול המדומה שהוא ששה על מספר השלמים שהם ששה ויהיו שלשים נכפול אותם על ארבע הששיות ויהיו מאה ועשרים ששיות ששית והמאה והשמנה מהם הם שלשה שלמים והשנים עשר הנשארים הם שני ששיות
Both ways lead to the same answer	ונמצא שני הדרכי האלה יוצאות אל כוון אחד

Multiplication of integers and fractions by fractions of one type	דמיון לכפלת שלמים ושברים על שברים לבדם שהם ממין אחד
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\frac{c}{b}=\frac{\left[\left(n\sdot b\right)+a\right]\sdot c}{b^2}}}$
$\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\frac{3}{5}$	רצינו לכפול שלשה שלמים וארבע חמשיות על שלש חמשיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\frac{3}{5}&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot5\right)+4\right]\sdot3}{5\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{\left(15+4\right)\sdot3}{5\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{19\sdot3}{5\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{57}{5}\sdot\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=2+\left(\frac{7}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}$	לקחנו מדומה החמשיות חמשה כפלנו אותם על השלשה שלמים יהיו חמשה עשר חמשיות נוסיף עליהם הארבע חמשיות ויהיו תשעה עשר חמשיות נכפול אותם על השלש חמשיות יהיו חמשים ושבע חמשיות חמשית והחמשים מהם הם שני שלמים והשבע חמשיות חמשית הנשארות הן הם חמשית אחת ושתי חמשיות חמשיות
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\frac{c}{b}=\frac{n\sdot c}{b}+\frac{a\sdot c}{b^2}}}$	דרך אחרת
$\scriptstyle{\color{blue}{3\times\frac{3}{5}=\frac{3\sdot3}{5}=\frac{9}{5}}}$	נכפול מספר השלש שלמים על מספר שלש החמשיות ויהיו תשעה חמשיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{4\sdot3}{5\sdot5}=\frac{12}{5}\sdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	וכשנכפול גם כן הארבע חמשיות על השלש חמשיות יהיו שנים עשר חמשיות חמשית שהם שני חמשיות שלמות ושתי חמשיות חמשית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\frac{3}{5}&\scriptstyle=\frac{9}{5}+\frac{2}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{11}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}$	ותשע חמשיות שיש לנו הנה בין כלם אחד עשר חמשיות חמשית שהן שני שלמים וחמשית אחת ושתי חמשיות חמשית כאשר מצאנו בראשונה

Multiplication of integers and fractions by fractions of different types	דמיון לכפול שלמים ושברים על שברים לבדם שאינם ממין אחד
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\frac{c}{d}=\frac{\left[\left(n\sdot b\right)+a\right]\sdot c}{b\sdot d}}}$
$\scriptstyle\left(4+\frac{2}{5}\right)\times\frac{3}{4}$	רצינו לכפול ארבעה שלמים ושתי חמשיות על שלש רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{2}{5}=\frac{\left(4\sdot5\right)+2}{5}=\frac{20+2}{5}=\frac{22}{5}}}$	נקח מדומ' החמשיות חמשה ונכפול אותו על הארבעה שלמים ויהיו עשרי' חמשיות נוסיף עליהם השתי חמשיות ויהיו עשרי' ושתים חמשיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22}{5}\sdot\frac{3}{4}=\frac{22\sdot3}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{66}{4}\sdot\frac{1}{5}}}$	נכפול אותם על השלש רביעיות יהיו ששים ושש רביעיות חמשית
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}$	והנה מדומה הרביעיות הוא ארבעה נכנו על המדומה החמשיות יהיו עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{2}{5}\right)\times\frac{3}{4}=\frac{66}{20}=3+\left(\frac{6}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=3+\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	נחלק עליהם הששים ושש רביעיות ונמצאם שם שלשה פעמים והם שלשה שלמים ועדנה נשארו שם ששת רביעיות חמשית שלא נתחלקו שהם רביעית אחת חמשית אחת ושתי רבעיות חמשית
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\frac{c}{d}=\frac{n\sdot c}{d}+\frac{a\sdot c}{b\sdot d}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\frac{3}{4}=\frac{4\sdot3}{4}=\frac{12}{4}=3}}$	ובדרך האחרת נכפול הארבע שלמים על שלשת הרביעיות ויהיו שנים עשר רביעיות שהם שלשה שלמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot\frac{3}{4}=\frac{2\sdot3}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{6}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ואחר נכפול השתי חמשיות על השלש רביעיות ויהיו ששה רביעיות חמשית שהיא חמשית אחת שלימה ושתי רביעיות חמשי' כאשר מצאנו בתחלה

Multiplication of integers and fractions by integers and fractions of one type	דמיון לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים ששבריהם ממין אחד
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\left(m+\frac{c}{b}\right)=\frac{\left[\left(n\sdot b\right)+a\right]\sdot\left[\left(m\sdot b\right)+c\right]}{b^2}}}$
$\scriptstyle\left(2+\frac{3}{4}\right)\times\left(3+\frac{2}{4}\right)$	רצינו לכפול שני שלמים ושלש רביעיות על שלשה שלמים ושתי רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)+3=8+3=11}}$	הנה מדומה הרביעית הוא ארבע על כן נכפול אותם על השנים שלמים יהיו שמנה רביעיות נוסיף עליהם השלש רביעיות ויהיו מספרן אחד עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot4\right)+2=12+2=14}}$	וגם נכפול השלמי' השלשה על הארבעה ויהיו שנים עשר רביעיות נוסיף עליהם השתי רביעיות ויהיה מספרם אחד [ארבע] עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{11\sdot14=154}}$	נכנו על האחד עשר ויעלו מאה וחמשים וארבעה רביעיות רביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{4^2=16}}$	נחלק אותם על מספר הכאת המדומה על עצמו העולה ששה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{3}{4}\right)\times\left(3+\frac{2}{4}\right)=\frac{154}{16}=9+\left(\frac{10}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)=9+\frac{2}{4}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	נמצאנו שם תשע פעמים והם תשע שלמים וישארו מהם שלא יתחלקו עליו עשרה רביעיות רביעית שהן שתי רביעיות שלמות ושתי רביעיות רביעית וככה הוא היוצא מהכפילה הזאת
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\left(m+\frac{c}{b}\right)=\left(n\sdot m\right)+\frac{\left(n\sdot c\right)+\left(m\sdot a\right)}{b}+\frac{a\sdot c}{b^2}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	דרך אחרת נכפול השלמים על השלמים יהיו ששה שלמים
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\frac{2}{4}=\frac{4}{4}}}$	ונכפול גם כן השני שלמים על השתי רביעיות יהיו ארבעה רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot3=\frac{9}{4}}}$	ואחר נכפול השלש רביעיות על השלשה השלמים יהיו תשע רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{4}+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}}}$	נחברם אל הארבעת רביעיות שיש לנו כי כלם הם ממין אחד ויהיו שלשה עשר רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{4}=\frac{6}{4}\sdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	ואחרי ז נכפול השלש רביעיות על השתים ויהיו ששה רביעיות רביעית שהן רביעית אחת שלימה ושתי רביעיות רביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13}{4}+\frac{1}{4}=\frac{14}{4}}}$	נוסיף הרביעית הזאת על השלשה עשר ויהיו ארבעה עשר רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(2+\frac{3}{4}\right)\times\left(3+\frac{2}{4}\right)&\scriptstyle=6+\frac{14}{4}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=6+3+\frac{2}{4}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=9+\frac{2}{4}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}$	נחלקם על המדומה שהוא ארבעה ונמצאנו שם שלש' פעמים נחברם אל הששה יהיו תשעה שלמים ועדנה ישארו שם שתי רביעיו' שלא יתחלקו ושתי רביעיות רביעי' שיש לנו
The second way leads to the same solution	והנה נמצא שהדרך הזה היא מכוונת אל הראשונה

Multiplication of integers and fractions by integers and fractions of different types	דמיון לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שאינם השברי' ממין אחד
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\left(m+\frac{c}{d}\right)=\frac{\left[\left(n\sdot b\right)+a\right]\sdot\left[\left(m\sdot d\right)+c\right]}{b\sdot d}}}$
$\scriptstyle\left(5+\frac{2}{3}\right)\times\left(2+\frac{3}{6}\right)$	רצינו לכפול [חמ]שה שלמים ושתי שלשיות על שני שלמים ושלש ששיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot3\right)+2=15+2=17}}$	ידוע כי המדומה השלישית הוא שלשה נכפול אותו על מספר החמשה שלמים ויהיו חמש עשרה שלישיות נוסיף עליהם השתי שלישיות יהיו מספרם שבעה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot6\right)+3=12+3=15}}$	וגם כן ידוע כי מדומה הששיות הוא ששה נכפול אותם על השני שלמים ויהיו שנים עשר שלשיות נוסיף עליהם השלש ששיות ויהיו מספרם חמשה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{17\sdot15=255}}$	נכה מספר האחד על חבירו ויהיו מאתים וחמשים וחמש
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot6=18}}$	ואחרי זאת נכפול המדומה האחד על חבירו ויהיה [העולה] שמנה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{2}{3}\right)\times\left(2+\frac{3}{6}\right)=\frac{255}{18}=14+\left(\frac{3}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)=14+\frac{1}{6}}}$	נחלק עליהם המאתים וחמשי' וחמש ויהיה היוצא בחלוק ארבעה עשר והנה הם שלמים ונשאר שם שלא נתחלק שלש ששיות שלישית והן הם ששית אחת שלמה
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\times\left(m+\frac{c}{d}\right)=\frac{\left[\left[n\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]\sdot\left[\left[m\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]\right]}{\left(b\sdot d\right)^2}}}$
	דרך אחרת נבקש מדומה אחד לשני מיני השברים
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot6=18}}$	ונמצא זה כשנכפול שלשה בששה ויהיו שמנה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot18\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot18\right)=90+12=102}}$	ונכפול המדומה הזה על החמשה שלמים ויהיו תשעים חלקים שכל שמנה עשר ח' חלקים מהם עולים שלם אחד והנה כנגד השתי שלישיות נוסיף עליהם שני שלישיות המדומה שהוא שנים עשר ויהיו מספר החלקים ההמה מאה ושנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot18\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot18\right)=36+9=45}}$	וכמו כן נכפול המדומה על השני שלמים יהיו ששה ושלשי' חלקים וכנגד השלש ששיות נוסיף עליהם שלש ששיות המדומה שהם תשעה והם נוספי' ויהיה מספר החלקים האלה ארבעים וחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{102\sdot45=4590}}$	נכפול המספר האחד על חברו יהיה ההוה ארבעת אלפים וחמש מאות ותשעים
$\scriptstyle{\color{blue}{18^2=324}}$	נחלקם על מספר הכאת המדומה על עצמו העולה שלש מאות ועשרים וארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{2}{3}\right)\times\left(2+\frac{3}{6}\right)=\frac{4590}{324}=14+\frac{54}{324}=14+\frac{1}{6}}}$	ויהיה היוצא בחלוק ארבעה עשר והנה הם שלמים ונשאר שם שלא נתחלק חמשים וארבעה שהם ששית מספר הכאת המדומה על עצמו נמצא מהכפלה הזאת ארבעה עשר שלמים וששית שלם אחד כאשר בתחלה וכל הדרכי' האלה הם טובי' ונכוחי' למוצאי דעת

Division of fractions	עתה אחל לדבר בדרך חלוקת השברים אלו על אלו או שלמים ושברים על שלמים ושברים
Division of fractions by fractions	דמיון בחלוקת שברים על שברים
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)}{\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)}}}$
$\scriptstyle\frac{2}{3}\div\frac{2}{7}$	רצינו לחלק שני שלישיות על שני שביעיו'
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot7=21}}$	הנה נבקש מדומה אחד לשני השברים ונכפול שבעה בשלשה ויהיו עשרים ואחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot21=14}}$	ושתי שלישיותיו ארבעה עם עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}\sdot21=6}}$	ושני שביעיותיו ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\div\frac{2}{7}=\frac{14}{6}=2+\frac{1}{3}}}$	והנה נחלק הארבעה עשר עליהם והיוצא הוא שנים והנה היוצא מהחלוקה הזאת שנים ושלישית
Division of integers and fractions by integers and fractions	דמיון לחלק שלמים ושברים על שלמים ושברים
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+\frac{a}{b}\right)\div\left(m+\frac{c}{d}\right)=\frac{\left[n\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}{\left[m\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}}}$
$\scriptstyle\left(4+\frac{2}{3}\right)\div\left(2+\frac{2}{5}\right)$	רצינו לחלק ארבע' שלמים ושתי שלישיות על שני שלמים ושתי חמשיות
	והנה המדומה לשניהם הוא חמשה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{2}{3}\right)\sdot15=\left(4\sdot15\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot15\right)=60+10=70}}$	ועל כן נכפול אותו על הארבעה שלמים ויהיו ששים חלקים ובעבור השתי שלישיות נוסיף עליהם שתי שלשיות המדומה שהם עשרה ויהיה מספר החלקים שבעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{2}{5}\right)\sdot15=\left(2\sdot15\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot15\right)=30+6=36}}$	וגם נכפיל מספר השני שלמים על המדומה ויהיה שלשים חלקים נוסיף עליהם ששה שהם שתי חמשיות המדומה ויהיה מספרן ששה ושלשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(4+\frac{2}{3}\right)\div\left(2+\frac{2}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{70}{36}\\&\scriptstyle=2-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{3}{4}+\frac{2}{9}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}$	נחלק עליהם מספר השבעים ונמצאם שם שני פעמים פחות חצי תשיעי' החשבון אשר חלקנו עליו או נאמר שהיוצא מהחלוקה הוא פעם אחת ועוד שלש רביעיות ושתי תשיעיות פחות רובע תשיעית

Addition of fractions
	אחרי אשר התבארו דרכי כפילת השברים וחלוקתם צריך לבאר גם כן דרכי מחברתם זה עם זה ודרך מגרעת שברים דקים וקטנים משברים גדולי' מהם
	ותדע כי כשנרצה לידע כמה מחברת שברים ידועים עם שברים ידועים
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]+\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}{b\sdot d}}}$
$\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{5}{6}$	כאשר נאמר על דרך משל חברנו שלש רביעיות עם חמש ששיות כמה העולה
	והנה נעשה על הדרך הזה נקח המדומה לשניהם והנה הוא עשרי' וארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot24=18}}$	ושלש רביעיותיו שמנה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot24=20}}$	וחמש ששיותיו עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{18+20=38}}$	נחברם זה עם זה יהיו שלשים ושמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{5}{6}&\scriptstyle=\frac{38}{24}\\&\scriptstyle=1+\frac{14}{24}\\&\scriptstyle=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}$	ונקח מהם בעבור העשרים וארבע שלם אחד ונשאר מהם ארבעה עשר שהם חצי שלם אחד וחצי ששותו או אם נרצה נקרא הנשאר חצי שלם ושלישית רביעיתו

Subtraction of fractions
	וכאשר נבקש לגרוע משברים ידועים שברים ידועים קטנים ודקים מהם ולדעת הנשאר
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left[\frac{a}{b}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]-\left[\frac{c}{d}\sdot\left(b\sdot d\right)\right]}{b\sdot d}}}$
$\scriptstyle\frac{2}{4}-\frac{1}{5}$	כאשר נאמר על דרך משל גרענו משתי רביעיות חמשי' אחת כמה הנשאר
	נעשה ככה נקח מדומה אחד לשניהם והנה הוא כ'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\sdot20=10}}$	ושתי רביעיותיו הם עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot20=4}}$	וחמשיתו הם ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{10-4=6}}$	נסיר מהעשרה ארבעה וישאר מהם ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}-\frac{1}{5}=\frac{6}{20}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	והוא רביעית המדומה וחומש רביעיתו וככה ערך הנשאר אל השלם
	ובזה התבארה כוונת מה שרציתי לבאר בשער הזה תהלה לאל ברוך הוא

Chapter Ten – Approximating the Roots of Non-Square Numbers	השער העשירי בידיעת צלעות המרובעים מהחשבון החרש והאלם על דרך קרוב
Introduction: square numbers and non-square numbers
Definition of a square number: Know that every number that has a root is called a square number and it is a "wise number".	תדע כי כל מספר נגדר הוא נקרא מרובע והנה הוא מספר פקח
The reason that it is called a "wise number" is that its root, which is the measure of each of the four sides of the square, can be found truly.	וטעם היותו נקרא מספר פקח באשר גדרו שהוא מדת כל אחת ואחת מארבע צלעות המרובע יכול להמצא באמתות
Therefore, the numbers that do not have a real root are called deaf or mute, because their root cannot be found accurately only approximately	ולזאת יקראו המספרים אשר אין להם גדר אמתי מספרים חרשים או אלמים באשר לא יוכל כל נברא למצוא גדרם בדקדוק כי אם בקרוב
In every scientific discipline there are many hidden secrets	ובכל חכמה יש הרבה דברים נסתרים ונעלמים מלבות בני האדם למצאם
For example: in medicine - there are herb roots and stones that can cure the sick, but the reason for their curing quality is not known	והנה נראה זה גם כן בחכמת הרפואה שיצוו הרופאים לקחת שורש עשב ידוע או אבן ידועה להיות מרפא בסגולה לחולה הנושאם ואין כח בשום חכם לדעת טעם סגולת האבן או שורש העשב למה היא ככה
These hidden things are known to God alone	ודברי' רבים כמו אלה אשר לא יודעו רק ליודע כל נסתרות לבדו ברוך הוא וברוך שמו
Sexagesimal fractions
The ancients extracted the approximate roots of deaf or mute numbers by using the method of the astronomers - therefore the author introduces first the method of the astronomers, before he discusses the extraction of roots of non-square numbers	ועתה נשוב אל הראשונות ונאמר כי לבעבור רוב החכמים הקדומים הוציאו קרוב מדת הצלעות המרובעי' החרשים והאלמים על דרך חכמי המזלות צריך להקדים ולבאר קצת דרכיהם בתחלה בטרם שאדבר בדרך הוצאת מדת הצלעות
The astronomers divided the zodiac into 12 zodiacal signs	והנה חלקו חכמי המזלות הגלגל לשנים עשר צורות והמה הנקראות מזלות
The reason for dividing by 12: twelve is the smallest number that has numerous fractions [= divisors, in modern terminology]: $\scriptstyle\frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{4};\ \frac{1}{6};\ \left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)$	וטעם החלוקה הזאת באשר אי' מספר קטן משנים עשר שיהיו לו חלקים רבים שלמים מבלי שבר כמוהו כי כן ימצא בו חצי ושלישית ורביעית וששית וחצי ששית
Each zodiacal sign was divided into 30 degrees	וחלקו כל מזל לשלשים חלקים קראו אותם מעלות
The reason for dividing by 30: thirty is the smallest number that has as many fractions [= divisors, in modern terminology] as it has: $\scriptstyle\frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{5};\ \frac{1}{6};\ \frac{1}{10}$	וחלקוהו למספר זה לפי שאין מספר פחות ממנו אשר ימצאו בו חלקים רבים בלתי שבר כמוהו כי ימצא בו חצי ושלישית וחמשית וששית ועשירית
Each degree was divided into 60 minutes	וחלקו כל מעלה לששים חלקים וקראו אותם ראשונים
The fractions [= divisors] of 60: $\scriptstyle\frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{5};\ \frac{1}{6};\ \frac{1}{10}$	ובמספר הזה ימצא בו חצי ושלישית וחמשית וששית ועשירית
Each minute was divided into 60 seconds	וחלקו כל ראשון לששים שניים
Each second was divided into 60 thirds	וכל שני לששים שלישיים
Each third was divided into 60 fourths	וכל שלישי לששים רביעיים
And so on - every rank is 60 times of the subsequent rank and 60 of each rank are a unit of the preceding rank	וכן יחלקו חלקיהם כפי הצורך עד תכלית כל אחד ואחד יהיה שוה ששים מהמדרגה השניה השניה לו וששים מכל אחד ואחד יעלו אחד מהמדרגה הקודמת לו
Multiplication of Sexagesimal Fractions
The degrees act as the integers:	והנני מודיע לך כי המעלות הן הנה כמו השלמים
The product of degrees by degrees are degrees $\scriptstyle\left(a\sdot60^0\right)\times\left(b\sdot60^0\right)=\left(a\sdot b\right)\sdot60^0$	ולעולם כשנכפול מעלו' ועל מעלה יעלה העולה מהכפלה מעלות
The product of degrees by fractions of another sexagesimal rank are fractions of this other rank $\scriptstyle\left(a\sdot60^0\right)\times\left(b\sdot\frac{1}{60^n}\right)=\left(a\sdot b\right)\sdot\frac{1}{60^n}$	ואם נכפול אותם בכפלים אחרים בחלקי' אחרים כמו ראשונים או שניים או יתר לעולם יעמוד המין מהחלקים ההם בעצמו ולא ישתנו ממינם בעבור הכפלה הזאת
All other sexagesimal ranks act as the simple fractions	ואולם הראשונים והשניים או כל שאר המינים שאחריהם הנה משפטם כמשפט השברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}}$	כי כמו שאם נכפול חצי על חצי יהיה העולה רביע
$\scriptstyle a^{''}\times b^{''}=\left(a\sdot b\right)^{''''}$	ככה אם נכפול חלקים שניים על חלקים שניים יהיה העולה מהכפלה רביעיים
$\scriptstyle a^{'}\times b^{'}=\left(a\sdot b\right)^{''}$	וכפלת ראשונים על ראשונים יהיה העולה שניים
$\scriptstyle a^{''}\times b^{'''}=\left(a\sdot b\right)^{'''''}$	ומכפלת שניים בשלישיים יהיה העולה חמשיים
$\scriptstyle a^{''''''}\times b^{''}=a^{''''}\times b^{''''}=\left(a\sdot b\right)^{''''''''}$	וששים בשניים או רביעים על רביעים יהיה העולה שמיניים
$\scriptstyle a^{''}\times b^{'''''}=\left(a\sdot b\right)^{'''''''}$	ושניים בחמשיים יהיה העולה שביעיים
	וככה כלם על דרך זה האמור
Written procedure
The procedure of multiplication of two numbers that consist of various sexagesimal fractions:	ואכין לך דרך לכפלת החלקים הנזכרים האלה
Converting all the fractions of each of the two numbers to the lowest sexagesimal rank and summing them to one fraction	כשתבקש לכפול טור אחד מהחשבונות חלקים ידועים על טור אחד מחשבונות חלקים ידועים ויהיה בכל אחת מהטורים חלקים מהרבה מינים גדולים וקטנים תעשה ככה קח הטור האחד משתיהם ויצקת כל המינים הגדולים אל המין היותר קטן אל הטור ההוא וחבר אל שתיהם המין הקטן אל מה שיעלה לך מההתכה כי אז הם כלם ממין אחד וכמעשה הטור הזאת תעשה גם כן מהטור השנית
Multiplying the two fractions received from the conversion and summing	וכפול אלו על אלו ותראה איזה מין ראוי שיהיה היוצא מהכפלה כפי מה שיאמר שהתבאר לפנים
Dividing the product by 60 repeatedly until receiving a number that consists of reduced sexagesimal fractions	ואחר חלק אותם על ששים הרבה פעמים עד שתבא אל תכלית המין אשר לא תוכל לחלק אותו על ששים ותדע אם ישאר שום מספר שלא יתחלק בכל חלוקה וחלוקה יהיה הנשאר ממין המספר המחולק
The author states that this multiplication technique is long as well as short, but it is well-guided	ודרך הכפילה הזאת היא ארוכה וקצרה והיא סלולה ומיושרת בטוב
Extracting Roots of Deaf Numbers
The procedure of extracting roots of deaf numbers:	ואחרי אשר בארתי והקדמתי מה שראוי למלאכת השער הזה אשוב לדבר בדרך הוצאת מדת הצלע' ממרובע שמספרו חרש
Considering the number as a sum of a square number and an excess $\scriptstyle a^2+b$	והנה כאשר נרצה לבא אל תכלית המבוקש הזה נעיין המרובע שעבר מהמספר אשר אנחנו ונגיע לדעת על פי מה שהתבאר בשער השביעי ונראה כמה העודף על המרובע שעבר
$\scriptstyle b<a$	ואם היה פחות מגדרו נעשה זאת
1) First approximation: $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}$	נשיב העודף ראשונים והוא שנכפול אותם בששים ואחר נחלקם על כפל הגדר מהמרובע שעבר ומה שיצא בחלוק נוסיף אותו על הגדר וככה יהיה מדת הצלעות בקרוב
2) Second approximation: $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}-\left[\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\sdot\frac{\left(\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\right)}\right]$	ואם נרצה עוד לדקדק אותה עוד נכה ונכפול המדה הזאת על עצמה ונראה מה יוסיף בהכאה על החשבון אשר אנחנו חוקרים עליו ונעיין מה ערך התוספת אל כפל המדה שמצאנו פעמים וכערך ההוא נוסיף מהמדה והנותר תהיה יותר מדה מדוקדקת מאשר לא הייתה בתחלה
3) Third approximation - repeating the procedure of the second approximation - the most accurate approximation	ולדקדקה יותר נעשה מהמדה הזאת השנית כאשר עשינו מהמדה הראשונה ומה שישאר אחרי הסרת ערך התוספת בהכאה אל כפל המדה השנית פעמים ממנה יהיה מדוקדקת מכלנה
No need for further approximation - this is compared to diving into deep water and drawing nothing from it	ומכאן ואילך אל תיגע עצמך לדקדק כי אולי תצלול במים אדירים וחרס לא יעלה בידך
$\scriptstyle b>a$	ואם מצאנו שהעודף מהמספר על המרובע שעבר הוא יתר מגדר המרובע שעבר נעשה בדרך אחרת
Considering the number as the next square number minus an excess $\scriptstyle c^2-d$	נעיין כמה המרחק ממספרינו עד המרובע העתיד
1) First approximation: $\scriptstyle\sqrt{c^2-d}\approx c-\frac{\frac{60\sdot d}{2c}}{60}$	ונשיב המרחק ראשונים ונחלקם על כפל גדר המרובע העתיד פעמים ומה שיצא בחלוק נגרע אותו מגדר המרובע העתיד והנשאר הוא מדת הצלעות בקרוב
Further approximations are as in the first case	וכשנבקש לדקדק אותם נעשה בדרך המבואר בדקדוקיו שלפני
$\scriptstyle b=a$	והנה אם מצאנו העודף ממספרינו על המרובע שעבר שהוא בגדרו לא פחות ולא יתר
the number $\scriptstyle a^2+a$ is called mean number	יקרא מספרינו ממוצע
The approximation can be done as in both the above cases $\scriptstyle\sqrt{a^2+a}=\sqrt{\left(a+1\right)^2-\left(a+1\right)}$	ואם נרצה נוציא מדת הצלעות מהמרובע שעבר או מהמרובע העתיד והכל יהיה שוה רק שמעשה האחד בתוספת ומעשה האחר במגרעת
$\scriptstyle b<a$	דמיון במספר שהעודף על המרובע שעבר פחות מגדר המרובע ההוא
We wish to [know] the measure of each side of the square that is five. $\scriptstyle\sqrt{5}$	רצינו לכפול מדת כל צלע וצלע ממרובע שהוא חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}=\sqrt{2^2+1}\approx2+\frac{\frac{60\sdot1}{2\sdot2}}{60}=2+\frac{\frac{60}{4}}{60}=2+\frac{15}{60}}}$	והנה העודף על המרובע שעבר הוא אחד נשיב אותו ראשונים ויהיו ששים נחלק אותם על ארבעה שהם כפל מהגדר מהמרובע שעבר פעמים ויהיה היוצא מהחלוקה חמשה עשר ראשונים נוסיפם על הגדר מהמרובע שעבר ונמצא שיהיה מדת אחת לכל הצלעות שנים שלמים וחמשה עשר ראשונים בקרוב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{15}{60}\right)^2-5=\left(5+\frac{225}{60^2}\right)=\frac{225}{60^2}}}$	ואם נרצה לדקדק המדה הזאת נכה ונכפול השנים שלמים והחמשה עשר ראשונים על עצמם ויהיו חמשה שלמים ומאתים ועשרים וחמש שניים כי מכפלת ראשונים על ראשונים כבר התבאר שיהיה העולה שניים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{225}{60^2}}{2\sdot\left(2+\frac{15}{60}\right)}=\frac{1}{72}}}$	ועתה יש לנו לראות הנוסף על החמשה שלמים שהוא מאתים ועשרים וחמש שניים איזה ערך הוא מכפלת המדה שמצאנו פעמיים והנה ערכם אליה הוא כערך אחד משבעים ושנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{5}&\scriptstyle\approx\left(2+\frac{15}{60}\right)-\left(\frac{15}{60}\sdot\frac{1}{72}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{900}{60^2}-\frac{\frac{900}{72}}{60^2}\\&\scriptstyle=2+\frac{900}{60^2}-\left(\frac{12}{60^2}+\frac{\frac{36}{72}}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{900}{60^2}-\left(\frac{12}{60^2}+\frac{\frac{1}{2}}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{900}{60^2}-\left(\frac{12}{60^2}+\frac{30}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{887}{60^2}+\frac{30}{60^3}\\&\scriptstyle=2+\frac{14}{60}+\frac{47}{60^2}+\frac{30}{60^3}\\\end{align}}}$	ועל זה נשיב החמשה עשר ראשונים שיש לנו כלם שניים ויהיו תשע מאות שניים ונחלק אותם על שבעים ושנים ותצא לנו החלוק' שנים עשר וישארו שלשים וששה שניים שלא נתחלקו על השבעים ושנים ולכן נקח חצי האחד מהם שהוא חלק אחד מהשבעים ושנים ותהיה החצי שלשים שלישיים ונמצא שנחלק הכל על השבעים ושנים והיוצא הוא שניים ש עשר שניים ושלשים שלישיים נסיר אותם מהתשע מאות שניים ישארו שמנה מאות ושמנים ושבעה שניים ושלשה שלישיים שהם ארבעה עשר ראשונים וארבעים ושבעה שניים ושלשים שלישיים וזאת היא המדה המדוקדקת יותר מבראשונה וסימן שלה ב' י"ד מ"ז ל' והנה הם שלמים ראשונים שניים שלישיים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{14}{60}+\frac{47}{60^2}+\frac{30}{60^3}\right)^2-5=\frac{2}{60}+\frac{48}{60^2}+\frac{47}{60^3}+\frac{36}{60^4}+\frac{15}{60^5}}}$	ואם תרצה לדקדק עוד זאת המדה תכה ותכפול אותה בעצמה ותמצא שיהיה החשבון על העודף על החשבון הנחקר ב' ראשונים מ"ח שניים מ"ז שלישיים ל"ו רביעיים ט"ו חמישיים ותראה מה ערך הנוסף הזאת אל כפול המדה פעמיים וכערכו אליה תסיר מהמדה שיש לך כאשר התבאר למעלה ותהיה הנשאר מדה מדוקדקת מהאחרות הקדומות
$\scriptstyle b>a$	דמיון במספר שהעודף על המרובע שעבר יתר מגדרו
We wish to know the measure of the sides of the square that is seven. $\scriptstyle\sqrt{7}$	רצינו לדעת מדת הצלעות ממרובע שהוא שבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}=\sqrt{9-2}=\sqrt{3^2-2}\approx3-\frac{\frac{60\sdot2}{2\sdot3}}{60}=3-\frac{\frac{120}{6}}{60}=3-\frac{20}{60}=2+\frac{40}{60}}}$	ובאשר העודף על המרובע שעבר הוא יתר מגדרו נראה כמה מרחק יש ממספרינו עד המרובע העתיד והנה המרחק הוא שנים כי ככה רחוק שבעה מתשעה שהוא המרובע העתיד נשיבם ראשונים יהיו מאה ועשרים נחלקם על כפל גדר המרובע העתיד פעמים העולה ששה נמצאם שם עשרים פעמים והם ראשונים נסיר אותם מגדר המרובע העתיד שהוא שלשה וישארו שנים שלמים וארבעים ראשונים וזאת היא מדת צלעות המרובע הנחקר בקרוב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{40}{60}\right)^2-7=\frac{6}{60}+\frac{40}{60^2}}}$	וכאשר תרצה לדקדק המדה הזאת ותכנה בכפלה על עצמה תמצא [שלא] שיהיה הנוסף על מספר המרובע הנחקר כי אם ששה ראשונים וארבעה שניים וגמור את המלאכה כאמור למעלה
$\scriptstyle b=a$	דמיון במספר שהעודף על המרובע שעבר הוא כגדר המרובע ההוא שעבר
We wish to know the measure of the square that is six. $\scriptstyle\sqrt{6}$	רצינו לדעת מדת מרובע שהוא ששה
$\scriptstyle\sqrt{a^2+a}=\sqrt{\left(a+1\right)^2-\left(a+1\right)}$	והנה מספר המרובע הזה צלעות הוא ממוצע ואם נרצה נוכל להוציא המדה מהמרובע העבר או מהמרובע העתיד והכל יבא אל כוון אחד כאשר יהיה מעשה האחד בתוספת ומספר אחד במגרעת
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}=\sqrt{4+2}=\sqrt{2^2+2}\approx2+\frac{\frac{60\sdot2}{2\sdot2}}{60}=2+\frac{\frac{120}{4}}{60}=2+\frac{30}{60}}}$	ונוציאנה בתחלה מהמרובע שעבר שהוא ארבעה והנה העודף שנים שהם מאה ועשרים ראשונים וחלקם על כפל הגדר שהוא ארבעה נמצאם שם שלשים פעמים והם שלשים ראשוני נוסיפם על הגדר שהוא שנים ותהיה זאת המדה הראשונה בקרוב
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}=\sqrt{9-3}=\sqrt{3^2-3}\approx3-\frac{\frac{60\sdot3}{2\sdot3}}{60}=3-\frac{\frac{180}{6}}{60}=3-\frac{30}{60}=2+\frac{30}{60}}}$	ואם נוציא המדה מהמרובע העתיד שהוא על תשעה נעשה על הדרך הזה הנה המרחק שלשה שהם מאה ושמנים ראשונים נחלקם על ששה שהוא כפל הגדר מהמרובע העתיד נמצאנו שם שלשים פעם והם ראשונים נסיר אותם משלשה שהם גדר המרובע העתיד וישארו שנים שלמים ושלשים ראשונים כאשר מצאנו בתחלה כאשר היינו מוציאים המדה מהמרובע שעבר
The same result for both cases - therefore a number like this is called mean	והכל אחד ועל כן יקרא כל חשבון כזה ממוצע ואם תרצה לדקדק המדות תעשה כאשר התבאר לפנינו

Chapter Eleven – Here I will Write Nice Rules of Arithmetic Methods for You	השער האחד עשר הנה אכתוב לך בזה כללים נחמדי' בדרכי החשבון
Know that when you wish to multiply a number by itself, whether that number is units alone, or there are tens with them, or tens alone:	ותדע כי כאשר תרצה לכפול חשבון אחד על עצמו בין שיהיה החשבון ההוא אחדים בלבד או שיש עמהם עשרות או עשרות לבד
If it is a number that has a third [= divisible by 3], take its third, multiply it by itself, multiply its square by ten, and subtract its square from [the product]; the remainder is the required. $\scriptstyle\left(3n\right)^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2$	אם הוא מספר שיש לו שלישית קח שלישיתו והכה אותה על עצמה וכפול מרובעה עשרה פעמים והסר מהם מרובעה והנשאר הוא המבוקש
$\scriptstyle6^2$	דמיון בקשנו לכפול שש על שש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle6^2&\scriptstyle=\left(3\sdot2\right)^2\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot2^2\right)-2^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot4\right)-4=40-4=36\end{align}}}$	הנה השלישית שנים מרובעם ארבעה נכפול אותם עשרה פעמים יהיו ארבעים נסיר מהם הארבעה שהוא מרובע השלישית ישארו ששה ושלשים והוא הנכפל
$\scriptstyle\left(3n+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]+3n+\left[\left(3n+1\right)\right]$	ואם לא היה למספר שלישית אך עודף ממנו שלישיות אחד נסירנו משם על ונחשוב המשולש בדרך המבואר ואחר נוסיף על חשבוננו המספר האחרון מהמשולש והמספר שאחריו שהסרונו והמחובר הוא המבוקש
$\scriptstyle10^2$	דמיון בקשנו לכפול עשרה על עצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle10^2&\scriptstyle=\left(9+1\right)^2=\left[\left(3\sdot3\right)+1\right]^2\\&\scriptstyle=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]+9+10\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot3^2\right)-3^2\right]+9+10\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot9\right)-9\right]+9+10\\&\scriptstyle=\left(90-9\right)+9+10=81+9+10=100\\\end{align}}}$	נסיר מהם אחד וישארו תשעה והם משולשים וקח מהם שלשה שהוא שלישיתם והנה מרובעם תשעה וכפלתם עשרה פעמים הם תשעים נסיר מהם מרובע השלישית וישארו שמנים ואחד נוסיף עליהם תשעה ועשרה יעלו מאה והוא הנכפל
$\scriptstyle\left(3n-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3n\right)\right]^2\right]-\left(3n\right)-\left[\left(3n-1\right)\right]$	ואם היה המספר פחות משלישית אחד נוסיפנו ונחשוב אותו כמשפט ואחר נסיר ממנו החשבון שהוספנו עליו והחשבון אחרון שלו והושאר הוא המבוק'
$\scriptstyle11^2$	דמיון בקשנו לכפול אחד עשר על עצמן
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle11^2&\scriptstyle=\left(12-1\right)^2=\left[\left(3\sdot4\right)-1\right]^2\\&\scriptstyle=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)^2\right]-11-12\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot4^2\right)-4^2\right]-11-12\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot16\right)-16\right]-11-12\\&\scriptstyle=\left(160-16\right)-11-12=144-12-11=144-23=121\\\end{align}}}$	נוסיף עליהם אחד ויהיו שנים עשר נחשבם בדרך לקיחת השלישית והנה מרובעה ששה עשר וכפלתם בעשרה מאה וששים נסיר מהם ששה עשר שהם מרובע השלישית ישארו מאה וארבעים וארבעה נסיר מהם אחד עשר ושנים עשר העולים עשרים ושלשה ישארו מאה ועשרים ואחד והוא הנכפל
Multiplication of units and tens by units and tens $\scriptstyle\left(10+a\right)\times\left(10+b\right)=\left[10\sdot\left[\left(10+a\right)+b\right]\right]+\left(a\sdot b\right)$	דרך אחרת
$\scriptstyle11\times11$	לדעת כפילת האחד עשר על אחד עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{11\times11=\left[\left(11-1\right)\sdot\left(11+1\right)\right]+\left(1\sdot1\right)=\left(10\sdot12\right)+1=120+1=121}}$	הנה נחשוב שהמספר הזה נכתוב בשני טורים ונקח האחד מן הטור האחת ונחברם אל הטור האחרת ויהיו שנים עשר נכפלם על העשרהים הנשארים יהיו מאה ועשרים נוסיף עליהם הכאת האחדים על עצמם ויהיו מאה ועשרים ואחד והוא הנכפל
$\scriptstyle15\times12$	וככה אם נכפול חמשה עשר בשנים עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{15\times12=\left[\left(12-2\right)\sdot\left(15+2\right)\right]+\left(2\sdot5\right)=\left(10\sdot17\right)+10=170+10=180}}$	נקח השנים ונשים אותם על החמשה עשר ויהיו שבעה עשר נכפלם על המאה הנשמרים יהיו מאה ושבעים וככה השנים האחרים על החמשה ויהיו עשרה נחברם עם המאה ושבעים יהיה הנכפל מאה ושמנים

Word Problems
Now, I shall start discussing and mentioning some of the difficult problems, extracting their solutions, and explaining each one of them at length.	ועתה אתחיל לדבר ואזכיר קצת מהשאלות הקשות ולהוציא תשובתן אאריך הביאור בכל אחת מהם
Find a Number Problem - Sums
Question: we summed all the successive numbers from one to twenty and it is the sum. How much is the sum? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{20} i$	שאלה חברנו כל המספרים הרצופים מאחד ועד עשרים והם בכלל ממה כמה המחובר
$\scriptstyle{\color{green}{\sum_{i=1}^n i=\left(n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}$
We add one to the [twenty] and multiply [the result] by ten, which is half twenty; the product is two hundred and ten, and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{20} i=\left({\color{red}{20}}+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)=21\sdot10=210}}$	הנה נוסיף על העשרה אחד ונכפלם על עשרה שהוא חצי עשרים ויהיה הנכפל מאתים ועשרה וככה המבוקש
If we want to know how much are the numbers summed up up to eleven. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} i$	ואם נרצה לדעת כמה עולים המספרים המחוברים עד אחד עשר
We add one to [the eleven] and multiply [the result] by half the eleven, which is five and a half; the product is sixty-six, and this is the sum. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i=\left(11+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)=12\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)=66}}$	נוסיף עליו אחד יהיו שנים עשר נכפלם על החצי האחד עשר שהוא חמשה וחצי ויהיה הנכפל ששים וששה וככה המחובר
There are other ways, but what I have wrote is the easiest and the most correct [way].	ויש דרכים אחרים ומה שכתבתי הוא היותר נקל ונכון הוא
Reverse question: the sum of the successive numbers starting from one is 210. What is the last number of the summed [numbers]? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=210$	נהפוך השאלה ונאמר עלה המחובר ממספרם רצופים המתחילים מאחד מאתים ועשרה איזהו המחובר האחרון מהמחוברים
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} i=a\longrightarrow n^2+n=2a}}$
We do as follows: we double two hundred and ten; it is four hundred and twenty.	נעשה כדרך זה נכפול מאתים ועשרה פעמים יהיו ארבע מאות ועשרים
We take the closest root, whose extraction method was explained in chapter four; we find that it is twenty and this is the last number of the summed numbers. $\scriptstyle{\color{blue}{n^2+n=2\sdot210=420=20^2+20\longrightarrow n=20}}$	נקח מהם הגדר היותר קרוב כאשר התבאר דרך לקיחתו בשער הרביעי והנה נמצ' שהוא עשרים והוא המספר האחרון [מ]המחוברים
Thus, what remains from the number that has no root is twenty, as the number of the root.	והנה נשאר מהמספר שהוא בלתי נגדר עשרים כמספר הגדר
So should be in all the calculations that are similar to it and if not, then the one who asked has mistaken in his question, when he summed the numbers he made a mistake without a doubt.	וכן ראוי שיהיה בכל החשבונות הדומים לזה ואם אין טעה השואל בשאלתו כאשר חבר המספר כאשר עשה בטעות בלי ספק
Triangulation Problem - Cane
Question: a cane 5 cubits tall, is standing next to a wall of the same height. If we lower its [top] two cubits down from the top of the wall, so that it will stand on a slope, how far will be the bottom end of the cane from the foot of the wall?	שאלה קנה המדה ארכה חמש אמות ועומדת זקופה בכותל אחת גבוהה כמדתה אם נשפיל אותה מראש הכותל אמתים כדי שתעמד בשיפוע כמה הרחיק ראש הקנה התחתון מיסוד הכותל
$\scriptstyle x=\sqrt{\left(height\ of\ the\ cane\right)^2-\left(height\ of\ the\ wall-2\right)^2}$
We do like this: we take the square of the five cubits; it is twenty-five.	נעשה זאת נקח מרובע החמש אמות והם עשרים וחמש
We take also the square of the three cubits that are left from there to the foot of the wall; it is nine.	[ו]נקח גם כן ממרובעה שלש אמות הנשארות משם עד יסוד הכותל והנה הוא תשעה
Its difference from twenty-five is sixteen.	ומרחקו מעשרים וחמש ששה עשר
The root of sixteen is four and so is the distance of the bottom end of the cane from the foot of the wall no more and no less. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{5^2-\left(5-2\right)^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4}}$	וגדר ששה עשר הוא ארבעה וככה מרחק ראש הקנה התחתון מיסוד הכותל בלתי תוספת ומגרעת
If the difference between a square and a square is an inexpressible number, take its root approximately, as was explained in the preceding chapter, and this will be the measure of the distance from the bottom end of the cane to the foot of the wall.	ואם היה המרחק ממרוב' אל מרובע מספר חרש ואלם תקח גדרו בקרוב כאשר התבאר בשער הקדו' לזה וככה יהיה מדת המרחק מראש הקנה התחתון אל יסוד הכותל
Divide a Quantity Problem - Simple division
Question: I gave a messenger 30 dinar and one pašuṭ and ordered him to hire workers as much as his money allows, so that the payment of the one equals the payment of his friend, there will be no worker whose payment is one pašuṭ, and there will be no fractions in one's payment. We want to know how many workers he could hire. $\scriptstyle X^2=\left(12\sdot30\right)+1$	שאלה נתתי לשלוחי שלשים דינרים ופשוט וצויתי אותו שישכור פועלים כאשר יספיקו לו מעותיו ויהיה שכר האחד כשכר חבירו ולא יהיה בהם פועל ששכרו פשוט וגם לא יהיה בשכרו שום שבר שלם נרצה לדעת כמה פועלי' יוכל לשכור
We convert all the dinar into pešuṭim and add the additional pašuṭ to them; they are three hundred and sixty-one pešuṭim.	הנה נשיב הדינרים כולם פשוטי' ונחבר אליהם הפשוט הנוסף עליהם ויהיו שלש מאות וששים ואחד פשוטי‫'
We extract their root as the method of chapter seven; we find that it is nineteen. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\sqrt{\left(12\sdot30\right)+1}=\sqrt{361}=19}}$	נקח גדרם בדרך השער השביעי ונמצא שהוא תשעה עשר
We can answer that the messenger can hire [nineteen] workers at nineteen pešuṭim each no more and no less.	ונוכל להשיב שיוכל השליח לשכור תשעה פועלים וישכור [שכר] כל אחד ואחד תשעה עשר פשוטי' לא פחות ולא יתר
How much Problem - Wall
Question: a wall collapsed. We rebuild it with an extension, so that it will be higher than what it was by half the size it had at the beginning, and its sixth, and ninth. With the whole extension, its height was 50 cubits. How much was its original height? $\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{6}X+\frac{1}{9}X=50$	שאלה חומה שנפלה והוספנו עליה בבניין כדי שתהיה גבוהה הרבה חצי מדתה מאשר היתה בתחילה וששיתה ותשיעיתה ועם כל זה היתה מדת גבהה חמשים אמה כמה היתה מדתה בראשונה
False Position: We take a denominator that has a half, a sixth, and a ninth. That is, we take two, since the half is derived from it, multiply it by six, for the sixth that is derived from it; the result is twelve. We multiply it also by nine for the ninth; the denominator is one hundred and eight. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot9=12\sdot9=108}}$	נקח מדומה שיהיה לו חצי וששית ותשיעי' והוא שנקח שנים בעבור אשר יוצאה מהם החצי ונכפול אותם בששה בעבור הששית אשר תצא מהם יהיה שנים עשר ויהא גם כן תשעה ונכפול גם הם תשעה בעבור התשיעית ויהיה מדומה מאה ושמנה
Its half is fifty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot108=54}}$	ומחציתו חמשים וארבע
Its sixth is eighteen. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot108=18}}$	וששיתו שמנה עשר
Its ninth is twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot108=12}}$	ותשיעיתו שנים עשר
The sum of all these parts is eighty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{54+18+12=84}}$	והמחובר מכל החלקים עולה שמנים וארבעה
We add it to the denominator; it is one hundred and ninety-two; which results from adding all the mentioned parts to it. $\scriptstyle{\color{blue}{108+84=192}}$	נוסיפם אל המדומה יהיו מאה ותשעים ושנים שהוא העולה מתוספת החלקים הנזכרים עליו
Rule of Four: So is the ratio of the unknown original measure of the wall to fifty, which is the height now, after the extension of the construction. $\scriptstyle{\color{blue}{108:192=X:50}}$	כן ערך מדת החומה אשר הייתה בראשונה הנעלמת אל חמשים שהוא גבוה עתה אחרי תוספת הבניין
When we multiply the first number by the fourth, it is five thousand and four hundred.	וכאשר נכפול המספר הראשון על הרביעי יהיו חמשת אלפים וארבע מאות
We divide it by the known mean, which is one hundred and ninety-two; we find it twenty-eight times in it and four parts remain that cannot be divided, which are parts of the one hundred and ninety-two by which we divided.	נחלקם על האמצעי הנודע שהוא מאה ותשעים ושנים נמצאנו שם שמנה ועשרים פעמים וישארו מהם עשרים וארבעה חלקים שלא נתחלקו והמה חלקים ממאה ותשעים ושנים בשלם אשר חלקנו עליו
Therefore, we can answer that the measure of the height of the wall originally was twenty-eight cubits and four parts of one hundred and ninety-two in a cubit. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{108\sdot50}{192}=\frac{5400}{192}=28+\frac{24}{192}}}$ cubits	ועל כן נוכל להשיב כי מדת גבהות החומה בראשונה היו שמנה ועשרים אמות ועשרים וארבעה חלקים ממאה ותשעים ושנים באמה
Check: We examine if it is true in this way:	ונבחן זה אם הוא אמת בדרך זאת
We decompose all the cubits and convert each into the mentioned parts, then add the result to the twenty-four parts added to the cubits; the sum is five thousand and four hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(28\sdot192\right)+24=5400}}$	נתיך כל האמות ונעשה מכל אחת ואחת החלקים הנזכרים ונחבר העולה אל העשרי' וארבעה חלקים העודפים על האמות ויהיה המחובר חמשת אלפים וארבע מאות
Its half is two thousand and seven hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot5400=2700}}$	מחציתם אלפים ושבע מאות
Its sixth is nine hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot5400=900}}$	ששיתם תשע מאות
Its ninth is six hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot5400=600}}$	תשיעיתם שש מאות
The sum is four thousand and two hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{2700+900+600=4200}}$	המחובר ארבעת אלפים ומאתים
We add it to the five thousand and four hundred; it is nine thousand and six hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{5400+4200=9600}}$	נוסיף זה על החמשת אלפים וארבע מאות ויהיו ותשע אלפים ושש מאות
If you divide it by the number of parts of the whole cubit, you find it is fifty times there, as the number of cubits of the height of the wall now, after the extension of the construction. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9600}{192}=50}}$	ואם תחלקם על מספר חלקי האמה השלמה תמצאנו שם חמשים פעמים כמכסת אמות גובה החומה עתה אחרי תוספת הבניין
Question: the town wall was 100 cubits high. Its third and its quarter had collapsed. How high is what remains? $\scriptstyle X=100-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)\right]$	שאלה חומת העיר גבהה מאה האמה ונפרצה ממנה שלישיתה ורביעיתה כמה גובה הנשאר
False Position: The denominator that has a third and a quarter is twelve.	הנה המדומה שיש לו שלישית ורביעית הוא שנים עשר
We take the mentioned parts from it and sum them up; it is seven. We subtract it from the denominator; five remain. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}$	נקח ממנו החלקים הנזכרים ונחברם יהיו שבעה נסירם מהמדומה ישארו חמשה
Rule of Four: Now, we take the ratio and say: as the ratio of five to twelve so is the ratio of the unknown to one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{5:12=X:100}}$	ועתה נעריך ונאמר כערך חמשה אל שנים עשר כך ערך הנעלם אל מאה
We multiply the first number by the fourth; it is five hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot100}{12}=\frac{500}{12}=41+\frac{8}{12}=41+\frac{2}{3}}}$	כפלנו החשבון הראשון על הרביעי והיו חמש מאות
We divide it by the known mean; we find it forty-one times there and eight remain that cannot be divided, which are parts of twelve in a cubit, which are its two-thirds.	נחלקם על האמצעי הנודע נמצאנו שם ארבעים ואחד פעמים ונשארו מהם שמנה שלה נתחלקו שהם חלקים משנים עשר באמה שהם שתי שלישיותיה
Check: When we examine it:	וכאשר נבחן זה
We convert the cubits into parts of twelve each; they are one thousand and two hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{100=\frac{1200}{12}}}$	ונעשה מהאמה אמות אשר היו שם בראשונה חלקים משנים עשר מכל אחת ואחת יהיו אלף ומאתים
We take their third; it is four hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot1200=400}}$	נקח שלישיתם שהם ארבע מאות
And their quarter, which is three hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot1200=300}}$	ורביעיתם שהם שלש מאות
The resulting sum is seven hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{400+300=700}}$	והמחובר עולה שבע מאות
We subtract it from one thousand and two hundred; five hundred remain, which are forty-one cubits and eight parts of twelve, as we stated. $\scriptstyle{\color{blue}{1200=700=500}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{500}{12}=41+\frac{8}{12}}}$	נחסר אותם מהאלף ומאתי' ישארו חמש מאות שהם ארבעים ואחת אמה ושמנה חלקים משנים עשר כאשר זכרנו

First from last Problem - Amount of grain

Question: the landlord collected his grain and gave a heave offering by law from what he collected at first. Afterwards he gave the first tithe from what remained and from what remained then, he gave a second tithe, and he was left with 40 measures of grain. How much was the grain at first? $\scriptstyle\left(X-\frac{2}{100}X\right)-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-\frac{2}{100} X\right)\right]-\left[\frac{1}{10}\sdot\left[\left(X-\frac{2}{100}X\right)-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-\frac{2}{100} X\right)\right]\right]\right]=50$

שאלה בעל הבית שמכר תבואתו ותרם מה שאסף מכריו בתחלה גדולה כמשפט ואחרי כן הפריש מהנשאר מעשר ראשון ומהנשאר אחרי זאת הפריש מעשר שני ונשארה לו חמשים מדות חטה כמה היה הכרי מתחלה

It is known that our late rabbis said that the offering is half a hundred, which is one part of fifty. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot100=50}}$	ידוע כי התרומה אמרו רבותי ז"ל שהיא תרי ממאה שהוא חלק אחד מחמשי‫'
Therefore, we take the fifty and multiply it by ten for the first tithe that is subtracted from it; it is five hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot10=500}}$	על כן נקח החמשים ונכפלם בעשר בעבור המעשר ראשון היוצא ממנו ויהיו חמש מאות
False Position: We multiply it also by ten, for the second tithe; it is five thousand and it is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{500\sdot10=5000}}$	ונכפול גם הם בעשר בעבור המעשר שני ויהיו חמשת אלפים והוא המדומה
Hence, his offering is one hundred.	והנה תרומתו מאה
We subtract it; four thousand and [nine] hundred remain. $\scriptstyle{\color{blue}{5000-100=4900}}$	נסירנה ממנו ישארו ארבעת אלפים ות"ק
Its tithe is four hundred and ninety.	מעשר שלהם ארבע מאות ותשעים
We subtract it; four thousand four hundred and ten remain. $\scriptstyle{\color{blue}{4900-\left(\frac{1}{10}\sdot4900\right)=4900-490=4410}}$	נסיר אותו מהם ישארו ארבעת אלפים וארבע מאות ועשרה
Its tithe is four hundred and forty-one	מעשר שלהם ארבע מאות וארבעים ואחד
We subtract it; three thousand nine hundred and sixty-nine remain. $\scriptstyle{\color{blue}{4410-\left(\frac{1}{10}\sdot4410\right)=4410-441=3969}}$	נסיר אותם מהם ישארו שלשת אלפים ותשע מאות וששים ותשעה
Rule of Four: Now, we take the ratio and say: as the ratio of three thousand, nine hundred, and sixty-nine to five thousand so is the ratio of fifty to the unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{3969:5000=50:X}}$	ועתה נעריך ונאמר כערך שלשת אלפים ותשע מאות וששים ותשעה אל חמש' אלפים כן ערך חמשים אל הנעלם
We multiply the means; the result is two hundred and fifty thousand.	כפלנו האמצעיים עלו מאתים וחמשים אלף
We divide it by the first known number; we find it sixty-two times there, and three thousand nine hundred and twenty-two remained that cannot be divided, which are parts of three thousand nine hundred and sixty-nine by which we divided; and this was the amount of measures of grain that was at first, when the landlord began to give offering. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{50\sdot5000}{3969}=\frac{250000}{3969}=62+\frac{3922}{3969}}}$	נחלקם על החשבון הראשון הנודע נמצאנו שם ששים ושתים פעמי' ונשארו שם שלא נתחלקו שלשת אלפים ותשע מאות ועשרים ושנים והם חלקים משלשת אלפים ותשע מאות וששים ותשעה אשר חלקנו עליו וכזה היה סכום המדות אשר היו בכדי כשהתחיל בעל הבית לתרום
How much Problem - Amount of money
Question: Reuven demands from Shimon a hundred measures, which he says he owes him according to an oral [agreement]. Shimon says: I do not owe you a hundred measures, but as much as I owe you, with the same amount, and one-half of it, and a quarter of it, plus one will make a hundred. How much did he admit he owes him? $\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100$	שאלה ראובן תובע לשמעון מאה מנה שאומר שחיב לו על פה ויאמר אליו איני חייב לך מאה מנה אבל כאותם שאני חייב לך ואחדים כמותם ומחציתם ורביעיתם ועם אחד יהיו מאה נרצה לדעת כמה הודה לו מתביעתו
False Position: We do as follows: we take a denominator that has a half and a quarter; we find it is eight.	ונעשה על דרך זה נקח מדומה שיש לו חצי ורביעית והנה נמצ' שמנה
We add the same; it is sixteen. We add also half the denominator, which is four; it is twenty; and its quarter, which is two; it is twenty-two. $\scriptstyle{\color{blue}{8+8+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)\right]=16+4+2=20+2=22}}$	נוסיף כמוהו ויהיו ששה עשר וגם נוסיף מחצית המדומה שהוא ארבעה יהיו עשרים ורביעיתו שהוא שנים יהיו עשרים ושנים
Rule of Four: Necessarily as the ratio of eight to twenty-two so is the ratio of the unknown to ninety-nine. $\scriptstyle{\color{blue}{8:22=X:99}}$	ובהכרח כערך שמנה אל עשרים ושנים כן ערך הנעלם אל תשעים ותשעה
For it is known that the sum of the parts of the admission is only ninety-nine; and with one it is one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{99+1=100}}$	כי בידוע כי המחובר מחלקי ההודאה עמה לא יעלה כי אם תשעים ותשעה ועם האחד הם מאה
When we multiply the first number by the fourth, the result is seven hundred and ninety-two.	וכאשר נכפול החשבון הראשון על הרביעי יעלו שבע מאות ותשעי' ושתים
We divide it by the known mean, which is twenty-two; the result of division is thirty-six and this is the number of measures he admitted that he owes him. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{8\sdot99}{22}=\frac{792}{22}=36}}$	חלקנום על האמצעי הנודע שהוא עשרים ושנים ויצא בחילוק ששה ושלשים וככה הוא מספר המינים שהודה שחייב לו
Examine it and you will find that it is true.	ובחון זה ותמצאנו באמת
Purchase Problem - Moneychanger
Question: a silversmith has sold to a moneychanger a silver chain that is worth three dinar of one coin or five dinar of another coin or seven dinar of yet another [coin]. The silversmith asked the moneychanger to pay him its price with these three coins an equal amount of each. How much is this amount? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X=1$	שאלה צורף כסף שמכר לשלחני רתוקות כסף ערכה ממטבע אחד שלשה דינרי' וממטבע אחר חמשה דינרים ומאחר חמשה דינרי‫' ושאל הצורף לשולחני שיתן לו בדמיו משלש המטבעות האלה מכל אחד בחלק שוה ונבקש לדעת מספר החלק ההוא
Common Denominator: We investigate this way: we look for a denominator that has a third, a fifth, and a seventh; we find it is a hundred and five.	ונחקור על דרך זה נבקש שמדומה שיהיה לו לו שלישית וחמשית ושביעית והנה נמצא מאה וחמש
Its third is thirty-five; its fifth is twenty-one; and its seventh is fifteen.	שלישיתו שלשים וחמשה וחמשיתו עשרים ואחד וחמשיתו חמשה עשר
The sum of all these parts is seventy-one and these are the fractions by which we have to divide each dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot105\right)=35+21+15=71}}$	והמחובר מכל החלקים האלה שבעים ואחד והמה החלקים אשר נצטרך לחלק כל דינר אליהם
We divide the denominator by seventy-one; we find it there once and thirty-four parts remain that cannot be divided, which are parts of the seventy-one by which we divide the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{105}{71}=1+\frac{34}{71}}}$	והנה נחלק המדומה על שבעים ואחד נמצאנו שם פעם אחת וישארו שלא נתחלקו ארבעה ושלשים והמה חלקים מהשבעים ואחד אשר חלקנו עליהם המדומה
So, the silversmith will take one dinar and thirty-four parts of seventy-one of a dinar from each coin.	וככה יקח הצורף מכל מטבע דינר אחד ושלשים וארבעה חלקים משבעי' ואחד בדינר
Check: I shall give you a route how to check it:	ואתן לך מסלול איך תבחון זה
Take the denominator, which is one hundred and five, and in order to convert all the coins to the coin of 3, we multiply it by them; they are three hundred and fifteen. $\scriptstyle{\color{blue}{105\sdot3=315}}$	תקח המדומה ודרך שהוא מאה וחמש וכדי שנשיב כל המטבעות ממטבע שלשה נכפלנו עליהם ויהיו שלש מאות וחמשה עשר
We divide them by five, in order to know how many parts of the coin of 5 are they; the result of division is sixty-three parts. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315}{5}=63}}$	נחלקם על חמשה כדי שנדע כמה חלקים הם ממטבע חמשה יצא בחלוק ששים ושלשה חלקים
We divide the three hundred and fifteen by seven also, in order to know how many parts of the coin of 7 are they; the result of division is forty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315}{7}=45}}$	גם נחלק שלש מאות וחמשה עשר על שבעה למען נדע כמה חלקים הם ממטבע שבעה יצא בחילוק ארבעים וחמשה
When we sum all the parts of the three coins, which are 105, 63, 45, the result is two hundred and thirteen.	וכאשר נחבר כל החלקים משלשה המטבעות שהם מאה וחמש וששים ושלשה וארבעים וחמשה יעלו מאתים ושלשה עשר
We divide them by seventy-one, which are the parts of the whole dinar; we find them there three times, which are three whole dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{315}{3}+\frac{315}{5}+\frac{315}{7}}{71}=\frac{105+63+45}{71}=\frac{213}{71}=3}}$	נחלקם על שבעים ואחד שהם חלקי הדינר השלם ונמצאם שם שלשה פעמ' והנם שלשה והם דינרי' שלמים
Do likewise if you want to convert the whole amount to the coin of five or the coin of seven; and you will find the truth of this matter.	ועל הדרך הזה תעשה אם תרצה להשיב כל חשבון ממטבע חמשה או ממטבע שבעה ותמצא אמתות הדבר
Find a Number Problem
Question: a third, a fifth, and a seventh are summed together, how much is [their sum] in relation to the whole? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X$	שאלה שלישית וחמשית ושביעית מחוברים אזה ערך הם מהשלם
Common Denominator: We take one hundred and five as their denominator.	לקחנו להם מאה וחמש למדומה
Its third is thirty-five; its fifth is twenty-one; its seventh is fifteen.	שלישית חמשה ושלשים וחמשיתו עשרים ואחד ושביעיתו חמשה עשר
We sum up all; it is seventy-one. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot105\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot105\right)=35+21+15=71}}$	נחבר את כלם יהיו שבעים ואחד
Its ratio to the denominator is four-sevenths, two-sevenths of a third, and one-third of one-fifth of a seventh. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{71}{105}=\frac{4}{7}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	והנה ערכם אל המדומה ארבע שביעיותיו ושתי שבעיות שלישית ושלשית חמשית שביעיתו
Purchase Problem - Buy and Sell
Question: a buyer [bought] four fifths of a liṭra for one pašuṭ, and sold his possession at one pašuṭ for five ninths of a liṭra. He earned 11 pešuṭim. How much was [his] money? $\scriptstyle\frac{4}{5}X-\frac{5}{9}X=11$	שאלה הקונה ארבע חמשיות ליטרא בפשוט מוכר קנייתו בערך חמש תשיעיות ליטרא בפשוט והרויח י"א פשוטי‫' כמה היה הממון
Common Denominator: The denominator that has a fifth and a ninth is forty-five.	הנה המדומה לו שיש לו חמשית ותשיעית הוא ארבעים וחמשה
Its four-fifths are thirty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot45=36}}$	וארבע חמשיותיו ששה ושלשים
Its five-ninths are twenty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}\sdot45=25}}$	וחמש תשיעיותיו עשרים וחמשה
So is the amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{X=45}}$	וככה הוא הממון
If he says that he earned 22 pešuṭim. $\scriptstyle\frac{4}{5}X-\frac{5}{9}X=22$	ואם אמר שהרויח כ"ב פשוטים
Multiply twenty-five times twenty-two. $\scriptstyle{\color{blue}{25\sdot22}}$	תכפול חמשה ועשרים שנים ועשרים פעמים
If he says that he earned 33 pešuṭim $\scriptstyle\frac{4}{5}X-\frac{5}{9}X=33$	ואם אמר שהרויח ל"ג פשוטים
We multiply them thirty-three times. $\scriptstyle{\color{blue}{25\sdot33}}$	נכפלם שלשה ושלשים פעמים
And so on endlessly.	וככה עד אין קץ
Purchase Problem - Buy and Sell - Peanuts
Question: a seller bought 20 liṭra of peanut for 20 dinar. Then he went and sold 10 liṭra of them at one dinar for five quarters of a liṭra. It turned out that he lost in doing so. Afterwards many buyers came and overcharged and he sold the remaining 10 liṭra at one dinar for three quarters of a liṭra. Now he comes to us and asks: did he gain or lose? $\scriptstyle\left(\frac{10}{\frac{5}{4}}+\frac{10}{\frac{3}{4}}\right)-20$	שאלה סוחר קנה עשרים ליטראות בטנים בעשרים דינרי‫' והלך ומכר מהן עשרה ליטרי' לערך חמש רביעיות ליטר' בדינר ונמצא שהוא מפסיד בזה ואחר כן באו הרבה קונים והפקיעו השערים ומכר העשרה ליטרי הנשארות לערך שלש רביעיות ליטר' בדינר ועתה בא אלינו לשאול אם הרויח או הפסיד או אם יצא הפסדו בשכרו
We investigate this way: we convert the first 10 liṭra that he sold into quarters; they are forty.	והנה נחקור על דרך זה ונשים הי' ליט' הראשונות שמכר כלם רביעיות ויהיו ארבעים
We divide them by the 5-quarters that he sold for a dinar; we find them there eight times. We find that he sold the five for eight dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{\frac{5}{4}}=\frac{4\sdot10}{5}=\frac{40}{5}=8}}$	נחלקם על הה' רביעיות שמכר בדינר נמצאם שם שמנה פעמים נמצא שהחמש שמכרם בשמנה דינרים
We convert also the other 10 liṭra into quarters, then divide them by the 3-quarters that he sold for a dinar; we find them there thirteen times, which are 13 dinar, and one-quarter remains that cannot be divided, which is a third of a dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{\frac{3}{4}}=\frac{4\sdot10}{3}=\frac{40}{3}=13+\frac{1}{3}}}$	נעשה גם כן רביעיות מהעשר ליטר' האחרונות ונחלק על שלש רביעיות שמכר בדינר נמצאם שם שלשה עשר פעמים שהם שלשה עשר דינרים ועוד נשאר מהם שלא נתחלק רביעית אחת שהיא שלישית הדינר
We add all this to the eight dinar; the sum is twenty-one dinar and four pešuṭim. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{\frac{5}{4}}+\frac{10}{\frac{3}{4}}=8+\left(13+\frac{1}{3}\right)=21+\frac{4}{12}}}$	נחבר כל זה אל השמנה דינרים יהיו עשרי' ואחד דינרי' וארבעה פשוטי‫'
We find that he earned sixteen pešuṭim. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(21+\frac{4}{12}\right)-20=\frac{16}{12}}}$	נמצא שהרויח ששה עשר פשוטים
Partnership Problem - For the Same Time
Question: three invested 46 dinar - one contributed 12 dinar, the second contributed 15 dinar, the third contributed 19 dinar, and they earned together 20 dinar. How much should each one take [from the profit]? $\scriptstyle12+15+19=46$	שאלה שלשה שותפין בארבעה וששה דינרי' חלק האחד י"ב דינרים והחלק השני ט"ו דינרי' והחלק השלישי י"ט דינרים והרויחו בין כלם עשרים דינרים כמה יקח כל אחד מהם
Rule of Four: It is known that there is no doubt that each and every one will take the ratio to twenty as the ratio of his share to forty-six. $\scriptstyle{\color{blue}{x_i:20=a_i:46}}$	ידוע כי אין ספק כי כל אחד ואחד יקח ערך מעשרים כערך חלקו אל הארבעי' וששה
You will find out this easily by the rule of four [lit. the rules of proportions].	ותברר זה במשפטי הערכין בנקלה
Payment Problem - two workers, two different daily wages, the same actual payment
Question: one hired Reuven and Shimon for 10 days to do a work for him any one of them in turns so that the work will not cease. He agreed with Reuven that if he will do the work alone the whole 10 days he would pay him 2 dinar and to Shimon he said that if he will do the work alone the whole days he would pay him 5 dinar. What they did? They did the work together so that when one was tired his friend replaced him and did the work while the other was resting and if the second was tired, the first returned to his work and the second was resting. Each one wrote how many days, or parts of days, he worked. They did so the whole ten days, and then when they came to the employer he paid both of them and gave each of them money equally. How much money did they receive and how many days did each of them work? $\begin{cases}\scriptstyle\frac{2}{10}R=\frac{5}{10}S\\\scriptstyle R+S=10\end{cases}$	שאלה השוכר ראובן ושמעון שיעשו לו בין שניהם מלאכה עשרה ימים ולא תשבות המלאכה והתנה עם ראובן שאם יעסוק הוא במלאכה לבדו כל העשרה ימים שיתן לו ב' דינרים ולשמעון אמר שאם יעסוק הוא לבדו במלאכה כל מספר הימים ההם שיתן לו ה' דינרים מה עשו החזיקו שניהם במלאכה והוא שובת היה עיף השני והראשון חוזר למלאכתו והשני שובת וכל אחד ואחד כתב כמה ימים או חלקי ימים עבד ועשו זה כל העשרה ימי‫' וכשבאו אל השוכר פרע את שניהם ונתן להם מעות לכל אחד בשוה ונרצ' לדעת כמה מעות נטלו וכמה ימי עבודת כל אחד ואחד
We investigate this way: know that Reuven works five days for one dinar and Shimon is paid one dinar for two days only. The sum of the days of both is seven. $\scriptstyle{\color{blue}{5+2=7}}$	והנה נחקור על דרך זה תדע כי ראובן יעבוד חמשה ימים בדינר ושמעון לא שימש בדינר כי אם שני ימים והמחובר מימי שניהם הוא שבעה
We divide the ten days by them; the result is one integer and three remain that cannot be divided. So the amount of money that each takes is one dinar and three-sevenths of a dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{5+2}=\frac{10}{7}=1+\frac{3}{7}}}$	נחלק העשרה ימים עליהם ויהיה היוצא אחד שלם ונשארו שלשה שלא נתחלקו וככה הוא סכום המעות אשר יקח כל אחד מהם דינר ושלשה שביעיות דינר
Now we shall investigate how many are the working days of each by his payment according to the conditional ratio, so that they are summed up to ten days:	ועתה נחקור כמה ימי משפט עבודת כל אחד ואחד בשכרו אשר לקח לפי ערך התנאי וצריך שיספיק בין שניהם לעשרה ימים
We do as follows: it is known that Reuven must work five days for one dinar, we ask to know how many days will he work for the three-sevenths of a dinar; we reach this knowledge by applying the rule of four [lit. the rules of the ratios].	ונעשה ככה בידוע כי ראובן חייב לעבוד בדינר חמשה ימים ונבקש לדעת כמה ימים יעבוד בעבור השלשה שביעיות מהדינר ונגיע לידיעת זה כאשר נעשה במשפטי הערכין
We convert the five days into sevenths; they are thirty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{5=\frac{35}{7}}}$	ונשיב החמשה ימים חלקי שביעיות ויהיו חמשה ושלשים
Rule of Four: We take the ratio and say: as the ratio of three to seven, so is the ratio of the unknown to thirty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}:7=X:35}}$	ונעריך ונאמר כערך שלשה אל שבעה כן ערך הנעלם אל חמשה ושלשים
We multiply the first number by the fourth; it is a hundred and five.	נכפול החשבון הראשון על הרביעי ויהיו מאה וחמש
We divide it by the known mean, which is seven; we find it there fifteen times that are parts of sevenths of a day; the result is two days and one-seventh of a day. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{3\sdot35}{7}}{7}=\frac{\frac{105}{7}}{7}=\frac{15}{7}=2+\frac{1}{7}}}$	נחלקם על האמצעי הנודע שהוא שבעה נמצאם שם חמשה עשר פעמים והנה הם חלקי שביעיות יום העולים שני ימים ושביעי יום אחד
We find that Reuven's working days are seven days and one-seventh of a day. $\scriptstyle{\color{blue}{R=5+\left(2+\frac{1}{7}\right)=7+\frac{1}{7}}}$	ונמצא כל ימי עבודת ראובן שבעה ימים ושביעית יום אחד
It is known that Shimon must work two days for the dinar that he received.	וידוע כי שמעון חייב לעבוד שני ימים בעבור הדינר שלקח
When we convert the two days into sevenths, they are fourteen. $\scriptstyle{\color{blue}{2=\frac{14}{7}}}$	וכשנשיב השני ימים חלקי שביעיות יהיו ארבעה עשר
Rule of Four: As the ratio of the three-sevenths he took to seven, so is the ratio of the unknown to fourteen. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{7}:7=Y:14}}$	והנה כערך השלשה שביעיות שלקח אל שבעה כן ערך הנעלם אל ארבעה עשר
We multiply the first [number] by the [fourth]; it is forty-two.	כפלנו החשבון הראשו' על האמצעי היו ארבעים ושנים
We divide it by the known mean, which is seven; we find it there six times that are parts of sevenths of a day. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{3\sdot14}{7}}{7}=\frac{\frac{42}{7}}{7}=\frac{6}{7}}}$	חלקנום על האמצעי הנודע שהוא שבעה נמצאם שם ששה פעמים והם חלקי שביעיות יום
We find that Shimon's working days are two days and six-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{S=2+\frac{6}{7}}}$	ונמצא כל ימי עבודת שמעון שני ימים ושש שביעיות
Check: When you sum up the number and the parts of the working days of both and make one day out of every seven parts, you find that they are exactly ten days. $\scriptstyle{\color{blue}{R+S=\left(7+\frac{1}{7}\right)+\left(2+\frac{6}{7}\right)=10}}$	וכאשר תחבר מספר הימים והחלקים מעבודת שניהם ותעשה משבעה חלקים יום אחד תמצא שהם עשרה ימים בכוון
Payment Problem - Messenger
Question: I hired a messenger for 13 dinar and we agreed that he will walk for me from now on for 20 days 11 parsa [1 parsa = ca. 4 kilometers] a day, but the messenger embezzled or got injured and walked only 5 parsa a day for 7 days. How much should his payment be according to the terms? $\scriptstyle\frac{x}{7\sdot5}=\frac{13}{20\sdot11}$	שאלה שכרתי שליח אחד בשלשה עשר דינרים והתנאתי עמו שילך לי מכאן ועד עשרים ימים אחד עשר פרסאות בכל יום והשליח מעל או שנאנס ולא הלך כי אם חמש פרסאות בכל יום עד שבעה ימים נרצה לידע כמה משפט דמי שכירותו לפי התנאי
We do it in this way: first we think as if the messenger would have walked five parsot the whole 20 days and we look how much should be his hiring payment.	נעשה בדרך זאת בתחלה נחשוב כאלו הלך השליח החמש פרסאות כל העשרים ונראה מה יגיע אליו מהשכירות
Rule of Four: We take the ratio and say: as the ratio of five to eleven, so is the ratio of the unknown to thirteen, which is the hiring payment. $\scriptstyle{\color{blue}{5:11=a:13}}$	והנה נעריך ונאמר כערך חמשה אל אחד עשר כן ערך הנעלם אל שלשה עשר שהוא ערך השכירות
When we multiply the first number by the fourth, then divide by the known mean, we find that his hiring payment should be 5 dinar and 10 parts of 11 of a dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{5\sdot13}{11}=5+\frac{10}{11}}}$	וכאשר נכפול החשבון הראשון על הרביעי ונחלק על האמצעי הנודע נמצא שיגיע אליו מהשכירות ה' דינרי' וי' חלקים מי"א בדינר
Since he walked five parsot for seven days only:	ובעבור שלא הלך החמש פרסאות כי אם שבעה ימים
Rule of Four: We take the ratio again and say: as the ratio of seven to twenty, so is the ratio of the unknown to 5 dinar and 10 parts of 11 of a dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{7:20=X:\left(5+\frac{10}{11}\right)}}$	נחזור ונעריך ונאמ' כערך שבעה אל עשרים כן ערך הנעלם אל ה' דנרים וי' חלקים מי"א בדינר
We multiply the first number, which is seven, by the fourth number, which is 5 dinar; it is 35.	נכפול החשבון הראשון שהוא שבעה על החשבון הרביעי שהוא ה' דינרי' יהיו ל"ה
We multiply it also by the 10 parts; they are seventy parts.	גם כן נכפול אותו על הי' חלקים יהיו שבעים חלקים
When we have to divide the resulting product by the known mean, we return all to the same measure and convert the 35 into parts of 11; they are 385.	וכאשר אנו צריכים לחלק העולה מהכפלה הזאת על האמצעי הנודע נשיב הכל ממתכונת אחת ונעשה מהל"ה חלקים מי"א ויהיו שפ"ה
We add to them the 70 parts, which are also parts of 11; they are 455.	נחבר אליהם הע' חלקים שגם הם המה חלקים מי"א ויהיו תנ"ה
Then we convert the known mean, which is twenty, into parts of 11; they are 220.	ואחרי כן נשיב גם כן האמצעי הנודע שהוא עשרים חלקים מי"א ויהיו ר"כ
We divide 455 by them; we find them twice in them and 15 remain that cannot be divided, which are three-quarters of a part of eleven.	נחלק תנ"ה עליהם נמצאם שם פעמים וישארו ט"ו שלא נתחלקו והם שלש רביעיות חלק אחד מאחד עשר חלקים מר"ך שהוא השלם אשר חלקנו עליו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X&\scriptstyle=\frac{7\sdot\left(5+\frac{10}{11}\right)}{20}=\frac{35+\frac{70}{11}}{20}=\frac{\frac{385+70}{11}}{20}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{455}{11}}{20}=\frac{455}{220}=2+\frac{15}{220}=2+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}$
Hence, the salary that the messenger will receive is two dinar and three-quarters of one part of eleven of a dinar.	וככה הוא שיקח השליח בשכירותו שני דינרים ושלש רביעיות חלק אחד מאחד עשר חלקים בדינר שלם
Divide a Quantity Problem - Proportional Division - Inheritance
Question: Jacob's four wives married him on the same day. On that day, he prepared for each of them a ketuba [= Jewish marriage contract] according the Jewish law. The name of the one is Leah and her ketuba amount is 4000 zehuvim [= golden coins]; the name of the second is Zilpah and he ketuba amount is 3000 zehuvim; the name of the third is Rachel and her ketuba amount is 2000 zehuvim; and the name of the fourth is Bilhah and her ketuba amount is 1000 zehuvim. Later Jacob died and nothing was left of his property but 4000 zehuvim. The widows came to the court in order to divide the money that remained between them	שאלה ארבעה נשי יעקב שנשאו לו ביום אחד ועשה לכל אחת כתובה בו ביום בתיקון חכמים שם האחת לאה וכתובתה ארבעת אלפים זהובים ושם השנית זלפה וכתובתה שלשת אלפים זהובים ושם השלישית רחל וכתובתה אלפים זהובים ושם הרביעית בלהה וכתובתה אלף זהובים לימים מת יעקב ולא נשאר מנכסיו כי אם ארבעת אלפים זהובים באו האלמנות לבית דין לחלוק להן הממון הנשאר
The division according the sages of Israel: The late sages said that the court law is to divide the money between them in this way:	ואמרו חכמים ז"ל שמשפט הבית דין לחלוק להם המעות על דרך זה
Bilhah: They shall tell Bilhah whose ketuba has the highest [amount] of all of them: You have no claim from the others except for a thousand gold coins and they too have a legal right on them, so take the fourth of the thousand, which is two hundred and fifty and go in peace and so each of them will take from it. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot1000=250}}$	יאמרו אל בלהה שכתובתה מרובה מכלנה אין לך ערעור על חברותי' כי אם באלף זהובים וגם הנה יש להם משפט בהם על כן תקחי רביעית האלף שהוא מאתי' וחמשים ולכי לשלום ולכך יקחו ממנו כל אחת מהן
Rachel: Then, the court shall tell Rachel: You have no claim except for the two thousand that your two friends have a legal right on them too, and you have already taken your share from the one-thousand divided, so take the third of the one thousand required as a payment of your claim, which is three-hundred and thirty-three gold coins and one-third, and return to your home. We find that her total share is five hundred eighty-three gold coins and one-third. Likewise each of the two others will take three hundred and thirty-three gold coins and one-third from the second divided one thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot1000\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot1000\right)=250+\left(333+\frac{1}{3}\right)=583+\frac{1}{3}}}$	אחרי כן יאמרו גם כן בית דין אל רחל אין לך ערעור רק על אלפים שיש לשתי חברותיך גם כן משפט בהם וכבר לקחת חלקיך מהאלף המחולק על כן תקחי מהאלף אחרי שצריך לתשלום תביעתיך השליש שהוא שלש מאות ושלשים ושלשה זהובים ושליש זהוב ושובי לביתך ונמצא חלקה בין הכל חמש מאות ושמנים ושלשה זהובים ושליש זהוב וגם כן יקחו כל אחת משתיהן משתי מאותו האלף השני הנחלק שלש מאות ושלשים ושלש זהובים ושליש זהוב
Zilpah: Then, they shall tell Zilpah: You have no claim except for the three-thousand that your friend Leah too has a legal right on them, and you have already taken your share from the two thousand divided, so we shall divide the one thousand required as a payment of your claim between the two of you. We find that the total share of Zilpah is one thousand eighty-three gold coins and one-third. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot1000\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot1000\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot1000\right)=\left(583+\frac{1}{3}\right)+500=1083+\frac{1}{3}}}$	ואחרי כן יאמרו אל זלפה אין לך תביעה כי אם בשלשת אלפים שיש ללאה חברתך גם כן משפט בהם וכבר לקחת חלקך מהשני אלפים המחולקים על כן נחלק בין שתיכן האלף הצריך לתשלום תביעתך ונמצא שתהיה חלק זלפה בין הכל אלף ושמנים ושלשה זהובים ושלישית זהוב
Leah: Leah is left with two thousand and eighty-three gold coins and a third.	ונשארו ללאה אלפים ושמנים ושלשה זהובי' ושלישית זהוב

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot1000\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot1000\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot1000\right)+1000=\left(1083+\frac{1}{3}\right)+1000=2083+\frac{1}{3}}}$

Check: If you sum up all these parts according to the rule, you will find the result is four thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{250+\left(583+\frac{1}{3}\right)+\left(1083+\frac{1}{3}\right)+\left(2083+\frac{1}{3}\right)=4000}}$	ואם תחבר כל החלקים האלה כמשפט תמצא העולה ארבעת אלפים
The division according to the arithmeticians: The arithmeticians divide this amount in a different way: $\scriptstyle\frac{4000}{4000}X+\frac{3000}{4000}X+\frac{2000}{4000}X+\frac{1000}{4000}X=4000$	והנה חכמי החשבון חולקי' הממון הזה בדרך אחרת
False Position: They say that since Bilhah asks for a [quarter] of the amount, Rachel its half, Zilpah its three-quarters, and Leah its whole, we take a denominator that has a half and a quarter. We find it is eight.	ויאמרו כי בעבור שבלהה שואלת חצי [רביעית] הממון ורחל חציו וזלפה שלש רביעיותיו ולאה כלו נקח מדומה שיש לו חצי ורביעית והנה נמצא שמנה
Its quarter is two; its half is four; its three-quarters are six; the sum of all these parts with [the denominator] is twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{8+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot8\right)=8+2+4+6=20}}$	ורביעיתם שנים וחציים ארבעה ושלש רביעיותיהם ששה והמחובר מכל החלקי' האלה עמו עולה עשרים
Rule of Four: As the ratio of twenty to four thousand, which is the amount that Jacob has left, so is the ratio of eight to the unknown share of Leah. $\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=8:X}}$	והנה כערך עשרים אל ארבעת אלפים שהו' הממון הנשאר ליעקב ככה יהיה ערך שמנה אל חלק כתובת לאה הנעלם
When we apply the rule of four [lit. the rule of proportions], we find that her share is one thousand and six hundred gold coins.	וכאשר נעשה כמשפט הערכין נמצא שתהיה חלקה אלף ושש מאות זהובים
Rule of Four: As the ratio of twenty to four thousand, so is the ratio of six, which is three-quarters of the denominator, to the share of Zilpah. $\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=6:X}}$	וכערך עשרים אל ארבעת אלפים ככה יהיה ערך ששה שהוא שלש רביעיות המדומה אל החלק שתקח זלפה בכתובתה
When we examine by the rule of four, we find that her share is one thousand and two hundred gold coins.	וכאשר נחקור במשפט הערכין נמצא שתהיה חלקה אלף ומאתים זהובים
Rule of Four: We take the ratio and say: as the ratio of twenty to four thousand, so is the ratio of four, which is half the denominator, to the share of Rachel. $\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=4:X}}$	וגם נעריך ונאמר כערך עשרים אל ארבעת אלפים כן ערך ארבעה שהוא חצי המדומה אל החלק שתקח רחל בכתובתה
We find that her share is eight hundred gold coins.	‫ונמצא שיבואו לחלקה שמונה מאות זהובים
Rule of Four: We take the ratio and say: as the ratio of twenty to four thousand, so is the ratio of two to the share of Bilhah. $\scriptstyle{\color{blue}{20:4000=2:X}}$	והנה גם כן נעריך ונאמר כערך עשרים אל ארבעת אלפים כן יהיה ערך שניים אל החלק אשר תקח בלהה בכתובתה
We find that her share is four hundred gold coins.	ונמצא שתקח לחלקה ארבע מאות זהובים
Check: When you sum up all these four shares, you find that the result is four thousand precisely. $\scriptstyle{\color{blue}{1600+1200+800+400=4000}}$	וכאשר תחבר כל החלקים האלה ארבעתם תמצא שיהיו עולים ארבעת אלפים מכוונים
Motion Problem - Pursuit
Question: a messenger was sent to walk a certain distance on land and he walks 12 parsa a day. After 10 days the sender changed his mind [and decided] to return the walking messenger. He sent another messenger after him to return him, walking 15 parsa a day. In how many days will he catch up with him? $\scriptstyle12X+\left(10\sdot12\right)=15X$	שאלה השולח ציר נאמן ללכת בארץ מרחק והוא הולך בכל יום ויום שנים עשר פרסאות אחר עשרה ימים נמלך המשלח להשיב השליח המהלך וישלח אחריו שליח אחר להשיבו שהוא הולך בכל יום חמשה עשר פרסאות [נרצה לידע בכמה ימים ישיגנו
We examine in this way: we think how many parsot the first walked, before the second started to walk; they are a hundred and twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot12=120}}$	ונחקור בדרך זה נחשוב כמה פרסאות‫]‫ הולך הראשון בטרם שנסע השני והנה הם מאה ועשרים
We divide them by the excess of the parsot that the second walks in one day over the first, which is three; we find it forty times there, so he will catch up with him in forty [days]. $\scriptstyle X=\frac{parsa\ of\ first\ walking\ alone}{\left(parsa\ of\ second\ in\ one\ day\right)-\left(parsa\ of\ first\ in\ one\ day\right)}$ days $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot12}{15-12}=\frac{120}{3}=40}}$	נחלקם על יתרון הפרסאות שהולך השני מן הראשון ביום אחד שהם שלשה נמצאם שם ארבעים פעמים והנה ישיגנו בארבעים
Check: You can check it when you calculate how many parsot the first had walked in fifty [days], because the second had walked in [forty] [days] as many as that. $\scriptstyle{\color{red}{50\sdot12=40\sdot15}}$	ותוכל לבחון זה כשתחשוב כמה פרסאות הלך השליח הראשון בחמשים יום כי ככה הלך השני בארבעה
Motion Problem- Encounter
Question: Reuven established his home in a certain town at the eastern border and his brother Shimon established his home in another town at the western border. Through letters they sent to each other they agreed on a time in which each one will leave his town to walk towards his brother, on the first day of Nisan [the 7th month of the Hebrew year]. The walking distance between the two towns is 50 parsa. Reuven is walking 7 parsa a day and his brother Shimon is walking 9 parsa a day. In how many days will they meet? $\scriptstyle7X+9X=50$	שאלה ראובן קובע את דירתו ‫בעיר אחת בקצה המזרח ושמעון אחיו קובע דירתו באחת הערים בקצה המערב על ידי אגרות ששלחו זה לזה יעדו להם זמן שיצאו כל אחד מעירו ללכת לקראת אחיו ביום ראשון של חדש ניסן והמהלך אשר בין שתי העיירות חמשים פרסאות והנה ראובן הולך בכל יום שבע פרסאות ושמעון אחיו הולך בכל יום תשע פרסאות ונבקש לדעת בכמה ימים יתחברו זה עם זה
We do as follows: we sum up the parsot that they both walk in one day; they are sixteen. $\scriptstyle{\color{blue}{7+9=16}}$	ונעשה ככה נחבר פרסאות מהלך שניהם ביום אחד ויהיו ששה עשר
We divide fifty, which is the distance, by them; we find them three times in it and two remain that cannot be divided. We consider them as one-eighth of sixteen. So, they will meet in three days and one-eighth of a day. $\scriptstyle X=\frac{distance\ between\ them}{parsa\ of\ both\ a\ day}$ $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{50}{16}=3+\frac{2}{16}=3+\frac{1}{8}}}$ days	נחלק חמשים שהוא המרחק עליהם נמצאם שם שלשה פעמים וישארו שנים שלא נתחלקו ונחשוב אותם שמינית ששה עשר והנה יתחבר זה עם זה בשלשה ימים ושמינית יום
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Cane
Question: a third and a quarter of the cane are ingrained in the mud, its height is revealed two zeratot [spans] up [above the mud], what is the height of the tree? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+2=X$	שאלה קנה הנעוצה בטיט היון שלישיתה ורביעיתה ונראית קומתה למעלה שני זרתות כמה אורך הקנה
False Position: We do it like this: we take twelve as a denominator, because there is a third and a quarter in it.	נעשה כזאת נקח לנו שנים עשר למדומה יען ימצא השלישית ורביעית
The sum of these parts of it is seven. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7}}$	ומחברת חלקים אלו ממנו יהיו שבעה
We subtract it from the denominator; five remain. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}$	נסיר אותם מהמדומה ‫ישארו חמשה
Rule of Four: Now, we take the ratio and say: as the ratio of five to twelve so is the ratio of the two zeratot to the unknown. $\scriptstyle{\color{red}{5:12=2:X}}$	ועתה נעריך ונאמר כערך חמשה אל שנים עשר כן ערך השני זרתות אל הנעלם
We multiply the means [by each other]; the product is twenty-four. We divide it by the first known number, which is five; we find four there and four remained from it that cannot be divided, which are fifths. So, the length of the whole cane is four zeratot and four-fifths of a zeret. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2\sdot12}{5}=\frac{24}{5}=4+\frac{4}{5}}}$ zeratot	כפלנו האמצעיים עלו עשרים וארבעה חלקנום על החשבון הראשון הנודע שהוא חמשה מצאנוהו שם ארבעה פעמים ונשארו מהם שלא נתחלק ארבעה והמה חמישיות וככה הוא אורך כל הקנה ארבעה זרתות וארבעה חמשיות זרת
Check: You can check if this is true when you subtract a third and a quarter from twenty-four and you are left with ten, as the measure of the parts of the two whole zeratot that are seen above the mud. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{24-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)\right]}{5}=\frac{10}{5}=2}}$	ותוכל לבחון זה אם הוא אמת כשתסיר מעשרים וארבעה שלישיתו ורביעיתו וישארו לך עשרה כשעור חלקי השני זרתות שלמות הנראות מעל הטיט
Give and Take Problem - Earning and Spending
Question: the money changer brought some money to a known town. Each day he earned so as doubling his money, but he had to pay a tax of 100 dinar every day. He stayed there five days. On the fifth day he rose up early at dawn, doubled his money, as in the previous days, then he had to pay his daily tax and he had nothing left. We want to know what the amount of money he brought to this town was $\scriptstyle2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left(2X-100\right)-100\right]-100\right]-100\right]=100$	שאלה שולחני שהביא ממון לעיר ידועה ובכל יום ויום הוא מרויח עד שכופל ממונו רק שצריך שיפרע למכס בכל יום מאה דינרין ונתעכב שם חמשה ימים ויהי ביום החמשי השכים בשחר וכפל ממונו כשאר הימים וכלם נצטרכו לו לפרוע חוק מכס יומו ולא נשאר לו מאומה נרצה לדעת מכסת הממון שהביא לעיר
We do it this way: it is known that on the fifth day when the amount he had was only fifty dinar, he doubled it; was one hundred, then he paid it as the tax, and he had nothing left. $\scriptstyle{\color{blue}{100-\left(2\sdot50\right)=100-100=0}}$	ונעשה על זה הדרך בידוע כי ביום החמישי כשהשכים שלא היו לו רק חמישים דינרים וכפלם ‫והיו מאה ופרעם למכס ולא נשאר לו מאומה
The fifty dinar necessarily remained for him from the evening of the fourth day, after he paid the tax of that day.	ובהכרח החמשים דינרים נשארו לו מערב היום הרביעי אחרי אשר פרע מכס אותו היום
We find that on the morning of that day he had a half of one-hundred and fifty dinar, which are seventy-five dinar that remained for him from the evening of the third day. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(100+50\right)=\frac{1}{2}\sdot150=75}}$	ונמצא שהיו לו בשחרית אותו יום מחצית מאה וחמשים דינרים שהם שבעים וחמשה דינרים שנשארו לו מערב היום השלישי
Before he paid the tax of that day, he had one-hundred and seventy-five dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{100+75=175}}$	וקודם שפרע מכס היום ההוא היו לו מאה ושבעים וחמשה דינרים
We take their half; they are eighty-seven dinar and a half, which he had on the morning that remained for him from the evening of yesterday, which is the second day. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot175=87+\frac{1}{2}}}$	נקח מחציתם יהיו שמנים ושבעה דינרים וחצי שהיו לו בשחר שנשארו לו מאמש יום תמולו שהוא היום השני
We find that before paying the tax he had one-hundred eighty-seven dinar and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(87+\frac{1}{2}\right)=187+\frac{1}{2}}}$ dinar	ונמצא שאז יהיו לו קודם פריעת המכס מאה ושמונים ושבעה דינרים וחצי
We take their half; they are ninety-three dinar and nine pešuṭim, which he had on the morning that remained for him from the evening of the first day. in the evening he had: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(187+\frac{1}{2}\right)=93+\frac{9}{12}}}$	נקח חצים יהיו תשעה ושלשים דינרים ותשעה פשיטים משנים עשר בדינר שהיו לו בשחר הנשארים לו מערב יום ראשון
We find that on that first day, before paying the tax he had one-hundred ninety-three dinar and nine pešuṭim. $\scriptstyle{\color{blue}{100+\left(93+\frac{9}{12}\right)=193+\frac{9}{12}}}$	ונמצא שביום ההוא הראשון היו לו קודם פריעת המכס מאה ותשעים ושלשה דינרין ותשעה פשיטים
We take their half; they are ninety-six dinar and ten pešuṭim and a half; and so [is the amount of money] he brought. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1}{2}\sdot\left(193+\frac{9}{12}\right)=96+\frac{10+\frac{1}{2}}{12}}}$	נקח חציים והם תשעים וששה דינרים ועשרה פשיטים וחצי פשוט וככה הביא

Epilogue
Verses praising God	עד הנה הרבה מן השאלות ממינים רבים ‫בלתי דומים זה לזה ובארתי בכל אחת ואחת בארוכה דרך מציאת תשובתה וכל חכם לב יוכל לקחת מהתשובות האלה לזולתן
	והגיע ת[ור] לחתום פה עתה את דברי זה הספר
	הנותן אמרי שפר‫
	ונערוך תושבחות ותהלות ושירות
	ליודע כל נסתרות
	כי לא יאותו לזולתו
	בעבור יקר תפארת גדולתו‫
	יתברך ויתעלה שמו
	ויפיק אלינו חמלתו
	ויכון עלינו לעולם ועד מלכותו
	גם ישפיע לעדתו ממימי מעייני ישועתו
	ימהר ויחיש יום יאמר חזות ישעיהו נביאו אשר כתב בספרו ואמרתם ביום ההוא הודו לי"י קראו בשמו הודיעו בעמים עלילותיו הזכירו כי נשגב שמו‫
	תם ונשלם
	שבח לבורא עולם

Appendix I: Glossary of Terms

rank

מדרגה

Appendix: Bibliography

Joseph Ben Moses Ṣarfati
Before 1384
‛Ir Siḥon
Manuscripts:

1) Ithaca (NY), Cornell University A 26/1 (IMHM: f 46122), ff. 3r-29v (15th century)

2) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 138/2 (IMHM: f 6818), ff. 23r-65v (15th century)

3) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 68/5 (IMHM: f 1131), ff. 346r-374v (Roma, 1552)

Cod.hebr. 68

4) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 995/5 (IMHM: f 14680), ff. 297r-300v (16th century)

heb. 995

5) Philadelphia, University of Pennsylvania, Schoenberg Collection Ljs 312 (IMHM: f 4795); (15th-16th century)

LJS 312

6) St. Petersburg, Inst. of Oriental Studies of the Russian Academy B 176 (IMHM: f 53314); (18th century)

7) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 397/3 (IMHM: f 475), ff. 51r-109v (Murcia, 1384/1385)

Vat.ebr.397

The transcript of the text is based on manuscript Vatican 397.

Bibliography:

• Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, p. 188 (g101); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.